שיטות אינטגרציה

פיאנה יעקובזון' דר, דבורה טולדנו קטעי' דר, דוד שוחט ' פרופ ל הלא מסויםהאינטגר

275

מסויםלא האינטגרל ה מושג הגדרת .1

פונקציה קדומה: מושג ההגדרת

אם בתחום נקראת פונקציה קדומה לפונקציהפונקציה

: מתקיים

( )xF( )xfD ה

( ) ( ) DxxfxF ∈∀=′ ;.

( ) xxf מהי הפונקציה הקדומה לפונקציה :שאלה ?האם היא יחידה? =2

? האם לכל פונקציה נתונה קיימת פונקציה קדומה:שאלה

:טענה ( )xF ( )xfD

R

, בתחום פונקציה קדומה כלשהי לפונקציה נתונהתהי

( ) CxF + ) - היא פונקציה קדומה ל גם הפונקציה ∋Cאזי לכל קבוע )xf

D

Dx

.בתחום

) אריתמטיקה של נגזרות ( מתקיים ∋לכל : הסבר

Dx∈( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfCxFCxF ′=+′=′+′=′+ 0

:משפט

( )xF ( )xF1 )ם )xfD הן פונקציות קדומות לה - ו והפונקציות מוגדרת בתחום א

) - כך ש∋RCאזי קיים קבוע , בתחום ) ( ) CxFxF +=1

האינטגרל הלא מסויםהגדרת

אזי אוסף , בתחום פונקציה קדומה כלשהי לפונקציה אם

הפונקציות הקדומות

( )xF( )xfD נתונה

{ ( ) }RCCxF ∈+ ) האינטגרל הלא מסוים נקרא ; )xf של

)D : ומסמניםבתחום ) ( ) CxFdxxf +=∫


276

: ותהער

מהגדרת הדיפרנציאל והפונקציה הקדומה נובע כי .1

ומהגדרת האינטגרל הלא מסוים

( ) ( )dxxfdxxFdF =′=

( ) ( )∫ ∫ +== CxFdFdxxf

השקולה , ) אם קיים ( פעולת חישוב האינטגרל הלא מסוים לפונקציה נתונה .2

נקראת , הקדומות לפונקציהלמעשה למציאת משפחת הפונקציות

.אינטגרציה

:בפרט מתקיים

אזי , גזירה אם .א ( )xf( ) ( ) Cxfdxxf +=′∫

( )xf ( )( ) ( )xfdxxf =′

∫ אזי, קיימת פונקציה קדומה -אם ל .ב

מידיים יםאינטגרל .2 :ת האינטגרלים המידיים הבאה האינטגרל הלא מסוים נובעת מיד טבלמהגדרת

( ) ( )

( ) ( ) ;0;cossin

01;ln

;0;sincos

0;;cossin

;sincos

cotsin

1;ln1

tancos

1;1,1

2

2

1

≠+−=

>≠+=≠+=

≠+=+−=

+=+=

+−=+=

+=∈≠−++

=

∫

∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫+

aCaaxdxax

aCa

adxaaCaaxdxax

aCa

edxeCxxdx

CedxeCxxdx

Cxdxx

Cxdxx

Cxdxx

RnCnxdxx

xx

axax

xx

nn

∫

∫

∫

∫

≠+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

+=−

≠+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

+=+

0;arcsin1

arcsin1

1

0;arctan11

arctan1

1

22

2

22

2

aCaxdx

xa

Cxdxx

aCax

adx

ax

Cxdxx


277

הלא מסויםאינטגרל תכונות ה .3

של אינטגרלים לא מסוימים לינאריות : משפט

( )xgD ( )xfאזי , קיימות פונקציות קדומות בתחום נניח כי לפונקציות - ו

:מתקיים

( ) ( )∫∫ ⋅=⋅ dxxfkdxxfk • לכלRk∈ :

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf •

דוגמאות

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) CCxdxxx

dx

Cxdxx

dxdxx

Cxxxdxxdxxdxxdxxxx

xxx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

+=

+

++=−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+

∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫

3arctan

31

3

13

3

cot43ln

3sin

143sin

432

22cos

438

462sin862sin861

222

22

344

31333

( )

( ) Cx

x

dxdxx

dx

Cx

xx

dxxdx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=+

∫∫

∫∫∫

5arcsin

5255

32arctan

32

41

23

141

49494

4

222

222

2

לא מסוימים םיאינטגרלחישוב .4אינם אינטגרלים מידיים ולכן נדרשות , אותם אנו מחשבים, האינטגרליםכ"בד

.שיטות נוספות לחישוב אינטגרלים לא מסוימים של פונקציות שכיחות

אנו ממירים בעיית חישוב נתונה של , שיטות אינטגרציההנקראות , בשיטות אלו

/ ת חישוב של אינטגרל לבעיי, שאיננו אינטגרל מידי , אינטגרל לא מסוים

.אינטגרלים לא מסוימים מידיים


278

י הצבה"אינטגרציה ע .5

:משפט

פונקציה קדומה לפונקציה תהי ( )xF( )xf בקטע מסוים I ותהי

- כך שמוגדרת וגזירה בקטע

( )txx =

J( )( ) I⊆txIm

( )( ) ( ) ( )( ) CtxFdttxtxf +=′⋅∫ : אזי מתקיים

:הוכחה

: נקבל(**)מהגדרת הפונקציה הקדומה ,(*) מכלל השרשרת

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )txtxftxtxFtxF ′⋅=′⋅′=′↓↓***

( )

:ראינו קודם כי מהגדרת האינטגרל הלא מסוים נובע כי

) אזי , גזירה אם )xf( ) ( ) Cxfdxxf ובפרט ∫′=+

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) CtxFdxtxFdttxtxf +=′=′⋅ ∫∫

ל"מש

הרעיון הכללי: י הצבה"אינטגרציה ע

במקרים מסוימים ניתן להשתמש במשפט לעיל על מנת להמיר בעית חישוב אינטגרל

ביחס למשתנה , ובהניתן לחיש, לאינטגרל שקול לא מסוים נתון ביחס למשתנה

למעשה אנו מבצעים כאן את הפעולה ההפוכה לפעולת הנגזרת של . ( עזר חדש

. )פונקציה מורכבת

x

t

כך שהאינטגרל השקול יהיה , הבעיה העיקרית כאן היא אופן הגדרת משתנה העזר

.קל יותר לחישוב

.רכבות יותרבהמשך נדון בהצבות מו. נדגים כעת הצבות פשוטות


279

ת להצבות פשוטווגמאותד

( ) CuCuduudx

xdu

xudx

xxdx

xx

+=+==⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==⋅= ∫∫∫ 3

ln31

ln1lnln1

3322

2

( ) ( ) ( ) CxCuu

dudx

xdu

xudx

xx+=+=

+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

⋅+ ∫∫ tanarctanarctan1

cos1

tan

costan112 2

222

( )

CeCeduedue

duxdxxdxdu

xuxdxedxxe

xuuu

xx

+−=+−=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⇒−=

−==⋅=

−

−−

∫∫

∫∫

2221

2

22

53

2

22

5

2

55

( ) CxCuudu

xdxduxu

dxxxdxx +−=+−=

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

== ∫∫∫ coslnlnsin

coscossintan4

( )

( ) ( )

CxxCuudu

dudxxdxxdu

xxudx

xxx

+++=+==

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+⇒+=

++==

+++

∫

∫

13ln31ln

31

31

3133

13

1315

3

22

3

3

2

( )[ ] ( )

:הרחבה של טבלת האינטגרלים הנובעת משיטת ההצבה

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( )( )

( ) ;cotsin

0;arcsin;tancos

0;arctan1;sincos

01;ln

;ln

;1,1

2

222

22

1

Cxfdxxf

xf

aCaxfdx

xfa

xfCxfdxxf

xf

aCaxf

adx

axfxfCxfdxxfxf

aCa

adxxfaCxfdxxfxf

CedxxfeRnCnxfdxxfxf

xfxf

xfxfn

n

+−=′

≠+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

′+=

′

≠+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

′+=′⋅

>≠+=′⋅+=′

+=′⋅∈≠−++

=′⋅

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫+


280

אינטגרציה בחלקים .6

:משפט

) - ו uתהיינה )x( )xv פונקציות בעלות נגזרות רציפות בקטע מסוים I

: אזי מתקיימת נוסחת האינטגרציה בחלקים הבאה

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅′−⋅=′⋅ dxxvxuxvxudxxvxu

∫ :אדוגמ

( )

Cexedxexedxxe xxxxx +−=⋅−= ∫↓1

*

( ) ( )( )

( )( )⎩

⎨⎧

==′

⇒⎩⎨⎧

=′=

xx exvxu

exvxxu 1

*

:הוכחה

]: נקבללפי כלל הנגזרת שלמכפלת פונקציות ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxvxuxvxu ′⋅+⋅′=′⋅

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xvxuxvxuxvxu ⋅′− ⋅′=⋅′, באופן שקול, נעביר אגפים ונקבל

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) dxxvxuxvxudxxvxu ∫∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅′−

:נחשב אינטגרל לא מסוים של שני האגפים

′⋅=′⋅

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxvxudxxvxudxxvxu

:ת האינטגרל הלא מסוים נקבלמתכונו

∫∫∫ ⋅′−′⋅=′⋅

( ) ( )

:מהגדרת האינטגרל הלא מסוים נובע כיו

( ) ( ) ( ) ( )dxxvxuxvxudxxvxu ∫∫ ⋅′−⋅=′⋅

ל"מש

∫∫ רושמים לפעמים בלשון מקוצרת ′⋅−⋅=⋅ dxvuvuvdxu

כך שהמרת ′uv - והרעיון העיקרי בשימוש בנוסחה זו הנו הסימון הנכון של

∫הבעיה לבעיית חישוב האינטגרל ⋅′ vdxuתפשט את חישוב האינטגרל הנתון .


281

לאינטגרציה בחלקיםדוגמאות

( ) Cxxxdxxxxxvu

xvxudxxx ++−=−−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==′=′=

= ∫∫ sincoscoscoscos;1sin;

sin1

( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅−+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==′=′=

=

⋅+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−=′=′=

==

∫

∫∫

43421I

xxxx

x

xxx

xx

dxxexexeevxuevxu

dxxexeevxuevxu

dxxeI

cossincos;cos;sin

sincos;sin;cos

cos2

: ולכן :קיבלנו כי4342143421

I

xxx

I

x dxxexexedxxe ∫∫ ⋅−+=⋅ cossincoscos

( ) CxxedxxeIxexedxxex

xxx

I

x ++=⋅=⇒+=⋅⋅ ∫∫ sincos2

cossincoscos2

44 344 21

( )

2

Cxxxdxxxxdxx

xx

xvx

u

vxudxxdxx

+−=⋅−=⋅−=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==′

=′==⋅=

∫∫

∫∫

ln1ln1ln

;11;ln

ln1ln3

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==′

=′==

=+=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=′

=′===

∫

∫∫

43421I

dxxxxxxxvx

xu

vxu

dxxxxxvx

xu

vxudxxI

lncoslnsinlncos;1lncos

1;lnsin

lnsinlncos;1lnsin

1;lncoslncos4

( ) ( ) ( ) ( )4342143421

II

dxxxxxxdxx ∫∫ −+= lncoslnsinlncoslncos קיבלנו כי:

: ולכן

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) CxxxdxxxIxxxdxxxI

++=⋅=⇒+=⋅⋅ ∫∫ lnsinlncos2

lncoslnsinlncoslncos22

44 344 21

( ) Cxx

xdxxx

x

xv

xu

xvxu

dxx

x+−−=+−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==′

=′== ∫∫

1ln1ln1;1

1;lnln5 2

2

2


282

הקדמה:אינטגרציה של פונקציות רציונאליות .7

:הגדרות

מנה של שני פולינומים :פונקציה רציונאלית .1( )( )xQxP

.

) .degסימון. םפולינוהחזקה הגבוהה ביותר המופיעה ב :דרגה של פולינום .2 )xP

פונקציה רציונאלית :פונקציה רציונאלית פשוטה .3( )( )xQxP

שבה מעלת הפולינום ,

)כלומר . במונה קטנה ממעלת הפולינום במכנה ) (xQxP deg< )deg.

:הערה( )( )xQxP

ניתנת , שאיננה פונקציה רציונאלית פשוטה, כל פונקציה רציונאלית

): להצגה הבאה) י חלוקת פולינומים "ע( )( ) ( ) ( )

( ){פשוטה

רציונאליתפונקציהפולינום

xQxRxM

xQxP

+=321

( )xR

) השארית המתקבלת בחלוקת הפולינומים (

ניתן , פונקציה רציונאלית שאיננה פשוטה כל בעיית חישוב אינטגרל של:מסקנה

ובעיית חישוב של ) מידי ( להמיר לבעיית חישוב אינטגרל לא מסוים של פולינום

: פונקציה רציונאלית פשוטה( )( ) ( ) ( )

( )∫∫∫ += dxxQxRdxxMdx

xQxP

.מסיבה זו אנו דנים במקרה זה בהרחבה


283

ת פשוטואינטגרלים מידיים של פונקציות רציונאליות .8

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

∫

∫

∫∫

∫

∫

∫

∈<+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

+=+

>++−

−=−=

−

+=′

∈+−=−

+=

+−−

RaCax

adx

ax

Cxdxx

nCnaxdxaxdx

ax

xQCxQdxxQxQ

RaCaxdxax

Cxdxx

nn

n

0;arctan11

arctan1

1

;טבעי11

1

ln;פולינום

;ln1

ln1

22

2

1

דוגמאות

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) Cx

x

dxdxx

Cxxdxxxxxdx

xxx

Cx

dxx

Cxdxx

dxx

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=+

=+

+++=++

′++

=++

+

++

−=+

+−−=−

−=−

∫∫

∫∫

∫

∫∫

7arctan

71

7714

1ln11

1123

31

312

2ln2

12

11

222

22

2

2

2

שברים יסודיים .9 :הגדרה

פונקציה רציונאלית פשוטה בעלת אחת מהצורות הבאות

( )

( )( )

( )

( ) ( ) 1;04;4

04;3

1;;2

;1

22

22

><−++

+

<−++

+

>∈−

∈−

nqpqpxx

BAx

qpqpxx

BAx

nRaax

A

Raax

A

n

n

.שבר יסודינקראת

042 )א אי פריק הו שקול לכך שהגורם הריבועי התנאי ( <− qpqpxx ++2


284

חישוב אינטגרלים של שברים יסודיים .10

:כפי שראינו קודם, החישוב של שני השברים היסודיים הראשונים הוא מידי •

( )

( )( )

( ) ( ) ;טבעי11

2

;ln1

1

>++−

−⋅=−⋅=

−

∈+−⋅=−

+−−∫∫

∫

nCnaxAdxaxAdx

axA

RaCaxAdxax

A

nn

n

י הצגת האינטגרל הנתון "חישוב האינטגרל של השבר היסודי השלישי יתבצע ע •

כסכום של שני אינטגרלים מידיים מהצורה ( )( )∫′xQxQ dxו - ∫ +

dxax 22

1

( )

כפי ,

י השלמה לריבוע של הגורם האי פריק "את הפירוק מבצעים ע. שנדגים בהמשך

.במכנה

י השלמה לריבוע של "יתבצע ע, חישוב האינטגרל של השבר היסודי הרביעי •

לאינטגרל רקורסיבי מהצורה , הגורם האי פריק במכנה

0;;122

>∈+

= ∫ aNndxax

I nn

:שאותו מחשבים באופן הבא

נפריד לשני מקרים

( ) Cax

adx

axI +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+= ∫ arctan11

221 : n=1עבור

:n<1עבור

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

++

+=

+

−++

+=

=+

++

=⋅+

−−

+=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=′⋅+⋅−=′⇒+==⋅+=

+=

+

∫∫∫

∫∫

∫∫

++

++

−−−−

44 344 2144344211

122

2

2222122

222

22

122

2

2212222

1222222

22

122

22

1211

nn I

n

I

nnnn

nnnn

nnn

nn

dxax

adxax

nax

xdxax

aaxnax

x

dxax

xnax

xxdxaxnx

axx

xvvxaxnuaxudxaxdx

axI

( )

12

2222 +⋅−⋅+

+= nnnn InaIn

axxI . אם כן , קיבלנו


285

1+nI נחלץ את

( )( ) 1

2

222212 +⋅=⋅+

++− nnnn InaIn

axxnI

( )nnnaxna

xInanI

2222122

12+

+⋅−

=

⇓

+

:נסכם

( )C

ax

aI

naxna

xInanI nnn

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

≥+

+⋅−

=+

arctan1

1;22

12

1

22221

: לשימוש בנוסחאדוגמא

( )∫+

= dxx 222

41I נחשב את האינטגרל הלא מסוים

2=a3=n ניעזר בנוסחא הרקורסיבית הקודמת עם :פתרון : ונקבל - ו

CxI +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2arctan

21

1

( ) ( ) Cx

xxx

xIIn ++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

++⋅==

482arctan

161

48811 2212

( ) ( ) ( )C

xx

xxx

xxIIn 2222222

41641283

2arctan

2563

4161632

++

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

++⋅==


286

לחישוב אינטגרלים של שברים יסודייםדוגמאות

( ) ( ) Cxxdxxxxxdx

xxxdx

xxx

+++=++

′++

⋅=++

+⋅=

+++

∫∫∫ 1ln2112

1122

1241 2

2

2

22

( ) ( ) ( )

CxCuduu

dxduxu

dxx

dxxx

dxxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+=

=++

=+++

=++

∫

∫∫∫

21arctan

21

2arctan

21

41

141

1412

152

12

2

222

( ) ( ) ( )

( )

Cxxx

dxxx

dxxx

x

dxxx

xdxxx

xdxxx

xdxxx

x

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++=

=++

+++

+=

=++++

=++

+=

+++

=++

+

∫∫

∫∫∫∫

21arctan

2352ln

23

5213

5222

23

52222

23

5242

23

5223

52633

2

22

2222

( )

( ) ( )

( )( )

Cxxx

Cxxx

dxx

dxxx

x

dxxx

dxxx

xdxxxxx

x

dxxx

xdx

xx

xdx

xx

xdx

xxx

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⋅=

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅+++⋅=

=++

+++

+=

=++

+++

+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+++

+++

=++

++=

++

+=

++

+=

+++

∫∫

∫∫∫

∫ ∫∫∫

312arctan

311ln

23

21

32arctan

32

211ln

23

43

21

121

112

23

11

21

112

23

13

1

112

23

13

112

23

13

42

23

13

23

1234

2

2

22

2222

2222

( ) ( ) ( )( )

( )

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++=

=++

−++

+=

=+++

−++

+=

++−+

=++

+

∫∫

∫ ∫∫∫

Cxxx

dxx

dxxx

x

dxxx

dxxx

xdxxx

xdxxx

x

32arctan

31134ln

321

13442

9441

13442

134142

134325

2

222

2222


287

( )( ) ( )

( )

( )

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅−++=

=++

−++

+=

=++

⋅−++

+=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

−+

+++

=++

−+=

=++

+=

++

+=

+++

∫∫

∫∫

∫ ∫∫

∫∫∫

Cxxx

dxx

dxxx

x

dxxx

dxxx

x

dxxx

dxxx

xdxxx

x

dxxx

xdx

xx

xdx

xxx

32arctan

318134ln

25

9218

13442

25

1341

516

25

13442

25

1345

16

13442

25

1345

1642

25

1345

42

25

1345

4225

134256

2

22

22

222

222

( )

( ) Cxxxdxx

xxx

dxx

xxxxvx

u

vxuxdxdxx

++⋅−=+

⋅−=

=+

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=′

=′==⋅=

∫

∫∫∫

1ln21arctan

12

21arctan

1arctan;

11

1;arctanarctan1arctan7

22

22


288

הפרדה לשברים חלקיים .11

:משפט

בהינתן פונקציה רציונאלית פשוטה ( )( )xQxP

אזי קיים פירוקשאיננה שבר יסודי

( )xQ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

מים ריבועיים אי למכפלה של גורמים לינארים וגורשל הפולינום במכנה

:פריקים באופן הבא

( ) ( ) rk nrr

nmk

mm qxpxqxpxxxxxQ ++⋅++⋅−⋅−⋅−= 211

221

121* LL ααα

( ) ( )( ) ( )21123 22245 ++−=−−−+= xxxxxxxxQ( ) דוגמא:

:מסקנה יישומית מהמשפט

( )( )xQxP

ניתנת להצגה כסכום , שאיננה שבר יסודי , כל פונקציה רציונאלית פשוטה

:של שברים יסודיים לפי הכללים הבאים

)ורם לינארי בפירוק גכל ל .א ) מהצורה *( α−x מתאים מחובר (

מהצורה α−x

A.

)גורם לינארי בפירוק כל ל .ב )*1; >− mx mα ) מהצורה מתאים הסכום (

( ) ( )mm

xA

xA

xA

ααα −++

−+

−L2

11.

( )*qpxx ++2 עי אי פריק בפירוק לכל גורם ריבו .ג מתאים מחובר מהצורה

מהצורה qpxx

CBx++

+2.

)לכל גורם ריבועי אי פריק בפירוק .ד ) מהצורה *( )

מתאים

Nnqpxx n∈<++ 1;2

)הסכום ) ( )nnn

qpxxCxB

qpxxCxB

qpxxCxB

++

+++

++

++

+++

22222

211 L.


289

: רציונל השיטה-הפרדה לשברים חלקיים

כי כל פונקציה רציונאלית פשוטה , אם כן , ראינו ( )( )xQxP

ניתנת להצגה כסכום של

שברים יסודיים מהצורה

( )

( ) Nnqpqpxx

DCxqpqpxx

DCx

Nnx

Ax

A

n

n

∈<<−++

+<−

+++

∈<−−

1,04,;04,

;1,;

22

22

αα

את בעיית חישוב האינטגרל הלא מסוים של פונקציה " לתרגם"באופן זה ניתן

פשוטה רציונאלית( )( )dxxQxP

לבעיית חישוב סכום של אינטגרלים של שברים ∫

)שאת דרך חישובם הצגנו קודם ( .יסודיים

דוגמאות

( ) ( )( ) ?21

12

11 2 =+−

=−+ ∫∫ dx

xxdx

xx

( )( )

:נחפש פירוק לשברים יסודיים מהצורה2121

1+

+−

=+− x

BxA

xx

( )( )

( ) ( )( )( )

: מכנה משותף21

1221

1+−

−⋅++⋅=

+−⇒

xxxBxA

xx

): נקבלנים השוואת מומ ) ( ) 112 =−⋅++⋅ xBxA

BA,

( ) ( ) ( )

:נחשב את המקדמים

( ) 12112 =−++⇒=−⋅++⋅ BAxBAxBxA

0121

=+=−

BABA

x

⎩⎨⎧

=+=−012

BABA

: השוואת מקדמים .

BA −==31

יניב את התוצאות פתרון מערכת המשוואות


290

:ולכן

( )( )

( ) CxxCxx

xdx

xdxdx

xxdx

xxdx

xx

++−

⋅=+−−−⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−⋅=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

−=

+−=

−+ ∫ ∫∫∫∫

21ln

312ln1ln

31

2131

23

1

13

1

211

21

2

( )( )

?1322 2 =

++

∫ dxxxx

:נחפש פירוק לשברים יסודיים מהצורה( ) ( )22 111

32+

++

+=++

xC

xB

xA

xxx

( )

( ) ( )( )2

2

2 111

132

+⋅++⋅++⋅

=++

⇒xx

xCxxBxAxxx מכנה משותף :

): נקבלהשוואת מונים מ ) ( ) 3211 2 +=⋅++⋅++⋅ xxCxxBxA

CBA ,,

35241111

30

−=⇒=++⇒=−=⇒=−⇒−=

=⇒=

BCBAxCCx

Ax

( )


: תקיים הפירוק הבאולכן מ

( )22 11

133

132

+−

+−=

++

xxxxxx

( )

:ובפרט

( )C

xxxdx

xxxdx

xxx

++

++−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

−=++

∫ 111ln3ln3

11

133

132

22∫

( ) ( )( ) ?11

11

13 23 =+−+

=+ ∫∫ dx

xxxdx

x

( ) ( )


122 +−

++

+=

+−⋅+ xxCBx

xA

xxx

( ) ( ) ( 112( :מכנה משותף והשוואת מונים ייתנו +⋅+++−⋅= xCBxxxACBA ,,

1


( ) 12131131

10

=++⇒=

=⇒=⇒−=

=+⇒=

CBAx

AAx

CAx


291

פתרון מערכת המשוואות יניב את התוצאות 32,

31

=−== CBA

: ולכן מתקיים הפירוק הבא

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−

−+

⋅=+−

+−+

+=

+−⋅+ 12

11

31

13

23

1

13

1

111

222 xxx

xxx

x

xxxx

: ובפרט

( ) ( )

Cxxxx

dx

x

dxxx

xdxx

dxxx

dxxx

xdxx

dxxx

xdxx

dxxx

xdxx

dxxx

xdxx

dxxxx

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅++−⋅−+⋅=

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅++−

−−

+⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅++−

−−

+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−−

−+

⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−

−+

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−

−+

⋅=+−⋅+

∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

312arctan

321ln

311ln

31

23

21

131

121

131

43

41

131

121

131

1312

11

31

142

11

31

12

11

31

111

2

222

222

222

( ) ( )( ) ?51

1354

134 2 ∫∫ =−+

+=

−−+

= dxxx

xdxxx

xI

( ) ( )


13−

++

=−⋅+

+x

Bx

Axx

x

( ) ( ) 1513 :מכנה משותף והשוואת מונים ייתנו +⋅+−⋅=+ xBxAxBA,

261311361355

−=⇒−=+−⇒−=


=⇒=+⇒=AAx

BBx

:ולכן מתקיים הפירוק הבא

( ) ( ) 53

12

5113

−+

+−

=−⋅+

+xxxx

x

:ובפרט

( ) ( )Cxx

dxx

dxx

dxxx

dxxx

xI

++−−=

=+

−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+

+−

=−⋅+

+= ∫∫∫∫

1ln25ln31

25

35

31

251

13


292

הצבות מיוחדות .12

אינטגרלים של שורשים .א

ה הצב צורת השורש מומלצת

הערות

m bax +

baxt m +=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

−=

− dttamdx

abtx

m

m

1

m dcxbax

++

dcxbaxt m

++

=

atctdtx m

mm

−⋅⋅−

=

2212 xax n ±⋅+

22

12

xax n

±

+

222 xa ±=t

( )

( )∫∫ ⋅±=±

⇓−±==

+ xdxxaxdxxax

atxxdxtdt

nn 2222212

222

22

2

xax n

−,222 xax n −⋅

tax sin⋅=

taxdtta

2222 coscos=−

⋅⋅=

adx

22

2

xax n

+,222 xax n +⋅

tax tan⋅=

taax

dtt

adx

2

222

2

cos

cos

=+

⋅=

22

2

axx n

−,222 axx n −⋅

tax

cos=

taax

dtttadx

2222

2

tancos

sin

=−

⋅⋅

=


293

אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות .ב

הצבה/ שימוש בזהות צורת האינטגרל

( ) ( )dxbxax∫ ⋅ sinsin

( ) ( )βαβαβα +−−= coscossinsin2

( ) ( )dxbxax∫ ⋅ cossin

( ) ( )βαβαβα −++= sinsincossin2

( ) ( )dxbxax∫ ⋅ coscos

( ) ( )βαβαβα ++−= coscoscoscos2

xdxx nm∫ ⋅ cossin

Znm ∈,

Zm

ולפחות אחד כאשר .מהם אי זוגי

Zppmכלומר ( אי זוגי ∋אם ∈+= ,12(

xtנציב cos= ולכן ואז dxxdt ⋅−= sin( )

( ) ( )dttt

xdxxxdxxx

np

npnp

−⋅⋅−=

=⋅⋅=⋅

∫∫∫ +

2

212

1

cossincossin

Zn

Zppn )כלומר ( אי זוגי ∋אם ∈+= ,12

xsin tנציב dxxdt ולכן ואז = ⋅= cos( )

( ) ( )dttt

xdxxxdxxx

mp

mppm

−⋅⋅−=

=⋅⋅=⋅

∫∫∫ +

2

212

1

sincoscossin

xdxx nm∫ ⋅ cossin

Znm . זוגייםכאשר ∈,( )( )xx

xx

שימוש בזהויות

xxx

2cos1cos22cos1sin

cossin22sin

2

2

+=

−=

⋅=

2

- בפונקציה רציונאלית

-ו

xcos

xsin: 2

tan x=

( )( )dx

xQxP

∫ coscos

xx

sin,sin,

QP,פולינומים .

dx: לדוגמאxx∫ −+ cossin1

1

t: הצבה

:מהצבה זו נובע⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

dtt

dxtx

212

arctan2

xx

cosxtan - ו sin , ואז ניתן לבטא את : באופן הבאtכפונקציות של

22

2

2 1

2tan;

1

1cos;

1

2sin

t

tx

t

tx

t

tx

−=

+

−=

+=


294

דוגמאות להצבות מיוחדות

( )( )

( )( )

{ } Cxxxt

Cttdtt

dtdtt

dtt

tdtttdt

tttttdt

ttt

dxtdtxtxt

dxxx

xdxxx

xI

+−+++=+==

+−+=−

+⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+=

=−+−

=−+

=−+

=−+

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=

+=

=+−+

++=

++−++

=

∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫

11ln6121

1ln621

16121

312

1312

122

12222

211

1121

11211

2

2

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

{ } ( ) Cxxxt

Cttdtt

dt

dtt

dtt

t

dtt

tdttt

tdtttt

txxx

txxx

dxdttxt

xxt

dxxx

I

++⋅===

+−=+

−⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−=

+−+

=

=+

=+

=+

=

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==

=

=

==

=+

=

∫∫

∫∫

∫∫∫

∫

666

2

22

2

2

2

23

55

23

22

61

313

33

61

21

5

6

616

3

arctan66

arctan661

1616

1116

1116

16

166

11

61

12

( ) ( ) ( )

( ) { } ( ) ( ) CxxxtCttdttt

tdtttxdxtdt

xtxdxxxdxxxI

+−−−=−==+⋅−=−=

=−⋅−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=−=

=⋅−=−=

∫

∫∫∫

2322

52235

24

222

2223

939519

39

59

922

9993


295

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) Cxxdxxdxx

dxxxxxdxxxI

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=⋅+⋅=

=⋅−++=⋅=

∫∫

∫∫

22cos

66cos

212sin6sin

21

24sin24sin212cos4sin4

( )

( ) ( ) ( ) CxxCttdtttdttt

txxxdxdt

xtxdxxxxdxxI

xt

+−=+−=−=−⋅⋅−=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

−==

=⋅⋅=⋅=

=↓∫∫

∫∫

57

cos

574642

222

4243

cos51cos

71

51

711

1cos1sinsin

cossincossincossin5

( )

[ ]

Cxx

CttCttdt

tttdt

xdxdtxt

dxx

xdxxxdx

xI

xt

+−+

⋅=

=+−+

⋅=+++−−⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

−=

−=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

=−

===

=↓

∫∫

∫∫∫

sin1sin1ln

21

11ln

211ln1ln

21

11

11

21

1

cossin

sin1cos

coscos

cos16

sin

2

22

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) Cxxdxx

dxxdxxdxx

xxxdxxxxdxxI

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅=−=

=−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ==⋅=⋅=

∫

∫∫∫

∫∫

44sin

814cos1

81

24cos1

41

22cos1sin2sin

41

22sin

22sincossincossincossin7

222

222

αα


296

( ) ∫ ++= dx

xxI

3sin2cos18 ⎟ י הצבה"ע , נחשב

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2tan xt

dtt

dx

tx

212

arctan2

+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2tan x

=t ההצבה . : גוררת

xxx

cos1cos1

2 −+

±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2

11

ttx

+−

=cos. tan מהזהות הטריגונומטרית נובע כי

212

ttx

+=

xxx

cos1sin

2 +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sin. tan מהזהות הטריגונומטרית נובע כי

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

2tan1

2tan2

tan2 x

x

xxxx

cossintan = או מהזהות ( )מהזהות הטריגונומטרית

21נובע כי 2tan

ttx

−=

( )

.

נבטא את הפונקציה 3sin2cos

1sin,cos++

=xx

xxRt

( )

: בלשון

( )2221

31

2211

12

2

22

2 +++

=+

+⋅+

+−

=tt

t

tt

tt

tR

:נחזור לחישוב האינטגרל הנתון

( )( )

( ) ( )( ) CxCtdt

tdt

tt

dttt

dtttt

tdxxx

I

xt

dxtR

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++=

++=

+++=

=++

=+

⋅++

+=

++=

=

↓∫∫

∫∫∫

12

tanarctan1arctan11

1112

1

221

12

2221

3sin2cos1

2tan

22

222

2

434214434421


297

דוגמאות נוספות

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

{ } ( ) ( ) ( ) Cxxxxt

Ctttdtttt

dtttttdttt

dxtdttxxt

xt

dxxxI

++++−+=+==

+⋅+⋅−⋅=+−=

=+−=⋅−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−=+=

⇒

+=

=+=

∫

∫∫∫

23

25

27

357246

242222

22

3635

123723

318

512

7218122

96223

233

3

31

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

{ } ( ) ( ) Cxxxt

Cttdttt

dttttdttt

dxtdttxxt

xt

dxxxI

++−+=+==

+⋅−⋅=−=

=−=⋅−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−=−+=

⇒

+=

=+−=

∫

∫∫∫

23

25

3524

2222

2

1341

521

34

5242

2222

221

11

112

( )

( )( ) ( )

Cxx

xt

txCttdtt

tdttdttt

tdtdxtx

txtx

dxx

xIdx

x

x

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⇒==+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

==⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==−

=⇒

=

=−

=

∫

∫∫∫−

2arctan2sin

2arctan2

2arctan

sin2

22sin22cos12

sin4cos2cos2sin4

cos2cos24

sin4sin2

43 2

4

2

2

22

2

2

2

2

48476

321

876


298

( ) Ce

Ct

dtt

dttt

dtt

dxdxtdxetdt

etet

dxe

Ixx

x

x

x+−=+−==⋅=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

===

⇒

=

== ∫∫∫221221

22

14 22

2

( )

CxCtdtt

tdtt

dxx

dttxt

xt

dxxx

I

+−=+−=−=

=−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

=

⇒

=

=⋅

=

∫

∫∫

5 44

3

4

24

5

5

52

cot45

455

5

sin15

cotcot

cotsin15

Documents

שיטות אינטגרציה