ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Βασικές έννοιες :

Ορισμός:

Μεταβλητή λέγεται ένα γράμμα το οποίο παριστάνει έναν οποιονδήποτε αριθμό.

Ορισμός:

Αριθμητική παράσταση, λέγεται κάθε παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Π.χ. Οι παραστάσεις: , είναι αριθμητικές παραστάσεις.

Ορισμός:

Αλγεβρική παράσταση, λέγεται κάθε παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.

Π.χ. Οι παραστάσεις , είναι αλγεβρικές παραστάσεις.

Παρατηρήσεις:

Στο άθροισμα οι α, β λέγονται όροι του αθροίσματος. Στο γινόμενο οι α, β λέγονται παράγοντες του γινομένου.

1

Α ’ ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

Το σύμβολο του πολλαπλασιασμού μπορεί να παραλείπεται όταν πολλαπλασιάζουμε αριθμό με μεταβλητή, μεταβλητή με μεταβλητή και αριθμό ή μεταβλητή με παρένθεση.

Π.χ. , , , Αλλά, .

Πράξεις σε αλγεβρικές παραστάσεις :

Ορισμός:

Οι όροι μιας αλγεβρικής παράστασης που περιέχουν την ίδια ή τις ίδιες μεταβλητές υψωμένες στον ίδιο εκθέτη , λέγονται όμοιοι όροι.

Π.χ. Στην αλγεβρική παράσταση , οι όροι είναι όμοιοι, οι όροι είναι όμοιοι , καθώς και οι όροι –2,3.

Ορισμός:

Όταν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαθιστούμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους, τότε λέμε ότι κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Παρατήρηση:

Για να κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, χρησιμοποιούμε μια πολύ σημαντική γνωστή ιδιότητα που λέγεται επιμεριστική ιδιότητα.

(1) ή (2)

(3) ή (4)

Συγκεκριμένα, στην αναγωγή ομοίων όρων χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα με τη μορφή που έχει στις σχέσεις (2) και (4).

Παράδειγμα 1:

α) β) γ)

2

Παράδειγμα 2:

Έχουμε:

! Εδώ τελειώνουν οι πράξεις. Οι ανόμοιοι όροι δεν προστίθενται.

Παρατηρήσεις:

Η απαλοιφή παρενθέσεων στις αλγεβρικές παραστάσεις γίνεται ακολουθώντας τους ίδιους κανόνες που ακολουθούσαμε και στις αριθμητικές παραστάσεις. Δηλαδή:

Π.χ. Έχουμε:

Η επιμεριστική ιδιότητα χρησιμοποιείται και με τη μορφή που έχει στις σχέσεις (1) και (3) που είδαμε προηγούμενα. Δηλαδή:

Π.χ. Έχουμε:

Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ανόμοιους όρους. Δηλαδή:

Π.χ.

, αλλά

, αλλά .

3

Όταν σε μια αλγεβρική παράσταση, κατά την αναγωγή ομοίων όρων συναντήσουμε όρους όπως για παράδειγμα: , αυτοί είναι αντίθετοι και μπορούμε να τους διαγράψουμε.

Π.χ.

Άσκηση 3, Σελ. 14 (Σχολικού Βιβλίου)

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α)

β)

γ)

δ)

ΛΥΣΗ:

α)

β)

γ)

δ)


Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α)

β)

γ)

δ)

4

ΛΥΣΗ:

α) Έχουμε:

β) Έχουμε:

γ) Έχουμε:

δ) Έχουμε:

Ορισμός:

Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές που περιέχει μια αλγεβρική παράσταση με αριθμούς και εκτελέσουμε όλες τις πράξεις, τότε η τιμή που θα βρούμε λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης.

Π.χ. Η αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης για και είναι : .


Για να υπολογίσουμε την αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης, πρώτα απλοποιούμε την παράσταση και στη συνέχεια αντικαθιστούμε τις τιμές των μεταβλητών.


Να απλοποιήσετε την παράσταση Α και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της:

α) όταν , .

ΛΥΣΗ:

α) Έχουμε:

5

!Υπάρχουν ασκήσεις όπου δε μας δίνει την τιμή κάθε μεταβλητής , αλλά μιας παράστασής τους. Τότε κάνουμε τις πράξεις και προσπαθούμε να εμφανίσουμε την ποσότητα αυτή μέσα στην αλγεβρική παράσταση.


Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

β)

όταν .

ΛΥΣΗ:

β) Έχουμε:

1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ

Ισότητες :

6

Για δύο αριθμούς α και β ισχύει μία από τις σχέσεις:

α = β , α > β , α < β

Κανόνες ισοτήτων:

Αν τότε

Αν τότε

Αν τότε

Αν τότε με .

Εξισώσεις :

Ορισμός:

Εξίσωση λέγεται μία ισότητα που γίνεται αληθινή για μερικές μόνο τιμές της μεταβλητής που περιέχει.

(π.χ.)

Βασικοί ορισμοί :

Η παράσταση που βρίσκεται αριστερά από το ίσον , λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η παράσταση που βρίσκεται δεξιά λέγεται δεύτερο μέλος.

Η μεταβλητή που περιέχει μια εξίσωση λέγεται άγνωστος αυτής. Οι όροι που περιέχουν τον άγνωστο λέγονται άγνωστοι όροι της

εξίσωσης, ενώ οι άλλοι όροι λέγονται γνωστοί. Λύση μιας εξίσωσης λέγεται ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση.

Ένας αριθμός λέμε ότι επαληθεύει μια εξίσωση, όταν βάζοντας τον αριθμό αυτόν στη θέση του αγνώστου, τότε έχουμε ισότητα που αληθεύει.

Στο παράδειγμά μας: πρώτο μέλος: , δεύτερο μέλος: , άγνωστος : x, άγνωστοι όροι: , γνωστοί όροι: .


Να εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεται είναι η λύση της εξίσωσης:

7

α) , γ) ,

ΛΥΣΗ:

Όταν μας ζητείται να εξετάσουμε αν ένας αριθμός είναι λύση μιας εξίσωσης, θα βάζουμε στη θέση του αγνώστου αυτόν τον αριθμό για να δούμε αν επαληθεύεται η εξίσωση.

α) Έχουμε: , άρα το –7 δεν είναι λύση της εξίσωσης.

γ) Έχουμε:

, άρα το 1 είναι λύση της εξίσωσης.

Επίλυση εξισώσεων α’ βαθμού:

Οι εξισώσεις α΄ βαθμού χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες:

Απλές Με παρενθέσεις Με παρονομαστές.

1) Απλές

Βασικό παράδειγμα:

Να λυθεί η εξίσωση: .

Λύση:

μεταφέρουμε τους άγνωστους όρους στο πρώτο μέλος και τους γνωστούς στο δεύτερο μέλος. Προσέχουμε όταν μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο να αλλάζουμε το πρόσημό του.

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου.

8

( συντελεστής του αγνώστου λέγεται ο αριθμός που είναι πολλαπλασιασμένος με τον άγνωστο.)

Απλοποιούμε τα κλάσματα.


Όταν ο συντελεστής του x είναι το 1 δε χρειάζεται να διαιρέσουμε για να λύσουμε ως προς x.

Όταν ο συντελεστής του x είναι το –1 δε χρειάζεται να διαιρέσουμε για να λύσουμε ως προς x , απλώς αλλάζουμε τα πρόσημα και στα δύο μέλη. Για παράδειγμα:

Παραδείγματα:

1)

Στην περίπτωση αυτή δε μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με το συντελεστή του αγνώστου, γιατί, δε γίνεται διαίρεση με το μηδέν. Παρατηρούμε όμως, ότι η εξίσωση αυτή επαληθεύεται για κάθε τιμή του x. Μία τέτοια εξίσωση λέγεται ταυτότητα.

2)

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση αυτή δεν επαληθεύεται για καμία τιμή του x. Μία τέτοια εξίσωση λέγεται αδύνατη.

2) Με παρενθέσεις :

Βασικό παράδειγμα : Άσκηση 2 α), Σελ. 20 (Σχολικού Βιβλίου )

9

Να λυθεί η εξίσωση:

ΛΥΣΗ:

Κάνουμε τις πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα)

(Προσοχή στα πρόσημα!) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

3) Με παρονομαστές:

Βασικό παράδειγμα: Άσκηση 2 β), Σελ. 20 (Σχολικού Βιβλίου)

Να λυθεί η εξίσωση:

ΛΥΣΗ:

Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο της εξίσωσης με το

Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. Εδώ Ε.Κ.Π.(3, 6, 2) =6.) 2 1 3

Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και

καθαρογράφουμε τους όρους που έχουν απομείνει.

Κάνουμε τις πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου

Απλοποιούμε τα κλάσματα

1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ

Ορισμός:

10

Τύπος είναι μια ισότητα που συνδέει μαθηματικά ή φυσικά μεγέθη.

(π.χ.) Ο τύπος που δίνει το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α είναι Ο τύπος που δίνει την ταχύτητα U ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα ομαλά

είναι , όπου το S συμβολίζει το διάστημα που διανύει το κινητό σε

χρόνο t.

Επίλυση τύπου:

Όταν έχουμε έναν τύπο του οποίου γνωρίζουμε τις τιμές που παίρνουν όλες τις μεταβλητές εκτός από μία, τότε επιλύουμε τον τύπο ως προς την άγνωστη μεταβλητή. Μετά αντικαθιστούμε τις τιμές των γνωστών μεταβλητών, και υπολογίζουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής.


Για να επιλύσουμε έναν τύπο ως προς μία μεταβλητή του, ακολουθούμε τη διαδικασία επίλυσης των εξισώσεων που μάθαμε στην προηγούμενη παράγραφο θεωρώντας ως άγνωστο τη μεταβλητή ως προς την οποία θέλουμε να επιλύσουμε τον τύπο.

Βασικό παράδειγμα: Άσκηση 2, Σελ. 24 (Σχολικού Βιβλίου)

Δίνεται ο τύπος της περιμέτρου ενός ορθογωνίου με πλευρές x, y , . Να επιλυθεί ο τύπος ως προς y.

ΛΥΣΗ:

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους ( προσπαθούμε να κάνουμε το χωρισμό , ώστε ο όρος που περιέχει τον άγνωστο να μην έχει πρόσημο « μείον» )

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου


Να επιλύσετε τον τύπο

11

, ως προς t.

ΛΥΣΗ:

Σ’ αυτήν την περίπτωση πρέπει πρώτα να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.

12

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με χρήση εξισώσεων ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα, ώσπου να το κατανοήσουμε και διακρίνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα.

Χρησιμοποιούμε μια μεταβλητή , συνήθως το x, για να εκφράσουμε τον άγνωστο αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε.

Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του . Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα

του προβλήματος. Λύνουμε την εξίσωση. Ελέγχουμε αν η λύση του προβλήματος ικανοποιεί τις συνθήκες του

προβλήματος.


Θα πρέπει να τονίσουμε ότι τα μέλη της εξίσωσης στην οποία θα καταλήγουμε θα πρέπει να περιέχουν όρους οι οποίοι να παριστάνουν όμοια μεγέθη. Πιο απλά θα πρέπει να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε στο ένα μέλος ηλικία με ηλικία, ταχύτητα με ταχύτητα, χρόνο με χρόνο, άτομα με άτομα, κ.τ.λ., και αυτά να τα εξισώσουμε πάλι με ηλικία, ταχύτητα, χρόνο αντίστοιχα.

Προβλήματα αριθμών:

Παράδειγμα:

Να βρείτε έναν αριθμό που το τριπλάσιό του, αν το αυξήσουμε κατά 6, δίνει τον αριθμό ελαττωμένο κατά 3.

ΛΥΣΗ:

Συμβολίζουμε το ζητούμενο αριθμό με x. Το τριπλάσιό του είναι : Αν το τριπλάσιο το αυξήσουμε κατά 6 θα γίνει: Ο αριθμός ελαττωμένος κατά 3 είναι: .

Το πρόβλημα μας λέει ότι οι δύο τελευταίες ποσότητες είναι ίσες. Άρα, η εξίσωση του προβλήματος είναι: .Λύνουμε την εξίσωση:

Ο ζητούμενος αριθμός είναι το –4,5.

13


Στα προβλήματα αριθμών συχνά συναντάμε τις εκφράσεις « τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί», « τρεις διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί». Τους αριθμούς αυτούς θα συμβολίζουμε: x, x + 1, x + 2 και 2x, 2x + 1, 2x + 2.

Προβλήματα ηλικίας:


Ένας πατέρας είναι 44 ετών και ο γιος του είναι 8 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου;

ΛΥΣΗ:

Μετά από x χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι: και η ηλικία του γιου θα είναι : . Το πρόβλημα μας λέει ότι μετά από x χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου. Άρα η εξίσωση του προβλήματος θα είναι:

.

Λύνουμε την εξίσωση:

Άρα, μετά από 10 χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου. Πράγματι, μετά από 10 χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι: 44 + 10 = 54 και η ηλικία του γιου θα είναι 8 + 10 = 18. Αφού, 54 = η λύση που βρήκαμε είναι η σωστή.

Προβλήματα κίνησης:

Παράδειγμα:

Δύο πόλεις Α και Β απέχουν 270 km. Από την πόλη Α ξεκινά για τη Β ένα τρένο, που κινείται με ταχύτητα 52,5 km/h και την ίδια στιγμή ξεκινά από την πόλη Β για την Α ένα άλλο τρένο, που κινείται με ταχύτητα 47 km/h. Να βρείτε μετά από πόσες ώρες θα συναντηθούν και σε ποια απόσταση από την πόλη Α.

14

ΛΥΣΗ:

Στα προβλήματα κίνησης πρέπει να έχουμε υπόψη μας τους τύπους

από τη Φυσική: , , .

Χρήσιμο είναι να κάνουμε και κάποιο σχήμα που να περιγράφει το πρόβλημα.

Έστω ότι τα δύο τρένα θα συναντηθούν μετά από x ώρες σε κάποιο σημείο Γ που θα βρίσκεται μεταξύ των πόλεων Α και Β. Το τρένο από την πόλη Α θα έχει διανύσει απόσταση ΑΓ και το τρένο από την πόλη Β θα έχει διανύσει απόσταση ΓΒ. Είναι ΑΓ=5,2x και ΓΒ=47x. Όμως ΑΓ + ΓΒ = ΑΒ. Άρα η εξίσωση του προβλήματος είναι:


Άρα θα συναντηθούν μετά από 2,7 ώρες περίπου και σε απόσταση από την πόλη Α ίση με ΑΓ

15

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ:

Άσκηση , Σελ. 30 (Σχολικού Βιβλίου)

Στα παρακάτω σχήματα το ορθογώνιο και το τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

ΛΥΣΗ:

Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι: και η περίμετρος του τριγώνου είναι . Αφού οι περίμετροι είναι ίσες η εξίσωση του προβλήματος είναι:

.


Άρα, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι : 14 και 14-7 = 7.

16

1.5 Ανισώσεις α’ βαθμού

Ορισμός:

Με τον όρο ανισότητα εννοούμε μια σχέση που περιέχει παραστάσεις οι οποίες συνδέονται με ένα από τα σύμβολα . Και η οποία αληθεύει πάντα για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής ή των μεταβλητών που περιέχει.

(π.χ.)

Κανόνες ανισοτήτων:

Αν τότε και Αν τότε και

Αν και τότε και




Ορισμός:

Ανίσωση πρώτου βαθμού , λέμε την ανισότητα που περιέχει μία μεταβλητή και αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής αυτής.

Επίλυση ανισώσεων :

Η διαδικασία που ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση είναι παρόμοια με αυτήν που ακολουθούμε για να λύσουμε μια εξίσωση. Η μόνη διαφορά είναι στο τελευταίο βήμα , όταν διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου. Σε μια ανίσωση πρέπει να προσέχουμε όταν διαιρούμε με αρνητικό συντελεστή, να αλλάζουμε τη φορά. Δηλαδή αν η φορά είναι < γίνεται > κ.ο.κ.

Παραδείγματα:

1) Να λυθεί η ανίσωση και να παραστήσετε τις λύσεις της στην ευθεία των αριθμών.

ΛΥΣΗ:

17

Η ανίσωση στην οποία καταλήξαμε μας λέει ότι κάθε τιμή της μεταβλητής x που είναι μικρότερη από το 2 είναι λύση της ανίσωσης. Αυτό το παριστάνουμε στον άξονα ως εξής:

Παρατήρηση: Ο κύκλος στο 2 φανερώνει ότι ο αριθμός 2 δεν είναι λύση της ανίσωσης.

2) Να λυθεί η ανίσωση και να παραστήσετε τις λύσεις

της στην ευθεία των αριθμών.

ΛΥΣΗ:

18

Η ανίσωση στην οποία καταλήξαμε μας λέει ότι κάθε τιμή της μεταβλητής x που είναι μεγαλύτερη ή ίση του –6 είναι λύση της ανίσωσης. Αυτό το παριστάνουμε στον άξονα ως εξής:

Παρατήρηση: Ο «μαύρος κύκλος» στο -6 φανερώνει ότι ο αριθμός -6 είναι λύση της ανίσωσης.


Όταν ο συντελεστής του x είναι το –1 , αντί να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με αυτόν , μπορούμε πιο εύκολα να αλλάξουμε τα πρόσημα και στα δύο μέλη, αλλά και την φορά της ανίσωσης.

(π.χ)

3) Να λυθούν οι ανισώσεις:

α. β. γ. δ.

ΛΥΣΗ:

α.

Σ’ αυτήν την περίπτωση δε μπορούμε να διαιρέσουμε με το συντελεστή του αγνώστου αφού είναι ίσος με μηδέν. Παρατηρούμε όμως, ότι οποιονδήποτε αριθμό και βάλουμε στη θέση του x προκύπτει: 0>9. Ο ισχυρισμός αυτός δεν ισχύει, διότι το μηδέν δε γίνεται να είναι μεγαλύτερο από ένα θετικό αριθμό. Τότε λέμε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη.

β.

19

Παρατηρούμε ότι οποιονδήποτε αριθμό και να βάλουμε στη θέση του x προκύπτει: 0>-14. Ο ισχυρισμός αυτός είναι αληθής, αφού το μηδέν είναι μεγαλύτερο από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό. Τότε λέμε ότι η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε τιμή του x.

γ.

Παρατηρούμε ότι οποιονδήποτε αριθμό και να βάλουμε στη θέση του x προκύπτει: 0<7. Ο ισχυρισμός αυτός είναι αληθής, αφού το μηδέν είναι μικρότερο από οποιονδήποτε θετικό αριθμό. Τότε λέμε ότι η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε τιμή του x.

δ.

Παρατηρούμε ότι οποιονδήποτε αριθμό και βάλουμε στη θέση του x προκύπτει: 0<-1. Ο ισχυρισμός αυτός δεν ισχύει, διότι το μηδέν δε γίνεται να είναι μικρότερο από έναν αρνητικό αριθμό. Τότε λέμε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη.

Συναληθεύουσες ανισώσεις :

Πολλές φορές μας ζητείται να βρούμε τις κοινές λύσεις δύο ανισώσεων. Σ’ αυτήν την περίπτωση λέμε ότι ψάχνουμε να βρούμε για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι δύο ανισώσεις. Για να γίνει ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

Λύνουμε κάθε ανίσωση χωριστά Παριστάνουμε τις λύσεις τους πάνω στον ίδιο άξονα Γράφουμε ποιες είναι οι κοινές λύσεις


Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

α) και

20

ΛΥΣΗ:

α)

Παριστάνουμε τις λύσεις πάνω σε άξονα:

Οι κοινές λύσεις είναι: όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται ανάμεσα στο –1 και στο 5. Αυτό συμβολίζεται ως εξής: -1 < x < 5.

Άσκηση:

Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων:

και

ΛΥΣΗ:

Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι : -10 < x < -5. Οι κοινές ακέραιες λύσεις είναι : -9, -8, -7, -6.

21

Ασκήσεις για λύση !!!

1) Να κάνετε τις πράξεις:

2) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

3) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

4) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β και μετά να υπολογίσετε την τιμή τους

, όταν και

22

, όταν και

5) Αν , να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α. β. γ.

6) Να εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεται είναι η λύση της εξίσωσης:

α. , β. ,

7) Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. β. γ. δ. ε. στ. ζ. η. θ. ι.


α. β. γ. δ.

ε.

στ.

ζ.

η.


23

α.

β.

γ.

δ.

10) Αν και , να λύσετε τις εξισώσεις:

α. β. γ.

11) Να επιλύσετε τους παρακάτω τύπους ως προς τη μεταβλητή που ζητείται:

α. , ως προς α

β. , ως προς υ

γ. , ως προς Β

δ. , ως προς Τα

ε. , ως προς g

12) Να λυθεί ο τύπος ως προς την ένταση του ρεύματος I και να βρεθεί το I, αν είναι U=220 V, Ε= 150 V και R=10Ω.

13) Να βρείτε έναν αριθμό του οποίου το διπλάσιο, αν αυξηθεί κατά 3 ισούται με το τριπλάσιό του ελαττωμένο κατά 2.

14) Να βρείτε τον αριθμό που πρέπει να αφαιρέσουμε από τους όρους του

κλάσματος , ώστε να προκύψει κλάσμα ίσο με .

15) Ένας μαθητής ξόδεψε το των χρημάτων του στο κυλικείο, το για την

αγορά ενός τετραδίου και του έμεινε 1 ευρώ. Πόσα χρήματα είχε;

24

16) Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους με άθροισμα 153.17) Να βρείτε τρεις διαδοχικούς άρτιους με άθροισμα 36.18) Η ηλικία της μάνας είναι τριπλάσια της ηλικίας της κόρης. Σε 10 χρόνια η

ηλικία της μάνας θα είναι διπλάσια της κόρης. Ποια είναι η ηλικία της μάνας και ποια της κόρης;

19) Ένας μαθητής Γυμνασίου είναι 13 ετών και ένας μαθητής Λυκείου είναι 16 ετών. Πριν από πόσα χρόνια η ηλικία του μαθητή Λυκείου ήταν διπλάσια από την ηλικία του μαθητή Γυμνασίου;

20) Σ’ έναν αγώνα μπάσκετ ένας παίκτης πέτυχε 38 πόντους. Είχε 20 εύστοχες προσπάθειες από τις ποίες οι 7 του 1 πόντου. Πόσα τρίποντα και πόσα δίποντα πέτυχε ο παίκτης;

21) Πόσα κουνέλια και πόσες κότες έχει ο Γιώργος, αν όλα τα ζώα έχουν 21 κεφάλια και 54 πόδια;

22) Από μια πόλη ξεκινά ένας πεζός ο οποίος διανύει 20 χιλιόμετρα κάθε μέρα. Μετά από 4 ημέρες ξεκινά από την ίδια πόλη άλλος με την εντολή να φτάσει τον πρώτο σε 8 ημέρες. Πόσα χιλιόμετρα πρέπει να διανύει κάθε μέρα;

23) Σ’ ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μια γωνία του είναι τα κάποιας άλλης

γωνίας του. Να βρεθούν όλες οι γωνίες του.24) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 36 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του,

αν το μήκος του είναι κατά 3 cm μεγαλύτερο από το διπλάσιο του πλάτους του.

25) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και έπειτα να παραστήσετε τις λύσεις τους (αν υπάρχουν) στην ευθεία των αριθμών.

α. β. γ. δ. ε. στ. ζ. η.

26) Να λύσετε τις ανισώσεις:

α. β. γ.

δ.

ε.

στ.

25

27) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων:

α. και

β. και

γ. και

28) Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων:

και

26

Documents

ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ