Από τον Όμηρο στον Πτολεμαίο. Αναδρομή στα πρώτα όργανα γεωμετριας

Η εξέλιξη των οργάνων, των μεθόδων και των συστημάτων μετρήσεων των επιστημών της αποτύπωσης στην Ελλάδα Θεσσαλονίκη, 15 & 16 Απριλίου 2005, σελ. 27 - 43

27

Από τον Όμηρο στον Πτολεμαίο. Αναδρομή στα όργανα και στις μεθόδους της πρώτης γεωμετρίας

Δ. Ρωσσικόπουλος

Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας.

Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ.

Περίληψη Γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή στα όργανα και στις μεθόδους της τοπο-

γραφίας, της πρώτης γεωμετρίας κατά τον Ηρόδοτο ή της γεωδαισίας κατά τον Αρι-

στοτέλη, μέσα από τα αρχαία ελληνικά κείμενα, από τα αρχαϊκά χρόνια ως το τέλος

της ελληνιστικής περιόδου. Το έργο αυτό των ελλήνων γεωδαιτών αγνοείται στο με-

γαλύτερο μέρος του σήμερα στη διεθνή βιβλιογραφία και αποδίδεται στους Ρωμαί-

ους, οι οποίοι δεν προσέθεσαν καμία γνώση ούτε επινόησαν νέα όργανα, αλλά τα

εφάρμοσαν όλα αυτά και τα ενέταξαν στο σύστημα διοίκησης της μεγάλης αυτοκρα-

τορίας. Ίσως το εφαρμοσμένο αυτό κομμάτι της ελληνικής επιστήμης περνά απαρα-

τήρητο εξαιτίας της λαμπρότητας και του μεγέθους των ελληνικών μαθηματικών

κυρίως των ελληνιστικών χρόνων.

Εισαγωγή H πρώτη επίσημη μαρτυρία είναι αυτή του Ηρόδοτου στο βιβλίο Ευτέρπη των

Ιστοριών του. Η Γεωμετρία επινοήθηκε στην Αίγυπτο ως ένα σύνολο εμπειρικών

κανόνων μέτρησης της γης, που τους γνώριζαν και τους ασκούσαν οι ιερείς τους.

Λένε ότι αυτός ο Βασιλιάς μοίρασε τη χώρα σε όλους τους Αιγυπτίους δίνοντας

στον καθένα έναν ίσο τετράγωνο κλήρο για τον οποίο θα πληρώνει ετήσιο φό-

ρο και με αυτό τον τρόπο δημιούργησε εισοδήματα. Και όποιος έχανε από

πλημμύρα μέρος της γης του, πήγαινε στον Βασιλιά και έλεγε τι είχε συμβεί.

Τότε ο Βασιλιάς έστελνε ανθρώπους που εξέταζαν και μετρούσαν το τμήμα κα-

τά το οποίο μειώθηκε η γη, ώστε να πληρώνει αναλογικά μικρότερο φόρο από

εκείνον που αρχικά του είχε επιβληθεί. Έτσι νομίζω βρέθηκε η γεωμετρία και

ήλθε στην Ελλάδα.

Ηρόδοτος, ΙΣΤΟΡΙΑΙ, ΙΙ-109

28 Δ. Ρωσσικόπουλος

Το κείμενο αυτό του Ηροδότου το επανέλαβε στη συνέχεια ο Ήρων ο Αλεξαν-

δρεύς, ο Πρόκλος, ο Στράβων και πολλοί άλλοι κυρίως βυζαντινοί συγγραφείς,

προκάλεσε όμως και πολλές αντιδράσεις και στον αρχαίο κόσμο σχετικά με την

ορθότητά του.

Αναφορές σε μετρήσεις ορίων ιδιοκτησιών έχουμε και παλαιότερες, όπως αυτή

του Ομήρου, που περιγράφει με αυτόν τον τρόπο τη διαμάχη του Αίαντα με τον

Οδυσσέα για τα όπλα του Αχιλλέα:

όπως δυο χωριάτες για το σύνορο μαλώνουν, και στα χέρια

κρατούν κορδέλα για το μέτρημα, σε μεσιακό χωράφι,

σε μια της γης λουρίδα στέκοντας, πως να μοιράσουν δίκαια.

Ομήρου Ιλιάδα, Μ.421 -23, Μετ. Ν. Καζαντζάκη, Ι. Κακριδή

Ο Οδυσσέας κέρδισε τα όπλα, ο Αίαντας τρελάθηκε και αφού σκότωσε αρκε-

τούς μέσα στο Ελληνικό στρατόπεδο αυτοκτόνησε. Ο Όμηρος κάνει αναφορά και

σε τοπογραφικό όργανο, καθώς περιγράφει τα άλογα του Διομήδη: ίδια στο ύψος

ως σταφυλή. Σταφυλή ή διαβήτης αργότερα, ή αλφάριον ή αλφάδιον.

Εικ. 1. Παράσταση στους τοίχους του τάφου κάποιου Methen στη Saqqara της Αιγύπτου,

όπου δηλώνεται επίσης ότι όσα του ανήκουν έχουν καταχωρηθεί στο βασιλικό αρ-

χείο. Στην εικόνα δύο άτομα μετρούν το σπαρμένο χωράφι, ώστε να υπολογισθεί η

σοδειά. Τρεις γραφείς ελέγχουν το τεντωμένο σχοινί ενώ ένας ηλικιωμένος που περ-

πατά με τη βοήθεια ενός παιδιού πιστοποιεί τα όρια.

Από τα πολύ παλιά χρόνια οι Έλληνες οριοθετούσαν τα χωράφια τους με πέ-

τρες και ορόσημα (τους ούρους, όπως αναφέρει ο Ηρόδοτος) που προστατεύονταν

από το θεό Ερμή. Ερμής σημαίνει το πνεύμα του έρματος (ερμάς, ερμαίον ή ερ-

μαίος λόφος: σωρός από πέτρες). Τέτοιοι σωροί κατασκευάζονταν από τους προϊ-

στορικούς χρόνους πάνω από τους τάφους, ως σημεία διαχωρισμού περιουσιών,

όρια εκτάσεων και διαφόρων περιοχών καθώς και στις διασταυρώσεις των δρό-

μων.

Από τον Όμηρο στον Πτολεμαίο. Αναδρομή στα όργανα και στις μεθόδους της πρώτης γεωμετρίας 29

Στην ιστορία της ελληνικής αρχιτεκτονικής και των επιστημών γενικότερα μέ-

χρι τους ελληνιστικούς χρόνους το έργο του “τοπογράφου” δεν αναφέρεται. Όμως

τα αρχαία θέατρα χτίσθηκαν με βάση γεωμετρικά σχέδια, όπου κυριαρχεί ο συνδυ-

ασμός του κύκλου με ισόπλευρο και ισοσκελές τρίγωνο και με τετράγωνο. Η κα-

τασκευή τους γινόταν με τέτοιο τρόπο ώστε να ενισχύεται η ακουστική τους. Τα

μεγάλα τείχη των Αθηνών συμπεριλαμβάνονται στα μεγάλα έργα της Εποχής του

Περικλέους, όπως επίσης και η κατασκευή του λιμένα του Πειραιώς και το πολεο-

δομικό σχέδιο της πόλης αυτής. Το σχέδιο εκπονήθηκε από τον Ιππόδαμο τον Μι-

λήσιο, που προσκλήθηκε στην Αθήνα από τον Περικλή γι’ αυτόν ακριβώς το λόγο.

Εικ. 2. Ο διαβήτης (διαβαίνω: στέκομαι όρθιος

με ανοικτά πόδια), όργανο χωροστάθμησης.

Θεωρείται επινόηση του Θεόδωρου, από τη Σά-

μο. Πρόκειται για ξύλινο πιθανώς όργανο σχήμα-

τος Άλφα, από την κορυφή του οποίου κρέμεται

λιναίη. Ο Θέων της Αλεξάνδρειας ονομάζει το

ίδιο όργανο αλφάριον και ο Ευστράτιος αργότερα

αλφάδιον απ’ όπου και ο σημερινός όρος αλφάδι.

Σύμφωνα με τον Θέωνα αλφάριον κατασκεύασε

και ο Κάρπος ο Αντιοχεύς (2ος αι. π.Χ). Παρό-

μοιο όργανο βρέθηκε σε Τύμβο στις Θήβες της

Αιγύπτου και χρονολογείται στα χρόνια του Ραμ-

σή ΙΙ. Άλλα όργανα που χρησιμοποιούσαν τότε

για χωροστάθμηση ήταν οι γνώμονες σχήματος Τ

ή Γ σε συνδυασμό με λιναίη.

Ο όρος Ιπποδάμειο σύστημα δεν αναφέρεται σε κάθετα τεμνόμενους δρόμους,

αυτό το σύστημα προϋπήρχε του Ιππόδαμμου. Από τον όγδοο αιώνα εφαρμόζο-

νταν βασικές πολεοδομικές αρχές στις ελληνικές αποικίες και κυρίως σε πόλεις

που χτίζονταν από την αρχή. Στις αποικίες, εκτός από τον σχεδιασμό των πόλεων,

γινόταν αναδασμός της γης και οι ορθογώνιοι κλήροι μοιράζονταν στους αποίκους.

Να το περίφημο σύστημα των centuries των Ρωμαίων. Ο όρος Ιπποδάμειο σύστη-

μα αναφέρεται σε πολεοδομικές καινοτομίες που πρωτοεμφανίζονται στον Πει-

ραιά, όπου προηγήθηκε ένας λεπτομερής σχεδιασμός πάνω σε χάρτη, που μετα-

φέρθηκε στη συνέχεια και υλοποιήθηκε με ακρίβεια στο έδαφος. Αυτό το μαρτυ-

ρούν μαρμάρινα ορόσημα των πολεοδομικών ζωνών που βρέθηκαν στον Πειραιά.

Εκτός από τα παραπάνω όμως έχουμε πλήθος τεχνικών έργων. Από τον Ηρόδο-

το περιγράφεται το όρυγμα της Σάμου, περίπου το 500 π.Χ. Την ίδια εποχή ο

Μανδροκλής από τη Σάμο κατασκευάζει γέφυρα στο Βόσπορο με συζευγμένα

πλοία κατά διαταγή του Δαρείου. Κατά την εκστρατεία του Ξέρξη έλληνες μηχα-


Εικ. 3. Η μέτρηση του ύψους ή της απόστασης με τη βοήθεια ράβδου ή γνώμονα σχήματος Τ.

Άλλοι τύποι του γνώμονα είναι: σχήματος Γ, σχήματος τριγώνου ή σχήματος σταυ-

ρού, από την εξέλιξη του οποίου προήλθε ο αστερίσκος ή το γκρόμα όπως το ονόμα-

σαν οι Ρωμαίοι.

Εικ. 4 Ο χάρτης του Αναξίμανδρου και ο βελτιωμένος χάρτης του Εκαταίου. (Λιβιεράτος,

1998). Οι ιωνικοί χάρτες αναπαριστούν έναν κυκλικό κόσμο με κέντρο τους Δελφούς,

τον “ομφαλό της γης”.

νικοί χαράσσουν διώρυγα στον Άθω για να περάσουν τα πλοία του. Περίπου εκατό

χρόνια νωρίτερα ο τύραννος Περίανδρος σχεδιάζει να ανοίξει διώρυγα στον Ισθμό

της Κορίνθου. Εξακόσια πενήντα χρόνια μετά ο Ρωμαίος αυτοκράτορας Νέρων


επιχειρεί τη διάνοιξη της ίδιας διώρυγας. Τα έργα όμως σταματούν γιατί οι μηχα-

νικοί διαπιστώνουν ότι η στάθμη των νερών είναι υψηλότερη στη μια πλευρά του

ισθμού και θα κάλυπταν την Αίγινα.

Το Ιπποδάμειο σύστημα καθώς και όλα τα μεγάλα έργα των Ελλήνων, προϋπο-

θέτουν εξελιγμένες τοπογραφικές μεθόδους. Και όλα αυτά αποδεικνύουν ότι τα

συστήματα διαίρεσης της γης και οι ανεπτυγμένες τεχνικές αποτύπωσης και χάρα-

ξης αναπτύχθηκαν από τους Έλληνες, πέρασαν στους Ετρούσκους και στη συνέ-

χεια στους Ρωμαίους. Οι Έλληνες μετρητές της γης (οι γεωδαίτες, σύμφωνα με τον

ορισμό της γεωδαισίας του Αριστοτέλη), ασχολούνται με τη μέτρηση, το χωρισμό

της γης κυρίως σε ορθογώνια σχήματα καθώς και με τις χαράξεις των τεχνικών

έργων. Ως στρατιωτικοί μηχανικοί, δίνουν πληροφορίες, όπως για παράδειγμα το

πλάτος ενός ποταμού που πρέπει να περάσει ο στρατός ή το ύψος των τειχών μιας

πόλης που πρέπει να καταλάβουν, μετρούν αποστάσεις και σχεδιάζουν χάρτες. Οι

χωρογράφοι (ή γεωγράφοι) κατασκευάζουν χάρτες ευρύτερης περιοχής, απεικονί-

ζουν μέχρι και όλη την οικουμένη. Θεωρούν τη γη σφαίρα και επινοούν τη χαρτο-

γραφική προβολή. Εισάγουν την έννοια των συντεταγμένων, του γεωγραφικού

μήκους και πλάτους, που τις προσδιορίζουν με συνδυασμούς αστρονομικών και

επίγειων παρατηρήσεων. Παράλληλα ασχολούνται με το σχήμα της γης, τη μέτρη-

ση της περιμέτρου της και τη μέτρηση υψών από απόσταση. Τα όργανα που χρη-

σιμοποιούν είναι οι διάφορες μορφές του γνώμονα, η μετρητική αλυσίδα, το σχοι-

νίο ή η αρπεδόνη και αργότερα, στα ελληνιστικά χρόνια, ο αστερίσκος, ο χωροβά-

της, η διόπτρα και το οδόμετρο.

Η Αρχαϊκή περίοδος. Η περίοδος της πρώτης γεωμετρίας Η ιστορία αρχίζει γύρω στα 600 π.Χ. με τον Θαλή τον Μιλήσιο, προέβλεψε τη

έκλειψη Ηλίου και πήρε τον τίτλο του ενός από τους 7 σοφούς. Ως περιηγητής

βρέθηκε στην Αίγυπτο, όπου δίδαξε την ομοιότητα των σχημάτων και μέτρησε το

ύψος πυραμίδας με τη ράβδο χρησιμοποιώντας τον σταθερό λόγο μεταξύ του ύ-

ψους του αντικειμένου και της σκιάς του. Χρησιμοποιώντας θεωρήματα της στοι-

χειώδους Γεωμετρίας που ο ίδιος διατύπωσε, προσδιόρισε την απόσταση πλοίου

από την ακτή.

Συνεχίζουμε με τους μαθητές του Θαλή, τον Αναξίμανδρο και Αναξιμένη. Ο

χάρτης του Αναξίμανδρου ίσως δεν είναι ο πρώτος, ας θυμηθούμε την Ασπίδα του

Αχιλλέα όπως την περιγράφει ο Όμηρος:

Βάζει τη γης, βάζει τη θάλασσα, βάζει τα ουράνια πάνω,

βάζει τον ήλιο τον ακούραστο, τολόγιομο φεγγάρι,


κιόλα ταστέρια, ως στεφανώνουνε τον ουρανό τρογύρα.

το Αλετροπόδι, τα Βροχάστερα, την ώρια Πούλια βάζει

και τον Χορό τον Εφταπάρθενο, που τονε λεν κι Αμάξι,

κι αυτού γυρνάει παραμονεύοντας το Αλετροπόδι πάντα,

και μόνο αυτός λουτρό δε χαίρεται στον Ωκεανό ποτέ του.

Κι ακόμα παίρνει βάζει απάνω του δυο πολιτείες ανθρώπων,

πανέμορφες. …

Κι ακόμα βάζει το περίτρανο του Ωκεανού ποτάμι

στου σκουταριού του στέριο ολόγυρα το πιο ακρινό στεφάνι.

Ομήρου Ιλιάδα, Μετ. Ν. Καζαντζάκη, Ι. Κακριδή

Εικ. 5. Τετράδραχμο νόμισμα του 4ου αιώνα από την

Ιωνία, με ανάγλυφο χάρτη της περιοχής της Εφέσου.

Δείγμα της Ιωνικής χαρτογραφικής παράδοσης, ο μο-

ναδικός ελληνικός χάρτης που σώζεται. Εντυπωσιακή

είναι η σύγκριση με σύγχρονο γεωφυσικό χάρτη της

περιοχής. Το νόμισμα εκδόθηκε πιθανώς το 336 και

334 π.Χ. για την πληρωμή κατοχικών φόρων προς την

Περσία.

Είναι όμως για πρώτη φορά προσανατολισμένος, μια και ο Αναξίμανδρος γνώρισε

στους Έλληνες το γνώμονα και το ηλιακό ρολόι.

Τον χάρτη του Αναξίμανδρου τον διόρθωσε ο Εκαταίος, και πρέπει να είναι ο

δικός του χάρτης που έφερε ο τύραννος της Μιλήτου Αρισταγόρας στη Σπάρτη για

να ζητήσει βοήθεια. Με το χάρτη αυτόν προσπάθησε να κοροϊδέψει το βασιλιά της

Σπάρτης και να τον πείσει να εκστρατεύσει εναντίον των Περσών.

Το σύγγραμμα του Δημόκριτου περί γεωργίας ή γεωμετρικό πρέπει να ήταν στο

μεγαλύτερο μέρος του τοπογραφικό εγχειρίδιο. Σύμφωνα με τον Κλήμη τον Αλε-

ξανδρεα, στο έργο του Στρωματείς φέρεται να λέει:

… ακόμα άκουσα λογίους και ανθρώπους που ασχολούνται με τη σύνθεση

γραμμών μετ’ αποδείξεων, κανείς δε βρέθηκε ανώτερός μου, ούτε απ’ αυτούς

που οι Αιγύπτιοι ονομάζουν αρπεδονάπτες.

Αρπεδόνη είναι το διηρημένο σε ίσα διαστήματα με κόμβους σχοινί, που χρησιμο-

ποιούν οι μετρητές, οι αρπεδονάπτες (αυτοί που τεντώνουν το σχοινί) για να οριο-

θετήσουν τα χωράφια.


Η Kλασική περίοδος. Από τον Σωκράτη ως τον Δικαίαρχο. Η δεύτερη περίοδος της Ελληνικής Σκέψης αρχίζει με τον Σωκράτη και συνεχί-

ζει με τον Πλάτωνα, τον Αριστοτέλη, τον Εύδοξο και τον Δικαίαρχο. Κατά την

Πλατωνική Σχολή, οι πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών περιφρονούνται.

Έτσι, δεν υπάρχουν κείμενα για όργανα μέτρησης και για μεθόδους της πρακτικής

γεωμετρίας.

Βρίσκουμε όμως στοιχεία σε άλλα έργα, όπως αυτά του Αριστοφάνη. Ο Πι-

σθαίτερος στους Όρνιθες, ιδρύει την πόλη των πουλιών. Ανάμεσα στους τυχοδιώ-

κτες που την επισκέπτονται είναι και ο Μέτων, μεγάλος μαθηματικός και αστρο-

νόμος, που προτείνει να οριοθετήσει την πόλη και να τη σχεδιάσει.

Σύμφωνα με τον Αιλιανό τον Σοφιστή ο Σωκράτης χρησιμοποίησε έναν χάρτη

για να μειώσει την υπεροψία ενός μαθητού του.

Ο Αριστοτέλης χρησιμοποιεί τον όρο Γεωδαισία (γη+δαίομαι = μοιράζω τη γη)

και ορίζει τη διαφορά της από τη γεωμετρία. Δίνει την πρώτη τιμή για την γήινη

περίμετρο, 400 000 στάδια, αναφέροντας ότι υπολογίσθηκε από μαθηματικούς.

Πιθανολογείται ότι είναι ο Εύδοξος ο Κνίδιος και οι μαθητές του.

Η εκστρατεία του Μ. Αλεξάνδρου αποτελεί και την πρώτη μεγάλη επιστημονι-

κή αποστολή στην Ιστορία. Ο Αριστοτέλης οργανώνει επιστημονική ομάδα μαθη-

Εικ. 5. Η μέτρηση του ύψους του Άθω παρατηρώντας τη γωνία ύψους του Ήλου από τη

Λήμνο (εικ. 16ου αι.). Πιθανή εκδοχή μέτρησης του ύψους των βουνών από τον Δι-

καίαρχο: από νησί, με ράβδο παρόμοια με τη διόπτρα του Αρχιμήδη. Η διόπτρα του

Αρχιμήδη ήταν μια ξύλινη ράβδος κατά μήκος της οποίας γινόταν η σκόπευση μένα

μικρό κύλινδρο προσαρτημένο πάνω της. Καθώς παρατηρούσε κανείς, π.χ. το βου-

νό, έχοντας τη ράβδο οριζόντια, μετακινούσε τον κύλινδρο μέχρι να το κρύψει. Με

τη βοήθεια των ομοίων τριγώνων και γνωρίζοντας την απόσταση προέκυπτε το ύ-

ψος.


Εικ. 6. Ο χάρτης του Δικαίαρχου εγκαινιάζει το σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων που

χρησιμοποιείται και από τον Ερατοσθένη, μέχρι τον Ίππαρχο.

τών του, που ακολουθούν τον Αλέξανδρο. Ανάμεσα τους οι βασιλέως Αλεξάνδρου

ημεροδρόμοι και βηματιστές (Διόγνητος, Βαίτων, Αμύντας κ.ά.). Το μηχανικό της

στρατιάς αποτελείται από 7000 περίπου άνδρες εκτός από τους βηματιστές, αρχι-

τέκτονες, πολεοδόμους, γεφυροποιούς, μηχανικούς πολιορκητικών μηχανών κα-

θώς και τεχνίτες κάθε ειδικότητας (τσαγκάρηδες, μαραγκοί, σιδηρουργοί κλπ.). Το

υλικό που συγκέντρωσαν αυτοί οι άνθρωποι θα δώσει τροφή στα επόμενα χρόνια

και η τεχνολογία που αναπτύσσεται στη διάρκεια της εκστρατείας θα εμφανιστεί

στην ελληνιστική Αλεξάνδρεια.

Σύγχρονος του Αριστοτέλη, είναι ο πρώτος μεγάλος θαλασσοπόρος και εξερευ-

νητής ο Πυθέας ο Μασαλιώτης. Μέτρησε το γεωγραφικό πλάτος της Μασαλίας

και σταθμών του ταξιδιού του με γνώμονα. Σήμερα είναι πολλοί αυτοί που πιστεύ-

ουν ότι ο Πυθέας, όπως και ο σύγχρονός του Φίλων ο Γεωγράφος που κάνει με-

τρήσεις με γνώμονα στην Ερυθρά Θάλασσα και κατά μήκους του Νείλου, ξεκίνησε

το ταξίδι του με εντολή και χρηματοδότηση του Μεγάλου Αλεξάνδρου. Από τα

έργα του Γης περίοδος, που ίσως τα συνόδευαν χάρτες, και Τα περί Ωκεανού σώ-

θηκαν λίγα αποσπάσματα και αναφορές.

...το πλάτος ενός τόπου υπολογίζεται από μετρήσεις του ύψους του Πολικού

Αστέρα ή από μετρήσεις της σκιάς του Ήλιου με τον γνώμονα, ή από μετρήσεις

ζενιθίων γωνιών του Ήλιου το απόγευμα των ισημεριών, όταν οι ακτίνες του

Ήλιου είναι παράλληλες με τη διεύθυνση του Ισημερινού...


Εικ. 7. Ο χάρτης του Ερατοσθένη (Λιβιεράτος, 1998). Για να κατασκευάσει τον χάρτη του ο

Ερατοσθένης επινόησε το σύστημα των σφραγίδων η πλινθίων. Σχεδίαζε το περί-

γραμμα και το χάρτη ενός τόπου σύμφωνα με τις περιγραφές των βηματιστών, Φί-

λωνα, του Πυθέα και όλων των προγενεστέρων του περιηγητών και το τοποθετούσε

στο χάρτη του. Ως διευθυντής της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας είχε στη διάθεσή

του το σύνολο των επιστημονικών κειμένων της εποχής εκείνης.

Μαθητής του Αριστοτέλη και αποδέκτης των μετρήσεων των βηματιστών ήταν

ο Δικαίαρχος ο Μεσσήνιος. Δικαίαρχος ο Μεσσήνιος: Μαθητής του Αριστοτέλη.

Στα έργα του περιλαμβάνονται τα “γης περίοδος”, περιγραφή του κόσμου που

συνοδευόταν από χάρτη, και πραγματεία “καταμετρήσεις των εν Ελλάδι ορέων”.

Το σύστημα αναφοράς στους χάρτες του ήταν δύο ορθογώνιοι άξονες, διηρημένοι

σε στάδια, με αρχή την Ρόδο. Ο άξονας κατά μήκος, το διάφραγμα, ήταν μια πα-

ράλληλη γραμμή προς τον Ισημερινό που ένωνε τη Ρόδο με τις στήλες του Ηρα-

κλή. Ήταν για τον Δικαίαρχο η γραμμή ίσης διάρκειας της μεγαλύτερης μέρας.

Στον Δικαίαρχο αποδίδεται και η τιμή 300 000 στάδια, για τη γήινη περίμετρο, που

δόθηκε από τον Αρχιμήδη στο έργο του Ψαμμίτης.

Οι αρχαιότερες μετρήσεις των υψομέτρων των βουνών αναφέρονται στο Δικαί-

αρχο το Μεσσήνιο, στον Ερατοσθένη, στον Ποσειδώνιο και τον Ξεναγόρα. Φαίνε-

ται πως το πρόβλημα αυτό από την αρχή ήταν συνδεδεμένο με τη μέτρηση της

γήινης περιμέτρου και το σχήμα της γης. Ο Θέων ο Σμυρναίος αναφέρει ότι ο Δι-

καίαρχος και ο Ερατοσθένης ορίζουν ως 10 στάδια το μεγαλύτερο υψόμετρο των

βουνών της Ελλάδας. Σύμφωνα με τον Γέμινο, ο Δικαίαρχος εκτίμησε το ύψος της


Εικ. 8. Η σκάφη, μια εξελιγμένη μορφή γνώμονα που

χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης για τη μέτρηση της

ζενίθιας γωνίας του ήλιου. Πρόκειται για ημισφαίριο,

έναν ανεστραμμένο ουρανό, ακτίνας ίσης με το γνώ-

μονα που βρίσκεται στο κέντρο του. Στο εσωτερικό του

ήταν χαραγμένοι ομοαξονικοί κύκλοι, πάνω στους

οποίους η σκιά του γνώμονα έδινε τη ζενίθια γωνία

του ήλιου.

Κυλλήνης μικρότερο των 15 σταδίων και, κατά τον Πλίνιο, το ύψος του Πηλίου

λίγο μεγαλύτερο των 10.

Η Ελληνιστική περίοδος. Ο Ερατοσθένης, ο Ίππαρχος, ο Ήρων και ο Πτολεμαίος.

To 300 περίπου π.Χ. ιδρύεται στην Αλεξάνδρεια το περίφημο Μουσείο, ιερό

οικοδόμημα προς τιμήν των Μουσών και συγχρόνως επιστημονικό ίδρυμα. Το

ίδρυσε ο Πτολεμαίος ο Σωτήρας, ύστερα από υπόδειξη του Αθηναίου πολιτικού

Εικ. 9. Ο αστερίσκος. Προήλθε από τον γνώμονα σχήματος Γ που το χρησιμοποιούσαν οι

Έλληνες και άλλοι λαοί. Σε απλοϊκή μορφή το κατασκεύασε κάποιος Έλληνας μηχα-

νικός στην Αλεξάνδρεια των ελληνιστικών χρόνων για τη χάραξη καθέτων ευθειών

και εξελίχθηκε στη συνέχεια από τους Έλληνες. Στην αρχή αποτελούνταν από δύο

μεταλλικούς κανόνες σε σχήμα σταυρού, τοποθετημένους κατάλληλα πάνω σε στύλο.

Από κάθε άκρο του σταυρού κρεμόταν μια λιναίη. Η σκόπευση γινόταν με τη βοή-

θεια μιας κινητής λιναίης που κρατούσε ο παρατηρητής στο χέρι του. Στον πιο βελ-

τιωμένο του τύπο ο στύλος είναι τοποθετημένος έκκεντρα του σταυρού και το κέντρο

του σταυρού αντιστοιχεί στη θέση του ορόσημου. Είναι το γκρόμα που χρησιμοποι-

ούσαν οι Ρωμαίοι αγρομέτρες για τις διανομές και τις οριοθετήσεις των αγρών.


Εικ. 10. Τα όργανα του Ίππαρχου που περιγράφονται στη Μεγίστη του Πτολεμαίου. Από

αριστερά:

Η τετραπήχυς διόπτρα. Αστρονομικό όργανο για τη μέτρηση πολύ μικρών γωνιών,

ακατάλληλο για τοπογραφικές εφαρμογές, αποτελεί βελτίωση της ράβδου του Αρ-

χιμήδη. Ήταν μία ξύλινη ράβδος μήκους δύο μέτρων περίπου (τεσσάρων πήχεων)

με δύο πλακίδια στο πάνω μέρος. Το ακίνητο πλακίδιο, το “προσοφθάλμιο”, είχε

μια τρύπα στη μέση για τη σκόπευση. Το κινητό πλακίδιο όταν σκέπαζε τον ήλιο ή

τη σελήνη έδειχνε τη φαινόμενη γωνία. Το πλακίδιο αυτό αντικαταστάθηκε αργό-

τερα από ένα μεγαλύτερο, ώστε να περιέχει δύο μικρές τρύπες για τη σκόπευση ση-

μείων της περιφέρειας του ήλιου ή της σελήνης.

Η πλινθίς. Αποτελείται από ένα κομμάτι ξύλου ή μαρμάρου, σχήματος ορθογωνίου

παραλληλεπιπέδου. Στη μία πλευρά του χαράσσεται τεταρτοκύκλιο και βαθμονο-

μείται. Στο πάνω και κάτω άκρο του τεταρτοκυκλίου πακτώνονται δύο ξύλινοι

πείροι. Ο πάνω πείρος χρησιμοποιείται ως γνώμων, η σκιά του οποίου περιστρέ-

φεται πάνω στο βαθμολογημένο τεταρτοκύκλιο. Το όργανο προσανατολίζεται στη

διεύθυνση του βορρά και κατακορυφώνεται με τη βοήθεια νήματος της στάθμης

που κρέμεται από τον πάνω πείρο και ακουμπά ελαφρά τον κάτω. Το γεωγραφικό

πλάτος προκύπτει ως ο μέσος όρος των ενδείξεων της σκιάς του γνώμονα κατά το

θερινό και χειμερινό ηλιοστάσιο (ισημερία). Από την εξέλιξη του οργάνου αυτού

προέρχεται το τεταρτοκύκλιο ή τετράντας, ένα από τα κύρια γεωδαιτικά και α-

στρονομικά όργανα μέχρι τα σύγχρονα σχεδόν χρόνια.

Ο μεσημβρινός και ο ισημερινός κύκλος Όργανα που αποδίδονται στον Ίππαρχο,

είχαν εγκατασταθεί στο Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Ο ισημερινός κύκλος, προσα-

νατολισμένος ώστε να είναι παράλληλος με τον ισημερινό, έδειχνε την ώρα της ι-

σημερίας όταν η σκιά του κύκλου περνούσε από τα τέσσερα σημεία στη βάση του.

Ο μεσημβρινός κύκλος ήταν ένας κατακόρυφος βαθμονομημένος μπρούτζινος κρί-

κος με ένα δεύτερο ομόκεντρο και κινητό στο εσωτερικό του που έφερε δύο αντι-

διαμετρικά πλακίδια. Όταν ο ήλιος διέσχιζε το επίπεδο του οργάνου, ο εσωτερικός

δίσκος περιστρεφόταν ώστε η σκιά του ενός πλακιδίου να πέσει πάνω στο άλλο.

Έτσι προέκυπτε η γωνία ύψους του ήλιου. Αν το όργανο ήταν προσανατολισμένο

στο βορρά, από τις παρατηρήσεις του ήλιου κατά το θερινό και χειμερινό ηλιοστά-

σιο προέκυπτε το πλάτος του τόπου και η λόξωση της εκλειπτικής. Ο Πρόκλος α-

ντικατέστησε τα δύο πλακίδια με σύστημα σκόπευσης.


Εικ. 11. Αριστερά: Σχέδια διόπτρας από τα κείμενα του J. V. Venturi (il traguardo di er-

one, 1814) και A. J. H. Vincent (Extraits des manuscripts relatifs a la geometrie

partique des Grecs: Le traite de la dioptre de Heron d’ Alexandrie, 1858). Φαί-

νονται οι δύο παραλλαγές του οργάνου: Ως χωροσταθμικό όργανο στις δύο πρώτες

εικόνες (μία μορφή υδραυλικού χωροβάτη που το χρησιμοποιούσαν μαζί με σταδί-

α), και ως όργανο μέτρησης οριζοντίων και κατακορύφων γωνιών. Εντυπωσιακή

είναι η ύπαρξη των μικροβατικών κοχλίων στον οριζόντιο και κατακόρυφο δίσκο.

Η κατακορύφωση του οργάνου γινόταν με τη βοήθεια νήματος της στάθμης, όπως

φαίνεται στο πρώτο σχέδιο.

Δεξιά: Αναπαράσταση του οδομέτρου, όργανο τοποθετημένο σε τροχήλατο όχημα

που μετρά τον αριθμό των στροφών του τροχού και το μετατρέπει σε μονάδες μή-

κους.

και φιλοσόφου Δημητρίου Φαληρέως, που έφτασε το 307 εξόριστος στην Αλεξάν-

δρεια. Περιγράφεται από τους συγγραφείς της εποχής εκείνης ως ένα απέραντο

οικοδόμημα με πολλούς χώρους και στοές, με πολλά εργαστήρια εξοπλισμένα με

όργανα, με ξενώνες για να κοιμούνται και να τρώνε οι επιστήμονες και με μια με-

γάλη έκταση γεμάτη δένδρα για να περπατούν και να συζητούν και με την περίφη-

μη βιβλιοθήκη. Πρώτος διευθυντής ο Ευκλείδης, ο διασημότερος μαθηματικός

όλων των εποχών. Το έργο του Στοιχεία για πολλούς αιώνες υπήρξε το βασικό

κείμενο διδασκαλίας της γεωμετρίας στα σχολεία.

Ο Ερατοσθένης, για τον υπολογισμό της γήινης περιμέτρου, θεώρησε ότι οι πό-

λεις Συήνη και Αλεξάνδρεια βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό, μέτρησε το μεταξύ

τους τόξο και υπολόγισε την επίκεντρη γωνία. Το όργανο μέτρησης ήταν η σκάφη,

μια εξελιγμένη από τον Αρίσταρχο τον Σάμιο μορφή γνώμονα. Για τον χάρτη του,

ο Ερατοσθένης επινόησε το σύστημα των σφραγίδων ή πλινθίων. Σχεδίαζε το περί-

γραμμα ενός τόπου σύμφωνα με τις περιγραφές των ταξιδιωτών και των προγενε-

στέρων του γεωγράφων και το τοποθετούσε στον χάρτη του.


Εικ. 12. Ο χωροβάτης όπως περιγράφεται από τον Βιτρούβιο. Αποτελείται από έναν ξύλινο

κανόνα μήκους 5,9 μέτρων που τα άκρα του στηρίζονταν με δύο ποδοστάτες σχή-

ματος ορθογωνίου τριγώνου. Από τα άκρα του κανόνα κρέμονταν δύο νήματα της

στάθμης. Όταν ο κανόνας ήταν οριζόντιος τα νήματα αυτά συνέπιπταν με δύο κα-

τακόρυφες γραμμές χαραγμένες στους ποδοστάτες. Ο κανόνας έφερε αυλάκι στο

πάνω μέρος για νερό για τον έλεγχο της οριζοντίωσης.

Ένα από τα διασημότερα όργανα της εποχής αυτής είναι ο αστερίσκος, το περί-

φημο γκρόμα των Ρωμαίων. Το όργανο δεν είναι ούτε Αιγυπτιακό ούτε Ρωμαϊκό.

Είναι επινόηση Έλληνα μηχανικού και εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην Ελληνι-

στική Αλεξάνδρεια. Και η λέξη γκρόμα είναι ελληνική. Προέρχεται από τη λέξη

“γνώμα” που σημαίνει το κέντρο της πόλης, και από τους Ετρούσκους, οι οποίοι

στη θέση του ελληνικού ν έβαζαν το λατινικό r (ρ), έγινε γκρόμα.

Ο Ίππαρχος αναφέρει ότι η διαφορά του μήκους δύο τόπων υπολογίζεται από

τις διαφορές της τοπικής ώρας με τη βοήθεια των εκλείψεων της σελήνης. Για α-

κριβέστερες παρατηρήσεις κατασκεύασε βαθμολογημένα όργανα. Για την ανάλυ-

ση των παρατηρήσεών του επινόησε και θεμελίωσε την τριγωνομετρία. Κατα-

σκεύασε ουράνια σφαίρα, τοποθετώντας τα αστέρια που προσδιόριζε και επινόησε

τη στερεογραφική προβολή. Η προσφορά του στην κατασκευή μετρητικών οργά-

νων αναφέρεται από τους ιστορικούς ως Πτολεμαϊκή παράδοση που κυριαρχεί

μέχρι τον 17ο αι. Tα όργανά του αναφέρονται και περιγράφονται στη Μεγίστη Σύ-

νταξη του Πτολεμαίου, απ΄όπου τα ξέρουμε σήμερα.

Ένα μέρος των έργων του Ήρωνα του Αλεξανδρέως αποτελεί τον πυρήνα της

γεωδαιτικής γραμματείας του ελληνικού κόσμου. Η σημαντικότερη συμβολή του

στην Γεωμετρία είναι το έργο του Περί διόπτρας, το πρώτο εγχειρίδιο διοπτρικής,

της επιστήμης που ασχολείται με τις μεθόδους της πρακτικής γεωμετρίας σε συν-


Εικ. 13. Tο τριγωνικόν (triquertum) ή πα-

ραλλακτικός κανών, ή κανόνας του Πτολε-

μαίου, είναι όργανο μέτρησης κατακορύφων

γωνιών και θεωρείται επινόηση του Πτολε-

μαίου. Είναι σχεδιασμένο ειδικά, ώστε να

ξεπεραστεί το πρόβλημα βαθμονόμησης κυ-

κλικών τόξων. Αποτελείται από δύο ράβδους

ίδιου μηκους, δύο μέτρων περίπου (σταθερού

μήκους τεσσάρων πήχεων), αρθρωμένες στο

ένα τους άκρο. Η μία από τις ράβδους αυτές

είναι σταθερή και κατακόρυφη (η κατακορυ-

φότητά της εξασφαλίζεται με το νήμα της

στάθμης) και βαθμονομημένη (υποδιαιρείται

σε 60 ίσα μέρη). Η άλλη περιστρέφεται γύρω

από το σημείο άρθρωσης πάνω στο επίπεδο που σχηματίζουν, φέρει σύστημα σκόπευσης και

η ελεύθερη άκρη της ολισθαίνει πάνω σε τρίτη ράβδο. Η τρίτη αυτή ράβδος είναι αρθρωμένη

στη βάση της κατακόρυφης και αποτελεί τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου που σχηματίζεται.

Η σκόπευση σημειώνεται στην τρίτη ράβδο και η τιμή της (το μήκος της βάσης του ισοσκε-

λούς τριγώνου) λαμβάνεται από την προβολή της πάνω στις υποδιαιρέσεις της κατακόρυφης.

Από την επίλυση του ισοσκελούς τριγώνου με τη βοήθεια πινάκων χορδών, υπολογίζεται η

κατακόρυφη γωνία σκόπευσης.

Εικ. 14. Ο (σφαιρικός) αστρολάβος. Το σημα-

ντικότερο από τα όργανα που χρησιμοποιεί ο

Πτολεμαίος, και πιθανώς να χρησιμοποιείται

από τα χρόνια του Ίππαρχου, για τη μέτρηση

των θέσεων των αστέρων. Όργανο σύνθετο

αποτελούμενο από επτά ομόκεντρος κρίκους,

χρησιμοποιήθηκε σε διάφορες παραλλαγές μέχρι

τα χρόνια του Tycho Brahe. Οι δύο ακίνητοι

κύκλοι ήταν ο κατακόρυφος, που τον τοποθε-

τούσαν στη διεύθυνση του μεσημβρινού του

τόπου όπου γινόταν η παρατήρηση, και ο εκλει-

πτικός, κάθετος και ίσος με τον κατακόρυφο και

σταθερά συνδεμένος με αυτόν. Οι κινητοί κύ-

κλοι ήταν και αυτοί δύο και στηρίζονταν στους

δύο πόλους του εκλειπτικού, γύρω από τους

οποίους περιστρέφονταν: o εσωτερικός κύκλος,

εντός του κατακορύφου και του εκλειπτικού και ο εξωτερικός που περιελάμβανε τους δύο

ακίνητους. Ο εσωτερικός περιελάμβανε και άλλον δακτύλιο, κείμενο στο ίδιο επίπεδο και

κινητό γύρω από το κοινό τους κέντρο. Ο δακτύλιος αυτός έφερε δύο αντιδιαμμετρικά συστή-

ματα σκόπευσης. Το σύστημα αυτό ήταν προσαρμοσμένο μέσω δύο σημείων, ώστε να περι-

στρέφεται γύρω από αυτά, πάνω σε δύο ομόκεντρους και συνεπίπεδους κρίκους προσανατο-

λισμένος στη διεύθυνση του μεσημβρινού. Ο εξωτερικός κύκλος ήταν σταθερός ενώ ο εσωτε-

ρικός, κινητός γύρο από κέντρο, έδινε την τιμή του γεωγραφικού πλάτους της σκόπευσης.


δυασμό με τη χρήση της διόπτρας, σημαντικού οργάνου εκείνης της εποχής, ανά-

λογου με το σημερινό θεοδόλιχο. Το σύγγραμμά του Περί διόπτρας αποτέλεσε το

εγκόλπιο του γεωδαίτη στην Ευρώπη μέχρι τον 16ο αι. Περιγράφει την διόπτρα,

ένα όργανο μέτρησης γωνιών και υψομετρικών διαφορών. Διατυπώνει και δίνει τη

λύση σε μια σειρά από τοπογραφικά προβλήματα, που περιλαμβάνουν μεθόδους

μέτρησης αποστάσεων, επιφανειών, υψομέτρων, βαθών, μεθόδους χάραξης σή-

ραγγας, αναδασμού κλπ. Αναλύει μια τεχνική μέτρησης−υπολογισμού της από-

στασης μεταξύ δύο τόπων, χρησιμοποιώντας τη διαφορά ώρας μιας έκλειψης και

αναφέρεται στην απόσταση Αλεξάνδρειας-Ρώμης. Περιγράφει το οδόμετρο για τη

μέτρηση αποστάσεων στην ξηρά αλλά και στη θάλασσα.

Ο χωροβάτης είναι ένα άλλο ελληνικό όργανο, που λαθεμένα αποδίδεται στους

Ρωμαίους επειδή περιγράφεται από τον Βιτρούβιο. Η λέξη χωροβάτης συναντάται

Εικ. 15. Βυζαντινός αστρολάβος του 11ου από ορείχαλκο, βρέθηκε στη Μπρέσα, στη βόρεια

Ιταλία (Περιοδικό Αρχαιολογία, τεύχος 74).


(χωροβατώ) σε ελληνικό κείμενο του 248 π.Χ. Στη συνέχεια σε ελληνική μετά-

φραση της Παλαιάς Διαθήκης του 200 π.Χ., όπου περιγράφεται η διανομή της γης

από τον Ιησού του Ναυή στις φυλές του Ισραήλ. Στο Περί Διόπτρας του Ήρωνα

χρησιμοποιείται ο όρος χωροστάθμηση. Ο Θέων ο Αλεξανδρεύς αναφέρει ότι ο

διαβήτης, δηλαδή το αλφάριον μοιάζει με τον χωροβάτη του Κάρπου του Αντιοχέα

(αρχές του 2ου αι. π.Χ).

Ο Πτολεμαίος θεωρείται ο τελευταίος μεγάλος των Ελλήνων. Στο έργο του

Μαθηματική Σύνταξις περιγράφει 7 όργανα, από τα οποία το τριγωνικόν και ο

σφαιρικός αστρολάβος είναι δικά του και τα υπόλοιπα τα αποδίδει στον Ίππαρχο.

Η Γεωγραφική Υφήγησίς του, από τα διασημότερα και τελευταία έργα της ελληνι-

κής αρχαιότητας, αποτελεί την αρχή της προβολικής χαρτογραφίας, με το γεωγρα-

φικό μήκος και πλάτος 8000 περίπου τόπων, και με οδηγίες για την κατασκευή

χαρτών από τον ίδιο και τους μεταγενεστέρους του.

Το διασημότερο όργανο στην ιστορία των οργάνων μέτρησης είναι ο (επίπεδος)

αστρολάβος, όργανο που χρησιμοποιήθηκε έως και τον 17ο αιώνα. Η αρχή της

κατασκευής του ανάγεται στον Ίππαρχο. Βασίζεται στο ανάλημμα, τη στερεογρα-

φική προβολή, την απεικόνιση σφαίρας πάνω σε επίπεδο κατά τέτοιο τρόπο ώστε

να διατηρούνται οι γωνίες και οι αναλογίες των μηκών. Είναι το αποκορύφωμα της

ελληνικής τεχνολογίας, μια μεγαλειώδης σύλληψη της εποχής εκείνης.

Αντί επιλόγου Τέλος, αντί επιλόγου, η παράγραφος με την οποία κλείνει ο Τζίνο Λόρια στην

Ιστορία των Μαθηματικών του, το μέρος εκείνο που αφορά στην μεγάλη προσφο-

ρά των Ελλήνων. Ένα κείμενο που περιγράφει ακριβώς ότι έμελε να συμβεί χίλια

χρόνια μετά τον Πτολεμαίο και στην περίπτωση της ιστορίας των τοπογραφικών

και των γεωδαιτικών μεθόδων και των οργάνων: Οι σπόροι που έριξαν οι κορυφαί-

οι επιστημονικοί μας προπάτορες, αν και θάφτηκαν κάτω από την παχειά τέφρα τό-

σων αιώνων, δεν έχασαν τίποτα από τη γονιμοποιό τους δύναμη, αλλά όπως θα δού-

με στη συνέχεια της ιστορίας μας, αυτό που για χίλια περίπου χρόνια έδινε την εντύ-

πωση ενός πτώματος σε αποσύνθεση, ήταν προωρισμένο να δώσει νέα ζωή σε όντα

γεμάτα σφρίγος, επιβεβαιώνοντας τον αιώνιο φυσικό νόμο, ότι η ζωή έλκει την προ-

έλευσή της από το θάνατο.


Βιβλιογραφία Boyd, T. D. and M. H. Jameson (1981): Urban and Rular Land Division in Ancient Greece.

Hesperia, Vol. 50, pp. 327-342

Cajori, F. (1927): History of determinations of the heights of mountains. Isis, 9, pp. 482-

514.

Cuomo, S. (2000): Pappus of Alexandria and the Mathematics of Late Antiquity. Cam-

bridge University Press.

Cuomo, S. (2001): Ancient Mathematics. Rutledge.

Dilke, O.A.W. (1985): Greek and Roman Maps. The Johns Hopkins University Press.

Diller, A. (1949): The Ancient Measurements of the Earth. Isis 40, pp. 6-9.

Drachman, A. G. (1950): A detail of Heron’s Dioptra. Centaurus 13, pp. 241-247.

Hoskold, H. D. (1893): Historical notes upon ancient and modern Surveying Instruments.

Transactions of the American Society of Civil Engineers, Vol. 30, Νο. 639, pp. 135-

156.

Kiely, E. (1947): Surveying Instruments. Their History. Carben Surveying Reprints.

Λαμπαδάριος Δ. (1928): Η Γεωδαισία παρ’ αρχαίοις Έλλησιν. Πρακτικά της Ακαδημίας

Αθηνών, Τόμος 4ος, σελ. 187-204.

Langaster-Jones, E. (1927): Criticism of Heron’s Dioptra. The Geographical Journal, vol.

69.

Lewis, M. J. T. (2001): Surveying Instruments of Greece and Rome. Cambridge University

Press.

Λιβεράτος, Ε. (1997): Η τεχνολογία της Αρχαίας Ελληνικής Χαρτογραφίας. Πρακτικά Α’

Διεθνούς Συνεδρίου «Αρχαία Ελληνική Τεχνολογία», Θεσσαλονίκη.

Λιβιεράτος, Ε. (1998): Χαρτογραφίας και χαρτών περιήγησις. 25 αιώνες από τους Ίωνες

στον Πτολεμαίο και τον Ρήγα. Εθνική Χαρτοθήκη.

Loria, G. (1971): Ιστορία των μαθηματικών. Έκδοση Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Lyons, H. (1927): Ancient Surveying Instruments. The Geographical Journal, vol. 69, pp.

132-143.

Νικολαίδης, Θ. (2000): Η μέτρηση του χρόνου στο Βυζάντιο. Αρχαιολογία & Τέχνες 75,

σελ. 16-22.

Rayner, W. H. (1939): Surveying in Ancient Times. Civil Engineering, Vol. 9, pp. 661-664.

Ρωσσικόπουλος, Δ. (2005): Μέτρον Γεωμετρικόν. Η ιστορία των επιστημών της αποτύπω-

σης. Εκδόσεις Ζήτη (υπό έκδοση).

Singer, Ch., E. J. Holmyard, A. R. Hall and T. I. Williams, eds. (1956): A History of Tech-

nology, Vol. III. From the Renaissance to the Industrial Revolution. Oxford University

Press.

Σώκος, Α (1968): Γεωδαισία και Γεωμετρογραφία. Γεωμετρογραφικαί μελέται – Εκδόσεις.

Documents

Από τον Όμηρο στον Πτολεμαίο. Αναδρομή στα πρώτα όργανα γεωμετριας