Βιβλίο καθηγητή

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΑΘΗΝΑ 2008

Μαθηματική Επεξεργασία Δεδομένων Βιβλίο Καθηγητή

Σελίδα 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. Εισαγωγή.................................................................................................. 5 2. Μαθηματική επεξεργασία δεδομένων .................................................... 6

2.1 Η έννοια της επεξεργασίας δεδομένων............................................. 6

2.2 Εργαλεία για την επεξεργασία δεδομένων ....................................... 6

2.3. Τα κλάσματα ..................................................................................... 7 2.3.1 Τι είναι ........................................................................................ 7 2.3.2 Ενδεικτικά θέματα στα κλάσματα .............................................. 8

2.4. Οι ρητοί αριθμοί.............................................................................. 13 2.4.1 Τι είναι ...................................................................................... 13 2.4.2. Ενδεικτικά θέματα στους ρητούς............................................. 14

2.5 Αριθμητική επεξεργασία δεδομένων ............................................... 18 2.5.1.Τι είναι ...................................................................................... 18 2.5.2 Ενδεικτικά θέματα .................................................................... 18

2.6 Άλγεβρα .......................................................................................... 24 2.6.1.Τι είναι ...................................................................................... 24 2.6.2 Ενδεικτικά θέματα .................................................................... 24

2.7. Επεξεργασία εξισώσεων – ανισώσεων – συστημάτων ................... 26 2.7.1.Τι είναι ...................................................................................... 26 2.7.2 Ενδεικτικά θέματα .................................................................... 27 2.7.3 Αριθμητική επεξεργασία εξισώσεων ........................................ 30 2.7.4 Αλγεβρική επεξεργασία εξισώσεων ......................................... 33 2.7.5 Αριθμητική επεξεργασία ανισώσεων........................................ 33 2.7.6 Αριθμητική επεξεργασία συστημάτων ..................................... 34

2.8. Γεωμετρική επεξεργασία δεδομένων............................................. 38 2.8.1 Τι είναι ...................................................................................... 38 2.8.2 Ενδεικτικά θέματα ................................................................... 38 Ο θεματικός κύκλος των αποδείξεων ............................................ 38

2.9 Γραφική επεξεργασία δεδομένων ................................................... 45 2.9.1 Τι είναι ...................................................................................... 45 2.9.2 Ενδεικτικά θέματα .................................................................... 45 Διευθέτηση σημείων στο καρτεσιανό σύστημα αξόνων ............... 45 Αναγνώριση σχέσεων μεταξύ των σημείων στο καρτεσιανό σύστημα ......................................................................................... 46 Γραφική επεξεργασία συναρτήσεων.............................................. 47

2.10 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων ............................................. 50 2.10.1 Τι είναι .................................................................................... 50 2.10.2 Ενδεικτικά θέματα .................................................................. 50

2.11 Διανυσματική επεξεργασία δεδομένων ....................................... 54 2.11.1 Τι είναι .................................................................................... 54 2.11.2 Ενδεικτικά θέματα .................................................................. 54


Σελίδα 4

1η Ομάδα: ...................................................................................... 55 2η Ομάδα ....................................................................................... 58

2.12. Παρουσιάσεις θεμάτων ................................................................. 65 2.12.1 Τι είναι .................................................................................... 65 2.12.2. Παραδείγματα ........................................................................ 65

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. 67

ΤΑΞΗ Α’............................................................................................ 69 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ....................................................... 71 ΠΟΣΟΣΤΑ ..................................................................................... 77 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ................................. 80 ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.......................................................................... 87 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ................................................................................. 92

ΤΑΞΗ B΄.......................................................................................... 105 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ............................................. 107 4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΑΝΙΣΩΣΗΣ.......................... 111 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ....................................................... 116 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ.......................... 120 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ............................................... 123 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ ................................................................ 125 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ+β ............................................................ 131 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=α/χ ............................................................... 137 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .............................................................................. 139 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ............................................................................... 147 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ............................................... 153 ΕΜΒΑΔΑ..................................................................................... 155 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ........................................................................... 158

ΤΑΞΗ Γ΄ .......................................................................................... 169 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ................................................. 171 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ......................................................... 178 ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ................................. 186 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ2 ............................................................... 196 ΛΟΓΟΙ – ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ – ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ .................................. 204


Σελίδα 5

1. Εισαγωγή Το ανά χείρας βιβλίο, σε συνδυασμό με το αντίστοιχο βιβλίο για το μαθητή, συνοδεύουν το λογισμικό Μαθηματική Επεξεργασία Δεδομένων (ΜΕΔ) που σχεδιάστηκε και κατασκευάστηκε για να καλύψει τις ανάγκες αναφορικά με τη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών γυμνασίου. Μέσα από τις σελίδες του ο αναγνώστης θα γνωρίσει τη φιλοσοφία και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του λογισμικού και κυρίως τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να υποστηριχθεί η διδασκαλία και η μάθηση των μαθηματικών εννοιών και προτάσεων. Για να εξυπηρετηθούν οι παραπάνω ανάγκες, το βιβλίο χωρίστηκε σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος γίνεται μία σύντομη περιγραφή του λογισμικού και των δυνατοτήτων του. Στο δεύτερο μέρος περιέχονται οι οδηγίες για την ένταξη των φύλλων εργασίας του βιβλίου του μαθητή στη διδακτική ατζέντα των εκπαιδευτικών που διδάσκουν μαθηματικά στο γυμνάσιο. Για το πρώτο μέρος χρησιμοποιήσαμε τη φράση «σύντομη περιγραφή του λογισμικού», καθώς πιστεύουμε ότι οι δυνατότητες και ο τρόπος προσέγγισης της γνώσης δεν ολοκληρώνεται με αυτή την αναφορά. Όπως όλα τα διερευνητικά λογισμικά, έτσι και το Μαθηματική Επεξεργασία Δεδομένων (ΜΕΔ) (πιστεύουμε ότι) παρέχει τη δυνατότητα στο χρήστη να το χρησιμοποιεί υπό τη δική του οπτική και από αυτή την άποψη θεωρούμε ότι παρέχει αρκετές δυνατότητες προσαρμογής σε μια προσωπική διδακτική προοπτική. Για το δεύτερο μέρος χρησιμοποιήσαμε τη φράση «παρέχει οδηγίες για την ένταξη των φύλλων εργασίας στη διδακτική ατζέντα των εκπαιδευτικών». Με αυτή τη φράση εννοούμε ότι τα προτεινόμενα φύλλα εργασίας είναι ενδεικτικά και μπορούν να προσαρμοστούν, να αντικατασταθούν ή να διευρυνθούν με άλλα καταλληλότερα, προκειμένου να καλύψουν τις ανάγκες μιας διδασκαλίας μαθηματικών γυμνασίου. Επιπλέον, οι προτεινόμενες δραστηριότητες και τα σενάρια αποτελούν ταυτόχρονα και μια πρόταση ένταξης του λογισμικού στο υπάρχον Πρόγραμμα Σπουδών. Όπως αναλύεται στις επόμενες σελίδες, το λογισμικό επιτρέπει τη διασύνδεση διαφορετικών γνωστικών περιοχών του Προγράμματος Σπουδών, που κατά κανόνα δεν συνδέονται παρά μόνο περιστασιακά, ενώ επιτρέπει και τη διασύνδεση εννοιών από διαφορετικά μαθήματα. Από αυτή την άποψη, η ένταξή του στο Πρόγραμμα Σπουδών δημιουργεί μερικές ενδιαφέρουσες γέφυρες οι οποίες ολοκληρώνουν –στο πλαίσιο του γυμνασίου– τη γνώση. Σε συνδυασμό με τις δυνατότητες που παρέχουν στο χρήστη τα διερευνητικά του εργαλεία, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε το λογισμικό ως ένα μικρό ερευνητικό εργαστήριο μαθηματικών, στο οποίο οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να αναπτύξουν και να διερευνήσουν τις δικές τους ιδέες.

Ελπίζουμε το ΜΕΔ να αποτελέσει ένα χρήσιμο περιβάλλον μάθησης για όλους τους μαθητές, καθώς και ένα ακόμα διδακτικό εργαλείο χρήσιμο σε κάθε εκπαιδευτικό.


Σελίδα 6

2. Μαθηματική επεξεργασία δεδομένων

2.1 Η έννοια της επεξεργασίας δεδομένων Στην Κοινωνία της Πληροφορίας αυτό που κυρίως χαρακτηρίζεται ως ικανότητα του σύγχρονου ανθρώπου είναι η συλλογή και επεξεργασία δεδομένων (πληροφοριών) τα οποία παράγονται και διατίθενται με πολλαπλούς τρόπους. Αυτή είναι ίσως η σημαντικότερη αιτία για το γεγονός –όπως πολλοί διατυπώνουν εμφαντικά– ότι σε διάστημα δέκα περίπου ετών η γνώση διπλασιάζεται. Η συλλογή δεδομένων είναι η πρώτη φάση της διαδικασίας. Κάθε σύγχρονος άνθρωπος έρχεται καθημερινά σε επαφή με φαινόμενα και διαδικασίες είτε ως παρατηρητής είτε ως εμπλεκόμενος σε αυτά. Έτσι, του δίνεται η ευκαιρία να γίνει συλλέκτης πληροφοριών (δεδομένων) που συνήθως του είναι χρήσιμες και επομένως απαιτούν ιδιαίτερη επεξεργασία Ωστόσο, πολλές από τις πληροφορίες που συλλέγονται απαιτούν μια ιδιαίτερη διαδικασία, προκειμένου να κατανοηθούν, να οργανωθούν και εν γένει να καταστούν γνώση. Δηλαδή, τη συλλογή των πληροφοριών ακολουθεί η επεξεργασία της με σκοπό να ερμηνευθούν τα φαινόμενα και οι διαδικασίες που την παράγουν. Με τον όρο επεξεργασία δεδομένων συζητούμε γι’ αυτό το δεύτερο σκέλος που ακολουθεί τη συλλογή των πληροφοριών. Χωρίς να αγνοούμε τη σπουδαιότητα της διαδικασίας συλλογής δεδομένων, στεκόμαστε στην επεξεργασία τους, καθώς πιστεύουμε ότι αυτή απαιτεί μια σειρά ανώτερων νοητικών δράσεων οι οποίες χαρακτηρίζουν το σύγχρονο άνθρωπο και αποτελούν αντικείμενο της εκπαίδευσης. Η κατηγοριοποίηση των δεδομένων, η πολλαπλή τους αναπαράσταση, η αναζήτηση και έκφραση των μεταξύ τους σχέσεων, η γενίκευση των σχέσεων και η εξαγωγή συμπερασμάτων είναι μερικές από τις διαδικασίες που θεωρούμε ότι εμπλέκονται στην επεξεργασία των πληροφοριών.

Εδώ θα εστιάσουμε την προσοχή μας στη μαθηματική επεξεργασία δεδομένων. Ανάλογα με το είδος των δεδομένων και το φαινόμενο ή τη διαδικασία που τα παράγει, έχουμε και το είδος της μαθηματικής επεξεργασίας. Φυσικά, χωρίς εργαλεία, είτε υλικά, είτε νοητικά, επεξεργασία δεν είναι δυνατόν να γίνει. Γι’ αυτό και κατά την εστίαση της προσοχής μας στην επεξεργασία βλέπουμε και τα νοητικά και τα υλικά εργαλεία.

2.2 Εργαλεία για την επεξεργασία δεδομένων Το θέμα που αναπτύσσουμε εδώ αφορά τα υπολογιστικά εργαλεία. Το λογισμικό Μαθηματική Επεξεργασία Δεδομένων (ΜΕΔ) αναπτύχθηκε για να δώσει στους μαθητές του γυμνασίου τα υπολογιστικά εργαλεία για τη μαθηματική επεξεργασία των δεδομένων, τα οποία είτε παράγονται εντός του λογισμικού είτε εκτός αυτού. Κύριο χαρακτηριστικό των εργαλείων αυτών είναι το γεγονός ότι εμπλέκουν τους μαθητές σε διαδικασίες που έχουν μαθηματικό


Σελίδα 7

προσανατολισμό και τους βοηθούν να αναπτύξουν ανάλογες νοητικές διαδικασίες. Με τα εργαλεία αυτά οι μαθητές μπορούν να κάνουν:

• Αριθμητική επεξεργασία δεδομένων • Αλγεβρική επεξεργασία δεδομένων • Επεξεργασία εξισώσεων και ανισώσεων • Γεωμετρική επεξεργασία δεδομένων • Γραφική επεξεργασία δεδομένων • Στατιστική επεξεργασία δεδομένων • Διανυσματική επεξεργασία δεδομένων

Έτσι, με τη βοήθεια του λογισμικού, μαθαίνουν να αναπτύσσουν και να

χρησιμοποιούν τα αντίστοιχα νοητικά εργαλεία (νοητικές διαδικασίες), δηλαδή αναπτύσσουν τις μαθηματικές τους ικανότητες.

2.3. Τα κλάσματα

2.3.1 Τι είναι Τα εργαλεία με τα οποία μπορούν οι μαθητές να πειραματιστούν με τους ρητούς αριθμούς είναι τοποθετημένα σε δύο περιβάλλοντα τα οποία ανοίγουν με τα αντίστοιχα κουμπιά. Βασικός στόχος των εργαλείων αυτών είναι η οπτικοποίηση των εννοιών και των πράξεων που σχετίζονται με τους ρητούς αριθμούς, ώστε οι έννοιες και οι πράξεις αυτές να αποκτήσουν γεωμετρικό νόημα και επομένως να γίνουν περισσότερο εποπτικές για τους μαθητές της Α΄ Τάξης στους οποίους κυρίως απευθύνονται. Στο περιβάλλον «Κλάσματα» οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να εργαστούν σε ένα ή δύο ορθογώνια, καθένα από τα οποία αναπαριστά τη μονάδα. Επίσης σε καθένα από τα ορθογώνια έχουν τη δυνατότητα να χρωματίσουν ένα μέρος του, ώστε να δημιουργήσουν την παράσταση ενός κλάσματος.


Σελίδα 8

Από το σημείο αυτό και μετά έχει τη δυνατότητα να εμπλακεί σε τέσσερις διαφορετικές μορφές δραστηριοτήτων οι οποίες καλύπτουν το αναλυτικό πρόγραμμα που αναφέρεται στα κλάσματα. Οι μορφές αυτές παρουσιάζονται στην παράγραφο των ενδεικτικών θεμάτων που ακολουθεί.

2.3.2 Ενδεικτικά θέματα στα κλάσματα

Τα παραδείγματα που ακολουθούν στοχεύουν στο να αναδείξουν μία γεωμετρική παράσταση: α) Του λόγου δύο μεγεθών και της διαίρεσης ενός μεγέθους σε δοσμένο λόγο. β) Των ισοδυνάμων κλασμάτων και γενικά της σύγκρισης δύο κλασμάτων. γ) Της πρόσθεσης των κλασμάτων. δ) Του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων.

• Παράδειγμα 1: Κατασκευή τμημάτων με δοσμένο λόγο Θέλουμε να διαιρέσουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο σε δύο μέρη: ένα κίτρινο και ένα λευκό, έτσι ώστε:

o Το κίτρινο να είναι μεγαλύτερο από το μισό του παραλληλογράμμου. o Το λευκό να είναι μεγαλύτερο από το μισό του παραλληλογράμμου. o Το κίτρινο να είναι ίσο με τα τέσσερα δέκατα του παραλληλογράμμου. o Το κίτρινο να είναι ίσο με τα δύο τρίτα του λευκού μέρους. o Το λευκό να είναι ίσο με τα οκτώ πέμπτα του κίτρινου

παραλληλογράμμου. Καθεμία από τις προηγούμενες κατασκευές είναι ανεξάρτητη από την άλλη, δηλαδή θα πρέπει να λύσετε ουσιαστικά πέντε διαφορετικά προβλήματα. Στο τέλος κάθε κατασκευής να εξηγήσετε με οποιονδήποτε τρόπο γιατί η κατασκευή σας είναι σωστή και σύμφωνη με τις απαιτήσεις του προβλήματος. Στο παραπάνω πρόβλημα οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν το ένα από τα δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα για να υλοποιήσουν τις ζητούμενες κατασκευές. Στην πρώτη κατασκευή θα πρέπει να πληκτρολογήσουν ένα κλάσμα του οποίου η παράσταση θα υπερβαίνει το μισό ενός ολόκληρου παραλληλογράμμου. Επίσης θα πρέπει:

Να επιλέξουν το κατάλληλο χρώμα (κίτρινο) για το ορθογώνιο με το οποίο θα ασχοληθούν. Επιλέγοντας «Color 1», μπορούν να χρωματίσουν το μέρος του επάνω ορθογωνίου που αντιστοιχεί στον αριθμητή του κλάσματος που θα παραστήσουν.

Να γράψουν στα κελιά του κλάσματος που επέλεξαν τον αριθμητή (πάνω) και τον παρονομαστή (κάτω) και να πατήσουν το κουμπί «Παράσταση».

Για να επιβεβαιώσουν την επιλογή τους μπορούν να κατασκευάσουν στο άλλο ορθογώνιο την παράσταση του μισού παραλληλογράμμου, πληκτρολογώντας το κλάσμα 1/2 στα αντίστοιχα κελιά.


Σελίδα 9

Στην παραπάνω εικόνα οι μαθητές έχουν επιλέξει να χρωματίσουν τα 7/15 του επάνω παραλληλογράμμου και να ελέγξουν αν το κλάσμα αυτό είναι κατάλληλο, κατασκευάζοντας στο κάτω παραλληλόγραμμο το 1/2. Στόχος της δεύτερης ερώτησης, όπως και της πρώτης, είναι οι μαθητές να πειραματιστούν με διάφορες κατασκευές, καθώς οι απαντήσεις στις δύο αυτές ερωτήσεις δεν είναι μονοσήμαντες. Στην τρίτη ερώτηση η κατασκευή είναι άμεση, καθώς οι μαθητές θα πληκτρολογήσουν τον αριθμό 4/10 και θα υλοποιήσουν την κατασκευή με το κουμπί «Παράσταση». Στην τέταρτη ερώτηση θα πειραματιστούν με διάφορες διαιρέσεις του ορθογωνίου παραλληλογράμμου, μέχρις ότου εντοπίσουν εκείνη που εξασφαλίζει ότι το κίτρινο τμήμα θα αντιστοιχεί στα 2/3 του λευκού.

Στο τέλος οι μαθητές θα συνοψίσουν τα συμπεράσματά τους σχετικά με τις κατασκευές και τα κλάσματα.

• Παράδειγμα 2: Ισοδύναμα κλάσματα Θέλουμε να ερευνήσουμε τι παθαίνει ένα κλάσμα μικρότερο της μονάδας όταν στον αριθμητή και τον παρονομαστή προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό και τι όταν πολλαπλασιάζουμε με τον ίδιο αριθμό. Ακόμη θέλουμε να βρούμε έναν τρόπο με τον οποίο θα συγκρίνουμε δύο κλάσματα. Για όλα αυτά θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τα δύο ορθογώνια που εμφανίζονται στην οθόνη και να πειραματιστούμε με τα κατάλληλα κλάσματα.

o Επιλέξτε το κουμπί «Ισοδύναμα Κλάσματα» που υπάρχει στην επιφάνεια εργασίας.


Σελίδα 10

o Κατασκευάστε το κλάσμα 2/3 και στο επάνω και στο κάτω ορθογώνιο. Προσθέστε τον ίδιο αριθμό στον αριθμητή και τον παρονομαστή στο πρώτο κλάσμα, δηλαδή πληκτρολογήστε το κλάσμα 3/4 και συγκρίνετέ το με το δεύτερο κλάσμα στο κάτω ορθογώνιο.

o Επαναλάβετε προσθέτοντας κάθε φορά μία μονάδα τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Συγκρίνετε το νέο κλάσμα με το αμέσως προηγούμενο.

o Κατασκευάστε το κλάσμα 2/3 στο πρώτο και το δεύτερο παραλληλόγραμμο. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, π.χ. με το 3, και πληκτρολογήστε το νέο κλάσμα, δηλαδή το 6/9. Συγκρίνετε το νέο κλάσμα με το αμέσως προηγούμενο. Πειραματιστείτε πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με διάφορους αριθμούς και βγάλτε το σχετικό συμπέρασμα.

Στο παραπάνω πρόβλημα οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα για να υλοποιήσουν τις ζητούμενες κατασκευές. Στην πρώτη κατασκευή θα πρέπει να πληκτρολογήσουν το κλάσμα 2/3 στα δύο ορθογώνια και θα πειραματιστούν, προσθέτοντας συνεχώς τον ίδιο τον αριθμό στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Επίσης θα πρέπει:

Να πληκτρολογήσουν το κλάσμα 2/3 στα δύο ορθογώνια. Να πληκτρολογήσουν το κλάσμα 3/4 στο πρώτο ορθογώνιο και να το συγκρίνουν με το δεύτερο, παρατηρώντας ότι το πρώτο κλάσμα τώρα είναι μεγαλύτερο από δεύτερο.

Να επιβεβαιώσουν τη σύγκριση, πληκτρολογώντας στα κελιά που βρίσκονται στο κάτω μέρος της οθόνης την ανίσωση 3/4>2/3.

Να συνεχίσουν τη διαδικασία, προσθέτοντας συνεχώς στον αριθμητή και στον παρονομαστή όλο και μεγαλύτερους αριθμούς.

Στην τρίτη ερώτηση οι μαθητές θα κατασκευάσουν ισοδύναμα κλάσματα, πολλαπλασιάζοντας συνεχώς τον παρονομαστή και τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον ίδιο αριθμό.


Σελίδα 11

• Παράδειγμα 3: Πρόσθεση κλασμάτων Έχετε σκεφτεί γιατί το άθροισμα 1/2+1/5 δεν ισούται με 2/7 και θα πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα; Σε αυτή τη δραστηριότητα θα δώσουμε με τη βοήθεια γεωμετρικών σχημάτων μια απάντηση στο παραπάνω ερώτημα. Ας έρθουμε στη δραστηριότητα.

1. Επιλέξτε το κουμπί «Πρόσθεση Κλασμάτων» που υπάρχει στην επιφάνεια εργασίας. Πληκτρολογήστε το κλάσμα 1/2 στο επάνω ορθογώνιο και το 1/5 στο κάτω. Μπορείτε με βάση τα δύο σχήματα να βρείτε ποιο κλάσμα είναι το άθροισμα των δύο αυτών κλασμάτων;

2. Κατασκευάστε στο επάνω ορθογώνιο ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1/2 και στο κάτω ορθογώνιο ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1/5, ώστε οι κατακόρυφες γραμμές των επάνω και των κάτω ορθογωνίων να είναι στην ίδια ευθεία. Ποιο είναι τώρα το άθροισμα των δύο κλασμάτων;

Στο παραπάνω πρόβλημα οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα για να υλοποιήσουν τις ζητούμενες κατασκευές. Εδώ είναι σημαντικό ο διδάσκων να διαπραγματευτεί με τους μαθητές γιατί δεν είναι δυνατόν μέσω των σχημάτων να εντοπίσουν το άθροισμα των δύο αυτών κλασμάτων. Το πρόβλημα εντοπίζεται στο γεγονός ότι οι κατακόρυφες γραμμές δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, με αποτέλεσμα να μην υπάρχει κοινό μέτρο για τα δύο έγχρωμα τμήματα.

Στη δεύτερη ερώτηση οι μαθητές θα πειραματιστούν με διάφορα ισοδύναμα κλάσματα, μέχρις ότου καταλήξουν σε ένα σχήμα όμοιο με το παρακάτω.


Σελίδα 12

Επιπλέον θα πληκτρολογήσουν, με βάση την εικόνα στην οθόνη, τα δύο κλάσματα και το άθροισμά τους στα κελιά που βρίσκονται στο κάτω μέρος της οθόνης και με το κουμπί «Έλεγχος» θα ελέγξουν την ορθότητα του αποτελέσματός τους.

• Παράδειγμα 4: Πολλαπλασιασμός κλασμάτων Στη δραστηριότητα που ακολουθεί θα παραστήσουμε τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων με τη βοήθεια γεωμετρικών σχημάτων. Συγκεκριμένα θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε με τη βοήθεια της γεωμετρίας σε ερωτήσεις του είδους: Πόσα είναι τα τρία τέταρτα των δύο τρίτων ενός ποσού;

1. Επιλέξτε το κουμπί «Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων» που υπάρχει στην επιφάνεια εργασίας. Πληκτρολογήστε το κλάσμα 2/3 στο επάνω ορθογώνιο και το 3/4 στο κάτω. Παραστήστε τα κλάσματα αυτά με το κουμπί «Παράσταση». Ποιο είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των δύο κλασμάτων με βάση το σχήμα;

2. Πληκτρολογήστε το κλάσμα 3/4 στο επάνω ορθογώνιο και το 2/3 στο κάτω. Παραστήστε τα κλάσματα αυτά με το κουμπί «Παράσταση». Ποιο είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των δύο κλασμάτων με βάση το σχήμα;

3. Σε τι διαφέρει και σε τι είναι όμοιο το σχήμα που προέκυψε στην πρώτη ερώτηση με αυτό που προέκυψε στη δεύτερη;

4. Κατασκευάστε στην οθόνη με τρεις διαφορετικούς πολλαπλασιασμούς το κλάσμα 2/3, δηλαδή τα κόκκινα παραλληλόγραμμα σε σχέση με όλα τα παραλληλόγραμμα της οθόνης να έχουν σχέση δύο προς τρία.

Στο παραπάνω πρόβλημα οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα για να υλοποιήσουν τις ζητούμενες κατασκευές. Στην πρώτη ερώτηση θα κατασκευάσουν το γινόμενο δύο κλασμάτων και το αποτέλεσμα θα εμφανιστεί στην οθόνη. Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει από τη σύγκριση του αριθμού των κόκκινων ορθογωνίων προς το συνολικό αριθμό των ορθογωνίων στην οθόνη.


Σελίδα 13

Οι μαθητές στη συνέχεια μπορούν να επιβεβαιώσουν το αποτέλεσμά τους συμπληρώνοντας τα κελιά των κλασμάτων στο κάτω μέρος της οθόνης και πατώντας το κουμπί «Έλεγχος». Στη δεύτερη ερώτηση οι μαθητές θα διαπιστώσουν ότι ο πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών είναι αντιμεταθετική πράξη. Η τρίτη ερώτηση είναι ανοικτή σε πολλαπλές απαντήσεις, καθώς οι μαθητές θα πρέπει να πειραματιστούν με ζεύγη κλασμάτων τα οποία δίνουν γινόμενο το κλάσμα 2/3 ή οποιοδήποτε ισοδύναμο με αυτό.

2.4. Οι ρητοί αριθμοί

2.4.1 Τι είναι Τα εργαλεία με τα οποία μπορεί οι μαθητές να πειραματιστούν με τους ρητούς αριθμούς είναι τοποθετημένα σε δύο περιβάλλοντα («Αριθμητικά», «Γεωμετρικά») τα οποία ανοίγουν με τα αντίστοιχα κουμπιά. Καθένα από τα περιβάλλοντα αυτά επιτρέπει την υλοποίηση πράξεων μεταξύ δύο ρητών αριθμών με διαφορετικό τρόπο, ώστε οι μαθητές να αποκτήσουν και αριθμητική και γεωμετρική εποπτεία γι’ αυτές. Στόχος της αριθμητικής επεξεργασίας είναι οι μαθητές να υλοποιήσουν σταδιακά μία πράξη μέσα από την ανάλυση/αποδόμηση των αριθμών σε πρόσημα και απόλυτες τιμές.

Αναμένεται να αποσαφηνιστεί στους μαθητές το γεγονός ότι οι προσημασμένοι αριθμοί αποτελούν οντότητες οι οποίες έχουν κανόνες πιο σύνθετους από εκείνους των φυσικών αριθμών. Επομένως το περιβάλλον της αριθμητικής επεξεργασίας θα μπορούσε να αποτελέσει ένα διδακτικό μέσον για την υποστήριξη της διδασκαλίας των πράξεων των ρητών αριθμών.

1 2


Σελίδα 14

Στόχος της γεωμετρικής υλοποίησης μιας πράξης είναι να συνδέσουν οι μαθητές τους κανόνες των προσήμων με την κίνηση επάνω σε μία αριθμογραμμή. Έτσι, το αρνητικό πρόσημο ενός αριθμού, κατά την αφαίρεση ή την πρόσθεση, θα συνδεθεί με την κίνηση προς τα πίσω, ενώ η αφαίρεση αριθμών θα συνδεθεί με την αλλαγή προσανατολισμού της κίνησης.

Στον πολλαπλασιασμό τα πρόσημα των αριθμών συνδέονται με την αλλαγή κατεύθυνσης. Καθώς οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα αυτόματης εκτέλεσης μιας πράξης, θα μπορούσαν αρχικά να μελετήσουν την κίνηση του ανθρώπου πάνω στην αριθμογραμμή, να εντοπίσουν τον τρόπο με τον οποίο το λογισμικό «μεταφράζει» τα πρόσημα και τις πράξεις και στη συνέχεια να υλοποιήσουν μία σειρά πράξεων, μεταφέροντας τον άνθρωπο σε κατάλληλα σημεία. Το όλο περιβάλλον επιτρέπει μία βιωματική προσέγγιση των πράξεων, όταν οι αριθμοί είναι ρητοί με έμφαση στους ακεραίους. Οι μορφές αυτές των δραστηριοτήτων παρουσιάζονται στην παράγραφο των ενδεικτικών θεμάτων που ακολουθεί.

2.4.2. Ενδεικτικά θέματα στους ρητούς

Στόχος των παραδειγμάτων που ακολουθούν είναι να προτείνουν τρόπους

υποστήριξης της διδασκαλίας:

α) Πρόσθεσης δύο ρητών αριθμών.

β) Διαφοράς δύο ρητών αριθμών.

γ) Γινομένου και πηλίκου δύο ρητών αριθμών.

• Παράδειγμα 1: Μελετώ την κίνηση του ανθρώπου στην πρόσθεση και

την αφαίρεση


Σελίδα 15

Θέλουμε να κάνουμε πρόσθεση ή αφαίρεση δύο ρητών αριθμών με τη βοήθεια της

κίνησης του ανθρώπου. Επιλέξτε το κουμπί «Γεωμετρικά» για να εμφανιστεί ο

αθλητής.

o Εισάγετε τους αριθμούς +3 στο πρώτο και +2 στο δεύτερο κελί.

Επιλέξτε την πρόσθεση από το μεσαίο κουμπί και την «Αυτόματη

εκτέλεση».

o Παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο κινείται ο αθλητής.

o Εισάγετε τους αριθμούς +3 στο πρώτο και -2 στο δεύτερο κελί και

επαναλάβετε τη διαδικασία .

o Εισάγετε τους αριθμούς -3 στο πρώτο και -2 στο δεύτερο κελί και

επαναλάβετε τη διαδικασία .

o Εισάγετε τους αριθμούς +3 στο πρώτο και +2 στο δεύτερο κελί.

Επιλέξτε την αφαίρεση από το μεσαίο κουμπί και την «Αυτόματη

εκτέλεση». Σε τι διαφέρει τώρα η κίνηση του αθλητή;

o Επιλέξτε «Εκτελώ την πράξη» και βρείτε το άθροισμα (-6)+(-3).

Στο παραπάνω πρόβλημα οι μαθητές έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή με το

γεωμετρικό περιβάλλον του λογισμικού. Θα πρέπει λοιπόν:

Να μελετήσουν με ποιον τρόπο το λογισμικό μεταφράζει τους

θετικούς αριθμούς και με ποιον τους αρνητικούς.

Να μελετήσουν με ποιον τρόπο το λογισμικό μεταφράζει την

πρόσθεση και με ποιον την αφαίρεση.

Να σχεδιάσουν στο τετράδιό τους μία πρόσθεση και μία αφαίρεση και

να τις υλοποιήσουν, κινώντας οι ίδιοι τον αθλητή.

Στην παρακάτω εικόνα οι μαθητές έχουν επιλέξει να εκτελέσουν την πράξη (-

2)-(+3), οπότε, λόγω της αφαίρεσης, ο αθλητής έχει κατεύθυνση προς τα

αριστερά.


Σελίδα 16

Θα ήταν χρήσιμο, μέσω της «Ελεύθερης εκτέλεσης», ο διδάσκων να ζητήσει

από τους μαθητές να σχεδιάσουν στο τετράδιό τους και να υλοποιήσουν το

αλγεβρικό άθροισμα περισσοτέρων από 2 αριθμούς, π.χ. (-2)+(-3)-(-5).

Μία άλλη ιδέα θα ήταν ο διδάσκων να περιγράψει μία ακολουθία κινήσεων του

αθλητή, να ζητήσει από τους μαθητές να προβλέψουν το αποτέλεσμα των

αντιστοίχων πράξεων και στη συνέχεια να το υλοποιήσουν στην αριθμογραμμή.

• Παράδειγμα 2: Αφαίρεση ρητών αριθμών

Θέλουμε να μελετήσουμε την αφαίρεση δύο ρητών αριθμών, ώστε να μπορούμε

να την αναλύουμε και να την εξηγούμε σε κάποιον δεν γνωρίζει πώς γίνεται αυτή

η πράξη. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τη διαφορά (-5)-(-

2). Επιλέξτε το αριθμητικό περιβάλλον με το κουμπί «Αριθμητικά».

o Με δεδομένο ότι η διαφορά δύο αριθμών είναι πάντα ισοδύναμη με

μία πρόσθεση, ποιους αριθμούς θα πρέπει να εισάγουμε στα δύο κελιά,

ώστε το αποτέλεσμα να μην αλλάξει από την αρχική πράξη που

θέλουμε να εκτελέσουμε;

o Ποιο είναι το τελικό πρόσημο της πράξης που πρέπει να εισάγουμε

στην ανάλυση; Ποια πράξη πρέπει να επιλέξουμε για τις απόλυτες

τιμές;

o Ελέγξτε το αποτέλεσμα, αφού πρώτα το εισάγετε στα σχετικά κελιά.


Σελίδα 17

o Ας υποθέσουμε τώρα ότι πάμε ανάποδα, δηλαδή ότι εισάγουμε πρώτα

στο αποτέλεσμα τον αριθμό -10. Εισάγετε τους κατάλληλους αριθμούς

στα υπόλοιπα κελιά, ώστε να έχουμε το συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Με

πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Στο παραπάνω πρόβλημα οι μαθητές θα έρθουν για πρώτη φορά σε επαφή με το

αριθμητικό περιβάλλον του λογισμικού. Θα πρέπει λοιπόν:

Να παρατηρήσουν ότι το λογισμικό δεν εκτελεί απευθείας αφαίρεση,

αλλά θα πρέπει πρώτα να τη μετασχηματίσουν σε πρόσθεση.

Να επιλέξουν το κατάλληλο πρόσημο στην ανάλυση και την

κατάλληλη πράξη μεταξύ των απολύτων τιμών.

Να ελέγξουν αν οι επιλογές τους στην ανάλυση ήταν κατάλληλες.

Στην παρακάτω εικόνα οι μαθητές έχουν υλοποιήσει με επιτυχία την πράξη (-

5)-(-2).

Στην τελευταία ερώτηση οι μαθητές θα πρέπει να επινοήσουν

συνδυασμούς αριθμών και πράξεων, ώστε το τελικό αποτέλεσμα να

είναι -10. Το σημαντικό εδώ είναι να προκύψει το συμπέρασμα ότι οι

συνδυασμοί αυτοί είναι ουσιαστικά άπειροι στους ρητούς αριθμούς.


Σελίδα 18

2.5 Αριθμητική επεξεργασία δεδομένων

2.5.1.Τι είναι Με τον όρο «Αριθμητική επεξεργασία δεδομένων» εννοούμε την επεξεργασία αριθμητικών δεδομένων που προέρχονται από διάφορα φαινόμενα και καταστάσεις. Μπορούν να προέλθουν είτε από ένα πρόβλημα είτε από ένα πείραμα, είτε από μια σχέση είτε από μια συλλογή στατιστικών δεδομένων. Η επεξεργασία τους συνίσταται στην αναγνώριση, παρουσίαση και έκφραση σχέσεων μεταξύ των δεδομένων.

Τα εργαλεία που προτείνονται εδώ γι’ αυτόν το σκοπό περιέχονται στην υπολογιστική μονάδα «Στατιστική». Στην «Στατιστική», και συγκεκριμένα στον πίνακα του προγράμματος, μπορούν είτε να πληκτρολογηθούν δεδομένα, είτε να προέλθουν αυτόματα από άλλα λογισμικά (π.χ. από το λογισμικό «Γεννήτρια ερωτημάτων») και στη συνέχεια να αναζητηθούν οι μεταξύ τους σχέσεις. Η μεταφορά των δεδομένων στο γράφημα δίνει τη δυνατότητα στο χρήστη να δημιουργεί πολλαπλές αναπαραστάσεις αυτών και έτσι να ανακαλύπτει ευκολότερα τις σχέσεις αυτές.

Επομένως, στο περιβάλλον της «Στατιστικής» και με τα διαθέσιμα εργαλεία, οι μαθητές μπορούν να πειραματίζονται με τα δεδομένα, να κάνουν εικασίες και να διαπραγματεύονται σχέσεις μεταξύ αριθμητικών πληροφοριών.

2.5.2 Ενδεικτικά θέματα

Τα παραδείγματα που ακολουθούν είναι ενδεικτικά και έχουν σκοπό να αναδείξουν την αριθμητική επεξεργασία δεδομένων που προέρχονται από διάφορες γνωστικές περιοχές των μαθηματικών, ως μια διαδικασία μάθησης των μαθηματικών αντικειμένων, και να φωτίσουν το ρόλο των χρησιμοποιούμενων εργαλείων σε αυτή.

• Παράδειγμα 1: Διερεύνηση με πειραματικά δεδομένα

1. Μια μπάλα αναπηδά όταν χτυπήσει στο έδαφος. Ο παρακάτω πίνακας δηλώνει το ύψος από το οποίο αφήνεται να πέσει και το ύψος στο οποίο φτάνει μετά την πρώτη αναπήδηση.

Ύψος (σε μέτρα) από το

οποίο αφήνεται Ύψος (σε μέτρα) της πρώτης αναπήδησης

1 0,5 2 1 3 1,5 4 2 5 2,5


Σελίδα 19

Α) Μπορείτε να βρείτε πόσο θα είναι το ύψος της πρώτης αναπήδησης, αν η μπάλα αφεθεί από τα 12 μ.; Β) Μπορείτε να γράψετε έναν τύπο που να προσδιορίζει το ύψος της πρώτης αναπήδησης για οποιοδήποτε ύψος από το οποίο θα αφεθεί; Γ) Μπορείτε να περιγράψετε με δικά σας λόγια τη γραφική παράσταση των σημείων που δείχνουν το αρχικό ύψος και το ύψος της αναπήδησης (γραφική παράσταση του πρώτου τύπου);

Οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό «Στατιστική» και να

πληκτρολογήσουν στη στήλη Α τα δεδομένα του αρχικού ύψους. Στη δεύτερη στήλη Β μπορούν να πληκτρολογήσουν τα δεδομένα του ύψους της πρώτης αναπήδησης. Στη συνέχεια μπορούν να κάνουν εικασίες για μεγαλύτερα αρχικά ύψη και για το ύψος της πρώτης αναπήδησης.

Αυτό που αναζητούν οι μαθητές είναι ένας κανόνας με τον οποίο θα υπολογίζουν το ύψος της πρώτης αναπήδησης. Το λογισμικό τους επιτρέπει να καλέσουν το πεδίο «Εισαγωγή συνάρτησης» και να αναζητήσουν τον κανόνα με τον οποίο υπολογίζεται το ύψος της πρώτης αναπήδησης. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:

• Στο πεδίο «Εισαγωγή συνάρτησης» επιλέγουν το πρώτο κουτάκι με το όνομα «Τίτλος» και πληκτρολογούν το όνομα του τύπου που πρόκειται να ορίσουν.

• Μετά επιλέγουν τα κελιά της στήλης Α, που περιέχουν τα δεδομένα του αρχικού ύψους, και κάνουν διπλό κλικ στο κουμπί αριστερά του πτυσσόμενου κουτιού των πράξεων. Εκεί εμφανίζεται το όνομα των κελιών που έχουν επιλεγεί.

• Στη συνέχεια επιλέγουν τα κελιά με τα δεδομένα της στήλης Β και κάνουν διπλό κλικ στο κουμπί αμέσως μετά το πτυσσόμενο κουτί των πράξεων.

• Η επόμενη επιλογή αφορά τον ορισμό της πράξης ή της σχέσης μεταξύ των δεδομένων των κελιών που ορίστηκαν. Επιλέγουν το πτυσσόμενο κουτάκι των πράξεων και στον κατάλογο που εμφανίζεται επιλέγουν την πράξη της διαίρεσης.

• Ακολούθως επιλέγουν τα αντίστοιχα κελιά της τρίτης στήλης στα οποία θα εγγραφούν τα αποτελέσματα των πράξεων και επιλέγουν το επόμενο κουμπί.

• Τέλος επιλέγουν το κουμπί «Εισαγωγή».


Σελίδα 20

Το αποτέλεσμα της πράξης που όρισαν τους βοηθά να βρουν τον κανόνα

και να τον γενικεύουν, εφαρμόζοντάς τον και για άλλες τιμές. Μπορούν δηλαδή να υπολογίσουν ότι όταν η μπάλα αφεθεί από ύψος 12 μ., τότε το ύψος της πρώτης αναπήδησης θα είναι 6 μ., καθώς 12/6=2. Ακόμα μπορούν να επιλέξουν το κουμπί «Στείλε στο γράφημα» και να διαπιστώσουν ότι όλα τα σημεία που ορίζουν οι τιμές των αντίστοιχων κελιών των δύο στηλών Α και Β ανήκουν σε μια ευθεία.

Προεκτάσεις 1) Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το ύψος της δεύτερης αναπήδησης:

Ύψος (σε μέτρα) από το οποίο αφήνεται

Ύψος (σε μέτρα) της πρώτης αναπήδησης

Ύψος (σε μέτρα) της δεύτερης αναπήδησης

1 0,5 0,25 2 1 0,5 3 1,5 0,75 4 2 1 5 2,5 1,25


Σελίδα 21

Α) Μπορείτε να γράψετε έναν τύπο που να προσδιορίζει το ύψος της δεύτερης αναπήδησης για οποιοδήποτε αρχικό ύψος από το οποίο αφήνεται; Β) Μπορείτε να συγκρίνετε τις γραφικές παραστάσεις των δύο τύπων, της πρώτης και της δεύτερης αναπήδησης;

Η εμπειρία από το παραπάνω θέμα θα βοηθήσει τους μαθητές να απαντήσουν στο επόμενο ζήτημα που αφορά το ύψος της δεύτερης αναπήδησης και να το συσχετίσουν με αυτό της πρώτης. Στην τέταρτη στήλη του πίνακα τιμών μπορούν να πληκτρολογήσουν τα δεδομένα του ύψους της δεύτερης αναπήδησης και να εξάγουν το σχετικό κανόνα τον οποίο και θα εφαρμόσουν στα ερωτήματα του προβλήματος.

Η σύγκριση των δύο γραφικών παραστάσεων μπορεί να γίνει, αν πληκτρολογηθεί ο τύπος καθεμίας στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία».

Εικόνα 1: Η σύγκριση των δύο γραφικών παραστάσεων. Υπάρχουν πολλές σχέσεις που μπορεί να κρύβονται στα αριθμητικά δεδομένα ενός προβλήματος, για παράδειγμα το παρακάτω θέμα που αφορά το ύψος αναπήδησης μιας άλλης μπάλας. 2) Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το ύψος της πρώτης αναπήδησης μιας άλλης μπάλας.

Ύψος (σε μέτρα) από το οποίο αφήνεται

Ύψος (σε μέτρα) της πρώτης αναπήδησης

Ύψος (σε μέτρα) της δεύτερης αναπήδησης

2 0,8 0,4 3 1,2 0,6 4 1,6 8


Σελίδα 22

Α) Μπορείτε να γράψετε έναν τύπο που να προσδιορίζει το ύψος της πρώτης και έναν άλλο που να προσδιορίζει το ύψος της δεύτερης αναπήδησης για οποιοδήποτε αρχικό ύψος από το οποίο θα αφήνεται; Β) Μπορείτε να περιγράψετε και να συγκρίνετε τις γραφικές παραστάσεις των δύο τύπων, της πρώτης και της δεύτερης αναπήδησης αυτού του προβλήματος σε σχέση με εκείνες του αρχικού;

Ο μαθητής που θα εμπλακεί σε τέτοιες διαδικασίες θα μάθει να αναζητά τις κρυμμένες σχέσεις κατά την αριθμητική επεξεργασία στα δεδομένα που συλλέγει και να τις εκφράζει με τη βοήθεια των μαθηματικών του γνώσεων. Η εμπειρία από την εμπλοκή των μαθητών σε μια τέτοια αριθμητική επεξεργασία είναι χρήσιμη για τη μάθηση των μαθηματικών, ενώ συγχρόνως τους βοηθά να σκέφτονται και να διερευνούν με τη χρήση μαθηματικών εργαλείων. Παράλληλα μαθαίνουν να χρησιμοποιούν μία από τις πιο σημαντικές έννοιες των μαθηματικών που εμπλέκονται σε πάρα πολλά θέματα, την έννοια της συνάρτησης.

• Παράδειγμα 2: Λύση προβλήματος

2. Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας για το Α πρόγραμμα χρεώνει: 12,6 ευρώ το πάγιο μηνιαίως και 0,42 ευρώ το μήνυμα. Για το πρόγραμμα Β χρεώνει: 13,4 πάγιο και 0,37 ευρώ το μήνυμα. Α) Πόσα χρήματα θα πληρώσουμε στο πρόγραμμα Α, αν στείλουμε 15 μηνύματα το μήνα; Α) Πόσα χρήματα θα πληρώσουμε στο πρόγραμμα Β, αν στείλουμε 15 μηνύματα το μήνα; Γ) Μπορείτε να γράψετε για κάθε πρόγραμμα έναν τύπο που να υπολογίζει τα χρήματα που θα πληρώσουμε για όσα μηνύματα στείλουμε σε ένα μήνα; Δ) Πότε συμφέρει να αγοράσουμε το πρόγραμμα Α και πότε το πρόγραμμα Β;


Σελίδα 23

Οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό «Στατιστική» και να πληκτρολογήσουν στη στήλη Α το πλήθος των τηλεφωνημάτων που μπορεί να κάνει ο χρήστης κάθε προγράμματος. Στη δεύτερη στήλη μπορούν να πληκτρολογήσουν την τιμή της μονάδας του προγράμματος Α. Στην τρίτη στήλη θα εμφανίσουν την αξία των τηλεφωνημάτων σύμφωνα με το πρόγραμμα Α. Για το σκοπό αυτό, ορίζουν στο πεδίο «Εισαγωγή συνάρτησης» την πράξη x*y+12,6, όπου με x εννοούνται οι εγγραφές στα κελιά Α2:Α6 και με y οι εγγραφές στο κελί Β2. Τα αποτελέσματα εμφανίζονται στα κελιά Γ2:Γ6. Επαναλαμβάνουν τη διαδικασία για το πρόγραμμα Β, ορίζοντας ως x τις εγγραφές των κελιών Α2:Α6 και ως y την εγγραφή στο κελί Δ2. Ορίζουν τη συνάρτηση x*y+13,4 και εμφανίζουν τα αποτελέσματα στα κελιά Ε2:Ε6.

Αυτό που αναζητούν οι μαθητές είναι πότε συμφέρει το πρόγραμμα Α και πότε το πρόγραμμα Β. Τροποποιώντας τις τιμές στα κελιά Α2:Α6 μπορούν να διαπιστώσουν ότι για αριθμό τηλεφώνων μικρότερο από 16 συμφέρει το Α πρόγραμμα, ενώ για μεγαλύτερο αριθμό συμφέρει το πρόγραμμα Β.


Σελίδα 24

2.6 Άλγεβρα

2.6.1.Τι είναι Με τον όρο «Άλγεβρα» εννοούμε τη διατύπωση και επεξεργασία πολυωνύμων στο πλαίσιο του εν λόγω λογισμικού. Η διαδικασία της διατύπωσης αλγεβρικών παραστάσεων γίνεται με τη χρήση της μονάδας (μονώνυμο), όπου ο χρήστης επιλέγει ελεύθερα και πληκτρολογεί όλα τα στοιχεία της, το συντελεστή, τις μεταβλητές και τους εκθέτες των δυνάμεων. Ακόμα, με τη βοήθεια της μονάδας και των πράξεων μπορεί να δημιουργήσει μια σειρά μονωνύμων και πολυωνύμων και να ορίσει πράξεις μεταξύ αυτών. Η επεξεργασία των πολυωνύμων που προκύπτουν από τις μεταξύ τους πράξεις, καθώς και ο έλεγχός τους, μπορεί να γίνει από το μαθητή είτε με την αυτοματοποιημένη διαδικασία «Αλγεβρικός έλεγχος», είτε με τον έλεγχο «Μέσω τιμών». Οι πολλές αριθμητικές τιμές των πολυωνύμων των δύο περιοχών επιτρέπουν στους μαθητές να κάνουν εικασίες για την ισότητά τους. Ακόμα, η αποστολή των τιμών αυτών στον πίνακα της «Στατιστικής» τους βοηθά να βρουν μοτίβα διαφορών, όταν οι αριθμητικές τους τιμές δεν είναι ίσες. Τέλος, στην περίπτωση που τα πολυώνυμα ή τα μονώνυμα είναι μιας μεταβλητής, οι μαθητές μπορούν να επιλέξουν «Στείλε στο γράφημα» και να παρατηρήσουν τη γραφική παράσταση των αντίστοιχων συναρτήσεων. Τα παραπάνω περιγράφουν μια σειρά εργαλείων τα οποία επιτρέπουν στο μαθητή να πειραματίζεται με τη διατύπωση των αλγεβρικών παραστάσεων, με τις πράξεις μεταξύ πολυωνύμων και μονωνύμων, καθώς και με αριθμητικούς ή αλγεβρικούς ελέγχους των αποτελεσμάτων των πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο εκπαιδευτικός μπορεί να αναπτύξει δραστηριότητες και σενάρια με τα οποία θα εμπλέξει τους μαθητές του:

• Στις έννοιες των πολυωνύμων και των μονωνύμων και στην αριθμητική τους τιμή.

• Στην έννοια της μεταβλητής. • Στην έννοια των όμοιων μονωνύμων. • Στην έννοια της ταυτότητας (ισότητας) των πολυωνύμων. • Σε διαδικασίες διατύπωσης της πράξης μεταξύ πολυωνύμων και

μονωνύμων, καθώς και του αποτελέσματος αυτών. • Σε διαδικασίες ελέγχου πράξης και αποτελέσματος.

2.6.2 Ενδεικτικά θέματα Παράδειγμα: Κάποιος θέλει να ελέγξει αν είναι σωστό ή όχι ότι (α+β)2=α2 + β2. Στο λογισμικό «Άλγεβρα» πληκτρολόγησε στο χώρο διατύπωσης το ένα μέλος και στο χώρο επεξεργασίας το δεύτερο μέλος. Στη συνέχεια, για να ελέγξει αν ισχύει η ισότητα, επέλεξε τον «Αλγεβρικό έλεγχο» από όπου πήρε το μήνυμα ότι δεν είναι ισοδύναμα. Αναζήτησε λοιπόν τον παράγοντα που έπρεπε να προσθέσει και σε ποιο μέλος, ώστε να προκύψει ισότητα. Έτσι αποφάσισε να


Σελίδα 25

κάνει έλεγχο με τιμές και να στείλει τα αποτελέσματα στον πίνακα τιμών της «Στατιστικής».

Με τις πρώτες τιμές που έστειλε στον πίνακα παρατήρησε ότι το πολυώνυμο στο χώρο διατύπωσης έδινε μεγαλύτερες τιμές και μάλιστα η διαφορά τους ήταν πάντοτε άρτιος αριθμός. Για να ελέγξει καλύτερα αυτή την κατάσταση επανήλθε στους δύο χώρους, όπου αντικατέστησε το γράμμα β με έναν αριθμό. Επέλεξε λοιπόν το 5. Έτσι, είχε να συγκρίνει τα πολυώνυμα (α+5)2 και α2+25. Δίνοντας στο α τις τιμές 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4, μπόρεσε να ελέγξει καλύτερα τις διαφορές. Μάλιστα, στο λογισμικό «Στατιστική» εμφάνισε στην τρίτη στήλη τις διαφορές των τιμών και παρατήρησε ότι ήταν όλες πολλαπλάσια του 10. Από αυτό υπέθεσε ότι ο ένας παράγοντας ήταν το γινόμενο 2.5=10 και ο άλλος η τιμή του α.


Σελίδα 26

Κάνοντας και άλλες τέτοιες δοκιμές, κατέληξε στην υπόθεση ότι οι δύο παραστάσεις θα γίνουν ισοδύναμες, όταν στο χώρο επεξεργασίας προσθέσει το μονώνυμο 2αβ. Έλεγξε αυτή την υπόθεση με τον «Αλγεβρικό έλεγχο» και διαπίστωσε ότι είχε δίκιο.

2.7. Επεξεργασία εξισώσεων – ανισώσεων – συστημάτων

2.7.1.Τι είναι Με τον όρο «Επεξεργασία εξισώσεων – ανισώσεων» εννοούμε τη διαδικασία με την οποία αναζητούμε τη λύση της εξίσωσης ή ελέγχουμε αν κάποιος αριθμός είναι ή όχι λύση της εξίσωσης ή ανίσωσης. Η διαδικασία αναζήτησης της λύσης αφορά: (1) την αλγεβρική αναζήτηση μέσω της οποίας ο μαθητής μπορεί να αναπτύξει μια στρατηγική για τη λύση της εξίσωσης, (2) την αριθμητική αναζήτηση η οποία συνίσταται στην επιλογή του κατάλληλου αριθμού που να επαληθεύει την εξίσωση ή την ανίσωση ή το σύστημα των εξισώσεων ή ανισώσεων και (3) τη γραφική αναζήτηση της λύσης μέσω της γραφικής αναπαράστασης των σχετικών συναρτήσεων. Η συνύπαρξη και των τριών μορφών αναζήτησης της λύσης δίνει τη δυνατότητα στο μαθητή να αναπτύσσει αξιόλογες στρατηγικές αναζήτησης της λύσης, αξιοποιώντας τις εμπειρίες που αποκτά από καθεμία μορφή αναζήτησης. Για παράδειγμα, η επιλογή του κατάλληλου διαστήματος και βήματος στην αριθμητική αναζήτηση της λύσης μπορεί να υποστηριχθεί από τη γραφική αναπαράσταση των σχετικών συναρτήσεων. Τα εργαλεία που προτείνονται είναι τα εξής:

(1) Της «Αριθμητικής επεξεργασίας», όπου, στα πλαίσια που προσομοιώνουν τα δύο μέλη των εξισώσεων ή ανισώσεων, μπορούν να πληκτρολογηθούν αλγεβρικοί τύποι με ένα ή δύο αγνώστους και στη συνέχεια να οριστούν τα πεδία ορισμού των μεταβολών, καθώς και τα βήματα των μεταβολών. Η χρήση των μεταβολέων αυτοματοποιεί την αντικατάσταση των αριθμών που αντιστοιχούν στους δείκτες των μεταβολέων στα δύο μέλη των εξισώσεων ή ανισώσεων. Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων, καθώς και η έμφαση που δίνεται όταν αυτά επαληθεύουν την ισότητα ή την ανισότητα, διευκολύνει το μαθητή να κάνει έλεγχο για μία ή περισσότερες λύσεις, να σκεφτεί τι συμβαίνει στις άλλες περιπτώσεις και να σκέφτεται κάθε μέλος ξεχωριστά.

(2) Της «μεταφοράς δεδομένων στο γράφημα», όπου δίνει τη δυνατότητα στο μαθητή να έχει τη γραφική αναπαράσταση της λύσης και τις πολλαπλές αναπαραστάσεις αυτών των μεταβολών. Ένα από τα σημαντικά πλεονεκτήματα αυτής της επεξεργασίας είναι το γεγονός ότι ο μαθητής, σε συνδυασμό με την αριθμητική επεξεργασία, όπου μπορεί να παρατηρεί τις μεταβολές του ενός μέλους όταν μεταβάλλεται η τιμή της μεταβλητής, διευκολύνεται να «βλέπει» την αλγεβρική έκφραση του μέλους αυτού ως μια συνάρτηση και την εξίσωση ή ανίσωση ως ειδική περίπτωση της συνάρτησης. Έτσι μπορεί με ένα φυσικό τρόπο να «περνά» σταδιακά από το πρόβλημα, τον άγνωστο και την εξίσωσή του, στη μεταβολή, στη μεταβλητή και στην έννοια της συνάρτησης, καθώς το


Σελίδα 27

πέρασμα από την εξίσωση και τον άγνωστο στη μεταβλητή και τη συνάρτηση υποστηρίζεται πολλαπλά.

(2) Της «Αλγεβρικής επεξεργασίας», όπου ο μαθητής μπορεί να προσομοιώνει, με τη βοήθεια της ζυγαριάς και της ισορροπίας, την ιδιότητα της διαγραφής της πρόσθεσης και της αφαίρεσης από τα δύο μέλη της ισότητας και έτσι να οδηγείται στην εύρεση της λύσης απλών εξισώσεων.

2.7.2 Ενδεικτικά θέματα Τα παραδείγματα που ακολουθούν είναι ενδεικτικά και έχουν σκοπό να αναδείξουν το ρόλο της αριθμητικής επεξεργασίας εξίσωσης – ανίσωσης ως μια διαδικασία μάθησης των μαθηματικών εννοιών της εξίσωσης, της ανίσωσης και της συνάρτησης και να φωτίσουν το ρόλο των χρησιμοποιούμενων εργαλείων σε αυτή.

• Παράδειγμα 1: Διερεύνηση δεδομένων σχέσεων

1) Οι αρχαιολόγοι χρησιμοποιούν τους παρακάτω τύπους για να προσεγγίζουν με κάποια ακρίβεια το ύψος Η, σε εκατοστά, όταν γνωρίζουν το μήκος κ της κνήμης ή το μήκος β του βραχίονα ενός αγάλματος.

Για άνδρες: Η=82,8+2,4 κ Η=73,6+3 β

Για γυναίκες: Η=72,6+2,5 κ Η=65+3,1 β

Α) Ένας συμμαθητής σας έχει ύψος 163,2 εκ. Ποιο πρέπει να είναι το μήκος του βραχίονα και το μήκος της κνήμης του; Β) Μπορείτε να επαληθεύσετε τους τύπους για το βραχίονα, κάνοντας έρευνα μεταξύ των συμμαθητών σας; (Μετρήστε το μήκος του βραχίονα και το ύψος τους ή ρωτήστε το ύψος τους και στη συνέχεια υπολογίστε το μήκος του βραχίονα και υπολογίστε τον.)

Στο πρώτο ερώτημα οι μαθητές έχουν να λύσουν την εξίσωση

828+24κ=1.632. Με το θέμα αυτό μπορούν να κατανοήσουν την έννοια της εξίσωσης ως μέρος μιας συνάρτησης ενός τύπου και να διαπιστώσουν ότι ο άγνωστος του προβλήματος είναι η μεταβλητή του τύπου. Στο δεύτερο ερώτημα οι μαθητές έχουν να ερευνήσουν αν οι παραπάνω τύποι ισχύουν κατά προσέγγιση και για τους συμμαθητές τους. Μετρούν το βραχίονα ενός συμμαθητή ή μιας συμμαθήτριάς τους και υπολογίζουν το ύψος του και στη συνέχεια επαληθεύουν αριθμητικά τον αντίστοιχο τύπο για τους άνδρες ή τις γυναίκες. Είναι φανερό ότι η διερεύνηση αυτή απαιτεί τη συλλογή στοιχείων και ταυτόχρονα ζητά από τους μαθητές να επαληθεύσουν έναν τύπο. Δηλαδή ζητά από τους μαθητές να διαπραγματευτούν έναν τύπο.


Σελίδα 28

Το λογισμικό «Επεξεργασία εξισώσεων – ανισώσεων» είναι κατάλληλο για αυτή τη δραστηριότητα. Οι μαθητές μπορούν να πληκτρολογήσουν στο αριστερό μέλος της ισότητας τον τύπο, ορίζοντας ως άγνωστο το κ, και στη συνέχεια να πληκτρολογήσουν στο δεξί μέλος το ύψος του συμμαθητή τους και να υπολογίσουν έτσι το αναμενόμενο μήκος του βραχίονα.

Εικόνα 2: Στο λογισμικό «Επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» πληκτρολογήσαμε στο αριστερό μέλος των δύο εξισώσεων τους τύπους που προσδιορίζουν το ύψος ενός άνδρα από το μήκος του βραχίονα και της κνήμης του. Σε καθεμία από τις δύο εξισώσεις πληκτρολογήσαμε στο δεξί μέλος το ύψος 163,2. Η χρήση των δύο μεταβολέων έδωσε για το βραχίονα μήκος 33,5 εκ. και για την κνήμη 36,24 εκ.

• Παράδειγμα 2: Λύση προβλήματος

Ένα τουριστικό γραφείο διαθέτει λεωφορεία των 50 θέσεων. Για τις σχολικές εκδρομές έχει καταρτίσει δύο προσφορές. Σύμφωνα με την προσφορά Α, κάθε μαθητής πρέπει να πληρώσει 3 ευρώ ανεξάρτητα από το πόσοι μαθητές θα συμμετάσχουν. Σύμφωνα με την προσφορά Β, κάθε πούλμαν χρεώνεται με 90 ευρώ και κάθε μαθητής που μεταφέρεται με αυτό πληρώνει 1 ευρώ επιπλέον. Α) Στην προσεχή εκδρομή ενός σχολείου πρόκειται να συμμετάσχουν 122 μαθητές, όμως με κάθε πούλμαν δεν μπορούν να μεταφέρονται περισσότεροι από 45 μαθητές. Ποια από τις δύο προσφορές συμφέρει να επιλέξουν; Β) Αν γενικώς ισχύει ο ίδιος περιορισμός των 45 μαθητών σε κάθε λεωφορείο, πότε συμφέρει να επιλέξουν την προσφορά Α και πότε την προσφορά Β;

Οι μαθητές μπορούν να διαπραγματευτούν τις δύο προσφορές, κάνοντας δοκιμές με τον αριθμό των μαθητών που συμμετέχουν στην εκδρομή. Στην πρώτη περίπτωση, όπου συμμετέχουν 122 μαθητές, θα χρειαστούν δύο πούλμαν, σε καθένα από τα οποία θα υπάρχουν πάνω από 45 μαθητές. Με


Σελίδα 29

την προσφορά Α θα πληρώσουν 122x3=366 ευρώ. Με την προσφορά Β θα πληρώσουν για δύο πούλμαν 2x90+122=180+122=302 ευρώ. Άρα τους συμφέρει η Β προσφορά.

Προκειμένου να μπορούν να ελέγχουν ποια προσφορά τους συμφέρει για κάθε σύνολο μαθητών, οι μαθητές χρησιμοποιούν το λογισμικό «Επεξεργασία εξισώσεων – ανισώσεων». Στα κελιά της πρώτης σχέσης πληκτρολογούν τους τύπους που υπολογίζουν το κόστος της κάθε προσφοράς και στα κελιά της δεύτερης σχέσης πληκτρολογούν τον τύπο που υπολογίζει τις 45δες των μαθητών. Συγκεκριμένα, στο αριστερό κελί της πρώτης σχέσης πληκτρολογούν τον τύπο χ*3 και στο δεξί κελί τον τύπο χ+ψ*90, όπου ψ το πλήθος των λεωφορείων που χρειάζονται. Στο αριστερό κελί της δεύτερης σχέσης πληκτρολογούν τον τύπο ψ και στο δεξί κελί τον αριθμό 0. Οι μεταβολείς χ και ψ ορίζουν τιμές στις αντίστοιχες μεταβλητές και το πρόγραμμα προσδιορίζει αυτόματα το αριθμητικό αποτέλεσμα σε κάθε κελί των δύο εξισώσεων. Ανάμεσα στα κελιά της δεύτερης σχέσης ορίζουν να υπάρχει η ισότητα «=». Δηλαδή ορίζουν την ανίσωση 45*ψ=122, ή άλλο αριθμό μαθητών, και στον κέρσορα επιλέγουν το βήμα της μεταβολής να είναι 1. Η κατάλληλη τιμή για τη μεταβλητή ψ είναι εκείνη που ορίζει γινόμενο που μόλις υπερβαίνει τον αριθμό των μαθητών. Συνεπώς, όταν η ζυγαριά γύρει προς το τάσι με αριθμό 45*ψ. Αφού οι μαθητές ορίσουν τον αριθμό των λεωφορείων, επεξεργάζονται τις τιμές της πρώτης σχέσης. Για να ελέγξουν πότε συμφέρει η πρώτη προσφορά επιλέγουν τη σχέση «=» ανάμεσα στις δύο προσφορές και παρατηρούν πότε το τάσι που περιέχει αυτή την προσφορά δίνει τη μικρότερη τιμή.

Εικόνα 3: Για να ελέγξει ένας μαθητής ποια προσφορά συμφέρει, αφού επέλεξε για το ψ η τιμή ψ*45 να υπερβαίνει την τιμή 122, ερεύνησε πότε συμφέρει η προσφορά Α και πότε η προσφορά Β. Έτσι θα χρησιμοποιήσει 3 λεωφορεία και συμφέρει η προσφορά 3*χ.


Σελίδα 30

2.7.3 Αριθμητική επεξεργασία εξισώσεων Παραδοσιακά, οι λύσεις των εξισώσεις, που θεωρούνται αλγεβρικές εκφράσεις αριθμών, μεταξύ των οποίων μερικοί είναι άγνωστοι, διδάσκονται ως αλγεβρικές διαδικασίες που κάτω από αυστηρές και πολλές φορές αδιευκρίνιστες συνθήκες οδηγούν στη λύση. Ο όρος αδιευκρίνιστες συνθήκες αναφέρεται στους μαθητές που πολλές δεν καταφέρνουν να εφαρμόσουν με ακρίβεια τη διαδικασία επίλυσης, με αποτέλεσμα να μην φτάνουν στο αποτέλεσμα που θέλουν. Η αντίληψη ότι οι μαθητές αυτοί δεν τα καταφέρνουν, διότι δεν έχουν κατανοήσει τις ιδιότητες των αριθμών, δεν είναι απόλυτα ακριβής, καθώς μεταξύ άλλων παρατηρείται μια έλλειψη της αίσθησης για το τι ακριβώς συμβαίνει με τον άγνωστο και το πεδίο ορισμού που επιβάλει, αν υπάρχει μία ή περισσότερες λύσεις, τι συμβαίνει με τις τιμές του αγνώστου που δεν είναι λύσεις της εξίσωσης και άλλους σημαντικούς και καθοριστικούς παράγοντες που παρεμβαίνουν στη διαδικασία με αρνητικό τρόπο. Τα παραδείγματα που ακολουθούν αναδεικνύουν αυτές τις πλευρές –που συνήθως συνιστούν μια «οικολογία» εννοιών– και επισημαίνουν την αξία του προτεινόμενου λογισμικού.

• Παράδειγμα 3: Να λυθεί η εξίσωση 2χ2+5χ-7=0 Οι μαθητές χρησιμοποιούν το λογισμικό «Επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» και στο αριστερό κελί της πρώτης σχέσης πληκτρολογούν το πρώτο μέλος της εξίσωσης. Στο δεύτερο κελί πληκτρολογούν τον αριθμό 0. Κινούν το μεταβολέα χ και παρατηρούν τις μεταβολές των αριθμητικών τιμών των δύο μελών. Μόλις αυτές γίνουν ίσες, τα δύο κελιά αποκτούν κίτρινο χρώμα. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός του δείκτη του μεταβολέα αντιστοιχεί σε μια ρίζα της εξίσωσης. Στη συνέχεια οι μαθητές αναζητούν και δεύτερη λύση. Κινούν το μεταβολέα και προς τις δύο κατευθύνσεις, αναζητώντας και άλλες λύσεις. Η μεταβολή των αριθμητικών τιμών των δύο μελών είναι ενδεικτική για το αν υπάρχει και κάποια άλλη λύση. Φυσικά οι μαθητές θα διαπιστώσουν ότι η εξίσωση έχει δύο λύσεις: τις χ=1 και χ=-3,5.


Σελίδα 31

Εικόνα 4: Τα δύο κελιά της πρώτης σχέσης κιτρινίζουν όταν χ=3,5 και χ=1. Η χρήση του λογισμικού επιτρέπει στο μαθητή να κάνει παρατηρήσεις και να θέτει στον εαυτό του ερωτήματα που συμβάλλουν ουσιαστικά στη μάθηση μαθηματικών εννοιών που σχετίζονται με σημαντικούς τομής του προγράμματος σπουδών. Συγκεκριμένα:

Πλήθος ριζών. Χωρίς κάποια ιδιαίτερη γνώση ή διδασκαλία, ο μαθητής μπορεί να διαπιστώσει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, τις χ=1 και χ=3,5.

Εννοιολογική σύνδεση μεταξύ αγνώστου και μεταβλητής. Ο μαθητής, ενώ πληκτρολογεί τον τύπο μιας εξίσωσης, διαπραγματεύεται με το «χέρι» του τον άγνωστο ως μεταβλητή η οποία διατρέχει ένα συγκεκριμένο και από τον ίδιο οριζόμενο και τροποποιούμενο διάστημα των πραγματικών αριθμών.

Η μεταβολή των τιμών του τριωνύμου. Η προσεκτική μετακίνηση του δείκτη του μεταβολέα και η ταυτόχρονη παρατήρηση των τιμών του αριστερού κελιού φανερώνει τον τρόπο μεταβολής των τιμών της παράστασης που έχει πληκτρολογηθεί (τριώνυμα). Ο μαθητής θα διαπιστώσει ότι όταν κινεί τον κέρσορα από τα αριστερά προς τα δεξιά, οι τιμές είναι θετικές και μικραίνουν όσο κινείται αριστερά από τη ρίζα 3,5. Μόλις περάσουν την τιμή 3,5 γίνονται αρνητικές και συνεχίζουν να μικραίνουν. Μόλις όμως περάσουν μια άλλη τιμή, αρχίζουν να μεγαλώνουν μέχρι να φτάσουν στο 0 που είναι η δεύτερη ρίζα της εξίσωσης. Στη συνέχεια γίνονται θετικές και συνεχίζουν να αυξάνουν. Η διαδικασία αυτή εμπλουτίζει τους μαθητές με εμπειρίες σχετικά με τον τρόπο μεταβολής της τετραγωνικής συνάρτησης.

Εννοιολογική σύνδεση μεταξύ εξίσωσης και συνάρτησης. Η παρατήρηση των μεταβολών του αριστερού σκέλους μόνο, ενώ το δεξί παραμένει σταθερό, μετατοπίζει την προσοχή του μαθητή από την εξίσωση στην αλγεβρική παράσταση του πρώτου μέλους. Ο ίδιος ο μαθητής, χωρίς


Σελίδα 32

ιδιαίτερη προσπάθεια, διαχειρίζεται οπτικά και εννοιολογικά τις μεταβολές της σε σχέση με τη μεταβολή των τιμών της μεταβλητής χ. Ακόμα, μπορεί να τροποποιεί το σταθερό αριθμό του δεξιού κελιού και να δημιουργεί μικρά παραδείγματα και άλλων εξισώσεων.

Η γραφική επεξεργασία της εξίσωσης συμπληρώνει το πλέγμα των εννοιών

που παρεμβαίνουν στη λύση της εξίσωσης. Ο μαθητής μπορεί να επιλέξει το κουμπί «Στείλε στο γράφημα» και να παρατηρήσει το γράφημα της συνάρτησης. Εκεί μπορεί να επιβεβαιώσει και με άλλο τρόπο τις παρατηρήσεις που έκανε στην αριθμητική επεξεργασία. Η οπτικοποίηση των μεταβολών στα διαστήματα εκτός ή μεταξύ των ριζών εμπλουτίζει τις εμπειρίες των μαθητών για τη λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού.

Εικόνα 5: Η γραφική αναπαράσταση της λύσης της εξίσωσης.


Σελίδα 33

2.7.4 Αλγεβρική επεξεργασία εξισώσεων Το γεγονός ότι τα δύο μέλη της εξίσωσης αναπαρίστανται στο λογισμικό «Επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» με τα τάσια μιας εικονικής ζυγαριά επιτρέπει στο μαθητή να προσθέτει και να αφαιρεί από αυτά είτε αριθμούς είτε τον άγνωστο όσες φορές χρειάζεται, προκειμένου να μείνει στο ένα τάσι μόνο ο άγνωστος. Επίσης μπορεί να προσθέτει ή να αφαιρεί έναν άγνωστο ταυτόχρονα και από τα δύο τάσια. Έτσι αισθητοποιεί την ιδιότητα της διαγραφής ως διαδικασία που συμβαίνει και στα δύο μέλη ταυτόχρονα, χωρίς να επιφέρει καμιά αλλοίωση στην ισορροπία της. Τέλος, μπορεί να προσθέτει σε κάθε τάσι έναν αριθμό και να παρατηρεί πώς μεταβάλλεται η ισορροπία. Οι δύο αυτές λειτουργίες είναι συμβατές με το νόημα που αποδίδουμε στην έννοια της ισότητας και στην επίδραση που ασκεί σε αυτή η ιδιότητα της διαγραφής σε σχέση με την αναπαράσταση της ζυγαριάς, καθώς για τον άγνωστο δεν γνωρίζουμε από πριν τον αριθμό που εκπροσωπεί, πράγμα που ισχύει για τους αριθμούς.

2.7.5 Αριθμητική επεξεργασία ανισώσεων Στην παραδοσιακή διδασκαλία οι ανισώσεις, πρώτου βαθμού κυρίως, συνοδεύονται από τη γραφική παρουσίαση των λύσεων στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Το θέμα που ακολουθεί αναδεικνύει την αριθμητική πλευρά της λύσης της και συνδέει την ανίσωση με την αντίστοιχη εξίσωση και τη συνάρτηση, με τρόπους ανάλογους με εκείνους που αναλύθηκαν προηγουμένως στις εξισώσεις.

• Παράδειγμα 4: Να λυθεί η ανίσωση 1/2*χ-1<χ+2 Οι μαθητές μπορούν να ακολουθήσουν την ίδια διαδικασία που αναφέρθηκε και στο προηγούμενο παράδειγμα. Οι εικόνες που ακολουθούν αναδεικνύουν τη διαδικασία εύρεσης της λύσης.


Σελίδα 34

Εικόνα 6: Η αριθμητική επεξεργασία της ανίσωσης 1/28χ-1<χ+2 αναδεικνύει το διάστημα χ>6 ως λύση της ανίσωσης.

Εικόνα 7: Η γραφική επεξεργασία της εξίσωσης οπτικοποιεί με διαφορετικό τρόπο τη λύση της ανίσωσης.

2.7.6 Αριθμητική επεξεργασία συστημάτων Η αριθμητική επεξεργασία ενός συστήματος εννοείται εδώ ως μια διαδικασία κατά την οποία επιλέγεται μια τιμή του ενός αγνώστου και αναζητείται η τιμή του άλλου αγνώστου, ώστε να επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

Η αριθμητική επεξεργασία των δύο εξισώσεων έχει παρόμοια χαρακτηριστικά με εκείνα των θεμάτων που προηγήθηκαν. Ο μαθητής, αφού πληκτρολογήσει τις εξισώσεις του συστήματος στα κελιά των αντίστοιχων σχέσεων, επιλέγει μια τιμή για τον ένα άγνωστο και στη συνέχεια κινεί το δείκτη του μεταβολέα που αντιστοιχεί στον άλλο άγνωστο, αναζητώντας την


Σελίδα 35

τιμή που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. Στο παράδειγμα που ακολουθεί περιγράφεται ο συγκεκριμένος τρόπος.

• Παράδειγμα 5: Να λυθεί το σύστημα χ+ψ=5, χψ=6 Οι μαθητές πληκτρολογούν τις δύο εξισώσεις και αφού ορίσουν μια τιμή στο μεταβολέα ψ, κινούν το μεταβολέα χ μέχρι να αποκτήσουν κίτρινο χρώμα τα κελιά των δύο ισοτήτων.

Εικόνα 8: Η εικόνα δείχνει την επιτυχή εύρεση του ζεύγους της λύσης. Επιλέξαμε ψ=2 και κινώντας το χ, βρήκαμε χ=3. Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι οι τιμές των δύο μελών στην πρώτη εξίσωση είναι ίσες με 5, αλλά διαφέρουν από τις τιμές των μελών της δεύτερης εξίσωσης που είναι ίσες με 6. Το ίδιο θα συμβεί και όταν επιλέξουμε ψ=3. Θα βρούμε χ=2. Η γραφική επεξεργασία έχει τα ίδια χαρακτηριστικά, όπως φανερώνουν οι παρακάτω εικόνες.


Σελίδα 36

Εικόνα 9: Επιλέγοντας το κουμπί «Στείλε στο γράφημα», το πρόγραμμα στέλνει τις συναρτήσεις που είναι διατυπωμένες στα τέσσερα κελιά, λαμβάνοντας υπόψη την τρέχουσα τιμή του ψ. Κάθε γραφική παράσταση εμφανίζεται με άλλο χρώμα. Στο γράφημα, καθώς κινούμε τον κέρσορα πάνω στον άξονα χχ΄, παρατηρούμε την κατακόρυφη ευθεία χ=χο να διέρχεται από τις τέσσερις καμπύλες και να εμφανίζονται οι τέσσερις τιμές των συναρτήσεων για τη συγκεκριμένη τιμή του χ, χο. Καθώς οι δύο καμπύλες είναι οι ψ=5 και ψ=6, αναζητούμε τη θέση του κέρσορα κατά την οποία η τιμή της μίας, μη παράλληλης στον χχ΄, ευθείας –η κόκκινη στο σχήμα– θα αποκτήσει τιμή ίση με 5, ενώ η πράσινη θα αποκτήσει τιμή ίση με 6. Δηλαδή η λύση θα βρεθεί όταν η κόκκινη γραμμή με την τιμή της συνάρτησης ταυτιστεί με την μπλε γραμμή και η πράσινη με τη ροζ (βλ. επόμενη εικόνα).

Εικόνα 10: Η εύρεση της λύσης του συστήματος.


Σελίδα 37

Φυσικά υπάρχει και η άμεση γραφική λύση του συστήματος, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Εικόνα 11: Οι δύο εξισώσεις λύθηκαν ως προς ψ και στο λογισμικό «Γράφημα» πληκτρολογήθηκαν οι τύποι με τους οποίους είναι ίσο το ψ. Οι τομές των δύο γραφικών παραστάσεων δίνουν τη ζητούμενη τιμή για το χ, ώστε οι τιμές στο ψ να είναι ίσες.


Σελίδα 38

2.8. Γεωμετρική επεξεργασία δεδομένων

2.8.1 Τι είναι Με τον όρο «γεωμετρική επεξεργασία δεδομένων» εννοούμε τις πληροφορίες που αντλούνται από ένα περιβάλλον διαπραγμάτευσης γεωμετρικών σχημάτων. Η επεξεργασία τους συνίσταται στην κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων και στις διαδικασίες έρευνας και ανακάλυψης, αιτιολόγησης και απόδειξης, καθώς και στην εφαρμογή συμπερασμάτων από προηγούμενες διαδικασίες.

Το λογισμικό που προτείνεται εδώ είναι η «Γεωμετρία». Διαθέτει εργαλεία για την κατασκευή των γεωμετρικών σχημάτων τα οποία είναι συμβατά με τις προϋποθέσεις της σχολικής γεωμετρίας, εργαλεία για τη μεταβολή των σχημάτων, καθώς και εργαλεία για τη μέτρηση του μήκους και της γωνίας. Ακόμα διαθέτει εργαλεία για τη μεταφορά των αριθμητικών αποτελεσμάτων των μετρήσεων στα λογισμικά της «Στατιστικής» και του «Γραφήματος», όπου ο μαθητής μπορεί να τα επεξεργαστεί περαιτέρω.

Ένα από τα σημαντικά πλεονεκτήματα αυτής της επεξεργασίας είναι το γεγονός ότι ο μαθητής μπορεί να παρατηρεί τις μεταβολές των μεγεθών στο γεωμετρικό περιβάλλον ή στα άλλα περιβάλλοντα, να κάνει εικασίες και βρίσκει αποδείξεις για τα γεωμετρικά αντικείμενα που διαπραγματεύεται. Αυτό τον διευκολύνει να «βλέπει» την αριθμητική και την αλγεβρική έκφραση των σχέσεων των γεωμετρικών αντικειμένων (Θεώρημα Θαλή, Πυθαγόρειο θεώρημα κ.τ.λ.) πριν καταπιαστεί με την απόδειξη των σχέσεων αυτών.

2.8.2 Ενδεικτικά θέματα Ο θεματικός κύκλος των αποδείξεων Ο θεματικός κύκλος των αποδείξεων στηρίζεται καταρχήν στις δυνατότητες του λογισμικού να παρέχει στο μαθητή ευκαιρίες για διερεύνηση και διατύπωση εικασίας σχετικά με μια ενδεχόμενη σχέση ανάμεσα σε μεγέθη που μεταβάλλονται. Το να αρκείται όμως ο μαθητής στη διατύπωση εικασιών δεν ολοκληρώνει μία γνήσια μαθηματική διαδικασία, αφού παραμένει εκτός η απόδειξη της εικασίας.

Είναι αλήθεια ότι η αποδεικτική διαδικασία αποτελεί για το γυμνάσιο ένα διδακτικό ερώτημα και απαιτεί την παροχή σημαντικής εποπτικής υποστήριξης προς το μαθητή. Οι δραστηριότητες που ακολουθούν οδηγούν το μαθητή από τη διερεύνηση και την εικασία στην αιτιολόγηση και τελικά στην απόδειξη μιας σχέσης. Ο δυναμικός χαρακτήρας του λογισμικού και η κατευθυνόμενη πορεία που δημιουργούν τα ερωτήματα των φύλλων εργασίας παρέχουν μία ισχυρή βάση για δραστηριότητες απόδειξης.

Κρίναμε απαραίτητο να υπάρχει στο τέλος και μία φάση εφαρμογής της πρότασης που οι μαθητές έχουν αποδείξει, ώστε η πρόταση αυτή να αποτελέσει το υλικό πάνω στο οποίο θα στηριχτεί μία νέα ενδεχομένως απόδειξη.


Σελίδα 39

• Παράδειγμα 1: Οι γωνίες τριγώνου (Τάξη Α΄)

Με τη δραστηριότητα αυτή θα εξετάσουμε αν υπάρχει κάποια σχέση που να συνδέει τις τρεις γωνίες ενός τριγώνου. Α) Ερευνώ και ανακαλύπτω Ανοίξτε το λογισμικό της «Γεωμετρίας» και πραγματοποιήστε τις παρακάτω κατασκευές:

1) Κατασκευάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, χρησιμοποιώντας τρία ευθύγραμμα τμήματα. Στη συνέχεια μετρήστε και τις τρεις γωνίες του.

2) Μεταφέρετε τις μετρήσεις στα κελιά Α, Β, Γ (κάθε γωνία στο αντίστοιχο κελί). Δημιουργήστε το άθροισμα των τριών γωνιών και εμφανίστε το αποτέλεσμα στο τέταρτο κελί της αντίστοιχης γραμμής.

3) Σύρετε την κορυφή Α και επαναλάβετε την προηγούμενη διαδικασία για τις νέες τιμές των γωνιών. Τι παρατηρείτε;

4) Επαναλάβετε την προηγούμενη διαδικασία αρκετές φορές. Διατυπώστε έναν κανόνα που φαίνεται να ισχύει για τις γωνίες ενός τριγώνου.

Β) Δικαιολογώ και αποδεικνύω Έχετε ήδη ανακαλύψει μία σχέση μεταξύ των γωνιών ενός τριγώνου. Εδώ όμως θα πρέπει να αναγνωρίσετε ότι για τη σχέση αυτή έχετε μόνο ενδείξεις που προέρχονται από την ικανότητα του λογισμικού να μετρά. Στη συνέχεια θα πρέπει να αιτιολογήσετε μόνο με μαθηματικούς συλλογισμούς γιατί ισχύει αυτή η σχέση, δηλαδή να κάνετε μία απόδειξη. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα:

1) Κατασκευάστε μία παράλληλη από την κορυφή Α προς τη βάση ΒΓ. Δημιουργήστε τα σημεία Δ και Ε πάνω στην παράλληλη, ώστε η κορυφή Α να βρίσκεται ανάμεσά τους.

2) Μετρήστε τις γωνίες ΔΑΒ και ΕΑΓ και συγκρίνετέ τες με τις γωνίες του

τριγώνου. Τι παρατηρείτε; 3) Σύρετε την κορυφή Α. Τι αλλάζει και ποιες σχέσεις μένουν ίδιες;

Μπορείτε να δικαιολογήσετε γιατί ορισμένες γωνίες εμφανίζουν την ίδια τιμή;

4) Με τι ισούται το άθροισμα των γωνιών ΔΑΒ+Α+ΕΑΓ; Εξηγήστε γιατί το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ έχει άθροισμα 180ο.


Σελίδα 40

Γ) Εφαρμόζω

Η πρόταση που έχετε ήδη ανακαλύψει και αποδείξει θα εφαρμοστεί τώρα για την αιτιολόγηση άλλων προτάσεων που θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν εφαρμογές ή συνέπειες ή πορίσματα, όπως πολλές φορές αποκαλούνται, της αρχικής πρότασης.

1) Κατασκευάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Κατασκευάστε μία ημιευθεία με αρχή το Β και δεύτερο σημείο το Γ.

2) Κατασκευάστε ένα σημείο Δ πάνω στην ημιευθεία και μετρήστε τη γωνία ΑΓΔ (η γωνία αυτή λέγεται εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΓ). Μετρήστε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου. Ποια σχέση έχουν οι μετρήσεις των δύο αυτών γωνιών με τη γωνία ΑΓΔ;

3) Σύρετε την κορυφή Α. Ποια μεγέθη αλλάζουν και ποια σχέση παραμένει ίδια; Δικαιολογήστε τη σχέση αυτή με βάση την πρόταση που έχετε ήδη ανακαλύψει και αποδείξει.

4) Διατυπώστε έναν κανόνα σχετικά με την εξωτερική γωνία ενός τριγώνου.

• Παράδειγμα 2: Ο κύκλος και οι γωνίες (Τάξη Β΄) Οι γωνίες που έχουν την κορυφή τους πάνω στον κύκλο ή στο κέντρο του κύκλου παρουσιάζουν ενδιαφέρον, διότι στο παρελθόν, με τη βοήθεια των γωνιών αυτών, οι αστρονόμοι μελετούσαν τις αποστάσεις των αστέρων στον ουράνιο θόλο.

Εδώ ο παρατηρητής έχει την αίσθηση ότι βρίσκεται στο κέντρο ενός κύκλου και μετρά τη γωνία από την οποία «φαίνεται» η απόσταση των δύο αστεριών.

Στη δραστηριότητα που ακολουθεί θα μελετήσουμε τη σχέση που έχει η επίκεντρη γωνία με την εγγεγραμμένη, καθώς και τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων γωνιών.


Σελίδα 41

Α) Ερευνώ και ανακαλύπτω

1) Κατασκευάστε έναν κύκλο με κέντρο Ο και τρία σημεία Α, Β, Γ πάνω σε αυτόν. Κατασκευάστε τα τμήματα ΑΒ, ΑΓ, ΟΒ, ΟΓ.

2) Μετρήστε τις γωνίες ΟΒΓ και ΒΑΓ. Τι παρατηρείτε; Ποια σχέση φαίνεται να συνδέει τις δύο γωνίες;

3) Μετακινήστε τα σημεία που βρίσκονται πάνω στον κύκλο. Ισχύει η σχέση που παρατηρήσατε στο προηγούμενο ερώτημα;

4) Διατυπώστε έναν κανόνα με βάση τα συμπεράσματά σας από τα προηγούμενα ερωτήματα.

Β) Δικαιολογώ και αποδεικνύω Έχετε ήδη ανακαλύψει μία σχέση μεταξύ της επίκεντρης και της εγγεγραμμένης γωνίας σε έναν κύκλο. Εδώ όμως θα πρέπει να παραδεχτείτε ότι για τη σχέση αυτή έχετε μόνο ενδείξεις που προέρχονται από την ικανότητα του λογισμικού να μετρά. Στη συνέχεια θα πρέπει να αιτιολογήσετε μόνο με μαθηματικούς συλλογισμούς γιατί ισχύει αυτή η σχέση, δηλαδή να κάνετε μία απόδειξη. Απαντήστε στα επόμενα ερωτήματα:

1) Κατασκευάστε την ημιευθεία ΑΟ και το σημείο τομής της με τον κύκλο Κ. Μετρήστε τις γωνίες ΒΟΚ και ΒΑΟ και βρείτε ποια σχέση έχουν μεταξύ τους;

2) Δικαιολογήστε τη σχέση αυτή, λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές και ότι η γωνία ΒΟΚ είναι εξωτερική του τριγώνου.

3) Επεκτείνετε τα συμπεράσματά σας και για τις γωνίες ΚΟΓ και ΟΑΓ. Πώς μπορούμε τώρα να δικαιολογήσουμε τη σχέση που συνδέει την επίκεντρη γωνία με την εγγεγραμμένη;


Σελίδα 42

4) Κατασκευάστε πάνω στον κύκλο ένα σημείο Μ, καθώς και τα τμήματα ΜΒ και ΜΓ. Μετρήστε τη γωνία ΒΜΓ. Τι παρατηρείτε;

5) Σύρετε το σημείο Μ. Τι παραμένει σταθερό;

6) Πώς μπορούμε να δικαιολογήσουμε τη σχέση μεταξύ των γωνιών ΒΑΓ και ΒΜΓ;

Γ) Εφαρμόζω Οι προτάσεις που ήδη έχετε ανακαλύψει και αποδείξει θα χρησιμοποιηθούν τώρα για την αιτιολόγηση άλλων προτάσεων που θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν εφαρμογές ή συνέπειες ή πορίσματα, όπως πολλές φορές αποκαλούνται, της αρχικής πρότασης.

1) Κατασκευάστε δύο σημεία Α, Β και μία ημιευθεία που να περνά από το σημείο Α. Από το Β φέρτε μία κάθετο από το Β προς την ημιευθεία και κατασκευάστε το σημείο τομής των δύο ευθειών.

2) Μεταβάλετε τη θέση της ημιευθείας. Τότε προφανώς μετακινείται και το σημείο τομής των δύο ευθειών. Πώς φαίνεται να μετακινείται το σημείο


Σελίδα 43

αυτό; Κινείται ευθύγραμμα; Αν όχι, σε τι καμπύλη επάνω φαίνεται να κινείται;

3) Κατασκευάστε έναν κύκλο του οποίου το κέντρο να βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία Α, Β και να περνά από το σημείο τομής των δύο ευθειών.

4) Μεταβάλετε τη θέση της ημιευθείας. Τι παρατηρείτε;

• Παράδειγμα 3: Τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου (Τάξη Γ΄) Όταν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε μία παράλληλη από το μέσον μιας πλευράς προς μία άλλη, τότε αυτή θα φαίνεται ότι να περνά από το μέσον της τρίτης πλευράς. Θα ερευνήσουμε αν αυτό ισχύει και θα βρούμε τη σχέση που συνδέει το μήκος του τμήματος με την τρίτη πλευρά. Α) Ερευνώ και ανακαλύπτω

1. Κατασκευάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Μ πάνω στην πλευρά του ΑΒ. Φέρτε παράλληλη από το Μ προς τη ΒΓ η οποία να κόβει την ΑΓ στο Λ.

2. Μετρήστε τα τμήματα. Μεταβάλετε τη θέση του Μ. Ποια θα είναι η θέση του Λ, όταν το Μ είναι το μέσον του ΑΒ;

Β) Δικαιολογώ και αποδεικνύω 1. Φέρτε μία παράλληλη από το Γ προς την ΑΒ η οποία να κόβει την αρχική παράλληλη στο Ν. Μετρήστε το τμήμα ΓΝ. Τι παρατηρείτε;

Λ


Σελίδα 44

3. Εξηγήστε με βάση το σχήμα γιατί όταν το Μ βρίσκεται στο μέσον του ΑΒ, το Λ βρίσκεται στο μέσον του ΑΓ.

4. Διατυπώστε μία πρόταση την οποία αποδείξατε με την προηγούμενη

διαδικασία. Γ) Εφαρμόζω

1. Κατασκευάστε ένα σημείο Σ πάνω στη ΒΓ. Το τμήμα ΑΣ θα πρέπει να τέμνει την πρώτη παράλληλη στο Ρ. Μετρήστε τα τμήματα ΑΡ και ΡΣ. Τι παρατηρείτε;

2. Κινήστε το σημείο Σ. Ισχύει η παρατήρηση που κάνατε στην

προηγούμενη ερώτηση; 3. Δώστε μία εξήγηση με βάση την πρόταση που αποδείξατε

προηγουμένως.

Λ Ν


Σελίδα 45

2.9 Γραφική επεξεργασία δεδομένων

2.9.1 Τι είναι Η γραφική επεξεργασία δεδομένων αφορά είτε την εμφάνιση αριθμητικών δεδομένων και σχέσεων γραφικά, με τη βοήθεια καρτεσιανού συστήματος αξόνων, είτε τη γραφική επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων και συστημάτων, είτε τη μελέτη των γραφικών παραστάσεων συγκεκριμένων συναρτήσεων. Το λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» επιτρέπει στο χρήστη να αναπαριστά ζεύγη αριθμών που πληκτρολογεί ως σημεία και να εμφανίζει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που πληκτρολογεί με το «Συντάκτη εξίσωσης». Ακόμα του δίνει τη δυνατότητα να αναπαριστά δεδομένα που έρχονται είτε από το λογισμικό «Στατιστική επεξεργασία» είτε από το λογισμικό «Διανύσματα» είτε από το λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης». Το κέρδος που μαθητή που θα εμπλακεί με τη γραφική επεξεργασία δεδομένων είναι η ανάπτυξη αντίστοιχων νοητικών εργαλείων προσδιορισμού και ελέγχου σχέσεων, καθώς και η νοητική διασύνδεση μαθηματικών εννοιών, π.χ. της αναλογίας με τη συνάρτηση ψ=αχ.

2.9.2 Ενδεικτικά θέματα Διευθέτηση σημείων στο καρτεσιανό σύστημα αξόνων Ένα σύνηθες θέμα με το οποίο εμπλέκονται οι μαθητές που έρχονται σε επαφή με το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι η χωρική διευθέτηση σημείων στο επίπεδο με τη βοήθεια των συντεταγμένων ή η εύρεση σημείων με χαρακτηριστικές ιδιότητες. Το λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν βιωματικές εμπειρίες γύρω από τα θέματα αυτά και να συσχετίσουν χωρικές και γεωμετρικές σχέσεις με τις συντεταγμένες των σημείων, δηλαδή με τους πραγματικούς αριθμούς.

• Παράδειγμα: Αναπαράσταση σημείων με ορισμένη δομή Μπορείτε να βρείτε το τέταρτο σημείο που μαζί με τα σημεία (4,5), (2,-4) και (-3,-6) είναι οι κορυφές ενός παραλληλογράμμου;


Σελίδα 46

Εικόνα 12: Ο μαθητής μπορεί να πληκτρολογήσει τα τρία δεδομένα σημεία μαζί με ένα τέταρτο, αφού υποθέσει τις συντεταγμένες του. Στη συνέχεια τροποποιεί τις συντεταγμένες του ή κινεί το σημείο, ώστε να αποτελέσει την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου. Αναγνώριση σχέσεων μεταξύ των σημείων στο καρτεσιανό σύστημα Ένα άλλο θέμα που σχετίζεται με τη γραφική επεξεργασία δεδομένων είναι η αναγνώριση σχέσεων μεταξύ των συντεταγμένων σημείων ή άλλων χαρακτηριστικών των γραφικών αντικειμένων. Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να εμπλακούν σε τέτοιες διαδικασίες επεξεργασίας δεδομένων. Τα παραδείγματα που ακολουθούν αποδεικνύουν αυτές τις δυνατότητες. Παράδειγμα: Η περιοδικότητα των δεκαδικών ψηφίων των ρητών αριθμών Μπορείτε με το λογισμικό «Γράφημα» να αναπαραστήσετε τα ψηφία της δεκαδικής έκφρασης του ρητού αριθμού 1/7 σε σχέση με τη σειρά τους; Μπορείτε να περιγράψετε τον τρόπο που μεταβάλλονται αυτά; Στον «Calculator» των Windows οι μαθητές μπορούν να πληκτρολογήσουν το κλάσμα 1/7, δηλαδή τη διαίρεση 1:7 και να πάρουν αποτέλεσμα:

1/7=0,14285714285714285714285714285714… Στον πίνακα τιμών του γραφήματος μπορούν να πληκτρολογήσουν στο

πρώτο κελί τη θέση του ψηφίου και στο δεύτερο κελί το ίδιο το ψηφίο. Θα πάρουν το γράφημα της παρακάτω εικόνας, στο οποίο εμφανίζεται η περιοδικότητα των ψηφίων.


Σελίδα 47

Εικόνα 13: Η περιοδικότητα εμφάνισης των ψηφίων της δεκαδικής έκφρασης του ρητού αριθμού 1/7 είναι εμφανής στο γράφημα και εύκολα κάποιος μπορεί να συσχετίσει την περιοδικότητα με τη θέση των ψηφίων στο δεκαδικό αριθμό.

Γραφική επεξεργασία συναρτήσεων

Η μάθηση των συναρτήσεων απαιτεί την εμπλοκή των μαθητών με τις τρεις πλευρές της, τη γραφική πλευρά, την αλγεβρική πλευρά και την πλευρά του πίνακα. Σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία, και οι τρεις αυτές πλευρές είναι απαραίτητες για τη διδασκαλία και τη μάθηση των συναρτήσεων. Η παραδοσιακή διδασκαλία δίνει έμφαση στην αλγεβρική και στη γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης. Το λογισμικό «Γράφημα» είναι κατάλληλο για να εμπλέξει τους μαθητές και με τις τρεις αυτές πλευρές. Τα παραδείγματα που ακολουθούν το αποδεικνύουν.

• Παράδειγμα 1: Η γραφική παραστάσεις της οικογενείας των συναρτήσεων ψ=αχ+β

Οι επόμενες εικόνες δείχνουν τη γραφική επεξεργασία της ψ=αχ+β.


Σελίδα 48

Εικόνα 14: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=χ+β είναι παράλληλες και για κάθε τιμή του οι αντίστοιχες τιμές τους διαφέρουν όσο διαφέρουν οι σταθεροί τους όροι.

Εικόνα 15: Όλες οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=αχ+1 διέρχονται από το σημείο (0,1).

• Παράδειγμα 2: Διερεύνηση ιδιότητας Τι πρέπει να αλλάξουμε στις συντεταγμένες του σημείου (1,2), ώστε αυτό να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=2χ-3;


Σελίδα 49

Εικόνα 16: Η κατακόρυφη από το σημείο διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη -1. Άρα οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να γίνουν (1,-1).


Σελίδα 50

2.10 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων

2.10.1 Τι είναι Ο όρος «στατιστική επεξεργασία δεδομένων» αναφέρεται στην επεξεργασία αριθμητικών δεδομένων τα οποία προέρχονται από μια διαδικασία συλλογής δεδομένων από ένα δείγμα και αφορούν μία ή περισσότερες μεταβλητές.

Το λογισμικό «Στατιστική» σε συνδυασμό με το λογισμικό «Ερωτήσεις» επιτρέπει στο μαθητή: (1) Να δημιουργεί μια ερώτηση στο λογισμικό «Ερωτήσεις» και με τη βοήθειά

της να συλλέγει δεδομένα. (2) Να μεταφέρει τα δεδομένα από το λογισμικό «Ερώτηση» στο λογισμικό

«Στατιστική» και να επεξεργάζεται. Στο λογισμικό αυτό μπορεί να ορίσει το μέσο όρο, τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση και στη συνέχεια να εξάγει συμπεράσματα.

(3) Να μεταφέρει τα δεδομένα από το λογισμικό «Στατιστική» στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία», προκειμένου να αναπαραστήσει γραφικά τα δεδομένα. Τα διαθέσιμα εργαλεία επεξεργασίας δεδομένων δημιουργήθηκαν με

τέτοιον τρόπο ώστε να παρέχουν στο μαθητή την ελάχιστη δυνατή διευκόλυνση, καθώς το λογισμικό σχεδιάστηκε αποκλειστικά για μαθησιακούς και διδακτικούς σκοπούς. Το κέρδος του μαθητή που θα εμπλακεί με τη στατιστική επεξεργασία δεδομένων είναι η διεξαγωγή μιας πλήρους στατιστικής έρευνας σε όλες τις φάσεις της, καθώς και η επεξεργασία και περιγραφή των δεδομένων.

2.10.2 Ενδεικτικά θέματα

• Παράδειγμα 1: Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων ποσοτικής διακριτής μεταβλητής

Ρωτήθηκαν 24 μαθητές πόσες ώρες την ημέρα βλέπουν τηλεόραση. Οι απαντήσεις που έδωσαν ήταν οι εξής: 2, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 4, 3, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 3, 4, 3, 2, 3, 3. Α) Μπορείτε να αναπαραστήσετε τη συλλογή των δεδομένων; Β) Μπορείτε να βρείτε τη μέση τιμή των ωρών που βλέπουν τηλεόραση οι μαθητές του δείγματος; Γ) Μπορείτε να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος; Δ) Μπορείτε να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων; Ε) Μπορείτε να κάνετε τον πίνακα των σχετικών συχνοτήτων; Στ) Μπορείτε να εμφανίσετε το ραβδόγραμμα των συχνοτήτων και των σχετικών συχνοτήτων; Ζ) Μπορείτε να κάνετε την ίδια ερώτηση στους συμμαθητές σας και να συγκρίνετε τα δύο δείγματα ως προς τη μέση τιμή και τη διάμεσο;


Σελίδα 51

Στο λογισμικό «Ερωτήσεις», και συγκεκριμένα στο πεδίο «Δημιουργία ερωτήματος», οι μαθητές πληκτρολογούν την ερώτηση «Πόσες ώρες την ημέρα βλέπετε τηλεόραση». Στο δεύτερο κελί της πρώτης γραμμής πληκτρολογούν το όνομα της μεταβλητής (ώρες) και στο επόμενο κελί επιλέγουν το είδος της μεταβλητής (Ποσοτική – Συνεχής).

Στη συνέχεια επιλέγουν το πεδίο «Φόρμα» και περνούν μία μία τις απαντήσεις.

Στο επόμενο πεδίο μπορούν να παρατηρήσουν τις εγγραφές τους σε έναν πίνακα τιμών.

Στο πεδίο «Εγγραφές» οι μαθητές μπορούν να επιλέξουν: (1) «Μεταφορά», οπότε τα δεδομένα της στήλης θα μεταφερθούν στην πρώτη

στήλη του λογισμικού «Στατιστική». Οι μαθητές μπορούν στο λογισμικό αυτό να επιλέξουν «Ταξινόμηση» και να διατάξουν τα δεδομένα, ώστε να


Σελίδα 52

βρουν τη διάμεσο. Επίσης μπορούν να βρουν το άθροισμά τους και εν συνεχεία τη μέση τιμή τους.

(2) «Διαλογή & Μεταφορά», οπότε τα δεδομένα θα μεταφερθούν στο λογισμικό «Στατιστική», αλλά ταυτόχρονα θα γίνει και διαλογή. Έτσι, στην πρώτη στήλη θα εμφανιστούν οι τιμές της μεταβλητής και στα αντίστοιχα κελιά της επόμενης στήλης η συχνότητα εμφάνισης κάθε τιμής. Στη συνέχεια οι μαθητές μπορούν:

i. Να ορίσουν μια διαδικασία (στο πεδίο «Εισαγωγή συνάρτησης») για να υπολογίζουν την αθροιστική συχνότητα, τη σχετική συχνότητα, τη σχετική αθροιστική συχνότητα ή την τυπική απόκλιση.

ii. Να εμφανίσουν το ραβδόγραμμα ή το κυκλικό διάγραμμα της συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας, της αθροιστικής συχνότητας ή της σχετικής αθροιστικής συχνότητας.

(3) «Ομαδοποίηση», αφού πρώτα ορίσουν το πλήθος των ομάδων. Τότε στο λογισμικό «Στατιστική», στην πρώτη στήλη θα εμφανιστούν οι κλάσεις, στα αντίστοιχα κελιά της δεύτερης στήλη οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα κέντρα των κλάσεων και στα αντίστοιχα κελιά της τρίτης στήλης η συχνότητα εμφάνισης κάθε τιμής. Στη συνέχεια οι μαθητές μπορούν να επεξεργαστούν τα δεδομένα όπως και στην προηγούμενη περίπτωση ή να εμφανίσουν το ιστόγραμμα αυτών.


Σελίδα 53

Στις επόμενες σελίδες δίνονται σχετικά θέματα πλήρως αναλυμένα.


Σελίδα 54

2.11 Διανυσματική επεξεργασία δεδομένων

2.11.1 Τι είναι Η διανυσματική επεξεργασία δεδομένων αφορά τη μελέτη της κίνησης αντικειμένων. Όταν η κίνηση καθορίζεται από την κατεύθυνση και το μέγεθος της ταχύτητας, τότε η μελέτη της είναι στην ουσία μια επεξεργασία δεδομένων που αφορούν αυτά τα δύο χαρακτηριστικά. Το λογισμικό «Διανύσματα» επιτρέπει στο μαθητή να εργάζεται σε πέντε διαφορετικά περιβάλλοντα τα οποία προσομοιώνουν πέντε διαφορετικές πραγματικές ή μη καταστάσεις. Στα τέσσερα πρώτα μπορεί να ορίζει την κίνηση αεροπλάνων, πλοίων ή αυτοκινήτων και να αναπαριστά τις δυνάμεις που ορίζουν ή επιδρούν στην κίνηση με διανύσματα. Στο πέμπτο προσομοιώνεται το αφηρημένο γεωμετρικό επίπεδο στο οποίο ο μαθητής μπορεί να εφαρμόσει όλα τα συμπεράσματά του από τα άλλα σενάρια. Έτσι, μπορεί να επιλέγει ανάμεσα σε συγκεκριμένα περιβάλλοντα και να ορίζει διαδικασίες μεταξύ των αντικειμένων οι οποίες θα αναπαριστούν συγκεκριμένα γεγονότα. Σε αυτά ορίζει τα δύο χαρακτηριστικά των δυνάμεων σε ένα, δύο ή τρία αντικείμενα για συγκεκριμένο σκοπό και παρακολουθεί το αποτέλεσμα της κίνησης. Η επεξεργασία των δεδομένων που προέρχονται από τα περιβάλλοντα αυτά συνιστά αυτό που εδώ αποκαλούμε «διανυσματική επεξεργασία δεδομένων». Η δυνατότητα που έχει ο μαθητής να παρατηρεί τα αποτελέσματα που προκαλεί στην κίνηση των αντικειμένων, να καθορίζει τα διανυσματικά χαρακτηριστικά των αντικειμένων για ορισμένο σκοπό και να αναζητεί τον τρόπο με τον οποίο ορισμένα από αυτά μεταβάλλονται, προσδίδει στη διανυσματική επεξεργασία πειραματικά χαρακτηριστικά, ενώ του επιτρέπει να διασυνδέει τα διανυσματικά χαρακτηριστικά με έννοιες των μαθηματικών από άλλες γνωστικές περιοχές, όπως της γεωγραφίας, της φυσικής, των συναρτήσεων και της γεωμετρίας. Το κέρδος του μαθητή που θα εμπλακεί με τη διανυσματική επεξεργασία δεδομένων είναι η ανάπτυξη νοητικών εργαλείων προσδιορισμού και ελέγχου της κίνησης, καθώς και η νοητική διασύνδεση αυτών με μαθηματικές έννοιες από άλλες γνωστικές περιοχές.

2.11.2 Ενδεικτικά θέματα Εισαγωγή Οι δραστηριότητες που σχετίζονται με τα διανύσματα διακρίνονται σε δύο ομάδες. Στην πρώτη ομάδα οι μαθητές εμπλέκονται στη μελέτη των διανυσμάτων που παριστάνουν ένα φυσικό μέγεθος, όπως η ταχύτητα ή η δύναμη. Οι δραστηριότητες αυτές στοχεύουν στη μελέτη φαινομένων κίνησης, η οποία πραγματοποιείται σε ένα περιβάλλον προσομοίωσης, ώστε οι μαθητές να έχουν μία εποπτική αντίληψη της δράσης των διανυσμάτων και της συμπεριφοράς του αθροίσματός τους.


Σελίδα 55

Στη δεύτερη ομάδα περιλαμβάνονται δραστηριότητες με τις οποίες οι μαθητές συνδέουν διαφορετικές θεματικές περιοχές, όπως η περιοχή των διανυσμάτων με την ομοιότητα και τις συναρτήσεις.

1η Ομάδα:

• Δραστηριότητα 1 Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι ονομασίες και οι κατευθύνσεις διαφόρων ανέμων.

ΑΝΕΜΟΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Βόρειος

Νότιος

Δυτικός

Ανατολικός

Νοτιοανατολικός

Βορειοδυτικός

Βορειοανατολικός


Εδώ θα πρέπει να υποθέσετε ότι οι άνεμοι που έχουν σύνθετη ονομασία (βορειοανατολικός κ.τ.λ.) σχηματίζουν γωνία 45ο με την οριζόντια ευθεία. Το πρόβλημα Ένα αεροπλάνο ξεκινά από το αεροδρόμιο της Κέρκυρας (-350, 140) και κατευθύνεται προς το αεροδρόμιο των Αθηνών (-70, -10). Ο άνεμος έχει ένταση 70 μονάδες και είναι νότιος. Τα διανύσματα να θεωρήσετε ότι παριστάνουν δυνάμεις. Ερωτήσεις


Σελίδα 56

1) Πώς πρέπει να τοποθετηθεί το διάνυσμα του ανέμου (κόκκινο) πάνω στο αεροπλάνο και ποιες θα πρέπει να είναι οι μετρήσεις του;

2) Ποιο θα πρέπει να είναι το διάνυσμα της κινητήριας δύναμης του

αεροπλάνου (αυτό που καθορίζει ο πιλότος), ώστε το αεροπλάνο να κατευθυνθεί στο αεροδρόμιο των Αθηνών;


αεροπλάνου, ώστε να κατευθυνθεί τώρα στο Ηράκλειο της Κρήτης (0, -237);

Σχέδιο υλοποίησης

• Εμφάνιση ενός αντικειμένου με δύο διανύσματα – το κόκκινο αντιστοιχεί στον άνεμο.

• Τοποθέτηση του αεροπλάνου, με σύρσιμο, στη θέση που αντιστοιχεί στην Κέρκυρα. Το σημείο Ο καθορίζει τη θέση του αεροπλάνου.

• Καθορισμός της γωνίας και του μήκους του διανύσματος του ανέμου. • Πειράματα με τη γωνία και το μήκος του διανύσματος του αεροπλάνου

(μπλε), έως ότου εντοπιστεί το κατάλληλο με το οποίο το αεροπλάνο θα κατευθυνθεί προς την Αθήνα.

• Πειράματα για την κατασκευή του κατάλληλου διανύσματος που θα οδηγήσει το αεροπλάνο από την Αθήνα στο Ηράκλειο της Κρήτης.


Σελίδα 57

• Δραστηριότητα 2 Το πρόβλημα Ένα αεροπλάνο θέλει να κινηθεί με τελική ταχύτητα 100 μονάδες και με κατεύθυνση νοτιοανατολική. Ο άνεμος έχει κατεύθυνση νότια και ταχύτητα 60 μονάδες. Εδώ τα διανύσματα να θεωρήσετε ότι παριστάνουν ταχύτητες. Ερωτήσεις

1) Πώς πρέπει να τοποθετηθεί το διάνυσμα της ταχύτητας του ανέμου (κόκκινο) πάνω στο αεροπλάνο και ποιες θα είναι οι μετρήσεις του;

2) Πώς πρέπει να τοποθετηθεί το διάνυσμα της ταχύτητας του αεροπλάνου (αυτό που καθορίζει ο πιλότος), ώστε το αεροπλάνο να κινηθεί όπως καθορίζει το πρόβλημα;

3) Ποιες θα είναι οι μετρήσεις του διανύσματος της ταχύτητας του αεροπλάνου;

4) Πώς πρέπει να τοποθετηθεί το διάνυσμα της ταχύτητας του αεροπλάνου, ώστε η πορεία να γίνει κάθετη στην προηγούμενη;

Σχέδιο υλοποίησης.

• Εμφάνιση ενός αντικειμένου με δύο διανύσματα – το κόκκινο αντιστοιχεί στην ταχύτητα του ανέμου.

• Καθορισμός της θέσης της ταχύτητας του αεροπλάνου (μπλε). Η τοποθέτηση του αεροπλάνου δείχνει τη σωστή θέση της ταχύτητας αυτής.

• Υπολογισμός του μήκους του προηγούμενου διανύσματος με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος.

• Κίνηση του αεροπλάνου με ίχνος, για να επιβεβαιωθούν οι τοποθετήσεις. • Ακινητοποίηση του αεροπλάνου και αλλαγή κατεύθυνσης της ταχύτητάς

του.


Σελίδα 58

2η Ομάδα Όταν ένα σώμα δέχεται την επίδραση δύο δυνάμεων, τότε κινείται κατά τη διεύθυνση της συνισταμένης των δυνάμεων, δηλαδή του αθροίσματός τους.

Η κίνηση που θα κάνει το σώμα είναι ευθύγραμμη και αν μπορούσαμε να φωτογραφίσουμε στιγμιότυπα αυτής της κίνησης, τότε θα είχαμε εικόνες του σώματος πάνω σε μία ευθεία. Αυτά συμβαίνουν σε ένα πείραμα Φυσικής.

Αν μεταφέρουμε το πείραμα αυτό στα Μαθηματικά, τότε το σώμα θα πρέπει να θεωρείται ως ένα σημείο, οι δύο δυνάμεις ως δύο διανύσματα και ο χώρος που θα κινούνται θα είναι το καρτεσιανό επίπεδο.

Με τις δραστηριότητες του σεναρίου οι μαθητές θα διεξάγουν ένα «Μαθηματικό πείραμα», δηλαδή τον τρόπο κίνησης ενός σημείου, την καμπύλη που διαγράφει και την εξίσωσή της όταν στο σημείο εφαρμόζονται δύο διανύσματα.


Σελίδα 59

Ας έρθουμε τώρα στο καρτεσιανό επίπεδο. Ένα αντικείμενο που κινείται στο επίπεδο αυτό γράφει εν γένει μία καμπύλη.

Ένα αντικείμενο που κινείται με βάση το άθροισμα δύο διανυσμάτων γράφει μία ευθεία, εφόσον τα δύο διανύσματα διατηρούν τα τρία βασικά τους χαρακτηριστικά: διεύθυνση, μέτρο και φορά.

Αν τα δύο διανύσματα είναι παράλληλα προς τους άξονες και έχουν γνωστό μέτρο, τότε μπορούμε, σχετικά απλά, να κατασκευάσουμε τη συνάρτηση που αντιστοιχεί στην ευθεία που γράφει το άθροισμά τους.

Αν τώρα δύο διαφορετικά σημεία κινούνται υπό την επίδραση διαφορετικών ζευγών διανυσμάτων, τότε οι πορείες τους είναι παράλληλες, εφόσον τα μήκη των διανυσμάτων είναι ανάλογα, δηλαδή τα ορθογώνια τρίγωνα που δημιουργούνται είναι όμοια.


Σελίδα 60

• Στόχοι και χρόνος υλοποίησης του σεναρίου Ο γενικός στόχος των δραστηριοτήτων του σεναρίου είναι να συνδέσουν οι μαθητές θεματικές περιοχές των μαθηματικών, οι οποίες φαίνεται να είναι ασύνδετες μέσα στη σχολική πρακτική. Ειδικότερα, οι μαθητές θα συνδέσουν αφενός την έννοια του αθροίσματος δύο διανυσμάτων με την ευθύγραμμη κίνηση σημείου και αφετέρου τη γραμμική συνάρτηση με την ομοιότητα των τριγώνων. Ο χρόνος υλοποίησης εξαρτάται από την έκταση που θα δώσει ο διδάσκων στις δραστηριότητες.

• Το υπολογιστικό περιβάλλον Το περιβάλλον της δραστηριότητας συνδυάζει δύο εργαλεία διερεύνησης. Το ένα επιτρέπει τη μελέτη της κίνησης ενός αντικειμένου υπό την επίδραση δύο διανυσμάτων και το άλλο επιτρέπει τη συναρτησιακή διερεύνηση μέσω γραφικών παραστάσεων. Στην αρχή θα χρησιμοποιηθεί το περιβάλλον «Διανύσματα» και στη συνέχεια το «Γραφική επεξεργασία».

Εικόνα 17: Η σύνδεση με το γράφημα στέλνει τις συντεταγμένες της αρχής Ο στον πίνακα του γραφήματος, όπου αναπαρίστανται με σημεία στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να αναζητήσει τη συνάρτηση που διέρχεται από τα σημεία, πληκτρολογώντας την εξίσωσή της στο γράφημα, και να διαπιστώσει ότι αυτή διέρχεται από τα σημεία. Η συνάρτηση στο παράδειγμά μας ορίζεται από το πηλίκο τεταγμένη/τετμημένη του σημείου Ο η οποία διατηρείται σταθερή. Επομένως, η συνάρτηση αυτή περιγράφει την κίνηση του αντικειμένου.


Σελίδα 61

• Δραστηριότητα 1: Το πρόβλημα Θέλουμε να μελετήσουμε με ποιον τρόπο επιστρέφει ένα αντικείμενο στην αρχική του θέση, όταν έχει διανύσει ένα διάστημα υπό την επίδραση δύο διανυσμάτων. Ερωτήσεις

1) Ανοίξτε το περιβάλλον των διανυσμάτων (σενάριο 5) και εμφανίστε ένα «Αντικείμενο» με δύο διανύσματα. Δημιουργήστε το ίχνος του «Αντικειμένου» και θέστε το σε κίνηση. Τι παρατηρείτε;

2) Αν θέλουμε να επιστρέψει το αντικείμενο στην αρχική του θέση (πάνω στην ίδια διεύθυνση), τι αλλαγές θα πρέπει να κάνουμε στα δύο διανύσματα; Κάντε πειράματα και δικαιολογήστε τα αποτελέσματά τους.

3) Διατυπώστε έναν κανόνα με βάση τα προηγούμενα. Σχέδιο υλοποίησης

• Εμφάνιση ενός αντικειμένου με δύο διανύσματα. Μεταφορά του αντικειμένου σε περιοχή που να διαθέτει χώρο κίνησης. Εμφάνιση του ίχνους και κίνηση. Τα ίχνη βρίσκονται σε ευθεία διάταξη.

• Πειράματα με τα δύο διανύσματα, ώστε το αντικείμενο να πάρει θέση

επιστροφής. Αρχικά θα χρησιμοποιηθούν διανύσματα παράλληλα προς τους άξονες.

• Τα τελικά διανύσματα θα πρέπει να έχουν αντίθετη κατεύθυνση από τα αρχικά. Να γίνει διερεύνηση για τα μέτρα τους.


Σελίδα 62

• Δραστηριότητα 2: Το πρόβλημα Δύο αντικείμενα κινούνται υπό την επίδραση δύο δυνάμεων. Θέλουμε οι πορείες τους να είναι παράλληλες. Ποια σχέση θα πρέπει να έχουν τα διανύσματα που τα κινούν; Ερωτήσεις

1) Αρχίστε τα πειράματα με απλές περιπτώσεις, δηλαδή σύρετε τα δύο διανύσματα του ενός αντικειμένου, ώστε να έχουν ίσα μήκη και να είναι παράλληλα προς τους άξονες. Επαναλάβετε τη διαδικασία και με το δεύτερο αντικείμενο. Θέστε σε κίνηση τα διανύσματα. Τι παρατηρείτε;

2) Αλλάξτε τις τιμές των δύο διανυσμάτων του πρώτου αντικειμένου.

Τώρα πλέον τα μήκη τους δεν είναι ίσα. Κάντε πειράματα με τις τιμές των διανυσμάτων του δεύτερου αντικειμένου. Τι θα πρέπει να συμβαίνει, ώστε οι πορείες τους να είναι παράλληλες;

3) Διατυπώστε έναν κανόνα.

Σχέδιο υλοποίησης • Εμφάνιση δύο αντικειμένων με δύο διανύσματα το καθένα. Μεταφορά

των αντικειμένων σε περιοχή που να διαθέτει χώρο κίνησης. Τα δύο διανύσματα του ενός αντικειμένου να είναι ίσα μεταξύ τους και παράλληλα με τους άξονες.

• Πειράματα με τα διανύσματα του δεύτερου διανύσματος που είναι

επίσης παράλληλα με τους άξονες.

• Παρατήρηση ότι οι δύο πορείες είναι παράλληλες. Να γίνει προσπάθεια εξήγησης της παραλληλίας αυτής.

• Αλλαγή στα μήκη των διανυσμάτων του πρώτου αντικειμένου,

πειράματα με το δεύτερο αντικείμενο, σύγκριση ανάμεσα στα μήκη των διανυσμάτων των δύο αντικειμένων.

• Σύγκριση των λόγων των μηκών των διανυσμάτων και διατύπωση του

κανόνα.


Σελίδα 63

• Δραστηριότητα 3:

Το πρόβλημα Όταν σε ένα αντικείμενο εφαρμόζονται δύο δυνάμεις, τότε αυτό κινείται ευθύγραμμα στη διεύθυνση της συνισταμένης, δηλαδή του αθροίσματος των δύο διανυσμάτων. Θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία θα κινηθεί το αντικείμενο.

Ερωτήσεις 1) Εμφανίστε μόνο ένα αντικείμενο, τοποθετήστε το στην αρχή των

αξόνων και σύρετε τα δύο διανύσματα, ώστε να είναι παράλληλα προς τους άξονες και ίσα μεταξύ τους (σε μήκος). Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία ανήκουν τα ίχνη του;

2) Πώς μπορούμε να βρούμε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία

κινείται το αντικείμενο, όταν τα δύο διανύσματα δεν είναι ίσα (εξακολουθούν να είναι παράλληλα στους άξονες).

3) Τοποθετήστε το αντικείμενο σε κατάλληλη θέση και αλλάξτε τα μήκη

των δύο διανυσμάτων, ώστε τα ίχνη να ανήκουν τώρα στην ευθεία ψ=2χ+80.


Σελίδα 64

Σχέδιο υλοποίησης • Εμφάνιση ενός αντικειμένου με δύο διανύσματα. Σύρσιμο του

αντικειμένου στην αρχή των αξόνων, ώστε το σημείο Ο να έχει συντεταγμένες (0, 0).

• Η ευθεία θα πρέπει να είναι διαγώνιος τετραγώνου, δηλαδή σε κάθε σημείο της η τετμημένη θα είναι ίση με την τεταγμένη. Ποια είναι αυτή η ευθεία;

• Εντοπισμός της κλίσης της ευθείας από το λόγο των μηκών των δύο

διανυσμάτων. Η μορφή θα είναι ψ=α.χ.

• Το αντικείμενο σύρεται στο σημείο (0, 80). Η κλίση της ευθείας θα πρέπει να είναι ίση με 2.

• Δραστηριότητα 4 Το πρόβλημα Θέλουμε να μελετήσουμε την πορεία ενός αντικειμένου, το οποίο κινείται από ένα διάνυσμα, με ένα εργαλείο συναρτήσεων όπως είναι η «Γραφική επεξεργασία». Στην ουσία θέλουμε να επεκτείνουμε τη μελέτη του ίχνους ενός αντικειμένου που έχουμε πραγματοποιήσει σε προηγούμενες δραστηριότητες. Ερωτήσεις

1) Εμφανίστε ένα μόνο αντικείμενο με ένα μόνο διάνυσμα. Τοποθετήστε το σε ένα τυχαίο σημείο και προσθέστε κίνηση στο διάνυσμα και ίχνος. Πώς μπορούμε τώρα να βρούμε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία ανήκουν τα ίχνη;

2) Στείλτε τις συντεταγμένες του αντικειμένου στη «Γραφική

επεξεργασία» για αρκετές θέσεις του αντικειμένου, καθώς κινείται. Τι παρατηρείτε;

3) Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης η οποία να

περνά από όλα τα σημεία που έχουν δημιουργηθεί από την προηγούμενη ερώτηση.


Σελίδα 65

Σχέδιο υλοποίησης

• Τοποθέτηση του αντικειμένου σε τυχαία θέση και εμφάνιση ίχνους.

• Εμφάνιση των μετρήσεων. Προσπάθεια εντοπισμού της εξίσωσης της ευθείας από τις συντεταγμένες δύο θέσεων του Ο.

• Αποστολή των συντεταγμένων του σημείου Ο στο γράφημα.

• Κατασκευή ευθείας στο γράφημα, η οποία να περνά από όλα τα σημεία.

2.12. Παρουσιάσεις θεμάτων

2.12.1 Τι είναι Πρόκειται για λογισμικό συγγραφής και παρουσίασης θεμάτων, προβλημάτων, καταστάσεων και ερωτήσεων τα οποία μπορεί να δημιουργεί ο εκπαιδευτικός και να ενσωματώνει ως θέματα στο λογισμικό. Στη συνέχεια οι μαθητές μπορούν να εμπλέκονται με τα θέματα αυτά και να διαπραγματεύονται τις καταστάσεις που παρουσιάζονται, αξιοποιώντας το υποστηρικτικό υλικό και τις οδηγίες που ο εκπαιδευτικός έχει ενσωματώσει στο θέμα. Από αυτή την άποψη ο εκπαιδευτικός έχει τη δυνατότητα, εκτός από τα εργαλεία και τις πληροφορίες που περιέχονται στο λογισμικό, να αξιοποιήσει και πηγές πληροφόρησης που βρίσκονται εκτός αυτού, όπως εικόνες, αρχεία βίντεο και ήχου, καθώς και ιστοσελίδες στο διαδίκτυο.

2.12.2. Παραδείγματα Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται ενδεικτικά παραδείγματα παρουσίασης θεμάτων για διάφορες γνωστικές περιοχές. Εκεί, καθώς και στον οδηγό χρήσης, περιγράφονται με σαφήνεια τα εργαλεία και η παιδαγωγική διάσταση του λογισμικού.


Σελίδα 66


Σελίδα 67

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ


Σελίδα 68


Σελίδα 69

ΤΑΞΗ Α’


Σελίδα 70


Σελίδα 71

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Εξίσωση, άγνωστος, λύση

Το διπλάσιο ενός αριθμού είναι ίσο με τον αριθμό αυξημένο κατά 20. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; Το σκεπτικό της παρουσίασης: Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές εμπλέκονται σε διαδικασίες εξερεύνησης και διαπραγμάτευσης των εννοιών της εξίσωσης, του αγνώστου και της λύσης. Συγκεκριμένα:

Διατυπώνουν με μορφή αλγεβρικής ισότητας την κατάσταση που περιγράφεται στην εκφώνηση.

Συμβολίζουν με ένα γράμμα –το «α»– τον άγνωστο της εξίσωσης. Χρησιμοποιούν το λογισμικό «Επεξεργασία εξισώσεων – ανισώσεων» για να δίνουν τιμές στον άγνωστο και να κάνουν έτσι δοκιμές μέχρι να βρουν την κατάλληλη τιμή (λύση της εξίσωσης).

Εμπλέκονται σε μια διαδικασία πρόσθεσης και αφαίρεσης διαφόρων αριθμών, καθώς και του αγνώστου, στα δύο τάσια της εικονικής ζυγαριάς με σκοπό να μείνει στο ένα τάσι μόνο ο άγνωστος και στο άλλο ένας αριθμός (η λύση της εξίσωσης).

Εκφράζουν στην ομάδα τους και στην τάξη απαντήσεις σε συγκεκριμένα ερωτήματα που αφορούν την έννοια της εξίσωσης, την έννοια του αγνώστου και την έννοια της λύσης της εξίσωσης.

Επαναλαμβάνουν τη διαπραγμάτευση και για άλλες εξισώσεις. Εμπλέκονται στις ειδικές περιπτώσεις της αόριστης και της αδύνατης εξίσωσης.

Διδακτική διαχείριση της παρουσίασης: Στη διάρκεια της παρουσίασης των εννοιών «εξίσωση, άγνωστος, λύση» ο εκπαιδευτικός ενθαρρύνει τους μαθητές να συνεργάζονται με την ομάδα τους και να εκφράζουν τις αντιλήψεις τους ελεύθερα στην ομάδα και στην τάξη.

Ιδιαίτερη έμφαση θα πρέπει να δώσει στην ενθάρρυνση των μαθητών: Να διατυπώσουν σωστά την αλγεβρική έκφραση της εξίσωσης. Να κατανοήσουν τι ακριβώς γίνεται στα μέλη της εξίσωσης, όταν διαπραγματεύονται αριθμητικά τη λύση της.

Να εμπλακούν με την εφαρμογή των εννοιών, τις οποίες συζήτησαν, σε νέες εξισώσεις.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Ο πωλητής συμβολαίων Ο κύριος Νίκος εργάζεται σε μια ασφαλιστική εταιρεία ως πωλητής. Ο μισθός του είναι 1.250 ευρώ, ενώ για κάθε νέο συμβόλαιο που πουλά αμείβεται επιπλέον με 120 ευρώ. Ο κύριος Νίκος έχει τη συνήθεια να υποβάλει στον εαυτό του ερωτήματα σχετικά με τα χρήματα που πρόκειται να εισπράξει ή μπορεί να


Σελίδα 72

εισπράξει ως αμοιβή για ένα μήνα. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να απαντήσει στα παρακάτω ερωτήματα; Ερώτημα 1: Τον τρέχοντα μήνα ο κύριος Νίκος έχει πουλήσει 12 νέα συμβόλαια. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να υπολογίσει πόσα χρήματα θα εισπράξει στο τέλος του μήνα; Ερώτημα 2: Ο κύριος Νίκος θέλει να μάθει πόσες πωλήσεις πρέπει να κάνει τον επόμενο μήνα, ώστε να εισπράξει συνολικά γύρω στα 2.100 ευρώ; Ερώτημα 3: Ο κύριος Νίκος έχει τη συνήθεια να κάνει συχνά στον εαυτό του ερωτήσεις όπως οι παραπάνω. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να κάνει τους υπολογισμούς του με ευκολία; Για παράδειγμα:

o Πόσες πωλήσεις πρέπει να κάνει σε ένα μήνα, ώστε να εισπράξει συνολικά 2.570 ευρώ;

o Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός πωλήσεων που πρέπει να κάνει σε ένα μήνα, ώστε η συνολική του αμοιβή να ξεπεράσει τις 3.500 ευρώ;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια του αγνώστου και της εξίσωσης, τα οποία στη συνέχεια θα εκφράσουν με συμβολικό τρόπο. Ακόμα, η δραστηριότητα στοχεύει να εμπλέξει τους μαθητές σε διαδικασίες επίλυσης με δοκιμές, ώστε να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τον έλεγχο του αν κάποιος αριθμός αποτελεί ή όχι λύση της εξίσωσης.

Τα προτεινόμενα ερωτήματα με τη σειρά που δίνονται αποτελούν μια αλληλουχία δράσεων που οδηγούν το μαθητή από τη συνήθη λύση ενός προβλήματος στην αναζήτηση της κατάλληλης λύσης για τον άγνωστο (δηλαδή στη λύση της εξίσωσης), καθώς και στη χρήση της έννοιας της μεταβλητής γι’ αυτόν.

Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να περάσουν ευκολότερα από τη λύση ενός προβλήματος στη διατύπωση και λύση της σχετικής εξίσωσης. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό, όπου θα κάνουν δοκιμές και πειράματα προκειμένου να δώσουν απαντήσεις στα ερωτήματα. Πιθανές απαντήσεις: Στο πρώτο ερώτημα η απάντηση μπορεί να προέλθει με απλές πράξεις στο χαρτί με το μολύβι. Στο δεύτερο ερώτημα οι μαθητές θα πρέπει να κάνουν δοκιμές με τον αριθμό των πωλήσεων. Το λογισμικό της «Στατιστικής» μπορεί να τους διευκολύνει στις δοκιμές τους. Το γεγονός ότι με το λογισμικό αυτό αναγκάζονται να


Σελίδα 73

χρησιμοποιούν γράμματα χ και ψ για να εκφράσουν τη συγκεκριμένη σχέση αναμένεται να αποτελέσει ένα δεύτερο σκαλί στο πέρασμα των μαθητών από το απλό πρόβλημα στη χρήση της εξίσωσης. Στο τρίτο ερώτημα οι μαθητές αντιμετωπίζουν τη λύση μιας εξίσωσης και μιας ανίσωσης. Το λογισμικό βοηθά να γίνονται διαφορετικά και γρηγορότερα οι δοκιμές τους. Εδώ μπορεί να αναλυθεί στους μαθητές ότι δεν έχουν λύση όλες οι εξισώσεις που μπορούν να δημιουργηθούν με αλλαγή του αριθμού στο δεύτερο μέλος. Επίσης, ο μεταβολέας δεν μπορεί να κινείται προς αρνητικούς αριθμούς, ούτε το βήμα της μεταβολής μπορεί να είναι δεκαδικός αριθμός. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο πρόβλημα να θέσει και άλλα ερωτήματα, όπως:

• Από τις μηνιαίες αποδοχές του κύριου Νίκου η εταιρεία παρακρατά το 20% για φορολογία. Πόσες πωλήσεις πρέπει να κάνει, ώστε οι μηνιαίες αποδοχές του να είναι 2.152 ευρώ;

Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια προβλήματα. Μια καλή ιδέα είναι να χρησιμοποιήσει τα προβλήματα του σχολικού βιβλίου και να τα μετατρέψει σε προβλήματα εξισώσεων που μπορούν να απαντηθούν με τη λογική της δοκιμής και με τη χρήση των ίδιων λογισμικών.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Βρείτε τον αριθμό Μπορείτε να βρείτε ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 12 και αφού αφαιρέσουμε το 23 να βρούμε 1.523; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια του αγνώστου και της εξίσωσης, τα οποία στη συνέχεια θα εκφράσουν με συμβολικό τρόπο. Ακόμα, η δραστηριότητα στοχεύει να εμπλέξει τους μαθητές σε διαδικασίες επίλυσης με δοκιμές, ώστε να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τον έλεγχο των τιμών που μπορεί να πάρει ο άγνωστος. Τέλος, η «αλγεβρική επεξεργασία» και η διάσταση της ισορρόπησης της ζυγαριάς, ώστε έπειτα από κατάλληλους μετασχηματισμούς να μείνει στο ένα τάσι μόνο ο άγνωστος, βοηθά τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες πάνω στην αλγεβρική διαδικασία της επίλυσης.

Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να εκφράσουν ευκολότερα την εξίσωση και να κάνουν δοκιμές για την εύρεση του άγνωστου αριθμού. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό, προκειμένου να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης.


Σελίδα 74

Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν στο αριστερό μέλος της σχέσης τη σχέση 12*x+23 (πληκτρολογούν το γράμμα χ με το ίδιο πληκτρολόγιο και στο κουτάκι με το όνομα «Ορισμός του αγνώστου» και στο συντάκτη της εξίσωσης) και στο δεξί τον αριθμό 23. Επίσης, αναμένεται να ορίσουν στο αριστερό άκρο του μεταβολέα να βρίσκεται ο αριθμός 0. Στο δεξί μέλος μπορούν να επιλέγουν διάφορους αριθμούς. Τέλος ορίζουν το βήμα του μεταβολέα, ώστε να βρουν τη λύση. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια ερωτήματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε ποιον αριθμό πρέπει να διαιρέσουμε με το 25, ώστε, αν στο αποτέλεσμα προσθέσουμε τον αριθμό 20, να βρούμε 276;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3:Λύστε την εξίσωση Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης 112-χ=12; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια της λύσης της εξίσωσης. Ακόμα, στοχεύει στο να εμπλέξει τους μαθητές σε διαδικασίες επίλυσης με δοκιμές, ώστε να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τον έλεγχο των τιμών που μπορεί να πάρει ο άγνωστος. Η «αλγεβρική επεξεργασία» και η διάσταση της ισορρόπησης της ζυγαριάς, ώστε έπειτα από κατάλληλους μετασχηματισμούς να μείνει στο ένα τάσι μόνο ο άγνωστος, θα βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες πάνω στην αλγεβρική διαδικασία της επίλυσης. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν στο αριστερό μέλος της σχέσης τη σχέση 112-x (πληκτρολογούν το γράμμα χ με το ίδιο πληκτρολόγιο και στο κουτάκι με το όνομα «Ορισμός του αγνώστου» και στο συντάκτη της εξίσωσης) και στο δεξί τον αριθμό 12. Επίσης, αναμένεται να ορίσουν στο αριστερό άκρο του μεταβολέα να βρίσκεται ο αριθμός 0. Στο δεξί μέλος μπορούν να επιλέγουν διάφορους αριθμούς. Τέλος ορίζουν το βήμα του μεταβολέα, ώστε να βρουν τη λύση. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης 234+χ=2.312; • Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης 24/χ=1,2;


Σελίδα 75

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Η αόριστη εξίσωση 1 Ποια λύση έχει η εξίσωση 2+χ =χ+2; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια της εξίσωσης που έχει ως λύση όλους τους αριθμούς (αόριστη εξίσωση). Επίσης, η δραστηριότητα στοχεύει να εμπλέξει τους μαθητές στην αριθμητική επεξεργασία (με δοκιμές) της αντιμεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν στο αριστερό μέλος της σχέσης τη σχέση 2+x (πληκτρολογούν το γράμμα χ με το ίδιο πληκτρολόγιο και στο κουτάκι με το όνομα «Ορισμός του αγνώστου» και στο συντάκτη της εξίσωσης) και στο δεξί τον αριθμό x+2. Ακόμα, αναμένεται να ορίσουν στο αριστερό άκρο του μεταβολέα να βρίσκεται ο αριθμός 0. Στο δεξί μέλος μπορούν να επιλέγουν διάφορους αριθμούς. Τέλος ορίζουν το βήμα του μεταβολέα, ώστε να βρουν τη λύση. Θα διαπιστώσουν ότι κάθε αριθμός επαληθεύει την εξίσωση και θα αποδώσουν το φαινόμενο αυτό στην αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης 24+2*χ=2*χ+24; • Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης 48+χ/2=χ/2+48; • Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης χ+χ/2=χ/2+χ;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Η αόριστη εξίσωση 2 Ποια λύση έχει η εξίσωση 2χ=χ2; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια της εξίσωσης που έχει ως λύση όλους τους αριθμούς (αόριστη εξίσωση). Ακόμα, στοχεύει στο να εμπλέξει τους μαθητές στην αριθμητική επεξεργασία (με δοκιμές) της αντιμεταθετικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού.


Σελίδα 76

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν στο αριστερό μέλος της σχέσης τη σχέση 2*x (πληκτρολογούν το γράμμα χ με το ίδιο πληκτρολόγιο και στο κουτάκι με το όνομα «Ορισμός του αγνώστου» και στο συντάκτη της εξίσωσης) και στο δεξί τον αριθμό x*2. Ακόμα, αναμένεται να ορίσουν στο αριστερό άκρο του μεταβολέα να βρίσκεται ο αριθμός 0. Στο δεξί μέλος μπορούν να επιλέγουν διάφορους αριθμούς. Τέλος ορίζουν το βήμα του μεταβολέα, ώστε να βρουν τη λύση. Θα διαπιστώσουν ότι κάθε αριθμός επαληθεύει την εξίσωση και θα αποδώσουν το φαινόμενο αυτό στην αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης 12*χ=χ*12; • Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης χ*χ/2=χ/2*χ;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6: Η αόριστη εξίσωση 3 Ποια λύση έχει η εξίσωση 2(4+χ)=8+2χ; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια της εξίσωσης που έχει ως λύση όλους τους αριθμούς (αόριστη εξίσωση). Ακόμα, στοχεύει στο να εμπλέξει τους μαθητές στην αριθμητική επεξεργασία (με δοκιμές) της επιμεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν στο αριστερό μέλος της σχέσης τη σχέση 2*(4+x) (πληκτρολογούν το γράμμα χ με το ίδιο πληκτρολόγιο και στο κουτάκι με το όνομα «Ορισμός του αγνώστου» και στο συντάκτη της εξίσωσης) και στο δεξί τον αριθμό 8+2*x. Ακόμα, αναμένεται να ορίσουν στο αριστερό άκρο του μεταβολέα να βρίσκεται ο αριθμός 0. Στο δεξί μέλος μπορούν να επιλέγουν διάφορους αριθμούς. Τέλος ορίζουν το βήμα του μεταβολέα, ώστε να βρουν τη λύση. Θα διαπιστώσουν ότι κάθε αριθμός επαληθεύει την εξίσωση και


Σελίδα 77

θα αποδώσουν το φαινόμενο αυτό στην επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης 12*(3-χ)=36-12*12; • Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης (2+χ)*3=3*(2+χ);

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7: Αδύνατη εξίσωση Ποια λύση έχει η εξίσωση χ-(2-χ)=2χ; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια της αδύνατης εξίσωσης. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν στο αριστερό μέλος της σχέσης τη σχέση 2-(3-x) (πληκτρολογούν το γράμμα χ με το ίδιο πληκτρολόγιο και στο κουτάκι με το όνομα «Ορισμός του αγνώστου» και στο συντάκτη της εξίσωσης) και στο δεξί τον αριθμό 2*x. Ακόμα, αναμένεται να ορίσουν στο αριστερό άκρο του μεταβολέα να βρίσκεται ο αριθμός 0. Στο δεξί μέλος μπορούν να επιλέγουν διάφορους αριθμούς. Τέλος ορίζουν το βήμα του μεταβολέα, ώστε να βρουν τη λύση. Θα διαπιστώσουν ότι δεν υπάρχει αριθμός που να επαληθεύει την εξίσωση. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης χ+(3-χ)=χ; • Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης (2+χ)-1=χ+2;

ΠΟΣΟΣΤΑ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Μαθητές με αδέλφια


Σελίδα 78

Ο παρακάτω πίνακας δηλώνει το πλήθος των αδελφών που έχουν οι μαθητές ενός σχολείου. Αριθμός αδελφών 0 1 2 3 4 Πλήθος μαθητών 12 24 32 11 1

• Τι ποσοστό των μαθητών έχει δύο αδέλφια και πώς παριστάνεται αυτό με

κυκλικό διάγραμμα; • Τι ποσοστό των μαθητών έχει τρία αδέλφια και πώς παριστάνεται αυτό με

ραβδόγραμμα; • Πόσοι μαθητές πρέπει να προστεθούν σε εκείνους που έχουν δύο αδέλφια,

ώστε το ποσοστό τους να αυξηθεί κατά 1 μονάδα; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τον υπολογισμό μέρους δεδομένων ως ποσοστό του όλου και έκφρασης αυτού με τη βοήθεια ενός δεκαδικού αριθμού. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές και πειράματα και να απαντήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές θα κάνουν πειράματα με το πλήθος των μαθητών που έχουν δύο αδέλφια έως ότου το ποσοστό τους να αυξηθεί κατά 1 μονάδα. Έτσι αναμένεται να συμπεράνουν ότι πρέπει να αυξήσουν το πλήθος των μαθητών κατά 10. Ωστόσο θα πρέπει να επιβεβαιώσουν το αποτέλεσμά τους στο χαρτί με το μολύβι. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Ρωτήστε τους συμμαθητές σας πόσα αδέλφια έχουν και υπολογίστε το ποσοστό εκείνων που έχουν 0, 1, 2, 3 ή 4 αδέλφια.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Σύλλογος αποφοίτων Σε ένα σύλλογο αποφοίτων οι εγγεγραμμένοι έχουν τις εξής ηλικίες: 53, 38, 55, 42, 39, 44, 52, 53, 47, 39, 48, 31, 39, 43, 50, 44, 49, 41, 34, 42, 37, 39, 42, 44, 45, 39, 51, 50, 37, 41

• Τι ποσοστό αυτών έχει ηλικία μικρότερη των 45 ετών; • Τι ποσοστό αυτών έχει ηλικία μεγαλύτερη των 50 ετών;


Σελίδα 79

• Στο σύλλογο πρόκειται να εγγραφούν νέα μέλη ηλικίας 45 ετών. Πόσα μέλη πρέπει να εγγραφούν για να διπλασιαστεί το ποσοστό τους;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τον υπολογισμό μέρους δεδομένων ως ποσοστό του όλου και έκφρασης αυτού με τη βοήθεια ενός δεκαδικού αριθμού. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές και πειράματα και να απαντήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές θα κάνουν πειράματα με το πλήθος των μελών που έχουν ηλικία 45 ετών. Ωστόσο το αποτέλεσμά τους θα πρέπει να το επιβεβαιώσουν και με πράξεις στο χαρτί με το μολύβι. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Ένα κατάστημα θέλει στον παρακάτω τιμοκατάλογο προϊόντων να κάνει έκπτωση 12%.

Α Β Γ Δ Ε Ζ

23,4 18,4 33,4 21,5 19,0 28,2

Πώς θα διαμορφωθεί ο νέος κατάλογος;

ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Η έννοια του λόγου Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει μήκος 12 μονάδες. Πώς πρέπει να το χωρίσω, ώστε

το ένα μέρος του να είναι διπλάσιο του άλλου;

Το σκεπτικό της παρουσίασης: Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές εμπλέκονται σε διαδικασίες εξερεύνησης και διαπραγμάτευσης της έννοιας του λόγου. Συγκεκριμένα:

Σχεδιάζουν ένα ευθύγραμμο τμήμα και ορίζουν σε αυτό ένα σημείο που το χωρίζει σε δύο τμήματα με συγκεκριμένο λόγο.


Σελίδα 80

Χρησιμοποιούν τα εργαλεία του λογισμικό «Γεωμετρία» για να μετρήσουν τα δύο ευθύγραμμα τμήματα.

Μετακινούν το σημείο διαίρεσης, ώστε τα δύο ευθύγραμμα να εκπληρώνουν τη ζητούμενη σχέση.

Διδακτική διαχείριση της παρουσίασης: Στη διάρκεια της παρουσίασης ο εκπαιδευτικός ενθαρρύνει τους μαθητές να συνεργάζονται με την ομάδα τους και να εκφράζουν τις αντιλήψεις τους ελεύθερα στην ομάδα και στην τάξη. Ιδιαίτερη έμφαση πρέπει να δώσει στην ενθάρρυνση των μαθητών:

Να διατυπώσουν λεκτικά και μαθηματικά τη σχέση μεταξύ των δύο ευθύγραμμων τμημάτων.

Να κατανοήσουν την έννοια του λόγου και τον τρόπο εφαρμογής του στη διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων.

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Η έννοια της αναλογίας

Σχεδιάστε δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ με μήκη 9 και 18 μονάδες

αντίστοιχα. Στα ΑΒ σχεδιάστε ένα σημείο Μ και στο ΓΔ ένα σημείο Ν. Πώς

πρέπει να τοποθετήσετε τα σημεία Μ και Ν, ώστε οι λόγοι ΑΜ/ΑΒ και ΓΝ/ΓΔ να

είναι ίσοι;

Το σκεπτικό της παρουσίασης: Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές εμπλέκονται σε διαδικασίες εξερεύνησης και διαπραγμάτευσης της έννοιας της αναλογίας. Συγκεκριμένα:

Σχεδιάζουν δύο ευθύγραμμα τμήματα και ορίζουν σε αυτά δύο σημεία που τα χωρίζουν σε τμήματα με ίσους λόγους.

Χρησιμοποιούν τα εργαλεία του λογισμικό «Γεωμετρία» για να μετρήσουν τα δύο τμήματα σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα.

Μετακινούν το σημείο διαίρεσης, ώστε τα δύο ευθύγραμμα να εκπληρώνουν τη ζητούμενη ισότητα των δύο λόγων.


Να διατυπώσουν λεκτικά και μαθηματικά τη σχέση μεταξύ των δύο λόγων.

Να κατανοήσουν την έννοια της αναλογίας και τον τρόπο εφαρμογής της στη διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων.

ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Γραφική παράσταση αναλογίας


Σελίδα 81

Η συνταγή για την παρασκευή ενός γλυκού του κουταλιού έχει ως εξής:

Για 1 κιλό φρούτα χρειάζονται 1,5 κιλά ζάχαρη και 1 λίτρο νερό.

Πόση ζάχαρη χρειάζεται για την παρασκευή του ίδιου γλυκού, όταν έχουμε 2 ή 3

κιλά φρούτα; Πώς παριστάνονται γραφικά τα σημεία που δηλώνουν τα κιλά τα

φρούτα και τα κιλά τη ζάχαρη που χρησιμοποιούνται σε κάθε περίπτωση;

Το σκεπτικό της παρουσίασης: Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές εμπλέκονται σε διαδικασίες εξερεύνησης και διαπραγμάτευσης της σχέσης των σημείων που οι συντεταγμένες τους συνδέονται με μια σχέση αναλογίας. Συγκεκριμένα:

Υπολογίζουν την απαιτούμενη ποσότητα ζάχαρης στις περιπτώσεις του προβλήματος και πληκτρολογούν τα δεδομένα στον πίνακα τιμών του λογισμικού «Γραφική επεξεργασία».

Προσπαθούν με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης των σημείων να κάνουν προβλέψεις και για άλλες περιπτώσεις.

Χρησιμοποιούν το εργαλείο «Συντάκτης εξίσωσης» του λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» για να εισάγουν και άλλους αριθμούς στον πίνακα τιμών, αξιοποιώντας την έννοια της αναλογίας και του συντελεστή αναλογίας.


Να κάνουν προβλέψεις για νέες ποσότητες φρούτων και ζάχαρης και να τις ελέγχουν με τη βοήθεια της σχέσης αναλογίας και του γραφήματος αυτών.

Να κατανοήσουν το ρόλο της έννοιας της αναλογίας και του συντελεστή αναλογίας στον έλεγχο της πρόβλεψης νέων ποσοτήτων.

Να διατυπώσουν λεκτικά και μαθηματικά τη σχέση αναλογίας μεταξύ των δύο ποσοτήτων.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Σημεία στο επίπεδο Μπορείτε να εμφανίσετε στο επίπεδο τα σημεία Α(1,2), Β(2, 4), Γ(2,5); Μπορείτε να πληκτρολογήσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου Δ, ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ να είναι ίσα; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη χρήση των συντεταγμένων για την παράσταση (τοποθέτηση) σημείων στο επίπεδο. Ακόμα, στοχεύει στο να


Σελίδα 82

εμπλέξει τους μαθητές στην αριθμητική επεξεργασία (με συντεταγμένες) των ιδιοτήτων γεωμετρικών σχημάτων και εννοιών.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν τις συντεταγμένες (2,7) για να τοποθετήσουν το τέταρτο σημείο. Σε αυτή την απάντηση θα τους οδηγήσει η οπτική παρατήρηση των συντεταγμένων των δεδομένων σημείων και των παραστάσεών τους στο επίπεδο. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εμφανίσετε στο επίπεδο τα σημεία Α(1,2), Β(4,6), Γ(2,5); Μπορείτε να πληκτρολογήσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου Δ, ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ να είναι ίσα;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Το μέσο ευθυγράμμου τμήματος Μπορείτε να εμφανίσετε τα σημεία Α(1,2) και Β(3, 4) στο επίπεδο; Μπορείτε να πληκτρολογήσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου Δ, ώστε αυτό να είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη χρήση των συντεταγμένων για την παράσταση (τοποθέτηση) σημείων στο επίπεδο. Ακόμα, στοχεύει στο να


Σελίδα 83

εμπλέξει τους μαθητές στην αριθμητική επεξεργασία (με συντεταγμένες) των ιδιοτήτων του μέσου ευθυγράμμου τμήματος.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν τις συντεταγμένες (2,3) για να τοποθετήσουν το μέσο του τμήματος ΑΒ. Σε αυτή την απάντηση θα τους οδηγήσει η οπτική παρατήρηση των συντεταγμένων των δεδομένων σημείων και των παραστάσεών τους στο επίπεδο. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εμφανίσετε στο επίπεδο τα σημεία Α(1,2), Β(4,6), καθώς και το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Τα όρια του συστήματος συντεταγμένων Μπορείτε να ορίσετε το πάνω και το δεξιό όριο του γραφήματος, ώστε να μπορούν να εμφανιστούν τα σημεία Α(12,8) και Β(17,25); Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη χρήση των συντεταγμένων για την


Σελίδα 84

παράσταση (τοποθέτηση) σημείων στο επίπεδο. Ακόμα, στοχεύει στο να εμπλέξει τους μαθητές στον καθορισμό των ορίων του γραφήματος για την εμφάνιση των συγκεκριμένων σημείων.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν στο δεξιό όριο έναν αριθμό μεγαλύτερο από τη μεγαλύτερη τετμημένη και στο πάνω όριο έναν αριθμό μεγαλύτερο από τη μεγαλύτερη τεταγμένη. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να ορίσετε το πάνω και το δεξιό όριο του γραφήματος, ώστε να μπορούν να εμφανιστούν τα σημεία Α(45, 38) και Β(57,69);

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Σχεδίαση σχημάτων Μπορείτε να ορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων που απαιτούνται για να εμφανιστεί στο γράφημα το παρακάτω σχήμα;


Σελίδα 85

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη χρήση των συντεταγμένων για την παράσταση (τοποθέτηση) σημείων στο επίπεδο. Ακόμα, στοχεύει στο να εμπλέξει τους μαθητές στον καθορισμό της συγκεκριμένης σειράς πληκτρολόγησης των σημείων, ώστε να εμφανιστεί το ζητούμενο σχήμα. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης. Πιθανές απαντήσεις: Μία από τις λύσεις που αναμένεται να πληκτρολογήσουν είναι η εξής: (2,5), (2,10), (5,15), (8,10), (8, 5), (18, 5), (18,10), (2, 10), (5, 15), (15, 15), (18, 10), (18,5) και (2, 5). Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να ορίσετε το πάνω και το δεξιό όριο του γραφήματος, ώστε να μπορούν να εμφανιστούν τα σημεία Α(45, 38) και Β(57,69);


Σελίδα 86

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΧΕΣΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Σημεία με συντεταγμένες ανάλογες • Μπορείτε να ορίσετε τον άγνωστο χ, ώστε οι συντεταγμένες των σημείων

Α(1,2) και Β(2,χ) να είναι ανάλογες; • Μπορείτε να ορίσετε τις συντεταγμένες ενός ακόμα σημείου οι οποίες να

είναι ανάλογες προς τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β; • Ποια θέση έχουν τα τρία σημεία; • Ισχύει το συμπέρασμά σας γενικά;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια της αναλογίας και τη θέση των σημείων με συντεταγμένες ανάλογα ποσά στο επίπεδο. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τον προσδιορισμό των ζητούμενων σημείων. Πιθανές απαντήσεις:

Οι μαθητές θα υπολογίσουν τον άγνωστο χ, ώστε χ2

=21

. Το αποτέλεσμα που

θα προκύψει αναμένεται να είναι χ=4. Ένα ακόμα σημείο μπορεί να είναι το Γ(3,6). Τα τρία σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία. Οι μαθητές θα καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι τα σημεία με συντεταγμένες ανάλογες ανήκουν σε μια ευθεία. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να ορίσετε τον άγνωστο χ, ώστε οι συντεταγμένες των σημείων Α(2,7) και Β(5,χ) να είναι ανάλογες; Μπορείτε να ορίσετε τις συντεταγμένες ενός ακόμα σημείου οι οποίες να είναι ανάλογες προς τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Μεγέθυνση σχήματος Τα σημεία με συντεταγμένες (1,1), (1,3), (2,3) και (2,1) είναι κορυφές ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου. Μπορείτε να ορίσετε τις συντεταγμένες ενός νέου ορθογωνίου που να αποτελεί μεγέθυνση του πρώτου κατά 2 φορές;


Σελίδα 87

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια της αναλογίας και τη θέση των σημείων με συντεταγμένες ανάλογα ποσά στο επίπεδο. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τον προσδιορισμό των ζητούμενων σημείων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές μπορούν να επιλέξουν διάφορα ορθογώνια. Μία πιθανή λύση είναι το ορθογώνιο με συντεταγμένες (1,5), (3,5), (3,1) και (1,1). Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Τα σημεία με συντεταγμένες (1,3), (4,3), (4,1) και (1,1) είναι κορυφές ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου. Μπορείτε να ορίσετε τις συντεταγμένες ενός νέου ορθογωνίου που να αποτελεί μεγέθυνση του πρώτου κατά 3 φορές;

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Σημεία στον άξονα • Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου στο παρακάτω σχήμα; • Πώς πρέπει να μεταβάλλετε τις συντεταγμένες του, ώστε να μετακινηθεί

στον ίδιο άξονα 4 θέσεις αριστερά;


Σελίδα 88

• Πώς πρέπει να μεταβάλλετε τις συντεταγμένες του σημείου, ώστε στον ίδιο άξονα να μετακινηθεί από την τελευταία θέση 5 θέσεις δεξιά;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια των αρνητικών αριθμών και τη θέση τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τον προσδιορισμό της θέσης του ζητούμενου σημείου. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πειραματιστούν, κινώντας το σημείο με το ποντίκι τους στη νέα θέση και στο τέλος να πληκτρολογήσουν τον αριθμό 1 στη θέση της τετμημένης. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Τα σημεία με συντεταγμένες (1,3), (4,3), (4,1) και (1,1) είναι κορυφές ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου. Μπορείτε να ορίσετε τις συντεταγμένες ενός νέου ορθογωνίου που να αποτελεί μεγέθυνση του πρώτου κατά 3 φορές;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Η θέση του σημείου στον άξονα Δίνεται το σημείο Α(2,0). Μπορείτε να βρείτε τη θέση του σημείου Α, αφαιρώντας από την τετμημένη του τον αριθμό 5; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια των αρνητικών αριθμών και τη θέση τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Ωστόσο στοχεύει κυρίως στο να βοηθήσει τους μαθητές να δώσουν απάντηση στην πράξη 2-5, καθοδηγούμενοι από την οπτική αναπαράσταση της νέας θέσης του σημείου. Διδακτικές οδηγίες:


Σελίδα 89

Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τον προσδιορισμό της θέσης του ζητούμενου σημείου. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν τις συντεταγμένες του σημείου στον πίνακα τιμών του γραφήματος και να το εμφανίσουν στο γράφημα. Στη συνέχεια μπορούν να το μετακινήσουν στη νέα θέση και να βρουν την τετμημένη του. Αναμένεται να βρουν τη θέση (3,0). Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Μπορείτε να αφαιρέσετε από την τετμημένη του σημείου Α(3,0) τον αριθμό 10 και να βρείτε τη νέα θέση του;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Κίνηση στον άξονα Ένα κινητό κινείται στον άξονα χχ΄. Βρίσκεται στο σημείο Α(2,0) και κινείται ως εξής:

1) Μετακινείται προς τα αριστερά κατά 8 μονάδες. 2) Στη συνέχεια κινείται προς τα δεξιά και 7 μονάδες 3) Τέλος κινείται προς τα αριστερά κατά 3 μονάδες.

Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου στο οποίο θα βρεθεί σε κάθε μετακίνηση και να αναπαραστήσετε τα σημεία αυτά στο γράφημα; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια των αρνητικών αριθμών και τη θέση τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Ωστόσο στοχεύει κυρίως στο να βοηθήσει τους μαθητές να κάνουν αφαιρέσεις μεταξύ φυσικών αριθμών για να βρουν τη νέα θέση μετά τη μετακίνηση, καθοδηγούμενοι από την αναπαράσταση της μετακίνησης του σημείου που μπορούν να κάνουν με το χέρι. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τον προσδιορισμό της θέσης του ζητούμενου σημείου. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν τις συντεταγμένες του σημείου στον πίνακα τιμών του γραφήματος και να το εμφανίσουν στο γράφημα. Στη


Σελίδα 90

συνέχεια μπορούν να το μετακινήσουν στην επόμενη θέση και να βρουν την τετμημένη του. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Ένα κινητό κινείται στον άξονα χχ΄. Βρίσκεται στο σημείο Α(4,0) και κινείται ως εξής:

1) Μετακινείται προς τα αριστερά κατά 5μονάδες. 2) Στη συνέχεια κινείται προς τα δεξιά και 2 μονάδες 3) Τέλος κινείται προς τα αριστερά κατά 6 μονάδες.

Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου στο οποίο θα βρεθεί σε κάθε μετακίνηση και να αναπαραστήσετε τα σημεία αυτά στο γράφημα;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Κίνηση αντιθέτων Σχεδιάστε το σημείο Α(3,0) στο γράφημα. • Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου ως προς

κέντρο συμμετρίας το σημείο με συντεταγμένες (0,0); • Ποιο θα είναι το συμμετρικό του Α ως προς το σημείο (0,0), αν αυτό

μετακινηθεί στη θέση Α΄(4,0); • Μπορείτε να διατυπώσετε έναν κανόνα για τις συντεταγμένες του συμμετρικού

σημείου του σημείου Α του άξονα χχ΄ ως προς κέντρο συμμετρίας το σημείο (0,0);

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια των αντίθετων ρητών αριθμών και τη θέση τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Ωστόσο στοχεύει κυρίως στο να βοηθήσει τους μαθητές να καταλήξουν σε έναν κανόνα σχετικό με τη θέση των αντίθετων αριθμών στον άξονα. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τον προσδιορισμό της θέσης του ζητούμενου σημείου. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διατυπώσουν τον κανόνα ότι δύο αντίθετοι ρητοί αριθμοί ορίζουν στον άξονα σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:


Σελίδα 91

Σχεδιάστε το σημείο Α(3,4) στο γράφημα. • Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου ως προς

κέντρο συμμετρίας το σημείο με συντεταγμένες (3,0); • Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου ως προς

κέντρο συμμετρίας το σημείο με συντεταγμένες (0,4); • Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου ως προς

κέντρο συμμετρίας το σημείο με συντεταγμένες (0,0); • Μπορείτε να διατυπώσετε έναν κανόνα για τις συντεταγμένες του συμμετρικού

σημείου του σημείου Α ως προς κέντρο συμμετρίας το σημείο (0,0);

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Η μεταβολή της θερμοκρασίας Η μέση ημερήσια θερμοκρασία που καταγράφηκε σε έναν τόπο μερικές χειμωνιάτικες ημέρες έχει ως εξής:

1η ημέρα 2η ημέρα 3η ημέρα 4η ημέρα 5η ημέρα 6η ημέρα 7η ημέρα

2οC -1οC -2οC 3οC 5οC -2οC -4οC

Μπορείτε να παραστήσετε στο γράφημα και να περιγράψετε τον τρόπο μεταβολής των θερμοκρασιών; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τους αρνητικούς αριθμούς και τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν διάφορες μεταβολές. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τον προσδιορισμό της θέσης του ζητούμενου σημείου. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν και να εκφράσουν λεκτικά, εμπλέκοντας και όρους των μαθηματικών, την εξέλιξη της θερμοκρασίας. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Το ημερήσιο κέρδος ή ζημία μιας επιχείρησης για μια εβδομάδα έχει ως εξής:

1η ημέρα 2η ημέρα 3η ημέρα 4η ημέρα 5η ημέρα 6η ημέρα

120 ευρώ -300 ευρώ 240 ευρώ -80 ευρώ 180 ευρώ -180 ευρώ


Σελίδα 92

Μπορείτε να παραστήσετε στο γράφημα και να περιγράψετε τον τρόπο μεταβολής του κέρδους; ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Συμμετρία ως προς άξονα

Η έννοια της αξονικής συμμετρίας προκύπτει μέσα από την παρατήρηση απλών διαδικασιών, όπως του συμμετρικού σημείου που ανήκει σε ένα ευθύγραμμο τμήμα. Η παρατήρηση του σχήματος που παράγει το ίχνος του συμμετρικού σημείου, καθώς το αρχικό σημείο κινείται σε ένα ορισμένο σχήμα, δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κατανοήσουν τη συμμετρία ως μια αντιστοιχία μεταξύ σημείων και μάλιστα εξαιτίας αυτής της ιδιότητας να παράγεται ένα ακριβώς ίδιο (ίσο) με το αρχικό σχήμα. Κατασκευές

• Κατασκευάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ και πάρτε ένα σημείο Μ πάνω σε αυτό.

• Κατασκευάστε μια ευθεία (ε). • Κατασκευάστε το συμμετρικό Μ΄ του σημείου Μ ως προς την ευθεία. • Επιλέξτε το ίχνος των σημείων να είναι ενεργοποιημένο.

Ερωτήσεις: • Μετακινήστε το σημείο Μ πάνω στο ΒΓ και εξετάστε το σχήμα του ίχνους

του σημείου Μ΄ . • Μετακινήστε τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ σε άλλη θέση και

εξετάστε τις αλλαγές στο σχήμα του ίχνους του σημείου Μ΄. • Επαναλάβετε την κατασκευή, ώστε το άκρο Β να βρίσκεται πάνω στην

ευθεία (ε). Ποιο είναι τώρα το συμμετρικό σχήμα του Μ΄; • Επαναλάβετε την κατασκευή, ώστε το άκρο Β να βρίσκεται στη μία πλευρά

της ευθείας (ε) (στο ένα ημιεπίπεδο) και το Γ στο άλλο. Ποιο είναι τώρα το συμμετρικό σχήμα του Μ΄;

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Συμμετρία ως προς κάθετο άξονα

Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές μελετούν το συμμετρικό σχήμα ευθείας κάθετης στον άξονα συμμετρίας. Κατασκευές:

• Κατασκευάστε μια ευθεία (ε). • Κατασκευάστε ένα σημείο Α και μια ευθεία από το Α κάθετη στην ευθεία

(ε). • Κατασκευάστε ένα σημείο Μ στην κάθετην ευθεία και το συμμετρικό Μ΄

του σημείου Μ ως προς την ευθεία (ε).


Σελίδα 93

Ερωτήσεις: • Μετακινήστε το σημείο Μ πάνω στην κάθετη από το Α ευθεία και

εξετάστε τη μετακίνηση του σημείου Μ΄ . • Μετακινήστε την ευθεία (ε) σε νέα θέση και επαναλάβετε τη διαδικασία .

Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγετε; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Άξονας συμμετρίας

Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές μελετούν την έννοια του άξονα συμμετρίας σχήματος και συγκεκριμένα το συμμετρικό κύκλου ως άξονα συμμετρίας ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του. Κατασκευές:

• Κατασκευάστε μια ευθεία (ε). • Κατασκευάστε έναν κύκλο με κέντρο σημείο Α που να ανήκει στην ευθεία

(ε) (πρώτα σχεδιάστε τον κύκλο και μετά τοποθετήστε το κέντρο του πάνω στην ευθεία).

• Κατασκευάστε ευάσετε ένα σημείο Μ στον κύκλο και στη συνέχεια το συμμετρικό Μ΄ του σημείου Μ ως προς την ευθεία (ε).

Ερωτήσεις: • Μετακινήστε το σημείο Μ πάνω στον κύκλο και εξετάστε τη μετακίνηση

του σημείου Μ΄. • Επιλέξτε το ίχνος να είναι ενεργό και επαναλάβετε τη διαδικασία. Σε ποιο

συμπέρασμα καταλήγετε σχετικά με το συμμετρικό σχήμα του κύκλου; Διδακτική πρόταση Τα παραπάνω τρία φύλλα εργασίας είναι ενδεικτικά υπό την έννοια της δυνατότητας επιλογής από το διδάσκοντα μιας διαφορετικής προσέγγισης για τη διδασκαλία της έννοιας της συμμετρίας ως προς άξονα, όπου κάτω από τις κατασκευές και το σύρσιμο κυριαρχεί η έννοια του μετασχηματισμού (αξονικής συμμετρίας) σημείων ως προς άξονα μια ευθεία. Αυτό εξασφαλίζεται από τις εξής δυνατότητες και λειτουργικότητες του λογισμικού:

• Οι μαθητές μπορούν να σχεδιάσουν το συμμετρικό σημείου και όχι σχήματος.

• Οι μαθητές μπορούν να κινούν το αρχικό σημείο και στη συνέχεια να παράγουν το συμμετρικό του. Έτσι, αν το αρχικό σημείο κινείται σε ευθεία, ευθύγραμμο τμήμα ή κύκλο, το συμμετρικό του θα παράγεται από τις διαφορετικές θέσεις του συμμετρικού σημείου.

• Οι μαθητές μπορούν να μετρούν τις αποστάσεις των συμμετρικών σημείων από τον άξονα και να εξάγουν συμπεράσματα σχετικά με τις ιδιότητες των συμμετρικών σημείων.


Σελίδα 94

Εικόνα 18: Στο παραπάνω σχήμα σχεδιάστηκαν τρία ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ, ώστε να σχηματίζουν το τρίγωνο ΑΒΓ. Για την εύρεση του συμμετρικού σχεδιάστηκαν τρία σημεία στις τρεις πλευρές του και βρέθηκαν τα συμμετρικά τους ως προς τον άξονα. Με το ίχνος ενεργό οι μαθητές σχηματίζουν το συμμετρικό κάθε πλευράς και στη συνέχεια σχεδιάζουν τις πλευρές του συμμετρικού σημείου.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Το ισοσκελές τρίγωνο και η μεσοκάθετος Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει ιδιότητες οι οποίες προκύπτουν από τη βασική ιδιότητα της μεσοκαθέτου να αποτελεί το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα ενός τμήματος. Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα μελετήσουν τις ιδιότητες της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος, αλλά και τις ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου. Στόχος είναι να εντοπίσουν οι μαθητές τις σχέσεις μεταξύ των στοιχείων ενός ισοσκελούς τριγώνου μέσα από τη δυνατότητα που τους παρέχει το λογισμικό να μετρούν τμήματα και γωνίες.

Κατασκευές

• Κκατασκευάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ και στη συνέχεια το μέσον του Ο. Πάρτε ένα σημείο Μ πάνω σε αυτό.

• Φέρτε μία κάθετο από το Μ πάνω στο ΒΓ. • Πάρτε ένα σημείο Α πάνω στην κάθετο και κατασκευάστε τα τμήματα ΑΒ

και ΑΓ. • Μετρήστε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, τις πλευρές του και τα τμήματα

ΜΒ και ΜΓ.


Σελίδα 95

Ερωτήσεις 1) Μετακινήστε το σημείο Μ πάνω στο ΒΓ και εξετάστε σε ποια θέση ισχύει

ΑΒ=ΑΓ. 2) Πότε το τμήμα ΑΒ είναι μεγαλύτερο του ΑΓ; Τι ισχύει για τις γωνίες του

τριγώνου σε αυτή την περίπτωση; 3) Όταν ΑΒ=ΑΓ, ποιες άλλες μετρήσεις είναι ίσες; Διατυπώστε έναν κανόνα

για το ισοσκελές τρίγωνο. 4) Όταν το Μ βρίσκεται στο μέσον του ΒΓ, σύρτε το σημείο Α πάνω στην

κάθετη. Τι παρατηρείτε; Διατυπώστε έναν κανόνα για τη μεσοκάθετη ενός τμήματος.

Διδακτική πρόταση Το παραπάνω φύλλο εργασίας είναι ενδεικτικό υπό την έννοια της δυνατότητας επιλογής από το διδάσκοντα μιας διαφορετικής προσέγγισης, π.χ την κατασκευή του μέσου Ο του τμήματος ΒΓ και την κατασκευή της καθέτου που περνά από το μέσον αυτό. Σε αυτή την περίπτωση μειώνονται οι δυνατότητες διερεύνησης από το μαθητή.

• Οι μαθητές κινούν το σημείο Μ πάνω στο τμήμα και παρατηρούν ότι καθώς αυτό πλησιάζει προς το μέσον του, τα μήκη των τμημάτων ΑΒ και ΑΓ τείνουν να γίνουν ίσα. Στο σημείο αυτό θα ήταν χρήσιμο ο διδάσκων να διαπραγματευτεί το μεγαλύτερο από τα δύο τμήματα με στόχο να προκύψει το συμπέρασμα ότι όσο απομακρύνεται η κάθετος από το άκρο, τόσο μεγαλύτερο γίνεται το αντίστοιχο τμήμα.

• Στην τρίτη ερώτηση θα γίνει μία συνολική εκτίμηση των ίσων μεγεθών,

όταν η κάθετος περνά από το μέσον του τμήματος. Στην ουσία θα καταγραφούν οι βασικές ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου.

• Στην τέταρτη ερώτηση οι μαθητές θα διαπιστώσουν ότι ενώ

μεταβάλλονται τα μήκη των ΑΒ και ΑΓ, δεν η μεταξύ τους σχέση παραμένει ίδια. Εδώ ο διδάσκων θα ζητήσει από τους μαθητές να διατυπώσουν μία πρόταση για τα σημεία που ανήκουν στη μεσοκάθετο.


Σελίδα 96

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Η ελάχιστη διαδρομή

Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα μελετήσουν την ελάχιστη διαδρομή για να μεταβούν από ένα σημείο Α σε ένα Β. Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να διερευνήσουν τη σχέση ανάμεσα σε περιμέτρους πολυγώνων που έχουν κοινή βάση και να εφαρμόσουν τις γνώσεις που αφορούν στο άθροισμα τμημάτων. Επιπλέον θα μελετήσουν και περιπτώσεις στις οποίες τα πολύγωνα δεν είναι κυρτά και θα διακρίνουν τις διαδρομές σε κυρτές και μη.

Κατασκευές

• Κατασκευάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και διαδοχικά με αυτό άλλα πέντε τμήματα (μπλε) τα οποία θα αρχίζουν από το σημείο Α και θα καταλήγουν στο σημείο Β.

• Κατασκευάστε πάλι με αφετηρία το σημείο Α τέσσερα τμήματα (κόκκινα) τα οποία θα καταλήγουν στο Β, ενώ θα βρίσκονται έξω από το πολύγωνο που σχημάτισαν τα προηγούμενα πέντε.

• Μετρήστε όλα τα τμήματα που υπάρχουν στο σχήμα.

Ερωτήσεις

1) Μεταφέρετε τις μετρήσεις στον πίνακα της «Στατιστικής». Τοποθετήστε τις μετρήσεις των τμημάτων του ενός πολυγώνου σε μία στήλη και του άλλου σε μία δεύτερη. Προσθέστε τις μετρήσεις και ερευνήστε αν είναι δυνατόν η περίμετρος του πρώτου πολυγώνου να γίνει ίση με την περίμετρο του άλλου.

2) Σύρετε τις κορυφές του εσωτερικού πολυγώνου, ώστε να δημιουργηθεί το παρακάτω σχήμα.

Ισχύουν τώρα τα συμπεράσματά σας από την προηγούμενη ερώτηση;

3) Πειραματιστείτε με περισσότερα τμήματα για το εσωτερικό και το εξωτερικό πολύγωνο. Συγκρίνετε τα συμπεράσματά σας με τα προηγούμενα.


Σελίδα 97

4) Βγάλτε ένα γενικό συμπέρασμα που να συμπεριλαμβάνει όλα τα προηγούμενα.

Διδακτική πρόταση

• Αναμένεται οι μαθητές να επιλέξουν την κατασκευή κυρτών σχημάτων, ενώ ο διδάσκων θα κάνει και μια αναφορά για τα κυρτά και μη κυρτά πολύγωνα.

• Οι μαθητές θα αλλάξουν αρκετές φορές τη θέση των τμημάτων του

αρχικού πολυγώνου και θα επαναλάβουν τις μετρήσεις. Κάθε φορά θα αποστέλλουν τις μετρήσεις στον πίνακα της «Στατιστικής» και θα εκτελούν τις προσθέσεις. Αναμένεται να καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι σε κάθε περίπτωση το εσωτερικό πολύγωνο έχει μικρότερη περίμετρο από το εξωτερικό.

• Στη δεύτερη ερώτηση οι μαθητές θα κατασκευάσουν ένα μη κυρτό

πολύγωνο, θα αποστείλουν τις μετρήσεις στον πίνακα και θα προσθέσουν τα μήκη. Θα παρατηρήσουν ότι τώρα πλέον το μπλε πολύγωνο μπορεί να έχει περίμετρο μεγαλύτερη από το κόκκινο.

• Στη συνέχεια οι μαθητές θα διερευνήσουν περιπτώσεις στις οποίες το

μπλε έχει ίση περίμετρο με το κόκκινο και θα διαπιστώσουν ότι πρέπει ή τα πολύγωνα να συμπίπτουν ή το μπλε να είναι μη κυρτό.

• Εδώ είναι ευκαιρία ο διδάσκων να επισημάνει ότι το ευθύγραμμο τμήμα

είναι εσωτερικό όλων των άλλων και επομένως «η ευθεία είναι η συντομότερη οδός». Επιπλέον έχει την ευκαιρία να συζητήσει με τους μαθητές την περίπτωση της τριγωνικής ανισότητας η οποία αποτελεί ειδική περίπτωση των συμπερασμάτων που έχουν προκύψει.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6: Παραλληλόγραμμα και τραπέζια Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα μελετήσουν την κατασκευή, τα βασικά στοιχεία και τις ιδιότητες χαρακτηριστικών τετραπλεύρων (ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο, τραπέζιο κ.λπ.). Στόχος είναι οι μαθητές να επινοήσουν, με τα εργαλεία που έχουν στη διάθεσή τους, διάφορους τρόπους κατασκευής των ειδικών τετραπλεύρων. Επιπλέον, μέσω των μετρήσεων που επιτρέπει το λογισμικό, θα επιβεβαιώσουν κατά κάποιον τρόπο τις εικασίες τους για τυχόν ιδιότητες που φαίνεται να ισχύουν στα παραπάνω τετράπλευρα. Κατασκευές

• Κατασκευάστε μία ευθεία, δύο ελεύθερα σημεία Α, Δ πάνω σε αυτή και ένα σημείο Β εκτός της ευθείας.

• Φέρτε παράλληλη από το Β προς την ευθεία.


Σελίδα 98

Στόχος μας είναι να δημιουργήσουμε το παρακάτω σχήμα.

Ερωτήσεις

1) Πώς μπορούμε, με τη βοήθεια του λογισμικού, να κατασκευάσουμε ένα παραλληλόγραμμο με κορυφές τα σημεία Α, Β, Δ;

2) Φέρτε τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου ΒΔ και κατασκευάστε το μέσον της. Φέρτε και την άλλη διαγώνιο και σύρετε την κορυφή Α. Τι παρατηρείτε;

3) Μετρήστε τις πλευρές και τις γωνίες του παραλληλογράμμου και σύρετε το σημείο Α ή τις κορυφές Β και Δ. Τι παρατηρείτε;

4) Σύρετε το Α, ώστε το παραλληλόγραμμο να γίνει ορθογώνιο. Ποια σχέση έχουν οι διαγώνιες;

5) Σύρετε το Α, έως ότου το παραλληλόγραμμο γίνει ρόμβος. Ποια σχέση έχουν οι διαγώνιές του;

6) Διαγράψτε τα γεωμετρικά αντικείμενα εκτός από τις δύο αρχικές ημιευθείες. Πώς μπορεί να κατασκευαστεί ένα τραπέζιο; Σε τι θα διαφέρει η κατασκευή του τραπεζίου από την κατασκευή του παραλληλογράμμου;

Διδακτική πρόταση • Καταρχήν η επιλογή των ημιευθειών έχει στόχο τη στιβαρότητα της

κατασκευής. Οι μαθητές θα πρέπει να διαπραγματευτούν τον ορισμό του παραλληλογράμμου και με βάση αυτό να επιλέξουν την κατασκευή παραλλήλων από τα σημεία Β και Δ προς τις απέναντι ημιευθείες. Στη συνέχεια θα πρέπει να οριστεί το σημείο τομής των δύο αυτών ευθειών που θα αποτελέσει την τέταρτη κορυφή. Στην ουσία η όλη κατασκευή αποτελεί υλοποίηση του ορισμού του παραλληλογράμμου. Η απόκρυψη των ημιευθειών και των παραλλήλων θα οδηγήσει στην εμφάνιση των κορυφών, οπότε οι μαθητές κατασκευάζουν τις πλευρές του παραλληλογράμμου.


Σελίδα 99

• Στις επόμενες ερωτήσεις οι μαθητές αναμένεται να εντοπίσουν βασικές ιδιότητες των παραλληλογράμμων με τη βοήθεια των μετρήσεων. Κάθε φορά που εντοπίζουν μία ιδιότητα ο διδάσκων ζητά να διατυπώσουν την ιδιότητα αυτή με αυστηρά μαθηματική ορολογία.

• Όταν το παραλληλόγραμμο αποκτήσει ίσες πλευρές, τότε οι μαθητές θα

παρατηρήσουν ότι οι διαγώνιες είναι κάθετες μεταξύ τους. Αυτό μπορούν να το διαπιστώσουν αν ο διδάσκων ζητήσει να φέρουν την κάθετη στο μέσον της μίας διαγωνίου.

• Σε ό,τι αφορά την κατασκευή του τραπεζίου, οι μαθητές θα πρέπει να

συμπεράνουν ότι εδώ πλέον είναι απαραίτητη μία μόνο παράλληλη και ένα ελεύθερο σημείο πάνω σε αυτή.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7: Οι γωνίες του τριγώνου Βασική ιδέα Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου διδακτικά μπορεί να αποτελέσει τον πυρήνα αρκετών δραστηριοτήτων για τους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου. Συγκεκριμένα, ξεκινώντας από την παρατήρηση των μετρήσεων, οι μαθητές περνούν στην απόδειξη, συνεχίζουν με την εφαρμογή και καταλήγουν στην επέκταση της πρότασης για ένα τετράπλευρο. Α) Ερευνώ και ανακαλύπτω Ανοίξτε το λογισμικό της «Γεωμετρίας» και πραγματοποιήστε τις παρακάτω κατασκευές:

1) Κατασκευάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, χρησιμοποιώντας τρία ευθύγραμμα τμήματα. Στη συνέχεια μετρήστε και τις τρεις γωνίες του.

2) Μεταφέρετε τις μετρήσεις στον πίνακα της «Στατιστικής». Δημιουργήστε το άθροισμα των τριών γωνιών και εμφανίστε το αποτέλεσμα στο τέταρτο κελί της αντίστοιχης γραμμής.

3) Σύρετε την κορυφή Α και επαναλάβετε, για τις νέες τιμές των γωνιών, την προηγούμενη διαδικασία. Τι παρατηρείτε;

4) Επαναλάβετε την προηγούμενη διαδικασία αρκετές φορές. Διατυπώστε έναν κανόνα που φαίνεται να ισχύει για τις γωνίες ενός τριγώνου.

Β) Δικαιολογώ και αποδεικνύω Έχετε ήδη ανακαλύψει μία σχέση μεταξύ των γωνιών ενός τριγώνου. Εδώ όμως θα πρέπει να αναγνωρίσετε ότι για τη σχέση αυτή έχετε μόνο ενδείξεις που προέρχονται από την ικανότητα του λογισμικού να μετρά. Στη συνέχεια θα πρέπει να δικαιολογήσετε μόνο με μαθηματικούς συλλογισμούς γιατί ισχύει αυτή η σχέση, δηλαδή να κάνετε μία απόδειξη. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα:


Σελίδα 100

1) Κατασκευάσετε μία παράλληλη από την κορυφή Α προς τη βάση ΒΓ. Δημιουργήστε τα σημεία Δ και Ε πάνω στην παράλληλη, ώστε η κορυφή Α να βρίσκεται ανάμεσά τους.

2) Μετρήστε τις γωνίες ΔΑΒ και ΕΑΓ και συγκρίνετέ τες με τις γωνίες του

τριγώνου. Τι παρατηρείτε; 3) Σύρετε την κορυφή Α. Τι αλλάζει και ποιες σχέσεις μένουν ίδιες;

Μπορείτε να δικαιολογήσετε γιατί ορισμένες γωνίες εμφανίζουν την ίδια τιμή;

4) Με τι ισούται το άθροισμα των γωνιών ΔΑΒ+Α+ΕΑΓ; Εξηγήστε γιατί το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ έχει άθροισμα 180ο.


Η πρόταση που έχετε ήδη ανακαλύψει και αποδείξει θα εφαρμοστεί τώρα για την αιτιολόγηση άλλων προτάσεων που θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν εφαρμογές, συνέπειες ή πορίσματα, όπως πολλές φορές αποκαλούνται, της αρχικής πρότασης: 1) Κατασκευάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Κατασκευάστε μία ημιευθεία με αρχή το Β και δεύτερο σημείο το Γ. 2) Κατασκευάστε ένα σημείο Δ πάνω στην ημιευθεία και μετρήστε τη γωνία ΑΓΔ (η γωνία αυτή λέγεται εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΓ). Στη συνέχεια μετρήστε τις γωνίες Β και Α του τριγώνου. Ποια σχέση έχουν οι μετρήσεις των δύο αυτών γωνιών με τη γωνία ΑΓΔ; 3) Σύρετε την κορυφή Α. Ποια μεγέθη αλλάζουν και ποια σχέση παραμένει ίδια; Δικαιολογήστε τη σχέση αυτή με βάση την πρόταση που έχετε ήδη ανακαλύψη και αποδείξει. 4) Διατυπώστε έναν κανόνα για την εξωτερική γωνία ενός τριγώνου. Δ) Επεκτείνω Εξετάστε το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου και ενός πενταγώνου με τη χρήση του πίνακα της «Στατιστικής».


Σελίδα 101

Διδακτική πρόταση Τα φύλλα εργασίας είναι οργανωμένα σε δύο ομάδες δραστηριοτήτων. Στην πρώτη ομάδα περιλαμβάνεται η ανακάλυψη και η δικαιολόγηση της πρότασης που αφορά στο άθροισμα των γωνιών του τριγώνου. Στη δεύτερη ομάδα περιλαμβάνεται η εφαρμογή και η επέκτασή της.

• Αρχικά ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να μετρήσουν τις γωνίες του τριγώνου και να σύρουν την κορυφή Α προς την πλευρά ΒΓ. Θα παρατηρήσουν ότι το μέτρο της γωνίας της κορυφής Α πλησιάζει τις 180ο.

Με τον τρόπο αυτό οι μαθητές θα κάνουν μια πρώτη εικασία για το ενδεχόμενο άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.

• Στη συνέχεια οι μαθητές αποστέλλουν τις μετρήσεις τους στον πίνακα

της «Στατιστικής» και τις προσθέτουν. Αυτό θα επαναληφθεί αρκετές φορές, ώστε να δημιουργηθεί η εικόνα του σταθερού αθροίσματος.

• Ακολούθως οι μαθητές θα κάνουν απόδειξη της πρότασης, φέρνοντας παράλληλη από την κορυφή Α προς τη ΒΓ. Οι μετρήσεις και η ισότητα των γωνιών μεταξύ των παραλλήλων θα οδηγήσει σε διαπραγμάτευση μεταξύ του διδάσκοντα και των μαθητών, ώστε να αναδειχτεί η βασική ιδέα της απόδειξης που είναι η μεταφορά γωνιών από τη βάση προς την κορυφή.

• Εδώ θα ήταν χρήσιμο οι μαθητές να μεταφέρουν το σχήμα της οθόνης

στο τετράδιό τους και να περιγράψουν τα βήματα της απόδειξης.

• Η δραστηριότητα της εφαρμογής στοχεύει στο να διαπιστώσουν οι μαθητές ότι μία εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών και να το δικαιολογήσουν.

• Στη δραστηριότητα αυτή θα ήταν χρήσιμο οι μαθητές να στείλουν τις

μετρήσεις των δύο απέναντι γωνιών στον πίνακα της «Στατιστικής» και να τις προσθέσουν. Η σύγκριση του αθροίσματος με την εξωτερική γωνία θα αναδείξει την ισότητα.


Σελίδα 102

• Στην επέκταση οι μαθητές θα κατασκευάσουν ένα τετράπλευρο, θα μετρήσουν και τις τέσσερις γωνίες του, θα στείλουν τις μετρήσεις τους στον πίνακα της «Στατιστικής» και θα τις προσθέσουν. Στη συνέχεια ο διδάσκων θα ζητήσει να δικαιολογήσουν γιατί το άθροισμα είναι ίσο με 360ο, φέρνοντας μία διαγώνιο του τετραπλεύρου.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 8: Ο χάρτης Βασική ιδέα Η βασική ιδέα της δραστηριότητας στηρίζεται στο συνδυασμό της προβολής ενός χάρτη και ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος το οποίο διαθέτει γεωμετρικά αντικείμενα (κύκλοι, ευθύγραμμα τμήματα) μέσω των οποίων μπορούμε να κάνουμε μετρήσεις και να εντοπίζουμε περιοχές.

• Στόχοι και χρόνος υλοποίησης της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή στοχεύει σε δύο κατευθύνσεις. Από τη μια οι μαθητές θα συνδέσουν την έννοια του προσανατολισμού με τις συντεταγμένες στο επίπεδο, ενώ από την άλλη θα χρησιμοποιήσουν έναν κύκλο για να εντοπίσουν σημεία που ισαπέχουν από το κέντρο του. Αρχικά θα υπολογίσουν την κλίμακα ενός χάρτη και στη συνέχεια, με τη βοήθεια μεταβαλλόμενων κύκλων, θα εντοπίσουν σημεία στο χάρτη και περιοχές με βάση κάποιο σενάριο. Τελικά τα γεωμετρικά αντικείμενα θα χρησιμοποιηθούν ως εργαλεία μέτρησης και εντοπισμού σημείων σε χάρτη. Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να υλοποιηθεί σε μία διδακτική ώρα ως εφαρμογή των εννοιών που διδάχτηκαν στο κεφάλαιο των «Βασικών γεωμετρικών εννοιών».

• Το υπολογιστικό περιβάλλον Το περιβάλλον της δραστηριότητας αποτελεί στην ουσία ένα μικρόκοσμο στον οποίο περιλαμβάνονται:


Σελίδα 103

Ένας χάρτης της Μήλου με επιλεγμένες περιοχές. Δύο κύκλοι τους οποίους έχουν κατασκευάσει οι μαθητές και μπορούν να σύρουν από το κέντρο τους και να αυξομειώσουν την ακτίνα τους από ένα σημείο που βρίσκεται πάνω στην περιφέρειά τους. Δύο ελεύθερα σημεία Α, Β. Οι μετρήσεις ρ1, ρ2, Α, Β των ακτίνων των δύο κύκλων.

Φύλλο εργασίας

Ας μεταφερθούμε σε ένα νησί των Κυκλάδων, την Μήλο. 1) Βρείτε μία κλίμακα για το χάρτη, έχοντας ως δεδομένο ότι η πραγματική απόσταση του Κλήματος από τον Εμπόριο είναι 2,5 χλμ. 2) Εξετάστε αν υπάρχουν οικισμοί που ισαπέχουν από το Φυροπόταμο. Πόσο απέχουν οι οικισμοί αυτοί μεταξύ τους; 3) Εξετάστε αν υπάρχουν οικισμοί οι οποίοι όσο απέχουν από τη Ζεφυρία όσο απέχουν και από τον Εμπόριο. 4) Καταγράψτε τη θέση κάθε οικισμού με βάση την απόστασή του από τον Αδάμαντα και τον προσανατολισμό του στο χάρτη. Για παράδειγμα, 1,5 χλμ. BA (Βορειοανατολικά).


Σελίδα 104

Διδακτική πρόταση Το σενάριο που περιγράφεται στο φύλλο εργασίας είναι ενδεικτικό. Ο διδάσκων θα μπορούσε να αναπτύξει και δραστηριότητες δικής του επινόησης.

• Πριν από τη δραστηριότητα είναι χρήσιμο ο διδάσκων να ζητήσει από τους μαθητές να ανακαλέσουν τη βασική ιδιότητα των σημείων ενός κύκλου, ότι δηλαδή ισαπέχουν από το κέντρο.

• Στην αρχή οι μαθητές δημιουργούν μία κλίμακα η οποία είναι τοπική

και αφορά στο συγκεκριμένο περιβάλλον. Εδώ θα πρέπει να επισημανθεί ότι οι μετρήσεις των ακτίνων και της απόστασης ΑΒ είναι σχετικές και δεν είναι αναγκαίο να συνοδεύονται από μονάδες, π.χ. εκατοστά ή χιλιοστά. Αφού η πραγματική απόσταση που δίνεται είναι 3,5 χλμ., η κλίμακα θα προκύψει από το πηλίκο

3,5ΑΒ και θα αναφέρεται

σε χιλιόμετρα ή 3500ΑΒ και θα αναφέρεται σε μέτρα.

• Για τον εντοπισμό ισαπεχόντων οικισμών από μια περιοχή θα

χρησιμοποιηθεί ένας κύκλος το κέντρο του οποίου θα τοποθετηθεί στην περιοχή αυτή.

• Για τον εντοπισμό ισαπεχόντων οικισμών από δύο περιοχές θα

χρησιμοποιηθούν οι δύο κύκλοι και τα σημεία τομής τους.

• Για τον υπολογισμό της απόστασης δύο περιοχών θα χρησιμοποιηθεί το τμήμα ΑΒ. Οι μαθητές θα τοποθετήσουν το ένα σημείο πάνω στη μία περιοχή και το άλλο σημείο πάνω στην άλλη. Στη συνέχεια θα μετρήσουν την απόσταση των σημείων και θα την πολλαπλασιάσουν με την κλίμακα.

• Επέκταση

Ο διδάσκων μπορεί να δημιουργήσει μία δραστηριότητα που να αφορά σε μια εικονική αναζήτηση θησαυρού πάνω στο νησί. Θα δώσει τις σχετικές γεωγραφικές πληροφορίες τις οποίες ο μαθητής μπορεί να χρησιμοποιήσει με τα εργαλεία που διαθέτει. Ο εντοπισμός ενός ναυαγίου ή μιας περιοχής αξιόλογης για ψάρεμα αποτελούν επίσης αφορμές για ενδιαφέρουσες δραστηριότητες.


Σελίδα 105

ΤΑΞΗ B΄


Σελίδα 106


Σελίδα 107

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Μοσχάρια και αγελάδες Ένας κτηνοτρόφος που εκτρέφει αγελάδες πουλά κάθε αγελάδα με τιμή 1,5 φορά επιπλέον από ό,τι πουλά το κάθε μοσχάρι. 1. Αν του προσφέρουν 3.200 ευρώ για κάθε μοσχάρι, πόσα χρήματα θα εισπράξει αν πουλήσει 12 αγελάδες και 8 μοσχάρια; 2. Πόσα ζώα από κάθε είδος πρέπει να πουλήσει, για να εισπράξει 51.200 ευρώ; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια της μεταβλητής και για να εκφράσουν αλγοριθμικές σχέσεις που να περιγράφονται στα διάφορα προβλήματα με τη βοήθειά της.

Τα ερωτήματα με τη σειρά που προτείνονται αποτελούν μια αλληλουχία δράσεων που οδηγούν το μαθητή από τη συνήθη λύση ενός προβλήματος στη χρήση αρχικά μίας και κατόπιν δύο μεταβλητών, προκειμένου να εκφράσουν τη σχέση που υπολογίζει το συνολικό ποσό των χρημάτων που θα εισπράξει ο κτηνοτρόφος από την πώληση. Επίσης, οι δοκιμές που μπορούν να κάνουν με τη βοήθεια του λογισμικού και να εισάγουν διάφορες τιμές στις ή στη μεταβλητή τους βοηθούν να αισθητοποιήσουν την έννοια της μεταβλητής, καθώς και της συμμεταβολής των τιμών της παράστασης που υπολογίζει το συνολικό ποσό των χρημάτων από την πώληση σε σχέση με την τιμή της μεταβλητής.

Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να διαπραγματευτούν καλύτερα την έννοια της μεταβλητής.


Σελίδα 108

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη σχέση που υπολογίζει το συνολικό ποσό των χρημάτων από την είσπραξη, καθώς και τους αριθμούς που μπορούν να αντιστοιχούν στις δύο μεταβλητές του προβλήματος. Πιθανές απαντήσεις: Στην πρώτη ερώτηση οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν τις γνώσεις τους και θα κάνουν διάφορες πράξεις με σκοπό να υπολογίσουν το συνολικό ποσό των χρημάτων. Έτσι θα έλθουν σε επαφή με τη διαδικασία υπολογισμού. Στη δεύτερη ερώτηση οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν το λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξισώσεων – ανισώσεων» που τους επιτρέπει να ορίσουν τη σχέση με τη βοήθεια δύο μεταβλητών χ, για τον αριθμό των αγελάδων, και ψ για τον αριθμό των μοσχαριών. Αφού ορίσουν τη σχέση που υπολογίζει το συνολικό ποσό των χρημάτων από την πώληση στο αριστερό μέλος της πρώτης σχέσης και τον αριθμό 51.200 στο δεξιό μέλος, μπορούν κινώντας τους δύο μεταβολείς να πειραματίζονται με τις τιμές των δύο μεταβλητών. Οι μαθητές αναμένεται να ορίσουν στο αριστερό άκρο των δύο μεταβολέων τον αριθμό 0 και στο δεξιό διάφορους αριθμούς. Ακόμα αναμένεται να ορίσουν το 1 ως βήμα και για τους δύο μεταβολής, εξαιτίας της φύσης του προβλήματος. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης 12*χ=χ*12; • Μπορείτε να βρείτε τη λύση της εξίσωσης χ*χ/2=χ/2*χ;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Πράξεις με μεταβλητές • Μπορείτε να βρείτε μια άλλη παράσταση ίση με την 4(χ-ψ)-3(χ+2ψ)-4χ. • Μπορείτε να βρείτε δύο τιμές για τις μεταβλητές χ και ψ, ώστε η δοθείσα

παράσταση να είναι ίση με -48; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη διαδικασία εύρεσης και ελέγχου μιας παράστασης ίσης με μια δεδομένη.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο χαρτί τους, κάνοντας τις πράξεις και τις απλοποιήσεις που απαιτούνται. Το τελικό αποτέλεσμα το πληκτρολογούν στο δεύτερο μέλος της σχέσης που ορίζουν με την αρχική παράσταση στο λογισμικό. Αν έχουν κάνει σωστά της πράξεις, η ισότητα που δημιουργούν θα πρέπει να επαληθεύεται για όλες τις τιμές των δύο μεταβλητών.


Σελίδα 109

Στην περίπτωση που δεν επαληθεύεται η ισότητα, ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να προτρέψει τους μαθητές να εξετάσουν τις πράξεις που έκαναν και να κάνουν τις αλλαγές που απαιτούνται. Ακόμα, με τα κατάλληλα παραδείγματα και τις ερωτήσεις, μπορεί να τους οδηγήσει να ανακαλύψουν οι ίδιοι το λάθος τους.

Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να κάνουν ελέγχους για την ορθότητα της ισότητας. Ακόμα, θα τους βοηθήσει να συνειδητοποιήσουν ότι η χρήση των γραμμάτων ως μεταβλητών σε μια παράσταση υπονοεί τη δυνατότητα τα γράμματα να αντικαθίστανται από οποιουσδήποτε αριθμούς και επομένως ότι συμβολίζουν οποιουσδήποτε αριθμούς. Με άλλα λόγια, οι μαθητές έρχονται με έναν αυθεντικό τρόπο σε επαφή με την έννοια του γενικού αριθμού.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ισότητας του λογισμικού. Πιθανές απαντήσεις: Στη πρώτη ερώτηση οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν τις γνώσεις τους και θα κάνουν πράξεις στο χαρτί, προκειμένου να υπολογίσουν την παράσταση. Αναμένεται να υπολογίσουν ότι η δοθείσα παράσταση είναι ίση με -3*χ-10*ψ. Σε ό,τι αφορά το δεύτερο ερώτημα, μία τιμή που μπορεί να βρουν χ=6 και ψ=3. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε με ποια παράσταση ισούται η παράσταση 4(χ+2ψ)-3(2χ-ψ);

• Μπορείτε να βρείτε με ποια παράσταση ισούται η παράσταση 3(2χ-ψ)-2(4χ-2ψ);


Σελίδα 110

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Πράξεις με μεταβλητές Μπορείτε να βρείτε μια τιμή της παράστασης 3(2χ-ψ)-2(4χ-2ψ), αν χ+ψ=14 και χ=7,2; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη διαδικασία εύρεσης και ελέγχου μιας παράστασης ίσης με μία δεδομένη.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο χαρτί, κάνοντας τις πράξεις και τις απλοποιήσεις που απαιτούνται. Στο αριστερό σκέλος πληκτρολογούν την παράσταση που προκύπτει αμέσως μετά την αντικατάσταση. Αφού κάνουν τις πράξεις και τις σχετικές απλοποιήσεις, πληκτρολογούν το τελικό αποτέλεσμα στο δεύτερο μέλος της σχέσης που ορίζουν με την αρχική παράσταση στο λογισμικό. Αν έχουν κάνει σωστά της πράξεις, η ισότητα που δημιούργησαν θα πρέπει να επαληθεύεται για όλες τις τιμές των δύο μεταβλητών. Στην περίπτωση που δεν επαληθεύεται η ισότητα, ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να προτρέψει τους μαθητές να εξετάσουν τις πράξεις που έκαναν και να κάνουν τις αλλαγές που απαιτούνται. Ακόμα, με τα κατάλληλα παραδείγματα και τις ερωτήσεις, μπορεί να τους οδηγήσει να ανακαλύψουν οι ίδιοι το λάθος τους.

Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να κάνουν ελέγχους για την ορθότητα της ισότητας. Ακόμα, θα τους βοηθήσει να συνειδητοποιήσουν ότι η χρήση ενός γράμματος απορρόφησε τη σχέση των δύο μεταβλητών και έτσι μπορούν να θέτουν στη μεταβλητή όποια τιμή θέλουν.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει


Σελίδα 111

την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ισότητας του λογισμικού. Πιθανές απαντήσεις: Στην πρώτη ερώτηση οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν τις γνώσεις τους και θα κάνουν πράξεις στο χαρτί, προκειμένου να υπολογίσουν την παράσταση. Αναμένεται να υπολογίσουν ότι η δοθείσα παράσταση μετά την αντικατάσταση ισούται με 3*[2*χ-(14-χ)]-2*[4*χ-2*(14-χ)]. Στο δεξί μέλος πληκτρολογούν το αποτέλεσμα μετά τις πράξεις -3*χ+14. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε την τιμή της παράστασης 4(χ+2ψ)-3(2χ-ψ), όταν 2χ+ψ=10;

4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ – ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Η διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης α΄ βαθμού

• Να λυθεί η εξίσωση 2χ-1>χ+3.

Το σκεπτικό της παρουσίασης Κατά τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές πειραματίζονται στο περιβάλλον της «Επεξεργασίας εξισώσεων – ανισώσεων» με την αριθμητική επεξεργασία της επίλυσής της. Συγκεκριμένα:

Πληκτρολογούν στα δύο τάσια της ζυγαριάς τα μέλη της ανίσωσης και στη συνέχεια επιλέγουν «Αριθμητική επεξεργασία».

Ορίζουν κατάλληλο διάστημα μεταβολής των τιμών στο μεταβολέα, καθώς και το ανάλογο διάστημα μεταβολής στο δρομέα (κέρσορα).

Αναζητούν την ελάχιστη τιμή που επαληθεύει την ανίσωση, με σκοπό να κατανοήσουν ότι μπορούν να βρουν λύση πολύ κοντά στο άκρο 4 του διαστήματος και έτσι να πλησιάσουν περισσότερο στην έννοια της σχέσης χ>4.


Να πειραματίζονται με τις τιμές του μεταβολέα και να ορίζουν κατάλληλο διάστημα και βήμα μεταβολής στο μεταβολέα.

Να κατανοήσουν την έννοια της σχέσης χ>4. Να διατυπώσουν λεκτικά και μαθηματικά τη λύση της ανίσωσης.


Σελίδα 112

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Λύση εξίσωσης Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί επαληθεύουν την ανίσωση 2χ-(χ-1)=2-χ; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αριθμητική επεξεργασία εξισώσεων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο χαρτί, εφαρμόζοντας την αλγεβρική διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης. Στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» πληκτρολογούν τα δύο μέλη της ανίσωσης και μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ μέχρι να αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα δύο πλαίσια της ανίσωσης.

Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να ελέγξουν αν υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ανίσωσης του λογισμικού. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η εξίσωση επαληθεύεται, όταν ο δείκτης του μεταβολέα δείχνει την τιμή 0,5. Μπορούν επίσης να μεταβάλλουν το δεξί άκρο του μεταβολέα και να διαπιστώσουν ότι τελικά μπορούν να μεγαλώνουν το δεξί του όριο. Έτσι, αισθητοποιούν ότι η λύση είναι όλοι οι αριθμοί χ=0,5. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Να λυθεί η ανίσωση 2χ-3=1-χ; • Να λυθεί η ανίσωση χ-3=1-3χ;


Σελίδα 113

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Λύση ανισότητας Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί επαληθεύουν την ανίσωση 2χ-(χ-1)>2; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αριθμητική επεξεργασία ανισοτικών σχέσεων και την αριθμητική εύρεση επίλυσης μιας ανίσωσης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο χαρτί, εφαρμόζοντας την αλγεβρική διαδικασία επίλυσης της ανίσωσης. Στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» πληκτρολογούν τα δύο μέλη της ανίσωσης και μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ μέχρι να αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα δύο πλαίσια της ανίσωσης.

Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να ελέγξουν το διάστημα ή τα διαστήματα στα οποία ανήκουν οι λύσεις της ανίσωσης.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ανίσωσης του λογισμικού. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η ανίσωση επαληθεύεται, όταν ο δείκτης του μεταβολέα δείχνει τιμές μεγαλύτερες του 1. Μπορούν επίσης να μεταβάλλουν το δεξί άκρο του μεταβολέα και να διαπιστώσουν ότι τελικά μπορούν να μεγαλώσουν το δεξί του όριο. Έτσι, αισθητοποιούν ότι η λύση είναι όλοι οι αριθμοί χ>1. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Να λυθεί η ανίσωση 2χ-3>1-χ; • Να λυθεί η ανίσωση χ-3<1-3χ;


Σελίδα 114

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Συναλήθευση ανισώσεων Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί συναληθεύουν τις ανισώσεις 2χ-(χ-1)>2-χ και 1-χ<χ-1; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη συναλήθευση ανισώσεων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο χαρτί, εφαρμόζοντας την αλγεβρική διαδικασία επίλυσης της ανίσωσης. Στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» πληκτρολογούν τα δύο μέλη της ανίσωσης στην πρώτη σχέση και τα μέλη της δεύτερης ανίσωσης στο δεύτερο πλαίσιο. Σε κάθε σχέση επιλέγουν το ανάλογο σύμβολο της ανίσωσης και μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ μέχρι να αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα τέσσερα πλαίσια των δύο ανισώσεων.


Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ανίσωσης του λογισμικού. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι οι δύο ανισώσεις επαληθεύονται, όταν ο δείκτης του μεταβολέα δείχνει τιμές μεγαλύτερες του 1. Μπορούν επίσης να μεταβάλλουν το δεξί άκρο του μεταβολέα και να διαπιστώσουν ότι η πρώτη ανίσωση επαληθεύεται για χ>0,5 και η δεύτερη για χ>1. Τέλος μπορούν να μεγαλώσουν το δεξί όριο του μεταβολέα. Έτσι, αισθητοποιούν ότι οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν, όταν χ>1.


Σελίδα 115

Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί συναληθεύουν τις ανισώσεις 2χ-(χ-1)>2-χ και 1-χ>χ-1;

• Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί συναληθεύουν τις ανισώσεις 3χ-(2χ-1)>3-χ και 2-χ>2χ-1;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Συναλήθευση εξίσωσης – ανίσωσης Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί συναληθεύουν την εξίσωση 2χ-(χ-1)=2-χ και την ανίσωση 1-χ>χ-1; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη συναλήθευση εξίσωσης και ανίσωσης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο χαρτί, εφαρμόζοντας την αλγεβρική διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης και της ανίσωσης. Στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» πληκτρολογούν τα δύο μέλη της εξίσωσης στην πρώτη σχέση και τα μέλη της ανίσωσης στο δεύτερο πλαίσιο. Σε κάθε σχέση επιλέγουν το ανάλογο σύμβολο της ανίσωσης και μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ μέχρι να αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα τέσσερα πλαίσια των δύο ανισώσεων.


Διδακτικές οδηγίες:


Σελίδα 116

Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ανίσωσης του λογισμικού. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η εξίσωση και η ανίσωση επαληθεύονται, όταν ο δείκτης του μεταβολέα δείχνει την τιμή 0,5. Επίσης μπορούν εύκολα, μετακινώντας το δείκτη του μεταβολέα, να διαπιστώσουν ότι η ανίσωση επαληθεύεται για ένα διάστημα τιμών της μεταβλητής χ και ότι η λύση της εξίσωσης ανήκει σε αυτό το διάστημα. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί συναληθεύουν την ανίσωση 2χ-(χ-1)>2-χ και την εξίσωση 1-χ=χ-1;

• Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί συναληθεύουν την ανίσωση 3χ-(2χ-1)<3-χ και την ανίσωση 2-χ=2χ-1;

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Το Πυθαγόρειο θεώρημα στο διαδίκτυο

Εξερευνήστε, διατυπώστε και εξηγήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Επισκεφτείτε

την ιστοσελίδα http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythasvn/pythasvn.html και

πειραματιστείτε με την εφαρμογή της (applet).

Το σκεπτικό της παρουσίασης: Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές πειραματίζονται με τα εμβαδά των τετραγώνων που έχουν ως πλευρές τις κάθετες πλευρές και την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Συγκεκριμένα:

Ορίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μετακινώντας τη θέση της κορυφής της ορθής γωνίας.

Μετακινούν τα χρωματιστά πολύγωνα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών, ώστε να καλύψουν το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Εκφράζουν τη σχέση μεταξύ των εμβαδών των τριών τετραγώνων. Εφαρμόζουν τη σχέση του Πυθαγορείου θεωρήματος για τον υπολογισμό της τρίτης πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν γνωρίζουν τις άλλες δύο πλευρές.


Σελίδα 117


Να επαναλάβουν το πείραμα για διάφορες θέσεις της κορυφής της ορθής γωνίας.

Να κατανοήσουν τη σχέση των εμβαδών των τριών τετραγώνων που ορίζουν οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.

Να διατυπώσουν λεκτικά και μαθηματικά τη σχέση των τριών εμβαδών.

Να εφαρμόσουν τη σχέση του Πυθαγορείου θεωρήματος, προκειμένου να υπολογίσουν την τρίτη πλευρά του ορθογώνιου τριγώνου, όταν γνωρίζουν τις άλλες δυο.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Σημεία στο επίπεδο Μπορείτε να εμφανίσετε στο επίπεδο τα σημεία Α(1,2), Β(2, 4), Γ(2, 5); Μπορείτε να πληκτρολογήσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου Δ, ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ να είναι ίσα; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη χρήση των συντεταγμένων για την παράσταση (τοποθέτηση) σημείων στο επίπεδο. Ακόμα στοχεύει στο να εμπλέξει τους μαθητές στην αριθμητική επεξεργασία (με συντεταγμένες) των ιδιοτήτων γεωμετρικών σχημάτων και εννοιών.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση της εξίσωσης.


Σελίδα 118

Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να πληκτρολογήσουν τις συντεταγμένες (2,7) για να τοποθετήσουν το τέταρτο σημείο. Σε αυτή την απάντηση θα τους οδηγήσει η οπτική παρατήρηση των συντεταγμένων των δεδομένων σημείων και των παραστάσεών τους στο επίπεδο. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εμφανίσετε στο επίπεδο τα σημεία Α(1,2), Β(4, 6), Γ(2, 5); Μπορείτε να πληκτρολογήσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου Δ, ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ να είναι ίσα;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Πυθαγορικές τριάδες Βασική ιδέα: Τρεις θετικοί ακέραιοι, οι οποίοι είναι μέτρα πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου, αποτελούν μία Πυθαγόρεια τριάδα. Η πλέον γνωστή Πυθαγόρεια τριάδα είναι η (3, 4, 5), όμως η κατασκευή μιας τέτοιας τριάδας με αριθμούς πρώτους συνιστά ένα αρκετά σύνθετο πρόβλημα της θεωρίας αριθμών και σε αυτή την περίπτωση η τριάδα ονομάζεται βασική. Η κατασκευή Πυθαγορείων τριάδων από μία βασική είναι απλή αφού ανάγεται στην κατασκευή ομοίων τριγώνων. Για παράδειγμα, από την τριάδα (3, 4, 5) παράγονται όλες οι τριάδες της μορφής (3κ, 4κ, 5κ). Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν τις ιδιότητες του πλέγματος για να υπολογίσουν όσο το δυνατόν περισσότερες Πυθαγόρειες τριάδες. Στο περιβάλλον της «Γεωμετρίας» το πλέγμα δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να αναζητήσουν Πυθαγόρειες τριάδες, πειραματιζόμενοι με το μήκος ενός πλάγιου τμήματος στο πλέγμα, το οποίο τμήμα θα πρέπει να έχει ακέραιο μέτρο. Α) Κατασκευάζω

• Εμφανίστε στο χώρο της «Γεωμετρίας» το πλέγμα και επιλέξτε «Δέσμευση».

• Κατασκευάστε ένα πλάγιο τμήμα και μετρήστε το μήκος του.

Β) Ερευνώ και υπολογίζω

1) Παρατηρήστε το ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου υποτείνουσα είναι το τμήμα. Γράψτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Ποια σχέση συνδέει αυτούς τους τρεις αριθμούς;


Σελίδα 119

2) Υπολογίστε τους παρακάτω αριθμούς με προσέγγιση εκατοστού. 2, 5, 10, 13

3) Αναζητήσετε θέσεις για το πλάγιο τμήμα, στις οποίες το μέτρο του είναι ακέραιος αριθμός. Ποια είναι τα μέτρα των δύο άλλων πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου;

4) Αναζητήστε όσο το δυνατόν περισσότερες τέτοιες τριάδες και εξετάστε αν υπάρχει κάποιος κανόνας με τον οποίο μπορούμε να κατασκευάσουμε πολλές τριάδες, όταν γνωρίζουμε μία.

Διδακτική πρόταση:

• Στην αρχή της δραστηριότητας ο διδάσκων αναφέρει στους μαθητές την έννοια της Πυθαγόρειας τριάδας, δίνοντας ως βασικό παράδειγμα την τριάδα (3, 4, 5). Ακόμη τους ζητά να υπολογίσουν με τη βοήθεια του συντάκτη εξίσωσης από τη γραφική επεξεργασία την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές 1 και 1, 1 και 2, 1 και 3, 2 και 3. Ο υπολογισμός του 2 μπορεί να γίνει ως εξής:

• Οι μαθητές εμφανίζουν το συντάκτη, κάνουν κλικ στο σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας και πληκτρολογούν την παράσταση 1^2+1^2. Στόχος είναι να χρησιμοποιήσουν το άθροισμα των τετραγώνων ως ανάλυση του υπόριζου, ώστε να παραπέμπει στην εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

• Στη συνέχεια κατασκευάζουν τη γραφική παράσταση για την οποία ο

διδάσκων σημειώνει ότι στην ουσία παριστάνει τον αριθμό 2 . Οι μαθητές με τη βοήθεια του κέρσορα διαπιστώνουν ότι σε κάθε σημείο η ένδειξη είναι ίση με 1,414.

• Κατόπιν οι μαθητές εμφανίζουν το περιβάλλον της «Γεωμετρίας» και το πλέγμα επιλέγοντας «Δέσμευση». Κατασκευάζουν ένα πλάγιο


Σελίδα 120

ευθύγραμμο τμήμα, το μετρούν και διαπραγματεύονται το ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου υποτείνουσα είναι το τμήμα.

Εδώ είναι σημαντικό να διαπιστώσουν ότι υπάρχουν μόνο δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα οποία έχουν μία πλευρά οριζόντια και μία κατακόρυφη, ενώ υποτείνουσά τους είναι το πλάγιο τμήμα. Προφανώς το ορθογώνιο που βρίσκεται πάνω από το τμήμα είναι ίσο με το κάτω.

• Οι μαθητές μετρούν τα σημεία που περιέχουν καθεμία από τις κάθετες πλευρές και σημειώνουν την Πυθαγόρεια σχέση που συνδέει το μήκος του πλάγιου τμήματος με τα μήκη των δύο καθέτων.

• Στη δεύτερη ερώτηση οι μαθητές κατασκευάζουν κατάλληλα ορθογώνια τρίγωνα, ώστε να υπολογίσουν άμεσα, μέσω του μέτρου του πλάγιου τμήματος, τους αριθμούς 2, 5, 10, 13 . Για παράδειγμα, θα πρέπει το ορθογώνιο να έχει πλευρές 2 και 3, ώστε το μήκος του πλάγιου τμήματος να είναι ίσο με 13 .

• Στην τρίτη ερώτηση ο διδάσκων δίνει τον ορισμό της Πυθαγόρειας τριάδας και εξηγεί στους μαθητές ότι η αναζήτηση τέτοιων τριάδων ήταν ένα θέμα που απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς και ότι δεν είναι τελικά εύκολο να υπολογιστούν. Οι μαθητές σύρουν το ένα άκρο του πλάγιου τμήματος και ερευνούν συστηματικά το σημείο στο οποίο η μέτρηση είναι ακέραια. Καταγράφουν τη μέτρηση και τις δύο κάθετες πλευρές και επαναλαμβάνουν την αναζήτηση.

• Στο σημείο αυτό ο διδάσκων προσανατολίζει την αναζήτηση σε

πολλαπλάσια του 5 για το πλάγιο τμήμα, οπότε οι μαθητές εντοπίζουν τις τριάδες: (3, 4, 5), (6, 8, 10), ( 9, 12, 15) και γενικεύουν. Μερικές επιπλέον βασικές τριάδες είναι και οι: (5, 12, 13), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (16, 63, 65), (33, 56, 65) κ.λπ.

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Η έννοια του άρρητου αριθμού

Πόσο μήκος έχει η διαγώνιος ενός ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου του

οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη ίσα με 1 μονάδα;


Σελίδα 121

Το σκεπτικό της παρουσίασης: Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές έρχονται σε επαφή με την έννοια του άρρητου αριθμού. Συγκεκριμένα:

Αναζητούν το μήκος της πλευράς ενός ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους 1 μονάδας.

Διατυπώνουν την εξίσωση της λύσης με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος και χρησιμοποιούν την αριθμητική επεξεργασία στο λογισμικό «Επεξεργασία εξισώσεων – ανισώσεων».

Αναζητούν το διάστημα με το μικρότερο δυνατό εύρος που επιτρέπει το λογισμικό και στο οποίο περιέχεται η λύση της εξίσωσης.

Διατυπώνουν λεκτικά και αριθμητικά μία προσέγγιση της λύσης. Διδακτική διαχείριση της παρουσίασης: Στη διάρκεια της παρουσίασης ο εκπαιδευτικός ενθαρρύνει τους μαθητές να συνεργάζονται με την ομάδα τους και να εκφράζουν τις αντιλήψεις τους ελεύθερα στην ομάδα και στην τάξη. Ιδιαίτερη έμφαση πρέπει να δώσει στην ενθάρρυνση των μαθητών:

Να εφαρμόσουν τη σχέση του Πυθαγορείου θεωρήματος για να διατυπώσουν την εξίσωση.

Να κάνουν πειράματα με το λογισμικό, προκειμένου να βρουν τη λύση.

Να επαναλαμβάνουν πολλάκις την εύρεση ενός διαστήματος με ακόμα μικρότερο εύρος στο οποίο να περιέχεται η λύση.

Να κατανοήσουν την έννοια που έχει η προσέγγιση της λύσης με υπεροχή και με έλλειψη.

Να διατυπώσουν λεκτικά και μαθηματικά τη λύση της εξίσωσης με προσέγγιση.

Να συζητήσει μαζί τους για τους άρρητους αριθμούς και για το γεγονός ότι η λύση της εξίσωσης είναι ένας άρρητος αριθμός και γι’ αυτό δεν μπορεί να βρεθεί η λύση της εξίσωσης.

Να αναφερθεί στο σύνολο των ρητών αριθμών και ότι μαζί με τους ρητούς συνθέτουν το σύνολο των πραγματικών αριθμών.


Σελίδα 122

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Τετραγωνική ρίζα του 2 Μπορείτε να βρείτε ένα διάστημα με όσο το δυνατόν μικρότερο πλάτος, στο οποίο να ανήκει η λύση της εξίσωσης χ2=2; Μπορείτε να βρείτε μια προσέγγιση της ρίζας;

Σχόλια Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την έννοια του άρρητου αριθμού.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με το λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης». Πληκτρολογούν τα δύο μέλη της εξίσωσης στην πρώτη σχέση και επιλέγουν το ανάλογο σύμβολο της εξίσωσης. Μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ έως ότου βρουν το διάστημα με το ελάχιστο πλάτος στο οποίο ανήκει η ζητούμενη ρίζα.

Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να επιλέγουν διαστήματα με όλο και μικρότερο πλάτος όπου θα ανήκει η ζητούμενη λύση της εξίσωσης.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των αριθμών στα δύο άκρα του μεταβολέα, καθώς και στο βήμα της μεταβολής του αριθμού. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η λύση της εξίσωσης ανήκει στα διαστήματα, [1,2], μετά [1,4, 1,5], [1,41, 1,42] κ.τ.λ., όπου το κάθε νέο διάστημα βρίσκεται στο εσωτερικό του προηγούμενου. Θα διαπιστώσουν έτσι ότι η ζητούμενη λύση μπορεί να προσεγγίζεται είτε με το αριστερό είτε με το δεξί άκρο του κάθε διαστήματος.


Σελίδα 123


• Μπορείτε να βρείτε ένα διάστημα με όσο το δυνατόν μικρότερο πλάτος στο οποίο να ανήκει η λύση της εξίσωσης χ2=3; Μπορείτε να βρείτε μια προσέγγιση της ρίζας;

• Μπορείτε να βρείτε ένα διάστημα με όσο το δυνατόν μικρότερο πλάτος στο οποίο ν αανήκει η λύση της εξίσωσης χ2=5; Μπορείτε να βρείτε μια προσέγγιση της ρίζας;

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Πρόβλημα Ο εφημεριδοπώλης κερδίζει 0,50 λεπτά από κάθε εφημερίδα που πουλά. Μπορείτε να περιγράψετε το κέρδος του με τη βοήθεια:

• Ενός πίνακα τιμών; • Ενός γραφήματος; • Μιας εξίσωσης;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με συγκεκριμένους τρόπους έκφρασης των μεταβολών σε ένα πραγματικό πρόβλημα.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τις μονάδες λογισμικού «Στατιστική» και «Επεξεργασία γραφήματος» και να παρουσιάσουν τον τρόπο που σχετίζονται οι πωλήσεις των εφημερίδων με το κέρδος του εφημεριδοπώλη. Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να εκφράσουν τις αντιστοιχίες της συνάρτησης αριθμητικά και γραφικά.


Σελίδα 124

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν το κέρδος του εφημεριδοπώλη. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των αριθμών στα κελιά του πίνακα τιμών. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η αντιστοιχία μεταξύ του αριθμού των εφημερίδων και του κέρδους ορίζει σημεία που ανήκουν σε μία ευθεία.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Ο εφημεριδοπώλης (συνέχεια) • Πόσο θα αυξηθεί το κέρδος του εφημεριδοπώλη, αν διπλασιάσει τις

πωλήσεις του; • Χτες πούλησε 34 εφημερίδες. Πόσες πρέπει να πουλήσει αύριο, για να

τριπλασιάσει το κέρδος του;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με την έννοια της συμμεταβολής δύο ποσοτήτων: πλήθος εφημερίδων, κέρδος, σε ένα πραγματικό πρόβλημα.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τις μονάδες λογισμικού «Στατιστική» και «Επεξεργασία γραφήματος» και να πειραματιστούν με τις μεταβολές του κέρδους σε σχέση με τις μεταβολές του πλήθους των εφημερίδων. Το λογισμικό μπορεί να τους βοηθήσει να εκφράσουν τις συμμεταβολές της συνάρτησης αριθμητικά και γραφικά.


Σελίδα 125

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν τις μεταβολές στο κέρδος του εφημεριδοπώλη. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των αριθμών στα κελιά του πίνακα τιμών. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η ο διπλασιασμός των πωλήσεων των εφημερίδων διπλασιάζει και το κέρδος, ο τριπλασιασμός των εφημερίδων τριπλασιάζει το κέρδος κ.ο.κ. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Ένα αυτοκίνητο κινείται με μέση ταχύτητα 12 μ./δευτερόλεπτο.

• Πόσα μέτρα θα διανύσει σε 2 δευτερόλεπτα; • Πόσα μέτρα θα διανύσει σε 4 δευτερόλεπτα; • Σε διπλάσιο χρόνο πόσο περισσότερα μέτρα θα διανύσει; • Σε τριπλάσιο χρόνο πόσο περισσότερα μέτρα θα διανύσει; • Μπορείτε να παρουσιάσετε με το λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» τον

τρόπο μεταβολής της απόστασης που διανύει το κινητό σε σχέση με το χρόνο που διαρκεί η κίνηση;

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Μπορείτε να περιγράψετε τη συνάρτηση ψ=2χ:

• Με τη βοήθεια ενός προβλήματος; • Με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών; • Με τη βοήθεια του γραφήματος;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με τη συνάρτηση ψ=αχ.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τις μονάδες λογισμικού «Στατιστική» και «Επεξεργασία γραφήματος» και να πειραματιστούν με την έκφραση της αντιστοιχίας μεταξύ των τιμών χ και ψ της συνάρτησης ή με τη συμμεταβολή των χ και ψ. Το πρόβλημα θα τους βοηθήσει να περιγράψουν τη συνάρτηση με λιγότερο αφηρημένους όρους.


Σελίδα 126

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν τις αντιστοιχίες και τις μεταβολές της συνάρτησης. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι αν εκμεταλλευτούν τις εμπειρίες που απέκτησαν από την προηγούμενη δραστηριότητα, μπορούν εύκολα να κατασκευάσουν ένα πρόβλημα που να περιγράφει μεταβολές της μορφής ψ=2χ. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Μπορείτε να περιγράψετε τη συνάρτηση ψ=0,5χ:

• Με τη βοήθεια ενός προβλήματος; • Με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών; • Με τη βοήθεια του γραφήματος;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Μπορείτε να περιγράψετε τη συνάρτηση ψ=-2χ; Σε τι διαφέρει και τι κοινό έχει με την ψ=2χ; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με το ρόλο του συντελεστή α στη συνάρτηση ψ=αχ.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τις μονάδες λογισμικού «Στατιστική» και «Επεξεργασία γραφήματος» και να πειραματιστούν με την έκφραση της αντιστοιχίας μεταξύ των τιμών χ και ψ των δύο συναρτήσεων, ή με τη συμμεταβολή των χ και ψ σε αυτές, και να περιγράψουν τις διαφορές και


Σελίδα 127

τις ομοιότητες. Το πρόβλημα θα τους βοηθήσει να περιγράψουν τη συνάρτηση με λιγότερο αφηρημένους όρους.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν τις αντιστοιχίες και τις μεταβολές των δύο συναρτήσεων και να τις αξιοποιούν για τη διατύπωση των διαφορών και ομοιοτήτων τους. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι και οι δύο συναρτήσεις έχουν ως γραφικές παραστάσεις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Τα σημεία τους ανά δύο είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα χχ΄. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να περιγράψετε τη συνάρτηση ψ=-0,5χ; Σε τι διαφέρει και τι κοινό έχει με την ψ=0,5χ;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» εμφανίστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=2χ. Ένα κινητό μπορεί κάθε φορά να κάνει δύο κινήσεις. Μία οριζόντια και μία κατακόρυφα. Μπορείτε να το οδηγήσετε να κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης;


Σελίδα 128

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με την κυρίαρχη ιδιότητα της ψ=αχ που είναι η κλίση της ευθείας α.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Επεξεργασία γραφήματος» και να πειραματιστούν με τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων που προσδιορίζονται από το χαρακτηριστικό τρόπο κίνησης του υποθετικού κινητού. Η διαδικασία αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι αν κάθε σημείο κινείται οριζόντια κατά 1 μονάδα, τότε θα πρέπει να κινείται κατακόρυφα κατά 2 μονάδες.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν το σταθερό τρόπο κίνησης του κινητού σημείου. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι για κάθε μονάδα κίνησης οριζόντια θα πρέπει στη συνέχεια να κινηθούν κατακόρυφα κατά 2 μονάδες. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» εμφανίστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=-2χ.

• Ένα κινητό μπορεί κάθε φορά να κάνει δύο κινήσεις. Μία οριζόντια και μία κατακόρυφα. Μπορείτε να το οδηγήσετε να κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης;


Σελίδα 129

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Ένας εργολάβος κατασκευάζει τα σκαλιά μιας οικοδομής όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

• Όπως παρατηρείτε, λοιπόν, κάθε σκαλί έχει πλάτος διπλάσιο του ύψους

του. Μπορείτε: • Να σχεδιάσετε τη σκάλα στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία»; • Μπορείτε να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από τις κορυφές των

σκαλιών; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με την κυρίαρχη ιδιότητα της ψ=αχ που είναι η κλίση της ευθείας α.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Επεξεργασία γραφήματος» και να πειραματιστούν με τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων που προσδιορίζουν τις κορυφές των σκαλιών. Η διαδικασία αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να συνδέσουν τη συνάρτηση ψ=αχ με την κλίση της α.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν το σταθερό τρόπο σχεδίασης των σημείων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι για κάθε 2 μονάδες κίνησης οριζόντια θα πρέπει στη συνέχεια να κινηθούν κατακόρυφα κατά 1 μονάδα. Επίσης θα διαπιστώσουν ότι ο λόγος 1/2 των δύο κινήσεων είναι ίσος με το συντελεστή α της ψ=αχ που διέρχεται από τα σημεία αλλαγής του επιπέδου των σκαλιών. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Ο εργολάβος κατασκευάζει τα σκαλιά με πλάτος 24 εκ. και ύψος 20 εκ. Σε ποια συνάρτηση ανήκουν τα σημεία των σκαλιών στα οποία αλλάζει το επίπεδο;

• Ένας εργολάβος κατασκευάζει δύο ειδών σκαλιά. Στη μία περίπτωση οι κορυφές αλλαγής του επιπέδου των σκαλιών ανήκουν στη γραφική


Σελίδα 130

παράσταση της συνάρτησης ψ=0,4χ, ενώ στην άλλη περίπτωση ανήκουν στην ψ=0,6χ. Σε ποια περίπτωση τα σκαλιά είναι πιο απότομα;

• Ένας εργολάβος θέλει να κατασκευάσει μια σκάλα καθόδου της οποίας το πρώτο σκαλί ξεκινάει από το σημείο (9,9) και το τελευταίο τελειώνει στο σημείο (0,0). Ποιας συνάρτησης η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία των σκαλιών στα οποία αλλάζει το επίπεδο;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Το σχήμα που ακολουθεί δηλώνει τον τρόπο σχεδίασης μιας σειράς σημείων στο γράφημα. Το σημείο (1,0) είναι το σημείο εκκίνησης και οι δύο διαδοχικές κινήσεις δηλώνονται ως εξής:

• Μπορείτε να σχεδιάσετε τα επόμενα τέσσερα σημεία; • Μπορείτε να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία αυτά; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με την κυρίαρχη ιδιότητα της ψ=αχ που είναι η κλίση της ευθείας α.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Επεξεργασία γραφήματος» και να πειραματιστούν με τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων που προσδιορίζουν τις κορυφές των σκαλιών. Η διαδικασία αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να συνδέσουν τη συνάρτηση ψ=αχ με την κλίση της α.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν το σταθερό τρόπο σχεδίασης των σημείων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι για κάθε 2 μονάδες κίνησης οριζόντια θα πρέπει στη συνέχεια να κινηθούν κατακόρυφα κατά 1 μονάδα. Επίσης θα διαπιστώσουν ότι ο λόγος 2/3 των δύο κινήσεων είναι ίσος με το συντελεστή α της ψ=αχ που διέρχεται από τα σημεία αλλαγής του επιπέδου των σκαλιών. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

(1,0) 2

3


Σελίδα 131

Το σχήμα που ακολουθεί δηλώνει τον τρόπο με τον οποίο σχεδιάζεται μία σειρά σημείων στο γράφημα. Το σημείο (1,0) είναι το σημείο εκκίνησης και οι δύο διαδοχικές κινήσεις δηλώνονται ως εξής:

• Μπορείτε να σχεδιάσετε τα επόμενα τέσσερα σημεία; • Μπορείτε να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία αυτά;

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ+β

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Ο σερβιτόρος Είστε σερβιτόρος και πληρώνεστε κάθε ημέρα με 20 ευρώ σταθερά, ενώ για κάθε πελάτη που σερβίρετε λαμβάνετε 1,5 ευρώ επιπλέον. Μπορείτε να περιγράψετε με πόσα χρήματα πληρώνεστε κάθε μέρα:

• Με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών; • Με τη βοήθεια του γραφήματος; • Με τη βοήθεια μιας εξίσωσης;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με συγκεκριμένους τρόπους έκφρασης των μεταβολών σε ένα πραγματικό πρόβλημα.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τις μονάδες του λογισμικού «Στατιστική» και «Επεξεργασία γραφήματος» και να παρουσιάσουν τον τρόπο που σχετίζονται οι πελάτες του σερβιτόρου με την αμοιβή του. Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να εκφράσουν τις αντιστοιχίες της συνάρτησης αριθμητικά και γραφικά.

(8,7) 2

3


Σελίδα 132

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν την αμοιβή του σερβιτόρου. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των αριθμών στα κελιά του πίνακα τιμών. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η αντιστοιχία μεταξύ του αριθμού των πελατών και της αμοιβής του σερβιτόρου ορίζει σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Η σχέση της ψ=αχ+β με την ψ=αχ Μπορείτε να περιγράψετε τη σχέση που έχουν οι γραφικές παραστάσεις της ψ=3χ και της ψ=3χ+2; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να συσχετίσουν τη συνάρτηση ψ=αχ+β με την ψ=αχ.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Επεξεργασία γραφήματος» και να παρουσιάσουν τις δύο γραφικές παραστάσεις. Μπορούν ακόμα να εμφανίσουν δύο σημεία, ένα σε κάθε γραφική παράσταση, τα οποία να έχουν την ίδια τετμημένη, και στη συνέχεια να παρατηρήσουν τη σταθερή απόσταση των σημείων αυτών σε κάθε περίπτωση σημείων.


Σελίδα 133

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν τη σχέση μεταξύ των δύο ευθειών. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των συντεταγμένων των σημείων και των άκρων του γραφήματος. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η γραφική παράσταση της ψ=αχ+β είναι μια παράλληλη μετατόπιση της ψ=αχ κατά 2 μονάδες.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Σταθερή πορεία Το σχήμα που ακολουθεί δηλώνει τον τρόπο σχεδίασης δύο σειρών σημείων στο γράφημα. Στην πρώτη το σημείο εκκίνησης είναι το (0,0) και στη δεύτερη το (0,2). Οι δύο διαδοχικές κινήσεις για τον προσδιορισμό των σημείων και των δύο σειρών δηλώνονται ως εξής: Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να διερευνήσουν την κοινή ιδιότητα των ευθειών ψ=αχ και ψ=αχ+β που είναι η κλίση των γραφικών παραστάσεών τους.

2

3


Σελίδα 134

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Επεξεργασία γραφήματος» και να πειραματιστούν με τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων που προσδιορίζουν τις κορυφές των ζητούμενων σημείων. Η διαδικασία αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να συνδέσουν τις συναρτήσεις ψ=αχ και ψ=αχ+β με την ίδια κλίση α.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να πειραματιστούν με τη σχεδίαση των σημείων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι για κάθε 2 μονάδες κίνησης οριζόντια θα πρέπει στη συνέχεια να κινηθούν κατακόρυφα κατά 1 μονάδα και στις δύο περιπτώσεις. Επίσης θα διαπιστώσουν ότι ο λόγος 2/3 των δύο κινήσεων είναι ίσος με το συντελεστή α της ψ=αχ και της ψ=αχ+β. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως: Το σχήμα που ακολουθεί δηλώνει τον τρόπο που σχεδιάζετε μια σειρά σημείων στο γράφημα. Σε τι διαφέρει η σειρά των σημείων, αν το σημείο εκκίνησης είναι το (1,0) στη μία περίπτωση και (3,1) στην άλλη; Οι δύο διαδοχικές κινήσεις δηλώνονται ως εξής:

• Μπορείτε να σχεδιάσετε τα τέσσερα επόμενα σημεία σε κάθε σειρά; • Μπορείτε να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία κάθε σειράς;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Γραφικές παραστάσεις της ψ=αχ+β που έχουν το ίδιο α ή το ίδιο β

• Στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» πληκτρολογήστε τις ψ=2χ,

ψ=2χ+1, ψ=2χ-3, ψ=2χ-1. Τι κοινό έχουν και σε τι διαφέρουν οι γραφικές τους παραστάσεις;

• Στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» πληκτρολογήστε τις ψ=2χ+1, ψ=3χ+1, ψ=-2χ+1. Τι κοινό έχουν και σε τι διαφέρουν οι γραφικές τους παραστάσεις;

2

3


Σελίδα 135

Μπορείτε να περιγράψετε τη σχέση που έχουν οι γραφικές παραστάσεις της ψ=3χ και της ψ=3χ+2; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν το ρόλο των συντελεστών α και β στο σχηματισμό της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Επεξεργασία γραφήματος», να παρουσιάσουν τις διάφορες γραφικές παραστάσεις και να παρατηρήσουν τη σχετική τους θέση.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν τη σχέση μεταξύ των γραφικών παραστάσεων. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία ορισμού των άκρων του γραφήματος. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι στην πρώτη περίπτωση οι ευθείες είναι παράλληλες, ενώ στη δεύτερη διέρχονται από το σημείο (0,1). Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εξετάσετε το ρόλο των συντελεστών της ψ=αχ+β κατά στον προσδιορισμό των σημείων τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Η εξίσωση αχ+βψ=γ με 0β ≠≠ ή0α Όταν περπατάμε καταναλώνουμε 4 θερμίδες το λεπτό και όταν τρέχουμε καταναλώνουμε 8 θερμίδες το λεπτό. Αν κάποιος, περπατώντας για χ λεπτά και


Σελίδα 136

τρέχοντας για ψ λεπτά, κατανάλωσε 320 θερμίδες, μπορείτε να περιγράψετε την κατανάλωση των θερμίδων ως προς τις δύο κατηγορίες:

• Με πίνακα τιμών; • Με γράφημα; • Με εξίσωση;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της εξίσωσης με δύο αγνώστους, το είδος και το πλήθος των λύσεων αυτής, την αναπαράσταση στο γράφημα όλων των λύσεων, καθώς και το ρόλο της ψ=αχ+β στην εύρεση των λύσεων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τις μονάδες λογισμικού «Στατιστική» και «Επεξεργασία γραφήματος» και να παρουσιάσουν αριθμητικά και γραφικά τις λύσεις του προβλήματος.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να αποδώσουν τη σχέση που εκφράζει το χρόνο που έτρεξε και περπάτησε, προκειμένου να καταναλώσει 320 θερμίδες. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία ορισμού των άκρων του γραφήματος. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η εξίσωση 4χ+8ψ=320 έχει πολλές λύσεις, οι οποίες αναπαρίστανται στο γράφημα με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=1/8(320-4χ).


• Μπορείτε να περιγράψετε στον πίνακα τιμών και στο γράφημα τις λύσεις της εξίσωσης 2χ+3ψ=12;


Σελίδα 137

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=α/χ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Ορθογώνια με ισοδύναμα εμβαδά Στη μονάδα λογισμικού «Γεωμετρία» επιλέξτε το «Πλέγμα» με «Δέσμευση». Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών 4 και 6 μονάδες αντίστοιχα. Το σχήμα θα περιέχει 24 τετραγωνίδια (εμβαδό). Σχεδιάστε και άλλα ορθογώνια με το ίδιο εμβαδόν. Μπορείτε:

• Να εκφράσετε σε έναν πίνακα τις διαστάσεις των ορθογωνίων που έχουν εμβαδόν 24 τετρ. μονάδες;

• Να εκφράσετε στο γράφημα τα σημεία που έχουν συντεταγμένες τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων που έχουν εμβαδόν 24 τετρ. μονάδες;

• Να εκφράσετε με μια εξίσωση τη σχέση που συνδέει τις δύο πλευρές χ και ψ του ορθογωνίου με εμβαδόν 24 τετρ. μονάδες;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να έλθουν σε επαφή με συγκεκριμένους τρόπους έκφρασης των μεταβολών σε ένα πραγματικό πρόβλημα. Καθώς τα μεγέθη που συμμεταβάλλονται είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, οι μαθητές θα συσχετίσουν τον τρόπο συμμεταβολής με τη γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τις μονάδες λογισμικού «Στατιστική» και «Επεξεργασία γραφήματος» και να παρουσιάσουν τον τρόπο που σχετίζονται τα δύο μεγέθη: μήκος και ύψος του ορθογωνίου. Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να εκφράσουν τις αντιστοιχίες της συνάρτησης αριθμητικά και γραφικά.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν τη σχέση μεταξύ των δύο μεταβαλλόμενων μεγεθών. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των αριθμών στα κελιά του πίνακα τιμών.


Σελίδα 138

Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η σχέση μεταξύ των δύο μεγεθών είναι χψ=24 και να εκφράσουν τη συνάρτηση ψ=24/χ.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Γραφικές παραστάσεις της ψ=α/χ για τις διάφορες τιμές του α

Στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» πληκτρολογήστε τις ψ=2/χ, ψ=-2/χ, ψ=3/χ και ψ=12/χ. Τι κοινό έχουν και σε τι διαφέρουν οι γραφικές τους παραστάσεις; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν το ρόλο του συντελεστή α στο σχηματισμό της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Επεξεργασία γραφήματος», να παρουσιάσουν τις διάφορες γραφικές παραστάσεις και να παρατηρήσουν τη σχετική τους θέση.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να εκφράσουν τη σχέση μεταξύ των γραφικών παραστάσεων. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία ορισμού των άκρων του γραφήματος. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι για τιμές με το ίδιο πρόσημο, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του α τόσο απομακρύνεται η γραφική παράσταση από την αρχή των αξόνων. Όταν ο α έχει θετικές τιμές, η γραφική παράσταση


Σελίδα 139

σχηματίζεται στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο, ενώ όταν είναι αρνητική, σχηματίζεται στα άλλα δύο τεταρτημόρια. Επίσης οι μαθητές μπορούν να διαπιστώσουν ότι οι δύο κλάδοι είναι συμμετρικοί ως προς την αρχή των αξόνων. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εξετάσετε το ρόλο του συντελεστή α της ψ=α/χ, όταν παίρνει τιμές αρνητικές στον προσδιορισμό της θέσης της γραφικής παράστασης με τους άξονες;

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Αναπαράσταση συλλογής δεδομένων δείγματος Ρωτήσαμε 24 μαθητές μιας τάξης πόσα αδέλφια έχουν και πήραμε τις εξής απαντήσεις:

1, 2, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1 Στη μονάδα «Ερώτηση» επιλέξτε «Δημιουργία ερωτήματος» και στο πρώτο κελί της στήλης «Ερώτηση» πληκτρολογήστε την ερώτηση: «Πόσα αδέλφια έχεις». Στο πρώτο κελί της δεύτερης στήλης με το όνομα «Μεταβλητή» πληκτρολογήστε το όνομα της μεταβλητής της παραπάνω ερώτησης. Στο πρώτο κελί της τρίτης στήλης με το όνομα «Τύπος μεταβλητής» επιλέξτε μεταξύ της «ποσοτικής – διακριτής», «ποσοτικής – συνεχής» και «ποιοτικής» τον τύπο της μεταβλητής που ορίσατε. Στη συνέχεια επιλέξτε το πεδίο «Φόρμα» και στην ερώτηση «Πόσα αδέλφια έχετε» δώστε τις 24 παραπάνω απαντήσεις. Κάθε φορά που πληκτρολογείτε μια απάντηση θα πρέπει να επιλέγετε το πλήκτρο «Εγγραφή». Αφού δώσετε όλες τις απαντήσεις, επιλέξτε το πεδίο «Εγγραφές» για να δείτε στην πρώτη στήλη με το όνομα «Πόσα αδέλφια έχεις» τις απαντήσεις σας. Στο πεδίο αυτό επιλέξτε τη στήλη με τις εγγραφές και στη συνέχεια επιλέξτε «Διαλογή&Μεταφορά». Στον πίνακα της «Στατιστικής» θα εμφανιστεί η συχνότητα για κάθε τιμή της μεταβλητής.

• Μπορείτε να αναπαραστήσετε με ραβδόγραμμα την κατανομή συχνοτήτων του δείγματος;

• Μπορείτε να αναπαραστήσετε με κυκλικό διάγραμμα την κατανομή συχνοτήτων του δείγματος;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν τη διαδικασία συλλογής δεδομένων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Ερωτήσεις», προκειμένου να αναπαραστήσουν τη συλλογή δεδομένων του προβλήματος και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό για να κάνουν επεξεργασία και αναπαράσταση των δεδομένων με ραβδόγραμμα ή


Σελίδα 140

κυκλικό διάγραμμα. Η διαδικασία αυτή εμπλέκει τους μαθητές σε μια σειρά διαδικασιών που συνήθως δεν εμφανίζονται παραδοσιακά στη διδασκαλία της στατιστικής. Συγκεκριμένα, οι μαθητές πληκτρολογούν την ερώτηση, καθορίζουν τη μεταβλητή που μελετούν, καθώς και το είδος της, συλλέγουν δεδομένα, απαντώντας στην ερώτηση όπως οι ερωτώμενοι, επεξεργάζονται τα δεδομένα, επιλέγοντας «Διαλογή» και «Μεταφορά» στο πρόγραμμα της «Στατιστικής», και εκεί επεξεργάζονται περαιτέρω τη συχνότητα της κατανομής, επιλέγοντας τη γραφική της παρουσίαση.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να αναπαραστήσουν όλη τη διαδικασία μιας στατιστικής έρευνας. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται ορίσουν τη μεταβλητή ύψος ως ποσοτική – διακριτή μεταβλητή, να πληκτρολογήσουν όλες τις δεδομένες απαντήσεις και να τις επεξεργαστούν. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα ερωτήματα, όπως:

• Μπορείτε να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε πέντε ομάδες και να αναπαραστήσετε τη συχνότητα εμφάνισης των δεδομένων σε ένα ιστόγραμμα;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Αναπαράσταση συλλογής και επεξεργασία δεδομένων δείγματος

Ρωτήσαμε τους 40 υπαλλήλους μιας εταιρείας τι ηλικία έχουν και πήραμε τις εξής απαντήσεις:

35, 64, 22, 25, 43, 38, 42, 39, 47, 42, 44, 38, 29, 26, 37, 52, 34, 26, 62, 54, 55, 32,57, 47, 49, 25, 37, 49, 55, 53, 34, 37, 34, 26, 52, 37, 33, 45, 48, 63

Στη μονάδα «Ερώτηση» επιλέξτε «Δημιουργία ερωτήματος» και στο πρώτο κελί της στήλης «Ερώτηση» πληκτρολογήστε την ερώτηση «Τι ηλικία έχετε». Στο πρώτο κελί της δεύτερης στήλης με το όνομα «Μεταβλητή» πληκτρολογήστε το


Σελίδα 141

όνομα της μεταβλητής της παραπάνω ερώτησης. Στο πρώτο κελί της τρίτης στήλης με το όνομα «Τύπος μεταβλητής» επιλέξτε μεταξύ της «ποσοτικής – διακριτής», «ποσοτικής – συνεχής» και «ποιοτικής» τον τύπο της μεταβλητής που ορίσατε. Στη συνέχεια επιλέξτε το πεδίο «Φόρμα» και στην ερώτηση «Τι ηλικία έχετε» δώστε τις 40 παραπάνω απαντήσεις. Κάθε φορά που πληκτρολογείτε μια απάντηση θα πρέπει να επιλέγετε το πλήκτρο «Εγγραφή». Αφού δώσετε όλες τις απαντήσεις, επιλέξτε το πεδίο «Εγγραφές» για να δείτε στην πρώτη στήλη με το όνομα «Τι ηλικία έχετε» όλες τις απαντήσεις. Στο πεδίο αυτό επιλέξτε τη στήλη με τις εγγραφές και στη συνέχεια στο πτυσσόμενο κουτί επιλέξτε το πλήθος των ομάδων στις οποίες θέλετε να χωρίσετε τα δεδομένα σας. Στη συνέχεια επιλέξτε «Ομαδοποίηση». Στον πίνακα της «Στατιστικής» θα εμφανιστούν: στην πρώτη στήλη οι ομάδες στις οποίες χωρίσατε τα δεδομένα, στη δεύτερη στήλη το κέντρο της ομάδας και στην τρίτη στήλη η συχνότητα εμφάνισης των δεδομένων.

• Μπορείτε να αναπαραστήσετε με ιστόγραμμα την κατανομή συχνοτήτων του δείγματος;

• Μπορείτε να αναπαραστήσετε με κυκλικό διάγραμμα την κατανομή συχνοτήτων του δείγματος;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν τη διαδικασία συλλογής και ομαδοποίησης δεδομένων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Ερωτήσεις» για να αναπαραστήσουν τη συλλογή δεδομένων του προβλήματος και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό για να κάνουν επεξεργασία και αναπαράσταση των δεδομένων με ραβδόγραμμα ή κυκλικό διάγραμμα. Η διαδικασία αυτή εμπλέκει τους μαθητές σε μια σειρά ενεργειών που συνήθως δεν εμφανίζονται στην παραδοσιακή διδασκαλία της στατιστικής. Συγκεκριμένα, οι μαθητές πληκτρολογούν την ερώτηση, καθορίζουν τη μεταβλητή που μελετούν, καθώς και το είδος της, συλλέγουν δεδομένα, απαντώντας στην ερώτηση όπως οι ερωτώμενοι, επεξεργάζονται τα δεδομένα, επιλέγοντας «Ομαδοποίηση» και «Μεταφορά» στο πρόγραμμα της Στατιστικής, και εκεί επεξεργάζονται περαιτέρω τη συχνότητα της κατανομής, επιλέγοντας τη γραφική της παρουσίαση.


Σελίδα 142

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να αναπαραστήσουν όλη τη διαδικασία μιας στατιστικής έρευνας. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται ορίσουν τη μεταβλητή «ηλικία» ως ποσοτική – διακριτή μεταβλητή, να πληκτρολογήσουν όλες τις δεδομένες απαντήσεις, να επιλέξουν την ομαδοποίηση σε οκτώ ομάδες και να επεξεργαστούν περαιτέρω τη συχνότητα των δεδομένων. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα ερωτήματα, όπως:

• Μπορείτε να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε πέντε ομάδες και να αναπαραστήσετε τη συχνότητα εμφάνισης των δεδομένων σε ιστόγραμμα και κυκλικό διάγραμμα;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Επεξεργασία δεδομένων δείγματος Ρωτήσαμε τους 40 υπαλλήλους μιας εταιρείας τι ηλικία έχουν και πήραμε τις εξής απαντήσεις:

35, 64, 22, 25, 43, 38, 42, 39, 47, 42, 44, 38, 29, 26, 37, 52, 34, 26, 62, 54, 55, 32,57, 47, 49, 25, 37, 49, 55, 53, 34, 37, 34, 26, 52, 37, 33, 45, 48, 63

• Μπορείτε να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο του δείγματος;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της διαμέσου και της μέσης τιμής.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Ερωτήσεις» για να αναπαραστήσουν τη συλλογή δεδομένων του προβλήματος και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό «Στατιστική» για να κάνουν επεξεργασία και να βρουν τη διάμεσο ή τη μέση τιμή. Η διαδικασία αυτή εμπλέκει τους μαθητές σε μια σειρά ενεργειών που συνδέονται άμεσα με τον υπολογισμό της διαμέσου και της μέσης τιμής. Ακόμα, μπορούν να εισάγουν τα δεδομένα απευθείας στον πίνακα του προγράμματος «Στατιστική» και στη συνέχεια να ακολουθήσουν τις απαιτούμενες διαδικασίες για να προσδιορίσουν τη διάμεσο και τη μέση τιμή.


Σελίδα 143

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να αναπαραστήσουν όλη τη διαδικασία μιας στατιστικής επεξεργασία. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διατάξουν τα δεδομένα κατά αύξουσα σειρά και να βρουν τη διάμεσο που είναι η μέση τιμή του 20ού και του 21ου δεδομένου. Για τη μέση τιμή προσθέτουν όλα τα δεδομένα και διαιρούν το αποτέλεσμα διά του πλήθους 40. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα ερωτήματα, όπως:

• Μπορείτε να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε οκτώ ομάδες και να βρείτε τη συχνότητα και τη μέση τιμή;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Επεξεργασία δεδομένων δείγματος Μετρήθηκε η μέση θερμοκρασία μιας πόλης για τις 30 ημέρες ενός μήνα και βρέθηκαν οι εξής τιμές:

18, 21, 22, 25, 23, 18, 17, 19, 20, 22, 23, 21, 20, 19, 23, 25, 22, 20, 22, 19, 23, 22, 17, 17, 19, 20, 17, 19, 18, 20

• Μπορείτε να βρείτε τη συχνότητα και τη σχετική συχνότητα των τιμών του

δείγματος; • Μπορείτε να αναπαραστήσετε τη σχετική συχνότητα με ραβδόγραμμα;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της σχετικής συχνότητας.


Σελίδα 144

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Ερωτήσεις» για να αναπαραστήσουν τη συλλογή δεδομένων του προβλήματος και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό «Στατιστική» για να κάνουν επεξεργασία και να βρουν τη σχετική συχνότητα. Η διαδικασία αυτή εμπλέκει τους μαθητές σε μια σειρά ενεργειών που συνδέονται άμεσα με τον υπολογισμό της σχετικής συχνότητας. Φυσικά, μπορούν να εισάγουν τα δεδομένα απευθείας στον πίνακα του προγράμματος της «Στατιστικής» και στη συνέχεια να ακολουθήσουν τις απαιτούμενες διαδικασίες για να απαντήσουν στα δύο ερωτήματα.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να αναπαραστήσουν όλη τη διαδικασία εύρεσης της σχετικής συχνότητας. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαιρέσουν τη συχνότητα με τον αριθμό 30 και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσουν το αποτέλεσμα με το 100. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα ερωτήματα, όπως:

• Μπορείτε να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε οκτώ ομάδες και να βρείτε τη σχετική συχνότητα;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Επεξεργασία δεδομένων δείγματος Μετρήθηκε η μέση θερμοκρασία μιας πόλης για τις 30 ημέρες ενός μήνα και βρέθηκαν οι εξής τιμές:

18, 21, 22, 25, 23, 18, 17, 19, 20, 22, 23, 21, 20, 19, 23, 25, 22, 20, 22, 19, 23, 22, 17, 17, 19, 20, 17, 19, 18, 20


Σελίδα 145

• Μπορείτε να βρείτε την αθροιστική συχνότητα και τη σχετική αθροιστική συχνότητα των τιμών του δείγματος;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της σχετικής συχνότητας.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Ερωτήσεις» για να αναπαραστήσουν τη συλλογή δεδομένων του προβλήματος και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό «Στατιστική» για να κάνουν επεξεργασία και να βρουν την αθροιστική και τη σχετική συχνότητα. Η διαδικασία αυτή εμπλέκει τους μαθητές σε μια σειρά ενεργειών που συνδέονται άμεσα με την έννοια της αθροιστικής συχνότητας και της σχετικής αθροιστικής συχνότητας. Φυσικά, μπορούν να εισάγουν τα δεδομένα απευθείας στον πίνακα του προγράμματος της «Στατιστικής» και στη συνέχεια να ακολουθήσουν τις απαιτούμενες διαδικασίες για να απαντήσουν στο ερώτημα.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να αναπαραστήσουν όλη τη διαδικασία εύρεσης της αθροιστικής και της σχετικής αθροιστικής συχνότητας. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να υπολογίσουν την αθροιστική συχνότητα μιας τιμής της μεταβλητής από το άθροισμα της συχνότητας αυτής της τιμής και όλων των μικρότερών της. Άρα θα πρέπει να έχουν διατάξει με την επιλογή «Ταξινόμηση» τις τιμές της μεταβλητής κατά αύξουσα σειρά. Για τη σχετική αθροιστική συχνότητα αναμένεται να διαιρέσουν τις αθροιστικές συχνότητες με τον αριθμό 30. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα ερωτήματα, όπως:


Σελίδα 146

• Μπορείτε να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε πέντε ομάδες και να βρείτε την αθροιστική και τη σχετική αθροιστική συχνότητα;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6: Τυπική απόκλιση δεδομένων δείγματος Οι βαθμοί που πήραν 20 μαθητές της Β΄ Τάξης στο μάθημα των Μαθηματικών ήταν οι εξής:

11, 12, 14, 15, 12, 9, 10, 11, 20, 16, 13, 11, 10, 9, 12, 15, 12, 10, 12, 19 Μπορείτε να βρείτε:

• Τη μέση τιμή της βαθμολογίας των τιμών του δείγματος; • Την τυπική απόκλιση των τιμών του δείγματος;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της τυπικής απόκλισης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Ερωτήσεις» για να αναπαραστήσουν τη συλλογή δεδομένων του προβλήματος και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό «Στατιστική» για να κάνουν επεξεργασία και να βρουν τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Η διαδικασία αυτή εμπλέκει τους μαθητές σε μια σειρά ενεργειών που συνδέονται άμεσα με την έννοια της τυπικής απόκλισης.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να αναπαραστήσουν όλη τη διαδικασία εύρεσης της τυπικής απόκλισης.


Σελίδα 147

Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να υπολογίσουν τη μέση τιμή και στη συνέχεια τα υπολογίσουν στις επόμενες στήλες: το «Τιμή x Συχνότητα», το «Τιμή – Μέση Τιμή», το «(Τιμή – Μέση Τιμή)2» και στη συνέχεια το «Συχνότητα x (Τιμή – Μέση Τιμή)2». Τέλος θα υπολογίσουν το άθροισμα των εγγραφών της τελευταίας στήλης και στη συνέχεια το πηλίκο του τελευταίου αθροίσματος διά του πλήθους 20. Η τετραγωνική ρίζα του τελευταίου πηλίκου είναι η ζητούμενη τυπική απόκλιση. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα ερωτήματα, όπως:

• Μπορείτε να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε πέντε ομάδες και να βρείτε την τυπική απόκλιση του δείγματος;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Κατασκευή κανονικού εξαγώνου Βασική ιδέα Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα κατασκευάσουν σταδιακά ένα κανονικό εξάγωνο, χρησιμοποιώντας έναν εικονικό διαβήτη και έναν κανόνα. Η δραστηριότητα έχει στόχο να κατανοήσουν οι μαθητές τη δομή ενός κανονικού εξαγώνου και τις σχέσεις που έχουν μεταξύ τους τα μέρη από τα οποία αποτελείται.

Α) Κατασκευάζω

• Κατασκευάστε έναν κύκλο με κέντρο Ο και τυχαία ακτίνα. Κατασκευάστε ένα νέο κύκλο με κέντρο το Α και σύρετέ τον έως ότου μεταφερθεί το κέντρο του πάνω στον αρχικό κύκλο.

• Μεταβάλετε την ακτίνα του κύκλου Α, ώστε να περνά από το κέντρο Ο του αρχικού κύκλου. Δημιουργήστε τα σημεία τομής Β, Γ των δύο κύκλων.

• Επαναλάβετε τη διαδικασία για τα σημεία Β, Γ. Κατασκευάστε, δηλαδή, κύκλους με κέντρα Β, Γ και ακτίνα ίση με την αρχική. Δημιουργήστε τα νέα σημαία τομής Δ, Ε.

• Επαναλάβετε την κατασκευή ενός κύκλου με κέντρο το Ε ή το Δ, ώστε να δημιουργηθεί το τελικό σημείο τομής Ζ.

• Ενώστε τα σημεία τομής Α, Β, Ε, Ζ, Δ, Γ, Α, για να κατασκευαστεί ένα εξάγωνο.


Σελίδα 148

Β) Δικαιολογώ Θα πρέπει τώρα να εξηγήσουμε γιατί το εξάγωνο που κατασκευάσαμε είναι κανονικό.

1) Γιατί οι πλευρές του εξαγώνου είναι μεταξύ τους ίσες; 2) Τι σχέση έχει η κάθε πλευρά του εξαγώνου με τον αρχικό κύκλο;

Γ) Γενικεύω

1) Αλλάξτε την ακτίνα του αρχικού κύκλου και επαναλάβετε τη διαδικασία για την κατασκευή του εξαγώνου. Τι άλλαξε; Ποια σχέση ισχύει και πάλι μεταξύ των τμημάτων; Διατυπώστε έναν κανόνα για την πλευρά του κανονικού εξαγώνου, όταν αυτό είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο.

Δ) Επεκτείνω

1) Κατασκευάστε από το κέντρο τις καθέτους προς όλες τις πλευρές του εξαγώνου. Σημειώστε τα σημεία τομής των καθέτων αυτών με τον αρχικό κύκλο. Ποιο κανονικό πολύγωνο μπορούμε να κατασκευάσουμε, αν ενώσουμε τα νέα σημεία με τις κορυφές του αρχικού εξαγώνου;

Διδακτική πρόταση: Οι μαθητές θα εμπλακούν σε δραστηριότητες οι οποίες διακρίνονται ανάλογα με το είδος της δράσης την οποία υλοποιούν:

• Το πρώτο είδος δράσεων θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως κατασκευές με τη βοήθεια των υπολογιστικών εργαλείων που διαθέτουν. Στην ουσία οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν το διαβήτη του λογισμικού και τον κανόνα.

• Μόλις οι μαθητές ολοκληρώσουν την κατασκευή, καλούνται να δικαιολογήσουν γιατί τα έξι τμήματα είναι ίσα. Εδώ θα πρέπει να επικαλεστούν την ισότητα των ακτίνων των κύκλων.

• Ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να συσχετίσουν την πλευρά του εξαγώνου με την ακτίνα των ίσων κύκλων.

• Στη συνέχεια οι μαθητές αλλάζουν το μέτρο της ακτίνας του αρχικού κύκλου και διαπιστώνουν ότι και πάλι είναι ίσες οι έξι πλευρές. Το


Σελίδα 149

συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι σε κάθε κανονικό εξάγωνο η πλευρά είναι ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

• Στο τέταρτο ερώτημα οι μαθητές θα κατασκευάσουν ένα κανονικό δωδεκάγωνο. Η διαδικασία αυτή, αν επεκταθεί, θα μπορούσε να οδηγήσει στην κατασκευή οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου, του οποίου το πλήθος των πλευρών είναι πολλαπλάσιο του 6.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Ο κύκλος και οι γωνίες Εισαγωγή Ο θεματικός κύκλος των αποδείξεων στηρίζεται καταρχήν στις δυνατότητες του λογισμικού να παρέχει στο μαθητή ευκαιρίες για διερεύνηση και διατύπωση εικασίας σχετικά με την ενδεχόμενη σχέση ανάμεσα σε μεγέθη που μεταβάλλονται. Το να αρκείται όμως ο μαθητής στη διατύπωση εικασιών δεν ολοκληρώνει μία γνήσια μαθηματική διαδικασία, αφού παραμένει εκτός η απόδειξη της εικασίας. Είναι αλήθεια ότι η αποδεικτική διαδικασία αποτελεί για το γυμνάσιο ένα διδακτικό ερώτημα και απαιτεί παροχή σημαντικής εποπτικής υποστήριξης προς το μαθητή. Οι δραστηριότητες που ακολουθούν οδηγούν το μαθητή από τη διερεύνηση και την εικασία στη δικαιολόγηση και τελικά στην απόδειξη μιας σχέσης. Ο δυναμικός χαρακτήρας του λογισμικού και η κατευθυνόμενη πορεία που δημιουργούν τα ερωτήματα των φύλλων εργασίας παρέχουν μία ισχυρή βάση για δραστηριότητες απόδειξης. Κρίναμε απαραίτητο να υπάρχει στο τέλος μία φάση εφαρμογής της πρότασης που οι μαθητές έχουν αποδείξει, ώστε η πρόταση αυτή να αποτελέσει το υλικό πάνω στο οποίο θα στηριχτεί μία νέα ενδεχομένως απόδειξη.

Βασική ιδέα Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα μελετήσουν τις σχέσεις που συνδέουν τις εγγεγραμμένες και τις επίκεντρες γωνίες. Οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν τη δυνατότητα του λογισμικού να μετρά και αρχικά θα εντοπίσουν, μέσω των μετρήσεων, σχέσεις ανάμεσα στις γωνίες. Στη συνέχεια θα προχωρήσουν σε μία απόδειξη των σχέσεων που έχουν εντοπίσει. Α) Ερευνώ και ανακαλύπτω

1) Κατασκευάστε έναν κύκλο με κέντρο Ο και τρία σημεία Α, Β, Γ πάνω σε αυτόν. Κατασκευάστε τα τμήματα ΑΒ, ΑΓ, ΟΒ, ΟΓ.

2) Μετρήστε τις γωνίες ΟΒΓ και ΒΑΓ. Τι παρατηρείτε; Ποια σχέση φαίνεται

να συνδέει τις δύο γωνίες;

3) Μετακινήστε τα σημεία που βρίσκονται πάνω στον κύκλο. Ισχύει η σχέση που παρατηρήσατε στο προηγούμενο ερώτημα;


Σελίδα 150

4) Διατυπώστε έναν κανόνα με βάση τα συμπεράσματά σας από τα προηγούμενα ερωτήματα.

Β) Δικαιολογώ και αποδεικνύω Έχετε ήδη ανακαλύψει μία σχέση μεταξύ της επίκεντρης και της εγγεγραμμένης γωνίας σε έναν κύκλο. Εδώ όμως θα πρέπει να αναγνωρίσετε ότι για τη σχέση αυτή έχετε μόνο ενδείξεις που προέρχονται από την ικανότητα του λογισμικού να μετρά. Στη συνέχεια θα πρέπει να αιτιολογήσετε μόνο με μαθηματικούς συλλογισμούς γιατί ισχύει αυτή η σχέση, δηλαδή να κάνετε μία απόδειξη. Απαντήστε στα επόμενα ερωτήματα:

1) Κατασκευάστε την ημιευθεία ΑΟ και το σημείο τομής της με τον κύκλο Κ. Μετρήστε τις γωνίες ΒΟΚ και ΒΑΟ. Ποια σχέση έχουν οι δύο γωνίες;

2) Να αιτιολογήσετε τη σχέση αυτή, λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές και ότι η γωνία ΒΟΚ είναι εξωτερική του τριγώνου.

3) Επεκτείνετε τα συμπεράσματά σας και για τις γωνίες ΚΟΓ και ΟΑΓ. Πώς μπορούμε τώρα να δικαιολογήσουμε τη σχέση που συνδέει την επίκεντρη γωνία με την εγγεγραμμένη;

4) Κατασκευάστε ένα σημείο Μ πάνω στον κύκλο και τα τμήματα ΜΒ και ΜΓ. Μετρήστε τη γωνία ΒΜΓ. Τι παρατηρείτε; Σύρετε το σημείο Μ. Τι παραμένει σταθερό;


Σελίδα 151

5) Πώς μπορούμε να δικαιολογήσουμε τη σχέση μεταξύ των γωνιών ΒΑΓ και ΒΜΓ;

Γ) Εφαρμόζω Οι προτάσεις που ήδη έχετε ανακαλύψει και αποδείξει θα χρησιμοποιηθούν τώρα για την αιτιολόγηση άλλων προτάσεων που θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν εφαρμογές, συνέπειες ή πορίσματα, όπως πολλές φορές αποκαλούνται, της αρχικής πρότασης.

1) Κατασκευάστε δύο σημεία Α, Β και μία ημιευθεία που να περνά από το σημείο Α. Φέρτε μία κάθετο από το Β προς την ημιευθεία και κατασκευάστε το σημείο τομής των δύο ευθειών.

2) Μεταβάλετε τη θέση της ημιευθείας. Προφανώς θα μετακινηθεί και το σημείο τομής των δύο ευθειών. Πώς φαίνεται να μετακινείται το σημείο αυτό; Κινείται ευθύγραμμα; Αν όχι, σε τι καμπύλη επάνω φαίνεται να κινείται;

3) Κατασκευάστε έναν κύκλο του οποίου το κέντρο να βρίσκεται πάνω στην

ευθεία που ορίζουν τα σημεία Α, Β και να περνά από το σημείο τομής των δύο ευθειών.


Σελίδα 152

4) Μεταβάλετε τη θέση της ημιευθείας. Τι παρατηρείτε; Διδακτική πρόταση Η δραστηριότητα μπορεί να υλοποιηθεί σε τρεις φάσεις, σε καθεμία από τις οποίες οι μαθητές πραγματοποιούν διαφορετικές μαθηματικές δράσεις. Στην πρώτη φάση:

• Ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να κατασκευάσουν μία επίκεντρη και την εγγεγραμμένη γωνία και να πραγματοποιήσουν μετρήσεις. Εδώ θα μπορούσε να ζητήσει να κάνουν μία εικασία για τη σχέση της επίκεντρης με την εγγεγραμμένη πριν πραγματοποιηθούν οι μετρήσεις.

• Στη συνέχεια οι μαθητές μελετούν τις μετρήσεις. Κινούν το σημείο Α και καταγράφουν τις παρατηρήσεις τους, δηλαδή ότι η εγγεγραμμένη διατηρείται σταθερή και η επίκεντρη έχει μέτρο διπλάσιο από εκείνο της εγγεγραμμένης.

• Για να επιβεβαιώσουν τη διαπίστωση αυτή μεταβάλουν τη θέση των σημείων Β, Γ πάνω στον κύκλο και καταγράφουν πάλι τις μετρήσεις τους.

• Θα είχε ενδιαφέρον οι μαθητές, μεταβάλλοντας τη θέση των Β, Γ, να στείλουν τις μετρήσεις των δύο γωνιών στο γράφημα. Το γράφημα αποτελείται τώρα από συνευθειακά σημεία που δείχνουν τη γραμμική σχέση των δύο γωνιών.

Στη δεύτερη φάση:

• Οι μαθητές φέρνουν την ημιευθεία ΑΟ, αλλά καλό θα είναι να συνεχίσουν τη δραστηριότητα με ένα σχήμα στο τετράδιό τους.

• Η γωνία ΒΟΚ είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΟΒ το οποίο είναι ισοσκελές. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία αυτή είναι διπλάσια της ΒΑΟ.

• Με τον ίδιο τρόπο οι μαθητές δικαιολογούν ότι η γωνία ΚΟΓ είναι διπλάσια της ΟΑΓ. Ο διδάσκων τους επισημαίνει ότι θα πρέπει να καταλήξουν σε κάποιο συμπέρασμα σχετικά με το άθροισμα των γωνιών.

• Οι μαθητές έχουν πλέον αποδείξει ότι η επίκεντρη είναι διπλάσια της εγγεγραμμένης και κατασκευάζουν μία νέα εγγεγραμμένη στο τόξο ΒΓ. Η μέτρηση της γωνίας αυτής θα αποτελέσει αντικείμενο διαπραγμάτευσης, αφού θα προκύψει ότι είναι ίση με την αρχική εγγεγραμμένη. Ο διδάσκων τώρα ζητά από τους μαθητές μία αιτιολόγηση για την ισότητα των γωνιών αυτών.

Στην τρίτη φάση: Στη φάση αυτή οι μαθητές θα μελετήσουν το γεωμετρικό τόπο των σημείων που βλέπουν με ορθή γωνία ένα τμήμα ΑΒ.

• Οι μαθητές πραγματοποιούν την κατασκευή και κινούν την ημιευθεία που περνά από το Α. Παρατηρούν το σημείο τομής και κάνουν εικασίες για την καμπύλη πάνω στην οποία φαίνεται να κινείται.


Σελίδα 153

• Μόλις οι μαθητές κατασκευάσουν τον κύκλο, θα παρατηρήσουν ότι αυτός περνά από το σημείο τομής.

• Μόλις μετακινήσουν την ημιευθεία που περνά από το Α, θα παρατηρήσουν ότι το σημείο τομής κινείται πάνω στον κύκλο που έχουν κατασκευάσει.

• Τέλος διατυπώνουν και γράφουν μία πρόταση για την καμπύλη πάνω στην οποία κινείται το σημείο τομής.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Υπολογισμός του ημιτόνου οξείας γωνίας Βασική ιδέα Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα κατασκευάσουν σταδιακά ένα μεταβαλλόμενο ορθογώνιο τρίγωνο, θα μετρήσουν τις πλευρές και τις γωνίες του και θα υπολογίσουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς διαφόρων γωνιών με τη βοήθεια του πίνακα της «Στατιστικής». Το μεταβαλλόμενο ορθογώνιο τρίγωνο επιτρέπει στους μαθητές να διαπιστώσουν ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας είναι ανεξάρτητοι από το ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο ανήκει, αρκεί να μην μεταβάλλονται οι γωνίες του. Επιπλέον δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να επινοήσουν μία διαδικασία, με βάση τα εργαλεία που διαθέτουν, ώστε να δημιουργήσουν έναν πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών. Α) Κατασκευάζω

• Κατασκευάστε δύο ευθείες δ, ε και ένα σημείο Μ έξω από αυτές. • Κατασκευάστε την κάθετο από το Μ προς τη δ και ονομάστε Α το σημείο

τομής. • Κατασκευάστε ένα σημείο Β πάνω στη δ και από το Β φέρτε παράλληλη

προς την ε που κόβει την κάθετη στο Γ.

• Αποκρύψτε όλες τις ευθείες εκτός της ε. Αποκρύψτε και το σημείο Μ.

Ενώστε με ευθύγραμμα τμήματα τα σημεία Α, Β, Γ. • Μετρήστε κατά σειρά την πλευρά ΑΓ, την υποτείνουσα ΒΓ και τη γωνία Β.

Κάντε κλικ στο κουμπί «Μετρήσεις», έχοντας επιλέξει «Αποστολή» στον πίνακα.


Σελίδα 154

Β) Ερευνώ και υπολογίζω 1) Αλλάξτε την κλίση της ευθείας ε. Ποια ποσά μεταβάλλονται και ποια

παραμένουν σταθερά στο τρίγωνο ΑΒΓ; 2) Θέλουμε να κατασκευάσουμε έναν πίνακα με ημίτονα δέκα γωνιών.

Αποστείλετε τις μετρήσεις στον πίνακα της «Στατιστικής» και με τις κατάλληλες πράξεις εμφανίστε το ημίτονο της γωνίας Β δίπλα στο κελί που εμφανίζεται η μέτρησή της.

3) Μεταβάλετε την κλίση της ευθείας ε και εισάγετε άλλες εννιά ομάδες μετρήσεων στον πίνακα. Υπολογίστε τα ημίτονα των γωνιών.

4) Μελετήστε τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλονται οι τιμές του ημιτόνου και συγκρίνετέ τον με τον τρόπο που μεταβάλλονται οι τιμές της γωνίας. Διατυπώστε το σχετικό κανόνα.

5) Διαγράψτε όλες τις τιμές από τον πίνακα. Σύρετε το σημείο Β. Περάστε τις μετρήσεις των δύο πλευρών στον πίνακα και υπολογίστε το λόγο τους. Επαναλάβετε αρκετές φορές. Τι παρατηρείτε;

Διδακτική πρόταση Η σταδιακή κατασκευή του μεταβαλλόμενου ορθογωνίου από τους μαθητές έχει στόχο να κατανοήσουν τη δομή του δυναμικού σχήματος και να αποκτήσουν αντίληψη για τα μεταβαλλόμενα ποσά. Η δραστηριότητα αυτή οδηγεί τους μαθητές στην κατασκευή ενός πίνακα ημιτόνων· μία παρόμοια δραστηριότητα θα μπορούσε προφανώς να οδηγήσει στη δημιουργία ενός πίνακα συνημιτόνων ή εφαπτομένων.

• Η πρώτη ερώτηση έχει στόχο να αποκτήσουν οι μαθητές αντίληψη για τα ποσά που μεταβάλλονται και ιδιαίτερα για τη γωνία Β και τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ.

• Στη δεύτερη ερώτηση οι μαθητές θα δημιουργήσουν μία διαδικασία της μορφής:

Μεταβολή κλίσης → Εισαγωγή στον πίνακα → Διαίρεση των μετρήσεων

• Στη συνέχεια θα μεταβάλουν σταδιακά και με αύξουσα σειρά την κλίση της ευθείας και θα περνούν κάθε φορά τις μετρήσεις τους στον πίνακα


Σελίδα 155

της «Στατιστικής». Οι μετρήσεις αυτές θα εμφανίζονται σε στήλες τις οποίες οι μαθητές μπορούν να μεταφέρουν, αν το κρίνουν αναγκαίο.

Η στήλη των πηλίκων περιέχει τα ημίτονα των τιμών της γωνίας Β που έχουν μετρηθεί.

• Στόχος της τέταρτης ερώτησης είναι οι μαθητές να συνδυάσουν τη μονοτονία της γωνίας με τη μονοτονία του ημιτόνου. Συγκεκριμένα θα περιγράψουν στο τετράδιό τους το γεγονός ότι καθώς αυξάνεται η γωνία Β, αυξάνεται και το ημίτονό της. Ακόμη θα εντοπίσουν ότι κοντά στις 90ο το ημίτονο προσεγγίζει τον αριθμό 1.

• Στόχος της πέμπτης ερώτησης είναι οι μαθητές να συνδέσουν τη

σταθερότητα των γωνιών με τη σταθερότητα του λόγου των πλευρών. Η διαπίστωση αυτή αφορά προφανώς στην ομοιότητα των τριγώνων, αλλά δεν είναι αναγκαίο να αναφερθεί ο διδάσκων στην έννοια αυτή.

ΕΜΒΑΔΑ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Εμβαδά στο πλέγμα Βασική ιδέα Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα κατασκευάσουν πολύγωνα με κορυφές τα σημεία ενός πλέγματος και θα υπολογίσουν το εμβαδόν τους. Το πλέγμα αποτελεί ένα διδακτικό εργαλείο για πλήθος εννοιών που συναντώνται στο γυμνάσιο, μεταξύ αυτών συγκαταλέγεται και η μέτρηση εμβαδών επιπέδων σχημάτων. Η βασική του αρχή είναι ο περιορισμός που τίθεται για τα επίπεδα σχήματα να έχουν τις κορυφές τους πάνω στα σημεία που δημιουργεί το πλέγμα. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν οποιουδήποτε πολυγώνου με τη βοήθεια ορθογώνιων τριγώνων και μονάδα μέτρησης την απόσταση δύο σημείων που βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη ή οριζόντια ευθεία.



Σελίδα 156

• Στο χώρο της «Γεωμετρίας» εμφανίστε το πλέγμα και να επιλέξτε «Δέσμευση».

• Μετρήστε την ελάχιστη απόσταση δύο διαδοχικών σημείων του πλέγματος.

• Κατασκευάστε τα δύο σχήματα της παρακάτω εικόνας.

Β) Ερευνώ και υπολογίζω 1) Μετρήστε στο πρώτο σχήμα τα εντελώς απαραίτητα τμήματα με τα οποία

θα υπολογίσετε το εμβαδόν. 2) Υπολογίστε το εμβαδόν με όσο το δυνατόν περισσότερους τρόπους.

Εκτιμήστε εκείνον που είναι συντομότερος (αν υπάρχει).

3) Κατασκευάστε σχήματα τα οποία δεν διαθέτουν καμιά ορθή γωνία, όπως το παρακάτω. Υπολογίστε το εμβαδόν τους και σε αυτή την περίπτωση.

4) Κατασκευάστε δύο πολύγωνα με εμβαδά 18 και 29 τετρ. μονάδες, αντίστοιχα.

Διδακτική πρόταση Στόχος της δραστηριότητας είναι να μπορούν οι μαθητές να υπολογίζουν το εμβαδόν ενός πολυγώνου και προσθετικά και αφαιρετικά. Συγκεκριμένα θα πρέπει να επινοήσουν διάφορους τρόπους υπολογισμού του εμβαδού, χωρίζοντας σε υπολογίσιμα τμήματα το αρχικό πολύγωνο ή αφαιρώντας από ένα μεγαλύτερο πολύγωνο ορισμένα τμήματα, ώστε να προκύψει το ζητούμενο εμβαδόν.


Σελίδα 157

Η δραστηριότητα ξεκινά με την κατασκευή ενός πολυγώνου με κορυφές στο πλέγμα. Θα ήταν καλύτερα οι μαθητές να προτιμήσουν την κατασκευή πολυγώνου παρά την κατασκευή με ευθύγραμμα τμήματα.

• Στην πρώτη ερώτηση θα διαπραγματευτούν μία στρατηγική με την οποία θα υπολογίσουν το εμβαδόν. Μία κοινή προτίμηση είναι συνήθως εκείνη με την οποία το πολύγωνο χωρίζεται σε ένα ορθογώνιο και σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο.

• Εδώ καλό θα ήταν ο διδάσκων να ζητήσει και μια δεύτερη στρατηγική υπολογισμού. Στην περίπτωση αυτή οι μαθητές θα εντοπίσουν ένα μεγαλύτερο ορθογώνιο από το οποίο θα αφαιρέσουν ένα τραπέζιο, προκειμένου να προκύψει το εμβαδόν του πολυγώνου.

• Ένας άλλος τρόπος θα ήταν να χωριστεί και το τραπέζιο, το οποίο

βρίσκεται στο επάνω μέρος του πολυγώνου, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

• Στην τρίτη ερώτηση οι μαθητές θα πρέπει να δημιουργήσουν τα κατάλληλα ορθογώνια τρίγωνα και παραλληλόγραμμα.

• Στόχος της τέταρτης ερώτησης είναι οι μαθητές να διερευνήσουν το

αντίστροφο πρόβλημα της εύρεσης του εμβαδού ενός δοσμένου πολυγώνου. Αναμένεται να επιλέξουν μία απλή στρατηγική, όταν το γινόμενο είναι σύνθετος αριθμός (π.χ. 18=3×6), ενώ θα ερευνήσουν λύσεις για την περίπτωση που το εμβαδόν είναι πρώτος αριθμός, π.χ. 29. Μία λύση στην περίπτωση αυτή θα ήταν να κατασκευάσουν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις 6×5 και να του αφαιρέσουν ένα βασικό τετράγωνο πλέγματος.


Σελίδα 158

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισαγωγή Οι δραστηριότητες που σχετίζονται με τα διανύσματα διακρίνονται σε δύο ομάδες. Στην πρώτη ομάδα οι μαθητές θα εμπλακούν στη μελέτη των διανυσμάτων που παριστάνουν ένα φυσικό μέγεθος, όπως η ταχύτητα ή η δύναμη. Στις δραστηριότητες αυτές στόχος είναι η μελέτη φαινομένων κίνησης η οποία πραγματοποιείται σε ένα περιβάλλον προσομοίωσης, ώστε οι μαθητές να έχουν μία εποπτική αντίληψη της δράσης των διανυσμάτων και της συμπεριφοράς του αθροίσματός τους. Στη δεύτερη ομάδα περιλαμβάνονται δραστηριότητες με τις οποίες οι μαθητές θα συνδέσουν διαφορετικές θεματικές περιοχές, όπως η περιοχή των διανυσμάτων με την ομοιότητα και τις συναρτήσεις.

ΣΕΝΑΡΙΟ 1

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Ταξίδι με αεροπλάνο Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι ονομασίες και οι κατευθύνσεις διαφόρων ανέμων.

ΑΝΕΜΟΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Βόρειος

Νότιος

Δυτικός

Ανατολικός


Βορειοδυτικός

Βορειοανατολικός


Εδώ θα πρέπει να υποθέσετε ότι οι άνεμοι που έχουν σύνθετη ονομασία (βορειοανατολικός κ.λπ.) σχηματίζουν γωνία 45ο με την οριζόντια ευθεία.


Σελίδα 159

Το πρόβλημα Ένα αεροπλάνο ξεκινά από το αεροδρόμιο της Κέρκυρας (-350, 140) και κατευθύνεται προς το αεροδρόμιο των Αθηνών (-70, -10). Ο άνεμος έχει ένταση 70 μονάδες και είναι νότιος. Τα διανύσματα να θεωρήσετε ότι παριστάνουν δυνάμεις. Ερωτήσεις

1) Πώς πρέπει να τοποθετηθεί το διάνυσμα του ανέμου (κόκκινο) πάνω στο αεροπλάνο και ποιες θα πρέπει να είναι οι μετρήσεις του;


αεροπλάνου (αυτό που καθορίζει ο πιλότος), ώστε το αεροπλάνο να κατευθυνθεί στο αεροδρόμιο των Αθηνών;


αεροπλάνου, ώστε να κατευθυνθεί τώρα στο Ηράκλειο της Κρήτης (0, -237);


• Οι μαθητές επιλέγουν το «Σενάριο 1» και εμφανίζουν ένα αντικείμενο με δύο διανύσματα. Το κόκκινο αντιστοιχεί στον άνεμο. Επιλέγουν να εμφανίζονται και οι μετρήσεις.

• Τοποθετούν με σύρσιμο το αεροπλάνο στη θέση που αντιστοιχεί στην

Κέρκυρα. Το σημείο Ο καθορίζει τη θέση του αεροπλάνου και θα πρέπει να έχει συντεταγμένες (-350, 140).

• Καθορίζουν τη γωνία και το μήκος του διανύσματος του ανέμου,

δηλαδή το τοποθετούν κατακόρυφα με φορά προς το Βορρά, ενώ οι μετρήσεις του δείχνουν γωνία 90ο και μήκος 70.

• Πειραματίζονται με τη γωνία και το μήκος του διανύσματος του

αεροπλάνου (μπλε), έως ότου εντοπίσουν το κατάλληλο με το οποίο το αεροπλάνο θα κατευθυνθεί προς την Αθήνα. Εδώ οι μαθητές θα παρατηρήσουν ότι αν το μήκος του μπλε διανύσματος είναι μικρότερο από κάποια τιμή, τότε το αεροπλάνο δεν θα αποκτήσει κατεύθυνση προς την Αθήνα. Θα ήταν χρήσιμο να εμφανίσουν το ίχνος και με βάση αυτό να κάνουν διορθώσεις στο μήκος του μπλε διανύσματος κάθε φορά που το επαναφέρουν στο αρχικό σημείο. Ακόμη, η εμφάνιση του αθροίσματος θα διευκόλυνε τους μαθητές να εκτιμήσουν αν το αεροπλάνο θα κατευθυνθεί προς την Αθήνα ή όχι.


Σελίδα 160

Όταν θεωρήσουν ότι η πορεία είναι ικανοποιητική, καταγράφουν τη γωνία και το μέτρο του μπλε διανύσματος.

• Τέλος μεταφέρουν το αεροπλάνο στη θέση (-70, -10), έχοντας διατηρήσει αμετάβλητο το διάνυσμα του ανέμου. Πειραματίζονται με την κατασκευή του κατάλληλου διανύσματος που θα οδηγήσει το αεροπλάνο από την Αθήνα στο Ηράκλειο της Κρήτης και καταγράφουν τις μετρήσεις του μπλε διανύσματος.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Ταξίδι με αεροπλάνο (2) Το πρόβλημα Ένα αεροπλάνο απογειώνεται από το αεροδρόμιο της Ρόδου που βρίσκεται στο σημείο (260, -180) και θέλει να κινηθεί με τελική ταχύτητα 60 μονάδες προς το αεροδρόμιο της Αθήνας. Ο άνεμος έχει κατεύθυνση νότια και ταχύτητα 60 μονάδες. Τα διανύσματα να θεωρήσετε τώρα ότι παριστάνουν ταχύτητες. Ερωτήσεις

1) Πώς πρέπει να τοποθετηθεί το διάνυσμα της ταχύτητας του ανέμου (κόκκινο) πάνω στο αεροπλάνο και ποιες θα είναι οι μετρήσεις του;

2) Πώς θα πρέπει να τοποθετηθεί το διάνυσμα της ταχύτητας του

αεροπλάνου (αυτό που καθορίζει ο πιλότος), ώστε το αεροπλάνο να κινηθεί όπως καθορίζει το πρόβλημα;

3) Ποιες θα είναι οι μετρήσεις του διανύσματος της ταχύτητας του

αεροπλάνου;

4) Πώς θα πρέπει να τοποθετηθεί το διάνυσμα της ταχύτητας του αεροπλάνου, ώστε η πορεία να γίνει κάθετη στην προηγούμενη;


Σελίδα 161

Διδακτική πρόταση • Οι μαθητές αρχικά επιλέγουν το «Σενάριο 1» και εμφανίζουν ένα

αντικείμενο με δύο διανύσματα. Το κόκκινο αντιστοιχεί στον άνεμο. Επιλέγουν να εμφανίζονται και οι μετρήσεις.

• Τοποθετούν το αεροπλάνο, με σύρσιμο, στη θέση που αντιστοιχεί στην

Ρόδο. Το σημείο Ο καθορίζει τη θέση του αεροπλάνου και θα πρέπει να έχει συντεταγμένες (260, -180).

• Καθορίζουν τη γωνία και το μήκος του διανύσματος του ανέμου,

δηλαδή το τοποθετούν κατακόρυφα με φορά προς το Βορρά, ενώ οι μετρήσεις του δείχνουν γωνία 90ο και μήκος 60.

• Πειραματίζονται με τη γωνία και το μήκος του διανύσματος του

αεροπλάνου (μπλε), έως ότου εντοπίσουν το κατάλληλο με το οποίο το αεροπλάνο θα κατευθυνθεί προς την Αθήνα. Εδώ οι μαθητές θα παρατηρήσουν ότι το διάνυσμα της ταχύτητας του αεροπλάνου (μπλε) θα πρέπει να έχει γωνία 220ο περίπου και μήκος 60.

Στο σημείο αυτό ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να κατασκευάσουν στο τετράδιό τους ένα σχήμα που να αναπαριστά όλα τα διανύσματα. Στόχος είναι να διαπιστώσουν ότι το τετράπλευρο είναι ένας ρόμβος με γωνία 120ο και ότι σε αυτή την περίπτωση η συνισταμένη των δύο διανυσμάτων είναι ίση με καθένα από τα διανύσματα.

• Μόλις γίνει η επεξεργασία στο τετράδιο, οι μαθητές επιβεβαιώνουν τις

επιλογές τους θέτοντας σε κίνηση το αεροπλάνο με ίχνος.

• Στο τέλος ακινητοποιούν το αεροπλάνο και εξετάζουν πώς θα πρέπει να τοποθετηθεί το μπλε διάνυσμα, ώστε το αεροπλάνο να πάρει κάθετη θέση ως προς την αρχική του πορεία. Εδώ θα διαπιστώσουν ότι υπάρχουν δύο επιλογές. Από αυτές, εκείνη που το οδηγεί βόρεια φαίνεται να δημιουργεί και πάλι ρόμβο.


Σελίδα 162

ΣΕΝΑΡΙΟ 2

• Βασική ιδέα

Όταν ένα σώμα δεχτεί την επίδραση δύο δυνάμεων, τότε θα κινηθεί κατά τη διεύθυνση της συνισταμένης των δυνάμεων αυτών, δηλαδή του αθροίσματός τους.

Η κίνηση που θα κάνει το σώμα είναι ευθύγραμμη και αν μπορούσαμε να φωτογραφίσουμε στιγμιότυπά της, τότε θα είχαμε εικόνες του σώματος πάνω σε μία ευθεία. Αυτά συμβαίνουν σε ένα πείραμα Φυσικής. Ας μεταφέρουμε τώρα το πείραμα αυτό στα Μαθηματικά. Προφανώς το σώμα θεωρείται ως σημείο, οι δύο δυνάμεις θα γίνουν δύο διανύσματα και ο χώρος που θα κινούνται θα είναι το καρτεσιανό επίπεδο. Με τις δραστηριότητες του σεναρίου θα μελετήσουμε ένα «Μαθηματικό πείραμα», δηλαδή τον τρόπο κίνησης ενός σημείου, την καμπύλη που διαγράφει και την εξίσωσή της, όταν στο σημείο εφαρμόζονται δύο διανύσματα. Ας έρθουμε λοιπόν στο καρτεσιανό επίπεδο. Ένα σημείο που κινείται στο επίπεδο αυτό γράφει εν γένει μία καμπύλη.

Ένα αντικείμενο που κινείται με βάση το άθροισμα δύο διανυσμάτων γράφει μία ευθεία, εφόσον τα δύο διανύσματα διατηρούν τα τρία βασικά τους χαρακτηριστικά: διεύθυνση, μέτρο και φορά.


Σελίδα 163

Αν τα δύο διανύσματα είναι παράλληλα προς τους άξονες και έχουν γνωστό μέτρο, τότε μπορούμε, σχετικά απλά, να κατασκευάσουμε τη συνάρτηση που αντιστοιχεί στην ευθεία που γράφει το άθροισμά τους. Αν τώρα δύο διαφορετικά σημεία κινούνται υπό την επίδραση διαφορετικών ζευγών διανυσμάτων, τότε οι πορείες τους θα είναι παράλληλες, εφόσον τα μήκη των διανυσμάτων είναι ανάλογα, δηλαδή τα ορθογώνια τρίγωνα που δημιουργούνται είναι όμοια.

• Στόχοι και χρόνος υλοποίησης του σεναρίου Ο γενικός στόχος των δραστηριοτήτων του σεναρίου είναι να συνδέσουν οι μαθητές θεματικές περιοχές των μαθηματικών, οι οποίες φαίνεται να είναι ασύνδετες μέσα στη σχολική πρακτική. Ειδικότερα, οι μαθητές θα συνδέσουν αφενός την έννοια του αθροίσματος δύο διανυσμάτων με την ευθύγραμμη κίνηση σημείου και αφετέρου τη γραμμική συνάρτηση με την κλίση της ευθείας. Ο χρόνος υλοποίησης εξαρτάται από την έκταση που θα δώσει ο διδάσκων στις δραστηριότητες.

• Το υπολογιστικό περιβάλλον Το περιβάλλον της δραστηριότητας συνδυάζει δύο εργαλεία διερεύνησης. Το ένα επιτρέπει τη μελέτη της κίνησης ενός αντικειμένου υπό την επίδραση δύο διανυσμάτων και το άλλο επιτρέπει τη συναρτησιακή διερεύνηση μέσω γραφικών παραστάσεων. Στην αρχή θα χρησιμοποιηθεί το περιβάλλον «Διανύσματα» και στη συνέχεια το «Γραφική επεξεργασία».

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Επιστροφή στην ίδια θέση (1) Το πρόβλημα Θέλουμε να μελετήσουμε με ποιον τρόπο επιστρέφει ένα αντικείμενο στην αρχική του θέση, όταν έχει διανύσει ένα διάστημα υπό την επίδραση δύο διανυσμάτων. Ερωτήσεις

1) Ανοίξτε το περιβάλλον των «Διανυσμάτων» (σενάριο 5) και εμφανίστε ένα «Αντικείμενο» με δύο διανύσματα. Δημιουργήστε το ίχνος του «Αντικειμένου» και θέστε το σε κίνηση. Τι παρατηρείτε;


Σελίδα 164

2) Αν θέλουμε τώρα να επιστρέψει το αντικείμενο στην αρχική του θέση

(πάνω στην ίδια διεύθυνση), ποιες αλλαγές θα πρέπει να γίνουν στα δύο διανύσματα; Κάντε πειράματα και δικαιολογήστε τα αποτελέσματά τους.

3) Διατυπώστε ένα σχετικό κανόνα με βάση τα προηγούμενα.


• Οι μαθητές επιλέγουν το «Σενάριο 5» και εμφανίζουν ένα αντικείμενο με δύο διανύσματα. Μεταφέρουν το αντικείμενο σε περιοχή που να διαθέτει χώρο κίνησης, εμφανίζουν το ίχνος του και το θέτουν σε κίνηση. Παρατηρούν ότι τα ίχνη βρίσκονται σε ευθεία διάταξη.

• Ακινητοποιούν το αντικείμενο σε κάποιο σημείο της πορείας και

πειραματίζονται με τα δύο διανύσματα, ώστε το αντικείμενο να πάρει θέση επιστροφής. Στην αρχή καλό θα ήταν να χρησιμοποιηθούν διανύσματα παράλληλα προς τους άξονες.

• Οι μαθητές διαπιστώνουν ότι τα τελικά διανύσματα θα πρέπει να έχουν

αντίθετη κατεύθυνση από τα αρχικά. Όσον αφορά στα μέτρα, θα παρατηρήσουν ότι μπορεί να είναι ίσα με τα αντίστοιχα αρχικά, μπορεί όμως να είναι και ανάλογα. Ο διδάσκων με τα κατάλληλα ερωτήματα προτρέπει τους μαθητές να διερευνήσουν τη δεύτερη περίπτωση.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Επιστροφή στην ίδια θέση (2) Το πρόβλημα Δύο αντικείμενα κινούνται υπό την επίδραση δύο δυνάμεων. Θέλουμε οι πορείες τους να είναι παράλληλες. Ποια σχέση θα πρέπει να έχουν τα διανύσματα που τα κινούν; Ερωτήσεις

1) Αρχίστε τα πειράματα με απλές περιπτώσεις, δηλαδή σύρετε τα δύο διανύσματα του ενός αντικειμένου, ώστε να έχουν ίσα μήκη και να είναι παράλληλα στους άξονες. Κάντε το ίδιο με το δεύτερο αντικείμενο. Θέστε σε κίνηση τα διανύσματα. Τι παρατηρείτε;

2) Αλλάξτε τις τιμές των δύο διανυσμάτων του πρώτου αντικειμένου. Τώρα

πλέον τα μήκη τους δεν είναι ίσα. Κάντε πειράματα με τις τιμές των διανυσμάτων του δεύτερου αντικειμένου. Τι θα πρέπει να συμβαίνει, ώστε οι πορείες τους να είναι παράλληλες;

3) Διατυπώστε ένα σχετικό κανόνα.


Σελίδα 165

Διδακτική πρόταση • Οι μαθητές επιλέγουν το «Σενάριο 5» και εμφανίζουν δύο αντικείμενα

με δύο διανύσματα. Μεταφέρουν τα αντικείμενα αυτά σε περιοχή που να διαθέτει χώρο κίνησης και εμφανίζουν το ίχνος τους.

• Στη συνέχεια επιλέγουν ώστε τα μήκη των διανυσμάτων του ενός

αντικειμένου να είναι ίσα μεταξύ τους και παράλληλα στους άξονες. Ακόμη επιλέγουν τα διανύσματα του δεύτερου αντικειμένου να είναι ίσα μεταξύ τους και τα θέτουν σε κίνηση. Παρατηρούν ότι τα ίχνη τους βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες.

• Ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να εξηγήσουν την παράλληλη

πορεία των αντικειμένων. Η εξήγηση μπορεί να στηριχτεί στο γεγονός ότι τα διανύσματα που κινούν τα αντικείμενα (κίτρινα) είναι παράλληλα, αφού σχηματίζουν γωνία 45ο με την οριζόντια.

• Οι μαθητές πειραματίζονται τώρα με διανύσματα που δεν είναι μεταξύ

τους ίσα. Αλλάζουν τα μήκη των διανυσμάτων του πρώτου αντικειμένου και πειραματίζονται με το δεύτερο αντικείμενο. Εδώ θα πρέπει να παρατηρήσουν ότι μία λύση είναι τα δύο διανύσματα του δεύτερου αντικειμένου να είναι ένα προς ένα ίσα με τα διανύσματα του πρώτου. Στην περίπτωση αυτή τα κίτρινα διανύσματα που κινούν τα αντικείμενα είναι ίσα, αφού έχουν ίσες συνιστώσες.

• Τέλος οι μαθητές επιχειρούν να διερευνήσουν την περίπτωση που τα

διανύσματα του δεύτερου αντικειμένου δεν είναι ένα προς ένα ίσα με εκείνα του δευτέρου. Εδώ ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν την έννοια της κλίσης μιας ευθείας. Συγκεκριμένα οι μαθητές θα διατυπώσουν την πρόταση ότι τα κίτρινα διανύσματα θα πρέπει να διαθέτουν την ίδια κλίση, άρα οι συνιστώσες τους θα πρέπει να είναι ανάλογες και όχι υποχρεωτικά ίσες.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Εξίσωση της συνισταμένης δύο δυνάμεων Το πρόβλημα

Όταν σε ένα αντικείμενο εφαρμόζονται δύο δυνάμεις, τότε αυτό κινείται ευθύγραμμα στη διεύθυνση της συνισταμένης, δηλαδή του αθροίσματος των δύο διανυσμάτων. Θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία θα κινηθεί το αντικείμενο.

Ερωτήσεις 1) Εμφανίστε μόνο ένα αντικείμενο, τοποθετήστε το στην αρχή των αξόνων

και σύρετε τα δύο διανύσματα, ώστε να είναι παράλληλα προς τους άξονες και ίσα μεταξύ τους (σε μήκος). Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία ανήκουν τα ίχνη του;


Σελίδα 166

Πώς μπορούμε να βρούμε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία κινείται το αντικείμενο, όταν τα δύο διανύσματα δεν είναι ίσα (εξακολουθούν να είναι παράλληλα στους άξονες).

2) Τοποθετήστε το αντικείμενο στην κατάλληλη θέση και αλλάξτε τα μήκη

των δύο διανυσμάτων, ώστε τα ίχνη να ανήκουν τώρα στην ευθεία ψ=2χ+80.


• Οι μαθητές επιλέγουν το «Σενάριο 5» και εμφανίζουν δύο διανύσματα. Σύρουν το αντικείμενο στην αρχή των αξόνων, ώστε το σημείο Ο να έχει συντεταγμένες (0, 0).

• Στη συνέχεια οι μαθητές διαπραγματεύονται την κλίση της ευθείας που θα γράψει το αντικείμενο. Η κλίση είναι θα 1 και η ευθεία θα περνά από την αρχή των αξόνων, άρα η εξίσωση θα είναι η ψ=χ.

• Στη δεύτερη ερώτηση οι μαθητές μεταβάλλουν τα μήκη των δύο

διανυσμάτων, ώστε να μην είναι ίσα και κινούν το αντικείμενο από την αρχή των αξόνων. Η διαπραγμάτευση για την εξίσωση της νέας ευθείας θα στηριχτεί και πάλι στην έννοια της κλίσης της ευθείας που θα είναι ίση με το λόγο λ των μηκών των δύο διανυσμάτων. Η μορφή της εξίσωσης της ευθείας θα είναι ψ=λ.χ.

• Στη συνέχεια το αντικείμενο σύρεται στο σημείο (0, 80). Η κλίση της

ευθείας θα πρέπει να είναι ίση με 2, άρα τα μήκη των δύο διανυσμάτων καθορίζονται με τρόπο, ώστε το ένα (κατακόρυφο) να έχει διπλάσιο μήκος από το άλλο (οριζόντιο).

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6: Εξίσωση της συνισταμένης δύο δυνάμεων Το πρόβλημα Θέλουμε να μελετήσουμε την πορεία ενός αντικειμένου, το οποίο κινείται από ένα διάνυσμα, με ένα εργαλείο συναρτήσεων όπως είναι η «Γραφική επεξεργασία».


Σελίδα 167

Στην ουσία θέλουμε να επεκτείνουμε τη μελέτη του ίχνους ενός αντικειμένου που έχουμε πραγματοποιήσει σε προηγούμενες δραστηριότητες. Ερωτήσεις

1) Εμφανίστε ένα μόνο αντικείμενο με ένα μόνο διάνυσμα. Τοποθετήστε το σε ένα τυχαίο σημείο και προσθέστε κίνηση στο διάνυσμα και ίχνος. Πώς μπορούμε τώρα να βρούμε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία ανήκουν τα ίχνη;

2) Στείλτε τις συντεταγμένες του αντικειμένου στη «Γραφική επεξεργασία»

για αρκετές θέσεις του αντικειμένου, καθώς κινείται. Τι παρατηρείτε; 3) Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης η οποία να περνά

από όλα τα σημεία που έχουν δημιουργηθεί από την προηγούμενη ερώτηση.

Διδακτική πρόταση • Οι μαθητές επιλέγουν το «Σενάριο 5» και εμφανίζουν ένα αντικείμενο

με ένα διάνυσμα. Τοποθετούν το αντικείμενο σε τυχαία θέση και εμφανίζουν το ίχνος του.

• Ο διδάσκων διαπραγματεύεται με τους μαθητές διάφορους τρόπους με

τους οποίους θα μπορούσαν να κάνουν εικασίες για την εξίσωση της ευθείας που θα γράψουν τα ίχνη του αντικειμένου. Ένας τρόπος είναι να τοποθετήσουν το αντικείμενο σε ένα σημείο με τετμημένη 0, π.χ. (0, 70), και να υπολογίσουν την εφαπτομένη λ της γωνίας του διανύσματος, οπότε η εξίσωση της ευθείας θα είναι η ψ=λχ+70. Όταν όμως το αντικείμενο βρίσκεται σε τυχαίο σημείο, θα πρέπει να επινοηθεί άλλος τρόπος.

• Οι μαθητές αποστέλλουν τις συντεταγμένες του σημείου Ο στο γράφημα.

Συγκεκριμένα επιλέγουν αποστολή στο «Γράφημα» και από τον πίνακα των μετρήσεων που ανοίγει επιλέγουν Οχ, Οψ για τις τιμές που θα αποσταλούν εκεί. Επιλέγουν την «Αποστολή» στους άξονες.

• Όταν εμφανίζεται η διάταξη των σημείων στους άξονες, οι μαθητές κατασκευάζουν μία ευθεία από το συντάκτη εξίσωσης, η οποία φαίνεται ότι να μπορεί να περάσει πάνω από όλα τα σημεία, και στη συνέχεια τροποποιούν την εξίσωση κατάλληλα, ώστε να πετύχουν την καλύτερη δυνατή προσέγγιση.


Σελίδα 168


Σελίδα 169

ΤΑΞΗ Γ΄


Σελίδα 170


Σελίδα 171

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Μονώνυμα, πολυώνυμα και πράξεις με αυτά

• Να προστεθούν τα πολυώνυμα 3χ2+2χ+1 και –χ3+2χ2-3χ-4.

Το σκεπτικό της παρουσίασης: Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές έρχονται σε επαφή με την έννοια των αλγεβρικών παραστάσεων και των πράξεων με αυτές. Συγκεκριμένα:

Διατυπώνουν τα πολυώνυμα στο λογισμικό «Άλγεβρα», στην περιοχή διατύπωσης, με τη χρήση της δομικής μονάδας μονώνυμο.

Διατυπώνουν το πολυώνυμο άθροισμα στο χώρο της επεξεργασίας στο λογισμικό.

Κάνουν έλεγχο της ταύτισης των πολυωνύμων που έχουν διατυπωθεί στις δύο περιοχές, είτε αλγεβρικά είτε μέσω των αριθμητικών τους τιμών, για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής.

Εξηγούν αλγεβρικά την ισότητα των δύο παραστάσεων. Διδακτική διαχείριση της παρουσίασης: Στη διάρκεια της παρουσίασης ο εκπαιδευτικός ενθαρρύνει τους μαθητές να συνεργάζονται με την ομάδα τους και να εκφράζουν τις αντιλήψεις τους ελεύθερα στην ομάδα και στην τάξη. Ιδιαίτερη έμφαση πρέπει να δώσει στην ενθάρρυνση των μαθητών:

Να διατυπώσουν τους σταθερούς αριθμούς ως μονώνυμα. Να ελέγξουν στην περιοχή διατύπωσης ποια μονώνυμα είναι όμοια, ώστε να κάνουν αναγωγή των ομοίων όρων.

Να διατυπώσουν το πολυώνυμο άθροισμα στο χώρο επεξεργασίας. Να δώσουν όσο το δυνατόν περισσότερες τιμές στη μεταβλητή, προκειμένου να κάνουν έλεγχο της ισότητας με τη βοήθεια των αριθμητικών τους τιμών.

Να κατανοήσουν την έννοια της ταυτότητας δύο πολυωνύμων ως ισότητα που επαληθεύεται για κάθε τιμή της μεταβλητής.

Επίσης θα πρέπει να συζητήσει μαζί τους για τις πράξεις μεταξύ των πολυωνύμων, για το ρόλο του μονωνύμου ως συστατική μονάδα διατύπωσης των πολυωνύμων και για την αναγωγή των ομοίων όρων.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Πράξεις με μονώνυμα Δίνονται τα παρακάτω μονώνυμα:

Α= 2χ2, Β= -3χ3, Γ=4χ2, Δ=3χ, Ε=-χ3, Ζ=2χ • Πόσο είναι το άθροισμα του Α με το όμοιό του; • Πόσο είναι το γινόμενο Α.Β;


Σελίδα 172

• Ποιο είναι το αποτέλεσμα Β/Δ;

Σχόλια Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια των μονωνύμων και να εξερευνήσουν την έννοια της ομοιότητας μονωνύμων και τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσής τους.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Άλγεβρα», όπου θα πληκτρολογήσουν στην περιοχή διατύπωσης του λογισμικού τα δοσμένα μονώνυμα. Στη συνέχεια μπορούν με τη βοήθεια του κουμπιού «Όμοια μονώνυμα» να ελέγξουν ποια από τα δεδομένα μονώνυμα είναι όμοια. Ακολούθως μπορούν στην περιοχή διατύπωσης να πληκτρολογήσουν τις ζητούμενες πράξεις μεταξύ των συγκεκριμένων μονωνύμων και στη συνέχεια, στην περιοχή επεξεργασίας, να διατυπώσουν το αποτέλεσμα της πράξης. Τέλος μπορούν να ελέγξουν αν το αποτέλεσμα είναι σωστό, είτε επιλέγοντας «Αλγεβρικό έλεγχο» είτε επιλέγοντας «Έλεγχο με τιμές», οπότε δίνουν τιμές στη μεταβλητή και παρατηρούν το αποτέλεσμα των εκφράσεων στις δύο περιοχές. Διδακτικές οδηγίες Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να απαντήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας. Πιθανές απαντήσεις Οι μαθητές αναμένεται να βρουν ότι τα μονώνυμα Α, Γ είναι όμοια μεταξύ τους, καθώς επίσης και τα Β, Ε και Δ, Ζ. Αναμένεται επίσης να βρουν ότι το μονώνυμο -6χ5

είναι το γινόμενο ΑΒ και το -χ2 είναι το πηλίκο Β/Δ. Επεκτάσεις Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα παρόμοια ερωτήματα σχετικά με την έννοια και τις πράξεις μονωνύμων. Κυρίως θα πρέπει να αναφερθεί στην αντίληψη ότι ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να ειδωθεί και ως μονώνυμο με συντελεστή τον αριθμό αυτό και κύριο μέρος δυνάμεις με βάση οποιεσδήποτε μεταβλητές και εκθέτη 0.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Πρόσθεση πολυωνύμων Δίνονται τα παρακάτω πολυώνυμα:

Α=2χ2+χ-4 και Β=-3χ3+4χ2-3χ+2 • Πόσο είναι το άθροισμα του Α+Β; • Ποιο πολυώνυμο είναι ίσο με Α-Β; • Ποιο είναι το αποτέλεσμα Α.Β;


Σελίδα 173

Σχόλια Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να εξερευνήσουν την έννοια του πολυωνύμου και τις πράξεις μεταξύ πολυωνύμων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Άλγεβρα», όπου θα πληκτρολογήσουν στην περιοχή διατύπωσης του λογισμικού τα δοσμένα πολυώνυμα. Στη συνέχεια μπορούν με τη βοήθεια του κουμπιού «Όμοια μονώνυμα» να ελέγξουν ποια από τα μονώνυμα που συνιστούν τα πολυώνυμα είναι όμοια. Ακολούθως μπορούν στην περιοχή διατύπωσης να πληκτρολογήσουν τις ζητούμενες πράξεις μεταξύ των συγκεκριμένων πολυωνύμων και στη συνέχεια, στην περιοχή επεξεργασίας, να διατυπώσουν το αποτέλεσμα της πράξης. Τέλος μπορούν να ελέγξουν αν το αποτέλεσμα είναι σωστό, είτε επιλέγοντας «Αλγεβρικό έλεγχο» είτε επιλέγοντας «Έλεγχο με τιμές», οπότε δίνουν τιμές στη μεταβλητή και παρατηρούν το αποτέλεσμα των εκφράσεων στις δύο περιοχές. Διδακτικές οδηγίες Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να απαντήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας. Πιθανές απαντήσεις Οι μαθητές αναμένεται: (1) Αφού διατυπώσουν το άθροισμα Α+Β στην περιοχή διατύπωσης, να εντοπίσουν τα όμοια μονώνυμα και στη συνέχεια να πληκτρολογήσουν στην περιοχή επεξεργασίας το άθροισμα αυτών. (2) Αφού διατυπώσουν τη διαφορά Α-Β, τοποθετώντας τα πολυώνυμα μεταξύ παρενθέσεων να διατυπώσουν τη διαφορά τους στην περιοχή επεξεργασίας, λαμβάνοντας υπόψη την απαιτούμενη αλλαγή προσήμων. (3) Να διατυπώσουν το γινόμενο Α.Β και στη συνέχεια στην περιοχή επεξεργασίας να διατυπώσουν το αποτέλεσμα της πράξης. Ακόμα σε καθεμία περίπτωση αναμένεται να ελέγξουν το αποτέλεσμα με τους διαθέσιμους τρόπους. Επεκτάσεις Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα παρόμοια ερωτήματα σχετικά με τις πράξεις μεταξύ πολυωνύμων. Ιδιαίτερα χρειάζεται να αναφερθεί στην αλλαγή των προσήμων των μονωνύμων, όταν έξω από το πολυώνυμο υπάρχει -, καθώς και στη χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας για την πράξη του πολλαπλασιασμού πολυωνύμων.


Σελίδα 174

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Η έννοια της ταυτότητας Δίνονται τα παρακάτω πολυώνυμα:

Α=(α+β)3 και Β=α3+3α2β+3αβ2+β3

• Μπορείτε να ελέγξετε αν οι αριθμητικές τους τιμές είναι ίσες όταν α=-1 και β=2; • Ισχύει το ίδιο για τις παρακάτω περιπτώσεις: (1) α = 2, β=4, (2) α =1, β=0, (3) α=-3, β=10, (4) α=101, β=-1.451, (5) α= , β=- ; • Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγετε σχετικά με τις αριθμητικές τιμές των δύο πολυωνύμων και τις διάφορες τιμές των α και β; Σχόλια Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να εξερευνήσουν την έννοια της ταυτότητας ως ισότητα που επαληθεύεται για κάθε τιμή των μεταβλητών της.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Άλγεβρα», όπου θα πληκτρολογήσουν στην περιοχή διατύπωσης του λογισμικού το δοσμένο πολυώνυμο Α και στην περιοχή επεξεργασίας το πολυώνυμο Β. Στη συνέχεια μπορούν: (1) Επιλέγοντας «Έλεγχο με τιμές» να δώσουν διάφορες τιμές στις δύο μεταβλητές και να παρατηρούν τα αποτελέσματα στις δύο περιοχές. (2) Να στείλουν τα αποτελέσματα σε κάθε ζεύγος τιμών στη «Στατιστική», στη συνέχεια να επιλέξουν μία από τις διαθέσιμες αναπαραστάσεις τους σε ένα γράφημα και να παρατηρήσουν τον τρόπο που αναπαρίστανται.

Εικόνα 19: Η εγγραφή των αριθμητικών τιμών των δύο πολυωνύμων στον πίνακα τιμών και η αναπαράστασή τους στο ΧΨ γράφημα αναδεικνύει τν έννοια της ταυτότητας πολυωνύμων με πολλαπλούς τρόπους.


Σελίδα 175

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να απαντήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι σε κάθε περίπτωση οι αριθμητικές τιμές των δύο πολυωνύμων είναι ίσες και ότι το γράφημα αυτών, με τετμημένη τη μία τιμή και τεταγμένη την άλλη, είναι η ευθεία ψ=χ. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί στο ίδιο θέμα να θέσει και άλλα παρόμοια ερωτήματα σχετικά με την ταυτότητα πολυωνύμων. Μπορεί να θέσει ένα ανάλογο θέμα με μια μεταβλητή, π.χ. τα χ3-1 και (χ-1)(χ2+χ+1), και να εμπλέξει στην έννοια της ταυτότητας και την ταύτιση των γραφικών τους παραστάσεων, ζητώντας από τους μαθητές να στείλουν στο γράφημα τα πολυώνυμα.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Η αλγεβρική παράσταση μιας μεταβλητής ως συνάρτηση

Δίνονται τα παρακάτω πολυώνυμα:

Α= χ2-χ+1 και Β= χ+2

• Μπορείτε να προσθέσετε τα δύο πολυώνυμα; • Σε τι διαφέρουν οι αριθμητικές τιμές του αθροίσματος και του πολυωνύμου Α; • Σε τι διαφέρουν οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης του αθροίσματος και της συνάρτησης του πολυωνύμου Α; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να συνδέσουν την έννοια του πολυωνύμου με την έννοια της συνάρτησης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν με τη μονάδα λογισμικού «Άλγεβρα» για να πληκτρολογήσουν στην περιοχή διατύπωσης του λογισμικού το δοσμένο πολυώνυμο Α και στην περιοχή επεξεργασίας το αποτέλεσμα του αθροίσματος Α+Β. Στη συνέχεια μπορούν: (1) Επιλέγοντας «Έλεγχος με τιμές» να δώσουν διάφορες τιμές στη μεταβλητή και να παρατηρούν τα αποτελέσματα στις δύο περιοχές. (2) Να στέλνουν τα αποτελέσματα σε κάθε τιμή στη «Στατιστική» και στη συνέχεια να επιλέξουν μία από τις διαθέσιμες αναπαραστάσεις αυτών σε ένα γράφημα και να παρατηρήσουν τον τρόπο που αναπαρίστανται. (3) Να στείλουν τις δύο αναπαραστάσεις στο γράφημα και να παρατηρήσουν τις ομοιότητες και τις διαφορές τους.


Σελίδα 176

Εικόνα 20: Η εγγραφή των αριθμητικών τιμών των δύο πολυωνύμων στον πίνακα τιμών και η αναπαράσταση αυτών στο ΧΥ γράφημα αναδεικνύει την έννοια της ταυτότητας των πολυωνύμων με πολλαπλούς τρόπους. Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να απαντήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι οι αριθμητικές τιμές των δύο παραστάσεων διαφέρουν όσο η τιμή του πολυώνυμου Β.

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Η παραγοντοποίηση στο διαδίκτυο Επιλέξτε την ιστοσελίδα

http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00246/toepassing_wisweb.en.html και

απαντήστε στο πρώτο πρόβλημα.

Το σκεπτικό της παρουσίασης: Με την προτεινόμενη δραστηριότητα οι μαθητές έρχονται σε επαφή με την έννοια της παραγοντοποίησης μέσω του μετασχηματισμού δύο ορθογωνίων σε ένα τρίτο με εμβαδόν ίσο με εκείνο του αθροίσματός τους. Καλούνται:

Να διατυπώσουν αλγεβρικά την ισότητα των εμβαδών των σχημάτων. Να εξετάσουν την αντίστροφη πορεία, διαιρώντας ένα ορθογώνιο σε δύο άλλα με άθροισμα εμβαδού ίσο με το αρχικό και να συνδέσουν τις δύο πορείες με τους μετασχηματισμούς.

Να κάνουν έλεγχο ταύτισης των πολυωνύμων που έχουν διατυπωθεί στις δύο περιοχές, είτε αλγεβρικά είτε μέσω των αριθμητικών τιμών τους, για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής.

Να εξηγήσουν αλγεβρικά την ισότητα των δύο παραστάσεων.


Σελίδα 177


Να διατυπώσουν τους σταθερούς αριθμούς ως μονώνυμα. Στην περιοχή διατύπωσης να ελέγξουν ποια μονώνυμα είναι όμοια, ώστε να κάνουν αναγωγή των ομοίων όρων.

Να διατυπώσουν το πολυώνυμο άθροισμα στο χώρο επεξεργασίας. Να δώσουν όσο το δυνατόν περισσότερες τιμές στη μεταβλητή, προκειμένου να κάνουν έλεγχο της ισότητας με τη βοήθεια των αριθμητικών τους τιμών.

Να κατανοήσουν την έννοια της ταυτότητας δύο πολυωνύμων ως ισότητα που επαληθεύεται για κάθε τιμή της μεταβλητής.

Επίσης θα πρέπει να συζητήσει μαζί τους για τις πράξεις μεταξύ των πολυωνύμων, για το ρόλο του μονωνύμου ως συστατική μονάδα διατύπωσης των πολυωνύμων και για την αναγωγή των όμοιων όρων.


Σελίδα 178

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Πρόβλημα με εξίσωση 2ου βαθμού Ένας κηπουρός πρόκειται να επεκτείνει έναν κήπο σχήματος ορθογωνίου, με διαστάσεις 6 και 8 μ. αντίστοιχα, εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις, ώστε το εμβαδόν του να αυξηθεί κατά 32 τ.μ. Πόσο πρέπει να επεκτείνει τις διαστάσεις του; Σχόλια Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη λύση προβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων 2ου βαθμού, καθώς και με την αριθμητική και γραφική επεξεργασία της εξίσωσης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν: • Στο λογισμικό της «Γεωμετρίας» για να κάνουν πειράματα με το σχήμα και

την επέκταση του λογισμικού. Επίσης, με τη βοήθεια της επεξεργασίας στο λογισμικό αυτό, αναμένεται να οδηγηθούν στον προσδιορισμό της εξίσωσης που λύνει το πρόβλημα και στη συνέχεια να τη διατυπώσουν στο χαρτί τους.

• Στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης», όπου θα πληκτρολογήσουν τα δύο μέλη της εξίσωσης και θα μετακινήσουν το δείκτη του μεταβολέα χ, έως ότου αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα δύο πλαίσια της ανίσωσης.

• Να στείλουν στο λογισμικό «Γράφημα» τις συναρτήσεις των δύο μελών και να οδηγηθούν οπτικά στον προσδιορισμό της λύσης.

Επίσης τα παραπάνω λογισμικά μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να ελέγξουν αν υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις.

Διδακτικές οδηγίες Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τα προτεινόμενα λογισμικά για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει


Σελίδα 179

την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της εξίσωσης του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Πιθανές απαντήσεις Οι μαθητές αναμένεται να σχεδιάσουν το παρακάτω σχήμα στο λογισμικό «Γεωμετρία». Έτσι μπορούν να διαπιστώσουν τι προστίθεται στο εμβαδόν του αρχικού ορθογωνίου 6.8 = 48. Αν μάλιστα ονομάσουν με χ το πλάτος της επέκτασης, τότε το επιπλέον εμβαδόν θα είναι 2χ(8+2χ)+12χ. Έτσι θα διαμορφώσουν την εξίσωση 2χ(8+2χ)+12χ =32 ή χ(2χ+8)+6χ=16.

Στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» αναμένεται να βρουν τη λύση χ=1.

Το λογισμικό «Γράφημα» θα τους βοηθήσει να διαπιστώσουν ότι δεν υπάρχει άλλη αποδεκτή λύση.


Σελίδα 180

Επεκτάσεις Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια προβλήματα, όπως:

• Ένας αγρότης θέλει να ανταλλάξει το οικόπεδό του σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις 3 και 12 μ. με ένα τετράγωνο οικόπεδο. Τι μήκος πρέπει να έχει η πλευρά του τετραγώνου;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Η εξίσωση 2ου βαθμού Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί επαληθεύουν την εξίσωση 2χ2-(χ-1)=3+2χ; Σχόλια Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αριθμητική επεξεργασία εξισώσεων 2ου βαθμού.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης». Πληκτρολογούν τα δύο μέλη της εξίσωσης και μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ, έως ότου αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα δύο πλαίσια της ανίσωσης. Μπορούν να στείλουν στο γράφημα τα δεδομένα των δύο μελών και να παρατηρήσουν πού τέμνονται.



Σελίδα 181

Διδακτικές οδηγίες Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τα προτεινόμενα λογισμικά. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της εξίσωσης του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Πιθανές απαντήσεις Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η εξίσωση επαληθεύεται, όταν ο δείκτης του μεταβολέα δείξει την τιμή -0,5 και 2. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση 2χ2-1=1-χ; • Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση χ-3=1-3χ;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 Μπορείτε να βρείτε αν υπάρχουν αριθμοί που επαληθεύουν την εξίσωση χ2-χ+1=0;

• Αν η εξίσωση δεν έχει λύσεις, πώς πρέπει να μεταβάλλουμε το σταθερό όρο της εξίσωσης, ώστε να έχει δύο λύσεις;

• Πώς πρέπει να μεταβάλλουμε το συντελεστή του χ, ώστε να έχει μία λύση; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2ου βαθμού.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στα λογισμικά «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» και «Γράφημα». Πληκτρολογούν τα δύο μέλη της εξίσωσης και μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ, έως ότου αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα δύο πλαίσια της ανίσωσης. Στέλνουν στο


Σελίδα 182

γράφημα τα δεδομένα των δύο μελών και παρατηρούν τα σημεία τομής του γραφήματος της χ2-χ+1 με τον άξονα.

Το λογισμικό «Γράφημα» μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να ελέγξουν αν υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις και σε ποια διαστήματα αναμένονται αυτές οι λύσεις.

Διδακτικές οδηγίες Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τα προτεινόμενα λογισμικά για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της εξίσωσης του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Πιθανές απαντήσεις Οι μαθητές αναμένεται να καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση δεν έχει αριθμητική λύση, καθώς θα διαπιστώσουν ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν τέμνει τον άξονα χχ΄. Στη συνέχεια μπορούν να κάνουν αλλαγές στους συντελεστές -1 και 1, ώστε να σχηματίσουν εξισώσεις που απαντούν στα ερωτήματα της δραστηριότητας. Για παράδειγμα, αν αντικαταστήσουν το συντελεστή 1 με το 0, η εξίσωση θα έχει λύσεις τους αριθμούς 0 και 1. Τότε η γραφική παράσταση της νέας συνάρτησης θα τέμνει τον χχ΄ στα δύο αυτά σημεία. Ακόμα, αν στην αρχική εξίσωση πληκτρολογήσετε το -2 στη θέση του -1, τότε η εξίσωση θα έχει μία λύση, τη χ=1. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση 2χ2-1=1-χ;


Σελίδα 183

• Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση χ-3=1-3χ;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Κλασματική εξίσωση

Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί επαληθεύουν την εξίσωση 3χ

χχ2

1+

= ;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αριθμητική επεξεργασία κλασματικών εξισώσεων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» σε συνδυασμό με το λογισμικό «Γράφημα». Πληκτρολογούν τα δύο μέλη της εξίσωσης και μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ, έως ότου αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα δύο πλαίσια της ανίσωσης.

Το λογισμικό «Γράφημα» μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να ελέγξουν αν υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις και σε ποια διαστήματα αναμένονται αυτές.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των


Σελίδα 184

παραστάσεων στα δύο μέλη της εξίσωσης του λογισμικού καθώς και στον ορισμό των άκρων μεταβολής και του βήματος μεταβολής. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η εξίσωση επαληθεύεται όταν ο δείκτης του μεταβολέα δείξει την τιμή -1 και 1,5. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση χ-1/χ=χ+5/2;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Ανίσωση με ένα άγνωστο Μπορείτε να βρείτε ποιοι αριθμοί επαληθεύουν την εξίσωση 2χ-1<χ+2; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αριθμητική επεξεργασία εξισώσεων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο χαρτί, εφαρμόζοντας την αλγεβρική διαδικασία λύσης της ανίσωσης. Στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» πληκτρολογούν τα δύο μέλη της εξίσωσης και μετακινούν το δείκτη του μεταβολέα χ, έως ότου αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα δύο πλαίσια της ανίσωσης.



Σελίδα 185

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ανίσωσης του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι η ανίσωση επαληθεύεται, όταν ο δείκτης του μεταβολέα δείξει τιμές μικρότερες του 3. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση χ-3>1-3χ;


Σελίδα 186

ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης με δύο αγνώστους

Μπορείτε να βρείτε δύο τουλάχιστον λύσεις της εξίσωσης 2χ+3ψ=5;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με τη γραμμική εξίσωση δύο αγνώστων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης». Πληκτρολογούν τα δύο μέλη της εξίσωσης και αφού ορίσουν μια τιμή στον ένα μεταβολέα, μετακινούν το δείκτη του άλλου έως ότου να αποκτήσουν κίτρινο χρώμα και τα δύο πλαίσια της ανίσωσης. Έτσι κατανοούν ότι μια εξίσωση της μορφής αυτής έχει άπειρες λύσεις οι οποίες προκύπτουν μόλις επιλεγεί μια τυχαία τιμή για τον ένα άγνωστο και βρεθεί η τιμή του δεύτερου αγνώστου.

Το λογισμικό «Γράφημα» επιτρέπει στους μαθητές να επισημαίνουν, για κάθε επιλογή τιμής του ενός αγνώστου, την ύπαρξη λύσης για τον άλλο άγνωστο, καθώς και την περιοχή στην οποία αυτή ανήκει.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ανίσωσης του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Ακόμα, μπορεί να τους ζητήσει τη συμπλήρωση ενός πίνακα με τους δύο αγνώστους, προκειμένου να γίνει περισσότερο κατανοητή η απειρία που ισχύει για τα ζεύγη των λύσεων.


Σελίδα 187

Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να προσδιορίζουν πολλά ζεύγη τα οποία επαληθεύουν την εξίσωση, όπως (7, -3), (1, 1), (-2, 3) κ.ο.κ. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να βρείτε πέντε λύσεις για την εξίσωση 2χ-3ψ=4;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Αναπαράσταση των λύσεων γραμμικής εξίσωσης δύο αγνώστων

Μπορείτε να παρουσιάσετε όλες τις λύσεις της εξίσωσης 2χ+3ψ=5;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αναπαράσταση των λύσεων της γραμμικής εξίσωσης δύο αγνώστων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο λογισμικό «Γράφημα». Λύνουν στο χαρτί την εξίσωση ως προς ψ και στο γράφημα εμφανίζουν τη γραφική παράσταση της παράστασης του δεύτερου μέλους. Στη συνέχεια μετακινούν το δείκτη του ποντικιού τους κατά μήκος του άξονα χχ΄ και παρατηρούν την αντίστοιχη τιμή του ψ για κάθε θέση του δείκτη. Έτσι κατανοούν ότι όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης αναπαριστούν ζεύγη λύσεων. Επιπλέον, με τη βοήθεια του λογισμικού «Γραφική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης», διαπιστώνουν ότι για κάθε τιμή του ψ, για παράδειγμα, υπάρχει μόνο μία τιμή για τον άγνωστο χ, γεγονός που συνεπάγεται ότι καθένα από τα σημεία που δεν ανήκουν στο γράφημα δεν επαληθεύουν την εξίσωση.


Σελίδα 188

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη της ανίσωσης του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Ακόμα, μπορεί να τους ζητήσει τη συμπλήρωση ενός πίνακα με τους δύο αγνώστους, προκειμένου να γίνει περισσότερο κατανοητή η απειρία των ζευγών λύσεων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να προσδιορίσουν πολλά ζεύγη τα οποία επαληθεύουν την εξίσωση, όπως (7, -3), (1, 1), (-2, 3) κ.ο.κ. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εμφανίσετε όλες τις λύσεις της εξίσωσης 2χ-3ψ=4;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Κοινές λύσεις δύο γραμμικών εξισώσεων Μπορείτε να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 2χ+3ψ=5 και χ-2ψ=-1;


Σελίδα 189

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αναπαράσταση των κοινών λύσεων δύο γραμμικών εξισώσεων δύο αγνώστων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στα λογισμικά «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» και «Γράφημα». Εμφανίζουν τις δύο εξισώσεις στο λογισμικό και επιλέγοντας μία τιμή για τον άγνωστο ψ, αναζητούν την κατάλληλη τιμή για τον άγνωστο χ. Σε αυτό μπορεί τους βοηθήσει η εντολή «Στείλε στο γράφημα». Εκεί θα εμφανιστούν οι γραφικές παραστάσεις των τεσσάρων μελών και οι μαθητές θα πρέπει να βρουν αν υπάρχουν κοινές λύσεις.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη των εξισώσεων του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Ακόμα, θα πρέπει να τους καθοδηγήσει να κατανοήσουν τις αναπαραστάσεις των τεσσάρων μελών των εξισώσεων στο γράφημα και να αναζητήσουν εκεί την ύπαρξη των κοινών λύσεων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν στο γράφημα την ύπαρξη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων των τεσσάρων μελών για μια συγκεκριμένη τιμή του ψ. Για παράδειγμα, για ψ=-3, θα έχουν τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2χ-9, χ+6, 5 και -1. Αυτό που αναμένεται οι


Σελίδα 190

μαθητές να αναζητήσουν είναι μια τιμή στο χ που να επαληθεύει τις δύο εξισώσεις για ψ=-3, ή μια τιμή της 2χ-9 να είναι 5 και ταυτόχρονα της χ+6 να είναι -1. Αυτό στο γράφημα θα συμβεί όταν υπάρχει μια συγκεκριμένη θέση του δείκτη του ποντικιού στην οποία θα ταυτίζονται οι δείκτες των τιμών των 2χ-9 και 5 και ταυτόχρονα θα ταυτίζονται και οι δείκτες των τιμών των χ+6 και -1 (πρώτη εικόνα).

Με τη διαδικασία αυτή οι μαθητές μπορούν να εντοπίσουν και οπτικά αν υπάρχουν κοινές λύσεις για τις δύο εξισώσεις. Παρατηρούν τους δείκτες των τιμών των 2χ+3ψ και χ-2ψ για τη συγκεκριμένη τιμή του ψ και αναζητούν την περίπτωση που ο δείκτης της 2χ+3ψ πλησιάζει στο 5, ενώ της χ-2ψ στο -1. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να προσέξει την πιθανή παρανόηση που μπορούν να κάνουν οι μαθητές, όταν αναζητούν τις κοινές λύσεις των 2χ+3ψ και χ-2ψ για κάθε περίπτωση της τιμής του ψ. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εμφανίσετε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 2χ-3ψ=4 και χ+ψ=1;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Λύση συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων Μπορείτε να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 3χ-ψ=2 και χ+4ψ=5;


Σελίδα 191

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αναπαράσταση των κοινών λύσεων δύο γραμμικών εξισώσεων δύο αγνώστων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στα λογισμικά «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» και «Γράφημα». Λύνουν τις δύο εξισώσεις ως προς ψ και τις εμφανίζουν στο λογισμικό. Επιλέγουν μια τιμή για τον άγνωστο ψ και αναζητούν την κατάλληλη τιμή για τον άγνωστο χ. Σε αυτό μπορεί να τους βοηθήσει η εντολή «Στείλε στο γράφημα». Εκεί θα εμφανιστούν οι γραφικές παραστάσεις των τεσσάρων μελών, εκ των οποίων οι δύο θα ταυτίζονται, και οι μαθητές θα πρέπει να βρουν αν υπάρχουν κοινές λύσεις.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη των εξισώσεων του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Ακόμα θα πρέπει να τους καθοδηγήσει να κατανοήσουν τις αναπαραστάσεις των τεσσάρων μελών των εξισώσεων στο γράφημα και να αναζητήσουν εκεί την ύπαρξη των κοινών λύσεων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν στο γράφημα την ύπαρξη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων των τριών μελών για τη συγκεκριμένη τιμή του ψ. Για παράδειγμα, για ψ=-3, θα έχουν τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3χ-2, (5-χ)/4 και -3. Αυτό που αναμένεται να συμβεί είναι το εξής: Οι μαθητές θα διαπιστώσουν ότι αν οι τρεις γραφικές


Σελίδα 192

παραστάσεις διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε αυτό θα αναπαριστά τη λύση του συστήματος. Αυτό στο γράφημα θα συμβεί, όταν η τιμή του ψ είναι 1. Αν, λοιπόν, επιστρέψουν στο λογισμικό «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» και επιλέξουν για ψ την τιμή 1, τότε θα έχουν το ζητούμενο.


• Μπορείτε να εμφανίσετε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 2χ-ψ=5 και 3χ+2ψ=11;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Λύση συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων Μπορείτε να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 3χ-ψ=2 και χ+4ψ=5, χωρίς να εμπλέξετε τον άγνωστο ψ στη διαδικασία; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αναπαράσταση των κοινών λύσεων δύο γραμμικών εξισώσεων δύο αγνώστων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στα λογισμικά «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» και «Γράφημα». Λύνουν τις δύο εξισώσεις ως προς ψ και τις εμφανίζουν στο λογισμικό. Επιλέγουν το αριστερό πλαίσιο της πρώτης σχέσης και πληκτρολογούν το δεύτερο μέλος της πρώτης εξίσωσης: 3χ-2. Στο δεύτερο πλαίσιο της πρώτης σχέσης πληκτρολογούν το δεύτερο μέλος της δεύτερης εξίσωσης: (5-χ)/4. Κινούν το μεταβολέα και αναζητούν την τιμή


Σελίδα 193

του μεταβολέα χ που κάνει και τα δύο πλαίσια κίτρινα. Σε αυτό μπορεί να τους βοηθήσει η εντολή «Στείλε στο γράφημα». Εκεί θα εμφανιστούν οι γραφικές παραστάσεις των δύο μελών και οι μαθητές θα πρέπει να βρουν αν υπάρχουν κοινές λύσεις.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη των εξισώσεων του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Ακόμα θα πρέπει να τους καθοδηγήσει να κατανοήσουν τις αναπαραστάσεις των δύο μελών των εξισώσεων στο γράφημα και να αναζητήσουν εκεί την ύπαρξη των κοινών λύσεων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν στο «Γράφημα» την ύπαρξη κοινού ή όχι σημείου των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων των δύο μελών. Αυτό που αναμένεται να συμβεί είναι το εξής: Οι μαθητές θα διαπιστώσουν ότι η κοινή λύση του συστήματος, στην περίπτωση που λύσουν ως προς ψ τις δύο εξισώσεις και βρουν τις γραφικές τους παραστάσεις, είναι το κοινό τους σημείο. Αυτό στο γράφημα θα συμβεί, όταν η τιμή του χ είναι 1. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εμφανίσετε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 2χ-ψ=5 και 3χ+2ψ=11;


Σελίδα 194

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6: Σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με άπειρες λύσεις

Μπορείτε να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 3χ-2ψ=5 και 6χ-4ψ=10; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αναπαράσταση των κοινών λύσεων δύο γραμμικών εξισώσεων δύο αγνώστων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στα λογισμικά «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» και «Γράφημα». Λύνουν τις δύο εξισώσεις ως προς ψ και τις εμφανίζουν στο λογισμικό. Επιλέγουν το αριστερό πλαίσιο της πρώτης σχέσης και πληκτρολογούν το δεύτερο μέλος της πρώτης εξίσωσης: (3χ-5)/2. Στο δεύτερο πλαίσιο της πρώτης σχέσης πληκτρολογούν το δεύτερο μέλος της δεύτερης εξίσωσης: (6χ-10)/4. Κινούν το μεταβολέα και αναζητούν την τιμή του μεταβολέα χ που κάνει και τα δύο πλαίσια κίτρινα. Σε αυτό μπορεί να τους βοηθήσει η εντολή «Στείλε στο γράφημα». Εκεί θα εμφανιστούν οι γραφικές παραστάσεις των δύο μελών και οι μαθητές θα πρέπει να βρουν αν υπάρχουν κοινές λύσεις.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει


Σελίδα 195

την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη των εξισώσεων του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων και του βήματος μεταβολής. Ακόμα θα πρέπει να τους καθοδηγήσει να κατανοήσουν τις αναπαραστάσεις των δύο μελών των εξισώσεων στο γράφημα και να αναζητήσουν εκεί την ύπαρξη των κοινών λύσεων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν: στο «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» ότι τα δύο πλαίσια έχουν πάντοτε κίτρινο χρώμα και στο «Γράφημα» την ύπαρξη μιας γραφικής παράστασης, αν και υπάρχουν δύο εξισώσεις. Έτσι θα καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Στην περίπτωση που θα λύσουν τις δύο εξισώσεις ως προς ψ και βρουν τις γραφικές τους παραστάσεις, αυτό θα είναι το κοινό σημείο τους. Αυτό στο γράφημα θα συμβεί, όταν η τιμή του χ είναι 1. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εμφανίσετε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων χ+ψ=3 και 3χ+3ψ=9;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7: Αδύνατο σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων Μπορείτε να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 3χ-2ψ=5 και 6χ-4ψ=8; Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την αναπαράσταση των κοινών λύσεων δύο γραμμικών εξισώσεων δύο αγνώστων.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στα λογισμικά «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» και «Γράφημα». Λύνουν τις δύο εξισώσεις ως προς ψ και τις εμφανίζουν στο λογισμικό. Επιλέγουν το αριστερό πλαίσιο της πρώτης σχέσης και πληκτρολογούν το δεύτερο μέλος της πρώτης εξίσωσης: (3χ-5)/2. Στο δεύτερο πλαίσιο της πρώτης σχέσης πληκτρολογούν το δεύτερο μέλος της δεύτερης εξίσωσης, (6χ-8)/4. Κινούν το μεταβολέα και αναζητούν την τιμή του μεταβολέα χ που κάνει και τα δύο πλαίσια κίτρινα. Σε αυτό μπορεί να τους βοηθήσει η εντολή «Στείλε στο γράφημα». Εκεί θα εμφανιστούν οι γραφικές παραστάσεις των δύο μελών και οι μαθητές θα πρέπει να βρουν αν υπάρχουν κοινές λύσεις.


Σελίδα 196

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν το προτεινόμενο λογισμικό για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να επιστήσει την προσοχή τους στη διαδικασία πληκτρολόγησης των παραστάσεων στα δύο μέλη των εξισώσεων του λογισμικού, καθώς και στον ορισμό των άκρων μεταβολής και του βήματος μεταβολής. Ακόμα θα πρέπει να τους καθοδηγήσει να κατανοήσουν τις αναπαραστάσεις των δύο μελών των εξισώσεων στο γράφημα και να αναζητήσουν εκεί την ύπαρξη των κοινών λύσεων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν: στο «Αριθμητική επεξεργασία εξίσωσης – ανίσωσης» ότι τα δύο πλαίσια δεν αποκτούν ποτέ κίτρινο χρώμα και στο «Γράφημα» την ύπαρξη δύο γραφικών παραστάσεων που είναι ευθείες παράλληλες. Έτσι, οι μαθητές θα διαπιστώσουν ότι το σύστημα δεν έχει λύσεις. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εμφανίσετε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων χ-2ψ=3 και 3χ-6ψ=5;

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ2

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Ο φωτογράφος


Σελίδα 197

Η παραπάνω φωτογραφία είναι τετράγωνη με πλευρά 12 εκ. Ο φωτογράφος σκοπεύει να κάνει διάφορες μεγεθύνσεις και σμικρύνσεις της, προκειμένου να δημιουργήσει φωτογραφίες και αφίσες διαφόρων μεγεθών. Μπορείτε να περιγράψετε το εμβαδόν που θα καταλαμβάνει το τετράγωνο στις διάφορες μεγεθύνσεις της:

• Με πίνακα; • Με γράφημα; • Με μια εξίσωση;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την τετραγωνική συνάρτηση και τον τρόπο έκφρασης.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στα λογισμικά «Στατιστική» και «Γράφημα». Θα ορίσουν έναν πίνακα τιμών με τον οποίο θα αντιστοιχούν σε κάθε τιμή της μεταβλητής χ το εμβαδόν του τετραγώνου ψ και θα παρατηρήσουν την καμπύλη που σχηματίζουν τα σημεία στο «Γράφημα».


Σελίδα 198

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τα προτεινόμενα λογισμικά για να κάνουν δοκιμές με τη λύση των προβλημάτων που προτείνονται. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι στο «Γράφημα» η μορφή της γραφικής παράστασης των σημείων δεν είναι ευθεία, αλλά έχει το σχήμα της παραβολής,

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Ο φωτογράφος (συνέχεια)

• Μπορείτε να περιγράψετε πόσα διαφορετικά μεγέθη της φωτογραφίας μπορεί ο φωτογράφος να κατασκευάσει;

• Μπορείτε να περιγράψετε πόσο θα είναι το εμβαδόν της σε κάθε περίπτωση;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την τετραγωνική συνάρτηση και τον τρόπο συμμεταβολής των δύο μεγεθών: μήκος πλευράς και εμβαδόν του τετραγώνου.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στα λογισμικά «Στατιστική» και «Γράφημα». Στον πίνακα τιμών που όρισαν μπορούν να πληκτρολογήσουν διάφορες τιμές της μεταβλητής χ και να παρατηρήσουν τον τρόπο που μεταβάλλεται η τιμή του εμβαδού. Ακόμα, στο «Γράφημα» μπορούν να εμπλουτίσουν το γράφημα με νέα σημεία μέσω του «Επεξεργαστή εξισώσεων», όπου θα πληκτρολογούν μία τιμή για το χ, θα παρατηρήσουν την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής ψ και να στείλουν το ζευγάρι των δύο τιμών στο «Γράφημα». Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τα βέλη, μπορούν να τακτοποιήσουν τα σημεία στο γράφημα. Οι διαδικασία εμπλουτισμού του πίνακα τιμών και του γραφήματος θα δώσουν την ευκαιρία στους μαθητές να εκφράσουν λεκτικά τον τρόπο συμμεταβολής των τιμών των δύο ποσοτήτων.


Σελίδα 199

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τα προτεινόμενα λογισμικά για να κάνουν δοκιμές με τον εμπλουτισμό των μέσων έκφρασης της τετραγωνικής μεταβολής. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι στο «Γράφημα» η μορφή της γραφικής παράστασης των σημείων δεν είναι ευθεία, αλλά έχει το σχήμα της παραβολής, Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να εκφράσετε και με τους τρεις τρόπους πώς μεταβάλλεται το εμβαδό μιας κυκλικής πίτσας σε σχέση με το μήκος της ακτίνας της;

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Η συνάρτηση ψ=αχ2

Μπορείτε να περιγράψετε τον τρόπο συμμεταβολής των χ και ψ για τις διάφορες τιμές του συντελεστή α;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την τετραγωνική συνάρτηση ψ=αχ2.


Σελίδα 200

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο λογισμικό «Γράφημα». Στο «Συντάκτη εξίσωσης» μπορούν να πληκτρολογήσουν διάφορες παραστάσεις της μορφής αχ2 και να παρατηρήσουν τη μορφή της καμπύλης.

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τα προτεινόμενα λογισμικά για να κάνουν δοκιμές με τον εμπλουτισμό των μέσων έκφρασης της τετραγωνικής μεταβολής. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι στο «Γράφημα» η μορφή της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων ψ=αχ2 εξαρτάται από την τιμή του α. Αναμένεται να εκφράσουν:

(1) Την ιδιότητα ότι όλες οι παραστάσεις έχουν κορυφή το σημείο (0,0), είτε ως μέγιστη είτε ως ελάχιστη τιμή.

(2) Την ιδιότητα ότι όσο μικρότερη τιμή έχει ο α, τόσο ποιο ανοικτή είναι η καμπύλη.

(3) Το γεγονός ότι όταν ο α έχει θετικές τιμές, τότε η γραφική παράσταση εμφανίζεται πάνω από τον άξονα χχ΄, και όταν έχει αρνητικές τιμές, τότε εμφανίζεται κάτω από τον άξονα χχ΄.

(4) Για γεγονός ότι για δύο αντίθετες τιμές του α, οι γραφικές παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα χχ΄.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Παραβολικά σκαλιά

Ένας εργολάβος θέλει να κατασκευάσει τα σκαλιά μιας οικοδομής σε σχήμα παραβολής.


Σελίδα 201

Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία αλλαγής των επιπέδων των σκαλιών θα ανήκουν στην παραβολή ψ=χ2.

• Μπορείτε στο λογισμικό «Γραφική επεξεργασία» να σχεδιάσετε τη σκάλα;

• Σε τι διαφέρει αυτή η παραβολική σκάλα από τη σκάλα που κατασκευάζεται σύμφωνα με την ευθεία ψ=χ;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την κλίση των σημείων της τετραγωνικής συνάρτησης ψ=αχ2.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο λογισμικό «Γράφημα» και να πληκτρολογήσουν διαδοχικά σημεία, ώστε να δημιουργήσουν τα σκαλιά του προβλήματος. Συγκρίνοντας τον τρόπο υπολογισμού των σημείων αλλαγής των επιπέδων των σκαλιών στις δύο περιπτώσεις, μπορούν να διαπιστώσουν ότι στην περίπτωση της ευθείας τα σκαλιά έχουν σταθερή κλίση, ενώ, αντίθετα, τα σκαλιά της παραβολής δεν έχουν σταθερή κλίση.


Σελίδα 202

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τα προτεινόμενα λογισμικά για να κάνουν δοκιμές με τον προσδιορισμό των σημείων του γραφήματος. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν τα σκαλιά της παραβολικής σκάλας δεν έχουν σταθερό ύψος, αν και το πλάτος τους είναι σταθερό με μήκος 1. Αντίθετα, αυτό ισχύει στην περίπτωση που τα σημεία αλλαγής των επιπέδων των σκαλιών ανήκουν σε μια ευθεία. Επεκτάσεις: Ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει και άλλα παρόμοια θέματα, όπως:

• Μπορείτε να κατασκευάσετε στο «Γράφημα» σκαλιά που τα σημεία αλλαγής να ανήκουν στην ψ=-χ2.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5: Η συνάρτηση ψ=αχ2+βχ+γ

• Μπορείτε να περιγράψετε σε τι διαφέρουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=χ2 και ψ=χ2+3;

• Μπορείτε να περιγράψετε σε τι διαφέρουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=χ2 και ψ=(χ-1)2;

• Μπορείτε να περιγράψετε σε τι διαφέρουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=χ2 και ψ=(χ-1)2+3;

Σχόλια: Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν εμπειρίες σχετικά με την τετραγωνική συνάρτηση ψ=αχ2+βχ+γ.

Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν στο λογισμικό «Γράφημα». Στο «Συντάκτη εξίσωσης» μπορούν να πληκτρολογήσουν τις παραστάσεις της δραστηριότητας και να παρατηρήσουν τη μορφή και τη θέση της κάθε καμπύλης.


Σελίδα 203

Διδακτικές οδηγίες: Οι μαθητές θα πρέπει να εργάζονται σε μικρές ομάδες και να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τα προτεινόμενα λογισμικά για να πληκτρολογούν σωστά τις εξισώσεις των συναρτήσεων. Πιθανές απαντήσεις: Οι μαθητές αναμένεται να διαπιστώσουν ότι στο «Γράφημα»:

(1) Οι γραφικές παραστάσεις των ψ=χ2 και ψ=χ2+3 έχουν το ίδιο σχήμα, όμως η δεύτερη είναι μετατοπισμένη παράλληλα προς την κατεύθυνση του άξονα ψψ΄ και έχει ελάχιστο το σημείο (0,3).

(2) Οι γραφικές παραστάσεις των ψ=χ2 και ψ=(χ-1)2 έχουν το ίδιο σχήμα, όμως η δεύτερη είναι μετατοπισμένη παράλληλα προς την κατεύθυνση του άξονα χχ΄ και έχει ελάχιστο το σημείο (1,0).

(3) Οι γραφικές παραστάσεις των ψ=χ2 και ψ=(χ-1)2+3 έχουν το ίδιο σχήμα, όμως η δεύτερη είναι μετατοπισμένη παράλληλα προς τους δύο άξονες και έχει ελάχιστο το σημείο (3,1).

(4) Για δύο αντίθετες τιμές του α, οι γραφικές παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα χχ΄.


• Μπορείτε να περιγράψετε σε τι διαφέρουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=-3χ2 και ψ=-3(χ+1)2-2;


Σελίδα 204

ΛΟΓΟΙ – ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ – ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Διαίρεση τμήματος Βασική ιδέα Η διαίρεση ενός τμήματος σε ίσα μέρη είναι μία δραστηριότητα με την οποία οι μαθητές θα εφαρμόσουν το Θεώρημα του Θαλή ως εργαλείο γεωμετρικών κατασκευών. Το να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο, τέσσερα, οκτώ κ.λπ. ίσα μέρη με κανόνα και διαβήτη είναι μία διαδικασία που μπορεί να υλοποιηθεί με τη βοήθεια διαδοχικών μεσοκαθέτων. Όταν όμως μας ζητούν να διαιρέσουμε ένα τμήμα σε τρία, πέντε, επτά κ.λπ. ίσα μέρη, τότε θα πρέπει να αναζητήσουμε άλλες μεθόδους σε άλλες μαθηματικές περιοχές. Το Θεώρημα του Θαλή είναι η πλέον κατάλληλη μαθηματική περιοχή για τη διαίρεση ενός τμήματος σε ίσα μέρη με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη. Το πρόβλημα που καλούνται οι μαθητές να λύσουν έχει ως εξής: Πώς χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τρία ίσα μέρη με κανόνα και διαβήτη; Α) Κατασκευάζω

• Κατασκευάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΟΚ και μία ημιευθεία με αρχή το ένα άκρο Ο του τμήματος.

• Κατασκευάστε έναν κύκλο, με τυχαία ακτίνα, και μεταφέρετε το κέντρο του στην αρχή της ημιευθείας Ο. Δημιουργήστε το σημείο τομής Α του κύκλου και της ημιευθείας.

• Κατασκευάστε έναν κύκλο και μεταφέρετε το κέντρο του στο σημείο τομής Α. Μεταβάλετε την ακτίνα του, ώστε ο κύκλος αυτός να περνά από την αρχή της ημιευθείας. Δημιουργήστε το σημείο τομής Β του νέου κύκλου με την ημιευθεία.

• Κατασκευάστε έναν ακόμη κύκλο και μεταφέρετε το κέντρο του στο σημείο Β. Μεταβάλετε την ακτίνα του, ώστε ο κύκλος αυτός να περνά από το σημείο τομής Α. Δημιουργήστε το σημείο τομής Γ του νέου κύκλου με την ημιευθεία.

• Ενώστε με ένα ευθύγραμμο τμήμα το Γ με το άκρο Κ. Φέρτε παράλληλες από τα Β και Γ προς το ΓΚ.

• Δημιουργήστε τα σημεία τομής αυτών των παραλλήλων με το τμήμα ΟΚ.

Β) Δικαιολογώ Θα πρέπει τώρα να εξηγήσουμε γιατί το ευθύγραμμο τμήμα ΟΚ έχει διαιρεθεί σε τρία ίσα μέρη.

1) Τι σχέση έχουν τα τμήματα ΟΑ, ΑΒ, ΒΓ; 2) Γιατί τα τμήματα πάνω στο ΟΚ είναι μεταξύ τους ίσα;


Σελίδα 205

Γ) Γενικεύω Μετρήστε τα μήκη των τριών τμημάτων πάνω στο ΟΚ και σημειώστε τις μετρήσεις αυτές. Μεταβάλετε τη θέση της ημιευθείας και την ακτίνα του αρχικού κύκλου και επαναλάβετε την κατασκευή.

3) Τι μεταβάλλεται και τι παραμένει σταθερό;

Γράψτε μία διαδικασία, με την οποία μπορούμε να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τρία ίσα μέρη. Δ) Επεκτείνω Γράψτε μία διαδικασία με την οποία να χωρίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα σε οσαδήποτε ίσα τμήματα. Διδακτική πρόταση: Οι μαθητές θα εμπλακούν σε δραστηριότητες οι οποίες διακρίνονται ανάλογα με το είδος της δράσης την οποία υλοποιούν.

• Το πρώτο είδος δράσεων θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως κατασκευές με τη βοήθεια των υπολογιστικών εργαλείων που διαθέτουν. Στην ουσία οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν το διαβήτη και τον κανόνα του λογισμικού.

• Όταν οι μαθητές ολοκληρώσουν την κατασκευή, καλούνται να δικαιολογήσουν γιατί τα τρία τμήματα είναι ίσα. Εδώ θα πρέπει να επικαλεστούν το Θεώρημα του Θαλή, για να «νομιμοποιήσουν» την κατασκευή τους.

• Στη συνέχεια θα κάνουν μία γενίκευση αφού θα παρατηρήσουν ότι

όποια και αν είναι η ακτίνα του αρχικού κύκλου, το ΟΚ θα διαιρείται σε τρία ίσα μέρη. Η διαπίστωση αυτή θα τους οδηγήσει στην περιγραφή μιας διαδικασίας με την οποία μπορούμε να χωρίσουμε σε τρία ίσα μέρη ένα τμήμα.

• Τέλος οι μαθητές θα επεκτείνουν τα αποτελέσματα και θα περιγράψουν

τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να διαιρέσουμε ένα τμήμα σε οσαδήποτε ίσα μέρη. Προφανώς θα γενικεύσουν την προηγούμενη κατασκευή, επιλέγοντας οσαδήποτε ίσα τμήματα πάνω στην ημιευθεία.


Σελίδα 206

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου Βασική ιδέα Όταν μία ευθεία κινείται παράλληλα προς τη βάση ΒΓ ενός τριγώνου, τότε τη στιγμή που περνά από μέσον της ΑΒ περνά και από το μέσον της ΑΓ. Το γεγονός αυτό μπορεί να δοθεί στους μαθητές προς διερεύνηση, με στόχο να φτάσουν στην απόδειξη της αντίστοιχης πρότασης που αφορά στα μέσα δύο πλευρών τριγώνου. Η δραστηριότητα που ακολουθεί έχει σχεδιαστεί για να οδηγήσει τους μαθητές από την απλή εικασία στην απόδειξη και στην εφαρμογή μιας πρότασης της γεωμετρίας. Όταν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε μία παράλληλη από το μέσον της μιας πλευράς προς μία άλλη, τότε αυτή θα δείχνει ότι περνά από το μέσον της τρίτης πλευράς. Θα ερευνήσουμε αν αυτό ισχύει και θα βρούμε τη σχέση που συνδέει το μήκος του τμήματος με την τρίτη πλευρά. Α) Ερευνώ και ανακαλύπτω

1. Κατασκευάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Μ πάνω στην πλευρά του ΑΒ. Φέρτε μία παράλληλη από το Μ προς τη ΒΓ η οποία να κόβει την ΑΓ στο Λ.

2. Μετρήστε τα τμήματα. Μεταβάλετε τη θέση του Μ. Ποια είναι η θέση του Λ, όταν το Μ είναι το μέσον του ΑΒ;

Β) Δικαιολογώ και αποδεικνύω

1. Φέρτε μία παράλληλη από το Γ προς την ΑΒ η οποία να κόβει την αρχική παράλληλη στο Ν. Μετρήστε το τμήμα ΓΝ. Τι παρατηρείτε;

Λ


Σελίδα 207

2. Εξηγήστε με βάση το σχήμα γιατί όταν το Μ βρίσκεται στο μέσον του ΑΒ, το Λ βρίσκεται στο μέσον του ΑΓ.


1. Κατασκευάστε ένα σημείο Σ πάνω στη ΒΓ. Το τμήμα ΑΣ θα τέμνει την πρώτη παράλληλη στο Ρ. Μετρήστε τα τμήματα ΑΡ και ΡΣ. Τι παρατηρείτε;

2. Κινήστε το σημείο Σ. Ισχύει η παρατήρηση που κάνατε στην προηγούμενη

ερώτηση; 3. Δώστε μία εξήγηση με βάση την πρόταση που αποδείξατε προηγουμένως.

Διδακτική πρόταση Η δραστηριότητα μπορεί να διακριθεί σε τρεις επιμέρους φάσεις.

• Κατά τη φάση της ανακάλυψης οι μαθητές θα στηριχτούν κυρίως στις μετρήσεις, προκειμένου να καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι μόνο αν η παράλληλη περάσει από το μέσον του ΑΒ, θα περάσει και από το μέσον του ΑΓ. Αυτό αποτελεί μια εικασία και ο διδάσκων επισημαίνει ότι θα πρέπει να το αποδείξουν γενικώς, οπότε η δραστηριότητα περνά τη δεύτερη φάση.

• Κατά τη φάση της απόδειξης οι μαθητές θα επιχειρήσουν να

δικαιολογήσουν την ισότητα των τριγώνων ΓΝΛ και ΜΑΛ. Σε αυτή θα τους οδηγήσουν οι μετρήσεις που υποδεικνύουν ότι το τετράπλευρο ΑΜΓΝ είναι παραλληλόγραμμο.

• Κατά τη φάση της εφαρμογής ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να

κατασκευάσουν ένα σημείο Σ μεταξύ των Β και Γ, να το ενώσουν με το Α και να κατασκευάσουν το σημείο Ρ που είναι η τομή του ΑΣ με την παράλληλη προς τη ΒΓ. Οι μαθητές μετρούν τα τμήματα ΑΡ και ΡΣ και διαπιστώνουν ότι είναι ίσα, έστω και αν το Σ μεταβάλλει τη θέση του. Οι μαθητές εξηγούν την ισότητα με βάση την πρόταση που έχουν αποδείξει.

• Η δραστηριότητα αυτή θα μπορούσε να στηριχτεί στη χρήση του μέσου.

Συγκεκριμένα, ο διδάσκων θα μπορούσε να ζητήσει από τους μαθητές

Λ Ν


Σελίδα 208

να κατασκευάσουν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ και ύστερα την ευθεία που περνά από αυτά. Στη συνέχεια η κινητή παράλληλη θα ταυτιστεί με τη συγκεκριμένη ευθεία.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3: Όμοια τρίγωνα Βασική ιδέα Όταν δύο τρίγωνα είναι όμοια, τότε ο λόγος των πλευρών τους είναι σταθερός. Η σταθερότητα, όμως, του λόγου παραπέμπει σε γραμμική συνάρτηση, δηλαδή αν τα τρίγωνα μεταβάλλονται, ενώ παραμένουν όμοια, τότε η σχέση μεταξύ των πλευρών τους είναι γραμμική. Στην παρακάτω δραστηριότητα οι μαθητές θα διερευνήσουν τη σχέση των πλευρών δύο ομοίων τριγώνων με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης των μέτρων των πλευρών των δύο τριγώνων. Η δραστηριότητα διακρίνεται σε δύο φάσεις, την κατασκευή και τη διερεύνηση. Στόχος της πρώτης φάσης είναι να εντοπίσουν οι μαθητές τη γεωμετρική δομή της κατασκευής και της σχέσης που συνδέει δύο τρίγωνα με πλευρές παράλληλες. Στη δεύτερη φάση στόχος είναι να εντοπίσουν οι μαθητές τη συναρτησιακή συσχέτιση των γεωμετρικών μεγεθών, αφού κάνουν χρήση γραφικής παράστασης και πίνακα τιμών.


• Κατασκευάστε μία ευθεία και ένα σημείο εκτός αυτής. • Φέρτε μία κάθετη από το σημείο πάνω στην ευθεία και κατασκευάστε το

σημείο τομής Α. • Κατασκευάστε ένα ελεύθερο σημείο Β πάνω στη μία ευθεία και ένα

ελεύθερο σημείο Γ πάνω στην άλλη. Αποκρύψτε τις ευθείες και κατασκευάστε το τρίγωνο ΑΒΓ.

• Κατασκευάστε ένα ελεύθερο σημείο Α΄ και από αυτό φέρτε παράλληλες προς τις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου.

• Πάνω σε μία από αυτές κατασκευάστε ένα ελεύθερο σημείο Γ΄ και από αυτό φέρτε παράλληλη προς την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.

• Σημειώστε το σημείο τομής Β΄ της παράλληλης αυτής με την άλλη κάθετη και αποκρύψτε τις ευθείες. Ενώστε τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα.

• Μετρήστε τις πλευρές του ενός και τις πλευρές του άλλου.


Σελίδα 209

Β) Ερευνώ και συσχετίζω

1) Περάστε τις μετρήσεις στο γράφημα και επιλέξτε στο παράθυρο «Μετρήσεις» τις μετρήσεις μήκους δύο αντίστοιχων πλευρών των τριγώνων (π.χ. ΑΒ και Α΄Β΄).

2) Μεταβάλετε το μέγεθος του τριγώνου ΑΒΓ, σύροντας το σημείο Β. Πώς μεταβάλλεται το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄; Ποια σχέση έχει με το ΑΒΓ;

3) Στείλτε κάθε φορά τα δεδομένα στο γράφημα. Τι παρατηρείτε για τα

σημεία που δημιουργούνται; Μπορείτε να δικαιολογήσετε τη διάταξη των σημείων;

4) Επιλέξτε τώρα δύο άλλες μετρήσεις, π.χ. ΒΓ και Β΄Γ΄, και επαναλάβετε τη

διαδικασία. Τι παρατηρείτε;

Διδακτική πρόταση • Ο διδάσκων υλοποιεί την κατασκευή πριν από τη δραστηριότητα, ώστε να εξοικειωθεί με τη δομή και τη λειτουργία της. Αν το κρίνει σκόπιμο, όπως και για λόγους εξοικονόμησης χρόνου, μπορεί να δώσει έτοιμη στους μαθητές την κατασκευή. Στην περίπτωση αυτή θα ήταν χρήσιμο να ζητήσει από τους μαθητές να αποκαλύψουν τις ευθείες που έχουν υποστεί απόκρυψη, ώστε να παρατηρήσουν τη δομή της κατασκευής και ιδιαίτερα την παραλληλία των πλευρών των δύο τριγώνων.

• Οι μαθητές σύρουν την κορυφή Β και παρατηρούν τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄. Η μεταβολή αυτή θα αποτελέσει αντικείμενο διαπραγμάτευσης με στόχο να σημειωθεί από τους μαθητές ότι πρόκειται για μεγέθυνση ή σμίκρυνση του ΑΒΓ. Επιπλέον θα επισημανθεί ότι τα δύο τρίγωνα έχουν ίσες γωνίες.

• Όταν οι μαθητές περάσουν τις μετρήσεις στο γράφημα, θα εντοπίσουν σε ποια σειρά βρίσκεται η μέτρηση κάθε πλευράς των τριγώνων. Αυτό είναι εφικτό, αφού οι μετρήσεις στο παράθυρο των μετρήσεων και οι μετρήσεις στις πλευρές έχουν 1-1 αντιστοιχία.


Σελίδα 210

• Με κλικ στην ετικέτα «Μετρήσεις» αποστέλλουν το πρώτο ζεύγος τιμών στους άξονες και καθορίζουν τα άκρα τους, ώστε να φαίνονται όλα τα σημεία. Η επιλογή του αριθμού 250 για το δεξί και το άνω άκρο των αξόνων είναι ικανοποιητική.

• Στη συνέχεια αποστέλλουν αρκετά σημεία και παρατηρούν ότι η διάταξή τους είναι ευθεία η οποία περνά από την αρχή των αξόνων. Αυτό σημαίνει ότι τα δύο ποσά είναι ανάλογα, άρα διατηρούν σταθερό λόγο. Στο σημείο αυτό ο διδάσκων συσχετίζει το συντελεστή διεύθυνσης με το λόγο ομοιότητας, δηλαδή την κλίμακα της μεγέθυνσης ή της σμίκρυνσης.

• Στην τελευταία ερώτηση οι μαθητές θα επισημάνουν ότι τα νέα σημεία στο γράφημα ανήκουν στην ίδια ευθεία, γεγονός που συνεπάγεται ότι και οι άλλες πλευρές έχουν τον ίδιο λόγο.

• ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4: Εμβαδά ομοίων σχημάτων Βασική ιδέα Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα κατασκευάσουν όμοια πολύγωνα, τα οποία θα έχουν ως κορυφές τα σημεία ενός πλέγματος, και στη συνέχεια θα υπολογίσουν και θα συγκρίνουν το εμβαδόν τους. Το πλέγμα αποτελεί ένα διδακτικό εργαλείο για πλήθος εννοιών που συναντώνται στο γυμνάσιο, μεταξύ δε αυτών και για τη μέτρηση εμβαδών επίπεδων σχημάτων. Βασική του αρχή είναι ο περιορισμός που τίθεται για τα επίπεδα σχήματα να έχουν τις κορυφές τους πάνω στα σημεία που δημιουργεί το πλέγμα. Με τον τρόπο αυτό οι μαθητές μπορούν να υπολογίσουν το εμβαδόν οποιουδήποτε πολυγώνου με τη βοήθεια ορθογώνιων τριγώνων και μονάδα μέτρησης την απόσταση δύο σημείων που βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη ή οριζόντια ευθεία. Η κατασκευή όμοιων σχημάτων στο πλέγμα αναδεικνύει την αναλογία των πλευρών των όμοιων σχημάτων και επιτρέπει τη σύγκριση των εμβαδών τους.


Σελίδα 211


• Εμφανίστε στο χώρο της «Γεωμετρίας» το πλέγμα και επιλέξτε «Δέσμευση».

• Μετρήστε την ελάχιστη απόσταση δύο διαδοχικών σημείων του πλέγματος.

• Κατασκευάστε τα δύο σχήματα της παρακάτω εικόνας.

Β) Ερευνώ και υπολογίζω

1) Εξηγήστε γιατί τα δύο τρίγωνα είναι όμοια. Υπολογίστε τα εμβαδά των δύο τριγώνων. Ποια σχέση συνδέει τα εμβαδά με το λόγο ομοιότητας;

2) Κατασκευάστε το παρακάτω πολύγωνο, καθώς και ένα όμοιό του.

3) Υπολογίστε το εμβαδόν του αρχικού πολυγώνου και συγκρίνετέ το με το εμβαδόν του τελικού.

4) Διατυπώστε μία πρόταση σχετικά με τα εμβαδά των όμοιων σχημάτων και

το λόγο ομοιότητας.

Διδακτική πρόταση: Ο διδάσκων υλοποιεί την κατασκευή πριν από τη δραστηριότητα, ώστε να εξοικειωθεί με τη δομή και τη λειτουργία της.

• Στην πρώτη ερώτηση οι μαθητές θα πρέπει να μετρήσουν τα σημεία που περιέχει κάθε πλευρά των τριγώνων, ώστε να καθορίσουν το μέτρο τους. Μία άλλη επιλογή είναι να μετρήσουν τις πλευρές με τη δυνατότητα που παρέχει το λογισμικό.


Σελίδα 212

• Ο διδάσκων διαπραγματεύεται με τους μαθητές τη σχέση των πλευρών και ιδιαίτερα επικεντρώνεται στο λόγο των πλευρών των δύο τριγώνων, ο οποίος παραμένει σταθερός. Μία άλλη προσέγγιση θα ήταν να μετρήσουν οι μαθητές τις γωνίες των δύο τριγώνων και να εντοπίσουν ότι είναι ίσες.

• Στη συνέχεια υπολογίζουν τα εμβαδά με τη βοήθεια του γνωστού τύπου

για τα τρίγωνα. Ο διδάσκων επισημαίνει ότι ο λόγος των εμβαδών δεν είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας και οδηγεί τους μαθητές να διατυπώσουν την πρόταση που αναφέρεται στο τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.

• Στην επόμενη κατασκευή οι μαθητές θα επιχειρήσουν να γενικεύσουν το

συμπέρασμά τους σχετικά με το λόγο των εμβαδών όμοιων τριγώνων και στα όμοια πολύγωνα. Η κατασκευή ενός όμοιου πολυγώνου θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια ορθογώνιων τριγώνων και παραλληλογράμμων, τα οποία θα συμπληρώσουν το εμβαδόν του πολυγώνου.

• Στη συνέχεια οι μαθητές μετρούν τα δύο εμβαδά και τα συγκρίνουν πάλι με το λόγο ομοιότητας. Τέλος διατυπώνουν τη σχετική πρόταση σε αυστηρά μαθηματική ορολογία. Στο σημείο αυτό ο διδάσκων θα μπορούσε να επισημάνει ότι η ομοιότητα των ορθογώνιων τριγώνων είναι εκείνη στην οποία στηρίζεται τελικά η ομοιότητα οποιονδήποτε επίπεδων σχημάτων.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Τριγωνομετρικές συναντήσεις

Βασική ιδέα Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα συνδέσουν το χώρο της τριγωνομετρίας με εκείνον των διανυσμάτων και κατ’ επέκταση της φυσικής. Η όλη διερεύνηση αφορά στη δυνατότητα είτε να συναντηθούν δύο κινητά είτε να διασταυρωθούν οι διαδρομές τους χωρίς υποχρεωτική συνάντηση. Συγκεκριμένα, αν δύο κινητά έχουν αφετηρίες που βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ευθεία, ως προς τον παρατηρητή, και σχηματίζουν παραπληρωματικές γωνίες με την οριζόντια, τότε οι πορείες τους θα συναντηθούν πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος που ορίζουν οι θέσεις τους.


Σελίδα 213

Αν, τώρα, κινούνται και με την ίδια ταχύτητα, τότε θα βρεθούν στο σημείο τομής την ίδια χρονική στιγμή, δηλαδή στη μεσοκάθετο δεν θα συναντηθούν μόνο οι πορείες τους, αλλά και τα ίδια τα κινητά.

Εδώ το γεωμετρικό μοντέλο του φαινομένου της συνάντησης είναι το ισοσκελές τρίγωνο και οι ιδιότητές του. Αυτό που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι η περίπτωση στην οποία οι γωνίες δεν είναι παραπληρωματικές και το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση της διαδρομής που έχει διανύσει το καθένα μέχρι το σημείο όπου συναντώνται τα ίχνη τους.

Στην περίπτωση αυτή η γωνία κίνησης του Β, όταν είναι σταθερή η γωνία κίνησης του Α, μπορεί να υπολογιστεί τριγωνομετρικά. Ο υπολογισμός των αποστάσεων που θα διανύσει κάθε κινητό μέχρι το σημείο όπου τέμνονται τα ίχνη μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσα από το θεώρημα των ημιτόνων, ιδιαίτερα στην περίπτωση που το σημείο αυτό δεν βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφη.


• Εμφανίστε στο χώρο των διανυσμάτων δύο αντικείμενα με ένα διάνυσμα το καθένα.

• Τοποθετήστε το ένα αντικείμενο στο σημείο (-200, 0), ας το ονομάσουμε Α, και το άλλο στο σημείο (200, 0), ας το ονομάσουμε Β.

• Ρυθμίστε τα μέτρα ώστε να είναι ίσα και τις γωνίες ώστε να είναι παραπληρωματικές. Προτιμήστε την τιμή των 450 για την οξεία γωνία.

Η εικόνα που θα έχετε στην οθόνη σας θα πρέπει να είναι η εξής:


Σελίδα 214

Β) Ερευνώ και υπολογίζω 1) Ενεργοποιήστε το ίχνος και θέστε σε κίνηση τα αντικείμενα. Τι παρατηρείτε;

Δικαιολογήστε τον τρόπο και το σημείο συνάντησης των δύο κινητών. 2) Επαναφέρετε το αντικείμενο Β στην αρχική του θέση και το Α στο σημείο (-

100, 0). Διερευνήστε τη γωνία με την οποία θα πρέπει να κινηθεί το αντικείμενο Α, ώστε τα ίχνη της κίνησης των δύο αντικειμένων να συναντηθούν πάνω στην κατακόρυφη.

3) Μετακινήστε το αντικείμενο Α στο σημείο (0, 0) και καθορίστε μία σχετικά μικρή γωνία γι’ αυτό, π.χ. 40ο. Τοποθετήστε το αντικείμενο Β στο σημείο (300, 0) και καθορίστε γι’ αυτό μία γωνία 120ο. Τώρα θα πρέπει να υπολογίσετε την απόσταση που θα διανύσει το Α μέχρι το σημείο όπου συναντώνται τα ίχνη των δύο αντικειμένων. Πώς μπορεί να πραγματοποιηθεί αυτό;

Διδακτική πρόταση Ο διδάσκων καταρχήν θα επισημάνει ότι υπάρχουν δύο μορφών προβλήματα, το ένα αφορά στη συνάντηση της μιας πορείας με την άλλη πάνω στην κατακόρυφη και το άλλο αφορά στη συνάντηση των κινητών πάνω στην κατακόρυφη.

• Στην πρώτη ερώτηση οι μαθητές παρατηρούν ότι τα δύο κινητά συναντώνται πάνω στη μεσοκάθετη. Ο διδάσκων ζητά να σταματήσουν την κίνηση πριν φτάσουν στο σημείο συνάντησης και να παρατηρήσουν τις συντεταγμένες των θέσεων των δύο αντικειμένων. Οι συντεταγμένες αναδεικνύουν τη συμμετρική κίνηση των δύο κινητών.

Εδώ είναι σημαντικό ο διδάσκων να διαπραγματευτεί με τους μαθητές το γεγονός των (παραπληρωματικών) ίσων γωνιών και ίσων μέτρων των


Σελίδα 215

διανυσμάτων, το οποίο παραπέμπει σε ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετο.

• Στη δεύτερη ερώτηση οι μαθητές θα πρέπει να χρησιμοποιήσουν το

τετράδιό τους στο οποίο θα κατασκευάσουν ένα σκαλινό τρίγωνο και το ύψος του. Το σχήμα αυτό αποτελεί το γεωμετρικό μοντέλο της πραγματικής κατάστασης και ο υπολογισμός της γωνίας απαιτεί τη χρήση της τριγωνομετρικής εφαπτομένης. Συγκεκριμένα, αφού η μία γωνία του ορθογώνιου τριγώνου με κορυφή το Β είναι ίση με 45ο, τότε το ύψος του τριγώνου θα είναι ίσο με 200 μονάδες.

• Για τον υπολογισμό της ζητούμενης γωνίας θα πρέπει να σημειώσουν ότι η εφαπτομένη της είναι ίση με 200/100, δηλαδή με 2. Οι μαθητές θα καταφύγουν στον πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που βρίσκεται στο τέλος του σχολικού βιβλίου και θα εντοπίσουν τη γωνία των 64ο, της οποίας η εφαπτομένη είναι ίση με 2 περίπου.

• Οι μαθητές προσανατολίζουν το διάνυσμα του αντικειμένου Α στις 64ο

(ή στις 63ο) και εκτελούν το πείραμα, επιβεβαιώνοντας ότι τα ίχνη συναντώνται πάνω στην κατακόρυφη.

• Στην τελευταία ερώτηση οι μαθητές θα πρέπει να καταλήξουν στο

συμπέρασμα ότι στην ουσία το πρόβλημα ανάγεται στην επίλυση τριγώνου του οποίου είναι γνωστή η μία πλευρά (300 μονάδες) και οι γωνίες του (40ο, 60ο, 80ο). Εδώ η λύση θα προέλθει από το θεώρημα των

ημιτόνων, καθώς στο τρίγωνο που δημιουργείται ισχύει 0 0

χ 300=ημ60 ημ80

.


Σελίδα 216

Το πρόβλημα που καλούνται οι μαθητές να λύσουν με τη δραστηριότητα αυτή είναι το εξής: Δύο αντικείμενα κινούνται, αφήνοντας ίχνη πάνω σε διαδρομές των οποίων μπορούμε να καθορίσουμε την κλίση. Πώς μπορούμε να προβλέψουμε το σημείο συνάντησης των ιχνών τους; Κατασκευές

• Στο χώρο των διανυσμάτων εμφανίστε δύο αντικείμενα με ένα διάνυσμα το καθένα.

• Τοποθετήστε το ένα αντικείμενο στο σημείο (-200, 0), ας το ονομάσουμε

Α, και το άλλο στο σημείο (200, 0), ας το ονομάσουμε Β.

• Ρυθμίστε τα μέτρα ώστε να είναι ίσα και τις γωνίες ώστε να είναι παραπληρωματικές. Προτιμήσετε την τιμή των 45ο για την οξεία γωνία.

Η εικόνα που θα έχετε στην οθόνη σας θα πρέπει να είναι η εξής.

Documents

Βιβλίο καθηγητή