40
Φώτης Κουνάδης ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚ∆ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2008

Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

Φώτης Κουνάδης

ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΚ∆ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2008

Το παρόν ένθετο συνοδεύει το βιβλίο του Φώτη Κουνάδη

laquoΜαθηmicroατικά Α΄ Γυmicroνασίουraquo

ISBN 978-960-14-1481-2

(Βοηθ κωδ microηχσης ΕΒ 158)

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Μέρος Α΄ Αριθmicroητική-Άλγεβρα Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α11 Φυσικοί αριθmicroοίndash∆ιάταξη Φυσι-κώνndashΣτρογγυλοποίηση 1

Α α β γ δ ε

Β 4 3 1 5 2

2 α)

Στρογγυ-

λοποίηση

στη δεκάδα

Στρογγυ-

λοποίηση

στην εκα-

τοντάδα

Στρογγυ-

λοποίηση

στη χιλιάδα

35400 35400 35000

186070 186100 186000

3300 3300 3000

5560 5600 6000

9073720 9073700 9074000

18920 18900 19000

β) 9073700 gt 186100 gt 35400 gt

18900 gt 5600 gt 3300

3 32995 και 28986

Α12 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλα-πλασιασmicroός φυσικών αριθmicroών 1 α) Σ β) Σ γ) Λ (8 7) 9=8 (7 9) δ) Λ

ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Λ θ) Λ ι) Λ κ) Σ

2 α) Γ β) Α γ) Γ δ) Γ ε) Β στ) Β

3

α

microειωτέος

720

224

60

β

αφαιρετέος

185

32

60

γ

διαφορά

535

192

0

4 12+21+30+39=102

3 45 42 12

36 18 21 27

24 30 33 15

39 9 6 48

5

α β γ α+β+γ α βndashγ

5 5 3 13 22

34 2 14 50 54

10 3 18 31 12

α (α+β+γ) (αndashβ) γ

65 0

1700 448

310 126

6 α) 56 3ndash20ndash2=168ndash20ndash2=148ndash2=146

β) 56+50ndash36=106ndash36=70

γ) 6 12ndash6 8ndash6 4=6 (12ndash8ndash4)=6 0=0

δ) (8 125) 12 (25 4)=1000 12 100=

=1200000

7 α) 12 11=132 ή β΄ τρόπος

12 5+12 6=60+72=132

β) 9 16=144 ή β΄ τρόπος

9 1+9 3+9 5+9 7=9+27+45+63=144

γ) 25 10=250 ή β΄ τρόπος 25 18ndash25 5ndash

ndash25 3=450ndash125ndash75=250

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

δ) 12 (8ndash7)=12 1=12 ή β΄ τρόπος

128ndash127=96ndash84=12

ε) 6 (5+3+1)=6 9=54 ή β΄ τρόπος 6 5 6 3 6 1sdot + sdot + sdot = 30+18+6=54

στ) 12 (10+8ndash12ndash6)=12 0=0 ή β΄ τρόπος

120+96ndash144ndash72=216ndash216=0

8 α) 100 1=100 β) 119 1=119

γ) 77 (5+3+2)=77 10=770

δ) 11 (13ndash12ndash1)=11 0=0

ε) 154 (1000ndash1)=154 1000ndash154 1=

=154000ndash154=153846

στ) 18 (1000+1)=18 1000+18 1=

=18000+18=18018

9 α) (x y) (25 4)=25 100=

=2500 β) (x y) (8 125) 100=

=25 1000 100=2500000

10

Α α β γ δ ε

Β 4 2 1 5 3

11 α=13ndash1=12 β=3 12+4=36+4=40

α) 5 12ndash(40+1)=60ndash41=19

β) 10 (12+40)ndash12 40+10=

=10 52ndash12 40+10=

=520ndash480+10=40+10=50

12 3 9+2=29 2 4+3 5=23 7 8ndash1=55

10 6ndash12 4=12 7+9 5=52 7 4ndash11 2=6

28ndash3 8=4 30ndash27+18=3 7

Α13 ∆υνάmicroεις φυσικών αριθmicroών 1

α 0 1 10 5 11 100

α2 0 1 100 25 121 10000

α3 0 1 1000 125 1331 1000000

2

Α α β γ δ ε

Β 3 1 5 4 2

3 α) 5432 β) 70510

γ) 3 103 + 8 102 + 5 101 + 3

δ) 5 105 + 7 103 + 2 10+ 1=507021

4 α) Α β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Β

5 α) 122=144 β) 102=100 γ) 16+36=52

δ) 9 16=144 ε) 64 1=64

στ) 27+64ndash1=91ndash1=90

6 α) 5+2 125=5+250=255

β) (5+3+2) 34=10 81=810

γ) 1000ndash2 25+64ndash4 9=

=1000ndash50+64ndash36=950+64ndash36=978

δ) 102ndash2 25ndash4 5=100ndash50ndash20=50ndash20=30

7 α) 22 52+23ndash43=4 25+8ndash64=

=100+8ndash64=108ndash64=44

β) 104+10 35=10000+10 243=

=10000+2430=12430

γ) 4 32+5 (32ndash3 8+1)=

=4 32+5 (32ndash24+1)=4 32+5 (8+1)=

=4 32+5 9=4 9+5 9=36+45=81

δ) 92ndash(8+9)+5 (16ndash4)=92ndash17+5 12=

=81ndash17+60=64+60=124

8 α) 32+52+(5ndash3)2=32+52+22=9+25+4=38

β) (3 5ndash5)2ndash(5ndash3)3=(15ndash5)2ndash23=102ndash23=

=100ndash8=92

9 α=1+1+1+1=4 β=2+4+8+16=30 και

γ=81ndash27ndash9ndash3=54ndash9ndash3=45ndash3=42

(30ndash4)2+(42ndash4)2+(42ndash30)2=262+382+122=

=676+1444+144=2264

10 α=6 και β=20

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

(α+β)2=(6+20)2=262=676

α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676

Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2

Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11

γ) π=192 και υ=52

2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε

υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ

β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-

ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και

δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν

δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-

ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-

νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-

τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή

∆=δ π+υ

3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ

∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135

διαιρέτης δ 3 9 21 11

πηλίκο π 8 8 11 12

υπόλοιπο υ 4 7 0 3

4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3

β) δ=4 και π=12

∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51

διαιρέτης δ 4 4 4 4

πηλίκο π 12 12 12 12

υπόλοιπο υ 0 1 2 3

5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3

(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7

6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14

3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38

3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8

(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=

=(18ndash8)2=102=5

3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=

=(3 6)2=182=9

7

(α+β)γ (α β)γ α(βγ)

(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3

(12+6)3=

=183=6

(12 6)3=723=

=24 122=6

8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62

β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43

γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=

=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16

δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=

=24010+1967=24+28=52

9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1

β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20

γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=

=5 25ndash255=125ndash5=120

δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=

=1000ndash6432=1000ndash2=998

10

5 2 5 3 5 2

2 2 4 1 7 1

1 7 2 0 6 4

8 1 7 0 8

1 0 1 5 4 9

8 7 5 5 5

7 4 3 0 3 6

7 2 9 5 6 6

11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8

2+126=4 204 11=55 369+5 2=14

14 48=7 273ndash155=6

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910

β) 75 111 135 702 813 903

γ) 124 336 528 632 864 912

δ) 45 100 305 635 800 820

ε) 34 108 513 702 801

στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900

2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β

η) Γ

3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612

∆ιαιρέτες του 36 123469121836

∆ιαιρέτες του 40 12458102040

Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4

4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18

που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων

παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-

νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-

σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3

το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-

microών αυτών

5 72=23 32 και 120=23 3 5

ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360

ΜΚ∆(72120)=23 3=24

6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=

=(51ndash6)3=453=15 και

γ=13+23+33=1+8+27=36

α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε

ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και

ΜΚ∆(αβγ)=3

7 α=120 και β=6

1206+(120ndash10 6)2=1206+602=

=1206+3600=20+3600=3620

8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-

ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)

και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια

του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης

τους

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος

1 2Σ 3Σ 4Λ 15

200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ

9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3

2 α)

β)

γ)

3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-

τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15

α) β) γ) 100 500 100000

4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια

α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro

5 Το 1

10των αγώνων που έχει χάσει είναι

3010=3 αγώνες Τα 3

10 των αγώνων α-

ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9

ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει

30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες

6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400

τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2

5 των 400

τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα

υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=

1200ndash560=640 τετρ microέτρα

β) Πήρε τα =640 8

1200 15της έκτασης

7 Το 1

36των 3600 κιλών είναι 360036=100

κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro

Τα 7

10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά

και από την πώλησή τους εισέπραξε

2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι

3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά

και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro

Συνολικά εισέπραξε

100+5040+2940=8080 euro

8 Το 1

7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες

Τα 7

7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι

7 12=84 σελίδες

α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-

λίδες

β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-

σmicroα =48 4

84 7

9 Το 1

9 του αριθmicroού είναι 284=7

α) Τα 9

9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι

9 7=63

β) Τα 2

7 του 63 είναι 18

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 Το 1

5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα

5

5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25

microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-

τσια

Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ

5

4

10 20 50

8 16 40

1

5

5 7

25 35

6 6 12 18

1 2 3

2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ

3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =

3 3 51 40 404

17

01

17 17

sdot= = =

sdot

7 21 93010= γ)

10 30 3624 51 5

δ)

33

ε) στ) 100 60 1

5

3

sdot=

sdot

4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)

9 9 9 9

9

5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων

του κλάσmicroατος 18 12 15

18 12 1

18 1 60 5 30 2α) β) γ)

90 5 84 7 75 5112 7 192 8

δ) ε) 80 5 16

516 24

16 248 7

= = =

= =

2στ)

2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot

=

196

3=

sdot sdot += =

sdot sdot +sdot

= = =sdot

sdot= = =

minussdot

= =sdot

327 1000+327 327 (1000 1)ζ)

999 1000+999 999 (1000 1)

327 1001 327 3 109

999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7

η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2

θ) 12 α 12 4 3

6

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot

bull5 5

50

sdotbull

sdot15 x

12 x

sdotbull

sdot3 2+12

4 6

sdot minus sdotbull

sdot + sdot5 x 3 x

10 x 4 x

bull

bull

bull

bull

1

21

73

45

4

7 3

3 7 15 27 11 78

20 6 9 6

3 4

14 29 0 5 23 4 43

sdot+ minus sdot + sdot

8 8 42 15 125 28 30α) β)

24 24 24 100 100 100

Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ

ι) Λ για παράδειγmicroα το 37

15 κ) Σ

2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)

5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 2: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

Το παρόν ένθετο συνοδεύει το βιβλίο του Φώτη Κουνάδη

laquoΜαθηmicroατικά Α΄ Γυmicroνασίουraquo

ISBN 978-960-14-1481-2

(Βοηθ κωδ microηχσης ΕΒ 158)

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Μέρος Α΄ Αριθmicroητική-Άλγεβρα Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α11 Φυσικοί αριθmicroοίndash∆ιάταξη Φυσι-κώνndashΣτρογγυλοποίηση 1

Α α β γ δ ε

Β 4 3 1 5 2

2 α)

Στρογγυ-

λοποίηση

στη δεκάδα

Στρογγυ-

λοποίηση

στην εκα-

τοντάδα

Στρογγυ-

λοποίηση

στη χιλιάδα

35400 35400 35000

186070 186100 186000

3300 3300 3000

5560 5600 6000

9073720 9073700 9074000

18920 18900 19000

β) 9073700 gt 186100 gt 35400 gt

18900 gt 5600 gt 3300

3 32995 και 28986

Α12 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλα-πλασιασmicroός φυσικών αριθmicroών 1 α) Σ β) Σ γ) Λ (8 7) 9=8 (7 9) δ) Λ

ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Λ θ) Λ ι) Λ κ) Σ

2 α) Γ β) Α γ) Γ δ) Γ ε) Β στ) Β

3

α

microειωτέος

720

224

60

β

αφαιρετέος

185

32

60

γ

διαφορά

535

192

0

4 12+21+30+39=102

3 45 42 12

36 18 21 27

24 30 33 15

39 9 6 48

5

α β γ α+β+γ α βndashγ

5 5 3 13 22

34 2 14 50 54

10 3 18 31 12

α (α+β+γ) (αndashβ) γ

65 0

1700 448

310 126

6 α) 56 3ndash20ndash2=168ndash20ndash2=148ndash2=146

β) 56+50ndash36=106ndash36=70

γ) 6 12ndash6 8ndash6 4=6 (12ndash8ndash4)=6 0=0

δ) (8 125) 12 (25 4)=1000 12 100=

=1200000

7 α) 12 11=132 ή β΄ τρόπος

12 5+12 6=60+72=132

β) 9 16=144 ή β΄ τρόπος

9 1+9 3+9 5+9 7=9+27+45+63=144

γ) 25 10=250 ή β΄ τρόπος 25 18ndash25 5ndash

ndash25 3=450ndash125ndash75=250

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

δ) 12 (8ndash7)=12 1=12 ή β΄ τρόπος

128ndash127=96ndash84=12

ε) 6 (5+3+1)=6 9=54 ή β΄ τρόπος 6 5 6 3 6 1sdot + sdot + sdot = 30+18+6=54

στ) 12 (10+8ndash12ndash6)=12 0=0 ή β΄ τρόπος

120+96ndash144ndash72=216ndash216=0

8 α) 100 1=100 β) 119 1=119

γ) 77 (5+3+2)=77 10=770

δ) 11 (13ndash12ndash1)=11 0=0

ε) 154 (1000ndash1)=154 1000ndash154 1=

=154000ndash154=153846

στ) 18 (1000+1)=18 1000+18 1=

=18000+18=18018

9 α) (x y) (25 4)=25 100=

=2500 β) (x y) (8 125) 100=

=25 1000 100=2500000

10

Α α β γ δ ε

Β 4 2 1 5 3

11 α=13ndash1=12 β=3 12+4=36+4=40

α) 5 12ndash(40+1)=60ndash41=19

β) 10 (12+40)ndash12 40+10=

=10 52ndash12 40+10=

=520ndash480+10=40+10=50

12 3 9+2=29 2 4+3 5=23 7 8ndash1=55

10 6ndash12 4=12 7+9 5=52 7 4ndash11 2=6

28ndash3 8=4 30ndash27+18=3 7

Α13 ∆υνάmicroεις φυσικών αριθmicroών 1

α 0 1 10 5 11 100

α2 0 1 100 25 121 10000

α3 0 1 1000 125 1331 1000000

2

Α α β γ δ ε

Β 3 1 5 4 2

3 α) 5432 β) 70510

γ) 3 103 + 8 102 + 5 101 + 3

δ) 5 105 + 7 103 + 2 10+ 1=507021

4 α) Α β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Β

5 α) 122=144 β) 102=100 γ) 16+36=52

δ) 9 16=144 ε) 64 1=64

στ) 27+64ndash1=91ndash1=90

6 α) 5+2 125=5+250=255

β) (5+3+2) 34=10 81=810

γ) 1000ndash2 25+64ndash4 9=

=1000ndash50+64ndash36=950+64ndash36=978

δ) 102ndash2 25ndash4 5=100ndash50ndash20=50ndash20=30

7 α) 22 52+23ndash43=4 25+8ndash64=

=100+8ndash64=108ndash64=44

β) 104+10 35=10000+10 243=

=10000+2430=12430

γ) 4 32+5 (32ndash3 8+1)=

=4 32+5 (32ndash24+1)=4 32+5 (8+1)=

=4 32+5 9=4 9+5 9=36+45=81

δ) 92ndash(8+9)+5 (16ndash4)=92ndash17+5 12=

=81ndash17+60=64+60=124

8 α) 32+52+(5ndash3)2=32+52+22=9+25+4=38

β) (3 5ndash5)2ndash(5ndash3)3=(15ndash5)2ndash23=102ndash23=

=100ndash8=92

9 α=1+1+1+1=4 β=2+4+8+16=30 και

γ=81ndash27ndash9ndash3=54ndash9ndash3=45ndash3=42

(30ndash4)2+(42ndash4)2+(42ndash30)2=262+382+122=

=676+1444+144=2264

10 α=6 και β=20

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

(α+β)2=(6+20)2=262=676

α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676

Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2

Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11

γ) π=192 και υ=52

2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε

υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ

β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-

ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και

δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν

δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-

ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-

νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-

τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή

∆=δ π+υ

3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ

∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135

διαιρέτης δ 3 9 21 11

πηλίκο π 8 8 11 12

υπόλοιπο υ 4 7 0 3

4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3

β) δ=4 και π=12

∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51

διαιρέτης δ 4 4 4 4

πηλίκο π 12 12 12 12

υπόλοιπο υ 0 1 2 3

5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3

(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7

6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14

3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38

3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8

(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=

=(18ndash8)2=102=5

3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=

=(3 6)2=182=9

7

(α+β)γ (α β)γ α(βγ)

(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3

(12+6)3=

=183=6

(12 6)3=723=

=24 122=6

8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62

β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43

γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=

=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16

δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=

=24010+1967=24+28=52

9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1

β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20

γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=

=5 25ndash255=125ndash5=120

δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=

=1000ndash6432=1000ndash2=998

10

5 2 5 3 5 2

2 2 4 1 7 1

1 7 2 0 6 4

8 1 7 0 8

1 0 1 5 4 9

8 7 5 5 5

7 4 3 0 3 6

7 2 9 5 6 6

11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8

2+126=4 204 11=55 369+5 2=14

14 48=7 273ndash155=6

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910

β) 75 111 135 702 813 903

γ) 124 336 528 632 864 912

δ) 45 100 305 635 800 820

ε) 34 108 513 702 801

στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900

2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β

η) Γ

3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612

∆ιαιρέτες του 36 123469121836

∆ιαιρέτες του 40 12458102040

Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4

4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18

που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων

παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-

νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-

σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3

το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-

microών αυτών

5 72=23 32 και 120=23 3 5

ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360

ΜΚ∆(72120)=23 3=24

6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=

=(51ndash6)3=453=15 και

γ=13+23+33=1+8+27=36

α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε

ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και

ΜΚ∆(αβγ)=3

7 α=120 και β=6

1206+(120ndash10 6)2=1206+602=

=1206+3600=20+3600=3620

8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-

ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)

και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια

του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης

τους

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος

1 2Σ 3Σ 4Λ 15

200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ

9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3

2 α)

β)

γ)

3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-

τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15

α) β) γ) 100 500 100000

4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια

α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro

5 Το 1

10των αγώνων που έχει χάσει είναι

3010=3 αγώνες Τα 3

10 των αγώνων α-

ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9

ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει

30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες

6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400

τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2

5 των 400

τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα

υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=

1200ndash560=640 τετρ microέτρα

β) Πήρε τα =640 8

1200 15της έκτασης

7 Το 1

36των 3600 κιλών είναι 360036=100

κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro

Τα 7

10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά

και από την πώλησή τους εισέπραξε

2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι

3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά

και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro

Συνολικά εισέπραξε

100+5040+2940=8080 euro

8 Το 1

7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες

Τα 7

7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι

7 12=84 σελίδες

α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-

λίδες

β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-

σmicroα =48 4

84 7

9 Το 1

9 του αριθmicroού είναι 284=7

α) Τα 9

9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι

9 7=63

β) Τα 2

7 του 63 είναι 18

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 Το 1

5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα

5

5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25

microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-

τσια

Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ

5

4

10 20 50

8 16 40

1

5

5 7

25 35

6 6 12 18

1 2 3

2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ

3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =

3 3 51 40 404

17

01

17 17

sdot= = =

sdot

7 21 93010= γ)

10 30 3624 51 5

δ)

33

ε) στ) 100 60 1

5

3

sdot=

sdot

4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)

9 9 9 9

9

5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων

του κλάσmicroατος 18 12 15

18 12 1

18 1 60 5 30 2α) β) γ)

90 5 84 7 75 5112 7 192 8

δ) ε) 80 5 16

516 24

16 248 7

= = =

= =

2στ)

2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot

=

196

3=

sdot sdot += =

sdot sdot +sdot

= = =sdot

sdot= = =

minussdot

= =sdot

327 1000+327 327 (1000 1)ζ)

999 1000+999 999 (1000 1)

327 1001 327 3 109

999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7

η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2

θ) 12 α 12 4 3

6

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot

bull5 5

50

sdotbull

sdot15 x

12 x

sdotbull

sdot3 2+12

4 6

sdot minus sdotbull

sdot + sdot5 x 3 x

10 x 4 x

bull

bull

bull

bull

1

21

73

45

4

7 3

3 7 15 27 11 78

20 6 9 6

3 4

14 29 0 5 23 4 43

sdot+ minus sdot + sdot

8 8 42 15 125 28 30α) β)

24 24 24 100 100 100

Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ

ι) Λ για παράδειγmicroα το 37

15 κ) Σ

2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)

5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 3: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Μέρος Α΄ Αριθmicroητική-Άλγεβρα Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α11 Φυσικοί αριθmicroοίndash∆ιάταξη Φυσι-κώνndashΣτρογγυλοποίηση 1

Α α β γ δ ε

Β 4 3 1 5 2

2 α)

Στρογγυ-

λοποίηση

στη δεκάδα

Στρογγυ-

λοποίηση

στην εκα-

τοντάδα

Στρογγυ-

λοποίηση

στη χιλιάδα

35400 35400 35000

186070 186100 186000

3300 3300 3000

5560 5600 6000

9073720 9073700 9074000

18920 18900 19000

β) 9073700 gt 186100 gt 35400 gt

18900 gt 5600 gt 3300

3 32995 και 28986

Α12 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλα-πλασιασmicroός φυσικών αριθmicroών 1 α) Σ β) Σ γ) Λ (8 7) 9=8 (7 9) δ) Λ

ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Λ θ) Λ ι) Λ κ) Σ

2 α) Γ β) Α γ) Γ δ) Γ ε) Β στ) Β

3

α

microειωτέος

720

224

60

β

αφαιρετέος

185

32

60

γ

διαφορά

535

192

0

4 12+21+30+39=102

3 45 42 12

36 18 21 27

24 30 33 15

39 9 6 48

5

α β γ α+β+γ α βndashγ

5 5 3 13 22

34 2 14 50 54

10 3 18 31 12

α (α+β+γ) (αndashβ) γ

65 0

1700 448

310 126

6 α) 56 3ndash20ndash2=168ndash20ndash2=148ndash2=146

β) 56+50ndash36=106ndash36=70

γ) 6 12ndash6 8ndash6 4=6 (12ndash8ndash4)=6 0=0

δ) (8 125) 12 (25 4)=1000 12 100=

=1200000

7 α) 12 11=132 ή β΄ τρόπος

12 5+12 6=60+72=132

β) 9 16=144 ή β΄ τρόπος

9 1+9 3+9 5+9 7=9+27+45+63=144

γ) 25 10=250 ή β΄ τρόπος 25 18ndash25 5ndash

ndash25 3=450ndash125ndash75=250

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

δ) 12 (8ndash7)=12 1=12 ή β΄ τρόπος

128ndash127=96ndash84=12

ε) 6 (5+3+1)=6 9=54 ή β΄ τρόπος 6 5 6 3 6 1sdot + sdot + sdot = 30+18+6=54

στ) 12 (10+8ndash12ndash6)=12 0=0 ή β΄ τρόπος

120+96ndash144ndash72=216ndash216=0

8 α) 100 1=100 β) 119 1=119

γ) 77 (5+3+2)=77 10=770

δ) 11 (13ndash12ndash1)=11 0=0

ε) 154 (1000ndash1)=154 1000ndash154 1=

=154000ndash154=153846

στ) 18 (1000+1)=18 1000+18 1=

=18000+18=18018

9 α) (x y) (25 4)=25 100=

=2500 β) (x y) (8 125) 100=

=25 1000 100=2500000

10

Α α β γ δ ε

Β 4 2 1 5 3

11 α=13ndash1=12 β=3 12+4=36+4=40

α) 5 12ndash(40+1)=60ndash41=19

β) 10 (12+40)ndash12 40+10=

=10 52ndash12 40+10=

=520ndash480+10=40+10=50

12 3 9+2=29 2 4+3 5=23 7 8ndash1=55

10 6ndash12 4=12 7+9 5=52 7 4ndash11 2=6

28ndash3 8=4 30ndash27+18=3 7

Α13 ∆υνάmicroεις φυσικών αριθmicroών 1

α 0 1 10 5 11 100

α2 0 1 100 25 121 10000

α3 0 1 1000 125 1331 1000000

2

Α α β γ δ ε

Β 3 1 5 4 2

3 α) 5432 β) 70510

γ) 3 103 + 8 102 + 5 101 + 3

δ) 5 105 + 7 103 + 2 10+ 1=507021

4 α) Α β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Β

5 α) 122=144 β) 102=100 γ) 16+36=52

δ) 9 16=144 ε) 64 1=64

στ) 27+64ndash1=91ndash1=90

6 α) 5+2 125=5+250=255

β) (5+3+2) 34=10 81=810

γ) 1000ndash2 25+64ndash4 9=

=1000ndash50+64ndash36=950+64ndash36=978

δ) 102ndash2 25ndash4 5=100ndash50ndash20=50ndash20=30

7 α) 22 52+23ndash43=4 25+8ndash64=

=100+8ndash64=108ndash64=44

β) 104+10 35=10000+10 243=

=10000+2430=12430

γ) 4 32+5 (32ndash3 8+1)=

=4 32+5 (32ndash24+1)=4 32+5 (8+1)=

=4 32+5 9=4 9+5 9=36+45=81

δ) 92ndash(8+9)+5 (16ndash4)=92ndash17+5 12=

=81ndash17+60=64+60=124

8 α) 32+52+(5ndash3)2=32+52+22=9+25+4=38

β) (3 5ndash5)2ndash(5ndash3)3=(15ndash5)2ndash23=102ndash23=

=100ndash8=92

9 α=1+1+1+1=4 β=2+4+8+16=30 και

γ=81ndash27ndash9ndash3=54ndash9ndash3=45ndash3=42

(30ndash4)2+(42ndash4)2+(42ndash30)2=262+382+122=

=676+1444+144=2264

10 α=6 και β=20

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

(α+β)2=(6+20)2=262=676

α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676

Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2

Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11

γ) π=192 και υ=52

2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε

υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ

β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-

ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και

δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν

δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-

ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-

νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-

τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή

∆=δ π+υ

3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ

∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135

διαιρέτης δ 3 9 21 11

πηλίκο π 8 8 11 12

υπόλοιπο υ 4 7 0 3

4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3

β) δ=4 και π=12

∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51

διαιρέτης δ 4 4 4 4

πηλίκο π 12 12 12 12

υπόλοιπο υ 0 1 2 3

5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3

(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7

6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14

3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38

3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8

(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=

=(18ndash8)2=102=5

3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=

=(3 6)2=182=9

7

(α+β)γ (α β)γ α(βγ)

(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3

(12+6)3=

=183=6

(12 6)3=723=

=24 122=6

8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62

β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43

γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=

=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16

δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=

=24010+1967=24+28=52

9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1

β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20

γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=

=5 25ndash255=125ndash5=120

δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=

=1000ndash6432=1000ndash2=998

10

5 2 5 3 5 2

2 2 4 1 7 1

1 7 2 0 6 4

8 1 7 0 8

1 0 1 5 4 9

8 7 5 5 5

7 4 3 0 3 6

7 2 9 5 6 6

11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8

2+126=4 204 11=55 369+5 2=14

14 48=7 273ndash155=6

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910

β) 75 111 135 702 813 903

γ) 124 336 528 632 864 912

δ) 45 100 305 635 800 820

ε) 34 108 513 702 801

στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900

2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β

η) Γ

3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612

∆ιαιρέτες του 36 123469121836

∆ιαιρέτες του 40 12458102040

Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4

4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18

που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων

παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-

νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-

σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3

το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-

microών αυτών

5 72=23 32 και 120=23 3 5

ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360

ΜΚ∆(72120)=23 3=24

6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=

=(51ndash6)3=453=15 και

γ=13+23+33=1+8+27=36

α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε

ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και

ΜΚ∆(αβγ)=3

7 α=120 και β=6

1206+(120ndash10 6)2=1206+602=

=1206+3600=20+3600=3620

8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-

ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)

και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια

του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης

τους

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος

1 2Σ 3Σ 4Λ 15

200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ

9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3

2 α)

β)

γ)

3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-

τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15

α) β) γ) 100 500 100000

4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια

α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro

5 Το 1

10των αγώνων που έχει χάσει είναι

3010=3 αγώνες Τα 3

10 των αγώνων α-

ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9

ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει

30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες

6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400

τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2

5 των 400

τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα

υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=

1200ndash560=640 τετρ microέτρα

β) Πήρε τα =640 8

1200 15της έκτασης

7 Το 1

36των 3600 κιλών είναι 360036=100

κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro

Τα 7

10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά

και από την πώλησή τους εισέπραξε

2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι

3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά

και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro

Συνολικά εισέπραξε

100+5040+2940=8080 euro

8 Το 1

7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες

Τα 7

7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι

7 12=84 σελίδες

α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-

λίδες

β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-

σmicroα =48 4

84 7

9 Το 1

9 του αριθmicroού είναι 284=7

α) Τα 9

9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι

9 7=63

β) Τα 2

7 του 63 είναι 18

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 Το 1

5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα

5

5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25

microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-

τσια

Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ

5

4

10 20 50

8 16 40

1

5

5 7

25 35

6 6 12 18

1 2 3

2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ

3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =

3 3 51 40 404

17

01

17 17

sdot= = =

sdot

7 21 93010= γ)

10 30 3624 51 5

δ)

33

ε) στ) 100 60 1

5

3

sdot=

sdot

4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)

9 9 9 9

9

5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων

του κλάσmicroατος 18 12 15

18 12 1

18 1 60 5 30 2α) β) γ)

90 5 84 7 75 5112 7 192 8

δ) ε) 80 5 16

516 24

16 248 7

= = =

= =

2στ)

2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot

=

196

3=

sdot sdot += =

sdot sdot +sdot

= = =sdot

sdot= = =

minussdot

= =sdot

327 1000+327 327 (1000 1)ζ)

999 1000+999 999 (1000 1)

327 1001 327 3 109

999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7

η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2

θ) 12 α 12 4 3

6

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot

bull5 5

50

sdotbull

sdot15 x

12 x

sdotbull

sdot3 2+12

4 6

sdot minus sdotbull

sdot + sdot5 x 3 x

10 x 4 x

bull

bull

bull

bull

1

21

73

45

4

7 3

3 7 15 27 11 78

20 6 9 6

3 4

14 29 0 5 23 4 43

sdot+ minus sdot + sdot

8 8 42 15 125 28 30α) β)

24 24 24 100 100 100

Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ

ι) Λ για παράδειγmicroα το 37

15 κ) Σ

2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)

5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 4: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

δ) 12 (8ndash7)=12 1=12 ή β΄ τρόπος

128ndash127=96ndash84=12

ε) 6 (5+3+1)=6 9=54 ή β΄ τρόπος 6 5 6 3 6 1sdot + sdot + sdot = 30+18+6=54

στ) 12 (10+8ndash12ndash6)=12 0=0 ή β΄ τρόπος

120+96ndash144ndash72=216ndash216=0

8 α) 100 1=100 β) 119 1=119

γ) 77 (5+3+2)=77 10=770

δ) 11 (13ndash12ndash1)=11 0=0

ε) 154 (1000ndash1)=154 1000ndash154 1=

=154000ndash154=153846

στ) 18 (1000+1)=18 1000+18 1=

=18000+18=18018

9 α) (x y) (25 4)=25 100=

=2500 β) (x y) (8 125) 100=

=25 1000 100=2500000

10

Α α β γ δ ε

Β 4 2 1 5 3

11 α=13ndash1=12 β=3 12+4=36+4=40

α) 5 12ndash(40+1)=60ndash41=19

β) 10 (12+40)ndash12 40+10=

=10 52ndash12 40+10=

=520ndash480+10=40+10=50

12 3 9+2=29 2 4+3 5=23 7 8ndash1=55

10 6ndash12 4=12 7+9 5=52 7 4ndash11 2=6

28ndash3 8=4 30ndash27+18=3 7

Α13 ∆υνάmicroεις φυσικών αριθmicroών 1

α 0 1 10 5 11 100

α2 0 1 100 25 121 10000

α3 0 1 1000 125 1331 1000000

2

Α α β γ δ ε

Β 3 1 5 4 2

3 α) 5432 β) 70510

γ) 3 103 + 8 102 + 5 101 + 3

δ) 5 105 + 7 103 + 2 10+ 1=507021

4 α) Α β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Β

5 α) 122=144 β) 102=100 γ) 16+36=52

δ) 9 16=144 ε) 64 1=64

στ) 27+64ndash1=91ndash1=90

6 α) 5+2 125=5+250=255

β) (5+3+2) 34=10 81=810

γ) 1000ndash2 25+64ndash4 9=

=1000ndash50+64ndash36=950+64ndash36=978

δ) 102ndash2 25ndash4 5=100ndash50ndash20=50ndash20=30

7 α) 22 52+23ndash43=4 25+8ndash64=

=100+8ndash64=108ndash64=44

β) 104+10 35=10000+10 243=

=10000+2430=12430

γ) 4 32+5 (32ndash3 8+1)=

=4 32+5 (32ndash24+1)=4 32+5 (8+1)=

=4 32+5 9=4 9+5 9=36+45=81

δ) 92ndash(8+9)+5 (16ndash4)=92ndash17+5 12=

=81ndash17+60=64+60=124

8 α) 32+52+(5ndash3)2=32+52+22=9+25+4=38

β) (3 5ndash5)2ndash(5ndash3)3=(15ndash5)2ndash23=102ndash23=

=100ndash8=92

9 α=1+1+1+1=4 β=2+4+8+16=30 και

γ=81ndash27ndash9ndash3=54ndash9ndash3=45ndash3=42

(30ndash4)2+(42ndash4)2+(42ndash30)2=262+382+122=

=676+1444+144=2264

10 α=6 και β=20

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

(α+β)2=(6+20)2=262=676

α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676

Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2

Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11

γ) π=192 και υ=52

2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε

υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ

β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-

ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και

δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν

δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-

ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-

νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-

τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή

∆=δ π+υ

3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ

∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135

διαιρέτης δ 3 9 21 11

πηλίκο π 8 8 11 12

υπόλοιπο υ 4 7 0 3

4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3

β) δ=4 και π=12

∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51

διαιρέτης δ 4 4 4 4

πηλίκο π 12 12 12 12

υπόλοιπο υ 0 1 2 3

5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3

(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7

6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14

3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38

3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8

(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=

=(18ndash8)2=102=5

3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=

=(3 6)2=182=9

7

(α+β)γ (α β)γ α(βγ)

(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3

(12+6)3=

=183=6

(12 6)3=723=

=24 122=6

8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62

β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43

γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=

=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16

δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=

=24010+1967=24+28=52

9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1

β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20

γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=

=5 25ndash255=125ndash5=120

δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=

=1000ndash6432=1000ndash2=998

10

5 2 5 3 5 2

2 2 4 1 7 1

1 7 2 0 6 4

8 1 7 0 8

1 0 1 5 4 9

8 7 5 5 5

7 4 3 0 3 6

7 2 9 5 6 6

11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8

2+126=4 204 11=55 369+5 2=14

14 48=7 273ndash155=6

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910

β) 75 111 135 702 813 903

γ) 124 336 528 632 864 912

δ) 45 100 305 635 800 820

ε) 34 108 513 702 801

στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900

2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β

η) Γ

3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612

∆ιαιρέτες του 36 123469121836

∆ιαιρέτες του 40 12458102040

Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4

4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18

που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων

παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-

νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-

σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3

το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-

microών αυτών

5 72=23 32 και 120=23 3 5

ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360

ΜΚ∆(72120)=23 3=24

6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=

=(51ndash6)3=453=15 και

γ=13+23+33=1+8+27=36

α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε

ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και

ΜΚ∆(αβγ)=3

7 α=120 και β=6

1206+(120ndash10 6)2=1206+602=

=1206+3600=20+3600=3620

8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-

ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)

και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια

του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης

τους

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος

1 2Σ 3Σ 4Λ 15

200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ

9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3

2 α)

β)

γ)

3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-

τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15

α) β) γ) 100 500 100000

4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια

α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro

5 Το 1

10των αγώνων που έχει χάσει είναι

3010=3 αγώνες Τα 3

10 των αγώνων α-

ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9

ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει

30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες

6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400

τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2

5 των 400

τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα

υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=

1200ndash560=640 τετρ microέτρα

β) Πήρε τα =640 8

1200 15της έκτασης

7 Το 1

36των 3600 κιλών είναι 360036=100

κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro

Τα 7

10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά

και από την πώλησή τους εισέπραξε

2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι

3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά

και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro

Συνολικά εισέπραξε

100+5040+2940=8080 euro

8 Το 1

7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες

Τα 7

7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι

7 12=84 σελίδες

α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-

λίδες

β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-

σmicroα =48 4

84 7

9 Το 1

9 του αριθmicroού είναι 284=7

α) Τα 9

9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι

9 7=63

β) Τα 2

7 του 63 είναι 18

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 Το 1

5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα

5

5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25

microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-

τσια

Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ

5

4

10 20 50

8 16 40

1

5

5 7

25 35

6 6 12 18

1 2 3

2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ

3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =

3 3 51 40 404

17

01

17 17

sdot= = =

sdot

7 21 93010= γ)

10 30 3624 51 5

δ)

33

ε) στ) 100 60 1

5

3

sdot=

sdot

4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)

9 9 9 9

9

5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων

του κλάσmicroατος 18 12 15

18 12 1

18 1 60 5 30 2α) β) γ)

90 5 84 7 75 5112 7 192 8

δ) ε) 80 5 16

516 24

16 248 7

= = =

= =

2στ)

2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot

=

196

3=

sdot sdot += =

sdot sdot +sdot

= = =sdot

sdot= = =

minussdot

= =sdot

327 1000+327 327 (1000 1)ζ)

999 1000+999 999 (1000 1)

327 1001 327 3 109

999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7

η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2

θ) 12 α 12 4 3

6

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot

bull5 5

50

sdotbull

sdot15 x

12 x

sdotbull

sdot3 2+12

4 6

sdot minus sdotbull

sdot + sdot5 x 3 x

10 x 4 x

bull

bull

bull

bull

1

21

73

45

4

7 3

3 7 15 27 11 78

20 6 9 6

3 4

14 29 0 5 23 4 43

sdot+ minus sdot + sdot

8 8 42 15 125 28 30α) β)

24 24 24 100 100 100

Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ

ι) Λ για παράδειγmicroα το 37

15 κ) Σ

2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)

5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 5: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

(α+β)2=(6+20)2=262=676

α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676

Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2

Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11

γ) π=192 και υ=52

2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε

υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ

β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-

ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και

δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν

δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-

ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-

νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-

τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή

∆=δ π+υ

3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ

∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135

διαιρέτης δ 3 9 21 11

πηλίκο π 8 8 11 12

υπόλοιπο υ 4 7 0 3

4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3

β) δ=4 και π=12

∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51

διαιρέτης δ 4 4 4 4

πηλίκο π 12 12 12 12

υπόλοιπο υ 0 1 2 3

5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3

(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7

6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14

3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38

3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8

(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=

=(18ndash8)2=102=5

3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=

=(3 6)2=182=9

7

(α+β)γ (α β)γ α(βγ)

(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3

(12+6)3=

=183=6

(12 6)3=723=

=24 122=6

8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62

β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43

γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=

=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16

δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=

=24010+1967=24+28=52

9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1

β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20

γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=

=5 25ndash255=125ndash5=120

δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=

=1000ndash6432=1000ndash2=998

10

5 2 5 3 5 2

2 2 4 1 7 1

1 7 2 0 6 4

8 1 7 0 8

1 0 1 5 4 9

8 7 5 5 5

7 4 3 0 3 6

7 2 9 5 6 6

11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8

2+126=4 204 11=55 369+5 2=14

14 48=7 273ndash155=6

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910

β) 75 111 135 702 813 903

γ) 124 336 528 632 864 912

δ) 45 100 305 635 800 820

ε) 34 108 513 702 801

στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900

2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β

η) Γ

3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612

∆ιαιρέτες του 36 123469121836

∆ιαιρέτες του 40 12458102040

Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4

4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18

που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων

παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-

νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-

σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3

το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-

microών αυτών

5 72=23 32 και 120=23 3 5

ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360

ΜΚ∆(72120)=23 3=24

6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=

=(51ndash6)3=453=15 και

γ=13+23+33=1+8+27=36

α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε

ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και

ΜΚ∆(αβγ)=3

7 α=120 και β=6

1206+(120ndash10 6)2=1206+602=

=1206+3600=20+3600=3620

8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-

ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)

και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια

του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης

τους

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος

1 2Σ 3Σ 4Λ 15

200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ

9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3

2 α)

β)

γ)

3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-

τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15

α) β) γ) 100 500 100000

4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια

α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro

5 Το 1

10των αγώνων που έχει χάσει είναι

3010=3 αγώνες Τα 3

10 των αγώνων α-

ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9

ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει

30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες

6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400

τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2

5 των 400

τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα

υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=

1200ndash560=640 τετρ microέτρα

β) Πήρε τα =640 8

1200 15της έκτασης

7 Το 1

36των 3600 κιλών είναι 360036=100

κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro

Τα 7

10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά

και από την πώλησή τους εισέπραξε

2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι

3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά

και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro

Συνολικά εισέπραξε

100+5040+2940=8080 euro

8 Το 1

7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες

Τα 7

7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι

7 12=84 σελίδες

α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-

λίδες

β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-

σmicroα =48 4

84 7

9 Το 1

9 του αριθmicroού είναι 284=7

α) Τα 9

9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι

9 7=63

β) Τα 2

7 του 63 είναι 18

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 Το 1

5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα

5

5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25

microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-

τσια

Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ

5

4

10 20 50

8 16 40

1

5

5 7

25 35

6 6 12 18

1 2 3

2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ

3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =

3 3 51 40 404

17

01

17 17

sdot= = =

sdot

7 21 93010= γ)

10 30 3624 51 5

δ)

33

ε) στ) 100 60 1

5

3

sdot=

sdot

4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)

9 9 9 9

9

5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων

του κλάσmicroατος 18 12 15

18 12 1

18 1 60 5 30 2α) β) γ)

90 5 84 7 75 5112 7 192 8

δ) ε) 80 5 16

516 24

16 248 7

= = =

= =

2στ)

2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot

=

196

3=

sdot sdot += =

sdot sdot +sdot

= = =sdot

sdot= = =

minussdot

= =sdot

327 1000+327 327 (1000 1)ζ)

999 1000+999 999 (1000 1)

327 1001 327 3 109

999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7

η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2

θ) 12 α 12 4 3

6

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot

bull5 5

50

sdotbull

sdot15 x

12 x

sdotbull

sdot3 2+12

4 6

sdot minus sdotbull

sdot + sdot5 x 3 x

10 x 4 x

bull

bull

bull

bull

1

21

73

45

4

7 3

3 7 15 27 11 78

20 6 9 6

3 4

14 29 0 5 23 4 43

sdot+ minus sdot + sdot

8 8 42 15 125 28 30α) β)

24 24 24 100 100 100

Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ

ι) Λ για παράδειγmicroα το 37

15 κ) Σ

2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)

5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 6: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910

β) 75 111 135 702 813 903

γ) 124 336 528 632 864 912

δ) 45 100 305 635 800 820

ε) 34 108 513 702 801

στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900

2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β

η) Γ

3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612

∆ιαιρέτες του 36 123469121836

∆ιαιρέτες του 40 12458102040

Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4

4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18

που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων

παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-

νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-

σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3

το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-

microών αυτών

5 72=23 32 και 120=23 3 5

ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360

ΜΚ∆(72120)=23 3=24

6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=

=(51ndash6)3=453=15 και

γ=13+23+33=1+8+27=36

α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε

ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και

ΜΚ∆(αβγ)=3

7 α=120 και β=6

1206+(120ndash10 6)2=1206+602=

=1206+3600=20+3600=3620

8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-

ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)

και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια

του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης

τους

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος

1 2Σ 3Σ 4Λ 15

200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ

9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3

2 α)

β)

γ)

3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-

τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15

α) β) γ) 100 500 100000

4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια

α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro

5 Το 1

10των αγώνων που έχει χάσει είναι

3010=3 αγώνες Τα 3

10 των αγώνων α-

ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9

ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει

30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες

6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400

τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2

5 των 400

τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα

υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=

1200ndash560=640 τετρ microέτρα

β) Πήρε τα =640 8

1200 15της έκτασης

7 Το 1

36των 3600 κιλών είναι 360036=100

κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro

Τα 7

10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά

και από την πώλησή τους εισέπραξε

2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι

3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά

και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro

Συνολικά εισέπραξε

100+5040+2940=8080 euro

8 Το 1

7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες

Τα 7

7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι

7 12=84 σελίδες

α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-

λίδες

β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-

σmicroα =48 4

84 7

9 Το 1

9 του αριθmicroού είναι 284=7

α) Τα 9

9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι

9 7=63

β) Τα 2

7 του 63 είναι 18

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 Το 1

5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα

5

5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25

microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-

τσια

Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ

5

4

10 20 50

8 16 40

1

5

5 7

25 35

6 6 12 18

1 2 3

2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ

3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =

3 3 51 40 404

17

01

17 17

sdot= = =

sdot

7 21 93010= γ)

10 30 3624 51 5

δ)

33

ε) στ) 100 60 1

5

3

sdot=

sdot

4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)

9 9 9 9

9

5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων

του κλάσmicroατος 18 12 15

18 12 1

18 1 60 5 30 2α) β) γ)

90 5 84 7 75 5112 7 192 8

δ) ε) 80 5 16

516 24

16 248 7

= = =

= =

2στ)

2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot

=

196

3=

sdot sdot += =

sdot sdot +sdot

= = =sdot

sdot= = =

minussdot

= =sdot

327 1000+327 327 (1000 1)ζ)

999 1000+999 999 (1000 1)

327 1001 327 3 109

999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7

η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2

θ) 12 α 12 4 3

6

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot

bull5 5

50

sdotbull

sdot15 x

12 x

sdotbull

sdot3 2+12

4 6

sdot minus sdotbull

sdot + sdot5 x 3 x

10 x 4 x

bull

bull

bull

bull

1

21

73

45

4

7 3

3 7 15 27 11 78

20 6 9 6

3 4

14 29 0 5 23 4 43

sdot+ minus sdot + sdot

8 8 42 15 125 28 30α) β)

24 24 24 100 100 100

Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ

ι) Λ για παράδειγmicroα το 37

15 κ) Σ

2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)

5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 7: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος

1 2Σ 3Σ 4Λ 15

200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ

9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3

2 α)

β)

γ)

3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-

τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15

α) β) γ) 100 500 100000

4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια

α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro

5 Το 1

10των αγώνων που έχει χάσει είναι

3010=3 αγώνες Τα 3

10 των αγώνων α-

ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9

ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει

30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες

6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400

τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2

5 των 400

τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα

υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=

1200ndash560=640 τετρ microέτρα

β) Πήρε τα =640 8

1200 15της έκτασης

7 Το 1

36των 3600 κιλών είναι 360036=100

κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro

Τα 7

10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά

και από την πώλησή τους εισέπραξε

2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι

3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά

και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro

Συνολικά εισέπραξε

100+5040+2940=8080 euro

8 Το 1

7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες

Τα 7

7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι

7 12=84 σελίδες

α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-

λίδες

β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-

σmicroα =48 4

84 7

9 Το 1

9 του αριθmicroού είναι 284=7

α) Τα 9

9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι

9 7=63

β) Τα 2

7 του 63 είναι 18

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 Το 1

5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα

5

5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25

microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-

τσια

Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ

5

4

10 20 50

8 16 40

1

5

5 7

25 35

6 6 12 18

1 2 3

2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ

3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =

3 3 51 40 404

17

01

17 17

sdot= = =

sdot

7 21 93010= γ)

10 30 3624 51 5

δ)

33

ε) στ) 100 60 1

5

3

sdot=

sdot

4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)

9 9 9 9

9

5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων

του κλάσmicroατος 18 12 15

18 12 1

18 1 60 5 30 2α) β) γ)

90 5 84 7 75 5112 7 192 8

δ) ε) 80 5 16

516 24

16 248 7

= = =

= =

2στ)

2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot

=

196

3=

sdot sdot += =

sdot sdot +sdot

= = =sdot

sdot= = =

minussdot

= =sdot

327 1000+327 327 (1000 1)ζ)

999 1000+999 999 (1000 1)

327 1001 327 3 109

999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7

η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2

θ) 12 α 12 4 3

6

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot

bull5 5

50

sdotbull

sdot15 x

12 x

sdotbull

sdot3 2+12

4 6

sdot minus sdotbull

sdot + sdot5 x 3 x

10 x 4 x

bull

bull

bull

bull

1

21

73

45

4

7 3

3 7 15 27 11 78

20 6 9 6

3 4

14 29 0 5 23 4 43

sdot+ minus sdot + sdot

8 8 42 15 125 28 30α) β)

24 24 24 100 100 100

Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ

ι) Λ για παράδειγmicroα το 37

15 κ) Σ

2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)

5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 8: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 Το 1

5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα

5

5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25

microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-

τσια

Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ

5

4

10 20 50

8 16 40

1

5

5 7

25 35

6 6 12 18

1 2 3

2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ

3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =

3 3 51 40 404

17

01

17 17

sdot= = =

sdot

7 21 93010= γ)

10 30 3624 51 5

δ)

33

ε) στ) 100 60 1

5

3

sdot=

sdot

4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)

9 9 9 9

9

5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων

του κλάσmicroατος 18 12 15

18 12 1

18 1 60 5 30 2α) β) γ)

90 5 84 7 75 5112 7 192 8

δ) ε) 80 5 16

516 24

16 248 7

= = =

= =

2στ)

2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot

=

196

3=

sdot sdot += =

sdot sdot +sdot

= = =sdot

sdot= = =

minussdot

= =sdot

327 1000+327 327 (1000 1)ζ)

999 1000+999 999 (1000 1)

327 1001 327 3 109

999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7

η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2

θ) 12 α 12 4 3

6

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot

bull5 5

50

sdotbull

sdot15 x

12 x

sdotbull

sdot3 2+12

4 6

sdot minus sdotbull

sdot + sdot5 x 3 x

10 x 4 x

bull

bull

bull

bull

1

21

73

45

4

7 3

3 7 15 27 11 78

20 6 9 6

3 4

14 29 0 5 23 4 43

sdot+ minus sdot + sdot

8 8 42 15 125 28 30α) β)

24 24 24 100 100 100

Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ

ι) Λ για παράδειγmicroα το 37

15 κ) Σ

2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)

5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 9: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1

α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13

γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται

45 40 50

60 60 60

48 0

60 60 οπότε

gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5

δ) 6 5 4 3 2 7 9 11

4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)

2 3 5 2 3 5 2 3 5

2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι

3 5 52 3 5

Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5

3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι

2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5

γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt

5 + minus sdot sdot= = lt =

minus2

4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=

25 5 5 648 8 45

6 3 9 3 3

1 Άρα Α Β8 2 6 3 2

+= = = ltgt

minus

6 α) Α Β β) Α13 9 5

3 Β

35 5rarr rarr rarr rarr

7

Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1

+ 1

2

2

3

3

5

0 1

2

2

3

3

5

2 5

2

8

3

13

5

3

2 2 13

6

21

10

1

6

2

3

5

6

23

30

ndash 6

5

5

3

3

2

0 6

5

5

3

3

2

1 1

5

2

3

1

2

1

5 1 22

15

13

10

2

3

8

15 1 5

6

2

Α α β γ δ ε στ ζ

Β 3 7 1 6 4 2 5

3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)

2 3 6 6 6 6 4 9 6

27 20 6 27 26 1= = =

36 36 36 36 36 36

9 9 36 9 45γ) 1 1 1

5 20 20 20 20

⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9 4 5

4 4 4= minus =

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 10: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 11 3δ) 3+ =

4 5 20

60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =

20 20 20 20 20 20 20 10

1 1 1 7 1 1ε) 2

3 2 6 3 2 6

14 3 1 14 4 10 5

6 6 6 6 6 6 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)

12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =

⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

18 4 3 18 7 11γ)

12 12 12 12 12 12

5 4

2 5 8 5 3 1

3 12 12 125 4

124

4) 5 1 1α minus = minus = =

+ = + =3 7 6 7 13

β) 5 10 10 10 10

Ο ζητούmicroενος

αριθmicroός είναι minus13 17

3 =10 10

6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-

ρα το 1

3του έργουO δεύτερος εργάτης

τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1

4του έργου Και

οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα

+ =1 1 7

3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα

minus =7 5

112 12

του έργου

7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε

τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που

προκύπτει από το άθροισmicroα

+ + =1 5 1 29

6 16 8 48

Οι υπόλοιποι είναι το

κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά

minus =29 19

1 48 48

Τα 19

48 των 480 microαθητών εί-

ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1

48εί-

ναι 48048=10 microαθητές

Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1

3

2

3

4

7

5

0 0 0 0

1 3

2

3

4

7

5

4 6 3 28

5

2

3 1

1

2

14

15

2

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1

2 3sdot bull

4 5

5 8sdot bull

712

3sdot bull

2 5 3

3 9 2sdot sdot bull

2 3

10 10sdot bull

28

3

505

91

2

1

6

bull

bull

bull

bull

bull

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 11: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3

Αριθmicroός Αντίστροφος 4

9

9

4

1

10 10

75 1

75

1 1

0 ∆εν ορίζεται 1

45

5

21

+2 5

3 3

3

7

sdot1 3

5 2

10

3

4

x 1

2

5

4

3

10

x2 1

4

25

16

9

100

x3 1

8

125

64

27

1000

5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1

7218 4 36 7 7 7sdot sdot =

7 100 3 2100γ) 10

10 21 210

sdot sdot= =

sdot

1 13 1 5δ)2 =

2 3 5sdot sdot

13 1

2 3 5sdot sdot

3 3

2 2

13=

6

2 5 8ε) =

5 4sdot

125sdot5

25 16sdot 2

5=

2

1στ) 11

2sdot

1 2

3sdot sdot

99 11 11

3 4 49 4

sdotsdot = =

sdot

6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =

11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot

2

3 7 6 7 13= + = + =

4 8 8 8 83 47

γ) 5 =10 10

minus

3δ)

4sdot

4minus

7

5sdot

1

3 7= minus = minus =

3 5

3 1 9 5 4

5 3 15 15 15

3 2

3 2 3 4

65

12 13 79 123ε) =1 1 0

13 12 123 79

1 1 1 1 1 1στ) = =

5 2 3 5 6 30

1 1 3 2 5 1 5ζ) =

2 3 4 3 6 12 72

5 4 30 1η) 3+ 3

6 5 7 30

sdot minus sdot minus =

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30sdot

1 223

7 7 7= + =

7 3 7 1α) α= β= γ=

2 2 6

3β) Α=

7 1

2 2 6sdot sdot

2

7

8=

3

10 3 1 8 40 20Β= 5

2 2 6 6 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2 500 1250 100 γρ 1000

5 5 10sdot = = sdot = 100

γραmicromicroάρια

9 sdot =2

27 18 αγόρια3

Άρα τα κορίτσια είναι

9

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 12: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

10 + + + =

12 4 15 6

1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα

5 15 4 10 60

του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7

1 60 60

minus = 7

1500 ευρώ 175 ευρώ60

sdot =

11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1

5+ 74 2 4 4

κιλά Η αξία τους είναι 3 3

5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2

sdot sdot + sdot = + + =

12 Η προκαταβολή είναι

sdot =1

12000 3000 ευρώ4

Το υπόλοιπο εί-

ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ

sdot =1

Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9

13 Το 1

7 τη δεξαmicroενής χωράει

15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-

νή δηλαδή τα 7

7

χωράει

sdot7 300=2100 λίτρα

4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα

15 15sdot =

14 sdot =1

Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4

Οπότε το

αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά

845 72 κιλά ψωmicroί

5sdot =

Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων

1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4

α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9

+ =2 2 4

δ) 3 3 3

1 1 3 1 1 1ε) στ)

2 3 2 2 6

3minus= =

1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4

2 2 2=+ =

2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)

15 8 21 8 9 2

9 96ζ)1 η) θ)

25

3

5125

375

sdot64

2

9

10=

3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)

7 5 35 9 8 17

4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)

2 5 10 5 4 7 2sdot sdot

18

105

=

3=

5

2 18sdot

6

5 10 7 10 4 40 δ)

12 3 4 3 7 21

15 5 15 6 90 9ε) = = =

4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1

στ) 8 2 8 9 72 36

= = sdot =

sdot

= sdot = =

5

ΣΤΗΛΗ Β

Σ ή Λ

ΣΤΗΛΗ Γ

Σωστό

αποτέλεσmicroα

α) Σ

β) Λ 12

γ) Λ 36

5

δ) Σ

ε) Λ 4

στ) Σ

ζ) Λ 23

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 13: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6 3

2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =

9 4 4 9 3 9 3 9 9 9

4

4+ + sdot + +

9 8 1β)

10 10 10minus =

8 3 23γ)

3 4 12minus =

7 5 9 35 21δ) 2 ε)

6 6 5 6 2minus = sdot =

4 9 1 31στ)

15 2 6 30sdot minus =

7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11

2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =

β) 5 5 5 12 12

26 12 6 5 6

= sdot = =

γ) 14 4 21 2 39 5 195

28 28 28 5 28 2 56

⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 3 12 8 7 7 6 6 1

24 24 24 6 24 7 24 4

⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5

2 4 10 10 5 2 5 10 1

⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 15 19

10 10 10= + =

8 33

3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009

sdot sdot= =

sdot

2 1114 11 115 10ε) στ)

15 3175 31 317

0

10

1

10

sdot= = =

sdot

9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1

Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4

ΑΒ=16

10 =1 3

1 λίτρα2 2

3120 80 microπουκάλια

2=

11 2 5 15 13 3 7 ώρες

5 2 2 2= sdot = =

12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της

3

+ = =

=

1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το

6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το

1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για

3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν

11 2 ώρες

2

13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε

1 λεπτό το 1

10 του microέτρου το δεύτερο σε

1 λεπτό το 1

20 του microέτρου και το τρίτο το

1

30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία

microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2

1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου

10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε

1133 33

60

+ ++ + = =

=3 60

11sdot

13 60 180 λεπτά

ή 3 ώρες

= sdot =

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 14: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894

δ) 30457894 ε) 30457894

στ) 30457894

2 α) Στο δέκατο 789 623

β) Στο εκατοστό 7886 62304

γ) Στο χιλιοστό 78864 62304

3

∆εκαδικός

αριθmicroός

Στρογγυ-

λοποιηmicroένος

αριθmicroός

Ψηφίο που

έγινε η στρογ-

γυλοποίηση

17932 17930 εκατοστό

3241 3200 δέκατο

257852 257900 δέκατο

722853 722850 χιλιοστό

30899123 3090 microονάδα

15758 15760 εκατοστό

478565 478570 χιλιοστό

4

α)

β)

γ)

5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226

β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225

γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135

6 3 53 5 06 5 3 16666

5 3 = = = =

4

2525 16 15625

2= =

2

1616 25 064

5= =

7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882

γ) 43 430 4309

8 527 527 527527 527 0527

10 100 1000= = =

52700527

10000=

9 18 72 3 375072 0375

25 100 8 1000= = = =

750 3 27 27075 00027

1000 4 10000 1000065 13 152 19

065 00152=100 20 10000 1250

= = = =

= = =

Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α

στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α

2 α) 288 +785=1073

β) 95541+4809=100350

γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 15: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3

485 + 98 =583

ndash +

3418 ndash 2588 =83

1432 + 3568 =50

4

α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ

125 197 75 03

2035 2063 1035 1007

5

128 + 256 = 384

468 minus 68 = 40

55 25 = 22

172 12 = 2064

11 100 = 110

6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)

στ)Σ

7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702

στ) 104

8 α) 10(α+β)=1012=12

β) 84+(α+β)=84+12= =96

γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03

δ) 122minus032 =144minus009=135

9 α) 001 0001 00001 000001

β) 004 0008 00016 000032

γ) 016 10201 121 625

10 12255=6125 41232=13184

11

x x5 (x2)10 (x10)2

48 96 9610=96 48middot2=96

535 107 10710=107 535middot2=107

α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2

β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647

63245=(632410)middot2=6324middot2=12648

12

∆ιαιρετέος 3645 216 48

∆ιαιρέτης 45 5 80

Πηλίκο 81 432 006

13 α) 10ndash28+50=72+50=572

β) 143+35minus505=178minus505=1275

γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=

=4272

δ) 50minus902+8middot005minus225=

=50minus45+04minus225=315

14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=

=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=

=5+785785=5+10=15

15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=

=104+153=15404

β) (254minus52)202=202202=4080402=

=20402

16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση

microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8

Η περίmicroετρος του είναι

(57+03)middot(03+5)=6middot53=318

Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες

πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση

318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά

δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119

17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-

ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα

δύο εξώφυλλα

16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά

157252=006 χιλιοστά περίπου

β) 3006=50 σελίδες

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 16: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1

Αριθmicroός στη

δεκαδική microορφή

Τυποποιηmicroένη

microορφή

6378000 6378106

21 microηδενικά

5978000 00 59781024

4500000000 45109

149600000000 14961011

300000 3105

2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot

δ) 687338 10sdot ε) 781106

Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm

β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm

γ) 0681 km=681m=6810 dm=

=68100 cm=681000 mm

δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm

στ) 3 dm+5cm=035m

ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm

η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm

θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm

ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m

2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt

12209 m

104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt

lt0034 km

3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=

=01284 m=1284 cm

4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-

σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα

από τα οποία τα δύο έχουν microήκος

1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο

διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα

Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών

εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα

5

m2 dm2 cm2 mm2

4012 4012 40120 4012000

076 76 7600 760000

54034 54034 54034 5403400

7002 7002 70020 7002000

6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342

στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα

7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα

8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m

Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=

=8100 cm2

9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=

=Εορθογωνίου

Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε

2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι

2middot10+2middot25=20+5=25 m

10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι

542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι

έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα

χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια

11

m3 dm3 cm3 mm3

0124 124 124000 124000000

015 150 150000 150000000

0201 201 201000 201000000

0001054 1054 1054 1054000

12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β

13 α) mm3 β) Όχι

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 17: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-

γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t

15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ

16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-

microής είναι

12 h 15 min 1560 s=156060=26 min

minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min

5 h 5 min

Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν

26+41=67 min=1 h 7 min

5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min

minus 1 h 7 min

3 h 58 min

17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g

β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t

δ) 15270 g

18 1 kg 865 g=1865 g

1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-

ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει

εποmicroένως 160515=107 g

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 18: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-

τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ

δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ

2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ

θ) Α

3

Εξίσωση Αριθmicroοί που

την επαλη-

θεύουν

Αριθmicroοί που

δεν

την επαλη-

θεύουν

α) x+34=5 16 0 2 6

β) 4ndashx=2 2 0 16 6

γ) x3=2 6 0 16 2

δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash

4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92

δ) z(7ndash5)=5

5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2

x 5

x=10

(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα

2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3

6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4

x 22 2 2minus = =

γ) x=

2

3 1

5 10minus x=

6 1 5 1 x=

10 10 10 2minus =

δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4

3 3minus y=

1

3

στ) y=2ndash

4

1 2 1 8 1 7 y= y=

4 1 4 4 4 4minus = minus

ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11

3 3minus =

ω=11 5 16

3 3 3+ = θ) ω=

2

5 13

2 4+ =

10 13

4 4+

23ω=

4

7 α) x=710=07

β) 3 middot x=5 5 5 1 5

x= 3 x=4 4 4 3 12

sdot =

γ) 5 5 5 5 5 2 2

x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =

δ) y=102 y=5

ε) 16y=1 1 3

y=16 y=16 y=483 3 1

sdot

στ) 2 5 2 10

y=2 y= 3 3 3 3

sdot

2 10 2 3 6 1y=

3 3 3 10 30 5= sdot = =

ζ) 75y=10 y=7510 y=075

η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28

43 3sdot =

8 α) 10 x=11 x=1110 x=11

β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή

x=122=6

γ) 1 1 1 1 1

5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30

sdot = sdot

δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7

x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 19: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75

β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12

γ) 2 3 2

1 x 30 ή x 30 ή3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x

3 3 5 5sdot = = = sdot =

x=18

δ) = + = +

3 2

x 1 1 x 3 2

6 2 3 6 6 6

x 5

6 6= x=5

ε) 2 x+3 24 2+x+3 24

12 12 12 12 12

+ = =

x+5 24

12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19

10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και

ω=10

Α=102ndash2middot6=100ndash12=88

Β=(2+6)210=8210=6410=64

11 α=8

3 και β=

3

5

Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή

x=3 8 3 3 9

5 3 5 8 40

= sdot = και την εξίσωση

β+x=α ή x=αndashβ ή x=

5 38 3 40 9 31

3 5 15 15 15minus = minus =

Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς

τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-

ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι

x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός

αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι

xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται

γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε

επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται

2 middot x+1

ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο

πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς

2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση

3 1 15 2

x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17 17 3x+ 1 άρα x=1

20 20 20= minus =

3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-

σωση 7 5 3 2 3 1 3

γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2

3 1 2x= 1

2 2 2

⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus = =

4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-

ση 5 4 5 8 5

4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2

minus = minus minus άρα 3

x=2

5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε

προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή

3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή

x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45

46 47

6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3

x2sdot Έχουmicroε τότε

3x x=10

2+ sdot ή

31 x=10

2

⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 5

x=102sdot ή

5x=10

2= 4

7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή

3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές

είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 20: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή

x=606=10

Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm

γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4

ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές

είναι 14cm και 14+4=18cm

8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε

2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x

Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή

3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί

πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro

9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε

το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-

σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή

2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα

έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η

αξία του προϊόντος

10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη

microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10

την 4η x+15 και την 5η x+20

Συνολικά διάβασε

x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-

λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την

εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή

5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη

microέρα διάβασε 14 σελίδες

11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν

9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-

ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και

οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x

Γράφουmicroε την εξίσωση

x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή

χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο

3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε

1950+200=2150 και ο 4ος πήρε

2 middot 1950=3900 euro

12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε

3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-

microούς από τις ισοπαλίες

Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε

τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή

3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα

νίκησε σε 16 αγώνες

13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν

τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη

γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1

2

της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ

2 Ό-

microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες

τα χ

3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα

x

6

Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η

δεξαmicroενή έχουmicroε

( )

χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1

2 3 6 6 6 6

3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1

6 6

sdot sdot+ + = + + =

+ + sdotsdot + sdot += =

6 xή 1

6

sdot= οπότε x=1

Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-

microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 21: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

Α51 Ποσοστά

1 α) 67 β) 7 10 70

7010 10 100

sdot= =

sdot

γ) 19 4 76

25 4 100

sdot= =

sdot76

δ) 23 2 46

4650 2 100

sdot= =

sdot

ε) 3 20 60

605 20 100

sdot= =

sdot

2 α) 3 3 1 1 25 25

2512 3 4 4 25 100

sdot= = = =

sdot

β) 7 7 1 1 20

35 7 5 5 20

sdot= =

sdot=

2020

100=

γ) 875 5 175 175 2 350

250 5 50 50 2 100

sdot= = =

sdot=350

δ) 176 16 11 11 5 55

55320 16 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

3 α) 419permil β) 7 10 70

70100 10 1000

sdot= =

sdotpermil

γ) 13 20

50 20

sdotsdot

=260

2601000

= permil

δ) 38=0375=375

1000=375permil

ε) 916=05625=5625

1000= 5625permil

4 α) 02=2permil β) 2=20permil

γ) 20=200permil δ) 25=250permil

ε) 250 = 2500permil

5 α) 1 23 87 100 200

1 2100 100 100 100 100

= =

β)3 59 150 15050 3

1000 1000 1000 100050 20

= =

700 7

1000 10=

10001

1000=

6 α)15

150 225100

sdot =5

β) 300100

sdot = 15g

γ) 4

2000 81000

sdot = δ) 10

15001000

sdot = 15 euro

ε) 1 km=1000 m 25

1000100

sdot = 250 m

στ) 54 kg=5400 g 4

5400100

sdot =216 g

ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2

300 6100

sdot = λεπτά

7 6 1500250 15

100 100sdot = = microαθητές

8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600

400 176100 100

sdot = = βιβλία

Επιστηmicroονικά είναι τα 35

400 140100

sdot = βι-

βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84

είναι ιστορικού περιεχοmicroένου

9 Οι πτυχιούχοι είναι 20

50 10100

sdot = Οι Μα-

θηmicroατικοί τότε είναι 30

10 3100

sdot =

10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20

20350 5 5 20 100

sdot= = = =

sdot

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 22: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60

60 36100

sdot = microε κεφαλιές είναι

2560 15

100sdot = microε φάουλ είναι

6 6 1 1010

60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-

ναι 3 3 1 1 5 5

560 3 20 20 5 100

sdot= = = =

sdot

12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ

ζ) Β η) Β θ) Α

Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά

1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950

1050 1995100 100

sdot = = euro

Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι

1050+1995=12495 euro

β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που

επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ

είναι τα 18 18 5 9

20 20 5 100

sdot= = =

sdot9 γ) Αν η

αρχική τιmicroή είναι τα 100

100 ο ΦΠΑ είναι τα

9

100 και η τελική τιmicroή τα

100 9 109

100 100 100+ =

που είναι 436 euro Άρα το 1

100 είναι

436109=4 και τα 100

100 είναι 100middot4=400 euro

που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ

Αξία προϊόντος

χωρίς ΦΠΑ

(αρχική τιmicroή)

Αξία προϊό-

ντος microε ΦΠΑ

(τελική τιmicroή)

ΦΠΑ

1050 euro 12495 19

20euro 218 euro 9

400 436 euro 9

2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο

ΦΠΑ είναι 19

24000 4560100sdot = euro οπότε

αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro

β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-

θε δόση είναι 120006=2000 euro

1η δόση 2

2000 2000 2000 40100

+ sdot = + = 2040euro

2η δόση 2 2

2000 2000 2000 80100

sdot+ sdot = + = 2080euro

3η δόση 3 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2120euro

4η δόση 4 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2160euro

5η δόση 5 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2200 euro

6η δόση 6 2

2000 2000100

sdot+ sdot = 2240euro

γ) Συνολικά θα πληρώσει

16560+2040+2080+2120+

+2160+2200+2240=29400 euro

3 2 162008100 5400

3 3sdot = = euro

35400

100sdot = 162 euro

8100minus5400=2700 euro 2

2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει

microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro

4 α) 2

5000100sdot =

10000

100= 100 euro

β) 2 9

5000100 12sdot sdot =

90000

1200= 75 euro

γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-

κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 23: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ

5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες

παίρνουmicroε τόκο 2 3

5100100 12sdot sdot = 255euro

δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-

ναι 2 18 36

5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =

5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-

νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος

στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι

20 003

sdot1

100

x

12sdot

20 x5 x

4 4

sdot= = sdot

Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες

6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro

ήταν 10 5000

500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-

microορφώθηκε σε 500+50=550 euro

Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί

της αξίας των 550euro 8 4400

550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως

η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ

αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-

microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188

188500 500 5 100

= = = η αύξηση

και όχι 18

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 24: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)

Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)

2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ

3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-

τόν

β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-

ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται

πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον

ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-

τόν

γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν

συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη

(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα

σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-

σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας

των ηmicroιαξόνων

4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)

β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)

Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία

1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08

Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =

ΑΒ 525

ΕΖ 2= =

ΕΖ 2 Γ∆ 404 2

ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =

ΕΖ 205

Γ∆ 4= =

β) ΑΒ

gt 1Γ∆

ΕΖ lt Γ∆

2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3

β β α 3 β

sdotsdot = = = =

3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44

β β α 3 β 3 β 3

sdot sdot sdot sdot= = = = = =

sdot sdot

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 25: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5

8 8 4= = και

x+5 10 5 15 5

8+4 8 4 12 4

+= = =

+

Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-

νικά αν α γ α γ α+γ

τότε β δ β δ β+δ= = =

4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-

τος σε cm

Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη

κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση

= ή

1 1286

1000 x= ή x=1000 1286=

=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-

ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro

5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-

λεων τότε 1 36

1000000 x= άρα x=36 1000000=

= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-

κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360

km θα τα διανύσει σε 3 ώρες

6 α) 1 4

5 x= άρα x=20 cm β)

3 x

2 10= ή

2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1

x 402 x 20= =

οπότε η κλίmicroακα είναι 120

δ) 10 km=1000000 cm 1 44

x 10000004=

1

250000= Η κλίmicroακα

είναι 1250000

ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x

1000000 2500000= άρα x=25 cm

7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ

θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm

Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών

1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ

ε)

bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y

x= 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9

5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι

ανάλογα

bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-

στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4

x 3

άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα

2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το

βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y

x=

1212

10= β) y=12 x

γ)

Κιλά

αλεύρι 10 1 2 15 0

Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0

3 α)

x=πλευρά 2 3 35

Π=περίmicroετρος 6 9 105

β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π

x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x

4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =

=4 x+10

β)

x 1 2 3 8

Π 14 18 22 42

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 26: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο

λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18

1 2ne

Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)

x 0 1 2 3 4

y 0 4 8 12 16

β) 4

α 41

= = η σχέση αναλογίας είναι

y=4 x

γ) Τοποθετούmicroε τα

σηmicroεία microε συντεταγ-

microένες (00) (14)

(28) (312) (416)

σε ορθοκανονικό

σύστηmicroα ηmicroιαξόνων

Αν τα ενώσουmicroε θα

προκύψει ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο

των ηmicroιαξόνων

2 α)

x 1 2 3 4

y 25 5 75 10

β)

γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο

σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία

αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες

του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4

2516

= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-

κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8

2525

ne

3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις

αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις

θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή

Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-

σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-

θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο

α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-

θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)

β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-

microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 27: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)

δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1

6= sdot6=1 άρα η

ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)

Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά

και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των

ηmicroιαξόνων Ο(00)

4

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

ΝΑΙ α4

22

= = y= 2 x

ΟΧΙ - -

ΝΑΙ α =1

4 y

1

4= x

ΝΑΙ α5

252

= = y= 25 x

5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι

100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-

ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-

ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-

ρόλεπτα

β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-

κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και

microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-

σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου

γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-

παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία

microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων

Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει

από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-

microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-

χουmicroε 100

α 425

= = οπότε η σχέση ανα-

λογίας είναι y=4 x

Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-

νακα τιmicroών

Κιλά πορτοκάλια 12 3

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 x

3= ή

12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα

β)

Κιλά πορτοκάλια 12 x

Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15

Έχουmicroε τότε την αναλογία 12

8 5

x

1= άρα

x=225 κιλά πορτοκάλια

2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι

ανάλογα

α)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 0

x

5= άρα

x=15020=75 m

β)

Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42

Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 3

20 x

42= άρα

x=8403=280 euro

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 28: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 3 11 112 τόνοι 1000 2750

4 4 4= = sdot = κιλά θα-

λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-

λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και

αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-

γα

Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x

Αλάτι σε kg 80 1200

Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750

80 0

x

120= οπότε θα πάρουmicroε

x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό

νερό

4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του

περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και

υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα

Μισθός 100 x

Υπόλοιπο 12 102

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

12 2

x

10= ή

12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=

=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-

ναι 850 euro

5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8

ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά

χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-

ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-

κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που

εργάστηκε

Ηmicroέρες εργασίας 8 3

Αmicroοιβή σε euro 320 x

Έχουmicroε τότε την αναλογία 8

320 x

3= ή

8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-

τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro

6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-

ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-

ναι ανάλογα

Αύξηση 4 x

Αρχική αξία 50 100

Έχουmicroε τότε την αναλογία 4

50 0

x

10= ή

50 x =400 άρα x =40050=8

7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα

α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον

ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 14280

Έχουmicroε τότε την αναλογία x100

119 14280=

άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-

ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ

β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro

8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-

γα

Κεφάλαιο 100 x

Τόκος 2 154

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

2 4

x

15= ή

2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει

να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro

9

Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x

Αξία microε ΦΠΑ 119 3213

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

119 3213

x= ή

119 x =100 3213 ή 119 x=321300

άρα x=321300119=2700 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 29: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Αξία χωρίς κέρδος 100 x

Αξία microε κέρδος 108 2700

Έχουmicroε τότε την αναλογία 100

108 2700

x= ή

108 x=100 2700 ή 108 x=270000

άρα x=270000108=2500 euro η αξία των

τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-

ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς

τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε

για την αγορά κάθε τηλεόρασης

24205=484 euro

Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών

είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των

αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12

γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03

2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-

νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι

σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που

δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό

γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-

νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-

πτουν ίσα microε 4

x 1

2 08 1 2 4 5 8

y 8 5 4 2 1 08 1

2

β)

γ) x y=4 οπότε 4

yx

=

3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5

7=

β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή

x=427=6

4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-

ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των

άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν

20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται

στον παρακάτω πίνακα

x (cm) 1 2 4 5 10 20

y (cm) 20 10 5 4 2 1

β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών

είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε

x y=20 ή 20

y=x

5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν

microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα

χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής

παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 30: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αριθmicroός σωλήνων 200 x

Μήκος σωλήνων σε m 4 5

Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες

6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της

οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα

Ηmicroέρες διακοπών 15 20

Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x

Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή

x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει

150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα

7 α)

x 05 1 07

περίπου 4

y 4 2 3 05

β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-

σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι

αντιστρόφως ανάλογα

Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους

είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-

στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή

x y=2

bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4

bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1

bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2

3 που

είναι περίπου 067

bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1

2=05

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 31: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν

β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος

δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την

επιφάνεια της θάλασσας

2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί

γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι

ε) Ετερόσηmicroοι

3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί

αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1

310 5

minus minus

β) Ετερόσηmicroοι του 3

17minus είναι οι θετικοί

αριθmicroοί 911 2 +1032

9+

4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17

5+ ∆rarr ndash03

Εrarr 3

2minus rarr ndash4 Οrarr0

5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2

Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0

5

3=

5

3 6minus =6 και 6+ =6

2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4

β) 5+10ndash15=0

γ) 35+15ndash15=185ndash15=17

δ) 9 7 1 5

4 4 4 4+ minus minus =

10 5

4 2=

ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=

=31ndash16=15

στ) 2 3

3 16

sdotsdot minus =

63

6minus = 3 1 2minus =

3

Αριθmicroός ndash5 +1 +8

ndash8 ndash73

11

6+

1

10+

Αντίθετος +5 ndash1 ndash8

+8 +73

11

6minus

1

10minus

Απόλυτη

τιmicroή 5 1 8 73

11

6

1

10

4

x +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή

+5

ndash6 ή

+6

ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή

ndash5

+6 ή

ndash6

χ 2 3 4 5 6

χminus 2 3 4 5 6

5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το

+6

6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0

ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3

0 lt ndash12

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 32: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38

ndash075= 3

4+

9

2+ gt

11

9minus

4

5+ lt

5

4+

4

5minus gt

5

4minus

7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10

β) ndash100ltndash78lt9

4minus ltndash201lt+198lt

7

2+ lt

lt+4lt100

8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100

7

β) 7 8 9 10 11

2 2 2 2 2

minus minus minus minus minus

γ) ndash3 ndash1 0 2 26

9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-

χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-

πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-

κός αριθmicroός

δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή

ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή

ndash6

Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102

γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0

ε) 2 1

13

3 33

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠

+⎝

στ) 4 6 2

5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

minus⎠

+

ζ) 3 10

6 6

1 5 7

2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠

η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11

ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1

2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75

γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1

( 03)2

⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7

3minus

στ) 17 9

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 45

10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=11

10minus

3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus

( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +

4

+ ndash1 +4 3

2

ndash4 ndash5 0 ndash25

+02 ndash08 42 +17 5

2minus ndash35 15 ndash1

13

+ 2

3minus

13

3+

11

6+

5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4

γ) (+10)+(ndash16)= ndash6

δ) (ndash134)+(+1495)= +155

ε) 1 4 2 7 3

5 5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=5 12

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

5minus

2 7 1 2 4

3 2 6 1 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 20 6

6 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ndash1

6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=

=(ndash127)+(+98)= ndash29

β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 33: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και

Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι

7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108

β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26

Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ

2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6

(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7

(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21

11 1 12

8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2+

1 5 6

4 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

2minus

15 8

20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

20+

)+4( ) ( 5 1minus + = minus

(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2

(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12

(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0

(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7

17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20

3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-

σθέσεις

α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15

β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=

=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3

γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=

=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=

=(ndash47)+(+12)= ndash35

δ) 1 3 7 9

10 10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 16 12

10 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

5minus

4 5 10 15ε)

20 20 20 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

5

4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1

α+β+γ= +2

αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0

Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε

β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12

αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10

Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού

α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι

γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16

αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=

=+18

Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε

γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10

και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=

=(+15)+(+10)=+25

αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=

=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15

α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ

+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0

ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10

+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18

ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15

5

α β αndashβ α βminus α βminus

+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8

ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9

ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7

+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6

Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και

β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12

Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και

α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8

Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και

β=(+1)ndash(+8)= ndash7

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 34: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου

είναι

(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10

Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε

τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών

και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν

ίσα microε 10

ndash11 +19 +22 ndash20

+4 ndash2 ndash5 +13

ndash8 +10 +7 +1

+25 ndash17 ndash14 +16

7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

χ 17 4 χ 15 195

χ

13

17 4 χ 15 195

χ χ 345

= minus minus minus = + minus minus

= minus + +

minus= = +

= + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12

χ 5 ( 6) χ 4 12

χ

11

5 6 χ 4 12

χ χ 16

minus = minus minus minus = +

= minus minus = minus minus +

= + +

+

+ minus

= = minus

= minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ε) 1 2 3 χ 4 5

1 2 3 χ 4 5

2 χ 9

χ 9 72 9 2

minus minus minus + minus minus = minus minus +

minus + + + minus minus = minus + minus

minus minus = minus

= minus minus minus = + + = +minus

8 x= +3 y= ndash7 ω=3

4+

Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=

=(ndash7)3 31

4 4

⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Γ=ΑndashΒ=71

( 10)4

31

4

⎛ ⎞+ minus minus =⎝

+⎜ ⎟⎠

9

Α α β γ δ ε στ

Β 3 2 1 4 6 5

10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)

και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-

σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι

παραστάσεις β) και στ)

11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=

= ndash29+9= ndash20

β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13

γ) 1

3minus

2 5 1 3

3 4 2

1

34+ minus + minus + 1

2 1 5 3 2 1 81 1

3 2 4 4 3 2 42 1 2 1

2 1 33 2 3 2

minus =

= + + minus minus minus = + + minus minus =

= + minus minus = + minus =

2 1 3 4 3 18

3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =

11

6minus

δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=

=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15

ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=

= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=

= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=

= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2

Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών

1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1

30minus

β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1

40

γ) 21

8minus ο αντίστροφός του είναι το

8

21minus

δ)6 3

28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το

14

3

ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 35: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2 α)

ndash5 1

6+ ndash2

ndash1 +5 1

6minus +2

+3 ndash15 3 1

6 2= ndash6

1

2+

5

2minus

1

12 ndash1

β)

ndash3 4 1

2minus

ndash2 +6 ndash8 1

+5 ndash15 20 5

2minus

1

3 ndash1

4

3

1

6minus

3 (α βΑ (5

)1

3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟

⎠sdot =⎜

( 53

53

15

5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜

⎝ ⎠minus⎟

Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=

= 120

4 α) 4ndash15= ndash11

β) (+2)+(+3)=+5

γ) 1 ( 1)+ + = 23 6

δ)10 10

⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

10

ε) (+24)+(ndash10)=14

5

x ndash5(xndash2)+4

10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36

+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4

ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29

45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=

ndash85

1

5

1 2 1 105 4 5 4

5 1 5 5

9 455 4 4 9 4 13

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0

7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=

= ndash120

γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20

δ) 1 1

(5 2 025 3)5 2

minus sdot sdot sdot sdot sdot =

=1

55

(1

22

025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =

(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075

ε) 1 5 7 1

2 3 4 2

⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

35

48

8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0

Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=

=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120

Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=

=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90

∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=

=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=

= ndash(1 2 3 2)= ndash12

9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21

β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375

γ) ( 4)3

5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟

⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )

3

5( 6

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

sdot minus =18

5

δ) ndash96(ndash2)=192

ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021

10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6

γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7

δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 36: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]

2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =

6 1 1( 3 2) 3 ( 1)

2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =

3 1 6 1

1 2 2 2= + = + =

7

2

12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ

ndash2 ndash6 ndash4 26

24 ndash8 96 ndash792

Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών

1 +21

α) 5

β) 5

6+

+ = minus minus = minus

minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝

minus

+

minus

γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8

1 5ε) 0 στ) 1

2 7

1ζ)

5 +16

50

7

4(

4

3) 3

2

ndash2 ndash4 10 0

+5 2

5minus

4

5minus

102

5+ = 0

ndash3 2

3+

4

3+

10

3minus 0

ndash1 2 4 ndash10 0

3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3

3

9

1minus = minus ε) ndash12

7στ) ζ) ( 1) η)

2

3 7 4

11 2

3 2 6θ)

4 9 3

1

6

81

6

+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠

minus⎝ ⎝

4 α) x=120(ndash4)= ndash30

β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4

γ) x= ndash3 9= ndash27

δ)2 3 2 5

x 7 5 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

21

ε) x=(ndash6)(ndash11)=66

5 24α)

12

2

minus=

minus5 4 9

β) 3 3

3+

= =minus minus

minus

minus minusminus = = =+

minusminus minus

6 7 2 5γ) δ)

6 1 4 3

51

3

6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15

2= =minus

15

2minus

γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34

δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5

ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4

στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7

ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18

η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3

θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1

3+

7 120 1

α) ( 24) ( 24) ( 5)5

⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 2 15 21β)

2 21 2 2

315

4

⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠

3 2 1 1 1γ)

7 71

7 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

15 4 2 11 3δ)

20 20 3

33

4020 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)

3 2 6 5 5 6 6 6 5

8 5 40

6 3 18

20

9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝

minus⎠4 1 3 15 2

στ) 4 4 4 6 6

3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)

4 4 6 6 1

6

13 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣

minus⎦

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 37: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8

(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)

ndash20 272 2

ndash24 ndash15 ndash10

9 1 3 ( 2) 1 3 2Α

3( 1 3

4

3)

minus + minus minus minus + += = =

minus minusminus

Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=

=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4

Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041

δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3

2 α) 6 521 18072

10 100

β) γ) 1000

minus

δ) 29

9 ε)

1074

99 στ)

858

90

η) 9002

900

3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141

Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1

α ndash1 ndash10 01 ndash02 1

2+

2

3minus

α2 1 100 001 004 1

4

4

9

α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1

8

8

27minus

α4 1 10000 00001 00016 1

16

16

81

2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96

γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και

ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ

3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1

δ) 52 515=517 ε) (34)2=38

στ) 5

4 55

5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3

η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400

4 4

4 3 1

3

3α) 3 Β3 3

3minus= = = rarr

β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr

δ) 4 3

4 38 42 2 16 8

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Β8= rarr

ε) Βrarr στ) 86 2 8

8

8 8

6 6 62

3 3

+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠

ζ) 3 3

31 3 4 12Γ1 1

2 2 3 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr

5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6

1

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28

ζ) 34 (31032)=34 38=312

η) 427 46=427ndash6=421

θ) 3 3

3 11 2 6

3 12 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10

β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81

γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4

δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24

7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=

=4+(ndash3)=1 2 3 4

6 9 14β)

3 3 7

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =

=4ndash27ndash16= ndash39

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 38: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

3 3

2 1 11 4 3

2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1

27 273 3 3

1 3 27 81 274

14 1 4 427

sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3

8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =

=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=

= ndash24ndash54+4= ndash74 2

2 21 1 1β

17) (4 2 2 4

4 4)

2 4

⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

2 2 2

2

( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)

4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)

4 1 4 1 4 9 36

3 3 9 3 1 31

32

minus minus + minus= =

minusminus minus minus minus +

minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

minus

9

x y x2+y2 (xndashy)2+2xy

ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=

=5

(ndash3)2ndash4=9ndash4=

=5

3 ndash1 10 10

ndash3 ndash2 13 13

06 01 037 037

10 α=1+(ndash8)= ndash7

β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2

γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5

Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και

Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5

Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο

1 3 2

1 1α) β)

6 ( 4)

1 1

216 16= =

minus

3 2

3 2

3

2 4γ) 2 δ) (8 16 4)

1 1

5ε)

3

125

27

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

2

Α α β γ δ ε στ

Β 2 6 1 3 5 4

3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101

δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30

στ) -6 6

=2 5

5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ζ) 4ndash5 =5

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2

ndash2 5 3ndash1=1

3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001

1 1

2

13 2

32

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21

242

minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

5

1

5minus

11

55

minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

25

2

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

=625

4

ndash05 ndash02

(ndash07)ndash1= 10

7= minus

[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =

= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =

5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15

8

Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=

=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3

3 8 62 2

11 8 6

2= sdot minus + sdot = = minusminus +

2 1 0 2

2 1

1 1 1 1Γ

2 2 2 2

2 2 1 11 4 2 1

13

41 1 4 4

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 39: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

6 1 3α) 1+

2

2Β = rarr

5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr

2 3 1 1γ) 5 5 Α

5minus minus= = rarr

3 2 3 22 3 4 9

δ) 4 9 2 3

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2

1+5 4 ( 2) 6 6

4 22 5 3

5

2 3 8 9 17

ε) 2 2 2 2 0

10στ) 10 10 0001

10

Γ

Α

Α

minus minus

minusminus minus

= + = + = rarr

minus = minus = rarr

= = = rarr

1 11 92 2ζ)

1 1 2Α

0 019 9

minus= = rarr

+

2 3 2 1 2 2

2

1 1η) (5 ) (5 )

25Β5

5minus minus minus= = = = rarr

7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11

( ) 205 1 8 1 5 1 8 20

5 1 8 620 1

β) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

minusminus minus minus minus minus

minus minus +

sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =

= =

3 33 2 11 4 3 3 3

4 4

7 7γ) (7 ) (7 )

7 7

minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9

9

77

1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

15 15 15 15

1

1

5 15 15 15

1

5

5 15

2 3 (2 3) 6δ)

3 4 (3 4) 12

6 12

122

6

minus minus minus minus

minus minus minus minus

minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 2 3 6 4

4 10 4 7

x y x yA

x y x y

minus minus

minus minus

sdot sdot sdot= =

sdot sdot sdot

2+6 3+4 4 1

4 4 10 7 0 3

x y x y

x y x y

minus minus

minus minus + minus

sdot sdot= = =

sdot sdot

4 14 1 ( 3) 4 4

3

x yx y x y

1 yminus minus

minus

sdot= = sdot = sdot =

sdot

4 4x 1 1( y)= sdot = =

9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2

1

5

1

25=

β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64

γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2

δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1

4 2

1

4minus = minus

ε) x =3ndash1+3ndash2 =1

3

41

9 9+ =

10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15

ε) x= 5ndash3=1

125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5

θ) x=105

11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4

xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000

xndash2 001 00001 100 10000

00hellip01

8 microηδε-

νικά

100

8 microηδε-

νικά

χ ndash2 1

2 5 104 2 10ndash3

xndash1 1

2minus 2 000002 500

xndash2 1

4 4

0000000000 4

10 microηδενικά

250000

α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001

5minussdot = sdot =

000002=

4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000

00000000004

10 microηδεν

125

ικά

0minus minussdot = sdot = sdot =

=

γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1

2 1000=500

δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =

=1

100000 250 04

00 0sdot =

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5

Page 40: Λύσεις Αλγεβρα μαθηματικά Α γυμνασίου

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11

2 α)

12

0 00 0

θέσεις

3 β) 0 00000 4

θέ

7

6 σεις

γ) 0 0000 01

θέ5 σεις

2

3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6

α2=36 10ndash11

β2=576 10ndash12

α β=144 10ndash11

α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6

4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9

β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5

γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5