35
1 1 . ו בינאריות מערכות- multistate . שני יש מערכת לכל" דגמים:" ודגם בינארי דגםmultistate . בינאריות מערכות. 1 . מצבים שני יש שלה רכיב לכל בינארית במערכת: up ) דלוק( ו- down ) נתק.( רכיביה של למצבם בהתאם, ה מערכת כולה גם משני באחד נמצאת מצבים: up ) דלוק ה( ו- down ) ב נתק.( 2 . גראפי בהצגה מוגדרת מערכת כאשר ת) רשת( , למצבup ) דלוק ה( לקצה מקצה כמוליכות פרוש יש, ולמצבdown ) נתק( קצוות בין מוליכות כחוסר פרוש יש המערכת. 3 . בעלת כלשהי מערכתn עם שחורה קופסא כי להציג אפשר רכיביםn מפסקים1 n x x בפא ה הקדמי ת שלה, ונורה בפא חשמלית ה העליו נה שלה. מ באחד נמצה מפסק כל שני מצביםup ) דלוק( ו- down ) מ נ ו תק( , ומצב ה הנורה של) ד ו לק ת/ מנותקת( המפסקים של במצבם תלוי, המערכת של הגדרתה לפי. 4 . לדוגמה, ב מערכתk-out-of-n לפחות כאשר דולקת הנורהk מתוךn דלוקים מפסקים) ה לכל או יותרn k מפסק ים בנתק.( 5 . לדוגמה, ב מערכתconsecutive k-out-of-n:F דולקת הנורה של צרוף בה שאין עוד כלk מפסקים צמודים בנתק. 6 . לדוגמה, ב מערכת בעלת טוריתn רכיבים1 n x x כל כאשר ורק אך דולקת הנורהn דלוקים מפסקים. מפסק אם ב לפחות אחד נתק, המערכת אז בנתק. ) שזאת לומר גם אפשר מערכתn-out-of-n , אוconsecutive 1-out-of-n:F ( . 7 . לדוגמה, ב מערכת בעלת מקביליתn רכיבים1 n x x לפחות כאשר דולקת הנורה מפסק מ אחד- n דלוק מפסקים. אם כלn מפסקים בנתק, המערכת אז בנתק. ) אפשר שזאת לומר גם מערכת1-out-of-n , אוconsecutive n-out-of-n:F ( . 8 . ב כי נניח מערכת בעלתn רכיבים1 n x x רכיב לכלi x הסתברות ישi p דלוק שהוא, 1 i n = . ההסתברות אז( 1 , , n R p p שה מערכת ב- up ) דלוקה הנורה( המערכת של אמינות קוראים. ב תלויה כמובן היא- 1 n p p . 9 . נסמן1 i i q p = - ) שרכיב הסתברותi x בנתק( , 1 i n = . אז( ( 1 1 , , 1 , ,1 n n R p p R q q = - - . נסמן גם( ( 1 1 , , :1 1 , ,1 n n Qq q R q q = - - - , שמע ההסתברות זאת רכת בנתק כולה. ברור כי ההסתברות לבטא אפשר גם שמע רכת בנתקQ כ של פונקציה1 n p p , נוח יותר לנו אבל תמיד בביטוים להשתמש( 1 , , n R p p ו- ( 1 , , n Qq q . זהים רכיבים כל כאשר, כותבים פשוט( Qq ו- ( Rp . 10 . לדוגמה, ב מערכת3-out-of-4 , זהים הרכיבים כל, ( ( 3 4 3 4 4 1 4 3 3 Rp p p p p p = - = - , ( ( ( ( 3 4 2 3 4 1 1 1 41 31 6 8 3 Qq R q q q q q q = - - = - - - = - .

הסתברות של איגור

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: הסתברות של איגור

1

.multistate- מערכות בינאריות ו. 1

.multistate דגם בינארי ודגם": דגמים"לכל מערכת יש שני

.מערכות בינאריות

מערכת ה, בהתאם למצבם של רכיביה). נתק( down-ו) דלוק( up: במערכת בינארית לכל רכיב שלה יש שני מצבים .1 ).נתקב( down -ו) הדלוק( up :מצבים נמצאת באחד משניגם כולה

down ולמצב , יש פרוש כמוליכות מקצה לקצה) הדלוק( up למצב, )רשת( תכאשר מערכת מוגדרת בהצגה גראפי .2 . המערכת יש פרוש כחוסר מוליכות בין קצוות) נתק(

1מפסקים n רכיבים אפשר להציג כי קופסא שחורה עם n מערכת כלשהי בעלת .3 nx x ונורה ,שלה תהקדמי הבפא /תלקוד(של הנורה הומצב, )תקונמ( down -ו) דלוק( up מצביםשני כל מפסק נמצה באחד מ .שלה נההעליו החשמלית בפא

. לפי הגדרתה של המערכת, תלוי במצבם של המפסקים) מנותקת

n – kיותר או לכל ה(מפסקים דלוקים n מתוך kהנורה דולקת כאשר לפחות k-out-of-n מערכתב, לדוגמה .4 ). בנתק יםמפסק

. בנתק צמודיםמפסקים k כל עוד שאין בה צרוף של הנורה דולקת consecutive k-out-of-n:F מערכתב, לדוגמה .5

1רכיבים n טורית בעלת מערכתב, לדוגמה .6 nx x הנורה דולקת אך ורק כאשר כל n אם מפסק . מפסקים דלוקים .בנתק אז המערכת, נתקאחד לפחות ב

.)consecutive 1-out-of-n:F או , n-out-of-nמערכת אפשר גם לומר שזאת (

1רכיבים n מקבילית בעלת מערכתב, לדוגמה .7 nx x אחד ממפסק הנורה דולקת כאשר לפחות- n אם . מפסקים דלוק . בנתק אז המערכת, בנתק מפסקים nכל

.)consecutive n-out-of-n:F או , out-of-n-1מערכת גם לומר שזאת אפשר (

1רכיבים n בעלת מערכתנניח כי ב .8 nx x לכל רכיבix יש הסתברותip 1, שהוא דלוקi n= . אז ההסתברות

( )1, , nR p p ב מערכתשה- up )1- היא כמובן תלויה ב .קוראים אמינות של המערכת) הנורה דלוקה np p.

1iנסמן .9 iq p= 1i, )בנתק ixהסתברות שרכיב ( − n= . אז( ) ( )1 1, , 1 , ,1n nR p p R q q= − − . גם נסמן

( ) ( )1 1, , : 1 1 , ,1n nQ q q R q q= − − − ,גם אפשר לבטא ההסתברותכי ברור . כולה בנתק רכתזאת ההסתברות שמע

1פונקציה של כ Q בנתק רכתשמע np p , להשתמש בביטוים תמידאבל לנו יותר נוח( )1, , nR p p ו-( )1, , nQ q q.

) פשוט כותבים, כאשר כל רכיבים זהים )Q q ו-( )R p.

), כל הרכיבים זהים , out-of-4-3 מערכתב, לדוגמה .10 ) ( )3 4 3 441 4 3

3R p p p p p p

= − + = −

,

( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 3 41 1 1 4 1 3 1 6 8 3Q q R q q q q q q= − − = − − + − = − +.

Page 2: הסתברות של איגור

2

:נגדיר מאורעות הבאים: Qב קודם את יותר נוח לחש consecutive 3-out-of-4:F מערכתב, לדוגמה .11 A- " 1רכיבים 2 3, ,x x x בנתק", B - " 2רכיבים 3 4, ,x x x אז, "בנתק

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4, ,Q q q P A B P A P B P A B q q q q q q q q q q= ∪ = + − ∩ = + − =

( )2 3 1 4 1 4 .q q q q q q= + −

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1 4 1 4 2 3 1 4 1 4, , 1 1 , ,1 1 1 1 2 1 1R p p Q p p p p p p p p= − − − = − − − − − − − − =

( )( )( )2 3 1 41 1 1 1 .p p p p= − − − −

)נקבל , ל הרכיבים זהיםכאשר כ ) ( )3 4 3 42 2 , 2R p p p p Q q q q= − + = −.

1רכיבים nטורית בעלת מערכתב, לדוגמה .12 nx x :1

nii

R p=

= , )כל הרכיבים דלוקים( ∏

( )11 1 1n

iiQ R q

== − = − nRנקבל , כאשר כל הרכיבים זהים .∏− p= ,( )1 1 nQ q= − −.

1רכיבים nמקבילית בעלת מערכתב, לדוגמה .13 nx x יותר נוח לחשב קודם אתQ :1

nii

Q q=

= כל הרכיבים ( ∏

), )בנתק )11 1 1n

iiR Q p

== − = − nQנקבל , כאשר כל הרכיבים זהים. ∏− q= ,( )1 1 nR p= − −.

רכיבים המחוברים inמכיל i שבלוק, בלוקים המחוברים בטור m מקבילית שמכילה-במערכת טורית, לדוגמה .14

אז . במקביל1

mii

R P=

= - ו, )12ראה סעיף ( דלוק i זאת הסתברות שבלוק iP-ש, ∏1

1 1 ini i ijj

P Q q=

= − = − ראה ( ∏

)ובסוף נקבל , )13סעיף )( )1 11 1im n

iji jR p

= == − −∏ ∏ ,( )1 1

1 1 1 im niji j

Q R q= =

= − = − −∏ ij,-ש, ∏ ijq p מתייחס

.i בתוך שבלוק j לרכיב

רכיבים המחוברים inמכיל i שבלוק, בלוקים המחוברים במקביל m טורית שמכילה-במערכת מקבילית, לדוגמה .15

אז . בטור1

mii

Q Q=

= -ו, )13ראה סעיף ( בנתק i זאת הסתברות שבלוק iQ-ש, ∏1

1 1 ini i ijj

Q P p=

= − = − ראה ( ∏

)ובסוף נקבל , )12סעיף )( )1 11 1im n

iji jQ q

= == − −∏ ∏ ,( )1 1

1 1 1 im niji j

R Q p= =

= − = − −∏ ij,-ש, ∏ ijq p מתייחס

.i בתוך שבלוק j לרכיב

.רכיבים זהים, consecutive k-out-of-n:Fנוסחת נסיגה עבור אמינות של מערכת .1611

1

1 1

1, 0( , , ) ( , , ) (1 ) , ( , , )

0, 0

y kn kn k y m y

y m y

j kR p k n p R p k n m p p R p k j

j

+ −− +− + −

= = +

≤ <= + − − = <

∑ ∑

כל ". –"-ו" +"סימנים nמצב המערכת זה סדרה של ". –"-ורכיבים מנותקים ב" +"-נסמן רכיבים דלוקים ב: הוכחה. ונחבר הסתברויות של כל המקרים האלה, מתחילת הסדרה" פלוסים"המצבים שהמערכת דלוקה נחלק למקרים לפי מספר

1nמתחילת הסדרה יש אם , קודם כל k− 1kללא קשר למצבם של , תצמודים אז המערכת דלוקה בוודאו" פלוסים" + − 1nההסתברות של מקרה הזה היא . רכיבים האחרים kp − nעד 0 -יש מ בשאר המקרים. שזה מחובר הראשון בנוסחא, + k−

ן הראשו" +"את מיקומו של m -וב, הראשון אחרי זה" –"את מיקומו של y - נסמן ב .מתחילת הסדרה צמודים" פלוסים" אחרי

והם מנתקים את , ועד סוף הסדרה y -החל מ" מינוסים"כי אחרת יש כל ה, בהכרח קייםהראשון הזה " +". הראשון" –"1nעד 1 -ול להשתנות מכי y .המערכת k− +; m 1 -ול להשתנות מכיy 1yעד + k+ בצמוד " מינוסים" kהיו שלא י( −

nשאר המערכת זה ). y - החל מ m− רכיבים אחרי m ,שמסומנים בכוכביות .

Page 3: הסתברות של איגור

3

1

1***** *****

elementselements elements n my m y

y m n↑ ↑ ↑ ↑

−− −

+ + + + + + − − − − − − +

)ההסתברות למצב הזה היא , , ) (1 )y m yR p k n m p p −− m, "פלוסים" y כי יש כאן ,− y− "יש לכפול ו, "מינוסים ".הכול בסדר"בהסתברות שבשאר המערכת

. רכיבים זהים, consecutive 4-out-of-6:Fבמערכת , לדוגמה .1733 4

3 3 1

1 1 2

5 62 2 3 3

3 4

( ,4,6) ( ,4,6 ) (1 ) ( ,4,6 ) (1 )

( ,4,6 ) (1 ) ( ,4,6 ) (1 )

yy m y m

y m y m

m m

m m

R p p R p m p p p R p m p p

R p m p p R p m p p

+− −

= = + =

− −

= =

= + − − = + − − +

+ − − + − − = →

∑ ∑ ∑

∑ ∑

4

41

22 3

1 11

52 2

32 2 2 2 3

1 1 1

( ,4,6 ) (1 )

( ,4,4) (1 ) ( ,4,3) (1 ) ( ,4,2) (1 ) ;

( ,4,6 ) (1 )

( ,4,3) (1 ) ( ,4,2) (1 ) ( ,4,1) (1 ) ;

( ,4,6 )

m

m

q

m

m

R p m p p

R p p p R p p p R p p p

R p m p p

R p p p R p p p R p p p

R p m p

=

=

− − =

= − + − + −

− − =

= − + − + −

63 3

43 3 2 3 3

1 1 1

(1 )

( ,4,2) (1 ) ( ,4,1) (1 ) ( ,4,0) (1 ) .

m

mp

R p p p R p p p R p p p

=

− = = − + − + −

2 3 4 52 2 8 7 2 .p p p p p→ = + − + −

. רכיבים זהים, consecutive 2-out-of-n:Fעבור אמינות של מערכת פרטית נוסחה .181

2

0

1( ,2, ) (1 )

n

j n j

j

n jR p n p pj

+

=

− + = −

∑ .

n -בין כל ה נספור מספר תמורות ". מינוסים"מספר j יהיה". –"-ורכיבים מנותקים ב" +"-נסמן רכיבים דלוקים ב: הוכחה1j-ללשם כך " .– –"ללא צרופים " –"-ו" +"סימנים שיהיו , אחד" פלוס" יש להצמיד מצד ימיןהראשונים " יםמינוס" −

1j 1nכ "שיש בסה ;לבדנשאר ) הימני(האחרון " –"- ו, " – +"צמדים − j− אז יש . שאפשר לסדר חופשית, פריטים +1n j

j− +

)-ו, זוגי nעבור 2nהוא jערך הגדול האפשרי של ". מינוסים"לפי בחירת מקומם של , תמורות )1 2n +

.זוגי-אי nעבור

. רכיבים זהים, consecutive 2-out-of-6:Fבמערכת , לדוגמה .193

6 6 5 2 4 3 3

0

7( ,2,6) (1 ) 6(1 ) 10(1 ) 4(1 )j j

j

jR p p p p p p p p p pj−

=

− = − = + − + − + −

∑.

Page 4: הסתברות של איגור

4

). רכיבים זהים, k-out-of-nנוסחה עבור אמינות של מערכת .20 )1n n iii k

nR p pi−

=

= −

∑.

)אז . את מספר רכיבים דלוקים במערכת X - נסמן ב: חההוכ )~ ,X B n p ,ו-

( ) ( ) ( )1n n n iii k i k

nR P X k P X i p pi−

= =

= ≥ = = = −

∑ ∑ .

: רכיבים זהים, out-of-6-4במערכת , לדוגמה .21

( ) ( ) ( )6 6 24 5 6 4 5 64

1 15 1 6 1 15 24 10iii

nR p p p p p p p p p pi−

=

= − = − + − + = − +

.multistateמערכות

:לכל רכיב שלה יש שלושה מצבים multistateבמערכת .22 ,אפשר לנתקו-רכיב דלוק ואיה - )short( "קצר") 1 ,אפשר להדליקו-הרכיב מנותק ואי -)open" (נתק) "2 . כאשר אפשר גם להדליקו וגם לנתקו, מצב תקין) 3

:נמצאת באחד משלושה מצבים גם המערכת כולה, בהתאם למצבם של רכיביה , אפשר לנתקה-המערכת דלוקה ואי - "קצר) "1 , אפשר להדליקה-ת ואיהמערכת מנותק -"נתק) "2 .כאשר אפשר גם להדליקה וגם לנתקה, מצב תקין) 3

1מפסקים nרושה של מערכת כי קופסא שחורה עם ילפי פ .23 nx x נההעליו השלה ונורה חשמלית בפא תהקדמי הבפא ; במצב הזה) נעול(הוא מנותק ונתקע כאשר "נתק"ב; במצב הזה) נעול(כאשר הוא דלוק ונתקע " קצר"כלשהו במפסק , שלהושאר המפסקים , "נתק"חלק של המפסקים בעוד , "קצר"נניח כי חלק המפסקים ב. כאשר הוא ניתן לשליטה" תקין"צב ובמ

אפשר להדליק ולנתק את הנורה , כלומר(י המפסקים התקינים "אם המערכת עדיין ניתנת לשליטה ע). ניתנים לשליטה(תקינים המערכתי המפסקים התקינים אז "אפשר לנתקה ע-אם הנורה כל הזמן דולקת ואי. אז המערכת תקינה) התקינים י המפסקים"ע ".נתק"ב י המפסקים התקינים אז המערכת"אפשר להדליקה ע-אם הנורה נכבה ואי". קצר"ב

כאשר " נתק"בו; "קצר"ב רכיביה n מתוך kכאשר לפחות " קצר"ב multistate k-out-of-n מערכת, לדוגמה .241n לפחות k− + . בשאר המקרים המערכת תקינה". נתק"ברכיביה

)4השווה עם סעיף (

צמודיםרכיבים kשל כאשר יש בה צרוף "נתק"וב multistate consecutive k-out-of-n:F מערכת, לדוגמה .25שאר (שקבוצה המשלימה שלה , כזאת" קצר"ם בכאשר יש בה קבוצה חלקית של רכיבי" קצר"ב והמערכת ;"נתק"ב

)5השווה עם סעיף (. צמודיםרכיבים kאינה מכילה ) הרכיבים

1רכיבים nטורית בעלת multistate מערכת, לדוגמה .26 nx x כאשר כל "קצר"בn נתק"וב; "קצר"רכיביה ב " )6השווה עם סעיף . (ערכת תקינהבשאר המקרים המ". נתק"כאשר רכיב אחד לפחות ב

1רכיבים nמקבילית בעלת multistate מערכת, לדוגמה .27 nx x לפחות אחדרכיב כאשר " קצר"ב )7השווה עם סעיף ( ."נתק"רכיביה ב nכאשר כל " נתק"וב; "קצר"רכיבים ב n -מ

1רכיבים nבעלת multistateבמערכת .28 nx x 1- נסמן ב, ,o onq q נתק"הסתברויות של מצב) "open( לכל רכיב, ,1- וב ,s snq q קצר"הסתברויות של מצב את ה) "short( גם נסמן .לכל רכיב

Page 5: הסתברות של איגור

5

, כאשר כל הרכיבים זהים". קצר"ב כולה את ההסתברות שהמערכת sQ-וב" נתק"ב כולה את ההסתברות שהמערכת oQ-ב1oפשוט נסמן on oq q q= = = ,1s sn sq q q= = = . 1היא אמינות של המערכתm o sR Q Q= − נתמסמ mRכאן .−

גם נחזור כי .את האמינות של מערכת בינארית התואמת נתשמסמ R-ניגוד לב, multistateאת האמינות של מערכת 1Q R= .)9ראה סעיף ( של מערכת בינארית התואמת" אמינות-אי"מסמנת את ה −

,יש קשר חשוב בין .29 ,o sQ Q Q ו-R : ( )1, ,o o onQ Q q q= ;( )1, ,s s snQ R q q= . בשימוש של נוסחאות , גם כן

) :נקבל 9מסעיף )11 1 , ,1o o onQ R q q= − − − ;( )11 1 , ,1s s snQ Q q q= − − −.

), כל רכיבים זהים, multistate 3-out-of-4 מערכתב, לדוגמה .30 ) 2 3 46 8 3o o o o oQ Q q q q q= = − + ;

( ) 3 44 3s s s sQ R q q q= = − ;2 3 4 3 41 1 6 8 3 4 3m o s o o o s sR Q Q q q q q q= − − = − + − − +. )10סעיף השווה עם (

multistate consecutive 3-out-of-4:F מערכתב, לדוגמה .31( ) ( )1 4 2 3 1 4 1 4, ,o o o o o o o o oQ Q q q q q q q q q= = + − ; ( ) ( )( )( )1 4 2 3 1 4, , 1 1 1 1s s s s s s sQ R q q q q q q= = − − − − .

3נקבל , כאשר כל הרכיבים זהים 4 3 42 2 , 2s s s s o o oQ q q q Q q q= − + = -ו −3 4 3 41 1 2 2 2m o s o o s s sR Q Q q q q q q= − − = − + − + )11השווה עם סעיף ( .−

1רכיבים nית בעלת טור multistate מערכתב, לדוגמה .32 nx x :1

ns sii

Q q=

= ∏ ,( )11 1n

o oiiQ q

== − −∏.

nנקבל , כאשר כל הרכיבים זהיםs sQ q= ,( )1 1 n

o oQ q= − )12השווה עם סעיף ( .−

1בים רכי nמקבילית בעלת multistate מערכתב, לדוגמה .33 nx x :1

no oii

Q q=

= ∏ ,( )11 1n

s siiQ q

== − −∏ .

nנקבל , כאשר כל הרכיבים זהיםo oQ q= ,( )1 1 n

s sQ q= − )13השווה עם סעיף ( .−

Page 6: הסתברות של איגור

6

).tie sets and cut sets(קבוצות מוליכות וקבוצות נתק . 2

1רכיבים nבעלת נה מערכתנתו .1 nx x . קבוצה חלקית של רכיבי המערכת נקראה קבוצת מוליכות קבוצת .אז המערכת דלוקה ללא תלות במצבם של שאר הרכיבים, אם כאשר כל רכיביה דלוקים) path set, tie setאו (

).מ"קמ(ראה קבוצת מוליכות מינימאלית נק, מוליכות שאינה מכילה בתוכה קבוצות מוליכות אחרותאז המערכת מנותקת ללא , אם כאשר כל רכיביה מנותקים) cut setאו (קבוצה חלקית של רכיבי המערכת נקראה קבוצת נתק

נקראה קבוצת נתק מינימאלית , קבוצת נתק שאינה מכילה בתוכה קבוצות נתק אחרות .תלות במצבם של שאר הרכיבים ).מ"קנ(

,במערכת הנתונה בציור, הלדוגמ .2 אלה , מות"קמ 3יש

{ } { } { }, , , , , , ,A D E B D E C E ; אלה , מות"קנ 3ויש

{ } { } { }, , , , ,A B C C D E.

וכל קבוצה חלקית של רכיבים , מ"קמ הינה kכל קבוצה חלקית של רכיבים בגודל k-out-of-nבמערכת , לדוגמה .3

1nבגודל k− nאז יש כאן . מ"קנ ינהה +k

1-מות ו"קמ n

n k − +

.מות"קנ

וכל קבוצה , מ"קנ הינה צמודים רכיבים kכל קבוצה חלקית של consecutive k-out-of-n:Fבמערכת , לדוגמה .4 .מ"הינה קמ, צמודים רכיבים kאינה מכילה ) שאר הרכיבים(חלקית של רכיבים כזו שקבוצה המשלימה שלה

1רכיבים nבמערכת טורית בעלת , לדוגמה .5 nx x שזאת הקבוצה , מ אחת בלבד"יש קמ{ }1, , nx x של כל .מ"הינה קנ) כל רכיב בודד, כלומר( 1כל קבוצה חלקית בגודל . הרכיבים

1בים רכי nבמערכת מקבילית בעלת , לדוגמה .6 nx x מ אחת בלבד"ויש קנ, מ"הינה קמ 1כל קבוצה חלקית בגודל ,}שזאת הקבוצה }1, , nx x הרכיבים של כל.

1 - נסמן ב .7 mt t מות במערכת "כל קמ)tie sets .(נסמן ב-iT מ "יביה של קמאת המאורע שכל רכit דלוקים ,

1i m= . אז אמינות של מערכת בינארית היא( )1

mii

R P T=

= .

1 - נסמן ב .8 lc c מות במערכת "כל קנ)cut sets .(נסמן ב -jC מ "ביה של קנאת המאורע שכל רכיjc מנותקים ,

1j l= . של מערכת בינארית היא " אמינות- אי"אז( )1

ljj

Q P C=

= .

מות "שבדרך כלל לא נכון לגבי קמ, )בהגדרה(כל רכיבים בודדים בכול מערכת תמיד בלתי תלויים : הערה חשובה .9 . מכילות רכיבים משותפיםכי אלה , מות"וקנ

, עם כל הרכיבים זהים 2במערכת מסעיף , לדוגמה .10{ } { } { }( ) { }( ) { }( ), , , , , , , , ,up up up up upR P A D E B D E C E P A D E P B D E= ∪ ∪ = + +

{ }( ) { } { }( ) { } { }( ){ } { }( ) { } { } { }( )

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,up up up up up

up up up up up

P C E P A D E B D E P A D E C E

P B D E C E P A D E B D E C E

+ − ∩ − ∩ −

− ∩ + ∩ ∩ =

B

A

C

D E

Page 7: הסתברות של איגור

7

{ }( ) { }( ) { }( ) { }( )

{ }( ) { }( ) { }( )3 3 2 4

4 4 5

2 3 4 5

, , , , , , , ,

, , , , , , , , , , 2 3 ;

up up up up

p p p p

up up up

p p p

P A D E P B D E P C E P A B D E

P A C D E P B C D E P A B C D E p p p p

= + + − −

− − + = + − +

{ } { } { }( ) { }( ) { }( ){ }( ) { } { }( ) { } { }( ){ } { }( ) { } { } { }( )

{ }( ) { }( ) { }( ) { }( )3 2 4

, , , , , ,

, , , , ,

, , , ,

, , , , , ,

downdown down down down

down downdown down down

down downdown down down

downdown down downqq q q

Q P A B C C D E P A B C P C D

P E P A B C C D P A B C E

P C D E P A B C C D E

P A B C P C D P E P A B C D

= ∪ ∪ = + +

+ − ∩ − ∩ −

− ∩ + ∩ ∩ =

+ + −

{ }( ) { }( ) { }( )4 3 5

2 4 5, , , , , , , , , 2 .down down down

q q q

P A B C E P C D E P A B C D E q q q q

− − + = + − +

1Rכי תמיד , בנפרד Qוגם את Rכאן לא היה צורך לחשב גם את , כעיקרון Q+ ומספיק לחשב משהו אחד מהם, =מומלץ בחום לבדוק האם השוויון ) ית(לסטודנט. שני החישובים הבלתי תלויים נעשו לצורך מתודולוגי. )שיותר פשוט(

1R Q+ .מתקיים =

}מות "קנ 2יש consecutive 3-out-of-4:Fבמערכת , לדוגמה .11 } { }2 2 3 4 1 1 2 3, , , , ,c x x x c x x x= =

}מות "קמ 3-ו } { } { }3 1 4 2 3 1 2, , ,t x x t x t x= = ). רכיבים זהים( בנפרד Q -ו Rשוב נחשב את . =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( )

{ }( ) { }( ) { }( )2 2

3 3 4

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

1 2 3 2 3 1 4 2 3

3 41 2 4 1 3 4 1 2 3 4

, ,

, , , , , , , 2 2 .

up upup up

p p p p

up up up

p p p

R P T T T P T P T P T P T T P T T P T T

P T T T P x P x P x x P x x

P x x x P x x x P x x x x p p p

= ∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ +

+ ∩ ∩ = + + − −

− − + = − +

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) { }( ) { }( )

3 3 4

1 2 1 2 1 2

3 41 2 3 2 3 4 1 2 3 4, , , , , , , 2 .down down down

q q q

Q P C C P C P C P C C

P x x x P x x x P x x x x q q

= ∪ = + − ∩ =

= + − = −

1Rמומלץ בחום לבדוק האם השוויון ) ית(לסטודנט Q+ .מתקיים =

Page 8: הסתברות של איגור

8

.פונקצית המבנה. 3 1רכיבים nבעלת כת בינאריתנתונה מער .1 nx x . עבור כל רכיב ועבור המערכת כולה נסמן מצבup ומצב , 1-ב

down אז יש לנו . 0- בn 1לוגים משתנים nx x )ומצב המערכת הוא פונקציה לוגית , )וקטור לוגי, כלומר( )1, , nx xϕ , . של המערכת פונקצית המבנהשקוראים לה

)את הווקטור הלוגי .2 )1, , nX x x= 2 יש לו, קוראים וקטור המצבn 0ולכל מצב תואם ערך , )מצבים(ערכים שונים

) המבנהשל פונקצית 1או )Xϕ.

, ה בציורעבור מערכת הנתונ, לדוגמה .3 שלה רשומה בטבלה פונקצית המבנה עבור כל מצב של הרכיבים , פשוט( ).מוציאים את ערך שלה ורושמים :גם כך אפשר לכתוב

.)מומלץ בחום לבדוק שזה זה) ית(לסטודנט(

1גים הלוים ערכבין ה" אחדים" kבכל מקרה שיש לפחות k-out-of-nעבור מערכת , לדוגמה .4 nx x , אז

( )1, , 1nx xϕ = )המערכת ב-up( ; אחרת( )1, , 0nx xϕ = )המערכת ב- down(.

הלוגים ים הערכבין צמודים" אפסים" kבכל מקרה שיש לפחות consecutive k-out-of-n:Fעבור מערכת , לדוגמה .51 nx x , אז( )1, , 0nx xϕ = ; אחרת( )1, , 1nx xϕ =.

1רכיבים nעבור מערכת טורית בעלת , לדוגמה .6 nx x :( ) ( )1 1 1, , min , , n

n n iix x x x x

=ϕ = = ∏ .

)-לבדוק ש( )1, , 1nx xϕ = 1כאשר 1nx x= = = ; אחרת( )1, , 0nx xϕ =.(

1רכיבים nעבור מערכת מקבילית בעלת , לדוגמה .7 nx x :

( ) ( ) ( )1 1 1 1, , max , , 1 1n n

n n i ii ix x x x x x

= =ϕ = = − − =∏ ∏ .

)-לבדוק ש( )1, , 1nx xϕ = 1כאשר לפחות אחד מהמשתנים nx x 1ורק במקרה ; 1שווה 0nx x= = = אנו מקבלים

( )1, , 0nx xϕ =.(

פונקצית ההסתברות של כזה משתנה . בלבד 1- ו 0הוא משתנה מקרי בעל שני ערכים ξ) בינארי(משתנה מקרי לוגי .8

~,0}: מקרי היא מאוד פשוטה 1,qpξ .

2

1 3

1 2 3

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1

x x x ϕ

( )( )

1 2 3

1 2 1 2 3

1 3 2 3 1 2 3.

x x x

x x x x xx x x x x x x

ϕ = ∨ =

= + − =

= + −

Page 9: הסתברות של איגור

9

)התוחלת שלו ) 0 1E q p pξ = ⋅ + ⋅ = .

0,1}, גם כן ~ 1,pqξ = − ξ ,ובהתאם ,( ) ( ) ( )1 1E E E qξ = − ξ = − ξ = .

1i, שהוא דלוק ipיש הסתברות ixאם לכל רכיב .9 n= ,ו - R 1אז , )בינארית(זאת אמינות של המערכת nx x ו-

φ 0, מקרים לוגים אלה משתנים,~ 1,i

ii

qx p

~,0} -ו, 1,QRϕ .

) לזה בהתאם ) ( ) ( ) ( ), , ,i i i iE Q E R E x q E x pϕ = ϕ = = =.

1חישוב אמינותה לפי הנוסחא , 3עבור מערכת מסעיף , לדוגמה .10 3 2 3 1 2 3x x x x x x xϕ = + −: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 3 2 3 1 2 3

1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3

p p p p p p p

R E E x x x x x x x E x x E x x E x x x p p p p p p p= ϕ = + − = + − = + − וחישוב של

1ϕ-מצבים ש 3וט מחברים הסתברויות של פש(אמינותה לפי הטבלה ): בהם =( ) ( ) ( )

( )1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3

1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 .q p p p q p

p p p

R P P x x x P x x x

P x x x q p p p q p p p p p p p p p p p

= ϕ = = = ∩ = ∩ = + = ∩ = ∩ = +

+ = ∩ = ∩ = = + + = + −

1ϕ-מחברים הסתברויות של כל המצבים ש, )הרכיבים זהים( 4מסעיף k-out-of-nעבור מערכת , לדוגמה .11 אלה ; =

nאז . רכיבים דלוקים kהמצבים שיש לפחות i n ii k

nR p qi−

=

=

∑.

) :6עבור מערכת טורית מסעיף , לדוגמה .12 ) ( ) ( )1 1 1

i

n n ni i ii i i

p

R E E x E x p= = =

= ϕ = = =∏ ∏ ∏ .

: 7מסעיף עבור מערכת מקבילית, לדוגמה .13( ) ( )( ) ( )1 1 1

1 1 1 1 1i

n n ni i ii i i

q

R E E x E x q= = =

= ϕ = − − = − − = −∏ ∏ ∏.

): נוסחת דקומפוזיציה .14 ) ( ) ( )1 1 1, , , 1 , , 0 ,n i n i ni ix x x x x x x xϕ = ϕ + ϕ ; כאןix זה רכיב כלשהו ,

)-ו; ים לו רכיב המפתחשקורא )1, 1 0 , ni

x xϕ בתור 0או 1שמציבים בה פונקצית המבנהזאתix )ה פונקצי זאת, כלומר

1nשל : הוכחה). משתנים האחרים −1ixאם )נקבל = ) ( ) ( )1 1 1, 1 , 1 , 1 , 0 , 0 ,n n ni i i

x x x x x xϕ = ⋅ ϕ + ⋅ ϕ ,

0ixואם )נקבל = ) ( ) ( )1 1 1, 0 , 0 , 1 , 1 , 0 ,n n nii ix x x x x xϕ = ⋅ ϕ + ⋅ ϕ .

, בהתאם לזה( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1, , , 1 , , 0 ,n i n i ni i

R p p E E x x x x x x= ϕ = ϕ + ϕ =

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1, 1 , , 0 , , 1 , , 0 , .i n i n i n i ni ii iE x E x x E x E x x p R p p q R p p= ϕ + ϕ = +

Page 10: הסתברות של איגור

10

.ixהנחות לגבי רכיב 2זאת נוסחא להסתברות השלמה עם : הנוסחא האחרונה מוכרת לנו

, 3במערכת מסעיף , מהלדוג .15 .בתור רכיב המפתח 1xניקח את

)אז ) ( )1 2 3 1 2 31, , 0, ,R p R p p q R p p= +;

( )2 3 31, ,R p p p= ,( )2 3 2 30, ,R p p p p=; 1ונקבל 3 1 2 3R p p q p p= + =

1 3 2 3 1 2 3.p p p p p p p= + −

.בתור רכיב המפתח 3xאו ניקח את )אז ) ( )3 1 2 3 1 2, ,1 , ,0R p R p p q R p p= +;

( )1 2 1 2 1 2, ,1R p p p p p p= + − ,( )1 2, ,0 0R p p =; )ונקבל )3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 2 3.R p p p p p p p p p p p p= + − = + −

אז .בתור רכיב המפתח 1xניקח את , הרכיבים זהיםעם out-of-4-3במערכת , לדוגמה .16( ) ( )1, , , 0, , ,R pR p p p qR p p p= )כאן ; + ) 2 31, , , 3R p p p p q p= זאת אמינותה של מערכת +

2-out-of-3 ו-( ) 30, , ,R p p p p= זאת אמינותה של מערכת-out-of-33 .

)בסוף נקבל )2 3 3 3 43 4 3R p p q p qp p p= + + = −.

Dניקח את ,במערכת הנתונה בציור, לדוגמה .17 אז. בתור רכיב המפתח

( )

( )( )

, , , ,

, , ,1,

, , ,0, ;

A B C D E

D A B C E

D A B C E

R p p p p p

p R p p p p

q R p p p p

=

= +

+

( ) ( ), , ,1, 1 ,A B C E A B C ER p p p p q q q p= −

( ), , ,0, ,A B C E C ER p p p p p p=

( )1 .D A B C E D C ER p q q q p q p p= − +

. תחבתור רכיב המפ) האמצעי( 3xניקח בהתחלה את consecutive 3-out-of-5:Fבמערכת , לדוגמה .18

( ) ( ) ( )1 3 1 2 4 5 3 1 2 4 5

1

, , , ,1, , , ,0, ,nx x x x x x x x x x x xϕ = ϕ + ϕ ;

( ) ( ) ( )1 2 4 5 2 1 4 5 2 1 4 5, ,0, , ,1,0, , ,0,0, ,x x x x x x x x x x x xϕ = ϕ + ϕ )2x רכיב המפתח(;

2

1 3

3 2 3 1p 1q

2

1 3

3p 3q

2

1

2

1 נתק

B

A

C

D E

B

A

C

E C E

Dp Dq

Page 11: הסתברות של איגור

11

( ) ( ) ( )5

1 4 5 4 1 5 4 1 5

1

,1,0, , ,1,0,1, ,1,0,0,x

x x x x x x x x xϕ = ϕ + ϕ )4x רכיב המפתח(;

( ) ( ) ( )1

1 4 5 4 1 5 4 1 5

0

,0,0, , ,0,0,1, ,0,0,0,x

x x x x x x x x xϕ = ϕ + ϕ )4x רכיב המפתח.(

): ל יחדנחבר הכו )( )3 3 2 4 4 5 2 4 1 3 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xϕ = + + + = + + + ;

( ) 3 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4R E p p q p p q q p p q q p= ϕ = + + + . 2נקבל , כאשר הרכיבים זהים 3 43 5 2R p p p p= + − +.

נניח כי . מפסקים ונורה nנראה במערכת כלשהי כקופסא שחורה עם : הגדרה של מערכת מונוטונית במילים פשוטות .19גם נניח כי בכל מצב שחלק המפסקים . ודלוקה כאשר כל המפסקים דלוקים המערכת מנותקת כאשר כל המפסקים מנותקים

כזו מערכת "). להפך"שום מפסק לא פועל , כלומר(הדלקת כל מפסק נוסף לא מנתקת את המערכת , דלוקים והמערכת דלוקה . מערכת מונוטונית הקראנ

)יהיו . רכיבים nנתונה מערכת המכילה : הגדרה של מערכת מונוטונית במילים אקדמיות .20 )1, , nX x x= ,

( )1, , nY y y= 1אם . שני וקטורי המצבi ix y i n≤ ∀ = , אז נגידY X≤ . המערכת נקראה מונוטונית אם

( )0, ,0 0ϕ = ,( )1, ,1 1ϕ = ו-( ) ( )Y X Y Xϕ ≤ ϕ ⇐ ≤ .

): עבור מערכת מונוטונית: משפט .21 )0, ,0 0R = ,( )1, ,1 1R = ו-( )1, , nR p p גדלה לפי כל משתנה.

1יהיו , נתונה מערכת מונוטונית: משפט .22 mt t 1-מות שלה ו"כל קמ lc c אז . מות שלה"כל קנ

( )1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 .

max min max

min max min 1

i j i j i j i j

i j i j i jj l

i i i ix tj m j m x t j m x t j m x t

i i ij l j lx c x c x c

x x x x

x x x≤ ≤

∈≤ ≤ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ∈

≤ ≤ ≤ ≤∈ ∈ ∈

ϕ = = = − − =

ϕ = = − =

∏ ∏ ∏ ∏ ∏

∏ ∏ ∏

)-ש Xניקח וקטור המצב : נוסחא העליונהההוכחה של ) 1Xϕ tאז . Xבתוך וקטור " אחדים"קבוצה של כל tתהיה . =1ϕאז עדיין 1-ל 0- כי אם חלק מרכיבים האחרים יהפכו מ, היא קבוצת מוליכות ktמ "קיימת קמ. כי המערכת מונוטונית, =

kt-ש t⊆ .מ "אז עבור קמkt 1מתקייםmini k

ix tx

∈ואז =

11max min

i jix tj m

x∈≤ ≤

-ש Xניקח וקטור המצב , להפך. =

11max min

i jix tj m

x∈≤ ≤

1min- ש ktמ "אז קיימת קמ. =i k

ix tx

∈1ϕואז , )כל רכיביה דלוקים, כלומר( = 1ϕ- קבלני ש. = -ו =

11max min

i jix tj m

x∈≤ ≤

0ϕאז , זמנית- בו = -ו =1

0max mini j

ix tj mx

∈≤ ≤ .הם זהים, כלומר; זמנית-גם בו =

)-ש Xניקח וקטור המצב : נוסחא השנייהההוכחה של ) 0Xϕ cאז . Xבתוך וקטור " אפסים"קבוצה של כל cתהיה .=0ϕאז עדיין 0-ל 1- כי אם חלק מרכיבים האחרים יהפכו מ, היא קבוצת נתק -ש kcמ "קיימת קנ. כי המערכת מונוטונית, =

kc c⊆ .מ "אז עבור קנkc 0מתקייםmaxi k

ix cx

∈ואז =

10min max

i jij l x c

x≤ ≤ ∈

-ש Xניקח וקטור המצב , להפך. =

10min max

i jij l x c

x≤ ≤ ∈

0max- ש kcמ "אז קיימת קנ. =i k

ix cx

∈0ϕואז , )כל רכיביה מנותקים, כלומר( = 0ϕ- קבלני ש. = -ו =

10min max

i jij l x c

x≤ ≤ ∈

1ϕאז , זמנית- בו = -ו =1

1min maxi j

ij l x cx

≤ ≤ ∈ .הם זהים, כלומר; זמנית-גם בו =

Page 12: הסתברות של איגור

12

}מות "קמ 2יש 3במערכת מסעיף , לדוגמה .23 }1 3,x x ,{ }2 3,x x מות "קנ 2-ו{ }1 2,x x ,{ }3x . אז

{ } { }( ) ( )1 3 2 3 1 3 2 3max min , , min , max ,x x x x x x x xϕ = = =

1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 31 ;x x x x x x x x x x x x x x x= − ⋅ = ∨ = + −

{ } { }( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3min max , , max min 1 , 1x x x x x x x x xϕ = = − = − =

( ) ( )1 2 3 1 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3.x x x x x x x x x x x x x x x= ∨ = + − = + −

( ) ( )1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3.R E E x x x x x x x p p p p p p p= ϕ = + − = + −

}אלה , מות"קמ 3יש 17במערכת מסעיף , לדוגמה .24 } { } { }, , , , , , ,A D E B D E C E ; }אלה , מות"קנ 3ויש } { } { }, , , , ,A B C C D E .

{ } { } { }( ) ( )( )

( )

max min , , , min , , , min , max , ,

1;

A D E B D E C E ADE BDE CE

ADE BDE CE ADE BDE CE E AD BD CE AD BD C ABD ACD BCD ABCD

ϕ = = =

= − ⋅ ⋅ = ∨ ∨ = ∨ ∨ =

= + + − − − +( ) ( ).E A D B D C A B D A C D B C D A B C DR E p p p p p p p p p p p p p p p p p p p= ϕ = + + − − − +

{ } { }( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

min max , , , max , , min 1 ,1 ,

1 1 1 ;1 .E A B C C D A B C D

A B C C D E ABC CD E

ABC CD E E ABC CD ABCDR E p q q q q q q q q q

ϕ = = − − =

= − − = − − +

= ϕ = − − +

)מומלץ בחום לבדוק שזה זה) ית(לסטודנט(

}מות "קנ 2יש consecutive 3-out-of-4:Fבמערכת , לדוגמה .25 } { }2 2 3 4 1 1 2 3, , , , ,c x x x c x x x= =

}מות "קמ 3-ו } { } { }3 1 4 2 3 1 2, , ,t x x t x t x= = אז . =

{ } { } { }( ) ( )1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3

1 4 2 3 1 4 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 1 2 3 4

max min , , min , min max , , 1

;

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

ϕ = = = − ⋅ ⋅ =

= ∨ ∨ = + + − − − +

( ) ( )1 4 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 1 2 3 4

1 4 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 1 2 3 4.R E E x x x x x x x x x x x x x x x x

p p p p p p p p p p p p p p p p= ϕ = + + − − − + =

= + + − − − +

{ } { }( ) ( )( )( )

1 2 3 2 3 4 1 2 3 2 3 4

1 2 3 2 3 4 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4

min max , , , max , , min 1 ,1

1 1 1 .

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

ϕ = = − − =

= − − = − − +

( ) ( )1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 4 1 2 3 41 1 .R E E x x x x x x x x x x q q q q q q q q q q= ϕ = − − + = − − + )מומלץ בחום לבדוק שזה זה) ית(לסטודנט(

Page 13: הסתברות של איגור

13

.מערכות תלויות בזמן. 4

): נורמאלית סטנדרטית התפלגותפונקצית .1 )2

212

xtt e dx

−∞Φ =

π ∫.

): נורמאלית כללית התפלגותפונקצית )( )2

2

22

,12

xt tF t e dx

−µ−

σµ σ −∞

− µ = = Φ σ σ π ∫

): פונקציה גאמה .2 ) 1

0

t xt x e dx∞ − −Γ = ): תכונות. ∫ ) ( )1t t tΓ = Γ + ,( )1 !n nΓ + =.

פונקצית הצפיפות זאת פונקציה שמקיימת לשני . י פונקצית הצפיפות שלו"רציף מוגדר ע) מ"מ(משתנה מקרי : חזרה .3

)) 1: תנאים ) 0f t ≥ ,2 (( ) 1f t dt∞

−∞)הסתברות מוגדרת כי Tמ רציף "עבור מ. ∫= ) ( )b

aP a T b f t dt≤ ≤ = תחום . ∫

)-ש ) 0f t כלשהו Tמ "של מ) המצטברת(פונקצית התפלגות . Tמ רציף "נקרא תחום של ערכים האפשריים של מ, בו <)מוגדרת כי ) ללא קשר לרציפות( ) ( )F t P T t= : לכל פונקצית התפלגות יש תכונות הבאות. ≥

( ) ( )0 , 0 1F F t−∞ = ≤ ≤ ( ) 1F ∞ )-ו = )F t מ רציף "עבור מ. גדלה( ) ( )tF t f x dx

−∞= )-ו ∫ ) ( )f t F t′=.

מסמן את אורך Tמ "אם מ, אז. אורכי חיים של רכיבים בודדים או של מערכות בינאריות מים שנלמד בפרק הזה אלה"מ .4): יש פירוש פשוט Tמ "לפונקצית התפלגות של מ, )רכיב או מערכת(חיים של מכשיר כלשהו ה ) ( )F t P T t= זאת ≥

),גם כן. tברגע down -ב כלומר המכשיר נמצא, t -שווה לאו הסתברות שאורך חיי המכשיר קטן )0 0F − T מ"כי למ =)גם נגדיר את . אין ערכים שלילים ) ( ) ( )1R t F t P T t= − = כלומר , t-זאת הסתברות שאורך חיי המכשיר גדול מ, <

)את . tהמכשיר תקין ברגע )R t פונקצית , תכונות של פונקצית התפלגותבהתאם ל. קוראים פונקצית זמינות של המכשיר)-זמינות מקיימת ל ) ( )0 1 , 0 1R R t− = ≤ ≤,( ) 0R ∞ )- ו = )R t קטנה .

)עבור , לדוגמה .5 )~ expT λ בהגדרה( ) ( )0 1 tt F t e−λ≥ = )אז ; − ) tf t e−λ= λ ו-( ) tR t e−λ= . תכונת חוסר

):מעריכי מ"משל ןזיכרו ) ( )( )

( )

( )t s

st

R t sP T t s T t R sR t

e ee

+−λ−λ

−λ+> + > = = = אם ניקח מכשיר משומש , כלומר. =

, לא משנה שהוא חדש או משומש( שלו" גיל"בלא תלויה s שיעבוד עוד זמן הסתברותאז , ולא התקלקל t שעבד במשך זמן .)tתקין ברגע עדיין חשוב רק שהוא

)נגיד ,מ בדיד"החיים שלו הוא מ ךניקח בהתחלה מכשיר שאור. מושג של פונקצית סיכון .6 )~T G p )ימ גיאומטר"מ .(ירו ידוע כי ב. p לפגוע בה שווה הסתברותהובכל ירי , לפגיעה הראשונהכמספר יריות עד מטרההחיים של ךאור, למשל

על הסתברות המותנית כאן מדובר ? אחרי זה לפגוע בה מידהי ההסתברות מ, פעמים nבמטרה ולא פרעו בה

( ) ( )( )

1

1

n

nP T n q pP T n T n pP T n q

= == ≥ = =≥ =

זה . n -לא תלויה ב )פונקצית הסיכון הנקראש( הסתברות המותנית הזאת.

. ימ גיאומטר"של מ ןניסוח משנה של תכונת חוסר זיכרו

בוחרים מהכד כדור אחרי כדור ללא . כדורים שחורים ואחד לבן M כד מכיל: בדידה כוןפונקצית סיעוד דוגמה של )אז . )כולל( ו עד לקבלתו של הכדור הלבןהוצאאורך חיי המערכת מוגדר כי מספר כדורים ש. החזרה )~ 1T U M )מ "מ

)- ו; )אחיד בדיד ) ( )( ) ( )

1 11 ,11

P T n Mn M P T n T nM nP T n M n M

= =≤ ≤ = ≥ = =− +≥ = − +

כוןפונקצית הסיכאן .

Page 14: הסתברות של איגור

14

.יותר ישנה היא פחות אמינה" מערכת"שזה אומר כי , n ה לפיגדל

בוחרים מהכד כדור אחרי כדור וכל . כדורים שחורים ואחד לבן Mכד מכיל : בדידה פונקצית סיכוןועוד דוגמה של אורך חיי המערכת מוגדר כי מספר ניסוים עד , םכמו קוד. פעם מחזירים לכד הכדור שהוצא יחד עם כדור נוסף מאותו צבע

)אז ). כולל(לקבלתו של הכדור הלבן ) 11 ,1

n P T n T nM n

≤ = ≥ =+ −

שזה , nקטנה לפי פונקצית הסיכוןכאן .

.יותר ישנה היא גם יותר אמינה" מערכת"אומר כי

): מ רציף"נגדיר עבור מ, לפי אנלוגיה ) ( ) ( )h t f t R t= , במילים . מערכתהפונקציה הזאת נקרא פונקצית הסיכון של .השל" גיל"כפונקציה של מערכתשל ה "אמינותו-אי"מתארת את היא, פשוטות

) פונקצית הסיכוןלפי .7 )h t אפשר למצוא את( )R t ו-( )f t לפי מישדיפ( ) ( ) ( ) 0R t h t R t′ + עם תנאי התחלתי =

( )0 1R )אז . = )( )

0

th x dx

R t e−

= )אחר כך . ∫ ) ( )1F t R t= )-ו − ) ( )f t R t′= − .

)עבור , לדוגמה .8 ) 0h t = λ > :( ) ( ) ( ) ( ) 00 , 1 ,t

dxt t tt f t F t R te e e e− λ−λ −λ −λ≥ = λ = − = , ומרכל. ∫=

( )~ expT λ ) מעריכיתהתפלגות .(

)עבור , לדוגמה .9 )0 , h t tλ > = λ: ( ) ( ) ( )2 2 2

02 2 2, 1 ,tt t txdx

f t t F t R te e e eλ λ λ− λ− − −

= λ = − = =∫ . ).Rayleigh התפלגות(

): לוגנורמאליתהתפלגות , לדוגמה .10 )2ln ~ ,T N µ σ .( ) ( ) ( ) lnln ln 1 tR t P T t P T t − µ = > = > = − Φ σ ,

( ) ( )( )2

2ln

2ln 1 12

ttf t R t e

t t

−µ−

σ− µ ′ ′= − = Φ ⋅ = σ σ σ π ,

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )2

2ln

212 1 ln

tR th t eR t t t

−µ−

σ′= − =σ π − Φ − µ σ

.

): Weibullמודל .11 ), 0 ,t

R t eγ

θ−

γ θ > = :( ) ( ) ( )1 1, , 1t t

h t t f t t F te eγ γ

γ− γ− θ θ− −γ γ= = = −

θ θ .

): אורך חיים הממוצע .12 )E T= MTTF )mean time to failure .(( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 0 0

0

by partsE T t f t dt td R t tR t R t dt R t dt∞ ∞ ∞ ∞∞

= = − = = − + =∫ ∫ ∫ ∫

)כאשר ( )lim 0t

tR t→∞

=.(

פונקצית התפלגות . Aומאורע כלשהו Tמ רציף "נתונים מ. פונקצית צפיפות מותנית ותוחלת מותנית מושג של .13

)המותנית ) ( ) { }( )( )| : | P T s AF s A P T s A

P A≤ ∩= ≤ T-מותנית ש הסתברות, כלומר. = s≤ בתנאי מאורעA .

)פונקצית צפיפות המותנית היא ) ( )| |f s A F s A′= )ניקח את המאורע ). כרגיל{ }T t> בתור מאורעA . אז

Page 15: הסתברות של איגור

15

( ) ( ) { } { }( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ),| |

0,F s F t R t s tP T s T tF s A P T s T t

P T t R t s t − >≤ ∩ >= ≤ > = = > = <

;

( ) ( ) ( ) ( )| |f s T t F s T t f s R t′> = > sכאשר = t> ,אחרת 0 - ו . :זאת תוחלת המחושבת לפי פונקצית צפיפות המותנית לפי נוסחא רגילה Tמ "של מ תוחלת המותנית

( ) ( )0

| |E T A s f s A ds∞

= )-ו, ∫ ) ( ) ( )( )

0

1| |t

E T T t s f s T t ds s f s dsR t

∞ ∞> = > =∫ ∫.

): שארית אורך החיים הממוצע .14 ) ( )MRL t E T T t t= > − )mean residual life .( זה אורך הממוצע של שאר חיי: החישוב .ועדיין תקין tהמכשיר לאחר שהמכשיר פעל במשך זמן

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )1 1MRL by partst t

t E T T t t x f x dx t xd R x tR t R t

∞ ∞= > − = − = − − =∫ ∫

( )( )( )

( )( )

( )1 1 .t t ttR t

xR x R x dx t R x dxR t R t

∞ ∞∞ = − + − =

∫ ∫

) MRL(0) = MTTF .(מ "בנוסחא האחרונה אין אילוץ למT כי אין בתוכה פונקצית צפיפות, להיות רציף.

)עבור , לדוגמה .15 )h t = λ :( )0 0

1tR t dt e dt∞ ∞ −λ= = =

λ∫ ∫ MTTF ;

( )( )

( ) ( )1 1 10t x t t

t tt R x dx e e dx e e

R t∞ ∞λ −λ λ −λ−= = = − =

λ λ∫ ∫ MRL )לא תלוי ב- t(.

)עבור , לדוגמה .16 )h t t= λ :( )2

20 0 2

t

R t dt e dtλ∞ ∞ − π= = =

λ∫ ∫ MTTF ;

( )( )

( )

( ) ( )

( )2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

1 2 2MRL .2

t x t x t

t t t

t t

t R x dx e e dx e e dx e tR t

λ λ λ λ λ∞ ∞ ∞− −

= −−Φ λ Φ λ

π λ π= = = ⋅ = Φ − λλ π λ∫ ∫ ∫

2לוגנורמאלית עם פרמטרים התפלגות עבור, לדוגמה .17 ,σ µ :

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

22 2 2 2 42 2 2

2 2

222

2 2

2 2

2

2

2

0 0 0

2 22 22 2

2

ln ln2 2

2

2

ln ,1 1MTTF2 2

1 12 2

12

x

x

x xx x xx

x

t t

x

x t t et f t dt t e dt e dt

t dt e dx

e dx e dx

e e dx

∞ ∞ ∞

− µ+σ + µ+σ − µσ −σ− µ +µ − σ − −+∞ ∞ σ σ

−∞ −∞

−µ−σσ ∞

−∞

−µ −µ− −

σ σ

−µ−

σ

−µ+ σ

=

= == = = = =

σ π σ π =

= = =σ π σ π

=σ π

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫1

22 .e

σµ+=

( )( )

( )( )

( )2

2ln

2 ln ,1 1MRL2

x

xt t

z x z z et z f z dz t e dz t

R t R t dz e dx∞ ∞

−µ−

σ = =

= − = = − = = σ π =

∫ ∫

Page 16: הסתברות של איגור

16

( )

( )

( )

( )

( )( )

2 22

2

2

2 22

ln ln

1 ln

2 21 12 2

xx

t t

t

xee dx t e dx tR tR t

σ −µ−σ+∞ ∞

−Φ −µ−σ σ

−µ µ+− −σ σ= − = − =

σ π σ π∫ ∫

( ) ( )2 2

2 22 2ln ln1 1 .ln1

t te ettR t

σ σµ+ µ+ − µ − σ − µ − σ= − Φ − = − Φ σ σ− µ − Φσ

: Weibull עבור מודל , לדוגמה .18

( )

( )

1 111 11

11 10 0 0

1

,1MTTF

tx

x t t xR t dt e dt x e dt

dt x

γγ γ γ

γ γ−∞ ∞ ∞− −γθ γ −γ

Γ γ

= θ = θθ θ = = = = = Γ θ γ γ γ = γ

∫ ∫ ∫

)שפונקצית האמינות שלה , רכיבים nנתונה מערכת בעלת .19 )1, , nR p p . נסמן -( ) ( )1 , , nr t r t את פונקציות

)כת כולה היא של המער אז פונקצית הזמינות. הזמינות של רכיבי המערכת ) ( ) ( )( )1 , , nR t R r t r t= ) .מציבים , פשוט( ) ( )1 , , nr t r t 1בתור, , np p בתוך פונקציהR(

,עבור מערכת הנתונה בציור, לדוגמה .20( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 3 1 2 3R t r t r t r t r t r t r t r t= + −.

,אלה הקבועים : נתונות פונקציות סיכון של הרכיבים , 0a b c .בהתאם <

)אז ) ( ) ( ) ( )a c t b c t a b c tR t e e e− + − + − + += + − .( )0

1 1 1MTTF R t dta c b c a b c

∞= = + −

+ + + +∫ .

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1MRL .a c t b c t a b c t

a c t b c t a b c tt

e e et R x dxa c b c a b cR t e e e

− + − + − + +∞

− + − + − + +

= = + − + + + + + − ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .a c t b c t a b c tf t R t a c e b c e a b c e− + − + − + +′= − = + + + − + +

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .a c t b c t a b c t

a c t b c t a b c tf t a c e b c e a b c eh tR t e e e

− + − + − + +

− + − + − + +

+ + + − + += =+ −

נגדיר : רוןפת? 2היה תקין ברגע 1מהי ההסתברות שרכיב . 5בשאלה הקודמת נניח כי המערכת תקינה ברגע , לדוגמה .21

)אז ". 2תקין ברגע 1רכיב : "B, "5המערכת תקינה ברגע : "Aמאורעות ) ( )( )

( )( ) ( )| |P B A P BP B A P A B

P A P A∩= = ;

( ) ( ) ( ) ( )1 2 , 5P B r P A R= = ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 3 1 2 3| 5 | 5 | 5 5 5 5 | 5 5P A B R B r B r r r r B r r= = + כאן ; −( ) ( )1 1 15 | 5 | 2r B P T T= > מעריכי מ"משל ןתכונת חוסר זיכרולפי . 1זה אורך החיים של רכיב 1Tמ "שמ, <

( ) ( ) ( )1 1 1 15 | 2 3 3P T T P T r> > = > . יחידות זמן 2-יותר חדש מרכיבים האחרים ב 1רכיב , כלומר. =

)יהיו , עבור המערכת הקודמת, לדוגמה .22 ) ( )3 1,h t bt h t a= 1qפגום בהסתברות 2ורכיב = p= לא פועל ( −

)במקרה הזה . λאורך חיים מעריכי עם פרמטר אחרת יש לו , )מהתחלה )20 , tt r t pe−λ> באופן דומה נקבל ; =

( )2 2 2

2 2 2bt bt btat t at t

R t e pe pe− − −λ − − −λ −

= + − ;

2

1 3

Page 17: הסתברות של איגור

17

( )2 2 2

2 2 20 0 0 0

MTTFbt bt btat t at t

R t dt e dt p e dt p e dt∞ ∞ ∞ ∞− − −λ − − −λ −

= = + − = →∫ ∫ ∫ ∫

( )2 2

22

2 22

2

2 2 20 0 0

2 22

,2 1

a aa btb t t bbbt bat

a axb b

ab

e dt e dt e dt

a x ax bt t e e abb b e dtb b bdt dx b

+ −+ ∞ ∞ ∞− − − −

∞ −

= = = = + = − = = = π − Φ =

∫ ∫ ∫

( )22 2

2 2 22 1 2 1 2 1 .

a ab b be a e e ap pb b b b b b

λ +λ

λ + λ → = π − Φ + π − Φ − π − Φ

( )( )

2 2

2 21MRL 2 1 2 1a

b be a et bt p btR t b b b b

λ λ = π − Φ + + π − Φ + −

( )2

22 1

abe ap btb b

+λ + λ − π − Φ +

.

נסמן את אורכי החיים . λשכולם זהים ובעלי אורך החיים מעריכי עם פרמטר , רכיבים nנתונה מערכת טורית בעלת .23,1-של רכיבים בודדים ב , nT T . אז אורך חיי המערכת( )1min , , nT T T= ,ו -

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1min , , n n t n t

n i ii iR t P T t P T T t P T t r t e e−λ − λ

= = = > = > = > = = = ∏ ∏ .כלומר ,

( )~ expT nλ . 15,8ראה סעיפים (אז (( ) ( )MTTF MRL 1t n= = λ.

נסמן את אורכי החיים של . λשכול רכיביה זהים ובעלי אורך החיים מעריכי עם פרמטר , k-out-of-nנתונה מערכת .24,1-רכיבים בודדים ב , nT T . 1קינה עד אשר והמערכת ת, כול הרכיבים תקינים 0ברגעn k− -נסמן ב. רכיבים יתקלקלו +

1 1, , n kS S − + 1אז אורך חיי המערכת . את רגעי הקלקולים העוקביםn kT S − רגע של הקלקול הראשון . =+

( )1 1min , , nS T T= , ולפי הסעיף הקודם( )1 ~ expS nλ .1כל , החל מרגע של הקלקול הראשוןn רכיבים התקינים −2אז משך זמן עד לקלקול השני !). ןחוסר זיכרו( λשוב בעלי אורך חיים מעריכי עם פרמטר 1S S− הוא אורך חיים של

1nמערכת טורית בעלת )-ו, רכיבים − )( )2 1 ~ exp 1S S n− − λ .אנו נקבל , באופן דומה( )( )1 ~ expm mS S n m+ − − λ 0mעבור n k= − ( )0 : 0S אז . =

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

1 1 0 2 1 1 1

~exp ~exp~exp 1 ~exp 1

n k n k n k n k n k

n kn k

T S S S S S S S S S− + − − − − + −

λ λ− λ + λ

= = − + − + + − + − ,

( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 1 1MTTF

1 1

n

n ki k

E T E Sn k in k− +

=

= = = + + + + =λ λ λ− λ + λ ∑ .

Page 18: הסתברות של איגור

18

.ש בפונקצית הזמינות שלהמבלי שימו k-out-of-nשל מערכת MTTFמצאנו את

Page 19: הסתברות של איגור

19

.(Poisson)תהליך פואסון . 5

)מ בדיד בעל פונקצית בהסתברות "זה מ μמ פואסון עם פרמטר "מ .1 )!

k

P X k ek

−µ µ= = ,0,1,2,k = . תוחלת

)מ פואסון "ושונות של מ ) ( )E X V X= = µ . הסימון( )~X P µ.

)מים "נתונים שני מ: משפט .2 )1 1~X P µ ,( )2 2~X P µ אז . והם בלתי תלויים( )1 2 1 2~X X P+ µ + µ .כלומר ,

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 !

k

P X X k ek

− µ +µ µ + µ+ = = ,0,1,2,k = . הוכחה :

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

1 2

1 2 1 2

1 2

1 21 2 1 20 0

1 21 20

! !

1 ! .! !! !

k

i k ik k

i i

kk i k ii

P X X k P X i P X k i e ei k i

ke ek ki k i

−−µ −µ

= =

− µ +µ − µ +µ−=

µ +µ

µ µ+ = = = = − = ⋅ =

µ + µ= µ ⋅µ =

∑ ∑

כך שמספר פעימות במשך , ברגעים מקרים) קליקים(יש לנו מכשיר אלקטרוני שיוצר פעימות נניח כי . תהליך פואסון .3)מ פואסון "הוא מ tכל קטע זמן באורך )~tX P tλ עם פרמטרtµ = λ )λ ומספרי פעימות במשך , )זה מקדם פרופורציה

עם ניקח שני קטעי זמן . פואסון) או זרם(מ עם פרמטר הפרופורציוני לזמן נקראה תהליך "כזה מ. קטעי זמן זרים בלתי תלויים1מ פואסון עם הפרמטר "אז מספר פעימות הכולל הוא מ, 2t- ו 1tזרים באורך 2t tλ + λ ,לפי סעיף הקודם .

( )( )1 2 1 2 1 2~t t t tX X X P t t+ = + λ +.

או רגע של (שהוא זמן המתנה עד לפעימה הראשונה 1Tמ רציף "ונגדיר מ 0נדליק את המכשיר האלקטרוני שלנו ברגע .41Tהמאורע ). פעימה הראשונה t≤ או ברגע -עד ל השפעימה הראשונה היית t 1אפשר לנסח גם כי מאורעtX כלומר , ≤

)אז . 0החל מרגע tהייתה פעימה אחת לפחות במשך זמן ) ( ) ( ) ( )1 1: 1 1 0 1 tt tF t P T t P X P X e−λ= ≤ = ≥ = − = = − ,

)אנו רואים כי . 1Tמ "זאת פונקצית התפלגות של מ )1 ~ expT λ.

kTהמאורע ). k -או רגע של פעימה ה( k -שהוא זמן המתנה עד לפעימה ה kTמ רציף "נגדיר מ, באופן דומה .5 t≤ tXאפשר לנסח גם כי t או ברגע -עד ל ההיית k -שפעימה ה k≥ , כלומר היו לפחותk פעימות במשך זמןt החל מרגע

)אז . 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0: 1 1 1 1

!

ik k t

k k t t ti itF t P T t P X k P X k P X i ei

− − −λ= =

λ= ≤ = ≥ = − ≤ − = − = = −∑ זאת , ∑

)פונקצית הצפיפות שלו . kTמ "פונקצית התפלגות של מ ) ( )( )

1

1 !

k kt

k ktf t F t e

k

−−λ λ′= =

−.

כמו . את זמן ההמתנה Tמ "נסמן במ; אנו מאפסים את סטופר שלנו וממתינים עד לפעימה הבאה kTנניח כי ברגע .6)אנו נקבל , 4בסעיף )~ expT λ ;כלומר ,( )1 ~ expk kT T+ − λ .מים "א כי כל משכי זמן בין פעימות עוקבות אלה מ"ז

)אז . מים כאלה"מ kהוא סכום של kTמ "מ. והם בלתי תלויים, λמעריכים עם פרמטר )kE T k= λ , זאת סכום תוחלות .מים מעריכים"מ kשל

Page 20: הסתברות של איגור

20

אז , חלופיותנורות mויש עוד , λנתפלג מעריכית עם פרמטר נברשת מכילה נורה אחת שאורך החיים שלה , לדוגמה .7

1mTאורך החיים של כזו מערכת הוא 1m-זמן המתנה עד לפעימה ה( + )-ו, )+ ) ( ) ( )1 0

1!

imt

m itR t F t e

i−λ

+ =

λ= − = ∑ ,

( ) ( )1MTTF 1mE T m+= = + λ.

מ "הוא מ Tאורך החיים שלה , λרכיבים בעלי אורך חיים מעריכי עם פרמטר n -עבור מערכת טורית מ, לדוגמה .8)ובהתאם לזה , )מפרק הקודם 23ראה סעיף ( nλמעריכי עם פרמטר ) ( )MTTF 1E T n= = λ .נניח כי יש m רכיבים

חוסר " (מחדש"שאר הרכיבים מתחילים לחיות , כלשהו ברכיב חלופי" שרוף"באותו רגע שמחליפים רכיב . במלאי םחלופייאז כמו . מערכות חלופיות כאלה במלאי mיש לנו , כלומר". כחדשה"ואנו שוב מקבלים את המערכת המקורית , !)זיכרון

), 7בסעיף ) ( ) ( )1 0

1!

imn t

m i

n tR t F t e

i− λ

+ =

λ= − = ∑ ,( ) ( ) ( )1MTTF 1mE T m n+= = + λ.

)יהיו , עבור מערכת הנתונה בציור, לדוגמה .9 ) ( )2 1,h t b h t a= = , ( ) ( )3, , 0a b c h t c> שכולם םרכיבים חלופיי mיש 2ולרכיב , =

)אז . זהים לו ) ( ) ( ) ( )3 2 10, ,

!

imct bt ati

btr t e r t e r t ei

− − −=

= = =∑ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 3 1 2 3 0 0! !

i im ma c t b c t a b c ti i

bt btR t r t r t r t r t r t r t r t e e ei i

− + − + − + += =

= + − = + −∑ ראה ( ∑

). הקודם מפרק 20סעיף

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

0 00 0 0 0

1

0 00 0

1

1 10 00

!

MTTF =! !

! !

1!

i im ma c t b c t a b c ti i

a c

i im mAt i Ati i

mi im mi zi ii i

i

bt btR t dt e dt e dt e dti i

z Atbt be dt t e dt dzi i dt

A

b Ab bz e dzA bi A A

∞ ∞ ∞ ∞− + − + − + += =

+

∞ ∞− −= =

+∞ −

+ += =

= + − = →

= = = = =

−= = =

∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑∫

( ) ( )1 1

1 11 .

m mb bb c a b c

a c c a c

+ +

− −+ + +→ = + −

+ +

רכיבים mויש עוד , λרכיבים שכול רכיביה זהים ובעלי אורך החיים מעריכי עם פרמטר n -מ נתונה מערכת כלשהי .10אורך החיים . כ המערכת פועלת עד לסוף חייה"ואח, עד לגמר המלאי נניח כי מחליפים מייד כל רכיב נתקל. במלאי םחלופייפעמים אורך mסכום של שזה(רכיבים n -פעמים זמן המתנה עד לתקלה של כל רכיב מ mמערכת הוא סכום של של כזו

אז . םועוד אורך החיים של המערכת המקורית ללא רכיבים חלופיי, )רכיבים n -החיים של מערכת טורית מ

0MTTF MTTFmn

= +λ

m- ו, של המערכת המקורית MTTF זה 0MTTF-ש, nλ

של מערכת MTTF פעמים mזה

שכול רכיביה זהים ובעלי אורך נתונה מערכת מסעיף הקודם, לדוגמה. )הקודםמפרק 23ראה סעיף (רכיבים n -טורית מ

2

1 3

Page 21: הסתברות של איגור

21

1אז . במלאי םרכיבים חלופיי mויש עוד , λהחיים מעריכי עם פרמטר 1 1 1MTTF3 3 3m m −= + − = +λ λ λ λ λ

,

0-ש1 1MTTF

3= −

λ λ ). ***הקודםמפרק 20ראה סעיף (של המערכת המקורית MTTFזה

רכיבים mויש עוד , λשכול רכיביה זהים ובעלי אורך החיים מעריכי עם פרמטר , k-out-of-nנתונה מערכת .11רכיבים תקינים rכול עוד שנשארים לפחות " נשרפים"פים רכיבים לא מחלי, נניח כי לפי הסדר מסוים. במלאי םחלופיי

( )k r n≤ כ המערכת "ואח, עד לגמר המלאי )רכיבים דלוקים rשיהיו בדיוק (הבא " נשרף"כ מחליפים כל רכיב "אח, ≥ראה ( 1T -בשנסמן , r-out-of-n אורך החיים של כזו מערכת הוא סכום של אורך החיים של מערכת. פועלת עד לסוף חייה

1m עם רכיבים r -ועוד אורך החיים של מערכת טורית מ; )הקודםמפרק 24סעיף ראה סעיף (במלאי םרכיבים חלופיי −)ועוד אורך החיים של מערכת ; 2T -בשנסמן , )8 1)r −k-out-of- , 3 -בשנסמןT ) אם ). הקודםמפרק 24ראה סעיף

r k= , 3נגדיר בנוסף 0T )אז . = ) ( ) ( ) ( )1 2 3E T E T E T E T= + + ,

-ו1

1 2 31 1 1 1 1 1MTTF MTTF MTTF MTTF

n r n

i r i k i k

m mi r i r i

= = =

= + + = + + = +λ λ λ λ λ∑ ∑ ∑.

החל מכל . רכיבים בודדיםאורכי החיים של ים על תכונת חוסר זיכרון של התפלגות מעריכית עבור אנו כל הזמן מסתמכ***

.0אורך שאר החיים שלו זהה בהתפלגות לאורך החיים שלו מרגע , רגע שכזה רכיב עדיין תקין

Page 22: הסתברות של איגור

22

.Burtin-Pittelקירוב . 6 1 יהיו, נתונה מערכת מונוטונית קבועה .1 nq q של רכיביה ו" אמינויות-אי"אלה - Q "של המערכת כולה" אמינות- אי .

1נניח כי ההסתברויות nq q 1כלומר , כך פרופורציות שלהן קבועות, בו זמנית 0-שואפות ל , i ii n q= = αθ ;ו - 0α → )1 nθ θ נסמן ב). קבועים- r 1 ויהיו, מות במערכת"את הגודל המינימאלי של קנ mc c מות בגודל "כל הקנr

נגדיר . הזה1 1

*j j

m mr

i ij ji c i c

Q q= =∈ ∈

= = α θ∑ ∑∏ *אז ). מ"ים לאורך כל קנ-qשל מכפלות סכום( ∏ ~Q Q 0כאשרα → .

מות בגודל המינימאלי "אפשר לקחת בחשבון רק קנ, מאוד עבור מערכת בעלת רכיבים אמינים Qבחישוב , במילים פשוטות(r ,מות"שום על חיתוכים של כל קנ, מות גדולות יותר"ולא להתחשב על קנ .(

1יהיו : הוכחה lc c 1- ש, לפי גודל עולהמות של המערכת סדורות "כל קנ mc c מות של גודל "אלה קנr המינימאלי .) 2מפרק 8ראה סעיף (אז

( ) ( ) ( ) ( )11

1 1

1 1;

a a a a cb b

a a a a cb b

l la a a b a b ca a b a b ca

m l

i i i ia b a b ca a m

m lr r r r

i i i ia b a b ca a m

i c i c i c c i c c c

i c i c i c c i c c c

Q P C P C P C C P C C C

q q q q

= ≠ ≠ ≠=

≠ ≠ ≠= = + ∩ ∩ ∩

+ + +≠ ≠ ≠

= = + ∩ ∩ ∩

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

= = − ∩ + ∩ ∩ − =

= + − + − =

α θ + α θ − α θ + α θ −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑∏ ∏ ∏ ∏

∑ ∑ ∑ ∑∏ ∏ ∏ ∏

rכאן כתב ( אז. )r -מסמן חזקה ממש גדולה מ +

1 1

1

* a a a a cb b

a

m lr r r r

i i i ia b a b ca a m

mr

ia

i c i c i c c i c c c

i c

QQ

+ + +≠ ≠ ≠

= = + ∩ ∩ ∩

=

∈ ∈ ∈ ∈

α θ + α θ − α θ + α θ −= =

α θ

∑ ∑ ∑ ∑∏ ∏ ∏ ∏

∑ ∏

10

1 1 1

1 1a a ca b b

a a a

l

i ii a b a b ca m

m m m

i i ia a a

i c c i c c ci c

i c i c i c

≠ ≠ ≠∩ ∩ ∩= +

α→

= = =

∈ ∈∈

∈ ∈ ∈

+ + +θ θθ

= + − + − →θ θ θ

α α α∑ ∑∏ ∏∑ ∏

∑ ∑ ∑∏ ∏ ∏

.)1שהיא מאפסת את כל המחוברים אחרי , בחזקה חיובית αמסמן את α+כאן כתב (

,מות"קנ 3יש במערכת הנתונה בציור, לדוגמה .2}אלה } { } { }, , , , ,A B C C D E . 0.01יהיו , 0.02A C E B Dq q q q q= = = = = .

*אז 0.01EQ Q q≅ = =. ).1-מות גדולות מ"לא מתחשבים על קנ(

}מות "קנ 3יש consecutive 3-out-of-5:Fבמערכת , לדוגמה .3 } { } { }3 4 5 2 3 4 1 2 3, , , , , , , ,x x x x x x x x x .

1יהיו 3 5 2 40.01 , 0.02q q q q q= = = = 6אז . =1 2 3 2 3 4 3 4 5* 8 10Q Q q q q q q q q q q −≅ = + + = ⋅.

).מות"לא מתחשבים על חיתוכים של הקנ(

B

A

C

D E

Page 23: הסתברות של איגור

23

1nשכל קבוצה חלקית של רכיבים בגודל , k-out-of-nבמערכת , לדוגמה .4 k− נניח שכל רכיביה זהים , מ"קנ הינה +

*1אז . די קטנה qעם 1n knQ Q qn k

− + ≅ = − + ).מות"לא מתחשבים על חיתוכים של הקנ(

מות"קנ 2יש במערכת צלעות הנתונה בציור, לדוגמה .5}אלה , 2בגודל } { }7,8 , מות האחרות "קנ( 1,2

0.02qיהיה ). גדולות יותר ולא מעניינות לנו לכל =4אז . הרכיבים

1 2 7 8* 8 10Q Q q q q q −≅ = + = ⋅

)יהיו, נתונה מערכת מונוטונית תלויה בזמן .6 )i ih t = λ ,1i n= ביה ואלה פונקציות הסיכון של רכי -( )Q t "אי -1נניח כי הערכים . של המערכת כולה" זמינות nλ λ כלומר , כך פרופורציות שלהם קבועות, בו זמנית 0 - שואפים ל

1 , i ii n= λ = αθ ;0 -וα → )1 nθ θ אז עבור ). קבועיםt סופי מתקיים( )01 0it

iq t e−αθα→= − → ,

1i n= ) נסמן ב, 1כמו בסעיף ). 4מפרק 8ראה סעיף- r 1ויהיו , מות במערכת"את הגודל המינימאלי של קנ mc c כל

)-ו, הזה rמות בגודל "הקנ ) ( )1

*j

m

ij i c

Q t q t= ∈

= ∑ *סופי tעבור , 1לפי תוצאה של סעיף . ∏ ~Q Q 0כאשרα → .

- מפני ש, הלאה0

1lim 1x

x

ex

− 1גם אז = ~xe x−− 0כאשרx )ואז , → ) 1 ~i ti iq t e t−αθ= − αθ 0כאשרα → ;

)נציב את זה בתוך )*Q t :( )1 1

** :j j

m mr

i ij ji c i c

Q t t t= =∈ ∈

= αθ = λ∑ ∑∏ )אז . ∏ ) ( ) ( )** ~ * ~Q t Q t Q t 0אםα → .

), בסוף ) ( ) ( ) ( )**: 1 ~ ** ~Q tQ t e Q t Q t−= − כי( )0** 0Q t α→→ 0אםα → .

)הפונקציה , לסיכום ) 11

mr

ij i c j

t

Q t e = ∈− λ

= −∑ ∏

האמיתית" זמינות- אי"מקרבת את פונקצית ה ( )Q t עבור מערכת שרכיביה1בעלי אורך חיים מעריכי עם nλ λ די קטנות .

)הצורה של הפונקציה )Q t היא התפלגות Weibull ) 4מפרק 11ראה סעיף.(

,יהיו , 2במערכת מסעיף , לדוגמה .7 , ,0.01 , 0.02A C E B Dλ = λ = :( ) ( ) 0.011 1E t tQ t Q t e e−λ −≅ = − = −.

1,3,5יהיו , 3במערכת מסעיף , לדוגמה .8 2,40.01 , 0.02λ = λ = :

( ) ( ) ( )3 6 31 2 3 2 3 4 3 4 5 8 101 1t tQ t Q t e e

−− λ λ λ +λ λ λ +λ λ λ − ⋅ ⋅≅ = − = −.

): עם רכיבים זהים 4במערכת מסעיף , לדוגמה .9 ) ( )1 1

11n k n kn

tn kQ t Q t e

− + − + − λ − + ≅ = −.

0.02iλעם 5במערכת מסעיף , לדוגמה .10 = :( ) ( ) ( )2 4 21 2 7 8 4 101 1t tQ t Q t e e

−− λ λ +λ λ − ⋅ ⋅≅ = − = −.

2

1 5

4

3 67

8

Page 24: הסתברות של איגור

24

.אמידה נקודתית. 7 1מדגם מקרי זה אוסף של משתנים מקרים .1 nX X כלומר ; בלתי תלויים ושווי התפלגותn מ "עותקים של אותו מX .פסים תו, למשלn אז יש , את הערכים האלה) לפני הניסוי(אפשר לדעת מראש -אי. חתולים ברחוב ומודדים אורכי זנבם

1סטטיסטי זה כל פונקציה של משתנים מקרים . שזהו מדגם המקרי, מים"מ nלנו nX X . סטטיסטי עצמו הוא משתנה

1: שני סטטיסטים הכי מצויים, למשל. מקרי

nii

XX

n== , )ממוצע המדגם( ∑

( )2

2 1

1

nii

X XS

n=

−=

−). שונות המדגם( ∑

): סטטיסטים אחרים )max 1max nX X X= - 1מים "ערך המקסימאלי מבין מ nX X ,( )min 1min nX X X= -

1מים "ערך המינימאלי מבין מ nX X ,( )1ˆ

t nP X X≤ - 1פרופורציה של ערכים מבין nX X או שווים ל - הקטנים מ- t ,והלאה.

)סמן נ .2 ) ( )2 ,i iV X E X= σ = µ . אז( ) ( ) ( )2

2 2 , ,E S V X E Xn

σ= σ = = µ .הוכחה :

( ) ( )1 1

n ni ii i

X E X nE X En n n= =

µ = = = = µ ∑ ∑ ,( ) ( )

2 21

2 211

nnii

ii

X nV X V V Xn nn n=

=

σ σ = = = = ∑ ∑ ,

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

222 1

1

2 2 2 21 1

11 1

1 12 21 1

nnii

ii

n ni i i ii i

X XE S E E X X

n n

E X X X X E X E X X E Xn n

==

= =

− = = − =− −

= − + = − + = →− −

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

22 22 2 2 2 2

21 2 2 2 2 2

, ,

1 1 1 .

i i i

njj

i i i i jj i

E X E X V X E X E X V Xn

XE X X E X E X E X E X n

n n n n=

σ = + = µ + σ = + = µ +

σ = = + = µ + σ + − µ = µ +

∑∑

( )2 2 2

2 2 2 21 1

21 1 121 1

n n

i in

n n n n n= =

σ σ − σ→ = µ + σ − µ + + µ + = = − − σ∑ ∑

1ברשותנו מדגם מקרי . לפחות בקירוב, אך רוצים לדעת, μנניח כי אנו לא יודעים את .3 nX X ; על סמכו יש לבנותזהו : יש לנו תשובה מוכנה, לפי סעיף הקודם. μ -ל אומד בלתי מוטה כזה סטטיסטי נקרא, μ -סטטיסטי שתוחלתו שווה ל

)כי , Xהסטטיסטי )E X = µ .ל אם יש לנו אומד בלתי מוטה- μ , היא ) שזה מספר מסוים(אז תצפית של אותו סטטיסטי1דו אורכי זנבם חתולים ברחוב ונמד 10אם נתפסו , למשל. μ -אומדן ל 10x x ,ולפיהם מחושב , שאלה ערכים מסוימים

27.3xהממוצע 27.3xכי , זה לא ניתן לדעת? מהו דיוק של כזה אומדן . μ - מ זה אומדן ל"ס 27.3אז , מ"ס = זאת =שזאת , Xשל אז לפי מדגם החדש אנו נקבל תצפית אחרת, חתולים אחרים 10אם מחר אנו נתפוס . Xמ "תצפית אחת של מ

), לפי סעיף הקודם. דיוק של כזו אמידה נקודתית מוגדר כשונות של האומד. μ -ל גם תהי אומדן )2

V Xn

σ= , ואפשר לראות

". מדויק"והוא יותר , יותר גדולים שונותו של האומד יותר קטנה כי עבור מדגמים

.אנו לא מחשבים את שונותו. 2σ-הוא אומד ל 2Sהסטטיסטי , לפי סעיף הקודם. 2σאותה שאלה לגבי .4

Page 25: הסתברות של איגור

25

)עבור התפלגות , לדוגמה .5 )2,N µ σ , סטטיסטיX זה אומד לפרמטרμ ,2-וS 2זה אומד לפרמטרσ.

)עבור התפלגות , לדוגמה .6 )P λ , סטטיסטיX זה אומד לפרמטרλ כי( )E X = λ.

)התפלגות .7 ),U a b - התפלגות אחידה רציפה בקטע( ),a b - זאת התפלגות עם פונקצית הצפיפות

( ) 1,a x b f xb a

≤ ≤ =−

)-ו; ) 0f x )עבור . אחרת = )~ ,X U a b :( )2

a bE X += ,( ) ( )2

12b aV X −= .

)עבור התפלגות , לדוגמה )0,U a יהיהa אנו יודעים כי עבור . שעבורו יש למצוא אומד, )מ"פה(פרמטר המבוקש

( )~ 0,X U a :( )2aE X )ואז , = )

2aE X = ;( )2E X a= ;2הסטטיסטי אזX הוא אומד ל- a .של האומד שונות :

( ) ( ) ( )2 4 4V XV X V X

n= = ,( )

2

12aV X )עבור התפלגות = )0,U a . בסוף נקבל( )

2

23aV Xn

=.

): k -ה ימומנט תיאורט. טיםשיטת מומנ .8 )1,2 , kkk E X= µ = .מומנט מדגמי ה- k זה סטטיסטי הבא :

11,2 ,n k

iik

Xk M

n== = ∑) .מ "הראשון הוא תוחלת של מ ימומנט תיאורטX , מומנט מדגמי הראשון הואX .( מומנט

), לומרכ ; k -ה יהוא אומד למומנט תיאורט k - מדגמי ה )k kE M = µ .מ "נניח כי יש התפלגות עם פהλ ,ו- ( )k gµ = λ .

)נקבל ; λנפתור את זה כמשוואה לגבי )khλ = µ . בסוף נציב אתkM בתוך אותה פונקציה :( )ˆkh Mλ קבלנו סטטיסטי . =

- כלומר אפשר ש, אומדים של שיטת המומנטים לא בהכרח חסרי הטיה. של שיטת המומנטים λמסוים שהוא אומד עבור ( )ˆE λ ≠ λ , אך בכל מקרה אםn → )אז ) גודל המדגם( ∞ )ˆE λ → λ.

)עבור התפלגות , לדוגמה .9 )exp λ :( )1

1E Xµ = =λ

,1

1λ =µ

,1

1 1ˆM X

λ = .זהו האומד; =

)עבור התפלגות , לדוגמה .10 )2,LN µ σ ,ש- σ ידועה ו- μמ "פה :( )2

21 E X e

σµ+µ = ; )4מפרק 17ראה סעיף ( =

( )2 22

1 1ln ln2

eσ− σµ = µ = − + µ , אז

2 2

1ˆ ln ln2 2

M Xσ σµ = − + = − .זהו האומד; +

)עבור התפלגות , לדוגמה .11 )0,U a :( )1 2

aE Xµ = = ,12a = µ ,1ˆ 2 2a M X= .זהו האומד; =

)עבור התפלגות , לדוגמה .12 )2,N µ σ ש- μ ידועה ו-σ מ"פה :( )1 E Xµ = = µ שזה לא תלוי ב - σ . ניקח מומנט

): השני ) ( )( ) ( )22 2 22 E X E X V Xµ = = + = µ + σ ,2

2σ = µ − µ ,2

2 212ˆ

nii

XM

n=σ = − µ = − µ∑ ; זהו

.האומד

Page 26: הסתברות של איגור

26

עבור התפלגות , לדוגמה. מים"משתמשים במערכת משוואות המקשרות מומנטים לפה, מים"כאשר יש מספר פה .13( )2,N µ σ ש- μ ,σ 1: יש מערכת של שתי משוואות: מים"אלה שני פהµ = µ 2-ו 2

2 2 1σ = µ − µ = µ − µ . אז

1ˆ M Xµ = = ,( )2

22 12 1ˆ

nii

XM M X

n=σ = − = −∑.

)עבור התפלגות , לדוגמה .14 ),U a b ש-,a b יש מערכת של שתי משוואות: מים"אלה שני פה :

( )( )( ) ( ) ( )

2 1 121 2

2 22 1 1 22 1 2

22

2312 12 2

a ba bb

b b b a a b

+= µ − µ =− µ ⇐ µ = + µ ⇐ ⇐ − µ − − +µ = + µ µ = +

( )( )

21 2 1

21 2 1

3

3

b

a

= µ + µ − µ

= µ − µ − µ ;( ) ( )

2 22 21 1ˆ ˆ3 , 3

n ni ii i

X Xb X X a X X

n n= == + − = − −∑ ∑.

1יהיה . שיטת נראות מקסימאלית .15 nX X נקצית הצפיפות מדגם מקרי מהתפלגות רציפה עם פו( ),f x λ ש- λ זה

)פונקצית הנראות מוגדרת כי . מ"פה ) ( )1,n

iiL f X

=λ = λ∏ , או( ) ( )( )1

ln ,nii

L f X=

λ = λ∏ ) אפשר להגדיר עםln

)אנו מוציאים ). מה שיותר נוח לחישובים, lnאו ללא )max Lλ

λ ,רך המקסימאלי עצמו של פונקצית העניין שלנו לא בע

ההתפלגות בדידה עם כאשר. λמ "שהיא אומד של שיטת נראות מקסימאלית עבור פה, λאך בנקודת המקסימום , הנראות)פונקצית הסתברות ),P k λ אז פונקצית הנראות מוגדרת באופן דומה :( ) ( )( )1

ln ,nii

L P X=

λ = λ∏ או

( ) ( )( )1ln ,n

iiL P X

=λ = λ∏. אך בכל מקרה אם , אומדים של שיטת נראות מקסימאלית לא בהכרח חסרי הטיהn → ∞

)אז ) גודל המדגם( )E λ → λ.

)עבור התפלגות , לדוגמה .16 )exp λ :( ) ( )( ) ( ) ( )1 11 1

ln , ln ln lnin n n nX

i i ii ii iL f X e X n X−λ

= == =λ = λ = λ = λ − λ = λ − λ∑ ∑∏ ∏,

( )1

1

1 0nin i

ii

n nL XXX =

=

′λ = = ⇐ λ = − =λ ∑

∑ ;זהו האומד.

)עבור התפלגות , לדוגמה .17 )P λ :

( ) ( )( ) ( ) ( )1 11 1ln , ln ln ln !

!iXn n n n

i i ii ii ii

L P X e n X XX

−λ= == =

λλ = λ = = − λ + λ −

∑ ∑∏ ∏ ,

( )11

1 0n

niiii

XX L n X

n=

=′λ = = ⇐ λ = − + =

λ∑ ∑ ; קבלנו אומד בלתי מוטה(זהו האומד.(

Page 27: הסתברות של איגור

27

)עבור התפלגות , לדוגמה .18 )G p :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )1

11 1ln , ln 1 ln 1 lnin n nX

i iii iL p P X p p p p X n n p−

== == = − = − − +∑∏ ∏

( ) ( )11

1 1 01

nin i

ii

n np L p X np pXX =

=

−′= = ⇐ = − + =− ∑

∑ ;זהו האומד .

)עבור התפלגות , לדוגמה .19 )0,U a :( ) ( ) 11

1 , 0,0 ,

nn nii

a X X aL a f X aotherwise=

≤ ≤= =

∏ . לפונקציה הזאת

1עבור aכי היא קטנה מונוטונית לפי , אין מקסימום המקומי nX X a≤ , כלומר( )1max na X X≥ , 0ואחרת היא .

)אז )1max na X X= ; ערך המינימאלי האפשרי של (זהו האומדa .(אנו נחשב את . נבדוק האם האומד הזה בלתי מוטה( )E a .פונקצית התפלגות של האומד:

( ) ( )( ) ( )( )

1 1

, 0max 1,

0, 0

n

nn ii

t a t aF t P X X t P X t t a

t=

≤ ≤= ≤ = ≤ = > <

∏ ;

( ) ( )( ) ( ) ( )

1

0 0

1 111

a n n

nt a nE a F t dt dt a a aa na n

∞ + = − = − = − = ≠ + +∫ ∫ .

)אך , ואים כי האומד מוטהאנו ר )1 n

nE a a an →∞= →

+ )בלתי מוטה אסימפטוטית.(

Page 28: הסתברות של איגור

28

.משפט גבול המרכזי. 8 1נתון מדגם מקרי .משפט גבול המרכזי .1 nX X יהיו, מהתפלגות כלשהי ( ) ( )2 ,i iV X E X= σ = µ . אז

( )0,1nX N

n →∞− µ →

σ, כלומר.

2

~ ,X Nn

σµ

)די גדול nעבור )30n גם אפשר לרשום . ≤

( )1 0,1n

iin

X nN

n=

→∞

− µ→

σ)או , ∑ )2

1~ ,n

iiX N n n

=µ σ∑ עבורn די גדול( )30n החשיבות של משפט . ≤

יש , מים מהתפלגות כלשהי שלא בהכרח ידועה"ם או ממוצע של משהוא קובע בקירוב התפלגות עבור סכו, גבול המרכזי בזאת . הושונות הלדעת רק תוחלת

0.01λניקח מכשיר בעל אורך החיים מעריכי עם פרמטר , לדוגמה .2 מכשירים חלופיים 50ויש במלאי עוד , )בשעות( =51, מכשירים זהים 51ל אז אורך החיים של מערכת כולה הוא סכום אורכי החיים ש. זהים

1 iiT X

== ∑ .

( ) ( )2 4 22

1 110 , 10i iV X E Xσ = = = µ = = =λλ

.

שעות היא בקירוב 6000ההסתברות שהמערכת תעבוד לכל היותר ) א

( ) ( )6000 6000 51 1006000 1.26 0.896100 51

nP Tn− µ − ⋅ ≤ ≅ Φ = Φ = Φ ≅ σ

.

)כאן )Φ )הערך , זאת פונקצית התפלגות נורמאלית סטנדרטית ⋅ )1.26Φ מוציאים בטבלה. שעות היא בקירוב 5000 -ההסתברות שהמערכת תעבוד יותר מ) ב

( ) ( )5000 5000 51 1005000 1 1 1 0.14 0.556100 51

nP Tn− µ − ⋅ ≥ ≅ − Φ = − Φ = − Φ − ≅ σ

.

)קירוב נורמאלי עבור התפלגות : מקרה פרטי של משפט גבול המרכזי .3 ),B n p כאשר n די גדול .

)ניקח )~ ,X B n p , אז1

nii

X X=

= ~,0-ש, ∑ 1,iqX p

)אז ). סכום הצלחות של ניסוים בודדים( )iE X pµ = = ,

( )2iV X pqσ = ) :1לפי סעיף . = )1 0,1

nii

n

X n X np Nn npq

=→∞

− µ −= →σ

)או , ∑ )~ ,X N np npq עבורn די

)גדול )30n P̂נסמן . ≤ X= אז , פרופורציה הצלחות במדגם( )ˆ

0,1nP p Npq n →∞− → .כלומר ,ˆ ~ , pqP N p

n

.די גדול nעבור

0.65pשכל רכיב תקין בהסתברות , out-of-100-60ניקח מערכת קבועה , לדוגמה .4 מ "נגדיר מ. =( )~ 100, 0.65X B n p= אז אמינותה היא בקירוב . שהוא מספר רכיבים תקינים בתוך המערכת =

( ) ( )60 60 100 0.6560 1 1 1 1.048 0.853100 0.65 0.35

npR P Xnpq− − ⋅ = ≥ ≅ − Φ = − Φ = − Φ − ≅ ⋅ ⋅

.

Page 29: הסתברות של איגור

29

פונקצית הזמינות שלה בקירוב , λבמערכת הקודמת עם רכיבים בעלי עורך חיים מעריכי עם פרמטר , לדוגמה .5

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

60 60 10060 1 1100 1

t

t t

nr t eR t P Xnr t q t e e

−λ

−λ −λ

− − ⋅= ≥ ≅ − Φ = − Φ ⋅ ⋅ −

.

0.01λניקח 50t-ו = אז . =

( ) ( )( )

( )0.5

0.5 0.5

60 10050 60 1 1 0.134 0.553100 1

eR P Xe e

− −

− ⋅= ≥ ≅ − Φ = − Φ − ≅ ⋅ ⋅ −

.

Page 30: הסתברות של איגור

30

.רווח סמך. 9 1נתון מדגם מקרי .1 nX X יהיו, מהתפלגות כלשהי( ) ( )2 ,i iV X E X= σ = µ .עבור , לפי משפט גבול המרכזיn די

)גדול )~ 0,1X Nn

− µσ

1אז , 2 1 2 1XP z zn−α −α

− µ− ≤ ≤ = − α σ 0עבור 1< α מכאן . >

1 2 1 2 1P X z X zn n−α −α

σ σ − ≤ µ ≤ + = − α

נמצא בין שני גבולות μאי שוויון הזה אומר כי הערך הקבוע .

−1מקריים בהסתברות α . אםμ לא ידועה ו- σ זה נותן איתור של , ידועהμ 1רות בהסתב− α י שני גבולות המקריים "ע−1הערך . μ - שנקרא רווח סמך ל, האלה α מהנוסחא אפשר לראות כי . של רווח סמך) או רמת הביטחון(נקרא רמת הסמך

1הוא ואורכו של רווח סמך, הוא אמצע רווח סמך Xהסטטיסטי 22z n−α σ אם (שזה לא מקריσ 0 -ושואף ל, )ידועה nכאשר → ).עבור אותה רמת הסמך(אז עבור מדגמים גדולים יותר האיתור ברווח סמך יותר מדויק . ∞

)של התפלגות μרווח סמך לפרמטר , לדוגמה .2 )2,N µ σ כאשרσ ידועה מוציאים בישירות לפי הנוסחא המקורית .מסעיף הקודם

)עבור , לדוגמה .3 )2,N µ σ 0.05יהיו , 4α = σ μ -מהו גודל המדגם שמבטיח אורכו של רווח סמך ל: השאלה; =

0.9752שוויון -יש לפתור את האי: הפתרון. לכל היותר 0.01שיהיה 0.01z nσ אז . nלגבי ≥

( ) ( )220.9752 0.01 2 1.96 4 0.01 2458624n z≥ σ = ⋅ ⋅ 0.975הערך . (= 1.96z ). מוציאים בטבלה =

)של התפלגות aרווח סמך לפרמטר , לדוגמה .4 )0,U a : 1נציב בנוסחא המקורית מסעיף ,212

a aσ = µ ראה ( =

1): 7מפרק 7סעיף 2 1 2 1212 12

a a aP X z X zn n−α −α

− ≤ ≤ + = − α

: שיוונים אלה בנפרד-נפתור את שני האי;

1 2 1 21 2 1 2

1 12 2

,2 212 12 12 12

X a a X a aa X z a X zz n n z n n−α −α

−α −α

≥ ⇐ − ≤ ≤ ⇐ ≤ ++ −

בסוף נקבל

1 2 1 21 12 212 12

X Xaz n z n−α −α

≤ ≤+ −

.

)של התפלגות λרווח סמך לפרמטר , לדוגמה .5 )exp λ : 1נציב בנוסחא המקוריתσ = µ = λ :

1 2 1 21 1 1 1P X z X z

n n−α −α − ≤ ≤ + = − α λλ λ

: שיוונים אלה בנפרד- נפתור את שני האי;

1 21 2

1 1 1z nX z

X n−α

−α

−λ ≥ ⇐ ≤ +

λ λ ,1 2

1 2

1 1 1z nX z

X n−α

−α

+λ ≤ ⇐ ≥ −

λ λ .

1בסוף נקבל 2 1 21 1z n z nX X

−α −α− +≤ λ ≤.

Page 31: הסתברות של איגור

31

)יהיה .6 )~ ,X B n p ;1

nii

X X=

= ~,0- ש, ∑ 1,iqX p

עבור מדגם מקרי ). 8מפרק 3ראה סעיף (

1 nX X יהיהˆ :P X X n= )נציב . פרופורציה הצלחות במדגם = )iE X pµ = = ,( )2iV X pqσ = =

1: 1בנוסחא המקורית לרווח סמך מסעיף 2 1 2ˆ ˆ 1pq pqP P z p P z

n n−α −α

− ≤ ≤ + = − α

p - לכדי לקבל רווח סמך .

)n שוויון הכפול הזה לגבי -יש לפתור את אי, )ידועp .נציב את : נעשה אחרתˆ ˆ ˆ1 ,Q P P= q,במקום − p בצידי האי-ונקבל , )0- וטה ושונותו שואפת לכי זה אומד בלתי מ, p -די קרוב ל P̂די דגול nאך עבור , זאת לא הוגן בהחלט(שוויון

1 2 1 2

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 1PQ PQP P z p P zn n−α −α

− ≤ ≤ + = − α

p תזאת נוסחא שימושית לרווח סמך עבור פרופורציה תיאורטי.

−1ברמת הביטחון α. 1אורכו של כזה רווח סמך הוא 2

ˆˆ2 PQz

n−α 1ואורך המקסימאלי הוא ; שזה מקרי 2zn

−α עבור

ˆˆ 0.5P Q= =.

P̂מה חתולים יש לתפוס כדי שהאומד כ: השאלה. שבע-אנו רוצים לאמוד את אחוז חתולים שחורים ברחבי באר, לדוגמה .7 p -שרווח סמך ל nהמדגם יש למצוא גודל , כלומר? 0.9בהסתברות , p מפרופורציה האמיתית 0.01-יסטה לכל היותר ב

)אז . זה אמצע רווח סמך P̂כי , באורך 0.02 -לא יגדל מ 0.9ברמת הביטחון )20.951.65 6807 0.02

0.02zn

n≥ ≅ ⇐ ≤.

)של התפלגות aרווח סמך לפרמטר , לדוגמה .8 )0,U a על סמך סטטיסטיt̂P שזה מפרופורציה של תצפיות קטנות מ- t

)בתוך מדגם )1 ~ 0,nX X U a . לפי התפלגות הנתונה( ) tp P X ta

= < ואז , =

1 2 1 2

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆt t t tt t

PQ PQtP z P zn a n−α −α− ≤ ≤ + ,

1 2 1 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

t t t t t t

t taP z PQ n P z PQ n−α −α

≤ ≤+ −

.

)של התפלגות λרווח סמך לפרמטר , לדוגמה .9 )exp λ על סמך סטטיסטיt̂P שזה מפרופורציה של תצפיות גדולות מ- t )בתוך מדגם )1 ~ expnX X λ . לפי התפלגות הנתונה( ) tp P X t e−λ= > ואז , =

1 2 1 2

1 2 1 2

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆln ln ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ. ,t t t t

tt t t tt

PQ PQP z P z PQ PQn n P z e P zt t n n−α −α

−λ−α −α

− + − − ≤ λ ≤ − ≤ ≤ +

)יתשל התפלגות לוגנורמאל μרווח סמך לפרמטר , לדוגמה. 10 )2,LN µ σ )σ על סמך סטטיסטי ) ידועהt̂P שזה

)בתוך מדגם t -מפרופורציה של תצפיות גדולות מ )21 ~ ,nX X LN µ σ . לפי התפלגות הנתונה

( ) ln1 tp P X t − µ = > = − Φ σ 1ואז , 2 1 2

ˆ ˆˆ ˆlnˆ ˆ1t t t tt

PQ PQtP z P zn n−α −α

− µ − ≤ − Φ ≤ + σ

;

1 11 2 1 2

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆln 1 ln 1t t t tPQ PQt P z t P zn n

− −−α −α

− σΦ − + ≤ ≤ − σΦ − −

µ .

)כאן )1−Φ )כלומר , זאת פונקציה הפוכה לפונקצית ההתפלגות נורמאלית סטנדרטית ⋅ )1pp z−Φ =.

Page 32: הסתברות של איגור

32

.בדיקת השערות. 10

), מסוים Xנתון משתנה מקרי . בדיקת השערות עבור תוחלת .1 )E X = µ ו-( ) 2V X = σ . 0ידוע כיµ = µ . נניח

0אז יש לנו השערה . אולי גדלה µ-לדוגמה כי עקב אירוע מסוים יש חשש ש 0:H µ = µ 1ואלטרנטיבה ימנית 0:H µ > µ .יהיו . ס מבחן שמבוסס על תוצאות דגימה"ע) 1Hאו דוחים אותה לטובתה של 0Hמקבלים את (אנו מסיקים מסקנות

1 nX X מדגם מקרי מאותה התפלגות)n 0ולפי השערה , )די גדולH ערך הצפוי של הסטטיסטיX 0-קרוב לµ כי( )

0E X = µ

)-ו )2

0nV X n →∞σ= → ) 0אז הסטטיסטי ) . 7מפרק 2ראה סעיף: XZ

n− µ

: מתפלג נורמאלית סטנדרטית

( )~ 0,1Z N ) 9מפרק 1ראה סעיף.( 0µ- נכונה ש 1Hבה אם האלטרנטי > µ , אז ערך הצפוי שלX "ובהתאם לזה ערך של סטטיסטי , " גדול מדיZ גדול "גם

0H-אנו לא מאמינים ל, "גדול מדי" Zטיסטי ואם סט, 0H-אנו מאמינים ל, "גדול מדי"לא Zאם סטטיסטי , כלומר". מדי ). דוחים אותה(

Zשאם , )או שיש לקבוע אותו( Cקיים ערך קריטי מסוים , במילים מדויקות C≤ 0אנו מקבלים אתH ; ואםZ C> אנו}התחום . 1Hלטובתה של 0Hוחים את ד }:Z Z C> שזה מגדיר את המבחן, נקראה אזור קריטי.

Zאז המאורע . נכונה 0Hונניח כי השערה , ערך קריטי Cיהיה C> 0כי במקרה הזה דוחים את , ה מצב של טעותזH )ההסתברות לזה . 1זה נקראה טעות מסוג ). שהיא נכונה( ) ( ) ( )1P Z C C Cα = > = − Φ = Φ נקראה רמת המובהקות −

1C: אז לפיה אפשר למצוא את ערך קריטי αאם נתונה רמת המובהקות , הפוך. של המבחן z −α=. 1אם יש אלטרנטיבה שמאלית 0:H µ < µ 1אזC z −α= }ואזור קריטי של המבחן הוא − }:Z Z C< ,ו-

( ) ( )P Z C Cα = < = Φ. 1צדדית - אם יש אלטרנטיבה דו 0:H µ ≠ µ )0- שונה מ: הניסוחµ ( 1אז 2C z −α= ואזור קריטי של המבחן הוא

{ }:Z Z C> ,ו- ( ) ( )2 2P Z C Cα = < = Φ.

מ "ס 30ידוע ממחקרים רציניים קודמים של חתולוגים רבים כי אורך זנב הממוצע של חתולים ברחבי באר שבע , לדוגמה .2לצורך חקירת . לאופוזיציה יש חשש שעקב בחירת ראש העיר החדש אורך זנב הממוצע של חתולים קטן .מ"ס 5וסטית התקן

קבלני ביצוע ובסוף נתפסו 50נשכרו $, 1000000נגייס תקציב המחקר של , אחרי הפגנת תושבי העיר וסקנדל פוליטי, המצב0.01בדוק את המצב ברמות המובהקות יש ל. מ"ס 29שהוא , חתולים ונמדד אורך זנב הממוצע שלהם 100ברחוב , 0.1α =

).פעמיים(0: פתרון : 30H µ = ;1 : 30H µ )אזור הקריטי ; > ){ }1 0.01 0.1

: 2.33, 1.28Z Z z −α α= α=< − = − − .

Z :29ערך הנצפה של סטטיסטי 30 25 100

z −= = 0.1αאז עבור . − 0.01αועבור , 0Hדוחים את = .0Hמקבלים את =

)עבור התפלגות , לדוגמה .3 )exp λ 0יש לבדוק השערה : 0.5H λ 1כנגד = : 0.5H λ ות ברמות המובהק >0.01 , 0.1α 2.05xשעבורו 200ס מדגם בגודל "ע) פעמיים( = =.

1σ-מפני ש: פתרון = µ = λ , 0אז 2σ = µ 0יש לנו השערות . = : 2H µ = ,1 : 2H µ אזור הקריטי ; <

Page 33: הסתברות של איגור

33

( ){ }1 0.01 0.1: 2.33,1.28Z Z z −α α= α=

> Z :2.05הנצפה של סטטיסטי ערך. = 2 1.772 200

z −= =.

0.1αאז עבור 0.01αועבור , 0Hדוחים את = .0Hמקבלים את =

יש לבדוק השערה ). 8מפרק 3ראה סעיף (פרופורציה הצלחות במדגם P̂יהיה . יהבדיקת השערות עבור פרופורצ .4

0 0:H p p= 1כנגד אלטרנטיבה 0:H p p> . 0לפי השערהH ערך הצפוי של הסטטיסטיP̂ 0-קרוב לp כי( )0

ˆE P p=

)-ו ) 0 0ˆ 0np qV P n →∞= →. אז הסטטיסטי( ) 0 0

0ˆ: p qZ P p

n= ): מתפלג נורמאלית סטנדרטית − )~ 0,1Z N.

:הגדרת המבחן1אזור קריטי עבור אלטרנטיבה ימנית 0:H p p> :{ }1:Z Z z −α>.

1אזור קריטי עבור אלטרנטיבה שמאלית 0:H p p< :{ }1:Z Z z −α< −.

1צדדית -אזור קריטי עבור אלטרנטיבה דו 0:H p p≠ :{ }1 2:Z Z z −α>.

ס מדגם "ע, נגד חשש שהוא גדול יותר 0.3ה חתולים שחורים ברחבי באר שבע יש לבדוק השערה שפרופורצי, לדוגמה .50.05αברמת המובהקות , חתולים שחורים 35שבתוכו יש 100בגודל = . 0: פתרון : 0.3H p = ,1 : 0.3H p 0.95וערך הקריטי , < 1.65z : Zרך הנצפה של סטטיסטי ע. =

35100 0.3

1.090.3 0.7 100

z−

= =⋅

0.95zכי 0Hמקבלים את : המסקנה. z<.

)עבור התפלגות , לדוגמה .6 )exp λ 0יש לבדוק השערה : 0.5H λ 1כנגד = : 0.5H λ ברמות המובהקות >0.01 , 0.1α 1שבתוכו יש 200ס מדגם בגודל "ע = 140n . 1- תצפיות הגדולות מ =

0: פתרון

0

1 0.50 : 0.607

pH p e e−λ ⋅ −= = = ,1 : 0.607H p > ,

140200 0.607

2.6930.607 0.393 200

z−

= =⋅

.

)אזור קריטי ){ }1 0.01 0.1: 2.33,1.28Z Z z −α α= α=

> .פעמיים 0Hאז דוחים את . =

זאת לא בהכרח ( 0F-שתוצאות דגימה מתאימות להתפלגות מסוימת שנסמן ב 0Hיש לבדוק השערה . מבחן טיב התאמה .7 0Fנניח כי כל הטווח של התפלגות ". לא כך" 1H כנגד אלטרנטיבה; )פשוט חוק התפלגות מסוים, פונקצית התפלגות עצמה

אז במדגם . 0Fהמחושבת לפי התפלגות ipקיימת הסתברות שלה i לכל קטגוריה). קטעים, למשל(לקטגוריות k -מחולק ל1הוא i מספר הצפוי של תצפיות השייכות לקטגוריה n בדוגל , i ii k E np= = .אלה השכיחויות הצפויות ,

יהיו . 0Hשמחושבות לפי השערה

1 kO O 0אם השערה . שכיחויות הנצפות במדגםH אז , נכונה( )i iE O E= וכל ערךiO ל" די קרוב"צפוי להיות -iE .

)הסטטיסטי )2 22

1 1

k ki i i

i ii i

O E OX nE E= =

− = = −

∑ אלה השכיחויות (את טיב ההתאמה בין תוצאות הדגימה " מרגיש" ∑

1הנצפות kO O( , 0והשערהH , 1שלפיה מחושבות שכיחויות צפויות kE E .אז ערך של סטטיסטי , אם יש התאמה טובה2X 0התאמה בין תוצאות הדגימה והשערה -כל אי. קטןH 2גורמת להגדלתו של ערך הסטטיסטיX .עבור , במילים מדויקות

)כאשר , αרמת המובהקות )2 21 1X k−α< χ )ואם ; 0Hאז מקבלים את − )2 2

1 1X k−α≥ χ , כלומר. 0Hאז דוחים את , −

Page 34: הסתברות של איגור

34

)הערך הקריטי ". ימנית"תמיד 1H האלטרנטיבה )21 1k−αχ 1kהוא ערך חלוקה של התפלגות חי בריבוע של − דרגות −

1: אילוץ במבחן טיב התאמה. שמוציאים בטבלה, חופש , 10ii k E= ≥.

.פעמים 600 הוטלה משחק קובית, לדוגמה .8 השערה את לבדוק. ימהדגה התוצאות להלן

H0 "אלטרנטיבה כנגד "הוגנת ההקוביי H1 "0.1 המובהקות מתר". כך לא, 0.05α =.

H0 1 השערהולפי , קטגוריות 6יש כאן : פתרון 6 , 1 6ii p= = . 1אז 6 , 100ii E= = . מחשבים את ערך הנצפה

): 2Xשל הסטטיסטי )2 2 2 2 2 2 21 100 110 85 110 80 115 600 10.5100

x = + + + + + − = .

): ערך הקריטי ) ( )2 20.9 0.955 9.236 , 5 11.07χ = χ 0.1עבור = , 0.05α . בהתאמה =

0.05αאז עבור 0.1αועבור , 0Hמקבלים את = .0Hדוחים את =

0.001λשאורך חיי נורת חשמל מתפלג מעריכית עם פרמטר 0H השערהיש לבדוק , לדוגמה .9 כנגד, עבור שעה =נשרפו בין 230, שעות עבודה רציפה 200נורות שנשרפו לפני 160נורות נצפו 1000במדגם של ".כך לא" H1 אלטרנטיבה

1500נשרפו אחרי 210-ו, שעות 1500 – 900נשרפו בין 170, שעות 900 – 500נשרפו בין 230, שעות 500 – 200,0.1 המובהקות מתר. שעות עבודה 0.05α =.

1עבור כל קטגוריה יש למצוא את הסתברות שלה : פתרון 5 , ii p= לפי התפלגות( )exp כ למצוא את "ואח, 0.0011שכיחויות צפויות 5E E .נסדר את הכול בטבלה :

category 0 200 200 500 500 900 900 1500 1500

0.181 0.212 0.2 0.184 0.223expected freq. 181 212 200 184 223observed freq. 160 230 230 170 210

i

i i

i

pE np

O

− − − − − ∞

=

: 2Xערך הנצפה של סטטיסטי

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 160 181 230 212 230 200 170 184 210 223 10.288

181 212 200 184 223x − − − − −= + + + + : ערך הקריטי =

( ) ( )2 20.99 0.94 13.28 , 4 7.78χ = χ 0.01עבור = , 0.1α .בהתאמה =

0.1αאז עבור 0.01αועבור , 0Hדוחים את = .0Hמקבלים את =

mעם 0Fשתוצאות דגימה מתאימות להתפלגות מסוימת 0Hיש לבדוק השערה . הכללה של מבחן טיב התאמה .10במקרה הזה לצורך חישוב הסתברויות . מצהירה רק סוג ההתפלגות באופן עקרוני 0Hהשערה , כלומר. פרמטרים לא ידועים

1הקטגוריות kp p 0פלגות יש להציב בתוך התF כל שאר . בתור הפרמטרים עצמם, אומדנים לפרמטרים הלא ידועים1שכיחויות צפויות (החישובים kE E , 2ערך הנצפה של הסטטיסטיX (שהוא , יש רק שוני לערך הקריטי. ללא שינוי

( )21 1k m−αχ − −.

גם . מצהירה שאורך חיי נורת חשמל מתפלג מעריכית עם פרמטר כלשהו 0H השערהנניח כי 9בדוגמה מסעיף , לדוגמה .111020xנניח כי באותו מדגם הממוצע שלו 1אנו יודעים כי . = X זה אומד עבור פרמטרλ ראה (של התפלגות מעריכית

1אז ניקח הערך ; )7מפרק 16, 9סעיפים 0.00098x : נסדר את הכול בטבלה. בתור הפרמטר =

outcome 1 2 3 4 5 6observed freq. 100 110 85 110 80 115

Page 35: הסתברות של איגור

35

category 0 200 200 500 500 900 900 1500 1500

0.178 0.209 0.2 0.183 0.23expected freq. 178 209 200 183 230observed freq. 160 230 230 170 210

i

i i

i

pE np

O

− − − − − ∞

=

: 2Xערך הנצפה של סטטיסטי

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 160 178 230 209 230 200 170 183 210 230 11.093

178 209 200 183 230x − − − − −= + + + + : ערך הקריטי=

( ) ( )2 20.99 0.93 11.345 , 3 6.25χ = χ 0.01עבור = , 0.1α .בהתאמה =

0.1αאז עבור 0.01αועבור , 0Hדוחים את = .0Hמקבלים את =

מתר. זנבם של חתולים ברחבי באר שבע מתפלג נורמאלית עם פרמטרים כלשהם מצהירה שאורך 0H השערה ,לדוגמה .120.1α המובהקות 30xנתקבלו 1000במדגם בגודל .= = ,7s טווח של המדגם מחולק לקטעים . =

40 , 35 40 , 30 35 , 25 30 , 20 25 , 0 20− ∞ − − − − . פות של הקטגוריות נתונות בטבלהושכיחויות הנצ; −

category 0 20 20 25 25 30 30 35 35 40 40observed freq. 83 153 272 268 154 70

0.077 0.161 0.262 0.262 0.161 0.077expected freq. 77 161 262 262 161 77

i

i

i i

Op

E np

− − − − − − ∞

=

: 2Xערך הנצפה של סטטיסטי 2 2 2 2 2 2

2 83 153 272 268 154 70 1000 2.32577 161 262 262 161 77

x = + + + + + − = .

): ערך הקריטי )20.9 3 6.25χ .0Hמקבלים את . =