33
3 ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Методические указания Сыктывкар 2005

Плоскость и прямая в пространстве

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Методические указания по теме Плоскость и прямая в пространстве (113 группа)

Citation preview

Page 1: Плоскость и прямая  в пространстве

3

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Методические указания

Сыктывкар

2005

Page 2: Плоскость и прямая  в пространстве

4

§ 1. Различные виды уравнений плоскости

В этом параграфе приводятся различные виды уравнений плоскости.

Читатель может самостоятельно вывести каждое уравнение, используя

схему приложения I.

A. Уравнение плоскости, проходящей через точку ),,( 0000 zyxM

перпендикулярно вектору ),,( CBAn ( n называется нормальным

вектором плоскости или нормалью) имеет вид

0)()()( 000 zzCyyBxxA . (1)

B. Общее уравнение плоскости – это уравнение вида

0 DCzByAx , (2)

где DCBA ,,, – произвольные числа, причем CBA ,, одновременно не

равны нулю. Вектор ),,( CBAn – нормальный вектор плоскости.

C. Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид

1c

z

b

y

a

x . (3)

Значения cba ,, есть величины отрезков, отсекаемых плоскостью на ко-

ординатных осях, начиная от начала координат.

D. Нормальное уравнение плоскости

1,0 222 CBADCzByAx . (4)

Последнее условие означает, что нормаль плоскости имеет единичную

длину. Если известны направляющие косинусы нормального вектора к

плоскости (косинусы углов между нормалью и соответствующими осями

координат), то уравнение (4) может быть записано в виде

0coscoscos pzyx . (5)

Причем значение модуля параметра p равно расстоянию от плоскости

до начала координат.

E. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

),,( 0000 zyxM параллельно двум векторам ),,( 1111 p и ),,( 2222 p

Page 3: Плоскость и прямая  в пространстве

5

0det

222

111

000

zzyyxx

. (6)

F. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

),,( 0000 zyxM , ),,( 1111 zyxM , ),,( 2222 zyxM

0det

020202

010101

000

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

. (7)

G. Уравнение касательной плоскости к графику функции .

Пусть ),,( 0000 zyxM фиксированная точка на графике функции ),( yxfz

(то есть ),( 000 yxfz ). Тогда уравнение касательной плоскости в точке

0M имеет вид

))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx . (8)

Нормальный вектор касательной плоскости имеет вид

)1),,(),,(( 0000 yxfyxfn yx.

Если функция задана в неявном виде уравнением 0),,( zyxF , то урав-

нение касательной плоскости в точке ),,( 0000 zyxM имеет вид

0))(,,())(,,())(,,( 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx . (9)

Нормальный вектор касательной плоскости в этом случае имеет

координаты )),,(),,,(),,,(( 000000000 zyxFzyxFzyxF zyx .

§ 2. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плос-

кости

1. Угол между плоскостями. Если известны уравнения плоскостей

0: 11111 DzCyBxA и 0: 22222 DzCyBxA , то для того, что-

бы найти угол, под которым они пересекаются, достаточно найти угол

между их нормальными векторами ),,( 1111 CBAn и ),,( 2222 CBAn . Поэтому

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121cosCBACBA

CCBBAA

. (10)

Page 4: Плоскость и прямая  в пространстве

6

Второй угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями 1

и 2 , дополняет уже найденный угол до .

2. Условие параллельности двух плоскостей 1 и 2 эквивалентно

условию коллинеарности их нормальных векторов 1n , 2n и заключается

в пропорциональности их координат, то есть

.2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

Условие перпендикулярности плоскостей выражается равенством ну-

лю скалярного произведения нормальных векторов 1n и 2n , то есть в

координатной записи

0212121 CCBBAA .

3. Расстояние от точки ),,( 0000 zyxM до плоскости 0: DCzByAx

выражается формулой

222

000

CBA

DCzByAxd

. (11)

§ 3. Прямая линия в пространстве

В этом параграфе мы приведем различные виды уравнений прямой в

пространстве. Предлагаем читателю самостоятельно вывести эти

уравнения, используя при этом блок-схему приложения 2.

A. Канонические уравнения прямой. Это уравнения прямой, про-

ходящей через данную точку ),,( 0000 zyxM параллельно заданному

вектору ),,( p называемому направляющим вектором прямой. Они

имеют вид

000 zzyyxx

. (12)

B. Уравнения прямой, проходящей через две точки ),,( 0000 zyxM

и ),,( 1111 zyxM . Эти уравнения получаются из уравнений (12), если

вместо координат направляющего вектора ),,( p подставить коорди-

наты вектора 10MM :

01

0

01

0

01

0

zz

zz

yy

yy

xx

xx

. (13)

Page 5: Плоскость и прямая  в пространстве

7

C. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Если

),,( p – направляющий вектор прямой l и lzyxM ),,( 0000 , то

уравнения

tzz

Rttyy

txx

0

0

0

, (14)

называются параметрическими уравнениями прямой l . Если представ-

лять параметр t как время, то уравнения (14) определяют закон дви-

жения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью

222 v .

D. Прямая линия может быть задана как пересечение двух

плоскостей. Тогда, если 0: 11111 DzCyBxA , а yBxA 222 :

022 DzC , и 21 l , то уравнения прямой l могут быть напи-

саны в виде системы двух линейных уравнений

.0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA (15)

На практике часто встает задача перехода от уравнений вида

(15) к каноническим уравнениям (12) и обратно. В первом случае дос-

таточно найти решение ),,( 0000 zyxM системы (15) и вычислить вектор

),,(),,( 212211121 CBACBAnnp , который будет являться направляю-

щим вектором прямой, заданной уравнениями (15). Обратный переход

осуществляется записью уравнений (12) в виде системы. Например,

.00

00

zzxx

yyxx

§ 4 Взаимное расположение прямой и плоскости

1. Угол между прямой и плоскостью. Пусть дана плоскость

0: DCzByAx и прямая

000:zzyyxx

l

.

Под углом между прямой и плоскостью понимают меньший из углов

между прямой и ее проекцией на плоскость. Этот угол заключается в

пределах от 0 до 2/ .

Page 6: Плоскость и прямая  в пространстве

8

Пусть – угол между пря-

мой l и плоскостью , тогда

угол между нормалью ),,( CBAn

к плоскости и направляющим

вектором ),,( p прямой l ра-

вен

2 (см. рис.1). Так как

0sin , то

pn

pn

2cossin .

Таким образом, получаем сле-

дующую формулу для вычисле-

ния угла между прямой и плос-

костью

.sin222222

CBA

CBA (16)

Если прямая параллельна плоскости , то векторы n и p будут

перпендикулярны, т.е. 0 pn или

0 CBA .

Если прямая l перпендикулярна плоскости , то векторы n и

p будут коллинеарны и, следовательно,

CBA .

2. Пересечение прямой и плоскости. Найдем точку пересече-

ния прямой

000:zzyyxx

l

с плоскостью 0: DCzByAx .

Прежде всего перепишем уравнения прямой в параметрической

форме

tzztyytxx 000 ,,

и найдем значение параметра t , соответствующее точке пересече-

ния прямой l и плоскости . Так как координаты точки пересече-

ния должны удовлетворять уравнению плоскости , то

или .0)(

0)()()(

000

000

CBAtDCzByAx

DtzCtyBtxA

Рис. 1

φ

n p

Page 7: Плоскость и прямая  в пространстве

9

Если 0 CBA (т.е. прямая l не параллельна плоскости ),

то из последнего уравнения легко выразить искомые значения пара-

метра 0tt :

CBA

DCzByAxt

000

0.

Подставляя значение 0t в параметрические уравнения прямой l ,

находим координаты точки пересечения прямой с плоскостью.

Отметим, что если прямая принадлежит плоскости, то решением

задачи будет являться любая точка прямой. Если же прямая l па-

раллельна плоскости , то решение задачи не существует.

3. Уравнения прямой, проходящей через точку ),,( 0000 zyxM

перпендикулярно плоскости 0: DCzByAx . Очевидно, что в

качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять век-

тор нормали ),,( CBAn к плоскости . Используя (12), получаем

C

zz

B

yy

A

xxl 000:

.

4. Уравнение плоскости, проходящей через точку ),,( 0000 zyxM

перпендикулярно прямой

111:zzyyxx

l

, имеет вид

0)()()( 000 zzyyxx .

Здесь в качестве нормального вектора n искомой плоскости при-

нят направляющий вектор прямой ),,( p и использовано уравнение

плоскости ( I ) .

5. Уравнение плоскости, проходящей через точку ),,( 0000 zyxM

параллельно прямым:

1

1

1

1

1

11 :

zzyyxxl

и

2

2

2

2

2

22 :

zzyyxxl

.

Пусть точка ),,( zyxM принадлежит искомой плоскости . Тогда три

вектора ),,( 0000 zzyyxxMM , ),,( 1111 p , ),,( 2222 p компла-

нарны, следовательно,

.0det

222

111

000

zzyyxx

Последнее равенство задает уравнение искомой плоскости .

Другие задачи, связанные с взаимным расположением прямой и

плоскости будут также рассмотрены в следующем параграфе.

Page 8: Плоскость и прямая  в пространстве

10

§ 5. Решение задач на прямую и плоскость в пространстве

Задача 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

)0,2,1(1M и )1,1,2(2M параллельно вектору )1,0,3(a .

Решение. I способ. Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид

0 DCzByAx . Так как ||a , то нормальный вектор ),,( CBAn плос-

кости перпендикулярен вектору a . Следовательно, 0na или в коор-

динатной записи 03 CA .

Поскольку 1M и 2M , то 02 DBA и 02 DCBA .

Таким образом, коэффициенты DCBA ,,, удовлетворяют системе уравнений

.02

02

03

DCBA

DBA

CA

Выразим из этой системы неизвестные CBA ,, через переменную D :

DCD

BD

A ,3

2,

3.

В частности, если 3D , то 3,2,1 CBA и искомое уравнение

имеет вид .0332 zyx

II способ. Возьмем в качестве нормального вектора n искомой плос-

кости вектор aMMn 21 . Тогда

kji

kji

n 32

103

111

и в силу (1) искомое уравнение имеет вид

0)0(3)2(2)1( zyx или .0332 zyx

Задача 2. Определить угол между плоскостями 0322 zyx и

.08326 zyx

Решение. Пользуясь формулой (10), находим

.21

4

9436414

321262

||||cos

21

21

nn

nn

Отсюда 21

4arccos .

Задача 3. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости

01122 zyx , если известно, что расстояние между ними равно 5, а

искомая плоскость и точка )4,2,1(1M расположены по разные сторону

от заданной плоскости.

Page 9: Плоскость и прямая  в пространстве

11

Решение. Так как плоскости параллельны, то можно считать, что их

нормальные векторы совпадают, и уравнение искомой плоскости имеет вид

022 Dzyx .

Найдем значение коэффициента .D Для этого возьмем произвольную

точку, принадлежащую заданной плоскости, например, ).11,0,0(2 M Так

как расстояние между плоскостями равно 5, то для точки 2M , используя

формулу (11), можно записать соотношение

.3

|11|

144

|1110202|5

DD

Откуда 4D или 26D . Точка )4,2,1(1M и принадлежащая иско-

мой плоскости точка ),0,0(3 DM лежат по разные стороны плоскости

01122 zyx . Поэтому при подстановке координат точек 1M и 3M

в левую часть уравнения заданной плоскости 01122 zyx мы долж-

ны получить значения, разные по знаку, то есть

0)110202)(1142212( D или 0)11(9 D .

Отсюда находим, что 11D . Следовательно, 26D . Искомое

уравнение плоскости имеет вид: .02622 zyx

Задача 4. Прямая l задана уравнениями

.022

0

yx

zyx

Написать канонические уравнения этой прямой.

Решение. Прямая l задана как пересечение двух плоскостей с нор-

мальными векторами )1,1,1(1 n и )0,1,2(2 n соответственно. В качестве

направляющего вектора прямой l возьмем вектор .21 nnp Итак,

.32

012

111 kji

kji

p

Точка )2,2,0(M лежит в каждой из заданных плоскостей (еѐ коор-

дината удовлетворяют уравнениям системы). Канонические уравнения пря-

мой l :

.3

2

2

2

1

zyx

Задача 5. Написать уравнения общего перпендикуляра l к прямым

1

2

0

1

2:1

zyxl и

1

2

2

1

1

1:2

zyxl .

Page 10: Плоскость и прямая  в пространстве

12

Решение. I способ. В качестве направляющего вектора искомой прямой

l возьмем вектор 21 ppn , где 1p и 2p направляющие векторы

прямых 1l и 2l . Действительно, 1ln и 2ln , а, следовательно,

nl || (см.рис. 2) . Найдем координа-

ты вектора n :

).4,1,2()1,2,1()1,0,2( n

Пусть 11111 ),,( llzyxM и

.),,( 22222 llzyxM Тогда

1

2

0

1

2

111

zyx и

1

2

2

1

1

1 222

zyx

Далее, .21 lMM Следователь-

но, векторы 21MM и n коллинеар-

ны и .412

121212

zzyyxx

Мы получили систему уравнений относительно неизвестных координат

точек 1M и 2M :

044,1,1

,022,12,42

1212221

12122211

zzyyxzy

yyxxyxzx

Решив систему (например, методом Гаусса), найдем точки

7

11,1,7

61 M и

75,

711,

72

2M . Уравнения искомой прямой l имеют

вид

412

75

711

72

zyx

II способ. Построим плоскость , содержащую прямую 1l и парал-

лельную прямой 2l . Точка 11 )2,1,0( lN и следовательно, 1N .

Вектор 21 ppn будет нормальным вектором для . Итак,

0)2(4)1(2: zyx или .0742 zyx

Прямую l будем искать как пересечение двух плоскостей 1 и 2 ,

где 1 содержит 1l и перпендикулярна плоскости , а 2 содержит 2l и

также перпендикулярна плоскости (см. рис. 3). Точка 11 N и вектор

)2,10,1(11 pnn является нормальным вектором к плоскости 1 .

Следовательно, 0)2(2)1(10:1 zyx или 014210 zyx

Рис. 2

ℓ1

ℓ2

1p

2p

2p

n

М1

М2

Page 11: Плоскость и прямая  в пространстве

13

Аналогично, 22 )2,1,1( N

и )3,6,9(22 pnn – нормаль-

ный вектор к плоскости 2 . Откуда

0)2(3)1(6)1(9:2 zyx

или 09369 zyx .

Итак, прямая l определяется

системой

.09369

014210

zyx

zyx

Легко получить канонические

уравнения прямой l . Достаточно

заметить, что lM )7

1,7

10,0(

(координаты точки M удовле-

творяют уравнениям системы,

определяющей l ). В качестве направлявшего вектора прямой l возьмем

вектор ).4,1,2(21 ppn Поэтому канонические уравнения прямой l

таковы:

412

71

710

zyx.

Задача 6. Вычислить расстояние от точки )2,1,0(M до прямой l :

0

1

12

1

zyx.

Решение. Проведем через точку M плоскость , перпендикулярную

прямой l (рис.4). Ее нормальный вектор n совпадает с направлявшим

вектором )0,1,2(p прямой l .

Следовательно, уравнение плоско-

сти имеет вид

0)2(0)1(2 zyx или

.012 yx

Прямая l пересекает плоскость

в точке N , координаты которой

),,( zyx являются решением систе-

мы:

.012

0

1

12

1

yx

zyx

Рис. 3

2p

1p

n

ℓ2

ℓ1

21

N2

N1

М N

Рис. 4

Page 12: Плоскость и прямая  в пространстве

14

Отсюда )1,51,53( N . Искомое расстояние от точки M до прямой

l совпадает с длиной отрезка MN , т.е.

.306,0)12(5

11

5

30 2

22

d

Задача 7. Найти расстояние между прямыми

24

1

3

2:1

zyxl

и .

2

3

4

1

3

7:2

zyxl

Решение. Прежде всего, заметим, что 21 || ll , так как их направляющие

векторы совпадают. Найдем уравнение плоскости , проходящей через

точку 11 )0,1,2( lM перпенди-

кулярно прямым 1l и 2l (рис.

5). Очевидно, что )2,4,3(n

является нормалью к и ее

уравнение имеет вид

0)0(2)1(4)2(3 zyx или

.02243 zyx

Пусть 22 lM . Коорди-

наты точки 2M находим как

решение системы

.02243

2

3

4

1

3

7

zyx

zyx

Имеем )1,3,4(2 M . Расстояние между прямыми 1l и 2l равна длине

отрезка 21MM . Следовательно, искомое расстояние

.3)01(1324 222d

Задача 8. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми

1

2

0

1

2:1

zyxl и .

1

2

2

1

1

1:2

zyxl

Решение. I способ. Используя решение задачи 5, можно провести

общий перпендикуляр l к прямым 1l и 2l . Затем найти точки пересе-

чения перпендикуляра l с прямыми 1l и 2l (см.рис.3). Расстояние ме-

жду найденными точками и будет искомым расстоянием между пря-

мыми 1l и 2l .

П способ. Проведем плоскость , параллельную прямой 2l и содер-

Рис. 5

М1

М2

ℓ1 ℓ2

Page 13: Плоскость и прямая  в пространстве

15

жащую прямую 1l (см.рис.3). Плоскость проходит через точку

)2,1,0(1 N перпендикулярно вектору )1,2,1()1,0,2( n и имеет

уравнение

0)2(4)1()0(2 zyx или .0742 zyx

Расстояние между прямыми 1l и 2l равно расстоянию от любой точки

прямой 2l , например, точки )2,1,1(2 N , до плоскости . Используя

формулу (11), получим

.21

12

412

|7241)1(2|),(

2221

ll

Задача 9. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые

1

2

0

1

2:1

zyxl и .

1

2

2

1

1

1:2

zyxl

Решение. I способ. Прежде всего, отметим, что прямые 1l и 2l па-

раллельны. Далее, 11 )1,2,0( lM ,

22 )2,3,1( lM и 13 )6,1,7( lM . Иско-

мая плоскость должна проходить через точки 21, MM и 3M . Следова-

тельно, ее уравнение (см.формулу (7)) имеет вид

0

537

351

12

zyx

или .010161317 zyx

П способ. Возьмем в качест-

ве нормального вектора к иско-

мой плоскости вектор

21MMpn , где p – направ-

ляющий вектор прямой 1l , а

точки 11 )1,2,0( lM ,

22 )2,3,1( lM (см. рис. 6).

Тогда искомое уравнение при-

мет вид 0)1(32)2(26)0(34 zyx

или .010161317 zyx

Задача 10. Проверить, принадлежит ли прямая l плоскости , если

a) ;0334:,5

2

1

3

2

1:

zyx

zyxl

ℓ1

Рис. 6

М2

М1

ℓ2

n

p

Page 14: Плоскость и прямая  в пространстве

16

б) .01523:,14

5

3

2:

zyx

zyxl

Решение. Для того чтобы прямая l принадлежала плоскости , дос-

таточно выполнения двух условий: направляющий вектор p прямой был

перпендикулярен нормальному вектору n плоскости и, по крайней ме-

ре, одна точка прямой l принадлежала . В нашем случае )5,1,2( p ,

)1,3,4( n , их скалярное произведение 0153142 np . Значит

||l . Точка )2,3,1( M принадлежит l , т.к. еѐ координаты удовлетво-

ряют уравнению плоскости 03)2()3(314: . Следовательно,

прямая l принадлежит плоскости .

В случае б) точка )0,5,2(N лежит на прямой l , но не решает урав-

нение плоскости 015052)2(3: . В то же время направляющий

вектор )1,4,3(p прямой l ортогонален нормали )1,2,3( n плоскости .

Следовательно, прямая l и плоскость параллельны и l не принадле-

жит плоскости .

Задача 11. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам дву-

гранные углы между плоскостями 0473:1 zyx и

.02535:2 zyx

Решение. I способ. Пусть 1n и 2n – нормальные векторы плоскостей

1 и 2 . Заметим, что

59|||| 21 nn . Следователь-

но, векторы 1n и 2n порожда-

ют ромб, диагональ 21 nnn

которого может быть выбрана в

качестве нормального вектора к

искомой плоскости (см. рис.

7). В качестве нормали для вто-

рой плоскости можно взять

произвольный вектор, лежащий

в плоскости векторов 1n , 2n и

перпендикулярный вектору n .

Таким, например, является век-

тор 21 nn (свойство диагона-

лей ромба). Итак, в качестве нормалей искомых плоскостей берем векторы

)2,2,8(21 nn и )12,4,2(21 nn .

Для того, чтобы выписать уравнения искомых плоскостей найдем точ-

n

1n

2n

2

1

Рис. 7

Page 15: Плоскость и прямая  в пространстве

17

ку, через которую они проходят. Так как искомые плоскости проходят че-

рез прямую l , являющуюся пересечением плоскостей 1 и 2 , то нас ин-

тересует одно из решений системы линейных уравнений

,02535

0473

zyx

zyx

которая задает l . Например, lM 0,7

13,7

5 .

Итак, уравнения искомых плоскостей имеют вид

0027

132

7

58

zyx и 0012

7

134

7

52

zyx

или 014 zyx и 0362 zyx .

II способ. Пусть точка ),,( zyxN принадлежит искомой плоскости. Так

как искомые плоскости представляют собой геометрическое место точек,

равноудаленных от данных плоскостей 1 и 2 , то

).,(),( 21 NN

Но 59

|473|),( 1

zyxN и

59

|2535|),( 2

zyxN .

Следовательно, координаты точки N удовлетворяют уравнению

|,2535||473| zyxzyx

из которого получаем 2535473 zyxzyx или ,0362 zyx

а также )2535(473 zyxzyx или 014 zyx

Итак, требуемые уравнения плоскостей имеют вид

0362 zyx и 014 zyx .

Задача 12. Три грани тетраэдра, расположенного во втором октанте

( 0,0,0 zyx ), совпадают с координатными плоскостями. Написать

уравнение четвертой грани, зная длины ребер, ее ограничивающих

5,29,6 ACBCAB и найти длину высоты OH тетраэдра.

Решение. Обозначим через cba ,, величины отрезков OA , OB и OC со-

ответственно )0,0,0( cba (см. рис.8). Очевидно, что

.25

,29

,36

222

222

222

ACca

CBcb

ABba

Отсюда находим .3,52,4 cba Грань ABC лежит в плоско-

сти, уравнение которой в отрезках имеет вид

Page 16: Плоскость и прямая  в пространстве

18

.13524

zyx

Общее уравнение плоскости

051254653:)( zyxABC .

Наконец, длина высоты OH тетра-

эдра равна расстоянию от плоскости

( ABC ) до точки O (начала координат):

.161

512

803645

51205406053

OH

Задача 13. Написать уравнение

плоскости, содержащей ось Oz и обра-

зующей с плоскостью 0752:0 zyx угол 3

.

Решение. Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид

.0 DCzByAx

Так как проходит через начало координат, то 0000 DCBA

или 0D . Нормальный вектор ),,( CBAn плоскости перпендикулярен на-

правляющему вектору оси Oz и, следовательно, 0)1,0,0( Cn . Итак,

уравнение 0: ByAx . По формуле (10) вычислим угол между плоско-

стями и 0 :

.

10

2cos

22

BA

BA

С другой стороны, 2

13

coscos . Получим уравнение

221024 BABA или .0383 22 BABA

Положив 1A из последнего уравнения, найдем значения для

.3

1,3: 21 BBB

Иак, задача имеет два решения

03 yx и .03

1 yx

Задача 14. Написать уравнение плоскости , если известно, что точка

)3,1,2( M является основанием перпендикуляра, опущенного из начала

координат на эту плоскость.

Решение. Найдем расстояние от начала координат до плоскости

.14914: OMp

y

x x

A

B

C

z

H

x

Рис. 8

Page 17: Плоскость и прямая  в пространстве

19

Вектор OM является нор-

мальным вектором . Найдем

его направляющие косинусы (см.

рис. 9):

.14

33cos

,14

11cos

,14

22cos

p

p

p

Выпишем нормальное урав-

нение плоскости (см.формулу (5))

01414

3

14

1

14

2 zyx или .01432 zyx

Задача 15. Даны вершины треугольника ),0,0,2(),2,1,4( BA

)5,3,2( C . Составить уравнения высоты треугольника, опущенной из

вершины B и уравнение биссектрисы угла A .

Решение. Проведем через точку B плоскость , перпендикулярную

пряной )(AC (см. рис.10). Уравнение прямой )(AC имеет вид:

25

2

13

1

42

4

zyx или

.3

2

2

1

6

4

zyx

В качестве нормального

вектора плоскости возь-

мем направлявший вектор

прямой )(AC . Получим

0)0(3)0(2)2(6: zyx

или .012326 zyx

Так как )(ACH , то

еѐ координаты удовлетворя-

ют системе уравнений

.012326

3

2

2

1

6

4

zyx

zyx

Перепишем уравнения

прямой )(AC в параметриче-

х

у

z

M

O

х

α

х

β

х

γ

х

Рис. 9

A

B

C

H

D

Рис.10

2p

1p

p

Page 18: Плоскость и прямая  в пространстве

20

ской форме

tztytx 32,21,64

и найдем значение параметра t , при котором прямая )(AC пересекает

плоскость

.012)32(3)21(2)64(6 ttt

Получим 49

4t и, следовательно,

49

110,

49

57,

49

172 zyx . Используя

(13), выпишем уравнение высоты :)(BH

49

110

49

572

49

172

2

zyx или .

1105774

2

zyx

Построим уравнение биссектрисы AD , проведенной из вершины A .

Для того чтобы найти направляющий вектор )(AD поступим следующим

образом. Возьмѐм единичные векторы 1p и 2p , сонаправленные с векто-

рами AB и AC

ACp

AB

ABpAC 21 ;: , и составим ромб, натянутый на 1p и

2p . Тогда диагональ 21 ppp делит угол между векторами 1p и 2p

пополам и может служить направляющим вектором искомой биссектрисы

)(AD .

.21

5,

21

1,

21

32

,7

3,

7

2,

7

6,

3

2,

3

1,

3

2

,79436,3414

21

21

ppp

pp

ACAB

Итак, уравнение биссектрисы )(AD имеет вид

215

2

211

1

2132

4

zyx или .

5

2

1

1

32

4

zyx

Задача 16. Найти уравнение проекции прямой 42

1

3

4:

zyxl

на

плоскость .083: zyx

Решение. Так как 05143213 np , то прямая l пересекает

плоскость в некоторой точке M . Найдем ее координаты: )12,5,5( M .

Возьмем произвольную точку на прямой l , например, )0,1,4( N и найдем

еѐ проекцию на плоскость . (Заметим, что N ). Для этого выпишем

уравнение прямой 0l , проходящей через точку N перпендикулярно плос-

Page 19: Плоскость и прямая  в пространстве

21

кости :

13

1

1

4

zyx

и найдем точку 0N пересечения

прямой 0l с плоскостью (см.

рис.11): .11

15,

11

34,

11

290

N

Проекция прямой l на плос-

кость проходит через точки M и

0N и, следовательно, имеет урав-

нение

1211

15

12

511

34

5

511

29

5

zyx или

7

12

1

5

4

5

zyx.

Задача 17. На эллипсоиде 1169

222

zyx

найти точку, в которой каса-

тельная плоскость перпендикулярна прямой

.012

02:

zyx

zyxl

Решение. Пусть

),,( 000 zyxM произ-

вольная точка эллип-

соида, то есть ее ко-

ординаты удовлетво-

ряют уравнению:

.1169

20

20

20 z

yx

Пользуясь (9), вы-

пишем уравнение ка-

сательной плоскости к

поверхности эллип-

соида в точке

.0)(2)(8

1)(

9

2: 000000 zzzyyyxxx

Вектор нормали плоскости имеет координаты

.2,8

1,

9

2000

zyxn

М

N

ℓ Рис. 11

Рис. 12

х

y

z

M1

M2

Page 20: Плоскость и прямая  в пространстве

22

Найдем направляющий вектор заданной прямой l :

).1,3,2(

112

111

kji

p

Так как p , то векторы n и p коллинеарны и, следовательно,

.1

2

3

8

1

2

9

2

000

zyx

Таким образом, координаты искомой точки M должны удовлетворять

системе уравнений

,2249

1169

000

20

20

20

zyx

zyx

которая имеет два решения: .181

1,

181

48,

181

18

Задача имеет 2 реше-

ния: ,181

1,

181

48,

181

181

M и .

181

1,

181

48,

181

182

M

Page 21: Плоскость и прямая  в пространстве

22

Page 22: Плоскость и прямая  в пространстве

23

Page 23: Плоскость и прямая  в пространстве

24

§ 5. Задания контрольной работы

Задача 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M

параллельно векторам a и b :

1. M(1, 0, -2); a (2, -1, 0); b (0, -1, 2).

2. M(1, -6, 5); a (2, 3, 1); b (-1, 0, 1).

3. M(-7, 0, -1); a (3, 2, 1); b (2, 3, 4).

4. M(-2, 4, 2); a (1, 5, 2); b (-1, 1, -1).

5. M(2, -1, 4); a (1, -1, 3); b (3, 2, 1).

6. M(3, -2, 9); a (2, 2, 2); b (3, 1, -1).

7. M(-6, 7, -10); a (-1, 1, -1); b (1, 1, 1).

8. M(-2, 3, 5); a (3, 2, 1); b (4, 2, 3).

9. M(-3, 4, -5); a (3, 3, 1); b (1, -2, 1).

10. M( 4, 3, 0); a (3, 1, -1); b (-2, -1, 0).

11. M(3, 6, 68); a (4, 3, 1); b (1, -2, 1).

12. M(2, -10, 8); a (4, 3, 1); b (6, 7, 4).

13. M(-3, 2, 7); a (3, 2, 1); b (1, -3, 7).

14. M(5, -4, 5); a (3, 7, 2); b (-2, 0, -1).

15. M(-12, 1, 8); a (1, -2, 6); b (1, 0, 1).

16. M(10, 1, 8); a (6, 3, 4); b (-1, -2, -1).

17. M(-3, 1, 8); a (7, 3, 4); b (-1, -2, -1).

18. M(-4,-13, 6); a (2, 3, 2); b (4, 7, 5).

19. M(-3, -6, -8); a (2, 0, -1); b (5, 3, 4).

20. M(-6, 5, 5); a (-1, 0, -1); b (4, 2, 4).

21. M(-1, 8, 7); a (3, 10, 5); b (-2, -2, 3).

22. M(-5, 3, 7); a (2, 4, 3); b (-2, -4, -3).

23. M(2, 3, 8); a (4, 3, 1); b (6, 7, 4).

24. M(-5, -4, -8); a (3, 1, -1); b (-1, 0, 1).

25. M(1, -1, 2); a (8, 3, -2); b (4, 2, 2).

Задача 2. Найти координаты единичного вектора, перпендикулярного к

плоскости, проходящей через точки A, B, C.

1. A(-1, 1, 1);

2. A(-3, 4, -7);

3. A(-1, 2, -3);

B(1, 1, 0);

B(1, 5, -4);

B(4, -1, 0);

C(1, 0, -1).

C(-5, -2, 0).

C(2, 1, -2).

Page 24: Плоскость и прямая  в пространстве

25

4. A(-3, -1, 1);

5. A(1, 0, -2);

6. A(1, 2, -3);

7. A(3, 10, -1);

8. A(-1, 2, 4);

9. A(-1, 3, 0);

10. A(-2, -1, -1);

11. A(-3, -5, 6);

12. A(2, -4, -3);

13. A(1, -1, 2);

14. A(1, 3, 6);

15. A(-4, 2, 6);

16. A(1, -3, 6);

17. A(7, 2, 4);

18. A(2, 1, 4);

19. A(-1, -5, 2);

20. A(0, -1, -1);

21. A(5, 2, 0);

22. A(2, -1, -2);

23. A(-2, 0, -4);

24. A(2, -1, 2);

25. A(2, 3, 2);

B(-9, 1, -2);

B(1, 2, -1);

B(1, 0, 1);

B(-2, 3, -5);

B(-1, -2, -4)

B(4, -1, 2);

B(0, 3, 2);

B(2, 1, 4);

B(5, -6, 0);

B(2, 1, 2);

B(2, 2, 1);

B(-10, 5, 8);

B(-2, -2, 1);

B( 7, -1, -2)

B(3, 5, -2)

B(-6, 0, -3)

B(-2, 3, 5);

B(2, 5, 0);

B(1, 2, -1);

B(-1, 7, 1);

B(1, 2, -1);

B(4, 1, -2);

C(3, -5, 4).

C(2, -2, 1).

C(-2, -1, 6).

C(-6, 0, -3).

C(3, 0, -1).

C(3, 0, -1).

C(3, 1, -4).

C(0, -3, 1).

C(-1, 3, -1).

C(1, 1, 4).

C(-1, 0, -1).

C(2, -3, 0).

C(-1, 0, 5).

C(-5, -2, -1).

C(-7, -3, 2).

C(3, 6, -3).

C(1, -5, -9).

C(1, 2, 4).

C(5, 0, -6).

C(4, -8, -4).

C(3, 2, 1).

C(6, 3, 7).

Задача 3. Написать уравнение касательной плоскости к заданной по-

верхности в точке M.

1. 2 2 2x + y - z = -2 ,

2. 2 2 2x - y + z = 20 ,

3. 2 2 2x + y + z = 10 ,

4. 2 2 2x + y = 16 z ,

5. 2 2 6

x + y =z

,

6. 2 2 2x + y + z = 4 ,

7. 2 2 2 16x y z ,

8. 2 2 2 9x y z ,

9. 2 2 2 9x y z ,

10. 2 2 2 9x y z ,

M(0, 4, 3 2 );

M(2, 0, 4);

M(1, 2, 5);

M(2, 2, 1

2);

M(1, 1, 3);

M(1, 1, 2 );

M(-1, -2, 11 );

M(-1, 2, -2);

M(2, -2, 1);

M(-2, -2, -1);

M(-3, 6, 5 );

Page 25: Плоскость и прямая  в пространстве

26

11. 2 2 29x y z ,

12. 2 2 29( )x y z ,

13. 2 2 2-x y z ,

14. 2 2 24x y z ,

15. 2 2 2z y x ,

16. 2 2 2-z y x ,

17. 2 22 3 6 1z x y y ,

18. 2 22 3 6 2z x y y ,

19. 2 23 2z x x y ,

20. 2 2 25 9 16 720x y z ,

21. 2 2 23 4 4 60x y z ,

22. 2 2 23 10x y z ,

23. 2 2 23 10x y z ,

24. 2 2 23 - 10x y z ,

25. 2 2 2- 5x y z ,

M(3, -4, 15);

M(4, -3, 7 );

M(-2, -4, 5 );

M(5, -4, 3);

M(-3, -4, 5);

M(1, -1, -2);

M(-1, -1, 1);

M(1, -2, 14);

M(4, -4, 31 );

M(2, -2, -2 2 );

M(-1, 0, 3);

M(0, 1, -3);

M(4, 2, 42 );

M(1, 2, 0).

Задача 4. Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую

l1 параллельно прямой l2 .

1. l1:x -1 y +1 z

= =2 -2 3

;

2. l1:x + 2 y - 3 z -1

= =1 -1 2

;

3. l1:x + 2 y -1 z - 3

= =1 -1 2

;

4. l1:x y - 2 z +1

= =2 3 1

;

5. l1:x + 5 y -1 z + 2

= =3 1 4

;

6. l1:x +1 y - 2 z

= =4 3 4

;

l2:x + 2 y -1 z - 3

= =1 -1 2

.

l2:x -1 y +1 z

= =2 -2 3

.

l2:x + 2 y - 3 z -1

= =2 -2 3

.

l2:x - 4 y +1 z -1

= =3 2 -1

.

l2:x -1 y +1 z

= =2 -2 3

.

l2:x - 3 y +1 z - 4

= =2 2 3

.

Page 26: Плоскость и прямая  в пространстве

27

7. l1:x - 3 y +1 z + 2

= =2 -1 -2

;

8. l1:x +1 y - 2 z + 3

= =-1 3 -2

;

9. l1:x - 2 y + 2 z

= =3 4 1

;

10. l1:x +1 y - 3 z + 5

= =2 4 -3

;

11. l1:x + 2 y - 3 z

= =2 2 0

;

12. l1:x y - 2 z -1

= =2 3 -1

;

13. l1:x -1 y - 2 z - 4

= =1 3 3

;

14. l1:x + 2 y -1 z - 3

= =1 1 2

;

15. l1:x + 5 y -1 z + 2

= =-3 1 2

;

16. l1:x - 3 y + 2 z -1

= =2 1 2

;

17. l1:x +1 y - 2 z + 3

= =-1 3 2

;

18. l1:x -1 y +1 z - 4

= =2 -2 -3

;

19. l1:x -1 y + 2 z - 3

= =-3 1 2

;

20. l1:x +1 y - 3 z + 5

= =2 4 -3

;

21. l1:x + 2 y + 3 z + 4

= =2 -2 1

;

22. l1:x + 3 y - 2 z +1

= =2 1 3

;

l2:x +1 y - 3 z

= =2 -2 4

.

l2:x y +1 z -1

= =0 -3 2

.

l2:x +1 y -1 z + 2

= =-1 -1 4

.

l2:x - 2 y + 2 z

= =3 -4 0

.

l2:x -1 y +1 z - 3

= =4 2 2

.

l2:x + 4 y -1 z +1

= =3 2 1

.

l2:x + 2 y - 3 z + 5

= =1 2 -2

.

l2:x - 4 y +1 z -1

= =3 -2 1

.

l2:x + 4 y - 3 z

= =1 2 5

.

l2:x + 3 y -1 z +1

= =-1 2 -3

.

l2:x - 5 y z +1

= =2 0 1

.

l2:x + 2 y -1 z

= =3 1 5

.

l2:x +1 y -1 z

= =2 2 4

.

l2:x - 2 y + 2 z -1

= =3 -4 1

.

l2:x +1 y + 2 z + 3

= =1 2 -1

.

l2:x -1 y + 2 z - 3

= =1 3 -1

.

Page 27: Плоскость и прямая  в пространстве

28

23. l1:x + 5 y - 5 z

= =1 2 0

;

24. l1:x - 2 y + 3 z + 2

= =2 3 1

;

25. l1:x +1 y + 3 z + 2

= =1 2 4

;

l2:x -1 y +1 z + 4

= =2 3 1

.

l2:x + 2 y - 3 z +1

= =1 4 -3

.

l2:x -1 y + 2 z +1

= =2 3 1

.

Задача 5. Найти значения параметра a, при которых плоскости 1 и 2

параллельны (перпендикулярны).

1. П1: ax + 2ay + 10z = 2;

2. П1: x + ay + 5az = 1;

3. П1: ax + 2y + 7az = 2;

4. П1: -5ax + ay + 3z = 4;

5. П1: -10ax + 2ay + az = 5;

6. П1: 2ax - 2y – 70az = 1;

7. П1: x - 2ay + 4az = -1;

8. П1: -ax + y + 3az = -4;

9. П1: -x + ay + 5az = 2;

10. П1: ax - ay + 5az = 4;

11. П1: ax + 4y + 3az = -4;

12. П1: 2x + 2ay – 5z = 5;

13. П1: 9x + 3ay – 3az = -5;

14. П1: 5x - ay + 2az = 1;

15. П1: 3x + ay + 2z = 2;

16. П1: ax + 2y + az = -4;

17. П1: ax + 6y - az = 3;

18. П1: ax - 3ay + 4z = -2;

19. П1: ax + 2ay + 4z = -1;

20. П1: 7x - ay + 5az = 0;

21. П1: 8x + 2ay + az = 4;

22. П1: 4x - 3ay - az = -4;

23. П1: 3x - 7ay + 4az = -3;

24. П1: 2ax - 5y - az = -2;

25. П1: 4ax - 6y + 2az = 0;

П2: x + 2y + 5z = 7.

П2: -x + y + 3z = 4.

П2: x - y + 2z = 5.

П2: -5x + y + 3z = 8.

П2: -5x + 2y + z = 5.

П2: -x + y + 35z = 10.

П2: 2x - 2y + 4z = 1.

П2: -x + y + 3z = -2.

П2: 2x + 4y + 20z = 1.

П2: 2x + 4y + 10z = 3.

П2: x - 2y + 3z = 4.

П2: x + 2y - 5z = 1.

П2: x + y - z = 0.

П2: x - y + 2z = 4.

П2: -x + y + 2z = 0.

П2: x - 2y + z = 0.

П2: x + 2y - z = 5.

П2: x - 3y + z = 4.

П2: x + 2y + z = 4.

П2: -x - y + 5z = 2.

П2: x + 2y + z = 4.

П2: x - 3y - z = 2.

П2: x - 7y + 4z = 1.

П2: 2x + y - z = 4.

П2: 4x - y + 2z = 4.

Page 28: Плоскость и прямая  в пространстве

29

Задача 6. Дана плоскость и вне ее точка M. Найти точку, симметрич-

ную M относительно данной плоскости.

1. : x + y - 2z – 6 = 0;

2. : 4x - y + 2z = 4;

3. : 2x + y – z = -4;

4. : x -7 y + 4z = 1;

5. : x - 3y - z = 2;

6. : x + 2y + z = 4;

7. : -x - y +5z = 2;

8. : x + 2y + z = 4;

9. : x - 3y + z = 4;

10. : x + 2y - z = 5;

11. : x - 2y + z = 1;

12. : -x + y + 2z = -1;

13. : x - y + 2z = 4;

14. : x + y - z = -1;

15. : x + 2y – 5z = 4;

16. : x - 2y - 3z = 1;

17. : 2x + 4y + 2z = 1;

18. : -x + y + 3z = 2;

19. : 2x + 4y + 2z = 1;

20. : x + y + 3z = 4;

21. : -5x + y + 3z = 8;

22. : x - y + 2z = -1;

23. : x - 2y + z = 5;

24. : x + 2y - 3z = 1;

25. : x + 5y - z = 4;

M(1, 1, 1).

M(1, -1, 1).

M(1, 2, 1).

M(1, -1, 1).

M(-1, 1, 1).

M(1, -1, 1).

M(-1, -1, 0).

M(1, 1, -1).

M(0, 1, 1).

M(1, 0, -1).

M(0, 1, 1).

M(1, 1, 0).

M(1, 1, 3).

M(1, 2, 1).

M(-1, -1, 0).

M(0, 1, 1).

M(1, 0, 1).

M(0, 1, 1).

M(0, -1, 1).

M(1, 1, 1).

M(1, -1, 2).

M(0, 1, 1).

M(1, 1, 1).

M(1, 1, -1).

M(0, 1, 0).

.

Задача 7. Найти расстояние между параллельными прямыми l1 и l2.

1. l1:x y - 3 z - 2

= =1 2 1

;

2. l1:x -1 y z +1

= =1 2 -1

;

3. l1:x +1 y -1 z + 2

= =2 1 2

;

l2:x - 3 y +1 z - 2

= =1 2 1

.

l2:x + 3 y - 4 z + 5

= =-1 -2 1

.

l2:x - 3 y - 2 z -1

= =-2 -1 -2

.

Page 29: Плоскость и прямая  в пространстве

30

4. l1:x -1 y z +1

= =1 2 3

;

5. l1:x y - 2 z

= =3 3 -1

;

6. l1:x -1 y - 2 z

= =2 3 -1

;

7. l1:x +1 y z

= =3 1 2

;

8. l1:x y z

= =-3 1 2

;

9. l1:x + 2 y -1 z

= =-2 1 3

;

10. l1:x y z

= =-1 -2 3

;

11. l1:x - 2 y z

= =1 1 -2

;

12. l1:x + 2 y -1 z

= =2 2 -1

;

13. l1:x - 3 y - 2 z

= =1 2 -2

;

14. l1:x +1 y +1 z

= =2 1 -2

;

15. l1:x -1 y -1 z - 2

= =3 1 1

;

16. l1:x + 2 y - 2 z +1

= =1 3 1

;

17. l1:x y z -1

= =4 2 1

;

18. l1:x -1 y z

= =2 4 1

;

19. l1:x + 2 y -1 z

= =2 3 2

;

l2:x + 2 y -1 z -1

= =1 2 3

.

l2:x +1 y -1 z +1

= =-3 -3 1

.

l2:x +1 y + 2 z

= =2 3 -1

.

l2:x y z + 2

= =-3 -1 -2

.

l2:x +1 y -1 z + 2

= =3 -1 -2

.

l2:x - 2 y z + 2

= =2 -1 -3

.

l2:x -1 y - 2 z - 3

= =1 2 -3

.

l2:x + 2 y -1 z +1

= =1 1 -2

.

l2:x - 2 y +1 z

= =2 2 -1

.

l2:x + 3 y z -1

= =1 2 -2

.

l2:x - 2 y - 2 z

= =2 1 -2

.

l2:x + 2 y + 2 z

= =3 1 1

.

l2:x -1 y -1 z -1

= =1 3 1

.

l2:x -1 y -1 z + 3

= =4 2 1

.

l2:x + 5 y -1 z

= =2 4 1

.

l2:x + 4 y + 2 z +1

= =2 3 2

.

Page 30: Плоскость и прямая  в пространстве

31

20. l1:x - 2 y +1 z -1

= =3 2 2

;

21. l1:x y z + 5

= =1 3 1

;

22. l1:x +1 y -1 z + 3

= =3 1 3

;

23. l1:x -1 y + 2 z - 3

= =3 1 4

;

24. l1:x + 2 y -1 z + 2

= =4 1 2

;

25. l1:x - 2 y + 2 z - 2

= =2 -2 1

;

l2:x - 4 y - 2 z -1

= =3 2 2

.

l2:x +1 y -1 z + 2

= =1 3 1

.

l2:x - 2 y + 2 z

= =3 1 3

.

l2:x - 3 y + 4 z +1

= =3 1 4

.

l2:x - 2 y +1 z - 2

= =4 1 2

;

l2:x + 3 y z

= =2 -2 1

;

Задача 8. Найти кратчайшее расстояние между прямыми l1 и l2.

1. l1:x -1 y - 2 z +1

= =-1 -2 1

;

2. l1:x -1 y +1 z

= =2 -2 3

;

3. l1:x + 2 y +1 z - 3

= =1 1 2

;

4. l1:x + 2 y +1 z - 3

= =1 -1 -2

;

5. l1:x y - 2 z +1

= =2 3 -1

;

6. l1:x y - 2 z +1

= =2 3 1

;

7. l1:x +1 y - 2 z

= =4 3 4

;

8. l1:x - 3 y +1 z + 2

= =2 -1 -2

;

l2:x - 5 y + 3 z

= =2 1 2

.

l2:x + 2 y - 3 z -1

= =1 -1 2

.

l2:x -1 y +1 z

= =2 -2 3

.

l2:x + 2 y - 3 z -1

= =2 -2 3

.

l2:x - 4 y +1 z -1

= =3 2 -1

.

l2:x -1 y +1 z

= =2 -2 3

.

l2:x - 3 y +1 z - 4

= =2 2 3

.

l2:x +1 y - 3 z

= =2 -2 4

.

Page 31: Плоскость и прямая  в пространстве

32

9. l1:x +1 y - 2 z + 3

= =-1 3 -2

;

10. l1:x - 2 y + 2 z

= =3 4 -1

;

11. l1:x +1 y - 3 z + 5

= =2 4 -3

;

12. l1:x + 2 y - 3 z

= =2 2 0

;

13. l1:x y - 2 z -1

= =2 3 -1

;

14. l1:x -1 y - 2 z - 4

= =1 3 3

;

15. l1:x + 2 y -1 z - 3

= =1 -1 2

;

16. l1:x +1 y + 3 z + 2

= =1 2 4

;

17. l1:x - 2 y + 3 z + 2

= =2 3 1

;

18. l1:x + 5 y - 5 z

= =1 2 0

;

19. l1:x + 3 y - 2 z +1

= =2 1 3

;

20. l1:x + 2 y + 3 z + 4

= =2 2 1

;

21. l1:x +1 y - 3 z + 5

= =2 4 -3

;

22. l1:x -1 y + 2 z - 3

= =-3 1 2

;

23. l1:x -1 y +1 z - 4

= =2 -2 -3

;

24. l1:x +1 y - 2 z + 3

= =-1 3 2

;

l2:x y +1 z -1

= =0 -3 2

.

l2:x +1 y -1 z + 2

= =-1 -1 4

.

l2:x - 2 y + 2 z

= =3 4 0

.

l2:x -1 y +1 z - 3

= =4 2 2

.

l2:x + 4 y -1 z +1

= =3 2 2

.

l2:x + 2 y - 3 z + 5

= =1 2 -2

.

l2:x - 4 y +1 z -1

= =3 -2 1

.

l2:x - 2 y -1 z +1

= =2 3 -1

.

l2:x + 2 y - 3 z +1

= =1 4 -3

.

l2:x -1 y +1 z + 4

= =2 3 1

.

l2:x -1 y + 2 z - 3

= =1 3 -1

.

l2:x +1 y + 2 z + 3

= =1 2 -1

.

l2:x - 2 y + 2 z -1

= =3 -4 1

.

l2:x +1 y -1 z

= =2 2 4

.

l2:x + 2 y -1 z

= =3 1 5

.

l2:x - 5 y z +1

= =2 0 1

;

Page 32: Плоскость и прямая  в пространстве

33

25. l1:x - 3 y + 2 z -1

= =2 1 2

;

l2:x + 3 y -1 z +1

= =-1 2 -3

;

Задача 9. Найти углы, образуемые плоскостью : а) с осями коорди-

нат, б) с координатными плоскостями.

1. : 2x + y – z + 6 = 0,

2. : x - 2y + z + 4 = 0,

3. : x + 2y – z + 5 = 0,

4. : 5x - y + z - 1 = 0,

5. : x + 2y – z + 4 = 0,

6. : 3x - y – 2z + 2 = 0,

7. : 2x + y – 3z + 1 = 0,

8. : -2x - y + z + 7 = 0,

9. : -3x + y – z + 5 = 0,

10. : x - 2y + 3z + 4 = 0,

11. : 2x + y – z + 5 = 0,

12. : x - 2y – 5z + 1 = 0,

13. : -x + 2y + z + 4 = 0,

14. : -x - y - 4z + 3 = 0,

15. : -2x + y + 3z = 0,

16. : 2x - y - z + 1 = 0,

17. : 2x + y + z - 3 = 0,

18. : 2x - 3y + z + 4 = 0,

19. : -x - 2y – 3z + 1 = 0,

20. : -3x - y + z + 5 = 0,

21. : 6x - 4y + 5z + 1 = 0,

22. : -3x + y + 4z + 2 = 0,

23. : -x - 2y - 4z + 1 = 0,

24. : x - 2y + 2z = 0,

25. : 3x + 2y – z + 1 = 0.

Библиографический список

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1981. 232 с.

2. Бакельман И.Я. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Просвеще-

ние, 1976. 288 с.

Page 33: Плоскость и прямая  в пространстве

34

Содержание

§1

§2

§3

§4

§5

§6

Различные виды уравнений плоскости..………………..........

Угол между плоскостями.Расстояние от точки до плоскости

Прямая линия в пространстве…………………………..........

Взаимное расположение прямой и плоскости………………

Решение задач на прямую и плоскость в пространстве……

Приложение 1. Плоскость в пространстве………………….

Приложение 2. Прямая в пространстве……………………...

Задания контрольной работы………………………………...

3

4

5

6

9

22

23

24