49
Ασκήσεις Μαθηματικών Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Γεώργιος Παυλάκος

Ασκήσεις Α Γυμνασίου

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Μαθηματικά Ασκήσεις Α Γυμνασίου

Citation preview

Ασκήσεις Μαθηματικών

Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Γεώργιος Παυλάκος

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 1

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη Φυσικών – Στρογγυλοποίηση

1. Σήμερα είναι Τετάρτη.Τι μέρα θα είναι μετά από α) 7 μέρες ; β) 15 μέρες; 2. Να γράψετε

α) τους άρτιους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το 25 και μικρότεροι ή ίσοι από το 36. β) τους περιττούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το 45 και μικρότεροι από το 57.

3. Ποιοι είναι οι διψήφιοι αριθμοί που ένα τουλάχιστον ψηφίο τους είναι το 4;

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

4. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α) 1+2+3+……….+1000 , β)1+3+5+………+101

Α.1.3. Δυνάμεις φυσικών αριθμών

5. Να συγκρίνετε τους αριθμούς α=12-[7-(6-4)]-3 και β= [(15-7)-3]-1 6. Να κάνετε τις πράξεις α. 5·8-4· [5·6-(7.4-11)] β. [43-2· (73-7·8)] · [13·5-(53-6·8) ·3] 7. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α. 2χ+3χ β. 6χ-χ γ. 4χ+ψ+χ+5ψ 8. Να γίνουν οι πράξεις α. 4· (χ+3) +5· (χ-2) β. 7· (κ+λ)+5· (κ-λ) 9. Να κάνετε τις πράξεις

3 20112 3 2 2

4 2 3 2 2 2

42 2 4 3 2

20102 3 4 3

)2 3 2 3 5 8 7 9

)2 5 3 5 4 6 3 7

) 2 1 10 3 4 6 5 7

)12 2 3 5 3 11

10. Αν χ=16-6·2+38:19 , 2 3 173 2 1 και 2 2 133 3 3

Να υπολογιστούν τα χ,ψ,Α 11. Αν α=10-10:5 και β = (43:16)·3, να υπολογίσεις τιμές των παραστάσεων.

2

2

5 : 2 21 : 25

: 32 3 : 12 : 4 5

12. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α=5(χ+3)+2(χ-2)+7

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση – Διαιρετότητα

13. Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός , ποιά μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ν:5

14. Σήμερα είναι Τετάρτη. Τι μέρα θα είναι μετά από α) 7 μέρες ; β) 15 μέρες;

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας – ΜΚΔ – ΕΚΠ – Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

15. Ελέξτε να ο αριθμός 612 διαιρείται με το 2,3,4,5,9,25 16. Ελέξτε αν ο αριθμός 675 διαιρείται με το 2,3,4,5,9,25

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 2

17. Να βρεθεί το ΕΚΠ και ο ΜΚΔ των αριθμών 48 και 72 18. Εάν ο αριθμός α είναι πολλαπλάσιο του αριθμού β να βρείτε το ΕΚΠ(α,β) και τον ΜΚΔ(α,β) 19. Ελέξτε αν ο αριθμός 504 διαιρείται με το

α) 2,3,4,5,9,25

β) Αν ο αριθμός α=2

2 3 5 και ο β=3 2

2 .3 Να βρεθεί το ΕΚΠ(α,β) και τον ΜΚΔ(α,β) 20. Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορούμε να σχηματίσουμε από 48 λευκά άνθη, 80 ρόζ και

112 κίτρινα; Πόσα άνθη από κάθε χρώμα θα περιλαμβάνει η κάθε ανθοδέσμη 21. Πόσοι τουλάχιστον μαθητές χρειάζονται, ώστε όταν παραταχθούν σε τριάδες , πεντάδες ή τετράδες

να μην περισσεύει κανείς 22. Να αναλύσετε τους αριθμούς 180 και 120 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να βρείτε το

ΕΚΠ(120,180) και τον ΜΚΔ(120,180) 23. Να αντικαταστήσετε τις τελείες με ψηφία ,ώστε ο αριθμός :

α. 35• να διαιρείται με το 2 και το 5 β. 67• να διαιρείται με το 3 και το 5 γ. 57 • να διαιρείται με το 4 και το 9 δ. 6 • • να διαιρείται με το 9 και το 25

24. Να αναλύσετε τους αριθμούς 48 και 72 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να βρείτε το ΕΚΠ(48,72) και τον ΜΚΔ(48,72)

25. Να βρείτε το μικρότερο φυσικό αριθμό , που όταν διαιρεθεί με το 2, το3,το4 και το 5 αφήνει κάθε φορά υπόλοιπο 1

26. τρεις αθλητές προπονούνται σε ένα στίβο. Ο πρώτος διατρέχει το στίβο σε 6 min , ο δεύτερος σε 5min και ο τρίτος σε 4min. Mετά από πόσα min θα βρεθούν για πρώτη φορά και οι τρείς μαζί στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησαν και πόσες φορές θα έχει διατρέξει το στίβο ο καθένας;

27. Έχουμε 60 γαρύφαλλα και 90 τριαντάφυλλα. Π όσες ανθοδέσμες το πολύ μπορούμε να φτιάξουμε , ώστε να περιέχουν τον ίδιο αριθμό γαρύφαλλων και τριαντάφυλλων και πόσα από κάθε είδος θα περιέχει η κάθε ανθοδέσμη;

28. Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που αν διαιρεθεί με το 3 ή το 6 ή το 8 α) δίνει υπόλοιπο 0 και β ) δίνει υπόλοιπο 2

29. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), ή (Λ) 30. α. Αν ο αριθμός α διαιρεί τον β, τότε ο β είναι πολλαπλάσιο του α

β. Ο αριθμός α≠0 διαιρεί τον αριθμό 3α γ. Ο αριθμός 5 είναι σύνθετος δ. Οι αριθμοί 6 και 8 είναι πρώτοι μεταξύ τους. ε. Αν ένας αριθμός διαιρείται με το 9, θα διαιρείται και με το 3

31. Να αναλύσετε τους αριθμούς 18 και 24 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να βρείτε το ΕΚΠ(18,24) και τον ΜΚΔ(18,24)

32. Να βρείτε το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ των αριθμών 4 22 3 5 και 2 32 5 7

33. Να αναλύσετε τους παρακάτω αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. α 90 β. 120 γ. 80 δ.144

34. Να συμπληρωθεί ο πενταψήφιος αριθμός 3…51… ώστε να διαιρείται με 2 και 9 35. Στον αριθμό 64… να συμπληρώσετε το κενό με το κατάλληλο ψηφίο ώστε να προκύψει αριθμός που

να διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 3. 36. Να βρείτε τον αριθμό Μ.Κ.Δ. των αριθμών 32, 48, 64. 37. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 6, 13.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 3

A.1.Γενικές Ασκήσεις

38. α) Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης: Α = 3 (24 + 5) +152 +2133+ 312010 β) Η τιμή του Α που βρήκες στο α) ερώτημα , διαιρείται δια 5; διαιρείται δια 3; Να δικαιολογήσεις την απάντηση σου

39. α)Να γράψετε την Ευκλείδεια διαίρεση του 2535 δια του 11. Ποιό είναι το πηλίκο και ποιο το υπόλοιπο; β) Ο αριθμός 2535 διαιρείται (ακριβώς) με το 2, με το 3 ,με το 5,με το 11; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

40. Ο διαιρέτης σε μια διαίρεση είναι 4 και το πηλίκο είναι 10. α) Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του υπολοίπου.

β) Αν το υπόλοιπο είναι διάφορο του μηδενός και άρτιος να βρεθεί ο διαιρετέος.

41. α) Αν ο χ είναι ένας περιττός φυσικός αριθμός τότε ποιος είναι ο επόμενός του περιττός φυσικός αριθμός; β) Να βρείτε τους παραπάνω δυο περιττούς φυσικούς αριθμούς αν είναι γνωστό ότι έχουν άθροισμα 2008

42. Να δείξετε ότι οι παραστάσεις έχουν την ίδια αριθμητική τιμή; A = ( 1800 + 16,7 ) : 3,7 - 2 ( 19 -15 ) + ( 58 - 13 ) · 13,6 και

Β = 40 + (52 -32 + 73 ) - 7 ( 22 - 12 + 17 ) + 55 · 0,1

43. Να βρείτε ποια από τις παραστάσεις έχει την μεγαλύτερη αριθμητική τιμή;

3 4 2 2 2 5A 7 4 5 (2 1 7 ) 1,2 :0,3 3 8 2 1

2 3 2 7B (3,5 2 7) 2 3 (3 7 8 : 4) 4,6 :0,2 1 0,25

44. Αν x 2 15 4 5 , y 500 0,1 και 2z 5 . Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

2 3 0 8K x 10(y : z) (2x y) 1

45. Ο δήμος μίας πόλης πρόκειται να πλακοστρώσει μία τετραγωνική πλατεία περιμέτρου m400 με ορθογώνιες τριγωνικές πλάκες που έχουν κάθετες πλευρές cm30 και cm40 . Να βρείτε πόσες πλάκες ακριβώς θα χρειαστούν για την πλακόστρωση και πόσα χρήματα θα κοστίσουν αυτές αν 5 από τις πλάκες κοστίζουν 6 €.

46. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: A=(23+1):( 52-12 2)+(32-23)50 και B=2x3-3x2+5x-1 . όταν x=2

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 4

A.2.1. Η έννοια του κλάσματος

1. Να βρείτε ποιο μέρος των 1000 € αποτελούν : α) τα 50 €, β) τα 10 €, γ) τα 350 € δ) τα 5.000 €

2. Να βρείτε πόσα cm είναι :

α) το 5

1 του μέτρου, β) τα

5

4 του μέτρου

3. Να εκφράσετε με κλάσμα : α) 17 min της ώρας, β) 2 ημέρες της εβδομάδας, γ) 31 ημέρες του έτους

4. Το 10

1 μιας διαδρομής γίνεται σε 15 min. Σε πόση ώρα γίνονται :

α) τα 10

7 της διαδρομής, β) ολόκληρη η διαδρομή

5. 1 κιλό κεράσια κοστίζουν 800 δρχ. Να βρείτε πόσο κοστίζουν :

α) το 5

1 του κιλού, β) τα

5

4 του κιλού

6. Τα 13

3 μιας απόστασης είναι 36 km. Να βρείτε πόσα km είναι τα

4

3 της απόστασης.

7. Τα 7

6 ενός αριθμού είναι ο αριθμός 36. Να βρείτε ποιος αριθμός είναι τα

3

2 του αριθμού.

8. Ένα χωριό έχει 533 κατοίκους. Από αυτούς τα 7

2 είναι συνταξιούχοι. Να βρείτε πόσοι είναι οι

συνταξιούχοι. 9. Να γράψετε ως κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων: 4 : 5 12 : 17 1 : 7 7 : 1

10. Να βρείτε ποια διαίρεση παριστάνει καθένα από τα κλάσματα: 19

2,

102

101,

8

1,

1

10

11. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω κλάσματα παριστάνουν φυσικούς αριθμούς :

3

9

2

7

4

86

9

198

1

13

12. Να βρείτε τους φυσικούς που παριστάνουν τα κλάσματα :

1

5

32

1024

25

625

153

0

573

573

13. Να συμπληρώσετε τα κενά : α) 3 = 5

....3 , β) 7 =

1

...., γ) 0 =

4

....3 , δ) 1 =

....

12

14. Ποια είναι η τιμή του x για να ισχύει; α) 017

5x

, β) 0

19

x8

, γ)

50

6

x

15. Ποια είναι η τιμή του κ για να ισχύει; α) 5

16

, β) 1

10

, γ)

51

13

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 5

16. Να βρείτε σε μέτρα : α) το 5

1 των 3 μέτρων, β) το

11

1 των 10 μέτρων.

Α.2.2. Ισοδύναμα κλάσματα

17. Να γράψετε ως κλάσμα το 3 με παρονομαστή τον αριθμό : 1, 2, 4, 15 18. Να συμπληρώσετε τις ισότητες :

α) 1 = 5

, β) 2 = 5

, γ) 3 = 5

, δ) 4 = 5

, ε) 5 = 5

,

στ) 6 = 5

, ζ) 7 =5

, η) 8 = 5

, θ) 9 = 5

19. Να συμπληρώσετε τις ισότητες :

α) 147

1 , β)

357

1 , γ)

637

1 , δ)

777

1 , ε)

5007

1

20. Να συμπληρώσετε τις ισότητες :

α) 126

5 , β)

246

5 , γ)

606

5 , δ)

1506

5 , ε)

3606

5

21. Να συμπληρώσετε τις ισότητες :

α) 902

1 , β)

903

1 , γ)

906

5 , δ)

909

7 , ε)

9015

11 ,

στ) 9030

23 , ζ)

9045

2

22. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα :

8

4

12

9

35

25

49

42

72

18

105

35

23. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα :

54

126

148

144

81

243

82

256

999

333

24. Να μετατρέψετε καθένα από τα παρακάτω κλάσματα με παρανομαστή το 48:

2 5 7 x, , ,3 6 12 16

25. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω κλάσματα είναι ίσα

3 2 6 30 15 8, , , , ,2 3 4 45 10 12

26. Ποια είναι η τιμή του x για να ισχύει;

α) 5

3 =

15

x, β)

49

α

7

2 , γ)

24

y

8

5

27. Ποια είναι η τιμή του κ για να ισχύει;

α) 13 52

104 , β)

49

35

κ

5 , γ) 4

κ

76

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 6

28. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω ζεύγη κλασμάτων είναι ίσα :

α) 4

3 και

8

6, β)

15

8 και

18

10, γ)

4

1 και

100

27, δ)

72

51 και

45

32

ε) 99

44 και

9

4, στ)

9999

2525 και

99

25, ζ)

999999

123123 και

999

123

29. Αν 1λ

κ να απλοποιήσετε το κλάσμα :

λ4κ8

λ7κ2

30. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα : α) α4

α28

, β)

x1020

x510

, γ)

β12α6

β8α4

Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων

31. Να συγκρίνετε τα κλάσματα :

α) 9

7,

9

4, β)

11

3,

10

3, γ)

17

3,

17

2, δ)

14

9,

13

9, ε) 9,

7

9

32. Να συγκρίνετε τα κλάσματα :

α) 10

7,

3

2, β)

14

11,

7

5, γ)

12

10,

9

8, δ) 5,

5

1, ε)

3

4,

4

3

33. Να συγκρίνετε με το 1 τα κλάσματα :

6

5

9

7

23

25

62

73

88

88

512

217

34. Να τοποθετήσετε σε αύξουσα σειρά τα κλάσματα:

5 7 5 5, , , , 13 9 4 9

35. Να τοποθετήσετε στην ευθεία των αριθμών τα κλάσματα

1 3 7 11 1 2 3 5 5) , , , , ) , , , ,4 4 4 4 2 3 2 3 2

36. Να γράψετε στη σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα κλάσματα :

α) 9

7,

5

7,

15

7,

3

7,

13

7,

8

7,

2

7, β)

10

17,

10

2,

10

9,

10

13,

10

3,

10

7,

10

1

37. Να γράψετε στη σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο τα κλάσματα :

α) 4

3,

5

5,

10

11,

8

3,

4

1, β)

5

1,

5

12,

11

12,

5

3,

11

11,

7

12,

5

2

38. Να βρείτε τα κλάσματα που έχουν αριθμητή το 7 και είναι μεγαλύτερα από το 1. 39. Να βρείτε τα κλάσματα που έχουν παρονομαστή το 6 και είναι μικρότερα από το 1. 40. Να βρείτε ένα τουλάχιστο κλάσμα μεγαλύτερο από το :

α) 7

2, β)

5

1, γ)

29

17, δ)

34

35

41. Να βρείτε ένα τουλάχιστο κλάσμα μικρότερο από το :

α) 8

1, β)

4

3, γ)

5

6, δ)

30

39

42. Να βρείτε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 9

1 και μικρότερο από το

9

2

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 7

43. Να βρείτε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 6

5 και μικρότερο από το

7

6.

44. Να συγκριθούν τα κλάσματα στις παρακάτω ομάδες: α)6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

, , , , , , , , ,31 1 45 7 6 31 1 45 7 6

β)8 4 12 4 7 11 6 9 10 5

, , , , , , , , ,7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

γ)7 4 17 3 5

, , , ,8 9 36 4 12

45. Να συγκρίνεται με το 1 τα κλάσματα: 3 8 9 116 85

, , , , .4 7 9 253 48

46. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 1/9 και μικρότερο από το 2/9. 47. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 3/4 και μικρότερο από το 4/5.

48. Αν 3 24 4

4 5 , να βρείτε την τιμή του φυσικού αριθμού α

49. Να συγκρίνετε με τη μονάδα τα κλάσματα :

α) 2x3

2

, β)

3x

7x

, γ)

8x4

)2x(4

50. Να συγκρίνετε τα κλάσματα :

α) 1λ

κ,

λ

κ

, β)

λ

1κ,

λ

κ , γ)

λ

βκ,

αλ

κ

, δ)

93

64,

95

61

51. α)Να συγκρίνετε τα κλάσματα : 12

11,

2

1

β)Να γράψετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τα κλάσματα: 9

8,

5

4,

7

6,

4

3,

8

7,

6

5,

3

2,

2

1

γ)Να συγκρίνετε : 1λ

λ

κ

όταν κ < λ

52. α)Να συγκρίνετε : 11

12

1

2

β)Να γράψετε από το μεγαλύτερο στο μικρότερο τα κλάσματα : 4

5,

3

4,

5

6,

6

7,

8

9,

7

8,

2

3,

1

2

γ)Να συγκρίνετε : 1λ

λ

κ

όταν κ > λ

Α.2.4. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

53. Να βρείτε τα αθροίσματα :

α) 10

1

10

8 , β)

13

3

13

8

13

2 , γ)

121

43

121

27

121

18

54. Να κάνετε τις πράξεις :

α) 5

6

3

2 , β)

26

9

13

2 , γ)

8

11

16

7 , δ)

9

48 , ε)

5

83

55. Να υπολογίσετε :

α) 20

3

5

3

4

3 , β)

4

1

12

5

6

1

3

5 , γ) )

4

3

3

2()

3

12( , δ) )

5

43()

5

12(

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 8

56. Να γράψετε σαν μεικτούς αριθμούς τα αθροίσματα: 2 3 5

6 , 19+ , 7+3 8 11

57. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α)1 5 2

3 12 6 3 β)

7 2 1 2

8 9 8 9

58. α)Να γράψετε ως κλάσματα τους μικτούς : 6

110,

11

12,

5

18,

3

13,

7

24

β) Να γράψετε τα κλάσματα σαν μικτούς : 2

27,

3

25,

3

18,

4

15,

8

12

59. Να βρείτε τις διαφορές :

α) 8

3

8

5 , β)

22

6

22

15 , γ)

13

8

13

34 , δ)

95

17

99

42 , ε)

999

300

999

333

60. Nα υπολογίσετε τις διαφορές :

α) 7

2

9

8 , β)

9

7

18

17 , γ)

16

3

32

15 , δ)

10

3

20

23 , ε)

5

1

4

1

61. Να κάνετε τις πράξεις :

α) )10

1

10

3(

5

1 , β) ( )

3

26()

3

17 , γ) )

3

2

6

1()

3

1

2

1(

62. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :

)10

1

9

8()

9

1

8

7()

8

1

7

6()

7

1

6

5()

6

1

5

4()

6

1

5

4()

5

1

4

3()

4

1

3

2()

3

1

2

1(

2

1

63. Σε ένα Γυμνάσιο η Α΄και η Β΄τάξη έχουν τα3

8 και

1

3 των μαθητών του Γυμνασίου αντίστοιχα. Ποιο

μέρος των μαθητών του Γυμνασίου έχει η Γ΄τάξη;

64. Ποιο κλάσμα πρέπει να προσθέσουμε στο3

7 για να βρούμε άθροισμα

4

5;

65. Να βρείτε σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε τον αριθμό 9

4 για να βρούμε διαφορά

18

13.

66. Να βρείτε από ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσουμε το 10

7 για να βρούμε διαφορά

5

7

67. Ποια είναι η τιμή του x για να ισχύει;

α) 4

1

8

1x , β)

2

51x , γ)

3

12x , δ)

5

1

5

2x

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

68. Να υπολογίσετε :

α) 3

5

7

6 , β)

4

3

8

1 , γ)

11

10

5

2 , δ)

5

1

13

5 , ε)

7

1

2

35 , στ)

16

27

9

4

69. Nα υπολογίσετε :

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 9

α) 3

110 , β)

8

14 , γ) 21

3

7 , δ) 24

8

3

70. Να υπολογίσετε :

α) 6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 , β)

4

1

5

2

2

3

7

4

3

5 , γ) 3

7

2

5

15 , δ) 16

2

5

15

2

8

3

71. Να κάνετε τις πράξεις :

α) 3

5

3

5

2, β)

2

3

1

6

1, γ)

8

6

4

3

7

2, δ) 2

2

5

4

13

ε)

4

1

3

1

2

1

6

1

72. Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθμών : 25,2,5

6,

7

1,

4

3,

9

8

73. Ποια είναι η τιμή του x για να ισχύει;

α) 5x = 1, β) 1x3

1 , γ) 1x

8

7 , δ) x 1

9

5 , ε)

21

5x

74. Να βρείτε τα 5

2του

2

1 του 100.

75. Ένα Γυμνάσιο έχει 180 μαθητές. Τα3

5 των μαθητών παρακολουθούν Γαλλικά . Το

1

4των μαθητών που

παρακολουθούν Γαλλικά είναι αγόρια. Πόσα αγόρια παρακολουθούν Γαλλικά;

76. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει μήκος 20 cm, πλάτος τα 5

4του μήκους του και μήκος τα

8

5 του

πλάτους του. Να βρείτε τον όγκο του.

Α.2.6. Διαίρεση κλασμάτων

77. Να υπολογίσετε :

α) 11

4:

7

5, β)

11

8:

4

3, γ)

2

1:

4

1, δ)

3

2:

13

4, ε)

6

1:4 , στ) 5:

5

8

78. Να υπολογίσετε :

α) 5

3:

5

2, β)

6

5:

6

1, γ)

11

6:

7

6, δ)

2

3:

8

3, ε) 1:

9

5, στ) 1:

8

7

79. Να κάνετε τις διαιρέσεις :

α) 9

1:

3

12 , β)

5

23:

25

1, γ)

12

27:

4

12 , δ)

3

26:

3

25

80. Να βρείτε τα πηλίκα :

α) 7

3:

7

2, β)

7

2:

7

3, γ)

3

8:

3

2:

4

1, δ)

3

8:

3

2:

4

1

81. Να κάνετε τις πράξεις :

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 10

α) 5

3:

8

3

8

1

και

5

3:

8

3

3

1:

5

1 β)

5

2:

2

1

7

4

και

5

2:

2

1

5

2:

7

4

82. Να κάνετε τις πράξεις :

α)

5

11:

2

3

2

73

2

5:

2

1, β)

3

5:

6

1

5

6

2

1

6

5:

3

1

2

1

83. Να τραπούν τα σύνθετα κλάσματα σε απλά

2 34 13 4) , ) , ) , )

5 2 5 2

6 5 3

84. Ποια είναι η τιμή του x για να ισχύει;

α) 7

3x

5

1 , β)

4

1

3

2x , γ)

4

1x:

8

3 , δ)

9

5

2

1:x , ε)

3

5x:

5

4 , στ) x : 5 =

11

4

85. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 8

3 για να πάρουμε γινόμενο

3

22 ;

86. Ένας εργάτης σε μια ώρα κάνει τα 17

2ενός έργου. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο ;

87. Αν 3 1 1 2 3 5

:2 8 5 5 8 7

να βρεθεί η παράσταση 2.Α-Β=

Α.2. Γενικές Ασκήσεις

88. Να κάνετε τις πράξεις

2 2 2 2

10

3

2012 173

2

1 6 4.9 12 5.2 7 5 6.4) , ) 12 123 104 42

2 3.2 1 1 1 1 5 7)1 )

2 3 6 2 3 615 3

89. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:

1 11 111 1111 2222 2323) , )5 55 555 5555 3333 4545

90. Αν 2

3 , να υπολογίσετε τις παραστάσεις 3 2

3

91. Αν 3 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 5 7

2

92. Αν 1

5 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 3 2

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 11

93. Αν

2 1, 53 2 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2

94. Να υπολογίσετε τα γινόμενα

1111 777 55 88 33 70) . , ) . . .111 7777 44 77 22 251 1 1 1 1

) 1 1 1 1 12 3 4 5 6

1 1 1 1) 1 1 1 ...... 1

2 3 4 100

95. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις 3 102

5 32

3 5 1) ) )2 2 2

3 5 1) 1 2 8 12 3 2

96. Δύο συνέταιροι μοιράζονται τα ημερήσια κέρδη μιας επιχείρησης. Αν ο ένας παίρνει τα 3

8, που είναι

600€, να βρείτε το συνολικό κέρδος και το κέρδος του δεύτερου συνέταιρου

97. Ένας κινηματογράφος είναι γεμάτος κατά τα 3

7, ενώ έχει και 116 κενές θέσεις . Πόσες θέσεις είναι

κατειλημμένες; 98. Ένα βαρέλι χωράει 180 lt. Από την ποσότητα που περιέχει αφαιρούμε 30lt και το βαρέλι μένει γεμάτο

κατά τα 5

8. Πόσα λίτρα περιείχε αρχικά;

99. Ο Γιώργος την Δευτέρα ξόδεψε το 1

4των χρημάτων του. Την Τρίτη ξόδεψε το

1

5των υπολοίπων

χρημάτων που του έμειναν. Αν στο τέλος της Τρίτης έχει 15€ πόσα χρήματα ήταν αυτά που είχε ο Γιώργος

100. Ένα μικρό χωριό έχει 96 κατοίκους .Από αυτούς οι 12 είναι παιδιά. Να βρείς ποιο μέρος των κατοίκων του χωριού είναι τα παιδιά.

101. Τα 3

5των σελίδων ενός βιβλίου της Α΄ Γυμνασίου έχουν εικόνες. Να βρείς πόσες είναι όλες οι

σελίδες του βιβλίου, αν οι σελίδες που δεν έχουν εικόνες είναι 90

102. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 210m

16. Αν η μία διάσταση του είναι

5m4

να υπολογιστεί η

άλλη διάσταση.

103. Ποσότητα 17kg καφέ συσκευάζεται σε φακελάκια των 3kg

20 το καθένα. Να βρείς πόσα τέτοια

φακελάκια θα γίνουν και πόσος καφές θα περισσέψει;

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 12

104. Τα 2

15των μαθητών έχουν στα Μαθηματικά βαθμό μεγαλύτερο του 15 και τα

5

36 αυτών είναι

αριστούχοι. Να βρεις ποιο μέρος των μαθητών του σχολείου είναι αριστούχοι; 105. Με ένα χρηματικό ποσό αγοράσαμε ένα καναπέ τέσσερεις πολυθρόνες και οκτώ καρέκλες. Ο

καναπές κόστισε το 1

5και η κάθε πολυθρόνα το

1

10του ποσού. Να υπολογίσεις α) Ποιο μέρος του

ποσού κόστισε η κάθε καρέκλα β) Πόσο είναι όλο το χρηματικό ποσό, αν για κάθε καρέκλα δώσαμε 30€.

106. Το 1

5των μηνιαίων εσόδων μιας οικογένειας ξοδεύεται για διατροφή. Τα

2

7 των χρημάτων της

διατροφής ξοδεύονται για λαχανικά. Αν τα μηνιαία έσοδα της οικογένειας είναι 1155€, να βρεις πόσα χρήματα ξοδεύει η οικογένεια για λαχανικά;

107. Αν τα2

5ενός ποσού τα ξόδεψα στην εκδρομή , και από τα υπόλοιπα χρήματα το

1

4 το ξόδεψα

στο κυλικείο, μου περίσσεψαν 9€ . Πόσο ήταν το αρχικό ποσό; 108. Ένας οινοπαραγωγός έχει 11.500lt κρασιού. Θέλει να το συσκευάσει σε φιάλες που η καθεμία

χωράει 7lt

10. Πόσες φιάλες χρειάζεται και πόσο κρασί θα του μείνει;

109. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α) 22

3

6

7

3

1κ , β) 2

3

11

3

5λ ,

γ) μ κ λ , όπου κ και λ τα αποτελέσματα από τα ερωτήματα i) και ii).

Tι είναι οι αριθμοί Κ, Λ μεταξύ τους και γιατί;

110. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: Α=5 2

3 3 , Β=

6 1

9 3 , Γ=

5 1 2

6 4 3 , Α+Β-Γ .

111. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων.

1) Α=10

6

10

3 2) Β=

4

3 -22

6

3) Γ= )7()1()4(5

4) Δ=)4(

)20()2()9(

5) A+B+Γ+Δ

112. Δεξαμενή έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου με διαστάσεις 2m, 12dm και 80cm. Να υπολογίσετε πόσα λίτρα πετρέλαιο υπάρχουν στην δεξαμενή αν γνωρίζουμε ότι είναι γεμάτη κατά τα 3/5 της

113. Δοχείο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις, μήκος 0,4m πλάτος 3,5dm και ύψος 60cm. Να υπολογίσετε αν το δοχείο χωράει 63 λίτρα νερό και αν ναι, να βρεθεί το ύψος του νερού στο δοχείο.

114. Αν 1 1

A 1 12 3

και 2 1

B 23 6

.Να βρεθεί η τιμή και ο αντίστροφος της

παράστασης A 2B

P2 3

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 13

115. Το 8

1 μιας πίτσας κοστίζει 17,5 €. Να βρείτε πόσο κοστίζουν i) τα

8

3 της πίτσας ii) ολόκληρη η

πίτσα.

116. Τα 11

4 των μελών ενός συλλόγου είναι 88 μέλη. Να βρείτε πόσα μέλη είναι τα

11

7 του συλλόγου.

117. Τα 5

2 ενός αριθμού είναι ο αριθμός 32. Να βρείτε ποιος αριθμός είναι τα

8

3 του αριθμού.

118. Τα 9

5 των εργατών ενός εργοστάσιου είναι γυναίκες. Αν οι εργαζόμενοι άντρες είναι 424 να βρείτε

πόσους συνολικά απασχολεί το εργοστάσιο.

119. Να λύσετε τις εξισώσεις 8

013

x ,

21

3

x

120. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5

3 =

15

x ii)

497

2 a iii)

248

5

121. Nα συγκρίνετε τα κλάσματα i) 3

2 ,

10

7 ii)

7

5 ,

14

11 iii)

12

10,

9

8 iv)

5

1 , 5 v)

3

4,

4

3

122. Να βρείτε τα αθροίσματα i) 8

3

2

1

4

3 ii) 3+

8

2

4

1 iii)

7

3

3

2

7

1

3

1 iv)

4

1

12

5

6

1

3

5 .

123. Nα βρείτε τις διαφορές i) 3

4

2

3 ii)7-

3

2 iii)

8

3

4

3

3

1

3

4.

124. Να λύσετε τις εξισώσεις i) x + 10

4

5

1 ii) x + 2 =

2

5 iii) x – 1 =

2

3 iv) x -

6

4

3

1 .

125. Να βρείτε σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε το αριθμό 5

2 για να βρούμε άθροισμα

7

4.

126. Να βρείτε από ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσουμε τον 7

6 για να βρούμε διαφορά

3

2.

127. Το άθροισμα δυο αριθμών είναι 5

13. Ο ένας προσθετέος είναι ο

3

5. Να βρείτε ποιος είναι ο άλλος

προσθετέος.

128. Ο Γιώργος αγόρασε 1 σοκολάτα .Έδωσε το 3

1 αυτής στον αδερφό του και τα

7

2

στην αδερφή του.Ποιο μέρος της σοκολάτας του έμεινε;

129. Η Κατερίνα παίρνει από την μητέρα της κάθε μέρα το ίδιο χαρτζιλίκι. Το 4

1 το ξοδεύει σε φαγητό.

Τα 3

2 σε ψιλικά και τα υπόλοιπα τα βάζει στον κουμπαρά της. Ποιο μέρος από το χαρτζιλίκι βάζει

καθημερινά στον κουμπαρά της;

130. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: )32(4)25(:)74(6A3 και

2x2

2x3xB αν 4x

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 14

Έπειτα να βρείτε την παράσταση A

1

4

1:

3

B

A

2

1Γ καθώς και τον αντίστροφο αυτής.

131. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i) 1 7 3

3 6 4 , ii)

5 11

3 9 , iii) , όπου Κ και Λ

τα αποτελέσματα από τα ερωτήματα i) και ii). Tι είναι οι αριθμοί Κ, Λ και γιατί;

132. Να κάνετε τις πράξεις: α)

2

3

4

1

3

2, β)

3

2

4

1

3

2, γ)

8

3

4

1

5

2, δ)

6

3

3

5

2

3

ε)

6

8

3

4

16

8

4

20

9

34

3

25 στ)

4

1

2

3

7

6

3

5

2

1

4

12 ζ)

3

4

5

2

5

13

133. Τρία συνεργεία εργατών ανέλαβαν να κατασκευάσουν ένα δρόμο. Το 1ο συνεργείο κατασκεύασε

τα 2

7 του δρόμου, το 2ο το

1

3 και το 3ο το υπόλοιπο. Ποιο συνεργείο κατασκεύασε το μεγαλύτερο

μέρος του δρόμου;

134. Να βρείτε σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε τον αριθμό 3

4 για να βρούμε άθροισμα

5

6.

135. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: α)

2 2 2

4

2 1 1 1 3 (5 4 )

3 2 3 5 3

β)

5 1 3 3 2 34 2 1

6 2 4 4 3 4 , γ)

5 1 1 1 5 1 33 : 4

4 2 3 2 2 3 4

δ)

21 5 1 1

3 32 2 25 4

ε)

5 25 11 8 1: : 4

4 21 15 9 51 1

2 13 2

136. Να βρείτε τα3

5 του Α όταν Α = 24:23 +3(7 – 3) +52 – 32.

137. Από τρεις βρύσες η α΄ γεμίζει μια δεξαμενή σε 5 ώρες, η β΄ βρύση σε 7 ώρες και η γ΄ σε 9 ώρες. α) Τι μέρος της δεξαμενής γεμίζει σε μια ώρα κάθε βρύση; β) Τι μέρος της δεξαμενής γεμίζουν σε μια ώρα και οι τρεις βρύσες όταν λειτουργούν ταυτόχρονα;

138. α) Σε μια τάξη 25 μαθητών, 6 μαθητές πήραν στο διαγώνισμα των Μαθηματικών βαθμό άριστα. Να βρείτε το μέρος των μαθητών που πήρε βαθμό άριστα. β) Σε μια άλλη τάξη 20 μαθητών, 4 μαθητές πήραν βαθμό άριστα. Να βρείτε το μέρος των μαθητών που πήρε βαθμό άριστα. γ) Να μετατρέψετε τα παραπάνω κλάσματα σε ισοδύναμα με παρονομαστή το 100 και να βρείτε ποια από τις δυο τάξεις είχε μεγαλύτερο ποσοστό άριστων στα μαθηματικά.

139. Αφού γίνουν οι πράξεις στους όρους των κλασμάτων να τα απλοποιήσετε: 24 5 8 10

(23 37): (36 32)

A

, 4 3 2

2

3 3 3 3 B=

(12 6) 3

,

23 5 3 10Γ

(19 16) (28 23) ,

3 4 2

2

2 2 2Δ

(16 24) 2

140. α) Να συγκρίνετε τα κλάσματα 7 4 17

, , 8 9 36

, β) Να συγκρίνετε με την μονάδα τα κλάσματα 7 2

, 5 3

141. Να κάνετε τις πράξεις:4 1 1 2 1 3 1 3 1

) ( ) β) γ) 3 1 45 3 6 3 2 4 4 4 3 a

142. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 5 10

9 3 x β)

71

8 x

143. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α)6

53

3

12

6

53 β) )

2

12

4

35(4

4

312

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 15

144. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α)4

3

3

21

4

324)

4

3

2

1

6

5(

β) (3

1)2

1

6

7(

2

1)6

5

4

3 γ) (

3

1

4

31

6

533)

3

2

2

1

4

5

145. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

α) )4

1

3

43()

6

5

2

5

4

3( β) )

2

1

4

3(

6

5

3

12

2

1)3

4

1(

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

3ο Κεφάλαιο Σελίδα 16

Α3.1. Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί – Διάταξη δεκαδικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

1. Δίνονται οι αριθμοί: 2.408 3.066 11,08 52,3060 33,306 27

0,2408 240,8 24,08 110,80 27,30600 240

α) Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς αυτούς έχουν το ίδιο ακέραιο μέρος και ποιοι έχουν το ίδιο δεκαδικό μέρος.

β) Να βρείτε το ψηφίο των δεκάδων και το ψηφίο των δεκάτων στους παραπάνω αριθμούς.

2. Να στρογγυλοποιήσετε τους αριθμούς 1297 - 39513 - 2,998 στην πλησιέστερη εκατοντάδα , δεκάδα χιλιάδα ή δέκατο, αντίστοιχα.

3. Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσματα :

12 625 105 327 15 3 3467, , , , , ,

10 100 1000 100 1000 10 10.000

4. Να γράψετε ως κλάσματα τους δεκαδικούς : 3,7 , 16,25 , 85,6 , 0,61 , 0,0002 , 0,3 , 1,055

5. Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσματα : 3 250 9 23 1 3

, , , , ,5 150 4 16 8 50

6. Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσματα με προσέγγιση εκατοστού : 2 7 1

, ,11 13 7

7. Να γίνουν οι παρακάτω στρογγυλοποιήσεις:

ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΟΝΑΔΑ ΔΕΚΑΔΑ ΕΚΑΤΟΝΤΑΔΑ ΧΙΛΙΑΔΑ

2345,6

987,5

56998

787293

Α3.2. Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς – Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό

8. Να γράψετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς 0,01 2,018 2,01 2,099 2,0999 0,009 0,099

9. Να γίνουν οι πράξεις 2,375•100 2,74•100 0,74•1000 0,195•100

43,2•0,1 43,2•0,001 0,9•0,001 0,37•0,01

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

3ο Κεφάλαιο Σελίδα 17

5,26•0,001 454•0,001 0,032•0,01 0,23 •0,1

31:10 238:100 37,2:10 0,34:100

312:0,01 0,23:0,1 1:0,01 343:0,001

10. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις

3

2

2

3

0,1

0,01

0,001

0,1

3

4

2

3

0,2

0,2

0,3

0,3

2

2

3

3

0,02

0,0002

0,03

0,003

11. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα 3,2 1, 5 3 9

a) ,b) , c) , d)2, 4 0, 03 0,6 1, 5

12. Να γράψετε τα κλάσματα με όρους φυσικούς αριθμούς :

25 3,1 7,8, ,

8 2,75 0,25

13. Να κάνετε τις πράξεις :

α) 351

152

158

35

129

275 , β)

17

4

19

1

23

7

8

15 , γ ) 8,4:4,25,0

10

3 , δ) 25,006,1

50

7

14. Να γίνουν οι πράξεις

2 2

3

2 3 3

2 5

)0,3 : 0,01 3,2 5,6 4,1 0,7 100

)1,5 : 0,1 0,8 9,2 0,111 2,34 : 0,001

)0,2 : 0,01 0,3 : 0,1 0,5 1000

) 3,2 4,8 0,1 3,1 : 0,1 3 : 0,1

15. Αν χ=0,1 να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων

22

3 3 , 3 2

200 0,04 :

16. Να βρεθεί το χ ώστε: 2011•χ=0,2011 23•χ=2300 3,2:χ =320 4,55:χ=455 4,7:χ=470 5,2:χ=0,0052 3,4:χ=0,00034 25•χ=0,025 0,5•χ=0,005 0,3•χ=300 0.6:χ=60

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

4ο Κεφάλαιο Σελίδα 18

A.4.1. Εξισώσεις

1. Η εξίσωση 3χ-2=6-χ έχει λύση : Α. χ=1 Β. χ=2 Γ. χ=3 Δ. χ=4

2. Ο παρακάτω πίνακας αναπαριστά τη σχέση μεταξύ των ηλικιών του Κώστα και της Σοφίας

Ηλικία Κώστα Ηλικία Σοφίας

3 10

13

11

Ν

a) Να συμπληρώσετε τον πίνακα b) Γράψτε τη σχέση μεταξύ της ηλικίας του Κώστα και τη Σοφίας με δύο λέξεις c) Να εκφράσετε με συμβολικό τρόπο τη σχέση μεταξύ της ηλικίας του Κώστα και της Σοφίας

3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντικαθιστώντας τον άγνωστο χ με τους αριθμούς 1,3,4,5,6,11

Εξίσωση Αριθμοί που την επαληθεύουν

Αριθμοί που δεν την επαληθεύουν

Χ-4=1

5-χ=4

2χ=8

62

32

16:χ=4

4. Να λυθούν οι εξισώσεις 3,04 = ω-1,2 2χ+8=14 3χ-5=7 5(χ+2)=15

532: 531 3

3 2

2 5

6 27 3

28 21 1 3

12 6 4

12 35 4

6 31 5

34 8

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

4ο Κεφάλαιο Σελίδα 19

5. Να βρείτε τις τιμές του φυσικού αριθμού ν, ώστε το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα να είναι

φυσικός αριθμός α . 3

2 β.

15

3 1

6. Ν είναι ένας αριθμός . Όταν ο Ν πολλαπλασιαστεί με το 6 και μετά προστεθεί το 7 , το αποτέλεσμα είναι 42. ποια από τις παρακάτω εξισώσεις αναπαριστά την προηγούμενη διαδικασία; α ) 6Ν-7=41 β) 6(Ν+7)=41 γ ) 6Ν+7=41 δ ) 6Ν·7=41

7. Ποιο από τα παρακάτω προβλήματα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση Χ+4=30 a) Μια τάξη έχει 30 μαθητές . στη συνέχεια γράφτηκαν άλλοι 4 μαθητές . Πόσους μαθητές έχει η

τάξη; b) Ο Γιώργος πρόσθεσε 4 ακόμα βιβλία στη συλλογή του . Αν τώρα έχει 30 βιβλία στη συλλογή του,

πόσα βιβλία είχε αρχικά; c) Ο Δημήτρης είχε 30 ευρώ . Στη συνέχεια του έδωσε η μητέρα του 4 ευρώ . Πόσα χρήματα έχει

τώρα ; d) Η Άννα με το ποδήλατο έκανε 30 χιλιόμετρα με ταχύτητα 4 μίλια την ώρα . Πόσο χρόνο

χρειάστηκε για να κάνει αυτή την διαδρομή;

8. Διατυπώστε ένα πρόβλημα , η απάντηση στο οποίο είναι η λύση της εξίσωσης 7(Χ+6)=41 9. Έστω η εξίσωση 0χ=3. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση

α. Έχει λύση τον αριθμό 2 β. Είναι ταυτότητα γ. Είναι αδύνατη

10. Αν ο αριθμός 2

3 είναι λύση της εξίσωσης χ+α=

5

2 με άγνωστο το χ, να βρείτε την τιμή του α

11. Αν 2φ+2ω +50=180 , να βρείτε το άθροισμα φ+ω 12. Στο παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις της στήλης Α με τις σχέσεις της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

α. Το πενταπλάσιο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 7

Χ+3

β. Η διαφορά δυο αριθμών είναι μεγαλύτερη του 5

5Χ-7

γ . Ένας αριθμός αυξάνεται κατά 3 ΧΨ<5

Χ-Ψ>5

A.4.Γενικές Ασκήσεις

13. Δίνονται οι παραστάσεις : α = 3+26

1)(4

1

3

2 και β =

3

2:)

3

1

2

3(

4

1

α) Να κάνεις τις πράξεις ,σύμφωνα με την προτεραιότητα τους και να αποδείξεις ότι α =3

11 και β = 2.

β) Να λύσεις την εξίσωση αχ=β.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

5ο Κεφάλαιο Σελίδα 20

A.5.1. Ποσοστά και Α.5.2. Προβλήματα με ποσοστά

1. Να γράψετε με μορφή ποσοστών τα κλάσματα :

7

4,

3

1,

5

27,

25

33,

4

3,

50

7,

20

3,

10

1

2. Να γράψετε ως κλάσματα τα ποσοστά : 5 % , 12 % , 2 % , 80 % , 100 % , 0 % , 25 %

50 % , 7,5 % , 200 % , 180 % , 50 000 , 550 00

0 , 110,5 000

3. Nα υπολογίσετε : α) το 10 % του 40 β) το 25 % του 60 γ) το 50 % του 1 δ) το 100 % του 763,5

ε) το 0,2 % του 1000 στ) το 300 % του 25 ζ) το 4 000 του 100 η) το 2 00

0 του 3.000.000

4. Ο Άγγελος ήταν 48 κιλά και σε ένα έτος το βάρος του αυξήθηκε σε 54 κιλά. Να βρείτε το ποσοστό της αύξησης.

5. Να υπολογίσετε : α) το 25 % των 5.000 €. β) το 50 % των 20 km γ) το 35 % των 5 lt

6. Μια ομάδα ποδοσφαίρου σε μια αγωνιστική περίοδο πέτυχε 40 τέρματα. Την επόμενη χρονιά αύξησε κατά 30 % τον αριθμό των τερμάτων της. Πόσα τέρματα πέτυχε παραπάνω ;

7. Ρωτήθηκαν 800 Αθηναίοι αν είναι ευχαριστημένοι από τη ζωή τους στην Αθήνα. Το 60 % απάντησε πως δεν είναι και μάλιστα από αυτούς 25 % είπαν πως θα ’θελαν να μένουν στην επαρχία. Πόσοι από αυτούς που ρωτήθηκαν θα ’θελαν να ζούνε στην επαρχία ;

8. Να βρείτε το Φ.Π.Α. που αντιστοιχεί σε είδη αξίας : α) 235 € , 6.000 € αν ο συντελεστής είναι 12 %

β) 2.000.000 € , 352.500 € αν ο συντελεστής είναι 21 %

9. Αγόρασε κάποιος μια τηλεόραση αλλά πλήρωσε (με Φ.Π.Α.) 885 €. Αν η αξία της είναι 750 € να υπολογίσετε τον συντελεστή Φ.Π.Α.

10. Ένα ραδιόφωνο πωλείται με έκπτωση 25 % και κοστίζει 88 €. Αν έχουμε 18 % Φ.Π.Α. πόσο θα πληρώσει κάποιος για την αγορά του ;

11. Η τιμή ενός προϊόντος είναι 100 € η μονάδα. Γίνεται αύξηση της τιμής του προϊόντος κατά 10 % και κατόπιν η νέα τιμή μειώνεται κατά 10 %. Ποια είναι η τελική τιμή του προϊόντος ;

12. Ένα έπιπλο πουλήθηκε με ζημιά 12 %. Αν πουλιόταν 1200 € ακριβότερα τότε το κέρδος θα ήταν 6 %. Να βρείτε πόσο κόστιζε το έπιπλο.

A.5.Γενικές Ασκήσεις

13. Από τους 150 μαθητές ενός γυμνασίου , το 60% ασχολείται με το ποδόσφαιρο . Τα 7

10 των

υπολοίπων ασχολείται με το μπάσκετ και οι υπόλοιποι με το τένις. (α) Πόσοι μαθητές ασχολούνται με το ποδόσφαιρο ;

(β) Πόσοι μαθητές ασχολούνται με το μπάσκετ ;

(γ) Πόσοι μαθητές ασχολούνται με το τένις ;

(δ) Ποιο το ποσοστό των μαθητών του γυμνασίου που ασχολούνται με το τένις ;

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

5ο Κεφάλαιο Σελίδα 21

14. Από ένα κατάστημα ρούχων που κάνει έκπτωση 20% σε όλα του τα είδη, ο Γιαννάκης αγόρασε μία μπλούζα και ένα παντελόνι.

α) Πόσα πλήρωσε για τη μπλούζα, αν πριν την έκπτωση κόστιζε 30€;

β) Αν για το παντελόνι πλήρωσε 40€, πόσο κόστιζε πριν την έκπτωση; 15. Ένας αγρότης μάζεψε 3600 κιλά ελιές.

α) Αν τα 40 κιλά ελιές βγάζουν 8 κιλά λάδι, να βρείτε πόσα κιλά λάδι έβγαλε ο αγρότης. β) Αν το ελαιοτριβείο (στο οποίο έβγαλε ο αγρότης το λάδι) κρατάει το 4,5% της παραγωγής του λαδιού ως αμοιβή, να βρείτε πόσα κιλά λάδι πήρε ο αγρότης στο σπίτι του.

16. Μία οικογένεια έχει συνολικό μηνιαίο εισόδημα 2.000 Є.Από αυτά διαθέτει το 20 % για ενοίκιο και το ¼ για τα υπόλοιπα έξοδα του σπιτιού.

α)Τι ποσοστό χρημάτων της απομένει; β)Πόσα είναι τα χρήματα αυτά;

17. Ένας έμπορος αγοράζει 500 ηλεκτρονικούς υπολογιστές πληρώνοντας 320.000 €. Πουλάει τους 310 με κέρδος 20 % και τους υπόλοιπους με κέρδος 15 % . α) Πόσα χρήματα κερδίζει συνολικά; β) Πόσο τοις εκατό είναι το κέρδος του από την πώληση όλων των υπολογιστών;

18. Ένας υπάλληλος παίρνει μισθό 700 ευρώ. Το αφεντικό του, του υποσχέθηκε ότι θα του δώσει αύξηση 4%. Να βρείτε: Α. Ποιος θα είναι ο νέος μισθός του υπαλλήλου, αν το αφεντικό του τηρήσει την υπόσχεση του;

Β. Αν ο παραπάνω υπάλληλος δίνει τα 7

3 του νέου μισθού του για ενοίκιο, πιο είναι το ποσό που θα

του απομένει για τα υπόλοιπα έξοδα του; 19. Ένας επιχειρηματίας επένδυσε ένα ποσό 4000 € για την αγορά μετοχών μιας εταιρείας. Τον πρώτο

μήνα η τιμή της μετοχής ανέβηκε κατά 25% και το επόμενο δίμηνο έπεσε 20% κάθε μήνα. (α) Ποια ήταν η τιμή της μετοχής στο τέλος του τρίτου μήνα; (β) Ποιο είναι το ποσοστό κέρδους ή ζημίας του επί του αρχικού κεφαλαίου στο τέλος του τρίτου μήνα;

20. Ένα αντικείμενο έχει αξία 500 € α) Η τιμή του αυξήθηκε 20%, ποια είναι η νέα του τιμή ; β) Εάν στη νέα τιμή γίνει μείωση 20% ποια θα είναι η τελική τιμή του αντικειμένου;

21. Σε έναν υπάλληλο με μηνιαίο μισθό 720 €, του έγινε αύξηση και ο μισθός του μετά την αύξηση είναι 766,80 €. Να υπολογίσετε το ποσοστό της αύξησης

22. Το θαλασσινό νερό περιέχει αλάτι σε ποσοστό 3% .

α) Πόσα κιλά θαλασσινό νερό πρέπει να εξατμιστούν για να πάρουμε 90 kg αλάτι;

β) Πόσα κιλά αλάτι υπάρχουν σε 240 kg νερό;

γ) Να βρεθεί ο λόγος του βάρους του θαλασσινού νερού προς το βάρος του αλατιού κάθε φορά.

(Υποδείξεις-απαντήσεις: α) 3000 kg, β) 7,2 kg, γ) 100/3)

23. Ένα σπίτι ενοικιάζεται το 2003 με 250 €. Το 2004 έγινε αύξηση του ενοικίου κατά 12% και το 2005 κατά 10% .Πόσο είναι το ενοίκιο το 2005;

24. α) Η τιμή ενός αυτοκινήτου είναι 12500 €. Τον επόμενο χρόνο προβλέπεται ότι θα αυξηθεί η τιμή του κατά 15%. Ποιά θα είναι η νέα τιμή του αυτοκινήτου; β) Ένα σακάκι που πουλιόταν 140 €, στις εκπτώσεις πουλιέται 119 €. Να υπολογίσετε το ποσοστό της έκπτωσης.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

6ο Κεφάλαιο Σελίδα 22

A.6.1. Παράσταση σημείων στο επίπεδο

1. Να σχεδιάσετε τα σχήματα που σχηματίζουν οι ομάδες σημείων ενώνοντας τα σημεία με τη σειρά των βελών στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:

α) (0,6) (12,6) (6,0) (0,6)

β) (9,3) (7,5) (5,5) (3,3) (9,3)

γ) (5,1) (7,1) (7,4) (5,4) (5,1)

Α.6.2. Λόγος δυο αριθμών – Αναλογία

2. Να συμπληρώσετε τον πίνακα :

Κλίμακα Μήκος στο σχέδιο Πραγματικό μήκος

1 : 3 10 cm 30 cm

3 : 4 45 cm

1 : 15 3 m

8 cm 36 cm

3. Να συμπληρώσετε τον πίνακα :

Κλίμακα Απόσταση στο χάρτη Πραγματική απόσταση

1 : 100.000 40 cm 0 cm

1: 300.000 35 cm

1 : 800.000 280 km

15 cm 75 km

4. Να συμπηρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Κλίμακα Απόσταση στο χάρτη

Πραγματική απόσταςη

1:300.000 35 cm

1:800.000 280 Km

15 cm 75 Km

5. Οι διαστάσεις ενός οικοπέδου που έχει σχήμα ορθογωνίου είναι 20 cm και 50 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις με τις οποίες πρέπει να σχεδιαστεί, αν 2 cm στο σχέδιο αντιπροσωπεύουν 5 cm.

6. Η πραγματική απόσταση 2 πόλεων είναι 180 km, ενώ η απόστασή τους στο χάρτη είναι 30 km. Nα βρείτε τη κλίμακα του χάρτη.

7. Σε χάρτη με κλίμακα 1: 400.000 ένας δρόμος έχει μήκος 20 cm. Να βρείτε το πραγματικό μήκος του δρόμου.

8. Η κλίμακα ενός χάρτη είναι 1 : 150.000. Να βρείτε την απόσταση δύο πόλεων στο χάρτη,αν η πραγματική απόσταση είναι 20 km.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

6ο Κεφάλαιο Σελίδα 23

Α.6.3. Ανάλογα ποσά – Ιδιότητες αναλόγων ποσών

9. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών :

x 1 2 3 4 5

y 6 12 18 24 30

Να εξετάσετε αν είναι ανάλογα.

10. Να εξετάσετε αν τα ποσά στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα:

11. Nα εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα :

x 1 30 5 2 45

y 3 90 20 6 120

x 7 14 25 50 100

y 10 20 40 80 120

12. Να δείξετε ότι τα ποσά είναι ανάλογα και να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα y , x.

x 3 6 9 12 15

y 8 16 24 32 40

13. Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που παριστάνει ανάλογα ποσά.

x 50 3 8

y 20 28 60

Α.6.4. Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας

14. Γνωρίζουμε ότι τα ποσά x , y είναι ανάλογα α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας

β) Να ενώσετε τα σημεία x , y. Τι παρατηρείτε ;

x 1 2 4

y 50 150 250

Χ 1,6 4 5,2 6,4

ψ 0,4 1 1,3 1,8

χ 2 6 8 9

ψ 4 36 64 81

Χ 0,3 1 2 3

Ψ 1,5 5 6 8

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

6ο Κεφάλαιο Σελίδα 24

Α.6.5. Προβλήματα αναλογιών

15. Ένα πουκάμισο πουλήθηκε με έκπτωση 20 %. Αν η αρχική του τιμή ήταν 80 € να βρείτε την τιμή πώλησης.

16. Η τιμή ενός αυτοκινήτου αυξήθηκε από 12.400. € σε 13.000 € Ποιο είναι το ποσοστό της αύξησης ; 17. Ένα βιβλιοπωλείο πουλάει στους μαθητές τα βιβλία του με έκπτωση 15 %. Πόση είναι η έκπτωση για

ένα βιβλίο αξίας 33 € ;

18. Τα 200 g ενός προϊόντος κοστίζουν 300 €. Πόσες € θα πληρώσουμε αν αγοράσουμε 4

3του κιλού από

το προϊόν αυτό ; 19. Αν καταθέσουμε στη τράπεζα 800 € , μετά από ένα χρόνο θα εισπράξουμε 940 €. Να βρείτε :

α) Πόσο πρέπει να καταθέσουμε για να εισπράξουμε 1.000 €. β) Πόσο είναι το επιτόκιο της τράπεζας ;

Α.6. Γενικές Ασκήσεις

20. Αν 5 κιλά κρασί κοστίζουν 12,5 ευρώ, να βρείτε: α) Πόσο κοστίζουν τα 12 κιλά κρασί. β) Με 2850 ευρώ πόσα κιλά κρασί αγοράζουμε.

21. Ένα βιβλιοπωλείο πουλάει στους μαθητές τα βιβλία με έκπτωση 15%. Πόση είναι η έκπτωση σέ ένα βιβλίο αξίας 13,5 ευρώ και ποια είναι η τιμή του βιβλίου μετά την έκπτωση.

22. Τα 100 kg σιτάρι δίνουν 60 kg αλεύρι, τα 80 kg αλεύρι δίνουν 150 kg ζυμάρι και τα 100 kg ζυμάρι δίνουν 80 kg ψωμί.Να βρείτε πόσα kg σιτάρι πρέπει να αλέσουμε στον μύλο για να πάρουμε 192 kg ψωμί.

23. Ένας αγρότης πούλησε ένα χωράφι έκτασης 2,5 στρεμμάτων προς 2400 ευρώ το στρέμμα . Τα

των

χρημάτων που είσπραξε από την πώληση τα τόκισε με επιτόκιο 3% και τα υπόλοιπά με επιτόκιο 2%. Να βρείτε τους τόκους που θα εισπράξει σε ένα έτος.

24. Σ’ ένα κουτί υπάρχουν 25 λαχνοί αριθμημένοι από το 1 έως το 25. Στην κλήρωση συμμετέχουν τρία παιδιά .Το πρώτο παιδί έχει τους λαχνούς που διαιρούνται με το 2 και το 3 συγχρόνως , το δεύτερο έχει τους λαχνούς που διαιρούνται με το 5 και το τρίτο τους υπόλοιπους. Ποιο παιδί έχει τις περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει και με ποιό ποσοστό.

25. Όταν δύο ποσά είναι ανάλογα και στην τιμή 5 του πρώτου αντιστοιχεί η τιμή 8 του δεύτερου, τότε στην τιμή 15 του πρώτου η αντίστοιχη τιμή του δεύτερου είναι : Α. 40 Β.75 Γ.24 Δ .50 Ε.κανένα από τα προηγούμενα. (Να κυκλώσετε την σωστή απάντηση)

26. Τα 200 gr ενός προιόντος κοστίζουν 3,8 ευρώ Πόσα ευρώ θα πληρώσουμε , αν αγοράσουμε τα

του

κιλού απ’ αυτό το προϊόν.

27. Να λυθεί η εξίσωση :6 1

1 3 4x x

28. Οι διαστάσεις ενός οικοπέδου που έχει σχήμα ορθογωνίου είναι 20m και 30m .Να βρείτε τις διαστάσεις με τις οποίες πρέπει να σχεδιαστεί , αν 2 cm στο σχέδιο αντιπροσωπεύουν 5m.

29. Το χριστουγεννιάτικο δώρο του Μιχάλη είναι ένα μοντέλο αεροπλάνου 747. Οι πραγματικές διαστάσεις του αεροπλάνου είναι: 70m μήκος και 60m πλάτος. Το μοντέλο έχει μήκος 35cm α) Με ποιά κλίμακα είναι κατασκευασμένο β) ποιό είναι το πλάτος του μοντέλου.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

6ο Κεφάλαιο Σελίδα 25

30. Συμπληρώστε τον πίνακα.

Κλίμακα Μήκος στο σχέδιο

Πραγματικό μήκος

1:2 4 cm 8 cm

3:2 6cm

1:25 2 cm

3:10 150 cm

2 cm 10 cm

31. Στον παρακάτω πίνακα, να βρείτε τα α και β, αν γνωρίζετε ότι τα ποσά x, y είναι ανάλογα

x α 16 20

y 3 8 α+β

32. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών: α) να εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα. β) Να παραστήσετε

γραφικά τα σημεία του πίνακά και να τα ενώσετε διαδοχικά. Τι παρατηρείτε.

x 1 2 3 4

y 2 3 3,5 3,6

33. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών: α) να εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα. β) Να παραστήσετε

γραφικά τα σημεία του πίνακά και να τα ενώσετε διαδοχικά .Τι παρατηρείτε.

x 1 2 3 4

y 2 4 6 8

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

7ο Κεφάλαιο Σελίδα 26

A.7.1.Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί – Η ευθεία των ρητών – Τετμημένη σημείου

1. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι θετικοί και ποιοί αρνητικοί; -2 , 3 , -4,5 ,-6 , 3,45 ,-2,5 .

2. Οι παρακάτω αριθμοί είναι ομόσημοι ; α) –1 , -3 , -6 β) –2 , 5 , 6 ,-7 γ) 2, 5, 6 , 7

3. Να παραστήσετε πάνω σε άξονα τους παρακάτω αριθμούς α) –1 , 3,5 , -2,35 , -2,53 , 2, 47 , 2,49 , -2,49 , -2,47

β)2 3 3 4 3

, - , - , -4 , - , 3 2 5 5 4

A.7.2.Απόλυτη τιμή ρητών – Αντίθετοι ρητοί – Σύγκριση ρητών

4. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:

α) 7 8 15 β) 43 8 20 γ) 136 0 82 0 9, , ,

5. Αν ο αριθμός α είναι θετικός να συγκριθούν οι αριθμοί:

α) α , -α β) α , α γ) -α , -α δ) - -α , α ε) - α , α.

(Όμοια αν ο αριθμός είναι αρνητικός)

6. Μπορεί να ισχύει η σχέση α =-17;

7. Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν τις ανισώσεις:

α) x <-9 β) x <4 γ) x >5 δ) x 2.

8. Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν τις εξισώσεις: α) x =5 β) x+1 =4.

9. Αν ο x παίρνει τιμές από το σύνολο {-3, 2, 6, 1

5,-7, -1, 2} να βρεθούν οι αριθμοί:

-x, x , -(-x), - x .

10. Να συμπληρώσετε με την κατάλληλη ανισότητα τα παρακάτω: 4….-5 , -4,2 …..-4, 32 , -6….. 0 , 7,34…..7,43 -7,34…..-7,43 , 5,3…..5,37 , -5,3…..-5,37 , -6….-28

A.7.3.Πρόσθεση ρητών αριθμών

11. Αν είναι α=(-6)+(-4), β=(-3)+(+9), γ=(-3)+(+7)+α και δ=α+β+(-3)+(+17), να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=α+β+γ+δ.

12. Αν είναι α= -5, β= +6, γ= -3 και δ= +7, να βρεθούν τα αθροίσματα α+β, β+δ, α+β+γ, β+γ+δ, α+β+δ, α+β+γ+δ.

13. Να βρεθεί το α στις ισότητες: α) 8

3

5

2

6

4

8

6

14

3 +α=0 β) (-5)+(-4)+α+(+20)=0

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

7ο Κεφάλαιο Σελίδα 27

14. Αν κ=5, λ=-7, μ=-3, ν=12, να βρεθούν τα αθροίσματα: κ+λ, λ+μ, μ+ν, κ+λ+μ+ν.

15. Αν x= -2+5+8-4, y=3,5-4+12,5, ω=1

2

5

3

5

6 , να βρεθούν τα αθροίσματα: x+y, x+ω, y+ω, x+y+ω.

16. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α) 1

3

5

3

7

3

8

385

3 β) -

1

2

3

4

1

12

5

6 .

A.7.4.Αφαίρεση ρητών αριθμών

17. Αν α=-2, β=4, γ= -1 να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

Α=α-β-γ, Β= -α+β+γ, Γ= α+β+γ-(α+β+γ)

18. Αν είναι α=-8, β=13, γ=-2 να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=(α-β)-γ+(β-γ)-α+(γ-α)-β.

19. Αν είναι x=(-9)+(+4), y=(-13)-(-3) και ω=(-12)-(+8), να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων:

Α=x-y+ω, Β= x ω και Γ= A B .

20. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) -5-(-3)+x+5,5=-7+4,5 β) -1+x-1

3=2

3 γ) -3-x+(-

1

2)+2=-3+2+(-

1

2)

21. Αν είναι x=-3

5+1

2 και y=

3

2

1

6 να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=-(-x)+y-x+(-y).

22. Αν Α=(-3)-(-7)-(+8), Β=(-1

2)+(-

1

3)-(+

5

6) και Γ=(-1, 2)-(-2, 3)-(-12, 23) να υπολογιστεί η παράσταση -

Α+Β-(Γ+Β).

23. Αν x-(-3)=1

2, x-y-(-0,1)=-0,4 και x+y-ω=-4 να βρεθούν οι τιμές των x, y και ω

24. Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων:

α) Αφού πρώτα απαλείψετε τις παραστάσεις

β) Αφού πρώτα κάνετε τις πράξεις μέσα στις παραστάσεις:

Α=[(1

5+2)-1]-(2-

1

3)-[-(-2)] Β=-[

1

2-(0,5+

3

4)-4]-(-

3

2+1

3)

Γ=-[(20+7)-(-1-3)]-[(3-5+2)-3+7)] Δ=-[-7+1

2-(1

3-1

4)]+(

1

2

2

3

3

4)

Ε=-20+(-5+9)-[(18-7+3-5)-(6-3)]

25. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

Α=-[-(-5)-(-2)]+[-(-7)] Β=-[-(-x)]+x.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

7ο Κεφάλαιο Σελίδα 28

26. Αν είναι Α=3

4-(-1+

1

3+β)+

1

2+(-1

4+α) πρώτα να απαλείψετε τις παρενθέσεις και μετά να βρείτε την

τιμή της παράστασης Α, όταν είναι α=+1

3 και β=-

1

2.

27. Αν είναι x=-2, y=3 και z=-1 να υπολογιστεί η παράσταση Α=-[-x+2-(-y+x)]-(-x-z)

28. Αν x=-1

2, να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

Α=-[-2+(-x)+ 1

2]+x-(2-x) B=-[(x-2)+(3-x)]+(4-x)+(x-5)]

29. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

Α=(x+y-x)-(x+y-x) B=(-α+β-γ)-[-α-(-β-γ)]+γ

Γ=-[-(2α+3β)+5+2α]+2α-5+[2α-(7+2α)]-(3β+7+2α)

30. Να δειχτεί ότι η τιμή της παράστασης Α είναι ανεξάρτητη από τους αριθμούς x και y, όπου είναι Α=x-5-[-(x+y)+5+x]-(x+y+7)+[x-(x+7)]

31. Αν είναι Α=-[-8+2-(-3+1)-(9-3+2+5)] και Β=-(15-5)-(9-6)-[-8-(3+7-1)-(+9-4)] να λυθούν οι εξισώσεις: α) Α+Χ=Β β) Χ-Β=Α γ) Χ-Α=-(-Β)

32. Να βρείτε τους αντίθετους των: α) -x-1, β) x+y, γ) -3+x-y, δ)-3-α-β, ε) β-α-3

33. Στις παρακάτω παραστάσεις να βάλετε τον 3ο και 4ο όρο τους σε παρένθεση που να έχει μπροστά (-) και τους δυο τελευταίους όρους σε παρένθεση που να έχει μπροστά (+).

Α=κ+13-λ+8+μ-9 και Β=15+κ+7-λ-μ+19

34. Αν είναι α+β=-32, να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=-{α+17+[-5-(β+3)]+γ-(γ+9)}.

35. Αν είναι α+δ=-3 και β+γ=5 να υπολογιστεί η παράσταση: Α=-α-{-δ-β-(δ+γ+α)-[-δ-(-α)]}.

36. Αν είναι α+β=-2 να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α=α+[2β-(3+β)]-{(α+β)2-[-(-1)]}

37. Αν είναι Α=8+(x-7+y), B=-(-x+6)+y-5 , να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α-Β, Β-Α, -(-Α+Β)

38. Αν α=-1

2, β=

3

4 και γ=-

7

3 να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :

Α=-[α-(β-γ)]+{-(β-γ)+[β-(γ-α)]-[α+(β+γ)]-(α+β)}.

39. Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων:

α) -(-x-y) όταν τα x και y έχουν άθροισμα -7, β) -(-y)+(-x) όταν x-y=8

γ) α-(α+β+γ)-{(α+γ)-[(β+γ)-(β-α)]} όταν β+γ+1=-9.

A.7.5.Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

40. Να βρεθούν τα πρόσημα δυο αριθμών όταν έχουν:

α) Γινόμενο θετικό και άθροισμα θετικό β) Γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό

γ) Άθροισμα θετικό και είναι αντίστροφοι.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

7ο Κεφάλαιο Σελίδα 29

41. Να γίνουν οι πράξεις: α) -[-(-4,8)]·5 β) -5·[-3-(-9)]

γ) 9-[-(-4)]+(-5)·[-(-6)]-(-8)·(-12+7) δ) -1

3

5

6

1

231

3

2

3

3

4

ε) 23

41

4

5

10

3

5

6

1

2

στ) -(7+5)·[1-(2-4)]-6·(2-7)+[1-(1+4)·3]·(-5)

ζ) 4·[-1+(7-3)·(8-5)+6]-(2+3)·(-5+1) η) -3·(4+3)-2·(-5)+(1-5)·(2-4)

42. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

Α=[13-(1

2-3)+

1

4]·(-5)-

31

2·(-1+

1

2) Β=(-5)·(

1

2-2

3+5)+

1

3·( 5

2

5

4)

Γ=6·(-1)+2·[-2·( 1

5

1

2

1

3) (-1-8)] Δ=(-1-

1

3)·[-2+

1

3·(-2+10)]-(4-

1

3)·(-3)

43. Δίνεται η παράσταση: Α=3·(x+5)+12x-6(x-9), να βρεθεί η τιμή της όταν α) x=-1

3 β) x=-2.

44. Nα υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α=5·x-(-2x+y-10ω)-(6x+2y+ω)+9y όταν x=0,

y=-1, ω=0,2.

45. Αν είναι α=-1

4 και β=

3

5, να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=-8+12α-6·[4α-5·(3β-4)]-20β.

46. Αν x=-2, y=3, ω=-1 να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

Α=xyω+xy+xy-x+5 και B=x·[y·(ω-1)-1]-2xy+3yω

47. Να βρείτε με δυο τρόπους τις τιμές των παραστάσεων:

Α= 3x+x-2x B=20x-1

5x+2y-y Γ=5x+6y+x-7y αν x=-1 και y=-2.

48. Να γραφούν με ποιο απλή μορφή οι παρακάτω παραστάσεις και στη συνέχεια να βρεθεί η τιμή τους για α=-3 α) 2α-5α+13α β) -6α-13α+4α-α.

49. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α=-[(x-2)·3-3x]+[-1-(-2+10)]·(2-5). 50. Δίνεται η παράσταση Α=5-[2α-(β-7)+γ-5)]-(-9-4α)+[-2-(2β-γ-9)]

α) Να εξαλείψετε τις παρενθέσεις και τις αγκύλες

β) Αν είναι α=-7, β=-11, να υπολογιστεί το Α.

51. Αν α=-2, β=-1 και γ=0,5 να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

Α=(-2)·(α+β-γ)-3·[(α-2β+3γ)-(3α+β)]·[5α-(2α-3β)·(-1)]

52. Να βρεθεί ο αντίθετος και ο αντίστροφος του αριθμού α=x·y·ω-(x·y+x)-2·y·ω, όταν x=-1

2, y=2 και

ω=-4,5.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

7ο Κεφάλαιο Σελίδα 30

53. Αν ν είναι φυσικός αριθμός, να εξεταστεί αν οι αριθμοί α=2+1

ν και β=

ν

2ν+1 είναι αντίστροφοι

αριθμοί. 54. Να γίνουν οι πράξεις: α) (2+3x)·(2-3x) β) 4(α+β)·(x-1) γ) -2(α+β)+3(α-1) 55. Αν είναι α=-3, β=4, γ=-1 , να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

Α=αβγ-αβ-β+7 και Β=α[β(γ-1)-1]-3βγ+4αβ.

56. Αν είναι α=-2, β=1

2, γ=-4 να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

Α=α·β·γ+(α-β)·(β-γ)·(γ-α) Β=(2α-γ)·(2β-α)·(2γ-β).

57. Να γίνουν οι πράξεις: 58. α) [-2-(-1)]·[-1-(-1)+(3-2)·(2-3)] β) -1· (4-3)·[(2-1)·(4-5)] ·{-[2+(5-7)-2]·(-1)}. 59. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=α.[β·(α-2)-3]-5·(-α)·(-β) αν είναι α=5 και β=-2.

60. Να υπολογιστεί η παράσταση: Α=(-1

4)·(x-2)·(-8+4)-4·(x-2)·( -

1

4) αν είναι x=-

3

2.

61. Αν είναι α.·β=-1

2 και γ+δ=-2 να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:

Α=α·β·γ+α·β·δ Β=(-3)·α·(-2)·β-2·γ+3-2·δ

62. Αν είναι x=(-3)·(-2)·(-8) και y=1

2·(-

1 1)

8 3

α) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=1

4·x-96·y+3·x·y

β) Να δικαιολογήσετε ότι οι αριθμοί x και y είναι αντίστροφοι.

63. Αν είναι Α=(-1

4+1) · [-

1

3+(-4+

2

5)]· (x+

5

8) και ισχύει Α=0, να βρεθεί ο αριθμός x.

A.7.6.Διαίρεση ρητών αριθμών

64. Να γίνουν οι πράξεις: α)

5

8

3

8

1

8: β) (8·32-12) : (-4)

γ) 4·[9-(-2)]+[12 : (-8)]·4 δ)

3

4

3

2

3

5

4

518

5

6

2

3: ( ):

ε)

5

6

1

325

4

7

2

3

21

στ)

2

3

5

2

4

7

3

76

1

2

3

4: ( ):

65. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

7ο Κεφάλαιο Σελίδα 31

Α=

4

353

4

3

2

1

6

4

7

5

7:

, Β=

21

3

3

2

5

4

1

8

9

3

2

634

5

2

10

:

:

66. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

Α=8-[-(-2)·5]-10+[6:-3)] ·5 Β=2.[3-(-1)]-10:(-2)] ·4

5 Γ=(x+1) ·3+(3x+2): (-1)

Δ=(-1

2

4

35

1

87

2

5

5

2): ( ):

67. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=α·β-γ:β-(-α):(β+2γ) όταν α=-2

3, β=-

1

2 και γ=

4

5.

68. Να γίνουν οι πράξεις: α) [(-2+8)-4·(-2)]: (-9+2) β)

3

5

4

5

2

3

4

3:

γ)

4

5

2

3

1

2

62

3

7

5

2

5

0 1

0 31

52

:

:

:,

( , ) ( )

.

69. Αν είναι x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

3

7

912

3

7

9

12, y=(-14):(+7)+(-13): (-13)+(+12): (-3) και

ω=7 2

3

x y, να βρεθούν οι παραστάσεις Α=

x y ω

xyω και Β=

3 2 4x y ω

y+3ω-4.

70. Αν α=(-1)·(-2)·(-3)·(-4)-[-(-20): (+5)], β=(3 4

)·(4 3

)· (-1)-[-(12+6): (8-14)], γ=2α+9β, να βρεθεί η τιμή της

παράστασης Α=αβ+βγ+γα

α+4β-2γ.

71. Αν είναι x=(-1)·(+2)·(-3)·(+4)-[-(-36): (+3)], y=5 6

( )·( )·( 1) [ (17 7) : (10 18)]6 5

και ω=3x+7y, να

βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=x x y y y

xy y

( ) (

ω)

ω+8.

72. Να υπολογιστεί η παράσταση: Α=

3 25

316 3 5

1

3

1

63 7 1

1

7

1 3 5 3

1

2

1

3

1

6

.( ) :( )

[ :( )].( ) .( )

:[( ):( )].( )

[ ( )]:

.

73. Αν είναι x=6 και y=-1 να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α= 35

x y:[(-x).(y-

3 2

3

x)].

74. Αν είναι α=

6

5:

4

3

2

1 και β=

2

3: (-1+

5

6) να βρεθεί η τιμή της παράστασης κ=

α

β.

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

7ο Κεφάλαιο Σελίδα 32

75. Αν είναι α=4 και β=-1, να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α= 5

α+β

6α)

3α+4

3β): (

76. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες δεν ορίζονται οι παραστάσεις:

Α=5

1x , Β=

3 1

8

x

x

, Γ=

5

3

2

4x x

.

77. Να λυθούν οι εξισώσεις α) -3[4-(-1)]:x=-3 β) ( ).( ).

.( , ):

2 3

4 0 5

2

3

1

2

9

2

x.

A.7.7.Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

78. Να βρεθεί ο ρητός που παριστάνει η παράσταση: Α=6.107+2.103+3.10-5+9.0,5_

.

79. Αν είναι α=0, 3_

, β=0,3 , να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α=1000α+100α-10α-α και Β=-3β+10α+10β2.

80. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:

Α=0,5_

+0,14_

+3, 3_

Β=3,123____

-2,001_

Γ=1, 25___

-0, 3_

+4,12_

-2,04444 ...

Δ=(1, 35___

-4,29___

).98, 9_

-0, 9_

.[(0,2 27___

-1,0 3_

):0,75_

]

81. Να γράψετε ποιους περιοδικούς παριστάνουν τα κλάσματα (χωρίς διαίρεση).

4

9

13

99

152

999

1

99

8

9

83

9999, , , , ,

82. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

Α=α1995-3βγ-[(β2-9γ)·(-α)-(β3+3):α2] όταν α=-0, 9_

, β=(0, 3_

)-1 και γ=

1

0 6

2

,_ .

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 33

Β.1.1. Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα – Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο – Ημιεπίπεδο

1. Να ονομάσετε τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τα σημεία του παρακάτω σχήματος :

2. Να ονομάσετε τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τα σημεία του παρακάτω σχήματος :

3. Να βρείτε πόσες ευθείες και ημιευθείες υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα. Ποιες από αυτές είναι αντικείμενες ;

4. Να βρείτε πόσες ευθείες, ημιευθείες, ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται στο παρακάτω σχήμα :

Β.1.2. Γωνίες

5. Να ονομάσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες στα παρακάτω σχήματα:

x' xΗ Θ N

Ο

Δ

Γ

ΒΑ

x

x'

y'

y

z

z'

x'

z

z'

x

y

y'

B

A

Γ

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 34

6. Να ονομάσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες στο παρακάτω σχήμα. Ποιες από αυτές μπορούν να ονομαστούν με ένα μόνο κεφαλαίο γράμμα ;

7. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να βρείτε σε κάθε πλευρά : α) την απέναντι γωνία β) τις προσκείμενες γωνίες

8. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ και να βρείτε τις γωνίες που περιέχονται : α) στη διαγώνιο ΑΓ και την πλευρά ΑΒ

β) στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ

γ) στη διαγώνιο ΒΔ και την πλευρά ΑΔ

9. Στο παρακάτω τετράπλευρο να βρείτε τις γωνίες με τις οποίες φαίνεται η πλευρά ΔΓ από τις κορυφές Α και Β.

10. Να ονομάσετε με 6 τουλάχιστον τρόπους την γωνία ω του σχήματος.

11. Σε τρίγωνο ΚΛΜ να βρείτε: i) ποιες γωνίες είναι προσκείμενες στην πλευρά ΚΜ, ii) ποια γωνία

περιέχεται στις πλευρές ΚΜ και ΜΛ, και iii) ποια πλευρά είναι απέναντι από τη γωνία Μ .

Β.1.3. Μέτρηση

12. Δίνονται τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ = 3 cm και ΓΔ = 2 cm. Πάνω σε μια ευθεία να πάρετε στη σειρά τρία σημεία Κ, Λ, Μ έτσι ώστε ΚΛ = ΑΒ και ΛΜ = ΓΔ. Πόσο είναι το μήκος του ΚΜ ;

13. Να γράψετε ένα σημείο Α. Να βρείτε δύο σημεία Β και Γ, τέτοια ώστε ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 5 cm. Να βρείτε σε ποιες περιπτώσεις είναι : α)ΒΓ < 8 cm , β)ΒΓ = 8 cm

Α

Γ

Δ

Β

Β Δ

Α

Γ

Γ Δ

A B

y

χ

ωO

Γ Δ

A

B

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 35

14. Να σχεδιάσετε τη διάμεσο ΒΕ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΒΕ να πάρετε τμήμα ΕΔ = ΒΕ και να φέρετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΓΔ. Με το διαβήτη να συγκρίνετε τις πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

15. Σε μια ευθεία ε να πάρετε ένα σημείο Ο. Κατόπιν να βρείτε δύο σημεία Α,Β της ευθείας, έτσι ώστε ΟΑ = ΟΒ. Επίσης να βρείτε δύο άλλα σημεία Γ,Δ της ευθείας έτσι ώστε ΓΟ = ΟΔ.

α) Να διαπιστώσετε ότι ΑΓ = ΒΔ β) Να δικαιολογήσετε γιατί ΑΓ = ΒΔ

16. Σε μια ευθεία να πάρετε στη σειρά τρία σημεία Α,Β,Γ. Κατόπιν να πάρετε τα μέσα Μ,Ν των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Να δικαιολογήσετε ότι ΑΓ = 2ΜΝ.

17. Να συγκριθούν τα παρακάτω μήκη και να γραφούν από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: 2,35 m , 10,5 dm , 357 cm , 0,012 Km , 1195 mm.

18. Ένα βαρέλι χωράει 17 δοχεία νερό, ένα δοχείο νερό χωράει 60 ποτήρια νερό. Πόσα ποτήρια νερό χωράει το βαρέλι;

19. Να βρεθεί το ύψος ορθογωνίου που έχει εμβαδό 63 cm² και βάση 9 cm. 20. Να βρεθεί η περίμετρος τετραγώνου με εμβαδό 25 cm². 21. Πόσα τετραγωνικά πλακάκια πλευράς 40 cm, θα χρειασθούν για να στρώσουμε μια ορθογώνια αυλή

διαστάσεων 8,80 m και 14,40 m; 22. Να συμπληρωθεί ο πίνακας:

m² dm² cm² mm²

536,5

0,3727

5952700

2593,7

23. Να συγκριθούν τα παρακάτω μήκη και να γραφούν από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: 2,35 m 10,5 dm 357 cm 0,012 Km 1195 mm.

24. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδό Ε=36 m2 και βάση β=9m .Ένα τετράγωνο έχει το ίδιο εμβαδό με το ορθογώνιο. Να βρείτε ποιο έχει τη μικρότερη περίμετρο.

25. Ένα ενυδρείο έχει διαστάσεις βάσεως 65cm,34 cm και ύψους 45cm. Α)Να υπολογισθεί ο όγκος του. Β) Αν αδειάσουμε μέσα στο ενυδρείο 60 λίτρα νερό, να υπολογίσετε σε τι ύψος θα φτάσει. Γ) Αν ρίξουμε ένα ψάρι μέσα στο ενυδρείο ανεβαίνει η στάθμη του νερού κατά 2mm . Να υπολογίσετε τον όγκο του ψαριού.

26. Μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει διαστάσεις, α=4,5m β=3m γ=1,6m. Να βρείτε σε πόσες ώρες θα γεμίσει νερό από μια βρύση που παρέχει 30 λίτρα νερό στο 1 λεπτό.

27. Ένα κουτί περιέχει 48 σοκολάτες. Αν το κουτί ζυγίζει γεμάτο 2720g και το απόβαρό του είναι 225 g, να υπολογίσετε το βάρος της μιας σοκολάτας.

28. Να βρεθεί η τρίτη διάσταση ορθογωνίου αν οι άλλες δυο είναι: 3,2cm 2,5cm και έχει όγκο 12cm2. 29. Ένα τρίγωνο έχει πλευρές α=0.5m , β=65cm και γ=2.4dm. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου

και την περίμετρό του σε m, dm, cm και mm. 30. Να συμπληρώσετε τον πίνακα

m2 mm2 cm2 Km2 στρέμματα

3232

6.5

456000

Β.1.4. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων

31. Πάνω στην ημιευθεία Οχ, παίρνουμε με τη σειρά τα σημεία Α , Μ, Β ώστε ΟΑ=3cm ΟΜ=5,5cm ΟΒ=8cm. Να αποδείξετε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ.

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 36

32. Σε ευθεία ε, δίνονται στη σειρά τα σημεία Α, Β, γ ώστε ΑΒ=4cm και ΒΓ=5cm. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα:

Να υπολογίσετε το μήκος του ΜΝ και να το συγκρίνετε με το άθροισμα ΑΒ+ΒΓ. Τι συμπέρασμα βγάζετε;

Ισχύει το συμπέρασμα για οποιαδήποτε μήκη των ΑΒ, ΒΓ; 33. Σε ημιευθεία Οχ δίνονται στη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΑΒ=ΓΔ=3cm OΓ=6cm και ΑΒ=1.5cm. Να

υπολογίσετε τα ΟΒ, ΟΓ. 34. Σε μια ευθεία ε, παίρνουμε με τη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΑΒ=ΓΔ=3cm και ΒΓ=2cm.Αν Μ είναι

το μέσο του ΒΓ, να αποδείξετε ότι είναι και μέσο του ΑΔ. Ισχύει το συμπέρασμα για οποιαδήποτε μήκη των τμημάτων;

35. Σε ευθεία ε δίνονται στη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ ώστε ΑΒ=2cm και ΑΓ=7cm. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα:

Να υπολογίσετε το ΜΝ και να το συγκρίνετε με τη διαφορά ΑΓ-ΑΒ. Τι συμπέρασμα βγάζετε;

Ισχύει το συμπέρασμα για οποιαδήποτε μήκη των τμημάτων ΑΒ και ΑΓ;

Β.1.5. Διχοτόμος γωνίας

36. Να κατασκευάσετε γωνίες 20ο, 60ο, 110ο, 150ο, 200ο, 240ο, 300ο και 350ο. 37. Να σχεδιάσετε μια γωνία 700 και να φέρετε τη διχοτόμο της. Να σχεδιάσετε γωνία 290 και 610 στο

εσωτερικό μιας ορθής γωνίας χΟψ.

38. Στο παρακάτω σχήμα η Οτ είναι διχοτόμος της γωνίας ρOx και η Ορ διχοτόμος της γωνίας yOx . Αν

είναι o25ω , να υπολογίσετε τις γωνίες ρˆτ και yOx .

39. Να σχεδιάσετε μια ευθεία γωνία yOx και να φέρετε τη διχοτόμο της Οz. Στη συνέχεια να φέρετε τις

διχοτόμους των γωνιών zOx και .yOz

Β.1.6. Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες

40. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες : α) ςήορθ2

1α β) ςέορθ3κ

γ) 3

2λ ορθής δ) ςήορθ

2

5φ ε) ςήορθ

5

41. Να βρείτε πόσες ορθές είναι οι γωνίες : α) o15α β) o120β γ) o210φ

δ) o72ω ε) o150ρ

42. Να κατασκευάσετε γωνίες : 200 oooo 350και,300,240, .

χτ ρ

y

ω

Ο

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 37

Β.1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών

43. Να σχεδιάσετε δυο εφεξής γωνίες με άθροισμα 900. 44. Να σχεδιάσετε δυο εφεξής γωνίες με άθροισμα 1800. 45. Να κατασκευάσετε δυο εφεξής γωνίες ΑΟΒ=60ο και ΒΟΓ=80ο. Να φέρετε τις διχοτόμους τους ΟΔ και

ΟΕ. Να εξηγήσετε γιατί η γωνία ΔΟΕ είναι 70ο. 46. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α=500, Β=700, και Γ=600. Να σχεδιάσετε γωνίες που να είναι εφεξής και

παραπληρωματικές με τις γωνίες του τριγώνου και να τις υπολογίσετε.

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές – Κατακορυφήν γωνίες

47. Μια γωνία είναι 58o

.Να βρείτε την παραπληρωματική της.

48. Μια γωνία είναι 77o

. Να βρείτε την συμπληρωματική της. 49. Να σχεδιάσετε δυο εφεξής γωνίες που να είναι:

Συμπληρωματικές

Παραπληρωματικές 50. Να σχεδιάσετε την παραπληρωματική

1. Μιας οξείας γωνίας 2. Μιας ορθής γωνίας 3. Μιας αμβλείας γωνίας Τι είδους γωνία είναι αυτή η παραπληρωματική;

51. Να βρείτε πόσων μοιρών είναι δυο παραπληρωματικές γωνίες σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:

Η μια είναι πενταπλάσια της άλλης

Η μια είναι μικρότερη από την άλλη κατά 36ο

Η διαφορά τους είναι 54ο 52. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μια είναι τετραπλάσια από την άλλη, να βρείτε πόσες

μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες 53. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μια είναι διπλάσια από την άλλη, να βρείτε πόσες μοίρες

είναι καθεμιά από τις γωνίες 54. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν διαφέρουν κατά 400, να βρείτε πόσες μοίρες είναι καθεμιά

από τις γωνίες 55. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μια είναι μεγαλύτερη κατά 300 από το διπλάσιο της άλλης,

να βρείτε πόσες μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες

56. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε ζεύγη παραπληρωματικών γωνιών.

57. Μια γωνία είναι 99o

15' 20

''. Να βρείτε την παραπληρωματική της.

58. Μια γωνία είναι 55''

5555'o. Να βρείτε την συμπληρωματική της.

59. Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μία είναι τετραπλάσια από την άλλη, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η καθεμία από αυτές.

60. Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν 8ω

φ να τις υπολογίσετε .

α γβ

δ

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 38

61. Να υπολογίσετε τις γωνίες α και β .

62. Μια γωνία φ είναι μεγαλύτερη κατά 40o

από την παραπληρωματική της .ω Να υπολογίσετε τις δύο

γωνίες.

63. Μια γωνία α είναι μικρότερη από την συμπληρωματική της β κατά 20o

. Να υπολογίσετε τις δύο

γωνίες. 64. Να γράψετε όλα τα ζεύγη των κατακορυφήν γωνιών που υπάρχουν στο σχήμα.

65. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ . Κατόπιν να σχεδιάσετε :

α) τις κατακορυφήν γωνίες των καιB,A .

β) τις παραπληρωματικές γωνίες των καιB,A .

66. Να υπολογίσετε τις γωνίες α , β , , ω και φ του παρακάτω σχήματος :

67. Να υπολογίσετε τις γωνίες α , β , γ και δ του σχήματος, αν η είναι διπλάσια της α .

68. Να υπολογίσετε τις γωνίες του σχήματος :

α 42

110 β

α

βγ

δ

εζ

φω

30

δβ

α

α γβ

δ

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 39

62ω

3χχ40 χ

φ 115

χ + 54 χ

69. Να σχεδιάσετε μια γωνία ω και την κατακορυφήν της. Να φέρετε τις διχοτόμους των γωνιών αυτών και να υπολογίσετε την γωνία που σχηματίζουν.

70. Να υπολογίσετε τις γωνίες του σχήματος , αν τα μέτρα των γωνιών α , β είναι ανάλογα προς τους

αριθμούς 2,3.

71. Στο παρακάτω σχήμα η Οy είναι διχοτόμος της γωνίας zηκαιωOx ' η διχοτόμος της ωOx . Να

δικαιολογήσετε ότι οι γωνίες ωOy και zˆω έχουν άθροισμα 90o

.

72. Να υπολογίσετε δυο παραπληρωματικές γωνίες όταν: α) η μια είναι μεγαλύτερη κατά 600 από την άλλη. β) η μια είναι κατά 160 από το τριπλάσιο της άλλης.

73. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές και η μια είναι τετραπλάσια της άλλης. Να υπολογίσετε τις γωνίες.

74. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές και η μια είναι μεγαλύτερη κατά 480 από την άλλη. Να υπολογίσετε τις γωνίες.

75. Να υπολογιστούν οι γωνίες στα παρακάτω σχήματα: α)

β)

γ)

47 38

110 β

α

α γβ

δ

χ'

z

χ

O

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 40

Β.1.10. Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση παραλλήλων

76. Να πάρετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και να φέρετε την κάθετη στο ΑΒ που περνά :

α) από το Α β) από το Β γ) από το μέσο του ΑΒ

77. Να φέρετε μια ευθεία ε και να πάρετε ένα σημείο Α εκτός της ε, που να απέχει από αυτή 25 mm. Κατόπιν να χαράξετε την ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ε.

78. Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες α και β που να έχουν απόσταση 3 cm.

79. Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες ε 21 ε, . Κατόπιν να χαράξετε μια ευθεία που να είναι παράλληλη

στις ε 21 ε, και να ισαπέχει από αυτές.

80. Να φέρετε μια ευθεία ε 1 . Να κατασκευάσετε μια ευθεία παράλληλη προς την ε 1 , και σε απόσταση 12 mm.

Πόσες τέτοιες ευθείες υπάρχουν ;

81. Δύο ευθείες α και γ είναι παράλληλες και έχουν απόσταση 4 cm. Να φέρετε μια ευθεία β που να είναι παράλληλη προς τις α και γ και να ισαπέχει από αυτές .Κατόπιν να φέρετε μια ευθεία ε που να τέμνει τις α,β και γ στα σημεία Α,Β και Γ αντίστοιχα. Να συγκρίνετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΒΓ.

82. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που να έχει κάθετες διαγώνιες. Από τις κορυφές Α,Γ να φέρετε παράλληλες προς τη ΒΔ και από τις Β,Δ παράλληλες προς την ΑΓ. Τι είναι το νέο σχήμα που σχηματίζεται;

Β.1.11. Κύκλος και στοιχεία του κύκλου

83. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο με : α) ακτίνα ρ = 4 cm, β) διάμετρο ΑΒ = 7 cm

84. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Ο,3 cm). Αν Α είναι ένα σημείο του κύκλου αυτού, να σχεδιάσετε ένα δεύτερο κύκλο (Α,3 cm). Τι παρατηρείτε ;

85. Να σχεδιάσετε δύο κύκλους με κέντρο ένα σημείο Κ και ακτίνες 1,4 cm και 2 cm αντίστοιχα. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που έχουν απόσταση από το Κ μεγαλύτερη από 1,4 cm και μικρότερη από 2 cm.

86. Nα χαράξετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ= 3 cm. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που η απόστασή τους από τα σημεία Α και Β είναι μικρότερη από 2 cm.

87. Δίνεται κύκλος (Ο, 2,5cm) και ένα σημείο του Α. Να βρείτε αν υπάρχουν σημεία του κύκλου που έχουν από το Α απόσταση :α)2 cm, β)5 cm, γ)6 cm.

88. Σε κύκλο (Ο,ρ) να φέρετε δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ με ΑΒ < ΓΔ. Να συγκρίνετε τις αποστάσεις του Ο από αυτές. Τι παρατηρείτε ;

89. Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 3 cm. Nα βρείτε τα σημεία του επιπέδου τα οποία απέχουν : α) 2 cm από το Α β) 1,5 cm από το Β γ) 2 cm από το Α και 1,5 cm από το Β

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου

90. Ένα σημείο Α απέχει από μια ευθεία ε 3,5 cm. Να βρείτε πόσα κοινά σημεία έχει η ευθεία ε με τον κύκλο (Α,ρ) όταν α) ρ = 2 cm β) ρ = 3,5 cm γ) ρ = 5 cm

91. Nα γράψετε ένα κύκλο (Ο, 18 mm) και να πάρετε ένα σημείο Α στον κύκλο αυτόν. Να χαράξετε την εφαπτομένη του κύκλου που διέρχεται από το Α.

92. Να φέρετε δύο ακτίνες ΟΑ και ΟΒ ενός κύκλου (Ο,ρ) που να μην είναι στην ίδια ευθεία. Να σχεδιάσετε τις εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β. Αν οι εφαπτομένες τέμνονται στο Μ, να συγκρίνετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΑ και ΜΒ.

93. Μια ευθεία ε διέρχεται από το μέσο Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ = 3 cm και είναι κάθετη σ’αυτό. Αν γράψετε τους κύκλους (Α , 15 mm) και (Β, 2 cm),να βρείτε ποια είναι η θέση της ε ως προς καθέναν από τους δύο κύκλους.

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1ο Κεφάλαιο Σελίδα 41

94. Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες 1 2, που να απέχουν μεταξύ τους 4cm. Nα σχεδιάσετε έναν κύκλο

που να εφάπτεται στις ε1, ε2.

95. Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες α , β και μια άλλη ευθεία ε που τις τέμνει στα σημεία Α και Β. Με

διάμετρο ΑΒ να γράψετε ένα κύκλο. Ποια είναι η θέση των α, β ως προς τον κύκλο όταν: α) , β β) η ε δεν είναι κάθετη στις α , β.

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

2ο Κεφάλαιο Σελίδα 42

ε1

ε2

ε1//ε2

49α

β γ

κ λ

μ ν

ε1

ε2

ε1//ε2

53α

β

κ λ

62

ε1

ε2

ε1//ε2

53α

β

κ λ

62

ε1

ε2

ε1//ε2

53α

β

κ λ

62

ε1

ε2

ε1//ε2

70α

β

κ λν62

ε3 ε4

ε3//ε4

ε1

ε2

ε1//ε2

40

α

28

ε1

ε2

ε1//ε2

α β

γ

κ

ν

Β.2.6. Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία

1. Να υπολογίσετε τις γωνίες στα παρακάτω σχήματα: α)

β)

γ)

δ)

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

3ο Κεφάλαιο Σελίδα 43

B.3.1. & B.3.2. Τρίγωνα

1. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρετε τις διαμέσους ΑΔ και ΒΕ. α) Να χαράξετε την τρίτη διάμεσο του τριγώνου χωρίς να βρείτε το μέσο της πλευράς ΑΒ.

β) Αν η ΒΕ τέμνει την ΑΔ στο Θ , να διαπιστώσετε με το διαβήτη ότι ΑΔ = 3ΘΔ και ΒΕ = 3ΘΕ

2. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να χαράξετε τις ευθείες που διέρχονται από τα μέσα των πλευρών του και είναι κάθετες σ’ αυτές. Τι παρατηρείτε ;

3. Να σχεδιάσετε τα ύψη των παρακάτω τριγώνων :

4. Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 72o

. Να υπολογίσετε τις προσκείμενες στη βάση γωνίες του τριγώνου.

5. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία A είναι 75o

και η γωνία B είναι διπλάσια από τη . Να υπολογίσετε τις

γωνίες B και του τριγώνου.

6. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η B = 80o

και η γωνία A είναι τα 3

2της . Να υπολογίσετε τις γωνίες A και του

τριγώνου.

7. Ενός τριγώνου ΑΒΓ οι γωνίες A , B , έχουν μέτρα ανάλογα με τους αριθμούς 2,3,4. αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

8. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με B = η A = 2

1B . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

9. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η A είναι ίση με το 3

1της B , ενώ η B =

2

1 . Να υπολογίσετε τις γωνίες του

τριγώνου.

10. Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 15o

μεγαλύτερη καθεμιάς από τις ίσες γωνίες. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

11. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η μια από τις γωνίες της βάσης του είναι 57ο. Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες. 12. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής του είναι 42ο. Να υπολογίσετε τις άλλες δυο. 13. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής είναι διπλάσια από καθεμία από τις ίσες γωνίες του.

Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. 14. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια της Β και η Γ είναι τετραπλάσια της Β. Να υπολογίσετε

τις γωνίες αυτές. 15. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ή γωνία Α = 35ο και η β είναι τετραπλάσια της Γ. Να υπολογιστούν οι γωνίες Β και

Γ. 16. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90ο η γωνία Β είναι τριπλάσια από την Γ. Να υπολογίσετε τις γωνίες

Β και Γ. 17. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90ο η γωνία Β είναι κατά 20ο μεγαλύτερη από την Γ. Να υπολογίσετε

τις γωνίες Β και Γ. 18. Να υπολογίσετε τις γωνίες στα παρακάτω σχήματα:

Α

Β Γ K M

Λ

Ε Π

Δ

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

3ο Κεφάλαιο Σελίδα 44

ε1

ε2

ε1//ε2

40

α

28

ε1

ε2

ε1//ε2

40

κ

μ58

α)

β)

B.3.3. & B.3.4. Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια

19. Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ η περίμετρος είναι 30 cm και η πλευρά ΒΓ = 7 cm. Να υπολογίσετε τις άλλες πλευρές του.

20. Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ η περίμετρος είναι 36 cm και η πλευρά ΑB είναι 9 cm. Nα εξηγήσετε γιατί είναι ρόμβος.

21. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράμμου στο παρακάτω σχήμα :

22. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο ΒΔ ενός ρόμβου ΑΒΓΔ, αν γνωρίζουμε ότι έχει ο60A και ΑΒ = 4 cm.

23. Να σχεδιάσετε ένα ρόμβο και να διαπιστώσετε ότι οι διαγώνιές του τέμνονται κάθετα. Να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό.

24. Να κατασκευάσετε παρ/μο ΑΒΓΔ με ˆ 50A

, ΑΒ = 2 cm και ΑΔ = 5 cm.

25. Nα σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ 90A

) και να φέρετε τη διάμεσο ΑΜ. Στην προέκταση της ΑΜ και προς το μέρος του Μ να πάρετε σημείο Δ, ώστε ΑΜ = ΜΔ. Να εξηγήσετε γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.

26. Ένα παρ/μο ΑΒΓΔ έχει περίμετρο 12 cm, ΑΔ = 2 ΑΒ και ˆ 72A

. Να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες του.

B.3. Γενικές Ασκήσεις

27. Στο παρακάτω σχήμα η ευθεία ε είναι παράλληλη με την πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ και η ΔΒ

είναι κάθετη προς την ευθεία ε . Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία και η γωνία είναι διπλάσιες

της γωνίας τότε : (α) να υπολογίσετε τις γωνίες , , του τριγώνου ΑΒΓ , (β) να

υπολογίσετε τις γωνίες x , , του σχήματος , αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας.

28. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒΓ τρίγωνο,

050

,

3575

B

ΔΓ

A

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

3ο Κεφάλαιο Σελίδα 45

0155

x ,η ΔΕ παράλληλη προς τη ΒΓ και η ΕΖχ κάθετη στην ΑΓ. Να υπολογίσεις (χωρίς

να μετρήσεις με μοιρογνωμόνιο) τις γωνίες

,

,

,

και

.Να δικαιολογήσεις τους υπολογισμούς σου.

29. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ και ˆ 55 .

α) Να υπολογιστούν οι γωνίες ω, θ, ρ, λ, κ δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. β) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του;

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

3ο Κεφάλαιο Σελίδα 46

30. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1// ε2 . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ , δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας .

31. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες στα παρακάτω σχήματα:

32. Δύο ευθείες x΄x και y΄y παράλληλες μεταξύ τους τέμνονται από τρίτη ευθεία ε στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και η γωνία x΄Αε είναι 120ο .Φέρτε τη διχοτόμο της γωνίας ΑΒy που τέμνει την x΄x στο Γ. Να υπολογίσετε όλες τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

3ο Κεφάλαιο Σελίδα 47

Α

Β Γ

Κ

33. Στο διπλανό σχήμα δίνεται: ε1//ε2 και ΟΑ=ΟΒ. Α. Να βρεθούν οι γωνίες ω και φ. Β. Να βρεθούν οι γωνίες θ και κ. Γ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές.

34. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες. Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες β, γ, δ, ε και η. Β. Να αναφέρετε το είδος του τριγώνου ΚΛΜ ως προς τις γωνίες του.

35. Αν ε1 // ε2

και ε3 κάθετη στην ε1

να υπολογίσετε τις γωνίες α και β.

36. Οι γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 8,12,20. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου και να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του

37. Σ΄ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία A είναι τριπλάσια της γωνίας B και η γωνία Γ είναι ίση με το διπλάσιο της B αυξημένο κατά 60ο. α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου σε μοίρες. β) Να χαρακτηριστεί το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του

38. Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Β = 700 και Γ = 300. Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο Κ. Να υπολογιστούν οι γωνίες Α και Κ.

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

3ο Κεφάλαιο Σελίδα 48

ΓΒ

Α

3χ 2χ

φ

ω

ΓΒ

Α

Δ37

Β Γ

Δ

Α

χ

χ

40

39. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες χ, φ και ω.

40. Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε τις γωνίες του αν γνωρίζετε ότι ΑΒ = ΑΓ = ΓΔ.

41. Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε τις γωνίες του αν γνωρίζετε ότι ΑΔ = ΒΔ.