Σημειώσεις Φυσικής Α' Λυκείου

Νίκοσ Αναςταςάκθσ

Γενικό Λφκειο Βάμου

2008-2010

Φυσική Α’ Λυκείου

Φυςικι Α’ Λυκείου Περιεχόμενα

Μεγζκθ Κίνθςθσ:

ελίδεσ 1-

4 Μετατόπιςθ, Σαχφτθτα, Μζςθ Σαχφτθτα

Ευκφγραμμεσ Κινιςεισ:

ελίδεσ 5-

20 Ευκφγραμμθ Ομαλι Ευκ. Ομαλά Μεταβαλόμενθ

5 11

Δυνάμεισ :

ελίδεσ 21-

43 Βάροσ Δφναμθ Ελατθρίου Νόμοι των Δυνάμεων φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων Σριβι

22 23 25 33 37

Κινιςεισ με τθν επίδραςθ του βάρουσ

ελίδεσ 43-

47 Κατακόρυφεσ Κινιςεισ Οριηόντια Βολι

44 45

Κυκλικι Κίνθςθ

ελίδεσ 48-

56 Μεγζκθ, Εξιςϊςεισ

Ορμι

ελίδεσ 57-

67 2οσ Νόμοσ του Νεφτωνα Η Αρχι Διατιρθςθσ τθσ Ορμισ

57 61

Ενζργεια – Ζργο:

ελίδεσ 61-

89 Κινθτικι Ενζργεια Δυναμικι Ενζργεια (Βαρυτικι – Ελαςτικι) Ζργο Δφναμθσ Σο Θεϊρθμα Μεταβολισ τθσ Κινθτικισ Ενζργειασ Η Μεταβολι τθσ Δυναμικισ Ενζργειασ Μθχανικι Ενζργεια Ιςχφσ

69 70 73 75 78 80 81

Φυςικι Α’ Λυκείου Περιεχόμενα

Φυςικι Α’ Λυκείου Μεγζκθ Κίνθςθσ

1

Μεγέθη Κίνηςησ

1. Που βρίςκεται ζνα αντικείμενο;

Η κζςθ ενόσ αντικειμζνου ορίηεται ςε ςχζςθ με κάποιο ςθμείο αναφοράσ.

Π.χ. Η κζςθ του ανκρϊπου είναι xA = +3m, θ κζςθ τθσ γάτασ είναι xΓ = -2m ςε ςχζ-

ςθ με το ςθμείο Ο που είναι το ςθμείο αναφοράσ.

2. Πόςο και προσ τα που μετακινείται;

Η μετατόπιςθ ενόσ αντικειμζνου δείχνει πόςο ζχει αλλάξει θ κζςθ του, αλλά και προσ

ποια κατεφκυνςθ.

Όπου xτελ & xαρχ είναι θ τελικι και θ αρχικι του κζςθ αντίςτοιχα.

Π.χ. το παραπάνω ςχιμα, θ γάτα για να φτάςει τον άνκρωπο πρζπει να μετατοπι-

ςτεί κατά :

ΔxΓ = xτελΓ - xαρχΓ = (3 – (-2))m = 5m.

Αντίκετα για να φτάςει ό άνκρωποσ ςτθν γάτα, πρζπει να μετατοπιςτεί κατά:

ΔxA = xτελA - xαρχA = (-2 – 3)m = -5m.

(Σο αρνθτικό πρόςθμο δείχνει ότι πρζπει να κινθκεί προσ τα αριςτερά).

3. Πόςο γριγορα γίνεται θ κίνθςθ;

Η ταχφτθτα δείχνει το πόςο γριγορα και το προσ τα ποφ (κατεφκυνςθ) γίνεται θ κίνθςθ.

Είναι ίςθ με τον ρυκμό μεταβολισ τθσ κζςθσ:

Μονάδα τθσ ςτο διεκνζσ ςφςτθμα είναι: m/s

Γ Ο Α

-3 -2 -1 0 1 2 3 (m)


2

Άλλθ ςυνθκιςμζνθ μονάδα είναι τα km/h. Ιςχφει ότι

Αν ο άνκρωποσ αλλάξει κζςθ με τθν γάτα, και μετατοπιςτεί ςε χρόνο Δt = 2s, θ

ταχφτθτα του κα είναι :

Αντίςτοιχα θ ταχφτθτα τθσ γάτασ κα είναι :

Παρατιρθςθ:

Η κζςθ, θ μετατόπιςθ, θ ταχφτθτα, είναι διανυςματικά μεγζκθ, άρα εκτόσ από μζτρο ζχουν

και φορά (π.χ., δεξιά, αριςτερά, πάνω, κάτω …). Η φορά τουσ δθλϊνεται με το πρόςθμο

που ζχουν. Στο προθγοφμενο παράδειγμα, ο άνκρωποσ και ι γάτα ζχουν ταχφτθτα ίδιου

μζτρου αλλά αντίκετθσ φοράσ. Στθ γλϊςςα των μακθματικϊν, το μζτρο μαηί με το πρόςθ-

μο, δίνουν τθν «αλγεβρικι τιμι» του μεγζκουσ

4. Πόςθ διαδρομι ζχει διανφςει το αντικείμενο;

Σο μικοσ τθσ διαδρομισ που διανφει ζνα αντικείμενο είναι το διάςτθμα s, και είναι μο-

νόμετρο μζγεκοσ. Παίρνει πάντα κετικζσ τιμζσ.

Μία κοπζλα προχωράει 100m μπροςτά και 50 μζτρα προσ τα πίςω. Σο ςυνολικό

διάςτθμα που διζνυςε είναι sολ = 150m.

5. Η ταχφτθτα κατά τθν διάρκεια μιασ διαδρομισ αλλάηει. Το αντικείμενο

πθγαίνει γριγορα, αργά, ςταματάει, γυρνάει πίςω κ.λ.π. Πόςο γριγορα

γίνεται θ ςυνολικι κίνθςθ;

Η ςτακερι ταχφτθτα που κα ζπρεπε να ζχει το αντικείμενο ϊςτε να διανφςει το ίδιο ςυνο-

λικό διάςτθμα (sολ) ςτον ίδιο χρόνο (Δtολ) , είναι θ μζςθ ταχφτθτα του κινθτοφ:


3

Ζνα όχθμα διανφει απόςταςθ s1 = 200m ςε χρόνο Δt1 = 100s. Κατόπιν ςταματάει

για Δt2 = 50s και ςτθν ςυνζχεια διανφει άλλα 400m ςε χρόνο Δt3 = 150s. Ζτςι:

Σο ςυνολικό διάςτθμα που διζνυςε είναι

Sολ = (200+400)m = 600m

Η ςυνολικι διάρκεια τθσ κίνθςθσ είναι Δtολ = (100+50+150)s = 300s.

Η μζςθ ταχφτθτα είναι :


Στο προθγοφμενο παράδειγμα: Η ταχφτθτα ςτο πρϊτο κομμάτι τθσ κίνθςθσ ιταν:

. Στο δεφτερο κομμάτι τθσ κίνθςθσ είναι

. Η μζςθ τιμι αυτϊν των δφο ταχυτιτων είναι ( )

που βζ-

βαια δεν είναι ίδια με τθν μζςθ ταχφτθτα υμ ςτθν διάρκεια τθσ κίνθςθσ.

Φυςικι Α Λυκείου Μεγζκθ Κίνθςθσ

4

Εφαρμογζσ – Αςκιςεισ

1. το διπλανό ςχιμα,

μία μπάλα μετακινεί-

ται από τθν κζςθ x1 =

4m, ςτθν κζςθ x2 = 2m,

ςε χρόνο Δt1 = 4s. τθν ςυνζχεια μετακινείται ςτθν κζςθ x3 = 6m. Η κίνθςθ τθσ αυτι

διαρκεί Δt2 = 5s. Σζλοσ, ςε χρόνο Δt3 = 10s μετακινείται ςτθν κζςθ x4 = -2m.

Α. Να ςθμειϊςετε τισ διαδοχικζσ κζςεισ τθσ μπάλασ ςτο ςχιμα.

Β. Πόςθ είναι θ μετατόπιςι τθσ ςε κάκε μία από τισ τρείσ επιμζρουσ κινιςεισ;

Γ. Να υπολογίςετε τθν ταχφτθτά τθσ ςε κάκε μία κίνθςθ.

Δ. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτα τθσ μπάλασ για τθν ςυνολικι κίνθςθ;

2. Ζνα αυτοκίνθτο διανφει μία διαδρομι 10km ςε χρόνο 15min.

Α. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτά του;

Β. Μποροφμε να γνωρίηουμε τθν ταχφτθτα που είχε τθν χρονικι ςτιγμι t =10min μετά

τθν εκκίνθςι του;

Γ. Ζνα δεφτερο αυτοκίνθτο κζλει να διανφςει τθν ίδια απόςταςθ ςτον ίδιο χρόνο, με

ςτακερό μζτρο ταχφτθτασ. Πόςθ κα πρζπει να είναι θ ταχφτθτα αυτι;

Ο

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (m)

Φυςικι Α’ Λυκείου Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ

5

Ευθύγραμμεσ Κινήςεισ

1. Οι εξιςϊςεισ τθσ κίνθςθσ.

Η ταχφτθτα υ ζχει ςτακερό μζτρο (και κατεφκυνςθ). Άρα, ςε ίςουσ χρόνουσ διανφονται ίςεσ

αποςτάςεισ.

Η μετατόπιςθ Δx είναι ανάλογθ του χρόνου Δt που διαρκεί θ κίνθςθ.

(1)

Επειδι Δx = xτελ – xαρχ, μποροφμε να γράψουμε:

(2)

…όπου με x ςυμβολίηουμε τθν (τελικι) κζςθ ςτθν οποία βρίςκεται το αντικείμενο μετά από Δt

χρονικι διάρκεια κίνθςθσ.

Σο διάςτθμα που διανφει το αντικείμενο υπολογίηεται:

| | (3)

Η κίνθςθ που περιγράψαμε (κίνθςθ με ςτακερι ταχφτθτα), λζγεται και «ευκφγραμμθ ομαλι

κίνθςθ».

Π.χ… Ζνα τραίνο κινείται με ςτακερι ταχφτθτα υ = -10m/s. Αρχικά βρίςκεται ςτθν κζςθ

xαρχ = 50m (ςε ςχζςθ με τον ςτακμό, δθλ. το ςθμείο αναφοράσ). Μετά από χρόνο Δt =

40s:

Θα ζχει μετατοπιςτεί κατά Δx = υ·Δt = -400m και κα ζχει διανφςει διάςτθμα s = 400m.

Θα ζχει βρεκεί ςτθν κζςθ x = xαρχ + υ·Δt = -350m.

Σα αρνθτικά πρόςθμα ςτθν μετατόπιςθ Δx και τθν κζςθ x δθλϊνουν ότι ζχει μετατοπι-

ςτεί αριςτερά και ζχει βρεκεί αριςτερά τθσ αρχικισ του κζςθσ.

Παρατθριςεισ:

Στισ εξιςϊςεισ (1) και (2) δεν χρθςιμοποιοφμε διανυςματικοφσ ςυμβολιςμοφσ. Η κίνθςθ

γίνεται ςε ευκεία γραμμι και αρκεί το πρόςθμο για να δθλϊςουμε τθν κατεφκυνςθ των

διανυςματικϊν μεγεκϊν.

Στθν ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ, θ μζςθ ταχφτθτα είναι ςυνεχϊσ ίςθ με το μζτρο τθσ

ςτιγμιαίασ ταχφτθτασ.


6

2. Η γραφικι αναπαράςταςθ τθσ κίνθςθσ…

το διάγραμμα κζςθσ - χρόνου (x – t) θ κίνθςθ αναπαρί-

ςταται ςτον κατακόρυφο άξονα (κζςθ x) ενϊ θ χρονικι τθσ

διάρκεια φαίνεται ςτον οριηόντιο άξονα (χρόνοσ t). ε ίςεσ

χρονικζσ διάρκειεσ Δt, διανφεται πάντα θ ίδια απόςταςθ Δx,

ζτςι το διάγραμμα είναι ευκεία γραμμι με κλίςθ ανάλογθ

τθσ ταχφτθτασ.

Διάγραμμα κζςθσ – χρόνου (για tαρχ = 0)

Η εξίςωςθ από τθν οποία προκφπτει το διάγραμμα

είναι:

Η κλίςθ του διαγράμματοσ δίνει τθν ταχφτθτα κί-

νθςθσ,

.

Σο διάγραμμα ξεκινάει από τθν κζςθ που βριςκό-

ταν αρχικά τα αντικείμενο, xαρχ.

Όταν το αντικείμενο απομακρφνεται από το ςθμείο

αναφοράσ (0) θ απόςταςθ του αυξάνεται ενϊ, ό-

ταν κινείται προσ αυτό, θ απόςταςθ ελαττϊνεται.

Διάγραμμα ταχφτθτασ – χρόνου (για tαρχ = 0)

Η ταχφτθτα είναι ςτακερι, δθλαδι, κάκε χρονικι

ςτιγμι ζχει τθν ίδια τιμι:

Η κλίςθ του διαγράμματοσ είναι μθδζν, αφοφ θ

ταχφτθτα δεν αλλάηει.

Σο εμβαδόν που ορίηεται από το διάγραμμα και

τον άξονα του χρόνου, αρικμθτικά δίνει τθν με-

τατόπιςθ.

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

t (s)

v (m/s)

Μετατόπιςθ

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

t (s)

x (m)

κλίςθ

Απομάκρυνςθ από το

ςθμείο αναφοράσ

Επιςτροφι προσ το

ςθμείο αναφοράσ

x

Δx

t

Δt


7

Εφαρμογι …

Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία τροχιά με

ταχφτθτα μζτρου 5m/s, προσ τθν κετικι

κατεφκυνςθ. Σθν χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0,

βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = -10m, δθλ., θ

εξίςωςθ τθσ κζςθσ του είναι:

x = -10 + 5·t

Ζτςι, θ κζςθ του ςτισ χρονικζσ ςτιγμζσ t1 = 2s,

t2 = 4s φαίνεται ςτον διπλανό πίνακα. Με τθν

βοικειά τουσ μποροφμε να φτιάξουμε το

διάγραμμα κζςθσ - χρόνου για τθν κίνθςι του.

Η κλίςθ του διαγράμματοσ x – t δίνει τθν ταχφτθτα (θ κλίςθ είναι ςτακερι, όπωσ και θ

ταχφτθτα):

Από το διάγραμμα τθσ ταχφτθτασ μποροφμε

να υπολογίςουμε ότι θ μετατόπιςι του για

Δt = (3-1)s = 2s, είναι:

Εμβαδόν = Δx = 10m

Αντίςτοιχα, το διάςτθμα που ζχει διανφςει

είναι S = 10m.

Χρόνοσ 2s 4s

Θζςθ 0 10m

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-14-12-10

-8-6-4-2

2468

1012141618

t (s)

x (m)

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5-0.5

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.58

8.59

9.5

t (s)

v (m/s)


8

Εικόνα 1: Μελζτθ Ευκ. Ομαλισ Κίνθςθσ με τθν βοικεια Η/Υ.

Φυςικι Α Λυκείου Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ

9


1. Ζνα τραίνο που αρχικά βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 50m, κινείται με ςτακερι ταχφτθτα

υ = 15m/s.

Α. Να υπολογίςετε τθν μετατόπιςι του μετά από Δt = 30s, κακϊσ και το διάςτθμα που

κα ζχει διανφςει.

Β. Ποια είναι τότε θ κζςθ του;

Γ. Ποια κα ιταν θ μετατόπιςι του και ποια θ κζςθ του αν θ ταχφτθτα του ιταν υ’=

-5m/s;

2. Ζνασ πεηοπόροσ αρχικά βρίςκεται ςτθν αφετθρία τθσ διαδρομισ του (xαρχ = 0) και τθν

χρονικι ςτιγμι to = 0 αρχίηει να περπατάει με ςτακερι ταχφτθτα υ = 2m/s.

Α. Που κα βρίςκεται τθν χρονικι ςτιγμι t = 5s;

Β. Που κα βριςκόταν αν είχε ξεκινιςει 20m μπροςτά από τθν αφετθρία, μετά από ίδια

χρονικι διάρκεια κίνθςθσ;

Γ. Ποια είναι θ μετατόπιςι του, ςε κάκε μία περίπτωςθ, Α και Β;

3. Ζνασ ποδθλάτθσ βρίςκεται 20 μζτρα αριςτερά του ςθμείου που κεωροφμε ωσ ςθμείο

αναφοράσ για τθν κίνθςι του. Αρχικά κινείται για χρόνο Δt1 = 10s με ςτακερι ταχφτθτα

υ1 = -2m/s. τθν ςυνζχεια κινείται για χρόνο Δt2 = 5s με ταχφτθτα υ2 = 6m/s.

Α. Που κα ζχει φτάςει μετά τα πρϊτα 10s τθσ κίνθςισ του;

Β. Που κα βρίςκεται ςτο τζλοσ τθσ ςυνολικισ του κίνθςθσ;

Γ. Ποια είναι θ μετατόπιςι του, ςε κάκε μία περίπτωςθ (Α. και Β.);

Δ. Ποιο είναι το ςυνολικό διάςτθμα που ζχει διανφςει;

4. Ζνα αντικείμενο εκτελεί ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ. Η ταχφτθτα του είναι 4m/s και θ

κζςθ από όπου άρχιςε θ κίνθςι του είναι xαρχ = -10m. Αν

Α. Να υπολογίςετε τθν κζςθ του τισ χρονικζσ ςτιγμζσ t1 = 2s, t2 = 2,5s και t3 = 5s.

Β. Φτιάξτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου για τθν κίνθςθ του αντικειμζνου.

Γ. Φτιάξτε διάγραμμα ταχφτθτασ – χρόνου για τθν κίνθςθ.


10

Δ. Για τθν ίδια κίνθςθ, ςχεδιάςτε το διάγραμμα διαςτιματοσ – χρόνου.

5. Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία τροχιά, με τον ζξθσ τρόπο:

Αρχικά (tαρχ = 0) βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 0. Μετακινείται με ςτακερι ταχφτθτα και

τθν χρονικι ςτιγμι t1 = 5s φτάνει ςτθν κζςθ x1 = 10m. τθν κζςθ αυτι παραμζνει

ακίνθτο μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι t2 = 7s. τθν ςυνζχεια μετακινείται ςτθν κζςθ x3 =

4m, όπου φτάνει τθν χρονικι ςτιγμι t3 = 10s

Α. χεδιάςτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου (x-t) για τθν ςυνολικι του κίνθςθ.

Β. Πόςθ είναι θ ταχφτθτά του ςτα χρονικά διαςτιματα ΔtA(0 5s), ΔtΒ(5s 7s),

ΔtΓ(7s 10s);

Γ. χεδιάςτε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτάσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο κίνθςθσ.

Δ. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτα ςτθν διάρκεια τθσ κίνθςι του;

6. Η κίνθςθ ενόσ αντικειμζνου

περιγράφεται από το διπλανό

διάγραμμα κζςθσ - χρόνου.

Α. Με τθν βοικεια του

διαγράμματοσ, απαντιςτε τισ

επόμενεσ ερωτιςεισ.

i) Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί το

αντικείμενο; (Αιτιολογείςτε τθν

απάντθςι ςασ).

ii) Που βριςκόταν τθν χρονικι

ςτιγμι tαρχ = 0;

iii) Πόςθ είναι θ ταχφτθτά του;

τθν ςυνζχεια, χρθςιμοποιϊντασ τισ απαντιςεισ ςασ ςτα προθγοφμενα ερωτιματα:

Β. Φτιάξτε το διάγραμμα ταχφτθτασ – χρόνου (υ –t )

Γ. Γράψτε τθν εξίςωςθ τθσ κζςθσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο

Δ. Τπολογίςτε τθν κζςθ του τθν χρονικι ςτιγμι t = 4s.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

2468

10121416182022242628

t (s)

x (m)

Φυςικι Α’ Λυκείου Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ

11

1. Πωσ αλλάηει θ ταχφτθτα (…πόςο και προσ τα ποφ;)

Η επιτάχυνςθ είναι το φυςικό μζγεκοσ που δείχνει το πόςο γριγορα και προσ τα ποφ

αλλάηει θ ταχφτθτα, δθλαδι είναι ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ταχφτθτασ.

Η επιτάχυνςθ είναι διανυςματικό μζγεκοσ. Ωςτόςο, αν θ κίνθςθ γίνεται ςε ευκεία τροχιά

(μια διάςταςθ) αρκεί το πρόςθμο τθσ για να δθλϊςουμε τθν κατεφκυνςθ.

Π.χ. … ε μία ευκφγραμμθ κίνθςθ, κάποια ςτιγμι θ ταχφτθτα του αντικειμζνου εί-

ναι υ = 2m/s και θ επιτά-

χυνςθ του είναι α = -

1m/s2. Αυτό ςθμαίνει ότι θ

ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ

ζχουν αντίκετθ κατεφκυν-

ςθ. ε κάποια άλλθ περί-

πτωςθ, θ ταχφτθτα του

αντικειμζνου είναι υ = -

4m/s και θ επιτάχυνςθ α =

-4m/s2 . Σότε τα διανφςμα-

τα και ζχουν τθν ίδια

φορά (και τα δφο αριςτερά)…

Μονάδα επιτάχυνςθσ είναι m/s2 (ςτο διεκνζσ ςφςτθμα S.I.)

2. Η κίνθςθ - εξιςϊςεισ.

Όταν θ επιτάχυνςθ ζχει ίδια κατεφκυνςθ με τθν ταχφτθτα , το μζτρο τθσ ταχφτθτασ

αυξάνεται και θ κίνθςθ είναι επιταχυνόμενθ. τθν αντίκετθ περίπτωςθ (που θ ταχφτθτα

και θ επιτάχυνςθ είναι αντίρροπεσ), το μζτρο τθσ ταχφτθτασ ελαττϊνεται και θ κίνθςθ εί-

ναι επιβραδυνόμενθ.

Όταν θ επιτάχυνςθ είναι ςτακερι, οι κινιςεισ ονομάηονται «ευκφγραμμθ ομαλά επιταχυ-

νόμενθ» και «ευκφγραμμθ ομαλά επιβραδυνόμενθ», αντίςτοιχα. Η μεταβολι τθσ ταχφτθ-

τασ είναι ανάλογθ με του χρόνου.

𝑎

𝑣 𝑣′

(+)

𝑎

𝑣′ 𝑣


12

φμφωνα με τον οριςμό τθσ επιτάχυνςθσ,

Άρα:

και

(4)

Όπου υ είναι θ τελικι ταχφτθτα του κινθτοφ, που ζχει κινθκεί με επιτάχυνςθ για χρονικι

διάρκεια Δt.

Σα μεγζκθ υαρχ και α τα αντικακιςτοφμε με τα πρόςθμά τουσ ςτθν εξίςωςθ (4).

Αν για παράδειγμα θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ ζχουν αντίκετο πρόςθμο, οπότε θ

κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ, θ εξίςωςθ (4) κα πάρει τθν μορφι:

| | | | | |

τθν εξίςωςθ αυτι, που μποροφμε να τθν εφαρμόςουμε γενικά ςτθν επιβραδυνό-

μενθ κίνθςθ, το πρόςθμο (-) δθλϊνει ότι θ επιτάχυνςθ και θ ταχφτθτα

ζχουν αντίκετθ φορά, και το μζτρο τθσ ταχφτθτασ ελαττϊνεται.

Η μετατόπιςθ του αντικειμζνου, όταν υπάρχει ςτακερι επιτάχυνςθ, δίνεται από τθν εξί-

ςωςθ:

(5)

Η κζςθ κα υπολογίηεται:

ι

(6)

Και ςε αυτζσ τισ εξιςϊςεισ, (5 & 6) αντικακιςτοφμε τα μεγζκθ xαρχ, υαρχ και α με τα πρόςθ-

μα τουσ.

ε μια επιβραδυνόμενθ κίνθςθ, όπου θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ ζχουν αντίκετο

πρόςθμο, μποροφμε να υπολογίςουμε το διάςτθμα που διανφει επιβραδυνόμενο

το αντικείμενο, από τθν εξίςωςθ:

| |

| | (7)


13

Σο (-) δθλϊνει ότι θ επιτάχυνςθ και θ ταχφτθτα ζχουν αντίκετο πρόςθμο. Ζτςι το διάςτθμα

που κα διανφςει το κινθτό είναι μικρότερο από αυτό που κα διζνυε αν διατθροφςε τθν

ταχφτθτά το ςτακερι.

Αν κζλουμε να υπολογίςουμε τον χρόνο που χρειάηεται για να ςταματιςει, ζνα αντι-

κείμενο που επιβραδφνεται με ςτακερό ρυκμό, μποροφμε να ςκεφτοφμε ωσ εξισ:

Πόςθ γίνεται θ ταχφτθτα τθν ςτιγμι που ςταματάει; μθδζν!

Άρα, αφοφ θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ, γράφουμε:

| | | | | | | | | |

| |

Πόςο απόςταςθ διζνυςε το αντικείμενο μζχρι να ςταματιςει;

Χρθςιμοποιοφμε τθν εξίςωςθ του διαςτιματοσ (7) για τθν επιβραδυνόμενθ κίνθςθ,

αντικακιςτϊντασ τον χρόνο που υπολογίςαμε πριν!

| |

| | | |

| |

| |

| | (

| |

| |)

Κάνοντασ τισ πράξεισ, καταλιγουμε:

| |

Παραδείγματα.

1. Μία μοτοςυκλζτα κινείται αρχικά με ταχφτθτα 30m/s. Κάποια ςτιγμι ο οδθγόσ

βλζπει ζνα εμπόδιο κα αρχίηει να ελαττϊνει τθν ταχφτθτά του με ςτακερό ρυκμό

4m/s2. Ζτςι μετά από χρόνο Δt = 2s, θ ταχφτθτά του κα ζχει γίνει:

υ = |υαρχ |– |α|·Δt = (30-4·2)m/s =

22m/s

Η απόςταςθ που κα ζχει διανφςει ςε

αυτό τον χρόνο κα είναι:

s =|υαρχ|·Δt – ½ |α|·Δt2 =

= (30·2- ½ ·4·4)m = 52m.

Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να ςταματιςει είναι:

| |

| |

Η απόςταςθ που διανφει μζχρι να ςταματιςει είναι :

| |

𝛼

𝑣 𝛼𝜌𝜒


14

2. Ζνα αυτοκίνθτο περνά μπροςτά από τον τροχονόμο που βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ =

2m, με ταχφτθτα υαρχ = 15m/s και επιτάχυνςθ α = -3m/s2.

Δφο δευτερόλεπτα μετά

που πζραςε από τον τρο-

χονόμο, θ ταχφτθτα του κα

είναι :

υ = υαρχ + α·Δt

υ = [15 +(-3)·2+m/s

υ = 9m/s

Η κζςθ ςτθν οποία κα βρίςκεται είναι:

x = xαρχ + υαρχ·Δt + ½ α·Δt2 = *2+15·2 + ½ (-3)·4+m = 26m.

Η μετατόπιςθ του είναι:

Δx = υαρχ·Δt + ½ α·Δt2 = *15·2 + ½ (-3)·4+m = 24m.

Σο διάςτθμα που διζνυςε, αφοφ θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ ςυνεχϊσ, υπολο-

γίηεται:

s = | υαρχ| ·Δt - ½ |α|·Δt2 = *15·2 - ½ 3·4+m = 24m

3. ε μία άλλθ περίπτωςθ, ζνα αντικείμενο περνάει από τθν κζςθ xαρχ = 0 τθν χρονικι

ςτιγμι to = 0 με ταχφτθτα υαρχ = - 4m/s και επιτάχυνςθ α = 1m/s2.

Σθν χρονικι ςτιγμι t1 =

2s, θ ταχφτθτά του εί-

ναι:

υ1 = υαρχ + α·t

υ1 = (-4 + 1·2)m/s

υ1 = -2m/s.

Δθλαδι το αντικείμενο

ςυνεχίηει να κινείται προσ τα αρνθτικά (αριςτερά) με ταχφτθτα μζτρου 2m/s.

Σθν χρονικι ςτιγμι t2 = 4s, θ ταχφτθτά του είναι:

υ2 = (-4+1·4)m/s = 0, δθλαδι το αντικείμενο ςταματάει.

Σθν χρονικι ςτιγμι t3 = 6s:

υ3 = (-4+1·6)m/s = 2m/s. Σο αντικείμενο αφοφ ςταμάτθςε, άρχιςε να επιταχφνεται

προσ τθν κετικι κατεφκυνςθ και τϊρα κινείται προσ τα δεξιά με ταχφτθτα μζτρου

2m/s. (ταχφτθτα και επιτάχυνςθ ζχουν τϊρα και τα δφο κετικό πρόςθμο).

𝛼

𝑣

𝛼

𝑣 𝑣 𝛼𝜌𝜒

-8 -6 0


15

Η κζςθ του κάκε χρονικι ςτιγμι δίνεται από τθν εξίςωςθ:

x = xαρχ + υαρχ·t + ½ α·t2.

Ζτςι:

x1 = (-4·2 + ½ 1·4)m = -6m

x2 = (-4·4+ ½ 1·16)m = -8m

x3 = (-4·6+ ½ 1·36)m = -6m.

Η ςυνολικι του μετατόπιςθ είναι:

Δxολ = x3 – xαρχ = (- 6 – 0)m = -6 m.

Ή, χρθςιμοποιϊντασ τθν εξίςωςθ…:

Δxολ = υαρχ ·Δtολ + ½ α·Δt2ολ = (-4·6 + ½ ·1·62)m = -6m.

3. Διαγράμματα.

Σο μζγεκοσ που διατθρείται ςτακερό είναι θ επιτάχυνςθ. Ζτςι, αν τθν παραςτιςουμε

γραφικά ςε ςχζςθ με τον χρόνο, ςε κάκε χρονικι ςτιγμι θ επιτάχυνςθ κα είναι θ ίδια.

Η ταχφτθτα, μεταβάλλεται με ςτακερό ρυκμό. Άρα, ςε ίςα χρονικά διαςτιματα μεταβάλ-

λεται κατά το ίδιο ποςό και θ τιμι τθσ κάκε χρονικι ςτιγμι είναι ανάλογθ του χρόνου.

Π.χ. Για επιτάχυνςθ α = 2m/s2 και αρχικι ταχφτθτα υαρχ = 0, θ ταχφτθτα και οι με-

ταβολζσ τθσ φαίνονται ςτον διπλανό πί-

νακα. (ανά 2s θ ταχφτθτα αλλάηει κατά

4m/s).

Η μετατόπιςθ του αντικειμζνου, ςε ί-

ςουσ χρόνουσ, είναι όλο και μεγαλφτερθ

(ςτθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ) ι όλο και

μικρότερθ (ςτθν επιβραδυνόμενθ κίνθ-

ςθ). (Εικόνα 2).

Εικόνα 2: Ευκ. ομαλά επιταχυνόμενθ/επιβραδυνόμενθ κίνθςθ

υ(m/s)

t(s) Δυ(m/s) Δt(s)

0 0 0 0 4 2 4 – 0 = 4 2-0 = 2 8 4 8 – 4 = 4 4-2 = 2

12 6 12 – 8 = 4 6-4 = 2 16 8 16 – 12 = 4 8-6 = 2 20 10 20 – 16 = 4 10-8 = 2 24 12 24 – 20 = 4 12-10 = 2


16

Διάγραμμα επιτάχυνςθσ - χρόνου

Η επιτάχυνςθ είναι ςτακερι, για κάκε

χρονικι ςτιγμι

Σο εμβαδόν που ορίηει θ γρ. παράςταςθ

με τον άξονα των χρόνων, δίνει τθν με-

ταβολι τθσ ταχφτθτασ.

Διάγραμμα ταχφτθτασ – χρόνου

Η ταχφτθτα μεταβάλλεται με

ςτακερό ρυκμό

Η κλίςθ του διαγράμματοσ δίνει

τθν επιτάχυνςθ:

Από το εμβαδόν του διαγράμμα-

τοσ υπολογίηουμε αρικμθτικά τθν

μετατόπιςθ…

τθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ, θ

ταχφτθτα ξεκινάει από μία αρχικι

τιμι και αυξάνεται. Αντίκετα, ςτθν επιβραδυνόμενθ, ελαττϊνεται από τθν αρχικι τθσ τιμι.

1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

t (s)

α (m/s^2)α>0

α<0

E=Δ

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

t (s)

v (m/s)


17

Διάγραμμα κζςθσ – χρόνου

1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

t (s)

x (m)

Παρατιρθςθ

Στθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ: Η κζςθ μεταβάλλεται όλο και ποιο γριγορα. Πωσ φαίνεται

αυτό από το διάγραμμα;

Η κλίςθ δίνει τθν ταχφτθτα, που ςυνεχϊσ αυξάνεται. Ζτςι αντίςτοιχα αυξάνεται και θ κλίςθ

και το διάγραμμα τελικά ζχει τθν μορφι τθσ καμπφλθσ του ςχιματοσ (…παραβολι).

Αντίςτοιχα, ςτο διάγραμμα τθσ επιβραδυνόμενθσ κίνθςθσ, θ ταχφτθτα όπωσ και κλίςθ ε-

λαττϊνεται …

Επιταχυνόμενθ

κίνθςθ (θ κλίςθ

αυξάνεται)

Επιβραδυνόμενθ

κίνθςθ


18


1. Μία ςφαίρα κινείται ςε ευκεία γραμμι με ςτακερι επιτάχυνςθ α = 2m/s2. Σθν χρονικι

ςτιγμι tαρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 4m και κινείται με ταχφτθτα υαρχ = 3m/s:

Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; (αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ).

Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει τθν χρονικι ςτιγμι t = 2s;

Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι αυτι;

Δ. Ποια κα είναι θ κζςθ του τότε;

2. Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία γραμμι με ςτακερι επιτάχυνςθ α = -2m/s2. Σθν

χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 0, με ταχφτθτα υαρχ = 4m/s:



Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι t;

Δ. Ποια κα είναι θ κζςθ του τότε;

3. Ζνα ποδιλατο κινείται ςε ευκφ δρόμο με ςτακερι επιτάχυνςθ α = 2m/s2. Σθν χρονικι

ςτιγμι tαρχ = 0 και κινείται με ταχφτθτα υαρχ = -5m/s:



Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι αυτι;

Δ. Πόςο διάςτθμα κα ζχει διανφςει τότε;

4. Ζνα αυτοκίνθτο κινείται ςε ευκφ δρόμο, με ταχφτθτα μζτρου υαρχ1 = 4m/s. Κάποια

ςτιγμι ο οδθγόσ αρχίηει να αυξάνει τθν ταχφτθτα του οχιματοσ με ςτακερό ρυκμό

2m/s2, για χρονικι διάρκεια Δt = 2s. Σθν ίδια ςτιγμι ζνα δεφτερο αυτοκίνθτο που

αρχικά ιταν ακίνθτο, αρχίηει να επιταχφνεται με τθν ίδια επιτάχυνςθ για τθν ίδια

χρονικι διάρκεια.

Α. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν μετατόπιςθ κάκε

οχιματοσ, ςε ςχζςθ με τον χρόνο.


19

Β. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα του κάκε οχιματοσ ςτο τζλοσ τθσ επιταχυνόμενθσ κίνθςθσ;

Γ. Πόςθ είναι θ μετατόπιςθ του κάκε ενόσ οχιματοσ ςτθν διάρκεια των 2s;

5. Μία μοτοςυκλζτα, αρχικά ακίνθτθ, αρχίηει να επιταχφνεται με επιτάχυνςθ α1 = 1m/s2,

για χρονικι διάρκεια Δt = 1s. τθν ςυνζχεια επιταχφνεται για Δt2 = 2s με επιτάχυνςθ α2

= 0,5m/s2.

Α. Πόςθ είναι θ ταχφτθτά τθσ μετά το τζλοσ του πρϊτου δευτερολζπτου;

Β. Με ποια ταχφτθτα αρχίηει το δεφτερο μζροσ τθσ επιταχυνόμενθσ τθσ κίνθςθσ (Δt2);

Γ. Πόςθ ταχφτθτα ζχει ςτο τζλοσ τθσ κίνθςθσ τθσ;

6. Δφο οχιματα κινοφνται ςτον ίδιο ευκφ δρόμο, με επιταχφνςεισ ςτακεροφ μζτρου. Σο

όχθμα Α τθν χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχΑ = 20m, ζχει ταχφτθτα

υαρχΑ = 8m/s και επιτάχυνςθ αΑ = 6m/s2 . Tο όχθμα Β τθν ίδια χρονικι ςτιγμι βρίςκεται

ςτθν κζςθ xαρχΒ = 60m ζχει ταχφτθτα υαρχΒ = -4m/s και επιτάχυνςθ αΒ = -2m/s2.

Α. Σι είδουσ κίνθςθ κάνει το κάκε όχθμα;

Β. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ τθσ ταχφτθτασ και τθσ κζςθσ με τον χρόνο, για τα δφο οχιματα.

Γ. Με πόςθ ταχφτθτα κα κινοφνται τθν χρονικι ςτιγμι t = 1s και ςε ποια κζςθ κα

βρίςκονται;

Δ. Που κα βρίςκεται το κάκε όχθμα τθν χρονικι ςτιγμι t = 2s;

7. Ζνα αντικείμενο κινείται αρχικά με ταχφτθτα μζτρου 6m/s και αρχίηει να

επιβραδφνεται με ςτακερό ρυκμό 3m/s2, μζχρι να ςταματιςει.

Α. Πόςο χρόνο χρειάηεται μζχρι να ςταματιςει;

Β. Πόςθ απόςταςθ διανφει μζχρι τότε;

Γ. Τπολογίςτε τον χρόνο που χρειάςτθκε μζχρι να υποδιπλαςιαςτεί θ ταχφτθτά του.

Δ. Πόςθ απόςταςθ διζνυςε ςτον χρόνο αυτό;

8. Ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι που αρχικά ιταν ακίνθτο ςτθν κζςθ xαρχ = 0, αρχίηει να

κινείται με ςτακερι επιτάχυνςθ μζτρου α = 1m/s2.


20

Α. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν κζςθ του, ςυναρτιςει

του χρόνου.

Β. Αφοφ φτιάξετε τον κατάλλθλο πίνακα τιμϊν, ςχεδιάςτε τα διαγράμματα τθσ

επιτάχυνςθσ και τθσ ταχφτθτάσ του, ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο.

Γ. Τπολογίςτε (με τθν βοικεια των διαγραμμάτων) τθν μεταβολι τθσ ταχφτθτασ του

και τθν μετατόπιςι του ςτο χρονικό διάςτθμα από t1 = 2s μζχρι t2 = 4s.

Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου κίνθςθσ.

9. Ζνα αντικείμενο εκτελεί ευκφγραμμθ ομαλά επιβραδυνόμενθ κίνθςθ μζχρι να

ςταματιςει. Αν θ αρχικι του ταχφτθτα είναι υαρχ = +40m/s και θ επιτάχυνςθ του ζχει

μζτρο 4m/s2.

Α. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ επιτάχυνςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου .

Β. Φτιάξτε το διάγραμμα ςτο οποίο φαίνεται ο τρόποσ που μεταβάλλεται θ ταχφτθτα

του ςυναρτιςει του χρόνου κίνθςθσ.

Γ. Με τθν βοικεια του διαγράμματοσ, υπολογίςτε τθν απόςταςθ που διανφει μζχρι να

μθδενιςτεί θ ταχφτθτά του.

Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου.

10. Η ταχφτθτα του κινθτοφ ςε μία

ευκφγραμμθ, μεταβαλλόμενθ κίνθςθ

φαίνεται ςτο διπλανό διάγραμμα.

Αρχικά το αντικείμενο βρίςκεται ςτθν

κζςθ xαρχ = 0.

Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί ; Εξθγείςτε.

Β. Τπολογίςτε τθν επιτάχυνςθ του.

Γ. Πόςθ είναι θ μετατόπιςθ του ςτα

πρϊτα 4 δευτερόλεπτα τθσ κίνθςθσ;

Δ. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν κζςθ του, ςυναρτιςει

του χρόνου.

Ε. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ επιτάχυνςθσ με τον χρόνο.

Στ. χεδιάςτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ με τον χρόνο.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2468

10121416182022242628

t (s)

v (m/s)

Φυςικι Α Λυκείου Οι δυνάμεισ

21

Οι δυνάμεισ…

1. Η αιτία που «ςπρϊχνει» ι «τραβάει»…

Αφινουμε μία πζτρα ελεφκερθ να κινθκεί και αυτι πζφτει επειδι τθν ζλκει θ γι. Η

ζλξθ αυτι περιγράφεται με τθν βοικεια τθσ δφναμθσ τθσ βαρφτθτασ ι αλλιϊσ

«βάροσ».

Ζνασ εργάτθσ ςπρϊχνει ζνα κιβϊτιο. Η άπωςθ αυτι περιγράφεται με τθν βοικεια

τθσ δφναμθσ που αςκεί ο εργάτθσ.

Κρεμάμε ζνα βαρίδι ςτο ελατιριο και αυτό επιμθκφνεται για να κρατιςει το ςϊμα.

Σο ελατιριο τραβάει προσ τα απάνω με μία ελαςτικι δφναμθ, λόγω τθσ παρα-

μόρφωςθσ του.

2. Συμβολιςμόσ, μονάδεσ, ςχεδίαςθ…

Force ….

Μονάδα: 1N (1N = 1kg·m/s2)

Η δφναμθ είναι διανυςματικό μζγεκοσ. Ανάλογα με το ςθμείο του ςϊματοσ ςτο οποίο α-

ςκείται και τθν κατεφκυνςθ τθσ, μπορεί να προκαλζςει διαφορετικό αποτζλεςμα.


Όταν μελετάμε τθν μεταφορικι κίνθςθ ενόσ ςϊματοσ, κεωροφμε ότι οι δυνάμεισ αςκοφ-

νται ςτο κζντρο μάηασ του και τισ ςχεδιάηουμε εκεί.

3. Πϊσ αντιλαμβανόμαςτε ότι αςκείται δφναμθ ςε ζνα ςϊμα;

Σθν δφναμθ δεν τθν βλζπουμε, αντιλαμβανόμαςτε όμωσ ότι αςκείται από τα αποτελζςμα-

τα τθσ δράςθσ τθσ: Σθν ιςορροπία ενόσ ςϊματοσ, τθν αλλαγι τθσ κινθτικισ του κατάςτα-

ςθσ (...επιτάχυνςθ), τθν παραμόρφωςθ του...

ε κάκε ςϊμα γνωρίηουμε ότι αςκείται το βάροσ του. Αν λοιπόν ζνα αντικείμενο

ιςορροπεί, κάποια (-εσ) άλλθ δφναμθ κα αςκείται με τζτοιο τρόπο ϊςτε “εξουδε-

τερϊνει” τθν δράςθ του βάρουσ.

Όταν ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι αρχίηει να επιταχφνεται, ςυμπεραίνουμε ότι κά-

ποια επιπλζον δφναμθ του αςκικθκε , ϊςτε αυτό να αρχίςει να κινείται πιο γρι-

γορα

Για να είναι τεντωμζνο ζνα ελατιριο, κάποιοσ πρζπει να το τραβιξει...

Φυςικι Α’ Λυκείου Οι δυνάμεισ

22


Οι δυνάμεισ αςκοφνται από επαφι (όταν ακουμπάμε το ςϊμα) ι από απόςταςθ (π.χ. θ γθ

ζλκει τθ ςελινθ).

4. Τι κα ςυμβεί αν ςε ζνα ςϊμα αςκοφνται πολλζσ δυνάμεισ;

Σθν ςυνολικι δφναμθ που αςκείται ςε ζνα ςϊμα τθν ονομάηουμε και ςυνιςταμζνθ ( ).

Η ςυνιςταμζνθ μπορεί να αντικαταςτιςει όλεσ τισ υπόλοιπεσ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο

ςϊμα, προκαλϊντασ το ίδιο αποτζλεςμα με αυτζσ (π.χ., επιταχφνοντάσ το).

το αντικείμενο του ςχιματοσ όπου F1 =2N και F2 = 3N αςκεί-

ται ςυνολικά δφναμθ F = F1+F2 = 5N.

Αν ι δυνάμεισ είχαν αντίκετθ φορά, θ ςυνολικι δφναμθ κα ι-

ταν F = F1 – F2 = -1N.

5. Δυνάμεισ ςτθν φφςθ

o Βαρφτθτα

Αςκείται ανάμεςα ςε δφο οποιαδιποτε υλικά ςϊματα και είναι

πάντα ελκτικι. Η βαρυτικι δφναμθ που αςκεί θ γθ ςτα ςϊματα

(...βάροσ) υπολογίηεται:

Η κατεφκυνςθ του βάρουσ είναι πάντα προσ το κζντρο τθσ γθσ (κατακόρυφθ).

Π.χ., θ μάηα ενόσ μακθτι είναι m = 60kg. Σο βάροσ του ... w= m·g δθλ., είναι περί-

που 600Ν .

Ζνασ αςτροναφτθσ ζχει μάηα 160kg. Σο βάροσ του ςτθν γθ είναι 1600Ν. τθν ςελι-

νθ είναι περίπου 400Ν, ενϊ ςτο διάςτθμα .... μθδζν! Όμωσ θ μάηα του είναι πα-

ντοφ θ ίδια.

Παρατθριςεισ

Η μάηα m είναι το μζγεκοσ που δείχνει τθν ποςότθτα φλθσ του ςϊματοσ και τθν με-

τράμε ςε κιλά (kg). Όςο μεγαλφτερθ είναι, τόςο ιςχυρότερθ είναι θ δφναμθ τθσ βα-

ρφτθτασ.

Η ςτακερά “g” είναι ίδια για όλα τα ςϊματα, λζγεται επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ

και θ τιμι τθσ εξαρτάται από τον τόπο ςτον οποίο μετράμε το βάροσ. Προςεγγιςτικά

είναι g=10m/s2.

𝐹 𝐹

Φυςικι Α’ Λυκείου Οι δυνάμεισ

23

o Ελαςτικζσ δυνάμεισ

Ζνα παραμορφωμζνο (τεντωμζνο ι ςυμπιεςμζνο) ελατιριο,

αςκεί δφναμθ ανάλογθ τθσ παραμόρφωςθσ του Δx (ι Δℓ).

Η ςτακερά αναλογίασ k ζχει ςχζςθ με το είδοσ του ελατθρίου

(πόςο ςκλθρό ι μαλακό είναι).

Η δφναμθ και θ παραμόρφωςθ ζχουν αντίκετεσ κατευκφνςεισ

(πρόςθμο -).

Σο ςϊμα βάρουσ w =5N που ιςορροπεί κρεμαςμζνο από

ζνα ελατιριο, δζχεται δφναμθ Fελ με μζτρο 5Ν.

Η δφναμθ αυτι μεταβάλλεται. Αν τεντϊςουμε λίγο πε-

ριςςότερο το ιδθ τεντωμζνο ελατιριο, θ δφναμθ Fελ κα

αυξθκεί, ςε αντίκεςθ με το βάροσ που παραμζνει ςτα-

κερό.


Τθν παραμόρφωςθ Δx τθν μετράμε πά-

ντα από το φυςικό μικοσ του ελατθρίου.

Επειδι θ δφναμθ του ελατθρίου είναι

ανάλογθ τθσ παραμόρφωςθσ, θ γραφικι

παράςταςθ που ςυνδζει τθν δφναμθ με

τθν παραμόρφωςθ κα είναι όπωσ ςτο

διπλανό ςχιμα.

Φυςικι Α Λυκείου Οι δυνάμεισ

24

Εφαρμογζσ – Αςκιςεισ.

1. Ζνα βιβλίο βρίςκεται ακίνθτο πάνω ςτο τραπζηι. Ποιεσ

δυνάμεισ δζχεται; Να τισ ςχεδιάςετε.

2. Δφο ςϊματα ζχουν μάηα m1=5kg και m2=10kg. Σο βάροσ του κάκε ενόσ είναι αντίςτοι-

χα:

Α. 5kg και 10kg Β. 5Ν και 10Ν Γ. 50Ν και 100Ν.

Με ποια από τισ προθγοφμενεσ ςυμφωνείτε;

3. Πόςο βάροσ ζχει ζνα δοχείο μάηασ 50kg; Θεωρείςτε ότι g = 10 m/s2.

4. Σραβάμε από το άκρο του ζνα ελατιριο ςτακεράσ k =200N/m και το επιμθκφνουμε

κατά Δx1 = 5cm.

Α. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ δφναμθσ που αςκεί ςτο χζρι μασ.

Β. Αν τραβιξουμε επιπλζον κατά Δx2 = 5cm, πόςθ κα γίνει θ προθγοφμενθ δφναμθ;

5. το διπλανό διάγραμμα φαίνεται το

μζτρο τθσ δφναμθσ που αςκεί ζνα

ελατιριο ςε ςυνάρτθςθ με τθν πα-

ραμόρφωςι του.

Α. Πόςθ είναι θ δφναμθ που αςκεί

όταν θ παραμόρφωςθ είναι Δx =

2cm;

Β. Τπολογίςτε τθν ςτακερά του ελα-

τθρίου.

6. Ζνα ελατιριο ζχει ςτακερά k = 100N/m. Φτιάξτε τθν γραφικι παράςταςθ του μζτρου

τθσ δφναμθσ του ελατθρίου ςε ςχζςθ με τθν παραμόρφωςθ του Δx.

1 2 3 4 5 6 7

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.58

8.59

Δx (cm)

Fελ (N)

Φυςικι Α Λυκείου Οι Νόμοι των Δυνάμεων

25

Οι νόμοι των δυνάμεων

1. Η «αλλθλεπίδραςθ»:

Οι δυνάμεισ ςτθ φφςθ εμφανίηονται ςε ηευγάρια: «Δράςθ – Αντίδραςθ». Ζτςι , κάκε ςϊμα

που αςκεί ςε ζνα άλλο μία δφναμθ -«δράςθ», δζχεται από αυτό μία αντίκετθ δφναμθ -

«αντίδραςθ» (... 3οσ νόμοσ του Νεφτωνα).

Σο φορτθγό τραβάει το trailer προσ τα μπρο-

ςτά (δράςθ). Σο trailer τραβάει το φορτθγό

προσ τα πίςω (αντίδραςθ).

Η γθ ζλκει τθ ςελινθ υποχρεϊνοντασ τθν τα

περιςτρζφεται γφρω τθσ. Η ςελινθ ζλκει τθν

γθ (δθμιουργϊντασ π.χ., τθν παλίρροια…).

Η γθ ζλκει το μιλο με δφναμθ w = 0,5N και το

μιλο πζφτει κάτω. Αντίςτοιχα, το μιλο ζλκει τθ γθ

με δφναμθ w’ = 0,5N προσ τα πάνω. Βζβαια, θ

δφναμθ αυτι δεν είναι αρκετι για να καταφζρει

να κινιςει ολόκλθρθ τθν γθ!!!


Η δράςθ και θ αντίδραςθ είναι αντίκετεσ δυνάμεισ (ίςο μζτρο, αντίκετθ φορά).

Αςκοφνται πάντα ςε διαφορετικά ςϊματα, άρα, δεν εξουδετερϊνονται.

2. Ο νόμοσ τθσ αδράνειασ (ι αλλιϊσ 1οσ Νόμοσ του Νεφτωνα):

Κάκε ςϊμα ζχει από τθν φφςθ του τθν τάςθ (…αδράνεια) να

παραμείνει ςτθν κινθτικι κατάςταςθ που βρίςκεται. Μάλιςτα,

όςο μεγαλφτερθ είναι θ μάηα του m, τόςο ποιο δφςκολα μπο-

ρεί να αλλάξει θ κατάςταςθ αυτι… Ζτςι:

Αν το ςϊμα ιταν ακίνθτο, παραμζνει ακίνθτο. Αν κινοφταν, ςυ-

νεχίηει να κινείται χωρίσ να αλλάξει θ ταχφτθτα του.

Άρα, για να αλλάξει θ κινθτικι κατάςταςθ, πρζπει να εμφανιςτεί κάποιο εξωτερικό αίτιο.

Και αυτό δεν είναι άλλο από τθν δφναμθ!

Αντίςτροφα: Αν δεν υπάρχει καμία εξωτερικι αιτία (δθλαδι ι δεν αςκοφνται δυνάμεισ, ι

αν αςκοφνται εξουδετερϊνονται), το ςϊμα ι παραμζνει ακίνθτο, ι κινείται με ςτακερι

ταχφτθτα.

w

w’

Φυςικι Α’ Λυκείου Οι Νόμοι των Δυνάμεων

26

Σο τραπζηι, ςτθν άκρθ του δωματίου… Αν δεν το μετακινιςουμε εμείσ αςκϊντασ

του κάποια δφναμθ, δεν πρόκειται να κινθκεί (αφοφ το βάροσ του εξουδετερϊνε-

ται από τθν δφναμθ που αςκεί το πάτωμα).

Ζνασ κομιτθσ που κινείται ςτο διάςτθμα… Αλλάηει τον τρόπο κί-

νθςισ του (καμπυλϊνεται θ τροχιά του ι κινείται πιο γριγορα)

μόνο όταν περάςει κοντά από κάποιο άλλο ουράνιο ςϊμα που

του αςκεί ελκτικι δφναμθ.

Η μπάλα του μπιλιάρδου είναι ακίνθτθ μζχρι να τθσ αςκιςουμε

δφναμθ με τθν ςτζκα. Μετά κινείται με ςτακερι ταχφτθτα, μζχρι να τθσ αςκθκεί

ξανά δφναμθ (π.χ. λόγω ςφγκρουςθσ).


Η μάηα, εκτόσ από μζγεκοσ που δείχνει τθν φλθ, είναι το φυςικό μζγεκοσ που μετράει και

τθν αδράνεια του ςϊματοσ.

3. Πωσ θ δφναμθ επθρεάηει τθν κίνθςθ; (ο κεμελιϊδθσ νόμοσ τθσ μθχανικισ)

… «Όταν ςυνολικά δεν αςκείται δφναμθ, θ ταχφτθτα του ςϊματοσ δεν αλλάηει». Άρα, όταν

αςκείται δφναμθ ςε ζνα ςϊμα (ι οι δυνάμεισ που αςκοφνται δεν εξουδετερϊνονται), θ

ταχφτθτα του κα αλλάηει δθλ. κα αποκτάει επιτάχυνςθ.

Η επιτάχυνςθ που αποκτάει είναι ανάλογθ τθσ ςυνολικισ δφναμθσ που δζχεται.

Όςο μεγαλφτερθ είναι θ μάηα του ςϊματοσ, τόςο περιςςότερο αντιδράει το ςϊμα ςτθν

αλλαγι τθσ κινθτικισ του κατάςταςθσ και τόςο ποιο δφςκολα επιταχφνεται. Άρα θ επιτά-

χυνςθ είναι αντιςτρόφωσ ανάλογθ τθσ μάηασ.

Όλα τα προθγοφμενα ςυνοψίηονται ςτθν εξίςωςθ:

είναι θ ςυνιςταμζνθ (ςυνολικι) δφναμθ που δζχεται το

ςϊμα, m θ μάηα του και θ επιτάχυνςθ που αποκτάει.

Ζνα αντικείμενο μάηασ m1 = 2kg, αποκτάει επιτάχυνςθ

α = 2m/s2, όταν δεχτεί ςυνολικι δφναμθ F = 4N. Αν θ

δφναμθ διπλαςιαςτεί (2F=8Ν) αντίςτοιχα κα διπλαςι-

αςτεί και θ επιτάχυνςθ του, 2α = 4m/s2.

Αν θ προθγοφμενθ δφναμθ (F =4N) αςκθκεί ςε ςϊμα

διπλάςιασ μάηασ, 2m = 4kg, θ επιτάχυνςθ που κα

προκαλζςει κα είναι θ μιςι από τθν α, δθλαδι α/2 = 1m/s2.

𝛼

m 𝐹

𝛼

𝛼 𝐹

2m 𝐹

2m2m


27


Η δφναμθ και θ επιτάχυνςθ ζχουν πάντα τθν ίδια κατεφκυνςθ.

4. Πωσ ςυνδζονται οι «εξιςϊςεισ των κινιςεων» με τον «κεμελιϊδθ νόμο

τθσ μθχανικισ»;

Αν , τότε δεν προκαλείται επιτάχυνςθ άρα θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι:

υ = ςτακ. & Δx = υ·Δt

Αν και ςυγχρόνωσ είναι ςτακερι και παράλλθλθ ςτθν αρχικι ταχφτθτα, προκαλεί-

ται ςτακερι επιτάχυνςθ και θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλά μεταβαλλόμενθ:

υ = |υαρχ| ± |α|·Δt & Δx =|υαρχ|·Δt ± ½|α|·Δt2

Αν χωρίσ όμωσ να παραμζνει ςτακερι, τότε προκαλείται επιτάχυνςθ που μετα-

βάλλεται, και δεν ιςχφουν οι γνωςτζσ εξιςϊςεισ των κινιςεων. Αν μάλιςτα θ δφναμθ ςχθ-

ματίηει γωνία με τθν αρχικι ταχφτθτα, προκαλείται καμπυλόγραμμθ κίνθςθ…


Η κίνθςθ ενόσ αντικειμζνου, κακορίηεται από τισ δυνάμεισ που του αςκοφνται.

Αν γνωρίηουμε τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςε ζνα αντικείμενο και τθν αρχικι του τα-

χφτθτα, μποροφμε να προβλζψουμε το είδοσ τθσ κίνθςθσ που κα εκτελζςει (και να

εφαρμόςουμε τισ αντίςτοιχεσ εξιςϊςεισ).

Οι δυνάμεισ κεωροφμε ότι αςκοφνται ςτα ςϊματα με τζτοιο τρόπο, ϊςτε να μθν μπο-

ροφν να τα περιςτρζψουν (π.χ, ςτο κζντρο μάηασ τουσ…).

Παραδείγματα:

1. ε ζνα κουτί μάηασ m = 3kg αςκοφνται ταυτόχρονα και

προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ, δφο δυνάμεισ με μζτρα F1 = 8Ν

και F2 = 7N αντίςτοιχα.

o Η ςυνολικι δφναμθ που αςκείται ςτο κουτί είναι:

ΣF = F1+F2 = 15N

o Η επιτάχυνςθ που αποκτάει λόγω τθσ εφαρμογισ των δυνάμεων είναι:

o Η ταχφτθτα που κα ζχει αποκτιςει μετά από Δt = 2sec είναι:

υ = α∙Δt = 5m/s2∙2s =10m/s

o Η μετατόπιςι του ςτον ίδιο χρόνο είναι:

m 𝐹

𝐹


28

2. το αμαξάκι του ςχιμα-

τοσ που κινείται αρχικά

με ταχφτθτα υαρχ = 2m/s,

αςκείται μία δφναμθ μζ-

τρου F =2N και φοράσ

αντίκετθσ από αυτιν τθσ κίνθςθσ. Η μάηα του είναι m =0,5kg.

o Η επιτάχυνςθ που αποκτάει ζχει μζτρο:

o Η φορά τθσ δφναμθσ άρα και τθσ επιτάχυνςθσ είναι αντίκετθ από αυτιν τθσ

ταχφτθτασ, άρα θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ.

o Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να ςταματιςει (υ=0) είναι:

o Η απόςταςθ που διανφει ςε αυτόν τον χρόνο είναι:

.

o Η γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ με τον χρόνο (F-t) και τθσ ταχφτθτασ με τον

χρόνο (υ-t) φαίνονται ςτα επόμενα διαγράμματα:

3. Ζνα αντικείμενο εκτελεί τθν κίνθςθ που περιγρά-

φεται ςτο επόμενο διάγραμμα κζςθσ χρόνου.

o Η κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι μζχρι τθν

χρονικι ςτιγμι t = 6s, αφοφ θ κζςθ είναι ανά-

λογθ με τον χρόνο κίνθςθσ.

o Η ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων που δζχεται εί-

ναι μθδζν ςφμφωνα με τον 1ο Νόμο του Νεφ-

τωνα. Αν λοιπόν δζχεται δφναμθ τριβισ, Σ = 5Ν

𝑣 𝛼𝜌𝜒

𝛼

𝐹 m

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

t (s)

F (N)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1

2

t (s)

v (m/s)

2 4 6 8

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t (s)

x (m)


29

ςυμπεράνουμε ότι δζχεται και κάποια άλλθ αντίκετθ δφναμθ που εξουδετε-

ρϊνει τθν τριβι, ϊςτε :

ΣF = 0 F-T = 0 F = T = 5N

o Μετά τθν χρονικι ςτιγμι t = 6s, το αντικείμενο παραμζνει ακίνθτο. Η ςυνολικι

δφναμθ που δζχεται κα είναι πάλι μθδζν. Μόνο που τϊρα, αν δεν αςκείται θ

τριβι, δεν κα αςκείται και θ δφναμθ .

Φυςικι Α Λυκείου Οι Νόμοι των Δυνάμεων

30

Εφαρμογζσ - Αςκιςεισ

1. Σο ψυγείο του ςχιματοσ βρίςκεται ακίνθτο ςτο

πάτωμα. Αν γνωρίηουμε ότι θ μάηα του είναι m =

100kg,

Α. πόςο είναι το βάροσ του;

Β. χεδιάςτε όλεσ τισ δυνάμεισ που δζχεται

αναφζρετε ποιοσ αςκεί τθν κάκε μία από αυτζσ.

Είναι κάποιεσ από αυτζσ τισ δυνάμεισ ηεφγοσ

δυνάμεων αλλθλεπίδραςθσ; (δράςθ – αντίδραςθ).

Γ. Τπολογίςτε τθν δφναμθ που αςκεί το πάτωμα ςτο ψυγείο.

Δίνεται ότι g = 10m/s2.

2. Από το ταβάνι ενόσ δωματίου κρζμεται ζνα φωτιςτικό. Αν

γνωρίηετε ότι το καλϊδιο αςκεί ςτο φωτιςτικό δφναμθ

μζτρου F = 20N:

Α. Να ςχεδιάςετε τισ παρακάτω δυνάμεισ και να υπολογίςετε

τα μζτρα τουσ:

i. Δφναμθ που δζχεται το καλϊδιο από το φωτιςτικό.

ii. Βάροσ του φωτιςτικοφ.

iii. Δφναμθ που αςκεί το καλϊδιο ςτο ταβάνι.

Δ. Ποιεσ από τισ προθγοφμενεσ δυνάμεισ είναι τθσ μορφισ δράςθ – αντίδραςθ;

Θεωρείςτε ότι το βάροσ του καλωδίου είναι αμελθτζο.

3. Επιλζξτε τθν ςωςτι από τισ επόμενεσ ερωτιςεισ.

Α. Όταν ςε ζνα ςϊμα αςκοφνται ςτακερζσ δυνάμεισ, κινείται με ςτακερι ταχφτθτα.

Β. Για να κινείται ευκφγραμμα και ομαλά ζνα αντικείμενο, πρζπει θ ςυνολικι δφναμθ

που του αςκείται να είναι μθδζν.

Γ. ‘Όταν ζνα ςϊμα ιςορροπεί, δζχεται μικρότερθ δφναμθ από όταν κινείται με ςτακερι

ταχφτθτα.


31

Δ. Αν τραβιξουμε ζνα ςϊμα αςκϊντασ του ςτακερι δφναμθ οποιαςδιποτε τιμισ,

αυτό κα κινθκεί ευκφγραμμα ομαλά.

4. Ζνα αυτοκίνθτο κινείται ςε ευκφ δρόμο, με

ταχφτθτα ςτακεροφ μζτρου υ =20m/s. Αν

γνωρίηουμε ότι θ δφναμθ που αντιςτζκεται ςτθν

κίνθςι του (αζρασ, τριβζσ) ζχει μζτρο Fαντ = 400Ν:

Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ δφναμθσ που βοθκάει τθν κίνθςθ του (λόγω τθσ λειτουργίασ

του κινθτιρα);

Β. Πόςθ απόςταςθ κα ζχει διανφςει ςε χρόνο 5min;

Γ. Να φτιάξετε τθν γραφικι παράςταςθ τθσ ταχφτθτασ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο.

5. Οι δυνάμεισ , και που αςκοφνται ςτο

ςϊμα του διπλανοφ ςχιματοσ, ζχουν μζτρα 10Ν.

5Ν, και 15Ν αντίςτοιχα. Αν θ ταχφτθτα αρχικι

του ταχφτθτα είναι υαρχ = 4m/s,

Α. Να εξετάςετε τι είδουσ κίνθςθ εκτελεί το αντικείμενο.

Β. Πόςθ απόςταςθ κα ζχει διανφςει μετά από Δt = 0,2min;

Γ. Σι κίνθςθ κα εκτελοφςε αν κάποια ςτιγμι καταργοφςαμε τθν ;

6. Η ταχφτθτα ενόσ αντικειμζνου ςε

ςυνάρτθςθ με τον χρόνο φαίνεται ςτο

διπλανό διάγραμμα. Αν θ μάηα του είναι

m = 6kg, να υπολογίςετε:

Α. Σο μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ του

Β. Σο μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που

δζχεται.

Γ. Σθν ςυνολικι απόςταςθ που κα ζχει

διανφςει ςε χρονικι διάρκεια κίνθςθσ Δt =

5s.

Δ. Σθν τιμι τθσ ταχφτθτασ του τθν χρονικι ςτιγμι t = 2,4s.

𝐹 𝛼𝜈𝜏 𝐹 𝜅𝜄𝜈

𝐹 𝐹 𝐹

1 2 3 4

2

4

6

8

10

12

14

16

t (s)

v (m/s)


32

7. Ζνα αντικείμενο μπορεί να κινείται ςε λείο οριηόντιο επίπεδο και δζχεται μία δφναμθ

μζτρου F = 20N. Αν αρχικά θ ταχφτθτά του ιταν μθδζν, και θ μάηα του είναι m = 10kg,

Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; Εξθγείςτε.

Β. Τπολογίςτε τθν τιμι τθσ επιτάχυνςθσ που αποκτάει.

Γ. ε πόςο χρόνο κα ζχει αποκτιςει ταχφτθτα υ = 6m/s;

Δ. Φτιάξτε τθν γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ που δζχεται και τθσ ταχφτθτασ που

αποκτάει ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο κίνθςθσ.

8. ε ζνα όχθμα μάηασ m = 500kg

αςκοφνται δφο δυνάμεισ αντίκετθσ

κατεφκυνςθσ, όπωσ ςτο ςχιμα. Σα μζτρα

τουσ είναι F1 = 400N και F2 = 650N. Η

αρχικι ταχφτθτα του οχιματοσ τθν χρονικι ςτιγμι t = 0 ζχει μζτρο υαρχ = 10m/s και τθν

φορά τθσ . Σθν χρονικι ςτιγμι t = 0 το όχθμα βριςκόταν ςτθν κζςθ xo = 0.

Α. Να υπολογίςετε τθν επιτάχυνςθ (μζτρο και φορά) του οχιματοσ και να εξθγιςετε το

είδοσ τθσ κίνθςθσ που εκτελεί.

Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει, και ςε ποια κζςθ κα βρίςκεται τθν χρονικι

ςτιγμι t = 4s;

Γ. Να φτιάξετε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτασ του οχιματοσ ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο.

9. Σα δφο αμαξάκια του ςχιματοσ

ζλκονται μεταξφ τουσ με δυνάμεισ

αλλθλεπίδραςθσ και . Αν θ μάηεσ

τουσ είναι m1 = 4kg και m2 = 8kg

αντίςτοιχα και το μζτρο τθσ

αλλθλεπίδραςθσ είναι 12 Ν. Σθν χρονικι ςτιγμι t = 0 τα αφινουμε ελεφκερα να

κινθκοφν, από απόςταςθ d = 2,25m. να υπολογίςετε:

Α. Πόςθ είναι θ επιτάχυνςθ που αποκτάει το ζνα κάκε αμαξάκι;

Β. Πότε ςυναντιοφνται;

Γ. ε πόςθ απόςταςθ από το ςθμείο Α ςυναντιοφνται;

Δ. Σι τιμζσ ταχφτθτασ ζχουν τθν ςτιγμι τθσ ςυνάντθςθσ;

𝑣 𝛼𝜌𝜒

𝐹 𝐹

m1 𝐹 𝐹 m2

Α d Β

Φυςικι Α Λυκείου φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων

33

Δυνάμεισ ςε δυο διαςτάςεισ

1. Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ… Από πολλζσ δυνάμεισ μία.

Μία βάρκα ςτο ποτάμι είναι δε-

μζνθ με δφο ςχοινιά, από τθ ο-

ποία τθν τραβοφν δφο άνκρω-

ποι. Η βάρκα δεν κινείται ςτθν

κατεφκυνςθ κανενόσ ςχοινιοφ,

αλλά ςτθν κατεφκυνςθ τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ…

2. Υπολογιςμόσ τθσ ςυνιςταμζνθσ, ςτθν περίπτωςθ που αςκοφνται δφο δυ-

νάμεισ και :

Για τον υπολογιςμό του μζτρου τθσ ςυνιςτα-

μζνθσ δφναμθσ F χρθςιμοποιοφμε τον κανό-

να του παραλλθλογράμμου:

√

(1)

Για να υπολογίςουμε τθν διεφκυνςθ τθσ:

(2)

Ειδικζσ περιπτϊςεισ :

Όταν θ γωνία είναι φ = 90ο (δυνάμεισ κάκετεσ μεταξφ τουσ):

√

(3)

(4)

Όταν θ γωνία είναι φ = 0ο (οι δυνάμεισ ομόρροπεσ):

ΣF = F1 + F2 (5)

Όταν θ γωνία είναι φ = 180ο (αντίρροπεσ δυνάμεισ):

ΣF = F1 - F2 (6)

𝐹

𝛴𝐹

φ κ

𝐹

𝐹

𝛴𝐹

κ 𝐹

𝐹 𝐹

𝛴𝐹

𝐹 φ 𝐹

Φυςικι Α’ Λυκείου φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων

34

Για F1 = 30N και F2 = 40N, ζχουμε:

φ = 90ο : √ √

, που είναι θ εφαπτομζνθ των 36,9ο.

φ = 0o : ΣF = 30Ν +40Ν = 70Ν

φ = 180o : ΣF = 30Ν - 40Ν = -10Ν , δθλ. θ ζχει τθν φορά τθσ .

Αν δφο δυνάμεισ είναι αντίκετεσ ( ) θ ςυνιςταμζνθ τουσ κα είναι μθδζν…


Οι προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ (3) – (6) μποροφν να προκφψουν και από τισ (1) & (2)

αν αντικαταςτιςουμε ςε αυτζσ τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ των αντιςτοίχων

γωνιϊν. Π.χ., ςυν90ο = 0, θμ90ο = 1.

Η (3) προκφπτει και από τθν εφαρμογι του πυκαγόρειου κεωριματοσ ςτο τρίγωνο

που ςχθματίηουν οι δυνάμεισ , και .

Φυςικι Α Λυκείου φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων

35

Εφαρμογζσ - Αςκιςεισ

1. τθ ςφαίρα του ςχιματοσ αςκοφνται δφο δυνάμεισ

ίςου μζτρου F1 = F2 = 5Ν οι οποίεσ ςχθματίηουν γωνία φ

= 120o.

Α. Να υπολογίςετε τθν το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ των

δφο δυνάμεων.

Β. Ποια είναι θ διεφκυνςι τθσ ςε ςχζςθ με τθν δφναμθ ;

Γ. Να ςχεδιάςετε μία τρίτθ δφναμθ ζτςι ϊςτε οι τρείσ δυνάμεισ , και να

ιςορροποφν.

2. Δφο δυνάμεισ με μζτρο F1 = 4√3 N και F2 = 4Ν αςκοφνται ςε ζνα

ςϊμα μάηασ m = 2kg που αρχικά είναι ακίνθτο.

Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ των δφο δυνάμεων,

αν ςχθματίηουν μεταξφ τουσ γωνία 90o;

Β. Ποια είναι θ διεφκυνςθ (ςε ςχζςθ με τθν ) ςτθν οποία κα

κινθκεί το ςϊμα;

Γ. Πόςθ επιτάχυνςθ κα αποκτιςει;

Δ. Αν θ γωνία των δφο δυνάμεων ιταν 30ο, θ επιτάχυνςθ κα ιταν μικρότερθ,

μεγαλφτερθ ι ίδια με τθν προθγοφμενθ τιμι;

𝐹

𝐹 m

𝐹 𝐹

φ

Φυςικι Α’ Λυκείου φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων

36

1. Ανάλυςθ δφναμθσ ςε ςυνιςτϊςεσ. Από μία δφναμθ δφο δυνάμεισ…

υχνά, όταν μία δφναμθ αςκείται ςτο αντικείμενο, προκαλεί παραπάνω από ζνα αποτελζ-

ςματα. Σότε, αναλφουμε τθν δφναμθ ςε ςυνιςτϊςεσ (τθν … χωρίηουμε ςε «μζρθ») κάκε

μία από τισ οποίεσ είναι υπεφκυνθ για μία ςυγκεκριμζνθ ενζργεια:

πρϊχνουμε το βιβλίο πάνω ςτο τραπζηι… Η δφναμθ

που αςκοφμε το μετακινεί προσ τα μπροςτά, πιζηοντάσ

το ταυτόχρονα προσ τα κάτω.

Ενϊ το αμαξάκι κινείται προσ τα μπροςτά, του αςκοφμε μία

δφναμθ διαγϊνια ςε ςχζςθ με τθν ταχφτθτα. Ζνα μζροσ τθσ

δφναμθσ (…ςυνιςτϊςα) αυξάνει το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του

ενϊ ταυτόχρονα ζνα άλλο μζροσ (…μια άλλθ ςυνιςτϊςα) τθσ

δφναμθσ ςτρίβει το αμαξάκι.

Σο αεροπλάνο τροχοδρομεί ςτον διάδρομο απογείω-

ςθσ. Μία κατακόρυφθ ςυνιςτϊςα τθσ αντίςταςθσ του

αζρα ςτα φτερά του, εξουδετερϊνει το βάροσ και α-

πογειϊνει το αεροπλάνο.

2. Υπολογιςμόσ των ςυνιςτωςϊν (ςε κάκετεσ διευκφνςεισ μεταξφ τουσ).

o Σχεδίαςθ:

Από το άκρο του διανφςματοσ τθσ δφναμθσ που κζ-

λουμε να αναλφςουμε, φζρνουμε δφο κάκετεσ ςτισ

διευκφνςεισ (άξονεσ) όπου κα υπολογίςουμε τισ ςυνι-

ςτϊςεσ.

Σα ςθμεία ςτα οποία ςυναντάμε τουσ άξονεσ είναι τα

άκρα των διανυςμάτων των ςυνιςτωςϊν.

y

𝐹

x ’ x

𝐹 𝑦 𝐹

φ

𝐹 𝑥

𝐹 𝑥 𝐹

𝑣 𝐹 𝑦

𝐹 𝐴

Φυςικι Α Λυκείου Σριβι

37

o Μζτρο:

Με δεδομζνθ τθν γωνία φ που ςχθματίηει θ δφναμθ με ζναν από τουσ δφο άξονεσ,

χρθςιμοποιοφμε το θμφ για να υπολογίςουμε τθν απζναντι (ςτθν γωνία) ςυνιςτϊςα

και το ςυνφ για να υπολογίςουμε τθν προςκείμενθ (ςτθν γωνία) ςυνιςτϊςα:

Fx = F· ςυνφ

Fy = F· ημφ

Αν θ δφναμθ του ςχιματοσ ζχει μζτρο F = 50N και θ γωνία είναι φ = 30o (θμ30=1/2

και ςυν30ο = √3/2).

√

√


Οι δφο ςυνιςτϊςεσ αντικακιςτοφν τθν αρχικι δφναμθ κακϊσ ςυνολικά προκαλοφν το

ίδιο αποτζλεςμα με αυτιν.

3. Η τριβι: Μια «διάςθμθ» ςυνιςτϊςα!

Όταν δφο επιφάνειεσ εφάπτονται, αςκοφν μεταξφ τουσ δυνάμεισ τθσ μορφισ «δράςθ –

αντίδραςθ».

Αν οι επιφάνειεσ δεν είναι λείεσ και θ μία κινείται,

ι τείνει να κινθκεί ςε ςχζςθ με τθν άλλθ, εμφανί-

ηονται δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ (λόγω των μι-

κρϊν ανωμαλιϊν που υπάρχουν ανάμεςα τουσ) και

εμποδίηουν τθν κίνθςθ. Η ςυνιςτϊςα αυτϊν των

δυνάμεων που είναι παράλλθλθ ςτισ επιφάνειεσ

είναι θ τριβι, ενϊ τθν ςυνιςτϊςα κάκετα ςτισ επι-

φάνειεσ ςυνθκίηουμε να τθν λζμε κάκετθ αντί-

δραςθ.

Σθν τριβι που εμφανίηεται πριν αρχίςει θ κίνθ-

ςθ τθν ονομάηουμε ςτατικι τριβι. Δεν είναι

ςτακερι, αλλά είναι ςυνεχϊσ αντίκετθ με τθν

δφναμθ που προςπακεί να κινιςει το ςϊμα.

Όταν το ςϊμα αρχίηει να «ολιςκαίνει» (δθλ., να

γλιςτράει…) θ τριβι που εμφανίηεται είναι πια

ςτακερι και ονομάηεται τριβι ολίςκθςθσ.

𝐹 𝐹 𝐴

��

Φυςικι Α’ Λυκείου Σριβι

38

Η μζγιςτθ τιμι που μπορεί να πάρει θ ςτατικι τριβι (οριακι τριβι) υπολογίηεται από τθν

ςχζςθ:

Τορ = μορ·FA (8)

Αντίςτοιχα υπολογίηεται και θ τριβι ολίςκθςθσ:

Τ = μoλ ·FA (9)

τισ προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ, (8 & 9) θ ςτακερά μ λζγεται ςυντελεςτισ τριβισ (οριακισ

και ολίςκθςθσ αντίςτοιχα), και είναι ζνασ αρικμόσ που εξαρτάται από το είδοσ των επιφα-

νειϊν που τρίβονται.


Η τριβι ολίςκθςθσ δεν εξαρτάται από τθν ταχφτθτα με τθν οποία κινείται το ζνα

ςϊμα ςε ςχζςθ με το άλλο, οφτε και από το μζγεκοσ των επιφανειϊν. Όμωσ εξαρ-

τάται από το είδοσ τουσ (υλικό, πόςο τραχιζσ είναι …) κακϊσ και τθν κάκετθ δφνα-

μθ ανάμεςα τουσ.

Η τριβι δεν εξαρτάται άμεςα από το βάροσ του ςϊματοσ. Απλϊσ θ κάκετθ αντί-

δραςθ είναι ςυχνά ίςθ με αυτό. Ζτςι, όταν το βάροσ είναι μεγάλο και ίςο με τθν

, θ τριβι είναι επίςθσ μεγάλθ.

Η τριβι ζχει φορά πάντοτε αντίκετθ από αυτιν τθσ ςχετικισ κίνθςθσ των επιφα-

νειϊν που εφάπτονται .

Συνικωσ κεωροφμε ότι ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ είναι ίςοσ με αυτόν τθσ

οριακισ τριβισ. Στθν πραγματικότθτα ο ςυντελεςτισ οριακισ τριβισ είναι λίγο με-

γαλφτεροσ.


1. Ζνα ςϊμα βάρουσ w =10N κινείται ςε οριηόντιο επί-

πεδο, χωρίσ τθν επίδραςθ κάποιασ άλλθσ οριηόντιασ

δφναμθσ εκτόσ από τθν τριβι. Ο ςυντελεςτι τριβισ

ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο είναι

μ = 0,3.

o Η κάκετθ αντίδραςθ είναι:

ΣFy = 0 FA = w = 10N.

(τθν κατακόρυφθ διεφκυνςθ το ςϊμα ιςορροπεί κακϊσ οφτε πετάει, οφτε αναπθ-

δάει!)

o Ζτςι θ τριβι που εμφανίηει κατά τθν διάρκεια τθσ κίνθςισ του είναι:

F A 𝑣

��

��


39

Τ = μ·FA = 3N.

o Η δφναμθ αυτι αντιςτζκεται ςτθν κίνθςι του και το υποχρεϊνει να κάνει ευκ.

ομαλά επιβραδυνόμενθ κίνθςθ.

2. Σο αντικείμενο του ςχιματοσ δζχεται μία οριηό-

ντια δφναμθ μζτρου F = 15N και ολιςκαίνει πάνω

ςτο οριηόντιο επίπεδο. Η μάηα του είναι m = 5kg

και ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςε

αυτό και ςτο επίπεδο είναι μ = 0,25. Η αρχικι

του ταχφτθτα είναι υαρχ =4m/s.

o Η κάκετθ αντίδραςθ υπολογίηεται από τισ

δυνάμεισ ςτον άξονα y’y (κάκετα ςτθν κίνθ-

ςθ).

ΣFy = 0 FA = m·g = 50N

o Η τριβι που εμφανίηεται είναι:

Τ = μ·FA = 12,5 N

o Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ ςτθν διεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ είναι:

ΣFx = F – T = 2,5 N

o Λόγω τθσ δφναμθσ ςτθν διεφκυνςθ x’x, το ςϊμα επιταχφνεται:

o Η ταχφτθτα που κα ζχει αποκτιςει μετά από 6 sec, κα είναι:

υ = υαρχ + α·Δt = 7m/s

3. το κιβϊτιο του ςχιματοσ, αςκοφμε τθν δφναμθ ςε γωνία κ = 45ο ωσ προσ το ο-

ριηόντιο επίπεδο. Η δφναμθ ζχει μζτρο F = 20√2 N, το κιβϊτιο μάηα m = 6kg και ο

ςυντελεςτισ τριβισ (ολίςκθςθσ και οριακόσ) που

εμφανίηει με το ζδαφοσ είναι μ = 0,3. Η αρχικι τα-

χφτθτα του κιβωτίου είναι μθδζν.

o Αρχικά αναλφουμε τθν ςε διευκφνςεισ πα-

ράλλθλα και κάκετα ςτθν κίνθςθ:

Fx = F· ςυν45ο = 20Ν

Fy = F· ημ45ο = 20Ν

o Θζλουμε να εξετάςουμε αν θ δφναμθ αρκετι

για να κινιςει το κιβϊτιο. Ζτςι πρζπει να υπο-

𝐹 𝐴

𝑣

�� 𝐹 ⬚

��

𝐹 𝐴

𝐹 𝑦 𝐹

�� κ 𝐹 𝑥

��


40

λογίςουμε και τθν τριβι και να τισ ςυγκρίνουμε.

ΣFy = 0 Fy +FA - mg = 0 FA = mg - Fy = 40N

Άρα θ οριακι τριβι είναι:

Tορ = Tολ = μ·FA = 12N

Ζτςι, επειδι Fx > Tορ, το κουτί κα αρχίςει να κινείται.

o Η επιτάχυνςθ που κα αποκτιςει είναι :

Τριγωνομετρικζσ Γνϊςεισ

θμ2φ + ςυν2φ = 1

α

φ β

γ

φ θμφ ςυνφ εφφ

0ο ι 0 rad 0 1 0

30o ι π/6 rad 1/2 √3/2 √3/3

45o ι π/4 rad √2/2 √2/2 1

60o ι π/3 rad √3/2 1/2 √3

90o ι π/2 rad 1 0 -

120o ι 2π/3 rad √3/2 -1/2 -√3

180ο ι π rad 0 -1 0

Φυςικι Α Λυκείου Δυνάμεισ

41


Σε όλεσ τισ επόμενεσ, κεωρείςτε ότι g = 10m/s2

1. Αςκοφμε μία δφναμθ μζτρου F = 30N ςτο κιβϊτιο

του διπλανοφ ςχιματοσ το οποίο βρίςκεται πάνω

ςε λείο οριηόντιο επίπεδο. Η δφναμθ αςκείται με

γωνία κ =60o ωσ προσ το οριηόντιο επίπεδο. Αν θ

μάηα του κιβωτίου είναι m = 5kg:

Α. Τπολογίςτε τθν τιμι τθσ δφναμθσ που αςκεί το οριηόντιο επίπεδο ςτο κιβϊτιο.

Β. Πόςθ επιτάχυνςθ αποκτάει;

Γ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτάσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο.

Δ. Αν κζλαμε να το ςυγκρατιςουμε ακίνθτο, πόςθ δφναμθ κα ζπρεπε να του αςκι-

ςουμε ςε οριηόντια διεφκυνςθ;

2. Πετάμε το βιβλίο τθσ φυςικισ οριηόντια ςτο

κρανίο με αρχικι ταχφτθτα 1m/s. Η μάηα του

βιβλίου είναι m =250g. Αν ο ςυντελεςτισ τριβισ

ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο κρανίο και το βιβλίο είναι μ = 0,2:

Α. χεδιάςτε όλεσ τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα και υπολογίςτε το μζτρο τθσ

κάκετθσ αντίδραςθσ που αςκεί το κρανίο ςτο βιβλίο.

Β. Πόςθ είναι θ δφναμθ τθσ τριβισ που εμφανίηεται;

Γ. Αςκείται δφναμθ τριβισ ςτο κρανίο; Αν ναι, πόςθ;

Δ. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ που αποκτάει το βιβλίο. Σι είδουσ κίνθςθ

εκτελεί;

Ε. Τπολογίςτε τον χρόνο που χρειάηεται μζχρι να ςταματιςει.

3. το ίδιο οριηόντιο επίπεδο ςπρϊχνουμε δφο ςϊματα με μάηεσ m1 =2kg και m2 = 4kg ,

ϊςτε να αποκτιςουν τθν ίδια αρχικι ταχφτθτα και μετά τα αφινουμε ελεφκερα να

κινθκοφν μζχρι να ςταματιςουν λόγω τθσ τριβισ. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ανάμεςα ςτα

ςϊματα και το επίπεδο είναι μ = 0,4.

Α. Πόςθ τριβι δζχεται το κάκε ςϊμα;

Β. Ποιο από τα δφο πιςτεφετε ότι κα ζχει μεγαλφτερθ επιτάχυνςθ;

𝐹

𝑣

Φυςικι Α’ Λυκείου Δυνάμεισ

42

Γ. Τπολογίςτε τθν επιτάχυνςθ του κάκε ενόσ.

Δ. χολιάςτε τθν απάντθςι ςασ ςτθν ερϊτθςθ Β., ςε ςχζςθ με αυτό που υπολογίςατε

ςτθν ερϊτθςθ Γ.

4. ε ζνα οριηόντιο επίπεδο βρίςκονται δφο κουτιά από ίδιο υλικό, αρχικά ακίνθτα, το

ζνα δίπλα ςτο άλλο. Σθν χρονικι ςτιγμι t =0 αςκοφμε ςτο κάκε ζνα από αυτά από μία

δφναμθ οριηόντιασ διεφκυνςθσ και μζτρου F = 16N. Οι μάηεσ τουσ είναι m1 = 4kg και m2

= 2kg ενϊ ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ που εμφανίηουν με το οριηόντιο επίπεδο

είναι μ = 0,3.

Α. Πόςθ τριβι δζχεται το κάκε ζνα κουτί;

Β. Τπολογίςτε τισ επιταχφνςεισ τουσ.

Γ. Πόςο κα απζχουν τθν χρονικι ςτιγμι t = 3s;

Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου για το κάκε ςϊμα, ςτο ίδιο ςφςτθμα αξόνων.

5. το ςϊμα του ςχιματοσ αςκοφμε μία δφναμθ μζτρου F

= 10√2 N ςε γωνία κ = 45ο ωσ προσ το οριηόντιο

επίπεδο. Ο ςυντελεςτισ τριβισ που εμφανίηεται

ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο είναι μ = 0,25 και θ

μάηα του ςϊματοσ m = 3kg.

Α. Πόςθ είναι θ κάκετθ αντίδραςθ που αςκεί το δάπεδο ςτο ςϊμα;

Β. Τπολογίςτε τθν τριβι που εμφανίηεται.

Γ. Θα κινθκεί το ςϊμα; Εξθγείςτε τθν απάντθςι ςασ.

6. Δζνουμε ζνα βαρφ κιβϊτιο με ζνα ςχοινί και

το τραβάμε όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. H

δφναμθ που αςκοφμε είναι 200√3Ν και το

κιβϊτιο ζχει μάηα m = 30kg. Η γωνία που

ςχθματίηει θ δφναμθ με το οριηόντιο

επίπεδο είναι 30ο. Σο κιβϊτιο αποκτάει επιτάχυνςθ α = 1m/s2.

Α. Πόςθ είναι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που επιταχφνει το κιβϊτιο;

Β. Ποιο είναι το μζτρο τθσ τριβι που δζχεται το κιβϊτιο;

κ

𝐹

𝐹

κ

Φυςικι Α’ Λυκείου Δυνάμεισ

43

Γ. Τπολογίςτε τον ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο κιβϊτιο και το δάπεδο.

Δ. Πόςθ κα ιταν θ τριβι αν αςκοφςαμε τθν δφναμθ ςε οριηόντια διεφκυνςθ;

7. Πάνω ςε ζνα κεκλιμζνο επίπεδο γωνίασ κλίςθσ κ = 30ο, γλιςτρά κατεβαίνοντασ με

ςτακερι ταχφτθτα ζνα αντικείμενο μάηασ m. Ο

ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ που εμφανίηεται

είναι μ.

Α. χεδιάςτε τισ δυνάμεισ που δζχεται το

αντικείμενο και αναλφςτε το βάροσ ςε

ςυνιςτϊςεσ παράλλθλα και κάκετα ςτο

επίπεδο.

Β. Πόςθ είναι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχεται ςε κάκε μία από τισ δφο

προθγοφμενεσ διευκφνςεισ;

Γ. Γράψτε τθν εξίςωςθ υπολογιςμοφ τθσ τριβισ, ςε ςυνάρτθςθ με τθν μάηα του

ςϊματοσ.

Δ. Με τθν βοικεια των προθγοφμενων εξιςϊςεων, υπολογίςτε τον ςυντελεςτι τριβισ

ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο.

κ

Φυςικι Α’ Λυκείου Κινιςεισ με τθν επίδραςθ του Βάρουσ

44

Κινήςεισ με την επίδραςη του βάρουσ

1. Ζνα αντικείμενο αφινεται να πζςει … ςτο κενό…

Αν ςε ζνα ςϊμα αςκείται μόνο το βάροσ του, και το αφιςουμε να πζςει, εκτελεί ευκ. ομα-

λά επιταχυνόμενθ κίνθςθ, χωρίσ αρχικι ταχφτθτα. Η κίνθςθ λζγεται και ελεφκερθ πτϊςθ.

Η επιτάχυνςθ που αποκτάει είναι:

2. Οι εξιςϊςεισ τθσ κίνθςθσ (ελεφκερθσ πτϊςθσ):

Η ταχφτατα που αποκτάει μετά από χρόνο πτϊςθσ Δt, είναι :

υ = g·Δt

Η απόςταςθ y που διανφει πζφτοντασ:

3. Τα διαγράμματα τθσ κίνθςθσ:

Θεωρϊντασ κετικι φορά προσ τα κάτω…


Η αντίςταςθ του αζρα κοντά ςτθν γθ δεν είναι μθδζν. Όμωσ, όταν είναι πολφ μικρότερθ

από το βάροσ του ςϊματοσ, μπορεί να κεωρθκεί αμελθτζα, και τότε θ κίνθςθ του ςϊ-

ματοσ προςεγγίηει πολφ τθν ελεφκερθ πτϊςθ.

1 2

5

10

15

20

25

t (s)

v (m/s)

1 2 3

5

10

15

20

25

30

35

40

45

t (s)

y (m)


45

4. Αν πετάξω ζνα ςϊμα κατακόρυφα προσ τα πάνω ι προσ τα κάτω;

Η κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλά μεταβαλλόμενθ με αρχικι ταχφτθτα και επιτάχυνςθ .

(κατακόρυφθ βολι).

Αν θ αρχικι ταχφτθτα είναι προσ τα κάτω (δθλ. είναι ομόρροπθ τθσ ), θ κίνθςθ εί-

ναι ευκ. ομαλά επιταχυνόμενθ, ενϊ αν θ είναι προσ τα πάνω, (αντίρροπθ τθσ ), θ

κίνθςθ ξεκινάει ωσ ευκ. ομαλά επιβραδυνόμενθ.

5. Οι εξιςϊςεισ τθσ κατακόρυφθσ βολισ:

Κατακόρυφθ βολι προσ τα κάτω:

Κατακόρυφθ βολι προσ τα πάνω:


Όπου υ, y οι αλγεβρικζσ τιμζσ τθσ ςτιγμιαίασ ταχφτθτασ και

τθσ κζςθσ του ςϊματοσ (ςε ςχζςθ με το ςθμείο βολισ). Άρα,

τα μεγζκθ αυτά μποροφν να ζχουν κετικι ι αρνθτικι τιμι,

ανάλογα με το πωσ κινείται το ςϊμα και τθν κζςθ που βρίςκεται.

6. Αν θ βολι γίνει οριηόντια;

ε αυτιν τθν περίπτωςθ, το αντικείμενο κάνει ταυτό-

χρονα δφο κινιςεισ:

Κατακόρυφα πζφτει με τθν επιτάχυνςθ τθσ βαρφ-

τθτασ (ελεφκερθ πτϊςθ)

𝑣 ⬚

𝑔 y

𝑣 𝛼𝜌𝜒

𝑣 ⬚

𝑔

y

𝑣 𝛼𝜌𝜒

𝑣 𝛼𝜌𝜒


46

Οριηόντια δεν δζχεται καμία δφναμθ άρα κινείται με ςτακερι ταχφτθτα, αυτιν που

είχε αρχικά όταν το πετάξαμε…

7. Οι εξιςϊςεισ των δφο επιμζρουσ κινιςεων:

τθν οριηόντια διεφκυνςθ, όπου δεν αςκείται καμία δφναμθ, θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ

ομαλι.

τθν κατακόρυφθ διεφκυνςθ, όπου αςκείται μόνο το βάροσ, ενϊ ςτθν διεφκυνςθ αυτι δεν

υπάρχει αρχικι ταχφτθτα (… ελεφκερθ πτϊςθ).

υy = g·Δt

Η απόςταςθ y που διανφει πζφτοντασ:

8. Η ταχφτθτα του αντικειμζνου ...

… είναι το διανυςματικό άκροιςμα των (= ) και :

√

x

y 𝑣 𝛼𝜌𝜒

𝑣 𝛼𝜌𝜒

𝑣 𝑦 θ

𝑣 ⬚


47

Παραδείγματα

1. Πετάμε ζνα ςϊμα κατακόρυφα προσ τα πάνω με αρχικι ταχφ-

τθτα υαρχ = 20m/s.

Μετά από χρόνο Δt = 1s, θ ταχφτθτά του κα είναι :

υ = υαρχ – g·Δt = 10m/s

Η κατακόρυφθ μετατόπιςι του κα είναι:

y = υαρχ ·Δt – ½ g·Δt2 = 15m

2. Σο προθγοφμενο αντικείμενο, μετά από χρόνο Δt = 2s, κα ζχει ταχφτθτα:

υ = υαρχ – g·Δt = 0

Η κατακόρυφθ μετατόπιςθ του κα είναι:

y = υαρχ ·Δt – ½ g·Δt2 = 20m

τθν κζςθ αυτι το αντικείμενο ςταματάει ςτιγμιαία, πριν αρχίςει να ξαναπζ-

φτει. Ζτςι, τα 20m, είναι και το μζγιςτο φψοσ ςτο οποίο φτάνει.

3. ε μια επόμενθ χρονικι ςτιγμι, π.χ., για Δt = 4s:

υ = υαρχ – g·Δt = -20m/s

y = υαρχ ·Δt – ½ g·Δt2 = 0.

Σο αρνθτικό πρόςθμο τθσ ταχφτθτασ δείχνει ότι το αντικείμενο

κινείται ςε κατεφκυνςθ αντίκετθ από εκείνθ τθσ αρχικισ ταχφτθ-

τασ, άρα προσ τα κάτω. Ζτςι, αφοφ και θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφ-

τθτασ είναι προσ τα κάτω θ κίνθςθ ζχει γίνει επιταχυνόμενθ!

Η μετατόπιςθ ζγινε μθδζν, άρα επζςτρεψε ςτο ςθμείο από όπου το είχαμε πε-

τάξει…

𝑣 𝛼𝜌𝜒

𝑔

𝑔

𝜐

Φυςικι Α’ Λυκείου Κυκλικι Κίνθςθ

48

Κυκλική Κίνηςη

1. Όταν θ δφναμθ ςχθματίηει γωνία με τθν ταχφτθτα…

Η επιτάχυνςθ αλλάηει τουλάχιςτον τθν διεφκυνςθ τθσ ταχφτθ-

τασ και θ κίνθςθ είναι καμπυλόγραμμθ…

Η κίνθςθ που κάνει μία πζτρα δεμζνθ ςε ζνα ςχοινί…

Η κίνθςθ που κάνει ζνα ςϊμα όταν το πετάμε οριηό-

ντια…

Η κίνθςθ που κα κάνει ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι αν τθν ϊρα που κινείται το

ςπρϊξουμε από το πλάι…

2. Αν θ δφναμθ παραμζνει ςυνεχϊσ κάκετθ ςτθν ταχφτθτα…

Σότε αλλάηει μόνο θ διεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ ενϊ το μζ-

τρο τθσ ταχφτθτασ παραμζνει ςτακερό. Ζτςι, το ςϊμα

ςε ίςεσ χρονικζσ διάρκειεσ διανφει ίςα διαςτιματα Δs

(…τόξα).

Π.χ., αν το μζτρο τθσ ταχφτθτασ με τθν οποία πε-

ριςτρζφεται ζνα αντικείμενο είναι 2m/s, κάκε

δευτερόλεπτο κα διανφει τόξο μικουσ 2m.

Η τροχιά που διαγράφει το αντικείμενο είναι κυκλικι. Η κίνθςθ ονομάηεται ομαλι κυκλι-

κι.

Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να εκτελζςει μία πλιρθ περιςτροφι, είναι πάντα ο ί-

διοσ, και ονομάηεται περίοδοσ τθσ κίνθςθσ, Τ.

Ο αρικμόσ των περιςτροφϊν που κάνει το αντικείμενο ανά δευτερόλεπτο, λζγεται

ςυχνότθτα τθσ κίνθςθσ, f .

Αν ςε χρόνο Δt κάνει Ν περιςτροφζσ, ιςχφει ότι:

Σα δφο μεγζκθ ςυνδζονται με τθν ςχζςθ:

Δθλαδι, αν οι περιςτροφζσ που ζχει ολοκλθρϊςει το ςϊμα είναι Ν = 1, ο χρόνοσ που κα

ζχει χρειαςτεί κα είναι μία περίοδοσ, Δt = T

Μονάδα περιόδου είναι το sec, μονάδα ςυχνότθτασ το Hz (Herz = 1ςτροφι/sec)

𝑣

κ

𝐹

𝑣

Δs

R

Δκ


49

Ζνα αντικείμενο εκτελεί ομαλι κυκλικι κίνθςθ και ςε χρόνο Δt = 4sec, περιςτρζφε-

ται Ν = 28 φορζσ. Η ςυχνότθτά του είναι

. Η περίοδοσ τθσ κίνθ-

ςισ του είναι

3. Οι ταχφτθτεσ ςτθν κυκλικι κίνθςθ.

Η ταχφτθτα με τθν οποία διαγράφει το τόξο του κφκλου είναι θ

γραμμικι ταχφτθτα . Σο μζτρο τθσ υπολογίηεται:

Σο διάνυςμα τθσ γραμμικισ ταχφτθτασ είναι ςυνεχϊσ ε-

φαπτόμενο ςτθν κυκλικι τροχιά.

Κακϊσ το αντικείμενο περιςτρζφεται, θ ακτίνα

τθσ τροχιάσ του διαγράφει μία γωνία Δκ. Σο

«πόςο γριγορα» διαγράφεται αυτι θ γωνία

μασ το δείχνει θ γωνιακι ταχφτθτα . Σο μζ-

τρο τθσ υπολογίηεται:

Σο διάνυςμα τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ είναι ςυνεχϊσ κάκετο ςτο επίπεδο τθσ τρο-

χιάσ.

Σα μζτρα των δφο ταχυτιτων ςυνδζονται με τθν εξίςωςθ:

υ = ω·R

όπου R είναι θ ακτίνα τθσ τροχιάσ.

Ενϊ θ γωνία που διαγράφει το ςϊμα κακϊσ περιςτρζ-

φεται είναι ανεξάρτθτθ τθσ ακτίνασ τθσ τροχιάσ του, το

τόξο που διανφει είναι τόςο μεγαλφτερο όςο μεγαλφτε-

ρθ είναι θ ακτίνα. Ζτςι, θ ταχφτθτα με τθν οποία μετακι-

νείται πάνω ςτθν κυκλικι του τροχιά, (…γραμμικι ταχφ-

τθτα) είναι τόςο μεγαλφτερθ όςο είναι θ ακτίνα τθσ τρο-

χιάσ.

Οι δφο ςφαίρεσ ςτο διπλανό ςχιμα διαγράφουν και οι δφο γωνία Δθ = π/2 rad, ςε

χρόνο Δt = 3s . Ζτςι θ γωνιακι τουσ ταχφτθτα είναι: ω1 = ω2 = ω = Δθ/Δt = π/6 r/s.

Για τισ γραμμικζσ ταχφτθτεσ, αν R1 = 3m και R2 = 2m, ιςχφει:

��

𝛥𝜃

R 𝜐

𝑣 Δs

𝑣

𝑣 Δs1

Δs2

Δκ


50

υ1 = ω·R1 = π/2 m/s & υ2 = ω·R2 = π/3 m/s


Από τθν γεωμετρία γνωρίηουμε ότι ζνα τόξο και ι αντίςτοιχθ του επίκεντρθ γωνία

ςυνδζονται με τθν εξίςωςθ:

Δs = R·Δκ

Από τθν εξίςωςθ αυτι, αν διαιρζςουμε με τον χρόνο προκφπτει θ ςχζςθ υ = ω·R.

Σαν μονάδα μζτρθςθσ τθσ γωνίασ χρθςιμοποιοφμε το ακτίνιο (rad). Ιςχφει ότι ακτί-

νια αντιςτοιχοφν ςε γωνία 180ο (π.χ., 2π rad 360o, π/2 rad 90o κ.λ.π.)

Όταν κζλουμε να υπολογίςουμε μικοσ τόξου, αντικακιςτοφμε όπου τθν π = 3,14.

Π.χ., το μικοσ τθσ περιφζρειασ ενόσ κφκλου ακτίνασ R=2m είναι:

s = 2π·R = 2·3,14·2=12,56m.

4. Ζνα ςϊμα κάνει ομαλι κυκλικι κίνθςθ. Ζχει επιτάχυνςθ;

Η διεφκυνςθ τθσ γραμμικισ ταχφτθτασ

αλλάηει ςυνεχϊσ, άρα υπάρχει επιτά-

χυνςθ που ςχετίηεται με τθν αλλαγι

τθσ διεφκυνςθσ τθσ ταχφτθτασ.

H επιτάχυνςθ αυτι, ζχει κατεφκυνςθ

προσ το κζντρο τθσ τροχιάσ και ονομά-

ηεται κεντρομόλοσ, .

Σο μζτρο τθσ κεντρομόλου επιτάχυνςθσ υπολογίηεται από τθν εξίςωςθ και είναι

ςτακερό:

5. Ποια δφναμθ αςκείται ςτο ςϊμα που κάνει ομαλι κυκλικι κίνθςθ;

Για να «ςτρίψει» το ςϊμα πρζπει να δζχεται δφναμθ (θ δυνάμεισ)

κάκετα ςτθν ταχφτθτα του δθλ. ςτθν διεφκυνςθ τθσ ακτίνασ τθσ

τροχιάσ του. Η ςυνιςταμζνθ όλων των δυνάμεων ςτθν διεφκυνςθ

τθσ ακτίνασ λζγεται κεντρομόλοσ δφναμθ, Fκ ( … = Fr) και είναι

αυτι που προκαλεί τθν κεντρομόλο επιτάχυνςθ:

Fκ = ΣFr = m·ακ

𝑣 𝛼𝜌𝜒 𝑣 𝛼𝜌𝜒

𝛼 𝑣 𝜏𝜀𝜆 𝛥𝑣 ⬚

𝑣 𝜏𝜀𝜆

R

𝐹 𝑁

𝑣

��


51

Ζνα ςϊμα μάηασ m =2kg, περιςτρζφεται ςε κυκλικι τροχιά ακτίνασ R = 4m με ταχφ-

τθτα ςτακεροφ μζτρου υ = 2m/s. Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ που δζχεται ζχει μζ-

τρο:

ακ = υ2/R = 4/4 m/s2 = 1m/s2.

Η ςυνιςτάμενθ των δυνάμεων που δζχεται το προθγοφμενο αντικείμενο είναι ςτθν

διεφκυνςθ τθσ ακτίνασ (κεντρομόλοσ) και ζχει μζτρο: Fκ = m·ακ = 2Ν. το ςϊμα που

φαίνεται ςτο ςχιμα κα είναι: FN – w = m·ακ . ...


Η κεντρομόλοσ δφναμθ δεν είναι μία επιπλζον δφναμθ που αςκείται ςτο ςϊμα που κά-

νει κυκλικι κίνθςθ, αλλά θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων που ιδθ δζχεται, ςτθν διεφ-

κυνςθ τθσ ακτίνασ του…

6. Εξιςϊςεισ, ςχζςεισ μεγεκϊν ςτθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ….

Αν το ςϊμα που περιςτρζφεται εκτελζςει μία περιςτροφι:

o Θα διανφςει τόξο ίςο με τθν περιφζρεια του κφκλου, δθλαδι Δs = 2π·R, ςε χρόνο

Δt = Σ. Ζτςι θ γραμμικι ταχφτθτα ζχει μζτρο:

o Θα διαγράψει γωνία Δκ=2π (…360ο) ςε χρόνο Δt = T. Άρα:

o Για τθν κεντρομόλο δφναμθ μποροφμε να γράψουμε ότι:


Στθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ, θ ςυχνότθτα και θ περίοδοσ παραμζνουν ςτακερζσ. Στακε-

ρι είναι και θ γωνιακι ταχφτθτα , ενϊ τα μεγζκθ «γραμμικι ταχφτθτα », «κεντρο-

μόλοσ δφναμθ » και «κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ » διατθροφνται ςτακερά μόνο ωσ

προσ το μζτρο τουσ, αλλά αλλάηουν ςυνεχϊσ διεφκυνςθ.


52


1. Ζνα αυτοκίνθτο κινείται ςε οριηόντιο κυκλικό δρόμο, με ταχφτθτα μζτρου υ = 10m/s. Η

ακτίνα τθσ τροχιάσ του είναι R = 50m και θ μάηα του αυτοκινιτου m = 1200kg.

Η περίοδοσ τθσ κίνθςθσ του (δθλ. ο χρόνοσ για να εκτελζςει μία περιςτροφι) κα είναι:

υ = 2πR/T T = 2πR/υ = 6,28·50/10 s = 31,4s

Η ςυχνότθτα περιςτροφισ του είναι :

f =1/T = 1/31,4 Ηz.

Η γωνιακι ταχφτθτα περιςτροφισ του είναι:

ω = 2π/Τ = 2·3,14/31,4 r/s = 0,2 r/s.

(ι αλλιϊσ υ = ω·R ω = υ/R = 10/50 r/s = 0,2 r/s )

Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ που δζχεται ζχει μζτρο:

ακ = υ2/R = 2m/s2

Η κεντρομόλοσ δφναμθ που δζχεται ζχει μζτρο:

Fκ = m·ακ = 2400Ν

2. Μία ςφαίρα είναι δεμζνθ ςτο άκρο ενόσ νιμα-

τοσ και περιςτρζφεται ςε κατακόρυφο επίπεδο

με κατάλλθλο τρόπο ϊςτε να διατθρείται ςτα-

κερι θ γωνιακι τθσ ταχφτθτα. Η ακτίνα περι-

ςτροφισ τθσ είναι R = 2m, θ μάηα τθσ είναι m

=100g (…= 0,1kg) και κάνει N = 4 περιςτροφζσ ςε

χρόνο Δt = 2s.

H ςυχνότθτα περιςτροφισ τθσ είναι:

f = N/Δt = 2Hz.

Η περίοδοσ περιςτροφισ τθσ είναι:

Τ = 1/f = 0,5s

��

R

𝑣 𝐹 𝜅

��

κ 𝐹 𝑁

𝐹 𝑁 �� 𝑟

𝑣

��


53

Η γωνιακι τθσ ταχφτθτα ζχει μζτρο :

ω = 2π·f = 4π r/s

H γραμμικι τθσ ταχφτθτα ζχει μζτρο:

υ = ω·R = 8π m/s

Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ που δζχεται είναι:

ακ = ω2·R = 16π2 m/s2

Η κεντρομόλοσ δφναμθ που δζχεται ζχει μζτρο:

Fκ = m·ακ = 1,6π2 Νewton.

Αν κζλουμε να υπολογίςουμε τθν δφναμθ που αςκεί το νιμα ςτθν ςφαίρα όταν αυτι

περνάει από το κατϊτερο ςθμείο τθσ τροχιάσ τθσ:

Fκ = ΣFr = FN – m·g FN = m·g + Fκ = 1+1,6π2 ≈ 17 Νewtons

ε μία κζςθ όπου το νιμα ςχθματίηει γωνία κ = 30ο με τθν κατακόρυφθ, ρόλο κεντρο-

μόλου ζχει θ ςυνιςτϊςα του βάρουσ wr μαηί με τθν τάςθ του νιματοσ:

Fκ = ΣFr = FN – wr = FN – m·g·ςυν30ο

3. Ζνα δφο αντικείμενα Α και Β κινοφνται πάνω ςε κυ-

κλικι τροχιά ακτίνασ R = 3m. Η γωνιακι ταχφτθτα

του Α ζχει μζτρο ωΑ = 0,2π r/s ενϊ του Β, ωΒ = 0,6π

r/s.

Η γραμμικι ταχφτθτα του Α είναι :

υA = ωΑ ·R = 0,6π m/s

Η γραμμικι ταχφτθτα του B είναι :

υB = ωB ·R = 1,8π m/s

Αν τα δφο αντικείμενα αρχικά βρίςκονταν ςτο

ίδιο ςθμείο και περιςτρζφονται προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ:

To A διαγράφει γωνία ΔθΑ = ωΑ·Δt.

To B διαγράφει γωνία ΔθB = ωB·Δt.

Σο Β που περιςτρζφεται πιο γριγορα κα προθγθκεί του Α και κάποια ςτιγμι όταν

κα ζχει ολοκλθρϊςει ζναν κφκλο περιςςότερο (…δθλαδι όταν κα ζχει διαγράψει

γωνία κατά 2π rad περιςςότερθ από το Α), κα το ξαναφτάςει. Αυτό κα ςυμβεί

όταν:

B 𝑣 𝐵

A 𝑣 𝐴

ΔκΑ

ΔκΒ


54

ε αυτόν τον χρόνο το A ζχει διανφςει διάςτθμα

ΔsA = υA· Δt = 3π m.

Αν τα δφο αντικείμενα αρχικά βρίςκονταν ςτο ίδιο ςθμείο και περιςτρζφονται

προσ ςε αντίκετεσ κατευκφνςεισ:


55

Αςκιςεισ – Ερωτιςεισ

1. Δφο αντικείμενα κινοφνται ομαλά ςε κυκλικζσ τροχιζσ ίδιασ ακτίνασ ζτςι ϊςτε το Α να

ζχει διπλάςια γωνιακι ταχφτθτα από το Β. Σι από τα παρακάτω πιςτεφετε ότι ιςχφει;

Α. Σα δφο αντικείμενα κινοφνται χωρίσ επιτάχυνςθ.

Β. Σο Α ζχει διπλάςια κεντρομόλο επιτάχυνςθ από το Β

Γ. Σο Α ζχει τετραπλάςια επιτάχυνςθ από το Β

Δ. Σο Α ζχει τθν μιςι κεντρομόλο επιτάχυνςθ από το Β.

2. Ζνασ ιμάντασ είναι περαςμζνοσ ςτουσ τροχοφσ

(1) και (2) που περιςτρζφεται με ςτακερι

γωνιακι ταχφτθτα όπωσ ςτο ςχιμα. Ποια

ςθμεία πιςτεφετε ότι ζχουν επιτάχυνςθ;

Α. Σο Α και το Β Β. Σο Α

Γ. Σο Β Δ. Κανζνα

3. το ςφςτθμα των τροχϊν τθσ προθγοφμενθσ ερϊτθςθσ:

Α. Όλα τα ςθμεία του ιμάντα ζχουν τθν ίδια ταχφτθτα

Β. Όλα τα ςθμεία του ιμάντα ζχουν γωνιακι ταχφτθτα (≠0)

Γ. Οι δφο τροχοί περιςτρζφονται με τθν ίδια γωνιακι ταχφτθτα

Δ. Σα ςθμεία τθσ περιφζρειασ των τροχϊν ζχουν το ίδιο μζτρο γραμμικισ ταχφτθτασ.

4. Ζνα αντικείμενο εκτελεί ομαλι κυκλικι κίνθςθ και ςε χρόνο 6 sec διαγράφει 3

περιςτροφζσ. Η ακτίνα περιςτροφισ του είναι R = 0,4m.

Α. Πόςθ είναι θ ςυχνότθτα περιςτροφισ του και ποια θ περίοδοσ;

Β. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ γωνιακισ του ταχφτθτασ.

Γ. Ποιο είναι το μζτρο τθσ κεντρομόλου επιτάχυνςθσ που δζχεται;

Δ. Να υπολογίςετε τθν γωνία που κα ζχει περιςτραφεί ςε χρονικι διάρκεια Δt = 1,5s.

Α

Β (2)

(1)


56

5. Η ςελινθ περιςτρζφεται γφρω από τθν γθ ολοκλθρϊνοντασ μία περιςτροφι ςε 28

μζρεσ (περίπου). Αν κεωριςουμε ότι θ περιςτροφι είναι απόλυτα κυκλικι ςε

απόςταςθ 385000 km από το κζντρο τθσ γθσ, υπολογίςτε:

Α. Σο μζτρο τθσ γραμμικισ ταχφτθτασ περιςτροφισ τθσ ςελινθσ

Β. Σθν γωνιακι ταχφτθτα περιςτροφισ τθσ ςελινθσ.

Γ. Η μάηα τθσ ςελινθσ είναι προςεγγιςτικά m = 7,5·1022kg. Ποιο είναι το μζτρο τθσ

δφναμθσ που δζχεται από τθν γθ;

(π =3,14. Χρθςιμοποιείςτε κομπιουτεράκι για τουσ υπολογιςμοφσ ςασ)

6. Δφο ποδθλάτεσ Α και Β περιςτρζφονται ςε κυκλικό ςτίβο, με ταχφτθτεσ ςτακεροφ με-

τρου προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ. Αν θ γραμμικι ταχφτθτα του Α ζχει μζτρο υA = 5m/s

και του Β υB = 6m/s και θ ακτίνα του ςτίβου είναι 40m, να υπολογίςετε.

Α. Σθν τιμι τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ του κάκε ποδθλάτθ.

Β. Σον χρόνο που χρειάηεται ο κάκε ζνασ για να κάνει μία πλιρθ περιςτροφι.

Γ. Αρχικά οι δφο ποδθλάτεσ ξεκίνθςαν από τθν ίδια κζςθ. Ποιοσ από τουσ δφο κα

προθγθκεί; ε πόςο χρόνο κα προλάβει τον άλλο για πρϊτθ φορά;

7. Αφινουμε μία μικρι ςφαίρα να κινθκεί

ςε μία θμικυκλικι τροχιά όπωσ ςτο

διπλανό ςχιμα. Σθν ςτιγμι που περνάει

από το κατϊτερο ςθμείο τθσ τροχιάσ τθσ

Α, ζχει ταχφτθτα μζτρου υ = 2m/s. Η

μάηα τθσ είναι m = 200g και θ ακτίνα τθσ

τροχιάσ R = 20cm.

Α. χεδιάςτε τισ δυνάμεισ που δζχεται θ

ςφαίρα ςτθν κζςθ Α.

Β. Πόςθ είναι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ ςτθν κατακόρυφθ διεφκυνςθ;

Γ. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ κάκετθσ αντίδραςθ που δζχεται θ ςφαίρα από το ζδαφοσ.

Δ. Πόςθ κα ιταν θ προθγοφμενθ δφναμθ, αν θ ςφαίρα κινοφταν ευκφγραμμα με το

ίδιο μζτρο ταχφτθτασ;

Δίνεται ότι g = 10m/s2 .

R

A

Φυςικι Α’ Λυκείου Ορμι

57

Ορμή

1. Πόςο εφκολα (… θ δφςκολα) ςταματάει ζνα αντικείμενο;

Εξαρτάται από τθν ταχφτθτα, αλλά και από τθ μάηα του.

Σο λεωφορείο ςταματάει πιο δφςκολα από το

ποδιλατο που κινείται με τθν ίδια ταχφτθτα.

Ζνα αυτοκίνθτο κα ςταματιςει πιο εφκολα αν κινείται με μικρι τα-

χφτθτα…

2. Τελικά, αρκεί να γνωρίηουμε μόνο τθν ταχφτθτα ενόσ αντικειμζνου, για

να προβλζψουμε πόςο εφκολα κα αλλάξει θ ο τρόποσ κίνθςισ του;

Πρζπει να γνωρίηουμε και τθ μάηα του. Ζτςι, ορίηουμε ζνα μζγεκοσ που περιλαμβάνει και

τθν μάηα m και τθν ταχφτθτα :

Ορμι , είναι το διανυςματικό μζγεκοσ που προκφπτει από το

γινόμενο τθσ μάηασ επί τθν ταχφτθτα του ςϊματοσ.

Μονάδα: kg·m/s.

Παράδειγμα.

Δφο αντικείμενα με μάηεσ m1 =2kg και m2 =4kg αφινονται ελεφκερα να πζςουν.

Κάποια ςτιγμι ζχουν και τα δφο ταχφτθτεσ μζτρου υ1 = υ2 =20m/s.

Η ορμι του πρϊτου είναι p1 = m1·υ1 = 40kg·m/s ενϊ του δεφτερου είναι p2 = m2·υ2

= 80kg·m/s. Αν και οι ταχφτθτεσ τουσ είναι ίδιεσ, το δεφτερο ζχει μεγαλφτερθ ορμι

και ςταματάει ποιο δφςκολα…

3. Πωσ μπορεί να αλλάξει θ ορμι ενόσ ςϊματοσ;

Αν αλλάξει θ μάηα του, m

Αν αλλάξει θ ταχφτθτα του, .

Όμωσ, αλλαγι τθσ ταχφτθτασ ςθμαίνει επιτάχυνςθ.

Σθν επιτάχυνςθ τθν προκαλεί θ δφναμθ.

𝑝

m 𝑣

𝐹 → 𝛼 → 𝛥𝜐 → Δ𝑝

𝛥𝑝 𝑝 𝜏𝜀𝜆 𝑝 𝛼𝜌𝜒

𝑝 𝛼𝜌𝜒 𝑝 𝜏𝜀𝜆

𝑝 𝛼𝜌𝜒 𝑝 𝜏𝜀𝜆

𝑝 𝛼𝜌𝜒

𝑝 𝜏𝜀𝜆


58

4. Ποια ςχζςθ ςυνδζει τθν δφναμθ με τθν μεταβολι τθσ ορμισ;

Η δφναμθ, εκτόσ από μεταβολι ςτθν ταχφτθτα, προκαλεί μεταβολι και ςτθν ορμι. Όςο

μεγαλφτερθ είναι, τόςο ποιο γριγορα αλλάηει θ ορμι. Δθλαδι:

Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ είναι ίςθ με τον ρυκμό μεταβολισ τθσ ορμισ (2οσ Νόμοσ του Νεφ-

τωνα).


1. Ζνα αντικείμενο δζχεται δφναμθ μζτρου F = 20N για χρονικι διάρκεια Δt = 5s. Αυ-

τό ζχει ςαν αποτζλεςμα θ ορμι του να μεταβλθκεί κατά 100 kg.m/s:

2. Μία μοτοςικλζτα κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ=20m/s, και θ μάηα τθσ είναι

m=250kg (μαηί με τον αναβάτθ). Αν θ δφναμθ τθ αςκεί το ςφςτθμα των φρζνων

τθσ είναι F = - 400N (αντίκετα ςτθν φορά κίνθςθσ), για να ςταματιςει κα χρειαςτεί

χρόνο Δt που υπολογίηεται ωσ:

Ζνα αυτοκίνθτο που κινείται με τθν ίδια ταχφτθτα και ζχει μάηα m2 = 1500kg, για

να ςταματιςει ςτον ίδιο χρόνο πρζπει να δεχκεί δφναμθ:

3. Ζνασ ακλθτισ μάηασ m = 76kg, ςτο άλ-

μα επί κοντϊ, πζφτει ςτο ςτρϊμα με

ταχφτθτα υ = 9m/s. Ο χρόνοσ που

χρειάηεται για να ςταματιςει είναι Δt

= 2s, και ζτςι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ

που δζχεται ζχει μζτρο:

| |

Αν δεν υπιρχε το …ςτρϊμα, κα ςτα-

ματοφςε ςε χρόνο Δt2 =0,5s (…πιο α-

πότομα!)

Σότε θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που κα δεχόταν κα είχε μζτρο:

| |

!


59

5. Ο 2οσ Νόμοσ του Νεφτωνα & ο Θεμελιϊδθσ Νόμοσ τθσ Μθχανικισ:

υνδυάηοντασ τθν εξίςωςθ που περιγράφει τον δεφτερο νόμο του Νεφτωνα και τισ εξιςϊ-

ςεισ οριςμοφ τθσ επιτάχυνςθσ και τθσ ορμισ, γράφουμε:

Σφμφωνα με τθν προθγοφμενθ, αν θ μάηα είναι ςτακερι, ο δεφτεροσ νόμοσ του

Νεφτωνα και ο Θεμελιϊδθσ νόμοσ τθσ μθχανικισ είναι ιςοδφναμοι…


1. Ζνα ςϊμα μάηασ m = 2kg, δζχεται δφναμθ και θ ταχφτθτα του μεταβάλλεται από

υ1 = 5m/s ςε υ2 = 10m/s. Ο χρόνοσ που χρειάςτθκε για τθν μεταβολι αυτι ιταν Δt

= 5s.

Εφαρμόηοντασ τον 2ο Ν.Ν., υπολογίηουμε το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ:

το ίδιο καταλιγουμε και από τον Θ.Ν.Μ.:

και .

2. Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχεται ζνα ςϊμα, ζχει μζτρο F = 30Ν. φμφωνα με

τον 2ο Νόμο του Νεφτωνα, αυτόσ κα είναι και ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ορμισ

του:

.

(Αυτό ςθμαίνει ότι κάκε δευτερόλεπτο θ ορμι του ςϊματοσ αλλάηει κατά

30kg.m/s)


60

6. Δφο ι παραπάνω ςϊματα που αλλθλεπιδροφν αποτελοφν ζνα ςφςτθμα

ςωμάτων.

Η ορμι ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων είναι το διανυςματικό άκροιςμα των ορμϊν, όλων των

ςωμάτων που αποτελοφν το ςφςτθμα.


Δφο ςφαίρεσ κινοφνται όπωσ ςτο ςχιμα, ςε

αντίκετεσ κατευκφνςεισ. Οι μάηεσ τουσ είναι

m1 = 0,2kg, m2=0,4kg και οι ταχφτθτεσ τουσ

ζχουν μζτρο υ1 = 10m/s και υ2 = 5m/s αντί-

ςτοιχα. Η ορμι του ςυςτιματοσ του κα είναι:

και , κεωρϊντασ κετικι φορά προσ τα δεξιά:

7. Πωσ μπορεί να αλλάξει θ ορμι ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων;

Αν τα ςϊματα του ςυςτιματοσ δζχονται δυνάμεισ εξωτερικζσ (δθλαδι που προζρχονται

από ςϊματα εκτόσ του ςυςτιματοσ), κα αλλάηει θ ολικι ορμι του ςυςτιματοσ.

Παράδειγμα:

Δφο μπάλεσ του bowling (ςφςτθμα) κινοφνται προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ, όπωσ ςτο

ςχιμα. Οι ταχφτθτζσ τουσ ζχουν μζτρο υ1 = 2m/s και υ2 =1m/s και οι μάηεσ τουσ εί-

ναι m1 = m2 = 5kg. Η ορμι του ςυςτιματοσ τουσ ζχει μζτρο:

𝑝 𝑝

(+)


61

pολ=p1 +p2 =m·υ1 + m·υ2 = 15kg.m/s.

Κάποια ςτιγμι θ πρϊτθ μπάλα χτυπάει

ςτον τοίχο (ο οποίοσ δεν ανικει ςτο ςφ-

ςτθμα), δζχεται δφναμθ από αυτόν και

ςταματάει. Η ορμι του ςυςτιματοσ τϊρα

γίνεται:

pολ’ = p2 = 5kg.m/s.

8. Αν ςτα ςϊματα του ςυςτιματοσ αςκοφνται μόνο εςωτερικζσ δυνάμεισ

(οι μεταξφ τουσ δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ), οι ορμζσ τουσ μεταβάλλο-

νται με τζτοιο τρόπο ϊςτε θ ςυνολικι ορμι να μθν αλλάηει… Γιατί;

Δφο αντικείμενα κινοφνται το

ζνα προσ το άλλο ζτςι ϊςτε

να ςυγκρουςτοφν. Οι μάηεσ

τουσ είναι m1 και m2 και οι

ταχφτθτεσ τουσ υ1 και υ2 α-

ντίςτοιχα. Σθν ςτιγμι που ςυ-

γκροφονται, αςκοφν το ζνα ςτο άλλο δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ F12 και F21 (ςχιμα).

Ζτςι θ ορμι του κακενόσ αλλάηει, ςφμφωνα με τον 2ο Νόμο του Νεφτωνα:

Όμωσ οι δφο δυνάμεισ είναι τθσ μορφισ Δράςθ – Αντίδραςθ, άρα ιςχφει ότι:

F12 = - F21

Η ςυνολικι μεταβολι τθσ ορμισ κα είναι:

Λόγω τθσ ςχζςθσ των F12 και F21 καταλιγουμε:

Δθλαδι: Οι δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ ανάμεςα ςτα ςϊματα, προκαλοφν αντίκε-

τεσ μεταβολζσ ςτθν ορμι του ςυςτιματοσ (π.χ. θ ορμι του ενόσ ςϊματοσ αυξάνε-

ται και του άλλου ελαττϊνεται) και ζτςι θ ςυνολικι ορμι δεν αλλάηει…

𝑝 𝑝

𝑝

𝑝 𝑝

𝐹 𝐹


62


Κατά τθν διάρκεια μίασ κροφςθσ, οι δυνάμεισ ανάμεςα ςτα ςϊματα δεν ζχουν ςτακερι

τιμι. Ζτςι χρθςιμοποιοφμε τθ μζςθ τιμι των δυνάμεων (δθλ., τθ ςτακερι δφναμθ με

τθν οποία ζπρεπε να αλλθλεπιδράςουν τα ςϊματα για να προκλθκεί θ ίδια μεταβολι

ςτισ ορμζσ τουσ).


1. Μια μπίλια του μπιλιάρδου μάηασ m = 0,5kg κινείται με ταχφτθτα υ1 = 1m/s και

ςυγκροφεται με μία δεφτερθ μπίλια, ίςθσ μάηασ. Η κροφςθ είναι κεντρικι και

ζτςι μετά τθν ςφγκρουςθ θ πρϊτθ μπίλια ςταματάει. Η δεφτερθ κα φφγει με

ταχφτθτα υ2 = 1m/s, (ίςθ με τθσ πρϊτθσ):

Όμωσ m1 = m2 άρα:

υ1 = υ2 = 1m/s

Η μεταβολι τθσ ορμισ τθσ κάκε μίασ ςφαίρασ ζχει τιμι:

Δp1 =p1μετά – p1πρίν = 0 – m1∙υ1 = -0,5kg∙m/s

Δp2 =p2μετά – p2πρίν = m2∙υ2 - 0 = 0,5kg∙m/s

Αν θ κροφςθ είχε διάρκεια Δt = 0,5s, θ δφναμθ που δζχτθκε κάκε ςφαίρα ζχει

αλγεβρικι τιμι:

2. Μία ςφαίρα που κινείται με ταχφτθτα υ1 =200m/s ςφθνϊνεται ςε ζνα κομμάτι

ξφλο που αρχικά ιταν ακίνθτο. Η μάηα τθσ ςφαίρασ είναι m1 = 0,1kg και του ξφ-

λου m2 = 1,9kg. Η ορμι του ςυςτιματοσ πριν τθν ςφγκρουςθ ζχει τιμι:

pολ(ΠΡΙΝ) = p1 +p2 = m1·υ1 + 0 = 20kg.m/s

Μετά τθν ςφγκρουςθ, θ ςφαίρα μαηί με το

ξφλο κινοφνται ςαν ζνα ςϊμα (ςυςςωμά-

τωμα), ςυνολικισ μάηασ mολ = m1+m2 =2kg

και ταχφτθτα υ = 10m/s. Η ςυνολικι ορμι

μετά τθν κροφςθ, αφοφ δεν ζχει αςκθκεί

καμία άλλθ δφναμθ εκτόσ από τισ μεταξφ τουσ δυνάμεισ, κα παραμείνει όςθ και

πριν:

pολ(ΜΕΣΑ) = mολ·υ = 20kg.m/s.

𝑝


63

3. Ζνα όπλο αρχικά ακίνθτο, εκπυρςοκροτεί. Η μάηα του όπλου είναι mo = 5kg και

θ μάηα τθσ ςφαίρασ είναι mς = 0,05kg. Η ςφαίρα φεφγει με ταχφτθτα υς

=400m/s. Επειδι ςτο ςφςτθμα των ςωμάτων όπλο – ςφαίρα αςκικθκαν μόνο

εςωτερικζσ δυνάμεισ τθν ςτιγμι του πυροβολιςμοφ, κα ιςχφει:

Ορμι ςυςτιματοσ πριν = ορμι ςυςτιματοσ μετά

Με τθν βοικεια αυτισ τθσ ιςότθτασ μποροφμε να υπολογίςουμε τθν ταχφτθτα

με τθν οποία «κλωτςάει» το όπλο (…ταχφτθτα ανάκρουςθσ).

Σελικά:

9. Η αρχι διατιρθςθσ τθσ ορμισ:

Όταν ς’ ζνα ςφςτθμα ςωμάτων δεν αςκοφνται εξωτερικζσ δυνάμεισ (ι θ ςυνιςταμζνθ τουσ

είναι μθδζν), θ ορμι του ςυςτιματοσ διατθρείται ςτακερι.

Σθν αρχι διατιρθςθσ τθσ ορμισ μποροφμε να τθν εφαρμόςουμε ςε κάκε κροφςθ, αφοφ

αυτά τα φαινόμενα είναι αποτζλεςμα ςτιγμιαίασ αλλθλεπίδραςθσ των ςωμάτων.


Η αρχι διατιρθςθσ τθσ ορμισ είναι μια αρχι με παγκόςμια ιςχφ. Εφαρμόηεται από τισ

μικρότερεσ κλίμακεσ τθσ φλθσ (π.χ. πυρθνικζσ διαςπάςεισ) μζχρι τισ μεγαλφτερεσ (κινι-

ςεισ ουρανίων ςωμάτων!)


64

Ερωτιςεισ - Αςκιςεισ

Όπου χρειάηεται, κεωρείςτε ότι g = 10m/s2

1. Μία μικρι ελαςτικι μπάλα μάηασ m, κινείται ςε οριηόντια διεφκυνςθ με ταχφτθτα υ.

Κάποια ςτιγμι χτυπάει ςε κατακόρυφο τοίχο και γυρίηει προσ τα πίςω με ταχφτθτα

ίδιου μζτρου με αυτοφ τθσ αρχικισ. Η μεταβολι τθσ ορμισ τθσ ζχει τιμι:

Α. Δp = 0 Β. Δp =2m·υ

Γ. Δp =-2m·υ Δ. Δp =m·υ

2. Μία φουςκωμζνθ και μία λίγο ξεφοφςκωτθ μπάλα

κτυποφν με τθν ίδια ταχφτθτα ςε ζναν κατακόρυφο

τοίχο. Αν οι δφο μπάλεσ ζχουν τθν ίδια μάηα, ποια

από τισ επόμενεσ προτάςεισ ιςχφει;

Α. Η φουςκωμζνθ μπάλα αςκεί μεγαλφτερθ δφναμθ

ςτον τοίχο.

Β. Και οι δφο μπάλεσ αςκοφν τθν ίδια δφναμθ.

Αιτιολογείςτε τθν επιλογι ςασ.

3. Ζνα ςυγκρουόμενο αμαξάκι ςτο Λοφνα–Παρκ με ζνα παιδί μζςα, ζχει μάηα m1 = 225kg

και κινείται με ταχφτθτα υ = 1m/s. υγκροφεται με το προςτατευτικό το τοίχωμα και

ςταματά ςε χρόνο Δt = 1,5s.

Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ορμισ που ζχει το αμαξάκι;

Β. Ποιο το μζτρο τθσ (μζςθσ) δφναμθσ που δζχεται από το τοίχωμα για να ςταματιςει;

Γ. Πόςθ δφναμθ κα χρειαηόταν αν δεν υπιρχε o λαςτιχζνιοσ προφυλακτιρασ και

ςταματοφςε ποιο απότομα, ςε χρόνο Δt2 = 0,5s

Δ. Πόςθ δφναμθ κα ζπρεπε να δεχτεί για να ςταματιςει αν μζςα ςτο αμαξάκι κακόταν

δφο παιδιά και θ μάηα ιταν ςυνολικά m2 = 300kg;

4. το κιβϊτιο του ςχιματοσ που αρχικά θρεμεί, αςκοφνται

οι δυνάμεισ και με μζτρα F1 = 50N και F2 =30N

αντίςτοιχα. Η μάηα του είναι m = 4kg.

𝜐

𝜐

𝐹 m 𝐹


65

Α. Ποιοσ είναι ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ορμισ του κιβωτίου;

Β. Πόςο κα ζχει αλλάξει θ ορμι του μετά από Δt=2s;

Γ. Ποια κα είναι θ τιμι τθσ ορμισ και τθσ ταχφτθτάσ του τθν χρονικι ςτιγμι t = 2s;

Δ. Ποιο είναι το μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ που απζκτθςε;

5. το διπλανό ςχιμα, οι δφο ςφαίρεσ ζχουν μάηεσ

m1 = 2kg και m2 = 3kg ενϊ τα μζτρα των

ταχυτιτων τουσ είναι υ1 = 6m/s και υ2 = 4m/s

αντίςτοιχα. Η ορμι του ςυςτιματοσ ζχει μζτρο:

Α. 24kg·m/s Β. 0

Γ. 24 N Δ. 2m/s

6. Οι ςφαίρεσ τθσ προθγοφμενθσ ερϊτθςθσ ςυγκροφονται. Σι από τα παρακάτω ιςχφει;

Α. Η ςφαίρα m1 αςκεί ςτθν m2 δφναμθ μεγαλφτερου μζτρου από ότι θ m2 ςτθν m1.

Β. Η ςφαίρα m2 αςκεί ςτθν m1 δφναμθ μεγαλφτερου μζτρου από ότι θ m1 ςτθν m2.

Γ. Η ορμι τθσ κάκε μίασ ςφαίρασ δεν αλλάηει.

Δ. Οι ορμζσ των δφο ςφαιρϊν μεταβάλλονται κατά αντίκετα ποςά.

7. Μία μπίλια μάηασ m1 = 200g κινείται ςε οριηόντια διεφκυνςθ με ταχφτθτα μζτρου υ1 =

3m/s και ςυγκροφεται με μία δεφτερθ μπίλια μάηασ m2 = 100g που αρχικά κινοφταν

προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ, με ταχφτθτα μζτρου υ2 = 2m/s. Μετά τθν ςφγκρουςθ, θ m2

κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ2’ = 4m/s.

Α. Πόςθ είναι θ ορμι του ςυςτιματοσ πριν τθν κροφςθ;

Β. Πόςθ κα είναι θ ορμι μετά τθν κροφςθ;

Γ. Να υπολογίςετε το μζτρο τθσ ταχφτθτασ τθσ m1 μετά τθν κροφςθ.

Δ. Πόςθ είναι θ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ;

𝑣 𝑣

m1 m2


66

8. Ζνα κομμάτι πλαςτελίνθσ κτυπάει με ταχφτθτα

υπ = 0,5m/s πάνω ςε ζνα μικρό κομμάτι ξφλου,

που αρχικά ιταν ακίνθτο. Η μάηα τθσ

πλαςτελίνθσ είναι mπ = 50g και θ μάηα του

ξφλου mξ = 950g.

Α. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα που κα αποκτιςει το ςυςςωμάτωμα που δθμιουργείται;

Β. Πόςθ είναι θ μεταβολι τθσ ορμισ του κάκε αντικειμζνου;

Γ. Πόςθ θ μεταβολι τθσ ορμισ του ςυςτιματοσ τουσ;

Δ. Αν θ κροφςθ διιρκθςε 0,4s, πόςθ δφναμθ δζχτθκε θ κάκε μία μάηα;

9. Ζνασ πφραυλοσ μάηασ m κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ = 900m/s, όταν με κατάλλθλο

μθχανιςμό ςπάει ςε δφο κομμάτια ίςθσ μάηασ (m1 = m2 = m/2). Σο κομμάτι m1 αμζςωσ

μετά τθν ζκρθξθ κινείται με ταχφτθτα υ1 =1200m/s, ςτθν ίδια κατεφκυνςθ με τθν

αρχικι .

Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του κομματιοφ m2;

Β. Αν θ μάηα του πυραφλου είναι m =2000kg, να υπολογίςετε τθν μεταβολι τθσ ορμισ

του κάκε κομματιοφ.

Γ. Η διάςπαςθ διιρκθςε χρόνο Δt = 0,3s. Πόςθ ιταν θ μζςθ δφναμθ που δζχτθκε κάκε

κομμάτι για να γίνει θ διάςπαςθ;

Δ. Αν μετά τθν διάςπαςθ, το κομμάτι m1 κινοφταν ςε αντίκετθ κατεφκυνςθ από τθν

αρχικι, πόςθ κα ιταν θ ταχφτθτα του m2;

10. Μια μπάλα μάηασ m = 1,5kg, αφινεται ελεφκερθ να πζςει από φψοσ h=0,8m. Κτυπάει

ςτο ζδαφοσ και αναπθδάει με ταχφτθτα ίςου μζτρου (αυτισ που ζφταςε). Θεωρϊντασ

τθν κίνθςι τθσ ελεφκερθ πτϊςθ, υπολογίςτε:

Α. Σον χρόνο που χρειάςτθκε για να φτάςει ςτο ζδαφοσ και τθν ταχφτθτα με τθν οποία

ζφταςε.

Β. Σθν μεταβολι τθσ ορμισ τθσ κατά τθν κροφςθ.

Γ. Αν θ κροφςθ διιρκθςε Δt = 0,5s , τθν μζςθ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχτθκε κατά

τθν διάρκεια τθσ επαφισ τθσ με το ζδαφοσ.

Δ. Σθν μζςθ δφναμθ που δζχτθκε από το ζδαφοσ.

𝑣𝜋


67

11. Ζνα πυροβόλο όπλο βρίςκεται ακίνθτο,

ςτερεωμζνο πάνω ςε ζνα βαγόνι. Όλο το

ςφςτθμα ζχει μάηα m = 201kg. Κάποια

ςτιγμι το πυροβόλο εκπυρςοκροτεί και

το βαγόνι κινείται προσ τα πίςω με

ταχφτθτα υπ = 2m/s. Αν θ μάηα του

βλιματοσ είναι mβ = 1kg να υπολογίςετε:

Α. Σο μζτρο τθσ ορμισ που απζκτθςε το πυροβόλο μαηί με το βαγόνι, μετά τθν

εκπυρςοκρότθςθ.

Β. Σο μζτρο τθσ ορμισ που απζκτθςε το βλιμα.

Γ. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα με τθν οποία ζφυγε το βλιμα;

Δ. Αν θ βολι ζγινε από φψοσ h = 50m, ςε πόςθ οριηόντια απόςταςθ κα φτάςει το

βλιμα, πριν χτυπιςει ςτο ζδαφοσ;

12. Μία ςφαίρα κινείται ςε οριηόντια διεφκυνςθ με ταχφτθτα μζτρου υ1 =200m/s. Κάποια

ςτιγμι ςυγκροφεται με ζνα ακίνθτο κιβϊτιο μάηασ m2 = 1950g και το ςυςςωμάτωμα

που δθμιουργείται, γλιςτρά πάνω ςτο οριηόντιο δάπεδο μζχρι να ςταματιςει τελικά

λόγω τριβισ. Η ςφαίρα ζχει μάηα 50g και ο ςυντελεςτισ τριβισ ανάμεςα ςτο δάπεδο

και το κιβϊτιο είναι μ = 0,25.

Α. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ;

Β. Πόςθ είναι θ τριβι ανάμεςα ςτο κιβϊτιο και το δάπεδο;

Γ. Τπολογίςτε τον χρόνο που χρειάηεται το κιβϊτιο μζχρι να ςταματιςει.

Δ. Πόςθ απόςταςθ διανφει μζχρι να ςυμβεί αυτό;

𝑣𝛽 m 𝑣𝜋

Φυςικι Α’ Λυκείου Ενζργεια – Ζργο

68

Ενέργεια - Έργο

1. Η φφςθ γφρω μασ: Εικόνεσ …

O βράχοσ βρίςκεται ςε φψοσ πάνω από το ζδα-

φοσ. Άρα, μπορεί να πζςει…

Το ελατιριο είναι

ςυςπειρωμζνο. Αν το αφι-

ςουμε ελεφκερο, κα εκτο-

νωκεί.

Η μπάλα κινείται με

μεγάλθ ταχφτθτα. Άρα, χτυπϊντασ το τηάμι κα το ςπάςει.

Η κερμοκραςία του καλοριφζρ είναι υψθλι. Ζτςι ο

αζρασ γφρω του ηεςταίνεται.

ε κάκε ζνα από τα προθγοφμενα παραδείγματα, μποροφμε να προβλζψουμε πωσ κα κι-

νθκεί το κάκε ςϊμα, θ πωσ κα εξελιχκεί θ κατάςταςι του … Και αυτό επειδι γνωρίηουμε

τθν αρχικι του κατάςταςθ.

2. … Η φυςικι περιγράφει τισ εικόνεσ με ζννοιεσ:

O βράχοσ ζχει ενζργεια λόγω τθσ κζςθσ του, κακϊσ τον ζλκει θ γθ. Μπορεί να πζςει

χαμθλότερα και θ ενζργεια του να ελαττωκεί…

Το ελατιριο ζχει ενζργεια λόγω τθσ κατάςταςισ

του. Ελευκερϊνοντασ το, απελευκερϊνεται θ ενζργεια

του και επιςτρζφει ςτθν αρχικι του κατάςταςθ.

Η μπάλα ζχει ενζργεια λόγω τθσ κίνθςισ τθσ. Ό-

ταν χτυπιςει το τηάμι, του μεταφζρει ζνα μζροσ από τθν

ενζργεια τθσ και το ςπάει.

Το καλοριφζρ ζχει

ενζργεια λόγω τθσ κατάςτα-

ςθσ του. Ο αζρασ που το περιβάλλει, παίρνει ζνα μζροσ

τθσ ενζργειασ του και ηεςταίνεται.

Περιγράψαμε τισ διαφορετικζσ εικόνεσ, με μια καινοφρια ζν-

νοια: Σθν «ενζργεια». Ζτςι, ςτα προθγοφμενα παραδείγματα, λζμε ότι τα ςϊματα ζχουν

ενζργεια:

Λόγω των δυνάμεων που δζχονται, ςτθν κζςθ ι τθν κατάςταςθ που βρίςκονται

Λόγω του ότι κινοφνται ...

Εξαιτίασ τθσ κερμοκραςίασ που ζχουν …


69

Η ενζργεια είναι μζγεκοσ μονόμετρο και θ μονάδα τθσ είναι το Joule (S.I.).

3. Η ενζργεια λόγω κίνθςθσ:

Η «Κινθτικι Ενζργεια» ςυνδζεται με τθν κίνθςθ ενόσ ςϊματοσ. Για ζνα ςϊμα μάηασ m, που

προχωράει με ταχφτθτα υ, τθν υπολογίηουμε από τθν εξίςωςθ:


Η προθγοφμενθ εξίςωςθ υπολογίηει τθν κινθτικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ που κάνει μό-

νο μεταφορικι κίνθςθ, δθλαδι κινείται χωρίσ να περιςτρζφεται. Ζτςι, μια μπάλα του

bowling που προχωράει με ταχφτθτα υ και ταυτόχρονα κυλάει, κα ζχει επιπλζον κινθ-

τικι ενζργεια, λόγω τθσ περιςτροφισ τθσ.


1. Ζνα αντικείμενο με μάηα m = 2kg κινείται με ταχφτθτα υ = 2m/s . Η κινθτικι

του ενζργεια είναι:

Κ ½ m υ2 = 4J

Αν το ίδιο αντικείμενο κινοφταν με διπλάςια ταχφτθτα (υ =4m/s) θ κινθτικι

του ενζργεια κα ιταν τετραπλάςια:

Κ’ ½ m (2υ)2 = 16J

Δεν κα ςυνζβαινε το ίδιο αν είχε διπλάςια μάηα:

Κ’’ ½ ( m) υ2 = 8J.

Για τθν κινθτικι ενζργεια, θ ταχφτθτα είναι «ςθμαντικότεροσ» παράγοντασ

από τθν μάηα …

2. Δφο όμοια αμαξάκια κινοφνται ςε αντίκετεσ κατευκφνςεισ με ταχφτθτεσ ίςου

μζτρου. Η μάηα του κάκε ενόσ είναι m = 600g και θ ταχφτθτά του είναι υ =

3m/s. Η κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ είναι:

Κ Κ1 Κ2 ½ m υ2 ½ m υ2 = 5,4J.

Τα δφο αμαξάκια κινοφνταν αντίκετα. Ωςτόςο, προςκζςαμε τισ κινθτικζσ τουσ

ενζργειεσ. Η κινθτικι ενζργεια δεν μπορεί να είναι αρνθτικι!


70

4. Η ενζργεια λόγω των δυνάμεων αλλθλεπίδραςθσ:

Η «Δυναμικι Ενζργεια» ςυνδζεται με τθν αλλθλεπίδραςθ ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων. Αν

θ αλλθλεπίδραςθ είναι βαρυτικι τότε μιλάμε για «βαρυτικι δυναμικι ενζργεια», αν είναι

θλεκτρικι, «θλεκτρικι δυναμικι ενζργεια του ςυςτιματοσ» κ.λ.π.


1. Μία πζτρα αλλθλεπιδράει με τθν γθ και δζχεται από αυτιν τθν βαρυτικι δφναμθ.

Λόγω αυτισ τθσ αλλθλεπίδραςθσ μπορεί να μετακινθκεί (…να πζςει). Λζμε ότι ζχει

βαρυτικι δυναμικι ενζργεια.

Βζβαια, δυναμικι ενζργεια ζχει και θ γθ αφοφ ζλκεται από τθν πζτρα, πλθν όμωσ

δεν πρόκειται να κινθκεί προσ αυτιν! Ζτςι, αν και θ ενζργεια υπάρχει ςτο ςφςτθμα

πζτρα – γθ, μιλάμε μόνο για αυτιν τθσ πζτρασ.

2. Δφο μικρζσ πζτρεσ ςε κάποια απόςταςθ μεταξφ τουσ, πρακτικά δεν αλλθλεπιδροφν

(οι βαρυτικζσ δυνάμεισ ανάμεςα τουσ είναι τόςο μικρζσ που είναι αδφνατον να τισ

μετακινιςουν). Ζτςι θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια του ςυςτιματοσ τουσ λζμε ότι

είναι μθδζν!

3. Δφο φορτία ζλκονται, λόγω τθσ θλεκτρικισ τουσ αλλθλεπίδραςθσ και πλθςιάηουν

το ζνα το άλλο. Θα ποφμε ότι το ςφςτθμα τουσ ζχει θλεκτρικι δυναμικι ενζργεια.

5. Πωσ μπορϊ να μετριςω τθν δυναμικι ενζργεια;

Ζνα αντικείμενο βρίςκεται ςτο γραφείο μου. Λό-

γω τθσ βαρυτικισ ζλξθσ που δζχεται, μπορεί να

πζςει το πολφ μζχρι το πάτωμα. Αν πζςει εκεί,

δεν μπορεί να πάει παρακάτω… Άρα ςτο γρα-

φείο ζχει βαρυτικι δυναμικι ενζργεια, ενϊ ςτο

πάτωμα δεν ζχει.

Αν όμωσ το τραπζηι βρίςκεται ςτο μπαλκόνι; Σό-

τε μπορεί να πζςει και μζχρι τον δρόμο. Εκεί θ

βαρυτικι δυναμικι ενζργεια κα είναι μθδζν…

Για να μετριςω τθν δυναμικι ενζργεια, πρζπει πρϊτα

από όλα να γνωρίηω (…ι να ορίςω!), που θ ενζργεια

αυτι είναι «μθδζν» (δθλαδι, οι δυνάμεισ αλλθλεπί-

δραςθσ δεν μποροφν να μετακινιςουν άλλο το ςϊμα).

Σθν κζςθ αυτι τθν ονομάηω «επίπεδο αναφοράσ» και

ςυγκρίνοντασ μ’ αυτιν, υπολογίηω πόςο περιςςότερθ θ


71

λιγότερθ ενζργεια ζχει το ςφςτθμα.


Στθν πραγματικότθτα, θ αλλθλεπίδραςθ δεν μθδενίηεται οφτε ςτο πάτωμα οφτε

ςτον δρόμο. Το αντικείμενο δζχεται βαρυτικι δφναμθ, και ςτισ δφο κζςεισ (άρα, …

τυπικά θ δυναμικι του ενζργεια δεν είναι μθδζν). Ωςτόςο, όταν θ αλλθλεπίδραςθ

αυτι δεν μπορεί να επθρεάςει τθν μελλοντικι του κατάςταςθ (π.χ. να πζςει χαμθ-

λότερα), επιλζγουμε τθν κζςθ ωσ επίπεδο αναφοράσ.

Σε κάκε περίπτωςθ, αυτό που μασ ενδιαφζρει και υπολογίηουμε, είναι θ αλλαγι

τθσ δυναμικισ ενζργειασ ανάμεςα ςτθν αρχικι κζςθ του ςϊματοσ τθν τελικι. Ό-

ποιο και να είναι το επίπεδο αναφοράσ, θ ενζργεια αλλάηει κατά το ίδιο ποςό, γίνε-

ται θ ίδια … «δουλειά». Όμωσ θ κατάλλθλθ επιλογι του, μασ βοθκάει ςτον μακθ-

ματικό υπολογιςμό και τθν διατφπωςθ του κάκε προβλιματοσ!

Κάτι αντίςτοιχο ςυμβαίνει όταν μετράμε το φψοσ μασ. Μποροφμε να μετριςουμε

τθν απόςταςθ του κεφαλιοφ μασ και των ποδιϊν μασ από το ζδαφοσ, και μετά να

αφαιρζςουμε τισ δφο μετριςεισ… Η, μιπωσ είναι ποιο απλό να μετριςουμε τθν

απόςταςθ του κεφαλιοφ μασ από το πάτωμα το οποίο κεωροφμε ότι είναι ςε φψοσ

μθδζν (επίπεδο αναφοράσ);

6. Η βαρυτικι δυναμικι ενζργεια:

Για ζνα ςϊμα μάηασ m που βρίςκεται κοντά ςτθν επιφάνεια τθσ γθσ, μποροφμε να υπολο-

γίςουμε τθν βαρυτικι δυναμικι ενζργεια από τθν ςχζςθ:

Uβ = m∙g∙h

Uβ : υμβολιςμόσ για τθν βαρυτικι δυναμικι ενζργεια

h: Σο φψοσ ςτο οποίο βρίςκεται το ςϊμα, πάνω από το επίπεδο αναφοράσ (ε-

κεί που κεωροφμε ότι θ δυν. ενζργεια «μθδενίηεται»).


Σο τθλζφωνο βρίςκεται πάνω ςτο γραφείο, ςε φψοσ h1 = 80cm από το πάτωμα. Η μάηα

του είναι 100g, άρα ςε ςχζςθ με το πάτωμα ζχει βαρυτικι δυναμικι ενζργεια:

Uβ = m g h1 = 0,1 8 J = 0,8J.

Aσ ποφμε τϊρα ότι το γραφείο είναι ςτον πρϊτο όροφο, ςε φψοσ h2 =3m από τον δρό-

μο. Αν κζλω να υπολογίςω τθν δυναμικι ενζργεια ςε ςχζςθ με το ζδαφοσ, τότε:

Uβ = m g (h1+h2) = 0,1 8 = 3,8J.


72

Σε κάκε μία περίπτωςθ το τθλζφωνο ζχει διαφορετικι βαρυτικι δυναμικι ενζργεια.

Διαφορετικό όμωσ κα είναι και το αποτζλεςμα τθσ πτϊςθσ του (ςτο πάτωμα και ςτον

δρόμο)! Ζτςι κάκε φορά, υπολογίηουμε τθν βαρ. δυναμικι ενζργεια ςε ςχζςθ με το ε-

πίπεδο που μασ ενδιαφζρει…

7. Η ελαςτικι δυναμικι ενζργεια:

Ζνα ελατιριο είναι αρχικά ςτο φυςικό του μι-

κοσ, l. τθν κατάςταςθ αυτι δεν αςκεί καμία

δφναμθ ςτο χζρι μου (αλλά και εγϊ δεν χρειάηε-

ται να του αςκιςω καμία δφναμθ για να το κρα-

τιςω ςε αυτιν τθν κατάςταςθ). Ζτςι, θ δυναμι-

κι του ενζργεια είναι μθδζν.

Αν το τεντϊςω κατά μικοσ Δl , ανάμεςα ςτο

άκρο του και το χζρι μου υπάρχει αλλθλεπίδρα-

ςθ και αποκθκεφεται «ελαςτικι δυναμικι ενζρ-

γεια»:

( )

(όπου k θ ςτακερά του ελατθρίου).

Παράδειγμα

Σο ελατιριο ζχει ςτακερά k = 40N/m. Σεντϊνοντασ το κατά Δl = 5cm, αποκθκεφεται

ελαςτικι δυναμικι ενζργεια:

Uελ ½ k Δl2 ½ 0,0025 J = 0,05J.

Αν ιταν τεντωμζνο κατά τθν διπλάςια παραμόρφωςθ, Δl =10cm, θ ενζργεια που κα

αποκικευε, κα ιταν τετραπλάςια!

Uελ ½ k Δl2 = ½ 40 0,12 J = 0,2J

𝑭𝟏

l

𝑭𝟐

Δl


73

8. Πωσ ςυνδζεται θ «δφναμθ» με τθν «ενζργεια»;

Η δφναμθ αςκείται ςτο αντικζιμενο και το επιταχφνει. Ζτςι αυτό αποκτάει κινθτικι

ενζργεια.

Η δφναμθ του βάρουσ ζλκει το βιβλίο και το ρίχνει, ςτο πάτωμα. Λζμε ότι το βιβλίο

είχε βαρυτικι δυναμικι ενζργεια.

Η δφναμθ από το χζρι μασ τζντωςε το ελατιριο, και αποκθκεφτθκε ελαςτικι δυνα-

μικι ενζργεια.

ε κάκε περίπτωςθ, θ δφναμθ κάνει κάποια «δουλειά»: πρϊχνει, τραβάει, παραμορφϊ-

νει, βοθκάει μία κίνθςθ ι τθν εμποδίηει. Αυτό ζχει ςαν αποτζλεςμα τα ςϊματα να απο-

κτοφν ενζργεια, ι αν είχαν ιδθ, θ ενζργεια τουσ να αλλάηει.

9. Το «ζργο» τθσ δφναμθσ…

Κάκε δφναμθ ζχει ζνα ςθμείο εφαρμογισ. Όταν το ςθ-

μείο αυτό μετακινείται κατά απόςταςθ , και θ δφναμθ

είναι ςτακερι, ορίηουμε ωσ «ζργο» τθσ, W (work):

W = Fx ∙x

όπου Fx είναι θ ςυνιςτϊςα τθσ δφναμθσ ςτθν διεφκυνςθ

τθσ μετακίνθςθσ.

Μια δφναμθ που αςκείται ςε διεφκυνςθ κάκετθ ςτθν με-

τατόπιςθ, ζχει ζργο μθδζν. Π.χ., ςτο διπλανό ςχιμα, οι

δυνάμεισ του βάρουσ και τθσ κάκετθσ αντίδραςθσ δεν ζ-

χουν ζργο.

Το «ζργο», εκφράηει τθν ενζργεια που αφαιρείται θ προςφζρεται ςε ζνα ςϊμα, λό-

γω τθσ επίδραςθσ μιασ δφναμθσ.

Είναι μονόμετρο μζγεκοσ και ζχει ωσ μονάδα μζτρθςθσ ςτο S.I., το Joule.

Όταν θ δφναμθ «βοθκάει» τθν κίνθςθ, το ζργο τθσ χαρακτθρίηεται ωσ «παραγόμενο», και

το κεωροφμε κετικό. Αντίκετα, όταν θ δφναμθ εμποδίηει τθν κίνθςθ, το ζργο τθσ κεωρεί-

ται αρνθτικό και χαρακτθρίηεται ωσ «καταναλιςκόμενο».

Π.χ., Σο ζργο του ανκρϊπου που ςπρϊχνει ζνα τραπζηι είναι παραγόμενο (κετικό), ενϊ

τθσ τριβισ ανάμεςα ςτο τραπζηι και το πάτωμα, είναι καταναλιςκόμενο (αρνθτικό).

𝑥

𝐹

𝐹

𝐹 𝐴 𝑥

κ 𝐹 𝑥

𝑊


74


Η απόςταςθ που χρθςιμοποιοφμε για να

υπολογίςουμε το ζργο είναι το διάςτθμα

ςτο οποίο μετακινείται το ςθμείο εφαρμο-

γισ τθσ δφναμθσ.

Αν θ δφναμθ δεν είναι ςτακερι, μποροφμε

να υπολογίςουμε το ζργο τθσ με τθν βοι-

κεια του διαγράμματοσ Δφναμθσ – Από-

ςταςθσ.

Σε ζνα τζτοιο διάγραμμα, το εμβαδόν που

ορίηεται από τθν γραφικι παράςταςθ τθσ

δφναμθσ και τον άξονα τθσ απόςταςθσ, ιςοφται με το ζργο.


1. Σο αμαξάκι το εργαςτθρίου είναι δεμζνο με

οριηόντιο νιμα από το οποίο δζχεται δφναμθ

F=0,5N. Μετακινείται ςε απόςταςθ x = 0,6m.

Σο ζργο τθσ δφναμθσ του νιματοσ είναι:

W F x J J.

2. Ο εργάτθσ αςκεί ςτο κιβϊτιο δφναμθ μζτρου F = 100Ν

ςε διεφκυνςθ 60o, όπωσ ςτο ςχιμα. Ζτςι το μετακινεί

ςε απόςταςθ s = 10m. Σο ζργο τθσ δφναμθσ του είναι :

W = Fx s = F συν ο s ½ J = 500J.

Αν αςκοφςε δφναμθ του ίδιου μζτρου ςε οριηόντια

διεφκυνςθ για τθν ίδια απόςταςθ, το ζργο κα ιταν:

W = F s = F s = 100 10 J = 1000J

3. Η δφναμθ που αςκεί ζνα ελατιριο ςτο χζρι μασ

μεταβάλλεται, ανάλογα με το πόςο παραμορφω-

μζνο είναι το ελατιριο. Η ςτακερά του ελατθρίου

είναι k = 20N/m και θ αρχικι παραμόρφωςθ x1 =

0,1m. Σο μζτρο τθσ δφναμθ που αςκεί είναι:

|Fελ| = k·|x| δθλ. είναι μεταβλθτι δφναμθ.

Για να υπολογίςουμε το ζργο όταν το ελατιριο

επιςτρζφει ςτο φυςικό του μικοσ, φτιάχνουμε

τθν γραφικι παράςταςθ F – x:

WFελ Εμβ δόν ½ k x1 x1 = ½ k x12 = 0,1J

F

F2

F1 W

x1 x2 x

|Fελ|

F

W

x1 x

𝐹

x

𝐹 𝑥

𝐹


75

10. H κινθτικι ενζργεια αλλάηει μζςω του ζργου των δυνάμεων.

«Σε ζνα ςϊμα μάηασ m αςκείται οριηόντια δφναμθ F (ςυνολικι). Αρχικά το ςϊμα ιταν ακί-

νθτο και μετακινείται ςε απόςταςθ x. Πωσ ςυνδζεται το ζργο τθσ δφναμθσ με τθν κινθτικι

ενζργεια που αποκτάει το ςϊμα;».

Από τθν εξίςωςθ τθσ ταχφτθτασ για τθν ομαλά επιταχυνόμενθ κίνθςθ, ζχουμε:

(1)

Η απόςταςθ που διανφεται είναι ςφμφωνα με τθν εξίςωςθ τθσ κίνθςθσ:

(2)

φμφωνα με τθν κεμελιϊδθ νόμο τθσ μθχανικισ, (3)

Tο ζργο τθσ δφναμθσ, αντικακιςτϊντασ τα F, x από τισ (2) & (3):

( ) (

)

Κάνουμε τισ πράξεισ:

( )

Όμωσ θ ποςότθτα (α·Δt) είναι θ ταχφτθτα του ςϊματοσ

(ςχζςθ (1)) και ζτςι, όλοσ ο δεξιόσ όροσ δεν είναι άλλο

από τθν κινθτικι του ενζργεια!

( )

Δθλ. το ζργο τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ που αςκικθκε ςτο ςϊμα, είναι ίςο με τθν κινθτι-

κι ενζργεια που αποκθκεφτθκε ς’ αυτό.

Το ζργο τθσ ςυνιςταμζνθσ των δυνάμεων που αςκείται ςε ζνα ςϊμα, μεταβάλει τθν

κινθτικι του ενζργεια κατά το ίδιο ποςό:

Η προθγοφμενθ πρόταςθ ονομάηεται και Θεϊρθμα Μεταβολισ τθσ Κινθτικισ Ενζργειασ…


76

Παρατθριςεισ.

Τθν προθγοφμενθ πρόταςθ μποροφμε να τθν διατυπϊςουμε και ωσ εξισ:

Η κινθτικι ενζργεια που αποκτάει ζνα ςϊμα, είναι ίςθ με αυτιν που είχε αρχικά,

ςυν το ζργο των δυνάμεων που του αςκικθκαν.

Γνωρίηουμε ότι, όταν ζνα ςϊμα ιςορροπεί αρχικά θ κινείται με ςτακερι ταχφτθτα,

δζχεται ςυνιςταμζνθ δφναμθ μθδζν. Ζτςι, ό,τι επιπλζον δφναμθ του αςκθκεί αλλά-

ηοντασ τθν κινθτικι του κατάςταςθ, κα είναι και θ αιτία που κα μεταβάλλει τθν κι-

νθτικι του ενζργεια (παράγοντασ θ καταναλϊνοντασ ζργο).

Μζςω του ζργου των δυνάμεων που δζχεται ι αςκεί ζνα ςϊμα, ανταλλάςει ενζρ-

γεια με το περιβάλλον του.


3. Ζνα κιβϊτιο, βρίςκεται ακίνθτο πάνω ςε οριηόντιο επίπεδο. Σου αςκοφμε μία

οριηόντια δφναμθ μζτρου F = 10N, ενϊ θ τριβι ολίςκθςθσ είναι T = 2N. Σθν

ςτιγμι που ζχει μετακινθκεί κατά s =2m, το ζργο κάκε μίασ από τισ δφο δυνά-

μεισ είναι:

WF = F∙s = 20J (παραγόμενο ζργο αφοφ θ F βοθκάει τθν κίνθςθ)

WT = -T∙s = -4J (καταναλιςκόμενο ζργο αφοφ θ Σ εμποδίηει τθν κίνθςθ)

Σο κιβϊτιο αρχικά, δεν είχε κινθτικι ενζργεια. Σελικά κα αποκτιςει:

Kτελ = WΣF = (20 – 4)J = 16J.

Σο βάροσ και θ κάκετθ αντίδραςθ ζχουν ςυνιςταμζνθ μθδζν και δεν μεταβάλ-

λουν τθν ενζργεια του (ι αλλιϊσ, είναι κάκετα ςτθν μετατόπιςθ και το ζργο

τουσ είναι μθδζν).

4. Σο αμαξάκι του ςχιματοσ, δζχεται τθν

δφναμθ , ςε διεφκυνςθ κ=45ο. Η δφ-

ναμθ ζχει μζτρο F = 10√2 N και θ μάηα

του ςϊματοσ είναι m = 1kg. Oι τριβζσ

είναι αμελθτζεσ. Τπολογίηουμε τθν τα-

χφτθτα του όταν αυτό ζχει μετακινθκεί

κατά s = 0,8m:

Θ.Μ.Κ.Ε. ανάμεςα ςτθν αρχικι (1) και τθν τελικι (2) κζςθ.

𝐹

m

κ

(1) x (2)


77

Κ(2) – Κ(1) = WF(1->2)

½ m υ2 - 0 = F s συν ο

Λφνουμε ωσ προσ υ:

√

√

√

Το ίδιο κα μποροφςαμε να το υπολογίςουμε και από τισ εξιςϊςεισ κίνθςθσ,

αλλά αφοφ πρϊτα βρίςκαμε τον χρόνο κίνθςθσ και τθν επιτάχυνςθ…

Το βάροσ και θ κάκετθ αντίδραςθ δεν καταναλϊνουν, οφτε παράγουν ζργο,

κακϊσ είναι κάκετα ςτθν διεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ.

5. «Αςκοφμε δφναμθ ςτακεροφ μζτρου 5N, ςε ζνα αντικείμενο μάηασ m = 1,5

kg, το οποίο αρχικά κινοφταν με ςτακερι ταχφτθτα υ1 = 2m/s. Τθν δφναμθ τθν

αςκοφμε μζχρι το αντικείμενο

να διανφςει απόςταςθ x = 4m,

και μετά το αφινουμε ελεφ-

κερο».

Αφοφ αρχικά το αντικείμενο κινοφταν με ςτακερι ταχφτθτα, δεν δεχόταν κα-

μία δφναμθ (ι θ ςυνιςταμζνθ τουσ ιταν μθδζν). Άρα θ μοναδικι δφναμθ που

δζχεται είναι .

Η κινθτικι του ενζργεια κα αυξθκεί (άρα και θ ταχφτθτα). Και αυτό γιατί θ

δφναμθ παριγαγε ζργο και του πρόςφερε ενζργεια.

Σο αντικείμενο κα αποκτιςει ταχφτθτα υ2 που μποροφμε να τθν υπολογίςου-

με:

Θ.Μ.Κ.Ε (από κζςθ (1) → κζςθ (2)):

Λφνουμε ωσ προσ τθν ταχφτθτα υ2:

√

𝜐 𝜐

𝐹

x


78

11. Tο ζργο του βάρουσ μεταβάλει τθν βαρυτικι δυναμικι ενζργεια ενόσ

ςϊματοσ.

«Το βιβλίο που ζχει βάροσ w = 5N, βρίςκεται ςε φψοσ h1 = 80cm πάνω από το πάτωμα. Το

αφινω και πζφτει χαμθλότερα, ςε φψοσ h2 = 20cm».

Σο βάροσ του βιβλίου παράγει ζργο κατά τθν μετακίνθςθ y = h1 – h2:

Wβ = w·y = 3J.

Η βαρυτικι δυναμικι ενζργεια του ιταν Uβ1 = w·h1 = 4J

και ζγινε Uβ2 = w·h2 = 1J.

Άρα ελαττϊκθκε κατά ποςό ίςο με το ζργο του βάρουσ…

Όταν το βάροσ παράγει ζργο, ελαττϊνεται θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια (και αντίκετα,

όταν το ζργο του βάρουσ είναι καταναλιςκόμενο, αυξάνεται θ βαρυτικι δυναμικι ενζρ-

γεια του ςϊματοσ)…

Αν τθν προθγοφμενθ πρόταςθ τθν διατυπϊςουμε ποιο μακθματικά:

Όταν το ζργο του βάρουσ είναι κετικό, θ μεταβολι τθσ βαρυτικι δυναμικισ ενζργειασ εί-

ναι αρνθτικι (και αντίςτροφα)…

Wβ = - ΔUβ

ή

Wβ = Uβ αρχική - Uβ τελική

Η παραγωγι ζργου από το βάροσ, ζχει το κόςτοσ τθσ: Δαπάνθ βαρυτικισ δυναμικισ ενζρ-

γειασ!


79


1. Μία πζτρα μάηασ m = 100g (=0,1kg) βρίςκεται ςε μια ταράτςα φψουσ h1 = 8m.

Σθν αφινουμε ελεφκερθ να πζςει ςτο ζδαφοσ.

Η αρχικι βαρυτικι δυναμικι ενζργεια που ζχει:

Uβ( ) = m g h1 = 0,1 J = 8J.

Όταν ζχει πζςει ςε φψοσ h2 = 3m:

Uβ( ) = m g h2 = 0,1 10 3 J = 3J.

Σο ζργο του βάρουσ μπορεί να υπολογιςτεί και από

τθν ελάττωςθ τθσ βαρυτικισ δυναμικισ ενζργειασ:

Wβ = Uβ( ) - Uβ( ) = 5J

Προςζχουμε ότι αφαιρζςαμε τθν αρχικι μείον τθν τελικι τιμι τθσ δυναμικισ ενζργειασ…

Επίςθσ, το ζργο του βάρουσ κα μποροφςαμε να το υπολογίςουμε και από τθν γνωςτι ςχζςθ υπολογιςμοφ του ζργου ςτακερισ δφναμθσ, Wβ =w · s.

2. το προθγοφμενο παράδειγμα, ασ υπολογίςουμε τθν κινθτικι ενζργεια που

ζχει το ςϊμα ςτθν κζςθ (2):

Θ.Μ.Κ.Ε (από κζςθ (1) → κζςθ (2)):

Κ2 Κ1 = Wβ (1→2)

Κ2 = 5J = Uβ( ) Uβ( ).

Η βαρυτικι δυναμικι ενζργεια δεν χάκθκε. Μετατράπθκε ςε κινθτικι, μζςω

του ζργου του βάρουσ.

12. Το ζργο τθσ δφναμθσ του ελατθρίου μεταβάλει τθν ελαςτικι δυναμικι

ενζργεια.

«Το ελατιριο είναι ςυμπιεςμζνο και ςτο άκρο του ζχουμε

ακουμπιςει μία μικρι ςφαίρα. Αφινουμε το ελατιριο ε-

λεφκερο. Η δφναμθ που αςκεί ςτθν ςφαίρα μεταβάλλεται

ςυνεχϊσ μζχρι που μθδενίηεται, όταν το ελατιριο φτάςει

ςτο φυςικό του μικοσ».

Η Ελαςτικι Δυναμικι Ενζργεια, ελαττϊνεται.

��

s h1

h2


80

Η ελάττωςθ τθσ δυναμικισ ενζργειασ του ελατθρίου, είναι ίςθ με το ζργο που παράγει θ

δφναμθ που αςκεί.

WFελ = - ΔUελ

ή

WFελ = Uελ αρχική -Uελ τελική

Δθλ., θ παραγωγι ζργου από τθν δφναμθ του ελατθρίου, γίνεται εισ βάροσ τθσ δυναμικισ

του ενζργειασ . Σαυτόχρονα, αυξάνεται θ κινθτικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ.

Μποροφμε να ποφμε:

Η ελαςτικι δυναμικι ενζργεια μετατράπθκε ςε κινθτικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ, μζςω του

ζργου τθσ δφναμθσ του ελατθρίου.


Σο ελατιριο ςτακεράσ k = 40N/m είναι ςυςπειρωμζνο κατά Δl1 = 4cm. Σο αφινου-

με να αποςυμπιεςτεί μζχρι το φυςικό του μικοσ (Δl2=0), ςπρϊχνοντασ τθ ςφαίρα.

Σο ζργο τθσ δφναμθσ που αςκεί το ελατιριο είναι:

WFελ = - ΔUελ

WFελ ½ k Δl12 - ½ k Δl22

WFελ = ½ k Δl12 = 0,032J

Σο ζργο αυτό μετατρζπεται ςε κινθτικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ:

Κσφ ίρ ς = WFελ = 0,032J

13. Η κινθτικι ενζργεια μετατρζπεται ςε δυναμικι και αντίςτροφα. Είναι

και οι δφο ενζργειεσ του ίδιου «είδουσ»

Η ενζργεια που ςχετίηεται με το ζργο δυνάμεων όπωσ το βάροσ, θ δφναμθ του ελατθρίου,

οι θλεκτρικζσ δυνάμεισ κ.λ.π., λζγεται μθχανικι ενζργεια.

Ζτςι, θ μθχανικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ ιςοφται με το άκροιςμα τθσ κινθτικισ και δυναμι-

κισ του ενζργειασ:

Κ U = Eμηχ


81

Όταν ςε ζνα ςϊμα δεν αςκοφνται άλλεσ δυνάμεισ εκτόσ από αυτζσ μου μετατρζπουν το

ζνα ςυςτατικό τθσ μθχανικισ ενζργειασ ςτο άλλο, (π.χ. κινθτικι → δυναμικι), θ μθχανικι

ενζργεια δεν αλλάηει.

Είναι ςαν να ζχουμε μία ποςότθτα νεροφ

μοιραςμζνθ ςε δφο ποτιρια. Μεταφζροντασ

νερό από το ζνα ςτο άλλο, αλλάηει το περιε-

χόμενο του κάκε ποτθριοφ, αλλά δεν αλλάηει

θ ςυνολικι ποςότθτα…

Ζτςι, οι δυνάμεισ που προαναφζραμε (βάροσ, δφνα-

μθ ελατθρίου, θλεκτρικζσ…) δεν μποροφν να μετα-

βάλλουν τθν μθχανικι ενζργεια και ονομάηονται

«ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ»

Αντίκετα δυνάμεισ όπωσ θ τριβι, θ αντίςταςθ του αζρα,

μετατρζπουν κινθτικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ ςε κερμό-

τθτα, θ οποία δεν είναι κομμάτι τθσ μθχανικισ ενζργει-

ασ.

Λζμε ότι ι τριβι είναι μθ ςυντθρθτικι δφναμθ.

14. Πόςο γριγορα παράγεται θ καταναλϊνεται το ζργο; Η Ιςχφσ τθσ δφνα-

μθσ...

Η μετατροπι τθσ ενζργειασ από τθν μία μορφι ςτθν άλλθ γίνεται μζςω του ζργου των δυ-

νάμεων. Η μετατροπι αυτι μπορεί να διαρκζςει περιςςότερο θ λιγότερο…

Ζνα αυτοκίνθτο ξεκινάει από τθν θρεμία με ςκοπό να αποκτιςει ταχφτθτα

100km/h. Ανάλογα με τθν «ιςχφ» του κινθτιρα του κα το πετφχει ςε 10s, 12s, 15s

κ.λ.π. Η τελικι ενζργεια ςε κάκε περίπτωςθ είναι θ ίδια. Ο ρυκμόσ όμωσ με τον

οποίο τθν απζκτθςε το αυτοκίνθτο είναι διαφορετικόσ…

Ο ρυκμόσ με τον οποίο μία δφναμθ παράγει (θ καταναλϊνει) ζργο ονομάηεται Ιςχφσ (P)

τθσ δφναμθσ:

Όμωσ το ζργο τθσ δφναμθσ είναι:


82

ΔW = Fx Δx

Ζτςι, αντικακιςτϊντασ ςτθν προθγοφμενθ, ζχουμε:

Η ιςχφσ είναι μονόμετρο μζγεκοσ με μονάδα μζτρθςθσ ςτο διεκνζσ ςφςτθμα το Watt

(=Joule/s).


83

Ερωτιςεισ – Αςκιςεισ

Στισ παρακάτω αςκιςεισ όπου χρειάηεται, κεωρείςτε δεδομζνο ότι g =10m/s2.

1. Σα δφο κομμάτια πλαςτελίνθ του ςχιμα-

τοσ ζχουν ίςεσ μάηεσ m, και κινοφνται με

ταχφτθτεσ ίςου μζτρου υ. Με ποια από τισ

επόμενεσ προτάςεισ ςυμφωνείτε;

Α. Θα ζχουν και τα δφο τθν ίδια κινθτικι

ενζργεια.

Β. Θα ζχουν και τα δφο τθν ίδια ορμι και τθν ίδια κινθτικι ενζργεια.

Γ. Θα ζχουν αντίκετεσ ορμζσ και αντίκετεσ κινθτικζσ ενζργειεσ.

Δ. Σο αριςτερό ζχει μεγαλφτερθ κινθτικι ενζργεια από το δεξιό.

2. το ςχιμα τθσ προθγοφμενθσ ερϊτθςθσ ιςχφει ότι:

Α. Η ορμι του ςυςτιματοσ είναι μθδζν

Β. Η κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ πριν τθν κροφςθ είναι μθδζν.

Γ. Σα δφο ςϊματα ςυγκροφονται πλαςτικά. Μετά τθν ςφγκρουςθ, το ςυςςωμάτωμα κα

κινθκεί προσ τα δεξιά

Δ. Μετά τθν ςφγκρουςθ, θ κινθτικι τουσ ενζργεια δεν κα αλλάξει.

3. Ζνα ελατιριο είναι ςυςπειρωμζνο κατά Δl. Αν το είχαμε ςυμπιζςει ϊςτε να ζχει δι-

πλάςια παραμόρφωςθ, θ αποκθκευμζνθ ενζργεια κα ιταν:

Α. Διπλάςια Β. Μιςι Γ. Η ίδια Δ. Σετραπλάςια.

4. Με ποια-εσ από τισ επόμενεσ προτάςεισ ςυμφωνείτε;

Α. Η τριβι ολίςκθςθσ που αςκείται ςε ζνα ςϊμα, μετατρζπει τθν κινθτικι του ενζρ-

γεια ςε δυναμικι.

Β. Όταν ςε ζνα ςϊμα αςκείται τριβι, θ μθχανικι του ενζργεια δεν διατθρείται.

Γ. Σο βάροσ είναι μία δφναμθ που δεν μεταβάλλει τθν μθχανικι ενζργεια ενόσ ςϊμα-

τοσ.

𝜐 𝜐

m m


84

Δ. Όταν ςε ζνα ςϊμα αςκοφνται ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ, διατθρείται θ κινθτικι του ε-

νζργεια.

5. Ζνα αντικείμενο μάηασ m = 2kg, κινείται με ςτακερι ταχφτθτα μζτρου υ = 5m/s.

Α. Πόςθ είναι θ κινθτικι του ενζργεια;

Β. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ορμισ του;

Γ. Κάποια ςτιγμι δζχεται μία δφναμθ με αποτζλεςμα θ ταχφτθτα του να διπλαςιαςτεί.

Πόςθ κα είναι θ καινοφρια τιμι τθσ κινθτικισ του ενζργειασ και ποια τθσ ορμισ του;

Δ. Ποιο από τα δφο μεγζκθ μεταβάλλεται περιςςότερο;

6. Μία πζτρα μάηασ m = 200g βρίςκεται αρχικά ακίνθτθ ςε φψοσ 10 m πάνω από το ζδα-

φοσ. Σθν αφινουμε ελεφκερθ να πζςει. Όταν βρίςκεται ςε απόςταςθ h = 5m από το

ζδαφοσ, θ ταχφτθτα τθσ ζχει μζτρο υ = 10m/s.

Α. Πόςθ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια και πόςθ κινθτικι ζχει ςτθν αρχικι τθσ κζςθ;

Β. Τπολογίςτε τισ τιμζσ των δφο ενεργειϊν, όταν θ πζτρα βρίςκεται ςε φψοσ 5m από το

ζδαφοσ.

Γ. υγκρίνετε τθν ςυνολικι ενζργεια που ζχει ςτισ δφο κζςεισ.

Δ. Πόςθ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια κα ζχει ςτο ζδαφοσ (ακριβϊσ πριν ςυγκρουςτεί);

Πόςθ κα είναι τότε θ κινθτικι του;

Ωσ επίπεδο αναφοράσ να κεωριςετε το ζδαφοσ.

7. Ζνασ ακλθτισ εκτελεί ελεφκερθ πτϊςθ από φψοσ 180m. Αν θ μάηα του είναι m = 80kg,

υπολογίςτε:

Α. Σθν αρχικι του δυναμικι ενζργεια.

Β. Σο μζτρο τθσ ταχφτθτασ του, όταν κα ζχει πζςει κατά 20m.

Γ. Σθν τιμι τθσ ταχφτθτασ με τθν οποία κα ζφτανε ςτο ζδαφοσ, αν δεν υπιρχε το ςχοινί

που τον ςταματάει.

Δ. τθν (ατυχι) περίπτωςθ απουςίασ του ςχοινιοφ, πόςθ (μζςθ) δφναμθ κα

δεχόταν από το ζδαφοσ όταν κα χτυποφςε ςε αυτό; Θεωρείςτε τθν χρονικι

διάρκεια τθσ …πρόςκρουςθσ, Δt = 0,5s.


85

8. το ελεφκερο άκρο του κατακόρυφου ελατθρίου του

ςχιματοσ, τοποκετοφμε ζνα βαρίδι μάηασ m = 100g. Η

ςτακερά του ελατθρίου είναι k = 25N/m. Σο ελατιριο

ςυμπιζηεται κατά Δl το βαρίδι ιςορροπεί.

Α. τθν κζςθ όπου ιςορροπεί το βαρίδι, να ςχεδιάςετε

και να υπολογίςετε τισ δυνάμεισ που δζχεται.

Β. Πόςθ είναι θ ςυςπείρωςθ του ελατθρίου;

Γ. Πόςθ είναι θ ελαςτικι δυναμικι ενζργεια που ζχει αποκθκευτεί ςτο ςφςτθμα ελα-

τιριο – βαρίδι;

Δ. Θεωρϊντασ ωσ επίπεδο αναφοράσ τθν κζςθ ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ, πόςθ ι-

ταν θ αρχικι βαρυτικι δυναμικι ενζργεια που είχε το βαρίδι;

*Ε. Τπιρξαν απϊλειεσ μθχανικισ ενζργειασ μζχρι να ιςορροπιςει το βαρίδι;

9. το κιβϊτιο του ςχιματοσ αςκείται μία οριηό-

ντια δφναμθ μζτρου F = 20N. Η μάηα του είναι

m = 4kg και ο ςυντελεςτισ τριβισ που εμφα-

νίηει με το οριηόντιο επίπεδο είναι μ = 0,2.

Α. χεδιάςτε τισ όλεσ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα και υπολογίςτε το μζτρο τθσ

δφναμθσ τθσ Σριβισ.

Β. Αν το κιβϊτιο μετακινείται ςε απόςταςθ s = 3m, υπολογίςτε το ζργο όλων των δυ-

νάμεων που του αςκοφνται.

Γ. Αν θ δφναμθ F αςκοφταν ςε διεφκυνςθ 60ο ωσ προσ το οριηόντιο επίπεδο, πόςο κα

ιταν το ζργο τθσ για τθν ίδια μετατόπιςθ;

10. Ζνα μικρό ξφλινο πλακίδιο εκτοξεφεται ςε οριηόντια διεφκυνςθ πάνω ςε ζνα τραπζηι

με ταχφτθτα μζτρου υ = 3m/s. Η μάηα του είναι m = 200g και ο ςυντελεςτισ τριβισ

ολίςκθςθσ με το τραπζηι είναι μ = 0,3.

Α. Πόςθ είναι θ κινθτικι του ενζργεια ςτθν αρχι τθσ κίνθςθσ και πόςθ όταν ςταματάει;

Β. Που οφείλεται θ μεταβολι τθσ κινθτικισ του ενζργειασ; Τπολογίςτε το ζργο τθσ

τριβισ.

Γ. i) Πόςθ είναι θ τριβι που δζχεται;

ii) Πόςθ είναι θ απόςταςθ που διζνυςε μζχρι να ςταματιςει;

m

Δl

k

s

𝐹


86

11. το κεκλιμζνο επίπεδο του

ςχιματοσ αφινουμε ζνα

εργαςτθριακό αμαξάκι μάηασ m

= 0,6kg να κινθκεί προσ τθν βάςθ

του επιπζδου. Σο φψοσ ςτο

οποίο βριςκόταν αρχικά το

αμαξάκι ιταν h = 40cm.

Α. Πόςθ κα είναι θ κινθτικι του ενζργεια όταν κα φτάςει ςτθν βάςθ του επιπζδου;

Β. Με πόςθ ταχφτθτα κα κινείται εκεί;

Γ. τθν βάςθ του επιπζδου ςυναντάει ζνα οριηόντιο ελατιριο ςτακεράσ k = 120N/m

ςτο οποίο χτυπάει ςυμπιζηοντασ το. Σθν ςτιγμι που ςταματάει ςτιγμιαία, πόςθ

ενζργεια κα ζχει αποκθκευτεί ςτο ελατιριο;

Δ. Ποια κα είναι τότε θ ςυςπείρωςθ του ελατθρίου;

12. Ζνα μικρό αντικείμενο αφινεται να εκτελζςει ελεφκερθ πτϊςθ από φψοσ h = 20m. Nα

υπολογίςετε τθν ταχφτθτα με τθν οποία φτάνει ςτο ζδαφοσ

Α. Εφαρμόηοντασ τισ εξιςϊςεισ τθσ ελεφκερθσ πτϊςθσ

Β. Εφαρμόηοντασ το κεϊρθμα μεταβολισ τθσ Κινθτικισ Ενζργειασ

Γ. Εφαρμόηοντασ τθν αρχι διατιρθςθσ τθσ Μθχανικισ Ενζργειασ.

Δ. Αν θ αντίςταςθ του αζρα δεν κεωροφταν αμελθτζα, ποιον – ποιουσ από τουσ προθ-

γοφμενουσ τρόπουσ δεν κα μποροφςαμε να εφαρμόςουμε;

13. το ςχιμα φαίνονται τρία αντικείμενα τα οποία

τα εκτοξεφουμε από το ίδιο φψοσ, με ίδιο μζτρο

ταχφτθτασ, ςε διαφορετικζσ διευκφνςεισ. Αν και

τα τρία ζχουν τθν ίδια μάηα και θ αντίςταςθ του

αζρα είναι αμελθτζα, ποιο από τα τρία κα φτάςει

ςτο ζδαφοσ με ταχφτθτα μεγαλφτερου μζτρου;

Αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ.

𝜐 𝜐

𝜐

m

h

k κ


87

14. Οι δφο όμοιεσ ςφαίρεσ του διπλανοφ ςχιμα-

τοσ βρίςκονται αρχικά ακίνθτεσ, ςτο ίδιο φ-

ψοσ πάνω από το ζδαφοσ. Θεωρϊντασ ςαν

επίπεδο αναφοράσ το ζδαφοσ, χαρακτθρίςτε

κάκε μία από τισ επόμενεσ προτάςεισ ωσ ςω-

ςτι θ λανκαςμζνθ.

Α. Η ςφαίρα B ζχει μεγαλφτερθ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια από τθν A.

Β. Και οι δφο ζχουν τθν ίδια βαρυτικι δυναμικι ενζργεια.

Γ. Αφινοντασ τισ ελεφκερεσ να κινθκοφν μζχρι να φτάςουν ςτο ζδαφοσ, το ζργο του

βάρουσ είναι μεγαλφτερο για τθν ςφαίρα A.

15. το κεκλιμζνο επίπεδο του διπλανοφ ςχιμα-

τοσ, θ γωνία κλίςθσ είναι 30o. Ο ςυντελεςτισ

τριβισ ανάμεςα ςτο ςϊμα και ςτθν επιφά-

νεια του επιπζδου είναι √

και θ μάηα

του ςϊματοσ είναι m = 1,2kg. Σο φψοσ ςτο

οποίο βρίςκεται αρχικά το ςϊμα είναι h1 =

40cm.

Α. Πόςθ είναι θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια του ςϊματοσ;

Β. Να υπολογίςετε το ζργο του βάρουσ και το ζργο τθσ τριβισ κατά τθν μετακίνθςθ του

ςϊματοσ μζχρι τθν βάςθ του επιπζδου (θ απόςταςθ που διανφει μζχρι εκεί είναι

80cm).

Γ. Πόςθ είναι θ ελάττωςθ τθσ βαρυτικισ δυναμικισ ενζργειασ μζχρι το ςϊμα να φτάςει

ςτθν βάςθ του επιπζδου;

Δ. Πόςθ είναι τότε θ κινθτικι του ενζργεια;

Για τα ερωτιματα Α, Γ, Δ, κεωρείςτε ωσ επίπεδο αναφοράσ i) τθν βάςθ του επιπζδου ii)

τθν αρχικι κζςθ του ςϊματοσ. Συγκρίνετε τα αποτελζςματα.

16. Δφο αμαξάκια με μάηεσ m1 = 600g και m2 = 1200g,

ακουμποφν ςτα δφο άκρα ενόσ ςυςπειρωμζνου

ελατθρίου ςτακεράσ k = 60N/m. Η ςυςπείρωςθ του

ελατθρίου είναι Δl = 6cm. Όλο το ςφςτθμα θρεμεί

πάνω ςε οριηόντιο επίπεδο.

A B

h

m

h

κ

m1 k m2


88

Α. Πόςθ ενζργεια είναι αποκθκευμζνθ ςτο ςφςτθμα ελατιριο – μάηεσ;

Β. Πόςθ είναι θ ορμι του ςυςτιματοσ;

Γ. Ελευκερϊνουμε το ελατιριο. Πόςθ κινθτικι ενζργεια και πόςθ ορμι κα ζχει το

ςφςτθμα, όταν το ελατιριο αποςυμπιεςτεί εντελϊσ;

Δ. Τπολογίςτε τα μζτρα των ταχυτιτων που κα αποκτιςει τότε το κάκε αμαξάκι. Ποιοσ

είναι ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ενζργειασ του όταν ζχουν πλζον αποςπαςτεί από το

ελατιριο;

Θεωρείςτε τισ τριβζσ αμελθτζεσ.

17. Ζνασ εργάτθσ αςκεί με τθν βοικεια ενόσ

ςχοινιοφ, δφναμθ μζτρου F = 200Ν ςτο

κιβϊτιο του ςχιματοσ. Αρχικά το κιβϊτιο

ιταν ακίνθτο. O ςυντελεςτισ τριβισ

ανάμεςα ςε αυτό και το πάτωμα είναι μ = 0,5

θ μάηα του κιβωτίου m = 20kg, και θ γωνία

που ςχθματίηει το ςχοινί με τθν οριηόντια διεφκυνςθ είναι κ = 30ο. Σο ςκοινί ςπάει

όταν το κιβϊτιο ζχει διανφςει απόςταςθ s = 4m. Ζτςι κινείται λίγο ακόμα και

ςταματάει λόγω τθσ τριβισ.

Α. χεδιάςτε όλεσ τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα, πριν και μετά το κόψιμο του

ςχοινιοφ (2 ςχιματα). Μετά, υπολογίςτε το ζργο κάκε μίασ από αυτζσ, μζχρι τθν

ςτιγμι που κόβεται το ςχοινί.

Β. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα τθν ςτιγμι που κόβεται το ςχοινί;

Γ. Με ποιο ρυκμό παράγει ζργο ο εργάτθσ και με ποιο ρυκμό καταναλϊνει θ τριβι, τθν

ςυγκεκριμζνθ χρονικι ςτιγμι;

Δ. Πόςθ απόςταςθ διανφει το κιβϊτιο μζχρι να ςταματιςει, μετά το ςπάςιμο του

ςχοινιοφ; (Για τον υπολογιςμό χρθςιμοποιείςτε το Θ.Μ.Κ.Ε. ι τισ εξιςϊςεισ κίνθςθσ)

Για τισ πράξεισ κεωρείςτε ότι √3≈1,725

18. Ζνα αμαξάκι μάηασ m = 1200g κινείται ςε οριηόντιο επίπεδο με ταχφτθτα μζτρου υ1 =

4m/s. Κάποια ςτιγμι ςυγκροφεται πλαςτικά με ζνα αρχικά ακίνθτο κομμάτι ξφλου,

ίςθσ μάηασ, το οποίο εμφανίηει ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ μ = 0,3 με το οριηόντιο

επίπεδο. Σο ςυςςωμάτωμα που δθμιουργείται κινείται για απόςταςθ d και τελικά

ςταματάει.

κ


89

Α. Πόςθ είναι θ ορμι και πόςθ θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ πριν τθν

ςφγκρουςθ;

Β. Με τθν βοικεια τθσ Α.Δ.Ο., υπολογίςτε τθν ταχφτθτα που ζχει το ςυςςωμάτωμα

αμζςωσ μετά τθν ςφγκρουςθ.

Γ. Πόςθ κα είναι θ κινθτικι ενζργεια που κα ζχει το ςυςςωμάτωμα, αμζςωσ μετά τθν

κροφςθ; Μποροφμε να ποφμε ότι θ κινθτικι ενζργεια διατθρικθκε;

Δ. Τπολογίςτε τθν απόςταςθ που χρειάςτθκε το ςυςςωμάτωμα για να ςταματιςει.

Ε. Πόςθ είναι θ μθχανικι ενζργεια που παρζμεινε τελικά ςτο ςφςτθμα των δφο

ςωμάτων; Πόςθ είναι θ μθχανικι ςυνολικι ενζργεια που ζφυγε ςτο περιβάλλον με

μορφι κερμότθτασ;

19. το διπλανό ςχιμα, το κεκλιμζνο

επίπεδο είναι λείο και φτιαγμζνο

με τζτοιο τρόπο ϊςτε να μποροφμε

να μεταβάλουμε το φψοσ του h. Σο

οριηόντιο επίπεδο εμφανίηει τριβι. Αφινουμε ζνα πλακίδιο να γλιςτριςει ςτο

κεκλιμζνο επίπεδο και τελικά να ςταματιςει ςε απόςταςθ d από τθν βάςθ του

επιπζδου, λόγω τριβισ. Αν αφιςουμε το ίδιο πλακίδιο από διπλάςιο φψοσ, θ

απόςταςθ d’ που κα χρειαςτεί για να ςταματιςει κα είναι:

Α. Κδια Β. Η μιςι Γ. Η διπλάςια

Επιλζξτε τθν ςωςτι απάντθςθ και αιτιολογείςτε τθν επιλογι ςασ.

20. ε ζνα ςϊμα μάηασ m = 3,3kg που αρχικά θρεμεί, αςκοφμε μία οριηόντια δφναμθ

μεταβλθτοφ μζτρου που μεταβάλλεται ςφμφωνα με τθν εξίςωςθ. F = 5+2·x (S.I.), όπου

x είναι θ μετατόπιςθ του ςϊματοσ.

Α. Ποια είναι θ τιμι τθσ δφναμθσ όταν θ μετατόπιςθ είναι x1 = 2m και ποια όταν το

ςϊμα ζχει μετακινθκεί κατά x2 = 6m;

Β. Φτιάξτε ςε ζνα ςφςτθμα αξόνων τθν γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ F ςε ςχζςθ

με τθν μετατόπιςθ x.

Γ. Με τθν βοικεια τθσ γραφικισ παράςταςθσ που φτιάξατε, υπολογίςτε το ζργο τθσ

δφναμθσ, όταν το ςϊμα ζχει μετατοπιςτεί κατά 6m.

Δ. Γνωρίηοντασ ότι κατά τθν διάρκεια τθσ κίνθςθσ του ςϊματοσ δεν του αςκείται καμία

άλλθ δφναμθ, υπολογίςτε τθν ταχφτθτά του τθν ςτιγμι που ζχει μετακινθκεί κατά 6m.

d

h

Documents

Σημειώσεις Φυσικής Α' Λυκείου