Οµογενής δίσκος βάρους

�

! w

1 και ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίσθη ση

σε τραχύ οριζόντιο έδαφος, ελκόµενος µε αβαρές και µή εκτατό νήµα που είναι κατάλληλα δεµένο στο κέντρο του δίσκου. Το νήµα διέρχεται από το αυλάκι µιας µικρής και ευκίνητης τροχαλίας τ στο δε άκρο του έχει δεθεί µικρό σώµα Σ βάρους

�

! w

2 όπως φαίνεται στο

σχήµα (1). i) Εάν n είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του οριζόντιου εδάφους και του δίσκου, να βρείτε για ποιες τιµές του λόγου w1/w2 είναι δυνατή η κυλισή χωρίς ολίσθηση του δίσκου, όταν το σύστη µα αφήνεται ελεύθερο. ii) Πόση είναι η επιτάχυνση του σώµατος Σ, αν ο λόγος w1/w2 έχει τιµή που αντιστοιχεί σε έναρξη κύλισης του δίσκου µε ολίσθηση; Δίνε ται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=w1R

2/2g του δίσκου ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι ο δίσκος Δ κυλίεται χωρίς ολίσθηση, όταν το σύστη µα αφήνεται ελεύθερο. Ο δίσκος δέχεται το βάρος του

�

! w

1, την τάση

�

! F

1 του ορι

ζόντιου νήµατος που έχει στερεωθεί στο κέντρο του και την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή

�

! T και στην

κάθετη αντίδραση

�

! N που εξουδετερώνει το βάρος του. Εφαρµόζοντας για την

µεταφορική κίνηση του δίσκου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρ νουµε την σχέση:

�

F1 - T = w1aC/g (1) όπου

�

! a

C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C του δίσκου. Εξάλλου, συµφωνα µε

το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, έχουµε για τον δίσκο την σχέση:

�

TR = I!'

�

!

�

TR = w1R2!'/2g

�

!

�

T = w1R! '/2g (2) όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. Όµως λόγω της κύλισης του δίσ

κου ισχύει aC=Rω’, οπότε η (2) γράφεται:

�

T = w1aC/2g (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε:

�

F1 - w1aC/2g = w1aC/g

�

!

�

F1 = 3w1aC/2g (4)

Σχήµα 1

ii) Εξάλλου το σώµα κινείται προς τα κάτω µε την επίδραση του βάρους του

�

! w

2 και της τάσεως

�

! F

2 του νήµατος και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης

του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

w2 - F2 = w2a!/g (5)

όπου

�

! a ! η επιτάχυνση του σώµατος. Επειδή η τροχαλία τ έχει αµελητέα µάζα

και µεταξύ του νήµατος και του αυλακιού της η τριβή θεωρείται ασήµαντη (ευκίνητη τροχαλία), ισχύει F1=F2. Aκόµη οι επιταχύνσεις

�

! a

C και

�

! a ! έχουν το

ίδιο µέτρο, διότι το νήµα είναι µη εκτατό, οπότε η σχέση (5) γράφεται:

�

w2 - F1 = w2aC/g

�

!

(4)

�

w2 - 3w1aC/2g = w2aC/g

�

!

�

2gw2= 3w1aC + 2w2aC

�

!

�

2gw2= aC(3w1 + 2w2)

�

!

�

aC =2gw2

3w1 + 2w2

(6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (6) παίρνουµε:

�

T =w1

2g

2gw2

3w1 + 2w2

=w1w2

3w1 + 2w2

(7)

Όµως η τριβή

�

! T είναι στατική και ως εκ τούτου δεσµεύεται µε την σχέση:

�

T ! nN

�

!

�

T ! nw1

�

!

(7)

�

w1w

2

3w1+ 2w

2

! nw1

�

!

�

w2! 3nw

1+ 2nw

2

�

!

�

1 ! 3nw1/w

2+ 2n

�

!

�

w1

w2

!1- 2n

3n (8)

H (8) καθορίζει τις επιτρεπτές τιµές του λόγου w1/w2, ώστε ο δίσκος να κυλί εται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος. ii) Όταν στην σχέση (8) ισχύει το ίσον, τότε επίκειται η κύλιση του δίσκου µε ολίσθηση. Στην περίπτωση αυτή η σχέση (6) γράφεται:

�

aC =2g

3w1 /w2 + 2=

2g

3(1 - 2n)/3n + 2

�

!

�

a!

=2ng

1- 2n + 2n= 2ng

P.M. fysikos

H ράβδος ΑΒ του σχήµατος (2) είναι οµογενής και στηρίζεται µε το άκρο της Β επί λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ=π/4 ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Α ακουµπάει σε τραχύ κεκ λιµένο επίπεδο της ίδιας κλίσεως φ=π/4 ως προς τον ορίζοντα, µε το οποίο παρουιάζει συντελεστή οριακής τριβής n. Να βρείτε για ποιές τιµές της γωνίας θ είναι δυνατή η ισορροπία της ράβδου. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε ότι η ράβδος ισορροπεί για µια επιτρεπόµενη τιµή της γωνί ας θ. Επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της

�

! w , η αντίδραση

�

! F του κεκλιµένου

επιπέδου στο άκρο της Β, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο κεκλιµένο επίπεδο και η αντίδραση

�

! R στο άκρο της Α, της οποίας ο φορέας διέρχεται από

Σχήµα 2 το σηµείο τοµής Ο των φορέων των δυνάµεων

�

! F και

�

! w , αναλύεται δε στην

τριβή

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N . Eάν δεχθόυµε ότι το άκρο Α της ράβ

δου τείνει να ολισθήσει πρός τα κάτω, τότε η τριβή θα έχει την φορά που φαίνεται στο σχήµα (2). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου ισχύουν οι σχέσεις:

�

F(x)! = 0

�

!

�

-wx+ N = 0

�

!

�

N = w!µ" = w 2/2 (1)

�

F(y)! = 0

�

!

�

T - wy + F = 0

�

!

�

T=w!"#$ - F=w 2/2 -F (2)

�

! (A)" = 0

�

!

�

w(L/2)!µ (" +#) - FL!µ ($ /2 - #) = 0

�

!

�

w!µ " +#( ) = 2F$%&#

�

!

�

F = w!µ (" +#)/2$%&# (3)

όπου

�

! w

x,

�

! w

y οι συνιστώσες του βάρους

�

! w κατα τις διευθύνσεις των αξόνων x

και y αντιστοίχως. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

T =w 2

2-w!µ "/4 +#( )

2$%&#= w

2

2-!µ "/4 +#( )

2$%&#

'

(

) )

*

+

, , (4)

Όµως η τριβή

�

! T είναι στατική τριβή, δηλαδή το µέτρο της ακολουθεί τη σχέ

ση:

�

T < nN

�

!

(1),(4)

�

w2

2-!µ "/4 +#( )

2$%&#

'

(

) )

*

+

, ,

<nw 2

2

�

!

�

2

2-!µ "/4 +#( )

2$%&#<

n 2

2

�

!

�

2 2

21- n( )!"#$ <

2

2!"#$ +

2

2%µ$

�

!

�

2 1- n( )!"#$ < !"#$ + %µ$

�

!

�

2 1- n( ) < 1+ !"#

�

!

�

!"# > 1- 2n Με τον ίδιο τρόπο εξετάζεται η περίπτωση που το άκρο Α τείνει να ολισθήσει πρός τα πάνω, οπότε η τριβή

�

! T έχει αντίθετη φορά από εκείνη που φαίνεται

στο σχήµα (2). Ο υπολογισµός δίνει τελικά ότι: εφθ < 1 + 2n Άρα οι επιτρεπτές τιµές της γωνίας θ για τις οποίες η ράβδος ισορροπεί, αντι στοιχούν στις σχέσεις:

�

1- 2n < !"# < 1+ 2n P.M. fysikos

Σανίδα, βάρους

�

! w , είναι σ’ επαφή µε δύο ακλόνη τα υποστηρίγµατα,

ώστε να σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ. Eάν µεταξύ της σανίδας και των υποστηριγµάτων δεν υπάρχει τριβή, να βρείτε:

i) µε ποια επιτάχυνση και κατά ποια φορά πρέπει να κινηθεί κατά µήκος της σανίδας, ένας άνθρωπος βάρους

�

! w ', ώστε η σανίδα να

παραµένει ακίνητη, ii) ποιος είναι ο απαιτούµενος συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ των πελµάτων του ανθρώπου και της σανίδας, ώστε ο άνθρωπος να µη γλυστρά επί της σανίδας και iii) τις αντιδράσεις των υποστηριγµάτων επί της σανίδας, σε συνάρτη ση µε την απόσταση x του ανθρώπου από το πάνω υποστήριγµα. Δίνε ται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Kατά την κίνηση του ανθρώπου κατά µήκος της σανίδας, ο άνθρω πος δέχεται το βάρος του

�

! w ', το οποίο αναλύεται στην παράλληλη προς τη σανί

δα συνιστώσα

�

! w '

x και στην κάθετη προς αυτή συνιστώσα

�

! w 'y και την πλάγια

αντίδραση της σανίδας η οποία αναλύεται στην κάθετη προς την σανίδα αντίδ ραση

�

!

A και στην τριβή

�

!

T , η οποία είναι στατική τριβή, αφού τα πέλµατα του ανθρώπου δεν ολισθαίνουν πάνω στην σανίδα. Eξάλλου η σανίδα δέχεται το βάρος της

�

! w που αναλύεται στην κάθετη προς αυτήν συνιστώσα

�

! w

y και στην

Σχήµα 3 παράλληλη προς την σανίδα συνιστώσα

�

! w

x, τις αντιδράσεις

�

!

A 1 και

�

!

A 2 των υπο

στηριγµάτων, οι οποίες είναι κάθετες στη σανίδα και τέλος την δύναµη από τον άνθρωπο, η οποία αναλύεται στις συνιστώσες

!

A ' και !

T ', οι οποίες σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης και αντίδρασης είναι αντίθετες των δυνάµεων

�

!

A και

�

!

T αντίστοίχως. Eπειδή η σανίδα ισορροπεί, πρέπει η συνιστα µένη των δυνάµεων οι οποίες ενεργούν παράλληλα προς την σανίδα να είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή πρέπει η

!

T ' να είναι αντίθετη της

�

! w

x, δηλαδή πρέπει η

!

T ' να έχει φορά προς τα πάνω, οπότε η

�

!

T πρέπει να έχει φορά προς τα κάτω. Έτσι θα ισχύει η σχέση: T΄ = wx

�

! T = wηµφ (1) Eξάλλου, ο άνθρωπος κατά την διεύθυνση της σανίδας δέχεται τις δυνάµεις

�

!

T και

�

! w '

x µε φορά προς τα κάτω, οπότε πρέπει να επιταχύνεται προς τα κάτω

ώστε η σανίδα να παραµένει ακίνητη. Eφαρµόζοντας για τον άνθρωπο το δεύτε ρο νόµο κίνησηςτου Νεύτωνα, παίρνουµε τη σχέση:

T + w΄x = ma

�

!

(1)

wηµφ + w΄ηµφ = w΄a/g

�

!

�

a = g!µ"(w + w')/w' (2) όπου

�

! a η ζητούµενη επιτάχυνση του ανθρώπου.

ii) Για να µη ολισθαίνει ο άνθρωπος κατά την κίνησή του πάνω στην σανίδα πρέπει η τριβή

�

!

T να είναι στατική τριβή, οπότε το µέτρο της θα ικανοποιεί τη σχέση:

�

T ! nA

�

!

(1)

�

w!µ" # nw'$%&"

�

!

�

n ! w"µ# /w'$%&#

�

!

�

n ! w"#$ /w' (3) iii) Eπειδή η σανίδα ισορροπεί, η συνολική ροπή όλων των δυνάµεων που δέχεται, περι οποιοδήποτε σηµείο αυτής, θα είναι ίσο µε µηδέν. Eφαρµοζόµενη η συνθήκη αυτή για τα σηµεία O1 και O2 στα οποία τέµνουν την σανίδα οι φο

ρείς των δυνάµεων

�

!

A 1,

�

!

A 2, παίρνουµε τις σχέσεις:

�

!(")o1=A2L-A'(L-x)-wyL/2=0

!(")o2=- A1L+A'x+wyL/2=0

#

$

%

�

!

�

A2L=A'(L-x)+wyL/2

A1L=A'x+wyL/2

!

"

#

�

!

�

A2=A(L-x)/L+w!"#$ /2

A1=Ax/L+ w!"#$ /2

%

&

'

�

!

�

A2 =w'y (L-x)/L+w!"#$ /2

A1 =w'y x/L+w!"#$ /2

%

&

'

�

!

�

A2=w'!"#$(L-x)/L+w!"#$ /2

A1=w'!"#$x/L+w!"#$ /2

%

&

'

�

!

�

A2 = [w'(L - x)/L+ w/2]!"#$

A1 = [w'x/L+ w/2]!"#$

%

&

'

P.M. fysikos

Tροχός βάρους

�

! w

1 και ακτίνας R1, στρέφεται περί τον γεωµετρικό

του άξονα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

�

! !

0. Kάποια στιγµή ο τροχός

αυτός έρχεται σ’ επαφή µε ένα άλλο ακίνητο τροχό, βάρους

�

! w

2 και

ακτίνας R2, ο οποίος µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή περί σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος είναι παράλληλος προς τον άξονα του πρώ του τροχού (σχήµα 4) Mεταξύ των περιφερειών των δύο τροχών υπάρ χει τριβή µε συντελεστή τριβής ολίσθησης n. i) Nα βρεθεί µετά πόσο χρόνο, αφότου οι δύο τροχοί ήλθαν σ’ επαφή, θα παύσει ο ένας να ολισθαίνει σε σχέση µε τον άλλο. ii) Nα βρεθεί ποιο κλάσµα της αρχικής µηχανικής ενέργειας του συστήµατος µετασχηµατίστηκε σε θερµοδυναµική ενέργεια. Δίνεται η

επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και ότι, η ροπή αδράνειας κάθε τροχού

ως προς τον γεωµετρικό του άξονα είναι I=mR2/2, όπου m η µάζα του και R η ακτίνα του. H οριζόντια ράβδος στήριξης του πρώτου τροχού θεωρείται αβαρής. ΛYΣH: i) Όταν οι δύο τροχοί έρχονται σ’ επαφή δια των περιφερειών τους, τότε επί των τροχών εξασκούνται οι εξής δυνάµεις: α) Στον επάνω τροχό εξασκείται το βάρος του

�

! w

1, η δύναµη επαφής από τον

κάτω τροχό, που αναλύεται στην τριβή ολίσθησης

�

!

T 1, η οποία είναι εφαπτοµε

νική του τροχού και αντιστέκεται στην περιστροφή του και την κάθετη αντίδ ραση

�

!

N 1 και τέλος τη δύναµη

�

!

K από την οριζόντια ράβδο στήριξής του, η οποία ενεργεί κατά την διεύθυνση της ράβδου. Το τελευταίο εξηγείται ως εξής:

Σχήµα 4

H ράβδος ισορροπεί υπό την επίδραση των δυνάµεων επαφής

�

! K ' και

�

! K '' στις

άκρες της (το βάρος της θεωρείται αµελητέο), που σηµαίνει ότι οι δυνάµεις αυτές πρέπει να έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετες φορές και ίσα µέτρα. Αυτό µπορεί να συµβαίνει µόνο όταν ο κοινός φορέας των δυνάµεων είναι η ράβδος. Η

�

!

K ως αντίθετη της

�

! K ' (τρίτος νόµος του Νεύτωνα) θα έχει φορέα την ράβδο.

β) Στον κάτω τροχό εξασκείται το βάρος του

�

! w

2, η δύναµη επαφής από τον επά

νω τροχό, η οποία αναλύεται στην εφαπτοµενική τριβή ολίσθησης

�

!

T 2 και την

κάθετη αντίδραση

�

!

N 2 και τέλος την αντίδραση του άξονα περιστροφής του, που

αναλύεται σε µια κατακόρυφη συνιστώσα

�

! A y και µια οριζόντια συνιστώσα

�

!

A x.

Λόγω του αξιώµατος της ισότητας µεταξύ δράσης και αντίδρασης θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

! T

1= -! T

2

! N

1= -! N

2

!

"

#

�

!

�

T1= T

2

N1= N

2

!

"

#

(1)

H ροπή της τριβής

�

!

T 1, περί τον άξονα περιστροφής του επάνω τροχού, προκαλεί

επιβράδυνση της περιστροφικής του κίνησης, η δε γωνιακή του επιβράδυνση

�

! ! '

1 θα έχει µέτρο που καθορίζεται από τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνη

σης, δηλαδή από την σχέση:

�

T1R

1= I

1!'

1

�

!

�

nN1R1 =w1R1

2!'1/2g !

�

nw1 =w1R1!'1/2g

�

!

�

!'1 = 2ng /R1 (2) Aπό την (3) παρατηρούµε ότι, η γωνιακή επιβράδυνση του τροχού είναι σταθε ρή, οπότε το µέτρο της γωνιακής του ταχύτητα

! !

1, ύστερα από χρόνο t αφό

του ήλθε σ’ επαφή µε τον κάτω τροχό, θα είναι:

ω1 = ω0 - ω1΄ t

�

!

(2)

ω1 = ω0 - 2ngt/R1 (3) Eξάλλου, η ροπή της τριβής

�

!

T 2 περί τον γεωµετρικό άξονα του κάτω τροχού,

τον θέτει σε περιστροφική κίνηση περί τον άξονα αυτό εκ της ηρεµίας, η δε γωνιακή επιτάχυνση

�

! ! '

2 του τροχού αυτού, σύµφωνα µε το θεµελιώδη νόµο

της στροφικής κινήσεως, θα έχει µέτρο που καθορίζεται από την σχέση:

�

T2R

2= I

2!'

2

�

!

(1)

�

T1R2 =w2R2

2!'2/2g

�

!

�

nN1 =w2R2!'2/2g

�

!

�

nw1 =w2R2!'2/2g

�

!

�

!'2 = 2ngw1/w2R2 (4) Δηλάδή η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού αυτού θα είναι σταθερή, οπότε η γωνιακή του ταχύτητα κατά τη χρονική στιγµή t θα έχει µέτρο:

�

!2=!'

2t

�

!

(5)

�

! 2 = 2ngtw1/w2R2 (5) Oι δύο τροχοί θα πάψουν να ολισθαίνουν ο ένας σε σχέση µε τον άλλο, εάν οι γραµµικές ταχύτητες

�

! v

1 και

�

! v

2 των σηµείων επαφής τους γίνουν ίσες, δηλαδή

όταν στην επαφή των δύο τροχών µηδενιστεί η σχετική τους ταχύτητα. Aυτό θα συµβεί κατά τη χρονική στιγµή t*, για την οποία ισχύει η σχέση:

!1R1 = !2R2

�

!

(3),(5)

�

! 0R1 -2ngt*R1

R1

=2ngw1t*R2

R2w2

�

!

�

! 0R1 - 2ngt* = 2ngw1t*/w2

�

!

�

! 0R1 = 2ngt*(1+ w1/w2)

�

!

�

! 0R1 =2ngt*(w2 + w1)

w2

�

!

�

t* =! 0R1w2

2ng(w2 + w1) (6)

ii) Eάν ΔU είναι η θερµοδυναµική ενέργεια που παράχθηκε κατά τον χρόνο t*, αυτή, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, θα είναι ίση µε την ελάττωση της κινητικής ενέργειας του συστήµατος, δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

�

!U = K"#$ - K%&'

�

!

�

xK!"# = K!"# - K$%&

�

!

�

x = 1 - K!"# /K$%& (7) όπου x το ζητούµενο κλάσµα. Εάν

�

! !

1,

�

! !

2 είναι οι τελικές γωνιακές ταχύτητες των δύο

τροχών, τότε η τελική κινητική ενέργεια Kτελ του σύστήµατος είναι:

�

K!"#

=I1$

1

2

2+

I2$

2

2

2=

m1R

1

2$

1

2

4+

m2R

2

2$

2

2

4

�

!

�

K!"#

=m1R2

2$2

2

4+

m2R2

2$2

2

4=

R2

2$2

2 w1 + w2( )4g

(8)

Από την σχέση (5) έχουµε:

�

!2 = 2ngt*

w1

w2R2

"

# $

%

& '

�

!

(6)

�

!2 = 2ng" 0R1w2

2ng(w2 + w1)

w1

w2R2

#

$ %

&

' (

�

!

�

!2 =" 0R1

(w2 + w1)

w1

R2

#

$ %

&

' (

�

!

�

!2R

2="

0R

1w

1

w2+ w

1

(9)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε:

�

K!"# =w1 + w2( )

4g

$ 0w1R1

w2 + w1

%

& '

(

) *

2

=$ 0

2w1

2R1

2

4g(w2 + w1) (10)

Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήµατος είναι:

�

K!"# =I1$ 0

2

2+ 0 =

m1R1

2$ 0

2

4=

w1R1

2$ 0

2

4g (11)

H σχέση (7) µε βάση τις (10) και (11) γράφεται:

�

x = 1 -! 0

2w1

2R1

2

4g(w2 + w1)/w1R1

2! 0

2

4g= 1 -

w1

w2 + w1

=w2

w2 + w1

(12)

P.M. fysikos

Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R φέρει κυκλική οπή ακτίνας R/3, της οποίας το κέντρο βρίσκεται σε απόσταση R/2 από το κέντρο Ο του δίσκου. Ο δίσκος µπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Εάν ο δίσκος εκτραπεί από την θέση ισορροπίας του κατά γωνία φ=π/3, να βρεθεί η γωνιακή του ταχύτητα όταν βρεθεί στην θέση ισορ ροπίας του. Να λάβετε υπ’ όψη σας ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου χωρίς την οπή, ως προς τον άξονα περιστροφής του, είναι ίση µε MR2/2, όπου M η µάζα του δίσκου. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύ

τητας. ΛΥΣΗ: Η δηµιουργία κυκλικής οπής στον δίσκο ισοδυναµεί µε την εµφάνιση µιας αντιβαρυτικής δύναµης

�

!

F επί του δίσκου, δηλαδή µιας δύναµης αντίρρο πης της επιτάχυνσης

�

! g της βαρύτητας εφαρµοσµένης στο κέντρο Κ της οπής,

της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε mg, όπου m η µάζα του δίσκου που αντιστοι

χεί στην οπή. Η µάζα αυτή υπολογίζεται µε βάση το γεγονός ότι η µάζα Μ του δίσκου χωρίς την οπή αντιστοιχεί σε εµβαδόν πR2, ενώ η µάζα m αντιστοιχεί σε εµβαδόν πR2/9, οπότε θα έχουµε τη σχέση:

�

M

m=

!R2

!R2/9

�

!

�

m =M

9

Έτσι το µέτρο της δύναµης

�

!

F είναι:

�

F = Mg/9 (1)

Σχήµα 5

Εφαρµόζοντας για τον δίσκο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, κατά τον χρόνο µετάβασής του από την θέση εκτροπής φ=π/3 στην θέση ισορροπίας του φ=0, παίρνουµε την σχέση:

�

K!"# - K$%& = W!

F

�

!

�

IO!2

2- 0= F

R

2(1 - "#$%)

�

!

(1)

�

IO!2 =

MgR

9(1 - "#$% /3)

�

!

�

IO!2 =

MgR

18 (2)

όπου

�

! ! η ζητούµενη γωνιακή ταχύτητα και ΙΟ η ροπή αδράνειας του δίσκου

φέροντος την οπή, ως προς τον άξονα περιστροφής του. Όµως για την ΙΟ ισχύει η σχέση:

�

IO= MR

2/2 - I'

O (3)

όπου Ι’Ο η ροπή αδράνειας της µάζας m ως προς τον άξονα περιστροφής του δίσκου. Εξάλλου το θεώρηµα του Steiner επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

I'O =I'K +mR

2

!

" #

$

% &

2

=m(R/3)2

2+m

R

2

!

" #

$

% &

2

= mR2

18+R2

4

!

" #

$

% & =

M

9

R2

18+R2

4

!

" #

$

% & (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε:

�

IO=MR

2

2-M

9

R2

18+R

2

4

!

"

#

$

%

& =MR

2

9

9

2-

1

18-1

4

!

" #

$

% & =

MR2

9

151

36 (5)

Η σχέση (3) µε βάση την (5) γράφεται:

�

MR2

9

151

36!

2 =MgR

18

�

!

�

151R!2

18= g

�

!

�

! =18g

151R

P.M. fysikos

Μια σφαίρα µάζας m και ακτίνας R, περιστρέφεται περί οριζόντιο άξο να που διέρχεται από το κέντρο της µε γωνιακή ταχύτητα

�

! !

0 και κά

ποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου έρχεται σε επαφή µε τραχύ οριζόντιο έδαφος και µε την έδρα ενός κύβου, µάζας m/2 και ακµής 2R, ο οποίος ηρεµεί στο έδαφος (σχήµα 6). Διαπιστώ νεται τότε ότι τα δύο σώµατα κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση χωρίς ο κύβος να ανατρέπεται. Μεταξύ του κύβου και της σφαίρας δεν υπάρχει τριβή, ενώ µεταξύ του εδάφους-κύβου και του εδάφους-σφαίρας ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως είναι n. i) Να δείξετε ότι σε πρώτο στάδιο η σφαίρα περιστρέφεται και ολισ θαίνει επί του εδάφους και κάποια στιγµή αρχίζει η κύλισή της χωρίς ολίσθηση. ii) Να δείξετε ότι η σφαίρα συνεχίζει την κύλιση της χωρίς ολίσθηση, επιβραδυνόµενη οµαλά και να υπολογίσετε τον χρόνο κύλισης. Δίνε ται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=2mR2/5

της σφαίρας, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Tην χρονική στιγµή t=0 που η σφαίρα έρχεται σε επαφή µε το οριζόντιο έδαφος δέχεται από αυτό δυναµη, που αναλύεται στην κάθετη προς το έδαφος συνιστώσα

�

! N

1 (κάθετη αντίδραση) και στην τριβή

�

! T

1, που είναι τριβή

ολίσθησης µε κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του σηµείου επαφής της σφαίρας µε το έδαφος (σχήµα 6). Ακόµη η σφαίρα δέχεται το βάρος της

�

m! g και

την δύναµη επαφής

�

! f 1 από τον κύβο της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέν

τρο µάζας της C1. Εξάλλου ο κύβος δέχεται το βάρος του

�

m! g /2, την δύναµη

επαφής

�

! A από το οριζόντιο έδαφος που αναλύεται στην τριβή ολίσθησης

�

! T

2 και

στην κάθετη αντίδραση

�

! N

2 και τέλος την δύναµη επαφής

�

! f 2 από την σφαίρα, η

οποία έχει τον ίδιο φορέα αντιθετη φορά και ίσο µέτρο µε την

�

! f 1 (τρίτος νόµος

του Νεύτωνα). Η σφαίρα εκτελεί σύνθετη κίνηση, αποτελούµενη από µια ευθύγραµµη µεταφορική κίνηση και µια περιστροφική κίνηση περι το κέντρο µάζας της C1, ενώ ο κύβος εκτελεί ευθύγραµµη µεταφορική µε επιτάχυνση ίδια µε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας C1. Εφαρµόζοντας για τις δύο µεταφο ρικές κινήσεις τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε τις σχέσεις:

�

T1- f

1= ma

f2- T

2= ma/2

!

"

#

�

!

�

nmg - f1 = ma

f2 - nmg/2 = ma/2

!

"

#

(1)

Σχήµα 6 όπου η κοινή επιτάχυνση των κέντρων µάζας C1, C2 της σφαίρας και του κύβου αντιστοίχως. Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και λαµβάνοντας υπ’ όψη ότι f1=f2, παίρνουµε:

�

nmg

2=

3ma

2

�

!

�

a =ng

3 (2)

H (2) εγγυάται ότι η επιτάχυνση

�

! a είναι σταθερή, δηλαδή οι δύο µεταφορικές

κινήσεις είναι οµαλά επιταχυνόµενες. Αυτό σηµαίνει ότι η µεταφορική ταχύτη τα

�

! v της σφαίρας και του κύβου την χρονική στιγµή t δίνεται από την σχέση:

�

v = at

�

!

(2)

�

v = ngt/3 (3) Eξάλλου η ροπή της

�

! T

1 περί το κέντρο µάζας C1, επιβραδύνει την περιστροφή

της σφαίρας, δηλαδή προσδίνει σ’ αυτήν γωνιακή επιβράδυνση

�

! ! ' της οποίας

το µέτρο σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ικανοποιεί την σχέση:

�

T1R = I!'

�

!

�

nmgR = 2mR2!'/5

�

!

�

!'= 5ng/2R (4) δηλαδή η

�

! ! ' είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι η περιστροφική κίνηση της σφαί

ρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας την χρονική στιγµή t, θα είναι:

�

! = !0-!'t

�

!

(4)

�

! = ! 0- 5ngt/2R (5) Aς αναζητήσουµε την χρονική στιγµή t* για την οποία ισχύει v=ωR. H στιγµή αυτή θα προκύψει από την σχέση:

�

ngt*

3= ! 0R -

5ngt*

2

�

!

�

2ngt* = 6! 0R - 15ngt*

�

!

�

t* =6! 0R

17ng (6)

Την στιγµή t* η κοινή µεταφορική ταχύτητα σφαίρας-κύβου έχει µέτρο:

�

v*= at

*

�

!

(2),(6)

�

v* =ng

3

6! 0R

17ng=

2! 0R

17 (7)

το δε µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της σφαίρας είναι:

�

! * = v* /R

�

!

(7)

�

! * = 2!0/17 (8)

ii) Aς δέχθούµε ότι για t>t* διατήρειται η επαφή σφαίρας-κύβου και ότι η σφαίρα συνεχίζει να κυλίετα χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος. α. Η κύλιση αυτή αποκλείεται να είναι ισοταχής, διότι τότε η τριβή

�

! T

1 θα είναι

µηδενική, οπότε πρέπει να είναι µηδενικές και οι δυνάµεις επαφής

�

! f 1,

�

! f 2 µε

αποτέλεσµα ο κύβος να έχει χάσει την επαφή του µε την σφαίρα, που σηµαίνει ότι ή κίνειται µε την σταθερή µεταφορική ταχύτητα της σφαίρας εφαπτόµενος οριακά αυτής ή επιταχύνεται αποµακρυνόµενος αυτής. Όµως και τα δύο αυτά ενδεχόµενα είναι αδύνατα λόγω της ύπαρξης της τριβής

�

! T

2, η οποία επιβραδύ

νει τον κύβο. β. Η κύλιση αποκλείεται να είναι επιταχυνόµενη, διότι τότε η τριβή

�

! T

1 θα

προκαλούσε µαζί µε την

�

! f 1 επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης της σφαίρας

και επιβράδυνση της περιστροφής της περί το κέντρο µάζας της, πραγµα που έρχεται σε αντίθεση µε την συνθήκη κύλισης v=ωR. γ. Αποµένει να εξετάσουµε εάν είναι επιτρεπτή η επιβραδυνόµενη κύλιση της σφαίρας. Για να συµβαίνει αυτό πρέπει η τριβή

�

! T

1 να είναι στατική και να

διατηρεί την φορά που φαίνεται στο σχήµα, ώστε η ροπή της περι το κέντρο µάζας C1 να µειώνει την γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας και µαζί µε την

�

! f 1 να

προκαλείται µείωση της µεταφορικής της ταχύτητας (Τ1<f1), ώστε κάθε στιγµή να ισχύει v=ωR. Στην περίπτωση αυτή αν

�

! a ' είναι η επιβράδυνση της µεταφο

ρικής κίνησης της σφαίρας, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτω να θα έχουµε τις σχέσεις:

�

T1- f

1= -ma'

f2- T

2= -ma'/2

!

"

#

�

!

�

T1 - f1 = -ma'

f1 - nmg/2 = -ma'/2

!

"

#

�

!

(+ )

�

T1 -nmg

2= -

3ma'

2 (9)

Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική κίνηση της σφαίρας τον θεµελιώ δη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε:

�

T1R = I!'

�

!

�

T1R = 2mR

2! '/5

�

!

�

T1

= 2mR!'/5 = 2ma'/5 (10) όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιβράδυνση της σφαίρας. Απαλοίφoντας το Τ1 µεταξύ των

(9) και (10) έχουµε:

�

2ma'

5-nmg

2= -

3ma'

2

�

!

�

a'=5ng

19 (11)

δηλαδή αν πράγµατι υπάρχει επιβραδυνόµενη κύλιση χωρίς ολίσθηση, αυτή θα είναι οµαλά επιβραδυνόµενη. Όµως για να είναι αποδεκτα όλα τα παραπάνω

απαιτείται να διαπιστωθεί αν η τριβή

�

! T

1 είναι στατική και αν οι αλγεβρικές

τιµές

�

f 1,

�

f 2 των δυναµεων

�

! f 1,

�

! f 2 αντιστοίχως επαληθεύουν την σχέση

�

f 1=- f

2.

H (10) µε βάση την (11) δίνει:

�

T1 =2m

5

5ng

19=

2mng

19< mng (12)

δηλαδή η

�

! T

1 είναι στατική τριβή. Αν λάβουµε ως θετική φορά την φορά της µε

ταφορικής κίνησης των δύο σωµάτων, τότε για την αλγεβρική τιµή

�

f 1 θα έχου

µε:

�

T1+ f

1= -ma'

�

!

(11),(12)

�

2nmg

19+ f 1 = -m

5ng

19

�

!

�

f 1 = -7mng

19< 0 (13)

Εξάλλου η αλγεβρική τιµή

�

f 2 ακολουθεί την σχέση:

�

f2- T

2= -ma'/2

�

!

(11)

�

f2 =nmg

2-m

2

5ng

19=

7nmg

2> 0 (14)

Aπό τις (13) και (14) προκύπτει ότι

�

f 1=- f

2. Άρα το σύστηµα σφαίρα-κύβος για

t>t* κινείται µε την σφαίρα να εκτελεί οµαλα επιβραδυνόµενη κύλιση χωρίς ολίσθηση, εφαπτόµενη συνεχώς του κύβου, ο οποίος µεταφέρεται επιβραδυνόµε νος οµαλα µε επιβράδυνση ίση µε εκείνη του κέντρου της σφαίρας. Ο χρόνος tολ που µεσολαβεί απο την στιγµή που αρχίζει η οµαλά επιβραδυνόµενη κύλιση της σφαίρας µεχρις ότου αυτή σταµατήσει, υπολογίζεται από την σχέση:

�

0 = v*- a't

!"

�

!

�

t!"

= v*/a'

�

!

(7),(11)

�

t!"

=2# 0R

17

19

5ng=38# 0R

85ng (15)

Το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας την χρονική στιγµή t*+tολ είναι:

�

!"#$

= ! *-!'t%$

= ! *- a't%$

/R η οποία µε βάση τις (8), (11) και (15) γράφεται:

�

!"#$

=2! 0R

17-5ng

19

38! 0R

85ngR=

2! 0R

17-2! 0R

17= 0

δηλαδή την στιγµή που µηδενίζεται η µεταφορική ταχύτητα της σφαίρας µηδε νίζεται και η γωνιακή της ταχύτητα. Παρατήρηση 1η: Για να µην ανατρέπεται ο κύβος πρέπει η απόσταση x του φορέα της κάθετης αντίδρασής

�

! N

2, από το κέντρο µάζας C2 του κύβου να δεσµέυεται µε τη σχέση:

�

x ! R Όµως η µη ανατροπή του κύβου συνεπάγεται ότι, η συνισταµένη ροπή περί το κέντο µάζας του C2 είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

T2R - N

2x = 0

�

!

�

nN2R = N

2x

�

!

�

x = nR Έτσι η προηγούµενη σχέση δίνει:

�

nR ! R

�

!

�

n ! 1 (16)

Σχήµα 7 H (16) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη να µην ανατρέπεται ο κύβος σε όλη την διάρκεια που το σύστηµα κινείται. Παρατήρηση 2η: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων v=v(t) και ω=ω(t), που αφορούν την µεταβολή των µέτρων της µεταφορικής και γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας σε συνάρτηση µε τον χρόνο t φαίνονται στο σχήµα (7).

P.M. fysikos

Οµογενές δοκάρι µάζας M, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ, κρατείται δε ακίνητο σε επαφη µε το επίπεδο. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου αφήνεται πάνω στο δοκάρι ένας οµογενής κύλινδρος µάζας m, µε τον άξονά του κάθετο στο δοκάρι και παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο, ένω την ίδια στιγµή ελευθερώνεται και το δοκάρι. Να δείξετε ότι είναι αδύνατη η κύλιση του κυλίνδρου πάνω στο δοκάρι, ακόµη και στην περίπτωση που υπάρχει τριβή µεταξύ κυλίνδρου και δοκαριού. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR2/2 του κυλίνδρου ως προς τον γεωµετ ρικό του άξονα, όπου R η ακτίνα του κυλίνδρου. ΛYΣH: Ας δεχθούµε ότι ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στο δοκάρι όταν το σύστηµα αφήνεται ελέυθερο. Eπί του κυλίνδρου ενεργεί το βάρος του

�

! w , που

αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα

�

! w

x και στην

κάθετη προς αυτό συνιστώσα

�

! w

y και η πλάγια αντίδραση της σιδερένιας δοκού,

η οποία αναλύεται στην στατική τριβή

�

!

T και στην κάθετη αντίδραση

�

!

N . Eξάλ

λου επί του δοκαριού ενεργεί το βάρος της

�

!

W , που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα

�

!

W x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώ

σα

�

! W y, η πλάγια αντίδραση του κυλίνδρου, η οποία αναλύεται στην τριβή

�

-

!

T

και στην κάθετη αντίδραση

�

-

!

N (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης) και η

δύναµη

�

!

A από το λείο κεκλιµένο επίπεδο, η οποία είναι κάθετη σ’ αυτό. Λόγω της µεταφορικής κίνησης του δοκαριού ισχύει: T + Wx = MaΔ ! T + Wηµφ = MaΔ (1)

Σχήµα 8 όπου

�

! a ! η επιτάχυνση του δοκαριού στο σύστηµα αναφοράς του κεκλιµένου

επιπέδου. Eξάλλου, εάν

�

! a

C είναι η αντίστοιχη επιτάχυνση της µεταφορικής

κίνησης του κυλίνδρου και ! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση της περιστροφικής του

κίνησης περί τον γεωµετρικό του άξονα, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

wx- T = ma

C

TR = I!'

"

#

$

!

�

w!µ" - T = maC

TR = mR2# '/2

$ % & !

�

w!µ" - T = maC

T = mR# '/2

$ % & (2)

Eπειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση, η ταχύτητα των σηµείων επαφής του µε το δοκάρι, είναι κάθε στιγµή ίση µε την ταχύτητα του δοκαριού, δηλαδή ισχύει η σχέση: vΔ = vC - ωR ! ωR = vC - vΔ (3) όπου

�

! ! η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κυλίνδρου,

�

! v

C η µεταφορική

του ταχύτητα και

�

! v

! η ταχύτητα του δοκαριού την στιγµή t που εξετάζουµε το

σύστηµα. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt τα µέτρα των διανύσ µατων

�

! ! ,

�

! v

C,

�

! v

! µεταβληθούν κατά dω, dvC, dvΔ αντιστοίχως, τότε από την (3)

προκύπτει:

�

Rd! = dvC

- dv" !

�

Rd! /dt = dvC/dt - dv

"/dt !

�

R! '= aC

- a" (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) έχουµε:

�

w!µ" - T = maC

T = m(aC- a# )/2

$ % & !

�

w!µ" - m(aC- a# )/2 = maC !

gηµφ = aC + aC/2 - aΔ/2 ! 2gηµφ = 3aC - aΔ !

aΔ = 3aC - 2gηµφ (5) Eξάλλου, η σχέση (1) γράφεται:

�

m(aC- a! )/2 + W"µ# = Ma! ! maC - maΔ + 2Mgηµφ = 2MaΔ !

maC = (2M + m)aΔ - 2Mgηµφ

�

!

(5)

maC = (2M + m)(3aC - 2gηµφ) –

- 2Mgηµφ ! maC - 3(2M + m)aC = -2gηµφ(2M + m + M) ! (6M + 3m - m)aC = 2gηµφ(3M + m) !

�

aC=2(3M + m)g!µ"

2(3M + m)= g!µ"

(6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: aΔ = 3gηµφ - 2gηµφ = gηµφ (7)

Η (4) µε βάση την (6) και (7) δίνει ω’=0, που σηµαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κυλίνδρου είναι σταθερή, όση και την στιγµή t=0, δηλαδή µηδενική. Άρα είναι αδύνατη η κύλιση του κυλίνδρου, αφού δεν περιστρέφεται. Ακόµη είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι στην διάρκεια της µεταφορικής κίνησης του κυλίνδρου και του δοκαριού η τριβή είναι µηδενική, µε αποτέλεσ µα να µην υπάρχει ροπή που θα θέσει τον κύλινδρο σε περιστροφή περί τον άξονά του.

P.M. fysikos