เอกสารประกอบการเรียน การวิเคราะห์ข้อมูลทางรัฐศาสตร์ บทที่ ๒

เอกสารประกอบการสอนวิ�ชา รศ 216 การวิ�เคราะห์�ข้�อมู�ลทางร�ฐศาสตร�

บทท�� 2

ความน่�าจะเป็�น่และตั�วแป็รสุ่��ม

2.1 ความหมายของความน่�าจะเป็�น่ควิามูน�าจะเป�นข้องเห์ต�การณ์�ใดเห์ต�การณ์�ห์น#$งค%อ โอกาสท($

เห์ต�การณ์�น�)นจะเก�ด การค*านวิณ์ห์าโอกาสท($แต�ละเห์ต�การณ์�จะเก�ด จะต�องมู(ข้�อมู�ลท($เก($ยวิข้�องก�บเห์ต�การณ์�น�)น ๆ เช�น โอกาสท($พร� �งน()ฝนจะตก จะต�องมู(ข้�อมู�ลท($เก($ยวิข้�อง เช�น ปร�มูาณ์เมูฆ ควิามูช%)น เป�นต�น

P(A) = ควิามูน�าจะเป�นท($เห์ต�การณ์� A จะเก�ด จะมู(ค�าในช�วิง 0 ถึ#ง 1น่�ยาม 2.1.1 ผลล�พธ์�ท�)งห์มูดท($เก�ดข้#)นจากการทดลอง สามูารถึ

เข้(ยนในร�ปข้องเซต โดยเร(ยกเซตน()วิ�า สเปซต�วิอย�าง “ ”

(Sample space) โดยใช�ส�ญล�กษณ์� S แทนสเปซต�วิอย�าง และผลข้องการทดลองแต�ละอย�างเร(ยกวิ�า จ�ด“

ต�วิอย�าง ” (Sample point)

ตั�วอย�างท�� 1 โยนล�กเต7า 1 ล�ก 1 คร�)ง จงเข้(ยนสเปซต�วิอย�างว�ธี�ท�า การโยนล�กเต7า 1 ล�ก อาจได�แต�มู 1 ห์ร%อ 2 ห์ร%อ 3 … ห์ร%อ 6

แต�มูใดแต�มูห์น#$ง ด�งน�)น สเปซต�วิอย�าง = S : {1,2,3,4,5,6}

ซ#$งมู(จ�ดต�วิอย�าง 6 จ�ด จ�ดต�วิอย�างท($ I, I = 1,2,…,6

ตั�วอย�างท�� 2 จากการตรวิจสอบค�ณ์ภาพข้องห์ลอดไฟ 2 ห์ลอด จงเข้(ยนสเปซต�วิอย�างข้องผลการตรวิจ

ว�ธี�ท�า ผลข้องการตรวิจค�ณ์ภาพข้องห์ลอดไฟแต�ละห์ลอด จะเป�น ด( “ ”

ห์ร%อ เส(ย “ ”

ด�งน�)น S : {ด(ด(, ด(เส(ย, เส(ยด(, เส(ยเส(ย}

โดยท($ ด(เส(ย เป�นจ�ดต�วิอย�างจ�ดห์น#$งซ#$งเป�นผลล�พธ์�อย�าง“ ”

ห์น#$งท($เป�นไปได� ค%อ ห์ลอดไฟห์ลอดแรกเป�นห์ลอดท($ใช�งานได� และห์ลอดท($ 2 เป�นห์ลอดท($งานไมู�ได�ห์ร%อเส(ยน�$นเอง

1


ถึ�าสนใจจ*านวินห์ลอดไฟท($ด( สเปซต�วิอย�างจะกลายเป�น S : {0,1,2}

โดยท($ “0” ห์มูายถึ#ง ห์ลอดไฟเส(ยท�)ง 2 ห์ลอด “1” ห์มูายถึ#ง ห์ลอดไฟด( 1 ห์ลอดและเส(ย 1

ห์ลอด และ “2” ห์มูายถึ#ง ห์ลอดไฟด( 2 ท�)ง 2 ห์ลอด

น่�ยาม 2.1.2 เหตั�การณ์" (Event) ค#อ เซตย�อยข้องสเปซต�วิอย�างในกรณ์(ท($เซทย�อมูมู(จ�ดต�วิอย�าง 1 จ�ด เร(ยกวิ�าเห์ต�การณ์�อย�างง�าย (Sample Event) แต�ถึ�าในเซตย�อยมู(จ�ดต�วิอย�างมูากกวิ�า 1 จ�ด เร(ยกวิ�าเห์ต�การณ์�ประสมู (Compound Event)

ตั�วอย�างท�� 3 จากต�วิอย�างท($ 1 จงเข้(ยนเห์ต�การณ์�ท($ได�แต�มูมูากกวิ�า 3ว�ธี�ท�า ให์� A เป�นเห์ต�การณ์�ท($โยนล�กเต7า 1 ล�ก แล�วิได�แต�มูมูากวิ�า 3 ห์ร%ออาจจะเข้(ยน

A : {ได�แต�มูมูากวิ�า 3}

น�$นค%อ A : {4,5,6}

ตั�วอย�างท�� 4 จากต�วิอย�างท($ 2 จงเข้(ยนเห์ต�การณ์�ท($ผลการตรวิจสอบได�ห์ลอดไฟด(อย�างน�อย 1 ห์ลอดว�ธี�ท�า ให์� B : เป�นเห์ต�การณ์�ท($ผลการตรวิจสอบได�ห์ลอดด(อย�างน�อย 1

ห์ลอด จากการตรวิจห์ลอดไฟ 2 ห์ลอดด�งน�)น B : {ด(เส(ย,เส(ยด(,ด(ด(}สร�ปได�ต�วิอย�างท($ 1-4 ได�ด�งน()

การทดลอง สุ่เป็ซตั�วอย�าง (sample space)

เหตั�การณ์" (event)

1. โยนล�กเต7า 1 ล�ก S = {1,2,3,4,5,6}

A : ได�แต�มูมูากกวิ�า 3A : {4,5,6}

2. ส��มูห์ลอดไฟมูา S = {ด(ด(,เส(ยเส(ย,ด( C : ได�ห์ลอดด(อย�าง

2


ตรวิจ 2 ห์ลอด เส(ย,เส(ยด(} น�อย 1 ห์ลอดC : {ด(เส(ย,เส(ยด(,ด(ด(}

P(A) = P (ได�แต�มูมูากกวิ�า 3) = 3/6

P (B) = ได�ห์ลอดไฟด(อย�างน�อย 1 ห์ลอด = 3/4

P (C) = ได�ห์ลอดไฟด( 1 ห์ลอด = 2/4

3

ควิามูน�าจะเป�นข้องเห์ต�การณ์� (A) = จ*านวินจ�ดต�วิอย�างในเห์ต�การณ์� A


2.2 หล�กการน่�บในการค*านวิณ์ห์าควิามูน�าจะเป�นจะต�องทราบจ*านวินจ�ดต�วิอย�าง

ในเห์ต�การณ์�ท($น�าสนใจและในสเปซต�วิอย�าง กรณ์(ท($การทดลองมู(ผลล�พธ์�ท($เป�นไปได�จ*านวินมูาก การค*านวิณ์ห์าควิามูน�าจะเป�นจะต�องเข้(ยนผลล�พธ์�ท($เป�นไปได�ท�)งห์มูดจะต�องเส(ยเวิลามูาก จ#งควิรท($จะน*าห์ล�กการน�บเข้�ามูาช�วิยค*านวิณ์เพ%$อห์าจ*านวินจ�ดในสเปซต�วิอย�างและเห์ต�การณ์�ท($สนใจ โดยห์ล�กการน�)นมู(ห์ลายห์ล�กการ ในบทน()จะกล�าวิถึ#ง

2.2.1 หล�กการค&ณ์ (Multiplications Rule)

ถึ�าการท*างานอย�างห์น#$งมู( 2 ข้�)นตอน ข้�)นตอนท($ 1 สามูารถึท*าได� m วิ�ธ์( ข้�)นตอนท($ 2 สามูารถึท*าได� n วิ�ธ์( จะได�จ*านวินวิ�ธ์(ท($สามูารถึท*างานช�)นน()ได� = mn วิ�ธ์(

ตั�วอย�างท�� 5 ถึ�ามู(ถึนนเช%$อมูระห์วิ�างเมู%อง ก. และเมู%อง ข้. อย�� 4 สาย และถึนนเช%$อมูจากเมู%อง ข้. ถึ#งเมู%อง ค. อย�� 5 สาย การเด�นทางจากเมู%อง ก. ไปเมู%อง ค. โดยให์�ผ�านเมู%อง ข้. จะท*าได�ก($วิ�ธ์(ว�ธี�ท�า การเด�นทางจากเมู%อง ก. ไปเมู%อง ข้. ท*าได� 4 วิ�ธ์(

การเด�นทางจากเมู%อง ข้. ไปเมู%อง ค. ท*าได� 5 วิ�ธ์(

ทางท($ 1ทางท($ 1

ทางท($ 2ทางท($ 2 ทางท($ 3

ทางท($ 3 ทางท($ 4

ทางท($ 4 ทางท($ 5

ร�ปท($ 2.1

ด�งน�)น การเด�นทางจากเมู%อง ก. ไปเมู%อง ค. โดยให์�ผ�านเมู%อง ข้.

จะท*าได� 4x5 = 20 ทาง

4

เมู%อง เมู%อง เมู%อง ค.

เอกสารประกอบการสอนวิ�ชา รศ 216 การวิ�เคราะห์�ข้�อมู�ลทางร�ฐศาสตร� 5


ตั�วอย�างท�� 6 ห์ญ�งคนห์น#$งมู(สร�อยคอ 5 เส�น และต�างห์� 6 ค�� ห์ญ�งผ��น()จะเล%อกเคร%$องประด�บในการแต�งต�วิได�ก($วิ�ธ์(

ว�ธี�ท�า ห์ญ�งผ��น()จะเล%อกเคร%$องประด�บในการแต�งต�วิได�ท�)งห์มูด 5x6 =

30 วิ�ธ์(

ตั�วอย�างท�� 7 จากต�วิเลข้ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ถึ�าอน�ญาตให์�ใช�เลข้ซ*)าได�

ก. ถึ�าต�องการสร�างเลข้ 4 ห์ล�ก ข้. มู(ก($จ*านวินท($เป�นเลข้ค($ค. มู(ก($จ*านวินท($มู(ค�ามูากกวิ�า 7,000 ง. มู(ก($จ*านวินท($ห์ารด�วิย

2 ลงต�วิว�ธี�ท�า

ก. การสร�างเลข้ 4 ห์ล�ก ค%อ ห์ล�กห์น�วิย ห์ล�กส�บ ห์ล�กร�อย และห์ล�กพ�น โดยให์�มู(เลข้ซ*)าได� ท*าโดยการพ�จารณ์าท(ละห์ล�ก จ*านวิน 4 ห์ล�ก เปร(ยบเสมู%อนมู( 4 ข้�)นตอน

ห์ล�กห์น�วิย สามูารถึท*าได� 10 วิ�ธ์( (เลข้ 0-9)

ห์ล�กส�บ สามูารถึท*าได� 10 วิ�ธ์( (เลข้ 0-9)

ห์ล�กร�อย สามูารถึท*าได� 10 วิ�ธ์( (เลข้ 0-9) และห์ล�กพ�น สามูารถึท*าได� 9 วิ�ธ์( (ยกเวิ�นเลข้ 0)

ด�งน�)นจ*านวินเลข้ส($ห์ล�กมู( = 9x10x10x10 = 9,000 วิ�ธ์((ข. , ค. และ ง. ลองไป็ฝึ)กท�าตั�อท��บ*าน่ค�ะ)

2.2.2 หล�กการจ�ดล�าด�บ (Permutation)

การจ�ดล*าด�บ ค%อ การน*าข้องซ#$งมู(อย��ท�)งห์มูด ห์ร%อบางส�วินมูาจ�ด โดยถึ%อวิ�าล*าด�บมู(ควิามูส*าค�ญ

แฟกทอเร(ยล (Factorial) ใช�ส�ญล�กษณ์� เช�น n ห์มูายถึ#ง ผลค�ณ์ข้องเลข้ 1 ถึ#งเลข้ nด�งน�)น n = n(n-1)(n-2)…1

การจ�ดล*าด�บ : การจ�ดข้อง k ส�$งจากท�)งห์มูดท($มู(อย�� n ส�$ง (k<n) จะสามูารถึท*าได�npk = n = n(n-1)…(n-k+1)

6


(n-k)ท�)งน()เพราะ ต*าแห์น�งท($ 1 สามูารถึจ�ดข้องได� n วิ�ธ์( ต*าแห์น�งท($ 2 สามูารถึจ�ดข้องได� n-1 วิ�ธ์(

(เน%$องจากมู(ข้องเห์ล%ออย�� n-1 ส�$ง) : : : ต*าแห์น�งท($ k สามูารถึจ�ดข้องได� n+k + 1

วิ�ธ์(ในกรณ์(ท($ ต�องการจ�ดข้องท�)งห์มูดท($มู(อย�� n ส�$ง จะสามูารถึ

ท*าได� npn = n เน%$องจาก npn = n = n = n (n - n) 0

ตั�วอย�างท�� 8 ในการประช�มูข้องสมูาคมูแห์�งห์น#$ง เพ%$อคณ์ะกรรมูการสมูาคมู ซ#$งประกอบด�วิยประธ์าน เห์ร�ญญ�ก และเลข้าน�การ ข้องสมูาคมู ปรากฏวิ�ามู(สมูาช�กสมู�คร 3 คน อยากทราบวิ�ามู(กรรมูการท($เป�นไปได�ท�)งห์มูดก($ช�ด

ว�ธี�ท�าเน%$องจากต*าแห์น�งท($ 1 ค%อ ประธ์านสมูาคมู ต*าแห์น�งท($ 2 ค%อ

เห์ร�ญญ�ก และต*าแห์น�งท($ 3 ค%อ เลข้าน�การข้องสมูาคมู ด�งน�)น จะต�องถึ%อวิ�าล*าด�บท($มู(ควิามูส*าค�ญ จ#งใช�การจ�ดล*าด�บ ในท($น()มู(ผ��สมู�คร 3 คน และมู(ต*าแห์น�ง 3 ต*าแห์น�ง

จ*านวินช�ดข้องกรรมูการสมูาคมูท($เป�นไปได� 3p3 = 3 =

3 = 3x2x1 = 6 วิ�ธ์(

(3 - 3)สามูารถึเข้(ยนเป�นไดอะแกรมูด�งน() (สมูมูต�ผ��สมู�ครมู( นาย ก. นาย ข้.

และนาย ค.)

ประธ์าน เห์ร�ญญ�ก เลข้าน�การ คณ์ะกรรมูการสมูาคมู ข้ ค กข้ค

ก

7


ค ข้ กคข้

ก ค ข้คก ข้

ค ก ข้คก ข้ ก คข้ก

ค ก ข้ คกข้

ด�งน�)น สเปซต�วิอย�าง S = {(ก,ข้,ค), (ก,ค,ข้),(ข้,ก,ค,),(ข้,ค,ก),

(ค,ข้,ก),(ค,ก,ข้}

โดยจ�ดต�วิอย�าง (ก,ข้,ค) ห์มูายถึ#ง นาย ก. เป�นประธ์าน นาย ข้. เป�นเห์ร�ญญ�ก และนาย ค. เป�นเลข้าน�การ ส�วินจ�ดต�วิอย�าง (ก,ค,ข้) ห์มูายถึ#ง นาย ก. เป�นประธ์าน นาย ค. เป�นเห์ร�ญญ�ก และนาย ข้. เป�นเลข้าน�การ

ตั�วอย�างท�� 9 จากต�วิอย�างท($ 8 ถึ�ามู(ผ��สมู�คร 10 คนว�ธี�ท�า ในกรณ์(ท($มู(ผ��สมู�คร 10 คน แต�มู(เพ(ยง 3 ต*าแห์น�ง เปร(ยบเสมู%อนการจ�ดข้องบางส�วิน

จ*านวินช�ดกรรมูการ = npk = 10p3 = 10 = 10 = 10x9x8 = 720 ช�ด

(10-3) 7

ใน่กรณ์�ท��ของ n สุ่��งม�ของซ,�งเหม#อน่ก�น่อย&�บางสุ่�วน่ และถ้*าตั*องการ น่�ามาจ�ดท�.งหมด

8


เช�น กรณ์(มู(ห์น�งส%อ 3 เล�มู เป�นห์น�งส%อคณ์�ตศาสตร� 1 เล�มู ห์น�งส%อวิ�ทยาศาสตร� 2 เล�มู ถึ�าน*ามูาจ�ดท�)งห์มูด จะได�ก($วิ�ธ์(

ถึ�าพ�จารณ์าเป�นการจ�ดล*าด�บ จะจ�ดได� 3p3 = 3 = 3x2x1 = 6

วิ�ธ์(ถึ�าให์� ค แทนห์น�งส%อคณ์�ตศาสตร� และ วิ j แทนห์น�งส%อวิ�ทยาศาสตร� เล�มูท($ j, j = 1,2

การจ�ดท($เป�นไปได�ห์ร%อเซตข้องผลล�พธ์�ท($ได�ค%อ S : {(ค,วิ 1,วิ 2), (ค,วิ 2,วิ 1), (วิ 1,ค,วิ 2), (วิ 1,วิ 2 ค), (วิ 2,วิ 1 ค),

(วิ 2,ค,วิ 1)}

แต�เน%$องจาก วิ 1 และ วิ 2 เป�นห์น�งส%อวิ�ทยาศาสตร�ท�)งค�� จ#งถึ%อวิ�าไมู�แตกต�างก�น ด�งน�)น วิ 1 = วิ 2 = วิเซตข้องผลล�พธ์�จะกลายเป�น {(ค,ส,ส),(ส,ค,ส),(ส,ส,ค)}

จ*านวินวิ�ธ์(จะลดลงเห์ล%อ 3 วิ�ธ์(เท�าน�)น น�$นค%อ จ*านวินวิ�ธ์( 3p3 = 6 วิ�ธ์(ด�งน�)น จ#งสร�ปได� ในการจ�ดล*าด�บข้องท�)งห์มูด n ส�$ง ซ#$งมู(บางส�วินเห์มู%อนก�น (ซ*)าก�น) ด�งน()มู(ข้องชน�ดท($ 1 อย�� n1 ส�$ง มู(ข้องชน�ดท($ 2 อย�� n2

ส�$ง... มู(ข้องชน�ดท($ r อย�� nr ส�$ง เม#�อน่�ามาจ�ดล�าด�บ สุ่ามารถ้ท�าได* = n ว�ธี� n n n ตั�วอย�างท�� 10 ถึ�ามู(คนงานอย�� 12 คน และต�องการแบ�งคนงานออกเป�น

3 กล��มู เพ%$อท*างาน 3 ช�)น โดยให์�คนงาน 3 คน ท*างานช�)นท($ห์น#$ง คนงาน 4 คน ท*างานช�)นท($ 2 และอ(ก 5 คน ท*างานช�)นท($ 3 จะจ�ดได�ก($วิ�ธ์(

วิ�ธ์(ท*า ในกรณ์(น()เปร(ยบเสมู%อนการจ�ดข้องท�)งห์มูด 12 ส�$ง และมู(บางส�วินซ#$งซ*)าก�น โดยท($ n = 12, n1 = 3 ,

n2 = 4 และ n3 = 5

9


จ*านวินวิ�ธ์(ในการจ�ดคนงาน = = n = 12 = 27,720 วิ�ธ์( n n n 345

การจ�ดล�าด�บของซ,�งแตักตั�างก�น่ n สุ่��ง เป็�น่ร&ป็วงกลม การจ�ดข้องเร(ยงเป�นร�ปวิงกลมู ปกต�จะถึ%อวิ�าการเร(ยงทวินเข้<มู

นาฬิ�กาและตามูเข้<มูนาฬิ�กาจะต�างก�น และต�องย#ดต*าแห์น�งใดต*าแห์น�งห์น#$งเป�นห์ล�ก แล�วิน*าท($เห์ล%ออ(ก n-1 ส�$งมูาจ�ดสล�บก�นได� (n-1) วิ�ธ์(

แต�เร(ยงตามูเข้<มูนาฬิ�กาเห์มู%อนก�บทวินเข้<มูนาฬิ�กา จ*านวินวิ�ธ์(จะลดลงคร#$งห์น#$ง น�$นค%อ จ*านวินวิ�ธ์(ในการจ�ดข้อง n ส�$ง เป�นวิงกลมูจะท*าได� (n

– 1) วิ�ธ์( 2

ตั�วอย�างท�� 11 ในงานเล()ยงส�งสรรค�แห์�งห์น#$งประกอบด�วิย ชาย 6 คน และห์ญ�ง 4 คน จงห์าจ*านวินวิ�ธ์(

ก. ให์�ย%นเป�นวิงกลมู โดยให์�ห์ญ�ง 4 คนอย��ท($ต�ดก�นข้. ถึ�าห์ญ�ง 4 น ไมู�ยอมูน�$งต�ดก�น

ว�ธี�ท�า ก) จากต�วิอย�างน()ให์�ถึ%อวิ�าการเร(ยงแบบทวินเข้<มูนาฬิ�กาและตามูเข้<มูนาฬิ�กา ไมู�ต�างก�น โดยให์�ห์ญ�ง 4 คน อย��ต�ดก�นเสมูอ จ#งถึ%อเสมู%อนวิ�าเป�นคนเด(ยวิ ด�งน�)น จ*านวินคนจะเร(ยงเป�นวิงกลมูจะมู( 6 + 1 =

7 คน จ*านวินวิ�ธ์(ท($จะจ�ดให์�คน 7 คน ย%นเป�นวิงกลมู = (7 – 1) วิ�ธ์(แต�ห์ญ�ง 4 คน จะสล�บก�นเองได�อ(ก 4 วิ�ธ์(ด�งน�)น จ*านวินวิ�ธ์(ท($ให์�ห์ญ�ง 4 คน อย��ด�วิยก�นเสมูอ = (7 – 1)

4 = 6 4 = 17,280 วิ�ธ์(ข้) จ*านวินวิ�ธ์(ท($จ�ดวิงกลมู โดยห์ญ�ง 4 คน ไมู�ยอมูต�ดก�น =

จ*านวินวิ�ธ์(จ�ดวิงกลมูท�)งห์มูด – จ*านวินวิ�ธ์(ท($ให์�ห์ญ�ง 4 คนต�ดก�น

10


จะได� = (10 – 1) - 17,280

= 362,880 - 17,280 = 345,600 วิ�ธ์(

2.2.3 หล�กการจ�ดหม&� (Combination)

การจ�ดห์มู�� ค%อ การจ�ดข้องบางส�วิน ห์ร%อท�)งห์มูด โดยไมู�ค*าน#งถึ#งล*าด�บ

การจ�ดห์มู�� : การจ�ดข้อง k ส�$งจากข้องท�)งห์มูดท($แตกต�างก�น n ส�$ง จะมู(วิ�ธ์(จ�ดได�

nck = n = n วิ�ธ์( k k(n – k)

ตั�วอย�างท�� 12 ถึ�ามู(น�กคณ์�ตศาสตร� 5 คน น�กฟ?ส�กส� 7 คน และต�องเล%อกต�วิแทนให์�มู(น�กคณ์�ตศาสตร� 2 คน และน�กฟ?ส�กส� 3 คน จะสามูารถึจ�ดได�ก($วิ�ธ์( ถึ�าก. ไมู�มู(ข้�อจ*าก�ดใด ๆข้. เจาะจงน�กฟ?ส�กส� 1 คน ท($จะต�องถึ�กเล%อกค. เจาะจงท($จะไมู�เล%อกน�กคณ์�ตศาสตร� 2 คน

ว�ธี�ท�า ก) ถึ%อเป�นการจ�ดห์มู�� เน%$องจากไมู�ต�องค*าน#งถึ#งการจ�ดล*าด�บ เพราะไมู�วิ�าจะเล%อกน�กคณ์�ตศาสตร� ห์ร%อน�กฟ?ส�กส�ก�อนก<ได�ต�วิแทนท($มู(น�กคณ์�ตศาสตร� 2 คน และน�กฟ?ส�กส� 3 คน

จ*านวินวิ�ธ์(ในการเล%อกน�กคณ์�ตศาสตร� 2 คน จากท�)งห์มูดท($มู(อย�� 5 คน = 5C2

จ*านวินวิ�ธ์(ในการเล%อกน�กฟ?ส�กส� 3 คน จากท�)งห์มูด 7 คน = 7C3

เพราะฉะน�)น จ*านวินวิ�ธ์(ในการเล%อกต�วิแทนท($ประกอบด�วิยน�กคณ์�ตศาสตร� 2 คน และน�กฟ?ส�กส� 3 คน ค%อ

= 5C2 x 7C3 = 350 วิ�ธ์( ข้) เน%$องจากมู(การเจาะจงน�กฟ?ส�กส�ท($ต�องการให์�เป�นต�วิแทน

แล�วิ 1 คน จ#งเล%อกน�กฟ?ส�กส�อ(ก 2 คน จากท($เห์ล%อ 6 คน

11


จ*านวินวิ�ธ์(ในการเล%อก 6C2 ส�วินจ*านวินการเล%อกน�กคณ์�ตศาสตร�ย�งคงเด�มูค%อ 5C2

ด�งน�)น จ*านวินวิ�ธ์(ท�)งห์มูดท($เป�นไปได� = 6C2 x 5C2 =

10x15 = 150 วิ�ธ์(

ค) เน%$องจากได�มู(การเจาะจงจะไมู�เล%อกน�กคณ์�ตศาสตร� 2 คน จ#งสามูารถึเล%อกน�กคณ์�ตศาสตร�จากท($เห์ล%ออ(ก 5-2 = 3 คน จ*านวินวิ�ธ์( = 3C2 ส�วินจ*านวินการเล%อกน�กฟ?ส�กส�ย�งคงเด�มูค%อ 7C3 ด�งน�)น จ*านวินวิ�ธ์(ท�)งห์มูดท($เป�นไปได� = 3C2 x 7C3 =

3x35 = 105 วิ�ธ์(

2.3 การค�าน่วณ์หาความน่�าจะเป็�น่

ความน่�าจะเป็�น่ของการเก�ดเหตั�การณ์" A = P(A) =

จ�าน่วน่จ�ดใน่เหตั�การณ์" A = a/s

จ�าน่วน่จ�ดใน่สุ่เป็ซตั�วอย�าง

โดยท($ P(A) = ควิามูน�าจะเป�นข้องการเก�ดเห์ต�การณ์� A a = จ*านวินจ�ดต�วิอย�างใน A และ

S = จ*านวินจ�ดต�วิอย�างในสเปซต�วิอย�าง Sในวิ�ธ์(น() ถึ%อวิ�า จ�ดต�วิอย�างแต�ละจ�ดมู(โอกาสเก�ดข้#)นเท�า ๆ ก�น เช�น

แต�ละจ�ดต�วิอย�างใน A มู(โอกาสเก�ดข้#)น 1/a

ตั�วอย�างท�� 13 โยนเห์ร(ยญ 3 อ�น 1 คร�)ง จงห์าโอกาสท($จะได�ห์�วิ 2 คร�)ง และก�อย 1 คร�)งว�ธี�ท�า ให์� H แทนการได�ห์�วิ และ T แทนการออกก�อย

S = {(H,H,H), (H,H,T),(H,T,H),(T,H,H,)(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}โดยท($จ�ดต�วิอย�าง (H,H,T) ค%อ การได�ห์�วิในการโยนคร�)งท($ 1 และ 2 ส�วินการโยนคร�)งท($ 3 ได�ก�อย

12


ให์� A เป�นเห์ต�การณ์�ท($โยนได�ห์�วิ 2 คร�)ง และก�อย 1 คร�)งA : {(H,H,T),(H,T,H),( H,T,H),(T,H,H,)}P(A) = โอกาสในการได�ห์�วิ 2 คร�)ง และก�อย 1 คร�)ง = จ*านวินจ�ดในเห์ต�การณ์� A =2/8 = 0.399

จ*านวินจ�ดในสเปซต�วิอย�าง

ตั�วอย�างท�� 14 บร�ษ�ทแห์�งห์น#$งมู(ต*าแห์น�งวิ�าง 4 ต*าแห์น�ง ซ#$งมู(ผ��สมู�คร 9 คน เป�นชาย 5 คน และห์ญ�ง 4 คน ถึ�าท�กคนมู(ควิามูร� �ควิามูสามูารถึพอ ๆ ก�น ผ��จ�ดการฝAายบ�คคลจ#งใช�วิ�ธ์(จ�บฉลาก จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($จะได�พน�กงาน

ก. ชาย 2 คน และห์ญ�ง 2 คนข้. ได�ชายท�)ง 4 คน

ว�ธี�ท�า การเล%อกผ��สมู�คร 4 จากผ��สมู�คร 9 คน ท*าได� 9C4 วิ�ธ์( = 126

วิ�ธ์( ซ#$งจ*านวินจ�ดในสเปซต�วิอย�างและแต�ละวิ�ธ์(มู(โอกาสเก�ดข้#)นเท�า ๆ ก�นก) ต�องการให์�ได�ชาย 2 คน และห์ญ�ง 2 คน จ*านวินวิ�ธ์(ในการเล%อก = 5C2 x 4C2 วิ�ธ์(

P(ชาย 2 คน และห์ญ�ง 2 คน) = 5C2 x 4C2 =

60/126 =0.476 วิ�ธ์( 9C4

ข้) จ*านวินวิ�ธ์(ในการได�ชายท�)ง 4 คน จากท�)งห์มูดท($มู( 5 คน =

5C4 x 4C0 (เน%$องจากไมู�เล%อกผ��สมู�ครห์ญ�งเลย)

P(ชายท�)ง 4 คน) = 5C4 x 4C0 = 5/126 = 0.039 9C4

2.4 ค�ณ์สุ่มบ�ตั�ความน่�าจะเป็�น่1. การร�วิมูก�นข้องเซต (Union)

A B เป�นเซตข้องสมูาช�กท($อย��ใน A ห์ร%อใน B ห์ร%อท�)งใน A

และใน B เร(ยกวิ�า A union B

2. การต�ดก�นข้องเซต (Intersection)

13


A B เป�นเซตข้องสมูาช�กท($อย��ท�)งใน A และใน B เร(ยกวิ�า Intersection

ค�ณ์สมูบ�ต�ข้องควิามูน�าจะเป�นมู( 4 ข้�อ ด�งน()ถึ�าการทดลองท($มู(ผลล�พธ์�ท($เป�นไปได� n อย�าง ค%อ E1, E2,…, Ek

จะได�วิ�า1. ควิามูน�าจะเป�นข้องการเก�ดเห์ต�การณ์� Ek ห์ร%อ P(Ek) จะมู(ค�า

ต�)งแต� 0 ถึ#ง 1 น�$นค%อ0 P(Ek) 1 ถึ�า P(Ek) = 0 ห์มูายควิามูวิ�าเห์ต�การณ์�

Ek จะไมู�มู(โอกาสเก�ดข้#)น แต�ถึ�า P(Ek) มู(ค�าใกล� 1 ห์มูายควิามูวิ�าโอกาสท($จะเก�ดเห์ต�การณ์� Ek มู(มูาก2. P(Ek) = 13. P(S) = 1, () = 0 โดย เป�นเซตท($ไมู�มู(สมูาช�กอย��

เลย เร(ยกวิ�า เซตวิ�าง4.

2.5 กฎความน่�าจะเป็�น่กฎท�� 1 กฎการบวก (Rules of Addition)

กฎน()จะใช�เมู%$อเห์ต�การณ์�ไมู�สามูารถึเก�ดข้#)นร�วิมูก�นห์ร%อพร�อมูก�นได�

ถึ�า A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� ควิามูน�าจะเป�นท($เห์ต�การณ์� A ห์ร%อ B จะเก�ด จะเป�นผลบวิกข้องควิามูน�าจะเป�นท($แต�ละเห์ต�การณ์�จะเก�ด ห์ร%อ สามูารถึได�เข้(ยนได�วิ�า

P(A ห์ร%อ B) = P(A B) P(A) + P(B)

เน%$องจากการท($เห์ต�การณ์� A และ B เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� ท*าให์� A

B = ห์ร%อ P(AB) = 0 ห์ร%อถึ�ามู( n เห์ต�การณ์� = E1….En ซ#$งเป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดร�วิมูก�นไมู�ได� จะได�วิ�า

P(E1 ห์ร%อ E2…ห์ร%อ En) = P(E1) + P(E2) +…+ P(En)

เน%$องจาก P(Ei Ej) = 0 เมู%$อ i j

14


ตั�วอย�างท�� 15 โรงงานผล�ตกาแฟส*าเร<จร�ปข้วิดออกจ*าห์น�าย ระบ�ข้�างข้วิดวิ�าน*)าห์น�กเป�น 100 กร�มู ถึ�าทางโรงงานส��มูกาแฟมูาตรวิจสอบน*)าห์น�ก 4,000 ข้วิด ได�ข้�อมู�ลด�งน()

น*)าห์น�ก จ*านวินกาแฟ (ข้วิด)

ต*$ากวิ�า 100 กร�มู100 กร�มูมูากกวิ�า 100 กร�มู

1003,600300

รวิมู 4,000

จงห์าโอกาสท($กาแฟข้วิดห์น#$งท($ผล�ตโดยโรงงานน()จะห์น�กต*$ากวิ�าห์ร%อส�งกวิ�า 100 กร�มูว�ธี�ท�า ให์� A,B,C เป�นเห์ต�การณ์�ท($กาแฟมู(น*)าห์น�กต*$ากวิ�า 100 กร�มู,

100 กร�มู และมูากกวิ�า 100 กร�มู ตามูล*าด�บ เน%$องจากสนใจน*)าห์น�กข้องกาแฟเพ(ยงข้วิดเด(ยวิ จ#งจะเก�ดเห์ต�การณ์� A ห์ร%อ B ห์ร%อ C

เห์ต�การณ์�ใดเห์ต�การณ์�เด(ยวิ โดยในท($น()สนใจเห์ต�การณ์�ท($ A ห์ร%อ C

จะได� P(AC) = 0

P(A ห์ร%อ C) = P(A) + P(C) = (100/4,000) + (300/4,000) = 0.10

กฎท�� 2 Complement Rule

ถึ�า A เป�นเห์ต�การณ์�ใดๆ ในสเปซต�วิอย�าง S ควิามูน�าจะเป�นท($เห์ต�การณ์� A จะไมู�เก�ดข้#)นค%อ

P(A) = P(Pc) = P(A) = 1 – P(A)พิ�สุ่&จน่"

S = A A ; P(S) = P(A A ) เน%$องจาก A และ A เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� ท*าให์�

P(S) = P(A) + P(A) = 1ด�งน�)น P(A) = 1 – P(A)

ข*อสุ่�งเกตัP(A + P(A) = P(S) = 1

15


และ P(A) = จ*านวินจ�ดต�วิอย�างข้อง S ท($ไมู�ได�อย��ในเห์ต�การณ์� A

จ*านวินจ�ดต�วิอย�างใน Sโดยท($ AA = และ A A = S

ตั�วอย�างท�� 16 จากต�วิอย�างท($ 15 จงใช�กฎ complement ห์าโอกาสท($กาแฟข้วิดด�งกล�าวิจะมู(น*)าห์น�กตามูต�องการ

ว�ธี�ท�า P(กาแฟท($มู(น*)าห์น�ก 100 กร�มู) = 1 – P(กาแฟท($มู(น*)าห์น�กไมู�เท�าก�บ 100 กร�มู)

P(B) = 1 – P(B) = 1 – P(A ห์ร%อ C) = 1 – 0.1 = 0.9

กฎท�� 3 ให์� A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ใด ๆ ในสเปซต�วิอย�าง S ควิามูน�าจะเป�นท($เห์ต�การณ์� A จะเก�ด ห์ร%อเห์ต�การณ์� B จะเก�ด ห์ร%อท�)งเห์ต�การณ์� A และ B จะเก�ดข้#)น ค%อ P(AB) โดยท($

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)โดยท($ P(AB) = P(AB)

พิ�สุ่&จน่" (AB) = (AB) (AB) (AB)

แต�เน%$องจากเห์ต�การณ์� AB) , AB และ AB เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� ด�งน�)น

P(AB) = P(AB) + P(AB) + P(AB)……………… (1)

แต� A = AB AB P(A) = P(AB) + P(AB)P(AB) = P(A) - P(AB)

ในท*านองเด(ยวิก�น P(B) = P(AB) + P(AB)P(AB) = P(B) - P(AB)

แทนค�า P(AB) และ P(AB) ลงในสมูการท($ 1 จะได�P(AB) = P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) -

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

16


จากกฎข้�อท($ 3 สามูารถึข้ยายเห์ต�การณ์�ไปได�ถึ#ง n เห์ต�การณ์� เช�น n =

3 ค%อให์�เห์ต�การณ์� A,B และ C เป�นเห์ต�การณ์�ใดๆ ในสเปซต�วิอย�าง Sด�งน่�.น่ P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) -

P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)พิ�สุ่&จน่"

P(ABC) = P(AB) + P(C) – P[P(AB)C)] = [P(A) + P(B) - P(AB)] + P(C) – P[(AB)C]………………….(2)

แต� P[(AB)C] = P[(AC) (BC) = P(AC) + P(BC) – P(ABC)…………………………..(3)น*าค�า P(ABC) ในสมูการ (3) ไปแทนค�าในสมูการ (2) จะได�

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

กฎท�� 4 ถึ�า A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ใดๆ ในสเปซต�วิอย�าง S และ B

A แล�วิจะได�วิ�า P(B) P(A)

พิ�สุ่&จน่"A = B (AB)P(A) = P(B) + P(AB)

เน%$องจาก B และ AB) เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดร�วิมูก�นไมู�ได� นอกจากน�)น P(AB) 0 ด�งน�)น

P(A) P(B)ตั�วอย�างท�� 17 โยนล�กเต7า 1 ล�ก 1 คร�)ง ให์� A เป�นเห์ต�การณ์�ท($ได�เลข้ค��

และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($ได�เลข้น�อยกวิ�า ห์ร%อเท�าก�บ 3 จงห์า P(AB) และ P(AB)

ว�ธี�ท�า AB ห์มูายถึ#ง เห์ต�การณ์�ท($ได�เลข้ค�� ห์ร%อได�เลข้ท($มู(ค�าน�อยกวิ�าห์ร%อเท�าก�บ 3 ห์ร%อเป�นท�)งเลข้ค��และเลข้ท($มู(ค�าน�อยกวิ�า 3 โดยท($ A :

{2,4,6} B : {1,2,3} และ S : {1,2,3,4,5,6}

AB = {1,2,3,4,6}AB = {5}P(AB) ห์ร%อโอกาสท($ท�)ง A และ B จะเก�ด =1/6

17


P (AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6ห์ร%อ P (AB) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) +

P(6) = (1/6) + (1/6) + (1/6) +

(1/6) + (1/6) = 5/6

ความสุ่�มพิ�น่ธี"ระหว�าง และ“ (AND)” ก�บ หร#อ “ (OR)”

1. ควิามูน�าจะเป�นท($เห์ต�การณ์� A ห์ร%อ B ห์ร%อท�)ง A และ B จะเก�ดค%อP(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B) ห์ร%อ P (AB)

= P(A) + P(B) – P(AB) ในกรณ์(ท($เห์ต�การณ์� A และ B

เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได�จะท*าให์� P (AB) = P(A) + P(B)

เน%$องจากวิ�า P(AB) ห์ร%อ P(AB) = 2. ควิามูน�าจะเป�นท($เห์ต�การณ์� A และ B จะเก�ดค%อ

P(A and B) = P(A) + P(B) – P(A or B) ห์ร%อ P(AB) = P(A) + P(B) - P (AB)

ตั�วอย�างท�� 18 จากการส*ารวิจตลาดโดยให์�ล�กค�าทดลองใช�ผงซ�กฟอก 10 ย($ห์�อ (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J) ถึ�าให์�ล�กค�าเล%อกผงซ�กฟอก 3 ย($ห์�อ จาก 10 ย($ห์�อ โดยไมู�ต�องล*าด�บท($

ก. จงห์าจ*านวินวิ�ธ์(ท($ล�กค�าจะเล%อก 3 ย($ห์�อ จาก 10 ย($ห์�อข้. ถึ�าให์�ล�กค�าเล%อกแบบส��มู และบร�ษ�ทผล�ต XX ผงซ�กฟอก 2 ย($ห์�อ

(ใน 10 ย($ห์�อท($มู() จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($ล�กค�าจะเล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ท XX มูา 1 ย($ห์�อ

ค. จากข้�อ ข้. จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($ล�กค�าจะเล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ท XX อย�างน�อย 1 ย($ห์�อ

ว�ธี�ท�า ก) ในกรณ์(ท($ไมู�ต�องให์�ล*าด�บท($จะถึ%อเป�นการจ�ดห์มู��จ*านวินวิ�ธ์(ในการเล%อก 3 ย($ห์�อ จาก 10 ย($ห์�อ = 10C3 =

10 = 120 วิ�ธ์( 3(10-3)

ข้) เน%$องจากเป�นการเล%อกแบบส��มู โอกาสท($แต�ละวิ�ธ์(จะถึ�กเล%อกจะเท�าก�น = 1/120 วิ�ธ์(

18


ให์� A : ล�กค�าเล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ท XX 1 ย($ห์�อจ*านวินวิ�ธ์(ในการเล%อก 1 ย($ห์�อ จาก 2 ย($ห์�อ ข้องบร�ษ�ท XX =

2C1 = 2 วิ�ธ์(ท($เห์ล%ออ(ก 2 ย($ห์�อ เล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ทอ%$น ๆ 8 ย($ห์�อ จ*านวินวิ�ธ์( = 8C2 = 28 วิ�ธ์(จ*านวินวิ�ธ์(เล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ท XX 1 ย($ห์�อ = 2C1 x

8C2 = 2 x 28 = 56 วิ�ธ์(P(A) = 56/120 = 0.4667

ค)ถึ�าบร�ษ�ท XX ผล�ตผงซ�กฟอกย($ห์�อ F และ Gให์� B : ล�กค�าเล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ท XX อย�างน�อย 1 ย($ห์�อ A : ล�กค�าเล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ท XX 1 ย($ห์�อ C : ล�กค�าเล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ท XX ท�)ง 2 ย($ห์�อ

จากข้�อ ข้. จะได�วิ�า P(A) = 0.4667

การพ�จารณ์าเห์ต�การณ์� C : ล�กค�าเล%อกผงซ�กฟอกข้องบร�ษ�ท XX ท�)ง 2 ย($ห์�อจากท�)งห์มูด 2 ย($ห์�อท($บร�ษ�ท XX ผล�ตจ*านวินวิ�ธ์( = 2C2 = 1 วิ�ธ์(และท($เห์ล%ออ(ก 1 ย($ห์�อ เล%อกจาก 8 ย($ห์�อท($เห์ล%อ จ*านวินวิ�ธ์( =

8C1 = 8 วิ�ธ์(P(C) = 1C1 x 8C1/ 10C3 = (1 x 8)/120 = 8/120 AC = เน%$องจากเห์ต�การณ์� A และ C เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� จ#งได� P(AC) = B = ACP(B) = P(AC) = P(A) + P(C) – P(AC) = 56/120 + 8/120 - 0 = 0.4667 + 0.0666 = 0.5333

2.6 ความน่�าจะเป็�น่แบบม�เง#�อน่ไข’

19


ถึ�าเห์ต�การณ์� 2 เห์ต�การณ์�ซ#$งมู(ควิามูส�มูพ�นธ์�ก�น ห์ร%อกล�าวิได�วิ�าเห์ต�การณ์�ท�)ง 2 น�)น ไมู�เป�นอ�สระก�น ควิามูน�าจะเป�นข้องการเก�ดเห์ต�การณ์�ห์น#$งจะมูากห์ร%อน�อย จะข้#)นอย��ก�บเห์ต�การณ์�อ(กเห์ต�การณ์�ห์น#$งจะเก�ดข้#)นห์ร%อไมู� เช�น ถึ�าสนใจสภาพอากาศข้องวิ�นห์น#$ง โดยพ�จารณ์าจากเห์ต�การณ์�ต�อไปน()

A : ฝนตกB : ท�องฟCามู(เมูฆมูากP(AB) = ควิามูน�าจะเป�นข้องเห์ต�การณ์� A โดยก*าห์นดวิ�าได�เก�ด

เห์ต�การณ์� B แล�วิ ห์ร%อโดยมู(เง%$อนไข้วิ�า เห์ต�การณ์� B ได�เก�ดข้#)นแล�วิ ในท($น()ค%อ โอกาสท($ฝนจะตก โดยก*าห์นดวิ�าท�องฟCามู(เมูฆมูาก ห์ร%อโอกาสท($ฝนจะตกโดยก�อนห์น�าฝนตกท�องฟCาโปร�งใส และ

P(AB) = ควิามูน�าจะเป�นท($จะเก�ดเห์ต�การณ์� A โดยมู(เง%$อนไข้วิ�า เห์ต�การณ์� B ไมู�ได�เก�ดข้#)น

เน%$องจาก เห์ต�การณ์� A มู(ควิามูส�มูพ�นธ์�ก�บเห์ต�การณ์� B ด�งน�)น ถึ�าวิ�นใด เห์ต�การณ์� B เก�ดข้#)น ค%อ ท�องฟCามู(เมูฆมูาก โอกาสท($เห์ต�การณ์� A

จะเก�ดค%อ ฝนตก จะมูากกวิ�ากรณ์(ท($เห์ต�การณ์� B ไมู�เก�ด ค%อ ท�องฟCาโปร�งห์ร%อ P(AB) > P(AB)

น่�ยาม 2.6.1 ถึ�า A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ใด ๆ ในสเปซต�วิอย�าง ควิามูน�าจะเป�นท($จะเก�ดเห์ต�การณ์� A โดยมู(เง%$อนไข้วิ�าเห์ต�การณ์� B ได�เก�ดข้#)นแล�วิ ค%อ P(AB) โดยท($

P(AB) = P(AB) P(B)

น่�ยาม 2.6.2 ถึ�า A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ใด ๆ ในสเปซต�วิอย�างและเป�นเห์ต�การณ์�ท($เป�นอ�สระก�นแล�วิ จะได�วิ�า

P(AB) = P(A) และ P(AB) = P(B)

ในกรณ์(ท($ A และ B ไมู�มู(ควิามูส�มูพ�นธ์�ก�น P(AB) = P(A)

ห์มูายถึ#งโอกาสท($เห์ต�การณ์� A จะเก�ดจะคงท($ไมู�วิ�าเห์ต�การณ์� B จะเก�ดข้#)นห์ร%อไมู�ก<ตามู

20


ข*อสุ่�งเกตั P(AB) = P(AB) ถึ�า A และ B ไมู�เป�นอ�สระก�น

P(A)P(AB) = P(B) ถึ�า A และ B เป�นอ�สระก�น

ตั�วอย�างท�� 19 เห์ต�การณ์� A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($อ�สระก�นห์ร%อเป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นได�ห์ร%อไมู� ถึ�าก. P (AB) = 0.65, P(A) = 0.3, P(B) = 0.5

ข้. P (AB) = 0.6, P(A) = 0.2, P(B) = 0.4

ว�ธี�ท�า ก) P (AB) = P(A) + P(B) - P(AB) ห์ร%อ P(AB) = P(A) + P(B) - P (AB) = 0.3 +

0.5 - 0.65 = 0.15 ซ#$งมู(ค�ามูากกวิ�า 0 แสดงวิ�าเห์ต�การณ์� A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นได�

ในข้ณ์ะท($ P(AB) = P(AB) / P(B) = 0.15/0.5 = 0.3

ซ#$งมู(ค�า = P(A) ห์ร%อ P(AB) = P(A) แสดงวิ�าเห์ต�การณ์� A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($เป�นอ�สระก�น ด�งน�)น เห์ต�การณ์� A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($เป�นอ�สระก�นและเก�ดข้#)นร�วิมูก�นได�

ข้) P(AB) = P(A) + P(B) - P (AB) = 0.2 + 0.4 – 0.6 = 0

แสดงวิ�า A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� P(AB) = P(AB) / P(B) = 0/0.4 = 0 ซ#$งไมู�

เท�าก�บ P(A)

แสดงวิ�า A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($ไมู�เป�นอ�สระก�น ด�งน�)น เห์ต�การณ์� A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ท($ไมู�เป�นอ�สระก�นและเก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได�

กฎการค&ณ์1. ถึ�า A และ B เป�นเห์ต�การณ์�ใด ๆ ในสเปซต�วิอย�างแล�วิ จะได�วิ�า

P(AB) = P(A) x P(B/A) แต�ถึ�า A และ B เป�นอ�สระก�น จะได�วิ�า P(AB) = P(A) x P(B)

21


2. ถึ�า A1, A2,…An เป�นเห์ต�การณ์�ในสเปซต�วิอย�างแล�วิ จะได�วิ�า P(A1, A2,…An) = P(A1) xP(A2/A1)xP(A3/ A1,A2)…

P(Aa/Aa-1Aa-2…A2A1)แต�ถึ�า A1, A2,…An เป�นอ�สระก�น จะได�วิ�า P(A1, A2,…An) =

P(A1)xP(A)x…xP(An)

ตั�วอย�างท�� 20 กล�องใบห์น#$งบรรจ�ห์ลอดไฟ 12 ห์ลอด โดยมู(ห์ลอดเส(ยปนอย�� 3 ห์ลอด ถึ�าส��มูห์ลอดไฟจากกล�องมูา 2 ห์ลอด โดยส��มูท(ละห์ลอด จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($

ก. ได�ห์ลอดไฟเส(ยและด(อย�างละ 1 ห์ลอดข้. ได�ห์ลอดไฟเส(ยท�)ง 2 ห์ลอดค. ได�ห์ลอดไฟเส(ยอย�างน�อย 1 ห์ลอด

ว�ธี�ท�า ก) สามูารถึแก�ปDญห์าน()ได� 2 วิ�ธ์(ว�ธี�ท�� 1 ให์� G1 : ได�ห์ลอดไฟด(ในการห์ย�บคร�)งท($ i ; i = 1,2

D1 ; ได�ห์ลอดไฟเส(ยในการห์ย�บคร�)งท($ i ; i = 1,2P(G1) = 9/12 P(D1) = 3/12P(G2/ G1) = 8/11 P(G2/ D1) = 9/11P(D2/ G1) = 3/11 P(D2/ D1) = 2/11

เห์ต�การณ์� G1 D2 และ D1 G2 เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได�

P(ได�ห์ลอดไฟเส(ย และด(อย�างละ 1 ห์ลอด) = P G1 D2) + P D1 G2)

= P(G1)P(D2/ G1) + P(D1)P(G2/ D1)

= (9/12)(3/11) + (3/12)(3/11) = (9/22)ว�ธี�ท�� 2 ใช้*กฎการจ�ดหม&�

ห์ลอดไฟเส(ย 3 ห์ลอด เส(ย 1 ห์ลอด ห์ลอดไฟด( 9 ห์ลอด ด( 1 ห์ลอด

22


P(ห์ลอดไฟเส(ย 1 ห์ลอด ด( 1 ห์ลอด ) = 3C1 x 9C1 = (9/22)

12C2

ข้) ได�ห์ลอดไฟเส(ยท�)ง 2 ห์ลอด

ห์ลอดไฟเส(ย 3 ห์ลอด เส(ย 2 ห์ลอด ห์ลอดไฟด( 9 ห์ลอด ด( 0 ห์ลอด

P(ห์ลอดไฟเส(ยท�)ง 2 ห์ลอด) = 3C2 9C0 = (1/22) 12C2

ค) ได�ห์ลอดไฟเส(ยอย�างน�อย 1 ห์ลอด

ห์ลอดไฟเส(ย 3 ห์ลอด เส(ย 1 ห์ร%อ 2

ห์ลอด ห์ลอดไฟด( 9 ห์ลอด ด( 0 ห์ร%อ 1 ห์ลอด

P(ได�ห์ลอดไฟเส(ยอย�างน�อย 1 ห์ลอด) = P(ได�ห์ลอดไฟเส(ย 1

ห์ลอด) + P(ได�ห์ลอดไฟเส(ยท�)ง 2 ห์ลอด)

แต� P(ไฟเส(ย 0 ห์ลอด) + P(ไฟเส(ย 1 ห์ลอด) + P(ไฟเส(ย 2 ห์ลอด) = 1

P(เส(ย 1 ห์ลอด) + P(เส(ย 2 ห์ลอด) =

1 – P(เส(ย 0 ห์ลอด) = 1 – 3C0

9C2 = 1- 6/11 = 5/11

12C2

สุ่ร�ป็ได*ว�า ถ้*า A และ B เป็�น่เหตั�การณ์"ท��เป็�น่อ�สุ่ระก�น่แล*ว จะได*ว�า1. A และ B เป็�น่เหตั�การณ์"ท��เป็�น่อ�สุ่ระก�น่2. A และ B เป็�น่เหตั�การณ์"ท��เป็�น่อ�สุ่ระก�น่3. A และ B เป็�น่เหตั�การณ์"ท��เป็�น่อ�สุ่ระก�น่

พิ�สุ่&จน่"

23


1. ต�องพ�ส�จน�วิ�า P(AB) = P(A)P(B) เน%$องจาก P(B/ A) = P(AB)

P(A) P(AB)= P(A)P(B/ A)

แต� A และ B เป�นอ�สระก�น ด�งน�)น P(B/A) = P(B)

จะได�วิ�า P(AB) = P(A)[1-P(B/A) = P(A)[1- P(B)]

= P(A)P(B)2. ในท*านองเด(ยวิก�นจะได�วิ�า

P(AB) = P(B)P(A/B)= P(B)[1-P(A/B)] = P(B)[1-P(A)]= P(B)P(A)น�$นค%อ A และ B เป�นอ�สระก�น

3. P(AB) = P(A)P(B/ A)= P(A)[1-P(B/ A)] = P(A)[1-P(B)]

เน%$องจาก A และ B เป�นอ�สระก�น= P(A) P(B)ด�งน�)น A และ B เป�นอ�สระก�น

กฎของเบย"กฎข้องเบย�เป�นกฎท($ใช�ในการห์าควิามูน�าจะเป�นแบบมู(เง%$อนไข้อย�าง

ห์น#$ง สามูารถึน*าไปประย�กต�ใช�ในการแก�ปDญห์าควิามูน�าจะเป�นแบบมู(เง%$อนไข้ในกรณ์(ท($ซ�บซ�อน

น่�ยาม กฎของเบย"ถึ�ามู(เห์ต�การณ์� n เห์ต�การณ์� (C1, C2, …,Cn) ในสเปซต�วิอย�าง S

ซ#$งเป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� โดยท($ U Ci = S และ CiCj =

; i j = 1,2,…,n ถึ�า A เป�นเห์ต�การณ์�ใดเห์ต�การณ์�ห์น#$งซ#$งเก�ดข้#)นใน S โดยท($

P(A) 0 ควิามูน�าจะเป�นข้องการเก�ดเห์ต�การณ์� Cj โดยก*าห์นดวิ�า A ได�เก�ดข้#)นแล�วิ ค%อ

P(Ci/A) = P(A/Ci)P(Ci)

24


P(A/Ci)P(Ci)

พิ�สุ่&จน่"เน%$องจาก C1, C2, …,Cn เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� ด�ง

น�)น(CiA)(CjA) = ; i jA = (C1A) (C2A)… (CnA)

P(A) = P(C1A) + P(C2A) +…+P(CnA)P(A) = P(A/C1)P(C1) + P(A/C2)P(C2) +…+ P(A/Cn)P(Cn) = P(A/Ci)P(Ci)P(Cj/A) = P(C1A) P(A)ห์ร%อ P(Cj/A) = P(A/Cj)P(Cj) …………………………..(1) P(A/Ci)P(Ci)

กฎข้องเบย�ห์ร%อส�ตรข้องเบย�ในสมูการ (1) ค%อ ควิามูน�าจะเป�นแบบมู(เง%$อนไข้ข้องเห์ต�การณ์� Cj เมู%$อก*าห์นดวิ�าเห์ต�การณ์� A เก�ดข้#)นแล�วิ (P(Cj/A)) ซ#$งต�องทราบค�า P(Cj) จะเร(ยก P(Cj) วิ�าควิามูน�าจะเป�นก�อน (prior probability) และเร(ยก P(Cj/A) วิ�าควิามูน�าจะเป�นภายห์ล�ง (posterior probability)ต�วิอย�างท($ 21 บร�ษ�ทแห์�งห์น#$ง ซ#$งต�)งอย��ใน กทมู. ได�ร�บบ�ณ์ฑิ�ตจบให์มู�จากมูห์าวิ�ทยาล�ยต�าง ๆ ในประเทศท�กปF เน%$องจากค�าใช�จ�ายในการอบรมูพน�กงานให์มู�ค�อนข้�างส�ง จากประสบการณ์� 5 ปFท($ผ�านมูาพบวิ�า 30%

ข้องพน�กงานให์มู�เป�นผ��ท($จบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยใน กทมู. ส�วินท($เห์ล%อจบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยต�างจ�งห์วิ�ด และ 20% ข้องผ��ท($จบมูห์าวิ�ทยาล�ยใน กทมู. จะลาออกจากบร�ษ�ทภายใน 2 ปF 45% ข้องผ��ท($จบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยในต�างจ�งห์วิ�ดจะลาออกจากบร�ษ�ทภายใน 2 ปF ถึ�ามู(พน�กงานซ#$งจบปร�ญญาตร(ในประเทศและท*างานได� 2 ปFลาออก

ก. จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($เข้าจะจบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยใน กทมู.

ข้. จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($เข้าจะจบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยในต�างจ�งห์วิ�ดวิ�ธ์(ท*า ให์� A1 : พน�กงานท($จบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยใน กทมู.

25


A2 : พน�กงานท($จบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยในต�างจ�งห์วิ�ด R : เป�นพน�กงานท($ลาออกจากบร�ษ�ทภายใน 2 ปF น�บจาก

เข้�าท*างาน R: เป�นพน�กงานท($ย�งคงท*างานอย��ท($บร�ษ�ทน()ห์ล�งจากท*างาน

มูาแล�วิ 2 ปF

ในท($น()ก*าห์นดให์�P(A1) = 0.3 P(A2) = 1-P(A1) = 0.7

A1 P(R/ A1) = 0.20 P(R/A2) = 0.45

RP(R/ A1) = 1- P(R/ A1) = 1-0.2 = 0.8

A2 P(R/A2) = 1- P(R/A2) = 1-0.45 = 0.55

(1) เห์ต�การ

ณ์�

(2) ควิามูน�าจะเป�นก�อน P(A)

(3) P(R/Ai)

(4) P(Ai)P(R/ Ai)

= P(Ai R)

(5) P(Ai /R) =

(4)/(4)

A1 0.3 0.2 (0.2)(0.3) = 0.06

0.06/0.375 = 0.16

A2 0.7 0.45 (0.7)(0.45) = 0.315

0.315/0.375 = 0.84

P(R) = 0.375 1.0

ก)P(จบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยใน กทมู./ลาออกภายใน 2 ปF = P(A1/R)

P(A1/R) = P(A1/R) โดยท( R = A1 RA2R P(R)P(R) = P(A1 R) + P(A2R) เน%$องจากเห์ต�การณ์� A1 R

และ A2R เป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นร�วิมูก�นไมู�ได� แต�P(R/ A1) = P(A1 R)

P(Ai)ด�งน�)น P(A1 R) = P(R/ A1) P(A1)

ในท*านองเด(ยวิก�น P(A1 R) = P(R/ A2) P(A2)

26


P(R) = P(R/ A1) P(A1) + P(R/ A2) P(A2)

= (0.2)(0.3) + (0.7)(0.45) = 0.06 + 0.315 = 0.375

P(A/R) = 0.06/0.375 = 0.16ข้) P(จบจากมูห์าวิ�ทยาล�ยในต�างจ�งห์วิ�ด/ลาภายใน 2 ปF) =

P(A2/R) P(A2/R) = P(A2R) = P(R/ A1) P(A1)

= (0.45)(0.7) = 0.84 P(R) 0.375

0.375

27


ตั�วแป็รสุ่��ม (Random Variable)

1. ตั�วแป็รสุ่��ม (Random Variable)

น่�ยาม ต�วิแปรส��มู ค%อ ฟDงก�ช�นท($มู(ค�าจร�ง (ต�วิเลข้) ซ#$งค�าต�วิเลข้น�)นห์าผลล�พธ์�ได�จากการทดลอง โดยท($จะมู(ค�าท($เป�นต�วิเลข้เพ(ยงค�าเด(ยวิท($ก*าห์นดให์�ก�บจ�ดต�วิอย�าง

2. ป็ระเภทของตั�วแป็รสุ่��ม1.1 ต�วิแปรส��มูแบบไมู�ต�อเน%$อง (Discrete Random

Variable)ถึ�า X เป�นต�วิแปรส��มูแบบไมู�ต�อเน%$อง ค�าข้อง X จะมู(ได�เพ(ยง

บางค�า และมู�กจะเป�นจ*านวินน�บ จ*านวินค�าข้องต�วิแปรส��มูแบบไมู�ต�อเน%$อง อาจมู(จ*านวินจ*าก�ดห์ร%อเป�นค�าอน�นต�ท($น�บได�

1.2 ต�วิแปรส��มูแบบต�อเน%$อง (Continuous Random Variable)

ถึ�า X เป�นต�วิแปรส��มูแบบต�อเน%$อง ค�าข้อง X จะมู(ค�าจร�งในช�วิงท($ต�อเน%$องก�น เช�น ควิามูส�ง น*)าห์น�ก ปร�มูาณ์น*)าฝน ระยะเวิลา เป�นต�น เช�น ถึ�า X เป�นส�วินส�งข้องน�กศ#กษาสาข้าเศรษฐศาสตร� ค�าข้อง X จะอย��ในช�วิง 145-180 เซนต�เมูตร สามูารถึเข้(ยนได�วิ�า 145X180

3. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ (Probability Distribution)

น่�ยาม การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นข้องต�วิแปรส��มู X เป�นฟDงก�ช�นท($แสดงวิ�าต�วิแปรส��มู X มู(ค�าเท�าก�บค�าใดค�าห์น#$งในสเปซต�วิอย�าง S

ด�วิยควิามูน�าจะเป�นเท�าใดการแจกแจงควิามูน�าจะเป�น จะแบ�งเป�น 2 ชน�ด ตามูชน�ดข้องต�วิแปร

ส��มู3.1 การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นข้องต�วิแปรส��มูแบบไมู�ต�อเน%$อง

กรณ์(ท($ X เป�นต�วิแปรส��มูแบบไมู�ต�อเน%$อง โดยท($ X จะมู(ค�าเป�น X1, X2,…,Xn ควิามูน�าจะเป�นท($ X = x เร(ยกวิ�า ฟDงก�ช�นควิามูน�าจะเป�นข้อง X ใช�ส�ญล�กษณ์� P(x) = P[X=x] โดยมู(ค�ณ์สมูบ�ต�ด�งน()

1. 0 P(X=x) = P(x) 12. P(X=x) = 1 ห์ร%อ P(x) = 1

28


3. P(A) = P(X=x) โดยท($ A S

ตั�วอย�างท�� 1 ร�านข้ายรถึแห์�งห์น#$งสามูารถึข้ายได�ไมู�เก�นวิ�นละ 4

ค�น ถึ�าสนใจจ*านวินท($ข้ายได�ต�อวิ�น โดยท($สเปซต�วิอย�าง = S =

{0,1,2,3,4} ถึ�ามู(การเก<บข้�อมู�ลจ*านวินท($ข้ายได�ใน 30 วิ�นท($ผ�านมูาเป�นด�งน()

จ*านวินรถึท($ข้ายได� X 0 1 2 3 4

ควิามูถึ($ (วิ�น) 12 8 4 4 2

ควิามูน�าจะเป�น =

ควิามูถึ($ส�มูพ�นธ์�12/30 = 0.4

8/30 = 0.27

4/30 = 0.13

4/30 = 0.13

2/30 =

0.07

29


ฟDงก�ช�นควิามูน�าจะเป�นข้องจ*านวินรถึท($ข้ายได�ต�อวิ�น ด�งน()P(0) = P(X = 0) = 0.4 P(1) = P(X = 1) =

0.27 P(2) = P(X = 2) = 0.13 P(3) = P(X = 3) = 0.13 P(4) = P(X = 4) =

0.07 ก. จงห์าโอกาสท($จะข้ายรถึได�วิ�นละไมู�ต*$ากวิ�า 2 ค�นข้. จงห์าโอกาสท($จะข้ายรถึได�ต�)งแต� 1 ค�น ข้#)นไปต�อวิ�น

วิ�ธ์(ท*า ก. ให์� A : ข้ายรถึได�ไมู�ต*$ากวิ�า 2 ค�นA : {2,3,4} P(A) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

= 0.13+0.13+0.07 = 0.33ข้. ให์� B : ข้ายรถึได�ต�)งแต� 1 ค�น ข้#)นไป B =

{1,2,3,4}P(B) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) +

P(X = 4) = 1- P(X = 0) = 1-0.4 = 0.6สุ่�งเกตั ตารางท($แสดงค�าท($เป�นไปได�ท�)งห์มูดข้องต�วิแปรส��มู

และค�าควิามูน�าจะเป�นข้องต�วิแปรส��มู เร(ยกวิ�า ตารางแจกแจงควิามูน�าจะเป�น

3.2 การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นข้องต�วิแปรส��มูแบบต�อเน%$องกรณ์(ท($ X เป�นต�วิแปรส��มูแบบไมู�ต�อเน%$อง สามูารถึห์าค�าควิามู

น�าจะเป�นท($ X จะมู(ค�าใดค�าห์น#$ง และสร�างตารางการแจกแจงควิามูน�าจะเป�นข้อง X ได� โดยผลบวิกข้องควิามูน�าจะเป�นท�)งห์มูดจะต�องเท�าก�บห์น#$ง แต�ถึ�าต�วิแปรส��มู X เป�นต�วิแปรส��มูแบบต�อเน%$อง เช�น ควิามูส�ง น*)าห์น�ก ฯลฯ จะมู(ค�าจ*านวินไมู�จ*าก�ด เช�น ถึ�า X มู(ค�าท($เป�นไปได�ในช�วิง [a,b],

โดยท($ a b ควิามูน�าจะเป�นท($ X จะมู(ค�าเท�าก�บค�าใดค�าห์น#$งในช�วิง [a,b] จะเป�นศ�นย� เช�น P[X = a] = 0 ด�งน�)นเมู%$อ X เป�นต�วิแปรส��มูแบบต�อเน%$อง จ#งสนใจท($จะห์าควิามูน�าจะเป�นท($ X จะมู(ค�าในช�วิงใดช�วิงห์น#$ง เช�น P[X<10] ห์ร%อ P[10 X 20] เป�นต�น

การค*านวิณ์ห์าควิามูน�าจะเป�นท($ X จะอย��ในช�วิงห์น#$งน�)นจะต�องอาศ�ยฟDงก�ช�นควิามูน�าจะเป�นข้อง X ในกรณ์(น()จะเร(ยกฟDงก�ช�นควิามูน�าจะ

30


เป�นข้อง X เมู%$อ X เป�นต�วิแปรส��มูแบบต�อเน%$องวิ�า ฟDงก�ช�นควิามูห์นาแน�นข้อง X (Probability Density function) ห์ร%อเข้(ยนย�อวิ�า p.d.f

แทนด�วิยส�ญล�กษณ์� f(x) เป�น p.d.f ข้องต�วิแปรส��มู XฟDงก�ช�นควิามูห์นาแน�นข้อง X ห์ร%อ f(x) มู(ค�ณ์สมูบ�ต�ด�งน()1. f(x) 02.f(x)dx = 1 ห์ร%อพ%)นท($ใต�โค�งมู(ค�าเท�าก�บ 13. P{c<x<d} = f(x)dx โดยท($ a<c และ d<b

P{ c < x < d } เป�นพ%)นท($ใต�โค�งข้อง x ฟDงก�ช�น f(x) ท($ x

มู(ค�าระห์วิ�าง c และ d ควิามูน�าจะเป�นท($ X จะมู(ค�าใดค�าห์น#$งจะเป�นศ�นย� เช�น ควิามูน�าจะเป�นท($ X = c จะเป�นศ�นย� น�$นค%อ P(X = c) = 0

เน%$องจาก P{c<x<d} = f(x)dx = 0

ด�งน�)น P{X c} = P{X < c} = f(x)dx

และ P{c<x<d} = P{c x d} = P{c < x d} =

P{c x < d} เน%$องจาก P(X = c) = P(X = d) = 0

ตั�วอย�างท�� 2 ถึ�าต�วิแปรส��มู X มู( p.d.f เป�น f(x) = 1/2 -

ax ; 0< x < 4 และ a เป�นค�าคงท($ ก. จงห์าค�า aข้. จงห์าค�า P[1 < x < 2]

วิ�ธ์(ท*า ก. จากค�ณ์สมูบ�ต�ข้องควิามูน�าจะเป�น จะได�วิ�า f(x)dx = 1 f(1/2-ax)dx = 1/2dx –a xdx = 1

ห์ร%อ a = 1/8

ข้. แทนค�า a - 1/8 จะได� f(x) = 1/2 – x/8 ; 0< x < 4 P{ 1 < x < 2 } = (1/2 –x/8)dx = x/2 - x2/16 =

(1- 1/2) – (4/16 – 1/16) = 5/16

31


การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบไม�ตั�อเน่#�อง

การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบไมู�ต�อเน%$องท($จะกล�าวิในบทน() มู(ด�งน()

1. การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบย�น�ฟอร�มู2. การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบเบอร�น�ล(3. การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบทวิ�นามู4. การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบพห์�นามู5. การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบทวิ�นามูลบ6. การแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบปDวิซอง

1. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบย&น่�ฟอร"มถึ�าต�วิแปรส��มู X ซ#$งมู(ค�าเป�นไปได�ต�าง ๆ ก�น n ค�า ค%อ x1, x2,…,xn

ด�วิยควิามูน�าจะเป�นเท�า ๆ ก�นแล�วิ X จะเป�นต�วิแปรส��มูท($มู(การแจกแจงย�น�ฟอร�มู ด�วิยฟDงก�ช�นควิามูน�าจะเป�น P(x ; n) โดยท($P(X = x) = P(x; n) = 1/n ; x = x1, x2,…,xn น�$นค%อ P(X = x1) = P(X = x2) = P(X = xn) = … = 1/n

ห์ร%อโอกาสท($ X จะมู(ค�าเท�าก�นตั�วอย�างท�� 1 โยนล�กเต7า 1 ล�ก 1 คร�)ง ให์� X = เลข้ท($ได�จากการโยน จงเข้(ยนควิามูน�าจะเป�นข้อง X

ว�ธี�ท�า ในกรณ์(น() X จะเป�นต�วิแปรส��มูแบบย�ร�ฟอร�มู เน%$องจาก ควิามูน�าจะเป�นท($โยนเห์ร(ญยแล�วิได�เลข้ 1 ห์ร%อ 2 ห์ร%อ 3 ห์ร%อ 4 ห์ร%อ 5 ห์ร%อ 6 เท�าก�นค%อน�$นค%อ P(X = 1) = P(X = 2) = …. P(X = 6) 1/6

ค�าเฉล��ยหร#อค�าคาดหว�งของ XE(X) = = xk P(X = xk) = xk ( 1/n) = xk/n

ค�าความแป็รป็รวน่ของ X V(X) = 2 = (xk - )2 P(x) = (xk - )2

32


ต�วิอย�างท($ 2 จากต�วิอย�างท($ 1 จงห์าค�าเฉล($ยและค�าแปรปรวินข้องเลข้ท($ได�จากการโยนล�กเต7า 1 ล�ก 1 คร�)ง

เน%$องจาก X = เลข้ท($ได�จากการโยนล�กเต7า 1 ล�ก ซ#$งเน�นต�วิแปรท($มู(การแจกแจงแบบย�น�ฟอร�มู

ค�าเฉล($ย X = E(X) = = xk/n = (1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2

ค�าควิามูแปรปรวินข้อง X = V(X) = 2 = (xk - )2/6

= 1/6[(1-7/2)2 + (2-7/2)2 +…+(6-7/2)2 = 35/12

2. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบเบอร"น่&ล�ถึ�าผลข้องการทดลองท($เป�นไปได�ข้องการทดลองแต�ละคร�)ง มู( 2 อย�าง

ค%อ1. ส�$งท($เราสนใจ (success)

2. ก�บส�$งท($ไมู�สนใจ (failure)

โดยควิามูน�าจะเป�นในการได�ส�$งท($สนใจจะคงท($ ท�กๆ คร�)งข้องการทดลอง

ให์� X เป�นจ*านวินคร�)งท($ได�ส�$งท($สนใจในการทดลองคร�)งห์น#$ง ๆ ด�งน�)น ค�าข้อง X จะมู(ได�เพ(ยง 2 ค�า ค%อ 0 ห์ร%อ 1 และให์� p เป�นควิามูน�าจะเป�นในการได�ส�$งท($สนใจ

1 ถึ�าได�ส�$งท($สนใจ ด�วิยควิามูน�าจะเป�น pX = 0 ถึ�าได�ส�$งท($ไมู�สนใจ ด�วิยควิามูน�าจะเป�น 1-p

ด�งน�)น ฟDงก�ช�นควิามูน�าจะเป�นข้อง X ค%อP(x ; p) = P(X = x) – P(x) = Px(1-p)1-x ;

x = 0, 1 0 p 1ถึ�า X = 1 จะได� P(X = 1) = p(1) = p1(1-p)1-1 = p

33


ถึ�า X = 0 จะได� P(X = 0) = p(0) = p0(1-p)1-0 = 1-p

*** p -> พารามู�เตอร�ข้องต�วิแปรส��มูแบบเบอร�น�ล(ค�าเฉล��ยของตั�วแป็รสุ่��มแบบเบอร"น่&ล� E(X) = = p

พ�ส�จน� E(X) = xp(x) = 0p(0) + 1p(1) = 0(1-p) + p = p

ค�าความแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มเบอร"น่&ล� V(X) = 2 = pq

โดยท($ q = 1-p

พ�ส�จน� V(X) = X-E(X)2 = E(X)2 - [E(X)]2 = x2p(x) – p2

= 02(1-p) + 12p –p2 = p-p2 = p(1-p) = pq

ตั�วอย�างท�� 3 ส��มูห์ย�บส�นค�า 1 ช�)น จากกล�องท($มู(ส�นค�า 10 ช�)น ซ#$งมู(ส�นค�าช*าร�ดปนอย�� 4 ช�)น จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($ได�ส�นค�าช*าร�ด

ว�ธี�ท�า เน%$องจากส�$งท($สนใจค%อ ส�นค�าท($ช*าร�ด จ#งให์� X = จ*านวินส�นค�าช*าร�ดท($ได� ด�งน�)นจ#งมู(เพ(ยง 2 ค�าค%อ X = 0 ห์ร%อ X = 1

เน%$องจากส��มูส�นค�าเพ(ยงช�)นเด(ยวิX จะเป�นต�วิแปรส��มูท($มู(การแจกแจงแบบเบอร�น�ล( ท($มู(ค�า p = P(ได�

ส�นค�าท($ช*าร�ด) = 4/10 = 0.4 ฟDงก�ช�นควิามูน�าจะเป�นข้อง X ค%อP(x) = P(X =x) = (0.4)x (1-0.4)1-x ; x = 0,1 P(ได�ส�นค�าช*าร�ด) = P(X = 1) = P(1) = (0.4)1(0.6)0

= 0.4ตั�วอย�างท�� 4 จากต�วิอย�างท($ 3 จงห์าค�าเฉล($ยค�าแปรปรวินข้อง Xวิ�ธ์(ท*า E(X) = = p = 0.4

V(X) = = pq =p(1-p) = (0.4)(1-0.4) = 0.24

3. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบทว�น่ามเป�นการแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบไมู�ต�อเน%$องชน�ดห์น#$ง ท($การ

ทดลองมู(ล�กษณ์ะ ด�งน()ก)มู(การทดลองซ*)า ๆ ก�น n คร�)ง ภายใต�สภาวิการณ์�เด(ยวิก�น (ข้�อ

จ*าก�ดเด(ยวิก�น)

34


ข้) การทดลองแต�ละคร�)งมู(ผลล�พธ์�ท($เป�นไปได� 2 อย�าง ค%อ ส�$งท($สนใจ และส�$งท($ไมู�สนใจ

ค)การทดลองแต�ละคร�)งเป�นอ�สระก�นง) ควิามูน�าจะเป�นในการได�ส�$งท($สนใจจะมู(ค�าคงท($ท�กคร�)งข้องการ

ทดลอง ค%อ = p และควิามูน�าจะเป�นการได�ส�$งท($ไมู�สนใจในแต�ละคร�)งข้องการทดลอง = q = 1-p

จ) ต�วิแปรส��มู X จะเป�นจ*านวินคร�)งข้องการทดลองท($ได�ส�$งท($สนใจจากการทดลองท�)งห์มูด n คร�)ง น�$นค%อ X = 0,1,2,…,n

s (success) แทนส�$งสนใจจากการทดลอง จากการทดลอง n คร�)ง f (failure) แทนส�$งไมู�สนใจ เน%$องจากการทดลองแต�ละคร�)งเป�นอ�สระด�น ด�งน�)นP(sss…ssf…f) = P(s)P(s)…P(s)P(f)P(f)…P(f) = pp…pqq…q = pxqn-x

ผลล�พธ์�ท($ได�จากการทดลอง อาจจะเข้(ยน เป�น ssf…fsff…s

ห์ร%อ ffsfsssffs…f ห์ร%อเก�ดข้#)นในล�กษณ์ะอ%$น ๆ ท($มู(ส�$งท($สนใจเก�ดข้#)น x

คร�)ง และส�$งท($ไมู�สนใจ n-x คร�)งP(ssf…ffs…f) = ppq…qqp…q = pxqn-x = px(1-

p)n-x

จ*านวินผลล�พธ์�ท($เป�นไปได�จากการทดลอง n คร�)ง และได�ส�$งท($สนใจจ*านวิน X คร�)ง ค%อ

nCx = = n x(n - x) ด�งน�)น ฟDงก�ช�นควิามูน�าจะ

เป�นข้อง X ค%อ

P(x;n,p) = P(X=x) = nCx px (1-p)n-x ; x = 0,1,2,…,n ; 0 p 1 ………….(3.1)

โดยท($ n และ p มู(ค�าคงท($ และเร(ยก X วิ�า ต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามู ซ#$งมู(พารามู�เตอร� n และ p

35


เมู%$อ X ท($มู(การแจกแจงแบบทวิ�นามูด�วิยพารามู�เตอร� n และ p

สามูารถึเข้(ยนได�วิ�า X Binomial (n;p) ห์ร%อ X B(n;p)

3.1 ควิามูส�มูพ�นธ์�ข้องต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามูและต�วิแปรส��มูแบบเบอร�น�ล(

การทดลองแบบทวิ�นามู ค%อ การทดลองแบบเบอร�น�ล(แบบซ*)า ๆ ก�นห์ลาย ๆ คร�)ง ถึ�าท(การทดลองซ*)า ๆ ก�น n คร�)ง ผลล�พธ์�ท($ได�จากการทดลองคร�)งท($ i ค%อ Xi : i = 1,2,…,n โดยท($

1 ถึ�าได�ส�$งท($สนใจ ด�วิยควิามูน�าจะเป�น pXi =

0 ถึ�าได�ส�$งท($ไมู�สนใจ ด�วิยควิามูน�าจะเป�น 1-p

ด�งน�)น x1, x2, …., xn จ#งเป�นต�วิแปรส��มูแบบเบอร�น�ล(เมู%$อ X เป�นจ*านวินคร�)งข้องการได�ส�$งท($สนใจ จากการทดลอง

ท�)งห์มูด n คร�)ง จะได�วิ�า X = Xi และ X มู(การแจกแจงแบบทวิ�นามู ซ#$งมู(ค�าเป�น 0,1,2,…,n ห์ร%อกล�าวิได�วิ�าต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามูเป�นผลบวิกข้องต�วิแปรส��มูแบบเบอร�น�ล( n ต�วิ

3.2 ต�วิอย�างต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามู1. สนใจส�ดส�วินข้องล�กค�าท($ใช�ส�นค�า ย($ห์�อ A

n = จ*านวินล�กค�าต�วิอย�างท�)งห์มูดท($สอบถึามู และ X = จ*านวินล�กค�าต�วิอย�างท($ใช�ส�นค�า A

2. สนใจส�ดส�วินจ*านวินส�นค�าเส(ย n = ส�นค�าต�วิอย�างท($เล%อกมูาตรวิจสอบ และ X = จ*านวินส�นค�า

เส(ยท($พบจากการตรวิจส�นค�า n ช�)น3. สนใจส�ดส�วินข้องน�กศ#กษา ช�)นปFท($ 4 คณ์ะมูน�ษยศาสตร�ฯ ท($จะ

ศ#กษาต�อในระด�บปร�ญญาโทn = จ*านวินน�กศ#กษา ช�)นปFท($ 4 คณ์ะมูน�ษยศาสตร�ฯ ท($เป�น

ต�วิอย�างX = จ*านวินน�กศ#กษา ช�)นปFท($ 4 คณ์ะมูน�ษยศาสตร�ฯ ท($เป�น

ต�วิอย�าง ท($ต�องการศ#กษาต�อ4. สนใจส�ดส�วินข้องล�กค�าท($ซ%)อส�นค�าโดยใช�บ�ตรเครด�ต

36


n = จ*านวินล�กค�าต�วิอย�างท�)งห์มูด และ X = จ*านวินล�กค�าต�วิอย�างท($ซ%)อส�นค�าโดยใช�บ�ตรเครด�ต

ตั�วอย�างท�� 5 จากต�วิอย�างท($ 3 ถึ�าส��มูห์ย�บส�นค�า 3 ช�)นจากกล�องท($มู(ส�นค�า 10

ช�)น และมู(ส�นค�าท($ช*าร�ดปนอย�� 4 ช�)น โดยการห์ย�บท(ละช�)นมูาตรวิจสอบแล�วิใส�ส�นค�าค%นลงในกล�องก�อนท($จะห์ย�บช�)นต�อไป จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($จะได�ส�นค�าช*าร�ด 2 ช�)น

วิ�ธ์(ท*า เมู%$อตรวิจสอบค�ณ์สมูบ�ต�ข้องการทดลอง จะพบวิ�า เป�นการทดลองแบบทวิ�นามู ค%อ

1. มู(การทดลองซ*)า ๆ ก�น 3 คร�)ง (n = 3)

2. การทดลองแต�ละคร�)ง ค%อ การห์ย�บส�นค�ามูาตรวิจ 1 ช�)น ผลการตรวิจมู( 2 อย�าง ค%อ ด( ห์ร%อช*าร�ด และ สนใจช�)นท($ช*าร�ด น�$นค%อ X1 = ผลการส��มูห์ย�บส�นค�าช�)นท($ I

1 ถึ�าเป�นส�นค�าช*าร�ดXi =

0 ถึ�าเป�นส�นค�าด(X1, X2, X3 จ#งเป�นต�วิแปรส��มูแบบเบอร�น�ล(

3. ควิามูน�าจะเป�นในการได�ส�$งท($สนใจ ค%อ ส�นค�าช*าร�ดเท�าก�บท�กคร�)งข้องการทดลอง =

p = 0.4 เน%$องจาก P(X1 = 1) = p = 0.4

ในการห์ย�บคร�)งท($ 2 จะพบวิ�าในกล�องจะย�งคงมู(ส�นค�า 10 ช�)น และเป�นส�นค�าช*าร�ด 4 ช�)น เน%$องจากมู(การใส�ค%นก�อนห์ย�บคร�)งท($ 2 P(X2 =

1) = p = 0.4 ในท*านองเด(ยวิก�บ P(X1 = 1) = p = 0.4

4. การทดลองห์ร%อการส��มูต�วิอย�างส�นค�าเป�นอ�สระก�น เน%$องจากโอกาสท($จะได�ส�นค�าช*าร�ดในการห์ย�บแต�ละคร�)งไมู�ข้#)นก�บผลการส��มูต�วิอย�างส�นค�าคร�)งก�อนห์น�า

ให์� X = จ*านวินส�นค�าท($ช*าร�ดท($ตรวิจพบจากการตรวิจส�นค�า 3 ช�)น ด�งน�)น X = 0,1,2,3

X จ#งเป�นต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามูและ X = Xi และ P(X = x) = nCx px (1-p)n-x = 3Cx (0.4)x (0.6)3-x ;

X = 0,1,2,3ถึ�าต�องการห์า P(X = 2) = 2C2 (0.4)2 (0.6)1 = 0.288 -> น�$นค%อ

โอกาสท($จะตรวิจส�นค�าช*าร�ด 2 ช�)น จากการตรวิจสอบท�)งห์มูด 3 ช�)น เป�น 0.288

37


กรณ์�ท��เป็�น่การสุ่��มตั�วอย�างแบบไม�ใสุ่�ค#น่ในต�วิอย�างท($ 5 กล�าวิถึ#งการตรวิจสอบค�ณ์ภาพส�นค�า โดยการส��มู

ต�วิอย�างส�นค�าแบบใส�ค%น ซ#$งในทางปฏ�บ�ต�ส�วินให์ญ�แล�วิมู�กจะไมู�ใส�ค%น ซ#$งมู(ผลท*าให์�โอกาสท($จะได�ส�$งท($ไมู�สนใจไมู�คงท($ และการทดลองแต�ละคร�)งไมู�เป�นอ�สระก�น

ตั�วอย�างท�� 6 จากต�วิอย�างท($ 5 ถึ�าการส��มูส�นค�ามูาตรวิจสอบท*าแบบไมู�ใส�ค%น จ*านวินส�นค�าช*าร�ดท($ได�จากการทดลองส�นค�า 3 ช�)น จะเป�นต�วิแปรแบบทวิ�นามูห์ร%อไมู�

วิ�ธ์(ท*า การส��มูแบบไมู�ใส�ค%น ผลการตรวิจในแต�ละคร�)งจะข้#)นก�บผลการตรวิจก�อนห์น�า

การส��มูต�วิอย�างส�นค�าคร�)งท($ 1:

อาจจะได�ส�นค�าช*าร�ด 1(X1 = 1) ห์ร%อส�นค�าด( (X1 = 0) โดยท($ P(X1 =

1) = p – 0.4 และ P(X1 = 0) = 0.6

การส��มูต�วิอย�างส�นค�าคร�)งท($ 2:

- ถึ�าคร�)งท($ 1 ได�ส�นค�าช*าร�ด (X1 = 1) จะท*าให์�มู(ส�นค�าช*าร�ดเห์ล%อในกล�องเพ(ยง 3 ช�)น จากส�นค�าท�)งห์มูด 9 ช�)น จะท*าให์�ผลการตรวิจช�)นท($ 2 (X2)

มู(ค�า (X2 = 1) = 3/9 และ (X2 = 0) = 6/9

- ถึ�าคร�)งท($ 1 ได�ส�นค�าด( (X1 = 0) จะท*าให์�มู(ส�นค�าช*าร�ดเห์ล%อในกล�องเพ(ยง 4 ช�)น จากส�นค�าท�)งห์มูด 9 ช�)น จะท*าให์�ผลการตรวิจช�)นท($ 2 (X2) มู(ค�า (X2 = 1) = 4/9 และ (X2 = 0) = 5/9

จะพิบว�า P(สุ่�น่ค*าช้�าร�ด) ใน่การตัรวจช้�.น่ท�� 2 จะเป็�น่ 3/9 หร#อ 4/9

น่�.น่ข,.น่อย&�ก�บผลการตัรวจช้�.น่ท�� 1 ด�งน่�.น่ โอกาสุ่ท��จะได*สุ่��งท��สุ่น่ใจ (สุ่�น่ค*าช้�าร�ด) จะไม�คงท�� หร#อการทดลองไม�เป็�น่อ�สุ่ระตั�อก�น่ แสุ่ดงว�า X =

Xi จ,งไม�ได*ม�การแจกแจงแบบทว�น่าม *** โดยท�$วิไปถึ�าข้นาดข้องต�วิอย�างไมู�เก�น 5% ข้องข้นาด

ประชากร จะได�วิ�าผลการส��มูต�วิอย�างแบบไมู�ใส�ค%นจะเสมู%อนห์ร%อใกล�เค(ยงก�บผลการส��มูต�วิอย�างแบบใส�ค%น***

ตั�วอย�างท�� 7 ถึ�ากล�องใบห์น#$งบรรจ�ส�นค�า 1,000 ช�)น ซ#$งมู(ส�นค�าเส(ยปนอย�� 3 ช�)น จงห์าโอกาสท($จะตรวิจพบส�นค�าเส(ย 2 ช�)น ถึ�า ก. ส��มูแบบใส�ค%น ข้. ส��มูแบบไมู�ใส�ค%น

38


ก. ส��มูแบบใส�ค%นP(สนใจ) = P(ส�นค�าเส(ย) = 5/1,000 = 0.005 ท�กคร�)ง

ข้องการส��มูให์� X = จ*านวินส�นค�าเส(ยท($ได�จากการตรวิจ 3 ช�)น X Binomial (n = 3,p = 0.005)P(X = 2) = 3C2 (0.005)2 (1-0.005)1 = 0.000075

ข้. ส��มูแบบไมู�ใส�ค%นให์� X = ผลการส��มูห์ย�บส�นค�าช�)นท($ i ,i = 1,2,3

Xi = 1 ถึ�าช�)นท($ i เป�นส�นค�าท($เส(ยส��มูคร�)งท($ 1 P(ส�นค�าเส(ย) = P(X1 = 1) = 5/1,000 = 0.005

ส��มูคร�)งท($ 2 P(X2 = 1) = 4/999 = 0.004 ถึ�า X1 = 1

5/999 = 0.005 ถึ�า X1 = 0

ส��มูคร�)งท($ 3

3/998 = 0.003 ถึ�า X1 = 1, X2 = 1

P(X3 = 1) = 4/998 = 0.004 ถึ�า X1 = 1, X2

= 0 ห์ร%อ X1 = 0, X2 = 1

5/998 = 0.005 ถึ�า X1 = X2 = 0P(X = 2) = P(X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0) + P(X1 = 1,

X2 = 0, X3 = 1) + P(X1 = 0, X2 = 1, X3 = 1) = (5/1000)(4/999)(995/998) + (5/1000)

(995/999)(4/998) + (995/1000)(5/999)(4/998) = 0.00006

ส��มูแบบใส�ค%น : P(X = 2) = 0.000075

ส��มูแบบไมู�ใส�ค%น : P(X = 2) = 0.00006

39


จะเห์<นได�วิ�า ค�าท($ได�จะมู(ควิามูแตกต�างก�นมูาก ( ทศน�ยมูห์ล�กท($ 5) กรณ์(ท($ข้นาดต�วิอย�างน�อยมูากเมู%$อเท(ยบก�บข้นาดประชากร สามูารถึใช� ต�วิแปรทวิ�นามูในการส��มูแบบไมู�ใส�ค%นได�

ค�าเฉล��ยของตั�วแป็รสุ่��มแบบทว�น่ามถึ�า X เป�นต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามู ด�วิยพารามู�เตอร� n และ p ค�า

เฉล($ยข้องต�วิแปร X ค%อ E(X)

โดยท($ E(X) = = np

พิ�สุ่&จน่" เน%$องจาก X = Xi และ Xi มู(การแจกแจงแบบเบอร�น�ล(ด�วิยพารามู�เตอร� p ซ#$งมู( E(X) = p

E(X) = E ( Xi ) = E ( X1 ) + E ( X2 ) + …+ E (Xn ) = p

+ p + …+ p = npค�าความแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��ม

ถึ�า X เป�นต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามู ด�วิยพารามู�เตอร� n และ p ค�าควิามูแปรปรวินข้องต�วิแปร X

ค%อ V(X) โดยท($ V(X) = 2 = npq

พิ�สุ่&จน่" V(X) = V ( Xi ) = V( X1 ) + V ( X2 ) + …+ V (Xn ) = pq + pq + …+ pq = npq

ตั�วอย�างท�� 8 ถึ�าโอกาสท($นาย ก. จะย�งปHนแล�วิถึ�กเปCาท($ต� )งไวิ� 80% ถึ�านาย ก. ย�งปHน 4 คร�)ง จงห์า

ก. ควิามูน�าจะเป�นท($จะย�งถึ�กเปCา 1 คร�)งข้. ควิามูน�าจะเป�นท($จะย�งถึ�กเปCาอย�างน�อย 1 คร�)งค. โดยเฉล($ยแล�วินาย ก. ย�งถึ�กเปCาก($คร�)ง และจงห์าค�าเบ($ยงเบน

มูาตรฐาน

40


ว�ธี�ท�า เน%$องจากการย�งปHนแต�ละคร�)งเป�นอ�สระก�นและควิามูน�าจะเป�นท($นาย ก. จะย�งถึ�กเปCาเป�น 80% ท�กคร�)ง ข้องการย�งให์� X = จ*านวินคร�)งท($ย�งถึ�กเปCาจากการย�งปHนท�)งห์มูด 4 คร�)ง X เป�นต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามูท($มู( n = 4, p = 0.8 ห์ร%อ X

Binomial (n = 4,p = 0.8)P(x;4.0.8) = P(X =x) = 4Cx (0.8)2 (0.2)4-x ; x 0, 1,

2, 3, 4ก. ค*านวิณ์ห์า P(จะย�งถึ�กเปCา 1 คร�)ง) = P(X = 1) จะท*าได� 2 วิ�ธ์(

วิ�ธ์(ท($ 1 ค*านวิณ์โดยตรงP(X = 1) = 4C1 (0.8)1 (0.2)4-1 = 0.256วิ�ธ์(ท($ 2 ใช�ตารางท($ 2 ซ#$งเป�นตารางการแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบทวิ�

นามู ซ#$งมู(ค�า n = 1, 2, …, 20P = .05, .10, …, .50จากต�วิอย�างน() p = 0.8 ซ#$งไมู�มู(ในตาราง แต�ย�งคงสามูารถึใช�

ตารางท($ 2 ได� โดยเป?ดท($ n = 4; q = 0.2 และ n – x = 4 – 1 = 3 ซ#$งห์มูายควิามูวิ�าจะเป?ดตารางท($ 2 ห์า P(X = 1) โดยใช�ท($ p = 0.2 และ X =

3 แทนเน%$องจากP(X = 1) = 4C1 (0.8)1 (0.2)3

P(n-X = 3) = 4C3 (0.8)1 (0.2)3 และ 4C1 = C43 = 4 ด�งน�)น P(X = 1) = P(n-X = 3) ห์ร%อเป?ดตารางท($ 2 ท($ n = 4, p = 0.2, x = 3

ได� P(X = 3) = 0.256

ข้. P(ย�งถึ�กเปCาอย�างน�อย 1 คร�)ง) = P(X 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X

= 4) = 4C1 (0.8)1 (0.2)3 + 4C2 (0.8)2 (0.2)2 + 4C3 (0.8)3

(0.2)1 + 4C1 (0.8)1 (0.2)3 + 4C4 (0.8)4 (0.2)0 = 0.0256 + 0.1536 + 0.4096 + 0.4096 = 0.9984

ห์ร%อ P(X 1) = 1 - P(X = 0) เน%$องจาก P(X = xi) = 1

= 1 – 4C0 (0.8)0 (0.2)4 = 1 – 0.0016 = 0.9984

ค. ค�าเฉล($ยข้อง X = E(X) = np = 4(0.8) = 3.2 คร�)งโดยเฉล($ยแล�วิ นาย ก. จะย�งถึ�กเปCา = 3.2 คร�)ง

41


ค�าแปรปรวินข้อง X = V(X) = npq = 4(0.8)(0.2) = (0.64)2

ค�าเบ($ยงเบนมูาตรฐานข้อง X = SD = 0.64 = 0.8

คร�)ง

4. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบพิห�น่ามการทดลองส��มูแบบพห์�นามูเป�นการทดลองส��มูเห์มู%อนการทดลองแบบ

ทวิ�นามู แต�ผลล�พธ์�ข้องการทดลองแต�ละคร�)งมู(มูากกวิ�า 2 อย�าง เช�น ผลข้องการตรวิจสอบค�ณ์ภาพส�นค�าอาจจะเป�น ช*าร�ดมูาก ช*าร�ดเล<กน�อย ห์ร%อส�นค�าด(มู(ค�ณ์ภาพ

ถึ�าการทดลองท($ท*าซ*)า ๆ ก�น n คร�)ง โดยแต�ละคร�)งมู(ผลล�พธ์� k 2

ค%อ E1, E2,…,Ek ด�วิยควิามูน�าจะเป�น p1, p2, …, pk ตามูล*าด�บ โดยท($ pj

= 1 และให์� X1, X2, …, Xk เป�นจ*านวินคร�)งท($จะได�ผลล�พธ์�ท($ 1,2,…, k ตามูล*าด�บ จะเร(ยก 1,2,…, k วิ�า ต�วิแปรส��มูพห์�นามู มู(ฟDงก�ช�นด�งน()“ ”

P(x; p1, p2, …, pk) = P(X1 = x2,…,xn = xn) n/ x1 x2… xk (p1)x1 (p2)x2 …(pk)xk

โดยท($ ร = n

ตั�วอย�างท�� 9 กล�องใบห์น#$งเป�นล�กบอลส(แดง 5 ล�ก ข้าวิ 4 ล�ก ด*า 3 ล�ก ห์ย�บบอลจากกล�องมูา 6 ล�ก โดยการห์ย�บท(ละล�กแบบใส�ค%น จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($จะห์ย�บได�บอลส(แดง 3 ล�ก ข้าวิ 2 ล�ก และด*า 1

ล�กว�ธี�ท�า การห์ย�บล�กบอลแต�ละคร�)ง ผลล�พธ์�ท($เป�นไปได�มู( 3 อย�าง ค%อ ได�บอลส(

ด*า ส(ข้าวิ ห์ร%อส(ด*า จากบอลท�)งห์มูดในกล�อง 12(5+4+3) ล�กp1 = P[ได�บอลส(แดงในการห์ย�บแต�ละคร�)ง] = 5/12

p2 = P[ได�บอลส(ข้าวิในการห์ย�บแต�ละคร�)ง] = 4/12

p3 = P[ได�บอลส(ด*าในการห์ย�บแต�ละคร�)ง] = 3/12

ให์� Xj = จ*านวินบอลส(ท($ j ; j = 1,2,3 ท($ห์ย�บได� X1 = จ*านวินล�กบอลส(แดงท($ห์ย�บได� X2 = จ*านวินล�กบอลส(ข้าวิท($ห์ย�บได� X3 = จ*านวินล�กบอลส(ด*าท($ห์ย�บได�

42


X1, X2, X3 เป�นต�วิแปรส��มูพห์�นามูท($มู(ค�า n = 6, p1 = 5/12, p2 = 4/12, p3 = 3/12

P[ได�บอลแดง 3 ล�ก ข้าวิ 2 ล�ก และด*า 1 ล�ก] = P[X1 = 3, X2 = 2, X3 = 1]

= 6/ 321 (5/12)3 (4/12)2 (3/12)1 = 0.12

5. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบทว�น่ามลบการทดลองแบบเบอร�น�ล(ซ*)า ๆ ก�น จนกวิ�าจะได�ส�$งท($สนใจ คร�)งท($ r (r>1)

จะเร(ยกการทดลองน()วิ�า การทดลองแบบทวิ�นามูลบ ถึ�าให์� “ ” X เป�นจ*านวินคร�)งข้องการทดลองจนกวิ�าจะได�ส�$งท($สนใจเป�นคร�)งท($ r จะเร(ยกวิ�า X เป�นต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามูลบ เช�น X เป�นจ*านวินคร�)งข้องการโยนล�กเต7าจนกวิ�าจะได�เลข้ 5 เป�นคร�)งท($ 3(r = 3) ห์ร%อ X เป�นจ*านวินส�นค�าท($ตรวิจสอบจนกวิ�าจะได�ส�นค�าช*าร�ดช�)นท($ 7(r = 7)

ในการทดลองส��มู X คร�)ง จะได�ส�$งท($สนใจคร�)งท($ r ในการทดลองคร�)งท($ x

ห์ร%อในการทดลอง x-1 คร�)ง จะได�ส�$งท($สนใจ r-1 คร�)ง และได�ส�$งท($สนใจคร�)งท($ r ในการทดลองคร�)งท($ x

ฟ7งก"ช้�น่ความน่�าจะเป็�น่ของ X ค#อP(x;r,p) = P(X = x) = x-1Cr-1 pr qxr ; x = r, r+1ค�าเฉล��ยของตั�วแป็รสุ่��มแบบทว�น่ามลบถึ�า X เป�นต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามูลบท($มู(พารามู�เตอร� p และ r ค�าเฉล($ย

ข้อง X ค%อ E(X) โดยท($E(X) = = r/p

ค�าแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มแบบทว�น่ามลบค�าแปรปรวินข้องต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามูลบ X ค%อ V(X) โดยท($

V(X) = 2 = rq/p2

ตั�วอย�างท�� 10 ถึ�าทราบวิ�าส�นค�าชน�ดห์น#$งมู(ส�นค�าท($ช*าร�ดปนอย�� 5% จ#งส��มูส�นค�ามูาตรวิจท(ละช�)น จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($จะพบส�นค�าช*าร�ดเป�นช�)นท($ 4

เมู%$อตรวิจส�นค�าช�)นท($ 10

ว�ธี�ท�า ให์� X = จ*านวินส�นค�าท($ตรวิจพบส�นค�าช*าร�ดเป�นช�)นท($ 4 ด�งน�)น X จะเป�นต�วิแปรส��มูแบบทวิ�นามูลบ ท($มู(ค�า p =

0.05, r = 4

43


P[X = x] = x-1Cr-1 pr qx-r ; x = 4,5,6 P[X = 10] = 9C3 (0.05)4 (0.95)6 = 0.00035

6. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบป็7วซองการแจกแจงควิามูน�าจะเป�นแบบปDวิซอง เป�นการแจกแจงท($อธ์�บาย

จ*านวินคร�)งข้องเห์ต�การณ์�ห์ร%อจ*านวินส�$งท($สนใจท($เก�ดข้#)นในช�วิงเวิลาท($ก*าห์นดห์ร%อในพ%)นท($ท($ก*าห์นด

ต�วิอย�างเช�น จ*านวินคร�)งข้องการเก�ดอ�บ�ต�เห์ต�ในปDตตาน( ในช�วิงเวิลา 1

เด%อน จ*านวินน�กศ#กษาท($เข้�ามูาร�บประทานอาห์ารท($ลานอ�ฐ ในช�วิงเวิลา 12.00-13.00 น. เป�นต�น

ถึ�าให์� X เป�นจ*านวินเห์ต�การณ์�ห์ร%อจ*านวินส�$งท($สนใจท($เก�ดข้#)นในช�วิงเวิลาห์น#$ง ห์ร%อในพ%)นท($ท($ห์น#$ง X จะเป�นต�วิแปรส��มูแบบปDวิซอง ท($มู(พารามู�เตอร� ฟDงก�ช�นควิามูน�าจะเป�นข้อง X เข้(ยนด�งน()

P(x ; ) = p(X = x) = e - x ; x = 0,1,2… X ห์ร%อเข้(ยนได�วิ�า X~ Poisson ()

โดยท($ e = 2.71828.. และ = จ*านวินส�$งท($สนใจท($เก�ดข้#)นโดยเฉล($ยในช�วิงเวิลาห์ร%อในพ%)นห์ร%อข้อบเข้ตท($ก*าห์นด

ส*าห์ร�บการค*านวิณ์ห์าควิามูน�าจะเป�นแบบปDวิซอง สามูารถึใช�ตารางท($ 3

ค�าเฉล��ยและค�าแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มแบบป็7วซองค�าเฉล($ย E(X) =

ค�าแปรปรวิน V(X) = 2 = ตั�วอย�างท�� 11 จากสถึ�ต�ข้องโรงพยาบาลประจ*าจ�งห์วิ�ดปDตตาน( พบวิ�า โดย

เฉล($ยจะมู(คนไข้� 5 คน เข้�ามูาร�กษาท($ห์�องฉ�กเฉ�นในช�วิงเวิลา 18.00-

21.00 น.

ก. จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($จะมู(คนไข้�มูาร�บการร�กษาท($ห์�องฉ�กเฉ�นไมู�เก�น 2

คนในช�วิงเวิลา 18.00-21.00 น. ในวิ�นพร� �งน()ข้. จงห์าควิามูน�าจะเป�นท($จะมู(คนไข้�มูาร�บการร�กษาท($ห์�องฉ�กเฉ�นมูากกวิ�า

6 คนข้#)นไป ในช�วิงเวิลา 18.00-21.00 น. ในวิ�นพร� �งน()ว�ธี�ท�า ให์� X = จ*านวินคนไข้�มูาร�บการร�กษาท($ห์�องฉ�กเฉ�นข้องโรงพยาบาล

ประจ*าจ�งห์วิ�ดปDตตาน(ในช�วิง 18.00-21.00 น. ซ#$งเป�นเห์ต�การณ์�ท($เก�ดข้#)นในพ%)นท($ท($ก*าห์นด และในเวิลาท($ก*าห์นด

44


X จะเป�นต�วิแปรส��มูแบบปDวิซอง ท($มู(ค�าเฉล($ย = 5 คน

P(x; 5) = P(X) = e-5 5x ; x = 0,1,2… x

ก. P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = e-5 50 + e-5 51 + e-5 52

0 1 2 = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 = 0.1246

(ค�าท($ได�สามูารถึเท(ยบค�าในตาราง 3)

ข้. P(X>6) = P(X = 7) + P(X = 8) + … = 1 - P(X 6)

= 1 – [P(X = 0) + P(X=1) + P(X=1) + …+ P(X = 6)]

= 1 – [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 + 0.1755 + 0.1755 + 0.1462]

= 1 – 0.2695 = 0.7305

45

Documents

เอกสารประกอบการเรียน การวิเคราะห์ข้อมูลทางรัฐศาสตร์ บทที่ ๒