Артеменко С.Н. - Электронные свойства твердых тел

Кафедра твердотельной электроники и радиофизики МФТИКурс лекций для студентов IV курса ФФКЭ

"Электронные свойства твердых тел"

профессор С.Н.Артеменко

Текст лекций был набран в 2000 — 2001 гг. усилиями студентов ФФКЭ:

1. Деменцова Александра2. Иванова Михаила3. Чугурова Анатолия4. Труфанова Андрея5. Дронова Александра6. Файзулина Романа7. Коломейченко Игоря8. Малышева Дмитрия

2007 г.

Глава 1

Основные методы и приближения дляописания электронных состояний в твердомтеле.

1.1 Адиабатическое приближение.

Твердое тело — сложная многочастичная система, состоящая из ядер и электронов. Его можно представитьсебе как совокупность сблизившихся атомов так что электронные волновые функции стали перекрываться.При этом электроны внешних оболочек перестают быть локализованными около своего атома.

Многочастичное уравнение движения нельзя точно решить как в квантовой механике, так и в клас-сической. Поэтому применяют приближения.

Первое приближение, которое мы изучим, позволяет отделить движение электронов от движения ядер.Это приближение называется адиабатическим. Оно основано на том, что масса электронов m ¿ M , массыионов (m/M ∼ 10−4 ÷ 10−5).

Мы не будем учитывать релятивистские и спиновые эффекты (парамагнитный и ядерный спиновыeрезонансы и т.д.). Тогда надо решить уравнение Шредингера:

HΨ = EΨ; Ψ (R, r) (1.1)

H = − ~2

2m

∑

i

O2i −

∑

J

~2O2J

2MJ+

12

∑

i6=k

e2

rik+

12

∑

J 6=K

ZJZKe2

RJK−

∑

J,i

ZJe2

riJ,

rik = |ri − rk| RJK = |RJ −RK | riJ = |ri −RJ |, (1.2)

где m — масса электрона, M - масса иона, Z - заряд иона. Адиабатическое приближение состоит в том,что мы рассматриваем сначала движение электронов, считая ядра в силу m ¿ M неподвижными. Тогдав (1.2) можно пренебречь кинетической энергией ядер (2 слагаемое в гамильтониане H ):

[− ~

2

2m

∑

i

O2i + V (r,R)

]Ψ = εΨ, (1.3)

где R является параметром, который входит в Ψ и в ε →, Ψ (R, r) , ε(R). Полную волновую функциюищем в виде

Ψ(r, R) = Φ(R)Ψ(r,R) (1.4)

1

Глава 1. Основные методы и приближения для описания электронных состояний в твердом теле.

Подставив (1.4) в (1.1), используя (1.2) и (1.3), получим

−~2

2

∑

J

1MJ

[ΨO2

JΦ + 2(OJΨOJΦ) + ΦO2JΨ

]+ εΦΨ = EΨΦ. (1.5)

Используя условие нормировки∫

d3r |Ψ(r, R)|2 = 1 и OJ

∫d3r |Ψ(r, R)|2 = 2

∫d3rΨOJΨ = 0 (Ψ всегда

можно выбрать вещественной), умножим (1.5) на Ψ и проинтегрируем по всем r. Получим

−~2

2

∑

J

1MJ

O2JΦ +

ε(R)− ~

2

2

∑

J

1MJ

∫d3rΨO2

JΨ

︸︷︷︸

Φ = EΦ (1.6)

Второе слагаемое в [ ] мало, и в адиабатическом приближениии отбрасывается. Оценим его в двух про-тивоположных случаях, полагая, что его величина ограничена полученными при оценке предельнымизначениями. Если электроны почти свободны, их волновая функция почти не зависит от R и O2

JΨ → 0.В худшем случае, когда электроны жестко связаны со своими ионами Ψ(ri, RJ ) = Ψ(ri −RJ )

12MJ

∫d3rΨO2

JΨ =mi

MJ

∫d3rΨ

O2i

2miΨ

︸︷︷︸=

mi

MJεel. (1.7)

Т.е. слагаемое неадиабатичности можно отбросить по параметру m/M . Итак, из (1.7) получим[−~

2

2

∑

J

O2J

MJ+ ε(R)

]Φ = EΦ (1.8)

Таким образом, получим уравнение для волновых функций ядер, движущихся в потенциале ε(R), создан-ном только ядрами. Т.е. приближение по m/M оказалось замкнутым. ε включает в себя энергию элек-тронной системы при заданных координатах ядер R и кулоновскую энергию ядер. Таким образом, вадиабатическом приближении в силу m/M ¿ 1 движение электронов определяется мгновенным положениемионов, тогда как на медленное движение ионов влияет усредненное распределение электронов и поэтомузадача разбивается на 2 этапа: 1) решение уравнений (1.3) для электронов; 2) затем – уравнения (1.8) дляядер.

1.2 Приближение самосогласованного поля, метод Хартри-Фока.

Задача после адиабатического приближения все равно остается многочастичной, а электронные переменныев уравненииШредингера не разделяются. Приближение самосогласованного поля состоит в предположении,что каждый электрон "чувствует"некоторое среднее поле, созданное всеми остальными электронами, тоесть в замене многоэлектронного взаимодействия эффективным самосогласованным полем Ueff . Это полеследует вычислить при помощи самосогласованной процедуры.

Таким образом система взаимодействующих электронов сводится к системе невзаимодействующихчастиц, находящихся в эффективном поле Ueff , а гамильтониан системы распадается на сумму одно-электронных гамильтонианов. В результате уравнение Шредингера имеет решения в виде произведенияодноэлектронных функций. Но для вычисления этих одноэлектронных функций надо знать Ueff , которыйсам зависит от электронных волновых функций ψi(n), где для краткости буквой n обозначена совокупностькоординат rn и спинов электрона номер n. Потенциал Ueff находят с помощью самосогласованной про-цедуры.

H =N∑

i=1

Hi, Hi = − ~2

2miO2

i + V (ri) + Ueff (ri), (1.9)

2


где V (ri) — потенциальная энергия в поле ядер.Согласно принципу Паули, волновую функцию нельзя брать в виде произведения функций ψi(n), так

как такое произведение не обладает свойством менять знак на противоположный при перестановке двухчастиц. В качестве решения следует брать антисимметризованную линейную комбинацию произведенийв виде определителя Слетера

Ψ(r1, . . . , rN ) =1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣

ψ1(1) ψ1(2) . . . ψ1(N)ψ2(1) ψ2(2) . . . ψ2(N). . . . . . . . . . . .ψN (1) ψN (2) . . . ψN (N)

∣∣∣∣∣∣∣∣, (1.10)

где снова 1 = r1, s1, ψ — одночастичная функция.Мы будем искать ψi(n) и Ueff вариационным методом, согласно которому решение уравнения Шре-

дингера можно найти с помощью минимизации выражения для энергии системы. Вычислим энергиюсистемы с помощью (1.10) и исходного гамильтониана

ε = 〈Ψ|H|Ψ〉 =N∑

i=1

∑s1

∫ψ∗i (1)

[− ~2

2m1O2

r1+ V (r1)

]ψi(1)d3r1 +

12

N∑

i,j=1

∑s1,s2

∫d3r1d3r2|ψi(1)|2 e2

r12|ψj(2)|2−

−12

N∑

i,j=1

∑s1,s2

∫d3r1d3r2ψ∗i (1)ψj(1)

e2

r12ψi(2)ψ∗j (2). (1.11)

Здесь использовано условие ортогональности функций ψi. Во второе слагаемое дадут вклад только

электроны с параллельными спинами. Это видно из того, что e2

r12не зависит от спина, а ψi = ψnν(s)

и при суммировании по спину∑s↑,↓

ν∗i (s)νj(s) = δij

(ν1(1

2) = 1, ν1(−12) = 0; ν2(1

2) = 0, ν2(−12) = 1

). В этом

можно убедиться и другим способом, перемножив волновые функции, представленные в виде спиноров

ψn

(10

), ψn

(01

).

Первый интеграл в (1.11) — кулоновский — описывает кулоновскую энергию взаимодействия распре-делений зарядов с плотностями |ψi|2 и |ψj |2. Второй — обменный — не имеет аналогии в классическомпределе, он возникает из-за принципа Паули. Наилучшими приближениями для ψi являются те, чтодают минимум ε при выполнения условий ортогональности

∫δψi(r)ψj(r)d3r = 0. Для того, чтобы найти

условный экстремум проварьируем по ψi функционал ε +∑i

εi

∫δψi(r)ψj(r)d3r, где εi — неопределенные

множители Лагранжа (то есть сделаем замену ψi → ψi +δψi и линеаризуем функционал по δψi). Получим

− ~

2

2mO2

r + V (r) +∑

j

′∫

e2ψ∗j (r′)ψj(r

′)

|r − r′ | d3r

′

ψi(r)−

∑

j

′ψj(r)

∫e2ψ∗j (r

′)ψi(r

′)

|r − r′ | d3r

′= εiψi(r)

(1.12)

(1.12) и есть уравнение самосогласованного поля с

Ueff =∑

j

′∫

e2|ψj(r′)|2

|r − r′ | d3r

′ −∑

j

′ ψj(r)ψi(r)

∫e2ψ∗j (r

′)ψi(r

′)

|r − r′ | d3r

′. (1.13)

Видно, что εi имеет смысл одноэлектронной энергии. Причем полная энергия не является суммой энергийεi, соответствующих одночастичным состояниям. Видно также, что Ueff само зависит от ψj(r), поэтому

3


найти его — непростая задача. Обычно пользуются приближениями, чаще всего теорией возмущений.Надо помнить, что самосогласованное поле — это приближение, существуют также вклады от корреляций(корреляционная энергия). Приближение самосогласованного поля, называемое также приближениемХартри-Фока, хорошо работает в приближении плотного газа, когда кулоновская энергия не доминируетнад кинетической.

Можно показать, что кулоновская энергия ECoul ∼ 1rs

Ry, где rs = r0a0

— безразмерное расстояниемежду электронами, измеренное в единицах a0 (a0 — боровский радиус a0 = ~2/me2 = 5.29× 10−9 cm, r0

— среднее расстояние между электронами, которое находится из условия 1/n = 43πr3

0, n — концентрацияэлектронов, Ry = me4

2~2 ' 13.5 эВ — Ридберг), а кинетическая энергия Ekin ∼ 1r2sRy . Это видно из

структуры соответствующих членов, так как кулоновская энергия содержит в знаменателе расстояниемежду частицами, а кинетическая энергия — вторую производную по координатам.(Еще имеется энергиянулевых колебаний 1

r3/2s

Ry ).

При малых rs (плотный электронный газ) кинетическая энергия больше, а при достаточно большихrs (разреженный газ) кинетическая энергия становится пренебрежимо малой. Вигнер показал, что в этомслучае электроны располагаются упорядоченным образом — в Вигнеровский кристалл (такой кристаллбыл впервые обнаружен в разреженном двумерном электронном газе на поверхности жидкого гелия).

В реальных металлах типичное значение rs составляет несколько единиц, то есть приближение само-согласованного поля применимо качественно, но не количественно, то есть корреляционные поправки немалы.

Какой характер носит движение электрона в приближении Хартри-Фока? Электрон окружен облакомдругих электронов, при этом электроны с тем же спином из-за принципа Паули будут стремиться уйти сего пути (образуется "обменная дырка"вокруг каждого электрона). Такие "модифицированные"электроныназываются квазичастицами.

Нормальными возбуждениями в системе взаимодействующих частиц являются квазичастицы, волновыефункции которых представляют собой суперпозицию волновых функций многих электронов. Свойстваквазичастиц описываются с помощью теории ферми-жидкости Ландау. Энергия квазичастиц может иметьмнимую часть (это означает конечное время жизни возбуждений). Как следует из теории ферми-жидкостиЛандау, квазичастицы хорошо определены (затухание мало) в металле только вблизи энергии Ферми.Квазичастицы обладают многими свойствами обычных частиц.

1.3 Волновая функция электрона в периодическом поле.

Обсудим общие свойства одноэлектронной волновой функции, вытекающие из того, что потенциал вуравнении Шредингера является периодической функцией координат.

HΨ(r) = εΨ(r), H = − ~2

2mO2 + V (r). (1.14)

Гамильтониан H инвариантен относительно сдвига решетки на период решетки: V (r) = V (r + an)), an

— любой вектор решетки . Заменим в (1.14) r на r + an, получим, что ψ(r + an) удовлетворяет тому жеуравнению, что и ψ(r). Если ψ(r) — невырожденное состояние, то

ψ(r + an) = c(an)ψ(r) (1.15)

В силу условия нормировки∫ |ψ(r)|2d3r и (1.15), ψ(r) может отличаться от периодической функции

только фазовым множителем

ψ(r) = eiϕ(r)u(r); c(an) = ei[ϕ(r+an)−ϕ(r)] (1.16)

4


Так как ψ(r + an + am) = c(an + am)ψ(r), но с другой стороны

ψ(r + an + am) = c(an) (c(an)ψ(r)) , (1.17)

из (1.16) и (1.17) следует

ei[ϕ(r+an+am)−ϕ(r)] = c(an + am) = c(an)c(am) = ei[ϕ(r+an)+ϕ(r+am)−2ϕ(r)].

Отсюда видно, что ϕ(r) — линейная функция: ϕ = ~kr. Величина ~k является квантовым числом, котороеназывается квазиимпульс. Таким образом волновая функция электрона в периодическом поле имеет вид

ψk(r) = eikruk(r). (1.18)

Соотношение (1.18) называется теоремой Блоха. Теорема Блоха доказывается и для вырожденных состояний,при этом вместо (1.15-1.16) следует иметь дело с линейными суперпозициями волновых функций длясостояний с одинаковой энергией.

5

Глава 2

Спектр электронов в твердом теле, зоннаяструктура.

2.1 Спектр электронов в твердом теле.

Итак, мы показали, что волновая функция одноэлектронного состояния имеет вид

ψmk(r) = eikrumk(r); k =p

~, (2.1)

где p — квазиимпульс, m — другие квантовые числа (номер зоны), umk(r) — периодическая функциякоординат r с периодом кристаллической решетки. Из (2.1) следует, что электрон в кристалле не обладаетопределенным импульсом. Действительно, состояние с заданным импульсом описывается плоской волнойexp(ikr), а (2.1) может быть разложено в ряд Фурье

ψmk(r) = eikr∑

n

uGneiGnr =∑

n

uGnei(k + Gn)r, (2.2)

где uGn — коэффициенты разложения unk(r) в трехмерный ряд Фурье. Формулу (2.2) можно проиллю-стрировать на примере одномерного пространства

ψnk(x) = eikx∑

n

uGneiGnx,

где Gn = 2πa n, a — период вдоль оси x для простого кубического кристалла. В трехмерном пространстве

Gn = 2π ( nx

ax,

ny

ay, nz

az) , ai — периоды по осям x, y, z. ВекторыGn называются векторами обратной решетки.

Их множество образует множество точек, называемых узлами обратной решетки.Итак, согласно (2.2), блоховский электрон является суперпозицией состояний с импульсами, отлича-

ющимися на величину векторов обратной решетки Gn.Для произвольного кристалла с набором основных векторов прямой решетки (a1, a2, a3), обратную

решетку образуют вектора b1 = 2π[a2,a3]

(a1[a2,a3]); остальные вектора получаются циклической перестановкой

bi = 2π[ai+1,ai−1]

(ai[ai+1,ai−1]). Построение обратной решетки рассматривалось в прошлогоднем курсе по физике

твердого тела. В частности, было показано, что для объемноцентрированной кубической решетки обратнаярешетка являлась кубической гранецентрированной.

Из (2.2) также видно, что значения k, отличающиеся на один из векторов обратной решетки Gn,описывают ту же самую волновую функцию. Поэтому вектор k достаточно выбрать в пределах одной

6

Глава 2. Спектр электронов в твердом теле, зонная структура.

Рис. 2.1: Простой пример ячейки Вигнера-Зейца

элементарной ячейки обратной решетки. Чаще всего выбирают элементарную ячейку в виде ячейкиВигнера-Зейтца. Ячейка Вигнера-Зейтца (ЯВЗ) — это область пространства, лежащая к данной точкеобратной решетки ближе, чем к какой-либо другой точке решетки.

Чтобы построить ЯВЗ, необходимо соединить один узел со всеми соседними и провести перпендику-лярные прямые через середины прямых, соединяющих узлы. Область, ограниченная перпендикулярамии есть ЯВЗ. ЯВЗ обладает симметрией решетки. ЯВЗ для обратной решетки называют первой зонойБриллюэна (из чего следует, что аналогичным образом можно определить вторую, третью и следующиезоны Бриллюэна). В задачах квантовой механики часто использовались периодические граничные условияБорна-Кармана для волновых функций свободного электрона — плоских волн. Эти периодические условиячасто используются и для функций Блоха. Если число элементарных ячеек в кристалле N = NxNyNz

(где Ni — число ячеек по оси i), то из условий Борна-Кармана следует

ψnk(r + Niai) = eiNikiaiψnk(r).

Таким образом eiNikiai = 1 и допустимыми значениями k являются

k =

mi

Ni

2π

ai

.

Так как разница между соседними значениями k мала, порядка 1/Ni, суммирование по k можнозаменить интегрированием ∑

k

→ V

∫d3k

(2π)3.

2.2 Модель почти свободных электронов.

Изучим, какой вид имеет энергетический спектр электронов и его основные свойства на примере простейшихмоделей.

Рассмотрим электроны в слабом периодическом потенциале V (r), который можно учитывать по теориивозмущений.

В отсутствии взаимодействия, когда электрон свободен, его энергия и волновая функция имеют вид

ε0(k) =~2k2

2m, ψ(r) = eikr. (2.3)

7


Отметим, что ψ(r) в (2.3) может рассматриваться как удовлетворяющая теореме Блоха с u(r) = 1).По теории возмущений, по потенциалу V (r) спектр описывается в виде

ε(k) = ε0(k) + 〈k|V |k〉+∑

k′

′ |〈k|V |k′〉|2ε0k− ε0

k′

= ε0(k) + V0 +∑

G 6=0

|VG|2ε0k− ε0

k+G

, (2.4)

где мы учли, что 〈k′ |V |k〉 =∫

V (r)ei(k − k′)rd3r =

∫ ∑G

VGei(G + k − k′)rd3r 6= 0 только, если k − k

′

равен одному из векторов обратной решетки.Из (2.4) видно, что даже при самом малом потенциале V поправка второго порядка расходится при

ε0k = ε0

k − G, т.е. при |k| = |k − G|. Поэтому надо использовать теорию возмущений для вырожденныхсостояний. Ищем волновую функцию в виде

Ψk = akeikr + ak − Gei(k − G)r. (2.5)

Подставим (2.5) в уравнение Шредингера[−~

2O2

2m+ V (r)

]Ψk = ε(k)Ψk,

умножим уравнение Шредингера сначала на e−ikr, а потом на e−i(k − G)r и проинтегрируем. Получимдва уравнения на коэффициенты a:

[ε0(k)− ε(k)

]ak + VGak − G = 0

V−Gak +[ε0(k − G)− ε(k)

]ak − G = 0

(2.6)

Решение существует, когда определитель (2.6) равен нулю.

ε(k) =12

[ε0(k) + ε0(k − G)

]± 12

√[ε0(k) + ε0(k − G)]2 + 4|VG|2 (2.7)

На рис. 2.2. представлен спектр для 1D случая. При малых VG вдали от границы зоны Бриллюэна ε(k) ≈ε0(k), а возле границы, вследствие брэгговского отражения, возникает запрещенная зона (энергетическаящель) шириной 2VG. Энергетическая щель возникает на границе всех зон Бриллюэна. Можно ограничитьсяописанием спектра только в пределах первой зоны Бриллюэна, сместив куски, отвечающие следующимзонам, на соответствующий вектор обратной решетки (см. рис.2.2).

2.3 Приближение сильной связи.

Приближение сильной связи(tight-binding approximation) применимо к случаям, когда перекрытие атомныхволновых функций в кристалле достаточно мало, то есть когда вблизи атома волновая функция электронав кристалле мало отличается от атомной (применимо для многих диэлектриков и частично заполненныхd- оболочек переходных металлов).

Итак, пусть связанные электронные состояния атома в начале координат описываются уравнениемШредингера:

HatΨn(r) = EnΨn(r), где Hat = − 12m

∇2 +∑

n

Uat(r). (2.8)

8


Рис. 2.2: Электронный спектр в приближении слабой связи для 1D случая

Полный гамильтониан уравненияШредингера, описывающего электронные состояния кристалла, отличаетсяот атомного

H = Hat(r)+ M U(r) ≈ − 12m

∇2 +∑

R

Uat(r −R), HΨ = εΨ, (2.9)

где M U(r) является разницей между потенциалом атома и периодическим потенциалом кристалла, а знакпримерного равенства используется потому, что в M U(r) кроме потенциалов других атомов входят такжепоправки, связанные с изменением потенциала при сближении атомов, например, вследствие деформацииэлектронных оболочек и других причин. Величина M U(r) мала в области локализации Ψn из (2.8), а там,где потенциал M U(r) велик, малы Ψn, поэтому его матричные элементы на Ψn, локализованных наразных атомах, малы. Используя эти обстоятельства, можно построить теорию возмущений.

В пренебрежении перекрытиями волновых функций спектр состоит из N -кратно вырожденных уровнейс волновыми функциями Ψn(r −R), где N — число атомов в кристалле.

Действуя в духе теории возмущений, для вырожденных состояний функции нулевого приближенияследует искать в виде линейных комбинаций атомных функций:

Ψ(0)nk (r) =

∑

R

eikRΨn(r − R) (2.10)

Функций (2.10) всего N штук (по числу допустимых значений k), причем функция вида (2.10) удовлетворяетусловию Блоха:

Ψnk(R + r) = eikRΨnk(r),

поскольку

Ψnk(r + R) =∑

R′eikR

′Ψn(r + R

′ −R) =∑

R

eikReikRΨn(r − R) = eikRΨnk(r),

9


где R = R′ − R Вообще говоря, любую блоховскую функцию можно представить в виде, похожем на

(2.10), а именно

Ψnk(r) =∑

R

eikRϕn(r − R) (2.11)

Эта формула соответствует разложению функции от R в трехмерный ряд Фурье по k, где ϕn(r − R)являются коэффициентами разложения, которые можно найти по обычной формуле обращения:

ϕn(r − R) =1V0

∫e−ikRΨnk(r)

d3k

(2π)3=

1V0

∫eik(r − R)unk(r)

d3k

(2π)3, (2.12)

где V0 - объем первой зоны Бриллюэна в k-пространстве. Функции ϕn(r) называются функциями Ваннье.Непосредственным интегрированием можно показать, что функции Ваннье ортонормированы (и, следовательно,образуют полную систему функций)

∫ϕ∗n(r − R)ϕm(r − R

′)d3r = δnmδRR

′ .

Функции Ваннье локализованы. Это видно из (2.12), так как при больших |r−R| последний интегралсодержит быстро осциллирующую функцию от k и поэтому мал. Из формулы (2.10) следует, что в нулевомприближении по взаимодействию между атомами функция Ваннье совпадает с атомной функцией.

Приступим теперь к решению уравнения Шредингера. Естественно, его решение надо искать в форме,которая сохраняет общий вид решения (2.11)

Ψ(r) =∑

R

eikRφ(r − R). (2.13)

При этом нам надо будет найти функцию φn, которую мы будем искать в виде ряда по атомным функциям:

φ(r) =∑m

bmΨm(r) (2.14)

Умножим теперь уравнение (2.9) на Ψ∗n(r), проинтегрируем по всем r и используем то обстоятельство,

что∫

Ψ∗n(r)HatΨ(r)d3r =

∫ [HatΨn(r)

]∗Ψ(r)d3r = En

∫Ψ∗

n(r)Ψ(r)d3r.

Получим

(ε(k)− En)∫

Ψ∗n(r)Ψ(r)d3r =

∫Ψ∗

n(r) M U(r)Ψ(r)d3r (2.15)

Подставив (2.13) и (2.14) в (2.15) и используя ортонормированность атомных волновых функций

〈m|n〉 = δmn,

приходим к задаче на собственные значения

(ε(k)− En) bn = − (ε(k)− En)∑m

∑

R 6=0

∫Ψ∗

n(r)Ψm(r − R)eikRd3r

bm+

10


+∑m

(∫Ψ∗

n(r) M U(r)Ψm(r)eikRd3r

)bm+

+∑m

∑

R 6=0

∫Ψ∗

m(r) M U(r)Ψm(r − R)eikRd3r

bm (2.16)

Видно, что первый и третий интегралы в правой части (2.16) малы, т.к. содержат интегралы, содержащиеволновые функции, относящиеся к разным атомам. Второй интеграл мал, т.к. содержит потенциал MU(r), который не мал только в той части пространства, где малы Ψn(r). Таким образом левая часть(ε(k)− En) bn всегда мала. То есть мало либо ε(k)−En, либо bn. Иными словами, если энергия εk близкак энергиям атомного уровня En, то bn может быть не мало. Если ε(k) − En велико, то соответствующееbn можно выбросить за малостью. Итак, выбросим bm с m 6= n. Это соответствует тому, что в методесильной связи функция Ваннье заменяется атомной функцией.

В случае, если имеется несколько вырожденных уровней или уровней с близкой энергии, наша задачасвелась бы к системе уравнений. Мы для простоты ограничимся случаем, когда имется единственныйневырожденный атомный уровень. В этом случае получим довольно простую формулу для энергии

εn(k) = En −

∑R 6=0

γ(R)eikR + β

1 +∑

R 6=0

α(R)eikR(2.17)

β = −∫

d3r M U(r)|Ψn(r)|2; γ(R) =∫

d3rΨ∗n(r) M U(r)Ψn(r − R);

α(R) =∫

d3rΨ∗n(r)Ψn(r − R).

Взяв в (2.17) R, относящиеся к ближайшим соседям, получим результат в приближении сильной связи.Например, пренебрегая малыми поправками с α, получим

ε(k) = En − β −∑

ближ.соседиγ(R) cos kR (2.18)

Спектр ε(k) в (2.18) зависит от структуры кристалла. Например, для простой кубической решетки, суммав (2.18) включает 6 атомов

ε(k) = En − β − 2γ (cosx a + cosy a + cosz a) (2.19)

В объемно-центрированной кубической решетке, суммируя вклады от всех ближайших соседей, мы получимиз (2.18)

ε(k) = En − β − 8γ coskxa

2cos

kya

2cos

kza

2(2.20)

Обратим внимание на то, что спектр ε(k) обладает той же симметрией, что и сам кристалл. Например,если кристалл обладает центром симметрии, то выполняется соотношение εs(−k) = εs(k). Как видно из(2.18), а также из приближения слабой связи (2.7), закон дисперсии имеет нулевой наклон ∂ε/∂k вблизиграницы зоны Бриллюэна. Это является общим правилом, не зависящим от приближения, и следует изтого, что состояния, отличающиеся по импульсу на вектор обратной решетки, эквивалентны.

Вывод из двух противоположных подходов к вычислению спектра одинаков:

11


— в приближении сильной связи, при сближении атомов, атомные уровни расщепляются в разрешенныеэнергетические зоны;

— в приближении слабой связи появляются запрещенные зоны энергии, разделяющие разрешенныезоны.

Таким образом спектр имеет зонный характер: чередуются запрещенные зоны энергии и разрешенныезоны энергии с законом дисперсии ε(k). Отличия спектров в двух рассмотренных предельных случаяхявляются не качественными, а всего лишь количественными: при слабой связи разрешенные зоны оказыва-ются больше запрещенных, а в пределе сильной связи, наоборот, разрешенные зоны меньше запрещенных.

12

Глава 3

Свойства блоховских электронов

3.1 Металлы, диэлектрики, полупроводники.

Итак, при сближении атомов, уровни энергии расщепляются и образуются зоны. Становится ясным откудавозникают понятия 2s-зона, 3p-зона и т.д., это указания на атомные термы, из которых произошла даннаязона.

Различные зоны могут перекрываться или оставаться разделенными зонами запрещенных энергий.Пусть зоны не перекрываются. Тогда из полностью заполненных (полностью пустых, частично запол-ненных) атомных термов образуются полностью заполненные (соответственно, полностью пустые иличастично заполненные) зоны. Если же зоны перекрываются (гибридизация зон), то из атомного терма,занятого электроном, и терма с незаполненным состоянием может образоваться частично заполненнаяэлектронами полоса энергии. Согласно принципу Паули, при T = 0 в зоне будут заняты ZN/2 энергетиче-ских состояний с наименьшей энергией, где N — число атомов, Z — число электронов на соответствующихуровнях в атоме, 2 возникла из-за спина. Всего же в одной зоне Бриллюэна содержится N состояний сразличными значениями k. Таким образом, по заряду иона Z можно судить о характере заполнениязоны. Например, при нечетном Z заведомо появятся частично заполненные зоны. И действительно, такаяситуация имеет место, например, в щелочных металлах, где на верхнем заполненном уровне имеется одинэлектрон (Z = 1).

В зависимости от степени заполнения зоны кристалл можно поделить на металлы и неметаллы. Дело втом, что на основе вида зонной структуры можно судить о характере отклика кристалла на электрическоеполе. Характерная величина электрического поля в атоме eEa ∼ Vchar/a, где a — межатомное расстояние∼ 10−8 ÷ 10−7 см, а Vchar — характерные атомные энергии ∼ 1 ÷ 10 эВ. Таким образом, атомное поле— огромное, Ea ∼ 107 ÷ 108 В/см. Если приложенное внешнее поле E ¿ Ea (что бывает почти всегда),его влияние можно учитывать по теории возмущений, согласно которой, вероятность перехода междусостояниями с энергией εn(k) и εm(k

′) равна

W =2π

~|〈n, k|V |m,k

′〉|2δ(εn(k)− εm(k′)− ~ω)

где ω — частота поля. В слабых V (r), плавно изменяющихся в пространстве (то есть мало изменяющихсяна масштабе a) и имеющих частоты ω ¿ εG/~ (εG — запрещенные зоны), согласно (3.1), переходывозможны только между состояниями одной зоны и близкими k. Кроме того, согласно принципу Паули,в одном квантовом состоянии не может находиться более одного электрона, поэтому переходы возможнытолько из заполненного состояния в пустое. Таким образом, если все зоны либо полностью заполнены,либо полностью пустые, переходов между состояниями, вызванных электрическим полем, не будет. Такойкристалл является диэлектриком.Если же зона заполнена частично, в ней возможны переходы междусостояниями с разными p. Это — металл.

13

Глава 3. Свойства блоховских электронов

Если εG не очень велика и возможны перебросы из заполненной зоны в пустую вследствие термическойактивации (тепловых забросов), то появляется возможность для небольшого числа переходов — это полу-проводник (как бы частный случай диэлектрика). При слабом перекрытии пустой и заполненной зонобразуется металл с малым количеством заполненных состояний в верхней зоне и пустых в нижней. Это— полуметалл.

3.2 Динамика блоховского электрона.

Выясним теперь, как связана скорость электрона 〈r〉 со спектром E(k).Вычислим сначала вид оператора r в импульсном представлении, для чего разложим произвольную

функцию ψ, на которую действует оператор r, по блоховским функциям, ψ =∑s

∫cskψskd3k.

rψ =∑

s

∫cskrψskd3k =

∑s

∫csk

(−i

∂ψsk

∂k+ ieikr∂usk

∂k

)d3k, (3.1)

Затем первый член проинтегрируем по частям, а во втором разложим периодическую функцию ∂usk/∂kпо usk с тем же k :

∂usk

∂k= −i

∑

s′〈sk|Ω|s′k〉us

′k.

Тогда

rψ =∑

s

∫ i

∂csk

∂k+

∑

s′〈sk|Ω|s′k〉cs′k

ψskd3k. (3.2)

Так как по определению

rψ =∑

s

∫(rcsk)ψskd3k,

то

r = i∂

∂k+ Ω, (3.3)

где Ω задается матрицей 〈sk|Ω|s′k〉. Оператор Ω диагонален по k поэтому коммутирует с k.Вычислим оператор скорости: v = i

~

[H r− rH

]. Вычисляя коммутатор, получим:

v = −1~

(εs(k)

∂

∂k− ∂

∂kεs(k)

)+

i

~[εs(k)− εs′ (k)

] 〈sk|Ω|s′k〉. (3.4)

Первое слагаемое дает ∂εs(k)/~∂k, а второе обращается в нуль при s = s′ . Значит средняя скорость в

зоне s, которая описывается диагональным матричным элементом, имеет вид

vs =∂εs(k)~∂k

=∂εs(k)

∂p, (3.5)

как в классической физике. Более того, в квазиклассическом пределе, в (3.4) ∂/∂k велико, так какхарактерные изменения волнового вектора M k малы в случае плавных и медленных возмущений, не

14


вызывающих межатомные переходы. То есть Ω можно отбросить по сравнению с ∂/∂k. В результатев квазиклассическом пределе получаем для блоховского электрона такую же связь квазиимпульса скоординатой, как для импульса с координатой для обычного электрона. Отсюда, в частности, следуютправила коммутации как в обычной квантовой механике и возможность рассматривать εn(k) как оператор.В r - пространстве кинетическая энергия имеет вид εn(−iO), а уравнение Шредингера:

[εn(−iO) + Uext(r)]ψ = Eψ. (3.6)

Конечно, формула (3.6) справедлива тогда и только тогда, когда Uext(r) — плавная функция, маломеняющаяся на межатомных расстояниях.

Можно учесть и влияние слабого магнитного поля (такого, что радиус циклотронной орбиты À a).Известно, что при градиентных преобразованиях векторного потенциала A → A+Of , меняется волновая

функция ψ → ψ exp(ie

~cf). В слабом поле H медленно меняется в пространстве A(r). В пределе H →

0 A = const ≡ A0. Переход от A = 0 к A = A0 соответствует преобразованию с f = A0r, поэтомуиз функций ψsk = uskeikr получается usk exp(i(k +

e

~cA0)r). K = k +

e

~cA0 можно назвать обобщенным

квазиимпульсом. Таким образом волновые функции имеют вид ψs,K−eA0/~c exp(i(Kr)), а соответствующиеим значения энергии εs(k) = εs(K − eA/~c). При непостоянном, но плавном A, такие ψ являютсяволновыми функциями нулевого приближения по H, причем usk из-за A(r) уже не периодичны. Энергииεs(K − eA/~c) можно рассматривать как оператор, образующий гамильтониан в K — представленииr = i∂/∂K

Hs = εs(K− eA~c

) + U(r) r = i∂

∂K

или в r - представлении:

Hs = εs(−i~O− eA~c

) + U(r) ~ω ¿ εG (3.7)

Операторы r = i∂/∂K и K ≡ Kимеют те же правила коммутации, что и координаты, и обобщенныеимпульсы свободных частиц. Поэтому сохраняются все обычные правила квантовой механики, в частности,

~ ˆK = −∂H

∂r, ~ˆr =

∂H

∂K(3.8)

и в квазиклассическом пределе имеет смысл понятие траектории частицы, а также импульса и энергии,зависящих от координат. В этом случае справедливы обычные уравнения движения:

~K = p = F, v =∂ε

∂p. (3.9)

Можно также говорить, например, что дно зоны проводимости и потолок валентной зоны зависят откоординат и рисовать диаграммы, в которых уровни энергии зависят от координат (не путать с закономдисперсии E(p)!) Важно помнить, что такой подход справедлив лишь в квазиклассическом пределе, когдаотбрасывается недиагональный по номеру зоны оператор Ω!

3.3 Эффективная масса.

В металлах, где зона заполнена на величину порядка половины зоны, играют роль электроны вблизиэнергии, соответствующей границе между заполненными и незаполненными состояниями в зоне — энергияФерми. Характерная величина εF — порядка атомных энергий ∼ 1 ÷ 10 эВ → 105K. Электронное

15


Рис. 3.1: Функция распределения Ферми

распределение Ферми f = 1/(exp(ε− εF

kT)+1) — ступенька, размытая на величину порядка T (T < 103K ¿

εF /k) (см. рис. 3.1).Поэтому все интересные процессы, в том числе проводимость, происходят за счет электронов с энерги-

ями вблизи εF и можно забыть о наличии других зон. Именно вблизи εF хорошо определены квазичастицыи хорошо работает теория ферми-жидкости Ландау. В этом причина того, что очень часто качественнохорошо работает и модель свободных электронов Зоммерфельда, в которой металл рассматриваетсякак состоящий из свободных, невзаимодействующих электронов. Отклонения от модели Зоммерфельда,связанные с взаимодействиями квазичастиц, не включенными в приближение самосогласованного поля,приводят к таким эффектам, как сверхпроводимость.

В полупроводниках имеется небольшое число занятых и (или) пустых максимумов вблизи экстремумазоны Бриллюэна. Поэтому важную роль в процессах переноса играет именно эта область энергий. Новблизи экстремума, в невырожденной зоне, E(p) можно разложить в ряд:

En(p) = En(p0) +12

∑

α,β

m−1αβ(p− p0)α(p− p0)β, m−1

αβ =1~2

∂2En(p)∂pα∂pβ

∣∣∣∣p=p0

. (3.10)

Коэффициенты разложения m−1αβ образуют тензор эффективной массы. Вблизи экстремума в главных

осях эта формула приобретает совсем простой вид:

En(p)− En(p0) =∑α

(p− p0)2α2mα

,

а скорость электрона определяется как vα = ∂E/∂pα = pα/mα.Эффективную массу можно вычислить и связать с шириной запрещенной зоны. Это делается с помощью

подхода, называемого kp - методом.Запишем уравнениеШредингера для блоховской волновой функции в виде уравнения для периодической

функции upn(r) :

12m

(−i~O + p)2upn(r) + V (r)upn(r) = En(p)upn(r) (3.11)

Уравнение для волновой функции u0n(r), относящейся к экстремуму энергетической зоны имеет вид[

12m

(−i~O)2 + V (r)]

u0n(r) = En(0)u0n(r). (3.12)

16


Формула (3.11) отличается от (3.12) членами −i~pO/m + p2/2m, которые вблизи экстремумов малы и ихможно вычислить по теории возмущений.

Во втором порядке теории возмущений из уравнения (3.11) получим

En(p) = En(0) +p2

2m+

1m2

∑m

′ |p〈um0| − i~O|un0〉|2En(0)− Em(0)

(3.13)

Так как по определению эффективной массы

En(p) = En(0) +12m−1

αβpαpβ, (3.14)

из уравнения (3.13) находим

m−1αβ =

δαβ

m+

2m2

∑

l

′ 〈un0| − i~Oα|ul0〉〈ul0| − i~Oβ|un0〉En(0)− El(0)

(3.15)

Матричные элементы по порядку величины равны ~/a, поэтому для эффективной массы получаем оценку

m∗−1 = m−1

[1 + O

(2~2

ma2 ME

)],

При ~2/(ma2) ∼ 10 eV, и M E ∼ 0.2 eV получим m∗ ∼ 10−2m0. Таким образом, в веществах с малой EG

мала эффективная масса.

3.4 Зонная структура типичных полупроводников.

1) Полупроводники InSb, GaSb, GaAs имеют кубическую структуру и в зоне проводимости p0 = 0, аmx = my = mz;

2) У полупроводников Ge, Si в зоне проводимости p0 6= 0. В этом случае существует несколько экстре-мумов, расположенных симметрично. Изоэнергетическая поверхность состоит из нескольких эллипсоидов.В Ge дно зоны проводимости находится на объёмных диагоналях куба [111] (всего 6 штук), а в Si наоси [100] (8 штук) и ей эквивалентных. Изоэнергетические поверхности — эллипсоиды вращения с осьювращения вдоль [111] у Ge и [100] в Si.

E(p) =p21 + p2

2

2m1+

p23

2m3

В Ge m1 = m2 = 0.082m0, m3 = 1.58m0 Во многих полупроводниках валентная зона имеет довольносложный характер, связанный с вырождением, снятым спин - орбитальным взаимодействием. Так и в Ge,и в Si вблизи p = 0 в валентной зоне

E1,2(p) = − 12m0

Ap2 ±

√B2p4 + C2(p2

xp2y + p2

yp2z + p2

zp2x)

; E3(p) = −Es0 − 1

2m0Ap2

Ge : Es0 = 0.28 eV A = 13, B = 8.7, C = 11.4Si : Es0 = 0.035 eV A = 4.1, B = 1.4, C = 3.7

Изоэнергетические поверхности гофрированы (эффективная масса зависит от направления).

17


Рис. 3.2: Плотность состояний в приближении сильной связи для кубической решетки

3.5 Плотность состояний.

Плотность состояний N(E) определяется таким образом: N(E)dE — это число квантовых состояний вединице объема в маленьком интервале энергий от E до E + dE.

Мы знаем, как найти число состояний в элементе объема в фазовом пространстве, поэтому можемвычислить, сколько состояний находится в интервале энергий dE:

∑n

∫

E<En(k)<E+dE

d3k(2π)3

≡ N(E)dE (3.16)

Если выбрать элемент объема в k - пространстве d3k = dsdk⊥, где ds — элемент изоэнергетическойповерхности, а dk⊥ — приращение k по нормали к этой поверхности, то

N(E) =1

(2π)3∑

n

∫

En(k)=E

ds

|OkEn(k)| (3.17)

В простейшем случае сферической изоэнергетической поверхности N(E) вычисляется путем простойзамены переменных k → E) в (3.16):

E = ~2k2/2m, d3k = 4πk2dk, dE = ~2kdk/m,

N(E) =√

2m∗3/2

π2~3

√E.

В простой кубической решетке (в приближении сильно связанных электронов):

N(E) =1

16π3γa

∫

S

ds√sin2 akx + sin2 aky + sin2 akz

,

где интегрирование ведется по поверхности

E = −2γ(cos akx + cos aky + cos akz)

Точки излома на зависимости N(E) называются сингулярностями Ван - Хова (см.рисунок).

18

Глава 4

Приближение эффективной массы.

4.1 Электроны и дырки.

Ток, создаваемый одним электроном в состоянии k есть:

−ev(k).

Сумма всех токов, создаваемых электронами в полностью заполненной зоне,

j = −e∑

k,σ

v(k) = −eV∑

σ

∫v(k)

dk2π3

= 0, (4.1)

где интеграл обращается в ноль из-за того, что он представляет собой интеграл от производной отпериодической функции по периоду,

v(k) =1~

dE(k)dk

.

Если вероятность заполнения данного состояния k, σ электроном (называемая функцией распределенияэлектронов) есть ne(k, σ), то выражение для тока

j = −e∑

k,σ

ne(k)v(k) = −e∑

k,σ

v(k) + e∑

k,σ

nh(k)v(k) = e∑

k,σ

nh(k)v(k), (4.2)

где nh(k) = 1 − ne(k) называется функцией распределения дырок, то есть состояний, не занятых элек-тронами. Видно, что ток можно описать, как результат движения положительных зарядов — дырок.Аналогично можно вычислить поток энергии W при наличии электрического потенциала ϕ(x)

W =∑

k,σ

ne(k, σ)[E(k) + eϕ]v(k) =∑

k,σ

[1− nh(k, σ)][E(k) + eϕ]v(k) =

∑

k,σ

[E(k) + eϕ]v(k)−∑

k,σ

nh(k, σ)[E(k) + eϕ]v(k), (4.3)

где∑k,σ

[E(k) + eϕ]v(k) = 0, поскольку E(k)v(k) = ∇E2(k)/(2~), так что суммирование дает ноль по тем

же причинам, что и в (4.1). Последнее слагаемое в (4.3) может быть интерпретировано как поток энергиидырок — частиц с энергией −E(k) и зарядом |e|.

Вблизи максимума Ek = Ek0+∑α

~2k2α

2|mα| , где |mα| — эффективная масса дырки. Мы раньше пришли

к выводу , что в классическом приближении

~k = p = F =e

c[v,H] + eE,

19

Глава 4. Приближение эффективной массы.

где v =∂E(k)~∂k . Это уравнение вблизи максимума зоны также можно интерпретировать как уравнение

движения частицы с положительной массой−1/∂2E

∂pα∂pβ, положительным зарядом и положительной энергией,

отсчитанной вниз от максимума. Вычисление эффективной массы вблизи экстремума можно провести спомощью kp метода(см.3.11 - 3.15).

4.2 Уравнение приближения эффективной массы.

Как было показано, в случае плавно меняющихся на межатомных расстояниях полей приближенно спра-ведливы уравнения, аналогичные квантовой механике свободного электрона, в которых квазиимпульсиграет роль импульса:

r = i∂

∂k, и K = −i

∂

∂r,

а гамильтониан для электронов в зоне n в пренебрежении межзонными переходами (слагаемыми типа Ω)имеет вид (см. (3.6),(3.7) )

[εn(−i~Or) + Uext(r)]ψ = Eψ, (4.4a)

в r-представлении или

[εn(p) + Uext(i~Op)]ψ = Eψ, (4.4b)

в p-представлении.Вблизи экстремума εn(p) можно разложить в ряд

εn(p) = εn(p0) +∑

αβ

(p− p0)α(p− p0)β

2mαβ(4.5)

Обозначим E = εn(p)+ε , где ε — энергия, отсчитанная от экстремума. Подставив (4.5) в (4.4b), получим∑

αβ

(p− p0)α(p− p0)β

2mαβ+ Uext(i~

∂

∂(p− p0))

ψ(p) = εψ(p). (4.6)

То есть для ψ(p) получено почти обычное уравнение Шредингера, которое отличается от обычногозаменой массы электрона на эффективную. Это уравнение записано в квазиимпульсном представлении.Можно вычислить ψ(r), для чего разложим ее по блоховским функциям Ψnp(r):

ψ(r) =∑np

Φn(p)Ψnp(r) =∑n,p

Φn(p)eiprunp(r). (4.7)

Так как мы всюду пренебрегали межзонными переходами, то вклад других зон надо опустить и в (4.7).Получим, что

ψ(r) '∑p

Φn(p)eiprunp(r). (4.8)

Так как в сумму по p входят только малые p−p0, то в unp(r) можно в главном приближении не учитыватьтакже и зависимость от p и вынести unp0(r) за знак суммы

ψ(r) ' unp0(r)eip0r

∑p

Φn(p)ei(p−p0)r ≡ Φn(r)Ψnp0(r), (4.9)

20


где Φn(r) и Φn(p) связаны друг с другом преобразованием Фурье.Вычислим теперь, какой вид имеет функция ψ(r) в квазиимпульсном представлении, используя ее

приближенный вид (4.9).

ψ(p) ≡∫

drψ(r)Ψ∗np(r) =

∫drΦn(r)Ψnp0(r)Ψ

∗np(r) =

=∫

drΦn(r)ei(p0−p)runp0(r)u∗np(r) ≈

∫drΦn(r)ei(p0−p)runp0(r)u

∗np0

(r) ≈

≈∑rn

Φn(rn)ei(p0−p)rn

∫drunp0(r)u

∗np0

(r) =∑rν

Φn(rν)ei(p0−p)rν ≈ Φn(p), (4.10)

где мы вынесли часть подынтегрального выражения, медленно меняющуюся в пределах одной элементарнойячейки, в точках rν , относящихся к элементарной ячейке номер ν и учли нормировку функций Ψnp0(r).

Так как ψn(p) удовлетворяет уравнению Шредингера (4.6) в импульсном представлении, то подставив(4.10) в (4.6)и сделав обратное преобразование Фурье над (4.6), мы получим уравнение Шредингера вида

−~

2

2

∑

αβ

OαOβ

mαβ+ Uext(r)

Φn(r) = εΦn(r). (4.11)

Таким образом функция Φn(r), которая называется огибающей функцией, удовлетворяет уравнению Шре-дингера с эффективной массой в координатном пространстве, причем это уравнение не содержит пе-риодического потенциала. Учет периодического потенциала свелся к появлению эффективной массыэлектрона вместо массы свободного электрона. Полная волновая функция, согласно (4.9), вычисляетсякак произведение огибающей функции на блоховскую функцию, относящуюся к экстремуму зоны.

Уравнение (4.11) называется уравнением Шредингера в приближении эффективной массы. Следуетпомнить, что приближение эффективной массы применимо только в том случае, если Uext(r) и, соот-ветственно, Φn(r) — плавные функции, которые мало меняются на расстояниях порядка межатомных, икогда характерные энергии ∼ p2/2m∗ малы по сравнению с расстояниями до других зон. Только в этомслучае можно пренебречь межзонными матричными элементами типа 〈m|Ω|n〉.

В дальнейшем мы будем опускать индекс n у огибающей, чтобы не было путаницы с другими кванто-выми числами, которые характеризуют функцию Φ и энергию ε.

4.3 Примесные атомы.

Различные точечные дефекты (вакансии, лишние атомы в междоузлиях, примеси замещения и т.д.)создают отклонение от периодического потенциала — помимо периодического потенциала появляетсявнешний потенциал U(r) в уравнении Шредингера. Если этот потенциал плавный, то изменения в спектреможно найти по методу эффективной массы. Важным примером такого случая являются примесныеатомы, создающие кулоновский потенциал. Например, элементы III (B,Al,Ga,...) и V (P,As,Sb,...) групп,добавленные к Ge и Si, образуют твердый раствор замещения, замещая атом вещества-хозяина. В результатеу элемента V группы (донор) остается "лишний"электрон, не участвующий в ковалентных связях. Уэлемента III группы, наоборот, будет не хватать электрона для заполнения связей. При удалении лишнегоэлектрона (в случае III группы — дырки) ионизированный примесный атом будет создавать кулоновскоеполе. Причем на расстояниях больше межатомных кулоновское поле будет ослабляться поляризациейкристалла, что учитывается введением макроскопической диэлектрической проницаемости κ

U(r) = − e2

κr, (4.12)

21


где потенциал U(r) (4.12) надо вставить в уравнение приближения эффективной массы. Для лишнегоэлектрона (донорный атом) уравнение Шредингера в приближении эффективной массы записываетсякак

−~

2

2

∑

αβ

OαOβ

mαβ+

e2

κr

Ψ(r) = εΨ(r). (4.13)

Решение (4.13) легко найти для случая изотропной эффективной массы mαβ = m∗δαβ. Тогда (4.13)сводится к уравнению Шредингера для атома водорода с массой m∗ и зарядом e∗ = e/

√κ и можно

получить решение (4.13), подставив m∗ и e∗ в известные из квантовой механики решения. Для спектраполучим

εn = −m∗(e∗)4

2~2n2= −m∗

m

1κ2

me4

2~2n2= −13.5

n2

(m∗

m

1κ2

)eV, (4.14)

где n — главное квантовое число. Так как энергия отсчитывается от дна зоны проводимости, образуютсясвязанные состояния в запрещенной зоне. Типичные значения κ велики, а m∗/m малы. Например, в Ge κ =16, m∗ ≈ 0.2m0. Поэтому энергии связи примесного атома на 3-4 порядка меньше ширины запрещеннойзоны. Такие примеси называют мелкими водородоподобными примесями.

Волновая функция в основном состоянии (n = 1) имеет вид:

f0 =1√πaB

e−|r−Rc|

aB , (4.15)

где R — узел, в котором сидит примесь, а

aB =~2

m∗(e∗)2=

(~2

me2

) ( m

m∗)

κ = 0.53× 10−8( m

m∗κ)

cm,

где aB — боровский радиус, a = ~2/me2 — боровский радиус в атоме M . Видно, что aB À a за счетфактора

(mm∗

)κ примерно на 2 порядка. А так как волновая функция (4.15) экспоненциально спадает на

расстояниях больше aB, то получится, что она локализована на расстояниях много больше постояннойрешетки. Это означает, что приближение эффективной массы действительно применимо, поскольку воз-мущение является плавным по сравнению с межатомным расстоянием, а энергия мала по сравнениюс шириной запрещенной зоны. Это является также оправданным для использования макроскопическойдиэлектрической проницаемости κ.

Аналогично мы могли бы рассуждать о спектре дырки у акцепторного атома, надо только отсчитыватьэнергию в противоположном направлении и связанные состояния появятся в запрещенной зоне вышемаксимума валентной зоны.

Мелкие примеси играют огромную роль в полупроводниках. Так как ширина запрещенной зоны EG

обычно велика (∼ 1 eV) по сравнению с kT (так как 300 К ∼ 0.025 eV), термические забросы электроновиз валентной зоны в зону проводимости из-за малой вероятности не приведут к заметной плотностисвободных электронов и дырок. А энергии ионизации примесных атомов (4.14) сравнимы с kT , поэтомуэлектроны или дырки связанных состояний могут с большой вероятностью переходить в непрерывныйспектр (то есть в зону проводимости или валентную зону), определяя проводимость кристалла.

На самом деле всё не так просто. Потенциал примеси не является чисто кулоновским и отличаетсяу разных атомов. Это приводит к так называемому потенциалу центральной ячейки и химическомусдвигу локальных уровней. Химический сдвиг важен особенно для основного состояния, так как оно болеелокализовано и волновая функция в возбужденных состояниях обращается в ноль в начале координат

22


(и не чувствует потенциал центра ячейки). Примеры энергии основного состояния трех доноров и трехакцепторов (в электрон-Вольтах):

Примесь Ge SiP 0,0120 0,044As 0,0127 0,049Sb 0,0096 0,039B 0,0104 0,045Al 0,0102 0,057Ga 0,0108 0,065

.

До сих пор мы считали примесь изолированной. Если же имеется много примесей с концентрацией N ,то среднее расстояние между ними r ∼ 1/N1/3. Ясно, что примеси можно считать изолированными приr À aB, или при Na3

B ¿ 1. В противном случае волновые функции начинают перекрываться и уровнирасщепляются, образуя внутри запрещенной зоны разрешённую примесную зону. Так как она образованаатомами, расположенными не периодически, её нельзя описывать блоховскими функциями и пользоватьсяквазиимпульсом. В ней много локализованных состояний.

Ещё одно усложняющее обстоятельство — это анизотропия эффективной массы. В этом случае уженельзя свести решение к задаче об атоме водорода и изменяется даже систематика состояний, например,квантовое число `, определяющее момент перестаёт быть "хорошим"квантовым числом. А если зонавырождена в экстремуме, как это часто бывает в полупроводниках AIIIBV , то надо учитывать сразудве зоны и решать матричное уравнение Шредингера.

Ещё один вид отклонений от простого случая водородоподобного атома — это случай, когда числовалентных электронов примесного атома отличается больше чем на единицу. Тогда возникает несколькоразличных уровней энергии и возникают глубокие уровни энергии, которые, строго говоря, не описываютсяв методе эффективной массы. Например в Ge атом меди может существовать в четырех зарядовыхсостояниях: Cu0, Cu−, Cu2−, Cu3−.

4.4 Экситоны Ваннье-Мотта.

В рамках метода эффективной массы можно выйти за пределы приближения самосогласованного поляи исследовать взаимодействие электрона и дырки, концентрация которых предполагается маленькой.Электрон с дыркой могут образовывать связанное состояние, которое называется экситоном. Если размерэкситона велик по сравнению с межатомными расстояниями, он называется экситоном Ваннье - Моттаи описывается в приближении эффективной массы. Противоположный случай — экситон Френкеля— мы рассматривать не будем. Пусть rn и rp — радиус-векторы электрона и дырки. Тогда уравнениеШредингера для них

[− ~2

2mnO2

n −~2

2mpO2

p −e2

κ|rn − rp|]

Ψ(rnrp) = EΨ(rnrp). (4.16)

Введем координату центра тяжести и расстояния между электроном и дыркой

R =mnrn + mprp

mn + mp, ρ = rn − rp.

В новых координатах (4.16) принимает вид[− ~2

2MO2

R −~2

2µO2

ρ −e2

κ|ρ|]

Ψ(R, ρ) = EΨ(R, ρ), (4.17)

где M = mn + mp, µ−1 = m−1

n + m−1p .

23


В уравнении (4.17) разделяются переменные

Ψ(R, ρ) = χ(R)ϕ(ρ) E = W + ε.

− ~2

2MO2

Rχ(R) = Wχ(R), (4.18)[− ~

2

2µO2

ρ −e2

κ|ρ|]

ϕ(ρ) = εϕ(ρ), (4.19)

Очевидно, что (4.18) описывает свободное трансляционное движение центра тяжести (то есть экситонакак целого) частицы с массой M и энергией W .(Решение — плоская волна, W = ~2k2/2M) Уравнение(4.19) описывает водородоподобную структуру (структуру экситона), в которой роль массы играет приведёная

масса µ. Собственные значения внутренней энергии экситона равны εn = − 1n2

( µ

m

) 1κ2

me4

2~2≈ − 1

n2

( µ

m

) 1κ2·

13.5 эВ, а радиус равенm

µκ~2

me2=

m

µκaB.

Численные оценки для Ge дают εn ∼ 0.001 эВ, а размер экситона ∼ 42 A, то есть много большемежатомных расстояний. Таким образом, приближение эффективной массы применимо. В типичныхполупроводниках экситоны Ваннье-Мотта существуют, но только при очень низких температурах, притемпературах больше энергии экситонов последние ионизованы, то есть распадаются на свободные электрони дырку. В диэлектриках, где диэлектрическая проницаемость невелика (почему — будет видно из следующихлекций), энергия экситона увеличивается, а радиус уменьшается и мы приходим к экситону Френкеля, ккоторому неприменимо приближение эффективной массы.

24

Глава 5

Статистика носителей заряда в металлах иполупроводниках.

5.1 Распределение Ферми-Дирака.

В приближении самосогласованного поля носителями заряда являются невзаимодействующие одноэлек-троннные возбуждения — квазичастицы: электроны и дырки. Их часто называют электронным газом. Таккак спин электронов равен 1/2, эти квазичастицы описываются в равновесном случае (т.е. в отсутствиедиссипации, в частности, в отсутствие электрического тока) статистикой Ферми-Дирака. Пусть данноеквантовое состояние характеризуется номером зоны j, спином σ и квазиимпульсом p = (px, py, pz). Тогдасреднее число электронов в этом состоянии определяется функцией распределения :

f0(εjk) =

1

exp(εjk − µ

kT) + 1

, (5.1)

зависящей только от энергии состояния, здесь µ — энергия Ферми (синонимы: химический потенциал,уровень Ферми).

Функция (5.1) экспоненциально приближается к 1 при ε − µ < kT и к 0 при ε − µ < kT . Т.е. всесостояния, находящиеся на расстояниях много больше kT от энергии Ферми, либо практически полностьюпусты, либо практически полностью заняты. Поэтому все самые существенные и интересные эффектысвязаны с состояниями, находящимися в области |ε− µ| . kT .

Формула (5.1) позволяет найти полное число электронов в объёме кристалла:

N =∑

j,k,σ

f0(εjk,σ). (5.2)

В кристалле макроскопических размеров ( много больше межатомных размеров) спектр энергии ква-зинепрерывен и суммирование в (5.2) можно заменить интегрированием, воспользовавшись тем, что

плотность состояний в объёме фазового пространства d3k естьV d3k(2π)3

, где V — объём кристалла. Поэтому

для концентрации электронов n = N/V получим:

n =∑

j,σ

∫d3k

(2π)3f0(ε

jk,σ) =

∞∫

0

dεN(ε)f0(ε), (5.3)

25

Глава 5. Статистика носителей заряда в металлах и полупроводниках.

где N(ε) — плотность состояний в интервале dε. Для случая, когда ε = p2/2m∗ = ~2k2/2m∗ из (5.3)

следует N(ε) =√

2m∗3/2√ε

2π2~3и

n =√

2(m∗kT )3/2

~3

∞∫

0

dx√

x

1 + ex−z, (5.4)

где z =µ

kTи в интеграле сделана подстановка x =

ε

kT.

Интеграл (5.4) может быть вычислен в элементарных функциях в предельных случаях z À 1 и z ¿ 0.

5.2 Вырожденный электронный газ. Металл.

Вырожденным называется газ, в котором µ À kT, (z À 1) . В этом случае вид функции Ферми похож

на ступеньку, а её производной на δ - функцию. В первом приближении в (5.4)1

1 + ex−z→ θ(z − x) и

n =√

2(m∗kT )3/2

~3

z∫

0

√xdx =

2√

23

(m∗µ)3/2

~3, (5.5a)

или

µ(T = 0) =~2

2m∗ (3π2n)2/3. (5.5b)

Следующей поправка квадратична по 1/z к (5.5b) и с ее учетом химический потенциал приобретает вид

µ = µ0

[1− π2

12

(kT

µ

)2]

, (5.6)

где µ0 = µ(0).Условие вырождения можно записать в виде

µ0

kT=

~2

2m∗(3π2n)2/3

kTÀ 1. (5.7)

Видно, что вырождению способствует большая концентрация электронов. В металлах, где n ∼ 1022 см−3,для m∗ ∼ 10−27г получим µ0 ∼ 104 ÷ 105 К (или µ0 ∼ 1 ÷ 10 эВ). В первом случае энергия измеренав градусах, т.е. фактически приведена не энергия µ0, а µ0/k. Такая большая величина µ0 означает,что в металлах электроны вырождены при всех температурах, вплоть до температуры плавления. Вполупроводниках электроны тоже могут быть вырождены при низких температурах, но электронов вполупроводнике значительно меньше, чем в металлах, поэтому для того, чтобы получить вырожденныйполупроводник, требуется большая концентрация мелких примесей в полупроводнике.

5.3 Невырожденный электронный газ.

Этот случай соответствует статистике Больцмана |z| À 1и z < 0. (µ < 0).

f0 ' exp(

µ− ε

kT

).

26


Интетрируя (5.4) в этом приближении, получим:

n =√

2π2

(m∗kT )3/2

~3e

µkT

∞∫

0

dx√

xe−x

или

n =(2πm∗kT )3/2

4π3~3exp

( µ

kT

)≡ NC exp

( µ

kT

), (5.8)

µ = kT ln[

4π3~3n

(2πm∗kT )3/2

]≡ kT ln

n

NC. (5.9)

Критерий применимости классической статистики:

(2πm∗kT )3/2

4π3~3nÀ 1.

Видно, что невырожденности газа способствует малая концентрация n, высокая температура и большаяэффективная масса m∗. Для n = 1017 см−3, m∗ = 10−27 г и T ≈ 300 К получим exp(−µ/kT ) = 300 À 1,газ не вырожден.

Оценим величину NC , которая называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости(не путать с плотностью электронных состояний):

NC = (2.5)(

m∗

m

)3/2 (T

300K

)3/2

· 1019cm−3. (5.10)

Формула (5.8) не даёт в явном виде концентрацию электронов в полупроводнике, она лишь выражаетn через неизвестную величину µ. Для явного вычисления n, µ и их температурных зависимостей надовоспользоваться условием нейтральности, включив в рассмотрение электроны и дырки как в зонах, таки на примесных уровнях. При этом снова заметим, что дырки можно описывать как ферми-частицы,энергия которых отсчитывается в отрицательном направлении. Вероятность того, что состояние не занятоэлектроном (т.е. занято дыркой) есть

f ′0(ε) = 1− f0(ε) =1

expµ− ε

kT+ 1

=1

expε′ − µ

′

kT+ 1

, (5.11)

где µ′ = εG−µ, ε′= −ε−εG — химический потенциал и энергия, соответственно, отсчитанные от потолка

валентной зоны в отрицательном направлении ( εG — ширина запрещённой зоны). Видно, что в такомвиде функция распределения дырок f

′0(ε

′) описывается распределением Ферми. Формула (5.11) позволяет

получать все результаты для дырок заменой обозначений в формулах, полученных для электронов.Условие нейтральности запишем в виде:

n + N−A = p + N+

D , (5.12)

где n и p — концентрации электронов и дырок в зонах, N−A — концентрация ионизованных акцепторов

(т.е. захвативших электрон), N+D — концентрация ионизованных доноров (отдавших электрон в зону

проводимости).Концентрации n и p задаются формулой (5.8):

n = NC exp( µ

kT

); p = NV exp

(−εG − µ

kT

). (5.13)

27


Найдём теперь плотность донорных состояний, с которых ушли электроны: N+d = Nd(1−nd). Можно было

бы предположить, что nd описывается функцией распределения Ферми nd = 1/(1 + expεD − µ

kT), однако

это было бы неверно , так как распределение Ферми применимо для невзаимодействующих электронов, апримесные состояния нельзя рассматривать без учёта кулоновского взаимодействия. Всего с примеснымуровнем связано 4 состояния: 0 электронов, 1 электрон со спином вверх, 1 электрон со спином вниз и 2электрона с противоположными спинами. Однако последнее состояние имело бы огромную энергию из-закулоновского отталкивания электронов, помещённых на один атом, поэтому вероятность его заполнения

∝ exp(−Ej − µNj

kT

)¿ 1 (здесь Nj — число частиц в состоянии j, а Ej — энергия состояния).

Согласно принципам статистической физики, среднее число частиц определяется как

nD =

∑j

Nj exp−(Ej − µNj)

kT

∑j

exp−(Ej − µNj)

kT

=2 exp

−(εD − µ)kT

1 + 2 exp−(εD − µ)

kT

Следовательно,

N+D =

ND

1 + 2 expµ− εD

kT

(5.14)

Аналогично можно получить плотность ионизованных акцепторов

N+A =

NA

1 + 2 expεA − µ

kT

(5.15)

Подставляя (5.13 - 5.15) в (5.12) получим уравнение для величины x = exp(µ/(kT )):

NCx +Na

2 exp( εA

kT

) 1x

+ 1= NV exp

(−εG

kT

)1x

+ND

2 exp( |εD|

kT

)x + 1

. (5.16)

Уравнение (5.16) — уравнение 4-ой степени относительно x. В общем случае его решение слишком громоздко,поэтому мы рассмотрим несколько предельных случаев.

1. Собственный полупроводник. Этот случай соответствует отсутствию примесей или достаточновысоким температурам, когда свободных носителей заряда так много, что примесями можно пренебречь всилу условия NC , NV ,À NA, ND, выполняющегося в достаточно чистых полупроводниках при достаточно

высоких температурах. Тогда при x À |ND −NA|√NCNV

вторыми слагаемыми в обеих частях (5.16) можно

пренебречь. В результате получим:

x =√

NV

NCexp

(− εG

2kT

)=

(mp

mn

)3/4

exp(− εG

2kT

);

p = n =√

NCNV exp(−2εG

kT

); µ = −εG

2+

34kT ln

mp

mn(5.17)

2. Рассмотрим теперь, что происходит при понижении температуры. Предположим, что ND À NA

(нескомпенсированный полупроводник донорного типа). В этом случае можно пренебречь влиянием ак-цепторов и дырок. Тогда (5.16) сводится к квадратному уравнению

NCx

(2xe

|εD|kT + 1

)= ND,

28


или

x2 +12e−

|εD|kT x− ND

2NCe−

|εD|kT = 0

x = −14e−

|εD|kT +

√116

e−2|εD|kT +

ND

2NCe−

|εD|kT . (5.18)

2а. ПриNc

NDexp

(−|εD|

kT

)À 1 (что возможно при не слишком низких температурах), первый член

под корнем в (5.18) доминирует и

x ≈ −14e−

|εD|kT +

14e−

|εD|kT

(1 + 4

ND

NCe−

|εD|kT

)=

ND

NC

n = xNC = ND, µ = kT lnND

NC. (5.19)

Согласно (5.19) практически все доноры при таких относительно высоких температурах ионизованны(n = ND) и химпотенциал находится ниже донорного уровня.

2б.NC

NDexp

(−|εD|

kT

)¿ 1, что возможно при более низких температурах. Под корнем в (5.18) доминирует

2-ое слагаемое.

x ≈√

ND

2NCexp

(−|εD|

2kT

); n = xNC =

√NCND

2exp

(−|εD|

2kT

)(5.20)

µ = −|εD|2

+kT

2ln

NCND√2

.

Таким образом, концентрация электронов уменьшается при понижении температуры, а уровень Фермилежит посередине между донорным уровнем и зоной проводимости.

2в.Отметим, однако, что в реальных материалах всегда имеется какое-то количество компенсирующихпримесей (то есть NA 6= 0 ), которые расположены очень низко (при ε ∼ −εG) и, поэтому должны бытьзаполнены электронами. Это означает, что часть электронов перейдёт на них с доноров. т.е. часть доноровокажется ионизованной. Т.е. при T → 0 уровень Ферми будет проходить по границе пустых и заполненныхсостояний, находящейся на донорных уровнях. В результате при самых низких температурах

n ∝ exp(−|εD|

kT

). (5.21)

Зависимости вида n ∝ exp(−Ea

kT

), как в (5.17), (5.20) и (5.21) называются термоактивационными (или

законом Аррениуса), при этом Ea называется энергией активации. Так как активационные зависимостисоответствуют изменениям n на многие порядки величины, зависимости n(T ) обычно изображают вкоординатах (lnn, 1/T ). Найденные зависимости n(T ) в таких координатах показаны на рисю 5.1. Изрисунка видно, что концентрация электронов уменьшается при понижении температуры. Из-за этогорастёт сопротивление полупроводников при понижении температуры. Ситуацию в случае легированияакцепторами можно понять, заменив nD, εDи mn в полученных формулах на nA, εA и mp. Отметим, чтосогласно (5.8) и (5.17) в невырожденном полупроводнике всегда

np = n2i =

(2π√

mpmpkT )3

(4π3~3)2exp

(−εG

kT

), (5.22)

29


Рис. 5.1: Температурная зависимость концентрации электронов в полупроводнике. 1) собственная область,энергия активации εG; 2a) концентрация не зависит от T ; 2б) энергия активации εG/2; 2в) энергияактивации εG.

то есть произведение концентраций электронов и дырок для данного материала не зависит от наличияпримесей. При вычислении n и p в (5.8) мы предполагали изотропный параболический закон дисперсииэлектронов. В других случаях выражения для плотностей NC и NV , а значит и предэкспонента в (5.22)изменятся. Если, например, имеется несколько эквивалентных минимумов энергии νc и эффективнаямасса анизотропна, то мы получили бы для такое же выражение как в (5.8), если под m∗ понимать"эффективную массу плотности состояний"meff = ν

2/3c (m1m2m3)1/3. Аналогично для NV .

30

Глава 6

Диэлектрическая проницаемость твердоготела.Формула Линдхарда.

6.1 Пространственная и временная дисперсия.

При приложении к твердому телу внешнего электрического поля появляется электрический ток j или

вектор смещения D. Эти величины связаны между собой соотношением j =14π

∂(D−E)∂t

, следующимиз уравнений Максвелла, поэтому одни и те же рассуждения можно применять и к току, и к смещению.В линейном приближении по полю связь между током (или вектором смещения) и приложенным элек-трическим полем называется линейным откликом. В случае однородной и стационарной среды линейныйотклик в общем виде может быть записан как

Dα(r, t) =∫

d3r′

t∫

−∞dt′εαβ(r− r

′, t− t

′)Eβ(r, t), (6.1)

то есть D ( или j) определяется не только локальным в пространстве и времени полем, но и полем впредыдущие моменты времени и полем в соседних точках. Такая нелокальная в пространстве и/или вовремени зависимость называется, соответственно, пространственной и временной дисперсией.

Соотношение (6.1) приобретает более простой и привычный вид, если к нему применить преобразованиеФурье по координатам и по времени:

Dα(k, ω) = εαβ(k, ω)Eβ(k, ω), Dα(r, t) =∫

d3k(2π)3

dω

2πei(kr−ωt)Dα(k, ω), (6.2)

где Eβ(k, ω) и εαβ(k, ω) также связаны с εαβ(r, t) и Eβ(r, t) формулой обращения Фурье. Зависимость ε отk и ω отражает наличие, соответственно, пространственной и временной дисперсии. Задание комплексногоε эквивалентно заданию комплексной проводимости σ:

εαβ = δαβ + i4π

ωσαβ . (6.3)

Так что можно описывать линейный отклик твердого тела на электрическое поле либо на языке комплекснойдиэлектрической проницаемости, либо на эквивалентном языке комплексной проводимости.

31

Глава 6. Диэлектрическая проницаемость твердого тела.Формула Линдхарда.

6.2 Вычисление диэлектрической проницаемости с помощью теории воз-мущений.

Ниже мы найдем отклик системы электронов в твердом теле на электрическое поле, то есть, какиевозникают возмущения плотности заряда δρ и потенциала U при приложении стороннего возмущающегопотенциала V . Внешний потенциал вызовет перераспределение электронов с плотностью δρ, которая, всвою очередь, создаст дополнительный электрический потенциал Φ. При этом электроны будут чувство-вать полный потенциал

U = Φ + V. (6.4)

При вычислении линейного отклика, то есть отклика в линейном приближении по электрическомуполю, можно воспользоваться преобразованием Фурье. В результате мы вычислим отклик на гармони-ческое электрическое поле. А отклик на возмущение с произвольной зависимостью от r и t может бытьвычислен как сумма откликов на гармоники exp(ikr − iωt), на которые он разложен по Фурье. Итак,ищем отклик на внешний потенциал Vq exp(iqr + iωt + 0t), где i0 – бесконечно малая добавка к частоте,учитывающая, что система “теряет память” о событиях произошедших бесконечно давно, и позволяющаяв последующих расчетах правильно выполнять интегрирование в формально расходящихся интегралах.

Пусть в отсутствие внешнего потенциала V электроны описываются полным набором блоховскихволновых функций Ψnk ≡ |k〉 в состояниях с энергией Ek (в схеме расширенных зон можно не писатьномер зоны, поскольку номера различных зон можно задавать различными векторами обратной решетки).Из теории возмущений для потенциала, периодически зависящего от времени поправка к блоховскойволновой функции |k〉 под действием возмущения принимает вид:

Ψ(r, t) = |k〉+ eUq

∑

k′

〈k′ |eiqr|k〉Ek − Ek

′ − ~(ω − i0)|k′〉, (6.5)

где используется тот факт, что электроны чувствуют полный потенциал U .Возмущение плотности заряда δρ = ρ− ρ(V = 0)

δρ = −e∑

k

f(k)[|Ψ(r, t)|2 − 1].

В линейном приближении по Uq для фурье-компоненты, соответствующей q, получим:

δρq = −e∑

k,k′

|〈k|k〉|2 + 2Uqe

f(k)∣∣∣〈k′ |eiqr|k〉

∣∣∣2

Ek −Ek′ − ~(ω − i0)− 1 + o(Uq)

. (6.6)

Обратите внимание, что вследствие вычисления фурье-компоненты в (6.6) появился квадрат матричногоэлемента.

В матричном элементе при суммировании по k′ сохранятся лишь компоненты с k

′= k + q + G

δρq = −2e2Uq

∑

k,G

f(k)∣∣〈k + q + G|eiqr|k〉∣∣2

Ek − Ek+q+G − ~(ω − i0). (6.7)

Воспользуемся теперь свойством преобразования Фурье для действительной величины ρ(q, ω) = ρ∗(−q,−ω).Получим:

δρq = −2e2Uq

∑

k,G

f(k)∣∣〈k− q + G|eiqr|k〉∣∣2

Ek − Ek−q+G + ~(ω − i0)= −2e2Uq

∑

k,G

f(k + q + G)∣∣∣〈k|eiqr|k− q + G〉

∣∣∣2

Ek+q+G − Ek + ~(ω − i0),

32


(6.8)

где во втором равенстве (6.8) мы сделали замену переменных k− q + G = k; G → −G Возьмем в качествеδρq полусумму уравнений (6.7) и (6.8):

δρq = −e2Uq

∑

k,G

[f(k)− f(k + q + G)]∣∣〈k|eiqr|k + q + G〉∣∣2

Ek − Ek+q+G − ~(ω − i0). (6.9)

Подставим (6.9) в уравнение Пуассона −O2Φ = 4πδρ (которое после преобразования Фурье имеет видq2Φq = 4πδρq) и подставим из (6.4) Φq в виде Φq = Uq − Vq. В результате получим

Uq = Vq + Uq4πe2

q2

∑

k,G

[f(k)− f(k + q + G)]∣∣〈k|eiqr|k + q + G〉∣∣2

Ek −Ek+q+G − ~(ω − i0). (6.10)

По определению диэлектрической проницаемости она описывает ослабление потенциала средой Uq =Vq/ε(q, ω). Tаким образом из (6.10) следует

ε(q, ω) = 1 +4πe2

q2

∑

k,G

[f(k)− f(k + q + G)]∣∣〈k|eiqr|k + q + G〉∣∣2

Ek+q+G − Ek + ~(ω − i0). (6.11)

Это и есть формула Линдхарда для диэлектрической проницаемости. Видно, что вклад в диэлектрическуюпроницаемость дают виртуальные переходы электронов между состояниями |k〉 и |k + q + G〉.

Используем теперь формулу Линдхарда для вывода нескольких фундаментальных свойств металлови полупроводников.

6.3 Экранирование статического (ω = 0) поля в проводниках.

Рассмотрим сначала диэлектрическую проницаемость ε(0,q) в длинноволновом пределе q → 0, т.е. откликна плавный потенциал. В пределе q → 0 можно упростить формулу Линдхарда (6.11). Эта формуласодержит вклады, относящиеся к разным зонам (G 6= 0) и от состояний в одной зоне G = 0). Причем,вклад от состояний (|k〉 и |k + q〉, относящихся к одной зоне, возможен только, если f(k) 6= f(k + q), тоесть если в зоне имеются как пустые, так и занятые состояния. Рассмотрим вклад в ε от состояний однойзоны, иными словами, вклад электронов проводимости. Обозначим сумму слагаемых с G (а она в пределеq → 0, как мы сможем убедиться позднее, стремится к константе) κ− 1. Разложим теперь все величиныв (6.11) в ряд по малым q с точностью до первых неисчезающих членов:

E(k + q)− E(k) ≈ q∇kE(k); f(k)− f(k + q) ≈ −q∂f

∂ε∇kE(k); 〈k|eiqr|k + q〉 ≈ 〈k|k〉;

Получим:

ε(0, q) w κ +4πe2

q2

∫ (− ∂f

∂E

)d3k = κ +

4πe2

q2

∫ (− ∂f

∂E

)N(E)dE ≡ κ

(1 +

λ2

q2

), (6.12)

где введено обозначение λ2 для интеграла с сомножителем 4πe2 . Подобный интеграл мы вычисляли

в предыдущей лекции. В металле, где f близка к ступеньке (вырожденный газ)∂f

∂E∼ δ(E − EF ) и

33


λ2 =4πe2

κN(EF ), что при спектре E =

~2k2

2mдает плотность состояний N(E) =

√2(m∗)3/2

√E

2π2~3, учитывая,

что n =2 · (4

3πk3F )

(2π)3, мы получим

λ2 =4πe2

κ

32

n

EF≡ 4me2n1/3

~2κ. (6.13a)

Вычисление интеграла в (6.12) в общем случае дает

λ2 =4√

2π

2m∗3/2√

kBT

κ~3

∞∫

0

√xdxex−z

(1 + ex−z)2

∣∣∣∣∣∣z=

EFkBT

. (6.13b)

Для невырожденного электронного газа (полупроводники), когда в (6.13b) единица отбрасывается посравнению с экспонентой,

λ2 =4πe2n

κkBT. (6.13c)

Из (6.12) видно, что чем более плавное поле (то есть содержащее гармоники с меньшими q), тем больше εи, соответственно, сильнее ослабление поля. Если в качестве внешнего поля выступает кулоновское поле

точечного заряда V (r) =e2

r, Vq =

4πe2

q2, полное поле

Uq =Vq

ε(0, q)=

4πe2

κ

(1 +

λ2

q2

)q2

=4πe2

κ(q2 + λ2)⇒ U(r) =

e2

κre−λr, (6.14)

т.е. кулоновский потенциал превращается в быстро, экспоненциально, спадающий потенциал Юкавы.Длина спадания потенциала r0 = 1/λ называется радиусом экранирования. Такое экранирование в не-вырожденном газе называют дебаевским экранированием, в вырожденном — экранированием Томаса -Ферми. В типичных металлах r0 порядка межатомного расстояния.

Экранирование (6.13 - 6.14) можно получить и из более наглядных соображений: Решим уравнениеПуассона:

div(κE) = 4π(ρ + ρext), (6.15)

где ρext – сторонний заряд, а ρ — плотность заряда, созданного из-за перераспределения электроновпроводимости, возникшего из-за появления электрического потенциала Φ в проводнике

ρ = −e[n(r)− n0] = −e

∫[f(E + eΦ)− f(E)]N(E)dE, (6.16)

здесь n(r) — плотность электронов, а n0 — невозмущенная плотность электронов (при Φ = 0). Посколькуречь идет о равновесной системе (нет тока), функция распределения остается фермиевской, но энергияизменяется на величину потенциальной энергии eΦ. Разложим (6.16) в ряд по Φ. Получим:

ρ = −e2Φ∫

∂f

∂EN(E)dE ≡ −λ2κ

4πΦ. (6.17)

Подставив (6.17) в (6.15), получим уравнение для Φ (E = −OΦ):

O2Φ− λ2Φ = −4π

κρext. (6.18)

34


Если в качестве ρext выступает точечный заряд ρext = eδ(r), решение легко найти, сделав преобразованиеФурье уравнения (6.18) (учитывая, что преобразование Фурье от δ-функции — единица):

−q2Φ− λ2Φ = −4πe

κΦ =

4πe

κ(q2 + λ2).

Отсюда в координатном представлении получаем

Φ(r) =e2

κre−λr,

что совпадает с (6.14).Рассмотрим теперь случай экранирования постоянного внешнего поля E0, перпендикулярного поверх-

ности проводника (например, проводник помещен в конденсатор). Пусть проводник занимает полупро-странство x > 0. Тогда нам надо решить (6.18) с граничными условиями E(x →∞) = 0 и E(x = 0) = E0.Решение имеет вид

E = E0e−λx,

то есть поле проникает вглубь проводника только на длину экранирования. Так как поле проникает вметалл только на расстояния в несколько ангстрем, то говорят, что оно не проникает в металл, а толькосоздает поверхностный заряд.

Эти рассуждения наглядно демонстрируют, что мы учитываем кулоновское взаимодействие электроновв приближении самосогласованного поля eΦ. А что, если не ограничиваться малыми q, то есть учестьизменение U(r) на малых расстояниях? Честное вычисление ε(0, q) по формуле Линдхарда (6.11) для газасвободных электронов при T = 0 (модель Зоммерфельда для металла) дает

ε(q) = 1 +4πe2

q2

n23εF

12

+4k2

F − q2

8kF qln

∣∣∣∣2kF + q

2kF − q

∣∣∣∣

(6.19)

Зависимость ε(q) имеет особенность при |q| = 2kF , которая называется коновской аномалией. Эта особен-ность приводит к сингулярности в фононных частотах ωph(q) (эффект Кона). Особенность возникает последующим причинам: ионы при колебаниях создают потенциал Vq, который экранируется электронами.Поэтому ионы взаимодействуют между собой посредством экранированного потенциала Uq = V (q)/ε(q),имеющего особенность при |q| = 2kF . В результате собственные частоты колебаний ионов (фононныечастоты) зависят от ε и на них появляется коновская аномалия.

Наличие особенности в ε при |q| = 2kF приводит к изменению характера спадания поля U . Дополни-тельно к плавной зависимости вида (6.14) появляется добавка, осциллирующая с волновым числом 2kF ,т.е. индуцированный потенциал и индуцированная плотность заряда на больших расстояниях спадают

какcos 2kF r

r3. В этом можно убедиться, проинтегрировав U(r) =

∫eiqr 4πe2

q2ε(q)d3q

(2π)3с ε(q) в виде (6.19).

6.4 Низкочастотная диэлектрическая проницаемость диэлектриков.

Рассмотрим вклад в ε от состояний из разных зон при q → 0. Такой вклад возможен, если f(k) 6=f(k + q + G), т.е. если одна зона заполнена, а вторая пустая. В этом случае в знаменателе (6.11) стоитвеличина ε(k + q + G)− ε(k) & εG.

Нам надо еще оценить числитель. При q → 0 и G 6= 0 матричный элемент в числителе формулыЛиндхарда (6.11) обращается в 0, что приведет к сокращению q2 в знаменателе, так что вклад в ди-электрическую проницаемость за счет виртуальных переходов между различными зонами стремится при

35


q → 0 к константе. Для того, чтобы убедиться в этом более строгим образом, воспользуемся обобщенным"правилом сумм для сил осцилляторов справедливым для любого полного набора волновых функций |n〉оператора H = −~

2O2

2m+ U(r):

∑n

(En − Es)∣∣〈n|eiqr|s〉∣∣2 =

~2q2

2m. (6.20)

(Здесь m — масса свободного электрона !) Правила такого рода используются очень часто; мы использовалиего разновидность, когда получали связь эффективной массы m∗ в полупроводниках с m. Докажем (6.20).Для этого вычислим двумя способами двойной коммутатор:

[[H, eiqr], e−iqr

]≡ 2H − eiqrHe−iqr − e−iqrHeiqr. (6.21)

1) С одной стороны, вычислим действие коммутатора на некую ψ, непосредственно учитывая, что

O2[e±iqrψ(r)] = [−q2 ± 2iqO + O2]ψ,

а гамильтониан имеет вид H = −~2O2

2m+ U(r):

[[H, eiqr], e−iqr

]= [2H − 2H − 2q2~2

2m+ 2iqO− 2iqO] = −~

2q2

m. (6.22)

2)С другой стороны, вычислим матричный элемент (6.21) 〈s|[[H, eiqr], e−iqr

]|s〉, используя представление

единичного оператора в виде E =∑n|n〉〈n| ≡ 1. (Последнее тождество легко доказывается1). Итак,

〈s|2H − eiqrHe−iqr − e−iqrHeiqr|s〉 =

= 2Es −∑m,n

[〈s|eiqr|n〉〈n|H|m〉〈m|e−iqr|s〉+ 〈s|e−iqr|n〉〈n|H|m〉〈m|eiqr|s〉

]=

= 2(Es −∑n

|〈s|eiqr|n〉|2En) = 2∑

n

(Es − Em)|〈s|eiqr|n〉|2. (6.23)

В последнем равенстве учтено, что∑n|〈s|eiqr|n〉|2 ≡ ∑

n〈s|eiqr|n〉〈n|e−iqr|s〉 = 〈s|eiqre−iqr|s〉 = 〈s|s〉 = 1.

Сравнивая теперь (6.23) и матричный элемент того же коммутатора в виде −⟨

s

∣∣∣∣~2q2

m

∣∣∣∣ s

⟩(6.22), мы

получим правило сумм (6.20).Домножив числитель и знаменатель (6.11) на E(k + q) − E(k) − ~ω и используя опять симметрию

выражения под суммой относительно комплексного сопряжения и взаимозамены переменных суммирова-ния k → k + q + G (как это уже использовали в (6.8 - 6.10)), можно привести (6.11) к виду

ε(q, ω) = 1 +4πe2

q2

∑

k,G

[f(k)− f(k + q + G)][E(k)− E(k + q + G)]∣∣〈k|eiqr|k + q + G〉∣∣2

~2ω2 − [E(k)− E(k + q + G)]2. (6.24)

Положив теперь f(k) = 1, f(k + q + G) = 0 (заполненная и пустая зоны), сделаем грубую оценку для ω →0. А именно: заменим в знаменателе E(k + q + G) − E(k) ≈ EG (что является неплохим приближением

1действительно, для любой f(r), f(r) =∑m

fm|m〉, Ef(r) =∑n

|n〉〈n|f(r) =∑n,m

|n〉〈n|m〉fm =∑n,m

fm|n〉δnm =∑m

fm|m〉 =

f(r), где 〈n|m〉 = δnm — в силу ортонормированности

36


при больших запрещенных и маленьких разрешенных зонах). Применим теперь (6.20) к полному наборуволновых функций |k + G〉. Тогда

∑

G

[E(k)− E(k + q + G)]∣∣〈k|eiqr|k + q + G〉∣∣2 ≈ ~2q2

2m.

Выполняя теперь в (6.24) при ω = 0 суммирование по k, которое сводится к умножению на число состоянийв зоне, равное числу электронов n, получим

ε(0,q) ≈ 1 + 2n4πe2

q2

~2q2

2mEG= 1 +

(~ωp

EG

)2

, (6.25)

где введено обозначение ωp =(

4πne2

m

)1/2

— плазменная частота, смысл которой выяснится ниже. Из

оценочной формулы (6.25) следует, что в полупроводниках с узкой запрещенной зоной следует ожидатьбольшую диэлектрическую проницаемость, а в изоляторах с широкой EG диэлектрическая проницаемостьдолжна быть меньше. Именно эти ε из (6.25) фигурируют в качестве κ в (6.12) и (6.15).

6.5 Экранирование на высоких частотах.(q → 0, ω - велика)

Во-первых, отметим, что ε(ω,q) имеет сингулярность и мнимую часть

1E(k + q + G)−E(k) + ~ω − i0

= P1

E(k + q + G)−E(k) + ~ω+iπδ[E(k + q + G)−E(k)+~ω]

— значит на частотах ω = ([E(k + q + G) − E(k)])/~ имеется поглощение (диссипация), ведь мнимаячасть ε связана с действительной частью проводимости σ, описывающей поглощение. Такое поглощениевозможно за счет переходов между разными зонами. А так как скорость света очень велика, то на частотах~ω ∼ EG, волновой вектор света q ¿ G, поэтому говорят о вертикальных междузонных переходах из E(k)в E(k + G). (Напомним, что мы работаем в схеме расширенных зон, где k + G обозначает состояние стем же квазиимпульсом k, но в другой зоне.)

Рассмотрим теперь случай более высоких частот, больше энергетической разности в (6.11) или (6.24).При этом в качестве знаменателя можно взять просто ω2, и снова произвести суммирование по G спомощью (6.20) как при получении (6.25), полагая в числителе f(k) = 1 и f(k + G + q) = 0. Выполняясуммирование по k, как при выводе (6.25), получим

ε(q, ω)|q→0= 1− ω2p

ω2. (6.26)

Такую же формулу можно получить для электронов, находящихся в одной зоне, когда справедлива модельЗоммерфельда для газа свободных электронов. В этом случае матричный элемент равен 1 и, разлагаячислитель в ряд по q и выполняя интегрирование по k по частям, получим

ε(q, ω) = 1 +4πe2

q2

∫d3k

(2π)3df(k)dE

(dE

dk

)2 q2

(~ω)2= 1− 4πne2

mω2= 1− ω2

p

ω2. (6.27)

Из (6.26) следует, что ε = 0 при ω = ωp/. Так как divD = div(εE) = 0 в этом случае можно сделатьвывод, что даже в отсутствие внешнего поля на частоте ωp возможно ненулевое электрическое поле, таккак оно удовлетворяет уравнениям Максвелла без внешних зарядов и полей. То есть на частоте ω = ωp

возможны собственные колебания продольного (потенциального, rotE = 0,) электрического поля. Такие

37


колебания называются плазменными. Этот результат можно проиллюстрировать с помощью простоймодели. При смещении электронов возникает дипольный момент и поляризация P = nex, а значит иэлектрическое поле E = −4πP. Из уравнений движения для электрона

mx = eE = −4πne2x

следует, что x = x0e−iωpt. Плазменная частота в металлах составляет огромную величину ∼ 10 eVÀ kBT .

Плазменные колебания возбуждаются при прохождении быстрых электронов через пленки. Частота в 5−10 эВ превышает типичные EG для полупроводников, поэтому и справедливы рассуждения, приведенныек (6.24), при этом в качестве n в ωp входит концентрация всех электронов валентной зоны.

А в полупроводниках возможны и плазменные колебания с малой частотой, в которых участвуюттолько электроны проводимости. Для них плазменные колебания получаются путем рассуждений, при-ведших к (6.27). При этом в качестве n войдет концентрация электронов в зоне проводимости, а вместоm — эффективная масса электронов проводимости. Такие же рассуждения можно провести и для дырок.

Плазменная частота может быть определена и в оптических экспериментах. Дело в том, что приω < ωp, ε < 0 и коэффициент преломления n =

√ε — мнимый, это соответствует полному отражению

света при ω > ωp, ε > 0 и n — действительно, т.е. проводник становится прозрачным. И действительнометаллы становятся прозрачными в ультрафиолетовом свете.

Плазменные колебания можно рассматривать как квазичастицы - плазмоны, они ведь такие же сла-бозатухающие собственные возбуждения (нормальные колебания, нормальные моды ), как фононы, элек-троны и дырки. Закон дисперсии плазмонов мы вычисляли в пределе q → 0, а если бы мы учли поправкиследующего порядка по q, то получили бы для спектра плазмонов в вырожденном электронном газе

ωp(q) = ωp(0)[1+aq2v2

F

ω2p

+. . .], (vF = pF /m), где a – постоянная порядка единицы. В случае параболического

закона дисперсии электронов a = 3/10.

6.6 Переход Мотта-Хаббарда.

Когда мы обсуждали образование энергетической зонной структуры в рамках модели сильно связанныхэлектронов (уширение уровней при сближении атомов), мы совсем не учитывали в наших рассужденияхкороткодействующее кулоновское взаимодействие. Учет кулоновского взаимодействия приводит к воз-можности перехода металл - диэлектрик. Действительно, пусть для помещения второго электрона на атомтребуется преодолеть энергию кулоновского отталкивания U . Если эта энергия отталкивания U À t, где t— ширина разрешенной зоны, вызванная перекрытием волновых функций, то электрон не сможет перейтина следующий атом (и участвовать в проводимости). То есть получится диэлектрик. Если же t À U , тосправедливы наши прежние рассуждения, что при нечетном числе электронов на атоме образуется металл.Хаббард показал, что переход между состояниями металла и диэлектрика происходит при U = 1.15t.При больших значениях U зона расширяется на 2 (пустую и заполненную), разделенные энергетическойщелью. Так как величина t увеличивается при уменьшении межатомного расстояния a, следует ожидать,что при малых a должно быть металлическое состояние, а при больших - диэлектрическое (моттовскийдиэлектрик). Такой переход (переход Мотта, иногда говорят Мотта-Хаббарда) наблюдался в некоторыхокислах при повышении температуры (и уменьшении a).

Получим критерий Мотта, показывающий, когда будет металл, а когда диэлектрик. В металлическомсостоянии свободные электроны стремятся заэкранировать кулоновский потенциал на длине r0 (r−2

0 ≡λ2 =

4me2n1/3

~2), (см. формулу(6.13a)). С другой стороны, неэкранированный кулоновский потенциал

образует связанное состояние с радиусом локализации aB, aB =~2

me2. Если r0 < aB, то это связанное

состояние не сможет образоваться, и получится металл, если r0 > aB, то электроны окажутся связанными

38


на своих ионах и получится изолятор. Таким образом, критерий Мотта для перехода металла в диэлек-трическое состояние есть: r0 = aB, или подставляя aB и λ:

4aBn1/3 < 1.

То есть при малых концентрациях электронов (большом расстоянии между атомами) получится металл,а при больших концентрациях (малых межатомных расстояниях) — диэлектрик. Переход Мотта можетпроисходить также в примесной зоне полупроводника, надо только под a понимать расстояние междупримесями.

39

Глава 7

Явление переноса в твердых телах.Кинетическое уравнение.

7.1 Кинетическое уравнение Больцмана.

Когда в предыдущих лекциях мы говорили о функции распределении электронов по импульсам и ко-ординатам, мы пользовались функцией распределения Ферми fF (или Больцмана в пределе невырож-денного газа), которая описывает распределение электронов в состоянии термодинамического равновесияи не зависит от характера взаимодействия и характера установления равновесия в системе. Сейчас мырассмотрим поведение электронов в неравновесном случае, когда система выведена из равновесия внешнимвоздействием и в системе происходят процессы диссипации и, следовательно, функция распределенияотличается от равновесной. Оказывается, что в этом случае существенную роль играют процессы взаи-модействия электронов между собой, с другими квазичастицами и примесями.

Рассмотрим сначала электрон в идеальном кристалле. Если к кристаллу приложено постоянное и

однородное электрическое поле E, то согласно квазиклассическому уравнению движенияdpdt

= eE ква-зиимпульс электрона линейно растет со временем. Если электрон находится у дна зоны, то p = m∗vи скорость растет как функция времени, а значит растет и ток. При дальнейшем увеличении импульсаэлектрон удалится от минимума энергии и уже нельзя сказать, что скорость электрона постоянно растет.

Скорость v =∂E(p)

∂pбудет изменяться периодически во времени, так как E(p) — периодическая функция

квазиимпульса. Соответственно, будет периодически осциллировать и ток j = evn, возникающий в одно-родном поле. Эта картина, конечно, противоречит опытным данным, в частности, закону Ома. На самомделе, в реальном кристалле, электрон, взаимодействуя с различными рассеивателями ( то есть с отклоне-ниями потенциала от периодичности, возникающими из-за наличия примесей, колебаний решетки, другихэлектронов и т. д.) будет испытывать силу трения F friction = −ηv. В результате уравнение движенияпримет вид:

m∗dv

dt= eE − ηv, (7.1)

решение которого

v =eEτ

m∗ +(

v0 − eEτ

m∗

)e− t

τ (7.2)

показывает, что через время t À τ = m∗/η скорость электрона становится постоянной независимо отначальной скорости v0. То есть в кристалле установится постоянный ток и будет выполняться закон Ома

j =e2nτ

m∗ E = σE. (7.3)

40

Глава 7. Явление переноса в твердых телах. Кинетическое уравнение.

Время τ , за которое "забывается"первоначальная скорость (и импульс) электрона, называется временемрассеяния импульса.

Приведенные рассуждения слишком примитивны. Ведь на самом деле электроны имеют различныеимпульсы и требуется менее грубый подход, чтобы описать процессы, связанные с протеканием тока, болеестрого. (Явления, связанные с протеканием тока, называются явлениями переноса или кинетическимиявлениями, или транспортными явлениями).

7.2 Кинетическое уравнение Больцмана.

Рассмотрим явления переноса в наиболее распространенном случае плавного изменения внешнего поля,когда оно мало меняется на длине волны электрона. В этом случае применимо квазиклассическое при-ближение и электроны можно рассматривать как волновые пакеты, одновременно задавая их импульси координату. Применимость такого подхода ограничено соотношением неопределенности M p M r ∼ ~.Так как неопределенность координат M r должна быть меньше всех характерных длин, возникающихв явлениях переноса, в том числе длины свободного пробега ` = vτ ( v -средняя скорость электрона),то есть должно выполняться соотношение ` = vτ À ~/p, где pv ∼ ε есть характерная энергия задачи(в невырожденном газе ε ∼ kT , в вырожденном – ε ∼ EF ). Таким образом мы приходим к условиюприменимости квазиклассического подхода kTτ À ~ (для невырожденного газа) и EF τ À ~ (для вырожден-ного газа).

Введем функцию распределения электронов в фазовом пространстве f(p, r, t). Плотность числа частицв области (p,p + dp), (r, r + dr) задается как

dn(p, r, t) =2f(p, r, t)

(2π~)3d3pd3r. (7.4)

От точки к точке фазового пространства f изменяется за счет движения электронов в координатномпространстве (v = dr/dt 6= 0) и в импульсном пространстве (dr/dt = eE 6= 0). Полная скорость измененияf за счет таких процессов составляет

df

dt=

∂f

∂t+

∂f

∂r

dr

dt+

∂f

∂pdpdt

. (7.5)

Кроме того, происходит полное изменение f из-за рассеяния, когда импульс электрона изменяется из-за столкновения, например, с примесью, или из-за испускания (поглощения) фонона (процессы такогорода не учитываются квазиклассическим приближением). Поэтому полное изменение f в соответствие сзаконом сохранения числа частиц (теоремой Лиувилля) записывается как

∂f

∂t+ vOf + F

∂f

∂p+

∂f

∂t

∣∣∣∣st

= 0, (7.6)

где мы представили

dpdt

= F , F = eE +e

c[v, H] , (7.7)

F —сила, действующая на электрон, E и H — электрическое и магнитное поля.

Вид∂f

∂t

∣∣∣∣st

— интеграла столкновений зависит от характера столкновений. Рассмотрим сначала стол-

кновения с неподвижными дефектами (примеси, дислокации и т.д.). Примеси можно считать неподвижными,так как их масса много больше электронной. Поэтому рассеяние электрона на примесях является упругим(происходящим без изменения энергии).

41


Обозначим вероятность (вообще говоря, квантовомеханическую) перехода электрона из состояния p

в p′ как W (p,p′). По правилам квантовой механики W (p,p′) =2π

~|〈p|V |p′〉|2δ(εp − εp′), где V (r) —

потенциал примеси (или другого дефекта кристалла).Число переходов из состояния p в p′ запишем с учетом принципа Паули, который учитывает вероят-

ность того, что начальное состояние заполнено электроном, (∼ f) и того, что в конечном состоянии естьнезаполненные состояния (∼ (1− f))

W (p,p′)f(p, r, t)[1− f(p′, r, t)]2d3p′

(2π~)3. (7.8)

Скорость уменьшения числа частиц в состоянии p дается интегралом по всем состояниям p′, в которыепроисходит уход электронов из-за рассеяния:

∂f

∂t

∣∣∣∣p→p′

= −∫

W (p,p′)f(p, r, t)[1− f(p′, r, t)]2d3p′

(2π~)3. (7.9)

Число частиц в состоянии p будет также изменяться из-за переходов в это состояние электронов из другихсостояний p′. Рассуждая аналогично случаю ухода, получим

∂f

∂t

∣∣∣∣p′→p

= −∫

W (p′,p)f(p′, r, t)[1− f(p, r, t)]2d3p′

(2π~)3. (7.10)

Как известно, вероятности переходов p → p′ и p′ → p в квантовой механике одинаковы (принципдетального равновесия. Учитывая, что W (p,p′) = W (p′,p) из (7.7) и (7.10) получим интеграл столкновенийсо статическими дефектами:

Istf ≡ ∂f

∂t

∣∣∣∣st

=∂f

∂t

∣∣∣∣p′→p

− ∂f

∂t

∣∣∣∣p→p′

=∫

2d3p′

(2π~)3W (p,p′)[f(p′)− f(p)]. (7.11)

Отметим, что результат (7.11) оказался таким же, каким он был бы, если бы мы не учитывали принципПаули (члены f(p)f(p′) в членах прихода и ухода взаимно уничтожили друг друга ).

7.3 Время релаксации импульса.

Выражение (7.11) можно упростить в случае изотропной энергетической поверхности (ε = ε(|p|)). Пустьотклонение f(p) от равновесной функции распределения f0(p) связано с присутствием слабой силы F ,действующей на электрон. Тогда

f(p) = f0(p) + f1(p), (7.12)

где f1(p) должна быть скаляром и при этом пропорциональна силе F . Единственно возможный видf1(p) = pF g(|p|) ≡ pG(ε), где g(|p|) – некоторая функция, зависящая только от модуля p (то есть отэнергии, но не от направления импульса). Подставляя f(p) в виде (7.12) в формулу (7.11) и учитывая,что ε(p) = ε(p′) (упругое рассеяние), получим.

Istf = −∫

2d3p′

(2π~)3W (p,p′)G(ε)(p− p′) =

= −pG(ε)∫

2d3p′

(2π~)3W (p,p′)(1− cos θpp′) ≡ −f1(p)

1τ(p)

= −f − f0

τ(p), (7.13a)

42


θpp′— угол между p′ и p′, где введено обозначение

1τ(p)

=∫

2d3p′

(2π~)3W (p,p′)(1− cos θpp′). (7.13b)

τ(p) называется временем релаксации импульса. Форма интеграла столкновений (7.13) выведена нами дляизотропного энергетического спектра и упругого рассеяния. Но ей пользуются часто и в общем случае,рассматривая ее как приближение. Такое приближение называют τ - приближением или приближениемвремени релаксации.

Проиллюстрируем физический смысл τ . Запишем кинетическое уравнение в пространственно-одно-родном электрическом поле (F = eE):

∂f

∂t+ E

∂f

∂p= −f − f0

τ(p). (7.14)

В линейном приближении по E во втором слагаемом f можно заменить равновесной функцией f0, тогда,

запишем опять f в виде f = f0 + f1, и учитывая∂f0

∂t= 0, из (7.14) получим:

∂f1

∂t+

f1

τ= −eE

∂f0

∂p. (7.15)

Решение (7.15) имеет вид:

f1(p, t) =(

f1(p, 0) + eEvτ∂f0

∂ε

)e− t

τ − eEvτ∂f0

∂ε, (7.16)

где мы использовали, что f0 зависит от ε и где∂f0

∂p=

∂f0

∂ε

∂ε

∂p=

∂f0

∂εv.

Из (7.16) видно, что за время порядка τ устанавливается стационарная функция распределения (по-следнее слагаемое), а всякие отклонения от стационарного значения затухают (релаксируют) за времяτ .

Вычисляя ток с помощью (7.16), мы получим

j = −2∫

evf(p)2d3p

(2π~)3= 2e2

∫v2τ

∂f0

∂ε

2d3p(2π~)3

E =e2nτ

m∗ E = σE, (7.17)

где в σ =e2nτ

m∗ , как и в примитивной модели (см.(7.3)), входит время релаксации импульса τ . Такимобразом, закон Ома получается благодаря наличию рассеяния. Время τ называют также временем сво-бодного пробега. При τ →∞ (редкие столкновения) проводимость большая, а при частых столкновениях(τ → 0) проводимость мала.

Отметим ряд упрощений и предположений, сделанных нами при выводе кинетического уравнения. Во-первых, вероятности рассеяния W (p,p′) могут зависеть от поля E, но чаще всего эта зависимость можетне учитываться, поскольку обычно E мало по сравнению с атомными масштабами электрических полей.Во-вторых, может быть несколько видов носителей заряда, например, относящихся к разным зонам. Вэтом случае надо решать несколько кинетических уравнений для функций распределения электронов вкаждой из этих зон. В случае рассеяния электрона из разных зон друг на друге эти уравнения окажутсясвязанными.

43


7.4 Вид интеграла столкновений при рассеянии на фононах.

Выражения (7.7) и (7.10) для скорости ухода и прихода электронов в состоянии с импульсом p можноиспользовать и для случая рассеяния электронов на потенциале, созданном отклонением атомов решеткиот положения равновесия, т.е. для рассеяния на фононах. Для этого надо вычислить вероятность переходаW (p,p′) с учетом зависимости потенциала, созданного колебаниями решетки от времени. Из общихсоображений ясно, что величина такого потенциала при малых смещениях пропорциональна величинесмещений атомов из положения равновесия. Как известно, вектор смещения в точке r,u(r, t) обычнораскладывают по нормальным колебаниям (называемым фононами), имеющим собственную частоту ω(k)

u =∑

k,j

[uk,je

i(kr−ωj(k)t) + u+k,je

−i(kr−ωj(k)t)], (7.18)

а затем в соответствии с правилами квантовой механики начинают рассматривать u как оператор. Приэтом очень удобным оказывается представление чисел заполнения ( или иначе - вторичного квантования),

в котором используются операторы ak,j =

√2ρωj(k)~

uk,j (где ρ – плотность кристалла), и a+k,j , называемые,

соответственно операторами уничтожения и рождения фонона ( т.е. колебания с волновым вектором kи частотой ωj(k)). В курсе квантовой механики показано, что действие оператора ak,j(a+

k,j) уменьшает(увеличивает) число частиц в состоянии (k, j):

ak,j |Nj(k)〉 =√

Nj(k) |Nj(k)− 1〉 , a+k,j |Nj(k)〉 =

√Nj(k) + 1 |Nj(k) + 1〉 ,

где |Nj(k)〉— волновая функция состояния с Nj(k) числом частиц типа j (в нашем случае – фононов ветвиj) с импульсом k.

Так как оператор смещения (7.17) линеен по полевым операторам a и a+, то и оператор потенциальнойэнергии, созданной смещениями решетки будет линеен по операторам a и a+. В самом общем виде с учетомэрмитовости оператор электрон-фононного взаимодействия запишется как

He−ph =∑

k,j

[H ′

k,jak,jei(kr−ωj(k,t)) + H

′∗k,ja

+k,je

−i(kr−ωj(k,t))], (7.19)

где коэффициенты Hk,i зависят от конкретного механизма взаимодействия электрона со смещениямирешетки, они имеют разную зависимость от k в случаях акустических, оптических фононов и вида полей,создаваемых колебаниями решетки (пьезоэлектрическое поле, потенциал деформации и т.д.). Так какэнергия взаимодействия должна быть пропорциональна плотности электронов, оператор He−ph долженбыть билинеен по электронным операторам.

По правилам квантовой механики вероятность перехода из начального состояния |i〉 в конечное |f〉 поддействием потенциала зависящего от времени (7.19) выражается через матричные элементы гамильтонианавозмущения:

W (i → f) =2π

~∑

k,j

[∣∣ 〈i|H ′k,jak,je

ikr|f〉 ∣∣2 δ(εp − εp′ − ~ω)+∣∣ 〈i|H ′∗

k,ja+k,je

−ikr|f〉 ∣∣2 δ(εp − εp′ + ~ω)]. (7.20)

Волновая функция невзаимодействующих электронов и фононов записывается в виде произведения элек-тронной Ψ и фононной Φi

N функций

|i〉 = Ψp(r)ΦiN . (7.21)

При вычислении матричных элементов в (7.20) мы учтем, что операторы a и a+ имеют ненулевыематричные элементы только между состояниями с числом фононов N , отличающимися на единицу,

〈ΦiNj|ak,j |Φf

Nj+1〉 =√

Nj(k) + 1; 〈ΦiNj|a+

k,j |ΦfNj−1〉 =

√Nj(k),

44


а вычисленные на блоховских функциях матричные элементы, Hk,j〈Ψp(r)|e±ikr|Ψp′(r)〉 ∼ δp−p′,±k+G,не равны нулю только при выполнении закона сохранения квазиимпульса с точностью до одного извекторов обратной решетки. Таким образом, вероятность перехода между состояниями p и p′ состоит издвух частей, соответствующих первому и второму членам (7.19): W (p,p′) = W− + W+, и описывающихпоглощение и испускание фонона:

W−(p,p′) =2π

~∑

j

∣∣Hp−p′,j∣∣2 Nj(p− p′)δ(εp − εp′ + ~ω(p− p′))

W+(p,p′) =2π

~∑

j

∣∣Hp−p′,j∣∣2 (Nj(p− p′) + 1)δ(εp − εp′ − ~ω(p + p′)). (7.22)

В результате получим, что при рассеянии на фононах сохраняется как энергия, так и квазиимпульс.Подставляя (7.11) в (7.7) и (7.10) мы можем получить интеграл столкновений электронов с фононами:

Istf =∂f

∂t

∣∣∣∣p′→p

− ∂f

∂t

∣∣∣∣p→p′

=2π

~

∫2d3p

(2π~)3∑

j

∣∣Hp−p′,j∣∣2

Nj(p′ − p)f(p′)[1− f(p)]δ(εp′ − εp + ~ω(p′ − p))+

+[1 + Nj(p′ − p)]f(p′)[1− f(p)]δ(εp′ − εp − ~ω(p′ − p))−−Nj(p− p′)f(p)[1− f(p′)]δ(εp − εp′ + ~ω(p− p′))−−[1 + Nj(p− p′)]f(p)[1− f(p′)]δ(εp − εp′ − ~ω(p + p′))

.

(7.23)

Все слагаемые в имеют простой физический смысл. Так, первое слагаемое описывает изменениефункции распределения электронов с импульсом p за счет перехода из состояния p′ с поглощением фононас импульсом p′−p, второе — переход электрона p′ → p с испусканием фонона с импульсом p′−p , третье —переход электронов p → p′ с поглощением фонона с импульсом p−p′, четвертое — p → p′ с испусканиемфонона.

Как и должно быть, вероятности поглощения фонона пропорциональны функции распределения фо-нонов N , а вероятность испускания пропорциональны 1+N , то есть имеет место вынужденное рождениефононов, как и положено для бозонов. Вынужденное испускание хорошо известно из теории лазеров,принцип действия которых основан на вынужденном рождении фотонов.

Отметим, что подстановка в (7.23) в качестве N и f равновесных функций распределений Бозе иФерми, соответственно, обращает интеграл столкновений в ноль (это можно проверить непосредственнымвычислением). При отсутствии внешнего поля обращается в ноль и полевая (левая) часть кинетическогоуравнения. Таким образом, в равновесии решением кинетического уравнения является функция распре-деления Ферми.

7.5 Интеграл межэлектронных столкновений.

Рассуждая аналогично случаям рассеяния электронов на примесях и фононах, можно написать и интегралстолкновений электронов между собой:

Ie−ef =∑

p′1,p′2,p2

W (p′1,p

′2;p,p2)f(p′1)f(p2)[1− f(p)][1− f(p2)]−

−W (p,p2;p′1,p′2)f(p)f(p2)[1− f(p′1)][1− f(p′2)]

, (7.24)

45


где первый член описывает приход электронов за счет столкновений электронов p′1 и p′2, которые послерассеяния друг на друге оказываются в состояниях с импульсом p и p2, а второй - уход электронов засчет процесса p + p2 → p′1 + p′2. Анализ вероятностей переходов W показывает, что в столкновенияхсохраняется импульсы и энергии электронов, а подстановка в качестве f функции распределения Фермиобращает (7.24) в ноль.

7.6 Время рассеяния импульса на фононах.

Вернемся к электрон-фононному рассеянию и рассмотрим его подробнее. Механизмов взаимодействия сколебаниями решетки много. Рассмотрим некоторые из них. Колебания решетки сопровождаются дефор-мацией решетки, а как мы знаем, изменение расстояния между атомами изменяет зонный энергетическийспектр. Изменение спектра может быть записано как He−ph = εikuik, где uik - тензор деформации, а εik -тензор деформационного потенциала. В простейшем случае изотропной зоны и акустических фононов этаэнергия имеет вид He−ph = εdivu, где ε - константа деформационного потенциала, u - смещение решеткив волне колебаний (divu — описывает сжатие кристалла). Сделав преобразование Фурье, получим, что

He−ph =∑

k,j

ε[ikuk,je

i(kr−ωj(kt) − iku+k,je

−i(kr−ωj(kt)]. (7.25)

Сравнивая (7.25) с (7.17) и (7.19) видим, что, действительно, гамильтониан взаимодействия пропорцио-нален операторам смещения, а значит и полевым операторам, причем коэффициент пропорциональностиH ′ (7.19) в имеет вид:

H ′Def = ikE

√~

2ρωj(N). (7.26)

Потенциал деформации присутствует во всех кристаллах, но в некоторых случаях имеются и другие,более сильные взаимодействия. Например, в ряде кристаллов механическая деформация сопровождаетсяих электрической поляризацией и возникновением электрического поля. Такие кристаллы называютсяпьезоэлектриками (примеры: CdS, CdSe - AIIBV I , GaAs, InSb - AIIIBV ). Удельная поляризация, воз-никающая при деформации, равна Pi = βijkujk, где βijk - тензор пьезоэлектрических модулей. Векториндукции равен Di = εEi+4πβijkujk. Из уравнения divD = 0,E = −Oϕ следует уравнение для потенциала

ε M ϕ = 4πOiβijkujk,

из которого легко находится фурье-компонента потенциала ϕ(k)() и гамильтониана взаимодействия:

Hpiezo = eϕ(k) =4πeikiβijkujk(k)

εk2. (7.27)

Видно, что опять оператор электрон - фононного взаимодействия линеен по смещению, а учитывая, что

ujk(r) =12

(∂uj

∂xk− ∂uk

∂xj

); ujk(k) =

12

(kkuj − kjuk), ясно, что Hpiezo не зависит от модуля |k|, хотя изависит от углов в импульсном пространстве.

В ионных кристаллах атомы обладают ненулевыми зарядами, поэтому колебания решетки сопро-вождаются колебаниями дипольного момента, т.е. колебаниями вектора поляризации среды P (r). Такиеколебания называются поляризационными колебаниями. Т.к. они создают электрический потенциал, ониприведут к дополнительному взаимодействию электронов с фононами. Этот вид взаимодействия возникаетс продольными оптическими фононами, т.к. именно они сдвигают ионы в элементарной ячейке навстречудруг другу. Вычисление гамильтониана взаимодействия основано на решении уравнения Пуассона

O2ϕ = −4πρ, ρ = −divP ,

46


где ρ — поляризационный заряд, а P = d/r0 — вектор поляризации, V0 - объем элементарной ячейки,d = Ze [u(r, 1)− u(r, 2)], Ze — заряд атомов, u(r, 1) и u(r, 2) — смещение атомов номер 1 и номер 2.

Расчет показывает, что для полярный оптических фононов H ′pol ∼ 1/k.

Далее для вычисления электрон-фононных столкновений надо вычислять матричные элементы и под-ставлять в (7.23). Оказывается, что при взаимодействии с акустическими фононами рассеяние электроновявляется почти упругим. Покажем это. Согласно (7.23), при рассеянии сохраняются энергия и импульс.Допустим, что в результате рассеяния электрон сильно изменил направление движения, например по-вернул в противоположную сторону. Тогда по порядку величины | M p| = |p − p′| ≡ k ∼ p. Изменениеэнергии электронов равно как раз энергии фонона

M ε = ~ωk = sk ∼ sp.

Относительное изменение энергии электрона

M ε

ε∼ sp

vp=

s

v,

где s — скорость звука, v — характерная энергия электронов. В невырожденном электронном v ∼√

kTm∗

— тепловая скорость, она больше скорости звука s ∼ 105 см/с при T > 1 K. В вырожденном газе v =pF

m∼ 107÷108 см/с. Таким образом, из-за того, что скорость электрона больше скорости звука, рассеяние

на акустических фононах является почти упругим, M ε/ε ¿ 1, т.е. при столкновениях импульс меняетсязначительно, а энергия незначительно. А вследствие квазиупругости можно корректно определить (сточностью до s/v) время релаксации электронов при рассеянии на акустических фононах, как это былосделано для упругого рассеяния на примесях:

1τ(p)

=∫

2d3p′

(2π~)3W (p,p′)(1− cos θpp′).

Мы не будем производить подстановку соответствующих гамильтонианов в матричные элементы и вычис-лять интегралы. Подробный расчет приведен в учебниках, мы приведем лишь результаты для зависимо-стей τ от температуры и энергии электронов:

1. Для рассеяния электронов на акустических фононах через:а)потенциал деформации — τ ∼ T−1ε−1/2 (полупроводники), τ ∼ T−1ε3/2 (металлы)б) пьезопотенциал — τ ∼ T−1ε1/2.Разная степень в зависимости от энергии связана с разной зависимостью от k при разных взаимодей-

ствиях.2. Расчет времени релаксации импульса на примесях даета) на заряженных примесях: τ ∼ ε1/2, а при рассеянии, б) на нейтральных примесях τ от ε не зависит.3. Для рассеяния электронов на оптических фононах время релаксации импульса, очевидно, можно

ввести при kT À ~ωopt, когда характерные энергии электронов велики по сравнению с фононными. Врезультате получится

а)τ ∼ T−1ε−1/2 для неполярных оптических фононов (потенциал деформации),б) τ ∼ T−1ε1/2 для полярных оптических фононовПри kT . ~ωopt рассеяние не является упругими и, строго говоря, рассмотренная схема введения

времени релаксации не годится. Но в этом случае большинство электронов не может испустить оптическихфонон, так как энергия электрона меньше энергии оптических фононов. Мала также вероятность по-глощения оптических фононов, так как при kT ¿ ~ωopt мало таких фононов. Рассеяние при низкихтемпературах на оптических фононах может оказаться существенным для малого числа наиболее "горя-чих"электронов. Такое рассеяние приводит к интересным эффектам в сильных электрических полях,когда наблюдается разогрев электронного газа.

47


При наличии нескольких независимых друг от друга механизмов рассеяния полная вероятность стол-кновений W равна сумме вероятностей столкновений за счет различных механизмов W =

∑i

Wi. В

приближении времени релаксации отсюда сразу следует

1τ

=∑

i

1τi

, (7.28)

где τi — времена релаксации за счет различных механизмов рассеяния. Формула (7.28) называется прави-лом Матиссена. Отметим, что при рассеянии на фононах мы предполагали, что функция распределенияфононов равновесная. Это справедливо, если существуют какие-то эффективные механизмы передачиимпульса, энергии от фононов в термостат. В противном случае функция распределения фононов самастановится неравновесной и для нее надо решать свое кинетическое уравнение для фононов. Подобнаяситуация наблюдается, например, в случае увлечения фононов электронами.

48

Глава 8

Кинетические явления. Решение уравненияБольцмана. Проводимость.Термоэлектрические эффекты.

8.1 Решение кинетического уравнения в τ -приближении. Отклик на од-нородное поле E

Ограничимся рассмотрением случая изотропного закона дисперсии электронов. Все качественные резуль-таты, полученные в этом случае, сохраняются и в более общих случаях.

Для упругого рассеяния интеграл столкновений может быть записан в τ -приближении :

∂f

∂t+ v

∂f

∂r− e

(E +

1c[v,H]

)∂f

∂p= −f − f0

τ(8.1)

(здесь e — абсолютная величина заряда электрона.)В общем случае зависимость f от направления импульса может быть произвольной. Функцию f можно

разложить по плоской системе функций, зависящих от угла в импульсном пространстве. Наиболее удобноразлагать по полиномам Лежандра.

f(p, r, t) =∑

l

f (l)(|p|, r, t)Pl(cos θ). (8.2)

Оказывается, что в линейном приближении по внешним полям можно ограничиться в разложении (8.2)двумя первыми членами. Имея в виду отклик на слабое поле, мы так и поступим. Вычислив линейныйотклик системы на внешнее поле, мы обсудим, при каких условиях можно отбрасывать квадратичные пополю E слагаемые, описывающие, в частности, эффект разогрева электронного газа. Таким образом

f = f (0) + f (1) cos θ. (8.3)

Рассмотрим сначала отклик на однородное внешнее поле E, зависящее от времени. Разложим поле Eи функцию f в ряд Фурье по времени (В силу линейности задачи отклик на произвольное E(t) являетсясуммой по частотам откликов на поле Re Eω exp(−iωt)). В линейном приближении по E из (8.1) получим

∂f1

∂t− eE

∂f0

∂p= −f1

τ, (8.4)

49

Глава 8. Кинетические явления. Решение уравнения Больцмана. Проводимость. Термоэлектрические эффекты.

где f = f0 + f1, f0 — равновесная функция распределения. f1 — добавка. Из структуры уравнения (8.4)видно, что добавка f1 должна быть пропорциональна углу между p и E. Поэтому решение (8.4) будетиметь вид (8.3), где f0 = f (0), f1 = f (1) cos θ. Обычно принято f1 записывать в виде

f1 = −∂f0

∂εχ(ε)p = −∂f0

∂ε|χ(ε)||p| cos θ, (8.5)

где χ(ε(|p|)) — пока ещё неизвестный вектор, вдоль которого выбирается некоторая ось (ось z длясферической системы координат) в импульсном пространстве.

Вообще говоря, направление χ определяется направлением внешней силы, т.е. комбинацией внешнихполей E, H и т.д. В случае, когда есть только электрическое поле χ ‖ E.

Итак, разложив (8.4) по Фурье E(t) =+∞∫−∞

dω

2πEωe−iωt, получим:

−iωf1 − eEω∂f0

∂p= −f1

τp, (8.6)

или

f1 =eEω

1τp− iω

∂f0

∂p=

eEωvτp

1− iωτp

∂f0

∂ε, (8.7)

где v =∂ε

∂p. Видно, что результат (8.7) действительно имеет вид (8.5) с χ =

eEω

ω(1− iωτp). С помощью (8.7)

легко вычислить плотность тока j

j = −e

∫2d3p

(2π~)3vf = −e

∫2d3p

(2π~)3vf1(p) =

ne2

m∗

⟨τp

1− iωτp

⟩Eω, (8.8)

где

〈g(ε)〉 = −(2m∗)3/2

3π2~3n

∞∫

0

dεε3/2 ∂f0

∂εg(ε), (8.9)

n — концентрация электронов, 〈g(ε)〉— кинетическое усреднение по энергии. При этом мы воспользовались

тем, что ε =p2

2m, а при усреднении по углам в импульсном пространстве

∫dϕ sin θdθv(v,E) =

∫dϕ sin θdθv2 cos2 θE =

∫dϕ

∫sin θ cos2 θdθv2E = 2π

13v2E.

Таким образом, из (8.8) получаем j(ω) = σ(ω)E(ω), где проводимость σ может быть вычислена, еслиизвестен механизм рассеяния импульса и, следовательно зависимость τp(ε). Если считать, что τp не зависит

от |p| ( только от ε), то σ(ω) =ne2

m∗τp

1−iωτp. Видно, что частотная дисперсия играет роль при ω & 1/τp.

При ω ¿ 1/τp (мы в дальнейшeм ограничимся этим случаем) σ =ne2

m∗ 〈τp〉 определяется усредненным

по энергиям временем релаксации. В вырожденном электронном газе, где∂f0

∂ε= δ(ε − εF ) 〈τp(ε)〉 =

τp(εF ). В невырожденном газе усреднение (8.9) надо выполнить честно, причем результат зависит от видазависимости τp.

50


Формулу j = σE часто записывают в виде

j = nevdr, vdr = µnE, j = neµnE, σ = neµn, (8.10)

где введена подвижность µn как коэффициент между E и (средней) дрейфовой скоростью vdr (не путатьсо скоростью v = p/m отдельного электрона и тепловой скоростью vth ∼

√T/m!!!). Согласно (8.10),

µn = e〈τp〉/m∗ и зависимость подвижности µ от температуры определяется температурной зависимостью〈τp(ε)〉. Часто зависимость τ(ε) = τ0ε

r, где τ0 может зависеть от температуры. Например, для рассеянияэлектронов на акустических фононах r = −1/2, τ0 ∼ 1/T , что после подстановки в (8.9) даёт µ(T ) ∼ T−3/2,(такой закон удовлетворительно описывает µ(T ), например, в n-Ge.

В полупроводниках, вообще говоря, надо учитывать вклад электронов и дырок

j = e(nµn + pµp)E, σ = e(nµn + pµp),

где n, µn и p, µp — концентрации и подвижности электронов и дырок, соответственно.

8.2 Стационарное решение кинетического уравнения при наличии элек-трического и магнитного полей и градиента температуры.

Запишем опять f(p) = f0(ε) + f1(p), f1 = −∂f0

∂εχ(ε)p и, подставив f(p) в (8.1) при

∂f

∂t= 0, будем искать

χ(ε). Если величина поля или температура зависят от координат, то∂f

∂r6= 0. Мы рассмотрим случай

слабой пространственной зависимости, когда внешние поля слабо меняются на длине свободного пробега

` = vT τ ( vF τ — для вырожденного случая). В этом случае можно пренебречь v∂f1

∂rпо сравнению с

f1

τ.

При подстановке f0 в∂f

∂rполучим:

∂f0

∂r=

∂f0

∂ε

∂ε

∂r+

∂f0

∂T

∂T

∂r=

∂f0

∂ε

µ− ε

TOT − Oµ

, (8.11)

где опять введено обозначение µ для химического потенциала.

В полевое слагаемое с E в линейном приближении достаточно подставить f0 в∂f

∂p, а вот в слагаемом

с H этого недостаточно, так как результат подстановки f0 обращается в 0:

[v, H]∂f0

∂p=

([v,H]

∂f0

∂ε

∂ε

∂p

)=

∂f0

∂ε([v, H],v) ≡ 0.

Поэтому для учета влияния магнитного поля в∂f

∂pнадо сохранить и

∂f1

∂p= − ∂

∂p

∂f0

∂εχ(ε)p

=

∂f0

∂εχ(ε)− p

(∂

∂p

∂f0

∂εχ(ε)

),

причём при подстановке в слагаемое с силой Лоренца второе слагаемое выпадает, поскольку ([v, H], v) ≡0.

В интеграле столкновений, естественно, останется только f1. В результате для χn(ε) (для определённостирассмотрим электроны)

1mn

µ− ε

TOT + O(eϕ− µ) +

e

c[H,χn]

=

χn

τn. (8.12)

51


Это линейное уравнение имеет решение

χn = − τn

mn

1

1 +(

eτnH

mnc

)2

P n +

eτn

cmn[H,Pn] + H

(eτn

cmn

)2

(HPn)

, (8.13)

где введена "обобщенная сила, действующая на электрон"

Pn = O(µ− eϕ) +ε− µ

TOT. (8.14)

Как и раньше, решение кинетического уравнения для дырок можно написать, не решая, а заменивиндексы ”n” на ”p”, поменяв знак заряда и заменив химпотенциал µ в (8.14) на −εG−µ (так как энергиядырок отсчитывается вниз, а начало отсчета энергии сдвинуто на εG от вершины валентной зоны).

8.3 Ток в неоднородном проводнике и градиент электрохимического по-тенциала.

Отметим очень важное обстоятельство. При OT = 0 и H = 0 из кинетического уравнения мы опятьполучим закон Ома, но в качестве внешнего поля будет стоять не электрическое поле E = −Oϕ, как воднородном случае (8.8), а градиент электрохимического потенциала:

j = σO(µ

e− ϕ

). (8.15)

Отсюда, во-первых, следует известный из статистической физики критерий равновесия: электрохимическийпотенциал в равновесных условиях постоянен. Во-вторых, из (8.15) следует, что наличие электрическогополя в проводнике не обязательно приводит к электрическому току. С такой ситуацией E 6= 0, j = 0мы уже сталкивались, когда изучали экранирование. Физический смысл (8.15) становится понятнее, есливоспользоваться выражением для плотности числа частиц (5.4) через химпотенциал µ. Мы для простоты

рассмотрим невырожденный случай, когда n = Nc expµ

kT, p = Nv exp

−εG − µ

kT. Тогда On =

n

kTOµ.

Подставляя Oµ в (8.15), получим:

j = σE + e (DnOn−DpOp) , (8.16)

где мы воспользовались определением σ = neµn + peµp, и ввели Dn =µnkTe , Dn =µnkT

e — коэффициентыдиффузии электронов и дырок. Формула (8.16) справедлива и для вырожденного случая, отличие лишьв том, что коэффициент диффузии по другому связан с подвижностью (не выполняется соотношениеЭйнштейна, справедливое для невырожденного газа).

8.4 Термоэлектрические эффекты.

Вычислим ток при наличии градиента температуры (и H = 0). Для этого подставим (8.13) в (8.5) и ввыражение для тока. Получим для тока электронов

jn =en

m∗n

〈τnPn〉 =en

m∗n

[O(µ− eϕ)〈τn〉 − µ

T〈τn〉OT +

ετn

TOT

]=

= nµn

[−eO

(ϕ− µ

e

)+

(〈ετn〉〈τn〉 − µ

)OT

T

]= σE + ηnOT, (8.17)

52


где время рассеяния импульса для электронов обозначено как τn и введен градиент электрохимическогопотенциала E = E + Oµ

e. (Не путать подвижность µn с химическим потенциалом, который как правило,

обозначается той же буквой µ!).Допустим, что вклад в ток дают только электроны. Из (8.17) следует, что OT вызывает плотность

тока, которая называется термотоком. В разомкнутом образце полный ток отсутствует, значит омическийток σE должен компенсировать термоток, т.е. возникает градиент электрохимического потенциала инапряжение

U12 =

1∫

2

Edx = αn(T2 − T1), (8.18)

где αn = ηn/σn называется коэффициентом Зеебека или дифференциальной термо-э.д.с. (Здесь T2 и T1

температуры точек 1 и 2 образца). Отметим, что возникает именно э.д.с. (разность электрохимическихпотенциалов, которая вызывает ток и может совершать работу), а не просто электрическое поле. Такаяэ.д.с. называется термо-э.д.с. (иначе — эффект Зеебека).

В случае, если есть несколько носителей заряда в проводнике

α =∑

ηi∑σi≡

∑αiσi∑σi

. (8.19)

Формула (8.19) получается тривиальным образом суммированием вкладов выражений (8.17) для различ-ных типов носителей заряда. Обратим внимание на одно важное обстоятельство. Так как формула тока(8.17) для дырок получается заменой знака перед e и µ на −µ−εG (химический потенциал отсчитываетсяот экстремума зоны), то коэффициенты ηn и ηp (и, следовательно, αn и αp) имеют противоположныезнаки, в то время как проводимости σn и σp — одинаковые. Значит, знак термо-э.д.с. определяется знакомдоминирующих носителей заряда, при этом возможна взаимная компенсация различных вкладов.

Оценим величину α. Из (8.18) и (8.19) имеем:

α =(

k

e

) (1

kT

)[〈τε〉〈τ〉 − µ

]. (8.20)

В вырожденном случае (металл, вырожденный полупроводник) усреднение по энергиям 〈〉 (см.(8.9))сводится к интегрированию τ(ε) δ - образной функций, так f0(ε) представляет собой ступеньку, размытуюна величину ∼ kT . В главном приближении по kT/µ 〈τε〉 = 〈τ〉µ и α = 0. Для получения ненулевоговклада надо учесть зависимость τ(ε). При τ(ε) = τ0ε

r вычисление интегралов 〈τε〉/〈τ〉 (см. (8.9)) дает

α =(

k

e

)π3

3(r +

32)(

kT

µ

). (8.21)

Для невырожденного полупроводника вычисление 〈〉 сводится к интегрированию с экспонентой идаёт

α =k

e

(r +

52− µ

kT

). (8.22)

Согласно (8.22), характерный масштаб α в полупроводниках значительно больше (на несколько порядков),чем в металлах , так как (8.21) содержит малый фактор kT/µ (в металлах). Типичные величины диффе-ренциальной термо-э.д.с. α в металлах — мкВ/К (микровольты на градус), а в полупроводниках - мВ/К(милливольты на градус).

53


Отметим также, что из (8.18) следует, что в замкнутом однородном полупроводнике суммарная термо-э.д.с. равна нулю. Зато в неоднородном случае, когда цепь состоит из 2-х материалов A и B (см. рис.)(термопара), наводится ненулевая термо-э.д.с.

V = αA(T1 − T2)− αB(T1 − T2) = (αA − αB)(T1 − T2).

Рассмотрим теперь другие тепловые эффекты. С помощью найденной нами функции распределенияможно вычислить поток энергии электронов

Wn =∫

2d3p

(2π~)3(ε− eϕ)vf

(n)1 (p). (8.23)

Полный поток энергии вычисляется суммированием по всем видам квазичастиц. Подставив в (8.23) функ-цию распределения и проинтегрировав, как это было сделано для плотности тока, мы получим в потокетепла (как в токе) слагаемые, пропорциональные полю E и OT . Исключив слагаемое с E помощьювыражения для тока, после длинных, но тривиальных вычислений получим для плотности потока энергии:

W =(ϕ− µ

e

)j −Πj − κOT, (8.24)

где Π называется коэффициентом Пельтье, и κ — коэффициентом электронной теплопроводности. Приэтом для Π будет выполняться равенство Π = αT , называемое соотношением Томсона, а для κ получитсявыражение

κ = σ1

e2T

〈ε2τ〉〈τ〉 − 〈ετ〉2〈τ〉2 . (8.25)

В вырожденном случае из (8.25) получится

κ = σπ2kT

3e2(8.26)

Согласно соотношению (8.26), называемому законом Видемана-Франца, отношениеκ

σTдолжно быть

одинаковым для всех металлов независимо от механизма рассеяния. (L =κ

σTназывается числом Лоренца).

Отклонения от закона Видемана - Франца могут возникнуть, если имеются отклонения от приближениявремени релаксации, а также в случаях, когда электронный вклад в теплопроводность не является доми-нирующим. Например в полуметаллах и полупроводниках поток тепла, переносимого фононами, можетбыть сравним или быть больше электронного вклада. Для невырожденного полупроводника из (8.25) приτn ∼ εrn , τp ∼ εrp (τn и τp времена рассеяния импульса электронов и дырок)

κ =k2T

e2

[(52

+ rn

)σn +

(52

+ rp

)σp

]+

[(5 + rn + rp) +

εG

kT

]2

σnσp

σn + σp. (8.27)

Если доминирует один тип носителей, то из (8.27) опять получим закон Видемана-Франца, но с другимчислом Лоренца, зависящим теперь от механизма рассеяния.

Рассмотрим теперь эффекты Пельтье и Томсона . Учтем, что в стационарном случае из уравнений

непрерывности для тока и для энергии следует divj = 0 и divW = 0 (так как∂ρ

∂t= 0 и

∂ρε

∂t= 0). Возьмём

div от потока тепла (8.24). Получим:

div(−κOT ) = j[OΠ + O

(µ

e− ϕ

)], (8.28)

54


где OΠ =dΠdT OT . Подставим O

(µ

e− ϕ

)в (8.28) из выражения для тока, получим:

div(−κOT ) =j2

σ+ j

(OΠ− Π

TOT

)=

j2

σ+ τT (j, OT ), (8.29)

где τT =dΠdT

− ΠT

= Td

dT

(ΠT

)= T

dα

dTназывается коэффициентом Томсона.

Из (8.29) видно, что выделение тепла, точнее нагрев в смысле изменения температуры. (т.е. div отпотока тепла, стоящая в левой части) состоит из двух членов: тепла Джоуля (1-ый член справа) и теплаТомсона (2-ой член),знак которого, в отличие от Джоулева тепла, изменяется при изменении направлениятока или OT .

Применим теперь (8.28) к границе 2-х проводников. Пусть при x < 0 Π = Π1, а при x > 0 Π = Π2.Проинтегрировав (8.29) по x от x− δx до x + δx, получим при δx → 0:

−κ1∂T

∂x

∣∣∣∣1

+ κ2∂T

∂x

∣∣∣∣2

= (Π1 −Π2)j, (8.30)

где мы учли, что ток j непрерывен на контакте.Слева в (8.30) стоит сумма потоков тепла к границе проводников. Согласно (8.30), в контакте выделяется

(или поглощается, в зависимости от знака правой части) тепло, пропорциональное плотности тока. Этотэффект называется эффектом Пельтье.

55

Глава 9

Гальваномагнитные явления

9.1 Эффект Холла

Рассмотрим явления переноса тока в случае, когда к образцу приложены электрическое и магнитное поля.Как известно из квантовой механики, в магнитном поле спектр электрона расщепляется на подзоны,

которые называются уровнями Ландау. Энергия электрона на разных уровнях отличается на величину

~ωc, где циклотронная частота ωc =eH

mc. Этот результат справедлив и для магнитных полей, в которых

радиус циклотронной орбиты велик по сравнению с межатомным расстоянием (что выполняется для всехдоступных полей H), и для блоховских электронов в твердом теле, если под m понимать эффективнуюмассу. Если ~ωc ¿ kT , то в кинетических процессах участвуют электроны со многих уровней Ландау,и можно пользоваться квазиклассическим приближением . Такие магнитные поля называются класси-ческими. В противоположном случае очень больших H, при которых ~ωc & kT , начинают играть рольотдельные уровни Ландау и классическое описание не годится. Такие поля называются квантующимимагнитными полями.

Будем считать, что OT = 0 и, следовательно, опустим термомагнитные эффекты.

Воспользуемся общим решением для функции распределения (8.13) при OT = 0, f = f0 − ∂f0

∂εχ(ε)p,

где для электронов

χn = −eτn

mn

E +eτn

mn[H,E] +

e2τ2n

mnc2H(H,E)

1 +(

eτn

mncH

)2 , (9.1)

а для дырок

χp =eτp

mp

E− eτp

mp[H,E] +

e2τ2p

mpc2H(H,E)

1 +(

eτp

mpcH

)2 . (9.2)

Если H‖E, то вторые члены в числителе выпадают, после чего числитель и знаменатель сокращаются.Таким образом, получаем ,что магнитное поле, приложенное вдоль электрического, никак не сказывается.Это утверждение верно для сферических энергетических зон. В случае анизотропного электронногоспектра магнитное поле в числителе и знаменателе не сократилось бы, что означало бы влияние магнитногополя на сопротивление (продольное магнетосопротивление). Таким образом, можно сделать вывод, что

56

Глава 9. Гальваномагнитные явления

продольное магнетосопротивление отсутствует в проводниках с изотропным энергетическим спектромэлектронов.

Рассмотрим теперь случай H ⊥ E. Тогда равен нулю последний член в числителях (9.1) и (9.2).Направим теперь ось z вдоль H. Тогда поле E может иметь компоненты Ex и Ey. Вычислим с помощью(9.1) и (9.2) ток. Получим для тока электронов

j(n)x = σ(n)

xx Ex + σ(n)xy Ey; j(n)

y = σ(n)yx Ex + σ(n)

yy Ey,

где

σ(n)xx = σ(n)

yy =ne2

mn

⟨τn

1 + ω2cnτ2

n

⟩, (9.3)

σ(n)xy = −σ(n)

yx = −ne2

mn

⟨ωcnτ2

n

1 + ω2cnτ2

n

⟩(9.4)

и введена циклотронная частота для электронов ωcn =eH

mnc. 〈〉 означает кинетическое усреднение:

〈g(ε)〉 = −(2m∗)3/2

3π2~3n

∞∫0

dεε3/2 ∂f0

∂εg(ε).

Для дырок имеют место соотношения, аналогичные (9.3),(9.4), которые получаются заменой в (9.3),(9.4)"n"на "p"и изменением знаков σxy и σyx (см. (9.1),(9.2)), которые пропорциональны нечетной степенизаряда e.

Рассмотрим теперь образец, в котором течет ток вдоль оси x, а ток jy = 0. Так как под действиемсилы Лоренца электроны приобретают компоненту скорости вдоль оси y‖[j,H], наряду с приложеннымполем Ex возникает и поле Ey, обеспечивающее выполнение условия jy = 0. Появление напряженности внаправлении, перпендикулярном току и магнитному полю называется эффектом Холла. Эффект Холлахарактеризуют постоянной Холла R, которая определяется как коэффициент в соотношении Ey = RHjx.

Вычислим постоянную Холла , воспользовавшись соотношением j = j(n)+j(p), где j(n) и j(p) определяютсяформулами (9.3) и (9.4). Получим

R =1H

σ(p)xy + σ

(n)xy

(σ(n)xx + σ

(p)xx )2 + (σ(n)

xy + σ(p)xy )2

. (9.5)

Отметим, что слагаемые в числителе (9.5) имеют разные знаки:

σ(p)xy =

pe2

mp

⟨ωcpτ

2p

1 + ω2cpτ

2p

⟩, σ(n)

xy = −ne2

mn

⟨ωcnτ2

n

1 + ω2cnτ2

n

⟩.

Поэтому при полной электрон - дырочной симметрии вклады электронов и дырок в эффект Холлаполностью компенсируют друг друга и R = 0.Рассмотрим важные частные случаи:

а) Слабое магнитное поле, ωcτ ¿ 1. При этом время свободного пробега много меньше периодаобращения электрона или дырки по циклотронной орбите. Пренебрегая σxy в знаменателе (9.5) и (σcτ)2

по сравнению с 1 в σ, получим

R =1ec

p

m2p

〈τ2p 〉 −

n

m2n

〈τ2n〉

(n

mn〈τn〉+

p

mp〈τp〉

)2 . (9.6)

57


В случае доминирования носителей одного знака

R =1

cep

〈τ2p 〉

〈τp〉2 (p− тип), R = − 1cen

〈τ2n〉

〈τn〉2 (n− тип). (9.7)

Формулы (9.7) часто используются для экспериментального определения концентрации и знака носителейзаряда. Если τ ∼ εr, то

b =〈τ2

p 〉〈τp〉2 =

〈ε2r〉〈ε〉2 =

1 для вырожденного газа,

3√

π

4

Γ(2r +52)

Γ2(r +52)

для невырожденного газа.

Например, при рассеянии на акустических фононах (r = −12), b =

3π

8≈ 1.18, а при рассеянии на

ионизованных примесях (r = −32), b =

315π

512≈ 1.93,.

Угол между j и E называется углом Холла

tgθ =Ey

Ex= RσH.

Для случая носителей одного знака

|tgθ| = 1nec

〈τ2n〉

〈τn〉2ne2〈τn〉

mn=

µnH

c

〈τ2n〉

〈τn〉 ¿ 1.

б) Классически сильное поле, ωcτ À 1. (Но классический случай, когда квантование Ландау не учи-тывается, то есть kT À ~ωc. В этом случае принято говорить о классически сильном магнитном поле.).Отбросим в (9.5) слагаемые порядка 1/ωc

R ≈ 1

H

(ne2

mn

1ωc− pe2

mp

1ωc

) =1

(p− n)ec. (9.8)

Отметим, что (9.7) не работает при p → n, так как при её выводе мы считали, что второе слагаемоев знаменателе больше первого, т.е. |n − p| À nc

(µn + µp)H. Как видно из (9.5) при точном равенстве

n = p,R = 0 (а не ∞).

9.2 Поперечное магнетосопротивление.

Поперечным магнетосопротивлением называется зависимость сопротивления, определенного как

ρ(H) =Ex

jx=

(E, j)j2

от магнитного поля H ⊥ E. Определим

M ρ

ρ=

ρ(H)− ρ(0)ρ(0)

= σxx(H = 0)Ex

jx− 1 (9.9)

58


и подставим Ex/jx в (9.9) из (9.3) и (9.4) при условии jy = 0. Получим для случая носителей одного типа:

M ρ

ρ=

〈τ〉⟨

τ

1 + ω2c τ

2

⟩

⟨τ

1 + ω2c τ

2

⟩2

+ ω2c

⟨τ2

1 + ω2c τ

2

⟩2 − 1. (9.10)

Из (9.3) видно ,что магнетосопротивление четно по H.а) Слабое магнитное поле, ωcτ ¿ 1.

Из (9.10)получим

M ρ

ρ= ω2

c

〈τ〉〈τ3〉 − 〈τ2〉2〈τ〉2 . (9.11)

В пренебрежении зависимостью τ(ε), M ρ = 0. В вырожденном случае ненулевой результат получается вовтором порядке по kT

M ρ

ρ=

π2

3r2[ωcτ(ε = µ)]2

(kT

µ

)2

.

В невырожденном полупроводнике и τ ∼ εr

M ρ

ρ= (ωcτ)2

9π

16(1− π

4), r = −1

2(акустические фононы)

15π8

(1− 6615π32768

), r =32

(ионизованные примеси)= O((ωcτ)2).

б) Классически сильное поле (ωcτ) À 1.

При (ωcτ) À 1(9.10) преобразуется к видуM ρ

ρ= 〈τ〉〈1

τ〉− 1. Опять M ρ = 0, если τ не зависит от энергии,

и опять в вырожденном газе магнетосопротивление мало по сравнению с невырожденным

M ρ

ρ=

π2

3r2

(kT

µ

)2

− вырожденный газ

M ρ

ρ=

329π

− 1, r = −12

(акустические фононы)323π

− 1, r =32

(ионизованные примеси)− невырожденный газ.

Таким образом, в пределе сильных магнитных полей магнетосопротивление выходит на насыщение и независит от H.

59

Глава 10

Разогрев электронного газа.

10.1 Время рассеяния энергии.

Как уже отмечалось, при приложении тока функция распределения начинает зависеть от углов, и удобнопредставить её в виде ряда по полиномам Лежандра. В линейном приближении по электрическому полюв функции распределения присутствовали две гармоники: гармоника с ` = 0, которая описываласьравновесной функцией распределения, и гармоника с ` = 1, которая описывала электрический ток, всеостальные гармоники с ` > 1 — малые следующих порядков по полю E. Когда поле становится сильным,то появляются высшие гармоники, а что важнее всего — изменяется распределение электронов по энергии,то есть происходит разогрев электронного газа — изменяется нулевая гармоника функции распределения.

Электронный газ получает от поля мощность jE в единице обьема кристалла. Электроны передают этумощность фононам. Скорость отдачи энергии электронным газом характеризуется временем релаксацииэнергии τe. Обсудим величину τe.

Как уже отмечалось, столкновения с примесями являются упругими, а столкновения с акустическимифононами — квазиупругими. Столкновения с оптическими фононами при низких температурах kT <~Ωopt вообще не играют роли, так как электронам не хватает энергии, чтобы испустить оптический фонон,а поглотить оптический фонон невозможно, так как оптических фононов при низких температурах нет.

Рассмотрим столкновение электрона с акустическим фононом. Пусть электрон испустил фонон симпульсом порядка его собственного (то есть фиктивно рассеял импульс и сильно изменил направлениедвижения) |M p| ∼ |p| . Из закона сохранения импульса следует,что M p = q, где q — импульс фонона.Значит p ∼ q. Изменение энергии электрона M ε = ~Ωq = sq ∼ sp. Относительное изменение энергииэлектрона

M ε

ε∼ sp

vp=

s

v.

Как мы уже отмечали s ∼ 105 см/c , а характерная скорость v в невырожденном полупроводнике v ∼vT ∼

√T/m∗ превышает скорость звука уже при T > 10 K, в металле v ∼ vF ∼ 108 см/с À s. Таким

образом, в каждом столкновении сильно рассеивается импульс и слабо — энергия.Но есть и вторая причина, по которой энергия рассеивается медленнее, чем импульс. Для рассеяния

импульса все равно, поглотился фонон или испустился, а скорость рассеяния энергии определяется разно-стью двух скоростей — испускания энергии при испускании фононов и поглощения энергии при поглощениифононов. Вероятность поглощения фонона пропорциональна функции распределения фононов

Nq =1

exp(~Ωq

kT )− 1=

12

(cth~Ωq

2kT− 1

),

60

Глава 10. Разогрев электронного газа.

а вероятность испускания фонона пропорциональна 1+Nq. Относительная доля превышения испусканияфононов над их поглощением равна

(NQ + 1)−NQ

(NQ + 1) + NQ=

12NQ + 1

= th~Ωq

2kT.

Поэтому отношение обратного времени рассеяния энергии к обратному времени рассеяния импульса,примерно совпадающему с частотой столкновений с фононами, может быть оценено как:

τ−1e

τ−1p

≈ s

v

12NQ + 1

=s

vth~Ωq

2kT. (10.1)

Мы будем рассматривать разогрев (10.1) электронного газа в полупроводниках, где эффекты разогревасущественнее, чем в металлах. Поэтому, учитывая, что в полупроводниках электроны находятся вблизиэкстремумов энергетических зон (энергия электрона ε ∼ vp ∼ T, Ωq ∼ sq ∼ sp ¿ T ) можно разложить

th~Ωq

2kTв (10.1) в ряд:

τ−1e

τ−1p

∼ s

v

~Ωq

kT∼

(s

v

)2∼ ms2

kT¿ 1. (при T & 1oK)

Таким образом, время рассеяния энергии на фононах больше времени рассеяния импульса на тех жефононах на фактор порядка kT/ms2 À 1.

Есть еще одна причина, по которой τe À τp. При низких температурах, когда фононы "вымораживают-ся"(то есть их вклад в рассеяние становится малым), рассеяние импульса часто определяется рассеяниемна примесях. Это значит, что результирующее время рассеяния импульса (то есть время рассеяния и напримесях и на фононах) становится гораздо меньше времени рассеяния импульса на фононах, которое, всвою очередь, меньше времени рассеяния энергии электронами на фононах: τe À τ

(ph)p À τp.

Рассеяние энергий электрона может происходить из-за межэлектронных столкновений, причем приочень низких температурах соответствующее время релаксации становится меньше времени рассеянияэнергии на фононах. Однако межэлектронное рассеяние приводит лишь к перераспределению энергиимежду электронами, не приводя к отдаче энергии от электронного газа в термостат.

10.2 Горячие электроны, электронная температура.

Рассмотрим эффекты второго порядка по электрическому полю. Напишем кинетическое уравнение:

∂f

∂t+ v

∂f

∂r− eE

∂f

∂p= I

(ph)st f+ I

(ee)st f, (10.2)

где I(ph)st — интеграл столкновений с фононами и примесями, I

(ee)st — интеграл межэлектронных столкно-

вений. Представим функцию распределения в виде суммы симметричной части (при малой неупругостистолкновений она с большой точностью равна функции распределения по энергиям, но не совпадает сравновесной) и антисимметричной части, которая описывает ток. f = f0(ε, r, t) + f1(p, r, t). Разобьем всеслагаемые в (10.2) на симметричные и антисимметричные:

∂f0

∂t+ v

∂f1

∂r− eE

∂f1

∂p= I

(ph)st f0+ I

(ee)st f0, (10.3)

∂f1

∂t+ v

∂f0

∂r− eE

∂f0

∂p= I

(ph)st f1+ I

(ee)st f1 (10.4)

61


Рассмотрим второе уравнение, которое в линейном приближении мы уже решали. В приближениивремени релаксации I

(ph)st = −f1/τp, а I

(ee)st практически не влияет на рассеяние импульса, так как в

столкновениях полный импульс электронов не меняется. Таким образом, (10.4) позволяет выразить анти-симметричную часть f1 через симметричную и вычислить ток по известной f0.

f1 =1

−iω + 1/τp

[eE

∂f0

∂p− v

∂f0

∂r

]. (10.5)

В уравнении (10.3) для f0 интеграл I(ee)st f0 описывает рассеяние энергии на фононах и может быть

оценен как (f0 − f0F )/τe (где f0F — фермиевская функция). Интеграл межэлектронных столкновенийобращается в 0 при подстановке равновесной функции распределения f0F (ε, T ∗) с любой температуройT ∗ и имеет порядок величины (f0−f0F (ε, T ∗))/τee. Общий путь решения (10.3) - (10.4) состоит в том, чтобыподставить (10.5) в (10.3) и получить уравнение для f0, содержащее члены ∼ E2, и решить его. Найденноерешение f0 позволит вычислить и среднюю энергию электронов и (с помощью (10.5)) проводимость,которая теперь будет зависеть от электрического поля. Мы ограничимся частным, но физически простымслучаям, когда τee ¿ τ

(ph)e . При очень маленьких τee последний член в (10.3) становится доминирующим, а

значит приближенное решение (10.3) при малых τee сводится к решению уравнения I(ee)st f0 = 0, которое

удовлетворяется функцией f0F (ε, T ∗) с любой температурой T ∗. Таким образом, в первом приближении

f0 = f0F (ε, T ∗).

Значение температуры электронов T ∗ находят из уравнения баланса энергии, которое получается умно-жением всех слагаемых в (10.3) на энергию электронов и последующим интегрированием по импульсам:

∂nu

∂t+ div w − jE = −P (T ), (10.6)

Здесь u =∫ 2d3p

(2π~)3 εf0 — средняя энергия одного электрона,w =∫ 2d3p

(2π~)3 εvf1 — плотность потока энергииэлектронов, j — плотность электрического тока (при получении третьего слагаемого было использовано

интегрирование по частям: ε∂n∂p= ∂

∂p(εn) − n∂ε∂p ). P (T ) =

∫ 2d3p(2π~)3 εIph

st — мощность, передаваемая элек-тронами фононам. Ее можно представить в виде

P (T ) = nCeT ∗ − T

τe(T ), (10.7)

где τe — время релаксации энергии (точнее электронной температуры), Ce =32k — теплоемкость электрон-

ного газа, приходящаяся на один электрон. Интеграл с последнего слагаемого в (10.3) обращается в нуль,так как он описывает уход энергии из электронной системы в результате межэлектронных столкновений.

В стационарном и однородном случае (10.6) с учетом (10.7) дает простое уравнение для электроннойтемпературы:

σE2 = n32

k(T ∗ − T )τe

, σ =ne2τp

m,

то есть

T ∗ = T +32

e2E2

mkτpτe (10.8)

По порядку величины (10.8) можно применять для средней энергии электронного газа в поле E и дляслучая, когда τee не является доминирующим над τ

(ph)e , то есть представление об электронной температуре

не является строгим.

62


Уравнение (10.8) также дает ответ на вопрос, когда можно пренебрегать разогревными эффектами,ограничиваясь линейными по E членами в кинетическом уравнении. Это возможно, если T ∗−T ¿ T , тоесть, согласно (10.8), при

kT À e2E2

mτpτe =

e2E2

kT

(τpkT

m

)=

e2E2`2e

kT, (10.9)

где мы ввели длину энергетической релаксации è =√

Dτe, D — коэффициент диффузии, согласносоотношению Эйнштейна, равный µnkT/e, где µn = eτp/m.

Длина энергетической релаксации è ∼ v√

τpτe много больше длины свободного пробега ` = vτp.Длина ` имеет смысл расстояния, проходимого электроном за время τe (при этом электрон движетсядиффузионным образом, как и положено броуновской частице, на которую действуют случайные силысо стороны рассеивателя; путь, проходимый при диффузионном движении s ∼ √

Dt). Условие малостиразогревных эффектов (10.9) в результате принимает вид:

eEè ¿ kT,

то есть, если работа, которую совершает поле над электроном на длине релаксации энергии, меньше еготепловой энергии, то разогревом электронного газа можно пренебречь.

63

Глава 11

Контактная разность потенциалов.Неоднородные электронные системы

11.1 Работа выхода

Для того, чтобы удалить электрон через поверхность проводника наружу, требуется совершить работуW . Эта работа называется работой выхода, она зависит не только от объёмных свойств проводника, нои от вида поверхности (кристаллического направления, вида обработки). Рассмотрим проводник (x < 0),граничащий с вакуумом (x > 0). Для электрического потенциала имеем уравнение Пуассона:

d2ϕ

d2x= −4πρ. (11.1)

Интегрируем (11.1) два раза, и при втором интегрировании интегрируем по частям:

dϕ

dx= −4π

x∫

−∞ρdx

ϕ(x)− ϕ(−∞) = −4πx

x∫

−∞ρdx + 4π

x∫

−∞xρdx. (11.2)

Ввиду электронейтральности всего проводника первый интеграл в (11.2) стремится к 0 при x → ∞.Поэтому

W = ϕ(+∞)− ϕ(−∞) = 4π

+∞∫

−∞xρdx. (11.3)

Таким образом, разность потенциалов, равная работе выхода, определяется дипольным моментом зарядов,распределенных на поверхности. То есть работа выхода электрона связана с образованием на поверхностидвойного слоя, в котором возникают противоположные заряды на поверхности.

11.2 Контакт металл-полупроводник.

Рассмотрим контакт двух проводников, например, металла и полупроводника. В равновесии разностьэлектрохимических потенциалов между ними должна отсутствовать. В то же время, до контакта, каждый

64

Глава 11. Контактная разность потенциалов. Неоднородные электронные системы

Рис. 11.1: Контакт металл-полупроводник

из них имеет свой уровень химического потенциала и, вообще говоря, µS 6= µM (рис. 11.1. Это значит,что в первый момент после контакта потечет диффузионный ток и будет течь до тех пор, пока ненаберется разность зарядов, создающая электрическое поле, препятствующее дальнейшему протеканиютока. Равновесие установится, когда возникнет постоянный электрохимический потенциал (уровень Ферми).При этом ток j = −σO

(ϕ− µ

e

)= 0. Или, что то же самое, j = enµE + eDOn = 0, то есть дрейфовый и

диффузионный токи компенсируют друг друга.При этом в приконтактной области возникнет контактная разность потенциалов:

ϕk =

+∞∫

−∞Oϕdx =

+∞∫

−∞O

(µ

e

)= µS − µM . (11.4)

Отметим, что в зависимости от вида материалов может быть как ϕk < 0, так и ϕk > 0. Используяпотенциальность электрического поля, можно утверждать, что разность потенциалов должна быть тойже самой, если мы переместим электрон не прямо из одного проводника в другой, (т.е. от x = −∞ вx = +∞), а сначала переместив электрон в вакуум (достаточно далеко от проводников), а затем в другойпроводник. При этом мы получим, что ϕk = W1 − W2, то есть контактная разность потенциалов равнаразности работ выхода материалов.

Работу выхода часто определяют как разность между уровнем химического потенциала и уровнемпотенциала вакуума.

Длина, на которой спадает приконтактное электрическое поле, очевидно, определяется длиной эк-ранирования. В металле эта длина очень мала, порядка межатомных расстояний, а в полупроводнике— велика, так как концентрация носителей заряда мала по сравнению с металлом. Поэтому, с большойстепенью точности, в контакте металл-полупроводник вся контактная разность потенциалов падает вполупроводнике. Координатную зависимость ϕ(x) легко найти из условия, что в равновесии,

µ = eϕ, n =∫

2d3p(2π~)3

fF (ε + eϕ) (11.5)

и уравнение Пуассона:

d2ϕ

dx2=

4πe

κ(n− n0), (11.6)

65


Рис. 11.2: p-n переход

где κ — диэлектрическая проницаемость, n0 — концентрация электронов в глубине проводника. Если естьдырка, то (11.6) надо дополнить зарядом дырок ∝ e(p − p0). В результате, выполняя интегрирование в(11.5), как мы это делали в разделах 5 и 8, подставляя (11.5) в (11.6), получим нелинейное дифференциальноеуравнение второго порядка для ϕ, которое нужно решать с граничными условиями ϕ(∞) = 0, ϕ(0) = ϕk.Если контактная разность потенциалов мала: eϕk ¿ kT , то задача сводится к линейному экранированию.

Например, для невырожденного полупроводника n = n0 exp(eϕ(x)kT

),

d2ϕ

dx2= −4πe

κn0

(exp

eϕ(x)kT

− 1)

. (11.7)

В предельном случае линейного экранирования экспоненту можно разложить в ряд:

d2ϕ

dx2=

1L2

D

ϕ,1

L2D

=4πe2n0

κkT(11.8)

ϕ(x) = ϕk exp (− x

LD). (11.9)

LD — длина экранирования Дебая (смотрите разделы 6 и 8).Аналогично контакту металл - полупроводник можно рассмотреть и контакт двух полупроводников,

например, p-n переход. В этом случае,конечно, поле E будет существенным образом проникать в обаматериала, так как длины экранирования оказываются сравнивыми (рисунок 11.3).

11.3 Низкоразмерные электронные системы.

Рассмотрим ещё один интересный тип контактов — гетеропереход — контакт полупроводников с разнойεG. На практике это обычно GaAs/AlxGa1−xAs (типичные значения x ≈ 0.3, при этом M εG ≈ 0.4эВ). [рисунок 11.3] Современная техника позволяет получать резкую границу гетероперехода размеромпорядка межатомных расстояний. В области изгиба зон в GaAs возникает ситуация, когда электроныв зоне проводимости оказываются в потенциальной яме, по форме близкой к треугольной. Характерная

66


Рис. 11.3: Гетеропереход

величина электрического поля может быть оценена как E ∼ ϕk

LD∼ 105 В/см. Спектр электронов в яме

можно найти с помощью уравнения Шредингера, справедливого в приближении эффективной массы,применимом, если область локализации волновой функции много больше межатомных расстояний. Вполупроводниках это, как мы уже отметили, возможно за счёт малой эффективной массы m∗ и большойдиэлектрической проницмости κ.

Спектр в яме квантуется и имеет вид

εi(kx, ky) = ε0i +

~2

2

(k2

x

mx+

k2y

my

), (11.10)

где x − y — плоскость, параллельная границе раздела. Если kT ¿Mε0i , то все электроны сосредоточены

в одной энергетической подзоне и ведут себя как двумерные . Таким образом, в результате размерногоквантования возникает двумерный электронный газ.

Ещё один способ создания 2D-газа — приложить напряжение к металлическому электроду, отделённомуот полупроводника тонким слоем диэлектрика. Такая структура называется МДП - структура. Чащевсего она создаётся на основе p − Si, а роль диэлектрика играет тонкий слой окисла SiO2(∼ 10−5

см.). Приложенное к металлическому электроду ( затвору ) напряжение создаёт электрическое поле,которое экранируется в полупроводнике, в результате чего возникает изгиб зон и потенциальная яма,величина которой определяется приложенным к затвору напряжением VG (G — от gate — затвор). Еслинапряжение таково, что дно ямы опускается ниже химического потенциала, возникает инверсионный слой(с носителями заряда противоположного знака по сравнению с объёмом полупроводника). При низкихтемпературах в инверсионных слоях наблюдается электронный 2D - газ.

Плотность состояний N(ε) в этом случае (для изотропной массы):

2d2k

(2π)2=

2 · 2π2kdk

(2π)2=

2π

kdk =2m∗

π~2dε ≡ N(ε)dε (11.11)

(ε =

k2~2

2m∗ ; dε =~2k

m∗ dk;k = (kx, ky))

.

Видно, что N(ε) не зависит от ε.Аналогично двумерному электронному газу можно рассмотреть одномерный электронный газ в квантовых

проволоках, когда размерное квантование происходит по двум направлениям и энергия зависит от одной

67


Рис. 11.4: МДП - структура

Рис. 11.5: плотность состояний в двумерном электронном газе

68


компоненты импульса. В этом случае в пределах одной подзоны N(ε) ∝ 1/√

ε− ε0i . В 0-мерной квантовой

яме (квантовой точке) N(ε) ∝ δ(ε− ε0i ).

Существуют также естественные низкоразмерные электронные системы. Например, графен - монослойграфита - это чисто двухмерная система. Дело в том, что графит имеет слоистую структуру, он состоитиз довольно слабо связанных между собой проводящих слоев углеродных атомов, образующих внутрислоев структуру, напоминающую пчелиные соты. А углеродные нанотрубки, которые можно представитьсебе, как свернутый в трубочку лист графена, являются одномерной электронной системой.

Эффекты, связанные с пониженной размерностью могут проявляться также в сильно анизотропныхтрехмерных кристаллах. Если кристалл состоит из слабо связанных проводящих слоев, он называетсяквазидвумерным проводником. Примером подбного материала является упомянутый выше графит, атакже многие высокотемпературные сверхпроводники. Соответственно, квазиодномерными называютсяпроводники, состоящие из проводящих нитей, электронные переходы между которыми затруднены. При-мером квазиодномерных проводников являются многие органические проводники и проводящие полимеры,а также ряда неорганических материалов.

Исследования свойств электронов в низкоразмерных систем являются сейчас одной из самых горячихобластей физики твердого тела. Интерес к ним вызван тем, что в одномерном и двумерном случаях вэлектронных системах наблюдаются качественно новые физические явления, отсутствующие в обычныхтрехмерных системах электронов, кроме того, ожидается, что низкоразмерные системы окажутся пер-спективными для практического использования в приборах электронной техники.

Ярким примером явления, отсутствующего в трехмерных системах, но наблюдающегося в двухмерныхпроводниках, является квантовый эффект Холла. Одномерные электронные системы изучены меньше,чем двухмерные, причем это связано не только с технологическими трудностями изготовления такихсистем. Дело в том, что к одномерным системам неприменима теория ферми-жидкости Ландау, хорошоописывающая электроны в трехмерных проводниках. Согласно теории ферми-жидкости низкоэнергети-ческими элементарными возбуждениями в системе взаимодействующих электронов являются свободныеэлектроны и дырки. А в одномерных проводниках такие одноэлектронные возбуждения оказываютсянеустойчивыми при сколь угодно слабом межэлектронном взаимодействии, так вместо ферми-жидкостиобразуется состояние, называемое жидкостью Латтинджера, в котором элементарными возбуждениямиявляются коллективные колебания - волны плотности заряда и плотности спина. С подобной ситуацией мыуже встречались при описании возбуждений кристаллической решетки, где элементарными возбуждениямиоказывались не движения отдельных атомов, а коллективные фононные моды.

Следует также отметить, что при понижении размерности системы увеличивается роль тепловых иквантовых флуктуаций, а также влияние примесей и дефектов. В одномерных системах это приводит кочень болшим отличиям от привычного поведения обычных электронных систем.

69

Глава 12

Сверхпроводимость.

12.1 Эффективное электрон-электронное взаимодействие через фононы.

Сверхпроводимость возникает из-за межэлектронного притяжения. Откуда может возникнуть притяжение,если известно, что электроны отталкиваются по закону Кулона? Притяжение возникает из-за взаимодей-ствия электронов с кристаллической решёткой (с фононами). Дело в том, что электроны поляризуютрешетку, и возникающая поляризация чувствуется другими электронами, в результате чего и возникаетэффективное притяжение. Отметим, что сказанное относится к обычным, не высокотемпературным,сверхпроводникам. Механизм высокотемпературной сверхпроводимости сложнее и до конца еще не выяснен.

Строгий расчет межэлектронного взаимодействия в присутствии фононов в реальном веществе —очень сложная задача. Но основные качественные черты, полностью отражающие физическую природувзаимодейстия, можно изучить на примере простейшей модели, в которой ионы описываются как наборчастиц, взаимодействующих по закону Кулона, как между собой, так и с электронами. Такое приближениенеплохо описывает продольные акустические волны в металле.

Мы до сих пор изучали экранирующее действие электронов. В частности когда выводили формулуЛиндхарда для диэлектрической проницаемости. Сейчас мы учтем экранировку взаимодействия всемизаряженными частицами в металле — электронами и ионами, для чего вычислим полную диэлектрическуюпроницаемость (εt) с учетом вкладов электронов и ионов ("t— oт total).

Вспомним определение диэлектрической проницаемости:

εtϕt = ϕext, (12.1)

где ϕt — полный потенциал, возникающий в результате реакции среды с диэлектрической проницаемостьюεt на внешний потенциал ϕext. Если бы мы рассматривали как среду только электроны, то потенциал ионовϕion играл бы вместе с ϕext роль внешнего потенциала, и мы написали бы

εelϕt = ϕext + ϕion, (12.2)

где εel — диэлектрическая проницаемость электронов в отсутствии ионов, которую мы вычисляли поформуле Линдхарда.

С другой стороны, мы можем считать средой "голые"(по-английски "bare") ионы, а электроны отнестик внешнему потенциалу:

εionϕt = ϕext + ϕel. (12.3)

Таким образом, мы имеем три уравнения, позволяющие вместе с очевидным равенством

ϕt = ϕel + ϕion + ϕext (12.4)

70

Глава 12. Сверхпроводимость.

найти εt через εel и εion. Сложив (12.2) и (12.3) и, вычтя из них (12.1), получим

(εel + εion − εt)ϕt = ϕel + ϕion + ϕext. (12.5)

С учетом (12.4) из (12.5) следует

εt = εel + εion − 1, (κt = κel + κion) (12.6)

Отметим, что нам понадобится εel в пределе частот много меньше плазменной, поэтому воспользуемсястатическим пределом формулы Линдхарда, описывающим экранирование Томаса-Ферми:

εel = 1 +λ2

q2; λ2 =

6πne2

εF, (12.7)

где 1/λ — радиус экранирования. Вычислим теперь диэлектрическую проницаемость голых ионов. Запи-шем уравнение движения голых (в отсутствии электронов) ионов в пределе высоких частот, когда ионыведут себя как свободные

MXi = ZeE. (12.8)

Это уравнение не описывает реальное движение ионов, так как не учитывает экранировку электронами.Мы решаем (12.8) для вычисления εion голых ионов, а не для вычисления спектра фононов. Из (12.8)получим:

−ω2MX = ZeE. (12.9)

Для вектора поляризации P получим

P = eXN = −Ne2Z

Mω2, D = E + 4πP = E

(1− 4πZe2N

Mω2

). (12.10)

Т.к. D = εE, из (12.10) получим

εion = 1− Ω2pl

ω2, (12.11)

где Ω2pl =

4πZe2N

Mотличается от электронной плазменной частоты ωpl тем, что стоит заряд иона Ze и

масса иона M . Поэтому Ωpl ¿ ωpl.Отметим, что было бы неправильно пытаться искать спектр колебаний ионов из условия εion = 0

(Обычное условие предельных колебаний ε = 0 следует из условия divD = divεE = 0, которое выполняетсялибо при E = 0, когда нет колебаний, либо при ε = 0,E 6= 0, когда колебания есть). Правильныйспособ вычислять спектр состоит в рассматривании "одетых"("dressed") ионов. Ведь в адиабатическомприближении электроны успевают подстраиваться к мгновенному распределению ионов и, следовательно,поля, созданные смещением ионов, ослабляются в εel раз. Это также приводит к уменьшению частотыголых ионов Ω2

pl в εel раз. В простейшем виде это легко понять из следующих рассуждений: Для голыхионов MX = −kX/, где справа — возвращающая сила, k/M = Ω2

pl. Для одетых ионов сила ослабленаэкранировкой ионов: kXεel, соответственно, фононные частоты:

Ω2q =

k

εelM=

Ω2pl

εel=

Ω2pl

1 +λ2

q2

=Ω2

plq2

λ2 + q2. (12.12)

71


Согласно (12.12) спектр фононов имеет в пределе малых q привычный звуковой вид: Ωq = sq, где s =Ωpl/λ — скорость звука. Итак, подставляя (12.7) и (12.11) в (12.6), получим полную диэлектрическуюпроницаемость

εt = 1 +λ2

q2− Ω2

pl

ω2. (12.13)

С помощью (12.12), выразим εt в (12.13) через фононные частоты. Получим стандартное выражение

1εt(ω, q)

=q2

(q2 + λ2)ω2

ω2 − Ω2q

. (12.14)

Формула (12.14) позволяет вычислить полную энергию взаимодействия электронов. Для этого надо ку-лоновское взаимодействие поделить на εt(ω, q):

veff (ω, q) =Vcoulomb

εt=

4πe2

q2εt(ω, q)=

4πe2ω2

(q2 + λ2)(ω2 − Ω2q)

=4πe2

q2 + λ2

(1 +

Ω2q

ω2 − Ω2q

)(12.15)

Первый член в (12.15),4πe2

q2 + λ2есть экранированное Кулоновское взаимодействие, а второй член — добавка

от взаимодействия с решеткой, т.е. электрон-фононное взаимодейстие, отвечающее при малых частотахω < Ωq притяжению. Матричный элемент взаимодействия электронов с энергиями ε и ε+ω и импульсамиp и p + q есть

〈ε,p|veff (r, t)|p + q, ε + ω〉 =∫

d3rdte−iωt+iqrveff (r, t) ≡ veff (ω,q).

Таким образом, (12.15) и определяет матричный элемент взаимодействия двух электронов, разностьэнергий которых есть ω, а разность импульсов — q.

Если учесть, что плотность состояний фононов при малых q и Ω растет с Ωq:

2π

(2π)2q2dq =

1(2π)

Ω2q

s3dΩq,

N(Ωq) ∝ Ω2q ∝ q2, то ясно, что основной вклад во взаимодействие (после суммирования по всем фононам)

дадут коротковолновые (высокочастотные) фононы с q ∼ qD ∼ π/a и Ω ∼ ωD (ωD — Дебаевская фононнаячастота ωD ∼ Ωpl). А значит притяжение будет при ω < ωD. То есть притягиваются электроны с энергиямиε в узком слое шириной ∼ ωD около поверхности Ферми. (Напомним, что в металлах εF À ωD/).

Отметим, что кулоновское отталкивание и фононное притяжение в (12.15) при малых ω почти компен-сируют друг друга, но все-таки фононное притяжение побеждает. Если выйти за рамки нашей простоймодели, то окажется, что и кулоновское отталкивание, и фононное притяжение несколько отличаются от(12.15) в зависимости от параметров вещества может доминировать либо то, либо другое. С этим связантот факт, что примерно половина металлов — сверхпроводники, вторая половина — нет.

Проанализируем еще фононное притяжение, забыв о кулоновском отталкивании:

veff (ω, q) = V 2q

Ω2q

ω2 − Ω2q

. (12.16)

При малых ω и q (в металлах расстояния 1/λ ∼ межатомного расстояния) из (12.16) получаем отрицательнуюконстанту, то есть в координатном представлении мы получили бы точечное взаимодействие veff (x) ∼−|V0|δ(x). Именно такой модельный потенциал в виде притяжения в одной точке соответствует моделиБКШ (Бардина-Купера-Шриффера). Дальше мы будем пользоваться моделью БКШ.

72


12.2 Куперовские пары.

Итак, электроны притягиваются и можно было бы ожидать, что могут появиться связанные состояния ввиде пары электронов. Какие пары могли бы образоваться?

Так как взаимодействие не зависит от угла вектора q, то есть оно изотропно, оно соответствует S- состоянию. Следовательно, волновая функция относительного движения оказалась бы зависящей от|r1 − r2| и была бы симметрична относительно перестановки частиц. Но поскольку полная волноваяфункция должна быть антисимметрична, то значит спиновая функция не должна быть симметричнойотносительно перестановки частиц, то есть у электронов не должны быть одинаковые спины. То есть впару могут связаться только электроны с противоположными спинами.

Иначе к этому выводу можно было придти, исходя из того, что принцип Паули запрещает двумодинаковым фермионам находиться в одной точке, чтобы образовать связанное состояние, они должныиметь противоположные спины.

Решение в виде связанных пар было найдено Купером. Следующий шаг мог бы быть рассмотрениеБозе-конденсации пар, которая к моменту работы Купера уже была объяснена для Бозе-частиц. Однакокуперовские пары нельзя рассматривать как независимые частицы. Действительно, притяжение имеетместо в интервале энергий ~ωD, или импульсов электронов ~ωD/v (v — скорость на поверхности Ферми).Согласно соотношению неопределенности это соответствует размеру потенциальной ямы v/ωD ∼ (v/ωD)a,где a — межатомное расстояние. Значит размер пары окажется не меньше размеров ямы (на самом деле,если посчитать, то даже намного больше). Так как среднее расстояние между электронами в металле∼ a, то получается, что у Куперовских пар размер много больше расстояния между парами, значитпредставление о сверхпроводнике, как о Бозе-газе пар — неверное.

12.3 Фазовый переход и спонтанное нарушение симметрии.

Между экспериментальным открытием (1911 г.) и теоретическим объяснением сверхпроводимости прошло46 лет. Наряду с трудностью в объяснении природы притяжения между электронами существовала ещеодна причина, по которой потребовалось так много лет для объяснения сверхпроводимости. Дело в том,что ее нельзя было (как и всякий фазовый переход) получить по теории возмущений.

Всякий фазовый переход второго рода связан с понижением симметрии системы. Например, в фер-ромагнитном состоянии, существует выделенное направление магнитного момента, то есть состояние неявляется изотропным. (Симметрия восстанавливается после усреднения по всем возможным направленияммагнитного момента). В то же время выше температуры Кюри система изотропна, то есть ее симметриясовпадает с симметрией шара.

При образовании кристалла из газа происходит нарушение трансляционной инвариантности. В газесистема трансляционно инвариантна, а в кристалле — нет, инвариантность имеется лишь по отношениюк сдвигу на период решетки, а не на любое расстояние.

Если бы мы пытались по теории возмущений получить менее симметричное состояние из симметричного,ничего бы не вышло, так как каждый член в ряду теории возмущений обладал бы симметрией исходногосостояния. Поэтому нужно с самого начала предположить, что в системе имеется ненулевая величина,нарушающая симметрию, которая отсутствует в симметричной фазе. Такая величина называется пара-метром порядка. Например, в случае ферромагнетика параметром порядка может служить магнитныймомент, а в случае кристалла — Фурье-компонента плотности частиц с волновым числом, равным 2π/пе-риод.

Еще одно важное обстоятельство — с фазовым переходом связано нарушение какого-нибудь законасохранения в системе. Например, при образовании кристалла теряется закон сохранения импульса (остаетсяболее слабый закон сохранения квазиимпульса), а в случае с ферромагнетиком теряется закон сохранениямомента импульса, связанный с изотропностью пространства. Во всех случаях идет речь о сопряженных

73


величинах, которые связаны между собой соотношением неопределенности в квантовой механике. Теряетсяинвариантность относительно смещения по х — нарушается закон сохранения импульса в примере окристалле. А в примере о ферромагнетике речь идет о паре угловых моментов импульса.

В сверхпроводнике в роли такой пары выступают фаза волновой функции и числом частиц, которыев квантовой механике связаны соотношением неопределенности. Возникает определенная фаза волновойфункции и теряется закон сохранения числа частиц.

12.4 Метод самосогласованного поля в теории сверхпроводимости.

Из квантовой механики известно представление чисел заполнения (или иначе — метод вторичного кван-тования), в котором вводятся операторы рождения и уничтожения частицы в состоянии n: a+

n и an.Причем в качестве n можно выбирать разные переменные. Например, импульс p и спин α (a+

pα, apα). Аможно и координату. Операторы рождения и уничтожения частицы в точке r со спином α (α = 1

2 или 12)

ψ+(r, α) =∑

k

e−ikra+kα, ψ(r, α) =

∑

k

eikrakα (12.17)

Операторы ψ(r, α) антикоммутируют с ψ(r′, α) (а ψ+(r, α) с ψ+(r

′, α)), а для ψ и ψ+ выполняется соотно-

шение

ψ+(r, α)ψ(r′, α) + ψ(r

′, α)ψ+(r, α) = δαβδ(r− r

′), (12.18)

которое следует из соотношения

a+pαap′α + ap′αa+

pα = δαβδpp′ . (12.19)

Как показано в учебниках квантовой механики, гамильтониан в представлении операторов ψ и ψ+ записы-вается как выражение для энергии системы в состоянии с волновой функцией ψ(r, α), где вместо волновойфункции стоит ψ(r, α). Гамильтониан, таким образом, имеет вид

H = H0 + Hint, (12.20)

H0 =∑α

∫d3rψ+(r, α)

[(p− e

cA)2

2m+ U0(r)

]ψ(r, α) (12.21)

Hint =12

∑

αβ

∫d3rd3r

′ψ+(r, α)ψ+(r

′, β)vint(r− r

′, α, β)ψ(r

′, β)ψ(r, α), (12.22)

где A — векторный потенциал, U0(r) — потенциал, в котором находятся электроны, vint — потенциалвзаимодействия. В приближении БКШ vint(r− r

′, α, β) = −V δ(r− r

′)δ↑↓. Поэтому

HBSCint = −1

2V

∫d3rψ+(r, α)ψ+(r, β)ψ(r, β)ψ(r, α) (12.23)

Переход от взаимодействия к приближению самосогласованного поля состоит в замене четверки операто-ров на пару, умноженную на функцию, описывающую самосаглосованный потенциал, так что слагаемоетипа (12.22) или (12.23) заменяется на слагаемое типа второго члена в (12.21) с самосогласованнымпотенциалом U(r), который затем определяется из минимума энергии системы.

Боголюбов предложил заменить (12.23) на эффективный гамильтониан самосогласованного поля, вкотором введено два самосогласованных поля

∫d3rU(r)ψ+(r, α)ψ(r, α) — что соответствует приближению

Хартри-Фока,

Heffint =

∫d3r

[M (r)ψ+(r, ↑)ψ+(r, ↓)+ M∗ (r)ψ(r, ↓)ψ(r, ↑)

], где (12.24)

74


M (r) = V 〈N |ψ(r, ↑)ψ(r, ↓)|N + 2〉 (12.25)

(|N〉 — подразумевает усреднение по состоянию системы N частиц, а |N + 2〉 — соответственно, изN + 2 частиц). То есть введено предположение о существовании ненулевого среднего поля вида (12.25),которое в обычных (несверхпроводящих) системах равно нулю, так как оно не сохраняет число частиц,первое слагаемое в (12.24)увеличивает число частиц на 2, а второе (добавленное так, чтобы (12.24)было эрмитовым) — уменьшает на два. Несохранение числа частиц для большой системы не является"криминалом".

Итак, рассмотрим эффективный гамильтониан:

Heff = H0 + Heffint (12.26)

и опустим слагаемые, содержащие внешнее поле U0 (и эффективное поле Хартри-Фока, не имеющееотношения к сверхпроводимости, а лишь перенормирующая спектр электронов в нормальном состоянии).

Для нахождения собственных состояний гамильтониана (12.26) надо привести его к диагональномувиду

Heff = E0 +∑n,α

εnγ+nαγnα, (12.27)

где εn — энергия квазичастицы в состоянии n, E0 — энергия основного состояния, γ+nα и γnα — полевые

операторы, соответствующие квазичастицам и связанные с исходными электронными полевыми операто-рами унитарным преобразованием:

ψ(r, ↑) =∑

n

[γn↑un(r)− γ+n↓v

∗n(r)], (12.28a)

ψ(r, ↓) =∑

n

[γn↓un(r) + γ+n↑v

∗n(r)], (12.28b)

где коэффициенты un и vn надо выбрать так, чтобы при подстановке (12.28) в (12.26) гамильтонианпривелся к виду (12.27). Новые операторы γ и γ+ должны удовлетворять фермиевским соотношениям,чтобы иметь смысл операторов квазичастиц:

γ+nαγmβ + γmβ γ+

nα = δnmδαβ (12.29)

γnαγmβ + γmβ γnα = 0

Чтобы найти уравнение для u(x) и v(x) вычислим коммутатор [Heff , ψ], получим, используя (12.18)

[ψ(r ↑), Heff ] = H0ψ(r ↑)+ M (r)ψ+(r ↓) (12.30)

[ψ(r ↓), Heff ] = H0ψ(r ↓)− M (r)ψ+(r ↑)Подставим теперь в (12.30) ψ и ψ+ через γ и γ+ с помощью (12.28), подставив в левую часть коммутаторыдля γ и γ+, которые легко найти с помощью (12.27)

[Heff , γnα] = −εnγnα, (12.31)

[Heff , γ+nα] = εnγ+

nα.

Сравнивая затем коэффициенты перед полевыми операторами слева и справа, в получившихся равенствах,мы получим уравнения Боголюбова

H0u(r)+ M (r)v(r) = εu(r),

−H∗0v(r)+ M∗ (r)u(r) = εv(r),

(12.32)

75


или в матричном виде

Hϕ = εϕ, где H =(

H0 MM∗ −H0

); ϕ =

(u(r)v(r)

)

H0 =(p− e

cA)2

2m− p2

F

2m(энергия отсчитывается от уровня Ферми). В отсутствии внешних полей и в

пространственно однородной системе M не зависит от координат. Тогда уравнение (12.32) легко решить,пытаясь найти u(r) и v(r) в виде плоских волн.

u(r) = uk exp(ikr), v(r) = vk exp(ikr). (12.33)

Подставляя (12.33) в (12.32) получим:

(ε− ξk)uk− M vk = 0,− M∗ uk + (ε + ξk)vk = 0,

(12.34)

где ξk =~2k2

2m− p2

F

2m≡ p2 − p2

F

2m= (p− pF )

(p + pF )2m

≈ (p− pF )vF ( при p не далеко от pF ). Система (13.32)имеет решение, если определитель равен нулю, то есть при

ε = ±√| M |2 + ξ2. (12.35)

Итак, мы нашли энергетический спектр системы и видим, что при |ε| <M имеется энергетическая щель(запрещенная зона шириной 2 M вокруг поверхности Ферми).

uk и vk можно найти, воспользовавшись условием нормировки

|uk|2 + |vk|2 = 1 (12.36)

Получим

u2k =

12

(1 +

ξ

ε

), v2

k =12

(1− ξ

ε

). (12.37)

Если сравнить (12.28) с (12.16), можно найти выражение для связи полевых операторов электронов ak иa+

k с полевыми операторами нормальных возбуждений γk и γ+k :

ak↑ = ukγk↑ − vkγ+−k↓,

ak↓ = ukγk↓ − vkγ+−k↑.

(12.38)

В пределе |(p − pF )v| ÀM для p > pF и p < pF , (uk, vk) переходят в (1, 0) и (0, 1) соответственно. Инымисловами, при p > pF оператор γk↑ переходит в ak↑, то есть оператор γ переходит в электронный приp > pF . При p < pF (и |p − pF |v ÀM) γ переходит в a+

−k, то есть уничтожение квазичастицы означаетрождение дырки. А операторы γ и γ+ при произвольных ξ являются линейной комбинацией оператороврождения и уничтожения электронов, значит квазичастицы являются линейной комбинацией электронаи дырки.

До сих пор мы не обсуждали величину M. Она должна определяется через u и v с помощью (12.25). Принулевой температуре 〈〉 означает вычисление квантовомеханического среднего (матричного элемента),а при T > 0, согласно принципам статистической физики

〈A〉 =

∑n〈n|A|n〉e−En/T

∑n

e−En/T. (12.39)

76


Если вычислить M в (12.25) с помощью (12.39), подставив в явном виде ψ и ψ+ в виде (12.28), получитсяусловие самосогласования для M:

M (r) = V∑

n

un(r)v∗n(r)thε

2kT. (12.40)

Для пространственно однородного случая u и v в виде (12.33) и (12.37) из (12.40) получится ( послеперехода от

∑к

∫)

M= λ

~ωD∫

0

M dξ√| M |2 + ξ2

th

√| M |2 + ξ2

2kT, (12.41)

где λ = νN(εF ), (N(εF ) — плотность состояний на поверхности Ферми). Интеграл обрезан на ~ωD,поскольку взаимодействуют электроны в полосе шириной ωD у поверхности Ферми.

При T = 0 из (12.41) следует

M (0) ≈ ~ωDe−1/λ ¿ ~ωD, при λ < 1.

Уравнение (12.41) имеет правильное (M 6= 0) решение лишь при T < Tc, где критическая температура,при которой M обращается в ноль равна:

kT = 1.14~ωDe−1/λ.

[рисунок 13.1]График решения уравнения (12.41) для M (T ) приведен на рисунке. M (T ) часто называют параметром

порядка сверхпроводника.

12.5 Незатухающий ток в сверхпроводнике.

Отметим сначала, что комплексный параметр M обладает свойствами, благодаря которым его частоназывают волновой функцией сверхпроводящих пар. Это будет видно из следующих соображений.

Рассмотрим сверхпроводник во внешнем поле H. Для учета H надо заменить в H0 в (12.32) p = −i~Oна p− e

cA, где A — векторный потенциал.Сделаем теперь унитарное преобразование функций u, v и M:

u, v,M−→ ueiχ(r)/2, ve−iχ(r)/2, M eiχ(r). (12.42)

Для новых функций u, v и M мы получим уравнения (как можно убедиться непосредственной подстановкой),

в которых члены H0 =~2

2m

(p− e

cA

)2и H∗

0 =~2

2m

(−p− e

cA

)2заменяются на H0 =

~2

2m(p− ps)

2 и

H∗0 =

~2

2m(p + ps)

2, соответственно, где мы ввели обозначение ps =~2Oχ− e

cA

~2

2m(p− ps)2u+ M v = εu;

− ~2

2m(p + ps)2v+ M∗ u = εv.

(12.43)

Oχ в (12.43) появилась из-за дифференцирования

i~O(eiχ

2 u) = i~(iOχ

2u + Ou

)eiχ

2 ≡(psu +

i(Oχ)2

u

)eiχ

2 .

77


Комбинация (12.43) является калибровочно-инвариантной. Действительно, из квантовой механики из-вестно, что при изменении фазы волновой функции системы одновременно нужно добавлять слагаемое,пропорциональное градиенту фазы к векторному потенциалу. С другой стороны из (12.43) следует, чтоесли мы изменим калибровку A, добавив к нему градиент произвольной функции Of , то мы получим

опять уравнение (12.43) для нового набора u, v, M, в котором сделано преобразование (12.42) с χ =2e

c~f .

Иными словам, при калибровочных преобразованиях M изменяется как волновая функция частиц сзарядом 2e. Поэтому M часто называют волновой функцией куперовской пары.

Величина ps называется сверхпроводящим импульсом, а vs = ps/m — сверхпроводящей скоростью.Причина этому следующая. Рассмотрим квантовомеханический оператор плотности тока:

j(r) =ie~2m

[(Oψ+(r)

)ψ(r)− ψ+(r)

(Oψ(r)

)]− e2

mcAψ+(r)ψ(r). (12.44)

Он получается по обычному правилу вторичного квантования — подставить операторы ψ и ψ+ вместоволновых функций ψ и ψ∗ в диагональный матричный элемент тока.

Вычислить с помощью (12.44) среднее значение оператора тока, выделив предварительно фазу у опера-торов ψ и ψ+ (согласно(12.28) изменение фазы u и v изменяет фазу ψ и ψ+). Произведя дифференцирование

по правилу O(eiχ

2 ψ) = eiχ

2(iOχ

2ψ + Oψ

), получим

js ≡ 〈j〉 =e

m

(~2Oχ− e

cA

)〈ψ+ψ〉 ≡ e

mpsNs, (12.45)

где мы ввели обозначение Ns = 〈ψ+ψ〉, где Ns называется плотностью сверхпроводящих электронов всоответствии с физическим смыслом (12.45)

js = eNsvs. (12.46)

Вычисление Ns с помощью подстановки ψ и ψ+ из (12.38) и усреднения (12.39) приводит к результату

Ns → n при T → 0 и Ns →(

MkTC

)2

N при T → TC (при этом M→ 0). (Отметим, что из (12.46) и

(12.45) немедленно следует эффект Мейснера: rotH =4π

cj, rotps = −e

cH, (так как H = rotA), rotrotH =

−4πe2

mc2NsH; решение у границы H = H0e

−x/λ, где λ−2 =4πe2Ns

mc2.

Уравнение (12.45) является еще одной иллюстрацией к тому, что M имеет свойства волновой функции.Если выбирать M в виде | M |e2ipsr (соответствующем сверхтекучему импульсу ps на один электрон), топараметр порядка M имеет вид волновой функции частицы, движущейся с импульсом 2ps. Это еще однооснование для наглядного (но не вполне строгого) представления о сверхпроводнике, как о конденсатекуперовских пар.

Таким образом, мы получили, что в сверхпроводящем состоянии ток может быть отличен от нулябез электрического поля. При этом ток создается "конденсатом"электронов, а квазичастицы с энергией(12.35) могут вообще отсутствовать, например при T = 0 их вообще нет, так как функция распределения

fF (ε) =

1 при ε < − M,

0 при ε >M,

то есть нет ни электронов, ни дырок, а ток есть.Возникает вопрос, чему равно сопротивление сверхпроводника. Представим себе сверхпроводник в

виде двух жидкостей: сверхпроводящей и нормальной (электроны и дырки — квазичастицы со спектром(12.35)), каждая из которых вносит вклад в ток:

j = js + jN ; js = eNsvs; jN = σE, (12.47)

78


где σ — проводимость электронов и дырок. В электрическом поле следует ожидать ускорения "пар":

mdvs

dt= eE; −iωmvs = eE;

vs = ie

mωE; j =

(ie2Ns

ωm+ σ

)E.

(12.48)

Таким образом, комплексная проводимость сверхпроводника состоит из обычной проводимости нормаль-

ных квазичастиц σ, приводящей к джоулевым потерям (при ω 6= 0, σ =ne2

m(1/τ − iω)), а также из

индуктивного тока сверхпроводящего конденсата. Отметим, что сверхпроводник — это не идеальныйпроводник (идеальный проводник – это проводник без дейектов, в котором время свободного пробегаτ →∞ в σ).

Рассмотренная двухжидкостная модель не является строгой, но дает в некоторых случаях правильныевыводы, например, при T → TTC

и в вихревом электрическом поле E.Еще один хорошо известный вид проводников с коллективным механизмом проводимости, отличный от

сверхпроводников – это проводники с электронным кристаллом. Примеры: вигнеровский кристал, волнызарядовой и спиновой плотности в квазиодномерных проводниках.

79

Documents

Артеменко С.Н. - Электронные свойства твердых тел