52
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.4 Στρογγυλοποίηση των αριθμών Αν α= + και β=2 3 +(4-2)(3 -2)-3 2 . Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α=α:2β και να γίνει στρογγυλοποίηση στο ψηφίο του δέκατου. 1.5 Η έννοια της μεταβλητής 1. Να βρεθεί με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο αριθμός 23 για να μας δώσει γινόμενο 35. 2. Με ποιον αριθμό πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμό 37 για να βρούμε πηλίκο 17; 3. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στο 27 για να μας δώσει άθροισμα τον αριθμό 2; 1.6 Η έννοια της εξίσωσης Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2/3 = 8/Χ , β) (Χ-2)/5 = 2 , γ) Χ *3/4 = 1 , δ)(Χ + 3) / 5 =1 , ε) (3-Χ)/7 = 0 , στ) (Χ -2) /1 =5 1.9 Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών Να γίνουν οι πράξεις : i) 2,55:10 ii) 0,34:17 iii) 2,4:100 iv) 12,6 . 3,25 v) 0,1 . 0,2 vi) 0,3 . 1000 1.10 Πολλαπλάσια φυσικού αριθμού και 1.14 Διαιρέτες φυσικού αριθμού 1. Έστω χ=ΕΚΠ(3,4) και ψ=ΜΚΔ(6,9) α) να υπολογίσετε χ,ψ β) να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=χ+(2 ψ +ψ·4):2 2 – 16:2 2. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π των αριθμών 15, 12, και 10. 1

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1.4 Στρογγυλοποίηση των αριθμών

Αν α= + και β=23+(4-2)(3 -2)-32 . Να υπολογιστεί η τιμή της

παράστασης Α=α:2β και να γίνει στρογγυλοποίηση στο ψηφίο του δέκατου.

1.5 Η έννοια της μεταβλητής

1. Να βρεθεί με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο αριθμός 23 για να μας δώσει γινόμενο 35.

2. Με ποιον αριθμό πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμό 37 για να βρούμε πηλίκο 17;

3. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στο 27 για να μας δώσει άθροισμα τον αριθμό 2;

1.6 Η έννοια της εξίσωσης

Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2/3 = 8/Χ , β) (Χ-2)/5 = 2 , γ) Χ *3/4 = 1 , δ)(Χ + 3) / 5 =1 ,ε) (3-Χ)/7 = 0 , στ) (Χ -2) /1 =5

1.9 Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικώνΝα γίνουν οι πράξεις :

i) 2,55:10ii) 0,34:17iii) 2,4:100

iv) 12,6.3,25v) 0,1.0,2vi) 0,3.1000

1.10 Πολλαπλάσια φυσικού αριθμού και 1.14 Διαιρέτες φυσικού αριθμού

1. Έστω χ=ΕΚΠ(3,4) και ψ=ΜΚΔ(6,9) α) να υπολογίσετε χ,ψ β) να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=χ+(2ψ+ψ·4):22 – 16:2

2. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π των αριθμών 15, 12, και 10.

1.11 Δυνάμεις αριθμών

1. Ποιος είναι ο ορισμός της δύναμης ενός αριθμού υψωμένου σε φυσικό αριθμό.

2. Πώς ορίζουμε τις δυνάμεις με βάση 10. 3. Τι λέγεται νιoστή δύναμη ενός αριθμού α ;

1

Page 2: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

4. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α= 39:3+24(2+11)-32(2-15)-2(22+6)

5. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις : 13= ……, 0,14=……, 24=……, 53=……, 72=…... 32 =…….

6. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: 32 + ( 5.2 + 23 ) : (5 + 13) – 7 + 52.4

1.12 Η επιμεριστική ιδιότητα

1. Ποια είναι η επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση και ποιά ως προς την αφαίρεση.

2. Να συμπληρώσετε τα κενά. i) α(β+γ)=………. ii) αβ-αγ=………..

3. Να συμπληρώσετε με δύο τρόπους τις παραστάσεις: 5* (13 + 12) = ……………… 4* (4,5 – 2,3) =………………..

4. Να γράψετε τα παρακάτω σε απλούστερη μορφή: i) x+x+x+ψ+x+ψii) x.x.5.5.x.5.x iii) 10x−5x

1.15 Χαρακτήρες διαιρετότητας

1. Να γράψετε πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με τους αριθμούς 2,3,5,9 (τα κριτήρια διαιρετότητας)

2. Τι πρέπει να ισχύει ώστε ένας φυσικός αριθμός να διαιρείται με το 2 και το 3 ταυτόχρονα;

3. Γράψτε ένα φυσικό αριθμό που να διαιρείται με το 2 και το 3 ταυτόχρονα.

4. Να μεταφέρετε τις προτάσεις στο φύλλο εξετάσεων γράφοντας δίπλα από κάθε μία από αυτές τη λέξη Σωστό (αν είναι σωστό) ή τη λέξη Λάθος ( αν είναι λάθος) i) Αν ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλο, τότε θα διαιρεί και τα

πολλαπλάσιά του ii) Αν ένας αριθμός διαιρεί δύο άλλους αριθμούς τότε θα διαιρεί

και το άθροισμά τους iii) Ο αριθμός 673 διαιρείται με το 3iv) Ο αριθμός 565 διαιρείται με το 2 και με το 5.v) Ο αριθμός 5094 διαιρείται με το 2 και το 9.vi) Ο αριθμός 2 διαιρεί τον αριθμό 24587698. vii) Ο αριθμός 143 διαιρείται με 3

5. Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ταυτόχρονα με 2 και 5 , άρα το τελευταίο ψηφίο είναι ………

6. Ο αριθμός 1269 διαιρείται με 9 γιατί ………………………………………………………………….

7. Να συμπληρώσετε τα ψηφία στους παρακάτω αριθμούς:

2

Page 3: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

i) 5 __ 8 ώστε να διαιρείται με το 3ii) 4 __ 8 __ ώστε να διαιρείται με το 5 και το 9

8. Να δικαιολογήσετε γιατί ο αριθμός 15α+6α είναι πολλαπλάσιο του α και γιατί διαιρείται με το 3

9. Να γράψετε όλους τους φυσικούς αριθμούς που διαιρούν τον 18. 10. Αν ένας αριθμός διαιρείται ταυτόχρονα με 2 και 5, τότε το

τελευταίο ψηφίο του είναι :Α: 5 , Β: 2 , Γ: άρτιος , Δ: 0 , Ε: οποιοσδήποτε αριθμός

11. Δίνονται οι αριθμοί 675 , 1220 , 4404 και 7450. Χωρίς να κάνετε διαιρέσεις, να απαντήσετε ποιοι από αυτούς διαιρούνται i) με το 2 , ii) με το 3 , iii) με το 5 , iv) με το 9

12. Να μεταφέρετε το παρακάτω πίνακα στο φύλλο απαντήσεων και να γράψετε ΝΑΙ αν ο αριθμός διαιρείται και ΟΧΙ αν ο αριθμός δεν διαιρείται, με το 2,με το 5 , με το 3 και με το 9 στα παρακάτω κενά τετράγωνα του πίνακα. Ένας αριθμός μπορεί να διαιρείται με δύο η περισσότερους αριθμούς απ΄ τους 2,3,5 και 9 , γι΄ αυτό να συμπληρώσετε όλα τα κενά τετράγωνα.

1.13 Η τέλεια διαίρεση

α) Πότε μια διαίρεση λέγεται τέλεια και ποια ισότητα ισχύει β) Τι ονομάζουμε διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α : γ) Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς Δ, που, διαιρούμενοι με το 7 δίνουν πηλίκο 9.

1.16 Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Τι ονομάζουμε ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων :

1.17 Ευκλείδεια Διαίρεση

1. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια Διαίρεση; 2. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι Ευκλείδειες Διαιρέσεις και

ποιες όχι; (δικαιολογήσατε απάντηση)i) 143 = 11.12 + 11ii) 20 = 3.5 + 5iii) 176 = 10.17 + 6

αριθμός 2 3 5 9

3540        

375        

918        

3

Page 4: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

iv) 61=12 . 5 +1 v) 300=12 . 20 +60

3. Η Τέλεια Διαίρεση είναι Ευκλείδεια Διαίρεση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

4. Αν σε μια Ευκλείδεια διαίρεση ο διαιρέτης είναι 6 ποιες τιμές μπορεί να πάρει το υπόλοιπο ;

5. Δίνεται η ισότητα Δ = δ.π +υ με 0≤ υ < δ η οποία εκφράζει την ευκλείδεια διαίρεση του Δ δια του δ. Να ονομάσετε τις μεταβλητές Δ, δ, π και υ

6. α) Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος και πότε λέγεται σύνθετος; Ποιοι από τους άρτιους αριθμούς είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; β) i) Αν οι αριθμοί α και β είναι πρώτοι τότε το Ε.Κ.Π ( α,β) είναι : Α: α , Β: 1 , Γ: β , Δ: α.β ii) Αν οι αριθμοί α και β είναι πρώτοι τότε ο Μ.Κ.Δ ( α,β) είναι : Α: α.β , Β: α , Γ: 1 , Δ: β

1.20 Προτεραιότητα των πράξεων 1. Συμφωνούμε να εκτελούμε τις πράξεις για να υπολογίσουμε την τιμή

μιας αριθμητικής παράστασης στις παρακάτω περιπτώσεις: α) σε αριθμητικές παραστάσεις που δεν έχουν παρενθέσεις β) σε αριθμητικές παραστάσεις που έχουν παρενθέσεις

2. Αν μία αριθμητική παράσταση δεν έχει παρενθέσεις τότε βάλτε στη σειρά τις παρακάτω διαδικασίες για την εκτέλεση των πράξεων: εκτελούμε α) προσθέσεις και αφαιρέσεις ,β) δυνάμεις ,γ) πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις

2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2.5, 2.9, 2.10, 2.13 Οι κυριότερες μονάδες μήκους, εμβαδού και όγκου

1. Να γράψετε τις μονάδες μήκους. Ποια σχέση τις συνδέει;

2. Να κάνετε στο γραπτό σας τις παρακάτω μετατροπές μονάδων. α) 2187,62 mm=…..m = …. cm = …. dm β) 615.2 cm2=…. m2 =….dm2 =….mm2

γ) 315.21 dm3 =….m3 =…..cm3 =….mm3

3. Να συμπληρώσετε τα κενά : α) 1 km = …… m β) 1 mm = …… cm γ) 1 m = …… mm δ) 1 cm2 = …… mm2 ε) 1 dm2 = …… m2 ζ) 1 m3 = ...... cm3

η) 1 dm3 = …… λίτρα θ) 1 m3 = …… λίτρα

4

Page 5: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Αν η περίμετρος του διπλανού σχήματος είναι 800cm να βρεθούν όλες οι πλευρές του.

2.11 Εμβαδό ορθογωνίου και τετραγώνου

1. Πόσο είναι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου; Να γράψετε τον τύπο.

2. Ένα χαλί σε σχήμα ορθογωνίου παρ / μου έχει διαστάσεις 3,5 m και 245 cm. Να υπολογίσετε την αξία του, αν κοστίζει 78 € το m2.

3. Ένα παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 30 cm και η μία πλευρά του είναι 9 cm. Αν το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι 36 cm2, να υπολογίσετε τα ύψη του

4. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 1 m. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο ίση με την περίμετρο του τετραγώνου και το μήκος του είναι 50 cm. Να βρεθούν : α) το εμβαδόν του τετραγώνου β) το ύψος ( πλάτος ) του ορθογωνίου γ) το εμβαδόν του ορθογωνίου

5. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 30 cm .Το μήκος του

6. είναι διπλάσιο από το πλάτος του α) Να βρεθούν το μήκος και το πλάτος του β) Να βρεθεί το εμβαδόν του.

7. Ένα κτήμα σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου έχει εμβαδόν 5,6 στρέμματα και μήκος 800dm.α) Να υπολογίσετε το πλάτος του κτήματος.β) Πόσα μέτρα σύρμα χρειαζόμαστε για να το περιφράξουμε;γ) Πόση είναι η αξία του οικοπέδου αν το 1 τετραγωνικό μέτρο αξίζει 30 ΕΥΡΩ;

8. Να υπολογίσετε πόσα τετραγωνικά πλακάκια πλευράς 15 cm θα χρειαστούμε για να καλύψουμε ένα ορθογώνιο δάπεδο που έχει διαστάσεις 3 m και 15 dm.

9. Οι διαστάσεις ενός δωματίου είναι 3 m και 9 m. Θέλουμε να καλύψουμε το δάπεδο με τετράγωνα πλακάκια πλευράς 30 cm. α) Πόσα πλακάκια θα χρειαστούν ; β) Πόσο θα στοιχίσει η τοποθέτηση τους , αν για κάθε τετραγωνικό μέτρο πληρώνουμε , αν για κάθε τετραγωνικό μέτρο πληρώνουμε 3,8 €.

5

Page 6: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

10. Να βρεθεί το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας στο διπλανό σχήμα. 2)Τι ποσοστό του εμβαδού του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας;

11. Ένα χωράφι πουλήθηκε 900 €/στρέμμα και κόστισε 22.500 €. Αν το σχήμα του είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλάτος 125 m να υπολογίστε α) το μήκος του χωραφιού και β) τη περίμετρό του.

12. Στο σχήμα βλέπουμε μία αποθήκη δύο δωματίων και τις διαστάσεις τους (σε μέτρα).α) Να υπολογίσετε το συνολικό εμβαδόν της αποθήκης (σε τετραγωνικά μέτρα)β) Ο ιδιοκτήτης της αποθήκης την πουλά για 8250 ευρώ . Να υπολογίσετε πόσα ευρώ κόστισε το ένα τετραγωνικό μέτρο.

13. Το δάπεδο ενός δωματίου σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου με διαστάσεις 6,5m και 5m θα στρωθεί με τετράγωνα πλακάκια πλευράς 25cm. α. Πόσα πλακάκια θα χρειαστούν; β. Αν κάθε πλακάκι κοστίζει 0,95€, πόσα χρήματα θα κοστίσουν όλα τα πλακάκια;

14. Ο αγωνιστικός χώρος ΑΒΓΔ ενός γηπέδου μπάσκετ έχει διαστάσεις 26 m μήκος και 14 m πλάτος. Γύρω από τον αγωνιστικό χώρο υπάρχει διάδρομος πλάτους 0,65 m. Να υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδό του γηπέδου ΕΖΗΘ.

6

Α

Β Γ

8m

4m

Page 7: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

2.14 Όγκος ορθογωνίου παραλληλογράμμου

1. Μια πισίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει διαστάσεις: μήκος 20m, πλάτος 1000cm και ύψος 5000 mm. α) Να βρεθούν οι διαστάσεις της πισίνας σε dm. β) Να βρεθεί το εμβαδόν της βάσης της πισίνας σε dm2. γ) Να βρεθεί πόσα λίτρα ( l ) νερό χωράει η πισίνα.

2. Μια δεξαμενή έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 2,4 m 18dm και 120cm.Να βρείτε την χωρητικότητά της σε λίτρα.

3. Σ’ ένα δοχείο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου η βάση του είναι τετράγωνο με πλευρά 0,6 m και το ύψος του είναι 9 dm. Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του δοχείου σε lit και σε m3 .

2.15, 2.16 μονάδες μέτρησης χρόνου, μάζας

1. Να αντιστοιχίσετε το κάθε μέγεθος με τη μονάδα μέτρησής του :

1. ΜΕΓΕΘΟΣ 2. ΜΟΝΑΔΑ 1 Μάζα i) Km 2 Εμβαδόν ii

) ml

3 Χρόνος iii)

στρέμμα

4 Μήκος iv)

min

7

Page 8: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

5 Όγκος v) mg

2. Με 10 Kg αλεύρι φτιάχνουμε 13 Kg ψωμί. α ) Πόσα Kg ψωμί θα φτιάξουμε από 53 Kg αλεύρι; β ) Πόσο αλεύρι χρειαζόμαστε για να φτιάξουμε 100 Kg ψωμί;

3ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

3.1 Η έννοια του κλάσματος

1. Ποιοί είναι οι όροι ενός κλάσματος 2. Ποια κλάσματα λέγονται ομώνυμα και ποια ετερώνυμα ; 3. Σε ένα σχολείο με 1500 μαθητές τα 6/15 των μαθητών είναι κορίτσια.

Να βρείτε πόσα αγόρια είναι στο σχολείο

4. Σε ένα κατάστημα που κάνει έκπτωση σε όλα τα είδη του ίση με το

της αρχικής αξίας τους ένα σακάκι είχε 150 ευρώ πριν από την έκπτωση. Να υπολογίσετε: α) πόσα ευρώ έκπτωση γίνεται στο σακάκι και β) πόσα θα πληρώσουμε για να το αγοράσουμε.

5. Το 1/3 του περιεχομένου ενός δοχείου με λάδι αυτού ζυγίζουν 33 κιλά. Πόσα κιλά λάδι χωράει το δοχείο

6. Ένας υπάλληλος ξοδεύει για τη διατροφή του το 1/3 τού μισθού του, ενώ τα χρήματα που πληρώνει για ενοίκιο είναι ίσα με τα 2/5 του μισθού του. Αν του περισσεύουν 320 € , πόσος είναι ο μισθός του;

7. Σε μια εκδρομή του σχολείου με λεωφορείο πήγαν 360 μαθητές , μαθήτριες και γονείς .Οι μαθητές είναι το 1/2 των εκδρομέων ,οι μαθήτριες τα 7/18 των εκδρομέων και οι υπόλοιποι είναι γονείς . α) Πόσοι είναι οι μαθητές και πόσες οι μαθήτριες β)Τι μέρος των εκδρομέων είναι οι γονείς γ)Πόσοι είναι οι γονείς .

8. Τα των μαθητών ενός Γυμνασίου είναι κορίτσια. Εάν τα αγόρια

είναι 210 πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές του Γυμνασίου αυτού9. Να βρεθεί με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο αριθμός 2/3

για να μας δώσει γινόμενο 3/5. 10. Με ποιον αριθμό πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμό 3/7 για να

βρούμε πηλίκο 1/7 11. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στο 2/7 για να μας δώσει

άθροισμα τον αριθμό 2; 12. Ένα σχολείο έχει 189 μαθητές. Τα 2/3 των μαθητών πήγαν σε

μία σχολική εκδρομή. Να βρείτε : i) Πόσοι μαθητές πήγαν εκδρομή. ii) Πόσοι μαθητές δεν πήγαν.

8

Page 9: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

13. Αν στύψουμε 10 κιλά πορτοκάλια παίρνομε 6 κιλά χυμό. Ο

Νίκος αγόρασε 1.080 κιλά πορτοκάλια. Από αυτά πούλησε τα , και

τα υπόλοιπα τα έκανε χυμό, πόσο χυμό πήρε; 14. Ένας συνταξιούχος ξοδεύει κάθε ημέρα 2,40€ για τσιγάρα, 1,60€

για καφέ και 1,50€ για εφημερίδα. i. Πόσα € πληρώνει συνολικά τον μήνα για τσιγάρα, καφέ και εφημερίδα; ( ένας μήνας είναι 30 ημέρες)

ii. Τα συνολικά μηνιαία έξοδα για τσιγάρα, καφέ και εφημερίδα είναι το

της σύνταξης. Πόσα € είναι η σύνταξη; 15. Τα 3/7των μαθητών μιας τάξης είναι κορίτσια

Α) Να βρεθεί τι μέρος των μαθητών της τάξης είναι αγόρια ; B) Αν τα αγόρια είναι 16 πόσα είναι όλα τα παιδιά της τάξης ; Γ) Πόσα είναι τα κορίτσια ;

16. Ένας μελισσοκόμος πούλησε την α΄ εβδομάδα τα 2/3 της παραγωγής του , τη β΄ εβδομάδα το 1/5 της παραγωγής του και του έμειναν 360 Kg . α) Τι μέρος της παραγωγής του πούλησε τις δύο εβδομάδες ; β) Τι μέρος της παραγωγής του έμεινε ; γ) Πόση ήταν όλη η παραγωγή του ;

17. Τα 5/9 των εργατών ενός εργοστασίου είναι γυναίκες. Αν οι εργαζόμενοι άνδρες είναι 424 ,να βρείτε πόσα άτομα , συνολικά απασχολεί το εργοστάσιο.

18. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 6/20 m2 και το μήκος του είναι ¾ m. Ποιο είναι το πλάτος του; α) Σχηματίστε την εξίσωση που περιγράφεται από το παραπάνω πρόβλημα. β) Λύστε την εξίσωση που σχηματίσατε στο α)

19. Σε ένα σχολείο τα 3/5 των μαθητών είναι αγόρια. Α) Τι μέρος των μαθητών είναι τα κορίτσια ; Β) Αν τα αγόρια είναι 36 πόσα είναι τα κορίτσια

20. Σ ένα θέατρο τα 3/5 των θεατών είναι 120 άτομα. α) Να βρεθούν πόσοι είναι όλοι οι θεατές β) Αν τα 3/25 απ΄ όλους τους θεατές πήγαν στο θέατρο με προσκλήσεις να βρείτε πόσοι είναι αυτοί οι θεατές.

3.2 Το κλάσμα ως πηλίκο δύο φυσικών αριθμών

Να συμπληρώσετε τις ισότητες =…., =…., =…., =….

όπου α, λ φυσικοί αριθμοί, διάφοροι του μηδενός.

3.3 Ισοδύναμα κλάσματα

1. Πότε δυο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα. 2. Τι λέγεται απλοποίηση ενός κλάσματος.

9

Page 10: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

3. Ποια ιδιότητα των ισοδυνάμων κλασμάτων χρησιμοποιούμε 1) για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα 2)για να μετατρέψουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.

4. Να αναφέρετε δυο τρόπους για να δημιουργήσουμε ισοδύναμα κλάσματα και να δώσετε ένα παράδειγμα για τον καθένα από αυτούς.

5. Να μετατρέψετε το κλάσμα σε ένα ισοδύναμο με παρονομαστή τον

αριθμό 15. 6. Βρείτε ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 3/8 , το οποίο να έχει

παρονομαστή το 24. 7. Να λύσετε τις εξισώσεις

                                                8. Να βρείτε ένα κλάσμα που να είναι

i) μεγαλύτερο από το  και μικρότερο από το

ii) μεγαλύτερο από το  και μικρότερο από το

iii) μεγαλύτερο από

το  και μικρότερο από

το 9. Συμπληρώστε ώστε τα κλάσματα να είναι ισοδύναμα

 

10. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα

3.4 Σύγκριση κλασμάτων

1. Ποιο είναι μεγαλύτερο από δυο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή ; Ποιο είναι μεγαλύτερο από δυο κλάσματα με τον αριθμητή ; Δώστε ένα παράδειγμα για κάθε περίπτωση.

2. Αν α/ β < α/ γ τότε α< γ . 3. Αν α/ β < α/ γ τότε β< γ. 4. Συμπληρώστε τις φράσεις :

i. Από δύο κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μικρότερο είναι εκείνο που έχει …………………………… αριθμητή. ii. Από δύο κλάσματα που έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει …………………………… παρονομαστή.

5. Πώς συγκρίνουμε δύο κλάσματα; (3 τρόποι)

10

Page 11: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

6. Σε κάθε πρόταση κυκλώστε το σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) :

i. Σ Λ

ii. 1> Σ Λ

iii. Σ Λ

iv. Σ Λ

7. Να μεταφέρετε στο γραπτό σας τις ακόλουθες σχέσεις συμπληρωμένες με τα σύμβολα : > , = , < .

3.5, 3.6, 3.7και 3.9 Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

1. Πως προσθέτουμε ομώνυμα κλάσματα; 2. Πως προσθέτουμε ετερώνυμα κλάσματα;3. Πως αφαιρούμε ομώνυμα κλάσματα; 4. Πως αφαιρούμε ετερώνυμα κλάσματα;5. Πώς διαιρούμε δυο κλάσματα ;6. Τι λέγεται σύνθετο κλάσμα και πώς τρέπεται σε απλό; 7. Πώς πολλαπλασιάζουμε δυο κλάσματα;

Να αναφέρετε από ένα παράδειγμα για την κάθε περίπτωση 8. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές και ποιες λάθος.

i)

ii)

iii)

9. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης ( ): +2005

10. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A=4: (15-8-6)+

(21-15-6)

11

Page 12: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

11. Να κάνετε τις πράξεις

                                             

          12. Αν Α=2 * 3 + (1+2)2 και Β =12:3 – (1/2)* (1/5) α) Να βρείτε

την αριθμητική τιμή των παραστάσεων Α και Β προσέχοντας την προτεραιότητα των πράξεων β) Υπολογίστε το σύνθετο κλάσμα Α/Β. και απλοποιήστε το γ) είναι το κλάσμα Α/Β μεγαλύτερο του 1;.

13. Να γίνει απλό το σύνθετο κλάσμα:

14. H κυρία Αγγελική ζυγίζει 60 κιλά. Πηγαίνει στο μανάβικο και

αγοράζει: 3 κιλά πορτοκάλια, κιλά μήλα και κιλά μπανάνες. Όλα

τα φρούτα τα έβαλε σε μια μεγάλη σακούλα. Α)Πόσα κιλά ζυγίζουν όλα τα φρούτα; Β)Πόσα κιλά πρέπει να βάλει η κυρία Αγγελική ακόμα στη σακούλα ώστε το συνολικό βάρος της σακούλας να είναι ίσο με το 1/5του βάρους της κυρίας Αγγελικής;

15. Η Μαρία δίνει το της σοκολάτας στον αδερφό της το της

ίδιας σοκολάτας στην μητέρα της . Να βρείτε α) Ποιο μέρος της σοκολάτας της μένει

β) Αν από το μέρος της σοκολάτας που της έμεινε έφαγε τα να

βρείτε πόση της απέμεινε 16. Τα 5 κιλά κρασί κοστίζουν 7,5 ευρώ α) Πόσο κοστίζουν τα 12

κιλά β) Αν έχω 60 ευρώ πόσα κιλά κρασί αγοράζω;17. Ένας οινοπαραγωγός έχει 100 L κρασί . Θέλει να το

συσκευάσει σε φιάλες που η καθεμία χωράει 7/10 L . Να υπολογίσετε: α)Πόσες φιάλες χρειάζεται; β)Πόσο κρασί θα του μείνει ; (σε λίτρα)

18. Ένας παππούς μοίρασε στα τρία εγγόνια του ένα χρηματικό ποσό ως εξής : Το πρώτο εγγόνι πήρε τα 3/8 του ποσού , το δεύτερο τα 2/9 και το τρίτο πήρε τα υπόλοιπα . α) Τι μέρος του ποσού πήρε το τρίτο εγγόνι ; β ) Αν το τρίτο εγγόνι πήρε 260 € περισσότερα από το δεύτερο , πόσα χρήματα πήρε το καθένα ; γ) Να βρεθεί το συνολικό ποσό που μοίρασε ο παππούς στα εγγόνια ;

19. Από μια σοκολάτα έδωσα το 1/3 στη μητέρα μου, το 1/4 στον πατέρα μου και το 1/6 στον αδερφό μου.

12

Page 13: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

α) Να βρεθεί το μέρος της σοκολάτας που έδωσα. β) Να βρεθεί το μέρος της σοκολάτας που μου έμεινε.

20. Τρια αδέρφια μοιράστηκαν ένα ποσό .Ο πρώτος πήρε το ½ του ποσού .Ο δεύτερος πήρε το 1/3 που ήταν 200€ και ο τρίτος τα υπόλοιπα α) τι μέρος του ποσού πήραν ο πρώτος και ο δεύτερος μαζί; β) τι μέρος του ποσού πήρε ο τρίτος γ) ποιο ήταν το ποσό που μοιράστηκαν;

21. Ένας πατέρας κράτησε το 1/6 ενός κτήματος για τον εαυτό του και έδωσε τα 3/10 του ίδιου κτήματος στην κόρη του. Το υπόλοιπο το μοίρασε στους γιους του. α)Τι κλάσμα του κτήματος πήραν συνολικά πατέρας και κόρη; β)Τι κλάσμα του κτήματος έδωσε στους γιους τουγ)Αν καθένας από τους γιους πήρε τα 2/15 του κτήματος, πόσους γιους είχε;

22. Γιάννης δίνει το 1/6 μιας σοκολάτας στον αδελφό του και το ¼ τις σοκολάτας στην μητέρα του. Να βρείτε ποιο μέρος τις σοκολάτας του μένει.

23. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

i) A =

ii) Β =(43-40)2 – (28-26)3

iii) Για τις τιμές των Α και Β που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση: Α . Χ = Β

3.8 Αντίστροφοι αριθμοί

Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; Γράψτε τους αντίστροφους

των αριθμών 5 και .

1. Ο αριθμός 0 έχει αντίστροφο; Δικαιολογήστε την απάντησή σας . 2. Να βρεθεί ένας αριθμός που είναι ίσος με τον αντίστροφό του . 3. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :

Α = (15:3-12):2+7.(42-32) 4. Β = 22.(22+3.1)+42-2.5

α) Να υπολογίσετε το πηλίκο Α/Β β) Να υπολογίσετε το πηλίκο Β/Α

5. α) Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης Α = 53 + 82

: 4 – 27 * 3 β) Να υπολογίσετε με δύο τρόπους την τιμή της αριθμητικής παράστασης Β = 9*(12,2 + 7,8) γ) Αφού υπολογίσετε τις παραπάνω τιμές να βρείτε τους αριθμούς Α/Β και Β/Α. Τι αριθμοί είναι αυτοί ; Ποιο είναι το γινόμενό τους ;

13

Page 14: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

6. Να σημειώσετε με σωστό ή λάθος στις παρακάτω παραστάσεις : α) Μπορεί ο παρανομαστής ενός κλάσματος να είναι μηδέν. β) Η ισότητα 1/α + 1/β = 1/(α +β) είναι σωστή. γ) Η ισότητα 1/α * 1/β = 1/(α* β) είναι σωστή. δ) Ένα κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα όταν ο αριθμητής του είναι διπλάσιος από τον παρανομαστή του. ε) Οι αριθμοί 2 και 0,5 είναι αντίστροφοι.

3.10 Δεκαδικά κλάσματα

Πότε ένα κλάσμα λέγεται δεκαδικό; Να αναφέρετε ένα παράδειγμα.

3.12, 3.13 Η έννοια του ποσοστού και εφαρμογές ποσοστών

1. Τι σημαίνει το σύμβολο α% ;2. Η παραγωγή αλουμινίου ενός εργοστασίου ήταν 195000 τόνοι και σε

μια τριετία αυξήθηκε κατά 16%. Να βρείτε πόσοι τόνοι είναι η νέα παραγωγή.

3. Αγοράσαμε ένα κοστούμι με έκπτωση 15% και πληρώσαμε 144,5€.. Πόση είναι ήταν η αξία του κοστουμιού πριν την έκπτωση;

4. Αγοράσαμε έναν Η/Υ με έκπτωση 15% και πληρώσαμε 680 €. Να βρείτε πόσο στοίχιζε ο Η/Υ πριν από την έκπτωση και πόσα € ήταν η έκπτωση που μας έγινε από το κατάστημα.

5. Ο Γιάννης είχε 160€. Από αυτά ξόδεψε το 55% για ένα ποδήλατο και το 25% για ένα παντελόνι. Να βρείτε α) Πόσο κόστισε το ποδήλατο β) Πόσο κόστισε το παντελόνι γ) Πόσα χρήματα του περίσσεψαν

6. Ένας μανάβης αγόρασε 400kg πορτοκάλια προς 0,4 € το κιλό και πλήρωσε για τη μεταφορά τους 40 €. Από αυτά του χάλασαν κατά την μεταφορά 20 kg και τα υπόλοιπα τα πούλησε προς 0,9 € το κιλό. α) Πόσα χρήματα κέρδισε ; β) Πόσο τοις εκατό ήταν το κέρδος του ;

7. Να υπολογίσετε το ποσοστό της αύξησης της τιμής ενός υφάσματος, αν υποθέσουμε ότι η τιμή του μέτρου ήταν 12 ευρώ και τώρα είναι 13,5 ευρώ.

8. Ένας πατέρας έδωσε από το χωράφι του, που ήταν 40 στρέμματα, το 40% στην κόρη του και το 60% απο το υπόλοιπο στο γιό του. Πόσα στρέμματα έδωσε σε κάθε παιδί και πόσα του περίσσεψαν ;

9. Ένα βαρέλι περιέχει 120 κιλά κρασί. Απ’ αυτό πουλήθηκαν τα . Να

βρείτε: Α. Πόσα κιλά κρασί έχει τώρα το βαρέλι. Β. Ποιο είναι το ποσοστό επί τοις εκατό του κρασιού που πουλήθηκε.

10. Ένα παντελόνι κόστιζε αρχικά 80 €. Την περίοδο των εκπτώσεων, η τιμή του μειώθηκε κατά 25 % και αμέσως μετά τις

14

Page 15: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

εκπτώσεις αυξήθηκε κατά 50%.Να βρείτε: α) Την τιμή πώλησης του παντελονιού κατά την περίοδο των εκπτώσεων. β) Την τιμή πώλησης του παντελονιού αμέσως μετά τη λήξη των εκπτώσεων.

11. Ο Κώστας είχε στον κουμπαρά του 600 ευρώ. Από αυτά ξόδεψε

τα για να αγοράσει ένα ποδήλατο ενώ από αυτά που του έμειναν

ξόδεψε το 40% για να πάρει ένα στερεοφωνικό συγκρότημα Α) Πόσα ξόδεψε για το ποδήλατο; Β)Πόσα ξόδεψε για το στερεοφωνικό; Γ) Πόσα χρήματα του έμειναν;

12. Τα ασφάλιστρα του αυτοκινήτου το 2004 ήταν 500 €. Αυξήθηκαν το 2005 κατά 15%. Τι θα πληρώσουμε για το 2005 αν μας κάνουν έκπτωση 10%;

13. Κάποιος πωλεί δύο αυτοκίνητα αντί των 6250 € το καθένα. Αν το ένα το πούλησε με κέρδος 25 %΄ και το άλλο με ζημιά 25%, να βρείτε τελικά αν κέρδισε ή έχασε και πόσα.

14. Κατέθεσε κάποιος στην Τράπεζα 45.000 € για ένα χρόνο με επιτόκιο 0,5%. Τι ποσό θα εισπράξει στο τέλος του χρόνου;

15. Το 60 % των μαθητών της Α΄ τάξης του γυμνασίου ενός σχολείου είναι κορίτσια. Οι μαθητές επιλέγουν υποχρεωτικά να διδάσκονται ως δεύτερη ξένη γλώσσα τα γαλλικά ή τα γερμανικά. Το 75 % των αγοριών της τάξης επέλεξαν τα γερμανικά ενώ 8 αγόρια επέλεξαν τα γαλλικά. (α) Να βρείτε πόσους μαθητές έχει η τάξη αυτή. (β) Να βρείτε πόσα αγόρια επέλεξαν τα γερμανικά.

16. Ένας έμπορος αγόρασε 5 ψυγεία αξίας 600€ το καθένα και τα πούλησε με κέρδος 25%. α) Πόσα χρήματα εισέπραξε, β) Αν τα 3/5 αυτών των χρημάτων τα κατέθεσε στην τράπεζα με επιτόκιο 4% , πόσα χρήματα θα έχει στην Τράπεζα μετά από ένα χρόνο.

17. Ένα κατάστημα που κάνει έκπτωση σε όλα τα είδη του ίση με τα 30% της αρχικής τους αξίας. Ένα κουστούμι είχε 350 € πριν την έκπτωση. Να υπολογίσετε α)πόσα € έκπτωση γίνεται στο κουστούμι και β) πόσα € θα πληρώσουμε για να το αγοράσουμε.

18. Μία φορητή τηλεόραση κοστίζει 200 €. Την περίοδο των εκπτώσεων το κατάστημα την πουλάει με έκπτωση 20%. Πόσο θα κοστίσει τελικά αν την αγοράσαμε στις εκπτώσεις πληρώνοντας επιπλέον φόρο 18% στην τιμή αγοράς;

19. α) Ένας έμπορος κλιματιστικών πούλησε 5 κλιματιστικά με κέρδος 20%. Αν το καθένα από αυτά το αγόρασε 250 € να βρείτε το κέρδος που έβγαλε από την πώληση 5 κλιματιστικών. β) Τα 3/5 από το κέρδος που έβγαλε από τα 5 κλιματιστικά το μοίρασε στα 3 παιδιά του ανάλογα με τον τελικό βαθμό που έβγαλαν. Η Μαρία που πήγαινε στην Α Γυμνασίου έβγαλε τελικό βαθμό 16, ο Γιάννης που πήγαινε στην Γ Γυμνασίου έβγαλε τελικό βαθμό 19 και ο

15

Page 16: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Δημήτρης που πήγαινε στην Α Λυκείου έβγαλε τελικό βαθμό 15. Πόσα χρήματα έδωσε σε κάθε παιδί;

20. Για μια τηλεόραση πληρώσαμε μαζί με τον Φ.Π.Α. , που είναι 18%, 689,40 €. Ποια είναι η τιμή χωρίς τον Φ.Π.Α.;

21. Το εισιτήριο μιας διαδρομής αυξήθηκε κατά 20% και έχει τώρα 0,96 €. Ποια ήταν η τιμή του πριν την αύξηση;

22. Ένας έμπορος αγόρασε 5 ποδήλατα συνολικής αξίας 625 €. Πόσο πρέπει να πουλή σει το καθένα, αν το ποσοστό κέρδους του είναι 20%;

23. Ένα αυτοκίνητο που αξίζει χ € πωλείται με έκπτωση 5%. Αν ο αγοραστής του έδωσε προκαταβολή 5.000 € και το υπόλοιπο ποσό το εξόφλησε σε 40 δόσεις των 350 € η κάθε δόση, να βρεθούν: πόσα € πλήρωσε ο αγοραστής και πόση ήταν π αρχική τιμή χ του αυτοκινήτου;

24. Τρεις φίλοι έπαιξαν ένα δελτίο ΛΟΤΤΟ αξίας 100€. Ο ένας έβαλε το 40% της αξίας του δελτίου και οι άλλοι δύο τα μισά από τα υπόλοιπα. Το δελτίο κερδίζει 2500€. Από αυτά το 20% είναι φόρος. Το υπόλοιπο ποσό το μοιράζονται ανάλογα με τη συμμετοχή του καθενός στο δελτίο. Να βρείτε: α. Πόσα χρήματα έβαλε ο καθένας στο δελτίο. β. Πόσος είναι ο φόρος που αντιστοιχεί στο δελτίο. γ. Πόσα χρήματα θα εισπράξει ο καθένας.

25. Από τους 120 μαθητές του Γυμνασίου Λάρυμνας, τα 3/5 μένουν στον Οικισμό. Από τους υπόλοιπους, τα 2/3 μένουν στη Λάρυμνα και το 1/3 στο Κόκκινο. α) Ποιο είναι το ποσοστό επί τις εκατό των μαθητών που μένουν στον Οικισμό; β) Πόσοι μαθητές μένουν στη Λάρυμνα και πόσοι στο Κόκκινο;

26. Σε μια βιτρίνα ένας υπολογιστής έχει πάνω του τιμή 1200 €. Ο υπάλληλος του καταστήματος μας εξηγεί ότι στην τιμή αυτή πρέπει να υπολογίζουμε έκπτωση 15 % που κάνει το κατάστημα αυτή την εποχή αλλά και Φ.Π.Α. 15 %. Τελικά στοιχίζει πάλι 1200 €; Αν όχι, να βρείτε πόσο πιο ακριβός ή πιο φτηνός είναι τώρα ο υπολογιστής (από την τιμή της βιτρίνας).

27. Ο ιδιοκτήτης μιας αυλής , που έχει σχήμα ορθογώνιο με μήκος 35m και πλάτος 8m, θέλει να τη διαμορφώσει με τον παρακάτω τρόπο : στα 3/20 της επιφάνειάς της θα κατασκευάσει ένα στέγαστρο , στα 2/5 της θα φυτέψει λουλούδια και το υπόλοιπο τμήμα θα το στρώσει με πλάκες. Να εκφράσετε το μέρος της αυλής που θα στρωθεί με πλάκες ως κλάσμα και ως ποσοστό επί τοις εκατό και να υπολογίσετε το εμβαδό του.

28. Μια τηλεόραση κοστίζει 200 €.Την εποχή των εκπτώσεων το κατάστημα την πουλάει 15% φθηνότερα. Πόσο θα μας κοστίσει τελικά ,αν την αγοράσουμε στις εκπτώσεις πληρώνοντας επιπλέον Φ.Π.Α. 9% στην τιμή αγοράς.

29. Ένας έμπορος αγοράζει 500 ηλεκτρονικούς υπολογιστές πληρώνοντας 320.000 €. Πουλάει τους 310 με κέρδος 20% και τους

16

Page 17: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

υπόλοιπους με κέρδος 15%. α) Πόσα χρήματα κερδίζει συνολικά; β) Πόσο τοις εκατό είναι το κέρδος του από την πώληση όλων των υπολογιστών;

30. Το ¼ των κατοίκων μιας πόλης είναι γυναίκες και τα 7/20 είναι παιδιά. Αν οι άνδρες είναι 128.000 να βρείτε : α) Το ποσοστό επί τοις εκατό των ανδρών της πόλης και β) πόσοι είναι όλοι οι κάτοικοι της πόλης ; Μία τηλεόραση με οθόνη υγρών κρυστάλλων, πωλείται με έκπτωση 19% και κοστίζει τώρα 2.025 € (ευρώ). Να βρεθεί η τιμή της τηλεόρασης πριν από την έκπτωση.

31. Ένα αυτοκίνητο πουλήθηκε με έκπτωση 10%. Ποια ήταν η αρχική τιμή τού αυτοκινήτου αν το ποσό που πληρώθηκε είναι 27000 ευρώ;

32. Αγόρασε κάποιος ένα βιβλίο με έκπτωση 15% και έδωσε 34€ .Να βρείτε την τιμή του βιβλίου χωρίς την έκπτωση.

33. Ένα κατάστημα κάνει έκπτωση στα κοστούμια που πουλάει ίση

με της αρχικής αξίας του. Αν πληρώσαμε για ένα κοστούμι 240 € να

βρείτε :

α) τι ποσοστό είναι το ;

β) πόσο κόστιζε αρχικά το κοστούμι ; γ) πόσο ήταν η έκπτωση ;

4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

4.4 Μερισμός σε μέρη ανάλογα

1. Ένας πατέρας θα μοιράσει 640 € στα 3 παιδιά του ηλικίας 5 ετών, 7 ετών και 20 ετών ανάλογα με την ηλικία τους. Πόσα € θα πάρει το κάθε παιδί;

2. Τρεις τεχνίτες πήραν από μια εργασία 20.000 €. Ο α’ ως επικεφαλής

3. του συνεργείου πήρε το 10% του ποσού, και τα υπόλοιπα τα4. μοιράστηκαν ανάλογα με τους μήνες που δούλεψε ο καθένας. Ο

α’5. εργάστηκε 10 μήνες, ο β΄ 5 μήνες και ο γ’ 3 μήνες. Πόσα ευρώ

πήρε ο6. καθένας7. Τρεις εργάτες πήραν από μια εργασία το ποσό των 100.000 €.

Ο πρώτος σαν επικεφαλής πήρε το 10% του ποσού και το υπόλοιπο το μοιράστηκαν ανάλογα με τους μήνες εργασία του καθενός. Ο πρώτος εργάστηκε για 2 μήνες, ο δεύτερος για 3 μήνες και ο τρίτος για 4 μήνες. Πόσα χρήματα πήρε ο καθένας τους

17

Page 18: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

8. Τρία αδέλφια κληρονόμησαν μια περιουσία 140000€ .Ο α΄είναι 6 ετών ,β΄είναι 10 ετών ,ο γ΄είναι 12 ετών και την μοιράστηκαν ανάλογα με την ηλικία τους. Να βρείτε πόσα χρήματα πήρε ο καθένας τους.

9. Ένας εργάτης σκάβει ένα κήπο σε 6 ώρες ενώ ένας άλλος σκάβει τον ίδιο κήπο σε 5 ώρες .Τι μέρος του κήπου θα σκάψουν σε 1 ώρα αν δουλέψουν και οι δυο μαζί;

10. Η αμοιβή που πήραν τρεις τεχνίτες για ένα έργο ήταν 1200€ . Να βρείτε πόσα € πήρε ο καθένας , αν εργάστηκαν ο α΄ 4 ημέρες , ο β΄ 5 ημέρες και ο γ΄ 6 ημέρες

11. 4 τεχνίτες πήραν από μία εργασία 2600 ευρώ. Ο α΄ ως επικεφαλής του συνεργείου πήρε 20% του ποσού για τη χρήση των μηχανημάτων και τα υπόλοιπα χρήματα τα μοιράστηκαν οι υπόλοιποι 3 εργάτες ανάλογα με τις ώρες εργασίας τους. Ο β΄ εργάστηκε 5 ημέρες από 8 ώρες την ημέρα, ο γ΄ εργάστηκε 4 ημέρες από 7 ώρες και ο δ΄ εργάτης εργάστηκε 6 ημέρες από 6 ώρες την ημέρα. Πόσα χρήματα πήρε ο καθένας τους;

12. Μοιράστηκαν σε 4 παιδιά 3.600 € ανάλογα με την ηλικία τους. Αν οι ηλικίες τους ήταν 5, 7, 8 και 16 ετών αντιστοίχως, να βρείτε πόσα € πήρε το κάθε παιδί.

13. Τρία αδέλφια κληρονόμησαν από τον πλούσιο παππού τους 495000 € για να τα μοιραστούν ανάλογα με την ηλικία τους. Αν ο πρώτος είναι 18 ετών, ο δεύτερος 11 και ο τρίτος 4 ετών, πόσα χρήματα θα πάρει ο καθένας;

14. Ένας παππούς μοιράζει το ποσό των " 2838 € " στα τρία εγγόνια του , ανάλογα με την ηλικία τους. Αν η ηλικία των εγγονιών του είναι, του πρώτου " 6 ετών " , του δευτέρου " 11 ετών " και του τρίτου " 16 ετών " , από πόσα χρήματα θα πάρει το κάθε ένα εγγόνι ;

15. Ένας θείος έδωσε στους τρεις ανηψιούς του 27.000 € για να τα μοιραστούν ανάλο γα με την ηλικία τους. Πόσα € θα πάρει ο καθένας, αν ο πρώτος ανηψιός είναι. 7 ετών, ο δεύτερος 9 ετών και ο τρίτος 14 ετών;

16. Ένας παππούς στη διαθήκη του άφησε στα τρία εγγόνια του το ποσό των 7506 € με την εντολή το ποσό να μοιρασθεί ανάλογα με την ηλικία των παιδιών .Τα παιδιά είχαν ηλικία 1,3,5 αντίστοιχα. Πόσα ευρώ θα πάρει κάθε παιδί;

17. Τρεις πλοιοκτήτες δημιούργησαν μια εταιρεία στην οποία ο πρώτος διέθεσε 5600000 €, ο δεύτερος 9000000 € και ο τρίτος 7000000 €. Η εταιρεία αυτή είχε κέρδη 5400000 € τον πρώτο χρόνο της λειτουργίας της. Ποιο θα είναι το μερίδιο του καθενός από τα κέρδη της επιχείρησης;

5ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

5.3 Η ευθεία. Η ημιευθεία

18

Page 19: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Πόσες ευθείες διέρχονται από ένα σημείο Α και πόσες από δύο σημεία Β και Γ. Να κάνετε ένα σχήμα για κάθε περίπτωση .

5.5 Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων

Τι λέγεται διάμεσος ενός τριγώνου; Σχεδιάστε ένα τρίγωνο και φέρτε τις διαμέσους του.

5.8 Απόσταση σημείου από ευθεία

1. Να σχεδιάσετε δύο ημιευθείες Οχ και Οψ που να μην περιέχονται στην ίδια ευθεία και να βρείτε ένα σημείο Α της Οχ που να απέχει 3 cm από την Οψ. Να κάνετε το σχήμα με τα γεωμετρικά σας όργανα και να περιγράψετε τον τρόπο που το κατασκευάσατε.

2. Τι ονομάζουμε ύψος σε ένα τρίγωνο; Να σχεδιάσετε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο και να μεταφέρετε τα ύψη του Σχεδιάστε ένα οξυγώνιο τρίγωνο και φέρτε τα ύψη του.

5.9 Χάραξη παραλλήλων ευθειών

1. Αν στα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ φέρω τις κάθετες ευθείες ε1 και ε2 , τότε τι θα είναι μεταξύ τους οι ευθείες αυτές; Να κάνετε το σχήμα.

2. Να γράψετε μια ευθεία ε και να ορίσετε ένα σημείο Α που να απέχει 33 mm από την ε . Να χαράξετε την ευθεία η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ε

5.10 Κύκλος. Κυκλικός δίσκος

1. Τι ονομάζουμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ ; 2. Το κέντρο είναι σημείο του κύκλου ; 3. Τι ονομάζουμε χορδή του κύκλου; 4. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Ο,ρ) και μια διάμετρο ΑΒ. Να φέρετε τις

εφαπτόμενες ευθείες του κύκλου στα άκρα Α και Β τις διαμέτρου. Οι δύο ευθείες τέμνονται ή είναι παράλληλες ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

5. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4 cm και τον κύκλο που έχει διάμετρο το ΑΒ. α) Να σχεδιάστε τις εφαπτόμενες του κύκλου αυτού που διέρχονται από τα Α και Β. β) Να εξετάσετε ποια η θέση των δύο αυτών εφαπτομένων του κύκλου και να αιτιολογήστε την απάντησή σας.

5.11 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου

19

Page 20: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Πότε μια ευθεία (ε) λέγεται τέμνουσα και πότε εφαπτομένη ενός κύκλου (Ο,ρ) ;

5.12 Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος

1. Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος και ποια ιδιότητα έχουν τα σημεία της;

2. Να χαράξετε με κανόνα και διαβήτη την μεσοκάθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος

3. Στο διπλανό σχήμα είναι ΜΑ=ΜΒ.Τι συμπέρασμα βγάζετε για το Μ. Να διατυπώσετε τον σχετικό κανόνα.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ): i) από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες ii) από δυο σημεία διέρχεται μια μόνο ευθεία iii) από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε πολλές ευθείες κάθετες προς μια ευθεία ε. iv) η διάμετρος κύκλου είναι διπλάσια από την ακτίνα του.

6ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

6.1 Η έννοια της γωνίας

Τι ονομάζουμε γωνία και με ποιους τρόπους συμβολίζουμε μια γωνία.

6.2 Σύγκριση γωνιών

1. Πότε ένα τρίγωνο ονομάζεται ισοσκελές; Τι γνωρίζετε για τις γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου;

2. Πότε ένα τρίγωνο ονομάζεται ισόπλευρο ; Τι γνωρίζετε για τις γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου;

3. Πότε ένα τρίγωνο ονομάζεται σκαληνό ; 4. Σε ποιο, τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών διέρχονται από

τις απέναντι κορυφές.

6.3 Είδη γωνιών

Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:

i) ορθή γωνία, ii) οξεία γωνία, iii) αμβλεία γωνία

20

Page 21: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

6.4 Μέτρηση γωνιών

1. Τι ονομάζουμε διχοτόμο μιας γωνίας; 2. Να σχεδιάσετε μία γωνία 70ο και να φέρετε τη διχοτόμο της. 3. Σχεδιάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο

ΑΒΓ με γωνία κορυφής Α =100 μοίρες και σημειώστε τις προσκείμενες γωνίες στη βάση ΒΓ. Επίσης να φέρετε το ύψος ΑΔ και την διχοτόμο ΒE της γωνίας Β.

4. Στο διπλανό σχήμα οι γωνίες α, β, γ είναι ανάλογες με τους αριθμούς 2, 3, 4 αντίστοιχα. Nα υπολογισθεί πόσες μοίρες είναι η κάθε μία .

6.5 , 6.6 και 6.7 Εφεξής, παραπληρωματικές και κατακορυφήν γωνίες

1. Ποιες γωνίες λέγονται: i) εφεξής ii) κατακορυφήν iii) παραπληρωματικές

Να κάνετε ένα σχήμα για την κάθε περίπτωση. 2. Σχεδιάστε δυο γωνίες που είναι εφεξής και δυο που δεν είναι. 3. Να σχεδιάσετε δύο τεμνόμενες ευθείες και να βρείτε όλα τα

ζεύγη των εφεξής γωνιών που σχηματίζονται . 4. Μία οξεία γωνία μπορεί να ισούται με την παραπληρωματική

της; (Δικαιολόγηση) 5. Πότε δυο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές και αν είναι ίσες

τι συμπέρασμα βγάζετε; 6. Σε ποιο από τα παρακάτω σχήματα οι γωνίες α και β είναι

παραπληρωματικές

a b c7. Σχεδιάστε και ονομάστε δύο εφεξής και

παραπληρωματικές γωνίες . Είναι δυνατόν δύο τέτοιες γωνίες να είναι αμβλείες και γιατί;

8. Να αποδείξετε ότι δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες

9. Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές10. )Σωστό ή Λάθος ; «Σε ορθογώνιο τρίγωνο οι

οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές» 11. Να υπολογίσετε τις γωνίες α , β και γ του διπλανού σχήματος

21

Page 22: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

12. Να υπολογίσετε τις γωνίες Α, Β,Γ, φ και ω στα παρακάτω σχήματα. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους.

13. Απαντήστε στις ερωτήσεις: • Οι γωνίες ΒΑΔ και ΓΕΔ (Σχημ.1) είναι εφεξής; • Οι γωνίες ΚΛΝ και ΚΛΜ (Σχημ.2) είναι εφεξής;

(και στις δύο περιπτώσεις δικαιολογήστε την απάντηση σας)

14. Ποιες από τις σημειωμένες γωνίες σε καθένα από τα παρακάτω

σχήματα είναι εφεξής και ποιες όχι;(Δικαιολόγηση)

15. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι ευθείες ε1 , ε2 και η ημιευθεία Οχ .Αν φ=ϑ=ω να υπολογίσετε τις γωνίες φ,θ,ω,α,β.

6.8 Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από ευθεία

22

Page 23: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

1. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2. Πως ονομάζονται οι γωνίες α και β; Πως οι γωνίες α και γ; Πως οι α και δ;

2. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία x΄x είναι παράλληλη στη ΒΓ. Να γράψετε τα ζεύγη των ίσων γωνιών που υπάρχουν.

3. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες.

Να υπολογίσετε τις γωνίες κ,λ,μ,ν. Σε κάθε περίπτωση να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

4. Στα παρακάτω σχήματα είναι ε1//ε2 Αφού υπολογίσετε τις γωνίες χ και ψ να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΒΓ.

23

Page 24: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α Β Γ

5. Στο διπλανό παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τις γωνίες αν α =50ο

6. Στο παρακάτω σχήμα είναι: ε1 // ε2. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ, ε . Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ;

24

ε1

ε2

Page 25: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

7. Στα παρακάτω σχήματα είναι: ε1 // ε2. Να υπολογίσετε τη γωνία α. (Δίνεται Β=100ο)

Α Β

Γ8. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ, ε και

να αιτιολογήσετε την απάντηση σας, αν ε1 // ε2:

Α Β

25

Page 26: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Γ Δ Ε

Ζ

9. Στα παρακάτω σχήματα είναι: ε1 // ε2. Να υπολογίσετε τις γωνίες χ και ψ

Α Β10. Στο παρακάτω σχήμα η ε1 // ε2 και ΑΒ=ΑΔ και ΔΒ=ΔΓ Εάν η

γωνία Α=108ο

ι)Να βρείτε την γωνία χ ιι)Τι είναι η ΔΒ στη γωνία ΑΔΓ.

26

Page 27: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

11. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1 // ε2 .

a. Ποιες από τις γωνίες του σχήματος είναι b. Εντός εναλλάξ c. Εντός –εκτός –επί τα αυτά . d. Εντός και επί τα αυτά .

12. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ε1//ε2, γωνία χ = 52ο και γωνία ψ=48ο . Να υπολογίσετε τις γωνίες ω, Β, Γ, Α δικαιολογώντας τις απαντήσεις

13. Να υπολογίσετε τις γωνίες Α1 και Α2 αν γνωρίζετε ότι ε1//ε2

27

Page 28: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

14. Αν ε1 // ε2 και ε3 κάθετη στην ε1 να υπολογίσετε τις γωνίες και β.

15. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2 .Να υπολογίσετε τις γωνίες φ,ω και θ. Τι είδος τρίγωνο σχηματίζουν αυτές οι γωνίες;

28

Page 29: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α Β Γ

Δ Ε

Ζ

Η16. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1 // ΒΓ

να υπολογιστούν οι γωνίες α,β,γ και δ.

29

Page 30: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

17. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2 και τέμνονται από την ε3. Να

υπολογίσετε το χ

18. Στο παρακάτω σχήμα η ε1//ε2 και η ε3//ε4. Η γωνία φ=113ο και η γωνία ω=46ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ;

19.

20. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2

a. Να εξηγήσετε γιατί οι γωνίες 2χ και 3χ είναι παραπληρωματικές

b. Να υπολογίσετε το χ

c. Να υπολογίσετε όλες τις γωνίες που σχηματίζονται.

21. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2. Η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με 70ο και η ΑΓ ε2.

a. Υπολογίστε την γωνία ΒΑΓ. b. Αν είναι ΓΔ=ΑΓ, να δείξετε ότι

η ΑΔ διχοτομεί την γωνία ΓΑΖ.

22. Σ το διπλανό σχήμα έχουμε ε1// ε2. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (ΑΒ = ΑΓ). Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ, ε, ζ .Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

23. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες λ και ρ .

30

Page 31: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

24. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ει είναι παράλληλη με την ε2 η γωνία φ=44° και η γωνία ω=122°.Να υπολογίσετε a)την γωνία α και b)την γωνία β.

25. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1 // ε2 και η γωνία α είναι διπλάσια από τη γωνία λ. Να υπολογίσετε τις γωνίες α,β,γ,δ,κ,λ,μ,ν. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

26. Να υπολογισθούν οι γωνίες του διπλανού σχήματος αν Β = 50ο και Ε = 135ο όπου ΒΓ//ΔΕ

27. Αν σ1// σ2 και η γωνία ν=1310 να υπολογισθούν οι υπόλοιπες γωνίες.

31

Page 32: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

28. Αν ε1 // ε2 . Να υπολογισθούν οι γωνίες χ,ψ,ω στο παρακάτω

σχήμα. 29. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1 // ε2 Να υπολογίσετε τις γωνίες β,

γ, α και φ.

30. Οι ευθείες δ και ε του διπλανού σχήματος είναι παράλληλες και τέμνονται από την ευθεία ζ . Α ν η γωνία λ είναι 73ο , να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του σχήματος .

31. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε1, ε2 είναι παράλληλες. Αν γνωρίζουμε ότι φ=107ο ,ω=43ο , να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ ( πλήρης αιτιολόγηση ).

32. Αν η γωνία α είναι παραπληρωματική της γωνίας των 1500 και η γωνία β είναι τετραπλάσια της γωνίας α ενώ ΑΒ=8m , ΑΓ=4m να βρεθούν

a. Οι γωνίες α , β, γ

32

Page 33: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

b. Η γωνία και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. ΒΑΓ( Δίνεται ότι ε1 // ε2 )

33. Στο παρακάτω σχήμα ε//ΒΓ, Β=60ο , η ΒΕ διχοτόμος της γωνίας Β και η γωνία Α1=50ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Α του τριγώνου ΑΒΓ και την γωνία Χ.

34. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2//ε3.Να υπολογίσετε τις γωνίες , , του τριγώνου ΑΒΓ και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

35. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2, α=35ο και β=68ο . Να υπολογίσετε σε μοίρες τις γ, δ, ε, ζ και θ. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

33

Page 34: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

36. Στο διπλανό σχήμα είναι (ε1)//(ε2) ΒΑΚ 38ο και ΚΓΔ=108ο Υπολογίστε τη γωνία ω

37. Στο παραπάνω σχήμα έχουμε ότι ε1 // ε2. Αν γωνία κ = 50ο και γωνία ν = 122o, να υπολογίσετε τις γωνίες:λ, μ, φ, ω

38.

39. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και τέμνονται από τις ευθείες J1 και J2. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ αφού δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας .

40. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2 . Δίνονται οι γωνίες . ΖΒΟ=145ο και ΓΔΟ=60ο. Να βρεθεί η γωνία .

34

Page 35: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

41. Στο σχήμα είναι ΑΒ / / ΓΔ, γωνία Β = 1450 , γωνία Δ = 600. Να υπολογίσετε τη γωνία φ

42. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις παράλληλες ευθείες ε1, ε2, οι οποίες σχηματίζουν με τις τέμνουσες ε3, ε4 τις γωνίες α = 1500 και δ = 600. Να υπολογιστούν οι γωνίες β, γ, και ε του σχήματος.

43. Στα παρακάτω σχήματα είναι ε1//ε2 Να υπολογιστούν οι γωνίες α ,β , γ , δ.

Α Β44. Να βρεθούν οι γωνίες x , ψ , φ , ω στο παρακάτω σχήμα και να

δικαιολογηθούν.

35

Page 36: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α Β

45. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2 και η γωνία Α =900 . Να υπολογίσετε τις γωνίες φ , θ , ω .

46. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε //ΑΒ όπως στο παρακάτω σχήμα . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας

47. Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ//ΒΓ. Να υπολογίσετε τις γωνίες ω, σ, φ

48. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε ⁄⁄ζ. Να υπολογίσετε τις γωνίες : α, β, γ και δ.

36

Page 37: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

49. Στο διπλανό σχήμα ε1//ε2. Να υπολογίσετε τις γωνίες χ, ψ, φ και ω.

50. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2 Να υπολογίσετε τη γωνία φ και τη γωνία ω

51. Στο διπλανό σχήμα ε1//ε2 Να βρείτε τις γωνίες φ, θ, ω, χ που είναι σημειωμένες στο σχήμα.

52. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ του διπλανού σχήματος και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (ε1//ε2 )

6.9 Άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

1. α. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές. β. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες. Να κάνετε σχήμα για κάθε είδος

2. Πότε ένα τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο; 3. Να αποδείξετε με συλλογισμούς ότι το άθροισμα των γωνιών ενός

τριγώνου είναι 1800. 4. Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου;

37

Page 38: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

5. Πότε ένα τρίγωνο λέγεται ισοσκελές και ποιες γωνίες του είναι ίσες; (σχήμα)

6. Οι γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 8,12,20. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου και να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του

7. Σ΄ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία A είναι τριπλάσια της γωνίας B και η γωνία Γ είναι ίση με το διπλάσιο της B αυξημένο κατά 60ο . α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου σε μοίρες. β) Να χαρακτηριστεί το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του.

8. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει Β=30ο και Γ=60ο . α) Να βρεθεί η γωνία Α του τριγώνου. β) Ποιο είναι το είδος του τριγώνου και γιατί; γ) Να σχεδιάσετε ένα τέτοιο τρίγωνο.

9. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ,η γωνία Α είναι 75 μοίρες και η γωνία Β είναι διπλάσια από την Γ. Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου.

10. Οι γωνίες Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες των αριθμών 6, 12, 18 αντίστοιχα. i) Τι άθροισμα έχουν οι γωνίες Α, Β, Γ; ii) Να υπολογίσετε τις τιμές των γωνιών Α, Β, Γ. iii) Τι είδους είναι το τρίγωνο ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες του;

11. Σε ισοσκελές τρίγωνο η μία από τις δύο γωνίες της βάσης είναι 65ο. Να βρεθούν οι άλλες δύο γωνίες.

12. Να βρεθεί πόσες μοίρες είναι οι δύο οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου.

13. Ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, ΑΒ = ΑΓ = 5 cm. Η γωνία B είναι διπλάσια της Α. Να ευρεθούν σε μοίρες οι γωνίες του και να κατασκευαστεί.

14. Σε ένα σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι τετραπλάσια της γωνίας Α ,ενώ η γωνία Γ είναι πενταπλάσια της γωνίας Α .Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες Α,Β και Γ.

15. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ η γωνία Α είναι 36ο

Α) Υπολογίστε τις γωνίες Β και Γ Β) Αν ΒΔ διχοτόμος της γωνίας Β ( το Δ στην πλευρά ΑΓ ) , υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου ΒΔΓ

16. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Α=ε. Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου

17. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 60 και η γωνία Β= 20 μοίρες α)Να υπολογίσετε την γωνία Γ β) Τι είδους τρίγωνο ως προς τις γωνίες του είναι το ΑΒΓγ) Φέρνω το ύψος ΓΔ , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΓΔ .

18. Σε ένα σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι τετραπλάσια της γωνίας Α ,ενώ η γωνία Γ είναι πενταπλάσια της γωνίας Α .Να

38

Page 39: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες Α,Β και Γ. 19. Να βρεθούν οι γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ αν η γωνία Α είναι

τριπλάσια τις Γ και η γωνία Β είναι μεγαλύτερη από την Γ κατά 300. Τι είδους τρίγωνο είναι αυτό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

20. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α=50ο , Β=70ο η γωνία Γ=……

21. Στο ισόπλευρο τρίγωνο καθεμία απ’τις γωνίες είναι ίση με 60ο. Γιατί;

22. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) δίνεται η γωνία Α = 36ο και η ΒΕ διχοτόμος της γωνίας Β. Να βρεθούν οι γωνίες Β1, Β2, Ε1, Ε2, Γ του σχήματος

23. Οι γωνίες Α,Β,Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 4,5,9 αντίστοιχα. Α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. Β) Ποιο είναι το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του ;

24. Να υπολογισθούν οι γωνίες στα παρακάτω σχήματα

39

Page 40: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

25. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες xÔy, zÔτ, τÔρ, ρÔx. Δίνεται ότι yÔz = 90ο

26. Στο διπλανό σχήμα είναι γωνία Α=550 και γωνία Β=650 . Να υπολογίσετε την γωνία ω του σχήματος.

27. Στο διπλανό σχήμα έχομε ένα τρίγωνο. Αν γνωρίζουμε την μια γωνία του α=60ο, να υπολογιστούν οι άλλες γωνίες του.

28. Αν Β = 47ο και Γ = 73ο να υπολογίσετε τις γωνίες Α1 και Α2. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

29. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 0A=90ο . Να υπολογίσετε τις γωνίες Β, Γ αν γνωρίζουμε ότι η γωνία Β είναι κατά 20ο

μεγαλύτερη από τη γωνία Γ. 30. Να υπολογίσετε τη γωνία ω στο διπλανό σχήμα

40

Page 41: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

31. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις προτάσεις : i) Οι εφεξής γωνίες είναι πάντα ίσες. ii) Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες. iii) Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 360ο .

7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

3.%2% Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη

1. Να κατασκευάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 5 cm, και ένα ισοσκελές με πλευρές 6 , 6 και 4 cm.

2. Με τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη, να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ=8 cm και πλευρά ΑΒ=6 cm. Να εξηγήσετε συνοπτικά την κατασκευή σας.

4.%2% Είδη τετράπλευρων

1. Να γράψετε τα είδη των τετραπλεύρων. ( Σχήμα - ορισμό ). 2. Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραμμο; (ορισμός,

σχήμα) Να βρείτε μια ομοιότητα και μια διαφορά ρόμβου και τετραγώνου,

3. Να συμπληρώσετε σωστά τις παρακάτω προτάσεις i) Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές ονομάζεται ……………… ii) Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες ονομάζεται………………. iii) Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες ονομάζεται ……………..

4. Πότε ένα παραλληλόγραμμο λέγεται ρόμβος ; 5. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

α) Κάθε τετράγωνο είναι και ρόμβος. β) Κάθε ρόμβος είναι και τετράγωνο.

6. γ) Κανένα από τα παραπάνω.

5.%2% Ιδιότητες του παραλληλογράμμου

1. Να γράψετε τρείς ιδιότητες των παραλληλογράμμων. 2. Στις παρακάτω προτάσεις-ιδιότητες των παραλληλογράμμων,

να συμπληρώσετε τα κενά με τις λέξεις που λείπουν: i) κάθε διαγώνιος χωρίζει το ………..σε δύο ίσα τρίγωνα. ii) Οι………πλευρές του παραλληλογράμμου είναι ίσες. iii) Οι απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου είναι…….. iv) Οι ……….του παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

41

Page 42: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

6.%2% Εμβαδό τριγώνου

1. Πόσο είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου; Να γράψετε τον τύπο. 2. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 32 cm και μία

από τις ίσες πλευρές του είναι 10 cm α) να βρεθούν οι άλλες πλευρές του τριγώνου β) Αν το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι 8 cm να βρεθεί το εμβαδόν του

3. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 6 cm και 80 mm. Να βρεθούν: i) Το εμβαδόν του τριγώνου ii) Η υποτείνουσα του τριγώνου, αν το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι 2,4 cm.

4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ΑΒ= 4cm , ΑΓ= 80mm , ΒΓ= 6 cm και το ύψος ΑΔ= 3 cm Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου και τα ύψη ΒΕ και ΓΗ

5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ οι κάθετες πλευρές του είναι : ΑΒ = 6 cm και ΑΓ = 80 mm.

i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ii) Να βρείτε την υποτείνουσά του ΒΓ αν το ύψος ΑΔ προς

αυτήν είναι ΑΔ = 4,8 cm . 6. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει κάθετες πλευρές ΑΒ=3cm,

ΑΓ=4cm και υποτείνουσα ΒΓ=5cm. Να υπολογιστεί το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ, και το ύψος ΑΔ του τριγώνου.

7. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 48cm και η υποτείνουσά του είναι ΒΓ=20cm. Να υπολογίσετε: Α. Την πλευρά ΑΒ. Β. Την πλευρά ΑΓ. Γ. Το ύψος ΑΔ.

8. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη ΑΒ=3cm, ΑΓ=40mm και η υποτείνουσα είναι ΒΓ=50mm. Να υπολογίσετε α) Το εμβαδόν του β) Το ύψος του

9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι πλευρά ΒΓ=9 m και το ύψος πάνω σε αυτή 4 m A) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. B) Να βρείτε το ύψος που αντιστοιχεί στην ΑΓ αν η ΑΓ=6m.

10. Στο τρίγωνο ΑΒΓ τα ΑΔ και ΒΕ είναι ύψη. Δίνονται τα μήκη ΑΓ=6 cm , ΒΓ=5 cm και ΒΕ=4 cm α)Να υπολογιστεί το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ β)Να υπολογιστεί το ύψος ΑΔ.

11. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β=54ο και η Α είναι 36ο μεγαλύτερη από τη Β.

42

Page 43: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

α) Να βρεθούν οι γωνίες Α,Γ του τριγώνου ΑΒΓ. Τι είδους τρίγωνο ως προς τις γωνίες είναι; β) Αν ΑΒ = 6 cm, ΒΓ = 10 cm και η περίμετρός του είναι 24 cm να βρείτε : i) το εμβαδόν του ii) το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά ΒΓ

12. Να υπολογισθεί το εμβαδό του διπλανού αγρού ΑΒΓΔ, αν είναι : ΒΕ, ΔΖ κάθετες στην ΑΓ και ΑΓ=60m , ΒΕ=30m , ΔΖ=20m.

13. Να σημειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι Σ-σωστές και ποιες Λ- Λάθος α) Ένα τετράγωνο είναι και ρόμβος β) Όταν οι διαγώνιες ενός τετράπλευρου διχοτομούνται το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. γ) Ένα τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο δ) Δύο τρίγωνα που έχουν ίσα ύψη θα έχουν και ίσα εμβαδά.

7.%2% Εμβαδό παραλληλογράμμου

7 Πόσο είναι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου; Να γράψετε τον τύπο. 8 Ένα παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 28 cm και το ίδιο εμβαδόν

με ένα τετράγωνο το οποίο έχει πλευρά 6 cm. Αν η μία πλευρά του παρ/μου είναι 10 cm, να βρείτε : α) τις άλλες πλευρές του παρ/μου, β) τα ύψη του παρ/μου.

9 Ένα παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 30 cm και η μία πλευρά του είναι 9 cm. Αν το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι 36 cm2, να υπολογίσετε τα ύψη του

10 Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 1 m. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο ίση με την περίμετρο του τετραγώνου και το μήκος του είναι 50 cm. Να βρεθούν :α) το εμβαδόν του τετραγώνου β) το ύψος ( πλάτος ) του ορθογωνίου γ) το εμβαδόν του ορθογωνίου

11 Η περίμετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 30 cm .Το μήκος του είναι διπλάσιο από το πλάτος του α) Να βρεθούν το μήκος και το πλάτος του β) Να βρεθεί το εμβαδόν του.

12 Η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι 10cm και η μία κάθετη πλευρά του είναι ίση με την πλευρά τετραγώνου που έχει περίμετρο 24cm. Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με την περίμετρο του τετραγώνου , να βρείτε α) Τα εμβαδά των δύο σχημάτων, β) Το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.

43

Page 44: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

13 Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με περίμετρο 18 cm το ύψος προς την πλευρά ΒΓ είναι 30mm. Να υπολογιστούν: i) Το εμβαδόν του τριγώνου. ii) Τα άλλα δύο ύψη του τριγώνου, τι παρατηρείτε; iii) Να βρεθεί πόσο πρέπει να είναι η πλευρά ενός τετραγώνου που θα

έχει εμβαδόν όσο και το τρίγωνο;

7.8 Εμβαδό τραπεζίου

1. Να κατασκευάσετε ένα τραπέζιο, να φέρετε το ύψος του και να γράψετε τον τύπο που βρίσκουμε το εμβαδόν του. ( Όσες μεταβλητές χρησιμοποιήσετε, να εξηγείτε τι αντιπροσωπεύει κάθε μια από αυτές στο σχήμα ).

2. Να βρεθεί το εμβαδόν διπλανού σχήματος όταν ΑΒ = 250 cm, ΓΔ= 48dm και ΒΓ= 1,6m

3. Ενα τραπέζιο έχει μικρή βάση 4cm μεγάλη βάση 8cm και έχει ίδιο εμβαδό με ένα τετράγωνο πλευράς 6cm. Να υπολογίσετε: • Την περίμετρο του τετραγώνου και • Το ύψος του τραπεζίου (σχήματα απαιτούνται)

4. Να γράψετε στο τετράδιό σας τη σωστή αντιστοίχηση που υπάρχει μεταξύ των γραμμάτων α, β, γ και των αριθμών 1, 2, 3, 4.

α. Εμβαδόν τριγώνου

β. Εμβαδόν τραπεζίου

γ. Εμβαδόν

παραλληλογράμμου

1 Ε= (βάσηxύψος)

2 Ε=βάσηxύψος

3. Ε= xύψος

4. Ε= μήκος x πλάτος

5. Ένα τραπέζιο έχει εμβαδόν 84 cm2, η μεγάλη βάση του είναι τριπλάσια της μικρής και έχει ύψος 7cm. Να υπολογιστούν οι βάσεις του.

6. Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 6 cm και πάνω σε αυτό παίρνουμε ένα σημείο Σ τέτοιο ώστε το μήκος του ΑΣ να είναι 2 cm. Από τα σημεία Α και Β φέρνουμε τις ημιευθείες Αχ και Βψ κάθετες στο ΑΒ και προς το ίδιο μέρος του ΑΒ. Πάνω στην Αχ παίρνουμε ένα σημείο Γ ώστε να είναι ΑΓ = ΑΣ και πάνω στην Βψ παίρνουμε ένα σημείο Δ ώστε να είναι ΒΔ = ΒΣ. (α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΓΣΔ ως προς τις γωνίες του

44

Page 45: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

και να δικαιολογήσετε το συμπέρασμά σας. (β) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔΓ (γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΓΣΔ.

7. Να αναγνωρίσετε τα παρακάτω σχήματα και να γράψετε τον τύπο που αντιστοιχεί στο εμβαδό κάθε σχήματος :

Σχήμα…………. Σχήμα………. Σχήμα…………. Σχήμα…………… Εμβαδόν……… Εμβαδόν……… Εμβαδόν………. Εμβαδόν……….. 8. Στο διπλανό σχήμα είναι =90ο

: α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΒΔΕ. β) Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔΕ, να υπολογίσετε το ύψος ΓΗ.

9. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος

10. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας του διπλανού σχήματος.

11. Ενός τραπεζίου η μεγάλη βάση είναι τριπλάσια της μικρής και το ύψος του 10 cm. Αν το εμβαδόν του είναι 120 cm2 , τότε να υπολογίσετε το μήκος των βάσεών του.

Κάποιος ενδιαφέρεται να αγοράσει τα πέντε οικόπεδα του παρακάτω σχήματος . α) Να βρείτε το συνολικό εμβαδόν του παραπάνω σχήματος.

45

Page 46: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

β) Πόσα χρήματα θα πληρώσει αν το κάθε τετραγωνικό μέτρο κοστίζει 50 ευρώ.

46