Upload
ariel-beck
View
510
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
מרחב מדגם סימטרי
A כל אחד מתקבל בסיכוי , הסתברות שווה לכל אברי המרחב-
Ω
𝑃 𝐴: עבור מאורעות זרים בלבד- ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
קומבינטוריקה
:בחירה עם החזרה עם חשיבות לסדר
𝑛k עבור קבוצה A בגודל n
מספר הפונקציות .A ,2 של אברי kסדרות באורך ' מס.1: דוגמאות
תאים ללא הגבלת מקום n- לשונים כדורים k חלוקת .A ,3 ל{k..1}-מ
בתאים
:בחירה בלי החזרה עם חשיבות לסדר
𝑛 !
n−k != 𝑛 𝑛 − 1 ∙∙∙ (𝑛 − 𝑘 + 1)
. A- ללא חזרות של איברים מkסדרות באורך ' מס.1 :דוגמאות
n- כדורים שונים לk חלוקת .A 3- ל{k…1}פונקציות חחע מ' מס.2 .מקום אחד בלבדתאים כך שבכל תא
n :בחירה בלי החזרה ובלי חשיבות לסדרk =
n!
k! n−k !
. n ,2 מתוך קבוצה בגודל שונים איברים k בחירת .1 :דוגמאות
כדורים זהים k חלוקת .n ,3 מתוך kמספר תתי הקבוצות בגודל
תאים כך שבכל תא מקום אחד בלבדnלתוך
מידע משנה הסתברות
= 𝑃 𝐴 𝐵 :הסתברות מותנית 𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
P 𝐴 :כלל השרשרת ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵)
נגדיר חלוקה של מרחב המדגם הם :ההסתברות השלמה' נוס𝐴1,𝐴2מאורעות . .𝐴𝑛 ו, זרים בזוגות שהם - Ai =𝑛
i=1 Ω אז
P 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 ∙𝑃(𝐴𝑖)
𝑃(𝐵∩𝐴𝑖)
𝑛𝑖=1
= P 𝐴 𝐵 :נוסחת ההיפוך𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)=
𝑃(𝐵|𝐴)∙𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
𝐴1,𝐴2: נתונה חלוקה של מרחב המדגם: נוסחת בייס . .𝐴𝑛
P Ai ∩ B =P(A i∩B)
P(B)=
P(B|A i)∙P(A i)
P(B|A j )∙P(A j )nj=1
אי תלות בין מאורעות
:ת אם אחד מהבאים קורה"שני מאורעות נקראים ב-
1. P A ∩ B = P(A) ∙ P(B) 2. P 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴)
3. P 𝐴 = 𝑃(𝐴|𝐵)
, 𝐴ת אז גם " בA,Bאם - B A, B 𝐴 , B בלתי תלויים .
ת"אז הם בהכרח ב, 0-גדולים מ, מאורעות זריםB ו Aאם -
A: 𝑃 𝐴-ת ב"מאורע ב ∩ Ω = 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∙ 1 = 𝑃 𝐴 𝑃(Ω)
:'שלשות וכו, ת בזוגות"מאורעות ב
1 .nת בזוגות אם לכל " מאורעות נקראים ב𝑖 ≠ 𝑗:
P Ai ∩ Aj = P(Ai) ∙ P(Aj)
2 .nת אם" מאורעות נקראים ב:
P Ai1 ∩ Ai2 ∩. . .∩ Aik = P Ai1 ∙ P Ai2 ∙ … ∙ P(Aik )
פונקציות הסתברות
הערך שמתקבל בהסתברות הגבוה ביותר𝑀o(x): מ"שכיח של מ
𝑃 𝑋: התפלגות מותנה = 𝑙 𝑌 = 𝑘 =𝑃(𝑋=𝑙 ,𝑌=𝑘)
𝑃(𝑌=𝑘)
= E 𝑋: מ"הממוצע של המ:תוחלת 𝑥𝑖𝑖 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
= 𝐸 𝑋: נוסחה נוספת 𝑃 𝜔 ∙ 𝑋(𝜔)𝜔∈Ω
.ולוקחים הכל, מסמל איבר במרחב המדגם 𝜔כאשר
E X : לינאריות התוחלת + Y = E X + E(Y)
a,b: E aXממשיים ' מס2 + b = aE X + b
E Y X :תוחלת מותנה = k = l ⋅ P(Y = l|X = k)l∈Y
Xערכי (..x1,x2): אזXשל ' פוg(x)מ ותהי " מXיהי : טענה
E g X = g x1 P X = x1 + g x2 P X = x2 + ……
מראה את הפיזור–שונות
+… V(X)=E[(X − μ)2]= 𝑥1 − 𝜇 2𝑃 𝑋 = 𝑥1 + 𝑥2 − 𝜇 2𝑃(𝑋 = 𝑥2)
= 𝑽 𝑿: שונות 𝐸 𝑋2 − 𝐸(𝑋)2 סטיית תקן :𝜍 𝑥 = 𝑉(𝑋)
: תכונות השונות
1. 𝑉 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2𝑉(𝑋) 2. 𝜍 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎 𝜍(𝑥)
3. 𝑉(𝑋) ≥ 𝜍(𝑋) 4. V(X)=0 אם ורק Xמ קבוע" מ
𝑽 𝒚 𝒙: שונות מותנה = 𝒌 = 𝑬 𝒚𝟐 𝒙 = 𝒌 − [𝑬 𝒚 𝒙 = 𝒌 ]𝟐
𝑬 𝒚𝟐 𝒙: כש = 𝒌 = 𝒍𝟐𝑷 𝒚 = 𝒍𝟐 𝒙 = 𝒌 …
:הסתברות כגבול של השכיחות היחסית
.Aמאורע , ת בתנאים זהים"מבצעים ניסוי שוב ושוב באופן ב
כמה פעמים - 𝑓𝑛(𝐴), חזרות על הניסוי' מס=nאם נסתכל על
(Aשכיחות ) החזרות על הניסוי n מבין Aהתרחש
- Aאז השכיחות היחסית של 𝑓𝑛 (𝐴)
nהפונקציה , שואף לאינסוףnוכש ,
P(A)- הזאת שואפת ל
1 תוחלת 0שונות -מ קבוע"מ: התפלגויות מיוחדות
.אנשים משמאל לנילי בק' מס-X: התפלגות אחידה
𝑥 ∈ 𝑚,𝑚 + 1,… ,𝑛 − 1, 𝑛 𝑋~𝑈(𝑚,𝑛)
𝑷 𝑿 = 𝒌 =1
𝑛−𝑚+1 𝑬 𝑿 =
𝑚+𝑛
2 𝑽 𝑿 =
(𝑛−𝑚+1)2−1
12
.הצלחה וכשלון, תוצאות אפשריות2ניסוי שיש בו :ניסוי ברנולי
הסיכוי להצלחה , ת" ניסויי ברנולי בnמבצעים :התפלגות בינומית
:ההצלחות' את מסP ,Xבכל אחד הוא 𝑥 ∈ 1,2, . . ,𝑛 | 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)
𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝑛𝑘 𝑃𝑘 1 − 𝑝 𝑛−𝑘 𝑬 𝑿 = 𝑛 ∙ 𝑝 𝑽 𝑿 = 𝑛 ∙ 𝑝(1 − 𝑝)
ת הסיכוי "מבצעים אינסוף ניסויי ברנולי ב :התפלגות גיאומטרית .עד לפעם הראשונה שהייתה הצלחה, P:להצלחה בכלאחד מהם
𝑥: הניסויים' את מסXנסמן ב ∈ 1,2… ,∞ 𝑋~𝐺(𝑃)
𝑷 𝑿 = 𝒌 = 1 − 𝑝 𝑘−1𝑃 𝑬 𝑿 =1
𝑝 𝑽 𝑿 =
1−𝑝
𝑝2
𝑷 𝑿 : הראשוניםkהיה כשלון ב > 𝑘 = (1 − 𝑝)𝑘
𝑷 𝑿 : תכונת חוסר הזכרון > 𝑘 + 𝑖 𝑿 > 𝑖) = 𝑃(𝑋 > 𝑘)
, פריטים מיוחדיםD יש Nבאוכלוסיה :'גאומט-התפלגות היפר
,X~HG(Nמיוחדים ' מסX, פריטיםn בלי החזרהבוחרים D, n)
𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝐷𝑘
𝑁−𝐷𝑛−𝑘
𝑁𝑛 𝑬 𝑿 = 𝑛 ∙
𝐷
𝑁 𝑽 𝑿 = 𝑛 ∙
𝐷
𝑁(1 −
𝐷
𝑁)𝑁−𝑛
𝑁−1
כדי . זמן נתונה' סופר כמה אירועים קרו ביח :התפלגות פואסונית, זמן' אירועים שקורים בדיוק באותה נק2 אין .א: 'שתהליך יהה פואס
זמן נתונה תלוייה בגודל היחידה ולא ' האירועים שקורים בנק' מס.ב .ת"האירועים בפרקי זמן זרים הם ב' מס.ג. במיקומה על ציר הזמן
𝑋~𝑃 𝜆 𝑋 ∈ 0,1, . . 𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝑒−𝜆𝜆𝑘
𝑘 ! 𝑽 𝑿 = 𝑬 𝑿 = 𝜆
*𝜆 - ממוצע עבור יחידת זמן
.עם וגם, טבלת התפלגות: מ דו מימדי"מ
:y אפשרי של x ,l אפשרי של kת אם לכל " בx,y :הגדרה
𝑃 𝑥 = 𝑘,𝑦 = 𝑙 = 𝑃(𝑥 = 𝑘) ∙ 𝑃(𝑥 = 𝑙) - שווה – משבצת בכל המשתנים תלויים, בטבלה0אם יש . למכפלת השוליות המתאימות
𝑪𝒐𝒗 𝒙,𝒚 = 𝐸 (𝑥 − 𝐸(𝑥)(𝑦 − 𝐸(𝑌) = 𝐸 𝑥𝑦 − 𝐸 𝑥 𝐸(𝑦)
𝑽 𝒙 ± 𝒚 = 𝑉 𝑥 + 𝑉 𝑦 ± 2𝐶𝑜𝑣 𝑥, 𝑦
𝑉 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑣 𝑥 + 𝑣 𝑦 + 𝑣 𝑧 + 2[𝐶𝑜𝑣 𝑥,𝑦 + 𝑐𝑜𝑣 𝑥, 𝑧 + 𝑐𝑜𝑣 𝑦, 𝑧 ]
מ"ת אז הם ב"אם הם ב. בלתי מתואמיםx,y אז Cov(x,y)=0אםם
אז קשר , אם שלילי, מ"יש קשר של עליה בין המ, חיוביCovכאשר ה
מ" אז ב0אם . שאחד עולה השני נוטה לרדת. ירידה
:מ" אם אחד מתקיים אז ב:Cov(x,y)תכונות נוספות של
𝜇- תוחלת
י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע
קרוב ללינאריx,yאז הקשר בין - 1,1ככל שהמקדם קרוב ל :מקדם מתאם
−1 ≤ ρ 𝑥,𝑦 ≤ 1 𝜌 =𝐶𝑜𝑣(𝑥 ,𝑦)
𝜍(𝑥)∙𝜍(𝑦)
V( 𝑥𝑖): בזוגות (מ"ב) בלתי מתואמיםx1..xnאם = 𝑉 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1
𝑛𝑖=1
:חישוב בהינתן נוסחא
𝐸 𝑋 𝑋 חשב :דוגמא + 𝑌 = 𝑡)
:ואז לפי הנוסחא: 1,2לדוגמא , X רצים על כל ערכי :פתרון
𝐸 𝑋 𝑋 + 𝑌 = 𝑡) = 1P 𝑋 = 1 𝑋 + 𝑌 = 𝑡 + 2𝑃(𝑋 = 2|𝑋 + 𝑌 = 𝑡)
:1לדוגמא , עוברים על כל אחד מהסתברויות
P 𝑋 = 1 𝑋 + 𝑌 = 𝑡 =𝑃(𝑋=1∩𝑋+𝑌=𝑡)
𝑃(𝑋+𝑌=𝑡)=
𝑃(𝑋=1∩1+𝑌=𝑡)
𝑃(𝑋+𝑌=𝑡)
𝑃(𝑋 + 𝑌 = 𝑡) –היא כל הקומבינציות שזה שווה ל' ההסתבt . בלבד1 או 0והוא מקבל (מצביע)מ מציין " מ𝑥𝑖 :מ אינדיקטור"מ
= 𝑬 𝑿: מספריםnתוחלת של 𝑬( 𝒙𝒊) = 𝑬(𝒙𝒊)
n ויש : מספריםnשונות של 2 :COV זוגות כאלו של
:דרך פתרון לשאלה עם אינדיקטורים
. כמה אינדיקטוריםX-לעיתים יהיו ב, 𝑥𝑖 כתיבת מה זה . 1
2 .X = 𝑥𝑖ואף לפעמים :X = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖
𝑃(𝑥𝑖חישוב . 3 = E(𝑥𝑖 אינדיקטור יחיד ואז זה שווה ל (1 )
E(𝑥𝑖חישוב התוחלת כסכום של . 4 )
מ אינדיקטור"חישוב השונות של מ. 5
, שוניםCov אינדקסים העלולים ליצור 2מעבר על כל צירופי . 6
Cov=0, אין תלות בין המאורעותאם . i,i+2- לCovנחשב למשל
מ רציף"מ
≤ X – 𝑓 𝑥פונקצית הצפיפות של ממשי והשטח הכולל x לכל 0
.בעזרת השטחים שמתחתיה נחשב הסתברות – 1 שווה לfמתחת ל
= X -𝐹𝑋 𝑡ההתפלגות המצטברת ' פונק 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡) שטח עד נקודה
:תכונות פונקציית ההתפלגות המצטברת
𝑎לכל . א ≤ 𝑏 :𝑃 𝑎 ≤ 𝑏 = 𝐹𝑥 𝑏 − 𝐹𝑥 𝑎
ורציפה (במובן החלש) מונוטונית עולה 𝐹𝑋 𝑡. ב
∞−→lim𝑥. ג Fx t = 0 lim𝑥→∞ Fx t = 1
= 𝑓 𝑥: נגזרת. ד 𝐹′(𝑥)
תוחלת אומדת את מרכז –זהות לבדיד –תוחלת ושונות :שונות את הפיזור של ההתפלגות, ההתפלגות
= 𝐕 𝑿: שונות וסטיית תקן 𝐸 𝑥2 − (𝐸 𝑋 )2 𝝈 𝒙 = 𝑉(𝑋)
:מ מקרי אחיד רציף"מ
𝑥~𝑈(𝑎,𝑏)הצפיפות שלו' אם פונק :𝑓 𝑥 =
1
𝑏−𝑎, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0 , אחרת
: אזי𝑥~𝑈(𝑎,𝑏)יהי
= E 𝑋: היאXהתוחלת של . א𝑎+𝑏
2
= 𝑉 𝑋: היאXהשונות של . ב 𝑏−𝑎 2
12
: היאXההתפלגות המצטברת של ' פונ. ג
𝐹 𝑥 =
0 , 𝑥 < 𝑎
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
1 , 𝑥 > 𝑏
:י"הצפיפות נתונה ע' אם פונ𝑋~𝑒𝑥𝑝(𝜆): מ מעריכי"מ
𝑓 𝑥 = λe−λx , x ≥ 0
0, אחרת
: אזי𝑥~exp(𝜆)יהי
= E 𝑋: היאXהתוחלת של . א1
𝜆
= 𝑉 𝑋: היאXהשונות של . ב1
𝜆2
היאXההתפלגות המצטברת של ' פונ. ג
𝐹 𝑥 = 1 − e−λx , x ≥ 0
0, אחרת
𝑷 𝑿 : תכונת חוסר הזכרון > 𝑘 + 𝑖 𝑿 > 𝑖) = 𝑃(𝑋 > 𝑘)
0סימטרית על ציר ' התפל. 2, גרף פעמון.1 : התפלגות נורמלית
= 𝑓𝑥 𝑥: פונקצית הצפיפות היא1
2𝜋𝜍2𝑒
(𝑥−𝜇 )2
2𝜍2
𝜍2שונות ,𝜇נורמלית עם תוחלת ' בעל התפלXמ "התפלגות מ:
X~N(𝜇,𝜍2) ,פעמון גבוה יותר ולהיפך,פיזור קטן-שונות יותר קטנה
𝜇תוחלת :התפלגות נורמלית סטנדרטית = 𝜍2 ושונות 0 = 1
= 𝜙 1.27: והסימוןX~N(0,1): נסמן 𝑃 𝑧 ≤ 1.27 = 0.898
𝛟 𝒛 = 𝑃 𝑍 < 𝑧 𝛟 −𝐳 = 1 −ϕ(z)
𝛟 𝟑.𝟓 ≈ 1 𝑷 𝒛𝟏 < 𝑍 < 𝒛𝟐 = 𝜙 𝑧2 − 𝜙 𝑧1
𝑷 𝒁 > 𝑧 = 1 − 𝑃 𝑍 < 𝑧 = 1 − 𝜙 𝑧 :אחוזונים
= 𝐹𝑥 𝑥𝑝: הוא הערך שעבורו מתקיים𝑥𝑝, באופן כללי 𝑃(𝑥 ≤ 𝑥𝑝)
P-1 וימין לPהערך שמחלק את ההסתברות משמאל ל
𝑧0.8577: דוגמאות = . זהו האחוזון מהטבלה1.07, 1.07
𝒛𝒑: לפי סימטריה, 0.5אם קטן מ = −𝒛𝟏−𝒑
X~N(𝜇,𝜍2): התפלגות נורמלית כללית
𝑧: הקשר בין כללית לסטנדרטית =𝑋−𝜇
𝜍הפעולה של תרגום ערך ,
ציון תקןנקרא - z, תקנון נקראת z לערך Xשל משתנה כלשהו
X~N(170, 52) :𝑃 𝑥 > 175 = 𝑃 𝑥−170
5>
175−170
5 = P(z > 1)
𝑥𝑝: נוסחה לחישוב אחוזונים = 𝜇 + 𝑧𝑝 ∙ 𝜍
:הקירוב הנורמלי להתפלגות הבינומית
להתפלגות (בדידה)במעבר מהתפלגות בינומית : תיקון רציפות
:נתקן כל ערך בדיד בחצי יחידה בכל צד (רציפה)נורמלית
V(X)=
י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע
התפלגות בינומית התפלגות נורמלית
𝑃(𝑘 − 0.5 < 𝑥 < 𝑘 + 0.5) 𝑃(𝑥 = 𝑘)
𝑃(𝑥 ≤ 𝑘 + 0.5) 𝑃(𝑥 ≤ 𝑘)
𝑃(𝑥 < 𝑘 − 0.5) 𝑃 𝑥 < 𝑘
𝑃(𝑥 ≥ 𝑘 − 0.5) 𝑃(𝑥 ≥ 𝑘)
𝑃(𝑥 > 𝑘 + 0.5) 𝑃 𝑥 > 𝑘
: 'חשבון וכו, משפטי שטחים
∞𝒓𝒌 –טור גאומטרי 𝒌=𝟎 =
𝟏
𝟏−𝒓
:טיפים
לא לשכוח להשתמש בדיאגרמת וון .1 1בוחרים , מיוחדיםDמתוכם , פריטיםNאם יש אוכלוסיה ובה .2
? מה הסיכוי שמיוחד, באקראי𝐷
N
לא לשכוח הכלה והפרדה .3זה בערך באמצע , למשל בגרף, התוחלת היא הממוצע .4
. אז בדיוק באמצע–אם סימטרי , ההסתברויות חוסר זיכרון לגיאומטרית ומעריכית .5 ים יש-Cov לשים לב כמה חשוב .6 :להתעלם ממה שלא צריך .7
σ –השונות -בנורמלית לא לשכוח להוציא שורש מ .8 בוריאציות E 𝑥2להשתמש בנוסחאות , בהתפלגויות מיוחדות .9
= 𝑽 𝑿: שונות לחישוב משתנים אחרים מהנוסחא 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!לבדוק אי תלות כל שאלה .01 001,010אפשר לסדר לפי קוד בינרי , מרחב המדגם סימטריאם .11
:ומבינטוריקהבקטיפים
= Ω : אם מרחב מדגם 92 7
2 5
2 עם זוגות 3בוחרים : זה אומר
אם . בתוך הזוגותבלי חשיבות לסדרבין הזוגות וחשיבות לסדר בין הזוגותלא יהיה חשיבות לסדר אז !3נחלק את המרחב מדגם ב
:דוגמאות משיעורי בית
מרחבי מדגם סימטרים
:חשבו, (' אפש36) תאים 3 כדורים מוכנסים אקראית ל6 :1שאלה
A – כדורים בדיוק3 יש תא אחד עם
3 :פתרון1 6
3 3
2 + 3
1 + 3
2 6
3
:סיכוי. אנשים באופן מקרי לזוגות8חלקו , זוגות נשואים4יש : 3שאלה
בכל זוג יש גבר ואשה. בכל בעל נמצא עם אשתו . א
.('נדרים וכו'לסביות טרנסג, הומואים) בני אותו מין בכל זוג 2 יש .ג
: מרחב המדגם הוא: פתרון 8
2 62
42
4!= – זה אומר !4בלי , אחרת 105
מקביל לחלוקת הזוגות לחדר )והסדר של הזוגות משנה , זוגות3חילוק
.בלי סדר, אז זה יהיה אותם חדרים!4עם . (אדום, ירוק, צהוב
.א1
105 . בחירת כל אחד עם אשתו–
בוחרת , מגיעה אישה, בשורה4גבר 3גבר 2גבר 1גבר: מחלק כך. ב
.!4, וכך הלאה3והשנייה בוחרת מתוך , 4מתוך
: בוחר מהבנים.ג 4
2
2ובוחר מהבנות
42
2, כי להוריד כפילויות2-חילוק ב
.9. = אז נבחר אוטומטית עוד זוג–כל בחירה
2, אגסים2בועז וגדעון מחלקים בינהם באופן מקרי , אורית :4שאלה
:חשב הסתברות, א" פירות לכ2. גויאבות2בננות ו
A – אורית מקבלת רק אגסים B –אורית מקבל פירות מסוג אחד בלבד
C – אחד מן הילדים מקבל רק אגסים D-בועז בננות, אורית מקבל אגסים.
: פתרון
A – 6 כאן מרחב המדגם הוא : 1דרך2 . לזוג אגסים1 ואז יש אפשרות
6: מרחב המדגם מסודר:2דרך ∙ , ('אגס ב', אגס א) אפשרויות 2 ואז יש 5
.('אגס א', אגס ב)
B –{גויבה,גויבה}, {אגס,אגס}: מסוג אחד בלבד יש את הקבוצות ,
6 אפשרויות מתוך 3ואז יש {בננה,בננה}2
C – 3 : אז זה, ילדים3אם יש1 ∙ P(A) ילדים3בחירת ילד מתוך
D –6 : מרחב המדגם הוא4 4
2 4ומתוך , פירות4כלומר בחירת -
ואז יש אפשרות , פירות ויש כאן סדר בין הקבוצות2הפירות יש לבחור .אחת כזאת מתוך מרחב המדגם הזה
:חשבו הסתברויות, אחים מתיישבים מקרית בשורה 12: 5שאלה
B – בין זבולון ויששכר מפרידים בדיוק kאחים
!2 :פתרון ∙ (12 − k + 1 ) ∙ !10, סידורים לזבולון ויששכר2 - !10
12)ואז ה, סידורים לכל שאר האחים − k + זה מספר המקומות 1
. איברים בינהםkהאפשריים לתזוזות של הזוג עם
משתנים מקריים
מסדרים אותם בשורה . ובן אחד, בנותn בכיתה יש :1שאלה
.הבנות בין שירלי ודנה' מס– Xיהי . באקראי
:Xמצאו התלפגות . א
. בנות בינהם שירלי ודנה בשורהnמסדרים : סיפור שקול:תשובה
: ואז . n-2 ל 0 בין X. ללא הבן𝑛− 𝑘+1
n2
כמו זבולון ויששכר:הסבר
מוציאים דג . פיראנה1, זהב2, קרפיון3, דגי גופי4- בבריכה :2שאלה
' מס– Xיהי . אחר דג ללא החזרה עד אשר מתקבל לראשונה דג זהב
.הדגים הכולל שהוצא
הבינום של
ניוטון
𝑆מעגל = 𝜋𝑟2
נבחר תא אחד
כדורים3נשים
. כדורים לאחד מהתאים שנשארו2
אחד אוטומטי לאחרון
. כדור לאחד מהתאים שנשארו1
שניים אוטומטי לאחרון
נשים , תאים2בחירת
בשניהם3בדיוק
י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע
: ושכיחX מצאו פונקצית הסתברות .א
– y, מסדרים בשורה באקראי את עשרת הדגים: ניסוח שקול :תשובה
10 :ומרחב המדגם. 9 ל1 בין Y. מיקום דג הזהב השמאלי2
k10: הדג השני, חייב להיבחר-kאפשרויות :𝑃 𝑋 = 𝑘 =10−𝑘
102
:מה הסיכוי שבמהלך ההוצאות התקבל דג פירנה. ב
מה הסיכוי שהפירנה , נתעלם מכל הדגים שלא זהב ופירנה: תשובה
.כאמור שליש? במקום השמאלי
:קרפיונים שהוצאו' מצאו התפלגות מס. ג
קרפיונים 3 זהב ו2מסדרים , נתעלם מכל דג שאינו קרפיון או זהב: תשובה
5 : ומרחב המדגם0,1,2,3 בין yולכן . באקראי2 . זהב2 לבחור מקום ל
: ולכן ההסתברות היא5−(𝑘+1)
52
p(y=k)= - הוצאוkלאחר מכן , קרפיונים
מקומות למקם דג זהב שני(k+1)-5ונשארו , k+1במקום חייב להיות זהב
.מה הסיכוי שיהיה דג זהב, הוחלט להוציא מהבריכה דג נוסף. ד
. מה הסיכוי שדגי הזהב צמודים בסידור בשורה: ניסוח שקול :תשובה9!2!
10!
.כ גלהד"לנסלוט ואח- סיבוב , דו קרב בין לנסלוט לגלהד:3שאלה
(טור גאומטרי)? מה הסיכוי שלנסלוט ינצח
לנסלוט מנצח– A: תשובה
𝐿𝑊𝑖𝑛 = L𝑊𝑖𝑛𝑠 𝑅𝑛𝑑1 ⊎ {𝐿𝐿𝑜𝑠𝑒𝑠 ,𝐺𝐿𝑜𝑠𝑒𝑠𝑅𝑛𝑑1,𝐿𝑊𝑖𝑛𝑠𝑅2} ⊎ ⊎ … ⊎ L + G𝐿𝑜𝑠𝑒𝑠 𝑅𝑛𝑑 𝑘 − 1 , 𝐿𝑊𝑖𝑛𝑠𝑅𝑛𝑑(𝑘) 𝑃 𝐴 = (0.3 ∙ 0.2)𝑘−1∞
𝑘=1 ∙ 0.7 = 0.7 ∙ 0.06𝑘∞𝑘=0 = 0.7
1
1−0.06
האם הגיוני שהסיכוי של לנסלוט לנצח גדול ', אם לא היינו מחשבים את א. ב
0.7כי כל ענף מוסיף ל, כן? 0.7מ
כי מרחב , פחות לנסלוט מנצח1: תשובה? מה הסיכוי שגלהד ינצח. ג
כאשר אין . אין מנצח, גלהד מנצח, המדגם הוא איחוד של לנסלוט מנצח
lim𝑘→∞(0.3: אז הסיכוי, מנצח ∙ 0.2)𝑘0ולכן ההסתברות . 0 שואף ל.
?Xמה התפלגות , מספר הסיבובים עד להכרזת מנצח– x. ד
P 𝑥. לאינסוף1 הולך בין x: תשובה = 1 = 0.7 + 0.3 ∙ ניצחון -0.8
.או שמפסיד ואז גלהד מנצח, או שלנסלוט מנצח, 1בסיבוב
𝑃 𝑥: ובכללי = 𝑘 = 0.06𝑘−1 ∙ 𝑃(𝑥 = 1) - k-1ובסוף כמו , כשלונות
.ניצחון בסיבוב יחיד, (ת אחד מהשני"הסיבובים ב)בסיבוב הראשון
: חשב תוחלת. ה
: אז, מ אשר מקבל ערכים טבעיים בלבד" מzיהי : טענה
E Z = P(Z > 𝑘)∞k=0
𝑃(𝑋כי ? מדוע פותר > 𝑘) = ב-k0.06= סיבובים ראשונים אין מנצחk.
התפלגויות מיוחדות
.פונים שמקבלים שירות במשך שעה מתפלג פואסונית' מס: 1שאלה
. פונים לשעה5 קצב של –יום ללא עיצומים
. פונים לשעה1 קצב של –יום עם עיצומים
0.9 –הסתברות ליום עיצומים
? פונים מה הסיכוי שיום עיצומים2אם בשעה הראשונה שורתו . א
ומוריד לפקיד שקל , ביום שבו יש עיצומים עובר מנהל המשרד בכל שעה.ב .ממשכורתו אם מאז ביקורו הקודם שורתו פחות משני לקוחות
שעות הורדו ממשכורתו של הפקיד יותר 5 מה הסיכוי שביום עבודה של .ג ?משני שקלים
עד שלראשונה ייקנס הפקיד , מהי תוחלת מספר ימי העיצומים שיעברו.ד ? שקלים5- ב
" לקוחות7הפקיד שרת - "ו" שקלים2-הפקיד נקנס ב"האם המאורעות . ה ?הם בלתי תלויים
:סעיף א: פיתרון
A – יש עיצומים B –פונים2 שורתו 1- בשעה ה .
= P A B: ואזP(B|A)∙P(A)
P(B) ידוע כי יש עיצומים– P(B|A)נחשב קודם ,
P B A = e−1 ∙12
2!= λכאשר 0.1839 = 1,𝑘 = 2
=P 𝐵 = 𝑃 2 עיצומים שורתו + P(2 אין עיצומים שורתו)
0.9 ∙ 𝑒−1 1
2!+ 0.1 ∙ 𝑒−5 52
2!= 0.173
= P A B: והתשובה הסופיתP(B|A)∙P(A)
P(B)=
0.1839∙0.9
0.173
0הוריד שקל כלומר נמצא את הסיכוי שבשעה מסויימת שירת -C :'סעיף ג
= P C: לקוחות1או e−1 10
0!+ e−1 1
1=
2
e מספר השעות – Xואז ,
𝑋~𝐵𝑖𝑛: וזה מתפלג: ביום עיצומים בהם קיבל קנס 5,2
𝑒
D –שק2- הורדו לעובד יותר מ '𝑃 𝐷 = 0.1 ∙ 0 + 0.9 ∙ 𝑃(𝑋 > 2)
.ואז רגיל של בינומי. כי ביום בלי עיצומים אין קנס0
) = 0.215: שקלים ביום עבודה5 סיכוי לקנס של :'סעיף ד2
eלכן הסיכוי 5(
𝑌~𝐺(0.215): ומתפלג, הוא לעיל (קנס)להצלחה
:'סעיף הA –שקלים 2- הפקיד נקנס ב B – לקוחות ביום7 הפקיד שירת
P A = 0.9 ∙ P X = 2 + 0.1 ∙ 0 = 0.08989 λ: לכן, יום שלם = 1 ∙ 5,𝑘 = λ בעיצומים 7 = 5 ∙ 5,𝑘 = בלי עיצומים 7
P B = 0.9 ∙ 𝑒−5 ∙57
7!+ 0.1 ∙ 𝑒−25 ∙
257
7!= 0.094
2 2 2 1 0 או 3 2 2 0 0: אפשרויות לחיתוך2יש רק
𝑃 32200 = 52 3
2 𝑒−1 ∙
10
0!
2
𝑒−1 ∙12
2!
2
𝑒−1 ∙13
3!
P 01222 = 51 4
1 e−1 ∙
10
0! e−1 ∙
11
1! e−1 ∙
12
2!
3
P 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.9 ∙ (𝑃 32200 + 𝑃 01222 ) תלוייםB וAואז מחישוב
2עם תוחלת של ' צימוקים שעמי אוכל מתפלג פואס' מס: 2שאלה
.צימוקים לדקה
צימוקים10 דקות הקרובות יאכל 7-הסתברות שב .א את מספר הצימוקים Y- וב8:02- ל8:00הצימוקים שאוכל בין ' מס– X .ב
.Xחשב תוחלת ושונות של , דקות8:01-8:03שאוכל בין מספר הצימוקים ' מה התפל, צימוקים3 עמי אוכל 8:00-8:03ידוע שבין .ג
?8:00-8:01שאכל בין
:'פתרון סעיף א
𝑃 א = e−14 ∙ 1410
10!:והתשובה 𝑘 = 10, λ = 2 ∙ 7 = 14
λ ,: 'פתרון סעיף ב = 2 ∙ 2 = = E X: ואז4 V X = 4
: המאורעות הבאיםA,B כאשר P(A | B) נחשב :'פתרון סעיף ג
A – אכל k 8:00-8:01 צימוקים בין B – 8:00-8:03 צימוקים בין 6 אכל
𝑃 𝐵 = e−6 ∙ 66
6!𝑘 כאשר = 6, λ = 2 ∙ 3 = 6
י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע
:דוגמאות ממבחנים
שאלה
:תשובה
:שאלה
תשובה
:שאלה
תשובה
חישוב מהטבלה
י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע
:שאלה
:תשובה
:שאלה
תשובה
:שאלה
:תשובה
י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע
:שאלה
תשובה
:שאלה
תשובה
:שאלה
:תשובה
י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע
P 𝐴 ∩ 𝐵 = 5
3 1∙2∙7∙6
10∙9∙8∙7∙6 – Ω במאורע בוחרים , 5 את העם סדר מושיב
הנותרים2סידור ה- 7*6. סידור סיוון ונדבים-1*2 ואז ה5 מקומות מתוך ה3
:שאלה
תשובה
שאלה
:תשובה
מה .א. אמא ובן,אבא- אנשים ממשפחת לוי3, זוגות נשואים3: שאלה
אנשים 2 סיכוי שאין זוג שמורכב מ.ב? הזוגות מאותה משפחה4הסיכוי ש (גבר אישה) מה הסתברות לזוגות הטרוגנים . ג?במשפחת לוי
= 𝛺 .א :תשובה 9 8
2 62
42
22
4!כל השאר , לבחירת מנהיג9 – 945=
P(A) ,אלו הזוגות והסדר בין הזוגות לא משנה =3
945בחירת מנהיג מלוי -
יש זוג ממשפחת לוי -משלים .ב 3
2 3
2 32
32
3!
92
72
52
32
4!
בחירת זוגות - מדגם1-
דרך . קבוצות שונות2כאילו בחירה מ,מנהיג נקבע אוטומטית, קודם
:נוספת4 7
2 52
32
92
72
52
32
. אומר מיקום זוג של לוי4 שה
5*4*3*2*1כל בת בוחרת בן , ממקמים בנות לפי גובה: זוגות הטרוגנים.ג
במקומות : את הצופים משבצים כך, כסאות40 במופע יש 1בשורה : שאלה 0.5בכל מקום זוגי מגרילים ומושיבים בהסתברות , אי זוגיים בנות צעירות
שלשה צעירהתקרא (I,i+1,i+2)שלשה . מבוגר0.5בן צעיר ובהסתברות
(שלשות רציפות)אם באף אחד מהמקומות המתאימים לא יושב מבוגר
1. שלשה צעירהI,i+1,i+2 אם במקום 1 מקבל Xi: תשובה ≤ 𝑖 ≤ 38
𝑃 𝑥𝑖 = 1 = 0.25 0.5 ∙ 𝑖 זוגי 0.5
𝑖 אי זוגי 0.5 = 𝐸(𝑋𝑖)
𝐸 𝑋 = 𝐸 𝑋𝑖 38𝑖=1 = 19 ∙ 0.25 + 19 ∙ 0.5 ( ( אי19 זוגיים ו19יש
𝑉 𝑋𝑖 = 0.25 ∙ 0.75 = 𝑖 זוגי 3/16
0.25 ∙ 0.25 = 𝑖 אי זוגי 1/4
J=i+1 : __ __ __ __ לכן בטוח , בטוח אי זוגיים 2 מקומות זוגיים ו2יש כאן
.0.25= בנים צעירים2נותר לבחור עוד , בנות צעירות2יושבות שם
Cov(𝑥𝑖 ,𝑥𝑖+1) = 0.25 − 0.5 ∙ כי יש מקום זוגי ואי0.25 ו0.5הכפלה ב – 0.25
J=I+2 :נחלק למקרים: Iבנים צעירים 3ואז רוצים : זוגי 1
8 .
Cov=1
8−
1
4
1
4זה : אי זוגיI . זוגייםI,i+2פעמיים רבע כי )
=Cov, שזה רבע, בנים צעירים2אומר לבחור 1
2−
1
2
1
2= , הגיוני כי יש בת באמצע0
..והם הופכים לבלתי תלויים, אז היא לא משנה את הבחירות של הבנים
𝑣 𝑥 = 19 ∙3
16+ 19 ∙
1
4+ 2 37 ∙
1
8+ 18 ∙
1
16+ 18 ∙ 0
I=i+2 – חצי מהזוגות זוגי וחצי אי זוגי, זוגות כאלה36 יש
בנים צעירים בת אחת2
בת__בת : לבן0.5
J=i+1
י אריאל בק ורמי בוכבינדר"נכתב ע