Βαρυτική εστίαση. Πως απορρέει από τη γενική σχετικότητα ,σε τι είδους παρατηρήσεις οδηγεί

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1: Ιστορική αναδρομή της καμπύλωσης του φωτός

1 Απόκλιση του φωτός ……………………………………………………………………..Σελ 3

Κεφάλαιο 2: Καμπύλοι χώροι

2.1 Συστήματα συντεταγμένων και τανυστές……………………………………………….Σελ 8

2.2 Συναλλίωτη παραγώγιση – Σύμβολα Christoffel……………….………………………Σελ 13

2.3 Εξισώσεις γεωδαισιακών καμπύλων……………………………………..…………….Σελ 16

2.4 Η έννοια της καμπυλότητας ……………….…………………….……………………..Σελ 20

Κεφάλαιο 3: Βασικά στοιχεία των βαρυτικών φακών

3.1 Η αρχή του Fermat……………………………………………………………………..Σελ 25

3.2 Εξίσωση φακών…………………………………………………………………...……Σελ 29

3.3 Θέση και μεγέθυνση εικόνων………………………………………………………….Σελ 31

3.4 Το σχήμα των βαρυτικών φακών……………………………………………………….Σελ 32

Κεφάλαιο 4: Φαινόμενα των βαρυτικών φακών

4.1 Πολλαπλά είδωλα Κβαζάρς……………………………………………………………Σελ 35

4.2 Μικροεστιασμένα Κβαζάρς……………………………………………………………Σελ 38

4.3 Ο δακτύλιος του Einstein………………………………………………………...…….Σελ 40

4.4 Ισχυροί βαρυτική φακοί…………………………………………..……………………Σελ 42

4.5 Ασθενείς βαρυτικοί φακοί…………………………………………..……..…………..Σελ 44

4.6 Γαλαξιακή μικροεστίαση………………………………………………………………Σελ 48

Κεφάλαιο 5: Ανακεφαλαίωση-Συμπεράσματα……………………………..Σελ 53

Βιβλιογραφία-Αναφορές……………….…………………………………………………Σελ 55

2

Κεφάλαιο 1

Ιστορική αναδρομή της καμπύλωσης του φωτός

1.Απόκλιση του φωτός

Έχει παρατηρηθεί από πολύ παλιά, από την εποχή του Νεύτωνα ότι μια μάζα μπορεί να

εκτρέψει την πορεία του φωτός. Η εκτροπή του φωτός δεν είχε περιγραφεί πλήρως λόγω

ανεπάρκειας της θεωρίας που υπήρχε.

Το 1783 ο John Mitchell έγραψε μια μέθοδο υπολογισμού της μάζας των άστρων , υπολογίζοντας

την μείωση της ταχύτητας του φωτός από την επίδραση της βαρύτητας του άστρου . Ο John

Mitchell είχε εισηγηθεί ότι 1.) το φως διαδίδεται σε μόρια και 2.) ένα αρκετά μαζικό άστρο

μπορεί να σταματήσει την εκπομπή του φωτός και η χρωματική εμφάνιση του άστρου να μην

είναι εμφανής, που είναι σήμερα γνωστά ως μαύρες τρύπες.

Οι συλλογισμοί του John Mitchell έσπρωξαν τον Cavendish να υπολογίσει την απόκλιση του

φωτός κοντά στο βαρυτικό πεδίο του ήλιου. Οι παραδοχές που είχε κάνει για αυτό τον

υπολογισμό ήταν:

1.) Το φως αποτελείται από μόρια υλικού

2.) Σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας , η επιτάχυνση ενός σώματος σε ένα πεδίο βαρύτητας

είναι ανεξάρτητο της μάζας του ,της δομής και της σύνθεσης του. Έτσι κάθε μόριο φωτός θα

δέχεται αυτή την επιτάχυνση.

(1.1)

3

Σχήμα 1

όπου η θέση ενός σωματιδίου που βρίσκεται μέσα σε βαρυτικό πεδίο μάζας m

Οι λύσεις της εξίσωσης (1) είναι κωνικές τομές που περιγράφουν κλειστές ή αποδεσμευμένες

τροχιές. Ωστόσο η ταχύτητα του φωτός είναι τόσο μεγάλη που υπερβαίνει την ταχύτητα

διαφυγής. Επομένως η τροχιά περιγράφεται από μια υπερβολή που περιγράφεται παραμετρικά

από τις εξισώσεις:

, (1.2)

R: Η πλησιέστερη απόσταση του μορίου και του σώματος μάζας m

e: Η εκκεντρότητα της τροχιάς

: Η γωνία που υπολογίζεται από τον άξονα χ

Η απόσταση R έχει επιλεχθεί όπως φαίνεται στο σχήμα 1 να είναι η

Το διάνυσμα μπορεί να γραφεί :

(1.3)

Οπότε η ταχύτητα είναι :

(1.4)

(1.5)

4

Για τον υπολογισμό της απόκλισης της τροχιάς του φωτός , ελέγχουμε το όριο όταν . Για

η τροχιά σχηματίζει γωνία από τον άξονα χ και από την πρώτη εξίσωση των (1.2)

έχουμε:

(1.6)

Ορίζουμε όπου δ είναι το μισό της γωνίας απόκλισης, επομένως έχουμε:

(1.7)

Για να βρούμε την εκκεντρότητα e , υποθέτουμε ότι το σωματίδιο εκπέμπεται στο άπειρο με

ταχύτητα c. Έτσι από τη σχέση (1.5) έχουμε:

(1.8)

Αν το σώμα m είναι ο ήλιος και το φως ακουμπά την επιφάνεια του τότε :

(1.9)

(1.10)

Με τα πιο πάνω δεδομένα η γωνία απόκλισης είναι: (1.11)

Η πιο πάνω εξήγηση για την απόκλιση του φωτός δεν είναι πλήρης γιατί παραλείφθηκε η

καμπύλωση του χωροχρόνου λόγω των γύρω μαζικών σωμάτων.

Μπορούμε να δώσουμε ένα παράδειγμα χωρίς περίπλοκες εξισώσεις για την κατανόηση της

καμπύλωσης του χωροχρόνου, χρησιμοποιώντας την αρχή της ισοδυναμίας του Einstein.

5

Με βάση αυτή την αρχή, δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε την βαρύτητα με την επιτάχυνση, δηλ.

ένας παρατηρητής που εκτελεί ελεύθερη πτώση δεν νιώθει βαρύτητα ενώ ένας επιταχυνόμενος

παρατηρητής μπορεί να εξηγήσει την αδρανειακή δύναμη λόγω του βαρυτικού πεδίου.

Στο πιο κάτω σχήμα (Σχήμα 2) , ένας παρατηρητής βρίσκεται μέσα σε ένα κουτί στο οποίο

υπάρχει στην αριστερή του πλευρά μια τρύπα.

Σχήμα 2

Αν το κουτί επιταχυνθεί προς τα πάνω τότε ο παρατηρητής εξηγεί την αδρανειακή δύναμη που

ασκείται πάνω του λόγω της βαρυτικής δύναμης που ασκείται προς τα κάτω. Αν υποθέσουμε ότι

το φως εισέρχεται από την τρύπα του κουτιού και διαδίδεται προς τα δεξιά.

Καθώς το κουτί κινείται προς τα πάνω το φως κτυπά την άλλη πλευρά του κουτιού σε

χαμηλότερο σημείο από το σημείο απ’ όπου εισήλθε. Επίσης καθώς το κουτί επιταχύνεται το

φως εμφανίζεται καμπυλωμένο έτσι λοιπόν με βάση την αρχή της ισοδυναμίας το φως πρέπει να

εκτρέπεται από τη βαρύτητα. Επίσης μπορούμε να φανταστούμε και το αντίθετο πείραμα . Αν

αφήσουμε το κουτί να είναι ακίνητο μέσα σε βαρυτικό πεδίο του οποίου η ένταση είναι όμοια με

την επιτάχυνση που αναφέραμε στο προηγούμενο πείραμα τότε αν το φως δεν εκτρέπεται από

την βαρύτητα, ο παρατηρητής θα έχει τη δυνατότητα να κάνει διακρίσεις μεταξύ της βαρύτητας

και της επιτάχυνσης παραβιάζοντας έτσι την αρχή της ισοδυναμίας.

Η τιμή που έχουμε βρει για την γωνία καμπύλωσης δεν είναι ορθή γιατί τα μαθηματικά που

έχουμε χρησιμοποιήσει περιγράφουν Ευκλείδειους χώρους. Λόγω του βαρυτικού πεδίου ο χώρος

καμπυλώνει, αυτό που μπορούμε να το περιγράψουμε με το εξής παράδειγμα. Σε ένα πολύ

απομακρυσμένο σημείο, η ταχύτητα ενός σωματιδίου είναι σχεδόν μηδέν. Καθώς δέχεται την

δράση της δύναμης ενός πολύ μαζικού άστρου τότε αρχίζει να επιταχύνεται και καθώς πλησιάζει

6

ολοένα η ταχύτητα του αυξάνεται σχετικιστικά με αποτέλεσμα να διαστέλλεται αισθητά ο

χρόνος, η μάζα και ο χώρος.

Η πραγματική τιμή της απόκλισης της γωνίας , περιγράφεται από την θεωρία της γενικής

σχετικότητας, η οποία για την περιγραφή του καμπυλωμένου χώρου χρησιμοποιά γεωδαισιακές

καμπύλες.

Κεφάλαιο 2

7

Καμπύλοι Χώροι

2.1 Συστήματα συντεταγμένων και τανυστές

Ως διαφορίσιμη πολλαπλότητα με n το πλήθος των διαστάσεων, ορίζεται το συνεχές σημείων ,

τα οποία είναι δυνατό να χαρακτηριστούν από ένα συνεχές n παραμέτρων (i=1,2,3,…n).Οι

παράμετροι που χαρακτηρίζουν ένα σημείο ονομάζονται καμπυλόγραμμες συντεταγμένες του

σημείου αυτού.

Για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων είναι απαραίτητη η παραδοχή ορισμένων ιδιοτήτων

για την πολλαπλότητα, μέσα στα οποία συμβαίνουν τα φαινόμενα αυτά. Δεχόμαστε ότι η

πολλαπλότητα μπορεί να παρασταθεί με ένα μετρικό χώρο. Αυτό σημαίνει ότι δεχόμαστε την

ύπαρξη ενός συμμετρικού τανυστή με συνιστώσες , οι οποίες σε ένα σημείο είναι συναρτήσεις

των συντεταγμένων του σημείου.

(2.1.1)

Με χρήση του μετρικού τανυστή της σχέσης (2.1) , η στοιχειώδης απόσταση ή στοιχειώδες

μήκος ή γραμμικό στοιχείο μεταξύ δύο γειτονικών σημείων με συντεταγμένες και

εκφράζεται από τη σχέση:

(2.1.2)

Στη σχέση (2.1.2) ισχύει η σύμβαση Einstein για τους επαναλαμβανόμενους ή βωβούς δείκτες .

σύμφωνα με την οποία η εμφάνιση σε ένα όρο του ίδιου δείκτη σε άνω και κάτω θέση,

υποδηλώνει άθροιση ως προς τις τιμές που μπορεί να πάρει ο δείκτης αυτός. Σύμφωνα με τη

σχέση (2.1.2) το είναι μια ομογενής τετραγωνική συνάρτηση των διαφορικών .

Αν οι συνιστώσες του μετρικού τανυστή είναι συνεχείς συναρτήσεις των συντεταγμένων και

έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και μη μηδενική ορίζουσα, τότε ο μετρικός τανυστής

περιγράφει ένα χώρο Riemann και η γεωμετρία βασιζόμενη στη εξίσωση (2.1.2) ονομάζεται

γεωμετρία Riemann.

Οι τανυστές μετασχηματίζονται κάτω από ένα γενικό μετασχηματισμό των παλαιών

συντεταγμένων στις νέες συντεταγμένες της μορφής :

8

(2.1.3.α)

(2.1.3.β)

και οι στοιχειώδες μεταβολές των συντεταγμένων μετασχηματίζονται ως:

(2.1.4.α)

(2.1.4.β)

Οι μερικές παράγωγοι είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων για τη σχέσεις (2.1.4.α),(2.1.4.β)

και ικανοποιούν τη σχέση:

(2.1.5)

και είναι το δ του Kronecker όπου ισχύει :

(2.1.6)

Οι νόμοι μετασχηματισμού των τελεστών μερικής παραγώγησης είναι:

(2.1.7.α)

(2.1.7.β)

Από τις πιο πάνω εξισώσεις προκύπτουν οι ορισμοί των τανυστών πρώτης τάξης, δηλαδή των

n-διάστατων διανυσμάτων που θα αναφέρουμε πιο κάτω.

Ορισμός: Ένα n διάστατο αντικείμενο ονομάζεται ανταλλοίωτο διάνυσμα ως προς γενικούς

μετασχηματισμούς των συντεταγμένων αν μετασχηματίζεται σύμφωνα με τον νόμο :

9

(2.1.8.α)

(2.1.8.β)

Ορισμός: : Ένα n διάστατο αντικείμενο ονομάζεται συναλλοίωτο διάνυσμα ως προς γενικούς

μετασχηματισμούς των συντεταγμένων αν μετασχηματίζεται σύμφωνα με τον νόμο :

(2.1.9.α)

(2.1.9.β)

Ο αντίστροφος του μετρικού τανυστή ορίζεται από τη σχέση :

(2.1.10)

και σε αναλογία , το μέτρο Α ενός διανύσματος ορίζεται από τη σχέση :

(2.1.11)

Οι τανυστές και χρησιμοποιούνται για την ανύψωση των συναλλίωτων δεικτών και την

καταβίβαση των ανταλλοίωτων δεικτών ενός τανυστή, όπως παρουσιάζονται πιο κάτω.

, , (2.1.12)

Σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων, η θεμελιώδης σχέση (2.1.2) είναι δυνατό να γραφεί με τη

μορφή αθροίσματος τετραγώνων διαφορικών.

(2.1.13)

Οι συντεταγμένες ονομάζονται Ευκλείδιες συντεταγμένες ,ο μετρικός τανυστής ονομάζεται

Ευκλείδειος τανυστής ενώ ο αντίστοιχος χώρος ονομάζεται Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων

10

και η γεωμετρία που στηρίζεται στο χώρο αυτό ονομάζεται Ευκλείδεια γεωμετρία. Στην

περίπτωση αυτή οι συνιστώσες του μετρικού τανυστή ικανοποιούν τις σχέσεις:

ή (2.1.14)

Οι Ευκλείδιες συντεταγμένες αποτελούν μια ειδική περίπτωση των ορθογώνιων Καρτεσιανών

συντεταγμένων στο οποίο οι συνιστώσες του μετρικού τανυστή είναι σταθεροί αριθμοί και

ικανοποιούν τη σχέση :

για (2.1.15)

Αποδεικνύεται ότι ένας χώρος Riemann n διαστάσεων μπορεί να θεωρηθεί εμφυτευμένος σε ένα

Ευκλείδειο χώρο διαστάσεων

Η πιο απλή περίπτωση Ευκλείδειου χώρου είναι ο χωρόχρονος Newton ο οποίος έχει δύο

ανεξάρτητες μεταξύ τους γεωμετρίες. Η πρώτη γεωμετρία είναι χωρική και μπορεί να περιγραφεί:

(2.1.16)

H (2.1.16) περιγράφει τον τρισδιάστατο χώρο σε Καρτεσιανές συντεταγμένες ή σφαιρικές

πολικές συντεταγμένες r,θ,φ. Η δεύτερη γεωμετρία είναι χρονική και περιγράφεται από το τη

γραμμική σχέση:

(2.1.17)

όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Επίσης οι δύο γεωμετρίες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Ο χωρόχρονος της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας περιγράφεται με τη χρήση τεσσάρων

ορθογώνιων συντεταγμένων.

, , , (2.1.18)

Ο χώρος αυτός σε αντιδιαστολή με το χωρόχρονο Newton, έχει μια γεωμετρία που συνδυάζει το

χώρο με το χρόνο με γραμμικό τρόπο από την εξίσωση:

(2.1.19)

11

Στη σχέση (2.1.19) δεν έχουμε κανένα πεδίο βαρύτητας. Στο σύστημα συντεταγμένων Ο(ct,x,y,z)

στο οποίο οι συνιστώσες του μετρικού τανυστή έχουν τιμές , , ,

και για τότε ο χωρόχρονος είναι επίπεδος. Ο διαγώνιος μετρικός τανυστής του

μετρικού στοιχείου (2.1.19) ονομάζεται τανυστής Minkowski.

Ο χωρόχρονος της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας όπου δεν εμφανίζεται βαρυτικό πεδίο είναι

επίπεδος. Αντίθετα στο χωρόχρονο της θεωρίας της γενικής σχετικότητας είναι καμπύλος ή

καμπυλωμένος αφού δεν έχουμε παντού , , , και για .

Μια σημαντική κατηγορία των τανυστών είναι οι ψευδοτανυστές και έχουν πάρει την ονομασία

τους λόγο των ιδιοτήτων μετασχηματισμού αυτών των αντικειμένων.

Όλες οι συνιστώσες με ίσους δείκτες μηδενίζονται και μη μηδενικές συνιστώσες είναι αυτές που

έχουν διαφορετικούς όλους τους δείκτες τους. Αν σε n διαστάσεις , οι μη μηδενικές

συνιστώσες είναι ίσες με +1 ή -1 ανάλογα με τον αν χρειάζεται άρτιος ή περιττός αριθμός

μεταθέσεων, ώστε οι αριθμοί i,k,l,… να τοποθετηθούν στη σειρά 1,2,3,…n.

Ως προς περιστροφές του συστήματος συντεταγμένων, τα συμπεριφέρονται ως συνιστώσες

τανυστή. Είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι ενώ οι συνιστώσες ενός τανυστή αλλάζουν

πρόσημο, οι συνιστώσες του δεν αλλάζουν πρόσημο, διότι αυτές πρέπει να ορίζονται κατά

τον ίδιο τρόπο για όλα τα συστήματα συντεταγμένων.

Ο νόμος μετασχηματισμού του ψευδοτανυστή από τις καρτεσιανές συντεταγμένες στις

καμπυλόγραμμες συντεταγμένες είναι:

(2.1.20)

ή

(2.1.21) όπου

Σύμφωνα από τη σχέση και προκύπτει η :

(2.1.22)

και επομένως:

(2.1.23)

12

Από (2.1.23) , (2.1.21) προκύπτει η σχέση:

(2.1.24)

Στην περίπτωση του τετραδιάστατου χωροχρόνου, ο μετρικός τανυστής επιλέγεται συνήθως

ώστε g<0, επομένως στη θέση του g χρησιμοποιούμε –g.

2.2 Συναλλίωτη παραγώγιση – Σύμβολα Christoffel

Στις καρτεσιανές συντεταγμένες οι συνιστώσες είναι σταθεροί αριθμοί. Το διαφορικό

ενός ανταλλίωτου διανύσματος και οι μερικές παράγωγοι είναι συνιστώσες τανυστή.

Αντίθετα στις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες αυτό δεν ισχύει γιατί το είναι η διαφορά δυο

διανυσμάτων που βρίσκονται σε δυο διαφορετικά σημεία με συντεταγμένες και . Για να

είναι το διάνυσμα, θα πρέπει αυτό σε κάθε σημείο ως προς γενικούς μετασχηματισμούς να

μετασχηματίζεται κατά τον ίδιο τρόπο.

Οι συντελεστές στη σχέση μετασχηματισμού (2.1.9α) σε ένα σημείο είναι συναρτήσεις των

συντεταγμένων αυτού του σημείου. Επομένως σε διαφορετικά σημεία τα διανύσματα

μετασχηματίζονται κατά διαφορετικό τρόπο , γενικά το δεν είναι διάνυσμα.

Οι παράγωγοι αποτελούν συνιστώσες τανυστή μόνο ως προς τους γραμμικούς

μετασχηματισμούς των συντεταγμένων. Σε αυτή την περίπτωση το είναι ένα ανταλλίωτο

διάνυσμα διότι σύμφωνα από τη σχέση

(2.2.1)

είναι το αποτέλεσμα της συστολής του τανυστή δεύτερης τάξης και του ανταλλοίωτου

διανύσματος . Στη σχέση (2.2.1) έχουμε το συμβολισμό :

13

(2.2.2)

Για να συμπεριφέρεται το διαφορικό ενός διανύσματος ως διάνυσμα σε καμπυλόγραμμες

συντεταγμένες , θα πρέπει τα δύο διανύσματα με αφαίρεση των οποίων θα προκύψει το

διαφορικό δηλ. κατά την αφαίρεση του ενός από το άλλο να βρίσκονται στο ίδιο σημείο. Άρα το

ένα διάνυσμα κατά κάποιο τρόπο, θα πρέπει να μετατοπιστεί στη θέση του άλλου και μετά να

σχηματιστεί η διαφορά τους στο ίδιο αυτό σημείο. Η μετατόπιση αυτή θα είναι μια μετατόπιση

του διανύσματος παράλληλη προς τον εαυτό του.

Υποθέτουμε ότι οι συνιστώσες ενός ανταλλοίωτου διανύσματος στις γειτονικές θέσεις και

είναι και αντίστοιχα. Μετά την παράλληλη μετατόπιση του από τη θέση

στη θέση , το διάνυσμα θα μεταβληθεί κατά . Η μεταβολή η οφειλόμενη σε

αυτήν την απειροστή παράλληλη μετατόπιση, είναι γραμμική ως προς και θα εξαρτάται από

την ίδια την μετατόπιση και θα είναι της μορφής:

(2.2.3)

Οι ποσότητες από τη σχέση (2.2.3) ονομάζονται σύμβολα Christoffel ή συντελεστές

σύνδεσης. Στις Καρτεσιανές συντεταγμένες τα και το μηδενίζονται, επομένως δεν είναι

τανυστές, διότι αν ένας τανυστής μηδενίζεται σε ένα σύστημα συντεταγμένων, θα μηδενίζεται σε

όλα τα συστήματα συντεταγμένων.

Από τις σχέσεις (2.2.1),(2.2.3) προκύπτει ότι η διαφορά των διανυσμάτων μετά τη μετατόπιση

είναι ένα διάνυσμα.

(2.2.4)

όπου (2.2.5)

Ομοίως για ένα συναλλοίωτο διάνυσμα για το οποίο ισχύει προκύπτουν οι

σχέσεις:

(2.2.6)

και

14

(2.2.7)

όπου

Οι ποσότητες και είναι τανυστές γιατί με τη συστολή τους με ένα διάνυσμα (το )

προκύπτουν τα διανύσματα και αντίστοιχα . Οι τανυστές αυτοί ονομάζονται

συναλλοίτες παράγωγοι των διανυσμάτων και . Σε ένα σύστημα καμπυλόγραμμων

συντεταγμένων παίζουν το ρόλο που τα και παίζουν σε ένα σύστημα Καρτεσιανών

συντεταγμένων ( στο οποίο )

Ένα βαθμωτό μέγεθος φ δεν μεταβάλλεται και συνεπώς ή ισοδύναμα

. Επίσης άμεσης συνέπειας της εξίσωσης είναι ότι κατά την παράλληλη

μετατόπιση δύο διανυσμάτων, και είναι ότι το βαθμωτό γινόμενο τους δεν μεταβάλλεται

.

Για ένα ανταλλοίωτο τανυστή δεύτερης τάξης, , με διπλή συστολή του με το αυθαίρετο

συναλλοίωτο διάνυσμα προκύπτει το βαθμωτό μέγεθος . Για αυτό το μέγεθος ισχύουν

οι σχέσεις και με αποτέλεσμα

(2.2.8)

Με βάση τη σχέση (2.2.4) για ένα τανυστή δεύτερης τάξης προκύπτει :

και σε συνδυασμό με τη σχέση (2.2.8) έχουμε:

(2.2.9)

Ομοίως προκύπτουν οι σχέσεις :

(2.2.10)

15

(2.2.11)

Τα σύμβολα Christoffel μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή τανυστών ανώτερης

τάξης, με συναλλοίωτη διαφόριση άλλων τανυστών χαμηλότερης τάξης.

2.3 Εξισώσεις γεωδαισιακών καμπύλων

Μια καμπύλη της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του

ονομάζεται γεωδαισιακή καμπύλη. Θεωρούμε ότι η παραμετρική εξίσωση της καμπύλης είναι:

(2.3.1)

όπου λ είναι μια παράμετρος που μετρείται κατά μήκος της καμπύλης με αρχή κάποιο σημείο της

και ονομάζεται αφινική παράμετρος. Το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης σε ένα σημείο της

είναι :

(2.3.2)

Η συνθήκη παράλληλης μετατόπισης του εφαπτόμενου διανύσματος σύμφωνα με τη σχέση

(2.2.4) είναι :

(2.3.3)

Η σχέση (2.3.3) είναι η εξίσωση της της γεωδαισιακής καμπύλης και αποτελεί γενίκευση της

εξίσωσης ευθείας γραμμής του επίπεδου χώρου:

(2.3.4)

Από τη σχέση (2.2.5) γράφεται στις μορφές :

(2.3.5)

16

(2.3.6)

Κατά την παράλληλη μετατόπιση ενός διανύσματος κατά μήκος μιας καμπύλης (Σχήμα 3),

τα διανύσματα και εκτελούν παράλληλη μετατόπιση. Από τη σχέση η γωνία

των δύο διανυσμάτων και παραμένει σταθερή και η συνιστώσα του κατά μήκος της

εφαπτόμενης καμπύλης δεν μεταβάλλεται. Αν κατά την παράλληλη μετατόπιση οι συνιστώσες

του εφαπτόμενου διανύσματος μεταβάλλονται τότε θα ισχύει και για τις συνιστώσες του

διανύσματος . Αυτή η μεταβολή των συνιστουσών του διανύσματος κατά την παράλληλη

μετατόπιση του είναι χαρακτηριστική του καμπύλου χώρου. Αυτό είναι δυνατό να συμβαίνει και

στον επίπεδο χώρο όταν χρησιμοποιούνται πολικές συντεταγμένες.

Αν ένα σταθερό διάνυσμα εκτελεί παράλληλη μετατόπιση κατά μήκος μιας επίπεδης καμπύλης ,

οι συνιστώσες ως προς ένα σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων δεν μεταβάλλονται ενώ οι

συνιστώσες του ως προς σύστημα πολικών συντεταγμένων μεταβάλλονται.

Σχήμα 3

Όπως βλέπουμε στο σχήμα 3 , κατά την παράλληλη μετατόπιση ενός διανύσματος στον επίπεδο

χωρόχρονο, οι συνιστώσες του ως προς ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων μεταβάλλονται.

Αντίθετα οι συνιστώσες του στο Καρτεσιανό σύστημα δεν μεταβάλλονται ενώ το μέτρο του

διανύσματος παραμένει σταθερό κατά την παράλληλη μετατόπιση του.

17

Το μήκος μιας αυθαίρετης καμπύλης μεταξύ δύο σημείων της είναι :

(2.3.7)

Σύμφωνα με την αρχή του Hamilton ένα σωματίδιο με μάζα ηρεμίας μ, κατά την κίνηση του

μεταξύ δύο διακεκριμένων σημείων ενός n-διάστατου χώρου, από όλες τις δυνατές τροχιές

θα ακολουθήσει εκείνη την τροχιά για την οποία η δράση:

, (2.3.8)

και παρουσιάζει ελάχιστο ακρότατο δS=0

Από τη σχέση (1.1.2) προκύπτει:

(2.3.9)

και από (2.3.8), δS=0 έχουμε :

(2.3.10)

Η συνθήκη (2.3.10) θα πρέπει να ικανοποιείται για αυθαίρετη μεταβολή , επομένως θα ισχύει

η σχέση :

(2.3.11)

Επίσης με βάση την αρχή του Hamilton και τη γεωδαισιακή υπόθεση είναι δυνατός ο

προσδιορισμός της συνάρτησης Lagrange L της κίνησης του σωματιδίου σε συσχέτιση με τις

γεωδαισιακές καμπύλες. Η συνάρτηση Lagrange για ένα σωματίδιο με παραμετρική εξίσωση

συνδέεται με τη δράση S με τη σχέση :

18

(2.3.12)

και ως συνέπεια της συνθήκης δS=0 , ικανοποιεί τις εξισώσεις Euler-Lagrange :

(2.3.13)

Η σχέση (2.3.8) είναι ισοδύναμη με τη σχέση:

(2.3.14)

Από (2.3.14),(2.3.12) προκύπτει ο προσδιορισμός της συνάρτησης Lagrange L που δίνεται από

την σχέση:

(2.3.15)

Με αντικατάσταση της L στην εξίσωση (2.3.13) έχουμε τις γεωδαισιακές εξισώσεις :

, (2.3.16)

Από τη συνάρτηση Lagrange L μπορούμε να βρούμε την τετραδιάστατη Συναλλίωτη ορμή του

σωματιδίου που είναι :

(2.3.17)

Η σχέση (2.3.17) περιγράφει την τετραδιάστατη Συναλλίωτη ορμή ενός σωματιδίου με μάζα

ηρεμίας μ. Αντίθετα για ένα φωτόνιο με μ=0 χρησιμοποιούμε τη σχέση:

(2.3.18)

Από τις σχέσεις (2.3.17) και (2.3.16) προκύπτει :

19

(2.3.19)

Από τη σχέση (2.3.19) βλέπουμε ότι ο μετρικός τανυστής δεν εξαρτάται μόνο από μια

συντεταγμένη. Επίσης η ορμή είναι ένα ολοκλήρωμα της κίνησης του σωματιδίου.

2.4 Η έννοια της καμπυλότητας

Η γεωδαισιακή γραμμή είναι η γραμμή επάνω σε μια επιφάνεια που ενώνει δύο σημεία της και

έχει το ελάχιστο δυνατόν μήκος π.χ. στην επιφάνεια μιας σφαίρας ο συντομότερος δρόμος που

ενώνει δύο σημεία προφανώς είναι μια καμπύλη, στην περίπτωση μας ένα τόξο. Άρα αυτή θα

είναι και η γαιωσιδιακή γραμμή του χώρου μας

Οι γεωδαισιακές καμπύλες κάτω από την επίδραση της βαρύτητας είναι καμπύλες και η μόνη

περίπτωση να φαίνονται ευθείες γραμμές είναι όταν π.χ πάρουμε μια περιοχή του χώρου η οποία

τοπικά έχει πεδίο βαρύτητας σταθερό. Αντίθετα όλος ο χωρόχρονος δεν μπορεί να περιγραφεί

από επίπεδες ευθείες.

Για να κατανοήσουμε την έννοια της καμπυλότητας παίρνουμε τρεις επιφάνειες οι οποίες είναι

ένα επίπεδο, μια σφαίρα και ένα κύλινδρο. Η επιφάνεια ενός επιπέδου δεν είναι καμπυλωμένη

και περιγράφεται από ευθύγραμμα τμήματα. Αντίθετα η σφαίρα είναι μια καμπυλωμένη

επιφάνεια και η οποία δεν μπορεί να μετατραπεί σε μια επίπεδη επιφάνεια αν δεν τεντωθεί ή

σχιστεί . Η επιφάνεια του κυλίνδρου είναι επίσης καμπυλωμένη και μπορεί να σχηματισθεί σε μια

επίπεδη επιφάνεια αν ξετυλιχθεί χωρίς να καταστραφεί.

Πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια μπορούμε να εφαρμόσουμε την Ευκλείδεια γεωμετρία ενώ σε μια

καμπυλωμένη επιφάνεια δεν ισχύουν οι κανόνες τις Ευκλείδειας γεωμετρίας οι οποίοι ένα από τα

βασικά αξιώματα που στηρίζονται είναι το ευθύγραμμο τμήμα. Άρα σε ένα τρίγωνο που

βρίσκεται σε ένα επίπεδο γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι 180 μοίρες. Αυτό

όμως δεν συμβαίνει και πάνω σε μια καμπυλωμένη επιφάνεια π.χ μια σφαίρα όπου το τρίγωνο

που σχηματίζεται έχει άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 180 μοιρών όπως φαίνεται στο σχήμα 4

20

Σχήμα 4

Η γενική θεωρία της σχετικότητας καταλήγει στο συμπέρασμα ότι από την παραπάνω ανάλυση

είναι ότι τελικά δεν υπάρχουν βαρυτικές δυνάμεις. Τα σώματα ακολουθούν πάντα την

συντομότερη χωροχρονική τροχιά υπακούοντας σε έναν γενικευμένο νόμο αδράνειας. Οι μάζες

όμως αλλάζουν τη γεωμετρία του χωροχρόνου και έτσι η τροχιά που ακολουθούν τα σώματα

καμπυλώνεται. Αυτή όμως την καμπύλωση, πριν την διατύπωση της Γ.Θ.Σ την αποδίδαμε σε

δυνάμεις μεταξύ των μαζών, ενώ τώρα στην αλλαγή της γεωμετρίας του χωροχρόνου.

Για τον προσδιορισμό της καμπυλότητας μιας επιφάνειας, μετράμε το μήκος της περιφέρειας

ενός κύκλου γνωστής ακτίνας ο οποίος βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια. Αν πάρουμε μια

σφαιρική επιφάνεια όπως φαίνεται στο σχήμα 5, το μήκος C της περιφέρειας ενός μικρού κύκλου

είναι:

(2.4.1)

21

Σχήμα 5

Η καμπυλότητα Κ μιας επιφάνειας ορίζεται από τη σχέση :

(2.4.2)

Από τις σχέσεις (2.4.1),(2.4.2) προκύπτει η σχέση :

(2.4.3)

Από τη σχέση (2.4.3) προσδιορίζεται η καμπυλότητα Κ με μέτρηση της απόκλισης C από το 2πα.

Στο πιο κάτω σχήμα παρουσιάζονται τρεις επιφάνειες με τις αντίστοιχες καμπυλότητες τους.

22

Σχήμα 6

Στη πρώτη επιφάνεια είναι η περίπτωση του επιπέδου όπου έχουμε μηδενική καμπυλότητα. Η

δεύτερη επιφάνεια παρουσιάζει θετική καμπυλότητα και πρέπει να ελαττωθεί η περιφέρεια του

κύκλου με ακτίνα α (μηδενικής καμπυλότητας) έτσι ώστε η καμπυλότητα να γίνει μηδενική.

Αντίθετα η Τρίτη επιφάνεια παρουσιάζει αρνητική καμπυλότητα και επομένως πρέπει να αυξηθεί

η περιφέρεια του κύκλου ακτίνας α για να γίνει η καμπυλότητα μηδενική.

Η καμπυλότητα μιας δισδιάστατης επιφάνειας στις συντεταγμένες μπορεί να περιγραφεί

αναλυτικά με τη χρήση του μετρικού τανυστή από την σχέση :

(2.4.4)

Η τιμή της καμπυλότητας Κ σε ένα οποιοδήποτε σημείο είναι η ίδια ανεξάρτητα από το σύστημα

συντεταγμένων. Επομένως η καμπυλότητα είναι μια σταθερή ποσότητα που χαρακτηρίζει τη

δομή της επιφάνειας.

Για να υπολογίσουμε την τιμή της καμπυλότητας σε ένα τρισδιάστατο χώρο με συντεταγμένες r,

θ,φ επιλέγουμε την ακτινική συντεταγμένη r, έτσι ώστε το εμβαδόν της επιφάνειας της

υπερσφαίρας να είναι ίσο με . Οι συντεταγμένες πάνω στην επιφάνεια της υπερσφαίρας

ακτίνας r, καθορίζονται από τα θ,φ. Μια ακολουθία διαδοχικών ομόκεντρων υπερσφαιρών

μπορεί να ορίσει τις συντεταγμένες στον τρισδιάστατο χώρο. Γιατί ο χώρος είναι καμπύλος η

κάθε υπερσφαίρα μπορεί να μην έχει το ίδιο r. Έτσι η γενική μορφή του γραμμικού στοιχείου του

τρισδιάστατου καμπυλωμένου χώρου δίνεται από την σχέση :

23

(2.4.5)

Η είναι η ίδια απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών σημείων με συντεταγμένες (r,θ,φ) και

(r+dr,θ,φ). Για f(r)=1 το γραμμικό στοιχείο υπολογίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα 7.

Σχήμα 7

Για να υπολογίσουμε την συνάρτηση f(r) θεωρούμε το σημείο της καμπυλωμένης επιφάνειας που

θέλουμε να μελετήσουμε μπορεί να περιγραφεί από μια υπερσφαίρα με συντεταγμένες θ=π/2,

dθ=0 , οπότε έχουμε το σύστημα συντεταγμένων και η καμπυλότητα που δίνεται

από τη σχέση (2.4.4) είναι:

(2.4.6)

Ολοκληρώνουμε τη πιο πάνω σχέση και βρίσκουμε τη συνάρτηση f(r) που δίνεται από την

σχέση:

(2.4.7)

Από (2.4.5) και (2.4.7) το γραμμικό στοιχείο θα γραφεί :

(2.4.8)

Βιβλιογραφία: Εισαγωγή στη γενική θεωρία της σχετικότητας ,Νικολαος Κ.Σπύρου 1989, εκδόσεις

Γαρταγάνη,Θεσσαλονίκη

Κεφάλαιο 3

24

Βασικά στοιχεία των βαρυτικών φακών

3.1 Η αρχή του Fermat

Η αρχή του Fermat για τη διάθλαση του φωτός είναι σημαντική στην περίπτωση μας γιατί

μπορεί να συσχετισθεί με την καμπύλωση του φωτός. Η αρχή αυτή λέει ότι ένα κύμα φωτός

συγκεκριμένης συχνότητας, θα διασχίσει εκείνο το μονοπάτι μεταξύ δύο σημείων Α,Β στο οποίο

χρειάζεται το μικρότερο χρόνο.

Σχήμα 8

Γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα του φωτός σε ένα μέσο δίδεται από τη σχέση :

(3.1.1)

όπου c: η ταχύτητα του φωτός στο κενό και n ο δείκτης διάθλασης του μέσου.

Στο σχήμα 8, ο χρόνος που χρειάζεται το φως για να ταξιδέψει από το σημείο Α στο σημείο Β

είναι :

(3.1.2)

Ο ελάχιστος χρόνος χρόνος που απαιτείται για να ταξιδέψει το φως μεταξύ αυτών των δύο

σημείων μπορεί να βρεθεί ελαχιστοποιώντας ως προς y, δηλ .Έτσι βρίσκουμε ότι :

25

(3.1.3)

Έτσι προκύπτει η σχέση (3.1.3) που είναι γνωστή ως ο νόμος του Snell. Με ανάλογο τρόπο

σκεφτόμαστε το φως που κινείται πάνω σε μια γαιωδεσιακή καμπύλη πρέπει να ακολουθεί την

συντομότερη διαδρομή των τεσσάρων διαστάσεων, του γραμμικού στοιχείου ds.

Στο χώρο Minkowski έχουμε το μετρικό τανυστή

Με γραμμικό στοιχείο (3.1.4)

Σε ασθενές βαρυτικό πεδίο έχουμε ασθενή βαρυτική εστίαση του φωτός και τώρα ο μετρικός

τανυστής μας γράφεται:

(3.1.5)

και το γραμμικό στοιχείο έχει τη μορφή :

(3.1.6)

Το φως εκτελεί την συντομότερη διαδρομή όταν το γραμμικό στοιχείο , οπότε από την

(3.1.6) έχουμε : (3.1.7)

26

Η ταχύτητα του φωτός μέσα στο βαρυτικό πεδίο θα είναι:

(3.1.8)

και ο δείκτης διάθλασης

(3.1.9)

Ο χρόνος που χρειάζεται το φως να ταξιδέψει από το σημείο Α στο σημείο Β είναι και ο

χρόνος αυτός πρέπει να είναι ο μικρότερος δυνατός. Ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από το

δυναμικό Φ και Φ=Φ(χ) άρα .Πρέπει η διαδρομή του φωτός να ικανοποιά την

συνθήκη :

(3.1.10)

Επίσης μπορούμε να γράψουμε όπου λ είναι η παράμετρος της καμπύλης. Η

εξίσωση (3.1.10) μπορεί να γραφεί τώρα ως :

(3.1.11)

Γνωρίζουμε ότι από την κλασσική μηχανική ότι η δράση δίνεται από την σχέση:

(3.1.12)

Συσχετίζοντας τις (3.1.11) και (3.1.12) ο όρος έχει το ρόλο της λαγκρασιανής L,

όπου και . Από την εξίσωση Lagrange έχουμε :

27

και

Υποθέτουμε ότι μπορεί να κανονικοποιηθεί με κατάλληλη επιλογή της παραμέτρου λ έτσι ώστε

και . Έτσι η σχέση γράφεται:

(3.1.13)

Από την (3.1.13) προκύπτει :

(3.1.14)

Το δεξί μέρος της (3.1.14) είναι το βαθμωτό άνυσμα n που είναι κάθετο στη διαδρομή του φωτός,

έτσι η εξίσωση (3.1.14) μπορεί να γραφεί ως :

(3.1.15)

Αν και τότε και η σχέση (3.1.15) γίνεται :

(3.1.16)

Η γωνία απόκλισης του φωτός είναι η ολοκλήρωση του που δίδει γωνία :

(3.1.17)

28

Αν οι φακοί αποτελούν μια σημειακή μάζα με δυναμικό με

όπου τότε

(3.1.8)

και η γωνία απόκλισης είναι

(3.1.19) όπου

3.2 Εξίσωση φακών

Στο σχήμα 9 είναι σκιαγραφημένο ένα τυπικό βαρυτικό σύστημα φακών. Φωτεινές ακτίνες

εκπέμπονται από την πηγή και στη συνέχεια αποκλίνουν από το βαρυτικό φακό. Για σημειακό

φακό έχουμε πάντα τουλάχιστον 2 εικόνες , της πηγής. Ο παρατηρητής βλέπει τις εικόνες σε

κατευθύνσεις που αντιστοιχούν στις εφαπτόμενες των εισερχόμενων ακτίνων.

Σχήμα 9

Για ένα κυκλικό συμμετρικό φακό η γωνία απόκλισης δίνεται από τη ακόλουθη σχέση :

(3.2.1)

29

όπου είναι η μάζα μέσα σε ακτίνα ξ. Από το σχήμα 10 εξάγεται η σχέση που συνδέει τις

γωνιακές αποστάσεις με τις γωνιακές θέσεις :

Σχήμα 10

(3.2.2)

Για αποτελεί μια συνθήκη η οποία πληρεί όλες τις αστροφυσικές περιπτώσεις και με

τον ορισμό της μείωσης της γωνίας ως εξάγεται η ακόλουθη σχέση που θα

φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη στη συνέχεια:

(3.2.3)

Η σχέση (3.2.3) για τις θέσεις των εικόνων και της πηγής ισχύει και για μη συμμετρικές μάζες ή

αλλιώς και για μη συμμετρικούς φακούς απλά με τη διαφορά ότι οι γωνίες γράφονται ανυσματικά

ως :

(3.2.4)

Για ένα σημειακό φακό μάζας M ισχύει όπως αναφέραμε η σχέση (3.2.3) και εισάγοντας τη

σχέση προκύπτει :

30

(3.2.5)

Όταν η πηγή βρίσκεται ακριβώς πίσω από το βαρυτικό φακό , δηλ β=0 τότε λόγο συμμετρίας

λαμβάνεται μια εικόνα δακτυλιδιού του οποίου η γωνιακή ακτίνα του ονομάζεται ακτίνα Einstein

και δίνεται μέσω της σχέσης :

(3.2.6)

3.3 Θέση και μεγέθυνση εικόνων

Σε αυτή την ενότητα θα βρούμε από ποιες σχέσεις περιγράφονται οι θέσεις και η μεγέθυνση

των εικόνων που προκύπτουν λόγω βαρυτικής καμπύλωσης του φωτός. Αρχικά θα

χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση των φακών (3.2.3) και την ακτίνα Einstein (3.2.6) , η εξίσωση

των φακών παίρνει ακόμη πιο απλουστευμένη μορφή :

(3.3.1)

Ένα απομονωμένο σημείο πηγής παράγει πάντοτε λόγο βαρυτικής εστίασης δύο εικόνες της

πηγής θ και οι θέσεις των εικόνων δίνονται από τις λύσεις της εξίσωσης (3.3.2)

(3.3.2)

Η μεγέθυνση της εικόνας καθορίζεται από το λόγο των στερεών γωνιών της εικόνας και της

πηγής όταν η φωτεινότητα της επιφάνειας είναι σταθερή, τότε η μεγέθυνση μ δίνεται από τη

σχέση :

(3.3.3)

Στη περίπτωση που έχουμε συμμετρία πιο πάνω, η μεγέθυνση της εικόνας μ μπορεί να γραφεί

ως:

31

(3.3.4) με

Η μεγέθυνση της μιας εικόνας είναι αρνητική που αυτό σημαίνει ότι είναι αντεστραμμένη . Όταν

το β τείνει στο μηδέν , η μεγέθυνση αποκλίνει. Το άθροισμα των απόλυτων τιμών των

μεγεθύνσεων είναι πάντα μεγαλύτερη της μονάδας ενώ η διαφορά τους είναι μονάδα.

3.4 Το σχήμα των βαρυτικών φακών

Οι τοπικές ιδιότητες μιας απεικόνισης ή εικόνας λόγω του βαρυτικού φακού, μπορεί να

εκφραστεί μέσω του Ιακομβιανού πίνακα Α που εξάγεται από την εξίσωση των φακών. Τέτοιοι

μικροί διαχωρισμοί στη πηγή σχετίζονται με μικρά ανύσματα της εικόνας.

(3.2.4) (3.4.1)

Η αλλαγή των εικόνων είναι ανάλογη με τη θέση της πηγής και ο τοπικός συντελεστής

μεγέθυνσης δίνεται από το τύπο :

(3.4.2)

Μια βολική έννοια είναι η εισαγωγή του ενεργού δυναμικού του φακού (ψ) που ορίζεται μέσω

της σχέσης :

(3.4.3)

Η συνάρτηση βαρύτητας μπορεί να κανονικοποιηθεί κατάλληλα έτσι ώστε η γωνία εκτροπής

να είναι το βαθωτό άνυσμα του ψ, και τα στοιχεία του πίνακα Α να καθορίζονται από τη

δεύτερη παράγωγο του ψ. Αποδεικνύεται ότι ο πίνακας Α είναι συμμετρικός και μπορεί να

γραφεί σε συνδυασμό με το μοναδιαίο πίνακα ως:

32

(3.4.4)

Όπου k είναι η σύγκλιση και είναι τα συστατικά της διάτμησης, η σύγκλιση και η διάτμηση

εκφάζονατι από τις ακόλουθες σχέσεις:

(3.4.5)

Η πρώτη εξίσωση της (3.4.5) δείχνει ότι η σύγκλιση k είναι ο λόγος της πυκνότητας Σ της

μάζας με τη κρίσιμη πυκνότητα η οποία εξαρτάται από τη γεωμετρία του φακού. Οι άλλες δύο

σχέσεις σχετίζονται με το γ ως . Στο σχήμα 11 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα

αρχικά μόνο της σύγκλισης και έπειτα σύγκλισης και διάτμησης μαζί.

Σχήμα 11

Η διάτμηση λόγο του βαρυτικού πεδίου περιγράφει το μέγεθος της παραμόρφωσης της εικόνας

και δημιουργεί ένα ελλειπτικό φακό με ελλειπτικότητα ε με μικρό άξονα α και μεγάλο το b, που

ορίζεται από τη σχέση :

(3.4.6)

33

όπου g είναι η μειωμένη διάτμηση. Υπάρχουν σημεία στον ουρανό του παρατηρητή όπου η

Ιακομβιανή ορίζουσα μηδενίζεται και η μεγέθυνση γίνεται μαθηματικά άπειρη. Αυτά τα σημεία

δημιουργούν καμπύλες οι οποίες ονομάζονται κρίσιμες καμπύλες. Αντίστοιχα οι εικόνες που

δημιουργούνται από αυτά τα σημεία στο επίπεδο της πηγής ονομάζονται caustics (καυστικές

γραμμές). Κατά τη διέλευση από μια καυστική γραμμή προς το φακό, δύο η περισσότερες εικόνες

της πηγής θα εμφανιστούν ενώ δύο εικόνες θα ενωθούν και θα εξαφανιστούν όταν η πηγή θα

διασταυρώσει μια καυστική γραμμή προς το άπειρο.

Σχήμα 12

Στο σχήμα 12 φαίνονται οι κρίσιμες καμπύλες στα αριστερά σε ένα ελλειπτικό μοντέλο φακών. Η

εξωτερική κρίσιμη καμπύλη αντιστοιχεί στην εσωτερική καυστική γραμμή.

Κεφάλαιο 4

Φαινόμενα των βαρυτικών φακών

34

Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε και θα αναλύσουμε τα φαινόμενα που παρουσιάζονται

στην αστρονομία λόγο της βαρυτικής εστίασης ή της βαρυτικής καμπύλωσης του φωτός. Οι

ενότητες με τα αντίστοιχα φαινόμενα που θα μελετήσουμε είναι οι ακόλουθες :

Πολλαπλά είδωλα κβαζάρς

Μικροεστιασμένα κβαζάρς

Δακτύλιοι Einstein

Ασθενείς βαρυτικοί φακοί

Ισχυροί βαρυτική φακοί

Γαλαξιακή μικροεστίαση

4.1 Πολλαπλά είδωλα Κβαζάρς

Η πρώτη ανακάλυψη βαρυτικών ειδώλων έγινε στις 29 Μαρτίου 1979 από τον άγγλο Ρ.

Κάργουελ (R. Carwell) και τους αμερικανούς Ντ. Γουόλς (D. Walsh) και Ρ. Τζ. Γουέιμαν (R.J.

Weymann). Επρόκειτο για δύο κβάζαρς που αποτελούν την οπτική εικόνα της ραδιοπηγής

0957+561. Η ανάλυση του φάσματος έδειξε ότι τα δύο κβάζαρς αποτελούν τη διπλή απεικόνιση

του ίδιου αντικειμένου. Όσον αφορά το βαρυτικό φακό που παράγει τα δύο είδωλα, εντοπίστηκε

ένας αμυδρός γιγάντιος ελλειπτικός γαλαξίας.

Τα είδωλα των κβάζαρς που παρουσιάζονται σε διάφορα συστήματα ποικίλουν, έχουμε

συστήματα με διπλά, τριπλά ακόμη και τετραπλά κβάζαρς . Επίσης η διαμόρφωση των εικόνων

μπορεί να είναι συμμετρική ή ακόμη και ασυμμετρική. Πιο κάτω παρουσιάζονται διάφορα

πολλαπλά είδωλα κβάζαρς σε διάφορα γαλαξιακά συστήματα.

35

Σχήμα 13

Κάποια γαλαξιακά συστήματα μπορούν να θεωρηθούν ασφαλής για την ταυτοποίηση τους με τα

κβάζαρς. Τα κριτήρια που πρέπει να πληρεί ένα σύστημα έτσι ώστε να ταυτοποιηθεί ότι παράγει

είδωλα κβάζαρς είναι τα ακόλουθα:

Οι πιθανές εικόνες πρέπει να είναι σχεδόν οπτικά ίδιες

Οι αποστάσεις των εικόνων κβάζαρς πρέπει να είναι ίσες ή προσεγγιστικά ίσες

Τα φάσματα των διάφορων εικόνων να είναι πανομοιότυπα ή πολύ κοντά

Μεταξύ των εικόνων πρέπει να υπάρχει ο βαρυτικός φακός (π.χ γαλαξίας) του οποίου η

απόσταση πρέπει να είναι πιο μικρή συγκριτικά με τις αποστάσεις των ειδώλων

Αν το κβάζαρ είναι αρκετά μεταβλητό τότε οι ροές που μετριούνται από δύο ή

περισσότερα είδωλα, ακολουθούν σχεδόν την ίδια καμπυλωμένη διαδρομή φωτός. Αυτό

όμως δεν ισχύει για τη χρονική καθυστέρηση του φωτός και για την συνολική

αντιστάθμιση της φωτεινότητας.

Για τα περισσότερα συστήματα κβάζαρς που έχουν επιβεβαιωθεί σήμερα, δεν πληρούν όλα τα

πιο πάνω κριτήρια. Υπάρχουν καλοί λόγοι που δεν μπορούν κάποια γαλαξιακά συστήματα να

πληρούν και τους τέσσερις πιο πάνω λόγους, π.χ το φάσμα δύο κβάζαρς μπορεί να επηρεασθεί

από την σκόνη που μπορεί να υπάρχει τοπικά στο βαρυτικό φακό έτσι τοπικά να έχουμε

απορρόφηση του φάσματος.

Η ταυτοποίηση των συστημάτων ως κβάζαρς γίνεται με το ποσοστό βεβαιότητας που πληρεί ένα

σύστημα των πιο πάνω κριτηρίων, δηλαδή ακολουθείται μια λογική πιθανότητας της αλήθειας.

Σήμερα έχουμε μια εκτεταμένη μελέτη για τα κβάζαρς που δίνει χρήσιμες πληροφορίες όπως η

εύρεση της σταθεράς Hubble μέσω της χρονικής καθυστέρησης του φωτός. Επίσης αν και το

γαλαξιακό σύστημα θεωρείται ως ένα βαρυτικό σύστημα, μπορεί να αναλυθεί στατιστικά

ξεχωριστά σε τμήματα έτσι ώστε να πάρουμε πληροφορίες για τον πληθυσμό μικρότερων

βαρυτικών φακών. Η σημασία των μικρότερων βαρυτικών φακών είναι ότι μπορούν να παράξουν

36

μικρότερα είδωλα κβάζαρς καθώς επίσης και η εύρεση της μάζας αυτών των μικρότερων

βαρυτικών φακών .

Το πρώτο βαρυτικό σύστημα φακών το οποίο εμφάνιζε δύο πανομοιότυπα κβάζαρς ήταν το

Q0957+561 όπως φαίνεται στο σχήμα 14.

Σχήμα 14

Στο σχήμα 14 έχουμε δυο εικόνες Α (στο κάτω μέρος του σχήματος) και Β (στο πάνω

μέρος) που είναι διαχωρισμένες 6.1 δεύτερα του τόξου. Η εικόνα Β είναι απομακρυσμένη

1 δεύτερο του τόξου από το κέντρο του γαλαξία. Επίσης το φάσμα των δύο εικόνων

δείχνει μετατόπιση προς το ερυθρό με ενώ το κέντρο του γαλαξία που

εμφανίζεται ως ένα συγκεχυμένο μπάλωμα που βρίσκεται κοντά στην εικόνα Β και έχει

. Επίσης απόδειξη για την ύπαρξη ενός βαρυτικού συστήματος φακών είναι η

εύρεση της χρονικής καθυστέρησης των δύο εικόνων.

4.2 Μικροεστιασμένα Κβαζάρς

Κάθε γαλαξίας αποτελείται από πολλά άστρα όπως μαύρες οπές, καφέ νάνους ,

πλανήτες ή διάφορα συμπαγής αντικείμενα. Κάθε αντικείμενο του γαλαξία δρα ως ένας

37

μικροφακός. Στην πραγματικότητα η μακροεικόνα είναι αποτέλεσμα πολλών εικόνων

που παράγουν οι μικροφακοί.

Για ένα πεπερασμένο κύκλο με σταθερή επιφανειακή πυκνότητα μάζας Σ, η γωνία

απόκλισης δίνεται από την εξίσωση:

(4.2.1)

Η κρίσιμη επιφανειακή πυκνότητα μάζας δίδεται από την εξίσωση:

(4.2.2.1) ή (4.2.2.2)

Ένα μικροαντικείμενο ενός αστρικού συμπλέγματος μπορεί να εκτρέψει,αποκλίνει τη

γωνία φωτός κατά γωνία που δίνεται από τη σχέση :

(4.2.3)

Για αυθαίρετη κατανομή μάζας ,η συνθήκη για κάθε σημείο είναι ικανή για να

έχουμε πολλαπλές εικόνες.

Στο σχήμα 15 , στην εικόνα πάνω αριστερά έχουμε την εικόνα ενός κβάζαρ από

σημειακό βαρυτικό φακό ενώ στις υπόλοιπες τρεις έχουμε το σχηματισμό των

μικροεικόνων διάφορων αστρικών αντικειμένων. Συγκεκριμένα στη πάνω δεξιά εικόνα η

επιφανειακή πυκνότητα μάζας των μικροφακών είναι 20%,50% κάτω αριστερά και 80%

κάτω δεξιά από την κρίσιμη επιφανειακή πυκνότητα μάζας.

38

Σχήμα 15

Ένα άλλο παράδειγμα μικροφακών έχουμε στο σχήμα 16 ενός τετραπλού κβαζάρ

Q2237+0305 .

Σχήμα 16

39

Τα διάφορα χρώματα στο σχήμα 16 δείχνουν την μεγέθυνση η οποία εξαρτάται από τη θέση

πηγής και βαρυτικού φακού σε σχέση με τις καυστικές καμπύλες. Η θέση πηγής-βαρυτικού

φακού καθώς και η φωτεινότητα εξαρτάται από το χρόνο. Στο πιο πάνω σχήμα , με μπλε είναι η

χαμηλή μεγέθυνση, με πράσινο είναι η ελαφρός ,κόκκινο και κίτρινο είναι η υψηλή μεγέθυνση.

Καθώς η πηγή βρίσκεται σον καυστικό χώρο δημιουργούνται η κοφτερές γραμμές όπως

φαίνονται στο σχήμα. Αυτό συμβαίνει γιατί η μεγέθυνση είναι άπειρη λόγω του ότι η Ιακομβιανή

ορίζουσα τείνει στο μηδέν.

Σχήμα 17

Στο σχήμα 17 έχουμε δυο εικόνες του τετραπλού κβαζάρ Q2237+0305 που έχουν καταγραφεί με

διαφορά τριών ετών. Η φωτεινότητα των δύο εικόνων είναι εμφανής

4.3 Ο δακτύλιος του Einstein

Ένα ενδιαφέρον φαινόμενο που παρουσιάζεται σε μικρή συχνότητα σε σχέση με άλλα

φαινόμενα στην αστρονομία είναι ο δακτύλιος του Einstein.

Αν μια σημειακή πηγή βρίσκεται πίσω από ένα σημειακό βαρυτικό φακό τότε έχουμε την

εμφάνιση μιας εικόνας δακτυλίου ο οποίος ονομάζεται δακτύλιος του Einstein. Για την εμφάνιση

του δακτυλίου Einstein πρέπει να ικανοποιούνται δύο αιτήματα που είναι τα ακόλουθα:

Η κατανομή της μάζας του φακού πρέπει να είναι αξονικά συμμετρική όπως φαίνεται από

τον παρατηρητή

40

η πηγή πρέπει να βρεθεί ακριβώς πάνω από το προκύπτον εκφυλισμένο σημείο της

καυστικής καμπύλης.

Ένα παράδειγμα δακτυλίου Einstein είναι το σχήμα 18 όπως φαίνεται πιο κάτω:

(α) (β)

Σχήμα 18

Ο πιο απομακρυσμένος γαλαξίας στο σχήμα 18 αποτελεί την πηγή ενώ ο ενδιάμεσος γαλαξίας

είναι ο βαρυτικός φακός. Όταν η πηγή, ο φακός και ο παρατηρητής ευθυγραμμιστούν τότε ο

φακός θα κάμψει τις ακτίνες που πέφτουν περιμετρικά του βαρυτικού φακού, δημιουργώντας μια

εικόνα δακτυλίου στον παρατηρητή.

Αρκετοί δακτύλιοι μπορούν να εμφανισθούν ως μη τέλειοι δακτύλιοι αλλά να εμφανίζονται ως

“σπασμένοι” δακτύλιοι παρουσιάζοντας διακοπές κατά μήκος της περιφέρειας του δακτυλίου.

Επίσης οι πηγές των περισσότερων δακτυλίων Einstein έχουν ένα εκτεταμένο και ένα συμπαγές

συστατικό.

Η μελέτη των διάφορων δακτυλίων Einstein παρέχουν κάποιες χρήσιμες πληροφορίες όσον

αφορά τη χρονική καθυστέρηση και τη σταθερά Hubble σε συστήματα όπου η ροή της

ηλεκτρομαγνητικής ροής μεταβάλλεται. Επιπλέον τα συστήματα των δακτυλίων Einstein

παρέχουν κάποια πλεονεκτήματα στα συστήματα που δημιουργούν πολλαπλές εικόνες κβάζαρ

όπως η δομή των βαρυτικών φακών, σταθερά Hubble,η κατανομή της μάζας. Αφού μπορούμε να

41

προσδιορίσουμε την κατανομή μάζας μπορούμε να προσδιορίσουμε την ποσότητα σκοτεινής

ύλης μέσα στο γαλαξία.

4.4 Ισχυροί βαρυτική φακοί

Η ισχυρή βαρυτική εστίαση συμβαίνει στο κέντρο ενός γαλαξία καθώς ακόμη και από τα

σώματα που αποτελούν τον γαλαξία στην περίπτωση όπου οι φακοί είναι κρίσιμη. Για να έχουμε

κρίσιμους φακούς πρέπει να έχουμε κρίσιμες γραμμές που πληρούν τις συνθήκες :

(4.4.1)

(4.4.2)

οι οποίες προκύπτουν από τον ορισμό της μεγέθυνσης

Οι εξισώσεις (4.4.3),(4.4.4) είναι οι ιδιοτιμές του τανυστή της μεγέθυνσης και η μεγέθυνση είναι

άπειρη όταν και .

(4.4.3)

(4.4.4)

Για και έχουμε δύο καμπύλες στο επίπεδο των φακών οι οποίες η μια ονομάζεται

εφαπτομενική κρίσιμη γραμμή και η άλλη ακτινική κρίσιμη γραμμή.

Μια εικόνα που διαμορφώνεται κατά μήκος της εφαπτομενικής κρίσιμης γραμμής είναι έντονα

διαστρεβλωμένη εφαπτομενικά σε αυτή τη γραμμή. Αντίθετα μια εικόνα που διαμορφώνεται

κοντά στη ακτινική κρίσιμη γραμμή εμφανίζεται τεντωμένη σε κάθετη κατεύθυνση με αυτή τη

γραμμή.

Σώματα γαλαξιών με και με μάζες κοντά στη τιμή είναι πολύ ισχυροί βαρυτική

φακοί αν είναι συγκενρωμένοι στο κέντρο. Επειδή τα περισσότερα σώματα που αποτελούνται οι

42

γαλαξίες δεν είναι σφαιρικά και η ευθυγράμμιση τους μεταξύ φακού και πηγής δεν είναι τέλεια

έχει ως αποτέλεσμα να μην έχουμε συμπληρωμένους δακτυλίους Einstein.

Συνήθως έχουμε μακριά φωτεινά τόξα τα οποία είναι καμπυλωμένα γύρω από το κέντρο των

σωματιδίων που αποτελούν τον γαλαξία. Τα φωτεινά μακριά τόξα είναι ισχυρά μεγεθυνόμενοι

γαλαξίες σε πολύ μεγάλες αποστάσεις. Το πλεονέκτημα από αυτή την ισχυρή μεγέθυνση είναι ότι

μπορούν να ανιχνευθούν και να αναλυθούν ευκολότερα από τον αν ήταν στο πραγματικό μέγεθος

τους.

Με την καταγραφή διαφόρων z των σωματιδίων του γαλαξία από το φωτεινό τόξο που

δημιουργούν μπορούμε να προσδιορίσουμε τη μάζα του αφού βρούμε την ακτίνα καμπύλωσης

τους. Η βαρυτική εστίαση αποτελεί την τρίτη μέθοδο για των καθορισμό των μαζών ενός

γαλαξία. Για τον προσδιορισμό της μάζας χρησιμοποιείται ως πρώτη μέθοδος οι ακτίνες x και ως

δεύτερη μέθοδος το θεώρημα virial μαζί με την κατανομή ταχυτήτων των σωματιδίων του

γαλαξία.

Με την εμφάνιση των μακριών φωτεινών τόξων έχουμε ταυτόχρονα και την πολυπληθή

εμφάνιση μικρών φωτεινών τόξων που αποτελούν ελαφρώς διαστρεβλωμένες εικόνες

Σχήμα 19

Στο σχήμα 19 έχουμε το ουράνιο σώμα του γαλαξία SDSS J1004+4112 που έχει 5 εικόνες

κβαζάρ κοντά στο κέντρο της φωτογραφίας και παράλληλα παρουσιάζει 3 εικόνες του γαλαξία.

43

Ταυτόχρονα στην πιο πάνω φωτογραφία το ουράνιο σώμα παράγει πολλαπλές εικόνες και άλλων

κοντινών γαλαξιών. Από την ισχυρή βαρυτική καμπύλωση μπορούμε να :

1. Βρούμε τις σχετικές θέσεις φακών και εικόνων

2. Τις σχετικές ροές των εικόνων

3. Τη χρονική καθυστέρηση των εικόνων

4. Αρκετές ιδιότητες των φακών όπως δυναμικές ιδιότητες,την κατανομή φωτός σε

διάφορες ζώνες και

5. Τη μικροεστίαση των εικόνων

4.5 Ασθενείς βαρυτικοί φακοί

Σε αντίθεση με τα φαινόμενα που έχουμε μελετήσει μέχρι τώρα , η ασθενής βαρυτική εστίαση

εμφανίζεται σε φαινόμενα ανάκλασης του φωτός τα οποία μπορούν να μελετηθούν μόνο με

στατιστικό τρόπο.

Οποιανδήποτε ανομοιόμορφη κατανομή ύλης μεταξύ του σημείου παρατήρησης και της

απόμακρης πηγής επηρεάζει τις μετρίσιμες ποσότητες της πηγής με δύο τρόπους. Το γωνιακό

μέγεθος των εκτεταμένων αντικειμένων αλλάζει καθώς επίσης και η φωτεινότητα της πηγής.

Το φαινόμενο της ασθενής βαρυτικής καμπύλωσης μπορεί να είναι μια ασθενής παραμόρφωση

της σκιάς ενός κοσμικού αντικειμένου ή μια μικρή τροποποίηση της φωτεινότητας ή ακόμη μια

μικρή μετατόπιση της θέσης. Η παραμόρφωση της σκιάς και η μικρή αλλαγή της φωτεινότητας

δεν μπορεί να καθοριστεί μόνο από μια εικόνα, παρά μόνο αν υπολογισθεί ο μέσος όρος ενός

συνόλου εικόνων είναι δυνατόν να υπολογισθεί η παραμόρφωση της σκιάς. Ο λόγος που

υπολογίζεται ο μέσος όρος ενός συνόλου εικόνων είναι ότι η ασθενής βαρυτική καμπύλωση δίνει

και την επιπλέον παραμόρφωση των σκιών άλλων πηγών του υποβάθρου.

Υπάρχουν πολλές τεχνικές για τον προσδιορισμό της κατανομής της μάζας χρησιμοποιώντας το

φαινόμενο της ασθενούς βαρυτικής εστίασης , εμείς θα περιγράψουμε μια από αυτές.

Αν γνωρίζουμε την διασπορά των αντικειμένων του υποβάθρου, πως μπορούμε να

κατασκευάσουμε την επιφανειακή πυκνότητα μάζας του βαρυτικού φακού; Η παρατηρώμενη

επιφανειακή λάμψη ενός αντικειμένου διαμέσου ενός φακού είναι . Η

γωνιακή θέση μπορεί να μετρηθεί σχετικά από ένα αυθαίρετο καθοδηγητικό σημείο του σώματος

44

όπου η μεγέθυνση είναι και το επιφανειακό δυναμικό φ είναι συνδεδεμένο με την

επιφανειακή πυκνότητα που περιγράφεται από τη σχέση .

Για ένα επίπεδο σύμπαν έχουμε κρίσιμη πυκνότητα όπου

και α είναι ο συντελεστής βήματος . θεωρούμε ότι οι πηγές ,βρίσκονται σε πολύ

πιο μακρινή απόσταση από το φακό , έτσι η διασπορά των σωμάτων του φακού είναι

ανεξάρτητη από τη απόσταση της πηγής και αποτελεί μια καλή προσέγγιση για φακούς με

. Χρησιμοποιώντας ένα ικανοποιητικό σύνολο με γαλαξίες υποβάθρου , μπορούν ένα

υπολογίσουμε με αρκετά μεγάλη ακρίβεια το μέγεθος της διασποράς. Από αυτή την μελέτη

μπορούμε να μάθουμε τον προσανατολισμό και την ακτίνα των απόλυτων ιδιοτημών όπως

παρουσιάζεται στο σχήμα 20.

Σχήμα 20

Στο πιο πάνω σχήμα σε κάθε σημείο του πλέγματος στο επίπεδο εκτροπής , έχει σχεδιαστεί η

προφανής μορφή που θα είχε το κάθε κυκλικό αντικείμενο. Οι κρίσιμες γραμμές σχεδιάστηκαν με

συνεχόμενη γραμμή και η παραμόρφωση αποκλίνει πάνω σε αυτές τις γραμμές. Η κρίσιμη

πυκνότητα έχει σχεδιαστεί με διακεκομμένη γραμμή. Αντίθετα η παραμόρφωση εξαφανίζεται

κατά μήκος αυτής της γραμμής.

45

Για πολύ κοντινούς φακούς η προσέγγιση θα παραβιαστεί και τότε θα έχουμε

σημαντική επάλειψη και η μέση παραμόρφωση θα φθάσει σε κάποια πεπερασμένη τιμή.

Θεωρούμε ότι σχεδιάζουμε με μεγάλη ακρίβεια ένα λεπτομερή χάρτη με , ,έστω οι

ιδιοτιμές είναι τέτοιες έτσι ώστε και η κατεύθυνση που βρίσκεται κατά γωνία

στον άξονα χ. Στο διαγώνιο πίνακα έχουμε και όπου και

είναι η διάτμηση έτσι προκύπτει:

(4.5.1)

O Schneider και Seitz πρόσεξαν μια ασάφεια στη σχέση μεταξύ και στα παρατηρώμενα

μεγέθη , . Αυτό εξαρτάται από τις τιμές των ιδιοτiμών . Παίρνουμε την περίπτωση

όπου οι ιδιοτιμές έχουν την ίδια τιμή, αν είναι και οι δύο θετικές τότε η μικρότερη

ιδιοτιμή είναι η , έτι και ο μακριός άξονας είναι ευθυγραμμισμένος στην κατεύθυνση

με .

Στη δεύτερη περίπτωση που είναι και οι δυο αρνητικές , η μικρότερη απόλυτη ιδιοτιμή είναι η

με και ο μακριός άξονας είναι κάθετος στην κατεύθυνση με .

Εμφανίζεται να έχουμε διαφορετικά παρατηρήσιμα , με τις ίδιες απόλυτες ιδιοτιμές .

Το είναι ένα ψευδό-διάνυσμα που έχει ορισθεί πάνω στο επίπεδο του φακού με

και ,γ ονομάζεται η διάτμηση. Επίσης κατά μια περιστροφή

γύρω από μια γωνία φ έχουμε :

(4.5.2)

46

Έχουμε και όπου η αριθμητική τιμή των δυο αυτών συνιστουσών

είναι η ίδια για δοθέντα , .Άρτια συμμετρία έχουμε όταν :

(4.5.3)

με , και . Στα όρια όπου έχουμε περιοχές με άρτια

συμμετρία είναι η εξωτερική κρίσιμη γραμμή όταν η ιδιοτιμή μηδενίζεται με και η

εσωτερική κρίσιμη γραμμή όταν με .

Στην περίπτωση που οι ιδιοτιμές έχουν αντίθετο πρόσημο έχουμε περιττή συμμετρία και όπως

γνωρίζουμε η κατεύθυνση εξαρτάται από τη μεγαλύτερη ιδιοτιμή.

Όταν τότε και ή αλλιώς με , οπότε προκύπτει:

(4.5.4) περιττή συμμετρία

Για άρτια συμμετρία έχουμε έλλειψη με ενώ στη περιττή συμμετρία είναι ίση με την

αντίστροφη έλλειψη. Σύμφωνα με τα πιο πάνω που περιγράψαμε για ένα δισδιάστατο φακό

μπορούμε επίσης να βρούμε τη συμμετρία από τοπικές παρατηρήσεις της διασποράς των

σωμάτων.

Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να συσχετίσουμε το κ και γ. Γνωρίζουμε ότι άρα

(4.5.5) και

(4.5.6)

Ομοίως με τον ίδιο τρόπο προκύπτει :

(4.5.7)

47

Από τις σχέσεις (4.5.6),(4.5.7) προκύπτει :

(4.5.8) όπου

Αντικαθιστώντας το στην εξίσωση (4.5.8) για άρτια συμμετρία έχουμε τη σχέση:

(4.5.9)

ή

(4.5.10) όπου

Όμοιες σχέσεις μπορούν να εξαχθούν στην περίπτωση περιττής συμμετρίας . Η σχέση (4.5.10)

είναι μια πολύ σημαντική εξίσωση που δίνει την κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης log(1-k) μέσα

από παρατηρήσημες ποσότητες. Προσδιορίζοντας την συμμετρία το πρόβλημα έχει ουσιαστικά

επιλυθεί

4.6 Γαλαξιακή μικροεστίαση

Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε το άγνωστο υλικό που πιθανώς να παρουσιάζουν οι

γαλαξίες. Τις τελευταίες δύο δεκαετίες πιστεύεται ότι το φωτοστέφανο που σχηματίζει ένας

γαλαξίας περιέχει κάποιο είδος άγνωστης ύλης ή σκοτεινή ύλη.

Ουράνια σώματα όπως καφέ νάνοι και γενικά σώματα με μάζα μικρότερη από έτι ώστε

η εσωτερική θερμοκρασία είναι τέτοια ώστε να μην έχουμε τήξη ηλίου. Είναι υποψήφια για να

περιέχουν αυτή την σκοτεινή ύλη. Ο γαλαξίας Milky way δημιουργεί το φωτοστέφανο του από

καφέ νάνους και το είδος της σκοτεινής ύλης ονομάστηκε Macho (Massive Compact Halo

Object) .

Λόγο της σχετικής κίνησης του παρατηρητή, του βαρυτικού φακού Macho και της πηγής, η

μεγέθυνση αλλάζει συνεχώς σε συνάρτηση με το χρόνο αφού η παράμετρος επίδρασης u αλλάζει

όπου μ=μ(u). Αν η παράμετρος επίδρασης u είναι μικρότερη από την ακτίνα Einstein τότε η

48

μεγέθυνση είναι . Στο σχήμα 21 βλέπουμε πως εξαρτάται η μεγέθυνση από τη οπτική

διαδρομή του φωτός της πηγής μέσα από το βαρυτικό φακό. Παρατηρούμε ότι έχουμε μέγιστη

μεγέθυνση όταν έχουμε ευθυγράμμιση πηγής ,βαρυτικού φακού και παρατηρητή.

Σχήμα 21

Όπου ο χρόνος στο σχήμα 21 καθορίζεται ως το χρόνο που χρειάζεται το φως τη πηγής για να

διανύσει την ακτίνα του δακτυλίου του Einstein.

Η Γαλαξιακή μικροεστίαση αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για την μελέτη της δομής του

γαλαξία καθώς επίσης και στην ανίχνευση άλλων πλανητών γύρω από αστέρια.

Η έννοια της σκοτεινής ύλης ξεκίνησε κατά την προσπάθεια της εύρεσης της πυκνότητας και της

μάζας του πληθυσμού των γαλαξιακών σωμάτων που πήραν την ονομασία Macho και είναι

υποψήφιοι φορείς της σκοτεινής ύλης.

Αν φανταστούμε ότι κοιτάζουμε ανάμεσα σε μια κατανομή μικροφακών στο γαλαξία μας τότε

αυτοί οι μικροφακοί θα παράγουν μια χρονοεξαρτώμενη μεγέθυνση των αστεριών του

υποβάθρου. Για ένα γαλαξία του οποίου τα αστέρια περιστρέφονται με μια ταχύτητα u έχουμε :

(4.6.1)

και η πυκνότητα είναι περίπου ίση με :

(4.6.2)

Αποδεικνύεται ότι το οπτικό βάθος είναι :

49

(4.6.3)

Το οπτικό βάθος του γαλαξία Milky way είναι της τάξης , αυτό σημαίνει ότι 1 αστέρι από το

1,000,000 θα μεγεθυνθεί τουλάχιστο 1.34. Αν υπολογίσουμε το οπτικό βάθος για την

μικροεστίαση υπολογίζοντας το πλήθος των γεγονότων της μικροεστίασης θα μπορούμε να

βρούμε το πλήθος των μικροφακών. Η πιθανότητα να παρατηρήσουμε τέτοια γεγονότα εξαρτάται

από τη διάρκεια τους να διανύσουν την ακτίνα Einstein.

Για μικροφακούς στο φωτοστέφανο του γαλαξία με απόσταση και με εφαπτομενική

ταχύτητα ο χρόνος που χρειάζεται για να διανύσουν την ακτίνα Einstein είναι :

(4.6.4)

όπου C μια σταθερά που μπορεί να υπολογισθεί

Στην πραγματικότητα οι φακοί έχουν διαφορετικές τιμές ταχύτητας με διαφορετικό

προσανατολισμό έτσι έχουμε σύντομα και αργά γεγονότα . Επίσης οι μάζες και οι αποστάσεις

των φακών ποικίλουν . Αν θεωρήσουμε ότι όλα τα γεγονότα έχουν την ίδια χρονική κλίμακα τότε

α αριθμός των γεγονότων που συμβαίνουν σε χρόνο Δt είναι :

(4.6.7)

όπου n είναι ο αριθμός των ελεγμένων πηγών.

Αν η μάζα των παρατηρούμενων σωμάτων βρίσκεται στο πεδίο θα παράξουν

μικροεστιαζόμενο σήμα για τον απλό λόγο ότι θα περάσουν στο πεδίο του ορατού φωτός.

50

Σχήμα 22

Το σχήμα 22 έχουμε την περιγραφή του πεδίου τιμών της μάζας των αντικειμένων Machos

συναρτήσει του πεδίου τιμών της μάζας του φωτοστέφανου που περιέχεται η σκοτεινή ύλη.

Έχουμε 4 κλειστά περιγράμματα τα οποία το καθένα συμβαίνει με διαφορετική πιθανότητα,

συγκεκριμένα από έξω προς τα μέσα ισχύουν με πιθανότητες 60%,90%,95% και 99%.

Από το πιο πάνω διάγραμμα μπορούμε να εξάγουμε ένα βασικό συμπέρασμα ότι η μάζα του

φωτοστέφανου της σκοτεινής ύλης μπορεί να εντοπιστεί μέσα σε ένα πεδίο τιμών της μάζας των

αντικειμένων Machos.

Σχήμα 23

Τα γεγονότα μικροεστίασης είναι εξαρτώμενα από την κατεύθυνση όπου παρατηρούνται σε ένα

γαλαξιακό φωτοστέφανο . Συνεπώς θα έχουμε και διαφορετικό οπτικό βάθος καθώς μελετάμε

ένα γαλαξία ανάλογα με την κατεύθυνση. Το οπτικό βάθος εξαρτάται από τα αντικείμενα

Machos. Αναμένεται ότι το οπτικό βάθος θα είναι μικρότερο κοντά στο γαλαξιακό δίσκο και

μεγάλο μακριά από το γαλαξιακό δίσκο.

51

Κεφάλαιο 5

Ανακεφαλαίωση-Συμπεράσματα

52

Η γενική σχετικότητα αποτελεί το σημαντικότερο οικοδόμημα της σύγχρονης φυσικής για την

μελέτη δίαφορων συματικών φαινομένων. Αυτό το σημαντικό οικοδόμημα έδωσε την

δυνατότητα στον άνθρωπο να κατανοήσει καλύτερα το καμπυλομένο σύμπαν μέσα στο οποίο ζει

και για ποιο λόγο συμβαίνουν κάποια φαινόμενα που με τη Νευτώνεια φυσική δεν μπορούσε να

εξηγήσει.

Η καμπύλωση του φωτός μπορεί να συσχετισθεί με την αρχή του Fermat και παράλληλα

επιβεβαιώνεται η αρχή της ελάχιστης δράσης.

Στην αστροφυσική παρατηρήσαμε ότι η θέση των διάφορων ουράνιων σωμάτων ενός γαλαξία

καθώς και η μάζα αυτών προσδίδουν την γεωμετρία του βαρυτικού φακού. Στο φαινόμενο των

πολλαπλών εικόνων κβάζαρς είδαμε ότι το πλήθος των εικόνων εξάρταται από τη θέση της πηγής

πάνω στο επίπεδο που ανήκουν οι καυστικές καμπύλες. Επίσης το είδος των εικόνων και η

μεγέθυνση (θετική,αρνητική) είναι εξαρτημένα από την Εζιανή μήτρα . Η

χρονική καθυστέρηση σε σύστημα πολλαπλών κβάζαρς συνήθως διαφέρει λόγω του ότι είναι

δύσκολο να έχουμε ένα απόλυτα συμμετρικό βαρυτικό φακό.

Τα διάφορα ουράνια σώματα που αποτελούν ένα γαλαξία μπορούν να δράσουν ξεχωριστά σαν

μικροφακοί αν διαθέτουν μια επαρή ποσότητα μάζας και να δώσουν μικρότερες εικόνες κβάζαρς

όπου η εκτρεπόμενη γωνία εξαρτάται από την κρίσιμη επιφανειακή πυκνότητα μάζας , από

την επιφανειακή πυκνότητα του αντικειμένου, από την ακτίνα που περιέχεται η μάζα και από την

απόσταση παρατηρητή-φακού . Η μεγέθυνση εξαρτάται από τη θέση πηγής και βαρυτικού

φακού σε σχέση με τις καυστικές καμπύλες και είναι χρονοεξαρτημένη καθώς και η φωτεινότητα

των εικόνων κβάζαρς.

Ένα σπάνιο φαινόμενο είανι ο δακτύλιος του Einstein που συμβαίνει όταν η πηγή, ο φακός και ο

παρατηρητής ευθυγραμμιστούν τότε ο φακός θα κάμψει τις ακτίνες που πέφτουν περιμετρικά του

βαρυτικού φακού, δημιουργώντας μια εικόνα δακτυλίου στον παρατηρητή. Οι περισσότεροι

δακτύλιοι εμφανίζονται «σπασμένοι» παρουσιάζοντας διακοπές κατά μήκος της περιφέρειας του

δακτυλίου γιατί είναι δύσκολο να έχουμε μια τέλεια ευθυγράμμιση.

Η μελέτη των διάφορων δακτυλίων Einstein παρέχουν κάποιες χρήσιμες πληροφορίες όσον

αφορά τη χρονική καθυστέρηση και τη σταθερά Hubble σε συστήματα όπου η ροή της

ηλεκτρομαγνητικής ροής μεταβάλλεται. Επιπλέον τα συστήματα των δακτυλίων Einstein

παρέχουν κάποια πλεονεκτήματα στα συστήματα που δημιουργούν πολλαπλές εικόνες κβάζαρ

όπως η εύρεση της δομής των βαρυτικών φακών,της σταθεράς Hubble, κατανομή της μάζας.

Προσδιορίζοντας την κατανομή μάζας μπορούμε να προσδιορίσουμε την ποσότητα σκοτεινής

ύλης μέσα στο γαλαξία.

53

Είδαμε ότι η ισχυρή βαρυτική εστίαση συμβαίνει στο κέντρο ενός γαλαξία καθώς ακόμη και

από τα σώματα που αποτελούν τον γαλαξία στην περίπτωση όπου οι φακοί είναι κρίσιμη και

πληρούν τις συνθήκες (4.4.1),(4.4.2). Με την ισχυρή βαρυτική εστίαση έχουμε μακριά φωτεινά

τόξα τα οποία είναι καμπυλωμένα γύρω από το κέντρο των σωματιδίων που αποτελούν τον

γαλαξία. Τα φωτεινά μακριά τόξα είναι ισχυρά μεγεθυνόμενοι γαλαξίες σε πολύ μεγάλες

αποστάσεις. Το πλεονέκτημα από αυτή την ισχυρή μεγέθυνση είναι ότι μπορούν να ανιχνευθούν

και να αναλυθούν ευκολότερα από τον αν ήταν στο πραγματικό μέγεθος τους.

Με την καταγραφή διαφόρων z των σωματιδίων του γαλαξία από το φωτεινό τόξο που

δημιουργούν μπορούμε να προσδιορίσουμε τη μάζα του αφού βρούμε την ακτίνα καμπύλωσης

τους. Παράλληλα μπορούμε να βρουμε τις σχετικές θέσεις φακών και εικόνων, τις σχετικές ροές

των εικόνων,τη χρονική καθυστέρηση των εικόνων,αρκετές ιδιότητες των φακών (όπως

δυναμικές ιδιότητες,την κατανομή φωτός σε διάφορες ζώνες) και τη μικροεστίαση των εικόνων.

Κάθε φαινόμενο παρουσιάζεται κάτω από κάποιες προϋποθέσεις, η ασθενής βαρυτική εστίαση

εμφανίζεται σε φαινόμενα ανάκλασης του φωτός τα οποία μπορούν να μελετηθούν μόνο με

στατιστικό τρόπο όπου γίνεται μια χαρτογράφηση της κατανομής της μάζας. Η κατανομή της

μάζας περιγράφεται από κλειστές γραμμές διαφορετικής πυκνότητας.

Αυτή η ανομοιομορφία της κατανομής της ύλης επηρεάζει τις μετρίσιμες ποσότητες της πηγής

που είναι γωνιακό μέγεθος των εκτεταμένων αντικειμένων και η φωτεινότητα της πηγής.

Στην ασθενή βαρυτική εστίαση όπως αναφέραμε χρησιμοποιά στατιστικές μεθόδους για τον

προσδιορισμό της κατανομής της μάζας λόγω του ότι η ασθενής βαρυτική καμπύλωση δίνει και

την επιπλέον παραμόρφωση των σκιών άλλων πηγών του υποβάθρου

Στο τελευταίο φαινόμενο που μελετήσαμε είδαμε ότι η γαλαξιακή μικροεστίαση αποτελεί ένα

χρήσιμο εργαλείο για την μελέτη της δομής του γαλαξία καθώς επίσης και στην ανίχνευση άλλων

πλανητών γύρω από αστέρια και γίνεται στην περίπτωση που έχουμε ευθυγράμμιση

παρατηρητή,γαλαξία και πηγής. Αυτό γίνεται γιατί όταν έχουμε αυτή την συνθήκη έχουμε

μέγιστη μεγέθυνση έτσι μπορεί να γίνει καλύτερα η παρατήρηση ενός μικρού πλανήτη. Επιπλέον

η γαλαξιακή μικροεστίαση αποτελεί εργαλείο για την ανίχνευση της υποψήφιας σκοτεινής ύλης

MACHO.

Βιβλιογραφία-Αναφορές

1.) Gravitational Lensing in Astronomy, Joachim Wambsganss, Astrophysikalisches Institute Potsdam2.) Introduction to Gravitational Lensing, Lecture scripts, Massimo Meneghetti

54

3.) Non Linear Cluster lens Reconstruction, Nick Kaiser, Canadian Institute for advance research and Canadian institute for Theoretical Astrophysics 4.) Lectures on gravitational lensing, a.Ramesh Narayan and b.Matthias Bartelmann a. Harvard-Smithsonian center for astrophysics, 60 garden street, Cambridge, MA 02138, USAb. Max-Planck-Institute for astrophysic,P.O BOX 1523, D–85740 Garching, Germany5.)Gravitational Lensing, Seminar Talk by David Kolitzus6.)Εισαγωγή στη γενική θεωρία της σχετικότητας ,Νικολαος Κ.Σπύρου 1989, εκδόσεις Γαρταγάνη,Θεσσαλονίκη

Πηγές από το διαδίκτυο

1.) www.astronomy.gr/main.cfm?module=educational&section=enc_as&en_id=169&do=detail 2.) http://physicsblackholes-pb.pblogs.gr/3.) http://www.physics4u.gr/articles/2009/gravity-3.html4.) http://www.physics4u.gr/articles/bendinglight.html5.) http://www.physics4u.gr/faq/lensontable.html6.) http://www.telescopeshop.gr/news_show.asp?articleId=987.) http://www.physics4u.gr/articles/2005/spacewarp.html8.) http://www.infogenesis.gr/modules.php?name=News&file=article&sid=105

55