Доходность и риск акций.

Определение рискаРаспределение вероятностей и ожидаемая доходность (подход аналитика – сценарный подход)Дисперсия и среднеквадратичное отклонение – мера риска Коэффициент вариацииСтатистический подход.Статистика рынка акций. Риск и доходность портфеля. Ковариационная матрицаПортфель из двух бумаг. Портфель из N бумаг.Зависимость риска от диверсификацииЭффективный портфель. Граница эффективности. Множество Марковица.

Принимая решение об инвестировании, обычно сначала оценивает риск инвестиции, а затем определяется, является ли уровень доходности достаточным для компенсации ожидаемого риска. Под риском понимают вероятность неблагоприятного исхода. Например, инвестор купил краткосрочные 100 краткосрочных государственных облигаций номиналом 100 и доходностью 10%. Такие инвестиции являются берисковыми. Возможно, приобрести на эту же сумму акции перспективной компании. Точная доходность этих акции неизвестна, но оценка доходности составляет 20%, но при этом существует вероятность не получить ожидаемую доходность.

Подход аналитика. (сценарный подход)

Например, вы владеете 10 летними облигациями с купоном в 10%. Это владение принесет обещанный доход, если вы владеете облигациями все 10 лет. Однако, если возникнет необходимость продать облигации в конце 3 года, то цена облигации будет зависит от текущей ставки процента. А процентная ставка зависит от состояния экономики: рост, спад и т.д. Существует некоторая вероятность осуществления того или иного состояния экономики.

Финансовый аналитик на основе анализа макрофакторов (экономика в целом) и микрофакторов (состояние фирмы) прогнозирует стоимость акций (или доходность акций) для различных состояний экономики и вероятность осуществления данного состояния. Результатом его работы является расчет ожидаемой доходности , стандартного отклонения и ковариации доходностей акций, рассматриваемых фирм.Пусть имеется следующая таблица.

Таблица 1.Оценка доходности по четырем альтернативамСостояние экономики вероятность Корпоративные

облигации доходность в %

Проект 1- доходностьв %

Проект2- доходностьв %

Глубокий спад 0,05 12 -3 -2

Незначительный спад 0,2 10 6 9

Стагнация 0,5 9 11 12

Незначительный подъем 0,2 8,5 14 15

Сильный подъем 0,05 8 19 26

Ожидаемая доходность 9,2 10,3 12

Дисперсия 0,71 19,31 23,2

Риск 0,8426 4,3943 4,8166

коэффициент вариации 0,09 0,43 0,40

1

Ожидаемая доходность (expected rate оf return)– это средневзвешенные по состояниям доходности1

(1)

Под риском акции понимается отклонение от ожидаемой доходности. Мерой риска является среднеквадратическое отклонение. В литературе чаще используют термин вариация доходности. Среднеквадратическое отклонение равно корню квадратному из вариации (дисперсии), которая равна

(2)

р(s) – вероятность реализации состояния s, Е(r(s)) – среднее значение случайной величины.

Вычисленное по этой формуле среднеквадратическое отклонение не является в полной мере оценкой риска данной бумаги (инвестиции), поскольку не учитывает влияние других факторов (бумаг), количественной оценкой которой является ковариация

(3)

Из таблицы 1 следует, что самой безрисковой бумагой являются корпоративные облигаций, но они же имеют и наименьшую доходность. Поэтому более правильной оценкой для сравнения соотношения риска и доходности инвестиции является коэффициент вариации – отношение риска к доходности.

(4)

Этот коэффициент имеет максимальное значение проекта 1.

Подход статистика.Оценка, финансового аналитика является во многом субъективной. Если имеются

временные ряды доходности за достаточно длительный период, то ожидаемую доходность и риск можно оценить применяя статистические методы прогнозирования на основе временных рядов. В современной математике финансов это подход является наиболее используемым. Такой подход называют подходом статистика.

Финансовый статистик строит свои прогнозы доходности вариации акции и ее ковариации с другими акциями по прошлым доходностям. Прошлые доходности - это независимая случайная выборка из некоторого базисного распределения. Обычно это исторические доходности, полученные с фондового рынка. Аналитик пытается оценить цену акций по генеральной совокупности непосредственно. Оценки параметров генеральной совокупности по выборке должны быть несмещенными и состоятельными. По проблеме прогнозирования доходности и вариации по историческим данными существует достаточно большая литература. Если все требования теории статистического оценивания параметров генеральной совокупности выполнены, то оценки, полученные финансовым статистиком будут совпадать с оценками финансового аналитика. Имеется целый ряд работ, в которых сравниваются результаты двух подходов и дается оценка частоты использования в инвестиционном анализе этих подходов.По историческим данным за некоторый период выборочное среднее вычисляется по формуле

(5)

1Оценка доходности акции с ипользованием вероятности сценариев называет «средне-вариационным методом» (means-variance)

2

Это значение выборочной средней принимается за доходность2.Вариация или дисперсия должна быть несмещенной оценкой и вычисляется по формуле

(6)

Несмещенная выборочная ковариация рассчитывается по формуле

(7)

При анализе финансовых рыночных рисков сталкиваются в основном с двумя видами рисков.

Риск неопределенности исходов, при заданном распределении вероятности Риск точности используемых данных распределения вероятности.

Задача.Имеются следующие данные о доходностях акций фирмы А и Б.Вероятность А доходность% Б доходность в %0,1 0 -0,500,2 0,50 -0,250,4 1,00 1,500,2 2,00 3,000,1 3,00 4,00Найти ожидаемую доходность и риск акций А и Б.Решение.Ожидаемая доходность акции А равна

0,1*0+0,2*0,5+0,4*1+0,2*2,00+0,1*3,00=1,2Ожидаемая доходность акции Б равна Риск –это стандартное отклонениеДля А риск равен 0,1*(0-1,2)2 + 0,2*(0,5-1,2)2+0,4*(1,00-1,2)2+0,2*(2,00-1,2)2+0,1*(3-1,2)2=0,898. Риск равен 0,95.Риск акций Б равен 1,44.

2 В методологии оценки доходностей и вариации акций RiskMetrics банка JP Morag при вычислении доходностей во всех случаях используется "логарифмическая" доходность (т.е. доходность на основе непрерывного сложного процента

3

Статистика доходностей.На рис ниже .показаны ежедневная и ежемесячная доходность акций РАО ЕС за 2002-2003 годы.

дохеж дохмесN Валидные 729 35 Пропущенные 0 694Среднее ,00167

8,03494

9Мода

,0000-,3123(

a)Дисперсия ,001 ,026Асимметрия ,039 ,257Стд. ошибка асимметрии

,091 ,398

Эксцесс 1,541 ,413Стд. ошибка эксцесса ,181 ,778Размах ,2599 ,7067

1 20

39

58

77

96

115

134

153

172

191

210

229

248

267

286

305

324

343

362

381

400

419

438

457

476

495

514

533

552

571

590

609

628

647

666

685

704

723

Последовательный номер

-0,1500

-0,1000

-0,0500

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

дохеж

Статистика ежемесячной доходности

Одновыборочный критерий Колмогорова-Смирнова

729 35

,001678 ,034949

,0332310 ,1606503

,052 ,108

,052 ,108

-,047 -,053

1,400 ,637

,040 ,811

N

Среднее

Стд. отклонение

Нормальныепараметры

a,b

Модуль

Положительные

Отрицательные

Разности экстремумов

Статистика Z Колмогорова-Смирнова

Асимпт. знч. (двухсторонняя)

дохеж дохмес

Сравнение с нормальным распределением.a.

Оценивается по данным.b.

Как видно из анализа статистики временного ряда доходность в основном подчиняется нормальному распределению. Нормальность распределения доходности используется в оценки стоимости опционов.

Например, если , , то частота появления 13% доходности равна

Риск и доходность портфеля акций.Портфель из двух бумаг.

4

-0,1500 -0,1000 -0,0500 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500

дохеж

0

20

40

60

80

100

Час

тота

Mean = 0,001678Std. Dev. = 0,033231N = 729

дохеж

-0,4000 -0,2000 0,0000 0,2000 0,4000

дохмес

0

2

4

6

8

10

12

Частота

Mean = 0,034949Std. Dev. = 0,1606503N = 35

дохмес

Портфель из двух активов.Формулы расчета для расчета доходности и риска портфеля значительно упрощаются и становятся наглядными, если портфель составлен из двух бумаг.Пример 1.Для портфеля из двух акций А и В рассчитать ожидаемую доходность портфеля,стандарное отклонение для различных значений долей акций в портфеле. Построить эффективное множество.Каким значениям корреляции соответствуют границы портфеля.Акции Ожидаемая доходность в % Стандартное отклонение в

%

А 10 2

В 20 8

Риск и доходность портфеля из двух бумаг легко находится из формул

(8)Поскольку сумма весов в портфеле должна быть равна единице, то выразим вес акции 2 через вес акции 1 - 1

2 = 1 - 1 (9)Подставляя теперь (9) в выражения для доходности и риска портфеля (8) получим

(10)

Если для различных значений корреляции между бумагами А и Б и долями бумаг в портфеле построить множество , то получим множество возможных портфелей, которое получило название множество Марковица. Для коэффициентов корреляций {-1;-0,5;0;0,5;1} по формулам были найдены соответствующие значения доходности r p и риска σp портфеля. Результаты расчетов показаны на рис.2Рис.2Границы множества Марковица для различных значений коэффициента корреляции активов, входящих в портфель

5

Граница имеет вид пули. Это легко можно объяснить, если рассмотреть случай двух типов акций позицией. При запрещенной короткой позиции вес каждой бумаги в портфеле должен быть неотрицательным. Риск можно полностью исключить, если бумаги имеют отрицательную корреляцию.Стратегия Марковица заключается в том, что с ростом корреляции доходностей активов, входящих в портфель увеличивается вариация портфеля и включение в портфель активов с отрицательной корреляцией уменьшает риск портфеля. На практике таких активов очень малоГраницу множества портфелей Марковица называют эффективной границей Марковица. Портфели, лежащие вне этой границы недостижимы, а внутри неэффективны.Пусть теперь необходимо найти портфель с минимальным риском. Это означает, что первая производная по дисперсии должна быть равна нулю.

(11)

Решая относительно получим долю акций типа А в портфеле

(12)

Минимальный риск будет при корреляции равной , а максимальный при корреляции равной единицеПример.Дисперсии (вариаци) равны , , . Минимальный риск будет иметь портфель, содержащий долю акций типа А равную

(13)

Подставляя (13) в выражении для среднеквадратического отклонения (10) найдем риск портфеля из двух бумаг

3,48%

6

Расчет доходности и риска портфеля из N акций.

Пусть необходимо сформировать портфель, состоящий из N акций. Известны ri прогнозируемые доходности, - вариации доходности и ковариационная матрица. (ковариации акций). Эта информация, как было показано выше рассчитывается финансовыми аналитиками. Пусть доля капитала, которая вложена в i –тую акцию равна

. Эти доли обычно называют весами. Сумма весов равна единице. Доходность портфеля равна средневзвешенному доходностей активов3

(2.7)

Под риском портфеля, как вообще отдельного актива понимается корень квадратный из вариации доходности портфеля.

(2.8)

- ковариационная матрица активов, входящих в портфель.Для проведения расчетов удобно ввести матричную форму записи доходности и вариации портфеля. Обозначим доходности активов, как вектор–строку

R = (r1, r1,r3,…..rN) (2.10)

Доли активов (ценных бумаг) в портфеле обозначим как вектор –столбец

(2.11)Матрицу вариаций-ковариаций активов cov(i,j) обозначим, как

VCV=

(2.12)Тогда доходность портфеля равна произведению матрицы доходностей активов R на транспонированную матрицу долей активов W

E(rp)=R*W (2.13)

Вариация доходности портфеля равна произведению трех матриц

VAR(rp) = WT*VCV*W (2.14)

Матричная форма записи доходности и вариации портфеля из N позволяет использовать для вычисления характеристик портфеля методы линейной алгебры, а в Excel встроенные функции, что существенно облегчает процедуру расчета.

Пример 1. Рассчитать доходность и риск портфеля, состоящего из 3-х акций ( таб.4) , доли которых относятся как 5:2:3.

3 E – среднее значение случайной величины.7

Таблица 4.акции Акции 1 Акции 2 Акции 3

r-доходность 0,23 0,14 0,05

риск (стандартное отклонение) 0,96 0,93 0,73

Матрица вариаций- ковариаций

Акции 1

Акции 2 Акции 3

Акции 1

0,922 0,070 -0,647

Акции 2

0,070 0,861 -0,399

Акции 3

-0,647 -0,399 0,528

Вектор строк R= (0,23; 0,14; 0,5)

Вектор весов

Доходность портфеля rp равна(2.13)

= 0,16

Вариация доходности равна

VAR(rp)= =0,084

Для расчета используем Excel. Результаты расчета представлены ниже

8

Рис. 5

Для расчета доходности курсор поместить в ячейку К15, затем вызвать функцию CУММПРОИЗВ( ) в массив1 записать адреса ячеек, содержащих доходности акций (С6:E6), а в массив 2 записать функцию ТРАНСП(адреса ячеек, содержащих веса акций в портфеле). Эта формула, как видно на рис.5 и записана в ячейке K15. Затем нажать комбинацию клавиш CTRL+Shift+Enter.Для расчета вариации в ячейку К18 записать формулу, МУМНОЖ(ТРАНСП(I11:I13); МУМНОЖ(D17:F19; I11:I13)), нажать комбинацию клавиш CTRL+Shift+Enter.

Риск портфеля меньше, чем риск входящих в него активов.

9

Диверсификация.

Диверсификация – это способ уменьшения риска путем инвестирования в несколько акций. Если веса акций в портфеле одинаковы, то такую диверсификацию называют наивной. Исследуем, как влияют различные веса акций в портфеле на значение его доходности и риска. Для акций рассмотренных выше трех фирм таблица 3 сформируем несколько портфелей с разными весамиТаблица 4. Доли акций в портфелях

портфели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Акции 1 0 0,5 0,2 0 0,3 0,5 0,5 0,5 1 0Акции 2 0 0 0,3 0,5 0,2 0,5 0,2 0,3 0 1Акции 3 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0 0,3 0,2 0 0

Рассчитаем доходность и риск каждого портфеля, как это было сделано в 2.4 (файл

актив1.xls, лист диверс.) В теории портфеля принято изображать множество возможных

портфелей на плоскости «Доходность –риск» - (r, ). Каждый портфель на этой плоскости

изображается точкой. На рис. 4 показаны портфели, рассчитанные для весов акций

приведенных в таблице 4.

Рис. 5

На рисунке квадратами отмечены портфели, состоящие из одной акции. Как видно из

рисунка портфели, составленные из нескольких акций имеют риск, меньший, чем из

одной акции. Все портфели расположены левее портфелей состоящих из одной акции.

Вклад в величину риска портфеля каждой акцией осуществляется через свою вариацию и

ковариацию. Управлять риском портфеля можно, изменяя веса акций в портфеле и числом

акций в портфеле. Рассмотрим, как влияет число акций в портфеле на значение его риска.

Вариация портфеля из N бумаг равна

(2.14)

10

Акция 1

Акция 2

Акция 3

Если веса акций в портфеле равны, то , где N – число бумаг в портфеле. После

подстановки i =1/N в (2.14) получим

(2.15)

Как видно из формулы (2.15) риск портфеля состоит риска, вносимого каждой акцией –

специфический риск и риска, связанного с другими акциями -

неустранимый риск.

Поскольку все вариации и ковариации не могут более некоторой величины

(2.16)

то вариация портфеля не может быть больше, чем

(2.17)

При увеличении числа бумаг в портфеле специфический риск сводится к нулю

. Это так называемый диверсифицируемый риск. Остается неустранимый

риск или недиверсифицируемый риск

(2.18)

Уменьшить недиферсифицируемый риск можно только за счет включения в портфель

некоррелируемых акций у которых cov(i,j) 0. В работах по исследованию влияния

диверсификации на величину риска портфеля было получено, что для случайным образом

сформированных портфелей с различными весами и размерами начиная с 15-20 акций в

портфеле величина риска портфеля практически не изменяется. Таким образом небольшие

портфели, имеющие небольшие транзакционные издержки могут иметь тот же риск, что и

наивно сформированние портфели, с большим количеством бумаг.

Сравнить риск и доходность портфелей с портфелем из одной акции, Изобразить

множество рассмотренных портфелей на плоскости (r, )

Упражнение 1. (данные с www. finam.ru или ММВБ)

Для случайным образом отобранных акций, входящих в индекс РТС сформировать

портфель из пяти акций и рассчитать вариацию

Добавить еще 5 акций и снова рассчитать вариацию

11

Добавьте еще 5 акциий и рассчитайте вариацию и доходность.

Изобразите полученные портфели на плоскости (r, ). Как изменяется вариация и

доходность портфеля с увеличением числа акций.

Повторите расчеты для другого набора акций.

Упражнение 2.

Для акций, входящих в индекс S@P100 выбрать акции представляющие отрасли

Энергетику, финансы, нефть. Выберите 5 фирм в каждой отрасли, рассчитайте матрицу

вариаций- ковариаций по дневным доходностям этих фирм. Рассчитайте вариацию

портфеля, составленного из 5 акций фирм одной отрасли, считая доли акций равными

(наивная диверсификация)

Составьте наивно диверсифицированный портфель из акций, входящих в эти три отрасли.

Найдите наименьшую вариацию портфеля, которую можно получить при наивной

диверсификации между отраслями.

Может ли наивная диверсификация между отраслями оказаться нежелательной.

Упражнение 3

Для первых 10 акций, входящих в индекс РТС, ММВБ, S@P100

А. Найти 4 фирмы, таких для которых вариация наивно диверсифицированного портфеля

уменьшалась бы с увеличением размеров портфеля; от 3 к 4. Изобразить на графике (r, )

акции каждой фирмы и портфели. Найти минимальную вариацию каждого портфеля.

Б. Выбрать акции 4 фирм для которых минимальная вариация уменьшалась бы при

увеличении портфеля от 1 к 2; увеличивалась при увеличении портфеля от 2 к 3 и снова

уменьшалась при добавлении четвертой бумаги.

Изобразите на графике вариацию каждой фирмы и каждого портфеля.

В. Рассчитайте матрицу вариаций индекса по акциям 10 фирм и выделите из этой матрицы

матрицу вариаций- ковариаций для рассмотренных выше четырех фирм.

С. Объясните полученные результаты.

12

Оптимизация портфеля.Эффективная граница.

В плоскости риск -доходность возможно существование множества портфелей. Для решения задачи об инвестировании необходимо иметь следующую информациюОжидаемые доходности ценных бумаг из которых предполагается формировать портфельРиск (вариацию доходности) каждой ценной бумагиМатрицу вариаций ковариаций (фактически ковариацию каждой пары бумаг)Эти данные могут быть получены либо на основе статистического подхода ( обычно это статистические оценки по выборке на основе данных по исторической доходности, поскольку эта информация доступна обычному инвестору), либо на основе аналитического подхода. (см выше)Для инвестора наиболее предпочтительным является портфель, который при заданной доходности имеет наименьшую вариацию. Этот портфель называется эффективным. Множество портфелей для различных доходностей образует эффективную границу и называется эффективной границей.С математической точки зрения нахождение эффективной границы - это задача оптимизации. Требуется найти доли ценных бумаг, при которых для заданного уровня доходности риск (вариация) портфеля будет минимальной. Задача легко и наглядно решается для случая двух бумаг. (см. ниже), для случая N ,бумаг в портфеле решение производится численными методами.Основные методы:

Метод квадратичного программирования. Метод множителей Лагранжа

Несмотря на то, что поиск оптимального портфеля - это хорошо известная математическая задача оптимизации, тем не менее вклад Марковица (1952) в теорию портфеля заключается в том, он перешел от общей проблемы инвестирования к формальной теории выбора портфеля. Он показал , что все эффективные портфели лежат в границах некоторого множества, вне границе этого множества портфелей не существует. Граница множества является эффективной границей, т. е на ней расположены портфели, которые имеют для заданной доходности минимальную вариацию доходности- риск. Иначе для заданного уровня риска максимальную доходность. Это множество называется множеством Марковица.Для математической формулировки задачи оптимизации удобно записать ее в матричном виде. Используя введенные ранее обозначения

Var(rp) =WT*VCV*W min (целевая функция)При ограниченияхE(rp)=R*WT = Rp

Rp- заданная инвестором доходностьУсловие равенства суммы долей акций в портфеле не запрещает короткой позиции.В приведенном выше виде, когда ограничения выражаются равенствами и можно использовать метод множителей Лагранжа. Целевая функция при введении множителей приобретает вид

Для трех акций лангранжиан равен

13

Условие минимума означает выполнения равенства частных производных L первого порядка. Значение второй производной автоматически больше нуля, поскольку вариация Var(rp) является выпуклой функцией долей.

Решая задачу для трех активов в результате получим систему из пяти линейных уравнений.

В матричном виде система уравнений имеет вид

=

Обозначим матрицу вариация -доходность как VCV1, вектор содержащий доли и множители Лагранжа, который необходимо найти, как W1, а вектор справа как А, то уравнение в матричном виде запишется как

VCV1*W1=АРешение

W1 = VCV1-1 А

Задача легко решается с помощью Excel.

14