חוברת מבחני מחצית י לאתר תשעב

'ת יחוברת מבחני מחצי "נוער מוכשר במתמטיקה"

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 1 -

'לתלמידי כיתה י

.שנערכו בשנים האחרונות' אנו שמחים להציג בפניכם את חוברת מבחני המחצית של כיתה י

לכן מובא לכם , הן במבנה של הבחינה שתיערך לכם השנה, שימו לב כי לא כל הבחינות המופיעות בחוברת זו

נה שתיערך ת לבחיו מותאמא" ותשעע" תשי של מועדות הבחינ.ב"תשעכאן מבנה הבחינה שתיערך השנה

.השנה

. היבחנות החדשהכמו כן ישנן שאלות שלא רלוונטיות לתוכנית ה

מבנה בחינת המחצית

שעות3 -' חלק א

3 מתוך 2 בחירה של–פרק א

.כולל אי שוויונות ריבועיים ורציונאליים, אלגברה ובעיות מילוליות

.סדרות ואינדוקציה

3 מתוך 2 בחירה של–פרק ב

או בכל ה אוקלידית יאומטרי בשיטות של גלפתור ניתן ה אוקלידית יאומטרי בגשאלות: הערה .גיאומטריה

.דרך אחרת

.טריגונומטריה במישור

3 מתוך 2 בחירה של–פרק ג

ושורש ריבועי רציונאליות, פולינומים, א של פונקציות טריגונומטריות"חדו

.רציונאליים פשוטים -ואי, רציונאליים, כולל שימוש באי שוויונות ריבועיים

הפסקה חצי שעה

שעה ושלושת רבעי - ' חלק ב

3 מתוך 2 בחירה של –פרק א

.וקטורים

.גיאומטריה אנליטית

.מספרים מרוכבים

2 מתוך 1 בחירה של –פרק ב

.)בשילוב טריגונומטריה(וגריתמיות א ואלגברה של מעריכיות ל"חדו

שאלה המשלבת חקירה : לדוגמה. השאלות בבחינה יכולות להיות משולבות מכמה נושאים

.ואינטגרל או שאלה המשלבת סעיפים שאין ביניהם קשר ולכן יש לדעת את כל הנושאים היטב

!אנו מאחלים לכולכם שנת לימודים פורייה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 2 -

: תוכן

עמוד שנה

3 א"תשס

7 'אב מועד "תשס

10 'ב מועד ב"תשס

13 ' מועד אג"תשס

16 ' מועד בג"תשס

19 ' מועד אד"תשס

22 ' מועד בד"תשס

25 ' מועד אה"תשס

28 ' מועד בה"תשס

31 'ו מועד א"תשס

35 'בו מועד "תשס

39 'ז מועד א"תשס

43 'ז מועד ב"תשס

48 'ח מועד א"תשס

54 ' ח מועד ב"תשס

60 'ט מועד א"תשס

65 'ט מועד ב"תשס

70 )ערוך ('ע מועד א"תש

77 )ערוך(' ע מועד ב"תש

85 'א מועד א"תשע

93 'בא מועד "תשע

:מטריצות בתוכנית הלימודים בנושאשאלות שאינן 2/2 , 3/6, 3/9 , 1/12 , 1/15 , 1/18 , 1/21


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 3 -

א"תשס' מבחן מחצית י

:חלק א

: נסמןABCבמשולש . 1

bACaBCcABSS ABC ====∆ ,,,

.BC מעבירים ישר המקביל לצלע Aדרך הקודקוד ACE- כך שCEבונים ABC=∢ ∢

ABD- כך שBDובונים ACB=∢ )ראו שרטוט (∢ לבין שטחBCEDבטאו את היחס בין שטח הטרפז

cba באמצעות ABCהמשולש ,, .

: נתונה מערכת משוואות .2

=+++

=+++=++

4)(

2)(

1

2222 zkmykxm

zkmkymx

zyx

. עבורם יש פתרון למערכתk- וmמצאו את ערכי הפרמטרים

:י כלל הנסיגה הבא"נתונה סדרה המוגדרת ע .3

+=

=

+ 2

2

1

1

nn aa

a

20: הוכיחו כי .א << na 1 לכל≥n.

: ו כיהוכיח .ב4

1

2

2 1 >−− +

n

n

a

a .n≤1 לכל

:י כלל הנסיגה הבא"סדרה מוגדרת ע .4

−+==

+ 45

7

1

1

naa

a

nn

nnnי "הוכיחו כי הסדרה המוגדרת ע .א aab −= . היא סדרה חשבונית1+

)()(...)(: מצאו נוסחה לסכום .ב 12312 nn aaaaaa −++−+− +

.na+1-מצאו נוסחה ל .ג

. ש" קמ4 במהירות של 8:00 בשעה B- לA- הולך רגל יצא מ .5 . B- לA-ש גם הוא מ" קמ3 יצא הולך רגל שני במהירות של 9:00בשעה

. 9:30-ש פגש את הולך הרגל הראשון ב" קמ6 במהירות של A- לB-שהלך מ, הולך רגל שלישי . לאחר מכן פגש גם את הולך הרגל השני

.יה אז המרחק בין הולך הרגל הראשון לשנימצאו מה ה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 4 -

:חלק ב

נתונה הפונקציה .61

)(,12

22

−−

=>x

axxfa.

תחומי , נקודות קיצון, נקודות חיתוך עם הצירים, תחום הגדרה(חקרו את הפונקציה .א ).אסימפטוטות מקבילות לצירים, עליה וירידה

.שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה .ב

7 .ABC הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל שרדיוסו R . . BC מאונך על הצלע MPמעבירים . AC נמצאת על הקשת הקטנה Mנקודה

MQ מאונך על הצלע ACו -MR מאונך על המשך הצלע AB) ראו ציור .( יהיה MR-ו, MP, MQ עבורה סכום הקטעים ∢MBCמצאו את הזווית

.ומצאו את הסכום המקסימלי, מקסימלי

)(23לגרף הפונקציה .8 xxf )9,1( העבירו שני משיקים מהנקודה = −− . !). הנקודה לא נמצאת על גרף הפונקציה: שימו לב( .חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והמשיקים

: הוכיחו. א .92

arccosarcsinπ

=+ xx 11 לכל ≤≤− x.

: פתרו את המשוואה. ב24

)(arccos)(arcsin3

33 π=+ xx

. �60 הזווית החדה היא בת ABCD במעויין .10 P היא נקודה כלשהי על הצלע AB .בירים מעPQ מאונך על AD , PS מאונך על BD ,PR מאונך על DC .

.PR=PQ+PS: הוכיחו


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 5 -

:חלק ג

)10()15(625 נמצאת על המעגל A−)5,5(הנקודה .11 22 =++− yx . הנקודהP נמצאת על אותו . מעגל

- כך שAPר נמצאת על המיתQהנקודה 3

2=

QP

AQ .

. נעה על המעגלP כאשר Qמצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות

12. ABC 90( הוא משולש ישר זוויתC = רדיוס בסיס . Sהחסום בבסיסו של חרוט ישר שראשו ) ∢�2: נתון. Rהחרוט הוא , 2ASC BSCβ α= =∢ ח החרוט באמצעות הביעו את נפ. ∢

βα ,,R.

y- ואת ציר ה) 3,0,0( בנקודה x- וחותך את ציר הz-מצאו את משוואת המישור המקביל לציר ה. א .13

).0,6,0(בנקודה :)3,2,1(),3,1( עבורו הישר Kמצאו את . ב Ksxl . מקביל למישור שמצאת בסעיף =+

''''במנסרה ישרה .14 DCBABCDA הבסיס ABCD 60 הוא מעויין שבוA = היא Eהנקודה . ∢�

''' מקיימת Fוהנקודה , ABאמצע הקטע CBtFB uABvADwAAנסמן . = === ,,' .

CFEFהביעו את .א wvut באמצעות , ,,,.

2,1: נתון .ב == uw . מצאו לאלו ערכיt הזווית EFCהיא זווית קהה .

. −i88 והאיבר הרביעי הוא i+1בסדרה הנדסית האיבר הראשון הוא . א .15 ).כל הערכים האפשריים(מצאו את מנת הסדרה

את ברביע השלישי במישור גאוסנמצ' שמצאתם בסעיף אqהנקודה המתאימה לאחד מערכי . ב . והיא קודקוד הראש של משולש שווה שוקיים חסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים

. �120זווית הראש של משולש זה היא בת . ל"ולש הנמצאו את המספרים המרוכבים אשר מתאימים לקודקודי הבסיס של המש biaעליכם להציג את כל הפתרונות בצורה ( +.(

∫: הוכיחו כי מתקיים. א .16 +−= Cxxxdxx )1ln2(ln4 2.

xxxgלפונקציה . ב ln)( 3ex העבירו משיק בנקודה שבה = י "חשבו את השטח המוגבל ע. =

.X-המשיק וציר ה, ונקציהגרף הפ

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

!הצלחהב


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 6 -

א" תשס–' תשובות סופיות למחצית י

1 .b

c

a

c++1

2 .0, ≠

≠mk

mk

. ב.42

35 2 nn −.ג

2

1435 2 +− nn

מ" ק5. 5

6.

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

7.Rx 5.2,6π=

8 .16=s

3. ב.9 6

1 3arcsin , , ,

2 2x xπ π= =

11.2 2( 1) ( 3) 100x y− + − =

12 .βα

βαπ22

223

sinsin

sincos

3 +−

=R

v

13 .1

062

−==−+

k

yx

14.

12

34

(1 )

0

EF u tv w

CF w t v

t

= + +

= − −

< <

��

��

15.

°°

°

3302

2102

902

cis

cis

cis

i

i

i

−−

+−

−

3

3

2

16 .618 0.25 50.679e + =


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 7 -

' מועד א–ב"תשס' מבחן מחצית י

פרק ראשון

. השאלות הבאות3 מתוך 2ל ענה ע : טבעי מתקיים nכי לכל , או בדרך אחרת, הוכח באינדוקציה. 1

6

)17)(12()2(.....)3()2()1( 2222 ++

=+++++++nnn

nnnn

:י כלל הנסיגה" מוגדרת עnaהסדרה . 2

=⋅++=+

7

341

1

1

a

aa nnn לכל n טבעי .

n: דרת לפי מקום מוגnb הסדרה n nb 32 ⋅+= , nטבעי .

nn: הוכח כי. א ba . טבעיn לכל =

nn: חשב את הסכום . ב aaas +++= .......21

: נתונה מערכת המשוואות הבאה. 3

=+−=++−

=+−

kzyx

zykx

kzyx

963

26)1(2

12

.אינסוף פתרונות,אף פתרון , פתרון יחיד ) :אלהאם יש כ (Kמצא לאילו ערכי .א .' שבסעיף א3מצא הצגה פרמטרית לפתרונות עבור מקרה . ב

פרק שני . השאלות הבאות5 מתוך 4ענה על

: נתונה הפונקציה . 4Bxx

xxy

+−−

=5

42

2

. אסימפטוטה לפונקציה זוX=1 ידוע כי

Bחשב את .א

!נמק? ה אסימפטוטX=4האם .ב

).שרטוט, אסימפטוטות, קיצון, חיתוך עם הצירים, תחום. (חקור את הפונקציה .ג

. מחלקו האחד יוצרים ריבוע ומחלקו השני יוצרים מעגל. לשני חלקים' מ10חותכים חוט שאורכו . 5

הוכח שסכום השטחים של הריבוע והמעגל הוא מינימלי כאשר אורך צלע הריבוע הוא 4

10

+π


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 8 -

cbxaxy גרף הפונקציה . 6 ++= ). -2, 0(, ) -5, 0( בנקודות X- חותך את ציר ה2

. 9 הוא שלישי - ברביע הX- השטח בין גרף הפונקציה לציר ה

.c- וa , b מצא את

xxy חקור את הפונקציה . 7 coscos2 ππ בתחום =+ ≤≤− x ) עליה , שרטוט, קיצון, חיתוך צירים

) וירידה

8 .PA משיק למעגל O בנקודה A .נתון :OPA α=∢ , m=PA .

.PA- מעלים אנך לP בנקודה

: הוכח שאורך המיתר שאנך זה חותך מהמעגל הוא .אα

αcos

2cos2 −m

. כדי שיהיה פתרון לבעיהαבאיזה תחום צריכה להימצא הזווית .ב

פרק שלישי . השאלות הבאות3 מתוך 2ענה על

פגישת התיכונים היא נקודת Eהנקודה . ניצבים זה לזהAB ,AC ,AD המקצועות ABCD בטטראדר .9

.BDCשל הפאה ) מרכז הכובד(

uAB: נסמן = vAC = wAD 2AB: נתון= =��

, 6AC =��

, 3AD =��

.w -ו , u , v על ידי AEהבע את . א

DAEנסמן . ב α=∢ הוכח 7

3cos =α .

.BDCחשב את שטח הפאה . ג

עם נקודות ) 2,1(מצא את המקום הגיאומטרי של אמצעי כל הקטעים המחברים את הנקודה . א. 10

yxyxמעגל ה 6822 +=+ .'אפיין את המקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א. ב

xeyגזור את הפונקציה . א. 11 2sin=

.X-ל נקודות חיתוך עם ציר ה"אין לפונקציה הנהסבר מדוע . ב

∫חשב את האינטגרל . ג −

⋅4

4

2sin2cos

π

π

dxex x


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 9 -

' מועד א–ב " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

הוכחה. 1

. הוכחה ב. א. 22

13 32 2

n n n+ − + +

היבחנות החדשהלא רלוונטי לתוכנית ה. 3 זה חור , לא. בB=4. א. 41,4xתחום . ג , עולה בכל תחומה ' הפונק, קיצון ' אין נק) 0,0( חיתוך עם צירים ≠

1 אסימפטוטות 1x y= = הנקודה ( −4

(4, )3

")חור "−

הוכחה. 56 .2 , 14 , 20a b c= = =

(0,2)חיתוך עם הצירים . 7 ( ,0) ( ,0)2

π π± ±

)' מקס' נק ,0) (0,2)π±מיני' נק '2 1

( , )3 4π± −

עליה 2 2

0 ,3 3

x xπ π π− < < < ירידה >2 2

, 03 3

x xπ π π− < < − < <

0. ב. 8 045 90α≤ <

. א. 91

( )3

u v w+ 3. ג+ ר" יח14

2. א. 10 2 25( 3) ( 2)

4x y− + − ורדיוסו (3,2)מעגל שמרכזו . ב=

5

2

sin. א. 11 2' 2cos 2 xy x e= . ג⋅2 1

2

e

e

−


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 10 -

' מועד ב–ב"תשס' מבחן מחצית י

פרק ראשון . השאלות הבאות3 מתוך 2ענה על

:נתון השיויון. 1

nnnn 2

1.....

2

1

1

1

2

1......

4

1

3

1

2

11 ++

++

+=−+−+−

.n , 2=n ,3=n=1 עבור השוויוןבדוק את נכונות .א

. טבעי n נכון לכל שהשוויוןהוכח באינדוקציה .ב : טבעיnאת התנאים הבאים לכל שתי סדרות מקיימות . 2

1

1 3

+

+

⋅=

+=

nnn

nn

aab

aa

-וגם האיברים העומדים במקומות האי, האיברים העומדים במקומות הזוגייםnaה סדרבהוכח כי .א

. סדרות חשבוניותםוימהוזוגיים

11: הוכח כי .ב 6 ++ ⋅=− nnn abb לכל n טבעי .

nnn: י" טבעי עn מוגדרת לכל ncהסדרה .ג bbc −= היא סדרה חשבונית ומצא nc הוכח כי 1+

41אם ידוע ש , האברים הראשונים שלה20סכום של =a : נתונה מערכת המשוואות. 3

=−+=−

=+

7

22

5

kzyx

zky

zx

.אינסוף פתרונות, אף פתרון, פתרון יחיד : יש למערכתKמצא לאילו ערכי .א .x=2 עבורו יש למערכת פתרון יחיד שבו Kמצא את . ב

פרק שני . השאלות הבאות5 מתוך 4ענה על

3: נתונה הפונקציה . 42

2+

+=

x

xAy ) 0≠A.(

גדרהמצא תחום ה .א

מצא אסימפטוטות לפונקציה .ב

, אם לא. תן דוגמא, אם כן? שעבורו יש לפונקציה נקודת קיצון פנימיות Aהאם יש ערך של .ג

.נמק

.מצא תחומי עליה וירידה ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה) חיוביA) A⟨0: נתון גם ש .ד


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 11 -

284בין הישרים הוכח כי השטח הגדול ביותר של מלבן החסום . 5 +−= xy2 - ו−= xyלבין ציר ה -X

.5הוא

xyמצא משוואת משיק לגרף הפונקציה . א. 6 302 המקביל לישר =4 += xy

.Y-המשיק וציר ה, חשב את השטח בין גרף הפונקציה .ב

xxy חקור את הפונקציה . 7 2sinsin2 π20 בתחום =− ≤≤ x ) קיצון' נק, חיתוך עם צירים ,

) עליה וירידה, שרטוט

ABC 090cבמשולש ישר זוית . 8 =∢ , BAC α=∢

: ם משולש זה הוא לבין רדיוס המעגל החוסABCהוכח שהיחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש

)2

45sin(2

sin22αα

−

יפרק שליש

. השאלות הבאות3 מתוך 2ענה על

uABנסמן . ABCD נתונה פירמידה משולשת .9 = , vAC = ,wAD ביחס BC מחלקת את Eהנקודה . =

.2: 1של

.w -ו , u , vי " עDE ואת DCהבע את .א

חשב את זוית u , 3=v , 3=w=18: וכן. מאונכים זה לזהw -ו , u , v: נתון ש .ב

EDC.

מצא את נפח הטטראדר .ג

למעגל , וגם משיקים מבחוץX-מצא את המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים המשיקים לציר ה. 10

422 =+ yx

11 .

)sin(cos)(נתונה הפונקציה .א xxexf x . מצא את הנגזרת של הפונקציה=+

xeyחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה .ב x cos=י ציר ה" וע-X בין שתי הנקודות .הקרובות ביותר לראשית הצירים

!!!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 12 -

'ב מועד –ב " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

הוכחה. 1

2 .20 4260S =

.היבחנות החדשהלא רלוונטי לתוכנית ה. 3

2. א. 4 0 0x or x− ≤ < 0. ב< , 3x y= 2עליה . ד לא . ג = 0x− ≤ 0x ירידה > >

.הוכחה. 5

2. א. 6 2y x= . ב+1

3

(0,2)חיתוך עם הצירים . 7 ( ,0) (2 ,0)π π

' מקס' נק2 3 3

(2 ,0) ( , )3 2

π πמיני' נק '4 3 3

( , ) (0,0)3 2π −

עליה 2 4

0 , 23 3

x xπ π π≤ < < ירידה ≥2 4

3 3xπ π< <

.הוכחה. 8

DC. א. 9 v w= −��

1 2

3 3DE u v w= + −��

030EDC. ב . ג∢=3

32

10 .2

14

xy = −

2. א. 11 cosxy e x= ב .2

1

2

e

e

π

π

+


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 13 -

'מועד א-ג" תשס-'חן מחצית ימב

.אלגברה: 1פרק

.3-1 שאלות מתוך השאלות 2עליך לפתור

x+y+kz=1 :נתונה מערכת המשוואות .1

x+ky+z=1

kx+y+z=1

.אין פתרון, פתרון יחיד, אינסוף פתרונות : למערכת ישkבעבור איזה ערך של . א

.kמצא את הפתרון הזה כפונקציה של , בהנחה שלמערכת יש פתרון יחיד. ב

).מספיק לתת תיאור מילולי('? מהו המקום הגיאומטרי של כל הפתרונות שמצאת בסעיף ב. ג

2a , 0=1a=1: נתונה סדרה המוגדרת על ידי .22

aaa 1n2n

n−− +

=

:הראה כי .א

−+= −1n

n

n 2

)1(1

3

2a.

.n בעזרת nS-מצא נוסחה לסכום הסדרה .ב

.a4+a5+a6+…+a10מצא את סכום האיברים .ג

:ן הסכוםנתו .32

2

)1(2

...1697

945

413

++

=++⋅

+⋅

+⋅ n

nnan

.n בעזרת naבטא את . א

. טבעיnכי הנוסחה מתקיימת לכל , או בדרך אחרת ,הוכח באינדוקציה. ב

.טריגונומטריה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 2פרק

. שאלת חובה- 6וגם את השאלה . 4,5,7,8 שאלות מתוך השאלות 3עליך לפתור

)())(4(נתונה הפונקציה .4 22 xxBxf −+=

.x=1 כך שלפונקציה תהיה נקודת מקסימום בעבור Bמצא את הערך של .א

)תחומי עליה וירידה, נקודות קיצון, חיתוך עם הצירים' נק, תחום הגדרה (חקור את הפונקציה .ב

.ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה

2)( את גרף הפונקציה שרטט', על פי הסקיצה שבנית בסעיף ב. ג xf.

קודה הקרובה ביותר של הפרבולה ידוע כי הנ .53

2 mxy

− 5 היא במרחק 4x-3y=36 לישר =

.mמצא את . יחידות


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 14 -

המשיק לגרף בנקודה ושל y=xsinxבציור נתון חלק מן הגרף של הפונקציה שאלת חובה .62π

=x.

∫הוכח כי .א ∫+−= xdxxxxdxx coscossin.

.ל"מצא את משוואת המשיק הנ .ב

. בין העקומה והמשיק)ברביע הראשון (חשב את השטח הכלוא. ג

.חסום מעגל, αבסיס הטרפז שווה שוקיים בעל זווית תוך ב .7

: הוכח כי היחס בין שטח הטרפז לשטח העיגול הואαsinπ

4

⋅.

חקור את גרף הפונקציה .8x

xxf

2sin1

sin)(

+תחומי , נקודות קיצון, חיתוך עם הצירים, תחום הגדרה (=

π20 בתחום )אסימפטוטות, עליה וירידה ≤≤ x. שרטט את גרף הפונקציה בתחום זה.

.פונקציות מעריכיות, הנדסה אנליטית, וקטורים: 3פרק

. שאלת חובה- 9וגם את השאלה . 11-10 מתוך השאלות אחתעליך לפתור שאלה

ובסיסה העליון הוא 'A'B'Cנתונה מנסרה משולשת ישרה שבסיסה התחתון הוא לת חובה שא .9

ABC. מסמנים :w,v,u 'AAACAB ===→→→

w = v = u=1: תון נ

α=<==→→→→

BACCBBPBCBT ),2,2

1

+α: הוא 'TAהראה שאורכו של הוקטור .א cos262

1

P'Aעבור אורכו של ) αעם (י מצא ביטו .ב→

.8 האורך הוא α = 60°והראה כי עבור ,

TAPמצא את הזווית . ג .α = 60°בעבור ∠′

-x2+y2מצא ואפיין את המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים אשר נוגעים מבחוץ במעגל .10

10x+16=0 ובישר x=-2.

:נתונה הפונקציה .11x

2

e

Axy

+=.

?כדי שהנגזרת של הפונקציה הנתונה תתאפס בשתי נקודות שונות ,Aבאיזה תחום מספרי צריך להיות . א

.'הוכח כי הפונקציה הנתונה מקבלת גם ערך מקסימלי וגם ערך מינימלי בתחום שמצאת בסעיף א. ב

?x=3 כדי שלפונקציה יהיה מקסימום כאשר Aמה צריך להיות ערכו של. ג

את , הפונקציה מצא את נקודות הקיצון של, בפונקציה הנתונה' שמצאת בסעיף ג Aהצב את הערך של. ד

.ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה, אסימפטוטות, נקודות החיתוך עם הצירים

!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 15 -

'עד א מו–ג " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

.ההיבחנות החדשה לא רלוונטי לתוכנית .1

. ב. הוכחה. א. 22 1 2

[ (( ) 1) ]3 2 3

nnS n= + − − . ג⋅

1854

256

. א. 32 2

2 1

( 1)n

na

n n

+=

+ י פירוק לשברים חלקיים"ניתן להוכיח גם ע. ב

2B. א. 4 2גדרה תחום ה. ב= 2x− ≤ 0,2) חיתוך עם הצירים ≥ 2) ( 2,0)±

) -' מקס: קיצון 1,3) , 0,2)' מיני−(1,3) 2 - עליה (2 1 , 0 1x x− < < − < <

1 - ירידה 0 , 1 2x x− < < < )אין אסימפטוטות (> 5 .7m=

y. ב. 6 x=ג .2

18

π−

.הוכחה. 7

- תחום הגדרה . 83 7

,4 4

xπ π

(0,0) - חיתוך עם הצירים ≠ ( ,0) (2 ,0)π πקיצון' אין נק

- אסימפטוטות 3 7

,4 4

xπ π

- עליה =3 7

0 , 24 4

x xπ π π< < < - ירידה >

3 7

4 4x

π π< <

'. ב. 9 14 12cosA P α= −��

'0. ג 62.11PA T =∢

10 .2 20y x=

=3A. ג>1A. א. 11 −

,0) - חיתוך עם הצירים x כל –תחום הגדרה . ד 3) , ( 3,0)− ' מקס: קיצון ±3

3(3, )

e

) -' מיני 1, 2 )e− 0y אסימפטוטות − =


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 16 -

'מועד ב-ג" תשס-'מבחן מחצית י

.גברהאל: 1פרק

1-3 שאלות מתוך השאלות 2עליך לפתור

:נתונה מערכת המשוואות .1

=+++=+++

=++

2

12)12(

1

kzkykx

kzykkx

kzyx

.אין פתרון, פתרון יחיד, אינסוף פתרונות : למערכת ישkעבור איזה ערך של . א

.למקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הפרמטרי של המערכת. ב

: דרות נתונות שתי הס .21

1

2

6 1n n

a

a a n+

= = + +

1n2n3b 2n +−=

:טבעיn הוכח כי שתי הסדרות לעיל מתלכדות לכל . א

.הם מספרים חיוביים} na{הוכח כי כל האיברים בסדרה . ב 3.

: טבעי מתקייםn הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל. א

)410(10)410)(46(

1...

2218

1

1814

1

1410

1

n

n

nn +=

++++

⋅+

⋅+

⋅

:את הסכום', על פי סעיף א, חשב . ב3132

1...

572

1++



:נתונה הפונקציה .4xx

4mx)x(f

2 −+

=.

? יש לפונקציה נקודות קיצוןm עבור אילו ערכים של .א

אסימפטוטות , )אם יש(נקודות קיצון , תחום הגדרה: בפונקציה הנתונה ומצא m = -3: הצב .ב

.נקודות חיתוך עם הצירים, מקבילות לצירים

.רטט סקיצה של גרף הפונקציהש .ג

? שתי נקודות חיתוךy=kלישר ו f(x)לפונקציה יש kבעבור אלו ערכים של .ד

B- וAוקודקודי הבסיס , O נמצא בנקודת ראשית הצירים OABראשו של משולש שווה שוקיים .5

נמצאים על העקומה 21

2

xy

+מצא את השטח המקסימלי . x-כך שהבסיס מקביל לציר ה, =

. אשר מתקבלים בדרך הזאתOABשל המשולשים


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 17 -

23ותך את העקומה חy=9x+5הישר .שאלת חובה .6 mxx)x(f ומשיק לה A(5,50) בנקודה =−

.Bנקודה , בנקודה אחת בלבד

.B ואת שיעורי נקודה mמצא את ערך הפרמטר . א

.ל"מצא את השטח שבין הישר והעקומה הנ. ב

.חשב את זוויותיו של המשולש. במשולש שווה שוקיים התיכון לשוק שווה באורכו לבסיס. א. 7

מצא את היחס בין השטחים . מחלק את המשולש המקורי לשני משולשים קטנים' התיכון שבסעיף א .ב

.רשום מסקנה כללית. של המשולשים הקטנים

.x≤π≥0כאשר , f(x)=tgxcos(2x):נתונה הפונקציה .8

):בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית( באיםחקור את הפונקציה לפי הסעיפים ה

, נקודות החיתוך עם הצירים , תחומי עליה וירידה , נקודות הקיצון , ההגדרה של הפונקציהתחום

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה , המקבילות לצירים, ות של הפונקציהמשוואות האסימפטוט


. שאלת חובה- 9את השאלה וגם . 11-10 מתוך השאלות אחתעליך לפתור שאלה

ES מחלקת את הצלע Pונתון כי הנקודה , 1 הוא מקצוע שלה יה שאורך כל ינתונה קוב. שאלת חובה .9

) . kביחס )SkPPE��

=

c, b, a, k באמצעות PF ואת APבטא את .א

) מסומנים בציורc, b, a וקטורים : הערה (

? ישרה∢APF שבעבורו הזווית kהאם קיים .ב

.APF וחשב את שטח המשולש k=2הצב .ג

10. A(5,0) היא נקודה על המעגל x2+y2=25 . מנקודהAהעבירו מיתרים במעגל הזה .

.הללואמצע של כל המיתרים השל נקודות ) משוואה וסוג (מצא את המקום הגיאומטרי


13ln

+−

=x

xy.

מצא תחומי עליה , צא את נקודות הקיצון של הפונקציהמ, צא את תחום ההגדרה של הפונקציהמ

ת של הפונקציה מצא את משוואות האסימפטוטו, מצא את נקודות החיתוך עם הצירים, וירידה

.ל גרף הפונקציהשרטט סקיצה ש, המקבילות לצירים

!!בהצלחה

P

A

E

D F

S

c

b a


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 18 -

' מועד ב–ג " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

.ההיבחנות החדשהלא רלוונטי לתוכנית . 1

הוכחות. 2

. ב. 39

1276

<4m. א. 4 0,1x - תחום הגדרה . ב− חיתוך עם הצירים ≠1

(1 ,0)3

' מקס: קיצון 2

( , 9)3

,2)' מיני− 0 אסימפטוטות −(1 , 1 , 0x x y= = =

0. ד 1 , 9k k≠ > − < −

.ר" יח1. 5

) m=3. א. 6 1, 4)B − . ב−1

904

0.5. ב069.295. א. 7

. א. 82

xπ

0.288)' מקס. ב≠ ,0.299)π0.712)' מיני , 0.3)π −

. ד3

(0,0) , ( ,0) , ( ,0) , ( ,0)4 4

ππ πה .2

xπ

=

. א. 91

kAP a b c

k= + +

+

��

1

1PF b c

k= −

+

�� 0.726. גלא. ב

10 .2 2 25( 2.5)

4x y− + =

. א. 111

1 ,3

x x< − (1,0). עולה בכל תחומה ד' הפונק. אין ג. ב<

. ה1

1 , , ln 33

x x y= − = =


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 19 -

'מועד א-ד" תשס-'מבחן מחצית י



2 :באהנתונה מערכת משוואות ה. 1 2

x-y+z=1

5x-7y+(4k +3)z=4k +1

3x-y+(2k+3)z=3

.אין פתרון, פתרון יחיד, למערכת יש אינסוף פתרונותkמצא בעבור איזה ערך של .א

.המערכת למקרה של אינסוף פתרונותמצא את הפתרון הפרמטרי של .ב

? יהיה הפתרון היחיד של המערכתk ,(1,0,0)עבור איזה ערך של .ג

: י נוסחת נסיגה" טבעי עnסדרה מוגדרת לכל . 254

,3 11 +−== +

n

nn a

aaa .

1: מגדירים סדרה חדשה1

−=n

n ab.

. היא סדרה הנדסיתnbהוכח כי .א

.na -א את הנוסחה לפי מקום למצ .ב

: חשב את הסכום .גnaaaa

3...

333

321

++++

: נתון הסכום הבא. 3255

...901

721

561

421

301

+=+++++

n

n.

.מצא את האיבר הכללי של הסכום, בהנחה שהחוקיות נמשכת .א

.דרך אחרת את נכונות הנוסחהכל הוכח באינדוקציה או ב .ב

: גדול יותר סכוםשהוכחת איזה בהסתמך על נוסחת הסכום .ג

210

1...

90

1

72

11 +++=S או

132

1...

30

12 ++=S



לפונקציה . 4xbx

axxf

21

)(2 −

+ . מהווה לה אסימפטוטהx=2והישר , (1-,1-) -ודת קיצון ב יש נק=

.ורשום את נוסחת הפונקציה, b- וaמצא את הפרמטרים .א

וצייר סקיצה של גרף , אסימפטוטות, חיתוך עם הצירים, נקודות הקיצון, מצא את תחום ההגדרה .ב

. הפונקציה

.f(|x|)פונקציה צייר את גרף ה', על סמך הגרף שציירת בסעיף ב) סעיף בונוס(. ג


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 20 -

=−+6בין הישר . 5 xy וגרף הפרבולה y2= 4x+36ברביעים הראשון והשני חסום מלבן .

מצא מה צריכים . x-אחד על הפרבולה ושני הנותרים על ציר ה, קודקוד אחד של המלבן על הישר

.יכדי ששטחו יהיה מקסימל, הנמצא על הישר, להיות שיעורי קודקוד המלבן

שאלת חובה . 6

נתונה פונקציה x

xf1

)( יוצר עם הצירים משולש x=a שבהמשיק לגרף הפונקציה הנתונה בנקודה. =

. x-אשר מסתובב סביב ציר ה

.ל"נמצא את נפח גוף הסיבוב ה .א

ל במקרה "הנלמה היה שווה נפח גוף הסיבוב , f(x) על הגרף של x=4 שבהנקודההאילו הייתה נבחרת .ב

?הזה

הפונקציה . 7x

xxf

cos1cos

)(+

מוגדרת בתחום =

−

2

3,

2

ππ .

.דרהגההתחום מצא את .א

וצייר , אסימפטוטות, נקודות החיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה, מצא את נקודת הקיצון .ב

.סקיצה של גרף הפונקציה

m יש למשוואה mעבור אילו ערכים של .גx

x=

+ cos1cos שלושה פתרונות שונים בתחום

−

23

,2

ππ?

הוא ACהוכח כי אורך הקטע. AB=4, AD=7, DC=1ידוע כי . ישרותC- ו A זויות ABCDבמרובע . 8

1265

13⋅.


. שאלת חובה- 9וגם את השאלה . 11-10 מתוך השאלות אחתה עליך לפתור שאל

שאלת חובה .9

נסמן .1 - שווים ל,אורכי כל המקצועות במנסרה. הבסיס הוא משולש שווה צלעות, במנסרה הישרה שבציור

wBBvBAuBC === BCtBK -כך ש, או על המשכוBC נמצאת על Kהנקודה . ,,' =.

t KAKCור איזה ערך של בעב .א ⊥'?

tבעבור איזה ערך של .ב22

' KAKC ? יהיה מינימלי+

C'חשב את הזווית ', שקיבלת בסעיף בtעבור ערך של .ג KA∢.

A

K

B

B’

C

C’ A’


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 21 -

והישר, הוא האסימפטוטה שלה4y+3x=0מצא את משוואת ההיפרבולה שהישר . 10

15x-16y=108בדף הנוסחאותרניתן להיעז (. משיק לה (

4הפונקציות . 1185

ln)(2

2

−−

=x

xxxf4( - וln()85ln()( 22 −−−= xxxxgאינן זהות .

.ןביניההסבר את ההבדל .א

, אסימפטוטות, חיתוך עם הצירים, נקודות הקיצון, מצא את תחום ההגדרהf(x)בעבור הפונקציה .ב

.הוצייר סקיצה של גרף הפונקצי

!בהצלחה

' מועד א–ד " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י .הוכחה. 1

5q. א. 2 . ב=1

3

2 5 3n na −=

− ⋅ +. ג

13 (5 1)

2n

nS n= − −

. א. 31

( 4)( 5)nan n+ +

2. ג. םניתן להוכיח גם באמצעות פירוק לשברים חלקיי. ב 1S S>

4. א. 4 , 1a b= 0,2x - תחום הגדרה = - חיתוך עם הצירים ≠1

( ,0)4

0,2x - אסימפטוטות − =

' מקס: קיצון 1

( , 4)2

) -' מיני− 1, 1)− −

5 .2 1

(2 ,3 )3 3

. א. 69

4

π

x. א. 7 π≠חיתוך עם הצירים . ב- 1 3

(0, ) ( ,0) ( ,0)2 2 2

π π±

- ' מקס: קיצון 1 3

(0, ) ( ,0)2 2

π) -' מיני ,0)

2

π−

הוכחה. 8

. א. 91

1 ,2

t t= . ב=3

4t 093.85. ג=

10 .2 2

1144 81

x y− היפרבולה=

.הפונקציות נבדלות בתחום ההגדרה שלהן. א. 112 תחום הגדרה. ב , 0 1.6 , 2x x x< − < < (1,0) חיתוך עם הצירים <

,0) -' מיני(1,0) -' מקס: קיצון ln 2,0,1.6x - אסימפטוטות (4 = ±


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 22 -

'מועד ב-ד" תשס-'מבחן מחצית י



: באהנתונה מערכת המשוואות ה. 1

24x-4y+(k +4)z=8

6x+3y-1.5kz=3

5x+10y-15z=-5

.אין פתרון, פתרון יחיד, למערכת יש אינסוף פתרונותkמצא עבור איזה ערך של .א

, למערכת יש אותו פתרון, מתאים kבעבור כל ערך של , הוכח שבמקרה של פתרון יחיד .ב

.ומצא את הפתרון הזה

1692,73...57 :סדרה מוגדרת על פי הכלל. 2 −++++=++−= nPPna nnn.

.na -מצא את הנוסחה לפי מקום ל .א

.na -מצא את נוסחת הנסיגה ל .ב

)()()(...)(מצא את הסכום .ג 212654321 nn aaaaaaaa −++−+−+− −.

: הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת את הנוסחה. 3

)2!(. א

1

2

1

)!2(

1...

!5

11

!4

5

!3

1 2

++

−=+

−+++++

n

n

n

nn.

3: באהשוויון ה-הוכח את אי', על סמך סעיף א. ב

1

)!2(

1...

!5

11

!4

5 2

<+

−++++

n

nn.

.טריגונומטריה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 2פרק . שאלת חובה- 6וגם את השאלה . 4,5,7,8 שאלות מתוך השאלות 3עליך לפתור

)()(נתונה הפונקציה . 4 2xAxxf −= .

, A<100- אם נתון שAמצא את . 2.5– ווה שx=3שיפוע של ישר משיק לפונקציה הזאת בנקודה .א

.ורשום את הנוסחה של הפונקציה

וצייר סקיצה של גרף , אסימפטוטות, חיתוך עם הצירים, נקודות הקיצון, מצא את תחום ההגדרה .ב

.הפונקציה

mxf למשוואה mבעבור אילו ערכים של .ג ? אין אף פתרון)(=


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 23 -

. (4,10.5)נקודה ה היא y=x2-8x+17. B של הפרבולה ימניעל הענף המצאת נA הנקודה .5

. מינימליABבעבורה המרחק , Aמצא את שיעורי הנקודה

, A ושיפוע המשיק לפרבולה בנקודה ABבדקו את המצב ההדדי בין שיפוע הישר ) סעיף בונוס (

.ורשמו את המשמעות הגיאומטרית הנובעת מכך


23,)0( מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה דרך כל אחת 22 ⟩−+−= aaaxxyעם ציר ה -x

ואת aמצא את . 2/3י גרף הפונקציה והמשיקים הוא "השטח המוגבל ע. העבירו משיק לפונקציה

.המשיקים תומשווא

xbxaxf המקיימת fלפונקציה . 7 sin2cos)( והמוגדרת בתחום =⋅+⋅

−

23

,6

ππ יש ערך

,5.1(קיצון בנקודה 6

(π

M.

. ורשום את נוסחת הפונקציהb ואת aחשב את .א

. את סקיצת הגרףציירו, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה, מצא את נקודות הקיצון .ב

.נמק את תשובתך? f(x1)-f(x2)= 5 כך שמתקיים .x1,x2האם יש בתחום ההגדרה שני ערכים .ג

נתון כי . בהתאמהM ,L, K בנקודות AB ,AC ,BC משיק לצלעות ABCהחסום במשולש המעגל . 8

,A Bα β= =∢ .r הוא ABCורדיוס המעגל החסום במשולש , ∢

,,rבאמצעות ,KL ואת KM את ,הבע .א βα .

,,rבאמצעות ,KLM את שטח המשולש ,הבע .ב βα .

אם נתון כי .ג0 084 , 44 , 4A B r= = =∢ .ABCחשב את שטח המשולש , ∢


. שאלת חובה- 9וגם את השאלה . 11-10 מתוך השאלות אחתעליך לפתור שאלה


. (NE:EK=1:4) 1:4 ביחס NK מחלקת את E הנקודה KLMNבמקבילית

vNKuNMנסמן . (EF:FM=1:5) 1:5 ביחס EM מחלקת את Fהנקודה == ,.

.NFהבע את .א

. נמצאות על ישר אחדL ,F ,Nהוכח כי הנקודות .ב

.LN מחלקת את Fמצא באיזה יחס .ג

נתון כי .ד02, 1, 60u v NML= = .∢MNFחשב את הזווית ' ∢=

K

F

E N

M L


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 24 -

כי המקום , הוכח. מתנועע באופן שקצותיו מונחים על שני הצירים, a בעל אורך קבועABקטע . 10

.מצא את משוואתה. הוא אליפסה , 3:5של ביחס AB המחלקות את הקטע Cהגיאומטרי של כל הנקודות

חשב את . א. 11

′

+1

lnx

x

e

e.

1לפונקציה . ב)(

+=

xe

axf יש שתי אסימפטוטות מאוזנות y=0ו - y=3 . מצא אתa ורשום את נוסחת

.הפונקציה

∫חשב את . ג−

2

2

)( dxxf.

!בהצלחה

' מועד ב–ד " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

.היבחנות החדשהלא רלוונטי לתוכנית ה. 1

. א. 227 9 14

2n

n na

− +. ב=

1

1

6

7 1n n

a

a a n+

= = + −

27n. ג n−

.הוכחה. 3

12 - תחום הגדרה . בA=12. א. 4 , 0 12x x≤ − ≤ (0,0) חיתוך עם הצירים ≥ , ( 12,0)±

אין אסימפטוטות.יריםהחיתוך עם הצ' שהן נקהקצה' נק–' מיני(2,4) -' מקס: קיצון

>0m . ג

מאונכים. ב(7,10). א. 5

6 .2 4 , 2 8 , 2y x y x a= − = − + =

1. א. 7 2a b= (0,1) - חיתוך עם הצירים . ב = , ( 0.375,0) , (1.366,0)−

-' מקס: קיצון 3 5 3

( , ) , ( , )6 2 6 2

π π -' ני מי

3( ,1) , ( , 3)2 2

π π−

2. א. 8 sin 2 cos2 2

KL r KM rα β β+

= 22. ב= sin cos cos2 2 2

rα β β α+

ר" יח90.176. ג

. א. 91

( )6

NF u v= +��

030. ד5:1. ג

10 .2 2

2 2

64 641

25 9

x y

a a+ . א. 11 =

1

1xe +6. גa=3. ב


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 25 -

'מועד א-ה" תשס-'מבחן מחצית י

.005שאלון : 1פרק

.2-1 שאלה אחת מתוך שאלות עליך לפתור

: mנתונה מערכת משוואות עם פרמטר . 1(m - 2)x - y = m

6x -(m - 3)y = 10

? למערכת יש פתרון יחידmבעבור איזה ערך של . א ? יהיו חיובייםשיעורים של הפתרון שני הmבעבור אילו ערכים של , יחידבמקרה של פתרון . ב ? יהיו שליליים שיעוריםהאם יתכן ששני ה. ג

2.

שני האיברים הראשונים בשתי הסדרות . אחת חשבונית והשנייה הנדסית, נתונות שתי סדרות .א מן האיבר השלישי 18-האיבר השלישי בסדרה ההנדסית גדול ב. 8האיבר השני בסדרות הוא , זהים

.סדרותב שלושת האיברים הראשוניםמצא את. בסדרה החשבונית . הינה סדרה הנדסית אינסופית יורדת' אחת הסדרות שמצאת בסעיף א .ב

? 42.5 על Sn יעלה סכום הסדרה nעבור איזה .1 . י חישובים"נמק ע ? 43האם סכום הסדרה הזאת יעלה על .2

.חובה שאלת – 3עליך לפתור את שאלה

האורטופד ממליץ לקבע את , אחרי בדיקה קפדנית. והוא הולך לאורטופד, לדוד אפרים יש כאבים בברך. 3כי בתוך הסטטיסטיקה , האורטופד השיב, כאשר דוד אפרים שאל אם הרופא בטוח בהמלצתו. הברך בגבס

:שערכו תלמידי רפואה במחלקתו התברר כי , לקיבוע בגבס מן המקרים שזקוקים90%הוא מאתר נכון . מן המקרים שלא זקוקים לקיבוע בגבס80%הוא מאתר נכון

, זקוקים לקיבוע לגבס, חולים המגיעים אל הרופא שאליו הלך דוד אפרים200עשרה מכל ? שהוא זקוק לקיבוע גבס, לדעתו, מה הסיכוי. דוד אפרים לא יודע מתמטיקה. א ?מהו הסיכוי שדוד אפרים זקוק לקיבוע בגבס. בההנחה תהיה ששלושים ושניים , אבל, אם נתוני הדיוק של הרופא יישארו זהים, האם תשתנה הערכתך. ג

אם . חשב מחדש, אם כן? חולים המגיעים אל הרופא שאליו הלך דוד אפרים זקוקים לקיבוע גבס200מכל . נמק, לא


. שאלת חובה– 4עליך לפתור את שאלה אלכסוני המלבן נחתכים . הוא מלבןSABCDשל פירמידה ישרה הבסיס . 4

מחלקת את Kהנקודה . ∢=060CODכלומר , 600 בזווית של Oבנקודה

-כך ש, 1:2 ביחס SBהמקצוע 2

1=

KB

SK, SC נמצאת על המקצוע Pהנקודה .

גובה , aשל המלבן הוא ) CD(נה אורך הצלע הקט. =SCtSPכך שמתקיים

uODvOCwOSנסמן . a/4הפירמידה הוא === ,,.

. a הוא OBהוכח כי אורכו של .א

? תהיה ישרה∢KOP הזוית tבעבור איזה ערך של .ב מחלקת את Pאם ידוע כי הנקודה , ∢KOP תמצא את הזווי .ג

:2:3כלומר . ( 3:2 ביחס SCהמקצוע =PCSP( מרכז , במקרה שלנו. במרכז המעגל החוסם את הבסיס" נופל"גובה הפירמידה , בפירמידה ישרה: הסבר (

הגובה מאונך למישור הבסיס , כמו כן. פגישת האלכסונים של המלבן' המעגל החוסם את הבסיס הוא נק .) כלומר לכל הוקטורים הנמצאים בבסיס


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 26 -

6-5ליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות ע

. טרפז זה חסום במעגלA (-5,-3),B (-2,0),D (-7,-3) .(AB||CD)הן ,ABCDשלושה מקודקודיו של הטרפז . 5

. Cמצא את משוואת המשיק למעגל זה בנקודה

. A ,A<1נתונה פונקציה הכוללת פרמטר . 61

1ln

+−

=x

Axy

: מתקיים A>1ח כי לכל הוכ .א1

21

−<

AA

, חיתוך עם הצירים, את נקודות הקיצון שלה, מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה .ב

. אסימפטוטות מקבילות לצירים

.צייר את סקיצת גרף הפונקציה .ג


.9-7שתי שאלות מתוך שאלות עליך לפתור

: טבעי מתקייםnדוקציה או בדרך אחרת כי לכל הוכח באינ. א. 7

)1)16()1((4

1)23()1(...10741 11 −−−=−−++−+− ++ nn nn.

:מצא את ההפרש הבא , בלבד' בהסתמך על סעיף א. ב

(1+7+13+…+85)-(4+10+16+…+88).

הבסיס העליון , קוטר המעגל מונח על בסיס הטרפז. Rיים חוסם חצי מעגל שרדיוסו טרפז שווה שוק. 8

. והשוקיים משיקים למעגל

. עבורה מתקבל שטח מינימלי לטרפזהבסיס התחתוןזווית חשב את . א

.Rהבע שטח זה באמצעות . ב

2נתונה הפונקציה .9

161)(

xx

axf a −=) .a>0(

. ורשום את נוסחת הפונקציה, aמצא את הפרמטר . היא גם נקודת הפיתולxר ידוע שנקודת החיתוך עם צי .א

, נקודת הפיתול, נקודות הקיצון , חיתוך עם הצירים, מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה .ב

). בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. (טות מקבילות לציריםימפטואס


. שאלת חובה– 10ליך לפתור את שאלה ע

, y=cos2xחשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה .10

המוגדרת בקטע 4

0π

≤≤ x , ובין שני המשיקים לגרף

: ראה ציור. זה בנקודות החיתוך שלו עם הצירים

!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 27 -

' מועד א–ה " תשס–' יפתרונות סופיים למחצית

.5-ושונה מ, 0- שונה מm. א. 1

.m<-2. ב

לא. ג

.(2,8,32) - ו(2,8,14)או , (32,8,2) - ו(32,8-16): ישנן שתי אפשרויות. א. 2

. איברים5אחרי סכום של , כלומר, איברים4-לאחר סכום יותר מ. 1. ב

. ושני שלישים42, איברי הסדרה הואכי סכום של כל, לא. 2

90%. א. 3

0.191~. ב

0.461~. ג

. ב. 45

1=t

kop∠=568.111. ג 5 .C=(-2,2) .4x+y+6=0

- תחום הגדרה . 6A

xx1

1 >−<

,0( -חיתוך עם הצירים , קיצון' אין נק1

2(

−A y=lnA x=-1 אסימפטוטות

Ax

1=

. הפונקציה עולה בכל תחומה

4530. ב. 7 −=s

8 .060=x 273.1 השטח R a=3. א. 9

)0,17.2(חיתוך עם הצירים , x≠0תחום הגדרה . ב

)66.6,2(' מקס' נק x=0 אסימפטוטה )0,17.2( פיתול −−

: המשיקים . 102

21π

+−== xyy השטח 4

3−=

πs


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 28 -

'מועד ב-ה" תשס-'מבחן מחצית י

.סדרות והסתברות, אלגברה– 005שאלון : 1פרק


2)13(1נתונה הפונקציה . 1 22 ++−−= mxmxy . מצא לאילו ערכיm:

. בשתי נקודות שונותxגרף הפונקציה חותך את ציר . א

. y=−6גרף הפונקציה נמצא כולו מעל לישר . ב

. מתקיימים יחד' ב-ו' שני התנאים שבסעיפים א. ג

3nSn האיברים הראשוניים בסדרה היא nנוסחת הסכום של . 2 =.

. של הסדרהanמצא את נוסחת האיבר הכללי .א

אשר אם נכפיל את הראשון בהם , מצא את מיקומם הסידורי של שלושה איברים עוקבים בסדרה .ב

.נקבל סדרה חשבונית, 22 ולשני נוסיף 3-ב

?547אם האיבר האחרון הוא , anכמה איברים בסדרה .ג

. שאלת חובה– 3עליך לפתור את שאלה

אוכלוסיה מבקרים אצל מה45% :מתוכו התברר כי, משרד הבריאות ערך סקר בנושא בריאות השיניים.3

.רופאי השיניים פעם אחת בשנה לפחות9

קרים אצל רופאי השיניים מצחצחים שיניים בבוקר מב מה4

המבקרים אצל רופאי השיניים אך אינם מצחצחים שיניים מהווים . ובערב8

5 מאלו שאינם מצחצחים

. שיניים

. המבקרים אצל רופא השיניים פעם אחת בשנה לפחות קבוצת – A: נסמן

B – בבוקר ובערבמצחצחי השיניים קבוצת .

. יש להציג את הנתונים בעזרת פרופורציות מתאימות .א

? המבקרים אצל רופאי השיניים ומצחצחים שיניים בבוקר ובערבמהי פרופורצית .ב

יש להראות ? צחצוח שינייםלבין ביקור אצל רופא שיניים האם קיים קשר סטטיסטי בין .ג

. בעזרת חישובים מתאימים

מהמצחצחים בבוקר 72%הוא מאתר נכון , של רופא שיניים מסויםמתוך המבקרים במרפאתו .ד

ילד מגיע עם אמו אל מרפאתו של רופא . מהלא מצחצחים81%הוא מאתר נכון , וכמו כן, ובערב

מה ההסתברות שהילד באמת מצחצח . הרופא מזהה שהילד אכן מצחצח שיניים. השיניים

?שיניים


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 29 -

.פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, וקטורים, טית גיאומטריה אנלי– 007שאלון : 2פרק . שאלת חובה– 4עליך לפתור את שאלה

uABvBCwDD נסמן ’ABCDA’B’C’D הבקוביי. 4 === הן G,Fהנקודות . ',,

. בהתאמהAD- ו’B’Cאמצעי המקצועות

utEB ומקיימת AB נמצאת על הישר E הנקודה =.

uvwt באמצעות ,EFGFע את הוקטורים הב .א ,,, .

. ∢=030EFG שעבורם tחשב את ערכי .ב

מצא באיזה , AB נמצא בתוך הקטע Eבו הנקודה ', במקרה שמצאת בסעיף ב .ג

. ABיחס היא מחלקת את

6-5עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות

שעל האליפסה העבירו משיק לאליפסה החותך Aמנקודה . שציריה הם צירי השיעוריםנתונה אליפסה. 5

. N בנקודה xהחותך את ציר , העבירו גם אנך למשיקAבנקודה . M בנקודה xאת ציר

ONOMהמכפלה , הוכח כי ) ראשית הצירים-0. ( שווה לריבוע מרחק מוקד האליפסה מהראשית⋅

)22( נתונה הפונקציה .6 2 ++= xxey x .

' נק, קיצון ' נק, חיתוך עם הצירים' נק, תחום ההגדרה : חקור את הפונקציה לפי הפירוט הבא .א

. אסימפטיטות מקבילות לצירים, תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה , תחומי עליה וירידה , פיתול

.צייר את סקיצת גרף הפונקציה .ב

.חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה, אינדוקציה– 006ן שאלו: 3פרק

.9-7שתי שאלות מתוך שאלות עליך לפתור

: טבעי מתקייםnהוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל . א. 7

)12(2

)1(

)12)(12(...

53

2

31

1 222

++

=+−

++⋅

+⋅ n

nn

nn

n

3 -האם נכון ש. ב3533

17...

1311

6

119

5 222

<⋅

++⋅

+⋅

.נמק?

22פונקציה לגרף ה. 8 bxy −=) b>0 ( מעבירים שני משיקים בנקודותAו -B .

על Cהמשיקים נפגשים בנקודה ). y- סימטריות ביחס לציר הB- וAהנקודות (

הוא ABC בעבורה שטח המשולש Aהבע את שיעורי הנקודה . y- ציר ה

. bבאמצעות , מינימלי

D

B

C

E

F

B’

G

A

C’ D’

A’


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 30 -

bנתונה הפונקציה .9x

xay ++=sin

1sin , בתחוםπ≤≤ x0 .ציר ה-x משיק לגרף הפונקציה בנקודה

שבה 6

π=x .

. ורשום את נוסחת הפונקציהb ואת aמצא את .א

.נקודות הקיצון ואת האסימפטוטות של הפונקציה, מצא את נקודות החיתוך עם הצירים .ב


. שאלת חובה– 10ר את שאלה עליך לפתו

. בנקודה מסוימתf(x)=ax3+4 משיק לגרף הפונקציה y=12x-12הישר . 10

.ורשום את נוסחת הפונקציה, את נקודת ההשקה, aמצא את הפרמטר . א

השטח (, y- י ציר ה"וע, המשיק, י גרף הפונקציה"מחלק את השטח המוגבל ע, x-ציר ה. ב

.הוכח כי שני החלקים שווים בשטחם. לשני חלקים) נמצא ברביע הראשון והרביעי

'ה מועד ב" תשס–' תשובות סופיות למבחן מחצית י

m<-1 or 7<m<11>5-. ג m<11>5-. ב m>7 or m<-1. א. 1

133. א. 2 2 +−= nnan 14. ג 3,4,5. ב

≈751.0. ד P(B/A) ≠P(B). כן . ג0.2. ב. 3

. א. 4

wuGF

vwutEF

+=

++=2

1

1:1. ג t=0.5 or t=3.5. ב

אין– קיצון )2,0( -חיתוך עם הצירים x כל –תחום הגדרה . 6

)2,2()10,4( - פיתול 42 −− −− ee עולה לכל ' הפונקx

24 תחומי קעירות כלפי מעלה −>−< xx 24 - כלפי מטה −<<− x

y=0 אסימפטוטות

~3.26התשובה לסכום היא , לא. ב. 7

8 .)2

,2

3(

22 bb

a=4, b= -4. א. 9

,min)0:נקודות הקיצון הן. ב6

5(max,)1,

2(min,)0,

6(

πππ==πאסימפטוטות , xx ,0.

a=1 y=x3+4 (2,12). א. 10

!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 31 -

'מועד א-ו" תשס-'מבחן מחצית י

.דפי נוסחאות מצורפים, )ושאינו ניתן לתכנות, לא גרפי(מחשבון : חומר עזר מותר בשימוש

.שעתיים -' חלק א: משך המבחן


.3-1 שתי שאלות מתוך שאלות ך לפתורעלי

2נתונות שתי פונקציות .1 2( ) ( ) 5 , ( ) ( )f x x A g x x B C= − + =− − ,כאשר + ,A B C יםפרמטרהם .

)נתון כי לשתי הפונקציות )f xו -( )g xיש לפחות נקודה משותפת אחת .

5Cהוכח כי .א ≥?

7C נתון כי .ב .B לפרמטר A בטא את הקשר בין הפרמטר. =

ענה על השאלה הבאה מבלי לחשב את נקודות החיתוך בין שתי ', ב-ו' תיך לסעיפים אועל סמך תשוב .ג

2 ונקציות האם הפ: הפונקציות 6 14y x x= − 2 -ו + 4 3y x x=− − ? נחתכות+

).זוכה רק במחצית הנקודותת ,על פי חישוב ישיר של נקודות החיתוך, לסעיף זה תשובה(

: סידרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה .21

1

1

7 18n n

a

a a+

= = +

.

=+3הוכח כי הסדרה המוגדרת על ידי .א nn abהיא סדרה הנדסית .

.n כפונקציה של na-מצא את הנוסחה ל .ב

.na האיברים הראשונים של הסדרה nמצא נוסחה לסכום של .ג

17הסבר למה הביטוי .ד −nללא שארית לכל 3- מתחלק ב n טבעי.

. אולימפוס ונוקיה, ערכו מבחן עמידות למים למצלמות דיגיטליות משני סוגים" אולינוקיה"בחברת .3

. עברו את מבחן העמידות405ומהן , מצלמות450כ נבדקו "הבס

מהסבירות 6קטנה פי , זו תהיה מצלמת נוקיה, הסבירות שמבין המצלמות שעוברות את מבחן העמידות

.זו תהיה מצלמת נוקיה, שמבין המצלמות שלא עברו בהצלחה את מבחן העמידות

?ת עבר את מבחן העמידו, איזה אחוז מבין מצלמות נוקיה .א

האם קיים קשר סטטיסטי בין סוג המצלמה , מצלמות אולימפוס400אם נתון כי בחנות .ב

?מה כיוון הקשר , אם כן? ליכולתה לעבור את מבחן העמידות ) אולימפוס/נוקיה(


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 32 -

.007שאלון : 2פרק .6-4 שתי שאלות מתוך שאלות עליך לפתור

. חיתוך אלכסוני הדלתון נקודתD. שבסיסה דלתון, SABKCנה פירמידה מרובעת נתו .4

wASvACuAB בפירמידה מסמנים === ,,.) AKאלכסון ראשי (

02 נתון כי , 3 , , , 60u v w w u w v CAB= = = ⊥ ⊥ =∢.

ADtAK כמו כן ⋅= ,030DSK =∢. .tמצא את .א

.SD=DKהוכח כי .ב

.∢SDA תמצא את הזווי .ג

)(1logהאם לפונקציות . א .5 3 += xxf3( - וlog1(3)( xxg מצא את , אם כן. יש משיק משותף=+

.נקודת ההשקה המשותפת

3log1(31log3( :השיוויון הבא-פתור את אי .ב xx +≥+

.אין קשר בין הסעיפים: הערה

243לה חותך את ההיפרבו, Y נמצא על הציר Cשמרכזו , מעגל .6 22 =− yx בארבע נקודות .

. B -ואת נקודת החיתוך אשר ברביע הרביעי ב, A-נסמן את נקודת החיתוך אשר ברביע הראשון ב

המשיק למעגל והמשיק להיפרבולה , כלומר( בזווית ישרה Aהמעגל חותך את ההיפרבולה בנקודה

.X מקביל לצירBCהקטע ). נחתכים בזווית ישרהAבנקודה

.Aמצא את שיעורי הנקודה .א . מצא את משוואת המעגל .ב


.ושלושת רבעי שעה משך המבחן

.8-7שאלה אחת מתוך שאלות עליך לפתור

: טבעי מתקייםnל כי לכ) או בכל בדרך אחרת(הוכח באינדוקציה . א. 7

2 2 2 2

1 1 1 1 2 11 1 1 .... 1

( 1) ( 2) ( 3) (2 ) 2 2

n

n n n n n

+− − − − = + + + +

: חשב את המכפלה. ב400

399

64

63

49

48

36

35⋅⋅⋅⋅⋅

A

B

C

K

S

D


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 33 -

בדרך חזרה עברה המכונית . שעות במהירות קבועה5במשך ' לעיר ב' נסעה את המרחק מעיר אמכונית .8

2

5 10 -רך במהירות הגדולה בואת שאר הד, ש ממהירותה הלוך" קמ16 - מהדרך במהירות הקטנה ב

מהי מהירותה של המכונית בדרכה . דקות10 - שעות ו5דרכה חזרה נמשכה . ש ממהירותה הלוך"קמ

?הלוך

.11-9 שתי שאלות מתוך שאלות עליך לפתור

9. AE הוא גובה לצלע BC במשולש ABCו -D אמצע BC) .E בין Dל -C .(

, נתון ,EAC BAE DE dα β= = =∢ שווה BCח שאורך הצלע הוכ. ∢2 sin( )

sin( )

d β αβ α

+−

.

.אך אין קשר מתמטי בין הסעיפים, השאלה עוסקת בעניינים הקשורים לפולינומים:הערה .10

dcxbxaxxfנתונה פונקציה .א +++= הוכח כי תמיד ). a≠0(פרמטרים a,b,c,dכאשר , )(23

לפונקצית פולינום ממעלה שלישית תמיד ישנה נקודת , לומרכ. (קיימת נקודת פיתול לפונקציה זו

)פיתול

)(5624נתונה הפונקציה .ב 3 +−= xxxf . מצא את משוואתו של ישר המשיק לגרף הפונקציה

( )f x בנקודה מסוימת אם נתון שהוא משיק גם לגרף הנגזרת )(xf . באותה הנקודה′

)לינום פו .ג )f x מקיים :'( ) , '(1) '(3) 0 , (0) (5) 0f x f f f f= = = 2 עולה עבור = 3x< < ,

2xויורדת עבור 3 או > x< . גרף של ) בצורה כללית(שרטט( )f x וגרף של ''( )f x . הסבירו את

.הקשר בין הגרפים ואת דרך בנייתם

)(152ידוע כי תחום ההגדרה של הפונקציה . א. 11 2 ++−= axxxf 5.15 הוא ≤≤− x מצא את a

.ורשום את נוסחת הפונקציה

: חשב את האינטגרל. ב1.1

2.4

4 7

( )

xdx

f x−

+ . עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרוניתבחישובך עגל. ∫

!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 34 -

' מועד א–ו " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

2. הוכחה ב. א .1 2B A B− + ≤ ≤ לא נחתכות. ג+

2. 374. הוכחה ב. א 1 −⋅= −n

naג .3

1723

−⋅+−=

n

n nS

, מכאן. n הוא מספר שלם לכל nSלכן גם , הם מספרים שלמיםnaכל איברי הסדרה . ד

השבר 3

172

−⋅

n

17אזי הביטוי , 3- לא מתחלק ב2-היות ו. חייב להיות מספר שלם −n חייב

. טבעיn ללא שארית לכל 3-להתחלק ב

קיים קשר סטטיסטי ומשמעותו שבקרב מצלמות אולימפוס שעור העוברות את . ב 60%. א .3

.מבחן העמידות גבוה יותר

מעלות60. הוכחה ג. ב3. א .4

5. . לא ב. א

1 11 27 0

3 27x or x or x≤ < ≥ < ≤

056822 .בA(6,2) . א .6 =−++ yyx

7. 875.0. ב

24

21=

ש" קמ80 .8

הוכחה .9

7224. ב .10 −= xy

≈6.4 . בa=-7. א .11


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 35 -

' במועד-ו" תשס-'מבחן מחצית י





)2: נתונה הפרבולה . 1 ) (2 10) 20f x mx m x= + + +.

.יהיה קודקוד הפרבולה ברביע השני, mעבור אילו ערכים של הפרמטר .א

1x בשתי נקודות הנמצאות בין x - הפרבולה חותכת את ציר הכי גםנתון ', בנוסף לסעיף א .ב - ל=

5x )הערכים : " מחק את המיותר . −= 5), (1)f f− והסבר תשובתך" שליליים / הם חיוביים.

.יחדיו' ב-ו' תמלא הפונקציה את הדרישות של סעיפים א, mעבור אילו ערכים של הפרמטר .ג

,,...,חלקיים הסכומים סדרת ה. 2 321 SSS סדרה השלna

: בא את כלל הנסיגה התמקיימ

1

1

1 1

1

1n

n n n

St

tS S

t t

+

+ +

=

− = ⋅ −

(1 0)t≠ >.

.ומצא את מנת הסדרה, סדרה הנדסיתnaהוכח כי .א

-אשון גדול מסכום כל שאר האיברים בהאיבר הר. היא סדרה הנדסית אינסופית יורדתna .ב6

1 .

3.01מצא את מנת הסדרה אם ידוע כי >a. 500ומהם , מכוניות600במבחן השתתפו . חברת טויוטה נערך מבחן של תקינות צמיגי מכוניות החברהב. 3

. מכוניות עברו את המבחן בהצלחה6

מבחןעברו את הלא , המכוניות שנסעו בכבישי עפר מבין 1

. בהצלחה8

.נסעו בכבישי עפרא ל וגם בהצלחהמבחןעברו את הגם לא מכוניות מה 1

?מכוניות שנסעו בכבישי עפרמהי פרופורצית ה, בהצלחהמבחןעברו את השלא מכוניות מבין ה .א

?בהצלחה מבחן ה עברו את שמכוניותמהי פרופורצית ה, י עפר נסעו בכבישאל שמכוניותמבין ה .ב

הצלחה נסיעה בכבישי עפר להאם על סמך הנתונים אפשר לקבוע כי יש קשר סטטיסטי בין .ג

.נמק? במבחן

היא נמנעת מלנסוע בכבישי עפר בטענה כי זה הורס את הצמיגים , לשולמית רכב מסוג טויוטה .ד

.הסבר? האם היא צודקת . של המכונית


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 36 -

A’

D’

B’

C’

D

C

B A


2 נתון ’ABCDA’B’C’Dבמקבילון . 4 , ' 5 2 , 2AD v w AA u v w AB u v w= + = − − + = − + −��

כאשר ,

1 ,u v w u v w= = = ⊥ ⊥.

.הוכח כי המקבילון הוא תיבה .א

.מצא את אורך אלכסון התיבה .ב

C'מצא את הזווית .ג AD∢.

)נמצאים בנקודות , ABCD םיס הגדול בטרפז שווה שוקייקודי הבסדקו. 5 )1,0Bו -( )7,3C . אחד

)מקודקודי הבסיס הקטן של הטרפז נמצא בנקודה )2,1A .

. הטרפזשוקי ים נמצאן את משוואות הישרים עליהמצא .א

.משוואת המעגל החוסם את הטרפזמצא .ב

5xידוע כי הישר . א. 6 מהווה אחת האסימפטוטות של הפונקציה −=152

33)(

2 ++−−

=axx

xxf . מצא את

a ורשום את נוסחת הפונקציה.

: חשב את האינטגרל. ב 1

1( )f x dx

−∫.

.006אלון ש: 3פרק



nnSn האיברים הראשונים שלה הוא nנתונה סדרה אשר סכום . 7 23 2 +=.

.na-מצא את הנוסחה ל .א

טבעי nלכל כי באינדוקציה או בכל דרך אחרת הוכח .ב

הביטוי 6

1

1 92+

⋅+n

n

aa aללא שארית11- מתחלק ב .


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 37 -

אחרי שעתיים של נסיעה הקטין הנהג את אלא ש ,מ במהירות קבועה"ק 600 תכנן לנסועמונית נהג . 8

היה מאחר , לו היה נוסע במהירות הנמוכה לאורך כל הדרך. תו והגיע באיחור של שעה וחציומהיר

.מקורית הומצא את מהירות. שעתייםב


הוכח שהטרפז בעל השטח הגדול ביותר . מהבסיס הקטן6השוק של טרפז שווה שוקיים גדולה פי . 9

. מהבסיס הקטן9גדול פי , מתקבל כאשר הבסיס הגדול

.Sשטחו של המשולש הוא , ABCנתון משולש . 10

: הוכח כי מתקיים .ה2

2 2

4cos 1

SBAC

AB AC= −

⋅∢.

11 נתון כי .ו , 12 , 55AB AC S= = .∢BACחשב את גודל זווית , =

כך שמתקיים AC נמצאת על הצלע Eנתון כי הנקודה , בנוסף .ז4

5AE AC= , והנקודהD

.ר" סמ35.2 הוא ADEשטח משולש . ABמצאת על הצלע נ

.'העזר בנוסחה שהוכחת בסעיף א: הדרכה. AB את הצלע Dמצא באיזה יחס מחלקת הנקודה

.ADEש מצא את רדיוס המעגל החוסם את משול .ד

.בתשובתך דייק עד שתי ספרות לאחר הנקודה העשרונית: הערה

11 .y ax b= 3xy הוא המשיק לגרף הפונקציה + 1x בנקודה שבה = =− .

.מצא את משוואת המשיק .א

∫חשב את האינטגרל .ב−

−−4

2

3 )( dxbaxx) ,a bשמצאת בסעיף א '(

3xyל חותך את הפונקציה "המשיק הנ .ג ) בנקודה = חשב את השטח המוגבל על ידי גרף . 2,8(

2xל בין הישרים "הפונקציה והמשיק הנ 4x - ו−= = .

.אינן זהות' ג-ו' הסבר למה התשובות לסעיפים ב .ד

)3לפונקציה .ה 5)y x= 4x העבירו משיק בנקודה בה − משיק זה חותך את הפונקציה בנקודה . =

( 3xל בין הישרים "והמשיק הנחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה . 7,8( 9x - ו= = .

.ניתן להסתמך על החישובים מסעיפים הקודמים בצירוף הסבר נאות: הדרכה

!בהצלחה

בונוס


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 38 -

' מועד ב–ו " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

>5m. א .1 >10m. גשליליים . ב− −

2. . א

1q

t. ב=

3

1

3. . א

4

1. ב

6

5 אין קשר סטטיסטי . ג

, יוטהולכן אם לשולמית יש רכב מסוג טו, בגלל שאין קשר סטטיסטי אז אין קשר סיבתי. ד

.אזי על פי המחקר אין שחר לטענותיה

69.56. ג41. הוכחה ב. א .4

5. ). בy=x-1, 7y=x+14 . א ) ( )2 2

7.5 5.5 72.5x y− + + =

6. . בa=13. א

9ln 5 4ln1.5

2− +

16. א .7 −= nan

ש" קמ75 .8

הוכחה .9

5.24. ד4:1ביחס של . מעלות ג56.44. בהוכחה. א .10

האינטגרל המסוים הוא אופרטור שבעזרתו ניתן . ד46. ג30. בy=3x+2. א .11

.ולכן כאשר מחשבים שטחים יש לשים לב לגבולות ולתחומי השטחים, לחשב שטחים

כאשר מזיזים את הפונקציה יחד עם המשיקים . יחידות שטח46כלומר , תו דבר כמו גאו. ה

.תוצאת האינטגרל נשמרת, והגבולות אותו מספר יחידות ימינה או שמאלה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 39 -

A

B

C

O

D

M

'מועד א-ז" תשס-'מבחן מחצית י





: נתונה הפונקציה .א. 12 2f(x)= m x - 2mx+ 2) m -הוכח כי ). פרמטרf(x) אינה חותכת את

.x-ציר ה

): נתונה הפונקציה .ב )( ) ( )2

2 2

1- 2m x - m+ 2 x+1- 2mx =

m x - 2mx+ 2g . עבור אילו ערכיm , גרף

)הפונקציה )g xנמצא כולו מתחת לציר ה -x ?

.7,812.5 הוא ומהאשר סכ, סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת -na .א .2

.0 - קטן מ, והאיבר השישי בה7,500סכומם של שני האיברים הראשונים בסדרה הוא

.מצא את האיבר השלישי בסדרה

n: י הנוסחה"מגדירים סדרה חדשה ע .ב nb = a ) סדרתnaבסעיף א היא הסדרה הנתונה ' .(

.naלסכום הסדרה , nb בין סכום הסדרה את היחסחשב

.4-3עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות

. מיתר במעגל הנתוןAC- קוטר וO .BDנתון מעגל .3

.M היא הנקודה AC- וBDנקודת מפגש

): הוכח. א )( )CM MA= OC +OM OA - OM⋅

: נתון כי .ב5

2

CM

MA= , COD COA=∢ ∢ , 6OAMS∆ =.

∆ABMSחשב את

ר"סמ


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 40 -

y

A

xB

C

AB

C D

B′

C′

u

v

w

D′

A′

. מהנשאלים בסקר היו נשואים והשאר רווקים1,400. בעלי רכב2,000יבואן מכוניות ערך סקר בקרב .4

לתדהמת עורכי הסקר הסתבר . מהנשאלים העדיפו מכונית משפחתית והשאר מכונית ספורטיבית1,100

. המשפחתי של הנשאל לבין העדפותיו בנושא סוג המכוניתכי לא קיים קשר סטטיסטי בין מצבו

.ממדית המשקפת את הנתונים-בנה טבלת פרופורציה דו .א

.קבוצת הנשאלים הנשואים -A : סמן מאורעות בטבלה

B - קבוצת הנשאלים המעדיפים מכונית משפחתית.

.חשב את השכיחויות הבאות והסבר אותן מילולית . ב

1. ( )P A B∩. 2. ( )N A B∪.

לראות מי בסופו של דבר קנה מכונית , הרווקים בלבדיבואן המכוניות ביקש כי יעשו סקר נוסף בין . ג

.לפי העדפותיו ומי לא קנה את המכונית שהעדיף

. רווקים קנו את המכונית המועדפת עליהם90%: התבררו הנתונים הבאים

מכונית משפחתית מתוך הרווקים שקנו המכונית המעדיפים רציית הרווקים וחס בין פרופהי

מכונית משפחתית מתוך הרווקים שלא קנו המעדיפים לבין פרופורציית הרווקים ,המועדפת עליהם

את המכונית המועדפת עליהם הוא 10

9 .

מכונית העדיפוונית המועדפת עליהם מתוך הרווקים שמצא את פרופורציית הרווקים שקנו את המכ

.משפחתית



'בתיבה .5 ' ' 'ABCDA B C D

ΑΑ' = w , ΑD = v , ΑΒ = u��

v : נתון = 8 , u = 1

14

x= u +tv - w

AC יוצר זוויות שוות עם הווקטורים x הווקטור ABו -��

.tחשב את .א

xהוכח כי אם .ב AD′⊥��

v: אז = w.

AC לווקטור xשבין הווקטור חשב את הזווית .ג ��

.

)המשיק לפונקציה . 6 )3 2x + 2x - x+1

f x =x+1

בנקודת החיתוך שלה

.B בנקודה x -חותך את ציר ה, y עם ציר

) וחותך את x- אנך לציר הBCהישר )f x בנקודהC.

)י "חשב את השטח המוגבל ע )f x והישריםABו -BC.


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 41 -

O

A

α

B

C

D

R

k

A

B

C

DR

30�

x+3y: ים מגבהי משולש הןהמשוואות של שני .7 = y - ו16 = x+ אחד מקודקודי . 2

,5)המשולש נמצא בנקודה 3)−

.מצא את שני הקודקודים האחרים של המשולש .א

.הוכח כי אחד מהגבהים הנתונים הוא גם חוצה זווית .ב

.חשב את גודל הזווית הנחצית .ג

.006שאלון : 3רק פ



: טבעי מתקייםnכי לכל ) או בכל בדרך אחרת(הוכח באינדוקציה . 8

1 2 1 1 11 5 7 5 13 5 ... ( 1) (6 5)5 ( 1) 5n n n n nn n− − − +⋅ − ⋅ + ⋅ − + − − = −

6הספורטאי הראשון הלך במהירות של . שלושה ספורטאים יצאו לדרך מאותו המקום ולאותו כיוון . 9

חמש דקות מאוחר יותר יצא גם . ש" קמ8יצא הספורטאי השני במהירות , רבע שעה אחריו. ש"קמ

מרגע ( דקות נוספות 10הספורטאי השלישי השיג את הספורטאי השני ולאחר . הספורטאי השלישי

.השיג גם את הראשון) הספורטאי השניניפל שחלף ע

.מצא את מהירות הספורטאי השלישי

.12-10תי שאלות מתוך שאלות שעליך לפתור

ABC) BAבמשולש שווה שוקיים .10 BC= ( חסום מעגלO .

.αזווית הבסיס של המשולש היא

D המעגל להיא נקודת החיתוך בין -BO.

BD: נסמן k=.

.α - וkהבע את רדיוס המעגל באמצעות .א

.α - וk באמצעות ACהבע את .ב

DOנתון כי .ג k= , הבע באמצעותk את רדיוס המעגל החוסם

.באופן גיאומטריאת התשובה ניתן גם להסביר , ABCאת משולש

A בנקודה וזשמרכמעגל נמצאת על Cהנקודה .11

.∢=030BADגודל זווית . R הוא ווהרדיוס של

ABניצב ל -BCו - ADניצב ל - CD ) ראה ציור.(

מצא את השטח המקסימלי של המרובע .א

ABCDהנוצר באופן זה .

של המרובע ימצא את השטח המינימל .ב

ABCDהנוצר באופן זה .


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 42 -

הפונקציה נתונה .12( )22

2( )

3

xf x

x=

+ . הן נקודות הקיצון של הפונקציה C- וAהנקודות .

) את נקודת הקיצון המינימליתC-וב, את נקודת הקיצון המקסימליתA-נסמן ב(

.x-לציר ה נעביר ישר המקביל Cנקודה ומה, y- לציר הנעביר ישר המקביל Aמהנקודה

. Bשני הישרים נחתכים בנקודה

.BC- וABי גרף הפונקציה והישרים "מצא את השטח המוגבל ע

!בהצלחה

' מועד א–ז " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

1. 11

3m>

1.5. ב375. א .2

ר" סמ2.4. הוכחה ב. א .3

4.

. א0.55 0.165 0.385

0.45 0.135 0.315

1 0.3 0.7

A A

B

B. ב

( ) 0.385

( ) 1730

P A B

N A B

∩ =∪ =

. ג10

11

5. . א

1

4t 045. הוכחה ג. ב=

6. 11 3ln1.512

− +

(10,12). א .7 ( 5,7)B C 053.13. הוכחה ג. ב−

הוכחה .8

ש" קמ12 או 10 .9

10. . א

cos

1 cos

kR

αα

=−

. ב2 (cos 1)

tan (1 cos )

kAC

αα α

+=

− 2k. ג

11. . א

2

4

R. ב

23

8

R

12. 0.25


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 43 -

'במועד -ז" תשס-'מבחן מחצית י

.רפיםדפי נוסחאות מצו, )ושאינו ניתן לתכנות, לא גרפי(מחשבון : חומר עזר מותר בשימוש




2: נתונה הפרבולה . 1 m + 2 1f(x) = mx + x +

m - 4 m

?x הפרבולה חיובית לכל mעבור אילו ערכי .א

? מימין לראשית הצירים x לפרבולה שתי נקודות חיתוך עם ציר mעבור אילו ערכי .ב

1: הבאסדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה. 2 2 1n+ na = a + n+ . מגדירים סדרה על ידי

n 2n nb = a + 2 - n .הסדרנתון כי ה nb2ה ת סדרה הנדסית שמננה הי.

.na איבר הכללי של הסדרהמצא את הנוסחה ל .א

.nb האיברים הראשונים של הסדרה nסכום מצא את הנוסחה ל .ב

2: ם הבאים מהווים סדרה הנדסית עבורו שלושת האיבריnמצא את .ג 2 2, ,n n nb b a+.

.4-3עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 3 .ABCDהנקודות . מקבילית E ,Fו -Gהן על צלעות המקבילית .

.EF- וBD היא מפגש הישרים Oהנקודה

EF: נתון AD , GO AB� �

GC .א :הוכח OF=.

OBG .ב DOF△ ∼△.

DOE .ג OGCS = S△ △

A

B

D

C G

E F O


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 44 -

. י התבוננות בלבד"מומחה למתכות מזהה את החומר ממנו עשוי תכשיט ע .4

הטבעות 12מתוך . מזויפות8- טבעות עשויות זהב טהור ו12. טבעות20הוצגו לפני המומחה .א

טבעות 8מתוך . טבעות שהן שעשויות זהב טהור10שעשויות זהב טהור המומחה אמר על

.א עשויה זהב טהורי אחת שהיפות המומחה אמר על טבעתומז

?מהי הדיאגנוסטיות של קבוצת הטבעות שהמומחה אמר עליהן שהן עשויות זהב טהור

טבעת שנבחרה באקראי עשויה זהב טהור אם המומחה אמר שהיא כזו תברות כי שההסידוע .ב

.62.5%היא

הטבעות קבוצת דיאגנוסטיות –שימו לב ( ?מהי פרופורציית הטבעות העשויות זהב טהור

)נשמרת, שהמומחה אמר עליהן שהן עשויות זהב טהור


ABCDA הנתונה קוביי .5 B C D′ ′ ′ ′.

'- וBC הן בהתאמה אמצעי המקצועות F- וEהנקודות 'B C.

EN מקיימת Nהנקודה = tEF��

'AA: נסמן = w , AD = v , AB = u��

.

,wהבע באמצעות .א v , uו -t את 'AC��

AN - ו��

.

cos את tהבע באמצעות .ב 'NAC∢.

. היא מינימלית∢NAC' עבורו tחשב את ערך .ג

.יתהמינימל ∢NAC'חשב את .ד

): נתונות הפונקציות .6 ) ( ) ( )2-2x -xg x = b+e , f x = a - e .( 0)a >

)האסימפטוטה האופקית של )f x1 היאy =.

)האסימפטוטה האופקית של )g xהיא ציר ה -x.

.b- וaמצא את הפרמטרים .א

)מצא את נקודת הקיצון של .ב )f x.

מצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים .ג

.שרטט סקיצה של שני הגרפים באותה במערכת צירים .ד

.y-יר הידי צ-ידי שני הגרפים של הפונקציות ועל-חשב את השטח המוגבל על .ה

AB

F

C

E

D

D′C′

B′A′

u

v

w

N


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 45 -

O

R

A

B C

) ABCDקודקודי הבסיס של טרפז שווה שוקיים .7 , )AB CD AD BC=� , נמצאים

)ו עובר דרך הנקודה נמצא על ישר שהמשכCDהבסיס . B(14,6) - ו A(6,10):בנקודות 2,9)− .

.50מצא את שני הקודקודים האחרים אם נתון ששטחו של הטרפז הוא .א

.מצא את משוואת המעגל החוסם את הטרפז .ב




: טבעי מתקייםnלכל כי יה מתמטיתאינדוקצהוכח באמצעות .8

( )2

... ...n n+ + + + = + + + +3 3 3 31 2 3 1 2 3

אברהם בבוקר יוצא8בשעה . מ" ק120אילן לאוניברסיטת חיפה הוא -המרחק בין אוניברסיטת בר .9

ה בהליכ בבוקר יוצא בנימין 10בשעה . אילן לכיוון אוניברסיטת חיפה-מאוניברסיטת ברבהליכה

ש מזו של " קמ1-בנימין הולך במהירות הגדולה ב. אילן-מאוניברסיטת חיפה לכיוון אוניברסיטת בר

.אברהם

?באיזה שעה יפגשו שני הסטודנטים אם ידוע כי המפגש מתרחש בדיוק באמצע הדרך


.k הוא גודל קבוע AC- וABכי הצלעות סכום אורABCבמשולש .10

. נמצא על המעגלCודקוד ק. A בנקודה R שרדיוסו O משיקה למעגל ABצלע

מה צריך להיות היחס AB

AC ?יהיה מקסימלי ABC כדי ששטח המשולש


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 46 -

1S

y

x

A

2S

): נתונה הפונקציה .11 ) 2f x = 2cos x - sin2x 0: בתחום x π≤ ≤.

.מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים .א

.מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה .ב

.תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציהצא את מ .ג

.מצא את נקודות הפיתול של הפונקציה .ד

.∩כלפי מטה מים בהם קעורה התחו ו∪ כלפי מעלה הרו קעם בהם הפונקציה תחומימצא את ה .ה

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ו

)5הגרפים של הפונקציות .12 )f x k x= ⋅ , 0k )3 -ו < )g x x=נפגשים בראשית הצירים O

)נסמן את השטח הכלוא בין הפונקציה .Aדה ובנקו )f x ובין הישר AO1- בS , ואת השטח הכלוא בין

)הפונקציה )g x וישר AO2 - בS .) שרטוטראה(

1חשב את יחס השטחים .א 2:S S .

) שכלוא בין הגרפים של חמסובבים את השט .ב )f x ושל ( )g xסביב ציר ה -x . הבע באמצעותk

.את נפח גוף הסיבוב הנוצר בדרך זו

!בהצלחה

O


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 47 -

'ב מועד –ז " תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

0. א .1 2 10m m< < ∪ 2. ב< 4m< <

2. א .2na n=12. ב 2

n

nbS += 2n. ג− =

הוכחות .3

4. . א

26

3. ב

1

5

5. . א

1' ,

2AC u v w AN u v tw= + + = + +��

. ב2

3 2

15 12

t

t

+

+. ג

5

6

1 . א .6 , 0a b= ln). גmin(0,0). ב= 1. ה(2,0.25 ln 2−

7. (14,1). א , (2,7)C D2. ב 2 725

( 7.75) ( 3.5)16

x y− + − =

הוכחה .8

20:00- יפגשו ב .9

10. 0.5

11. (0,2). א ( ,0) ( ,0)

2 4

π π. ב

3 7( , 0.414)min ( ,2.414)max8 8π π−

עליה . ג3 7

8 8xπ π< ירידה >

7 3, 0

8 8x xπ π π< < < . ד>

1 5( ,1) ( ,1)8 8π π

כלפי מעלה . ה1 5

8 8xπ π< כלפי מטה >

5 1, 0

8 8x xπ π π< < < <

12. . א

2

375. ב

14k π


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 48 -

'מועד א-ח"תשס-'מבחן מחצית י

.דפי נוסחאות מצורפים, ) ושאינו ניתן לתכנותלא גרפי(מחשבון : חומר עזר מותר בשימוש

.שעתיים - ' חלק א: משך המבחן

005שאלון : 1פרק

2-1 שאלה אחת מתוך שאלות עליך לפתור: רות אלגברה וסד

)2: נתונה המשוואה. 1 -1) - (2 -3) -1 0m x x x =.

?למשוואה הנתונה שני שורשים ממשיים שונים יש mעבור אילו ערכי .א

.mמצא את פתרונות המשוואה והראה שאחד מהם אינו תלוי בערכו של .ב

'?גדול מהפתרון הקבוע שמצאת בסעיף ב, m- פתרון המשוואה התלוי בmעבור אילו ערכי .ג

: מספרים סודרו במשולש בצורה הבאה. 2

, נמצאים שני איבריםהבשניי, בשורה הראשונה נמצא איבר אחד

. ' שלושה וכו- בשלישית

) החל מהשלישית(השורות מהוות . איבריםn -ית -n- בשורה ה

. סדרות חשבוניות

, להפרש הסדרה, לאיבר הראשון(שים לב למבנה השורות .א

וכתוב נוסחה לאיבר האחרון ) למספר איבריה

.ית- n-בשורה ה

. ית- n-חשב את סכום האיברים בשורה ה .ב

1

2 6

3 9 15

4 12 20 28

5 15 25 35 45

6 18 30 42 54 66

i i i i i i i

i i i i i i i i

5-3יך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות על: גיאומטריה והסתברות

. חסום במעגלABC∆משולש . 3

Dגל בנקודה חותך את המעBAC∢חוצה הזווית

הורד אנך על Dמנקודה . FבנקודהBCואת הצלע

. E החותך אותה בנקודהBC הצלע

:: נתון כי 3:5AC AB=

נוסחאות בהסתברות

: הסתברות מותנית)(

)()/(

BP

BAPBAP

∩: נוסחת בייס =

)(

)()/()/(

BP

APABPBAP

⋅=

: נוסחת בייס ליחסים )(

)(

)|(

)|(

)|(

)|(

AP

AP

ABP

ABP

BAP

BAPR •==

1)|(

+=

R

RBAP

D

C

A

B F E


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 49 -

EFBC: הוכח כי .א ⋅= 8 .

AF,מ"ס 10: נתון כי .ב ADמ"ס 16= =.

.FC חשב את אורך הצלע

DFC∆ שטח משולש את חשב .ג

שתי ספרות אחרי בתשובתך דייק עד(

.)העשרוניתהנקודה

שאלה בהסתברות קלאסית .4

, אם בוחרים באקראי עוגה מבין העוגות המכילות קמח. מהעוגות מכילות קמח0.7" עוגתי"בקונדיטוריית

ההסתברות שהעוגה מכילה סוכר היא 7

5.

מכילה , מכילה קמח: עוגות בקונדיטוריה זו ישנה לפחות אחת משתי התכונות מה0.94 -ידוע של, כמו כן

.סוכר

?מה ההסתברות שהעוגה מכילה סוכר, בוחרים עוגה באופן אקראי .א

? עוגות לא יכילו קמח4מה ההסתברות שלפחות . עוגות5מבין העוגות המכילות סוכר בוחרים .ב

. עוגות שאינן מכילות קמח4חות יש לפ, עוגות המכילות סוכר5ידוע כי אם בוחרים .ג

?מה ההסתברות שכל העוגות אינן מכילות קמח

שאלה בהסתברות בחיי היום יום. 5

: בסקר שנערך בקרב חיילים בדקו את הטענה שיש קשר בין שירות קרבי לבין סוג מקום מגורים

.ם והקיבוצים מבין הנבדקים הם מהמושבי40%-בסקר התברר ש. ערים לעומת מושבים וקיבוצים

ופרופורציית החיילים , משרתים בשירות קרבי75%התברר שמבין החיילים מהמושבים והקיבוצים , כמו כן

.0.48מהערים שאינם עושים שירות קרבי הוא

. קבוצת החיילים מהמושבים והקיבוצים- A :נסמן

B - בוצת החיילים המשרתים בשירות קרביק.

?מהו אחוז החיילים המשרתים בשירות קרבי .א

. הוכח שיש קשר סטטיסטי בין שירות קרבי לבין מקום המגורים .ב

כי הסיבה לקשר היא שיותר חיילים מהמושבים והקיבוצים שבסקר , אחרי פרסום הסקר עלתה הטענה .ג

. עברו בתיכון קורס הכנה קרבית

ובדוק האם יש קשר סיבתי בין שירות קרבי לבין מקום , השלם את הנתונים, שלפניךהתבונן בטבלה

. המגורים

!נמק


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 50 -

לא עברו קורס עברו קורס

מושבים וקיבוצים

ערים מושבים

וקיבוצים ערים

0.06 0.25 שירות קרבי

0.08 0.18 שירות שאינו קרבי


8-6 שתי שאלות מתוך שאלות עליך לפתור: לוגריתמיות ואנליטית מעריכיות ו' פונ, וקטורים

. BC נמצאת על הישר שעליו מונחת הצלעP הנקודה) ראה ציור (ABCD בפירמידה משולשת.6

wAD: נסמן = ,vAC =,uAB = .

BCtBP ⋅=

=60 :נתון = �∢ ∢BAC CAD ,120= �∢BAD.

wvu ==.

.AC - לAP לזווית בין שווה AD - ל APהזווית בין , tעבור איזה ערך של .א

C, ביחס לנקודותP מהו מיקומה של הנקודה .ב B?

,27הוא APD∆ובהינתן כי שטח המשולש' שמצאת בסעיף א t-בהסתמך על ה .ג

. AD מצא את אורך

:נתונה הפונקציה . 7a

yx

x

+=

2

22

1

)1( >a.

axהצירים והישר , השטח הכלוא בין גרף הפונקציה .א 2log=ה מסתובב סביב ציר -X.

.1V- נסמן את נפח הגוף המתקבל בדרך זו ב

axהישר , השטח הכלוא בין גרף הפונקציה 2log= , והישרax 3log2=, מסתובב סביב ציר

.2V - המתקבל בדרך זו באת נפח הגוףנסמן . X- ה

12 אם נתון כי aמצא את 2 VV ⋅=

3log: פתור את המשוואה .ב

4

12 xx x =

.אין קשר בין הסעיפים: הערה

C

D

A

B


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 51 -

.היא ראשית הצירים Oהנקודה . 0,2(B( ,aA),0(: הםB- וAשיעורי הנקודות .8

, ∢APBהוא חוצה הזווית POשעבורן , Pנתון שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות

.)0,3(הוא מעגל שמרכזו

. ואת רדיוס המעגלaמצא את


.ושלושת רבעי שעה :משך המבחן

10-9שאלה אחת מתוך שאלות עליך לפתור : תנועהתאינדוקציה ובעיי

: טבעי מתקייםnינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל הוכח בא .א .9

483)34(...)52()32()12( 2 ++=++++++++ nnnnnn

nn: טבעי לפיn מוגדרת לכל naהסדרה . ב bna −−= 4840

)12()32()52(...)34( כאשר ++++++++= nnnnbn.

.נמק? na כמה איברים חיוביים יש בסדרה

B- מ' מ65הם נפגשו במרחק . B- והשני מA-האחד מ. שני אנשים יצאו בו זמנית זה לקראת זה .10

. מיד עם הגיעם הסתובבו וחזרו לנקודת מוצאם. A-ני הגיע לוהש, B- הראשון הגיע ל. והמשיכו בדרכם

אם ידוע כי מהירותם לא B- לA-חשב את המרחק מ. A -מ' מ25בדרכם חזרה נפגשו שנית במרחק

.ליכתםהשתנתה במהלך ה

31-11 שתי שאלות מתוך שאלות עליך לפתור: דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה

)PMN∆במשולש שווה שוקיים .11 )PM PN= Aהיא נקודה על הגובה PB,

PBPA: כך ש ⋅=4

1 . Dבנקודה PM חותך את השוקNAהישר .

DNB: נתון כי β=∢ , DMN α=∢ו - BN a=.

αβחשב את היחס .א tgtg :.

.DM אתa,,βαהבע באמצעות .ב

DMPMחשב את היחס .ג :.

P

M N B

D A


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 52 -


sin

cos

xy

x בתחום =

2 2x

π π− < <.

ואת ) אם ישנן(נקודות הקיצון , מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים .א

.האסימפטוטות האנכיות בתחום הנתון

הצירים והישר , חשב את השטח המוגבל על ידי הפונקציה .ב3

xπ

=.

נתונה הפונקציה .13xxb

xxf

−=

3)( )0( >b.

. x=9מעבירים משיק לפונקציה בנקודה

.את האסימפטוטות המקבילות לצירים ואת משוואת המשיק) אם יש צורך (bע באמצעותהב .א

.−14 הוא y- בנקודה שבה שיעור הx-משיק זה חותך את האסימפטוטה האנכית לציר ה

.bמצא את .ב

.מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה .ג

.הראה שהפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה .ד

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ה

!!!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 53 -

' מועד א– ח" תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

. א. 11

,22

≠mב .1

1,2

+−

m

m. ג

12

2m< <

22na. א. 2 n n= 3. ב−ns n=

16.97. ג6 .הוכחה ב. א. 3

06.0. ג0.041. ב0.74. א) קלאסית. (4041.0

3.0 5

=

הוכחה. ב0.42. א ) יום יום. (5

. ג

לא עברו קורס עברו קורס

מושבים

וקיבוצים

מושבים ערים

בוציםוקי

ערים

0.06 0.05 0.06 0.25 שירות קרבי

0.3 0.08 0.18 0.02 שירות שאינו קרבי

0.25 25( / )

0.27 27P B A = = 38.0

13.0

05.0)/( ==ABP

יש קשר סיבתי ביניהם: מסקנה

12. גcמחוץ למשולש מהצד של . בt=2. א. 6

. א. 73

5=a .ב .x=4,2

a=-6 , R=3: תשובה. 8

6. ב הוכחה. א. 9

' מ170. 10

. ב0.75. א. 112 sin

sin( )

βα β⋅

+a

7/6. ג

.מפטוטות אנכיות הן הגבולות אך לא בתחוםאסי. אין נקודות קיצון , (0,0)חיתוך עם הצירים . א .12

1. ב

2,3. א. 13 bxy : משיק , =−=2

4.5 9( 9)

(3 9) 3

by x

b b= − +

− −40,4. ג . b=2. ב <<> xx

הוכחה. ד


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 54 -

A

B C

O

DE

'במועד -ח" תשס-'מבחן מחצית י




.2-1שאלות ה שאלה אחת מתוך עליך לפתור

: נתונה המשוואה .1x m

xm m

−− =

2 1.

)m באמצעותxהבע את ( פתור את המשוואה .א

? אין פתרון למשוואהmעבור איזה ערך של .ב

?יש למשוואה אינסוף פתרונות mעבור איזה ערך של .ג

?גדול מן המספר ההפכי לו יהיה פתרון המשוואה מספר שmעבור אילו ערכים של .ד

י חיבור כל שני"יוצרים סדרה חדשה ע. 4 שסכומה na מתכנסת נתונה סדרה הנדסית אינסופית .א .2

1 סמוכים איברים 2 2 3 3 4( ) , ( ) , ( ) ...a a a a a a+ + +.

.הנדסית שסכומה מתכנססדרה הוכח כי הסדרה החדשה היא . 1

.3ראשון והמנה של הסדרה החדשה אם נתון שסכומה הוא מצא את האיבר ה. 2

): י הנוסחה"מגדירים סדרה חדשה ע .ב 1)nn nb a= − הנתונה המקורית היא הסדרהna הסדרה (⋅

a: מצא את ההפרש בין סכומי הסדרות). 'מסעיף א bS - S

.5-3אלה אחת מתוך השאלות עליך לפתור ש

) ABCD בטרפז .3 )AD BC� האלכסונים נחתכים בנקודה O.

.AD על הבסיס Eהנקודה

DC :נתון EO� ו- 1

3

CO

OA=.

:נוסחאות בהסתברות

: הסתברות מותנית)(

)()/(

BP

BAPBAP

∩: נוסחת בייס =

)(

)()/()/(

BP

APABPBAP

⋅=

: נוסחת בייס ליחסים )(

)(

)|(

)|(

)|(

)|(

AP

AP

ABP

ABP

BAP

BAPR •==

1)|(

+=

R

RBAP


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 55 -

ABD∆ מצא את יחס השטחים .א

∆BCD

S

S

ABD∆מצא את יחס השטחים .ב

∆AEO

S

S

הסתברות קלאסית

2 מהדירות גרות משפחות עם 30% -ב. ילדים3גרות משפחות עם , במחצית מהדירות בבניין רב קומות .4

. הדירות האחרות גרות משפחות עם ילד אחדילדים ובכל

. ילדים יש מכונית3 מהמשפחות עם 60%-ל

. ילדים יש מכונית2 מהמשפחות עם 80% -ל

. מהמשפחות עם ילד אחד יש מכונית40% -ל

?מה ההסתברות שלמשפחה יש מכונית. בוחרים באקראי משפחה .א

?חה זו שני ילדיםמה ההסתברות שלמשפ, בוחרים משפחה שיש לה מכונית .ב

?מה ההסתברות שלמשפחה זו שני ילדים, בוחרים משפחה שאין לה רכב .ג

יום-הסתברות בחיי היום

סיכם החוקר המהולל את מחקרו , לאחר מחקר ארוך ומעמיק על הרגלי התזונה של קופי השימפנזים .5

:בסיכום הבא

. בשרעל פני מהשימפנזים מעדיפים פירות וירקות 75% .1

. מכלל הקבוצה שנחקרה37.5%הזכרים שהעדיפו פירות וירקות היוו .2

מפרופורצית המעדיפים בשר 2 גדולה פי הפרופורצית הנקבות בקרב הקופים שהעדיפו בשר היית .3

.בקרב הנקבות

)שלא היה נעים להם לשאול את החוקר המהולל(חבריו הטובים של החוקר הפנו אליך מספר שאלות

? פרופורצית הנקבות בקבוצת הקופיםמה הייתה .א

?מה הייתה פרופורצית מעדיפי הפירות והירקות בקרב הנקבות .ב

.נמק? מה משמעות הדבר? האם קיים קשר סטטיסטי בין מינו של הקוף לבין העדפתו בנושא המזון .ג

: לבד אוכלוסיית השימפנזים הצעירים בבתשובה לשאלותיך הוסיף החוקר נתונים המתבססים על .ד

23

1 מהזכרים צעירים ורק 3

. מעדיפים פירות וירקות75%, גם בקרב הצעירים. מהנקבות צעירות

. פרופורציית הזכרים הצעירים המעדיפים בשר שווה לזו של הנקבות הצעירות

קל לו יותר לנחש , קוף צעיר אוכל בשרכאשר הוא מזהה ש, החוקר טוען שלמרות הנתון האחרון

. הסבר על מה מבסס החוקר את הטענה שלו. האם מדובר בזכר או בנקבה

?מה ההסתברות שמדובר בנקבה, ל בשר שאוכמבוגראתה מתבונן בקוף .ה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 56 -

A

B

C

y

x

D



ABCDA בתיבה .6 B C D′ ′ ′ .′CCהיא אמצע המקצוע F הנקודה ′

=′ מקיימת Eהנקודה ��

DE tDD .

AA: נתון a , AD a , AB a2 22′ = = =)aפרמטר (

AA: נסמן w , AD v , AB u′ = = =��

.

AE הבע את .א��

AF - ו ��

w באמצעות , v , u ו-t.

. מינימלית ∢EAF עבורוtחשב את .ב

: שנגזרתה היא הפונקציהxf)(נתונה פונקציה . 7

1

1533)(

23

+−++

=x

xxxxg.

.2 בנקודת הפיתול שלה הוא xf)( ערך הפונקציה

.xf)(מצא את הפונקציה .1

מצא . xg)( מעבירים משיק לפונקציה x=1בנקודה .2

)את השטח המוגבל בין הפונקציה )g x , המשיק

. yוציר

1.5y הישר .8 x= חותך את המעגל −2 2

x + y = 52

אליפסה החסומה בתוך המעגל חותכת .B-וAבנקודות

).ראה ציור(D- וCאת הישר בנקודות

: מצא את משוואת האליפסה אם נתון היחס CD

AB

1

2=.

B

A

C

A′

B′

uv

w

C′

E

D

D′

F

Y

XX

( )g x


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 57 -

O

A

α

B

C

DR

M



.10-9מתוך שאלות שאלה אחת עליך לפתור

2 : הבאה ההנדסיתנתונה הסדרה . 9 4 8 16 32n

, , , , ,...,a ,....

כי הביטוי ,באינדוקציה או בכל דרך אחרת, הוכח. א 3 1

8

an −

. טבעיnהוא מספר שלם לכל ,

האם הביטוי . ב2 2

2 3 3 2 2 3 2n n

n n+⋅ + ⋅ − ⋅ . הסבר תשובתך? ללא שארית16 - מתחלק ב−

התחנה המזרחית והתחנה , על שפת נהר הירקון ממוקמות שתי תחנות להשכרת סירות משוטים .10

. זוג חברים שכר סירת משוטים בתחנה המזרחית וחתר לכיוון התחנה המערבית. המערבית

ץ על סירת המנוע שלו קפ, ששכח לתת קבלה לזוג, הבחין מנהל התחנה המזרחית, שעה מאוחר יותר

. נתן להם את הקבלה וחזר חזרה לתחנה המזרחית, מנהל התחנה השיג את הזוג. לכיוון הזוגושט

. הוא הגיע לתחנה בדיוק ברגע שהזוג הגיע לתחנה המערבית

ומהירות סירת המשוטים ,ידוע שמהירות סירת המנוע במים עומדים גדולה פי חמש ממהירות הזרם

.שווה למהירות הזרםבמים עומדים

. של הזוג אם נתון שהירקון זורם ממזרח למערבשיטמצא את משך ה


11. AB הוא קוטר המעגל O . אורך רדיוס המעגל הואR.

).ראה ציור (B מהצד של AB נמצאת על המשך Cהנקודה

.D יוצא משיק למעגל המשיק בנקודה Cמנקודה

ACDנתון כי α=∢.

.CD- וAC ,OD: משיק לישריםMמעגל

.α- וR באמצעות Mהבע את רדיוס המעגל .א

.α- וR באמצעות △OMDח המשולש הבע את שט .ב


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 58 -

A

B

C GD

E

F

H

משרטטים מעגלבתוך ה. R שאורך הרדיוס שלו מעגלנתון .12

.ריבוע וארבעה משולשים שווי שוקיים החופפים זה לזה

) מונחים על צלעות הריבועבסיסי המשולשים(

כום שטחי המשולשיםסאורך צלע הריבוע בו אתRהבע באמצעות .א

.מקסימלי

.מקסימלי 'השטח מסעיף א כאשר ∢BAHמצא את גודל הזווית .ב

חקור את הפונקציה .13

5 3

2 5

x Axy

A x x

+=

− , 0A>) A ומצא) פרמטר:

.את תחום ההגדרה של הפונקציה .1

.את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים .2

.מקבילות לציריםהאת האסימפטוטות .3

.את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה .4

.ת גרף הפונקציהשרטט א .5

)A-ניתן להביע את התשובות באמצעות(

!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 59 -

'ב מועד – ח" תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

;0,1. א .1 1m x m≠ = 0m. ב+ 1m. ג= 0m. ד= 2 או < 1m− < < −

1. א .2 5a = ,0.25q = . ב−2

103

. א .33

1. ב

16

9

. ב0.62. א .412

31. ג

3

19

2פרופורציית אוכלי הבשר בקרב הצעירים הזכרים גדולה פי . דלא. ג0.75. ב0.5. א .5

. ה. מפרופורציית אוכלי הבשר בקרב הנקבות הצעירות1

6

0.5AF .א .6 U V W= + + ,AE V tW= 0.5t. ב + =

1.2ln1651ln16. א .73

)( 23

+++−++= xxxx

xf

2. 0.757

3.584. ב 4x≤ < , 2x ≤

8 . 2 2

152 9.75

x y+ =

מתחלק. ב . 9

רבעשעתיים ו. 10

. א. 11(45 )

2

1 (45 )2

R Tgr

Tg

α

α

⋅ +=

+ +. ב

2 (45 )2

2 2 (45 )2

R Tg

Tg

α

α

⋅ +

+ +

�90. ב R. א. 12

13 .1 .0, ,x A A≠ X,. 3אין . 2 − A A= − , 1Y = בנקודה " חור"יש (אין קיצון . 4 −

0: עליה) . החשודה כקיצון x a< < , x a> .0: ירידהa x− < < , x a< −


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 60 -

'מועד א-ט"תשס-'מבחן מחצית י

.דפי נוסחאות מצורפים, )שאינו ניתן לתכנות ולא גרפי(מחשבון : חומר עזר מותר בשימוש

.שעתיים - ) 2- ו1פרקים (' חלק א: משך המבחן


2-1 שאלה אחת מתוך שאלות עליך לפתור: אלגברה וסדרות

2: נתונה משפחה של פונקציות . 1 m - 2y = mx - x -

4.) mפרמטר (

ורשום את המשותפת לגרפים של כל הפונקציות במשפחה x- ה נקודה על צירהוכח כי קיימת .א

.שיעוריה

]הנמצאות בקטע ,בשתי נקודות שונות x-החותכים הגרפים את ציר mעבור אילו ערכי .ב ]0,1.

כלל הנסיגה על ידיונה סדרה המוגדרת נת. 21

n+1 n

a = 1

a = c a +c -1

⋅

) cקבוע' מס.(

n על ידיהמוגדרת nbהוכח שהסדרה .א n+1 nb = a - aהיא סדרה הנדסית .

.naאת לבד ב c- וnהבע באמצעות .ב

ושסכום שני האיברים האחרונים בסדרה גדול פי 1,062,880 הוא nbנתון שסכום הסדרה .ג

.מסכום שני האיברים הראשונים 59,049

.nbמצא כמה איברים בסדרה

)שאלת חובה(ומטריה גיא .3

. C,D שני מעגלים נחתכים בנקודות

AB: הוכח .א EF

PEABEFPA: הוכח .ב ⋅=⋅

cEDbADaAP: נתון .ג === ADBS -ו, ,, S=△.

cba באמצעות △PEFהבע את שטח משולש . S- ו,,

P

E

F

A

B D

C


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 61 -


6-4 שאלות מתוך שאלות שתי עליך לפתור: ואנליטית מרוכבים מעריכיות ולוגריתמיות ' פונ, וקטורים

AB: נסמן 'ABCDA'B'C'Dבתיבה .4 = u��

, AD = v��

,

AA' = w��

u:נתון. = 3 , v = w = 1.

AXוקטור את w - וu , vהבע באמצעות .א��

Xודה כך שהנק,

יוצר זוויות שוות AX רוהווקטו, 'CD נמצאת על האלכסון

ACעם הוקטורים ��

.AD- ו

.חשב את הזווית השווה .ב

)ללא קשר לסעיפים הקודמים( .ג

2xלמשוואה יש m הפרמטר ערכים של אילועבור x 1 24 4 3m m 0+− − + ?פתרון יחיד =

.מצא את הפתרון במקרה זה

2על המעגל . 5 2 2x + y = Rנסמן נקודה כלשהי A . מהנקודהA נעביר מקביל לצירx. על המקביל נקצה

,P(x ונקבל את הנקודה xוון החיובי של ציר יידות בכיח 2Rקטע באורך Aמנקודה y).

,P(xהוכח כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות .א y)רשום את . המתקבלות בדרך זו הוא מעגל

.שיעורי מרכז המעגל ואת רדיוסו

xולישר ' המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים המשיקים למעגל שקיבלת בסעיף א .ב = -t הוא

.R ואת משוואת הפרבולה באמצעות tהבע את .פרבולה קנונית

20z: נתונה המשוואה .6 = 1. ) zמספר מרוכב (

.הוכח שפתרונות המשוואה מהווים סדרה הנדסית .א

. 0 כי סכום ריבועי שורשי המשוואה הואהוכח .ב

o: הארגומנט של אחד מפתרונות המשוואה מקיים .ג o20 <θ < 40.

החסום בתוך מעגל קודקוד הראש של משולש שווה שוקיים במישור של גאוס הינו פתרון זה

.o120 הראש שלו היא תשזווישמרכזו בראשית הצירים

. מצא את שני הקודקודים האחרים

A B

C D

'A 'B

'C 'D

X


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 62 -

'מועד א-ט"תשס-'מבחן מחצית י


.ושלושת רבעישעה -חלק ב :משך המבחן


: נתונה המכפלה .73 3 3

(1- )(1- )(1- )...5 8 11

והוכח תשובתך איבריםnמצא את תוצאת המכפלה עבור , בהנחה שהחוקיות נשמרת .א

n≤2באינדוקציה עבור

: .חשב .ב6 6 6 6

(2 - )(2 - )(2 - ) (2 - )14 17 20 56

⋅⋅⋅

בני יצא, יצאו באותו זמן, אביבני ו, שני רוכבי אופניים. מ"ק 45המרחק בין אשקלון לבאר שבע הוא .8

.דקות 40- הם נפגשו כעבור שעה ו. מאשקלון לבאר שבעאבימבאר שבע לאשקלון ו

כך שפגישתם אירעה , אך אבי איחר בצאתו, בני ואבי יצאו שוב מבאר שבע ואשקלון בהתאמה, למחרת

.כך שבני הקדים להגיע לאשקלון, ולאחריה המשיך כל אחד לדרכו,מ מאשקלון" ק 15במרחק

. מהפרש הזמנים של היציאה' דק 45-הפרש הזמנים שבהם הגיעו ליעדיהם לאחר הפגישה היה גדול ב

.מהירותם לא השתנתה במשך שני הימים

מצא את מהירויותיהם של הרוכבים .א

?ל אחד מהרוכבים עד פגישתםכמה זמן נסע ביום השני כ .ב


9. D היא נקודה על הצלעAC במשולשABC△ .נתון :CBD = 2 ABD∢ ∢ , ADDC 3=.

.△ABDשווה לרדיוס המעגל החוסם את המשולש △ BCDרדיוס המעגל החוסם את המשולש

.△ABCחשב את זוויות המשולש .א

aAD: נסמן .ב מרדיוס המעגל 2-גדול ב △ABCנתון כי רדיוס המעגל החוסם את משולש . =

.△ BCDהחסום במשולש

.aבאמצעות △ BCDבע את רדיוס המעגל החסום במשולש ה .1

).נקודההבתשובתך השאר שתי ספרות אחרי .(△ABCשולש ואת אורכי צלעות המa את חשב .2

=f(x): נתונות הפונקציות .10 16 x , 2 4g(x)= x(x - a) , (0 < a < 2).

. X- השטח המוגבל בין שתי הפונקציות מסתובב סביב ציר ה

.1V -נפח הגוף המתקבל בצורה זו בנסמן את

בין נקודות החיתוך שלה ( X- לציר הg(x)השטח המוגבל בין הפונקציה

.X- מסתובב סביב ציר ה) עם הציר

X

Y


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 63 -

.2V -נסמן את נפח הגוף המתקבל בצורה זו ב

1: נתון 2

5V +V = 355 π

9 .aמצא את .


2

ax -bf(x)=

x) a,b פרמטרים.(

נתון כי הישר המחבר בין הנקודה 1

(- 5 , )5

נקציה שבה שעל הפונקציה לבין נקודה על הפו

x = xמקביל למשיק לפונקציה בנקודה ,5 = 8.

. a,bמצא את ערכי .א

: מצא את .ב

תחום ההגדרה של הפונקציה .1

נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. 2

.את האסימפטוטות המקבילות לצירים. 3

. גרף הפונקציהשרטט סקיצה של .ג

=g(x): נתונה הפונקציה .ד x f(x)⋅ . איזו סקיצה מבין הסקיצות הבאות מתארת את גרף

!נמק בחירתך? g(x)פונקציה

) 1) (2) (3(


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 64 -

' מועד א– ט" תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

0.5,0). א.1 . ב(2

m 2;m 13≤ ≤ ≠

n. הוכחה ב. א. 2 1na 2c 1−= 12. ג−

. הוכחה ג. הוכחה ב. א. 32s( a b c )

ab

+ +

. א. 41 2

AX u v w3 3

= + +��

. ג041.41. ב1

m 1,4 x2

=− ⇒ =

). א. 5 2R,0 2y. בR רדיוס ( 8X , t R or t 3R= = =

cis36,cis96,cis336. הוכחה ג. הוכחה ב. א. 6

. א. 72

3n 2+. ב

46436

7

שעות ומבאר שבע שעתיים1.25מאשקלון . ש ב"קמ15ש ומבאר שבע "קמ12מאשקלון . א. 8

a. ב45,45,90. א. 9 2.222,AC 6.07,AB BC 4.292= = = =

10 .1

a. א .11 1,b 4= x. 1 ב= 2 או −≥2 x≤ 2 .1 1

( 8 , )max,( 8 , )max,( 2,0 )min,( 2,0 )min4 4

− −

3 .y 3. ד. ג=0

X

Y


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 65 -

'במועד -ט"תשס-'מבחן מחצית י

.דפי נוסחאות מצורפים, ) ושאינו ניתן לתכנותלא גרפי(מחשבון : חומר עזר מותר בשימוש

.שעתיים - ) 2- ו1פרקים (' חלק א: משך המבחן


2-1 שאלה אחת מתוך שאלות עליך לפתור: וסדרות אלגברה

נתונה המשוואה .12 2(k -1)x - (k - 2k +2)x+ k - 1= 0

?1-יהיו למשוואה שני שורשים הקטנים או שווים ל k ערכים של פרמטר אלועבור .א

.מצא אותו. ל יש שורש יחיד''נתון כי למשוואה הנ. ב

. כך שספרותיו הן איברים של סדרה הנדסית, פרתינתון מספר תלת ס. א. 2

.ספרות רק בסדר הפוךהאזי נקבל מספר שרשום באותן , 792אם נחסיר מהמספר הנתון

, וכל שאר הספרות נשאיר כמו שהן 4 נחסיררשום בסדר הפוךאם מספרת המאות של המספר ש

.מצא את המספר הנתון. אזי נקבל מספר שספרותיו יוצרות סדרה חשבונית

מספר שמצאת הספרות של הנתבונן בסדרה הנדסית אינסופית שאיבריה הראשונים הם .ב

. הוכח שהסדרה מתכנסת ומצא את סכומה, בהנחה שהחוקיות נמשכת' בסעיף א

)ספרת העשרות האיבר השני וכן הלאה, ספרת המאות היא האיבר הראשון (

)שאלת חובה(גיאומטריה .3

AB הוא קוטר במעגל שמרכזוO ורדיוסוR .C י על המעגלהיא נקודה כלשה .

1Aבנקודות B -ו Aחותך את המשיקים למעגל בנקודות C המשיק בנקודה

. בהתאמה1B - ו

הוכח כי ) א (°

1 1AOB = 90∢

הוכח כי ) ב (2

1 1AA BB = R⋅

1חשב את שטח הטרפז ) ג ( 1ABB A

נתון כי כאשר °BOC = R- ו∢60 = 1.

A

1B

B O

1A

C


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 66 -


6-4 שאלות מתוך שאלות שתי עליך לפתור: ואנליטית בים מרוכמעריכיות ולוגריתמיות ' פונ, וקטורים

ACנסמן . ABCD טטראדרנתון. 4 = u , BC = v , CD = w��

.

w,נתון כי v w u⊥ ⊥.

F – נקודה על מקצוע AD המקיימתFD = t AD��

.

מקיימת Gנקודה 1 3

BG = BC + BA2 8

�� .

FGהבע את . א ��

t,u באמצעות ,v ,w .

060ACBנתון בנוסף כי . ב , u = 8 , v = 4 , w = 1=∢ .

DGמצא את האורך של ��

AB ושל ��

.

0נתון בנוסף לסעיפים הקודמים כי .ג 0FDG 12 , DFG 45= =∢ ∢.

.t חשב את הערך של

ומשיק לישר (3,0) בנקודה x-משיק לציר ה, מרכזו ברביע הראשוןמעגל ש. 5

3x - 4y +36 = 0.

משוואת המעגל את מצא ) א (

x-בסיס המשולש שווה השוקיים מונח על ציר ה. ל חסום במשולש שווה שוקיים''המעגל הנ) ב (

3xואחת משוקיו מונחת על הישר - 4y +36 = עליו מונחת מצא את משוואת הישר. 0

. של המשולשההשוק השניי

: נתונה המשוואה. 6

( ) ( )2

4 4 4

1log a - 1 x - log a x+ log a = 0

2

? יהיו שורשי המשוואה מספרים מרוכבים aעבור אילו ערכים של . א

aהמתקבלים עבור נסמן את שורשי המשוואה המרוכבים . ב = הראה כי לכל מספר . 2z- ו1z - ב16

מתקיים kטבעי 8k 8k

1 2Z + Z = 2.

!בהצלחה

D

A

B

C

F

G


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 67 -

'במועד -ט"תשס-'מבחן מחצית י


.רבעיושלושת שעה -חלק ב :משך המבחן


nלכל מספר שלם הוכח באינדוקציה כי .א .7 x ולכל מספר ממשי ≤0 : מתקיים−<1n(1 x ) 1 nx+ ≥ +.

)'ללא קשר לסעיף א(. ב

: נסיגהה נוסחת על ידי מוגדרת nb הסדרה1

n+1 n

b = 4

b = 3b - 2

.

. בלבד והוכח אותהnבאמצעות nb-למצא נוסחא

כאשר . Aלעיר Bיצא הולך רגל שני מעיר באותו הזמן. Bלעיר Aהולך רגל ראשון יצא מעיר .8

וכאשר הולך הרגל השני עבר את , מ''ק 24לשני נותרו ללכת , הולך הרגל הראשון עבר מחצית הדרך

. מ''ק 15ללכתלהולך הראשון נשארו , הדרך מחצית

? כמה קילומטרים יישארו להולך הרגל השני כאשר ההולך הראשון יסיים את המסלול


.α היא A החדה שקודקודה ו וזוויתb שצלעו ABCDנתון מעוין .9

DC החותך את צלע KB העבירו ישר ADל המשך הצלע שע Kמנקודה

- שווה ל ABLDכך ששטח הטרפז , Lנקודהב2b

2 .

.α- וb באמצעות AKהבע את אורך הקטע . א

? כך שיהיה פתרון לבעיה α- מה התנאי ל. ב

.α- וbבאמצעות BDהבע את אורך הקטע. ג

. α - וbבאמצעות △ BDK- ו△ ABD יחס שטחי המשולשים הבע את. ד

A

K

B

C D L


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 68 -

פונקציות ה נתונות ) 007-שייך ל( .10x - 10

f(x)= lnx+ 2

,2

-x+4g(x)=

x - 3x+ 2.

שווהf(x)שיפוע המשיק לגרף הפונקציה a בנקודה )1 3

-8

a בהנחה כי aחשב את . 4>.

2( b מקיימת את המשוואה ( )

( )ln a+4x x

ln a-1

38e e - 1dx= b

.bחשב את . ∫33

=x והישרים x- ציר ה, g(x)וא בין גרף הפונקציה מצא את השטח הכל)3 a , x= b.

.פירוק לשברים חלקיים: רמז

, OPות לצירים ואלכסונו חשב את שטחו המקסימלי של מלבן שצלעותיו מקביל. א) 007-שייך ל( .11

היא נקודה על גרף הפונקציה Pכאשר2 3-7x 5

y = 343x e +x

). ראשית הציריםO(, ברביע הראשון

? כמה נקודות פיתול יש לפונקציה המתארת את שטח המלבן. ב

!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 69 -

'ב מועד – ט" תשס–' פתרונות סופיים למחצית י

k. א.1 0,k 1≠ . ב>k 0 x 1

k 2 x 1

= → =−

= → =

13.5. ב931. א. 2

. הוכחה ג. הוכחה ב. א. 34 3

3

. א. 43 1

FG ( t )u ( t 1)w v8 8

= − + − −��

DG. ב 11.75 , AB 48= =��

t. ג 0.5≈

2. א. 5 2( x 3 ) ( y 5 ) 25− + − . ב=3 1

y x 134 2

=− +

a. א. 6 הוכחה . ב<8

n. הוכחה ב. א. 7nb 1 3= +

מ" ק8. 8

. א. 9sin

2sin 1

b αα −

.ב 6 2

π πα< 2. ג > sin2

bα

. ד 2sin 1

1 sin

αα−

−

10. 1 .6 2 .11 3.0.457

3. ב32. א.11


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 70 -

ע" תש– 'א מועד -' י כיתה - מחציתמבחן

'חלק א

לא יהיה ניתן-בחינה שתרשם בעפרון . יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד

.חיק יגרום לאי בדיקת הבחינהשימוש בעט מ . לערער עליה

.דפי נוסחאות מצורפים, )לא גרפי(מחשבון : חומר עזר מותר בשימוש

שלוש שעות : משך המבחן

. פרקים 3במבחן : מבנה השאלון

.1-3 שאלות מתוך שאלות שתיעליך לבחור ' אבפרק

.4-6 מתוך שאלות שאלות שתיעליך לבחור ' בבפרק

.7-9אלות מתוך שאלות שתי ש עליך לבחור 'ג בפרק

. הניקוד על כל השאלות שווה : מפתח ההערכה

. לא תקבלנה ניקוד) הסבר/ חישוב (תשובות ללא דרך

(סדרות ואינדוקציה , אלגברה ובעיות מילוליות– ' אפרק1

333

) נקודות

לכל שאלה. (1-3 מהשאלות שתייםעליך לענות על 2

163

) נקודות

. התשובות הראשונות שבמחברתךשתיייבדקו רק , שאלותמשתיאם תענה על יותר ! שים לב

רומיאו החליט ברגע בו חלף . לפתע הבחין ביוליה רצה בכיוון הנגדי, רומיאו רכב על סוסו בחשכה .1

הסוס נעצר ו) בהחלטיות" (עצור"מיד הוא פקד על הסוס , בצמוד ליוליה לעצור את סוסו

יוליה , יםבינתי. רומיאו קפץ מיד מהסוס ורץ חזרה לכיוון יוליה בזרועות פתוחות. שניות 5לאחר

שהבחינה ברומיאו ברגע בו חלפה על פניו החליטה שאין זה יאה לבחורה לרוץ ביער ולכן שתי שניות

מהר יותר 1.5 רומיאו ויוליה רצים פי.מאוחר יותר עברה להליכה חזרה לכיוונו של רומיאו

ממהירות ההליכה של יוליה והסוס של רומיאו דוהר פי שלוש מהר יותר ממהירות הריצה של

. רומיאו

.מצא כעבור כמה שניות מאז הבחין רומיאו ביוליה הם יפגשו

4)הוכח באינדוקציה שהביטוי .2 1) (4 2) (4 3) ... (6 )n n n n+ + + + + + +

. טבעיnלכל , n עם שארית 10- מתחלק ב

4: י כלל הנסיגה"סדרה מוגדרת ע .3 4 , 21 1

a a an n

= + =+.

י "הוכח שהסדרה המוגדרת ע .א1

-n n n

b a a+

. היא סדרה הנדסית=

בלבד את הנוסחה לסכום nהבע באמצעות .ב1 2

...n

a a a+ + +.

640 - נתון ש .גn

b חשב את הסכום . =1 2

...n

a a a+ + +.


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 71 -

A

B

C

D E F G

H

A

B C

K

LO

N

•

α 2a

M

A

B C

D

E

F

בכל דרך ניתן לפתור בשיטות של גאומטרייה אוקלידית או(גיאומטריה , טריגונומטריה במישור– ' בפרק

(). אחרת1

333

) נקודות


163

) נקודות


- וGH ,AD הן אמצעי המיתרים E- ו B ,Cהנקודות .4

DGבהתאמה .

. מקבילים זה לזהCE- וAG ,BFהקטעים

AB: נתון = BC 90 - וo

BFE =∡.

CDE .א :הוכח AHB△ ∼△

CDE∆: חשב את היחס .ב

∆AHB

S

S

)שווה שוקיים △ABC חסום משולש Oבמעגל .5 )AB = AC.

.α וזווית הבסיס 2aאורך בסיס המשולש הוא

ששוקיו מקבילות לשוקי KLMNבמעגל חסום גם טרפז

מקביל לבסיס , המונח על קוטר המעגלהמשולש ובסיסו הגדול

.המשולש

.△ABCאת שטח המשולש α- וα בעזרת הבע .א

.KLMNהטרפז את שטח α- וαהבע בעזרת .ב

שווה לשטח △ABCהוכח ששטח המשולש .ג

.KLMN הטרפז

) △ABC במשולש ישר זווית .6 )ABC= 90�

∢ ,Dהיא אמצע היתר.

E מחלקת את הניצבBCביחס : :BE EC=1 2. BAC ADB=∢ ∢.

F .BD- וAEמפגש של הישרים ההיא נקודת

.∢BAC חוצה את הזווית AEהוכח כי .א

.△DFE דומה למשולש △AFBהמשולש וכח כי ה.ב

את היחס חשב.גS

ABFS

BEF

∆

∆


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 72 -

. רציונאליות ושורש ריבועי, פולינומים, א של פונקציות טריגונומטריות" חדו– 'ג פרק

) 1

333

) נקודות

לכל שאלה( .7-9 מהשאלות שתייםל עליך לענות ע2

163

) נקודות

. התשובות הראשונות שבמחברתךשתיייבדקו רק , משתי שאלותאם תענה על יותר ! שים לב

18אורך כל צלע . נתון משולש שווה צלעות .7 . סנטימטר3

עלי קוטר שלושה ב. בתוך המשולש קודחים ארבע קדחים

כל אחד מהם משיק לשתי צלעות המשולש הנתון וקדח . זהה

ראה (אשר משיק לשלושת הקדחים הראשונים ) הרביעי(נוסף

).ציור

כדי ) האמצעי(מצא את קוטר הקדח הרביעי .א

.שהשטח שנותר מהמשולש הנתון יהיה מקסימלי

) האמצעי(מצא את קוטר הקדח הרביעי .ב

.הקדחים יהיה מקסימליכדי שהשטח של ארבעת

) הפונקציה .8 )3 2

2 -8

4

x x xf x

x

+=

+ .B- וA בנקודות x -חותכת את ציר ה

) הפונקציה )3 2

- - 3 4 12

3

x x xg x

x

+ +=

+ .C- וAת בנקודוx -חותכת את ציר ה

)י הגרפים של הפונקציות "מצא את השטח המוגבל ע .א )f xו - ( )g x

.BCוהקטע

) הפונקציה .ב )g x חותכת את ציר ה- y בנקודה D . מצא את השטח ברביע השני

)י הגרפים של הפונקציות "המוגבל ע )f x , ( )g x והקטע BD.

נתונה הפונקציה .92 2

- 1-

-

x ay b

x ax x= + .

)מצא את הפרמטר .א 0) ,b b> שהאסימפטוטה האופקית של הפונקציה אם נתון

בנקודה זו מעבירים משיק לפונקציה אשר . חותכת את הפונקציה בנקודה מסויימת

. x-חותך את הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה

: שמצאת וחקור את הפונקציה הנתונה לפי הסעיפים הבאיםb-הצב את ה .ב

2בהינתן כי , אם נחוץaהבע באמצעות הפרמטר ( 3a< <(

.תחום הגדרה .1

).אם יש ( ")חור("אסמפטוטות מקבילות לצירים ונקודות אי רציפות סליקה .2

.נקודות קיצון .3

.נקודות חיתוך עם הצירים .4


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 73 -

.נקודות פיתול .5

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה .6

!!!בהצלחה

תשובות סופיות

שניות14 .1

הוכחה .2

qהוכחה .3 . ב=4n10 4 10

9 3 9nS = 4 - n 4S. ג⋅- 278=

1. הוכחה ב. א .4

. א .52

∆ABCS = a tanαב .

2S = a tanαKLMN□

.ג הוכחה. ב הוכחה. א .63

1

18. ב9. א .7

. ב3. א .87

3

b. א .9 x. 1 ב=2 0,a≠ 2 .x 0; y 2= = 3 .( 2,2.25 )max

4 .1

( ,0 );( 1,0 )2

− 5 .2

( 3,2 )9

6 .


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 74 -

ע" תש–ד א מוע-' כיתה י-מבחן מחצית 'חלק ב


.שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה. לערער עליה

.דפי נוסחאות מצורפים, )לא גרפי( מחשבון :חומר עזר מותר בשימוש שעה ושלושת רבעי : משך המבחן

. ם פרקי2במבחן : מבנה השאלון .1-3עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ' בפרק א .4-5עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ' בפרק ב

.ניקוד שווה לכל שאלה : מפתח ההערכה .לא תקבלנה ניקוד) הסבר/ חישוב (תשובות ללא דרך

(מספרים מרוכבים, אומטריה אנליטיתיג, וקטורים– 'חלק א2

663

) נקודות

לכל שאלה. (1-3 מהשאלות שתיים עליך לענות על 1

333

) נקודות

.ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך, אם תענה על יותר משתי שאלות! שים לב

2נתונה ההיפרבולה .1 2- 1x y היפרבולה עם החלק החיובי של ך של המנקודת החיתו. =

ומנקודת החיתוך של ההיפרבולה עם החלק השלילי של , mישר בעל שיפוע העבירו x- ציר ה

. ישרים אלו חותכים קטעים מענפי ההיפרבולה.−m העבירו ישר בעל שיפוע x- ציר ה

.H העלו אנכים אמצעיים הנפגשים בנקודה אלוקטעיםמנקודת האמצע של

.y -נמצאת על ציר ה Hהראה שהנקודה .א

הקטעים חצאי ,x- י ציר ה" את שטח המחומש שנוצר עmהבע באמצעות .ב

.והאנכים האמצעיים

2. 1 2 3 4 5Z ,Z ,Z ,Z ,Z 5: הם פתרונות של המשוואה 16 16 3Z i= − −.

).הצג את הפתרונות בצורה אלגברית(מצא את הפתרונות של המשוואה .א

. ברביע הרביעי5Z, ברביע השני2Z, נמצא ברביע הראשון1Zל גאוס במישור ש .ב

5: נסמן

2

ZA

Z= ,2

1( )B Z=.

m ראשית הצירים ודרך הנקודה הוא הישר העובר דרךA.

n הוא הישר העובר דרך ראשית הצירים ודרך הנקודה B.

.n- וmמצא את גודל הזווית שבין הישרים

3. ABCA' B' C'היא מנסרה משולשת וישרה .

AB: נסמן u,AC v,AA' w= = =��

.

1u: נתון כי v w= = = ,BAC α=∢.

.'CB היא אמצע האלכסון D הנקודה

A'

B'

C'

A

C

i D


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 75 -

CDהבע את .א��

. w- וv,u באמצעות

: הוכח כי .ב3 2cos

2CD

α−=

��.

CD: נתון כי .ג AD=��

.αמצא את גודל הזווית .

(מיות א ואלגברה של מעריכיות לוגרית" חדו– 'חלק ב1

333

) נקודות

.4-5 מתוך שאלות שאלה אחתעליך לענות על

.תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך, אם תענה על יותר משאלה אחת! שים לב

1נתונה הפונקציה . א .4 1( )nn xf x nx e− += )0n המוגבל בין גרף נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח) ≠

0 בתחום x-הפונקציה לציר ה 2x≤ ) - שווה ל x- סביב ציר ה, ≥ )14 −eeπ . אתחשב n.

:פתור את אי השיוויון , ללא קשר לסעיף הקודם .ב 2 3 62 2

2

2 7 10

27 10

xx xx x x

xx x

− +− − − + ≥ −− +

ππ : הבאה המוגדרת בתחוםפונקציהנתונה ה. 5 ≤≤− x.

2 2cos sin34 2 4 2( )

x xb ba

f x eπ π − − −

=) 0a >(

ידוע כי ערך הפונקציה בנקודה שבה 3

sin5

x הוא =5 e.

a: כי מחשבון שימושללא הוכח. 1 b=.

:על פי הסעיפים הבאיםאת הפונקציה חקור . 2

תחומי קמירות , נקודות פיתול, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון, )אם יש(חיתוך עם הצירים

.שרטוט, וקעירות

!!!בהצלחה

B


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 76 -


. הוכחה ב. א .13

2 2

3

( 1)

m m

m

−−

.א .2

1 2

3 4

5

2 48 1.338 1.486 , 2 120 1 1.732

2 192 1.956 0.415 , 2 264 0.209 1.989

2 336 1.827 0.813

Z cis i Z cis i

Z cis i Z cis i

Z cis i

= = + = = − += = − − = = − −

= = −

0. ב 060 ,120

. א .31

( )2

CD u v w= − +��

0. הוכחה ג. בα 90=

n. א .4 5. ב=2 x 6< ≤

(0,1).א .2הוכחה .1 .5

3. ב

3

1( , )min, ( , )max, ( ,1)max,( , 1)min

2 2e

e

π π π π− − −

: תחומי עלייה. ג2 2

xπ π

− < <

,: תחומי ירידה2 2

x xπ ππ π− < < − < <

0.9). ד ,1.1), (0.1 ,1.1)π π

. ה: 0.1 ,0.9

: 0.1 0.9

x x

x

π π π ππ π

− < < < << <

∪

∩

. ו


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 77 -

ע" תש– 'ב מועד -' י כיתה - מחציתמבחן

' אחלק


.שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה . לערער עליה



. פרקים 3במבחן : מבנה השאלון

.1-3שתי שאלות מתוך שאלות ור עליך לבח' אבפרק

.4-6שתי שאלות מתוך שאלות עליך לבחור ' בבפרק

.7-9שתי שאלות מתוך שאלות עליך לבחור 'ג בפרק



(קציה סדרות ואינדו, אלגברה ובעיות מילוליות– ' אפרק1

333

) נקודות


163

) נקודות


נית לרחוב חרצית שלושה הולכי רגל יצאו זה אחר זה ברווחי זמן שווים מרחוב כל .1

כל השלושה . מ"ק 6המרחק בין רחוב חרצית לרחוב ורד הוא . ומשם לרחוב ורד

הולך הרגל שיצא ראשון הגיע לרחוב ורד חצי שעה אחרי. הגיעו ביחד לרחוב חרצית

יע לרחוב ורד והחל מייד הולך הרגל השלישי הג. שהולך הרגל שיצא שני הגיע לשם

.מ מרחוב ורד"ק 2הוא פגש את הולך הרגל הראשון במרחק .לחזור

. מצא את מהירויותיהם של שלושת הולכי הרגל

: נתונות הסדרות .21 2 3

0 1 21 2 3

a = 1 , a = 4 , a =7...

b = 2 , b = 2 , b = 2 ...

1: יוצרים את הסדרה 1 1 2 2 2 3 3 3c = a b , c = a b , c = a b ...⋅ ⋅ ⋅

: טבעיnכי הטענה הבאה נכונה לכל הוכח באינדוקציה .א

2n1 2 3 2nc +c +c +...+c = (6n - 5) 2 +5⋅

: וחשב ללא מחשבון את הסכום ' היעזר בסעיף א .ב

1 2+4 3+7 5+10 9+...+46 32769⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 78 -

A B

CD

E

NM

F G

H

O

אם מחליפים את הסימנים של האיברים שבמקומות הזוגיים. איברים 20בסדרה הנדסית יש .3

.מתקבלת סדרה שסכומה הוא רבע מסכום הסדרה המקורית

.מצא את מנת הסדרה המקורית .א

מצא את סכום האיברים שבמקומות האי זוגיים של הסדרה המקורית אם נתון .ב

.49 כי סכום שלושת האיברים הראשונים של הסדרה המקורית הוא

ניתן לפתור בשיטות של גאומטרייה אוקלידית או בכל דרך (גיאומטריה , יה במישור טריגונומטר– ' בפרק

(). אחרת1

333

) נקודות


163

) נקודות

.ראשונות שבמחברתך התשובות השתיייבדקו רק , שאלותמשתיאם תענה על יותר ! שים לב

. היא מרכזם של שני המעגלים שבציורMהנקודה .4

ABCD□הוא מעוין החוסם את המעגל הקטן ,

. נמצאות על המעגל הגדולC - וA כאשר הנקודות

רדיוס -Rל המעוין באמצעות הבע את שטחו ש

. רדיוס המעגל הקטן-r -ו, המעגל הגדול

.△ABC היא מרכז המעגל החסום במשולש Oהנקודה .5

.∢BAC=α∢ ,ABC=β: נתון כי

את היחס β - וαהבע באמצעות .אAE

CF .

,בר חסימה במעגל □OEBFנתון כי המרובע .ב

- וAE 3

CF 2 .β - וαמצא את . =

=ABC ,C במשולש ישר זווית .6 90�

A -ו∢ α= 2∢.

חסום Rואורך הרדיוס שלו Mמעגל שמרכזו בנקודה

, המעגל משיק למשולש בנקודות.במשולש ,D G H .

Nמעגל שמרכזו AC,משיק לצלעות המשולש AB

,בנקודות E Fלמעגל משיק ו, בהתאמהM בנקודה O.

.△ABCאת שטח המשולש R- וαהבע באמצעות . א

.DENMאת שטח המרובע R- וαהבע באמצעות .ADהיא אמצע Eנתון בנוסף כי .ב

A B

E

F

O

C


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 79 -

A

B C

P

L

. רציונאליות ושורש ריבועי, פולינומים, א של פונקציות טריגונומטריות" חדו– 'ג פרק

) 1

333

) נקודות

לכל שאלה( .7-9 מהשאלות שתייםעליך לענות על 2

163

) נקודות

. התשובות הראשונות שבמחברתךשתיייבדקו רק , תמשתי שאלואם תענה על יותר ! שים לב

R .=ABCנתונה גזרת עיגול שרדיוסה .7 60�

∢.

.AC נעה על הקשת Pנקודה

.AB- מקביל לPL- כך שBC נעה על הקטע Lנקודה

BPL בה שטח המשולש ∢BPLמצא את הזווית . א

.מקסימלי) והשטח המקווק(

מתקבל BPLהאם ההיקף המקסימלי של המשולש . ב

.נמק. 'גם הוא עבור אותה זווית שקבלת בסעיף א

:נתונה הפונקציה .8

2

x+1F(x)=

x +2x - 3

.מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה .א

.מצא אסימפטוטות מקבילות לצירים .ב

.מצא את נקודות הקיצון ותחומי העלייה והירידה .ג

.נקציהסרטט סקיצה של גרף הפו .ד

) שמקיימת T(x)נתונה הפונקציה .ה )2T(x)= F(x).

xהישר , x- ציר ה, T(x)מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה = 1.5

xוהישר = 2.


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 80 -


-1

- 4

x by

x= + .

שלפונקציה קיימת נקודת אי רציפות סליקה אחת בתחום אם נתון bמצא את הפרמטר .א

. x-החיובי של ציר ה

: שמצאת וחקור את הפונקציה הנתונה לפי הסעיפים הבאיםb-הצב את ה .ב

.תחום הגדרה .1

.אסמפטוטות מקבילות לצירים .2

.נקודות קיצון .3

.תחומי עלייה וירידה .4

.נקודות חיתוך עם הצירים .5

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה .6

y הישר kמצא עבור אילו ערכי .ג k=לא חותך את הפונקציה .

!!!בהצלחה

שובות סופיותת

1. 3,4,6

2818429: תשובה. הוכחה ב. א .2

0.6 . א .3

∽39.06 . ב

4. 2

2 2

2R r

R r−

. א .5

ααβ

αββα

sin)2

sin(

)22

cos()sin(

+

−+ β ,�08.67=α=�60. ב

. א .6

21 tan1 tan 2

2 tanS R

ABCα α

α +

=

. ב

23

8tan

RSDENM α

=

0. א .7 π30

6 כן . ב=


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 81 -

x . א .8 1 , x 1≠ ≥ −

x . ב 1 , y 0= =

)הנקודה . מוחלטאין נקודות קיצון . ג . מקסימום מקומי−(1,0 .הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה .ד

.ה 11

90

b. א .9 ) נקודת אי רציפות סליקה (=2 2,1) (

x. 1 .ב 2< x או − 2> 2 .x 2, y 2= − x: עולה. 4אין . 3 = x: יורדת, <2 2< −

. 6אין . 5

2 .ג k,0 k 1< ≤ ≤


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 82 -

ע" תש– ב מועד -' כיתה י-מבחן מחצית 'חלק ב



.דפי נוסחאות מצורפים, )לא גרפי( מחשבון :חומר עזר מותר בשימוש שעה ושלושת רבעי : משך המבחן

. פרקים2במבחן : מבנה השאלון .1-3 עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות 'בפרק א .4-5עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ' בפרק ב


(מספרים מרוכבים , אומטריה אנליטיתיג, וקטורים– 'חלק א2

663

) נקודות


333

) נקודות

.ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך, אם תענה על יותר משתי שאלות! שים לב

)- ו(4,0)בנקודות שניים מקודקודי המשולש הינם . 18היקף משולש הוא .1 4,0)−.

.מצא ואפיין את המקום הגיאומטרי של הקודקוד השלישי. א

x-החותכים מציר ה' מצא את משוואות המשיקים לעקומה שהתקבלה בסעיף א. ב

.y- מהקטע שהם חותכים מציר ה1.25 קטע שהוא ארוך פי

: זהה את המקום הגיאומטרי במישור גאוס הנוצר על ידי המשוואה . א .23

23

z i

z

−=

−

: פתור את המשוואה הבאה .ב2

25 3

2

1( ) ( )

1x x xx x

xx+ −−

=−

x ℝ∈.

.סעיפיםהין קשר בין א: הערה

3. ABCDA' B' C' D'היא קוביה .

BF מקיימת F הנקודה tBC=��

.

AB: נסמן u,AD v,AA' w= = =��

.

'ACהבע את .ד��

AF ואת ��

. t- וv,u,wבאמצעות 'C עבורו זוית tחשב את .ה AF∢ היא מינימלית והסבר היכן

.במקרה זהF נמצאת .חשב את גודל הזוית המינימלית .ו


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 83 -

(א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות " חדו– 'חלק ב1

333

) נקודות



נתונה הפונקציה . א.43 26x +13x +6x+3+c

f(x)=2x+3

)cפרמטר . (

f השטח המוגבל על ידי הפונקציה ( x ) ,

x: על ידי הישר ועל ידי הצירים =2

: הוא7

12 2ln3

. cחשב את ערך הפרמטר . +

:פתור את אי השיוויון , ללא קשר לסעיף הקודם .ב

2 3 1 2 2

39 3

x x− − <

:פונקציהנתונה ה. 5

2f(x)= ln(3x)- 2ax

.מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה .א

.וקבע את סוגן) אם ישנן(ודות הקיצון של הפונקציה של נקx- את שיעורי הaהבע באמצעות . 1 .ב

. אין לפונקציה נקודות קיצוןaמצא עבור אילו ערכי . 2

עבור .ג1

a4

= −:

. של הפונקציהתחומי עלייה וירידה מצא את .1

).אם ישנן( מצא את נקודות הפיתול של הפונקציה .2

. של גרף הפונקציה שרטט סקיצה .3

!!!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 84 -


2 .א .1 29x +25y = 225

.ב4

y = - x ±55

או 4

y = x ±55

8 ורדיוסו (1-,4)המקום הגיאומטרי הוא מעגל שמרכזו ב . א .2

0.618,5-,1.618: הפתרונות הם .ב

u. א .3 v w+ + , u tv+035.26. ג1. ב

c. א .4 2. ב=1 x 3≤ 0 או > x 1< ≤

x. א .5 aעבור . 1. ב<0 0>: 1

x ;max2 a

= 2 .a 0≤

1,1.6). 2. הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. 1. ג )

3 .


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 85 -

א" תשע– 'אמועד -' י כיתה - מחציתמבחן

'אחלק





. פרקים 3במבחן : השאלוןמבנה

.1-3מתוך שאלות שאלות שתיעליך לבחור ' אבפרק

.4-6מתוך שאלות שתי שאלות עליך לבחור ' בבפרק

.7-9עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ' בפרק ג



(סדרות ואינדוקציה, אלגברה ובעיות מילוליות – ' אפרק1

333

) נקודות

לכל שאלה (.1-3שאלות מתוךשתי שאלותעליך לענות על 2

163

) נקודות

. התשובות הראשונות שבמחברתךשתי רק תיבדקנה, שאלותמשתיאם תענה על יותר ! שים לב

ברגע מסוים מפילים מהכדור פורח פצצה . מעל פני הקרקע' מ10,840רח מרחף בגובה של כדור פו .1

ובכל שנייה ' מ5 בשנייה הראשונה לנפילתה היא עוברת דרך של באופן בואשר נופלת אנכית לקרקע

מהקרקע משגרים בה מפילים את הפצצה באותו הרגע . יה שקדמה להיותר מבשני' מ10, נוספת

המשגר של הטיל ממוקם בדיוק מתחת לכדור הפורח כך שהטיל נמצא בדיוק . טיל לכיוון הפצצה

בשנייה הראשונה ובכל שנייה נוספת הוא עובר דרך ארוכה פי ' מ5הטיל עובר דרך של . בפני הקרקע

. מבשנייה שקדמה לה2-

.הבע את המרחק בין הפצצה לטיל כפונקציה של הזמן מרגע נפילת הפצצה .א

'?מ10,235המרחק שלה מפני הקרקע יהיה , תוך כמה שניות מרגע נפילת הפצצה .ב

ת מרגע השיגור יפגוש את הכדור תוך כמה שניו, בהנחה שהטיל לא מתפוצץ במפגש עם הפצצה .ג

? פורח

) ספרות אחרי הנקודה העשרונית3 הצורך דייק במידת(

המספק מים ' ברז ב, המספק מים חמים' ברז א. ליטר מחובר לשלושה ברזים200מיכל בנפח .2

2נמשכת ' ברז גי"פעולת ריקון המיכל כאשר הוא מלא ע. המשמש לריקון המיכל' קרים וברז ג

י "הזמן הדרוש למילוי המיכל ע. יחדיו' וברז ב' י ברז א"דקות יותר ממילוי המיכל כאשר הוא ריק ע

, כאשר המיכל היה ריק, פעם אחת. 'י ברז ב" מהזמן הדרוש למילוי המיכל ע50%- ארוך ב' ברז א

. דקות40המיכל התמלא תוך . רזים בו זמניתפתחו את שלושת הב

. אחד משלושת הברזים במשך דקה אחתמצא את כמות המים שזורמת דרך כל .א


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 86 -

DA

B

C

D

A

B

C

E

טמפרטורת המים . )צלזיוס (�60היא ' י ברז א"טמפרטורת המים החמים המסופקים ע .ב

מצא . דקות8למשך ' ואת ברז ב' פתחו את ברז א. )צלזיוס (�30היא' י ברז ב"המסופקים ע

.את הטמפרטורה של המים במיכל

)המיכל מבודד לחלוטין ואין איבוד אנרגיההנח כי (

:טבעי מתקיים nלכלכי הוכח באינדוקציה . א .3

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 2 7 5 ... 3 1 3 1 6 1n n n n− + − + + + − − = +

:)'היעזר בסעיף א( הבא חשב את הסכום. ב 2 2 2 2 2 2

22 20 25 23 ... 67 65− + − + + −

יה אוקלידית או בכל דרך יאומטרניתן לפתור בשיטות של ג(גיאומטריה , טריגונומטריה במישור– 'פרק ב

). (אחרת1

333

) נקודות

לכל שאלה. (4-6 מתוך שאלות שתי שאלותעליך לענות על 2

163

) נקודות

. רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתךתיבדקנה, אם תענה על יותר משתי שאלות! שים לב

. הוא הקוטר שלוAC-חסום במעגל ש△ABCמשולש .4

.AC- הורידו גובה אל Bמנקודה

).ראה ציור(בתוך המשולש חסמו ריבוע

ACמ"ס35:נתון = ,14

CD AD=.

. BDחשב את האורך של .א

. חשב את שטח הריבוע .ב

. C- וB שמרכזיהם בנקודות המשיקים זה לזהנתונים שני חצאי מעגלים .5

AD משיק לשני חצאי המעגלים בנקודות Eו -D .

AB: נתון BC= . )ראה ציור(

ABE: חשב את היחס בין השטחים . א

BCDE

S

S△

□

. רדיוס חצי המעגל הגדול, R נגדיר .ב

22ACDSהוכח כי R=△.


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 87 -

D

A B

C

E

O

) △ABC שוקיים משולש שווה .6 )AB BC= , חסום במעגלOשאורך הרדיוס שלו הוא R .

. D בנקודה CO פוגש את המשך הקטע ABהמשך הקטע

. 3α - שווה ל∢ADEזווית

BCD הוכח כי .א α=∢.

.BC את R- וα הבע באמצעות .ב

הוכח כי .ג4

3

RSinAD

Sin

αα

= − .

5: נתון .ד8

Sinα =.

. BD - תיכון לACהוכח כי


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 88 -

A

B C x

y

x1S

y

2S

( )0 , 1A

. רציונאליות ושורש ריבועי, פולינומים, א של פונקציות טריגונומטריות" חדו– 'פרק ג

) 1

333

) נקודות


163

) נקודות


מנקודה זו יוצאים שני משיקים. y- נמצאת על ציר הAהנקודה .7

29yאל הפונקציה x= x- חותכים את ציר ה, משיקים אלו. −

.)שרטוטראה (C- וBבנקודות

. ACחשב את האורך המינימלי של הצלע .א

.מליימינ הוא ACאורך הצלע המקווקו המתקבל כאשרחשב את השטח .ב

נתונה הפונקציה .8x a

ybx

+לפונקציה ) האנך למשיק בנקודת ההשקה: נורמל(משוואת הנורמל .=

2xבנקודה שבה = 2 היא − 3.5y x= +.

. b- וa את הפרמטרים חשב .א

. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה .ב

. וירידה של הפונקציהההעליימצא את תחומי .ג

. מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה .ד

.ת המקבילות לציריםמצא את האסימפטוטו .ה

. מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודת הקיצון שלה .ו

.שרטט את גרף הפונקציה . ז


2 3y

x=

−)מהנקודה . )0,1Aיוצאים

1y הישרנתון כמו כן. שני משיקים לפונקציה .)ראה ציור (=

. ל" מצא את משוואות המשיקים הנ .א

.המשיק והצירים, י הפונקציה"המוגבל ע, 1S חשב את השטח .ב

1yהמשיק והישר , י הפונקציה" המוגבל ע,2S חשב את השטח .ג =.

)רות אחרי הנקודה העשרונית ספ3 הצורך דייק במידת(

!!!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 89 -


). א .1 ) 21 0 , 8 4 5 5 2 5nf n n= − ⋅ − ⋅

שניות 11.083. ג שניות 11. ב

. ליטר לדקה20 -' ג; ליטר לדקה15 - ' ב; ליטר לדקה10 - ' א. א .2

42 הטמפרטורה היא. ב C�

2784. ב.הוכחה. א .3

ר"סמ 100. במ"ס 14. א .4

. א .51

3ABE

BCDE

S

S הוכחה . ב=

2BC. בהוכחה. א .6 RCosα=הוכחה. ג

min18 .ב 6. א .7 4.5S π−

3. א .8 , 1a b= 3. ב= 0 0x or x− ≤ < בכל תחום הגדרתהיורדת. ג>

). ד )3,0 max−0. ה , 0x y= 3x. ו= = −

.ז

2. א .99

2 1 , 1y x y x= − + = − +

1. ב 11 2 4

ln 3 0.299S = − ≈

1. ג2 2

ln 3 0.549S = ≈

( )3 0− ;

x

y


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 90 -

א" תשע– מועד א -' כיתה י-מבחן מחצית 'חלק ב



.דפי נוסחאות מצורפים, )לא גרפי(מחשבון :חומר עזר מותר בשימוש שעה ושלושת רבעי : משך המבחן

. פרקים2במבחן : מבנה השאלון .1-3עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ' בפרק א .4-5עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ' בפרק ב


(מספרים מרוכבים , אומטריה אנליטיתיג, וקטורים– 'חלק א2

663

) נקודות


333

) נקודות


2אליפסה נתונה ה .1 27 8 112x y+ A, בנקודות x-ציר ההחותכת את , = B.

Pמצא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות . על האליפסהC נוספת נסמן נקודה

AP: המקיימות את שני התנאים הבאים AC⊥ וגם BP BC⊥.

המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור המרוכב את שרטט. מספר מרוכב z: נתון. א .2

5: המערכת הבאההמקיימות את 5 6z z− + + 1 גםו = 3 5z i≤ − < .

)משוואה פתור את ה. ב )73 1 3z i= +.

3. ' ' 'ABCA B Cהיא מנסרה משולשת וישרה .

':נתון 90 , ' 4 , 5B B AA AB AC= = ° = = =∡ ∡.

'נמצאת על הפאה Xהנקודה 'BCC B.

,: נסמן , 'AB u AC v AA w= = =��

.

): נתון .א ) ( ) ( ), , , 'AX AB AX AC AX AA θ= = =��

∡ ∡ ∡ .

AXהבע את ��

, באמצעות ,u v w.

.θ חשב את הזווית .ב


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 91 -


333

) נקודות



הפונקציה נתונה .422sin 2

0

( ) sin(4 )x

tf x t e dt= 0 בתחום ∫ x<.

0 בתחום חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים2

xπ

≤ <:

.תחום הגדרה )1(

.חיתוך עם הצירים )2(

.צוןנקודות קי )3(

.נקודות פיתול )4(

.שרטט סקיצה של גרף הפונקציה) 5(

)2 פונקציהנתונה ה .5 ) ( 1) ln ( 1)f x x x= + +

: חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים. א

נקודות קיצון) 3( חיתוך עם הצירים) 2( תחום הגדרה) 1(

.נמק? xהאם לפונקציה יש אסימפטוטות המאונכות לציר. ב

. של הפונקציהשרטט סקיצה. ג

): חשב את ערך הביטוי. ד ) ( )1

0

ln( 1) 3 ln( 1) 1x x dx+ + + −∫

!!!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 92 -


2אליפסה .1 28 7 128x y+ )למעט הנקודות (= )4,0±(.

2האליפסה . א .2 24 9 36x y+ ) למעט הנקודה = )0, 2−.

3. ב 3 30 1 24 2 20 ; 4 2 140 ; 4 2 260z cis z cis z cis= = =

). א .3 )15 4 9

9AX u v w= + +��

46.5θ. ב ; = °.

4. )1( 02

xπ

≤ <; )2 (( )0,0; )3(( )2 1

0,0 min , , max4 4

eπ −

; מוחלטות

)4 (( ) ( )0.559,1.011 , 1.012,1.011 ;)5(

1) 1. (א .5 x− <; )2 (( )0,0; )3 (( ) ( )2 21,4 max , 0,0 mine e− −−;

) הנקודה -אין אסימפטוטות .ב מתקיים (אי רציפות סליקה היא −1,0(1

lim ( ) 0x

f x+→−

=.(

:שרטוט .ג

22ln .ד 2 3 2.039− = −


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 93 -

A

B C

א" תשע– 'במועד -' י כיתה - מחציתמבחן

'אחלק





. פרקים 3במבחן : השאלוןמבנה

.1-3מתוך שאלות שאלות שתיעליך לבחור ' אבפרק

.4-6מתוך שאלות שתי שאלות עליך לבחור ' בבפרק

.7-9עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ' בפרק ג



(סדרות ואינדוקציה, אלגברה ובעיות מילוליות – ' אפרק1

333

) נקודות

לכל שאלה (.1-3שאלות מתוךשתי שאלותעליך לענות על 2

163

) נקודות

. התשובות הראשונות שבמחברתךשתי רק תיבדקנה, שאלותמשתיאם תענה על יותר ! שים לב

העיר רץ על גבי מסלול בצורת משולש ישר זוויתעכבר .1

) ABC ושווה שוקיים )AB BC=ששטחו חצי מטר מרובע .

עכבר הכפר רץ על גבי מסלול בצורת מעגל החוסם את המשולש

.מהירותם קבועה, בכל קטע). שרטוטראה ( של עכבר העיר

נגד ,B לנקודהAלו לרוץ בו זמנית מנקודה שני העכברים התחי

הגיעו לאחרהעכברים שני . כל אחד על גבי המסלול שלו, כיוון השעון

לאחר מכן יצאו ביחד . ונפגשו שם באותו הזמןC משם המשיכו לרוץ אל נקודה.Bנקודה שניות ל5

על עכבר הכפר הגדיל את מהירותו . אורך כל הדרך לבמהירות הקבועה שלועכבר העיר רץ . Aלנקודה

הקשת CA עם עכבר העיר לנקודה זמן די להגיע באותו הכA.

. AB�חשב את מהירותו של עכבר הכפר על גבי הקשת .א

חשב את מהירותו של עכבר הכפר על גבי הקשת . בCA.


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 94 -

A

B C

D

EF

במרצפות ריבועיות ת משולש ישר זווית ושווה שוקיים יש לרצף שטח בצור .2

האדריכל דורש שכל שורה תתחיל ותסתיים . מ"ס20שאורך הצלע שלהן הוא

). ראה ציור(במשולש שנוצר על ידי חיתוך של מרצפת לאורך האלכסון שלה

. המשולש מתוכנן כך שמספר השורות יהיה שלם

%5אם ידוע שמספר המרצפות שנחצו מהווה , חשב את שטח המשולש

מכל מרצפת מקבלים לאחר החיתוך שני , שים לב( השלמות שרוצפומהמרצפות

).משולשים

: י כלל הנסיגה"סדרה מוגדרת ע .31

7a = ,1

10 5n n

a a n+

= + −.

י "הוכח שהסדרה המוגדרת ע .א1n n n

b a a+

= היא סדרה חשבונית ומצא ביטוי לאיבר−

.בה הכללי

: נסמן .ב1 2 3 4 19 20

...T a a a a a a= − + − + + .Tמצא את ערכו של . −

: נסמן .ג1 2 3 8 9

...n n n n n n

R a a a a a a+ + + + +

= − + − + + .n באמצעות Rהבע את . −

יה אוקלידית או בכל דרך יאומטרבשיטות של גניתן לפתור (גיאומטריה , טריגונומטריה במישור– 'פרק ב

). (אחרת1

333

) נקודות


163

) נקודות


4. ABC משולש ישר זווית ( 90 )ABC= �∢ .

BD: נתון AC⊥ .

FE הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

EBD: הוכח. א EFD=∢ ∢

נתון היחס .ב7

10

FE

BDAEB את היחס חשב. =

AFD

S

S∆

∆

)AD אלF -הורד גובה מ: רמז(


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 95 -

A

B C

DEF

G

β

α

A

B

C D

EF

) ABCבמשולש ישר זווית .5 90 )ABC= �,: נסמן, ∢ =AC c BAC α= ∡.

BDומתקיים AC על היתר נמצאת D הנקודה AC⊥.

AB מעבירים ישר החותך את הניצב E דרך הנקודה .BDהיא אמצע E הנקודה

)נסמן . G בנקודהBC ואת הניצב F בנקודה 90 ) DEGβ β≤ =� ∡.

הוכח כי . א( )

sin 2 sin

2sin 2( )

cFG

α ββ α

⋅ ⋅=

−.

: בנוסףנתון. ב23 , 90

32S c

AFGCβ= = �

.α את חשב.

) ABCבמשולש ישר זווית .6 90 )B = �AC: נסמן. ∢ c=.

,: נתון ,AD DC DE AB FE AC= ⊥ �.

.∢CFDחשב את גודל הזווית . א

.AD אמצע CD ,H אמצע G: נסמן. ב

. מקביליתEFGH: הוכח

.EFGH את היקף המקבילית cהבע באמצעות .ג


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 96 -

A

B C

E

DF G H I

. רציונאליות ושורש ריבועי, פולינומים, ונקציות טריגונומטריותא של פ" חדו– 'פרק ג

) 1

333

) נקודות


163

) נקודות


ABC,, בעיר אחת ניצבים שני מגדלים לקרקע .7 EFH

. שצורתם משולש שווה שוקיים

BD,: נתון DC FG GH= : נתון, בנוסף. =

15 , 9 , 18AD EG DG= = ).המידות במטרים (=

את המגדלים עם לקשט הלכבוד יום העצמאות החליטה העיריי

A,בנקודות (שרשרת נורות שתחובר לראשי המגדלים E (

מחיר מטר אחד של שרשרת נורות הוא ). Iבנקודה(ולקרקע

100₪.

.בו מתקבלת עלות מינימלית של שרשרת הנורותG-לIחשב את המרחק בין . א

?מהי העלות המינימלית של השרשרת. ב

)נתונה הפונקציה .8 )2cos 1 siny x x= בתחום −2 2

xπ π

− ≤ ≤.

:פ הסעיפים הבאים"חקור את הפונקציה ע. א

.פונקציה שרטט גרף .4 רידהתחומי עליה וי. 3נקודות קיצון . 2 חיתוך עם הצירים .1

.Aחשב את שיעורי הנקודה . הנקודה בה שיפוע הפונקציה הוא המקסימלי בתחוםA: נסמן.1 .ב

.Aמצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה . 2

.y- גרף הפונקציה וציר ה, ל"חשב את השטח בין המשיק הנ. 3


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 97 -

) פונקציה הגרף את שרטט . א .9 )f xעל פי הנתונים הבאים :

,3: הפונקציה מוגדרת בתחום • 2x x≠ ≠ −

• (0) 0f >

• (0.5) 0f =

• '( ) 0f x 3x עבור < - או < 2x <

• '( ) 0f x >3x 2- עבור > <

• ''( ) 0f x , 2- עבור < 0.5x x≠ <

• ''( ) 0f x , 3 ור עב> 0.5x x≠ >

• lim 0x

y→±∞

=

: בתצורה הבאהמתוארת ' הפונקציה הנתונה בסעיף א. ב2 2

- 2( )

( - )

a xf x

x x b=

+ .

.b ואת a אתחשב

6xוהישרים x -ציר ה, ציהחשב את השטח המוגבל בין גרף הפונק. ג 4x-ו= =.

!!!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 98 -


.סנטימטר בשנייה31.416. ב . סנטימטר בשנייה22.214. א .1

.ר"מ 17.64 .2

5. א .3 10nb n= 175 .ג −950. ב − 50R n= − −

49.ב הוכחה . א .425

.

. ב הוכחה.א .51 2

15 , 75α α= =� �

90CFD. א .6 = �.ג .הוכחה. ב ∢

3

2c.

₪ 3000. מטר ב6.75. א .7

8. 1 .( );0 , ;0 , 0;22 2

π π −

2 .

3 3;0 ; ;0

, ,2 6 2 2

min minmax

π π π − −

3 .

עולה 2 6

יורדת 6 2

x

x

π π

π π

− < < −

− < < 4 .

0;. 1. ב2

π −

2 .4 2y x π= + 3 .21

23S π= −

1a. בשרטוט . א .9 = ,6b = . ג −1

8


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 99 -

A

B

D

C

P

Q

S

R

y

x

'חלק ב - א" תשע– ב מועד -' כיתה י-מבחן מחצית



.דפי נוסחאות מצורפים, )לא גרפי(מחשבון :חומר עזר מותר בשימוש ישעה ושלושת רבע : משך המבחן

. פרקים2במבחן : מבנה השאלון .1-3עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ' בפרק א .4-5עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ' בפרק ב


(מספרים מרוכבים, אומטריה אנליטיתיג, וקטורים– 'חלק א2

663

) נקודות


333

) נקודות


חסומה האליפסה ABCDבתוך המלבן .1

2 2

2 21

x y

a b+ = .

).ראה ציור (PQRSאליפסה זו חוסמת את המלבן

.נתון כי צלעות שני המלבנים מקבילות לצירים

. עוברות דרך מוקדי האליפסהRS - וPQהצלעות

. את השטח הכלוא בין שני המלבניםb - ו aהבע באמצעות

)פתור את המשוואה . א. 2 )2

21 0z i z z z⋅ − − − + =) zמספר מרוכב (

הפרש . בריה שונים מאפס שכל איnaהוא איבר בסדרה חשבונית ' אחד הפתרונות שמצאת בסעיף א. ב

0.125הסדרה הוא 2i− .חשב את האיבר הראשון . האיבר הראשון בסדרה זו הוא מספר מדומה טהור

.בסדרה

3. ABCDA' B' C' D'הנקודה . היא קוביהF מקיימת BF tBC=��

.

AB: נסמן u,AD v,AA' w= = =��

.

'ACהבע את .א��

AF ואת ��

. t- וv,u,wבאמצעות

'C עבורו זוית tחשב את .ב AF∢ן נמצאת היא מינימלית והסבר היכFבמקרה זה.

.חשב את גודל הזוית המינימלית .ג


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 100 -


333

) נקודות


.שבמחברתךתיבדק רק התשובה הראשונה , אם תענה על יותר משאלה אחת! שים לב

) נתונות הפונקציות .4 ) , ( )2 2

x x x xe e e ef x g x

− −− += =.

)) 1( : הוכח) א ) ( )g x g x− = ; )2 (( ) ( )f x f x− = −;

)3 ('( ) ( )g x f x= ; )4 ('( ) ( )f x g x=

)הפונקציה : הערה )f xהיפרבולי ומסומנת -ינוס נקראת סsinh( )x , והפונקציה( )g xנקראת קוסינוס -

)coshהיפרבולי ומסומנת )xתוכלו להבין מדוע, לאור הטענות שנתבקשתם להוכיח לעיל.

xהישר , בל על ידי הגרפים של הפונקציות הנתונות השטח המוג1S : נסמן) ב a= .y- וציר ה−

2Sהישר , השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות הנתונותx a=וציר ה -y.

1ע את יחס השטחים הב

2

S

S0: נתון (a בעזרת a<מספר ממשי .(


2

1( ) ln

1

x xf x

x x

+ +=

+ −.

)חקור את הפונקציה ) א )f xעל פי הסעיפים הבאים :

;תחומי עלייה וירידה) 4 ( ;נקודות קיצון) 3( ;חיתוך עם הצירים) 2( ;רהתחום הגד) 1(

;תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה) 6 ( ;נקודות פיתול) 5(

.הפונקציהשרטוט גרף ) 7(

נתונה הפונקציה ) ב2

6( )

1g x

x

−=

+ .

)הפונקציה חשב את השטח המוגבל בין גרף )g x ,ציר ה -x8ישרים והx = ±.

!!!בהצלחה


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 101 -


1 .2 2 24b a b

4aba

−−

1. א .2 20 , 0.5 0.5z z i= = 1. ב − 7.5a i=

u. א .3 v w+ + , u tv+035.26. ג1. ב

ae .ב הוכחה. א .4

)) 2( xכל ) 1. (א . 5 )) 5( xעולה לכל ) 4( אין) 3( 0,0( )0,0

0xקעירות כלפי מעלה ) 6( 0: קעירות כלפי מטה > x<

)7 (

ר" יח21.153. ב

Documents

חוברת מבחני מחצית י לאתר תשעב