Στην διάταξη του σχήµατος (1) το δοκάρι Δ έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Κάποια στιγµή που λαµβά νεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ασκείται στο δοκάρι σταθερή δύναµη, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς το δοκάρι και το µετακινεί προς τα πάνω, ενώ αφήνεται πάνω στο δοκάρι µια οµογε νής σφαίρα µάζας m. i) Nα βρεθεί το µέτρο της δύναµης, ώστε το κέντρο της σφαίρας να παραµένει ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και το δοκάρι να µετακινείται προς τα πάνω. ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος. iii) Nα δείξετε ότι κατά την κίνηση του συστήµατος το έργο των τρι βών που εµπλέκονται µεταξύ σφαίρας και δοκαριού είναι µηδενικό. Να δεχθείτε ότι υπάρχει επαρκής τριβή µεταξύ σφαίρας και δοκα ριού, έτσι ώστε η σφαίρα να µη γλυστράει σε σχέση µε το δοκάρι. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της

σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C είναι ΙC=2mR2/5, όπου R η ακτίνα της. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι µε την έναρξη της κίνησης του συστήµατος, το κέντρο µάζας C της σφαίρας ακινητεί στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και ότι το δοκάρι ανέρχεται. Αυτό σηµαίνει ότι η η παράλληλη προς το δοκάρι συνι στώσα

�

! w

1 του βάρους

�

! w της σφαίρας εξουδετερώνετα από την τριβή

�

! T που

απαραίτητα πρέπει να υπάρχει µεταξύ σφαίρας και δοκαριού. Όµως η ροπή της τριβής περί το κέντρο C της σφαίρας προκαλεί περιστροφή αυτής και σύµφω να µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση:

�

TR = IC!'

�

!

�

w1R = 2mR

2! '/5

�

!

�

mg!µ" = 2mR# '/5

�

!

�

!'= 5g"µ# /2R (1) όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας στο σύστηµα αναφοράς του εδά

φους. Εξάλλου οι δυνάµεις που δέχεται το δοκάρι κατά την διεύθυνση της κίνη σής του είναι η δύναµη

�

! F , η παράλληλη προς το δοκάρι συνιστώσα

�

! W

1 του βά

ρους του

�

! W και η αντίδραση

�

-

! T της τριβής από την σφαίρα. Εφαρµόζοντας για

το δοκάρι τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

F - T - W1

= Ma!

�

!

�

F - mg!µ" - Mg!µ" = Ma#

�

!

�

F = (m + M)g!µ" + Ma# (2) όπου

�

! a ! η επιτάχυνση του δοκαριού στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Eξάλ

λου η επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου επαφής της σφαίρας µε το δοκάρι είναι ίση µε

�

! a !, διότι δεχθήκαµε ότι η σφαίρα δεν γλυστράει πάνω στο δοκάρι,

δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση aΔ= ω’R, οπότε η (2) γράφεται:

Σχήµα 1

�

F = (m + M)g!µ" + M#'R

�

!

(1)

�

F = (m + M)g!µ" + 5Mg!µ" /2

�

!

�

F = (2m + 7M)g!µ" /2 (3) ii) Eαν

�

! ! είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας όταν το δοκάρι

έχει µετατοπιστεί κατά S, τότε η αντίστοιχη κινητική ενέργεια ΚΣ της σφαίρας θα είναι:

�

K!=

IC"

2

2=

5m

2

R2"

2

2 (4)

Όµως η σχέση (1) µας πείθει ότι η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας είναι σταθε ρή, δηλαδή η στροφική της κίνηση είναι οµαλά επιταχυνόµενη και εποµένως ισχύει ω=ω’t, όπου t ο χρόνος µετατόπισης του δοκαριού κατά S. Έτσι θα έχου µε την σχέση:

�

! = !'t

�

!

�

!R = ! 'Rt = a"t

και η (4) γράφεται:

�

K!=

2m

5

a"

2t2

2=

2ma#

5

a#t2

2

�

!

�

K!=

2ma"

5S =

2m#'R

5S

�

!

(1)

�

K! =2m

5

5g"µ#

2S = mgS"µ# (5)

iii) Το έργο της τριβής

�

-

! T που δέχεται το δοκάρι, σε χρόνο t, είναι:

�

W-!

T = -TS = -mgS!µ" (6)

To αντίστοιχο έργο της τριβής

�

! T που δέχεται η σφαίρα είναι:

�

W!

T = TR! = mg"µ#(R!) (7)

Όµως η γωνία στροφής θ της σφαίρας σε χρόνο t δίνεται από την σχέση:

�

! = "'t2/2

�

!

�

!R = "'Rt2/2 = a

#t2/2 = S

οπότε η (7) γράφεται:

�

W-!

T = TR! = mgS"µ# (8)

Από τις (6) και (8) προκύπτει ότι το συνολικό έργο των τριβών που εµπλέκον ται στο σύστηµα είναι µηδενικό.

P.M. fysikos

Οµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R, συν δέται κατάλληλα µέσω αβαρούς λεπτής ράβδου µε οµογενή κύβο, µάζας m/2 και ακµής R/2 µε τρόπο που επιτρέπει στον κύλινδρο να περιστρέφεται ελευθερα περί τον γεωµετρικό του άξονα. Αρχικά ο κύ βος συγκρατείται εφαπτόµενος µε µια έδρα του σε κεκλιµένο επίπε δο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Τότε o κύλινδρος ισορρο πεί µε την παράπλευρη επιφάνειά του να εφάπτεται του κεκλιµένου επιπέδου, η δέ ράβδος είναι παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο, ενώ η προέκτασή της διέρχεται από τα κέντρα µάζας του κυλίνδρου και του κύβου. Κάποια στιγµή ο κύβος αφήνεται ελεύθερος και το σύστηµα τίθεται σε κίνηση. i) Εάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης σε όλες τις επαφές έχει την ίδια τιµή n, να δείξετε ότι οι αναγκαίες συνθήκες ώστε ο µεν κύλιν δρος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου και ο κύβος να ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται, είναι οι σχέσεις:

�

!"# $ 3n και

�

n ! 1 ii) Τι συµβαίνει όταν εφφ>3n και

�

n ! 1; Nα εκφράσετε στην περί πτωση αυτή την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδρά

νειας I=mR2/2 του κυλίνδρου, ως προς τον άξονά του. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχτούµε ότι µεν κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαινει επί του κεκλιµένου επιπέδου, ο δε κύβος ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται. Ο κύλινδρος δέχεται το βάρος του

�

! w , που αναλύεται στην παράλληλη προς το

κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα

�

! w

1 και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα

�

! w

2,

την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση

�

! N και την στατική τριβή

�

! T και τέλος την δύναµη επαφής

�

! F από

την ράβδο. Εξάλλου ο κύβος δέχεται το βάρός του

�

! w ' που αναλύεται στις

συνιστώσες

�

! w '

1 και

�

! w '

2, την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που

Σχήµα 2

αναλύεται στην κάθετη αντίδραση

�

! N ' και την τριβή ολισθήσεως

�

! T ' και τέλος

την δύναµη επαφής

�

! F ' από την ράβδο. Εξετάζοντας την ράβδο παρατηρούµε ότι

αυτή εκτελεί µεταφορική κίνηση µένοντας παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο, υπό την επίδραση των δυνάµεων

�

-

! F και

�

-

! F ' που είναι οι αντιδράσεις

των δυνάµεων

�

! F και

�

! F '. Επειδή η ράβδος θεωρήθηκε µε αµελητέα µάζα, οι

δυνάµεις

�

-

! F και

�

-

! F ' σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα είναι

αντίθετες και επειδή η ράβδος δεν περιστέφεται οι δυνάµεις αυτές δεν συνιστούν ζεύγος, που σηµαίνει ότι έχουν φορέα την ράβδο, οπότε το ίδιο συµβαίνει και για τις δυνάµεις

�

! F και

�

! F ' (σχ. 2). Εφαρµόζοντας για την µεταφο

ρική κίνηση του κυλίνδρου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

w1- T - F = ma

C

�

!

�

mg!µ" - T - F = maC (1) όπου

�

! a

C η επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου. Για την περιστροφική κίνηση

του κυλίνδρου περί τον άξονά του, σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης ισχύει η σχέση:

�

TR = mR2!'/2

�

!

�

T = mR! '/2

�

!

�

T = maC/2 (2)

όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου, της οποίας το µέτρο λόγω της

κυλίσεως του κυλίνδρου ικανοποιεί την σχέση aC=ω’R. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

mg!µ" - maC/2 - F = maC

�

!

�

F = mg!µ" - 3maC/2 (3) Εξάλλου ο κύλινδρος εκτελεί µεταφορική κίνηση µε επιτάχυνση

�

! a

C και σύµ

φωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει:

�

w'1-T'+F'= ma

C/2

�

!

�

mg!µ" /2 -nN'+F = maC/2

�

!

�

mg

2!µ" -

nmg

2#$%" + F =

maC

2

�

!

�

F =m

2(aC+ ng!"#$ - g%µ$) (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

mg!µ" -3m

2aC =

m

2(aC+ ng#$%" - g!µ")

�

!

�

3g!µ"

2-ng#$%"

2=

4aC

2

�

!

�

aC =g

43!µ" - n#$%"( ) (5)

ενώ από τις (2) και (5) παίρνουµε την σχέση:

�

T =mg

83!µ" - n#$%"( ) (6)

Επειδή η τριβή είναι στατική ισχύει:

�

T ! nN

�

!

(6)

�

mg

83!µ" - n#$%"( ) & nmg#$%"

�

!

�

3!µ" - n#$%" & 8n#$%"

�

!

�

!µ" # 3n$%&"

�

!

�

!"# $ 3n (7) Όµως ο κύβος δεν περιστρέφεται, που σηµαίνει ότι η συνισταµένη ροπή των δυνάµεων που δέχεται, περί το κέντρο µάζας του Κ, είναι µηδενική, δηλαδή µπορουµε να γράψουµε την σχέση:

�

!" (K) = 0

�

!

�

T'R/2 - N'x = 0

�

!

�

nN'R/2 - N'x = 0

�

!

�

x = nR/2 όπου x η απόσταση του φορέα της από το κέντρο µάζας του κύβου. Επειδή πρεπει x≤ R/2, θα έχουµε:

�

nR/2 ! R/2

�

!

�

n ! 1 (8) ii) Όταν ισχύει εφφ>3n, τότε η τριβή

�

! T είναι τριβή ολισθήσεως και ο κύλιν

δρος δεν έχει γνήσια κύλιση, αλλά εκτελεί επίπεδη κίνηση που αναλύεται σε µια µεταφορική ολίσθηση και µια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του. Στην περίπτωση αυτή η σχέση (1) παίρνει την µορφή:

�

mg!µ" - nmg#$%" - F = maC (9) ενώ η γωνιακή επιτάχυνση

�

! ! ' του κυλίνδρου, συµφωνα µε τον θεµελιώδη

νόµο της στροφικής κίνησης, ικανοποιεί την σχέση:

�

TR = mR2!'/2

�

!

�

nm!"#$ = mR% '/2

�

!

�

!'= 2ng"#$% /R (10) Εξάλλου για τον κύβο εξακολουθούν να ισχύουν οι σχέσεις:

�

F = m(aC+ ng!"#$ - g%µ$)/2 και

�

n ! 1 αφού αυτός ολισθαίνει µε επιτάχυνση ίση µε

�

! a

C, χωρίς να ανατρέπεται. Συν

δυάζοντας τις σχέσεις (9) και (11) παίρνουµε:

�

mg!µ" - nmg#$%" - m(aC+ ng#$%" - g!µ")/2 = maC

�

!

�

3g!µ" /2 - 3ng#$%" /2 = 3aC /2

�

!

�

aC = g(!µ" - n#$%") (11) Oι σχέσεις (10) και (11) εγγυώνται ότι, τόσο η µεταφορική όσο και η περισ τροφική κίνηση του κυλίνδρου είναι οµαλά επιταχυνόµενες. Έτσι εάν

�

! v ,

�

! !

είναι η ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου και η γωνιάκη του ταχύτητα αντι στοίχως ύστερα από χρόνο t αφότου το σύστηµα αφέθηκε ελεύθερο να κινηθεί, θα έχουµε τις σχέσεις:

�

v = aCt

! = ! 't

"

#

$

�

!

(10),(12)

�

v = gt(!µ" - n#$%")

& = 2ngt#$%" /R

' ( ) (13)

H κινητική ενέργεια K του κυλίνδρου, την χρονική στιγµή t είναι:

�

K =mv

2

2+

mR2!

2

4

�

!

(13)

�

K =mg2t2(!µ" - n#$%")2

2+

mR2(2ngt#$%")2

4R2

�

!

�

K =mg2t2

2(!µ" - n#$%")2 + 2n2

#$%"2[ ] (14)

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην περίπτωση που ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και ο κύβος ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται, τότε ο συνδυασµος των (3) και (5) δίνει:

�

F = mg!µ" - 3mg(3!µ" - n#$%")/8

�

!

�

F = mg(3n!"#$ - %µ$)/8

�

!

�

F = mg(3n - !"#)/8 > 0 δηλαδή στην περίπτωση αυτή οι δυνάµεις

�

! F και

�

! F ' έχουν την φορά που αρ

χικά θεωρήθηκε και αυτό σηµαίνει ότι η ράβδος καταπονείται εφελκυστικά. Στην περίπτωση που ο κύλινδρος ολίσθαίνει περιστρεφόµενος και ο κύβος ολισ θαίνει χωρίς να ανατρέπεται, τότε ο συνδυασµος των (9) και (11) δίνει:

�

mg!µ" - nmg#$%" - F = mg(!µ" - n#$%")

�

!

�

F = 0 δηλαδή στην περίπτωση αυτή η ράβδος βρίσκεται στην φυσική της κατάσταση και ουσιαστικά δεν επηρεάζει την κίνηση των δύο σωµάτων. Ενδιαφέρον παρου σιάζει να εξετασθεί η περίπτωση που οι συντελεστές τριβής ολίσθησης µεταξύ κυλίνδρου-κεκλιµένου επιπέδου και µεταξύ κύβου-κεκλιµένου επιπέδου είναι

διαφορετικοί. P.M. fysikos

Δύο τροχαλίες τ1 και τ2 της ίδιας ακτίνας και της ίδιας µάζας Μ, που θεωρείται συνγκεντρωµένη στην περιφέρειά τους, συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα, το οποίο έχει περιτυλιχθεί στο αυλάκι της τροχαλίας τ2, περιβάλλει το αυλακι της τ1 και το ελευθερο άκρο του συνδέται µε µικρό σώµα Σ µάζας m, όπως φαίνεται στο σχήµα (3). H τροχαλία τ1 µπορεί να στρέφεται χω ρίς τριβή περί τον γεωµετρικό της άξονα, ο οποίος είναι οριζόντιος και ακλόνητος, ενώ η τροχαλία τ2 µπορεί να στρέφεται επίσης περί τον γεωµετρικό της άξονα, ο οποίος όµως είναι ελεύθερος να µετατο πίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του σε κατακόρυφο επίπεδο. i) Nα δείξετε ότι, αν το σύστηµα αφήνεται ελευθερο από την ηρεµία είναι αδύνατον το κέντρο µάζας της τροχαλίας τ2 να ανέρχεται, ενώ το σώµα Σ µπορεί ή να ανέρχεται ή να κατέρχεται. ii) Eίναι δυνατόν το σώµα Σ να ακινητεί και ποια θα είναι τότε η επι τάχυνση του κέντρου µάζας της τροχαλίας τ2; Nα εκφράσετε στην πε ρίπτωση αυτή την κινητική ενέργεια της τροχαλίας τ2 σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Ας δεχθούµε ότι το σώµα Σ ανέρχεται µε επιτάχυνση

�

! a και το κέν

τρο µάζας C2 της τροχαλίας τ2 κατέρχεται µε επιτάχυνση

�

! a

2. Στο σώµα Σ ενερ

γεί το βάρος του

�

m! g και η τάση

�

! T του νήµατος που το συγκρατεί και συµ

φωνα µε τον δεύτερο νόµο κινήσης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

T - mg = ma

�

!

�

T = mg + ma (1) Eπί της τροχαλίας τ1 ενεργεί το βάρος της

�

M! g , η αντίδραση

�

!

A του σταθερού

άξονα περιστροφής της και οι τάσεις

�

! T

1,

�

! T

2 του νήµατος που περιβάλλει το αυ

λάκι της. Η τροχαλία αυτή εκτελεί γνήσια περιστροφή και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση:

�

T2R - T

1R = MR

2!'

1

�

!

�

T2- T

1= MR! '

1 (2)

όπου

�

! ! '

1 η γωνιακή επιτάχυνσή της της τροχαλίας. Eξάλλου επί της ελεύθερης

τροχαλίας τ2 ενεργεί το βάρος της

�

M! g και η τάση

�

! T ' του νήµατος που την

περιβάλλει. H τροχαλία αυτή εκτελεί σύνθετη κίνηση, η οποία αποτελείται από µια κατακόρυφη µεταφορική κίνηση και από µια στροφική κίνηση περί τον γεωµετρικό της άξονα. Eφαρµόζοντας για την στροφική κίνηση της τροχαλίας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε την σχέση:

�

T'R = MR2!'

2

�

!

�

T'= MR! '2 (3)

Aκόµη εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας τ2 τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, έχουµε:

�

Mg - T'= Ma2

�

!

(3)

�

Mg - MR! '2 = Ma2

�

!

�

R! '2 = g - a2 (4)

Σχήµα 3 Aν τώρα αναφερθούµε στα σηµεία Ν1 και Ν2 του νήµατος παρατηρούµε ότι έ χουν την ίδια επιτάχυνση που εκφράζει και την εφαπτοµενική επιτάχυνση των αντίστοιχων σηµείων των δύο τροχαλιών, δηλαδή ισχύει:

�

aN1

= aN2

�

!

�

R! '1= a

2- R! '

2

�

!

(4)

�

R! '1= a2 - g + a2

�

!

�

R! '1= 2a2 - g (5) Ακόµη η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου Ν της τροχαλίας τ1 είναι ίση µε την επιτάχυνση του σώµατος Σ, δηλαδή ισχύει:

�

R! '1= a

�

!

(5)

�

a = 2a2 - g (6) Eπειδή το νήµα είναι αβαρές ισχύει Τ=Τ1 και Τ’=Τ2, οπότε η σχέση (2) γράφεται:

�

T'-T = MR! '1

�

!

�

T'-T = Ma

�

!

(1),(3)

�

MR! '2 -mg - ma = Ma

�

!

(4)

�

M(g - a2) -mg - ma = Ma

�

!

�

(M - m)g = (M + m)a + Ma2 (7) Oι σχέσεις (6) και (7) αποτελούν ένα σύστηµα πρώτου βαθµού µε αγνώστους τα a και a2 από την λύση του οποίου παίρνουµε:

�

a2 =2Mg

3M + 2m (8)

και

�

a =(M - 2m)g

3M + 2m (9)

Από την (8) προκύπτει a2>0 και από την (9) a>0 αν M>2m και a<0 αν M<2m, που σηµαίνει ότι όποιες και αν είναι οι µάζες Μ και m η τροχαλία τ2 κατέρ χεται, ενώ για Μ>2m το σώµα Σ ανέρχεται, ενώ για Μ<2m το σώµα Σ κατέρ χεται. ii) Eάν θέλουµε το σώµα Σ να ακινητεί τότε θα πρέπει:

�

a = 0

�

!

(9)

�

(M - 2m)g

3M + 2m= 0

�

!

�

M = 2m

Στην περίπτωση αυτή η επιτάχυνση καθόδου του κέντρου µάζας της τροχαλίας τ2 θα είναι:

�

a2 =4mg

6m + 2m=

g

2 (10)

Η κινητική ενέργεια Κ2 της τροχαλίας τ2 ύστερα από χρόνο t αφότου το σύστη µα αφήνεται ελευθερο δίνεται από την σχέση:

�

K2

=Mv

2

2

2+

MR2!

2

2

2 (11)

Όµως και η µεταφορική και η στροφική κίνηση της τροχαλίας τ2 είναι οµαλά επιταχυνόµενη, οπότε το µέτρο της µεταφορικής της ταχύτητάς

�

! v

2 την χρονική

στιγµή t είναι a2t, το δε µέτρο της αντίστοιχης γωνιακής της ταχύτητας

�

! !

2

είναι ω’2t, οπότε η (11) γράφεται:

�

K2

=Ma

2

2t2

2+

MR2!'

2

2t2

2=

Ma2

2t2

2+

Ma2

2t2

2

�

!

(10)

�

K2 =Mg2t2

4

P.M. fysikos

Ένα ελαστικό και οµογενές σώµα σχήµατος ορθο γωνίου παραλληλεπιπέδου ύψους h και µάζας m, προσκρούει σε τρα χύ οριζόντιο έδαφος µε ταχύτητα

�

! v

0 και υπό γωνία προσπτώσεως φ.

Την στιγµή της κρούσεως η επαφή του σώµατος µε το έδαφος γίνεται µέσω της ευρύτερης έδρας του, που έχει µήκος α. i) Να βρείτε κάτω από ποιές συνθήκες θα αναστραφεί η ταχύτητα του σώµατος, αµέσως µετά την κρούση. ii) Πόση είναι η ώθηση της δύναµης που δέχεται το σώµα από το έδα φος κατά τον χρόνο επαφής του µε αυτό και πόση η κατακόρυφη ανύψωση του κέντρου µάζας του; Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύ

τητας και ο συντελεστής οριακής τριβής ns µεταξύ του σώµατος και του οριζόντιου επιπέδου.

ΛΥΣΗ: i) Yποθέτουµε ότι το σώµα κατά τον χρόνο συµπίεσής του και αποσυµπίεσής του ούτε ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδαφος αλλά ούτε και ανατρέπεται. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος του

�

! w και η πλάγια

αντίδραση του εδάφους, που αναλύεται στην τριβή

�

! T , αντίρροπη της οριζόν

τιας συνιστώσας

�

! v

x της ταχύτητας πρόσπτωσης

�

! v

0 και την κάθετη αντίδραση

�

! N . Η τριβή

�

! T είναι στατική και ενεργεί ως παραµορφωτική δύναµη επί του

σώµατος µε αποτέλεσµα η ελαστική του παραµόρφωση να µεταβάλλει το µέτρο της, το ίδιο δε ισχύει και για το µέτρο της

�

! N . Επειδή κατά τον χρόνο Δt της

επαφής του σώµατος µε το έδαφος αυτό δεν έχει περιστροφή περί το κέντρο µάζας του, ισχύει η σχέση:

�

T h /2 - N x = 0

�

!

�

x = T h /2N (1)

Σχήµα 4 Σχήµα 5 όπου

�

T ,

�

N οι µέσες τιµές των µέτρων των δυνάµεων

�

! T και

�

! N αντιστοίχως

για το χρονικό διάστηµα Δt. Αλλά η απόσταση x οφείλει να ικανοποιεί την σχέση x≤α/2, η οποία µε βάση την (1) γράφεται:

�

T h /2N ! " /2

�

!

�

T / N ! " /h (2) Αν απαιτήσουµε να αναστραφεί η ταχύτητα του σώµατος αµέσως µετά την κρούση του, πρέπει η ταχύτητα ανάκλασης του να είναι

�

-! v

0 µε οριζόντια συ

νιστώσα

�

-! v

0x και κατακόρυφη συνιστώσα

�

-! v 0y . Εφαρµόζοντας για το σώµα το

θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση και για τον χρόνο επαφής του Δt, παίρνουµε τις σχέσεις:

�

mv0x - (-mv0x) = T !t

mv0y - (-v0y) = N !t

"

#

$

�

!

�

2mv0x = T !t

2mv0y = N !t

"

#

$

�

!

(:)

�

T

N =

v0x

v0y

=v0!µ"

v0#$%"

�

!

�

T

N = !"# (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (4) παίρνουµε:

�

!"# $ % /h (4) Εξάλλου για τον συντελεστή οριακής τριβής ns µεταξύ σώµατος και οριζοντίου επιπέδου ισχύει:

�

T ! nsN

�

!

�

T

N ! n

s

�

!

(3)

�

!"# $ ns (5)

Οι σχέσεις (4) και (5) αποτελούν τις ζητούµενες συνθήκες. ii) Εάν

�

! ! είναι η ώθηση της δύναµης επαφής µεταξύ σώµατος και οριζόντιου

εδάφους κατά τον χρόνο Δt θα ισχύει συµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής η διανυσµατική σχέση:

�

-m! v

0- m! v

0=! !

�

!

�

! ! = -2m

! v

0

Σχήµα 6

δηλαδή η

�

! ! είναι αντιρροπή της

�

! v

0 και έχει µέτρο 2mv0. To σώµα από την

στιγµή που θα χάσει την επαφή του µε το οριζόντιο έδαφος θα εκτελέσει µέσα στο πεδίο βαρύτητας µεταφορική καµπυλόγραµµη κίνηση στην διάρκεια της οποίας το κέντρο µάζας του C θα διαγράφει παραβολική τροχια και όταν βρεθεί στην ανώτατη θέση της τροχιάς αυτής θα έχει ταχύτητα

�

-! v

0x και σύµφωνα µε

το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση:

�

mv0

2

2+ 0 = mghmax +

mv0x

2

2

�

!

�

v0

2

2= ghmax +

v0

2!µ

2"

2

�

!

�

hmax=v0

2 - v0

2!µ

2"

2g=

v0

2#$%

2"

2g

όπου hmax η ζητούµενη κατακόρυφη ανύψωση του κέντρου µάζας του σώµατος.

P.M. fysikos

Το δοκάρι του σχήµατος (7) έχει µάζα M και φέρει δύο κυλινδρικούς τροχούς µάζας

�

m! , οι οποίοι βρίσκονται σε συµµετ

ρικές θέσεις ως προς το κέντρο του δοκαριού. Μια λεπτή πλάκα µά

ζας m, πέφτει από ψηλά και συναντά το δοκάρι στο κέντρο του µε

ταχύτητα

�

! V , της οποίας ο φορέας βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο

που περιέχει τον επιµήκη άξονα του δοκαριού και σχηµατίζει µε την

οριζόντια διεύθυνση γωνία φ<π/2. Εάν η κρούση της πλάκας µε το

δοκάρι είναι πλαστική, να βρεθεί η τελική ταχύτητα που θα αποκτή

σει το δοκάρι. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n µεταξύ του εδάφους και τροχών και η ροπή αδράνειας Ι=

�

m!R2/2 κάθε τροχού ως

προς τον άξονα περιστροφής του.

ΛΥΣΗ: Διακρίνουµε δύο περιπτώσεις:

A! Oι τροχοί του δοκαριού στην διάρκεια της κρούσεως ολισθαίνουν

επί του εδάφους.

Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt→0) που διαρκεί η πλαστική κρούση της

πλάκας µε το δοκάρι οι κάθετες αντιδράσεις

�

! N

1,

�

! N

2 του εδάφους επί των τρο

χών του δοκαριού αποτελούν κρουστικές δυνάµεις, µε αποτέλεσµα οι τριβές ολίσθησης

�

! T

1,

�

! T

2 που δέχονται οι τροχοί να µην είναι πεπερασµένες, που σηµαί

νει ότι οι ωθήσεις τους κατά τον χρόνο Δt δεν είναι αµελητέες. Έτσι η ορµή

του συστήµατος δοκάρι-πλάκα κατά την οριζόντια διεύθυνση x µεταβάλλεται

στην διάρκεια του χρόνου Δt και σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής θα

ισχύει:

�

m!"

V#

- mVx = -(T1 + T2)$t

�

!

�

m!"

V#

- mVx = -(nN1 + nN2)$t (1)

Σχήµα 7

όπου mολ η µάζα του συστήµατος (mολ=Μ+m+2mρ),

�

! V

x η οριζόντια συνιστώσα

της ταχύτητας προσπτώσεως

�

! V της πλάκας και

�

! V

! η κοινή ταχύτητα του συσ

σωµατώµατος δοκάριι-πλάκα αµέσως µετά την κρούση. Εφαρµόζοντας το ίδιο

θεώρηµα για το σύστηµα κατά την κατακόρυφη διεύθυνση y παίρνουµε την σχέ

ση:

�

m!"

0 - mVy = (-N1 - N2 + m!"

g)#t

�

!

�

mVy ! (N1 + N2)"t (2)

όπου

�

! V y η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας

�

! V , ενώ η ώθηση

�

m!"

! g #t του

συνολικού βάρους του συστήµατος θεωρήθηκε αµελήτέα ως προς την ώθηση των κρουστικών δυνάµεων

�

! N

1,

�

! N

2. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχου

µε:

�

m!"

V#

- mVx = -nmVy

�

!

�

m!"

V#

= mVx - nmVy

�

!

�

V!

= m(Vx - nVy)/m"# (3)

Εξάλλου κατά τον χρόνο Δt οι τροχοί του δοκαριού περιστρέφονται περί τους

άξονές τους υπό την επίδραση των αντίστοιχων ροπών των τριβών και σύµφω

να µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

T1R = m!R

2" '1/2

T2R = m!R

2" '2/2

#

$ %

& %

�

!

�

T1

= m!R" '1/2

T2

= m!R" '2/2

#

$

%

(4)

όπου

�

! ! '

1,

�

! ! '

2 οι γωνιακές επιταχύνσεις των δύο τροχών. Επειδή η θέση στην

οποία συµβαίνει η κρούση είναι το κέντρο συµµετριας του συστήµατος µπορούµε να ισχυριστούµε ότι κατά τον χρόνο Δt οι κάθετες αντιδράσεις

�

! N

1,

�

! N

2 είναι ίσες µεταξύ τους, οπότε Τ1=Τ2 και λόγω των (4) θα είναι και

ω’1=ω’2=ω’. Έτσι θα έχουµε:

�

T1+ T

2= m!R" '

�

!

�

n(N1 + N2) = m!R" '

�

!

(2)

�

nmVy /!t = m"R# '

�

!

�

nmVy= m!R" '#t

�

!

�

nmVy= m!R" #

�

!

�

R! "= nmVy/m# (5)

όπου

�

! ! ' η µέση κοινή γωνιακή επιτάχυνση των τροχών για τον χρόνο Δt και

�

! !

" η κοινή γωνιακή ταχύτητά τους αµέσως µετά την κρούση. Διακρίνουµε

τώρα τις παρακάτω υποπεριπτώσεις:

A1) Aµέσως µετά την κρούση οι τροχοί κυλίονται χωρίς ολίσθηση

Tότε θα ισχύει Rωκ=Vκ, η οποία µε βάση τις (3) και (5) δίνει:

�

nmVy/m! = m(Vx - nVy)/m"#

�

!

�

m!" /m# = (Vx - nVy)/nVy

�

!

�

m!"

m#

=V$%&'

nV(µ'-nV(µ'

nV(µ'

�

!

�

M + m + 2m!

m!

="#$

n- 1

�

!

�

M + m

m!

="#$

n- 3 µε

�

!"# > 3n (6)

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι σχέσεις (6) αποτελούν την αναγκαία συνθή

κη, ώστε αµέσως µετά την κρούση οι τροχοί να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση στο

οριζόντιο έδαφος. Τότε η ζητούµενη µεταφορική ταχύτητα του συστήµατος θα

έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση (3), δηλαδή θα ισχύει:

�

V! =m

m"#

V$%&' - nV(µ'( )

�

!

�

V! =m "#$% - n&µ%( )V

M + m + 2m'

(7)

A2) Aµέσως µετά την κρούση οι τροχοί εξακολουθούν να ολισθαίνουν

επί του εδάφους.

Τότε θα είναι ωκR>Vκ ή ωκR<Vκ, οπότε θα παρέλθει ένα χρονικό διάστηµα t*

(που µπορεί να υπολογιστεί) για να αρχίσει η κύλιση χωρίς ολίσθηση των

τροχών. Κατά το χρονικό αυτό διάστηµα οι τριβές θα είναι τριβές ολισθήσεως µε µέτρα nN’1, nN’2, όπου

�

! N '

1,

�

! N '

2 οι νέες κάθετες αντιδράσεις των τροχών,

που όµως τώρα δεν αποτελούν κρουστικές δυνάµεις, αλλά δυνάµεις που τα

µέτρα τους ικανοποιούν την σχέση:

Σχήµα 8

�

N'1 +N'2 = (M + m + 2m! )g = m"#g (8)

Eφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα ώθησης-στροφορµής περί το κέντρο

µάζας του και για τον χρόνο t* παίρνουµε την σχέση:

�

(T1h + T2h)t* + (N'1 ! - N'2 !)t* = 2m"R

2

2

#

$ %

&

' ( ) *- 2

m"R2

2

#

$ %

&

' ( ) *

�

!

�

n(N'1 +N'2 )ht* + (N'1 -N'2 )!t* = m"R2(# * -# $ )

�

!

�

! * -! "=t*

m#R2

(N'1 + N'2 )nh + (N'1 -N'2 )$[ ]

�

!

�

! *= ! "+t*

m#R2

(N'1 + N'2 )nh + (N'1 -N'2 )$[ ] (9)

όπου

�

! !

* η τελική γωνιακή των τροχών, α η απόσταση των κέντρων των τρο

χών από την κατακόρυφη που διέρχεται από το κέντρο µάζας του συστήµατος

και h η απόσταση του κέντρου µάζας από το έδαφος. Όµως πάλι ισχύει ότι:

�

N'1= N'

2

�

!

(8)

�

N'1 = N'2 = m!"

g/2

οπότε η σχέση (9) παίρνει την µορφή:

�

! * = ! " +m#$gt*nh

m%R2

�

!

(5)

�

! * =nmVy

Rm"

+m#$gt*h

m"R2

�

!

�

! *R=nmV"µ#

m$

+m%&gt*nh

m$R

�

!

�

V * =n

m!RmVR"µ# + m$%gt*h( ) (10)

όπου

�

! V

* η ζητούµενη τελική µεταφορική ταχύτητα των τροχών, δηλαδή η

τελική ταχύτητα του δοκαριού.

Β! Oι τροχοί του δοκαριού στην διάρκεια της κρούσεως κυλίονται

χωρίς ολίσθηση επί του εδάφους.

Στην περίπτωση αυτή κατά τον χρόνο Δt οι τριβές

�

! T

1,

�

! T

2 θα είναι στατικές οι

δε κάθετες αντιδράσεις

�

! N

1,

�

! N

2 θα αποτελούν πάλι κρουστικές δυνάµεις µε

αποτέλεσµα να µεταβάλλεται κατά την οριζόντια διεύθυνση x η ορµή του συ

στήµατος δοκάρι-πλάκα και σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής θα ισχύει:

�

m!"

V#

- mVx = -(T1 + T2)$t (11)

όπου

�

! V

! η κοινή ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση.

Εφαρµόζοντας το ίδιο θεώρηµα για το σύστηµα κατά την κατακόρυφη διεύθυν

ση y παίρνουµε την σχέση:

�

m!"

0 - mVy = (-N1 - N2 + m!"

g)#t

�

!

�

mVy ! (N1 + N2)"t (12)

όπου η ώθηση

�

m!"

! g #t του συνολικού βάρους του συστήµατος θεωρήθηκε

αµελήτέα ως προς την ώθηση των κρουστικών δυνάµεων

�

! N

1,

�

! N

2. Εξάλλου

κατά τον χρόνο Δt οι τροχοί του δοκαριού περιστρέφονται περί τους άξονές

τους υπό την επίδραση των αντίστοιχων ροπών των τριβών και σύµφωνα µε

τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

T1R = m!R

2" '1/2

T2R = m!R

2" '2/2

#

$ %

& %

�

!

�

T1

= m!R" '1/2

T2

= m!R" '2/2

#

$

%

(13)

όπου

�

! ! '

1,

�

! ! '

2 οι γωνιακές επιταχύνσεις των δύο τροχών. Όµως λόγω της κύ

λισης θα ισχύει ω’1=ω’2=a, όπου

�

! a η επιτάχυνση των αξόνων των δύο τροχών,

οπότε οι σχέσεις (13) δίνουν:

�

T1

= m!a/2

T2

= m!a/2

"

#

$

�

!

(+ )

�

T1+ T

2= m!a (14)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (11) και (14) παίρνουµε:

�

m!"V# - mVx

= -m$a%t

�

!

�

m!"V# - mVx

= -m$V#

�

!

�

(m!" + m# )V$ = mVx

�

!

�

V! =mV"#$%

m&' + m(

�

!

�

V! =mV"#$%

M + m + 3m&

(15)

Εξάλλου επειδή οι τριβές είναι στατικές µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

T1 + T2 ! n(N1 + N2)

�

!

(12),(14)

�

m!a " nmVy /#t

�

!

�

m!a"t # nmV$µ%

�

!

�

m!V" # nmV$µ%

�

!

(15)

�

mm!V"#$%

M + m + 3m!

& nmV'µ%

�

!

�

!"#$

%µ$&

n(M + m + 3m' )

m'

�

!

�

!"#

n$

M + m + 3m%

m%

�

!

�

M + m

m!

"#$%

n- 3 (16)

H σχέση (16) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη, ώστε αµέσως κατά την κρούση οι

τροχοί να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση στο οριζόντιο έδαφος. Είναι προφανές ότι

και µετά την κρούση οι τροχοί θα εξακολουθήσουν να κυλίωνται επί του εδά

φους µε τις τριβές να έχουν µηδενιστεί.

P.M. fysikos

Κοίλος κύλινδρος µάζας m, ακτίνας r και ύψους L µπορεί να κινείται πάνω σε δύο λείες και αµελητέας ωµικής αντίστασης µεταλλικές ράβδους, που είναι παράλληλες και στερεωµέ νες µε το επίπεδό τους να σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο επίπεδο. Oι ράβδοι έχουν αρκετά µεγάλο µήκος και στο κάτω άκρο τους είναι συνδεδεµένες µε αντιστάτη, ωµικής αντίστασης R. Η παρά πλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου είναι από µονωτικό υλικό και έχουν κολληθεί πάνω της λεπτές και στενές πρισµατικές χάλκινες λωρίδες αµελητέας αντίστασης, παράλληλες προς τον άξονά του που είναι ηλεκτρικά µονωµένες µεταξύ τους, τα δε διάκενά τους είναι ασή µαντα. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος µε τον άξονά του οριζόντιο και κάθε το στις ράβδους και καθώς κινείται πάνω σ΄ αυτές µία χάλκινη λωρί δα είναι πάντα σε επαφή µε αυτές, ώστε να δηµιουργείται κλειστό κύκλωµα. Το όλο σύστηµα βρίσκεται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης

�

! B , κάθετο στο επίπεδο των ράβδων.

i) Να δείξετε ότι κάθε χρονική στιγµή t το µέτρο της ταχύτητας

�

! v του

άξονα του κυλίνδρου και το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστρο φής του

�

! ! περί τον άξονα αυτόν, ικανοποιούν την σχέση:

�

v + r! = gt"µ# ii) Nα δείξετε, ότι ο κύλινδρος δεν µπορεί να κυλίεται πάνω στις µεταλλικές ράβδους. iii) Να υπολογίσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την ένταση του ρεύ µατος στον αντιστάτη. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mr2 του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του και η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Όταν ο κυλινδρος αφήνεται ελεύθερος πάνω στις µεταλλικές ράβ δους αποκτά µεταφορική κίνηση µε ταχύτητα κάθετη στον άξονά του και λόγω αυτής της κίνησης δηµιουργείται κατά µήκος κάθε χάλκινης λωρίδας της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύ ναµη. Εστιάζοντας κάθε φορά στην λωρίδα επαφής ΜΝ µε τις µεταλλικές ράβδους, παρατηρούµε ότι αυτή µετέχει σε κλειστό κύκλωµα µε αποτέλεσµα να προ πύπτει σ’ αυτό επαγωγικό ρεύµα. Έτσι η λωρίδα αυτή δέχεται από το µαγνητι κό πεδίο δύναµη Laplace

�

! F

L, µε φορέα που εφάπτεται του κυλίνδρου και φορά

που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού (σχ. 10). Η δύναµη αυτή παρουσιάζει ροπή περί τον άξονα του κυλίνδρου µε αποτέλεσµα να προκύψει

Σχήµα 9 Σχήµα 10 για τον κύλινδρο δεξιόστροφη περιστροφική κίνηση, που σηµαίνει ότι η όλη κίνηση του κυλίνδρου είναι µια επίπεδη κίνηση που συνίσταται από µια ευθύγ ραµµη µεταφορική κίνηση και µια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του. Εάν

�

! v είναι η µεταφορική ταχύτητα του κυλίνδρου κατά µια τυχαία χρονική

στιγµή t και

�

! ! η αντίστοιχη γωνιακή του ταχύτητα, τότε το µέτρο της αντί

στοιχης ταχύτητας

�

! v

! της λωρίδας επαφης ΜΝ είναι ίσο µε v-ωr. H αντίστοι

χη επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη που είναι εντοπισµένη πάνω στην λωρί δα ΜΝ έχει την πολικότητα που φαίνεται στο σχήµα (9), η δε τιµή της δίνεται από την σχέση:

�

E!"

= BLv!

= BL(v -#r) (1) H ένταση του επαγωγικού ρεύµατος την χρονική στιγµή t είναι:

�

I!"

= E!"

/R

�

!

(1)

�

I!"

= BL(v -#r)/R (2) Tο µέτρο της αντίστοιχης δύναµης Laplace είναι:

�

FL= BLI

!"

�

!

(2)

�

FL = B2L2(v -!r)/R (3 Eξάλλου ο κύλινδρος στην διάρκεια της κινήσεώς του εκτός από την δύναµη Laplace δέχεται το βάρος του

�

! w , το οποίο αναλύεται στην παράλληλη προς τις

ράβδους συνιστώσα

�

! w

1 και την κάθετη προς αυτές συνιστώσα

�

! w

2 και τέλος

την αντίδραση

�

! N των ράβδων, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο

µάζας του κυλίνδρου (σχ. 10). Εφαρµόζοντας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα για την µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου παίρνουµε την σχέση:

�

w1- F

L= ma

C

�

!

(3)

�

mg!µ" -B2L2

R(v -#r) = m

dv

dt

�

!

�

dv

dt+

B2L2

mR(v -!r) = g"µ# (4)

όπου η

�

! a

C επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου την χρονική στιγµή t

που τον εξετάζουµε. Ακόµη εφαρµόζοντας για την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε:

�

FLr= mr

2!'

�

!

(3)

�

B2L

2

R(v -!r)= mr

d!

dt

�

!

�

rd!

dt=

B2L

2

mR(v -!r)

�

!

�

d(!r)

dt-B

2L

2

mR(v -!r) = 0 (5)

όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου την χρονική στιγµή t. Συνδυά

ζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:

�

dv

dt+

d(!r)

dt= g"µ#

�

!

�

dv + d(r!) = g"µ#dt

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε:

�

v + r! = gt"µ#+ C (6) Eπειδή για t=0 είναι v=0 και ω=0, η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική και η (6) γράφεται:

�

v + r! = gt"µ# (7) ii) Aφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:

�

dv

dt-d(!r)

dt+

2B2L2

mR(v -!r) = g"µ#

�

!

�

d(v -!r)

dt+

2B2L2

mR(v -!r) = g"µ#

�

!

�

dv!

dt+"v! = g#µ$ (8)

όπου τέθηκε α=2Β2L2/mR. H (8) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξί σωση πρώτου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής:

�

[v! (t)]1 = g"µ# /$ (9)

H αντίστοιχη οµογενής εξίσωση της (8) δέχεται λύση της µορφής:

�

[v!(t)]2 = Ke

-"t (10)

όπου Κ σταθερά ολοκλήρωσης που θα καθορισθεί από τις αρχικές συνθήκες κινήσεως του κυλίνδρου. Η γενική λύση της (8) έχει την µορφή:

�

v!(t) = [v

!(t)]1 + [v

!(t)]2

�

!

(9),(10)

�

v! (t) = g"µ# /$ + Ke-$t (11)

Όµως για t=0 είναι vε(0)=0, οπότε η (11) δίνει:

�

0 = g!µ" /# + K

�

!

�

K = -g!µ" /# και η (11) γράφεται:

�

v! (t) =g"µ#

$-g"µ#

$e-$t

�

!

�

v! (t) =g"µ#

$1 - e-$t( )

�

!

�

v -!r =g"µ#

$1- e-$t( ) (12)

Aπό την(12) προκύπτει ότι η ποσότητα v-ωr δεν µπορεί να µηδενιστεί, που σηµαίνει ότι δεν υπάρχει χρονική στιγµή µετά από την οποία αρχίζει η χωρίς ολίσθηση κύλιση του κυλίνδρου. iii) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (12) παίρνουµε:

�

I!" =BL

R

g#µ$

%1- e-%t( )

�

!

�

I!" =gm#µ$

2BL1- e-%t( ) (13)

Παρατηρούµε από την (13) ότι η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος στον αντι στάτη αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο, από την µηδενική τιµή στην τιµή mgηµφ/2ΒL την οποία λαµβάνει ασυµπτωτικά. Παρατήρηση Α! Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (7) και (12) παίρνουµε:

�

2v =g!µ"

#1 - e-#t( ) + gt!µ"

�

!

�

v =g!µ"

2#1+#t - e-#t( ) (14)

Όµως για τον εκθετικό όρο e-αx ισχύει:

�

e-!t

= 1 -!t

1!+!

2t2

2!-!

3t3

3!+ ...

οπότε η σχέση (14) γράφεται:

�

v =g!µ"2#

1+#t - 1+#t

1!-# 2t2

2!+# 3t3

3!- ...

$

% &

'

( )

�

!

�

v =g!µ"2#

2#t

1!-# 2t2

2!+# 3t3

3!- ...

$

% &

'

( ) (15)

Eάν η τιµή της ποσότητας α είναι πολύ µικρή, (λόγου χάρη το µαγνητικό πεδίο είναι εξαιρετικά ασθενές), µπορούµε στην σχέση (15) να παραλείψουµε τους όρους στους οποίους η ποσότητα αt είναι υψωµένη σε δύναµη µεγαλύτερη ή ίση του δύο, οπότε η (15) παίρνει την προσεγγιστική µορφή:

�

v !gt"µ#

$=

mR"µ#2B2L2

%

& '

(

) * t

δηλαδή στην περίπτωση αυτή η µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου είναι περίπου οµαλά επιταχυνόµενη µε επιτάχυνση µέτρου mRηµφ/2Β2L2. Χρησι µοποιώντας τις σχέσεις (12) και (14) καταλήγουµε σε ανάλογη παρατήρηση για την γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής κίνησης του κυλίνδρου. Παρατήρηση Β! Εάν το µαγνητικό πεδίο απουσιάζει (Β=0), τότε θα είναι α=0 και θα έχουµε:

�

v = lim!"0

g#µ$2!

1+!t - e-!t( )%

& '

(

) *

και λόγω του κανόνα L’ Hospital θα είναι:

�

v =g!µ"

2

lim#$0

[d(1+#t - e-#t)/d#]

lim#$0

(d# /d#)=g!µ"

2

lim#$0

(t + te-#t )

1=gt!µ"

η οποία συνδυαζόµενη µε την (7) δίνει ω=0. Δηλαδή απουσία µαγνητικού πεδίου ο κύλινδρος δεν περιστρέφεται, αλλά µόνο µεταφέρεται µε επιτάχυση µέτρου gηµφ.

P.M. fysikos

Oµογενής ράβδος AΓ µάζας m και µήκους L, µπο ρεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της A και είναι κάθετος στην ράβδο. H ράβδος ισορροπεί σε ορι ζόντια θέση µε την βοήθεια ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα (11). Κάποια στιγµή εξασκείται στο κέντρο µάζας C της ράβδου δύναµη

�

! P , της οποίας ο φορέας ανήκει στο κατα

κόρυφο επίπεδο που διέρχεται από την ράβδο, σχήµατιζει µε αυτήν γωνία φ και έχει φορά προς τα κάτω. Εάν το µέτρο της

�

! P είναι ίσο µε

3mg, όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να βρείτε:

i) την επιτάχυνση του άκρου Γ της ράβδου, αµέσως µετά την εφαρ µογή της δύναµης

�

! P και

ii) την οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που εξασκεί στην ράβδο ο άξονας περιστροφής της, αµέσως µετά την εφαρ µογή της δύναµης

�

! P . Δίνεται η ροπή αδράνειας IΑ=mL2/3 της ράβδου

ως προς τον άξονα περιστροφής της. ΛΥΣΗ: i) Πριν εφαρµοσθεί η δύναµη

�

! P η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση

υπό την επίδραση του βάρους της

�

! w =m

! g , της δύναµης

�

! F

0 από το τεντωµένο

ελατήριο και της δύναµης επαφής

�

! R

0 µε τον άξονα περιστροφής της (σχ. 11).

Λόγω της ισορροπίας της ράβδου η συνισταµένη των ροπών των τριών αυτών δυνάµεων, περί το άκρο Α της ράβδου, είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

-F0L+ mgL/2 + R00 = 0

�

!

�

F0 = mg/2 (1)

Σχήµα 11 Σχήµα 12 Με την δράση της δύναµης

�

! P η ράβδος αποκτά περιστροφική κίνηση περί το

άκρο της Α και την χρονική στιγµή t=0, δηλαδή αµέσως µετά την δράση της

�

! P

η γωνιακή της επιτάχυνση

�

! ! ', συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής

κίνησης, ικανοποιεί την σχέση:

�

!" (A) = IA#'

�

!

�

-F0L+ mgL

2+ Py

L

2=

mL2

3!'

�

!

(1)

�

-mg

2+

mg

2+

P

2!µ" =

mL

3#'

�

!

�

3mg

2!µ" =

mL

3# '

�

!

�

!'=9g"µ#

2L (2)

Εξάλλου την χρονική στιγµή t=0 η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι µηδε νική, που σηµαίνει ότι η γραµµική ταχύτητα όλων των σηµείων της την στιγµή αυτή είναι µηδενική. Άρα η αντίστοιχη κεντροµόλος επιτάχυνση του άκρου Γ είναι µηδενική, δηλαδή το άκρο Γ έχει µόνο επιτρόχιο επιτάχυνση την στιγµή t=0, της οποίας το µέτρο δίνεται από την σχέση:

�

a!

= "'L

�

!

(2)

�

a! =9g"µ#

2LL =

9g"µ#

2 (3)

ii) Eξετάζοντας την χρονική στιγµή t=0 την κίνηση του κέντρου µάζας C της ράβδου παρατηρούµε ότι η συνισταµένη των δυνάµεων

�

! R

x και

�

! P

x που ενερ

γούν κατα την διεύθυνση της ράβδου ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη για το κέντρο µάζας και επειδή την στιγµή αυτή η ταχύτητα του C είναι µηδενική, ισχύει η σχέση:

�

-Px+ R

x= 0

�

!

�

Rx =Px = 3mg!"#$ (4) όπου

�

! R

x η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης που δέχεται η ράβδος από τον

άξονα περιστροφής την χρονική στιµή t=0. Eξάλλου την ίδια στιγµή η συνιστα µένη των δυνάµεων που ενεργούν κάθετα προς την ράβδο αποτελεί επιτρόχιο δύναµη για το κέντρο µάζας της, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

-Ry - F0+ Py+ mg = maC

�

!

(1)

�

-Ry -mg

2+ 3mg!µ" + mg =

mL

2#'

�

!

(2)

�

-Ry + 3mg!µ" +mg

2=

9mgL!µ"

4L

�

!

�

Ry =mg

43!µ" + 2( ) (5)

όπου

�

! a

C η αντίστοιχη επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου µάζας και

�

! R y η αντί

στοιχη κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που δέχεται η ράβδος από τον άξο να περιστροφής της.

P.M. fysikos

Ένα µεταλλικό στεφάνι µάζας Μ, ισορροπεί µε το επίπεδό του κατακόρυφο εφαπτόµενο σε λείο οριζόντιο δάπεδο και σε δύο λείους κατακόρυφους τοίχους, οι οποίοι είναι αντικρυστοί, όπως φαίνεται στο σχήµα (13). Η επαφή του στεφανιού µε τον δεξιό τοίχο συµβαίνει στο πάνω άκρο του τοίχου, που απέχει από το δάπεδο από σταση ίση προς την ακτίνα R του στεφανιού. Ένας µικρός δακτύλιος µάζας m διαπερνά το στεφάνι και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος αυτού. Αρχικά ο δακτύλιος βρίσκεται στο ανώτατο ση

µείο Α0 του στεφανιού και το σύστηµα ισορροπεί. Δίνουµε µια ελαφρά οριζόντια ώθηση στον δακτύλιο, ώστε να τεθεί σε κίνηση. i) Να βρεθεί η µικρότερη δυνατή τιµή του λόγου m/M για την οποία επίκειται η ανύψωση του στεφανιού πάνω από το οριζόντιο δάπεδο. ii) Πόση είναι η διαφορά των δυνάµεων µε τις οποίες καταπονούνται οι δύο τοίχοι από το στεφάνι, την στιγµή που επίκειται η ανύψωσή του; ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το σύτηµα στεφάνι-δακτύλιος κατά µια τυχαία στιγµή, που η επιβατική ακτίνα του δακτυλίου ως προς το κέντρο Κ του στεφανιού σχήµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ και δεχόµαστε ότι την στιγ µή αυτή το στεφάνι ισορροπεί. Οι δυνάµεις που δέχεται το στεφάνι είναι το βάρος του

�

M! g , η δύναµη επαφής

�

! N

1 από τον αριστερό τοίχο, της οποίας ο φορέ

Σχήµα 13

ας είναι οριζόντιος και διέρχεται από το κέντρο Κ, η κατακόρυφη δύναµη επα φής

�

! N από το λείο οριζόντιο δάπεδο της οποίας ο φορέας διέρχεται από το Κ, η

ορίζόντια δύναµη επαφής

�

! N

2 από τον δεξιό τοίχο και η δύναµη επαφής

�

! F από

τον δακτύλιο, των οποίων οι φορείς επίσης διέρχονται από το κέντρο Κ. διότι οι επαφές αυτές είναι χωρίς τριβή. Λόγω της ισορροπίας του στεφανιού η συνι σταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

Mg - N - Fy = 0

�

!

�

Mg - N - F!"#$ = 0 (1) Εξάλλου ο δακτύλιος δέχεται το βάρος του

�

! w και την δύναµή επαφής

�

! F ' από

το στεφάνι, η οποία είναι αντίθετη της

�

! F , σύµφωνα µε το αξίωµα δράσης-

αντίδρασης και ως εκ τούτου έχει ακτινική διεύθυνση µε φορά προς το κέντρο Κ. Η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων που δέχεται ο δακτύλιος την στιγ µή αυτή ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη και εποµένως ισχύει:

�

F'+ w'= mv2/R

�

!

�

F'+ w!"#$ = mv2/R

�

!

�

F'= mv2/R - mg!"#$

�

!

�

F= m(v2/R - g!"#$) (2) όπου

�

! v η ταχύτητα του δακτυλίου την στιγµή που τον εξετάζουµε. Όµως η

µηχανική ενέργεια του δακτυλίου διατηρείται στην διάρκεια της κίνησής του και το γεγονός αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

0 + 0 = -mg(R - R!"#$) + mv2/2

�

!

�

v2 = 2gR(1- !"#$) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

F= m[2g(1- !"#$) - g!"#$]

�

!

�

F= mg(2 - 3!"#$) (4) Η (1) λόγω της (4) γράφεται:

�

Mg - N - mg(2 - 3!"#$)!"#$ = 0 (5) Όταν επίκειται η ανύψωση του δάκτυλίου, αυτός ισορροπεί οριακά και ισχύει Ν=0, οπότε την στιγµή αυτή η (5) παίρνει την µορφή:

�

Mg - mg(2 - 3!"#$ *)!"#$ * = 0

�

!

�

M - 2m!"#$*+ 3m!"#

2$

*= 0

�

!

�

3!"#2$ * - 2!"#$ * + M/m = 0 (6)

όπου φ* η αντίστοιχη τιµή της γωνίας φ. Η (3) αποτελεί µια εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς συνφ* και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές για να είναι αποδεκτή η γωνία φ* , δηλαδή πρέπει η διακρίνουσα της να είναι µη αρνητική που σηµαίνει ότι πρέπει να ισχύει η σχέση:

�

4 - 12M/m ! 0

�

!

�

m/M ! 1/3

�

!

�

(m/M)min = 1/3 ii) Tην στιγµή που ανυψώνεται ο δακτύλιος η συνισταµένη των οριζόντιων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

N1- N

2+ F

x= 0

�

!

�

N2- N

1= F!µ"

*

�

!

(4)

�

N2 - N1 = mg(2 - 3!"#$ *)%µ$ *

�

!

�

N2 - N1 = mg(2 - 3!"#$ *) 1 - !"#2$ *

Όµως το συνφ* αποτελεί την διπλή ρίζα της (6), δηλαδή ισχύει συνφ*=1/3 οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

N2 - N1 = mg(2 - 1) 1 - 1/9

�

!

�

N2 - N1 = mg 8 /3 P.M.Fysikos

Δύο σφαίρες της ίδιας ακτίνας R και του ίδιου βά ρους

�

! w ισορροπούν εφαπτόµενες εξωτερικά µεταξύ τους, ενώ εφάπ

τονται εσωτερικά µιας κοίλης σφαιρικής επιφάνειας κέντρου Ο και ακτίνας 4R, η οποία είναι ακλόνητη (σχ. 14). Οι δύο σφαίρες συγκρα τούνται ώστε η διάκεντρος της µιας και της σφαιρικής επιφάνειας να είναι κατακόρυφη, ενώ η διάκεντρος της άλλης µε την σφαιρική επι φάνεια να σχηµατίζει γωνία 2φ µε την πρώτη διάκεντρο. i) Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής σε όλες τις επαφές είναι ίδιος, να βρεθούν οι τιµές του για τις οποίες το σύστηµα ισορροπεί όταν αφεθεί ελεύθερο. ii) Να βρεθούν οι αντιδράσεις στα σηµεία επαφής των σφαιρών µε την κοίλη επιφάνεια, όταν η γωνία φ επιβάλλει έναρξη ολίσθησης των σφαιρών. ΛΥΣΗ: i) Υποθέτουµε ότι η γωνία φ έχει τέτοια τιµή, ώστε το σύστηµα των δύο σφαιρών να ισορροπεί οριακά όταν η διάκεντρος ΟΚ1 είναι κατακόρυφη. Τότε επίκειται η ολίσθηση των δύο σφαιρών επί της κοίλης σφαιρικής επιφά νειας και το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι οι φορείς των δυνάµεων

�

! F

1 και

�

! F

2 που

δέχονται οι σφαίρες από την κοίλη επιφάνεια σχηµατίζουν µε τις αντίστοιχες διακέντρους ΟΚ1 και ΟΚ2 γωνία ίση µε την γωνία τριβής θ των σφαιρών και της επιφάνειας αυτής. Εξάλλου το σύστηµα στη θέση αυτή δέχεται τα βάρη

�

! w

των δύο σφαιρών, των οποίων η συνισταµένη

�

2! w έχει κατακόρυφο φορέα που

διέρχεται από το µέσο Μ της διακέντρου Κ1Κ2 των σφαιρών. Όµως πρέπει οι

Σχήµα 14 Σχήµα 15 φορείς των δυνάµεων

�

! F

1,

�

! F

2 και

�

2! w να διέρχονται από το ίδιο σηµείο, το οποίο

στην περίπτωσή µας είναι το Μ. Αυτό εξηγείται ως εξής. Επειδή οι φορείς των δυνάµεων

�

! F

1,

�

! F

2 έχουν την ίδια κλίση ως προς τις ίσες πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου

ΟΑ1Α2, τέµνονται επί της διχοτόµου της γωνίας Κ1ΟΚ2. Αλλά από το σηµείο τοµής τους πρέπει να διέρχεται και ο φορέας της

�

2! w και αυτό είναι δυνατόν

µόνο όταν το σηµείο αυτό είναι το Μ, αφού ο φορέας της

�

2! w διέρχεται από το

σηµείο αυτό. Εξάλλου για την γωνία x που εµφανίζεται στο σχήµα (14) ισχύουν οι σχέσεις:

�

x = 2!

x = "/2 - #

$

%

&

�

!

�

2! = "/2 - #

�

!

�

! ="

4-#

2

�

!

�

!"# = !"$4

-%2

&

' (

)

* +

�

!

�

n = !"#4

-$2

%

& '

(

) * (1)

όπου n ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ των σφαιρών και της κοίλης επι φάνειας. Αν εποµένως ισχύει η σχέση:

�

n > !"#4

-$2

%

& '

(

) *

το σύστηµα θα ισορροπεί µε την διάκετρο ΟΚ1 κατακόρυφη. Ακόµη από το ισοσκελές τρίγωνο Α1Κ1Μ προκύπτει η σχέση: A1M = 2Rσυνθ (2) ενώ από το ορθογώνιο τρίγωνο Κ1ΜΟ προκύπτει η σχέση:

�

OM = (3R)2- R

2= 8R

2= 2R 2 (3)

Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

A1M

OM=!"#$

2

< 1

�

!

�

A1M < OM δηλαδή

�

! > "

�

!

�

!"# > !$$

�

!

�

n > !"" (4) Oι σχέσεις (1) και (4) δεσµέυουν τις τιµές του συντελεστή n, ώστε το σύστηµα να ισορροπεί υπό τις συνθήκες που θέτει το πρόβληµα. ii) Τα µέτρα των δυνάµεων

�

! F

1 και

�

! F

2, όταν το σύστηµα βρίσκεται σε οριακή

ισορροπία, ικανοποιούν τις σχέσεις:

�

F1

!µ [" - (2# +$)]=

F2

!µ (" - $)=

2w

!µ2(# +$)

�

!

�

F1 =2w!µ [" - (2# +$)]

!µ2(# +$)=

2w!µ (2# +$)

!µ 2(# +$)

και

�

F2 =2w!µ (" - #)

!µ2($ +#)=

2w!µ#

!µ2($ +#) µε εφθ = n

P.M. fysikos

Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι είναι αρθρωµέ νες κατά το ένα ακρο τους, ενώ τα ελεύθερα άκρα τους εφάπτονται λείου οριζόντιου δαπέδου το δε επίπεδό τους κρατείται κατακόρυφο, ώστε η άρθρωση Ο των ράβδων να βρίσκεται σε ύψος h από το δάπε δο. Κάποια στιγµή το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο και οι άκρες των ράβδων ολισθαίνουν πάνω στο δάπεδο, ενώ το επίπεδό τους παραµέ νει κατακόρυφο. Να βρεθεί η ταχύτητα του κοινού άκρου Ο των ράβδων την στιγµή που αυτές φθάνουν στο έδαφος. Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας µιας λεπτής ράβδου

µήκους L και µάζας m, περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C και είναι κάθετος στην ράβδο, δίνεται από την σχέση ΙC=mL2/12. ΛΥΣΗ: Μπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι ράβδοι έχουν συµµετρική κίνηση ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση που διέρχεται από το κοινό τους άκρο Ο, δηλα δή οι ταχύτητες δύο σηµείων Μ1 και Μ2 των ράβδων που είναι συµµετρικά ως προς την κατακόρυφη αυτήν, έχουν ταχύτητες των οποίων τα διανύσµατα είναι επίσης συµµετρικά ως προς την κατακόρυφη. Αυτό σηµαίναι ότι οι µεν οριζόν τιες συνιστώσες

�

! v

1x και

�

! v

2x των ταχυτήτων αυτών είναι αντίθετες, ενώ οι κα

Σχήµα 16 τακόρυφες συνιστώσες τους

�

! v 1y και

�

! v 2y είναι ίσες (σχ. 16). Αν η ιδιότητα αυτή

εφαρµοσθεί για το κοινό σηµείο Ο των δύο ράβδων, θα καταλήξουµε στο συµπέ ρασµα ότι για το σηµείο αυτό ισχύει

�

! v

1x=! v

2x=! 0 , που σηµαίνει ότι η ταχύτητα

�

! v

του Ο είναι κάθε στιγµή κατακόρυφη µε φορά προς τα κάτω. Εστιάζοντας την προσοχή µας στην επίπεδη κίνηση της µιας ράβδου (λογουχάρη της ΟΑ) παρατηρούµε ότι η κίνηση αυτή µπορεί κάθε στιγµή t να θεωρηθεί ως καθαρώς στροφική κίνηση περί το αντίστοιχο στιγµιαίο κέντρο περίστροφής Κ1, που προκύπτει ως τοµή των καθέτων ευθειών στις διευθύνσεις των ταχυτήτων των άκρων Ο και Α της ράβδου στα σηµεία αυτά (σχ. 17). Εάν

�

! ! είναι η γωνιακή τα

χύτητα της ράβδου κατά την στιγµή t, τότε το µέτρο της αντίστοιχης ταχύτη τας

�

! v του σηµείου Ο θα δίνεται από την σχέση:

�

v = ! (OK1) = ! L2 - y2 (1) όπου y η αντίστοιχη απόσταση του Ο από το οριζόντιο δάπεδο. Tην ίδια στιγµή

t η κινητική ένεργεια Κ(ΟΑ) της ράβδου είναι:

�

K(OA) = IK1!

2 /2 (2) Όµως, σύµφωνα µε το θεώρηµα Steiner η ροπή αδράνειας

�

IK1

της ράβδου περί το στιγµιαίο κέντρο Κ1 περιστροφής της είναι:

�

IK1= IC1

+ m(C1K1)2 = mL2/12 + mL2/4 = mL2/3

οπότε η (2) γράφεται:

�

K(OA) = mL2!

2 /6 (3)

Σχήµα 17 Eφαρµόζοντας το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για το σύστη µα των δύο ράβδων και για τον χρόνο t, παίρνουµε την σχέση:

�

0 + 2mg(h/2) = 2K(OA) + 2U(OA)

�

!

�

mgh = 2mL2!

2 /6+ 2mgy/2

�

!

�

gh = L2!

2 /3+ gy

�

!

�

L2!

2= 3g(h - y)

�

!

�

! = 3g(h - y/L (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (4) παίρνουµε:

�

v = [ 3g(h - y)/L] L2 - y2 = 3g(h - y) L2 - y2 /L (5) Εφαρµόζοντας την (5) την στιγµή t* που το Ο φθάνει στο δάπεδο (y=0) παίρνου µε:

�

v* = 3ghL2 /L = 3gh (6) όπου

�

! v

* η ζητούµενη ταχύτητα.

P.M. fysikos