84
Περί Απείρου Από τον Foibos100 ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ Ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Αναξίμανδρος (6 ος αιώνας π.Χ.) ήταν ο πρώτος που εισήγαγε στη φιλοσοφία την έννοια του απείρου από το στερητικό α και το ουσιαστικό πέρας, δηλαδή αυτό που δεν έχει πέρας, το απεριόριστο. Το θεώρησε σαν την αρχή του Κόσμου: «αρχή των όντων… από το οποίο έγιναν όλοι οι ουρανοί και οι κόσμοι.» και το προσδιόρισε σαν αγέννητο, άφθαρτο και αθάνατο και σαν ύλη που περιέχει τα πάντα. Από αυτό απορρέουν το "ψυχρόν" και το "θερμόν", από την ανάμιξη των οποίων παράγεται το Ύδωρ και από αυτό στη συνέχεια τα υπόλοιπα Στοιχεία: Γη, Αέρας και Φωτιά Από τον Αέρα και τη Φωτιά σχηματίζονται στη συνέχεια τα άστρα του ουρανού. Ο Αναξίμανδρος θεωρούσε έτσι το άπειρο σαν ισοδύναμο του αρχέγονου Ησιόδειου κοσμογονικού Χάους από το οποίο προήλθαν όλα τα όντα και η ύπαρξη. Οι Πυθαγόρειοι τώρα δεν ενδιαφέρθηκαν ιδιαίτερα για το άπειρο. Γι’ αυτούς τα πάντα ήσαν μετρήσιμοι αριθμοί. Θεωρούσαν μάλιστα το άπειρο ατελές σε σχέση με το πεπερασμένο (πέρας). Το μέγιστο ενδιαφέρον τους εστιάστηκε στην ανακάλυψη των λόγων ή κρυμμένων αρμονιών που, όπως πίστευαν, διέπουν όλα τα πράγματα, όπως π.χ. οι μουσικές αναλογίες 2 : 3 (διαπέντε) , 3 : 4 (διατέσσερα) και 1 : 2 (οκτάβα). Ο Αρχιμήδης ενδιαφέρθηκε επίσης έντονα με το γεγονός ότι ο όγκος ενός κυλίνδρου βρίσκεται σε ακριβή αναλογία 3 : 2 ως προς την εγγεγραμμένη σε αυτόν σφαίρα. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι για να γίνουν κατανοητά τα πράγματα, έπρεπε να βρεθούν αυτές οι ακριβείς αριθμητικές σχέσεις (λόγοι ακεραίων αριθμών) ή αναλογίες που τα διέπουν. Συνταράχτηκαν όμως από την ανακάλυψή τους των λεγόμενων ασύμμετρων ή άρρητων μεγεθών και αριθμών, όπως π.χ. η τετραγωνική ρίζα του δύο (√2), που είναι η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά 1. Εδώ δεν έχουμε πια αρμονικούς λόγους ακεραίων αριθμών, αλλά παράξενους ατελείς λόγους, χωρίς ακριβή τιμή, οι οποίοι προσεγγιστικά μόνον μπορούν να νοηθούν και των οποίων, δυστυχώς για τους Πυθαγορείους, η κατανόηση προϋποθέτει ένα σαφή ορισμό και κατανόηση του «ατελούς» γι’ αυτούς απείρου.

Περί Απείρου

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Διατριβή περί απείρου

Citation preview

Page 1: Περί Απείρου

Περί ΑπείρουΑπό τον Foibos100

ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ

Ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Αναξίμανδρος (6ος αιώνας π.Χ.) ήταν ο πρώτος που εισήγαγε στη φιλοσοφία την έννοια του απείρουαπό το στερητικό α και το ουσιαστικό πέρας, δηλαδή αυτό που δεν έχει πέρας, το απεριόριστο. Το θεώρησε σαν την αρχή του Κόσμου:«αρχή των όντων… από το οποίο έγιναν όλοι οι ουρανοί και οι κόσμοι.» και το προσδιόρισε σαν αγέννητο, άφθαρτο και αθάνατο και σαν ύλη που περιέχει τα πάντα. Από αυτό απορρέουν το "ψυχρόν" και το "θερμόν", από την ανάμιξη των οποίων παράγεται το Ύδωρ και από αυτό στη συνέχεια τα υπόλοιπα Στοιχεία: Γη, Αέρας και Φωτιά Από τον Αέρα και τη Φωτιά σχηματίζονται στη συνέχεια τα άστρα του ουρανού.

Ο Αναξίμανδρος θεωρούσε έτσι το άπειρο σαν ισοδύναμο του αρχέγονου Ησιόδειου κοσμογονικού Χάους από το οποίο προήλθαν όλα τα όντα και η ύπαρξη.

Οι Πυθαγόρειοι τώρα δεν ενδιαφέρθηκαν ιδιαίτερα για το άπειρο. Γι’ αυτούς τα πάντα ήσαν μετρήσιμοι αριθμοί. Θεωρούσαν μάλιστα το άπειρο ατελές σε σχέση με το πεπερασμένο (πέρας). Το μέγιστο ενδιαφέρον τους εστιάστηκε στην ανακάλυψη των λόγων ή κρυμμένων αρμονιών που, όπως πίστευαν, διέπουν όλα τα πράγματα, όπως π.χ. οι μουσικές αναλογίες 2 : 3 (διαπέντε) , 3 : 4 (διατέσσερα) και 1 : 2 (οκτάβα). Ο Αρχιμήδης ενδιαφέρθηκε επίσης έντονα με το γεγονός ότι ο όγκος ενός κυλίνδρου βρίσκεται σε ακριβή αναλογία 3 : 2 ως προς την εγγεγραμμένη σε αυτόν σφαίρα. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι για να γίνουν κατανοητά τα πράγματα, έπρεπε να βρεθούν αυτές οι ακριβείς αριθμητικές σχέσεις (λόγοι ακεραίων αριθμών) ή αναλογίες που τα διέπουν.

Συνταράχτηκαν όμως από την ανακάλυψή τους των λεγόμενων ασύμμετρων ή άρρητων μεγεθών και αριθμών, όπως π.χ. η τετραγωνική ρίζα του δύο (√2), που είναι η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά 1. Εδώ δεν έχουμε πια αρμονικούς λόγους ακεραίων αριθμών, αλλά παράξενους ατελείς λόγους, χωρίς ακριβή τιμή, οι οποίοι προσεγγιστικά μόνον μπορούν να νοηθούν και των οποίων, δυστυχώς για τους Πυθαγορείους, η κατανόηση προϋποθέτει ένα σαφή ορισμό και κατανόηση του «ατελούς» γι’ αυτούς απείρου.

Page 2: Περί Απείρου

Η ανακάλυψη λοιπόν των άρρητων αριθμών έφερε στο προσκήνιο, τουλάχιστον σιωπηλά στην αρχή, το εξοβελισμένο από τα ελληνικά μαθηματικά άπειρο. Η κομψότητα και τελειότητα των αναλογικών αρμονικών σχέσεων μεταξύ των πραγμάτων κατέρρευσε και το παράξενο ή «παράδοξο», ανακριβές, αβέβαιο και «ατελές» άρχισε να σηκώνει επικίνδυνα το κεφάλι του και να διεκδικεί τα πρωτεία στην αντιπροσώπευση της «πραγματικότητας». Η τελευταία δεν ευνοεί τελικά τους αρμονικούς και ακριβείς λόγους, τους ρητούς αριθμούς, αλλά τους άρρητους ή ασύμμετρους αριθμούς που αποτελούνται από άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά και δεν μπορούν έτσι να αντιπροσωπευθούν από έναν ρητό αριθμό (από ένα κλάσμα ακεραίων αριθμών - απ’ όπου και το όνομά τους σαν α (ρ)-ρητοί, δηλαδή μη ρητοί) και οι οποίοι είναι πολλοί περισσότεροι των ρητών.

Ένα άλλο μεγάλο κτύπημα εναντίον της αρμονικότητας ήταν και η ανακάλυψη του περίφημου αριθμού π, του πηλίκου της διαίρεσης της περιφέρειας ενός κύκλου δια τη διάμετρό του. Ο Αρχιμήδης βρήκε με τη μέθοδο της «εξάντλησης» - προσεγγίζοντας δηλαδή το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου με την περίμετρο ενός εγγεγραμμένου σε αυτόν πολυγώνου με όλο και μεγαλύτερο αριθμό πλευρών - διάφορες «καλές» προσεγγιστικές τιμές για το π, αλλά καμία ακριβή του τιμή, διότι τέτοια δεν υπάρχει, αφού για κάθε δυνατή προσέγγισή του μέσω της περιμέτρου ενός εγγεγραμμένου σε αυτόν πολυγώνο, υπάρχει πάντα μια καλύτερη από αυτήν, με τη χρησιμοποίηση ενός άλλου πολυγώνου με διπλάσιο αριθμό πλευρών απ' αυτό. Είναι σα να επαναλαμβάνεται έτσι το γνωστό Θεώρημα του Αρχιμήδη ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x υπάρχει πάντοτε ένας φυσικός αριθμός ν μεγαλύτερός του, που είναι και η πρώτη εννοιολογική προσέγγιση του απείρου.

Ο αριθμός π είναι ακόμα πιο παράξενος από τους άρρητους αριθμούς, διότι είναι ένας υπερβατικός αριθμός (δεν αποτελεί δηλαδή τη ρίζα καμιάς αλγεβρικής εξίσωσης, σε αντίθεση με τους άρρητους αριθμούς).Όσες προσπάθειες και να έχουν γίνει με τους πιο σύγχρονους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, υπολογίζοντας δισεκατομμύρια ψηφία του, δεν έχει ανακαλυφθεί καμιά περιοδικότητα σε αυτά, ούτε και κανένα λογικό σχήμα για τη δημιουργία τους.

Μετά έχουμε τον Ελεάτη Ζήνωνα με τα περίφημα «παράδοξά» του, που τάραξαν για αιώνες τα μαθηματικό κόσμο, οδηγώντας τελικά στην επινόηση του απειροστικού λογισμού. Ένα ευθύγραμμο τμήμα θεωρείται παραδοσιακά, αλλά και σύγχρονα, άπειρα διαιρετό. Ο ίδιος ο ορισμός του Ευκλείδη στη Γεωμετρία του (στα «Στοιχεία» του) του σημείου σαν αμερές (χωρίς μέρη) εξυπακούει την επ’ άπειρο διαιρετότητα των ευθυγράμμων τμημάτων που αποτελούνται από αυτά. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα δεν ήσαν συνεχή, αλλά

Page 3: Περί Απείρου

ασυνεχή, αν αποτελούνται δηλαδή από μικρές απειροελάχιστες ποσότητες μη μηδενικών διαστάσεων (αν ήταν δηλαδή «κβαντισμένα», όπως θα λέγαμε με φυσικούς όρους), τότε σε κάθε δοθέν ευθύγραμμο τμήμα θα αντιστοιχούσε ένας ακέραιος αριθμός κβάντων του (αυτών των απειροελάχιστων δομικών «λίθων» του) κι επομένως ο λόγος μεταξύ δύο δοθέντων ευθυγράμμων τμημάτων θα ήταν πάντα ένας ρητός αριθμός (λόγος δύο ακεραίων αριθμών). Αυτό όμως δεν ισχύει πάντα, λόγω της ύπαρξης των ασύμμετρων μεγεθών, όπως είδαμε, κι επομένως δεν μπορεί ένα ευθύγραμμο τμήμα να είναι ασυνεχές. Άρα είναι συνεχές και επομένως επ’ άπειρον διαιρετό… μέχρι το αδιάστατο αμερές σημείο, το οποίο προσδιορίζει έτσι θέση μόνο και όχι μέγεθος.

Υπάρχει όμως και ένα άλλο σοβαρό επιχείρημα για τη μη ασυνέχεια μιας οποιαδήποτε γραμμής. Αν φανταστούμε δύο ομόκεντρους κύκλους όπως στο παρακάτω σχήμα και ακτίνες από το κοινό κέντρο τους προς τις περιφέρειές τους, παρατηρούμε ότι τα σημεία του εσωτερικού κύκλου βρίσκονται σε μια σχέση 1-1 με τα αντίστοιχα σημεία του εξωτερικού κύκλου στην ίδια ακτίνα με αυτόν. Επομένως όσα σημεία έχει ο μικρότερος εσωτερικός κύκλος, τόσα ακριβώς έχει και ο μεγαλύτερος εξωτερικός! Αν λοιπόν το πλήθος αυτών των σημείων στους δύο κύκλους ήταν πεπερασμένο και όχι άπειρο, τότε αυτοί θα έπρεπε να έχουν το ίδιο ακριβώς μήκος!

Υπάρχουν και άλλα πολλά τέτοιου είδους λογικά επιχειρήματα εναντίον της ασυνέχειας και της «ατομικότητας» των γραμμών (ή ακόμα των επιφανειών και των στερεών και γενικά του τρισδιάστατου εποπτικού μας χώρου), αλλά και ενάντια, που υποστηρίζουν το αντίθετο (μία από τις αντιφατικότητες ή αντινομίες του «Καθαρού Λόγου» του Καντ). Μπορούμε να τα μελετήσουμε όλα και να στοχαστούμε επ’ αυτών σε ένα άλλο θέμα…

Αξίζει πάντως να σημειώσουμε εδώ, ότι η συνέχεια του χώρου και η «ατομικότητα» της ύλης, που δέχεται σήμερα η επιστήμη, είναι κατά

Page 4: Περί Απείρου

τη γνώμη μας σε βαθιά αντίφαση, διότι η πρώτη προϋποθέτει την ύπαρξη μη μηδενικών απειροελάχιστων χωρικών στοιχείων άνευ ύλης, αφού οι υποτιθέμενοι δομικοί λίθοι της ύλης (άτομα ή ακόμα πρωτόνια, ηλεκτρόνια, νετρόνια ή κουάρκς είναι άτμητοι…). Αν θεωρήσουμε έτσι το χώρο που καταλαμβάνει ένα κουάρκ και στη συνέχεια το μισό αυτού του ίδιου χώρου, δε θα υπάρχει ύλη σε αυτόν ή στο μισό του μισού του κ.ο.κ.; Αν ο συνεχής χώρος με την επ’ άπειρον διαιρετότητά του εκφυλίζεται τελικά σε ένα αδιάστατο σημείο, το ίδιο οφείλει να κάνει και η ύλη, αφού αυτή είναι πάντα υποσύνολο του χώρου! Αυτά σα μια πρώτη γεύση για να δείξουμε την αντιφατικότητα και αντινομία πολλών επιστημονικών θεωριών –παρόλο που αυτές συνεχίζουν να είναι λειτουργικές και να δημιουργούν πρακτική τεχνολογία ή να «επαληθεύονται» σε διάφορα επιστημονικά πειράματα!

Αν από την άλλη μεριά θεωρήσουμε ασυνεχή το χώρο, όπως ακριβώς θεωρούμε την ύλη και την ενέργεια (θεωρία των κβάντα), τότε όπως είπαμε, δημιουργούνται άλλα παράδοξα, άτοπα και αντιφατικότητες, που μας ωθούν να άρουμε την αρχική μας υπόθεση και να δεχτούμε την αντίθεσή της! Καταλαβαίνουμε λοιπόν πολύ καλά γιατί ο μεγάλος φιλόσοφος Καντ θεώρησε τη συνέχεια ή ασυνέχεια της ύλης και την επ’ άπειρον ή μη διαιρετότητά της σα μια λογική αντινομία χωρίς διέξοδο στην «Κριτική του Καθαρού Λόγου» του. Μια άλλη, ανάλογης φύσεως αντινομία, έχει να κάνει με το χρόνο, τη συνέχεια ή ασυνέχειά του (η οποία λογικά θα πρέπει να είναι της ίδιας φύσης με του χώρου, με τον οποίο τόσο στενά αυτός συνδέεται) και με το άπειρο ή πεπερασμένο του.

Προσωπικά δέχομαι την επ’ άπειρον διαιρετότητα της ύλης και την ανυπαρξία ατόμων, πρωτονίων, νετρονίων, ηλεκτρονίων, κουάρκς και ό,τι άλλο μπορούν να φαντασθούν οι επιστήμονες σαν αυθύπαρκτους δομικούς λίθους της ύλης. Δεν αμφισβητώ τις επιστημονικές παρατηρήσεις και τα πειράματα που οδηγούν σε αυτές τις θεωρίες ή υποθέσεις, αλλά αυτές τούτες τις θεωρίες, με άλλα λόγια τις εξηγήσεις των πειραματικών δεδομένων. Οι επιστήμονες δεν ανακαλύπτουν αλλά επινοούν. Στην πραγματικότητα για ένα δεδομένο σύνολο στοιχείων μπορούν να επινοηθούν χιλιάδες, για να μην πω άπειρες, θεωρίες ή «εξηγήσεις» τους, που καμιά δεν είναι «καλύτερη», «αληθέστερη» ή ακριβέστερη» της άλλης. Με άλλα λόγια πιστεύω στην εικονικότητα του κόσμου (άμεσο αποτέλεσμα της αποδοχής του αξιώματος της επ’ άπειρον διαιρετότητάς των πάντων), όπως ο Παρμενίδης και ο Ζήνωνας και τόσοι άλλοι, απορρίπτοντας όμως συλλήβδην οποιαδήποτε «θεολογική» ή μεταφυσική εξήγησή της. Η εικονικότητα του κόσμου είναι αντικείμενο πρακτικής έρευνας και κατανόησης και όχι οποιασδήποτε θεολογικής ή μεταφυσικής αφαίρεσης. Το matrix του κόσμου, αν υπάρχει πραγματικά, το δημιουργεί ή η ίδια ή συνείδηση των όντων

Page 5: Περί Απείρου

εξ αγνοίας της, όπως προτείνουν διάφορες φιλοσοφίες, ή κάποιες οντότητες-«θεοί» εκτός του matrix που δεν έχουν τίποτα το μεταφυσικό ή θεϊκό επάνω τους, πόσο μάλλον «αγαθόν» (ίσως εντελώς το αντίθετο…) , παρά μόνον μια ισχυρότερη τεχνολογία από τη δική μας, πειραματιζόμενοι για άγνωστους προς το παρόν λόγους μαζί μας. Ή μπορεί να είναι κάποιος παράδοξος συνδυασμός και των δύο αυτών περιπτώσεων ή και κάτι άλλο που μου διαφεύγει προς το παρόν σαν ένα πιθανό σενάριο.

Ας προχωρήσουμε όμως στις οξείες παρατηρήσεις του Ζήνωνα στα «παράδοξά» του. Για να κινηθούμε από ένα σημείο Α σε ένα άλλο σημείο Β, πρέπει να διανύσουμε στην αρχή το μισό της απόστασης ΑΒ, δηλαδή την απόσταση ΑΒ/2. Πριν όμως από αυτήν, πρέπει να διανύσουμε το μισό αυτής ή το ένα τέταρτο της απόστασης ΑΒ, δηλαδή την απόσταση ΑΒ/4. Πριν όμως από αυτήν πρέπει να διανύσουμε το μισό αυτής, δηλαδή την απόσταση ΑΒ/8 κ.ο.κ. επ’ άπειρον, χωρίς τελειωμό. Πώς λοιπόν κάνουμε το πρώτο βήμα μας, αφού δεν υπάρχει κανένα επόμενο σημείο από την αφετηρία μας Α για να φτάσουμε πρώτα σε αυτό και μετά στο επόμενό του κ.ο.κ.; Επομένως, λέει ο Ζήνωνας, ο Αχιλλέας δεν μπορεί να φτάσει ποτέ τη χελώνα που προπορεύεται 20 μέτρα απ’ αυτόν, παρόλο που μπορεί να τρέχει με 100πλάσια ταχύτητα από αυτήν! Μέχρι να διανύσει το μισό της απόστασης που τον χωρίζει από τη χελώνα, αυτή θα έχει προπορευτεί διανύοντας κάποιο επιπλέον διάστημα, το οποίο ο Αχιλλέας θα πρέπει επίσης να διανύσει σε κάποιον χρόνο, στον οποίο όμως η χελώνα θα έχει πάλι προπορευτεί κ.ο.κ.. Άρα θα υπάρχει πάντα για τον Αχιλλέα ένα διάστημα που θα πρέπει να καλύψει σε κάποιο χρόνο τον οποίο η η χελώνα θα χρησιμοποιεί για να προπορευτεί από αυτόν….

Page 6: Περί Απείρου

Άρα, υποστηρίζει ο Ζήνωνας δεν μπορούμε να κάνουμε ούτε καν το πρώτο βήμα ή, εάν εξετάσουμε αλλιώς το πρόβλημα, όταν θεωρήσουμε ότι έχουμε ήδη διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ, δεν μπορούμε να κάνουμε ποτέ το τελευταίο βήμα, να φτάσουμε δηλαδή στο σημείο Β, το οποίο θα είναι πάντα απρόσιτο για μας. Επομένως, για το Ζήνωνα, η κίνηση είναι μια ψευδαίσθηση. Το ίδιο υποστηρίζουν και τα άλλα του παράδοξα, ιδίως το παράδοξο του Βέλους.

Το παράδοξο εδώ είναι πώς αρχίζει η κίνηση, όταν δεν υπάρχει αρχικό ή τελικό σημείο γι’ αυτήν ή πώς περνάει χρόνος στη διάρκειά της, όταν δεν υπάρχει αρχή ή τέλος αυτού του χρόνου. Η μαθηματική εξήγηση δεν διασαφηνίζει τίποτα σχετικά με αυτό το πρόβλημα τοπικότητας ή πρόβλημα συνέχειας ή ακόμα πρόβλημα υπερεργασίας (supertask) που δημιουργείται, με την έννοια ότι η ανάλυση αυτή δείχνει ότι θα μπορούσαμε να πετύχουμε σε πεπερασμένο χρόνο μια εργασία άπειρων ουσιαστικά βημάτων.

Σύμφωνα με τον Ζήνωνα κάθε κίνηση είναι μια υπερεργασία, αλλά δεν είναι με τίποτα προφανές ότι είναι ποτέ δυνατόν να εκτελεστεί ένας άπειρος αριθμός πράξεων σε ένα πεπερασμένο χρόνο. Η διαίσθησή μας μάς λέει ακριβώς το αντίθετο, ότι είναι εντελώς αδύνατο πεπερασμένα όντα να εκτελέσουν μια υπερεργασία. Το επιχείρημα του διαφορικού λογισμού ότι είναι

Page 7: Περί Απείρου

δυνατή η σύγκλιση ενός απείρου αθροίσματος, δεν επαρκεί για να εξασφαλίσει τη δυνατότητα μιας υπερεργασίας.

Στην πραγματικότητα όμως πάντα φτάνουμε από το σημείο Α στο σημείο Β και ο Αχιλλέας φτάνει και προσπερνά τη χελώνα ή μια μπάλα που αφήνουμε να πέσει από κάποιο σημείο στο έδαφος φτάνει πράγματι κάποια στιγμή στο έδαφος και αναπηδά μερικές φορές μέχρι να σταματήσει. Άρα κάποιο πρόβλημα θα υπάρχει στην όλη κατανόησή μας της «συνέχειας» και της «κίνησης» κάτι που θα πρέπει να προσέξουμε πολύ και να ξαναορίσουμε ώστε να μη δημιουργούνται παράδοξα σαν αυτά που μελέτησε ο Ζήνωνας.

Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη η ατομική θεωρία των αρχαίων ελλήνων ατομικών φιλοσόφων δημιουργήθηκε για να αντιμετωπίσει τα παράδοξα του Ζήνωνα…

Όπως οι Πυθαγόρειοι, και ο ο Αριστοτέλης θεωρούσε το άπειρο σα μια στέρηση (σα μια απουσία του πέρατος ή ορίου) και όχι σα μια τελειότητα. Ασχολούμενος με τα παράδοξα του απείρου, διαχώρισε το άπειρο σε εν ενεργεία (εκδηλωμένο) άπειρο και σε εν δυνάμει(μη εκδηλωμένο) άπειρο, θεωρώντας το πρώτο αδύνατο. Μπορεί οι αριθμοι να προχωρούν ο ένας μετά τον άλλον συνεχώς χωρίς σταματημό, αλλά αφού κανένας δεν μπορεί να μετρήσει όλους τους αριθμούς, αυτό το δυνητικό άπειρο δεν μπορεί να υπάρχει πραγματικά:. Λέει με ακρίβεια στα «Μετά τα Φυσικά» του:

... είναι πάντα δυνατόν να σκεφτούμε ένα μεγαλύτερο αριθμό. Διότι ο αριθμός των φορών που μπορεί να διχοτομηθεί ένα μέγεθος είναι άπειρος. ¨Ετσι το άπεριο είναι πάντα εν δυνάμει , ποτέ εν ενεργεία. Ο αριθμός των μερών που μπορούν να ληφθούν υπερβαίνει πάντα οποιοδήποτε διδόεμενο αριθμό.

Τα μεγέθη λοιπόν που εξετάζουμε, τα πραγματικά μεγέθη κατά τον Αριστοτέλη, δεν μπορεί να είναι άπειρα, διότι προσθέτοντας διαδοχικά αυτά θα μπορούσαμε να υπερβούμε τα όρια του σύμπαντος, το οποίο έτσι αυτός θεωρεί πεπερασμένο, αν και επιδεκτικό άπειρης διαίρεσης. Το άπειρο είναι επομένως ατελές, ατελείωτο, ανολοκλήρωτο και αδιανόητο και το συνεχές (π.χ. μιαςγραμμής) δεν μπορεί να αποτελείται από διακεκριμένες οντότητες. Το σημείο έχει μια δευτερεύουσα σημασία σχετικά με το ευθύγραμμο τμήμα, που θεωρείται σα μια ολότητα κι επομένως πραγματικό, ενώ το σημείο είναι μόνο εν δυνάμει ή δυνητικό, διότι μπορεί να γίνει πραγματικό μόνο μετά από μια διαδικασία τμήσης μιας ολότητας. Η επ’ άπειρον διαίρεση των υλικών σημείων είναι μόνον δυνητική και δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί ενεργητικά.

Page 8: Περί Απείρου

Σε σχέση με το Χρόνο, ο Αριστοτέλης αποδεικνύει στα «Μετά τα Φυσικά» του, ότι αυτός, όπως τον αντιλαμβανόμαστε στην καθημερινή μας ζωή, είναι ανύπαρκτος, γιατί απλούστατα, τα δυο υποτιθέμενα μέρη του, το παρελθόν και το μέλλον, είναι ανύπαρκτα και αυτά: το παρελθόν έχει σταματήσει να υπάρχει, ενώ το μέλλον δεν υπάρχει ακόμα, αλλά πρόκειται να υπάρξει. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε σα στοιχείο του χρόνου το "παρόν". Αυτό όμως δεν είναι σωστό, γιατί το παρόν είναι απλά το όριο στο οποίο τέμνεται το παρελθόν από το μέλλον. Ο χρόνος όμως σημαίνει διάρκεια, ενώ το παρόν είναι ένα στίγμα χωρίς διάρκεια, όπως ένα σημείο μιας γραμμής που θεωρείται ότι δεν έχει μέγεθος. Αν λοιπόν δεχθούμε ότι ο χρόνος αποτελείται από διαδοχικά "τώρα", είναι σα να θέλουμε να συνθέσουμε το χρόνο από στοιχεία που δεν έχουν χρονικότητα! Αρα και ο χρόνος που θεωρούμε σαν παρόν είναι ανύπαρκτος, γιατί και το παρόν σαν η οριακή τιμή δυο ανύπαρκτων μεγεθών, του παρελθόντος και του μέλλοντος, είναι ανύπαρκτο και αυτό!

Αυτήν ακριβώς την επιχειρηματολογία θα συναντήσουμε λίγους αιώνες αργότερα στα κείμενα της Βουδιστικής Μαχαγιάνα, περί της μη ύπαρξης του Χρόνου!

Στη συνέχεια ο Αριστοτέλης επιχειρηματολογεί εναντίον της άποψης του Πλάτωνα ότι ο χρόνος είναι κίνηση, αλλά παραδέχεται ότι έχει στενή σχέση με αυτήν και προτείνει τελικά τον ορισμό ότι ο χρόνος είναι "αριθμός κίνησης κατά το πρότερον και ύστερον". Ο χρόνος δηλαδή δεν είναι κίνηση, αλλά εκείνο σε σχέση με το οποίο μπορεί η κίνηση να αριθμηθεί και να αποδοθεί με τους όρους "πριν" και "μετά".

Ο χρόνος λοιπόν κατά τον Αριστοτέλη γεννάται από τη συνεχή ροή του τώρα, λόγω μιας συνεχούς μεταβολής του εσωτερικού, ψυχικού κόσμου του ανθρώπου. Εχουμε αντίληψη του χρόνου όταν διακρίνουμε μέσα στη κίνηση το "πριν" και το "μετά". Για να δημιουργηθεί χρόνος, πρέπει η ψυχή να παρεμβάλει ανάμεσα σε δυο τώρα ένα διάστημα ροής. Για να μην αισθάνεται λοιπόν ένα ον την ύπαρξη του χρόνου θα πρέπει σύμφωνα με τον Αριστοτέλη:

α) Να μη συμβαίνει καμιά βασική ψυχική αλλαγή μέσα του, ή να συμβαίνει κάποια η οποία να μη γίνεται όμως αντιληπτή.

β) Να αντιλαμβάνεται μια χρονική στιγμή, ένα "τώρα" σαν το ίδιο, χωρίς να το θεωρεί σαν ένα προηγούμενο, ή σαν ένα επόμενο, ενός άλλου "τώρα" μέσα στη μία και συνεχή χρονική κίνηση. Αν υπήρχε ένα ον που να μπορούσε να αντιλαμβάνεται τα διάφορα "τώρα" σε απόλυτη μοναδικότητα, χωρίς να τα συσχετίζει με τη σειρά διαδοχής τους, τότε το ον αυτό δε θα αντιλαμβανόταν το χρόνο σα ροή, αλλά σαν μια αιώνια διάρκεια...

Page 9: Περί Απείρου

Τέλος, σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, τα "αϊδια όντα", τα όντα δηλαδή που παραμένουν πάντα ίδια και δεν μεταβάλlονται (??), αποτελούντα τις πρώτες αρχές, όπως ο Θεός και οι μερικότερες αιτίες της κίνησης (τα "κινούντα ακίνητα") που ρυθμίζουν την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, δεν περιέχονται μέσα στο χρόνο, αλλά είναι άχρονα. Μόνον η κίνηση περιέχεται μέσα στο χρόνο.

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία το άπειρο υποκρυβόταν όχι μόνο στην επ’ άπειρον διαιρετότητα ενός ευθύγραμμου τμήματος, αλλά και στον ορισμό της ευθείας γραμμής που μπορεί να προεκταθεί όσο θέλουμε και προς τα δυο μέρη της, καθώς επίσης στο αξίωμα των παραλλήλων ευθειών, που επίσης απαιτεί την απεριόριστη επέκταση των ευθειών γραμμών.

Αξίζει εδώ να πούμε λίγα λόγια για την έννοια του συνεχούς, που τόσο πολύ χρησιμοποιούν τα μαθηματικά, η φυσική αλλά και η κοσμολογία (π.χ το συνεχές του τετρασδιάστατου χωροχρόνου).

Η θεμελιώδης φύση ενός συνεχούς είναι να είναι αδιαίρετο, αν και γενικά υποστηρίζεται ότι αυτό μπορεί να διαιρεθεί επ’ άπειρον. Αυτό σημαίνει ότι ποτέ η διαδικασία αυτής της διαίρεσης δε θα καταλήξει σε μη διαιρετά ή άτμητα μέρη («άτομα»), αλλά θα συνεχιστεί επ’ αόριστον. Το συνεχές, επομένως, παρότι μια ενότητα ή ολότητα, υποκρύβει και μια δυνητική άπειρη πολλαπλότητα. Οι αρχαίοι Έλληνες υποστήριξαν εδώ ότι, ακόμα και μπορούσε να πραγματοποιηθεί με τη φαντασία μας μια τέτοια άπειρη διαιρετότητα ενός διαστατικού μεγέθους, όπως π.χ. μιας συνεχούς γραμμής, αυτό θα αναγόταν τελικά σε ένα πλήθος αδιάστατων ή αμερών στοιχείων (εδώ σημείων) ή ακόμα στο τίποτα, στο μηδέν. Τότε όμως, υποστηρίχτηκε, δεν μπορεί κανείς να ανασυνθέσει, ανεξάρτητα από το πλήθος αυτών των σημείων, το αρχικό μέγεθος (την ευθεία) από αυτά τα σημεία, καθόσον αυτά στερούνται μεγέθους κι επομένως και το άθροισμά τους – όσα πολλά και να είναι αυτά – θα στερείται επίσης μεγέθους! Από την άλλη μεριά, αν παραμείνουν μετά τη διαίρεση άπειρα σημεία, τότε το μέγεθος μπορεί να εκληφθεί, σύμφωνα με τον Ζήνωνα, σα μια πεπερασμένη κίνηση, οδηγώντας έτσι στο φαινομενικά παράδοξο συμπέρασμα ότι απείρως πολλά σημεία μπορούν προσπελαστούν σε έναν πεπερασμένο χρόνο.

Αυτές ακριβώς οι δυσκολίες στην αντιμετώπιση του λογικών απορροιών του συνεχούς οδήγησαν στην γένεση της Ατομικής Σχολής (5ος αιώνα π.Χ.) του Λεύκιππου και του Δημόκριτου, οι οποίοι υποστήριξαν ότι η ύλη και γενικότερα ή έκταση (το μέγεθος) δεν είναι απείρως διαιρετή, αλλά καταλήγει τελικά σε μη διαιρετές, «άτμητες» οντότητες, τα άτομα. Ο ισχυρισμός εδώ είναι διπλής

Page 10: Περί Απείρου

κατεύθυνσης: όχι μόνον η διαδοχική διαίρεση της ύλης καταλήγει στα άτομα, αλλά και η ίδια η ύλη απαρτίζεται από άτομα. Το φαινομενικά (ορατά) συνεχές λοιπόν για τους ατομικούς φιλοσόφους δεν είναι ύστατα συνεχές, αλλά διακριτό ή σύμφωνα με τη σύγχρονη ορολογία «κβαντισμένο».

Ο «ατομισμός», όπως εκφράζεται στην Ατομική Θεωρία, γνώρισε μεγάλη επιτυχία στη φυσική και τη χημεία του 19ου αιώνα. Παρόλα αυτά μία μειοψηφία μόνον φιλοσόφων τον δέχτηκε σε μεταφυσικό επίπεδο. Γι’ αυτό ακριβώς δε δημιουργήθηκε και ένας αντίστοιχος –ισμος, σα μια φιλοσοφική έννοια για τους οπαδούς του Συνεχούς. Διότι αυτοί ήταν η μεγάλη πλειοψηφία και δεν χρειάζονταν κανένα ειδικό όνομα για κάτι που θεωρούσαν προφανές και δεδομένο. Μόνον ο Peirce επινόησε αργότερα τον όρο Συνεχισμός(synechism) από την αντίστοιχη Ελληνική λέξη.

Τελειώνοντας με τους αρχαίους Έλληνες, αξίζει να σημειώσουμε ότι μελετώντας την πραγματεία «Περί των Μηχανικών Θεωρημάτων» του Παλιμψήστου του Αρχιμήδη, ενός αντίγραφου του 10ουαιώνα μ.Χ. ενός άγνωστου σε μας αρχαιότερου κειμένου, ο καθηγητής Netz και ο Ιάπωνας συνάδελφός του Ken Saito διαπίστωσαν ότι ο Αρχιμήδης είχε συγκρίνει σε αυτό δύο απείρως μεγάλα σύνολακαι είχε επισημάνει μάλιστα ότι αυτά είχαν τον ίδιο αριθμό στοιχείων. Κάτι εντελώς πρωτοποριακό για τη μαθηματική σκέψη της εποχής, που επαναλήφθηκε ξανά μόνον στα τέλη του 19ου αιώνα με τη θεμελίωση της θεωρίας των συνόλων από τον Georg Cantor.

ΑΡΑΒΕΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΙΟΙ

Οι Άραβες παρέλαβαν την Ελληνική μαθηματική κληρονομιά και εργάστηκαν ιδιαίτερα με την άλγεβρα και αρκετά με τα άρρητα μεγέθη, χωρίς όμως να εξετάσουν την ιδιαίτερη φύση τους. Παρόμοια οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί που ακολούθησαν, εργάστηκαν επίσης με τους άρρητους αριθμούς και το π, διατηρώντας όμως μια μεγάλη σύγχυση για το άπειρο.

Το μαθηματικό άπειρο είχε αρχίσει να χρησιμοποιείται και στη θεολογία με υπερμεγέθεις καταφατικούς αφορισμούς για τη θεϊκή τελειότητα. Ο άγιος Αυγουστίνος υποστήριξε ότι αυτό που φαίνεται άπειρο στους ανθρώπους είναι πεπερασμένο για το Θεό, ο οποίος έχει επίσης τη δυνατότητα απείρων σκέψεων. Από τη μεριά του, ο άγιος Θωμάς ο Ακινάτης αποδέχτηκε τον 13ο αιώνα το απεριόριστο του Θεού, αλλά αρνήθηκε ότι αυτός δημιούργησε απεριόριστα πράγματα.

Page 11: Περί Απείρου

Τη δεκαετία του 1630 ο Γαλιλαίος επεσήμανε ένα παράδοξο: Αντιστοίχησε έναν προς έναν τους άρτιους αριθμούς 2, 4, 6, 8, 10… με τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5 … και παρατήρησε ότι τα δυο αυτά άπειρα φαίνονται να είναι τα ίδια, ενώ το ένα είναι υποσύνολο του άλλου (οι φυσικοί αριθμοί περιλαμβάνουν τους άρτιους αριθμούς και όχι μόνον αυτούς, αλλά και τους περιττούς αριθμούς, οπότε θα ανέμενε κανείς να είναι περισσότεροι από τους άρτιους). Το συμπέρασμα του Γαλιλαίου ήταν ότι δεν επιτρέπεται να μιλάμε για άπειρες ποσότητες σα να είναι η μία μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με την άλλη. Θα επανέλθουμε σε αυτό αργότερα. Επισημαίνουμε πάντως ότι, όπως και ο Αριστοτέλης, ο Γαλιλαίος δεν πίστευε σε πραγματικά (εν ενεργεία ) άπειρα, αλλά μόνον σε εν δυνάμει (δυνητικά) άπειρα.

Το σύμβολο του απείρου που χρησιμοποιούμε σήμερα επινοήθηκε το 1650 από τον Άγγλο μαθηματικό John Wallis.

Ο Πασκάλ επεσήμανε τον 17ο αιώνα ότι οι άνθρωποι συναντούν πολλές φορές άπειρα στο δρόμο τους, αλλά δεν μπορούν ποτέ να τα συλλάβουν πλήρως. Τον ίδιο αιώνα ο Καρτέσιος παρατήρησε ότι η προσπάθειά μας να γνωρίσουμε το άπειρο είναι ισοδύναμη με το να το κάνουμε πεπερασμένο και ότι η διαφορά μεταξύ του απείρου από το πεπερασμένο είναι η ίδια με τη διαφορά του Θεού (σα δημιουργού) από τον άνθρωπο.

Ο Λάιμπνιζ (1646-1716), ο «πολυμαθέστερος ανήρ μετά τον Αριστοτέλη», επινόησε στη συνέχεια (παράλληλα με τον Νεύτωνα, αλλά ανεξάρτητα απ' αυτόν), τον Απειροστικό Λογισμό, με τον οποίο ήταν δυνατός ο προσδιορισμός της κλίσης της εφαπτομένης μιας καμπύλης σε ένα ορισμένο σημείο της, καθώς επίσης του εμβαδού της επιφάνειας κάτω από αυτήν.

Page 12: Περί Απείρου

Προς το σκοπό αυτό ο Λάιμπινιζ χρησιμοποίησε τις νέες μαθηματικές οντότητες που δημιούργησε: τα απειροστά. Τα απειροστά είναι απείρως μικρές, αλλά μη μηδενικές ποσότητες και συνδέονται στενά με την έννοια του συνεχούς. Μπορούμε να εννοήσουμε ένα απειροστό σαν ένα "έσχατο τμήμα ενός συνεχούς». Η "συνοχή" ενός συνεχούς εξυπακούει ότι καθένα από τα συνδεδεμένα μέρη του είναι επίσης συνεχές κι επομένως διαιρετό. Επειδή τώρα τα σημεία είναι αδιαίρετα, δεν μπορούν να είναι μέρη ενός συνεχούς. Επομένως τα απειροστά δεν μπορεί να είναι σημεία.

Όταν η συνέχεια είναι το ίχνος μιας κίνησης, τότε τα απειροστά μεγέθη ορίζονται σαν δυνητικές οντότητες, οι οποίες, ενώ δεν έχουν οι ίδιες πραγματικό μέγεθος, έχουν μια τάση (εντατικό μέγεθος) να παράγουν μέγεθος μέσω της κίνησης, εκδηλώνοντας έτσι το «γίγνεσθαι», σε αντίθεση με το «είναι».

Ένα απειροστός αριθμός λοιπόν, ενώ δεν συμπίπτει με το μηδέν, είναι με κάποια έννοια μικρότερος από οποιοδήποτε πεπερασμένο αριθμό και μάλιστα ένα πολλαπλάσιό του είναι απειροστό και αυτό. Στην πρακτική εφαρμογή του απειροστικού λογισμού, ένα απειροστό είναι ένας αριθμός τόσο μικρός που το τετράγωνό του και όλες οι ανώτερες δυνάμεις τους μπορούν να αμεληθούν.

Ο απειροστικός λογισμός που επινόησε ο Λάιμπνιζ και ο Νεύτωνας είναι στην πραγματικότητα ένα σύνολο μαθηματικών τεχνικών για το χειρισμό αυτών των απειροστών. Το εμβαδόν π.χ. κάτω από μια καμπύλη υπολογίζεται με την διαίρεση αυτής της επιφάνειας σε άπειρα μικρά ορθογώνια και αθροίζοντας μετά τα εμβαδά τους.

Παρ’ όλες τις σημαντικές επιτυχίες του όμως ο απειροστικός λογισμός συνάντησε μια μεγάλη αντίδραση εξ’ αιτίας της μη αυστηρής θεμελίωσής του. Κατακρίθηκε έτσι από τον Τζωρτζ Μπέρκλεϋ τον 18ο αιώνα, ο οποίος τον κατηγόρησε ότι απαιτεί ένα ανάλογο πήδημα πίστης με τη θεολογία που στηρίζεται στην Χριστιανική αποκάλυψη. Χαρακτήρισε επίσης τα απειροστά σαν "φαντάσματα πεθαμένων ποσοτήτων". Ανάλογα ο Georg Cantor τα αποκάλεσε τον 19ο αιώνα "βακίλους χολέρας" που μολύνουν τα μαθηματικά και ο Μπέρτραντ Ράσελ τον 20ο αιώνα "περιττές, λανθασμένες και αυτοαντιφατικές» οντότητες. Τελικά τα απειροστά αντικαταστάθηκαν στη μαθηματική ανάλυση από την έννοια του ορίου, η οποία διατυπώθηκε αυστηρά στα τέλη του 19ου αιώνα και προσέφερε μια ακριβέστερη κατανόηση των πραγματικών αριθμών.

Παρά την απαγόρευσή τους όμως τα απειροστά δεν απομακρύνθηκαν τόσο εύκολα από το πρακτικό επίπεδο. Οι φυσικοί και μηχανικοί συνέχισαν να τα χρησιμοποιούν σιωπηλά λόγω της ευχρηστίας τους

Page 13: Περί Απείρου

και των σωστών αποτελεσμάτων τους. Τελικά επανεμφανίστηκαν στο προσκήνιο την δεκαετία του του ’60 και την δεκετία του ’70 με μια νέα, αυστηρή πια, θεμελίωσή τους..

Η πρώτη θεμελίωσή τους έγινε από τον Abraham Robinson, ο οποίος χρησιμοποίησε μεθόδους της μαθηματικής λογικής και δημιούργησε τη λεγόμενη μη τυπική ανάλυση. Αυτή είναι μια επέκταση της μαθηματικής ανάλυσης και περιλαμβάνει τόσο τους απείρως μεγάλους όσο και τους απειροστούς αριθμούς, στους οποίους συνεχίζουν να ισχύουν όλοι οι γνωστοί νόμοι της αριθμητικής των πραγματικών αριθμών. Εδώ σαν ένας απείρως μεγάλος αριθμός εννοείται κάποιος που υπερβαίνει κάθε θετικό ακέραιο αριθμό. Ο αντίστροφος τότε οποιουδήποτε από αυτούς τους απείρως μεγάλους αριθμούς είναι ένας απειροστός αριθμός, με την έννοια ότι, ενώ είναι διαφορετικός από το μηδέν, είναι συγχρόνως μικρότερος από κάθε θετικό κλάσμα 1/ν. Η χρησιμότητας αυτής της προσέγγισης έγκειται κατά ένα μεγάλο βαθμό στο γεγονός ότι κάθε πρόταση της συνηθισμένης ανάλυσης που περιλαμβάνει όρια έχει μια σύντομη και ιδιαίτερα διαισθητική μετάφραση στη γλώσσα των απειροστών.

Η δεύτερη ανάπτυξη της έννοιας του απειροστού συνέβη με την εμφάνιση τηςλεγόμενης συνθετικής διαφορικής γεωμετρίας, που είναι επίσης γνωστή σαν ομαλή απειροστική ανάλυσης. Αυτή μάλιστα δεν περιλαμβάνει το Νόμο Αποκλίσεως του Τρίτου της τυπικής Λογικής! Με βάση τις ιδέες του αμερικανού μαθηματικού F.W Lawvere, και με τη χρησιμοποίηση μεθόδων της ΘεωρίαςΚατηγορίας, η ομαλή απειροστική ανάλυση παρέχει μια εικόνα του κόσμου στον οποίο το συνεχές είναι μια αυτόνομη έννοια, μη εξηγήσιμη με όρους διακριτότητας. Εδώ η χρήση των ορίων στον ορισμό των βασικών εννοιών της ανάλυσης αντικαθίσταται από τα μη δραστικά απειροστά (nilpotent infinitesimals), δηλαδή από ποσότητες τόσο μικρές (αλλά όχι πραγματικά μηδέν) που κάποια δύναμή τους (συνήθως το τετράγωνό τους) εξαφανίζεται.

Η ανάπτυξη της μη τυπικής ανάλυσης και της ομαλής απειροστικής ανάλυσης έχει αναζωογονήσει την έννοια του απειροστού και έχει προσφέρει νέες ιδέες για τη φύση του συνεχούς.

Όπως πάνω έτσι και κάτω, λέει η Ερμητική φιλοσοφία. Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος που λέμε μερικά πράγματα για τα απειροστά, διότι αυτά έχουν προφανείς αναλογίες με τα άπειρα που θα εξετάσουμε παρακάτω και τα οποία αποτελούν το βασικό θέμα της μελέτης μας.

Η επίδραση πάντως του δυνητικού απείρου του Αριστοτέλη εξακολουθούσε να είναι μεγάλη και την εποχή του μεγάλου μαθηματικού KarlFriederichGauss (1777-1855), ο οποίος εμφανίζεται

Page 14: Περί Απείρου

να επιπλήττει ένα συνάδελφό του, διότι χρησιμοποίησε για την απόδειξή του την έννοια του απείρου που «ποτέ δεν επιτρέπεται στα μαθηματικά, διότι το άπειρο δεν είναι παρά μόνον ένα σχήμα λόγου . . .».

Ήδη όμως είχαν αρχίσει να παρουσιάζονται ρωγμές στην δογματική αυτή θεώρηση και η Θεωρία των Ορίων προσδιόρισε το άπειρο σαν ένα όριο, όπως π.χ. του κλάσματος 1/x όταν το x τείνει στο μηδέν, όταν δηλαδή ο παρονομαστής τείνει να πάρει πάρα πολύ μικρές τιμές, οσοδήποτε κοντά στο μηδέν θέλουμε. Τελικά η νέα μαθηματική ανάλυση με τη θεωρία των ορίων, τη μελέτη των απειροσειρών και την αξιωματικοποίηση των πραγματικών αριθμών και της έννοιας του συνεχούς, θεωρείται ότι έλυσαν τα παράδοξα του Ζήνωνα…

Η φύση του απείρου ξεκαθαρίστηκε τελικά πλήρως το 1874 με μια θεμελιώδη εργασία του Georg Cantor.

Από δω και στο εξής θα μπούμε κανονικά στο θέμα μας, το οποίο θα προσπαθήσουμε και εικονογραφικά για την καλύτερη κατανόησή του.

Μην φοβάστε, δε θα υπάρξουν μαθηματικές πολυπλοκότητες ή δυσνόητα πράγματα. Τα προηγούμενα που αναφέραμε στην ιστορική αναδρομή της έννοιας του μαθηματικού απείρου είναι πιο πολύπλοκα από αυτά που θα ακολουθήσουν.

Θα χρειαστεί όμως η συγκέντρωσή σας και ο στοχασμός σας, διότι θα ανατρέψουμε πολλές φορές τον κοινό νου και αυτό που "διαισθητικά" αναμένετε...

Επειδή στην απόδειξη και την κατανόηση των θεωρημάτων περί απείρου θα χρησιμοποιήσουμε και Γεωμετρικές παραστάσεις και ερμηνείες, θα πρέπει να πούμε μερικά λόγια για την Γεωμετρία που θα χρησιμοποιήσουμε προς το σκοπό αυτό. Από αυτό και μόνον θα ανοίξουν λίγο οι ορίζοντες της σκέψης μας περί του απείρου, αν και το γεωμετρικό άπειρο που θα χρησιμοποιήσουμε εδώ δεν είναι ακριβώς το ίδιο με το αλγεβρικό άπειρο.

Ας δούμε στην αρχή τα πέντε βασικά αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, τις πρωταρχικές δηλαδή έννοιες στις οποίες στηρίζεται όλο το οικοδόμημά της και τις οποίες δεχόμαστε αξιωματικά χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις:

1. Από δυο δοθέντα σημεία διέρχεται (ή μπορούμε να φέρουμε) μία και μόνον ευθεία.

Page 15: Περί Απείρου

2. Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να επεκταθεί και προς τα δυο άκρα του, ώστε να μας δώσει μια ευθεία γραμμή.

3. Μπορούμε να χαράξουμε ένα κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα.

4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες.

5. Από ένα σημείο έξω από μια ευθεία, μπορούμε να φέρουμε μία μόνον ευθεία παράλληλη προς αυτή (στο ίδιο επίπεδο με αυτή).

Παρατηρούμε ότι τα αξιώματα αυτά αναφέρονται σε συγκεκριμένες οντότητες που χρησιμοποιεί η Ευκλείδεια Γεωμετρία, που είναι τα σημεία και οι ευθείες, οι οποίες πρέπει επίσης να οριστούν.

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

Ένα σημείο ορίζει μια ακριβή θέση στο χώρο και μόνον αυτό. Το ίδιο δεν έχει μέγεθος (μήκος, επιφάνεια ή όγκο) και είναι επομένως ένα αντικείμενο μηδενικής διάστασης.

. .Α Β

Παρότι μηδενικής διάστασης κι επομένως αόρατα τα σημεία, τα παριστάνουμε με μια ευδιάκριτη στιγμή (που έχει προφανώς διαστάσεις) για να μπορέσουμε να τα ξεχωρίσουμε από τα υπόλοιπα. Αυτό όμως δεν πρέπει να μας παρασύρει να νομίσουμε ότι έχουν και αυτά διάσταση. Επίσης τα ονομάζουμε χρησιμοποιώντας κεφαλαία γράμματα, όπως π.χ. το σημείο Α, το σημείο Β κ.λ.π.

Ο Ευκλείδης όρισε το σημείο σαν αμερές, χωρίς δηλαδή μέρη κι επομένως αδιαίρετο. Είναι η ύστατη οντότητα στην οποία μπορούμε να φτάσουμε με την επ’ άπειρον διαίρεση μιας ευθείας γραμμής. Άμεση συνέπεια αυτού είναι ότι μια ευθεία γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Δημιουργεείται όμωςέτσι το παράδοξο πώς μια απειρία αδιαστάτων στοιχείων δημιουργεί με τη συνάθροισή τους διάσταση, την ευθεία, και συγχρόνως μέγεθος, το μήκος της ευθείας. ΄Οχι μόνον αυτό, αλλά η απειρία αυτή μπορεί να δώσει κάθε φορά διαφορετικό τελικά αποτέλεσμα (διαφορετικά μήκη ευθυγράμμων τμημάτων). Αυτό ανάγεται μαθηματικά στο ότι το γινόμενο μηδέν επί άπειρο ή συμβολικά 0. (όπου 0 είναι το μέγεθος του σημείου και

το άπειρο πλήθος των σημείων) δεν είναι μηδέν, αλλά ένας απροσδιόριστος (οποιοσδήποτε) πραγματικός αριθμός.

Page 16: Περί Απείρου

Εδώ υποκρύπτεται το παράδοξο ότι άπειρα τίποτα μπορούν να μας δώσουν κάτι και όχι ένα συγκεκριμένο κάθε φορά κάτι(έναν συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό), αλλά διαφορετικό κάθε φορά κάτι (διαφορετικό πραγματικό αριθμό). Έτσι θα μπορούσαμε να γράψουμε συμβολικά:

0. = x όπου x οποιοσδήποτε πραγματικό αριθμός!

Πώς ερμηνεύεται αυτό το παράδοξο θα το δούμε αργότερα. Προς το παρόν δεχόμαστε ότι άπειρα αμερή και αδιάστατα σημεία που δηλώνουν μόνον θέση, μπορούν να δώσουν συνολικά, με ένα μαγικό τρόπο, μέγεθος και διάσταση, δημιουργώντας με την άπειρη επανάληψή τους μια αμέσως μεγαλύτερη διάσταση (1) από τη δική τους μηδενική διάσταση. Γενικά στα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην τοπολογία θεωρούμε ότι οποιαδήποτε γεωμετρική οντότητα αποτελείται από ένα άπειρο πλήθος σημείων.

Στο διδιάστατο τώρα χώρο του καρτεσιανού επιπέδου ΟΧΥ, ένα σημείο παριστάνεται με ένα διατεταγμένο ζεύγος (α, β) πραγματικών αριθμών, όπου ο πρώτος αριθμός α παριστάνει την τετμημένη του (το «x» του) και ο δεύτερος αριθμός β την τεταγμένη του (το «ψ» του). Σε ανώτερες διαστάσεις (μεγαλύτερες ή ίσες του 3) ένα σημείο παριστάνεται με μία διατεταγμένη ν-άδα πραγματικών αριθμών (a1, a2, ..., aν) όπου ν είναι η διάσταση του χώρου.

Page 17: Περί Απείρου

Η ΕΥΘΕΙΑ

Η ευθεία είναι μια οντότητα με μία μόνο διάσταση (μήκος) και ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δυο σημείων. Η ίδια, όπως είπαμε, περιέχει έναν άπειρο αριθμό σημείων. Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία υπάρχει μία και μόνη ευθεία που διέρχεται από δύο δοθέντα σημεία

Κάθε ευθεία θεωρείται ότι επεκτείνεται δεξιά και αριστερά «όσο θέλουμε», δηλαδή απεριόριστα προς το απροσδιόριστο «άπειρο» ή μάλιστα προς δύο, υποτιθέμενα «διαφορετικά» άπειρα μεταξύ τους , το - (ας πούμε αριστερά) και το + (δεξιά). Αυτά δεν καθορίζονται διόλου, αφήνοντας ποικίλα ερωτηματικά και δημιουργώντας ένα «θρησκευτικό μυστήριο» που δεν αρμόζει σε μια αξιοσέβαστη και αυστηρή μαθηματική θεωρία.

Και το κακό με τα μυστήρια οποιουδήποτε είδους, είναι ότι επικαλούνται σιωπηλά τους αξεπέραστους περιορισμούς της ανθρώπινης νόησης και τη νοημοσύνη ή θέληση της θεότητας….

Ας προσπαθήσουμε όμως να διερευνήσουμε αυτή την απέραντη και απεριόριστη επέκταση της ευθείας προς τα μυστηριώδη, άφατα και απροσπέλαστα «σημεία» του απείρου. Πριν όμως από αυτό, ας δούμε

Page 18: Περί Απείρου

τις σχετικές θέσεις δύο ευθειών σε ένα επίπεδο, δηλαδή σε μια οντότητα της επόμενης αμέσως διάστασης από αυτή, που διαθέτει εκτός από το «μήκος» και «πλάτος».

Οραματιζόμενοι το πυκνό συνεχές των σημείων μιας ευθείας, όπου σε κάθε δύο δοθέντα σημεία υπάρχει πάντα ένα τουλάχιστον διαφορετικό σημείο μεταξύ αυτών, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε τα άπειρα αυτά σημεία σα διαδοχικές θέσεις ενός και του αυτού σημείου το οποίο μετατίθεται στο χώρο (κινείται) «διασπώντας» και ξεπερνώντας έτσι (με την κίνησή του) τον περιορισμό του (της μηδενικής διάστασης) και δημιουργώντας με αυτό τον τρόπο μια νέα διάσταση (την πρώτη διάσταση).

Παρόμοια μπορούμε να οραματισθούμε μια ευθεία να κινείται στο χώρο «έξω» από τον εαυτό της και να δημιουργεί με αυτό τον τρόπο ένα επίπεδο, την αμέσως μεγαλύτερη διάσταση από αυτή, προσθέτοντας πλάτος στο προηγούμενο μονοδιάστατο μήκος της.

Κατά αναλογία μπορούμε να φανταστούμε ένα επίπεδο να κινείται στο χώρο «έξω από τον εαυτό του», αναζητώντας την υπέρβασή του, και να δημιουργεί με αυτό τον τρόπο ένα τρισδιάστατο στερεό σώμα.

Θα μπορούσαμε ένα συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία δημιουργώντας με αυτή την αναλογία χώρους ανωτέρων διαστάσεων….

Το εσωτερικό μήνυμα από αυτή την αναλογία είναι ότι μόνο με την κίνηση και την υπέρβαση του «εαυτού» μπορεί να γίνει αντιληπτή η αμέσως ευρύτερη πραγματικότητα, η οποία προσθέτει «βάθος» στην προηγούμενη «επίπεδη» οπτική μας… Το πήδημα σε μια αμέσως επόμενη διάσταση από τη «φυσική» διάσταση μιας οντότητας δημιουργεί επίσης ένα μεταφυσικό παράδοξο: της ενότητας και ολοκλήρωσης δύο διαφορετικών οντοτήτων.

Για παράδειγμα δύο σημεία Α και B θεωρούνται διαφορετικές οντότητες μεταξύ τους στον ίδιο, μηδενικής διάστασης, χώρο τους. Στο χώρο όμως της μίας διάστασης υπάρχει πάντα μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από αυτά και τα περιλαμβάνει σα στοιχεία της, δηλαδή αυτά αποτελούν μέρη μιας ευρύτερης από τα ίδια οντότητας. Παρόμοια δύο διακεκριμένες μονοδιάστατες γραμμές ενοποιούνται σε ένα επίπεδο που τις περιλαμβάνει και τις δυο και του οποίου αυτές αποτελούν μέρη. Ανάλογα πάλι δύο επίπεδα ενοποιούνται σε ένα στερεό που τα περιλαμβάνει, όπως θα πρέπει να ενοποιούνται και δύο οποιαδήποτε αντικείμενα του τρισδιάστατου εποπτικού χώρου μας σε ένα τετραδιάστατο χώρο.

Page 19: Περί Απείρου

Σκεπτόμενοι αντίστροφα την αναλογική αυτή διαδικασία, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μια οντότητα ενός ν-διάστατου χώρου είναι μια προβολή ή «σκιά» ενός (ν+1) –διάστατου αντικειμένου στον κόσμο αυτόν, ανάλογα με τη διδιάστατη σκιά που δημιουργούν οι προβολές των τρισδιάστατων αντικειμένων του εποπτικού μας χώρου.

Προχωράμε όμως στις σχετικές θέσεις, όπως είπαμε, δύο ευθειών σε ένα επίπεδο.

Σε δύο διαστάσεις δύο διαφορετικές ευθείες μπορούν ή να τέμνονται (οπότε θα έχουν ένα κοινό σημείο) ή να είναι παράλληλες (δε θα έχουν κανένα κοινό σημείο).

Στις τρεις διαστάσεις υπάρχει και μια τρίτη ακόμα περίπτωση: οι δυο ευθείες να μην τέμνονται και να μην είναι παράλληλες (να μην ανήκουν δηλαδή στο ίδιο επίπεδο, διότι δύο παράλληλες ευθείες ορίζουν πάντα ένα επίπεδο) - μια αντινομία στις δύο διαστάσεις. Προσέξτε το αυτό, διότι οι αντινομίες συνήθως αίρονται, παύουν δηλαδή να ισχύουν, σε μια ανώτερη διάσταση!

Στην τρίτη αυτή περίπτωση λέμε ότι οι δύο ευθείες είναι ασύμβατες, όπως στο παρακάτω σχήμα :

Page 20: Περί Απείρου

Ας περιοριστούμε όμως μόνον στις παράλληλες ευθείες και στο περίφημο 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, που διατυπώσαμε παραπάνω, σύμφωνα με το οποίο από ένα σημείο έξω από μια ευθεία μπορούμε να φέρουμε μία και μόνο ευθεία παράλληλη προς αυτή (που να μην την τέμνει όσο και αν προεκταθεί).

Θα έχουμε ίσως ακούσει μερικές φορές την καταχρηστική έκφραση «δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται στο άπειρο» Σημειώνουμε εδώ ότι αυτό δεν ισχύει στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, διότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην πραγματικότητα δεν περιλαμβάνει κανένα «άπειρο» και είναι επομένως λάθος να πούμε, μέσα στο δικό της πλαίσιο, ότι δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται στο άπειρο!

Μπορεί ο Ευκλείδης να θεώρησε ότι τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος μπορούν να προεκταθούν όσο θέλουμε, πάνω στην ευθεία που αυτά ορίζουν, αλλά δε μίλησε πουθενά για το άπειρο ούτε και το υπονόησε, διότι για την αρχαία Ελληνική σκέψη, όπως είπαμε, δεν υπάρχει κανένα πραγματικό άπειρο, παρά μόνο δυνητικό και, όπως τόνισε και ο Γκάους πολύ αργότερα, «το άπειρο είναι απλά ένα σχήμα λόγου».

Και τι σημαίνει τότε το ότι μπορούμε να επεκτείνουμε τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος «όσο θέλουμε», αφού αυτό υπονοεί ότι μπορούμε να τα επεκτείνουμε απεριόριστα και τι σημαίνει αυτό το «απεριόριστα»; Συγκλίνουν αυτά τελικά προς κάτι ή πάντα θα διαφεύγουν μυστικιστικά και θεολογικά προς το απροσδιόριστο;

Τέτοια ερωτήματα δε θέτει όμως η Ευκλείδεια Γεωμετρία, διότι η πρακτική επ’ άπειρον επέκταση αυτού του ευθύγραμμου τμήματος είναι πρακτικά αδύνατη και ούτε και έχει καμιά πρακτική εφαρμογή. Μόνο με τη φαντασία μας μπορούμε να εννοήσουμε κάτι τέτοιο και πάλι ατελώς συναντώντας μπροστά μας ανυπέρβλητα εμπόδια κατανόησης.

Page 21: Περί Απείρου

Όταν εμφανίζονται τέτοια ανυπέρβλητα εμπόδια και «μυστήρια», τα μαθηματικά αρχίζουν κατά τη γνώμη μας να θεολογούν και να έχουν σαθρές βάσεις και θεμελίωση. Αυτό ακριβώς συμβαίνει με την Ευκλείδεια Γεωμετρία, που αρνείται να ασχοληθεί με την έννοια του απείρου, ενώ αυτή η ίδια η έννοια είναι παντού γύρω της: στην άπειρη διαιρετότητα μιας ευθείας γραμμής, στα άπειρα σημεία από τα οποία αυτή αποτελείται, στην άπειρη απόσταση που μπορεί αυτή να επεκταθεί, στο ότι δύο παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται ποτέ όσο απεριόριστα και να τις προεκτείνουμε και τέλος σε αυτή τούτη τη δομή του συνεχούς της ευθείας γραμμής, το οποίο για να κατανοηθεί, όπως ακριβώς για να κατανοηθούν οι άρρητοι αριθμοί, χρειάζεται να καθοριστεί επακριβώς η έννοια του απείρου.

Επειδή το άπειρο αφέθηκε πλήρως ασαφές και απροσδιόριστο στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, μπόρεσε τελικά να διεκδικήσει την κατανόησή του η … θεολογία!

Υπάρχει όμως μια σοβαρή ένσταση από την πλευρά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας σε όλα αυτά: Αν υποθέσουμε την ύπαρξη ενός σημείου στο άπειρο, όπου δύο παράλληλες ευθείες τέμονται, τότε οδηγούμαστε σε αντίφαση. Έστω π.χ. δύο οριζόντιες ευθείες που παριστάνονται σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με τις εξισώσεις ψ = 2 και ψ = 4, όπως στο παρακάτω σχήμα:

Αν υποτεθεί ότι αυτές τέμνονταν στο άπειρο, τότε το σημείο αυτό του απείρου οφείλει να έχει μία μόνον τεταγμένη ψ, που σημαίνει ότι σε αυτή την περίπτωση θα έπρεπε να ισχύει η ισότητα 2 = 4! Παίρνοντας διαφορετικές ευθείες θα μπορούσαμε έτσι να φτάσουμε στο συμπέρασμα ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι ίσος με οποιονδήποτε άλλον πραγματικό αριθμό!

Page 22: Περί Απείρου

Άρα:

Ή όντως όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους (ή γίνονται ίσοι από την προοπτική του απείρου, μόλις φτάσουμε σε αυτό, οπότε όλα τα πράγματα εξισώνονται μεταξύ τους), αν μπορεί να το δεχθεί κανείς αυτό και να μη το νιώθει σαν μια μεγάλη αντίφαση).

Ή κάτι δεν πάει καλά με το καρτεσιανό επίπεδο συντεταγμένων, που προεκτείνεται κατά τη διέθυνση του άξονα των x μέχρι το άπειρο.

Ή δύο παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται ποτέ, ούτε ακόμα στο άπειρο!

Ή κάτι δεν πάει καλά με το άπειρο και με τον τρόπο που το καταλαβαίνουμε (μπορεί το άπειρο π.χ. να μην υπάρχει). Θα μελετήσουμε λίγο αυτές τις εκδοχές.

Την πρώτη, που έχει μεταφυσικό καθαρά περιεχόμενο, την αντιπαρερχόμαστε και προχωράμε στη δεύτερη.

Ναι, θα μπορούσε κάλλιστα να μην πηγαίνει κάτι καλά με το ευθύγραμμο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, του οποίου οι δυο βασικοί άξονες x΄x και y΄y εννοούνται επίσης να επεκτείνονται απεριόριστα, παραμένοντας πάντα ευθύγραμμοι, και είναι επομένως «Ευκλείδειας» δομής, συμπεριλαμβάνοντας τις ατέλειες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Αυτό το «επεκτείνονται απεριόριστα» πρέπει να αποκτήσει σαφήνεια, αν θέλουμε να κατανοήσουμε τι λέμε. Ας παρατηρήσουμε προς το παρόν ότι το «απεριόριστο» δε συμπίπτει αναγκαστικά με την κλασσική έννοια του απείρου του αριθμητικού μας συστήματος, σύμφωνα με την οποία το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι φραγμένο άνω, δηλαδή για κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό υπάρχει πάντα ένας άλλος μεγαλύτερος από αυτόν. Μπορεί κάτι να είναι απεριόριστο, χωρίς όρια και να μην έχει την έννοια του μαθηματικού απείρου. Η επιφάνεια π.χ. μιας σφαίρας δεν έχει όρια και μπορεί κανείς να βαδίσει πάνω της χωρίς να ανακαλύψει ποτέ την «άκρη» της. Περπατώντας όμως συνεχώς προς μια ορισμένη κατεύθυνση, θα φτάσει τελικά στο σημείο αφετηρίας του και από εκεί και πέρα αν θέλει μπορεί να συνεχίσει επ’ αόριστον (επ’ άπειρον) τις κυκλικές αυτές περιφορές του, με ανάλογο ακριβώς τρόπο όπως ορίζουμε τους τριγωνομετρικού αριθμούς οποιοδήποτε πραγματικού αριθμού, οσοδήποτε μεγάλου, στον τριγωνομετρικό κύκλο.

Page 23: Περί Απείρου

Το απεριόριστο λοιπόν δεν είναι αναγκαστικά και άπειρο. Μπορεί να οδηγεί τελικά σε έναν πεπερασμένο δρόμο και στην κοινή συνάντηση των άκρων μιας υποτιθέμενης «ανοιχτής» πάντα γραμμής. Αν ο Ευκλείδης εννοούσε έτσι το απεριόριστο, τότε δεν είναι ανάγκη να υποθέτουμε εμείς ότι τα άκρα μιας ευθείας γραμμής θα επεκτείνονται αναγκαστικά επ’ αόριστο με τέτοιο τρόπο ώστε να απομακρύνονται συνεχώς μεταξύ τους και ουδέποτε να προσεγγιστούν. Θα μπορούσαν να ανακυκλωθούν και στην πραγματικότητα μια ευθεία γραμμή να είναι ένας τεράστιος κύκλος!

Μαθηματικά τώρα, ναι , μια ευθεία γραμμή μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας κύκλος με άπειρη ακτίνα και μηδενική επομένως καμπυλότητα (αφού η καμπυλότητα ενός κύκλου είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας του!).

Φανταστείτε ένα κύκλο να μεγαλώνει σιγά-σιγά την ακτίνα του και να γίνεται έτσι αυτός συνεχώς λιγότερο καμπύλος. Φανταστείτε τώρα έναν τεράστιο (αλλά όχι άπειρο) κύκλο και 2 σημεία πάνω στην περιφέρεια του. Το τόξο τότε που ορίζουν αυτά τα δυο σημεία δε θα μοιάζει με ένα καμπύλο τόξο, αλλά με χορδή, δηλαδή με ένα ευθύγραμμο τμήμα και με το όριο στο άπειρο ολόκληρος αυτός ο κύκλος θα εκφυλιστεί τελικα σε μια ευθεία γραμμή!

Τι σημαίνει αυτό; Θα σταματήσει μήπως ο κύκλος να είναι μια καμπύλη και θα αποκτήσει μαγικά, αυτοκοβόμενος σε κάποιο σημείο του, δύο απρόσιτα μεταξύ τους άκρα, έτσι ώστε να γίνει μια «πραγματική» ευθεία, όπως μα έχουν μάθει να την φανταζόμαστε;

Ο Κόσμος ολόκληρος έχει μια σφαιρική συμμετρία, όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε παντού γύρω μας. Τα άστρα και τα πλανητικά τους συστήματα ακόμα και οι γαλαξίες (έστω και αν κάποιοι είναι προς το παρόν επιμήκεις) τείνουν να αποκτήσουν επίσης μια σφαιρική συμμετρία. Αν εφαρμόσουμε εδώ το διαισθητικό Ερμητικό αξίωμα «όπως πάνω έτσι και κάτω, και όπως κάτω έτσι και πάνω», τότε θα αναμέναμε και ολόκληρο το σύμπαν, όλος ο εκδηλωμένος χώρος να έχει επίσης μια σφαιρική συμμετρία, αν αποτελεί μια τετραδιάστατη υπερσφαίρα, όπως υποστηρίζουν οι κοσμολόγοι, με άλλα λόγια να είναι απεριόριστος, αλλά όχι ακριβώς άπειρος στο μέγεθος. Ούτε άλλωστε και άπειρος χρόνος υπάρχει μέσα στα πλαίσια της φυσικής και της κοσμολογίας. Οι αποστάσεις μεταξύ των συμπαντικών σημείων μπορεί να είναι τεράστιες, αλλά δεν είναι άπειρες, με την έννοια του μαθηματικού απείρου.

Απ’ ό,τι καταλαβαίνουμε, το βασικό ερώτημα είναι αν ζούμε σε ένα ανοιχτό ή σε ένα κλειστό (αν και αχανές και απεριόριστο, αλλά όχι «άπειρο» σε μέγεθος) σύμπαν. Η προσωπική μου λογική και φιλοσοφική διάθεση είναι υπέρ του κλειστού σύμπαντος, διότι μόνον

Page 24: Περί Απείρου

έτσι θα μπορούσε αυτό να αναπτυχθεί, εξελιχθεί και να κατανοηθεί. Αυτό όμως δε σημαίνει ότι αυτό το σύμπαν είναι το μοναδικό που μπορεί να υπάρχει. Αντίθετα, μπορεί να υπάρχουν πολλά σύμπαντα, σε μια άπειρη επαλληλία. Όπως άλλωστε θα δούμε αργότερα και τα μαθηματικά άπειρα είναι επίσης άπειρα στο πλήθος (και όχι μόνον ένα όπως συνήθως νομίζουμε) και θα εξετάσουμε τότε πώς θα μπορούσαμε να αποδώσουμε ένα από αυτά στο δικό μας σύμπαν.

Ακόμα και ο θεός αν υπήρχε και είχε τις ιδιότητες που του αποδίδουν οι θρησκευόμενοι, αυτός δε θα δημιουργούσε ποτέ έναν ανοιχτό κόσμο κι ένα νου ή μια συνείδηση που δε θα μπορούσε ποτέ να τον προσεγγίσει ή να τον κατανοήσει. Από την άλλη μεριά, αν ο ίδιος ο θεός αυτοπροσδιορίζεται μέσα από τη δημιουργία του, όπως έχουν προτείνει διάφοροι φιλόσοφοι, αυτός θα δημιουργούσε πάλι κλειστά συστήματα για να μπορέσει μέσα από την αλληλεπίδρασή του με αυτές τις δημιουργίες του ή προβολές του να αυτοπροσδιοριστεί κ.λ.π. κ.λ.π., για να μη μείνουμε σε αυτά, τα οποία θα μπορούσαμε να συζητήσουμε στο τέλος , μετά την ολοκλήρωση της εργασίας μας.

Πρέπει να υπάρχει ένα όριο στην επ’ αάπειρον επέκταση μιας ευθείας γραμμής, ένας «αξεπέραστος δακτύλιος» όπως θα έλεγε και η Ντιόν Φόρτσιουν στη Μυστική Διδασκαλία της, ένας δακτύλιος τον οποίο τα πλάσματα του χώρου που αυτός περικλείει δεν θα μπορούν να τον διαβούν ούτε καν με τη σκέψη τους! Ο πρωταρχικός αυτός περιορισμός άλλωστε είναι που επιβάλει την εξέλιξη και ανάπτυξη αυτού του κόσμου και τη δυνατότητα κατανόησής του.

Όσοι θέλουν να κάνουν.. Ζεν (χεχε ποιος το καταλαβαίνει αυτό?) απομακρύνοντας συνεχώς τα «άκρα» μιας ευθείας χωρίς τελειωμό και χωρίς τη δυνατότητα της επανακύκλωσης, που επίσης υποστηρίζει η φιλοσοφική σχέση, ας δεχτούν τη υποτιθέμενη αυτή δυνατότητα της απ’ άπειρον ανάπτυξής της και της συνεχούς και χωρίς τελειωμό απομάκρυνσης των άκρων της, παρότι ζούμε σε αν υλικό σύμπαν όπου υποτίθεται ότι και αυτή ακόμα η ύλη καμπυλώνει το χωρόχρονο…

Το γεωμετρικό άπειρο, όπως και το κοσμικό οφείλει να είναι λοιπόν πεπερασμένο! Εμφανίζεται έτσι μπροστά μας περίτρανος ο Νόμος της Μη Αντίφασης να μας το απαγορέψει και να μας ωθήσει να διαλέξουμε το ένα από τα δυο, σύμφωνα με την προτροπή του Μπους: «όποιος δεν είναι μαζί μας, είναι εναντίον μας!». Οι ερευνητές όμως και οι φιλόσοφοι δεν καταλαβαίνουν από τέτοια διλήμματα και γνωρίζουν ότι για να επιτελεστεί η κατανόησή τους, πρέπει αυτή να περιλαμβάνει και τα δυο: τόσο τη θέση όσο και την αντίθεση. Όπως το ηλεκτρόνιο ή το φωτόνιο του υποατομικού κόσμου μπορούν να είναι συγχρόνως κύματα και σωματίδια, έτσι και

Page 25: Περί Απείρου

το σύμπαν μπορεί να είναι άπειρο και περπερασμένο συνάμα. Αρκεί να προσδιοριστεί τι εννοούμε με τη μία και τι με την άλλη φράση..

Επισημάναμε ότι μερικοί χρησιμοποιούν καταχρηστικά τη φράση «δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται στο άπειρο». Όχι μόνον αυτό, αλλά για λόγους συνέπειας με το γεγονός ότι οι μη παράλληλες ευθείες τέμνονται σε ένα μόνον σημείο, ίσως να έχουμε ακούσει πληρέστερα την αντίστοιχη φράση ως εξής: «δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται στο άπειρο σε ένα σημείο». Με αυτό τον τρόπο όλες οι ευθείες, παράλληλες ή μη παράλληλες, τέμνονται πάντοτε σε ένα σημείο! Η Γεωμετρία αποκτά με αυτό τον τρόπο μια κομψότητα και μια συνέπεια που δεν έχει η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Όταν αποδεχτούμε την προηγούμενη φράση σαν αξίωμα, ήδη δεν είμαστε στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, αλλά σε μια άλλη Γεωμετρία και αυτή είναι η Προβολική Γεωμετρία!

Στην Προβολική Γεωμετρία δύο οποιεσδήποτε γραμμές τέμνονται πάντα σε κάποιο σημείο. Οι παράλληλες όμως γραμμές δεν τέμνονται στο «πραγματικό» επίπεδο, αλλά στην επ’ άπειρον ευθεία, που προσθέτουμε σε αυτό, δημιουργώντας έτσι το Προβολικό Επίπεδο. Οι παράλληλες λοιπόν ευθείες τέμνονται σε ένασημείο της επ’ άπειρον ευθείας, η θέση του οποίου εξαρτάται από τη διεύθυνσή τους (κλίση) τους. Ισχύει και το αντίστροφο: αν δυο οποιεσδήποτε ευθείες τέμνονται σε αν σημείο της επ’ άπειρον ευθείας, τότε οι ευθείες αυτές είναι παράλληλες.

Ενώ τώρα στο «πραγματικό» επίπεδο μια ευθεία γραμμή αποκλίνει συνεχώς προς δυο αντίθετες κατευθύνσεις, στο προβολικό επίπεδο οι δυο αυτές αντίθετες κατευθύνσεις τέμνονται σε ένα σημείο της επ’ άπειρον ευθείας. Οι ευθείες επομένως είναι στο προβολικό επίπεδο κυκλικές και όχι ευθύγραμμες. Το ίδιο ισχύει και για την επ’ άπειρο ευθεία, η οποία είναι επίσης κύκλος! Ο κύκλος αυτός περιβάλλει το προβολικό επίπεδο (ο αδιαπέραστος δακτύλιος?) και είναι στην πραγματικότητα ομοιομορφικός με μια ζώνη Μέμπιους: διαμετρικά αντίθετα δηλαδή σημεία του κύκλου είναι ισοδύναμα –είναι δηλαδή το ίδιο σημείο.

Ομοιομορφισμός είναι μια τοπολογική ισοδυναμία που μετατρέπει μέσω τεντώματος και κάμψης ένα αντικείμενο σε ένα καινούργιο σχήμα. Έτσι ένα τετράγωνο είναι ομοιομορφικό με έναν κύκλο, ενώ μια σφαίρα δεν είναι ομοιομορφική με ένα τόρο (μια σαμπρέλα ή ένα λουκουμά)

Page 26: Περί Απείρου

Μια υπερβολή (μια ανοιχτή καμπύλη στην Ευκλείδεια Γεωμετρία) μπορεί να ιδωθεί σαν μια κλειστή καμπύλη που τέμνει την επ’ άπειρο ευθεία σε δυο διαφορετικά σημεία που καθορίζονται από την κλίση των δύο ασυμπτώτων της. Παρόμοια μια παραβολή (επίσης μια ανοιχτή καμπύλη στην Ευκλείδεια Γεωμετρία) μπορεί να ιδωθεί σα μια κλειστή καμπύλη που τέμνει την επ’ άπειρο ευθεία σε ένα μοναδικό σημείο.

Τι νομίζετε ότι είναι κουφά όλα αυτά; Νομίζετε ότι η μόνη «αληθής» Γεωμετρία είναι η Ευκλείδεια; Γελιέστε, διότι δεν υπάρχει μόνον η Προβολική Γεωμετρία που λέει «κουφά πράγματα», αλλά και άλλες μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, όπως π.χ. η Ελλειπτική Γεωμετρία του Ρήμαν και η Υπερβολική Γεωμετρία του Λομπατσέφσκι.

Τι σημαίνει «υπάρχουν και άλλες Γεωμετρίες»; Από πού βγήκαν αυτές;

Θα θυμάστε τα πέντε θεμελιώδη αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που έχουμε ήδη αναφέρει. Από πολύ παλιά το πιο περίεργο (τα άλλα φαίνονταν λογικά και αμέσως αποδεκτά) ήταν το πέμπτο αξίωμα των παραλλήλων.

Αυτό φαινόταν περισσότερο σαν ένα θεώρημα παρά σαν ένα αξίωμα. Έτσι πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν επί αιώνες να το αποδείξουν με βάση τα τέσσερα προηγούμενα αξιώματα. Όλοι όμως απέτυχαν. Τελικά ανακάλυψαν ότι το πέμπτο αυτό αξίωμα του Ευκλείδη είναι εντελώς ανεξάρτητο από τα τέσσερα προηγούμενα και μπορεί κανείς να υποθέσει ότι δεν ισχύει και να έχει παρόλα αυτά ένα τελείως συνεπές σύστημα! Μπορεί δηλαδή να ορίσει τις έννοιες «ευθεία» και «σημείο» ώστε να ικανοποιούν μόνον τα τέσσερα πρώτα αξιώματα. Με αυτό τον τρόπο, με την άρνηση δηλαδή μόνον του πέμπτου αξιώματος, δημιουργούνται Γεωμετρίες άλλου είδους που ονομάζονται Ευκλείδειες Γεωμετρίες..

Page 27: Περί Απείρου

Η Υπερβολική Γεωμετρία π.χ. δέχεται ότι υπάρχουν άπειρες «ευθείες» που διέρχονται από το ένα σημείο Α εκτός μιας ευθείας ε και δεν τέμνουν την ευθεία αυτή. Αντίθετα, στην Ελλειπτική Γεωμετρία ή Γεωμετρία του Ρήμαν δεν υπάρχουν παράλληλες «ευθείες» και όλες οι «ευθείες» που διέρχονται από το Α τέμνουν την ευθεία ε.. Υπάρχουν και άλλες Γεωμετρίες, εκτός αυτών, στις οποίες δεν ισχύει το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη.

Στην υπερβολική γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντα μιαρότερο από 180ο. Αντίθετα στην ελλειπτική γεωμετρία του Ρήμαν, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντα μεγαλύτερο από 180ο.

Στην ελλειπτική γεωμετρία οι «ευθείες» δεν εκτείνονται επ’ άπειρον και έχουν ένα πεπερασμένο μήκος. Επίσης, ενώ στην Ευκλείδεια γεωμετρία υπάρχει μια και μόνο ευθεία που διέρχεται από δυο δοθέντα σημεία Α και Β, στη Γεωμετρία του Ρήμαν υπάρχουν περισσότερες τέτοιες ευθείες, με αποτέλεσμα δύο από αυτές να μπορούν να περικλείουν έναν χώρο. Σε ένα χαρτί, όπου δύσκολα αποτυπώνεται αυτό το φαινόμενο, οι δύο αυτές γραμμές θα φαίνονται σαν καμπύλες και όχι σαν ευθείες.

Page 28: Περί Απείρου

Το απλούστερο μοντέλο για μια ελλειπτική γεωμετρία είναι μια σφαίρα όπου οι ευθείες είναι μέγιστοι κύκλοι (που το κέντρο τους είναι το κέντρο της σφαίρας), όπως ο ισημερινός και οι μεσημβρινοί της γης. Στο παρακάτω σχήμα δυο τέτοιοι μέγιστοι κύκλοι («ευθείες») τέμνονται κατά ορθή γωνία. Όπως εύκολα φαίνεται δεν υπάρχουν εδώ παράλληλες «ευθείες», διότι όλοι οι μέγιστοι κύκλοι τέμνονται. Επίσης είναι εμφανές ότι καθένας από αυτούς έχει ένα πεπερασμένο μήκος, ενώ ειδικά εδώ το σφαιρικό τρίγωνο ΑΝΒ έχει άθροισμα γωνιών 90ο + 90ο+ 90ο = 270ο, μεγαλύτερο δηλαδή από 180ο .

Γενικότερα στις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες (καμπύλους χώρους) η έννοια της ευθείας γραμμής αντικαθίσταται από την έννοια της γεωδαισιακής. Γεωδαισιακή λέγεται η γραμμή ελαχίστου μήκους ανάμεσα σε δύο σημεία μιας επιφάνειας. Με άλλα λόγια ο συντομότερος δρόμος μεταξύ των δυο αυτών σημείων. Στην ελλειπτική γεωμετρία, όπως είδαμε, οι γεωδαισιακές είναι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας.

Για να θεωρήσουμε ότι ο τρισδιάστατος εποπτικός μας χώρος ακολουθεί μια τέτοια ελλειπτική γεωμετρία, πρέπει να υποθέσουμε ότι αυτός καμπυλώνεται στην τέταρτη διάσταση. Καταλαβαίνουμε λοιπόν πολύ καλά γιατί ο Αϊνστάιν χρησιμοποίησε τη Γεωμετρία του Ρήμαν και όχι του Ευκλείδη στη περίφημη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Σήμερα, προς το παρόν τουλάχιστον, η Κοσμολογία δέχεται ότι η γεωμετρία του φυσικού μας χώρου είναι μη Ευκλείδεια.

Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν, ο χώρος καμπυλώνεται γύρω από τις μεγάλες αστρικές μάζες. Μακριά όμως από ισχυρά πεδία βαρύτητας και για μικρές σχετικά αποστάσεις ο χώρος εξακολουθεί να είναι προσεγγιστικά επίπεδος (όχι

Page 29: Περί Απείρου

καμπύλος, δηλαδή Ευκλείδειος) και να εφαρμόζεται έτσι σε αυτόν με αρκετά καλή προσέγγιση η Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Σε σχέση τώρα με την τελευταία εκδοχή που θέσαμε προς συζήτηση, για το αν δηλαδή δεν πάει κάτι καλά με το άπειρο και τον τρόπο που το καταλαβαίνουμε, έχουμε ήδη πιστεύω απαντήσει αρκετά και γι’ αυτό, τουλάχιστον κατά τη Γεωμετρική έννοια.

Αν θεωρήσουμε το φυσικό μας χώρο ελλειπτικό, τότε προφανώς δεν υπάρχει σε αυτόν το αριθμητικό άπειρο σε σχέση με τα μετρούμενα μεγέθη (αποστάσεις, εμβαδά και όγκους), παρόλο που αυτά μπορούν να πάρουν τεράστιες τιμές. Και όμως παρόλα αυτά μπορούμε να θεωρήσουμε διάφορες απειρότητες σε αυτόν, ακόμα και μηκών ή εμβαδών, και πολύ περισσότερο του πλήθους των σημείων που τον απαρτίζουν.

Π.χ. όπως ένα ευθύγραμμο τμήμα κρύβει μια απειρότητα σημείων (οντοτήτων δηλαδή της αμέσως μικρότερης διάστασης), που μπορούν να θεωρηθούν ότι την γεννούν (σημειογενής), έτσι και ένα επίπεδο κρύβει μια απειρότητα ευθειών που μπορούν να θεωρηθούν ότι το γενούν (ευθειογενές). Ανάλογα ένα στερεό κρύβει μια απειρότητα επιπέδων που μπορεί να θεωρηθούν, ανάλογα, ότι το παράγουν. Κι ενώ τα σημεία είναι αδιάστατα, οι ευθείες και τα επίπεδα δεν είναι, κι επομένως αν θεωρήσουμε ένα πεπερασμένο επίπεδο σχήμα, π.χ. ένα ορθογώνιο, και το «γεμίσουμε» με ευθείες γραμμές, παράλληλες π.χ. σε μια από τις δυο διαστάσεις του, τότε, παρόλο που αυτές θα έχουν όλες ένα πεπερασμένο μήκος, ίσο με το μήκος αυτής της διάστασης, όλες μαζί, λόγω του άπειρου πλήθους τους, θα δίνουν ένα άπειρο επίσης μήκος, κάνοντάς μας να καταλάβουμε με αυτό τον τρόπο την απειρία των οντοτήτων της αμέσως μικρότερης διάστασης και του συνολικού, άπειρου επίσης, μεγέθους τους, με την οποία πληρούμε ένα δοσμένο, πεπερασμένο γεωμετρικό χώρο.

Ένα πεπερασμένο λοιπόν εμβαδόν, κρύβει μια απειρότητα «μηκών» ή «πλατών» και ένας πεπερασμένος όγκος κρύβει μια απειρότητα εμβαδών και μια μεγαλύτερη (??) απειρότητα ευθειών και ακόμα περισσότερο σημείων.

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τέτοιες υποτιθέμενες «μεγαλύτερες», «διπλές» ή «τριπλές» απειρότητες και θα καταλήξουμε σε πολύ παράδοξα συμπεράσματα γι’ αυτές!

ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΔΥΟ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΑΠΕΙΡΑ

Page 30: Περί Απείρου

Το άπειρο των φυσικών αριθμών και των αριθμήσιμων απειροσυνόλων και το άπειρο των πραγματικών αριθμών ή άπειρο του συνεχούς.

Πριν προχωρήσουμε όμως μας χρειάζεται η έννοια του συνόλου.

Απλά σα σύνολο ονομάζουμε μια συλλογή αντικειμένων που έχουν όλα μια κοινή ιδιότητα.

Τα αντικείμενα αυτά, πάντα διαφορετικά μεταξύ τους, αποτελούν τα στοιχεία του συνόλου.

Ένα σύνολο το παριστάνουμε είτε με την αναγραφή των στοιχείων του, χωρισμένων μεταξύ τους με κόμματα και όλα μεταξύ δύο αγκίστρων, ή με περιγραφή των στοιχείων τους.

π.χ. λέμε το σύνολο Α= 1,2,3

Αυτό περιλαμβάνει απλώς τους αριθμούς 1,2,3

ή το σύνολο Ν = 1,2,3,4,5,...., που είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. Εδώ οι τελίτσες στο τέλος σημαίνουν και τα λοιπά, δηλαδή και όλοι οι υπόλοιποι άπειροι αριθμοί μετά τα αναγραφόμενα αρχικά στοιχεία αυτού του συνόλου.

Το σύνολο Z = 0, +-1, +-12, +-3,.... παριστάνει το σύνολο τωνακεραίων αριθμών.

Το σύνολο Q = x: x = κ/λ, όπου κ,λ = ακέραιοι παριστάνει το σύνολο των ρητών αριθμών, δηλαδή όλων των δυνατών κλασμάτων με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιο αριθμό.

Τέλος με το σύμβολο R (από το Real) συμβολίζουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή όλους τους γνωστούς μας αριθμούς, ρητούς και άρρητους, εκτός από τους μιγαδικούς αριθμούς που δε μας ενδιαφέρουν εδώ.

Τα προηγούμενα τέσσερα απειροσύνολα είναι αυτά που χρησιμοποιούμε συνήθως στην αριθμοθεωρία.

Δεν υπάρχουν όμως μόνον αριθμητικά σύνολα, όπως τα προηγούμενα, αλλά και σύνολα οποιωνδήποτε άλλων αντικειμένων, τα οποία μπορούμε να εξετάσουμε ως προς μια κοινή τους ιδιότητα.

π.χ. το σύνολο των χημικών στοιχείων, το σύνολο των χρωμάτων, το σύνολο όλων των γαλαξιών κ.ο.κ.

Page 31: Περί Απείρου

Τα σύνολα αυτά διακρίνονται σε διακριτά σύνολα και σε συνεχήσύνολα.

Το σύνολο π.χ. των φυσικών αριθμών Ν είναι ένα διακριτό σύστημα, διότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς δεν υπάρχει κανένας άλλος φυσικός αριθμός. π.χ. μεταξύ του 2 και του 3 δεν υπάρχει άλλος φυσικός αριθμός.

Αντίθετα το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι ένα συνεχές σύνολο, διότι μεταξύ δύο οποιωνδήποτε πραγματικών αριθμών υπάρχουν πάντα και άλλοι πραγματικοί αριθμοί (τουλάχιστον ένας).

Παρόμοια συνεχές είναι και κάθε σύνολο ή διάστημα της μορφής (α,β) με α και β πραγματικούς αριθμούς, το οποίο παριστάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς μεταξύ του α και β, αλλά όχι τους ίδιους τους α και β. Άμα όμως γράψουμε το ίδιο σύνολο σαν [α.β], τότε συμπεριλαμβάνονται και οι αριθμοί α και β σε αυτό.

Δηλαδή είτε γράψουμε α<χ<β είτε (α,β) εννοούμε το ίδιο πράγμα, ενώ με τη γραφή α < = χ < =β εννοούμε το σύνολο [α.β].

Εδώ ενδιαφερόμαστε βασικά για το συνεχές σύνολο (0,1), που περιέχεις όλους τους πραγματικούς αριθμούς μεταξύ 0 και 1, αλλά χωρίς το ίδιο το 0 και το 1.

Όπως έχουμε σύνολα αριθμών έτσι έχουμε και σύνολα σημείων ή σημειοσύνολα.

π.χ. το σύνολο Σ = Α.β,Γ των κορυφών ενός τριγώνου, που είναι ένα διακριτό σύνολο, ή το σύνολο όλων των σημείων ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, που είναι ένα συνεχές σύνολο.

Τα σύνολα διακρίνονται επίσης σε πεπερασμένα,όταν περιέχουν ένα πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, και σε απειροσύνολα όταν περιέχουν ένα άπειρο πλήθος στοιχείων.

π.χ. το σύνολο 1.2.3 είναι πεπερασμένο, ενώ τα σύνολα Ν, Ζ, Qκαι R είναι απειροσύνολα. Γενικότερα κάθε συνεχές σύνολο είναι ένα απειροσύνολο, αλλά υπάρχουν και διακριτά σύνολα, όπως το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, που μπορεί να είναι απειροσύνολα.

Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου το ονομάζουμε πληθικό αριθμό ή πληθάριθμο αυτού του συνόλου.

π.χ. ο πληθάριθμος του συνόλου Α=1,2,3 είναι 2. Γράφουμε τότε:

card (A) =3 (από το cardinality = πληθάριθμος)

Page 32: Περί Απείρου

Παρόμοια αν Β= α,β,γ,δ,ε,ζ card (B) = 6

Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε τις ιδιότητες των απειροσυνόλων αποδίδουμε ένα πληθάριθμο και στο σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα , το οποίο διαβάζουμε σαν «άλεφ ζήρο». Άλεφ είναι το πρώτο γράμμα της Εβραϊκής αλφαβήτου και αντιστοιχεί στο δικό μας Άλφα. Το χρησιμοποίησε για πρώτη φορά ο Cantor στη θεωρία του των συνόλων. Ώστε:

Card (N) =

Είμαστε τώρα έτοιμοι να ξεκινήσουμε τη βασική αναζήτησή μας πάνω στο άπειρο, αφού παρουσιάσουμε προηγουένως το βασικό αξίωμα πάνω στο οποίο θα στηριχτούμε για την την απόδειξη των θεωρημάτων μας.

Ένα απειροσύνολο θα λέγεται αριθμήσιμο όταν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντοστοιχία ή αντιστοιχία 1-1 (ένα προς ένα) των στοιχείων του με τα στοιχεία του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών. Όταν δηλαδή μπορούμε να αντιστοιχήσουμε με κάποιο τρόπο τα στοιχεία του ένα προς ένα με τους φυσικούς αριθμούς, χωρίς να περισσέψει κανένα στοιχείο από τη μία ή την άλλη μεριά.

Αν αυτό δεν μπορεί να συμβεί, τότε το απειροσύνολο λέγεται μη αριθμήσιμο και έχει έναν άγνωστο πληθικό αριθμό, διαφορετικό από το .

Αντίστοιχα για να βρούμε τον πληθικό αριθμό ενός πεπερασμένου συνόλου, αντιστοιχούμε τα στοιχεία τους ένα προς ένα με τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Ο φυσικός αριθμός που θα αντιστοιχεί τότε στο τελευταίο στοιχείο του συνόλου θα είναι και ο πληθάριθμος αυτού του συνόλου.

π.χ. έστω το σύνολο Δ= κ,λ,ν,ο,ι,τ,ε

και οι φυσικοί αριθμοί 1,2,3,4,5,6,7,8,9,....

Αντιστοιχίζουμε το πρώτο στοιχείο κ του συνόλου Δ με τον αριθμό 1, το δεύτερο στοιχείο λ με τον αριθμό 2 κ.ο.κ. και το τελευταίο στοιχείο του ε με τον αριθμό 7. επομένως Card (D) =7.

Τα σύνολα που έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό ονομάζονται ισοδύναμα.

Διακρίνουμε λοιπόν δύο είδη απειροσυνόλων:

Page 33: Περί Απείρου

Τα αριθμήσιμα που είναι ισοδύναμα με το Ν (σε μια αντιστοιχία 1-1) καιΤα μη αριθμήσιμα σύνολα S για τα οποία Card (S) διάφορο του Card (N), τα οποία δεν είναι ισοδύναμα με το Ν, δηλαδή ο πληθάριθμός τους είναι διαφορετικός από τον πληθάριθμο του Ν.

Προσοχή δυο άπειρα σύνολα δεν είναι αναγκαστικά μεταξύ τους ισοδύναμα. Είναι μόνον όταν μπορεί να οριστεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων τους.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1

Το σύνολο των αρτίων αριθμών, το σύνολα των περιττών αριθμών και το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού m είναι όλα ισοδύναμα με το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, τα σύνολα δηλαδή αυτά τον ίδιο πληθάριθμο με αυτόν.

Για παράδειγμα μπορούμε εύκολα να ορίσουμε την παρακάτω αντιστοιχία 1-1 μεταξύ του συνόλου των φυσικών αριθμών και του συνόλου των αρτίων αριθμών

Και ανάλογα αντί των αρτίων αριθμών

2, 4, 6, 8, 10…. 2n …

Μπορούμε να βάλλουμε στη θέση τους περιττούς αριθμούς :

1, 3, 5, 7, 9,…. ….2n-1

ή τα πολλαπλάσια . του 3:

3, 6, 9, 12, 15,…..3n…

Ή τα πολλαπλάσια οποιοδήποτε φυσικού αριθμού k :

K, 2k, 3k 4k, 5k,…kn…

Page 34: Περί Απείρου

Ή τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών:1, 4, 9, 16, 25,….n2….

Ή ακόμα να αμελήσουμε ένα πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών και να συνεχίσουμε με τους υπόλοιπους:

51, 52, 53, 54, 55,…50 + n …

Σύμφωνα με το αξίωμα του Cantor, όλα αυτά τα σύνολα είναι ισοδύναμα, έχουν δηλαδή τον ίδιο πληθάριθμο ή αλλιώς τον ίδιο αριθμό στοιχείων!

Αυτό μπορεί να μας φανεί πολύ παράξενο, πώς είναι δηλαδή δυνατόν το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν που περιλαμβάνει, εκτός από τους άρτιους αριθμούς, και τους περιττούς αριθμούς, να έχει το ίδιο ακριβώς πλήθος στοιχείων με το σύνολο μόνο των άρτιων αριθμών ή μόνο των περιττών αριθμών. Πώς είναι δυνατόν ένα γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου να έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με αυτό. Αυτό όμως είναι ακριβώς το παράδοξο των απέιρων συνόλων: Μπορούμε να απομακρύνουμε κάποια στοιχεία τους και αυτά να συνεχίσουν να έχουν το ίδιο ακριβώς πλήθος στοιχείων με προηγουμένως!

Με άλλα λόγια το άπειρο είναι κάτι που είναι ίσο με μερικά από τα μέρη του!

Μπορούμε έτσι να δώσουμε ένα πιο τεχνικό ορισμό ενός άπειρου συνόλου:

Ένα σύνολο Α είναι άπειρο αν και μόνον αν είναι ισοδύναμο με ένα κατάλληλο υποσύνολό του.

ΘΕΩΡΗΜΑ 2

Το σύνολο Ζ των ακεραίων αριθμών είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο.

Αντιστοιχίζουμε τα στοιχεία του συνόλου των ακεραίων αριθμών Ζ με τα στοιχεία του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών ένα προς ένα μέσω της εξής αμφιμονοσήμαντης σχέσης:

F(z) = 2z , αν z>=0 και F(z) = - 1-2z αν z<0

Page 35: Περί Απείρου

Δηλαδή τους θετικούς ακέραιους, μαζί με το μηδέν, των αντιστοιχίζουμε στους άρτιους φυσικούς αριθμούς, ενώ τους αρνητικούς ακεραίους τους αντιστοιχίζουμε στους περιττούς φυσικούς αριθμούς:

F(0) =0, F(1) =2, F(2) =4, F(3) = 6,….F(-1) =1, F(-2) = 3, F(-3) = 5, F(-4) = 7,…

Το σύνολο επομένως Ζ των ακεραίων αριθμών έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων (πληθάριθμο) με το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών:

Card (Z) = Card( N)

ΘΕΩΡΗΜΑ 3

Το σύνολο Q+ των θετικών ρητών αριθμών είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο.

Αυτό φαίνεται εύκολα από τον παρακάτω πίνακα

Αντίστοιχα αποδεικνύεται ότι ολόκληρο το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμο :

Page 36: Περί Απείρου

Αντιστοιχίζουμε τυς θετικούς ρητούς Q+ με τους άρτιους φυσικούς αριθμούς όπως δείχνει το ζικ-ζακ παραπάνω και τους αρνητικούς ρητούς Q- με τους περιττούς φυσικούς με τον ίδιο τρόπο. Το μηδέν που έχει περισσέψει το αντιστοιχίζουμε στο 1 που είχαμε αμελήσει κατά την αντιστοιχία των Q- με τους περιττούς φυσικούς ολοκληρώνντας έτσι τη διαδικασία.

Παρόμοια το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (κ,λ) με κ και λ φυσικούς αριθμούς, δηλαδή του συνόλου με στοιχεία:

(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), ….(1,0), (1,1), (1,2), (1,3),….(2,0), (2,1), (2,2), (2,3),….

κ.λ.π.

Το σύνολο αυτών των διατεταγμένων ζευγών παριστάνεται συμβολικά σαν Ν Χ Ν και είναι το καρτεσιανό γινόμενο του Ν με τον εαυτό του.

Ανάλογα αποδεικνύεται ότι είναι αριθμήσιμο και το σύνολο όλων των διατεταγμένων τριάδων φυσικών αριθμών ή αλλιώς το καρτεσιανό γινόμενο N X N X N = (κ.λ.μ) με κ,λ,μ φυσικούς αριθμούς.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Το σύνολο (0,1) όλων των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και του 1 δεν είναι αριθμήσιμο!

Page 37: Περί Απείρου

Αυτό είναι ένα από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της μαθηματικής Λογικής και φέρει τη σφραγίδα της μεγαλοφυΐας του Cantor και της περίφημης διαγώνιας μεθόδου του.

Το σύνολο αυτό είναι ένα απειροσύνολο, διότι περιλαμβάνει όλα τα θετικά κλάσματα ακεραίων (ρητούς) που είναι μικρότερα της μονάδας καθώς επίσης όλους τους άρρητους αριθμούς που είναι μικρότεροι της μονάδας (γενικά όλους τους δεκαδικούς αριθμούς μεταξύ 0 και 1).

Θα δώσουμε παρακάτω, προς εξάσκηση της λογικής μας, μια συνοπτική απόδειξη αυτού του θεωρήματος:

Υποθέτουμε αρχικά ότι αυτό το απειροσύνολο είναι αριθμήσιμο, αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να κατατάξουμε όλους τους πραγματικούς αυτούς αριθμούς μεταξύ του 0 και 1 σε μια λίστα απαριθμώντας τους ως εξής:

Όπου x1 είναι ο πρώτος στην απαρίθμηση από αυτούς, x2 ο δεύτερος, x3 ο τρίτος κ.ο.κ.

Ας επιλέξουμε τώρα το πρώτο δεκαδικό ψηφίου του πρώτου απ’ αυτούς, το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο του δεύτερου, το τρίτο δεκαδικό ψηφίο του τρίτου κ.ο.κ. (δηλαδή «διαγώνια»), όπως δείχνεται παρακάτω όπου έχουμε βάλει μια παύλα κάτω από το αντίστοιχο επιλεγμένο δεκαδικό ψηφίο του κάθε αριθμού.

Σχηματίζουμε τώρα ένα νέο δεκαδικό αριθμό με αυτά τα ψηφία. Θα έχουμε έτσι τον αριθμό:

Page 38: Περί Απείρου

Σε αυτό τον καινούριο δεκαδικό αντικαθιστούμε όλα τα ψηφία που είναι ίσα με το 3 με το ψηφίο 1 και κάθε άλλο ψηφίο με το 3 δημιουργώντας έτσι το νέο αριθμό:

Παρατηρούμε ότι αυτός ο αριθμός ανήκει στο διάστημα (0,1) και εξ’ αιτίας του τρόπου που τον σχηματίσαμε δε θα είναι ίσος με τον πρώτο αριθμό στη λίστα μας x1, διότι το πρώτο ψηφίο τους είναι σίγουρα διαφορετικό, Παρόμοια δε θα είναι ίσος με τον δεύτερο αριθμό στη λίστα μας x2, διότι το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο τους είναι σίγουρα διαφορετικό. Ούτε και με τον τρίτο αριθμό x3 στη λίστα μας ή με οποιονδήποτε άλλον από τους υπόλοιπους αριθμούς σε αυτήν. Αυτό όμως έρχεται σε αντίφαση με την αρχική μας υπόθεση ότι έχουμε απαριθμήσει όλους τους πραγματικούς αριθμούς μεταξύ του 0 και του 1. Άρα δεν μπορούμε να τους απαριθμήσουμε όλους κι επομένως το σύνολο (0,1) δεν είναι αριθμήσιμο!

Και τι σημαίνει αυτό;

Με βάση όλα όσα έχουμε πει μέχρι τώρα, αποδεικνύεται ότι είναι επιτρεπτές για το γνωστό άπειρο των φυσικών αριθμών οι πράξεις:

Του απείρου αυτού με τον εαυτό του, όπως και οι πράξεις:

Page 39: Περί Απείρου

Το άπειρο όμως πλήθος των πραγματικών αριθμών στο διάστημα (0,1) δεν είναι ίδιο με αυτό το προηγούμενο άπειρο των φυσικών αριθμών, διότι όπως δείχνουν οι παραπάνω επιτρεπτές πράξεις οσουσδήποτε πεπερασμένους στο πλήθους αριθμούς και αν προσθέταμε σε αυτό το άπειρο ή ακόμα τον ίδιο τον εαυτό του (άπειρους δηλαδή αριθμούς, αλλά της ίδιας φύσης απειρότητας με αυτό), θα παίρναμε πάλι το ίδιο άπειρο κι επομένως ένα αριθμήσιμο πάλι σύνολο. Δεν είναι απλά ότι με την προηγούμενη διαγώνια μέθοδο του Cantor δείξαμε την ύπαρξη ενός μόνον αριθμού διαφορετικού από τους υπόλοιπους άπειρους αριθμούς του διαστήματος (0,1), ο οποίος θα μπορούσε έτσι να προστεθεί στο άπειρο πλήθος τους και να δώσει πάλι το ίδιο άπειρο, αλλά ένα τελείως διαφορετικό άπειρο που είναι «μεγαλύτερο» από το άπειρο των φυσικών αριθμών!.

Με απλά λόγια το πλήθος των πραγματικών αριθμών που περιέχονται στο διάστημα (0,1) είναι πολλοί περισσότεροι από τους φυσικούς αριθμούς 1,2,3,…. και μάλιστα το πλήθος τους δομεί μια νέα απειρότητα, πολύ πιο ευρύτερη από αυτήν των πραγματικών αριθμών.

Page 40: Περί Απείρου

Άρα, στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει ένα και μόνον άπειρο, όπως μέχρι τώρα υποθέταμε, αλλά τουλάχιστον δύο άπειρα, με το δεύτερο «μεγαλύτερο» ή ευρύτερο του πρώτου.

Αυτό μας βάζει αμέσως στο νου ότι ίσως να υπάρχουν και άλλα άπειρα , τα οποία θα μπορούσαν να διαταχθούν κατ’ αύξοντα μέγεθος, όπως ακριβώς διατάσσουμε τους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4,…)., Να έχουμε δηλαδή τελικά:

Όπου οι αριθμοί Άλεφ

δείχνουν "πηδήματα" διαφορετικών απείρων.

Όπως θα δούμε αργότερα, ναι, αυτό είναι δυνατόν κι υπάρχουν στην πραγματικότητα όχι μόνον δύο αλλά άπειρα άπειρα!

ΘΕΩΡΗΜΑ

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ισοδύναμο με το σύνολο (0,1), δηλαδή τα δύο αυτά σύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθμο.

Μπορούμε να το δείξουμε αυτό αλγεβρικά (ορίζοντας μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του R και του διαστήματος (0,1) ) ή γεωμετρικά. Για λόγους εποπτικότητας, θα προτιμήσουμε τη δεύτερη μέθοδο.

Πρώτα απ’ όλα γνωρίζουμε τον άξονα των πραγματικών αριθμών, μια προσανατολισμένη δηλαδή ευθεία σε κάθε σημείο της οποίας έχουμε ορίσει (μέσω μιας αντιστοιχίας 1-1) έναν διαφορετικό κάθε φορά πραγματικό αριθμό κατ’ αύξουσα τάξη:

Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών και το σύνολο των σημείων μιας ευθείας είναι ισοδύναμα, δηλαδή αυτά έχουν τον ίδιο πληθάριθμο.

Page 41: Περί Απείρου

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι το σημειοσύνολο (0,1) του άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ισοδύναμο με τον ίδιο τον άξονα των πραγματικών αριθμών ή γενικότερα με το σύνολο των σημείων οποιασδήποτε ευθείας.

Έστω δύο δοθέντα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ, το ένα μικρότερο από το άλλο. Εδώ τα δείχνουμε σαν παράλληλα, αλλά δεν είναι ανάγκη να είναι παράλληλα. Φέρνουμε τις ευθείες ΑΓ και ΒΔ που τέμνονται στο σημείο Ο. Από το Ο φέρνουμε μετά όσες ευθείες θέλουμε που τέμνουν τα δύο ευθύγραμμα τμήματα σε αντίστοιχα σημεία. Εύκολα παρατηρούμε ότι η δέσμη αυτών των ευθειών με κορυφή το Ο δημιουργεί μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία (1-1) μεταξύ των σημείων των δυο ευθυγράμμων τμημάτων, έτσι ώστε για κάθε εσωτερικό σημείο του ΑΒ να υπάρχει ένα αντίστοιχο εσωτερικό σημείο του ΓΔ και αντίστροφα. Σύμφωνα επομένως με το αξίωμα του Carnotτα δυο αυτά ευθύγραμμα τμήματα έχουν τον ίδιο αριθμό σημείων! Με άλλα λόγια τον ίδιο πληθάριθμο!

Αυτό μας φαίνεται παράξενο, διότι τα ευθύγραμμα αυτά τμήματα έχουν διαφορετικό μήκος. Θα πρέπει όμως να θυμηθούμε ότι τα σημεία δείχνουν θέση και όχι μέγεθος! Δεν πρέπει λοιπόν να μπερδεύουμε το πλήθος τους με το μέγεθος των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ! Απλά τα δύο αυτά άπειρα σύνολα έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων, όπως έχει το σύνολο των φυσικών αριθμών με το σύνολο των ζυγών αριθμών ή με το σύνολο των ρητών αριθμών. Τα άπειρα άλλωστε σύνολα, είπαμε, είναι ισοδύναμα με ορισμένα γνήσια υποσύνολά τους

Μπορούμε τώρα να φανταστούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ να γίνεται όσο μεγάλο θέλουμε ( φέρνοντας π.χ. παράλληλες ευθείες προς αυτό από σημεία κάτω από αυτό, όλο και πιο απομακρυσμένα από αυτό, οι οποίες αυτές ευθείες θα ορίζουν έτσι όλο και

Page 42: Περί Απείρου

μεγαλύτερα τμήματα μεταξύ των ευθειών ΑΓ και ΒΔ). Καθένα από αυτά τα νέα ευθύγραμμα τμήματα θα βρίσκεται επίσης σε απεικόνιση 1-1 με τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ και θα έχει επομένως τον ίδιο αριθμό σημείων με αυτά! Μπορούμε να απομακρύνουμε το ευθύγραμμο τμήμα στο άπειρο, κάνοντάς το τεράστιο και στην πραγματικότητα ίδιο με μια ευθεία γραμμή, και το πλήθος των σημείων αυτής της ευθείας γραμμής θα είναι ίσο με το πλήθος των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ!

Και όχι μόνον αυτό. Μπορούμε αντίστοιχα να θεωρήσουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να απομακρύνεται διαρκώς προς τα πάνω, παράλληλα με τον εαυτό του, πλησιάζοντας συνεχώς το σημείο Ο. Με αυτό τον τρόπο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ θα αποκτά όλο και μικρότερο μήκος, τείνοντας προς ένα απειροστό μήκος και τελικά στο μηδέν. Και όμως όσο παραμένει απειροστό, αλλά όχι μηδέν, αυτό θα έχει τον ίδιο ακριβώς αριθμό σημείων με οποιαδήποτε ευθεία και με τον ίδιο τον άξονα των πραγματικών αριθμών! Αντί λοιπόν για μια άπειρη ευθεία, θα μπορούσαμε να απεικονίσουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς στο απειροστό αυτό ευθύγραμμο τμήμα!

Με απλά λόγια το απειροστό είναι ισοδύναμο με το άπειρο!

Αν πάρουμε λοιπόν οριακά το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ καθώς αυτό προσεγγίζει συνεχώς το Ο τείνοντας στο μηδέν, θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε οριακά, καταχρηστικά ίσως, ότι ένα σημείο έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με μια ευθεία γραμμή ή το περίφημο μηδέν ίσον άπειρο που υποστήριξα παλιά στο φόρουμ με τις γνωστές έριδες!

Το αφήνουμε όμως αυτό, δεν είναι αυτό το άμεσο αντικείμενό μας. Φτάσαμε απλά στο συμπέρασμα ότι το σημειοσύνολο ΟΙ του άξονα των πραγματικών αριθμών, όπου το Ο αντιστοιχεί στον πραγματικό αριθμό 0 και το Ι στον πραγματικό αριθμό 1 και ολόκληρο το σημειοσύνολο OI (χωρίς τα σημεία 0 και Ι) στο πραγματικό διάστημα (0,1), είναι ισοδύναμο με τον ίδιο τον άξονα των πραγματικών αριθμών κι επομένως το διάστημα (0,1) είναι ισοδύναμο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Γενικότερα αποδείξαμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R έχει το ίδιο ακριβώς πλήθος στοιχείων με οποιοδήποτε γνήσιο υποσύνολό του (α,β), με α και β πραγματικούς αριθμούς και α < β), με το πλάτος β-α αυτού του διαστήματος οσοδήποτε μικρό θέλουμε!

Αυτή είναι η φοβερή και παράδοξη ιδιότητα του συνεχούς: να μπορεί να είναι ισοδύναμο με οποιοδήποτε γνήσιο υποσύνολό του, οσουδήποτε μικρού πλάτους!

Page 43: Περί Απείρου

Είναι λοιπόν:

Card (0,1) = Card (R) = Card (a,b) όπου a, b πραγματικοίμε a < b.

Μπορούμε να δείξουμε αντίστοιχα ότι όχι μόνο μια ευθεία γραμμή, αλλά και οποιαδήποτε καμπύλη έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Έστω π.χ. το παρακάτω σχήμα:

Τα βελάκια εδώ δείχνουν μια πλήρη αντιστοιχία 1-1 των σημείων του ημικυκλίου με τα σημεία της ευθείας.

Έχουμε δει επίσης νωρίτερα ότι δυο ή περισσότεροι ομόκεντροι κύκλοι έχουν τον ίδιο ακριβώς αριθμό σημείων, λόγω μιας πλήρους αντιστοιχίας 1-1 όλων των σημείων τους. Ένας απειροστός έτσι κύκλος έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με ένα τεράστιο κύκλο οσοδήποτε μεγάλης ακτίνας!

Θα συνεχίσουμε όμως με τα παράδοξα του συνεχούς…

Page 44: Περί Απείρου

Ο Cantor τόλμησε να δοκιμάσει, ενάντια στη διαίσθησή του, μήπως βρει μια αντιστοιχία 1-1 και μεταξύ των σημείων μιας ευθείας (ή ενός ευθύγραμμου τμήματος) και των σημείων ενός επιπέδου! Μετά από αρκετή προσπάθεια τα κατάφερε!

Απόδειξε έτσι ότι και ένα επίπεδο έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με ένα ευθύγραμμο τμήμα, οσοδήποτε μικρό θέλουμε!

Κουφό, κουφότατατο! θα αναφωνήσετε… Και όμως η απόδειξή του είναι συνεπέστατη και λογικότατη. Και όχι μόνον αυτό, αλλά απόδειξε ότι και ένα οποιοδήποτε στερεό έχει τον ίδιο ακριβώς αριθμό σημείων με ένα ευθύγραμμο τμήμα! Και όχι μόνον αυτό απόδειξε ότι ολόκληρος ο τρισδιάστατος χώρος μας, ολόκληρο το τρισδιάστατο σύμπαν έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με ένα ευθύγραμμο τμήμα και κατ’ επέκταση με ένα απειροστό ευθύγραμμο τμήμα!

Ο Ερμητισμός σε όλο το μεγαλείο του αποδεικνύεται πια μαθηματικά!

Όπως πάνω έτσι και κάτω…

Όπως το απειροστό, έτσι και το άπειρο!

Και όχι μόνον αυτό, αλλά και οσεσδήποτε «ανώτερες διαστάσεις και αν θεωρήσουμε για το σύμπαν, αυτό εξακολουθεί να έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με ένα ευθύγραμμο τμήμα και μάλιστα με ένα απειροστό ευθύγραμμο τμήμα!

Μεταφυσική στα σύγχρονα μαθηματικά μήπως; Θα τα συζητήσουμε όλα αυτά στο τέλος.

Το συμπέρασμα είναι ότι ο πληθάριθμος ενός σημειοσυνόλου είναι ανεξάρτητος από τη γεωμετρία του και τη χωρική του διάσταση.

Card (0,1) = Card (R) = Card (R^2) = Card (R ^3)

Ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα που σχεδιάζουμε σ’ ένα κομμάτι χαρτί έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με το δωμάτιο που καθόμαστε και με ολόκληρο το σύμπαν!

Καταλαβαίνουμε λοιπόν πολύ καλά γιατί κυνηγήθηκε απηνώς ο Cantorαπό τους συγχρόνους του μαθηματικούς και γιατί το έργο του αναγνωρίστηκε μόνο μετά το θάνατό του…Η απόρριψη από την επιστημονική κοινότητα της εποχής του έφερε οξεία κατάθλιψη και πέθανε τελικά παραμελημένος σε ένα σανατόριο.

Page 45: Περί Απείρου

Αν ονομάσουμε Q΄ το σύνολο των άρρητων αριθμών, τότε αποδεικνύεται ότι :

Card (Q΄) = Card (R)

Δηλαδή το σύνολο Q΄ των άρρητων πραγματικών αριθμών είναι ισοδύναμο με το σύνολο R των πραγματικών αριθμών.

Επομένως οι άρρητοι αριθμοί είναι πολύ περισσότεροι από τους ρητούς!

Για να προχωρήσουμε χρειάζεται να ορίσουμε το δυναμοσύνολο ενός συνόλου.

Ορίζουμε λοιπόν σα δυναμοσύνολο P(A) ενός συνόλου Α το σύνολο όλων των υποσυνόλων του.

Στα υποσύνολα ενός οποιουδήποτε συνόλου ανήκει και το λεγόμενο κενό σύνολο , το οποίο ορίζεται σαν το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείο και αντιπροσωπεύει στη Θεωρία των Συνόλων το ουδέτερο στοιχείο, κατ’ αντιστοιχία με το 0 της αριθμητικής.

Ας δούμε τώρα πώς σχηματίζουμε όλα τα δυνατά υποσύνολα ενός συνόλου.

Έστω π.χ. το σύνολο Α= 1,2 με δυο στοιχεία (Card(Α) =2).

Τα υποσύνολά του είναι τα εξής:

Α0 = το κενό σύνολο που είναι το υποσύνολο κάθε συνόλου

Α11 = 1, Α12 =2 Δύο δηλαδή συνολικά υποσύνολα με ένα μόνον στοιχείο

Α21 = 1,2 Ένα δηλαδή συνολικά υποσύνολα με δύο στοιχεία, το οποίο εδώ ταυτίζεται μάλιστα με το ίδιο το σύνολο Α.

Γενικά κάθε σύνολο μπορεί να θεωρηθεί υποσύνολο του εαυτού του, οπότε το ίδιο το σύνολο περιλαμβάνεται πάντα στο σύνολο των υποσυνόλων του (στο δυναμοσύνολο δηλαδή, όπως είπαμε, του συνόλου).

Παρατηρούμε λοιπόν ότι το σύνολο Α έχει 4 υποσύνολα, τα Α0, Α11, Α12, Α21 κι επομένως το δυναμοσύνολό του θα είναι το σύνολο:

P (A) = A0,A11,A12,A21 ή P (A) =, 1, 2, 1.2

Page 46: Περί Απείρου

Aντίστοιχα το σύνολο Β = 1,2,3 έχει τα εξής υποσύνολα:

Β0 = το κενό σύνολο

Β11 = 1, Β12 = 2, Β13 = 3 τρία υποσύνολα με ένα 1 μόνο στοιχείο.

Β21 = 1,2, «1,3», 2,1», 2,3 τρία υποσύνολα με 2 στοιχεία.

Β31 = 1,2,3 ένα υποσύνολο με 3 στοιχεία.

Επομένως το δυναμοσύνολο του συνόλου Β είναι το :

P (B) = , 1,2,3,1,2,1,3,2,3, 1,2,3

Με πληθάριθμο Card (B) = 8.

Εύκολα μπορούμε να δείξουμε μαθηματικά ότι το δυναμοσύνολο ενός συνόλου με ν στοιχεία θα έχει 2ν στοιχεία (θα έχει δηλαδή πληθάριθμο ίσο με τη δύναμη του 2 υψωμένο στην ν-οστή δύναμη).

Π.χ. ένα σύνολο με πέντε στοιχεία όπως το Γ = α,β,γ,δ,ε θα έχει πληθάριθμο:

Card (Γ) = 25 = 2.2.2.2.2 = 32 στοιχεία.

Θεωρώντας λοιπόν τον πληθάριθμο 0 του συνόλου των φυσικών αριθμών Ν, το δυναμοσύνολο του συνόλου Ν θα έχει πληθάριθμο:

Card (N) = 2 o

Αποδεικνύεται το εξής Θεώρημα:

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και το δυναμοσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών P (N) είναι ισοδύναμα:

Card (R)= Card (P (N))Επομένως:

Card (N) = Card (Z) = Card (Q) < Card (R) = Card (0,1) = Card (P (N)) = Card (χώρου)

Υπάρχουν λοιπόν δύο άπειροι πληθάριθμοι.

Page 47: Περί Απείρου

Αποδεικνύεται εύκολα ότι το δυναμοσύνολο ενός πεπερασμένου συνόλου Α με ν στοιχεία είναι πάντα μεγαλύτερο από το σύνολο Α. Δηλαδή ισχύει πάντα η σχέση:

2ν <ν για κάθε φυσικό αριθμό ν.

Συμβολίζουμε το δυναμοσύνολο του δυναμοσυνόλου ενός συνόλου P (P(A)) και σαν P2(A) και αντίστοιχα P3(A) = P(P2(A))) =P(P(P(A))) κ.ο.κ.

Τότε θα είναι:

Card (P(A)) = 2n

Card (p2(A)) = (δηλαδή μια δύναμη του 2 με εκθέτη 2n).

Card (P3(A)) = (δύναμη του 2 με εκθέτη άλλη δύναμη του 2 με εκθέτη 2n.

κ.ο.κ

Παρόλο που αυτοί οι πληθάριθμοι είναι τεράστιοι και γίνονται συνεχώς τεραστίως τεράστιοι συνεχίζουν να είναι πεπερασμένοι! Δημιουργούμε έτσι μια άπειρη ακολουθία πεπερασμένων πληθάριθμών:

Μπορούμε να δείξουμε ότι:

ΘΕΩΡΗΜΑ

Υπάρχει μια άπειρη ακολουθία άπειρων πληθάριθμων.

Έστω: α0 = Card (Ν) και α1 = Card (P(N))

Είναι όπως ξέρουμε α0 < α1

Θεωρούμε στη συνέχεια την ακολουθία: P(N), P2 (N), P3 (N),…..

Όπου κάθε όρος της είναι το δυναμοσύνολο του προηγούμενου όρου της Έστω επίσης ότι :

α2 = Card (P2 (N))

Page 48: Περί Απείρου

α3 = Card(P3 (N))

…………………..

Αn = Card(PnN))

κ.λ.π.

Με αυτό τον τρόπο έχουμε δημιουργήσει μια άπειρη ακολουθία άπειρων πληθαρίθμων:

α0 < α1 <α2 <α3 <… αn < αn+1<….

Αν Α είναι ένα απειροσύνολο, με πληθάριθμο W, τότε, όπως και για τους πεπερασμένους πληθάριθμους ισχύει ότι :

Card (A) = < Card (P(A)) = 2

Παραδοσιακά γράφουμε :

0 (Aleph Zero) για τον πληθάριθμο του συνόλου των φυσικών αριθμών

1 = 2 = Card (P(N)) (Aleph 1) για τον πληθάριθμο του δυναμοσυνόλου του Ν

2=2 1 = Card (P2 (N)) (Aleph 2) για τον πληθάριθμο του δυναμοσυνόλου του δυναμοσυνόλου του Ν

3=2 2 = Card (P3 (N)) (Aleph 3) για τον πληθάριθμο του δυναμοσυνόλου του δυναμοσυνόλου του δυναμοσυνόλου του Ν κ.λ.π.

Οδηγούμαστε έτσι σε μια άπειρη ακολουθία άπειρων πληθάριθμων:

Page 49: Περί Απείρου

Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΑΠΕΙΡΩΝ ΠΛΗΘΑΡΙΘΜΩΝ

Ορίζουμε αρχικά την ένωση Α U Β δύο συνόλων Α και Β σαν ένα νέο σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του Α και όλα τα στοιχεία του Β (μία φορά το καθένα).

π.χ. αν Κ = 1,2,3 και Λ = 1,4,5, θα είναι: Κ U Λ = 1,2,3,4,5

Έστω τώρα α και β οι άπειροι πληθάριθμοι δυο συνόλων Α και Β.

Ορίζουμε σαν άθροισμα των πληθαρίθμων τους α + β τον πληθάριθμο της ένωσής τους :

α+ β = Card (AUB) (ακόμα και αν τα δυο σύνολα Α και Β έχουν κοινά στοιχεία).

Η πρόσθεση αυτή των πληθαρίθμων, όπως ορίζεται παραπάνω, έχει μερικές από τις ιδιότητες της πρόσθεσης των πραγματικών αριθμών, να και σε μερικά πράγματα μπορεί να μας εκπλήξει.

Μια ίδια π.χ. ιδιότητα με την πρόσθεση των πραγματικών αριθμών είναι η αντιμεταθετική ιδιότητα:

α +β = β+α

π.χ. αν συμβολίσουμε με cτον πληθάριθμο του συνεχούς ( από το continum = συνεχές), δηλαδή c = Card (R), θα ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα:

0 + c = c + 0 και 2 0 + c = c + 2 0

Πρέπει να επισημάνουμε ότι όταν χρησιμοποιούμε τη λέξη «άπειρο» για ένα σύνολο, αυτό μας λέει μόνον ότι το σύνολο αυτό δεν είναι πεπερασμένο, αλλά δε μας λέει τίποτα για τον πληθάριθμο του συνόλου αυτού, ο οποίος μπορεί να είναι W0, c, ή ίσως κάποια άλλη τιμή.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Page 50: Περί Απείρου

Αν ένας οποιοσδήποτε άπειρος πληθάριθμος, τότε ισχύουν οι ιδιότητες:

1. 0 + =

2. + n = για κάθε φυσικό αριθμό n

3. + =

δηλαδή ένας άπειρος πληθάριθμός συν τον εαυτό του είναι ο ίδιος άπειρος πληθάριθμος (που μας θυμίζει το + = )

Λόγω της ιδιότητας 3 δεν έχει νόημα η αφαίρεση στους άπειρους πληθάριθμους! Δηλαδή δεν υπάρχει τρόπος να ορίσουμε το - σαν έναν πληθάριθμο.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω δυο άπειροι πληθάριθμοι α και β με α < β, τότε:

α +β = β = ο μεγαλύτερος πληθάριθμος.

Έτσι: + c = c ή 0 + 2 ο = 2 o και + 2 =

Επειδή τώρα είναι 0 < = θα ισχύει ότι : 0 + = για άπειρους πληθάριθμους

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΠΛΗΘΑΡΙΘΜΩΝ

Ορίζουμε n. = + + + …… ( n φορές)

Σημείωση: Ο πολλαπλασιασμός αυτός δε σχετίζεται με τη διαίρεση πληθαρίθμων.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν Α και Β δυο απειροσύνολα με πληθάριθμους α και β ορίζουμε σα γινόμενο α.β των πληθαρίθμων τους τον πληθάριθμο τουκαρτεσιανού τους γινομένου ΑΧΒ, δηλαδή του συνόλου όλων των διατεταγμένων ζευγών (χ,ψ) με πρώτο στοιχείο χ από το σύνολο Α και δεύτερο στοιχείο ψ από το σύνολο Β.

α.β = card (Α Χ Β) = β.α (ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα).

Page 51: Περί Απείρου

Έτσι λοιπόν :

0 . 0 = 0 (ιδιότητα σαν την ιδιότητα του 0 και του 1 στους πραγματικούς αριθμούς).

Και . = ή 2 = για οποιοδήποτε πληθάριθμο

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Στον αλγεβρικό λογικό τα όρια της μορφής 0. μπορούν να έχουν οποιαδήποτε τιμή (απροσδιόριστα) . Στη θεωρία όμως των συνόλων αυτό δεν είναι αναγκαίο:

0. = 0

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν α < = β τότε α.β = β = ο μεγαλύτερος πληθάριθμος Οπότε:

0. 0 = 0

c . c = c

0 . c = c . 0 =

. . =

Το περίφημο τώρα ερώτημα του συνεχούς είναι:

Υπάρχει κανένας πληθάριθμος μεταξύ του Card (N) και του Card (R);

ΔΙΑΤΑΚΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Έστω ένας αριθμός ω0 που δεν ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών και είναι μεγαλύτερος από κάθε φυσικό αριθμό. Θεωρούμε το σύνολο της ένωσης του Ν με το στοιχείο ωο (Ν U ωο). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τη διάταξη:

1 <2 <3<…..n<…. < ωο

To ωο είναι απλά ένα σύμβολο. Μπορούμε να συνεχίσουμε αυτή την ιδέα πρόσθεσης ενός συμβόλου επεκτείνοντας έτσι το σύνολο Ν U

Page 52: Περί Απείρου

ωο θεωρώντας και το στοιχείο ωο+1, αμέσως μετά το ωο. Ανάλογα θέτουμε ωο+2, ωο+3, ……

Ονομάζουμε αυτά τα σύμβολα διατακτικούς αριθμούς και δημιουργούμε μέσω αυτών ένα καλά διατεταγμένο σύνολο (όπως και το Ν):

Ν U ωο, ωο+1, ωο+2, ωο+3, …..

Στην πραγματικότητα έχουμε κατασκευάσει με αυτό τον τρόπο μια ακολουθία διατακτικών αριθμών ή απείρων. Αν αμελήσουμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό στο Ν, τότε το σύνολο:

ωο, ωο+1, ωο+2, ωο+3, …..

φαίνεται να μην είναι διαφορετικό από το Ν. Βασικά είναι σα να προσθέτουμε ένα αντίγραφο του Ν δεξιά του Ν.

Προχωρώντας ανάλογα και ορίζοντας επίσης τις δυνάμεις:

ωο2

= ωο.ωο, ωο3

= ωο2.ωο … και γενικά ωο

n = ωο

n-1. ωο για κάθε φυσικό

αριθμό n, με

ωο < ωο2 < ωο

3 < ωο2 <….. ωο

ωο

και συνεχίζοντας χωρίς τέλος…

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι τόσο μεγάλο που περιέχει ένα αντίγραφο καθενός από τους διατακτικούς αριθμούς που έχουμε ορίσει μέχρι τώρα. Κανένας όμως από αυτούς τους διατακτικούς αριθμούς δεν είναι το μεγαλύτερο στοιχείο του R.

Page 53: Περί Απείρου

Έστω τώρα Ω1 ένα σύμβολο όχι στο R. Ορίζουμε την ένωση του R με το Ω1 απαιτώντας το Ω1 να είναι μεγαλύτερο από κάθε στοιχείο του R. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το Ω1 είναι ο πρώτος μη αριθμήσιμος διατακτικός αριθμός.

Δεν είναι όμως ο μεγαλύτερος διατακτικός αριθμός!

Η ακολουθία αυτή των Ω1:

Ω1, Ω1 + 1, . . . , Ω1 + Ω1, . . . , Ω12…. . . .Ω1

Ω1….

Έχει πληθάριθμο W2 (Άλεφ 2)

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε ένα καινούριο απειροσύνολο

Ω2, Ω2 + 1, . . . , Ω2 + Ω2, . . . , Ω22…. . . .Ω2

Ω2….

Όπου το Ω2 δεν ανήκει στο προηγούμενο σύνολο των Ω1 και είναι μεγαλύτερο από όλα τα στοιχεία του συνόλου αυτού. Το νέο αυτό σύνολο των Ω2 θα έχει πληθάριθμο W3 (Άλεφ 3)

Συνεχίζουμε έτσι ανάλογα, χωρίς τελειωμό προς τους επόμενους πληθάριθμους, W4, W5 , W6 κ.λ.π..

Ορίζοντας μια άπειρη ακολουθία απείρων το καθένα μεγαλύτερο απ’ όλα τα προηγούμενά του.

Οι διατακτικοί αριθμοί συνεχίζονται χωρίς να σταματούν πουθενά!

ΘΕΩΡΗΜΑ

Δοσμένου ενός πληθάριθμου , υπάρχει πάντα ένας επόμενος πληθάριθμος +, δηλαδή το σύνολο των πληθαρίθμων είναι ένα καλά διατεταγμένο σύνολο.

Έτσι :

Page 54: Περί Απείρου

0+ 2 ο, αλλά δεν ξέρουμε τι από τα δυο ισχύει: το «< «ή το «=»

;

Θα είναι λοιπόν:

0+ Card (R), αφού 0 < Card (R)

Θέτοντας 0+ = 1 (Άλεφ 1), το διάδοχο του 0 (Άλεφ 0)

2 = 1+ τον επόμενο του 1,τότε επειδή

0 = Card (N) < Card (R)

Θα είναι :

1 < = Card (R )

Είναι φυσικό λοιπόν να ρωτήσουμε:

Είναι μήπως W1 = Card (R ) ?

Ο Paul J Cohen που απάντησε σε αυτό το ερώτημα πήρε το Field’s Metal, το μεγαλύτερο βραβείο στα μαθηματικά. Το Θεώρημά του έχει ως εξής:

ΘΕΩΡΗΜΑ Paul J Cohen

Δεν μπορούμε να αποδείξουμε ούτε να διαψεύσουμε ότι 1 = Card (R)

Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι η συνθήκη 1 = Card (R ) είναι ανεξάρτητη των αξιωμάτων της θεωρίας των Συνόλων. Δεν υπάρχει καμιά λογική που να μας επιτρέπει να ξεκινήσουμε από τα αξιώματα της θεωρίας των συνόλων και να καταλήξουμε στη σχέση

1 = Card (R ).

Ο θεμελιωτής της Θεωρίας των Συνόλων Cantor δεν ήξερε το Θεώρημα του Cohen, το οποίο αποδείχθηκε αργότερα, μετά το θάνατό του, και δέχθηκε έτσι τη συνθήκη 1 = Card (R ) σα μια υπόθεση ή αξίωμα.

Αυτή είναι η περίφημη Υπόθεση του Συνεχούς.

Επειδή η συνθήκη αυτή είναι ανεξάρτητη από τα μαθηματικά μας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν ένα αξίωμα με το οποίο να κατασκευάσουμε εντελώς νέα μαθηματικά!

Page 55: Περί Απείρου

Έτσι CH (Continum Hypothesis) είναι η συνήθης μαθηματική θεωρία, μαζί με την Υπόθεση του Συνεχούς σαν αξίωμα.

Σε αυτήν αποδεικνύονται μερικά πολύ όμορφα θεωρήματα.

Από την άλλη μεριά, επειδή δεν μπορούμε να διαψεύσουμε την Υπόθεση του Συνεχούς, μπορούμε να συμπεριλάβουμε τη λογική της άρνηση

1 < Card (R )

κατασκευάζοντας έτσι νέα μαθηματικά (not CH).

H CH και η not CH είναι δύο διαφορετικές μαθηματικές θεωρίες που ανήκουν σε διαφορετικά μαθηματικά σύμπαντα και δεν επιτρέπεται έτσι να συγκρίνουμε τα θεωρήματά τους μεταξύ τους.

Ώστε στην CH ισχύει ότι:

0 < 1 = 2 ο = Card (R) < 2

Ενώ στην not CH ισχύει ότι:

0 < 1 < 2 2Wο

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ (GCH)

Αυτή είναι ότι δεδομένου ενός πληθάριθμου , ο επόμενος πληθάριθμος είναι ο 2 .

Η Γενικευμένη Υπόθεση του Συνεχούς υποθέτει λοιπόν ότι όλοι οι πληθάριθμοι εμφανίζονται στη βασική μορφή μιας δύναμης του 2.

Έτσι σύμφωνα με τη GCH είναι:

ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ ΤΟΥ ΧΙΛΜΠΕΡΤ

Ο Χίλμπερτ είναι ιδιοκτήτης ενός μοναδικού ξενοδοχείου με έναν μόνον όροφο και άπειρα δωμάτια. Αρχικά το ξενοδοχείο του είναι άδειο. Μια μέρα παρουσιάζονται δύο άνθρωποι Α1 και Α2 που ζητούν

Page 56: Περί Απείρου

διαφορετικά δωμάτια. Ο Χίλμπερτ τους δίνει τα δυο πρώτα δωμάτια Δ1 και Δ2, ενώ παρατηρεί ότι συνεχίζει να έχει άπειρα κενά δωμάτια.

Την άλλη μέρα φτάνει στο ξενοδοχείο ένα σύνολο άπειρων φιλοσόφων Ν1, Ν2, Ν3,…) που ζητά επίσης ξεχωριστά δωμάτια. Ο Χίλμπερτ τους παραχωρεί από τo τρίτο κι έπειτα δωμάτιo του ξενοδοχείου του, δηλαδή τα δωμάτια Δ3, Δ4, Δ5,….. Με αυτό τον τρόπο ο Νκ φιλόσοφος παίρνει το δωμάτιο Δκ+2 και όλοι έχουν τελικά δωμάτια και είναι ευχαριστημένοι.

Την επόμενη μέρα παρουσιάζεται ένα μοναχικός ξένος Ξ , που ζητά και αυτός δωμάτιο. Ο Χίλμπερτ μετακινεί τότε τους πελάτες του κατά ένα δωμάτιο, έτσι ώστε ο καθένας τους να έχει τώρα το επόμενο στη σειρά δωμάτιο από αυτό που είχε προηγουμένως, αφήνοντας έτσι το πρώτο δωμάτιο κενό, το οποίο και δίνει στον ξένο Ξ.

Την επόμενη μέρα φτάνει μια μικρή ομάδα 1000 πιτσαροφάγων σκεπτογνωστικοηδονιστών με διευθυντή των Ζερό για μερικές μέρες ξεκούραση και ζενικές στοχαστικές απολαύσεις (lol). Ο Χίλμπερτ μετακινεί τότε όλους τους πελάτες κατά 1000 δωμάτια, αφήνοντας έτσι κενά τα 1000 πρώτα δωμάτια για τους ζεροσκεπτικιστές.

Την επόμενη μέρα φτάνουν 20 φορουμάρχες αντιπιτσοφάγοι με διευθυντή τον Λούξους, έτσι για να φέρουν ισορροπία με τους ζεροσκεπτικιστές και αν χρειαστεί να τους βάλλουν στη θέση τους (lol). Κανένα πρόβλημα! Ο Χίλμπερτ ξέρει το κόλπο: μετακινεί πάλι όλους τους πελάτες του κατά 20 επόμενες θέσεις, ώστε να μείνουν κενά τα 20 πρώτα δωμάτια, τα οποία και παρχωρεί στους αντιπιτσοφάγους.

Την επόμενη μέρα φτάνουν όλοι οι άπειροι οδηγοί αυτού του παράξενου σύμπαντος του Χίλμπερτ με διευθυντή τον Deus για ξεφάντωμα και ανεπανάληπτες ανεκδοτολογικές εμπειρίες. Ο Χίλμπερτ σκέφτεται για λίγο τι να κάνει με τόσο πολύ κόσμο, πού να τους βάλλει, αλλά γρήγορα βρίσκει τη λύση: Βάζει όλους τους προηγούμενους πελάτες του στα ζυγά δωμάτια αφήνοντας έτσι κενά τα μονά, τα οποία και δίνει στους Ντεουσιανούς. Το ξενοδοχείο του είναι για μια ακόμη φορά πλήρες.

Την επόμενη μέρα φτάνει μια ομάδα άπειρων ερευνητών των σκοτεινών και σκιερών όψεων αυτού του παράξενου σύμπαντος του Χίλμπερτ με διευθυντή τον Τζόνοθαν, για ένα συνέδριο πάνω στο φαινόμενο της Κοσμοσκιάς. Ο Χίλμπερτ τα χάνει για λίγο. Πού να βάλει τόσο κόσμο στο «γεμάτο» ξενοδοχείο του; Μετακινεί πάλι όλους τους πελάτες του σε δωμάτια που έχουν νούμερο πολλαπλάσιο του 5 και δίνει τα κενά δωμάτια που δημιουργούνται με αυτό τον τρόπο στους Σκιεροφιλοσόφους ερευνητές.

Page 57: Περί Απείρου

Τις επόμενες μέρες συνεχίζουν να έρχονται γκρουπ απείρων πελατών Μολουτερικών, Ρουσενικών, Μαρεϊκών, Αχεϊκών κ.λ.π. κ.λ.π.

Κανένα πρόβλημα! Ο Χίλμπερτ κατορθώνει να τους διευθετήσει τελικά όλους! Για κανέναν δεν κλείνει την πόρτα του, όλους τους χωράει - και. τελικά όλοι έχουν ξεχωριστά δωμάτια και είναι ευχαριστημένοι.

Την επόμενη μέρα όμως ο Χίλμπερτ βρίσκεται σε σοβαρό πρόβλημα: καταφτάνει μια ομάδα Κοινοζωικών που καταλαμβάνει το συνεχές διάστημα (0,1) και όσο και να προσπαθεί με διάφορες ανακατατάξεις των πελατών του να δημιουργήσει νέες κενές θέσεις, ποτέ αυτές δεν είναι αρκετές για να χωρέσουν τους Κοινοζωικούς. Τελικά τους διώχνει και τους λέει να έρθουν μεθαύριο που θα φύγουν όλοι οι πελάτες του και το ξενοδοχείο θα είναι άδειο.

Πράγματι όλοι οι πελάτες του ξενοδοχείου φεύγουν πρωί-πρωί τη μεθεπόμενη μέρα και το μεσημέρι καταφτάνουν τα άπειρα πλήθη των Κοινοζωικών. Στην αρχή ο Χίλμπερτ τους λέει να πάρουν μόνοι τους δωμάτια, ο καθένας το επόμενο δωμάτιο από τον προηγούμενο απ’ αυτόν. Δεν καταφέρνει όμως τίποτα: Το ξενοδοχείο γεμίζει και παρόλα αυτά παραμένουν άπειροι Κοινοζωικοί χωρίς δωμάτιο! Κάνει τα πάντα δοκιμάζοντας για ώρες όλα τα απειροτεχνάσματα που γνωρίζει. Άδικος ο κόπος, οι Κοινοζωικοί δεν χωρούν με τίποτα στο άπειρο ξενοδοχείο του!

Ο Χίλμπερτ βάζει κάτω τα μαθηματικά του και προσπαθεί να αντιμετωπίσει λογικά το πρόβλημα. Έστω, λέει, ότι όλοι οι Κοινοζωικοί έχουν πάρει δωμάτιο και είναι επομένως αριθμήσιμοι, όπως και τα άπειρα δωμάτια του ξενοδοχείου του.

Δωμάτιο……………Κάτοχος ……...…………..Δεκαδικός…..1……………………..Κ1……………....……0,d11d12d13d14…. …..2……………………..Κ2………………....…0,d21d22d23d24 … …..3……………………..Κ3……………....……0,d31d32d33d34…. …..1……………………..Κ4……………....……0,d41d42d43d44…. ………………………………………………............ ..…………………….

Όπου το γράμματα d11, d12, d13, d14,… παριστάνουν τα δεκαδικά κατά σειρά ψηφία του πρώτου αριθμούμενου Κοινοζωικού. Ας μην ξεχνάμε ότι όλοι οι Κοινοζωικοί αντιπροσωπεύουν δεκαδικούς αριθμούς μεταξύ του 0 και του 1. Παρόμοια τα γράμματα d21,d22,d23,d24,… αντιπροσωπεύουν κατά σειρά το πρώτο, δεύτερο, τρίτο, τέταρτο δεκαδικό ψηφίο του δεύτερου κατά σειρά αριθμούμενου Κοινοζωικού Κ2. Αντίστοιχα στο σύμβολο dκλ ο πρώτος

Page 58: Περί Απείρου

δείκτης κ αντιπροσωπεύει την τάξη του αντίστοιχου Κοινοζωικού σε αυτή την απαρίθμηση και ο δεύτερος δείκτης λ το λ κατά σειρά δεκαδικό ψηφίο στον δεκαδικό αριθμό που τον αντιπροσωπεύει.

Δηλαδή το dκλ είναι απλά ένα αριθμός του συνόλου 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 όπου ο πρώτος δείκτης κ δείχνει σε ποιον κατά σειρά Κρεϊζικό αναφέρεται και ο δείκτης λ έναν από αυτά τα δέκα δυνατά ψηφία..

Ο Χίλμπερτ σκέφτεται και ορίζει ένα άλλο δεκαδικό ψηφίο d1 ως εξής:

d1= d11 +1 , αν d11 διάφορο του 9d1 = 0, αν d11 = 9

π.χ. αν d11 = 5, τότε d1 = 6 και αν d11=9, τότε d1 = 0

Ορίζει ανάλογα ένα δεκαδικό ψηφίο d2 ως εξής:

d2 = d22 +1, αν d22 διάφορο του 9 d2 = 0 , αν d22 = 9

π.χ. αν d22 =0, τότε d2 = 1, αν d22 = 8 τότε d2 =9 και αν d22 = 9 τότε d2 = 0

Γενικά ο Χίλμπερτ ορίζει:

dn = dnn +1 αν dnn διάφορο του 9dn = 0 αν dnn = 9

Με βάση αυτά τα δεκαδικά ψηφία που όρισε ο Χίλμπερτ κατασκευάζει τώρα τον δεκαδικό αριθμό:

X = 0, d1 d2 d3 d4…

Ο δεκαδικός αυτός αριθμός, είναι μικρότερος του 1 κι επομένως αντιπροσωπεύει σίγουρα κάποιον Κοινοζωικό. Από τον τρόπο όμως που κατασκευάστηκε διαφέρει από όλους τους Κοινοζωικούς κατά ένα τουλάχιστον ψηφίο, το dnn (διαγώνια στοιχεία στον αντίστοιχο πίνακα των δεκαδικών ψηφίων των Κοινοζωικών) κι επομένως αυτός δε θα είναι ίσος με κανένα από αυτούς! Ο Χίλμπερτ όμως είχε υποθέσει ότι όλοι οι Κοινοζωικοί είχαν χωρέσει με κάποιο τρόπο στα άπειρα δωμάτια του ξενοδοχείου του και τους είχε απαριθμήσει έναν-ένα σε καθένα από αυτά. Και όμως ο Κοινοζωικός Χ δεν είναι κανένας από αυτούς που γέμισαν μέχρι τίγκα το άπειρο ξενοδοχείο του Χίλμπερτ. Επομένως περισσεύει και δεν μπορεί να δοθεί δωμάτιο σε αυτόν ό,τι και να κάνει ο Χίλμπερτ. Και μάλιστα αυτός ο

Page 59: Περί Απείρου

Κοινοζωικός Χ είναι απλά ενδεικτικός. Στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειροι τέτοιοι Κοινοζωικοί που δεν μπορούν να χωρέσουν στο άπειρο ξενοδοχείο του Χίλμπερτ! Το άπειρο του Χίλμπερτ είναι λοιπόν ένα μικρότερο άπειρο από τον αριθμό των Κοινοζωικών ή αλλιώς των δεκαδικών αριθμών ανάμεσα στο 0 και στο 1.

Ο Χίλμπερτ είναι απαρηγόρητος: Το ξενοδοχείο του είναι μικρό! Μπορεί κάποιος ανταγωνιστής του να κατασκευάσει ένα άλλο μεγαλύτερο από το δικό του που να χωράει όλους τους Κοινοζωικούς. Κάτι πρέπει να κάνει με αυτό και γρήγορα μάλιστα, πριν τον προλάβει άλλος.

Ο Χίλμπερτ γνωρίζει έναν μεγάλο μάγο, ο οποίος και τον βοηθά να κτίσει μέσα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα ένα τέτοιο ξενοδοχείο που να μπορεί να χωρέσει όλους τους Κοινοζωικούς.

Για αρκετά καιρό ο Χίλμπερτ δουλεύει με το νέο αυτό ξενοδοχείο και ικανοποιεί τους πάντες, αν και παραδόξως, παρόλο που κερδίζει πολλά περισσότερα χρήματα από αυτά που κέρδιζε προηγουμένως με το μικρότερο ξενοδοχείο του, αυτά ποτέ δε μεγαλώνουν όσο και να τα προσθέτει! Παραμένουν πάντα το ίδιο, άπειρα!

Δυστυχώς όμως για τον Χίλμπερτ παρουσιάζεται ξαφνικά μια μέρα από το πουθενά μια ομάδα άπειρων Ανενδοτιανών που είναι ίσοι με το δυναμοσύνολο των Κοινοζωικών, δηλαδή ίσοι με το πλήθος όλων των υποσυνόλων τους. Ο Χίλμπερτ βρίσκεται πάλι σε μεγάλο πρόβλημα: Δεν τους χωράει με τίποτα το ξενοδοχείο του! Αυτοί είναι πολλοί περισσότεροι από τους Κοινοζωικούς. Το γεμίζουν στην πλάκα και παραμένουν πάλι άπειροι εκτός αυτού.

Πάλι ο Χίλμπερτ καταφεύγει στο μάγο και φτιάχνει ένα καινούργιο, μεγαλύτερο ξενοδοχείο, που να χωράει όλους του Ανενδοτιανούς και προσωρινά πάλι ανακουφίζεται. Όχι όμως για πολύ. Παρουσιάζεται κάποια στιγμή μια ομάδα Υπερανδοτιανών ίση με το δυναμοσύνολο των Ανενδοτιανών που δεν μπορεί να τους χωρέσει το ξενοδοχείο του….

Ο Χίλμπερτ αυτή τη στιγμή καταλαβαίνει που πάει το πράγμα… Άδικος ο κόπος να κατασκευάζει συνεχώς μεγαλύτερα άπειρα ξενοδοχεία… Τα άπειρα είναι και αυτά άπειρα στο πλήθος, χωρίς τελειωμό και όπως για κάθε δοθέντα φυσικό αριθμό υπάρχει πάντα ένας μεγαλύτερός του, έτσι και για κάθε δοθέντα άπειρο υπάρχει πάντα ένα άπειρο μεγαλύτερό του! Ποτέ ο Χίλμπερτ δε θα αποκτήσει το τέλειο ξενοδοχείο απείρων δωματίων που να μπορεί να εξυπηρετήσει όλα αυτά τα άπειρα!

Page 60: Περί Απείρου

Ο Χίλμπερτ υποχωρεί με βαθιά κατανόηση. Κατανοεί τις εγγενείς αδυναμίες του να αντιμετωπίσει τις άπειρες απειρότητες και αποφασίζει να απαρνηθεί το χιμαιρικό αυτό ταξίδι των μεγαλύτερων απείρων και να επιστρέψει συνειδητά στο χώρο των πεπερασμένων ποσοτήτων όπου μπορεί να εξυπηρετήσει πεπερασμένους μόνον στο πλήθος πελάτες, χωρίς τα παλιά προβλήματα και τα άγχη του και με πεπερασμένα μεν κέρδη, αλλά τα οποία συνεχώς θα αυξάνουν, σε αντίθεση με τα άπειρα κέρδη του που παρέμεναν πάντοτε τα ίδια...

What joy to discern the minute in infinity!The vast to perceive in the small, what Divinity!

JakobBernoulli

Όλοι μας μάθαμε κάποιας στιγμή σα μικρά παιδιά να μετράμε Στην αρχή δειλά μέχρι το τρία, μετά μέχρι το πέντε και ύστερα μέχρι το «πολύ μεγάλο» δέκα! Αργότερα μάθαμε και το είκοσι και το τριάντα και το «τεράστιο» εκετό. Όταν κατανοήσαμε και αυτό, προχωρήσαμε παραπέρα και μάθαμε πως υπάρχουν και άλλες εκατοντάδες, φτάνοντας τελικά μέχρι το χίλια κ.ο.κ. Ίσως μερικοί από μας χαρούμενοι, μετά την κατάκτηση του χίλια, να αριθμήσαμε και φωναχτά ή έστω σιγανά από μέσα μας όλους τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 1000, νιώθοντας ιδιαίτερη υπερηφάνεια γι’ αυτό το κατόρθωμά μας.

Αργότερα μάθαμε για το εκατομμύριο και για μεγαλύτερους ακόμα αριθμούς, χωρίς βέβαια να τολμήσουμε ποτέ να τους μετρήσουμε έναν-έναν. Τελικά συνειδητοποιήσαμε ότι οι αριθμοί ποτέ δεν τελειώνουν. Πάντα μπορούμε να προσθέσουμε τη μονάδα σε οποιονδήποτε από αυτούς, οσοδήποτε μεγάλος και αυτός να είναι, και να πάρουμε έναν μεγαλύτερο από αυτόν αριθμό και να εξακολουθήσουμε με αυτό τον τρόπο προς το ….άπειρο. Το «άπειρο» αυτό ήταν συγκεχυμένο τότε στο μυαλό μας, εννοώντας παλά κάτι το ατελείωτο, το άνευ τέρματος. Όταν προσπαθούσαμε καμιά φορά να το φανταστούμε πιο συγκεκριμένα, αποτυγχάναμε παταγωδώς, μένοντας με ένα κενό μυαλό, γεμάτο απορία και σύγχυση.Οι αριθμοί αυτοί, έτσι όπως τους μάθαμε, είχαν αρχικά μόνον την έννοια του πλήθους και όχι του ποσού ή μεγέθους. Αργότερα αρχίσαμε να συσχετίζουμε με αυτούς το «μεγάλο» και το «μικρό», γιατί έτσι μας έμαθαν. Οι αριθμοί έπαψαν έτσι να δηλώνουν μόνον ένα πλήθος αντικειμένων και με ένα μαγικό τρόπο άρχισαν να

Page 61: Περί Απείρου

αντιπροσωπεύουν και το μέγεθός τους, ανάλογα με τη διάταξή τους τον έναν μετά τον άλλον.

Στα μαθηματικά, στο σχολείο, αρχίσαμε έτσι να σημειώνουμε 5 > 7 , 3 < 4 κ.ο.κ., λες και οι ίδιοι οι αριθμοί να είχαν μια έμφυτη ποσότητα μέσα τους, απλά και μόνον από τη διάταξή τους. Σιγά–σιγά «πλήθος» και μέγεθος έγιναν αξεχώριστα μέσα μας, σαν εγγενείς ιδιότητες των αριθμών, χωρίς να κατανοούμε την μεγάλη διαφορά μεταξύ αυτών των δυο εννοιών. Συμφωνήσαμε όμως να μετρούμε το μέγεθος με αριθμούς και όχι απλά συγκριτικά και αναλογικά με τις αισθήσεις μας, οι οποίες μπορεί και να λαθεύουν. Πολλές φορές, ούτε καν κατανοούσαμε ότι το μετρούμενο μέγεθος ήταν πάντα σχετικό με μια αξιωματικά ορισμένη μονάδα μέτρησης. Η ύπαρξη απλά και άλλων μονάδων μέτρησης, άλλων συστημάτων ή άλλων εθνών (όπως π.χ. το Αγγλοσαξονικό σύστημα) μας ξυπνούσε καμιά φορά για να καταλάβουμε ότι όλα αυτά τα αποδιδόμενα «μέτρα» ή αριθμητικές τιμές στα πράγματα είναι απλά σχετικά και σε σύγκριση πάντα με μια αυθαίρετη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε.

Αργότερα μάθαμε ότι και οι μετρήσεις μας είναι σχετικές και ότι διαφορετικά άτομα χρησιμοποιώντας την ίδια μονάδα μέτρησης και τη ίδια μετρική συσκευή, π.χ. μια μετροταινία, αποδίδουν ένα διαφορετικό αριθμό στο μετρούμενο από αυτά μέγεθος. Βάλτε π.χ. 10 άτομα να μετρήσουν μια απόσταση και θα δείτε ότι οι εκτιμήσεις τους διαφέρουν αρκετά ως προς τα χιλιοστά ή και καμιά φορά και ως τα εκατοστά. Απόλυτο μέγεθος δεν υπάρχει για την επιστήμη, παρά μόνο σχετικό πάντα μέγεθος και το σφάλμα που διαπράτουμε κατά μια μέτρηση είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς της μετρημένης τιμής από την άγνωστη «αληθινή» τιμή αυτού του μεγέθους. Η τιμή που αποδίδεται τελικά σε αυτό το μέγεθος υπολογίζεται απ’ όλες τις διάφορες αυτές τιμές που μετρούν διάφοροι παρατηρητές γι’ αυτό, ελαχιστοποιώντας το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των μετρήσεών τους με τη λεγόμενη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Στην επιστήμη πουθενά δεν υπάρχουν απόλυτες πραγματικότητες, παρά μόνον προσεγγίσεις τους. Το «απόλυτο» ή το «αληθινό» παραμένει πάντα άγνωστο.

Μεγαλώνοντας και αλληλεπιδρώντας με τον κόσμο γύρω μας και με τους άλλους συνανθρώπους μας, αρχίσαμε να δίνουμε και μια φυσική, αν και απροσδιόριστη σημασία στο «άπειρο», συνήθως σε σχέση με την «απειρότητα» του χώρου γύρω μας και των τεραστίων διαστρικών αποστάσεων στο σύμπαν ή ακόμα σε σχέση με την υποτιθεμένη απειρότητα του χρόνου. Στο σχολείο «γνωρίσαμε» επίσης την απειρότητα του συνεχούς: τα άπειρα σημεία μιας ευθείας, ενός επιπέδου ή ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, και γενικότερα ολόκληρου τους σύμπαντος, θεωρώντας σιωπηλά μέσα μας ότι η

Page 62: Περί Απείρου

προσθήκη μιας νέας διάστασης στο συνεχές αυξάνει και την απειρότητά του, δημιουργώντας έτσι μεγαλύτερες απειρότητες στις μεγαλύτερες διαστάσεις.

Ο Ευκλείδειος ορισμός όμως της ευθείας και του επιπέδου, σαν «ανοιχτές» γεωμετρικές οντότητες που μπορούν να προεκταθούν νοητά επ’ αόριστον, μας έδωσε και μια άλλη γεωμετρική αίσθηση του απείρου, σε αντιστοιχία με την αριθμητική επ’ αόριστον «προέκταση» των αριθμών προς όλο και μεγαλύτερους αριθμούς...

Και όμως, παρόλο που αυτό το «άπειρο» εννοείται ατέλειωτο και ουδέποτε πραγματικά προσεγγιζόμενο, δοκιμάσαμε μερικές φορές μάταια να το προσπελάσουμε και να το συγκεκριμενοποιήσουμε, οδηγώντας στα όρια τη σκέψη μας. Παρ’ όλη την αποτυχία μας πάντως ενδόμυχα αποδίδαμε σιωπηλά σε αυτό ένα ουσιαστικό αν και ακαθόριστο τέλος: τα όρια ακριβώς της σκέψης μας. Η ύπαρξη αυτών και μόνων των ορίων που αντιλαμβανόμαστε εξερευνώντας το νοητικό μας χώρο, μέχρι τις εσχατιές του, μας «έπειθε» κάπως διαισθητικά, αν και αναπόδεικτα, ότι το άπειρο δεν είναι στην πραγματικότητα ένα «ανοιχτό άπειρο», αλλά πρέπει κάπου να κλείνει και αυτό, να έχει όρια, αυτά τούτα τα όρια της σκέψης μας. Η νοόσφαιρα, όσο άπειρη και να φαντάζει, είναι εντούτοις οριακή, και κάπως ανάλογα πρέπει να συμπεριφέρεται και το άπειρο.

Ακόμα και αν αυξάνει φαινομενικά το άπειρο με την πρόσθεση και άλλων διαστάσεων, πολλαπλασιαζόμενο με τον εαυτό του και φαινόμενο, υποτίθεται, σαν ένα απείρως μεγαλύτερο άπειρο, δηλαδή απείρως μεγαλύτερο από το προηγούμενο άπειρο, ή απείρως απείρως απείρως μεγαλύτερο από το αντιπροηγούμενό του, το ύστατο άπειρο, το μέγιστο όλων, θα πρέπει να συμπίπτει αναγκαστικά με τα όρια της νοόσφαιρας.

Με αυτές τις πρώτες αρχικές δειλές και ασαφείς ιδέες ξεκινήσαμε την διερεύνηση του απείρου και κατά μια έννοια την διερεύνηση παράλληλα των ορίων του νου μας, επιζητώντας να φέρουμε περισσότερο φως και κατανόηση στο σκοτάδι της ασάφειας και της σύγχυσης.

Ο ερευνητής δέχεται εκ των πραγμάτων αξιωματικά την ύπαρξη ορίων στο μελετούμενο από αυτόν θέμα, διαφορετικά δε θα μπορέσει ουδέποτε να το κατανοήσει. Το Ευκλείδειο έτσι άπειρο είναι τελείως αδιανόητο και αντιτιθέμενο στο υγιή στοχασμό. Εξοβελίζει το άπειρο στο χώρο του δυνητικού και ανέφικτου. Επιζητεί εξ’ ορισμού την υπέρβση των ορίων και αυτού ακόμα του νου. Θέλει να επεκτείνει τη νοόσφαιρα χωρίς τελειωμό και χωρίς τη δυνατότητα καμιάς πλήρους γνώσης ή κατανόησής της. Ακόμα όμως κι έτσι να είναι η «Αλήθεια», οφείλουμε στην αρχή να της βάλουμε κάποια όρια για να τη

Page 63: Περί Απείρου

μελετήσουμε, όπως ακριβώς κάνουμε και στο μικρόκοσμο. Στη συνέχεια, αν η μελέτη μας αποδειχθεί εποικοδομητική και διευρύνει την κατανόησή μας, ίσως μπορέσουμε να μεταθέσουμε τα προηγούμενα όρια μας ακόμα πιο μακριά… Πρέπει όμως από κάπου να αρχίσουμε και αρχίζουμε αναγκαστικά από το ύστατο σημείο, ιδέα ή έννοια που μπορεί να καταλάβει ο νους μας.

Πίσω από τη τωρινή μας νοόσφαιρα μπορεί να κρύβονται άλλες ευρύτερες νοόσφαιρες, αλλά προς το παρόν δε μας ενδιαφέρουν. Απλά αυτές δεν υπάρχουν όσο δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε. Μόνο με μια φιλοσοφική αναλογία θα μπορούσαμε να πούμε ίσως κάτι γι’ αυτές. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο το φιλοσοφικό σύστημα της Καμπάλα ξεκινά την Εκδήλωση ή «Δημιουργία» από ένα πρωταρχικό Σημείο, σε πλήρη αντιστοιχία με το σύγχρονο κοσμολογικό σημείο ή «παραδοξότητα» της Μεγάλης Έκρηξης. Αν υπάρχει Αρχή του Σύμπαντος, ναι από εκεί θα πρέπει να ξεκινήσουμε. Μπορεί όμως να μην υπάρχει καμιά αρχή του σύμπαντος. Μπορεί αυτό να είναι αιώνιο και να συμβαίνει συνεχώς η δημιουργία και η καταστροφή σε αυτό. Οτιδήποτε βρίσκεται πίσω από το πρωταρχικό σημείο εκδήλωσης του Κόσμου η Καμπάλα το ονομάζει Πέπλα της Αρνητικής Ύπαρξης. «Αρνητικής» με την έννοια του αδιανόητου, κάτι που βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητες προσπέλασης του νου μας. Το Πρωταρχικό Σημείο ή «Στέμμα της Δημιουργίας» στην Καμπάλα κρύβει λοιπόν τα «Πέπλα της Αρνητικής Ύπαρξης», αλλά συγχρόνως καθορίζει ένα συγκεκριμένο χώρο μέχρι αυτά, ο οποίος μπορεί να διερευνηθεί και να εξερευνηθεί από το νου. Χρειάζεται πάντα ένα (τουλάχιστον) πρωταρχικό αξίωμα για να ξεκινήσει οποιαδήποτε γνωσιολογική θεωρία σε σχέση με τον χώρο που μπορεί αυτό να περιγράψει.

Όπως λοιπόν η αποδοχή μιας Αρχής για το Σύμπαν πρέπει να ξεκινήσει από ένα αδιάστατο «σημείο» (ο πρωταρχικός απειροστός περιορισμός), από το οποίο τα πάντα απέρρευσαν, έτσι και το ίδιο το δημιουργημένο (ή εσαεί υπάρχον) σύμπαν πρέπει να νοηθεί ολοκληρωμένο με την ύπαρξη ενός πραγματικού και όχι απλά ενός εν δυνάμει απείρου (ο ύστατος περιορισμός ή στη εσωτερική φιλοσοφία ο Αδιαπέραστος Δακτύλιος, τον οποίον τα όντα αυτού του Κόσμου δεν μπορούν να διαβούν ούτε ακόμα και με τη σκέψη τους!).

Η παραδοχή της ύπαρξης αυτού του Αδιαπέραστου Δακτυλίου ή των ορίων της νοόσφαιρας κάνει δυνατή την διερεύνηση και μελέτη του απείρου.

Φιλοσοφικά το άπειρο αυτό θα μελετηθεί και θα διερευνηθεί μέσω του βασικού Ερμητικού αξιώματος της αναλογίας του μικρόκοσμου με τον μακρόκοσμου, αποδεχόμενοι δηλαδή ότι το άπειρο κρύβεται

Page 64: Περί Απείρου

κατά κάποιο τρόπο μέσα στο απειροστό και το απειροστό μέσα στο άπειρο ή αλλιώς ότι αυτά συνδέονται με κάποιο είδος ισοδυναμίας μεταξύ τους.

Μαθηματικά το άπειρο αυτό θα μελετηθεί με την καλύτερη δυνατή λογική μέθοδο που διαθέτουμε, αυτή του Cantor που ήδη εξετάσαμε και η οποία, όπως είδαμε, έρχεται σε πλήρη συμφωνία με την εσωτερική φιλοσοφία.

Η ταυτόχρονη συνύπαρξη άπειρου και πεπερασμένου στα ίδια αντικείμενα της εποπτικής μας αντίληψης, βρίσκεται π.χ., όπως επίσης έχουμε αναφέρει, στο πεπερασμένο των διαφόρων μεγεθών, μηκών, σχημάτων ή στερεών και των άπειρων σημείων από τα οποία αυτά αποτελούνται ή και στην απειρότητα των γεωμετρικών οντοτήτων που μπορούν να «γεμίσουν» μια γεωμετρική οντότητα της αμέσως μεγαλύτερης διάστασης από αυτά. Μπορούμε να τα συναντήσουμε όμως και σε άλλες μορφές, όπως π.χ. στη Σάλπιγγα του Torricelli (που υπονοεί την σάλπιγγα του Αρχάγγελου Γαβριήλ με την οποία αυτός, υποτίθεται, θα σημάνει την Ημέρα της Αποκάλυψης), που δείχνεται στο στο παρακάτω σχήμα και η οποία έχει πεπερασμένο όγκο και άπειρο εμβαδόν!

Page 65: Περί Απείρου

Για να κατασκευάσουμε αυτή τη «Σάλπιγγα» (που είναι ένα στερεό εκ περιστροφής) αρκεί να θεωρήσουμε τη συνάρτηση y = 1/x, η οποία παριστάνει μια υπερβολή (μια ανοιχτή καμπύλη που πλησιάζει συνεχώς τον άξονα των x, χωρίς ποτέ να τον φτάνει), να την κλείσουμε στην αρχή για xμεγαλύτερο ή ίσο του 1, ώστε να μην πάει να γίνει ασύμπτωτη και στον άξονα των y, και να περιστρέψουμε μετά το τμήμα αυτό της υπερβολής από x=1 μέχρι x = άπειρο, στις τρεις διαστάσεις, ως προς τον άξονα των x.

Όπως αποδεικνύεται μαθηματικά, ο όγκος της σάλπιγγας είναι πεπερασμένος (π κυβικές μονάδες) ενώ η επιφάνειά της άπειρη!

Όταν ανακαλύφτηκε η «Σάλπιγγα», θεωρήθηκε παράδοξη, διότι με την περιστροφή μιας άπειρης καμπύλης (της υπερβολής y = 1/x)παράγεται ένα στερεό πεπερασμένου όγκου. Το παράδοξο αυτό αναφέρεται και σαν Παράδοξο του Ζωγράφου, διότι χρειάζεται άπειρη ποσότητα μπογιάς για να βαφτεί η εξωτερική επιφάνεια της σάλπιγγας, ενώ πεπερασμένη μόνον μπογιά για να γεμίσει κάποιος όλο το εσωτερικό της!.

Μπορεί ένα οριοθετημένο άπειρο με ένα βαθύ χάσμα μεταξύ αυτού κι ενός άλλου επόμενου πιθανού απείρου, ευρύτερο από το ίδιο, πέρα από τη λογική προσέγγιση, να φαίνεται αντιδιαλεκτικό σα σκέψη, αφού όπως έχουμε επανειλημμένως αναφέρει το πεπερασμένο αρνείται συνεχώς τα όρια του, εφόσον μπορεί να τα διακρίνει, και εξελίσσεται έτσι σε άπειρο. Ναι, σωστά, αλλά μέχρι πότε θα τα αρνείται; Θα τα αρνείται επ’ «άπειρον» χωρίς τελειωμό, με ένα «ανοιχτό δηλαδή τρόπο ή κάπου και αυτή ακόμα η άρνηση των ορίων θα κλείσει και θα σιωπήσει διότι απλώς δε θα μπορεί να διακριθεί τίποτα πέραν αυτών των ορίων; Σε μια τέτοιο περίπτωση τα όρια απλά νοούνται δεν γίνονται άμεσα αντιληπτά με σύγκριση ως

Page 66: Περί Απείρου

προς κάποιο διαφαινόμενο μπακγράουντ ενός άγνωστου και ανεξερεύνητο χώρου ή βασιλείου πέρα από αυτά.

Για να υπάρχουν όρια όμως και να μην τα αντιλαμβάνεσαι πρέπει να ζεις σε ένα αναδιπλωμένο σύμπαν, όχι απλά σε μια υπερσφαίρα, αλλά σε μια αναδιπλωμένη υπερσφαίρα, αν θα μπορούσαμε να νοήσουμε μια τέτοια, στην οποία το εσωτερικό και το εξωτερικό συμπίπτουν! Μόνον σε αυτή την περίπτωση που δεν υπάρχουν σαφή όρια μεταξύ εσωτερικής κι εξωτερικής επιφάνειας κατά τη μετάβασή σου από τη μια στην άλλη δεν μπορείς να αντιληφθείς την ύπαρξη των ορίων σου ούτε και να διακρίνεις τίποτα έξω από αυτά!

Αν ορίσουμε το Σύμπαν μαςσαν το σύνολο όλης της ύπαρξης, ύλης και ενέργειας και όλης της εκδήλωσης, με την έννοια της συμπερίληψης των πάντων σε αυτό και αρνούμενοι την υπόθεση της υπάρξεως οπουδήποτε σημείου «έξω» από αυτό, διότι αν υπήρχε ένα τέτοιο σημείο, θα το συμπεριλαμβάναμε και αυτό στον ορισμό μας., τότε το «μέσα» και το «έξω» του Σύμπαντος πρέπει να ταυτίζονται κι επομένως το σχήμα του θα πρέπει να είναι αναγκαστικά μια καμπύλη επιφάνεια και μάλιστα με μία μόνον όψη, όπου θα μπορείς να διέλθεις με μια συνεχή γραμμή από το «εσωτερικό» στο «εξωτερικό» του και τανάπαλιν χωρίς να περάσεις από κανένα είδους όριο, όπως συνήθως συμβαίνει στις γνωστές μας επιφάνειες.

Μια γεύση αυτού μας δίνει η Ζώνη του Mobius.

Page 67: Περί Απείρου

Φανταστείτε ένα ορθογώνιο χαρτί ΑΒΓΔ. Συστρέψτε τώρα με μισή στροφή τη δεξιά άκρη ΒΓ, έτσι ώστε το Γ να έρθει πάνω και το Β

Page 68: Περί Απείρου

κάτω και ενώστε στη συνέχεια το Γ με το Α και το τα Β με το Δ. Θα πάρετε έτσι μια ζώνη του Μέμπιους. Χαράσσοντας στη συνέχεια με το μολύβι σας μια συνεχή γραμμή από ένα τυχαίο σημείο αυτής της επιφάνειας θα παρατηρείστε με έκπληξη ότι διέρχεστε από το εσωτερικό και από το εξωτερικό της, χωρίς να περάσετε από τα «άκρα» της. Το εσωτερικό και το εξωτερικό αυτής της επιφάνειας είναι ένα.

Δοκιμάστε βάψετε τη μία όψη της ζώνης του Μέμπιους κόκκινη και την άλλη πράσινη και θα παρατηρήστε με έκπληξη ότι τα δυο χρώματα θα συναντηθούν. Η επιφάνεια έχει μία μόνον όψη. Ακολουθείστε τη με το δάκτυλό σας για να βεβαιωθείτε γι’ αυτό. Από αυτή προέρχεται και το σύμβολο του απείρου, το οριζόντιο 8 που χρησιμοποιούμε για να αντιπροσωπέυουμε το άπειρο. Αυτό υποτίθεται ότι αντιπροσωπεύει μια ζώνη του Μέμπιους. Στοχασθείτε επ’ αυτού.

Φανταστείτε τώρα ένα στερεό, όπως μια συστρεφόμενη μπουκάλα που ο λαιμός της δεν είναι ανοιχτός αλλά ενώνεται με το εσωτερικό της (Klein Bottle). Θα πάρετε έτσι ένα πιθανό σχήμα για το «Σύμπαν» σας. Όπως μπορείτε εύκολα να καταλάβετε, σε αυτό το καμπύλο Σύμπαν, όπου το «μέσα» και το «έξω» ταυτίζονται, δεν μπορεί να υπάρχει καμιά ευθεία γραμμή και ό,τι γραμμή και να θεωρήσουμε θα είναι καμπύλη και μάλιστα μια ανακυκλωμένη καμπύλη, αν την προεκτείνουμε νοερά επ’ «άπειρον». Αντιπαραβάλλετε αυτή την σύλληψη για το Σύμπαν με ένα Ευκλείδειο ευθειογενές σύμπαν χωρίς τελειωμό και χωρίς τη δυνατότητα κατανόησής του και επιλέξτε μόνοι σας ποιο από τα δυο είναι λογικότερο και μαθηματικά «κομψότερο» και «συνεπέστερο».

Page 69: Περί Απείρου
Page 70: Περί Απείρου

Το μισό της φιάλης Κλάιν με μια ζώνη του Μέμπιους

ΠΑΡΑΔΟΞΑ

Ο κόσμος μας, απέδειξε ο Cantor, αποτελείται από δυο άπειρα: το άπειρα των φυσικών αριθμών και των αριθμήσιμων συνόλων και το άπειρο του μη αριθμήσιμου συνεχούς, είτε αυτό πρόκειται για ένα απειροστό ευθύγραμμο τμήμα, μια ευθεία, μια καμπήλη γραμμή, ένα επίπεδο, ένα στερεό, ολόκληρο τον τρισδιάστατο χώρο ή το χώρο γενικότερα οσωνδήποτε διαστάσεων.

Αντιπροσωπεύουμε το άπειρο των φυσικών αριθμών με το Εβραϊκό γράμμα Άλεφ (με δείκτη) μηδέν, o, ενώ το άπειρο του συνεχούς υποθέτουμε ότι είναι το 1, το δυναμοσύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του συνόλου των φυσικών αριθμών, χωρίς όμως

Page 71: Περί Απείρου

απόλυτη βεβαιότητα (Υπόθεση του συνεχούς). Θα μπορούσε όμως να είναι και card (R) > 1 και ο κόσμος μας να περιλαμβάνει έτσι τρία (ή ίσως και περισσότερα) άπειρα.

Είδαμε ότι στην Υπόθεση του Συνεχούς (CH):

Ενώ στη θεωρία χωρίς την υπόθεση του συνεχούς (not CH) ισχύει ότι:

Τα υπόλοιπα μεγαλύτερα άπειρα που όρισε ο Cantor, θα μπορούσαν κάλλιστα να ανήκουν σε άλλα σύμπαντα, «παράλληλα με το δικό μας, και διαχωριζόμενα από αυτό με μια μεγάλη απροσπέλαστη (?) άβυσσο ή να περιβάλλουν το δικό μας, καθένα όλα τα προηγούμενα από αυτό, σαν ένα είδος Ρωσικών κουκλών η μία μέσα στην άλλη χωρίς τελειωμό, διαχωριζόμενα μεταξύ τους μέσω ανάλογων «αβύσσων» ή «αδιαπέραστων Δακτυλίων»....

Προς το παρόν δε μας ενδιαφέρουν αυτά τα «αρνητικά» σύμπαντα, αφού δεν μπορούμε να τα προσπελάσουμε με τη σκέψη μας, παρά μόνον τελείως αφηρημένα και αναλογικά με βάση το «γνωστό» μας σύμπαν, οπότε ενδιαφερόμαστε μόνον για το τελευταίο.

Η Θεωρία των Συνόλων και των πραγματικών, μη δυνητικών απείρων, του Cantor μπορεί να είναι μεγαλοφυής, αλλά δημιουργεί εντούτοις μερικά παράδοξα. Ένα από αυτά το επεσήμανε ο ίδιος ο Cantor: Κάθε δυναμοσύνολο, είναι όπως είπαμε μεγαλύτερο από το αντίστοιχο σύνολο. Αν λοιπόν θεωρήσουμε το σύνολο όλων των συνόλων, τότε το πλήθος των στοιχείων του οφείλει να είναι μεγαλύτερο από τον εαυτό του, πράγμα αντιφατικό, αφού εξ’ ορισμού το σύνολο όλων των συνόλων περιλαμβάνει όλα τα δυνατά σύνολα. Θα έπρεπε έτσι να υπήρχε μια λύση της εξίσωσης

2ν = ν , όπου το 2ν αντιπροσωπεύει το πλήθος των στοιχείων (πληθάριθμο) ενός συνόλου με ν στοιχεία.

Η εξίσωση όμως αυτή δεν έχει λύση και μάλιστα όσο αυξάνει το ν τόσο μεγαλύτερο από αυτό γίνεται το 2ν . Αν είχε λύση, αυτή θα ήταν για έναν πεπερασμένο αριθμό και μάλιστα ή το 0 ή το 1! Δεν έχει όμως ούτε και γι’ αυτούς, διότι 20 = 1 διάφορο του 0, που είναι ο πληθάριθμος του κενού συνόλου, και 21 =2 διάφορο του 1, που είναι ο πληθάριθμος ενός μονοσύνολου (ενός συνόλου με ένα μόνο στοιχείο).

Page 72: Περί Απείρου

Θα μπορούσαμε όμως να «μαγειρέψουμε» μια λύση και να άρουμε έτσι την αντίφαση. Το κενό σύνολο είναι σίγουρα ένα πολύ παράξενο σύνολο, που δεν περιέχει κανένα στοιχείο, και το δεχόμαστε διότι το χρειαζόμαστε για να ορίσουμε πράξεις μεταξύ των συνόλων. Με μια όχι και πολύ στέρεη λογική, κατά την άποψή μου, «αποδεικνύουμε ότι αυτό είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

Ο ορισμός του υποσυνόλου Α1 ενός συνόλου Α είναι ότι αυτό περιέχει τέτοια στοιχεία που αν ανήκουν σε αυτό, θα ανήκουν σίγουρα και στο σύνολο Α, αλλά όχι και αντιστρόφως, δηλαδή το σύνολο Α μπορεί να περιλαμβάνει και στοιχεία που δεν ανήκουν σε ένα υποσύνολό του, με εξαίρεση τον εαυτό του, που και αυτό θεωρείται υποσύνολό του. Αν τώρα απορρίψουμε ένα σύνολο να είναι και υποσύνολο του εαυτού του, τότε μιλάμε για ένα γνήσιο υποσύνολο αυτού του συνόλου. Κάθε γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Α έχει έτσι σίγουρα μικρότερο πληθάριθμο (αριθμό στοιχείων) από το ίδιο το σύνολο Α.

Αν λοιπόν δεχόμαστε στο δυναμοσύνολο ενός συνόλου Α μόνον τα γνήσια υποσύνολά του, τότε αυτό θα είχε 2ν -1 συνολικά στοιχεία, αντί για τα 2ν στοιχεία που συνήθως του αποδίδουμε, διότι συμπεριλαμβάνουμε και το ίδιο το σύνολο σαν υποσύνολο του εαυτού του. Σε αυτή λοιπόν την περίπτωση η παραπάνω εξίσωση θα γινόταν:

2ν - 1 = ν και ισχύει τόσο για ν = 0 όσο και για ν = 1 και μόνον γι’ αυτούς τους αριθμούς!

Τι θα σήμαινε δηλαδή αυτό; Ότι το πλήθος όλων των άπειρων στοιχείων του συνόλου όλων των συνόλων είτε θα είχε ένα μόνον συνολικά στοιχείο! (το Ελεατικό «Εν το Παν»?) ή κανένα στοιχείο και θα ήταν έτσι το κενό σύνολο! (φτάνοντας έτσι στο πλήρες αντιφατικό για τη λογική συμπέρασμα ότι το άπειρο είναι ίσο με το μηδέν ή ακόμα με το 1 ή επίσης ότι το 0 μπορεί να είναι ίσο με 1, τη «μεγάλη», φιλοσοφική μονάδα).

Από την άλλη τη μεριά θα μπορούσαμε να μη δεχτούμε το κενό σύνολο σαν υποσύνολο κάθε συνόλου, αλλά να δεχτούμε κάθε σύνολο σαν υποσύνολο του εαυτού του. Σε αυτή την περίπτωση, πάλι το πλήθος των απλών υποσυνόλων του συνόλου Α θα ήταν 2ν –1 και θα είχαμε έτσι πάλι έτσι τις μοναδικές λύσεις ν = 0 η ν = 1. Αν πάλι δεχόμαστε κανονικά ό,τι συνήθως δεχόμαστε, δηλαδή ότι και το κενό σύνολο είναι ένα απλό υποσύνολο ενός συνόλου και το ίδιο το σύνολο υποσύνολο του εαυτού του, εκτός όμως του κενού συνόλου για το οποίο απαγορεύσουμε να μπορεί να θεωρηθεί σαν υποσύνολο του εαυτού του, τότε η αρχική μας εξίσωση:

Page 73: Περί Απείρου

2ν = ν

θα ίσχυε για κάθε ν εκτός του μηδενός, εκτός δηλαδή για το κενό σύνολο. Για το κενό σύνολο θα ίσχυε η εξίσωση:

20 -1 = 0

Και θα ήταν έτσι αυτό το μόνο δυνατό σύνολο που το δυναμοσύνολό του θα είχε τον ίδιο αριθμό στοιχείο με το σύνολο κι επομένως το μόνο σύνολο που θα μπορούσε να επιλύσει το παράδοξο του συνόλου όλων των συνόλων. Αυτό όμως θα οδηγούσε στο μεγαλύτερο ίσως παράδοξο ότι το μηδέν είναι ίσο με το άπειρο. Παρόλο τη φιλοσοφική μου διαίσθηση για την ουσιαστική ισχύ μιας τέτοιας παράδοξης παραδοχής, δε θα την υποστηρίξω….

Δεν είναι όμως το μοναδικό αυτό παράδοξο στην Θεωρία των Συνόλων. Ένα άλλο είναι το περίφημο παράδοξο του Russell, το οποίο αποκάλυψε στις αρχές του 20ου αιώνα ο μεγάλος Άγγλος μαθηματικός και φιλόσοφος Bertrand Russell στον επίσης μεγάλο Γερμανό μαθηματικό Gottlob Frege, όταν ο τελευταίος είχε τελειώσει το μεγαλειώδες έργο του της αξιωματικοποίησης της αριθμητικής θεωρίας, πικραίνοντάς τον…

Μερικά σύνολα μπορεί να έχουν σα στοιχείο και τον εαυτό τους, όπως π.χ. το σύνολο όλων των ιδεών, που είναι επίσης ιδέα. Μερικά πάλι δεν έχουν σα στοιχείο τον εαυτό τους, όπως π.χ. το σύνολο όλων των ανθρώπων ή ανθρωπότητα, που προφανώς δεν είναι η ίδια ένας άνθρωπος. Μπορούμε να χωρίσουμε έτσι όλα τα δυνατά σύνολα σε δύο μεγάλες κατηγορίες: σε αυτά που έχουν σα στοιχείο και τον εαυτό τους και σε αυτά που δεν έχουν σα στοιχείο τον εαυτό τους.

Έστω τώρα Α το σύνολο όλων των συνόλων που δεν έχουν σα στοιχείο τον εαυτό τους. Τίθεται το ερώτημα: Έχει αυτό το σύνολο Α σα στοιχείο τον εαυτό του ή όχι;

Με βάση τον ορισμό που του δώσαμε δεν μπορεί να περιλαμβάνει τον εαυτό του, διότι το σύνολο αυτό περιλαμβάνει μόνο σύνολα που δεν έχουν σα στοιχείο τον εαυτό τους. Από την άλλη μεριά όμως, αν το Α δεν είναι στοιχείο του Α, τότε θα πρέπει να περιλαμβάνεται σε αυτό το σύνολο, αφού το Α περιλαμβάνει όλα τα σύνολα που δεν έχουν σα στοιχείο τον εαυτό τους! Το ίδιο λοιπόν το σύνολο Α οφείλει να είναι και να μην είναι συγχρόνως στοιχείο του εαυτού του, δημιουργώντας με αυτό τον τρόπο μια μεγάλη αντίφαση (?) –μόνον όμως για την Αριστοτέλεια λογική…

Page 74: Περί Απείρου

Ο Gottlob Frege ήταν ήδη αρκετά μεγάλος για να ασχοληθεί με αυτό το παράδοξο. Εξέδωσε τον τελευταίο τόμο του έργο του παραθέτοντας με πικρία την επιστολή που του είχε στείλει ο Russell επισημαίνοντας το παράδοξο και προέτρεψε τις επόμενες γενεές μαθηματικών να προσπαθήσουν να το επιλύσουν.

Ο ίδιος ο Russell, ένα από τα πιο δυνατά μυαλά εκείνης της εποχής, πάλεψε επί χρόνια να βρει μια λύση στο παράδοξο, χωρίς όμως επιτυχία. Τελικά κατάλαβε ότι αυτό οφειλόταν στην αυτοαναφορά: σε ένα σύνολο πολλών συνόλων με την ίδια ιδιότητα, όπως και στο σύνολο όλων των συνόλων του Cantor. Αποφάσισε λοιπόν, αφού δεν μπορούσε να βρει λύση, να εξοβελίσει το παράδοξο απαγορεύοντάς το! Απαγόρεψε απλά την αυτοαναφορά κι επομένως σύμφωνα με την προσέγγισή του το σύνολο όλων των συνόλων δεν είναι σύνολο, του απαγορεύουμε εξ’ ορισμού να είναι για να μη δημιουργεί την αντίφαση! Και γενικότερα απαγορεύεται κάθε αυτοαναφορά στη θεωρία των συνόλων και στα παιχνίδια της λογικής, διότι οι αυτοαναφορές δημιουργούν ανεπίλυτα παράδοξα, όπως π.χ. του κουρέα της ….Σεβίλλης (lol), της οποίας οι κάτοικοι είναι όλοι κάθε πρωί φρεσκοξυρισμένοι και ο οποίος ξυρίζει κάθε μέρα όλους όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Το ερώτημα είναι: ποιος ξυρίζει τον κουρέα;

Ο Russell έλυσε με την περίφημη «Θεωρία των Τύπων» του τα παράδοξα της αυτοναφοράς, απαγορεύοντάς τα, έκαμε τον κόσμο φτωχότερο.. Αν τον αφήναμε ελεύθερο να άρει όλες τις αντιφάσεις που θα συναντούσε στο δρόμο του με αυτόν τον τρόπο, τότε θα αναγκαζόμασταν να απαρνηθούμε πολλά όμορφα πράγματα στη ζωή μας, όπως π.χ. η ποίηση, το χιούμορ και η δημιουργικότητα.

Ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός και η θεωρία των συγκλινουσών απειροσειρών υποτίθεται πως έλυσε τα παράδοξα του Ζήνωνα, αν και μερικοί το αμφισβητούν. Δεν επέλυσε όμως τα παράδοξα της υπερεργασίας (supertask), μιας άπειρης δηλαδή ακολουθίας πράξεων ή χειρισμών που εκτελούνται σε πεπερασμένο χρόνο. Ήδη η φιλοσοφία μελετά επισταμένως το παράδοξο των υπερεργασιών προσπαθώντας να δώσει λύση. Ίσως ασχοληθούμε κάποτε με αυτό.

Ξέχωρα όμως από αυτό τα παράδοξα του Ζήνων εμφανιστήκαν τις νεότερες εποχές με πλείστες άλλες μορφές οδηγώντας σε άλυτα προβλήματα. Ένα από αυτά είναι το παράδοξο της λάμπας του Thomson.

Page 75: Περί Απείρου

Κάποια στιγμή ανάβει η λάμπα του Thomson. Μετά από ½ δευτερόλεπτο αυτή σβήνει. Μετά από 1/4 δευτερόλεπτα αυτή ξανανάβει κλπ.. Για κάθε φυσικό αριθμό ν, μετά από (1/2)ν

δευτερόλεπτα η λάμπα ανάβει ξανά. Καμιά άλλη αλλαγή δε συμβαίνει. Τίθεται τώρα το ερώτημα: στο τέλος του 1 δευτερολέπτου η λάμπα θα είναι αναμμένη ή σβηστή;

Στις ενστάσεις για τη μη δυνατότητα κατασκευής φυσικών μηχανισμών που να ικανοποιούν τα δεδομένα του προβλήματος έχουν απαντήσει άλλοι με άλλα άλυτα παράδοξα που να μην περιλαμβάνουν φυσικές κατασκευές. Π.χ και το κλασσικό παράδοξο της διχοτομίας του Ζήνων θα μπορούσε να διατυπωθεί με άλλο τρόπο, όπως π.χ. ότι κάθε φορά που ο δρομέας περνά από το μισό μιας απόστασης για να φτάσει από το Α στο Β αντιστοιχεί στην αρχή ένας ζυγός αριθμός και μετά ένας μονός αριθμός. Ο αριθμός αυτός διατηρείται ο ίδιος μέχρι να περάσει από το επόμενο μέσον της υπόλοιπης απόστασης που μένει, οπότε και αλλάζει, διατηρούμενος πάλι μέχρι να περάσει από το επόμενο από αυτό μέσον κ.ο.κ. Όταν ο δρομέας φτάσει τελικά στο σημείο Β τι αριθμός θα αντιστοιχεί, μονός ή ζυγός;

Ανάλογο είναι και το παράδοξο του διατημοπλοίου: Ένα διαστημόπλοιο ταξιδεύει σε μια ευθεία γραμμή για μισό λεπτό και μετά διπλασιάζει την ταχύτητά του. Μετά από ένα τέταρτο του λεπτού διπλασιάζει ξανά την ταχύτητά του κ.ο.κ. Πού θα βρίσκεται αυτό στο τέλος του λεπτού;

ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΑΚΟΜΑ ΠΑΡΑΠΕΡΑ…

Και ένα ανέκδοτο σχετικά με τα παράδοξα του απείρου:

Ένας ψυχολόγος κάνει ένα πείραμα με έναν μαθηματικό και έναν φυσικό. Βάζει μια όμορφη, γυμνή γυναίκα σε ένα κρεβάτι σε μια γωνία του δωματίου και τον μαθηματικό σε μια καρέκλα σε ένα άλλο δωμάτιο και του λέει: "Θα υποδιπλασιάζω την απόσταση ανάμεσα σε σας και στη γυναίκα κάθε πέντε λεπτά και δε θα έχετε την άδεια να σηκωθείτε με΄χρι να την φτάσετε". Ο μαθηματικός σηκώνεται αμέσως και φεύγει φωνάζοντας: "Μα δε θα φτάσω ποτέ έτσι τη γυναίκα!". Μετά ο ψυχολόγος παίρνει το φυσικό και του λέει τα ίδια. Ο φυσικός αρχίζει να χαμογελάει ικανοποιημένος. Παραξενεμένος ο ψυχολόγος παρατηρεί: "Μα δε θα θα φτάσετε ποτέ σε αυτή την γυναίκα". Ο φυσικός καγχάζει και απαντά: "Σωστά, αλλά για όλους τους πρακτικούς σκοπούς αυτή είναι μια πολύ καλή προσέγγιση!"

Page 76: Περί Απείρου

Να και μια άλλη απόδοση του Παράδοξου του Ζήνωνα που αναφέρω στο «Σπάσιμο της Πραγματικότητας»:

Έστω μια ακτίνα φωτός που ανακλάται μεταξύ μιας μια άπειρης ακολουθίας επιπέδων κατόπτρων, όπως στο παρακάτω σχήμα:

Υποθέτοντας ότι η ύλη, ο χώρος και ο χρόνος είναι συνεχείς και άπειρα διαιρετοί, μπορούμε να φανταστούμε ένα σημειακό σωματίδιο χωρίς μάζα, όπως π.χ. το φωτόνιο, να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέσα από την άπειρη αυτή ακολουθία κατόπτρων, των οποίων το μέγεθος και το μεταξύ τους διάστημα θεωρούμε ότι μειώνεται σε κάθε βήμα γεωμετρικά κατά το μισό. Το περίβλημα γύρω από αυτά τα κάτοπτρα θα είναι προφανώς σφηνοειδούς μορφής και θα συγκλίνει σε ένα σημείο, ενώ το ολικό μήκος της τεθλασμένης διαδρομής θα είναι πεπερασμένο, λόγω της γεωμετρικής σειράς 1 + 1/2 + 1/4 + ..., που συγκλίνει στο 2. Έτσι το σωματίδιο πρέπει να φτάσει στο «τέλος» της διαδρομής του σε ένα πεπερασμένο χρόνο. Η ουσία του επιχειρήματος του Ζήνωνα, ενάντια στη συνέχεια και την άπειρη διαιρετότητα, είναι ότι δεν υπάρχει κανένας λογικός τρόπος για να προβάλλει το φωτόνιο από αυτή τη σειρά των κατόπτρων. Η κατεύθυνση την οποία αυτό θα είχε, όταν τελικά πρόβαλλε, θα εξαρτιόταν από το τελευταίο κάτοπτρο πάνω στο οποίο θα ανακλάτο. Δεν υπάρχει όμως κανένα τέτοιο “τελευταίο” κάτοπτρο…

Ένα ακόμα παράδοξο σχετικά με ένα άπειρο, αλλά «ανοιχτό», σύμπαν είναι αυτό των άπειρων ταυτόσημων αντιγράφων μας. Όπωςυποστηρίζεται, σε ένα σύμπαν άπειρου μεγέθους, οτιδήποτε έχει μια μη μηδενική πιθανότητα να συμβεί, πρέπει να συμβαίνει και μάλιστα απείρως συχνά. Έτσι σε κάθε χρονική στιγμή, π.χ. την παρούσα στιγμή, πρέπει να υπάρχει μια άπειρη σειρά ταυτόσημων αντιγράφων μας που να κάνουν ό,τι ακριβώς κάνουμε εμείς τώρα!

Από την άλλη μεριά αν τα άστρα ήσαν άπειρα, γιατί δε φωτίζουν με άπλετο φως το νυχτερινό ουρανό;

Page 77: Περί Απείρου

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να κοιτάξουμε το άπειρο. Ένα άπειρο δεν είναι ανάγκη να περιλαμβάνει τα πάντα. Π.χ. οι άπειροι άρτιοι αριθμοί δεν περιλαμβάνουν τον αριθμό 3 και όλους γενικά τους περιττούς αριθμούς. Επίσης τα άπειρα δεν είναι ανάγκη να είναι πάντα μεγάλα. Μπορεί αντί να διπλασιάζεται κάτι συνεχώς, να υποδιπλασιάζεται, όπως ακριβώς στο παράδοξο του Ζήνωνα με τον Αχιλλέα και τη Χελώνα. Επίσης μπορούμε να αποδώσουμε και στον πεπερασμένο κύκλο μια απειρότητα, με την έννοια ότι μπορεί κάποιος να τον διαβεί άπειρες φορές. Με αυτήν άλλωστε την παραδοχή απεικονίζουμε όλους του πραγματικούς αριθμούς στον τριγωνομετρικό κύκλο και ορίσουμε τις αντίστοιχες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Εδώ η απεικόνιση δεν είναι 1-1. Υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί που έχουν τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό (π.χ. το ίδιο ημίτονο ή συνημίτονο).

Αρκετοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ολόκληρος ο κόσμος είναι ένας μεγάλος κύκλος που επαναλαμβάνεται συνεχώς - για να μην υπεισέλθουμε στις θεωρίες της Αιώνιας Επιστροφής του Νίτσε και του Γκουρτζίεφ. Γιατί άραγε ο Νίτσε είπε ότι πρέπει να δρούμε σαν να γνωρίζαμε ότι οι πράξεις μας θα επαναλαμβάνονταν επ’ άπειρον;

Σκεφθείτε την περίπτωση ο χρόνος να είναι μεν πεπερασμένος, όπως τον δεχόμαστε σήμερα αλλά κυκλικός και όχι ευθύγραμμος και πάντα προς τα μπροστά, όπως συνήθως τον φανταζόμαστε. Σε μια τέτοια περίπτωση θα μπορούσαν να συμβούν όλων των ειδών τα παράδοξα, μαζί με το ταξίδι στο χρόνο. Επισημαίνουμε ότι η διαλεκτική φιλοσοφική σκέψη απαιτεί την συνύπαρξη πάντα πεπερασμένου και απείρου!

Μια απειρία μπορούμε να δημιουργήσουμε επίσης θεωρητικά μέσω δύο τελείως παραλλήλων επιπέδων κατόπτρων, οπότε τα σχηματιζόμενα τότε είδωλα θα είναι άπειρα.

Επιστρέφοντας για λίγο στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, όπως έχουμε αναφέρει, στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν δύο τουλάχιστον διαφορετικές ευθείες που μπορούμε να φέρουμε από ένα σημείο Α εκτός μιας ευθείας ε, «παράλληλες» προς αυτήν. Οι «ευθείες» αυτές της υπερβολικής γεωμετρίας δε μοιάζουνε με τις παράλληλες τις ευκλείδειας γεωμετρίας, αφού δεν ισαπέχουν π.χ. μεταξύ τους, αλλά μπορούν να πλησιάζουν η μία την άλλη ασυμπτωτικά. Ακολουθούν απλά τον περιορισμό να μην τέμνονται, χωρίς όμως να φαίνονται σαν «ευθείες» με τη συμβατική έννοια. Από την άλλη μεριά, ενώ η ελλειπτική γεωμετρία αναπτύσσεται στην επιφάνεια μιας σφαίρας, η

Page 78: Περί Απείρου

υπερβολική γεωμετρία αναπτύσσεται σε επιφάνειες με αρνητική καμπυλότητα, όπως π.χ. οι υπερβολοειδείς ή σαγματοειδείς (σε σχήμα σαμαριού) επιφάνειες.

Μια παραδοσιακή υπερβολική επιφάνεια είναι και ο Δίσκος του Poincare, που οραματίσθηκε ο ομώνυμος διάσημος Γάλλος μαθηματικός και φιλόσοφος. Αυτός παρουσίασε το υπερβολικό μοντέλο του σαν ένα φανταστικό σύμπαν που καταλαμβάνει το εσωτερικό ενός δίσκου στο Ευκλείδειο επίπεδο. Οι κάτοικοι αυτού του δίσκου φαίνονται να «συστέλλονται» καθώς πλησιάζουν τον άπειρα μακρινό ορίζοντα στο όριο του δίσκου. Δεν παρατηρούν όμως αυτό το φαινόμενο, διότι τα μέτρα μέτρησής τους συστέλλονται μαζί τους καθώς κινούνται με αυτά. Νομίζουν έτσι ότι ζουν σε ένα κανονικό Ευκλείδειο χώρο, αλλά βλέποντάς τους απ’ έξω παρατηρούμε ότι ζουν σε ένα μη Ευκλείδειο χώρο, με τις διαστάσεις τους να συμπεριφέρονται παράξενα.

Πριν από έναν περίπου αιώνα οι μαθηματικοί μπήκαν σε μια μεγάλη διαμάχη μεταξύ τους σχετικά με τη σημασία των απείρων. Μερικοί από αυτούς σιχαίνονταν τα άπειρα και ήθελαν να τα εξαφανίσουν εντελώς από τα μαθηματικά. Άλλοι πάλι τα συμπαθούσαν και πρότειναν την περαιτέρω διερεύνησή τους. Τελικά οι μεν ήθελαν να περιορίσουν ή να εξωστρακίσουν τους δε.

Το αποτέλεσμα ήταν τη μεγαλοφυή εργασία του Cantorνα μην την εκμεταλλευτούν πρώτοι ο ερίζοντες τότε μεταξύ τους μαθηματικοί, αλλά η εκκλησία και οι θεολόγοι! Η ίδια αυτή εκκλησία που είχε κάψει στην πυρά το 1600 το φιλόσοφο Giordano Bruno για τη θεωρία του περί απείρων κόσμων, αναζητούσε την εποχή του

Page 79: Περί Απείρου

Cantor μια συμφιλίωσή της με την επιστήμη και πρότεινε μάλιστα έναν εποικοδομητικό μεταξύ τους διάλογο. Οι καθολικοί θεολόγοι υποδέχτηκαν θετικά τις ιδέες του Cantor πιστεύοντας ότι η κατανόηη του μαθηματικού απείρου θα βοηθούσε τους ανθρώπους να κατανοήσουν καλύτερα και το θεό, που ήταν επίσης άπειρος…..

Από τη μεριά του, ο Leopold Kronecker απέρριψε εκείνη την εποχή την έννοια του απείρου και την εργασία του Cantorυποστηρίζοντας ότι ο Θεός δημιούργησε μόνον τους ακέραιους αριθμούς και πως οτιδήποτε άλλο ήταν απλά μια ανθρώπινη κατασκευή. Ξεκίνησε έτσι τη σχολή του φινιτισμού, ο οποίος οδήγησε στο φιλοσοφικό και μαθηματικό κονστρουκτιβισμό. Ο τελευταίoς υποστηρίζει ότι ένα μαθηματικό αντικείμενο υπάρχει μόνον όταν μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς με ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Άλλοι πάλι, λιγότερο αυστηροί, κονστρουκτιβιστές επιτρέπουν ένα άπειρο, αλλά αριθμήσιμο πάντα, αριθμό βημάτων.

ΦΡΑΚΤΑΛΣ

Τα φράκταλ2 είναι μαθηματικά «κλασματικά» αντικείμενα που παρουσιάζουν δομή σε κάθε κλίμακα ή επίπεδο μεγέθυνσής τους. Αν η δομή αυτή παραμένει ίδια σε όλες τις κλίμακες, τότε μιλάμε για ένα αυτο-όμοιο φράκταλ, ανάλογο με τις Ρωσικές κούκλες, πιστό αντίγραφο υπό κλίμακα η μία της άλλης, που τοποθετούνται η μία μέσα στην άλλη, παρουσιάζοντας σε κάθε επίπεδο την ίδια εσωτερική δομή.

Η «κλασματική» γεωμετρία που μελετά τα φράκταλς είναι μια γεωμετρία της πραγματικής φύσης και όχι μιας εξιδανικευμένης μορφής της σαν την Ευκλείδεια Γεωμετρία που μελετά τέλειες καμπύλες και ιδανικές επιφάνεις και στερεά. Για τον θεμελιωτή των φράκταλς μαθηματικό Benoit Mandelbrot «η συνήθης Γεωμετρία είναι ψυχρή και στεγνή, διότι δεν μπορεί να περιγράψει το σχήμα ενός σύννεφου, ενός βουνού, μια ακτογραμμής ή ενός δένδρου. Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι και ο φλοιός του δένδρου δεν είναι λείος, ούτε ο κεραυνός ταξιδεύει σε μια ευθεία γραμμή».

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία οι διαστάσεις είναι πάντα ακέραιοι αριθμοί: το αδιάστατο σημείο, η μονοδιάστατη ευθεία ή καμπύλη, ο διδιάστατος κύκλος ή επιφάνεια και τέλος το τρισδιάστατο στερεό. Στην «κλασματική» όμως γεωμετρία τα φράκταλς έχουν κλασματικές διαστάσεις! Μια φράκταλ καμπύλη μπορεί να έχει μια διάσταση ανάμεσα στο ένα και στο δύο, ανάλογα με το πόσο χώρο

Page 80: Περί Απείρου

αυτή καταλαμβάνει καθώς ελίσσεται ή καμπυλώνεται. Παρόμοια ένα λοφώδες φράκταλ μπορεί να έχει μία διάσταση ανάμεσα στο δύο και στο τρία.

Ένα παράδειγμα ενός φράκταλ με αυτοομοιότητα σε όλο και μικρότερες κλίμακες είναι η παρακάτω καμπύλη του Koch, η οποία δεν είναι ούτε μονοδιάστατη ούτε διδιάστατη, αλλά με διάσταση 1,26186. Αυτή καλύπτει μια πεπερασμένη έκταση, αλλά έχειάπειρο μήκος.

Επιφάνεια Koch

ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

Σε σχέση τώρα με το άπειρο και τη φυσική, δεχόμαστε σήμερα ότι το σύμπαν δημιουργήθηκε πριν μερικά δισεκατομμύρια χρόνια από μια αρχική κοσμογονική έκρηξη ενός υπέρπυκνου και υπέρθερμου

Page 81: Περί Απείρου

σημείου, υφιστάμενο στην αρχή μια φάση εκθετικής διαστολής ή διόγκωσης (μικρότερης πάντα ταχύτητας από την ταχύτητα του φωτός) και προχωρώντας στην συνέχεια με ένα γενικά πολύ μικρότερο και πεπερασμένο πάντα ρυθμό διαστολής. Αν λάβουμε υπ’ όψη μας την αποδεκτή από εμάς ηλικία του (20-30 το πολύ δισεκατομμυρίων ετών) και την πεπερασμένη ταχύτητα διαστολής του, φτάνουμε στο συμπέρασμα ότι ακόμα και στην περίπτωση ενός αέναου διαστελλόμενου σύμπαντος, που δε φαίνεται κατά την άποψή μας λογικά και φιλοσοφικά σωστό, αυτό θα πρέεπι να ιδωθεί σήμερα σαν οριακό και πεπερασμένο. Ακόμα και να θέλουμε να ταξιδέψουμε σε μια ευθεία γραμμή, η βαρύτητα θα την καμπυλώσει και θα την μετατρέψει τελικά σε μια γεωδαισιακή καμπύλη που ικανοποιεί τη συνθήκη του ελάχιστου δρόμου μεταξύ δυο σημείων. Δεν υπάρχει επομένως καμία «άκρη του σύμπαντος» είτε το θεωρήσουμε σα μια τετραδιάστατη υπερσφαίρα, είτε σα μια Φιάλη Κλάιν ή σα μια 11-διάστατη μεμβράνη, όπως προτείνουν οι σύγχρονες κοσμολογικές θεωρίες.

Οι αποστάσεις λοιπόν μεταξύ δυο οποιωνδήποτε σημείων του σύμπαντος οσοδήποτε μεγάλες και να είναι αυτές, δεν είναι άπειρες, αλλά πεπερασμένες, οσεσδήποτε διαστάσεις και να έχει αυτό. Αν υπάρχουν άπειρες αποστάσεις, αυτές θα πρέπει να αναζητηθούν εκτός του σύμπαντος. Και τι ακριβώς άραγε εννοούμε με αυτές τις «άπειρες αποστάσεις»; Αυτή είναι η βασική διαφορά μεταξύ των άπειρων αποστάσεων και των άπειρων πληθαρίθμων: Άπειρες αποστάσεις δεν υπάρχουν, αλλά οι άπειροι πληθάριθμοι υπάρχουν!

Η φυσική αρνείται γενικά την ύπαρξη απείρων τιμών για τις μετρήσιμες ποσότητες, γιατί ο σκοπός της είναι να δίνει τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προσέγγιση της πραγματικότητας. Δεν μπορεί λοιπόν να δεχθεί για τους πρακτικούς σκοπούς της ούτε άπειρες μάζες, ούτε άπειρες ενέργειες ούτε και άπειρες δυνάμεις. Εάν υπήρχε ένα αντικείμενο με άπειρη μάζα, οποιοδήποτε αντικείμενο πεπερασμένης μάζας θα προσελκυόταν με άπειρη δύναμη (και επομένως και με άπειρη επιτάχυνση) προς αυτό, πράγμα που δεν παρατηρούμε στην πραγματικότητα. Παρόλο που οι φυσικοί μπορεί να χρησιμοποιούν στις εξισώσεις τους και στις θεωρίες τους απειροσειρές ή και άπειρες ντότητες, απαιτούν πάντα το τελικό αποτέλεσμα να έχει μια φυσική σημασία. Έτσι τα αρχικά εμφανισθέντα ακατανόητα άπειρα στην κβαντική θεωρία πεδίου «κανονικοποιήθηκαν» για να δώσουν τελικά ένα νοηματικό, πεπερασμένο αποτέλεσμα.

Οι θεωρίες χορδών αντικατέστησαν λοιπόν τα μηδενικής διάστασης σημειακά σωματίδια της τυπικής κβαντικής θεωρίας, που δημιουργούσαν ποικίλους ανεπιθύμητους απειρισμούς, με τις

Page 82: Περί Απείρου

μονοδιάστατες μικροσκοπικές χορδές, οι οποίες μπορούν να είναι είτε ανοιχτές (σα μια τρίχα) ή κλειστές (σα βρόχοι). Αυτές μπορούν να δονούνται ελεύθερα και οι διάφοροι τρόποι δόνησής τους, οι «νότες» και «αρμονικές» τους, αντιστοιχούν στα διάφορα σημειακά σωματίδια. Το 1984 εμφανίστηκε η θεωρία των υπερχορδών που έδωσε μια ιδιοφυή λύση στο πρόβλημα του απείρου που δεν μπορούσαν να αντιμετωπίσουν επιτυχώς οι προηγούμενες θεωρίες χορδών, που δεν περιελάμβαναν την υπερσυμμετρία.

Τελικά η θεωρία των υπερχορδών γενικεύτηκε το 1995 στη Θεωρία-Μ των μεμβρανών που περιλαμβάνει έναν 11διάστατο χωρόχρονο. Υπάρχουν μεγάλες και μικρές μεμβράνες Οι μεγάλες μεμβράνες μπορούν να μοιάζουν με σύμπαντα σαν το δικό μας, που επιπλέουν στον 11-διάστατο υπερχώρο. Οι μικροσκοπικές μεμβράνες από την άλλη μεριά μπορούν να θεωρηθούν σαν υποατομικά σωματίδια η δόνηση και η αλληλεπίδραση των οποίων μας δίνει τους νόμους της χημείας. Η Μ-Θεωρία ενοποιεί έτσι τα υποατομικά σωματίδια με τα σύμπαντα. Αυτή έχει πολλές λύσεις, μία από τις οποίες μπορεί να είναι το σύμπαν μας σα μια τετραδιάστατη φυσαλίδα που επιπλέει σε 11 διαστάσεις, στις επτά από τις οποίες μπορεί να υπάρχουν πολλά άλλα παράλληλα σύμπαντα (ίσως άπειρα) - άλλες δηλαδή επιπλέουσες φυσαλίδες.

Η πλησιέστερη μάλιστα τέτοια παράλληλη φυσαλίδα στο σύμπαν μας μπορεί να βρίσκεται σε απόσταση μόλις ενός χιλιοστού από μας! Πιστεύεται ότι αυτά τα σύμπαντα δημιουργούνται συνεχώς σα μια κβαντική διακύμανση, όπως οι φυσαλίδες του νερού που βράζει. Δημιουργούνται από το Τίποτα, από το κενό, χωρίς καμιά δαπάνη ενέργειας, εντελώς τσάμπα σα κβαντικές διακυμάνσεις του κενού. Η ύλη έχει θετική ενέργεια, αλλά η βαρύτητα αρνητική και το άθροισμά τους είναι είναι πάντα μηδέν!

Υπάρχει δηλαδή μια πολλαπλότητα συμπάντων που επιπλέουν σα φυσαλίδες πάνω στο Τίποτα, στο Κενό. Καθώς μια τέτοια φυσαλίδα σχηματίζει την ύλη της, κυριαρχείται από χορδές και μεμβράνες που παίζουν μουσικές νότες ή συμφωνίες σε μια μεταμοντέρνα απόδοση της Πυθαγόρειας Μουσικής των Σφαιρών, οι οποίες αντιστοιχούν στα σωματίδια του σύμπαντος. Οι δυνάμεις του σύμπαντος είναι οι δονήσεις του υπερχώρου. Δονείται η πέμπτη διάσταση και δημιουργείται το φως, η ηλεκτρομαγνητική δύναμη. Δονούνται ανώτερες διαστάσεις και δημιουργούν τη πυρηνική δύναμη. Από την άλλη μεριά πλησιάζουν δυο φυσαλίδες μεταξύ τους και παραμορφώνουν το χωρόχρονο γύρω τους αισθανόμενη η μία τη βαρύτητα της άλλης. Η σκοτεινή έτσι ύλη του σύμπαντος μπορεί να δείχνει τη παρουσία ενός γειτονικού σύμπαντος που δεν μπορούμε να δούμε. Συγκρούονται δύο μεμβράνες ή δυο χορδές και

Page 83: Περί Απείρου

δημιουργούν νέες μεμβράνες και μια νέα χορδή. Το σώμα μας αποτελείται από μουσικές συμφωνίες εκατομμυρίων δονούμενων χορδών και μεμβρανών. Η χημεία του είναι αποτέλεσμα της σύγκρουσης αυτών των μεμβρανών και χορδών.

ΣΤΗΝ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ

Η Κοσμολογία περιλαμβάνει δύο παράδοξους απειρισμούς: την ιδιομορφία της Μεγάλης Έκρηξης και την ιδιομορφία μιας Μαύρης Τρύπας.

Η αρχική ιδιομορφία του αρχέγονου κοσμογονικού χωροχρονικού σημείου που εξερράγει εν θερμώ πριν από μερικά δισεκατομμύρια χρόνια και δημιούργησε το σύμπαν μας, περιελάμβανε μια άπειρη θερμοκρασία και μια άπειρη η πυκνότητα. Το σύμπαν αυτό, ο Κόσμος μας, όπως γενικά πιστεύεται, συνεχίζει να διαστέλλεται σήμερα εξ αιτίας της τεράστιας ώθησης που αυτό δέχθηκε από την πρωταρχική αυτή Έκρηξη.

Η άλλη παραδοξότητα ή ιδιομορφία, με συνακόλουθο απειρισμό, παρουσιάζεται στο φαινόμενο της μαύρης τρύπας, Σύμφωνα με την επικρατούσα άποψη, όταν τα μεγάλα άστρα εξαντλούν τα ενεργειακά τους αποθέματα, καταρρέουν κάτω από την επίδραση μιας πανίσχυρης δύναμης βαρύτητας που τίποτα δεν μπορεί να την συγκρατήσει και η οποία τελικά τα συρρικνώνει σε μια κατάσταση άπειρης πυκνότητας σε πεπερασμένο χρόνο. Πολλοί φυσικοί δέχονται ότι οι καταστάσεις πραγματικού απείρου συμβαίνουν μόνον στο κέντρο μιας μαύρης τρύπας, αν και δεν μπορούμε να τις παρατηρήσουμε εκεί. Αυτές κρύβονται πίσω από τον περίφημο ορίζοντα γεγονότων της μαύρης τρύπας. Υπάρχουν πάντως φυσικοί που δε δέχονται αυτό τον εκφυλισμό ενός άστρου σε μια ιδιομορφία άπειρης πυκνότητας και αντίθετα υποστηρίζουν ότι η βαρυτική κατάρρευση ενός άστρου κάπου σταματά, πολύ πριν από την επίτευξη μιας ιδιομορφίας, το πολύ μέχρι το στάδιο ενός λευκού νάνου. Εξηγούν με διάφορους τρόπους την εμφάνιση μιαςφυγόκεντρης δύναμης που ανθίσταται στη βαρυτική κατάρρευση πέρα από ένα ορισμένο σημείο.

ΤΟ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Έχει λυθεί άραγε μετά την πρωτοποριακή εργασία του Cantorστα τέλη του 19ου αιώνα για πάντα το φιλοσοφικό πρόβλημα του απείρου; Ο τρόπος που περιγράφηκε τότε το άπειρο προδίκαζε την ανυπαρξία των απειροστών μεγεθών που είχε χρησιμοποιήσει ο Leibnizστον απειροστικό λογισμό του. Το μόνο που μπορούμε να έχουμε στην πραγματικότητα, τόνιζαν οι μαθηματικοί, είναι

Page 84: Περί Απείρου

πράγματα που είναι όσο μικρά θέλουμε και με βάση αυτή την υπόθεση (θεωρία των ορίων) μπορούμε να αναπτύξουμε όλα τα πράγματα στον κόσμο, μαζί με το άπειρο. Ο τρόπος που επιλύθηκε τότε το πρόβλημα του απείρου, θεωρήθηκε ότι προκάλεσε το θάνατο των απειροστών.

Όπως όμως ήδη αναφέραμε, αποδείχτηκε στη δεκαετία του '60 ότι μπορούμε να αναπτύξουμε ένα απόλυτα ισοδύναμο είδος μαθηματικών μέσω των εξοβελισμένων προηγουμένως από το μαθηματικό κόσμο απειροστών. Μπορούμε να έχουμε τα ίδια ακριβώς μαθηματικά, με την ίδια συνέπεια και να μη χάσουμε απολύτως τίποτα. Δε συναντάμε καμιά αντίφαση με την υπόθεση της ύπαρξής τους.

Έτσι έχουμε στην πραγματικότητα δύο μαθηματικές θεωρίες που παράγουν και οι δυο τα ίδια αποτελέσματα, αλλά έχουν διαφορετικές φιλοσοφικές υποθέσεις. Υποθέτουν ότι ο κόσμος αποτελείται από διαφορετικά είδη συστατικών οντοτήτων: απόαπείρως μικρά πράγματα, και από μικρά αλλά χωρίςαπείρως μικρά πράγματα.

Ανάλογα υπάρχουν και δύο ήδη μαθηματικών. Οι ιντιουσιονιστέςπ.χ., αντίθετα από τους άλλους μαθηματικούς, δεν επιτρέπουν στη θεωρία τους τα άπειρα ανωτέρων τάξεων. Αναπτύσσουν τα μαθηματικά τους χωρίς αυτά.

Η ουσιαστική λοιπόν απάντηση που μπορούμε να δώσουμε σχετικά με το ποια φιλοσοφία υποστηρίζουν σήμερα τα σύγχρονα μαθηματικά είναι ότι οι μαθηματικές θεωρίες που διαθέτουμεμπορούν να υποστηρίξουν όλα τα είδη των πιθανών κόσμωνκαι καμιά έτσι φιλοσοφική (ή και μαθηματική θεωρία) δεν μπορεί να θεωρηθεί αληθέστερη της άλλης.

Τελειώνοντας επισημαίνουμε ότι τα άπειρα των μαθηματικών είναι στην πραγματικότητα πολύ μεγαλύτερα απ’ ό,τι χρειαζόμαστε για να εξηγήσουμε το σύμπαν μας. Το μαθηματικό σύμπαν φαίνεται να είναι πολύ ευρύτερο του Κόσμου μας, αποδεικνύοντας έτσι έμμεσα την ύπαρξη και άλλων Κόσμων ή Συμπάντων που περιβάλλουν το δικό μας ή είναι παράλληλα με αυτόν.

ΤΕΛΟΣ