Катедра “Автоматизация на непрекъснатите производства“

СЕМИНАРНА ЗАДАЧА

ПО ДИСЦИПЛИНАТА:

Автоматизация на Производствените Системи

ТЕМА: „ Синтез на адаптивно управление и Симулинк-модел на

позиционно постояннотоково ЕЗ”

РАЗРАБОТИЛИ: 1.Татяна Йорданова Димитрова, ИУТ ,гр.202 ,фак.№ 0113110112.Албена Георгиева Гайдарова, ИУТ, гр.203, фак.№ 0113110533.Цветелина Василева Тушлекова, ИУТ, гр.203, фак.№ 011311050Курс I, Магистърска степен

РЪКОВОДИТЕЛ: /доц. д-р инж. Тодор Стефанов Йонков /

1.Въведение

Постояннотоковите двигатели са широко използвани като задвижващи механизми за индустри- ални машини като роботи, транспортьори и конвейери. Ролята му е да управлява машината, така че тя да следва командната позиция. Въпреки това, при различни референтни входни въздействия и товари, желания резултат не може да бъде получен чрез традиционните схеми за управление с обратна връзка и фиксирани параметри.

Адаптивното управление обхваща набор от техники, определени първоначално когато динами- ката на обекта е неизвестна и/или се променя във времето, които постигат контрол на изпълнени- ето. Типична адаптивна схема за контрол е модела на референтния адаптивен контрол (MRAC) и адаптивнен контрол с поставяне на полюс-нула (PZPAC). Въпреки че тези два метода са били при- лагани към многомерни системи (MIMO), теорията им е много сложна и изисква много време за изчисляване, и са приложими само при обекти, чиято динамика е сравнително бавна.

През последните години, опростената схема за адаптивен контрол (SAC), която има изключител- но проста структура, основана на CGT (Command Generator Tracker – генератор на следящи коман- ди) теорията на Броусард и O`Браян, е предложена от Собъл за непрекъсната система. Тя е лесно приложима към MIMO системи, тъй като структурата на адаптивно управление е решена от изхо- дите на управлявания обект, от входовете и от състоянието на референтния модел, когато порядъ- ка на референтния модел е почти независим от този на управлявания обект, и могат да бъдат направени много прости при избора на референтен модел от по-ниска степен. Въпреки това,почти строго положителното реално състояние (ASPR), което означава обекта на управление да е строго положителен реален (SPR) с постоянна обратна връзка на изхода, е необходимо за обекта на упра- вление,за да се гарантира асимптотичната стабилност на алгоритъма. Ако това ограничение е нарушено в непрекъснат във времето случай,Бар-Кана предлага да се включи компенсатор за управление по смущение успоредно на управлявания обект, така че в резултат разширената система става ASPR.

Освен това, конвенционалната схема, въз основа на CGT теорията има дефект, който се състои в това,че входа на референтен модел е ограничен от стъпаловидна функция.

За дискретни SAC, вмъкването на паралелен компенсатор за управление по смущение предло - жен от Бар-Кана, представлява просто продължение на непрекъснатостта на системата. Въпреки това, в този случай,реализацията на бавното управление трябва да се прилага внимателно,именно заради включването на паралелен компенсатор. Препоръчват се някои подходи за решаването на този проблем. Единият е да се реши уравнение от трети ред, а другият да се извършат итеративни изчисления в рамките на един период на отчитане.

Има много симулационни резултати от приложни примери на дискретни SAC, но много малко са приложими за реални системи.

Тъй като този алгоритъма се основава на AOT теорията, вместо на CGT теорията, входното въз- действие на референтния модел, не е необходимо да бъде стъпаловидна функция, но е удължено

до сигнали, които са представени като изход на линейна система. Тъй като адаптивната система се третира като инвариантна във времето, анализа за стабилност е значително опростен, и може лесно да се прилага за MIMO системи.

За простота, компенсатора добавен тук, не е динамичен, но стабилността е доказана за общ алгоритъм, където компенсатора има динамика.

В допълнение, предложеният алгоритъм се прилага за управление на положението на постоян -нотоков двигател.Неговата ефективност е потвърдена чрез демонстриране на стабилността му при големи промени на инерционното натоварване и чрез проучване на неговото проследяване за различни референтни входни въздействия. Управлението на предложения алгоритъм и на конвен- ционален ПИД регулатор се сравняват и се демонстрира превъзходството на първия.

2.Структура на системата за управление на положението на постояннотоков двигател

Обекта за управление, използван в този експеримент е система за управление на положението на постояннотоков двигател, чийто товар е свързан до мястото на дъговата ос чрез по-висока ско- рост с редуциращо съотношение 1/9. Структурата на системата за управление е показана на Фиг.1. Персонален компютър (PC) се използва като контролер и е свързан с обекта за управление чрез 12-битов AD и DA конвертори. Една единица от изхода на AD конвертора е (180/2015 г.)°, от ъгъла на ротация на потенциометъра. Ъгъла на ротация θ на изходната ос редуциран от предавката се отчита от потенциометъра, прехвърля се към компютъра чрез AD конвертор, където адаптивния алгоритъм се изчислява. Изчисленото входно управление се подава до мястото на управление на усилвателя на постояннотоковия двигател чрез конвертора DA. Номиналните спецификации напостояннотоковия двигател са: напрежение - 18 V, ток - 1,25 А, изход - 11 W, а въртящият момент е 0.36 kg /cm.

Както е показано на Фиг.1, управлявания позиционно постояннотоков двигател е свързан чрез обратна връзка с PD компенсатор. Предавателната функция на получения обект е описана в непре- късната форма от

G p (s )= c

a s2+bs+c (1)

където a, b, c са константи.

3. Дискретен SAC алгоритъм

Нека имаме следния постижим и наблюдаем np-мерен обект за управление Gp (z) с m-мерен вход и изход:

x p (k+1 )=A p x p (k )+Bpup(k ) (2)

up(k )=Cp x p(k ) (3)

Фиг.1.Система за контрол на положението на постояннотоков двигател

и следния асимптотично стабилен nm- триизмерен референтен модел Gm (z) с m-мерен вход и изход:

xm (k+1 )=Amxm (k )+Bmum(k ) (4)

ym(k)=Cm xm(k ) (5)

където xp(k) ϵRn p и xm (k) ϵ Rnm са вектори на състоянието на обекта за регулиране и на референт -ния модел, съответно, и Аp, Bp, Cp и Am, Bm, Cm, са матрици с подходяща размерност. Допустимо е nm

<< np.

Въпреки че обекта за регулиране, за който се прилага SAC алгоритъм трябва да бъде ASPR, обек- та, описан от уравнения (2) и (3) не може да стане ASPR. Паралелния компенсатор за

управление по смущение Dp(Dp= D рТ > 0) се добавя да задоволи състоянието ASPR и резултантния

подсилен обект за регулиране ~Gp(z) е описан от:

x p (k+1 )=A p x p (k )+Bpup(k ) (6)

~yp(k ) = y p(k) + r p(k ) = C p x p (k )+D pup(k) (7)

r p(k ) = D pup(k ) (8)

Същия компенсатор Dp също е включен в референтния модел, и резултантния подсилен референ- тен модел ~Gm(x) е представен от:

xm (k+1 )=Amxm (k )+Bmum(k ) (10)

~ym(k )= ym (k )+rm (k )=Cmxm (k )+D pus (k )

¿~Cm(k ) xm (k )+~Dp(k )um (k ) (11)

rm (k )=D pus(k) (12)

us (k )=K x (k ) xm (k )+Ku (k )um (k ) (13)

където

~Gm(k) = Cm + DpKx(k), ~Dp(k) = DpKu(k)

Блокова схема на цялостната адаптивна система е показана на Фиг. 2, където ~Gp(z) и ~Gт(z), са затворени от пунктирани линии в горната и долната части съответно.

Референтния вход um(k) е представен от следната m-изходна система от ns-порядък:

ss (k+1 )=A s ss (k ) (14)

um (k )=C s ss(k ) (15)

Необходимо е да се приложи следната хипотеза за SAC. Предположение 1: Няма обща собствена стойност между As и Am , такава, при която да съществува матрица E такава, че

Am E−E A s+BmC s=0 (16)

Грешката на състоянието, изходната грешка, и разширената изходна грешка, съответно, определени от

ex (k )≜ x p¿ ( k )−x p(k ) (17)

e y (k )≜ ym (k )− y p(k ) (18)

и

~ey(k )≜~ym(k )−~yp(k ) (19)

където x p¿ (k) е идеалното състояние на адаптивната система, което е обяснено по-нататък.

Целта на управлението на алгоритъма се разглежда като:

limk→∞

~ey(k )=0 (20)

Фиг. 2 Блокова схема на разширената адаптивна система с паралелен компенсатор за управление по смущение.

Впредвид предположение 1, съществуват идеално състояние x p¿ (k) и идеално входно

управление up¿

(k) за постигане на ~y p¿ (k )=~ym(k ), който е асимптотичнен изход за проследяване,

което може да бъде дадено от:

[ xp¿ (k )up

¿ (k) ]=[X 1 X2

K x Ku] [xm(k )um(k) ] (21)

където Kx и Кu са съответно определени конвергентни стойности на адаптивното усилване Kx (k) и Кu

(k) (вж. Фиг. 2), това е

K x=limk→∞

K x (k), Ku= limk→∞

K u(k ) (22)

Тук Х1, Х2, Kx и Кu с

[XK ]=[ X1 X2

K x K u] [ EC s] (23)

задоволява

[A p Bp

C p 0 ] [XK ]=[X A s

Cm E] (24)

Това се нарича теория на асимптотичния изходен тракер (AOT).Въз основа на AOT теорията, вместо на CGT теорията, идеалното състояние и идеалното входно управление се разглеждат като инвариантни и анализа на стабилността на алгоритъма е значително опростен.

AOT теорията допуска съществуването на някои постоянни усилвания за k→∞, и вземайки в предвид това твърдение, обективния контрол, описан от уравнение (20) може да бъде постигнат със следния алгоритъм:

~ey(k )={I+D p e yT (k ) (T Pe )e y (k ) }−1

× {I−D pK I e(k−1 ) }e y(k ) (25)

up (k )=K (k ) r (k ) (26)

¿D p−1 {e y (k )+Dpus (k )−~e y (k ) } (27)

K I ( k )=~e y (k ) rT (k )T I+K I (k−1) (28)

където

K p (k )=~e y (k )rT (k )T p (29)

K (k )=K p ( k )+K I (k ) (30)

¿ [K e (k ) K x (k ) Ku(k )] (31)

rT ( k )=[ eyT (k ) xmT (k )um

T (k ) ] (32)

T P=[T PeT P x

T P u ]=T PT>0

T I= [T I eT I x

T Iu ]=T IT>0

и r(k) е вектор, състоящ се от изходната грешка, на променливото състояние на референтния мо- дел, и входа на референтния модел. K(k) е адаптивна усилваща матрица, която е решена в компо- нентите на уравнение (31), съответстващи на тези на уравнение (32), и от гледна точка на закона за настройка на усилването, в пропорционалните и интегралните компоненти като в уравнение (30), коригирана от уравнение (29) и уравнение (28),съответно.TP и TI са настройващи параметри в зако- на за настройка. Истинският алгоритъм за управление се състои от повтарящо се изчисляване на уравнение (25), (27) и (28). Моделираните параметри на алгоритъма са Dp, TP, и TI. Алгоритъмът обяснява факта, че така както характеристиките на обекта за управление се променят, например при промяна на товара, така те се отразяват в промяната на разширената изходна грешка ~e y(k) чрез която адаптивния коефициент K(k) се изчислява, както и адаптивното входно управление up(k) е получено чрез използване на K(k). up(k) се подава на управлявания обект. Повтаряйки тази проце -дура за всеки период на отчитане, ~e y(k) клони към нула и целта на управлението се постига.

Ако приемем, че в този алгоритъм, уравнение (20) ограничава и че up(k) = up¿

(k) за k→∞, получа- ваме up(k) = us(k) за k→∞, от уравнение (13), (21) и (22).След това, rp (k) = rm (k) от уравнение (8) и (12), и yp (k) = ym (k), от уравнение (7) и (10), тогава ey (k) = ym (k) - yp (k) = 0 се получава и изходната грешка между референтния модел и управлявания обект става нула. Това съответства на структу -рата на Фиг. 2 без противоречие.

4. Експериментални резултати

За да се провери ефективността на предложения алгоритъм, са извършени симулации и прак -тическо приложение на позиционно регулиране на постояннотоков двигател. Предавателната функ- ция по-долу е представен като Z-трансформация на непрекъснатата система.Периода на отчитане е 10 мс.

Предавателната функция на обекта за регулиране се дава от

G p ( z )=Ƶ [e−T s 1−e−Ts

s1764

s2+25.2 s+1764 ] (33)

която включва задържаща нула и един период закъснение за изчисление.

Непрекъснатата предавателна функция на обекта за регулиране се получава от преходната ха -рактеристика на постояннотоков двигател с не инерционно натоварване, която е в „не-натоварен” режим. Преходната характеристика значително се различава от преходната характеристика на ли- нейната система, и стойностите на а, b и c в уравнение (1) са приблизителни. Сойностите a = 1, b = 12.6 и c = 441 са получени от преходната характеристика на реална система с максимално инерци- онно натоварване от 4380 gcm2 на задвижващата ос, която е в „натоварен” режим.

Предавателната функция на референтния модел, включващ задържаща нула е

Gm ( z )=Ƶ [ 1−e−T s

s15s+10 ]

За параметрите на адаптивното управление, Dp = 1.8 е определено, така че разширената систе- ма за управление става ASPR и TP и TI са избрани така:

T P=T I=diag (10−31.5×10−12×10−3) (35)

където тези стойности се очаква да се установят в някакъв интервал, за да се увеличи скоростта на сближаване, въпреки че те, теоретично, могат да заемат всички положителни стойности за стабил- ност на системата.

В следващите експерименти, резултатите от симулацията или реалната система са изследвани при стъпаловидно или синусоидално входно въздействие, и при различни инерционни натовар- вания. Показани са изходните резултати на реалната система с ПИД регулатор и са сравнени упра- влението на SAC(Simple Adaptive Control) и на ПИД регулатор.

4.1 Стъпаловидно входно въздействие

Резултатите от симулацията със стъпаловидно входно въздействие за "натоварения" и "не-натоварения" режим са показани на Фиг.3, където (а) и (b) са резултатите от предходния алгори- тъм (т.е., Dp е изключена от референтния модел на Фиг. 2) и (c) и (d) от предложения алгоритъм. yp (k), ym (k) и up(k) са изхода на обекта, изхода на референтния модел и адаптивно управлявания вход на обекта.

Както е показано на Фиг.3 (а), yp (k) не може да следва ym (k) при "натоварения" и "не-натоваре- ния" режим, което илюстрира,че изходната грешка на първоначалната система,описана от уравне- ние (18) е ограничена, но не става нула при предходния алгоритъм, въпреки че увеличената из -ходна грешка става нула и уравнение (20) може да се приложи. За предложения алгоритъм, както е показано на Фиг.3 (с) в "не-натоварения" режим, yp (k) съответства на ym (k) в равновесно състо- яние и не съществува изходна грешка. В "натоварения" режим, yp (k) съответства на ym (k) в ста -билно състояние, но yp (k) става осцилираща в началния преходен период. Тези резултати илю -стрират задоволителното представяне, независимо от променливия товар.

Фигура 4 показва поведението на коефициента на усилване при стъпаловидно входно въздей- ствие при "не-натоварения" режим.Коефициента на усилване се доближава до постоянни стойно- сти след като периода на адаптация приключи. Този факт показва,че аналитичните резултати,осно- ваващи се на AOT теорията, където сближените стойности на коефициента на усилване се предпо- лага че са непроменливи във времето вместо променливи, потвърждавайки експериментите.

Фиг.3 Резултатите от симулацията на входните и изходните реакции с променлив товар (входен сигнал: стъпаловидна функция).

Фиг. 4 Симулационни резултати от адаптивната настройка без натоварване (входен сигнал: стъпаловидна функция).

Експерименталните резултати,получени от действителна система със стъпаловидно входно въз- действие за позиционно регулиране на постояннотоков двигател, са показани на Фиг.5 и Фиг.6, къ- дето (а) показва предходния алгоритъм а (b) предложения. Изходната грешка не се доближава до нула в предишния алгоритъм, което също е показано в симулацията. В "натоварения" режим на Фиг. 6 (b), yp (k) в преходен период е леко осцилираща в сравнение с "не-натоварения" режим на Фиг. 5 (b), но yp (k) в равновесно състояние следва ym (k), така задоволително както при "не-натова- рения" режим.

Фиг.5 Изходни резултати на постояннотоков двигател без натоварване (входен сигнал: стъпаловидна функция).

Фиг.6 Изходни резултати на постояннотоков двигател с натоварване (входен сигнал: стъпаловидна функция).

4.2 Синусоидално входно въздействие

Фигура 7 ни показва входа и изхода получени при симулацията когато входното въздействие е:

um(k) = 700 sin(0.01πk) (36)

където (a) и (b) показват "не-натоварения" режим и (c) и (d) показват "натоварения" режим. Фигура 7(с) показва че изходната грешка изчезва след 2сек. и изходния контур придобива вида като при "натоварения" режим. Фигура 7(а) показва че yp (k) се доближава до ym (k) след около 6 сек., което е повече отколкото при "натоварения" режим.

Експерименталния резултат, получен от реална система е показан на Фиг. 8, където (а) и (b) показват, съответно изхода при "не-натоварения" и "натоварения" режим. Фигурата показва, че yp (k) следва ym (k) след първоначалния преходен период и в двата случая.

Фиг.7 Симулационни на резултати от входни и изходни реакции с променлив товар (входен сигнал: синусоидален)

Фиг. 8. Изходните резултати на постояннотоков двигател с променливо натоварване (входен сигнал: синусуидален).

Тези симулационни и експериментални резултати потвърждават че, въпреки че референтния вход на предходния алгоритъм, базиран на CGT теорията, е ограничен от стъпаловидна функция, предложеният алгоритъм, базиран на AOT теорията е използваем за по-общи входни функции, включително и стъпаловидната функция.

4.3 Сравнение с ПИД регулатор

ПИД регулатор с фиксиран коефициент на усилване е типично практическо управление. По-долу са показани експериментални резултати за ПИД регулатор на постояннотоков двигател, чийто референтен вход е на изхода на референтния модел при променливи натоварвания и сравнени с тези, получени по- рано. Предавателната функция на ПИД регулатора е описана от kp + (ki / s) + kds в непрекъсната форма.

Изходните резултати при стъпаловидна функция като вход на референтния модел за ПИД регулатор са показани на Фиг. 9 и Фиг.10, където (а) и (b) показват съответно "не-натоварения" и "натоварения" режим. ПИД регулатора е цифров със същия период на отчитане от 10 мсек. както при SAC(Simple Adaptive Control) регулатора. На Фиг. 9, ПИД усилването е настроено чрез опити и грешки, така че е възможно кратко време за установяване и малко пререгулиране да се постигат за "натоварения" режим, и следователно kp = 0.1, ki = 0.2, kd = 0.01.От друга страна, Фиг. 10 показва изходни резултати, когато ПИД усилването се настройва, така че да е възможно да се получат задоволителни резултати за "не-натоварения" режим, и следователно kp = 0.1, ki = 0.7, kd = 0.01.

От двете фигури е очевидно,че ПИД усилването се настройва за "натоварения" режим,изходния сигнал се получава за "не-натоварения" режим, но ако те се настроят за "не-натоварения" режим, системата става нестабилна за "натоварения" режим. В предложения SAC регулатор, както е показано на Фиг.5 и Фиг.6, изходната грешка клони към нула и системата се държи стабилно, независимо от натоварванията. Сравнени Фиг.5 (b) с Фиг. 9 (а) и Фиг. 6 (b) с Фиг.9 (b) показват, че SAC има по-бързо сближаване на изходната грешка и в двата режима, "натоварения" и "не-натоварения".

Фигури 11 и 12, показват реакциите на изхода при синусоидален вход на референтния модел, където (а) и (b) показват съответно "натоварения" и "не-натоварения" режим. На Фиг. 11 ПИД усилването е настроено, така че да се получава задоволителна реакция при "натоварения" и "не-натоварения" режим, а именно, kp = 0.1, ki = 0.65, kd = 0.01, но системата с тези натрупвания става нестабилна за "натоварения" режим. На Фиг. 12 ПИД усилването е настроено, така че да се полу- чава задоволителна реакция за "натоварения" режим, а именно, kp = 0.1, ki = 0.2, kd = 0.01. yp (k) не може да следва ym (k) с тези усилвания и за двата режима на натоварване. Така, изходната грешка клони към нула, независимо от товара при SAC регулатора на Фиг. 8, но не се срещат в ПИД регула- тора на Фиг. 11 и Фиг.12.

Фиг. 9. Изходни резултати на ПИД регулатор с променливо натоварване (входен сигнал: стъпаловидна функция).

Фиг. 10. Изходни резултати на ПИД регулатор с променливо натоварване (входен сигнал: стъпаловидна функция).

При SAC, регулируемите параметри TP и TI се вземат със същите стойности като при уравнение (35) за всички фигури. Но при ПИД регулатора, ПИД усилването е с различни стойности, дължащи се на оптимална настройка за съответните фигури. Ако оптималните стойности на TP и TI се изпол- зват за съответните фигури при SAC, ще се получат по-добри изходни реакции.

Това се потвърждава от горните резултати, като задоволителна изходна реакция е изключител- но трудно да се получи за различните входни въздействия, при различните натоварвания в ПИД регулатора с постоянни параметри, но е възможно при предложения SAC алгоритъм, въз основа на AOT теорията.

Фиг. 11 изходна реакция на ПИД регулатор с променлив товар (входен сигнал: синусоидален)

Фиг. 12 изходна реакция на ПИД регулатор с променлив товар (входен сигнал: синусоидален)

5.Заключения SAC е една перспективна схема за управление за практическа употреба, тъй като представлява адаптивен закон и е лесно изпълнима в реална система.

В тази разработка, беше предложен нов дискретен SAC алгоритъм и приложен за управление на положението на постояннотоков двигател с широко променливо инерционно натоварване. Практическата заслуга на предложения алгоритъм се състои в разширяването на обхвата на въз- можните входове към други функции,както и стъпаловидната функция,и на неговата приложимост към многомерни системи.

От симулационните и експерименталните резултати беше установено, че предложеният алгори- тъм генерира реакции с нулева изходна грешка при широко променливо инерционно натоварване и при различни входни въздействия.

И накрая, беше потвърдено от експерименталните резултати, получени с реална система с по -стоянно усилващ ПИД регулатор, че тази схема за управление има големи трудности при управле- ние на големи вариации на инерционното натоварване или при различни видове входни въздей- ствия с едно фиксирано управление. Това означава, че предложеният SAC алгоритъм постига контрол на изпълнението, превъзхождайки този на ПИД регулатора.