степенева, показникова та логарифмічна функції

Ю. Марчук Курс лекцій з математики

КОРІНЬ n-ГО СТЕПЕНЯ. У курсі алгебри розглядалось поняття квадратного кореня з невід′ємного числа. Узагальнимо це поняття, визначивши поняття кореня з довільним натуральним показником, більшим від 1. Як відомо, квадратним коренем з числа а називають число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно визначається поняття кореня довільного натурального степеня п з числа а. Коренем п-го степеня (n ∈ N, n > 1) з числа а називається число, п-й степінь якого дорівнює а.

Запис: п а

- радикал;

п – показник кореня; а – підкореневий вираз. Розв′язання коренів

− При парному п існує два корені п-го степеня з будь-якого додатного числа а. сап

±=

− Корінь п-го степеня з числа 0 дорівнює нулю. 00 =п

− Коренів парного степеня з від′ємних чисел не існує.

− При непарному п існує корінь п-го степеня з будь-якого числа а, і тільки один. bап

= Властивості кореня п-го степеня (n ∈ N, m ∈ Z)

1) 0,0, ≥≥⋅=⋅ bababannn

2) 0,0, >≥= bab

a

b

a

n

n

n

3) 0, ≥=⋅

aaamnn m

4) 0, >=⋅

maamn mn - основна властивість кореня

5) ( ) 0, >= aaa

mnn m

6) Якщо 0 ≤ а < b, то nn

ba <

СТЕПЕНІ З РАЦІОНАЛЬНИМИ ПОКАЗНИКАМИ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ З курсу алгебри відомо, що степінь з натуральним показником обчислюється за формулою:

4434421

разівn

naaaaa ⋅⋅⋅⋅= ...

Розглянемо випадок, коли показник степеня є раціональним числом.

Відомо, що раціональне число можна записати у вигляді n

m

, де т ∈ Z, п ∈ N.

n

m

rrar

=∈ ,Q,

Степенем числа а > 0 з раціональним показником n

m

r = , де т ∈ Z, п ∈ N (п >1),

називається число n m

a .

n mn

m

aa = Властивості степеня з раціональним показником Для будь-яких r∈Q і s∈Q, та будь-яких a>0, b>0 правильні рівності:

ar⋅a

s = a

r+s

sr

s

r

sr

a

a

a

aa−

==⋅

Тема: Степенева, показникова та логарифмічна функції

( ) srs

r

aa⋅

=

( ) rrr

baba ⋅=⋅

r

rr

b

a

b

a=

При 0 < a < b: 0коли, >< rbarr

0коли, <> rbarr

При r > s: 1коли, >> аaasr

10коли, <<< аaasr

Важливі значення степеня: n

n01r

a

1aaaa00 ===>=−

10при, r

СТЕПЕНЕВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ Розглянемо степінь хп при п ∈R і х >0. Якщо п – стале, а основа х – змінна, то у = хп є функцією аргументу х тобто f(x) = x

n . Функцію f(x) = x

n, де п – стале дійсне число, а основа х – змінна, називають степеневою функцією. Властивості степеневої функції залежать від того, яким числом є показник п. Щоб встановити властивості функції користуються схемою дослідження функцій. Схема дослідження функції:

1) Дослідити область визначення функції. 2) Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність. 3) Визначити координати точок перетину графіка з осями координат. 4) Дослідити проміжки знакосталості функції. 5) Визначити проміжки зростання і спадання функції. 6) Дослідити функцію на екстремуми. 7) Встановити характерні точки функції. 8) Побудувати графік функції.

ДОСЛІДЖЕННЯ СТЕПЕНЕВОЇ ФУНКЦІЇ.

1. n∈N, п – непарне. − );()( +∞−∞=fD

− Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат) − х = 0, у = 0. − якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y < 0.(графік розміщений у І і ІІІ чвертях) − Функція зростає на всій області визначення, монотонна. − Точок екстремуму немає. − Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). − Графік: при п = 1 є пряма у = х; при п = 3; 5; 7;… є криві, симетричні відносно

початку координат і розміщені у І і ІІІ чвертях.


2. n∈N, п – парне.

− );()( +∞−∞=fD

− Функція парна. (графік симетричний відносно осі OY) − х = 0, у = 0. − якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y > 0.(графік розміщений у І і ІІ чвертях) − Функція зростає при х > 0 /x ∈ (0; +∞)/; спадає при х < 0 /х ∈ (-∞; 0)/. − Точка екстремуму: (0; 0) – точка мінімуму. − Характерні точки (1; 1) і (-1; 1). − Графік: при п = 2; 4; 6;… є криві, симетричні відносно осі OY і розміщені у І і ІІ

чвертях.

3. n∈Z, n < 0, п – непарне.

− );0()0;()( +∞−∞= UfD

− Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат)

− Точок перетину з осями немає. − якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y < 0.(графік

розміщений у І і ІІІ чвертях) − Функція спадає на всій області визначення, монотонна. − Точок екстремуму немає. − Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). − Графік – це криві, симетричні відносно початку координат

і розміщені у І і ІІІ чвертях.


4. n∈Z, n < 0, п – парне.

− );0()0;()( +∞−∞= UfD

− Функція парна. (графік симетричний відносно осі OY) − Точок перетину з осями немає. − якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y > 0.(графік

розміщений у І і ІІ чвертях) − Функція спадає при х > 0 / x ∈ (0; +∞) /; зростає при

х < 0 / х ∈ (-∞; 0) /. − Точок екстремуму немає. − Характерні точки (1; 1) і (-1; 1). − Графік – це криві, симетричні відносно осі OY і

розміщені у І і ІІ чвертях.

5. ;...)7;5;3(1

== kk

n

− );()( ∞+−∞=fD

− Функція непарна. (графік симетричний відносно початку координат) − x = 0, y = 0. − якщо x > 0, то y > 0; якщо x < 0, то y < 0.(графік

розміщений у І і ІІІ чвертях) − Функція зростає на всій області визначення,

монотонна. − Точок екстремуму немає. − Характерні точки (1; 1) і (-1; -1). − Графік – це криві, симетричні відносно початку

координат і розміщені у І і ІІІ чвертях.

6. ;...)6;4;2(1

== kk

n

− );0[)( ∞+=fD

− Функція несиметрична. − x = 0, y = 0. − якщо x > 0, то y > 0.(графік розміщений у І чверті) − Функція зростає на всій області визначення, монотонна. − Точок екстремуму немає. − Характерна точка (1; 1). − Графік – це криві, розміщені у І чверті.


ПОКАЗНИКОВІ ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ Використовуючи степінь можна записати дві різні відповідності:

− між значенням степеня і значенням основи ( хп ); − між значенням степеня і значенням показника степеня (ах).

х

п – степінь із змінною основою і сталим показником. а

х – степінь із сталою основою і змінним показником. Функція, задана формулою y = a

x, де а > 0, a ≠ 1, називається показниковою функцією за основою а. Є два види показникової функції за основою а:

− показникова функція за основою 0 < a < 1; − показникова функція за основою a > 1.

Вивчаючи функції, важливими є не тільки вміння досліджувати властивості різних функцій і на основі їх будувати графіки, але важливими є і навики "читання" графіка функції. Тому в процесі вивчення показникової функції ми спочатку побудуємо її графіки, а потім, "читаючи" їх, визначимо її властивості.

Побудуємо графіки функцій: x

y

=

2

1,

x

y

=

3

2, у = 2х , у = 3х.

y=2x

y=3x

y=0,5x

y=(2/3)x

x y x y x y x y

-3 0,1 -3 0,04 -3 8,0 -3 3,4

-2,5 0,2 -2,5 0,1 -2,5 5,7 -2,5 2,8

-2 0,3 -2 0,1 -2 4,0 -2 2,3

-1,5 0,4 -1,5 0,2 -1,5 2,8 -1,5 1,8

-1 0,5 -1 0,3 -1 2,0 -1 1,5

-0,5 0,7 -0,5 0,6 -0,5 1,4 -0,5 1,2

0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0

0,5 1,4 0,5 1,7 0,5 0,7 0,5 0,8

1 2,0 1 3,0 1 0,5 1 0,7

1,5 2,8 1,5 5,2 1,5 0,4 1,5 0,5

2 4,0 2 9,0 2 0,3 2 0,4

2,5 5,7 2,5 2,5 0,2 2,5 0,4

3 8,0 3 3 0,1 3 0,3


0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

y=2x y=3x y=0,5x у=(2/3)х

Використовуючи схему дослідження функції та побудовані графіки, визначимо, які основні властивості має показникова функція у = ах:

1) область визначення: D(y) = (- ∞; +∞); область значень: E(y) = (0; +∞).

2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна. 3) Перетин з осями: х = 0, у = 1 → (0; 1) – точка перетину з віссю ОY; точок перетину з віссю

ОХ немає. 4) Проміжки знакосталості: x > 0, y > 0 (I чверть), x < 0, y > 0 (ІІ чверть).


5) Проміжки монотонності: при а > 1, функція зростає на проміжку (- ∞; +∞); при 0 < a < 1, функція спадає на проміжку (- ∞; +∞).

6) Екстремумів немає. 7) Характерна точка (0; 1)

Функція, обернена до показникової функції, називається логарифмічною функцією. Графік показникової функції називається експонентою. ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ Показниковими називають рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів, а основи є сталими. Найпростішим показниковим рівнянням є:

ax = b, a > 0, b > 0, a ≠ 1

aбо af(x)

= b, a > 0, b > 0, a ≠ 1

Загального методу розв’язування показникових рівнянь немає. При розв’язуванні показникових рівнянь можна звести ліву і праву частини цього рівняння до степенів з однаковою основою, а потім перейти від порівняння степенів з однаковою основою до порівняння їхніх показників. Інший метод: спробувати звести показникове рівняння до квадратного рівняння, ввівши нову змінну. Показниковими називають нерівності, в яких невідоме входить лише до показників степенів, а основи є сталими. Найпростіші показникові нерівності (a > 0, b > 0, a ≠ 1):

aх > b, ax

< b, af(x) > a

g(x), af(x) < a

g(x) Розв′язуючи показникові нерівності виду af(x) > ag(x) або af(x) < ag(x), при переході від порівняння степенів до порівняння їхніх показників, слід пам’ятати властивості степеня з різними основами. Якщо а > 1, то при переході до порівняння показників знак нерівності залишається таким самим. Якщо 0 < a < 1, то при переході до порівняння показників потрібно знак нерівності змінити на протилежний.

ЛОГАРИФМИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ Нехай а – додатне число, а ≠ 1. Число у називається логарифмом числа х за основою а, якщо х = а

у.

Число а називається основою логарифма. Запис: y = logax Отже y = logax рівносильне х = ау, при а > 0, а ≠ 1.

Тоді xax

a

=log – основна логарифмічна тотожність.

Іншими словами, логарифм числа х за основою а – це показник степеня, до якого треба

піднести число а, щоб одержати х. Основні властивості логарифмів

1) )0,0(loglog)(log >>+= qpqppqaaa

2) )0,0(logloglog >>−= qpqpq

p

aaa

3) ),0(loglog Rpppaa

∈>= γγγ

4) )0,0(loglog >≠= pppa

a

ββ

γγ

β

5) )1,0,0(log

loglog ≠>>= qqp

q

pp

a

a

q

6) )1,0,0,0(loglog

≠>>>= bbaccaac

bb


Наслідки:

4*) якщо βγ = , то ppaa

loglog =γ

γ

4**) якщо 1=γ , то ppa

a

log1

logβ

β =

5*) якщо а = р, то q

p

p

q

log

1log =

Логарифм числа за основою 10 називається десятковим. Запис: xx

10loglg =

Логарифм числа за основою е називається натуральним. Запис: xx

elogln = ...71828,2=e

Логарифм нуля і від′ємних чисел не існує, оскільки рівняння ах = 0 і нерівність ах < 0 при а > 0 не мають розв′язків. Логарифмування – це знаходження логарифму деякого виразу за певною основою. Потенціювання – це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа визначають саме число. Обчислення логарифмів:

− будь-яке число а > 0 має тільки один логарифм; − від′ємні числа і нуль логарифму не мають; − логарифм одиниці дорівнює нулю: 01log =

a;

− логарифм основи дорівнює одиниці: 1log =aa

.

ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ. Кожному додатному числу х відповідає певне значення його логарифма logax. Отже logax при заданому а (а > 0, а ≠ 1) є функцією від х на множині R+. Функцію y = logax називають логарифмічною функцією за основою а (а > 0, а ≠ 1).

Оскільки рівності y = logax і х = ау за означенням логарифма визначають один і той самий зв′язок між змінними х і у, то показникові і логарифмічна функції є оберненими. А графіки взаємно обернених функцій є симетричними відносно прямої у = х. Використаємо це для побудови графіка логарифмічної функції. Спочатку побудуємо графіки в такій послідовності: у = 2х → у = х → y = logax.

Documents

степенева, показникова та логарифмічна функції