35
245 כללי. בחינות החובה הבחינה במתמטיקה נמנית עם.1 יחידות לימוד, והיא כוללת את השאלונים3 בחינת החובה היא בהיקף של.2 מתוך( נקודות15 יש לקבל בבחינה ציון מינימלי של303 . בשאלון303 ,302 ,301 נקודות, יופיע הרישום "צ.מ"15. אם יקבל הנבחן ציון הנמוך מ־) נקודות100 שמשמעותו "לא הושג ציון מינימלי". במקרה זה לא יוכל הנבחן לקבל ציון סופי יחידות לימוד.4 או יחידות לימוד3 בהיקף של מתמטיקה במקצוע יחידות לימוד, בחינה הכוללת את4 ניתן להיבחן במתמטיקה גם בהיקף של.3 יחידות לימוד — בחינה הכוללת את5 , ובהיקף של305 , 304 , 303 השאלונים בחינות יחידות לימוד נמנית עם4 . הבחינה בהיקף של307 , 306 , 305 השאלונים יחידות לימוד נמנית עם5 . הבחינה בהיקף של החובה ובחינות ברמה מוגברת ועל הבחירה המחייבת ועונה על דרישת בחינות החובה ובחינות ברמה מוגברת. תרבות העולם הדרישה של בחינות הבגרות במתמטיקה במבנה הצבירה החל ממועד קיץ תשס"ו.4 החל ממועד קיץ תשס"ו מבחני הבגרות במתמטיקה יהיו רק במבנה הצבירה, ולא יהיו יותר שאלונים במבנה הישן. כל הנבחנים במתמטיקה ייבחנו במבנה הצבירה ברמה בלבד. עם זאת תלמידים שנבחנו על־פי המבנה הישן יוכלו לשפר את ציונם בעבר. שבה נבחנו משך הבחינה הרשום בכל שאלון תקף החל ממועד קיץ תשס"ו. שימו לב! מומלץ להתעדכן באתר האינטרנט של המפמ"ר למתמטיקה בתוך האתר המרכזי של משרד החינוך, באגף המפמ"רים. כתובת האתר:http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/ Mazkirut_Pedagogit/MATEMATIKA באתר זה תוכלו למצוא מידע הרלוונטי לכם לקראת בחינות הבגרות. מתמטיקה

מתמטיקה מדריך בחינה

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: מתמטיקה מדריך בחינה

245

כללי

הבחינה במתמטיקה נמנית עם בחינות החובה. .1

בחינת החובה היא בהיקף של 3 יחידות לימוד, והיא כוללת את השאלונים .2 301, 302, 303. בשאלון 303 יש לקבל בבחינה ציון מינימלי של 15 נקודות )מתוך

100 נקודות(. אם יקבל הנבחן ציון הנמוך מ־15 נקודות, יופיע הרישום "צ.מ"

שמשמעותו "לא הושג ציון מינימלי". במקרה זה לא יוכל הנבחן לקבל ציון סופי במקצוע מתמטיקה בהיקף של 3 יחידות לימוד או 4 יחידות לימוד.

ניתן להיבחן במתמטיקה גם בהיקף של 4 יחידות לימוד, בחינה הכוללת את .3השאלונים 303 , 304 , 305 , ובהיקף של 5 יחידות לימוד — בחינה הכוללת את

השאלונים 305 , 306 , 307 . הבחינה בהיקף של 4 יחידות לימוד נמנית עם בחינות החובה ובחינות ברמה מוגברת. הבחינה בהיקף של 5 יחידות לימוד נמנית עם

בחינות החובה ובחינות ברמה מוגברת ועונה על דרישת הבחירה המחייבת ועל הדרישה של תרבות העולם.

בחינות הבגרות במתמטיקה במבנה הצבירה החל ממועד קיץ תשס"ו .4החל ממועד קיץ תשס"ו מבחני הבגרות במתמטיקה יהיו רק במבנה הצבירה, ולא יהיו יותר שאלונים במבנה הישן. כל הנבחנים במתמטיקה ייבחנו במבנה הצבירה בלבד. עם זאת תלמידים שנבחנו על־פי המבנה הישן יוכלו לשפר את ציונם ברמה

שבה נבחנו בעבר.

משך הבחינה הרשום בכל שאלון תקף החל ממועד קיץ תשס"ו. שימו לב!

מומלץ להתעדכן באתר האינטרנט של המפמ"ר למתמטיקה בתוך האתר המרכזי של משרד החינוך, באגף המפמ"רים. כתובת האתר:

http://cms.education.gov.il/EducationCMS/Units/

Mazkirut_Pedagogit/MATEMATIKA

באתר זה תוכלו למצוא מידע הרלוונטי לכם לקראת בחינות הבגרות.

מתמטיקה

Page 2: מתמטיקה מדריך בחינה

246

במבחני הבגרות החל מקיץ תשס"ו, ברמה של 3 יחידות לימוד, יהיו שאלות הדורשות מיומנות של אוריינות מתמטית. השאלות יהיו רק במסגרת הנושאים

הקיימים בתכנית הלימודים. למאגר של שאלונים 301 ו־302 נוספו שאלות אורייניות המתאימות לתכנים הקיימים בשאלונים ולמבנה בחינת הבגרות.

לא התווסף כל חומר לתכנית הלימודים. השאלות מפורסמות באתר המפמ"ר למתמטיקה.

הערה:

בעמ' 274 מוצג מבנה הבחינה בתכנית הצבירה במבחנים מותאמים.

בעמ' 275 מוצגים דפי נוסחאות מורחבים.

בעמ' 278 מוצגות הצעות דידקטיות.

מתמטיקה

Page 3: מתמטיקה מדריך בחינה

247

מבנה הבחינה

שאלון 303שאלון 302שאלון 301 משוואות ומערכות

משוואות ממעלה ראשונה ושנייה, שינוי נושא

בנוסחה, בעיות מילוליות: בעיות קנייה ומכירה,

בעיות אחוזים.

1—2 שאלות בבחינה

טכניקה אלגברית משוואות ומערכות משוואות עם ובלי פרמטרים. שברים

אלגבריים. פונקציה ליניארית, פונקציה

ריבועית. חקירת גרפים ללא שימוש בחדו"א

)ראו פירוט(. 1—2 שאלות בבחינה

בעיות מילוליות: קנייה ומכירה )כולל אחוזים(, אחוזים, תנועה, בעיות

גיאומטריות.

גרפים "מציאותיים" )קריאת גרפים ובניית

גרפים(, סדרות חשבוניות.

1 שאלה בבחינה

הרחבת מושג החזקה,סדרה הנדסית )הגדרה

לפי מקום והגדרה ברקורסיה(, בעיות גידול

ודעיכה דיסקרטיות.

1 שאלה בבחינה

מושגי יסוד בגיאומטריה אנליטית: ישרים, משפט

פיתגורס.

1 שאלה

תכנון ליניארי

1 שאלה

גיאומטריה אנליטית: אורך קטע, אמצע קטע,

ישרים, תנאי ניצבות, מעגל, משיק למעגל בנקודה על המעגל.

נושאי הלימוד לבחינה במתמטיקה3 יחידות לימוד — שאלונים 301, 302, 303

Page 4: מתמטיקה מדריך בחינה

248

שאלון 303שאלון 302שאלון 301 טריגונומטריה:

הפונקציות הטריגונומטריות. משולש

ישר זווית, מלבן ומעוין.

1 שאלה בבחינה

טריגונומטריה: יישומים במישור ובמרחב.

)במרחב הגופים הם: מנסרה ישרה שבסיסה

הוא ריבוע, מלבן או משולש, פירמידה ישרה

שבסיסה מלבן או ריבוע.( 1—2 שאלות

חשבון דיפרנציאלי של פולינומים ושל

, x , 1

xהפונקציות

נגזרת של מכפלה, כלל השרשרת, שימושי הנגזרת

)ראו פירוט(.

סטטיסטיקה תיאורית )לא כולל התפלגות

נורמלית(, הסתברות של מאורע.

1—2 שאלות

הסתברות, התפלגות נורמלית.

1—2 שאלות

חשבון אינטגרלי: פונקציה קדימה, חישובי

שטחים.

התנהגות וחקר פונקציות

שאלון 301

משך הבחינה: שעה ורבע.

מבנה הבחינה:בשאלון שש שאלות. השאלות הן מהמאגר הקיים ומהרחבות של המאגר. ההרחבות

מפורסמות באתר האינטרנט של המזכירות הפדגוגית )ראו כתובתו בעמוד 245(. להלן ההרחבות הנמצאות באתר:

הרחבת המאגר החל מקיץ תשס"ז א.

הרחבת המאגר החל מקיץ תשס"ח ב.

שימו לב!

ההרחבות וחומר הלימודים לשאלון 301 רשומים באתר כהרחבות וחומר לימודים לשאלון 35001 .

במשך הזמן יתפרסמו הרחבות נוספות למאגר, ויירשם לידן המועד שבו יתחילו להיות חלק ממאגר השאלות המחייב לבחינה.

החל מן המועד הזה — החומר לבחינה יכלול שאלות מהמאגר הקיים ומן ההרחבות שנוספו עד לתאריך הבחינה, כולל תאריך הבחינה.

בשאלון 301 על הנבחן לצבור ניקוד השווה לארבע שאלות מלאות )לכל שאלה — 25 נקודות(. הנבחן יכול לענות על שאלות מלאות או על חלקי שאלות.

בכל שאלה מהמאגר ניתן לשנות בבחינת הבגרות את המספרים המופיעים הערה: בשאלה, להוסיף סעיפי מדרגה, להוריד סעיפים, ולתת הקלות נוספות כמו תוספת

סרטוט וכד'.

מתמטיקה / 3 יחידות

Page 5: מתמטיקה מדריך בחינה

249

שאלון 302

משך הבחינה: שעה וחצי.

מבנה הבחינה:בשאלון שש שאלות. השאלות הן מהמאגר הקיים ומהרחבות של המאגר. ההרחבות

מפורסמות באתר האינטרנט של המזכירות הפדגוגית )ראו כתובתו בעמוד 245(.להלן ההרחבות הנמצאות באתר:

הרחבת המאגר החל מקיץ תשס"ז א.

הרחבת המאגר החל מקיץ תשס"ח ב.

בהמשך השנה יתפרסמו שאלות מאגר נוספות.שימו לב!

ההרחבות וחומר הלימודים לשאלון 302 רשומים באתר כהרחבות וחומר לימודים לשאלון 35002. במשך הזמן יתפרסמו הרחבות נוספות למאגר, ויירשם לידן המועד

שבו יתחילו להיות חלק ממאגר השאלות המחייב לבחינה. החל מן המועד הזה — בכל בחינה, החומר לבחינה יכלול שאלות מהמאגר הקיים ומן ההרחבות שנוספו עד

לתאריך הבחינה, כולל תאריך הבחינה.

בשאלון 302 על הנבחן לצבור ניקוד השווה לארבע שאלות מלאות )לכל שאלה — 25 נקודות(. הנבחן יכול לענות על שאלות מלאות או על חלקי שאלות.

הערות:

בבחינת הבגרות השאלה בתכנון ליניארי תיבנה על בסיס השאלות הקיימות א. במאגר, אך לא יישאלו באותה שאלה כל הסעיפים המופיעים בשאלת המאגר.

נבחן לא יצטרך בשאלה אחת לבנות מערכת אילוצים, לרשום את פונקציית המטרה, לסרטט תחום אפשרי של הפתרון ולחשב את כל הקודקודים, אלא

רק חלק ממשימות אלה. יש מגוון אפשרויות לשאלות מסוג זה. למשל, ייתכן שתינתן שאלה מילולית והנבחנים יידרשו לכתוב רק את מערכת האילוצים ואת פונקציית המטרה. אפשרות אחרת היא שיהיה נתון בשאלה סרטוט )כולל תחום

הפתרון( ומערכת אילוצים, והנבחן יצטרך לזהות את הקווים ולמצוא את הערכים שבעבורם פונקציית המטרה מקבלת ערך מקסימלי או מינימלי. באותו אופן ניתן

לגזור שאלות נוספות מתוך המאגר. חשוב לציין כי העיקרון המנחה הוא שמשך הזמן שנדרש לפתרון השאלה יתאים לזמן העומד לרשות הנבחנים בעת הבחינה.

לא יידרש שימוש בפרמטרים בטריגונומטריה. ייתכן שיהיו שאלות מתוך המאגר, ב. שבהן יש פרמטרים, אך במקרים אלה הפרמטרים בשאלות יוחלפו במספרים.

שאלות בשאלון 302 יכולות להילקח מהמאגר הקיים מפרקים א, ב ו־ג )בנושאים ג. השייכים לשאלון 302(.

בכל שאלה מהמאגר ניתן לשנות בבחינת הבגרות את המספרים המופיעים ד. בשאלה, להוסיף סעיפי מדרגה, להוריד סעיפים, ולתת הקלות נוספות כמו תוספת

סרטוט וכד'.

מתמטיקה / 3 יחידות

Page 6: מתמטיקה מדריך בחינה

250

שאלון 303

משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים.

מבנה הבחינה: בשאלון זה אין צבירה.

נושאי הבחינה:אלגברה — בעיות מילוליות, גיאומטריה אנליטית.

התנהגות פונקציות, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי )כולל בעיות ערך קיצון(.

על הנבחן לענות על שלוש שאלות מתוך חמש.

המעריך יבדוק רק את שלוש השאלות הראשונות הפתורות במחברת הבחינה, גם אם הן פתורות באופן חלקי.

הערה:

בעיות מילוליות בגיאומטריה יופיעו בשאלון 303 רק באחד מהנושאים 'אלגברה' או 'בעיית ערך קיצון'.

בשאלון 303 יש לקבל בבחינה ציון מינימלי של 15 נקודות )מתוך 100 נקודות(. אם יקבל הנבחן ציון הנמוך מ־15 נקודות, יופיע הרישום "צ.מ" שמשמעותו "לא הושג ציון מינימלי". במקרה זה לא יוכל הנבחן לקבל ציון סופי במקצוע מתמטיקה בהיקף של 3

יחידות לימוד, ולא ישוקללו ציוניו בשלושת השאלונים 301, 302, 303.

שימו לב!השאלון 303 מופיע באתר המפמ"ר כשאלון 35003 .

משקל השאלונים: ברמה של שלוש יחידות לימוד שאלון 301 ושאלון 302 מהווים כל אחד 33% מכלל

הציון, שאלון 303 — 34%.

מתמטיקה / 3 יחידות

Page 7: מתמטיקה מדריך בחינה

251

מבנה הבחינה

שאלון 305שאלון 304שאלון 303בעיות מילוליות: קנייה ומכירה )כולל אחוזים(, אחוזים, תנועה, בעיות

גיאומטריות.

הערה:בשאלון זה יש צורך

לדעת את כל הטכניקה האלגברית הנדרשת

לפתרון בעיות בנושאים המופיעים בשאלון.

הידע הגיאומטרי הנדרש לפתרון בעיות בשאלון

זה הוא כל שימושי המשפטים הנלמדים

בגיאומטריה בנושאים: משולשים, מרובעים,

מצולעים מעגל ודמיון )ראו פירוט בהמשך

החוזר(.

אלגברה: אי־שוויונים, נוסחאות ויאטה, פירוק

לגורמים, משוואות ומערכות משוואות עם

פרמטרים, משוואות הנפתרות על־ידי הצבה

)כמו משוואה דו־ ריבועית(, משוואות

אי־רציונליות.

אלגברה של חזקות ולוגריתמים: משוואות

ואי־שוויונים, בעיות גידול ודעיכה.

סדרות: חשבונית, הנדסית סופית

ואינסופית, סדרות מעורבות, הגדרות

ברקורסיה לסדרות מסוגים שונים.

נושאי הלימוד לבחינה במתמטיקה4 יחידות לימוד — שאלונים 303, 304, 305

Page 8: מתמטיקה מדריך בחינה

252

שאלון 305שאלון 304שאלון 303גיאומטריה אנליטית:

אורך קטע, אמצע קטע, ישרים, תנאי ניצבות, מעגל, משיק למעגל בנקודה על המעגל.

טריגונומטריה: הפונקציות

הטריגונומטריות, מחזוריות, משוואות

פשוטות )זהויות, ראה פירוט(, פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים

ישרי זווית, משפט הסינוסים, משפט

הקוסינוסים, יישומים במישור ובמרחב.

חשבון דיפרנציאלי של פולינומים ושל

, x , 1

xהפונקציות

נגזרת של מכפלה, כלל השרשרת, שימושי הנגזרת

)ראה פירוט(.

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: של

פונקציות פולינום, שורש, רציונליות,

מעריכיות, לוגריתמיות וטריגונומטריות )כולל

שימושי הנגזרת ובעיות ערך קיצון(.

הערה: תחום הגדרה של

הפונקציות עשוי לדרוש פתרון של משוואות

ואי־שוויונים ליניאריים וריבועיים, מנה של

פונקציות ליניאריות )ראה פירוט(.

גיאומטריה: שימוש במשפטי החפיפה

ובמשפטי הדמיון. תכונות של משולשים, מרובעים,

ומעגל להוכחת בעיות ומשפטים.

חשבון אינטגרלי: פונקציה קדומה, חישובי

שטחים.

הסתברות: חשיבה הסתברותית בחיי

יום־יום או הסתברות "קלאסית"

התנהגות וחקר פונקציות

מתמטיקה / 4 יחידות

Page 9: מתמטיקה מדריך בחינה

253

שאלון 303

בשאלון 303 יש לקבל בבחינה ציון מינימלי של 15 נקודות )מתוך 100 נקודות(. אם יקבל הנבחן ציון הנמוך מ־15 נקודות, יופיע הרישום "צ.מ" שמשמעותו "לא הושג ציון מינימלי". במקרה זה לא יוכל הנבחן לקבל ציון סופי במקצוע מתמטיקה בהיקף של 4

יחידות לימוד, ולא ישוקללו ציוניו בשלושת השאלונים 303, 304, 305.

פירוט נוסף על אודות שאלון מספר 303 מופיע בעמוד 250.

שאלון 304

משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים.

מבנה הבחינה: פרק א': טריגונומטריה — במישור ובמרחב, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של

הפונקציות הטריגונומטריות )כולל בעיות ערך קיצון פשוטות(. בפרק זה על הנבחן לענות על שאלה אחת מתוך שתיים.

פרק ב': שאר הנושאים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, אלגברה של חזקות ולוגריתמים, בעיות גידול ודעיכה.

בפרק זה על הנבחן לענות על שתי שאלות מתוך שלוש.

הערות:

בחשבון דיפרנציאלי יש לדעת את כל הטכניקה האלגברית של משוואות א. ואי־שוויונים הנחוצים לצורכי תחום הגדרה, נקודות אפס ונקודות קיצון

בפונקציות השייכות לשאלון זה.

אם נבחן מוסיף לסרטוט הנתון בשאלה קווי עזר נוספים או אותיות נוספות הוא ב. חייב להעתיק את הסרטוט למחברת הבחינה.

בשאלות בטריגונומטריה יש להסביר ולנמק בקצרה חישובים שונים, כולל חישובי ג. זוויות.

בשאלות בטריגונומטריה במישור ובמרחב חובה לציין את המשולש שאליו ד. מתייחסים.

בשימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים, אם יש מספר תשובות אפשריות, יש ה. לרשום את כולן. אם יש נימוק לפסילת אחת מהתשובות, יש לרשום אותו.

מתמטיקה / 4 יחידות

Page 10: מתמטיקה מדריך בחינה

254

הגיאומטריה הנדרשת לפתרון בעיות בטריגונומטריה ובעיות ערך קיצון בשאלון ו. 004 כוללת את כל הנושאים בגיאומטריה: משולשים, מרובעים, מצולעים, מעגל

ודמיון.

שאלה במבחן יכולה להיות מורכבת מכמה נושאים. למשל, סעיף א' — חקירת ז. פונקציה וסעיף ב' — חישוב שטח.

שאלון 305

משך הבחינה: שעתיים.

מבנה הבחינה: פרק א': אלגברה וסדרות

בפרק זה על הנבחן לענות על שאלה אחת מתוך שתיים.

פרק ב': גיאומטריה והסתברות )הסתברות קלאסית או חשיבה הסתברותית(.בפרק זה על הנבחן לענות על שתי שאלות מתוך שלוש ) שימו לב, נבחן יכול לענות

רק על שאלות בהסתברות קלאסית או רק על שאלות בחשיבה הסתברותית, ולא על שאלות משני הנושאים(.

הערות:

על שאלות הרשומות תחת הכותרת גיאומטריית המישור יש לענות רק בשיטות א. של גיאומטריה אוקלידית.

בשאלות בגיאומטריה יש לנמק בצורה ברורה כל שלב. למשל: אין לנמק שוויון ב. בין שתי זוויות רק על־ידי המילים "זוויות היקפיות", אלא צריך לרשום לדוגמה

"זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות" .

אם נבחן מוסיף בבעיה בגיאומטריה קווי עזר או מסמן זוויות שלא על־פי שלוש ג. אותיות, עליו להעתיק את הסרטוט למחברת הבחינה.

בפרק ב', הכולל גיאומטריה והסתברות, ייתכנו האפשרויות הבאות של חלוקת ד. השאלות:

שתי שאלות בגיאומטריה, שאלה אחת בהסתברות קלאסית ושאלה אחת .1בחשיבה הסתברותית בחיי היום־יום.

שאלה אחת בגיאומטריה, שתי שאלות בהסתברות קלאסית ושתי שאלות .2בחשיבה הסתברותית.

נבחן חייב לענות על שתי שאלות בפרק זה. הוא אינו רשאי לבחור שאלהאחת בהסתברות קלאסית ושאלה אחת בחשיבה הסתברותית.

מתמטיקה / 4 יחידות

Page 11: מתמטיקה מדריך בחינה

255

בשאלות בהסתברות יש להסביר את כל שלבי הפתרון באופן מדויק )על־ידי ה. הסבר מילולי או על־ידי נוסחאות מתאימות(. במילוי טבלה יש לנמק במפורש את

התוצאות הנובעות משימוש באחת מנוסחאות ההסתברות המותנית.

השאלות בהסתברות יופיעו תחת שתי כותרות שונות: הסתברות וחשיבה ו. הסתברותית. נבחן אינו רשאי לבחור שאלה אחת בהסתברות ושאלה נוספת

בחשיבה הסתברותית.

שאלה במבחן יכולה להיות מורכבת מכמה נושאים. למשל, סעיף א' — אי־שוויון ז. ריבועי וסעיף ב' — חקירת משוואה ליניארית.

משקל השאלונים:

ברמה של 4 יחידות לימוד שאלון 303 ושאלון 304 מהווים כל אחד 33% מכלל הציון, ושאלון 305 — 34%.

מתמטיקה / 4 יחידות

Page 12: מתמטיקה מדריך בחינה

256

מבנה הבחינה

שאלון 307שאלון 306שאלון 305אלגברה: אי־שוויונים,

נוסחאות ויאטה, פירוק

לגורמים, משוואות

ומערכות משוואות עם

פרמטרים, משוואות

הנפתרות על־ידי הצבה

)כמו משוואה

דו־ריבועית(, משוואות

אי־רציונליות.

אלגברה:

בעיות מילוליות )ראה

פירוט(, אי־שוויונים עם

ערך מוחלט.

אינדוקציה.

גיאומטריה אנליטית:

ישרים — כל הנושא

)כולל משוואת חוצה

זווית, זווית בין ישרים

ומרחק נקודה מישר(.

מעגל — כל הנושא,

פרבולה, אליפסה,

והיפרבולה )ראה פירוט(.

מקומות גיאומטריים.סדרות: חשבונית,

הנדסית סופית

ואינסופית, סדרות

מעורבות, הגדרות

ברקורסיה לסדרות

מסוגים שונים.

וקטורים: גיאומטריים

ואלגבריים, שימושים

לחישובים והוכחות.

טריגונומטריה: משפט

הסינוסים ומשפט

הקוסינוסים, יישומים

במישור ובמרחב.

זהויות ומשוואות )לא

כתרגיל בפני עצמו אלא

כחלק מפתרון בעיות

כולל בעיות בחשבון

דיפרנציאלי ואינטגרלי(.

מספרים מרוכבים

נושאי הלימוד לבחינה במתמטיקה5 יחידות לימוד — שאלונים 305, 306, 307

Page 13: מתמטיקה מדריך בחינה

257

שאלון 307שאלון 306שאלון 305גיאומטריה: שימוש

במשפטי החפיפה

ובמשפטי הדמיון.

תכונות של משולשים,

מרובעים, ומעגל להוכחת

בעיות.

חשבון דיפרנציאלי

ואינטגרלי:

פולינומים, פונקציות

רציונליות, שורש ריבועי,

פונקציות טריגונומטריות.

גזירה סתומה. נקודות

פיתול, קעירות כלפי מטה

וכלפי מעלה. חלוקת

פולינומים. שימושי

הנגזרת והאינטגרל )כולל

בעיות ערך קיצון(.אינטגרציה ) ראה פירוט(.

פונקציות מעריכיות

ולוגריתמיות — אלגברה

וחשבון דיפרנציאלי

ואינטגרלי )כולל כל

המיומנויות הנדרשות

בשאלון 306 באלגברה

ובחדו"א(.

בעיות גידול ודעיכה.

הסתברות:

חשיבה הסתברותית בחיי

יום יום או הסתברות

"קלאסית".

מתמטיקה / 5 יחידות

Page 14: מתמטיקה מדריך בחינה

258

שאלון 305

ראו פירוט בעמודים 254–255.

שאלון 306

משך הבחינה: שעתיים.

מבנה הבחינה: פרק א': אלגברה — בעיות מילוליות, אי־שוויונים עם ערך מוחלט, אינדוקציה.

בפרק זה על הנבחן לענות על שאלה אחת מתוך שתיים.

פרק ב': טריגונומטריה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.בפרק זה על הנבחן לענות על שתי שאלות מתוך שלוש.

הערות:

אי־שוויונים )ערך מוחלט( עם פרמטרים לא יידרשו. א.

בשאלות בטריגונומטריה במרחב לא יידרשו גופים חסומים. ב.

אם נבחן מוסיף לסרטוט הנתון בשאלה קווי עזר נוספים או אותיות נוספות, הוא ג. חייב להעתיק את הסרטוט למחברת הבחינה.

בשאלות בטריגונומטריה יש להסביר ולנמק בקצרה חישובים שונים, כולל חישובי ד. זוויות.

בשאלות בטריגונומטריה במישור ובמרחב חובה לציין את המשולש שאליו ה. מתייחסים.

בשימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים, אם יש מספר תשובות אפשריות, יש ו. לרשום את כולן. אם יש נימוק לפסילת אחת מהתשובות, יש לרשום אותו.

המיומנויות הנדרשות באלגברה וגיאומטריה בשאלון 305 יכולות להידרש בשאלון ז. 306 בנושאים של בעיות קיצון, תחום הגדרה וכד'.

שאלה במבחן יכולה להיות מורכבת מכמה נושאים. למשל, סעיף א' — אי־שוויון ח. עם ערך מוחלט וסעיף ב' — אינדוקציה.

מתמטיקה / 5 יחידות

Page 15: מתמטיקה מדריך בחינה

259

שאלון 307

משך הבחינה: שעתיים.

מבנה הבחינה: פרק א': גיאומטריה אנליטית, וקטורים.

בפרק זה על הנבחן לענות על שתי שאלות מתוך שלוש.

פרק ב': מספרים מרוכבים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.בפרק זה על הנבחן לענות על שאלה אחת מתוך שתיים.

הערות:

בשאלות בנושא תנאי ההשקה יידרש שימוש ב: א.

מרחק נקודה )מרכז המעגל( מישר. .1

איפוס הדיסקרימיננטה. .2

שאלה במספרים מרוכבים לא בהכרח תופיע בכל שאלון )ייתכן גם שתופיע ב. כסעיף, כחלק משאלה(.

באותה שאלה בווקטורים ייתכן שיידרשו וקטורים אלגבריים ווקטורים ג. גיאומטריים.

בכל אחד מן הנושאים בשאלון זה יכולות להיות שתי שאלות באותו הנושא. ד.

המיומנויות הנדרשות באלגברה, בגיאומטריה ובחשבון דיפרנציאלי בשאלונים 305 ה. ו־306 יכולות להידרש בשאלון 307 בנושאים של בעיות קיצון, תחום הגדרה וכד'.

שאלה במבחן יכולה להיות מורכבת מכמה נושאים. למשל, סעיף א' — מספרים ו. מרוכבים, וסעיף ב' — אי־שוויון מעריכי.

משקל השאלונים:

ברמה של חמש יחידות לימוד שאלון 305 ושאלון 306 מהווים כל אחד 33% מכלל הציון, ושאלון 307 — 34%.

מתמטיקה / 5 יחידות

Page 16: מתמטיקה מדריך בחינה

260

תכנית בחינת הבגרות בשיטת הצבירה

להלן פירוט הנושאים הנדרשים בשאלונים השונים בבחינת הבגרות בשיטת הצבירה. רשימה זו היא בתוקף החל ממועד א' קיץ תשס"ו.

שאלון 301משוואות: משוואות ממעלה ראשונה ושנייה. .1

מערכת משוואות: שתי המשוואות ממעלה ראשונה, אחת מהמשוואות היא ממעלה ראשונה והשנייה מהצורה y = ax2 + bx + c , או שתיהן מצורה זו.

הקשר בין פתרון אלגברי והמשמעות הגרפית של הפתרון.

פירוק לגורמים: פירוק על־ידי הוצאת גורם משותף. .2

שינוי נושא בנוסחה: כולל שינוי נושא בנוסחה שיש בה שברים אלגבריים .3פשוטים.

בעיות מילוליות: בעיות קנייה ומכירה )כולל התייקרויות והוזלות עוקבות .4באחוזים(, בעיות כלליות באחוזים )במאגר לנבחנים אינטרנים משנת תש"ס בעיות

אלו מופיעות בעמודים 15–18 תרגילים 1–17(.

גרפים "מציאותיים": .5 קריאת מידע )אינפורמציה( מגרפים המתארים מצבים "מציאותיים".

בניית גרפים "מציאותיים" — מעבר מתיאור מילולי של מצב לתיאור גרפי שלו. המושגים: עלייה, ירידה, מקסימום ומינימום, שיפוע של ישר.

השוואה איכותית של קצב שינוי.

מושגי יסוד בגיאומטריה אנליטית: .6 משוואת ישר: מציאת משוואת ישר על־פי נקודה עליו ושיפוע נתון, על־פי שתי

נקודות. חיתוך והקבלה של ישרים, אמצע קטע, חישוב מרחק בין נקודות בעזרת משפט

פיתגורס.

סדרה חשבונית: הגדרה מילולית על־פי הפרש קבוע בין איברים עוקבים, הגדרת .7הסדרה לפי מקום )הנוסחה לאיבר כללי(, נוסחת סכום n האיברים הראשונים

והשימוש בנוסחאות לחישובים מסוגים שונים, כולל פתרון בעיות מילוליות בסדרות.

מתמטיקה

Page 17: מתמטיקה מדריך בחינה

261

טריגונומטריה: .8 הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס.

יישומים במישור: משולשים ישרי זווית ומצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית — משולש שווה שוקיים, משולש כללי, מלבן, מעוין.

במהלך פתרון הבעיות יידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות של המצולעים השונים וכן חישובי שטחים והיקפים, ללא שימוש בפרמטרים.

סטטיסטיקה והסתברות: .9

שכיחות, שכיחות יחסית )כולל באחוזים(, תיאור נתונים בטבלת שכיחויות. סידור נתונים בקבוצות ותיאורם הגרפי בצורת היסטוגרם, דיאגרמת עמודות )מקלות(

ודיאגרמת עיגול. קריאה וניתוח של דיאגרמות אלה )לדוגמה עמ' 71 תרגיל 5 במאגר לנבחנים אינטרנים(.

הממוצע וחישובו.חישוב הסתברות של מאורע במרחב סופי כיחס בין מספר התוצאות במאורע

למספר התוצאות במרחב. מאורע חד־שלבי ודו־שלבי .

שאלון 302 1. טכניקה אלגברית:

משוואות ומערכות משוואות עם פרמטר ובלי פרמטר:משוואה ליניארית עם פרמטר יחיד, משוואה עם פרמטר שבה יש פולינום ליניארי

ב־x במכנה )כדוגמת השאלות במאגר לנבחנים אינטרנים עמ' 79–80(, מערכת משוואות ליניאריות עם פרמטר יחיד. מציאת ערך הפרמטר עבורו יש למשוואה או

למערכת משוואות פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון. פתרון מערכת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה, כולל מערכת המכילה משוואות

. ax2 + by2 = c או a

x

b

yc+ = מהצורה

מציאת קשר בין פתרון גרפי לפתרון אלגברי של מערכת משוואות )רק פונקציות ממעלה ראשונה ושנייה(.

מציאת נקודות חיתוך של ישרים, של ישר ופרבולה ושל שתי פרבולות.תכונות הפונקציה הריבועית: תחומי חיוביות ושליליות, תחומי עלייה וירידה

)כולל קריאת מידע מתוך גרפים( )עמ' 81–83 במאגר(. פירוק לגורמים על־ידי הוצאת גורם משותף ועל־ידי פירוק של הפרש ריבועים.

שימוש בפירוק לגורמים לפישוט/ צמצום שברים אלגבריים פשוטים.קריאת גרפים של פונקציה ליניארית וריבועית, קריאת גרפים של פונקציות

כלשהן )עבור פונקציות שאינן ליניאריות או ריבועיות קריאת הגרף היא מתוך סרטוט בלבד — ללא התבנית, לכשיורחב המאגר(.

מתמטיקה

Page 18: מתמטיקה מדריך בחינה

262

2. הרחבת מושג החזקה: חוקי החזקה )במעריכים טבעיים(, הרחבת החזקה למעריכים שליליים ולשברים.משוואות מעריכיות פשוטות שיש בהן בסיס שווה לכל החזקות, או שניתן להגיע

לבסיס שווה בצעד אחד.כתיבה מדעית של מספרים, כלומר שימוש בחזקות של 10 לכתיבת מספרים

גדולים מאוד או קטנים מאוד בערכם המוחלט. כפל וחילוק של מספרים הכתובים בכתיב מדעי.

3. סדרות: הגדרת סדרות על־ידי כלל נסיגה )עמ' 103–104 במאגר לנבחנים אינטרנים(.

סדרה גיאומטרית )הנדסית(: הגדרה על־ידי כלל נסיגה, שימוש בנוסחת האיבר הכללי, שימוש בנוסחת הסכום של n איברים.

4. בעיות גידול ודעיכה דיסקרטיות:בעיות גידול ודעיכה הניתנות לתיאור כסדרות גיאומטריות )למשל חישובי ריבית

דריבית, ירידת ערך, התרבות וכד'(.שימו לב! עד לפרסום המאגר המורחב, הבעיות במאגר הקיים לנבחנים אינטרנים

הן בתוקף.

5. תכנון ליניארי:הגרף של אי־שוויון ליניארי בשני משתנים, מערכת אי־שוויונים ליניארית בשני

משתנים ותיאורה הגרפי, פונקציית מטרה וקווי הגובה שלה. תרגום בעיה מילולית למערכת אי־שוויונים ולפונקציית מטרה. בעיות של תכנון ליניארי — קיצון

בתחום אפשרי על־פי קווי גובה ועל־פי בדיקת קודקודים.

6. טריגונומטריה: הפונקציות הטריגונומטריות: סינוס, קוסינוס, טנגנס.

יישומים במישור — מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית: משולש שווה־שוקיים, משולש כללי, מלבן, מעוין, טרפז, מצולע משוכלל, מעגל חוסם

ומעגל חסום )עמ' 58–65 ו־166–172 במאגר, עם התאמות לרמה של 002(. פתרון בעיות הדורשות שימוש בתכונות הגיאומטריות של המצולעים השונים.

חישובים במצולעים של אורכי קטעים, זוויות, היקפים ושטחים.

. S a b= ⋅ ⋅1

2sin γ שימוש בנוסחה

יישומים במרחב: הכרה אינטואיטיבית של מושגים במרחב — ישר ניצב למישור, זווית בין ישר למישור, זווית בין מישורים.

חישוב של אורכי צלעות, זוויות, נפח, שטח פנים ושטח מעטפת בגופים: מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר־זווית, משולש שווה־שוקיים, משולש שווה־צלעות,

מלבן )כולל ריבוע(, פירמידה ישרה שבסיסה מלבן )כולל ריבוע(, משולש שווה־שוקיים, משולש שווה־צלעות.

מתמטיקה

Page 19: מתמטיקה מדריך בחינה

263

7. סטטיסטיקה, הסתברות והתפלגות נורמלית:

הסתברות של מאורע משלים, של איחוד וחיתוך של מאורעות, של מאורעות זרים, של מאורעות דו־שלביים או תלת־שלביים. חישובים באמצעות דיאגרמת עץ או

דיאגרמה אחרת.ממוצע וסטיית תקן, ציוני תקן, התפלגות נורמלית )כולל שימוש בטבלה שלמה של

ההתפלגות( )עמ' 146–152 במאגר(.

שאלון 303 בעיות מילוליות: .1

בעיות תנועה, בעיות קנייה ומכירה )כולל התייקרויות והוזלות עוקבות באחוזים(. בעיות גיאומטריות: שטחים והיקפים של צורות המורכבות ממלבנים, משולשים

וחלקי מעגל )מעגל, חצי מעגל, או רבע מעגל(, נפח ושטח פנים של תיבה וגליל. נפח של מנסרה משולשת.

בכל הנושאים תהיינה שאלות עם אחוזים, ובגיאומטריה יידרש משפט פיתגורס.

גיאומטריה אנליטית: .2 מרחק בין נקודות )אורך קטע(, אמצע קטע.

ישרים: משוואת ישר על־פי שתי נקודות ועל־פי שיפוע ונקודה, הקבלה, חיתוך וניצבות.

מעגל: משוואה קנונית ומשוואת מעגל כללי 2 + (y – b)2 = R2(x – a), חיתוך של מעגל וישר, חיתוך של שני מעגלים, משיק למעגל בנקודה שעל המעגל )כתנאי

ניצבות(.

התנהגות פונקציות: .3 תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים, חיוביות ושליליות. התנהגות בסביבת נקודת

, a

xb

n+ אי־הגדרה. אסימפטוטה מקבילה לציר y , התנהגות פונקציות מהצורה

x לא תידרש אסימפטוטה מקבילה לציר( x כולל קיום אסימפטוטה מקבילה לציר במקרים אחרים(.

כאשר f(x) היא פונקציה מהמעלה 1

f x( )הקשר בין הגרף של f(x) לבין הגרף של

ראשונה או שנייה.

ייתכן שתהייה שאלה בהתנהגות פונקציות כשאלה נפרדת בפרק החשבון הערה: הדיפרנציאלי והאינטגרלי, או בשילוב עם שאלה בחשבון דיפרנציאלי.

חשבון דיפרנציאלי: .4 מושגי יסוד: משיק בנקודה, שיפוע של גרף בנקודה, הפונקציה הנגזרת. מושג

אינטואיטיבי של גבול. ,)(f(x) ± g(x))' , (cf(x))' שלם או 0(. נגזרת של פולינום )כולל k ( של xk הנגזרת

מתמטיקה

Page 20: מתמטיקה מדריך בחינה

264

k , a טבעי(.

xb

k+ , f x( ) , 1

f x( )x )כולל , 1

x נגזרת של הפונקציות:

נגזרת של סכום, הפרש, ומכפלה של כל אחת מהפונקציות הנזכרות. נגזרת של פונקציה מורכבת )שלב אחד של כלל השרשרת(.

שימושי הנגזרת:

א. משוואת משיק.ב. חקירת פונקציות: תחום הגדרה, נקודות קיצון, תחומי עלייה ירידה, חיתוך

עם הצירים, התנהגות בסביבת נקודת אי־הגדרה )אסימפטוטה מקבילה לציר

y( , סרטוט סקיצה של גרף של פונקציה. אסימפטוטה מקבילה לציר x רק

1

f x( )k , a טבעי, b ממשי, ולפונקציות

xb

k+ לפונקציות מהצורה

כאשר f(x) היא פונקציה ממעלה ראשונה או שנייה.

ג. בעיות ערך קיצון )כולל קיצון בקצות קטע סגור(.הערה: לא יידרש פתרון של אי־שוויון ריבועי לצורכי חישוב תחום ההגדרה.

חשבון אינטגרלי: .5 פונקציה קדימה, קבוע האינטגרציה, מציאת פונקציה לפי נגזרת ונקודה

על הפונקציה. אינטגרל של פונקציה מורכבת כשהפנימית ליניארית, אימות אינטגרלים על־ידי גזירה.

אינטגרל מסוים: חישוב אינטגרלים מסוימים, חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר x או לציר y, שטח בין גרפים של שתי פונקציות ושטחים המורכבים משני

.)xחלקים )למשל חישוב של שטח בין שתי פונקציות נחתכות ובין ציר ה־ האינטגרלים הנדרשים בשאלון 003 הם האינטגרלים של הפונקציות: פולינום,

c וסכומים או הפרשים שלהם.

ax b+ , n ≠ 1 טבעי n a

xb

n+ , (ax + b)n

שאלון 304

טכניקה אלגברית: .1 לא תישאל שאלה נפרדת בנושא של טכניקה אלגברית. שליטה בטכניקה

האלגברית הרשומה להלן תידרש לפתרון שאלות בנושאים השייכים לשאלון זה. יידרשו השימושים הבאים:

פירוק לגורמים )כולל נוסחאות הכפל המקוצר במעלה שנייה(. פתרון משוואות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה.

פתרון משוואות אי־רציונליות פשוטות שיכולות להיות בחקירת פונקציות .) x x+ =2 ובאינטגרלים )למשל אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים.

אי־שוויון פשוט של מנה של פונקציות ליניאריות. למשל תחום ההגדרה של . x

x

− >10 פונקציות לוגריתמיות יכול לכלול אי־שוויון מהסוג:

מתמטיקה

Page 21: מתמטיקה מדריך בחינה

265

אלגברה של חזקות: .2 חוקי החזקות. חזקה עם מעריך רציונלי.

שורשים: הכנסת גורם מתחת לשורש, הוצאת גורם מתוך השורש, ביטול שורש במכנה.

פונקציות מעריכיות ותיאורן הגרפי. משוואות מעריכיות )פתרון ללא מחשבון ופתרון עם מחשבון(.

אי־שוויונים מעריכיים פשוטים )אי־שוויונים שמהם ניתן להגיע לצורהa , af(x) ≥ ag(x) מספר קבוע, ומובילים לכל היותר לאי־שוויון ריבועי(.

לוגריתמים: .3 לוגריתם בבסיס כלשהו, לוגריתם של מכפלה, מנה, חזקה ושורש. מעבר לוגריתם

מבסיס לבסיס. הפונקציות הלוגריתמיות ותיאורן הגרפי. משוואות לוגריתמיות )פתרון ללא מחשבון ופתרון עם מחשבון(.

, loga f(x) ≥ loga g(x) אי־שוויונים פשוטים )אי־שוויונים מהם ניתן להגיע לצורה , log4 (x2 – 3x) > 1 :פונקציות פשוטות, למשל gו־ f ,מספר קבוע a

log0.2 (x2 + 1) > log0.2 (2x + 1) , אשר מובילים לכל היותר לאי־שוויון ריבועי.

בעיות גידול ודעיכה: .4 גידול מעריכי ודעיכה מעריכית, זמן מחצית חיים.

טריגונומטריה: .5 הרדיאן כמידת זווית, אורך קשת ושטח גזרה. הפונקציות סינוס, קוסינוס וטנגנס,

במעגל היחידה, ותיאורן הגרפי. הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות, של זוויות משלימות לזווית ישרה, של זוויות המשלימות לזווית שטוחה.

מחזוריות הפונקציות. חישוב ערכי הפונקציות לזוויות מיוחדות. פתרון משוואות מהצורה sin (ax + b) = c , cos ax = b , sin ax = b , פתרון כללי ופתרון בתחום נתון. , cos (a ± b) ,sin (a ± b) הזהויות עבור , sin2x + cos2x = 1 , tan

sin

cosx

x

x= זהויות:

. cos 2a , sin 2a , tan (a ± b)

יידרש שימוש בזהויות לפתרון בעיות ומשוואות טריגונומטריות. פתרון בעיות גיאומטריות:

פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי־זווית. משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים והשימוש בהם להתרת משולש כללי.

. S a b= ⋅ ⋅1

2sin γ נוסחת שטח המשולש

יישומים במישור ובמרחב הדורשים שימוש במשפטים ובזהויות. חישובים במרחב של: זוויות, אורכים, שטחים )כמו מעטפת או שטח פנים( ונפחים בגופים הישרים:

תיבה )כולל קובייה(, מנסרה, גליל, פירמידה, חרוט. בפתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב )כולל בעיות טריגונומטריות בחשבון

מתמטיקה

Page 22: מתמטיקה מדריך בחינה

266

דיפרנציאלי ואינטגרלי( יידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות של הצורות והגופים השונים, בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות. בבעיות במרחב יידרש שימוש גם

במושגים: ישר ניצב למישור, ישר משופע למישור, זווית בין ישר למישור, זווית בין מישורים.

חשבון דיפרנציאלי .6 נגזרות של: פונקציות פולינום, פונקציות רציונליות, פונקציות חזקה )עם מעריך רציונלי(, פונקציות מעריכיות, פונקציות לוגריתמיות, פונקציות טריגונומטריות.

נגזרת של סכום, מכפלה, מנה, פונקציה מורכבת )שני שלבים בלבד( של כל הפונקציות השייכות לשאלון זה.

שימושי הנגזרת לחישוב משוואת משיק, חקירת פונקציה וסרטוט סקיצה של גרף הפונקציה )החקירה תכלול תחום הגדרה, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון

)מקומי ומוחלט(, התנהגות בסביבת נקודת אי־הגדרה, אסימפטוטות מקבילות .))ax , ex , loga x , ln x לצירים )בפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות רק עבור

בעיות קיצון )מכל הסוגים, כולל קיצון בקצה קטע סגור(.

הערות: הגיאומטריה הנדרשת לפתרון בעיות בטריגונומטריה ובעיות ערך קיצון א. בשאלון 304 כוללת את כל הנושאים בגיאומטריה, משולשים, מרובעים,

מצולעים, מעגל ודמיון.בחשבון דיפרנציאלי ניתן לשלב פונקציות מסוגים שונים באותה שאלה. ב.

. x2 sin x , esin x ,למשל

חשבון אינטגרלי .7 אינטגרל לא מסוים, פונקציה קדימה, קבוע האינטגרציה, אינטגרלים מידיים.

אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע. אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית היא ליניארית.

מציאת פונקציה על־פי הנגזרת ונקודה על הפונקציה. אימות אינטגרלים על־ידי גזירה. האינטגרל המסוים. חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר x )הפונקציה

יכולה להיות חיובית, שלילית או לשנות סימן(, חישוב שטח בין גרפים של שתי פונקציות, חישוב שטחים מורכבים.

(ax + b)r ,יידרשו אינטגרלים של הפונקציות הבאות: פולינומים הערה:

(, פונקציות מעריכיות, פונקציות c

ax b+ ו־

c

ax b+כאשר r מספר רציונלי )כולל

טריגונומטריות.

שאלון 305טכניקה אלגברית .1

פירוק לגורמים: על־ידי הוצאת גורם משותף, על־פי נוסחאות הכפל המקוצר.

מתמטיקה

Page 23: מתמטיקה מדריך בחינה

267

פירוק הטרינום )אפשר על־ידי פתרון המשוואה הריבועית המתאימה(. שימושי הפירוק לגורמים לפעולות חשבון בשברים אלגבריים, לפתרון משוואות

ואי־שוויונים. פתרון משוואות ממעלה ראשונה ושנייה עם פרמטרים. הקשר שבין ערכי הפרמטר

למספר הפתרונות. מערכת משוואות ליניאריות עם שני משתנים ופרמטר אחד או שניים, הקשר בין ערכי הפרמטר לבין מספר הפתרונות )פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון(.

המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות. מערכת משוואות ממעלה שנייה, לכל היותר, עם פרמטרים. לא תידרש חקירת

מערכת משוואות ששתיהן ממעלה שנייה )מספר הפתרונות וכד'(. משוואות הנפתרות על־ידי הצבה )כמו משוואה דו־ריבועית(. משוואות

אי־רציונליות.אי־שוויונים ממעלה ראשונה. אי־שוויונים ממעלה שנייה עם או בלי פרמטר )לדוגמה, יכול להידרש פתרון לשאלה: מהם ערכי הפרמטר עבורם הפונקציה

שלילית/חיובית, או מעל/מתחת לישר מסוים(. נוסחאות ויאטה )רק בהקשר של סימני השורשים(.

אי־שוויונים רציונליים ללא פרמטרים — אי־שוויונים שמהם ניתן להגיע

f כאשר f(x) או g(x) הם פולינומים ממעלה שנייה, x

g x

( )

( )≥ 0 לאי־שוויונים מהצורה

לכל היותר.

גיאומטריה אוקלידית .2 חפיפת משולשים )ארבעה משפטים(. משפטים והוכחות: תכונות של משולשים, מרובעים, האנך האמצעי וחוצה זווית כמקומות גיאומטריים, תכונות המעגל.

משפט פיתגורס. דמיון: פרופורציה בין קטעים.

המשפט: שלושה ישרים מקבילים החותכים זווית יוצרים קטעים פרופורציוניים )ללא הוכחה מלאה(.

חלוקת קטע ביחס נתון, חלוקה פנימית וחלוקה חיצונית. משפט חוצה הזווית )זווית פנימית וזווית חיצונית(.

דמיון מצולעים )הגדרה(. שלושת משפטי הדמיון של משולשים )לא תידרשנה הוכחות המשפטים(.

היחס במשולשים דומים בין היקפים, תיכונים, חוצי זווית, גבהים ורדיוסי מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים. היחס בין שטחי משולשים דומים.

היחס בין היקפים והיחס בין שטחים במצולעים דומים )לא תידרש הוכחה(.קטעים פרופורציוניים במשולש ישר־זווית. משפטים: הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים לו. הגובה ליתר הוא ממוצע גיאומטרי של

היטלי הניצבים על היתר. הניצב הוא ממוצע גיאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר.

מתמטיקה

Page 24: מתמטיקה מדריך בחינה

268

קטעים פרופורציוניים במעגל. מיתרים נחתכים במעגל. חותך ומשיק מנקודה חיצונית, שני חותכים היוצאים מנקודה חיצונית למעגל.

שאלות בגיאומטריה אוקלידית יש להוכיח בשיטות של גיאומטרית הערה: אוקלידית בלבד.

סדרות .3 סדרות כלליות לפי מקום ולפי נוסחת נסיגה.

סדרה חשבונית )כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה( — איבר כללי, סכום.סדרה הנדסית סופית ואינסופית )כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה( — איבר כללי,

סכום.שברים מחזוריים, סדרות מעורבות.

הסתברות .4

הסתברות קלאסית: א. אקראיות, מרחב הסתברות סופי, חוקי ההסתברות, מאורעות בלתי תלויים,

מאורעות תלויים, הסתברות מותנית, נוסחת בייס, מרחב דו־שלבי ותלת־שלבי )טבלאות ועצים(.

התפלגות בינומית )נוסחת ברנולי(. יש ללמד קומבינטוריקה רק לצורכי ההתפלגות הבינומית. הערה:

חשיבה הסתברותית בחיי היום־יום: ב. מיונים ולוחות, חוקי הפרופורציות, פרופורציה מותנית ונוסחת בייס, קשר

סטטיסטי וקשר סיבתי, שיפוט על־פי יציגות.

שאלון 306אלגברה .1

בעיות מילוליות: תנועה, הספק, תערובות, בעיות קנייה ומכירה )כולל שימוש באחוזים בכל הבעיות(.

אי־שוויונים עם ערך מוחלט: אי־שוויונים ליניאריים המובילים לכל היותר לשני מחוברים בערך מוחלט עם ביטויים ליניאריים ומספר ממשי.

. 2 5

33

x

x

−+

≤ , x

x

−+

>3

2 12 מנה של שני ביטויים ליניאריים, לדוגמה:

. x x2 5 6 2− + ≤ אי־שוויון ריבועי המוביל למחובר ריבועי אחד בערך מוחלט

אינדוקציה: עקרון ההוכחה באינדוקציה. הוכחות באינדוקציה של זהויות, אי־שוויונים, התחלקויות במספר נתון, התלכדות סדרות המוגדרות באופנים

שונים )למשל ברקורסיה ולפי איבר כללי(. חלוקת פולינומים בפולינום ליניארי )רק כטכניקה נדרשת בשאלון, בחשבון

דיפרנציאלי ואינטגרלי(. הערה: כל טכניקה אלגברית שנלמדה בשאלון 305 יכולה להידרש גם בשאלון זה.

מתמטיקה

Page 25: מתמטיקה מדריך בחינה

269

טריגונומטריה .2 הרדיאן כמידת זווית, אורך קשת ושטח גזרה. הפונקציות סינוס, קוסינוס, טנגנס,

במעגל היחידה, ותיאורן הגרפי. הקשר של פונקציית הטנגנס לשיפוע של ישר. הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות של זווית, של זוויות משלימות לזווית ישרה, של זוויות המשלימות לזווית שטוחה. מחזוריות הפונקציות. חישוב ערכי

הפונקציות לזוויות מיוחדות. פתרון משוואות טריגונומטריות )הדורשות שימוש בנוסחאות ובזהויות )לכל

היותר שלושה שלבים( או פירוק לגורמים או פתרון משוואה ריבועית( — פתרון כללי ופתרון בתחום נתון.

פתרון בעיות גיאומטריות במישור ובמרחב: פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי־זווית. משפט הסינוסים ומשפט

הקוסינוסים והשימוש בהם להתרת משולשים ומצולעים אחרים.

S . חישובים במרחב: זוויות, אורכים, שטחים bc= 1

2sin α נוסחת שטח המשולש

)כמו מעטפת או שטח פנים(, נפחים. בגופים ישרים: תיבה )כולל קובייה(, מנסרה, גליל, פירמידה ישרה, חרוט )ללא גופים חסומים(.

בפתרון בעיות טריגונומטריות במישור ובמרחב )כולל בעיות טריגונומטריות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי( יידרש שימוש בתכונות הגיאומטריות של הצורות

והגופים השונים, בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות. בבעיות במרחב יידרש שימוש גם במושגים: ישר ניצב למישור, ישר משופע למישור, זווית בין ישר

למישור, זווית בין מישורים. , tan

sin

cosx

x

x= לפתרון בעיות ומשוואות טריגונומטריות יידרש שימוש בזהויות:

, cos (a ± b) , sin (a ± b) :והזהויות עבור tancos

22

11α

α+ = , sin2 x + cos2 x = 1

. sin a ± sin b , cos a ± cos b , cos 2a , sin 2a , tan (a ± b)

. a ≠ bו־ c ≠ 0 :במקרה a sin x + b cos x = c לא יידרש פתרון המשוואה הערה:

חשבון דיפרנציאלי .3 תיאור גרפי של פונקציות. פונקציית הערך המוחלט, פונקציית השורש הריבועי,

פונקציית החזקה עבור מעריך שלם. נקודות אפס, עלייה וירידה, זוגיות ואי־ f(x) >זוגיות. המשמעות האלגברית והגרפית של נקודות חיתוך של פונקציות, של

g(x) f(x) – g(x) וכד'.

המשיק. שיפוע של גרף בנקודה. הנגזרת בנקודה כתהליך גבולי. המהירות כנגזרת. הפונקציה הנגזרת.

חשבון דיפרנציאלי של פונקציות רציונליות )כולל פולינומים(, פונקציות שבהן יש ביטויים עם שורשים ריבועיים, ופונקציות טריגונומטריות.

נגזרת של: סכום, מכפלה ומנה של פונקציות )מהמוזכרות לעיל(, פונקציה מורכבת

מתמטיקה

Page 26: מתמטיקה מדריך בחינה

270

)כלל השרשרת(, פונקציה סתומה.נגזרת שנייה. קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה ) x2 קעורה כלפי מעלה

x2– קעורה כלפי מטה(. נקודות פיתול.

שימושים:משוואת משיק, נקודות קיצון בקטע פתוח ובקטע סגור, קיצון מקומי וקיצון

מוחלט )כולל קצות קטע(. בעיות ערך קיצון )מכל הסוגים, כולל קיצון בקצה קטע סגור(.

חקירת פונקציה וסרטוט סקיצה של גרף הפונקציה )החקירה כוללת: תחום הגדרה, נקודות קיצון )מקומי ומוחלט(, תחומי עלייה וירידה, נקודות פיתול,

תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה, התנהגות בסביבת נקודת אי־הגדרה, אסימפטוטות מקבילות לצירים(.

חשבון אינטגרלי .4 אינטגרל לא מסוים )פונקציה קדימה(, קבוע האינטגרציה, אינטגרלים מידיים. אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע. אינטגרל של פונקציה

מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית היא ליניארית. מציאת אינטגרל של פונקציה רציונלית עם מכנה ליניארי על־ידי חילוק פולינומים. מציאת אינטגרל על־ידי

הצבה פשוטה )לא רק ליניארית(, מהצורה: f (u) u' dx ∫ כאשר u היא פונקציה של x. )כלומר, אינטגרל שבו יש צורך לזהות את הנגזרת הפנימית, ואינו מצריך שינוי

x

xdx x C

2

3

3

2

2

32

+= + +∫ גבולות בחישוב האינטגרל המסוים(, לדוגמה:

אימות אינטגרלים על־ידי גזירה. מציאת פונקציה על־פי נגזרתה ונקודה.אינטגרל מסוים, פונקציית השטח בין גרף של פונקציה וציר ה־x )הפונקציה יכולה

להיות חיובית, שלילית או לשנות סימן( שטח בין גרפים של פונקציות. חישוב שטחים מורכבים, נפח גופי סיבוב. בעיות ערך קיצון )מכל הסוגים(.

האינטגרלים בפרק זה כוללים: פונקציות רציונליות )גם פולינום(, פונקציות עם ביטויים של שורש ריבועי, פונקציות טריגונומטריות )כולל שימוש בזהויות(.

שימו לב, בנושאים של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ייתכן שימוש הערה: בחלוקת פולינומים.

שאלון 307

גיאומטריה אנליטית .1 מרחק בין שתי נקודות, שיפוע ישר על־פי שתי נקודות, משוואת ישר, נקודת

חיתוך של שני ישרים, ישרים מקבילים וישרים מאונכים זה לזה, חלוקת קטע ביחס נתון, מרחק של נקודה מישר, זווית בין ישרים, משוואת חוצה זווית בין

ישרים.מעגל )כללי(, התנאי שהמשוואה Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 היא משוואה של

מעגל. משיק למעגל בנקודה עליו ומנקודה מחוצה לו, תנאי השקה למעגל.

מתמטיקה

Page 27: מתמטיקה מדריך בחינה

271

פרבולה: הגדרתה כמקום גיאומטרי, המשוואה הקנונית, מוקד, מדריך, תנאי השקה לפרבולה ומשוואת המשיק. אליפסה, היפרבולה: הגדרותיהן כמקום

גיאומטרי, המשוואות הקנוניות שלהן, ציריהן ומוקדיהן, האסימפטוטות של ההיפרבולה )אין צורך בתנאי ההשקה של ישר לאליפסה ולהיפרבולה(.

מקומות גיאומטריים.

וקטורים .2 וקטורים כחיצים במרחב. חיבור וקטורים ותכונותיו, חיסור וקטורים. כפל בסקלר

ותכונותיו. קומבינציה ליניארית של וקטורים. וקטורים שראשיתם בנקודה אחת ומסתיימים על ישר, וקטורים שראשיתם בנקודה אחת ומסתיימים על מישור.

חלוקת קטע ביחס נתון. שימושים לחישובים ולהוכחות במישור ובמרחב.המכפלה הסקלרית ותכונותיה. ניצבות בין ישרים ובין ישר למישור. חישובי אורך

וחישובי זווית. הוכחות של תכונות גיאומטריות במישור ובמרחב.מערכת צירים במרחב. הצגה אלגברית של וקטורים ופעולות אלגבריות בווקטורים

)חיבור, חיסור, כפל בסקלר ומכפלה סקלרית(. הצגה פרמטרית של ישר במרחב. מצב הדדי של ישרים. הצגה פרמטרית של מישור במרחב, ומשוואה של מישור

במרחב. מצב הדדי בין מישורים, ובין ישר ומישור. חישובי מרחקים: בין שתי נקודות, בין נקודה לישר, בין נקודה למישור, בין ישרים

מקבילים ובין ישרים מצטלבים, בין ישר למישור, ובין שני מישורים. חישוב זוויות: בין שני ישרים, בין שני מישורים, ובין ישר למישור.

להלן המשפטים הנדרשים בנושא הווקטורים: משפטים א'—ג' נדרשים עם הוכחה. משפטים ד'—ה' ללא הוכחה )לשימושים

בחישובים(.

ישר ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא מקבילים במישור. א. ישר במישור ניצב למשופע למישור אם ורק אם הוא מאונך להיטל המשופע ב.

על המישור. 1 כאשר l וקטור 1 1⋅ = ⋅ = ⋅

→ → →OA OB OC ישר l ניצב למישור ABC אם ורק אם ג.

על הישר ו־O ראשית הצירים.כל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה כקומבינציה ליניארית של שני וקטורים ד.

בלתי תלויים במישור, וכל קומבינציה כזו נמצאת במישור.כל שלושה וקטורים בלתי תלויים במרחב הם בסיס למרחב. ה.

מספרים מרוכבים .3 הגדרה, שוויון, ארבע הפעולות. ערך מוחלט, מספרים צמודים, שורש שני.

הצגת המספרים המרוכבים במישור גאוס. משפט דה־מואבר, שורשי יחידה, שורשים. המשמעויות הגיאומטריות של ארבע הפעולות, של הערך המוחלט ושל

השורשים. הערה: בפתרון בעיות במספרים מרוכבים ייתכן שיידרש ידע בסדרות, נוסחאות

ויאטה ושימוש בזהויות טריגונומטריות.

מתמטיקה

Page 28: מתמטיקה מדריך בחינה

272

הפונקציות xr כאשר r רציונלי )כולל f(x)r( והחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי .4שלהן.

פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות .5 פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות, תכונותיהן וייצוגן הגרפי. חוקי החזקות למעריך רציונלי )כולל אפס(. לוגריתם בבסיס כלשהו. לוגריתם של

מכפלה, מנה, חזקה ושורש. מעבר מבסיס לבסיס. פתרון משוואות ואי־שוויונים מעריכיים ולוגריתמיים. בעיות גידול ודעיכה. זמן מחצית חיים.

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות: .6 הנגזרות של: a , loga x , ln x , a > 0 ax , ex טבעי.

חוקי הגזירה: סכום וכפל בקבוע, מכפלה ומנה של פונקציות, פונקציה מורכבת )כלל השרשרת(, גזירה סתומה.

נגזרת שנייה. קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה, נקודות פיתול. שימושים: משוואת משיק, נקודות קיצון בקטע פתוח ובקטע סגור, קיצון מקומי

וקיצון מוחלט )כולל קצות קטע(. בעיות ערך קיצון )כולל קיצון בקצה קטע סגור(. חקירת פונקציה וסרטוט סקיצה של גרף הפונקציה )החקירה כוללת: תחום הגדרה, נקודות קיצון )מקומי ומוחלט(, תחומי עלייה וירידה, נקודות

פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה, התנהגות בסביבת נקודת אי־הגדרה, אסימפטוטות מקבילות לצירים(.

חשבון אינטגרלי של הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות:

1 . אינטגרל לא מסוים )פונקציה קדומה(, קבוע

x , ex, ax האינטגרל של

האינטגרציה, אינטגרלים מידיים. אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע. אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית היא פולינום

ליניארי. מציאת פונקציה על־פי נגזרתה ונקודה. אימות אינטגרלים על־ידי גזירה. אינטגרל

מסוים, חישובי שטחים ונפח של גופי סיבוב. בעיות ערך קיצון.

הערות:

נזכיר שוב כי הנושא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של הפונקציות xr והפונקציות א. המעריכיות והלוגריתמיות כולל את כל הנושאים, המיומנויות )האנליטיות

והאלגבריות(, והשימושים הנדרשים בשאלון 305 , 306 )ראו את הכתוב בנושא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי בשאלון 306, ובאלגברה שאלון 305(.

לדוגמה: ייתכנו אינטגרלים מהצורה

מתמטיקה

Page 29: מתמטיקה מדריך בחינה

273

e

edx e C

x x x

xdx x x

x

xx

+= +( ) +

− + −+

= − +

11

1

34 1

3 22

ln

3340

3−

+

∫ x

dx

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות שיש בהן מרכיב טריגונומטרי יכולות להידרש הן ב. בחשבון הדיפרנציאלי והן בחשבון האינטגרלי.

מתמטיקה

Page 30: מתמטיקה מדריך בחינה

274

מבחן מותאם — מבנה הבחינה בתכנית הצבירה

שאלון 301

נבחנים לקויי למידה שאושר להם מבחן מותאם יצברו ניקוד השווה לניקוד של שלוש שאלות מלאות.

שאלון 302

נבחנים לקויי למידה שאושר להם מבחן מותאם יצברו ניקוד השווה לניקוד של שלוש שאלות מלאות.

שאלון 303

נבחנים לקויי למידה שאושר להם מבחן מותאם יקבלו שאלה נוספת, ויענו על שלוש מתוך שש שאלות, ללא הגבלה בין הפרקים. בשאלה בחקירת פונקציה לא יידרשו

לסרטט את גרף הפונקציה כחלק מהפתרון ולענות על סעיפים הנובעים מסרטוט הגרף בלבד.

שאלון 304

נבחנים לקויי למידה שאושר להם מבחן מותאם יענו על שלוש שאלות ללא הגבלה בין הפרקים. בשאלה בחקירת פונקציה לא יידרשו לסרטט את גרף הפונקציה כחלק

מהפתרון ולענות על סעיפים הנובעים מסרטוט הגרף בלבד.

שאלון 305

נבחנים לקויי למידה שאושר להם מבחן מותאם יענו על שלוש שאלות. הנבחנים אינם רשאים לבחור שאלה אחת בהסתברות ושאלה אחרת בחשיבה

הסתברותית.

שאלון 306

נבחנים לקויי למידה שאושר להם מבחן מותאם יענו על שלוש שאלות ללא הגבלה בין הפרקים. בשאלה בחקירת פונקציה לא יידרש לסרטט את גרף הפונקציה כחלק

מהפתרון ולענות על סעיפים הנובעים מסרטוט הגרף בלבד.

שאלון 307

נבחנים לקויי למידה שאושר להם מבחן מותאם יענו על שלוש שאלות ללא הגבלה בין הפרקים. בשאלה בחקירת פונקציה לא יידרשו לסרטט את גרף הפונקציה כחלק

מהפתרון ולענות על סעיפים הנובעים מסרטוט הגרף בלבד.

מתמטיקה

דפי נוסחאות מורחביםלהלן נוסחאות נוספות לדפי הנוסחאות הרגילים, לשימוש נבחנים הזכאים להקלה של

דף נוסחאות מורחב.

דף נוסחאות מורחב לרמת 3 יח"ל )שאלונים 301, 302, 303(

ד קודקו yקודקוד c

b

ax

b

a= =–

–2

4 2משוואה ריבועית:

x2 + y2 = r2 מעגל קנוני מערכת צירים:

aa

a aa

aax

x

x

y xyx

yx y– –= = =1 חזקות:

a2 + b2 = c2 משפט פיתגורס טריגונומטריה:

a (t) = a (0) ⋅ ekt גדילה ודעיכה:

zx x

sii= –

ציון תקן: הסתברות:

Page 31: מתמטיקה מדריך בחינה

275

דפי נוסחאות מורחביםלהלן נוסחאות נוספות לדפי הנוסחאות הרגילים, לשימוש נבחנים הזכאים להקלה של

דף נוסחאות מורחב.

דף נוסחאות מורחב לרמת 3 יח"ל )שאלונים 301, 302, 303(

ד קודקו yקודקוד c

b

ax

b

a= =–

–2

4 2משוואה ריבועית:

x2 + y2 = r2 מעגל קנוני מערכת צירים:

aa

a aa

aax

x

x

y xyx

yx y– –= = =1 חזקות:

a2 + b2 = c2 משפט פיתגורס טריגונומטריה:

a (t) = a (0) ⋅ ekt גדילה ודעיכה:

zx x

sii= –

ציון תקן: הסתברות:

מתמטיקה

Page 32: מתמטיקה מדריך בחינה

276

דף נוסחאות מורחב לרמת 4-5 יח"ל )שאלונים 304 — 307(

אלגברה:

(a + b) (a – b) = a2 – b2 נוסחאות הכפל המקוצר א.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

a ib a b a ib a ib+ = + + =2 2 , – מספרים מרוכבים ב.

a a a aa

aa a a axb

x

b x y xyx

yx y x y x y= ( ) = = ⋅ = +, , ,– חזקות ג.

log log log

log log , log

c c c

cb

c c

a b a b

a b aa

b

⋅( ) = +

= ⋅

= log – logc ca b

לוגריתמים ד.

וקטורים:ax by cz d

a b c

1 1 1

2 2 2

+ + +

+ + : ax + by + cz + d = 0 למישור (x1 , y1 , z1) מרחק בין הנקודה

אינטגרלים:

x dxx

ac a xdx x c xdxa

a=

++ ≠ = + =

+

∫1

11– , sin – cos , cos siin

,ln

, ln

x c

e dx e c a dxa

ac

xdx x cx x x

x

+

= + = + = +

∫∫

∫ ∫ 1xx >∫ 0

מתמטיקה

Page 33: מתמטיקה מדריך בחינה

277

גיאומטריה אנליטית:

my y

x x= 2 1

2 1

– :(x2 , y2) , (x1 , y1) שיפוע הישר העובר דרך הנקודות

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 .(x2 , y2) , (x1 , y1) מרחק בין שתי נקודות

x x y y1 2 1 2

2 2

+ +

, :(x2 , y2) , (x1 , y1) נקודת האמצע של קטע שקצותיו

x

a

y

b

2

2

2

21+ = אליפסה:

c a b= 2 2– מרחק המוקד מהראשית:

טריגונומטריה:

sin (90° – a) = cos a cos (90° – a) = sin a

sin (180° – a) = sin a cos (180° – a) = –cos a

cos2a = cos2 a – sin2 a sin2a = 2sin a cos a

sa b= ⋅ ⋅ sin γ

2שטח משולש:

הסתברות:

P nk P pk n k= ( ) ( )1 – – נוסחת ברנולי:

מתמטיקה

Page 34: מתמטיקה מדריך בחינה

278

הצעות דידקטיותבשאלונים 301 ו־302 יש להקפיד על צבירת הנקודות בשאלון. בשאלונים אלה, .1

נבחן רשאי לענות על חלקי שאלות ולצבור נקודות על כל תשובה חלקית, עד למקסימום 100 נקודות.

בשאלות בגיאומטריה )שאלון 305( יש לנמק כל שלב בפתרון על־ידי כתיבת .2המשפט הגיאומטרי המתאים. משפטים ידועים ניתנים לציטוט על־ידי ציון שמם.

את כל יתר המשפטים יש לנסח במדויק. המשפטים שאותם ניתן לרשום על־ידי ציון שמם הם: משפט פיתגורס, משפט תאלס, משפט חוצה הזווית, ארבעה משפטי

החפיפה: צ.ז.צ., ז.צ.ז., צ.צ.צ., צלע צלע והזווית מול הצלע הגדולה )ורק משפטים אלה( משפטי הדמיון, זווית בין משיק ומיתר, משפט תאלס המורחב, והמשפט

ההפוך למשפט תאלס.

בכל שאלה במבחן שיש בה סרטוט, אנו ממליצים להעתיק את הסרטוט למחברת .3הבחינה. על־פי ההנחיות, העתקת הסרטוט היא חובה רק אם מוסיפים לסרטוט

קווי עזר או אותיות נוספות.

בפתרון שאלות בטריגונומטריה במישור ובמרחב חובה לציין את המשולשים .4שאליהם מתייחסים. כמו כן יש לנמק באופן קצר וברור שימוש במשפטים

גיאומטריים. התייחסות לזווית הנדרשת בתרגיל חייבת להיות חד־משמעית וברורה לקורא התשובה. בשימוש במשפט הסינוסים, אם יש נימוק לפסילת אחת מהתשובות האפשריות, יש לרשום זאת. אם אין נימוק כזה, על הנבחן להתייחס

לכל אחת מהאפשרויות.

נבחן שכתב מגוון אפשרויות לפתרון של תרגיל שחלקן נכונות וחלקן שגויות .5)הכוונה לנבחן שחישב מספר פעמים אותו דבר ולא מחק את הפתרונות השגויים(

— תתקבל רק תשובתו הראשונה.

ניתן לפתור בעיות בהסתברות ובחשיבה הסתברותית באמצעות דיאגרמות עץ, .6באמצעות טבלאות, ו/או על־ידי נוסחאות. דרך הפתרון צריכה להתאים לבעיה, וכל פתרון נכון יתקבל. בכל דרך פתרון שהנבחן בוחר, אם הוא נדרש לחשב את

ההסתברות המותנית ו/או את הסתברות החיתוך, עליו לרשום את הנוסחה שבה הוא משתמש ואת החישוב באופן ברור.

נבחן צריך לנמק את חישוביו במהלך הפתרון בין אם פתר את השאלה על־ידי דיאגרמת עץ, על־ידי טבלה, או על־ידי שימוש בנוסחאות בלבד. במילוי טבלה

יש לנמק במפורש את התוצאות הנובעות משימוש באחת מנוסחאות ההסתברות המותנית. אין צורך לנמק חישובים פשוטים של חיסור, חיבור והשלמה ל־1.

מתמטיקה

Page 35: מתמטיקה מדריך בחינה

279

בשאלונים 304 , 306 ו־307 בפונקציות המוגדרות בתחום סגור, יש לבדוק תמיד .7את ערכי הפונקציה בקצות הקטע, להתייחס לסוג הקיצון בקצה, ולקבוע אם הוא מקומי או מוחלט. נזכיר כי נקודות מקסימום ומינימום של פונקציה אינן תלויות

בקיום הנגזרת בנקודה, אלא בערך הפונקציה בנקודה ביחס לערכיה בסביבת הנקודה. בנקודות הקצה של התחום מתייחסים לסביבה חד־צדדית של נקודה,

ולכן נקודת קצה יכולה להיות נקודת קיצון מוחלט או מקומי.

בציון הנגזרת השנייה של פונקציית מנה אין להתעלם מהמכנה. אם גוזרים רק את .8המונה יש לסמן זאת באופן ברור, ולהסביר מדוע פעולה זו מספיקה כדי לקבוע

את סוג הקיצון.

בהוכחה באינדוקציה יש להקפיד על כל חלקי הפתרון הנדרשים: .9

בדיקה א. ציון הנחת האינדוקציה ב.

כתיבה מפורשת של הטענה שאותה צריך להוכיח ג. הוכחה ד.

סיכום ומסקנה ה.

שגיאות בכל אחד מהסעיפים נקנסות במספר גדול של נקודות כי הן מעידות על חוסר הבנה של תהליך האינדוקציה המתמטית.

אם נרשם במיקוד, תחת אחד הפרקים מתכנית הלימודים, כי נושא מסוים לא .10יידרש, הרי שהנושא לא יידרש רק בפרק זה. לדוגמה: אם במיקוד נרשם כי

בשאלון מסוים לא תידרשנה נגזרות טריגונומטריות, אין להבין מכך שגם אינטגרל טריגונומטרי לא יידרש.

מתמטיקה