1

Учебный проект

Управление образования Администрации МО ГО «Сыктывкар» МОУ Средняя общеобразовательная школа № 18

Работу выполнили

Нестерова Мария и Попова Екатерина

Руководитель: Богданова М.Л.

Сыктывкар 2008

2

Эпиграф Быть может, эти электроны - Миры, где пять материков, Искусство, знанья, войны, троны И память сорока веков! Ещё, быть может, каждый атом - Вселенная, где сто планет; Там всё, что здесь в объёме сжатом Но так же то, чего здесь нет. Валерий Брюсов

3

В курсе геометрии 8 класса изучается тема «Подобие». На уроках мы ус-

лышали об интересных геометрических фигурах, обладающих свойствами

самоподобия. Это были фракталы. Фракталы заинтересовала нас своей не-

обычайно интересной структурой, особенными свойствами. А один из

фракталов, так называемую «Кривую дракона», мы воспроизвели и иссле-

довали.

Изучение литературы по теме

Поиск информации в разных источниках

Подбор иллюстративного материала

Составление тезисов и глоссария

Проведение эксперимента

Описание эксперимента и выводы

Написание доклада

Оформление презентации

4

Что такое фрактал?

Основное свойство фракталов.

Виды фракталов.

Примеры геометрических фракталов.

Кривая дракона.

Способы построения кривой и ее свойства

Встречаются ли фракталы в природе?

5

Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе озна-

чает состоящий из фрагментов. Оно было предложено математиком Бе-

нуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения самоподобных структур,

которыми он занимался. Мандельброт, сумел открыть совсем рядом с на-

ми поистине удивительный мир, по-новому взглянув на многие, казалось

бы, хорошо знакомые предметы и явления. Его книга «The Fractal Geome-

try of Nature» явилась первым научным трудом посвященным этим удиви-

тельным объектам.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившись в 80-х

годах 20 века, прочно вошли в обиход математиков и программистов. Од-

но из определений фрактала звучит так: «Фрактал – это бесконечно само-

подобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется

при уменьшении масштаба».

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В са-

мом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию

обо всем фрактале. Посмотрите на эти интересные рисунки: на каждом из

них – фрактальный объект.

6

Среди ученых принята следующая классификация: выделяют геометриче-

ские фракталы, алгебраические фракталы, стохастические фракталы.

Геометрические фракталы

Фракталы геометрического класса - самые наглядные. В двухмерном

случае их получают с помощью некоторой ломаной называемой генерато-

ром.

Рассмотрим в качестве примера кри-

вую Коха, названную по имени ее создате-

ля, немецкого математика Процесс созда-

ния геометрического фрактала выглядит

так: задаём некоторую ломаную – генера-

тор. За один шаг каждый из отрезков заме-

няется на ломаную–генератор. В результа-

те бесконечного повторения этой процеду-

ры получается фрактальная кривая..

Интересным геометрическим фракталом является также кривая Пеано.

7

Алгебраические фракталы Это самая крупная группа фракталов. Их получают с помощью не-

линейных процессов в многомерных пространствах. Окрашивая области

построения фракталов различными цветами, получают цветовой порт-

рет процесса. Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные

фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами.

8

Стохастические

фракталы

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в процессе по-

строения случайным образом менять какие-либо его параметры. При

этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметрич-

ные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастиче-

ские фракталы используются при моделировании рельефа местности и

поверхности моря.

Всем известны так называемые «пифагоровы штаны». Если процесс по-

строения повторять снова и снова, то вырастет «Пифагорово дерево», а

если при построении поменять некоторые условия, то получится стохас-

тический фрактал, поэтично названный «Обдуваемое ветром дерево Пи-

фагора»

9

Мы выбрали для изучения

Кривую Дракона. Во-

первых, ее легко смоделиро-

вать, например, из бумажной

ленты, во-вторых эти кривые

позволяют провести иссле-

дование, доступное и без

физического объекта.

Возьмем длинную бумаж-

ную полоску и сложим ее

пополам, повторим процедуру еще и еще раз, сохраняя направление сги-

ба, например, на себя. Добавим еще один сгиб. Будем повторять все это

до тех пор, пока увеличивать количество сгибов станет практически не-

возможно. Теперь расправим ее так, чтобы места сгибов стали вершина-

ми прямых углов. У нас получилась бумажная полоска, разложенная зиг-

загообразно. Рассмотрим вид ломаной на нескольких первых этапах:

Мы обратили внимание на то, что форма, которую мы видим слева, в

точности совпадает с правой половиной ленты. Так и должно быть,

ведь на каждом этапе одна половина кривой повторяет все изгибы пре-

дыдущего этапа. Однако половины ленты развернуты относительно друг

друга на 90 градусов.

10

Мы поставили перед собой

задачу, выяснить, как будет вы-

глядеть Кривая дракона после

того, как число сгибов увели-

чится. Для этого построили кри-

вую на бумаге, обозначили по-

вороты налево буквой Л, а повороты направо буквой П.

Тогда на втором шаге увидим последовательность ПЛЛ, на третьем

ППЛППЛЛ, на полоске согнутой в 4 раза, ППЛППЛЛЛППЛЛПЛЛ и так

далее. Оказалось, что в последовательности букв есть четкая закономер-

ность: центральный сгиб играет роль зеркала, которое меняет Л на П и на-

оборот. Таким образом, у нас появился способ точно узнать, как будет вы-

глядеть Кривая Дракона на каждом следующем этапе без складывания бу-

маги.

Интересно, что ломаная линия никогда не замыкается в петлю, в «худшем

случае», соприкасаются два угла. Почему это так? Чтобы понять, как бу-

дет выглядеть кривая после очередного сгиба, достаточно мысленно при-

ставить к окончанию уже имеющейся фигуры точно такую же, разверну-

тую по отношению к первоначальной на 90 градусов. Очевидно, что эти

линии не могут пересечься.

А что будет, если бумажную ленту сгибать не в одном направлении, а

чередуя сгибы то в одну, то в другую сторону? Мы уже знаем ответ. А ес-

ли вам интересно, проделайте сами такой опыт.

11

Вот как выглядит Дракон Хартера-Хейтуэя полностью (построение вы-

полнено с помощью компьютера).

Любопытное свойство драконов: уложенные рядом, они полностью со-

вмещаются, но не пересекаются, совсем как пазлы!

Таким образом, в Кривой дракона явственно прослеживается свойство са-

моподобия. Если мы возьмем лишь часть Кривой дракона, то все равно

найдем в ней «кривую Дракона», состоящую из множества других

«кривых Дракона».

12

Нередко то, что мы

наблюдаем в природе, удив-

ляет нас бесконечным по-

вторением одного и то же

узора, увеличенного или

уменьшенного. Например, у

дерева есть ветви. На этих

ветвях есть ветки поменьше

и т. д. Элемент «разветвления» может повторяться много раз, становясь

все меньше и меньше.

То же самое можно заметить, раз-

глядывая фотографию горного

рельефа. Попробуйте немного

приблизить изображение горной

гряды — вы снова увидите горы.

Так проявляется характерное для

фракталов свойство самоподо-

бия. Фракталы с большой точностью описывают многие физические и

природные явления: облака, горы, течения, береговые линии, корни и

ветки деревьев, листья папорот-

ника, что далеко не соответст-

вует простым геометрическим

фигурам.

Поэтому мы можем вслед

за Мандельбротом с полным

правом говорить о фрактальной

геометрии природы.

13

Фрактальные объекты находят все в новых областях нау-

ки. Их применяют физики, биологи, социологи, эконо-

мисты и многие другие. Фракталы не изучены до конца,

им находят все новое применение, изменяющие наше от-

ношение, как к самим фракталам, так и к живой Приро-

де.

Фрактал «Губка Менгера»

14

Алгоритм — это последовательность действий, направленных на полу-

чение определённого результата за конечное число шагов.

Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество то-

чек в пространстве динамической системы, к которым стремятся траек-

тории системы. Если траектория прошла достаточно близко к аттрактору,

то со временем она уже не покинет окрестность аттрактора и даже будет

подходить к нему всё ближе и ближе, то есть будет наблюдаться эффект

притяжения к аттрактору.

Генера́тор (от лат. generator — производитель) — устройство, аппарат

или машина, производящая какие-либо продукты.

Глоссарий — это небольшой словарь, в котором собраны слова на опре-

делённую тему.

Де́рево Пифаго́ра — разновидность фрактала, основанная на фигуре,

известной как «Пифагоровы штаны»

Инвариа́нт — термин, используемый в математике и физике а также в

программировании, обозначает нечто неизменяемое.

Итерация (лат. iteratio — повторение) — в математике, Одно из ряда по-

вторений какой-либо математической операции, использующее результат

предыдущей аналогичной операции.

15

Нелинейная система — система в описании которой присутствуют нели-

нейные уравнения.

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каж-

дый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштаб-

ная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной,

либо приближённой.

Размерность — количество независимых параметров, необходимых для

описания состояния объекта, или количества степеней свободы физиче-

ской системы.

Реку́рсия — частичное определение объекта через себя, определение

объекта с использованием ранее определённых. Рекурсия используется,

когда можно выделить самоподобие задачи.

Слово стохастический (от греческого στοχαστικός — «умеющий угады-

вать») используется во многих терминах из разных областей науки, и в об-

щем означает неопределённость, хаотичность, случайность чего-либо.

Тео́рия ха́оса — математический аппарат, описывающий поведение неко-

торых нелинейных динамических систем, подверженных, при определён-

ных условиях, явлению, известному как хаос, которое характеризуется

сильной чувствительностью поведения системы к начальным условиям.

Турбуле́нтность (лат. turbulentus — бурный, беспорядочный),

турбулен́тное тече́ние — явление, наблюдаемое во многих потоках жид-

костей и газов и заключающееся в том, что в этих течениях образуются

многочисленные вихри различных размеров.

16

17

18

19

20

Мартин Гарднер. Математические новеллы. М., "Мир", 1974.

У.Болл. Математические эссе и развлечения. М.: "Мир", 1986.

FractalWorld. Фракталы. Семейство драконов. Построение

кривой дракона. М.: "Мир", 1989.

Д.М. Златопольский. «Кривая дракона» Архив газеты

"Информатика" за 1999 г.

А.А. Шабаршин. Введение во фракталы. М.: "Мир", 1986.

И.Ф. Шарыгин. Наглядная геометрия. М., «Дрофа», 1998 г.

http://home.ural.ru/~shabun/fractals/fractals.htm;

Википедия

21

22

Материалы подготовлены к печати фирмой «Школ-Издат»

г. Сыктывкар, Старовского 53 Тел. 43-34-83