Βασικά Μαθηματικά

Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗΒασικά Μαθηµατικά

∆ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης ∗

Εκπαιδευτικός ΄Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως

Πειραιάς 185 31

04 Μαρτίου 2009

Περίληψη

Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα-

ϑηµατικών γνώσεων που χρειάζεται κάποιος για να προχωρήσει στην

µελέτη του Απειροστικού Λογισµού.

Το ϕυλλάδιο διατίθεται ∆ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική

εκµετάλλευση από οποιονδήποτε.

∗email: [email protected]

1

Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ

Κ. Κυρίτσης 2 Βασικά Μαθηµατικά

Περιεχόµενα

1 Βασική ΄Αλγεβρα 3

1.1 Αριθµοί και Σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Πράξεις µε Αριθµούς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Το Παραγοντικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Αλγεβρικές Ταυτότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Ανισότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Απόλυτη Τιµή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8 Υποσύνολα Αριθµών – ∆ιαστήµατα . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9 ∆υνάµεις και Ρίζες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9.1 ∆υνάµεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9.2 Ρίζες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9.3 Λύση της Εξίσωσης xn = α . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9.4 Εκθετική και Λογαριθµική Συνάρτηση . . . . . . . . . . 9

1.10Ευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11∆ιώνυµο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.12Ανάπτυγµα σε Μερικά ή Απλά Κλάσµατα . . . . . . . . . . . . 11

2 Τριγωνοµετρία 12

2.1 Γεωµετρικοί Ορισµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Το Ηµίτονο και το Συνηµίτονο . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Εφαπτοµένη και Συνεφαπτοµένη . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Τέµνουσα και Συντέµνουσα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . 14

2.6 Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Υπερβολικές Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις 17

Κεντρικό : Εθνική Αντιστάσεως & Μακράς Στοάς 7, Πειραιάς 185 31

Παράρτηµα: ∆εληγιώργη 106Α, Πειραιάς 185 34. (΄Εναντι Παν. Πειραιώς)

Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.

URL: http://www.vitali.gr, email: [email protected].

Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1 Βασική ΄Αλγεβρα

1.1 Αριθµοί και Σύνολα

Σύνολο είναι απλοϊκά µια καλώς ορισµένη συλλογή αντικειµένων. Γράφουµε

ότι x ∈ S και διαβάζουµε το x ανήκει στο S όταν το x είναι µέλος του συνόλου

S. Αν το x δεν ανήκει στο S, γράφουµε ότι x /∈ S.

Θα µας απασχολήσουν τα ακόλουθα σύνολα αριθµών.

1. Οι ϕυσικοί αριθµοί N = 0, 1, 2, . . ..

2. Οι ακέραιοι αριθµοί Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . ..

3. Οι ϱητοί αριθµοί Q = x = n/m : n ∈ Z, m ∈ Z∗.

4. Οι άρρητοι αριθµοί, δηλαδή όσοι δεν µπορούνε να γραφτούν σαν ϱητοί.

5. Οι πραγµατικοί αριθµοί R.

6. Οι µιγαδικοί αριθµοί C = z = x + iy : x, y ∈ R και i2 = −1.

Με αστερίσκο συµβολίζουµε τα αντίστοιχα σύνολα όταν δεν περιλαµβάνε-

ται το µηδέν, π.χ. R∗ = R − 0, N∗ = N − 0, κ.λ.π.

΄Ενας ακέραιος ϑα λέγεται άρτιος αν µπορεί να γραφτεί σαν πολλαπλάσιο

του 2,

n = 2k, k ∈ Z. (1)

Θα λέγεται περιττός αν δεν είναι άρτιος, στην οποία περίπτωση ϑα είναι

n = 2k + 1, k ∈ Z. (2)

1.2 Πράξεις µε Αριθµούς

Για τις πράξεις µε αριθµούς έχουµε ότι

1.

x + y = y + x. (3)

2.

x · y = y · x. (4)

3.

x · (y + z) = x · y + x · z. (5)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Ποιο γενικά (και παραλείποντας την τελεία-σύµβολο του πολλαπλασια-

σµού από εδώ και στο εξής)

(x + y)(z + w) = xz + xw + yz + yw. (6)

Με αυτό τον κανόνα ϐγάζουµε κοινούς παράγοντες ή αναπτύσσουµε

παρενθέσεις.

Η πρόσθεση (ή η αφαίρεση) κλασµάτων γίνεται ως εξής.

x

y+

z

w=

xw

yw+

zy

wy=

xw + zy

yw. (7)

Αντίστοιχα για την απλοποίηση κλάσµατος είναι

ax

ay=

/ax

/ay=

x

y. (8)

Για τα σύνθετα κλάσµατα είναι

xy

zw

=x · wy · z . (9)

Τέλος για τα πρόσηµα σε ένα κλάσµα είναι

−α

β=

−α

β=

α

−β. (10)

1.3 Το Παραγοντικό

Το παραγοντικό ενός ϑετικού ακεραίου n γράφεται n! και ορίζεται να είναι

n! =

n · (n − 1)! , n > 1

1 , n = 1.(11)

Με άλλα λόγια είναι

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1. (12)

Για την µονάδα έχουµε ότι 1! = 1 και κατά σύµβαση ορίζουµε

0! = 1. (13)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.4 Αλγεβρικές Ταυτότητες

Σηµαντικές ταυτότητες είναι οι εξής.

1. Τετράγωνο αθροίσµατος και διαφοράς

(α ± β)2 = α2 ± 2αβ + β2. (14)

2. ∆ιαφορά τετραγώνων

(α − β) · (α + β) = α2 − β2. (15)

3. Ανάπτυγµα κύβου

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3, (16)

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3. (17)

4. Ποιο γενικά είναι

αn −βn = (α−β)(αn−1 +αn−2β +αn−3β2 + · · ·+αβn−2 +βn−1). (18)

5. Το διωνυµικό ανάπτυγµα είναι

(α + β)n =n∑

k=0

C(n, k)αn−kβk, (19)

όπου

C(n, k) =n!

k!(n − k)!. (20)

1.5 Εξισώσεις

∆εδοµένης µιας εξίσωσης A = B µπορούµε να γράψουµε

1.

A − B = 0, (21)

2.

0 = −A + B, (22)

3.

Ax = Bx (23)

αρκεί x 6= 0.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.6 Ανισότητες

Για τρεις πραγµατικούς x, y, z είναι

1. x < y, ή x = y, ή x > y (κανόνας της τριχοτόµησης).

2. Αν x > y και y > z, τότε x > z.

3. Αν x > y τότε x + z > y + z.

4. Αν x > y και z > 0 τότε xz > yz. Αν αντιθέτως z < 0, τότε xz < yz.

5. Αν x > y τότε

1

x<

1

y.

1.7 Απόλυτη Τιµή

Ορίζεται να είναι

|x| =

x, x ≥ 0,

−x, x < 0.(24)

΄Εχει τις εξής ιδιότητες

1.

|xy| = |x||y|, (25)

2.

||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|, (26)

3.

||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|. (27)

Επίσης ισχύει ότι

|x| ≤ α ⇔ −α ≤ x ≤ α (28)

και

|x| ≥ α ⇔ x ≥ α ή x ≤ −α. (29)

Αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν και γι΄ αυστηρές ανισότητες.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.8 Υποσύνολα Αριθµών – ∆ιαστήµατα

Πολλές ϕορές χρειάζεται να δώσουµε ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθ-

µών σαν κάποιο διάστηµα. ΄Ετσι έχουµε τις εξής ισοδύναµες σχέσεις.

x ∈ [α, β] ⇔ α ≤ x ≤ β. (30)

x ∈ (α, β) ⇔ α < x < β. (31)

Αν τα άκρα του διαστήµατος ανήκουν στο διάστηµα, εξίσωση (30), το δι-

άστηµα λέγεται κλειστό. Αν δεν ανήκουν, εξίσωση (31), ϑα λέγεται ανοιχτό.

Υπάρχουν και οι ενδιάµεσες περιπτώσεις,

x ∈ [α, β) ⇔ α ≤ x < β (32)

και

x ∈ (α, β ] ⇔ α < x ≤ β. (33)

Τα άκρα µπορεί να είναι και άπειρα, στην οποία περίπτωση το διάστηµα

είναι ανοιχτό στο συγκεκριµένο άκρο.

1.9 ∆υνάµεις και Ρίζες

1.9.1 ∆υνάµεις

΄Εστω α πραγµατικός αριθµός και n ϑετικός ακέραιος. Ορίζουµε να είναι

α2 = α · α, α3 = α · α2 και γενικά αn = α · αn−1. Ο α λέγεται ϐάση και ο nεκθέτης. Επίσης ϑεωρούµε ότι α1 = α και α0 = 1. Για το πρόσηµο ισχύει

ότι

(−1)n =

1 > 0, n = 2k

−1 < 0, n = 2k + 1.(34)

Επειδή α · 1α

= 1, γράφουµε

α−1 =1

α(35)

και κατ΄ επέκταση είναι α−n = 1/αn. ΄Ετσι ορίζονται δυνάµεις µε ακέραιους

εκθέτες.

Για τις δυνάµεις και τους εκθέτες ισχύει ότι

1.

αn · αm = αn+m, (36)

2.αn

αm= αn · α−m = αn−m, (37)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


3.

(αn)m = αnm = (αm)n, (38)

4.(

α

β

)n

=αn

βn. (39)

1.9.2 Ρίζες

Ορίζουµε την n-ϱίζα του β να είναι εκείνος ο ϑετικός αριθµός, ο οποίος όταν

υψωθεί στην n ϑα δώσει τον β. ΄Εστω ότι είναι αn = β. Σ΄ αυτή την περίπτωση

η n- ϱίζα του β είναι ο α και γράφουµε

α = n

√

β. (40)

Ορίζουµε λοιπόν δυνάµεις σε κλασµατικούς (ϱητούς) εκθέτες να είναι

n

√α = α

1

n (41)

και ποιο γενικά

αn

m = m

√αn =

(

m

√α)n

. (42)

Ισχύει ότι

αn· 1n = n

√αn =

(

n

√α)n

= α. (43)

1.9.3 Λύση της Εξίσωσης xn = α

Εδώ ϑα ϑεωρήσουµε ότι το n είναι ϑετικός ακέραιος, n ∈ N. Ας υποθέσουµε

επίσης ότι α > 0. Τότε είναι

x =

± n

√α , n = 2k

n

√α , n = 2k + 1.

(44)

Ισοδύναµα είναι

|x| = n

√α, n = 2k (45)

και

x = n

√α, n = 2k + 1. (46)

Στην περίπτωση που το α είναι αρνητικό, τότε η εξίσωση δεν έχει λύση για

άρτια n και έχει λύση την

x = − n

√

|α| (47)

για περιττά n.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.9.4 Εκθετική και Λογαριθµική Συνάρτηση

Γενικεύουµε τα παραπάνω για δυνάµεις ϑετικών πραγµατικών υψωµένων σε

οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό, αx. Αυτή είναι η εκθετική συνάρτηση.

Συνήθως δουλεύουµε µε την ex. Ισχύουν όλες οι ιδιότητες των εκθετών.

Αν τώρα αx = y, ορίζουµε τον λογάριθµο του y µε ϐάση το α να είναι εκε-

ίνος ο πραγµατικός αριθµός x στον οποίο όταν υψώσουµε τον α ϑα πάρουµε

x. Γράφουµε λοιπόν logα y = x.

Η σύνδεση λογαρίθµου και εκθετικού είναι

αx = y ⇔ logα y = x. (48)

Επιπλέον είναι

logα α = 1, (49)

logα 1 = 0, (50)

x = αlogα

x. (51)

Οι λογάριθµοι έχουν τις εξής ιδιότητες.

1.

logα(x · y) = logα x + logα y. (52)

2.

logα

(

x

y

)

= logα x − logα y. (53)

3.

logα xp = p · logα x. (54)

4.

logα x =logβ x

logβ α. (55)

Στην πράξη χρησιµοποιούνται περισσότερο οι λογάριθµοι µε ϐάση το eκαι λέγονται ϕυσικοί λογάριθµοι, συµβολίζονται δε loge x = ln x και οι

δεκαδικοί λογάριθµοι µε ϐάση το 10, στην οποία περίπτωση γράφουµε

log10 x = log x.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.10 Ευθεία

Η ευθεία έχει εξίσωση y = αx + β. Το α λέγεται κλίση και είναι α = tan θ,

η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία µε τον άξονα Ox. Το βλέγεται µετατόπιση και µας δίνει το σηµείο τοµής της ευθείας µε τον άξονα

Oy (δηλαδή όταν x = 0).

Μια οριζόντια ευθεία έχει κλίση µηδέν και είναι απλά y = β. Μια κατα-

κόρυφη ευθεία δεν περιγράφεται από την παραπάνω εξίσωση, αλλά δίνεται

σαν x = γ, εννοόντας την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το x = γσηµείο.

Αν α > 0 η ευθεία είναι αύξουσα (ανεβαίνει), αν α < 0 η ευθεία είναι

ϕθίνουσα (κατεβαίνει).

∆ύο ευθείες y = α1x + β1 και y = α2x + β2 είναι παράλληλες αν α1 = α2.

Θα είναι κάθετες αν α1α2 = −1. Η κάθετη µιας οριζόντιας ευθείας είναι µια

κατακόρυφη και αντίστροφα.

1.11 ∆ιώνυµο

∆ιώνυµο είναι η παράσταση αx2 + βx + γ µε α 6= 0. Για να ϐρούµε τις ϱίζες

του υπολογίζουµε την διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ. Αν ∆ ≥ 0 τότε έχει

πραγµατικές ϱίζες και είναι

x1,2 =−β ±

√∆

2α. (56)

Αν ∆ < 0 τότε δεν έχει πραγµατικές ϱίζες, αλλά έχει µιγαδικές,

x1,2 =−β ± i

√

|∆|2α

. (57)

Το διώνυµο µπορούµε να το γράψουµε α(x− x1)(x− x2). Αυτή η γραφή

λέγεται παραγοντοποίηση.

Το συµπλήρωµα του τετραγώνου γίνεται ως εξής

αx2 + βx + γ = α

(

x2 +β

αx

)

+ γ (58)

= α

(

x2 +β

αx +

β2

4α2− β2

4α2

)

+ γ (59)

= α

(

x2 +β

αx +

β2

4α2

)

+ α

(

− β2

4α2

)

+ γ (60)

= α

(

x +β

2α

)2

+

(

γ − β2

4α

)

. (61)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Τέλος σηµειώνουµε ότι το διώνυµο έχει το ίδιο πρόσηµο µε το α όταν το

x είναι εκτός του διαστήµατος των ϱιζών και αντίθετο του α για x εντός του

διαστήµατος των ϱιζών.

1.12 Ανάπτυγµα σε Μερικά ή Απλά Κλάσµατα

΄Εστω η ϱητή συνάρτηση f(x) = P (x)/Q(x) µε τον ϐαθµό του πολυωνύµου

P (x) µικρότερο από τον ϐαθµό του πολυωνύµου Q(x). Μπορούµε να την

αναπτύξουµε σε απλά κλάσµατα

Ax + B

(αx2 + βx + γ)r,

A

(αx + β)r. (62)

Εάν το (x − r) είναι παράγοντας του Q(x) και m η µέγιστη δύναµη στην

οποία εµφανίζεται, δηλαδή το (x − r)m είναι η µέγιστη δύναµη που διαιρεί

το Q(x), τότε στην ανάλυση σε απλά κλάσµατα του αντιστοιχούµε m µερικά

κλάσµατα,A1

x − r+

A2

(x − r)2+ · · ·+ Am

(x − r)m. (63)

Εάν το x2+px+q µε ∆ < 0 είναι παράγοντας του Q(x) µε µέγιστη δύναµη

n, τότε του αντιστοιχούµε n µερικά κλάσµατα,

B1x + C1

x2 + px + q+

B2x + C2

(x2 + px + q)2· · ·+ Bnx + Cn

(x2 + px + q)n. (64)

Εφαρµόζουµε αυτή τη διαδικασία για κάθε παράγοντα του Q(x). Θέτον-

τας το αρχικό κλάσµα ίσο µε το άθροισµα όλων των απλών κλασµάτων που

προκύπτουν µ΄ αυτόν τον τρόπο και πολλαπλασιάζοντας µε τον παρονοµα-

στή Q(x), µετά τις απλοποιήσεις µας µένει ένα πολυώνυµο του x στο δεξί

µέλος, το πολυώνυµο P (x) στο αριστερό. Εξισώνοντας οµοιοβάθµιους όρους

και λύνοντας ένα αλγεβρικό σύστηµα εξισώσεων, ϐρίσκουµε του συντελεστές

Ai, Bi, Ci.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


2 Τριγωνοµετρία

2.1 Γεωµετρικοί Ορισµοί

Γεωµετρικά το ηµίτονο και το συνηµίτονο ορίζονται σε ένα ορθογώνιο τρίγω-

νο. ΄Εστω λοιπόν το τρίγωνο OAB.

O A

B

θ

Εξ΄ ορισµού είναι

sin θ =AB

OB(65)

και

cos θ =OA

OB. (66)

Επίσης ορίζουµε την εφαπτοµένη να είναι

tan θ =AB

OA. (67)

Είναι προφανές ότι

tan θ =sin θ

cos θ. (68)

Επιπλέον από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα,

(OA)2 + (AB)2 = (OB)2, (69)

είναι

cos2 θ + sin2 θ = 1. (70)

2.2 Το Ηµίτονο και το Συνηµίτονο

Και οι δύο είνα περιοδικές µε ελάχιστη περίοδο 2π. Μερικές χαρακτηριστικές

τιµές είναι



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


x sin x cos x0 0 1

π

6

1

2

√3

2π

4

√2

2

√2

2π

3

√3

2

1

2π

21 0

Επιπλέον επισηµένουµε ότι

sin x = − sin(−x), (71)

και

cos x = cos(−x). (72)

Το ηµίτονο και το συνηµίτονο σχετίζονται µεταξύ τους ως εξής

sin(x − π

2) = − cos x, (73)

sin(x +π

2) = cos x, (74)

cos(x − π

2) = sin x, (75)

cos(x +π

2) = − sin x. (76)

sin(x + π) = − sin(x), (77)

cos(x + π) = − cos(x). (78)

Τέλος αναφέρουµε ότι

| sin(x)| ≤ 1, (79)

| cos(x)| ≤ 1. (80)

2.3 Εφαπτοµένη και Συνεφαπτοµένη

Ορίζουµε την εφαπτοµένη να είναι

tanx =sin x

cos x(81)

και την συνεφαπτοµένη να είναι

cot x =cos x

sin x. (82)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Παρατηρούµε ότι η συνεφαπτοµένη είναι το αντίστροφο της εφαπτοµένης,

tan x =1

cot x. (83)

Μερικές χαρακτηριστικές τιµές είναι

x tanx cot x0 0 ±∞π

6

1√3

√3

π

41 1

π

3

√3

1√3

π

2±∞ 0

Επιπλέον επισηµένουµε ότι

tan x = − tan(−x), (84)

και

cot x = − cot(−x). (85)

2.4 Τέµνουσα και Συντέµνουσα

Τέλος ορίζουµε την τέµνουσα

sec x =1

cos x, (86)

και την συντέµνουσα

csc x =1

sin x. (87)

2.5 Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις

Οι αντίστροφρες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως εξής :

y = sin−1 x = arcsin x, (−π/2 ≤ x ≤ π/2), (88)

y = cos−1 x = arccos x, (0 ≤ x ≤ π), (89)

y = tan−1 x = arctanx, (−π/2 < x < π/2), (90)

y = cot−1 x = arccotx, (0 < x < π), (91)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


y = sec−1 x = arcsecx, (0 ≤ x ≤ π), (92)

y = csc−1 x = arccscx, (−π/2 ≤ x ≤ π/2). (93)

Ισχύουν οι ιδιότητες

arccscx = arcsin1

x, (94)

arcsecx = arccos1

x(95)

και

arccotx =π

2− arctanx. (96)

Στις παρενθέσεις αναφέρεται ο συνήθης πρωτεύον κλάδος για την κάθε

µια τους.

2.6 Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες

Οι σχέσεις που ακολουθούν αποτελούν ταυτότητες που χρησιµοποιούνται συ-

χνά.

sin2 x + cos2 x = 1, (97)

1 + tan2 x = sec2 x =1

cos2 x, (98)

1 + cot2 x = csc2 x =1

sin2 x, (99)

sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, (100)

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y, (101)

tan(x ± y) =tanx ± tan y

1 ∓ tanx tan y. (102)

Από τις παραπάνω µπορούµε να δείξουµε ότι

cos x cos y =1

2(cos(x − y) + cos(x + y)) , (103)

sin x sin y =1

2(cos(x − y) − cos(x + y)) , (104)

sin x cos y =1

2(sin(x − y) + sin(x + y)) , (105)

cos x sin y =1

2(sin(x + y) − sin(x − y)) . (106)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Θέτωντας x = (A + B)/2, y = (A − B)/2, οπότε ϑα είναι A = x + y και

B = x − y οι παραπάνω ταυτότητες γίνονται

cos A + cos B = 2 cosA + B

2cos

A − B

2, (107)

cos A − cos B = −2 sinA + B

2sin

A − B

2, (108)

sin A + sin B = 2 sinA + B

2cos

A − B

2, (109)

sin A − sin B = 2 cosA + B

2sin

A − B

2. (110)

Ειδικά για x = y έχουµε

sin(2x) = 2 sin x cos x, (111)

και

cos(2x) = cos2 x − sin2 x (112)

= 1 − 2 sin2 x (113)

= 2 cos2 x − 1. (114)

Επίσης

tan(2x) =2 tanx

1 − tan2 x. (115)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


3 Υπερβολικές Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις

Κατ΄ αντιστοιχεία µε τις τριγωνοµετρικές ορίζουµε και τις υπερβολικές τρι-

γωνοµετρικές συναρτήσεις. Είναι

sinh x =ex − e−x

2, (116)

cosh x =ex + e−x

2, (117)

tanh x =sinh x

cosh x=

ex − e−x

ex + e−x, (118)

coth x =cosh x

sinh x=

ex + e−x

ex − e−x, (119)

sechx =1

cosh x=

2

ex + e−x, (120)

cschx =1

sinh x=

2

ex − e−x. (121)

Μερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες και ταυτότητες των υπερβολικών τρι-

γωνοµετρικών είναι οι εξής :

cosh2 x − sinh2 x = 1, (122)

1 − tanh2 x = sechx, (123)

coth2 x = 1 + csch2x, (124)

sinh(−x) = − sinh x, (125)

cosh(−x) = cosh x, (126)

tanh(−x) = − tanh x, (127)

sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, (128)

cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, (129)

tanh(x ± y) =tanhx ± tanh y

1 ± tanhx tanh y. (130)

Τέλος αναφέρουµε τις αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις :

sinh−1 x = arcsinhx = ln(x +√

x2 + 1), ∀ x, (131)

cosh−1 x = arccoshx = ln(x +√

x2 − 1), x ≥ 1, (132)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


tanh−1 = arctanhx =1

2ln

(

1 + x

1 − x

)

, |x| < 1, (133)

coth−1 x = arccothx = ln

(

1

x+

√x2 + 1

|x|

)

, x 6= 0, (134)

sech−1x = arcsechx = ln

(

1 +√

1 − x2

x

)

, 0 < x ≤ 1, (135)

coth−1 x = arccothx =1

2ln

(

x + 1

x − 1

)

, |x| > 1. (136)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ

Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια

Μαθήµατα για :

• Πανεπιστήµιο Πειραιώς

• Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών

• Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

• Πάντειον Πανεπιστήµιο

• Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ)

• Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ)

• ΤΕΙ Αθηνών

• ΤΕΙ Πειραιώς...

Σεµινάρια για ∆ιαγωνισµούς ∆ηµοσίου

Προετοιµασία για :

• Εθνική Σχολή ∆ηµόσιας ∆ιοίκησης

• Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης

• Υπουργείο Οικονοµικών

• Υπουργείο Εξωτερικών

• Υπουργείο ∆ικαιοσύνης

• ∆ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών

• ∆ιαγωνισµός Ευρύτερου ∆ηµόσιου Τοµέα.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Ξένες Γλώσσες

• Αγγλικά

• Κινέζικα

• TOEFL (εξεταστικό κέντρο)

• GMAT

• IELTS

• TOEIC

• GRE

Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL

Εξειδικευµένα Σεµινάρια

• Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,. . . )

• Matlab

• Mathematica

• Autocad

• Μηχανογραφηµένη Λογιστική

• Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,. . . )



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Πληροφορική (Πιστοποιήσεις)

• Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ)

• Προχωρηµένο Επίπεδο

• Εξειδικευµένο Επίπεδο

Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL

Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keyCERT

Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για

τα προγράµµατά µας.

∆ιευθυντής Εκπαίδευσης

∆ρ. Χόντας Στυλιανός

∆ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ

Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Documents

Βασικά Μαθηματικά