Upload
xristos-demirtzoglou
View
5.826
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Φώτης Κουνάδης
ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΚ∆ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2008
Το παρόν ένθετο συνοδεύει το βιβλίο του Φώτη Κουνάδη
laquoΜαθηmicroατικά Α΄ Γυmicroνασίουraquo
ISBN 978-960-14-1481-2
(Βοηθ κωδ microηχσης ΕΒ 158)
3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Μέρος Α΄ Αριθmicroητική-Άλγεβρα Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α11 Φυσικοί αριθmicroοίndash∆ιάταξη Φυσι-κώνndashΣτρογγυλοποίηση 1
Α α β γ δ ε
Β 4 3 1 5 2
2 α)
Στρογγυ-
λοποίηση
στη δεκάδα
Στρογγυ-
λοποίηση
στην εκα-
τοντάδα
Στρογγυ-
λοποίηση
στη χιλιάδα
35400 35400 35000
186070 186100 186000
3300 3300 3000
5560 5600 6000
9073720 9073700 9074000
18920 18900 19000
β) 9073700 gt 186100 gt 35400 gt
18900 gt 5600 gt 3300
3 32995 και 28986
Α12 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλα-πλασιασmicroός φυσικών αριθmicroών 1 α) Σ β) Σ γ) Λ (8 7) 9=8 (7 9) δ) Λ
ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Λ θ) Λ ι) Λ κ) Σ
2 α) Γ β) Α γ) Γ δ) Γ ε) Β στ) Β
3
α
microειωτέος
720
224
60
β
αφαιρετέος
185
32
60
γ
διαφορά
535
192
0
4 12+21+30+39=102
3 45 42 12
36 18 21 27
24 30 33 15
39 9 6 48
5
α β γ α+β+γ α βndashγ
5 5 3 13 22
34 2 14 50 54
10 3 18 31 12
α (α+β+γ) (αndashβ) γ
65 0
1700 448
310 126
6 α) 56 3ndash20ndash2=168ndash20ndash2=148ndash2=146
β) 56+50ndash36=106ndash36=70
γ) 6 12ndash6 8ndash6 4=6 (12ndash8ndash4)=6 0=0
δ) (8 125) 12 (25 4)=1000 12 100=
=1200000
7 α) 12 11=132 ή β΄ τρόπος
12 5+12 6=60+72=132
β) 9 16=144 ή β΄ τρόπος
9 1+9 3+9 5+9 7=9+27+45+63=144
γ) 25 10=250 ή β΄ τρόπος 25 18ndash25 5ndash
ndash25 3=450ndash125ndash75=250
4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
δ) 12 (8ndash7)=12 1=12 ή β΄ τρόπος
128ndash127=96ndash84=12
ε) 6 (5+3+1)=6 9=54 ή β΄ τρόπος 6 5 6 3 6 1sdot + sdot + sdot = 30+18+6=54
στ) 12 (10+8ndash12ndash6)=12 0=0 ή β΄ τρόπος
120+96ndash144ndash72=216ndash216=0
8 α) 100 1=100 β) 119 1=119
γ) 77 (5+3+2)=77 10=770
δ) 11 (13ndash12ndash1)=11 0=0
ε) 154 (1000ndash1)=154 1000ndash154 1=
=154000ndash154=153846
στ) 18 (1000+1)=18 1000+18 1=
=18000+18=18018
9 α) (x y) (25 4)=25 100=
=2500 β) (x y) (8 125) 100=
=25 1000 100=2500000
10
Α α β γ δ ε
Β 4 2 1 5 3
11 α=13ndash1=12 β=3 12+4=36+4=40
α) 5 12ndash(40+1)=60ndash41=19
β) 10 (12+40)ndash12 40+10=
=10 52ndash12 40+10=
=520ndash480+10=40+10=50
12 3 9+2=29 2 4+3 5=23 7 8ndash1=55
10 6ndash12 4=12 7+9 5=52 7 4ndash11 2=6
28ndash3 8=4 30ndash27+18=3 7
Α13 ∆υνάmicroεις φυσικών αριθmicroών 1
α 0 1 10 5 11 100
α2 0 1 100 25 121 10000
α3 0 1 1000 125 1331 1000000
2
Α α β γ δ ε
Β 3 1 5 4 2
3 α) 5432 β) 70510
γ) 3 103 + 8 102 + 5 101 + 3
δ) 5 105 + 7 103 + 2 10+ 1=507021
4 α) Α β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Β
5 α) 122=144 β) 102=100 γ) 16+36=52
δ) 9 16=144 ε) 64 1=64
στ) 27+64ndash1=91ndash1=90
6 α) 5+2 125=5+250=255
β) (5+3+2) 34=10 81=810
γ) 1000ndash2 25+64ndash4 9=
=1000ndash50+64ndash36=950+64ndash36=978
δ) 102ndash2 25ndash4 5=100ndash50ndash20=50ndash20=30
7 α) 22 52+23ndash43=4 25+8ndash64=
=100+8ndash64=108ndash64=44
β) 104+10 35=10000+10 243=
=10000+2430=12430
γ) 4 32+5 (32ndash3 8+1)=
=4 32+5 (32ndash24+1)=4 32+5 (8+1)=
=4 32+5 9=4 9+5 9=36+45=81
δ) 92ndash(8+9)+5 (16ndash4)=92ndash17+5 12=
=81ndash17+60=64+60=124
8 α) 32+52+(5ndash3)2=32+52+22=9+25+4=38
β) (3 5ndash5)2ndash(5ndash3)3=(15ndash5)2ndash23=102ndash23=
=100ndash8=92
9 α=1+1+1+1=4 β=2+4+8+16=30 και
γ=81ndash27ndash9ndash3=54ndash9ndash3=45ndash3=42
(30ndash4)2+(42ndash4)2+(42ndash30)2=262+382+122=
=676+1444+144=2264
10 α=6 και β=20
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
(α+β)2=(6+20)2=262=676
α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676
Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2
Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11
γ) π=192 και υ=52
2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε
υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ
β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-
ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και
δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν
δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-
ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-
νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-
τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή
∆=δ π+υ
3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ
∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135
διαιρέτης δ 3 9 21 11
πηλίκο π 8 8 11 12
υπόλοιπο υ 4 7 0 3
4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3
β) δ=4 και π=12
∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51
διαιρέτης δ 4 4 4 4
πηλίκο π 12 12 12 12
υπόλοιπο υ 0 1 2 3
5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3
(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7
6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14
3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38
3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8
(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=
=(18ndash8)2=102=5
3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=
=(3 6)2=182=9
7
(α+β)γ (α β)γ α(βγ)
(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3
(12+6)3=
=183=6
(12 6)3=723=
=24 122=6
8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62
β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43
γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=
=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16
δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=
=24010+1967=24+28=52
9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1
β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20
γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=
=5 25ndash255=125ndash5=120
δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=
=1000ndash6432=1000ndash2=998
10
5 2 5 3 5 2
2 2 4 1 7 1
1 7 2 0 6 4
8 1 7 0 8
1 0 1 5 4 9
8 7 5 5 5
7 4 3 0 3 6
7 2 9 5 6 6
11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8
2+126=4 204 11=55 369+5 2=14
14 48=7 273ndash155=6
6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910
β) 75 111 135 702 813 903
γ) 124 336 528 632 864 912
δ) 45 100 305 635 800 820
ε) 34 108 513 702 801
στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900
2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β
η) Γ
3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612
∆ιαιρέτες του 36 123469121836
∆ιαιρέτες του 40 12458102040
Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4
4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18
που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων
παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-
νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-
σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3
το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-
microών αυτών
5 72=23 32 και 120=23 3 5
ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360
ΜΚ∆(72120)=23 3=24
6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=
=(51ndash6)3=453=15 και
γ=13+23+33=1+8+27=36
α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε
ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και
ΜΚ∆(αβγ)=3
7 α=120 και β=6
1206+(120ndash10 6)2=1206+602=
=1206+3600=20+3600=3620
8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-
ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)
και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια
του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης
τους
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος
1 2Σ 3Σ 4Λ 15
200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ
9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3
2 α)
β)
γ)
3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-
τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15
α) β) γ) 100 500 100000
4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια
α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro
5 Το 1
10των αγώνων που έχει χάσει είναι
3010=3 αγώνες Τα 3
10 των αγώνων α-
ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9
ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει
30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες
6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400
τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2
5 των 400
τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα
υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=
1200ndash560=640 τετρ microέτρα
β) Πήρε τα =640 8
1200 15της έκτασης
7 Το 1
36των 3600 κιλών είναι 360036=100
κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro
Τα 7
10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά
και από την πώλησή τους εισέπραξε
2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι
3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά
και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro
Συνολικά εισέπραξε
100+5040+2940=8080 euro
8 Το 1
7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες
Τα 7
7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι
7 12=84 σελίδες
α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-
λίδες
β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-
σmicroα =48 4
84 7
9 Το 1
9 του αριθmicroού είναι 284=7
α) Τα 9
9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι
9 7=63
β) Τα 2
7 του 63 είναι 18
8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 Το 1
5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα
5
5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25
microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-
τσια
Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ
5
4
10 20 50
8 16 40
1
5
5 7
25 35
6 6 12 18
1 2 3
2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ
3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =
3 3 51 40 404
17
01
17 17
sdot= = =
sdot
7 21 93010= γ)
10 30 3624 51 5
δ)
33
ε) στ) 100 60 1
5
3
sdot=
sdot
4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)
9 9 9 9
9
5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων
του κλάσmicroατος 18 12 15
18 12 1
18 1 60 5 30 2α) β) γ)
90 5 84 7 75 5112 7 192 8
δ) ε) 80 5 16
516 24
16 248 7
= = =
= =
2στ)
2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot
=
196
3=
sdot sdot += =
sdot sdot +sdot
= = =sdot
sdot= = =
minussdot
= =sdot
327 1000+327 327 (1000 1)ζ)
999 1000+999 999 (1000 1)
327 1001 327 3 109
999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7
η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2
θ) 12 α 12 4 3
6
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot
bull5 5
50
sdotbull
sdot15 x
12 x
sdotbull
sdot3 2+12
4 6
sdot minus sdotbull
sdot + sdot5 x 3 x
10 x 4 x
bull
bull
bull
bull
1
21
73
45
4
7 3
3 7 15 27 11 78
20 6 9 6
3 4
14 29 0 5 23 4 43
sdot+ minus sdot + sdot
8 8 42 15 125 28 30α) β)
24 24 24 100 100 100
Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ
ι) Λ για παράδειγmicroα το 37
15 κ) Σ
2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)
5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
Το παρόν ένθετο συνοδεύει το βιβλίο του Φώτη Κουνάδη
laquoΜαθηmicroατικά Α΄ Γυmicroνασίουraquo
ISBN 978-960-14-1481-2
(Βοηθ κωδ microηχσης ΕΒ 158)
3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Μέρος Α΄ Αριθmicroητική-Άλγεβρα Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α11 Φυσικοί αριθmicroοίndash∆ιάταξη Φυσι-κώνndashΣτρογγυλοποίηση 1
Α α β γ δ ε
Β 4 3 1 5 2
2 α)
Στρογγυ-
λοποίηση
στη δεκάδα
Στρογγυ-
λοποίηση
στην εκα-
τοντάδα
Στρογγυ-
λοποίηση
στη χιλιάδα
35400 35400 35000
186070 186100 186000
3300 3300 3000
5560 5600 6000
9073720 9073700 9074000
18920 18900 19000
β) 9073700 gt 186100 gt 35400 gt
18900 gt 5600 gt 3300
3 32995 και 28986
Α12 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλα-πλασιασmicroός φυσικών αριθmicroών 1 α) Σ β) Σ γ) Λ (8 7) 9=8 (7 9) δ) Λ
ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Λ θ) Λ ι) Λ κ) Σ
2 α) Γ β) Α γ) Γ δ) Γ ε) Β στ) Β
3
α
microειωτέος
720
224
60
β
αφαιρετέος
185
32
60
γ
διαφορά
535
192
0
4 12+21+30+39=102
3 45 42 12
36 18 21 27
24 30 33 15
39 9 6 48
5
α β γ α+β+γ α βndashγ
5 5 3 13 22
34 2 14 50 54
10 3 18 31 12
α (α+β+γ) (αndashβ) γ
65 0
1700 448
310 126
6 α) 56 3ndash20ndash2=168ndash20ndash2=148ndash2=146
β) 56+50ndash36=106ndash36=70
γ) 6 12ndash6 8ndash6 4=6 (12ndash8ndash4)=6 0=0
δ) (8 125) 12 (25 4)=1000 12 100=
=1200000
7 α) 12 11=132 ή β΄ τρόπος
12 5+12 6=60+72=132
β) 9 16=144 ή β΄ τρόπος
9 1+9 3+9 5+9 7=9+27+45+63=144
γ) 25 10=250 ή β΄ τρόπος 25 18ndash25 5ndash
ndash25 3=450ndash125ndash75=250
4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
δ) 12 (8ndash7)=12 1=12 ή β΄ τρόπος
128ndash127=96ndash84=12
ε) 6 (5+3+1)=6 9=54 ή β΄ τρόπος 6 5 6 3 6 1sdot + sdot + sdot = 30+18+6=54
στ) 12 (10+8ndash12ndash6)=12 0=0 ή β΄ τρόπος
120+96ndash144ndash72=216ndash216=0
8 α) 100 1=100 β) 119 1=119
γ) 77 (5+3+2)=77 10=770
δ) 11 (13ndash12ndash1)=11 0=0
ε) 154 (1000ndash1)=154 1000ndash154 1=
=154000ndash154=153846
στ) 18 (1000+1)=18 1000+18 1=
=18000+18=18018
9 α) (x y) (25 4)=25 100=
=2500 β) (x y) (8 125) 100=
=25 1000 100=2500000
10
Α α β γ δ ε
Β 4 2 1 5 3
11 α=13ndash1=12 β=3 12+4=36+4=40
α) 5 12ndash(40+1)=60ndash41=19
β) 10 (12+40)ndash12 40+10=
=10 52ndash12 40+10=
=520ndash480+10=40+10=50
12 3 9+2=29 2 4+3 5=23 7 8ndash1=55
10 6ndash12 4=12 7+9 5=52 7 4ndash11 2=6
28ndash3 8=4 30ndash27+18=3 7
Α13 ∆υνάmicroεις φυσικών αριθmicroών 1
α 0 1 10 5 11 100
α2 0 1 100 25 121 10000
α3 0 1 1000 125 1331 1000000
2
Α α β γ δ ε
Β 3 1 5 4 2
3 α) 5432 β) 70510
γ) 3 103 + 8 102 + 5 101 + 3
δ) 5 105 + 7 103 + 2 10+ 1=507021
4 α) Α β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Β
5 α) 122=144 β) 102=100 γ) 16+36=52
δ) 9 16=144 ε) 64 1=64
στ) 27+64ndash1=91ndash1=90
6 α) 5+2 125=5+250=255
β) (5+3+2) 34=10 81=810
γ) 1000ndash2 25+64ndash4 9=
=1000ndash50+64ndash36=950+64ndash36=978
δ) 102ndash2 25ndash4 5=100ndash50ndash20=50ndash20=30
7 α) 22 52+23ndash43=4 25+8ndash64=
=100+8ndash64=108ndash64=44
β) 104+10 35=10000+10 243=
=10000+2430=12430
γ) 4 32+5 (32ndash3 8+1)=
=4 32+5 (32ndash24+1)=4 32+5 (8+1)=
=4 32+5 9=4 9+5 9=36+45=81
δ) 92ndash(8+9)+5 (16ndash4)=92ndash17+5 12=
=81ndash17+60=64+60=124
8 α) 32+52+(5ndash3)2=32+52+22=9+25+4=38
β) (3 5ndash5)2ndash(5ndash3)3=(15ndash5)2ndash23=102ndash23=
=100ndash8=92
9 α=1+1+1+1=4 β=2+4+8+16=30 και
γ=81ndash27ndash9ndash3=54ndash9ndash3=45ndash3=42
(30ndash4)2+(42ndash4)2+(42ndash30)2=262+382+122=
=676+1444+144=2264
10 α=6 και β=20
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
(α+β)2=(6+20)2=262=676
α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676
Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2
Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11
γ) π=192 και υ=52
2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε
υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ
β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-
ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και
δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν
δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-
ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-
νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-
τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή
∆=δ π+υ
3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ
∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135
διαιρέτης δ 3 9 21 11
πηλίκο π 8 8 11 12
υπόλοιπο υ 4 7 0 3
4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3
β) δ=4 και π=12
∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51
διαιρέτης δ 4 4 4 4
πηλίκο π 12 12 12 12
υπόλοιπο υ 0 1 2 3
5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3
(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7
6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14
3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38
3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8
(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=
=(18ndash8)2=102=5
3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=
=(3 6)2=182=9
7
(α+β)γ (α β)γ α(βγ)
(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3
(12+6)3=
=183=6
(12 6)3=723=
=24 122=6
8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62
β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43
γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=
=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16
δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=
=24010+1967=24+28=52
9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1
β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20
γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=
=5 25ndash255=125ndash5=120
δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=
=1000ndash6432=1000ndash2=998
10
5 2 5 3 5 2
2 2 4 1 7 1
1 7 2 0 6 4
8 1 7 0 8
1 0 1 5 4 9
8 7 5 5 5
7 4 3 0 3 6
7 2 9 5 6 6
11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8
2+126=4 204 11=55 369+5 2=14
14 48=7 273ndash155=6
6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910
β) 75 111 135 702 813 903
γ) 124 336 528 632 864 912
δ) 45 100 305 635 800 820
ε) 34 108 513 702 801
στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900
2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β
η) Γ
3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612
∆ιαιρέτες του 36 123469121836
∆ιαιρέτες του 40 12458102040
Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4
4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18
που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων
παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-
νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-
σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3
το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-
microών αυτών
5 72=23 32 και 120=23 3 5
ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360
ΜΚ∆(72120)=23 3=24
6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=
=(51ndash6)3=453=15 και
γ=13+23+33=1+8+27=36
α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε
ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και
ΜΚ∆(αβγ)=3
7 α=120 και β=6
1206+(120ndash10 6)2=1206+602=
=1206+3600=20+3600=3620
8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-
ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)
και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια
του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης
τους
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος
1 2Σ 3Σ 4Λ 15
200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ
9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3
2 α)
β)
γ)
3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-
τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15
α) β) γ) 100 500 100000
4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια
α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro
5 Το 1
10των αγώνων που έχει χάσει είναι
3010=3 αγώνες Τα 3
10 των αγώνων α-
ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9
ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει
30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες
6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400
τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2
5 των 400
τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα
υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=
1200ndash560=640 τετρ microέτρα
β) Πήρε τα =640 8
1200 15της έκτασης
7 Το 1
36των 3600 κιλών είναι 360036=100
κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro
Τα 7
10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά
και από την πώλησή τους εισέπραξε
2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι
3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά
και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro
Συνολικά εισέπραξε
100+5040+2940=8080 euro
8 Το 1
7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες
Τα 7
7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι
7 12=84 σελίδες
α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-
λίδες
β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-
σmicroα =48 4
84 7
9 Το 1
9 του αριθmicroού είναι 284=7
α) Τα 9
9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι
9 7=63
β) Τα 2
7 του 63 είναι 18
8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 Το 1
5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα
5
5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25
microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-
τσια
Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ
5
4
10 20 50
8 16 40
1
5
5 7
25 35
6 6 12 18
1 2 3
2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ
3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =
3 3 51 40 404
17
01
17 17
sdot= = =
sdot
7 21 93010= γ)
10 30 3624 51 5
δ)
33
ε) στ) 100 60 1
5
3
sdot=
sdot
4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)
9 9 9 9
9
5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων
του κλάσmicroατος 18 12 15
18 12 1
18 1 60 5 30 2α) β) γ)
90 5 84 7 75 5112 7 192 8
δ) ε) 80 5 16
516 24
16 248 7
= = =
= =
2στ)
2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot
=
196
3=
sdot sdot += =
sdot sdot +sdot
= = =sdot
sdot= = =
minussdot
= =sdot
327 1000+327 327 (1000 1)ζ)
999 1000+999 999 (1000 1)
327 1001 327 3 109
999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7
η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2
θ) 12 α 12 4 3
6
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot
bull5 5
50
sdotbull
sdot15 x
12 x
sdotbull
sdot3 2+12
4 6
sdot minus sdotbull
sdot + sdot5 x 3 x
10 x 4 x
bull
bull
bull
bull
1
21
73
45
4
7 3
3 7 15 27 11 78
20 6 9 6
3 4
14 29 0 5 23 4 43
sdot+ minus sdot + sdot
8 8 42 15 125 28 30α) β)
24 24 24 100 100 100
Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ
ι) Λ για παράδειγmicroα το 37
15 κ) Σ
2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)
5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Μέρος Α΄ Αριθmicroητική-Άλγεβρα Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α11 Φυσικοί αριθmicroοίndash∆ιάταξη Φυσι-κώνndashΣτρογγυλοποίηση 1
Α α β γ δ ε
Β 4 3 1 5 2
2 α)
Στρογγυ-
λοποίηση
στη δεκάδα
Στρογγυ-
λοποίηση
στην εκα-
τοντάδα
Στρογγυ-
λοποίηση
στη χιλιάδα
35400 35400 35000
186070 186100 186000
3300 3300 3000
5560 5600 6000
9073720 9073700 9074000
18920 18900 19000
β) 9073700 gt 186100 gt 35400 gt
18900 gt 5600 gt 3300
3 32995 και 28986
Α12 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλα-πλασιασmicroός φυσικών αριθmicroών 1 α) Σ β) Σ γ) Λ (8 7) 9=8 (7 9) δ) Λ
ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Λ θ) Λ ι) Λ κ) Σ
2 α) Γ β) Α γ) Γ δ) Γ ε) Β στ) Β
3
α
microειωτέος
720
224
60
β
αφαιρετέος
185
32
60
γ
διαφορά
535
192
0
4 12+21+30+39=102
3 45 42 12
36 18 21 27
24 30 33 15
39 9 6 48
5
α β γ α+β+γ α βndashγ
5 5 3 13 22
34 2 14 50 54
10 3 18 31 12
α (α+β+γ) (αndashβ) γ
65 0
1700 448
310 126
6 α) 56 3ndash20ndash2=168ndash20ndash2=148ndash2=146
β) 56+50ndash36=106ndash36=70
γ) 6 12ndash6 8ndash6 4=6 (12ndash8ndash4)=6 0=0
δ) (8 125) 12 (25 4)=1000 12 100=
=1200000
7 α) 12 11=132 ή β΄ τρόπος
12 5+12 6=60+72=132
β) 9 16=144 ή β΄ τρόπος
9 1+9 3+9 5+9 7=9+27+45+63=144
γ) 25 10=250 ή β΄ τρόπος 25 18ndash25 5ndash
ndash25 3=450ndash125ndash75=250
4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
δ) 12 (8ndash7)=12 1=12 ή β΄ τρόπος
128ndash127=96ndash84=12
ε) 6 (5+3+1)=6 9=54 ή β΄ τρόπος 6 5 6 3 6 1sdot + sdot + sdot = 30+18+6=54
στ) 12 (10+8ndash12ndash6)=12 0=0 ή β΄ τρόπος
120+96ndash144ndash72=216ndash216=0
8 α) 100 1=100 β) 119 1=119
γ) 77 (5+3+2)=77 10=770
δ) 11 (13ndash12ndash1)=11 0=0
ε) 154 (1000ndash1)=154 1000ndash154 1=
=154000ndash154=153846
στ) 18 (1000+1)=18 1000+18 1=
=18000+18=18018
9 α) (x y) (25 4)=25 100=
=2500 β) (x y) (8 125) 100=
=25 1000 100=2500000
10
Α α β γ δ ε
Β 4 2 1 5 3
11 α=13ndash1=12 β=3 12+4=36+4=40
α) 5 12ndash(40+1)=60ndash41=19
β) 10 (12+40)ndash12 40+10=
=10 52ndash12 40+10=
=520ndash480+10=40+10=50
12 3 9+2=29 2 4+3 5=23 7 8ndash1=55
10 6ndash12 4=12 7+9 5=52 7 4ndash11 2=6
28ndash3 8=4 30ndash27+18=3 7
Α13 ∆υνάmicroεις φυσικών αριθmicroών 1
α 0 1 10 5 11 100
α2 0 1 100 25 121 10000
α3 0 1 1000 125 1331 1000000
2
Α α β γ δ ε
Β 3 1 5 4 2
3 α) 5432 β) 70510
γ) 3 103 + 8 102 + 5 101 + 3
δ) 5 105 + 7 103 + 2 10+ 1=507021
4 α) Α β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Β
5 α) 122=144 β) 102=100 γ) 16+36=52
δ) 9 16=144 ε) 64 1=64
στ) 27+64ndash1=91ndash1=90
6 α) 5+2 125=5+250=255
β) (5+3+2) 34=10 81=810
γ) 1000ndash2 25+64ndash4 9=
=1000ndash50+64ndash36=950+64ndash36=978
δ) 102ndash2 25ndash4 5=100ndash50ndash20=50ndash20=30
7 α) 22 52+23ndash43=4 25+8ndash64=
=100+8ndash64=108ndash64=44
β) 104+10 35=10000+10 243=
=10000+2430=12430
γ) 4 32+5 (32ndash3 8+1)=
=4 32+5 (32ndash24+1)=4 32+5 (8+1)=
=4 32+5 9=4 9+5 9=36+45=81
δ) 92ndash(8+9)+5 (16ndash4)=92ndash17+5 12=
=81ndash17+60=64+60=124
8 α) 32+52+(5ndash3)2=32+52+22=9+25+4=38
β) (3 5ndash5)2ndash(5ndash3)3=(15ndash5)2ndash23=102ndash23=
=100ndash8=92
9 α=1+1+1+1=4 β=2+4+8+16=30 και
γ=81ndash27ndash9ndash3=54ndash9ndash3=45ndash3=42
(30ndash4)2+(42ndash4)2+(42ndash30)2=262+382+122=
=676+1444+144=2264
10 α=6 και β=20
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
(α+β)2=(6+20)2=262=676
α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676
Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2
Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11
γ) π=192 και υ=52
2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε
υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ
β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-
ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και
δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν
δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-
ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-
νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-
τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή
∆=δ π+υ
3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ
∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135
διαιρέτης δ 3 9 21 11
πηλίκο π 8 8 11 12
υπόλοιπο υ 4 7 0 3
4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3
β) δ=4 και π=12
∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51
διαιρέτης δ 4 4 4 4
πηλίκο π 12 12 12 12
υπόλοιπο υ 0 1 2 3
5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3
(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7
6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14
3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38
3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8
(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=
=(18ndash8)2=102=5
3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=
=(3 6)2=182=9
7
(α+β)γ (α β)γ α(βγ)
(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3
(12+6)3=
=183=6
(12 6)3=723=
=24 122=6
8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62
β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43
γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=
=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16
δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=
=24010+1967=24+28=52
9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1
β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20
γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=
=5 25ndash255=125ndash5=120
δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=
=1000ndash6432=1000ndash2=998
10
5 2 5 3 5 2
2 2 4 1 7 1
1 7 2 0 6 4
8 1 7 0 8
1 0 1 5 4 9
8 7 5 5 5
7 4 3 0 3 6
7 2 9 5 6 6
11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8
2+126=4 204 11=55 369+5 2=14
14 48=7 273ndash155=6
6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910
β) 75 111 135 702 813 903
γ) 124 336 528 632 864 912
δ) 45 100 305 635 800 820
ε) 34 108 513 702 801
στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900
2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β
η) Γ
3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612
∆ιαιρέτες του 36 123469121836
∆ιαιρέτες του 40 12458102040
Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4
4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18
που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων
παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-
νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-
σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3
το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-
microών αυτών
5 72=23 32 και 120=23 3 5
ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360
ΜΚ∆(72120)=23 3=24
6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=
=(51ndash6)3=453=15 και
γ=13+23+33=1+8+27=36
α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε
ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και
ΜΚ∆(αβγ)=3
7 α=120 και β=6
1206+(120ndash10 6)2=1206+602=
=1206+3600=20+3600=3620
8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-
ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)
και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια
του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης
τους
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος
1 2Σ 3Σ 4Λ 15
200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ
9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3
2 α)
β)
γ)
3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-
τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15
α) β) γ) 100 500 100000
4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια
α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro
5 Το 1
10των αγώνων που έχει χάσει είναι
3010=3 αγώνες Τα 3
10 των αγώνων α-
ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9
ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει
30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες
6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400
τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2
5 των 400
τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα
υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=
1200ndash560=640 τετρ microέτρα
β) Πήρε τα =640 8
1200 15της έκτασης
7 Το 1
36των 3600 κιλών είναι 360036=100
κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro
Τα 7
10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά
και από την πώλησή τους εισέπραξε
2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι
3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά
και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro
Συνολικά εισέπραξε
100+5040+2940=8080 euro
8 Το 1
7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες
Τα 7
7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι
7 12=84 σελίδες
α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-
λίδες
β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-
σmicroα =48 4
84 7
9 Το 1
9 του αριθmicroού είναι 284=7
α) Τα 9
9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι
9 7=63
β) Τα 2
7 του 63 είναι 18
8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 Το 1
5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα
5
5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25
microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-
τσια
Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ
5
4
10 20 50
8 16 40
1
5
5 7
25 35
6 6 12 18
1 2 3
2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ
3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =
3 3 51 40 404
17
01
17 17
sdot= = =
sdot
7 21 93010= γ)
10 30 3624 51 5
δ)
33
ε) στ) 100 60 1
5
3
sdot=
sdot
4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)
9 9 9 9
9
5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων
του κλάσmicroατος 18 12 15
18 12 1
18 1 60 5 30 2α) β) γ)
90 5 84 7 75 5112 7 192 8
δ) ε) 80 5 16
516 24
16 248 7
= = =
= =
2στ)
2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot
=
196
3=
sdot sdot += =
sdot sdot +sdot
= = =sdot
sdot= = =
minussdot
= =sdot
327 1000+327 327 (1000 1)ζ)
999 1000+999 999 (1000 1)
327 1001 327 3 109
999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7
η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2
θ) 12 α 12 4 3
6
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot
bull5 5
50
sdotbull
sdot15 x
12 x
sdotbull
sdot3 2+12
4 6
sdot minus sdotbull
sdot + sdot5 x 3 x
10 x 4 x
bull
bull
bull
bull
1
21
73
45
4
7 3
3 7 15 27 11 78
20 6 9 6
3 4
14 29 0 5 23 4 43
sdot+ minus sdot + sdot
8 8 42 15 125 28 30α) β)
24 24 24 100 100 100
Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ
ι) Λ για παράδειγmicroα το 37
15 κ) Σ
2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)
5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
δ) 12 (8ndash7)=12 1=12 ή β΄ τρόπος
128ndash127=96ndash84=12
ε) 6 (5+3+1)=6 9=54 ή β΄ τρόπος 6 5 6 3 6 1sdot + sdot + sdot = 30+18+6=54
στ) 12 (10+8ndash12ndash6)=12 0=0 ή β΄ τρόπος
120+96ndash144ndash72=216ndash216=0
8 α) 100 1=100 β) 119 1=119
γ) 77 (5+3+2)=77 10=770
δ) 11 (13ndash12ndash1)=11 0=0
ε) 154 (1000ndash1)=154 1000ndash154 1=
=154000ndash154=153846
στ) 18 (1000+1)=18 1000+18 1=
=18000+18=18018
9 α) (x y) (25 4)=25 100=
=2500 β) (x y) (8 125) 100=
=25 1000 100=2500000
10
Α α β γ δ ε
Β 4 2 1 5 3
11 α=13ndash1=12 β=3 12+4=36+4=40
α) 5 12ndash(40+1)=60ndash41=19
β) 10 (12+40)ndash12 40+10=
=10 52ndash12 40+10=
=520ndash480+10=40+10=50
12 3 9+2=29 2 4+3 5=23 7 8ndash1=55
10 6ndash12 4=12 7+9 5=52 7 4ndash11 2=6
28ndash3 8=4 30ndash27+18=3 7
Α13 ∆υνάmicroεις φυσικών αριθmicroών 1
α 0 1 10 5 11 100
α2 0 1 100 25 121 10000
α3 0 1 1000 125 1331 1000000
2
Α α β γ δ ε
Β 3 1 5 4 2
3 α) 5432 β) 70510
γ) 3 103 + 8 102 + 5 101 + 3
δ) 5 105 + 7 103 + 2 10+ 1=507021
4 α) Α β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Β
5 α) 122=144 β) 102=100 γ) 16+36=52
δ) 9 16=144 ε) 64 1=64
στ) 27+64ndash1=91ndash1=90
6 α) 5+2 125=5+250=255
β) (5+3+2) 34=10 81=810
γ) 1000ndash2 25+64ndash4 9=
=1000ndash50+64ndash36=950+64ndash36=978
δ) 102ndash2 25ndash4 5=100ndash50ndash20=50ndash20=30
7 α) 22 52+23ndash43=4 25+8ndash64=
=100+8ndash64=108ndash64=44
β) 104+10 35=10000+10 243=
=10000+2430=12430
γ) 4 32+5 (32ndash3 8+1)=
=4 32+5 (32ndash24+1)=4 32+5 (8+1)=
=4 32+5 9=4 9+5 9=36+45=81
δ) 92ndash(8+9)+5 (16ndash4)=92ndash17+5 12=
=81ndash17+60=64+60=124
8 α) 32+52+(5ndash3)2=32+52+22=9+25+4=38
β) (3 5ndash5)2ndash(5ndash3)3=(15ndash5)2ndash23=102ndash23=
=100ndash8=92
9 α=1+1+1+1=4 β=2+4+8+16=30 και
γ=81ndash27ndash9ndash3=54ndash9ndash3=45ndash3=42
(30ndash4)2+(42ndash4)2+(42ndash30)2=262+382+122=
=676+1444+144=2264
10 α=6 και β=20
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
(α+β)2=(6+20)2=262=676
α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676
Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2
Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11
γ) π=192 και υ=52
2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε
υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ
β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-
ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και
δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν
δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-
ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-
νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-
τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή
∆=δ π+υ
3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ
∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135
διαιρέτης δ 3 9 21 11
πηλίκο π 8 8 11 12
υπόλοιπο υ 4 7 0 3
4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3
β) δ=4 και π=12
∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51
διαιρέτης δ 4 4 4 4
πηλίκο π 12 12 12 12
υπόλοιπο υ 0 1 2 3
5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3
(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7
6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14
3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38
3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8
(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=
=(18ndash8)2=102=5
3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=
=(3 6)2=182=9
7
(α+β)γ (α β)γ α(βγ)
(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3
(12+6)3=
=183=6
(12 6)3=723=
=24 122=6
8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62
β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43
γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=
=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16
δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=
=24010+1967=24+28=52
9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1
β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20
γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=
=5 25ndash255=125ndash5=120
δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=
=1000ndash6432=1000ndash2=998
10
5 2 5 3 5 2
2 2 4 1 7 1
1 7 2 0 6 4
8 1 7 0 8
1 0 1 5 4 9
8 7 5 5 5
7 4 3 0 3 6
7 2 9 5 6 6
11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8
2+126=4 204 11=55 369+5 2=14
14 48=7 273ndash155=6
6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910
β) 75 111 135 702 813 903
γ) 124 336 528 632 864 912
δ) 45 100 305 635 800 820
ε) 34 108 513 702 801
στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900
2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β
η) Γ
3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612
∆ιαιρέτες του 36 123469121836
∆ιαιρέτες του 40 12458102040
Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4
4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18
που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων
παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-
νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-
σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3
το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-
microών αυτών
5 72=23 32 και 120=23 3 5
ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360
ΜΚ∆(72120)=23 3=24
6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=
=(51ndash6)3=453=15 και
γ=13+23+33=1+8+27=36
α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε
ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και
ΜΚ∆(αβγ)=3
7 α=120 και β=6
1206+(120ndash10 6)2=1206+602=
=1206+3600=20+3600=3620
8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-
ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)
και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια
του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης
τους
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος
1 2Σ 3Σ 4Λ 15
200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ
9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3
2 α)
β)
γ)
3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-
τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15
α) β) γ) 100 500 100000
4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια
α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro
5 Το 1
10των αγώνων που έχει χάσει είναι
3010=3 αγώνες Τα 3
10 των αγώνων α-
ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9
ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει
30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες
6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400
τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2
5 των 400
τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα
υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=
1200ndash560=640 τετρ microέτρα
β) Πήρε τα =640 8
1200 15της έκτασης
7 Το 1
36των 3600 κιλών είναι 360036=100
κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro
Τα 7
10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά
και από την πώλησή τους εισέπραξε
2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι
3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά
και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro
Συνολικά εισέπραξε
100+5040+2940=8080 euro
8 Το 1
7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες
Τα 7
7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι
7 12=84 σελίδες
α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-
λίδες
β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-
σmicroα =48 4
84 7
9 Το 1
9 του αριθmicroού είναι 284=7
α) Τα 9
9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι
9 7=63
β) Τα 2
7 του 63 είναι 18
8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 Το 1
5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα
5
5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25
microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-
τσια
Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ
5
4
10 20 50
8 16 40
1
5
5 7
25 35
6 6 12 18
1 2 3
2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ
3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =
3 3 51 40 404
17
01
17 17
sdot= = =
sdot
7 21 93010= γ)
10 30 3624 51 5
δ)
33
ε) στ) 100 60 1
5
3
sdot=
sdot
4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)
9 9 9 9
9
5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων
του κλάσmicroατος 18 12 15
18 12 1
18 1 60 5 30 2α) β) γ)
90 5 84 7 75 5112 7 192 8
δ) ε) 80 5 16
516 24
16 248 7
= = =
= =
2στ)
2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot
=
196
3=
sdot sdot += =
sdot sdot +sdot
= = =sdot
sdot= = =
minussdot
= =sdot
327 1000+327 327 (1000 1)ζ)
999 1000+999 999 (1000 1)
327 1001 327 3 109
999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7
η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2
θ) 12 α 12 4 3
6
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot
bull5 5
50
sdotbull
sdot15 x
12 x
sdotbull
sdot3 2+12
4 6
sdot minus sdotbull
sdot + sdot5 x 3 x
10 x 4 x
bull
bull
bull
bull
1
21
73
45
4
7 3
3 7 15 27 11 78
20 6 9 6
3 4
14 29 0 5 23 4 43
sdot+ minus sdot + sdot
8 8 42 15 125 28 30α) β)
24 24 24 100 100 100
Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ
ι) Λ για παράδειγmicroα το 37
15 κ) Σ
2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)
5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
(α+β)2=(6+20)2=262=676
α2+2 α β+β2=62+2 6 20+202=676
Άρα (α+β)2=α2+2 α β+β2
Α14 Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα 1 α) π=16 και υ=0 β) π=132 και υ=11
γ) π=192 και υ=52
2 Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις ∆=δ π+υ microε
υltδ α) ΝΑΙ δ=5 ή 6 και υ=3ltδ
β) ΟΧΙ αφού υ=7gtδ όταν δ=5 και υ=δ ό-
ταν δ=7 γ) ΝΑΙ υ=0 (τέλεια διαίρεση) και
δ=30 π=2 ή δ=2 π=30 δ) ΝΑΙ microόνο όταν
δ=9 και π=7 οπότε υ=8lt9 ε) ΝΑΙ microόνο ό-
ταν δ=9 και π=2 οπότε υ=2lt9 στ) ΝΑΙ microό-
νο όταν δ=19 και π=0 ζ) ΟΧΙ αφού η ισό-
τητα 28=5 6ndash2 δεν έχει τη microορφή
∆=δ π+υ
3 Ισχύουν οι σχέσεις ∆+δ π+υ υltδ
∆ιαιρετέος ∆ 28 79 231 135
διαιρέτης δ 3 9 21 11
πηλίκο π 8 8 11 12
υπόλοιπο υ 4 7 0 3
4 α) Αφού δ=4 και υltδ έχουmicroε ότι υ=0 1 2 3
β) δ=4 και π=12
∆ιαιρετέος ∆ 48 49 50 51
διαιρέτης δ 4 4 4 4
πηλίκο π 12 12 12 12
υπόλοιπο υ 0 1 2 3
5 0(7ndash5ndash1)=0 (5+7)4ndash3=0 (9+7ndash4)4=3
(2 4 ndash4)4=1 2 4 ndash(44)=7
6 3 2+12ndash82=6+12ndash4=18ndash4=14
3 (2+12)ndash82=3 14ndash4=42ndash4=38
3 2+(12ndash8)2=3 2+42=6+2=8
(3 2+12ndash8)2=(6+12ndash8)2=
=(18ndash8)2=102=5
3 (2+12ndash8)2=3 (14ndash8)2=
=(3 6)2=182=9
7
(α+β)γ (α β)γ α(βγ)
(6+4)2=102=5 (6 4)2=242=12 62=3
(12+6)3=
=183=6
(12 6)3=723=
=24 122=6
8 α) 10ndash8+72ndash12=2+72ndash12=74ndash12=62
β) 355+8 5ndash6416=7+40ndash4=47ndash4=43
γ) 52ndash(4+9)+(7ndash3)24=52ndash13+424=
=25ndash13+164=25ndash13+4=12+4=16
δ) 24010+142(27ndash20)= 24010+1427=
=24010+1967=24+28=52
9 α) (5+3)2ndash3=82ndash3=4ndash3=1
β) (5+3+2)2(3+2)=1025=1005=20
γ) 5 (3+2)2ndash52(3+2)=5 52ndash525=
=5 25ndash255=125ndash5=120
δ) (5 2)3ndash(5+3)225=103ndash8225=
=1000ndash6432=1000ndash2=998
10
5 2 5 3 5 2
2 2 4 1 7 1
1 7 2 0 6 4
8 1 7 0 8
1 0 1 5 4 9
8 7 5 5 5
7 4 3 0 3 6
7 2 9 5 6 6
11 122 3=18 1+728=10 6416 2=8
2+126=4 204 11=55 369+5 2=14
14 48=7 273ndash155=6
6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910
β) 75 111 135 702 813 903
γ) 124 336 528 632 864 912
δ) 45 100 305 635 800 820
ε) 34 108 513 702 801
στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900
2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β
η) Γ
3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612
∆ιαιρέτες του 36 123469121836
∆ιαιρέτες του 40 12458102040
Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4
4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18
που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων
παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-
νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-
σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3
το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-
microών αυτών
5 72=23 32 και 120=23 3 5
ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360
ΜΚ∆(72120)=23 3=24
6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=
=(51ndash6)3=453=15 και
γ=13+23+33=1+8+27=36
α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε
ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και
ΜΚ∆(αβγ)=3
7 α=120 και β=6
1206+(120ndash10 6)2=1206+602=
=1206+3600=20+3600=3620
8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-
ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)
και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια
του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης
τους
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος
1 2Σ 3Σ 4Λ 15
200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ
9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3
2 α)
β)
γ)
3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-
τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15
α) β) γ) 100 500 100000
4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια
α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro
5 Το 1
10των αγώνων που έχει χάσει είναι
3010=3 αγώνες Τα 3
10 των αγώνων α-
ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9
ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει
30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες
6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400
τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2
5 των 400
τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα
υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=
1200ndash560=640 τετρ microέτρα
β) Πήρε τα =640 8
1200 15της έκτασης
7 Το 1
36των 3600 κιλών είναι 360036=100
κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro
Τα 7
10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά
και από την πώλησή τους εισέπραξε
2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι
3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά
και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro
Συνολικά εισέπραξε
100+5040+2940=8080 euro
8 Το 1
7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες
Τα 7
7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι
7 12=84 σελίδες
α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-
λίδες
β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-
σmicroα =48 4
84 7
9 Το 1
9 του αριθmicroού είναι 284=7
α) Τα 9
9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι
9 7=63
β) Τα 2
7 του 63 είναι 18
8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 Το 1
5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα
5
5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25
microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-
τσια
Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ
5
4
10 20 50
8 16 40
1
5
5 7
25 35
6 6 12 18
1 2 3
2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ
3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =
3 3 51 40 404
17
01
17 17
sdot= = =
sdot
7 21 93010= γ)
10 30 3624 51 5
δ)
33
ε) στ) 100 60 1
5
3
sdot=
sdot
4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)
9 9 9 9
9
5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων
του κλάσmicroατος 18 12 15
18 12 1
18 1 60 5 30 2α) β) γ)
90 5 84 7 75 5112 7 192 8
δ) ε) 80 5 16
516 24
16 248 7
= = =
= =
2στ)
2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot
=
196
3=
sdot sdot += =
sdot sdot +sdot
= = =sdot
sdot= = =
minussdot
= =sdot
327 1000+327 327 (1000 1)ζ)
999 1000+999 999 (1000 1)
327 1001 327 3 109
999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7
η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2
θ) 12 α 12 4 3
6
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot
bull5 5
50
sdotbull
sdot15 x
12 x
sdotbull
sdot3 2+12
4 6
sdot minus sdotbull
sdot + sdot5 x 3 x
10 x 4 x
bull
bull
bull
bull
1
21
73
45
4
7 3
3 7 15 27 11 78
20 6 9 6
3 4
14 29 0 5 23 4 43
sdot+ minus sdot + sdot
8 8 42 15 125 28 30α) β)
24 24 24 100 100 100
Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ
ι) Λ για παράδειγmicroα το 37
15 κ) Σ
2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)
5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α15 Χαρακτήρες διαιρετότητας ndash ΜΚ∆ ndash ΕΚΠ ndash Ανάλυση αριθmicroού σε γι-νόmicroενο πρώτων παραγόντων 1 α) 38 96 208 234 556 910
β) 75 111 135 702 813 903
γ) 124 336 528 632 864 912
δ) 45 100 305 635 800 820
ε) 34 108 513 702 801
στ) 252 450 504 ζ) 540 720 900
2 α) Β β) Γ γ) Α δ) Γ ε) Α στ) Β ε) Γ ζ) Β
η) Γ
3 α) ∆ιαιρέτες του 12 1234612
∆ιαιρέτες του 36 123469121836
∆ιαιρέτες του 40 12458102040
Κοινοί διαιρέτες 124 ΜΚ∆(123640)=4
4 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 18
που γράφεται όmicroως σαν γινόmicroενο άλλων
παραγόντων 18=2 9 ή 18=3 6 Εποmicroέ-
νως οι αριθmicroοί αυτοί θα είναι πολλαπλά-
σια και των 2 3 6 9 ή αλλιώς το 2 το 3
το 6 και το 9 θα είναι διαιρέτες των αριθ-
microών αυτών
5 72=23 32 και 120=23 3 5
ΕΚΠ(72120)=23 32 5=360
ΜΚ∆(72120)=23 3=24
6 α=16ndash5 2=16ndash10=6 β=(30+21ndash6)3=
=(51ndash6)3=453=15 και
γ=13+23+33=1+8+27=36
α=2 3 β=35 και γ=22 32 Οπότε
ΕΚΠ(αβγ)=22 325=180 και
ΜΚ∆(αβγ)=3
7 α=120 και β=6
1206+(120ndash10 6)2=1206+602=
=1206+3600=20+3600=3620
8 5 α είναι πολλαπλάσιο του 5 άρα το 5 εί-
ναι διαιρέτης του Όmicroοια 5 α+10=5 (α+2)
και 5 α+5 β=5 (α+β) είναι πολλαπλάσια
του 5 και εποmicroένως το 5 είναι διαιρέτης
τους
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος
1 2Σ 3Σ 4Λ 15
200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ
9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3
2 α)
β)
γ)
3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-
τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15
α) β) γ) 100 500 100000
4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια
α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro
5 Το 1
10των αγώνων που έχει χάσει είναι
3010=3 αγώνες Τα 3
10 των αγώνων α-
ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9
ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει
30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες
6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400
τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2
5 των 400
τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα
υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=
1200ndash560=640 τετρ microέτρα
β) Πήρε τα =640 8
1200 15της έκτασης
7 Το 1
36των 3600 κιλών είναι 360036=100
κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro
Τα 7
10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά
και από την πώλησή τους εισέπραξε
2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι
3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά
και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro
Συνολικά εισέπραξε
100+5040+2940=8080 euro
8 Το 1
7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες
Τα 7
7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι
7 12=84 σελίδες
α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-
λίδες
β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-
σmicroα =48 4
84 7
9 Το 1
9 του αριθmicroού είναι 284=7
α) Τα 9
9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι
9 7=63
β) Τα 2
7 του 63 είναι 18
8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 Το 1
5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα
5
5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25
microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-
τσια
Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ
5
4
10 20 50
8 16 40
1
5
5 7
25 35
6 6 12 18
1 2 3
2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ
3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =
3 3 51 40 404
17
01
17 17
sdot= = =
sdot
7 21 93010= γ)
10 30 3624 51 5
δ)
33
ε) στ) 100 60 1
5
3
sdot=
sdot
4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)
9 9 9 9
9
5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων
του κλάσmicroατος 18 12 15
18 12 1
18 1 60 5 30 2α) β) γ)
90 5 84 7 75 5112 7 192 8
δ) ε) 80 5 16
516 24
16 248 7
= = =
= =
2στ)
2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot
=
196
3=
sdot sdot += =
sdot sdot +sdot
= = =sdot
sdot= = =
minussdot
= =sdot
327 1000+327 327 (1000 1)ζ)
999 1000+999 999 (1000 1)
327 1001 327 3 109
999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7
η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2
θ) 12 α 12 4 3
6
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot
bull5 5
50
sdotbull
sdot15 x
12 x
sdotbull
sdot3 2+12
4 6
sdot minus sdotbull
sdot + sdot5 x 3 x
10 x 4 x
bull
bull
bull
bull
1
21
73
45
4
7 3
3 7 15 27 11 78
20 6 9 6
3 4
14 29 0 5 23 4 43
sdot+ minus sdot + sdot
8 8 42 15 125 28 30α) β)
24 24 24 100 100 100
Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ
ι) Λ για παράδειγmicroα το 37
15 κ) Σ
2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)
5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α 21 Η έννοια του κλάσmicroατος
1 2Σ 3Σ 4Λ 15
200 5Σ 6Σ 7Λ 300 γραmicro 8Σ
9Λ ∆εν ορίζεται 10Λ 0+2+1=3
2 α)
β)
γ)
3 Το 1 microέτρο=100 εκατοστά Το 1 χιλιόmicroε-
τρο=1000 microέτρα=100000 εκατοστά 15 15 15
α) β) γ) 100 500 100000
4 Το 1 κιλό=1000 γραmicromicroάρια
α) 250 γραmicro β) 750 γραmicro γ) 1200 γραmicro
5 Το 1
10των αγώνων που έχει χάσει είναι
3010=3 αγώνες Τα 3
10 των αγώνων α-
ντιστοιχούν σε 3 3=9 αγώνες Άρα έχει 9
ήττες και 3 ισοπαλίες Εποmicroένως έχει
30ndash(9+3)=30ndash12=18 νίκες
6 α) Ο πρώτος αδελφός πήρε 12003=400
τετρ microέτρα ο δεύτερος τα 2
5 των 400
τετρ microέτρων που είναι 160 και ο τρίτος τα
υπόλοιπα δηλ 1200ndash(400+160)=
1200ndash560=640 τετρ microέτρα
β) Πήρε τα =640 8
1200 15της έκτασης
7 Το 1
36των 3600 κιλών είναι 360036=100
κιλά και από αυτά εισέπραξε 100 1=100 euro
Τα 7
10 των 3600 κιλών είναι 2520 κιλά
και από την πώλησή τους εισέπραξε
2520 2=5040 euro Τα υπόλοιπα είναι
3600minus(100+2520)=3600minus2620=980 κιλά
και από αυτά εισέπραξε 980 3=2940 euro
Συνολικά εισέπραξε
100+5040+2940=8080 euro
8 Το 1
7του βιβλίου είναι 363=12 σελίδες
Τα 7
7 δηλαδή ολόκληρο το βιβλίο είναι
7 12=84 σελίδες
α) ∆ε διαβάσαmicroε εποmicroένως 84minus36=48 σε-
λίδες
β) Το microέρος αυτό εκφράζεται από το κλά-
σmicroα =48 4
84 7
9 Το 1
9 του αριθmicroού είναι 284=7
α) Τα 9
9 δηλ ολόκληρος ο αριθmicroός είναι
9 7=63
β) Τα 2
7 του 63 είναι 18
8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 Το 1
5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα
5
5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25
microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-
τσια
Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ
5
4
10 20 50
8 16 40
1
5
5 7
25 35
6 6 12 18
1 2 3
2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ
3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =
3 3 51 40 404
17
01
17 17
sdot= = =
sdot
7 21 93010= γ)
10 30 3624 51 5
δ)
33
ε) στ) 100 60 1
5
3
sdot=
sdot
4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)
9 9 9 9
9
5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων
του κλάσmicroατος 18 12 15
18 12 1
18 1 60 5 30 2α) β) γ)
90 5 84 7 75 5112 7 192 8
δ) ε) 80 5 16
516 24
16 248 7
= = =
= =
2στ)
2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot
=
196
3=
sdot sdot += =
sdot sdot +sdot
= = =sdot
sdot= = =
minussdot
= =sdot
327 1000+327 327 (1000 1)ζ)
999 1000+999 999 (1000 1)
327 1001 327 3 109
999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7
η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2
θ) 12 α 12 4 3
6
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot
bull5 5
50
sdotbull
sdot15 x
12 x
sdotbull
sdot3 2+12
4 6
sdot minus sdotbull
sdot + sdot5 x 3 x
10 x 4 x
bull
bull
bull
bull
1
21
73
45
4
7 3
3 7 15 27 11 78
20 6 9 6
3 4
14 29 0 5 23 4 43
sdot+ minus sdot + sdot
8 8 42 15 125 28 30α) β)
24 24 24 100 100 100
Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ
ι) Λ για παράδειγmicroα το 37
15 κ) Σ
2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)
5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 Το 1
5 της τάξης είναι 102=5 microαθητές Τα
5
5 δηλαδή ολόκληρη η τάξη έχει 5 5=25
microαθητές Οπότε η τάξη έχει 25minus10=15 κορί-
τσια
Α22 Ισοδύναmicroα κλάσmicroατα 1
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Γ
5
4
10 20 50
8 16 40
1
5
5 7
25 35
6 6 12 18
1 2 3
2 Λ-Σ-Λ-Λ-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ-Λ-Σ
3 4 4 68 28 284 7α)51 3 β) = =
3 3 51 40 404
17
01
17 17
sdot= = =
sdot
7 21 93010= γ)
10 30 3624 51 5
δ)
33
ε) στ) 100 60 1
5
3
sdot=
sdot
4 0 9 45 90 108α) β) γ) δ) ε)
9 9 9 9
9
5 Βρίσκουmicroε κάθε φορά τον ΜΚ∆ των όρων
του κλάσmicroατος 18 12 15
18 12 1
18 1 60 5 30 2α) β) γ)
90 5 84 7 75 5112 7 192 8
δ) ε) 80 5 16
516 24
16 248 7
= = =
= =
2στ)
2sdot 2 2 3sdot sdot sdot 3sdot 3sdot 7 7 7sdot sdot sdot 7sdot 7sdot2 2sdot 3 3sdot sdot 3sdot 3sdot 7sdot 7sdot 7sdot
=
196
3=
sdot sdot += =
sdot sdot +sdot
= = =sdot
sdot= = =
minussdot
= =sdot
327 1000+327 327 (1000 1)ζ)
999 1000+999 999 (1000 1)
327 1001 327 3 109
999 1001 999 3 3333 25+30 10515 7
η) 7 30 15 1515 18 α 8 4 2
θ) 12 α 12 4 3
6
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β sdot
bull5 5
50
sdotbull
sdot15 x
12 x
sdotbull
sdot3 2+12
4 6
sdot minus sdotbull
sdot + sdot5 x 3 x
10 x 4 x
bull
bull
bull
bull
1
21
73
45
4
7 3
3 7 15 27 11 78
20 6 9 6
3 4
14 29 0 5 23 4 43
sdot+ minus sdot + sdot
8 8 42 15 125 28 30α) β)
24 24 24 100 100 100
Α23 Σύγκριση κλασmicroάτων 1 α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Λ
ι) Λ για παράδειγmicroα το 37
15 κ) Σ
2 0 1 2 3 4 5 5 5 5 1 3 5α) β) γ)
5 5 5 5 5 1 2 3 4 8 8 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3 gt gt gt gt gt gt11 9 7 2 1 1 1 1
α) β) 15 15 15 15 8 9 11 13
γ) ΕΚΠ=60 Τα κλάσmicroατα γράφονται
45 40 50
60 60 60
48 0
60 60 οπότε
gt gt gt gt gt gt5 4 3 2 0 12 5 5
δ) 6 5 4 3 2 7 9 11
4 2 2 2 3 3 3 5 5 5α)
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 3β)Μικρότερα του 1 είναι
3 5 52 3 5
Ίσα microε το 1 είναι 2 3 5
3 5 5Μεγαλύτερα του 1 είναι
2 2 32 3 2 2 3 5 3 5 5
γ) 5 5 3 2 3 5 2 3 2lt lt lt = = lt lt lt
5 + minus sdot sdot= = lt =
minus2
4 9 3 10 5 2 2 3+3 1Α= 1 Β=
25 5 5 648 8 45
6 3 9 3 3
1 Άρα Α Β8 2 6 3 2
+= = = ltgt
minus
6 α) Α Β β) Α13 9 5
3 Β
35 5rarr rarr rarr rarr
7
Α24 Πρόσθεση και αφαίρεση κλα-σmicroάτων 1
+ 1
2
2
3
3
5
0 1
2
2
3
3
5
2 5
2
8
3
13
5
3
2 2 13
6
21
10
1
6
2
3
5
6
23
30
ndash 6
5
5
3
3
2
0 6
5
5
3
3
2
1 1
5
2
3
1
2
1
5 1 22
15
13
10
2
3
8
15 1 5
6
2
Α α β γ δ ε στ ζ
Β 3 7 1 6 4 2 5
3 ⎛ ⎞+ + = + + = minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6 3 2 11 3 5 1α)1 β)
2 3 6 6 6 6 4 9 6
27 20 6 27 26 1= = =
36 36 36 36 36 36
9 9 36 9 45γ) 1 1 1
5 20 20 20 20
⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus = + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9 4 5
4 4 4= minus =
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1 11 3δ) 3+ =
4 5 20
60 5 44 3 65 47 18 9= + = = =
20 20 20 20 20 20 20 10
1 1 1 7 1 1ε) 2
3 2 6 3 2 6
14 3 1 14 4 10 5
6 6 6 6 6 6 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + = minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus + = minus = =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 18 4 3 25 18 4 3 19α) β)
12 12 12 12 12 12 12 12+ + = + minus =
⎛ ⎞minus + = minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
18 4 3 18 7 11γ)
12 12 12 12 12 12
5 4
2 5 8 5 3 1
3 12 12 125 4
124
4) 5 1 1α minus = minus = =
+ = + =3 7 6 7 13
β) 5 10 10 10 10
Ο ζητούmicroενος
αριθmicroός είναι minus13 17
3 =10 10
6 α) O πρώτος εργάτης τελειώνει σε 1 ηmicroέ-
ρα το 1
3του έργουO δεύτερος εργάτης
τελειώνει σε 1 ηmicroέρα το 1
4του έργου Και
οι δύο microαζί τελειώνουν σε 1 ηmicroέρα
+ =1 1 7
3 4 12 του έργου β) Υπολείπονται τα
minus =7 5
112 12
του έργου
7 Οι microαθητές που δεν πηγαίνουν σχολείο microε
τα πόδια αντιστοιχούν στο κλάσmicroα που
προκύπτει από το άθροισmicroα
+ + =1 5 1 29
6 16 8 48
Οι υπόλοιποι είναι το
κλάσmicroα που προκύπτει από τη διαφορά
minus =29 19
1 48 48
Τα 19
48 των 480 microαθητών εί-
ναι 19 10=190 microαθητές αφού το 1
48εί-
ναι 48048=10 microαθητές
Α25 Πολλαπλασιασmicroός κλασmicroάτων 1
3
2
3
4
7
5
0 0 0 0
1 3
2
3
4
7
5
4 6 3 28
5
2
3 1
1
2
14
15
2
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1 1
2 3sdot bull
4 5
5 8sdot bull
712
3sdot bull
2 5 3
3 9 2sdot sdot bull
2 3
10 10sdot bull
28
3
505
91
2
1
6
bull
bull
bull
bull
bull
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
3
Αριθmicroός Αντίστροφος 4
9
9
4
1
10 10
75 1
75
1 1
0 ∆εν ορίζεται 1
45
5
21
+2 5
3 3
3
7
sdot1 3
5 2
10
3
4
x 1
2
5
4
3
10
x2 1
4
25
16
9
100
x3 1
8
125
64
27
1000
5 9018 5 36 2 2 2α) = β) =1
7218 4 36 7 7 7sdot sdot =
7 100 3 2100γ) 10
10 21 210
sdot sdot= =
sdot
1 13 1 5δ)2 =
2 3 5sdot sdot
13 1
2 3 5sdot sdot
3 3
2 2
13=
6
2 5 8ε) =
5 4sdot
125sdot5
25 16sdot 2
5=
2
1στ) 11
2sdot
1 2
3sdot sdot
99 11 11
3 4 49 4
sdotsdot = =
sdot
6 2 2 1 16 4 16 20 3 1 7α) = + = β) =
11 9 11 9 99 99 99 4 4 2sdot + sdot + sdot
2
3 7 6 7 13= + = + =
4 8 8 8 83 47
γ) 5 =10 10
minus
3δ)
4sdot
4minus
7
5sdot
1
3 7= minus = minus =
3 5
3 1 9 5 4
5 3 15 15 15
3 2
3 2 3 4
65
12 13 79 123ε) =1 1 0
13 12 123 79
1 1 1 1 1 1στ) = =
5 2 3 5 6 30
1 1 3 2 5 1 5ζ) =
2 3 4 3 6 12 72
5 4 30 1η) 3+ 3
6 5 7 30
sdot minus sdot minus =
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus sdot⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ sdot minus sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟minus sdot = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
30sdot
1 223
7 7 7= + =
7 3 7 1α) α= β= γ=
2 2 6
3β) Α=
7 1
2 2 6sdot sdot
2
7
8=
3
10 3 1 8 40 20Β= 5
2 2 6 6 6 3
⎛ ⎞⎜ ⎟sdot minus = sdot = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8 2 500 1250 100 γρ 1000
5 5 10sdot = = sdot = 100
γραmicromicroάρια
9 sdot =2
27 18 αγόρια3
Άρα τα κορίτσια είναι
9
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10 + + + =
12 4 15 6
1 2 1 3 53Ξοδεύει συνολικά τα
5 15 4 10 60
του microισθού του Οπότε του περισσεύουν 53 7
1 60 60
minus = 7
1500 ευρώ 175 ευρώ60
sdot =
11 Το βάρος τους είναι + = =3 3 29 1
5+ 74 2 4 4
κιλά Η αξία τους είναι 3 3
5 2+12 4 10 9 6 25 ευρώ4 2
sdot sdot + sdot = + + =
12 Η προκαταβολή είναι
sdot =1
12000 3000 ευρώ4
Το υπόλοιπο εί-
ναι minus =12000 3000 9000 ευρώ
sdot =1
Η κάθε δόση είναι 9000 1000 ευρώ 9
13 Το 1
7 τη δεξαmicroενής χωράει
15005=300 λίτρα Ολόκληρη η δεξαmicroε-
νή δηλαδή τα 7
7
χωράει
sdot7 300=2100 λίτρα
4 4Τα είναι 2100 560 λίτρα
15 15sdot =
14 sdot =1
Το σιτάρι χάνει 60 15 κιλά4
Οπότε το
αλεύρι είναι minus =60 15 45 κιλά
845 72 κιλά ψωmicroί
5sdot =
Α26 ∆ιαίρεση κλασmicroάτων
1 minus =sdot= =2 2 2 2 2 2 4
α) 0 β) 1 γ) 3 3 3 3 3 3 9
+ =2 2 4
δ) 3 3 3
1 1 3 1 1 1ε) στ)
2 3 2 2 6
3minus= =
1 1 1ζ) 2 2 η) 2 4
2 2 2=+ =
2 56 15 175 15 4 3α) β) γ) δ) ε) στ)
15 8 21 8 9 2
9 96ζ)1 η) θ)
25
3
5125
375
sdot64
2
9
10=
3 3 27 6 1 3 15α) 0 β) γ) δ) 9 ε) στ) ζ) η)
7 5 35 9 8 17
4 7 6 42 21 7 4 3 36α) = = β)7 =7 =4 γ)
2 5 10 5 4 7 2sdot sdot
18
105
=
3=
5
2 18sdot
6
5 10 7 10 4 40 δ)
12 3 4 3 7 21
15 5 15 6 90 9ε) = = =
4 6 4 5 20 21 9 1 2 2 1
στ) 8 2 8 9 72 36
= = sdot =
sdot
= sdot = =
5
ΣΤΗΛΗ Β
Σ ή Λ
ΣΤΗΛΗ Γ
Σωστό
αποτέλεσmicroα
α) Σ
β) Λ 12
γ) Λ 36
5
δ) Σ
ε) Λ 4
στ) Σ
ζ) Λ 23
12
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
6 3
2 5 3 2 5 2 5 2 15 17α) = = = =
9 4 4 9 3 9 3 9 9 9
4
4+ + sdot + +
9 8 1β)
10 10 10minus =
8 3 23γ)
3 4 12minus =
7 5 9 35 21δ) 2 ε)
6 6 5 6 2minus = sdot =
4 9 1 31στ)
15 2 6 30sdot minus =
7 α) 1 1 4 1 9 8 6 11
2 3 3 3 18 18 18 18+ sdot minus = + minus =
β) 5 5 5 12 12
26 12 6 5 6
= sdot = =
γ) 14 4 21 2 39 5 195
28 28 28 5 28 2 56
⎛ ⎞+ + = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
δ) 3 12 8 7 7 6 6 1
24 24 24 6 24 7 24 4
⎛ ⎞+ minus = sdot = =⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) 1 5 8 5 1 1 4 3 5
2 4 10 10 5 2 5 10 1
⎛ ⎞+ minus = sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
4 15 19
10 10 10= + =
8 33
3 7 21 3 4 2710α) β) γ) =4 δ) 104 6 24 350 1009
sdot sdot= =
sdot
2 1114 11 115 10ε) στ)
15 3175 31 317
0
10
1
10
sdot= = =
sdot
9 sdot + = + = = =4 8 12 8 20 1 1
Α=3 4 Β= 2 5 5 5 5 5 2 4
ΑΒ=16
10 =1 3
1 λίτρα2 2
3120 80 microπουκάλια
2=
11 2 5 15 13 3 7 ώρες
5 2 2 2= sdot = =
12 1Σε 1 ώρα η πρώτη βρύση γεmicroίζει το της
3
+ = =
=
1δεξαmicroενής ενώ η δεύτερη γεmicroίζει το
6Και οι δύο microαζί γεmicroίζουν σε 1 ώρα το
1 1 3 1 της δεξαmicroενής Οπότε για
3 6 6 2να γεmicroίσει ολόκληρη θα χρειαστούν
11 2 ώρες
2
13 Το πρώτο συνεργείο ασφαλτοστρώνει σε
1 λεπτό το 1
10 του microέτρου το δεύτερο σε
1 λεπτό το 1
20 του microέτρου και το τρίτο το
1
30 του microέτρου Αν εργαστούν και τα τρία
microαζί θα κάνουν σε 1 λεπτό 6 3 2
1 1 1 6 3 2 11 του microέτρου
10 20 30 60 60Οπότε τα 33 microέτρα θα τελειώσουν σε
1133 33
60
+ ++ + = =
=3 60
11sdot
13 60 180 λεπτά
ή 3 ώρες
= sdot =
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Α31 ∆εκαδικά κλάσmicroατα ndash ∆εκαδικοί αριθmicroοί ndash ∆ιάταξη - Στρογγυλοποίηση 1 α) 30457894 β) 30457894 γ) 30457894
δ) 30457894 ε) 30457894
στ) 30457894
2 α) Στο δέκατο 789 623
β) Στο εκατοστό 7886 62304
γ) Στο χιλιοστό 78864 62304
3
∆εκαδικός
αριθmicroός
Στρογγυ-
λοποιηmicroένος
αριθmicroός
Ψηφίο που
έγινε η στρογ-
γυλοποίηση
17932 17930 εκατοστό
3241 3200 δέκατο
257852 257900 δέκατο
722853 722850 χιλιοστό
30899123 3090 microονάδα
15758 15760 εκατοστό
478565 478570 χιλιοστό
4
α)
β)
γ)
5 α) Αrarr 212 Βrarr 217 Γrarr 226
β) Αrarr 1213 Βrarr 1217 Γrarr 1225
γ) Αrarr 35123 Βrarr 35127 Γrarr 35135
6 3 53 5 06 5 3 16666
5 3 = = = =
4
2525 16 15625
2= =
2
1616 25 064
5= =
7 α) 05 057 0571 β) 08 088 0882
γ) 43 430 4309
8 527 527 527527 527 0527
10 100 1000= = =
52700527
10000=
9 18 72 3 375072 0375
25 100 8 1000= = = =
750 3 27 27075 00027
1000 4 10000 1000065 13 152 19
065 00152=100 20 10000 1250
= = = =
= = =
Α32 Πράξεις microε δεκαδικούς αριθ-microούς ∆υνάmicroεις microε βάση δεκαδικό α-ριθmicroό 1 α)rarr Α β)rarr Α γ)rarr Γ δ)rarr Β ε)rarr Α
στ)rarr Β ζ)rarr Β η)rarr Α
2 α) 288 +785=1073
β) 95541+4809=100350
γ) 540minus312=228 δ) 78 20minus318=7502
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
3
485 + 98 =583
ndash +
3418 ndash 2588 =83
1432 + 3568 =50
4
α+β (α+β)+γ αndashβ (αndashβ)ndashγ
125 197 75 03
2035 2063 1035 1007
5
128 + 256 = 384
468 minus 68 = 40
55 25 = 22
172 12 = 2064
11 100 = 110
6 α)Σ β)Λ(234) γ)Λ(152) δ)Σ ε)Λ(3824)
στ)Σ
7 α) 100 β) 100 γ) 1000 δ) 082 ε) 702
στ) 104
8 α) 10(α+β)=1012=12
β) 84+(α+β)=84+12= =96
γ) (025middot4)middot(xmiddoty)=1middot03=03
δ) 122minus032 =144minus009=135
9 α) 001 0001 00001 000001
β) 004 0008 00016 000032
γ) 016 10201 121 625
10 12255=6125 41232=13184
11
x x5 (x2)10 (x10)2
48 96 9610=96 48middot2=96
535 107 10710=107 535middot2=107
α) x5=(xmiddot2)10=(x10)middot2
β) 82355=(8235middot2)10=164710=1647
63245=(632410)middot2=6324middot2=12648
12
∆ιαιρετέος 3645 216 48
∆ιαιρέτης 45 5 80
Πηλίκο 81 432 006
13 α) 10ndash28+50=72+50=572
β) 143+35minus505=178minus505=1275
γ) 106minus78100minus254=106minus0078minus625=
=4272
δ) 50minus902+8middot005minus225=
=50minus45+04minus225=315
14 α) 1045025=418 β) 385100+93616=
=3850+585=385585 γ) 5+785(8minus015)=
=5+785785=5+10=15
15 α) 5202+(52+254)02=104+30602=
=104+153=15404
β) (254minus52)202=202202=4080402=
=20402
16 Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση
microε 7+0001middot103=7+0001middot1000=7+1=8
Η περίmicroετρος του είναι
(57+03)middot(03+5)=6middot53=318
Για να βρούmicroε καθεmicroιά από τις δύο ίσες
πλευρές κάνουmicroε την αφαίρεση
318minus8=238 και διαιρούmicroε τη διαφορά
δια του 2 οπότε έχουmicroε 2382=119
17 α) Βρίσκουmicroε το πάχος των 252 εσωτε-
ρικών σελίδων του βιβλίου χωρίς δηλ τα
δύο εξώφυλλα
16minus2middot015=16minus03=157 χιλιοστά
157252=006 χιλιοστά περίπου
β) 3006=50 σελίδες
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α33 Τυποποιηmicroένη microορφή microεγάλων αριθmicroών 1
Αριθmicroός στη
δεκαδική microορφή
Τυποποιηmicroένη
microορφή
6378000 6378106
21 microηδενικά
5978000 00 59781024
4500000000 45109
149600000000 14961011
300000 3105
2 α) 781 10sdot β) 8131 10sdot γ) 564825 10sdot
δ) 687338 10sdot ε) 781106
Α34 Μονάδες microέτρησης 1 α) 07 m=7 dm=70 cm=700 mm
β) 153 dm=153 m=153 cm = 1530 mm
γ) 0681 km=681m=6810 dm=
=68100 cm=681000 mm
δ)7043 cm=7043m ε) 0034 dm=34 mm
στ) 3 dm+5cm=035m
ζ) 228m+509dmminus67500mm=620 cm
η) 725 m=7m+2 dm+ 5 cm
θ) 3502 m=3 m+ 5 dm+ 0 cm+ 2 mm
ι) 7 m 2 cm 3 mm=7023 m
2 104 m lt 132 m lt 34 m lt 1306 m lt
12209 m
104 dmlt12209 mmlt1306 cmlt132 m lt
lt0034 km
3 003m+0027m+0022m+0038m+00114m=
=01284 m=1284 cm
4 Οι 10 σειρές εmicroποδίων χωρίζουν την από-
σταση των 110 microέτρων σε 11 διαστήmicroατα
από τα οποία τα δύο έχουν microήκος
1372+1402=2774 microέτρα Το υπόλοιπο
διάστηmicroα είναι 110ndash2774=8226 microέτρα
Οπότε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών
εmicroποδίων θα είναι 82269=914 microέτρα
5
m2 dm2 cm2 mm2
4012 4012 40120 4012000
076 76 7600 760000
54034 54034 54034 5403400
7002 7002 70020 7002000
6 α) 324 στρέmicromicroατα β) 5342 m2=005342
στρέmicromicroατα γ) 2031 m2=02031 στρέmicromicroατα
7 128520252=5100 m2=51 στρέmicromicroατα
8 Η πλευρά του τετραγώνου είναι 364=09 m
Το εmicroβαδόν τότε είναι 0909=081 m2=
=8100 cm2
9 50 dm=5 m Eτετραγώνου=55=25 m2=
=Εορθογωνίου
Το πλάτος του ορθογωνίου είναι τότε
2510=25 m Η περίmicroετρός του είναι
2middot10+2middot25=20+5=25 m
10 To εmicroβαδόν του δαπέδου είναι
542=21 m2=210000 cm2 Κάθε πλακάκι
έχει εmicroβαδόν 2020=400 cm2 Οπότε θα
χρειαστούmicroε 210000400=525 πλακάκια
11
m3 dm3 cm3 mm3
0124 124 124000 124000000
015 150 150000 150000000
0201 201 201000 201000000
0001054 1054 1054 1054000
12 α) Α β) Α γ) Β δ) Γ ε) Γ στ) Γ ζ) Β
13 α) mm3 β) Όχι
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
14 15 m=15 dm 1250 mm=125 dm Ο ό-
γκος είναι 15middot20middot125=3750 dm3=3750 t
15 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ
16 Χωρίς τις στάσεις η διάρκεια της διαδρο-
microής είναι
12 h 15 min 1560 s=156060=26 min
minus 7 h 10 min 2460 s=246060=41 min
5 h 5 min
Συνολικά και οι δύο στάσεις διήρκεσαν
26+41=67 min=1 h 7 min
5h 4 h 5 min (60+5)= 65 min
minus 1 h 7 min
3 h 58 min
17 α) 45 t=4500 kg=4500000 g
β) 93000 g=93 kg γ) 2300 kg=23 t
δ) 15270 g
18 1 kg 865 g=1865 g
1865minus260 = 1605 g το βάρος των 15 α-
ντικειmicroένων Το καθένα από αυτά ζυγίζει
εποmicroένως 160515=107 g
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Α41 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β χ-α=β α-χ=β α χ=β αχ=β χα=β 1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ η ισότητα δεν έχει microεταβλη-
τή γ) ΟΧΙ δεν υπάρχει ισότητα δ) ΟΧΙ
δεν υπάρχει ισότητα ε) ΝΑΙ
2 α) Β β) Β γ) Β δ) Α ε) Α στ) Β ζ) Α η) Γ
θ) Α
3
Εξίσωση Αριθmicroοί που
την επαλη-
θεύουν
Αριθmicroοί που
δεν
την επαλη-
θεύουν
α) x+34=5 16 0 2 6
β) 4ndashx=2 2 0 16 6
γ) x3=2 6 0 16 2
δ) 5 x=x 5 0 16 2 6 ndash
4 α) x+4=5 β) 17ndashy=12 γ) 9 ω=92
δ) z(7ndash5)=5
5 2 x+1=9 x=4 10ndash3 x=4 x=2 =4 2
x 5
x=10
(xndash5)12=0 x=5 (5ndash5) middot x=4ndash4 ταυτότητα
2+x=x+3 αδύνατη 2 middot (xndash1)=4 x=3
6 α) x=8ndash2=6 β) x=7 3 4
x 22 2 2minus = =
γ) x=
2
3 1
5 10minus x=
6 1 5 1 x=
10 10 10 2minus =
δ) y=19ndash11 y=8 ε) y=5 4
3 3minus y=
1
3
στ) y=2ndash
4
1 2 1 8 1 7 y= y=
4 1 4 4 4 4minus = minus
ζ) ω=10+107 ω=117 η) ω5 11
3 3minus =
ω=11 5 16
3 3 3+ = θ) ω=
2
5 13
2 4+ =
10 13
4 4+
23ω=
4
7 α) x=710=07
β) 3 middot x=5 5 5 1 5
x= 3 x=4 4 4 3 12
sdot =
γ) 5 5 5 5 5 2 2
x= x= x=2 7 7 2 7 5 7sdot sdot =
δ) y=102 y=5
ε) 16y=1 1 3
y=16 y=16 y=483 3 1
sdot
στ) 2 5 2 10
y=2 y= 3 3 3 3
sdot
2 10 2 3 6 1y=
3 3 3 10 30 5= sdot = =
ζ) 75y=10 y=7510 y=075
η) ω=5 middot 3 ω=15 θ) ω=7 28
43 3sdot =
8 α) 10 x=11 x=1110 x=11
β) 2 middot x+ 10 10minus =3 middot 4 ή 2 middot x=12 ή
x=122=6
γ) 1 1 1 1 1
5 x= x= 5 x=6 6 6 5 30
sdot = sdot
δ) xndash100=0 x=100 ε) x+7=15 x=15ndash7
x=8 στ) 14ndashx=6 x=14ndash6 x=8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
9 α) 2 x=3 5 ή 2 x=15 ή x=152=75
β) 5 x 2=3 4 ή 10 x=12 ή x=1210=12
γ) 2 3 2
1 x 30 ή x 30 ή3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 5 3 90x 30 x 30 x 30 x
3 3 5 5sdot = = = sdot =
x=18
δ) = + = +
3 2
x 1 1 x 3 2
6 2 3 6 6 6
x 5
6 6= x=5
ε) 2 x+3 24 2+x+3 24
12 12 12 12 12
+ = =
x+5 24
12 12= x+5=24 x=24ndash5 x=19
10 x=10ndash8 x=2 2y=12 y=122 y=6 και
ω=10
Α=102ndash2middot6=100ndash12=88
Β=(2+6)210=8210=6410=64
11 α=8
3 και β=
3
5
Λύνουmicroε την εξίσωση α middot x=β ή x=βα ή
x=3 8 3 3 9
5 3 5 8 40
= sdot = και την εξίσωση
β+x=α ή x=αndashβ ή x=
5 38 3 40 9 31
3 5 15 15 15minus = minus =
Α42 Επίλυση προβληmicroάτων Α43 Παραδείγmicroατα επίλυσης προβλη-microάτων 1 α) α2 β) Έστω x η βάση του ισοσκελούς
τριγώνου τότε καθεmicroιά από τις ίσες πλευ-
ρές του είναι x+2 και η περίmicroετρος είναι
x+(x+2)+(x+2)=3 x+4 γ) Έστω x ο φυσικός
αριθmicroός τότε ο προηγούmicroενος του είναι
xndash1 δ) Κάθε άρτιος αριθmicroός γράφεται
γενικά 2 middot x Ένας περιττός είναι πάντοτε
επόmicroενος ενός άρτιου που γράφεται
2 middot x+1
ε) x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4middotx+6 όπου x ο
πρώτος από τους 4 φυσικούς αριθmicroούς
2 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση
3 1 15 2
x+ 1 ή x+ 1 ή 4 10 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
17 17 3x+ 1 άρα x=1
20 20 20= minus =
3 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξί-
σωση 7 5 3 2 3 1 3
γ) x = ή x = ή x4 4 2 4 2 2 2
3 1 2x= 1
2 2 2
⎛ ⎞+ minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus = =
4 Έστω x ο αριθmicroός Έχουmicroε τότε την εξίσω-
ση 5 4 5 8 5
4 x ή x= ή x=2 1 2 2 2
minus = minus minus άρα 3
x=2
5 Έστω x ο πρώτος φυσικός αριθmicroός Τότε
προκύπτει η εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=138 ή
3 x+3=138 ή 3 x=138ndash3 ή 3 x=135 ή
x=1353=45 Άρα οι αριθmicroοί είναι οι 45
46 47
6 Αν x ο ένας αριθmicroός ο άλλος θα είναι 3
x2sdot Έχουmicroε τότε
3x x=10
2+ sdot ή
31 x=10
2
⎛ ⎞+ sdot⎜ ⎟⎝ ⎠
ή 5
x=102sdot ή
5x=10
2= 4
7 α) x+x+xndash6=60 ή 3 xndash6=60 ή 3 x=60+6 ή
3 x=66 ή x=663=22 Οπότε οι πλευρές
είναι 22cm 22cm και 22ndash6=16cm
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
β) x+x+2 x+2x=60 ή 6 x=60 ή
x=606=10
Οι πλευρές είναι 10cm και 2 middot 10=20cm
γ) x+x+x+(x+4)=60 ή 4 middot x+4=60 ή 4middotx=60ndash4
ή 4 middot x=56 ή x=564=14 Οπότε οι πλευρές
είναι 14cm και 14+4=18cm
8 Αν το παιδί πλήρωσε x η microητέρα πλήρωσε
2 x και οι δύο microαζί πλήρωσαν x+2 x
Γράφουmicroε τότε την εξίσωση x+2x=135 ή
3 x=135 ή x=1353=45 Άρα το παιδί
πλήρωσε 45 euro και η microητέρα 2 45=9 euro
9 Έστω x ευρώ τα έξοδα αποστολής Τότε
το προϊόν κοστίζει x+60 Προκύπτει η εξί-
σωση x+x+60=75 ή 2 x+60=75 ή
2 x=75ndash60 ή 2 x=15 ή x=152=75 euro τα
έξοδα αποστολής και 75+60=675 euro η
αξία του προϊόντος
10 Έστω ότι διάβασε x σελίδες την πρώτη
microέρα Τότε τη 2η διάβασε x+5 την 3η x+10
την 4η x+15 και την 5η x+20
Συνολικά διάβασε
x+(x+5)+(x+10)+(x+15)+(x+20) σελίδες δη-
λαδή 5 middot x+50 σελίδες Γράφουmicroε τότε την
εξίσωση 5 middot x+50=120 ή 5 middot x=120ndash50 ή
5 middot x=70 ή x=705ή x=14 Άρα την πρώτη
microέρα διάβασε 14 σελίδες
11 Αφού ο 1ος πήρε 1000 euro περίσσεψαν
9000ndash1000=8000 euro Αν ο 3ος πήρε x ευ-
ρώ ο 2ος πήρε x+200 και ο 4ος πήρε 2 x και
οι τρεις microαζί πήραν x+(x+200)+2 x
Γράφουmicroε την εξίσωση
x+x+200+2middotx=8000 άρα 4χ=7800 ή
χ=78004 δηλαδή x=1950 euro που πήρε ο
3ος αδελφός Τότε ο 2ος πήρε
1950+200=2150 και ο 4ος πήρε
2 middot 1950=3900 euro
12 Έστω ότι νίκησε σε x αγώνες οπότε πήρε
3 x βαθmicroούς από τις νίκες και 10 βαθ-
microούς από τις ισοπαλίες
Συνολικά πήρε 3 middot x+10 βαθmicroούς Έχουmicroε
τότε την εξίσωση 3 middot x+10=58 ή
3 middot x=58ndash10 ή 3 middot x=48 ή x=483=16 Άρα
νίκησε σε 16 αγώνες
13 Έστω ότι και οι τρεις βρύσες microαζί γεmicroίζουν
τη δεξαmicroενή σε x ώρες Αφού η πρώτη τη
γεmicroίζει σε 2 ώρες σε 1 ώρα γεmicroίζει το 1
2
της δεξαmicroενής και σε x ώρες τα χ
2 Ό-
microοια η δεύτερη βρύση γεmicroίζει σε 3 ώρες
τα χ
3 της δεξαmicroενής και η τρίτη τα
x
6
Επειδή σε x ώρες θα γεmicroίσει ολόκληρη η
δεξαmicroενή έχουmicroε
( )
χ χ x 3 x 2 x x1 ή 1
2 3 6 6 6 6
3 2 1 x3 x 2 x xή 1ή 1
6 6
sdot sdot+ + = + + =
+ + sdotsdot + sdot += =
6 xή 1
6
sdot= οπότε x=1
Εποmicroένως και οι τρεις βρύσες microαζί θα γε-
microίσουν τη δεξαmicroενή σε 1 ώρα
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
Α51 Ποσοστά
1 α) 67 β) 7 10 70
7010 10 100
sdot= =
sdot
γ) 19 4 76
25 4 100
sdot= =
sdot76
δ) 23 2 46
4650 2 100
sdot= =
sdot
ε) 3 20 60
605 20 100
sdot= =
sdot
2 α) 3 3 1 1 25 25
2512 3 4 4 25 100
sdot= = = =
sdot
β) 7 7 1 1 20
35 7 5 5 20
sdot= =
sdot=
2020
100=
γ) 875 5 175 175 2 350
250 5 50 50 2 100
sdot= = =
sdot=350
δ) 176 16 11 11 5 55
55320 16 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
3 α) 419permil β) 7 10 70
70100 10 1000
sdot= =
sdotpermil
γ) 13 20
50 20
sdotsdot
=260
2601000
= permil
δ) 38=0375=375
1000=375permil
ε) 916=05625=5625
1000= 5625permil
4 α) 02=2permil β) 2=20permil
γ) 20=200permil δ) 25=250permil
ε) 250 = 2500permil
5 α) 1 23 87 100 200
1 2100 100 100 100 100
= =
β)3 59 150 15050 3
1000 1000 1000 100050 20
= =
700 7
1000 10=
10001
1000=
6 α)15
150 225100
sdot =5
β) 300100
sdot = 15g
γ) 4
2000 81000
sdot = δ) 10
15001000
sdot = 15 euro
ε) 1 km=1000 m 25
1000100
sdot = 250 m
στ) 54 kg=5400 g 4
5400100
sdot =216 g
ζ) 5 ώρες =5middot60=300 λεπτά 2
300 6100
sdot = λεπτά
7 6 1500250 15
100 100sdot = = microαθητές
8 Λογοτεχνικά είναι τα 44 17600
400 176100 100
sdot = = βιβλία
Επιστηmicroονικά είναι τα 35
400 140100
sdot = βι-
βλία και τα υπόλοιπα 400minus(176+140)=84
είναι ιστορικού περιεχοmicroένου
9 Οι πτυχιούχοι είναι 20
50 10100
sdot = Οι Μα-
θηmicroατικοί τότε είναι 30
10 3100
sdot =
10 Σχηmicroατίζουmicroε το κλάσmicroα 70 1 1 20 20
20350 5 5 20 100
sdot= = = =
sdot
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 Τα τέρmicroατα microε σουτ είναι 60
60 36100
sdot = microε κεφαλιές είναι
2560 15
100sdot = microε φάουλ είναι
6 6 1 1010
60 6 10 100= = = και microε πέναλτι εί-
ναι 3 3 1 1 5 5
560 3 20 20 5 100
sdot= = = =
sdot
12 α) Β β) Α γ) Γ δ) Β ε) Β στ) Γ
ζ) Β η) Β θ) Α
Α52 Προβλήmicroατα microε ποσοστά
1 α) Ο ΦΠΑ είναι 19 19950
1050 1995100 100
sdot = = euro
Εποmicroένως η τελική τιmicroή είναι
1050+1995=12495 euro
β) Ο ΦΠΑ σε euro είναι 218minus20=18 euro που
επιβάρυνε την αρχική τιmicroή των 20 euro ∆ηλ
είναι τα 18 18 5 9
20 20 5 100
sdot= = =
sdot9 γ) Αν η
αρχική τιmicroή είναι τα 100
100 ο ΦΠΑ είναι τα
9
100 και η τελική τιmicroή τα
100 9 109
100 100 100+ =
που είναι 436 euro Άρα το 1
100 είναι
436109=4 και τα 100
100 είναι 100middot4=400 euro
που είναι και η αρχική τιmicroή χωρίς ΦΠΑ
Αξία προϊόντος
χωρίς ΦΠΑ
(αρχική τιmicroή)
Αξία προϊό-
ντος microε ΦΠΑ
(τελική τιmicroή)
ΦΠΑ
1050 euro 12495 19
20euro 218 euro 9
400 436 euro 9
2 α) Η προκαταβολή είναι 12000 euro Ο
ΦΠΑ είναι 19
24000 4560100sdot = euro οπότε
αρχικά πλήρωσε 12000+4560=16560 euro
β) Χωρίς την επιβάρυνση του τόκου η κά-
θε δόση είναι 120006=2000 euro
1η δόση 2
2000 2000 2000 40100
+ sdot = + = 2040euro
2η δόση 2 2
2000 2000 2000 80100
sdot+ sdot = + = 2080euro
3η δόση 3 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2120euro
4η δόση 4 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2160euro
5η δόση 5 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2200 euro
6η δόση 6 2
2000 2000100
sdot+ sdot = 2240euro
γ) Συνολικά θα πληρώσει
16560+2040+2080+2120+
+2160+2200+2240=29400 euro
3 2 162008100 5400
3 3sdot = = euro
35400
100sdot = 162 euro
8100minus5400=2700 euro 2
2700100sdot = 54 euro Συνολικά θα εισπράξει
microετά 1 χρόνο 8100+162+54= 8316euro
4 α) 2
5000100sdot =
10000
100= 100 euro
β) 2 9
5000100 12sdot sdot =
90000
1200= 75 euro
γ) Από το α) ερώτηmicroα τον 1ο χρόνο οι τό-
κοι θα είναι 100 euro και το νέο κεφάλαιο
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΟΣΟΣΤΑ
5000+100=5100 euro Για τους 3 microήνες
παίρνουmicroε τόκο 2 3
5100100 12sdot sdot = 255euro
δ) 1 microήνας=30 ηmicroέρες οπότε ο τόκος εί-
ναι 2 18 36
5000 5000 5euro100 360 36000sdot sdot = sdot =
5 Ο τόκος είναι 2050ndash2000=50 euro Αν κά-
νουmicroε ανάληψη microετά από x microήνες ο τόκος
στο αρχικό κεφάλαιο των 2000euro είναι
20 003
sdot1
100
x
12sdot
20 x5 x
4 4
sdot= = sdot
Αλλά 5middotx=50 οπότε x=505=10 microήνες
6 Στις 12 Φεβρουαρίου η αύξηση σε euro
ήταν 10 5000
500 50100 100sdot = = euro Η τιmicroή τότε δια-
microορφώθηκε σε 500+50=550 euro
Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8 επί
της αξίας των 550euro 8 4400
550 44100 100sdot = = euro και εποmicroένως
η τελική τιmicroή είναι 550+44=594 euro δηλ
αύξηση 594minus500= 94 euro Παίρνουmicroε επο-
microένως το κλάσmicroα 94 94 5 188
188500 500 5 100
= = = η αύξηση
και όχι 18
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙ-ΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Α61 Παράσταση σηmicroείων στο επίπεδο 1 Ο(00) Α(55) Β(46) Γ(15) ∆(06)
Ε(03) Ζ(33) Η(12) Θ(30) Ι(60)
2 Θα προκύψει το γράmicromicroα Σ
3 α) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(30) (31) (32) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε τετmicroηmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Oy και 3 microονάδες δεξιά από αυ-
τόν
β) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(03) (13) (23) (33) Υπάρχουν άπει-
ρα σηmicroεία microε τεταγmicroένη 3 που βρίσκονται
πάνω σε microια ηmicroιευθεία παράλληλη στον
ηmicroιάξονα Ox και 3 microονάδες πάνω από αυ-
τόν
γ) Τα τέσσερα σηmicroεία microπορεί να έχουν
συντεταγmicroένες τα διατεταγmicroένα ζεύγη
(00) (11) (22) (33) Υπάρχουν άπειρα
σηmicroεία microε ίσες συντεταγmicroένες που βρί-
σκονται πάνω στη διχοτόmicroο της γωνίας
των ηmicroιαξόνων
4 α) Β(15) Γ(45) και ∆(42)
β) Α΄(32) Β΄(35) Γ΄(65) και ∆΄(62)
Α62 Λόγος δύο αριθmicroών -Αναλογία
1 ΑΒ 5 Γ∆ 4α) 125 08
Γ∆ 4 ΑΒ 5= = = =
ΑΒ 525
ΕΖ 2= =
ΕΖ 2 Γ∆ 404 2
ΑΒ 5 ΕΖ 2= = = =
ΕΖ 205
Γ∆ 4= =
β) ΑΒ
gt 1Γ∆
ΕΖ lt Γ∆
2 α 3 β β 1 α+βα=3 β τότε 3
β β α 3 β
sdotsdot = = = =
3 β+β 4 β α+β 3 β+β 4 β 44
β β α 3 β 3 β 3
sdot sdot sdot sdot= = = = = =
sdot sdot
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
3 4 x=5 8 ή 4 x=40 ή x=404 ή x=10 x 10 5
8 8 4= = και
x+5 10 5 15 5
8+4 8 4 12 4
+= = =
+
Άρα οι λόγοι αυτοί είναι microια αναλογία Γε-
νικά αν α γ α γ α+γ
τότε β δ β δ β+δ= = =
4 Υπολογίζουmicroε την περίmicroετρο του σχήmicroα-
τος σε cm
Π=290+210+356+430=1286 cm απόσταση στον χάρτη
κλίmicroακαπραγmicroατική απόασταση
= ή
1 1286
1000 x= ή x=1000 1286=
=12860 cm=12860 m Το κόστος της πε-
ρίφραξης θα είναι 1286 12=15432 euro
5 Αν x η πραγmicroατική απόσταση των δύο πό-
λεων τότε 1 36
1000000 x= άρα x=36 1000000=
= 36000000 cm=360 km Αφού το αυτο-
κίνητο διανύει 120 km σε microια ώρα τα 360
km θα τα διανύσει σε 3 ώρες
6 α) 1 4
5 x= άρα x=20 cm β)
3 x
2 10= ή
2 x=30 ή x=15 cm γ) 1 22 1 1
x 402 x 20= =
οπότε η κλίmicroακα είναι 120
δ) 10 km=1000000 cm 1 44
x 10000004=
1
250000= Η κλίmicroακα
είναι 1250000
ε) 25 km=2500000 cm Τότε 1 x
1000000 2500000= άρα x=25 cm
7 Η microικρή διάσταση του ορθογωνίου ΕΖΗΘ
θα είναι 2 3=6 cm και η microεγάλη 3 3=9 cm
Α63 Ανάλογα ποσά ndashΙδιότητες ανα-λόγων ποσών
1 α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ δ) ΟΧΙ
ε)
bull Στον πρώτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός y
x= 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
bull Στον δεύτερο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών δεν είναι σταθερός 3 9
5 10ne άρα τα ποσά x και y δεν είναι
ανάλογα
bull Στον τρίτο πίνακα ο λόγος των αντι-
στοίχων τιmicroών είναι σταθερός =y 4
x 3
άρα τα ποσά x και y είναι ανάλογα
2 α) Αν x το βάρος του αλευριού και y το
βάρος του ψωmicroιού έχουmicroε ότι y
x=
1212
10= β) y=12 x
γ)
Κιλά
αλεύρι 10 1 2 15 0
Κιλά ψωmicroί 12 12 24 18 0
3 α)
x=πλευρά 2 3 35
Π=περίmicroετρος 6 9 105
β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού ο λόγος Π
x είναι σταθερός και ίσος microε 3 γ) Π=3 x
4 α) Π=2 x +2 (x+5)=2 x+2 x +10 =
=4 x+10
β)
x 1 2 3 8
Π 14 18 22 42
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
γ) Τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα αφού ο
λόγος τους δεν είναι σταθερός14 18
1 2ne
Α64 Γραφική παράσταση σχέσης ανα-λογίας 1 α)
x 0 1 2 3 4
y 0 4 8 12 16
β) 4
α 41
= = η σχέση αναλογίας είναι
y=4 x
γ) Τοποθετούmicroε τα
σηmicroεία microε συντεταγ-
microένες (00) (14)
(28) (312) (416)
σε ορθοκανονικό
σύστηmicroα ηmicroιαξόνων
Αν τα ενώσουmicroε θα
προκύψει ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο
των ηmicroιαξόνων
2 α)
x 1 2 3 4
y 25 5 75 10
β)
γ) Το σηmicroείο Α όπως φαίνεται και στο
σχήmicroα ανήκει στην παραπάνω ηmicroιευθεία
αφού αν διαιρέσουmicroε τις συντεταγmicroένες
του προκύπτει ο συντελεστής αναλογίας 4
2516
= Αντίθετα το σηmicroείο Β δεν ανή-
κει στην παραπάνω ηmicroιευθεία αφού 8
2525
ne
3 Επειδή οι ισότητες αυτές είναι σχέσεις
αναλογίας οι γραφικές τους παραστάσεις
θα είναι ηmicroιευθείες microε αρχή την αρχή
Ο(00) των ηmicroιαξόνων Για να τις σχεδιά-
σουmicroε εποmicroένως αρκεί να βρούmicroε για κα-
θεmicroιά ένα επιπλέον σηmicroείο
α) Για x=1 παίρνουmicroε y=1 άρα η ηmicroιευ-
θεία διέρχεται από το σηmicroείο Α(11)
β) Για x=1 παίρνουmicroε y=5 1=5 άρα η η-
microιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Β(15)
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
γ) Για x=5 παίρνουmicroε y=04 5=2 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο Γ(52)
δ) Για x=6 παίρνουmicroε y1
6= sdot6=1 άρα η
ηmicroιευθεία διέρχεται από το σηmicroείο ∆(61)
Στη συνέχεια τοποθετούmicroε τα σηmicroεία αυτά
και ενώνουmicroε το καθένα microε την αρχή των
ηmicroιαξόνων Ο(00)
4
Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆
ΝΑΙ α4
22
= = y= 2 x
ΟΧΙ - -
ΝΑΙ α =1
4 y
1
4= x
ΝΑΙ α5
252
= = y= 25 x
5 α) Η θερmicroοκρασία του σώmicroατος θα είναι
100 βαθmicroοί Κελσίου microετά από 25 δευτε-
ρόλεπτα 80 βαθmicroοί microετά από 20 δευτε-
ρόλεπτα 40 βαθmicroοί microετά από 10 δευτε-
ρόλεπτα
β) Μετά από 13 δευτερόλεπτα η θερmicroο-
κρασία θα είναι 52 βαθmicroοί Κελσίου και
microετά από 15 δευτερόλεπτα η θερmicroοκρα-
σία θα είναι 60 βαθmicroοί Κελσίου
γ) Τα δύο ποσά είναι ανάλογα αφού ανα-
παριστώνται γραφικά από microια ηmicroιευθεία
microε αρχή την αρχή Ο(00) των ηmicroιαξόνων
Ο συντελεστής αναλογίας τους προκύπτει
από οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων τι-
microών για παράδειγmicroα από το (25100) έ-
χουmicroε 100
α 425
= = οπότε η σχέση ανα-
λογίας είναι y=4 x
Α65 Προβλήmicroατα αναλογιών 1 α) Τα ποσά είναι ανάλογα Φτιάχνουmicroε πί-
νακα τιmicroών
Κιλά πορτοκάλια 12 3
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 x
3= ή
12 x=24 άρα x=2 λίτρα πορτοκαλάδα
β)
Κιλά πορτοκάλια 12 x
Λίτρα πορτοκαλάδας 8 15
Έχουmicroε τότε την αναλογία 12
8 5
x
1= άρα
x=225 κιλά πορτοκάλια
2 Τα ποσά microήκος υφάσmicroατος και αξία είναι
ανάλογα
α)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 x
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 50
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 0
x
5= άρα
x=15020=75 m
β)
Μήκος υφάσmicroατος σε m 3 42
Αξία υφάσmicroατος σε euro 20 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 3
20 x
42= άρα
x=8403=280 euro
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3 3 11 112 τόνοι 1000 2750
4 4 4= = sdot = κιλά θα-
λασσινό νερό και 12 τόνοι αλάτι=1200 κι-
λά αλάτι Τα ποσά θαλασσινό νερό και
αλάτι που περιέχεται σε αυτό είναι ανάλο-
γα
Θαλασσινό νερό σε kg 2750 x
Αλάτι σε kg 80 1200
Έχουmicroε τότε την αναλογία 2750
80 0
x
120= οπότε θα πάρουmicroε
x=330000080=41250 κιλά θαλασσινό
νερό
4 Αφού ξοδεύει τα 88 του microισθού του του
περισσεύουν 12 Τα ποσά microισθός και
υπόλοιπο από τα έξοδα είναι ανάλογα
Μισθός 100 x
Υπόλοιπο 12 102
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
12 2
x
10= ή
12 x =100 102 ή 12 x=10200 άρα x=
=1020012=850 euro Άρα ο microισθός του εί-
ναι 850 euro
5 Οι δύο εργάτες εργάστηκαν συνολικά 8
ηmicroέρες και πληρώθηκαν 320 euro Τα ποσά
χρόνος εργασίας και αmicroοιβή για αυτόν εί-
ναι ανάλογα Θα βρούmicroε πόσο πληρώθη-
κε ο πρώτος εργάτης για τις 3 ηmicroέρες που
εργάστηκε
Ηmicroέρες εργασίας 8 3
Αmicroοιβή σε euro 320 x
Έχουmicroε τότε την αναλογία 8
320 x
3= ή
8 x=3 320 άρα x=9608=120 euro Ο δεύ-
τερος εποmicroένως πήρε 320minus120=200 euro
6 Η αύξηση είναι 54ndash50=4 euro Τα ποσά αύ-
ξηση και αρχική αξία (πριν την αύξηση) εί-
ναι ανάλογα
Αύξηση 4 x
Αρχική αξία 50 100
Έχουmicroε τότε την αναλογία 4
50 0
x
10= ή
50 x =400 άρα x =40050=8
7 Τα ποσά φόρος και αξία είναι ανάλογα
α) Αν η αξία του προϊόντος είναι χωρίς τον
ΦΠΑ 100 euro microε τον ΦΠΑ θα είναι 119 euro
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 14280
Έχουmicroε τότε την αναλογία x100
119 14280=
άρα x=14280119=120 euro η αξία του προ-
ϊόντος χωρίς τον ΦΠΑ
β) Ο ΦΠΑ είναι 14280minus120=2280 euro
8 Τα ποσά τόκος και κεφάλαιο είναι ανάλο-
γα
Κεφάλαιο 100 x
Τόκος 2 154
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
2 4
x
15= ή
2 x =100 154 ή 2 x=15400 άρα πρέπει
να καταθέσουmicroε x=154002=7700 euro
9
Αξία χωρίς ΦΠΑ 100 x
Αξία microε ΦΠΑ 119 3213
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
119 3213
x= ή
119 x =100 3213 ή 119 x=321300
άρα x=321300119=2700 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς τον ΦΠΑ
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ndash ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ
Αξία χωρίς κέρδος 100 x
Αξία microε κέρδος 108 2700
Έχουmicroε τότε την αναλογία 100
108 2700
x= ή
108 x=100 2700 ή 108 x=270000
άρα x=270000108=2500 euro η αξία των
τηλεοράσεων χωρίς το κέρδος του εmicroπό-
ρου Αφαιρούmicroε και τα έξοδα microεταφοράς
τους 2500ndash80=2420 euro Άρα πλήρωσε
για την αγορά κάθε τηλεόρασης
24205=484 euro
Α66 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1 α) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των αντιστοίχων τιmicroών
είναι ίσα x y=1 β) ΝΑΙ τα γινόmicroενα των
αντιστοίχων τιmicroών είναι ίσα x y=12
γ) ΟΧΙ 2 02 ne 3 03
2 α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά το γι-
νόmicroενο των αντιστοίχων τιmicroών τους είναι
σταθερό Από τις αντίστοιχες τιmicroές που
δίνονται υπολογίζουmicroε το σταθερό αυτό
γινόmicroενο 2 2=4 Συmicroπληρώνουmicroε τον πί-
νακα ώστε όλα τα γινόmicroενα να προκύ-
πτουν ίσα microε 4
x 1
2 08 1 2 4 5 8
y 8 5 4 2 1 08 1
2
β)
γ) x y=4 οπότε 4
yx
=
3 α) 21 x=3 5 ή 21 x=15 ή x5
7=
β) Όmicroοια 7 x=28 15 ή 7 x=42 ή
x=427=6
4 α) Το εmicroβαδόν του ορθογωνίου που δίνε-
ται είναι 4 5=20 cm2 Οι διαστάσεις των
άλλων ορθογωνίων που έχουν εmicroβαδόν
20 cm2 και είναι φυσικοί αριθmicroοί δίνονται
στον παρακάτω πίνακα
x (cm) 1 2 4 5 10 20
y (cm) 20 10 5 4 2 1
β) Οι διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών
είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά microε
x y=20 ή 20
y=x
5 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν
microε x δείξουmicroε τους σωλήνες 5m που θα
χρειαστούν για την ύδρευση της περιοχής
παίρνουmicroε τον πίνακα αντιστοίχων τιmicroών
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αριθmicroός σωλήνων 200 x
Μήκος σωλήνων σε m 4 5
Εποmicroένως 5 x=4 200 άρα χ=160 σωλήνες
6 Τα ποσά κόστος και χρόνος διακοπών της
οικογένειας είναι αντιστρόφως ανάλογα
Ηmicroέρες διακοπών 15 20
Ηmicroερήσια έξοδα σε euro 150 x
Εποmicroένως 20 x=15 150 ή 20 x=2250 ή
x=1125 euro Άρα πρέπει να ξοδεύει
150minus1125=375 euro λιγότερα την ηmicroέρα
7 α)
x 05 1 07
περίπου 4
y 4 2 3 05
β) Επειδή η γραφική παράσταση των πο-
σών είναι υπερβολή τα ποσά x και y είναι
αντιστρόφως ανάλογα
Όταν x=1 τότε y=2 και το γινόmicroενό τους
είναι 2 Τότε όλα τα γινόmicroενα των αντι-
στοίχων τιmicroών θα ισούται microε 2 δηλαδή
x y=2
bull Για x=05 παίρνουmicroε 05 y=2 ή y=4
bull Για y=2 παίρνουmicroε x 2=2 ή x=1
bull Για y=3 παίρνουmicroε x 3=2 ή x=2
3 που
είναι περίπου 067
bull Για x=4 παίρνουmicroε 4 y=2 ή y=1
2=05
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Λύσεις των ασκήσεων του ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
A71 Θετικοί και Αρνητικοί αριθmicroοί (Ρητοί Αριθmicroοί) ndash Η ευθεία των ρητών ndash Τετmicroηmicroένη σηmicroείου 1 α) 12 βαθmicroοί Κελσίου πάνω από το microηδέν
β) Ζηmicroιά 53 euro γ) 32 κιλά λιγότερο βάρος
δ) Αύξηση 1 ε) 724 microέτρα πάνω από την
επιφάνεια της θάλασσας
2 α) Ετερόσηmicroοι β) Οmicroόσηmicroοι θετικοί
γ) Οmicroόσηmicroοι αρνητικοί δ) Ετερόσηmicroοι
ε) Ετερόσηmicroοι
3 α) Οmicroόσηmicroοι του ndash023 είναι οι αρνητικοί
αριθmicroοί ndash3 ndash1502 1 1
310 5
minus minus
β) Ετερόσηmicroοι του 3
17minus είναι οι θετικοί
αριθmicroοί 911 2 +1032
9+
4 Αrarr12 Βrarr+3 Γrarr 17
5+ ∆rarr ndash03
Εrarr 3
2minus rarr ndash4 Οrarr0
5 Οι αριθmicroοί αυτοί είναι ndash3 ndash2 ndash1 0 +1 +2
Α72 Απόλυτη τιmicroή ρητού ndash Αντίθετοι ρητοί ndash Σύγκριση ρητών 1 185+ =185 31minus =31 0 =0
5
3=
5
3 6minus =6 και 6+ =6
2 α)ndash2 + +5 ndash ndash3 =2+5ndash3=7ndash3=4
β) 5+10ndash15=0
γ) 35+15ndash15=185ndash15=17
δ) 9 7 1 5
4 4 4 4+ minus minus =
10 5
4 2=
ε)31ndash8+0ndashndash8=31ndash8+0ndash8=
=31ndash16=15
στ) 2 3
3 16
sdotsdot minus =
63
6minus = 3 1 2minus =
3
Αριθmicroός ndash5 +1 +8
ndash8 ndash73
11
6+
1
10+
Αντίθετος +5 ndash1 ndash8
+8 +73
11
6minus
1
10minus
Απόλυτη
τιmicroή 5 1 8 73
11
6
1
10
4
x +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
ndashx ndash2 ndash3 +4 ndash5 ή
+5
ndash6 ή
+6
ndash(ndashx) +2 +3 ndash4 +5 ή
ndash5
+6 ή
ndash6
χ 2 3 4 5 6
χminus 2 3 4 5 6
5 Οι ακέραιοι αυτοί αριθmicroοί είναι το ndash6 και το
+6
6 ndash3 lt +7 ndash5 lt ndash2 +3 gt +1 0 gt ndash4 +9 gt 0
ndash02lt +01 ndash(ndash2) = 2 ndash(ndash3) gt ndash3
0 lt ndash12
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ndash25 lt ndash1 ndash38 gt ndash38
ndash075= 3
4+
9
2+ gt
11
9minus
4
5+ lt
5
4+
4
5minus gt
5
4minus
7 α) +7gt+3gt2gt0gt ndash2gt ndash3gt ndash6gt ndash10
β) ndash100ltndash78lt9
4minus ltndash201lt+198lt
7
2+ lt
lt+4lt100
8 α) ndash4 ndash123 0 +2 100
7
β) 7 8 9 10 11
2 2 2 2 2
minus minus minus minus minus
γ) ndash3 ndash1 0 2 26
9 α) x= +100 ή x= ndash100 β) x=0 γ) ∆εν υπάρ-
χουν τέτοιοι ακέραιοι αριθmicroοί αφού η α-
πόλυτη τιmicroή ως απόσταση είναι microη αρνητι-
κός αριθmicroός
δ) x=0 ή x= ndash1 ή x=1 ε) x=+4 ή ndash4 x=+5 ή
ndash5 x=+6 ή ndash6 κλπ στ) x=+5 ή ndash5 x=+6 ή
ndash6
Α73 Πρόσθεση ρητών αριθmicroών 1 α) (ndash28)+(+17)= ndash11 β) (ndash49)+(ndash53)= ndash102
γ) (ndash60)+(+14)= ndash46 δ) (ndash13)+(+13)=0
ε) 2 1
13
3 33
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎠ ⎝ ⎠
+⎝
στ) 4 6 2
5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
minus⎠
+
ζ) 3 10
6 6
1 5 7
2 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎠
η) (ndash7)+(ndash7)= ndash14 θ) (ndash1)+(+12)= +11
ι) (+4)+(ndash13)= ndash9 κ) (+12)+(ndash13)= ndash1
2 α) (ndash3)+(ndash15)= ndash18 β) (ndash25)+(ndash5)= ndash75
γ) (ndash81)+(+124)= +43 δ) 1
( 03)2
⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
( 05) ( 03)= + + minus = +02 ε) 7
3minus
στ) 17 9
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34 45
10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=11
10minus
3 ( 17 12) ( 12 5) 5 17 minus + ⎯⎯rarr minus minus ⎯rarrminus⎯+ +minus
( 12 7) ( 5 25 71 )minus + ⎯⎯rarr minus ++ +⎯⎯rarrminus +
4
+ ndash1 +4 3
2
ndash4 ndash5 0 ndash25
+02 ndash08 42 +17 5
2minus ndash35 15 ndash1
13
+ 2
3minus
13
3+
11
6+
5 α) ndash6 β) (+10)+(ndash14)= ndash4
γ) (+10)+(ndash16)= ndash6
δ) (ndash134)+(+1495)= +155
ε) 1 4 2 7 3
5 5 5 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=5 12
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
5minus
2 7 1 2 4
3 2 6 1 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + minus + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26 20 6
6 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + + = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ndash1
6 α) Α=(ndash78)+(ndash48)+(ndash01)+(+38)+6=
=(ndash127)+(+98)= ndash29
β) Β=(+78)+(+48)+(ndash6)+(+01)+(ndash38)
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
γ) +29 Οι τιmicroές των παραστάσεων Α και
Β είναι αριθmicroοί αντίθετοι
7 α) x=3 y= ndash138 x+y=3+(ndash138)= ndash108
β) x= ndash106 y= 8 x+y= ndash26
Α74 Αφαίρεση ρητών αριθmicroών 1 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Λ η) Σ
2 (+3)+(ndash2)=1 (+4)+(+2)=+6
(ndash4)ndash(ndash3)=(ndash4)+(+3)= ndash1 (ndash2)+(ndash5)= ndash7
(ndash275)+(+065)= ndash21 (ndash2)+(ndash01)= ndash21
11 1 12
8 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2+
1 5 6
4 4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
2minus
15 8
20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23
20+
)+4( ) ( 5 1minus + = minus
(ndash8)ndash(ndash13)= +5 (+8)ndash(+6)= +2
(ndash18)ndash(ndash18)=0 (0)ndash(+12)= ndash12
(ndash5)ndash(+6)ndash(ndash4)= ndash7 (+9)ndash(ndash6)ndash(+15)=0
(ndash24)ndash(ndash7)ndash(ndash10)= ndash7
17ndash(+3)ndash(+7)ndash(ndash13)= +20
3 Μετατρέπουmicroε τις αφαιρέσεις σε προ-
σθέσεις
α) (ndash8)+(ndash5)+(ndash3)+(+1)=(ndash16)+(+1)= ndash15
β) (+5)+(+3)+(ndash6)+(ndash8)+(+4)+(+5)=
=(+5)+(+3)+ (+4)+(+5) +(ndash6)+(ndash8)=+3
γ) (ndash23)+(ndash16)+(+12)+(ndash08)=
=(ndash23)+(ndash16)+(ndash08)+(+12)=
=(ndash47)+(+12)= ndash35
δ) 1 3 7 9
10 10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 16 12
10 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
5minus
4 5 10 15ε)
20 20 20 20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
5
4 Αν α= +1 β= ndash2 και γ= +3 τότε α+β= ndash1
α+β+γ= +2
αndashβndashγ= +1ndash(ndash2)ndash(+3)=+1+(+2)+(ndash3)=0
Αν α= ndash1 και α+β= ndash9 τότε
β=(ndash9)ndash(ndash1)=(ndash9)+(+1)= ndash8 α+β+γ= ndash12
αndashβndashγ=(ndash1)ndash(ndash8)ndash(ndash3)=(ndash1)+(+8)+(+3)= +10
Αν α=+4 β=+2 τότε α+β=+6 και αφού
α+β+γ= ndash10 έχουmicroε ότι
γ=(ndash10)ndash( +6)=(ndash10)+(ndash6)= ndash16
αndashβndashγ=(+4)ndash(+2)ndash(ndash16)=(+4)+(ndash2)+(+16)=
=+18
Αν α+β+γ= ndash5 και α+β= +15 τότε
γ=(ndash5)ndash(+15)=(ndash5)+(ndash15)= ndash20 Αν α= ndash10
και α+β=+15 τότε β=(+15)ndash(ndash10)=
=(+15)+(+10)=+25
αndashβndashγ=(ndash10)ndash(+25)ndash(ndash20)=
=(ndash10)+(ndash25)+(+20)= ndash15
α β γ α+β α+β+γ αndashβndashγ
+1 ndash2 +3 ndash1 +2 0
ndash1 ndash8 ndash3 ndash9 ndash12 10
+4 +2 ndash16 +6 ndash10 18
ndash10 25 ndash20 +15 ndash5 ndash15
5
α β αndashβ α βminus α βminus
+12 ndash4 +16 16 12ndash4=8
ndash3 ndash12 +9 9 3ndash12= ndash9
ndash8 ndash1 ndash7 7 8ndash1=7
+1 ndash7 +8 8 1ndash7= ndash6
Αν αndashβ=+9 και α= ndash3 τότε (ndash3)ndashβ=+9 και
β=(ndash3)ndash(+9)= ndash12
Αν αndashβ= ndash7 και β= ndash1 τότε αndash(ndash1)= ndash7 και
α=(ndash7)+(ndash1)= ndash8
Αν αndashβ= +8 και α= +1 τότε (+1)ndashβ= +8 και
β=(+1)ndash(+8)= ndash7
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 Το άθροισmicroα των αριθmicroών της διαγωνίου
είναι
(ndash20)+(ndash5)+(+10)+(+25)=(ndash25)+(+35)=10
Συmicroπληρώνουmicroε τα υπόλοιπα κενά ώστε
τα αθροίσmicroατα των γραmicromicroών των στηλών
και της άλλης διαγωνίου να προκύπτουν
ίσα microε 10
ndash11 +19 +22 ndash20
+4 ndash2 ndash5 +13
ndash8 +10 +7 +1
+25 ndash17 ndash14 +16
7 α) ( ) ( )χ 4 17 β) 195 χ 15+ minus = minus minus + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
χ 17 4 χ 15 195
χ
13
17 4 χ 15 195
χ χ 345
= minus minus minus = + minus minus
= minus + +
minus= = +
= + + +
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
γ) 5 χ 6 δ) 4 χ 12
χ 5 ( 6) χ 4 12
χ
11
5 6 χ 4 12
χ χ 16
minus = minus minus minus = +
= minus minus = minus minus +
= + +
+
+ minus
= = minus
= minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ε) 1 2 3 χ 4 5
1 2 3 χ 4 5
2 χ 9
χ 9 72 9 2
minus minus minus + minus minus = minus minus +
minus + + + minus minus = minus + minus
minus minus = minus
= minus minus minus = + + = +minus
8 x= +3 y= ndash7 ω=3
4+
Α=xndashy=(+3)ndash(ndash7)=(+3)+(+7)= +10 Β=yndashω=
=(ndash7)3 31
4 4
⎛ ⎞minus + = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
Γ=ΑndashΒ=71
( 10)4
31
4
⎛ ⎞+ minus minus =⎝
+⎜ ⎟⎠
9
Α α β γ δ ε στ
Β 3 2 1 4 6 5
10 Ίσες microε την x+y είναι οι παραστάσεις α) ζ)
και η) Ίσες microε την xndashy είναι οι παραστά-
σεις γ) δ) και ε) Ίσες microε την yndashx είναι οι
παραστάσεις β) και στ)
11 α) ndash2+3+6ndash8ndash12ndash7= ndash2ndash8ndash12ndash7+3+6=
= ndash29+9= ndash20
β) ndash15ndash8ndash3ndash7+9+1+6+4= ndash33+20= ndash13
γ) 1
3minus
2 5 1 3
3 4 2
1
34+ minus + minus + 1
2 1 5 3 2 1 81 1
3 2 4 4 3 2 42 1 2 1
2 1 33 2 3 2
minus =
= + + minus minus minus = + + minus minus =
= + minus minus = + minus =
2 1 3 4 3 18
3 2 1 6 6 6= + minus = + minus =
11
6minus
δ) 5ndash(ndash3+14ndash12+21)=5+3ndash14+12ndash21=
=5+3+12ndash14ndash21=20ndash35= ndash15
ε) ndash35+(ndash37+2+35ndash12)ndash23+32=
= ndash35ndash37+2+35ndash12ndash23+32=
= ndash35ndash37ndash12ndash23+2+35+32=
= 0ndash37ndash12ndash23+2+32= ndash72+52= ndash2
Α75 Πολλαπλασιασmicroός ρητών αριθ-microών
1 α) ndash30 ο αντίστροφός του είναι 1
30minus
β) +40 ο αντίστροφός του είναι το 1
40
γ) 21
8minus ο αντίστροφός του είναι το
8
21minus
δ)6 3
28 14+ = ο αντίστροφός του είναι το
14
3
ε) 05 ο αντίστροφός του είναι το 2
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2 α)
ndash5 1
6+ ndash2
ndash1 +5 1
6minus +2
+3 ndash15 3 1
6 2= ndash6
1
2+
5
2minus
1
12 ndash1
β)
ndash3 4 1
2minus
ndash2 +6 ndash8 1
+5 ndash15 20 5
2minus
1
3 ndash1
4
3
1
6minus
3 (α βΑ (5
)1
3)⎛ ⎞= minus sdot minus sdot⎟
⎠sdot =⎜
⎝
( 53
53
15
5)minus⎛ ⎞= + sdot = minus =⎜
⎝ ⎠minus⎟
Β= ndash(α middot β) (ndash24) 10 (ndash1)= ndash(ndash5) 24=
= 120
4 α) 4ndash15= ndash11
β) (+2)+(+3)=+5
γ) 1 ( 1)+ + = 23 6
δ)10 10
⎛ ⎞minus + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
10
ε) (+24)+(ndash10)=14
5
x ndash5(xndash2)+4
10 ndash5(10ndash2)+4= ndash5 middot 8+4= ndash40+4= ndash36
+2 ndash5(+2ndash2)+4= ndash5 middot 0+4= 0+4= 4
ndash3 ndash5(ndash3ndash2)+4= ndash5 middot (ndash5)+4=25+4=29
45 ndash5(45ndash2)+4= ndash5 middot 25+4= ndash125+4=
ndash85
1
5
1 2 1 105 4 5 4
5 1 5 5
9 455 4 4 9 4 13
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus minus + = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
6 αgt0 βlt0 γ=0 δlt0
7 α) +(7 3 2)=42 β) ndash(10 2 3 1 2)=
= ndash120
γ)(ndash5) 4 (ndash1)=20
δ) 1 1
(5 2 025 3)5 2
minus sdot sdot sdot sdot sdot =
=1
55
(1
22
025 3)minus sdot sdot sdotsdotsdot =
(02 15 3)1= minus sdot sdot sdot = ndash075
ε) 1 5 7 1
2 3 4 2
⎛ ⎞+ sdot sdot sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠
35
48
8 Α=(3ndash2)(3+2)(3ndash3)(3+3)=1 5 0 6=0
Β=(ndash3)(ndash3+1)(ndash3ndash1)(ndash3+2)(ndash3ndash2)=
=(ndash3)(ndash2)(ndash4)(ndash1)(ndash5)= ndash120
Γ=(ndash2)(ndash2+3)(ndash2ndash3)(ndash2+11)=
=(ndash2)(+1)(ndash5)(+9)=90
∆=(ndash1)[3(ndash1)+1][5(ndash1)+2][1ndash(ndash1)]=
=(ndash1)(ndash3+1)(ndash5+2)(1+1)=(ndash1)(ndash2)(ndash3) 2=
= ndash(1 2 3 2)= ndash12
9 α) 7 (12ndash15)=7 (ndash3)= ndash21
β) 075(ndash70+20)= 075 (ndash50)= ndash375
γ) ( 4)3
5( 2)sdot minus +⎛ ⎞minus⎜ ⎟
⎝ ⎠minus =⎡ ⎤⎣ ⎦ )
3
5( 6
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
sdot minus =18
5
δ) ndash96(ndash2)=192
ε) 03(ndash01+003)= 03(ndash007)= ndash0021
10 α) (αndash5) 2 =2αndash10 β) (βndash6)(ndash1)= ndashβ+6
γ) (α+1)(β+7)=αβ+7α+β+7
δ) (8ndashα)(5+β)=40+8βndash5αndashαβ
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11 1 1( 3)( 2) [ 3 ( 2)]
2 2minus minus sdot minus minus minus minus sdot =
6 1 1( 3 2) 3 ( 1)
2 2 2= minus minus + sdot = minus minus sdot =
3 1 6 1
1 2 2 2= + = + =
7
2
12 Α=xyz Β=yzω Γ=x(ΑndashΒ) ΒΓndashΑ
ndash2 ndash6 ndash4 26
24 ndash8 96 ndash792
Α75 ∆ιαίρεση ρητών αριθmicroών
1 +21
α) 5
β) 5
6+
+ = minus minus = minus
minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝
minus
⎠
+
minus
γ) ( 40) ( ) 8 δ) ( )( 2) 8
1 5ε) 0 στ) 1
2 7
1ζ)
5 +16
50
7
4(
4
3) 3
2
ndash2 ndash4 10 0
+5 2
5minus
4
5minus
102
5+ = 0
ndash3 2
3+
4
3+
10
3minus 0
ndash1 2 4 ndash10 0
3 α) +5 β) ndash45 γ) ndash1 δ) 3
3
9
1minus = minus ε) ndash12
7στ) ζ) ( 1) η)
2
3 7 4
11 2
3 2 6θ)
4 9 3
1
6
81
6
+ minus⎛ ⎞minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎠
minus⎝ ⎝
4 α) x=120(ndash4)= ndash30
β) ndash15 x= ndash60 x=(ndash60)(ndash15)= 4
γ) x= ndash3 9= ndash27
δ)2 3 2 5
x 7 5 7 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus minus = + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10
21
ε) x=(ndash6)(ndash11)=66
5 24α)
12
2
minus=
minus5 4 9
β) 3 3
3+
= =minus minus
minus
minus minusminus = = =+
minusminus minus
6 7 2 5γ) δ)
6 1 4 3
51
3
6 α) 6(ndash3)= ndash2 β) 15(ndash2) 15
2= =minus
15
2minus
γ) ndash186+(ndash64)(ndash10)=(ndash3)+(+64)=34
δ) ndash4+(+5)ndash(ndash4)= ndash4+5+4=5
ε) (ndash20)(ndash3+8)=(ndash20)5= ndash4
στ) (ndash63ndash7)(ndash10)=(ndash70)(ndash10)=7
ζ) 3 (2+3)+(ndash6)(ndash2)= 3 5+3=15+3=18
η) (ndash3) [ndash2ndash(ndash3)]=(ndash3)(ndash2+3)= (ndash3) 1= ndash3
θ) (ndash10+9)(ndash1ndash2)=(ndash1)(ndash3)=1
3+
7 120 1
α) ( 24) ( 24) ( 5)5
⎛ ⎞minus minus = minus sdot minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2 15 21β)
2 21 2 2
315
4
⎛ ⎞= sdot minus =⎟ minus⎜minus ⎝ ⎠
3 2 1 1 1γ)
7 71
7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 4 2 11 3δ)
20 20 3
33
4020 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus = minus sdot minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 5 5 2 4 9 5 3ε)
3 2 6 5 5 6 6 6 5
8 5 40
6 3 18
20
9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus + minus = minus minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= minus sdot =minus =⎜ ⎟⎝
minus⎠4 1 3 15 2
στ) 4 4 4 6 6
3 3 13 13 6 ( 1) ( 1)
4 4 6 6 1
6
13 3
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus minus =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= minus = minus = minus sdot =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
minus⎦
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
8
(α+β)γ α βndashαγ α(β γ)
ndash20 272 2
ndash24 ndash15 ndash10
9 1 3 ( 2) 1 3 2Α
3( 1 3
4
3)
minus + minus minus minus + += = =
minus minusminus
Β=[(ndash1ndash3)(ndash2)]ndash[(ndash1) 3 (ndash2)][(ndash1+(ndash2)]=
=(ndash4)(ndash2)ndash6(ndash3)= 2+2=4
Α77 ∆εκαδική microορφή ρητών αριθmicroών 1 α) ndash35 β) 275 γ) 041
δ) ndash0 6 ε) 1 09 στ) 05 3
2 α) 6 521 18072
10 100
β) γ) 1000
minus
δ) 29
9 ε)
1074
99 στ)
858
90
η) 9002
900
3 α) 8 β) 29 γ) 2452 δ) 141
Α78 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη φυσικό 1
α ndash1 ndash10 01 ndash02 1
2+
2
3minus
α2 1 100 001 004 1
4
4
9
α3 ndash1 ndash1000 0001 ndash0008 1
8
8
27minus
α4 1 10000 00001 00016 1
16
16
81
2 α=81ndash16ndash1=64 β=3 32=96
γ=15+27=42 δ=144ndash100=44 και
ε=5 27=135 Εποmicroένως εgtβgtαgtδgtγ
3 α) (ndash3)4=81 β) (ndash2)5= ndash32 γ) (ndash1)85= ndash1
δ) 52 515=517 ε) (34)2=38
στ) 5
4 55
5= ζ) (ndash2)11(ndash2)8=(ndash2)3
η) (7873) 74=79 θ) 124 103=12400
4 4
4 3 1
3
3α) 3 Β3 3
3minus= = = rarr
β) ndash9+9=0 Γrarr γ) 23 21=23+1=24 Γrarr
δ) 4 3
4 38 42 2 16 8
4 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Β8= rarr
ε) Βrarr στ) 86 2 8
8
8 8
6 6 62
3Β
3 3
+ ⎛ ⎞= = = rarr⎜ ⎟⎝ ⎠
ζ) 3 3
31 3 4 12Γ1 1
2 2 3 12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = = rarr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
η) ndash1+1ndash1= ndash1 Γrarr
5 α) 518 β) (ndash3)7 γ) (ndash9)30ndash19=(ndash9)11 δ) 6
1
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ε) (ndash9)3 2 =(ndash9)6=96 στ) (025 8)8=28
ζ) 34 (31032)=34 38=312
η) 427 46=427ndash6=421
θ) 3 3
3 11 2 6
3 12 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞sdot sdot = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 α) ndash2+4+(ndash8)ndash16+32=10
β) (25ndash46+2) 34 =(ndash01) 81 = ndash81
γ) 42 5ndash813+2=21ndash27+2= ndash4
δ) 5 (ndash8)+819+8ndash1= ndash40+9+8ndash1= ndash24
7 α) 2 (10ndash8)+(5 9)(ndash15)=2 2+45(ndash15)=
=4+(ndash3)=1 2 3 4
6 9 14β)
3 3 7
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 4( 2) ( 3) ( 2)= minus + minus minus minus =
=4ndash27ndash16= ndash39
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞minusminus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
3 3
2 1 11 4 3
2 2 24 4 4γ) 1 12 3 1
27 273 3 3
1 3 27 81 274
14 1 4 427
sdot⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus = minus minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠minus3
8 α) Α=3(1ndash3)3ndash2 33+(1ndash3)3ndash1 =
=3(ndash2)3ndash2 27+(ndash2)2=3 (ndash8)ndash2 27+4=
= ndash24ndash54+4= ndash74 2
2 21 1 1β
17) (4 2 2 4
4 4)
2 4
⎛ ⎞minus + minus = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
2 2 2
2
( 2) ( 2 1) 4 ( 1)γ)
4 1( 2) 1 [1 ( 2)] (1 2)
4 1 4 1 4 9 36
3 3 9 3 1 31
32
minus minus + minus= =
minusminus minus minus minus +
minus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = sdot minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
minus
9
x y x2+y2 (xndashy)2+2xy
ndash1 2 (ndash1)2+22=1+4=
=5
(ndash3)2ndash4=9ndash4=
=5
3 ndash1 10 10
ndash3 ndash2 13 13
06 01 037 037
10 α=1+(ndash8)= ndash7
β=(16ndash2)( ndash7)=14(ndash7)= ndash2
γ=3 8ndash5 4+1=24ndash20+1=5
Α=(ndash7)ndash(ndash2)5= ndash7+04= ndash66 και
Β=[ndash7ndash(ndash2)]25=(ndash7+2)25=(ndash5)25=255=5
Α79 ∆υνάmicroεις ρητών αριθmicroών microε εκ-θέτη ακέραιο
1 3 2
1 1α) β)
6 ( 4)
1 1
216 16= =
minus
3 2
3 2
3
2 4γ) 2 δ) (8 16 4)
1 1
5ε)
3
125
27
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠
minus
2
Α α β γ δ ε στ
Β 2 6 1 3 5 4
3 α) (ndash2)9 lt 0 β) 0 lt (ndash3)ndash8 γ) (ndash1)100 gt (ndash1)101
δ) 3ndash9 gt 3ndash10 ε) (ndash3)0 gt ndash30
στ) -6 6
=2 5
5 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ) 4ndash5 =5
14
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
α β (α+β)ndash1 (α β)ndash2
ndash2 5 3ndash1=1
3 (ndash10)ndash2=10ndash2=001
1 1
2
13 2
32
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
21
242
minus⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
5
1
5minus
11
55
minus⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
25
2
⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠
=625
4
ndash05 ndash02
(ndash07)ndash1= 10
7= minus
[(ndash05) (ndash02)]ndash2 =
= ( ) 2 201 1 00 1 0minus= =
5 Α=21ndash4+21ndash3+21ndash2+21ndash1 =2ndash3+2ndash2+2ndash1+20= 15
8
Β=3 2ndash2+1 ndash2 (ndash2)2+6 (ndash2)ndash2+2=
=3 2ndash1ndash2 4+6 (ndash2)0= 1 3
3 8 62 2
11 8 6
2= sdot minus + sdot = = minusminus +
2 1 0 2
2 1
1 1 1 1Γ
2 2 2 2
2 2 1 11 4 2 1
13
41 1 4 4
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + minus + minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= minus + minus + + = minus + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
6 1 3α) 1+
2
2Β = rarr
5 4β) 10 10 10 00001 Βminus minussdot = = rarr
2 3 1 1γ) 5 5 Α
5minus minus= = rarr
3 2 3 22 3 4 9
δ) 4 9 2 3
minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
1+5 4 ( 2) 6 6
4 22 5 3
5
2 3 8 9 17
ε) 2 2 2 2 0
10στ) 10 10 0001
10
Γ
Α
Α
minus minus
minusminus minus
= + = + = rarr
minus = minus = rarr
= = = rarr
1 11 92 2ζ)
1 1 2Α
0 019 9
minus= = rarr
+
2 3 2 1 2 2
2
1 1η) (5 ) (5 )
25Β5
5minus minus minus= = = = rarr
7 α) (ndash3)(ndash3)ndash8(ndash3)18=(ndash3)1ndash8+18=(ndash3)11
( ) 205 1 8 1 5 1 8 20
5 1 8 620 1
β) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
minusminus minus minus minus minus
minus minus +
sdot sdot sdot = sdot sdot sdot =
= =
3 33 2 11 4 3 3 3
4 4
7 7γ) (7 ) (7 )
7 7
minusminus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9
9
77
1minus ⎛= ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
15 15 15 15
1
1
5 15 15 15
1
5
5 15
2 3 (2 3) 6δ)
3 4 (3 4) 12
6 12
122
6
minus minus minus minus
minus minus minus minus
minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 2 3 6 4
4 10 4 7
x y x yA
x y x y
minus minus
minus minus
sdot sdot sdot= =
sdot sdot sdot
2+6 3+4 4 1
4 4 10 7 0 3
x y x y
x y x y
minus minus
minus minus + minus
sdot sdot= = =
sdot sdot
4 14 1 ( 3) 4 4
3
x yx y x y
1 yminus minus
minus
sdot= = sdot = sdot =
sdot
4 4x 1 1( y)= sdot = =
9 α) x=59511=59ndash11=5ndash2=2
1
5
1
25=
β) x=232ndash3=23ndash(ndash3)=23+3=26=64
γ) x=28 2ndash7=28ndash7=21=2
δ) x=2ndash2 ndash2ndash1 =1 1
4 2
1
4minus = minus
ε) x =3ndash1+3ndash2 =1
3
41
9 9+ =
10 α) x= ndash1 β) x= ndash4 γ) x= ndash4 δ) x= ndash15
ε) x= 5ndash3=1
125 στ) x=7 ζ) x=3 η) x= ndash5
θ) x=105
11 x 10 ndash100 01 ndash001 104 10ndash4
xndash1 01 ndash001 10 ndash100 00001 10000
xndash2 001 00001 100 10000
00hellip01
8 microηδε-
νικά
100
8 microηδε-
νικά
χ ndash2 1
2 5 104 2 10ndash3
xndash1 1
2minus 2 000002 500
xndash2 1
4 4
0000000000 4
10 microηδενικά
250000
α) (5 104)ndash1 = 4110 02 00001
5minussdot = sdot =
000002=
4 2 81β) (5 10 ) 10 004 0000000
00000000004
10 microηδεν
125
ικά
0minus minussdot = sdot = sdot =
=
γ) (2 10ndash3)ndash1 = 2ndash1 103 = 1
2 1000=500
δ) (2 10ndash3)ndash2 = 2ndash2 106 =
=1
100000 250 04
00 0sdot =
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5
40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Α710 Τυποποιηmicroένη microορφή microικρών αριθmicroών 1 α) 7 10ndash8 β) 38 10ndash9 γ) 765 10ndash11
2 α)
12
0 00 0
θέσεις
3 β) 0 00000 4
θέ
7
6 σεις
γ) 0 0000 01
θέ5 σεις
2
3 α=6 10ndash6 β=24 10ndash6
α2=36 10ndash11
β2=576 10ndash12
α β=144 10ndash11
α+β=(6+24) 10ndash6=84 10ndash6
4 α) 63 10ndash9 gt 603 10ndash9
β) 7 10ndash6 lt 7 10ndash5
γ) 2 10ndash4 gt 98 10ndash5