Embed Size (px)
Citation preview
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
§4. Выпуклые задачи4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества
Пусть X — линейное нормированное пространство(для простоты понимания можно считать, что X = Rn).
отрезок [a, b] = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1},интервал (a, b) = {x ∈ X | x = a + t(b − a), 0 < t < 1},выпуклое множество A, если ∀a,b∈A отрезок [a,b]⊂A,т. е. ∀ a,b ∈ A точка (1− t)a + tb ∈ A ∀ 0 ≤ t ≤ 1,конус K (K 6= ∅), если ∀ x ∈ K точка tx ∈ K ∀ t ≥ 0,аффинное множество A, если ∀ a,b ∈ A точка(1− t)a + tb ∈ A ∀ t ∈ R.
Очевидно: аффинное множество выпукло.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пусть точки a1, . . . ,am ∈ X ,m∑
i=1tiai — комбинация, ti ∈ R.
выпуклая комбинация, если ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1;
коническая комбинация, если ti ≥ 0;
аффинная комбинация, еслиm∑
i=1ti = 1;
выпуклая оболочка
conv{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0,m∑
i=1ti = 1
}—
совокупность всех выпуклых комбинаций;коническая выпуклая оболочка
conev{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ ti ≥ 0};
аффинная оболочка
aff{a1, . . . ,am}:={
a =m∑
i=1tiai
∣∣∣ m∑i=1
ti = 1}.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема1. Пересечение любого числа выпуклых (конических,аффинных) множеств является выпуклым (коническим,аффинным) множеством.2. f : X → Y — линейное отображение1, A — выпуклое(коническое, аффинное) множество ⇔ f (A) — выпуклое(коническое, аффинное) множество.3. Сдвиг A→ b + A выпуклого (аффинного) множестваявляется выпуклым (аффинным) множеством.vspace*-1mm� (для выпуклых множеств) 1. Aα — выпуклые множества⇒ A = ∩αAα — выпуклое. Возьмем a,b ∈ A ⇒ a,b ∈ Aα ∀ α⇒ (1− t)a + tb ∈ Aα (0 ≤ t ≤ 1) ∀ α ⇒ (1− t)a + tb ∈ A.2. Возьмем y , z ∈ f (A) ⇒ y = f (a), z = f (b), a,b ∈ A.(1− t)y + tz = (1− t)f (a) + tf (b)
f −линейное= f
((1− t)a + tb
)⇒ (1− t)y + tz ∈ f (A) ⇒ f (A) — выпукло. �
1f — линейное, если f (λa + µb) = λf (a) + µf (b) ∀ a, b ∈ X , ∀ λ, µ ∈ R.Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-v)
A —выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ выпуклой оболочки не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ conv {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti ≥ 0.
Если t1 = 1, то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем
tk = tk1−t1
при k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1,
то a =n∑
k=2tkak – выпуклая комбинация, и по индукции a∈A.
Тогда, в силу выпуклости A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим convA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconv {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что convA ⊃ A.
Лемма (2-v)
Множество convA — выпукло.
� Возьмем a,b ∈ convA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,m∑
i=1λi =
n∑j=1
µj = 1. Тогда ∀ t ∈ [0;1] имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, что все множители (1− t)λi и tµj неотрицательны
иm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили выпуклую
комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.convA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-v. Множество convA — выпукло.
ТеоремаA — выпукло ⇔ convA = A.
� A — выпукло ⇒ по лемме 1-v convA ⊂ A.Вложение convA ⊃ A следует из определения convA (n = 1).Обратно. Пусть convA = A. По лемме 2-v convA — выпукло⇒ A — выпукло. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-v.A — выпукло ⇒ conv {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.Лемма 2-v. МножествоconvA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conv {a1, . . . ,an} — выпукло.
Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклыхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — выпукло как пересечение выпуклых множеств.
Теорема (convA = A.)
� Поскольку по лемме 2-v convA — выпукло и convA ⊃ Aследует из определения convA (n = 1), то convA ⊃ A.Докажем, что convA ⊂ A. Пусть a ∈ convA⇒ a ∈ conv {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпукло, то по лемме 1-v a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-k)
A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.
� Пусть a ∈ conev {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai , ti ≥ 0.
Если t1 = . . . = tn = 0, то a=0∈A.
Если же λ :=n∑
i=1ti > 0, то рассмотрим b :=
n∑i=1
tiλ
ai =aλ.
Так какn∑
i=1
tiλ= 1, то b – выпуклая комбинация, и b ∈ A по
лемме 1-v в силу выпуклости A.Поскольку A — конус, то a = λb ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим conevA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Nconev {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что conevA ⊃ A.
Лемма (2-k)
Множество conevA — выпуклый конус.
� conevA — конус следует из определения.Докажем выпуклость. Возьмем a,b ∈ conevA
⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj , ai ,bj ∈ A, λi , µj ≥ 0
⇒ ∀ t ∈ R (в том числе и для t ∈ [0;1])
(1− t)a+ tb = (1− t)m∑
i=1λiai + t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1− t)λiai +
n∑j=1
tµjbj
∈ conevA, поскольку все множители (1− t)λi и tµiнеотрицательны (получили коническую комбинацию точекa1, . . . ,am,b1, . . . ,bn) ⇒ conevA — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.
ТеоремаA — выпуклый конус ⇔ conevA = A.
� A — выпуклый конус ⇒ по лемме 1-k conevA ⊂ A.Вложение conevA ⊃ A следует из определения conevA(n = 1).Обратно. Пусть conevA = A. По лемме 2-k conevA —выпуклый конус ⇒ A — выпуклый конус. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-k.A — выпуклый конус ⇒ conev {a1, . . . ,an} ⊂ A,∀a1, . . . ,an ∈ A, ∀ n ∈ N.conevA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
conev {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-k. Множество conevA — выпуклый конус.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех выпуклых конусовAα, содержащих A (Aα ⊃ A). Тогда A — выпуклый конус какпересечение выпуклых конусов.
Теорема (conevA = A.)
� Поскольку по лемме 2-k conevA — выпуклый конус иconevA ⊃ A по определению conevA (n = 1) ⇒ conevA ⊃ A.Докажем, что conevA ⊂ A. Пусть a ∈ conevA⇒ a ∈ conev {a1, . . . ,an}, ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα —
выпуклый конус, то по лемме 1-k a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма (1-a)
A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.
� Индукция по n. n = 1 – очевидно. Предположим, леммаверна ∀ аффинной комбинации не более, чем n − 1 точки.
Пусть a ∈ aff {a1, . . . ,an} ⇒ a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1. Если t1 = 1,
то a = a1 ∈ A. Если же t1 6= 1, то полагаем tk = tk1−t1
при
k = 2, . . . ,n. Так какn∑
k=2tk =
n∑k=2
tk
1−t1= 1−t1
1−t1= 1, то
a =n∑
k=2tkak – аффинная комбинация, и по индукции a ∈ A.
Тогда, в силу аффинности A имеем a = t1a1 +n∑
k=2tkak
= t1a1 +n∑
k=2(1− t1)tkak = t1a1 + (1− t1)a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Обозначим affA :=⋃
a1,...,an∈A, n∈Naff {a1, . . . ,an}.
Из определения (n = 1) следует, что affA ⊃ A.
Лемма (2-a)
Множество affA — аффинное.
� Возьмем a,b ∈ affA ⇒ a =m∑
i=1λiai , b =
n∑j=1
µjbj ,
m∑i=1
λi =n∑
j=1µj = 1. Тогда ∀ t ∈ R имеем
(1−t)a+tb = (1−t)m∑
i=1λiai +t
n∑j=1
µjbj =m∑
i=1(1−t)λiai +
n∑j=1
tµjbj .
Заметим, чтоm∑
i=1(1− t)λi +
n∑j=1
tµj = 1, значит, получили
аффинную комбинацию точек a1, . . . ,am,b1, . . . ,bn, котораяпринадлежит affA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.
ТеоремаA — аффинное ⇔ affA = A.
� A — аффинное ⇒ по лемме 1-a affA ⊂ A.Вложение affA ⊃ A следует из определения affA (n = 1).Обратно. Пусть affA = A. По лемме 2-a affA — аффинное⇒ A — аффинное. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Лемма 1-a.A — аффинное ⇒ aff {a1, . . . ,an} ⊂ A ∀ a1, . . . ,an ∈ A.affA :=
⋃a1,...,an∈A, n∈N
aff {a1, . . . ,an}.
Лемма 2-a. Множество affA — аффинное.Обозначим A = ∩αAα — пересечение всех аффинныхмножеств Aα, содержащих A (Aα ⊃ A).Тогда A — аффинное как пересечение аффинных множеств.
Теорема (affA = A.)
� Поскольку по лемме 2-a affA — аффинное и affA ⊃ A поопределению affA (n = 1), то affA ⊃ A.Докажем, что affA ⊂ A. Пусть a ∈ affA ⇒ a ∈ aff {a1, . . . ,an},ai ∈ A ⊂ Aα ∀ α. Поскольку Aα — аффинное, то по лемме 1-a
a ∈ Aα ∀ αdef A⇒ a ∈ A. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Размерность множества
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Подпространство — аффинное множество, проходящеечерез 0.Аффинные множества A и B параллельны,если ∃ c ∈ X : B = A + c.Размерность аффинного множества есть размерностьподпространства, параллельного этому аффинномумножеству.размерность множества M есть размерность affM.
Размерность точки равна 0;размерность прямой равна 1;размерность гиперплоскости в Rn равна n − 1.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы, еслиникакая из них не является аффинной комбинациейостальных, а dimaff {a1, . . . ,an+1} = n.Пусть точки a1, . . . ,an+1 — аффинно независимы.conv {a1, . . . ,an+1} называется n-мерным симплексом свершинами x1, . . . , xn+1.
Точка c =n+1∑i=1
1n + 1
ai – центр симплекса (центр
тяжести, или точка пересечения медиан).
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
ЛеммаПусть dimX = n, conv {a1, . . . ,an+1} — симплекс,
a =n∑
i=1tiai ,
n∑i=1
ti = 1, ti > 0 ⇒ a ∈ int aff {a1, . . . ,an+1}.
� Аффинным преобразованием переведем пространство X в
аффинное пространство L = {y ∈ Rn+1 |n+1∑k=1
yk = 1} так,
чтобы каждая точка ai перешла в конец базисного вектораei ∈ Rn+1. Также можно считать, что норма – евклидова,поскольку все нормы в конечномерном пространстве
эквивалентны. Если a =n+1∑i=1
tiei = (t1, . . . , tn+1), то расстояние
от a до ближайшей координатной плоскости равно r = min ti⇒ n-мерный шар с центром a радиуса r целиком лежит всимплексе ⇒ a – внутренняя точка симплекса. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Утверждение
dimaffA = n ⇒ int convA 6= ∅ в affA.� dimaffA = n ⇒ ∃ a1, . . . ,an+1 ∈ A : a1, . . . ,an+1 —аффинно-независимы ⇒ conv {a1, . . . ,an+1} — n-мерныйсимплекс ⇒ по лемме int conv {a1, . . . ,an+1} 6= ∅.Поскольку conv {a1, . . . ,an+1} ⊂ convA, то int convA 6= ∅. �
Следствие (1)
A — выпукло, dimA <∞ ⇒ intA 6= ∅ в affA.
Следствие (2)
A ⊂ Rn — выпукло, intA = ∅ ⇒ dimA < n.Пример. A ⊂ X — выпукло, intA = ∅, dimA = dimX .� l2 = {x = (x1, x2, . . .) |
∑k
x2k <∞} — гильбертово пр-во,
A = {x ∈ l2 | |xk | ≤ 1k , k ∈ N} — “гильбертов кирпич”
⇒ A — выпуклое, intA = ∅, affA = l2. �Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема (Каратеодори)dim convA = d ⇒ любой элемент из convA представляется в видевыпуклой комбинации не более d + 1 элементов из A.� НеОО: affA = X , dimX = d . Пусть a ∈ convA ⇒a =
n∑i=1
tiai ,n∑
i=1ti = 1, ti ≥ 0, ai ∈ A и n ≥ d + 2. Рассмотрим
векторы a2 − a1, . . . ,an − a1. Их не менее d + 1, и онипринадлежат d-мерному линейному пр-ву ⇒ линейно зависимы:
n∑i=2
λi(ai − a1) = 0((λ2, . . . , λn) 6= 0
)⇔(−
n∑i=2
λi
)a1 +
n∑i=2
λiai = 0(λ1 := −
n∑i=2
λi , (λ1, . . . , λn) 6= 0)⇔
n∑i=1
λiai = 0,n∑
i=1λi = 0.
Обозначим s := min{− ti
λi| λi < 0
}= − tj
λj> 0 ⇒
a =n∑
i=1(ti + sλi︸ ︷︷ ︸
µi
)ai =n∑
i=1µiai ,
n∑i=1
µi = 1, µi ≥ 0, µj = 0.
Представили точку a как выпуклую комбинацию из не более, чемn − 1 точки. Уменьшая далее число точек, приходим к выпуклойкомбинации из не более, чем d + 1 точки. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
dimX = d , A ⊂ X — компакт ⇒ convA — компакт.� Надо доказать, что из любой последовательности{ak} ∈ convA можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся к некоторому элементу из convA.
По т. Каратеодори ak =d+1∑i=1
tkiaki , aki ∈ A,d+1∑i=1
tki = 1, tki ≥ 0.
A – компакт ⇒ ∃ подпоследовательность в {ak1}k∈N,сходящаяся к некоторой точке b1 ∈ A, а в соответствующейподпоследовательности в {tk1}k∈N ∃ подпоследовательность,сходящаяся к некоторому числу t1 ∈ [0;1].НеОО ak1 → b1 и tk1 → t1 при k →∞.Аналогично, переходя к подпоследовательностям, считаемaki → bi ∈ A и tki → ti ∈ [0;1] ∀ i = 2, . . . ,d + 1 при k →∞
⇒d+1∑i=1
ti = 1 и limk→∞
ak =d+1∑i=1
tibi ∈ convA. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Пример 1. dimX = d , A ⊂ X — замкнутое множество,convA — незамкнутое.� A = {(x , y) ∈ R2 | xy = 1, x > 0} ∪ (0,0) — объединениеветви гиперболы и начала координат. �
Пример 2. A ⊂ X — компакт, convA — не компакт.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� Обозначим C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B} (разностьпо Минковскому множеств A и B). A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.1) 0 6∈ C. Рассмотрим задачу f (x) = |x | → inf; x ∈ C. (P)f — непрерывная функция, f (x)→ +∞ при |x | → ∞ ⇒ последствию из т. Вейерштрасса ∃ λ ∈ absmin P (λ ∈ C).Покажем, что функционал λ искомый. Если infc∈C 〈λ, c〉 < 0,то ∃ c ∈ C : 〈λ, c〉 < 0, т. е., векторы λ и c образуют тупойугол ⇒ основание H высоты OH треугольника Ocλ лежитна отрезке [c; λ] (и, в силу выпуклости C, принадлежит C),и |OH| < |Oλ|, что противоречит выбору точки λ.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� Обозначим C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B} (разностьпо Минковскому множеств A и B). A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.1) 0 6∈ C. Рассмотрим задачу f (x) = |x | → inf; x ∈ C. (P)f — непрерывная функция, f (x)→ +∞ при |x | → ∞ ⇒ последствию из т. Вейерштрасса ∃ λ ∈ absmin P (λ ∈ C).Покажем, что функционал λ искомый. Если infc∈C 〈λ, c〉 < 0,то ∃ c ∈ C : 〈λ, c〉 < 0, т. е., векторы λ и c образуют тупойугол ⇒ основание H высоты OH треугольника Ocλ лежитна отрезке [c; λ] (и, в силу выпуклости C, принадлежит C),и |OH| < |Oλ|, что противоречит выбору точки λ.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� Обозначим C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B} (разностьпо Минковскому множеств A и B). A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.1) 0 6∈ C. Рассмотрим задачу f (x) = |x | → inf; x ∈ C. (P)f — непрерывная функция, f (x)→ +∞ при |x | → ∞ ⇒ последствию из т. Вейерштрасса ∃ λ ∈ absmin P (λ ∈ C).Покажем, что функционал λ искомый. Если infc∈C 〈λ, c〉 < 0,то ∃ c ∈ C : 〈λ, c〉 < 0, т. е., векторы λ и c образуют тупойугол ⇒ основание H высоты OH треугольника Ocλ лежитна отрезке [c; λ] (и, в силу выпуклости C, принадлежит C),и |OH| < |Oλ|, что противоречит выбору точки λ.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� Обозначим C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B} (разностьпо Минковскому множеств A и B). A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.1) 0 6∈ C. Рассмотрим задачу f (x) = |x | → inf; x ∈ C. (P)f — непрерывная функция, f (x)→ +∞ при |x | → ∞ ⇒ последствию из т. Вейерштрасса ∃ λ ∈ absmin P (λ ∈ C).Покажем, что функционал λ искомый. Если infc∈C 〈λ, c〉 < 0,то ∃ c ∈ C : 〈λ, c〉 < 0, т. е., векторы λ и c образуют тупойугол ⇒ основание H высоты OH треугольника Ocλ лежитна отрезке [c; λ] (и, в силу выпуклости C, принадлежит C),и |OH| < |Oλ|, что противоречит выбору точки λ.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� Обозначим C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B} (разностьпо Минковскому множеств A и B). A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.1) 0 6∈ C. Рассмотрим задачу f (x) = |x | → inf; x ∈ C. (P)f — непрерывная функция, f (x)→ +∞ при |x | → ∞ ⇒ последствию из т. Вейерштрасса ∃ λ ∈ absmin P (λ ∈ C).Покажем, что функционал λ искомый. Если infc∈C 〈λ, c〉 < 0,то ∃ c ∈ C : 〈λ, c〉 < 0, т. е., векторы λ и c образуют тупойугол ⇒ основание H высоты OH треугольника Ocλ лежитна отрезке [c; λ] (и, в силу выпуклости C, принадлежит C),и |OH| < |Oλ|, что противоречит выбору точки λ.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� Обозначим C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B} (разностьпо Минковскому множеств A и B). A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.1) 0 6∈ C. Рассмотрим задачу f (x) = |x | → inf; x ∈ C. (P)f — непрерывная функция, f (x)→ +∞ при |x | → ∞ ⇒ последствию из т. Вейерштрасса ∃ λ ∈ absmin P (λ ∈ C).Покажем, что функционал λ искомый. Если infc∈C 〈λ, c〉 < 0,то ∃ c ∈ C : 〈λ, c〉 < 0, т. е., векторы λ и c образуют тупойугол ⇒ основание H высоты OH треугольника Ocλ лежитна отрезке [c; λ] (и, в силу выпуклости C, принадлежит C),и |OH| < |Oλ|, что противоречит выбору точки λ.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rd , A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B}. A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.2) 0 ∈ C. Так как 0 6∈ C, то 0 ∈ ∂C ⇒ ∃ последовательность{yk}, yk → 0, yk 6∈ C ⇒ по п.1) ∃ x∗k 6= 0 :infc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ 〈x∗k , yk 〉.НеОО, считаем |x∗k | = 1 ∀ k . Сфера в Rd компактна ⇒можно перейти к подпоследовательности x∗k , сходящейся кнекоторой точке x∗, |x∗| = 1. Для этой точки имеемinfc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ limk→∞〈x∗k , yk 〉 = 0.НЕ ЯСНО Значит,функционал x∗ – искомый. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rd , A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B}. A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.2) 0 ∈ C. Так как 0 6∈ C, то 0 ∈ ∂C ⇒ ∃ последовательность{yk}, yk → 0, yk 6∈ C ⇒ по п.1) ∃ x∗k 6= 0 :infc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ 〈x∗k , yk 〉.НеОО, считаем |x∗k | = 1 ∀ k . Сфера в Rd компактна ⇒можно перейти к подпоследовательности x∗k , сходящейся кнекоторой точке x∗, |x∗| = 1. Для этой точки имеемinfc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ limk→∞〈x∗k , yk 〉 = 0.НЕ ЯСНО Значит,функционал x∗ – искомый. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rd , A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B}. A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.2) 0 ∈ C. Так как 0 6∈ C, то 0 ∈ ∂C ⇒ ∃ последовательность{yk}, yk → 0, yk 6∈ C ⇒ по п.1) ∃ x∗k 6= 0 :infc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ 〈x∗k , yk 〉.НеОО, считаем |x∗k | = 1 ∀ k . Сфера в Rd компактна ⇒можно перейти к подпоследовательности x∗k , сходящейся кнекоторой точке x∗, |x∗| = 1. Для этой точки имеемinfc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ limk→∞〈x∗k , yk 〉 = 0.НЕ ЯСНО Значит,функционал x∗ – искомый. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rd , A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B}. A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.2) 0 ∈ C. Так как 0 6∈ C, то 0 ∈ ∂C ⇒ ∃ последовательность{yk}, yk → 0, yk 6∈ C ⇒ по п.1) ∃ x∗k 6= 0 :infc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ 〈x∗k , yk 〉.НеОО, считаем |x∗k | = 1 ∀ k . Сфера в Rd компактна ⇒можно перейти к подпоследовательности x∗k , сходящейся кнекоторой точке x∗, |x∗| = 1. Для этой точки имеемinfc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ limk→∞〈x∗k , yk 〉 = 0.НЕ ЯСНО Значит,функционал x∗ – искомый. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rd , A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B}. A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.2) 0 ∈ C. Так как 0 6∈ C, то 0 ∈ ∂C ⇒ ∃ последовательность{yk}, yk → 0, yk 6∈ C ⇒ по п.1) ∃ x∗k 6= 0 :infc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ 〈x∗k , yk 〉.НеОО, считаем |x∗k | = 1 ∀ k . Сфера в Rd компактна ⇒можно перейти к подпоследовательности x∗k , сходящейся кнекоторой точке x∗, |x∗| = 1. Для этой точки имеемinfc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ limk→∞〈x∗k , yk 〉 = 0.НЕ ЯСНО Значит,функционал x∗ – искомый. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
Теорема
A и B — непустые выпуклые множества в Rd , A — открытое,A ∩ B = ∅ ⇒ A и B отделимы.
� C := A− B = {a− b | a ∈ A, b ∈ B}. A ∩ B = ∅ ⇒ 0 6∈ C.Надо доказать, что ∃ λ 6= 0 : infa∈A 〈λ,a〉 ≥ supb∈B 〈λ,b〉⇔ infc∈C 〈λ, c〉 ≥ 0, т. е., гиперплоскость 〈λ, c〉 = 0 отделяет Cот начала координат O.2) 0 ∈ C. Так как 0 6∈ C, то 0 ∈ ∂C ⇒ ∃ последовательность{yk}, yk → 0, yk 6∈ C ⇒ по п.1) ∃ x∗k 6= 0 :infc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ 〈x∗k , yk 〉.НеОО, считаем |x∗k | = 1 ∀ k . Сфера в Rd компактна ⇒можно перейти к подпоследовательности x∗k , сходящейся кнекоторой точке x∗, |x∗| = 1. Для этой точки имеемinfc∈C 〈x∗k , c〉 ≥ limk→∞〈x∗k , yk 〉 = 0.НЕ ЯСНО Значит,функционал x∗ – искомый. �
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
�
Следствие (первая теорема отделимости в Rn)
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, intA ∩ B = ∅.Тогда множества A и B отделимы.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
�
Следствие (первая теорема отделимости в Rn)
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, intA ∩ B = ∅.Тогда множества A и B отделимы.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
�
Следствие (первая теорема отделимости в Rn)
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, intA ∩ B = ∅.Тогда множества A и B отделимы.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
�
Следствие (первая теорема отделимости в Rn)
A и B — непустые выпуклые множества в Rn, intA ∩ B = ∅.Тогда множества A и B отделимы.
Галеев Э.М. МГУЛекции: Выпуклый анализ
