ЯКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИм. М.К. Аммосова

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАПо дисциплине

«Метрология и радиоизмерения»

задания и методические указания к контрольным работам № 1, 2для студентов заочной форм обученияспециальности 200700 «Радиотехника»направление 654200 «Радиотехника»

Для государственных университетов

Составил: ст. преподавательМаксимова Н.А.

Якутск 2002 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Контрольная работа № 11. Статистическая обработка результатов прямых измерений

1.1. Оценка погрешностей однократного измерения 5Задача 1 6

1.2. Оценка погрешностей многократных измерений1.2.1. Общие сведения 61.2.2. Порядок обработки результатов измерений 7

1.3. Обработка результатов неравноточных измерений 141.3.1. Сравнение средних арифметических значений отдельных

выборок 141.3.2. Доверительные оценки при неравноточных

измерениях 14 Задача 2 162. Оценка влияния класса точности измерительной аппаратуры

на результаты измерений 18Задача 3 20

3. Оценка погрешностей результатов косвенных измерений 20Задача 4 21

4. Влияние формы измеряемого сигнала на показания вольтметров различных систем

4.1. Основные параметры переменных напряжений и токов 224.2. Функциональные характеристики измерительных

преобразователей переменного напряжения в постоянное 23Задача 5 25

Контрольная работа № 2 255. Расширение пределов измерения амперметров и вольтметров

5.1. Расчет сопротивления шунтов 255.2. Расчет сопротивлений добавочных резисторов 26

Задача 6 27

6. Логарифмические единицы измерения электрических величин 28Задача 7 29

7. Осциллографические методы измерения параметров электрических сигналов 30

Задача 8 32

8. Мостовые методы измерения 32Задача 9 34

9. Измерение параметров цепей с распределенными постоянными 34Задача 10 34

2

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Предельное значение коэффициента tт = tг 36ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Интеграл вероятности Р(t) 36ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Значения интеграла вероятности по закону Стьюдента

Рст (tcт, n) 37ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Статистика d (критерий 1) 38ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Значения вероятности и количества отклонений

(критерий 2) 38ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Основные соотношения для некоторых форм

переменного периодического напряжения (тока) 39

Рекомендуемая литература 39

3

ВВЕДЕНИЕ

Контрольная работа составлена в соответствии с действующей в настоящее время учебной программой по дисциплине «Основы метрологии» для студентов очной и заочной форм обучения специальности 200700 «Радиотехника».

В пояснительных разделах сборника приведены основные теоретические сведения из теории погрешностей, примеры решения задач и указаны расчетные формулы без выводов, т.к. автор предполагает, что их физический смысл известны студентам из соответствующих курсов математики, теории вероятности, метрологии, электрических измерений. В соответствии с вышесказанным, в контрольную работу включены задачи по следующей тематике:

1. статистическая обработка результатов прямых измерений;2. оценка влияния класса точности измерительной аппаратуры на результаты

измерений;3. оценка погрешности результатов косвенных измерений;4. влияние формы измеряемого сигнала на показания вольтметров различных

систем;5. расширение пределов измерения амперметров и вольтметров;6. логарифмические единицы измерения электрических величин.

Целями выполнения контрольной работы являются:1. закрепление теоретических знаний по курсам теории вероятности,

метрологии, электрических измерений;2. приобретение навыков обработки результатов измерений оценки

погрешностей, определения их источников;3. приобретение навыков расчета шунтов и дополнительных резисторов

для амперметров и вольтметров с целью расширения диапазона измерений токов и напряжений.

При решении задач студенту следует пользоваться не только теоретическими сведениями и методическими указаниями, приведенными в контрольной работе, но рекомендуемой литературой для лучшего усвоения вопросов, поставленных в задачах.

Выбор варианта задач производится по дню месяца даты рождения студента, причем 31 день месяца соответствует 1 варианту.

Результаты выполнения контрольной работы оформляются в соответствии с требованиями ГОСТ и ЕСКД и сдаются на проверку не позднее назначенного преподавателем срока.

4

_ АИ

_ АД

_ АПРЕД

Контрольная работа № 1

1. Статистическая обработка результатов прямых измерений

В ГОСТ 16263 – 70 «Метрология. Термины и определения» приводятся следующие определения, относящиеся к понятию эксперимента:

измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств;

погрешность – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины;

истинное значение измеряемой величины – значение, свободное от погрешностей;

действительное значение измеряемой величины – значение, полученное опытным путем с помощью достаточно точных методов и средств измерений, на столько близкое к истинному значению, что для данных целей измерения может быть использовано вместо него.

Результат измерения практически всегда отличается от истинного значения измеряемой величины из-за несовершенства способа измерения и средств измерений.

1.1. Оценка погрешностей однократного измерения

Абсолютная погрешность – это разность между измеренным АИЗМ и истинным АИ значениями измеряемой величины, которая является знакопеременной величиной и выражается в единицах измеряемой величины:

= АИЗМ - АИ. (1.1)На практике вместо истинного значения, которое чаще всего не известно,

используется действительное значение, которое можно получить с помощью образцовых средств измерений:

АИЗМ – АД. (1.2)Результат измерения при этом записывается в виде:

А = АИЗМ .Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности

измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины, которая является знакопеременной величиной и обычно выражается в процентах:

= 100 % 100 %. (1.3)

Результат измерения при этом записывается в виде:А = АИЗМ .

Приведенная погрешность привед. – это отношение абсолютной погрешности к предельному значению шкалы прибора, которая при однократном измерении определяется классом точности прибора К:

привед. = К = 100 %. (1.4)

5

Задача 1

Вольтметром класса точности К и предельным значением шкалы UПРЕД произведено измерение пяти действующих значений напряжения U1, U2, U3, U4, U5 (значения приведены в табл. вариантов 1). Построить зависимость относительной погрешности от положения стрелки прибора относительно предельного значения шкалы в координатной плоскости, приведенной на рис.1.1.

Указать номер измерения, являющегося наиболее точным и дать рекомендации по работе с вольтметром.

Таблица вариантов 1№ вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

К 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2,5 4,0 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2,5 4,0 0,1UПРЕД 1 3 10 30 5 15 50 20 1 3 10 30 5 15 50U1, В 0,1 1 2,1 2,4 0,8 0,9 3,1 0,9 0,2 0,8 0,4 7,1 0,7 0,9 3,7U2, В 0,3 1,2 3,4 17 1,9 4 11 7,4 0,3 1,3 2,3 14 2,0 2,8 11U3, В 0,6 1,9 6,9 22 3,2 9 28 13 0,5 1,8 4,7 19 3,1 5,6 23U4, В 0,8 2,5 7,4 25 4,0 12 36 18 0,7 2,4 8,8 25 4,8 11 39U5, В 1 2,9 8,8 30 4,8 14 48 20 0,9 2,9 9,5 28 5 14 50

№ вар. 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30К 0,2 0,5 1,0 1,5 2,5 4,0 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2,5 4,0 0,1 0,2

UПРЕД 1 3 10 30 5 15 50 20 1 3 10 30 5 15 50U1, В 0,2 0,2 2,1 3,4 0,8 1,7 2,1 0,7 0,1 0,4 0,2 0,9 0,6 0,8 0,6U2, В 0,3 0,4 5,4 5,8 1,2 3,2 14 8,1 0,3 1,6 3,2 8,2 1,7 3,2 12U3, В 0,5 1,2 8,3 14 2,3 8,3 26 13 0,5 2,0 5,1 17 2,4 7,3 25U4, В 0,7 1,9 9,2 23 3,9 12 35 18 0,7 2,7 7,1 23 4,2 12 37U5, В 0,8 2,8 10 28 5 15 49 20 1 3 9,9 30 5 14 48

1.2. Оценка погрешностей многократных измерений

1.2.1. Общие сведения

Для увеличения точности измерений, при наличии случайных погрешностей, производят не однократное наблюдение измеряемой величины, а многократное. При этом среднее значение измерений будет наиболее приближено к истинному значению и может быть использовано в качестве действительного. Принято называть значение величины, полученное при отдельном наблюдении, результатом наблюдения, а среднее арифметическое группы результатов наблюдений – результатом измерения.

При анализе полученных результатов определяются границы Г, в которых находится погрешность. Эти границы в общем случае могут быть несимметричными (ГН, ГВ). Если теоретическое распределение погрешности таково, что она может выходить за установленные границы (например, при нормальном законе распределения), вводится понятие доверительного интервала, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой доверительной вероятностью. Для определения доверительного интервала обычно и производятся многократные лабораторные

6

, %

UИЗМ, В

UПРЕД

К

Рис. 1.1

измерения с целью получения наиболее достоверного значения и оценки точности полученного результата.

В общем случае суммарная погрешность измерения будет содержать случайную и систематическую составляющие:

СУМ = С + 0, (1.5)где С – систематическая погрешность; 0 – случайная центрированная погрешность.

Если не произведено разделение погрешности на случайную и систематическую составляющие, то результаты измерений в соответствии с ГОСТ «Показатели точности и формы представления результатов измерений» записываются в следующем виде:

Х, Х от ХН до ХВ,где Х – измеренное значение; ХН = ГН; ХВ = ГВ – нижняя и верхняя границы погрешности.

ГОСТ допускает и другие формы записи результатов измерения, отличающиеся от приведенной формы тем, что в них указывают отдельно характеристики систематической и случайной погрешности. При этом для систематической погрешности также указывают ее вероятностные характеристики: математическое ожидание М(С) и среднеквадратическое отклонение С. При записи результата измерения и погрешности младшие разряды числовых значений должныбыть одинаковыми. Например, U = 12,5 В, U = 0,1 В, а не U = 12,52 В, U = 0,1 В или U = 12,5 В, U = 0,13 В.

1.2.2. Порядок обработки результатов измерений

Стандартом (ГОСТ «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.») установлены основные положения методики обработки измерения с многократными наблюдениями, заключающиеся в следующем.

1. Истинное значение х измеряемой величины почти всегда неизвестно, и поэтому определить абсолютную погрешность каждого отдельного измерения не представляется возможным. Если число измерений n достаточно велико, то вместо значения х используют наиболее достоверное значение – среднее арифметическое (действительное):

х = , (1.6)

Эта формула математически выражает постулат среднего арифметического: наиболее достоверное значение измеряемой величины, которое можно получить на основании большого ряда заслуживающих одинакового доверия измерений, есть арифметическое среднее из полученных значений.

2. Случайную погрешность чаще оценивают с помощью средней квадратической погрешности (СКО), которая характеризует рассеивание отдельных наблюдений относительно среднего, вызванное наличием случайных погрешностей:

S = = (1.7)

где i = хi – x – абсолютная погрешность i-го единичного измерения, случайное

7

1n

n

хи

i =1

1 _ n – 1

n

i2

i=1

1 _ n – 1

n

(хi – x)2

i=1

n

i

i=1

n

i2

i=1

отклонение результата наблюдений; иногда называют остаточной погрешностью. Это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов – минимальна, т.е.

= 0 и min.

Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.

Таким образом, вы узнали, что абсолютную погрешность измерения можно вычислить либо используя истинное значение при условии, что оно известно, либо заменив его среднеарифметическим значением – в противном случае. Погрешности i

отличаются от абсолютных погрешностей, вычисленных, с использованием истинного значения измеряемой величины, так, как отличается среднеарифметическое значение ряда измерений от истинного – значения близки друг к другу, но, как правило, не равны. Степень приближения этих погрешностей будет тем выше, чем больше n, и при n можно считать, что эти абсолютные погрешности станут равны.

При небольшом числе наблюдений (4 – 10) их рассеивание можно характеризовать размахом:

Rn = xmax – xmin,где xmax и xmin – максимальное и минимальное значения из ряда наблюдений.

3. Так как среднее арифметическое обладает некоторой случайной погрешностью и имеет определенную вероятность в отношении большего или меньшего ее значения, теория случайных погрешностей вводит также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического:

() = / n . (1.8)Таким образом, СКО результата измерения с ростом числа наблюдений в

группе уменьшается в n раз. Например, при 9 наблюдениях СКО результата измерений будет втрое меньше, чем при однократном измерении.

Степень приближения к () и S к S() определяется числом измерений n; в пределе они равны друг другу:

Из формулы 1.8 следует, что с увеличением числа измерений точность результатов возрастает, но это происходит медленнее, чем увеличение числа измерений.

При обработке результатов измерений определяют среднее относительное квадратическое отклонение () по формуле:

()= S () / х. (1.9)

4. Оценка анормальности результатов измерений - исключение промахов. При многократных измерениях в ряду наблюдений возможно наличие одного – двух резко отличающихся (подозрительных) от остальных значений. Прежде всего, следует проверить, нет ли описки, ошибки в снятии показаний или других промахов. Если промахи не установлены, то следует проверить, не содержатся ли в ряду наблюдений грубых погрешностей. Если их нет, то необходимо решить, являются ли

8

= lim S и () = lim S()n n

1n

n

U ii=1

1 _ n – 1

n

(Ui )2

i=1

подозрительные значения подчиняющимися нормальному закону, но вероятность появления их мала, или они принадлежат генеральной совокупности.

Наиболее простым является «критерий 3». Применимость этого критерия основана на том, что при нормальном распределении и бесконечно большом числе наблюдений вероятность появления погрешности, превышающей 3, составляет 310-3. В силу малой вероятности такого события результаты наблюдений, отличающиеся от среднего более чем на 3считаются промахами и не должны учитываться в дальнейшем.

Таким образом, для выявления промахов необходимо выяснить – имеются ли в ряде измерений такие, абсолютная погрешность i которых превышает утроенное значение СКО. Если для какого либо измерения выполняется i 3, то этот результат наблюдения не принадлежит генеральной совокупности, должен быть отброшен, и весь анализ результатов необходимо произвести сначала.

Пример1.1. Произвести полную обработку измерений напряжения, которые производились вольтметром, у которого максимальное значение погрешности мах = г = 0,05 В. В результате получилась выборка наблюдений, сведенная в следующую таблицу.

№№ опытов 1 2 3 4 5 6 7

U, В 9,15 9,00 8,85 9,05 9,10 9,15 8,89

8 9 10 11 12 13 14 15 16 178,70 8,90 9,10 9,40 9,00 9,20 8,70 8,90 9,02 8,98

Обработка результатов производится следующим образом:1. определяется среднее арифметическое:

U = = 9,00 В;

2. определяются отклонения от среднего арифметического каждого измерения (абсолютные погрешности):

Ui = Ui – U;3. определяется несмещенная оценка СКО ряда наблюдений:

= = 0,176 В.

4. оценка среднеквадратического отклонения ряда наблюдений:

() = / n = 0,043 В .

5. проверка на наличие промахов показывает, что в приведенном ряде измерений они отсутствуют, т.к. ни одна из абсолютных погрешностей Ui

не превышает значения 3 = 0,528.

9

_ ( - c) 2 2 2()

1 _2 ()

1 _2 ()

1 _ 2

tГ

ехр (0

_ t_ 2

Г(n/2) _Г((n-1)/2) (n-1)

tст_ n-1

tС

0

6. Проверка гипотезы о законе распределения и принадлежности результата наблюдения нормальному.

На практике наиболее часто встречаются измерения, случайные погрешности которых распределены по нормальному (Гауссовскому) закону. Функция плотности вероятности появления случайных погрешностей имеет вид:

() = exp ( ), (1.10)

где - с = - случайная погрешность.График распределения плотности вероятности для нормального закона

приведен на рис. 1.1. Вероятность появления

случайной погрешности в пределах от гн до гв запишется в следующем виде:

Р(-гн гв) = ) d. (1.11)

Для вычисления интеграла вероятности используются таблицы, для чего производится нормирование подынтегральной функции по параметру (), т.е. вводится новая переменная t = /() и интеграл переписывается в виде:

Р(t) = )2 dt (1.12)

Для случая симметричного доверительного интервала используется формула:

Р(t) = )2 dt. (1.13)

Таблица нормированных значений интеграла вероятности составлена в соответствии с формулой 1.17 и приведена в Приложении 1.

В случаях, если количество опытов невелико (n15), принято пользоваться распределением Стьюдента; плотность вероятности в этом случае:

ст(tcт, n) = (1 + )-n / 2 , (1.14)

где tст имеет тот же смысл, что и ранее; t = /(), а Г(n/2), Г((n-1)/2), соответствующие Гамма-функции. Для вычисления плотности вероятности в этом случае можно воспользоваться некоторыми значениями Гамма-функции:Г(1)=1; Г(n) = (n – 1)!; Г(1/2) = ; Г(3/2) = 2/2 ; Г=(z + n)=(z+n-1)(z+n-2)…,где n – целое положительное число.

Соответственно интеграл вероятности для закона Стьюдента запишется:

10

2() 1()()

1()

2()

- Рис.1.1

ГВ

ехр (-ГН

_ _ 2 ()

tВ

ехр (-tН

1 _ 2

_ t_ 2

Рст(tст, n) = 2 (tст, n) dtст. (1.15)

Значения интеграла вероятности Стьюдента приведены в Приложении 2.Анализ формулы Стьюдента показывает, что при большом количестве опытов

n 20 вероятность события приближается к нормальному распределению.Наряду с нормальным законом распределением и законом распределения

Стьюдента на практике часто приходится иметь дело с равномерным законом распределения случайной величины и треугольным. Это оказывается особенно необходимым. Когда определяются граничные значения г интервала не исключенной систематической погрешности, которая чаще всего считается распределенной по этим законам.

График распределения плотности вероятности при равномерном законе распределения представлен на рис.1.2.

Соответствующая аналитическая запись функции плотности вероятности имеет вид:

1/г при – (г / 2) (г / 2);0 при - (г / 2), (г / 2) (1.16)

Среднеквадратическое отклонение: = г / 23.

Погрешность округления в аналоговых приборах считается распределенной по равномерному закону.

При этом за величину г принимается цена деления шкалы. Также равномерному закону подчиняется погрешность дискретности в большинстве цифровых приборов.

В некоторых цифровых приборах погрешность дискретности считается распределенной по треугольному закону, график которого приведен на рис.1.3.

Параметры треугольного закона следующие:

(/г2) + (1/г) при -г 0,

(-/г2) + (1/г) при 0 г,

0 при -г , г (1.17)Среднеквадратическое отклонение:

г.

Поскольку погрешность результата измерения зависит от многих причин, то при большом количестве наблюдений (n20) ее можно считать распределенной по нормальному закону. В этом случае для оценки результатов измерений производится вычисление оценок параметров нормального распределения по формулам 1.7 – 1.12.

Для проверки согласия экспериментального закона распределения нормальному при числе опытов 15 n 50 рекомендуется так называемый составной критерий. При этом уровень значимости гипотезы выбирается равным от 2% до 10% (т.е. в пределах 0,02 0,1). При n 15 проверка гипотезы не проводится.

Составной критерий включает в себя два критерия.

Критерий 1. Производится сравнение вычисляемой по опытным данным величины d с теоретическими точками распределения d1(1 – ()/2) и d2(()/2),

11

- (г / 2)– (г / 2)

Рис.1.2

- г -г

Рис.1.3

1_ n

n

хi – x i=1

1_ n

n

(хi – x)i=1

соответствующими нормальному закону, приведенные в таблице Приложения 4. () – заданный уровень значимости Критерия 1.

Величина d вычисляется по формуле:d = ср / см, (1.18)

где

ср = , (1.19)

см = .. (1.20)

Гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений к нормальному закону распределения верна в том случае, если d лежит в пределах

dn(1 – ()/2) d d2(()/2).

Критерий 2. Оценка по Критерию 2 заключается в определении числа отклонений mэ экспериментальных значений tэi от теоретического значения tт для заданной вероятности. Для этого сначала по таблице в Приложении 5 задаются уровнем значимости 2() и доверительной вероятностью для данного результата наблюдений и определяется теоретическое число отклонений mт. Затем вычисляются экспериментальные значения параметра tэi для данного ряда наблюдений по формуле:

tэi =хi – x/ (). (1.21)Вычисленные значения tэi сравнивают с теоретическим значением tт для

выбранной доверительной вероятности и подсчитывается число отклонений mэ, для которых удовлетворяется неравенство tэi tт.

Если mэ mт, то распределений данного ряда наблюдений не противоречит нормальному.

Если соблюдаются оба критерия, то данный результат наблюдений подчиняется нормальному закону распределения. При этим уровень значимости составного критерия принимается равным:

() = 1() + 2().

Пример 1.3. Для примера 1.1 проводим проверку гипотезы на принадлежность нормальному распределению.

Для оценки Критерия 1 подсчитываем:

ср = = 2,02; d = 2,02/(170,17) = 0,699.

Из таблицы Приложения 4 находим на уровне значимости 2()/2 = 0,01 и числе наблюдений n = 16 теоретические значения d2(()/2) = 0,9136, d1(1 – ()/2 = 0,6829. Полученное экспериментальное значение d = 0,699 удовлетворяет условию 0,6829 0,699 0,9137.

Таким образом, гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений нормальному закону распределения подтверждается на уровне значимости 0,01.

По Критерию 2 подсчитывается число mэ отклонений, для которых наблюдается неравенство

(хi – x) / () tт.

12

1_ n

n

(хi – x)2

i=1

Для рассмотренного примера при Р = 0,95 и tт = 2,01 для всего ряда наблюдений выполняется неравенство tэi tт. Следовательно число отклонений mэ = 0. Таким образом, критерий 2 выполняется на любом уровне значимости и распределение результатов наблюдений не противоречит нормальному закону.

7. При оценке погрешностей результатов измерения требуется определять точность и надежность полученных результатов для среднего значения и среднего квадратического отклонения. Пусть означает вероятность того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более, чем на . Это можно записать в виде:

Р(х – х х + ) = . (1.22)Вероятность называется коэффициентом надежности или доверительной

вероятностью, а интервал значений от х – до х + – доверительным интервалом. Из выражения (1.22) следует, что результат измерений не выходит за пределы

доверительного интервала с вероятностью, равной , т.е. чем больше доверительный интервал, тем вероятнее, что результаты измерения не выйдут за его пределы и надежность будет выше. Очевидно, что при этом будет больше допустимая погрешность (точность измерения уменьшается). Следовательно, для характеристики случайной погрешности необходимо задавать два значения: Погрешность (доверительный интервал) и доверительную вероятность, так как указание только погрешности делает задачу неопределенной. Задание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.

На практике степень надежности проводимых измерений зависит от их характера. В большинстве обычных измерениях при нормальном законе распределения можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95, если не требуется более высокая степень надежности.

8. Вычисление доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения.

Определение доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения производится на основании вычисленного значения с учетом заданной доверительной вероятности РД:

г = tст , (1.23)где tст – коэффициент Стьюдента, значение которого выбирается из таблицы Приложения 3.

Пример 1.4. Для примера 1.1 tст = 2,13 для РД = 0,95 и тогдаг = 2,13 0,043 = 0,092 В.

Таким образом, результат расчета границ погрешностей запишется:РД[(9,00 – 0,11) Uист (9,00 + 0,11)] = 0,95.

Очевидно истинное значение будет находиться внутри этого интервала.1.3. Обработка результатов неравноточных измерений

Производственная необходимость часто приводит к тому, что параметры идентичных изделий проверяются на различных испытательных стендах или параметры одного и того же изделия измеряются в течение нескольких дней. Полученные значения среднего арифметического отдельных выборок могут отличаться друг от друга. В связи с этим возникает необходимость решения следующих задач:

- принадлежат ли измерения одной генеральной выборке;- если принадлежат, то каковы параметры этой генеральной совокупности ?

13

(m1 – 1) 12 ( ) + (m 2 – 1) 2

2 ( ) (m1 – 1) + (m2 – 1)

1 _ m1

X 1 _ m1

m2

x(2)i

i=1

1 _ m1 – 1

m1

(х(1)i – x(1))2

i=1

1 _ m1 – 1

m2

(х(2)i – x(2))2

i=1

tэ =

1 _ mj

mj

x(j)i

j=1

1.3.1. Сравнение средних арифметических значений отдельных выборок

Сравнение средних значений целесообразно производить попарно. Пусть имеются две выборки неравноточных измерений:

х1(1), х2

(1), х3(1), …, хi

(1), …, хm1(1),

х1(2), х2

(2), х3(2), …, хi

(2), …, хm1(2),

где m1 – число измерений в первой выборке, m2 – во второй, и т.д.Вычисляются средние арифметические значения первой и второй выборок, а

так же среднеквадратические отклонения первого и второго рядов наблюдений:

х(1) = ; х(2) = ; (1.24)

1 () = ; 2 () = . (1.25)

Вычисляются оценки суммарного среднеквадратического отклонения:

1-2 = (1.26)

и экспериментальный коэффициент tэ распределения Стьюдента: х (1) – х (2) _ 1-2 1/m1 + 1/m2 . (1.27)

Затем для заданной вероятности РД из таблицы Приложения 3 распределения Стьюдента определяется теоретически возможное значение коэффициента t(Р, К) для заданной РД и степенях свободы К = m1 + m2 – 2. Если tэ превышает t(Р, К), то расхождение можно считать неслучайным, т.е. результаты принадлежат разным генеральным выборкам с надежностью равной вероятности РД. Если tэ t(Р, К), то выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

1.3.2. Доверительные оценки при неравноточных измерениях

Если установлено, что все выборки неравноточных измерений принадлежат одной генеральной совокупности, то следует определить статистические параметры этой генеральной совокупностью. Пусть имеется n выборок, число измерений в каждой из них m1, m2, …, mn, соответственно

х1(1), х2

(1), х3(1), …, хi

(1), …, хm1(1),

х1(2), х2

(2), х3(2), …, хi

(2), …, хm1(2),

:х1

(n), х2(n), х3

(n), …, хi(n), …, хmn

(n).Число опытов генеральной выборки будет равно сумме:

N = mj ; j = 1 n.Первоначально следует вычислить среднее арифметическое значение каждой

выборки и среднеквадратическое отклонение:

х(j) = (1.28)

14

1 _ m1 – 1

m1

(х(1)i – x(1))2

i=1

1 _ N

n

mj x(j)

1

1 _ N – 1

x = 1 _ P

n

Pj x(j)

1

1 () = (1.29)

В зависимости от величин 1(),1(),…,1(), формулы статистических параметров различны:

а) если 1(),1(),…,1() численно близки между собой, то среднее арифметическое генеральной выборки рассчитывается по формуле:

х = , (1.30)

а среднеквадратическая оценка среднеквадратического будет равна: = () / n , (1.31)

где

1 () = ; (1.32)

б) если 1(),1(),…,1() существенно отличаются друг от друга, то для вычисления х и рекомендуются следующие формулы:

Р1х (1) + Р 2х (2) + … + Р nх (n) =P1 + P2 + … + Pn , (1.33)

где Рj = mj / j2 () , P = P1 + P2 + … + Pn .

После вычисления х и устанавливаются границы доверительных интервалов при заданной доверительной вероятности (или наоборот доверительной вероятности по заданным границам) по распределению Стьюдента.

Пример 1.7. Пусть было проведено две серии измерений некоторых параметров: m1 = 17, m2 = 20. По результатам наблюдений были вычислены значения:

х(1) = 9,00; 1 () = 0,176; х(2) = 9,10; 2 () = 0,100.Проверяем результаты серий на принадлежность одной генеральной

совокупности.Вычисляем параметры предполагаемой генеральной совокупности:

(17 – 1)(0,176) 2 + (20 – 1)(0,100) 2 1-2 = 17 + 20 – 2 = 0,141,

tэ = 9,00 – 9,10 _ = 2,24. 0,141 1/17 + 1/20

Если задаться вероятностью гипотезы РД = 0,997, то теоретическое значение коэффициента tст = 3, а экспериментальное 2,24, т.е. обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

Вычисляются доверительные оценки.Поскольку обе приведенные выборки принадлежат одной генеральной

совокупности, то параметры последней определяются по формулам:Р1 = 17/ (0,176)2 = 549; Р2 = 20/ (0,100)2 = 2000;

15

n

mj (х(j) – x)2

1

Р = 549 + 2000 = 2549;

= [549(9,00 – 9,08)2 = 2000(9,100 – 9,08)2] / 2549(37 – 1) = 7 10-3.

Вычисляются границы доверительного интервала :

г = tст = 3 7 10-3 = 0,021.Окончательный результат при доверительной вероятности

РД = 0,997 имеет следующий вид:

РД[(9,08 – 0,021) xист (9,08 + 0,021)] = 0,997.

Задача 2Для определения статистических параметров электронной схемы был

произведен ряд многократных измерений, данные по которым приведены в таблице вариантов 2.

а) Произвести полную статистическую обработку экспериментальных данных, используя методику раздела 1.2. (для первого столбца заданного варианта).

б) Сравнить средние значения двух выборок неравноточных измерений, для этого использовать данные из двух соседних одноименных столбцов таблицы вариантов 2 и методику раздела 1.3.

Таблица вариантов 2№

опыта

1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант 5 вариант 6 вариантUизм, мВ

Uизм, мВ

Rизм, Ом

Rизм, Ом

Сизм, пФ

Сизм, пФ

Iизм, мА

Iизм, мА

fизм, Гц

fизм, Гц

fизм, кГц

fизм, кГц

1 754,7 761,0 337,1 245,4 480,9 493,1 34,0 35,1 1002 1003 378,2 376,82 754,7 761,0 240,2 246,3 485,1 492,7 38,1 35,2 998,9 1003 378,5 376,83 754,7 761,0 238,3 244,5 474,2 491,9 37,5 35,2 1005 1002 377,9 377,14 754,8 761,1 242,4 237,4 482,8 493,2 36,0 35,1 1003 1004 377,6 377,25 754,8 761,0 238,7 243,6 494,0 491,8 34,4 35,1 997,8 1003 378,1 376,86 754,7 761,0 241,5 245,7 475,9 491,5 36,0 34,9 1102 1004 378,0 377,17 754,8 761,1 243,4 244,7 478,7 492,5 37,4 35,2 1000 1003 378,2 376,88 754,8 761,0 244,6 244,8 476,8 492,5 33,6 34,8 998,9 1002 378,4 377,29 754,9 761,1 239,8 247,5 483,1 492,8 37,5 35,0 1001 1004 377,8 376,810 754,8 761,0 238,9 245,5 440,0 492,7 37,4 35,1 999,9 1003 378,0 377,211 754,9 761,1 238,7 246,3 483,5 491,7 31,1 35,0 998,8 1003 375,9 377,212 757,8 761,1 238,7 242,8 482,7 491,6 35,7 35,0 900,1 1003 377,5 377,113 754,9 761,1 241,2 242,8 481,7 491,8 34,6 35,1 999,7 1004 377,6 377,114 754,9 761,1 239,6 245,9 479,9 492,4 35,3 34,9 999,7 1002 378,1 377,215 754,9 761,1 242,0 246,3 478,7 491,8 34,9 34,9 1001 1004 377,7 376,816 754,8 761,1 241,3 244,9 477,6 493,0 36,6 35,1 1000 1003 378,4 376,817 754,9 761,0 239,7 243,8 477,9 493,0 37,5 34,8 1002 1004 378,4 377,218 739,1 761,0 239,8 247,1 483,0 491,3 36,1 35,1 999,9 1003 377,1 377,119 754,9 761,1 238,4 245,2 475,7 491,7 34,9 35,2 998,8 1002 390,1 376,820 754,8 761,1 239,3 247,4 476,8 492,9 35,3 35,1 1000 1003 378,0 376,8

РД 0,95 0,99 0,95 0,99 0,95 0,99

0,05 0,025 0,075 0,05 0,025 0,075

№опыта

7 вариант 8 вариант 9 вариант 10 вариант 11 вариант 12 вариантUизм, мВ

Uизм, мВ

Rизм, Ом

Rизм, Ом

Сизм, пФ

Сизм, пФ

Iизм, мА

Iизм, мА

fизм, Гц

fизм, Гц

fизм, кГц

fизм, кГц

1 335,3 336,1 550,1 555,2 324,2 326,8 74,8 74,8 2437 2440 0,050 0,0552 300,1 335,9 550,2 555,4 325,5 326,9 75,1 75,5 2630 2441 0,049 0,0563 334,8 336,1 549,9 555,2 326,0 326,8 74,7 75,3 2440 2440 0,048 0,0544 333,9 336,1 550,1 555,3 324,3 327,1 75,1 75,5 2438 2440 0,050 0,0565 335,1 335,9 549,9 555,3 324,2 326,8 74,7 74,8 2437 2441 0,049 0,0546 335,0 336,0 550,2 555,4 325,6 326,9 74,6 75,4 2437 2439 0,048 0,056

16

7 334,8 336,1 555,1 555,2 324,1 327,1 75,4 75,5 2438 2440 0,050 0,0578 335,2 336,0 550,1 555,3 325,5 326,8 74,8 74,8 2439 2437 0,049 0,0539 335,2 336,2 550,2 555,2 325,6 326,9 64,8 75,5 2438 2438 0,023 0,05510 333,9 336,1 549,8 555,4 324,1 327,1 74,5 75,1 2439 2439 0,048 0,05611 335,2 335,9 550,1 555,3 326,0 326,8 75,1 74,8 2439 2440 0,049 0,05312 334,8 336,2 549,8 555,2 325,7 327,2 84,8 75,5 2438 2440 0,050 0,05313 333,9 336,1 550,2 555,2 324,2 326,8 75,2 74,8 2437 2439 0,051 0,05414 334,8 336,1 549,8 555,4 314,0 326,9 74,6 75,5 2437 2439 0,049 0,05615 335,1 336,1 549,9 555,3 326,1 327,1 74,6 75,3 2438 2439 0,048 0,05716 333,9 335,9 549,8 555,2 325,5 326,8 75,3 74,8 2429 2438 0,050 0,05417 334,8 336,1 550,1 555,3 326,0 327,1 75,1 75,5 2439 2439 0,048 0,05418 344,1 336,0 541,8 555,2 354,9 326,8 74,8 74,8 2439 2440 0,051 0,05319 334,8 336,2 550,1 555,3 325,4 326,9 75,2 75,3 2437 2440 0,078 0,05620 335,2 336,0 550,1 555,4 326,0 327,0 74,8 74,8 2438 2394 0,052 0,057

РД 0,95 0,99 0,95 0,99 0,95 0,99

0,05 0,025 0,075 0,05 0,025 0,075

№опыта

13 вариант 14 вариант 15 вариант 16 вариант 17 вариант 18 вариантUизм, мВ

Uизм, мВ

Rизм, Ом

Rизм, Ом

Сизм, пФ

Сизм, пФ

Iизм, мА

Iизм, мА

fизм, Гц

fизм, Гц

fизм, кГц

fизм, кГц

1 824,7 826,6 889,5 888,3 223,6 230,2 0,153 0,150 789,0 791,4 0,345 0,3492 824,5 822,4 890,2 888,4 224,9 229,7 0,148 0,151 789,1 792,2 0,346 0,3483 844,7 825,7 890,3 888,5 224,8 230,1 0,152 0,150 789,2 790,9 0,345 0,3474 824,6 824,5 889,7 888,5 223,9 229,8 0,154 0,150 790,0 791,3 0,345 0,3485 823,8 823,6 856,9 888,3 212,3 229,7 0,100 0,151 789,3 792,2 0,300 0,3496 823,7 826,4 890,1 888,4 224,4 230,1 0,149 0,150 789,3 790,9 0,344 0,3497 824,4 825,7 890,1 888,3 223.,9 230,2 0,152 0,151 789,5 791,4 0,343 0,3488 824,5 825,4 890,2 888,5 223,8 229,7 0,151 0,152 789,4 792,2 0,346 0,3479 823,9 826,3 889,9 888,5 223,6 229,8 0,345 0,152 799,9 791,3 0,345 0,34710 823,8 824,2 889,4 888,3 224,3 230,2 0,255 0,150 790,1 791,4 0,346 0,34911 824,3 823,3 889,3 888,3 224,0 229,8 0,154 0,151 790,2 792,2 0,344 0,34812 824,3 822,4 899,9 888,4 224,0 229,7 0,152 0,150 789,5 791,3 0,343 0,34913 824,4 823,6 890,0 888,5 223,6 230,2 0,147 0,150 789,4 790,9 0,345 0,34814 823,6 825,5 890,2 888,3 223,8 230,1 0,149 0,150 789,3 791,4 0,346 0,34715 823,9 825,6 889,6 888,4 253,8 229,8 0,151 0,151 739,6 791,3 0,446 0,34716 823,8 826,3 889,7 888,4 223,0 229,7 0,149 0,151 789,6 792,2 0,345 0,34817 804,7 824,5 889,3 888,3 224,0 229,7 0,148 0,150 790,1 792,2 0,343 0,34918 824,7 824,6 890,0 888,5 223,2 229,8 0,154 0,150 789,7 791,4 0,346 0,34819 824,6 823,6 890,4 888,4 231,0 230,2 0,153 0,151 789,8 791,3 0,347 0,34720 824,5 822,7 890,5 888,3 224,4 230,1 0,147 0,149 789,6 791,4 0,344 0,348

РД 0,95 0,99 0,95 0,99 0,95 0,99

0,05 0,025 0,075 0,05 0,025 0,075

№опыта

19 вариант 20 вариант 21 вариант 22 вариант 23 вариант 24 вариантUизм, мВ

Uизм, мВ

Rизм, Ом

Rизм, Ом

Сизм, пФ

Сизм, пФ

Iизм, мА

Iизм, мА

fизм, Гц

fизм, Гц

fизм, кГц

fизм, кГц

1 553,3 556,7 1253 1227 132,8 134,3 5678 5690 2476 2460 2,456 2,4602 552,8 556,8 1224 1226 132,7 135,4 5679 5688 2458 2459 2,436 2,4613 553,2 556,9 1225 1228 133,0 134,1 5780 5689 2457 2461 2,457 2,4624 552,7 556,6 1223 1229 133,1 135,6 5681 5689 2457 2462 2,458 2,4635 553,0 556,8 1223 1226 132,9 135,3 5682 5688 2456 2462 2,457 2,4606 552,7 556,9 1225 1228 132,8 135,7 5679 5687 2456 2463 2,458 2,4627 552,6 556,7 1224 1227 133,1 134,5 5678 5689 2457 2460 2,457 2,4618 523,3 556,9 1224 1229 132,8 134,2 5678 5688 2458 2461 2,456 2,4649 552,8 556,6 1223 1229 138,7 134,3 5679 5689 2456 2460 2,456 2,46010 553,2 556,6 1224 1227 133,0 135,4 5680 5689 2458 2459 2,456 2,46111 552,7 556,7 1225 1229 133,1 134,1 5681 5690 2456 2461 2,457 2,46212 553,0 556,6 1223 1228 132,9 135,6 5682 5688 2458 2462 2,458 2,46313 552,7 556,6 1223 1227 132,8 135,3 5679 5689 2457 2462 2,457 2,46014 552,6 556,7 1205 1228 133,1 135,7 5678 5689 2457 2463 2,458 2,46215 552,8 556,9 1224 1226 132,7 134,5 5679 5688 2456 2460 2,457 2,46116 553,2 556,7 1224 1229 133,0 134,2 5680 5687 2456 2461 2,456 2,46417 552,7 556,7 1223 1227 113,1 135,3 5481 5689 2457 2462 2,458 2,46218 553,0 556,8 1225 1226 132,9 135,7 5682 5688 2428 2463 2,497 2,46119 572,7 556,6 1224 1228 132,8 134,5 5679 5689 2456 2460 2,456 2,46420 552,6 556,7 1224 1227 133,1 134,2 5678 5689 2458 2461 2,456 2,460

РД 0,95 0,99 0,95 0,99 0,95 0,99

0,05 0,025 0,075 0,05 0,025 0,075

17

№опыта

25 вариант 26 вариант 27 вариант 28 вариант 29 вариант 30 вариантUизм, мВ

Uизм, мВ

Rизм, Ом

Rизм, Ом

Сизм, пФ

Сизм, пФ

Iизм, мА

Iизм, мА

fизм, Гц

fизм, Гц

fизм, кГц

fизм, кГц

1 46,89 46,76 89,51 90,21 123,8 124,9 2231 2235 5576 5580 78,76 78,682 46,81 46,75 89,47 90,22 124,3 125,1 2233 2234 5575 5581 78,75 78,673 46,87 46,78 89,39 90,23 123,8 124,8 2234 2236 5575 5579 78,77 78,664 46,89 46,79 89,50 90,21 123,9 124,7 2231 2237 5576 5580 78,45 78,665 46,86 46,79 89,48 90,22 124,3 125,0 2234 2234 5578 5581 78,76 78,676 46,88 46,75 89,51 90,21 122,1 124,9 2234 2234 5576 5579 78,76 78,667 46,89 46,76 89,49 90,23 124,0 125,1 2239 2236 5577 5580 78,75 78,688 46,87 46,78 89,51 90,21 123,6 124,8 2231 2235 5578 5579 78,76 78,689 46,86 46,79 89,47 90,21 123,8 124,7 2223 2235 5575 5580 78,76 78,6610 46,86 46,75 89,49 90,22 124,3 125,0 2232 2237 5578 5581 78,75 78,6711 46,88 46,76 89,50 90,21 123,8 125,1 2232 2234 5577 5581 78,76 78,6812 46,89 46,76 89,48 90,21 123,9 124,8 2231 2237 5578 5579 78,75 78,6613 46,87 46,75 89,51 90,23 124,3 124,7 2233 2235 5575 5580 78,77 78,67

5579 46,86 46,76 89,49 90,22 124,3 125,0 2232 2236 5578 5579 78,95 78,6815 46,86 46,78 89,51 90,21 123,8 125,1 2232 2235 5577 5580 78,76 78,6616 46,68 46,79 89,87 90,21 124,3 124,8 2232 2237 5588 5581 78,75 78,6817 46,89 46,76 89,49 90,22 123,8 124,7 2231 2237 5575 5579 78,76 78,6618 46,87 46,78 89,50 90,23 123,9 125,0 2233 2235 5578 5580 78,75 78,6719 46,86 46,75 89,48 90,21 124,3 124,8 2232 2236 5535 5579 78,77 78,6720 46,88 46,76 89,51 90,22 126,3 124,7 2232 2234 5578 5581 78,77 78,68

РД 0,95 0,99 0,95 0,99 0,95 0,99

0,05 0,025 0,075 0,05 0,025 0,075

2. Оценка влияния класса точности измерительной аппаратуры на результаты измерений

В соответствии с ГОСТ 16263 – 70 «класс точности – обобщенная характеристика средства измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на точность, значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды средств измерений».

Классы точности присваиваются типам средств измерений с учетом Государственных приемочных испытаний. Средствам измерений с несколькими диапазонами измерения одной и той же физической величины или предназначенных для измерения разных физических величин, могут быть присвоены различные классы точности для каждого диапазона или для каждой измеряемой величины. Например, амперметр с пределами измерений 0 – 10; 0 – 20; 0 – 50 А может иметь разные классы точности для разных пределов измерений. Вольтметр постоянного и переменного напряжений может иметь один класс точности при измерении постоянного напряжения и иной при измерении переменного.

Обозначение класса точности наносится на циферблаты, корпуса, щитки средств измерений и приводится в нормативно – технической документации.

1. Для средств измерений с равномерной, практически равномерной или степенной шкалой с нулевой отметкой на краю или вне диапазона измерений обозначение класса точности арабской цифрой из ряда (1; 1,5; 1,6; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0) 10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д. означает, что значение измеряемой величины не отличается от того, что показывает указатель (стрелка) отсчетного устройства, более, чем на соответствующее число процентов от верхнего предела измерения.

Примечание. Равномерная шкала – шкала с делениями постоянной длины и с постоянной ценой деления. Практически равномерная шкала – шкала, длина делений которой отличается друг от друга не более, чем на 30% и имеют постоянную цену деления. Степенная шкала – шкала с расширяющимися или сужающимися делениями.

18

0 10

3 4 5 6 7

98

К

V

21

0

К

V

-UПРЕД + UПРЕД

Например, амперметр класса точности 4,0 с нулем в левой части шкалы и пределом измерения 25 А показывает 22 А. С учетом класса точности прибора действительное значение измеряемой величины не может отличаться от полученного значения 22 А более, чем на 1 А, поскольку 25 А 4,0% / 100% = 1А, т.е. истинное значение измеряемого тока находится в пределах 22 1 А.

3. Если нулевое значение шкалы находится внутри диапазона измерений, то проценты отсчитываются от большего из модулей пределов измерения.

Например, амперметр класса точности 4,0 с пределами измерения –15 10 А показывает 8 А. С учетом класса точности прибора действительное значение измеряемого тока не может отличаться от полученного значения 8 А более, чем на 0,6 А, поскольку -15А 4,0% / 100% = 0,6А, т.е. истинное значение измеряемого тока находится в пределах 8 0,6 А.

Обозначение класса точности цифрами из того же ряда может сопровождаться применением дополнительных условных знаков.

3. Отметка снизу, например: 1,5 ; 4,0 ; 0,05 и т.д. означает, что:1) измерительные приборы имеют существенно неравномерную шкалу.

Примечание. Существенно неравномерная шкала – шкала с сужающимися делениями, для которой значение выходного сигнала, соответствующее полусумме верхнего и нижнего пределов диапазона измерений входного (выходного) сигнала, находимся в интервале между 65 и 100% длины шкалы, соответствующей диапазону измерений входного (выходного) сигнала;

2) значение измеряемой величины не может отличаться от того, что показывает указатель отсчетного устройства больше, чем на указанное число процентов от всей длины шкалы или ее части, соответствующей диапазону измерений.

4. Если класс точности прибора указан в кружке, например: 0,02 , 1,6 , 2,5 , то проценты следует отсчитывать от значения, показываемого стрелкой.

5. Если класс точности прибора задается в виде дроби, например: 0,02 / 0,01, это обозначает, что измеряемая величина не может отличаться от значения Х, показываемого указателем, больше, чем на

[c + d (Xk / X - 1] %, (2.1)где с и d – числитель и знаменатель в обозначении класса точности, Хk – больший (по модулю) из пределов измерения (подразумевается, что нулевое значение находится внутри диапазона, сравните с п.2).

Пусть, например, амперметр класса точности 0,02/0,01 с крайними значениями шкалы –40 и +60 А показывает –15 А. Тогда истинное значение отличается от показаний прибора не более, чем

[0,02 + 0,01 (60 / -15 - 1)] % = 0,05 %,т.е. на 0,08 А. Следовательно, истинное значение измеряемого тока находится в пределах (14,992 15,008) А.

Задача 3Записать показания приборов с учетом погрешности измерения, рассчитанной

для трех способов задания класса точности и предельному значению шкалы прибора. Исходные данные выбрать из таблицы вариантов 3.

19

Таблица вариантов 3№ вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

UПРЕД , В 10 20 30 50 100 10 20 30 50 100 10 20 30 50 100К 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0К 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0

- UПРЕД , В 20 10 5 15 5 30 10 25 25 20 10 5 15 5 30+ UПРЕД , В 10 15 25 20 10 10 25 25 30 10 15 25 20 10 10

K0,01/0,02

1,5/4,0

1,5/2,5

1,0/0,5

2,0/4,0

0,25/0,1

0,01/0,02

1,5/4,0

1,5/2,5

1,0/0,5

2,0/4,0

0,25/0,1

0,01/0,02

1,5/4,0

1,5/2,5

№ вар 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30UПРЕД , В 10 20 30 50 100 10 20 30 50 100 10 20 30 50 100

К 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0К 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0

- UПРЕД , В 10 25 25 20 10 5 15 5 30 10 25 25 20 10 5+ UПРЕД , В 25 25 30 10 15 25 20 10 10 25 25 30 10 15 25

K0,01/0,02

1,5/4,0

1,5/2,5

1,0/0,5

2,0/4,0

0,25/0,1

0,01/0,02

1,5/4,0

1,5/2,5

1,0/0,5

2,0/4,0

0,25/0,1

0,01/0,02

1,5/4,0

1,5/2,5

3. Оценка погрешности результатов косвенных измерений

3.1. Общие сведения

При косвенных измерениях искомой величины q ее находят на основании математической зависимости, связывающей эту величину с одной или несколькими величинами (x, y, …,w), измеряемых прямыми методами:

q = f (x, y, …, w). (3.1)Поскольку последние измеряются с некоторой погрешностью, погрешность

результата косвенного измерения является функцией этих погрешностей.Для нахождения погрешности результата косвенного измерения пользуются

следующими правилами.1. Если окончательный результат измерений выражается суммой или

разностью двух или более измеряемых значений:q = x + …+ z – (u +…+ w) (3.2)

и абсолютные погрешности x, y, …,w независимы и случайны, то абсолютная погрешность результата:

q = (x)2 + … + (z)2 + (u)2 +…+ (w)2. (3.3)Когда погрешности аргументов коррелированы, значение q может превышать

полученное согласно (3.3) значение, но всегда удовлетворяет условию:q x + … + z + u + …+ w. (3.4)

2. Если окончательный результат измерений выражается произведением или частным двух или более измеряемых значений:

q = x … z / (u … w) (3.5)и относительные погрешности x, y, …,w независимы и случайны, то относительная погрешность результата:

q = (x)2 + … + (z)2 + (u)2 +…+ (w)2. (3.6)Когда погрешности аргументов коррелированы, значение q может превышать

полученное согласно (3.6) значение, но всегда удовлетворяет условию:

20

dqdx

dqdx

dqdw

dqdy

dqdx

dqdw

dqdy

q x + … + z + u + …+ w. (3.7)3. Если окончательный результат является функцией одной величины:

q = f (x), (3.8)то погрешность результата:

q = x. (3.9)

4. Если окончательный результат измерения является функцией нескольких величин:

q = f (x, y, …, w),погрешности которых независимы и случайны, погрешность результата косвенного измерения величины определяется по формуле:

q = ( x)2 + ( y)2 + … + ( w)2. (3.10)

В любом случае относительная погрешность никогда не превышает значения:

q x + y + … + w. (3.11)

Задача 4

В схеме цепи установлен режим резонанса. Вольтметр на входе цепи с предельным значением шкалы Uпред1 и классом точности КV1 показал значение U1, вольтметр на выходе с Uпред2 и КV2 показал U2 и амперметр с Iпред и КI показал значение I. Определить параметры R и L катушки. Найти погрешности определения этих параметров. Частота сети f=50Гц.Исходные данные выбрать из таблицы вариантов 4.

21

C

V1 V2

A

LR

Таблица вариантов 4№ вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Uпред1, В 10 3 3 10 10 10 10 10 10 10 30 3 3 10 10

КV1 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0

U1, В 5,4 1,2 2,7 4,8 5,5 3,9 5,1 6,3 8,2 10 11 1,7 2,5 3,5 4,2

Uпред2, В 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 30 30 50 30

КV2 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 1

U2, В 40 35 33 36 37 35 34 38 39 32 31 30 29 41 28

Iпред, A 5 5 3 5 5 3 3 5 5 3 5 3 5 3 5

КI 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 1 1,5

I, A 4,2 2,7 1,8 3,4 4,5 2,4 1,9 3,5 4,3 2,6 3,3 1,7 4,4 2,5 3,6

№ вар. 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Uпред1, В 3 5 5 10 1 3 3 3 3 5 5 10 3 3 3

КV1 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5

U1, В 2,8 4,7 3,6 8,6 0,4 2,2 2,6 2,7 1,8 3,4 4,1 6,3 1,6 2,2 3,3

Uпред2, В 30 50 50 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100

КV2 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2,5

U2, В 27 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

Iпред, A 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3

КI 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 1 1,5 2,5 3,0

I, A 1,6 0,9 1,2 0,3 1,3 0,4 1,5 0,5 1,8 0,6 1,9 1,0 2,0 1,2 2,3

4. Влияние формы измеряемого сигнала на показания вольтметров различных систем

При проведении испытаний инструментальные систематические погрешности возможно уменьшить, применяя специальные методы и прежде всего калибровку измерительных приборов и установку «0» перед началом измерений. Кроме инструментальной составляющей погрешности, в некоторых случаях может возникать систематическая методическая составляющая. Одним из наиболее характерных случаев появления такой погрешности является случай, когда производится измерение напряжения несинусоидальной формы приборами, имеющих измерительные преобразователи переменного напряжения в постоянное. Это возникает вследствие того, что обычно шкалы вольтметров градуируют в действующих (эффективных, среднеквадратических) значениях напряжения синусоидальной (гармонической) формы.

4.1. Основные параметры переменных напряжения и тока

Переменные напряжение и ток характеризуются следующими параметрами (значениями):

1. Пиковое значение Um (Im) (для гармонических сигналов – амплитудное) – это наибольшее мгновенное значение за период сигнала Т. Если напряжение (ток) за период изменяет знак, а кривая напряжения (тока) несимметрична относительно оси времени, то различают положительное и отрицательное пиковые значения.

2. Среднее значение за период:

22

2Т

Т/2

0

Т/2

0

2Т

1Т

Т

0

1Т

Т

0

1Т

Т

0

1Т

Т

0

UСР = u(t) dt, IСР = i(t) dt. (4.1)

3. Средневыпрямленное значение (СВЗ) – среднее значение абсолютных мгновенных значений:

UСВ = u(t)dt, IСВ = i(t)dt. (4.2)

4. Эффективное (действующее, среднеквадратическое) значение – это положительный корень квадратный из среднего значения квадрата напряжения (тока):

U = u2(t) dt, I = i2(t) dt. (4.3)

4.2. Функциональные характеристики измерительных преобразователей переменного напряжения в постоянное

Измерительные преобразователи переменного напряжения в постоянное в зависимости от вида преобразователя могут быть амплитудного, среднего, средневыпрямленного и действующего значений.

В соответствии с этим измерители переменного напряжения (тока) по принципу действия типу измерительного преобразователя могут реагировать на:

а) эффективное значение – электромеханические приборы (электромагнитной, электродинамической, электростатической систем), термоэлектрические приборы и электронные приборы с измерительными преобразователями эффективного(действующего) значения;

б) среднее и средневыпрямленное значения – выпрямительные приборы с магнитоэлектрическим измерительным механизмом и электронные приборы с линейным преобразователем среднего значения;

в) амплитудного значения – электронные приборы с амплитудным преобразователем.

Таким образом, подавляющее большинство вольтметров и амперметров имеют измерительные механизмы, реагирующие на постоянную форму напряжений и токов, поэтому они используют измерительные преобразователи переменной величины в постоянную. Однако измерительные преобразователи могут быть различных типов и на их выходах формируются различные, соответствующие им значения напряжений. Шкалы же вольтметров и амперметров принято градуировать в действующих значениях измеряемого напряжения с той целью, чтобы при измерении одного и того же значения переменного напряжения они показывали одинаковые значения, независимо от используемого преобразователя. Это производится потому, что для пользователя важнее знать значение измеряемого напряжения или тока, чем тип преобразователя, используемого в вольтметре или амперметре. Но при использовании различных преобразователей в приборах при измерении одного итого же значения напряжения (тока) указатель (стрелка) прибора будет отклоняться на различный угол, т.к. на выходах преобразователей формируются различные значения напряжения (тока) в соответствии с типом преобразователя. Например, на выходе линейного однополупериодного преобразователя формируется среднее значение измеряемого напряжения, а на выходе квадратичного – среднеквадратическое. Их численные

23

значения различны, поэтому при воздействии на стрелку прибора они ее отклонят на различные углы. Для того, чтобы оба прибора показывали одинаковые - действующие значения измеряемого напряжения при подаче на их входы одного и того же сигнала, при градуировке учитывают коэффициенты двух видов:

- коэффициент амплитуды Ка = Um / U; (4.4)- коэффициент формы Кф = U / UСВ. (4.5)Откуда следует, что, если в приборе используется амплитудный

преобразователь, на выходе которого формируется амплитудное значение измеряемого напряжения, то шкалу градуируют таким образом, что каждой ее отметке соответствует значение U = Um / Ка, хотя отклонение стрелки происходит под действием амплитудного значения измеряемого напряжения Um. Если в приборе используется один из линейных преобразователей – однополупериодный или двухполупериодный выпрямитель, стрелка будет отклоняться под действием соответственно среднего или средневыпрямленного значения , однако, чтобы приборы показали одно и то же значение – действующее, их шкалы градуируют с учетом коэффициента формы, т.е. каждой отметке будет соответствовать значение U = Кф UСВ. При этом в первом случае – для однополупериодного выпрямителя Кф = 2,22, а для двухполупериодного Кф = 1,11. И только при использовании в приборе квадратичного выпрямителя, на выходе которого формируется действующее значение измеряемого напряжения, при калибровке не используются коэффициенты.

При измерении такими приборами сигналов, имеющих форму, отличающуюся от гармонической, возникают систематические методические погрешности, которые поясним на примерах.

Пример 4.1. Синусоидальное напряжение u = 14 sin t подается на вольтметры средневыпрямленного значения с одно- и двухполупериодным выпрямителем, амплитудный, среднеквадратический.

Все вольтметры должны показать среднеквадратическое значение синусоидального напряжения, В:

А = U = Um / 2 14 / 1,41 10 B,где А – показания прибора. Однако получение этого значения происходит по-разному.

Вольтметр средневыпрямленных значений с двухполупериодным выпрямителем реагирует на средневыпрямленное значение:

UСВ = 2Um / .Чтобы прибор показывал среднеквадратическое значение измеряемого

синусоидального напряжения, при градуировке используется коэффициент формы, равный 1,11 (см. Приложение 6). Тогда показания прибора будут:

А = UСВ kф = 2 14 1,11/3,14 = 10 В.В вольтметре с однополупериодным линейным детектором:

UСВ = Um / ,т.е. вдвое меньше, но коэффициент формы kф = 2,22 вдвое больше, а значит показания прибора будут равны:

А = UСВ kф = Um kф / = 14 2,22/3,14 = 10 В.Амплитудный вольтметр, имеющий пиковый детектор, реагирует на

амплитуду измеряемого сигнала Um. Чтобы показания были равны среднеквадратическому значению, при градуировке вводится коэффициент амплитуды kа. Тогда показания вольтметра будут равны:

А = Um/ kа 14 / 1,41 10 В.Вольтметр среднеквадратических значений реагирует на

среднеквадратические значения сигнала, градуируется также в среднеквадратических значениях сигнала. Его показания будут равны:

24

А = U = 10 В.При измерении напряжений несинусоидальной формы алгоритм получения

отсчета для каждого типа вольтметра остается тем же, т.е. вольтметры в зависимости от типа детектора реагируют на то или иное значение измеряемого сигнала, а отсчет по шкале получается с учетом заложенного в них коэффициена градуировки. Очевидно, что в этом случае лишь показания квадратических вольтметров будут соответствовать среднеквадратическому значению измеряемого несинусоидального сигнала.

Задача 5

Используя таблицу Приложения 6, определите показания вольтметров: 1)средневыпрямленных значений с одно- и двухполуперионым выпрямителями, 2)амплитудных значений с пиковым детектором, 3)среднеквадратических значений при измерении сигнала пилоообразной и импульсной форм, имеющих параметры заданные таблицей вариантов 5.

Таблица вариантов 5№ вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Um, B 1,5 2,7 3,4 4,4 5,4 6,8 7,2 8,3 9,5 10,1 11,3 12,3 13,6 14,7 15,2

Am, B 1,5 2,7 3,4 4,4 5,4 6,8 7,2 8,3 9,5 10,1 11,3 12,3 13,6 14,7 15,2

, mc 7,3 5,6 8,4 9.1 2,4 3,6 8,4 9,5 2,8 4,1 6,2 4,8 5,5 3,7 3,5

T, mc 9 11 12 13 5 7 15 12 7 8 9 7 12 6 9

№ вар. 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Um, B 16,2 17,6 18,3 19,5 20,2 21,0 22,4 23,5 24,6 25,7 26,3 27,3 28,4 29,6 30,4

Am, B 16,2 17,6 18,3 19,5 20,2 21,0 22,4 23,5 24,6 25,7 26,3 27,3 28,4 29,6 30,4

, mc 4,2 3,1 2,6 4,6 5,5 6,3 7,8 4,6 5,2 3,9 1,7 2,9 6,9 5,7 3,5

T, mc 7 8 4 6 9 12 14 8 10 77 3 4 9 7 6

Контрольная работа № 2

5. Расширение пределов измерения амперметров и вольтметров

Шунты и добавочные резисторы дают возможность применять стандартные магнитоэлктрические приборы для различных пределов измерений токов и напряжений.

5.1. Расчет сопротивления шунтов

Шунт представляет собой резистор, включаемый параллельно амперметру для расширения пределов измерения токов (рис.5.1). Сопротивление шунта может быть рассчитано исходя из того, что падение напряжения на шунте и приборе одинаковы.

Сопротивление шунта для схемы, приведенной на рис. 5.1. определяется по формуле

25

R3R2

+ I3=30 А I2=20 А I3=5А

Iи

I3

C3

R3

А

Рис.5.2

Rш

IиА

Iш

I

Рис.5.1

Rш = Rи / (n-1), (5.1)где n = I / Iи – коэффициент шунтирования; I – измеряемый ток; Iи – ток в измерителе.

В приборах на несколько пределов измерений часто применяется универсальный шунт, приведенный на рис.5.2 .

Пример. Рассчитать многопредельный шунт (рис.5.2) к измерительному механизму М342 на пределы измерения токов 5; 20; 30 А.

Сопротивление цепи измерителя Rи = 2,5 Ом. При включении любого предела измерения наибольшее падение напряжение на шунте не должно превышать 75 мВ.

Решение. Сопротивление шунта определяется по (5.1):Rш = Rи / (n-1).

Ток в ветви измерителяIш = Uш / Rи = 0,075 / 2,5 = 0,03 А.Коэффициенты шунтирования и сопротивления шунта для заданных пределов

равны:при токе 5 Аn = 5 / 0,03 = 176; Rш = R1 + R2 + R3 = 2,5 / (167 – 1) = 0,015060 Ом;при токе 20 Аn = 20 / 0,03 = 667; Rш – R3 = R1 + R2 = (2,5 + R3) / (667 – 1) = (0,015060 – R3)Ом,

откуда определяется R3.Таким образом, сопротивления шунта равны R1 = 0,02516 Ом;R2 = 0,001255 Ом;

R3 = 0,011293 Ом.

5.2. Расчет сопротивлений добавочных резисторов

Для расширения пределов измерений напряжений последовательно с катушкой вольтметра включается резистор (рис.5.3), сопротивление которого определяется из формулы

Rдоб = RV / (m-1), (5.2)где m = U / UV – коэффициент, определяемый отношением напряжений.

В приборах, на несколько пределов измерений часто применяются несколько добавочных резисторов (рис.5.4).

Пример. Вольтметр постоянного напряжения с пределом измерения UV = 3 В имеет внутреннее сопротивление RV = Rи + Rдоб = 400 Ом.

26

Rдоб

UV

U

IиV

Рис.5.3

Rдоб 2Rдоб 1Rдоб

+ 3 В 15 В 75В

RV

V

Рис.5.4

Определить сопротивления добавочных резисторов, которые необходимо подключить к вольтметру, чтобы расширить пределы измерения до 15 и 75 В (рис.5.4). Определить ток полного отключения указателя.

Решение. Сопротивление добавочного резистора определяется из соотношения:Rдоб = RV / (m-1).

Ток в вольтметре при полном отключении стрелкиIV = UV / RV = 3 / 400 = 7,5 10-3 А .Добавочные резисторы при включении вольтметра на напряжения 15 и 75 В

должны быть подобраны так, чтобы ток полного отклонения оставался равным 7,5 мА. Поэтому сопротивления добавочных резисторов будут определяться следующим образом:

Rдоб 1 = 400 (15/3 – 1) = 1600 Ом = 1,6 кОм; Rдоб 1+ Rдоб 2 = 400 (75/3 – 1) = 9600 Ом = 9,6 кОм; Rдоб 2 = 8000 Ом = 8 кОм.

Задача 6

а) Определить сопротивление шунта и ток для схемы, приведенной на рис.5.3, протекающий через шунт к миллиамперметру, ток полного отклонения которого равен Iи и внутреннее сопротивление Rи = 1,5 Ом. Требуется использовать прибор для измерения тока до значения I. Исходные данные выбрать из таблицы вариантов.

Таблица вариантов 6№ вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15IИ, мА 50 30 15 10 1 100 150 120 130 200 250 5 3 20 25

I, A 60 35 20 17 1,8 120 153 130 140 250 280 5,5 5,5 35 35№ вар 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30IИ, мА 50 30 15 10 1 100 150 120 130 200 250 5 3 20 25

I, A 65 40 45 20 1,3 145 170 195 140 265 275 8 4 25 30

б) Изобразить схему измерения и рассчитать многопредельный шунт к измерительному механизму М342 на пределы Iпред 1, Iпред 2, Iпред 3, Iпред 4. Сопротивление цепи измерителя RИ = 2,5 Ом. При включении любого предела измерения наибольшее падение напряжение на шунте не должно превышать 75 мВ. Исходные данные приведены в таблице вариантов 7.

в) Для условий задачи, приведенных в примере для рис.5.4. Произвести расчет сопротивлений добавочных резисторов для расширения пределов измерения напряжения до Uпред 2, Uпред 3, указанных в таблице вариантов 7.

Таблица вариантов 7

№ вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Iпред 1, А 0,1 0,2 0,4 0,7 0,5 1 1,5 1 1,5 1 2 1,5 0,5 0,05 0,25

Iпред 2, А 0,15 0,3 0,5 0,8 1,0 2 2 3 2 1,5 3 2 1 0,1 0,5

Iпред 3, А 0,2 0,4 0,6 0,9 1,5 3 3 4 3 2 4 2,5 2 0,25 0,75

Iпред 4, А 0,3 0,5 0,8 1,0 2 5 4 5 3,5 2,5 5 3 5 0,4 1,0

Uпред 2 20 30 5 25 10 5 15 35 40 45 7 8 4 10 20

Uпред 3 25 300 10 30 15 15 20 50 50 55 14 16 5 20 30

№ вар. 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Iпред 1, А 0,3 0,9 0,25 0,05 0,15 1,2 1,0 0,8 1,25 0,75 0,6 0,25 0,1 0,9 0,5

Iпред 2, А 0,35 1,2 0,7 0,1 0,2 1,6 1,4 1,2 1,5 0,8 1,0 0,7 0,5 1,2 1,5

Iпред 3, А 0,4 1,5 1,2 0,25 0,25 2,0 1,6 1,6 1,75 0,9 1,2 1,2 0,75 1,5 3,0

27

Iпред 4, А 0,45 2,0 1,6 0,4 0,3 2,5 2,0 2,0 2,0 1,2 1,5 1,6 1,5 2,0 5,0

Uпред 2 18 25 5 8 20 10 12 6 15 16 4 5 6 40 45

Uпред 3 20 35 14 10 200 100 24 9 30 32 7 9 10 45 50

6. Логарифмические единицы измерения электрических величин

В измерительной технике , кроме единиц измерений, общепринятых в физике и электротехнике, весьма широкое применение получили специальные единицы измерений.

Распространение электрических сигналов вдоль различных линий передачи характеризуется множителем е l , где е – основание натурального логарифма (е = 2,718); – километрическая постоянная распространения и l – длина линии. Международным консультативным комитетом рекомендованы к применению единицы измерений, определяемые логарифмами отношений мощностей, напряжений или токов. Использование таких единиц существенно упрощает расчеты, поскольку позволяет заменять деление и умножение вычитание и сложением. Характерной особенностью использования логарифмических единиц является то обстоятельство, что при сравнении результатов отсчета о них неправомерно говорить, ВО сколько раз один результат больше (меньше) другого, надо говорить, НА сколько он больше (меньше). Если сказать, например, что затухание, измеренное в логарифмических единицах, выросло вдвое, то нельзя понять физический смысл такого выражения. Если же имелось в виду, допустим, уменьшение вдвое величины напряжения, то затухание, выраженное в логарифмических единицах, изменит свое значение не в два раза, а НА логарифм двух, поэтому нужно было сказать, что затухание возросло НА столько-то.

Международный консультативный комитет установил для измерения мощностей, напряжений и токов в логарифмических единицах одинаковое для всех стран начало отсчета – абсолютный нулевой уровень. В качестве исходного установлен абсолютный нулевой уровень мощности, которому соответствуют мощность в один милливольтампер для кажущихся мощностей и один милливатт для активных мощностей. В качестве производных от уровня мощности установлены: абсолютный нулевой уровень по напряжению 0,775 В и абсолютный нулевой уровень по току 1,29 мА. Эти значения получены из расчета, что мощность 1 мВА выделяется на сопротивлении 600 Ом по формуле: Р = U2 / Z = I2Z. Все другие значения абсолютных уровней мощности, напряжения или тока выражаются с помощью десятичных логарифмов в единицах, называемых децибелами, исходя из формул:

- для уровней мощности РМ = 10 lg (Р/Р0), дБ, (6.1)где Р0 = 1 мВА (или 1мВт);

- для уровней напряжения РН = 20 lg (U/U0), дБ, (6.2)где U0 = 0,775 В;

- для уровней тока РТ = 20 lg (I / I0), дБ, (6.3)где I0 = 1,29 мА.

В случаях, когда Р 1 мВА, U 0,775 В, I 1,29 мА, то соответствующие им уровни положительны, в противном случае – отрицательны.

Связь между уровнями выражается формулами:РМ = РН – 10 lg (Z / 600) , дБ; (6.4)РМ = РТ + 10 lg (Z / 600) , дБ. (6.5)

Таким образом, абсолютные уровни мощности, напряжения и тока совпадают по величине только на сопротивлении 600 Ом, когда 10 lg (Z / 600) = 0.

С понятием об уровнях неразрывно связаны понятия об единицах передачи, определяющих затухание и усиление сигналов, выражающихся в децибелах. Например,

28

если четырехполюсник имеет на входе мощности Р1, а на выходе Р2, то коэффициент передачи выразится соотношением:

АМ = 10 lg (Р1 /Р2) = 10 (lg Р1- lg Р2) = РМ1 – РМ2 , дБ. (6.6)Если коэффициент передачи получился положительным, то уровень на входе

выше, чем на выходе и коэффициент будет являться коэффициентом затухания. В противном случае – коэффициентом усиления сигнала.

Полезно запомнить следующие соотношения между изменением уровней и соответствующих изменений напряжений, токов и мощностей.

Таблица 8.1Изменение уровня, дБ 3 6 10 20 40 60Отношение мощностей 2 4 10 100 104 106

Отношение напряжений (токов) 2 2 3,16 10 100 1000

Задача 7

а) Найти абсолютный уровень напряжения для заданных в таблице вариантов 8 значений напряжений U1, U2, U3.

б) Найти значение напряжения для заданных значений абсолютных уровней напряжения Р1, Р2, Р3.

в) Найти абсолютный уровень напряжения для мощности 100 мВт, выделяющейся на резисторах R1, R2, R3.

г) Определить коэффициент передачи напряжения четырехполюсника по заданным значениям UВХ и UВЫХ.

Таблица вариантов 8№ вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15U1, В 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

U2, мВ 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775U3, мкВ 1 10 50 20 30 40 60 70 80 90 15 25 35 45 55Р1, дБ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Р2, дБ -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -60 -65 -70 -75 -80Р3, дБ 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10 15 20 25 30 35R1, Ом 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600R2, Ом 135 140 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 120 125 100R3, Ом 800 850 860 865 870 875 880 885 890 895 900 910 915 920 920UВХ, В 5,7 2,7 6,9 5,1 3,6 8,5 1,7 5,7 2,7 6,9 5,1 3,6 8,5 1,7 6,9UВЫХ, В 6,9 1,4 5,5 10 6,3 2,1 8,8 1,4 5,5 10 6,3 2,1 8,8 6,9 8,8№ вар. 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30U1, В 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30U2, В 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775 775U3, В 65 75 85 95 11 22 33 44 55 66 77 88 99 100 200Р1, дБ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Р2, дБ -90 -95 -1 -1,5 -2,5 -3,5 -4,5 -5,5 6,5 -7,5 -8,5 -9,5 -10 -11 -12Р3, дБ 40 45 50 60 70 45 55 65 75 80 85 90 95 12 14R1, Ом 115 130 145 90 95 80 85 70 75 60 65 40 45 220 225R2, Ом 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600R3, Ом 925 930 935 940 945 450 955 960 965 970 975 980 985 700 750UВХ, В 5,1 3,6 8,5 1,7 5,7 2,7 6,9 5,1 3,6 8,5 1,7 6,9 5,7 2,7 6,9UВЫХ, В 2,1 8,8 1,4 5,5 10 6,3 2,1 8,8 6,9 8,8 1,4 5,5 10 6,3 2,1

29

7. Осциллографические методы измерения параметров электрических сигналов

Если на пластины вертикального отклонения (пластины Y) подать сигнал в виде переменного напряжения любой формы, то на экране трубки появится след движущегося луча – осциллограмма в виде вертикальной линии. По такой осциллограмме можно судить о наличии и значении приложенного напряжения, но форму его определить не возможно (Рис.7.1).

При одновременной подаче на пластины Y синусоидального напряжения uY, а на пластины Х линейновозрастающего напряжения uХ на экране трубки появится осциллограмма (Рис.7.2.), воспроизводящая сигнал синусоидальной формы. Заметим, что периоды обоих напряжений выбраны равными друг другу: ТY = TX. При этом условии электронный луч под воздействием линейновозрастающего напряжения (пилообразного) перемещается с равномерной скоростью слева направо по экрану трубки и под влиянием синусоидального сигнала отклоняется – вверх и вниз. В результате сигнал uY представляется “развернутым” по оси Х. Напряжение пилообразной формы uХ называют развертывающим напряжением, или напряжением развертки, а процесс отклонения луча по горизонтали с равномерной скоростью – линейной разверткой. Линейная развертка характеризуется периодом TX или частотой fХ и максимальным значением отклоняющего напряжения UХ max.

На рис.7.3. б и в представлены идеализированная и реальная формы напряжения развертки. В реально (искаженной) форме период развертки TX

распадается на два временных интервала прямого хода луча ТПР и обратного хода луча ТОБР. Таким образом, период TX = ТПР + ТОБР. Во время прямого хода луча он с равномерной скоростью перемещается в горизонтальном направлении по диаметру экрана, а во время обратного хода быстро возвращается в исходное положение.

30

uY

t

Y

Y

X X

3

C3

R3

Напряжение развертки характеризуется коэффициентом нелинейности на участке прямого хода луча КН, который вычисляется по следующей формуле:

(7.1)

где 1 и 2 – углы между осью абсцисс и касательными к кривой напряжения развертки в начале и конце прямого хода соответственно (Рис.7.4). В универсальных осциллографах нелинейность допускается около 5%.

31

Рис. 7.2.

uY

t

TY

TX

t

Y

Y

X X1

1

1

2 2

2

3 3

3

4

4 4

5 5

5

uХ

TX TX

UX

max

t

uX

a)

TX TX

t

uX

б)

TПР

TОБР

TПР

TОБР

t

uX 2

1

Рис.7.3

Задача 8

а) Изобразите осциллограмму, получающуюся на экране осциллографа за один период линейной развертки развертки. Значение частоты fY исследуемого синусоидального напряжения, подаваемого на вход вертикального отклонения, и период развертки ТХ приведены в таблице вариантов 9.

Таблица 9Вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

FY, кГц

1 2 3 4 1 2 4 1 2 4 1 2 3 4 1

ТХ, мс

1 1 1 1 0,5 0,5 0,5 2 2 2 1 1 1 1 0,5

Вар 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30FY, кГц

2 4 1 2 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 4

ТХ, мс

0,5 0,5 2 2 2 1 1 1 1 0,5 0,5 0,5 2 2 2

б) Задание для всех вариантов. На вход вертикального отклонения подан исследуемый сигнал синусоидальной формы. Получившаяся осциллограмма приведена на рисунке. Определите методом построения осциллограммы форму развертывающегося напряжения и объясните причину искажения изображения. Рассчитайте коэффициент нелинейности развертки.

в) Постройте фигуру Лиссажу, получающуюся при подаче на вход горизонтального отклонения сигнала синусоидальной формы. На вход «Y» подано синусоидальное напряжение uY с частотой fY, на вход «Х» – напряжение uX с частотой fХ, угол сдвига фаз uY относительно uX

составляет градусов. Считать, что чувствительность осциллографа при установленных усилениях по обеим осям одинакова. Исходные данные приведены в таблице вариантов 10.

32

Таблица 10Вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

uY, B 2 4 6 3 1 5 8 10 2 4 6 3 1 5 8

uX, B 2 2 3 9 1 5 4 5 2 2 3 9 1 5 4

fY, Гц

400 800 300 600 100 200 800 1000 400 800 300 600 100 200 800

fX, Гц

800 400 900 200 400 200 400 200 100 200 100 300 50 100 200

0 0 0 30 45 90 1 60 0 0 0 30 45 90 1

Вар 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

uY, B 10 2 4 6 3 1 5 8 10 2 4 6 3 1 5

uX, B 5 2 2 3 9 1 5 4 5 2 2 3 9 1 5

fY, Гц

1000 400 800 300 600 100 200 800 1000 400 800 300 600 100 200

fX, Гц

500 200 800 30 200 20 50 200 500 100 200 100 200 50 50

0 0 0 30 45 90 1 60 0 0 0 30 45 90 1

8. Мостовые методы измерения параметров цепей

В общем виде мостовой схемой называют цепь, четырехполюсник или многополюсник, коэффициент передачи которой при определенных условиях равен нулю. Эти условия называют условиями баланса или равновесия моста. Ветви цепи, сопротивления которых входят в условие равновесия, называют плечами моста. В зависимости от числа плеч, входящих в схему моста, последний может быть четырехплечным, шестиплечным и т.д. В случае мостов переменного тока условия равновесия связывает комплексные сопротивления плеч. В тех случаях, когда в уравнение баланса моста переменного тока не входит частота, говорят о частотно-независимых мостах.

Мостовые схемы широко применяются в измерительной технике для определения сопротивлений, емкости, индуктивности, частоты и др.

Методика решения задач сводится к составлению уравнения баланса моста, в котором параметры одного из плеч оказываются неизвестными. Это уравнение необходимо преобразовать (упростить) таким образом, чтобы в правой и левой частях уравнения получились простые комплексы. Известно, что два комплексных числа равны в том случае, если равны их действительные и мнимые части. Поэтому следующим шагом является приравнивание действительной части этих комплексов, из чего определяется параметр активного элемента плеча. А приравнивание мнимых частей комплексов позволяет определить необходимый параметр реактивного элемента.

33

Задача 9.

Схемы для определения комплексного сопротивления Z мостовым методом приведены в таблице 11. Составьте уравнение баланса моста. Определите неизвестные значения элементов схемы в соответствии с Вашим вариантом. В схемах произведена нумерация плеч, при этом индекс элемента соответствует номеру плеча

Таблица 11Условие задачи

Варианты1; 21 2; 22 3; 23 4; 24 5; 25 6; 26 7; 27 8; 28 9; 29 10; 20; 30

Схема моста

Дано:R, ОмC, пФL, мГ

R2 =100R3 =500C4= 1800

R2 =800R3 =1200C1= 2500

R3 =450R2 =150C3= 2500C4=450

R1 =180R2 =3600C1= 2100C4=510

R2 =150R3 =450R4 =50C4=1500

R1 =200R2 =40R3 =400C1= 2000

R2 =3400R3 =425R4 =1000C3=100

R1 =800R2 =6800R4 =500L1=8,5

R1 =1400C2= 4100C3=200L4=32

R1 =700C2=210C3= 4200L1=48

Определить

C1 C4 C1; R1 R3; C3 C1; R1 C4; R4 R1; L1 R3; C3R1; L1

R4; L4

9. Измерения параметров цепей с распределенными постоянными

Задача 10.

а) Расстояние между соседними минимумами напряженности поля в прямоугольном волноводе сечение ав, измеренное с помощью измерительной линии, равно L. Определите частоту генератора, питающую линию и значение критической частоты волновода. Исходные данные приведены в таблице вариантов 12.

34

1

4

2

3

C3

R3

1

4

2

3

C3

R3

1

2

4

3

C3

R3

1

2

4

3

C3

R3

1

4

3

2

Таблица 12Вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

а, мм

72 72 58 23 35 28,5 23 19 17 23 72 72 58 23 35

в, мм

34 10 25 10 15 12,6 10 9,5 8 10 34 10 25 10 15

L, мм

44 52 114 46 70 52 52 40 40 46 44 52 114 46 70

Вар 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30а, мм

28,5

23 19 17 23 72 72 58 23 3528,5

23 19 17 23

в, мм

12,6

10 9,5 8 10 34 10 25 10 1512,6

10 9,5 8 10

L, мм

52 52 40 40 46 44 52 114 46 70 52 52 40 40 46

б) Измерение полного сопротивления нагрузки проводилось с помощью измерительной линии. Определите с помощью круговой диаграммы сопротивление нагрузки, если известны: показания индикатора измерительной линии в пучности Аmax и в узле Аmin; расстояние от нагрузки до ближайшего минимума напряженности электрического поля S; длина волны В или расстояние между двумя соседними узлами в измерительной линии L; волновое сопротивление линии . Данные приведены в таблице вариантов 13.

Таблица 13Вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Аmax 140 120 120 100 240 130 140 100 120 50 140 120 120 100 240

Аmin 40 60 30 15 10 70 70 20 40 15 40 60 30 15 10

S, мм 120 190 85 30 12 140 15 50 60 5 120 190 85 30 12

L, мм 300 350 210 300 200 – – – – – 300 350 210 300 200

В, мм

– – – – – 300 30 150 200 30 – – – – –

, Ом

50 75 50 75 75 600 135 600 75 50 50 75 50 75 75

Вар 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Аmax 130 140 100 120 50 140 120 120 100 240 130 140 100 120 50

Аmin 70 70 20 40 15 40 60 30 15 10 70 70 20 40 15

S, мм 140 15 50 60 5 120 190 85 30 12 140 15 50 60 5

L, мм – – – – – 300 350 210 300 200 – – – – –

В, мм

300 30 150 200 30 – – – – – 300 30 150 200 30

, Ом

600 135 600 75 50 50 75 50 75 75 600 135 600 75 50

35

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Предельное значение коэффициента tт = tг

Объем выборки

Предельное значение tг при уровне значимости Объем

выборки

Предельное значение tг при уровне значимости

0,100 0,075 0,050 0,025 0,100 0,075 0,050 0,025

3 1,15 1,15 1,15 1,15 12 2,13 2,20 2,20 2,41

4 1,42 1,44 1,46 1,48 13 2,17 2,24 2,33 2,47

5 1,60 1,64 1,67 1,72 14 2,21 2,28 2,37 2,50

6 1,73 1,77 1,82 1,89 15 2,25 2,32 2,41 2,55

7 1,83 1,88 1,94 2,02 16 2,28 2,35 2,44 2,58

8 1,91 1,96 2,03 2,13 17 2,31 2, 38 2,48 2,62

9 1,98 2,04 2,11 2,21 18 2,34 2,41 2,50 2,66

10 2,03 2,10 2,18 2,29 19 2,36 2,44 2,53 2,68

11 2,09 2,14 2,23 2,36 20 2,38 2,46 2,56 2,71

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Интеграл вероятности

Р(t) =

tг = Р(t) tг = Р(t) tг = Р(t)

0,00 0,000 0,90 0,632 1,9 0,9430

0,10 0,090 0,95 0,658 2,00 0,9550

0,20 0,159 1,00 0,683 2,20 0, 9720

0,50 0,383 1,20 0,770 2,50 0,9880

0,68 0,504 1,30 0,806 3,00 0,9970

0,70 0,516 1,50 0,866 3,50 0,9993

0,80 0,576 1,70 0,911 4,00 0,9999

0,85 0,605 1,80 0,928

36

2 _2

tг

exp (-t2/2) dt0

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Значения интеграла вероятности по закону СтьюдентаРст = (tст, n)

N 0, 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99

2 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657

3 0,816 1,061 1,336 1,886 2,920 4,303 6,965 9,929

4 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841

5 0,741 0,941 1,190 1,53 2,132 2,776 3,747 4,604

6 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,015 3,365 4,032

7 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707

8 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 3,998 3,499

9 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 3,896 3,355

10 0,702 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 3,821 3,250

11 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 3,764 3,169

12 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 3,718 3,106

13 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 1,179 3,681 3,055

14 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 3,650 3,012

15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 3,602 2,947

20 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,091 3,539 2,861

23 0,686 0,858 1,064 1,321 1,717 2,074 3,508 2,819

25 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 3,492 2,797

30 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 3,462 2,756

37

Статистика d =

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

n

xi - x n см Критерий 1

Объем выборкиd2 ( ()/2) d1 (1 - ()/2)

0,01 0,05 0,95 0,99

16 0,9137 0,8884 0,7236 0,6829

20 0,9001 0,8786 0,7304 0,6950

26 0,8901 0,8686 0,7360 0,7040

31 0,8826 0,8625 0,7404 0,7110

36 0,8769 0,8578 0,7440 0,7167

41 0,8722 0,8540 0,7470 0,7216

47 0,8682 0,8508 0,7496 0,7256

51 0,8648 0,8481 0,7518 0,7291

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Значения вероятности и количества отклонений

Критерий 2

n mт2

n mт2

0,01 0,02 0,05 0,01 0,02 0,05

16 1 0,99 0,99 0,98 32 2 0,99 0,98 0,97

20 1 0,99 0,99 0,98 33 2 0,99 0,98 0,98

21 2 0,98 0,97 0,96 36 2 0,99 0,99 0,98

22 2 0,98 0,97 0,96 40 2 0,99 0,99 0,98

23 2 0,98 0,98 0,96 44 2 0,99 0,99 0,98

24 2 0,98 0,98 0,97 49 2 0,99 0,99 0,98

28 2 0,98 0,98 0,97 - - - - -

38

ut

Um

uUm

t

tUm

u

Т

Um

t

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Основные соотношения для некоторых форм переменного периодического напряжения (тока)Форма сигнала Графическое

изображение UСР UСР.В U k a k ф

Синусоидальная0 0,636 Um 0,707 Um 1,41 1,11

Меандр0 Um Um 1,0 1,0

Пилообразная0,5 Um 0,578 Um 1,73 1,15

Последовательность импульсов kЗАm kЗАm kЗАm 1/kЗ 1/kЗ

Примечание. kЗ = /Т – коэффициент заполнения

Рекомендуемая литература

1. Елизаров А.С., Электрорадиоизмерения. – Минск: ВШ, 1986.2. Орнатский П.П., Теоретические основы информационно-измерительной техники. –

Киев: ВШ, 1983.3. Рего К.Г., Метрологическая обработка результатов технических измерений. - Киев:

Техника, 1987.4. Кушнир В.Ф., Эректрорадиоизмерения: Уч. Пособ.- Л., Энергоатомиздат, 19835. Кукуш В.Д., Электрорадиоизмерения: Уч. Пособ. для вузов. - М., Радио и связь,

1985.6. Сборник задач по курсу «Основы метрологии и стандартизации» под ред. В.Л.

Скачкова.- М.: Московский энергетический институт, 1989.7. ГОСТ 16263 – 70 Метрология. Термины и определения.8. ГОСТ 8.011 0 72 Показатели точности и формы представления результатов

измерений.9. ГОСТ 8.207 – 76 ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями.

Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.10.ГОСТ 8.401 – 80 ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требования.

39