ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ ГЛАДКОЇ ПОВЕРХНІ І «ЧОБІТ ШВАРЦА».

Приклади у математиці бувають двох типів – ілюстративні та контрприклади. Одні показують, чому деяке твердження має сенс, а інші, навпаки, - чому воно сенсу позбавлене.

Ось контрприклад хибного результату, отриманого неперевіреними міркування за аналогією. Назагал аналогії є корисними і досить часто використовуються в процесі математичних міркувань. Згадаємо хоча б доведення методом математичної індукції, у якому припущення завжди висувають за аналогією.

Класичним прикладом помилки спричиненої неперевіреною аналогією є визначення площі гладкої поверхні як границі площ вписаних многогранників, коли площа кожної грані та максимальна відстань від поверхні точок многогранника прямують до нуля. Такий підхід до визначення площі поверхні слідує міркуванням при визначені довжини дуги гладкої кривої, як границі довжин вписаних у криву ламаних, кількість ланок яких прямує до нескінченності так, що максимальна довжина ланки є нескінченно малою величиною.

У 1890 році німецький математик Г. Шварц показав, що подібне визначення площі криволінійної поверхні (прямого кругового циліндра скінченного радіуса та висоти) призводить до абсурдного висновку (приклад Шварца, або "чобіт Шварца").

Розглянемо прямий круговий циліндр висотою h і радіусом основи r . Його розгорткою є прямокутник зі сторонами h і r2 і, отже, площа бічної поверхні rhS 2 .

Впишемо у заданий циліндр многогранник. Розділимо бічну поверхню колами на m однакових поясів і впишемо в кожне коло, а також в кола обох основ циліндра правильні n кутники. Вершини многокутника, належні першому, третьому і т.д. усім непарним колам (нумерація кіл знизу вверх), розмістимо на n паралельних твірних, котрі ділять бічну поверхню циліндра на n однакових частин. Вершини належні другому, четвертому і т.д. усім парним колам теж розмістимо на n паралельних твірних, котрі ділять бічну поверхню на n однакових частин, так, що всі твірні, проведені через вершини многокутників ділитимуть поверхню циліндра на n2 однакових частин. Кінці кожної сторони многокутника, вписаного в перше коло, з’єднаємо з вершинами на другому колі

так, аби в результаті отримати n рівнобедрених трикутників. з основою n

r

sin2 . У такий

же спосіб з’єднаємо кінці кожної сторони многокутника, вписаного у друге коло з вершинами многокутника, вписаного у перше. І, таким чином, отримаємо n2 -гранник вписаний циліндричний пояс, утворений сусідними колами. Так само впишемо многогранники в кожен пояс і отримаємо вписаний в циліндр mn2 -гранник, кожна грань якого є

рівнобедреним трикутником з основою

nr

sin2 . Один з трикутників АВС наведено на

рис.1, точка О – центр кола нижньої основи. Знайдемо площу цього трикутника:

nrOM

cos ,

nrMC

sin ,

nrrKM

cos .

Оскільки висота пояса дорівнює m

h, то висоту

трикутника знаходимо за теоремою Піфагора:

Рис. 1.

nr

m

h

nr

m

h

2sin4cos1 42

22

2

2

.

Площа одної грані n

rm

h

nr

2sin4sin 24

2

, а вписаного многогранника -

2

4242

2

2sin4sin2

2sin4sin2

mr

h

nnnmr

nr

m

h

nmnrS

. Максимальна

відстань точки поверхні многогранника від поверхні циліндра дорівнює довжині відрізка

nrrKM

cos .

Легко переконатися, що при необмеженому збільшенні кількості граней і необмеженому зближенні точок многогранника до поверхні циліндра площа

многогранника границі не має:

mnSlim не існує.

Часткові границі для певних співвідношень чисел n та m можуть набувати

довільних значень від rh2 до . Для прикладу покладемо nm , 2nm та 3nm .

Якщо nm , то

rhmr

h

mmrmS

2

2sin4sin2

2

422

.

Якщо 2nm , то 2

242

2

2

423

42

2sin4sin2

r

hr

rn

h

nnrnS

,

а коли 3nm , то .2

sin4sin22

3

424

rn

h

nnrnS

Уведемо тепер поняття площі поверхні, що описується рівнянням Dyxyxfz ),(),,( , D – обмежена область в кожній точці якої функція ),( yxf має

перші частинні похідні. Таку поверхню називають гладкою – у кожні її точці існує дотична до поверхні площина. Розіб’ємо задану поверхню S довільними лініями на k

частин ,,...,, 21 nSSS . Тоді на k частин ,,...,, 21 nDDD виявиться розділеною також

область D . Нехай - максимальний діаметр областей ),1( niDi . На кожній ділянці

поверхні iS довільно виберемо точку ii SM і проведемо в цій точці дотичну площину

)( i . Ортогонально спроектуємо ділянку поверхні iS на площину )( i і позначимо

через i площу отриманої проекції. Очевидно, що коли k так, що 0 , то усі

i також прямують до нуля. Можна довести, що у цьому випадку незалежно від способу

розбиття поверхні S на ділянки та незалежно від способу вибору точок iM у цих

ділянках існує границя

k

ii

10

lim

,

яка дорівнює

dxdyy

f

x

f

D

22

1

і приймається за площу гладкої поверхні, описаної явним рівнянням. Якщо S є кадрованою частиною площини )( остання формула дає сподіваний результат:

D

dxdy

cos,

де - величина кута між площиною )( та горизонтальною координатною площиною.

В. Кривень.