Σ. Τραχανάς. Ο Αρμονικός Ταλαντωτής

κ ε φ ά λ α ι ο

5

Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ

ΕισαγωγήΘα δείξουµε τώρα ότι ο µαθηµατικός φορµαλισµός που αναπτύξαµε στο προηγού-µενο κεφάλαιο –και ο οποίος δίνει έµφαση στην αφηρηµένη αλγεβρική δοµή τηςκβαντικής θεωρίας–µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως πρακτικό εργαλείο επίλυσηςπροβληµάτων µε αντιπροσωπευτικό παράδειγµα τον αρµονικό ταλαντωτή. Υπεν-θυµίζουµε σχετικά ότι µε αυτήν την ονοµασία περιγράφουµε την κίνηση (κλασικήή κβαντική) υπό την επίδραση του παραβολικού δυναµικού V = kx2/2 (Σχ. 5.1)που αντιστοιχεί σε µια δύναµη

F = −dVdx

= −kx

ανάλογη της αποµάκρυνσης από το ελκτικό κέντρο στο x = 0.Η σπουδαιότητα του παραβολικού δυναµικού οφείλεται, βεβαίως, στο γεγονός

ότι αποτελεί µια πολύ καλή προσέγγιση ενός τυχόντος δυναµικού στη γειτονιά ενόςσηµείου ευσταθούς ισορροπίας του. Πράγµατι, υποθέστε ότι µας δίνεται ένα τυχόνµονοδιάστατο δυναµικό V (x) που έχει ένα ελάχιστο, δηλαδή ένα σηµείο ευστα-θούς ισορροπίας, στο x = 0 στο οποίο επιλέξαµε να τοποθετήσουµε και την αρχήτου σχετικού άξονα. Αν αναπτύξουµε τώρα τη συνάρτηση V (x) σε δυναµοσειράTaylor γύρω από το x = 0, θα έχουµε

V (x) = V (0) + V ′(0)x+1

2V ′′(0)x2 + · · · .

Όµως αφού το x = 0 είναι σηµείο ισορροπίας, θα είναι V ′(0) = 0 ενώ θα είναιεπίσης V ′′(0) = k > 0 αφού πρόκειται για ένα τοπικό ελάχιστο της V (x). Επι-

234 ΚΕΦ. 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ

Σχηµα 5.1: Το δυναµικό του αρµονικού ταλαντωτή.

πλέον, µια και η στάθµη αναφοράς της δυναµικής ενέργειας µπορεί να επιλεγείκατά βούληση, τη διαλέγουµε έτσι ώστε να είναι V (0) = 0, οπότε το παραπάνωανάπτυγµα γράφεται τελικά ως

V (x) =1

2kx2 + · · ·

όπου οι ανώτερες δυνάµεις θεωρήθηκαν αµελητέες για µικρά x –δηλαδή για µι-κρές ταλαντώσεις γύρω από το σηµείο ισορροπίας– και έτσι επιζεί τελικά µόνο ο«παραβολικός όρος» και µας παρέχει µια ικανοποιητική προσέγγιση του αρχικούδυναµικού στη γειτονιά του ελαχίστου του (Σχ. 5.2).Η παραβολική προσέγγιση –όπως είναι εύλογο να αποκληθεί η παραπάνω δια-

δικασία– βρίσκει άµεση αξιοποίηση στη µελέτη της δονητικής κίνησης των δια-τοµικών ή πολυατοµικών µορίων, αλλά και στην αντίστοιχη κίνηση των ατόµωνενός κρυσταλλικού πλέγµατος.Το κβαντοµηχανικό πρόβληµα για τον αρµονικό ταλαντωτή συνίσταται, βεβαί-

ως, στη λύση της εξίσωσης ιδιοτιµών

H|ψ〉 = E|ψ〉 (5.1)

όπουH =

p2

2m+

1

2kx2 ≡ p2

2m+

1

2mω2x2 (5.2)

ο χαµιλτονιανός τελεστής του προβλήµατος, µε ω =√k/m την κλασική συχνό-

τητα ταλάντωσης του σωµατιδίου. Στην αναπαράσταση θέσης θα είναι βεβαίως

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 235

Σχηµα 5.2:Στη γειτονιά του ελαχίστου του κάθε δυναµικούV (x) µπορεί να προσεγγιστείαπό το δυναµικό ενός αρµονικού ταλαντωτή.

|ψ〉 ⇒ ψ(x)

x→ x, p→ −i~ d

dx⇒ H → − ~

2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2,

οπότε η (1) θα παίρνει τη µορφή της διαφορικής εξίσωσης(− ~

2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2

)ψ = Eψ ⇒ ψ′′ +

2m

~2

(E − 1

2mω2x2

)ψ = 0,

που απλοποιείται περαιτέρω ως

ψ′′ + (2E − x2)ψ = 0 (5.3)

αν χρησιµοποιήσουµε το φυσικό σύστηµα µονάδων του προβλήµατος στο οποί-ο οι τρεις παράµετροι ~,m και ω που εµφανίζονται σ’ αυτό παίρνουν την τιµήµονάδα.(∗)

(∗) ∆εδοµένου ότι υπάρχουν τρεις βασικές φυσικές µονάδες –µήκος, µάζα και χρόνος– –οι οποί-ες µπορούν να οριστούν αυθαίρετα, έχουµε πάντα τη δυνατότητα, µε κατάλληλο επανορισµόαυτών των βασικών µονάδων, να δώσουµε σε µια τυχούσα τριάδα διαστατικά ανεξάρτητων µε-γεθών οποιαδήποτε τιµή επιθυµούµε και ειδικότερα να τις κάνουµε και τις τρεις µονάδα. Καιβέβαια µπορούµε πάντα να επαναφέρουµε την εξάρτηση από τις παραµέτρους που εξισώσαµεµε µονάδα χρησιµοποιώντας το θεµελιώδες θεώρηµα της διαστατικής ανάλυσης που λέει ότι:Από τρία φυσικά µεγέθη µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα οποιοδήποτε άλλο µε απροσδιοριστίαµόνο µίας αριθµητικής σταθεράς.


Όπως µάλλον γνωρίζει ο αναγνώστης, από ένα εισαγωγικό µάθηµα κβαντικήςφυσικής, οι φυσικά παραδεκτές λύσεις της (5.3) –δηλαδή εκείνες που µηδενίζονταιστο ±∞– υπολογίζονται πολύ εύκολα γράφοντας τη λύση υπό τη µορφή

ψ(x) = e−x2/2H(x), (5.4)

όπου e−x2/2 είναι ο ασυµπτωτικός παράγοντας που αντιπροσωπεύει τη συµπερι-φορά των φυσικών λύσεων στο άπειρο(∗) ενώ η συµπληρωµατική συνάρτησηH(x)αναµένεται να έχει τη µορφή ενός πολυωνύµου ώστε να ικανοποιείται και το θεώ-ρηµα των κόµβων: Ότι δηλαδή: ο αριθµός των κόµβων αυξάνει κατά µονάδα κα-θώς προχωρούµε από την κυµατοσυνάρτηση της θεµελιώδους στάθµης (µηδέν κόµ-βοι) προς τις ανώτερες.Η εξίσωση που προκύπτει από την (5.3), µε την αντικατάσταση (5.4) –γνωστή

ως εξίσωση του Hermite–

H ′′ − 2xH ′ + (2E − 1)H = 0 (5.5)

θα διαθέτει όντως πολυωνυµικές λύσεις µόνο αν η µέγιστη δύναµη xn µιας τέτοιαςλύσης ικανοποιεί την (5.5) για µεγάλα x αφού σε αυτή την περιοχή µόνο η µέγιστηδύναµη του σχετικού πολυωνύµου θα επιζήσει. Η εφαρµογή αυτής της αναγκαίαςσυνθήκης δίνει αµέσως

−n(n− 1) xn−2 − 2nxn + (2E − 1)xn = 0

και δεδοµένου ότι η δύναµη xn−2 µπορεί να αµεληθεί µπροστά στη xn για µεγάλαx, θα έχουµε (

− 2n+ (2E − 1))xn = 0

⇒ E = En = n+1

2(n = 0, 1, 2, . . .)

ενώ για τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις θα είναι

ψn(x) = e−x2/2Hn(x) (n = 0, 1, 2, . . .)

όπου Hn(x) πολυώνυµα βαθµού n γνωστά ως πολυώνυµα του Hermite.(∗) Και ο οποίος θα έχει πάντα τη µορφή ενός κατάλληλου εκθετικού µε µια απροσδιόριστη παρά-

µετρο που υπολογίζεται αντικαθιστώντας το εκθετικό στην εξίσωση και απαιτώντας να ικανο-ποιείται για µεγάλα x. Στην περίπτωση του ταλαντωτή το κατάλληλο εκθετικό –που µηδενίζε-ται και στο +∞ και στο −∞– είναι το exp(−λx2) που πράγµατι ικανοποιεί την εξίσωση γιαµεγάλα x, αν είναι λ = ±1/2 µε φυσικά παραδεκτή τιµή την λ = 1/2. (∆είξτε το.)

1. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 237

Σκοπός τούτου του κεφαλαίου είναι να επαναλάβουµε τη λύση της (5.1) όχιόµως σε µια συγκεκριµένη αναπαράσταση –της θέσης ή κάποια άλλη–αλλά στηναφηρηµένη της µορφή, όπου ο χαµιλτονιανός τελεστής (5.2) δεν υφίσταται περαι-τέρω προσδιορισµό πέραν της συνθήκης ότι οι δύο τελεστές x και p που εµφανί-ζονται σ’ αυτόν ικανοποιούν τη θεµελιώδη µεταθετική σχέση

[x, p] = i~.

Για ευνόητους λόγους η λύση του αρµονικού ταλαντωτή πάνω σε αυτές τις γραµ-µές είναι γνωστή ως αλγεβρική µέθοδος και η βασική της ιδέα εξηγείται στην πα-ράγραφο που ακολουθεί.

1. Η αλγεβρική λύση του αρµονικού ταλαντωτή. Οιτελεστές δηµιουργίας και καταστροφής

Η αφετηριακή σκέψη της µεθόδου είναι πολύ απλή. Αφού ο αρµονικός ταλαντω-τής έχει ισαπέχουσες ιδιοτιµές –που προκύπτουν η µία από την άλλη πηγαίνονταςπρος τα πάνω ή προς τα κάτω µε ένα σταθερό βήµα– είναι λογικό να σκεφτού-µε ότι µια ανάλογη διαδικασία παραγωγής των ιδιοκαταστάσεων θα είναι επίσηςδυνατή. Ότι δηλαδή µπορεί να υπάρχουν δύο κατάλληλοι τελεστές –ας τους συµ-βολίσουµε µε a† και a– εκ των οποίων ο πρώτος (ο a†), δρώντας πάνω σε µιαιδιοκατάσταση, θα µας «πηγαίνει» στην ιδιοκατάσταση µε την αµέσως µεγαλύτε-ρη ιδιοτιµή, ενώ ο δεύτερος (ο a) θα κάνει ακριβώς το αντίθετο: θα µας «πηγαίνει»στην ιδιοκατάσταση µε την αµέσως µικρότερη ιδιοτιµή.Αν συµβολίσουµε τις διαδοχικές ιδιοκαταστάσεις του ταλαντωτή ως |n〉 –όπου

για n = 0 θα έχουµε τη θεµελιώδη κατάσταση, για n = 1 την πρώτη διεγερµένηκ.ο.κ.– τότε η αναµενόµενη δράση των τελεστών a† και a (αν βέβαια υπάρχουν)θα περιγράφεται από τις σχέσεις

a†|n〉 ∼ |n+ 1〉, a|n〉 ∼ |n− 1〉, (5.6)

οπότε για το γινόµενό τους −N = a†a− θα είναι

a†a|n〉 ∼ |n〉, (5.7)

αφού η συνδυασµένη δράση τους –ο ένας να µας «πηγαίνει» ένα βήµα πιο κά-τω και ο άλλος ένα βήµα πιο πάνω– προφανώς θα µας επαναφέρει στην αρχικήιδιοκατάσταση.


Αν όµως –όπως λέει η (5.7)– οι ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις |n〉 είναι και ιδιο-καταστάσεις του τελεστή N = a†a, τότε µια πολύ εύλογη σκέψη είναι ότι ο χα-µιλτονιανός τελεστής του αρµονικού ταλαντωτή

H =p2

2m+

1

2mω2x2

∣∣∣∣~=m=ω=1

=1

2(x2 + p2) (5.8)

ή θα ταυτίζεται µε τον N ή θα διαφέρει από αυτόν το πολύ κατά έναν αριθµητικόπαράγοντα ή/και µια προσθετική σταθερά. Αναµένεται δηλαδή να είναι

H = λa†a+ µ, (5.9)

όπου λ και µ αριθµητικές σταθερές. Αν αγνοήσουµε την προσθετική σταθερά µ, η(5.9) µας λέει αµέσως ότι οι τελεστές a† και a είναι εκείνοι που παραγοντοποιούντον τελεστή H . Τον µετατρέπουν δηλαδή σε ένα γινόµενο δύο τελεστών που θαπρέπει να είναι και αµοιβαία συζυγείς ώστε να µην θίγεται η ερµιτιανότητα τουH .(∗) Κοιτάζοντας µε αυτό το πνεύµα την έκφραση (5.8) –ως κλασική έκφρασηκατ’ αρχάς– βλέπουµε αµέσως ότι επιδέχεται την προφανή παραγοντοποίηση(†)

H =1

2(x− ip)(x+ ip) ≡ x− ip√

2

x+ ip√2

≡ α∗a, (5.10)

όπου α και α∗ οι κλασικές εκφράσεις

α =x+ ip√

2, α∗ =

x− ip√2.

Ύστερα από τα παραπάνω δεν πρέπει πλέον να φανεί ως «τέχνασµα εξ επιφοιτή-σεως» στον αναγνώστη αν προτείνουµε ως υποψήφιους τελεστές a και a† τους

a =x+ ip√

2, a† =

x− ip√2

(5.11)

µε την υπόσχεση να δείξουµε αµέσως ότι όντως έχουν τις ιδιότητες που προαναγ-γείλαµε.

(∗) Ένας τυχών ερµιτιανός τελεστήςH θα µπορούσε βέβαια να παραγοντοποιηθεί και υπό τη µορ-φή H = AB, όπου A,B µετατιθέµενοι ερµιτιανοί τελεστές. Όµως µια τέτοια δυνατότητα δενυφίσταται για χαµιλτονιανούς τελεστές, για τους οποίους η µόνη δυνατή παραγοντοποίηση εί-ναι του τύπουH = A†A συν κάποια σταθερά χωρίς ιδιαίτερη σηµασία.

(†) που είναι κλασικά ισοδύναµη και µε την H = (x+ ip)(x− ip)/2, διαφέρουν όµως κβαντο-µηχανικά κατά έναν σταθερό προσθετέο όπως θα γίνει φανερό σε λίγο.


Ας δούµε κατ’ αρχάς αν το γινόµενο a†a ισούται µε τη χαµιλτονιανή H , όπωςµας προϊδεάζει η κλασική σχέση (5.10). Θα είναι

a†a =1

2(x− ip)(x+ ip) =

1

2

(x2 + p2 + i(xp− px)

)

=1

2(x2 + p2) +

1

2i [x, p]︸︷︷︸

i

= H − 1

2

⇒ H = a†a+1

2, (5.12)

όπου η διαφορά –κατά τον σταθερό όρο 1/2− µε την κλασική σχέση (5.10) οφεί-λεται, βέβαια, στο γεγονός ότι τώρα τα x και p δεν είναι κλασικές µεταβλητές (γιατις οποίες είναι πάντα xp = px) αλλά µη µετατιθέµενοι τελεστές που υπόκεινταιστη σχέση µεταθέσεως xp− px = i. Για τα περαιτέρω –δηλαδή για την απόδειξητων (5.6)– θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τους µεταθέτες των τελεστών a και a†µε τη χαµιλτονιανή H . Θα δείξουµε συγκεκριµένα ότι είναι

[H, a] = −a, [H, a†] = a†. (5.13)

Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε τις (5.13) µε τον τελεστήN = a†a αντί τουH , αφούο σταθερός όρος 1/2 µετατίθεται µε οποιονδήποτε τελεστή. Γι’ αυτό τον σκοπόθα χρειαστεί να υπολογίσουµε πρώτα τον µεταθέτη [a, a†] για τον οποίο θα είναι

[a, a†] =1

2[x+ ip, x− ip] =

1

2[x,−ip] + 1

2[ip, x]

=1

2(−i) [x, p]︸︷︷︸

i

+1

2(i) [p, x]︸︷︷︸

−i

=1

2+

1

2= 1

⇒ [a, a†] = 1

και εποµένως

[N, a] = [a†a, a] = [a†, a]︸︷︷︸−1

a+ a† [a, a]︸︷︷︸0

= −a

[N, a†] = [a†a, a†] = [a†, a†]︸︷︷︸0

a+ a† [a, a†]︸︷︷︸1

= a†,

όπως θέλαµε να αποδείξουµε.


Για να δούµε τώρα πώς δρουν οι τελεστές a† και a πάνω στις ιδιοκαταστάσεις |n〉αφήνουµε τα δύο µέλη των (5.13) –έστω της δεύτερης από αυτές– να δράσουνπάνω σε µια τέτοια ιδιοκατάσταση και παίρνουµε

[H, a†]|n〉 = a†|n〉

⇒ (Ha† − a†H)|n〉 = a†|n〉 ⇒ H(a†|n〉

)− a†En|n〉 = a†|n〉

⇒ H(a†|n〉

)= (En + 1)a†|n〉 (5.14)

όπου, βέβαια, πήραµε υπ’ όψιν ότι οι |n〉 είναι ιδιοκαταστάσεις της χαµιλτονιανήςH µε –άγνωστες ακόµα– ιδιοτιµές En. Το νόηµα της (5.14) είναι φανερό. Μαςλέει ότι η κατάσταση a†|n〉 –που προκύπτει από τη δράση του a† πάνω στην |n〉–είναι πάλι ιδιοκατάσταση της χαµιλτονιανήςH µε ιδιοτιµή En + 1. Και αφήνεταιστον αναγνώστη να δείξει ότι κάτι εντελώς ανάλογο –αλλά µε αντίθετο πρόσηµο–ισχύει και για την κατάσταση a|n〉. Είναι πάλι ιδιοκατάσταση µε ιδιοτιµή En− 1.Το γενικότερο συµπέρασµα είναι προφανές. Αφού για κάθε δεδοµένη ιδιοτιµή En

οιEn±1 είναι επίσης ιδιοτιµές, έχουµε ήδη αποδείξει ότι το φάσµα του αρµονικούταλαντωτή έχει σταθερό βήµα ίσο µε ένα. ∆ηλαδή οι ενεργειακές ιδιοτιµές είναιισαπέχουσες µε σταθερή µεταξύ τους απόσταση ίση µε ένα.Αν λοιπόν E0 είναι η µικρότερη από αυτές –εκείνη που αντιστοιχεί στη θεµε-

λιώδη κατάσταση– τότε όλες οι άλλες θα προκύπτουν από αυτήν ανεβαίνονταςπρος τα πάνω µε βήµα µονάδα οπότε το σύνολο των ιδιοτιµών θα δίνεται από τοντύπο

En = E0 + n n = 0, 1, 2, . . .

και το µόνο που αποµένει είναι ο υπολογισµός τουE0. Ο οποίος γίνεται πολύ απλάαν σκεφτούµε ότι η ιδιοκατάσταση |0〉 της θεµελιώδους στάθµης θα ικανοποιεί αφ’ενός την εξίσωση ιδιοτιµών

H|0〉 = E0|0〉 ⇒(a†a+

1

2

)|0〉 = E0|0〉 (5.15)

και αφ’ ετέρου τηνa|0〉 = 0, (5.16)

η οποία εκφράζει την αυτονόητη απαίτηση ότι η |0〉 είναι η χαµηλότερη ιδιοκατά-σταση και εποµένως η δράση του τελεστή a θα πρέπει να την εκµηδενίζει, αφούδεν υπάρχει δυνατότητα να πάµε πιο κάτω. (Αν ήταν a|0〉 6= 0, τότε η a|0〉 θα ήτανεπίσης ιδιοκατάσταση, µε ιδιοτιµήE0−1, σε προφανή αντίφαση µε την παραδοχήότι η E0 είναι η χαµηλότερη ιδιοτιµή.)


Λαµβάνοντας υπ’ όψιν την (5.16) η δεύτερη από τις (5.15) δίνει αµέσως E0 =1/2, οπότε το τελικό µας αποτέλεσµα για τις ιδιοτιµές θα γράφεται ως

En = n+1

2n = 0, 1, 2, . . . (5.17)

και βεβαίως συµπίπτει µε εκείνο που µας είναι ήδη γνωστό από τη στοιχειώδη λύσητου προβλήµατος που δώσαµε προηγουµένως. Στις συνήθεις µονάδες το αποτέλε-σµα (5.17) γράφεται βεβαίως ως

En =

(n+

1

2

)~ω, (5.18)

αφού ο µοναδικός συνδυασµός των παραµέτρων ~,m και ω που έχει διαστάσειςενέργειας είναι ο ε = ~ω. Σύµφωνα µε την (5.18) η απόσταση µεταξύ διαδοχι-κών ιδιοτιµών είναι ~ω και βεβαίως αυτό είναι το «κβάντο ενέργειας» που πρέπεινα απορροφηθεί ή να εκπεµφθεί προκειµένου να µεταβεί ο ταλαντωτής στην αµέ-σως ψηλότερη ή την αµέσως χαµηλότερη ιδιοκατάσταση. Σε αυτό το πνεύµα οιτελεστές a† και a που πραγµατοποιούν αυτές τις µεταβάσεις είναι λογικό να ονο-µαστούν τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής αντίστοιχα. Ο πρώτος –ο a†–«δη-µιουργεί» ένα κβάντο ενέργειας ~ω –και εποµένως ανεβάζει τον ταλαντωτή στηναµέσως ψηλότερη ιδιοκατάσταση– ενώ ο a «καταστρέφει» ένα τέτοιο κβάντο καιάρα κατεβάζει τον ταλαντωτή στην αµέσως χαµηλότερη ιδιοκατάσταση.Σηµειώστε ακόµα ότι, λόγω της (5.12) και της σχέσης H|n〉 = (n + 1/2)|n〉,

θα είναι επίσηςN |n〉 = n|n〉 (N = a†a)

απ’ όπου και η ονοµασία του τελεστή N (= a†a) ως τελεστή αρίθµησης, αφού οιιδιοτιµές του µας δίνουν πράγµατι τον αριθµό των κβάντων ενέργειας που εµπε-ριέχονται στην κατάσταση |n〉. Σηµειώστε τέλος ότι οι µεταθετικές σχέσεις (5.13)–στις οποίες βασίστηκε η απόδειξη όλων των προηγούµενων αποτελεσµάτων–είναι της γενικής µορφής

[H,A] = ξA, (5.19)

µε ξ = 1 για τον a† και ξ = −1 για τον a.Και αφήνουµε τώρα τον αναγνώστη να δείξει ότι η (5.19) συνεπάγεται το ακό-

λουθο γενικό θεώρηµα.

ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν για έναν τελεστή H –για του οποίου το φάσµα ενδιαφερόµαστε–βρούµε ότι υπάρχει ένας τελεστήςA του οποίου ο µεταθέτης µε τονH ξαναδίνει τονA πολλαπλασιασµένο µε έναν αριθµό ξ−δηλαδή [H,A] = ξA− τότε: α)Ο τελεστήςH έχει ισαπέχουσες ιδιοτιµές µε µεταξύ τους απόσταση ίση µε |ξ|. β) Αν ξ < 0, ο


τελεστής A δρα πάνω στις ιδιοκαταστάσεις του H ως τελεστής καταβίβασης και οσυζυγής του –ο A†– ως τελεστής αναβίβασης. Και το αντίθετο: Αν ξ > 0, ο A† θαείναι τελεστής καταβίβασης και ο A αναβίβασης.

Σηµειώστε ότι στο πλαίσιο τούτης της γενικότερης συζήτησης για τους τελεστές µε-τατόπισης –όπως είναι λογικό να αποκληθούν οι A καιA†– χρησιµοποιήσαµε µιααντίστοιχα γενικότερη ορολογία. ∆ιευκρινίζουµε λοιπόν ρητά ότι οι όροι τελεστέςδηµιουργίας και καταστροφής χρησιµοποιούνται µόνο στον αρµονικό ταλαντωτήενώ σε άλλα προβλήµατα, όπου η ίδια τεχνική είναι εφαρµόσιµη, έχουν υιοθετη-θεί οι όροι τελεστές αναβίβασης και καταβίβασης (raising and lowering operators)ή, γενικά, τελεστές µετατόπισης (shift operators), αν θέλουµε να αναφερθούµε καιστους δύο ταυτόχρονα χωρίς διάκριση του ιδιαίτερου ρόλου τους.

2. Αλγεβρική κατασκευή των ιδιοσυναρτήσεωνΕίναι προφανές από τα προηγούµενα ότι η αλγεβρική µέθοδος µπορεί να χρησιµο-ποιηθεί όχι µόνο για τον υπολογισµό των ιδιοτιµών αλλά και για την κατασκευήτων ιδιοκαταστάσεων –π.χ. στην αναπαράσταση θέσης– αφού όλες µπορούν ναπροκύψουν από τη θεµελιώδη µε διαδοχική δράση του τελεστή a†. Όσο για τηνίδια τη θεµελιώδη κατάσταση, αυτή προσδιορίζεται πολύ εύκολα µε βάση τη συν-θήκη (5.16) −a|0〉 = 0− η οποία, στην αναπαράσταση θέσης, γράφεται ως

1√2(x+ ip)

∣∣∣∣p=−id/dxψ0(x) = 0 ⇒

(x+

d

dx

)ψ0(x) = 0,

δηλαδή σαν µια πρωτοτάξια διαφορική εξίσωση που λύνεται αµέσως µε αποτέλε-σµα (σε κανονικοποιηµένη µορφή)

ψ0(x) =14√πe−x

2/2.

Για να βρούµε και τις άλλες ιδιοσυναρτήσεις, επίσης σε κανονικοποιηµένη µορφή,θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τον αριθµητικό συντελεστή cn που µετατρέπει τηναναλογία a†|n〉 ∼ |n+ 1〉 σε ισότητα. Έστω λοιπόν ότι

a†|n〉 = cn|n+ 1〉 (5.20)

οπότε, αν πάρουµε τα µήκη(∗) των δύο µελών της (5.20) –λαµβάνοντας επιπλέονυπ’ όψιν ότι όλα τα διανύσµατα |n〉 είναι κανονικοποιηµένα, έχουν δηλαδή µήκος(∗) Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη ότι το µήκος ‖|ψ〉‖ ενός διανύσµατος |ψ〉 ορίζεται ως η τε-

τραγωνική ρίζα του εσωτερικού του γινοµένου µε τον εαυτό του. ∆ηλαδή ‖|ψ〉‖ =p

〈ψ|ψ〉.

2. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ Ι∆ΙΟΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 243

µονάδα– θα έχουµε‖a†|n〉‖ = |cn|

⇒ |cn|2 = ‖a†|n〉‖2 ≡(a†|n〉

)†a†|n〉 = 〈n|aa†|n〉 (5.21)

όπου, βέβαια, χρησιµοποιήσαµε τους γνωστούς από το προηγούµενο κεφάλαιο κα-νόνες χειρισµού εσωτερικών γινοµένων στο συµβολισµό του Dirac. Ότι δηλαδήτα διανύσµατα ket πρέπει να νοούνται ως διανύσµατα στήλης που πολλαπλασιά-ζονται εξ αριστερών µε τα συζυγή άλλων τέτοιων διανυσµάτων για να δώσουν τααντίστοιχα εσωτερικά γινόµενα.(∗) ∆εδοµένου τώρα ότι [a, a†] ≡ aa† − a†a = 1,το γινόµενο aa† στην (5.21) θα εκφράζεται συναρτήσει του a†a (= N) ως

aa† = a†a+ 1 = N + 1,

οπότε η δράση του πάνωστην ιδιοκατάσταση |n〉 στα δεξιά του θα δώσει (n+1)|n〉–αφού N |n〉 = n|n〉– και έτσι θα είναι

|cn|2 = 〈n|(n+ 1)|n〉 = n+ 1 ⇒ |cn| =√n+ 1

και άρα η (5.20) –µε επιλογή του θετικού προσήµου για τα cn–θα γράφεται τελικάως

a†|n〉 =√n+ 1 |n+ 1〉, (5.22)

ενώ µε εντελώς ανάλογο τρόπο καταλήγουµε και στην

a|n〉 =√n |n− 1〉. (5.23)

Σηµειώστε ότι για n = 0 η (5.23) καταλήγει στην a|0〉 = 0, όπως θα έπρεπε.Μάλιστα αυτή η απαίτηση προσφέρεται και ως το κατάλληλο κριτήριο για να θυ-µόµαστε σε ποια από τις δύο σχέσεις, (5.22) ή (5.23), θα πρέπει να εµφανίζεται ο(∗) Όπως δηλαδή για το εσωτερικό γινόµενο δύο συνήθων διανυσµάτων στήλης γράφουµε

(X,Y ) ≡ X†Y

έτσι και για το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ket θα είναι`|ψ〉, |φ〉

´≡

`|ψ〉

´†|φ〉 = 〈ψ| |φ〉 ≡ 〈ψ|φ〉

οπότε, για την περίπτωση που µας ενδιαφέρει εδώ, θα έχουµε

‖a†|n〉‖2=ορ

`a†|n〉, a†|n〉

´≡

`a†|n〉

´†a†|n〉 =

`|n〉

´†(a†)†a†|n〉 = 〈n|aa†|n〉.


παράγοντας√n+ 1 και σε ποια ο

√n. Εφαρµόζοντας επανειληµµένα την (5.22),

µε σηµείο εκκίνησης τη θεµελιώδη κατάσταση |0〉, παίρνουµε

|n〉 =1√n!

(a†)n|0〉,

που γράφεται στην αναπαράσταση θέσης ως

ψn(x) =1√n!

(a†)nψ0(x) (5.24)

µε

a† =1√2(x− ip)

∣∣∣∣p=−id/dx

=1√2

(x− d

dx

).

Έτσι, παραδείγµατος χάριν, για n = 1 θα έχουµε

ψ1(x) =1√1!

1√2

(x− d

dx

)14√πe−x

2/2 =

√2√πxe−x

2/2

που είναι πράγµατι η κανονικοποιηµένη µορφή της ιδιοσυνάρτησηςψ1, όπως µπο-ρεί να ελέγξει µόνος του ο αναγνώστης.Γενικότερα –µε βάση την εκπεφρασµένη µορφή των a† και ψ0(x)– η (5.24)

γράφεται ως

ψn(x) =1√√π 2nn!

(x− d

dx

)ne−x

2/2

και ύστερα από µερικές µετατροπές –δείτε σχετικό πρόβληµα στο τέλος του κε-φαλαίου– ως

ψn(x) =1√√π 2nn!

e−x2/2Hn(x),

όπου Hn(x) η έκφραση

Hn(x) = (−1)nex2

(d

dx

)ne−x

2, (5.25)

που είναι γνωστή ως τύπος του Rodrigues και δίνει τα γνωστά µας πολυώνυµαHermite κανονικοποιηµένα µε τον συµφωνηµένο στη βιβλιογραφία τρόπο. Έναςτρόπος να βεβαιωθείτε γι’ αυτό –ότι δηλαδή η (5.25) όντως δίνει τα «επίσηµα»πολυώνυµα Hermite– είναι να εισαγάγετε την (5.25) στον συµβολικό σας υπολο-γιστή και να αντιπαραβάλετε τις εκφράσεις που παίρνετε µε εκείνες που προκύ-πτουν αν ζητήσετε κατ’ ευθείαν τα αντίστοιχα πολυώνυµα. Αν το συµβολικό σας

3. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 245

πρόγραµµα είναι η Mathematica, τότε η εντολή για την (5.25) µπορεί να γραφείως

− − "! # $ #%%&')( +* '",-

ενώ η κατ’ ευθείαν «ζήτηση» των πολυωνύµων Hermite γίνεται µέσω της εντολής+./ (0'21 .3 . Εισάγοντας επίσης στον υπολογιστή σας και την έκφραση τωνιδιοσυναρτήσεων µπορείτε να έχετε αµέσως όποια από αυτές επιθυµείτε και βεβαί-ως τη γραφική της παράσταση µέσω της αντίστοιχης εντολής. Οι τέσσερις πρώτεςαπό αυτές δίνονται στο σχήµα 5.3 πάνω στις αντίστοιχες ενεργειακές στάθµες.

Σχηµα 5.3: Οι τέσσερις πρώτες ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή. Η πρώτη ιδιο-συνάρτηση είναι άρτια µε µηδέν κόµβους, η δεύτερη περιττή µε έναν κόµβο, η τρίτηπάλι άρτια µε δύο κόµβους, κ.ο.κ.

3. Αλγεβρικές τεχνικές υπολογισµούΕίδαµε προηγουµένως ότι η αλγεβρική µέθοδος µας δίνει τη δυνατότητα να κα-τασκευάσουµε εκπεφρασµένα τις ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή καιβάσει αυτών να υπολογίσουµε οποιαδήποτε άλλη ποσότητα επιθυµούµε: Μέσεςτιµές, αβεβαιότητες ή στοιχεία µήτρας διαφόρων µεγεθών που εµφανίζονται στις


εφαρµογές. Στην πραγµατικότητα η εκπεφρασµένη γνώση των ιδιοσυναρτήσεωνδεν είναι καθόλου αναγκαία για τέτοιους υπολογισµούς, οι οποίοι µπορούν ναεκτελεστούν µε έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο, που είναι µάλιστα και πολύ απλού-στερος.Η γενική ιδέα είναι η εξής: Αφού η δράση των τελεστών a και a† πάνω στις

ιδιοκαταστάσεις είναι γνωστή –σχέσεις (5.22) και (5.23)– τότε το ίδιο θα ισχύεικαι για τους τελεστές x και p, αφού αυτοί εκφράζονται µέσω των a και a† ως

x =a+ a†√

2, p =

a− a†

i√

2

όπως προκύπτει αµέσως από τις (5.11), λύνοντας ως προς x και p. Για να υπολογί-σουµε λοιπόν µια µέση τιµή της µορφής 〈A〉 = 〈n|A(x, p)|n〉 ή ένα µη διαγώνιοστοιχείο µήτρας, όπως π.χ. το Anm = 〈n|A(x, p)|m〉, δεν έχουµε παρά να εκ-φράσουµε τον τελεστή A(x, p) συναρτήσει των a και a† και να υπολογίσουµε τηδράση του πάνω στην κατάσταση |n〉. ∆ύο σχετικά παραδείγµατα είναι τα εξής:

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1: Υπολογίστε τις αβεβαιότητες ∆x και ∆p για την τυχούσα ιδιοκατά-σταση |n〉 του αρµονικού ταλαντωτή.

Λύση: ∆εδοµένου ότι 〈x〉 = 〈p〉 = 0 (γιατί;) θα είναι (∆x)2 = 〈x2〉 και επίσης (∆p)2 =〈p2〉. Για τη µέση τιµή 〈x2〉 θα έχουµε διαδοχικά

〈x2〉 = 〈n|x2|n〉 =1

2〈n|(a+ a†)2|n〉 ≡ 1

2〈n|(a+ a†)(a+ a†)|n〉

=1

2〈n|(a2 + a†2 + aa† + a†a)|n〉

=1

2〈n| aa†︸︷︷︸

N+1

+ a†a︸︷︷︸N

|n〉 =1

2〈n|(2N + 1)|n〉 =

2n+ 1

2= n+

1

2

⇒ ∆x =

√n+

1

2

και εντελώς ανάλογα

∆p =

√n+

1

2.

Σηµειώστε ότι τα αποτελέσµατα αυτά θα µπορούσαν να έχουν εξαχθεί και χωρίς κανένανυπολογισµό αν παρατηρούσαµε εξ αρχής ότι τα x και p εµφανίζονται συµµετρικά στη

3. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 247

χαµιλτονιανήH = (x2 + p2)/2 και εποµένως αναµένεται να είναι

〈x2〉 = 〈p2〉

⇒ 〈H〉 = En =1

2

(〈x2〉 + 〈p2〉

)= 〈x2〉 = 〈p2〉

⇒ 〈x2〉 = 〈p2〉 = En = n+1

2,

όπως βρήκαµε προηγουµένως.Σηµειώστε ακόµα ότι στον παραπάνω υπολογισµό αγνοήσαµε αµέσως τις µέσες τιµές

〈n|a2|n〉 και 〈n|a†2|n〉 που προφανώς µηδενίζονται, αφού η δράση των a2 και a†2 στηνκατάσταση |n〉 στα δεξιά τους, θα δώσει τις καταστάσεις |n − 2〉 και |n + 2〉 που είναιορθογώνιες στην κατάσταση 〈n| από αριστερά. Και ο γενικός κανόνας είναι προφανής:Κατά τον υπολογισµό µέσων τιµών της µορφής

〈n| αλυσίδα τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής |n〉

θα κρατάµε µόνο εκείνες τις «αλυσίδες» που περιέχουν ίδιο αριθµό τελεστών δηµιουργίαςκαι καταστροφής.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2: Υπολογίστε τη µέση τιµή 〈n|x4|n〉 για την τυχούσα ιδιοκατάσταση|n〉 του αρµονικού ταλαντωτή.Λύση: Θα είναι διαδοχικά

〈n|x4|n〉 =1

4〈n|(a+ a†)4|n〉 =

1

4〈n|(a+ a†)2(a+ a†)2|n〉

=1

4〈n|(a2 + a†2 + aa† + a†a)(a2 + a†2 + aa† + a†a)|n〉

=1

4〈n|(a2a†2 + a†2a2 + aa†aa† + aa†a†a+ a†aaa† + a†aa†a+ · · · )|n〉 (1)

όπου –σύµφωνα µε τα προαναφερθέντα– κρατήσαµε µόνο τους όρους µε ίδιο αριθµότελεστών δηµιουργίας και καταστροφής. Κάθε όρος αυτού του τύπου δεν µπορεί παράνα είναι τελικά µια συνάρτηση της χαµιλτονιανής H = a†a + (1/2) = N + (1/2) ή–που είναι το ίδιο– του τελεστή αρίθµησης N = a†a. Και ο λόγος βεβαίως είναι ότι οιιδιοκαταστάσεις |n〉 είναι και ιδιοκαταστάσεις κάθε τέτοιου όρου αφού η δράση του –πουπεριλαµβάνει τον ίδιο αριθµό αναβιβάσεων και καταβιβάσεων– θα τις αφήνει στη θέσητους. Έτσι ένας τρόπος να υπολογίσουµε την παραπάνω µέση τιµή είναι να εκφράσουµεκάθε όρο της ως συνάρτηση του N , οπότε βέβαια η ζητούµενη τιµή θα προκύπτει µε τηναντικατάσταση N → n. Για τους τελευταίους τέσσερις όρους στην (1) ο υπολογισµός


γίνεται «διά γυµνού οφθαλµού» αν λάβουµε υπ’ όψιν ότι a†a = N και aa† = N+1 λόγωτης µεταθετικής σχέσης [a, a†] = 1. Έτσι θα έχουµε

aa†︸︷︷︸N+1

aa†︸︷︷︸N+1

= (N + 1)2, aa†︸︷︷︸N+1

a†a︸︷︷︸N

= (N + 1)N

a†a︸︷︷︸N

aa†︸︷︷︸N+1

= N(N + 1), a†a︸︷︷︸N

a†a︸︷︷︸N

= N2.

Για τους δύο πρώτους όρους −a2a†2 και a†2a2− χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε επι-πλέον και τις µεταθετικές σχέσεις [N, a] = −a ⇒ Na = aN − a και [N, a†] = a† ⇒Na† = a†N + a†. Έτσι θα έχουµε

a2a†2 ≡ a aa†︸︷︷︸N+1

a† = a(N + 1)a† = aNa† + aa†

= a(a†N + a†) + aa† = (N + 1)N + 2(N + 1) = (N + 1)(N + 2)

a†2a2 ≡ a† a†a︸︷︷︸N

a = a†Na = a†(aN − a) = a†aN − a†a = N2 −N.

Αθροίζοντας όλα τα παραπάνω το αποτέλεσµα είναι

〈n|x4|n〉 =3

4(2n2 + 2n+ 1).

4. Σύµφωνες καταστάσεις και το κλασικό όριο τουταλαντωτή(∗)

Είδαµε νωρίτερα ότι οι εκφράσεις των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής–a = (x + ip)/

√2 και a† = (x − ip)/

√2– αναδύθηκαν αβίαστα από την ιδέα

της παραγοντοποίησης της χαµιλτονιανής H = (x2 + p2)/2 η οποία, σε κλασικόκατ’ αρχάς επίπεδο, γράφεται αµέσως ως H = α∗α, όπου α = (x + ip)/

√2

και α∗ = (x − ip)/√

2. Αν όµως θυµηθούµε επίσης ότι η κλασική ενέργεια τουταλαντωτή, συναρτήσει του πλάτους A της ταλάντωσής του, γράφεται ως

Ecl =1

2kA2 =

1

2mω2A2 =

1

2A2 (γιαm = ω = 1)

ή ακόµα (αν το πλάτος της ταλάντωσης θεωρηθεί µιγαδικό ώστε να συµπεριλαµ-βάνει και τη φάση της) ως

Ecl =1

2A∗A,

(∗) Μπορεί να παραλειφθεί από τον «βιαστικό» αναγνώστη.

4. ΣΥΜΦΩΝΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ 249

τότε η αντιπαραβολή µε την έκφραση H = α∗α οδηγεί αµέσως στη σκέψη ότιοι κβαντικοί τελεστές a και a† –που αποτελούν το κβαντικό ανάλογο των α καια∗– θα είναι κάποιο είδος κβαντοµηχανικού αντίστοιχου του κλασικού πλάτουςταλάντωσηςA. (Με έναν, αναµενόµενο, συντελεστή αναλογίας

√2 αφού δεν είναι

A = α αλλά A =√

2α.)Αν όµως ο τελεστής a –ή ο a†– αντιπροσωπεύει πράγµατι το κβαντικό ανά-

λογο του πλάτους ταλάντωσης τότε οι ιδιοκαταστάσεις του, δηλαδή οι λύσεις τηςεξίσωσης ιδιοτιµών

a|α〉 = α|α〉, (5.26)

θα αντιπροσωπεύουν εκείνο το είδος κβαντικών καταστάσεων που θα βρίσκον-ται όσο γίνεται πιο κοντά στο κλασικό όριο. Όπου µια κατάσταση καθορισµένηςενέργειας είναι πάντα και µια κατάσταση καθορισµένου πλάτους ταλάντωσης.Οι καταστάσεις |α〉 που ορίζονται από την (5.26) –µε α έναν τυχόντα µιγαδικό

αριθµό(∗)– είναι γνωστές ως σύµφωνες καταστάσεις (coherent states) και οι βασι-κές τους ιδιότητες διατυπώνονται –υπό µορφήν θεωρήµατος– ως ακολούθως:

ΘΕΩΡΗΜΑ: α) Οι σύµφωνες καταστάσεις δεν έχουν καθορισµένη ενέργεια. Η µέσηενέργεια και η αβεβαιότητα ενέργειας του ταλαντωτή σε µια σύµφωνη κατάσταση |α〉είναι ίση µε

〈E〉 = |α|2 +1

2, ∆E = |α|. (5.27)

β) Μη όντας ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, οι σύµφωνες καταστάσεις θα γράφονταιως µια επαλληλία τέτοιων ιδιοκαταστάσεων. Θα είναι συγκεκριµένα

|α〉 = e−|α|2/2∑

n=0

αn√n!

|n〉, (5.28)

όπου οι καταστάσεις |α〉 και |n〉 υποτίθενται κανονικοποιηµένες.γ) Στην αναπαράσταση θέσης οι σύµφωνες καταστάσεις, µε Imα = 0, περιγράφον-ται από τις κυµατοσυναρτήσεις

ψα(x) ≡ 〈x|α〉 =14√πe−(x−α

√2)2/2. (5.29)

(∗) Σηµειώστε ότι ο τελεστής a δεν είναι ερµιτιανός και εποµένως οι ιδιοτιµές τουα δεν υποχρεούν-ται να είναι πραγµατικοί αριθµοί όπως στις περιπτώσεις που εξετάζαµε µέχρι τώρα. Αυτό όµωςσηµαίνει –µεταξύ άλλων– ότι ο τελεστής a δεν αντιπροσωπεύει ένα φυσικό µέγεθος µε την αυ-στηρή έννοια του όρου.


Απόδειξη: Θα είναι διαδοχικά

α) 〈E〉 = 〈H〉 = 〈α|(a†a+

1

2

)|α〉 = 〈α|a†a|α〉 +

1

2

=(a|α〉

)†(a|α〉

)+

1

2=(α|α〉

)†(α|α〉

)+

1

2= α∗α〈α|α〉 +

1

2

= α∗α+1

2(ό.έ.δ.)

Για την αβεβαιότητα ενέργειας θα είναι κατ’ αρχάς

(∆E)2 = 〈H2〉 − 〈H〉2

όπου

〈H2〉 = 〈α|(a†a+

1

2

)2

|α〉 ≡ 〈α|(a†a+

1

2

)(a†a+

1

2

)|α〉

= 〈α|(a†aa†a+ a†a+

1

4

)|α〉

= 〈α|a†aa†a|α〉 + 〈α|a†a|α〉 +1

4. (Α)

Μια χρήσιµη γενική παρατήρησηγια την εκτέλεση τέτοιων υπολογισµών απορρέειαπό τη σχέση συζυγίας

〈α|a† =(a|α〉

)†=(α|α〉

)†= 〈α|α∗,

η οποία µας λέει ότι το συζυγές διάνυσµα 〈α| είναι ιδιοδιάνυσµα του συζυγούςτελεστή a† –θεωρουµένου ότι δρα προς τα αριστερά του– µε ιδιοτιµή α∗, δηλαδήτη συζυγή της αρχικής. Σε αυτό το πνεύµα µπορούµε να γράψουµε αµέσως

〈α|a†a|α〉 = 〈α|α∗α|α〉 = α∗α (Β)

και

〈α|a†aa†a|α〉 = 〈α|α∗aa†α|α〉 = α∗α〈α|aa†|α〉α∗α〈α|(a†a+ 1)|α〉 = α∗α

(〈α|a†a|α〉 + 1

)

= α∗α(α∗α+ 1) = |α|4 + |α|2. (C)


Θα είναι λοιπόν〈H2〉 = |α|4 + 2|α|2 +

1

4

και εποµένως

(∆E)2 = 〈H2〉 − 〈H〉2 = |α|4 + 2|α|2 +1

4−(|α|2 +

1

2

)2

= |α|2

⇒ ∆E = |α| (ό.έ.δ.)

β) Έστω|α〉 =

∑

n

cn|n〉, (5.30)

όπου cn προσδιοριστέοι συντελεστές. Εισάγοντας την (5.30) στην (5.26) παίρνου-µε

α∑

n

cn|n〉 = a

(∑

n

cn|n〉)

=∑

n

cna|n〉

=∑

n

cn√n|n− 1〉 ≡

∑

n

cn+1

√n+ 1|n〉

(5.31)

όπου η µετατόπιση του αθροιζόµενου δείκτη (n → n + 1) στην προτελευταίασειρά δεν αλλάζει το σηµείο εκκίνησης του n –που παραµένει το n = 0– λόγωτης παρουσίας του συντελεστή

√n που µηδενίζεται για n = 0.

Εξισώνοντας τώρα τους συντελεστές των καταστάσεων |n〉 µεταξύ πρώτης καιτελευταίας σειράς στην (5.31), παίρνουµε

cn+1 =α√n+ 1

cn,

δηλαδή µια απλούστατη αναδροµική σχέση που δίνει αµέσως

cn =αn√n!c0,

όπου το c0 υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης

∞∑

n=0

|cn|2 =

( ∞∑

n=0

|α|2nn!

)|c0|2 = e|α|

2 |c0|2 = 1

⇒ c0 = e−|α|2/2 ⇒ cn =αn√n!e−|α|2/2


⇒ |α〉 = e−|α|2/2∞∑

n=0

αn√n!|n〉. (ό.έ.δ.)

γ) Στην αναπαράσταση θέσης η εξίσωση ιδιοτιµών των σύµφωνων καταστάσεων−a|α〉 = α|α〉− παίρνει τη µορφή

1√2

(x+

d

dx

)ψα(x) = αψα(x)

που είναι µια απλούστατη πρωτοτάξια εξίσωση µε (µη κανονικοποιηµένη) λύσητην

ψα ∼ e−12x2+α

√2 x (α ∈ )

και σε κανονικοποιηµένη µορφή –αν Imα = 0–

ψα(x) =e−α

2

4√πe−x

2/2+α√

2x ≡ 14√πe−(x−α

√2)2/2, (ό.έ.δ.)

ενώ για τυχόν µιγαδικό α (= α1 + ia2) θα έχουµε

ψα(x) =14√πe−(x−α1

√2)2/2+iα2

√2x. (5.32)

Από φυσικής πλευράς τα αποτελέσµατα (5.27) έως (5.29) είναι πολύ εύλογα. Μεεξαίρεση τον (αναµενόµενο) σταθερό όρο 1/2 η πρώτη από τις (5.27) −〈E〉 =α∗α+ (1/2)− επιβεβαιώνει πλήρως την υπόθεσή µας ότι η ιδιοτιµή α που χαρα-κτηρίζει τις σύµφωνες καταστάσεις είναι το κβαντικό ανάλογο του κλασικού πλά-τους ταλάντωσης µε την –επίσης αναµενόµενη– διαφορά ενός παράγοντα ίσουµε

√2. (Το κλασικό πλάτος A = xmax συνδέεται µε το α µέσω της σχέσης

A =√

2α.)Η δεύτερη από τις (5.27)−∆E = |α|− είναι επίσης αξιοµνηµόνευτη. Μας λέει

ότι στο όριο των µεγάλων πλατών –όπου αναµένεται να ισχύει η κλασική φυσική–θα είναι

∆E

〈E〉 =|α|

|α|2 + (1/2)−−−→|α|→∞

1

|α| → 0,

το οποίο σηµαίνει ότι σε αυτό το όριο οι κβαντικές αβεβαιότητες θα είναι συγκρι-τικά αµελητέες και οι κβαντικές καταστάσεις καθορισµένου πλάτους –δηλαδή οισύµφωνες καταστάσεις– θα γίνονται ταυτόχρονα και καταστάσεις καθορισµένηςενέργειας. Θα αποκαθίσταται δηλαδή η κλασική συµπεριφορά.


Όσο για το αποτέλεσµα (5.28) αυτό µας δίνει τη «σύνθεση» της σύµφωνης κα-τάστασης |α〉 από ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις |n〉. Συγκεκριµένα, για µια σύµ-φωνη κατάσταση πλάτους α οι πιθανότητες εµφάνισης των διαφόρων ιδιοκατα-στάσεων |n〉 θα δίνονται από τον τύπο

Pn(α) =|α|2ne−|α|2

n!(5.33)

και, όπως µπορείτε να δείτε στον υπολογιστή σας, για κάθε δεδοµένοα η κατανοµή(5.33) –ως συνάρτηση του n– είναι αρχικά αύξουσα, «πιάνει» το µέγιστό της σεκάποια τιµή n = nmax και µετά αποσβένυται στο µηδέν. Και είναι επίσης µιακαλή άσκηση να δείξετε αριθµητικά, και µετά να δικαιολογήσετε θεωρητικά, ότιγια σχετικά µεγάλα α –π.χ. για |α| = 4– η πιθανότερη τιµή του n (n = nmax)συνδέεται µε το |α| µέσω της σχέσης

nmax '√|α| (|α| = 4)

Πολύ εύγλωττη από φυσικής πλευράς είναι επίσης και η έκφραση (5.29) της κυ-µατοσυνάρτησης που περιγράφει µια σύµφωνη κατάσταση µε Imα = 0, στηναναπαράσταση θέσης. Όπως βλέπετε, η µορφή της είναι ένα γκαουσιανό εκθε-τικό, όπως εκείνο της θεµελιώδους καταστάσεως, αλλά µε το κέντρο του στηθέση x0 = α

√2 που αντιστοιχεί στο κβαντικό ανάλογο του κλασικού πλάτους

A = α√

2. Η µέση θέση του σωµατιδίου σε αυτή την κατάσταση θα είναι, προ-φανώς, 〈x〉 = α

√2 ενώ η µέση ορµή µηδέν −〈p〉 = 0− αφού η σχετική κυµα-

τοσυνάρτηση είναι πραγµατική. Στο ηµικλασικό όριο των σχετικά µεγάλων α µιασύµφωνη κατάσταση θα περιγράφει λοιπόν έναν ταλαντωτή που έχει εκτοπισθείαπό τη θέση ισορροπίας του x = 0 και βρίσκεται στη (µέση) θέση x0 = A = α

√2

µε (µέση) αρχική ταχύτητα µηδέν. Και αν αυτή η ηµικλασική εικόνα είναι σωστή,τότε η αναµενόµενη χρονική εξέλιξη της κυµατοσυνάρτησης (5.29) είναι να διατη-ρήσει τη µετατοπισµένη γκαουσιανή µορφή της αλλά µε το κέντρο της να ταλαν-τεύεται περιοδικά όπως στο αντίστοιχο κλασικό πρόβληµα. Περιµένουµε δηλαδή–τουλάχιστον για µεγάλα |α|– ότι η χρονική εξέλιξη θα διατηρεί το χαρακτήραµιας σύµφωνης κατάστασης ως σύµφωνης κατάστασης και θα «εξελίσσει» απλώςτο πλάτος της α κατά τα προβλεπόµενα από την κλασική ταλάντωση.Το ότι έτσι όντως έχουν τα πράγµατα επιβεβαιώνεται από το ακόλουθο θεώ-

ρηµα.

ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Η χρονικά εξελιγµένη µορφή µιας σύµφωνης κατάστασης |α〉 είναιπάλι µια σύµφωνη κατάσταση |α(t)〉 µε (µιγαδικό) πλάτος α(t) ίσο µε

α(t) = αe−it (5.34)


όπως και στο αντίστοιχο κλασικό πρόβληµα µε τις ίδιες παραµέτρους (m= ω= 1).

Απόδειξη: Θα είναι, κατά τα γνωστά,

|α, t〉 = U(t)|α〉 = e−iHt|α〉 (~ = 1)

= e−iHt(e−|α|2/2∑

n

αn√n!|n〉)

= e−|α|2/2∑

n

αn√n!e−iHt|n〉

= e−|α|2/2∑

n

αn√n!e−i(n+ 1

2)t|n〉

= e−|α|2/2e−it/2∑

n

(αe−it)n√n!

|n〉 (5.35)

και αν αγνοήσουµε τη σταθερή (ως προς x) φάση e−it/2 –που δεν έχει φυσικήσηµασία όπως γνωρίζουµε– τότε το αποτέλεσµα (5.35) θα γράφεται ως

|α, t〉 = e−|α(t)|2/2∑

n

α(t)n√n!

|n〉 ≡ |α(t)〉,

όπου α(t) = αe−it, όπως θέλαµε να αποδείξουµε.

Με µιγαδικό πλέον α (= α(t) = α(cos t + i sin t) η χρονικά εξελιγµένη κυ-µατοσυνάρτηση θέσης θα περιγράφεται τώρα –σύµφωνα µε την (5.32)– από τηνέκφραση

ψα(x, t) =14√πe−(x−α

√2 cos t)2/2+iα

√2 sin t·x,

που αντιστοιχεί πράγµατι σε µια ταλαντευόµενη γκαουσιανή καµπάνα µε στιγµιαίοκέντρο στο x0(t) = α

√2 cos t αλλά και µια στιγµιαία (µέση) ορµή(∗)

〈p〉t = α√

2 sin t, (~ = 1)

που είναι επίσης σύµφωνη µε το αντίστοιχο κλασικό αποτέλεσµα.Σηµειώστε τέλος ότι η χρονική εξέλιξη (5.34) µιας σύµφωνης κατάστασης θα

µπορούσε να προβλεφθεί επίσης –και µάλιστα πολύ απλούστερα– αν χρησιµο-ποιούσαµε την αναπαράσταση Heisenberg (Κεφ. 4, § 2.2) στο πλαίσιο της οποίαςθα έπρεπε να αναζητήσουµε όχι τη χρονικά εξελιγµένη µορφή των καταστάσεων(∗) Υπενθυµίζουµε στον αναγνώστη –δείτε και σχετικό πρόβληµα στο τέλος του 1ου κεφαλαίου–

ότι για µια κυµατοσυνάρτηση Ψ(x) της µορφής Ψ(x) = ψ(x)eikx, όπου ψ(x) πραγµατικήσυνάρτηση, η µέση ορµή του σωµατιδίου είναι ίση µε ~k.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 255

|α〉 αλλά του σχετικού τελεστή a → a(t) που διέπεται από τη σχετική εξίσωσηHeisenberg

ida(t)

dt=[a(t),H

]= −

[H, a(t)

]= a(t) (5.36)

όπου, βέβαια, χρησιµοποιήσαµε τη γνωστή µεταθετική σχέση [H, a] = −a η οποί-α ισχύει και για τον τελεστή a(t) αφού προέρχεται από τον a ≡ a(0) µε ένανµοναδιαίο µετασχηµατισµό (Κεφ. 4, § 2.2). Η (5.36) ολοκληρώνεται αµέσως µεαποτέλεσµα

a(t) = ae−it, (5.37)

όπου a ≡ a(0) ο τελεστής δηµιουργίας στην αναπαράστασηSchrödinger. Η (5.37)είναι, βεβαίως, το αναµενόµενο αποτέλεσµα αφού τώρα –δηλαδή στην αναπαρά-σταση Heisenberg– η χρονική εξέλιξη φέρεται από τους κβαντοµηχανικούς τελε-στές (και όχι από τις κυµατοσυναρτήσεις) οπότε είναι λογικό η (5.34) να παίρνειτώρα τη µορφή (5.37).Στα προβλήµατα που ακολουθούν θα έχει την ευκαιρία ο αναγνώστης να µε-

λετήσει περισσότερο τις σύµφωνες καταστάσεις αλλά και ορισµένες γενικεύσειςτους –όπως τις λεγόµενες συµπιεσµένες καταστάσεις (squezed states)– που έχουναποκτήσει πρόσφατα ένα µεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον στο πλαίσιο της φυσικήςτων λέιζερ.

Προβλήµατα• Ανασκόπηση της στοιχειώδους θεωρίας

1. Στο φυσικό σύστηµα µονάδων του αρµονικού ταλαντωτή η κατάσταση του σωµατι-δίου, σε µια ορισµένη στιγµή, περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση

ψ(x) = Ne−λx2/2. (1)

Υπολογίστε την πιθανότητα να προκύψει από µια µέτρηση η ενέργεια E0 = 1/2 τηςθεµελιώδους στάθµης. Ποια είναι η πιθανότητα να προκύψει από τη µέτρηση η ενέρ-γεια E1 = 3/2 της πρώτης διεγερµένης στάθµης;

2. Να βρεθεί η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας για το δυναµικό του «µισού αρµονικούταλαντωτή»

V (x) =

∞, x < 0kx2/2, x > 0

≡

Ποιο είναι το πλήρες σύνολο των ιδιοκαταστάσεών του και των αντίστοιχων ιδιοτιµών;


3. Στο φυσικό σύστηµα µονάδων του αρµονικού ταλαντωτή η κατάσταση του σωµατι-δίου σε µια ορισµένη στιγµή περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση

ψ(x) = Nx2e−x2/2. (1)

Όλοι οι ισχυρισµοί που ακολουθούν είναι λαθεµένοι. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί,χωρίς να κάνετε κανέναν υπολογισµό;(α) Οι µόνες τιµές της ενέργειας που µπορούν να προκύψουν από τις µετρήσεις είναι

εκείνες που αντιστοιχούν στις άρτιες ιδιοσυναρτήσεις. ∆ηλαδή οιE0, E2, E4, . . ..(β) Η µέση ενέργεια του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι: i) 〈E〉 = 3, ii) 〈E〉 =

1/4.(γ) Η µέση κινητική ενέργεια του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι 〈K〉 = 5/2.(δ) Η µέση ορµή του σωµατιδίου στην κατάσταση (1) είναι 〈p〉 = 2.

4. Υπολογίστε την πυκνότητα πιθανότητας των ορµών ενός αρµονικού ταλαντωτή στηθεµελιώδη του κατάσταση. Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί ο ταλαντωτής µε ορµέςπου είναι κλασικά απαγορευµένες για τη δεδοµένη ενεργειακή κατάσταση;

5. Ένα σωµατίδιο µάζαςm εκτελεί τριδιάστατη κίνηση υπό την επίδραση του δυναµικού

V =1

2kx2 +

1

2ky2 +

1

2kz2 =

1

2mω2(x2 + y2 + z2) (1)

που είναι γνωστό ως ο τριδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής. Βρείτε τις ιδιοτιµές και τιςιδιοσυναρτήσεις του και δώστε το ενεργειακό διάγραµµα για τις τρεις πρώτες στάθµεςδείχνοντας και τον εκφυλισµό της καθεµιάς. ∆ουλέψτε στο σύστηµα µονάδων όπου~ = m = ω = 1.

6. Ένα σωµατίδιο µάζας m κινείται υπό την επίδραση του δυναµικού (ανισότροπος αρ-µονικός ταλαντωτής)

V (x, y, z) =1

2kx2 +

1

2ky2 + 2kz2.

Κάντε το ενεργειακό διάγραµµα για τις τέσσερις πρώτες στάθµες του και κατασκευά-στε εκπεφρασµένα την ιδιοσυνάρτηση της θεµελιώδους στάθµης.

7. Επανειληµµένες µετρήσεις της ενέργειας στην ίδια φυσική κατάσταση ενός αρµονικούταλαντωτή έδωσαν µόνο τις δύο τιµές E0 = 1/2 και E1 = 3/2 µε συχνότητες P0 =1/3 και P1 = 2/3.(α) Γράψτε την πιο γενική κατάσταση του ταλαντωτή που ανταποκρίνεται στα δεδο-

µένα αυτών των µετρήσεων.(β) Προσδιορίστε επακριβώς αυτή την κατάσταση αν σας δίνεται επιπλέον ένα από

τα ακόλουθα δεδοµένα:i) 〈x〉 = 0 ii) 〈x〉 = 1/3 iii) 〈p〉 = 0 iv) 〈p〉 =

√2/3.

8. Είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι η κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή είναι µιαεπαλληλία της θεµελιώδους και της πρώτης διεγερµένης καταστάσεώς του. Προσδιο-ρίστε επακριβώς αυτή την κατάσταση µε καθένα από τα ακόλουθα ζεύγη δεδοµένων:α) 〈E〉 = 1, 〈x〉 = 1/2 β) 〈x〉 = 1/2, 〈p〉 = 1/2 γ) 〈E〉 = 5/4, 〈p〉 = 0.


• Αλγεβρική θεωρία

9. Κατασκευάστε τις (απειροδιάστατες) µήτρες που αναπαριστούν τους τελεστές δηµιουρ-γίας και καταστροφής στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας.

10. Στην αλγεβρική θεωρία του αρµονικού ταλαντωτή κρίνεται σκόπιµο (όπως τονίσαµεκαι στο κείµενο) αντί της χαµιλτονιανήςH = a†a+ 1

2 να χρησιµοποιούµε τον τελεστήN = a†a, µέσω του οποίου η εξίσωση ιδιοτιµών H |n〉 = (n + 1

2 )|n〉 γράφεται στηνκοµψότερη µορφή

N |n〉 = n|n〉,

από όπου και ο χαρακτηρισµός τουN ως τελεστή αρίθµησης. (Οι ιδιοτιµές του n κατα-µετρούν τον αριθµό των ενεργειακών κβάντων ~ω που περιέχονται στην εξεταζόµενηιδιοκατάσταση.) Χρησιµοποιώντας τη βασική µεταθετική σχέση [a, a†]=1, δείξτε ότιισχύουν και οι ακόλουθες:α) [N, a†] = a† δ) [N, (a†)2] = 2(a†)2

β) [N, a] = −a ε) [N, a†aa†] = a†aa†

γ) [N, a2] = −2a2 στ) [N, aa†a] = −2aa†a.

Στην πραγµατικότητα όλες οι παραπάνω µεταθετικές σχέσεις είναι εκ των προτέρωνπροφανείς. Γιατί; Ποιος είναι ο κοινός γενικός κανόνας;

11. Εξηγήστε, µε έναν απλό συλλογισµό, γιατί κάθε γινόµενο της µορφής aa†a†a . . . µε τοίδιο πλήθος τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής είναι αναγκαστικά µια συνάρτη-ση του τελεστή αρίθµησηςN = a†a. Βρείτε ποια είναι αυτή η συνάρτηση για καθένααπό τα ακόλουθα γινόµενα: α) aa†a†a, β) a†aaa†, γ) aaa†a†, δ) aaaa†a†a†.

12. Χωρίς να υποθέσετε τίποτα για τους τελεστές a και a† –πέραν του ότι είναι ο έναςσυζυγής του άλλου– δείξτε ότι το γινόµενό τους (aa† ή a†a) είναι: α) ερµιτιανός τε-λεστής, β) θετικά ορισµένος και άρα το φάσµα του θα περιέχει µόνο θετικές ιδιοτιµέςκαι ενδεχοµένως το µηδέν.

13. Κατασκευάστε τη διάκριτη µήτρα που αναπαριστά τον τελεστή της ισοτιµίας στη βάσητων ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αρµονικού ταλαντωτή. Περιµένετε η µήτρααυτή να είναι διαγώνια ή όχι;

14. Η κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή σε µια δεδοµένη στιγµή δίνεται από τηνκυµατοσυνάρτηση ψ(x) = e−(x−a)2/2/ 4

√π. ∆είξτε ότι οι πιθανότητες να βρούµε µια

οποιαδήποτε από τις άρτιες ιδιοτιµές ή µια οποιαδήποτε από τις περιττές δίνονται απότους τύπους

P±(a) =1 ± e−a

2

2.

Αλλάζουν αυτές οι πιθανότητες µε τον χρόνο;15. Ένας διαφορετικός –και µάλλον απλούστερος– τρόπος υπολογισµού της µέσης τιµής

〈n|x4|n〉, από αυτόν που δώσαµε στο κείµενο, συνίσταται στη διαπίστωση ότι είναι

〈n|x4|n〉 = 〈n|x2 · x2|n〉 =∥∥x2|n〉

∥∥2,


οπότε η ιδέα του υπολογισµού είναι να δράσουµε στην κατάσταση |n〉 µε τον τελεστή

x2 =

(a+ a†√

2

)2

=1

2

(a2 + a†2 + aa† + a†a

)

και να υπολογίσουµε το «τετραγωνισµένο µήκος» της κατάστασης επαλληλίας πουπροκύπτει, ως άθροισµα των τετραγώνων των συντελεστών της. Βεβαιωθείτε ότι ηχρήση αυτής της µεθόδου δίνει το ήδη γνωστό µας αποτέλεσµα και εφαρµόστε τηνµετά και στην οµοειδή περίπτωση της µέσης τιµής 〈n|p4|n〉. Μπορείτε να µαντέψετετο αποτέλεσµα;

16. Αν καταλάβατε καλά την υπολογιστική τεχνική του προηγούµενου προβλήµατος, τότεδεν θα δυσκολευτείτε να την εφαρµόσετε και για τις µέσες τιµές, στην τυχούσα κατά-σταση |n〉, µιας ακόµα µεγαλύτερης δύναµης των x και p. Παραδείγµατος χάριν, τηςέκτης δύναµης. Κάντε το.

17. ∆εδοµένου ότι ο τελεστής xp δεν είναι ερµιτιανός (γιατί;) η µέση τιµή 〈xp〉 θα είναιµιγαδικός εν γένει αριθµός. ∆είξτε ότι ειδικά για τις ιδιοκαταστάσεις του αρµονικούταλαντωτή θα είναι

Re〈n|xp|n〉 = 0, Im〈n|xp|n〉 =1

2(~ = 1).

18. Με αφετηρία τη σχέση

ψn(x) =1√n!

(a†)nψ0(x)

που δίνει τις κανονικοποιηµένες ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή µε επανει-ληµµένη δράση του τελεστή δηµιουργίας a† πάνω στη βασική κατάσταση, αποδείξτετον τύπο

ψn(x) =1√√π2nn!

e−x2/2Hn(x), (1)

όπου τα πολυώνυµα Hermite Hn(x) –κανονικοποιηµένα µε τον συµφωνηµένο στηβιβλιογραφία τρόπο– θα δίνονται από τον τύπο του Rodrigues

Hn(x) = (−1)nex2

(d

dx

)ne−x

2

. (2)

• Σύµφωνες καταστάσεις

19. Όντας ιδιοκαταστάσεις ενός µη ερµιτιανού τελεστή –του τελεστή καταστροφής a– οισύµφωνες καταστάσεις |α〉 δεν αναµένεται να έχουν την ιδιότητα της ορθογωνιότητας.Για να το ελέγξετε υπολογίστε το εσωτερικό γινόµενο 〈α|β〉 και δείξτε ότι για α, βπραγµατικά θα είναι

〈α|β〉 = e−12 (α−β)2 .

Ποια είναι η αντίστοιχη έκφραση για α, β τυχόντες µιγαδικούς αριθµούς;


20. Υπολογίστε τις µέσες τιµές 〈x〉 και 〈p〉 στην τυχούσα σύµφωνη κατάσταση |α〉 τουαρµονικού ταλαντωτή και βεβαιωθείτε ότι έχουν την φυσικά αναµενόµενη µορφή.Χρησιµοποιήστε κατόπιν αυτά τα αποτελέσµατα για να υπολογίσετε και τη µέση τιµή

⟨x(t)

⟩=⟨α|x(t)|α

⟩

του τελεστή θέσης στην αναπαράσταση Heisenberg όπως αυτός υπολογίστηκε στοπροηγούµενο κεφάλαιο. Πώς σχολιάζετε φυσικά το αποτέλεσµά σας;

21. ∆είξτε ότι µια τυχούσα σύµφωνη κατάσταση |α〉 µπορεί να προκύψει από τη θεµελιώ-δη µε δράση του τελεστή D(α) = eαa

†

. ∆είξτε δηλαδή ότι θα είναι

|α〉 = N eαa† |0〉,

όπουN συντελεστής κανονικοποίησης. Ποιο είναι τοN ;22. Για την τυχούσα σύµφωνη κατάσταση µε α = λ + iµ υπολογίστε τις ποσότητες 〈x〉,

〈p〉, 〈x2〉, 〈p2〉 και κατόπιν τις αντίστοιχες αβεβαιότητες∆x και∆p. Υπάρχει κάτι τοαξιοσηµείωτο στο αποτέλεσµά σας;

23. ∆είξτε ότι οι σύµφωνες καταστάσεις –όπως ορίζονται από τη σχέση a|α〉 = α|α〉–είναι καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας –ισχύει δηλαδή ότι∆x·∆p = 1/2 (~ = 1)–και επιπλέον ότι οι αβεβαιότητες θέσης και ορµής (στο φυσικό σύστηµα µονάδων τουταλαντωτή) είναι ίσες. Είναι δηλαδή ∆x = ∆p = 1/

√2.

24. Το προηγούµενο πρόβληµα ευλόγως θέτει το ερώτηµα του κατά πόσον υπάρχουν κα-ταστάσεις που έχουν την πρώτη από τις παραπάνω ιδιότητες –είναι δηλαδή κατα-στάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας– αλλά όχι τη δεύτερη. Είναι δηλαδή –σε αδιάστατεςµονάδες–∆x 6= ∆p. Τέτοιες καταστάσεις προκύπτουν πράγµατι κατά τρόπο τελεί-ως ανάλογο µε τις σύµφωνες καταστάσεις, αν αντί των a και a† ορίσουµε τους νέουςτελεστές

A =1√2(x+ iλp), A† =

1√2(x− iλp) (1)

όπου λ τυχούσα πραγµατική παράµετρος της οποίας το αναµενόµενο φυσικό περιε-χόµενο είναι µάλλον απλό: ∆ηλώνει τον (άνισο πλέον) βαθµό συµµετοχής των x καιp στον σχηµατισµό των τελεστών A και A†. Είναι λογικό λοιπόν να περιµένουµε ότιαν ως νέες «σύµφωνες καταστάσεις» ορίσουµε εκείνες που ικανοποιούν την εξίσωσηιδιοτιµών

A|α〉 = α|α〉 (2)

τότε µάλλον αυτές θα είναι οι καταστάσεις που αναζητούµε. Με αυτή την προσδοκίακατά νου δείξτε –µε έναν καθαρά αλγεβρικό υπολογισµό– ότι γι’ αυτές τις καταστά-σεις θα ισχύουν οι σχέσεις

∆x =

√λ

2, ∆p =

1√2λ

οι οποίες έχουν ακριβώς τις ζητούµενες ιδιότητες: Είναι∆x ·∆p = 1/2 και∆x 6= ∆pαν λ 6= 1.


Για την απόδειξη θα χρειαστεί να δείξετε πρώτα τη µεταθετική σχέση

[A,A†] = λ.

Οι καταστάσεις που ορίζονται µε τον παραπάνω τρόπο –σχέσεις (1) και (2)– είναιγνωστές στη βιβλιογραφία ως «συµπιεσµένες καταστάσεις» (squeezed states) και ολόγος γι’ αυτή την ονοµασία γίνεται εύκολα αντιληπτός αν λύσετε την εξίσωση (2)στην αναπαράσταση θέσης και δείτε τι ρόλο παίζει το λ στη σχετική κυµατοσυνάρτη-ση. Κάντε το.

25. Βρείτε τη χρονικά εξελιγµένη µορφή των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής µεδύο διαφορετικούς τρόπους: α) Κατευθείαν µέσω της σχετικής εξίσωσης HeisenbergiA(t) = [H,A(t)] και β) Με άµεση αντικατάσταση στις σχέσεις ορισµού

a(t) =1√2

(x(t) + ip(t)

), a†(t) =

1√2

(x(t) − ip(t)

)

των ήδη γνωστών εκφράσεων για τους τελεστές Heisenberg x(t) και p(t). Τι συµπε-ραίνετε από τα αποτελέσµατά σας ως προς τη χρονική εξέλιξη µιας σύµφωνης κατά-στασης |α〉; Θα παραµείνει σύµφωνη κατάσταση; Και αν ναι, µε τι πλάτος α;

26. Χρησιµοποιήστε τη δεύτερη από τις παραπάνω µεθόδους για να βρείτε τη χρονικάεξελιγµένη µορφή των τελεστών A και A† για µια τυχούσα τιµή της παραµέτρου λ.∆είξτε συγκεκριµένα ότι θα είναι

A(λ, t) = A(λ, 0) cos t− iλA(1/λ, 0) sin t (1)

και βεβαίωςA†(λ, t) = A(λ, t)†. Τι συµπεραίνετε από την (1) ως προς τη χρονική εξέ-λιξη µιας «συµπιεσµένης κατάστασης»; Θα παραµείνει µια συµπιεσµένη κατάστασηµε το ίδιο λ και κάποιο χρονικά εξελιγµένο «πλάτος» α ή όχι; Συγκρίνετε µε την πε-ρίπτωση λ = 1, οπότε βέβαια οι συµπιεσµένες καταστάσεις |α, λ〉 –και οι σχετικοίτελεστές A και A†– συµπίπτουν µε τις συνήθεις σύµφωνες καταστάσεις.

27. ∆είξτε ότι, συναρτήσει των τελεστών A και A† η χαµιλτονιανήH = (x2 + p2)/2 τουαρµονικού ταλαντωτή γράφεται ως

H =1

4λ2

((λ2 − 1)(A2 +A†2) + 2(λ2 + 1)A†A+ λ(λ2 + 1)

).

Συµπίπτει η παραπάνω έκφραση µε εκείνη που µας είναι γνωστή για λ = 1;

• Γεννήτρια συνάρτηση

28. Στη θεωρία των λεγόµενων ειδικών πολυωνύµων –Legendre,Hermite, Laguerreκ.λπ.–µια κλασική µέθοδος για τη µελέτη και το χειρισµό τους είναι εκείνη της γεννήτριαςσυνάρτησης. Η µέθοδος συνίσταται στο να βρούµε µια συνάρτηση δύο µεταβλητώνG(x, t) τέτοια ώστε το ανάπτυγµά της σε δυναµοσειρά ως προς t να έχει ως συντελε-στές τα πολυώνυµα Pn(x) που µας ενδιαφέρουν. Να είναι δηλαδή

G(x, t) =

∞∑

n=0

cnPn(x)tn, (1)


όπου οι επιπλέον αριθµητικοί συντελεστές cn είναι τέτοιοι ώστε τα έτσι οριζόµενα πο-λυώνυµαPn(x) να έχουν την κανονικοποίηση που έχει συµφωνηθεί στη βιβλιογραφία.Το πώς προσδιορίζεται η γεννήτρια συνάρτηση G(x, t) για κάθε δεδοµένη οικογένειαπολυωνύµων είναι ένα µη τετριµµένο θέµα για το οποίο µπορεί να βρει ο αναγνώ-στης κάποιες χρήσιµες σκέψεις στο τελευταίο κεφάλαιο του βιβλίου: Στ. Τραχανά,Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Όσον αφορά ειδικά στα πολυώνυµα Hermite, αρκε-στείτε στην. . . εξ επιφοιτήσεως αλήθεια(!) ότι η γεννήτρια συνάρτηση έχει τη µορφήG(x, t) = exp(2xt− t2) και ότι τα. . . γεννάει µέσω της σειράς

e2xt−t2

=

∞∑

n=0

Hn(x)tn

n!, (2)

βάσει της οποίας καλείστε να αποδείξετε ότι(α) Οι συναρτήσεις Hn(x) που ορίζονται µέσω της (2) είναι πράγµατι πολυώνυµα

που ικανοποιούν την εξίσωση Hermite

H ′′n − 2xH ′

n + 2nHn = 0

και εποµένως είναι όντως τα πολυώνυµα Hermite.(β) Ότι θα ικανοποιούν τη συνθήκη ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης

∫ +∞

−∞e−x

2

Hn(x)Hm(x) dx = 2nn!√πδnm

καθώς και τις αναδροµικές σχέσεις

Hn+1 = 2xHn − 2nHn−1, H ′n = 2nHn−1,

βάσει των οποίων –και ειδικότερα της πρώτης– µπορούν να κατασκευαστούνόλα τα ανώτερα (κανονικοποιηµένα) πολυώνυµα µε αφετηρία τα δύο πρώτα απόαυτά. H0 = 1 και H1 = x. Κατασκευάστε µε αυτό τον τρόπο τα πέντε πρώτακαι βεβαιωθείτε ότι έχουν τη µορφή που δίνεται στη βιβλιογραφία ή µέσω τηςMathematica µε την εντολή HermiteH[n, x].

29. Πέρα όµως από το να αποτελεί µια συµπαγή εγγραφή όλων των ιδιοτήτων των πο-λυωνύµων Hermite η γεννήτρια συνάρτησή τους µπορεί να χρησιµοποιηθεί και γιατον ακριβή υπολογισµό ποσοτήτων που εµφανίζονται στις εφαρµογές, όπως π.χ. ταπλάτη πιθανότητας

cn = (ψn, ψ) =

∫ +∞

−∞ψn(x)ψ(x) dx = Nn

∫ +∞

−∞e−x

2/2Hn(x)ψ(x) dx, (1)

όπουNn = (√π 2nn!)−1/2 οι συντελεστές κανονικοποίησης –τύπος (1) του προβλή-

µατος 18– και ψ(x) µια τυχούσα δεδοµένη κυµατοσυνάρτηση. Το ολοκλήρωµα (1)είναι της γενικής µορφής

In =

∫ +∞

−∞Hn(x)F (x) dx (2)


και µπορεί εύκολα να υπολογιστεί αν είναι γνωστό το ολοκλήρωµα

I(t) =

∫ +∞

−∞G(x, t)F (x) dx =

∫ +∞

−∞e2tx−x

2

F (x) dx,

οπότε τα ολοκληρώµατα In θα προκύπτουν από το ανάπτυγµα Taylor της συναρτή-σεως I(t) σε συνδυασµό µε τη σχέση ορισµό (2) του προηγούµενου προβλήµατος.Εφαρµόστε τα παραπάνω για να υπολογίσετε τα πλάτη πιθανότητας cn για την γκαου-σιανή κυµατοσυνάρτηση

ψ(x) =4

√λ

πe−λx

2/2

η οποία για λ = 1 συµπίπτει, βεβαίως, µε την κυµατοσυνάρτηση της θεµελιώδουςστάθµης αλλά για κάθε άλλο λ δεν ταυτίζεται µε καµιά ιδιοσυνάρτηση και εποµένωςθα αναπτύσσεται σε µια πλήρη, εν γένει, σειρά της µορφής

ψ(x) =∑

n

cnψn(x)

µε προσδιοριστέα cn. Μπορείτε να πείτε εκ των προτέρων ποια cn θα µηδενίζονται;

Documents

Σ. Τραχανάς. Ο Αρμονικός Ταλαντωτής