אינטרפולציה הצגת לגרנז

אנליזה נומרית, סמסטר ב' תשס"ד 1

אנליזה הקדמה-נומרית ;אינטרפולציה

' לגרנז של אינטרפולציה


אינטרפולציה (Interpolation)

-הקדמה. הקלאסית הנומרית האנליזה של ליבה לב היא האינטרפולציה תורת

, : ופתרון) אינטגרציה גזירה כמו אחרים בשטחים נומריות שיטות) . , זה נושא על מבוססות דיפרנציאליות משוואות

: האינטרפולציה בתורת המרכזי הרעיון, נקודות בקבוצת ערכיה ידועים אשר פונקציה נתונה תהי

נתונים כלומרנקראת זו " הצגה טבלה ע .הצגה

הפונקציה ערך את לקרב היא האינטרפולציה מטרתהערך שאינןבנקודות בין לשגיאה חסם ולמצוא בטבלה נתונות

. נקודה בכל האמיתי לערכה הפונקציה של המקורב

)(xf)(,),(),(),( 210 nxfxfxfxf

)(xf


אינטרפולציה –הקדמה, המשך

, " פונקציה י ע את לקרב היא בה שננקוט הגישהנתונה נקודות בקבוצת עם מתלכדת אשר

)(xf)(xL)(xf

),(,),,(),,(),,.( 221100 nn yxyxyxyx

המקרבת הפונקציה בו במקרה נטפל אנו זה בקורס. פולינומיאלית פונקציה היא

שהטיפול כיוון יעילים הם פולינומיאליים קירובים כי נעיר , , קל הנו ואינטגרציה גזירה חישוב מבחינת בפולינום

. יחסי באופן

)(xL


אינטרפולציה :הרעיון המרכזי - סיכום

ערכים טבלת בצורת פונקציה נתונה

0x 1x nx

0y 1y ny

. במישור, שונות נקודות נתונות כלומרביותר , , הנמוכה מהמעלה פולינום לבנות רוצים

: שיתקיים כך

1n)(xL

nkyxL kk ,,1,0,)()1(


הרעיון המרכזי – סיכום, המשך

נקודות, דרך עובר אשר פולינום לבנות רוצים כלומרבמישור.

1n

שאלות:

)1 ? " ל כנ פולינום קיים האם)2 , " ביותר הנמוכה הדרגה מהי ל כנ פולינום קיים אם

שלו ? האפשריתלפולינום ?3( אלגברית הצגה למצוא ניתן האםשגיאת , , 4( מהי בטבלה שאיננה נקודה בהינתן

הקירוב ?

)(xL

x̂)ˆ()ˆ( xLxf


אינטרפולציה של לגרנז'

. אינטרפולציה פולינום לבנות האפשרויות אחת את נראה כעתנקראת זו 'הצגה לגרנז של .ההצגה האינטרפולציה לפולינום


אינטרפולציה של לגרנז' - מקרה כללי

פולינום של ויחידות קיום משפטהאינטרפולציה

: n+1בהינתן ) במישור ( נקודות

שמתקיים ממעלהיחידפולינום קיים כך

),(,),,(),,( 1100 nn yxyxyx

)(xLnn

nkyxL kkn ,,1,0,)(

),( 00 yx

),( kk yx

),( nn yx


הוכחת קיום פולינום האינטרפולציה של לגרנז'

הסטנדרטי הבסיס את לקחת למרחב במקוםהפולינומים

בצורה האינטרפולציה לנקודות הקשור ספציפי בסיס נבנההבאה:

},,,1{ 2 nxxx

)())((

)())(()(

)())(())((

)())(())(()(

)())((

)())(()(

)())((

)())(()(

110

110

1110

1110

12101

201

02010

210

nnnn

nn

nkkkkkkk

nkkk

n

n

n

n

xxxxxx

xxxxxxxl

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxl

xxxxxx

xxxxxxxl

xxxxxx

xxxxxxxl

נקראים “ אלה של פולינומים היסודיים האינטרפולציה פולינומי”לגרנז'

xRn


המשך הוכחת קיום

בכתיבה מקוצרת:

n

kjj jk

jk xx

xxxl

0 )(

)()(

כי ברורמתקיים

kj

kjxl kjjk ;1

;0)(

הערה: ' בסיס מהווה לגרנז של היסודיים הפולינומים קבוצת

הו ממעלה ) ולמרחב הממשיים הפולינומים מרחב ) קטורי nkk xl 0)(

xRnn


קיום הוכחת המשך

: בפולינום נתבונן כעת

: מתקיים כן וכמו ממעלה פולינום זהו

)()()()()(0

1100 xlyxlyxlyxlyxLn

kkknnn

kknnkkkkkkn yxlyxlyxlyxlyxL 010

11

0

00 )()()()()(

, , אינטרפולציה , פולינום מעשי באופן כן אם בנינו

בצורת“ האינטרפולציה פולינום

לגרנז’” . ל. ש מקיום

n

nkyxLכלומר, kkn ,,1,0,)(

n

kkkn xlyxL

0

)()(

הנקרא


הוכחת יחידותבשלילה קיימים נניח שוניםפולינומים 2כי

על אינטרפולציה מבצעים ששניהם ממעלההנקודות :

כלומר

- ” ב מתלכדים ל הנ הפולינומים שני , n+1אזי ולכן נקודותביניהם ההפרש

אשר ממעלה פולינום הואב - , n+1מתאפס ממעלה לפולינום כלומר נקודות

לפחות היסודי n+1יש למשפט בסתירה וזה שורשים. האלגברה של

כלומר) כן אם אלא

להנח בסתירה . (ת השלילהוזה

)(-ו)( xPxQ nn

n

),(,),,(),,(),,.( 221100 nn yxyxyxyx

nkyxQxP kknkn ,,1,0,)()(

)()()( xQxPxR nnn n)(xRnn

0)()()( xQxPxR nnn)()( xQxP nn

. ל. ש מיחידות


דוגמא להצגת לגרנג' של פולינום האינטרפולציה

x 1 4 9

y 1 2 3

)9)(4(24

1

)91)(41(

)9)(4()(0

xxxx

xl

: הטבלה נתונה תהי

ממעלה אינטרפולציה פולינום 2נבנה

)()()()( 2211002 xlyxlyxlyxL

: ' לטבלה המתאימים לגרנז של היסודיים הפולינומים את נחשב

xy


המשך דוגמא להצגת פולינום האינטרפולציה של לגרנז’

)4)(1(

40

13)9)(1(

15

12)9)(4(

24

11)(2 xxxxxxxL

: כך יראה זה פולינום הסטנדרטית 2בצורה2 60

1

12

5

5

3)( xxxL

)9)(1(15

1

)94)(14(

)9)(1()(1

xxxx

xl

)4)(1(40

1

)49)(19(

)4)(1()(2

xxxx

xl

: נקבל" האינטרפולציה פולינום בנוסחת הצבה י ע


תרגיל: " מסדר , אינטרפולציה קירוב י ע את .2חשבו

פתרון:בדוגמא אינטרפולציה פולינום חישבנו עבורה הטבלה כי נעיר

לפונקציה מתאימה הקודמתכי הראינו

3

xxf )(

22 60

1

12

5

5

3)()( xxxLxxf

: מתקיים ולכן

7.110

173

60

13

12

5

5

3)3(3 2

2 L


המשך תרגיל:

ניתן , לערך יותר טוב קירוב להשיג מנת על כי נעיר- מ גדולה ממעלה אינטרפולציה בפולינום .2להשתמש

3


שגיאת האינטרפולציהתזכורת

: רול משפטאם . בקטע וגזירה בקטע רציפה תהי

. - ש כך ביניים נקודת קיימת אזי)(xf),( ba ba,)()( bfaf

ba 0)( f

: המוכלל רול משפטהנגזרת ( עבור) כי נניח בקטע רציפה תהי

בקטע . נקודה בכל קיימתכי נניח כן כמו

ביניים נקודת קיימת אזי עבור - ש כך

2n)(xf ba,)()1( xf n

),( ba

0)()()( 21 nxfxfxf bxxxa n 21nxx 1

0)(. )1( nf


משפט בדבר שגיאת האינטרפולציה

בו וגזירה בקטע מוגדרת אשר פונקציה n+1תהיבהינתן. נסמן n+1פעמים שונות נקודות

בנקודות - - ל האינטרפולציה פולינום את באלה ,

’ ששגיאת כך ביניים נק קיימת כל עבור אזי: הבאה להצגה ניתנת בנקודה האינטרפולציה

)(xf ba, baxxx n ,,,, 10 xLn

)(xf

bax ,x

)())(()!1(

)()()()1( 10

)1(

n

n

n xxxxxxn

fxLxf

כאשר},,,,max{},,,,min{ 1010 nn xxxxxxxx


הוכחת המשפט בדבר שגיאת האינטרפולציה

' א ההוכחה מקרה אז אםטריוויאלית.

הפונקציה , עם מתלכד האינטרפולציה פולינום זה במקרהכלומר

של ימין ואגף(1המשוואה )

כי . הוא אף מתאפס

' ב כי מקרה נניח

- את המקיימת כלשהי קבועה נקודה כאל ל נתייחס. דלעיל התנאי

: עזר פונקצית נגדיר

kxxnk 1,0,...,עבור

nkxxx k ,..2,1,0,

)())(()()()()3( 10 nn xxxxxxxLxfxF

0)()()2( kkknk yyxLxf

0 kkk xxxx

x

. חופשי פרמטר כאשר


המשפט הוכחת המשךכי - ) נתון ב נגזרות בעלת היא הפונקציה

מתקיים

)(xF1n),( ba

0)(...)()()4( 10 nxFxFxF

)())((

)()()5(

10 n

n

xxxxxx

xLxf

)(xf

בקטע - n+1גזירה ממעלה פולינומים הם ב הגורמים ושאר פעמיםבקטע גזירים מסדר , n+1ולכן הנגזרת מכך יתרה של n+1פעמים

מתקיים מתאפסת וכן

! בהמשך– , בהן נשתמש חשובות אלו )עובדות

)(xF1n

משוואה) ) מקודם( (2ראולפחות( 4ממשוואה ) יש לפונקציה כי למדים אנו

שורשים.שיתקיים כך כלומר: , נבחר

)(xF1n 0)(4 xFa

xLn

!1)()())(( )1(10 nxxxxxxx n

n


המשך ההוכחה

יש שלפונקציה נקבל של זו ספציפית בחירה עבור n+2 והם בקטע שורשים

נקודה קיימת המוכלל רול משפט לפי

ש . כך

משוואה” של גזירה י : (3)ע נקבל ) ( קודם שציינו בעובדות ושימוש

)(xF],[ ba

0)()1( nF

)!1()()(0

)!1()()()1()1(

)1()1(

nfF

nxfxFnn

nn

xxxx n ,,,, 10

},,,,max{},,,,min{ 1010 nn xxxxxxxx


המשך ההוכחה

- )5ממשוואות ) כי( :6ו( נובע

nn

n xxxxxxn

fxLxf

10

)1(

!1

)()()(

. ל. ש מ

!1

)()6(

)1(

n

f n נובע : מכאן


בנוסחת שימוש לגבי הערותהשגיאה

•( - ב להשתמש מנת( 1ניתן ’ את להעריךעל בנק השגיאהספציפית

:כאשר

x

)())((

)!1(

,)()( 10

1n

nn xxxxxx

n

MxLxf

)(max, )1(1 xfM n

xn

},,,,max{,},,,,min{ 1010 nn xxxxxxxx


, השגיאה בנוסחת שימוש לגבי הערותהמשך

הערכה לקבל מנת בקטע על המקסימלית לשגיאה

בנוסחה להשתמש ניתן

המשוואה )• מעשי לקבל( 1באופן לשגיאה מאפשרת חסםבלבד.

) . בפועל ) מהשגיאה גדול זה חסם כלל בדרך

)())((max

)!1(

,)()(max 10

1n

bxa

nn

bxaxxxxxx

n

MxLxf

],[ ba



דוגמא

22 60

1

12

5

5

3)( xxxL

הטבלה עבור כי ראינול” הנ

x 1 4 9

1 2 3x

המתאים האינטרפולציה פולינום: הוא ממעלה

2

בנקודה עריךנ( א :)נקודת אינטרפולציה (השגיאה 3x

4

3934313

!3

9,1)3(3)3( 3

22 M

LE

8

3

8

3max)(max9,1

291

)3(

913

xxxfM

xx

93,9,4,1max,13,9,4,1min


דוגמא המשך

בקטע עריךנ( ב המקסימלית :האינטרפולציה השגיאה

25.2941max!3

9,1)()(max

91

3

91

max2

xxx

MxLxfE

xn

x

3649149)-4)(-1)(-()( 233 xxxxxxx

9,1

נסמן:

בקטע : ל מקסימום 3)(נחפש x 9,1

312,7049283)( 21

23 xxxxx

25.236!38

39,136)7()(max max

23391

Exx


המשך דוגמא

1 9

)(xf

)(2 xL


’ לפולינום - לגרנז הצגת סיכוםהאינטרפולציה

n

kjj jk

jk xx

xxxl

0 )(

)()(

)()()()()(0

1100 xlyxlyxlyxlyxLn

kkknnn

של יסודיים פולינומים:לגרנז’

של האינטרפולציה פולינום הצגת:לגרנז’


סיכום- הצגת לגרנז', המשך

’ נק בכל האינטרפולציה :xשגיאת

)())(()!1(

)()()( 10

)1(

n

n

nn xxxxxxn

fxLxfxE

},,,,max{},,,,min{ 1010 nn xxxxxxxx



הערכת השגיאה בנק' אינטרפולציהתהי נק' אינטרפולציה אזי:

כאשר:

)())((

)!1(

,)()( 10

1n

nnn xxxxxx

n

MxLxfxE

)(max, )1(1 xfM n

xn

x




הערכת השגיאה המקסימלית בקטע :נניח כי אנו מבצעים אינטרפולציה ע"י הנקודות

השגיאה המקסימלית בקטע

כאשר:

)())((max

)!1(

,)()(max, 10

1maxn

bxa

nn

bxan xxxxxx

n

MxLxfbaE

baxxxxxxxxx nn ,,,,,,max,,,,,min 1010

ba,

nxxx 10


אינטרפולציה - הצגת לגרנג'

תרגיל נוסף


תרגיל

תהי

א) מצאו את פולינום האינטרפולציה לפי לגרנג', הבנוי על הנק'

וחשבו באמצעותו קירוב ל- .

ב) נצלו את הנוסחה לשגיאת האינטרפולציה ומצאו חסם עבור השגיאה . השוו עם השגיאה בפועל.

ג) עם איזה דיוק ניתן לחשב את באמצעות בקטע

xxf

2sin

1,31,3

1,1 X 0f

00 3Lf

xf xL3 1,1?


פתרון תרגיל

א) הטבלה המתאימה לפונקציה ולקב' הנקודות

היא

נשתמש בנוסחאות:

xxf

2sin

1,31,3

1,1 X

-1

-1

ix

iy

31 3

1 1

21 2

1 1

)()(3

03 xlyxL

kkk

3

0 )(

)()(

kjj jk

jk xx

xxxl


פתרון תרגיל, המשךונקבל:

xxxxx

xxxxxx

xxxxlyxL

xl

y

xl

y

xl

y

xl

ykkk

16

25

16

9

3113

11113

13

111

131

31

3113

1

1311

21

131

31

3113

1

1311

21

113113

11

131

31

1)()(

3

3

03

3

3

2

2

1

1

0

0


פתרון תרגיל, המשך

קיבלנו, אם כן

ולכן

כמו כן מתקיים:

ולכן שגיאת האינטרפולציה האמיתית בנקודה היא:

xxxL16

25

16

9)( 3

3

0016

250

16

9)0( 3

3 L

00sin02

sin0

f

0x

000000 33 LfE



ב) נשתמש בנוסחה המאפשרת חסם לשגיאת האינטרפולציה בנקודה :

)())((

)!1(

,)()( 10

1n

nnn xxxxxx

n

MxLxfxE

)(max, )1(1 xfM n

xn


x



במקרה שלנו, עבור :

לכן:

9

1

!4

1,1

103103

1010!4

1,1000

4

433

M

MLfE

1}1,31,3

1,1,0max{,1}1,31,3

1,1,0min{

0x



נחשב את : xfMx

4

114 max1,1

4

4

3

2

22sin

22cos

22sin

22cos

2sin

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf


פתרון תרגיל, המשךלכן,

נחזור להערכת השגיאה:

השגיאה האמיתית כזכור

כלומר, קיבלנו נקודה נוספת לנקודות האינטרפולציה.

16162

sinmaxmax1,14

1

4

11

4

114

xxxxxfM

028.0

9!4169

1

!4

1,1000

44

33

M

LfE

0000 33 LfE



ג) נעריך את השגיאה המכסימלית בקטע האינטרפולציה :

חישבנו מקודם:

נחשב כעת:

1,1

xwM

xEExx

41,1

43

11

max3 max

!4

1,1max1,1

131

3114 xxxxxw

16

1,14

4

M

xww

x4

1,14 max



נמצא מקסימום מוחלט של הפונקציה בקטע

נקודות קריטיות פנימיות:

נקודות קצה:

xw4 1,1

9

54

9

204

9

1

9

1013

13

11

234

244

xxxxxw

xxxxxxxw

3

5,00

9

540 2

4

xxxxxw

1x



מכאן:

81

16

3

5max

9

10

81

16

3

5

01

441,1

4

4

4

wxw

w

w

w

x

05.081

16

!416max1,1

4

311

max3

xEE

x

Documents

אינטרפולציה הצגת לגרנז