Симметрия в задачах с параметрамиСимметрия в задачах с параметрами

Васильева АнастасияВасильева Анастасия11класс.11класс.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждениеМуниципальное бюджетное образовательное учреждение« Октябрьская средняя общеобразовательная школа»« Октябрьская средняя общеобразовательная школа»

Мариинско-Посадского района Чувашской Республики. Мариинско-Посадского района Чувашской Республики.

Научный руководитель:Научный руководитель:Яковлева Галина Васильевна,Яковлева Галина Васильевна,

учитель математикиучитель математики МБОУ «Октябрьская СОШ» МБОУ «Октябрьская СОШ»

Мариинско-Посадского района Мариинско-Посадского районаЧувашской Республики.Чувашской Республики.

С.Октябрьское, 2012 г.С.Октябрьское, 2012 г.

Республиканский конкурс учебных и социальных проектов учащихся (кадетов) кадетских школ и кадетских классов

Каждый момент жизни требует от человека размышления, анализа возникших обстоятельств. Изучение физических, химических, экономических и многих других закономерностей часто приводит к решению задач, зависящих от многих параметров. Не случайно, ежегодно задачи с параметрами включаются в задания ЕГЭ. Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных в математике. Трудности связаны с обилием формул и методов, используемых при их решении. Практически каждая задача решается своим особым способом, требует исследования и подбора наиболее подходящего метода. При решении задач с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметра они имеют решение, и найти все эти решения. В том случае, когда хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задание не считается полностью решенным. Как правило, немногие школьники могут справиться с ними. Прежде чем приступить к решению подобных задач, учащийся должен в совершенстве владеть общим курсом математики.

Исследовать 1)способы подбора путей решения задач с параметрами

2) целесообразность применения метода симметрии для решения.

1)Убедиться в возможности нахождения эффективных путей решения задач с параметрами.

2) Развить умение анализировать содержание заданий для нахождения подходящего способа их решения.

3)Овладеть техникой решения задач с параметрами , используя метод симметрии.

Задачи исследования

Симметрия.Подходы:1)наличие в условии требования найти единственное решение; 2)в задании видна четность функций, симметричность неизвестных.

Известно, если область определения функции f(x) симметрична относительно точки x=0 и f(−x) = f(x), то функция f(x)-чётная, Пусть при решении задачи функция f(x) оказалась чётной. Тогда если x0 является решением задачи, то и (−х0)— решение

задачи поскольку f(x0)=f(−x0).

Следовательно,1)необходимым условием единственности решения является, чтобы х=0 было

решением задачи, 2) достаточным условием, чтобы решений ,кроме x=0, больше не было.

Действия:Решая задачу, мы сначала будем:1) находить возможные значения параметров из

условия х=0,т. е. из необходимого условия единственности; 2) для найденных значений параметров будем проверять, что других решений (кроме x=0) нет, т. е. проверять достаточное условие единственности.

При решении уравнений вида f(x, y)=0, если выполняется симметрия f(x, y) =f(y, x), то наряду с решением (x0; y0) пара (y0; x0) тоже будет решением. Необходимым условием

единственности в этом случае является х=у

Задача .При каких значениях параметраЗадача .При каких значениях параметра а а уравнение уравнение имеет единственное решение?имеет единственное решение?

Решение. Относительно переменной х левая часть уравнения представляет четную функцию, единственным корнем может быть только х=0.Подставим х0=0 в уравнение, получим уравнение относительно а

При а=0 и при исходное уравнение примет вид и

соответственно и имеет единственный корень х=0

0cossin2 22 axax

01sin2 2 aa

1sin2

,001sin2

a

aaa

0a

1sin2а

Ответ. При

02 х 1sin4cossin1sin4 22 xx

1sin2а

ayx

axy

2

,22

2

Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.

00 ; yx 00 ; хy

Решение. Пусть -решение системы неравенств, то ввиду симметрии тоже решение. Следовательно, необходимым условием единственности является х=у. Подставим в одно из неравенств 022 ахх

.

Полученное неравенство имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю: ,

aD 81 ,081 a ,8

1a

4

1

,4

1

2

2

yx

xy0

2

1

2

122

ух

2

1yx

,81a

Ответ. При -единственное решение ,81a

ЗАКЛЮЧЕНИЕВ результате проведенного исследования, я пришла к выводу, что, действительно: 1).Задачи с параметрами- по сути тест на проверку уровня математической культуры, на ее присутствие или отсутствие. 2).Решения задач требуют учета применимости выбранного метода к данной задаче в зависимости от свойств функций, формул, входящих в условие. 3).Решение каждой задачи с параметром- это особая исследовательская работа, в результате которой расширяется круг практического приложения знаний школьного курса математики. 4).Метод симметрии–один из многих оригинальных путей решения задач с параметрами различного уровня сложности

1.Пак Г.К. Задачи с параметрами. Серия : математика для абитуриента. Сам себе репетитор. Учеб.пособие, Владивосток. Изд. –во Дальневосточного университета, 2000,- 16с.

2.Козко А.Н., Чирский В.Г. Задачи с параметрами и другие сложные задачи. –М. МЦНМО, 2007,-296с.

3.Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения.-М.: ООО «Изд.-во Оникс» , : ООО «Изд.-во «Мир и образование», 2007.-416с.:-(Школьный курс математики)

4.Евсюк С.Л. Математика: Учебное пособие. –Мн.: Книжный дом, 2006.- 556с. (репетитор)

5.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Пособие для поступающих в вузы : учеб. пособие.-М. : Дрофа, 2010.-653с.

Литература