73
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

θεματα Α-Β-Γ-Δ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

2012

Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός

Page 2: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ

0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4

1 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ – Α) 5-7

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ – Β) 8-17

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ – Γ) 18-46

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ – Δ) 47-72

…ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ…

Τα παρακάτω θέματα είναι ένα μέρος από μια μεγάλη συλλογή

ΓΕΝΙΚΩΝ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ.Για την επιλογή τους άφησα το ένστικτο και

την εμπειρία να με οδηγήσουν.Το παρόν mini-Book δεν έχει σαν στόχο να ΄΄πιάσει΄΄ θέματα

στις εξετάσεις…..μου έχει συμβεί πολλες φορές στο παρελθόν….αλλά να αφυπνήσει και να

εθίσει τον μαθητή σε βασικές μαθηματικές ΄΄μπλόφες΄΄ και συσχετισμούς βασικών εννοιών.

Λίγες μέρες πριν τις εξετάσεις ,πιστεύω ότι μια συλλογή με 50-60 Γενικά Θέματα είναι

αρκετή για μια τελευταία Επανάληψη…Κατά την μελέτη τους οι μαθητές να προσέχουν τις

αλληλεπιδράσεις ΕΝΝΟΙΩΝ - ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ - ΒΑΣΙΚΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ

Με χαρά θα δεχθώ κάθε παρατήρηση – υπόδειξη - διόρθωση

Β.Α.Νικολακάκης [email protected]

ΤΗΛ. 6937020032

ΠΗΓΕΣ – ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΘΕΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΡΧΕΙΟ (Βαγγέλη Α Νικολακάκη)

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (Γιώργος Μιχαηλίδης)

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ- TO 40 ΘΕΜΑ (Γιάννης Μπαιλάκης)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Αναστάσιος Μπάρλας)

ΓΙΑΝΝΗ ΜΑΝΤΑ-ΟΛΗ Η ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ-ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΩΜΑΣ ΡΑΙΚΟΦΤΣΑΛΗΣ-ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

MATHEMATICA – ΣΥΛΛΟΓΕΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΚΩΣΤΑΣ ΜΑΛΛΙΑΚΑΣ (Μεθοδολογίες)

Δ. ΚΑΠΠΟΥ (ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ)

SPIVAK - Calculus (1980)

SPIVAK (ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ – ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ )

APOSTOL - Calculus - (1969)

Page 3: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

3

0 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΥΝΘΗΚΩΝ…ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΩΝ

Page 4: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

4

Page 5: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

5

ΘΕΜΑ 10

Α. α) Έστω η συνάρτηση χf (x) α    με R και 0 1 . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο

R και ισχύει χf (x) α  ln  

β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστημα Δ για τις οποίες ισχύει f ' (x)=g ' (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει f(x)=g(x)+c για κάθε xΔ. γ) Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Να δώσετε τον ορισμό του ελαχίστου της f στο xo του Α. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α έχει αντίστροφη, τότε είναι γνησίως μονότονη στο Α. β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo και f(xo)>0, τότε f(x)>0 για τις τιμές του x κοντά στο xo. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο [α,β] τότε υπάρχει xo (α,β) τέτοιος

ώστε να ισχύει f ' (xo)>0. δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη σε αυτό.

Τότε ισχύει f '' (x)>0 για κάθε xΔ.

ε) Αν f συνεχής στο [α,β] με f(x)0 και ισχύει ( )f x dx

>0, τότε υπάρχει xo [α,β] τέτοιος

ώστε f(xo)>0.

στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με το μηδέν στο [α,β] και ισχύει ( )f x dx

=0

τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον εταιρόσημες τιμές.

ΘΕΜΑ 20

Α .

α. Έστω η συνάρτηση f (x) ln x    με R . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και

ισχύει 1

f (x)x

β. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση: Γράψτε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση.

Αν f(χ) = ημχ , χ ε R τότε (fof)΄(2

) είναι ίσο με:

Α.: συν1 , Β.: 0 , Γ.:1 , Δ.: ημ1

Αν f΄(χ) = συνχ , χ ε R και f(0) = 1 τότε: Α.: f(χ) = ημχ +1 , Β.: f(χ) = ημχ , Γ.: f(χ) = συνχ + 1 Δ.: f(χ) = -ημχ +1

Αν f(χ) = ημχ , χ ε R και i η μονάδα των φανταστικών αριθμών τότε η τιμή της παράστασης

(f΄(4

) + if(

4

))2004 είναι:

Α.: -1 , Β.: 1 , Γ.: i , Δ.: -i

B. Δίνεται η συνάρτηση ,0:f ώστε 0 x )( xexxxf

1 ΤΟ Α ΘΕΜΑ

Page 6: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

6

α. Δείξτε ότι: 2

2)(/ xxexxxxf

β. Υπολογίστε το 2

0

1)(lim

x

xf

x

ΘΕΜΑ 30

Α. Τ ι ονομάζουμε μέτρο ενός μ ιγαδ ικού αριθμού z; (Να δώσετε τον ορ ισμό με γεωμετρ ικό κα ι αλγεβρικό τρόπο)

Β. Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2. Να αποδείξετε ότι: 2121 zzzz .

Γ. Να χαρακτηρ ίσετε τ ις προτάσε ις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδ ιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθοςδίπλα στο γράμμα που αντ ιστο ιχε ί σε κάθε πρόταση.

α. Αν z

z1

τότε ο ι ε ικόνες των μ ιγαδ ικών z, z , zi , - z ε ίνα ι σημε ία του

μοναδ ια ίου κύκλου.

β. Αν )()(lim0

oxx

xfxf

τότε η f ε ίνα ι συνεχής στο ox .

γ. Αν 1)(lim

xfx

τότε η γραφ ική παράσταση της f έχε ι κατακόρυφη

ασύμπτωτη την ευθε ία x=1. δ. Έστω μ ια συνάρτηση f , η οποία ε ίνα ι παραγωγίσ ιμη σε ένα δ ιάστημα ∆ με

συνεχή παράγωγο. Αν f ΄ (x) 0 σε κάθε εσωτερ ικό σημε ίο x του ∆, τότε η f ε ίνα ι γνησ ίως μονότονη σε όλο το Δ.

ε . Έστω μ ια συνάρτηση f , η οποία ε ίνα ι παραγωγίσ ιμη σε ένα δ ιάστημα ∆ με συνεχή παράγωγο κα ι f (α) = 0 , με α ε Δ, τότε ισχύε ι :

x

adtt΄fxf )( )( γ ια κάθε x ε Δ.

ΘΕΜΑ 40

A. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Δ.

Αν,η f είναι συνεχής στο Δ, με f (x) 0 για κάθε εσωτερικό του Δ, να δειχθεί ότι η f είναι σταθερή στο Δ.

Β. Πότε η y=λx+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + . Γ. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις Σωστές ή Λάθος.

α) Αν z1,z2 μιγαδικοί τότε ισχύει πάντα zzzzzz 212121 Σ.

β) Μια συνάρτηση f είναι «1-1» αν και μόνο αν για κάθε x1,x2 ισχύει x1=x2 τότε f(x1)=f(x2).

γ) Αν f, g έχουν συνεχή πρώτη παράγωγο τότε 0

0 0x xlim f x g x f x g x

δ) Αν συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και υπάρχει xo (a,β) τέτοιο ώστε f(xo)=0 τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f(α)f(β)<0.

ΘΕΜΑ 50

A. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F ε ίναι μία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι:

α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = cxF )( , c ΙR

είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή

G(x) = cxF )( , c ΙR .

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

Page 7: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

7

α. Υπάρχει συνάρτηση f για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προυποθέσεις των

θεωρημάτων Bolzano και Rolle στο ,

β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεσ η ίσως ένα σημείο του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής . Αν f ΄ (x) > 0 στο (α, x0) και f ΄ (x) < 0 στο (x0 , β), τότε το f (x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f .

γ. Μία συνάρτηση f : Α ΙR είναι συνάρτηση 11 , αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1 ,

x2 A ισχύει η συνεπαγωγή:αν x 1 = x2 , τότε f (x1) = f (x2) .

Γ. Πότε μία ευθεία x = x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

ΘΕΜΑ 60

A. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα

της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι α)(G -β)(Gf(t)dtβ

α

Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στ ο τετράδιό

σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1–1, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες.

β. Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσ ταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

γ. Το ολοκλήρωμα β

αf(x)dx είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων

που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.

δ. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+βi=0 α=0 ή β=0

ε. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής (α, x 0) (x0 , β) και ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία:

000

))x(f(lim)x(flimxxxx

ll

Page 8: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

8

ΘΕΜΑ 10

Δίνεται η παράσταση 2 4

f(z)=iz i

z i

με z ε C-{i}.

Θέτουμε α =z-i και β=f(z)-i (α) Να δείξετε ότι αβ= -3+4i (1) (β) Να βρείτε τον α αν είναι α=β (γ) Να λύσετε την εξίσωση f(z)=1-i

ΛΥΣΗ

(α) Εϊναι

iz

iizi42iz)iz(i

iz

i42iz)iz()i)z(f)(iz(

2

i43 (Είναι

0iziz )

(β) Αν α=β τότε από (1) i432 (2)

Έστω ix .

Από (2) i43)ix( 2 i43ix2)x( 22

(3) 4x2

3x 22

16)x2(

9)x(2

222

)(

25)x(

3x222

22

5x

3x22

22

. Έτσι έχουμε τα συστήματα

(Σ1) )(

)(

5x

3x22

22

82

2x22

2

2

1x

4

1x2

2

Όμως από (3) έχουμε ότι ,x είναι ομόσημοι.

Κατά συνέπεια

2

1x

2

1x

i21

i21

(Σ2)

5x

3x22

22

φανερά είναι αδύνατο

(γ)Έχουμε i1)z(fiz

i42iz

= i1 )i1)(iz(i42iz

2iizizi42iz i51z)1i2(i51zzi2

5

i311

2)1(

i10i5i21z

)i21)(i21(

)i21)(i51(z

i21

i51z

22

2

Άρα η εξίσωση

i1)z(f έχει λύση την i5

3

5

11z

(δ) Είναι f(z) ε R )z(f)z(f

iz

i42iz

iz

i42iz

)iz)(i42iz()iz)(i42zi(iz

i42iz

iz

i42zi

22222 i4iz4i2z2ziizi4iz4i2z2ziziz

0)zz(i4zzziz2 (4)

Όμως ixz οπότε η σχέση (4) γράφεται ισοδύναμα

2 ΤΟ Β ΘΕΜΑ

Page 9: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

9

0)x2(i4i2)x(i2 22 0)x4x(i2 22 0x4x 22 (5)

Η (5) παριστάνει κύκλο με κεντρο

2

1,2 και ακτίνα 17

2

1

από τον οποίο όμως εξαιρείται το σημείο Α(0,1) , αφού i0z

ΘΕΜΑ 20

Δίνεται η παράσταση )i2z)(i2z(

(α) Να γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις και να απλοποιήσετε την παράσταση Π.

(β) Να λυθεί στο C η εξίσωση 05iz2z2

(γ) Αν 21 z,z οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με 0)zRe( 1 και Α , Β οι εικόνες τους στο

μιγαδικό επίπεδο και Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού i2z , να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(χ,ψ) για τα οποία ισχύει

222 )(2)()(

(ε) Αν )zIm(i)zRe(

)zRe(w 2

2

1 να δείξετε ότι 24 4

w i

ΛΥΣΗ

(α) Είναι )i2z)(i2z( = 5iz2z2 (1)

(β) Είναι 05iz2z2 )1(

i2z

i2z

0i2z

0i2z0)i2z)(i2z(

2

1

(γ) Είναι Α(-2,-1) , Β(2 , -1) και Γ(0 ,2 ) οπότε έχουμε

)0,4(AB

)2,3( Οπότε έχουμε 032)2(3 κατά συνέπεια

)3,2( . Άρα ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (o90

).

(δ) Είναι Μ(χ,ψ) οπότε 222 )(2)()(

22 )1()2x( + 22 )1()2x( 22 )2(x2

882x2124x4x124x4x 222222

6

1

(ε) Είναι

4i

42i1)1(i

2

2)zIm(i

)zRe(

)zRe(w 2

2

1

ΘΕΜΑ 30

Δίνεται η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει :

3 1f x f x x 0

2 (1) για κάθε x R .

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 .

β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης 1f .

γ) Να λυθεί η εξίσωση 1 3 1f x x f 3 3x

ΛΥΣΗ

Page 10: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

10

ΘΕΜΑ 40

Δίνεται η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει :

3 2 3f x 2x f x (1) για κάθε x R .Αν

x 0

f xlim

x τότε :

α) Να δείξετε ότι η α=1. β) Να βρείτε τα όρια

x 0

f xi) lim

x

x 0

f f xii) lim

x

2

2x 1

f x xiii) lim

x 3x 2

ΛΥΣΗ

Page 11: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

11

ΘΕΜΑ 50

Έστω η συνάρτηση f και οι μιγαδικοί z 1 if(x) και w x if (x)

α. Αν f(x)=lnx ,x>0 τότε

i)Να υπολογίσετε το ελάχιστο μέτρο του z και στη συνέχεια να βρείτε τον z . ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια μόνο τιμή του πραγματικού αριθμού χ για την οπία ο μιγαδικός

z-iw είναι πραγματικός. Β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f για την οποία ισχύουν f(1)=0 και

Re(zw)=0 f(x)0 για κάθε χ 1,1

ΛΥΣΗ

Page 12: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

12

ΘΕΜΑ 60

Α. Έστω η συνάρτηση 1( ) 1,xf x x e x R και οι μιγαδικοί αριθμοί z x i

και 1xw e i .

α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

β. Να βρεθεί ο xR ώστε το γινόμενο των μιγαδικών z και w να είναι φανταστικός.

Β. Δίνεται η συνάρτηση

3 2

2

2( )

1

x xf x

x

. Αν η fC έχει στο ασύμπτωτη την

ευθεία : (2 ) 4y x , να βρεθούν τα , * R .

ΛΥΣΗ

Α. α. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με 1 1 1'( ) ( 1)x x xf x e x e x e .

x -1

'f - 0 +

f

ελάχιστο

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( , 1] και γνησίως

αύξουσα στο διάστημα [ 1, ) ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 1x το ( 1) 0f . Το τοπικό ελάχιστο

είναι και ολικό αφού

( )

1

1 1

1lim ( ) lim ( 1) lim ( ) 1 lim ( ) 1 1

1 1x

x x x x

x x

xf x x e

e e

και

1lim ( ) lim ( 1)x

x xf x x e

.

β. 1 1 1 2 1 1 1 1( )( ) 1 1 ( )x x x x x x xz w x i e i x e x i i e i x e x i i e x e i e x άρα πρέπει

1 1 0 ( ) 0 1xx e f x x .

Β. Αν η fC έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία : (2 ) 4y x έχουμε:

( )lim 2x

f xa

x και lim[ ( ) (2 ) ] 4

xf x a x

. Επειδή

3 2 3

3 3

( ) 2lim lim limx x x

f x ax ax

x

πρέπει 2 1 και

Page 13: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

13

3 2

2

3 2 2 2 2

2 2 2 2

2lim [ ( ) (2 ) ] lim [ ( ) ] lim ( )

1

2 ( 1) 2lim [ ] lim ( ) lim

1 1 1

x x x

x x x

x xf x a x f x x

x

x x x x x x x

x x x x

πρέπει 4 2

ΘΕΜΑ 70

∆ίνεται η συνάρτηση iz 2 4i

f (z) , z iz i

1) Να βρείτε το σύνολο των σηµείων M(z) , όταν Imf (z) 0

2) Αν u z i,w f (z) i να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού uw

3) Να δείξετε ότι αν τα σηµεία M(z) ανήκουν στον κύκλο C µε κέντρο K(i) και

ακτίνα , τα σηµεία N(f (z)) ανήκουν σε κύκλο C µε το ίδιο κέντρο και ακτίνα που

πρέπει να βρείτε. Πότε οι κύκλοι αυτοί

ΛΥΣΗ

Για z x yi, x, y και z i (x, y) (0,1) , έχουμε:

ix y 2 4i ( y 2 i(4 x))(x i(y 1))f (z)

x i(y 1) (x i(y 1))(x i(y 1))

2 2 2 2

x(y 2) (4 x)(y 1) x(x 4) (y 2)(y 1)i

x (y 1) x (y 1)

.

1) Για (x, y) (0,1) έχουμε ότι:2 2Im(f (z)) 0 x(x 4) (y 2)(y 1) 0 x y 4x y 2 0 ,

όπου2 24 1 4( 2) 25 0 .

Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι ο κύκλος

κέντρου 1

K 2,2

και ακτίνας 5

R2

εκτός του σημείου .

2) Για z i έχουμε ότι:

iz 2 4iuw (z i)(f (z) i) (z i) i

z i

2iz 2 4i zi i(z i) 2 4i 1 3 4i

z i

,

οπότε 2 2| uw | ( 3) 4 9 16 25 5 .

3) Ισχύει | z i | 0 , οπότε από το (2) ερώτημα προκύπτει ότι:5

| f (z) i | 5 | f (z) i |

,

οπότε οι εικόνες του f (z) ανήκουν στον κύκλο κέντρου K(i) και ακτίνας 5

.

Οι δύο κύκλοι ταυτίζονται όταν 25

5 5

Page 14: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

14

ΘΕΜΑ 80

Δίνεται η εξίσωση : 2z 2z 0 με η οποία έχει ρίζες τους 1 2z ,z με 1 2z , z .

i) Να δείξετε ότι .

ii) Να δείξετε ότι k k

1 2z z και k k

1 2z z I για κάθε *k .

iii) Aν 1| z | 2 , τότε :

α) Να βρείτε την τιμή του . β) Να λύσετε την εξίσωση. γ) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών

για τους οποίους ισχύει: n n *

1 2(w z ) (w z ) 0, n .

ΛΥΣΗ

i) Αφού η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες θα είναι:

ii. Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης τότε

k k k k k

1 2 1 1 1z z z z 2Re z R

k k k k k

1 2 1 1 1z z z z 2Im z I

iii. α) Είναι 2

1 2 1 1 1z ·z z ·z z 4

β) Με η εξίσωση γίνεται:

4 16 12

1

1,2

2

n nn n

1 2 1 2

z 1 3i2 2 3iz

2 z 1 3i

w z w z 0 w z w z)

Άρα οι εικόνες των ανήκουν στη μεσοκάθετο του τμήματος με A 1, 3 και B 1, 3 .

Όμως τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα , οπότε οι εικόνες των ανήκουν

στην ευθεία με εξίσωση y 0

ΘΕΜΑ 90

Δίνεται ο μιγαδικός f(z)= z4+z

1+z + z 4 , με zC , z 0.

α) Αν f(z) ν.δ.ο. z * ή z =1.

β) Αν z=x πραγματικός διάφορος του μηδενός και η f έχει σύνολο τιμών το διάστημα (4, 12) να δείξετε ότι η εξίσωση f(z)=α έχει ακριβώς μια πραγματική λύση στο διάστημα (1,2).

γ) Αν f(z)=0 και z =1 ν.δ.ο. η εικόνα του w= z5+z2+1 κινείται σε κύκλο κέντρου (0,0)

και ακτίνας ρ=1.

ΛΥΣΗ

α) f(z) f(z)= )z(f z4+

z

1+z+ z 4

= z 4+

z

1+ z + z

4 z

1+z=

z

1+ z

z

1-

z

1+z- z =0

zz

zz -( z -z)=0 ( z -z)(1-z z )=0 (z= z ή

2z =1)

z * αφού z 0 ή z =1

Page 15: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

15

β) z=x * και 4 f(x) 12

a)x(f

4 α 12

f(z)=f(x)=x4+

x

1+x+x

4=2x

4+

x

1+x

f(x)=α 2x4+

x

1+x=α 2x

5+x

2-αx+1=0

θεωρώ h(x)=2x5+x

2-αx+1

h συνεχής στο [1,2]

h(1)=4-α 0

h(2)=69-2α 0 γιατί 4 α 12 8 2α 24 -24 -2α -8

69-24 69-2α 69-8 45 h(2) 61

Άρα : h(1)h(2) 0

.

για κάθε x0(1,2) τέτοιο ώστε h(x0)=0

μοναδικότητα: h'(x)=10x

4+2x-α

1 x 2 1 x4 1610 10x

4 160 i)

2 2x 4 ii)

-12 -α -4 iii)

Από i),ii),iii) έχουμε + 0 h'(x) 160

Άρα : h στο (1,2) η ρίζα μοναδική

γ) f(z)=0 z4+

z

1+z+ z 4

=0 z5+1+z

2+z z 4

=0

z5+z

2+1= -z z z

3 z

5+z

2+1= - z

3 1zz 25 =3z =1

ΘΕΜΑ 100

ΛΥΣΗ

Page 16: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

16

ΘΕΜΑ 110

ΛΥΣΗ

Page 17: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

17

Page 18: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

18

ΘΕΜΑ 10

Δίνεται ο μιγαδικός z α βi με α,β R :α ,β >1 και η

συνάρτηση f με τύπο f(x) xz i x 1 ,x 0 .

Αν για κάθε x 0 ισχύει 2x z β xz i να δείξετε ότι:

α) Η εξίσωση f(x) 0 έχει μοναδική λύση τη χ=0

β) Για τους μη μηδενικούς 1 2

1z z και z iz

α ισχύει

2 1 2 1z z i z z i z z

γ) Ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του ΘΜΤ (διαφορικού λογισμού) για τη συνάρτηση

f στο διάστημα 1 2z , z και υπάρχει μιγαδικός 0z για τον οποίο να

ισχύει2

0 0z z β z z i

ΛΥΣΗ

α) Φανερή λύση χ=ο αφου (0) ... 0f

Είναι 22 2f(x) x i i x 1 ... x x 1 x 1 με x 0

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως πράξεις παραγωγίσιμων με

22 22

2 22 2 2 2

xx x 1 z x xz if (x) 1 1 0

xz ix x 1 x x 1

αφού zx i 0 και από υπόθεση είναι 2x z β xz i

Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, και κατά συνέπεια η λύση χ=0 είναι μοναδική

β) 1

1z z

α οπότε

1

1z z ( >1)

2 z iz οπότε 2z iz = i z = z

Είναι 1

z z

οπότε f

1 2 1 2z z f z f z ...

2 1 2 1z z i z z i z z

γ)Η f με τύπο 22 2f(x) x x 1 x 1 είναι συνεχής στο 0,

(ως παραγωγίσιμη) άρα είναι συνεχής και στο 1 2z , z .

Επίσης η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, άρα παραγωγίσιμη και στο 1 2z , z .Κατά συνέπεια από ΘΜΤ στο

1 2z , z υπάρχει 0z C

με 0 1 2z z , z ώστε 2 1

0

2 1

f z f zf z

z z

Από (α) ερώτημα είναι

2 2 2

0 0

0

0 0

z x z z z zf (x) 1 0 f ( z ) 1 0 1

xz i z z i z z i

....

2

0 0z z β z z i

3 ΤΟ Γ ΘΕΜΑ

Page 19: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

19

ΘΕΜΑ 20

Έστω 1 2z , z μιγαδικοί αριθμοί , για τους οποίους ισχύει ότι 1 2 1 2z +z z -z

.

i Αν 1 2Ζ ΖW , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του W .

i i Αν 1z 1 χg i και χ

2z 1 βg

i όπου β 0 είναι δύο μιγαδικοί που ικανοποιούν το

ερώτημα i και g είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με 0 0g και 0 0g ,να

δείξετε ότι β e .

i ii Αν χ Imf w και για την f ισχύει το θ.Rolle στο 0 , 1 να δείξετε

ότι 1 1

1 1g g

e e

ΛΥΣΗ

ΘΕΜΑ 30

Page 20: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

20

ΛΥΣΗ A)

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z z z z z z z

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

1 2 1 2 1 2 1 2 1 22z z 2z z 0 2 z z z z 0 4Re z z 0

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι το ημιεπίπεδο για τα x 0

Β) Αφού οι f x

1z 1 i και 2z 1 f x i ικανοποιούν τη σχέση του ερωτήματος Α θα ισχύει για

αυτούς 1 2Re z z 0 .

Όμως f x f x f x f x

1 2z z 1 i 1 f x i 1 f x i i i f x

.

Οπότε f x

1 2Re z z 0 1 f x 0 .

Θεωρώ με . Τότε έχουμε . Δηλαδή η

παρουσιάζει μέγιστο στο . Επιπλέον η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων με

, άρα παραγωγίσιμη και στο

. Από Θεώρημα Fermat λοιπόν θα ισχύει

Όμως , οπότε

. Συνεπώς ισχύει .

Γ) Για την έχουμε: . Η ικανοποιεί τις

προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο και συνεπώς η

συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα και . Οπότε

με

ΘΕΜΑ 40

Page 21: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

21

ΛΥΣΗ

Page 22: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

22

ΘΕΜΑ 50

ΛΥΣΗ

Page 23: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

23

ΘΕΜΑ 60

Δίνεται η συνάρτηση 2

f(x)=eInx

, x>0

i)Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση

g(x)=)x(f

)x(xf)x(fx'''2

, x(0,1) (1,+ ) να είναι σταθερή.

ii)Για την τιμή του α που βρήκατε στο i)ερώτημα να υπολογίσετε το εμβαδό Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και g(x) μεταξύ των ευθειών : x=2, x=λ με λ>2

iii)Να υπολογίσετε το όριο

lim

)(

ΛΥΣΗ

i) για 0<x<1 είναι lnx<0 xlnxln

οπότε f(x)=e2xlnxln2 e = x

2

για x>1 είναι lnx>0 xlnxln

οπότε f(x)=e2xln

xlnxln2

x

1

e

1e

2

2

Για x=1, lnx=ln1=0 1e)x(f 0

Άρα f(x)

1x,x

1

1x0,x

2

2

Η f είναι συνεχής στο (0,+ )

στο (0,1) η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη με f΄(x)=2x, f΄΄(x)=2

Page 24: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

24

άρα g(x)= )1,0(x,22)x(gx

x2x22

22

επίσης η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο (1, + )

με f΄(x)= - 3x

2 , f΄΄(x)=

4x

6

άρα g(x) = ,26)x(g

x

1

)x

2(x

x

6x

2

34

2

x ),1(

άρα g(x) =

),1(x,26

)1,0(x,22

Η g είναι σταθερή στο Αg αν ισχύει : 2+2α=6-2α 1

Τότε g(x)=4 , x ),1()1,0(

ii) E(λ)=

0x4104x

1dx4

x

1dx)x(g)x(f 2

22 22

1- 4x2

1x

2

1

4

1x1x40 222

Άρα για x 2 είναι 222 x

144

x

104

x

1

οπότε Ε(λ)=

2 2 22

22 2

1184

x

1)2(4dx)

x

1(dx4dx)

x

14(

=(4λ+ )2

171

τ.μ.

iii)

2

1714

)(2

άρα 4004)(

lim

ΘΕΜΑ 70

Έστω η συνάρτηση f :R R ,δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με

3f x 2f x 0 (1) για κάθε x R .

i) Να μελετήσετε την f ως προς τα κυρτά , κοίλα και τα σημεία καμπής

ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο καμπής

iii) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την 1f

iv) Αν 1

2

f xg x

x

να βρείτε την ασύμπτωτη της gC στο και να

υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την gC την

παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες x 1 και x e

ΛΥΣΗ

Page 25: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

25

Page 26: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

26

ΘΕΜΑ 80

Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο 4, για την οποία ισχύουν:

x''fx'f3e xf (1) για κάθε x<4 , 0x'f για κάθε x<4 και f(1)=0,f΄(1)=1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 4, , να βρείτε το πρόσημο της f και να

αποδείξετε ότι η cf τέμνει τον x'x σε ένα μόνο σημείο.

β) Να δείξετε ότι 2x'fx''f3 και κατόπιν να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα άνω

στο 4,

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0x 0

0

0 xx'f

xf:1,0 (3)

δ) Να βρείτε τον τύπο της f(x) για x<4

ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να δειχθεί ότι η εξίσωση xf έχει μία μόνο λύση στο

4, για κάθε

στ) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της f. ζ) Να κάνετε πίνακα μεταβολών για την f.

ΛΥΣΗ α) Εφόσον η x'f είναι συνεχής στο 4, και 0x'f για κάθε x<4 , η 'f διατηρεί πρόσημο στο 4, και

επειδή 011'f συμπεραίνουμε ότι 0x'f για κάθε x<4 , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 4, . Για

x<1 έχουμε f(x)<f(1) 0)x(f και για 1<x<4 έχουμε f(x)>f(1) f(x)>0

Ισχύει 01f και f στο 4, ,οπότε η εξίσωση 0xf έχει μοναδική ρίζα την x=1 ,οπότε η cf τέμνει τον

x'x μόνο στο σημείο (1,0)

β) Πολλαπλασιάζουμε την (1) με 0x'f και έχουμε

c))x('f(e]'))x('f[()'e()x(''f))x('f(3e)x('f 3)x(f3)x(f2)x(f

Για x=1 : 0cc1ec))1('f(e 031f

Άρα 3

)1(3)x(f ))x('f()x(''f)x('f3))x('f(e

0)x('f

2))x('f()x(''f3 (2)

Παρατηρούμε ότι 0)x('fx''f32 για κάθε )4,(x , δηλαδή 0)x(''f οπότε η f στρέφει τα κοίλα άνω

στο 4, .

γ) (3) 0)x(f)x('fx 000 . Οπότε θεωρούμε τη συνάρτηση )x(xf)x(g . Η g είναι συνεχής στο [0,1] ως

γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f(x) (υπόθεση), x

Η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) με ).x('xf)x(f)x('g Ισχύει 0)0(f0)0(g και 0)1(f1)1(g .

Ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα

0)x(f)x('fx0)x('g:)1,0(x 00000

δ) (2) 12c

3

x

)x('f

1x

3

1

)x('f

1

3

1

))x('f(

)x(''f

Για x=1 : 3

4cc

3

1

1

111 Άρα 4x,

x4

3)x('f

3

4x

)x('f

1

3

4

3

x

)x('f

1

Επομένως 2c)x4ln(3)x(f))'x4ln(3()x('f

Για x=1 : 3ln3cc3ln3)1(f 22

΄Αρα 4x,x4

3ln3)x(f))x4ln(3(ln33ln3)x4ln(3)x(f

ε)

4x4x

lim)x(flim x4

3ln3

=

ulnlim3

u

vlnlim3x4

3ln3lim)x(flim

0vxx

x4

3u

4xlim

x4

3

Page 27: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

27

Επομένως ),()x(flim,)x(flim)4,(f4xx

Εφόσον το κ ανήκει στο σύνολο τιμών της f η εξίσωση )x(f έχει μία

τουλάχιστον λύση στο 4, για κάθε και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η λύση είναι μοναδική.

στ)

)x(flim4x

.Άρα η ευθεία x = 4 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της cf

ζ) y 4

''f +

'f +

f

ΘΕΜΑ 90

Α.Έστω η συνάρτηση f(x) = x3 – 3x2συν2α + 2xσυν22α + ημ22α , x και α .

Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει

μόνο ένα σημείο καμπής , το οποίο για τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε

παραβολή .

Β. Να αποδείξετε ότι :

α) Η συνάρτηση f(x) = x3 +2x – 1 – ημ2x , x , είναι γνησίως αύξουσα .

β) Η εξίσωση x3 +2x – 1 = ημ2x έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα (0 , 1) .

ΛΥΣΗ

Α.Για κάθε x είναι : f ΄(x) = 3x2 – 6xσυν2α + 2συν22α και f ΄΄(x) = 6x - 6συν2α .

Έχουμε f ΄΄(x) = 0 6x - 6συν2α = 0x = συν2α , f ΄΄(x) > 0 x > συν2α ,

f ΄΄(x) < 0 x < συν2α . Άρα για οποιαδήποτε τιμή του α η Cf έχει ένα μόνο

σημείο καμπής , το Α(συν2α ,f(συν2α)) . Όμως :

f(συν2α) = συν32α - 3συν32α + 2 συν32α + ημ22α = ημ22α ,οπότε Α(συν2α , ημ22α).

Έστω Α(x , y) . Τότε x = συν2α και y = ημ22α = 1 - συν22α = 1-x2 .

Οι συντεταγμένες του A επαληθεύουν την εξίσωση y =1-x2 , που είναι εξίσωση

παραβολής , άρα το Α ανήκει σε παραβολή (για τις διάφορες τιμές του α) .

Β.α) Για κάθε x είναι f ΄(x) = 3x2 +2 – 2συν2x = 3x2 +2(1– συν2x) 0 , αφού

συν2x 1 και x20 . Το = ισχύει μόνο όταν είναι συγχρόνως : x2 = 0 και

1– συν2x = 0 , το οποίο συμβαίνει μόνο για x = 0 . Επομένως η f είναι

γνησίως αύξουσα στο .

β) Η εξίσωση x3 +2x – 1 = ημ2x είναι ισοδύναμη με την f(x) = 0 . Αρκεί να δείξουμε

ότι η f(x) = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (0 , 1) . Η f είναι συνεχής στο [0 , 1] ως

άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και f(0)f(1) = (- 1)(2 – ημ2) < 0 αφού ημ2 < 2 .

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0 , 1) .

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0 , 1) , η f(x) = 0 θα έχει το πολύ μία

ρίζα στο (0 , 1) . Άρα τελικά η f(x) = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (0 , 1) .

v= x4

3

0

x4

3lim

x

Page 28: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

28

ΘΕΜΑ 100

ΛΥΣΗ

Page 29: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

29

ΘΕΜΑ 110

Α.

Β.

ΛΥΣΗ

Page 30: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

30

Β.

ΘΕΜΑ 120

ΛΥΣΗ

Page 31: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

31

Page 32: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

32

ΘΕΜΑ 130

ΛΥΣΗ

Page 33: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

33

ΘΕΜΑ 140

ΛΥΣΗ

Page 34: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

34

ΘΕΜΑ 150

Page 35: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

35

ΛΥΣΗ

Page 36: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

36

ΘΕΜΑ 160

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, 4] R για την οποία ισχύει:

f(0)=0 , f(2) =2 , f(4)=2

f παραγωγίσιμη στο ( 0, 4)

f ' συνεχής στο ( 0, 4)

Να δείξετε ότι :

α) Υπάρχει x 1 ( 0, 4) ώστε f΄(x 1 ) = 1

β) Υπάρχει ξ ( 0, 4) τέτοιο ώστε f΄(ξ) = 4

1

γ) Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη να δείξετε ότι υπάρχει x 0 ( 0, 4): f΄΄( x 0 ) 0.

ΛΥΣΗ α) f συνεχής στο [ 0, 2 ]

f παρ/μη στο ( 0 , 2). Άρα ισχύει το ΘΜΤ για την f στο [ 0, 2 ] και επομένως

υπάρχει x 1 ( 0, 2) ( 0, 4) τέτοιο ώστε f'( x 1 ) =

02

)0()2(

ff =

2

2= 1

β) f συνεχής στο [ 2, 4]

f παρ/μη στο ( 2, 4)

f(2) =f (4) = 2 ‘Αρα ισχύει το Θ.R. για την f στο [ 2, 4] και επομένως υπάρχει

x 2 ( 2, 4) τέτοιο ώστε f'(x 2 ) = 0.

Άρα η f' παίρνει τις τιμές 0 και 1 και επειδή f

' συνεχής στο [ x 1 , x 2 ] ( 0, 4)

σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αφού το 1/4 είναι μεταξύ του 0 και

του 1 θα υπάρξει ξ ( x 1 , x 2 ) ( 0, 4) ώστε f'(ξ) = 1/4 .

γ) f δυο φορές παρ/μη στο [ 0, 4] .’Αρα η f' παρ/μη στο [ 0, 4] .Επομένως ισχύει το

Θ.Μ.Τ για την f'στο [ x 1 , ξ ] ( 0, 4) x 1 2 ξ x 2 4

Άρα υπάρχει x 0 ( x 1 , ξ ) ( 0, 4) τέτοιο ώστε

f''( x 0 ) =

1

1

'' )()(

x

xff

=

1

14/1

x

=

1

4/3

x

0

ΘΕΜΑ 170

ΛΥΣΗ

Page 37: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

37

Page 38: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

38

ΘΕΜΑ 180

Α.α) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [α , β] .Αν η f είναι αντιστρέψιμη και

έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο [α , β] , να δείξετε ότι :

dxxf )( +

)(

)(

1 )(

f

f

dxxf = βf(β) – αf(α) .

β) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex +x5 . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα :

1

1

1 )(

e

dxxf .

Β.α) Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Α και γνησίως αύξουσα στο Α . Αποδείξτε

ότι : ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = )(1 xf αν και μόνο αν ο ρ είναι ρίζα

της εξίσωσης f(x) = x .

β) Αν f(x) = x +

x

t dte2004

2

, x , να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και

να λύσετε την εξίσωση : f(x) = )(1 xf .

ΛΥΣΗ

Α.α) Για το ολοκλήρωμα

)(

)(

1 )(

f

f

dxxf θέτουμε x = f(t) , t [α , β] , οπότε

dx = f ΄(t)dt . Για x = f(α) παίρνουμε t = α , ενώ για x = f(β) παίρνουμε

t = β ( η f είναι 1 – 1 ) . Το

)(

)(

1 )(

f

f

dxxf είναι καλώς ορισμένο αφού η

1f είναι συνεχής ( f συνεχής Cf συνεχής γραμμή 1f

C συνεχής

γραμμή , αφού οι Cf , 1fC είναι συμμετρικές ως προς την y = x 1f

συνεχής ) . Έτσι είναι

)(

)(

1 )(

f

f

dxxf =

dtttf΄ )( . Επομένως :

dxxf )( +

)(

)(

1 )(

f

f

dxxf =

dtttf΄tf ))()(( = [ tf(t)]

= βf(β) – αf(α) .

β) f ΄(x) = ex + 5x

4 > 0 , για κάθε x . Άρα η f είναι 1 – 1 και σύμφωνα με

το (α) θα είναι :

1

1

1 )(

e

dxxf =

)1(

)0(

1 )(

f

f

dxxf = 1f(1) – 0f(0) – 1

0

)( dxxf =

Β.α) Έστω ότι ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = f – 1

(x). Τότε θα είναι

f(ρ) = )(1 f (1) και θα δείξουμε ότι f(ρ) = ρ . Επειδή η f είναι γνησίως

αύξουσα θα είναι και η 1f γνησίως αύξουσα (αν α < β θα είναι

f – 1

(α) < f – 1

(β) , διότι αν είχαμε f – 1

(α) f – 1

(β) f(f – 1

(α)) f(f – 1

(β))

αβ , άτοπο ) .

Αν f(ρ) > ρ τότε f – 1

(f(ρ)) > f – 1

(ρ) ρ > f – 1

(ρ) )1(

ρ > f(ρ) (άτοπο) .

Αν f(ρ) < ρ τότε f – 1

(f(ρ)) < f – 1

(ρ) ρ < f – 1

(ρ) )1(

ρ < f(ρ) (άτοπο) .

Άρα f(ρ) = ρ .

Έστω ότι ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = x . Τότε θα είναι f(ρ) = ρ (2)

Page 39: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

39

και θα δείξουμε ότι f(ρ) = )(1 f .

Από την (2) προκύπτει )(1 f = ρ )2(

)(1 f = f(ρ) .

β) f ΄(x) = 1 + 2xe > 0 , για κάθε x . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα .

Σύμφωνα με το (α) έχουμε : f(x) = )(1 xf f(x) = x

x +

x

t dte2004

2

= x

x

t dte2004

2

= 0 x = 2004 , αφού αν x > 2004 τότε

x

t dte2004

2

> 0 , ενώ αν x

ΘΕΜΑ 190

ΛΥΣΗ

Page 40: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

40

ΘΕΜΑ 200

Page 41: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

41

ΛΥΣΗ

Page 42: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

42

ΘΕΜΑ 210

ΛΥΣΗ

Page 43: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

43

ΘΕΜΑ 220

ΛΥΣΗ

Page 44: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

44

Page 45: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

45

ΘΕΜΑ 230

ΛΥΣΗ

Page 46: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

46

Page 47: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

47

ΘΕΜΑ 10

ΛΥΣΗ

4 ΤΟ Δ ΘΕΜΑ

Page 48: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

48

ΘΕΜΑ 20

ΛΥΣΗ

Page 49: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

49

ΘΕΜΑ 30

ΛΥΣΗ

Page 50: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

50

ΘΕΜΑ 40

ΛΥΣΗ

Page 51: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

51

Page 52: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

52

ΘΕΜΑ 50

Page 53: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

53

ΛΥΣΗ

Page 54: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

54

ΘΕΜΑ 60

ΛΥΣΗ

Page 55: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

55

ΘΕΜΑ 70

Page 56: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

56

ΛΥΣΗ

Page 57: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

57

ΘΕΜΑ 80

ΛΥΣΗ

Page 58: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

58

Page 59: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

59

ΘΕΜΑ 90

ΛΥΣΗ

Page 60: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

60

ΘΕΜΑ 100

ΛΥΣΗ

Page 61: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

61

Page 62: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

62

ΘΕΜΑ 110

ΛΥΣΗ

Page 63: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

63

Page 64: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

64

ΘΕΜΑ 120

ΛΥΣΗ

Page 65: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

65

Page 66: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

66

ΘΕΜΑ 130

ΛΥΣΗ

Page 67: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

67

Page 68: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

68

ΘΕΜΑ 140

ΛΥΣΗ

α) Η συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμη με 2

1 ln xf x

x

. Τότε

2

1 ln xf x 0 0 x e

x

και f x 0 0 x e , ενώ

. Η λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο και

παρουσιάζει μέγιστο για το

β) Η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο και συνεπώς x 0

1f (0,e] ( lim f x ,f e ] ( , ]

e αφού

.

Επιπλέον η συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο και συνεπώς

αφού x x x

ln x 1lim f x lim lim 0

x x ,

όπου στο τελευταίο όριο έγινε χρήση . Άρα τελικά

f

1 1 1f D f (0,e] f [e, ) ( , ] (0, ] ( , ]

e e e

γ) Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την . Οπότε για η εξίσωση έχει μοναδική

λύση, για η εξίσωση έχει δύο λύσεις, για μοναδική

λύση και για η εξίσωση είναι αδύνατη

δ)

Page 69: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

69

. Για x 0,2

, η είναι συνεχής και γνησίως

αύξουσα, συνεπώς είναι . Άρα f x f x x x . Δηλαδή x4

ε) Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της είναι

. Αν αυτή διέρχεται από το σημείο

τότε έχουμε

. Θεωρώ τη

συνάρτηση . Η συνεχής ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη με

για κάθε . Συνεπώς η γνησίως

αύξουσα στο και το σύνολο τιμών της είναι

. Επειδή λοιπόν το , υπάρχει

, το

οποίο είναι και μοναδικό λόγω μονοτονίας, τέτοιο ώστε που είναι και

το ζητούμενο

στ) Έχουμε

. Θεωρώ τη

συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με . Από θεώρημα

μέσης τιμής για την στο , υπάρχει , τέτοιο

ώστε . Οπότε η ζητούμενη ανισότητα γίνεται

που

ισχύει αφού γιατί η γνησίως φθίνουσα για

ζ) Με κριτήριο παρεμβολής στην σχέση παίρνουμε ότι

αφού

Page 70: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

70

ΘΕΜΑ 150

ΛΥΣΗ

Page 71: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

71

Page 72: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

72

ΘΕΜΑ 160 (to day)

Δίνονται η συνάρτηση f ,παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο R , η x

1

g x f t dt και οι

μιγαδικοί x 2

1 1

z f t dt i f t dt με x R .Δίνεται ακόμη ότι η Cf διέρχεται από τα σημεία

Κ(1,2) και Λ(2,4)

A. Aν

f 2

1

f 1

f x dx 2012 , τότε :

i Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2

1

g 2 f t dt

ii Να βρείτε το ΓΤ των είκόνων του z .

Β. Δίνεται η συνάρτηση x 1

x

h x f t dt

i Να δείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο πάνω στη γραφική παράσταση της Ch έτσι ώστε η

εφαπτόμενη σε αυτό να είναι παράλληλη στον άξοναα χ΄χ.

ii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης της Ch στο χ0=1 .

Γ. Να βρείτε το όριο 2 2

x

2x x

x1

lim e e f t dt

ΛΥΣΗ …….Δοκιμάστε να τη λύσετε (είναι σχετικά απλή )

Η λύση της θα αναρτηθεί σε 2-3 ημέρες μαζί με τις απαντήσεις του ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΕΙΩΣΗΣ-2

Page 73: ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ  ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ  ΜΑΘ ΚΑΤΕΥΘ ΓΛ

73

Προσέχουμε και αυτά!!.

Ανεπιθύμητες παρενέργειες : Τα παραπάνω ίσως περιορίσουν τη σκέψη μας, κυρίως

εφόσον αυτή στηριχθεί μόνον σ’ αυτά. !!!!

Συμβουλή: Αφήνουμε τη σκέψη μας «ελεύθερη».

Μια άσκηση μαθηματικών λύνεται εφόσον έχουμε τις απαραίτητες γνώσεις, το θάρρος και

την ικανότητα να δημιουργούμε μόνοι μας την λύση της. Αυτή η ικανότητα δεν είναι

έμφυτη…

Αφήνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης να μας οδηγήσουν.

Ερμηνεύουμε σωστά τα δεδομένα.

Ερμηνεύουμε σωστά τα ζητούμενα.

Συσχετίζουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα με τις γνώσεις τις οποίες έχουμε.

Εφαρμόζουμε διάφορες τεχνικές, αρκεί αυτές να συμφωνούν με τη λογική και με τις

γνώσεις μας.

Ελέγχουμε τα αποτελέσματα. Είναι φυσικό να κάνουμε κάποια λάθη τα οποία πρέπει να

αναζητάμε και να τα διορθώνουμε.

Προσέχουμε κάποια κρυφά σημεία των δεδομένων – ζητούμενων.

Σε μια άσκηση με πολλά ερωτήματα, το κάθε ερώτημα ίσως να αποτελεί συνέχεια του

προηγούμενου.

Τι γίνεται όμως αν κάτι δεν πάει καλά στη λύση μιας άσκησης ;

◊ Δεν μας πιάνει πανικός….Περισσότερο πρέπει να ανησυχούμε όταν όλα πάνε καλά !!!

◊ Ελέγχουμε τις πράξεις μας...ένα μικρό λαθάκι μπορεί να έχει δημιουργήσει πρόβλημα.

◊ Αν παρόλα αυτά η λύση δεν προχωρά αλλάζω στρατηγική λύσης και ίσως και τρόπο

σκέψης…

Πχ αν κάνω χρήση Θ Βοlzano για την g x f x 1 και δεν προκύπτει λύση λχ λόγω

έλλειψης δεδομένων δεν συνεχίζω ελπίζοντας να πάρω κάποια μόρια …

Αλλάζω τακτική και δοκιμάζω Θ Rolle για την παράγουσα της G x .

Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν έχει γνωστό τύπο ,τότε δοκιμάζω Θ Rolle

για την παράγουσα της x

G x f t dt x

……..

Στο γράψιμο είναι καλό να έχω συνεχή κίνηση με δοκιμές στο χαρτί ,παίρνοντας βέβαια

και κάποιες ανάσες….

Σε καμιά περίπτωση δεν δεχόμαστε ότι δεν μπορούμε να λύσουμε την άσκηση.

Καλή επιτυχία.