ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

1


Πείραμα τύχης

Ονομάζεται η διαδικασία εκείνη την οποία όσες φορές και αν την επαναλάβουμε κάτω

από τις ίδιες συνθήκες δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμά

της.

Σε κάθε επανάληψη ενός πειράματος τύχης είναι δυνατόν να εμφανίζονται διαφορετικά αποτε-

λέσματα , αν και το πείραμα εκτελείται κάτω από τις ίδιες συνθήκες .

Πειράματα τύχης είναι:

Η ρίψη ενός νομίσματος, η ρίψη ενός ζαριού, η τυχαία επιλογή μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης της

οποίας καταγράφεται η διάρκειά της , το πλήθος των αγοριών μιας οικογένειας με 3 παιδιά ,το

πλήθος των τερμάτων σε ένα ποδοσφαιρικό αγώνα κ.λπ.

Δειγματικός χώρος

Δειγματικός χώρος ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπο-

ρούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος.

Ο δειγματικός χώρος συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω.

Αν ω1, ω2, ... , ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης τότε ο δειγματικός χώ-

ρος του πειράματος θα είναι το σύνολο Ω = ω1, ω2, ... , ωκ

Παράδειγμα

Ρίχνουμε ένα ζάρι και καταγράφεται η ένδειξη της άνω έδρας του η οποία μπορεί να είναι ένας

από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Οπότε ο δειγματικός χώρος είναι Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Η γέννηση ενός παιδιού είναι πείραμα τύχης με δυο δυνατά αποτελέσματα :

Αγόρι (Α),κορίτσι (Κ). Οπότε ο δειγματικος χώρος είναι Ω = Α, Κ, .

•Επιλογή μιας σφαίρας από ένα δοχείο με άσπρες και μαύρες σφαίρες, με Ω=Α,Μ

“Η ηρεµία του µέσου ριπτη νοµισµάτων εξαρτάται από

τον νοµο η µάλλον την τάση, η καλυτέρα την πιθανότητα

, η εντέλει την µαθηµατικως υπολογίσιµη τυχαιοτητα ,

που διασφαλίζει ότι ούτε ο ίδιος θα εκνευριστεί χάνο

ντας διαρκώς ούτε τον αντίπαλο του θα εξοργίσει κερδίζο

ντας .’’

Tom Stoppard, “Rosencranz and Guilderenstern are dead”



2

Το αποτέλεσμα ενός ποδοσφαιρικού αγώνα .Ο δείγματος χώρος είναι :

Ω = ΝΙΚΗ, ΗΤΤΑ, ΙΣΟΠΑΛΙΑ.

Ενδεχόμενο

Ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειρά-

ματος τύχης. Για παράδειγμα στη ρίψη ενός ζαριού τα σύνολα Α = 1, 3, Β = 6, Γ = 2, 4, 6 είναι

ενδεχόμενα και μάλιστα το σύνολο Α είναι το ενδεχόμενο κατά την ρίψη να φέρουμε 1 ή 3, Β το εν-

δεχόμενο να φέρουμε 6 και Γ το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αποτέλεσμα. Τα ενδεχόμενα σε ένα

πείραμα τύχης είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου του πειράματος.

Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται το ενδεχόμενο όταν έχει ένα μόνο στοιχείο

π.χ. Β = 6.

Σύνθετο ενδεχόμενο ονομάζεται το ενδεχόμενο όταν έχει περισσότερα από ένα στοιχεία

π.χ. Α = 1, 3.

Ένα ενδεχόμενο λέμε ότι πραγματοποιείται ή συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος

σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο του ενδεχομένου. Γι’ αυτό τα στοιχεία ενός ενδε-

χομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του.

Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται πά-

ντα, αφού κάθε αποτέλεσμα του πειράματος τύχης είναι στοιχείο του Ω. Το Ω λέγεται βέβαιο

ενδεχόμενο. Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο Ø είναι ένα ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε

καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Το Ø λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α συμβολίζεται με Ν(Α). Επομένως αν Α = 1, 2, 3

τότε Ν(Α) = 3.

Το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω συμβολίζεται με Ν(Ω). Επομένως αν Ω =

1, 2, 3, 4, 5, 6 τότε Ν(Ω) = 6. Ακόμη Ν(Ø) = 0.

Πράξεις με ενδεχόμενα

Αν Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α,Β ⊆Ω

δύο ενδεχόμενα τότε :

Το ενδεχόμενο A B∩ που διαβάζεται "Α τομή Β" ή "Α και Β"

πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α

και Β.



3

A B

Ω

A’

Ω

Το ενδεχόμενο A B∪ που διαβάζεται "Α ένωση Β" ή "Α ή Β"

πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα

από τα Α, Β.

Το ενδεχόμενο Α΄ που διαβάζεται "όχι Α" ή

"συμπληρωματικό του Α" πραγματοποιείται όταν δεν

πραγματοποιείται το Α. Το Α΄ λέγεται και "αντίθετο του Α".

Το ενδεχόμενο Α – Β που διαβάζεται "διαφορά του Β από το

Α" πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι

το Β. Ισχύει ότι : Α – Β = A B′∩ .

Το ενδεχόμενο Β – Α που διαβάζεται "διαφορά του Α από

το Β" πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Β αλλά όχι

το Α. Ισχύει ότι : Β – Α = B A′∩ .

A B∪∪∪∪



4

Το ενδεχόμενο ( A B∪ )΄ = A B′ ′∩ που διαβάζεται "όχι Α

ένωση Β" ή "συμπληρωματικό του Α ένωση Β"

πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται κανένα από

τα Α και Β ή δεν πραγματοποιείται το Α και δεν

πραγματοποιείται το Β.

Το ενδεχόμενο (Α – Β)∪ (Β – Α) που διαβάζεται "διαφορά

του Β από το Α" ή "διαφορά το Α από το Β" πραγματοποιείται

όταν πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.

Ισχύει ότι : (Α – Β)∪ (Β – Α) = ( ) ( )A B B A′ ′∩ ∪ ∩ .

Το ενδεχόμενο ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪ που διαβάζεται "όχι Α

τομή Β" ή "συμπληρωματικό του Α τομή Β" πραγματοποιεί-

ται όταν πραγματοποιείται ένα εκ των Α και Β ή

πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β ή κανένα από τα δύο.

Το ενδεχόμενο Α∪ Β΄ που διαβάζεται "Α ένωση Β΄" ή "Α ή Β΄" και πραγματοποιείται όταν πραγ-

ματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β.



5

A B

Ω

Έστω Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και ω είναι ένα αποτέλεσμα

του πειράματος τύχης. Τότε έχουμε τις επόμενες διατυπώσεις στη κοινή γλώσσα και στη γλώσσα

των συνόλων :

κοινή γλώσσα γλώσσα συνόλων

το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται ω A∈

το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται ω A ′∈ ή ω A∉

ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποι-

είται

ω BA ∪∈

πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β ω BA ∩∈

δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β ω )( ′∪∈ BA

πραγματοποιείται μόνο το Α ω )( BA −∈ ή ω BA ′∩∈

η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την

πραγματοποίηση του Β

BA ⊆

Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

♦ Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα

♦ όταν Α∩Β=Ø.

♦ Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους

ή αμοιβαίως αποκλειόμενα.

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει :

Α∪Α = Α Α∩Α = Α Α∪Ω = Ω Ω΄= Ø

Α∪Ø = Α Α∩Ø = Ø Α∪Α΄= Ω Ø΄= Ω

Α∪Β = Β∪Α Α∩Β = Β∩Α (Α∪Β)΄= Α΄∩Β΄ (Α΄)΄= Α

Α∩Ω = Α Α∩Α΄= Ø (Α∩Β)΄= Α΄∪Β΄

Το ήξερες ότι……. Όταν ο διάσημος Γάλλος μαθηματικός Laplace (1749-1827) ένας

από τους θεμελιωτές της Θεωρίας Πιθανοτήτων μελέτησε τους κα

ταλόγους γεννήσεων της δεκαετίας 1746 -1756 των πόλεων Λονδί

νου ,Βερολίνου , Πετρούπολης διαπίστωσε ότι το ποσοστό των

αγοριών είναι ίσο με 0.516 και για τις τρεις αυτές πόλεις , ενώ το

αντίστοιχο των κοριτσιών 0.484).Το ίδιο αυτό ποσοστό βρέθηκε να

αναλογεί στις γεννήσεις αγοριών στο σύνολο του Γαλλικού κράτους

για την ιδία περίοδο , ενώ για την πόλη του Παρισιού βρέθηκε μι

κρότερο για τα αγόρια (0.511) και μεγαλύτερο για τα κορίτσια

(0.489). Προσπαθώντας να εξηγήσει αυτήν την μικρή απόκλιση , α

νακάλυψε ότι στο Παρίσι λειτουργούσε άσυλο εγκαταλελειμμένων

παιδιών μοναδικό σε όλη την Γαλλία. Ήταν μάλιστα συχνό φαινόμενο

οι Γάλλοι της επαρχίας να εγκαταλείπουν πολύ πιο συχνά τα νεογέννητα

κορίτσια και σπανιότερα τα αγόρια. Διορθώνοντας το στοιχειό αυτό βρήκε και για την πόλη του Παρι-

σιού , την ιδία σχετική συχνότητα 0.516 και 0.484.Επειδη η απόκλιση είναι πολύ μικρή θα θεωρούμε ότι

το ποσοστό των γεννήσεων αγοριών , κοριτσιών είναι το ίδιο 0.5.



6

ΈΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης

Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές τότε ο λόγος ν

κ

ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με fΑ.

Αν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος είναι το πεπερασμένο σύνολο Ω = ω1, ω2, ..., ωλ και σε ν

εκτελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά ενδεχόμενα ω1, ω2, ..., ωλ πραγματοποιούνται κ1,

κ2, ..., κλ φορές αντίστοιχα, τότε για τις σχετικές συχνότητες ν

κ= 1

1f , ν

κ= 2

2f , …, ν

κ= λ

λf των

απλών ενδεχομένων θα έχουμε :

α) 10 ≤≤i

f με i = 1, 2, 3, ..., λ αφού ν≤κ≤i

0

β) 1...... 21

21 =νν

=ν

κ++

ν

κ+

ν

κ=+++ λ

λfff

Κλασσικός ορισμός πιθανότητας

Σε ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθανότητα του

ενδεχομένου Α τον αριθμό πλήθος ευνο ϊκώ ν περ ιπτώ σεω ν ( )

πλή θος δυνα τώ ν περ ιπ τώ σ εω ν ( )( )P A

Ν Α= =

Ν Ω.

ΠΡΟΣΟΧΗ Ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας χρησιμοποιείται μόνο στην περίπτωση που τα

απλά ενδεχόμενα του Ω είναι ισοπίθανα.

Από τον ορισμό αυτό προκύπτουν άμεσα τα παρακάτω :

( )( ) 1

( )

P

ΩΩ = =

Ω και

0( ) 0

( )P

∅ = =

Ω

Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει : 0 ( ) 1P A≤ ≤



7

A B

Ω

ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Υπάρχουν όμως πολλά πειράματα τύχης των οποίων ο δειγματικός χώρος δεν αποτελείται από

ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τον αξιωματικό ορισμό της

πιθανότητας.

Έστω Ω = ω1, ω2, ... , ων ο δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε

απλό ενδεχόμενο ωi αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό που τον συμβολίζουμε με

Ρ(ωi), έτσι ώστε να ισχύουν :

♦ i0 P( ) 1≤ ω ≤

♦ Ρ(ω1)+Ρ(ω2)+Ρ(ω3)+...+Ρ(ων)=1

Ο αριθμός Ρ(ωi) ονομάζεται πιθανότητα του απλού ενδεχομένου ωi με i = 1, 2, 3, …, v.

Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου Α=α1, α2, ..., ακ ≠ Ø ορίζουμε το άθροισμα :

Ρ(α1) + Ρ(α2) + ... + Ρ(ακ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό Ρ(Ø) =

0.

Ισχύει ακόμα Ρ(Ω) = Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + ... + Ρ(ων).

Αν ισχύει 1

( )iPv

ω = με i = 1, 2, 3, 4, ..., ν τότε έχουμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας του

ενδεχομένου.

ΠΡΟΣΟΧΗ

Όταν έχουμε δειγματικό χώρο Ω = ω1, ω2, ... , ων και χρησιμοποιείται η φράση "παίρνουμε τυχαία

ένα στοιχείο του Ω" εννοείται ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα

1( )iP

vω = με i = 1, 2, 3, 4, ..., ν.

ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

♦ Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχό-

μενα Α, Β ισχύει ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + .

Απόδειξη

Έστω Ν(Α)=μ και Ν(Β)=ν τότε το A B∪ έχει μ+ν στοιχεία

γιατί διαφορετικά τα Α και Β δεν θα ήταν ασυμβίβαστα.

Επομένως έχουμε ( ) ( ) ( ) A B A Bµ ν∪ = + = + .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A B A B A BP A B P A P B

∪ +∪ = = = + = +

Ω Ω Ω Ω.

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος, και ισχύει για περισσότερα από δύο

ενδεχόμενα.

Επομένως αν τα Α, Β, Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα έχουμε : ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P∪ ∪Γ = + + Γ



8

A’

Ω

Α

Ω

Β

A B

Ω

♦ Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ ισχύει :

( ) 1 ( )P A P A′ = − ή ( ) 1 ( )P A P A′= − ή ( ) ( ) 1P A P A′+ =

Απόδειξη

Έχουμε A A′∩ = ∅ δηλαδή τα Α και Α’ είναι ασυμβίβαστα,

οπότε από τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε :

( ) ( ) ( )P A A P A P A′ ′∪ = + ή ( ) ( ) ( )P P A P A′Ω = + ή

1 ( ) ( )P A P A′= + .

Άρα ( ) 1 ( )P A P A′ = − .

♦ Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω έχουμε :

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ . Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος.

Απόδειξη

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε :

( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A B∪ = + − ∩ γιατί στο άθροισμα

Ν(Α)+Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων του A B∩ υπολογίζεται

δύο φορές. Διαιρούμε κατά μέλη την παραπάνω ισότητα με

Ν(Ω) και έχουμε :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A B

∪ Ν Α +Ν Β −Ν Α∩Β Ν Α Ν Β Ν Α∩Β= = + −

Ω Ω Ω Ω Ω.

Άρα : ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

♦ Αν A B⊆ τότε ( ) ( )P A P B≤ .

Απόδειξη

Έχουμε A B⊆ οπότε

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

A B A B P A P B

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Ω Ω

Α



9

♦ Για δύο ενδεχόμενα Α και β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει

( ) ( ) ( )P A B P A P A B− = − ∩ .

Απόδειξη

Τα ενδεχόμενα A B− και A B∩ είναι ασυμβίβαστα και ( ) ( )A B A B A− ∪ ∩ = .

Άρα [ ]( ) ( ) ( )P A P A B A B= − ∪ ∩

( ) ( ) ( )P A P A B P A B= − + ∩

Οπότε ( ) ( ) ( )P A P A B P A B− ∩ = −

♦ Ανάλογα αποδεικνύεται ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ι-

σχύει ( ) ( ) ( )P B A P B P A B− = − ∩

♦ Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει :

( ) 1 ( ) ( )P A B P B P A B′∪ = − + ∩

Απόδειξη

( )

( ) ( ) ( ') ( )

( ) 1 ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

P A B P A P B P A B

P A P B P A B

P A P B P A P A B

P A P B P A P A B

P B P A B

′ ′∪ = + − ∩

= + − − −

= + − − − ∩

= + − − + ∩

= − + ∩

Αξιοσημείωτες προτάσεις

Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

♦ Τα ενδεχόμενα A B− , A B∩ ασυμβίβαστα.

Τότε : ( ) ( ) , ( ) ( )A B A B A A B A B− ∪ ∩ = − ∩ ∩ =∅ .

Άρα : [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B A B P A B P A B= − ∪ ∩ = − + ∩

♦ Τα ενδεχόμενα , A B B A∩ − ασυμβίβαστα.

Τότε : ( ) ( ) , ( ) ( )B A A B B B A A B− ∪ ∩ = − ∩ ∩ =∅ .

Άρα : [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P B A A B P B A P A B= − ∪ ∩ = − + ∩

♦ Τα ενδεχόμενα ( ), ( )A B B A− − ασυμβίβαστα.

Τότε : ( ) ( )A B B A− ∩ − =∅ .

Άρα : [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B− ∪ − = − + − = − ∩ + − ∩ =

A B

Ω

A B−−−− B A−−−− A B∩∩∩∩



10

Α

Ω

Β

A B

Ω

A B−−−− B A−−−− A B∩∩∩∩

( ) ( ) 2 ( )P A P B P A B= + − ∩

♦ Τα ενδεχόμενα ( ), ( )A B A B ′− − ασυμβίβαστα.

Τότε : ( ) ( )A B A B ′− ∩ − =∅ .

Άρα :

[ ]( )

( ) 1 ( )

1 ( ) ( )

1 ( ) ( )

P A B P A B

P A P A B

P A P A B

′− = − − =

= − − ∩ =

= − + ∩

♦ Τα ενδεχόμενα ( ), (A B)A B ′∪ ∪ ασυμβίβαστα.

Τότε : [ ]( ) ( )A B A B ′∪ ∩ ∪ =∅ .

Άρα : [ ]( ) 1 ( )P A B P A B′∪ = − ∪

♦ Τα ενδεχόμενα , ( )A B A B ′∩ ∩ ασυμβίβαστα.

Τότε : [ ]( ) ( )A B A B ′∩ ∩ ∩ =∅ .

Άρα : [ ]( ) 1 ( )P A B P A B′∩ = − ∩

♦ Αν A B⊆ τότε :

, , , A B B A B A B A B A A B A B′ ′∪ = ∩ = − = ∩ − = ∩ =∅

Άρα : ( ) ( )P A B P B∪ = και ( ) ( )P A B P A∩ =

♦ Έχουμε:

, A B , , , ,A B A A B B A B A B A B A B A B A B∩ ⊆ ⊆ ∪ ∩ ⊆ ⊆ ∪ − ⊆ − ⊆ − ⊆ ∪

B A A B− ⊆ ∪

Οπότε :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

P A B P A P A B

P A B P B P A B

P A B P A

P B A P B

∩ ≤ ≤ ∪

∩ ≤ ≤ ∪

− ≤

− ≤



11

♦ Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

Τότε : [ ]( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B− ∪ − = + − ∩

ή [ ]( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B′ ′∩ ∪ ∩ = + − ∩

Απόδειξη

Έχουμε τα ενδεχόμενα A B− και B A− τα οποία είναι ασυμβίβαστα. Οπότε :

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( )

P A B B A P A B P B A

P A P A B P B P A B

P A P B P A B

− ∪ − = − + −

= − ∩ + − ∩

= + − ∩



12

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΛΥΜΕΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Διακρίνουμε τις παρακάτω μορφές ασκήσεων

1η μορφή

Εύρεση δειγματικού χώρου και ενδεχομένων ενός πειράματος τύχης.

Τον δειγματικο χώρο Ω ενός πειράματος τύχης μπορούμε

να τον βρούμε ως εξής :

α) Με καταγραφή των στοιχειών του :

Ρίψη ενός ζαριού , τα δυνατά αποτελέσματα είμαι έξι: 1,2,3,4,5,6 .

Συνεπώς , ο δείγματος χώρος είναι 1, 2,3,4,5,6Ω = .

β)Με δενδροδιαγραμμα

Για παράδειγμα έστω το πείραμα τύχης .Κάποιος

που θέλει να ένα ακριβής στην δουλειά του πε-

ριμένει ταξί και μετράει ποσά ταξί περνούν γε-

μάτα και δεν σταματούν , μέχρι να σταματήσει

το πρώτο ταξί.

Ενδιαφερόμαστε να σταματήσει η το πρώτο η το

δεύτερο η το τρίτο ταξί η στα 3 πρώτα να μην

σταματήσει κανένα .Θεωρούμε τα ενδεχόμενα :

Τα: το ταξί που έρχεται σταματήσει .

Π: το ταξί που έρχεται δεν θα σταματήσει

Τα διαδοχικά βήματα του πειράματος αυτού ,

φαίνονται στο παρακάτω δεδνδροδιαγραμμα.

Άρα ο δείγματος χώρος είναι :

, , , ,Ω = Τ ΠΡ ΠΠΤ ΠΠΠ

Με πίνακα διπλής εισόδου

Ρίχνουμε δύο “αμερόληπτα” ζάρια. Θέλουμε να υπολογίσουμε τον δειγματικο χώρο του

πειράματος

• Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος, χρησιμοποιούμε έναν πίνακα “δι-

πλής εισόδου”, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

2ο

1ο

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

Από τον πίνακα αυτόν έχουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω έχει 36 ισοπίθανα δυνατά απο-

τελέσματα, δηλαδή 36)( =Ω .



13

Παραδείγματα

1) Από τις οικογένειες με τρία παιδιά επιλέγουμε στην τύχη μία και εξετάζουμε τα παιδιά

της ως προς το φύλλο και την σειρά γέννησης αυτών.

α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος

β) Να βρεθούν τα παρακάτω ενδεχόμενα :

Α : το δεύτερο παιδί της οικογένειας είναι αγόρι

Β : τουλάχιστον δύο παιδιά είναι αγόρια

Γ : το πολύ ένα είναι αγόρι

Δ : το τρίτο παιδί της οικογένειας είναι κορίτσι

Ε : τα δύο πρώτα παιδιά της οικογένειας είναι του ίδιου φύλου και το τρίτο παιδί εί-

ναι

αντίθετου φύλου

Ζ : τα παιδιά να είναι του ίδιου φύλου

γ) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : A , A , A E, E, B , A B, A , A B′ ∩ ∆ ∩ ∆ ∩ ∩ Γ ∩ − ∆ ∪

Λύση

α)

1ο παιδί 2ο παιδί 3ο παιδί

Α

Α

Κ

Κ

Α

Κ

Κ

♦

Α

Α

Κ

Α

Α

Κ

Κ

Ω = ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ



14

β) Α : ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΑΑΑ, ΑΑΚ

Β : ΚΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ

Γ : ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΚΚ

Δ : ΚΑΚ, ΚΚΚ, ΑΑΚ, ΑΚΚ

Ε : ΚΚΑ, ΑΑΚ

Ζ : ΚΚΚ, ΑΑΑ

γ) A′ = ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, A∩∆ = ΚΑΚ, ΑΑΚ

A E∩ = ΑΑΚ, E∆∩ = ΑΑΚ

B∩Γ = ή B∩Γ =∅ , A B∪ = ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ

A−∆ = ΚΚΑ, ΑΑΑ A B∩ = ΚΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΚ

2) Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές και καταγράφουμε τις ενδείξεις της πάνω έδρας του.

α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος

β) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα :

Α : η ένδειξη της πρώτης φοράς να είναι μικρότερη από την ένδειξη της δεύτερης

φοράς

Β : το άθροισμα των ενδείξεων να είναι 5

Γ : οι δύο ενδείξεις να είναι ίδιες

Δ : η διαφορά των ενδείξεων να είναι μεγαλύτερη από 3

γ) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : , , A B B A B∩ ∪Γ −

Λύση

α) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι :

Ω = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

β) Α = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)

Β = (1,4), (4,1), (2,3), (3,2)

Γ = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

Δ = (5,1), (6,1), (6,2)

γ) A B∩ = (1,4), (2,3)

B∪Γ = (1,4), (4,1), (2,3), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

A B− = (1,2), (1,3), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)



15

3) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και τα ενδεχόμενα Α = 2,

3, 4, 5 και Β = 4, 5, 6, 7

α) Να ορίσετε τα ενδεχόμενα , , A , , , A B A B B A B B A′ ′∪ ∩ − −

β) Να δικαιολογήσετε γιατί :

( ) ( ) ( ) ( )A A B A B A B A B′= − ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩ και

( ) ( ) ( ) ( )B B A A B B A A B′= − ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩

γ) Να υπολογίσετε τα ( ), ( ), ( ), ( ) A B A B A B∩ ∪ και να δικαιολογήσετε γιατί

( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A B+ = ∪ + ∩

Λύση

α)

Το ενδεχόμενο A B∪ περιέχει τα στοιχεία και των δύο ενδεχομένων Α και Β, όπου το κάθε στοι-

χείο το γράφουμε μία φορά, δηλαδή : A B∪ = 2, 3, 4, 5, 6, 7

Το ενδεχόμενο A B∩ περιέχει τα κοινά στοιχεία των ενδεχομένων Α και Β, δηλαδή : A B∩ = 4, 5

Το ενδεχόμενο Α’ περιέχει τα στοιχεία του Ω που δεν περιέχονται στο ενδεχόμενο Α, δηλαδή :

Α’ = 1, 6, 7, 8, 9

Το ενδεχόμενο Β’ περιέχει τα στοιχεία του Ω που δεν περιέχονται στο ενδεχόμενο Β, δηλαδή :

Β’ = 1, 2, 3, 8, 9

Το ενδεχόμενο A B A B′− = ∩ περιέχει τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο Β, δηλαδή :

A B− = 2, 3

Τέλος το ενδεχόμενο B A B A′− = ∩ περιέχει τα στοιχεία του Β που δεν ανήκουν στο Α, δηλαδή :

B A− = 6, 7

β) Είναι :

( ) ( ) ( ) ( )

2,3 ( 4,5 2,3,4,5

A B A B A B A B

A

′− ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩ =

= ∪ = =

και

( ) ( ) ( ) ( )

6 ,7 4,5 4,5,6,7

B A A B B A A B

B

′− ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩ =

= ∪ = =

γ) Είναι : Ν(Α) = 4, Ν(Β) = 4, ( ) 2, ( ) 6 A B A B∩ = ∪ =

Επομένως : Ν(Α) + Ν(Β) = 4 + 4 = 8

( ) ( ) A B A B∪ + ∩ = 6 + 2 = 8

Άρα Ν(Α) + Ν(Β) = ( ) ( ) A B A B∪ + ∩



16

** Η ισότητα Ν(Α) + Ν(Β) = ( ) ( ) A B A B∪ + ∩ είναι γενική, δηλαδή ισχύει για οποιαδήποτε εν-

δεχόμενα Α και Β ενός πειράματος τύχης. Από αυτήν προκύπτουν επίσης οι ισότητες :

( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A B∩ = + − ∪ και ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A B∪ = + − ∩

2η μορφή

Εύρεση πιθανοτήτων ισοπίθανων ενδεχομένων

1) Από μία τράπουλα με 52 χαρτιά επιλέγουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες

των ενδεχομένων :

α) το χαρτί να είναι επτά

β) το χαρτί να είναι επτά ή κούπα

γ) το χαρτί να μην είναι επτά

Λύση

Πείραμα τύχης : Επιλογή ενός φύλλου από τα 52 φύλλα της τράπουλας. Ο δειγματικός χώρος του

πειράματος έχει ως στοιχεία όλα τα χαρτιά της τράπουλας. Οπότε Ω : όλα τα χαρτιά της τρά-

πουλας, δηλαδή Ν(Ω) = 52.

α) Έστω Α το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι επτά.

Η τράπουλα έχει 4 επτάρια οπότε Ν(Α)=4. Άρα ( ) 4 1

( )( ) 52 13

AP A

= = =

Ω

β) Έστω Β το ενδεχόμενο το χαρτί της τράπουλας να είναι κούπα τότε Ν(Β)=13.

A B∩ το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι και επτά και κούπα τότε ( ) 1 A B∩ = .

A B∪ το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι επτά ή κούπα οπότε :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 13 1 16 4

52 52 52 52 13

P A B P A P B P A B

A B A B

∪ = + − ∩

∩= + −

Ω Ω Ω

= + − = =

γ) Α’ το ενδεχόμενο το χαρτί να μην είναι επτά, τότε 1 12

( ) 1 ( ) 113 13

P A P A′ = − = − =



17

2) Ρίχνουμε ένα ζάρι. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων :

α) Α : η ένδειξη του ζαριού να είναι περιττός

Β : η ένδειξη του ζαριού να είναι άρτιος και μεγαλύτερος του 3

Γ : η ένδειξη του ζαριού να είναι άρτιος ή μικρότερος του 3

β) Να βρεθούν οι : ( ), P(A Γ), ( )P A B P A′∩ ∩

Λύση

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Α = 1, 3, 5 Β = 4, 6 Γ = 1, 2, 4, 6

A B∩ =∅ 1A∩Γ = 2,4,6 A′ =

( ) 3 1( )

( ) 6 2

( ) 2 1( )

( ) 6 3

( ) 4 2( )

( ) 6 3

1( ) ( ) 0 , ( )

6

( ) 3 1 1 1( ) ή ( ) 1 ( ) 1

( ) 6 2 2 2

AP A

BP B

P

P A B P P A

AP A P A P A

= = =Ω

= = =Ω

ΓΓ = = =

Ω

∩ = ∅ = ∩Γ =

′′ ′= = = = − = − =

Ω

3) Σ’ ένα αγώνα η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α είναι 25%, η πιθανότητα να κερδί-

σει ο παίκτης Β είναι 15% και η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Γ είναι 30%. Να βρείτε

την πιθανότητα :

α) να κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Β,

β) να μην κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Γ.

Λύση

Έστω Α, Β και Γ τα ενδεχόμενα να κερδίσει ο παίκτης Α, ο παίκτης Β και ο παίκτης Γ αντίστοιχα,

τα οποία είναι ασυμβίβαστα.

α) Το ενδεχόμενο "να κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Β" είναι το A B∪ .

Άρα η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Β είναι :

25 15 40( ) ( ) ( ) ή ( ) 40%

100 100 100P A B P A P B P A B∪ = + = + = ∪ =

β) Το ενδεχόμενο "να μην κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Γ" είναι το ( )A ′∪Γ .

Άρα η πιθανότητα να μην κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Γ είναι :

( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( )]

25 30 451 ή [( ) ] 45%

100 100 100

P A P A P A P

P A

′∪Γ = − ∪Γ = − + Γ =

′= − + = ∪Γ =



18

4) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν

17 7( ) , ( )

30 15P A P B= = και

2( )

3P A B∪ = .

Να βρείτε τις πιθανότητες ( ), ( ), ( ), [( ) ( )], ( )P B P A B P A B P A B B A P A B′ ′∩ − − ∪ − ∪

, ( ) , ( )P A B P A B′ ′∪ − .

Λύση

♦ 7 15 7 8

( ) 1 ( ) 115 15 15 15

P B P B′ = − = − = − =

♦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ ⇔ ∩ = + − ∪ ⇔

17 7 2 17 14 20 11( ) ( ) ( )

30 15 3 30 30 30 30P A B P A B P A B∩ = + − ⇔ ∩ = + − ⇔ ∩ =

♦ 17 11 6 1

( ) ( ) ( )30 30 30 5

P A B P A P A B− = − ∩ = − = =

♦ [( ) ( )] ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B− ∪ − = + − ∩ =

17 7 11 17 14 22 31 22 9 32

30 15 30 30 30 30 30 30 30 10+ − ⋅ = + − = − = =

♦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A P B P A B′ ′ ′ ′∪ = + − ∩ = + − − =

17 8 1 17 16 6 27 9

30 15 5 30 30 30 30 10= + − = + − = =

♦ 1 5 1 4

( ) 1 ( ) 15 5 5 5

P A B P A B′− = − − = − = − =

♦ 2 3 2 1

( ) 1 ( ) 13 3 3 3

P A B P A B′∪ = − ∪ = − = − =

5) Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύουν 1 1 3

( ) , ( ) , ( )5 4 4

P A B P A P B∩ = = = να βρείτε :

α) την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β,

β) την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β,

γ) την πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο το Α,

δ) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β,

ε) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β,

στ) την πιθανότητα ( )P A B ′− .

Λύση

α) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩1 3 1 4 1 1 5 1 4

14 4 5 4 5 5 5 5 5

= + − = − = − = − =

β) 4 1

( ) 1 ( ) 15 5

P A B P A B′∪ = − ∪ = − −

γ) 1 1 5 4 1

( ) ( ) ( )4 5 20 20 20

P A B P A P A B− = − ∩ = − = − =



19

δ)

[( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B− ∪ − = − + − = − ∩ + − ∩ =

1 3 1 4 2 2 5 2 3

( ) ( ) 2 ( ) 2 14 4 5 4 5 5 5 5 5

P A P B P A B= + − ∩ = + − ⋅ = − = − = − =

ε) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )P A B P A P B P A B P A P B P A B′ ′ ′∪ = + − ∩ = + − − − =

1 3 1 2 1 1 1 10 1 9

14 4 20 4 20 2 20 20 20 20

= + − − = − = − = − =

στ) 1 19

( ) 1 ( ) 120 20

P A B P A B′− = − − = − =

6) Έστω Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με

1 3 1( ) , ( ) και P(A B)=

2 8 4P A P B= = ∩ . Να βρεθούν :

α) οι πιθανότητες των ενδεχομένων να πραγματοποιηθεί :

i) το Α ή το Β,

ii) το Α και όχι το Β,

iii) κανένα από τα Α και Β.

β) το πλήθος Ν(Ω), αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι ο Ω αποτελείται από ισοπίθανα στοιχειώδη

ενδεχόμενα και ισχύει Ν(Α-Β) = 2.

γ) παράδειγμα για το ερώτημα (β).

Λύση

α) i) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩1 3 1 5

2 8 4 8= + − = .

ii) 1 1 1

( ) ( ) ( )2 4 4

P A B P A P A B− = − ∩ = − =

iii) 5 3

( ) (( ) ) 1 ( ) 18 8

P A B P A B P A B′ ′ ′∩ = ∪ = − ∪ = − =

β) ( ) 2 2 1 2

( ) 2 ( ) ( ) 8( ) ( ) ( ) 4 ( )

A B A B P A B

−− = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ Ω =

Ω Ω Ω Ω

γ) Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Α = 1, 2, 3, 4 και Β = 3, 4, 5.



20

7) Αν για τα ενδεχόμενα Α και β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν :

3( ) ( )

4P A P B= και

3( ) ( )

2P A P B′ ′=

α) να βρεθούν οι Ρ(Α) και Ρ(Β),

β) να αποδειχθεί ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

Λύση

α)

33 3 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

44 4 2

23 3 33 3( )1 ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) (1 ( ))

34 2 22 2

P A P BP A P B P A P B P A

P BP B P BP A P B P A P B

== = = ⇔ ⇔ ⇔

′ ′ =− = −= − = −

β) Έστω ότι Α και Β είναι ασυμβίβαστα, τότε : 1 2 3 4 7

( ) ( ) ( ) 12 3 6 6

P A B P A P B+

∪ = + = + = = > .

Άτοπο. Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

8) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100 με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να

βρεθεί η πιθανότητα, ώστε εκλέγοντας τυχαία έναν αριθμό από το Ω αυτός να είναι άρτιος

ή πολλαπλάσιο του 5.

Λύση

Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω, με Α = x∈Ω με x άρτιο και

Β = y∈Ω με y πολλαπλάσιο του 5. Επομένως ζητάμε την πιθανότητα του A B∪ . Ισχύει :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A B A BP A B P A P B P A B

∩∪ = + − ∩ = + − =

Ω Ω Ω

50 20 10 6060%

100 100 100 100= + − = =

αφού : Ν(Α) = Ν(2, 4, 6, 8, ..., 100) = 50

Ν(Β) = Ν(5, 10, 15, 20, ..., 100) = 20 και

Ν( )A B∩ = Ν(10, 20, 30, 40, ..., 100) = 10

3η μορφή

Εύρεση πιθανοτήτων μη ισοπίθανων ενδεχομένων.

1) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = ω1 , ω2 , ω3 , ω4.

α) Αν 1 3 4

1 1 1( ) , ( ) και ( )

2 4 8P P Pω ω ω= = = , να βρείτε την Ρ(ω2).

β) Αν 3 4 1 2

2( ) ( ) και ( ) 3 ( )

5P P P Pω ω ω ω= = = , να βρείτε τις Ρ(ω1) και Ρ(ω2).

γ) Αν Α = ω2 , ω3 με 3

( )5

P A = , Β = ω2 , ω4 με 1

( )3

P B = και 2

1( )

4P ω = , να βρείτε την Ρ(ω1).

Λύση

α) Επειδή Ω = ω1 , ω2 , ω3 , ω4, έχουμε : Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + Ρ(ω3) + Ρ(ω4) = 1 ⇔



21

2 2

1 1 1 1 1 1 1( ) 1 ( ) 1

2 4 8 2 4 8 8P Pω ω ⇔ + + + = ⇔ = − + + =

β) Έχουμε : Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + Ρ(ω3) + Ρ(ω4) = 1

⇔ 2 2 2 2 2

2 2 4 1 13 ( ) ( ) 1 4 ( ) 1 4 ( ) ( )

5 5 5 5 20P P P P Pω ω ω ω ω+ + + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

Επομένως 1 2

1 3( ) 3 ( ) 3

20 20P Pω ω= ⋅ = ⋅ =

γ) Είναι : 2 3 3 3

3 3 1 3 7( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 5 4 5 20P A P P P Pω ω ω ω= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = και

2 4 4 4

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 4 3 12P B P P P Pω ω ω ω= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

Άρα : 1 2 3 4

1 7 1 19( ) 1 [ ( ) ( ) ( )] 1

4 20 12 60P P P Pω ω ω ω = − + + = − + + =

4η μορφή

Εξέταση δύο ενδεχομένων αν είναι ασυμβίβαστα – Ανισωτικές σχέσεις πιθανοτήτων

Αν θέλουμε να δείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

α) Αρκεί να δειχθεί ότι ή ( ) 0 ή ( ) ( ) ( ) ή ( ) 0A B A B A B P A B∩ ≠∅ ∩ ≠ + > Ω ∩ ≠

β) Αν γνωρίζουμε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) τότε δεχόμαστε ότι τα Α, Β είναι ασυμβί-

βαστα και με την βοήθεια της ισότητας ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + καταλήγουμε ότι

( ) 1P A B∪ > που είναι άτοπο.

ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

Ισχύουν οι ανισωτικές σχέσεις :

♦ 0 ( ) 1P A≤ ≤

♦ αν A B⊆ τότε ( ) ( )P A P B≤

♦ A B A A B∩ ⊆ ⊆ ∪ οπότε ( ) ( ) ( )P A B P A P A B∩ ≤ ≤ ∪

♦ A B A− ⊆ τότε ( ) ( )P A B P A− ≤

Τις ανισωτικές σχέσεις στις πιθανότητες τις αποδεικνύουμε :

α) με ισοδυναμία χρησιμοποιώντας βασικές ανισότητες στις πιθανότητες και στους κανόνες λογι-

σμού των πιθανοτήτων.

Περιπτώσεις

1) ( ) ( ) (1) και ( ) (2)P A B v P A B v P A Bµ µ≤ ∩ ≤ ⇔ ∩ ≤ ∩ ≥

η (1) αποδεικνύεται από την σχέση ή A B A A B B∩ ⊆ ∩ ⊆



22

η (2) αποδεικνύεται με αντικατάσταση της ( ) µε ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∩ + − ∪

2) ( ) ( ) (1) και ( ) (2)P A B v P A B v P A Bµ µ≤ ∪ ≤ ⇔ ∪ ≤ ∪ ≥

η (1) αποδεικνύεται από την σχέση ή ή A A B B A B A B A B⊆ ∪ ⊆ ∪ ∩ ⊆ ∪

η (2) αποδεικνύεται με αντικατάσταση της ( ) µε ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ + − ∩

3) ( ) ( ) και P(A) µP A v P A vµ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≥

η μία από αυτές αποδεικνύεται από τις σχέσεις συνόλων και η άλλη με αντικατάσταση της Ρ(Α)

με

( ) ( ) ( ) ή ( ) ( )P A B P B P A B P A B P A B∪ − + ∩ − + ∩

4) ( ) ( ) (1) και P(A ) µ (2)P A B v P A B v Bµ ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≥

η (1) αποδεικνύεται από την σχέση A B A− ⊆ και A B B− ⊆

η (2) αποδεικνύεται με αντικατάσταση της Ρ(Α – Β) με ( ) ( )P A P A B− ∩

5) χρησιμοποιώντας τη μονοτονία ή τα ακρότατα συνάρτησης

Αν θέλουμε να δείξουμε :

1) ( ( )) ( ( ))f P A f P B≤ και η f είναι γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα) αρκεί να δειχθεί ότι

( )( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B≤ ≥ .

2) ( ) ή ( )P A P Aµ µ≥ ≤ και είναι Ρ(Α) = f(x) βρίσκουμε το ελάχιστο ή το μέγιστο της f στο διάστη-

μα που προκύπτει από τους αναγκαίους περιορισμούς για το x αφού 0 ( ) 1f x≤ ≤ .

Παραδείγματα

1) Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν Ρ(Α) = 0,8 και Ρ(Β) =

0,5.

α) να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα,

β) να δειχθεί ότι 0,3 ( ) 0,5P A B≤ ∩ ≤

γ) να δειχθεί ότι ( ) 0,5P A B′ ′∪ ≥

Λύση

α) Έστω ότι τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα τότε :

( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 0,5 1,3P A B P A P B P A B∪ = + ⇔ ∪ = + = άτοπο γιατί 0 ( ) 1P A B≤ ∪ ≤

Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

β) Ισχύει A B B∩ ⊆ άρα ( ) ( ) ( ) 0,5P A B P B P A B∩ ≤ ⇔ ∩ ≤ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 0,5 ( )

( ) 1 ( )

P A B P A P B P A B P A B P A B

P A B P A B

∪ = + − ∩ ⇔ ∪ = + − ∩ ⇔

∪ = − ∩



23

Ισχύει ( ) 1 1,3 ( ) 1 ( ) 1 1,3P A B P A B P A B∪ ≤ ⇔ − ∩ ≤ ⇔ − ∩ ≤ − ⇔

( ) 0,3 ( ) 0,3P A B P A B− ∩ ≤ − ⇔ ∩ ≥

Άρα 0,3 ( ) 0,5P A B≤ ∩ ≤

γ) ( ) [( ) ] 1 ( ) 1 0,5 0,5P A B P A B P A B′ ′ ′∪ = ∩ = − ∩ ≥ − =

Άρα ( ) 0,5P A B′ ′∪ ≥

2) Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με 1

( )3

P A = και 3

( )4

P A B∪ = . Να δεί-

ξετε ότι :

5 3( )

12 4P B≤ ≤

Λύση

B A B⊆ ∪ άρα 3

( ) ( ) ( )4

P B P A B P B≤ ∪ ⇔ ≤

Ισχύει : ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0P A B P A P B P A B∩ ≥ ⇔ + − ∪ ≥ ⇔

1 3 3 1 9 4 5( ) 0 ( ) ( ) ( )

3 4 4 3 12 12 12P B P B P B P B+ − ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ . Άρα

5 3( )

12 4P B≤ ≤

3) Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με 2

( )3

P A = και 1

( )4

P B = . Να α-

ποδείξετε ότι : 2 11

( )3 12

P A B≤ ∪ ≤ .

Λύση

2 11 2( ) ( )

3 12 3P A B P A B≤ ∪ ≤ ⇔ ∪ ≥ και

11( )

12P A B∪ ≤

Είναι :

2( ) ( ) ( )

3P A B P A B P A∪ ≥ ⇔ ∪ ≥ , που ισχύει αφού A A B⊆ ∪ .

11 11( ) ( ) ( ) ( )

12 12P A B P A P B P A B∪ ≤ ⇔ + − ∩ ≤ ⇔

2 1 11( ) ( ) 0

3 4 12P A B P A B+ − ∩ ≤ ⇔ ∩ ≥ , που ισχύει.



24

5η μορφή

Συνδυαστικές Ασκήσεις

1) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Επιλέ-

γουμε στην τύχη ένα απλό ενδεχόμενο λ ∈Ω . Να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση 3x2 + 6x +

λ = 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες.

Λύση

Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες όταν :

360 36 4 3 0 36 12 0 12 36 12 36 3

12λ λ λ λ λ λ∆ < ⇔ − ⋅ ⋅ < ⇔ − < ⇔ − < − ⇔ > ⇔ > ⇔ > .

Άρα 5,6 ,7 λ∈

Έστω το ενδεχόμενο Α = 5, 6, 7 τότε Ν(Α)=3 και Ν(Ω)=6.

Οπότε η πιθανότητα της εξίσωσης 3x2 + 6x + λ = 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή όταν λ>3

είναι ( ) 3 1

( )( ) 6 2

AP A

= = =

Ω.

2) Έστω Α και β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει :

( ) ( ) 2 ( )P A P B P A B+ ≠ ∩ . Δίνεται ακόμα η συνάρτηση :

( ) ( )3 3( ) ( ) ( ) ,f x x P A B x P A B x R= − ∪ − − ∩ ∈

α) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )P A B P A B∩ ≠ ∪ .

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο ( ) ( )

2

P A P Bx

+= .

γ) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, να αποδείξετε ότι ( ) ( )( ) ( )f P A f P B=

Λύση

α) Δίνεται ότι ( ) ( ) 2 ( )P A P B P A B+ ≠ ∩ , οπότε έχουμε διαδοχικά :

( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A B P A B+ ≠ ∩ + ∩ ή ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A B P A B+ − ∩ ≠ ∩ ή

( ) ( )P A B P A B∪ ≠ ∩

β) Για κάθε x R∈ έχουμε :

( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3 3 3( ) ( ( ) ( ) ( )f x x P A B x P A B x P A B x P A B

′ ′′ ′ = − ∪ − − ∩ = − ∪ − − ∩ =

( ) ( ) ( ) ( )2 23 ( ) ( ) 3 ( ) ( )x P A B x P A B x P A B x P A B′ ′= − ∪ − ∪ − − ∩ − ∩ =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )x P A B x P A B x P A B x P A B = − ∪ − − ∩ = − ∪ − − ∩ =

( ) ( ) ( ) ( )3 ( ) ( ) ( ) ( )x P A B x P A B x P A B x P A B= − ∪ + − ∩ − ∪ − − ∩ =

[ ] [ ]3 2 ( ) ( ) ( ) ( )x P A B P A B P A B P A B= − ∪ − ∩ ⋅ ∩ − ∪

Επειδή ισχύει A B A B∩ ⊆ ∪ , θα είναι : ( ) ( ) ( ) ( ) 0P A B P A B P A B P A B∩ ≤ ∪ ⇔ ∩ − ∪ ≤ (1)

και από α) έχω ( ) ( ) 0P A B P A B∩ − ∪ <



25

Βρίσκουμε για ποιες τιμές του x μηδενίζεται η f’(x)

Οπότε : ( ) ( )( ) 0 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x x P A B P A B P A B P A B′ = ⇔ − ∪ − ∩ ⋅ ∩ − ∪ =

( )3 2 ( ) ( ) 0x P A B P A B⇔ − ∪ − ∩ = ⇔

2 ( ) ( ) 0x P A B P A B− ∪ − ∩ = ⇔

( ) ( )

2 ( ) ( )2

P A B P A Bx P A B P A B x

∪ + ∩= ∪ + ∩ ⇔ = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )

2

P A P B P A B P A Bx

+ − ∩ + ∩= ⇔

( ) ( )

2

P A P Bx

+=

Βρίσκουμε το πρόσημο της f’(x) οπότε :

( ) ( )( ) 0 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x x P A B P A B P A B P A B′ > ⇔ − ∪ − ∩ ⋅ ∩ − ∪ >

( )3 2 ( ) ( ) 0x P A B P A B⇔ − ∪ − ∩ < ⇔ (γιατί ( ) ( ) 0P A B P A B∩ − ∪ < )

2 ( ) ( ) 0x P A B P A B⇔ − ∪ − ∩ < ⇔

2 ( ) ( )x P A B P A B< ∪ + ∩ ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

P A B P A B P A P B P A B P A Bx x

∪ + ∩ + − ∩ + ∩< ⇔ <

( ) ( )

2

P A P Bx

+⇔ <

Άρα f’(x)<0 για ( ) ( )

2

P A P Bx

+>

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων για την f’.

x −∞ ( ) ( )

2

P A P B+ +∞

f’(x) + 0 –

f(x) αύξουσα μέγιστο φθίνουσα

Άρα η f στο ( ) ( )

2

P A P Bx

+= παρουσιάζει μέγιστο.

γ) Αφού τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, θα ισχύουν :

( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + και ( ) 0P A B∩ =

Άρα : ( ) ( ) ( )3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )f P A P A P A B P A P A B= − ∪ − − ∩ =

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P B P A P B P A P B P A= − − − − = − − = − − (1)

και ( ) ( ) ( )3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )f P B P B P A B P B P A B= − ∪ − − ∩ =

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )P B P A P B P B P A P B P B P A= − − − − = − − = − − (2)



26

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ( ) ( )( ) ( )f P A f P B= .

3) Δίδεται η συνάρτηση 2 5 x(x 1) , µε x 2

g(x) 2

6, µε x=2

λλ − − ≠

= −

Αν Ω = |λ ∈Ω η g συνεχής στο x0 = 2 με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και

Α = |λ ∈Ω η g παραγωγίσιμη στο x0 = 2 με g’(2) = –1 να βρεθεί η Ρ(Α).

Λύση

Η g συνεχής στο x0 = 2 αν και μόνο αν 2

2 2

5lim ( ) ( 2 ) lim ( 1) 6

2x x

xg x g x

λλ

→ →

= ⇔ − − = − ⇔

2 25 2( 2 1) 6 5 6 0

2

λλ λ λ

⋅ ⋅− − = − ⇔ − + = . Την λύνω κατά τα γνωστά και έχω λ=2 ή λ=3.

Οπότε Ω = 2, 3

Ισχύει g’(2)= –1, οπότε 0

( 2 ) ( 2 )( 2 ) lim

h

g h gg

h→

+ −′ = =

2 2

0 0

5 ( 2 ) 5 ( 2 )( 2 1) 6 ( 1) 6

2 2lim limh h

h hh h

h h

λ λλ λ

→ →

+ ++ − − + + − +

= = =

2 2 2 2

0 0

5 55 6 5 6

2 2lim limh h

h h h h

h h

λ λ λ λ λ λ λ λ

→ →

+ − − + − + − += = =

22

2

0 0

55522lim lim2h h

hh h

h h

λλ λλ λλ

→ →

−− = = = −

Άρα g’(2)= –1 2 2 25 51 1 0 2 5 2 0

2 2

λ λλ λ λ λ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ − + =

2

1,2

( 5 ) 4 2 2 25 16 9

82

( 5 ) 9 5 3 4

2 12 2 4

4 2

λ

∆ = − − ⋅ ⋅ = − =

→ =− − ± ±

= = =⋅

→ =

Άρα Α = 2 οπότε Ρ(Α)=Ρ(2) και ( ) 1

( )( ) 2

AP A

= =

Ω.



27

4) Έστω Ω = 0, 1, 2 ένας δειγματικός χώρος με 1

(0 ) 2 ( 2 )3

P P= = .

α) Να βρεθεί η Ρ(1).

β) Έστω 2( ) 1182

xf x e xλ

= − + με x R∈ και λ ∈Ω . Έστω το ενδεχόμενο Ε = |λ ∈Ω f’’(0)=0.

Να βρεθεί η Ρ(Ε).

Λύση

α)

1

1 1 13(0 ) (1) ( 2 ) 1 (1) 1 ( 1) 13 2 3 6

P P P P P+ + = ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔

1 1 6 2 1 3 1(1) 1 ( 1) (1) ( 1)

3 6 6 6 6 6 2P P P P= − − ⇔ = − − ⇔ = ⇔ =

β) 2( ) 118 22 2

x x xf x e x e x e xλ λ

λ′ ′ = − + = − ⋅ = −

( ) ( )( ) ( ) x xf x f x e x eλ λ′′′′ ′= = − = −

0(0 ) 0 0 1 0 1 1f e λ λ λ λ′′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =

Άρα Ε = 1, οπότε 1

( ) (1)2

P E P= =



28

Μια ιστορία εκδρομών και ….δειγματοχωρων!!! Μια μέρα που ο καθηγητής Ξερολιδης είχε τα κέφια του, έθεσε στην τάξη το εξής πρόβλημα

πιθανοτήτων δίνοντας την υπόσχεση ότι αν κάποιος μαθητής το έλυνε την επόμενη θα τους πή-

γαινε περίπατο. Ξεκίνησε λοιπόν να αφηγηται το πρόβλημα :

«Σε ένα σάκκο υπάρχουν τρεις κάρτες απόλυτα όμοιες που διαφέρουν μονό ως προς το χρώμα

, η μια από αυτές (Α) έχει λευκές και τις δυο όψεις της , η δεύτερη μια όψη λευκή και μια μαύρη

(Β) και η τρίτη (Γ) δυο όψεις μαύρες .Εξάγεται τυχαία μια από αυτές και τοποθετείται στο

τραπέζι ώστε να φαίνεται μονό η μια όψη της .Διαπιστώνεται ότι η όψη που φαίνεται είναι η

λευκή .Ποια η πιθανότητα να είναι λευκή και η άλλη όψη;»

Η τάξη έμεινε σιωπηλή και όλα έδειχναν να έχουν χαθεί ώσπου ο Τοτος το αστέρι της τάξης ση-

κώνει το χέρι .

«Ναι παιδί μου Τοτο .» Τον ενθαρρύνει Ο Καθηγητής Ξερολιδης.

Ο Τοτος τότε απαντάει: «Κύριε Ξερολιδη η λογική λέει ότι δεν είναι δυνατόν η κάρτα που

τραβήχτηκε να είναι η Γ άρα έχουμε 50% πιθανότητα να είναι η Α και 50% πιθανότητα να εί-

ναι η Β οπότε η πιθανότητα να είναι λευκή η άλλη όψη της κάρτας είναι ½».

«Λάθος κάνεις Τοτο». Είπε ο καθηγητής Ξερολιδης και συνέχισε :

«Το πρόβλημα αυτό δίνει και ένα κλασσικό παράδειγμα για το πόσο έξω μπορούμε να πέσουμε

χωρίς να έχουμε ξεκαθαρίσει σωστά το δειγματικο χώρο και τις πιθανότητες των δυνατών

αποτελεσμάτων . Η όλη διαδικασία της επιλογής που κάναμε , δεν επιλεγεί απλά και μονό μια

κάρτα από τις τρεις ,αλλά επιλεγεί μια όψη κάρτας (από τις έξη που υπάρχουν ) που είναι ο-

ρατή στο τραπέζι .Παρατηρούμε ότι αφού βλέπουμε μια λευκή πλευρά στο τραπέζι αυτή θα

είναι είτε μια από τις δυο λευκές όψεις Α1 ,Α2 της κάρτας Α , είτε η λευκή πλευρά Β1 της κάρ-

τας Β .Ο αντίστοιχος δείγματος χώρος Ω περιέχει τρία ισοπιθανα αποτελέσματα :

Ω=Α1,Α2,Β1

Το ενδεχόμενο Α= είναι και η άλλη όψη λευκή αντιστοιχεί στο υποσύνολο Α=Α1,Α2 του δειγ-

ματικου χώρου .

Είναι λοιπόν P(A)==2/3» Την επόμενη μέρα έγινε κανονικά μάθημα!!!!!!



29

Κ

Μ

Κ

Μ

Μ

Κ

Κ

Μ

Κ

Μ

Κ

Μ

Μ

Κ

Κ

Μ

Κ

Μ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Ένα κουτί περιέχει 10 κάρτες κόκκινες (Κ) και 10 κάρτες μαύρες (Μ). Βγάζουμε από το

κουτί τις κάρτες τη μία μετά την άλλη. Σταματάμε όταν βγάλουμε 2 κάρτες του ίδιου

χρώματος συνεχόμενα ή όταν βγάλουμε 3 κάρτες του ίδιου χρώματος. Να βρεθεί ο

δειγματικός χώρος του πειράματος.

Λύση

Άρα Ω=ΚΚ, ΚΜΚΚ, ΚΜΜ, ΚΜΚΜΚ, ΚΜΚΜΜ, ΜΜ, ΜΚΚ, ΜΚΜΜ, ΜΚΜΚΚ, ΜΚΜΚΜ

2.Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές και καταγράφουμε τις ενδείξεις κεφαλή (Κ), γράμματα (Γ).

α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος

β) Να γράψετε τα ενδεχόμενα Α: να φέρουμε ακριβώς δύο φορές κεφαλή, Β: να φέ-

ρουμε τουλάχιστο μία φορά γράμματα.

Λύση

Κ

Κ

Γ

Κ

Κ

Γ

Γ

♦

Κ

Κ

Γ

Γ

Κ

Γ

Γ



30

α

β

Κ

Α

Μ

Μ

Α

Β

Α

Β

Γ

Γ

Β

Α

Γ

Α

Γ

Β

Α

Γ

Α

Β

Άρα Ω=ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ

Α=ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ Β=ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ

3)Έχουμε 2 κουτιά α και β. Το α περιέχει άσπρες (Α) σφαίρες, κόκκινες (Κ) και μαύρες (Μ)

σφαίρες. Το β περιέχει άσπρες και μαύρες σφαίρες. Διαλέγουμε τυχαία μία σφαίρα. Να

γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

Λύση

Άρα Ω=αΑ, αΚ, αΜ, βΑ, βΜ

4)Τρία άτομα Α, Β, Γ τοποθετούνται τυχαία σε τρία συνεχόμενα καθίσματα.

α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος.

β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα Κ: ο Α είναι δίπλα στον Β

Λύση

Άρα Ω=ΑΓΒ, ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΓΒΑ

Κ=ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΓΑΒ, ΓΒΑ

Λ=ΑΒΓ, ΓΒΑ



31

Ε

Μ

∆

Β

Φ

Β

Φ

Β

Φ

Χ

Υ

Χ

Υ

Χ

Υ

Χ

Υ

Χ

Υ

Χ

Υ

5)Ένα μηχάνημα εξετάζεται ανάλογα με τρία χαρακτηριστικά του τα οποία είναι : ο τρό-

πος λειτουργίας (Λ), η τιμή αγοράς (Α) και το κόστος συντήρησης (Σ). Το μηχάνημα από

πλευράς λειτουργίας χαρακτηρίζεται εύκολο (Ε), μέτριο (Μ), δύσκολο (Δ). Από πλευράς τι-

μής αγοράς φθηνό (Φ) ή ακριβό (Β) και από πλευράς κόστους συντήρησης υψηλού κό-

στους (Υ) ή χαμηλού κόστους (Χ).

Παίρνουμε στην τύχη ένα μηχάνημα και σημειώνουμε τα χαρακτηριστικά του με τη

σειρά του τρόπου λειτουργίας, την τιμή αγοράς και το κόστος συντήρησης. Να

γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος.

Λύση

Άρα Ω=ΕΦΥ, ΕΦΧ, ΕΒΥ, ΕΒΧ, ΜΦΥ, ΜΒΥ, ΜΦΧ, ΜΒΧ, ΔΦΥ, ΔΦΧ, ΔΒΥ, ΔΒΧ



32

6)Έστω Ω=ω1, ω2, ω3 ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδε-

χόμενα Α = ω1, ω2, Β = ω2, ω3. Αν Ρ(Α)=2

5 και Ρ(Β)=

3

4 τότε να βρείτε τις πιθανότητες

Ρ(ω1), Ρ(ω2), Ρ(ω3).

Λύση

Έχουμε Ρ(ω1)+Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = Ρ(Ω) = 1

Ρ(Α)= 2

5

Ρ(ω1)+Ρ(ω2) = Ρ(Α) Άρα Ρ(ω1)+Ρ(ω2) = 2

5

Ρ(Β)= 3

4

Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = Ρ(Β) Άρα Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = 3

4

οπότε Ρ(ω1)+Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = 1

Ρ(ω1)+Ρ(ω2) = 2

5

Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = 3

4

Άρα Ρ(ω3) = 1 – (Ρ(ω1)+Ρ(ω2)) = 1 – 2

5 =

5 2 3

5 5 5− =

Ρ(ω1) = 1 – (Ρ(ω2)+Ρ(ω3)) = 1 – 3

4 =

4 3 1

4 4 4− =

Ρ(ω2) = 1 – (Ρ(ω1)+Ρ(ω3)) = 1 – 1 3 20 5 12 3

4 5 20 20 20 20− = − − =

7)Διαθέτουμε ένα ζάρι του οποίου οι πλευρές έχουν τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Έστω Ρ1,

Ρ2, Ρ3, Ρ4, Ρ5, Ρ6, αντιστοίχως οι πιθανότητες εμφάνισης των αριθμών κατά την ρίψη του

ζαριού. Αυτό το ζάρι είναι σημαδεμένο με τέτοιο τρόπο ώστε:

α) όλες οι πλευρές δεν έχουν την ίδια πιθανότητα να φανούν

β) οι αριθμοί Ρ1, Ρ2, …, Ρ6 σχηματίζουν με αυτή τη σειρά αριθμητική πρόοδο

γ) οι αριθμοί Ρ3, Ρ5, Ρ6 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Ι. Προσδιορίστε τα Ρ1, Ρ2, …, Ρ6

ΙΙ. Υπολογίστε τις πιθανότητες των ενδεχομένων

Α: η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός

Β: η ένδειξη του ζαριού είναι πολλαπλάσιο του 3



33

Λύση

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω=ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 με P(ωi) = Pi, με i=1, 2, 3, 4, 5, 6

Επειδή οι αριθμοί Ρ1, Ρ2, …, Ρ6 αποτελούν Α.Π. και είναι διαδοχικοί της όροι έχουμε :

Ρ2=Ρ1+ω, Ρ3=Ρ1+2ω, Ρ4=Ρ1+3ω, Ρ5=Ρ1+4ω, Ρ6=Ρ1+5ω

Ακόμα Ρ1+Ρ2+Ρ3+Ρ4+Ρ5+Ρ6=1 ⇔ Ρ1+Ρ1+ω+Ρ1+2ω+Ρ1+3ω+Ρ1+4ω+Ρ1+5ω=1

⇔ 6Ρ1+15ω=1 (1)

Οι αριθμοί Ρ3, Ρ5, Ρ6 είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. άρα (Ρ5)2=Ρ3.Ρ6⇔

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1( 4 ) ( 2 ) ( 5 ) 8 16 7 10P P P P P P Pω ω ω ω ω ω ω+ = + ⋅ + ⇔ + + = + + ⇔

2

1 1 16 0 (6 ) 0 0 ή 6P P Pω ω ω ω ω ω+ = ⇔ + = ⇔ = = −

•••• Αν ω=0 τότε Ρ1=Ρ2=Ρ3=Ρ4=Ρ5=Ρ6=1

6 άτοπο λόγω της συνθήκης (α)

•••• Αν Ρ1= –6ω τότε από την (1) προκύπτει ότι 6(–6ω)+15ω=1 ⇔ –36ω+15ω=1 ⇔

–21ω=1 ⇔ 1

21ω = −

Άρα 1 1

1 66

21 21P P

= − − ⇔ =

Επομένως έχουμε : 2 1

6 1 5

21 21 21P P ω = + = + − =

3 1

6 1 42 2

21 21 21P P ω = + = + − =

4 1

6 1 33 3

21 21 21P P ω = + = + − =

5 1

6 1 24 4

21 21 21P P ω = + = + − =

6 1

6 1 15 5

21 21 21P P ω = + = + − =

Α=ω2, ω4, ω6 άρα Ρ(Α)=Ρ2+Ρ4+Ρ6 = 5 3 1 9

21 21 21 21+ + =

Β=ω3, ω6 άρα Ρ(Β)= Ρ3+Ρ6 = 4 1 5

21 21 21+ =

8)Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν

4 1( ) , ( )

5 3P A B P B′∪ = = και

2P(A B)=

5∩ τότε να βρείτε τις Ρ(Β), Ρ(Α), ( '), ( ' )P A B P A B∩ ∩ .

Λύση



34

1 2( ) 1 ( ) 1

3 3P B P B′= − = − =

4 2 2 4 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 3 5 5 3 5P A B P A P B P A B P A P A∪ = + − ∩ ⇔ = + − ⇔ = − + ⇔

6 2 18 10 8( ) ( ) ( )

5 3 15 15P A P A P A

−= − ⇔ = ⇔ =

8 2 8 6 2( ) ( ) ( ) ( )

15 5 15 15 15P A B P A B P A P A B′∩ = − = − ∩ = − = − =

2 2 10 6 4( ) ( ) ( ) ( )

3 5 15 15 15P A B P B A P B P A B′∩ = − = − ∩ = − = − =

9)Αν Α, Β, Γ είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι :

α) ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ ≤ +

β) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P∪ ∪Γ ≤ + + Γ

Λύση

α) Έχουμε : ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ και ακόμη ( ) 0P A B∩ ≥

Οπότε ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A B P A B+ − ∪ = ∩ και ( ) 0P A B∩ ≥ ⇔

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A B P A B P A P B P A B P A P B+ − ∪ ≥ ⇔ − ∪ ≥ − − ⇔ ∪ ≤ +

β) ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A B P P A P B P∪ ∪Γ = ∪ ∪Γ ≤ ∪ + Γ ≤ + + Γ

με τη βοήθεια του ερωτήματος (α)

10)Αν Α, Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, να δειχθεί ότι αν A B⊆ τότε :

Ρ(Β-Α) = Ρ(Β) – Ρ(Α)

Λύση

Έχουμε ότι ( )B A A B− ∪ = , τα ενδεχόμενα Β – Α, Α είναι ξένα μεταξύ τους (ασυμβίβαστα) άρα:



35

[( ) ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P B A A P B A P A

P B P B A P A

P B P A P B A

− ∪ = − +

= − +

− = −

11)Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν Ρ(Α)=1

2, Ρ(Β)=

2

5,

4( )

5P A B∪ = , να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων :

α) Γ: να μην πραγματοποιηθεί το Α

β) Δ: να πραγματοποιηθούν και το Α και το β

γ) Ε: να πραγματοποιηθεί μόνο το Β

δ) Ζ: να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και β

ε) Η: να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β

Λύση

α) Ρ(Γ) = 1 1

( ) 1 ( ) 12 2

P A P A′ = − = − =

β) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ ⇔ ∩ = + − ∪

Ρ(Δ) = 1 2 4 1 2 5 4 1

( ) ( ) ( ) ( )2 5 5 2 5 10 10 10

P A B P A P B P A B∩ = + − ∪ = + − = − = − =

γ) Ρ(Ε) = 2 1 4 1 3

( ) ( ) ( )5 10 10 10 10

P B A P B P A B− = − ∩ = − = − =

δ) Ρ(Ζ) = 4 1

[( ) ] 1 ( ) 15 5

P A B P A B′∪ = − ∪ = − =

ε) Ρ(Η) = [( ) ( )] ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B− ∪ − = + − ∩ =

1 2 1 1 2 1 1 1 5 2 72

2 5 10 2 5 5 2 5 10 10

+= + − ⋅ = + − = + = =

12. Έστω ο δειγματικος χώρος Ω , που αποτελείται από 15.000 στοιχεία , τα οποία είναι ισοπιθανα .Θεωρούμε και τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ του Ω , με 0 ( ) 1P A< < .

Α. Να αποδείξετε ότι ( ) 1

4 5( ') ( )

P A

P A P A⋅ + ≥ .

Β. Αν στην σχέση του ερωτήματος (Α) ισχύει η ισότητα , τότε: α) να βρείτε το Ν(Α) , δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του Α . β) αν κάποιο ενδεχόμενο Β του Ω έχει 10.001 στοιχεία , να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

Λυση

Α. Ισοδύναμα και διαδοχικά βρισκουμε:



36

2

2 2

2

2

( ) 14 5

( ') ( )

( ) 14 5

1 ( ) ( )

4( ( )) 1 ( ) 5 ( )(1 ( ))

4( ( )) 1 ( ) 5 ( ) 5( ( ))

9( ( )) 6 ( ) 1 0

(3 ( ) 1) 0

P A

P A P A

P A

P A P A

P A P A P A P A

P A P A P A P A

P A P A

P A

⋅ + ≥

⋅ + ≥−

+ − ≥ −

+ − ≥ −

− + ≥

− ≥

που ισχύει.

Β α) Από το ερώτημα (Α) έχουμε 3 ( ) 1 0P A − = , δηλαδή

1 ( ) 1 ( ) 15.000( ) ( ) 5000

3 ( ) 3 3 3

A P A A

Ω= ⇔ = ⇔ = = =

Ω

β)Αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα , τοτε: ( ) ( ) 5000 10001 15001

( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) 15000 15000 15000

P A P A PΝ Α Ν Β

∪Β = + Β = + = + = >Ν Ω Ν Ω

άτοπο αφού ( ) 1P A∪Β ≤ αρα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα .

13.Για ένα ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου Ω είναι γνωστό ότι η πιθανότητα να εμ-φανιστεί το Α είναι κατά 0.5 μεγαλύτερη της πιθανότητας να μην εμφανιστεί. Να υπολο-γιστεί η πιθανότητα εμφάνισης του Α.

ΛΥΣΗ

Ρ(Α΄)=Ρ(Α)+0.5 ⇔

1 – Ρ(Α) = Ρ(Α) + 0.5 ⇔

Ρ(Α)=0.25

14)Το ποσοστό των υποψήφιων για εισαγωγή στα ΑΕΙ που παίρνουν βαθμολογία κάτω

από τη βάση στο μάθημα της έκθεσης και των μαθηματικών είναι 20% και 30% αντίστοι-

χα, ενώ 10% των υποψηφίων παίρνει βαθμολογία κάτω από τη βάση και στα δύο μαθήμα-

τα. Να βρείτε το ποσοστό των υποψηφίων που παίρνει βαθμολογία κάτω από τη βάση

α. μόνο στην έκθεση β. μόνο στα μαθηματικά γ. σε ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα δ. σε ένα ακριβώς από τα δύο μαθήματα. ΛΥΣΗ

θέτουμε :

Α: η βαθμολογία του υποψηφίου στο μάθημα της έκθεσης είναι κάτω από τη βάση

Β: η βαθμολογία του υποψήφιου στο μάθημα των μαθηματικών είναι κάτω από τη βάση



37

Ρ(Α)= 0.20 Ρ(Β)=0.30 Ρ(Α∩ Β)=0.10

α. Ρ(Α∩ Β΄)=Ρ(Α) - Ρ(Α∩ Β)= 0.10 = 10%

β. Ρ(Α΄ ∩ Β)=Ρ(Α) - Ρ(Α∩ Β)= 0.20 = 20%

γ. Ρ(Α∪ Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α∩ Β)= 0.40 = 40%

δ. Ρ((Α∩ Β΄)∪ (Α΄ ∩ Β))= Ρ(Α∩ Β΄)+ Ρ(Α΄ ∩ Β)= 0.30 = 30%

15.Σε έναν αγώνα δρόμου λαμβάνουν μέρος ν αθλητές 1 2 3 να ,α ,α ,.....α . Η πιθανότητα να

τερματίσει πρώτος ο αθλητής ακ είναι ( )κ

κ-1Ρ α =x+

7ν με ν∈∈∈∈Ν* και x∈∈∈∈R με 0≤≤≤≤x<<<<1.

α) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει ο x, αν γνωρίζουμε ότι μόνο ένας αθλητής θα

τερματίσει πρώτος.

β) Για την μικρότερη τιμή του x που βρήκατε, να υπολογίσετε το πλήθος των αθλητών και

την πιθανότητα του καθενός να τερματίσει πρώτος.

Λύση

α) Είναι ( )κ

κ-1Ρ α =x+

7ν, οπότε:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 νΡ α +Ρ α +Ρ α + +Ρ α =1⋅ ⋅ ⋅ ⇒1-1 2-1 3-1 ν-1

(x+ )+(x+ )+(x+ )+ +(x+ )=17ν 7ν 7ν 7ν

⋅ ⋅ ⋅ ⇒

1 2 ν-1νx+ + + + =1

7ν 7ν 7ν⇒ ⋅⋅⋅ ⇒ ( )1

νx+ 1+2+ + ν-1 =17ν

⋅ ⋅ ⋅ ⇒ (αριθμητική πρόοδος)

( )1 ν-1 ν-1νx+ 1+ν-1 =1 νx+ =1 14νx+ν-1=14

7ν 2 14⇒ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒

( ) 15 114x+1 ν=15 ν= µε x -

14x+1 14⇒ ⇒ ≠ (1)

Επειδή ν∈Ν* τότε και *15Ν

14x+1∈ .

Έτσι πρέπει ο αριθμός 14x+1 να είναι θετικός διαιρέτης του 15, δηλαδή να παίρνει τις τιμές 1 ή 3 ή

5 ή 15. Έτσι έχουμε:

14x+1 1 14 0 0x x= ⇒ = ⇒ = , 14x+11

=3 14x=2 x=7

⇒ ⇒

14x+12

=5 14x=4 x=7

⇒ ⇒ , 14x+1=15 14x=14 x=1⇒ ⇒ απορρίπτεται.

Έτσι x=0 ή 1

x=7

ή 2

x=7

.

β) Για x=0 ή (1) γίνεται: 15

ν= ν=1514 0+1

⇒⋅

. Άρα το πλήθος των αθλητών είναι 15.



38

Με ν=15 έχουμε:

( ) ( )1 1

1-1Ρ α = Ρ α =0

105⇒ , ( ) ( )2 2

2-1 1Ρ α = Ρ α =

105 105⇒ ,......., ( ) ( )15 15

15-1 14Ρ α = Ρ α =

105 105⇒

16)Σε μια τάξη της Β΄ Λυκείου υπάρχουν 20 αγόρια και 9 κορίτσια. Από τα αγόρια το 4

1 και

από τα κορίτσια το 3

1 είναι άριστοι στα Μαθηματικά. Καλούμε τυχαία ένα άτομο για μια

εξέταση. Ποια η πιθανότητα:

α) Να μην είναι άριστο στα Μαθηματικά.

β) Να είναι κορίτσι.

γ) Να είναι κορίτσι ή να μην είναι άριστο στα Μαθηματικά.

Λύση

Κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα΅:

Αγόρια Κορίτσια ΣΥΝΟΛΟ

Άριστοι 5 3 8

Μη άριστοι 15 6 21

ΣΥΝΟΛΟ 20 9 29

Α : Να μην είναι άριστο στα Μαθηματικά.

Β : Να είναι κορίτσι.

Γ : Να είναι κορίτσι άριστο στα Μαθηματικά.

Δ: Να είναι κορίτσι ή να μην είναι άριστο στα Μαθηματικά.

α) Ρ (Α) = 29

21. β) Ρ (Β) =

29

9. γ) Ρ (Γ) =

29

3.

δ) Ρ (Δ) = Ρ (Β) + Ρ (Α) - Ρ (Α ∩ Β) = 29

9+

29

21 -

29

6 =

29

24.

17)Μια μέρα με πολύ άσχημες καιρικές συνθήκες η πιθανότητα να λειτουργήσουν τα υπε-ραστικά λεωφορεία είναι 30%, η πιθανότητα να μη λειτουργήσουν τα τραίνα είναι 40% και η πιθανότητα να λειτουργήσει ένα τουλάχιστον συγκοινωνιακό μέσο από τα προηγούμε-να είναι 90%. Ποια η πιθανότητα να λειτουργήσουν συγχρόνως και τα δύο; Λυση

Εστω τα ενδεχομενα:

Α : λειτουργούν τα λεωφορεία.

Β΄: δεν λειτουργούν τα τραίνα.

Ρ (Α) = 0,3, Ρ (Β΄) = 0,4, άρα Ρ (Β) = 0,6.

Ρ (Α ∪ Β) = P (Α) + Ρ (Β) - Ρ (Α ∩ Β) άρα 0,9 = 0,3 + 0,6 - Ρ (Α ∩ Β) άρα



39

Ρ (Α ∩ Β) = 0.

18)Έστω Α , Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Τότε ισχύει:

α ) Αν Ρ (A) = Ρ (B), τότε A = B.

β) Αν Ρ (A) ≠≠≠≠ Ρ (B), τότε A ≠≠≠≠ B.

γ) Αν A = B, τότε Ρ (A) = Ρ (B)

δ) Αν A ≠≠≠≠ B, τότε Ρ (A) ≠≠≠≠ Ρ (B).

ε) Αν Ρ (A) + Ρ (B) = 1 , τότε B = A.

Εξετάστε ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

Λυση

α) Λάθος, διότι αν π.χ. Ω = 1, 2, 3, 4 και Α = 1, 2, Β = 3, 4 τότε

Ρ (Α) = Ρ (Β) αλλά Α ≠ Β.

β) Σωστή (άρνηση της πρότασης (α)).

γ) Σωστή, αφού αν Α = Β τότε Ν (Α) = Ν (Β), συνεπώς

Ρ (Α) = (Ω)

(A) =

(Ω)

(Β) = Ρ (Β).

δ) Λάθος (βλέπε πρόταση (α)).

ε) Λάθος, διότι αν π.χ. Ω = 1, 2, 3, 4 και Α = 1, 2, Β = 1, 4, τότε

Ρ (Α) = 2

1, Ρ (Β) =

2

1. Άρα Ρ (Α) + Ρ (Β) = 1, όμως Β ≠ Α΄ = 3, 4.



40

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές η λάθος . 1.Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. Σ Λ

2.Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 ≤ Ρ (Α) ≤ 1. Σ Λ

3. Για το αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ισχύει Ρ (∅) = 0. Σ Λ

4. Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος

τύχης. Σ Λ

5. Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου του πειράματος.

Σ Λ

6. Ένα αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγεται απλό ενδεχόμενο ή γεγονός. Σ Λ

7. Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι βέβαιο ενδεχόμενο. Σ Λ

8. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ονομάζουμε ενδεχόμενο του πει-

ράματος κάθε υποσύνολο του Ω. Σ Λ

9. Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι και αυτός ένα ενδεχόμενο . Σ Λ

10. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις για ένα ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι στοιχεία του δειγ-

ματικού του χώρου. Σ Λ

11. Με Ν (Α) συμβολίζουμε όλα τα δυνατά υποσύνολα ενός ενδεχομένου Α. Σ Λ

12. Το συμπλήρωμα Α΄ οποιουδήποτε ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης είναι επίσης ενδεχό-

μενο αυτού του πειράματος. Σ Λ

13. Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο Α ∪ Β.

Ω

AB

Σ Λ

14. Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο Α ∪ Β.

Ω

A B

Σ Λ



41

15. Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο Β - Α .

Ω

A B

Σ Λ

16. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τότε ισχύει η ισότητα Α -

Β = Α ∩ Β΄. Σ Λ

17. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω τότε ισχύει η ισότητα

Β ∪Α = (Β-Α) ∪ (Α-Β). Σ Λ

18. Στο διπλανό σχήμα τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα.

Ω

AB

Σ Λ

19. Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α ∩ Β = Α. Σ Λ

20. Τα ενδεχόμενα Α = 1, 4, 7, Β = 4, 7, 11 είναι ξένα μεταξύ τους. Σ Λ

21. Αν το ενδεχόμενο Β = 2, 4, 6, τότε Ν (Β) = 3. Σ

Λ

22. Αν Α είναι το ενδεχόμενο να τραβήξουμε μια ντάμα από μια τράπουλα, τότε

Ν (Α) = 2. Σ Λ

23. Οι εκφράσεις: «πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α ή το Β» και «πραγματοποιείται ένα

τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β» είναι ισοδύναμες. Σ Λ

24. Το κενό σύνολο δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. Σ Λ

25. Το κενό σύνολο είναι βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης. Σ Λ

26. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν τουλάχιστον δύο αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγο-

νται σύνθετα Σ Λ

27. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν ένα μόνο αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγονται απλά

ενδεχόμενα. Σ Λ

28. Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο

λόγος fA = ν

κ λέγεται σχετική συχνότητα.του ενδεχομένου. Σ Λ

29. Για τη σχετική συχνότητα fA ενός ενδεχομένου Α ισχύει fA > 1. Σ Λ

30.Aν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει ότι BABA ′=− ∩

(Εξετάσεις 2009) Σ Λ



42

31. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ο τύπος

Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)–Ρ(Α∩Β) ισχύει μόνον όταν τα απλά ενδεχόμενα του δειγματι-

κού χώρου Ω είναι ισοπίθανα. (Εξετάσεις 2009) Σ Λ

32.Αν το ενδεχόμενο Α ΄ , συμπληρωματικό του ενδεχομένου Α , πραγματοποιεί -

ται , τότε δεν πραγματοποιείται το Α . (Εξετάσεις 2006) Σ Λ

33.Το ενδεχόμενο Α∪Β πραγματοποιείται , όταν πραγματοποιείται το πολύ ένα

από τα ενδεχόμενα Α και Β. (Επαναληπτικές Εξετάσεις 2006) Σ Λ

34. Αν Α⊆Β τότε P(A) > P(B). (Εξετάσεις 2005) Σ Λ

35.Αν για τα ενδεχόμενα Α , Β του ίδ ιου δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά

ενδεχόμενα ισχύει Ρ(Α)=Ρ(Β) , τότε είναι πάντοτε Ν(Α)=Ν(Β) .

(Επαναληπτικές Εξετάσεις 2005) Σ Λ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ

1. Συμπληρώστε τον πίνακα βάζοντας στη στήλη Β τον χαρακτηρισμό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος).

Όπου βάλατε Λ (λάθος) συμπληρώστε στη στήλη Γ τη σωστή σχέση διορθώντας το δεξιό μέλος

της αντίστοιχης ισότητας.

Α Β Γ

Α ∪ Α = A

Α ∪ ∅ = Α

Α ∩ Α = ∅ Λ ΑΑΑ =∩

Α ∩ ∅ = Α

Α΄ ∩ Α = Ω

Α΄ ∪ Α = ∅

Ω΄ = Ω

(Α΄)΄ = Ω

Α ∩ Β = Β ∩ Α

Α ∩ Β = Β ∪ Α

∅΄ = Ω

Αν Α ⊆ Β τότε

Α ∪ Β = Β

Α΄ ∪ Α = Ω

Α΄ ∩ Α = ∅

(Α΄)΄ = Α

Αν Α ⊆ Β τότε

Α ∩ Β = Α



43

2.Η στήλη Α του πίνακα γράφονται ισχυρισμοί για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος. Στη

στήλη Β γράφονται ισοδύναμοι ισχυρισμοί διατυπωμένοι στη γλώσσα των συνόλων (w ένα αποτέ-

λεσμα του πειράματος αυτού).Αντιστοιχίστε κατάλληλα κάθε στοιχείo της στήλης Α με ένα μόνο

της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1) Το Α δεν πραγματοποιείται.

2) Ένα τουλάχιστον από τα Α

και Β πραγματοποιείται.

3) Πραγματοποιούνται συγχρό-

νως και το Α και το Β.

4) Το Α πραγματοποιείται.

5) Κανένα από τα Α και Β δεν

πραγματοποιείται.

6) Πραγματοποιείται μόνο το Α ή

μόνο το Β.

7) Το Β πραγματοποιείται

8) Πραγματοποιείται μόνο το Α.

9) Πραγματοποιείται μόνο το Β.

i) w ∈ A

ii) w ∈ (A ∪ B΄)

iii) w ∈ ( A΄ - Α)

iv) w ∈ (A ∩ Β)

v) w ∈ (A ∪ Β)

vi) w ∈ A΄

vii) w ∈ (A ∪ B)΄

viii) w Β)(Α΄Β΄)(Α ∩∪∩∈

ix) w ∈ Β

x) w Β΄)(Α ∩∈

xi) w Α΄)(Β ∩∈

xii) w ∈ (B ∩ A)΄

xiii) w ∈ B)΄(A ∩

xiv) w ∈ (A΄∪ Β)



44

ΆΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Ένα κουτί περιέχει 10 μπάλες κόκκινες (Κ) και 10 μπάλες μαύρες (Μ). Βγάζουμε από το

κουτί μπάλες τη μία μετά την άλλη. Σταματάμε όταν βγάλουμε 2 μπάλες του ίδιου χρώμα-

τος συνεχόμενα ή όταν βγάλουμε 3 μπάλες του ίδιου χρώματος. Να βρεθεί ο δειγματικός

χώρος του πειράματος.

2. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές και καταγράφουμε τις ενδείξεις κεφαλή (Κ), γράμματα (Γ).

α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος

β) Να γράψετε τα ενδεχόμενα Α: να φέρουμε ακριβώς δύο φορές κεφαλή, Β: να φέρουμε

τουλάχιστο μία φορά γράμματα.

3. Ρίχνουμε ένα ζάρι που δεν είναι αμερόληπτο , και έστω Α1, Α2, Α3, Α4, Α5, Α6 τα ενδεχόμενα η

ένδειξη να είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6 αντίστοιχα.

Αν 1 2 3 4 5 6

1 1 1( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) και ( )

12 6 4P A P A P A P A P A P A= = = = = = , ποια η πιθανότητα του

ενδεχομένου Α: η ένδειξη να είναι άρτιος αριθμός

4. Έστω Ω=ω1, ω2, ω3 ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α = ω1,

ω2, Β = ω2, ω3. Αν Ρ(Α)=2

5 και Ρ(Β)=

3

4 τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω1), Ρ(ω2), Ρ(ω3).

5. Έχω 1 2 4

( ) , ( ) και ( )2 5 5

P A P B P A B= = ∪ = . Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων :

α) να πραγματοποιηθεί το Α

β) να πραγματοποιηθεί το Α και το Β

γ) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β

δ) να πραγματοποιηθεί μόνο το Β

ε) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β

στ) δεν πραγματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β

6. Έχουμε Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να υπολογιστούν οι παρα-

κάτω πιθανότητες :

Α=4, 5, 6, Β=1, 2, 3, 4, Γ=5, 6, 9, Α’, Β’, Γ’ και

, , , , ,( ) ,( )A B A B A B B B A B A B′ ′∩ ∪ − −Γ ∩Γ ∪ ∩Γ ∩ ∪Γ



45

7. Η Γ’ Λυκείου έχει 120 μαθητές. Εάν η

1 1 α( ) , ( ) και P(Tεχν)=

3 1 α+5P Pρ τ

αΘ = Θ =

+, να βρεθεί το πλήθος των μαθητών κάθε κα-

τεύθυνσης.

8. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύει :

( ) 1

( ) 4

P A

P A

′= και ( ) 0,6P A B∩ =

α) Να δείξετε ότι : 0,6 ( ) 0,8P B≤ ≤

β) Αν ( ) 0,9P A B∪ = , να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το Α ή μόνο το Β

9. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω σ’ ένα πείραμα τύχης και ισχύουν:

α) η Ρ(Α) είναι λύση της εξίσωσης 5x2 + 9x – 2 = 0

β) 3

( ) 2 ( ) ( )2

P A B P A P B∪ = =

να υπολογιστούν οι Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Α-Β)

10. Σε μια τάξη με 30 μαθητές, οι 15 μαθητές έχουν ποδήλατο, οι 10 έχουν μηχανή και οι 4 έ-

χουν και τα δύο. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχο-

μένων:

α) να μην έχει ποδήλατο ούτε μηχανή

β) να έχει ποδήλατο αλλά όχι μηχανή

11. Δίνονται οι συναρτήσεις

2( ) 4( 1)( 5 6 )f x x x x= − − + και 2 2( ) ( 5 ) 13, ,g x x x x R Rκ κ κ= + − + ∈ ∈

α) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω=ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 με ω1=x1,

ω2=x2, ω3=x3, ω4=4x1, ω5=4x2, ω6=4x3, όπου x1, x2, x3 οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0.

Οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων ικανοποιούν τις σχέσεις :

Ρ(ω6)=Ρ(ω5)=Ρ(ω4)=3Ρ(ω3)=3Ρ(ω2)=3Ρ(ω1)

Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω.

β) Αν Β=κ∈Ω /η g(x) παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο x0=3 να βρείτε την Ρ(Β).

12. Τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α’, Β’ των Α, Β ενός δ.χ. Ω ικανοποιούν τις σχέσεις

Ρ(Α’)=0,8 και Ρ(Β’)=0,1.

α) Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα

β) Να δείξετε ότι 0,7 ( ) 0,8P A B′≤ ∩ ≤



46

13. Στη βιτρίνα ενός βιβλιοπωλείου βρίσκονται βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής. Τα βιβλία

των Μαθηματικών είναι 5 περισσότερα από της Φυσικής. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα

βιβλία και θεωρούμε Ρ(Μ), Ρ(Φ) τις πιθανότητες εκλογής βιβλίων Μαθηματικών και Φυσι-

κής αντίστοιχα.

α) Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό βιβλίων Φυσικής που πρέπει να υπάρχουν στην βιτρίνα,

ώστε 3

( ) ( )4

P P MΦ ≥

β) Πόσα βιβλία υπάρχουν στην βιτρίνα αν 7

( ) ( )8

P P MΦ =

14. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και x, y ενδεχόμενα του τέτοια ώστε

x y≤ . Έστω Ρ(x), Ρ(y) είναι οι πιθανότητες των x, y αντιστοίχως. Αν οι πραγματικοί αριθμοί

P(X), P(y) είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f(x)=4x3 – 5x2 + 2x + 2000, x R∈

να υπολογίσετε :

α) τις πιθανότητες Ρ(x), P(y)

β) τις πιθανότητες ( ), ( ), ( )P x y P x y P y x∩ ∪ −

15. Έστω ότι ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης αποτελείται από ισοπίθανα απλά

ενδεχόμενα με Ν(Ω)=κ2, *κ ∈ και Ν(Ω)<30. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω με :

2 2( ) 2 6 , ( ) 5 A Bκ κ κ κ′ ′= − − = − − και A B∩ απλό ενδεχόμενο να βρεθούν :

α) οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) συναρτήσει του κ

β) το πλήθος των στοιχείων του Ω

16. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β του δ.χ Ω για τα οποία ισχύει :

( ) 0,8 , ( ) 0,7 και ( ) ( ) 1,1P A B P A B P A P B′ ′∪ = ∪ = + = . Να βρείτε τις πιθανότητες των

Ρ(Α), Ρ(Β) και ( )P A B∩ .

17. Σ’ ένα συνεργείο αυτοκινήτων το 10% των βλαβών είναι μηχανικές, το 6% ηλεκτρικές και το

2% των αυτοκινήτων αντιμετωπίζουν και τις δύο βλάβες.

Επιλέγουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο και έστω Α το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο να έχει μηχα-

νική βλάβη και Β το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο να έχει ηλεκτρική βλάβη.

α) Τι εκφράζει το ενδεχόμενο A B∪ και ποια η πιθανότητα του;

β) Τι εκφράζει το ενδεχόμενο ( ) ( )A B B A− ∪ − και ποια η πιθανότητα του;

γ) Πώς συμβολίζεται το ενδεχόμενο "το αυτοκίνητο δεν έχει βλάβη" και ποια η πιθανότητα

του;

18. Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δ.χ Ω με ( ) 0,25 και P(B ) 0,55P A′ ′≤ ≤ .

α) Να εξετάσετε αν είναι ασυμβίβαστα.



47

β) Να δειχθεί ότι : 0,45 ( )P A B≤ ∪ .

γ) Να δειχθεί ότι : ( ) 0,2P A B∩ ≤ .

19. Εκτελούμε ένα πείραμα τύχης και έστω α, β, γ, δ, ε τα πιθανά αποτελέσματα των οποίων οι

πιθανότητες είναι Ρ(α)=0,13 , Ρ(β)=0,05 , Ρ(γ)=ρ , Ρ(δ)=0,55 , Ρ(ε)=0,1. Να βρεθούν :

α) το ρ

β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Κ=α, γ, Λ=β, δ και Μ=α, β, ε

γ) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Μ-Κ, Μ-Λ

20. Μια τάξη έχει 30 παιδιά. Τα 2/3 των αγοριών και τα 2/3 των κοριτσιών έχουν καστανά μάτι-

α. Εκλέγουμε στη τύχη ένα άτομο. Αν η πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει καστανά μά-

τια είναι 13/15, να βρείτε πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια της τάξης.

21. Έστω ότι η πιθανότητα Ρ(Β) είναι ίση με τη μέγιστη τιμή της f(x) =lnx – x + 1,6 , όταν A B⊆

και Ρ(Α)=Ρ(Α-Β). Να υπολογίσετε τις Ρ(Α) και Ρ(Β).

22. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δ.χ. Ω. Η πιθανότητα να μη συμβεί ούτε το Α ούτε το Β εί-

ναι 0,1 , η πιθανότητα πραγματοποίησης και των 2 είναι 0,5 και η πιθανότητα πραγματοποί-

ησης του Β είναι ίση με τα ¾ της πιθανότητας πραγματοποίησης του Α. Να υπολογίσετε τις

Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α-Β) και Ρ(Β-Α).

23. Έστω ο δ.χ. Ω=ω1, ω2, ω3, ω4 και τα ενδεχόμενα Α=ω1, ω2 και β=ω2, ω3, ω4. Αν Ρ(Α)=Ρ(ω3),

Ρ(Β)=10.Ρ(ω1) και Ρ(Β-Α)=8/11 , να υπολογίσετε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του

δ.χ. Ω.

24. Σε έρευνα μεταξύ των οικογενειών μιας πόλης διαπιστώθηκε ότι το 15% δεν έχει ιδιόκτητη

κατοικία, το 10% δεν έχει αυτοκίνητο και το 5% δεν έχει ούτε ιδιόκτητη κατοικία ούτε αυτο-

κίνητο. Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια. Να βρείτε την πιθανότητα :

α) να έχει ιδιόκτητη κατοικία και αυτοκίνητο

β) να έχει ιδιόκτητη κατοικία αλλά όχι αυτοκίνητο

25. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αex – αx + 3x – 3ex και ο δ.χ. ενός πειράματος τύχης Ω = Zα ∈ ,

3α10,α0 ≠≤≤ . Εκλέγουμε τυχαία ένα από τα ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα του Ω και

αντικαθιστούμε με αυτό το α στον τύπο της f.

Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων :

Α: η f παρουσιάζει μέγιστο

Β: η f έχει ελάχιστη τιμή 6 ή 7



48

26. Από μια κάλπη που περιέχει 1000 λαχνούς αριθμημένους από το 1 ως το 1000

εκλέγεται ένας τυχαία. Να βρείτε την πιθανότητα η ένδειξη του λαχνού να είναι πολλα-

πλάσιο του 2 ή του 5.

27. Δίνεται η συνάρτηση 1αχx2

α

3

x)x(f 2

3

+++= . Ρίχνουμε ένα ζάρι και με τον αριθμό που

εμφανίζεται αντικαθιστούμε τον πραγματικό αριθμό α. Να υπολογίσετε την πιθανότητα

του ενδεχομένου Α: η f να είναι γνησίως αύξουσα για κάθε Rx ∈ .

28. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την σύνθεση του υπαλληλικού προσωπικού σε μια δημόσια υπη-

ρεσία από άποψη φύλου και μόρφωσης.

Άνδρες Γυναίκες

Απόφοιτοι Λυκείου 20 10

Πτυχιούχοι ΑΕΙ 20 50

α) Η μέση ηλικία ολόκληρου του προσωπικού είναι 42 χρόνια, των ανδρών είναι 48 χρόνια,

των αποφοίτων Λυκείου είναι 37 χρόνια και των γυναικών πτυχιούχων 40 χρόνια.

Να υπολογιστούν οι μέσες ηλικίες :

i) όλων των γυναικών

ii) των ανδρών αποφοίτων Λυκείου

β) Αν επιλεγεί τυχαία ένας υπάλληλος να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων :

i) Κ: ο υπάλληλος είναι γυναίκα

ii) Λ: ο υπάλληλος είναι απόφοιτος Λυκείου

iii) Μ: ο υπάλληλος είναι άνδρας ή πτυχιούχος ΑΕΙ

29. Μια οικογένεια έχει δύο παιδιά, το Νίκο και τον Κώστα, υποψήφιους φοιτητές. Η πιθανότη-

τα να πετύχει ο Νίκος είναι 0,8 , η πιθανότητα να πετύχει ο Κώστας είναι 0,6 ενώ η πιθανό-

τητα να αποτύχει τουλάχιστον το ένα από τα 2 παιδιά είναι 0,4. Να υπολογίσετε την πιθα-

νότητα να πετύχει τουλάχιστον ένα από τα δύο παιδιά.

30. Αν Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω με 1

( ) , 1P A xx

= ≠ , τότε να δείξετε ότι x>1 και

να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης 2 ( )( ) [ ( )] xP Af x P A′= .

31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω με ( ) 0,35P A ≤ και ( ) 0,52P B ≤ . Να δείξετε ότι τα

ενδεχόμενα δεν είναι ασυμβίβαστα και ότι ( ) 0,13P A B∩ ≥ .



49

32. α) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + (1 – x)2 , [0,1]x∈ . Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή

της f.

β) Να δείξετε ότι : 1

( ) ( )2

P A P A′+ ≥

33. Έστω Ω ο δ.χ. ενός πειράματος τύχης και Α, Β δύο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει :

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅

α) Να δείξετε ότι :

i) ( ) ( ) ( )P B A P A P B′− = ⋅

ii) ( ) ( ) ( )P A B P A P B′ ′ ′ ′∩ = ⋅

β) Αν Ρ(Α)=κ και Ρ(Β)=λ να βρεθεί η πιθανότητα ( )P A B′ ′∩ ως συνάρτηση των κ, λ.

34. Θεωρούμε το δ.χ. Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6 με αντίστοιχες πιθανότητες 0,2 , 0,3 , Ρ , 0,1 , 0,2 , 0,1 και

τη συνάρτηση f(x) = x2 + αx + 4, α∈Ω . Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων :

Α. 2

( ) ( 2 )lim 7

2x

f x f

x→

−≤

−

Β. Η f παίρνει τιμές μικρότερες του -1/2

35. Ρίχνουμε δύο ζάρια και θεωρούμε (α, β) το αποτέλεσμα που προκύπτει. Επίσης θεωρούμε τη

συνάρτηση f(x) = x2 + αx + β.

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο x0=1.

β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α1: η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο

Μ(0,3).

γ) Βρείτε τα ακρότατα της f.

δ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α2: η ελάχιστη τιμή της f είναι 3 ή 4.

ε) Να υπολογίσετε την 1 2( )P A A∩ .

36. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δ.χ. Ω για τα οποία ισχύουν :

1 1 1( ) , ( ) και ( )

4 20 2P A B P A B P B A′− = ∩ = − =

α) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α)

β) Να δείξετε ότι Ρ(Β)=1/4

γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και

Β.

37. Σ’ έναν πανελλήνιο διαγωνισμό δόθηκαν στους εξεταζόμενους δύο είδη διαγωνισμάτων α-

ριθμημένα με τους αριθμούς 1 και 2. Το διαγώνισμα με τον αριθμό 1 περιέχει δύο είδη θε-



50

μάτων τύπου Α και Β, ενώ το διαγώνισμα με τον αριθμό 2 περιέχει τρία είδη θε-

μάτων τύπου Α, Β, Γ. Κάθε τύπος αποτελείται από υποερωτήματα α, β, γ.

α) Να βρεθεί με δενδροδιάγραμμα ο δειγματικός χώρος.

β) Επιλέγουμε τυχαία ένα διαγώνισμα εξεταζομένου. Να βρεθούν οι πιθανότητες των πα-

ρακάτω ενδεχομένων :

Κ: ο εξεταζόμενος έχε επιλέξει διαγώνισμα τύπου 1 και έχει απαντήσει στα υποερωτήματα

α, γ

Λ: ο εξεταζόμενος έχει επιλέξει διαγώνισμα τύπου Α και έχει απαντήσει μόνο στα υποερω-

τήματα β, γ

38. Θεωρούμε ένα αμερόληπτο ζάρι και έστω Ω ο δειγματικός χώρος. Να βρείτε τις πιθανότη-

τες των ενδεχόμενων :

Α: α∈Ω / η μέση τιμή του δείγματος α3, 5 – 2α2, 7 – 2α2, –12, -7α είναι ίση με –2

Β: β∈Ω / η διάμεσος του δείγματος 4, β, 0, 6, 3, 4 είναι ίση με 6

Γ: γ ∈Ω / η επικρατούσα τιμή του δείγματος 1, 6, –γ2+5γ, 9, 5, 1, γ – 2, γ+4 είναι ίση με 6

Δ: δ∈Ω / η εξίσωση x2+4x+δ δεν έχει πραγματικές ρίζες

Ε: ε ∈Ω / η συνάρτηση g(x)=x2 + (ε2 – 5)x + 10 έχει τοπικό ακρότατο στο x0=2



51

The Monty Hall problem - Ένα απρόσμενο παράδοξο πιθανοτήτων Ο Monty Hall είναι Καναδός σό-

ουμαν, που παρουσίαζε το περί-

φημο τηλεπαιχνίδι Let’s make a

deal στο ABC από το 1963 μέχρι το

1977 και σε μερικές ακόμα μεμο-

νωμένες σαιζόν μέχρι και το

1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι

από τα ιστορικότερα που έχουν

περάσει από την τηλεόραση, και-

χαρακτηριστικό είναι ότι αρκετά

στοιχεία του έχουν εμπνεύσει και

επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια

μέχρι και σήμερα.

Το όνομα του Monty Hall, όμως, είναι πλέον γνωστό κυρίως στους μελετητές της επιστήμης των

πιθανοτήτων, αφού αντιστοιχεί σε ένα από τα μεγαλύτερα παραδοξα της επιστήμης αυτής

Όλα ξεκίνησαν όταν το 1975 ο Steve Selvin έστειλε ένα γράμμα στο περιοδικό American Statistician,

δημοσιεύοντας ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο αργότερα ονό-

μασε Monty Hall problem, .Το Monty Hall problem έχει ως εξής.

Πίσω από τρεις κουρτίνες τοποθετούνται ένα ωραίο σπορ αυτοκίνητο και δύο κατσίκες. Ο παρου-

σιαστής γνωρίζει ποια κουρτίνα κρύβει το αυτοκίνητο. Ο παίκτης καλείται να επιλέξει μια κουρ-

τίνα, π.χ.την Α. Στη συνέχεια ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις άλλες κουρτίνες που κρύβει πί-

σω της μία κατσίκα. Ας πούμε ότι ανοίγει τη Β. Δίνεται τώρα στον παίκτη η δυνατότητα είτε να επιμείνει στην αρχική επιλογή του(κουρτίνα Α) είτε να αλλάξει και να ανοίξει την κουρτίνα Γ. Τι

έχει συμφέρον να κάνει ο παίκτης;

Η πρώτη απάντηση που έρχεται στο μυαλό των περισσοτέρων είναι ότι αφού έχει ήδη ανοίξει μία

κουρτίνα που έκρυβε κατσίκα και έχουν απομείνει μία κουρτίνα με κατσίκα και μία με το αυτοκί-

νητο, οι πιθανότητες είναι πια 50-50 και καμιά από ις δυνατές επιλογές του παίκτη δεν είναι ευνο-

ϊκότερη από την άλλη. Ωστόσο, αυτή η άποψη είναι λανθασμένη!

Για να κατανοήσουμε το γιατί πρέπει να απογυμνώσουμε το πρόβλημα από κάθε παρελκυστικό

παράγοντα εντυπωσιασμού και να ο αντιμετωπίσουμε με καθαρή μαθηματική λογική. Αγνοώντας

τον ψυχολογικό παράγοντα –χαμόγελα, χειροκροτήματα, γκριμάτσες του παρουσιαστή κ.λπ. – ο

παίκτης οφείλει να καθορίσει τη στρατηγική του από το σπίτι του, πριν καν μπει στο στούντιο:

Υπάρχουν δύο δυνατές στρατηγικές:

1η Ο παίκτης επιλέγει μία κουρτίνα π.χ. την Α) και εμμένει σε αυτήν μέχρι το τέλος, ό,τι και αν

του πει ο παρουσιαστής. Αφού υπάρχουν τρεις κουρτίνες και ένα αυτοκίνητο, η πιθανότητα νίκης

με αυτή τη στρατηγική είναι 1/3.

2η Ο παίκτης επιλέγει αρχικά μία κουρτίνα (π.χ. την Α) και μόλις ο παρουσιαστής ανοίξει μία άλ-

λη κουρτίνα (π.χ. τη Β) και αποκαλύψει μία κατσίκα, αλλάζει και επιλέγει την κουρτίνα Γ που

έχει απομείνει.

Με αυτή τη στρατηγική, ο παίκτης για να κερδίσει τελικά οφείλει να επιλέξει αρχικά μία κουρ-

τίνα με κατσίκα. Ο παρουσιαστής θα ανοίξει τότε την άλλη κουρτίνα με την κατσίκα και αλλά-

ζοντας ο παίκτης θα πάρει τελικά το αυτοκίνητο. Ετσι η πιθανότητα νίκης του με αυτή τη δεύτε-

ρη στρατηγική είναι 2/3.

Ακόμα και μαθηματικοί τεραστίου διαμετρήματος λέγεται, δε βρίσκουν τη σωστή απάντηση. Οι

στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην παραπάνω ερώτηση.



52

ΓΛΩΣΣΑ ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΙΑΣ ΓΛΩΣΣΑ ΣΥΝΟΛΟΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 1) ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ

Ω

Ρ(Ω)=1

2) ΔΥΝΑΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΟΥ ΤΥ-

ΧΑΙΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΟΥ Ω

ω∈Ω

0≤Ρ(ω)≤1

3) ΤΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ Α ΠΡΑΓΜΑΤΟ-

ΠΟΙΕΙΤΑΙ

ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΤΟΥ Ω (Α⊆Ω)

ω∈Α

0≤Ρ(Α)≤1

4)ΤΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ Α ΔΕΝ ΠΡΑΓΜΑΤΟ-

ΠΟΙΕΙΤΑΙ

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΟΥ Α

ω∈Α΄ (ή ω∉Α)

Ρ(Α΄)=1-Ρ(Α)

4) ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΕΝΑ ΤΟΥΛΑΧΙ-

ΣΤΟΝ ΑΠΟ ΤΑ Α , Β

( ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ Α ή Β )

ΕΝΩΣΗ ΤΩΝ Α , Β

ω∈Α∪Β

Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)

5) ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΚΑΙ ΤΟ Α ΚΑΙ

ΤΟ Β

ΤΟΜΗ ΤΩΝ Α , Β

ω∈Α∩Β

Ρ(Α∩Β)==Ρ(Α)+Ρ(Β)-

Ρ(Α∪Β)

6) ΔΕΝ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΚΑΝΕΝΑ

ΑΠΟ ΤΑ Α , Β

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΗΣ ΕΝΩΣΗΣ

ω∈(Α∪Β)΄=Α΄∩Β΄

Ρ(Α΄∩Β΄)=Ρ[(Α∪Β)΄]=

=1-Ρ(Α∪Β)

7) ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΤΟ Α

(ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΟ Β)

Α ΤΟΜΗ Β΄

ω∈Α∩Β΄

[Α=(Α∩Β΄)∪(Α∩Β)]

Ρ(Α∩Β΄)=Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β)

8) ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΕΝΑ

ΑΠΟ ΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Α , Β

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΟΜΗΣ ω∈(Α∩Β΄)∪(Α΄∪Β)

Ρ[(Α∩Β΄)∪Ρ(Α΄∩Β)]=

=Ρ(Α∩Β΄)+Ρ(Α΄∩Β)=

=Ρ(Α∪Β)-Ρ(Α∩Β)

9) Η ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ Α ΣΥΝΕ-

ΠΑΓΕΤΑΙ ΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΤΟΥ Β

Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΣΘΑΙ

Α ⊆ Β

Ρ(Α)<Ρ(Β)

10) ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Α , Β

ΞΕΝΑ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΣΥΝΟΛΑ Α ,

Β

Α∩Β=∅

Ρ(Α∩Β)=0 ΚΑΙ

Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)

11) ΑΔΥΝΑΤΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ

ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ

∅

Ρ(∅)=0

12) ΒΕΒΑΙΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ

ΟΛΟΚΛΗΡΟΣ ΟΧΩΡΟΣ

( ΣΥΝΟΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ )

Ω

13) ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΠΟΛΥ ΕΝΑ

ΑΠΟ ΤΑ Α , Β ( ΔΗΛ. ΔΕΝ ΠΡΑΓΜΑ-

ΤΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΟΜΗΣ Ρ[(Α∩Β)΄]=1-

Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α΄∪Β΄)=

=Ρ(Α΄)+Ρ(Β΄)-Ρ(Α΄∩Β΄)



53

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1). Έστω Α ≠ ∅ ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω και Α' το αντίθετο του Α. Θε-

ωρούμε τη συνάρτηση: ( ) ( ) ( ')f x P A P Aχ = ⋅ όπου ( )2

xP A =

και χ πραγματικός αριθμός.

α) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β) Σε ποιο σημείο του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει μέγιστο; Ποιες είναι τότε οι τιμές

των πιθανοτήτων Ρ(Α) και Ρ(Α');

2)Α .Αν Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω και ισχύουν ( )P A ρίζα της

εξίσωσης 25 9 2 0x x+ − = και Ρ(Α ∩ Β)=2 Ρ(Α)= 3

2 Ρ(Β), να υπολογίσετε τις Ρ(Α), Ρ(Β),

Ρ(Α ∪ Β).

B.Αν Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω και ισχύουν

4 1( ') , ( )

5 6P B P A B= ∩ = και 216 ( ) 15 ( ) 9 ( ')P A P A P A≤ − , να βρείτε τις πιθανότητες των ενδε-

χομένων

i)B , ii)A iii) A B∪

3)Έστω δειγματικός χώρος Ω= 1,2, 3, 4, ..., 2004 με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και Α , Β

είναι δυο ενδεχόμενα ασυμβίβαστα του δειγματικου χώρου Ω για τα οποία ισχύει 29( ( ) ) 7 ( ) 2 ( )P B P B P A− + =

α. Να δείξετε ότι 1 2

( ) , ( )3 3

P B P A= =

β. Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α και Β

γ. Τι συμπεραίνετε για τα ενδεχόμενα Α και Β

4). Δίνεται η συνάρτηση: f (χ) = 1 + ln(x2 +1), x∈R .

α) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

β) Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α, Β δύο ενδεχόμενα του για

τα οποία ισχύει η σχέση: f(P(A)) = P(B).

Nα αποδείξετε ότι το Β είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Α είναι αδύνατο ενδεχόμενο.

5). Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε:

Ρ(Α) + Ρ(Β) =1 και Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α)Ρ(Β)[1 - Ρ(Α∩ Β)].

α) Nα εκφράσετε την πιθανότητα Ρ(Α∩Β) ως συνάρτηση των πιθανοτήτων Ρ(Α), Ρ(Β).

β) i) Αν Ρ(Α) = χ, να εκφράσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου:

Γ = (Α - Β) ∪ (Β - Α) ως συνάρτηση του χ.



54

ii) Nα βρείτε την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας Ρ(Γ). Ποιες είναι τότε οι τιμές

των πιθανοτήτων Ρ(Α) και Ρ(Β);

6). Έστω ο δειγματικός χώρος Ω= 1, 3, 5, ..., 2ν-1 με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και ν θε-

τικός ακέραιος. Υποθέτουμε ότι οι αριθμοί 1, 3, 5,..., 2ν-1 είναι τιμές μιας μεταβλητής Χ με

μέση τιμή X = 10.

Α. Nα βρείτε:

α) όλα τα στοιχεία του Ω.

β) τη διάμεσο και το εύρος των τιμών της Χ.

γ) τη διακύμανση s2 και να δείξετε ότι: s2 = 3 X + 3

Β. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α =α∈Ω / α πολ/σιο του 3

Β =β ∈ Ω/β ρίζα της εξίσωσης 2 2( 9)( 10 9)

03

x x x

x

− − +=

−

Nα βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α ∪ Β, A∩Β και Α- Β.

7)Έστω Ω= χ1, χ2,χ3,χ4 ο δειγματικος χώρος ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπιθα-

να ενδεχόμενα και η συνάρτηση : ( ) ln( ), 0,g χ λχ λχ χ λ= + > ∈Ω

Θεωρούμε το ενδεχόμενο :

Α=’’ Η ευθεία 2( 17 73) 2005,y λ λ χ λ= − + + ∈Ω είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της g στο σημείο με τετμημένη χ=1’’.

Να βρείτε την πιθανότητα P (A).

8) Δίνονται τα Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω. Αν Α⊆ Β

P(A)=0.2 και 2

2

( ) 4 ( )( ) lim

2x

x P A B P AP B

x→

∩ −=

−, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων

( ')P B και ( )P A B∩ .

9)Δίνεται ο δειγματικος χώρος 1, 2,......,100Ω = με ισοπιθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα .

Αν Α,Β δυο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω για τα οποία ισχύει 216[ ( )] 25 ( ) ( ) 10 0P P B P AΒ − − + = να βρείτε :

i) τις πιθανότητες P(Α),P(B)

ii)το πλήθος των στοιχειών των Α και Β .

Τι συμπέρασμα βγαίνει για τα Α και Β.

10) Στον διπλανό πίνακα δίνονται οι συχνότητες των τιμών μιας μεταβλητής Χ.

Αν η τυπική απόκλιση των τιμών είναι s=3,8, να βρείτε:

i) τη μέση τιμή x ,

ii) την πιθανότητα μια τυχαία τιμή της μεταβλητής να

βρίσκεται

στο διάστημα ( )x-s, x+s

11).Στον πίνακα φαίνεται το πλήθος των επισκέψεων 40

μαθητών σε διάφορα μουσεία της χώρας κατά τη διάρκεια

των δύο τελευταίων ετών.

Τιμές ix Συχνότητα iv

20 4

21 2

24 5

26 3

30 6

Σύνολο 20



55

Επισκέψεις [ , ) Συχνότητα

[0,2) 8

[2,4) κ

[4,6) 10

[6,8) 6

[8,10) λ

Αν η μέση τιμή των επισκέψεων είναι 4:

i) να υπολογίσετε τα κ και λ,

ii) να βρείτε την πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγόμενος μαθητής από αυτούς να πήγε τα

τελευταία δύο χρόνια σε μουσείο:

α. το πολύ 5 φορές,

β. 6 ή 7 φορές,

γ. καμία φορά,

δ. τουλάχιστον 7 φορές,

iii) να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που τα τελευταία δύο χρόνια πήγαν σε μουσείο το

πολύ 3 φορές,

iv) να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

12).Η ποσότητα πετρελαίου που καίει ένας καυστήρας σε 24 ώρες είναι τυχαία μεταβλητή

που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μ=200 λίτρα και τυπική απόκλιση s=20 λί-

τρα. Αν υπάρχουν ακόμη 260 λίτρα στην αποθήκη, ποια η πιθανότητα να διαρκέσουν για

24 ώρες;

13).Μηχανή κατασκευάζει βίδες των οποίων το μήκος σε χιλιοστά ακολουθεί την κανονική

κατανομή με μέσο μήκος 40 και τυπική απόκλιση 1. Αν το μήκος μιας βίδας είναι εκτός του

διαστήματος [39, 41], η βίδα θεωρείται ελαττωματική. Να υπολογίσετε:

i) το ποσοστό των ελαττωματικών βιδών που παράγει η μηχανή,

ii) την πιθανότητα, αν πάρουμε μια βίδα τυχαία από την γραμμή παραγωγής, αυτή να έχει

μήκος μεγαλύτερο από 51 χιλιοστά,

iii) τον συντελεστή μεταβολής CV και να εξετάσετε αν έχουμε ομοιογενή κατανομή.

14). Έστω Ω 0,1,2,3= ο δειγματικός χώρος. Επιλέγουμε τυχαία ένα Ωλ∈ . Να βρείτε την

πιθανότητα η ανίσωση 2 2 0x x λ− + > να αληθεύει για κάθε x R∈ .

15) Α. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 ,f x x x x Rηµ= − ∈ . Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθί-

νουσα.

Β. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

α. Αν Α Β⊆ να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( )2Ρ Α Ρ Β 2Ρ Β Ρ Αηµ ηµ+ ≤ + .

β. Αν ( )Ρ Α4

π= να αποδείξετε ότι ( )( )2 Ρ Α Β 2f π∩ ≥ − .

γ. Να αποδείξετε ότι ( )( )Ρ Α Β 0f − ≤ .



56

16).Στη Γ’ τάξη ενός Λυκείου το 40% των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαι-

ρο το 30% με το μπάσκετ και το 20% με το ποδόσφαιρο και το μπάσκετ. Επιλέγοντας τυ-

χαία ένα μαθητή.

Να βρείτε την πιθανότητα:

i). Να μην ασχολείται με το μπάσκετ.

ii). Να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ.

iii). Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο.

iv). Να ασχολείται με ένα το πολύ από τα παραπάνω δύο αθλήματα.

17). Σε μια επιχείρηση το 60% των εργαζόμενων δε ξέρει Αγγλικά, το 80% δε ξέρει Γαλ-

λικά και το 70% δε ξέρει ούτε Αγγλικά ούτε Γαλλικά. Αν επιλέξουμε ένα άτομο να βρείτε

την πιθανότητα να ξέρει Αγγλικά και Γαλλικά.

18). Στο 2Γ υπάρχουν 8 αγόρια και 12 κορίτσια. Από τα αγόρια το1

4 και από τα κορίτσια

το1

3 έχουν μαύρα μάτια. Εκλέγουμε τυχαία ένα άτομο του 2Γ . Να βρείτε την πιθανότητα:

i). Να είναι κορίτσι.

ii). Να έχει μαύρα μάτια.

iii). Να είναι αγόρι και να μην έχει μαύρα μάτια.

iv). Να είναι κορίτσι ή να μην έχει μαύρα μάτια.

19). Α. Έστω η συνάρτηση ( ) ( )1 1

, 0,11

f x xx x

= + ∈−

. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f.

Β. Αν Α ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο δεν είναι αδύνατο αλλά

ούτε και βέβαιο, να δείξετε ότι: ( ) ( )1 1

4Ρ Α Ρ Α

+ ≥′

.

20). Το 40% των μαθητών ενός σχολείου ασχολούνται με το ποδόσφαιρο και το 80% με το

μπάσκετ . Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή

της πιθανότητας, ο μαθητής να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ.

21) Α. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ,xf x e x x R= − ∈ . Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία.

Β. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.

α. Αν Α Β⊆ , να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( )Ρ Α Ρ ΒΡ Β Ρ Αe e+ ≤ + .

β. Αν ( )1

Ρ Α2

= , να αποδείξετε ότι:

( )( )

( )( ). 1 2 Ρ Α Β 2

. Ρ Α Β 1

i f e

ii f e

+ − ≤

∪ ≤ −



57

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

( ΜΑΪΟΣ 2008) Το 50% των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα α, ενώ το 30%

των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν την εφημερίδα

β.

α. Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυ-

χαία, να μη διαβάζει την εφημερίδα α ή να διαβάζει την εφημερίδα β;

β. Ορίζουμε το ενδεχόμενο

Β: «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφη-

μερίδα β».

Να αποδείξετε ότι

10

7

5

1≤≤ )B(P .

γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

f(x)=x3

− 2

1x

2

+ P(B) x

όπου x πραγματικός αριθμός και Β το ενδεχόμενο που ορίστηκε στο

προηγούμενο ερώτημα. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) δεν έχει

ακρότατα.

(ΙΟΥΛΙΟΣ 2008)

Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και p ένας πραγμα-

τικός αριθμός με 0 < p < 1. Δίνεται ότι οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Α ∪ Β) και

Ρ(Α ∩ Β) είναι ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους και αποτελούν στοιχεία

του συνόλου

p – 1, p, p +1, p 2 , p3.

α. Να δείξετε ότι Ρ(Α) = p2 , Ρ(Α ∪ Β) = p και Ρ(Α ∩ Β) = p3 .

β. Να αποδείξετε ότι Ρ(Β) = p 3

– p2

+ p.

γ. Να αποδείξετε ότι Ρ(Β – Α) > Ρ(Α – Β).

( ΜΑΙΟΣ 2007)

Έστω ο δειγματικός χώρος 1,0,1, 2,3, 4,5Ω = − για τον οποίο ισχύει

Ρ(–1)=Ρ(0)=Ρ(1)=Ρ(2)=2Ρ(3)=2Ρ(4)=2Ρ(5).

Ορίζουμε τα ενδεχόμενα του Ω:



58

2Α = 1 , 3 , x -x -3 , 2Β= 2, x+1, 2x +x-2, -2x+1

όπου x ένας πραγματικός αριθμός.

α. Να βρεθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του

Ω , δηλαδή οι Ρ(–1), Ρ(0), Ρ(1), Ρ(2), Ρ(3), Ρ(4), Ρ(5).

β. Να βρεθεί η μοναδική τιμή του x για την οποία ισχύει A∩Β =–1,3.

γ. Για x=–1 να δειχθεί ότι:

5

P(A)=11

, 7

P(B)=11

, 3

P(A B)=11

∩

και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α–Β) και Ρ(Α ∪ Β΄).

( ΙΟΥΝΙΟΣ 2007)

Έ σ τω ο δ ε ι γ μα τ ικό ς χώρο ς Ω = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Θ εωρού μ ε τ α

ε νδ ε χόμ εν α Α , Β τ ου Ω τα ο πο ί α ορ ίζον τ αι ω ς εξ ή ς :

Α = x∈Ω/ 0 ≤ ℓn(x−1) < ℓn3 ,

B = x∈Ω/ (x 2 −5x)(x−1)= −6(x−1) . α . Ν α β ρε θο ύν ο ι π ι θ ανότ ητ ε ς Ρ (Α−Β ) κ αι Ρ (Β ∪Α ΄ ) .

β . Αν Ρ (Α ) = 4

1, ν α υ πο λο γι σ τε ί η πιθ ανό τη τ α Ρ (Α ΄ ∪Β ΄ ) .

γ . Αν Ρ (Α ) =4

1 κ αι Ρ( Β −Α ) =

8

1, ν α βρ ε θ εί η μ ι κρ ότ ερ η κ α ι η

μ ε γ αλ ύτ ερ η τ ιμ ή τ η ς π ι θ ανό τη τ α ς Ρ ( X ) , ό που Χ ε ί ναι ενδ ε χόμ ε νο

τ ου Ω τέ το ιο ώ σ τε Α ∪Χ = Β.

( ΜΑΪΟΣ 2006)

Σε ένα χορευτικό όμιλο συμμετέχουν x αγόρια και (x+4)2

κορίτσια.

α. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, γ ια να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια

εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να ε-

πιλεγεί αγόρι .

β. Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με 19

1 και ο όμιλος περι-

λαμβάνει λιγότερα από 100 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών

του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι .

γ. Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να με-

γιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι , και ποια είναι η τιμή

της πιθανότητας αυτής;



59

( ΙΟΥΛΙΟΣ 2006) Μία Τράπεζα χορηγεί δ ιαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της. Αν ε-

πιλεγεί τυχαία κάποιος πελάτης η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στε-

γαστικό ή μόνο καταναλωτικό δάνειο είναι 0 ,7 ενώ η πιθανότητα να μην

έχει πάρει κανένα από τα δύο προηγούμενα δάνεια είναι 0 ,1 .

α. Να βρείτε την πιθανότητα ένας πελάτης να έχει πάρει και τα δύο

δάνεια. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα «έχει πάρει στεγαστικό» και

«έχει πάρει καταναλωτικό» είναι ασυμβίβαστα.

β. Αν επιπλέον η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό είναι

0 ,6 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:

i . «έχει πάρει καταναλωτικό».

i i . «έχει πάρει μόνο καταναλωτικό».

( ΜΑΙΟΣ 2005) Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν:

(i) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι

8

7 .

(ii) Οι πιθανότητες P(B) , P(A∩B) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο Χ =

4

5,

2

1,k

, όπου :

25

3 15lim

6 5x

x

x xκ

→

−=

− +.

α. Να βρεθεί το k.

β. Να βρεθούν τα P(B), P(A∩B) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

γ. Να βρεθούν οι πιθανότητες:

(1) Να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α.

(2) Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α.

( ΙΟΥΛΙΟΣ 2005) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω=1 ,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 με ισοπίθανα απλά εν-

δεχόμενα. Για τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ του Ω είναι

AB = 1 ,2,3 ,4 ,5,6 , AB = 1 ,3 ,4 , A-B = 2 ,6 και

≥

−+

= 21x

1x / Ω εx Γ



60

α. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α) , Ρ(Β) , Ρ(Γ) .

β. Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το

Γ .

γ. Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από

τα Β και Γ .

δ. Αν s2

είναι η διακύμανση των τιμών λ,3λ,5λ, όπου λ∈Ω, να βρείτε την πι-

θανότητα του ενδεχόμενου Δ = λ∈Ω / s2

> 24.

( ΜΑΪΟΣ 2004)

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 3 25f(x) 2 x x x 10

2= − + +

Οι πιθανότητες P(A) και P(B) δύο ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι

ίσες με τις τιμές του x, στις οποίες η f έχει αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο και τοπικό μέγι-

στο.

Α. Να δείξετε ότι Ρ(Α) = 2

1 Ρ(Β) =

3

1

Β. Για τις παραπάνω τιμές των P(A), P(B) καθώς και για

P(A∪B) = 3

2 , να βρείτε τις πιθανότητες:

i. P(A∩B)

ii. P(A-B)

iii. P[(A∩B)΄]

iv. P[(A-B) ∪ (Β-Α)] .

( ΙΟΥΛΙΟΣ 2004)

Έστω Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός μη αμερόληπτου ζαριού και

η συνάρτηση f : IR → IR με τύπο

24xkxx3

1f(x) 23 ++−= όπου k∈Ω.

Αν P(1) = P(3) = P(5) = 2P(2) = 4P(4) = 2P(6), τότε να βρείτε:

α. Τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων P(1), P(2), P(3), P(4),

P(5), P(6).

β. Τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β, όπου

Α: «Η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός»

Β: «Η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός αριθμός».

γ. Την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ, όπου

Γ: «Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR » .



61

( ΜΑΪΟΣ 2003)

Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών εί-

ναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή

για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή.

Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι:

α. γυναίκα ή φιλόλογος

β. γυναίκα και όχι φιλόλογος

γ. άνδρας και φιλόλογος

δ. άνδρας ή φιλόλογος.

( ΜΑΪΟΣ 2002) Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με

Ρ(Α) + Ρ(Β) ≠ 2Ρ(Α ∩ Β).

Δίνεται ακόμα η συνάρτηση:

f(x) = (x - P(A∪B))3 - (x - P(A∩B))3 , x ∈ R.

α. Να δείξετε ότι P(A∩B) ≠ P(A∪B).

β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο

2

)B(P)A(P x

+=

γ. Εάν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, να δείξετε ότι f(P(A)) = f(P(B)).

Documents

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ