Линейная Алгебра

Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждение высшего

профессионального образованияТомский политехнический университетТомский государственный университет

В.Н. Задорожный, В.Ф. Зальмеж, А.Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКАдля технических университетов

Линейная алгебра

Учебное пособие

Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в областиприкладной математики и управления качеством в качестве учебногопособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по

специальности 073000 – Прикладная математика

Издательство ТПУ

Томск 2010

УДК 581

З–15

З–15 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж,А. Ю. Трифонов, А.В. ШаповаловВысшая математика для технических университетов. I.Линейная алгебра: Учебное пособие. —Томск: Изд-во ТПУ, 2010. — 310 с.

Настоящее пособие представляет собой изложение первой части курса «Выс-шая математика» и содержит материал по разделам этого курса: «Линейная ал-гебра». Оно содержит теоретический материал в объеме, предусмотренном нынедействующей программой курса высшей математики для инженерно-физическихи физических специальностей университетов. Теоретический курс дополнен ин-дивидуальными заданиями для самостоятельного решения по каждому разделу.Предлагаемое пособие может быть полезно студентам старших курсов, маги-странтам и аспирантам, специализирующимся в области теоретической и мате-матической физики.

Пособие предназначено для студентов физических, инженерно-физическихспециальностей и студентов, обучающихся в системе элитного технического об-разования.

УДК 581

Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советомТомского политехнического университета

Работа частично поддержанагрантом Президента Российской Федерации№ НШ-871.2008.2;АВЦП Министерства образования и науки РФ № 2.1.1/3436;

Федеральным агентством по науке и инновациям Россиипо контракту № 02.740.11.0238

Рецензенты

Доктор физико-математических наук, профессор Томского государственногопедагогического университета, г. Томск

Осетрин К.Е.

Доктор физико-математических наук, профессор Томского государственногоуниверситета, г. Томск

Багров В.Г.

c© В.Н. Задорожный, В.Ф. Зальмеж, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов, 2010c© Томский политехнический университет, 2010

c© Оформление. Издательство ТПУ, 2010

Содержание 3

Содержание

Введение 5Глава 1. Матрицы и определители 61. Числовые поля 62. Матрицы и действия над матрицами 8

2.1. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Простейшие операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Определитель и его свойства 173.1. Перестановки и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Миноры и их алгебраические дополнения . . . . . . . . . . . . . . 253.4. Методы вычисления определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Ранг матрицы и его основные свойства 545. Обратная матрица 62Глава 2. Системы линейных уравнений 706. Теорема Кронекера–Капелли 707. Системы n линейных уравнений с n неизвестными 71

7.1. Метод Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2. Матричный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.3. Метод Гаусса–Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8. Произвольные системы линейных уравнений 839. Однородные системы линейных уравнений 8910. Связь между решениями однородных и неоднородных систем уравнений 9511. Матричные уравнения 100Глава 3. Векторная алгебра 10512. Скаляры и векторы 105

12.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.2. Линейные операции над векторами, их свойства . . . . . . . . . . . 10712.3. Линейные зависимости между векторами . . . . . . . . . . . . . . 11512.4. Проекции вектора на ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12112.5. Базис и координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12312.6. Аффинный репер и декартова система координат . . . . . . . . . . 124

13. Простейшие задачи векторной алгебры 12613.1. Длина вектора и расстояние между точками . . . . . . . . . . . . . 12613.2. Направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12713.3. Деление отрезка в данном отношении . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

14. Преобразование аффинных систем координат 13114.1. Переход от одного базиса к другому . . . . . . . . . . . . . . . . . 13114.2. Преобразование координат вектора при изменении базиса . . . . . 13314.3. Переход от одной аффинной системы координат к другой . . . . . 13514.4. Ортогональные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13714.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости . . . . . . 13814.6. Ориентация прямой, плоскости и пространства . . . . . . . . . . . 141

15. Произведение двух векторов 14915.1. Скалярное произведение двух векторов . . . . . . . . . . . . . . . . 14915.2. Скалярное произведение в косоугольном базисе . . . . . . . . . . . 15315.3. Метод ортогонализации Грама–Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . 15615.4. Преобразование прямоугольных координат в пространстве . . . . 16015.5. Векторное произведение двух векторов и его свойства . . . . . . . 16115.6. Векторное произведение векторов, заданных декартовыми коор-

динатами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16715.7. Скалярное и векторное произведение. Определитель Грама . . . . 169

4 Содержание

16. Произведение трех векторов 17116.1. Смешанное произведение векторов и его свойства . . . . . . . . . . 17116.2. Выражение смешанного произведения через координаты сомно-

жителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17316.3. Смешанное произведение векторов и определитель Грама . . . . . 17416.4. Двойное векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

17. Определение основных характеристик треугольника методами векторнойалгебры 177

18. Основные задачи векторной алгебры 18118.1. Определение вектора по известному скалярному произведению с

заданным вектором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18118.2. Определение вектора по известному векторному произведению с

заданным вектором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18218.3. Определение вектора по известным векторному и скалярному про-

изведениям с заданными векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18318.4. Определение вектора по трем скалярным произведениям . . . . . 18418.5. Линейное векторное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18418.6. Разложение заданного вектора по трем некомпланарным векторам 18518.7. Определение основных характеристик тетраэдра методами век-

торной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Список литературы 190

Введение

Фундамент математического образования в высшей школе составляют триосновных раздела математики: линейная алгебра, аналитическая геометрия иматематический анализ.

Первый раздел является одним из старейших разделов математики. Его пер-воначальной задачей считается задача о решении линейного алгебраическогоуравнения ax + b = 0, которое дало название всему разделу. В дальнейшемобобщение этой задачи проводилось по двум основным направлениям. С однойстороны, рассматривались системы линейных уравнений с двумя, тремя и бо-лее неизвестными, а с другой — линейные формы заменялись квадратичными,кубическими и другими алгебраическими формами.

Для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений сов-падает с числом неизвестных, оказалось удобным использовать понятие опреде-лителя. В тех случаях, когда число уравнений и число неизвестных не совпада-ют, оказалось удобным использовать теорию матриц. Эта теория позднее нашлаприложение далеко за пределами задачи о решении линейных уравнений.

Теория систем линейных уравнений легла в основу такой математическойдисциплины, как аналитическая геометрия, которая позволила свести основ-ные вопросы исследования прямых и плоскостей в пространстве к исследова-нию систем линейных уравнений. Дальнейшее изучение систем линейных урав-нений привело к созданию теории многомерных векторных или линейных про-странств.

В аналитической геометрии и теории чисел большое значение стала приоб-ретать задача о преобразовании квадратичных и других алгебраических форм,которая привела к теории многомерных линейных пространств. Отметим, что, вчастности, на основе теории алгебраических форм в конце XX в. была доказанатеорема Ферма, доказательство которой базируется на свойствах модулярныхэллиптических кривых.

Возвращаясь к линейной алгебре, отметим, что большинство ее задач допус-кает естественную формулировку в формализмах трех теорий: теории матриц,теории преобразования алгебраических форм и теории линейных пространств.Тем не менее, наиболее отчетливо внутренние связи между различными зада-чами линейной алгебры проявляются именно при рассмотрении линейных про-странств, которые и являются основным объектом изучения линейной алгебры.

Забегая вперед, отметим, что объединение теории преобразования алгебра-ических форм и дифференциальной геометрии привело к созданию такой ма-тематической дисциплины, как тензорный анализ.

ГЛАВА 1

Матрицы и определители

1. Числовые поля

Понятие числа является первичным математическим понятием и возниклов глубокой древности для решения практических задач, возникавших передлюдьми.

Для чисел, изучаемых в школьном курсе математики, определены прави-ла работы с ними: известно, что означает сумма двух чисел, что означает ихпроизведение. При этом выполняются законы арифметики.

Натуральные числа 1, 2, 3, . . . , n, . . . появились в результате счета и изме-рения длины, площади, объема, времени, скорости, температуры и т.п. Будемобозначать множество всех натуральных чисел символом N.

Число нуль и отрицательные числа появились в результате потребностейалгебры. Например, без этих чисел невозможно решить уравнения

x+ 13 = 13, x+ 13 = 10.

� Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместес числом 0 составляют класс рациональных чисел Q. Рациональным числомназывается частное от деления двух целых чисел p/q, если q 6= 0.

Каждое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконеч-ной периодической десятичной дроби, например 1/3 = 0,3333 · · · = 0,(3) (нольцелых три в периоде).

Однако одних рациональных чисел недостаточно, чтобы обслужить потреб-ности науки и техники. Так, в математике, имея дело только с рациональнымичислами, мы не можем решить такое уравнение, как x2 − 13 = 0. Этому урав-нению должно удовлетворять такое число, квадрат которого равен 13. Можнопоказать, что среди рациональных чисел Q нет такого числа, квадрат которогоравен 13. Поэтому в математике рассматривают так называемые иррациональ-ные числа J, такие как

√13, 3

√4, 1+2

√5 и т.п. Иррациональные числа J записы-

ваются бесконечными десятичными непериодическими дробями (√

2 = 1,41 . . . ,π = 3,14159 . . . ).

� Совокупность всех рациональных Q и иррациональных J чисел называ-ется множеством действительных или вещественных чисел R, или классомдействительных чисел R. Итак, множество R действительных чисел состоитиз двух частей (подмножеств): множества Q рациональных чисел и множестваJ иррациональных чисел.

Действительные числа R изображаются точками числовой оси. Числовойосью называют прямую Ox, на которой выбраны: 1) начало отсчета 0; 2) по-ложительное направление (указывается стрелкой) и 3) масштаб для измерениядлин H (рис. 1). Каждому числу соответствует точка на числовой оси и наобо-рот. Между точками числовой оси и действительными числами R устанавлива-ется взаимно однозначное соответствие: действительному числу a соответствуетточка M1 с координатой x = a, причем точка M1 будет находиться справа отначала координат, если x > 0, и слева от него, если x < 0. Наоборот, каждойточке N соответствует действительное число x2 = b – координата этой точки.Поэтому вместо слова «число» говорят «точка» и наоборот.

Рис. 1.

1. Числовые поля 7

Множество R всех действительных чисел обладает следующими свойствами:1) оно упорядочено. Это означает, что между любыми двумя числами a и bимеет место одно и только одно из трех соотношений

a < b, a = b, a > b.

2) Это множество R — плотное, т.е. как бы ни была мала разность между любы-ми двумя действительными числами a и b, между ними содержится бесконечноемножество промежуточных действительных чисел x (как Q рациональных, таки J иррациональных), т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству

a < x < b.

Это множество R – непрерывное. Для объяснения этого понятия поступают так:сечением множества R называют разбиение всех действительных чисел на двакласса: нижний класс A и верхний класс B, такое, что каждое действитель-ное число содержится только в одном классе и любое число нижнего класса Aменьше любого числа верхнего класса.

Тогда (в этом заключается свойство непрерывности) всякое сечение опреде-ляет единственное действительное число a, являющееся пограничным числом,отделяющим числа класса A от чисел класса B. Само число a является либонаибольшим числом в классе A (и тогда в классе B нет наименьшего числа), ли-бо наименьшим числом в классе B (и тогда в классе A нет наибольшего числа).Это утверждение составляет содержание теоремы Дедекинда.

Понятие числового поля обобщает понятие совокупности чисел. Обобщениепроисходит путем отвлечения от конкретной природы объектов и правил опе-раций над ними.

� Числовым полем K называют всякую совокупность объектов, называемыхчислами, в которой можно производить с этими объектами четыре арифметиче-ских действия. Любой паре чисел a и b из K отвечают число c = a+b, называемоесуммой чисел a и b, и число d = a·b (или d = ab), называемое произведением чи-сел a и b, причем все a, b, c, d ∈ K. Операции сложения и умножения подчиненыследующим аксиомам.

I. Операция сложения чисел коммутативна, т.е. для всех a, b ∈ K справед-ливо a+ b = b+ a.

II. Операция сложения чисел ассоциативна: для всех a, b, c ∈ K справедливо(a+ b) + c = a+ (b+ c).

III. Для всех a ∈ K существует нулевой элемент 0 ∈ K, такой что a + 0 = a.IV. Для всех a ∈ K существует такой противоположный элемент b ∈ K, что

a+ b = 0.V. Операция умножения чисел коммутативна: для любых a, b ∈ K справед-

ливо ab = ba.VI. Для всех a ∈ K существует единичный элемент 1 ∈ K, такой, что 1·a = a.VII. Операция умножения чисел ассоциативна: для любых a, b, c ∈ K спра-

ведливо a(bc) = (ab)c.VIII. Для любого a ∈ K существует обратный элемент b ∈ K, такой что

ab = 1 (обратный элемент b = 1/a = a−1).Операции сложения и умножения связаны. Операция умножения дистрибу-

тивна по отношению к сложению: для любых a, b, c ∈ K справедливо (a+ b)c =ac+ bc.

♦ Разрешимость уравнения a + b = 0 для всех a ∈ K позволяет ввестиоперацию вычитания. Разность a−b, по определению, есть a+c, где c — решениеуравнения b+ c = 0.

♦ Разрешимость уравнения ab = 1 для всех не равных нулю a ∈ K позволяетввести операцию деления на a 6= 0. Частное b/a есть произведение bc, где c –решение уравнения ac = 1.

8 Глава 1. Матрицы и определители

♦ Множество натуральных чисел N не является полем, поскольку не вы-полняется аксиома 4. Множество целых чисел Z не является полем, так какнарушается аксиома 8 (так, 1/2 /∈ Z).

♦ Множество вещественных чисел R и множество рациональных чисел Qявляются полями относительно операций сложения и умножения.

Множество комплексных чисел z = a + ib, где a и b — вещественные числас правилами действий

z1 + z2 = (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2);z1z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1)

(1.1)

также является полем. Для чисел z = a+i0 операции (1.1) приводят к действиямнад вещественными числами a, и мы получим z = a+i0 = a. Комплексные числаz = 0 + ib называются чисто мнимыми и обозначаются ib.

Из правила умножения следует, что

i2 = (0 + i1)(0 + i1) = −1.

Число i называют мнимой единицей.♦ Поле комплексных чисел обозначается через C.

2. Матрицы и действия над матрицами

2.1. Матрицы

� Произвольная совокупность чисел ajk из поля K, расположенная в виде

прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется m×n-матрицей и обозначается одним из следующих символов:

A =

a11 a1

2 . . . a1n

a21 a2

2 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .am

1 am2 . . . am

n

= ‖aj

k‖mn = ‖aj

k‖. (2.1)

� Две матрицы A = ‖ajk‖ и B = ‖bjk‖ называются равными, если

ajk = bjk, j = 1, m, k = 1, n. (2.2)

♦ Иногда удобнее вместо верхнего и нижнего индексов использовать тольконижние. Условимся о правиле соответствия двух записей:

Первая запись Вторая записьверхний индекс ⇔ первый индекснижний индекс ⇔ второй индекс.

� Если число столбцов матрицы A равно 1, то такой матрице индексы нужнытолько для нумерации строк. Такую матрицу называют матрицей-столбцом(или вектор-столбцом) и обозначают

A =

a1

a2

. . .am

= ‖aj‖.

Число n, равное числу элементов в матрице-столбце, называют его высотой.

2. Матрицы и действия над матрицами 9

� Аналогично матрицу с размерами 1×n называют матрицей-строкой (иливектор-строкой) и обозначают

A = (a1 a2 . . . an) = ‖ak‖.

Число элементов в матрице-строке называют ее длиной.Зачастую нам придется рассматривать сумму большого числа слагаемых,

имеющих один и тот же вид и различающихся только индексами, или их произ-

ведение. Символn∑

k=l

, вслед за которым записано некое выражение, содержащее

индекс k, обозначает сумму таких выражений для всех значений индекса от lдо n:

n∑

k=l

akbk = alb

l + al+1bl+1 + . . .+ anb

n.

Аналогично произведение записывается следующим образом:

n∏

k=l

ak = al · al+1 · al+2 · · ·an.

Индекс n называется индексом суммирования или произведения.Сформулируем правила обращения со знаком суммы.1. Индекс суммирования может быть изменен, т.е.

n∑

j=l

xj =

n∑

k=l

xk.

Поэтому говорят, что индекс суммирования является немым.2. Множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно вынести за

знак суммы:n∑

j=l

axj = an∑

j=l

xj .

3. Два знака суммы с независимыми пределами можно переставить, т.е.

n∑

k=l

m∑

j=p

ajk =

m∑

j=p

n∑

k=l

ajk.

♦ Наряду с только что введенным знаком суммы будем пользоваться пра-вилом сокращенного суммирования Эйнштейна: если в каком-либо выражениивстречаются два одинаковых индекса, верхний и нижний (akxk, k = l, n), топредполагается суммирование по этому индексу, т.е.

akxk =

n∑

k=l

akxk.

Тогда из свойства 1 следует

aijb

jn = ai

kbkn.


2.2. Простейшие операции над матрицами

Рассмотрим две матрицы A = ‖ajk‖ и B = ‖bjk‖ размера m × n, элементы

которых принадлежат числовому полю K. Тогда� Суммой двухm×n-матриц A = ‖aj

k‖ и B = ‖bjk‖ называется m×n-матрица

C = ‖cjk‖, элементы которой равны

cjk = ajk + bjk, j = 1, m, k = 1, n. (2.3)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A+B.� Произведением m × n-матрицы A на число x ∈ K называется матрица

C = ‖cjk‖, элементы cjk которой равны

cjk = xajk, j = 1, m, k = 1, n. (2.4)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = xA.Из соотношений (2.3) и (2.4) непосредственно следует, что для любых m×n-

матриц A,B,C, элементы которых принадлежат полю K, и любых чисел x, y ∈K справедливы следующие правила:

1) сложение матриц коммутативно: A +B = B + A;2) сложение матриц ассоциативно: (A+B) + C = A+ (B + C);3) умножение матриц на число ассоциативно: x(yA) = (xy)A;4) умножение матриц на число дистрибутивно относительно сложения мат-

риц: x(A+B) = xA+ xB;5) умножение матриц на число дистрибутивно относительно сложения чисел:

(x+ y)A = xA+ yA.� Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обо-

значается через 0.� Матрицу (−1)A будем называть противоположной матрице A. Они обла-

дают тем свойством, чтоA + (−1)A = 0.

Противоположную матрицу будем обозначать −A.� Сумму матриц A и (−1)B будем называть разностью матриц и обозна-

чать A− B.♦ Для квадратной n × n-матрицы A вводится понятие главной и побочной

диагоналей. Главной диагональю матрицы A называют диагональ a11, a

22, . . . , a

nn,

идущую из верхнего левого угла матрицы в правый нижний. Побочной диаго-налью той же матрицы называется диагональ a1

n, a2n−1, . . . , a

n1 , идущая из левого

нижнего угла в правый верхний.� Матрица B = ‖bjk‖ размера m × n называется транспонированной по от-

ношению к n × m-матрице A = ‖akj‖, если ak

j = bjk, j = 1, m, k = 1, n. Дляобозначения транспонированной матрицы используются символы A⊺, At.

Пример 2.1. Для матриц

A =

(0 1 2 01 2 1 1

), B =

(1 1 0 11 2 1 2

), C =

(2 2 4 00 2 0 4

)

найти 1) D = A + 2B − 3C, 2) F = 2(A+B) + C/2.

Решение. Все матрицы имеют размер 2 × 4, и, следовательно, указанные опе-рации определены. Согласно определениям (2.3) и (2.4), имеем

D = A+ 2B − 3C =

(0 1 2 01 2 1 1

)+

(2 2 0 22 4 2 4

)+

(−6 −6 −12 00 −6 0 −12

)=


=

(0 + 2 − 6 1 + 2 − 6 2 + 0 − 12 0 + 2 + 01 + 2 + 0 2 + 4 − 6 1 + 2 + 0 1 + 4 − 12

)=

(−4 −3 −10 23 0 3 7

).

Аналогично

F = 2(A+B) +C

2= 2

(1 2 2 12 4 2 3

)+

(1 1 2 00 1 0 2

)=

(3 5 6 24 9 4 8

).

Пример 2.2. Найти матрицу, транспонированную к матрице

A =

(0 10 2

).

Решение. По определению

A⊺ =

(0 01 2

).

Пример 2.3. Для матриц

A =

(1 0 −32 3 −2

), B =

(1 21 03 1

)

вычислить A+B и A+B⊺ при условии, что указанные выражения определены.

Решение. Так как матрица A имеет размер 2 × 3, а матрица B размер 3 × 2,сумма A+B не существует. Транспонированная матрица имеет вид

B⊺ =

(1 1 32 0 1

),

и ее размерность 2 × 3 совпадает с размерностью матрицы A. Следовательно,сумма A+B⊺ существует и равна

A +B⊺ =

(1 0 −32 3 −2

)+

(1 1 32 0 1

)=

(2 1 04 3 −1

).

♦ Правило суммирования матриц иногда ошибочно пытаются перенести наоперацию умножения матриц, рассматривая ее как произведение соответству-ющих элементов матриц-сомножителей. На самом деле произведение матрицподчиняется более сложному правилу.

� Произведением матрицы A = ‖ajl ‖ размерности m×p на матрицу B = ‖bjk‖

размерности p× n называется матрица C = ‖cjk‖ размерности m× n, элементыкоторой определяются формулой

cjk = ajl b

lk =

p∑

l=1

ajl b

lk, j = 1, m, k = 1, n. (2.5)

Для произведения матрицы A на матрицу B используется обозначение C = AB.


♦ Из сформулированного определения следует, что матрицу A можно умно-жить не на всякую матрицу B. Необходимо, чтобы число столбцов матрицы Aбыло равно числу строк матрицы B:

C = AB = j-ая строка из m

• • • . . . • • •. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• • • . . . • • •. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• • • . . . • • •

︸︷︷︸p столбцов

k-ый столбециз n

• . . . • . . . •• . . . • . . . •• . . . • . . . •...

......

......

• . . . • . . . •• . . . • . . . •• . . . • . . . •

p строк.

В результате саму матрицу C можно схематически изобразить следующим об-разом:

C = AB = j-ая строка из m

k-ый

столбец

• • • . . . • . . . • • •. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• • • . . .

p∑

l=1

ajl b

lk . . . • • •

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• • • . . . • . . . • • •

︸︷︷︸n столбцов

m строк.

Отсюда наглядно устанавливается размерность m× n матрицы C, т.е. число еестрок совпадает с числом строк первого сомножителя A, а число столбцов – счислом столбцов второго сомножителя B.

Пример 2.4. Пусть

A =

(1 0 −32 3 −2

), B =

(1 21 03 1

).

Найти произведения AB и BA, AB⊺ и A⊺B при условии, что эти операцииопределены.

Решение. По определению,

AB =

(1 · 1 + 0 · 1 − 3 · 3 1 · 2 + 0 · 0 − 3 · 12 · 1 + 3 · 1 − 2 · 3 2 · 2 + 3 · 0 − 2 · 1

)=

(−8 −1−1 2

);

BA =

(1 + 4 0 + 6 −3 − 41 + 0 0 + 0 −3 + 03 + 2 0 + 3 −9 − 2

)=

(5 6 −71 0 −35 3 −11

).

Прежде чем перейти ко второй паре произведений, отметим, что размер-ность матрицы AB равна 2× 2, а размерность матрицы BA – 3× 3, т.е. размер-ности матриц не совпадают.


Для вычисления произведения AB⊺ выпишем матрицы A и B⊺ в явном виде(см. пример 2.3)

A =

(1 0 −32 3 −2

), B⊺ =

(1 1 32 0 1

),

т.е. размерность этих матриц одинакова и равна 2×3. Отсюда следует, что про-изведение вида AB⊺ не существует, так как число столбцов матрицы A (первыйсомножитель), равное 3, не совпадает с числом строк матрицы B (второй со-множитель), равным 2.

Теперь выпишем матрицы A⊺ и B:

A⊺ =

(1 20 3−3 −2

), B =

(1 21 03 1

).

Отсюда следует, что произведение A⊺B также не существует, поскольку числостолбцов матрицы A⊺ равно 2, а число строк матрицы B равно 3, т.е. числостолбцов не равно числу строк.

♦ Из примера видно, что произведение матриц не всегда определено, нодаже в тех случаях, когда оно существует, вопрос о перестановочном свойствепроизведения двух матриц (т.е. AB = BA) имеет смысл ставить лишь для квад-ратных матриц одинаковой размерности. Элементарные примеры показывают,что даже в этом случае произведение матриц не обладает перестановочнымсвойством.

� Матрицы A и B называются коммутирующими, если для них выполня-ется перестановочное соотношение AB = BA.

Пример 2.5. Пусть

A =

(0 10 0

), B =

(0 01 0

).

Найти AB и BA.


AB =

(1 00 0

), BA =

(0 00 1

),

следовательно, AB 6= BA.

Пример 2.6. Пусть A = ‖aj‖, B = ‖bk‖, j, k = 1, n; A — матрица-столбец, B —матрица-строка. Найти произведения AB и BA.

Решение. По определению, AB = ‖ajbk‖ — n× n-матрица:

AB =

a1

a2

...an

(b1 b2 . . . bn) =

a1b1 a1b2 . . . a1bna2b1 a2b2 . . . a2bn. . . . . . . . . . . .anb1 anb2 . . . anbn

;

BA — число (1 × 1-матрица):

BA = (b1 b2 . . . bn)

a1

a2

. . .an

= b1a

1 + b2a2 + . . .+ bna

n =n∑

j=1

bjaj .


Рассмотрим основные свойства произведения матриц. Из формулы (2.5) сле-дует

Свойство 1. Умножение матриц ассоциативно: A(BC) = (AB)C.♦ Здесь и в дальнейшем мы предполагаем, что рассматриваемые произве-

дения матриц имеют смысл.

Доказательство. Из определения (2.5) следует

A(BC)=

∥∥∥∥∥

p∑

l=1

ajl

(q∑

k=1

blkcki

)∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥

p∑

l=1

q∑

k=1

ajl b

lkc

ki

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥

q∑

k=1

(p∑

l=1

ajl b

lk

)cki

∥∥∥∥∥ = (AB)C,

что и требовалось доказать.

Свойство 2. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению,т.е.

(A+B)C = AC +BC;

A(B + C) = AB + AC.

Доказательство аналогично доказательству предыдущего свойства.

Свойство 3. Для всех x ∈ K справедливо соотношение

x(AB) = (xA)B = A(xB).

Доказательство аналогично доказательству предыдущего свойства.

Свойство 4. Справедливо соотношение

(AB)⊺ = B⊺A⊺. (2.6)

Доказательство. Действительно, по определению

AB =∥∥∥

p∑

j=1

aljb

jk

∥∥∥, A = ‖alj‖, B = ‖bjk‖,

Обозначим(AB)⊺ = ‖ckl ‖, A⊺ = ‖dj

l ‖, B⊺ = ‖ekj‖, (2.7)

гдеdj

l = alj , ek

j = bjk.

Тогда

ckl =

p∑

j=1

aljb

jk.


B⊺A⊺ =∥∥∥

p∑

j=1

ekjd

jl

∥∥∥ = ‖fkl ‖.

С учетом (2.7) получим

fkl =

p∑

j=1

bjkalj = ckl ,


что и требовалось показать.� Величина δi

j, определяемая соотношением

δij =

{1 i = j,

0 i 6= j,

называется символом Кронекера.� Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны

единице, а все остальные нулю, называется единичной матрицей соответству-ющего порядка и обозначается

I = In = E = En =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1

= ‖δi

j‖n×n.

♦ Из определения символа Кронекера δij следует, что для произвольного

набора чисел b1, . . . , bn справедливо

n∑

j=1

δijb

j = δijb

j = 0 · b1 +0 · b2 + . . .+0 · bi−1 +1 · bi +0 · bi+1 + . . .+0 · bn = bi. (2.8)

Именно в смысле соотношения (2.8) иногда говорят, что символ Кронекера«снимает суммирование».

Свойство 5. Единичная матрица коммутирует с произвольной квадратной мат-рицей A того же порядка:

AI = IA.

Доказательство. Действительно,

AI =∥∥∥

n∑

l=1

ajl δ

li

∥∥∥ = ‖ajl δ

li‖ = ‖aj

i‖.

♦ Для квадратных матриц понятие произведения обобщается на операциювозведения в целую положительную степень. Действительно,

AA = A2, A2A = A3, . . . , An−1A = An

и т.д.

Пример 2.7. Вычислить An, если

A =

(1 20 1

).

Решение. Вычислим

A2 = AA =

(1 20 1

)(1 20 1

)=

(1 2 + 20 1

)=

(1 2 · 20 1

),

A3 = A2A =

(1 40 1

)(1 20 1

)=

(1 2 + 40 1

)=

(1 3 · 20 1

),


A4 = A3A =

(1 60 1

)(1 20 1

)=

(1 2 + 60 1

)=

(1 4 · 20 1

).

Предположим, что верно соотношение

An =

(1 20 1

)n

=

(1 n · 20 1

). (2.9)

Тогда

An+1 =

(1 2n0 1

)(1 2 + 2n0 1

)=

(1 2(n+ 1)0 1

).

Таким образом, с помощью метода математической индукции мы убедились,что (2.9) справедливо.

Пример 2.8. Найти матрицу D = ABC, если

A =

0 0 11 1 22 2 33 3 4

, B =

(−1 −12 21 1

), C =

(41

).

Решение. Согласно свойству 1, матрицу D можно вычислить, используя следу-ющий порядок сомножителей: D = A(BC) = (AB)C. Поскольку произведениеBC представляет собой матрицу-столбец 3 × 1, а произведение AB — матри-цу размерности 4 × 2, то предпочтительней воспользоваться первой формулойD = A(BC). Тогда

BC =

(−1 −12 21 1

)(41

)=

(−5105

)

и

D = A(BC) =

0 0 11 1 22 2 33 3 4

(−5

105

)=

5152535

= 5

1357

.

Легко убедиться, что вычисление произведения в другом порядке значительноувеличивает количество выкладок.

Пример 2.9. Найти значения полинома f(A) от матрицы A, если f(x) = 3x2−4и

A =

(2 10 3

).

Решение. Согласно условию задачи, полином имеет вид

f(A) = 3A2 − 4I = 3

(2 10 3

)2

− 4

(1 00 1

).

Выполнив указанные действия, получим

f(A) =

(8 150 23

).

3. Определитель и его свойства 17

3. Определитель и его свойства

3.1. Перестановки и определители

� Перестановкой n чисел 1, 2, . . . , n (или n любых различных между собойсимволов a1, a2, . . . , an) называется любое расположение этих чисел (или симво-лов) в определенном порядке.

♦ Так как данные n символов можно пронумеровать числами 1, 2, . . . , n, тоизучение перестановок любых n символов сводится к изучению перестановокэтих чисел.

♦ Число всех перестановок из n чисел равно

n! =

n∏

k=1

k = 1 · 2 · · ·n.

По определению, 0! = 1.� Если в некоторой перестановке 1, 2, . . . , n поменять местами только два

числа, то такая операция над перестановкой называется транспозицией.Очевидно, что все n! перестановок можно получить некоторой последова-

тельностью транспозиций. Условимся все перестановки с n 6 9 записывать беззапятых.

Пример 3.1. Выписать все перестановки чисел 1, 2, 3.

Решение. Все перестановки чисел 1, 2, 3 имеют вид 123, 132, 213, 231, 312, 321.Количество таких перестановок 3! = 2 · 3 = 6.

Нетрудно заметить, что переход от перестановки 123 к 132 осуществляетсятранспозицией чисел 2 и 3, а от перестановки 132 — транспозицией чисел 1 и 3переходим к перестановке 312 и т.д.

� Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоитвпереди меньшего; если же меньшее стоит впереди большего, то — порядок.Символом P (a1, a2, . . . , an) обозначим количество всех инверсий в перестановкеa1, a2, . . . , an.

♦ Укажем способ подсчета количества инверсий в перестановке. Просмотримчисла перестановки в порядке их записи (слева направо), для каждого из чиселсчитаем, сколько чисел, меньших данного, стоит правее него, все полученныевеличины складываем.

Пример 3.2. В перестановке 528371964 определить количество инверсий.

Решение. В перестановке 528371964 правее числа 5 стоят 4 числа, меньших 5:это 2, 3, 1, 4. Аналогично для всех остальных чисел. В результате получим

P (528371964) = 4 + 1 + 5 + 1 + 3 + 2 + 1 = 17.

� Перестановка называется четной, если она содержит четное число инвер-сий, и нечетной в противном случае.

♦ Рассмотренная в примере 3.2 перестановка является нечетной, так каксодержит 17 инверсий.

Пример 3.3. Выписать все перестановки чисел 1, 2 и чисел 1, 2, 3, определивчисло четных и нечетных перестановок.


Решение. В первом случае число перестановок равно 2!: перестановки 12 и21 различаются одной транспозицией чисел 1 и 2. Для определения четности(нечетности) каждой из них найдем для них число инверсий: P (12) = 0, P (21) =1. Таким образом, перестановка 12 является четной, а 21 — нечетной. Отсюдаследуют два важных вывода:

1) одна транспозиция меняет четность перестановки;2) количество четных перестановок из двух чисел равно количеству нечет-

ных перестановок и равно 2!/2 = 1.Для проверки этих выводов рассмотрим перестановку 123. Все возможные

перестановки для этого случая выписаны в примере 3.1. Определим количествоинверсий для каждой из них:

P (123) = 0, P (132) = 1, P (213) = 1,

P (231) = 2, P (312) = 2, P (321) = 3.

Как и в предыдущем случае, количество четных перестановок равно количествунечетных и равно 3!/2 = 6/2 = 3. Кроме этого, заметим, что перестановка 123— четная, а перестановка 132, получаемая из нее транспозицией чисел 2 и 3, —нечетная. Далее, перестановка 312, получаемая из 132 транспозицией чисел 1и 3, снова становится четной. Если принять во внимание, что перестановка 312получается из 123 двойной транспозицией: сначала чисел 2 и 3, а затем чисел1 и 3, то, как мы видели, обе перестановки 123 и 312 — четные, т.е. двойнаятранспозиция сохраняет четность перестановки.

Этот пример подтверждает оба вывода, сделанных выше, и мы будем поль-зоваться ими для любых перестановок.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

A =

a1

1 a12 . . . a1

n

a21 a2

2 . . . a2n

. . . . . . . . . . .an

1 a42 . . . an

n

. (3.1)

� Число, полученное из элементов матрицы A по формуле

detA = |A| = |ajk| =

∣∣∣∣∣a1

1 a12 . . . a1

n. . . . . . . . . . . . . . .an

1 an2 . . . an

n

∣∣∣∣∣ =

=∑

(−1)P (k1,k2,...,kn)ak1

1 · ak2

2 · · ·akn

n , (3.2)

называется определителем n-го порядка, или определителем матрицы A приn > 1. Здесь первые четыре выражения — обозначения определителя; сумми-рование производится по всем возможным перестановкам k1, k2, . . . , kn.

♦ Другими словами, понятие об определителе (3.2) матрицы (3.1) можносформулировать следующим образом.

Определителем n-го порядка (3.2), соответствующим матрице (3.1), называ-ется алгебраическая сумма n! слагаемых, составленная по правилу: слагаемымислужат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному изкаждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс,если его верхние индексы составляют четную перестановку, и со знаком минусв противном случае.

Нетрудно заметить, что количество слагаемых, входящих в сумму (3.2) сознаками плюс и минус, одинаково и равно n!/2.


♦ Из формулы (3.2) следует, что определитель треугольной матрицы равенпроизведению элементов главной диагонали, т.е.

A =

a1

1 a12 . . . a1

n

0 a22 . . . a2

n. . . . . . . . . . .0 0 . . . an

n

= a1

1a22 · · ·an

n. (3.3)

Все остальные слагаемые определителя содержат нуль в качестве множителяи, следовательно, равны нулю.

Пример 3.4. Пользуясь определением (3.2), вычислить определитель матри-цы

A =

(a1

1 a12

a21 a2

2

).

Решение. По определению и с учетом того, что в примере 3.3 получено P (12) =0, P (21) = 1, для определителя второго порядка запишем

|A| =

∣∣∣∣a1

1 a12

a21 a2

2

∣∣∣∣ = (−1)P (12)a11a

22 + (−1)P (21)a2

1a12 =

= (−1)0a11a

22 + (−1)1a1

2a21 = a1

1a22 − a1

2a21. (3.4)

♦ Правило (3.4) вычисления определителей второго порядка удобно иллю-стрировать следующей схемой:

∣∣∣∣• •• •

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣• ◦◦ •

∣∣∣∣−∣∣∣∣◦ •• ◦

∣∣∣∣ . (3.5)

Пример 3.5. Пользуясь определением (3.2), вычислить определитель матри-цы

A =

(a1

1 a12 a1

3

a21 a2

2 a23

a31 a3

2 a33

).

Решение. По определению и с учетом результатов примера 3.3 для определи-теля третьего порядка запишем

|A| =

∣∣∣∣∣a1

1 a12 a1

3

a21 a2

2 a23

a31 a3

2 a33

∣∣∣∣∣ = (−1)P (123)a11a

22a

33 + (−1)P (132)a1

1a32a

23+

+ (−1)P (213)a21a

12a

33 + (−1)P (231)a2

1a32a

13+

+ (−1)P (321)a31a

22a

13 + (−1)P (312)a3

1a12a

23 =

= a11a

22a

33 − a1

1a32a

23 − a2

1a12a

33 + a2

1a32a

13 − a3

1a22a

13 + a3

1a12a

23. (3.6)

♦ Правило (3.6) вычисления определителей 3-го порядка (или определителейматрицы 3-го порядка) удобно иллюстрировать мнемонической схемой (прави-лом треугольников)

∣∣∣∣∣• • •• • •• • •

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣• ◦ ◦◦ • ◦◦ ◦ •

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣◦ ◦ •• ◦ ◦◦ • ◦

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣◦ • ◦◦ ◦ •• ◦ ◦

∣∣∣∣∣−

(1 2 3) (2 3 1) (3 1 2)︸︷︷︸номера строк


−∣∣∣∣∣◦ ◦ •◦ • ◦• ◦ ◦

∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣◦ • ◦• ◦ ◦◦ ◦ •

∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣• ◦ ◦◦ ◦ •◦ • ◦

∣∣∣∣∣(3 2 1) (2 1 3) (1 3 2)

(3.7)

либо еще одной мнемонической схемой (правилом Саррюса):

a11

�a1

2�

a13

a12

��a2

2��

a32

произведения со знаком (−)︷︸︸︷a1

3 a11 a1

2��

a23 a2

1 a22

�� a3

3 a31 a3

2︸︷︷︸произведения со знаком (+)

.

Пример 3.6. Пользуясь правилом Саррюса (3.7), вычислить определитель мат-рицы

A =

(2 2 11 2 13 1 0

).

Решение. Пользуясь правилом Саррюса, запишем

|A| =

∣∣∣∣∣2 2 11 2 13 1 0

∣∣∣∣∣ = 2 · 2 · 0 + 1 · 1 · 1 + 2 · 1 · 3 − 3 · 2 · 1 − 1 · 2 · 0 − 1 · 1 · 2 =

= 0 + 1 + 6 − 6 − 0 − 2 = −1.

3.2. Свойства определителей

Рассмотрим основные свойства определителей, которые непосредственно сле-дуют из определения (3.2). Подчеркнем при этом, что определитель detA яв-ляется одной из важнейших характеристик квадратной матрицы A.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется,т.е.

detA = detA⊺. (3.8)

Доказательство. Пусть дан определитель матрицы A:

detA = det ‖aij‖

и пустьA⊺ = ‖bji‖, bji = ai

j, i, j = 1, n. (3.9)

Рассмотрим произвольный член определителя матрицы A

(−1)P (i1,i2,...,in)ai11 a

i22 · · ·ain

n .

В силу соотношения aij = bji (3.9) можно записать

(−1)P (i1,i2,...,in)ai11 a

i22 · · ·ain

n = (−1)P (i1,i2,...,in)b1i1b2i2· · · bnin .

Последнее выражение является слагаемым определителя A⊺. Таким образом,каждому слагаемому определителя матрицы A отвечает равное по величине и


знаку слагаемое определителя матрицы A⊺. Аналогично доказывается справед-ливость обратного утверждения.

♦ Свойство 1 свидетельствует о равноправии строк и столбцов определите-ля, т.е. любое утверждение, доказанное для столбцов, справедливо и для строки наоборот. Поэтому в дальнейшем мы будем доказывать свойства лишь длястолбцов определителя. Иногда термины «строка» и «столбец» объединяют на-званием «ряд».

Пример 3.7. Пользуясь определением (3.4), вычислить определители матриц

A =

(a bc d

), A⊺ =

(a cb d

).

Решение. По формуле (3.4) запишем

|A| =

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc.


|A⊺| =

∣∣∣∣a cb d

∣∣∣∣ = ad− bc =

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ .

Как и следовало ожидать, detA = detA⊺.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов матрицы ее определи-тель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителяостается неизменной.

Доказательство. Пусть дан определитель

detA = |ajk| =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1

i . . . a1k . . . a1

n

a21 . . . a2

i . . . a2k . . . a2

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an

1 . . . ani . . . an

k . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣. (3.10)

Обозначим через B матрицу, полученную из матрицы A перестановкой двухстолбцов с номерами i и k. Если

aj11 · · ·aji

i · · ·ajk

k · · ·ajn

n (3.11)

есть член определителя (3.10), то очевидно, что все сомножители и в определи-теле матрицы B остаются в разных строках и столбцах. Таким образом, detAи detB состоят из одних и тех же членов, однако слагаемому (3.11) в опреде-лителе матрице A соответствует перестановка

(j1, . . . , ji, . . . , jk, . . . , jn),

а в определителе матрицы B – перестановка

(j1, . . . , jk, . . . , ji, . . . , jn).

Поскольку эти перестановки различаются одной транспозицией, то они имеютпротивоположную четность. Это означает, что все члены определителя матри-цы A входят в определитель матрицы B с противоположными знаками, т.е.

detA = − detB.


Пример 3.8. Пользуясь определением (3.4), вычислить определители матриц

A =

(a bc d

), B =

(b ad c

),

отличающихся друг от друга перестановкой столбцов.

Решение. По формуле (3.1) запишем

|A| =

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc.


|B| =

∣∣∣∣b ad c

∣∣∣∣ = bc− ad = −∣∣∣∣a cb d

∣∣∣∣ .

Как и следовало ожидать, detA = − detB.

Следствие 2.1. Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.

Доказательство. Поменяем местами одинаковые столбцы определителя. По-скольку они одинаковы, определитель не изменится. С другой стороны, соглас-но свойству 2, он изменит знак, т.е.

detA = − detA,

откуда следует, что detA = 0.

Свойство 3. Общий множитель некоторого столбца определителя можно вы-носить за знак определителя.

Доказательство. Пусть элементы некоторого столбца в определителе detAимеют общий множитель α. Поскольку, согласно определению (3.2), в каждоеслагаемое определителя входит только один элемент из указанного столбца, товсе члены определителя содержат общий множитель α, который можно вынестиза знак суммы в (3.2), откуда и следует справедливость свойства 3.

♦ Свойство 3 позволяет сформулировать правило умножения определителяна число α, например, в форме

α

∣∣∣∣∣a1

1 a12 . . . a1

n. . . . . . . . . . . . . . .an

1 an2 . . . an

n

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣αa1

1 a12 . . . a1

n. . . . . . . . . . . . . . . . .αan

1 an2 . . . an

n

∣∣∣∣∣ .

Аналогичное правило для умножения матрицы на число имеет вид

α

(a1

1 a12 . . . a1

n. . . . . . . . . . . . . . .an

1 an2 . . . an

n

)=

(αa1

1 αa12 . . . αa1

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .αan

1 αan2 . . . αan

n

)

Сравнение этих соотношений позволяет сделать вывод, что

det(αA) = αn detA, (3.12)

где n — порядок квадратной матрицы A. Это означает, что операция вычисле-ния определителя (det) в общем случае нелинейна. Впрочем, при n = 1, т.е. дляпроизведения чисел, приходим к очевидному равенству

det(αA) = αA.


Следствие 3.1. Если некоторый столбец матрицы состоит из нулей, то опре-делитель этой матрицы равен нулю.

Доказательство непосредственно следует из свойства 3, так как нулевой стол-бец можно рассматривать как некоторый столбец, умноженный на нуль. Вынесяобщий множитель, убеждаемся в справедливости утверждения.

Следствие 3.2. Определитель, содержащий два пропорциональных столбца,равен нулю.

Доказательство. Пусть элементы i-го столбца определителя получаются умно-жением соответствующих элементов k-го столбца на число α. Вынеся этот об-щий множитель i-го столбца за знак определителя, мы получим определи-тель, содержащий два одинаковых столбца. Такой определитель, согласно след-ствию 2.1, равен нулю.

Свойство 4. Если элементы j-го столбца матрицы A представляют собой сум-му

al = αbl + βcl, l = 1, n, (3.13)

тоdetA = α detB + β detC. (3.14)

Здесь α и β — некоторые числа, а матрицы B и C получены из матрицы Aзаменой столбца al

j столбцом из элементов bl и cl, соответственно.

Доказательство. Согласно определению (3.2), имеем

detA =∑

(−1)P (i1,i2,...,in)ai11 · · ·aij

j · · ·ainn

или с учетом (3.13)

detA =∑

(−1)P (i1,i2,...,in)ai11 · · · (αbij + βcij) · · ·ain

n =

=α∑

(−1)P (i1,i2,...,in)ai11 · · · bij · · ·ain

n +

+ β∑

(−1)P (i1,i2,...,in)ai11 · · · cij · · ·ain

n = α detB + β detC,

что и требовалось доказать.♦ Формулу (3.14) иногда ошибочно используют не в предположении (3.13)

для столбцов, а в предположении для матриц: A = αB + βC. В этом случае

det(αB + βC) 6= α detA + β detC.

Поскольку, во-первых, согласно (3.12), постоянный множитель нельзя выноситьза знак det, а во-вторых,

det(A +B) 6= detA+ detB.

Пример 3.9. Показать, что для матриц

A1 =

(a1 b1c1 d1

), A2 =

(a2 b2c2 d2

)

выполняется равенство

det(A1 + A2) = detA1 + detA2 + detA12 + detA21,

где

A12 =

(a1 b1c2 d2

), A21 =

(a2 b2c1 d1

).


Решение. Согласно определению,

det(A1 + A2) = det

(a1 + a2 b1 + b2c1 + c2 d1 + d2

).

Отсюда с учетом (3.13) и (3.14) найдем

det(A1 + A2) = det

(a1 b1

c1 + c2 d1 + d2

)+ det

(a2 b2

c1 + c2 d1 + d2

)=

= det

(a1 b1c1 d1

)+ det

(a1 b1c2 d2

)+ det

(a2 b2c1 d1

)+ det

(a2 b2c1 d1

)=

= detA1 + detA2 + detA12 + detA21,

что и требовалось показать.♦ Свойство 4 распространяется на случай, когда (3.13) содержит более чем

два слагаемых.� Если элементы j-го столбца матрицы A можно выразить через элементы

других столбцов:

Xj =

n∑

l=1l 6=j

αlXl, Xj = ‖aij‖n×1, (3.15)

то говорят, что j-ый столбец представляет собой линейную комбинацию столб-цов с номерами l, для которых αl 6= 0.

♦ Если все αl (l 6= j) отличны от нуля, то j-ый столбец представляет собойлинейную комбинацию остальных (n− 1) столбцов. Если только один из коэф-фициентов αl отличен от нуля, то столбцы с номерами j и l пропорциональны.Очевидно, что нулевой j-ый столбец всегда является линейной комбинациейдругих при всех αl = 0.

Свойство 5. Если какой-либо столбец определителя есть линейная комбина-ция других его столбцов, то определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть для определенности j-ый столбец определителя пред-ставляет собой линейную комбинацию других столбцов. Воспользовавшись свой-ством 4, исходный определитель можно представить в виде суммы опреде-лителей, имеющих одинаковые столбцы. Такие определители, согласно след-ствию 2.1, равны нулю. Следовательно, и исходный определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель не изменится, если к одному из его столбцов при-бавить любую линейную комбинацию других столбцов.

Доказательство. Пусть к j-му столбцу определителя прибавляется любая ли-нейная комбинация других его столбцов (j-ый столбец в линейной комбинациине участвует). Воспользовавшись свойством 4, такой определитель можно пред-ставить в виде суммы определителей, первый из которых будет совпадать с ис-ходным, а остальные будут иметь одинаковые столбцы, т.е. будут равны нулю,что и требовалось доказать.

Последние два свойства для практических приложений, например для вы-числения определителей, представляют наибольшую ценность. Кроме того, свой-ство 5 определяет самые общие требования, при которых определитель обра-щается в нуль.

В заключение сформулируем еще одно свойство, которое докажем несколькопозже, поскольку его доказательство в рамках определения (3.2) достаточногромоздко.


Свойство 7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен про-изведению определителей перемножаемых матриц, т.е.

detAB = detA detB. (3.16)

В заключение отметим, что, согласно определению, элементы матрицы при-надлежат некоторому полю K. Из формулы (3.2) следует, что и элементы опре-делителя detA есть элементы того же поля. Это означает, что определительdetA можно рассматривать как функцию, определенную на множестве всехквадратных матриц с элементами из поля K. Если попытаться построить функ-цию, которая удовлетворяла бы требованиям, вытекающим из свойств 1, 3, 4 иформулы (3.3), то окажется, что такая функция единственна и определяется со-отношением (3.2). Такой подход в теории определителей называется аксиомати-ческим. Существует другой подход, называемый индуктивным, к рассмотрениюкоторого мы сейчас и переходим.

3.3. Миноры и их алгебраические дополнения

Вычисление определителей по правилу (3.2) – весьма громоздкая и трудоем-кая процедура (см. примеры 3.3 и 3.4). Тот факт, что для вычисления определи-теля 4-го порядка нужно выписать 4! = 24 слагаемых, а для определителя 5-гопорядка – уже 5! = 120, делает эту формулу малопригодной для практическихрасчетов.

Существенно упростить задачу вычисления определителей позволяет так на-зываемый индуктивный подход. Смысл этого подхода заключается в том, что вкачестве определителя матрицы первого порядка выбирается ее единственныйэлемент. Определитель матрицы 2-го порядка вычисляется, например, по из-вестной уже формуле (3.4). Однако этой формуле теперь придается иной смысл:ее рассматривают как соотношение, устанавливающее связь между определи-телем 2-го порядка и определителем 1-го порядка. Далее определитель 3-гопорядка вычисляется уже не по формуле (3.6), а по правилу, сформулирован-ному для связи определителей 2-го и 1-го порядков. Затем определитель n-гопорядка по индукции выражается через определители (n−1)-го порядка. Послетого как общее правило сформулировано, им можно воспользоваться для того,чтобы вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению определи-телей (n− 1)-го порядка, затем (n− 2)-го и так далее, вплоть до определителя1-го порядка.

Оказывается, такой подход значительно упрощает вычисление определите-лей, в чем можно убедиться на конкретных примерах. Для реализации этогоподхода сформулируем некоторые необходимые понятия.

Пусть detA— определитель матрицыA порядка n. Выберем некоторое числоk, такое, что 1 6 k 6 n− 1, и в матрице A выделим k произвольно выбранныхстолбцов и строк.

� Минором M (от латинского “minor” — меньший) k-го порядка матрицы Aназывается определитель некоторой матрицы, составленной из элементов мат-рицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцовс сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минорM , совпадают с номерами строк, то этот минор называется главным.

♦ Каждая матрица A порядка n имеет (Ckn)2 миноров k-го порядка. Мино-

рами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.� Дополнительным минором M к минору M квадратной матрицы A на-

зывается определитель такой матрицы порядка (n − k), которая получена изматрицы A вычеркиванием тех k строк и k столбцов, в которых расположенминор M .


♦ Дополнительный минорM к минору 1-го порядка, которым является неко-торый элемент квадратной матрицы A, есть определитель матрицы, полученнойиз этой матрицы вычеркиванием одной строки и одного столбца, на пересечениикоторых стоит выделенный элемент, т.е. минор 1-го порядка. Его еще называютминором элемента ai

j .

Пусть M — минор матрицы A, а M — его дополнительный минор. Еслив качестве исходного выбрать минор M , то дополнительным ему будет минорM . Таким образом, миноры M и M образуют пару взаимно дополнительныхминоров.

� Алгебраическим дополнением к минору M порядка k, расположенному встроках с номерами i1, i2, . . . , ik и столбцах с номерами j1, j2, . . . , jk, называетсячисло

Ai1,i2,...,ikj1,j2,...,jk

= (−1)SMMi1,i2,...,ikj1,j2,...,jk

, (3.17)

где M — дополнительный минор минора M , а SM — сумма номеров строк истолбцов, в которых он расположен, т.е.

SM = i1 + i2 + . . .+ ik + j1 + j2 + . . .+ jk. (3.18)

Алгебраическим дополнением элемента aij (минора 1-го порядка) матрицы A,

согласно определению, будет число

Aij = (−1)i+jM

i

j , (3.19)

где i, j – номера строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aij

и которые следует вычеркнуть из матрицы A для получения дополнительного

минора Mi

j .

♦ Часто в качестве определения алгебраического дополнения Aij выбирают

коэффициент при элементе aij в сумме (3.2). Ниже мы покажем, что эти опре-

деления эквивалентны.♦ Согласно определению (3.17), алгебраическое дополнение и дополнитель-

ный минор к некоторому минору различаются только знаком.

Пример 3.10. Для матрицы

A =

1 0 1 24 1 2 60 1 2 11 3 2 4

выписать несколько миноров различных порядков и вычислить их алгебраиче-ские дополнения.

Решение. Начнем с миноров 1-го порядка.1. Выделим в матрице A, например, 2-ю строку и 3-й столбец. На их пересе-

чении стоит элемент a23 = 2, тогда минор 1-го порядкаM2

3 совпадает с элементомa2

3 и равен 2, т.е.M2

3 = a23 = 2.

Если выбранные строку и столбец вычеркнуть из матрицы A, то получится

матрица порядка 3, определитель которой M2

3 и будет дополнительным мино-ром к минору M2

3 , т.е.

M2

3 =

∣∣∣∣∣1 0 20 1 11 3 4

∣∣∣∣∣ = −1.


Вычислив этот определитель по формуле (3.4) и воспользовавшись определе-нием (3.19), найдем алгебраическое дополнение к минору M2

3 = a23 = 2:

A23 = (−1)2+3M

2

3 = −M 2

3 = −∣∣∣∣∣1 0 20 1 11 3 4

∣∣∣∣∣ = 1.

Выделим теперь в матрице A 2-ю строку и 2-й столбец. На их пересечениистоит элемент a2

2 = 1, тогда минор 1-го порядка M22 совпадает с элементом a2

2 иравен 1, т.е.

M22 = a2

2 = 1.

Так как миноры с одинаковыми номерами строк и столбцов называются глав-ными, то матрица A имеет 4 главных минора 1-го порядка, которые стоят подиагонали матрицы A, называемой по этой причине главной диагональю. МинорM2

2 = 1 — один из главных миноров матрицы A. Его дополнительный минор,получаемый вычеркиванием в матрице A 2-ой строки и 2-го столбца, имеет вид

M 22 =

∣∣∣∣∣1 1 20 2 11 2 4

∣∣∣∣∣ = 3

и соответственно алгебраическое дополнение

A22 = (−1)2+2M

2

2 = M2

2 = 3.

Перейдем к минорам 2-го порядка.2. Выделим в матрице A, например, 1-ю и 2-ю строки и 3-й и 4-й столбцы:

A =

1 0 1 24 1 2 60 1 2 11 3 2 4

.

Элементы, стоящие на их пересечениях, образуют квадратную матрицу 2-гопорядка, определитель которой представляет собой минор 2-го порядка:

M1,23,4 =

∣∣∣∣1 22 6

∣∣∣∣ = 2.

Если выбранные строки и столбцы вычеркнуть из матрицы A, то получитсяматрица 2-го порядка, определитель которой M 1,2

3,4 и будет дополнительным ми-нором к исходному:

M 1,23,4 =

∣∣∣∣0 11 3

∣∣∣∣ = −1.

Алгебраическое дополнение минора M1,23,4 найдется, согласно определению, по

формуле (3.17):A1,2

3,4 = (−1)1+2+3+4M1,23,4 = M 1,2

3,4 = −1.

Как уже отмечалось, минор M1,23,4 и его дополнительный минор M 1,2

3,4 образу-ют пару взаимно дополняющих миноров.

Действительно, если в матрице A выделить 3-ю и 4-ю строки и 1-й и 2-йстолбцы:

A =

1 0 1 24 1 2 60 1 2 11 3 2 4

,


то элементы, стоящие на их пересечениях, образуют минор

M3,41,2 =

∣∣∣∣0 12 6

∣∣∣∣ = −1.

Его дополнительный минор M 3,41,2 есть

M 3,41,2 =

∣∣∣∣1 22 6

∣∣∣∣ = 2,

а алгебраическое дополнение равно

A3,41,2 = (−1)3+4+1+2M 3,4

1,2 = M 3,41,2 = 2.

Простое сопоставление показывает, что

M1,23,4 = M 3,4

1,2 =

∣∣∣∣1 22 6

∣∣∣∣ = 2,

M3,41,2 = M1,2

3,4 =

∣∣∣∣0 11 3

∣∣∣∣ = −1,

что представляется естественным в силу взаимной дополнительности пары ми-норов M1,2

3,4 и M 1,23,4 = M3,4

1,2 .Теперь найдем произведения этой пары миноров на их алгебраические до-

полнения:

M1,23,4A

1,23,4 = M1,2

3,4 (−1)1+2+3+4M1,23,4 = (−1)10M1,2

3,4M1,23,4 = −2,

M3,41,2A

3,41,2 = M3,4

1,2 (−1)3+4+1+2M 3,41,2 = (−1)10M3,4

1,2M3,41,2 = −2.

Из полученного равенства вытекает весьма важное утверждение.♦ Если M и M — два взаимно дополнительных минора, то их произведения

на свои алгебраические дополнения равны.И, наконец, рассмотрим миноры 3-го порядка.3. В матрице A выделим, например, 1-ю, 3-ю, 4-ю строки и 1-й, 2-й и 4-й

столбцы:

A =

1 0 1 24 1 2 60 1 2 11 3 2 4

.

Элементы, стоящие на их пересечениях, образуют квадратную матрицу 3-гопорядка, определитель которой представляет собой минор 3-го порядка:

M1,3,41,2,4 =

∣∣∣∣∣1 0 20 1 11 3 4

∣∣∣∣∣ = −1.

Если выбранные строки и столбцы вычеркнуть из матрицы A, то получитсяматрица 1-го порядка, определитель которой M 1,3,4

1,2,4 и будет дополнительным

минором к минору M1,3,41,2,4 . В данном случае дополнительным минором будет

будет просто элемент a23, т.е.

M 1,3,41,2,4 = a2

3 = 2.


Тогда алгебраическое дополнение A1,3,41,2,4 минора M1,3,4

1,2,4 , согласно определению(3.17), найдется как

A1,3,41,2,4 = (−1)1+3+4+1+2+4M1,3,4

1,2,4 = (−1)15a23 = −2.

Нетрудно заметить, что в данном случае пару взаимно дополняющих миноровбудут составлять миноры M1,3,4

1,2,4 и M 1,3,41,2,4 = a2

3. Найдем их произведения на своиалгебраические дополнения:

M1,3,41,2,4A

1,3,41,2,4 = M1,3,4

1,2,4 (−1)1+3+4+1+2+4M1,3,41,2,4 = (−1)15M1,3,4

1,2,4a23 = (−1)152 = 2,

a23A

23 = a2

3(−1)2+3M23 = (−1)5M1,3,4

1,2,4a23 = (−1)52 = 2.

Полученное равенство произведений находится в соответствии с тем, что произ-ведение взаимно дополнительных миноров на свои алгебраические дополненияравны. Этим свойством мы будем пользоваться в дальнейшем для вычисленияопределителей, доказав его в общем виде.


A =

(a1

1 a12

a21 a2

2

)

1) выписать все возможные миноры и вычислить их алгебраические дополне-ния;

2) записать значение detA через эти миноры и их алгебраические дополнения.

Решение. Для матрицы 2-го порядка существуют лишь четыре минора 1-гопорядка, совпадающие с самими элементами матрицы, т.е.

M11 = a1

1, M12 = a1

2, M21 = a2

1, M22 = a2

2.

Их дополнительные миноры имеют вид

M 11 = a2

2, M12 = a2

1, M 21 = a1

2, M 22 = a1

1

и соответственно алгебраические дополнения

A11 = (−1)1+1M 1

1 = a22, A1

2 = (−1)1+2M 12 = −a2

1,

A21 = (−1)2+1M 2

1 = −a22, A2

2 = (−1)2+2M22 = a1

1.

Для решения второй части задачи воспользуемся формулой (3.2):

detA =

∣∣∣∣a1

1 a12

a21 a2

2

∣∣∣∣ = a11a

22 − a1

2a21.

Тогда с учетом найденных выше алгебраических дополнений определитель detAможно представить следующими четырьмя формулами:

detA =

∣∣∣∣a1

1 a12

a21 a2

2

∣∣∣∣ = M11A

11 +M1

2A12 = M2

1A21 +M2

2A22 =

= M11A

11 +M2

1A21 = M1

2A12 +M2

2A22, (3.20)


которые можно также записать в более наглядной форме, воспользовавшисьявным видом миноров M i

j = aij :

detA =

∣∣∣∣a1

1 a12

a21 a2

2

∣∣∣∣ = a11A

11 + a1

2A12 = a2

1A21 + a2

2A22 =

= a11A

11 + a2

1A21 = a1

2A12 + a2

2A22. (3.21)

Формулы (3.20) и (3.21) выражают основную идею индуктивного подхода кпостроению определителей: значение определителя detA можно получить, сум-мируя произведения элементов любой строки (столбца) на их алгебраическиедополнения, или в более общей формулировке: суммируя произведения всехминоров k-го порядка в выбранных k строках (столбцах) на их алгебраическиедополнения.

Ниже нам предстоит доказать это утверждение для общего случая — дляопределителей любого порядка. Заметим, что при выводе формул (3.20) и (3.21)мы воспользовались формулой (3.2), вытекающей из аксиоматического опреде-ления (3.1). Однако эти формулы можно получить совершенно независимо отаксиоматического определения, воспользовавшись, например, формализован-ной записью решения

x1 =b1a

22 − b2a

12

a11a

22 − a1

2a21

=

∣∣∣∣b1 a1

2

b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣a1

1 a12

a21 a2

2

∣∣∣∣;

x2 =b2a

12 − b1a

21

a11a

22 − a1

2a21

=

∣∣∣∣a1

2 b1a2

1 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣a1

1 a12

a21 a2

2

∣∣∣∣

системы двух линейных алгебраических уравнений

a11x1 + a1

2x2 = b1,

a21x1 + a2

2x2 = b2.

Это позволяет рассматривать два подхода совершенно независимо друг от дру-га, с одной стороны, а с другой — подчеркнуть их эквивалентность, указав лишьвнешнее различие этих формулировок.

Проиллюстрируем это утверждение на примере определителя 3-го порядка,а затем перейдем к определителям произвольного порядка.


A =

(a1

1 a12 a1

3

a21 a2

2 a23

a31 a3

2 a33

)

записать detA разложением по минорам 2-го порядка, расположенным во 2-йи 3-й строках.

Решение. Выделив в матрице A 2-ю и 3-ю строки, мы можем записать всеготри минора 2-го порядка, расположенных в этих строках:

M2,31,2 =

∣∣∣∣a2

1 a22

a31 a3

2

∣∣∣∣ = a21a

32 − a2

2a31,


M2,31,3 =

∣∣∣∣a2

1 a23

a31 a3

3

∣∣∣∣ = a21a

33 − a2

3a31,

M2,32,3 =

∣∣∣∣a2

2 a23

a32 a3

3

∣∣∣∣ = a22a

33 − a2

3a32.

Их дополнительные миноры и алгебраические дополнения имеют вид

M 2,31,2 = a1

3, A2,31,2 = (−1)2+3+1+2M 2,3

1,2 = a13;

M 2,31,3 = a1

2, A2,31,3 = (−1)2+3+1+3M 2,3

1,3 = −a12;

M 2,32,3 = a1

1, A2,32,3 = (−1)2+3+2+3M 2,3

2,3 = a11.

Тогда искомое разложение запишется как

detA =

∣∣∣∣∣a1

1 a12 a1

3

a21 a2

2 a23

a31 a3

2 a33

∣∣∣∣∣ = M2,31,2A

2,31,2 +M2,3

1,3A2,31,3 +M2,3

2,3A2,32,3 =

= (a21a

32 − a2

2a31)a

13 − (a2

1a33 − a2

3a31)a

12 + (a2

2a23 − a2

3a32)a

11. (3.22)

Раскрыв скобки, приходим к формуле (3.6), выражающей определитель непо-средственно через элементы матрицы ai

j.Интересно отметить, что поскольку пары миноров

M2,31,2 , a1

3; M2,31,3 , a1

2; M2,32,3 , a1

1

являются взаимно дополнительными, то их произведения на свои алгебраиче-ские дополнения равны. Тогда разложение (3.22) можно переформулировать вболее привычное разложение по первой строке:

detA = M2,31,2A

2,31,2 +M2,3

1,3A2,31,3 +M2,3

2,3A2,32,3 = a1

1A11 + a1

2A12 + a1

3A13.

Любопытно, что иногда именно разложение по нескольким строкам (столбцам)позволяет быстрее вычислить определитель, чем разложение по одной строке.Рассмотрим соответствующий пример.


A =

1 −3 −1 20 1 3 03 −3 −1 40 2 −1 0

найти значение detA.

Решение. Выделим в матрице A 2-ю и 4-ю строки, удачно содержащие нули.Тогда из шести (C2

4 = 6) миноров 2-го порядка, расположенных в этих строках,только один

M2,42,3 =

∣∣∣∣1 32 −1

∣∣∣∣ = −7

отличен от нуля. Остальные миноры обращаются в нуль, поскольку обязательносодержат нулевой столбец.


Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к минору M2,42,3 имеют

вид

M2,42,3 =

∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = −2, A2,42,3 = (−1)2+4+2+3M 2,4

2,3 = −∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = 2.

ТогдаdetA = M2,4

2,3A2,42,3

или в подробной записи

∣∣∣∣∣∣∣

1 −3 −1 20 1 3 03 −3 −1 40 2 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣1 32 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = 14.

Обратимся теперь к определителям произвольного порядка n.

Лемма 3.1. Для квадратной матрицы

A =

a1

1 a12 . . . a1

n

a21 a2

2 . . . a2n

. . . . . . . . . . .an

1 a42 . . . an

n

(3.23)

произведение любого минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение естьсумма, слагаемые которой являются элементами определителя detA, причемзнаки этих элементов совпадают с теми знаками, с какими они входят в со-став detA, согласно формуле (3.2).

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда минор M1,2,...,k1,2,...,k является

главным минором матрицы A, занимающим первые k строк и столбцов. Тогдаего дополнительный минор M1,2,...,k

1,2,...,k — также главный минор, расположенныйна последних (n − k) строках и столбцах с номерами k + 1, k + 2, . . . , n, —определяет алгебраическое дополнение

A1,2,...,k1,2,...,k = (−1)SMM 1,2,...,k

1,2,...,k.

Число SM в выбранной конфигурации равно сумме

SM = 1 + 2 + . . .+ k + 1 + 2 + . . .+ k = 2(1 + 2 + . . .+ k),

т.е. является четным. Тогда (−1)SM = 1, и алгебраическое дополнение совпадаетс дополнительным минором, в результате чего

M1,2,...,k1,2,...,kA

1,2,...,k1,2,...,k = M1,2,...,k

1,2,...,kM1,2,...,k1,2,...,k. (3.24)

Пусть(−1)la1

i1a2

i2· · ·ak

ik(3.25)

— произвольный член минора M1,2,...,k1,2,...,k , где l, согласно определению (3.2), — чис-

ло инверсий в перестановке (i1, i2, . . . , ik), т.е. l = P (i1, i2, . . . , ik). Пусть теперь

(−1)lak+1jk+1

ak+2jk+2

· · ·anjn

(3.26)


— произвольный член дополнительного минора M 1,2,...,k1,2,...,k, где l — число инверсий

в перестановке (jk+1, jk+2, . . . , jn), т.е. l = P (jk+1, jk+2, . . . , jn).Перемножив (3.25) и (3.26), получим произведение n элементов с множите-

лем (−1)l+l:

(−1)l+la1i1a

2i2 · · ·a

kikak+1

jk+1ak+2

jk+2· · ·an

jn, (3.27)

расположенных в разных строках и столбцах определителя detA. Это означает,что произведение (3.27) действительно есть, с точностью до знака, некотороеслагаемое определителя, определяемое формулой (3.2).

Покажем теперь, что знак множителя (−1)l+l, с которым это слагаемое вхо-

дит в произведение M1,2,...,k1,2,...,kA

1,2,...,k1,2,...,k, совпадает со знаком, с которым оно входит

в определитель detA. Действительно, согласно формуле (3.2), слагаемое

(−1)La1i1a

2i2 · · ·ak

ikak+1

jk+1ak+2

jk+2· · ·an

jn

входит в detA именно со знаком (−1)L, где L — число инверсий в перестановке(i1, i2, . . . , ik, jk+1, jk+2, . . . , jn), т.е.

L = P (i1, i2, . . . , ik, jk+1, jk+2, . . . , jn).

При подсчете числа инверсий L учтем, что все i не больше k, а все j не мень-ше k + 1, поэтому при всех значениях индексов il и jm первые k элементовперестановки не могут образовать инверсию по отношению к последующим ееэлементом. Следовательно, число инверсий L совпадает с числом инверсий l+ l,что и доказывает рассматриваемый нами частный случай.

Пусть теперь минор M k-го порядка расположен произвольно в строках сномерами i1 < i2 < . . . < ik и столбцах с номерами j1 < j2 < . . . < jk. В этомслучае

SM = i1 + i2 + . . .+ ik + j1 + j2 + . . .+ jk.

Переставив строки и столбцы определителя, переместим минор M в верхнийлевый угол так, чтобы он занял первые k строк и столбцов. Тогда дополни-тельный минор M займет правый нижний угол с номерами строк и столбцовk + 1, k+ 2, . . . , n, как в рассмотренном выше случае. Подсчитаем число транс-позиций строк и столбцов, которые следует совершить для получения такойконфигурации определителя detA. Для того чтобы i1-ая строка стала 1-й стро-кой, нужно переставить ее сначала с (i1 − 1)-ой строкой, затем с (i1 − 2)-ой ит.д., пока она не займет место первой строки. Очевидно, что число транспози-ций равно i1 − 1. Аналогично число транспозиций, переводящих i2-ю строку наместо 2-ой, равно i2 − 2. Таким образом, следует совершить

(i1 − 1) + (i2 − 2) + . . .+ (ik − k) = (i1 + i2 + . . .+ ik) − (1 + 2 + . . .+ k)

траспозиций строк. Аналогично следует совершить

(j1 − 1) + (j2 − 2) + . . .+ (jk − k) = (j1 + j2 + . . .+ jk) − (1 + 2 + . . .+ k)

транспозиций столбцов.Так как мы переставляли лишь соседние строки и столбцы, то взаимное

расположение элементов в минорах M и M не изменилось, однако в новомопределителе detA′ они являются главными минорами, занимая верхний левыйи нижний правый углы соответственно. Поскольку определитель detA′ получениз определителя detA путем

(i1 + i2 + . . .+ ik) + (j1 + j2 + . . .+ jk)− 2(1+ 2+ . . .+ k) = SM − 2(1 + 2+ . . .+ k)


транспозиций строк и столбцов, то

detA′ = (−1)SM−2(1+2+...+k) detA = (−1)SM detA.

Это означает, что элементы определителя detA′ отличаются от соответству-ющих элементов определителя detA лишь знаком множителя (−1)SM (четноечисло 2(1+2+ . . .+k) на знак не влияет). Отсюда с учетом первой части леммыследует, что произведение (−1)SM detA = (−1)SMMM = MA, т.е. произведениеминора на свое алгебраическое дополнение состоит из некоторых элементовопределителя detA, взятых с теми знаками, которые они имеют, согласно опре-делению (3.2), что и требовалось доказать.

Следствие 3.1.1. Если M и M — пара взаимно дополнительных миноров, тоих произведения на свои алгебраические дополнения равны.

Доказательство. Если миноры M и M взаимно дополнительные, то числа SM

и SM имеют одинаковую четность. Действительно, номер всякой строки и всяко-го столбца входят слагаемыми только в одно из чисел SM или SM . В результатесумма SM +SM всегда равна общей сумме строк и столбцов определителя detA:

SM + SM = (1 + 2 + . . .+ n) + (1 + 2 + . . .+ n) = 2(1 + 2 + . . .+ n),

т.е. является четным числом. Отсюда и следует одинаковая четность чисел SM

и SM .Пусть A и A – алгебраические дополнения миноров M и M соответственно.

Тогда A = (−1)SMM и A = (−1)SMM . Отсюда с учетом того, что (−1)SM =(−1)S

M , имеем MA = M A, что и требовалось доказать.

Теорема 3.1. Определитель detA матрицы

A = ‖aij‖n×n

равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их ал-гебраические дополнения

detA = ai1A

i1 + ai

2Ai2 + . . .+ ai

nAin =

n∑

j=1

aijA

ij. (3.28)

Доказательство. В матрице A выделим произвольную строку, например, с но-мером i. Все элементы этой строки можно рассматривать как миноры 1-го по-рядка. Пусть M i

j — дополнительные миноры этих элементов, а Aij = (−1)i+jM i

j

— их алгебраические дополнения. Как следует из леммы 3.1, произведение aijA

ij

представляет собой сумму некоторых элементов определителя detA.Ранее уже отмечалось, что дополнительный минор M i

j есть определитель

(n−1)-го порядка и, следовательно, каждое произведение aijA

ij содержит (n−1)!

слагаемых.Рассмотрим теперь непосредственно сумму (3.28). Очевидно, что никакой

элемент определителя не может входить в состав двух различных слагаемыхэтой суммы. Действительно, все слагаемые, входящие в первый член ai

1Ai1, со-

держат элемент ai1 i-й строки и поэтому отличаются от слагаемых, входящих

в произведение ai2A

i2 и содержащих элемент той же строки ai

2, и т.д. Нетрудноустановить, что общее число слагаемых суммы (3.28) равно n(n − 1)! = n!. Но


этим исчерпываются все элементы определителя detA вообще. Таким образом,сумма (3.28) совпадает с суммой из определения (3.2).

� Формула (3.28) называется разложением определителя по элементам i-ойстроки. Аналогично можно получить формулу

detA = a1iA

1i + a2

iA2i + . . .+ an

i Ani =

n∑

j=1

ajiA

ji , (3.29)

называемую разложением определителя по элементам i-го столбца.♦ Отметим, что теорему 3.1 можно рассматривать как формулировку тожде-

ственности разложений (3.28) и (3.2), т.е. если определить detA соотношением(3.28), то из него следует справедливость разложения (3.2). В некоторых спе-циальных курсах линейной алгебры так и поступают: для определения detAиспользуют только разложение (3.28), совершенно не обращаясь к аксиомати-ческой формуле (3.2). При этом все доказанные выше свойства определителейлегко получаются из формул (3.28) и (3.29). Ниже мы покажем, как это можносделать, но предварительно рассмотрим теорему, которая является обобщениемтеоремы 3.1 и называется теоремой Лапласа.

Теорема 3.2 (Лапласа). Определитель detA матрицы

A = ‖aij‖n×n

равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в про-извольно выбранных k строках (столбцах) матрицы A, на их алгебраическиедополнения.

Доказательство. Выделим произвольно в матрице A строки, например, с но-мерами i1, i2, . . . , ik. Число миноров k-го порядка, расположенных в этих стро-ках, равно числу сочетаний Ck

n = n!/[k!(n− k)!]. С другой стороны, сам минорсодержит k! слагаемых. Если M — дополнительный минор минора M , то он, всвою очередь, содержит (n − k)! слагаемых. Такое же число слагаемых содер-жит и алгебраическое дополнение минора M . Таким образом, число слагаемыхсуммы произведений всех миноров k-го порядка на свои алгебраические допол-нения определяется выражением

Cknk!(n− k)! =

n!

k!(n− k)!k!(n− k)! = n!,

что совпадает с числом слагаемых определителя detA.Рассуждая далее так же, как и при доказательстве теоремы 3.1, мы придем

к выводу, что, выбрав в качестве M в произведении MA все миноры k-го по-рядка, расположенные в заданных строках, мы получим указанные выше n!слагаемые, совпадающие со слагаемыми определителя detA из формулы (3.2),что и требовалось доказать.

Следствие 3.2.1. Пусть в матрице A все элементы, стоящие в первых n стро-ках и последних n− k столбцах, равны нулю:

A =

a11 . . . a1

k 0 . . . 0...

......

......

...ak

1 . . . akk 0 . . . 0

ak+11 . . . ak+1

k ak+1k+1 . . . ak+1

n

an1 . . . an

k ank+1 . . . an

n

.


Тогда detA равен произведению двух миноров:

detA =

∣∣∣∣∣a1

1 . . . a1k

. . . . . . . . . . .ak

1 . . . akk

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

ak+1k+1 . . . ak+1

n

. . . . . . . . . . . . . . .an

k+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣.

Доказательство очевидным образом вытекает из разложения detA по первымk строкам с учетом того, что

SM = (1 + 2 + . . .+ k) + (1 + 2 + . . .+ k) = 2(1 + 2 + . . .+ k)

или (−1)SM = 1.

Следствие 3.2.2. Пусть в квадратной матрице A размером n = 2k все элемен-ты, стоящие в первых k строках и столбцах, равны нулю:

A =

0 . . . 0 a1k+1 . . . a1

2k...

......

......

...0 . . . 0 ak

k+1 . . . ak2k

ak+11 . . . ak+1

k ak+1k+1 . . . ak+1

2k

a2k1 . . . a2k

k a2kk+1 . . . a2k

2k

.

Тогда detA равен произведению двух миноров:

detA = (−1)k

∣∣∣∣∣∣

a1k+1 . . . a1

2k. . . . . . . . . . . . . .ak

k+1 . . . ak2k

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

ak+11 . . . ak+1

k. . . . . . . . . . . . . . .a2k

1 . . . a2kk

∣∣∣∣∣∣.

Доказательство очевидным образом вытекает из разложения detA по первымk строкам с учетом того, что

SM = (1 + 2 + . . .+ k) + [(k + 1) + (k + 2) + . . .+ (k + k)] =

= k · k + 2(1 + 2 + . . .+ k) = k2 + k(k + 1) = 2k2 + k

или (−1)SM = (−1)k.

Вернемся к свойствам определителей, рассмотренным в предыдущем разде-ле. Мы не будем повторно формулировать эти свойства, а рассмотрим толькодва из них, при доказательстве которых использовалась формула (3.4). Теперьмы докажем их, исходя из разложения (3.28) или (3.29), а заодно докажем исвойство 7.

Доказательство свойства 2. Как и ранее, рассмотрим матрицы A и B, вкоторых переставлены столбцы с номерами i и j. Пусть i < j. Рассмотримсначала случай, когда j = i+ 1, т.е.

A =

(a1

1 . . . a1i a1

i+1 . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an

1 . . . ani an

i+1 . . . ann

), B =

(a1

1 . . . a1i+1 a1

i . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an

1 . . . ani+1 an

i . . . ann

).

Для вычисления detA разложим его по элементам i-го столбца, а для вычисле-ния detB — по элементам (i+1)-го столбца. Учтем, что элементы этих столбцовравны и равны их дополнительные миноры. Тогда

detA =

n∑

l=1

ali(−1)i+lM l

i ,


detB =n∑

l=1

ali(−1)i+1+lM l

i = −n∑

l=1

ali(−1)i+lM l

i = − detA,

что и требовалось доказать.Пусть теперь i и j произвольны. Для матрицы B подсчитаем число транс-

позиций столбцов, после которых она совпадет с матрицей A. Такую переста-новку можно осуществить, переставив соседние столбцы. Сначала j-й стол-бец (нумерация по матрице B) переставим последовательно с (j − i) столб-цами слева от него. Затем i-й столбец переставим на место j-го, поменяв егоместами с каждым (j − i − 1)-ым столбцом справа. Всего будет проделано(j − i) + (j − i − 1) = 2(j − i) − 1 транспозиций столбцов. Но тогда, как былопоказано выше,

detB = (−1)2(j−i)−1 detA = − detA,


Доказательство свойства 4. Пусть, как и ранее, элементы j-го столбца мат-рицы A представляют собой сумму

alj = αbl + βcl.

Тогда, разложив detA по этому столбцу, имеем

detA =n∑

l=1

aljA

lj =

n∑

l=1

(αbl + βcl)Alj =

= αn∑

l=1

blAlj + β

n∑

l=1

clalj = α detA+ β detC,

где матрицы B и C получаются из матрицы A заменой столбца alj столбцом из

элементов bl и cl, соответственно.

Доказательство свойства 7. Пусть A иB — две квадратные матрицы размераn. Рассмотрим вспомогательную квадратную матрицу размера 2n

C =

a11 a1

2 . . . a1n 0 . . . 0

......

......

......

...an

1 an2 . . . an

n 0 . . . 0−1 0 . . . 0 b11 . . . b1n0 −1 . . . 0 b21 . . . b2n...

......

......

......

0 0 . . . −1 bn1 . . . bnn

.

Исходя из следствия 3.2.1 теоремы Лапласа, имеем

detC =

(a1

1 . . . a1n

. .an

1 . . . ann

) (b11 . . . b1n. .bn1 . . . bnn

)= detA detB.

С другой стороны, над определителем detC можно выполнить следующиепреобразования, не меняющие его значения. К элементам 1-ой строки прибавимэлементы (n + 1)-ой, умноженные на a1

1; затем элементы (n + 2)-ой, умножен-ные на a1

2, и т.д. Далее к элементам 2-ой строки прибавим элементы (n+ 1)-ой,


умноженные на a21, затем элементы (n + 2)-ой, умноженные на a2

2, и т.д. Ана-логичные преобразования проделываем с 3-ей строкой, 4-ой и, наконец, n-ой. Врезультате получим определитель вида

detC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 . . . 0

n∑

i=1

a1i b

i1 . . .

n∑

i=1

a1i b

in

......

......

......

0 . . . 0

n∑

i=1

ani b

i1 . . .

n∑

i=1

ani b

in

−1 . . . 0 b11 . . . b1n...

......

......

...0 . . . −1 bn1 . . . bnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Полученный определитель, согласно следствию 3.2.2 теоремы Лапласа, равен

detC = (−1)n

∣∣∣∣∣−1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 . . . −1

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n∑

i=1

a1i b

i1 . . .

n∑

i=1

a1i b

in

......

...n∑

i=1

ani b

i1 . . .

n∑

i=1

ani b

in

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

или с учетом того, что второй определитель представляет собой определительпроизведения матриц A и B:

detC = (−1)n(−1)n det(AB) = det(AB).

Из сравнения двух значений detC получим

detA detB = det(AB),


Следствие 1. Свойство 7 легко обобщается на случай, когда число слагаемыхбольше двух:

det(ABC) = det(AB) detC = detA detB detC

и т.д. В частности,det(Ak) = (detA)k, k = 1,∞.

Следствие 2. Справедливо соотношение

det(AB) = detA detB = detA⊺ detB = detA detB⊺ = detA⊺ detB⊺,

которое непосредственно следует из свойств 1 и 7.

Свойство 8. Сумма произведений всех элементов любого столбца определите-ля на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбцаравна нулю.


Доказательство. Пусть в матрице A столбцы с номерами i и j одинаковы. То-гда, как известно, detA = 0. С другой стороны, значение detA можно записать,воспользовавшись его разложением по элементам j-го столбца:

detA =

n∑

l=1

aljA

lj = 0,

которое с учетом равенства alj = al

i (l = 1, n, i 6= j) можно записать как

detA =

n∑

l=1

aljA

lj =

n∑

l=1

aliA

lj = 0.

Перебрав все возможные пары i и j при условии i 6= j, убеждаемся в справед-ливости утверждения.

♦ Последнее утверждение эквивалентно утверждению «определитель с дву-мя одинаковыми столбцами равен нулю».

Пример 3.14. Показать, что для любой квадратной матрицы (aij) размера n

выполняются соотношения

n∑

i=1

aijA

ik = δjk detA =

{detA при j = k,

0 при j 6= k,(3.30)

где Aik — алгебраические дополнения элементов ai

k;

det(αA) = αn detA, (3.31)

где α — любое число.

Решение. Соотношение (3.30) непосредственно вытекает из свойства 8 и раз-ложения (3.28). Соотношение (3.31) следует из цепочки равенств

det(αA) = det

(αa1

1 . . . αa1n

. . . . . . . . . . . . . .αan

1 . . . αann

)=

∣∣∣∣∣αa1

1 . . . αa1n

. . . . . . . . . . . . . .αan

1 . . . αann

∣∣∣∣∣ = αn

∣∣∣∣∣a1

1 . . . a1n

. . . . . . . . . . .an

1 . . . ann

∣∣∣∣∣ = αn detA,

что и требовалось показать.

3.4. Методы вычисления определителей

I. Непосредственное вычисление всех членов определителя

Этот метод предполагает вычисление определителей непосредственно из опре-деления (3.2) (см., например, примеры 3.4 и 3.5).

Отметим, что вычисление определителей 4-го и более высоких порядковнепосредственно по правилу (3.2) весьма трудоемко и фактически не применя-ется. Так, например, для определителей 4-го порядка нужно выписать 4! = 24слагаемых, а для определителей 5-го порядка — уже 5! = 120 и т.д.


II. Понижение порядка определителя

1. Разложение определителя по одной или нескольким строкам (столбцам)

Пример 3.15. Вычислить detA матрицы A из примера 3.6.

Решение. 1 способ. Разложим определитель по первой строке, согласно опре-делению (3.28):

detA =

∣∣∣∣∣2 2 11 2 13 1 0

∣∣∣∣∣ = 2(−1)1+1

∣∣∣∣2 11 0

∣∣∣∣+ 2(−1)1+2

∣∣∣∣1 13 0

∣∣∣∣+ 1(−1)1+3

∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ =

= 2(−1) − 2(−3) − (−5) = −2 + 6 + 5 = −1.

Разложение по первой строке не самое удачное. Очевидно, что разложениепо 3-ей строке или 3-ему столбцу предпочтительнее, поскольку они содержатнулевой элемент. В результате нужно будет найти всего лишь два алгебраиче-ских дополнения, а не три, как для 1-ой строки.

2 способ. Проведем разложение по 3-ей строке:

∣∣∣∣∣2 2 11 2 13 1 0

∣∣∣∣∣ = 3(−1)3+1

∣∣∣∣2 12 1

∣∣∣∣ + 1(−1)3+2

∣∣∣∣2 11 1

∣∣∣∣+ 0(−1)3+3

∣∣∣∣2 21 2

∣∣∣∣ =

= 0 − (2 − 1) + 0 = −1.

3 способ. И, наконец, вычислим определитель, воспользовавшись разложе-нием по двум строкам — 1-ой и 2-ой:

∣∣∣∣∣2 2 11 2 13 1 0

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣2 21 2

∣∣∣∣ (−1)1+2+1+2 · 0 +

∣∣∣∣2 11 1

∣∣∣∣ (−1)1+2+1+3 · 1 +

∣∣∣∣2 12 1

∣∣∣∣ (−1)1+2+2+3 · 3 =

= 0 − (2 − 1) + 0 = −1.

Как видим, математические выкладки при разложении определителя по3-ей строке и строкам 1-ой и 2-ой совершенно идентичны. Это объясняется тем,что в обоих разложениях присутствуют миноры, представляющие собой парывзаимно дополнительных миноров. Аналогично проводятся и другие возмож-ные разложения.

2. Получение максимального числа нулей в одной или нескольких строках(столбцах) определителя

Умножая элементы строк или столбцов на определенным образом выбран-ные коэффициенты, а затем складывая столбцы или строки, можно достичьтого, что все элементы некоторого столбца или некоторой строки, за исключе-нием одного, обратятся в нуль. Тогда исходный определитель равен взятому сознаком плюс или минус произведению этого элемента на соответствующий емудополнительный минор, представляющий собой определитель (n− 1)-го поряд-ка. Определитель (n−1)-го порядка по этой же схеме сводится к определителю(n− 2)-го порядка и т.д. Если все элементы строки (столбца) обратятся в нуль,то определитель, естественно, будет равен нулю.

Пример 3.16. Вычислить detA матрицы A из примера 3.6.


Решение. В исходном определителе вычтем из первой строки вторую:

detA =

∣∣∣∣∣2 2 11 2 13 1 0

∣∣∣∣∣S1−S2=

∣∣∣∣∣1 0 01 2 13 1 0

∣∣∣∣∣ .

Такая операция, согласно свойствам определителей, не меняет его значения,зато в 1-ой строке и 3-м столбце мы получили по два нулевых элемента. Врезультате определитель 3-го порядка можно свести к одному определителю2-го порядка, например, разложением по первой строке:

∣∣∣∣∣1 0 01 2 13 1 0

∣∣∣∣∣ = 1(−1)1+1

∣∣∣∣2 11 0

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣2 11 0

∣∣∣∣ = −1

или по двум строкам — 1-ой и 3-ей:∣∣∣∣∣1 0 01 2 13 1 0

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 03 1

∣∣∣∣ (−1)1+3+1+21 = −∣∣∣∣1 03 1

∣∣∣∣ = −1.

Пример 3.17. Вычислить ∣∣∣∣∣∣∣

3 1 2 34 −1 2 41 −1 1 14 −1 2 5

∣∣∣∣∣∣∣.

Решение. Максимальное число нулей проще всего получить во 2-м столбце,сложив 1-ю строку со всеми остальными. Тогда исходный определитель 4-гопорядка сводится к одному определителю 2-го порядка следующим образом:

∣∣∣∣∣∣∣

3 1 2 34 −1 2 41 −1 1 14 −1 2 5

∣∣∣∣∣∣∣S2+S1=S3+S1

S4+S1

∣∣∣∣∣∣∣

3 1 2 37 0 4 74 0 3 47 0 4 8

∣∣∣∣∣∣∣= (−1)3

∣∣∣∣∣7 4 74 3 47 4 8

∣∣∣∣∣ =S3−S1

= −∣∣∣∣∣7 4 74 3 40 0 1

∣∣∣∣∣ = −(−1)6

∣∣∣∣7 44 3

∣∣∣∣ = −(21 − 16) = −5.

Пример 3.18. Вычислить определитель матрицы

A =

−12 −19 −2 09 7 5 2

−20 −16 −12 15 15 −3 −1

.

Решение. Прибавим к элементам второй строки элементы последней, умно-женные на два, а к третьей строке — элементы последней. Получим

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣

−12 −19 −2 09 7 5 2

−20 −16 −12 15 15 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣S2+2S4=S3+S4

∣∣∣∣∣∣∣

−12 −19 −2 019 37 −1 0

−15 −1 −15 05 15 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣=

= −1

∣∣∣∣∣−12 −19 −2

19 37 −1−15 −1 −15

∣∣∣∣∣ .


Далее можно воспользоваться либо1) правилом Саррюса:

|A| = −∣∣∣∣∣−12 −19 −2

19 37 −1−15 −1 −15

∣∣∣∣∣ = −[12 · 37 · (−15) +

+19 · (−1) · (−2) + (−19) · (−1) · (−2) − (−2) · 37 · (−15) −−(−19) · 19 · (−15) − (−1) · (−1) · 12] =

= 6660 − 38 + 285 + 1110 + 5415 + 12 = 13444,

либо снова2) способом получения максимального числа нулей. Тогда, выполнив в опреде-лителе указанные в фигурных скобках операции, найдем

|A| = −∣∣∣∣∣

12 −19 −219 37 −1−15 −1 −15

∣∣∣∣∣S1−2S2=S3−15S2

−∣∣∣∣∣−26 −93 019 37 −1

−300 −556 0

∣∣∣∣∣ =

= −∣∣∣∣−26 −93−300 −556

∣∣∣∣ = −(14456 − 27900) = 13444.

Из этого примера следует, что при больших значениях элементов опреде-лителя процедура его вычисления усложняется. В таком случае, прежде чемполучать нулевые элементы, можно попытаться выделить общие множители,содержащиеся в каких-либо строках (столбцах).

Пример 3.19. Вычислить

detA =

∣∣∣∣∣12 4 78 1 54 3 2

∣∣∣∣∣ .

Решение. Прежде чем получать нули, отметим наличие общего множителя в1-м столбце. Вынеся его за знак определителя, имеем

detA = 4

∣∣∣∣∣3 4 72 1 51 3 2

∣∣∣∣∣ .

Теперь обратим первый элемент первой строки в нуль. Это можно сделать раз-личными способами. Вычтем, например, из 1-ой строки 2-ую и 3-ью строки.Такое преобразование удобно тем, что в нуль обратится не только 1-ый, но ивсе элементы 1-ой строки сразу. В результате этого detA = 0:

detA =

∣∣∣∣∣3 4 72 1 51 3 2

∣∣∣∣∣S1−S2−S3=

∣∣∣∣∣0 0 02 1 51 3 2

∣∣∣∣∣ .


detA =

∣∣∣∣∣∣∣

3 3 1 23 1 2 32 1 4 214 5 5 13

∣∣∣∣∣∣∣.


Решение. Наличие единиц в определителе позволяет с помощью трех преоб-разований получить три нулевых элемента в одной строке (столбце). Покажем,что этого можно достичь с помощью двух операций. Действительно, вычтем из4-й строки 1-ю:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

3 3 1 23 1 2 32 1 4 214 5 5 13

∣∣∣∣∣∣∣=

S4−S1

∣∣∣∣∣∣∣

3 3 1 23 1 2 32 1 4 211 2 4 11

∣∣∣∣∣∣∣,

а теперь из 1-го столбца 4-ый:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

3 3 1 23 1 2 32 1 4 211 2 4 11

∣∣∣∣∣∣∣R1−R4=

∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 20 1 2 30 1 4 20 2 4 11

∣∣∣∣∣∣∣.

В результате получим столбец, содержащий три нулевых элемента, следова-тельно,

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 20 1 2 30 1 4 20 2 4 11

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣1 2 31 4 22 4 11

∣∣∣∣∣S2−S1=S3−2S1

∣∣∣∣∣1 2 30 2 −10 0 5

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣2 −10 5

∣∣∣∣ = 10.


detA =

∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 −31 2 2 −22 4 −1 −43 4 −1 −3

∣∣∣∣∣∣∣.

Решение. В определителе проведем указанные операции:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 −31 2 2 −22 4 −1 −43 4 −1 −3

∣∣∣∣∣∣∣S2−S1=S3−2S2

∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 −30 0 3 10 0 1 23 4 −1 −3

∣∣∣∣∣∣∣.

Далее вместо получения третьего нулевого элемента воспользуемся разложе-нием определителя по 2-й и 3-й строкам, поскольку только один минор 2-гопорядка в этих строках отличен от нуля. Тогда

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 −30 0 3 10 0 1 23 4 −1 −3

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣3 11 2

∣∣∣∣ (−1)2+3+3+4

∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣3 11 2

∣∣∣∣∣∣∣∣1 23 4

∣∣∣∣ = 5·(−2) = −10.

Следует отметить, что особенно важное значение рассматриваемый способприобретает для определителей высших порядков. Действительно, если опре-делитель 3-го порядка можно без затруднений разложить по строке, не содер-жащей нулей, то для определителей 4-го порядка требуется уже получить хотябы два нулевых элемента, тогда как для определителя 5-го порядка — все че-тыре нулевых элемента в строке, в противном случае число арифметическихвычислений существенно возрастает.



detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 5 0 −1 31 0 3 7 −23 −1 0 5 −52 6 −4 1 20 −3 −1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Решение. Третий столбец уже содержит два нулевых элемента. Выполнив ука-занные действия, получим

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 5 0 −1 31 0 3 7 −23 −1 0 5 −52 6 −4 1 20 −3 −1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

S2+3S5=S4−4S5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 5 0 −1 31 −9 0 13 73 −1 0 5 −52 18 0 −7 −100 −3 −1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Разложив этот определитель по 3-му столбцу и выполнив указанные действия,найдем

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

−2 5 −1 31 −9 13 73 −1 5 −52 18 −7 −10

∣∣∣∣∣∣∣S1+2S2=S3−3S2

S4−2S2

−

∣∣∣∣∣∣∣

0 −13 25 171 −9 13 70 26 −34 −260 36 −33 −24

∣∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣−13 25 17−9 13 736 −33 −24

∣∣∣∣∣R1+R3=

∣∣∣∣∣4 25 170 −34 −2612 −33 −24

∣∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣∣1 25 170 −34 −263 −33 −24

∣∣∣∣∣ =S3−3S1

= 4

∣∣∣∣∣1 25 170 −34 −260 −108 −75

∣∣∣∣∣ = 4

∣∣∣∣−34 −26−108 −75

∣∣∣∣ = 4(2550 − 2808) = −1032.

Следующие примеры предварим замечанием о том, что существует много ва-риантов получения нулевых элементов. Однако, если не использовать дробныечисла, то, как было показано выше, такие элементы достаточно легко получить,когда в определителе присутствуют элементы, равные ±1. Если таких элемен-тов нет, то их следует получить, воспользовавшись свойствами определителя,а затем уже получать нули, как в приведенных выше примерах.


detA =

∣∣∣∣∣∣∣

3 −5 2 −4−3 4 −5 3−5 7 −7 58 −8 5 −6

∣∣∣∣∣∣∣.

Решение. Предложенный определитель не содержит элементов, равных ±1.Получим их, например, сложив 1-ю и 2-ю строки:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

3 −5 2 −4−3 4 −5 3−5 7 −7 58 −8 5 −6

∣∣∣∣∣∣∣S1+S2=

∣∣∣∣∣∣∣

0 −1 −3 −1−3 4 −5 3−5 7 −7 58 −8 5 −6

∣∣∣∣∣∣∣.


Далее, действуя, как и в предыдущих примерах, имеем

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

0 −1 −3 −1−3 4 −5 3−5 7 −7 58 −8 5 −6

∣∣∣∣∣∣∣S2+3S1=S3+5S1

S4−6S1

∣∣∣∣∣∣∣

0 −3 −3 −1−3 1 −14 0−5 2 −22 08 −2 23 0

∣∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣−3 1 −14−5 2 −228 −2 23

∣∣∣∣∣S2−2S1=S2+2S1

∣∣∣∣∣−3 1 −141 0 62 0 −5

∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣1 62 −5

∣∣∣∣ = −(−5 − 12) = 17.

♦ Можно также в исходном определителе вычесть из 2-го столбца 4-й, а из3-го — 4-й же, умноженный на 3, а затем разложить по 1-й строке.

3. Приведение определителя к треугольному виду

Этот способ является некоторым видоизменением предыдущего и состоит впреобразовании определителя к такому виду, когда элементы, стоящие по однусторону от главной (побочной) диагонали, равны нулю. Последний определи-тель равен произведению элементов главной диагонали (побочной диагонали,умноженному на (−1)n(n−1)/2).

Наличие множителя (−1)n(n−1)/2 наглядно иллюстрирует следующий при-мер.

Пример 3.24. Показать, что определитель

detA = ∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 . . . 0 a1n

0 0 . . . a2n−1 a2

n...

......

......

0 an−12 . . . an−1

n−1 an−1n

an1 an

2 . . . ann−1 an

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)n(n−1)/2n∏

i=1

an+1−ii .

Решение. Разложение определителя ∆n по первому столбцу приводит к опре-делителю порядка (n− 1):

∆n = a1n(−1)1+n

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 . . . 0 a1n

0 0 . . . a2n−1 a2

n...

......

......

an−12 an−1

3 . . . an−1n−1 an−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣,

который еще одним разложением по 1-му столбцу сводится к определителюпорядка (n− 2):

∆n = a1n(−1)1+n∆n−1 = a1

na2n−1(−1)(1+n)+(1+n−1)

∣∣∣∣∣∣

0 0 . . . a1n

......

......

an−23 an−2

4 . . . an−2n

∣∣∣∣∣∣.

Продолжив, получим

∆n = a1na

2n−1a

3n−2 · · ·an

1 (−1)(1+n)+(1+n−1)+(1+n−2)+...+(1+2).

Поскольку показатель степени у (−1) представляет собой сумму арифметиче-ской прогрессии, то

(n + 1) + n+ (n− 1) + . . .+ 3 =(n + 1 + 3)(n+ 1 − 2)

2=


=(n+ 4)(n− 1)

2=n(n− 1)

2+ 2(n− 1),

откуда с учетом (−1)2(n−1) = 1 следует

(−1)[n(n−1)/2]+2(n−1) = (−1)n(n−1)/2,

что и требовалось показать.


A =

5 5 5 . . . 55 0 5 . . . 55 5 0 . . . 5. . . . . . . . . . . . . . .5 5 5 . . . 0

.

Решение. Рассмотрим определитель

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 5 5 . . . 55 0 5 . . . 55 5 0 . . . 5. . . . . . . . . . . . . . .5 5 5 . . . 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Вычтем первую строку из всех остальных и получим

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 5 5 . . . 50 −5 0 . . . 00 0 −5 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . −5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)n−15n.


detA =

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 21 3 4 51 1 6 71 1 1 8

∣∣∣∣∣∣∣.

Решение. Вычтя первую строку из всех остальных, получим

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 20 2 3 30 0 5 50 0 0 6

∣∣∣∣∣∣∣= 1 · 2 · 5 · 6 = 60.

Пример 3.27. Вычислить определитель

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

3 3 1 23 1 2 32 1 2 314 5 5 13

∣∣∣∣∣∣∣

из примера 3.20.


Решение. Как было показано в примере 3.20, исходный определитель можнозаписать в виде

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

3 3 1 23 1 2 32 1 2 314 5 5 13

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

3 3 1 23 1 2 32 1 4 214 2 4 13

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 20 1 2 30 1 4 20 2 4 11

∣∣∣∣∣∣∣,

который можно привести к треугольному виду, вычтя из третьей строки вто-рую, а из четвертой — удвоенную вторую:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 20 1 2 30 0 2 −10 0 0 5

∣∣∣∣∣∣∣= 1 · 1 · 2 · 5 = 10.

♦ Описанный выше метод неудобен в случае определителей с буквеннымисимволами или определителей высокого порядка с числовыми коэффициента-ми. Общих способов вычисления таких определителей не существует, если несчитать вычисления непосредственно по определению. К определителям раз-личных специальных видов применяются различные методы вычисления, при-водящие к более простым выражениям, чем полученные непосредственно изопределения.

III. Метод рекуррентных соотношений

Этот метод заключается в том, что исходный определитель выражается че-рез определитель того же вида, но более низкого порядка. В результате полу-чается рекуррентная формула вида

∆n = f(∆n−1,∆n−2, . . . ,∆n−k),

верная для всех натуральных n > k. Из этого соотношения методом математи-ческой индукции (или дедукции) получают формулу, с помощью которой опре-делитель ∆n выражается через ∆1, . . . ,∆k и n.


A =

p c 0 0 . . . 0c p c 0 . . . 00 c p c . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . p

. (3.32)

Решение. Разложим его по элементам первого столбца. Получим

|A| = ∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p c 0 0 . . . 0c p c 0 . . . 00 c p c . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= p∆n−1 − c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

c 0 0 . . . 0c p c . . . 00 c p . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . p

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Последний определитель разложим по элементам первой строки и получим

∆n = p∆n−1 − c2∆n−2.


Положим теперь p = a+ b. Тогда

∆n − a∆n−1 = b(∆n−1 −

c2

b∆n−2

)

или

∆n − b∆n−1 = a(∆n−1 −

c2

a∆n−2

).

Если c2/b = a и c2/a = b, т.е. ab = c2, то обе формулы описывают геометриче-скую прогрессию, где {

ab = c2,

a+ b = p.(3.33)

Согласно теореме Виета, запишем уравнение z2 −pz+ c2 = 0, корнями которогоявляются a и b. Следовательно, можно воспользоваться формулой для n-гочлена геометрической прогрессии:

∆n − a∆n−1 = bn−2(∆2 − a∆1),

∆n − b∆n−1 = an−2(∆2 − b∆1).

1. Если a 6= b, то∆n = xan + ybn,

где a и b определены в (3.33) и обозначено

x =∆2 − b∆1

a(a− b), y =

∆2 − a∆1

b(b− a).

Из (3.32) нетрудно получить, что

∆1 = p, ∆2 = p2 − c2.

2. Если a = b, то a = b = c, p = 2c и исходный определитель примет вид∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2c c 0 0 . . . 0c 2c c 0 . . . 00 c 2c c . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . 2c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

что с учетом свойства 3 определителя можно записать как

∆n = cnDn, (3.34)

где

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 0 0 . . . 01 2 1 0 . . . 00 1 2 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (3.35)

Чтобы вычислить определитель Dn, разложим его по элементам первого столб-ца. Получим

Dn = 2Dn−1 −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 . . . 01 2 1 . . . 00 1 2 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.


Последний определитель разложим по элементам первой строки и получим

Dn = 2Dn−1 −Dn−2. (3.36)

Исходя из (3.36), для определителей Dn−1 и Dn−2 можно записать

Dn−1 = 2Dn−2 −Dn−3,Dn−2 = 2Dn−3 −Dn−4.

(3.37)

Подставив (3.37) в (3.36), найдем

Dn = 2(2Dn−2 −Dn−3) −Dn−2 = 3Dn−2 − 2Dn−3,

Dn = 3(2Dn−3 −Dn−4) − 2Dn−3 = 4Dn−3 − 3Dn−4.

Продолжив, получим

Dn = [(n− 2) + 1]Dn−(n−2) − [(n− 1) − 1]Dn−(n−1)

илиDn = (n− 1)D2 − (n− 2)D1. (3.38)

Из (3.35) легко найти

D2 =

∣∣∣∣2 11 2

∣∣∣∣ = 3, D1 = 2.

Подстановка этих значений в (3.38) дает

Dn = 3(n− 1) − 2(n− 2) = n+ 1,

откуда с учетом (3.34) имеем

∆n = cn(n + 1).

Объединив оба случая, значения ∆n можно записать как

∆n =

{xan + ybn, если p 6= 2c,

cn(n + 1), если p = 2c.

Пример 3.29. Найти значение определителя n-го порядка

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 4 . . . n− 1 n2 3 4 5 . . . n 13 4 5 6 . . . 1 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n− 1 n 1 2 . . . n− 3 n− 2n 1 2 3 . . . n− 2 n− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

называемого циркулянтом.

Решение. Выполнив в определителе указанные действия, получим

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 4 . . . n− 1 n2 3 4 5 . . . n 13 4 5 6 . . . 1 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n− 1 n 1 2 . . . n− 3 n− 2n 1 2 3 . . . n− 2 n− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

S2−S1

S3−S2. . . .=. . . . . . . .Sn−1−Sn−2

Sn−Sn−1


=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 4 . . . n− 1 n1 1 1 1 . . . 1 1 − n1 1 1 1 . . . 1 − n 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 − n 1 . . . 1 11 1 − n 1 1 . . . 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

S1−Sn

S2−Sn=. . . . . . .Sn−1−Sn

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 n + 1 2 3 . . . n− 2 n− 10 n 0 0 . . . 0 −n0 n 0 0 . . . −n 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 n −n 0 . . . 0 01 1 − n 1 1 . . . 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Разложим этот определитель по первому столбцу:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 n + 1 2 3 . . . n− 2 n− 10 n 0 0 . . . 0 −n0 n 0 0 . . . −n 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 n −n 0 . . . 0 01 1 − n 1 1 . . . 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n + 1 2 3 . . . n− 2 n− 1n 0 0 . . . 0 −nn 0 0 . . . −n 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n −n 0 . . . 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Вынеся теперь в (n− 2)-х строках общий множитель n и выполнив указанныедействия, найдем

(−1)n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n+ 1 2 3 . . . n− 2 n− 1n 0 0 . . . 0 −nn 0 0 . . . −n 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n −n 0 . . . 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= (−1)n+1nn−2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n + 1 2 3 . . . n− 2 n− 11 0 0 . . . 0 −11 0 0 . . . −1 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 −1 0 . . . 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

={R1+Rn−1+...+R2}

(−1)n+1nn−2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Sn 2 3 . . . n− 2 n− 10 0 0 . . . 0 −10 0 0 . . . −1 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n −n 0 . . . 0 00 −1 0 . . . 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

где

Sn = (n + 1) + (n− 1) + (n− 2) + . . .+ 3 + 2 =

= n+ (n− 1) + (n− 2) + . . .+ 3 + 2 + 1 =n(n + 1)

2.

Снова разложим полученный определитель по первому столбцу:

(−1)n+1nn−2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Sn 2 3 . . . n− 2 n− 10 0 0 . . . 0 −10 0 0 . . . −1 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 −1 0 . . . 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= (−1)n+1n(n+ 1)

2nn−2

∣∣∣∣∣∣∣

0 0 . . . 0 −10 0 . . . −1 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .−1 0 . . . 0 0

∣∣∣∣∣∣∣.

Последний определитель (n − 2)-го порядка вычислим с учетом результатовпримера 3.24 и окончательно получим

∆n = (−1)n+1n(n+ 1)

2nn−2(−1)n−2(−1)(n−2)(n−3)/2 =

=n(n + 1)

2nn−2(−1)2n−1+(n−2)(n−3)/2 =

= (−1)(n2−n+4)/2n(n + 1)

2nn−2 = (−1)n(n−1)/2n(n + 1)

2nn−2.

Пример 3.30. Вычислить определитель Вандермонда

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 1a1 a2 a3 . . . an

a21 a2

2 a23 . . . a2

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an−2

1 an−22 an−2

3 . . . an−2n

an−11 an−1

2 an−13 . . . an−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

где верхние индексы обозначают показатель степени, а нижние — номер строки.

Решение. Как и раньше, выполнив указанные действия, получим

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 1a1 a2 a3 . . . an

a21 a2

2 a23 . . . a2

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an−2

1 an−22 an−2

3 . . . an−2n

an−11 an−1

2 an−13 . . . an−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

S2−a1S1

S3−a1S2∼. . . . . . . .Sn−a1Sn−1

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 10 a2 − a1 a3 − a1 . . . an − a1

0 a2(a2 − a1) a3(a3 − a1) . . . an(an − a1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 an−2

2 (a2 − a1) an−23 (a3 − a1) . . . an−2

n (an − a1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Вынесем теперь в каждом столбце общий множитель, а затем разложим полу-ченный определитель по 1-му столбцу и получим

∆n = (an − a1)(an−1 − a1) · · · (a2 − a1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 10 1 1 . . . 10 a2 a3 . . . an

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 an−2

2 an−23 . . . an−2

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=

n∏

i=2

(ai − a1)

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1a2 a3 . . . an

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an−2

2 an−23 . . . an−2

n

∣∣∣∣∣∣∣.


Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение

∆n =

n∏

i=2

(ai − a1)∆n−1. (3.39)

Применив соотношение (3.39) к определителю ∆n−1, найдем

∆n−1 =

n∏

j=3

(aj − a2)∆n−2. (3.40)

Тогда

∆n =

n∏

i=2

(ai − a1)

n∏

j=3

(aj − a2)∆n−2.

Продолжив аналогичным образом, окончательно получим

∆n =

n∏

i=2

(ai − a1)

n∏

j=3

(aj − a2) · · ·n∏

k=n−1

(ak − an−2)

∣∣∣∣1 1

an−1 an

∣∣∣∣ =

=n∏

i=2

(ai − a1)n∏

j=3

(aj − a2) · · ·n∏

k=n−1

(ak − an−2)(an − an−1) =∏

16s<i6n

(ai − as).

Таким образом,

∆n =∏

16s<i6n

(ai − as).


∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 . . . 11 a1 0 . . . 01 0 a2 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 0 0 . . . an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Решение. Выполнив указанные операции, получим

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 . . . 11 a1 0 . . . 01 0 a2 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 0 0 . . . an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

S1−S2/a1

S1−S3/a2

=. . . . . . . . .S1−Sn+1/an

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

− 1

a1− . . .− 1

an0 0 . . . 0

1 a1 0 . . . 01 0 a2 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 0 0 . . . an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

а разложение последнего определителя по 1-ой строке дает

∆n = −( 1

a1+

1

a2+ . . .+

1

an

)∣∣∣∣∣∣∣

a1 0 0 . . . 00 a2 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . an

∣∣∣∣∣∣∣=

4. Ранг матрицы и его основные свойства 53

= −( 1

a1

+1

a2

+ . . .+1

an

)a1a2 · · ·an = −

n∏

i=1

ai

n∑

j=1

1

aj

.


A =

0 a12 a1

3 . . . a12n+1

−a12 0 a2

3 . . . a22n+1

−a13 −a2

3 0 . . . a32n+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .−a1

2n+1 −a22n+1 −a3

2n+1 . . . 0

порядка 2n+ 1, которая называется косоугольной.

Решение. Нетрудно установить, что A⊺ = −A. Отсюда, воспользовавшисьсвойствами определителей, имеем, с одной стороны, detA⊺ = detA, а с дру-гой

detA⊺ = det[(−1)A] = (−1)2n+1 detA = − detA.

Из сравнения находим detA⊺ = detA = − detA или detA = − detA. Следова-тельно, detA = 0.

Пример 3.33. Решить1) уравнение ∣∣∣∣∣

1 2 31 3 − x 31 2 5 + x

∣∣∣∣∣ = 0,

2) неравенство ∣∣∣∣x2 + 7 2

3x 1

∣∣∣∣ > −1.

Решение. В первом определителе из 3-го столбца вычтем первый, умноженныйна 3. Тогда ∣∣∣∣∣

1 2 01 3 − x 01 2 2 + x

∣∣∣∣∣ = 0.

Разлагая его по третьему столбцу, найдем

(2 + x)(3 − x− 2) = (2 + x)(1 − x) = 0,

откуда x1 = −2, x2 = 1.Во втором случае, вычислив определитель второго порядка, получим

x2 + 7 − 6x > −1, x2 − 6x+ 8 > 0.

Найдем корни уравнения x2 − 6x+ 8 = 0: x1 = 2, x2 = 4. Решением неравенстваявляется множество x ∈ ] −∞, 2[∪ ]4,∞[.


4. Ранг матрицы и его основные свойства

Обобщим понятие минора, введенное ранее для квадратных матриц, на слу-чай прямоугольных матриц.

� Рассмотрим матрицу A размера n×m. Как и ранее, минором k-го порядка(k 6 min(m,n)) матрицы A будем называть определитель M , составленный изэлементов, стоящих на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицыA.

� Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок от-личного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается черезr(A) = rangA = rankA.

� В матрице A размера m× n минор порядка r называется базисным, еслион отличен от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю или миноров этогопорядка нет вообще, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Очевидно, что если r 6 min(m,n), в матрице может быть несколько разныхбазисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок, равныйрангу матрицы.

Действительно, все миноры порядка (r + 1) равны нулю по определению.Равенство нулю миноров порядка (r+2) вытекает из их разложения по нулевымминорам порядка (r + 1).

� Строки и столбцы матрицы A, на пересечении которых расположен ба-зисный минор, будем называть базисными строками и столбцами.

♦ Если все элементы матрицы равны нулю, то rangA = 0.♦ В общем случае вычисление ранга матрицы сводится к нахождению ба-

зисного минора. Перебор всех миноров в поисках базисного является задачей,связанной с большим объемом вычислений, особенно для матриц высших по-рядков. Наиболее просто ранг матрицы и ее базисный минор можно найти спомощью так называемых элементарных преобразований, приводящих матри-цу к возможно более простому виду.

� Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие еепреобразования:1) транспонирование;2) перестановка двух строк или двух столбцов;3) умножение всех элементов столбца или строки на отличное от нуля число;4) прибавление ко всем элементам столбца (или строки) элементов другого

столбца (или строки), умноженных на одно и то же число.

Теорема 4.1 (об элементарных преобразованиях). При элементарных пре-образованиях матрицы ее ранг не меняется.

Доказательство проведем для преобразований 1–4.1. По свойству определителей каждый минор транспонированной матрицы

A⊺ равен некоторому минору матрицы A и наоборот. Следовательно, наивыс-ший порядок отличного от нуля минора не изменится.

2. После перестановки двух строк или столбцов приходим к новой матрице,каждый минор которой равен некоторому минору матрицы A либо отличаетсяот него знаком.

3. При умножении всех элементов строки или столбца матрицы на число xодни ее миноры не изменяются, а другие умножаются на то же число x, но таккак x 6= 0, то наивысший порядок отличного от нуля минора не изменится.

4. Если все миноры r + 1-го порядка равны нулю, то сложение столбцов несделает ни один из них отличным от нуля. Действительно, полученный в ре-зультате преобразования минор либо равен алгебраической сумме двух миноровпорядка r + 1 (в том случае, когда к столбцу, входящему в минор, прибавили


столбец, в него не входящий), либо он равен сумме минора порядка r + 1 иопределителя матрицы с двумя одинаковыми столбцами (в том случае, когдак столбцу, входящему в минор, прибавили столбец, также в него входящий).Из этих соображений следует, что ранг матрицы не повысился. Ясно, что онне может и понизиться, так как в противном случае вычитанием столбцов егопорядок можно повысить. Аналогично для строк и столбцов, умноженных наотличное от нуля число.

� Две матрицы A и B называются эквивалентными, если от одной к дру-гой можно перейти путем конечного числа элементарных преобразований. Дляобозначения эквивалентных матриц используется символ A ∼ B.

� Канонической называется матрица, у которой в начале главной диагона-ли стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), аостальные элементы равны нулю.

♦ При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую мат-рицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числуединиц на ее главной диагонали.

Действительно, каноническую матрицу можно рассматривать как матрицу,содержащую внутри себя единичную, определитель которой и является базис-ным минором, приведенным к диагональному виду. Тогда число единиц, стоя-щих на главной диагонали, и будет определять ранг матрицы.

Пример 4.1. Привести пример канонической матрицы A размера 4 × 3, рангкоторой равен двум (rangA = 2).


A =

(1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

).

Ранг матрицы A равен двум (rangA = 2).

Пример 4.2. Вычислить ранг матрицы

A =

(1 2 1 40 1 −1 32 5 1 11

)

методом элементарных преобразований.

Решение. Проведем элементарные преобразования матрицы A. Получим

A =

(1 2 1 40 1 −1 32 5 1 11

)S3−2S1∼

(1 2 1 40 1 −1 30 1 −1 3

)S3−S2∼

∼(

1 2 1 40 1 −1 30 0 0 0

)R2−2R1∼R3−R1

R4−4R1

(1 0 0 00 1 −1 30 0 0 0

)R3+R2∼R4−3R2

(1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

).

Следовательно, ранг матрицы A равен двум (rangA = 2).


A =

(2 1 −11 −1 24 −1 3

)



Решение. Переставим местами первую и вторую строки

A ∼(

1 −1 22 1 −14 −1 3

).

Далее к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на −4, т.е. S3 − 4S1, и ко 2-йстроке прибавим 1-ю, умноженную на −2, т.е. S2 − 2S1. Это дает

A ∼(

1 −1 20 3 −50 3 −5

)

или

A ∼(

1 −1 20 3 −50 0 0

).

Теперь ко 2-му столбцу прибавим 1-й (R2 +R1), а к 3-му – 1-й, умноженный на−2 (R3 − 2R1). Получим

A ∼(

1 0 00 3 −50 0 0

).

Второй столбец разделим на 3:

A ∼(

1 0 00 1 −50 0 0

)

и к 3-му столбцу прибавим 2-й, умноженный на 5: R3 + 5R2. Это окончательнодает

A ∼(

1 0 00 1 00 0 0

).

Таким образом, rangA = 2.


A =

(1 −1 3 23 0 2 34 −1 5 5

).


Решение. Приведем эту матрицу к диагональной с помощью указанных эле-ментарных преобразований:

A =

(1 −1 3 23 0 2 34 −1 5 5

)R2+R1∼R3−3R1

R4−2R1

(1 0 0 03 3 −7 34 3 −7 −3

)S2−3S1∼S3−4S1

(1 0 0 00 3 −7 30 3 −7 −3

)S3−S2∼

(1 0 0 00 3 −7 30 0 0 0

).


Теперь умножим 2-й столбец на 1/3:

A ∼(

1 0 0 00 1 −7 30 0 0 0

)R3+7R1∼R4−3R1

(1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

).

Таким образом, rangA = 2.� Векторы (векторы-столбцы, векторы-строки) Xk, k = 1, m, называются

линейно независимыми, если

X 6= 0, X =m∑

k=1

CkXk, (4.1)

для всех чисел Ck, k = 1, m, отличных от тождественного нуля. В противномслучае векторы Xk, k = 1, m, называются линейно зависимыми. Вектор X,определенный соотношением (4.1), называется линейной комбинацией векторовXk, k = 1, m.

Теорема 4.2 (о базисном миноре). В произвольной матрице A каждыйстолбец (строка) является линейной комбинацией базисных столбцов (строк).

Доказательство. Исходную матрицу всегда можно привести к каноническойформе, в которой на главной диагонали стоит несколько единиц, а все осталь-ные элементы матрицы являются нулями. В процессе приведения матрицы кканоническому виду мы к соответствующим столбцам (строкам) прибавлялилинейные комбинации других столбцов (строк). В канонической матрице базис-ные столбцы (строки) являются ненулевыми, а небазисные — нулевыми. Значит,в процессе элементарных преобразований мы к каждому небазисному столбцу(строке) прибавляли такую линейную комбинацию базисных столбцов (строк),что получили нулевой столбец (строку). Это и доказывает линейную зависи-мость небазисных столбцов и строк от базисных.

Следствие 4.2.1. Для квадратной матрицы A порядка n, у которой detA = 0,по крайней мере один столбец (строка) является линейной комбинацией осталь-ных.

Действительно, поскольку detA = 0, то единственный минор, имеющий наивыс-ший порядок n, равен нулю. Отсюда следует, что порядок базисных миноров,т.е. ранг матрицы r, удовлетворяет условию r 6 n−1, а потому на основании до-казанного выше по крайней мере один столбец (строка) не является базисным,а выражается их линейной комбинацией, что и требовалось доказать.

Следствие 4.2.2. Определитель n-го порядка тогда и только тогда равен ну-лю, когда между его столбцами (строками) существует линейная зависимость.

Первое утверждение теоремы уже доказано как свойство 5 определителей. Изследствия 4.2.1 вытекает справедливость второго (обратного) утверждения, чтои требовалось доказать.

♦ Ранг матрицы равен порядку базисного минора и, следовательно, равенмаксимальному числу независимых строк или столбцов в этой матрице.

Теорема 4.3 (о ранге матрицы). Ранг матрицы A равен максимальному чис-лу линейно независимых строк (столбцов) в этой матрице.


Доказательство. Теорема имеет смысл, если rangA = r > 1. Убедимся сна-чала, что в матрице A с рангом r действительно существуют r линейно неза-висимых столбцов. Для этого рассмотрим квадратную матрицу Ar порядка r,определителем которой является базисный минор. Столбцы матрицы Ar пред-ставляют собой только часть столбцов исходной матрицы A. Если бы эти столб-цы были линейно зависимы, то были бы линейно зависимы и столбцы матрицыAr, в результате чего базисный минор, вопреки своему определению, обращалсябы в нуль. Полученное противоречие подтверждает наличие r линейно незави-симых столбцов в матрице A.

Покажем теперь, что число r является максимальным, т.е. любые s столбцовматрицы A линейно зависимы, если s > r. Для этого из элементов матрицыA составим матрицу A′ с числом столбцов s > r. Очевидно, что rangA′ 6r, поскольку каждый минор матрицы A′ является и минором матрицы A, и,следовательно, в матрице A′ нет отличного от нуля минора порядка большего,чем r. Из неравенства rangA′ 6 r с учетом произвольности числа s и вытекаетсправедливость утверждения теоремы.

Утверждение теоремы относительно строк доказывается аналогично.♦ В общем случае в прямоугольной матрице число строк отличается от числа

столбцов, однако, как следует из доказанной выше теоремы 4.3, число линейнонезависимых строк равно числу линейно независимых столбцов, и число этоопределяется рангом матрицы.

♦ Доказанные выше теоремы позволяют уменьшить число операций, необ-ходимых для вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразо-ваний. Действительно, в примерах 4.2–4.4 исходные матрицы можно было неприводить непосредственно к каноническому виду, а воспользоваться меньшимчислом преобразований. Так, в примере 4.2 преобразования можно было ужеостановить на эквивалентной матрице вида

A ∼(

1 2 1 40 1 −1 30 0 0 0

),

имеющей две базисные строки и, следовательно, ранг, равный двум; в примере4.3 — на матрице

A ∼(

1 −1 20 3 −50 0 0

)

и, наконец, в примере 4.4 — уже на матрице

A ∼(

1 0 0 00 3 −7 −30 3 −7 −3

).

Ранг матрицы можно вычислить не только методом элементарных преобра-зований, но и методом окаймляющих миноров. Смысл его определяет следую-щая теорема.

Теорема 4.4 (об окаймляющих минорах). Если m× n-матрица A имеетминор порядка k, отличный от нуля, для которого все содержащие его минорыпорядка k+1 (окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг этой матрицы равенk: rangA = k.

Доказательство. Пусть M — отличный от нуля минор порядка k. Не нару-шая общности рассмотрения, можно считать, что он является главным мино-ром (в противном случае этого всегда можно добиться транспозицией строк и


столбцов), занимающим первые k строк и столбцов матрицы A. Тогда первые kстолбцов будут линейно независимыми между собой: если бы между ними суще-ствовала линейная зависимость, то между столбцами минора M существовалабы эта же линейная зависимость и поэтому минор M был бы равен нулю.

Рассмотрим миноры Ml, l = 1, m− k:

M1 =

∣∣∣∣∣∣M

ak+11 . . .

a1k+1. . .ak+1

k+1

∣∣∣∣∣∣, M2 =

∣∣∣∣∣∣M

ak+21 . . .

a1k+1. . .ak+2

k+1

∣∣∣∣∣∣, . . . , Ml =

∣∣∣∣∣∣M

ak+l1 . . .

a1k+1. . .ak+l

k+1

∣∣∣∣∣∣,

окаймляющие минор M .Эти миноры характеризуются тем, что они последовательно, в дополнение

к первым k элементам, перебирают все (m− l) оставшиеся элементы (k + 1)-гостолбца. По условию теоремы, эти миноры равны нулю, из чего в силу след-ствия 4.2.1 следует линейная зависимость (k+1)-го столбца от первых k линейнонезависимых столбцов.

Далее меняем местами столбцы с номерами (k + 1) и (k + 2) и выписываемокаймляющие миноры, содержащие элементы (k+2)-го столбца. Затем меняемместами (k+ 2)-й и (k+ 3)-й столбцы и так далее. Из равенства нулю всех этихокаймляющих миноров следует линейная зависимость всех столбцов с номерами(k + 1) и более от первых k линейно независимых столбцов. Но тогда в силутеоремы 4.3 ранг матрицы A действительно равен k. Таким образом, теоремадоказана.

Эта теорема, как уже отмечалось, дает еще один метод практического вы-числения ранга матрицы, называемый методом окаймляющих миноров. Самодоказательство теоремы задает алгоритм метода. При вычислении ранга мат-рицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам высшихпорядков. Если уже найден некоторый минор M порядка k, отличный от нуля,то вычисляются не все миноры (k+ 1)-го порядка (как этого требует определе-ние), а лишь окаймляющие минор M (как того требует теорема): если все ониравны нулю, то ранг матрицы равен k.


A =

(1 2 1 40 1 −1 32 5 1 11

)

методом окаймляющих миноров.

Решение. Поскольку матрица ненулевая, то у нее существует минор первогопорядка, отличный от нуля. Вычислим минор второго порядка, стоящий в левомверхнем углу ∣∣∣∣

1 20 1

∣∣∣∣ = 1 6= 0.

Вычислим окаймляющие его миноры третьего порядка

∣∣∣∣∣1 2 11 1 −12 5 1

∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣1 2 40 1 32 5 11

∣∣∣∣∣ = 0.

Следовательно, rangA = 2.


Пример 4.6. Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы

A =

(1 0 0 05 1 2 011 2 4 0

).

Решение. Вычислим минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу∣∣∣∣1 05 1

∣∣∣∣ = 5 6= 0,

Поскольку окаймляющие его миноры 3-го порядка равны нулю:∣∣∣∣∣1 0 05 1 211 2 4

∣∣∣∣∣ = 1(1 · 4 − 2 · 2) = 0,

то rangA = 2.

Пример 4.7. Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы

A =

2 −4 3 1 01 −2 1 −4 20 1 −1 3 14 −7 4 −4 5

.

Решение. В данном случае минор 2-го порядка, стоящий в верхнем левом углуматрицы, равен нулю:

M1 =

∣∣∣∣2 −41 −2

∣∣∣∣ = 0.

Однако соседний минор 2-го порядка

M2 =

∣∣∣∣−4 3−2 1

∣∣∣∣ = 2 6= 0

отличен от нуля. Окаймляющий его минор 3-го порядка

M3 =

∣∣∣∣∣2 −4 31 −2 10 1 −1

∣∣∣∣∣ = 7 6= 0

также отличен от нуля. Поскольку оба минора 4-го порядка, окаймляющие M3:

M4 =

∣∣∣∣∣∣∣

2 −4 3 11 2 1 −40 1 −1 34 −7 4 −4

∣∣∣∣∣∣∣, M ′

4 =

∣∣∣∣∣∣∣

2 −4 3 01 2 1 20 1 −1 14 −7 4 5

∣∣∣∣∣∣∣= 0

равны нулю, то, следовательно, ранг матрицы A равен 3 (rangA = 3).В заключение приведем некоторые соотношения, определяющие ранг мат-

рицы, являющейся результатом действия над другими матрицами.1. Ранг произведения матриц A и B не выше ранга каждого из сомножителей,

т.е.rang(AB) 6 min(rangA, rangB),

причем не всегда rang(AB) = rang(BA).


2. Если матрицы A и B являются квадратными порядка n, то справедливаоценка

rang(AB) > rangA+ rangB − n.

3. Если rangA = n (detA 6= 0), то из предыдущих оценок следуют равенства

rang(AB) = rang(BA) = rangB.

4. Ранг суммы матриц A и B удовлетворяет оценке

rang(A+B) 6 rangA+ rangB.

5. При умножении матриц на число α, отличное от нуля, ее ранг не меняется,т.е. rang(αA) = rangA.Докажем, например, соотношения 1. Для доказательства составим матрицу

C из столбцов матрицы A и матрицы AB, т.е.

C = (A... AB).

Очевидно, что rangAB 6 rangC. Поскольку, согласно определению произ-ведения матриц, столбцы из AB являются линейной комбинацией столбцовматрицы A с коэффициентами bij (элементы B), то rangC = rangA, откудаrang(AB) 6 rangA.

Аналогично доказывается, что rang(AB) 6 rangB, только в этом случаеследует составить матрицу C ′ из строк матриц B и AB:

C ′ =

(B. . .AB

).

Пример 4.8. Привести пример матриц одного ранга, произведения которыхимеют разные ранги.

Решение. Рассмотрим три матрицы 2-го порядка

A =

(1 00 0

), B =

(5 00 0

), C =

(0 03 0

)

с рангом, равным единице: rangA = rangB = rangC = 1.Для произведения

AB =

(1 00 0

)(5 00 0

)=

(5 00 0

)

rang(AB) = 1, а для произведения

AC =

(1 00 0

)(0 03 0

)=

(0 00 0

)

rang(AC) = 0, т.е. rang(AB) 6= rang(AC).

Пример 4.9. Привести пример матрицA иB, для которых rang(AB) 6= rang(BA).


Решение. Рассмотрим матрицы

A = (1 2) , B =

(2−1

)

и найдем их произведения

AB = (1 2)

(2−1

)= 0,

BA =

(2−1

)(1 2) =

(2 4−1 −2

).

Так как rang(AB) = 0, а rang(BA) = 1, то rang(AB) 6= rang(BA).

5. Обратная матрица

� Квадратная n× n-матрица B = ‖bjk‖ называется обратной по отношению

к n× n-матрице A = ‖ajk‖, если

AB = BA = E = I. (5.1)

Для обозначения обратной матрицы используется символ A−1.� Квадратная n× n-матрица называется невырожденной, если detA 6= 0, и

вырожденной, или особенной, если detA = 0.� Квадратная n × n-матрица C = ‖cjk‖ называется присоединенной, или

союзной к матрице A = ‖ajk‖, если для ее элементов справедливо

cjk = Akj , k, j = 1, n, (5.2)

где Akj — алгебраическое дополнение к элементу ak

j . Присоединенную матрицу

обозначают символом A.

Теорема 5.1. Для того чтобы для матрицы A существовала обратная мат-рица, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что матрица A имеет обрат-ную A−1, т.е. AA−1 = I. Следовательно,

detA · detA−1 = det I = 1. (5.3)

Следовательно, detA 6= 0.Достаточность. Предположим, что detA 6= 0. Рассмотрим произведение мат-

риц A и A:

AA =

∥∥∥∥∥n∑

l=1

ajl c

lk

∥∥∥∥∥ .

В силу соотношения (3.30) можно записать

AA =

∥∥∥∥∥n∑

l=1

ajlA

kl

∥∥∥∥∥ = ‖δjk detA‖ = (detA) · I.

5. Обратная матрица 63

АналогичноAA = (detA) · I.

Следовательно,

A−1 =1

detAA, (5.4)


Формула (5.4) определяет алгоритм вычисления матрицы A−1, обратнойневырожденной матрице A.

Обратные матрицы удовлетворяют следующим свойствам.


(AB)−1 = B−1A−1.

Действительно, умножение этого соотношения на (AB) слева дает

(AB)(AB)−1 = (AB)B−1A−1 = ABB−1A−1 = AIA−1 = AA−1 = E,

что и доказывает справедливость исходного соотношения. Очевидно, что

(αA)−1 =1

αA−1.


(A−1)⊺ = (A⊺)−1.

Действительно, из определения имеем AA−1 = A−1A = I. Транспонируем левуюи правую части этого равенства. Согласно свойству (2.6), получим произведениематриц

(A−1)⊺A⊺ = A⊺(A−1)⊺ = I,

но поскольку I = (A⊺)−1A⊺ = A−1(A⊺)−1, то по определению обратной матрицыутверждение доказано.


(A−1)−1 = A.

Действительно, умножив это равенство слева на A−1, получим A−1(A−1)−1 =A−1A = I, что и требовалось доказать.


det(A−1) = (detA)−1,

которое следует из (5.3).

Пример 5.1. Найти матрицу, обратную к матрице

A =

(1 2 −30 1 20 0 2

).


Решение. Матрица A треугольная, и, следовательно, detA = 2. Найдем мат-рицу

A⊺ =

(1 0 02 1 0−3 2 2

)

и с ее помощью союзную

A =

∣∣∣∣1 02 2

∣∣∣∣ −∣∣∣∣

2 0−3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1−3 2

∣∣∣∣

−∣∣∣∣0 02 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0−3 2

∣∣∣∣ −∣∣∣∣

1 0−3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣0 01 0

∣∣∣∣ −∣∣∣∣1 02 0

∣∣∣∣∣∣∣∣1 02 1

∣∣∣∣

=

(2 −4 70 2 −20 0 1

).

Окончательно по формуле (5.4) получим

A−1 =1

2A =

(1 −2 3,50 1 −10 0 0,5

).

Пример 5.2. Методом присоединенной матрицы найти обратную к матрице

A =

1 1 1 . . . 10 1 1 . . . 10 0 1 . . . 1. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1

.

Решение. Матрица является неособой, поскольку detA = 1. Найдем матрицу

A⊺ =

1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

и с ее помощью союзную

A =

A1

1 A21 A3

1 . . . An1

A12 A2

2 A32 . . . An

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A1

n A2n A3

n . . . Ann

,

где

A11 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣, A2

1 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣, A3

1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣, . . . ;

An1 = (−1)n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0 . . . 01 1 1 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣; A1

2 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣, A2

2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣,


A32 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣, . . . , An

2 = (−1)n+2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 . . . 01 1 1 . . . 01 1 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

и т.д. Союзная матрица после упрощения примет вид

A =

1 −1 0 . . . 00 1 −1 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1

и совпадет с обратной: A = A−1, поскольку detA = 1.♦ Следует отметить, что вычисление присоединенной матрицы A⊺ по фор-

муле (5.4) очень трудоемко, особенно для матриц высокого порядка. Поэтомуна практике пользуются другими методами вычисления обратной матрицы, на-пример методом элементарных преобразований.

Лемма 5.1 (об элементарных преобразованиях). Все элементарные пре-образования над строками матрицы A размера m×n равносильны умножениюее слева на некоторые невырожденные квадратные матрицы размера m.

Доказательство. Пусть I – единичная матрица размера m. Рассмотрим мат-рицу S(i, j), получаемую из единичной перестановкой ее i-ой и j-ой строк. Тогдапроизведение S(i, j)A, согласно определению, дает матрицу, отличающуюся отA перестановкой строк с номерами i и j.

Далее рассмотрим матрицу S(1; i, i;α), получаемую из единичной заменойi-ой единицы на главной диагонали числом α 6= 0. Тогда умножение S(1; i, i;α)слева на A равносильно умножению i-ой строки матрицы A на число α.

Наконец, рассмотрим матрицу S(0; i, j; 1), получаемую из единичной заме-ной нулевого элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, наединицу. Умножение S(0; i, j; 1) на A слева равносильно сложению i-ой и j-ойстрок.

Очевидно, что

detS(i, j) = −1, detS(1; i, i;α) = α, detS(0; i, j; 1) = 1.

Таким образом, выполнение элементарных преобразований над строками мат-рицы A действительно соответствует умножению ее слева на указанные вышематрицы S.

Элементарные преобразования столбцов осуществляются аналогичными мат-рицами порядка n умножением на них матрицы A справа.

Пример 5.3. Над матрицей

A =

(1 2 0 32 2 1 01 1 2 1

)

с помощью матриц S провести следующие преобразования:1) поменять местами 2-ю и 3-ю строки;2) к 1-й строке прибавить 2-ю;3) к 1-й строке прибавить 3-ю, умноженную на α.


Решение. Из единичной матрицы

I =

(1 0 00 1 00 0 1

)

составим1) матрицу

S(2, 3) =

(1 0 00 0 10 1 0

),

тогда произведение S(2, 3)A дает матрицу

S(2, 3)A =

(1 0 00 0 10 1 0

)(1 2 0 32 2 1 01 1 2 1

)=

(1 2 0 31 1 2 12 2 1 0

),

отличающуюся от A местами 2-й и 3-й строк;2) матрицу

S(0; 1, 2; 1) =

(1 1 00 1 00 0 1

),

умножение которой на A слева равносильно прибавлению в матрице A 2-й стро-ки к 1-й:

S(0; 1, 2; 1) =

(1 1 00 1 00 0 1

)(1 2 0 32 2 1 01 1 2 1

)=

(3 4 1 32 2 1 01 1 2 1

);

3) матрицу

S(0; 1, 3;α) =

(1 0 α0 1 00 0 1

),

умножение которой на A слева равносильно прибавлению в матрице A 3-й стро-ки, умноженной на α, к 1-й строке:

S(0; 1, 3;α) =

(1 0 α0 1 00 0 1

)(1 2 0 32 2 1 01 1 2 1

)=

(1 + α 2 + α 2α 3 + α

2 2 1 01 1 2 1

).

Теорема 5.2. Любую невырожденную матрицу A путем элементарных пре-образований только строк (или столбцов) можно привести к единичной. При-менив ту же последовательность преобразований к единичной матрице I, по-лучим обратную матрицу A−1.

Доказательство. Поскольку detA 6= 0, то существует A−1, а так как det(A−1) 6=0, то, согласно лемме 5.1 и теореме 4.1, найдутся такие матрицы S, осуществля-ющие элементарные преобразования, которые приведут A к единичной матрицеI, т.е. Sl · · ·S1A = I, откуда Sl · · ·S1AA

−1 = IA−1 или Sl · · ·S1I = A−1, что и тре-бовалось доказать.

Сама идея доказательства теоремы диктует алгоритм метода элементарныхпреобразований для нахождения обратной матрицы.

♦ Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами A и Iодновременно, записывая их через черту.


Пример 5.4. Методом элементарных преобразований найти обратную к A мат-рицу, если

A =

(1 34 5

)

Решение. 1 способ. Следуя теореме 5.2, выпишем матрицы Sl, приводящиематрицу A к единичной. Обозначим через

S1 =

(1 01 −1/4

)

матрицу, которая в матрице A прибавляет 1-ю строку ко 2-й, умноженной на−1/4:

S1A =

(1 01 −1/4

)(1 34 5

)=

(1 30 7/4

).

Далее обозначим через

S2 =

(1 00 4/7

)

матрицу, которая в преобразованной матрице S1A умножает 2-ю строку на 4/7:

S2(S1A) =

(1 00 4/7

)(1 30 7/4

)=

(1 30 1

).

И, наконец, обозначим через

S3 =

(1 −30 1

)

матрицу, которая в S2(S1A) к 1-й строке прибавляет 2-ю, умноженную на (−3),приводя A к единичной матрице:

S3(S2(S1A)) =

(1 −30 1

)(1 30 1

)=

(1 00 1

)= I.

Тогда обратная матрица A−1 найдется как

A−1 = S3S2S1I =

(1 −30 1

)(1 00 4/7

)(1 00 −1/4

)(1 00 1

)=

=

(1 −12/70 4/7

)(1 01 −1/4

)=

(−5/7 3/74/7 −1/7

)=

1

7

(−5 34 −1

).

2 способ. Следуя замечанию к теореме 5.2, запишем матрицу

B =

(1 34 5

∣∣∣∣1 00 1

),

если работаем со строками, и матрицу

C =

1 34 5

1 00 1


если работаем со столбцами. Будем проводить элементарные преобразованияматрицы B. Получим

B ∼(

1 30 −7

∣∣∣∣1 0

−4 1

)−S2/7∼

(1 30 1

∣∣∣∣1 0

4/7 −1/7

)S1−3S2∼

∼(

1 00 1

∣∣∣∣−5/7 3/7

4/7 −1/7

).


A−1 =1

7

(−5 34 −1

).

Естественно, что полученные двумя способами результаты совпали. В силупростоты 2-го способа именно им и будем пользоваться в дальнейшем.

Пример 5.5. Методом элементарных преобразований найти обратную матри-цу к матрице A из примера 5.1.

Решение. Запишем матрицу

B =

(1 2 −30 1 20 0 2

∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

).

Проводя указанные элементарные преобразования, найдем

B =

(1 2 −30 1 20 0 2

∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

)S2−S3∼

(1 2 −30 1 00 0 2

∣∣∣∣∣1 0 00 1 −10 0 1

)S3/2∼

∼(

1 2 −30 1 00 0 1

∣∣∣∣∣1 0 00 1 −10 0 0,5

)S1−2S2+3S3∼

(1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣1 −2 3,50 1 −10 0 0,5

),

откуда

A−1 =

(1 −2 3,50 1 −10 0 0,5

),

что совпадает с результатом примера 5.1.

Пример 5.6. Методом элементарных преобразований найти обратную матри-цу к матрице A из примера 5.2.

Решение. Запишем матрицу B и выполним указанные элементарные преобра-зования

B =

1 1 1 . . . 1 10 1 1 . . . 1 10 0 1 . . . 1 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 10 0 0 . . . 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 . . . 0 00 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 00 0 0 . . . 0 1

S1−S2

S2−S3∼. . . . . . .Sn−1−Sn

∼

1 0 0 . . . 0 00 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 00 0 0 . . . 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 . . . 0 00 1 −1 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 −10 0 0 . . . 0 1

,


откуда

A−1 =

1 −1 0 . . . 0 00 1 −1 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 −10 0 0 . . . 0 1

,

что совпало с результатами примера 5.2.

Пример 5.7. Найти матрицу, обратную матрице произведения AB, если

A =

(1 2 −30 1 20 0 2

), B =

(1 1 10 1 10 0 1

).

Решение. Согласно свойству 1 обратной матрицы, можем записать

(AB)−1 = B−1A−1.

Тогда, воспользовавшись результатами примеров 5.5 и 5.6, найдем

(AB)−1 = B−1A−1 =

(1 −1 00 1 −10 0 1

)(1 −2 3,50 1 −10 0 0,5

)=

(1 −3 4,50 2 −1,50 0 0,5

).

70 Глава 2. Системы линейных уравнений

ГЛАВА 2

Системы линейных уравнений

6. Теорема Кронекера–Капелли

Она из задач, наиболее часто встречающихся в инженерных вычислениях, —решение системы линейных уравнений, при этом число уравнений обычно равночислу неизвестных или меньше него. Не исключено также, что число уравненийможет быть и больше числа неизвестных. Такую систему можно записать в виде

a11x

1 + a12x

2 + . . .+ a1nx

n = b1;

a21x

1 + a22x

2 + . . .+ a2nx

n = b2;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 x

1 + am2 x

2 + . . .+ amn x

n = bm.

(6.1)

Систему (6.1) можно представить в матричной форме:

AX = B, (6.2)

где

A =

a1

1 a12 . . . a1

n

a21 a2

2 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .am

1 am2 . . . am

n

, X =

x1

x2

...xn

, b =

b1

b2

...bm

.

� Матрица A называется основной матрицей системы, а матрица

A =

a11 a1

2 . . . a1n

a21 a2

2 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .am

1 am2 . . . am

n

∣∣∣∣∣∣∣

b1

b2

. .bm

. (6.3)

называется расширенной.� Решением системы (6.1) называется всякая совокупность чисел α1, α2, . . . ,

. . . , αn, которая, будучи подставленной в систему (6.1) вместо неизвестныхx1, x2, . . . , xn, обращает все уравнения в тождества.

� Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, инесовместной, если она не имеет ни одного решения.

� Совместная система называется определенной, если она имеет одно реше-ние, и неопределенной, если решений больше одного.

� Система линейных уравнений называется однородной, если все ее правыечасти равны нулю, т.е. bk = 0, k = 1, m. В противном случае система линейныхуравнений называется неоднородной.

� Две системы называются эквивалентными (или равносильными), есликаждое решение первой системы является решением второй, и наоборот.

Теорему Кронекера–Капелли называют теоремой о совместности системылинейных уравнений (6.1).

Теорема 6.1 (Кронекера–Капелли). Система (6.1) совместна тогда и толь-

ко тогда, когда ранги матриц A и A совпадают.

7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными 71

Доказательство. 1. Докажем сначала необходимость этого условия. Пустьсистема (6.1) является совместной. Тогда существуют такие числа x1 = α1,x2 = α2, . . . , x

n = αn, которые уравнения системы (6.1) обращают в тождества:

a11α1 + . . .+ a1

nαn =

n∑

l=1

a1lαl = b1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

am1 + . . .+ am

n αn =

n∑

l=1

aml αl = bm,

с помощью которых расширенную матрицу (6.3) можно записать в виде

A =

a11 . . . a1

n

. . . . . . . . . . . .

am1 . . . am

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n∑

l=1

a1l αl

. . . . . . . .n∑

l=1

aml αl

.

Нетрудно заметить, что последний столбец представляет собой линейную ком-бинацию предыдущих столбцов, следовательно, rang A = rangA.

2. Достаточность. Пусть rang A = rangA. Тогда базисный минор матрицы Aявляется и базисным минором расширенной матрицы A. В силу этого столбец изсвободных членов является линейной комбинацией базисных столбцов матрицыA, а коэффициенты этой линейной комбинации — решениями системы (6.1).Следовательно, система (6.1) является совместной, что и требовалось доказать.

♦ Если ранг этих матриц равен числу переменных (r = n), то система будетопределенной, т.е. иметь единственное решение.

♦ Если ранг этих матриц меньше числа переменных (r < n) то система неопределена, т.е. имеет бесконечно много решений.

♦ Пусть система (6.1) совместна. Теорема Кронекера–Капелли, при помощикоторой мы установили совместность этой системы, говорит только о суще-ствовании решения, но не дает практических рецептов для его отыскания. Крассмотрению методов решения систем линейных уравнений мы и переходим.

7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными

7.1. Метод Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a1

1x1 + · · ·+ a1

nxn = b1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

an1x

1 + · · ·+ annx

n = bn(7.1)

илиn∑

j=1

aijx

j = bi, i = 1, n. (7.2)

Число уравнений этой системы совпадает с числом неизвестных.


Составим определитель этой системы, называемый главным определителем:

D =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a1

2 . . . a1n

a21 a2

2 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . .an

1 an2 . . . an

n

∣∣∣∣∣∣∣.

Этот определитель можно разложить по элементам первого столбца:

D = a11A

11 + a2

1A21 + · · · + an

1An1 . (7.3)

Напомним, что сумма произведений всех элементов какой-либо строки (столб-ца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементовдругой строки (столбца) равна нулю. Например,

a11A

12 + a2

1A22 + . . .+ an

1An2 = 0.

Теорема 7.1. Если определитель системы (7.1) отличен от нуля, т.е. D =detA 6= 0, то эта система имеет единственное решение, которое находитсяпо формулам

xj =Dj

D, j = 1, n, (7.4)

где Dj – определитель, полученный из D заменой его j-го столбца столбцомсвободных членов.

Доказательство. Чтобы найти неизвестное число x1, умножим первое урав-нение системы (7.1) на дополнение A1

1, второе на A21, . . . , n-е на An

1 и сложимвсе уравнения системы:

x1(a11A

11 + . . .+ an

1An1 ) + x2(a1

2A11 + . . .+ an

2An1 ) + . . .+

+ . . .+ xn(a1nA

11 + . . .+ an

nAn1 ) = b1A

11 + b2A

21 + . . .+ bnA

n1 ).

Тогда, учтя, что

x1

n∑

i=1

ai1A

i1 = x1D,

а

xj

n∑

i=1

aijA

i1 = 0, j 6= 1,

получимx1D = D1,

где

D1 =n∑

i=1

biAi1 =

∣∣∣∣∣b1 a1

2 . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . .bn an

2 . . . ann

∣∣∣∣∣ .

Следовательно, так как по условию D 6= 0, то x1 = D1/D.В общем случае при произвольном j умножаем первое слагаемое системы

(7.1) на A1j , второе на A2

j , . . . , n-е на Anj , складываем эти уравнения и на осно-

вании свойств определителя получим

xjn∑

j=1

aijA

ij =

n∑

i=1

biAij,


т.е. xjD = Dj , где

Dj =

∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1

j−1 b1 a1j+1 . . . a1

n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an

1 . . . anj−1 bn an

j+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣,

откуда получим формулы (7.4):

xj =Dj

D,

называемые формулами Крамера.Если сравнить требования теоремы Кронекера–Капелли 6.1 с требования-

ми теоремы 7.1, то совершенно очевидно, что условие detA 6= 0 полностью

соответствует условиям rang A = rangA = n. Это и означает существованиеединственного решения, определяемого формулами Крамера (7.4).

Пример 7.1. Решить систему уравнений

x1 + 2x2 − x3 = −3,

2x1 + 3x2 + x3 = −1,

x1 − x2 − x3 = 3.

Решение. Составим и вычислим определитель системы:

D =

∣∣∣∣∣1 2 −12 3 11 −1 −1

∣∣∣∣∣ = 9, D 6= 0.

Система имеет решение и притом единственное. По формулам Крамера найдемэто решение в виде

x1 =

∣∣∣∣∣−3 2 −1−1 3 13 −1 −1

∣∣∣∣∣D

, x2 =

∣∣∣∣∣1 −3 −12 −1 11 3 −1

∣∣∣∣∣D

, x3 =

∣∣∣∣∣1 2 −32 3 −11 −1 3

∣∣∣∣∣D

.

Вычислив определители

D1 = 9 + 6 − 1 + 9 − 3 − 2 = 18,

D2 = 1 − 3 − 6 − 1 − 6 − 3 = −18,

D3 = 9 − 2 + 6 + 9 − 12 − 1 = 9,

получим

x1 =18

9= 2, x2 =

−18

9= −2, x3 =

9

9= 1.


4x1 + 4x2 + 5x3 + 5x4 = 0,

2x1 + 3x2 − x4 = 10,

x1 + x2 − 5x3 = −10,

3x2 + 2x3 = 1.


Решение. Выпишем главный определитель системы

detA = D =

∣∣∣∣∣∣∣

4 4 5 52 0 3 −11 1 −5 00 3 2 0

∣∣∣∣∣∣∣

и вычислим его, например, разложением по 4-му столбцу:

D = −5

∣∣∣∣∣2 0 31 1 −50 3 2

∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣4 4 51 1 −50 3 2

∣∣∣∣∣ .

Разложив оба определителя 3-го порядка, например, по 1-му столбцу, найдем

D = −5

{2

∣∣∣∣1 −53 2

∣∣∣∣+ 3

∣∣∣∣1 10 3

∣∣∣∣}−{

4

∣∣∣∣1 −53 2

∣∣∣∣−∣∣∣∣4 53 2

∣∣∣∣}

= −215 − 75 = −290 6= 0.

Поскольку главный определитель D отличен от нуля, то система совместна иимеет единственное решение. Чтобы найти его, составим определители D1, D2,D3, D4, помещая столбец из свободных членов в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й столбцы,соответственно:

D1 =

∣∣∣∣∣∣∣

0 4 5 510 0 3 −1−10 1 −5 01 3 2 0

∣∣∣∣∣∣∣, D2 =

∣∣∣∣∣∣∣

4 0 5 52 10 3 −11 −10 −5 00 1 2 0

∣∣∣∣∣∣∣,

D3 =

∣∣∣∣∣∣∣

4 4 0 52 0 10 −11 1 −10 00 3 1 0

∣∣∣∣∣∣∣, D4 =

∣∣∣∣∣∣∣

4 4 5 02 0 3 101 1 −5 −100 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣.

Вычислив их, например, как и главный определитель D, получим D1 = −290,D2 = 290, D3 = −580, D4 = 580. Тогда по формулам Крамера найдем един-ственное решение системы

x1 =D1

D=

−290

−290= 1, x2 =

D2

D=

290

−290= −1,

x3 =D3

D=

−580

−290= 2, x4 =

D4

D=

580

−290= −2.

7.2. Матричный метод

Этот метод по смыслу очень близок к методу Крамера. По сути дела, ме-тод Крамера представляет собой покомпонентную запись решения в матричнойформе, которую дает матричный метод.

Действительно, с помощью матриц

A =

a1

1 a12 . . . a1

n

a21 a2

2 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . .an

1 an2 . . . an

n

, X =

x1

x2

...xn

, B =

b1

b2

...bn

.

систему (7.1) можно записать в виде матричного уравнения (6.2):

AX = B.


Теперь, если матрица A неособенная, т.е. detA 6= 0, то можно найти обратнуюей матрицу A−1 и умножить уравнение (6.2) на A−1 слева. В результате получим

X = A−1B. (7.5)

С учетом теоремы 5.1 матрицу A−1 можно записать как матрицу, составлен-ную из алгебраических дополнений Ai

j ; в покомпонентной записи это уравнениеимеет вид

X =

x1

x2

. . .xn

= A−1B =

1

D

D1

D2

. . .Dn

,

откуда и следуют формулы Крамера.Нужно, однако, отметить, что матричный метод имеет по крайней мере одно

очень важное преимущество. Если в рассматриваемой системе алгебраическихуравнений меняется только правая часть (ситуация, распространенная в иссле-довательских задачах), то матричный метод при найденной однажды матрицеA−1 позволяет найти новые решения системы по формуле (7.5), тогда как вметоде Крамера каждый раз приходится заново проделывать большой объемвычислений, чтобы найти определители Dj.

Именно поэтому мы рассмотрим несколько примеров решения систем ли-нейных уравнений матричным методом.


3x1 + 2x2 + x3 = 5,

2x1 − x2 + x3 = 6,

x1 + 5x2 = −3.

Решение. Выпишем основную матрицу систему

(3 2 12 −1 11 5 0

)

и вычислим ее определитель

detA =

(3 2 12 −1 11 5 0

)= −2.

Так как detA = −2 6= 0, то существует единственное решение системы. Чтобынайти его, вычислим обратную матрицу A−1. Не останавливаясь на подробно-стях ее вычисления (см. примеры 5.1–5.3), запишем основные этапы ее нахож-дения: выпишем

A⊺ =

(3 2 12 −1 51 1 0

)

и найдем союзную матрицу

A =

(−5 5 31 −1 −111 −13 −7

),


а затем обратную

A−1 = −1

2A.

Теперь по формуле (7.5) найдем решение системы

X =

(x1

x2

x3

)= A−1B = −1

2

(−5 5 31 −1 −111 −13 −7

)(56−3

)= −1

2

(−42−2

)=

(2−11

),

т.е.

X =

(x1

x2

x3

)=

(2−11

)

или покомпонентно x1 = 2, x2 = −1, x3 = 1.

Пример 7.4. Решить систему линейных уравнений

3x1 + 2x2 + x3 = 1,

2x1 − x2 + x3 = 0,

x1 + 5x2 = 1.

Решение. Основная матрица системы

A =

(3 2 12 −1 11 5 0

)

совпадает с основной матрицей системы из примера 7.3. Следовательно, дляобратной матрицы A−1 можно воспользоваться готовым результатом:

A−1 = −1

2

(−5 5 31 −1 −111 −13 −7

),

а решение найти по формуле (7.5) с учетом того, что B =

(101

):

X =

(x1

x2

x3

)= A−1B = −1

2

(−5 5 31 −1 −111 −13 −7

)(101

)= −1

2

(−204

)=

(10−2

),

т.е.

X =

(x1

x2

x3

)=

(10−2

)

или покомпонентно x1 = 1, x2 = 0, x3 = −2.


7.3. Метод Гаусса–Жордана

Рассмотренные выше матричный метод и метод Крамера обладают тем недо-статком, что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяютлишь единственное решение при detA 6= 0. Еще одним недостатком является то,что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастаетс ростом числа уравнений.

Методом, практически свободным от этих недостатков, является метод ис-ключения, или метод Гаусса–Жордана — один из наиболее известных и широкоприменяемых методов решения систем линейных уравнений. Для наглядностисуть метода выясним на примере системы трех уравнений с тремя неизвестны-ми. Последующие обобщения, как правило, затруднений не вызывают.

Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

a11x

1 + a12x

2 + a13x

3 = b1; (7.6)

a21x

1 + a22x

2 + a23x

3 = b2; (7.7)

a31x

1 + a32x

2 + a33x

3 = b3. (7.8)

В такой системе по крайней мере один из коэффициентов a11, a

22, a

33 должен быть

отличным от нуля, иначе мы имели бы дело в этих трех уравнениях только сдвумя неизвестными. Если a1

1 = 0, то можно переставить уравнения так, что-бы коэффициент при x1 в первом уравнении был отличен от нуля. Очевидно,что такая перестановка уравнений оставляет систему неизменной: ее решениеостается прежним.

Теперь введем множитель m2 = a21/a

11. Умножим первое уравнение системы

на m2 и вычтем его из уравнения (7.7). («Первое» и «второе» уравнения мы бе-рем уже после перестановки, если она была необходима.) Результат вычитанияравен

(a21 −m2a

11)x

1 + (a22 −m2a

12)x

2 + (a23 −m2a

13)x

3 = b2 −m2b1.

Но ведь

a21 −m2a

11 = a2

1 −a2

1

a11

a11 = 0,

так что x1 исключен из второго уравнения (именно для достижения такогорезультата и было выбрано значение m2). Определим теперь новые коэффици-енты:

a22 = a2

2 −m2a12,

a23 = a2

3 −m2a13,

b2 = b2 −m2b1.

Тогда уравнение (7.7) приобретет вид

a22x

2 + a23x

3 = b2. (7.9)

Заменим второе из первоначальных уравнений (7.7) уравнением (7.9) и введеммножитель m3 = a3

1/a11 для третьего уравнения. Умножим уравнение (7.6) на

этот множитель и вычтем его из (7.8). Коэффициент при x1 снова становитсянулевым, и третье уравнение приобретет вид

a32x

2 + a33x

3 = b3, (7.10)

где

a32 = a3

2 −m3a12,


a33 = a3

3 −m3a13,

b3 = b3 −m3b1.

Если теперь в исходной системе уравнений заменить (7.8) на (7.10), то новаясистема, которую мы будем называть упрощенной, выглядит так:

a11x

1 + a12x

2 + a13x

3 = b1; (7.11)

a22x

2 + a23x

3 = b2; (7.12)

a32x

2 + a33x

3 = b3. (7.13)

Эти новые уравнения полностью эквивалентны исходным с тем преимуществом,что x1 входит только в первое уравнение и не входит ни во второе, ни в третье.Таким образом, два последних уравнения представляют собой систему двухуравнений с двумя неизвестными. Если теперь найти решение этой системы,т.е. определить x2 и x3, то результат можно подставить в первое уравнение инайти x1. Иначе говоря, задача сведена к решению системы двух уравнений сдвумя неизвестными.

Попытаемся теперь исключить x2 из уравнений (7.12) и (7.13). Рассмотримпоследовательно возможные варианты. Для начала будем считать, что a2

2 6= 0и a3

2 6= 0.Введем новый множитель

m3 =a3

2

a22

.

Умножим уравнение (7.12) на m3 и вычтем его из (7.13). Результат вычитанияравен

(a32 − m3a

22)x

2 + (a33 − m3a

23)x

3 = b3 − b2m3.

В силу выбора m3

a32 − m3a

22 = 0.

Положив

ã33 = a3

3 − m3a23,

˜b3 = b3 − m3b

2,

окончательно получимã3

3x3 = ˜b3. (7.14)

Уравнение (7.13) можно заменить уравнением (7.14), после чего система урав-нений приобретет следующий вид:

a11x

1 + a12x

2 + a13x

3 = b1; (7.15)

a22x

2 + a23x

3 = b2; (7.16)

ã33x

3 =˜b3. (7.17)

Такая упрощенная система иногда называется треугольной из-за своего внеш-него вида.

Проанализируем возможные варианты системы (7.15)–(7.17).

1. Пусть ã33 6= 0 при любом

˜b3. Сопоставим этот вариант с теоремой Кронекера–

Капелли. Для этого выпишем расширенную матрицу системы

A =

a11 a1

2 a13

0 a22 a2

3

0 0 ã33

∣∣∣∣∣∣

b1

b2

˜b3

.


Из нее следует, что rang A = rangA = 3, т.е. система совместна и имеет един-ственное решение.

Совершенно очевидно, что нужно сделать для нахождения этого единствен-ного решения. Необходимо определить x3 из (7.17), подставить этот результат в(7.16); определить x2 из получившегося уравнения, подставить x3 и x2 в (7.15)и определить x1. Этот процесс, который обычно называется обратной подста-новкой (или обратным ходом), определяется в нашем случае формулами

x3 =˜b3

ã33

, (7.18)

x2 =b2 − a2

3x3

a22

, (7.19)

x1 =b1 − a1

2x2 − a1

3x3

a11

. (7.20)

2. Пусть ã33 = 0. В этом случае очень важно, какое значение имеет величина

˜b3.

2a) Если ˜b3 6= 0, то уравнение (7.17) будет иметь вид

0 = ˜b3,

а если разделить на˜b3 6= 0, то

0 = 1.

Как и в предыдущем случае, проанализируем этот результат с точки зрениятеоремы Кронекера–Капелли, выписав расширенную матрицу системы

A =

a11 a1

2 a13

0 a22 a2

30 0 0

∣∣∣∣∣∣

b1

b2

1

.

Из нее следует, что rangA = 2, rang A = 3, т.е. rangA 6= rang A. Неравенстворангов означает, что система несовместна, в полном соответствии с невоз-можностью выполнения равенства 0 = 1. Требование теоремы Кронекера–Капелли о равенстве рангов становится весьма наглядным, если для послед-ней строки расширенной матрицы выписать соответствующее ей уравнение

0 · x1 + 0 · x2 + 0 · x3 = 1.

Очевидно, что не существует таких x1, x2, x3, которые, будучи умноженнымина нуль, в сумме давали бы единицу.Таким образом, на какой бы стадии упрощения системы мы ни получили

строку вида(0 0 0 | 1) ,

ее наличие будет означать несовместность системы.

2б. Если˜b3 = 0, то последнее уравнение будет иметь вид

0 = 0,

в результате чего останутся только два уравнения:

a11x

1 + a12x

2 + a13x

3 = b1,


a22x

2 + a23x

3 = b2,

а расширенная матрица системы примет вид

A =

a11 a1

2 a13

0 a22 a2

30 0 0

∣∣∣∣∣∣

b1

b2

0

.

В этом случае rang A = rangA = 2 < 3. Это означает, что система сов-местна, но не определена, т.е. имеет множество решений. Чтобы найти их,поступим следующим образом. Выделим базисный минор 2-го порядка, ко-торый по определению отличен от нуля, так как rang A = 2. Неизвестные,принадлежащие базисному минору (будем называть их базисными), оставимв левой части уравнений, а остальные переменные, которые будем называтьсвободными (или параметрическими), перенесем в правую часть. В резуль-тате получим систему треугольного вида

a11x

1 + a12x

2 = b1 − a13x

3, (7.21)

a22x

2 = b2 − a23x

3. (7.22)

Найдя из второго уравнения x2 и подставив его в первое уравнение, получимвыражение базисных неизвестных x1 и x2 через свободную неизвестную x3:

x1 =(b1 − a1

2b2

a22

)+(a1

3 +a1

2a23

a22

)x3,

x2 =b2

a22

− a23

a22

x3.

Задав свободной неизвестной x3 различные значения, получим множестворешений системы (7.15)–(7.17).

Вернемся теперь к системе уравнений (7.11)–(7.13).3. Если из коэффициентов a2

2, a32 только один отличен от нуля, то, таким

образом, мы сразу имеем систему (7.15)–(7.17), процедура решения которойуже рассмотрена.

4. Если оба коэффициента a22 и a3

2 равны нулю, т.е. a22 = a3

2 = 0, то система(7.11)–(7.13) примет вид

a11x

1 + a12x

2 + a13x

3 = b1;

a23x

3 = b2;

a33x

3 = b3.

В этом случае возможен вариант, когда эта система сведется к виду

a11x

1 + a12x

2 + a13x

3 = b1;

0 = 0;

0 = 0.

В результате останется одно уравнение, а из вида расширенной матрицы

A =

(a1

1 a12 a1

30 0 00 0 0

∣∣∣∣∣b1

00

)


следует, что rang A = rangA = 1 < 3. Следовательно, базисной неизвестнойбудет, например, x1, которая будет выражаться через свободные неизвестныеx2 и x3:

x1 = b1 − a12

a11

x2 − a13

a11

x3.

Этим исчерпываются все возможные варианты упрощенных систем и их реше-ний для исходной системы (7.6)–(7.8).

Все проведенные выше преобразования удобно записывать в матричной фор-ме, как это будет сделано в нижеследующих примерах.


2x1 + x2 − x3 = −1;

x1 − x2 + 2x3 = 0;

4x1 − x2 + 4x3 = −1.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

A =

(2 1 −11 −1 24 −1 4

∣∣∣∣∣−1

0−1

).

Для удобства дальнейших вычислений поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, азатем выполним указанные элементарные преобразования:

A =

(1 −1 22 1 −14 −1 4

∣∣∣∣∣−1

0−1

)S2−2S1∼S4−4S1

(1 −1 20 3 −50 3 −4

∣∣∣∣∣0

−1−1

)S3−S2∼

(1 −1 20 3 −50 0 1

∣∣∣∣∣0

−10

).

Отсюда найдем, что rangA = 3 6= 0 и rang A = rangA = 3, т.е. система имеетединственное решение. Запишем систему, соответствующую полученной расши-ренной матрице:

x1 − x2 + 2x3 = 0,

3x2 − 5x3 = −1,

x3 = 0.

Проведя обратную подстановку, найдем единственное решение системы

x3 = 0,

x2 =1

3(−1 + 5x3) = −1

3,

x1 = x2 − 2x3 = −1

3.

Тот же результат можно получить, воспользовавшись дополнительными эле-ментарными преобразованиями:

A ∼(

1 −1 20 3 −50 0 0

∣∣∣∣∣0

−10

)S2+5S3∼S1−2S3

(1 −1 00 3 00 0 0

∣∣∣∣∣0

−10

)S2/3∼

∼(

1 −1 00 1 00 0 0

∣∣∣∣∣0

−1/30

)S1+S2∼

(1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣−1/3−1/3

0

).

Следовательно, x1 = −1/3, x2 = −1/3, x3 = 0.



2x1 + x2 − x3 = −1;

x1 − x2 + 2x3 = 0;

4x1 − x2 + 3x3 = −1.

Решение. Прежде всего отметим, что эта система отличается от системы, рас-смотренной в предыдущем примере, только одним коэффициентом при неиз-вестной x3 в третьем уравнении. Однако, как мы увидим далее, это кардинальноменяет характер решения.

Действительно, запишем расширенную матрицу системы

A =

(2 1 −11 −1 24 −1 3

∣∣∣∣∣−1

0−1

).

Проведем следующие элементарные преобразования:

A =

(2 1 −11 −1 24 −1 3

∣∣∣∣∣−1

0−1

)S1−S2∼

(1 −1 22 1 −14 −1 3

∣∣∣∣∣0

−1−1

)S2−2S1∼S3−4S1

∼(

1 −1 20 3 −50 3 −5

∣∣∣∣∣0

−1−1

)S3−S2∼

(1 −1 20 3 −50 0 0

∣∣∣∣∣0

−10

)S2/3∼

∼

1 −1 2

0 1 −5

30 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

0

−1

30

S1−S2∼

1 01

3

0 1 −5

30 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1

3

−1

30

.

Здесь rangA = rang A = r = 2, а n = 3, т.е. имеем случай 2б (r < n). Сле-довательно, данная система имеет бесконечное множество решений, зависящихот одной свободной переменной. Запишем систему (по той матрице, к какой

приведена A), перенеся столбец с x3 в правую часть:

x1 = −1

3− 1

3x3;

x2 = −1

3+

5

3x3.

Здесь x1 и x2 — базисные неизвестные переменные, а x3 может принимать произ-вольное значение C. Из второго уравнения системы определим x2, а из первогоуравнения x1. Получим

x1 =−1 − C

3, x2 =

5C − 1

3.

Таким образом, множество решений системы можно записать в виде

x1 = −1 + C

3,

x2 =5C − 1

3,

x3 = C,

где C — произвольная постоянная.

8. Произвольные системы линейных уравнений 83


2x1 + x2 − x3 = −1;

x1 − x2 + 2x3 = 0;

4x1 − x2 + 3x3 = 2.

Решение. Прежде всего отметим, что эта система отличается от системы, рас-смотренной в предыдущем примере, только свободным членом в третьем урав-нении. Однако, как мы увидим далее, это существенно меняет структуру реше-ния.

Выпишем расширенную матрицу системы

A =

(2 1 −11 −1 24 −1 3

∣∣∣∣∣−1

02

).

Для удобства дальнейших вычислений поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, азатем выполним указанные элементарные преобразования:

A =

(2 1 −11 −1 24 −1 3

∣∣∣∣∣−1

02

)S2−2S1∼S3−4S1

(1 −1 20 3 −50 3 −5

∣∣∣∣∣0

−1−2

)S3−S2∼

∼(

1 −1 20 3 −50 0 0

∣∣∣∣∣0

−13

)S3/3∼

(1 −1 20 3 −50 0 0

∣∣∣∣∣0

−11

).

Отсюда следует, что система несовместна, поскольку rangA = 2, rang A = 3,т.е. rang A 6= rangA. Впрочем, к этому же результату можно было прийти, не

вычисляя ранги матриц A и A, а просто по наличию несовместной строки

(0 0 0 | 1)

в упрощенной расширенной матрице.

8. Произвольные системы линейных уравнений

Рассмотренные выше методы применимы к тем системам линейных урав-нений, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Вернемсятеперь к системам, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвест-ных, т.е. m 6= n:

a11x

1 + a12x

2 + . . .+ a1nx

n = b1,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am

1 x1 + am

2 x2 + . . .+ am

n xn = bm.

(8.1)

Поскольку матрица системы A является прямоугольной матрицей размера m×n, то матричный метод и метод Крамера в этом случае неприменимы. Поэтомусистемы линейных уравнений общего вида (8.1) решаются методом Гаусса.

Напомним, что суть метода заключается в том, чтобы путем элементарныхпреобразований из всех уравнений системы,кроме первого, исключить неизвест-ное x1; далее из всех уравнений, кроме первого и второго, исключить неизвест-ное x2 и т.д. На практике все эти действия, как это показано в примерах 7.5–7.7,удобнее проводить не с уравнениями системы, а со строками расширенной мат-рицы.


При проведении элементарных преобразований происходит не только упро-щение расширенной матрицы, но и одновременно решается вопрос о совместно-сти системы и количестве решений. Действительно, как уже упоминалось, еслив процессе элементарных преобразований появляется противоречивая строка,например

(0 0 0 . . . 0 | 1) ,

это означает, что система несовместна.Если же в процессе упрощения появляются нулевые строки

(0 0 0 . . . 0 | 0) ,

это означает уменьшение числа линейно независимых уравнений на число такихстрок.

Таким образом, если в результате элементарных преобразований матрицаA системы приводится к треугольному виду, то система имеет единственноерешение. Если же матрица A приводится к трапецеидальному виду, то системаявляется неопределенной. При этом число базисных неизвестных определяетсярангом r расширенной матрицы, а число свободных — разностью n− r.

На заключительном этапе базисные неизвестные обратным преобразованиемнаходятся через свободные (параметрические) неизвестные. Эту зависимость,в которой неизвестные принимают всевозможные произвольные значения, на-зывают еще общим решением системы. Если свободные неизвестные зафикси-ровать, придав им некоторые частные значения, то общее решение переходит втак называемое частное решение неопределенной системы.


x1 + 2x2 + 5x3 = −9;

x1 − x2 + 3x3 = 2;

3x1 − 6x2 − x3 = 25;

x1 − x2 + x3 = 4.

Решение. Для трех неизвестных x1, x2, x3 имеем систему из четырех уравне-ний. Выпишем расширенную матрицу системы и проведем указанные элемен-тарные преобразования:

A =

1 2 51 −1 33 −6 −11 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣

−92

224

S2−S1∼

S3−3S1

S4−S1

1 2 50 −3 −20 −12 −160 −3 −4

∣∣∣∣∣∣∣

−9115213

S3−4S2∼

S4−S2

∼

1 2 50 −3 −20 0 −80 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣

−91182

−S3/8∼

−S4/2

1 2 50 −3 −20 0 10 0 1

∣∣∣∣∣∣∣

−911−1−1

∼

S4−S3

1 2 50 −3 −20 0 10 0 0

∣∣∣∣∣∣∣

−911−1

0

.

Отсюда следует, что одно уравнение является линейной комбинацией первых

трех. Кроме того, матрицу A системы (часть A) удалось привести к треуголь-ному виду, что означает совместность и определенность системы, т.е. системаимеет единственное решение. Это решение находится обратным преобразова-нием (ходом) метода Гаусса. Выпишем систему уравнений, соответствующуюупрощенной расширенной матрице:

x1 + 2x2 + 5x3 = −9,


−3x2 − 2x3 = 11,

x3 = −1.

Из третьего уравнения следует, что x3 = −1, из второго —

−3x2 = 11 + 2x3 = 11 − 2 = 9, x2 = −3,

а из первого

x1 = −9 − 2x2 − 5x3 = −9 + 6 + 5 = 2, x1 = 2.

Таким образом, x1 = 2, x2 = −3, x3 = −1.Это решение иногда записывают в матричной форме:

X =

(x1

x2

x3

)=

(2−3−1

).

Подчеркнем, что мы нигде не воспользовались теоремой Кронекера–Капелли,

хотя результат полностью ей соответствует, поскольку rangA = rang A = 3, т.е.система имеет единственное решение.

Пример 8.2. Решить систему уравненийx1 + x2 − 2x3 − x4 + x5 = 1;

3x1 − x2 + x3 + 4x4 + 3x5 = 4;

x1 + 5x2 − 9x3 − 8x4 + x5 = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и проведем указанные эле-ментарные преобразования:

A =

(1 1 −2 −1 13 −1 1 4 31 5 −9 −8 1

∣∣∣∣∣140

)S2−3S1∼S3−S1

(1 1 −2 −1 10 −4 7 7 00 4 −7 −7 0

∣∣∣∣∣11

−1

)∼

S3+S2

∼(

1 1 −2 −1 10 −4 7 7 00 0 0 0 0

∣∣∣∣∣110

).

Отсюда следует, что система совместна и не определена. Уже на этом этапе,выбрав в качестве базисных неизвестных x1 и x2, обратным преобразованиемможно найти их зависимость от свободных переменных x3, x4, x5. Однако ино-гда удобнее базисный минор привести к диагональному виду, что упрощаетпроведение обратных преобразований. Действительно, продолжим элементар-ные преобразования:

A =

(1 1 −2 −1 10 −4 7 7 00 0 0 0 0

∣∣∣∣∣110

)S1+S2/4∼

(1 0 −1/4 3/4 10 −4 7 7 00 0 0 0 0

∣∣∣∣∣5/4

−1/40

)−S2/4∼

∼(

1 0 −1/4 3/4 10 1 −7/4 −7/4 00 0 0 0 0

∣∣∣∣∣5/4

−1/40

).

Выпишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной мат-рице:

x1 − 1

4x3 +

3

4x4 + x5 =

5

4,


x2 − 7

4x3 − 7

4x4 = −1

4.

Отсюда базисные неизвестные x1 и x2 находятся очень просто:

x1 =5

4+

1

4x3 − 3

4x4 − x5,

x2 = −1

4+

7

4x3 +

7

4x4.

В результате общее решение можно записать как

X =

x1

x2

x3

x4

x5

=

5

4+

1

4x3 − 3

4x4 − x5

−1

4+

7

4x3 +

7

4x4

x3

x4

x5

.

В дальнейшем нам потребуется еще одна форма представления общего решения,а именно:

X =

x1

x2

x3

x4

x5

=

5/4−1/4

000

+ x3

−1/47/4100

+ x4

−3/47/4010

+ x5

−10001

.

Если свободные неизвестные x3, x4, x5 считать для удобства произвольными по-стоянными C1, C2, C3 соответственно, то общее решение примет вид

X =

5/4−1/4

000

+ C1

1/47/4100

+ C2

−3/47/4010

+ C3

−10001

. (8.2)

Положив, например, C1 = C2 = C3 = 0, получим частное решение

X =

x1

x2

x3

x4

x5

=

5/4−1/4

000

, (8.3)

а при C1 = C2 = 1, C3 = 2 — другое частное решение

X =

x1

x2

x3

x4

x5

=

−5/413/4

112

(8.4)

и т.д.



x1 + x2 − x4 + x5 = 1;

2x1 + x3 + 3x4 − x5 = 2;

−2x2 + x3 + 5x4 − 3x5 = 0;

x1 − 3x2 + 2x3 + 9x4 − 5x5 = 1.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и проведем указанные эле-ментарные преобразования:

A =

1 1 0 −1 12 0 1 3 −10 −2 1 5 −31 −3 2 9 −5

∣∣∣∣∣∣∣

1201

S2−2S1∼

S4−S1

1 1 0 −1 10 −2 1 5 −30 −2 1 5 −30 −4 2 10 −6

∣∣∣∣∣∣∣

1000

∼

S3−S2

S4−2S2

∼

1 1 0 −1 10 −2 1 5 −30 0 0 0 00 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣

1000

.

Отсюда следует, что система совместна и не определена. Выбрав базисныминеизвестными x1 и x2, обратным преобразованием можно найти общее решение.Однако обратим внимание, что в данном случае в качестве базовых удобнеевыбрать неизвестные x1 и x3. При таком выборе сразу получим общее решениев виде

x1 = 1 − x2 + x4 − x5,

x3 = 2x2 − 5x4 + 3x5,

где свободными неизвестными являются x2, x4, x5. При необходимости это общеерешение можно записать в виде (8.2).

Пример 8.4. Систему линейных уравнений

x1 + x2 − x4 + x5 = 1;

2x1 + x3 + 3x4 − x5 = 2;

−2x2 + x3 + 5x4 − 3x5 = 0;

x1 − 3x2 + 2x3 + 9x4 − 5x5 = λ

исследовать на совместность.

Решение. Число уравнений меньше числа неизвестных. Выясним, при какихзначениях параметра λ система совместна. Запишем расширенную матрицу си-стемы и проведем указанные элементарные преобразования:

A =

1 1 0 −1 12 0 1 3 −10 −2 1 5 −31 −3 2 9 −5

∣∣∣∣∣∣∣

120λ

S2−2S1∼

S4−S1

1 1 0 −1 10 −2 1 5 −30 −2 1 5 −30 −4 2 10 −6

∣∣∣∣∣∣∣

100

λ− 1

∼

S3−S2

S4−2S2

∼

1 1 0 −1 10 −2 1 5 −30 0 0 0 00 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣

100

λ− 1

.


Отсюда следует, что система совместна только тогда, когда λ − 1 = 0, т.е. при

λ = 1. В этом случае rangA = rang A = 2 и общее решение системы получено впредыдущем примере.

Для всех других λ, т.е. λ 6= 1 система несовместна, поскольку в эквивалент-ной расширенной матрице присутствует противоречивая строка

(0 0 0 0 0 | λ− 1) ,

что соответствует неравенству рангов: rangA = 2, rang A = 3, rangA 6= rang A.


24x1 + 14x2 + 30x3 + 40x4 + 41x5 = 28;

36x1 + 21x2 + 45x3 + 61x4 + 62x5 = 43;

48x1 + 28x2 + 60x3 + 82x4 + 83x5 = 58;

60x1 + 35x2 + 75x3 + 99x4 + 102x5 = 69.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и проведем указанные эле-ментарные преобразования:

A =

24 14 30 40 4136 21 45 61 6248 28 60 82 8360 35 75 99 102

∣∣∣∣∣∣∣

28435869

S2−S1∼

S3−2S1

S4−S1−S2

24 14 30 40 4112 7 15 21 210 0 0 2 10 0 0 −2 −1

∣∣∣∣∣∣∣

28152

−2

S1−2S2∼

∼

0 0 0 −2 −112 7 15 21 210 0 0 2 10 0 0 −2 −1

∣∣∣∣∣∣∣

28152

−2

∼

S3+S1

S4−S1

0 0 0 −2 −112 7 15 21 210 0 0 0 00 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣

−21500

.

Выпишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной мат-рице:

12x1 + 7x2 + 15x3 + 21x4 + 21x5 = 15,

2x4 + x5 = 2.

В качестве базисных неизвестных выберем переменные x1 и x4. Выразив x4 извторого уравнения:

x4 = 1 − 1

2x5

и подставив его в первое, найдем

12x1 + 7x2 + 15x3 + 21(1 − 1

2x5)

+ 21x5 = 15.

Отсюда

x1 = −1

2− 7

12x2 − 5

4x3 − 7

8x5.

Таким образом, общее решение имеет вид

x1 = −1

2− 7

12x2 − 5

4x3 − 7

8x5,

x4 = 1 − 1

2x5,

что при необходимости можно записать в виде (8.2).

9. Однородные системы линейных уравнений 89

9. Однородные системы линейных уравнений

Рассмотрим теперь системы линейных однородных уравнений

AX = 0, (9.1)

где

A =

(a1

1 . . . a1n

. . . . . . . . . . . .am

1 . . . amn

), X =

(x1

. . .xn

). (9.2)

Все предыдущие результаты, полученные для систем линейных уравнений,разумеется, верны и для однородных систем. Из теоремы Кронекера–Капеллиследует, что однородная система всегда совместна, поскольку добавление столб-ца из нулей в расширенную матрицу системы не может повысить ее ранг. Впро-чем, это видно и непосредственно — система (9.1) заведомо имеет нулевое ре-шение

X =

x1

...xn

=

0...0

,

которое еще называют тривиальным.Очевидно, что при решении однородных систем наибольший интерес пред-

ставляет задача о нахождении нетривиальных решений, а такие решения могутиметь только неопределенные системы. Если однородная система — определен-ная, то ее единственным решением является тривиальное. Условия, при кото-рых однородная система (9.1) является определенной или неопределенной, даетследующая теорема.

Теорема 9.1. Для того чтобы система (9.1) имела нетривиальное решение,необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы A был меньше числа неиз-вестных, т.е. rangA < n.

Доказательство. Как и раньше, обозначим rangA = r. Как следует из тео-ремы 7.1, если r = n, то система (9.1) имеет единственное и, значит, тольконулевое решение, вытекающее, например, из (7.4)

X =

x1

...xn

=

0...0

.

Если же r < n, то система (9.1) является неопределенной, поскольку несовмест-ной она быть не может, и, значит, она имеет бесчисленное множество решений,в том числе и нетривиальных.

Следствие 9.1.1. Система n линейных однородных уравнений с n неизвест-ными тогда и только тогда имеет нетривиальные решения, когда определи-тель этой системы равен нулю, т.е. detA = 0.

В самом деле, равенство нулю этого определителя означает, что rangA < n исистема является неопределенной и, следовательно, имеет нетривиальные ре-шения.

Следствие 9.1.2. Если в системе однородных уравнений (9.1) число уравне-ний меньше числа неизвестных, то система обязательно имеет нетривиаль-ные решения.


Действительно, в этом случае rangA не может быть равным числу неизвестных,откуда и вытекает справедливость данного утверждения.

Однородная система (9.1) обладает одним очень важным свойством, котороене имеет места для неоднородных систем уравнений.

Теорема 9.2. Если X1, X2, . . . , Xk — решения однородной системы (9.1), товсякая линейная комбинация

X = C1X1 + C2X2 + . . .+ CkXk (9.3)

также будет решением этой системы.

Доказательство. Согласно условию теоремы,

AX1 = 0, AX2 = 0, . . . , AXn = 0. (9.4)

Тогда с учетом свойств матриц получим

AX = A(C1X1 + C2X2 + . . .+ CnXn) = C1AX1 + C2AX2 + . . .+ CnAXn = 0,

что и требовалось доказать.В развитие этой теоремы рассмотрим вопрос о существовании такой линейно

независимой совокупности решений однородной системы (9.1), через которуювыражались бы все остальные ее решения.

Теорема 9.3. Если ранг матрицы A однородной системы (9.1) равен r, т.е.rangA = r, то система имеет n− r линейно независимых решений.

Доказательство. Если rangA = r, то система (9.1) имеет r линейно независи-мых уравнений. Выбрав в качестве базисных неизвестных x1, x2, . . . , xr, найдемих выражение через свободные неизвестные xr+1, xr+2, . . . , xn:

a11x

1 + . . .+ a1rx

r = −a1r+1 − . . .− a1

nxn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ar

1x1 + . . .+ ar

rxr = −ar

r+1xr+1 − . . .− ar

nxn.

(9.5)

Придадим теперь свободным неизвестным следующие (n− r) наборы значе-ний:

xr+1 = 1, xr+2 = 0, xr+3 = 0, . . . , xn = 0,xr+1 = 0, xr+2 = 1, xr+3 = 0, . . . , xn = 0,xr+1 = 0, xr+2 = 0, xr+3 = 1, . . . , xn = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xr+1 = 0, xr+2 = 0, xr+3 = 0, . . . , xn = 1.

Для каждого набора значений найдем, например, методом Крамера единствен-ное решение каждой «неоднородной» системы (9.5). Полученные решения за-пишем в виде

X1 =

x11

. . .xr

110. . .0

, X2 =

x12

. . .xr

201. . .0

, . . . , Xn−r =

x1n−r. . .xr

n−r00. . .1

. (9.6)


Покажем, что эти решения линейно независимы. Из столбцов (9.6) составимматрицу

x11 x1

2 . . . x1n−r

. . . . . . . . . . . . . . . . .xr

1 xr2 . . . xr

n−r1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

.

Минор M порядка (n − r) этой матрицы, расположенный в (n − r) последнихстроках, равен единице. Это означает, что ранг этой матрицы равен (n− r), и,следовательно, (n−r) столбцов из (9.6) линейно независимы, что и требовалосьдоказать.

� Совокупность решений (9.6) называется нормальной фундаментальнойсистемой решений однородной системы (9.1).

Из нормальной системы (9.6), согласно теореме 9.2, можно составить другиелинейно независимые системы решений.

� Любая система из (n− r) линейно независимых решений (9.1) называетсяее фундаментальной системой.

Теорема 9.4. Если X1, X2, . . . , Xn−r — нормальная фундаментальная систе-ма однородной системы (9.1), то любое решение X этой системы представ-ляет собой линейную комбинацию фундаментальных решений, т.е.

X = C1X1 + C2X2 + . . .+ Cn−rXn−r. (9.7)

Доказательство. Пусть

X =

x1

. . .xr

xr+1

. . .xn

, X1 =

x11

. . .xr

11. . .0

, . . . , Xn−r =

x1n−r. . .xr

n−r0. . .1

.

Рассмотрим линейную комбинацию

X0 = X − xr+1X1 − xr+2X2 − . . .− xnXn−r (9.8)

или в развернутой записи

X0 =

x10

. . .xr

0

xr+10. . .xn

0

=

x1

. . .xr

xr+1

. . .xn

− xr+1

x11

. . .xr

11. . .0

− . . .− xn

x1n−r. . .xr

n−r0. . .1

=

x10

. . .xr

00. . .0

,

где

xj0 = xj −

n−r∑

l=1

xr+lxjl .

Из этого соотношения следует, что последние (n− r) элементов линейной ком-бинации X0 равны нулю. Но X0, будучи линейной комбинацией решений (9.1),


согласно теореме 9.2, сама будет решением этой системы и, в частности, будетудовлетворять системе (9.5). Если теперь принять во внимание, что свободныенеизвестные X0 как решения равны нулю, то из (9.5) очевидно, что и значения

базисных неизвестных xj0 будут равны нулю. Это означает, что X0 = 0 и, в свою

очередь, что разность (9.8) также будет равна нулю:

X − xr+1X1 − xr+2X2 − . . .− xnXn−r = 0.

Следовательно, любое решение X будет линейной комбинацией фундаменталь-ной системы, т.е.

X = xr+1X1 + xr+2X2 + . . .+ xnXn−r.

Переобозначив xr+1, xr+2, . . . , xn через C1, C2, . . . , Cn−r, приходим к (9.7), что итребовалось доказать.

Следствие 9.4.1. Если X1, X2, . . . , Xn — любая фундаменальная система ре-шений однородной системы (9.1), то ее общее решение X представляет собойлинейную комбинацию

X = C1X1 + C2X2 + . . .+ Cn−rXn−r (9.9)

с произвольными постоянными C1, C2, . . . , Cn−r.

Действительно, каждое Xi из заданной фундаментальной системы само явля-ется линейной комбинацией нормальной фундаментальной системы. Подставивэти комбинации в (9.7) и переобозначив произвольные постоянные Ci, придемк (9.9), что и требовалось доказать.

Пример 9.1. Найти фундаментальную систему и общее решение системы урав-нений

x1 + 2x2 + 5x3 = 0,

x1 − x2 + 3x3 = 0,

3x1 − 6x2 − x3 = 0,

x1 − x2 + x3 = 0.

Решение. Для однородных систем понятие расширенной матрицы A теряетсмысл, так как она не несет дополнительной информации. Поэтому элементар-ные преобразования удобнее проводить с матрицей A системы, а не с матрицейA. Выпишем матрицу системы и проделаем указанные элементарные преобра-зования:

A =

1 2 51 −1 33 −6 −11 −1 1

S2−S1∼

S3−3S1

S4−S1

1 2 50 −3 −20 −12 −160 −3 −4

∼

S3−4S2

S4−S2

1 2 50 −3 −20 0 −80 0 −2

∼

−S3/8−S4/2

∼

1 2 50 −3 −20 0 10 0 1

∼

S4−S3

1 2 50 −3 −20 0 10 0 0

.

Нетрудно заметить, что минор 3-го порядка∣∣∣∣∣1 2 50 −3 −20 0 1

∣∣∣∣∣ = −3 6= 0


отличен от нуля. Следовательно, rangA = 3. Поскольку ранг матрицы A равенчислу неизвестных, то система имеет только тривиальное решение

X =

(x1

x2

x3

)=

(000

).

Пример 9.2. Определить значение параметра λ, при котором система имеетнетривиальные решения, и найти эти решения

x1 + λx2 + 2x3 = 0,

4x1 − x2 + 7x3 = 0,

2x1 + x2 + 3x3 = 0.

Решение. У рассматриваемой системы число уравнений равно числу неизвест-ных, т.е. матрица системы

A =

(1 λ 24 −1 72 1 3

)(9.10)

является квадратной. Согласно следствию 9.1.1, система имеет нетривиальноерешение, если detA = 0. Вычислив определитель матрицы (9.10) и приравнявего к нулю: ∣∣∣∣∣

1 λ 24 −1 72 1 3

∣∣∣∣∣ = 2λ+ 2 = 0,

найдем λ = −1. Таким образом, исходная система имеет нетривиальное решениепри λ = −1. Подставив λ = −1 в (9.10) и проделав указанные элементарныепреобразования, получим

(1 −1 24 −1 72 1 3

)S2−S1∼S3+S1

(1 −1 23 0 53 0 5

)S1−S2/3∼S3−S1

(1 −1 1/33 0 50 0 0

).

Отсюда следует, что rangA = 2 < 3, следовательно, система имеет нетривиаль-ное решение. Выбрав в качестве базисных неизвестных x1 и x2, найдем

x2 =1

3x3, x1 = −5

3x3,

т.е. решение системы имеет вид

X =

(−5x3/3x3/3x3

)= x3

(−5/31/31

).

Считая x3 произвольной постоянной C, можем записать

X =

(x1

x2

x3

)= C

(−5/31/31

). (9.11)

Заметим, что здесь фундаментальная система состоит из одного решения

X1 =

(−5/31/31

),


т.е. общее решение можно записать как

X = CX1,

где C — произвольная постоянная.

Пример 9.3. Найти фундаментальную систему и общее решение системы урав-нений

x1 + x2 − 2x3 − x4 + x5 = 0,

3x1 − x2 + 4x3 + 4x4 + 3x5 = 0,

x1 + 5x2 − 9x3 − 8x4 + x5 = 0.

Решение. Здесь число уравнений меньше числа неизвестных, следовательно,система имеет нетривиальное решение. Выпишем матрицу системы и проделаемуказанные элементарные преобразования:

(1 1 −2 −1 13 −1 1 4 31 5 −9 −8 1

)∼

S2−3S1

S3−S1

(1 1 −2 −1 10 −4 7 7 00 −4 −7 −7 0

)S1+S2/4∼S3+S1

∼(

1 0 −1/4 3/4 10 −4 7 7 00 0 0 0 0

)∼

−S2/4

(1 0 −1/4 3/4 10 1 7/4 7/4 00 0 0 0 0

).

Отсюда следует, что rangA = 2 < 5. Выберем в качестве базисных неизвестныхx1 и x2, тогда

x1 = −1

4x3 − 3

4x4 − x5,

x2 =7

4x3 +

7

4x4,

и решение запишется в виде

X =

x1

x2

x3

x4

x5

=

−x3/4 − 3x4/4 − x5

7x3/4 + 7x4/4x3

x4

x5

.

Это решение можно представить через фундаментальную систему решений, ко-торую можно найти, положив x3 = 1, x4 = x5 = 0; x4 = 1, x3 = x5 = 0; x5 = 1,x3 = x4 = 0. В результате получим следующую нормальную фундаментальнуюсистему решений:

X1 =

−1/47/4100

, X2 =

−3/47/4010

, X3 =

−10001

. (9.12)

С учетом (9.12) общее решение системы можно записать в виде линейной ком-бинации

X = C1X1 + C2X2 + C3X3,

где C1, C2, C3 — произвольные постоянные.

10. Связь между решениями однородных и неоднородных систем 95

10. Связь между решениями однородных инеоднородных систем уравнений

Вернемся к неоднородной системе линейных уравнений

AX = B, (10.1)

где

A =

(a1

1 . . . a1n

. . . . . . . . . . . .am

1 . . . amn

), X =

(x1

. . .xn

), B =

(b1

. . .bm

). (10.2)

� Система линейных однородных уравнений

AX = 0 (10.3)

с матрицей A из системы (10.1) называется приведенной системой для системы(10.1).

Оказывается, между решениями систем (10.1) и (10.3) существует теснаясвязь.

Теорема 10.1. Сумма любого решения неоднородной системы (10.1) с любымрешением ее приведенной системы (10.3) также является решением неодно-родной системы (10.1).

Доказательство. Пусть X — решение системы (10.1), а X0 — решение системы(10.3). Обозначим через X их сумму

X = X +X0. (10.4)


AX = A(X +X0) = AX + AX0,

откуда с учетом (10.1) и (10.3) имеем

AX = B + 0 = B,


Теорема 10.2. Разность двух любых решений неоднородной системы (10.1)является решением ее приведенной системы (10.3).

Доказательство. Пусть X1 и X2 удовлетворяют уравнению (10.1), т.е.

AX1 = B,AX2 = B. (10.5)

Вычтя из первого уравнения (10.5) второе, найдем

A(X1 −X2) = 0,



Теорема 10.3 (о структуре общего решения неоднородной системы).Если X1, X2, . . . , Xn−r — любая фундаментальная система приведенной систе-

мы (10.3), а X — любое частное решение неоднородной системы (10.3), тосумма

X = X + C1X1 + C2X2 + . . .+ Cn−rXn−r (10.6)

при любых произвольных постоянных Cj, j = 1, n− r, является общим реше-нием неоднородной системы (10.1).

Доказательство теоремы следует непосредственно из теорем 10.1 и 10.2 с уче-том того, что линейная комбинация

C1X1 + C2X2 + . . .+ Cn−rXn−r

определяет общее решение приведенной системы (10.3).

Пример 10.1. Найти общее решение системы

x1 + x2 − 2x3 − x4 + x5 = 1,

3x1 − x2 + x3 + 4x4 + 3x5 = 4, (10.7)

x1 + 5x2 − 9x3 − 8x4 + x5 = 0,

пользуясь фундаментальным решением приведенной системы.

Решение. Выпишем приведенную систему неоднородной системы (10.7):

x1 + x2 − 2x3 − x4 + x5 = 0,

3x1 − x2 + x3 + 4x4 + 3x5 = 0,

x1 + 5x2 − 9x3 − 8x4 + x5 = 0.

Как следует из результатов примера 9.3, ее нормальная фундаментальная си-стема имеет вид (9.12):

X1 =

−1/47/4100

, X2 =

−3/47/4010

, X3 =

−10001

.

Частное решение (10.7) X найдем, положив, например, x3 = x4 = x5 = 0. Тогдаиз (10.7) следует

x1 + x2 = 1,

3x1 − x2 = 4,

x1 + 5x2 = 0.

Выпишем расширенную матрицу этой системы и проделаем указанные элемен-тарные преобразования:

(1 13 −11 5

∣∣∣∣∣140

)S2−3S1∼S3−S1

(1 10 −40 4

∣∣∣∣∣11−1

)S1+S2/4∼S3+S2

10. Связь между решениями однородных и неоднородных систем 97

∼(

1 00 −40 0

∣∣∣∣∣5/410

)−S2/4∼

(1 00 10 0

∣∣∣∣∣5/4−1/4

0

).

Отсюда следует, что x1 = 5/4, x2 = −1/4, и, стало быть, частное решение Xимеет вид

X =

5/4−1/4

000

. (10.8)

Теперь, согласно теореме 10.3, общее решение системы (10.7) запишется каклинейная комбинация

X = X + C1X1 + C2X2 + C3X3

или в развернутой форме

X =

x1

x2

x3

x4

x5

=

5/4−1/4

000

+ C1

1/47/4100

+ C2

−3/47/4010

+ C3

−10001

,

где C1, C2, C3 — произвольные постоянные. Отметим, что такой же результатполучен в примере 8.2, но методом Гаусса.

Как было показано выше, совместность неоднородной системы (10.1) уста-навливается теоремой Кронекера–Капелли. Эта теорема является наиболее рас-пространенным критерием совместности, но не единственным. Ниже мы сфор-мулируем еще один критерий совместности системы (10.1). Для этого нарядус приведенной однородной системой (10.3) нам потребуется еще одна система,называемая сопряженной однородной системой системы (10.1).

Транспонируем матрицу A системы (10.1) и рассмотрим систему n уравне-ний с m неизвестными yj, j = 1, m,

a11y

1 + a21y

2 + . . .+ am1 y

m = 0,a1

2y1 + a2

2y2 + . . .+ am

2 ym = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,a1

ny1 + a2

ny2 + . . .+ am

n ym = 0.

Эту систему можно записать в матричном виде:

A⊺Y = 0, (10.9)

где

Y =

y1

y2

. . .ym

.

� Система (10.9) называется сопряженной однородной системой неоднород-ной системы (9.1).


Теорема 10.4 (Фредгольма). Для того чтобы неоднородная система линей-ных уравнений (10.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каж-дое решение сопряженной однородной системы (10.9) удовлетворяло условию

B⊺Y = b1y1 + b2y2 + . . .+ bmym = 0, (10.10)

где B — столбец из свободных членов системы (10.1).

Доказательство. 1. Достаточность. Пусть условие (10.10) выполняется длявсех решений сопряженной системы (10.9). Тогда система

a11y

1 + . . .+ am1 y

m = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,a1

ny1 + . . .+ am

n ym = 0,

b1y1 + . . .+ bmym = 1

(10.11)

несовместна, поскольку ранг расширенной матрицы системы (10.11) будет боль-ше ранга матрицы этой системы, т.е.

rang

a11 . . . am

1. . . . . . . . . . . .a1

n . . . amn

b1 . . . bm

∣∣∣∣∣∣∣

0. . .01

> rang

a1

1 . . . am1

. . . . . . . . . . . .a1

n . . . amn

b1 . . . bm

. (10.12)

Так как при транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то из неравенства(10.12) следует еще одно:

rang

A−−−−0 . . . 0 1

> rang A,

где

A =

(a1

1 . . . a1n

. . . . . . . . . . . .am

1 . . . amn

∣∣∣∣∣b1

. . .bm

)

— расширенная матрица системы (10.1).Из последнего неравенства следует, что при упрощении расширенной мат-

рицы A элементарными преобразованиями строка (0 . . . 1) никоим образомне может появиться в упрощенной расширенной матрице, поскольку эта стро-

ка не является линейной комбинацией строк расширенной матрицы A. Такимобразом, система (10.1) совместна.

2. Необходимость. Пусть условие (10.10) не выполняется для всех решенийсопряженной системы (10.9), т.е.

B⊺Y = b1y1 + . . .+ bmym = λ 6= 0. (10.13)

Транспонируем уравнение (10.1):

(AX)⊺ = B⊺.

С учетом того, что (AX)⊺ = X⊺A⊺, последнее уравнение перепишется как

X⊺A⊺ = B⊺.

11. Матричные уравнения 99

Умножив это уравнение на столбец Y , получим

XA⊺Y = B⊺Y.

Отсюда с учетом (10.9) и (10.13) придем к противоречию

0 = λ,

которое и доказывает вторую часть теоремы.

Пример 10.2. С помощью теоремы Фредгольма исследовать на совместностьсистему

x1 + x2 − 2x3 − x4 + x5 = 1,

3x1 − x2 + x3 + 4x4 + 3x5 = 4,

x1 + 5x2 − 9x3 − 8x4 + x5 = 0.

Решение. Поскольку эта система была рассмотрена в примере 10.1, то ответизвестен: система совместна. Тем не менее, убедимся в этом, воспользовавшисьтеоремой Фредгольма. Для этого выпишем сопряженную однородную систему

y1 + 3y2 + y3 = 0,

y1 − y2 + 5y3 = 0,

−2y1 + y2 − 9y3 = 0,

−y1 + 4y2 − 8y3 = 0,

y1 + 3y2 + y3 = 0.

Над матрицей сопряженной однородной системы проделаем указанные элемен-тарные преобразования:

1 3 11 −1 5−2 1 −9−1 4 −81 3 1

S2−S1

S3+2S1∼S4+S1

S5−S1

1 3 10 −4 40 7 −70 7 −70 0 0

S1+3S2/4S3+7S2/4∼S4+7S2/4

1 0 40 −4 40 0 00 0 00 0 0

−S2/4∼

1 0 40 1 −10 0 00 0 00 0 0

.

Выбрав в качестве базисных неизвестные y1 и y2, получим y1 = −4y3, y2 = y3.Отсюда

Y =

(y1

y2

y3

)=

(−4y3

y3

y3

)= y3

(−411

).

Для проверки условия (10.10) выпишем столбец из свободных членов исследу-емой системы

B =

(140

)

и вычислим произведение

B⊺Y = (1 4 0) y3

(−411

)= y3 (1 4 0)

(−411

)= y3(−4 + 4 = 0).

Таким образом, условие (10.10) выполнено и исследуемая система, как и следо-вало ожидать, совместна.

Использование теоремы Фредгольма для практических приложений неэф-фективно, поскольку связано с решением сопряженной системы линейных ал-гебраических уравнений, что фактически эквивалентно решению исходной си-стемы. Тем не менее, она имеет существенное теоретическое значение, как этобудет видно из следующего раздела.


11. Матричные уравнения

Системы линейных уравнений можно решать с помощью обратной матрицы,если исходную систему записать в матричном виде

AX = B, (11.1)

где A — квадратная матрица порядка n:

A =

(a1

1 . . . a1n

. . . . . . . . . . .an

1 . . . ann

), (11.2)

а X и B — матрицы-столбцы, содержащие n строк:

X =

(x1

. . .xn

), B =

(b1

. . .bn

). (11.3)

Для невырожденной матрицы (detA 6= 0) решение системы записывается как

X = A−1B. (11.4)

Предположим теперь, что нам требуется решить сразу две системы вида(11.1) с одной матрицей A:

AX1 = B1, AX2 = B2. (11.5)

Понятно, что решение каждой из них можно найти по формуле (11.4). Можно,однако, две системы (11.5) записать одним матричным уравнением вида (11.1),если вместо (11.3) ввести двухстолбцовые матрицы

X = (X1X2) =

x1

1 x12

x21 x2

2. . . . . .xn

1 xn2

, B = (B1B2) =

b11 b12b21 b22. . . . . .bn1 bn2

. (11.6)

В этом случае оба решения (11.5) найдутся сразу из (11.4), где матрицы X и Bбудут определяться соотношениями (11.6).

Если вместо двух систем (11.5) рассмотреть общий случай: l систем с однойматрицей A

AX1 = B1, AX2 = B2, . . . , AXl = Bl, (11.7)

то эти системы также можно объединить матричным уравнением вида (11.1),в котором матрицы A и B будут содержать l столбцов, т.е.

X =

(x1

1 . . . x1l

. . . . . . . . .xn

1 . . . xnl

), B =

(b11 . . . b1l. . . . . . . . .bn1 . . . bnl ,

), (11.8)

и решение которого также будет определяться равенством (11.4), но с матрица-ми (11.8).

Заметим, что для матричного уравнения (11.1) с матрицами X и B вида(11.8) возможна и другая интерпретация, в которой неизвестная матрица Xрассматривается как единый объект.


По аналогии с матричным уравнением (11.1), которое называют правосто-ронним по виду произведения AX, можно рассмотреть левостороннее матрич-ное уравнение вида

XA = B. (11.9)

Уравнение (11.9), вообще говоря, операцией транспонирования легко сводитсяк правостороннему уравнению вида (11.1). Действительно, из (11.9) запишем

(XA)⊺ = B⊺.

С учетом(XA)⊺ = A⊺X⊺

получим матричное уравнение вида (11.1)

A⊺X⊺ = B⊺. (11.10)

Теперь, согласно (11.4), решение уравнения (11.10) определяется формулой

X⊺ = (A⊺)−1B⊺,

из которой в силу свойств обратной матрицы найдем

X⊺ = (A−1)⊺B⊺ = (BA−1)⊺

илиX = BA−1. (11.11)

Впрочем, это решение можно было получить сразу из (11.9) умножением егона A−1 справа:

XAA−1 = XI = X = BA−1.

Поэтому, хотя уравнение (11.9) и сводится к уравнению (11.1), будем рассмат-ривать его как самостоятельный тип уравнения с решением (11.11).

Наряду с правосторонними и левосторонними матричными уравнениямиможно рассматривать уравнения вида

AXC = B, (11.12)

где A,B,C — только квадратные матрицы порядка n. Решение этого уравнения,согласно (11.4) и (11.11), запишется как

X = A−1BC−1. (11.13)

Пример 11.1. Решить матричное уравнение

(2 −2 −31 3 00 4 1

)X =

(1 12 01 1

).

Решение. Решение этого уравнения задается формулой (11.4). Найдем матрицуA−1, вычислив предварительно

detA =

∣∣∣∣∣2 −2 −31 3 00 4 1

∣∣∣∣∣ = −4 6= 0.


Поскольку detA 6= 0, обратная матрица существует. Найдем

A⊺ =

(2 1 0−2 3 4−3 0 1

),

а затем

A =

(3 −10 9−1 2 −34 −8 8

),

откуда

A−1 = −1

4

(3 −10 9−1 2 −34 −8 8

),

и, следовательно,

X=A−1B=−1

4

(3 −10 9−1 2 −34 −8 8

)(1 12 01 1

)=−1

4

(−8 120 −4−4 12

)=

(2 −30 11 −3

). (11.14)

Напомним, что первый столбец решения можно рассматривать как решениесистемы (

2 −2 −31 3 00 4 1

)X1 =

(121

),

а второй – как решение системы(

2 −2 −31 3 00 4 1

)X2 =

(101

).

Формула (11.4) удобна тем, что позволяет наглядно отслеживать изменениерешения системы в зависимости от изменения неоднородности, т.е. правой частисистемы линейных уравнений.


X

(2 −2 −31 3 00 4 1

)= (1 2 1).

Решение. 1-й способ. Решение уравнения определяется формулой (11.11). По-скольку для матрицы (

2 −2 −31 3 00 4 1

)

обратная матрица найдена в предыдущем примере:

A−1 = −1

4

(3 −10 9−1 2 −34 −8 8

),

то

X = (1 2 1)A−1 = (1 2 1)(− 1

4

)( 3 −10 9−1 2 −34 −8 8

)=


= −1

4(5 − 14 11) =

(−5

4

14

4−11

4

).

2-й способ. Транспонируем исходное уравнение:

(XA)⊺ = A⊺X⊺ = B⊺ =

(121

),

тогда

X⊺ = (A⊺)−1B⊺ = (A−1)⊺B⊺ =

= −1

4

(3 −1 4

−10 2 −89 −3 8

)(121

)= −1

4

(5

−1411

)=

( −5/414/4−11/4

).

После транспонирования полученной матрицы приходим к результату, полу-ченному первым способом.


(1 42 8

)X =

(3 26 5

).

Решение. Матрица A уравнения имеет вид

(1 42 8

).

Поскольку

detA =

∣∣∣∣1 42 8

∣∣∣∣ = 0,

то обратная матрица не существует. Чтобы найти матрицу

X =

(x1

1 x21

x12 x2

2

)

выпишем две системы:

(1 42 8

)(x1

1

x12

)=

(36

)или

x11 + 4x1

2 = 3,2x1

1 + 8x12 = 6,

(1 42 8

)(x2

1

x22

)=

(25

)или

x21 + 4x2

2 = 2,2x2

1 + 8x22 = 5

и их расширенные матрицы

(1 42 8

∣∣∣∣36

),

(1 42 8

∣∣∣∣25

),

которые после упрощения примут вид

(1 40 0

∣∣∣∣30

),

(1 40 0

∣∣∣∣21

).


Отсюда следует, что первая система имеет множество решений

X1 =

(x1

1

x12

)=

(3 − 4x1

2

x12

)=

(30

)+ x1

2

(−41

),

а вторая система несовместна. Если в исходном матричном уравнении неизвест-ную матрицу X интерпретировать как единый объект, то матричное уравнениерешения не имеет, так как оно не определяет 2-й столбец матрицы X.

В заключение отметим, что к матричному уравнению вида (11.1) сводятсяи другие уравнения, например AX +B = C, (A+B)X = C и т.д.


(2 34 6

)X =

(1 22 4

), X =

(x1

1 x21

x12 x2

2

).

Решение. Так как

detA =

∣∣∣∣2 34 6

∣∣∣∣ = 0,

то A−1 не существует. Тогда

(2x1

1 + 3x12 2x2

1 + 3x22

4x11 + 6x1

2 4x21 + 6x2

2

)=

(1 22 4

).

Приравняв элементы матриц, стоящих в левой и правой частях последнего урав-нения, получим две системы

2x11 + 3x1

2 = 1,2x2

1 + 3x22 = 2,

4x11 + 6x1

2 = 2,4x2

1 + 6x22 = 4,

из которых находим множество решений матричного уравнения

x11 =

1 − 3C1

2, x2

1 =2 − 3C2

2, x1

2 = C1, x22 = C2

или

X =

((1 − 3C1)/2 (2 − 3C2)/2

C1 C2

),

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

ГЛАВА 3

Векторная алгебра

12. Скаляры и векторы

12.1. Основные понятия и определения

В школьном курсе геометрии мы познакомились с отображением плоскостина себя. Среди различных отображений были выделены отображения плоскостина себя, сохраняющие расстояния. Такими отображениями, которые называют-ся перемещениями, являются, как известно из школьного курса математики,поворот, осевая и центральная симметрии, параллельный перенос.

� Параллельным переносом называется отображение плоскости на себя, прикотором все точки перемещаются в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние.

В школьном курсе было доказано, что параллельный перенос является пе-ремещением.

� Отображение пространства на себя, при котором любые две точки имеютразличные образы, называется преобразованием пространства.

� Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (A,B) несов-падающих точек, называется преобразование пространства, при котором каж-дая точка A1 отображается на точку B1 так, что луч [A1B1) сонаправлен случом [AB) и расстояние |A1B1| равно расстоянию |AB|. Этот вектор обозна-

чается символом−→AB или ~a.

Направление, определяемое лучом [AB), называется направлением вектора−→AB, а расстояние |AB| — длиной вектора.

� Вектор, задающий тождественное преобразование, называется нулевым и

обозначается−→AA,

−−→BB или ~0.

Тождественным называется преобразование, отображающее каждую точкупространства на эту же самую точку.

� Два вектора−→AB и

−−→CD называются равными, или конгруэнтными, если

выполняются следующие три условия:1) прямые AB и CD параллельны или совпадают;

2) векторы−→AB и

−−→CD сонаправлены, т.е.

−→AB ⇈

−−→CD;

3) их длины равны, т.е. |−→AB| = |−−→CD|.� Векторы, длина которых равна единице, называются единичными векто-

рами, или ортами (от греческого слова «прямой»).� Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой

или расположены на одной прямой, и компланарными, если они они параллель-ны одной плоскости.

Рис. 2.

Приведенных выше понятий достаточно для работы с век-торами. Для полноты изложения сформулируем более строгийподход к определениям скалярных и векторных величин, абстра-гируясь от их конкретного содержания.

� Скаляром называется величина, каждое значение которойможет быть охарактеризовано одним число. Если это число является веществен-ным (комплексным), то скалярная величина называется вещественной (ком-плексной).

Если для отрезка AB одну точку, например A, считать началом, а другую— точку B — концом, то задание направления от A к B фиксирует ориента-цию отрезка, превращая его тем самым в направленный отрезок, называемый

106 Глава 3. Векторная алгебра

связанным вектором−→AB (стрелка

−→AB на рис. 2).

Пусть X — некоторое множество.� Множество всех упорядоченных пар (x, y) — элементов множества X — на-

зывается декартовым произведением множеств X, или декартовым квадратоммножества X, и обозначается:

X2 = X ×X = {(x, y)| x ∈ X; y ∈ X}.� Правило, по которому выделяется подмножество

Φ = {(x, y)|x, y ∈ X} (12.1)

декартова квадрата множества X (Φ ⊂ X×X), называется бинарным отноше-нием на множестве X.

� Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквива-лентности, если оно является:1. рефлексивным, т.е. x ∼ x для всех x ∈ X;2. симметричным, т.е. если x ∼ y, то y ∼ x;3. транзитивным, т.е. если x ∼ y и y ∼ z, то x ∼ z.

Пример 12.1. Показать, что отношение сонаправленности (⇈) двух связан-ных векторов в пространстве R3 является отношением эквивалентности, а от-ношение противоположнонаправленности (↑↓) таковым не является.

Решение. Пусть вектор ~a сонаправлен вектору ~b, а вектор ~b сонаправлен век-тору ~c. Тогда очевидно, что

~a ⇈ ~a, ~b ⇈ ~a, ~a ⇈ ~c.

Таким образом, отношение ⇈ является отношением эквивалентности.

Поскольку из соотношений ~a ↑↓ ~b и ~b ↑↓ ~c следует, что ~a ⇈ ~c, то отношение↑↓ нетранзитивно, а потому не является отношением эквивалентности.

� Подмножество элементов множества X, эквивалентных данному, называ-ется классом эквивалентности.

� Класс эквивалентности по признаку конгруэнтности на множестве всехсвязанных векторов называется свободным вектором.

♦ Если в этом определении вместо связанных векторов пространства вы-брать множество связанных векторов, начало и конец которых лежат на однойпрямой, то придем к понятию скользящих векторов. Скользящие векторы на-шли широкое применение в механике. Простейший пример скользящего вектора— сила. Действительно, перенос этого вектора вдоль прямой, на которой он ле-жит, не меняет ни момент силы, ни равнодействующую всех сил, действующихна тело, в то время как перенос силы на другую (даже параллельную) прямуюприведет к изменению момента сил, действующих на тело.

Все векторы, как уже отмечалось, подразделяются на свободные, связанныеи скользящие. Поскольку свободным вектором можно считать любой вектор изкласса эквивалентности и, следовательно, положение точки A не имеет значе-

ния, то обозначение−→AB зачастую заменяют обозначением ~a.

Рис. 3.

♦ Если из контекста ясно, о каком виде векторов (связан-ный, свободный, скользящий) идет речь, то для их обозначе-ния будем употреблять термин «вектор».

� Углом между двумя векторами ϕ = ∠(~a1,~a2) (или

ϕ = (~a1,~a2)) называется меньший (π > ϕ > 0) из двух угловмежду лучами, исходящими из одной точки и направленныходинаково с данными векторами (рис. 3). При ϕ = 0 и ϕ = πвекторы являются коллинеарными со- и противоположно на-

правленными, соответственно.

12. Скаляры и векторы 107

12.2. Линейные операции над векторами, их свойства

В векторном исчислении скаляры и векторы рассматриваются как своего ро-да алгебраические величины, над которыми производятся алгебраические опе-рации.

Определение операции сложения двух скаляров затруднений не вызывает,поскольку оно сводится к сумме двух действительных чисел, характеризующихэти величины.

Введенное выше понятие равенства векторов позволяет определить алгеб-раически основные операции над векторами.

Для определения суммы двух векторов воспользуемся из-

Рис. 4.

вестным из элементарной физики законом: действие двух сил

~a и ~b на точку O можно заменить действием одной силы — ихравнодействующей ~c, определяемой по правилу параллелограм-

ма (рис. 4). Такая замена двух векторных величин ~a и ~b их рав-нодействующей ~c, построенной по правилу параллелограмма, исоставляет содержание операции сложения произвольных геометрических век-

торов: за сумму двух векторов ~a и ~b, отложенных из одной точки O, принима-

ется вектор ~c, исходящий из той же точки и лежащий на диагонали−→OC = ~c

параллелограмма OACB, построенного на векторах ~a =−→OA, ~b =

−−→OB (рис. 4).

� Суммой двух векторов ~a и ~b, приведенных к общему началу, называет-ся вектор ~c, равный по модулю и направлению диагонали параллелограмма,

построенного на векторах ~a и ~b, и обозначается

~c = ~a+~b.

Начала свободных векторов всегда можно переместить в одну точку, одна-ко, как следует из рис. 5, нет надобности строить для них весь параллелограммOACB, достаточно построить треугольник OAC. Поэтому определенную вы-ше операцию сложения векторов, называемую еще правилом параллелограмма,можно заменить более удобным, называемым правилом треугольника.

� Суммой двух векторов ~a и ~b называется третий вектор ~c,

Рис. 5.

соединяющий начало первого слагаемого ~a с концом второго ~bпри условии, что начало второго слагаемого совмещено с концомпервого (рис. 5).

Для суммирования нескольких векторов правило треуголь-ника легко обобщается, что приводит к правилу многоугольника.

Рис. 6. ~S1 = ~a1 + ~a2; ~S2 = ~a1 + ~a2 + ~a3; ~S = ~a1 + ~a2 + ~a3 + ~a4

Рис. 7.

� Суммой n векторов ~a1,~a2, . . . ,~an называется вектор−→S , полу-

ченный следующим образом: от произвольной точки A отклады-

вается первый вектор ~a1, от конца A1 получившегося вектора−−→AA1

откладывается второй вектор ~a2 и т.д.; суммой−→S является вектор−−→

AAn, соединяющий начальную точку A с концом An последнеговектора ~an (рис. 6).

Очевидно, что сумма векторов, образующих замкнутый многоугольник, рав-

на нулю. На рис. 7 сумма ~a+~b+ ~c = 0.


Пример 12.2. На языке векторного исчисления сформулировать известное изэлементарной геометрии утверждение о том, что длина отрезка прямой, соеди-няющей две точки, не превосходит длины ломаной, соединяющей эти же точки.

Решение. Рассмотрим треугольник OAC на рис. 5, в котором точки O и Cсоединяют прямолинейный отрезок OC и ломаная OAC, состоящая из двухотрезков: OA и AC. Если длины указанных отрезков обозначить как lOC , lOA иlAC , то исходное утверждение можно записать в виде

lOC 6 lOA + lAC .

Приняв во внимание, что lOC = |~c| = |~a+~b|, lOA = |~a|, lAC = |~b|, имеем

|~a+~b| 6 |~a| + |~b|. (12.2)

На языке векторного исчисления это означает, что модуль суммы двух векторовне превосходит сумму модулей слагаемых.

Для суммы коллинеарных сонаправленных векторов из (12.2) получим ра-венство

|~a+~b| = |~a| + |~b|.Для суммы коллинеарных противоположно направленных векторов, соответ-ственно

|~a+~b| = ||~a| − |~b||.� Два коллинеарных противоположно направленных вектора ~a и ~b называ-

ются противоположными, если модуль их суммы равен нулю:

|~a+~b| = 0.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:1) свойство коммутативности:

~a+~b = ~b+ ~a; (12.3)

1) свойство ассоциативности:

(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) = ~a+~b+ ~c. (12.4)

Доказательство этих соотношений очевидным образом вытекает из равенствсторон соответствующих треугольников на рис. 8.

Рис. 8.

Применив в (12.4) свойство коммутативности к слагаемым в скобках и внеих, убеждаемся, что можно суммировать векторы в любом порядке. Попутномы получили правило раскрытия скобок при суммировании векторов.

Рассмотрим теперь операцию умножения скалярных и векторных величин.Естественно считать, что умножение вектора ~a на целое положительное числоn сводится к последовательному сложению вектора ~a с самим собой n раз. В


результате получается новый вектор (обозначим его n~a), имеющий то же на-правление, что и вектор ~a, и в n раз больший модуль:

n~a = ~a+ ~a+ . . .+ ~a︸︷︷︸n слагаемых

. (12.5)

Обобщение (12.5) приводит к следующему определению.

� Произведением вектора ~a на скаляр α называется вектор ~b, такой что

1) модуль вектора ~b равен произведению модулей вектора |~a| и скаляра |α|;2) направление вектора ~b совпадает с направлением вектора ~a, если скаляр

положителен, и противоположно направлению вектора ~a, если скаляр отрица-телен.

Произведение вектора ~a и скаляра α обозначается как ~b = ~aα или ~b = α~a.♦ Нетрудно заметить, что |~aα| = |α~a| = |α| |~a|. Произведение обращается в

нуль, если один из сомножителей равен нулю: α~0 = ~0, 0~a = ~0.Операция умножения вектора на скаляр обладает следующими свойствами:1) ассоциативности:

α(β~a) = (αβ)~a; (12.6)

2) дистрибутивности относительно суммы скаляров:

(α + β)~a = α~a+ β~a; (12.7)

3) дистрибутивности относительно суммы векторов:

α(~a+~b) = α~a+ α~b. (12.8)

Доказательство этих свойств достаточно очевидно.Действительно, справедливость (12.6) вытекает из того, что векторы α(β~a)

и (αβ)~a имеют равные модули:

|α(β~a)| = |α||β~a| = |α||β||~a|,|(αβ)~a| = |αβ||~a| = |α||β||~a|

и одинаковые направления: они сонаправлены с ~a, если αβ > 0, и направленыпротивоположно ~a в противном случае.

Справедливость соотношения (12.7) при α + β > 0 вытекает из того, чтовекторы (α+ β)~a и α~a+ β~a имеют равные модули:

|(α+ β)~a| = |α+ β||~a| = (α + β)|~a| = α|~a| + β|~a|,|α~a+ β~a| = α|~a| + β|~a|,

и сонаправлены с ~a. Аналогично доказывается справедливость соотношения(12.7) для α + β < 0.

Наконец, справедливость соотношения (12.8) вытекает из подобия треуголь-ников OAB и O′A′B′ (рис. 9).

Рис. 9.


Заметим, что умножение вектора ~a на α = 1 не меняет его: 1 · ~a = ~a, аумножение ~a на α = −1 дает вектор (−1)~a = −~a, который можно считатьвектором, противоположным (см. определение) вектору ~a, т.е.

~a+ (−~a) = 0. (12.9)

Соотношение (12.9) позволяет ввести операцию разности векторов.

� Разностью векторов ~a и ~b называется такой вектор ~d

~d = ~a−~b = ~a+ (−~b), (12.10)

который в сумме с вектором ~b дает вектор ~a, т.е. ~d = ~a−~b, если ~d+~b = ~a.Нетрудно заметить, что разность векторов является суперпозицией двух опе-

раций: сложение двух векторов и предварительное умножение второго векторана скаляр α = −1. Первый вектор естественно называть уменьшаемым, а вто-рой — вычитаемым.

Рисунок 10 раскрывает геометрический смысл раз-

Рис. 10.

ности ~a−~b. Вектор ~a−~b представляет собой вторуюдиагональ параллелограмма, построенного на векто-

рах ~a и ~b, направленную от конца вычитаемого век-

тора ~b к уменьшаемому ~a.С учетом этого из треугольника OBA (рис. 10)

имеем

~b+ (~a−~b) = ~a. (12.11)

Положив~a−~b = ~c, (12.12)

из (12.11) получим

~a = ~b+ ~c. (12.13)

Из сравнения (12.12) и (12.13) заключаем, что слагаемый вектор из одной частивекторного равенства можно переносить в другую с противоположным знаком.Это заключение замыкает перечень правил, позволяющих работать с формула-ми, содержащими введенные выше алгебраические операции.

Пример 12.3. Упростить выражение

4(~a+

1

20~b)−(3~a+

1

5~b).

Решение. Упрощаем:

4(~a+

1

20~b)− 3~a− 1

5~b = 4~a+

1

5~b− 3~a− 1

5~b = ~a.

Пример 12.4. Найти выражение, определяющее вектор ~a через его модуль |~a|и орт ~a0.

Решение. Если орт вектора ~a0 умножить на скаляр, которым является модуль|~a|, то мы получим сам вектор ~a, т.е. всякий вектор равен произведению своегоорта на свой модуль:

~a = |~a|~a0. (12.14)


♦ Очевидно, что сам орт можно найти по формуле

~a0 = α~a, α =1

|~a| . (12.15)

Операцию (12.15) зачастую называют нормировкой вектора ~a.Операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам

(12.3)–(12.8), для объектов любой природы принято называть линейными. Этоостается справедливым и для векторных величин, поэтому вектор

α~a+ β~b+ γ~c, (12.16)

получаемый в результате этих операций, называется их линейной комбинацией.Подводя итог вышесказанному, можно утверждать, что линейные операции

над геометрическим векторами обладают в совокупности следующими свой-ствами:1) коммутативность сложения: ~a+~b = ~b+ ~a;

2) ассоциативность сложения: (~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c);

3) существует нулевой вектор ~0 такой, что ~a+~0 = ~a для любого ~a;4) для каждого вектора ~a существует противоположный вектор −~a такой, что

~a+ (−~a) = 0;5) (α + β)~a = α~a+ β~a для любых чисел α и β и любого вектора ~a;6) α(β~a) = (αβ)~a для любых чисел α и β и любого вектора ~a;

7) α(~a+~b) = α~a+ α~b для любого числа α и любых векторов ~a,~b;8) 1 · ~a = ~a для любого вектора ~a.В линейной алгебре множество L, состоящее из элементов любой природы (на-зываемых векторами), в котором определены операции сложения элементов иумножения элементов на числа, удовлетворяющие условиям 1–8, называетсялинейным (векторным) пространством.

Согласно этому определению, множество геометрических векторов являетсялинейным (векторным) пространством (см., например, [?]).

Пример 12.5. Дан правильный шестиугольник ABCDEF , причем−→AB = ~a,−−→

BC = ~b. Выразить через ~a и ~b векторы−−→CD,

−−→DE,

−→EF ,

−→FA,

−→AC,

−−→AD и

−→AE.

Рис. 11.

Решение. Пусть точка O — центр правильного шести-

угольника (рис. 11). Согласно условиям задачи,−→AB = ~a и−−→

BC = ~b. Тогда в силу свойств правильного шестиуголь-ника, составленного из шести правильных треугольни-ков, имеем

−→AC =

−→AB +

−−→BC = ~a+~b,

−−→BO =

−→AO −−→

AB =−−→BC −−→

AB = ~b− ~a.

Отсюда −−→CD =

−−→BO = ~b− ~a.

Далее

−−→DE = −−→

AB = −~a;

112 Глава 3. Векторная алгебра−→EF = −−−→

BC = −~b;−→FA = −−−→

CD = −(~b− ~a) = ~a−~b;−−→AD =

−→AO +

−−→OD = 2

−−→BC = 2~b;

−→AE =

−→AO +

−−→OE =

−−→BC +

−−→BO = ~b+ (~b− ~a) = 2~b− ~a.

Пример 12.6. Дан треугольник ABC с медианами−−→AD,

−−→BE и

−→CF . Доказать

равенство−−→AD +

−−→BE +

−→CF = 0.

Рис. 12.

Решение. На сторонах AB, BC, CA треугольника и его

медианах AD, BE, CF (рис. 12) построим векторы−→AB,−−→

BC,−→CA и

−−→AD,

−−→BE,

−→CF , обозначив для удобства

−→AB = ~a,

−−→BC = ~b,

−→CA = ~c. (12.17)

Напомним, что, согласно правилу многоугольника, суммавекторов, образующих замкнутый многоугольник, равна

нулю. Тогда сумма векторов−→AB,

−−→BC,

−→CA, представляющих стороны треуголь-

ника, равна нулю, т.е.

−→AB +

−−→BC +

−→CA = ~a+~b+ ~c = 0. (12.18)

Аналогично для треугольников ADC, BEA и CFB имеем

−−→AD +

−−→DC +

−→CA = 0,

−−→BE +

−→EA+

−→AB = 0, (12.19)

−→CF +

−−→FB +

−−→BC = 0.

Приняв во внимание, что

−−→DC =

1

2

−−→BC,

−→EA =

1

2

−→CA,

−−→FB =

1

2

−→AB,

с учетом (12.17) равенство (12.19) можно записать в виде

−−→AD +

1

2~b+ ~c = 0,

−−→BE +

1

2~c+ ~a = 0,

−→CF +

1

2~a+~b = 0.

Отсюда находим выражения для векторов-медиан через векторы ~a, ~b, ~c:

−−→AD = −

(~c+

1

2~b),

−−→BE = −

(~a+

1

2~c), (12.20)

−→CF = −

(~b+

1

2~a).

Просуммировав уравнения (12.20), согласно (12.18) получим

−−→AD +

−−→BE +

−→CF = −3

2(~a+~b+ ~c) = 0. (12.21)


♦ Выражения (12.20) можно было заменить равносильными:

−−→AD =

1

2(~a− ~c),

−−→BE =

1

2(~b− ~a),

−→CF =

1

2(~c− ~a),

суммирование которых сразу дает требуемое равенство

−−→AD +

−−→BE +

−→CF =

1

2(~a− ~c+~b− ~a+ ~c−~b) = 0.

Пример 12.7. Дан треугольник ABC, в котором точка M — точка пересече-ния медиан, а O — произвольная точка пространства. Доказать равенство

−−→OM =

1

3(−→OA+

−−→OB +

−→OC). (12.22)

Решение. На сторонах треугольника и его медианах по-

Рис. 13.

строим векторы−→AB,

−−→BC,

−→CA и

−−→AD,

−−→BE,

−→CF (рис. 13). Из

произвольной точки O пространства в вершины треуголь-ника и точку M пересечения медиан проведем векторы−→OA,

−−→OB,

−→OC и

−−→OM . Поскольку точка пересечения медиан

отсекает от них отрезки AM , BM , CM , длины которыхсоставляют 2/3 длин медиан, это позволяет записать век-торные равенства

−−→AM =

2

3

−−→AD,

−−→BM =

2

3

−−→BE,

−−→CM =

2

3

−→CF. (12.23)

Из трех треугольников MOA, MOB, MOC для вектора−−→OM имеем три равен-

ства−−→OM =

−→OA+

−−→AM ;

−−→OM =

−−→OB +

−−→BM ;

−−→OM =

−→OC +

−−→CM,

которые с учетом (12.23) можно записать как

−−→OM =

−→OA+

2

3

−−→AD; (12.24)

−−→OM =

−−→OB +

2

3

−−→BE; (12.25)

−−→OM =

−→OC +

2

3

−→CF. (12.26)

Просуммировав равенства (12.23), получим еще одно равенство

3−−→OM =

−→OA+

−−→OB +

−→OC +

2

3(−−→AD +

−−→BE +

−→CF ). (12.27)

В предыдущей задаче было показано, что сумма векторов – медиан треуголь-ника равна нулю, т.е. −−→

AD +−−→BE +

−→CF = 0.

Тогда из (12.27) получим

3−−→OM =

−→OA+

−−→OB +

−→OC,

откуда и следует искомое равенство (12.22).


Пример 12.8. В пространстве заданы два произвольных треугольника ABCи A1B1C1. Точки M и M1 — точки пересечения их медиан. Доказать равенство

−−→MM 1 =

1

3(−→AA1 +

−−→BB1 +

−→CC1). (12.28)

Решение. Для заданных треугольников построим векторы−→AA1,

−−→BB1,

−→CC1,−−→

MM 1, соединяющие их вершины и точки пересечения их медиан (рис. 14).

Рис. 14.

Далее выберем в пространстве произвольную точку O и построим две чет-

верки вспомогательных векторов:−→AO,

−−→BO,

−→CO,

−−→MO и

−→OA1,

−−→OB1,

−→OC1,

−−→OM1.

Согласно результатам предыдущей задачи, для первой четверки векторов име-ем равенство

−−→MO =

1

3(−→AO +

−−→BO +

−→CO) (12.29)

и, соответственно, для второй четверки

−−→OM1 =

1

3(−→OA1 +

−−→OB1 +

−→OC1). (12.30)

Просуммировав (12.29) и (12.30), получим еще одно векторное равенство

−−→MO +

−−→OM1 =

1

3[(−→AO +

−→OA1) + (

−−→BO +

−−→OB1) + (

−→CO +

−→OC1)]. (12.31)

Приняв во внимание, что

−−→MO+

−−→OM1 =

−−→MM 1,

−→AO+

−→OA1 =

−→AA1,

−−→BO+

−−→OB1 =

−−→BB1,

−→CO+

−→OC1 =

−→CC1,

из (12.31) получим требуемое равенство (12.28):

−−→MM 1 =

1

3(−→AA1 +

−−→BB1 +

−→CC1).

Пример 12.9. Точки E и F — середины сторон AD и BC произвольного че-тырехугольника ABCD. Доказать, что

−→EF =

1

2(−→AB +

−−→DC).

Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции.


Решение. Для заданного четырехугольника построим векторы−→AB,

−−→DC и

−→EF

(рис. 15,a) и вспомогательные векторы−−→ED,

−→EA;

−→CF ,

−−→BF , которые, согласно

условию задачи, связаны равенствами

−−→ED = −−→

EA,−→CF = −−−→

BF. (12.32)

Теперь для вектора−→EF , согласно правилу многоугольника, можно записать два

равенства

−→EF =

−−→ED +

−−→DC +

−→CF,

−→EF =

−→EA +

−→AB +

−−→BF,

просуммировав которые, получим

2−→EF = (

−−→ED +

−→EA) + (

−→AB +

−−→DC) + (

−→CF +

−−→BF ).

Отсюда с учетом (12.32) получим

2−→EF =

−→AB +

−−→DC

и, соответственно,−→EF =

1

2(−→AB +

−−→DC), (12.33)


Рис. 15.

Перейдем теперь ко второй части задачи. Если четырехугольник ABCD

является трапецией, то векторы−→AB,

−−→DC и

−→EF коллинеарны (рис. 15,б). Для

коллинеарных векторов из векторного равенства (12.33) следует скалярное ра-венство для модулей

|−→EF | =1

2(|−→AB| + |−−→DC|),

эквивалентное теореме о средней линии трапеции.

12.3. Линейные зависимости между векторами

Выше выражением (12.16) мы ввели понятие линейной комбинации векто-ров. Оказывается, это понятие является основным для формулировки их ли-нейной зависимости, которая, в свою очередь, является важной алгебраическойхарактеристикой взаимного расположения векторов, входящих в линейную ком-бинацию.

� Система векторов ~a1,~a2, . . . ,~an называется линейно зависимой, если ихлинейная комбинация обращается в нуль:

α1~a1 + α2~a2 + . . .+ αn~an = 0, (12.34)


при условии, что не все скалярные коэффициенты равны нулю, т.е. α21+. . .+α

2n 6=

0 (другими словами, если хотя бы один из них отличен от нуля). В противномслучае система векторов называется линейно зависимой.

♦ Заметим, что если хотя бы один скаляр αi отличен от нуля, то пропор-циональный ему вектор можно выразить через другие векторы системы, чтои определяет его зависимость от них. Если же все скаляры αi равны нулю(αi = 0 для всех i = 1, n или α2

1 + α22 + . . .+ α2

n = 0), то равенство (12.34) будетпо-прежнему выполняться, но оно не позволит выразить какой-либо вектор си-стемы через другие, что и составляет смысл линейной независимости векторов,входящих в линейную комбинацию.

Из определения линейной зависимости векторов вытекает несколько неожи-данное, но легко объяснимое заключение: любая система векторов, содержащаянулевой вектор, является линейно зависимой. Действительно, для системы век-торов ~0,~a1, . . . ,~an всегда существует отличный от нуля скалярный коэффициентα0, при котором их линейная комбинация обращается в нуль:

α0~0 + α1~a1 + α2~a2 + . . .+ αn~an = 0. (12.35)

Перейдем теперь к геометрическим критериям линейной зависимости систе-мы векторов, используя введенную выше их геометрическую классификацию.Действительно, из всего множества пространственных векторов мы выделилимножество (точнее, подмножество) компланарных векторов. В свою очередь,из множества компланарных векторов было выделено множество коллинеар-ных векторов. С них мы и начнем.

Теорема 12.1. Для линейной зависимости двух векторов ~a1 и ~a2 необходимои достаточно, чтобы эти векторы были коллинеарными.

Доказательство. Пусть ~a1 и ~a2 — два коллинеарных вектора, один из кото-рых, например ~a1, отличен от нуля. Тогда второй вектор ~a2 получится из негоумножением на некоторый скаляр:

~a2 = α~a2, (12.36)

который равен

α =

|~a2||~a1|

, если ~a1 и ~a2 направлены одинаково;

−|~a2||~a1|

, если ~a1 и ~a2 направлены противоположно.

Следовательно, ~a1 и ~a2 связаны линейной зависимостью:

1 · ~a2 − α~a1 = 0. (12.37)

Соотношение (12.37) остается справедливым, если один из векторов будет ну-левым (например, ~a1 = 0).

Таким образом, два коллинеарных вектора всегда линейно зависимы.Докажем обратное утверждение. Пусть теперь два вектора ~a1 и ~a2 линейно

зависимосты:α1~a1 + α2~a2 = 0, (12.38)

причем хотя бы один из скалярных коэффициентов, например α2, не равеннулю. Тогда мы получим

~a2 = −α1

α2

~a1. (12.39)


Это означает, что вектор ~a2, являясь произведением вектора ~a1 на скаляр −α1/α2,коллинеарен вектору ~a1. Таким образом, два линейно зависимых вектора всегдаколлинеарны, т.е. теорема доказана.

Следствие 12.1.1. Система из двух компланарных, но не коллинеарных век-торов является линейно независимой.

Действительно, линейная комбинация α1~a1 + α2~a2 может обращаться в нультолько при условии α1 = α2 = 0, что и означает линейную независимость век-торов.

Теорема 12.2. Система трех векторов ~a1,~a2,~a3 линейно зависима тогда итолько тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство. Пусть ~a1, ~a2 и ~a3 — три компланарных

Рис. 16.

вектора, имеющих общее начало O, и векторы ~a1 и ~a2 некол-линеарны (рис. 16). Через точку A3 — конец третьего век-тора ~a3 — проведем прямую, параллельную вектору ~a2, допересечения в точке A1 с прямой, на которой лежит вектор~a1. Тогда

~a3 =−→OA1 +

−−→A1A3. (12.40)

Приняв во внимание, что векторы−→OA1 и

−−→A1A3 коллинеарны векторам ~a1 и ~a2

соответственно, т.е. −→OA1 = α1~a1,

−−→A1A3 = α2~a2,

из (12.40) получим соотношение линейной зависимости:

~a3 = α1~a1 + α2~a2 (12.41)

илиα1~a1 + α2~a2 + (−1)~a3 = 0. (12.41′)

Три коллинеарных вектора также являются линейно зависимыми, тогда, неуменьшая общности, можно считать, что

α1~a1 + 0 · ~a2 + (−1)~a3 = 0.

Таким образом, три компланарных вектора всегда линейно зависимы.Докажем обратное утверждение. Пусть теперь три вектора ~a1,~a2,~a3 линейно

зависимы:α1~a1 + α2~a2 + α3~a3 = 0, (12.42)

причем хотя бы один скаляр, например α3, отличен от нуля. Тогда мы можемзаписать соотношение

~a3 = −α1

α3

~a1 −α2

α3

~a2, (12.43)

из которого следует, что векторы ~a3, −(α1/α3)~a1 и −(α2/α3)~a2 образуют тристороны одного треугольника и, следовательно, лежат в одной плоскости.

Таким образом, три линейно зависимых вектора всегда компланарны.

Следствие 12.2.1. Система из трех пространственных, т.е. некомпланарных,векторов является линейно независимой.


Действительно, в этом случае линейная комбинация трех векторов α1~a1+α2~a2+α3~a3 может обращаться в нуль только при условии α1 = α2 = α3 = 0, что иозначает линейную независимость векторов.

Подводя итог, мы можем сказать, что установлена следующая закономер-ность.

Если задан один вектор ~a1, то любой вектор ~a, коллинеарный ему, можетбыть единственным образом представлен линейной комбинацией

~a = α1~a1. (12.44)

Если заданы два неколлинеарных вектора ~a1 и ~a2, то они всегда компланар-ны и любой вектор ~a, компланарный им, может быть единственным образомпредставлен линейной комбинацией

~a = α1~a1 + α2~a2. (12.45)

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема 12.3. Каждый геометрический вектор ~a единственным образом пред-ставляется линейной комбинацией трех некомпланарных векторов

~a = α1~a1 + α2~a2 + α3~a3. (12.46)

Доказательство. Пусть ~a1,~a2,~a3 — система трех некомпла-

Рис. 17.

нарных векторов и ~a — произвольный вектор. Поместим нача-ла всех четырех векторов в точку O (рис. 17). Через точку A— конец вектора ~a — проведем прямую, параллельную векто-ру ~a3, до пересечения в точке A0 с плоскостью векторов ~a1 и

~a2. Полученный в результате вектор−→OA0 как компланарный

векторам ~a1 и ~a2 можно представить линейной комбинацией

−→OA0 = α1~a1 + α2~a2. (12.47)

В свою очередь, вектор−−→A0A как вектор, компланарный ~a3, можно записать

−−→A0A = α3~a3. (12.48)

Теперь, приняв во внимание, что

~a =−→OA0 +

−−→A0A,

с учетом (12.47) и (12.48) найдем выражение, совпадающее с (12.46):

~a = α1~a1 + α2~a2 + α3~a3.

Покажем теперь, что коэффициенты α1, α2, α3 определяются однозначно.Предположим противное, т.е. справедливо соотношение

~a = β1~a1 + β2~a2 + β3~a3, (12.49)

где βi отличаются от αi. Тогда, вычтя (12.46) из (12.49), получим

0 = (α1 − β1)~a1 + (α2 − β2)~a2 + (α3 − β3)~a3. (12.50)


Так как векторы ~a1,~a2,~a3 не компланарны и, следовательно, линейно незави-симы, то все коэффициенты в (12.50) должны быть равны нулю, т.е. α1 = β1,α2 = β2, α3 = β3, откуда и следует совпадение (12.49) с (12.46) и, следовательно,единственность коэффициентов α1, α2, α3.

� Формулу (12.46):~a = α1~a1 + α2~a2 + α3~a3

зачастую называют разложением вектора ~a по системе трех некомпланарныхи, следовательно линейно независимых векторов ~a1,~a2,~a3.

♦ Переписав формулу (12.46) в виде

α1~a1 + α2~a2 + α3~a3 + (−1)~a = 0,

мы можем утверждать, что любые четыре вектора в пространстве линейно за-висимы. Ключевым в этом утверждении является слово «пространство». Подпространством здесь понимается трехмерное пространство, соответствующеенашим понятиям: длина ширина, высота.

Абстрагируясь от этого пространства и рассуждая формально, мы, вооб-ще говоря, можем рассмотреть четырехмерную четверку линейно независимыхвекторов ~a1,~a2,~a3,~a4, и тогда любой пятый вектор из этого пространства будетих линейной комбинацией:

~a = α1~a1 + α2~a2 + α3~a3 + α4~a4.

Дальнейшее обобщение этого процесса является предметом изучения уже невекторной алгебры, а линейной (см., например, [?]).

Пример 12.10. Доказать, что для любых заданных векторов ~a,~b и ~c векторы

~a+~b, ~b+ ~c и ~c− ~a компланарны.

Решение. 1-й способ. В данном конкретном случае легко увидеть, что из трой-

ки векторов ~a+~b, ~b+ ~c и ~c− ~a сумма первого и третьего дает второй:

(~a+~b) + (~c− ~a) = (~b+ ~c).

Это означает, что эта тройка векторов представляет треугольник ABC и, сле-довательно, векторы компланарны.

2-й способ. Если векторы ~a,~b и ~c компланарны, то векторы ~a + ~b, ~b + ~c и~c−~a, являясь их линейными комбинациями, также компланарны. Рассмотрим

теперь случай, когда ~a,~b,~c некомпланарны. Для тройки векторов ~a+~b, ~b+ ~c и~c− ~a составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

α(~a+~b) + β(~b+ ~c) + γ(~c− ~a) = 0. (12.51)

Если, согласно определению, существуют отличные от нуля коэффициенты α, β,γ, которые обращают линейную комбинацию в нуль, то соответствующая???тройка векторов является линейно зависимой и, следовательно, компланарной.

Чтобы найти α, β, γ, преобразуем (12.51) к виду

(α− γ)~a+ (α + β)~b+ (β + γ)~c = 0

и потребуем, в силу некомпланарности векторов ~a,~b,~c, выполнения условий

α− γ = 0,α + β = 0,β + γ = 0.

(12.52)


Поскольку определитель однородной системы (12.52) равен нулю:

det

(1 0 −11 1 00 1 1

)= 0,

то она имеет нетривиальные решения

α = −β, β, γ = −β

и, в частностиα = 1, β = −1, γ = 1. (12.53)

Это и означает, что тройка векторов ~a+~b, ~b+~c и ~c−~a компланарна. Подставивв качестве проверки (12.53) в (12.51), найдем

(~a+~b) − (~b+ ~c) + (~c− ~a) = ~a+~b−~b− ~c+ ~c− ~a = 0.

Пример 12.11. Даны три некомпланарных вектора ~a,~b и ~c. Вычислить значе-

ния λ, при которых векторы λ~a+~b+ ~c, ~a+ λ~b+ ~c и ~a+~b+ λ~c компланарны.

Решение. Для исследуемой тройки векторов составим линейную комбинациюи приравняем ее к нулю:

α(λ~a+~b+ ~c) + β(~a+ λ~b+ ~c) + γ(~a+~b+ λ~c) = 0. (12.54)

Если, согласно определению, существуют отличные от нуля коэффициенты α, β,γ, которые обращают (12.54) в нуль, то исследуемая тройка векторов являетсялинейно зависимой и, следовательно, компланарной.

Чтобы найти α, β, γ, преобразуем (12.54) к виду

(λα+ β + γ)~a+ (α + λβ + γ)~b+ (α + β + λγ)~c = 0.

В силу некомпланарности векторов ~a,~b,~c полученное равенство может выпол-няться только при условии

λα+ β + γ = 0,α+ λβ + γ = 0,α+ β + λγ = 0.

(12.55)

Чтобы существовали нетривиальные решения α, β, γ однородной системы (12.55)мы должны потребовать равенства нулю ее определителя:

det

(λ 1 11 λ 11 1 λ

)= 0. (12.56)

Раскрыв (12.56), получим уравнение для λ:

det

(λ 1 11 λ 11 1 λ

)= λ(λ2 − 1) − (λ− 1) + (1 − λ) = (λ− 1)[λ(λ+ 1) − 2] =

= (λ− 1)(λ− 1)(λ+ 2) = 0,

имеющее два решения: λ = 1 и λ = −2.


При λ = 1 исследуемая тройка имеет вид

~a+~b+ ~c, ~a+~b+ ~c, ~a+~b+ ~c,

т.е. вырождается в один вектор.При λ = −2 имеем векторы

−2~a+~b+ ~c, ~a− 2~b+ ~c, ~a+~b− 2~c,

сумма которых равна нулю:

(−2~a+~b+ ~c) + (~a− 2~b+ ~c) + (~a+~b− 2~c) = 0,

что и подтверждает их компланарность.

Пример 12.12. Даны три некомпланарных вектора ~a,~b и ~c. Вычислить значе-

ния λ и µ, при которых векторы λ~a+ µ~b+ ~c и ~a+ λ~b+ µ~c коллинеарны.

Решение. Для пары исследуемых векторов составим линейную комбинацию иприравняем ее к нулю:

α(λ~a+ µ~b+ ~c) + β(~a+ λ~b+ µ~c) = 0. (12.57)

Если, согласно определению, существуют отличные от нуля коэффициенты α иβ, обращающие (12.57) в нуль, то эта пара векторов является линейно зависимойи, следовательно, коллинеарной.

Чтобы найти α и β, преобразуем (12.57) к виду

(λα+ β)~a+ (µα + λβ)~b+ (α + µβ)~c = 0.

В силу некомпланарности векторов ~a,~b,~c полученное равенство может выпол-няться только при условиях

λα + β = 0,µα + λβ = 0,α + µβ = 0.

(12.58)

Для существования нетривиальных решений α и β однородной системы (12.58)ранг ее матрицы должен быть равен единице:

rang

(λ 1µ λ1 µ

)= 1.

Это возможно при λ = 1 и µ = 1.

12.4. Проекции вектора на ось

� Осью S называется прямая с заданным на ней вектором ~s. Направление,задаваемое вектором ~s, называется направлением оси S. Орт ~s 0 вектора ~s на-зывают также ортом оси.

� Проекцией (от латинского — бросать вперед, выбрасывать) точки M наось S называется точка M1 ∈ S, являющаяся основанием перпендикуляра, опу-щенного из точки M на ось S.


Рис. 18.

В некоторых приложениях удобнее использовать другую формулировку это-го определения.

� Проекцией точки M на ось S называется точка M1 пересечения оси S спроектирующей плоскостью, т.е. плоскостью, проходящей через заданную точкуM перпендикулярно оси S (рис. 18,a).

� Векторной проекцией вектора−→AB на ось S называется вектор

−−→A1B1, на-

чалом и концом которого являются точки A1 и B1 — проекции точек, соот-

ветственно, A и B на ось S (рис. 18,б). Вектор−−→A1B1 коллинеарен вектору ~s и

обозначается −−→A1B1 =

−→ABS = −→прS

−→AB = −→пр~s

−→AB. (12.59)

� Скалярной проекцией (или просто проекцией) вектора−→AB на ось S называ-

ется скаляр, абсолютная величина которого равна модулю векторной проекциитого же вектора на ту же ось. Проекция считается положительной, если на-правление векторной проекции совпадает с направлением оси, и отрицательнойв противном случае. Для скалярной проекции используется обозначение

прS

−→AB = |−→AB|S =

{|−−→A1B1|,

−−→A1B1 ↑↑ ~s;

−|−−→A1B1|,−−→A1B1 ↑↓ ~s

. (12.60)

Если ~s 0 — орт оси S, то векторную проекцию вектора−→AB можно записать через

скалярную: −−→A1B1 = −→прS

−→AB = ~s 0прS

−→AB = ~s 0|−→AB|S. (12.61)

Проекции вектора ~a на ось S обладают следующими свойствами.

Свойство 1. Проекция вектора ~a на ось S равна

прS~a = |~a| cosϕ, (12.62)

где ϕ угол между вектором ~a и осью S, т.е. ϕ = ~a~s.

Доказательство этого свойства очевидно из простейших геометрических по-строений на рис. рис. 18,б. Из формулы (12.62) вытекают необходимые в даль-нейшем следствия.

Следствие 1.1. Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Следствие 1.2. Проекции двух взаимно противоположных векторов на однуи ту же ось различаются только знаком:

прS(−~a) = −прS~a, (12.63)

поскольку cos(π − ϕ) = − cosϕ.


Следствие 1.3. Векторная проекция вектора ~a на ось S определяется соотно-шением −→прS~a = ~s 0|~a| cosϕ. (12.64)

Свойство 2 (линейности). Проекция линейной комбинации векторов равнатой же линейной комбинации их проекций:

прS(α1~a1 + . . .+ αn~an) = α1прS~a1 + . . .+ αnпрS~an. (12.65)

Доказательство этого свойства очевидным образом вытекает из свойства 1 иего следствий.

Формула (12.65) легко обобщается на линейную комбинацию векторных про-екций:

−→прS(α1~a1 + . . .+ αn~an) = α1−→прS~a1 + . . .+ αn

−→прS~an =

= ~s 0(α1прS~a1 + . . .+ αnпрS~an). (12.66)

12.5. Базис и координаты

Выше (см. теорему 12.3) мы определили формулу разложения любого про-странственного вектора ~a по трем некомпланарным, т.е. линейно независимым,векторам:

~a = x1~e1 + x2~e2, (12.67)

причем коэффициенты разложения x1, x2, x3 определяются однозначно. Соот-ношение (12.68) устанавливает взаимно однозначное соответствие между упо-рядоченной тройкой чисел x1, x2, x3 и вектором ~a при фиксированной тройкевекторов ~e1, ~e2, ~e3. Благодаря этому появляется возможность использовать ввекторном исчислении аналитические методы, оперирующие не с векторами,а с заменяющими их тройками чисел.

Обратимся к более детальному рассмотрению этого вопроса.� Базисом (от греческого — основание) в множестве геометрических векто-

ров называется упорядоченная тройка линейно независимых (некомпланарных)векторов B = (~e1, ~e2, ~e3).

� Числа x1, x2, x3 называются координатами вектора ~a в базисе B = (~e1, ~e2, ~e3),слагаемые x1~e1, x2~e2, x3~e3 — компонентами вектора ~a в этом базисе, а формула(12.67) — формулой разложения вектора ~a в заданном базисе B.

Аналогичные определения вводятся для компланарных и коллинеарных век-торов.

� Упорядоченная пара ~e1, ~e2 неколлинеарных векторов называется базисомB = (~e1, ~e2) в множестве геометрических векторов, компланарных некоторойплоскости.

Каждый такой вектор характеризуется двумя координатами x1 и x2, задаю-щими разложение

~a = x1~e1 + x2~e2. (12.68)

� И, наконец, всякий ненулевой вектор ~e образует базис B = (~e) в множе-стве всех геометрических векторов, коллинеарных некоторому направлению.Каждый вектор из этого множества характеризуется одной координатой x, за-дающей его представление в базисе B:

~a = x~e. (12.69)

� Число базисных векторов в базисе B принято называть его размерностью.� Базис B = (~e1, ~e2, ~e3) называется ортогональным (прямоугольным), ес-

ли базисные векторы ~e1, ~e2, ~e3 попарно перпендикулярны. Ортогональный базисназывается ортонормированным, или декартовым, если его базисные векторы


имеют единичную длину. В этом случае приняты следующиеобозначения:

~e1 =~ı, ~e2 = ~, ~e3 = ~k;

|~ı| = |~| = |~k| = 1, ~ı, ~ =π

2, ~ı, ~k =

π

2, ~, ~k =

π

2.

(12.70)

Тогда произвольный вектор ~a можно представить как

~a = x~ı + y~+ z~k.

Здесь x, y, z — декартовы координаты вектора ~a.

12.6. Аффинный репер и декартова система координат

Как известно, элементарная геометрия рассматривает плоские и простран-ственные фигуры как геометрическое место точек. Геометрическое место точекможет быть задано следующим образом.

Выделим в пространстве некоторою точку O и будем считать ее общим нача-лом базисных векторов B = (~e1, ~e2, ~e3). Такую совокупность принято называтьаффинным репером пространства. Теперь положение точки M в пространстве

можно определить связанным вектором−−→OM , начало которого всегда располо-

жено в точке O, а конец — в точке M . Такой вектор получил название радиус-вектора, которое подчеркивает тот факт, что он является связанным. Радиус-

вектор−−→OM , как и любой другой вектор пространства, может быть разложен

по базису B = (~e1, ~e2, ~e3), который входит в состав репера:

−−→OM = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3. (12.71)

Теперь координаты радиус-вектора x1, x2, x3 можно считать и координатамиточки M в заданном репере.

Таким образом, каждой точке пространства соответствует определенная трой-ка чисел — координат и, обратно, каждой тройке чисел — координат соответ-ствует определенная точка. В этом и заключается основной принцип аналити-ческой геометрии.

Подводя итог, можно сказать, что в пространстве задана аффинная системакоординат, если в нем задан аффинный репер {O,B = (~e1, ~e2, ~e3)}. Точка O приэтом называется началом аффинной системы координат.

♦ Термин «аффинный» (от греческого — родственный) означает, что в про-странстве присутствуют одновременно «родственные» объекты двух видов: век-торы и точки. Этот термин для краткости зачастую просто опускают.

Для удобства геометрических построений через начало системы координат— точку O — в направлении базисных векторов проводят три оси. Эти оси назы-ваются координатными осями x, y, z системы координат {O,B = (~e1, ~e2, ~e3)} =Oxyz. При необходимости через каждую пару координатных осей проводятплоскости, называемые координатными и обозначаемые xOy, xOz, yOz.

Если в системе координат ее базис является ортогональным, то ее называютортогональной (прямоугольной или декартовой). Если векторы ортогонально-го базиса являются единичными, то для них, как уже упоминалось, вводятся

специальные обозначения: ~e1 = ~ı, ~e2 = ~, ~e3 = ~k; |~ı| = |~| = |~k| = 1, а соответ-ствующие им координатные оси называются: ось Ox — осью абсцисс, ось Oy —осью ординат, ось Oz — осью аппликат.

♦ Можно заметить, что перевод этих названий с латинского образно пред-ставляет нумерацию координатных осей. Так, абсцисса означает «отрезанная»,


т.е. «обычно первая». Ордината — это, по сути, «координата», лишенная при-ставки «ко», что в результате означает «расположенная в порядке», т.е. вторая.И, наконец, аппликата — буквально «приложенная» (к двум первым) — третья.

Поместим теперь начало произвольного вектора ~a

Рис. 19.

в начало системы координат O с ортонормированным

базисом B = (~ı,~,~k) (рис. 19). Согласно (12.71), егоразложение в этом базисе будет иметь вид

~a = ax~ı+ ay~+ az~k, (12.72)

где ax, ay, az — соответствующие координаты.Выясним их геометрический смысл в системе ко-

ординат {O, (~ı,~,~k)}. Как следует из рис. 19, вектор ~aможно представить суммой следующих трех вектор-ных проекций:

~a = ~пр~ı~a+ ~пр~~a+ ~пр~k~a. (12.73)

Но каждая векторная проекция, согласно (12.66), равна произведению орта со-ответствующей оси на скалярную проекцию вектора ~a на эту ось. Поэтому

~пр~ı~a =~ı пр~ı ~a = OMx~ı;

~пр~~a = ~ пр~~a = OMy~; (12.74)

~пр~k ~a = ~k пр~k ~a = OMz~k

и соответственно~a =~ı пр~ı ~a+ ~ пр~~a+ ~k пр~k~a. (12.75)

Из сравнения (12.74) и (12.75) можно заключить, что координаты вектора ~a вдекартовой системе координат совпадают с его проекциями на базисные орты

~ı,~,~k:ax = пр~ı~a, ay = пр~~a, az = пр~k~a. (12.76)

Формула (12.76) позволяет найти модуль вектора:

|~a| =√a2

x + a2y + a2

x, (12.77)

а также значения углов, которые вектор ~a образует с координатными осями.Действительно, согласно (12.76) и (12.64), имеем

ax = |~a| cos(~a,~ı) = |~a| cosα,

ay = |~a| cos(~a,~) = |~a| cosβ, (12.78)

az = |~a| cos(~a,~k) = |~a| cos γ,

откуда

cosα =ax

|~a| =ax√

a2x + a2

y + a2z

,

cosβ =ay

|~a| =ay√

a2x + a2

y + a2z

, (12.79)

cos γ =az

|~a| =az√

a2x + a2

y + a2z

.


Косинусы, определяемые формулами (12.79), называются направляющими ко-синусами вектора ~a. Легко проверить, что они связаны равенством

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ =a2

x + a2y + a2

z

a2x + a2

y + a2z

= 1. (12.80)

Таким образом, зная координаты вектора, по формулам (12.77) и (12.79)всегда можно найти его модуль и направление. Для удобства зачастую вместополной записи (12.72) используется сокращенная запись в виде ~a(ax, ay, az) или~a = (ax, ay, az).

Имея координатное представление вектора и учитывая, что линейные опе-рации над векторами сводятся к соответствующим операциям над проекциямиэтих векторов, можем записать

α~a+ β~b = (αax + βbx)~ı+ (αay + βby)~+ (αaz + βbz)~k (12.81)

илиα~a+ β~b = (αax + βbx, αay + βby, αaz + βbz).

Формула (12.81) представляет собой координатную форму линейных операцийнад векторами.

Рассмотрим теперь другие объекты пространства — точки. Выберем про-извольную точку M . Согласно определению, ее положение в заданной системе

координат определяется координатами ее радиус-вектора−−→OM , который при-

нято обозначать еще как ~r, т.е.−−→OM = ~r. Если проекции радиус-вектора ~r в

декартовой системе координат Oxyz обозначить через x, y, z, то его разложениебудет иметь вид

~r = x~ı + y~+ z~k, (12.82)

и, следовательно, тройка координат x, y, z будет представлять собой координа-ты точки M . Это обозначают как M(x, y, x) или M(~r).

13. Простейшие задачи векторной алгебры

13.1. Длина вектора и расстояние между точками

Пример 13.1. Найти координаты вектора−−−−→M1M2, если известны координаты

точек M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2). Вычислить |−−−−→M1M2| и расстояние между точ-ками M1 и M2.

Решение. Обозначим через ~r1 и ~r2 радиус-векторы то-

Рис. 20.

чек M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), соответственно. Тогда

~r1 = x1~ı+ y1~+ z1~k, ~r2 = x2~ı+ y2~+ z2~k.

Из рис. 20 следует, что−−−−→M1M2 = ~r2 − ~r1,

откуда с учетом (12.81) запишем

−−−−→M1M2 = (x2 − x1)~ı+ (y2 − y1)~+ (z2 − z1)~k. (13.1)

Определив из (13.1)

|−−−−→M1M2| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2, (13.2)

получим формулу для вычисления расстояния между точками M1 и M2.

13. Простейшие задачи векторной алгебры 127

Пример 13.2. Векторы−→AB и

−−→CD заданы координатами своих концов: A(1,−3,−4),

B(−1, 0, 2), C(2,−4,−6), D(1, 1, 1). Найти−→AB +

−−→CD и

−→AB −−−→

CD.

Решение. Запишем векторы−→AB и

−−→CD через проекции, учитывая, что вектор

записывается через координаты точек, согласно (12.81):

−→AB = −2~ı+ 3~+ 6~k,

−−→CD = −~ı+ 5~+ 7~k.

Операции, осуществляемые над векторами, производятся и с их координа-тами, следовательно,

−→AB +

−−→CD = −3~ı+ 8~ı+ 13~k;

−→AB −−−→

CD = −~ı− 2~ı− ~k.

13.2. Направляющие косинусы

Направляющие косинусы вектора — это косинусы углов, которые он обра-зует с осями координат. Если вектор ~a задан своим разложением

~a = ax~ı+ ay~+ az~k,

то ax = прx~a = a cos(~a, ~x), т.е.

cosα = cos(~a, ~x) =ax

a;

cos β = cos(~a, ~y) =ay

a; (13.3)

cos γ = cos(~a, ~z) =az

a.

Здесь

a =√a2

x + a2y + a2

x.

Для направляющих косинусов справедливо соотношение

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.

Пример 13.3. Вектор ~a задан координатами своих концов A и B: A(2, 1,−4),B(1, 3, 2). Найти длину вектора ~a и его направляющие косинусы.

Решение. По формуле (13.1) найдем

~a =−→AB = (x2 − x1)~ı+ (y2 − y1)~+ (z2 − z1)~k = −~ı+ 2~+ 6~k.

Поскольку ax = −1, ay = 2, az = 6, то

|~a| =√a2

x + a2y + a2

z =√

41.

Найдем направляющие косинусы по формулам (12.79):

cosα =ax

|~a| = − 1√41, cosβ =

ay

|~a| =2√41, cos γ =

az

|~a| =6√41.


13.3. Деление отрезка в данном отношении

На прямой ℓ выберем две точки M1 и M2, задающие направленный отрезок,

т.е. вектор−−−−→M1M2. На этой же прямой выберем третью точку M и рассмотрим

два направленных отрезка:−−−→M1M и

−−−→MM2 (рис. 21). В силу коллинеарности этих

векторов найдется действительное число λ, такое что

−−−→M1M = λ

−−−→MM2. (13.4)

� Число λ называется отношением, в котором точ-

Рис. 21.

ка M делит направленный отрезок−−−−→M1M2. Оно положи-

тельно, если точка M находится внутри отрезка M1M2,и отрицательно, если точка M находится вне его.

♦ Очевидно, что отношение λ = 0 соответствует сов-падению точки M с точкой M1, при этом при λ → +0

точка M стремится к M1 изнутри отрезка M1M2, а при λ → −0 — извне его(рис. 22).

Рис. 22.

В свою очередь, отношение |λ| = ∞ соответствует совпадению точки M сточкой M2, при этом при λ → +∞ точка M стремится к M2 изнутри отрезкаM1M2, а при λ→ −∞ — извне его (рис. 23).

Рис. 23.

И, наконец, отношение λ = −1 (−−−→M1M и

−−−→MM2 равны и разнонаправлены)

соответствует бесконечно удаленной точке M , при этом в случае λ → −1 + 0точка M удаляется по прямой ℓ вне отрезка за точку M1, а при λ → −1 − 0 —за точку M2 (рис. 24).

Рис. 24.

Пример 13.4. На прямой ℓ, содержащей направленный отрезок−−−−→M1M2, ука-

зать значения отношения λ, соответствующее положению точки M (не совпа-дающей с M1 и M2).

Решение. С учетом рис. 22–24, получим (см. рис. 24):

Рис. 24

13. Простейшие задачи векторной алгебры 129

Из соотношения (13.4) следует, что, зная координаты точекM1 иM2, а также

отношение λ, в котором точка M делит направленный отрезок−−−−→M1M2, можно,

исходя из рис. 21, найти координаты точки M .

Действительно, пусть точке M соответствует радиус-вектор ~r =−−→OM =

(x, y, z), аналогично точке M1 радиус-вектор ~r1 =−−→OM1 = (x1, y1, z1) и точке

M2 радиус-вектор ~r2 =−−→OM2 = (x2, y2, z2). Тогда

−−−→M1M = ~r − ~r1,

−−−→MM2 = ~r2 − ~r

и, следовательно,~r − ~r1 = λ(~r2 − ~r),

откуда(1 + λ)~r = ~r1 + λ~r2

и, стало быть,

~r =~r1 + λ~r21 + λ

. (13.5)

Формула (13.5) дает решение задачи в векторной форме. Переход от векторнойформы к покоординатной определяет координаты точки M(x, y, z):

x =x1 + λx2

1 + λ, y =

y1 + λy2

1 + λ, z =

z1 + λz21 + λ

. (13.6)

♦ Из формулы (13.6) очевидным образом вытекает схема, изображенная нарис. 24.

Пример 13.5. Указать особенности взаимного расположения точекM1,M2,M3,соответствующих отношениям: а) λ = 1; б) λ = −1/2; в) λ = −2.

Решение. а) λ = 1. Из определения (13.5) (см. рис. 26) имеем−−−→M1M =

−−−→MM2.

Рис. 26.

Отсюда следует, что точка M делит отрезок M1M2 пополам. В координатнойформе (13.6) соответственно запишем

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y2

2, z =

z1 + z22

. (13.7)

б) λ = −1/2. Из определения (13.5) (см. рис. 27) имеем−−−→M1M = −1

2

−−−→MM2.

Отсюда следует, что точка M1 находится посередине между точками M и M2.

Рис. 27.

Координаты точки M определятся по формулам (13.6):

x =x1 − x2/2

1 − 1/2= 2x1 − x2, y = 2y1 − y2, z = 2z1 − z2.


Рис. 28.

в) λ = −2. Аналогично двум предыдущим случаям (см. рис. 28) имеем−−−→M1M = −2

−−−→MM2. Точка M2 находится посередине между точками M и M1.

Координаты точки M определятся по формулам (13.6):

x =x1 − 2x2

1 − 2= 2x2 − x1, y = 2y2 − y1, z = 2z2 − z1.

Таким образом, как следует из геометрических построений (и формул (13.5),(13.6)), во всех трех случаях точки M1,M2,M равноудалены друг от друга стой лишь разницей, что в первом случае в середине располагается точка M , вовтором — точка M1 и в третьем — точка M2.

Пример 13.6. Дан параллелограмм ABCD, в котором−→CA = ~a,

−−→CB = ~b. Точка

M1 делит диагональ−−→CD в отношении λ1 = −1/2, а точка M2 делит диагональ−→

AB в отношении λ2 = 3. Выразить векторы−−→AM 1,

−−→BM 1,

−−→CM2,

−−→DM 2,

−−−−→M1M2

через векторы ~a и ~b.

Рис. 29.

Решение. Диагонали−−→CD и

−→AB (рис. 29),

согласно определению суммы и разностивекторов, находятся как

−−→CD = ~a+~b,

−→AB = ~b− ~a.

Согласно условию задачи,

−−→CM 1 = −1

2

−−−→M1D,

−−→CM 1 +

−−−→M1D =

−−→CD,

откуда −−→CM 1 − 2

−−→CM1 =

−−→CD,

−−→CM 1 = −(~a+~b)

и, следовательно,−−→AM1 =

−−→CM 1 −

−→CA = −(~a+~b) − ~a = −2~a−~b;

−−→BM1 =

−−→CM 1 −

−−→CB = −(~a+~b) −~b = −~a− 2~b.

Далее, согласно условию задачи,−−→AM 2 = 3

−−−→M2B,

−−→AM2 +

−−−→M2B =

−→AB,

откуда

3−−−→M2B +

−−−→M2B =

−→AB,

−−−→M2B =

1

4(~b− ~a)


−−→CM 2 =

−−→CB −−−−→

M2B = ~b− 1

4(~b− ~a) =

1

4~a+

3

4~b;

−−→DM 2 = −−−→

BD −−−−→M2B = −~a− 1

4(~b− ~a) = −3

4~a− 1

4~b.

Наконец,

−−−−→M1M2 = −−−→

CM 1 +−−→CM 2 = ~a+~b+

1

4~a+

3

4~b =

5

4~a+

7

4~b.

14. Преобразование аффинных систем координат 131

Пример 13.7. Дан параллелограмм ABCD, в котором вершины A,B,C име-

ют координаты: A(3, 4), C(2, 1), B(6, 2). Точка M1 делит диагональ−−→CD в отно-

шении λ1 = −1/2, а точка M2 делит диагональ−→AB в отношении λ2 = 3. Найти

векторы−−→AM 1,

−−→BM1,

−−→CM2,

−−→DM 2,

−−−−→M1M2.

Решение. Условия задачи очень близки к условиям предыдущей задачи. Опре-делив векторы −→

CA = ~a =~ı+ 3~,−−→CB = ~b = 4~ı+ ~,

по формулам, полученным в предыдущей задаче, найдем искомые векторы.Можно, однако, поступить иначе. Найдем координаты четвертой вершины па-раллелограмма — точки D, которые совпадают с координатами радиус-вектора−−→OD: −−→

OD =−→OC +

−→CA+

−−→CB = (2~ı+ ~) + (~ı+ 3~) + (4~ı+ ~) = 7~ı+ 5~.

Таким образом, координаты точки D(7, 5). Теперь по формулам (13.6) деленияотрезка в данном соотношении, по координатам точек C(2, 1) и D(7, 5) найдемкоординаты точки M1(x1, y1):

x1 =2 − 1

2· 7

1/2= −3, y1 =

1 − 12· 5

1/2= −3,

т.е. M1(−3,−3).По координатам точек A(3, 4), B(6, 2) и формулам (13.6) найдем координаты

точки M2(x2, y2):

x2 =3 + 3 · 6

4=

21

4= 5,25, y2 =

4 + 3 · 24

=10

4= 2,5,

т.е.M2(21/4; 5/2). Теперь без дополнительных геометрических построений найдемискомые векторы:

−−→AM 1 = (−6,−7),

−−→BM 1 = (−9,−2),

−−→CM2 = (13/4; 3/2),

−−→DM2 = (−7/4;−5/2),

−−−−→M1M2 = (33/4; 11/2).

14. Преобразование аффинных систем координат

14.1. Переход от одного базиса к другому

Согласно определению, задание аффинной системы координат связано с вы-бором ее репера: (O,B = (~e1, ~e2, ~e3)). Изменяя положение точки O и переходя отодного базиса к другому, мы можем получить различные системы координат,выбрав из них ту, которая наиболее удобна для решения конкретной задачи.

Начнем с исследования зависимости между различными базисами простран-ства и между координатами векторов в различных базисах.

ПустьB = (~e1, ~e2, ~e3), B′ = (~e ′

1, ~e′2, ~e

′3) (14.1)

— два базиса векторного пространства.Представив каждый вектор базиса B′ в виде линейной комбинации векторов

базиса B, получим

~e ′1 = c11~e1 + c21~e2 + c31~e3;


~e ′2 = c12~e1 + c22~e2 + c32~e3; (14.2)

~e ′3 = c13~e1 + c23~e2 + c33~e3.

Поскольку ранее мы определили операцию умножения вектора на число: α~a =~aα, то это позволяет распространить определение произведения двух матриц наслучай, когда элементами одной из матриц являются векторы. Поэтому фор-мулы (14.2) можно записать в матричной форме:

(~e ′

1~e ′

2~e ′

3

)=

(c11 c21 c31c12 c22 c32c13 c23 c33

)(~e1~e2~e3

)=

(c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

)⊺(~e1~e2~e3

). (14.3)

Транспонирование соотношения (14.3) дает

(~e ′1 ~e ′

2 ~e ′3) = (~e1 ~e2 ~e3)

(c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

)(14.4)

илиB′ = BC. (14.5)

� Матрица

C =

(c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

)

называется матрицей перехода от старого базиса B = (~e1, ~e2, ~e3) к новому ба-зису B′ = (~e ′

1, ~e′2, ~e

′3).

Из формулы (14.5) вытекают следующие свойства преобразований базисов.

Свойство 1 (последовательные преобразования). Если C — матрица пе-рехода от базиса B к базису B′, а D — матрица перехода от базиса B′ к базисуB′′, то матрица CD является матрицей перехода от базиса B к базису B′′.

Действительно, последовательное применение формулы (14.5) дает

B′′ = B′D = (BC)D,

а свойство ассоциативности умножения матриц позволяет записать

B′′ = (BC)D = B(CD), (14.6)


Свойство 2. Если C — матрица перехода от базиса B к базису B′, то матрицейперехода от базиса B′ к базису B является обратная матрица C−1: B = B′C−1.

Действительно, полагая в (14.6) B′′ = B, найдем CD = I, откуда D = C−1,т.е. B = B′C−1.

Свойство 3. Соотношение (14.5) определяет переход от одного базиса к дру-гому тогда и только тогда, когда матрица C не вырождена.

В самом деле, невырожденность матрицы перехода C вытекает из свойства2, обусловливающего существование матрицы C−1. Пусть теперь B = (~e1, ~e2, ~e3)— базис и C — невырожденная матрица. Тогда векторы ~e ′

1, ~e′2, ~e

′3, получаемые

по формулам (14.5), линейно независимы, так как в противном случае были былинейно зависимыми столбцы невырожденной матрицы C, что невозможно всилу detC 6= 0.


Свойство 4. Диагональная матрица перехода

C =

(λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

)(14.7)

соответствует базису B′ = (~e ′1, ~e

′2, ~e

′3), каждый вектор которого получен из ба-

зиса B = (~e1, ~e2, ~e3) умножением на число λ1, λ2, λ3, соответственно.

Действительно, согласно (14.3) и (14.7), имеем

(~e ′1 ~e ′

2 ~e ′3) =

(λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

)(~e1 ~e2 ~e3) = (λ1~e1 λ2~e2 λ3~e3) . (14.8)

� При λ1 = λ2 = λ3 = 1 матрица перехода (14.7) является единичной иназывается матрицей тождественного преобразования.

� При λ1 = 1/|~e1|, λ2 = 1/|~e2|, λ3 = 1/|~e3| матрица перехода примет вид

C =

(1/|~e1| 0 0

0 1/|~e2| 00 0 1/|~e3|

)

и называется нормировочной, поскольку базисные векторы становятся единич-ными:

(~e ′1 ~e ′

2 ~e ′3) =

(1/|~e1| 0 0

0 1/|~e2| 00 0 1/|~e3|

)(~e1 ~e2 ~e3) = (~e1/|~e1| ~e2/|~e2| ~e3/|~e3|) .

(14.9)

14.2. Преобразование координат вектора при изменении базиса

Пусть B = (~e1, ~e2, ~e3) и B′ = (~e ′1, ~e

′2, ~e

′3) — два базиса, связанные матрицей

перехода C:B′ = BC, (14.10)

и пусть вектор ~r в базисе B имеет координаты (x1, x2, x3), а в базисе B′ — коор-динаты (x′1, x

′2, x

′3). В матричной форме это означает, что

~r = (~e1 ~e2 ~e3)

(x1

x2

x3

)= (~e ′

1 ~e ′2 ~e ′

3)

(x′1x′2x′3

). (14.11)

Равенство (14.11) с учетом (14.10) можно записать как

(~e1 ~e2 ~e3)

(x1

x2

x3

)= (~e1 ~e2 ~e3)C

(x′1x′2x′3

).

Перейдя от равенства векторов к равенству их координат, получим

(x1

x2

x3

)= C

(x′1x′2x′3

)(14.12)


или (x′1x′2x′3

)= C−1

(x1

x2

x3

). (14.13)

Поскольку матрица, обратная к диагональной матрице (14.7), имеет вид

C−1 =

(1/λ1 0 0

0 1/λ2 00 0 1/λ3

),

то, согласно (14.13), имеем

(x′1x′2x′3

)= C−1

(x1

x2

x3

)=

(x1/λ1

x2/λ2

x3/λ3

). (14.14)

Пример 14.1. Найти координаты вектора ~r в базисе B′:

~e ′1 = ~e1 + ~e2 + 2~e3;

~e ′2 = 2~e1 − ~e2; (14.15)

~e ′3 = −~e1 + ~e2 + ~e3,

если в базисе B = (~e1, ~e2, ~e3) он имеет координаты ~r = (6,−1, 3). Выписатьматрицу перехода от базиса B′ к базису B.

Решение. Запишем (14.15) в матричной форме:

(~e ′

1x′2~e ′

3

)=

(1 1 22 −1 0−1 1 1

)(~e1~e2~e3

),

откуда следует, что

C =

(1 2 −11 −1 12 0 1

). (14.16)

Теперь координаты вектора ~r = (x′1, x′2, x

′3) в базисе B′ найдутся, согласно (14.13),

как (x′1x′2x′3

)= C−1

(6−13

). (14.17)

Поскольку

detC =

∣∣∣∣∣1 2 −11 −1 12 0 1

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣1 2 −12 1 03 2 0

∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣2 13 2

∣∣∣∣ = −1,

а союзная матрица

C =

(−1 1 2−2 3 41 −2 −3

),

то

C−1 =1

detCC⊺ =

(1 2 −1−1 −3 2−2 −4 3

). (14.18)


Подставив (14.18) в (14.17), получим

(x′1x′2x′3

)=

(1 2 −1−1 −3 2−2 −4 3

)(6−13

)=

(131

).

Чтобы найти матрицу перехода от B′ к B, воспользуемся свойством 2: B =B′C−1, откуда

(~e1~e2~e3

)= (C−1)⊺

(~e ′

1~e ′

2~e ′

3

)=

(1 −1 −22 −3 −4−1 2 3

)(~e ′

1~e ′

2~e ′

3

)

и

~e1 = ~e ′1 − ~e ′

2 − 2~e ′3;

~e2 = 2~e ′1 − 3~e ′

2 − 4~e ′3;

~e3 = −~e ′1 + 2~e ′

2 + 3~e ′3.

14.3. Переход от одной аффинной системы координат к другой

Пусть в пространстве заданы две аффинные системы координат Oxyz иO′x′y′z′, определяемые реперами (O,B = (~e1, ~e2, ~e3)) и (O′,B′ = (~e ′

1, ~e′2, ~e

′3)) с

матрицей перехода C: B′ = BC. Пусть также (x0, y0, z0) — координаты новогоначала O′ в старом репере, а (x, y, z) и (x′, y′, z′) — координаты точкиM в старом

и новом реперах, соответственно. Тогда радиус-векторы−−→OM и

−−→O′M связаны

векторным равенством −−→OM =

−−→OO′ +

−−→O′M,

которое в матричной форме запишется как

(~e1 ~e2 ~e3)

(xyz

)= (~e1 ~e2 ~e3)

(x0

y0

z0

)+ (~e ′

1 ~e′2 ~e

′3)

(x′

y′

z′

),

а с помощью матрицы перехода еще и как

(~e1 ~e2 ~e3)

(xyz

)= (~e1 ~e2 ~e3)

(x0

y0

z0

)+ (~e1 ~e2 ~e3)C

(x′

y′

z′

).

Перейдя от равенства векторов к равенству их координат, получим

(xyz

)= C

(x′

y′

z′

)+

(x0

y0

z0

). (14.19)

� Матрица C, составленная из матрицы C перехода от старого базиса кновому и столбца (x0 y0 z0)

⊺:

C =

(c11 c12 c13 x0

c21 c22 c23 y0

c31 c32 c33 z0

), (14.20)

называется матрицей перехода от старой системы координат Oxyz к новойсистеме координат O′x′y′z′.


Пусть теперь

D =

(d11 d12 d13 x1

d21 d22 d23 y1

d31 d32 d33 z1

)

— матрица перехода от системы координат O′x′y′z′ к системе координатO′′x′′y′′z′′.Тогда при переходе от системы координат Oxyz к системе координат O′′x′′y′′z′′

координаты вектора ~r будут определяться соотношением

(xyz

)= C

(x′

y′

z′

)+

(x0

y0

z0

)= C

[(x1

y1

z1

)+D

(x′′

y′′

z′′

)]+

(x0

y0

z0

).

Раскрыв скобки, получим

(xyz

)=

(x0

y0

z0

)+ C

(x1

y1

z1

)+ CD

(x′′

y′′

z′′

). (14.21)

Преобразования координат, обратные (14.19) и (14.21), запишутся следующимобразом: (

x′

y′

z′

)= C−1

(x− x0

y − y0

z − z0

)(14.22)

и (x′′

y′′

z′′

)= D−1C−1

(x− x0

y − y0

z − z0

)−D−1

(x1

y1

z1

). (14.23)

Рассмотрим некоторые частные случаи матрицы C перехода от одной систе-мы координат к другой.

� Преобразование одной системы координат к другой, осуществляемое мат-рицей

C =

(1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

), (14.24)

называется тождественным.При тождественном преобразовании (14.24) координаты точек, согласно (14.19),

не изменяются: (xyz

)=

(x′

y′

z′

),

поскольку не изменяются их базисные векторы.� Преобразование, осуществляемое матрицей

C =

(1 0 0 x0

0 1 0 y0

0 0 1 z0

), (14.25)

называется параллельным переносом системы координат на вектор−−→OO′ =

(x0, y0, z0).При параллельном переносе (14.25) базисные векторы не изменяются:

(~e ′1 ~e

′2 ~e

′3) = (~e1 ~e2 ~e3)C = (~e1 ~e2 ~e3)I = (~e1 ~e2 ~e3), (14.26)


а координаты точек, согласно (14.19), связаны соотношениями

(xyz

)=

(x0

y0

z0

)+ I

(x′

y′

z′

)=

(x′ + x0

y′ + y0

z′ + z0

). (14.27)

� Преобразование пространства, при котором координаты вектора изме-няются по закону (14.27), называется параллельным переносом. Соотношение(14.27) устанавливает взаимно однозначное соответствие между параллельным

переносом и вектором−−→OO′ = (x0, y0, z0), позволяя рассматривать множество

пространственных векторов как множество соответствующих параллельных пе-реносов.

Параллельный перенос (14.27), изменяя координаты точек, не изменяет ко-ординаты свободных векторов.

Действительно, пусть точки M1 и M2 в системе координат Oxyz имеют ко-ординаты M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), а в системе координат O′x′y′z′, соответ-

ственно, M ′1(x

′1, y

′1, z

′1) и M ′

2(x′2, y

′2, z

′2). Тогда координаты вектора

−−−−→M1M2 в этих

системах запишутся, соответственно, как

−−−−→M1M2 = (x2 − x1)~e1 + (y2 − y1)~e2 + (z2 − z1)~e3,−−−−→M1M2 = (x′2 − x′1)~e1 + (y′2 − y′1)~e2 + (z′2 − z′1)~e3,

что с учетом (14.27) для−−−−→M1M2 в Oxyz приводит к выражению

−−−−→M1M2 = [(x′2 − x0) − (x′1 − x0)]~e1 + [(y′2 − y0) − (y′1 − y0)]~e2+

+ [(z′2 − z0) − (z′1 − z0)]~e3 = (x′2 − x′1)~e1 + (y′2 − y′1)~e2 + (z′2 − z′1)~e3,

откуда и следует равенство координат вектора−−−−→M1M2 в обеих системах коорди-

нат.Далее мы рассмотрим преобразования координатных систем, образованных

ортонормированными базисами. В этом случае важную роль играют ортого-нальные матрицы перехода от одного базиса к другому. Коротко напомнимопределения и свойства ортогональных матриц (см. [?]).

14.4. Ортогональные матрицы

� Квадратная матрица C называется ортогональной, если транспонированная кней матрица совпадает с обратной, т.е. C⊺ = C−1 или, что то же самое, CC⊺ = C⊺C =I.

Пусть C = ‖clk‖ — квадратная матрица n-го порядка, тогда из определения орто-гональной матрицы следует

n∑

k=1

clkcmk = δlm =

{1 l = m;

0, l 6= m;l,m = 1, n. (14.28)

Нетрудно убедиться, что произведение двух ортогональных матриц также являетсяортогональной матрицей. Действительно, пусть C1 и C2 — ортогональные матрицы,следовательно,

C1C⊺1 = C2C

⊺2 = I, (14.29)

но тогда для произведения справедливо

(C1C2)(C1C2)⊺ = C1C2C

⊺2C

⊺1 ,


а с учетом (14.29) —

(C1C2)(C1C2)⊺ = C1IC

⊺1 = C1C

⊺1 = I, (14.30)

что и доказывает ортогональность произведения матриц C1C2.Остановимся подробнее на матрицах 2-го порядка. Покажем, что ортогональные

матрицы 2-го порядка в зависимости от знака определителя имеют вид

C+ = C+(ϕ) =

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

), detC+ = 1 > 0, (14.31)

и

C− = C−(ϕ) =

(cosϕ sinϕsinϕ − cosϕ

), detC− = −1 < 0. (14.32)

Действительно, пусть

C =

(c11 c12c21 c22

)(14.33)

— ортогональная матрица 2-го порядка. Тогда для ее элементов должны выполнятьсясоотношения

c211 + c221 = 1,

c212 + c222 = 1, (14.34)

c11c12 + c21c22 = 0.

Из первого уравнения (14.34) следует, что существует такой угол ϕ, для которого

c11 = cosϕ, c21 = sinϕ. (14.35)

Подставив (14.35) в третье уравнение (14.34), получим

c12 cosϕ+ c22 sinϕ = 0,

откуда имеем возможность записать, что

c12 = −A sinϕ, c22 = A cosϕ. (14.36)

Теперь подставим (14.36) во второе уравнение (14.34):

A2 sin2 ϕ+A2 cosϕ = A2 = 1,

и, стало быть, A = ±1.Таким образом, для ортогональных матриц 2-го порядка имеем

CA =

(cosϕ −A sinϕsinϕ A cosϕ

), A = ±1. (14.37)

При A = +1 из (14.37) получаем матрицу C+, detC+ = 1 > 0; при A = −1 из (14.37)получаем матрицу C−, detC− = −1 < 0.

14.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости

Пусть (O,B = (~ı ~)) — ортонормированный репер, задающий на плоскости системукоординат Oxy (рис. 30). Рассмотрим новый репер (O,B′ = (~ı ′ ~ ′)), базис которогополучается преобразованием старого базиса с помощью ортогональной матрицы 2-гопорядка CA

B′ = (~ı ′ ~ ′) = BCA = (~ı ~)CA. (14.38)


I. Выбор в (14.38) CA = C+(ϕ) дает

(~ı ′ ~ ′) = (~ı ~)C+(ϕ) = (~ı ~)


)= (~ı cosϕ+ ~ sinϕ −~ı sinϕ+ ~ cosϕ).

Это позволяет записать векторы нового базиса через орты старого:

~ı ′ =~ı cosϕ+ ~ sinϕ,~ ′ = −~ı sinϕ+ ~ cosϕ.

(14.39)

Вычисление модулей векторов ~ı ′,~ ′ из (14.39):

|~ı′| =

√cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1;

|~′| =

√sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1

показывает, что векторы ~ı ′,~ ′ являются единичными.Из рис. 30,a, графически устанавливающего связь (14.39), посредством простых

геометрических построений находим, что векторы ~ı ′ и ~ ′ повернуты относительновекторов ~ı и ~ на один и тот же угол ϕ против часовой стрелки. Вследствие этоговекторы~ı ′ и ~ ′, как и векторы~ı и ~, являются ортогональными. Следовательно, новыйбазис B′ = (~ı ′ ~ ′) также является ортонормированным, причем репер (O,B′ = (~ı ′ ~ ′))получается из репера (O,B = (~ı ~)), по сути дела, простым поворотом на угол ϕ.

Другими словами, преобразование системы координат xOy с помощью ортого-нальной матрицы C+ приводит нас к новой прямоугольной системе координат x′Oy′,начало которой совпадает с точкой O, а оси повернуты вокруг точки O на угол ϕ.Координаты векторов в старой и новой системах координат связаны формулами

(xy

)= C+(ϕ)

(x′

y′

)

илиx = x′ cosϕ− y′ sinϕ,y = x′ sinϕ+ y′ cosϕ.

(14.40)

II. Выбор в (14.38) CA = C−(ϕ) дает

(~ı ′ ~ ′) = (~ı ~)C−(ϕ) = (~ı ~)

(cosϕ sinϕsinϕ − cosϕ

)= (~ı cosϕ+ ~ sinϕ ~ı sinϕ− ~ cosϕ).

Это позволяет записать векторы нового базиса через орты старого:

~ı ′ =~ı cosϕ+ ~ sinϕ,~ ′ =~ı sinϕ− ~ cosϕ.

(14.41)

Как и в предыдущем случае, вычисление модулей:

|~ı ′| =

√cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1;

Рис. 30.


|~ ′| =

√sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1

показывает, что векторы ~ı ′,~ ′ являются единичными.Из рис. 30,б, графически устанавливающего связь (14.41), посредством простых

геометрических построений находим, что базис B′ = (~ı ′ ~ ′), как и в предыдущем слу-чае, является ортонормированным. Отличие в данном случае состоит в том, что репер(O,B′ = (~ı ′ ~ ′)) получается из репера (O,B = (~ı ~)) поворотом на угол ϕ с последую-щим зеркальным отражением базисного вектора ~ ′ относительно базисного вектора~ı ′.

Таким образом, преобразование системы координат xOy с помощью ортогональ-ной матрицы C−(ϕ) приводит нас к новой прямоугольной системе координат x′Oy′,начало которой совпадает с точкой O, а оси которой повернуты относительно O? наугол ϕ с последующим зеркальным отражением оси Oy относительно оси Ox. Коор-динаты векторов относительно этих систем, согласно (14.12), связаны формулами

(xy

)= C−(ϕ)

(x′

y′

)

илиx = x′ cosϕ+ y′ sinϕ,y = x′ sinϕ− y′ cosϕ.

(14.42)

В обоих случаях вращением в положительном направлении является вращение наугол ϕ от оси Ox к оси Oy против часовой стрелки.

Рассуждая в обратном порядке, мы можем убедиться в справедливости следую-щего утверждения.

Если (O,B′ = (~ı ′ ~ ′)) и (O,B′ = (~ı ~)) — ортонормированные реперы двух прямо-угольных систем координат x′Oy′ и xOy, базисы которых связаны матрицей C, то этаматрица ортогональна. Будет эта матрица матрицей C+ или C−, зависит от выборанаправления (ориентации) координатных осей новой системы координат.

Поскольку параллельный перенос системы координат не меняет ее базиса, можноутверждать следующее.

Если равенство (xy

)= C

(x′

y′

)+

(x0

y0

)(14.43)

задает переход от прямоугольной системы координат xOy к прямоугольной системекоординат x′O′y′, то матрица C ортогональна. Наоборот, если система координат xOyпрямоугольна и матрица C ортогональна, то система координат x′O′y′ также прямо-угольна.

♦ Это утверждение справедливо и для трехмерного пространства:

(xyz

)= C

(x′

y′

z′

)+

(x0

y0

z0

). (14.44)

Его доказательство мы приведем позднее, сформулировав понятие скалярного произ-ведения векторов.

Пример 14.2. Выписать явный вид матриц CA, соответствующих повороту на уголϕ = 0, и с их помощью найти связь между C+(ϕ) и C−(ϕ).

Решение. Согласно (14.31) и (14.32), имеем

C+(0) =

(1 00 1

)= I, C−(0) =

(1 00 −1

), (14.45)



(~ı ′

~ ′

)

+

= C⊺+(0)

(~ı~

)=

(~ı~

),

(~ı ′

~ ′

)

−

= C⊺−(0)

(~ı~

)=

(~ı−~

).

(14.46)

Таким образом, две ортогональные матрицы частного вида (14.45) соответствуют тож-дественному преобразованию, осуществляемому матрицей C+(0), тогда как матрицаC−(0) осуществляет преобразование, изменяющее знак второго базисного вектора:~ ′ = −~. Такое преобразование называют еще зеркальным отображением или отоб-ражением симметрии относительно оси Ox. Именно этим преобразованием разли-чаются C+(ϕ) и C−(ϕ), поскольку

C−(ϕ) = C+(ϕ)C−(0), (14.47)

а следовательно, и базисы B+ и B−:

B+ = BC+(ϕ) = B, B− = BC−(ϕ) = BC+(ϕ)C−(0) = BC−(0). (14.48)

14.6. Ориентация прямой, плоскости и пространства

Базис пространства определяется как упорядоченная тройка линейно независи-мых векторов. Поэтому изменения базиса будут происходить не только при измене-нии самих векторов, но и при изменении их направлений и, более того, порядка ихследования, т.е. их нумерации.

Рис. 31.

Остановимся на этом вопросе более подроб-но, опираясь на введенные уже понятия и опре-деления. Так, например, введя понятие оси, мыуже определили ориентацию прямой, выбраводин из двух (рис. 31) классов одинаково на-правленных ненулевых векторов и объявив их

направление положительным. Как известно, каждый ненулевой вектор на прямой об-разует базис и переход от одного базисного вектора к другому осуществляется путемего умножения на отличное от нуля число. При этом одинаково направленные векто-ры связаны только положительными множителями. Такое понятие ориентации можнораспространить на пространства большего числа измерений.

Пусть в пространстве заданы две аффинные системы координат Oxyz и Ox′y′z′ содним началом, базисы которых B = (~e1 ~e2 ~e3) и B′ = (~e ′

1 ~e′2 ~e

′3) связаны матрицей

перехода C: B′ = BC.� Два базиса B и B′ называются одноименными, если их матрица перехода имеет

положительный определитель, т.е. detC > 0.Поскольку определитель матрицы C не может быть равен нулю, то он либо поло-

жителен (detC > 0), либо отрицателен (detC < 0). Рассмотрим следующие возмож-ности преобразования базиса. Пусть detC > 0, тогда базис B′

+ = BC является одно-именным с начальным B. Если же detC < 0, то B′

− = BC является разноименным сисходным.

Пусть теперь D — матрица перехода от B′ к B′′, т.е.

B′′ = B′D = B(CD),

тогда в зависимости от знака det(CD) = detC detD базис B′′ будет одноименнымлибо с B′

+ и, следовательно, с B, либо с базисом B′−. Это означает, что в пространстве

(как и на прямой) существует ровно два класса одноименных базисов.� Выбор одного из двух возможных классов базисов называется ориентацией про-

странства (плоскости, прямой). Все базисы выбранной ориентации называются по-ложительными.


♦ Выбор ориентации пространства означает задание направления поступательногодвижения по прямой, вращения на плоскости и поступательного движения винта приего вращении в пространстве.

� Правая ориентация пространства определяется таким базисом B = (~e1 ~e2 ~e3),в котором вектор ~e1 совмещается с вектором ~e2 по кратчайшему пути при вращениипротив часовой стрелки, если смотреть на плоскость векторов ~e1~e2 из конца вектора~e3. При вращении по часовой стрелке ориентация пространства называется левой.

Теорема 14.1. Два базиса B = (~e1 ~e2 ~e3) и B′ = (~e ′1 ~e

′2 ~e

′3), различающиеся третьим

вектором, одноименны тогда и только тогда, когда пр~e3~e ′

3 > 0.

Доказательство. Пусть вектор ~e ′3 в базисе B = (~e1 ~e2 ~e3) имеет координаты x′, y′, z′.

Тогда матрица

C =

(1 0 x′

0 1 y′

0 0 z′

)

является матрицей перехода от базиса B к базису B′ с определителем detC = z′.А поскольку z′ = пр~e3

~e ′3, то detC = z′ = пр~e3

~e ′3 > 0 тогда и только тогда, когда

пр~e3~e ′

3 > 0.

Следствие 14.1.1. Базисы, получающиеся друг из друга перестановкой пары век-торов, а также изменением одного из векторов на противоположный, разноименны.

Справедливость этого утверждения следует из того, что при перестановке пары строкили умножении строки на (−1) определитель матрицы меняет знак.

Пример 14.3. Пусть базис B = (~e1 ~e2 ~e3) определяет правую ориентацию простран-ства (~e1, ~e2, ~e3 — правая тройка векторов). Определить ориентацию пространства сбазисами B1 = (~e3 ~e1 ~e2), B2 = (−~e3 ~e1 ~e2), B3 = (−~e1 ~e2 ~e3), B4 = (−~e1 ~e3 ~e2).

Решение. Базис B1 получается из базиса B двойной перестановкой пары векторов:(~e1 ~e2 ~e3) → (~e1 ~e3 ~e2) → (~e3 ~e1 ~e2). Поскольку четное число перестановок не меняеториентации, то базис B1 является одноименным с базисом B, т.е. правым. Базис B2

получается из B1 изменением знака одного из базисных векторов, вследствие чегоон является разноименным с B1, т.е. левым. Базис B3 получается из B изменениемзнака одного из базисных векторов, вследствие чего является разноименным с ним,т.е. левым. Базис B4 получается из B изменением знака одного из базисных векторов иодной перестановкой: (~e1 ~e2 ~e3) → (−~e1 ~e2 ~e3) → (−~e1 ~e3 ~e2). Следовательно, базис B4

является одноименным с B, т.е. правым. Этот же результат мы получим из сравненияB4 с B3. Базис B4 отличается от левого B3 одной перестановкой пары векторов и,следовательно, является с ним разноименным, т.е. правым.

Одноименные базисы обладают еще одним замечательным свойством, важным дляприложений векторного исчисления. Для его формулировки нам потребуется понятиенепрерывной деформации.

� Будем говорить, что базис B = (~e1 ~e2 ~e3) переходит в базис B′ = (~e ′1 ~e

′2 ~e

′3)

посредством непрерывной деформации, если для каждого значения t, принадлежащегонекоторому отрезку [a, b], задан базис

B(t) = (~e1(t) ~e2(t) ~e3(t)) = BC(t) (14.49)

так, что все координаты — элементы матрицы C(t) = ‖clm‖ — являются непрерыв-ными функциями от t на отрезке [a, b], причем B = B(t)|t=a и B′ = B(t)|t=b. Другимисловами, базисы B и B′ представляют собой значения базиса B(t) на концах отрезка[a, b].

Последнее требование применительно к самой матрице C(t), согласно (14.49), име-ет вид

C(t)|t=a = I, B′ = BC(t)|t=a = B,C(t)|t=b = C(b), B′ = BC(b).

(14.50)

Из определения непрерывной деформации вытекают два очевидных ее свойства.


Свойство 1. Если базис B переходит в базис B′ посредством непрерывной деформа-ции a 6 t 6 b, то и базис B′ переходит в базис B посредством непрерывной деформа-ции.

Действительно, чтобы получить обратное преобразование, достаточно положить t′ =(a+ b) − t и ~e⊺i (t) = ~ei(t), i = 1, 2, 3.

Свойство 2. Если базис B переходит в базис B′ посредством непрерывной деформа-ции a 6 t 6 b, а базис B′ переходит в базис B′′ посредством последующей непрерывнойдеформации b 6 t 6 c, то и базис B переходит в базис B′′ посредством непрерывнойдеформации a 6 t 6 c.

Теорема 14.2. Базис B = (~e1 ~e2 ~e3) переходит в базис B′ = (~e ′1 ~e

′2 ~e

′3) посредством

непрерывной деформации тогда и только тогда, когда оба базиса одноименны.

Доказательство. I. Необходимость. Пусть C(t) — матрица перехода от B к B(t) =BC(t). Нужно доказать, что числа detC(a) и detC(b) имеют один знак. Но detC(t),будучи полиномом от своих элементов c11(t), c12(t), . . . , являющихся непрерывнымифункциями от t, есть непрерывная функция от t на всем отрезке [a, b]. Если бы еезначения на концах этого отрезка имели разные знаки, то существовало бы промежу-точное значение t0, a < t0 < b, для которого detC(t0) = 0. Но этого не может быть, таккак detC(t0) как определитель матрицы перехода от базиса B к базису B(t0) всегдаотличен от нуля.

II. Достаточность. Рассмотрим сначала переход одного базиса на плоскости вдругой. Два двумерных одноименных базиса B = (~e1 ~e2) и B′ = (~e ′

1 ~e′2) выбором точ-

ки O доопределим до двух одноименных реперов (O,B) и (O,B′). Далее доказатель-ство разобьем на три части. В первой части докажем, что репер (O,B) непрерывнойтрансформацией можно перевести в одноименный ортонормированный репер (O,~ı,~),у которого направление вектора ~ı совпадает с направлением вектора ~e1. Во второйчасти мы воспользуемся ортогональным преобразованием, позволяющим любой ор-тогональный репер повернуть на угол ϕтак, чтобы репер (O,~ı,~) перешел в репер(O,~ı ′,~ ′), у которого направление вектора ~ı ′ совпадает с направлением вектора ~e ′

1.В третьей части ортонормированный репер (O,~ı ′,~ ′) переводится в заданный репер(O,~e ′

1 ~e′2).

Рис. 32.

Докажем первую часть теоремы. Для этого из точки O в направлении вектора~e1 отложим единичный вектор ~ı, а затем ортогональный ему единичный вектор ~так, чтобы полученный репер (O,~ı,~) был одноименным с репером (O,B = (~e1 ~e2))(рис. 32,a). Через ε1(t) и ε2(t) обозначим точки, лежащие на направленных отрезках−−→ε1E1,

−−→ε2E2 и делящие их в отношении λ = t/(1 − t). Точки ε1(t) и ε2(t) при t = 0

(λ = 0) совпадают с точками ε1 и ε2, а при t = 1 (λ = ∞) — с точками E1 и E2,соответственно. Для векторов ~e1(t) = −→ε1ε1(t) и ~e2(t) = −→ε2ε2(t) это означает, что ~e1(0) =~e1, ~e2(0) = ~e2 и ~e1(1) =~ı, ~e2(1) = ~. Принимая во внимание, что ~e1(t) и ~e2(t) при любомt неколлинеарны, т.е. образуют базис B(t) = (~e1(t), ~e2(t)), непрерывно изменяющийсяпри изменении t от 0 до 1 и осуществляющий непрерывную деформацию от базисаB = B(0) = (~e1(t), ~e2(t)) к базису B(1) = (~ı,~). Первая часть теоремы доказана.

Во второй части, как было уже указано, воспользуемся свойством ортогональныхпреобразований. Действительно, ортонормированный репер (O,~ı,~) с помощью орто-нормированной матрицы C+ можно непрерывной деформацией, а именно поворотом


на угол ϕ, перевести в ортонормированный репер (O,~ı ′,~ ′), вектор ~ı ′ которого бу-дет направлен по вектору ~e′1 репера (O,B′ = (~e ′

1, εe′2)). Теперь осталась третья часть

доказательства: непрерывной деформацией ортонормированного репера (O,~ı ′,~ ′) пе-ревести его в заданный репер (O,B′ = (~e ′

1, εe′2)) с учетом того, что векторы ~ı ′ и ~e ′

1однонаправлены. Такая задача является обратной к задаче, рассмотренной в первойчасти, и ее доказательство обратно доказательству первой части.

Доказательство для пространственного случая проводится аналогичным образом.Следует лишь учитывать, что каждая часть доказательства будет использовать двапоследовательных преобразования. Покажем это на примере первой части.

Пусть (O,~e1, ~e2, ~e3) и (O,~e ′1, ~e

′2, ~e

′3) — два одноименных репера. В плоскости O~e1~e2

проведем те же построения, как и в плоском случае. В результате получим репер(O,~,~, ~e2). Повторив соответствующие преобразования в отношении вектора ~e3, придем

к ортонормированному реперу (O,~ı,~,~k). Далее действуем по изложенной выше схеме.В заключение отметим, что для, например, линейных и некоторых других опера-

ций над векторами ориентация пространства значения не имеет. Однако для преобра-зований систем координат и нелинейных преобразований??? это понятие имеет оченьважное значение. В связи с этим определение угла между векторами мы дополнимопределением угла от вектора до вектора.

Пусть на ориентированной плоскости выбран положительный ортонормированныйбазис B = (~e1, ~e2) и задана упорядоченная пара неколлинеарных векторов ~a1 и ~a2.

Рис. 33. ϕ = ∠(~a1 7→ ~a2) > 0 (a); ϕ = ∠(~a1 7→ ~a2) < 0 (б)

� Углом от вектора ~a1 до вектора ~a2 называется угол между векторами ~a1 и~a2, взятый со знаком «плюс», если пара векторов ~a1, ~a2 положительна, и со знаком«минус» в противном случае (рис. 33). Определенный таким образом угол будем обо-значать ∠(~a1 7→ ~a2).

Является ли упорядоченная пара ~a1 и ~a2 векторов положительной или отрицатель-ной, можно установить с помощью координат этих векторов. Пусть векторы ~a1 и ~a2

в ортонормированном базисе имеют координаты ~a1 = (x1, y1) и ~a2 = (x2, y2) (рис. 34)Паре векторов ~a1 и ~a2 поставим в соответствие матрицу

S =

(x1 y1

x2 y2

), (14.51)

определитель которой имеет простой геометрический смысл.Действительно, координаты векторов можно записать в виде

x1 = |~a1| cosϕ1, y1 = |~a1| sinϕ1; x2 = |~a2| cosϕ2, y2 = |~a2| sinϕ2. (14.52)

Тогда

detS =

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣ = |~a1||~a2|(cosϕ1 sinϕ2 − sinϕ1 cosϕ2) =

Рис. 34.


= |~a1||~a2| sin(ϕ2 − ϕ1) =

{Sпар > 0, ϕ = ϕ2 − ϕ1 > 0;

−Sпар < 0, ϕ = ϕ2 − ϕ1 < 0,(14.53)

где Sпар — площадь параллелограмма, построенного на векторах ~a1 и ~a2 (рис. 34).Таким образом, detS равен площади параллелограмма для положительной пары

векторов ~a1, ~a2 и площади параллелограмма со знаком минус в противном случае. От-сюда следует, что знак detS является индикатором ориентации упорядоченной парывекторов ~a1, ~a2.

� Величина???

detS =

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣

упорядоченной пары векторов ~a1, ~a2 называется их ориентированной площадью.С помощью ориентированной площади параллелограмма, построенного на векто-

рах ~a1 и ~a2, исходя из (14.53), можно не только выяснить их ориентацию, но и найтиугол от вектора ~a1 до вектора ~a2:

sin[∠(~a1 7→ ~a2)] =detS

|~a1||~a2|=

x1y2 − x2y1√(x2

1 + y21)(x

22 + y2

2). (14.54)

Пример 14.4. Для векторов ~a1 = (√

3, 1), ~a2 = (2, 2√

3), заданных в декартовойсистеме координат, найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторахи угол от вектора ~a1 до вектора ~a2.

Решение. Для заданных векторов матрица S имеет вид

S =

(√3 1

2 2√

3

).

Тогда

detS =

∣∣∣∣√

3 12 2

√3

∣∣∣∣ = 4 > 0.

Это означает, что Sпар = 4, а их ориентация положительна, причем

sin[∠(~a1 7→ ~a2)] =detS

|~a1||~a2|=

4

2 · 4 =1

2,

т.е. ∠(~a1 7→ ~a2) = 30◦.

Пример 14.5. Доказать, что при общем преобразовании (с переносом и поворотомосей) прежние оси могут быть совмещены с новыми путем поворота всей плоскостивокруг некоторой точки.

Решение. Пусть равенство

(xy

)= C+(ϕ)

(x′

y′

)+

(x0

y0

)(14.55)

задает переход от прямоугольной системы координат xOy к прямоугольной системе

координат x′O′y′, осуществляемый параллельным переносом на вектор−−→OO′ = (x0, y0)

и поворотом базиса B = (~ı,~) на угол ϕ с помощью ортогональной матрицы C+(ϕ).Предположим, что точка M(x, y) в обеих системах имеет одни и те же координаты,

т.е. x′ = x, y′ = y. В силу этого (14.55) примет вид

(xy

)= C+(ϕ)

(xy

)+

(x0

y0

),


откуда

[I − C+(ϕ)]

(xy

)=

(x0

y0

)

и, следовательно, (xy

)= [I − C+(ϕ)]−1

(x0

y0

). (14.56)

Формула (14.56) задает координаты точки M , которые не изменяются при преоб-разовании (14.55). Следовательно, два последовательных преобразования, а именно:

параллельный перенос на вектор−−→OO′ = (x0, y0) и последующий поворот исходного

базиса на угол ϕ, осуществляемый ортогональной матрицей C+(ϕ), можно заменитьодним преобразованием: поворотом всей плоскости на угол ϕ относительно точки M .В отсутствие параллельного переноса, т.е. когда x0 = y0 = 0, точка M совпадает сточкой O(0, 0) — началом координат xOy.

♦ ???Если от действительных чисел перейти к комплексным, то самое поверхност-ное знакомство с ними позволяет провести следующую аналогию. Поскольку ком-плексное число z = x + iy изображается точкой (вектором) на плоскости xOy, толинейное отображение

w = az + b (14.57)

соответствует параллельному переносу начала координат (точки O) на вектор, соот-ветствующий комплексному числу b = x0 + iy0, с последующим поворотом координат-ных осей на угол ϕ и затем преобразованием подобия с коэффициентом |a|, которыйзадается комплексным коэффициентом a = |a|eiϕ. При |a| = 1 осуществляются толькопараллельный перенос и поворот аналогично преобразованию (14.55) (см., например,[?]???).

Из формулы (14.57) очень легко найти координаты неподвижной точки. Действи-тельно, положив в (14.57) w = z, получим формулу

z =b

1 − a, |a| = 1, (14.58)

эквивалентную формуле (14.56).

Пример 14.6. Начало новой системы координат находится в точке (1,−2). Новаяось ординат составляет с прежней осью абсцисс острый угол, тангенс которого равен3/4. Найти точку, прежние координаты которой равны новым.

Рис. 35.

Решение. Согласно результатам предыдущей зада-чи, координаты этой точки определяются формулой(14.56), где x0 = 1, y0 = −2. Чтобы найти уголповорота координатных осей, учтем, что угол меж-ду старой осью абсцисс и новой осью ординат равенψ = arctg 3/4. Это означает, что угол от старой осиординат к новой равен ϕ = − arctg 4/3 (рис. 35). Понайденному углу вычислим

sinϕ = − sin arctg4

3= − 4√

32 + 42= −4

5,

cosϕ = cos arctg4

3=

3

5.

Подставив эти значения в матрицу

C+(ϕ) =


),


получим

C+ =

(3/5 4/5−4/5 3/5

),

откуда

I − C+ =

(1 00 1

)−(

3/5 4/5−4/5 3/5

)=

(2/5 −4/54/5 2/5

).

Вычислив обратную матрицу:

(I − C+)−1 =

(1/2 1−1 1/2

)

и подставив ее в (14.56):

(xy

)=

(1/2 1−1 1/2

)(1−2

)=

(−3/2−12

),

найдем координаты точки M(x, y): x = −3/2, y = −2 (рис. 35).♦ Этот же результат можно очень просто получить из формулы (14.58). Действи-

тельно, положив b = 1 − 2i и a = eiϕ = 35 − 4

5 i, найдем

z = x+ iy =1 − 2i

1 −(

35 − 4

5 i) =

1 − 2i25 + 4

5 i=

5

2

1 − 2i

1 + 2i=

1

2(1 − 2i)2 = −3

2− 2i,

т.е. x = −3/2, y = −2.

Пример 14.7. Записать матрицу перехода от репера (O,~e1, ~e2) к реперу (O,~ı,~), если~e1 =~ı/2, ~e2 = −~ı+ 3~.

Решение. Поскольку, согласно условию задачи,

(~e1~e2

)= C

(~ı~

)=

(1/2 0−1 3

)(~ı~

),

то (~ı~

)= C−1

(~e1~e2

). (14.59)

Так как detC = 3/2 и

C−1 =2

3

(3 01 1/2

)=

(2 0

2/3 1/3

),

то из (14.59) найдем (~ı~

)=

(2 0

2/3 1/3

)(~e1~e2

)

или~ı = 2~e1,

~ =2

3~e1 +

1

3~e2.

(14.60)

Пример 14.8. Для двух реперов из предыдущей задачи записать матрицу их непре-рывной деформации.


Рис. 36.

Решение. Поступим, как при доказательстве теоремы 14.1. Раз-делим направленный отрезок между концами векторов ~e1 и ~ı(рис. 36) концом вектора ~e1(t) в отношении λ = t/(1 − t), т.е.

~e1(t) − ~e1 = λ[~ı− ~e1(t)],

откуда

~e1(t) =~e1 + λ~ı

1 + λ=

1/2 + λ

1 + λ~ı =

1/2 + t/(1 − t)

1 + t/(1 − t)~ı =

1

2(1 + t)~ı.

(14.61)Аналогично направленный отрезок между концами векторов ~e2и ~ концом вектора ~e2(t) разделим в том же отношении λ =t/(1 − t), т.е.

~e2(t) − ~e2 = λ[~− ~e2(t)],

откуда

~e2(t) =~e2 + λ~

1 + λ=

−~ı+ 3~+ [t/(1 − t)]~

1 + t/(1 − t)= −(1 − t)~ı+ (3 − 2t)~. (14.62)

Приняв во внимание (14.61), (14.62), получим(~e1(t)~e2(t)

)= C(t)

(~ı~

)=

((1 + t)/2 0−(1 − t) 3 − 2t

)(~ı~

). (14.63)

Поскольку

detC(t) =1

2(1 + t)(3 − 2t) > 0 ∀ t ∈]0, 1[,

то матрица

C(t) =

((1 + t)/2 0−(1 − t) 3 − 2t

)(14.64)

является матрицей непрерывной деформации, причем

C(0) =

(1/2 0−1 3

),

C(1) =

(1 00 1

).

Это означает, что базис(~e1(0)~e2(0)

)= C(0)

(~ı~

)=

(~ı/2

−~ı+ 3~

)

совпадает с базисом B′ = (~e1, ~e2), а базис(~e1(1)~e2(1)

)= C(1)

(~ı~

)=

(~ı~

)

совпадает с базисом B = (~ı,~).Таким образом, матрица непрерывной деформации (14.64) позволяет по заданному

произвольному базису построить ортонормированный базис. Ниже мы рассмотримеще один способ построения ортонормированных базисов — метод ортогонализацииГрама–Шмидта.

♦ При t = 1/2 найдем(~e1(1/2)~e2(1/2)

)=

(3/4 0−1/2 2

)(~ı~

)=

(3~ı/2

−~ı/2 + 2~

).

15. Произведение двух векторов 149

Пример 14.9. Может ли матрица

C(t) =

(1 − t2 tt t2

)

определять непрерывную деформацию от одного базиса к другому?

Решение. Поскольку detC(t) = (1− t2)t2 − t2 = −t4 < 0 для любых t, то результатомпреобразования с помощью этой матрицы будет базис, разноименный с исходным, чтоговорит о невозможности с ее помощью осуществить непрерывную деформацию.

15. Произведение двух векторов

Поскольку каждый вектор характеризуется модулем, т.е. скаляром, и на-правлением, то операция умножения векторов должна, вообще говоря, учиты-вать эту двойственную их природу. Оказывается, возможны две операции умно-жения векторов. Одна дает в результате скаляр и поэтому называется скаляр-ным произведением (умножением). Другая дает в результате вектор и потомуназывается векторным произведением.

15.1. Скалярное произведение двух векторов

� Скалярным произведением двух векторов ~a и ~b называется число, равноепроизведению их модулей (длин), умноженному на косинус угла между ними.и обозначается

(~a,~b) = ~a~b = ~a ·~b = ab cosϕ. (15.1)

Здесь ϕ – угол между векторами ~a и ~b.

Если спроектировать вектор ~b на вектор ~a, будем иметь

пр~a~b = b cosϕ. (15.2)

Аналогично, спроектировав вектор ~a на вектор ~b, получим

пр~b~a = a cosϕ. (15.3)

Тогда скалярное произведение (15.1) можно записать как

~a ·~b = a пр~a~b (15.4)

или~a ·~b = b пр~b~a. (15.5)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведениюмодуля одного из них на проекцию второго вектора на первый.

Из (15.4) имеем

пр~a~b =

~a ·~ba, (15.6)

а из (15.5)

пр~b~a =~a ·~bb. (15.7)

Из определения (15.1) с учетом (15.4), (15.5) вытекают следующие свойстваскалярного произведения:


1) коммутативность

~a ·~b = ~b · ~a;2) однородность

α~a · β~b = αβ~a ·~b;3) линейность

(α~a+ β~b) · ~c = α~a · ~c+ β~b · ~c;4) неравенство Коши–Буняковского

(~a ·~b)2 6 ~a 2 ·~b 2 = a2b2;

5) частные случаи

~a ·~b = 0

только при условии ~a ⊥ ~b или если один из сомножителей является нулевымвектором;

~a 2 = |~a|2 = 0

только при условии ~a = 0.

Если ~ı,~,~k — орты декартова базиса, то их скалярные произведения удовле-творяют равенствам

~ı ·~ı = ~ · ~ = ~k · ~k = 1, ~ı · ~ =~ı · ~k = ~ · ~k = 0. (15.8)

Теорема 15.1 (о координатной форме скалярного произведения). Если

векторы ~a и ~b заданы своими координатами в декартовом базисе ~a = (a1, a2, a3)

и ~b = (b1, b2, b3), то

(~a,~b) = ~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3. (15.9)

Доказательство. По определению

~a = a1~ı+ a2~+ a3~k,

~b = b1~ı+ b2~+ b3~k.

Используя свойства скалярного произведения, с учетом (15.8) будем иметь

~a ·~b = (a1~ı+ a2~+ a3~k)(b1~ı+ b2~+ b3~k) =

= a1b1(~ı ·~ı) + a1b1(~ı · ~) + a1b3(~ı · ~k) +

+a2b1(~ ·~ı) + a2b2(~ · ~) + a2b3(~ · ~k) +

+a3b1(~k ·~ı) + a3b2(~k · ~) + a3b3(~k · ~k) =

= a1b1 + a2b2 + a3b3,


Следствие 15.1.1. Координаты вектора ~a = (a1, a2, a3) определяются скаляр-ными произведениями

a1 = ~a ·~ı, a2 = ~a · ~, a3 = ~a · ~k. (15.10)

Пример 15.1. Найти скалярное произведение векторов ~a = (2,−1, 1) и ~b =(3,−2,−1).


Решение. Здесь x1 = 2, y1 = −1, z1 = 1; x2 = 3, y2 = −2, z2 = −1.Согласно (15.9), имеем

~a ·~b = 2 · 3 + (−1)(−2) + 1(−1) = 7.

Пример 15.2. Даны два вектора: ~a = 2~ı − ~ + ~k и ~b = ~ı − 2~ + 3~k (короче их

можно записать как ~a = (2,−1, 1), ~b = (1,−2, 3)). Найти проекцию вектора ~a на

направление вектора ~b.

Решение. Воспользуемся формулой (15.7), в которой

b =√

12 + (−2)2 + 32 =√

14,

а

~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 2 · 1 + (−1)(−2) + 1 · 3 = 7;

пр~b~a =~a ·~b|~b|

=7√14

=

√7

2.

Следствие 15.1.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярно-

сти векторов ~a = (a1, a2, a3) и ~b = (b1, b2, b3) является равенство

a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0. (15.11)

Доказательство. В самом деле, если ~a ⊥ ~b, то ~a ·~b = 0. Согласно доказаннойтеореме, имеем

~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.

Следовательно, если ~a ⊥ ~b, то получим (15.11).

Следствие 15.1.3. Угол между векторами ~a = (a1, a1, a3) и~b = (b1, b2, b3) опре-деляется по формуле

cosϕ =a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a2

2 + a23

√b21 + b22 + b23

. (15.12)

Доказательство. Действительно, скалярное произведение векторов ~a и ~b есть

~a ·~b = ab cosϕ,

где ϕ — угол между данными векторами, откуда

cosϕ =~a ·~bab

.

Учитывая (15.9), а также, что

a = |~a| =√x2

1 + y21 + z2

1 ,

b = |~b| =√x2

2 + y22 + z2

2 ,(15.13)

окончательно имеем формулу (15.12).


Пример 15.3. Даны три точки: A(1, 1, 1), B(2, 2, 1), C(2, 1, 2). Найти длины

векторов |−→AB|, |−→AC| и угол ϕ = ∠BAC.

Решение. По точкам A,B,C построим векторы−→AB и

−→AC.

Угол ϕ есть угол между вектором−→AB, проекции (координаты) которого есть−→

AB = (2− 1)~ı+ (2− 1)~+ (1− 1)~k или−→AB = (1; 1; 0), и вектором

−→AC, проекции

(координаты) которого есть−→AC = (2−1)~ı+(1−1)~+(2−1)~k или

−→AC = (1; 0; 1).

Находим

|−→AB| = AB =√

12 + 12 + 02 =√

2,

|−→AC| = AC =√

12 + 02 + 12 =√

2.

По формуле (15.12) найдем

cosϕ =

−→AB · −→ACAB · AC =

1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1√2√

2=

1

2

и угол ϕ = 60◦.Скалярное произведение векторов часто используется в различных прило-

жениях. Рассмотрим одно из них — работу постоянной силы.Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из точки A в точку

B под действием постоянной силы ~F , образующей угол ϕ с вектором перемеще-

ния−→AB = ~S. Из курса физики известно, что работа силы ~F при перемещении

~S равна

A = |~F | |~S| cosϕ.

Это означает, что работа постоянной силы ~F при прямолинейном перемещении~S точки ее приложения равна скалярному произведению

A = ~F · ~S.

В заключение рассмотрим возможность введения опера-

Рис. 37.

ции, обратной скалярному произведению векторов, т.е. опе-рации «деления скаляра на вектор». Пусть известны вектор~b и скалярное произведение (~a,~b) и требуется определить

вектор ~a. Поместим начало векторов ~a и ~b в одну точку O

и через конец вектора ~b проведем плоскость P , перпенди-кулярную ~a. Плоскость P пересечет луч с началом в точкеO, на котором лежит вектор ~a, в точке A (рис. 37), и мы

получим отрезок OA.Согласно определению скалярного произведения, с одной стороны,

~a ·~b = a пр~a~b = a · |OA|.

С другой стороны, для любого другого вектора ~b1 с началом в точке O и концомна плоскости P аналогично имеем

~a ·~b1 = a пр~a~b1 = a · |OA| = ~a ·~b.


♦ Таким образом, если известно скалярное произведение двух векторов иизвестен один из сомножителей, то существует бесконечное множество векто-ров, которые при умножении на данный сомножитель дадут заданное скаляр-ное произведение. Отсюда следует, что операция, обратная скалярному произ-ведению векторов («деление скаляра на вектор») возможна, но в силу своейнеоднозначности является невостребованной и не получила практического при-менения.

♦ Отбросив третье слагаемое в формулах (15.11), (15.12), (15.13), получимсоответствующие выражения для векторов на плоскости.

15.2. Скалярное произведение в косоугольном базисе

В некоторых приложениях векторного исчисления сама постановка задачидиктует использование так называемой косоугольной системы координат вме-сто декартовой.

Пусть (O,B = (~e1, ~e2, ~e3)) — некоторый репер пространства, тогда два любыхвектора задаются своими координатами в его базисе B:

~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3,~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3.

Скалярное произведение этих векторов в силу свойства линейности можнозаписать в виде суммы

~a ·~b = (a1~e1 + a2~e2 + a3~e3)(b1~e1 + b2~e2 + b3~e3) =

= a1[b1~e1 · ~e1 + b2~e1 · ~e2 + b3~e1 · ~e3]++ a2[b1~e2 · ~e1 + b2~e2 · ~e2 + b3~e2 · ~e3]++ a3[b1~e3 · ~e1 + b2~e3 · ~e2 + b3~e3 · ~e3],

которую еще можно записать как произведение матриц:

~a ·~b = (a1 a2 a3)G

(b1b2b3

), (15.14)

где

G = G(~e1, ~e2, ~e3) =

(~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3

)= B⊺B = ‖gmn‖. (15.15)

� Матрица (15.15) называется матрицей Грама, элементы gmn = ~em · ~en

— метрическими коэффициентами базиса B = (~e1, ~e2, ~e3), а ее определительdetG = Γ = Γ(~e1, ~e2, ~e3) — определителем Грама.

Очевидно, что в силу коммутативности скалярного произведения (gmn =gnm) матрица Грама является симметричной, т.е.

G⊺ = G.

� Система координат называется косоугольной, если матрица Грама ее ба-зиса не является диагональной.

Равенства

|~a| =√~a · ~a, cosϕ =

~a ·~b|~a| |~b|

, ϕ = ∠(~a,~b), (15.16)


вытекающие из определения скалярного произведения, с помощью метрическихкоэффициентов можно записать в виде

|~a| =

√√√√3∑

n=1

3∑

m=1

angnmam,

cos[∠(~a,~b)] =

3∑

n=1

3∑

m=1

angnmbm

( 3∑

n=1

3∑

m=1

angnmam

)−1/2( 3∑

n=1

3∑

m=1

bngnmbm

)−1/2

.

(15.17)Если произвольный базис B = (~e1, ~e2, ~e3) заменить ортонормированным B??? =

(~ı,~,~k), для которого в силу (15.9) матрица Грама является единичной:

G = ‖gmn‖ = δmn =

{0, m 6= n;

1, m = n,(15.18)

то приведенные выше формулы (15.17) примут вид (15.11), (15.12), (15.13).Пусть Ox1x2x3 — косоугольная система координат, базис B = (~e1, ~e2, ~e3) ко-

торой характеризуется своими метрическими коэффициентами:

G = ‖gmn‖ =


), (15.19)

и пусть ~a — некоторый вектор, заданный в этой системе координат:

~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3. (15.20)

Координаты a1, a2, a3 этого вектора, в отличие от декартовой системы ко-ординат, не являются его проекциями на координатные оси. Действительно,умножив равенство (15.20) скалярно на векторы ~e1, ~e2, ~e2 соответственно, полу-чим систему

a1~e1 · ~e1 + a2~e1 · ~e2 + a3~e1 · ~e3 = ~e1 · ~a,a1~e2 · ~e1 + a2~e2 · ~e2 + a3~e2 · ~e3 = ~e2 · ~a, (15.21)

a1~e3 · ~e1 + a2~e3 · ~e2 + a3~e3 · ~e3 = ~e3 · ~a.

Поскольку определитель этой системы есть определитель Грама Γ(~e1, ~e2, ~e3) =detG базисных векторов, то система имеет единственное решение, задающеезначение координат a1, a2, a3:

a1 =1

Γ(~e1, ~e2, ~e3)

∣∣∣∣∣~e1 · ~a g12 g13

~e2 · ~a g22 g23

~e3 · ~a g32 g33

∣∣∣∣∣ , a2 =1

Γ(~e1, ~e2, ~e3)

∣∣∣∣∣g11 ~e1 · ~a g13

g21 ~e2 · ~a g23

g31 ~e3 · ~a g33

∣∣∣∣∣ ,

a3 =1

Γ(~e1, ~e2, ~e3)

∣∣∣∣∣g11 g12 ~e1 · ~ag21 g22 ~e2 · ~ag31 g32 ~e3 · ~a

∣∣∣∣∣ .

(15.22)Поскольку скалярные произведения вектора ~a на базисные векторы имеют

вид

~a · ~e1 = (a1 a2 a3)G

(100

)= a1g11 + a2g21 + a3g31,


~a · ~e2 = (a1 a2 a3)G

(010

)= a1g12 + a2g22 + a3g32, (15.23)

~a · ~e3 = (a1 a2 a3)G

(001

)= a1g13 + a2g23 + a3g33,

а модули базисных векторов

|~e1| =√~e1 · ~e1 = g

1/211 , |~e2| =

√~e2 · ~e2 = g

1/222 , |~e3| =

√~e3 · ~e3 = g

1/233 , (15.24)

то проекции вектора ~a на координатные оси определятся как

пр~e1~a =

~a · ~e1|~e1|

= (a1g11 + a2g21 + a3g31)g−1/211 ,

пр~e2~a =

~a · ~e2|~e2|

= (a1g12 + a2g22 + a3g32)g−1/222 , (15.25)

пр~e3~a =

~a · ~e3|~e3|

= (a1g13 + a2g23 + a3g33)g−1/233 .

Пример 15.4. Косоугольная система координат Ox1x2x3 задается репером(O,B = (~e1 ~e2 ~e3), базис которого характеризуется метрическими коэффици-ентами, составляющими матрицу Грама

G(~e1, ~e2, ~e3) =

4√

3 4√

2√3 3 6

4√

2 6 10

.

Найти длины базисных векторов и угол между ними.

Решение. Длины базисных векторов находятся из диагональных метрическихкоэффициентов:

|~e1| =√~e1 · ~e1 =

√g11 = 2, |~e2| =

√~e2 · ~e2 =

√g22 =

√3,

|~e3| =√~e3 · ~e3 =

√g33 = 4.

Далее

cos[∠(~e1, ~e2)] =~e1 · ~e2|~e1||~e2|

=g12√g11g22

=

√3√

4 · 3=

1

2, ∠(~e1, ~e2) =

π

3;

cos[∠(~e1, ~e3) =~e1 · ~e3|~e1||~e3|

=g13√g11g33

=4√

2

2=

√2

2, ∠(~e1, ~e3) =

π

4;

cos ∠(~e2, ~e3) =~e2 · ~e3|~e2||~e3|

=g23√g11g33

=6√

3 · 16=

√3

2, ∠(~e2, ~e3) =

π

6.

Пример 15.5. В косоугольной системе координат заданы два вектора:

~a = 2~e1 + ~e2 + ~e3,~b = ~e1 + 2~e2 + ~e3.

Базисные векторы ~e1, ~e2, ~e2 имеют длину |~e1| = 2, |~e2| = 1, |~e3| = 2 и образуют

друг с другом углы, равные π/3. Найти угол между векторами ~a и~b и проекцию

вектора ~a на вектор ~b.


Решение. Для удобства вычислений выпишем матрицу Грама базисных век-торов:

G =


)=

(4 1 21 1 12 1 4

).

Теперь, следуя определению (15.14), найдем

~a ·~b = (2 1 1)G

(121

)= (2 1 1)

(4 1 21 1 12 1 4

)(121

)= 28;

~a · ~a = (2 1 1)G

(211

)= 35;

~b ·~b = (1 2 1)G

(121

)= 24,

откуда

cos[∠(~a,~b)] =~a ·~b|~a||~b|

=28√

24 · 35=

28

28,9≈ 0,96,

т.е. ∠(~a,~b) ≈ 15◦ и, соответственно,

пр~b~a =~a ·~b|~b|

=28√24

≈ 5,7.

15.3. Метод ортогонализации Грама–Шмидта

При необходимости от косоугольной системы координат можно перейти к декарто-вой. Это можно сделать с помощью метода ортогонализации Грама–Шмидта. Смысл

метода заключается в следующем. По базисным векторам ~f1, ~f2, ~f3 косоугольного ба-зиса построим три новых вектора

~e1 = ~f1,

~e2 = ~f2 + λ21~e1, (15.26)

~e3 = ~f3 + λ32~e2 + λ31~e1.

Коэффициенты λmn можно найти, подчинив векторы ~em условиям ортогональности:~em · ~en = 0, m 6= n. Действительно, умножив 2-ое уравнение скалярно на вектор ~e1,получим

~e2 · ~e1 = ~f2 · ~e1 + λ21~e1 · ~e1 = 0,

откуда

λ21 = −~f2 · ~e1~e1 · ~e1

. (15.27)

Далее, умножив 3-е уравнение на ~e1 и ~e2 соответственно, найдем

λ31 = −~f3 · ~e1~e1 · ~e1

, λ32 = −~f3 · ~e2~e2 · ~e2

. (15.28)

Несложно заметить, что этот метод пригоден для векторных пространств любойразмерности, поскольку процедура (15.26) дает алгоритм для построения ортогональ-ного базиса. Однако для пространств малых размерностей, в частности для трехмер-ного пространства, c его помощью можно получить конкретные формулы, задающие


явный вид трехмерного (двумерного) ортогонального базиса через метрические коэф-

фициенты ~fm · ~fn.

Итак, по базисным векторам ~f1, ~f2, ~f3 косоугольного базиса построим вместо (15.26)три новых вектора

~e1 = ~f1,

~e2 = ~f2 + α21~f1, (15.29)

~e3 = ~f3 + α32~f2 + α31

~f1

и потребуем их попарной ортогональности, т.е.

~e1 · ~e2 = ~e1 · ~e3 = ~e2 · ~e3 = 0.

Выписав три скалярных произведения и приравняв их к нулю, получим

~f1 · (~f2 + α21~f1) = 0;

~f1 · (~f3 + α32~f2 + α31

~f1) = 0;

(~f2 + α21~f1) · (~f3 + α32

~f2 + α31~f1) =

= ~f2 · (~f3 + α32~f2 + α31

~f1) + α21~f1 · (~f3 + α32

~f2 + α31~f1) =

= ~f2 · (~f3 + α32~f2 + α31

~f1) + 0 = 0.

Положив для удобства ~fm · ~fn = gmn, имеем уравнение

α21g11 + g12 = 0 (15.30)

и системуα31g11 + α32g12 = −g31,α31g12 + α32g22 = −g32, (15.31)

решения которых имеют вид

α21 = −g12g11

, α31 = −∆1

∆, α32 = −∆2

∆, (15.32)

где

∆ =

∣∣∣∣g11 g12g12 g22

∣∣∣∣ , ∆1 =

∣∣∣∣g31 g12g32 g22

∣∣∣∣ , ∆2 =

∣∣∣∣g11 g31g12 g32

∣∣∣∣ . (15.33)

Подставив (15.32) в (15.29), получим явный вид трехмерного ортогонального базиса:

~e1 = ~f1,

~e2 = ~f2 −g12g11

~f1, (15.34)

~e3 = ~f3 −∆2

∆~f2 −

∆1

∆~f1,

который можно записать в матричной форме:

(~e1~e2~e3

)= C⊺

~f1~f2~f3

, (15.35)

где C — матрица перехода от базиса B = (~f1~f2~f3) к базису B′ = (~e1 ~e2 ~e3):

C =

(1 α21 α31

0 1 α32

0 0 1

)=

1 −g12g11

−∆1

∆

0 1 −∆2

∆0 0 1

. (15.36)


Пример 15.6. Для косоугольной системы координат и векторов ~a и~b из примера 15.5найти преобразование, переводящее ее базис в ортогональный и определить коорди-

наты векторов ~a и ~b в ортогональном базисе. Вычислить их длины и скалярное про-изведение и сравнить с результатами, полученными ранее.

Решение. Как следует из примера 15.5, матрица Грама косоугольного базиса B =

(~f1, ~f2, ~f3) имеет вид

G(~f1, ~f2, ~f3) = ‖gmn‖ =

(4 1 21 1 12 1 4

). (15.37)

Искомое преобразование, переводящее косоугольный базис B = (~f1, ~f2, ~f3) в ортого-нальный B′ = (~e1 ~e2 ~e3), определяется матрицей (15.36). Поскольку, согласно (15.33),

∆ =

∣∣∣∣4 11 1

∣∣∣∣ = 3, ∆1 =

∣∣∣∣2 11 1

∣∣∣∣ = 1, ∆2 =

∣∣∣∣4 21 1

∣∣∣∣ = 2,

то

α31 = −g21g11

= −1

4, α31 = −∆1

∆= −1

3, α32 = −∆2

∆= −2

3.

В силу этого для матрицы преобразования (15.36) имеет вид

C =

(1 −1/4 −1/30 1 −2/30 0 1

). (15.38)

Таким образом, ортогональный базис, согласно (15.35), определится соотношением

(~e1~e2~e3

)= C⊺

~f1~f2~f3

=

(1 0 0

−1/4 1 0−1/3 −2/3 1

)~f1~f2~f3

. (15.39)

Для определения координат векторов ~a и ~b в ортогональном базисе B′ = (~e1 ~e2 ~e3),найдем, исходя из (15.38):

C−1 =

(1 1/4 1/20 1 2/30 0 1

), (15.40)

тогда

~a =

(a′1a′2a′3

)= C−1

(a1

a2

a3

)=

(1 1/4 1/20 1 2/30 0 1

)(211

)=

(11/45/31

)(15.41)

и, соответственно,

~b =

(b′1b′2b′3

)= C−1

(b1b2b3

)=

(1 1/4 1/20 1 2/30 0 1

)(121

)=

28

31

. (15.42)

Для работы с векторами ~a и ~b в ортогональном базисе B′ = (~e1, ~e2, ~e3) выпишемего матрицу Грама:

G(~e1, ~e2, ~e3) = ‖gmn‖ = ‖~em · ~en‖.В силу ортогональности нового базиса все ее недиагональные элементы будут равнынулю: ~em · ~en = 0, m 6= n, а диагональные элементы, согласно (15.39), найдутся как

g11 = ~e1 · ~e1 = (1 0 0)G(~f1, ~f2, ~f3)

(100

)= (1 0 0)

(4 1 21 1 12 1 4

)(100

)= 4;


g22 = ~e2 · ~e2 =(−1

41 0)G(~f1, ~f2, ~f3)

(−1/416

)=

3

4;

g33 = ~e2 · ~e2 =(−1

3− 2

31)G(~f1, ~f2, ~f3)

(−1/4−2/3

1

)=

8

3.

Таким образом,

G(~f1, ~f2, ~f3) =

(4 0 00 3/4 00 0 8/3

). (15.43)

Теперь, зная координаты векторов ~a (15.41) и ~b (15.42) в ортогональном базисе и егоматрицу Грама (15.43), найдем

~a ·~b =(11

4

5

31)(4 0 0

0 3/4 00 0 8/3

)(2

8/31

)= 28;

~a · ~a =(11

4

5

31)(4 0 0

0 3/4 00 0 8/3

)(11/45/31

)= 35;

~b ·~b =(2

8

31)(4 0 0

0 3/4 00 0 8/3

)(2

8/31

)= 24,

откуда

cosϕ =~a ·~b|~a| |~b|

=28√

24 · 35≈ 28

28,98≈ 0,96,

т.е. ϕ = ∠(~a,~b) ≈ 15◦ и, соответственно,

пр~b~a =

~a ·~b|~b|

=28√24

≈ 5,7.

Как видим, полученные значения полностью совпадают со значениями, вычисленны-ми в предыдущей задаче.

Заметим, что с помощью дополнительного преобразования нормировки, матрицакоторого имеет вид

D =

1/2 0 00 2/

√3 0

0 0√

3/5

можно от ортогонального базиса B′ = (~e1, ~e2, ~e3) перейти к ортонормированному ба-зису B′′ = (~e′1, ~e

′2, ~e

′3): (

~e′1~e′2~e′3

)= D⊺

(~e1~e2~e3

).

Пример 15.7. Показать, что скалярное произведение двух векторов независимо (илиинвариантно) от выбора системы координат.

Решение. Выше было показано, что координаты точек и векторов в пространстве,вообще говоря, различны в разных системах координат. Покажем, что значение ска-лярного произведения не зависит от выбора системы координат.


Действительно, пусть в базисе B = (~e1, ~e2, ~e3) два вектора имеют координаты

~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3), а в базисе B′ = (~e ′1, ~e

′2, ~e

′3) = BC, соответственно, коор-

динаты ~a = (a′1, a′2, a

′3),

~b = (b′1, b′2, b

′3). Старые и новые координаты векторов связаны

соотношениями (14.13), т.е.

(a′1a′2a′3

)= C−1

(a1

a2

a3

),

(b′1b′2b′3

)= C−1

(b1b2b3

). (15.44)

Скалярное произведение векторов ~a и ~b в базисе B имеет вид

~a ·~b = (a1 a2 a3)G

(b1b2b3

)= (a1 a2 a3)B⊺B

(b1b2b3

). (15.45)

Поскольку преобразование базиса осуществляется с помощью неособой матри-цы C, то для нее всегда существует обратная матрица C−1, такая что CC−1 = Iи (C−1)⊺C⊺ = I, и (15.45) можно записать как

~a ·~b = (a1 a2 a3)(C−1)⊺C⊺B⊺BCC−1

(b1b2b3

).

Отсюда с учетом (15.44) и того, что B′ = BC, найдем

~a ·~b = (a′1 a′2 a

′3)(B′)⊺B′

(b′1b′2b′3

)= (a′1 a

′2 a

′3)G

′

(b′1b′2b′3

).

Это и означает, что скалярное произведение ~a ·~b при замене базиса не меняет своегозначения.

Таким образом, скалярное произведение векторов является инвариантным отно-сительно выбора (а значит, и преобразования) системы координат.

♦ Это утверждение потребуется нам при использовании векторного исчисления ваналитической геометрии. Например, если треугольник задать тремя векторами, топри переходе от одной системы координат к другой углы и стороны треугольника неменяют своих значений.

15.4. Преобразование прямоугольных координат в пространстве

Выше мы рассмотрели преобразование прямоугольных координат на плос-кости. Рассмотрим аналогичную задачу в пространстве.

Теорема 15.2. Для того чтобы равенство

(~e ′1 ~e

′2 ~e

′3) = (~e1 ~e2 ~e3)C (15.46)

определяло переход от одного ортонормированного базиса B = (~e1, ~e2, ~e3) к дру-гому B′ = (~e ′

1, ~e′2, ~e

′3), необходимо и достаточно, чтобы матрица перехода C

была ортогональной.

Доказательство. Пусть B и B′ — два ортонормированных базиса, тогда ихматрицы Грама являются единичными:

‖~em · ~en‖ = ‖~e ′m · ~e ′

n‖ = gmn =

{1, m = n;

0, m 6= n.(15.47)


Из (15.47):

(~e ′1 ~e

′2 ~e

′3)

(~e ′

1~e ′

2~e ′

3

)= (~e1 ~e2 ~e3)

(~e1~e2~e3

)

с учетом (15.46) имеем

(~e1 ~e2 ~e3)CC⊺

(~e1~e2~e3

)= (~e1 ~e2 ~e3)

(~e1~e2~e3

).

Полученное равенство справедливо только при условии CC⊺ = I, которое иявляется условием ортогональности матрицы C.

Наоборот, если C — ортогональная матрица и B = (~e1, ~e2, ~e3) — ортонорми-рованный базис, то для базиса B′ = (~e ′

1, ~e′2, ~e

′3), полученного по формуле

(~e ′1 ~e

′2 ~e

′3) = (~e1 ~e2 ~e3)C,

условие его ортогональности

(~e ′1 ~e

′2 ~e

′3)

(~e ′

1~e ′

2~e ′

3

)= (~e1 ~e2 ~e3)CC

⊺

(~e1~e2~e3

)= (~e1 ~e2 ~e3)

(~e1~e2~e3

)

обеспечивается ортогональностью матрицы C: CC⊺ = I.

Следствие 15.2.1. Если равенство

(xyz

)= C

(x′

y′

z′

)+

(x0

y0

z0

)(15.48)

задает переход от прямоугольной системы координат Oxyz к прямоугольной си-стеме координат O′x′y′z′, то матрица C ортогональна. Наоборот, если системакоординат Oxyz прямоугольна и матрица C ортогональна, то система коорди-нат O′x′y′z′ также прямоугольна.

15.5. Векторное произведение двух векторов и его свойства

Сначала дадим определение правой и левой тройки векторов, правой и левойсистемы координат.

Пусть в пространстве выбрана ориентация. Здесь будет уместно еще раз иболее подробно рассмотреть это понятие. Напомним, что любое пространство(плоскость, прямая) имеют ровно два класса одноименных базисов (см. разд.«Ориентация прямой, плоскости и пространства»). Все базисы одного классаможно получить из единственного непрерывной его деформацией, тогда какнепрерывный переход базиса из одного класса в другой невозможен! Поэто-му изначально в пространстве можно выбрать один из этих двух базисов иобъявить его исходным для получения остальных. Такой выбор и называетсявыбором ориентации пространства. На рис. 38 приведены возможные ориен-тации прямой, плоскости и пространства. В левой колонке показаны базисылевой ориентации, а в правой — правой ориентации (для простоты построенийвыбраны ортонормированные базисы).

Выбор левой и правой ориентации (базиса) одной и той же прямой поясне-ний не требует. Очевидно, что один базис из другого получается зеркальным


Рис. 38.

отображением относительно начала координат. Само направление стрелок объ-ясняет название ориентаций.

Для ориентации плоскостей к уже ориентированной прямой — оси Ox —добавляется прямая, пересекающая ее в начале координат. Ориентация этойпрямой и задает ориентацию плоскости — направление оси Oy. Очевидно, чтолевый базис получается из правого зеркальным отображением относительноодной из координатных осей.

Для ориентации пространства к уже ориентированной плоскости xOy до-бавляется прямая, пересекающая эту плоскость в точке O. Ориентация этойпрямой и задает ориентацию пространства — направление оси Oz. Очевидно,что левый базис получается из правого зеркальным отображением относитель-но любой координатной поверхности.

Таким образом, задать ориентацию означает задать направление поступа-тельного движения по прямой, направление вращения на плоскости и направле-ние поступательного движения винта при его вращении в пространстве. Заме-тим, что если для прямой и плоскости восстановление??? направлений базисныхвекторов выбранной ориентации труда не составляет, то для пространственногослучая возможных затруднений можно избежать с помощью различных мне-монических правил. Одно из них — правило правого и левого винта — мы ужесформулировали в разд. « и его свойства». Другое, называемое правилом пра-вой и левой руки, формулируется следующим образом.

� Тройка некомпланарных векторов, отнесенных к общему началу O, назы-вается правой, если составляющие ее векторы располагаются в порядке нумера-ции аналогично тому, как расположены большой (по вектору ~a), указательный

(по вектору ~b) и средний (по вектору ~c) пальцы правой руки (рис. 39).

Рис. 39. Правая тройка векторов Правая система координат

� Тройка некомпланарных векторов, отнесенных к общему началу O, назы-вается левой, если составляющие ее векторы располагаются в порядке нумера-


ции аналогично тому, как расположены большой (по вектору ~a), указательный

(по вектору ~b) и средний (по вектору ~c) пальцы левой руки (рис. 40).

Рис. 40. Левая тройка векторов Левая система координат

� Произвольную упорядоченную тройку некомпланарных векторов в ори-ентированном пространстве, одноименную с его базисом, будем называть поло-жительной, в противном случае — отрицательной.

Такая терминология имеет простое объяснение. Пусть три вектора ~a,~b,~c

в базисе B = (~e1 ~e2 ~e3) задаются своими координатами: ~a = (a1, a2, a3), ~b =(b1, b2, b3), ~c = (c1, c2, c3). Тогда, согласно теоремам 14.1 и 14.2, эта тройка век-торов будет одноименной с базисом, т.е. положительной, при условии

∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣ > 0 (15.49)

и разноименным в противном случае.Оценка (15.49) позволяет легко установить характеристику произвольной

тройки векторов в ориентированном пространстве.На плоскости оценка (15.49) заменяется двумерным определителем

∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣ > 0, (15.50)

а на прямой — одномернымa1 > 0. (15.51)

Из оценки (15.51) следует, что на ориентированной прямой с базисным ортом~e1 вектор ~a = a1~e1, имеющий положительную координату, сонаправлен (одно-именный) с вектором ~e1. Естественно, что вектор ~a = a1~e1 с координатой a1 < 0имеет противоположное с вектором ~e1 направление (разноименный). С учетомэтого и приняв во внимание, что |a1| задает длину вектора ~a, величину a1 на-зывают еще ориентированной длиной l.

Аналогично на ориентированной плоскости величина

S =

∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣ (15.52)

называется ориентированной площадью параллелограмма, построенного на век-

торах ~a = (a1, a2), ~b = (b1, b2). В свою очередь, в ориентированном пространствевеличина

V =

∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣ (15.53)


называется ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на век-

торах ~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3), ~c = (c1, c2, c3).Далее, если противное не оговорено, мы будем пользоваться только правой

ориентацией.

� Векторным произведением вектора ~a на вектор~b называется новый вектор~c, который обозначается символами

~c = [~a,~b] = ~a×~b

и определяется тремя условиями:

1) модуль вектора |~a×~b| = |~a| |~b| sin(~a~b);

2) вектор ~a×~b = ~c перпендикулярен как вектору ~a, так и вектору ~b;

3) вектор ~c направлен так, чтобы тройка векторов ~a,~b,~c была правой, т.е.его направление соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если

векторы ~a, ~b и ~c = ~a×~b приведены к общему началу, то вектор ~c должен бытьнаправлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец ко-торой направлен по первому сомножителю (по ~a), а указательный – по второму

(по ~b) (рис. 39).

Рис. 41.

Или третье условие определяется так: вектор

~c = ~a×~b направлен так, что кратчайший поворот

от ~a к ~b виден с его конца совершающимся противчасовой стрелки.

Это определение в некоторых приложенияхформулируется в виде следующего геометриче-ского построения. Чтобы найти векторное про-

изведение двух векторов ~c = ~a × ~b, достаточно(рис. 41):

1) спроектировать вектор ~a на плоскость π,

перпендикулярную вектору ~b;2) полученный вектор ~a1, для которого |~a1| =

|~a| sinϕ, повернуть в этой плоскости на прямойугол так, чтобы поворот наблюдался происходя-

щим по ходу часовой стрелки с той стороны, куда направлен вектор ~b;

3) вектор ~b, который получается в результате поворота вектора ~a1 и для

которого |~a ′1| = |~a1| = |~a| sinϕ, умножается на модуль вектора |~b|.

Полученный в результате этих трех операций вектор и будет векторным

произведением ~a ×~b = ~a ′1 · |~b|, поскольку ~a ′

1 по построению перпендикулярен

одновременно ~a и ~b и его модуль |~a×~b| = |~a ′1| |~b| = |~a||~b| sinϕ, причем ~a, ~b и ~a ′

1|~b|образуют положительную (правую) тройку векторов.

???Антикоммутативность (??) векторного произведения вытекает непосред-ственно из определения и следствия 14.1.1. Действительно, во-первых, переста-

новка сомножителей ~a и ~b не меняет модуль |~a×~b|. А во-вторых, для того чтобы

положительная (правая) тройка векторов ~a, ~b и ~a ×~b при перестановке сомно-

жителей ~a и ~b сохранила свою ориентацию, третий вектор должен изменитьнаправление на противоположное, откуда и следует (??).???

Свойство линейности можно представить суперпозицией свойств ассоциа-тивности векторного произведения

(α~a) ×~b = α(~a×~b) (15.54)


и его дистрибутивности

(~a1 + ~a2) ×~b = ~a1 ×~b+ ~a2 ×~b. (15.55)

Рис. 42.

Справедливость (15.54) очевидным образом вы-текает из геометрического построения векторногопроизведения (рис. 41). Из этого же геометрическо-го построения вытекает и свойство??? (15.55), длядоказательства которого нам потребуются некото-рые дополнительные построения (см. рис. 42). Со-гласно схеме??? геометрического построения век-торного произведения, проведем следующие триоперации:

а) через начало O вектора ~b (рис. 42) проведемперпендикулярную к нему плоскость π и спроекти-руем на нее треугольник OA1A2 со сторонами

−→OA1 = ~a1,

−−→A1A2 = ~a2,

−→OA2 =

−→OA1 +

−−→A1A2 = ~a1 + ~a2;

б) полученный в проекции треугольник OP1P2 повернем в плоскости π во-круг точки O на прямой угол так, чтобы с той стороны, куда направлен вектор~b, этот поворот??? был виден??? происходящим по часовой стрелке;

Свойство 1. Векторное произведение равно нулю (нуль-вектору) тогда и толь-

ко тогда, когда векторы ~a и ~b коллинеарны. В частности, [~a,~a] = 0 для любого

вектора ~a, а также [~a,~0] — в полном соответствии с ранее введенной договорен-ностью, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Действительно, если ~a ⇈ ~b, то угол между ними равен 0◦, либо 180◦, если ~a ↑↓~b. Но sin 0◦ = 0 и sin 180◦ = 0, а значит, и |[~a,~b]| = ab sin 0◦ = 0. Следовательно,

и сам вектор ~c = [~a,~b] = 0. В частности, [~a,~a] = 0, так как |~a,~a]| = aa sin 0 = 0.

Свойство 2. Если [~a,~b] = 0, то ~a‖~b.

Рис. 43.

Действительно, если [~a,~b] = 0, то и его длина |[~a,~b]| =

ab sin(~a,~b) = 0. Отсюда, если a 6= 0 и b 6= 0, то sin(~a,~b) = 0,

и, следовательно, ~a‖~b.

Свойство 3. Если векторы ~a и~b приведены к общему на-чалу и они неколлинеарны, то модуль векторного произ-ведения равен площади параллелограмма, построенного

на векторах ~a и ~b (рис. 43).

Действительно, это утверждение следует из того, что площадь параллело-грамма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними.

Свойство 4. Свойство антиперестановочности сомножителей:

[~a,~b] = −[~b,~a]. (15.56)


Действительно, равенство (15.56) справедливо, если векторы ~a и ~b коллине-

арны, так как в этом случае |[~a,~b]| = ab sin 0 = 0, значит, и вектор [~a,~b] = 0 и

|[~b,~a]| = ba sin 0 = 0, т.е. вектор [~b,~a] = 0.

Если векторы ~a и ~b неколлинеарны, то имеет место только (15.56). Дей-ствительно, согласно третьему условию, входящему в определение векторного

произведения, векторные произведения [~a,~b] и [~b,~a] имеют взаимно противопо-ложные направления.

В самом деле, если сначала направим большой и указательный пальцы пра-

вой руки соответственно по векторам ~a и ~b, а затем по векторам ~b и ~a, то нампридется повернуть кисть руки так, что направление среднего пальца во вто-ром случае окажется противоположным тому направлению, которое он имел впервом случае.

Свойство 5. Скалярный множитель λ можно выносить из-под знака вектор-ного произведения:

[λ~a,~b] = [~a, λ~b] = λ[~a,~b].

Действительно, а) если λ = 0 и ~a‖~b, то левые и правые части данных ра-венств будут равны нулю, и формулы эти верны;

б) если λ > 0, то эти формулы очевидны, так как при увеличении однойстороны параллелограмма в λ раз его площадь также увеличится в λ раз;

в) если λ < 0, то при изменении знака одного из сомножителей модульвекторного произведения останется неизменным, а направление этого вектора(векторного произведения) меняется на противоположное.


[~a, (~b+ ~c)] = [~a,~b] + [~a,~c], [(~b+ ~c),~a] = [~b,~a] + [~c,~a],

т.е. векторное произведение подчиняется распределительному закону.

Из свойств 4–6 следует, что векторное умножение суммы векторов на суммувекторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Нужнотолько следить за тем, чтобы порядок следования множителей не изменялся,например,

[(~a+~b), (~c− 3~d)] = [~a,~c] − 3[~a, ~d] + [~b,~c] − 3[~b, ~d].

Свойство 7. Пусть ı, ,~k — декартов базис. Тогда векторные произведения

[~ı,~ı] = 0, [~,~] = 0, [~k,~k] = 0 (15.57)

и

[~,~k] =~ı, [~k,~] = −~ı, [~k,~ı] = ~, [~ı,~k] = −~. (15.58)

Доказательство. Соотношения (15.57) справедливы, так как |[~ı,~ı]| = 1·1 sin 0 =0. Аналогично доказывается справедливость остальных соотношений в (15.57).


Рис. 44.

Рассмотрим теперь [~ı,~]. Его модуль |[~ı,~]| = 1 · 1 sin 90◦ = 1— это площадь параллелограмма, построенного на векторах ~ıи ~. Этот параллелограмм — квадрат OADB, сторона которо-го равна 1 и площадь равна 1 (рис. 44). Таким образом, [~ı,~]есть единичный вектор (его длина равна 1), который перпен-дикулярен как вектору ~ı, так и вектору ~ и направлен согласноправилу правой руки.

Легко заметить, что он совпадает с базисным ортом ~k, т.е.

[~ı,~] = ~k, [~,~ı] = −~k.

15.6. Векторное произведение векторов,заданных декартовыми координатами

Теорема 15.3. Если векторы заданы своими декартовыми координатами: ~a =

(x1, y1, z1), ~b = (x2, y2, z2), то их векторное произведение определяется форму-лой

[~a,~b] =

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~kx1 y1 z1x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣. (15.59)

Доказательство. Составим векторное произведение заданных векторов:

[~a,~b] = (x1~ı+ y1~+ z1~k) × (x2~ı+ y2~+ z2~k) =

= x1x2[~ı,~ı] + x1y2[~ı,~] + x1z2[~ı,~k] +

+y1x2[~,~ı] + y1y2[~,~] + y1z2[~,~k] +

+z1x2[~k,~ı] + z1y2[~k,~] + z1z2[~k,~k]. (15.60)

Подставив в (15.61) соотношения (??), получим

[~a,~b] = 0 + x1y2~k − x1x2~+ (−y1x2)~k + 0 + y1z2~ı+ z1x2~− z1y2~ı+ 0

или[~a,~b] = (y1z2 − z1y2)~ı− (x1z2 − z1x2)~+ (x1y2 − y1x2)~k, (15.61)

где правая часть есть определитель 3-го порядка, расписанный по элементам ~ı,

~, ~k.Итак, мы показали, что формула (15.59) справедлива.Модуль вектора (15.61) есть

|[~a~b]| =√

(y1z2 − z1y2)2 + (x1z2 − z1x2)2 + (x1y2 − y1x2)2

или

|[~a~b]| =

√∣∣∣∣y1 z1y2 z2

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣z1 x1

z2 x2

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣2

. (15.62)

Следствие 15.3.1. Если ~a‖~b, то

[~a~b] = (y1z2 − z1y2)~ı− (x1z2 − z1x2)~+ (x1y2 − y1x2)~k = 0,

а значит, и его проекции равны нулю:

y1z2 − z1y2 ⇒ y1

y2=z1z2

;


x1z2 − z1x2 ⇒ x1

x2

=z1z2

;

x1y2 − y1x2 ⇒ x1

x2

=y1

y2

,

откудаx1

x2

=y1

y2

=z1z2. (15.63)

Это условие параллельности векторов ~a = (x1, y1, z1) и ~b = (x2, y2, z2), задан-

ных своими координатами. Например, векторы ~a = (4,−6, 8) и ~b = (2,−3, 4)параллельны, так как выполняется условие (15.63) параллельности векторов:

4

2=

−6

−3=

8

4.

Пример 15.8. Найти площадь треугольника с вершинами в точках A(1, 1, 1, ),B(2, 2, 1) и C(0,−3,−2).

Решение. Треугольник построен на векторах

−→AB = (2 − 1)~ı+ (2 − 1)~+ (1 − 1)~k =~ı+ ~

и −→AC = (0 − 1)~ı+ (−3 − 1)~+ (−2 − 1)~k = −~ı− 4~− 3~k.

Найдем

[−→AB,

−→AC] =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k1 1 0−1 −4 −3

∣∣∣∣∣∣= −3~ı+ 3~− 3~k

и|[−→AB,−→AC]| =

√(−3)2 + 32 + (−3)2 = 3

√3.

Итак, площадь параллелограмма, построенного на векторах−→AB и

−→AC равна

S = 3√

3, а площадь треугольника

S△ABC =1

2S =

3√

3

2кв. ед.

Выясним механический смысл векторного произведения.Момент силы. Пусть твердое тело неподвижно закреплено

Рис. 45.

в точке A (рис. 45), а в точке B к нему приложена приложенасила F .

Возникает вращающийся момент этой силы относительно точ-ки A, численно равный AB ·F sinϕ, т.е. площади параллелограм-

ма, построенного на векторах−→AB и ~F . В теоретической механике

этот момент определяется вектором

~mA(~F ) = ~M = [−→AB, ~F ] или ~M =

−→AB × ~F .

В частности, момент относительно начала координат m(~F ) = [~r, ~F ], где ~r —радиус-вектор точки приложения силы.

Пример 15.9. Точка A(2,−1, 1) твердого тела закреплена, в точке B(0, 2, 4) те-

ла приложена сила ~F = (2, 0, 1). Найти момент силы mA(~F ) = M относительноточки A.


Решение. Вектор−→AB имеет координаты

−→AB = (0 − 2, 2 − (−1), 4 − 1) или−→

AB = (−2, 3, 3). Вращающий момент

mA(~F ) = ~M = [−→AB, ~F ] =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k−2 3 32 0 1

∣∣∣∣∣∣= 3~ı+ 8~− 6~k.

Значение момента

|mA(~F )| = |M | =√

32 + 82 + (−6)2 =√

109.

15.7. Скалярное и векторное произведение. Определитель Грама

Согласно определению векторного произведения,

|~a×~b| = |~a| |~b| sinϕ.

Отсюда

|~a×~b|2 = |~a|2|~b|2 sin2 ϕ = |~a|2|~b|2(1 − cos2 ϕ) = |~a|2|~b|2 − |~a|2|~b|2 cos2 ϕ.

С учетом того, что

|~a|2|~b|2 cos2 ϕ = (~a ·~b)2, |~a|2 = (~a)2, |~b|2 = (~b)2,

запишем|~a×~b|2 = ~a2~b2 − (~a ·~b)2

или(~a×~b)2 + (~a ·~b)2 = ~a2~b2. (15.64)

� Формула (15.64) называется основным тождеством, связывающим квад-раты векторного и скалярного произведений.

Нетрудно заметить, что основное тождество (15.64) можно записать в видеопределителя

(~a×~b)2 =

∣∣∣∣~a · ~a ~a ·~b~b · ~a ~b ·~b

∣∣∣∣ . (15.65)

� Определитель (15.65) называется определителем Грама векторов ~a и ~b и

обозначается Γ(~a,~b), т.е.

Γ(~a,~b) =

∣∣∣∣~a · ~a ~a ·~b~b · ~a ~b ·~b

∣∣∣∣ . (15.66)

Таким образом, основное тождество (15.64) можно записать так:

(~a×~b)2 = Γ(~a,~b) > 0. (15.67)

Если учесть, что

(~a×~b)2 = S2пар,

где Sпар — площадь параллелограмма, построенного на векторах ~a и ~b, то по-лучим равенство

Sпар =

√Γ(~a,~b). (15.68)


♦ Соотношение (15.68) придает наглядный геометрический смысл опреде-лителю Грама двух векторов.

Очевидно, что высота параллелограмма, опущенного на сторону, представ-ляющую вектор ~a, можно найти как

h =Sпар

|~a| =

√Γ(~a,~b)

|~a| =

√Γ(~a,~b)

(~a,~a). (15.69)

Если под определителем Грама одного вектора понимать (~a,~a) = Γ(~a), то

h =

√Γ(~a,~b)

Γ(~a). (15.70)

Наряду с этим с помощью определителя Грама можно сформулировать ещеодин критерий линейной независимости двух векторов.

Два вектора: ~a и~b будут линейно независимы только при условии Γ(~a,~b) 6= 0.В противном случае они линейно зависимы (т.е. коллинеарны).

Ниже мы покажем, что этот критерий допускает обобщение на случай про-извольного числа векторов.

Пример 15.10. С помощью определителя Грама вычислить площадь треуголь-ника, заданного в примере 15.8, и его высоту, опущенную на сторону AB.

Решение. Координаты векторов−→AB и

−→AC уже найдены в примере 15.8:

−→AB =

(1, 1, 0),−→AC = (−1,−4,−3), а площадь треугольника SABC равна половине пло-

щади Sпар параллелограмма, построенного на векторах−→AB и

−→AC, поэтому по

формуле (15.68):

SABC =1

2Sпар =

1

2

√Γ(−→AB,

−→AC) =

1

2

∣∣∣∣∣−→AB2 (

−→AB,

−→AC)

(−→AC,

−→AB)

−→AC2

∣∣∣∣∣

1/2

=

=1

2

∣∣∣∣2 −5−5 26

∣∣∣∣1/2

=1

2

√27 =

3

2

√3

получим значение SABC , совпадающее с полученным в примере 15.8.Высоту h, опущенную на сторону AB, найдем аналогично высоте паралле-

лограмма по формуле (15.69):

h =SABC

|−→AB|=

3√

3/2√2

=3

2

√3

2.

Пример 15.11. Задачу из примера 15.9 решить с помощью определителя Гра-ма.

Решение. Плечо силы ~F = (2, 0, 1), приложенной к точке B, найдено в приме-

ре 15.9:−→AB = (−2, 3, 3), поэтому

mA(~F ) = |[−→AB, ~F ]| =

√Γ(−→AB, ~F ) =

∣∣∣∣∣−→AB2 (

−→AB, ~F )

(~F ,−→AB) ~F 2

∣∣∣∣∣

1/2

=

∣∣∣∣22 −1−1 5

∣∣∣∣1/2

=√

109

16. Произведение трех векторов 171

можно найти без помощи вектора ~M = [−→AB, ~F ].

♦ В заключение, как и для скалярного произведения, обсудим возможностьвведения операции, обратной векторному произведению векторов, т.е. операции

«деления вектора на вектор». Начала двух векторов ~a и~b поместим в одну точку

O, а через точку B, соответствующую концу вектора ~b, проведем прямую ℓпараллельно вектору ~a (рис. 46).

Теперь из точки O проведем вектор~b1, закан-

Рис. 46.

чивающийся в произвольной точке B1, лежащейна прямой ℓ. Из рис. 46 видно, что векторные

произведения [~a,~b] и [~a,~b1] совпадут:

[~a,~b] = [~a,~b1] = ~c.

Таким образом, если известны векторное произведение [~a,~b] и один из сомно-жителей, например ~a, то существует бесконечное множество векторов, которыепри векторном умножении на вектор ~a дадут тот же самый вектор ~c. Отсюдаследует, что операция, обратная векторному произведению («операция делениявектора на вектор»), определена неоднозначно и потому не получила широкогоприменения.

16. Произведение трех векторов

Рассмотрим теперь три вектора ~a, ~b и ~c. Если перемножить любые два век-

тора скалярно, например ~a ·~b, то третий вектор ~c нужно умножать на скаляр

(~a,~b). Умножение вектора на скаляр уже рассмотрено выше. Если же два лю-

бые вектора, например три вектора ~a, ~b, мы перемножим векторно: ~a × ~b, тополученный вектор с третьим вектором ~c мы можем перемножить или ска-лярно, или векторно. В первом случае мы получим векторно-скалярное, илисмешанное, произведение, а во втором — двойное векторное произведение. К ихрассмотрению мы и переходим.

16.1. Смешанное произведение векторов и его свойства

� Пусть даны три вектора ~a, ~b и ~c. Умножив векторно вектор ~a на вектор ~b,

получим вектор [~a,~b]. Если этот вектор умножить скалярно на вектор ~c, полу-

чим число [~a,~b] · ~c, которое называется векторно-скалярным, или смешанным,

произведением трех векторов ~a, ~b и ~c и обозначается

([~a,~b],~c).

Смешанное произведение — скалярная величина.Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов определя-

ется следующей теоремой.

Теорема 16.1. Смешанное произведение ([~a,~b],~c) равно объему параллелепи-

педа, построенного на векторах ~a, ~b и ~c, взятому со знаком плюс, если этатройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая, т.е.

([~a,~b],~c) = ±V. (16.1)

Если векторы ~a, ~b, ~c компланарны, то ([~a,~b],~c) = 0.


Доказательство. Пусть ~a, ~b, ~c — три некомпланарных вектора. На этих векто-рах как на ребрах построим параллелепипед (рис. 47). Векторное произведение

[~a,~b] = ~d есть вектор, перпендикулярный ~a и ~b, а модуль

|[~a,~b]| = |~d| = |~a| |~b| sinϕ

есть площадь параллелограмма, построенного на век-

Рис. 47.

торах ~a и ~b. Найдем скалярное произведение

([~a,~b],~c) = (~d,~c) = |~d| · пр~d~c, (16.2)

а пр~d~c = H — высота параллелепипеда. Тогда (16.2)примет вид

([~a,~b],~c) = dH = SH = V

— объем параллелепипеда. Если векторы ~a, ~b, ~c образуют левую тройку век-

торов, то ([~a,~b],~c) = −V . В общем случае ([~a,~b],~c) = ±V , что и требовалосьдоказать.

Следствие 16.1.1. Объем V1 треугольной пирамиды, образованной векторами

~a, ~b, ~c, равен

V1 =1

6V =

1

6

∣∣[~a,~b] · ~c∣∣. (16.3)

Отметим основные свойства смешанного произведения векторов.

Свойство 1 (ассоциативности). Смешанное произведение не изменяется, ес-ли в нем поменять местами знаки векторного (×) и скалярного (·) умножения,т.е.

(~a×~b) · ~c = ~a · (~b× ~c). (16.4)

Действительно, оба эти произведения имеют одинаковые абсолютные величины,равные объему параллелепипеда, построенному на перемножаемых векторах ~a,~b, ~c. Поскольку в правой части (16.4) сомножители в скалярном произведенииможно поменять местами, то мы будем иметь

([~a,~b],~c) = (~a, [~b,~c]) = ([~b,~c],~a).

Отсюда следует, что если тройка векторов ~a,~b,~c — правая, то и тройка ~b,~c,~a,полученная циклической перестановкой, тоже правая (см. пример 14.3). Этоозначает, что произведения в (16.4) совпадают как по абсолютной величине,так и то знаку, т.е. соотношение (16.4) является равенством.

♦ В силу ассоциативности смешанного произведения для него используетсяобозначение

([~a,~b],~c) = (~a,~b,~c)

без указания порядка векторного и скалярного произведений.

Свойство 2. Смешанное произведение не изменяется, если переставить пере-множаемые векторы в круговом (циклическом) порядке:

(~a,~b,~c) = (~b,~c,~a) = (~c,~a,~b).


Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ниориентация векторов, на которых он построен.

Свойство 3. При перестановке любых двух соседних векторов смешанное про-изведение изменяет только знак:

(~a,~b,~c) = −(~b,~a,~c) = (~b,~c,~a) = −(~c,~b,~a) = (~c,~a,~b) = −(~a,~c,~b),

поскольку объем параллелепипеда не изменяется, а тройка векторов меняеториентацию.

Свойство 4. Смешанное произведение векторов равно нулю:

(~a,~b,~c) = 0 (16.5)

тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы компланарны.

Действительно, объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых век-торах, равен нулю и, наоборот, если объем равен нулю, то векторы компланар-ны.

♦ Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их сме-шанного произведения:

(~a,~b,~c) = 0.

♦ В частности, смешанное произведение равно нулю, если два его сомножи-теля коллинеарны:

(~a, α~a,~b) = α([~a,~a],~b) = 0.

♦ Если для трех векторов (~a,~b,~c) > 0, то тройка векторов ~a,~b,~c — правая, в

противном случае тройка векторов ~a,~b,~c — левая.

16.2. Выражение смешанного произведениячерез координаты сомножителей

Теорема 16.2. Если векторы ~a,~b, ~c заданы своими проекциями (координатами)

~a = (x1, y1, z1), ~b = (x2, y2, z2), ~c = (x3, y3, z3), то смешанное произведение этихвекторов определяется формулой

(~a,~b,~c) =

∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣ . (16.6)

Доказательство. Известно, что

[~a,~b] =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~kx1 y1 z1x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣y1 z1y2 z2

∣∣∣∣~ı−∣∣∣∣x1 z1x2 z2

∣∣∣∣~+

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣~k

и ~c = x3~ı + y3~ + z3~k. Воспользовавшись теоремой о выражении скалярногопроизведения двух векторов через проекции сомножителей (15.9), будем иметь

[~a,~b] · ~c =

∣∣∣∣y1 z1y2 z2

∣∣∣∣ x3 −∣∣∣∣x1 z1x2 z2

∣∣∣∣ y3 +

∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣ z3


или, что то же,

[~a,~b] · ~c =

∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣ ,


Ранее мы показали, что если векторы ~a, ~b, ~c компланарны, то (~a,~b,~c) = 0.А согласно теореме 16.2, если смешанное произведение равно нулю, то векторылинейно зависимы. Поэтому необходимым и достаточным условием компланар-

ности векторов ~a = (x1, y1, z1), ~b = (x2, y2, z2), ~c = (x3, y3, z3) запишется в такомвиде: ∣∣∣∣∣

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣ = 0. (16.7)

Пример 16.1. Даны координаты вершины пирамиды O(0; 0; 0),A(2; 3; 0),B(3; 0; 4)и C(0; 4; 5). Найти 1) объем пирамиды; 2) плоский угол AOB; 3) площадь грани

OAC; 4) длину вектора−→AB.

Решение. 1. Построим пирамиду (рис. 48). Ее объем втрое меньше объематреугольной призмы с основанием OAB и боковым ребром OC, а объем этой

призмы вдвое меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах−→OA,−−→

OB и−→OC. Следовательно, в силу (16.3) найдем

Vпир =1

6Vпар =

1

6|[−→OA, −−→OB] · −→OC|.

Запишем координаты векторов:−→OA = (2, 3, 0),

−−→OB =

Рис. 48.

(3, 0, 4) и−→OC = (0, 4, 5). Следовательно,

Vпир =1

6

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣2 3 03 0 40 4 5

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ =1

6| − 77| = 12

5

6куб. ед.

Знак минус указывает на то, что векторы−→OA,

−−→OB и

−→OC образуют левую тройку.

2. Угол ∠AOB — это угол между векторами−→OA и

−−→OB:

cosϕ =(−→OA · −−→OB)

OA ·OB =2 · 3 + 3 · 0 + 0 · 4√

22 + 32 + 02√

32 + 02 + 42=

6

5√

13.

16.3. Смешанное произведение векторов и определитель Грама

Координатная форма (16.6) смешанного произведения позволяет записатьследующую цепочку равенств:

(~a,~b,~c)2 =

∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

∣∣∣∣∣ =

= det

[(x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

)(x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

)]= det

~a · ~a ~a ·~b ~a · ~c~b · ~a ~b ·~b ~b · ~c~c · ~a ~c ·~b ~c · ~c

= Γ(~a,~b,~c) > 0.

(16.8)


Отсюда объем параллелепипеда, построенного на векторах ~a, ~b, ~c, можно запи-сать в виде

Vпар = |(~a,~b,~c)| =

√Γ(~a,~b,~c). (16.9)

Соответственно, высота параллелепипеда, опущенная на плоскость векторов ~a

и ~b,

h =Vпар

Sпар

=

√Γ(~a,~b,~c)√

Γ(~a,~b)=

√Γ(~a,~b,~c)

Γ(~a,~b). (16.10)

С помощью определителя Грама можно сформулировать еще один крите-

рий линейной независимости трех векторов: три вектора ~a, ~b, ~c будут линейно

независимы только при условии Γ(~a,~b,~c) 6= 0; в противном случае они линейнозависимы (т.е. компланарны).

♦ Три взаимно ортогональных ненулевых вектора всегда линейно независи-мы:

Γ(~a,~b,~c) =

∣∣∣∣∣∣


∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣a2 0 00 b2 00 0 c2

∣∣∣∣∣ = a2b2c2 6= 0.

Пример 16.2. Найти высоту параллелограмма, построенного на векторах ~a,~b,~c,

опущенную из конца вектора ~c, если |~a| = 2, |~b| = 1, |~c| = 2, а сами векторыобразуют друг с другом одинаковые углы, равные π/3.

Решение. Следуя (16.10), найдем определители Грама:

Γ(~a,~b) =

∣∣∣∣4 11 1

∣∣∣∣ = 3,

Γ(~a,~b,~c) =

∣∣∣∣∣4 1 21 1 12 1 4

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣3 1 10 1 01 1 3

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣3 11 3

∣∣∣∣ = 8,

тогда

h =

√Γ(~a,~b,~c)

Γ(~a,~b)=

√8

3= 2

√2

3.

16.4. Двойное векторное произведение

� Двойным векторным произведением векторов называется вектор ~f , рав-ный

~f = [~a, [~b,~c]]. (16.11)

Теорема 16.3. Для всех векторов ~a, ~b, ~c справедливо соотношение

[~a, [~b,~c]] = ~b(~a,~c) − ~c(~a,~b). (16.12)

Доказательство. Пусть

~a = (x1, y1, z1), ~b = (x2, y2, z2), ~c = (x3, y3, z3).



[~a, [~b,~c]] =

∣∣∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~kx1 y1 z1∣∣∣∣

y2 z2y3 z3

∣∣∣∣ −∣∣∣∣x2 z2x3 z3

∣∣∣∣∣∣∣∣x2 y2

x3 y3

∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣=

=~ı{y1(x2y3 − y2x3) + z1(x2z3 − z2x3) + (x1x2x3 − x1x2x3)} −−~{x1(x2z3 − z2x3) − y1(y2z3 − z2y3) + (y1y2y3 − y1y2y3)} +

+~k{−x1(x2z3 − z2x3) − y1(y2z3 − z2y3) + (z1z2z3 − z1z2z3)} =

= (x2~ı+ y2~+ z2~k)(x1x3 + y1y3 + z1z3) −−(x3~ı+ y3~+ z3~k)(x1x2 + y1y2 + z1z2) = ~b(~a~c) − ~c(~a~b),

что и требовалось доказать.♦ При доказательстве формулы (16.12) мы неявным образом опирались на

два допущения:

а) векторы ~b и ~c предполагались неколлинеарными, т.е. [~b,~c] 6= 0;

б) векторы ~b и ~b предполагались не перпендикулярными вектору ~a одновре-

менно, т.е. (~b,~a)2 + (~c,~a)2 6= 0.Однако если хотя бы одно из этих допущений не выполняется, то обе частиформулы (16.12) обращаются в нуль и она сохраняет свою силу независимо отэтих допущений.

Следствие 16.3.1. Вектор двойного векторного произведения [~a, [~b,~c]] лежит

в плоскости векторов ~b и ~c. Причем если ~a ⊥ ~b, то вектор [~a, [~b,~c]] коллинеарен

вектору ~b, а если ~a ⊥ ~c, то вектор [~a, [~b,~c]] коллинеарен вектору ~c.

Следствие 16.3.2. Для любых трех векторов ~a, ~b, ~c справедливо равенство

[~a, [~b,~c]] + [~b, [~c,~a]] + [~c, [~a,~b]] = 0. (16.13)

Соотношение (16.13) называется тождеством Якоби.

Доказательство. Действительно, из (16.12) следует

[~a, [~b,~c]]+[~b, [~c,~a]]+[~c, [~a,~b]] = ~b(~a,~c)−~c(~a,~b)+~c(~b,~a)−~a(~b,~c)+~a(~c,~b)−~b(~c,~a) = 0.

Свойство ассоциативности (независимости порядка выполнения операцийумножения), характерное для смешанного произведения трех векторов, длядвойного векторного произведения в общем случае несправедливо. Действи-тельно, рассмотрим двойное векторное произведение со следующим порядком:

[[~a,~b],~c]. Согласно свойству антикоммутативности, его можно записать в виде,соответствующем порядку в формуле (16.12):

[[~a,~b],~c] = −[~c, [~a,~b]] (16.14)

Применив эту формулу к (16.14), т.е. заменив формально в (16.12) ~a⇒ ~c, ~b⇒ ~a,

~c⇒ ~b, получим

[[~a,~b],~c] = −[~c, [~a,~b]] = −{~a(~c,~b) −~b(~c,~a)} = ~b(~a,~c) − ~a(~c,~b)

17. Определение характеристик треугольника методами векторной алгебры 177

или[[~a,~b],~c] = ~b(~a,~c) − ~a(~c,~b). (16.15)

Сравнив (16.12) и (16.15), находим, что в общем случае

[[~a,~b],~c] 6= [[~a,~b],~c].

Обе формулы: (16.12) и (16.14), объединяются следующим правилом разло-жения векторного произведения.

♦ Векторно-векторное (двойное векторное) произведение трех векторов ~a, ~b,~c равно среднему вектору, умноженному на скалярное произведение крайних,минус тот вектор, который векторно перемножается со средним, умноженныйна скалярное произведение двух остальных.

♦ Множество трехмерных векторов относительно операций сложения век-торов, умножения на число и векторного произведения образуют алгебру Ли([~a,~a] = 0 и для двойного векторного произведения справедливо тождествоЯкоби).

17. Определение основных характеристик треугольникаметодами векторной алгебры

Одной из основных задач элементарной

Рис. 49.

геометрии является описание треугольника.В элементарной геометрии треугольник счи-тается заданным, если известны три его сто-роны или две стороны и угол между ними.Последнее в векторной алгебре означает за-

дание двух векторов. Пусть векторы ~a и ~b,выходящие из точкиC, определяют треуголь-ник ABC (рис. 49).

Покажем, что все характеристики этого треугольника легко найти методамивекторной алгебры.

1. Длина стороны AB

Вектор−→AB есть разность −→

AB = ~b− ~a,

тогда

|−→AB|2 = (~b− ~a,~b− ~a) = ~b2 − 2~a ·~b+ ~a2,

откуда

|−→AB| =

√~a2 +~b2 − 2~a ·~b. (17.1)

С учетом определения скалярного произведения: ~a2 = |~a|2 = a2, ~b2 = |~b|2 = b2,

~a ·~b = |~a| |~b| cosϕ = ab cosϕ, и соотношение (17.1) можно записать в виде

|AB| =√a2 + b2 − 2ab cosϕ.

Это соотношение известно в элементарной геометрии как теорема косинусов.

2. Второй угол, прилежащий к стороне CA (угол ψ = ∠CAB)Из рис. 49 следует

(−~a) · (~b− ~a) = |~a| |~b− ~a| cosψ,


откуда

cosψ =−~a · (~b− ~a)

|~a| |~b− ~a|=

a2 − ~a ·~b|~a|√a2 + b2 − 2~a ·~b

=a2 − ab cosϕ

a√a2 + b2 − 2ab cosϕ

. (17.2)

3. Вектор-высота ~h, опущенная из вершины B, и ее длинаИз рис. 49 следует

~b+ ~h =−−→CH,

откуда~h =

−−→CH −~b,

а с учетом−−→CH =

~a

|~a| · пр~a~b =

~a

|~a|~a ·~b|~a| =

~a(~a ·~b)|~a|2 =

~a

ab cosϕ

имеем

~h =~a(~a ·~b)|~a|2 −~b. (17.3)

Из (17.3) найдем

|~h| =

√(~h,~h) =

√(~a,~b)2

|~a|2 − |~b|2 − 2(~a,~b)2

|~a|2 =

√|~b|2 − (~a,~b)2

|~a|2 =

=1

a

√|~b|2|~a|2 − (~a,~b)2 =

√Γ(~a,~b)

Γ(~a)= b sinψ. (17.4)

Любая из формул (17.4) позволяет вычислить длину высоты h, опущенной извершины B.

4. Вектор-медиана ~m, проведенная из точки CИз рис. 49 следует

~m = ~a+−−→AM = ~a+

1

2

−→AB = ~a+

1

2(~b− ~a)

или

~m =1

2(~b+ ~a). (17.5)

Это соответствует утверждению известной из элементарной геометрии теоремыо том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на

векторах ~a и ~b, делит их пополам.Из (17.5) найдем

|~m| =1

2|~b+ ~a| =

1

2

√|~a|2 + |~b|2 + 2(~a,~b). (17.6)

5. Вектор-биссектриса ~n, проведенная из точки CЗдесь мы воспользуемся тем свойством, что диагонали ромба являются не

только медианами, но и биссектрисами соответствующих треугольников. Вы-

числив по векторам ~a и ~b их орты:

~a0 =~a

|~a| ,~b0 =

~b

|~b|,

17. Определение характеристик треугольника методами векторной алгебры 179

вектор биссектрисы можем записать как

~n = α(~a0 +~b0) = α( ~a|~a| +

~b

|~b|

). (17.7)

Наряду с этим из рис. 49 следует, что

~n = ~a+−−→AN = ~a+ β(~b− ~a), (17.8)

где β — еще один неизвестный параметр. Оба неизвестных параметра α и β мынайдем, приравняв правые части (17.7) и (17.8):

α( ~a|~a| +

~b

|~b|

)= ~a+ β(~b− ~a).

Получим ( α|~a| − 1 + β

)~a+

( α|~b|

− β)~b = 0.

Отсюда в силу линейной независимости векторов ~a и ~b найдем

1 − β =α

|~a| ,α

|~b|= β. (17.9)

Решение этой системы уравнений имеет вид

α =|~a||~b|

|~a| + |~b|, β =

|~a||~a| + |~b|

. (17.10)

Подставив α из (17.10) в (17.7), найдем вектор-биссектрису

~n =|~a||~b|

|~a| + |~b|

( ~a|~a| +

~b

|~b|

)=b~a + a~b

a+ b(17.11)

и ее длину

|~n| =√

(~n, ~n) =

√2ab[ab − ab cosϕ)]

a + b. (17.12)

Заметим, что параметр β позволяет записать составляющие вектора ~b − ~aкак

−−→AN =

|~a||~a| + |~b|

(~b−~a), −−→NB = (~b−~a)− |~a|

|~a| + |~b|(~b−~a) =

|~b||~a| + |~b|

(~b−~a). (17.13)

Отсюда

|−−→AN ||−−→NB|

=|~a||~b|. (17.14)

Это соотношение соответствует известному в элементарной геометрии утвер-ждению, что биссектриса делит сторону на отрезки, отношение длин которыхсовпадает с отношением длин сторон, к которым они прилегают.

6. Площадь треугольника SABC


Из свойств векторного произведения [~a,~b] имеем

SABC =1

2|[~a,~b]| =

1

2

√([~a,~b], [~a,~b]) =

1

2

√a2b2 − (~a,~b)2 =

1

2

√Γ(~a,~b). (17.15)

Пример 17.1. Для треугольника ABC, построенного на векторах−→CA = ~p− ~q,−−→

CB = 2~p + ~q, где |~p| = 1, |~q| = 2, ∠(~a,~b) = π/4, методами векторной алгебрынайти:

а) длины сторон CA и AB и угол между ними;б) площадь треугольника ABC;

в) вектор-высоту ~h, проведенную из точки B, и ее длину;г) вектор-медиану ~m, проведенную из угла C, и ее длину;д) вектор-биссектрису ~n угла C и ее длину.

Решение. На сторонах треугольника построим векторы−→CA = ~a = ~p− ~q,

−−→CB =

~b = 2~p+ ~q. Тогда−→AB = ~b− ~a = ~p+ 2~q. Вычислив

|~a|2 = (~a,~a) = (~p− ~q, ~p− ~q) = |~p|2 − 2(~p, ~q) + |~q|2 =

= 1 − 2 · 1 · 2√

2

2+ 4 = 5 − 2

√2;

|~b|2 = (~b,~b) = (2~p+ ~q, 2~p+ ~q) = 4|~p|2 + 4(~p, ~q) + |~q|2 =

= 4 + 4 · 1 · 2√

2

2+ 4 = 8 + 4

√2;

(~a,~b) = (~p− ~q, 2~p+ ~q) = 2|~p|2 − 2(~q, ~p) + (~p, ~q) − |~q|2 =

= 2|~p|2 − (~p, ~q) − |~q|2 = 2 −√

2 − 4 = −2 −√

2,

(17.16)

найдем определитель Грама

Γ(~a,~b) =

∣∣∣∣(~a,~a) (~a,~b)

(~b,~a) (~b,~b)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣5 − 2

√2 −2 −

√2

−2 −√

2 8 + 4√

2

∣∣∣∣ =

=(5 − 2√

2)4(2 + 2√

2) − (2 + 2√

2)2 =4(6 +√

2) − (6 + 4√

2)=18.(17.17)

Соотношения (17.16) и (17.17) позволяют воспользоваться рис. 49 и форму-лами (17.1)–(17.15):

а) |CA| = |−→CA| = |~a| =√

(~a,~a) =√

5 − 2√

2,

|AB| = |−→AB| = |~b− ~a| =

√(~b,~b) − 2(~a,~b) + (~a,~a) =

=

√8 + 4

√2 − 2(−2 −

√2) + 5 − 2

√2 =

√17 + 4

√2,

cosψ =(~a,~a) − (~a,~b)

|~a| |~b− ~a|=

5 − 2√

2 + 2 +√

2√(5 − 2

√2)(17 + 4

√2)

≈ 0,798, ψ ≈ 37◦;

б) согласно (17.15),

SABC =1

2

√Γ(~a,~b) =

1

2

√18 =

3

2

√2;

18. Основные задачи векторной алгебры 181

в) согласно (17.3),

~h =~a(~a,~b)

(~a,~a)−~b =

~a(−2 −√

2)

5 − 2√

2−~b = −14 + 9

√2

17~a−~b =

−48 − 9√

2

17~p+

−3 + 9√

2

17~q,

а, согласно (17.4),

|~h| =

√Γ(~a,~a)

Γ(~a)=

√18

5 − 2√

2=

√18(5 + 2

√2)

17;

г) вектор-медиана ~m, согласно (17.5), равна

~m =1

2(~a+~b) =

1

2(~p− ~q + 2~p+ ~q) =

3

2~p,

соответственно,

|~m| =3

2|~p| =

3

2,

впрочем, этот же результат следует из (17.6):

|~m| =1

2

√|~a|2 + |~b|2 + 2(~a,~b) =

1

2

√5 − 2

√2 + 8 + 4

√2 + 2(−2 −

√2) =

3

2;

д) вектор-биссектриса ~n и ее модуль |~n| определяются формулами (17.11) и(17.12), для упрощения примем

|~a| =

√5 − 2

√2 ≈ 1,5; |~b| = 2

√2 +

√2 ≈ 3,7; (~a,~b) = −(2 +

√2) ≈ −3,4,

тогда

~n =3,7~a+ 1,5~b

5,2=

3,7(~p− ~q) + 1,5(2~p+ ~q)

5,2≈ 1,3~p− 0,1~q,

|~n| ≈√

1,32|~p|2 − 0,26(~p, ~q) + 0,01|~q|2 ≈ √1,4 ≈ 1,2,

этот же результат следует из (17.12).

18. Основные задачи векторной алгебры

18.1. Определение вектора по известному скалярному произведениюс заданным вектором

Рассмотрим уравнение~x · ~a = α, (18.1)

где ~x — вектор, подлежащий определению, а вектор ~a и число α — заданныевеличины.

Решение уравнения (18.1) эквивалентно нахождению вектора ~x по его ска-лярному произведению с заданным вектором ~a. Как мы уже знаем, решениеэтой задачи неоднозначно. Исследуем характер этой неоднозначности.

Пусть ~x — решение уравнения (18.1). Если мы умножим его векторно на

вектор ~a, то мы получим некоторый вектор ~b:

~a× ~x = ~b. (18.2)


Умножив (18.2) еще раз векторно на ~a, получим

(~a× ~x) × ~a = ~b× ~a. (18.3)

Воспользовавшись разложением двойного векторного произведения в виде (16.12)и учитывая (18.1), запишем

(~a× ~x) × ~a = ~x(~a · ~a) − ~a(~x · ~a) = |~a|2~x− α~a. (18.4)

Отсюда|~a|2~x− α~a = ~b× ~a


~x =1

|~a|2 (α~a+~b× ~a). (18.5)

Обозначив ~b/|~a|2 = ~β, получим решение уравнения (18.1) в виде

~x =α

|~a|2~a+ ~β × ~a. (18.6)

Нетрудно убедиться, что при любом выборе вектора ~β вектор ~x удовлетворяетуравнению (18.1). Действительно, подставив (18.6) в (18.1):

( α

|~a|2~a+ ~β × ~a)· ~a =

α

|~a|2 (~a,~a) + (~β × ~a) · ~a = α + 0 = α,

получим тождество.Таким образом, общее решение (18.6) уравнения (18.1) находится с точно-

стью до произвольного вектора. Этот результат становится очевидным, еслиисходное уравнение рассматривать как одно линейное уравнение для трех неиз-вестных координат x1, x2, x3 вектора ~x:

a1x1 + a2x2 + a3x3 = α.

18.2. Определение вектора по известному векторному произведениюс заданным вектором

Рассмотрим уравнение

~a× ~x = ~b, (18.7)

где ~x — искомый вектор, а векторы ~a и ~b — заданные перпендикулярные век-торы.

Решение уравнения (18.7) эквивалентно нахождению вектора ~x по его век-торному произведению с заданным вектором ~a. Мы уже знаем, что решениеэтой задачи неоднозначно. Установим характер этой неоднозначности.

Уравнение (18.7) умножим векторно на вектор ~a:

(~a× ~x) × ~a = ~b× ~a.

Воспользовавшись разложением (18.3) двойного векторного произведения, по-лучим

~x|~a|2 − ~a(~x · ~a) = ~b× ~a

или

~x =(~x · ~a)|~a|2 ~a+

~x× ~a

|~a|2 .


Обозначив (~x · ~a)~a/|~a|2 = α, получим решение уравнения (18.7) в виде

~x = α~a+~b× ~a

|~a|2 . (18.8)

Нетрудно убедиться, что при любом выборе скаляра α полученный вектор ~x удо-влетворяет уравнению (18.7). Действительно, подставив (18.8) в (18.7), с учетом

соотношений ~a× ~a = 0, ~b · ~a = 0 получим тождество

~a(α~a+~b× ~a) = α~a× ~a+ ~a× (~b× ~a) = 0 +~b~a 2

|~a|2 − ~a(~b · ~a) = ~b.

Таким образом, общее решение (18.8) уравнения (18.7) находится с точно-стью до произвольного скаляра, в отличие от решения уравнения (18.1), кото-рое находится с точностью до произвольного вектора. Это отличие становитсяпонятным, если исходное уравнение (18.7) рассматривать как систему линей-ных уравнений для определения координат x1, x2, x3 искомого вектора ~x через

известные координаты a1, a2, a3 и b1, b2, b3 векторов ~a и ~b:

−a3x2 + a2x3 = b1,

a3x1 − a1x3 = b2,

−a2x1 + a1x2 = b3.

18.3. Определение вектора по известным векторному и скалярномупроизведениям с заданными векторами

Требуется определить неизвестный вектор ~x из системы двух уравнений{~a× ~x = ~b,

~c · ~x = β,(18.9)

где скаляр β и векторы ~a,~b,~c считаются заданными, причем предполагается, что

вектор ~a перпендикулярен вектору ~b и не перпендикулярен вектору ~c: ~a ·~b = 0,~a · ~c 6= 0.

Решение этой системы можно получить с помощью решений (18.6) или (18.8).Однако имеется более простой способ. Первое уравнение в (18.9) умножим век-торно на вектор ~c:

(~a× ~x) × ~c = ~b× ~c

или~x(~a · ~c) − ~a(~x · ~c) = ~b× ~c.

Отсюда, воспользовавшись вторым уравнением системы, найдем вектор

~x =β|~a|~a · ~c +

~b× ~c

~a · ~c . (18.10)

Из (18.10) следует, что вектор, заданный своими векторным и скалярнымпроизведениями, определяется однозначно.

Пример 18.1. Решить систему векторных уравнений{~a× ~x = ~b,

~c · ~x = −3,(18.11)

если в декартовой системе координат ~a = (1,−1, 1), ~b = (2, 1,−1), ~c = (0, 3, 2).


Решение. Условиями разрешимости системы (18.11) являются требования ~a ·~b = 0, ~a · ~c 6= 0. Вычислив

~a ·~b = 2 − 1 − 1 = 0, ~a · ~c = 0 − 3 + 2 = −1,

выясняем, что система разрешима. Приняв во внимание, что

~b× ~c =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k2 1 −10 3 2

∣∣∣∣∣∣= 5~ı− 4~+ 6~k,

согласно (18.10), найдем

~x = −3~a

~a · ~c +~b× ~c

~a · ~c = 3(~ı− ~+ ~k) − (5~ı− 4~+ 6~k) = −2~ı+ ~− 3~k.

18.4. Определение вектора по трем скалярным произведениям

Требуется найти неизвестный вектор ~x, если известны его скалярные произ-

ведения с тремя некомпланарными векторами ~a,~b,~c. Рассматриваемая задачасводится к решению трех уравнений

~a · ~x = α, ~b · ~x = β, ~c · ~x = γ. (18.12)

Умножим скалярно первое уравнение из (18.12) на ~b, а второе на (−~a) и сложимих:

~b(~a · ~x) − ~a(~b · ~x) = ~bα− ~aβ.

Отсюда(~a×~b) × ~x = α~b− β~a.

Это уравнение вместе с третьим уравнением исходной системы

(~a×~b) × ~x = α~b− β~a,~c · ~x = γ

(18.13)

дают систему вида (18.9). Решение системы (18.13), согласно (18.10), имеет вид

~x = γ~a×~b

(~a×~b) · ~c+

(α~b− β~a) × ~c

(~a×~b) · ~c=α(~b× ~c) + β(~c× ~a) + γ(~a×~b)

(~a,~b,~c). (18.14)

18.5. Линейное векторное уравнение

Требуется найти неизвестный вектор ~x из уравнения

α~x+ ~a× ~x = ~b (18.15)

по известным векторам ~a,~b и скаляру α.Умножим исходное уравнение (18.15) скалярно на ~x и получим

α(~x · ~a) + (~a× ~x) · ~a = ~b · ~a,

откуда следует

~x · ~a =~b · ~aα. (18.16)


Умножение исходного уравнения (18.15) векторно на тот же вектор дает

α~x× ~a+ (~a× ~x) × ~a = ~b× ~a

илиα(~a× ~a) + ~x|~a|2 − ~a · (~x · ~a) = ~b× ~a. (18.17)

Исключим векторное произведение ~x×~a из (18.17) с помощью исходного урав-

нения (18.15): ~a × ~x = ~b − α~x, а скалярное произведение (~x · ~a) — из (18.17) спомощью (18.16). После этого уравнение (18.17) примет вид

~x|~a|2 − ~a(~b · ~a)α

− α(~b− α~x) = ~b× ~a,

откуда получим

(|~a|2 + α2)~x = ~b× ~a+ α~b+~a

α(~b · ~a)


~x =α(~b× ~a) + α2~b+ |~a|2(~b · ~a)

α(α2 + |~a|2) . (18.18)

Пример 18.2. Решить векторное уравнение

2~x+ ~a× ~x = ~b, (18.19)

если ~a = (1,−1, 1), ~b = (2, 1,−1).

Решение уравнения (18.19) задается формулой (18.18), т.е.

~x =2(~b× ~a) + 4~b+ |~a|2(~b · ~a)

2(4 + |~a|2) .

Поскольку

~b× ~a =

∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k2 1 −11 −1 1

∣∣∣∣∣∣= −3~− 3~k,

~b · ~a = 0, |~a|2 = 3,

то

~x =1

2(4 + 3)[2(−3~− 3~k) + 4(2~ı+ ~− ~k)] =

1

7(4~ı− ~− 5~k).

18.6. Разложение заданного векторапо трем некомпланарным векторам

Даны три некомпланарных вектора ~a,~b,~c и вектор ~r. Требуется найти ко-

ординаты вектора ~r в базисе ~a,~b,~c. Эта задача сводится к определению трехскаляров x1, x2, x3 из уравнения

~r = x1~a+ x2~b+ x3~c. (18.20)


Умножив скалярно исходное уравнение (18.20) последовательно на векторы (~b×~c), (~c× ~a), (~a×~b), получим

(~r,~b,~c) = x1(~a,~b,~c),

(~r,~c,~a) = x2(~b,~c,~a),

(~r,~a,~b) = x3(~c,~a,~b).

Отсюда найдем

x1 =(~r,~b,~c)

(~a,~b,~c);

x2 =(~a,~r,~c)

(~a,~b,~c); (18.21)

x3 =(~a,~b, ~r)

(~a,~b,~c).

Формулу (18.21) можно рассматривать как векторную запись правила Крамера.Действительно, если положить в некотором базисе

~r =

(d1

d2

d3

), ~a =

(a1

a2

a3

), ~b =

(b1b2b3

), ~c =

(c1c2c3

), (18.22)

то векторное уравнение будет равносильно системе трех линейных уравнений стремя неизвестными x1, x2, x3:(

d1

d2

d3

)= x1

(a1

a2

a3

)+ x2

(b1b2b3

)+ x3

(c1c2c3

),

т.е.

a1x1 + b1x2 + c1x3 = d1,

a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2, (18.23)

a3x1 + b3x2 + c3x3 = d3.

Отсюда по правилу Крамера, например, для x1 получим формулу из (18.21):

x1 =

∣∣∣∣∣d1 b1 c1d2 b2 c2d3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣d1 d2 d3

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣

.

Формулы (18.21) допускают фундаментальное обобщение для любых линейныхсистем, в которых число переменных равно числу уравнений.

18.7. Определение основных характеристик тетраэдраметодами векторной алгебры

В трехмерном пространстве роль, аналогичную роли треугольника на плос-кости, играет тетраэдр, или треугольная пирамида ABCD (рис. 50). (Треуголь-ник и тетраэдр, в терминах многогранников — трехгранник и четырехгранник,— являются двумерным и трехмерным симплексами, причем гранями трехмерногосимплекса будут двумерные симплексы, т.е. треугольники, и т.д. (см. подробнееразд. «Симплексы»).)


Рис. 50.

Четыре точки A,B,C,D определяют некоторыйтетраэдр ABCD. С точки зрения векторной алгебры,

четыре точки задают три вектора, например ~a =−−→DA,

~b =−−→DB, ~c =

−−→DC (см. рис. 50).

Покажем, что все основные характеристики тет-раэдра можно найти методами векторной алгебры.1. Длина, например, ребра AB определяется следую-

щей цепочкой равенств:

|AB| = |−→AB| = |~b− ~a| =

√|~a|2 + |~b|2 − 2~a ·~b.

(18.24)Аналогично можно найти длины других ребер.

1. Плоские углы гранейНапример, угол β = ∠ABC с учетом свойств скалярного произведения опре-делится соотношением

cos β =(~b− ~a) · (~b− ~c)

|~b− ~a| |~b− ~c|=

~a · ~c− ~a ·~b−~b · ~c+~b 2

√|~a|2 + |~b|2 − 2~a ·~b

√|~b|2 + |~c|2 − 2~b · ~c

. (18.25)

Аналогично определяются другие плоские углы граней.2. Двугранные углы при ребрах

Например, угол ϕ при ребре DA равен углу между перпендикулярами к век-

торам ~a,~b и ~a,~c. Тогда с учетом свойств смешанного и двойного векторногопроизведений запишем

cosϕ =(~a×~b) · (~a× ~c)

|~a×~b| |~a× ~c|=

(~b · ~c)|~a|2 − (~a · ~c)(~a ·~b)√|~a|2|~b|b2 − (~a ·~b)2

√|~a|2|~c|2 − (~a · ~c)2

. (18.26)

Косинусы остальных двугранных углов тетраэдра определяются аналогично.3. Углы между ребрами и гранями

Например, угол ψ между ребром−−→DA и гранью DBC равен ψ = π/2 − α,

где α — угол между вектором ~a и перпендикуляром к грани, образованной

векторами ~b и ~c. Поэтому

sinψ =|~a · (~b× ~c)||~a||~b× ~c|

=1

|~a|

√Γ(~a,~b,~c)

Γ(~b,~c). (18.27)

Углы между остальными ребрами и гранями находятся аналогично.4. Длины высот

Например, длина высоты AE, опущенной из точки A на грань DBC, опре-делится как отношение объема тетраэдра к площади основания DBC. В ре-зультате получим

h = |AE| = |~a| sinψ =

√Γ(~a,~b,~c)

Γ(~b,~c). (18.28)

5. Кратчайшее расстояние между ребрами


Например, расстояние между ребрами DA и BC (рис. 50) равно проекции

вектора−→AC на перпендикуляр к векторам

−−→DA и

−−→CD. Следовательно, с уче-

том свойств векторного произведения запишем

δ = |пр ~N~b| = ~b ·

~N

| ~N |,

где~N = ~a× (~b− ~c),

или

δ =|(~b,~a, (~b− ~c))||~a× (~b− ~c)|

=

√Γ(~a,~b,~c)

Γ(~a,~b− ~c). (18.29)

Расстояние между другими ребрами находится аналогично.

♦ Все полученные формулы, позволяющие рассчитать характеристики тет-раэдра, в итоге содержат только скалярные произведения образующих тетра-эдр векторов. Скалярные произведения являются числами (инвариантами), неизменяются при преобразованиях базисных векторов и, следовательно, содер-жащие их определители Грама также не меняются, а поэтому полученные вышеформулы остаются справедливыми в любой системе координат.

Пример 18.3. Дана пирамида DABC. Длина ребер пирамиды, выходящих извершины D, равна: DA = 2, DB = 4, DC = 4, а углы между ними, соответ-ственно, ∠ADB = 2π/3, ∠BDC = π/3, ∠CDA = π/2. Методами векторнойалгебры найти:

а) длину ребра AB и угол ∠ABC;б) двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC;в) длину высоты, опущенной из точки A на грань DBC и кратчайшее рас-

стояние между ребрами BA и BC;г) объем пирамиды.

Решение. На ребрах пирамиды построим векторы−−→DA = ~a,

−−→DB = ~b,

−−→DC = ~c.

Воспользуемся рис. 50 и введенными там обозначениями. Для удобства даль-нейших вычислений предварительно найдем определитель Грама:

Γ(~a,~b,~c) =

∣∣∣∣∣∣


∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣4 −4 0−4 16 60 6 9

∣∣∣∣∣ = 288, (18.30)

Γ(~a,~b) =

∣∣∣∣4 −4−4 16

∣∣∣∣ = 48, Γ(~a,~c) =

∣∣∣∣4 00 9

∣∣∣∣ = 36, Γ(~b,~c) =

∣∣∣∣16 66 9

∣∣∣∣ = 108.

Соотношение (18.30) позволяет воспользоваться формулами (18.24)–(18.29):

a) |AB| = |−→AB| = |~b− ~a| =

√|~a|2 + |~b|2 − 2(~a ·~b) =

√4 + 16 + 8 =

√28;

cosβ = cos(∠ABC) =~a · ~c− ~a ·~b−~b · ~c+ |~b|2√

|~a|2 + |~b|2 − 2(~a ·~b)√

|~b|2 + |~c|2 − 2(~b · ~c)=

=0 − (−4) − 6 + 16√

4 + 16 + 8√

16 + 9 − 12=

14√364

≈ 0,73, ∠ABC ≈ 42◦;


б) двугранный угол ϕ при ребре DA, согласно (18.26), равен

cosϕ =(~b · ~c)|~a|2 − (~a · ~c)(~a ·~b)

Γ(~a,~b)Γ(~a,~c)=

6 · 4 − 0√48√

36=

1√3≈ 0,57, ϕ ≈ 57◦,

а угол ψ между ребром DA и гранью DBC, в силу (18.27), найдется как

sinψ =1

|~a|

√Γ(~a,~b,~c)

Γ(~b,~c)=

1

2

√288

108≈ 0,81, ψ ≈ 55◦;

в) длина h высоты, опущенной из точки A на грань DBC (18.28) равна

h =

√Γ(~a,~b,~c)

Γ(~b,~c)=

√288

108≈ 1,62,

а кратчайшее расстояние между ребрами DA и BC (18.29):

δ =

√Γ(~a,~b,~c)

Γ(~a,~b− ~c),

поскольку

Γ(~a,~b− ~c) =

∣∣∣∣~a · ~a ~a · (~b− ~c)

(~b− ~c) · ~a (~b− ~c) · (~b− ~c)

∣∣∣∣ =

= |~a|2[|~b|2 + |~c|2 − 2(~b · ~c)] − (~a ·~b)2 − (~a · ~c) + 2(~a ·~b)(~a · ~c) =

= 4(16 + 9 − 12) − 16 = 26,

то

δ =

√288

26≈ 3,3;

г) объем пирамиды равен

V =1

6

√Γ(~a,~b,~c) =

1

6

√288 ≈ 2,8.

190 Список литературы

Список литературы

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. —М.: Наука, 1987.

2. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М.: Наука,1983.

3. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по анали-тической геометрии и линейной алгебре. — М.: Наука, 1987.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитиче-ской геометрии. — М.: Наука, 1988.

5. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. — М.: Наука,1979.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упраж-нениях и задачах. — М.: Высшая школа, 1980.

7. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Выс-шая математика для технических университетов. Часть IV. Ряды: Учеб-ное пособие. — Томск: Изд-во Томск. политехн. ун-та, 2006. — 343 с.

8. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Выс-шая математика для технических университетов. Часть V. Дифферен-циальные уравнения: Учебное пособие. — Томск: Изд-во Томск. политехн.ун-та, 2007. — 396 с.

9. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1984.10. Кайгородов В.Р. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. —

Казань: Изд-во Каз. гос. ун-та, 1985.11. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике (в 3-х т.). —

Харьков: Изд-во Хар. гос. ун-та, т. 1., 1965.12. Кузнецов Л.А. Сборник индивидуальных заданий по курсу высшей мате-

матики. — М.: Наука, 1964.13. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1987.14. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: Наука, 1984.15. Рублев А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.:

Наука, 1972.16. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Часть 1. Линейная ал-

гебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия: Учебное пособие. —Томск, Изд-во Томск. политехн. ун-та, 2002. — 224 с.

17. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.: На-ука, 1977.

Задорожный Валерий НиколаевичЗальмеж Владимир Феликсович

Трифонов Андрей ЮрьевичШаповалов Александр Васильевич

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКАдля технических университетов. I

Линейная алгебра

Учебное пособие

Технический редактор В.Н. Романенко

Набор и верстка выполнены на компьютерной техникев издательской системе TEX – LATEX

с использованием семейства шрифтов Computer Modern

Подписано к печати . .2009.Формат 60×84/8. Бумага офсетная.Печать RISO. Усл. печ. л. – . Уч.-изд. л. – .Тираж 150 экз. Заказ № . Цена свободная.Издательство ТПУ. 634050, г. Томск, проспект Ленина, 30

Documents

Линейная Алгебра