περιεχόμενα

πρόλογος του Ian Stuart 6

εισαγωγή 8

1 έτος μηδέν 9

2 παρατηρητές του ουρανού 15

3 το πυθαγόρειο θεώρημα 21

4 τα στοιχεία 27

5 δέκα υπολογιστικοί κανόνες 33

6 μαθηματικές σούτρες 39

7 το σπίτι της σοφίας 45

8 οι ελεύθερες σπουδές 51

9 η προοπτική της αναγέννησης 59

10 μαθηματικά για τον κοινό πλούτο 67

11 ο γάμος της άλγεβρας και της γεωμετρίας 77

12 12 το ωρολογιακό σύμπαν 85

13 τα μαθηματικά σε κίνηση 99

14 ωκεανοί και αστέρια 111

15 η πεμπτοβάθμια εξίσωση 119

16 νέες γεωμετρίες 125

17 οι διάλεκτοι της άλγεβρας 133

18 πεδία δράσης 139

19 συλλαμβάνοντας το άπειρο 147

2.0 ζάρια και γονίδια 153

2.1 πολεμικά παιχνίδια 159

2.2, μαθηματικά και μοντέρνα τέχνη 165

2-3 κώδικες μηχανής 173

2-4 χάος και πολυπλοκότητα 179

ευχαριστίες και επιλεγμένη βιβλιογραφία 188

ευρετήριο 190

εισαγωγή

«Και σε τι χρησιμεύει

ένα βιβλίο», σκέφτηκε η

Αλίκη, «χωρίς εικόνες και

διάλογους;»

Λούις Κάρολ, Η Αλίκη στηχώρα των θαυμάτων, 1865

Αυτό το βιβλίο δημιουργήθηκε γιατί δεν υπήρχε. Αναζητούσα ένα τρόπο να αναπαρα-στήσω την ιστορία των μαθηματικών με κάποιο προσιτό τρόπο. Αντί να ξεναγήσω τοναναγνώστη μου σε μια σειρά μεγάλων θεωρημάτων, επέλεξα να δείξω παραστατικάτους στενούς δεσμούς που είχαν οι μαθηματικές επιστήμες με τα ενδιαφέροντα και τιςφιλοδοξίες των πολιτισμών, στους κόλπους των οποίων αναπτύχθηκαν. Σκέφτηκα ότιαυτό θα μπορούσε καλύτερα να επιτευχθεί αν συνδύαζα την παραστατική πλευρά τωνμαθηματικών με τα γραπτά σχόλια των ίδιων των επιστημόνων, ταξινομημένα ανάλογαμε τις ιστορικές περιόδους και τις αντίστοιχες θεμελιώδεις εξελίξεις των μαθηματικώνιδεών. Οι περιορισμοί του χώρου και του χρόνου σημαίνουν ότι δεν μπορώ να αφηγηθώολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Αναγκαστικά λοιπόν, αυτό το βιβλίο παρουσιά-ζει επιλεγμένα επεισόδια μιας ιστορίας που παρακολουθεί τις τύχες μερικών απ' τουςμεγαλύτερους πολιτισμούς του κόσμου.

Απ' την αρχή τους, τα μαθηματικά ήταν παρόντα σε κάθε πλευρά της ανθρώπινηςδραστηριότητας. Εμπόριο, γεωργία, θρησκεία, πόλεμος - σε όλα είναι αισθητή η επιρ-ροή των μαθηματικών και όλα με τη σειρά τους έχουν απασχολήσει τους μαθηματικούς.Και όμως η ιστορία των μαθηματικών παραμένει κατά μέγα μέρος κρυμμένη από τηματιά του μελετητή. Εγώ θα έφτανα στο σημείο να πω ότι η εξέλιξη της επιστήμης, τηςφιλοσοφίας και των μαθηματικών, συγγενών μεταξύ τους κλάδων, είναι πολύ πιο σημα-ντική για την ιστορία της ανθρωπότητας απ' ό,τι μια απαρίθμηση ηγεμόνων και πολέμων.Σε μια κοινωνία με έξοχα επιστημονικά επιτεύγματα, ελπίζω ότι αυτό το βιβλίο θα συνει-σφέρει στη δημιουργία ενός πολιτισμού της επιστήμης.

Οι επιστήμες και ιδιαίτερα τα μαθηματικά ποτέ δεν διέθεταν την αστραφτερή δημό-σια εικόνα που είχαν οι τέχνες και έτσι δεν αιχμαλώτιζαν τις καρδιές και τα μυαλά τωνανθρώπων με τον ίδιο τρόπο. Κάποια αλληλεπίδραση έχει ήδη υπάρξει δεδομένου ότιέννοιες όπως η σχετικότητα, η κβαντική μηχανική, η τεχνική νοημοσύνη και το θεώρηματης μη πληρότητας έχουν γίνει αναπόσπαστο μέρος της σύγχρονης σκέψης. Όμως ότανοι μαθηματικοί μιλάνε για την ομορφιά του αντικειμένου τους, αυτό θεωρείται συχνά ότιδεν είναι παρά η αμήχανη εκδήλωση του υποτυπώδους συναισθηματισμού ενός ανθρώ-που που έχει μείνει πολύν καιρό απομονωμένος στο γυάλινο πύργο του. Ωστόσο, ηχρήση των υπολογιστών έχει κάνει την ομορφιά των μαθηματικών προσιτή σε όλους.

Αντικείμενο των μαθηματικών δεν είναι τα δυσνόητα σύμβολα. Είναι οι ιδέες: ιδέες γιατο χώρο, το χρόνο, τους αριθμούς, τις σχέσεις. Είναι η επιστήμη των ποσοτικών σχέσεων,που η ολοένα και αυξανόμενη πολυπλοκότητα τους αντικατοπτρίζει την τάση του ανθρώ-που να αναζητά τη γνώση. Και όλες οι ιδέες γεννιούνται από εικόνες του νου. Με τη συνε-χώς αυξανόμενη ισχύ των υπολογιστών, τα μαθηματικά αναβαπτίστηκαν σε εικονιστικήεπιστήμη. Οι ιδιόμορφες κατασκευές που απαντώνται στα χαοτικά και στα πολύπλοκασυστήματα παρακάμπτουν το δάσος των συμβόλων και προσφέρουν στον καθένα τηδυνατότητα να αντικρίσει ανάγλυφο το μαθηματικό τοπίο. Γεννιέται μια καινούργια αισθη-τική που συνδυάζει τη μαθηματική ακρίβεια με την αισθητική ευαισθησία. Ένα μεγάλομέρος αυτού του βιβλίου σκοπό έχει να καταδείξει ότι αυτό το μίγμα υπήρχε πάντα, άλλοτεσε μικρό και άλλοτε σε μεγάλο βαθμό. Οι δύο αυτές κουλτούρες έχουν περάσει μιαμεγάλη περίοδο μνηστείας, η οποία όμως ακόμα δεν έχει οδηγήσει στο χορό του Ησαΐα.

< πήλινη πινακίδα με λογαρια- Το κάθε βιβλίο πρέπει να έχει ένα πρώτο κεφάλαιο με μια εναρκτήρια φράση. Η ιστορίασμούς σε σφηνοειδή γραφή από το 5εν είναι κάτι τόσο τακτικό και νοικοκυρεμένο και η αναζήτηση της πρώτης χρήσης των

αριθμών είναι ένα ταξίδι στις ομιχλώδεις απαρχές της ανθρώπινης ζωής και του πολιτι-σμού. Οι αρχαιολόγοι και οι μελετητές προσπαθούν να ανασυστήσουν το παζλτης προϊ-

στορίας μας από μερικές πήλινες πινακίδες. Οι καινούργιες ανακαλύψεις δεν είναι μόνοκαινούργιες ψηφίδες σ' αυτό το παζλ, αλλά μπορούν να αλλάξουν ριζικά την όλη εικόνα

του παρελθόντος και τη σχέση μας μ' αυτό. Πρέπει να το έχουμε αυτό υπόψη, καθώς θαεξετάζουμε μερικές απ' τις παλαιότερες μαρτυρίες μαθηματικής δραστηριότητας και,στη συνέχεια, τους μαθηματικούς πολιτισμούς της Μεσοποταμίας και της Αιγύπτου.

Η παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας

Αφρικής και είναι μία περόνη μπαμπουίνου με 29 εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται

από το 35000 π.Χ. Μοιάζει με τα «ημερολογιακά ραβδιά» που ακόμα χρησιμοποιούν στηΝαμίμπια για να καταγράφουν την παρέλευση του χρόνου. Άλλα κόκαλα, της νεολιθικής

περιόδου, έχουν βρεθεί στη Δυτική Ευρώπη. Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία

και χρονολογείται από το 30000 π.Χ. φέρει 55 εγκοπές σε δυο σειρές ανά πέντε, οι οποίεςμάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων. Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ευρήματα είναι

το αποκαλούμενο Κόκαλο Ισάνγκο, που βρέθηκε στις όχθες της λίμνης Έντουαρντς, ανά-μεσα στην Ουγκάντα και στη Λαϊκή Δημοκρατία του Κονγκό. Έχει χρονολογηθεί γύρω στο

20000 π.Χ. και μοιάζει να είναι κάτι παραπάνω από πίνακας θηραμάτων. Μικροσκοπικήανάλυση αποκάλυψε πρόσθετες εγκοπές, οι οποίες μπορούν να συσχετισθούν με τιςφάσεις της σελήνης. Δεδομένης της σημασίας της πρόβλεψης της πανσελήνου, πιθανόν

για λατρευτικούς λόγους αλλά σίγουρα για τον εξαιρετικά πρακτικό λόγο της νυχτερινήςορατότητας, δεν ήταν καθόλου παράξενο που οι νεολιθικοί άνθρωποι έδιναν τόση σημα-

σία στην καταγραφή των μεταλλαγώντου μεγάλου ρολογιού του ουρανού. Στην πραγμα-

τικότητα, μέσω της αστρονομίας, της αστρολογίας ή της κοσμολογίας, ο ουρανός άσκησετη μεγαλύτερη επίδραση στην εξέλιξη των μαθηματικών.

Απ' τη Μεσοποταμία, τη γη μεταξύ των ποταμών Ευφράτη και Τίγρη, έχουμε γραπτάαρχεία που εκτείνονται μέχρι το 3500 π.Χ. περίπου. Η περιοχή κατακτήθηκε κατά καιρούς

από διάφορους λαούς. Οι παλαιότεροι, Σουμέριοι και Ακκάδες, έδωσαν τη θέση τουςστους τεχνίτες του σιδήρου Χεπαίους, οι οποίοι υπέκυψαν στους τρομερούς Ασσύριους.

Ακολούθησαν οι Χαλδαίοι και ο περίφημος βασιλιάς τους Ναβουχοδονόσωρ, ώσπου κατα-κτήθηκαν κι εκείνοι απ' τους Πέρσες, οι οποίοι με τη σειρά τους υποτάχθηκαν στις στρα-

τιές του Μεγάλου Αλεξάνδρου. Το κέντρο εξουσίας ήταν αρχικά στην Ουρ και μετά στηΝινευή και στη Βαβυλώνα. Τα κυριότερα μαθηματικά στοιχεία προέρχονται απ' την Παλιά

Βαβυλωνιακή Αυτοκρατορία (1900-1600 π.Χ.), όπου έχουμε σουμεριακές και ακκαδικέςεπιδράσεις, και από τη δυναστεία των Σελευκιδών του 4ου αι. π.Χ., όπου είναι εμφανείς οι

ελληνικές και βαβυλωνιακές επιδράσεις. Λόγω της μεγάλης σημασίας που είχε η Βαβυ-λώνα σε όλη αυτή την περίοδο, τα τότε μαθηματικά είναι γνωστά ως βαβυλωνιακά.

Το σημερινό δεκαδικό σύστημα είναι ένα σύστημα θεσιακού συμβολισμού με βάση το10 - με άλλα λόγια, 10 μονάδες της μιας αριθμητικής θέσης αντιστοιχούν με 1 μονάδα της

αμέσως ανώτερης, οπότε η θέση ενός ψηφίου καθορίζει την αξία του. Τα παλαιότερα γρα-πτά που έχουμε δείχνουν ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ένα εξηνταδικό σύστημα, με

βάση δηλαδή το 60. Έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στο μέτρημα του χρόνου. Έτσι, π.χ.,

Α Βαβυλωνιακή μαθηματική πινα-κίδα με πίνακα πολλαπλασιασμού.Ο πηλός ήταν άφθονος στη Μεσο-ποταμία και οι πινακίδες χρησιμο-ποιούνταν από τους μαθητές σαντετράδια. Όσο ο πηλός παρέμενενωπός, μία πράξη μπορούσε νασβηστεί και να γραφτεί μία καινούρ-για. Τις στεγνές πινακίδες τιςπετούσαν, αλλά μερικές τις χρησι-μοποιούσαν στα θεμέλια κτιρίων,όπου και ανακαλύφθηκαν πολλούςαιώνες αργότερα.

όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εμείς

σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά. Από το 2000 π.Χ. αναπτύ-

χθηκε ένα θεσιακό σύστημα συμβολισμού, το οποίο χρησιμοποιούσε δύο σύμβολα, το τ

για 1 και το < για 10 διατηρώντας πάντα την εξηνταδική βάση. Έτσι, το 75 γραφόταν

τ<ττπτ. Το αριθμητικό αυτό σύστημα ήταν εξαιρετικά ανεπτυγμένο, δεδομένου ότι είχε και

εξηνταδικά κλάσματα, αλλά δεν είχε σύμβολο για το μηδέν. Συστηματικός θεσιακός συμ-

βολισμός χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στη Νέα Βαβυλωνιακή Αυτοκρατορία, τον 6ο

αι. π.Χ., οπότε όταν διαβάζουμε παλαιούς βαβυλωνιακούς αριθμούς, πρέπει να είμαστε

ιδιαίτερα προσεχτικοί, γιατί η τάξη μεγέθους των συμβόλων μπορεί να γίνει μόνο με βάση

τα συμφραζόμενα. Π.χ. χωρίς σύμβολο για το μηδέν θα είχαμε μεγάλη δυσκολία να ξεχω-

ρίσουμε μεταξύ τους τους αριθμούς 18,108 και 180. Δεν ξέρουμε γιατί οι Βαβυλώνιοι επέ-

λεξαν να χρησιμοποιήσουν ένα τέτοιο σύστημα· ωστόσο, είναι εύχρηστο στους υπολογι-

σμούς και άντεξε στη δοκιμασία του χρόνου, κυρίως στη χρήση της βάσης του 60 για

λεπτά και δευτερόλεπτα, στη μέτρηση του χρόνου και των γωνιών.

Τα υλικά τεκμήρια για τα βαβυλωνιακά μαθηματικά είναι σε μορφή πήλινων πινακί-

δων με σφηνοειδείς επιγραφές. Η χρήση τους ήταν διαδεδομένη και έχουν επιβιώσει

εκατοντάδες χιλιάδες δείγματα, από μικρά θραύσματα έως ολόκληρες πλάκες μεγέ-

θους χαρτοφύλακα. Ο πηλός ήταν άφθονος και για όση ώρα έμενε νωπός μπορούσε

κανείς να σβήσει ένα υπολογισμό και να ξαναρχίσει από την αρχή. Μόλις ο πηλός σκλή-

ραινε, η πινακίδα ήταν άχρηστη και ή την πετούσαν ή τη χρησιμοποιούσαν σαν δομικό

υλικό. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί αντιμετωπίζονταν όπως και σήμερα. Οι Βαβυλώνιοι

είχαν ειδικότητα στους μαθηματικούς πίνακες και μας έχουν αφήσει αρκετούς εξαιρε-

τικά λεπτομερείς πίνακες αντίστροφων, τετραγώνων, κύβων και ανώτερων ακόμα δυνά-

μεων - οι οποίες ήταν χρήσιμες στον υπολογισμό του τόκου των δανείων. Οι μαθηματι-

κοί πίνακες έχουν σήμερα στην ουσία καταργηθεί, καθώς έχουν αντικατασταθεί από

υπολογιστικές μηχανές, αλλά η σημασία που είχαν στη διευκόλυνση των υπολογισμών

εκτείνεται ιστορικά μέχρι εκείνες τις πήλινες πινακίδες. Οι Βαβυλώνιοι ήταν πάρα πολύ

καλοί στην Άλγεβρα, αν και τα προβλήματα και οι μέθοδοι επίλυσης εκφράζονταν

καθαρά ρητορικά - με λέξεις δηλαδή και όχι με σύμβολα. Έλυναν εξισώσεις δευτέρου

βαθμού με αυτό που στην ουσία είναι η δική μας μέθοδος της «συμπλήρωσης του τετρα-

γώνου». Η αιτιολόγηση της διαδικασίας αυτής βασιζόταν στο γεγονός ότι μία ορθογώ-

νια έκταση μπορεί να αναδιαταχτεί για να σχηματίσει τετράγωνο. Μερικές εξισώσεις

ανώτερου βαθμού επιλύονταν είτε με αριθμητικές μεθόδους, είτε απλοποιώντας τις με

τέτοιο τρόπο ώστε να ανάγονται σε γνωστούς τύπους.

Στη Γεωμετρία είχαν μεθόδους για να βρίσκουν το εμβαδόν επιπέδων σχημάτων και

πολλά προβλήματα τα έλυναν αλγεβρικά. Τους άρρητους αριθμούς, οι οποίοι παριστά-

νονται με άπειρα δεκαδικά ψηφία, τους χειρίζονταν αριθμητικά περικόπτοντας το κλα-

σματικό εξηνταδικό ανάπτυγμα. Για παράδειγμα, στο δεκαδικό σύστημα, V5 = 2.236067

..., όπου οι τρεις τελείες δηλώνουν ότι η δεκαδική ανάπτυξη συνεχίζεται επ' άπειρον. Αν

κόψουμε αυτό το νούμερο σε δύο δεκαδικά ψηφία παίρνουμε τον αριθμό 2,23, σε αντί-

θεση με τον 2,24 που είναι η πιο κοντινή προσέγγιση. Μερικές φορές ο κομμένος και ο

προσεγγιστικός αριθμός δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, όπως π.χ. το V5 που με τρία δεκα-

δικά ψηφία δίνει και στις δύο περιπτώσεις 2,236. Δεν έχει βρεθεί καμία αναφορά στην

πιθανή άπειρη φύση τέτοιων αναπτυγμάτων, αλλά μία πινακίδα αναγράφει μία πάραπολύ καλή προσέγγιση του V2, η οποία στο εξηνταδικό σύστημα δίδεται ως 1 ;24,51,10,δηλαδή με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων. Δεν αναφέρεται ο τρόπος υπολογισμού,αλλά μία μέθοδος, η οποία φέρει το όνομα του Ήρωνα, ενός Έλληνα μαθηματικού τουΊουαι.μ.Χ.,δύο χιλιάδες χρόνια αργότερα, δίνει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα. Οι Βαβυ-λώνιοι επίσης έκαναν εκτεταμένη χρήση του πυθαγόρειου θεωρήματος χίλια χρόνιαπριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα.

Τα παλιά βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν και ανεπτυγμένα και κατάλληλα για τα πρα-κτικά καθήκοντα της λογιστικής, της τήρησης των οικονομικών και για την έκφρασημέτρων και σταθμών. Μερικά από τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν τότε δείχνουν ότιυπήρχε και θεωρητική παράδοση. Θα πάρουμε μία ιδέα γι' αυτήν όταν θα εξετάζουμε τηβαβυλωνιακή Αστρονομία.

Στις τέσσερις χιλιετίες που κράτησε ο πολιτισμός τους, οι Αιγύπτιοι άφησαν ελάχι-στες ενδείξεις για τη μαθηματική τους επιστήμη. Ο πάπυρος είναι ευαίσθητο υλικό καιείναι θαύμα που κάποιοι πάπυροι διατηρήθηκαν μέχρι σήμερα. Οι δύο κύριες πηγές μαςείναι οι πάπυροι του Ριντ και της Μόσχας. Υπάρχουν επίσης αρκετά ήσσονος σημασίαςντοκουμέντα αλλά και απεικονίσεις σε τάφους και ναούς, που δείχνουν εμπορικές καιδιοικητικές πράξεις, οι οποίες φυσιολογικά πρέπει να απαιτούσαν μαθηματικές δεξιότη-τες. Ο πάπυρος του Ριντ γράφτηκε γύρω στο 1650π.Χ. από έναν γραφέα ονόματιΑχμής, ο οποίος εξηγεί ότι αντιγράφει ένα πρωτότυπο δύο αιώνες παλαιότερο. Η εισα-γωγική φράση ισχυρίζεται ότι το κείμενο είναι «μία πλήρης μελέτη όλων των πραγμάτων,μία εις βάθος ανάλυση όλων όσων υπάρχουν, αποκάλυψη όλων των σκοτεινών μυστι-

>· Ο πάπυρος του Ριντανακαλύφθηκε στα μέσα του 19ουαιώνα, μάλλον στις Θήβες.Αγοράστηκε στο Λούξορ από τον Α.Χ. Ριντ για να πουληθεί αργότεραστο Βρετανικό μουσείο από τουςεκτελεστές της διαθήκης του. Τοπρόβλημα που εικονίζεται είναι ηεύρεση του εμβαδού ενόςτριγωνικού κομματιού εδάφους.

Α Ανάγλυφο αιγυπτιακής στήλης

με αριθμούς, από το Ναό του

Καρνάκ.

κών». Σε μας αυτή η φράση μπορεί να φαίνεται λίγο υπερβολική, αλλά μπορεί απλώς να

δείχνει ότι η τέχνη του γραφέα ήταν προνόμιο μιας επίλεκτης ελίτ. Ο πάπυρος περιλαμ-βάνει 87 προβλήματα και τις λύσεις τους και είναι γραμμένος σε κοινή ιερατική γραφή

και όχι στην περίτεχνη ιερογλυφική που χρησιμοποιούσαν κατά κανόνα για διακοσμητι-κές επιγραφές. Τα περισσότερα προβλήματα είναι υπολογισμοί, όπως το μοίρασμαενός αριθμού καρβελιών σε ένα δεδομένο αριθμό ανθρώπων. Υπάρχει και μία μέθοδος

υπολογισμού του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου. Όλες οι λύσεις συνοδεύονται

από πρακτικά, λυμένα παραδείγματα1 δεν αναφέρονται πουθενά γενικοί τύποι. Ο πάπυ-ρος της Μόσχας καλύπτει περίπου τα ίδια πράγματα, αλλά περιλαμβάνει και υπολογι-σμούς του όγκου μίας κόλουρης πυραμίδας και ενός άλλου σχήματος που μάλλον είναι

η επιφάνεια ενός ημισφαιρίου.Δύο χαρακτηριστικά της αιγυπτιακής χρήσης των αριθμών μας κάνουν αμέσως

εντύπωση. Το πρώτο είναι ότι όλοι οι υπολογισμοί βασίζονται μόνο στην πρόσθεση και

στον πίνακα πολλαπλασιασμού του 2 και το δεύτερο είναι η προτίμηση τους για μοναδι-

αία κλάσματα ( 1/2,1Λ κ.λπ.). Ο πολλαπλασιασμός συνεπώς αποτελείται από επανειλημ-μένους διπλασιασμούς (και αν είναι απαραίτητο ημιδιπλασιασμούς), και μετά πρόσθεσητων απαραίτητων ενδιάμεσων αποτελεσμάτων. Π .χ., για να πολλαπλασιάσει το 19 με το

5 ο γραφέας έγραφε / 1 19

2 38/ 4 76

και μετά, εφόσον 1 +4=5, προσθέτοντας το 19 και το 76 παίρνουμε 95, το οποίο είναι τοαποτέλεσμα του 19 επί 5. Η διαίρεση γινόταν με ανάλογο τρόπο, αλλά τώρα υπήρχε και η

δυνατότητα κλασματικής λύσης. Εδώ ακριβώς χρησιμοποιούνται οι κλασματικές μονάδες.Ο τρόπος με τον οποίο οι Αιγύπτιοι δήλωναν μια κλασματική μονάδα ήταν η τοποθέτηση

μίας οριζόντιας γραμμής πάνω από τον αριθμό: έτσι το 1Α γραφόταν 5. Δεν υπήρχε σύμ-

βολο για τα δικά μας 2Α ή για άλλο κλάσμα εκτός από τα %. Ο πάπυρος του Ριντ αρχίζει με

έναν πίνακα κλασμάτων της μορφής 21η, όπου το n είναι περιττός αριθμός, αναλυμένος σε

μοναδιαία κλάσματα. Έτσι, το 2Α ισούται με 1Λ και Υι6, οπότε αν κάποιο πρόβλημα είχε μίαλύση, που εμείς σήμερα θα τη γράφαμε 2/s, οι Αιγύπτιοι γραφείς την έγραφαν ως 3ί5.

Είναι ακόμα δύσκολο να καταλάβουμε, πώς ένα τέτοιο σύστημα μπορούσε να λειτουργή-σει σε πρακτικό επίπεδο, αν και είναι προφανές ότι λειτουργούσε. Αναμένονται ωστόσο

περισσότερες ανακαλύψεις για να μπορέσουμε να διευκρινίσουμε την προέλευση του.Μία πιθανότητα είναι ότι στους αριθμητικούς υπολογισμούς που είχαν σχέση με κληρο-

νομιές ή διανομή προϊόντων, οι κλασματικές μονάδες χρησιμοποιούνταν γιατί έδιναν από-

λυτη ακρίβεια και όχι προσεγγίσεις. Οι Αιγύπτιοι δεν είχαν νόμισμα, οπότε οι συναλλαγέςγίνονταν χρησιμοποιώντας άλλα προϊόντα ως μέτρα, συνήθως το ψωμί ή την μπύρα. Αυτό

φαίνεται στο πρόβλημα του πάπυρου του Ριντ, όπου το ζητούμενο είναι το μοίρασμα 9 καρ-βελιών σε 10 ανθρώπους. Σήμερα εμείς θα υπολογίζαμε ότι ο καθένας θα έπρεπε να πάρει9/ιο του καρβελιού και θα τα μοιράζαμε κόβοντας Υ™ από κάθε καρβέλι, έτσι ώστε 9 άνθρω-ποι θα έπαιρναν από9/™ ενός καρβελιού και ο δέκατος θα έπαιρνε 9 κομμάτια του Υ». Η

λύση που δίνει ο πάπυρος είναι 9/κ> = % +γ5 +Υ™, αυτό απαιτεί πολύ περισσότερα κοψί-ματα στα ψωμιά, αλλά η θετική του πλευρά είναι ότι ο καθένας από τους 10 ανθρώπους θαπάρει όχι μόνο την ίδια αναλογία ψωμιού αλλά και ίδια κομμάτια με όλους τους άλλους.

Τον όγκο τον δήλωναν με τμήματα του ιερογλυφικού που αναπαριστούσε το μάτι τουΏρου. Βλέπουμε εδώ τον διττό ρόλο μιας κάστας ιερέων που ήταν ταυτόχρονα στελέχητης διοίκησης αλλά και θρησκευτικοί λειτουργοί. Ο Ώρος ήταν ο θεός-γεράκι και το μάτιήταν εν μέρει ανθρώπινο και εν μέρει γερακίσιο. Κάθε στοιχείο του ιερογλυφικού αναπαρι-στούσε ένα κλάσμα από το Ά έως το'/«, και έτσι, με διάφορους συνδυασμούς, μπορού-σαν να αναπαραστήσουν όσα εξηκοστά τέταρτα ήθελαν. Όμως το μάτι του Ώρου είχε καιμυστικιστική σημασία. Ο Ώρος ήταν ο μόνος γιος της Ίσιδας και του Όσιρι και ορκίστηκενα εκδικηθεί το θάνατο του πατέρα του από το δολοφονικό χέρι του αδελφού του Σηθ. Στηδιάρκεια μιας από τις άπειρες μάχες τους, ο Σηθ έβγαλε το μάτι του Ώρου, το έκοψε σε έξικομμάτια και το σκόρπισε σε όλη την Αίγυπτο. Ο Ώρος επέστρεψε το κομπλιμέντο ευνου-χίζοντας τον Σηθ. Ο θρύλος λέει ότι επενέβησαν οι θεοί και όρισαν τον Ώρο βασιλιά τηςΑιγύπτου και θεό προστάτη των Φαραώ, δίνοντας ταυτόχρονα οδηγίες στον Θωθ, θεό της

σοφίας και της μαγείας, να επανασυναρμολογήσει

Λέγουν ότι ο Βασιλιάς μοίρασε τη χώρα σε όλους τους Αιγυπτί- το μάτι του Ώρου, το οποίο έτσι έγινε το σύμβολοους δίνοντας στον καθένα ένα ίσο κομμάτι γης και όρισε ότι ^ ολότητας, του οραματισμού, της αφθονίας και

αυτό θα ήταν η πηγή του εισοδήματος του για το οποίο θα πλή- της γονιμότητας. Οι γραφείς, που οπροοτάτης

ρωνε ετήσιο φόρο. Και όποιος έχανε από πλημμύρα μέρος της βεό^°^ ή™° Θ

7

ωθ> Χρησιμοποιούσαν το φυλά-/ ν ΐ ' Γ Λ 'τϊ ' ττ ' χτο για να συμβολιζουντις κλασματικές μονάδες,

γης του πήγαινε στον Σεσωστρι [τον Φαραώ Ραμσή II, περί- Λέγεταιοτικαποιαμέραέναςμαθητευόμενοςγρα.

που 1300π.Χ ) και έλεγε τι του είχε συμβεί. Τότε ο Βασιλιάς φεαςπαρατηρησεστοδάσκαλότουότιτοσύνολοέστελνε επιθεωρητές οι οποίοι μετρούσαν το τμήμα κατά το των κλασμάτωντου ματιού του Ώρου δενέδινετη

οποίο είχε μειωθεί η γη, ώστε να πληρώνει αναλογικά μικρό- μονάδα αλλά «/«. Ο δάσκαλος απάντησε ότι το υπο-τερο φόρο από εκείνον που του είχε επιβληθεί αρχικά. Από αυτό λειπόμενο'/« ήταν η αμοιβή του Θωθ σε όποιον

νομίζω έμαθαν οι Έλληνες την τέχνη της γεωμετρίας· το ημε- γραφέα ζητούσε και δεχόταντην προστασία του.ρολόγιο και το ηλιακό ρολόι ήρθαν στην Ελλάδα όχι από την Οι γνώσεις μας για τα αιγυπτιακά μαθηματικά

Αίγυπτο αλλά από την Βαβυλωνία. περιορίζονται αναγκαστικά απ' την έλλειψη ευρημά-των. Είναι πολύ εύκολο λοιπόν να πιστέψει κανείς

Ηρόδοτος, Ιστορία, II, μέσα 5ου αι. π.Χ. ότ, τα μαθηματικά των Αίγυπτίων δεν είχαν φτάσειτο επίπεδο των Βαβυλωνίων. Ομως μια τέτοιαγνώμη θα ήταν εντελώς αδικαιολόγητη, ιδιαίτερα αν

λάβουμε υπόψη μας την ακρίβεια της κατασκευής των πυραμίδων και την αποτελεσμα-τική διοίκηση μιας τόσο μεγάλης αυτοκρατορίας. Μερικά από τα στοιχεία που έχουμεαφήνουν να διαφαίνονται σημαντικά αποτελέσματα, όπως π.χ. ο όγκος μιας κόλουρηςπυραμίδας, αλλά παραμένει ασαφές εάν αυτό ήταν ένα αποτέλεσμα που το προκάλεσε τοενδιαφέρον που είχαν για τις πυραμίδες, ή μέρος ενός εξελιγμένου, αλλά χαμένου στησυνέχεια συστήματος γνώσεων. Οι αρχαίοι Έλληνες υποστήριζαν ότι τα μαθηματικάτους, και ιδιαίτερα η Γεωμετρία, είχαν προέλευση αιγυπτιακή. Αυτό όμως που μας κάνειεντύπωση σήμερα δεν είναι η ομοιότητα ανάμεσα στα αιγυπτιακά και στα ελληνικά μαθη-ματικά αλλά οι τεράστιες διαφορές στο ύφος και στο βάθος και, μπορούμε να συμπερά-νουμε, στην κατανόηση. Φαίνεται ότι τα «σκοτεινά μυστικά» του Αχμή παραμένουν σκο-τεινά μέχρι και σήμερα.

< Το ημερολόγιο της πέτρας τουήλιου των Αζτέκων, που ανακαλύ-φθηκε το 16ο αι., αναπαριστά τονΤοναϊτούχ, πέμπτο ήλιο και σύμ-βολο της σημερινής εποχής. Μερι-κοί πιστεύουν ότι η αστρονομικήγνώση των Αζτέκων κληρονομή-θηκε από παλαιότερους κέντρο-αμερικανικούς πολιτισμούς, όπωςοι Ολμέκοι και οι Μαγιάς.

Ένα μεγάλο μέρος των πρώιμων μαθηματικών αναπτύχθηκε για το εμπόριο και τη γεωρ-

γία αλλά υπήρχε και κάποια σχέοη με θρησκευτικές πρακτικές και με την κι'νηοη των

ουρανών. Η κατασκευή ημερολογίων ήταν στην ουσία δουλειά αστρονόμων-ιερέων, και η

χαρτογράφηση του ουρανού χρειαζόταν ειδικά μαθηματικά για να αναπτυχθεί. Καθώς οι

περισσότερες αρχαίες κοσμολογίες ήταν γεωκεντρικές, ο όρος «πλανήτης» αναφέρεται

στον Ήλιο, στη Σελήνη και σε πέντε ορατούς πλανήτες, δεδομένου ότι ο Ουρανός, ο

Ποσειδώνας και ο Πλούτωνας ανακαλύφθηκαν σχετικά πρόσφατα. Σε όλα τα πλάτη και τα

μήκη της Γης, οι διάφοροι πολιτισμοί κατέγραφαν τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων και

κατασκεύαζαν ημερολόγια, οπότε όλοιτους έπρεπε να βρουν τρόπους να συμβιβάσουν

τους δύο πιο σημαντικούς κύκλους -τον σεληνιακό μήνα και το ηλιακό έτος.

Ο πολιτισμός των Μαγιάς στην Κεντρική Αμερική, ο οποίος έχει τις ρίζες του γύρω

στο 1000 π.Χ., πέρασε την κλασσική του περίοδο από το 300 μέχρι το 900 μ.Χ. Ελάχιστα

γραπτά γλίτωσαν από τις Ισπανικές εισβολές από το 1519 και μετά (το πιο σημαντικό

είναι το χειρόγραφο που είναι γνωστό με το όνομα Κώδικας της Δρέσδης, που περιέχει

αστρονομικούς πίνακες), αλλά ευτυχώς οι Μαγιάς μας άφησαν και ανάγλυφες επιγρα-

φές. Κάθε 20 χρόνια ανήγειραν πέτρινες στήλες, όπου κατέγραφαν την ημερομηνία της

κατασκευής, σημαντικά γεγονότα των προηγούμενων είκοσι ετών και τα ονόματα των

ευγενών και των ιερέων. Τα ιερογλυφικά που χρησιμοποιούσαν για αυτές και για άλλες

επιγραφές ήταν στυλιζαρισμένες απεικονίσεις θεοτήτων των Μαγιάς. Αλλά για αριθ-

μούς συχνά χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα που τώρα είναι γνωστό με το όνομα «τελείες

και παύλες». Σ' αυτό το θεσιακό συμβολικό σύστημα μία τελεία σήμαινε «ένα» και μία

οριζόντια παύλα σήμαινε «πέντε», με ένα σύμβολο για το μηδέν που έμοιαζε με αχιβάδα.

Το σύστημα φαίνεται πως ήταν σε χρήση από το 400 π.Χ. και ήταν στην ουσία εικοσα-

δικό, δηλαδή με βάση το είκοσι, αν εξαιρέσουμε μία ανωμαλία στην τρίτη θέση. Ένα

πραγματικό εικοσαδικό σύστημα θα είχε στις διαδοχικές τάξεις μεγέθους τις τιμές 1,20,

202,203 κ.ο.κ., αλλά το σύστημα των Μαγιάς χρησιμοποιούσε τη ν ακολουθία 1,20,

18x20,18χ202 κ.ο.κ. Αυτό ασφαλώς έκανε τους διάφορους υπολογισμούς πολυπλοκότε-

ρους αλλά από το γεγονός ότι 18x20=360 μπορούμε να καταλάβουμε τη σημασία που

απέδιδαν στο ημερολογιακό τους σύστημα οι Μαγιάς.

Οι Μαγιάς είχαν 3 ημερολόγια. Το ιερό έτος είχε 260 ημέρες σε δύο επικαλυπτόμενους

κύκλους: έναν κύκλο με τους αριθμούς 1 έως 13 και έναν άλλον, 20ήμερο κύκλο θεοτήτων.

Έτσι η κάθε ημέρα στο ιερό έτος καθοριζόταν μοναδικά από έναν αριθμό και μία θεότητα.

Αυτό το ημερολόγιο δεν είχε και πολύ μεγάλη χρησιμότητα για τους γεωργούς, γι' αυτό και

χρησιμοποιούσαν κι ένα δεύτερο, πολιτικό, που είχε 365 μέρες, δηλαδή 18 μήνες των 20

ημερών συν 5 επιπλέον ημέρες, που ήταν γνωστές σαν «περίοδος χωρίς όνομα». Το ιερο-

γλυφικό γι' αυτή την τελευταία περίοδο παριστούσε το χάος και την αταξία και οποιοσδή-

ποτε γεννιόταν μία από αυτές τις μέρες ήταν υποτίθεται καταραμένος για όλη του τη ζωή.

Ένα τρίτο, που χρησιμοποιούσαν για μετρήσεις σε βάθος χρόνου, βασιζόταν σε μια χρονο-

λόγηση που ξεκινούσε από τις 12 Αυγούστου 3013 π.Χ. και είχε κύκλους 360 ημερών.

Υπήρχαν και κύκλοι θυσιών από 4,9 και 819 ημέρες, έτσι ένα μεγάλο μέρος του χρόνου των

γραφέων αναλωνόταν στον υπολογισμό των ημερολογίων και των σημαντικών ημερομη-

νιών. Χωρίς καμία προφανή χρήση κλασμάτων ή τριγωνομετρίας, οι Μαγιάς ήταν ικανοί να

κάνουν εξαιρετικά ακριβείς προβλέψεις βασισμένες σε έναν τεράστιο πλούτο συσσωρευ-

Α Σύγχρονο αντίγραφο ενόςφορητού βυζαντινού ηλιακού ρολο-γιού και ημερολογίου του 6ου αι. Ηπίσω πλευρά του οργάνου αποκα-λύπτει έναν εξαιρετικά πολύπλοκομηχανισμό μοχλών, ανάλογο μεαυτόν που βρέθηκε στο πρωτό-τυπο.

μένων αστρονομικών παρατηρήσεων. Π .χ., οι αστρονόμοι των Μαγιάς ισχυρίζονταν ότι

149 σεληνιακοί μήνες ισούνται με 4400 μέρες, κάτι που αντιστοιχεί σε έναν σεληνιακό

μήνα 29,5302 ημερών-πολύ κοντά στο αποδεκτό σήμερα 29,53059.0 Κώδικας της

Δρέσδης περιλαμβάνει πίνακες σεληνιακών και ηλιακών εκλείψεων και μελλοντικών

θέσεων της Αφροδίτης, που την αποκαλούσαν Αυγερινό και Αποσπερίτη. Σχεδόν

τίποτα άλλο δεν είναι γνωστό για τη μαθηματική αστρονομία των Μαγιάς.

Το αιγυπτιακό ημερολόγιο χρησιμοποιούσε ακριβώς την ίδια μέθοδο με εκείνο των

Μαγιάς, δηλαδή 12 μήνες των 30 ημερών και 5 επιπλέον μέρες στο τέλος του έτους.

Οι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που διαίρεσαν την ημέρα σε 24 μονάδες, αν και

δεν είναι σαφές, πότε η ώρα απέκτησε σταθερή διάρκεια. Χρησιμοποιού-

σαν κάτι που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «εποχιακές» ώρες, διαι-

ρώντας την περίοδο της ημέρας και της νύχτας σε 12 μονάδες την

καθεμία, οι οποίες άλλαζαν, καθώς άλλαζε το μέγεθος της ημέ-

ρας και της νύχτας στη διάρκεια του χρόνου. Οι Αιγύπτιοι είχαν

μία δική τους ομάδα μικρών αστερισμών, τους «δεκανούς»,

που ανέτειλαν με διαφορά 10 ημερών. Στους Ελληνιστικούς

χρόνους αυτοί οι δεκανοί συνδυάζονταν με το βαβυλωνιακό

ζωδιακό κύκλο, έτσι ώστε ο κάθε ζωδιακός αστερισμός,

που καταλάμβανε 30° του ουρανού, χωριζόταν περαιτέρω

σε 3 δεκανούς. Οι δεκανοί απεικονίζονται στα ταβάνια

βασιλικών ναών και σε καπάκια σαρκοφάγων του Μεσαίου

Βασιλείου (περ. 2100-800 π.Χ.). Ωστόσο έχει αποδειχθεί

δύσκολη η ταύτιση των δεκανών με γνωστά αστέρια. Μόνη

εξαίρεση ο Σείριος, του οποίου η ανατολή σήμαινε την ετή-

σια πλημμύρα στο Νείλο, που ήταν απαραίτητη για την

άρδευση της πεδιάδας. Σε μεταγενέστερους τάφους βρί-

σκουμε μία πιο περίτεχνη απεικόνιση άστρων σε ένα σύστημα

πλέγματος, και υπάρχει ένας Δημοτικός πάπυρος της Ελληνι-

στικής περιόδου, που βοήθησε πολύ στην αποκρυπτογράφηση

των επιγραφών. Ωστόσο, φαίνεται ότι οι τεχνίτες που πρόσθεταν

αυτές τις απεικονίσεις στους τάφους έκαναν πολλές καλλιτεχνικές

υπερβάσεις στην ερμηνεία των αστρονομικών πληροφοριών, γιατί τα

αρχικά σχέδια από τα οποία παράχθηκαν οι τελικές εικόνες ήταν στην πραγματι-

κότητα πιο ακριβή. Δεν παραδίδονται γραπτές μαρτυρίες για αστρονομικές παρατηρήσεις

ή για παραγωγή πινάκων από τους Αιγυπτίους· ακόμα και ο Πτολεμαίος, ο οποίος παραθέ-

τει τις πηγές του για την αρχαία αστρονομία, δεν αναφέρει καμιά αιγυπτιακή πηγή.

Από την πτώση της Ασσυριακής αυτοκρατορίας μέχριτους Ελληνιστικούς χρόνους οι

Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν μία πολύ αποτελεσματική προβλεπτική αστρονομία. Ο Πτολεμαίος

αναφέρει ότι από τον 8ο αι. π.Χ. υπήρχαν πλήρεις κατάλογοι σεληνιακών εκλείψεων αλλά

ελάχιστα αξιόπιστα πλανητικά δεδομένα. Το βαβυλωνιακό ημερολόγιο ήταν καθαρά σελη-

νιακό' η πρώτη μέρα του μήνα συνέπιπτε με την εμφάνιση του φεγγαριού, και κάθε μέρα

διαρκούσε από δύση σε δύση. Ενδιαφέρονταν κυρίως να προβλέπουν την εμφάνιση της

νέας σελήνης και τη διάρκεια του μήνα - 29 ή 30 μέρες. Όμοια τους απασχολούσε η

Α Αστρονόμοι του Μεσαίωναχρησιμοποιούν έναν αστρολάβο,εφεύρεση που αποδίδεται στουςαρχαίους Έλληνες η οποία τελειο-ποιήθηκε από Άραβες επιστήμονεςκαι μαθηματικούς.

πρώτη εμφάνιση των πλανητών πολύ μεγάλη σημασία για τις παλαιότερες πινακίδες έχει η

Αφροδίτη. Για να μπορούν να παράγουν «εφημερίδες», όπως ονομάζονται οι πίνακες των

πλανητικών θέσεων, η περιοχή του ζωδιακού χωριζόταν σε τρεις ζώνες 12 συγκεκριμένων

αστερισμών και οι πλανητικές θέσεις δίνονταν σε σχέση με τα αστέρια. Υπάρχουν επίσης

πίνακες ανατολής και δύσης για τους αστερισμούς. Εφημερίδες σώζονται από την εποχήτων Σελευκιδών, ιδιαίτερα για τη σελήνη αλλά και για τους άλλους πλανήτες.

Ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα αυτής της περιόδου ήταν η ανάλυση της φαινό-

μενης κίνησης του Ήλιου και της Σελήνης, απαραίτητη για τον καθορισμό της αρχής του

κάθε μήνα. Οι Βαβυλώνιοι ανακάλυψαν ότι η γωνία ανάμεσα στον ορίζοντα και στην εκλει-

πτική, τη φαινόμενη τροχιά του ηλίου στον ουρανό, μεταβάλλεται στη διάρκεια του χρό-

νου. Επίσης, η τροχιά της Σελήνης αποκλίνει περιοδικά από την εκλειπτική περίπου 5° σε

κάθε πλευρά. Επιπλέον, τα δύο ουράνια σώματα κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες.

Αυτές οι περιοδικές αλλαγές, οι οποίες είναι ημιτονοειδείς μεταβολές, εκφράστηκαν κατά

προσέγγιση, αλλά με μεγάλη ακρίβεια, από τις αποκαλούμενες «συναρτήσεις ζιγκ-ζαγκ».

Αυτές αντιμετωπίζονταν αριθμητικά ως ανερχόμενες και κατερχόμενες ακολουθίες αριθ-

μών. Πολλές βαβυλωνιακές πινακίδες με ασκήσεις στις αριθμητικές προόδους μπορεί να

ήταν προετοιμασία για τη δημιουργία ηλιακών και σεληνιακών πινάκων, που θα μπορούσαν

να χρησιμοποιηθούν για να προβλέψουν την εμφάνιση της νέας Σελήνης, μέχρι και τρία

χρόνια προκαταβολικά. Από τα στοιχεία που έχουμε, φαίνεται ότι χρησιμοποιούσαν μεθό-

δους μαθηματικής παρεμβολής για να ομαλοποιούν τις τροχιές των πλανητών σε σχέση με

τις πραγματικές παρατηρήσεις. Η πτολεμαϊκή θεωρία ακολουθούσε την ακριβώς αντίθετη

τακτική, προσπαθώντας να κατασκευάσει ένα όσο το δυνατόν ακριβέστερο πλανητικό

μοντέλο, από το οποίο να μπορεί να συνάγει τις πλανητικές θέσεις.

Δεν είναι σαφές ποια ήταν η ύστερη βαβυλωνιακή πλανητική θεωρία· τα παλιά αρχεία

δείχνουν ένα γεωκεντρικό σύμπαν με κυκλικές πλανητικές τροχιές. Στον ελληνικό κόσμο, ο

Αρίσταρχος (320-250 π.Χ.) πρότεινε ένα ηλιοκεντρικό σύστημα, πιθανότατα βασιζόμενος

στους υπολογισμούς του ότι ο ήλιος ήταν με μεγάλη διαφορά το μεγαλύτερο ουράνιο

σώμα. Όμως η θεωρία του δεν έπιασε εκείνη την εποχή και δεν ξαναεμφανίστηκε παρά

μόνο τον 16ο αι. Η ελληνική πλανητική θεωρία κυριαρχήθηκε από την άποψη του Αριστο-

τέλη (384-322 π.Χ.), ότι οι πλανήτες ακολουθούν τέλεια κίνηση, σε κυκλικές τροχιές, με

σταθερή ταχύτητα. Αυτή η φιλοσοφική θέση εξακολούθησε να είναι δημοφιλής παρά τις

σαφέστατες ενδείξεις για μεταβλητές ταχύτητες, ανάδρομες κινήσεις και διακυμάνσεις

στη φαινόμενη λαμπρότητα των πλανητών. Αυτές οι αναντιστοιχίες μεταξύ θεωρίας και

παρατήρησης επιλύθηκαν με την εισαγωγή των επικύκλων: ένας πλανήτης δεν περιφερό-

ταν γύρω από τη γη αλλά σε περιφέρειες κύκλων (επικύκλων) των οποίων τα κέντρα διέ-

γραφαν περιφέρειες κύκλων με κέντρο τη Γη (φέροντες). Μ' αυτό το τέχνασμα, η σταθερή

ταχύτητα του πλανήτη γινόταν μεταβλητή, άρα συμφωνούσε με την παρατήρηση, ενώ ταυ-

τόχρονα κρατούσε τους πλανήτες μέσα σε κυκλικά «κελύφη», αν όχι τέλειες κυκλικές τρο-

χιές. Αυτό το σύστημα βρήκε την πιο τέλεια έκφραση του στο έργο του Πτολεμαίου.Πριν ασχοληθούμε με τον Πτολεμαίο, πρέπει να αναφέρουμε τον πιο διάσημο από

τους προκατόχους του, τον Ίππαρχο (190-120 π.Χ.), έναν μαθηματικό από τη Νίκαια της

Μικρός Ασίας. Εθεωρείτο ο μεγαλύτερος αστρονόμος της εποχής του και είναι ο θεμελιω-

τής της αστρονομίας με βάση τις ελληνικές γεωμετρικές αρχές. Εφάρμοσε τη διαίρεση

>· Διάγραμμα του πτολεμαϊκούσύμπαντος από το βιβλίο Brevecompendia de la esfera y de la artede navigar, του Martin Cortes deAlbacar (1551), μία μελέτη κοσμο-λογίας και ναυσιπλοΐας.

$014$.

if Capitulo fe*to be la inmuta^Midadbelatterra»

accrcaoemoaer fcUiicm

antiguo0comotrae®rtflotUe0fiifi* JJf -tieronqlatieirafemouia nobcimonimtlto recto mas cereat>el weofotcirculartnente el qual erroi an el

του κύκλου σε 360° ως βάση της τριγωνομετρίας, διαιρώντας κάθε μοίρα σε 60'. Η μελέτητου για το θέμα περιλάμβανε έναν πίνακα χορδών (μια χορδή είναι στην ουσία το διπλάσιο

ημίτονο της μισής γωνίας) των οποίων οι τιμές υπολογίστηκαν για έναν κύκλο με ακτίνα

3438', που απαιτούνταν για να εξασφαλίσει μία περιφέρεια 360x60 = 21600'. Αυτοί οι πίνα-κες μοιάζουν πολύ με εκείνους των ινδικών μαθηματικών κι έδωσαν τη δυνατότητα στον

Ίππαρχο να περιγράψει τις θέσεις των ουρανίων σωμάτων με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Έφτιαξε ένα μοντέλο της κίνησης του Ήλιου και της Σελήνης χρησιμοποιώντας ένα γεωκε-ντρικό σύστημα επικύκλων. Ο Ίππαρχος παραδεχόταν ότι τα δεδομένα του δεν ήταναρκετά ακριβή για να μπορεί να περιγράψει τις τροχιές των άλλων πλανητών. Δυστυχώς,

από τα έργα του σώζεται ένα πολύ μικρό μέρος, με αποτέλεσμα και αυτός όπως και πολλοίάλλοι Έλληνες αστρονόμοι να επισκιαστούν από τον Πτολεμαίο.

Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (85-165 μ.Χ.) έζησε στην Αλεξάνδρεια και ξέρουμε ότι άρχισε

να κάνει αστρονομικές παρατηρήσεις εκεί στις 26 Μαρτίου του 127. Πολύ λίγα γνωρίζουμεγια την οικογενειακή κατάσταση ή τις ακριβείς ημερομηνίες γέννησης και θανάτου του.

Άφησε πολλά γραπτά, το πιο γνωστό από τα οποία ονομάζεται Σύνταξις. Η μεγάλη εκτίμηση

που είχαν οι Άραβες σ' αυτό το βιβλίο όταν το μετάφρασαν στη γλώσσα τους γύρω στο 820μ.Χ., του έδωσε το όνομα AI-Majisti (To Μέγιστο) με αποτέλεσμα να γίνει αργότερα γνωστό

σαν Almagest, όταν μεταφράστηκε στα Λατινικά. Η Αλμαγέστη του Πτολεμαίου ήταν για την

Αστρονομία ό,τιταΐτοιχεί'ατου Ευκλείδη για τη Γεωμετρία. Έριξε δηλαδή στην αφάνειαόσα είχαν προηγηθεί, κρατώντας μόνο τα ιστορικά σχόλια του ίδιου. Αρχίζει με μία εισα-γωγή για την τριγωνομετρία και τις χορδές, και συνεχίζει με μία λεπτομερή θεωρία για τις

κινήσεις του ήλιου, αποδίδοντας του κυκλική τροχιά, αλλά τοποθετώντας τη Γη λίγο πιοπέρα από το κέντρο της τροχιάς, η οποία καταλάμβανε μία θέση, που εκείνος ονόμαζε έκκε-

ντρο. Στη θεωρία του για την κίνηση της Σελήνης, ο Πτολεμαίος δανείζεται πολλά στοιχείααπ' τον Ίππαρχο και βελτιώνει το μοντέλο των επικύκλων επίσης συνδυάζοντας τις κινήσεις

του Ήλιου και τις Σελήνης, μελετά τις εκλείψεις τους. Ακολουθεί η πεποίθηση ότι η σφαίρα

των σταθερών αστέρων, το εξωτερικό κέλυφος του Ελληνιστικού κόσμου, είναι πράγματισταθερό, εφόσον οι παρατηρήσεις του Πτολεμαίου συμφωνούσαν με εκείνες του Ιππάρ-

χου, που είχαν γίνει 200 χρόνια νωρίτερα. Μετά από έναν εκτεταμένο κατάλογο πάνω από1000 αστεριών, ο Πτολεμαίος έρχεται στις τροχιές των υπολοίπων 5 πλανητών. Η ιδιοφυής

του σύλληψη περιλαμβάνει ένα σημείο που ονομάζει εξισωτή το οποίο απείχε από τη Γη όσοκαι το έκκεντρο, αλλά από την άλλη πλευρά. Ο Πτολεμαίος κατασκευάζει τον κύκλο ενός

πλανήτη έτσι ώστε να έχει σταθερή ταχύτητα καθώς περιφέρεται γύρω από τον εξισωτή. Μετην κοσμολογία να έχει φύγει τόσο μακριά από την Αριστοτέλεια τελειότητα, θα μπορού-σαμε να αναρωτηθούμε γιατί εξακολούθησαν να παραμένουν αυτοί οι φιλοσοφικοί περιορι-σμοί. Το θέμα είναι ότι μία Γη που περιφερόταν γύρω απ' τον ήλιο δεν ταίριαζε με την τότε

αντίληψη για τη γήινη δυναμική: τότε πίστευαν ότι εάν η Γη δεν ήταν ακίνητη, οι άνθρωποι

θα εκσφενδονίζονταν από την επιφάνεια της στο διάστημα. Το πτολεμαϊκό μοντέλο είναι με

μεγάλη διαφορά η πιο πετυχημένη προσπάθεια προβλεπτικής αστρονομίας που αναπτύ-χθηκε ποτέ, ικανής να αναπαραστήσει τις παρατηρούμενες τροχιές των πλανητών, ακόμα

και τις ανάδρομες. Οποιεσδήποτε αποκλίσεις ήταν συνήθως μέσα στα περιθώρια ανεκτούσφάλματος των οργάνων παρατήρησης. Το σύστημα αμφισβητήθηκε σοβαρά το 16ο αι.,

μετά από 1400 χρόνια αδιαμφισβήτητης αυθεντίας της Αλμαγέστης.

< Μεσαιωνικό ξυλόγλυπτο πουμνημονεύει τη συνεισφορά τωνΠυθαγορείων στη μουσική. Η ανα-κάλυψη της σχέσης ανάμεσα στουςαριθμούς και στα μουσικά διαστή-ματα εξακολουθεί να αντηχεί στηνέννοια της αρμονίας των σφαιρών.

V Η βαβυλωνιακή πινακίδα πουσήμερα είναι γνωστή με το όνομαΠλίμπτον 322 είναι ένα από τα πιοκαλά μελετημένα μαθηματικά ευρή-ματα της αρχαιότητας. Σήμεραθεωρείται ότι είναι πίνακας κλασμα-τικών πυθαγόρειων τριάδων, πάνωαπό χίλια χρόνια πριν από τη γέν-νηση του Πυθαγόρα.

Υπάρχει ένα μαθηματικό θεώρημα που σχεδόν όλοι το έχουμε δει στο σχολείο. Τώραφέρει το όνομα του Πυθαγόρα, αλλά ήταν γνωστό στην αρχαιότητα πολύ πριν γεννηθεί

ο Πυθαγόρας. Η ύπαρξη του θεωρήματος μας δίνει την ευκαιρία να συγκρίνουμε ταμαθηματικά στυλ και να δούμε τι απασχολούσε μερικούς από τους μαθηματικούς τωνδιαφόρων αρχαίων πολιτισμών.

Το πυθαγόρειο θεώρημα: για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνωντων δύο μικρών πλευρών ισούται με το τετράγωνο της μακρύτερης πλευράς. Είναι δυνα-τόν να σχηματιστούν τέτοια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Το πιο φημισμένο είναι τοτρίγωνο με πλευρές μήκους 3,4 και 5 υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων πυθαγόρειωντριάδων, όπως ονομάζονται, π.χ. οι 5,12,13 και 7,24,25 οι οποίες ήταν ήδη γνωστέςστην αρχαιότητα.

Ένα από τα πιο συναρπαστικά βαβυλωνιακά μαθηματικά κείμενα είναι η πινακίδα που είναιγνωστή τώρα με το όνομα Πλίμπτον 322 και φυλάσσεται στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια τηςΝέας Υόρκης. Έχει 4 στήλες και 15 σειρές αριθμών και μοιάζει να είναι ατελής· μπορεί ναείναι θραύσμα μεγαλύτερης πινακίδας. Είναι σήμερα γενικά αποδεκτό ότι αποτελεί ένανκατάλογο κλασματικών πυθαγόρειων τριάδων. Μία τέτοια λεπτή τεχνική πρέπει να σήμαινεότι οι Βαβυλώνιοι καταλάβαιναν το πυθαγόρειο θεώρημα ήδη από την περίοδο 1800-1650π.Χ., περισσότερο από 1000 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα. Αυτή η ερμηνεία υποστηρίζε-ται και από μία ακόμα πινακίδα που βρέθηκε κοντά στη Βαβυλώνα και χρονολογείται από

λ Απόδειξη του πυθαγόρειουθεωρήματος όπως παρουσιάζεταιστο Κινέζικο Τσόου ηέι Σουαντσίνγκ(το πρωτότυπο χειρόγραφο θεω-ρείται ότι ανάγεται στην περίοδο400-200 π.Χ.). Αυτή η απόδειξηβασίζεται στο τρίγωνο 3,4,5 - μίαπυθαγόρεια τριάδα γνωστή στηναρχαιότητα, για την οποία ισχύει ησχέση (32 + V = 52).

την ίδια εποχή, ένα από τα παλαιότερα παραδείγματα του θεωρήματος που είναι γνωστά

σήμερα. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν τον κανόνα για γεωμετρικούς υπολογισμούς και

για να βρίσκουν λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων, αν και αυτού του είδους η Άλγεβρα ήταν

προφορική μάλλον παρά συμβολική. Κάποιοι υποστηρίζουν ότι οι Βαβυλώνιοι μπορεί να

είχαν αναπτύξει μία πρώιμη μορφή τριγωνομετρίας.

Η Βεδική περίοδος του ινδικού πολιτισμού θεωρείται γενικά ότι άρχισε γύρω στην

αρχή της πρώτης χιλιετίας π.Χ. Αυτή η περίοδος είδε την επικράτηση της ινδικής κουλ-

τούρας και θρησκείας μέσω ιερών κειμένων όπως οι Βέδες και οι Ουπανισάδες αλλά και

κανόνων κοινωνικής συμπεριφοράς όπως ο Κώδικας του Μανού. Τα μαθηματικά της επο-

χής καταγράφονται στις Ιουλβασούτρες, που είναι συμπλήρωμα των Βεδικών κειμένων,

και δεν είναι καθόλου περίεργο που ένα μεγάλο τους μέρος είναι αφιερωμένο στα μαθη-

ματικά που χρειάζονται για τη διασφάλιση της ομοιογένειας στους λατρευτικούς κανό-

νες. Ο όρος σουλβα κατέληξε να σημαίνει το σχοινί ή το κορδόνι που χρησιμοποιούσαν

για να μετρούν τις διαστάσεις των βωμών. Τρεις εκδοχές αυτών των κειμένων έχουν φτά-

σει μέχρι εμάς, η παλαιότερη από τις οποίες ανάγεται στην περίοδο 800-600 π.Χ. Ένα

απλοποιημένο πυθαγόρειο θεώρημα διατυπώνεται από τον Μπαουνταγιάνα ως εξής: «το

σχοινί το οποίο τεντώνεται από γωνία σε γωνία ενός τετραγώνου παράγει ένα τετράγωνο

διπλάσιο από το αρχικό». Μία υστερότερη, πιο γενική διατύπωση δίνεται από τον Κατια-

γιάνα: «το σχοινί της διαγωνίου ενός τετραγώνου δημιουργεί ένα εμβαδόν ίσο προς αυτό

που δημιουργούν η κάθετη και η οριζόντια πλευρά μαζί». Δεν δίδεται καμία απόδειξη,

αλλά περιγράφονται αρκετές πρακτικές εφαρμογές. Υπήρχαν κανόνες που έλεγαν ότι οι

βωμοί έπρεπε να έχουν εμβαδά που να είναι ακέραια πολλαπλάσια άλλων βωμών του

ίδιου τύπου και η επιτακτική ανάγκη ακρίβειας σήμαινε ότι οι γεωμετρικές μέθοδοι ήταν

προτιμότερες από τις αριθμητικές. Για παράδειγμα, εάν κάποιος χρειάζεται να διπλασιά-

σει το εμβαδόν ενός τετραγώνου, είναι πολύ πιο απλό να κατασκευάσει ένα τετράγωνο

του οποίου οι πλευρές να είναι διαγώνιοι ενός δεδομένου τετραγώνου, παρά να προσπα-

θεί να βρει το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού της αρχικής πλευράς με το V2. Οι Ινδοί

είχαν εξαιρετικές μεθόδους για τον υπολογισμό του Λ/2, αλλά για θρησκευτικούς λόγους

ήταν επιτακτική ανάγκη η απόλυτη ακρίβεια. Ένας απλός υπολογισμός δεν ήταν αρκετός.

Το παλαιότερο κινέζικο μαθηματικό κείμενο που γνωρίζουμε είναι το Τσόου πει Σουαντ-

σίνγκ (Κανόνας γνωμονικών υπολογισμών της δυναστείας Τσόου), που θεωρείται ότι γρά-

φτηκε μεταξύ του 500 και του 200 π.Χ., αλλά βασίζεται σε ένα κείμενο της δυναστείας

Σανγκ, πιθανότατα 500 χρόνια παλαιότερο. Όπως δηλώνει το όνομα του κειμένου, ασχολεί-

ται κυρίως με την αστρονομία· περιλαμβάνει και μερικές εισαγωγικές αρχές αριθμητικής

και γεωμετρίας. Γράφτηκε μια εποχή που είναι γνωστή με το όνομα Περίοδος των Πολεμι-

κών Βασιλείων, που είναι μία περίοδος αστάθειας μεταξύ των δυναστειών Τσόου και Χαν,

ίσως από κάποιον από τους πολλούς περιοδεύοντες φιλοσόφους, που οι πολύτιμες συμ-

βουλές τους ήταν περιζήτητες από τους κατά τόπους φεουδάρχες. Ο πιο διάσημος από

αυτούς τους φιλοσόφους ήταν ο Κομφούκιος, με τη φιλοσοφία του περί ενότητας και στα-

θερότητας, που μπορεί να θεωρηθεί αντίδραση στους ταραγμένους αυτούς καιρούς.

Το πρώτο μέρος αυτών των γνωμονικών υπολογισμών είναι ένας διάλογος ανάμεσα

στον Τσόου Κουνγκ και έναν προεστό ονόματι Σανγκ Κάο, στον οποίο συζητούν τις ιδιότη-

τες των ορθογωνίων τριγώνων. Διατυπώνεται το πυθαγόρειο θεώρημα, γνωστό με το

>· Το πυθαγόρειο θεώρημα σεαραβικό κείμενο. Η απόδειξη πουδίδεται είναι εκείνη του Ευκλείδη μετο χαρακτηριστικό διάγραμμα«ανεμόμυλος», το οποίο καταδει-κνύει γεωμετρικά την απόδειξη.

όνομα κόου κου, και ακολουθεί μία γεωμετρική επίδειξη. Χρησιμοποιείται μία μέθοδος πουονομάζεται «συσσώρευση ορθογωνίων», με ένα διάγραμμα που δείχνει την εφαρμογή τηςμεθόδου για τρίγωνο με πλευρές 3,4 και 5, τη μικρότερη πυθαγόρεια τριάδα. Η επέκτασησε άλλα μήκη πρέπει να ήταν προφανής στον αναγνώστη, αλλά η πρώτη γενική καικαθαρή διατύπωση έγινε μόλις τον 3ο αι. μ.Χ. Ένας τέτοιος συγγραφέας, ο Λίου Χούι,δίνει μία δεύτερη γεωμετρική απόδειξη χρησιμοποιώντας την αρχή της «συμπληρωματι-κότητας του έξω και του μέσα», στην οποία τα δύο μικρότερα τετράγωνα κόβονται μετέτοιο τρόπο ώστε να κατασκευάζουν το μεγαλύτερο τετράγωνο. Ο κανόνας ότικόοι^+κοι/^σιάν2 (το δικό μας α2 +β2 = y2) εφαρμοζόταν σε πάρα πολλά προβλήματα. Τοθεώρημα ήταν μεγάλης σημασίας στα κινεζικά μαθηματικά, καθώς αποτελούσε τη βάσηάλλων μεθόδων, όπως της εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας και της επίλυσης εξισώσεωνδευτέρου βαθμού. Ένα κλασικό πρόβλημα, γνωστό με το όνομα «πρόβλημα του σπασμέ-νου μπαμπού», εμφανίστηκε πολύ αργότερα στα ευρωπαϊκά βιβλία, πιθανότατα μετανα-στεύοντας προς τη Δύση μέσω της Ινδίας και του αραβικού κόσμου.

Και φτάνουμε τελικά στον μύθο που λέγεται Πυθαγόρας (περ. 580-500 π.Χ.). Ίσωςδεν είναι τυχαίο ότι ο Πυθαγόρας ήταν σχεδόν σύγχρονος του Βούδα, του Κομφούκιου,του Μαχαβίρα, του Λάο Τσε και ίσως του Ζωροάστρη. Το μίγμα μαθηματικών και μυστικι-σμού που καλλιέργησε έχει απόηχους ακόμα και σήμερα, κυρίως μέσω της εξέλιξης τουτον 3ο αι. π.Χ., του Νεοπλατωνισμού. Ο πραγματικός Πυθαγόρας παραμένει άγνωστος.Οι αναφορές σ' αυτόν είναι συχνότατα προκατειλημμένες, και ακόμα και ο Αριστοτέλης,λιγότερο από 200 χρόνια αργότερα, δεν καταφέρνει να μας δώσει μία καθαρή εικόνα γι'αυτόν. Το σημαντικό στον Πυθαγόρα και στους οπαδούς του είναι η μαθηματική τουςφιλοσοφία. Η πεποίθηση τους ότι τα μαθηματικά είναι η μία και μοναδική πηγή αληθινήςγνώσης έφτασε μέχρις εμάς μέσω φιλοσόφων και μαθηματικών όπως ο Πλάτωνας, οΠλωτίνος, ο Ιάμβλιχος και ο Πρόκλος (411 -485 μ.Χ.), και αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθοτου Νεοπλατωνισμού, ο οποίος βρήκε αργότερα διάφορες εκφάνσεις στη Δυτική σκέψη.

Αφού μαθήτευσε στους Αιγυπτίους και στους Χαλδαίους, ο Πυθαγόρας εγκαταστά-θηκε στον Κρότωνα, σ' αυτό που τώρα είναι η νότια Ιταλία, όπου ίδρυσε σχολή. Αυτή ησχολή έμοιαζε περισσότερο με μυστική εταιρεία ή λατρεία, όπου ένα μέρος της γνώσηςήταν προνόμιο μόνο μερικών μυημένων εκλεκτών. Οι Πυθαγόρειοι ζούσαν κοινοβιακή ζωήμε έναν πολύ αυστηρό κώδικα ηθικής και συμπεριφοράς, ο οποίος περιλάμβανε την πίστηστη μετεμψύχωση και αυστηρή προσήλωση στη χορτοφαγία. Καθώς δεν άφησε γραπτά,δεν μπορούμε παρά να υποθέσουμε ποια μαθηματικά ευρήματα μπορούν να αποδοθούνστον ίδιο τον Πυθαγόρα. Υπάρχουν πολύ συχνές αναφορές στους Πυθαγόρειους, κάτιπου δείχνει ότι τα μέλη της σχολής του έπαψαν αργότερα να τηρούν την απαγόρευσηδημοσίευσης των ευρημάτων τους, την οποία είχε επιβάλει ο δάσκαλος τους. Μία από τιςβασικές διδασκαλίες της σχολής του Πυθαγόρα ήταν ότι οι αριθμοί ήταν τα πάντα και ότιτίποτα δεν μπορούσε να νοηθεί ή να γνωσθεί χωρίς αυτούς. Ο πιο σημαντικός αριθμός γι'αυτούς ήταν το δέκα, ή τετρακτύς, γιατί ήταντο άθροισμα του 1 +2+3+4, δηλαδή τουαριθμού των σημείων που χρειάζονται για τη δημιουργία των διαστάσεων του σύμπαντος:το ένα είναι το αδιάστατο σημείο το οποίο γεννά τις άλλες διαστάσεις· δύο σημεία μπο-ρούν να ενωθούν για να δημιουργήσουν μία γραμμή, η οποία έχει μία διάσταση1 τρίασημεία μπορούν να ενωθούν για να δημιουργήσουν ένα δισδιάστατο τρίγωνο και τέσσερα

οημεία μπορούν να ενωθούν για να φτιάξουν το τρισδιάστατο τετράεδρο. Η τετρακτύςέγινε το σύμβολο των Πυθαγορείων, οι οποίοι προχώρησαν πολύ περισσότερο από οποιο-

δήποτε προηγούμενο αριθμητικό μυστικισμό στην κατασκευή ενός σύμπαντος, στο οποίοοι αριθμοί είχαν και φιλοσοφικό και αποκαλυπτικό ρόλο. Σε αυτούς επίσης αποδίδεται η

αριθμητική ανάλυση της μουσικής, και εδώ η τετρακτύς συμβόλιζε τις βασικές αναλογίεςανάμεσα στις νότες, αρχίζοντας από τον λόγο 1:2 για την οκτάβα. Η όλη έννοια της αρμο-

νίας των σφαιρών προέρχεται από αυτήν την αριθμολογία της μουσικής, η οποία έμελλενα επηρεάσει το πλανητικό μοντέλο του Κέπλερ παραπάνω από 2000 χρόνια αργότερα.

Ωστόσο, το όνομα του Πυθαγόρα είναι περισσότερο γνωστό από το ομώνυμο θεώ-

ρημα, που -όπως είδαμε- ήταν στην πραγματικότητα γνωστό από πολύ νωρίτερα. Θεωρεί-ται ότι ο Πυθαγόρας έμαθε τον κανόνα αυτόν από έναν πολιτισμό που δεν αναφέραμε

καθόλου σε σχέση με αυτόν: τους Αιγυπτίους. Πράγματι, οι ελληνικές πηγές αναφέρονται

συχνά στην Αίγυπτο ως τόπο προέλευσης των γεωμετρικών τους γνώσεων και είναι κρίμαπου δεν έχουμε καθόλου αιγυπτιακές πηγές που να αποδεικνύουν τη γνώση του πυθαγό-

ρειου θεωρήματος. Ο Αριστοτέλης αποδίδει στους Πυθαγόρειους την πρώτη απόδειξη ότι

η V2 είναι άρρητη. Εάν πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με βάση και ύψος μήκους 1, τότε ηυποτείνουσα θα είναι μήκους Λ/2. Στη γλώσσα των ελληνικών μαθηματικών, οι Πυθαγόρειοιπροσπαθούσαν να εκφράσουν το λόγο της υποτείνουσας προς το μοναδιαίο μήκος, ή V2:1

όπως θα γράφαμε σήμερα, ως λόγο ακεραίων. Αντίθετα από το τρίγωνο (3,4,5), στο οποίοο λόγος οποιονδήποτε δύο πλευρών είναι λόγος ακεραίων αριθμών, αυτό δεν ήταν δυνα-

τόν να επιτευχθεί με το συγκεκριμένο τρίγωνο. Η υποτείνουσα και η μοναδιαία πλευρά ήτανασύμμετρες, εάν παίρναμε δηλαδή έναν διαβαθμισμένο χάρακα, τότε οι δύο πλευρές δεν

θα μπορούσαν να μετρηθούν ακριβώς από αυτόν. Και δεδομένου ότι η μοναδιαία πλευράείναι ρητή, τότε η υποτείνουσα είναι άρρητη σε σχέση με αυτή. Ο ιστορικός Διογένης λέει

ότι αυτή η ανακάλυψη έγινε από τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, μέλος της Πυθαγόρειας σχο-

λής, και ότι οι συνάδελφοι του τον πήγαν σηκωτό στη θάλασσα και τον πέταξαν στο νερόγια να τον εκδικηθούν που κατέστρεψε την αντίληψη τους ότι τα πάντα μπορούσαν να

εκφραστούν ως ακέραιοι αριθμοί ή αναλογίες ακεραίων. Αυτή η ιστορία θεωρείται σήμεραμάλλον υπερβολική, αλλά τόσο η σχέση ανάμεσα στα σύμμετρα και στα ασύμμετρα μήκη

όσο και η σχέση μεταξύ των ρητών και των άρρητων αριθμών έχει πολύ μεγάλη σημασίαστα μαθηματικά. Και όμως, για να φτάσουμε σε έναν ορισμό των αρρήτων συναρτήσει

ρητών θα έπρεπε να περάσουν ακόμα 2000 χρόνια (κεφ. 19).Το πιο εντυπωσιακό στην ελληνική αντιμετώπιση του πυθαγόρειου θεωρήματος είναι η

μέθοδος απόδειξης, που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου ΙτωνΣτοιχειωντου Ευκλείδη. Μίαπολύ γενική γεωμετρική απόδειξη, που χρησιμοποιεί μία αλληλουχία κατασκευών, οι οποίες

μεταμορφώνουν τα δύο μικρότερα τετράγωνα σε δύο ορθογώνια, που τοποθετούνται μαζίγια να σχηματίσουν το μεγαλύτερο τετράγωνο. Παρουσιάζεται χωρίς καμία αναφορά σε

αριθμητικές τιμές, και το χαρακτηριστικό διάγραμμα-«ανεμόμυλος», που συνοδεύει τηναπόδειξη βρίσκεται αργότερα στα μαθηματικά πολλών ευρασιανών πολιτισμών. Και πράγ-

ματι, ο Πρόκλος σχολίαζε ότι, «ενώ θαυμάζω αυτούς που πρώτα παρατήρησαν την ισχύ

αυτού του θεωρήματος, θαυμάζω ακόμα περισσότερο τον συγγραφέα των Στοιχει'ων».Ωστόσο, το όνομα που συνδέθηκε μ' αυτό το θεώρημα είναι εκείνο του Πυθαγόρα και η έλξη

την οποία ασκεί το πυθαγόρειο ιδανικό του μαθηματικού σύμπαντος εξακολουθεί να ζει.

< Σελίδα από αντίγραφο τωνΣτοιχεϊωντου Ευκλείδη που ανήκεστον Νεύτωνα, με ιδιόχειρες σημει-ώσεις στα περιθώρια.

V Εικονογράφηση προμετωπί-δας της έκδοσης των έργων τουΑπολλώνιου από τον Έντμοντ Χάλ-λεϋ, 1710, που απεικονίζει την κλα-σική ιστορία του φιλοσόφου Αρί-στιππου, ο οποίος ναυάγησε σε μιαακτή της Ρόδου και δήλωσε ότι στονησί κατοικούν πολιτισμένοι άνθρω-ποι μόλις είδε γεωμετρικά σχήματαστην άμμο.

Οι Έλληνες κάνουν την εμφάνιση τους στην ιστορία ως εισβολείς από το βορρά που κατέ-

λαβαντο χώρο ανάμεσα στο Ιόνιο και οτο Αιγαίο πέλαγος. Έδειξαν ακόρεστη διάθεση να

μάθουν απ' τους παλαιότερους γείτονες τους και να ξεπεράσουν τη σοφία των Αιγυπτίων

και των Μεσοποταμιών που κληρονόμησαν. Ο ελληνικός κόσμος συνδεόταν περισσότερο

με πολιτιστικούς παρά φυλετικούς δεσμούς. Μπορεί να χωριστεί σε δύο μεγάλες φάσεις,

που οριοθετούνται μεταξύ τους από τον Αλέξανδρο τον Μέγα1 από την άποψη των μαθημα-

τικών αυτές οι φάσεις μπορούν να ονομαστούν Αθηναϊκή και Αλεξανδρινή περίοδος.

Οι πρώτοι Ολυμπιακοί αγώνες έγιναν το 776 π.Χ., εποχή που η ελληνική λογοτεχνία

ήδη διέθετε έργα όπως του Ομήρου και του Ησιόδου, αλλά για τα μαθηματικά των Ελλή-

νων δεν γνωρίζουμε τίποτα πριν από τον 6ο αι. π.Χ. Ο τίτλος του πρώτου Έλληνα μαθη-

ματικού προσιδιάζει μάλλον οτο Θαλή τον Μιλήσιο (περ. 624-548 π.Χ.) ο οποίος λέγεται

ότι έδωσε τις πρώτες αποδείξεις διαφόρων γεωμετρικών θεωρημάτων προετοιμάζο-

ντας έτσι το μεγάλο, παραγωγικό αποδεικτικό σύστημα του Ευκλείδη. Ωστόσο η γνώση

που έχουμε για τα ιστορικά μαθηματικά και γι' αυτή την περίοδο γενικά έχει μεγάλη

δόση ιστορικής ασάφειας. Όχι μόνο δεν υπάρχουν γραπτά που να έχουν σωθεί από

εκείνη την εποχή, αλλά αναγκαζόμαστε να βασιστούμε σε σχόλια γραμμένα μέχρι και

χίλια χρόνια μετά από τα περιστατικά τα οποία υποτίθεται ότι περιγράφουν.

Τον 4ο αι. π.Χ., η Αθήνα υπήρξε το κέντρο της μεσογειακής πνευματικής ζωής, με την

ίδρυση της Ακαδημίας του Πλάτωνα και το Λύκειο του Αριστοτέλη. Ο ρόλος του Πλάτωνα

στην ιστορία των μαθηματικών παραμένει συζητήσιμος. Δεν άφησε δικά του μαθηματικά

γραπτά, αλλά επηρέασε πάρα πολύ τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Στην Πολιτεία διατείνε-

ται ότι τα μαθηματικά θα έπρεπε να αποτελούν θεμελιώδη γνώση για τους μελλοντικούς

ηγέτες και στον Τίμαιο βρίσκουμε ένα είδος παραλλαγμένης πυθαγόρειας θεωρίας, όπου

τα πλατωνικά στερεά συσχετίζονται με τα τέσσερα στοιχεία και το δωδεκάεδρο είναι σύμ-

βολο ολόκληρου του σύμπαντος. Η επίδραση του Αριστοτέλη δεν ήταν πάντα θετική για τα

μαθηματικά. Η απαίτηση του για λογικές εξηγήσεις είχε θετική επίδραση, αλλά η άρνηση

του να αντιμετωπίσει τη χρήση του απείρου και των απειροοτών, σε συνδυασμό με την αντί-

ληψη του ότι η τέλεια κίνηση είναι η κίνηση που γίνεται σε κύκλους και ευθείες γραμμές,

γιατί αυτά τα δύο σχήματα είναι τα μόνα τέλεια, μπορεί να θεωρηθεί μάλλον αρνητική.

Η Ακαδημία και το Λύκειο ήταν και οι δύο σημαντικά κέντρα μαθηματικής διδασκαλίας

και έρευνας. Ο Αριστοτέλης ήταν δάσκαλος του Μ. Αλεξάνδρου, του οποίου η αυτοκρατο-

ρία στον κολοφώνα της δόξας της απλωνόταν μέχρι τη βόρεια Ινδία. Μετά το θάνατο του, η

απέραντη αυτοκρατορία του διασπάστηκε και μοιράστηκε στους στρατηγούς του. Όμως,

ένα από τα μέρη στα οποία διαιρέθηκε η αυτοκρατορία αναδείχθηκε σε κέντρο μάθησης

υπό τη φωτισμένη μοναρχία του Πτολεμαίου Α' - η καινούργια πόλη της Αλεξάνδρειας με

το μουσείο της και την περίφημη βιβλιοθήκη. Η Αλεξάνδρεια δεν θα αργούσε να υποσκελί-

σει την Αθήνα σ' αυτή τη δεύτερη περίοδο του κλασικού ελληνικού πολιτισμού, που έμεινε

στην ιστορία με το όνομα Χρυσός αιώνας των ελληνικών μαθηματικών.

Το πιο σημαντικό έργο στην ιστορία των ελληνικών μαθηματικών είναι αναμφίβολα τα

Στοιχεία του Ευκλείδη (περ. 325-265 π.Χ.). Παρά τη μεγάλη του φήμη, ελάχιστα είναι γνω-

στά για τη ζωή του Ευκλείδη, ούτε καν ο τόπος γέννησης του. Ξέρουμε από ένα εδάφιο

του μεταγενέστερου σχολιαστή Πρόκλου ότι ο Ευκλείδης δίδαξε στην Αλεξάνδρεια κατά

τη διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου και ότι όταν ο αυτοκράτορας του ζήτησε να

>· Μεσαιωνικό λατινικό αντί-γραφο από τα αραβικά, που συνή-θως αποδίδεται στον Αδελάρδο τουΜπαθ, αλλά είναι πιθανότατα έναεπιπλέον αντίγραφο. Οι προτάσειςεδώ απλώς διατυπώνονται με τηβοήθεια διαγραμμάτων. Τα μόνασχόλια σχετικά με αποδείξεις βρί-σκονται στο βιβλίο Ι του χειρογρά-φου, κάτι που ενισχύει την άποψηότι οι γνώσεις γεωμετρίας κατά τοΜεσαίωνα περιορίζονταν μόνο στααπλούστερα βιβλία των Στοίχείων.

του υποδείξει ένα σύντομο τρόπο για να μάθει γεωμετρία, εκείνος απάντησε, «Δεν υπάρ-χει βασιλικός δρόμος προς τη γεωμετρία». Η φήμη των Στοίχείων επισκιάζει μερικές

φορές το γεγονός ότι ο Ευκλείδης έγραψε και πολλά άλλα έργα για ζητήματα οπτικής,αστρονομίας, μηχανικής και μουσικής. ΌμωςταΣτοίχει'α παρέμειναν το βασικό εγχειρίδιογεωμετρίας για πολλούς αιώνες, εξαλείφοντας στην ουσία την ανάγκη χρήσης παλαιότε-

ρων βιβλίων, με αποτέλεσμα να μην έχουν επιβιώσει αντίγραφα τους. Όπως όλα τα εγχει-ρίδια, μεγάλο μέρος των Στοιχείων δεν είναι παρά σταχυολόγηση πολλών άλλων πηγών

και πρέπει να είμαστε ευγνώμονες στον Ευκλείδη για τη συγκέντρωση τους σε ένα γενικάαποδεκτό μοντέλο λογικού παραγωγικού συστήματος θεωρημάτων και αποδείξεων. ΤαΣτοιχεία δεν αποτελούν σύνοψη όλων των ελληνικών μαθηματικών, μόνο του στοιχειώ-

δους τμήματος τους. Δεν περιλαμβάνονται οι μέθοδοι υπολογισμού αλλά ούτε και πιο

προχωρημένα μαθηματικά ζητήματα, όπως οι κωνικές τομές.Ταΐτοιχεία διαιρούνται σε 13 βιβλία και καλύπτουν τη στοιχειώδη επιπεδομετρία, τη

θεωρία των αριθμών, τη θεωρία των ασύμμετρων και τη στερεομετρία. Αρχίζουν απότομα

με έναν κατάλογο 23 ορισμών, όπως π.χ. «Σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρος» (Σημεΐονεστίν, ου μέρος ούθέν) και «Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος»(Γραμμή δε μήκος άπλατίς).Ακολουθούν 5 αιτήματα και 5 «κοινές έννοιες», από τα οποία το περίφημο πέμπτο αίτημα

έχει τη δική του ανεξάρτητη ιστορία. Κάθε κεφάλαιο αρχίζει με πρόσθετους ορισμούς σχετι-

κούς με το υπό διαπραγμάτευση θέμα. Για τον Ευκλείδη, οι ορισμοί ήταν πιο αυταπόδεικτοιαπό τα αιτήματα, αν και για μας σήμερα όλα μπαίνουν στην κατηγορία των αξιωμάτων. Τααιτήματα είναι κατά κανόνα πρακτικές διαδικασίες, όπως «η χάραξη μίας ευθείας γραμμής

από ένα σημείο προς άλλο σημείο», ενώ ο τέταρτος ορισμός δηλώνει ότι «Ευθεία είναι μιαγραμμή που κείται εξίσου ως προς τα σημεία της» (Ευθεία γραμμή εστίν, ήτις εξ ϊσου τοις

εφ' εαυτής σημείοις κείται). Συνολικά, βλέπουμε εδώ τον περιορισμό της γεωμετρίας σεμεθόδους κατασκευής με τον κανόνα και τον διαβήτη. Αυτά τα δύο απλά εργαλεία αποτέλε-

σαν τις λογικές γεννήτριες του όλου συστήματος, δεδομένου ότι ο κύκλος και η ευθείαγραμμή είναι τα πιο τέλεια σχήματα. Οι Έλληνες χρησιμοποίησαν και άλλες «μηχανικές»

μεθόδους κατασκευής, αλλά τα Στοίχεια δεν ασχολούνται μ' αυτές.Τα βιβλία I-IV ασχολούνται με γεωμετρικές κατασκευές επιπέδων σχημάτων, δηλαδή

τετραπλεύρων, τριγώνων, κύκλων και πολυγώνων που κατασκευάζονται με τη βοήθειακύκλων. Έχει υποστηριχθεί ότι μέρη αυτώντων βιβλίων, ιδιαίτερα το II, παραπέμπουν σ'

ένα είδος αλγεβρικής γεωμετρίας, όπου οι γεωμετρικές κατασκευές παίζουν το ρόλο των

αλγεβρικών πράξεων. Είτε αυτό ισχύει είτε όχι, αυτό που είναι εμφανές είναι ότι τουλάχι-στον σ' αυτά τα πρώτα θεωρήματα ο Ευκλείδης ασχολείται μόνο με καθαρά γεωμετρικέςέννοιες. Ο όρος «μέγεθος» χρησιμοποιείται παντού για να υποδηλώσει οποιοδήποτε γεω-μετρικό αντικείμενο -ένα ευθύγραμμο τμήμα ή σχήμα- και τα θεωρήματα ασχολούνται με

τις κατασκευές αυτών των μεγεθών και τις σχέσεις ανάμεσα τους. Δεν γίνεται χρήση αριθ-

μητικών εννόων, όπως το μήκος, κι έτσι το τετράγωνο, π.χ., αντιμετωπίζεται ως γεωμε-τρική κατασκευή που προκύπτει από ένα ευθύγραμμο τμήμα. Πουθενά δεν δηλώνει ο

Ευκλείδης ότι το εμβαδόν ενός τέτοιου τετραγώνου είναι το γινόμενο των πλευρών του -

αυτό έρχεται πολύ αργότερα. Άρα τα μεγέθη είναι η πιο βασική έννοια των Στοίχείων, τοθεμέλιο όλου του έργου. Απ' αυτή την άποψη είναι ενδιαφέρον ότι η απόδειξη του πυθαγό-

ρειου θεωρήματος γίνεται μέσω της ανακατασκευής σχημάτων, ενώ η χρήση των πράγμα-

τικών εμβαδών που περιέχουν θα μπορούσε να δώσει μία πολύ διαφορετική απόδειξη.

Το V είναι η γενική θεωρία των αναλογιών όπως πρωτοπαρουσιάστηκε από τον

Εύδοξο. Μέλος της Ακαδημίας του Πλάτωνα, ο Εύδοξος ο Κνίδιος (περ. 408-355 π.Χ.)ήταν ένας από τους πιο διάσημους μαθηματικούς της εποχής του. Στο ενεργητικό του έχει

δύο θεμελιώδεις ανακαλύψεις: τη θεωρία των αναλογιών και τη μέθοδο της εξάντλησης.Το φαινομενικό αδιέξοδο των ασύμμετρων παρακάμφθηκε κατά μεγάλο μέρος δεδομένουότι μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν τα γινόμενα και τα πηλίκα τους μέσω των αναλογιών

του Ευδόξου. Ο Ευκλείδης παραθέτει ικανό αριθμό κανόνων για τις αναλογίες και για τιςπροϋποθέσεις χρήσης τους. Η χρήση λόγων αντί κλασμάτων είχε μερικά πλεονεκτήματα.Μπορούσε κανείς να διατυπώσει κανόνες όπως «ο λόγος των εμβαδών των κύκλων είναι

ανάλογος με τα τετράγωνα των διαμέτρων τους» και να χρησιμοποιήσει αυτό τον κανόνα

σε κάποια θεωρήματα χωρίς να χρειαστεί να καταφύγει στη χρήση του η, το οποίο είναιάρρητο. Επίσης, ο λόγος δύο μεγεθωντου ίδιου τύπου είναι χωρίς διάσταση, και έτσι μπο-

ρεί να συγκριθεί αναλογικά με άλλους λόγους, όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Έτσι ολόγος ήταν η βασικότερη σχέση μεταξύ μεγεθών και η θεωρία των αναλογιών έδινε τη

δυνατότητα σε διαφορετικούς λόγους να συγκριθούν μεταξύ τους.

Το VI πραγματεύεται την ομοιότητα των σχημάτων και περιέχει μία γενίκευση τουπυθαγόρειου θεωρήματος που δεν περιορίζεται στα τετράγωνα που κατασκευάζονται

απ' τις πλευρές του τριγώνου, αλλά επεκτείνεται σε οποιοδήποτε κατασκευάσιμοσχήμα. Έτσι εάν κατασκευάσουμε ημικύκλια με διάμετρο την κάθε πλευρά του τριγώ-νου, τότε το αθροισμάτων δύο μικρότερων ημικύκλιων ισούται με το μεγαλύτερο.

Η θεωρία των αριθμών περιλαμβάνεται στα βιβλία VII-IX. Για τον Ευκλείδη, «αριθμοί»ήταν οι ακέραιοι. Από τους ορισμούς του VII βλέπουμε ότι η αντιμετώπιση των αριθμών

γίνεται ουσιαστικά γεωμετρικά. Ο Ευκλείδης λέει ότι «ο μεγαλύτερος αριθμός είναι πολλα-πλάσιο του μικρότερου όταν μπορεί να μετρηθεί απ' αυτόν» και ότι το γινόμενο δύο αριθ-

μών είναι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου. Υπάρχει επίσης ο περίφημος κανόνας, γνωστός με

το όνομα ευκλείδειος αλγόριθμος, για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθ-μών ή, με τα λόγια του Ευκλείδη, «του μεγαλύτερου κοινού μέτρου μεταξύ δύο μεγεθών».

Στο IX βρίσκουμε την περίφημη απόδειξη, η οποία, με σύγχρονη ορολογία, δηλώνει ότι

υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Στην πραγματικότητα, ο Ευκλείδης σκόπιμα αποφεύγειτην αναφορά στο άπειρο. Δηλώνει ότι «οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από οποιοδή-ποτε δεδομένο πλήθος πρώτων αριθμών» και προχωρεί στην απόδειξη αυτού του θεωρή-

ματος για μόνο τρεις δεδομένους πρώτους. Η απαραίτητη επέκταση στους υπόλοιπουςπρώτους αριθμούς θεωρείται αυτονόητη. Σ' αυτό το βιβλίο αναφέρεται και ένας κανόναςκατασκευής τέλειων αριθμών. Τέλειος αριθμός είναι αυτός για τον οποίο το άθροισμα των

διαιρετών του ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. Ο πρώτος τέλειος αριθμός είναι το 6, κι ο δεύ-τερος είναι το 28 (με διαιρέτες τους 1,2,4,7 και 14 που το άθροισμα τους είναι 28).

Το Χ είναι μία λεπτομερής ανάλυση των διαφόρων αρρήτων μηκών, όπου βρίσκουμετην έννοια της ασυμμετρίας μεταξύ γενικών μεγεθών να ανάγεται στην έννοια της αρρητό-

τητας μεταξύ μηκών (και τετραγώνων). Εάν θεωρήσουμε μία ευθεία γραμμή, η οποία να ορί-

ζεται ως ρητή, τότε οποιαδήποτε ευθεία γραμμή ασύμμετρη ως προς αυτή λέγεται ότι είναιάρρητη. Μακροσκελείς αποδείξεις παρατίθενται για όλους τους διαφόρους τύπους των

αρρήτων, από απλές τετραγωνικές ρίζες μέχρι συμπλέγματα ριζών, όπωςπ.χ. V(Va+V)8). Η

A To παλίμψηστο του Αρχιμήδηείναι ένα βυζαντινό χειρόγραφο του10ου αι. το οποίο είχε ξυστεί για ναγραφτεί από πάνω ένα λειτουργικόκείμενο, κάτι που συνέβαινε συχνάόταν υπήρχε έλλειψη χαρτιού. Τομισοσβησμένο κείμενο ανασυστή-θηκε με τη βοήθεια ηλεκτρονικώνμέσων για να διαπιστωθεί ότι πρό-κειται για ένα χαμένο έργο τουΑρχιμήδη, τη Μέθοδο (Εφοδος).

εξέταση των διαφόρων τρόπων αριθμητικής έκφρασης των αρρήτων είναι αποκαλυπτική

για τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν τότε. Ο συμβολισμός που υπήρχε βασιζόταν στον

ευκλείδειο αλγόριθμο, αλλά αν και η παράσταση στην οποία κατέληγε για έναν συγκεκρι-

μένο άρρητο ήταν χρήσιμη, δεν υπήρχε απλή μέθοδος για να εκφράσει αθροίσματα ή γινό-

μενα με τον ίδιο τρόπο. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το Λήμμα 1 (λήμμα=προκαταρκτικό θεώ-

ρημα) , το οποίο βρίσκει δύο τετράγωνα που το άθροισμα τους να είναι και αυτό τετράγωνο

- το πυθαγόρειο θεώρημα από τη σκοπιά της θεωρίας των αριθμών χωρίς καμία αναφορά

στην απόδειξη που παρατίθεται στο τέλος του Ι. Σ' αυτό το βιβλίο υπονοείται σαφώς ότι

αυτές οι αριθμητικές και γεωμετρικές μέθοδοι δεν είναι παρά ένα προοίμιο για πιο προχω-

ρημένα προβλήματα, όπως η εύρεση εμβαδών και τα προβλήματα τετραγωνισμού. Μπορεί

επίσης να σημειωθεί ότι οι άρρητοι στους οποίους γίνεται αναφορά μπορούν όλοι να κατα-

σκευαστούν με κανόνα και διαβήτη -π.χ. δεν υπάρχουν κυβικές ρίζες. Η εκτενέστατη ταξι-

νόμηση των αρρήτων αποκτά νόημα στα τελευταία κεφάλαια των Στοιχείων, όπου επανεμ-

φανίζονται σε σχέση με τα κανονικά πολύεδρα.

Τα τελευταία τρία βιβλία των Στοιχείων ασχολούνται με τη στερεομετρία και χρησιμο-

ποιούν τη μέθοδο εξάντλησης του Ευδόξου για την εύρεση με αυστηρό μαθηματικό τρόπο

εμβαδών και όγκων μέσω αλλεπάλληλων προσεγγίσεων. Ο Αρχιμήδης απέδωσε στον

Εύδοξο την πρώτη απόδειξη ότι ο όγκος του κώνου είναι το ένα τρίτο του όγκου ενός

κυλίνδρου με ίση βάση και ύψος, και μεγάλο μέρος του XII θεωρείται ότι βασίζεται στην

εργασία το Ευδόξου. Το XIII κλείνει με την απόδειξη ότι υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά

πλατωνικά στερεά, τα οποία μπορούν να κατασκευαστούν από τρίγωνα, τετράγωνα και

πεντάγωνα. Όλα τα στερεά κατασκευάζονται μέσα σε μία σφαίρα και υπολογίζονται τα

αποστήματα - αποστάσεις από το κέντρο, των πλευρών των στερεών. Εδώ επανεμφανίζο-

νται οι άρρητοι που περιγράφονται στο Χ. Και πέφτει η αυλαία μιας συμφωνίας σε 13 μέρη.

Τα Στοιχεία υπήρξαν το πιο σημαντικό εγχειρίδιο όλωντων εποχών. Αντιγράφτηκε και

ξαναντιγράφτηκε με σχόλια πάνω σε προηγούμενα σχόλια, μεταφράστηκε και προσαρ-

μόστηκε στις ανάγκες και στην κουλτούρα διάφορων πολιτισμών. Είναι σχεδόν αδύνατον

να ανασυστήσει κανείς το αρχικό έργο του Ευκλείδη, καθώς ολοκληρωμένα αντίγραφα

έχουμε μόνον μετά τον 9ο αι. μ.Χ., αλλά η εκτίμηση στην οποία το είχαν φαίνεται απ' το ότι

όχι μόνο επέζησε αλλά και έσβησε όλα τα άλλα Στοιχεία που είχαν προηγηθεί.

Η Αλεξάνδρεια παρέμεινε κέντρο μάθησης για αρκετό καιρό. Ο Απολλώνιος ο Περ-

γαίος (262-190 π.Χ.) που την αποκαλούσε κοιτίδα της γεωμετρίας, σπούδασε και δίδαξε

εκεί. Το πιο σημαντικό του έργο είναι μια εξελιγμένη γεωμετρική μελέτη, Τα κωνικά. Κωνι-

κές τομές λέγονται τα σχήματα που προκύπτουν αν κόψει κανείς έναν κώνο υπό διάφορες

γωνίες: ο κύκλος, η έλλειψη, η παραβολή και η υπερβολή. Εκεί σπούδασε ο Αρχιμήδης,

αλλά και ο Πτολεμαίος και ο Διόφαντος (περ. 250 μ.Χ.). Τον 4ο αι. μ.Χ. η λάμψη της Αλεξάν-

δρειας σβήνει και περιορίζονται οι προσωπικές ελευθερίες. Η Υπατία (περ. 370-415), κόρη

του Θεωνά του Αλεξανδρέως, πρώτη γυναίκα μαθηματικός στην ιστορία, ήταν επικεφα^

της Πλατωνικής σχολής στην Αλεξάνδρεια καθώς το όλο και ισχυρότερο Χριστιανικό

κίνημα δεν ανεχόταν αυτό που θεωρούσε ειδωλολατρική επιστήμη και φιλοσοφία. Θανα-

τώθηκε από έναν όχλο φανατισμένων Χριστιανών, κάτι που θεωρείται η αρχή του τέλους

για την Αλεξάνδρεια της γνώσης και της μάθησης. Όσο για τα μαθηματικά, το κέντρο

βάρους είχε μετακινηθεί ανατολικά, στη Βαγδάτη.

·< Εικονογράφηση προμετωπί-δας ενός δημοφιλούς κειμένου τβυ16ου αι., τουΣουανφά Τουν-τσούνγκ (Γενική πηγή υπολογιστι-κών μεθόδων). Το κεφάλαιο που τιτ-λοφορείται «Συζητήσεις μεταξύκαθηγητή και μαθητή σχετικά μεδύσκολα προβλήματα» πραγματεύ-εται τη χρήση του άβακα για μαθη-ματικούς υπολογισμούς.

Ο κινεζικός πολιτισμός πρωτοαναπτύχθηκε στις όχθες του Πανγκτσέ και του Κίτρινου ποτα-

μού κατά την περίοδο του μυθικού βασιλείου των Σιά, το 2000 π.Χ. Η δυναστεία των Σανγκ

κράτησε από το 1520 ως το 1030 π.Χ., οπότε τη θέση της πήραν οι εισβολείς Τσόου, οι

οποίοι, τον 8ο αι. π.Χ. άρχισαν ήδη να χάνουν τον έλεγχο των εδαφών τους. Από το 400 έως

το 200 π.Χ., αυτό που κάποτε ήταν αυτοκρατορία, διαλύθηκε σε ένα μωσαϊκό αντιμαχόμε-

νων κρατών. Σ' αυτή την περίοδο, που είναι γνωστή σαν Περίοδος των Πολεμικών Βασι-

λείων, ανάγεται το πρώτο καθαρά μαθηματικό κείμενο, το Τσόου πει σουαντσι'νγκ (Κανόνας

γνωμονικών υπολογισμών της δυναστείας Τσόου). Αυτή ήταν ή περίοδος του Κομφούκιου,

ενός από τους πολλούς περιπλανώμενους σοφούς, που ζούσαν στην κόψη του ξυραφιού

συμβουλεύοντας τους ντόπιους ηγεμόνες. Η επανένωση της Κίνας υπό τον αυτοκράτορα

Τσ'ιν σήμαινε απ' τη μια μεριά το εκ νέου χτίσιμο του Μεγάλου Τείχους, απ' την άλλη το

χωρίς λόγο και αιτία κάψιμο βιβλίων. Στη διάδοχη δυναστεία των Χαν, από το 200 περίπου

π.Χ. μέχρι το 200 μ.Χ., οι λόγιοι προσπαθούσαν να ανακαλύψουν χειρόγραφα που είχαν

σωθεί απ' την καταστροφική μανία των Τσ'ιν και συχνά έγραφαν παλιά βιβλία από μνήμης.

Ένα μαθηματικό κείμενο με μεγάλη επιρροή, το Τσιουτσάνγκ σουανσού (Υπολογιστικές

οδηγίες σε εννέα κεφάλαια) όπως και τα σχόλια για τους Γνωμονικούς υπολογισμούς ανή-

κουν σ' αυτή την περίοδο. Το επόμενο σημαντικό κείμενο εμφανίστηκε τον 7ο αι., όταν την

περίοδο των δυναστειών Σουέι (518-617) καιΤανγκ (618-907) μια εκπαιδευτική μεταρρύθ-

μιση όρισε ότι τα μαθηματικά έπρεπε να διδάσκονται στο σχολείο για τους Γιους του Κρά-

τους. Το βιβλίο που χρησιμοποιούσαν ήταν το Σουαντσίνγκ σι σου (Δέκα υπολογιστικοί

κανόνες), το οποίο συγκέντρωνε τα πιο σημαντικά έργα της εποχής, χωρίς να εξαιρούνται

οι Γνωμονικοί υπολογισμοί και τα Εννέα κεφάλαια. Η σημασία του παρέμεινε αμείωτη για

αρκετούς αιώνες. Τον 7ο αι. επίσης έγινε το τεράστιο έργο της ένωσης των δύο κύριων

ποταμών της Κίνας με το Μεγάλο Κανάλι, ένα θαύμα μηχανικής δεινότητας. Ο λαός τελικά

επαναστάτησε δυσφορώντας για τις σκληρές συνθήκες ζωής, που είχαν επιβληθεί κατά τη

διάρκεια της κατασκευής του καναλιού, καιη βραχύβια δυναστεία Σουέι σύντομα έδωσε τη

θέση της στη δυναστεία Τανγκ. Η πρωτεύουσα των τελευταίων, η Τσανγκ'αν εξελίχθηκε σε

πνευματική γέφυρα ανάμεσα στην Κίνα και στην Κεντρική Ασία, παίζοντας παρόμοιο ρόλο

με την άλλη κοσμοπολίτικη πόλη πέρα μακριά στη Δύση, τη Βαγδάτη. Τα 300 χρόνια της

δυναστείας των Τανγκ γνώρισαν την εφεύρεση της τυπογραφίας και της πυρίτιδας. Η

περιήγηση μας τελειώνει με τη δυναστεία των Σουνγκ, η οποία κράτησε μέχριτατέλη του

13ου αι. Ας ρίξουμε τώρα μια ματιά στα Εννέα κεφάλαια.

Το κινεζικό ενδιαφέρον για τα μαγικά τετράγωνα φαίνεται να συνδέεται περισσότερο με

τη μαντεία παρά με τα μαθηματικά. Ο μύθος λέει ότι ο αυτοκράτορας Γιου του 3000 π.Χ.

απέκτησε δύο διαγράμματα, ένα από ένα μαγικό δράκοντα με μορφή αλόγου που αναδύ-

θηκε από τον Κίτρινο ποταμό και ένα άλλο από το καβούκι μιας χελώνας που βρέθηκε στον

Λο, έναν παραπόταμο του Κίτρινου ποταμού. Οι πρώτες εικόνες του μαγικού σταυρού και

τετραγώνου ανάγονται στον 10ο αι. και μέχρι τον 13ο αι. τα μόνα μαγικά τετράγωνα που

συζητούνται έχουν διαστάσεις όχι μεγαλύτερες από 3x3. Ήδη όμως οι υποτιθέμενες μαγι-

κές τους ιδιότητες έχουν πάψει να αναφέρονται και ο Γιανγκ Χούι επικεντρώνεται στις αριθ-

μητικές ιδιότητες ορισμένων αριθμητικών τετραγώνων και κύκλων. Στην πραγματικότητα, οι

Άραβες μαθηματικοί γνώριζαν τα μαγικά τετράγωνα από τον 9ο αι. και πρόσφατα βρέθηκε

στο Σι'αν ένα αραβικό μαγικό τετράγωνο από την εποχή των Μογγόλων (1279-1368).

^ To πρόβλημα του σπασμένουμπαμπού, από το βιβλίο του Γιανγκ·Χούι Σίανγκτσίέ Τσιουτσάνγκ σου-ανφά (1261), λεπτομερής σχολια-σμός των υπολογιστικών μεθόδωντων Εννέα κεφαλαίων. Το παραγό-μενο ορθογώνιο τρίγωνο χρησί-μευε σε μία ολόκληρη σειρά προ-βλημάτων, μεταξύ των οποίων καιτο πυθαγόρειο.

Α Μία σελίδα από το βιβλίο Σιγι-ουάν Γίουτσιάντου Τσου Σιτσίε(1303), σε ελεύθερη μετάφραση «Οπολύτιμος καθρέφτης των τεσσά-ρων αγνώστων», στην οποία φαίνε-ται η μέθοδος των πινάκων για τηναριθμητική επίλυση αλγεβρικώνπροβλημάτων.

Τα Ew/έα κεφάλαια κατέχουν κεντρική θέση στα κινεζικά μαθηματικά. Το αρχικό είναι

αδύνατον να διαχωριστεί από τη μάζα των μεταγενέστερων σχολίων ο σχολιαστής του

3ου αι. Λίου Χούι δηλώνει ότι μεγάλο μέρος του βιβλίου ξαναγράφτηκε στην εποχή του και

ότι προστέθηκε σ' αυτό νέο υλικό ενώ παραλείφθηκε κάποιο άλλο. Η πιο παλαιά εκδοχή

του κειμένου που σώζεται σήμερα είναι του 13ου αι. αλλά είναι αποσπασματική· μια πλη-

ρέστερη έκδοση έχει φτάσει μέχρις εμάς από τον 18ο αι. Κάτι ανάλογο δηλαδή με την

έλλειψη των ελληνικών κειμένων, μόνο που εδώ η χρονική απόσταση ανάμεσα στα υπάρ-

χοντα χειρόγραφα και στα πρωτότυπα που υποτίθεται ότι αντιγράφουν είναι μάλλον μεγα-

λύτερη. Τα Εννέα κεφάλαια περιέχουν 246 προβλήματα. Το καθένα αρχίζει με τη διατύ-

πωση του προβλήματος, η οποία ακολουθείται από την αριθμητική απάντηση και μια

μέθοδο επίλυσης. Δεν δίδονται λογικές εξηγήσεις ή αποδείξεις. Μεγάλο μέρος του έργου

αποτελείται από προβλήματα πρακτικών υπολογισμών, όπως π.χ. η κατανομή της γης, η

μοιρασιά προϊόντων και η διαχείριση κατασκευαστικών έργων μεγάλης κλίμακας. Θα εξε-

τάσουμε τώρα τη μέθοδο εξαγωγής τετραγωνικών ριζών και επίλυσης εξισώσεων.

Οι υπολογισμοί γίνονταν με τη διάταξη ραβδοειδών αριθμών σε έναν άβακα. Μερικές

φορές ο άβακας είχε τη μορφή ειδικά κατασκευασμένου πλέγματος, αλλά μερικά κείμενα

αναφέρουν ότι μπορούσε να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε επιφάνεια. Το σημαντικό ήταν

η διάταξη των ράβδων κατά τη διάρκεια του υπολογισμού, η οποία επέτρεπε τη συνέχιση

ενός μερικού υπολογισμού από εκεί που είχε διακοπεί, κάτι ιδιαίτερα σημαντικό για την

επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων. Οι απαντήσεις καταγράφονταν ακριβώς όπως εμφα-

νίζονταν στον άβακα. Το σύστημα αριθμητικής γραφής που προκύπτει είναι δεκαδικό

θεσιακού συμβολισμού, αλλά τα ψηφία 1 έως 9 κατασκευάζονταν χρησιμοποιώντας ένα

αθροιστικό σύστημα με κάθετες ράβδους για κάθε μονάδα και ένα οριζόντιο για το πέντε.

Μερικές πηγές έχουν αναπαραστάσεις όπου οι διευθύνσεις των ράβδων αλλάζουν, αλλά

το 5 είναι πάντα κάθετο στις μονάδες, κάτι που ασφαλώς βοηθούσε στη διδασκαλία και

επιτάχυνε τους υπολογισμούς. Η χρήση ειδικού συμβόλου για το 5 μεταφέρεται αργό-

τερα στον άβακα, η χρήση του οποίου φαίνεται να γενικεύεται μόλις τον 16ο αι.. Όπως και

οι Βαβυλώνιοι, οι Κινέζοι δεν είχαν σύμβολο για το μηδέν. Η διάταξη των ράβδων πρέπει

να άφηνε κενό στη θέση του μηδενός, αλλά αυτό δεν μεταφερόταν στη γραπτή απά-

ντηση, με αποτέλεσμα να προκύπτει μόνο από τα συμφραζόμενα αν ένας αριθμός ήταν

18,108 ή 1800. Ήδη τον 8ο αι. βλέπουμε σε μια μετάφραση ινδικού κειμένου να χρησιμο-

ποιείται μια τελεία στη θέση του μηδενός. Το κυκλικό μηδέν εμφανίζεται πολύ αργότερα,

τον 13ο αι., μαζί με μια τετραγωνισμένη εκδοχή του, η οποία σχηματίζεται εύκολα από τις

ράβδους.Το πρώτο βήμα στην εξαγωγή τετραγωνικών και κυβικών ριζών είναι η εμπειρική

εύρεση της τάξης μεγέθους της ρίζας και μετά ο υπολογισμός των ψηφίων κατά σειρά.

Στο παράδειγμα των Εννέα κεφαλαίων υπολογίζεται η V71824. Είναι εύκολο να διαπι-

στώσουμε ότι η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 200 και στο 300, οπότε πρόκειται για έναν

τριψήφιο αριθμό αβγ, όπου α=2. Το πρόβλημα είναι η εύρεση του β και του ν. Η αιτιολό-

γηση της αριθμητικής διαδιακασίας που δίνει ο Λίου Χούι βασίζεται σε μια γεωμετρική

μέθοδο, όπου το τετράγωνο χωρίζεται με ένα συγκεκριμένο τρόπο. Γνωρίζοντας ότι η

ρίζα είναι 200 και κάτι, αφαιρούμε το τετράγωνο 200x200 από το διάγραμμα, αφήνοντας

μια περιοχή σχήματος L, η οποία ονομάζεται «γνώμονας». Μετά βρίσκουμε τη μεγαλύ-

A 0 Λίου Χούι, σχολιαστής των

Εννέα κεφαλαίων που έζησε τον 3ο

αι., περιέγραψε μία μέθοδο εξάντλη-

σης για τον κατά προσέγγιση προσ-

διορισμό της τιμής του π. Αυτό το

διάγραμμα του λογίου Τάι Τσεν

(1724-1777) δείχνει τη μέθοδο με

την οποία προσεγγίζεται ένας

κύκλος με εγγεγραμμένα πολύγωνα.

τερη δυνατή τιμή σε δεκάδες που χωράει στον γνώμονα, δηλαδή το 60, οπότε σχηματί-ζεται ένας καινούργιος γνώμονας. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να βρεθεί η λύση. Ανη απάντηση δεν είναι ακέραιος, ή συνεχίζεται η διαδικασία για τη ν εύρεση όσων δεκαδι-κών ψηφίων θέλουμε, ή δίδεται το υπόλοιπο με τη μορφή κλάσματος. Η ίδια τεχνική χρη-σιμοποιείται για την εύρεση κυβικών ριζών με την αντίστοιχη κατάτμηση ενός κύβου.

Αυτή η γεωμετρική τεχνική ισοδυναμεί με τη χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος,του οποίου οι αριθμητικοί συντελεστές αντιστοιχούν στο γνωστό σήμερα τρίγωνο τουΠασκάλ. Η χρήση αυτής της αλγεβρικής μεθόδου ήταν ήδη διαδεδομένη τον 11 ο αι. καιίσως ακόμη νωρίτερα επιτρέποντας στους Κινέζους τον υπολογισμό οποιασδήποτε νυο-στής ρίζας ήθελαν. Επίσης, είναι άγνωστο αν το τρίγωνο του Πασκάλ προερχόταν απόινδικές πηγές ή ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα. Το κάθε βήμα στην εξαγωγή μιας τετραγω-νικής ρίζας απαιτεί την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αντίστοιχα, η εξαγωγήριζών ανώτερης τάξης, όπως π.χ. κυβικών ριζών, απαιτεί την επίλυση εξισώσεων ανώτε-ρου βαθμού, ή πολυωνύμων, όπως π.χ. τριτοβάθμιων. Μια παρόμοια μέθοδος με αυτήν

'της εξαγωγής ριζών μπορούσε λοιπόν να χρησιμοποιηθεί και για την επίλυση οποιουδή-ποτε πολυωνύμου χωρίς το γεωμετρικό πλαίσιο των γνωμόνων. Όπως και σε άλλουςπολιτισμούς, η εύρεση μιας ρίζας ήταν συνήθως αρκετή, και δεν γνωρίζουμε αν οι Κινέ-ζοι ήξεραν ότι ένα πολυώνυμο μπορούσε να έχει πολλαπλές λύσεις. Οι εξισώσεις δενγράφονταν με τη βοήθεια κάποιας μεταβλητής όπως το χ, αλλά εκφράζονταν με τη βοή-θεια των αριθμητικών συντελεστών, οι οποίοι τοποθετούνταν κατάλληλα στον άβακα.Δεν φαινόταν να τους απασχολεί αν τα δεκαδικά μέρη της λύσης ήταν πεπερασμένα ήάπειρα - ο αλγόριθμος δούλευε καλά και στις δυο περιπτώσεις και ο υπολογισμός στα-ματούσε όταν θεωρούσαν ότι το αποτέλεσμα είχε την απαιτούμενη ακρίβεια.

Τα Εννέα κεφάλαια περιλαμβάνουν και προβλήματα τα οποία επιλύνονται με συστή-ματα γραμμικών εξισώσεων με περισσότερους από έναν άγνωστους. Ο Λίου Χούι δηλώνειστο σχόλιο του ότι η γενική μέθοδος επίλυσης είναι δύσκολο να εξηγηθεί χωρίς κάποιοσυγκεκριμένο παράδειγμα. Στη μέθοδο, οι συντελεστές του συστήματος των εξισώσεωνπαριστάνονται με ραβδοειδείς αριθμούς τοποθετημένους σε παράταξη, σαν να πρόκειταιγια πίνακα. Οι αριθμοί μετά αναδιατάσσονται, έτσι ώστε να εξαλειφθούν μερικοί απ' τουςσυντελεστές, αφήνοντας εκπεφρασμένες αριθμητικές λύσεις. Η μέθοδος αυτή είναιουσιαστικά πανομοιότυπη με τη σύγχρονη μέθοδο που είναι γνωστή ως απαλοιφή τουΓκάους, από το όνομα του Καρλ Φρήντριχ Γκάους, αν και οι Κινέζοι δεν ανέπτυξαν τηνιδέα της ορίζουσας ενός πίνακα, οπότε είναι ίσως σωστότερο να θεωρούμε τη διάταξητων ράβδων ως παράταξη.

Υπάρχουν και σημαντικά έργα σχετικά με τις απροσδιόριστες εξισώσεις, οι οποίεςέχουν παραπάνω από μία και μερικές φορές άπειρες λύσεις. Δύο τύποι προβλημάτωνπαρουσιάζονται: ο κυριότερος είναι το πρόβλημα του υπολοίπου, και ο άλλος είναι γνω-στός με το όνομα «το πρόβλημα των εκατό πουλιών». Το πρόβλημα των εκατό πουλιώνεμφανίζεται με διάφορες μορφές στον μεσαιωνικό κόσμο σε ευρωπαϊκά, αραβικά καιινδικά κείμενα. Όπως αναφέρεται στουςΔεκα κανόνες, τα κοκόρια κοστίζουν 5τσιαν, οικότες 3 και τα τρία κοτόπουλα 1. Εάν αγοραστούν εκατό πουλιά για 100 τσιαν, πόσα απόκάθε είδος πουλιού μπορούν να αγοραστούν; Τρεις λύσεις δίδονται, μία απ' τις οποίεςείναι 4 κοκόρια, 18 κότες και 78 κοτόπουλα. (Λείπει η λύση όπου έχουμε 25 κότες και 75

Α Εικονογράφηση προμετωπί-δας από το βιβλίο Σιγιουάν Γιου-τσιάντου Τσου Σιτσίε (1303) ηοποία δείχνει αυτό το οποίο αργό-τερα έγινε γνωστό ως τρίγωνο τουΠασκάλ, τρεις και πλέον αιώνεςπριν γεννηθεί ο Πασκάλ.

κοτόπουλα αλλά καθόλου κοκόρια). Οι απαντήσεις που δίνονται είναι σωστές, αλλά οι εξη-

γήσεις που τις συνοδεύουν δεν χαρακτηρίζονται από ιδιαίτερη αυστηρότητα.

Το πρόβλημα των υπολοίπων, ωστόσο, δίνει και αποτέλεσμα και μία γενική μέθοδο,

πάλι όμως χωρίς δικαιολόγηση. Το πρόβλημα, όπως αναφέρεται στα Εννέα κεφάλαια,

υποθέτει την ύπαρξη ενός άγνωστου αριθμού αντικειμένων τα οποία, «εάν μετρηθούν

ανά τριάδες, περισσεύουν δύο, εάν μετρηθούν ανά πεντάδες, περισσεύουν τρία και εάν

μετρηθούν ανά επτάδες περισσεύουν δύο». Ο σκοπός είναι να βρεθεί ο αριθμός των

αντικειμένων. Η λύση η οποία δίδεται είναι περισσότερο διαδικαστική παρά εξηγητική·

στην ουσία, το πρόβλημα απαιτεί την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη των αριθμών

3,5 και 7. Κατά περίεργο τρόπο, η επόμενη φορά που αναφέρονται αυτά τα προβλή-

ματα είναι τον 13ο αι. στο έργο του Τσ'ιν Τσιουσάο.

Γεννημένος στο Αν γιουέ, το οποίο τώρα βρίσκεται στο Σετσουάν, ο πατέρας του

Τσ'ιν Τσιουσάο κατείχε μία σειρά από διοικητικές θέσεις, μία απ' τις οποίες ήταν υποδι-

ευθυντής της βιβλιοθήκης του παλατιού. Ο Τσ'ιν Τσιουσάο σπούδασε στην Αστρονομική

Εταιρεία της πρωτεύουσας Χανγκτσόου, αλλά συμμετείχε στην πολεμική προσπάθεια

για την απόκρουση των Μογγόλων εισβολέων το 1234. Ήταν δέκα χρόνια αθλιότητας

όπως έλεγε ο ίδιος. Επανεμφανίζεται το 1244 να κατέχει μια δημόσια θέση στην επαρχία

του Τσιανκάνγκ, το τωρινό Νανκίνγκ, αλλά αργότερα αποσύρεται για τρία χρόνια για να

θρηνήσει το θάνατο της μητέρας του. Είναι πιθανόν να έγραψε σ' αυτή συγκεκριμένα

την περίοδο το Σουσου Τσιουτσάνγκ, η δομή του οποίου είναι παρόμοια μετουςΑεκα

κανόνες, αν και το έργο του είναι πολύ πιο βαθύ και πολύπλοκο.

Το Σούσου Τσιουτσάνγκ περιγράφει τις μεθόδους επίλυσης μιας επιμέρους ισοτι-

μίας και ενός συστήματος ταυτόχρονων ισοτιμιών όπως είναι και το πρόβλημα των υπο-

λοίπων. Οι ισοτιμίες είναι ίσως καλύτερα γνωστές με τη μορφή της αριθμητικής μέτρου

ή της ωρολογιακής αριθμητικής και οι λύσεις που δίδονται αντιστοιχούν σ' αυτό που

σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα των κινεζικών υπολοίπων. Ο Τσ'ιν Τσιουσάο λέει ότι

έμαθε τη μέθοδο απ' τους κατασκευαστές ημερολογίων του Γραφείου Αστρονομίας στο

Χανγκτσόου, αλλά ότι κι εκείνοι χρησιμοποιούσαν τον κανόνα χωρίς να τον καταλαβαί-

νουν. Ο κανόνας άρχισε να χρησιμοποιείται για να επιλύσει προβλήματα που παρουσιά-

ζονταν στη χρήση διαφορετικών κύκλων, όπως ο σεληνιακός μήνας, το ηλιακό έτος και ο

τεχνητός εξηνταδικός κύκλος. Ακόμη και ο Γκάους, ο οποίος ξαναανακάλυψε τη μέθοδο

5 αιώνες αργότερα, χρησιμοποίησε προβλήματα ημερολογιακών κύκλων σαν παραδείγ-

ματα. Δεν είναι σαφές πού βρήκε ο Τσ'ιν Τσιουσάο στην πραγματικότητα τον κανόνα

του. Μάλλον πρόκειται για μια γνήσια νεωτερική ιδέα από έναν μαθηματικό πρώτης

τάξεως ο οποίος πήγαινε πολύ μακρύτερα από την παράδοση των σχολιασμών. Ήταν

χαρακτηριστικό παράδειγμα της πανάρχαιας κινεζικής παράδοσης που ήθελε να χρησι-

μοποιούνται τα μαθηματικά για να επιλύουν προβλήματα της καθημερινής ζωής.

< Λειπομέρεια αστρολόγων πουχρησιμοποιούν έναν αστρολάβο κα|πίνακες πλανητικών θέσεων στηνκατάρτιση του ωροσκοπίου κατά τηγέννηση του Ταμερλάνου (1336-1405), του μελλοντικού αυτοκρά-τορα των Μονγόλων.

Τα παλαιότερα στοιχεία για τα μαθηματικά στην Ασία προέρχονται από τον πολιτισμό

της Χαράππα της κοιλάδας του Ινδού γύρω στο 3000 π.Χ. Τα παλαιότερα ντοκουμέντα,

αν και είναι δύσκολο να αποκρυπτογραφηθούν, φαίνεται να ασχολούνται κυρίως με

εμπορικούς λογαριασμούς καθώς και μέτρα και σταθμά, με ειδική αναφορά σε μια δική

τους προχωρημένη τεχνολογία κατασκευής τούβλων. Γύρω στο 1500 π.Χ. ο πολιτισμός

της Χαράππα καταλύθηκε από εισβολείς που ήρθαν απ' το βορρά. Αυτοί οι αποκαλούμε-

νοι Άρειοι ήταν ένας ποιμενικός λαός που μιλούσε μια ινδοευρωπαϊκή γλώσσα, τον πρό-

δρομο των σανσκριτικών και πολλών άλλων από τις σύγχρονες γλώσσες του κόσμου. Η

πρώτη κωδικοποίηση οποιασδήποτε γλώσσας έγινε από τον μεγάλο γραμματολόγο

Πανίνι τον 4ο αι. π.Χ., ο οποίος μόνος του μετέτρεψε τα σανσκριτικά σε μία ρωμαλέα και

εκλεπτυσμένη γλώσσα ικανή να κωδικοποιήσει τις σκέψεις της χερσονήσου για παρα-

πάνω από 2000 χρόνια. Εάν τα ελληνικά μαθηματικά γεννήθηκαν από τη φιλοσοφία, τότε

τα ινδικά μαθηματικά έχουν τις ρίζες τους στη γλωσσολογία.

Η πρώιμη Βεδική λογοτεχνία είναι κυρίως θρησκευτική και τελετουργική. Πιο σημα-

ντικά για το μαθηματικό τους περιεχόμενο είναι τα παραρτήματα των κυρίως Βεδών,

που είναι γνωστά με το όνομα Βεδάνγκα. Αυτά είναι γραμμένα σαν σούτρες -μικροί ποι-

ητικοί αφορισμοί, ιδιαίτερα δημοφιλείς στη σανσκριτική λογοτεχνία, οι οποίοι προσπα-

θούν να δώσουν την ουσία κάποιου επιχειρήματος με τον πιο συμπυκνωμένο και εύλη-

πτο τρόπο. Οι Βεδάνγκες ταξινομούνται σε έξι τομείς: φωνητική, γραμματική, ετυμολο-

γία, στιχουργική, αστρονομία και τελετουργική. Οι δύο τελευταίοι τομείς είναι αυτοί οι

οποίοι μας αποκαλύπτουν την εικόνα των μαθηματικών της εποχής. Η βεδάνγκα της

αστρονομίας ονομάζεται Τζίοτισούτρα, ενώ εκείνη που ασχολείται με τους τελετουργι-

κούς κανόνες είναι γνωστή με το όνομα Καλπασούτρα, μέρος της οποίας είναι η Σουλβα-

σούτρα, η οποία ασχολείται με την κατασκευή βωμών.

Οι πρώτοι στίχοιτης Σουλβασούτρα γράφτηκαν περίπου το 800-600 π.Χ., πριν απ' την

κωδικοποίηση των σανσκριτικών απ' τον Πανίνι. Η γεωμετρία ξεπήδησε από την ανάγκη

συμμόρφωσης προς τους Βεδικούς κανόνες για το μέγεθος, το σχήμα και τον προσανατο-

λισμό των βωμών. Η απόλυτη ακρίβεια ήταν το ίδιο σημαντική για την επιτυχία της κάθε

τελετουργίας όσο και η ορθή προφορά των στίχων. Η γεωμετρία εκφράζεται με τρεις κατά

βάση τρόπους: εντελώς συγκεκριμένα γεωμετρικά θεωρήματα' μεθόδους κατασκευής

διαφόρων σχημάτων βωμών και αλγορίθμους σχετικούς με τις πρώτες δύο κατηγορίες.

Το πιο σημαντικό θεώρημα που αναφέρεται είναι το πυθαγόρειο για ορθογώνια τρίγωνα.

Ένα παράδειγμα μπορεί να δείξει πώς τα θεωρητικά συμπεράσματα εξυπηρετούσαν

τις καθημερινές, πρακτικές ανάγκες. Χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα, είναι

πάντα δυνατόν να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν να είναι διπλά-

σιο από το εμβαδόν κάποιου δεδομένου τετραγώνου. Αν όμως αρχίζουμε από δύο πραγμα-

τικά τετράγωνα -υφασμάτινα λόγου χάρη- ποιος είναι ο ενδεικνυόμενος τρόπος να τα

κόψουμε και επανασυναρμολογώντας τα κομμάτια να σχηματίσουμε το μεγαλύτερο τετρά-

γωνο; Αν και αυτού του τύπου η κατασκευή δεν αναφέρεται ρητά στις Σουλβασούτρες,

έχουμε συγκεκριμένες ενδείξεις ότι τουλάχιστον ο προβληματισμός υπήρχε. Ένα στοιχείο

που έχουμε είναι ο προσεγγιστικός υπολογισμός του V2, ο οποίος είναι ακριβής μέχριτο

πέμπτο δεκαδικό ψηφίο: «αυξάνουμε το μέτρο κατά 1Α και αυτό το τρίτο με το Ατού εαυτού

του μείον το ΊΜ αυτού του τετάρτου». Αυτό θα σήμαινε κόψιμο ενός απ' τα τετράγωνα σε

*· ΣκηνηαπότηνΛκμπαρναμέ,εικονογραφημένο χρονικό του .τέλους του 16ου αι. της Ινδίας τωνΜούγολπου αναπαριστά την γέν-νηση του Ταμερλάνου, του Μογγό-λου αυτοκράτορα που απόγονοςτου ίδρυσε αργότερα την αυτοκρα-τορία των Μούγαλ.

κατάλληλα ορθογώνια και ταξινόμηση τους γύρω απ' το άλλο τετράγωνο για την κατα-σκευή ενός τετραγώνου διπλάσιου εμβαδού. Αυτή η προσέγγιση έχει ομοιότητες με την

κινεζική γεωμετρία και η τιμή που βρίσκεται είναι πολύ κοντά σε εκείνη των Βαβυλωνίων.Δεδομένης της γενικής χρήσης που έχουν λάβει τα ινδοαραβικά νούμερα στο σημε-

ρινό δεκαδικό θεσιακό σύστημα γραφής, αξίζει να ρίξουμε μια ματιά στην πρώιμη ιστορίατων ινδικών αριθμών. Νούμερα σε αλφάβητο Χαρόστι βρίσκονται σε επιγραφές του 4ου αι.

π.Χ. Πρόκειται για ειδικά σύμβολα για το 1,το4,το 10 και το 20· τα νου μέρα μέχρι το 100κατασκευάζονται αθροιστικά. Τα παλαιότερα ίχνη Βραχμανικών αριθμών ανάγονται στον3ο αι. π.Χ. και βρίσκονται στις στήλες Ασόκα, που είναι σκορπισμένες παντού στην Ινδία,και είναι πολύ πιο ανεπτυγμένοι καθώς περιλαμβάνουν ειδικά σύμβολα για πολλαπλάσια

του 10 και για το 100 καθώς και για υψηλότερες δυνάμεις του 10. Οι αριθμοί Μπακσαλί

είναι άγνωστης παλαιότητας αλλά εάν είναι σωστή η θεωρία ότι είναι του 3ου μ.Χ. αι., τότε

είναι το παλαιότερο γνωστό θεσιακό σύστημα που στα ψηφία του περιλαμβάνει ένα ειδικόσύμβολο για το 0. Με δέκα μόνο σύμβολα, ήταν δυνατόν να εκφράσει κανείς οποιονδήποτε

αριθμό, όσο μεγάλος και να ήταν. Οι αριθμοί του Γκουάλιορτου 9ου αι. μ.Χ. μοιάζουν πολύμε τους δικούς μας και περιέχουν την πρώτη εμφάνιση του μηδενός σε ινδική επιγραφή.

Έξω από την Ινδία, αλλά μέσα στην πολιτιστική της ακτίνα, έχουμε μία επιγραφή των Χμερστην Καμπότζη που χρονολογείται από το 683 μ.Χ. και περιλαμβάνει το 0.

Η κλασική περίοδος των ινδικών μαθηματικών άρχισε στα μέσα της πρώτης χιλιετίας.Μεγάλο μέρος της Ινδίας είχε ενσωματωθεί στην αυτοκρατορία των Γκούπτα, οι οποίοιενθάρρυναν τις επιστήμες και τις τέχνες. Οι μαθηματικές έρευνες διεξάγονταν σε τρία

κέντρα: Στο Κουσούμ Πούρα, την αυτοκρατορική πρωτεύουσα, στο Ουτζάιν στα βόρειακαι στη Μυσόρη στα νότια. Οι δυο πιο σημαντικοί μαθηματικοί αυτής της περιόδου είναι ο

Αριαμπάτα (476-550), συγγραφέας της Αριαμπατίγια, και ο Βραχμαγκούπτα (598-670), ο

οποίος το 628 έγραψε τη βραχμασπουτασιδχάντα («Το Άνοιγμα του Σύμπαντος»). Το θέμακαι των δύο ήταν η μαθηματική αστρονομία και η ανάλυση των εξισώσεων.

Η Αριαμπατίγια είναι γραμμένη σε 33 στροφές που αρχίζουν με μία ευχή και συνεχίζουνμε αλγορίθμους υπολογισμού τετραγώνων, κύβων, τετραγωνικών και κυβικών ριζών στη

συνέχεια, 17 στίχοι ασχολούνται με τη γεωμετρία και 11 με την αριθμητική και την άλγεβρα.

Ο δέκατος στίχος δίνει την τιμή του π ως λόγο του 62832:20000, το οποίο αντιστοιχεί με3,1416, την πιο ακριβή τιμή του π για 1000 χρόνια. Το έργο επίσης περιλαμβάνει ένα πίνακαημίτονων. Αντίθετα από τη πτολεμαϊκή χρήση της χορδής ως βασικού μέτρου, οι Ινδοί χρη-

σιμοποιούσαν το μισό της χορδής και το εξέφραζαν συναρτήσει της ακτίνας. Συνεπώς, με

διαφορά ενός σταθερού παράγοντα, τα ινδικά ημίτονα είναι πιο κοντά στην σημερινήέννοια του όρου. Διαιρώντας το τεταρτοκύκλιο σε 24 ίσα μέρη και ξεκινώντας από γνωστέςτιμές και τύπους, όπως π.χ. ημ30°=1/2, ο Αριαμπάτα υπολόγισε ένα πίνακα ημίτονων για

γωνίες από 3° 45'. Έχει επίσης στο ενεργητικό του έναν τύπο για προσέγγιση του ημίτονουοποιασδήποτε γωνίας χωρίς τη χρήση πινάκων, η οποία είναι γενικά ακριβής για δύο δεκα-

δικά ψηφία. Αργότερα, ο Βραχμαγκούπτα έδωσε έναν τύπο παρεμβολής χρησιμοποιώνταςμία αριθμητική μέθοδο διαφορών για να βρει τα ημίτονα των ενδιάμεσων γωνιών. Η τριγω-

νομετρία εξελίχθηκε ακόμα περισσότερο από τους Αραβες στο Βορρά και από τους μαθη-ματικούς της Κεράλα στο Νότο. Οι Άραβες και μετά η Δύση γνώρισαν τα ινδικά μαθηματικάκαι την αστρονομία μέσα από τη μετάφραση της Βραχμασπουτασιδχάντα.

Α Αστρονόμοι παρατηρούν τααστέρια με θεοδόλιχο, όργανοικανό να μετράει κατακόρυφες καιοριζόντιες αποστάσεις, και συμ-βουλεύονται σανσκριτικά κείμενααστρονομίας και τριγωνομετρίας,γνωστά με το όνομα Σιδχάντες.

Ο Βραχμαγκούπτα ήταν ένας από τους πιο γνωστούς εκπροσώπους της σχολής του

Ουτζάιν. Η βραχμασποοτασίδχσντα του είναι μία ολοκληρωμένη πραγματεία για την

αστρονομική γνώση της εποχής. Μερικά από τα μαθηματικά κεφάλαια ασχολούνται με την

απροσδιόριστη ανάλυση, η οποία παρατηρείται στους ημερολογιακούς υπολογισμούς και

στην αστρονομία. Ο Αριαμπάτα έλυσε απροσδιόριστες γραμμικές εξισώσεις χρησιμοποι-

ώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο που περιγράφεται στα Στοίχεία για να μειώσει το μέγε-

θος των συντελεστών, έως ότου οι εξισώσεις να μπορούν εύκολα να λυθούν με τη μέθοδο

της δοκιμής και του λάθους. Ο Βραχμαγκούπτα δίνει έναν αλγόριθμο για ακέραιες λύσεις

εξισώσεων της μορφής ox2±y=y2, οι οποίες γεωμετρικά παριστάνουν υπερβολές. Στην

Ευρώπη αυτή η σχέση έγινε γνωστή ως εξίσωση του Πελ. Αυτές οι μέθοδοι τελειοποιήθη-

καν από τον Μπάσκαρα II σε μία «κυκλική» μέθοδο με το όνομα τσακραβάλα. Δίνει λύση σε

ένα περίφημο πρόβλημα, την εξίσωση ΘΊχ2-!-1 =f. Αυτό είναι το πρόβλημα που ο Πιερ

Φερμά έθεσε ως πρόκληση τον 17ο αι. για να βρεθεί η λύση από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ

100 χρόνια αργότερα· και πάλι, ο αλγόριθμος της τσακραβάλα είναι πολύ πιο αποτελεσμα-

τικός. Οι μικρότερες λύσεις είναιχ=226.153.980 και y=1.766.319.049.

Ούτε η Αριαμπατίγια ούτε η Βραχμασπουτασιδχάντα αποδεικνύουν τα αποτελέσματα

που παρουσιάζουν, Όμως αυτό δεν σημαίνει ότι οι συγγραφείς τους αγνοούσαν τις αποδεί-

ξεις ή δεν ένιωθαν την ανάγκη να καταδείξουν την ισχύ των κανόνων που παρέθεταν. Η

σημασία του να αποδεικνύει κανείς τα αποτελέσματα του θεωρείται ότι ξεκινάει από τον

Μπάσκαρα, ο οποίος απέρριψε την πρόταση των μαθηματικών των Ζάίν να θεωρείται η V10

ως προσεγγιστική τιμή του π γιατί, αν και αριθμητικά είναι πάρα πολύ κοντά στην πραγμα-

τική, αυτή η τιμή δεν προκύπτει από καμιά πράξη. Έτσι, η απλή παράθεση κάποιων αποτε-

λεσμάτων και μεθόδων πρέπει να ενισχύεται από τις ανάλογες αποδείξεις, οι οποίες με τη

σειρά τους οδηγούν σε πιο αυστηρές λύσεις.

Ο Μπάσκαρα II (1114-1185) ήταν ο πιο διακεκριμένος μαθηματικός του Ουτζάιν και

είχε συνδέσειτο όνομα του με κάποιες έννοιες οι οποίες πολύ αργότερα θα επηρέαζαντην εξέλιξη του απειροστικού λογισμού. Τα χειρόγραφα του τυπώνονταν και κυκλοφο-

ρούσαν ακόμα τον 19ο αι. Μια πλευρά της ινδικής αστρονομίας ήταν η μελέτη της στιγμι-αίας κίνησης των πλανητών και ιδιαίτερα της σελήνης. Έγιναν εξαιρετικά ακριβής μετρή-σεις των εκλείψεων, και έτσι οι μελλοντικές εκλείψεις μπορούσαν να προβλεφθούν με

απόλυτη σχεδόν ακρίβεια. Και ο Αριαμπάτα και ο Βραχμαγκούπτα χρησιμοποιούσαν για

αυτό έναν τύπο, αλλά ο Μπάσκαρα II επέκτεινε το αποτέλεσμα φτάνοντας σε κάτι πουμοιάζει να είναι το διαφορικό του ημίτονου. Στο Σιδχαντασιρομάνι υπάρχει μία «απειρο-στή» μονάδα μέτρησης, το τροΰτι, ίσο με 1/33.750 του δευτερολέπτου. Αυτός ο πρόδρο-

μος του απειροστικού λογισμού περιοριζόταν στην αστρονομία και δεν φαίνεται να γενι-

κεύτηκε ποτέ ή να εφαρμόστηκε σε άλλους κλάδους των μαθηματικών.Στη διατύπωση του απειροστικού λογισμού του, ο Νεύτωνας έκανε μεγάλη χρήση

των απείρων σειρών. Ιδιαίτερα χρήσιμη ήταν η προσέγγιση των ημίτονων και των συνη-μίτονων με κατάλληλα πολυώνυμα απείρων όρων και ειδικά στην Κεράλα βρίσκουμε

ανάλογες εξελίξεις. Μετά από τον Μπάσκαρα II, οι Ινδοί μαθηματικοί έκαναν ελάχιστη

πρόοδο και η χώρα έπεσε σε πολιτική αναταραχή. Ωστόσο, η νοτιοδυτική Ινδία παρέ-μεινε εν πολλοίς έξω από αυτές τις αναταραχές και ανέπτυξε τα μαθηματικά της ακόμηπερισσότερο ανάμεσα στον 14ο και στο 17ο αι. Η Κεράλα ήταν κέντρο θαλάσσιου εμπο-

ρίου και το περιβάλλον ήταν κοσμοπολίτικο. Η ιστορία του ρόλου της Κεράλα στη διακί-νηση των ιδεών απομένει ακόμα να γραφτεί, αλλά μερικά μαθηματικά επιτεύγματα απο-

δεικνύουν ότι εκείτο μαθηματικά έπαιζαν κυρίαρχο ρόλο.Ο Μαδχάβααπότο Σανγκαμαγκράμα (περ. 1340-1425), γνωστός στους μεταγενέστε-

ρους αστρονόμους με το όνομα Γκολαβίντ, ή «Κύριος των Σφαιρών», ήταν ένας από τουςμεγαλύτερους μαθηματικούς του Μεσαίωνα. Τα έργα του σχετικά με τις άπειρες σειρές

έχουν χαθεί, αλλά γίνεται εκτεταμένη αναφορά σ' αυτά από τους μεταγενέστερους συγ-

γραφείς, κυρίως του 16ου αι. Πολλά ευρήματα που έχουν πάρει το όνομα Ευρωπαίωνμαθηματικών θα πρέπει ίσως να βάλουν δίπλα στο όνομα τους και το όνομα του Μαδχάβα.

Σ' αυτά περιλαμβάνονται οι άπειρες πολυωνυμικές αναπτύξεις ημίτονων και συνημίτονων,που έχουν αποδοθεί στον Νεύτωνα, καθώς και οι προσεγγιστικοί τύποι μικρών γωνιών, οι

οποίες είναι μέρος των γενικών σειρών του Τέυλορ. Αυτές επέτρεψαν τη σύνταξη τριγωνο-μετρικών πινάκων με την επιθυμητή ακρίβεια· οι πίνακες του Μαδχάβα ήταν ακριβείς μέχρι

το όγδοο δεκαδικό ψηφίο. Βρίσκουμε επίσης και διάφορες άπειρες σειρές που εκφράζουντην τιμή του π. Μία, δοσμένη σε στίχο, δείχνει πώς ορισμένα αντικείμενα χρησιμοποιούνταν

παραδοσιακά στη θέση των αριθμών με σκοπό να βοηθούν την απομνημόνευση:

Θεοί [33], μάτια [2], ελέφαντες [8], φίδια [8], φωτιές [3],τρία [3], ιδιότητες [3], βίδες[4], ναξάτρες [27], ελέφαντες [8], και χέρια [2] - οι σοφοί λένε ότι αυτό είναι το μέτρο

της περιφέρειας όταν η διάμετρος του κύκλου είναι 900.000.000.000.

Εάν διαβάσουμε τους αριθμούς από τα δεξιά προς τα αριστερά και διαιρέσουμε με τηδιάμετρο παίρνουμε την τιμή του π με ακρίβεια 11 δεκαδικών ψηφίων. Αυτή η ευχέρεια

στη χρήση των απείρων σειρών θυμίζει μία σύγχρονη διάνοια από την Κεράλα, τον Σρινι-

βάσα Ραμανουτζάν (1887-1920), του οποίου οι εκπληκτικές επιδόσεις του εξασφάλισανυποτροφία στο πανεπιστήμιο του Καίμπριτζ.

-< Από τα παλαιότερα όργανατέτοιου τύπου, αυτός ο αραβικός.αστρολάβος κατασκευάστηκε απότον Άχμαντ ιμττν Χαλάφ τον 9ο αι.στο Ιράκ. Ο αστρολάβος είναι έναείδος αναλογικού υπολογιστή, πουμπορεί να χρησιμοποιηθεί για τημέτρηση του χρόνου και για τηνπρόβλεψη της θέσης των ουρανίωνσωμάτων, αλλά και για τοπογραφι-κές μετρήσεις.

Τον 7ο αι. μ.Χ. η Αραβική χερσόνησος γέννησε μία καινούργια μονοθεϊστική θρησκεία, ή

οποία έμελλε να απλωθεί μέσα στον Χριστιανικό και στον Περσικό κόσμο. Το έτος 622 ο

προφήτης Μωάμεθ έφυγε από τη Μέκκα και ζήτησε καταφύγιο στη Μεδίνα. Οκτώ χρό-

νια αργότερα επέστρεψε επικεφαλής ενός στρατού και μπήκε στη Μέκκα θριαμβευτής.

Εμπνεόμενοι από τα αποκαλυπτικά οράματα του Μωάμεθ, οι οπαδοί του διέδωσαν το

μήνυμα του Κορανίου και ίδρυσαν μία ισλαμική αυτοκρατορία, η οποία στον κολοφώνα

της απλωνόταν από την Κόρδοβα μέχρι τη Σαμαρκάνδη. Στην αρχή, την αυτοκρατορία

κυβερνούσε η δυναστεία των Ομεγιάδων με πρωτεύουσα τους τη Δαμασκό. Το 750 επι-

κράτησαν οι Αββασίδες, οι οποίοι μετέφεραν την πρωτεύουσα στη Βαγδάτη, ενώ οι

Ομεγιάδες κατέφυγαν σε ισπανικό έδαφος, όπου ίδρυσαν ένα κολοβό χαλιφάτο.

Οι χαλίφηδες των Αββασιδών θέλησαν να χτίσουν την καινούργια Αλεξάνδρεια στη

Βαγδάτη, όπου ίδρυσαν ένα αστεροσκοπείο, μία βιβλιοθήκη και ένα ερευνητικό κέντρο

που το ονόμασαν Μπάιτ αλ-Χίκμα (Σπίτιτής σοφίας). Ξεκίνησε μία τεράστια μεταφρα-

στική προσπάθεια για την απόδοση στα αραβικά όλης της πολύτιμης γνώσης που

υπήρχε εκείνην την εποχή. Στις αραβικές μαθηματικές επιστήμες μπορούμε να δούμε

τις επιρροές των βαβυλωνιακών, ινδικών και ελληνικών ιδεών. Η σύνθεση και ή ανάπτυξη

τους οδήγησε σε θεμελιώδεις ανακαλύψεις, ιδιαίτερα στην άλγεβρα και στην τριγωνο-

μετρία. Αν και ο αλγεβρικός συμβολισμός όπως τον εννοούμε σήμερα ήταν μία πολύ

μεταγενέστερη ευρωπαϊκή εξέλιξη, η αλγεβρική σκέψη οφείλεται κατά κύριο λόγο

στους Άραβες μαθηματικούς. Τα πρώιμα μαθηματικά μπορούν συχνά να ερμηνευθούν

αλγεβρικά, αλλά η σαφής παραδοχή του γεγονότος ότι τα γεωμετρικά προβλήματα

μπορούν να εκφραστούν αλγεβρικά, ότι οι γεωμετρικές διαδικασίες μπορούν να μετα-

φραστούν σε αλγεβρικούς αλγόριθμους, ότι οι αλγεβρικές μέθοδοι μπορούν να επεκτα-

θούν πέρα από τις γεωμετρικές τους ρίζες - αυτά όλα είναι συνεισφορά των Αράβων.

Ένα σημαντικό έργο στην ιστορία της άλγεβρας είναι τα Αριθμητικά του Διόφαντου

του Αλεξανδρέως (περ. 200-περ. 284). Δεν είναι ακόμα σίγουρο πότε έζησε ο Διόφα-

ντος, αν και η επίλυση ενός μαθηματικού αινίγματος, που υποτίθεται ότι αναγραφόταν

στον τάφο του, δίνει την ηλικία του θανάτου του. Ία Αριθμητικά θεωρούνται μία καινούρ-

για κατεύθυνση στα ελληνικά μαθηματικά, με επίκεντρο την επίλυση ορισμένων και

απροσδιόριστων εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους, χωρίς αναφορά σε γεωμετρικές

αιτιολογήσεις. Ο περιορισμός σε ακέραιες λύσεις είναι σήμερα ένας τομέας των μαθη-

ματικών γνωστός ως διοφαντικές εξισώσεις, π.χ. η αναζήτηση πυθαγόρειωντριάδων. Ο

Διόφαντος χρησιμοποίησε επίσης μία βραχυγραφική αλγεβρική σημειογραφία, ενδιά-

μεσο στάδιο μεταξύ μιας ρητορικής και μιας πλήρως συμβολικής άλγεβρας. Αυτό το

έργο μεταφράστηκε και μελετήθηκε πολύ από τους Άραβες μαθηματικούς.

Ο Αμπού Τζαφάρ Μουχάμαντ ιμπν Μούσα αλ-Χουαρίζμι (περ. 780-850) είναι ένας από

τους σημαντικότερους Άραβες μαθηματικούς. Το όνομα του δηλώνει ότι προερχόταν από

το Χουαρίζμ της Κεντρικής Ασίας. Φαίνεται ότι πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του

οπή Βαγδάτη, όπου διορίστηκε αρχιβιβλιοθηκάριος του νεοϊδρυθέντος Σπιτιού της σοφίας.

Η αλγεβρική του πραγματεία Χισάμπ αλ-τζαμπρ ου'αλ-μουκάμπαλα, «Λογισμός αποκατάστα-

σης και εξισορρόπησης», θα επηρέαζε αργότερα πολύ την Ευρώπη · στην πραγματικότητα,

η δική μας λέξη «άλγεβρα» προέρχεται από τη λατινική μεταγραφή της λέξης αλ-τζαμπρ.

Στόχος του ήταν να λύσει πρακτικά προβλήματα στο εμπόριο, στις κληρονομιές και τη

>· Τουρκικό χειρόγραφο του16ου αι. Το Ζουμπντάτ αλ-Ταβαρίκ(Θησαυρός της ιστορίας) του Λοκ-μάν, τονίζει τη μυστικιστική πλευράτης μουσουλμανικής κοσμολογίας.Κάθε ένας από τους «πλανήτες»αντιστοιχεί σε έναν προφήτη,στους οποίους περιλαμβάνονται οιΜωυσής και Ιησούς. Πέρα από τουςζωδιακούς και σεληνιακούς οίκουςβλέπουμε το βασίλειο των αγγέλων,οι οποίοι φαίνεται να στρέφουν τοΣύμπαν.

Α Ο Τακιγιουντίν στο αστεροσκο-πείο του στον Γαλατά, εικονογρά-φηση από την Σαχενσαχναμέ (ΤοΒιβλίο του Βασιλέως των Βασι-λέων) του Λοκμάν, του 16ου αι.Αξιοσημείωτο είναι το πλήθος τωνμαθηματικών και αστρονομικώνοργάνων που χρησιμοποιούνται,μεταξύ των οποίων ένας αστρολά-βος, τετράντες, γνώμονας και δια-βήτης και στην επάνω αριστερήγωνία μία διόπτρα. Έχοντας ιδρυ-θεί το 1574 το αστεροσκοπείο αυτόδεν ευδοκίμησε πολλά χρόνια,δεδομένου ότι οι αστρολογικές τουπροβλέψεις δεν ήταν δημοφιλείς.

χρήση της γης. Τα κεφάλαια τα σχετικά με την άλγεβρα καλύπτουν γραμμικές και δευτερο-

βάθμιες εξισώσεις - οι όροι «αποκατάσταση» και «εξισορρόπηση» αναφέρονται σε αλγε-

βρικούς χειρισμούς. Ο αλ-Χουαρίζμι ταξινομεί τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις σε έξι διαφο-

ρετικούς τύπους. Αντί να γράψει μία γενική μορφή δευτεροβάθμιας εξίσωσης όπως την

ξέρουμε σήμερα αχ2+βχ+γ=0 με άγνωστο το χ και συντελεστές τα α, β καιγ, η άλγεβρα

του απαιτεί όλοι οι συντελεστές και όλες οι λύσεις να είναι θετικές. Ο τρόπος με τον οποίο

είναι γραμμένη η παραπάνω εξίσωση θα ήταν για κείνον αδιανόητος, γιατί το άθροισμα

θετικών όρων δεν θα μπορούσε ποτέ να ισούται με το μηδέν και τις εξισώσεις ox2+j8x=y και

αχ2+γ=)3χθατις κατέτασσε σε δύο διαφορετικούς τύπους. Για κάθε τύπο εξίσωσης δίδο-

νται αλγεβρικές λύσεις ακολουθούμενες από μία γεωμετρική απόδειξη, η οποία πιθανό-

τατα χρησιμοποιεί συμπεράσματα του Ευκλείδη, αλλά έχει και ομοιότητες με τις βαβυλω-

νιακές και τις ινδικές μεθόδους. Οι γεωμετρικές αποδείξεις των αλγεβρικών μεθόδων είναι

ακόμα ρητορικές: ο αλ-Χουαρίζμι δεν ανέπτυξε κάποια συμβολική γλώσσα, αλλά η ευκολία

με την οποία μετακινούμαστε ανάμεσα στα βασίλεια της άλγεβρας και της γεωμετρίας μοι-

άζει πολύ διαφορετική από το ελληνικό στυλ.

Την εποχή του αλ-Καράτζι (953-περ. 1029), οι Άραβες μαθηματικοί προσπαθούσαν

ήδη να απελευθερώσουν την άλγεβρα από τη γεωμετρική σκέψη και να τη μετατρέψουν

σε μία γενικότερη τεχνική αριθμητικού χειρισμού αγνώστων. Ο αλ-Καράτζι ίδρυσε μία

V Ο Νάσιρ αλ-Ντιν αλ Τούσι(1201-1274) στο αστεροσκοπείοπου ίδρυσε στη Μαράγα οτο σημε-ρινό Αζερμπαϊτζάν. Πέρσες καιΚινέζοι αστρονόμοι συνεργάστηκανοτο αστεροσκοπείο, το οποίο είχεέναν τετράντα τοίχου μήκους 4μέτρων και μία εξαιρετική βιβλιο-θήκη. Μετά από 12 χρόνια παρατη-ρήσεων, ο αλ-Τούσι δημοσίευσετους Ιλχανίκούς πίνακες πλανητι-κών και αστρικών θέσεων.

σημαντική σχολή άλγεβρας στη Βαγδάτη. Το βασικό του σύγγραμμα είναι το αλ-Φάχρι,

. στο οποίο ορίζει ανώτερες δυνάμεις και τα αντίστροφα τους, επεξεργαζόμενος κανόνες

εξεύρεσης των γινομένων τους, αν και παραλείπει να ορίσει ότιχ°= 1. Στη συνέχεια εξετά-

ζει αθροίσματα δυνάμεων, ή πολυωνύμων, και δίνει τον κανόνα ανάπτυξης ενός διωνύμου.

Το θεώρημα του διωνύμου και ο συνακόλουθος πίνακας συντελεστών, γνωστός σήμερα

ως τρίγωνο του Πασκάλ, παράγεται κατά πολύ ενδιαφέροντα τρόπο από έναν επαγωγικό

κανόνα. Δεν είναι εντελώς μια τυπική απόδειξη με επαγωγή, αλλά δεν παύει να είναι μία

αριθμητική και αλγεβρική μέθοδος χωρίς καμιά αναφορά στη γεωμετρία.

Την εποχή του Γκιγιάθ αλ-Ντιν Αμπού'λ-ΦατχΟυμάρ ιμπν Ιμπραχίμ αλ-Νισαμπούρι αλ-

Χαγιάμι, γνωστού ως Ομάρ Χαγιάμ (1048-1131), οι Σελτζούκοι Τούρκοι είχαν καταλάβει τη

Βαγδάτη ιδρύοντας εκεί ένα ορθόδοξο μουσουλμανικό σουλτανάτο. Έχοντας σπουδάσει

στη Νισαπούρ, το 1070 ο Χαγιάμ άφησε αυτή την εύθραυστη πολιτική κατάσταση για τη

σχετική ηρεμία της Σαμαρκάνδης - στο σημερινό Ουζμπεκιστάν. Αν και είναι πιο γνωστός

ως ποιητής και συγγραφέας των Ρουμπαγιάτ, ήταν κυρίως επιστήμονας και φιλόσοφος. Στη

Σαμαρκάνδη έγραψε την 'Αλγεβρα του, το σημαντικότερο κεφάλαιο της οποίας ήταν η επί-

λυση κυβικών εξισώσεων με γεωμετρικό τρόπο. Η ιδέα του ήταν ότι η λύση των τριτοβάθ-

μιων εξισώσεων θα μπορούσε να προκύψει από τα σημεία τομής δύο κωνικών τομών, με τις

οποίες ήταν εξοικειωμένος από τη μετάφραση του Απολλώνιου που είχε κάνει. Π.χ., μία εξί-

σωση της μορφής χ3+αχ=ν μπορούσε να επιλυθεί βρίσκοντας τα σημεία τομής ενός κατάλ-

ληλα κατασκευασμένου κύκλου και μίας παραβολής. Ταξινόμησε ορισμένες τριτοβάθμιες

εξισώσεις και τις λύσεις τους, δίνοντας αλγεβρικές μεθόδους απλοποίησης κάποιων πολύ-

πλοκων κυβικών εξισώσεων σε γνωστούς τύπους ή σε ακόμα απλούστερους τύπους δευτε-

ροβάθμιων. Αν κι αυτό ίσως μοιάζει ένα βήμα προς τα πίσω στην εξέλιξη της άλγεβρας,

υπάρχουν αρκετά σημεία, που κάνουν τη συνεισφορά του Χαγιάμ μοναδική. Σχολιάζει ότι οι

αρχαίοι δεν παραδίδουν τίποτε σε σχέση με την επίλυση τριτοβάθμιων εξισώσεων, και πρέ-

πει να υποθέσουμε ότι είχε πρόσβαση στις καλύτερες βιβλιοθήκες της χώρας. Επίσης

δηλώνει ότι δεν μπορεί να βρεθεί γεωμετρική λύση για κυβικές εξισώσεις με τη μέθοδο του

κανόνα και του διαβήτη, κάτι το οποίο αποδείχθηκε οριστικά μετά από 700 χρόνια. Ήταν ο

πρώτος που κατάλαβε ότι οι τριτοβάθμιες εξισώσεις μπορούσαν να έχουν παραπάνω από

μία λύση, αλλά δεν αντελήφθη ότι θα μπορούσαν να είχαν τρεις. Ο Χαγιάμ αναγνωρίζει ότι

το έργο του δεν έχει ολοκληρωθεί και θέτει σαν στόχο μία εξολοκλήρου αλγεβρική λύση για

τις εξισώσεις τρίτου ή και ανώτερου βαθμού, ανάλογη με τον τύπο των δευτεροβάθμιων. Η

λύση αυτή έπρεπε να περιμένει την ιταλική Αναγέννηση. Η αναλυτική γεωμετρία του Χαγιάμ

ήταν η αποκορύφωση της συγχώνευσης των αλγεβρικών και γεωμετρικών γνώσεων των

Αράβων. Το επόμενο σημαντικό βήμα έγινε πολύ αργότερα, από τον Ντεκάρτ (Καρτέσιος).

Η αστρονομία ήταν στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος των Αράβων μαθηματικών και οι

πρόοδοι που έκαναν στην τριγωνομετρία τους έδωσαν τη δυνατότητα να κατασκευάσουν

πολύ πιο ακριβείς αστρονομικούς πίνακες. Το ισλαμικό θρησκευτικό τυπικό υποστήριζε τα

μαθηματικά, γιατί ήταν απαραίτητη η ακρίβεια στην τήρηση των κανόνωντης πίστης. Το

Ισλαμικό ημερολόγιο βασιζόταν στους σεληνιακούς μήνες, που ο καθένας τους άρχιζε με

την πρώτη εμφάνιση του σεληνιακού μηνίσκου μετά από τη νέα Σελήνη. Οι πέντε καθημερι-

νές προσευχές έπρεπε να γίνονται σε ώρες που ρυθμίζονταν από τη θέση του ήλιου: π.χ. η

απογευματινή προσευχή έπρεπε να γίνεται όταντο μήκος της σκιάς που ρίχνει ένα αντικεί-

Δεν κατάφερα να αφοσιωθώ στην εκμάθηση της άλγεβραςκαι να συγκεντρωθώ για πολύ καιρό σ' αυτήν εξαιτίας των

εμποδίων που μου επιφύλαξε ο χρόνος· γιατί δεν έχουμε πιαανθρώπους με γνώση παρά μόνο μια ολιγομελή ομάδα με πάρα

πολλά προβλήματα, που η μόνη τους έγνοια στη ζωή είναι νααρπάξουν την ευκαιρία, όταν ο χρόνος κοιμάται, να αφοσιωθούν

στην έρευνα και στην τελειοποίηση μιας επιστήμης...

Ομάρ Χαγιάμ, Πραγματεία περί παρουσίασηςαλγεβρικών προβλημάτων, περίπου 1070

μενο το μεσημέρι, μεγαλώνει κατά ένα μήκος ίσο προς το ύψος του. Και οι πιστοί έπρεπενα προσεύχονται στραμμένοι προς την κατεύθυνση της Κάαμπα στη Μέκκα. Και οι τρειςαυτοί κανόνες απαιτούσαν γνώση των ουρανίων και πλανητικών κινήσεων αλλά και επί-γειας γεωγραφίας. Αρχικά υπήρχαν μέθοδοι παρατήρησης, βασισμένες σε πίνακες ελληνι-κής και ινδικής προέλευσης, που επέτρεπαν την κατά προσέγγιση τήρηση των απαιτούμε-νων κανόνων οι Άραβες όμως βελτίωσαν κατά πολύ τους πίνακες και τις μεθόδους αυτέςκαι τον 13ο αι. τα τζαμιά απασχολούσαν επαγγελματίες αστρονόμους, οι οποίοι χρησιμο-ποιούσαν με μεγάλη επιδεξιότητα αστρολάβους, τετράντες και ηλιακά ρολόγια.

'Ηταν σαφές ότι κάθε πρόοδος στις αστρονομικές μετρήσεις απαιτούσε ακριβείς τρι-γωνομετρικούς πίνακες. Ας δούμε αυτές τις προόδους μέσα από τις μεθόδους που χρησι-μοποιούσαν για την εύρεση του ημίτονου της 1 °. Το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτο-

μένη είχαν όλα οριστεί κατάλληλα και ήταν γνωστοίπολλοί τύποι, όπως εκείνος του ημίτονου του αθροί-σματος και της διαφοράς δύο γωνιών. Ξεκινούσαναπό τα ημίτονα που ήταν με ακρίβεια γνωστά απόγεωμετρικούς υπολογισμούς, όπως π.χ. ημ60°=<3/2 ήημ30°='Α, και μετά χρησιμοποιούσαν τους τύπουςτης μισής γωνίας κόβοντας τις γωνίες στα δύο,ώσπου έφταναν μέχρι τη γωνία της 1 °, ή πάρα πολύκοντά σ' αυτή. Ο Αμπού'λ-Ουάφα (940-998) ξεκίνησεαπό τη γνωστή τιμή του ημ60° και υπολόγισε και τοημ72°, οπότε με τον κατάλληλο τύπο κατάφερε ναυπολογίσει το ημ12°. Χρησιμοποιώντας τον τύπο τηςμισής γωνίας κατέβηκε μέχρι το ημ(1 °30') και ημ45'.

Καθώς αυτές οι δύο γωνίες είναι πολύ κοντινές η μία στην άλλη, υπέθεσε ότι οι ενδιάμεσεςτιμές μπορούσαν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση γραμμικές, οπότε μία απλή αριθμητικήμέθοδος θα έδινε την απαιτούμενη τιμή του ημ1 °. Με παρόμοιες τεχνικές, ο Αμπού'λ-Ουάφα κατάφερε να φτιάξει έναν πλήρη πίνακα με γωνίες που έφταναν το πλησιέστερο 1Α°ή 15' στο εξηνταδικό σύστημα. Πέτυχε ακρίβεια 5 εξηνταδικών ή 8 δεκαδικών θέσεων.

Το επόμενο μεγάλο βήμα περίμενε 300 χρόνια, αν και η θεωρία ήταν ήδη εκεί. Τότε ηΒαγδάτη βρισκόταν υπό μογγολικό ζυγό κι ο αυτοκράτορας Ούλουγκ Μπεγκ (1395-1449)έφτιαχνε το επιστημονικό του κέντρο στη Σαμαρκάνδη. Ο αλ-Κάσι (1380-1429),πρώτοςδιευθυντής του νέου αστεροσκοπείου της πόλης, βελτίωσε εντυπωσιακά την ακρίβεια τωνπινάκων των ημίτονων. Χρησιμοποιώντας τοντύπο της τριπλής γωνίας για τα ημίτονα, κατα-σκεύασε μία κυβική εξίσωση για να βρει το ημ1 ° συναρτήσει του ημ3°. Μετά, μέσω μιας επα-ναληπτικής διαδικασίας, υπολόγισε το ημ1 ° μέχρι 9 εξηνταδικά ψηφία, που αντιστοιχούν με16 δεκαδικά. Ο υπόλοιπος πίνακας μπορούσε να συμπληρωθεί με τις ήδη γνωστές μαθημα-τικές σχέσεις, αλλά αυτός ο υπολογισμός για την εποχή εκείνη ήταν αληθινό κατόρθωμα.Μία παρόμοια μέθοδο χρησιμοποίησε ο Γιοχάνες Κέπλερ 200 χρόνια μετά. Παράλληλα μετην αύξηση της αριθμητικής ακρίβειας, οι Άραβες τελειοποίησαν τον αστρολάβο - ωςόργανο παρατήρησης και ως αναλογικό υπολογιστή που μέσω του ουρανού έβρισκε τηνώρα. Όμως, το άστρο της Βαγδάτης έδυε, καθώς νέοι εισβολείς, οι Οθωμανοί Τούρκοι,μετέφεραν την πρωτεύουσα και το κέντρο των επιστημών στην Κωνσταντινούπολη.

< Εικόνα από την προμετωπίδατου βιβλίου Margarita philosophica(1503), του Γκρέγκορ Ράις, πουαναπαριστά τις εφτά ΕλεύθερεςΣπουδές: λογική, ρητορική, γραμ-ματική, αριθμητική, μουσική, γεω-μετρία και αστρονομία. Οι δύο μορ-φές στη βάση της εικόνας είναι οΑριστοτέλης και ο Σενέκας.

Το έτος 529 μ.Χ. ο χριστιανός Ρωμαίος αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε τις ειδωλολατρι-

κές φιλοσοφικές σχολές. Ανάμεσα τους και την Ακαδημία των Αθηνών. Χίλια χρόνια ελληνι-

κών μάθη ματικών πήραν τέλος και πολλοί λόγιοι τράβηξαν ανατολικά για τη ν πνευ ματικά

ακμαιότερη Περσική Αυτοκρατορία. Διακόσια χρόνια πριν, ο Μέγας Κωνσταντίνος είχε κάνει

τον Χριστιανισμό επίσημη θρησκεία του ρωμαϊκού κόσμου και είχε μεταφέρει το κέντρο της

εξουσίας απάτη Ρώμη στην Κωνσταντινούπολη. Οι πνευματικές και κοσμικές δυνάμεις για

λίγο συνενώθηκαν στον πρώτο αυτοκράτορα της Αγίας Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας, τον Καρ-

λομάγνο (742-814). Τότε, η Κωνσταντινούπολη ήταν τμήμα της ανερχόμενης Βυζαντινής

Αυτοκρατορίας, και η Βαγδάτη ήταν η επιστημονική πρωτεύουσα του κόσμου. Ως ηγέτης

της δυτικής ευρωπαϊκής αυτοκρατορίας, ο Καρλομάγνος ανησυχούσε για τη ν πνευματική

κατωτερότητα της Χριστιανοσύνης και ενθάρρυνε εκπαιδευτικές μεταρρυθμίσεις με κέντρο

τα καθεδρικά σχολεία, τις οποίες είχε αναλάβει ο Αλκουίνος του Γιορκ (735-804), επικεφα-

λής του σχολείου της αυλής του Καρλομάγνου στο Άαχεν, ο οποίος ανέπτυξε την καρολίγ-

γεια μικρογράμματη γραφή - βάση του σημερινού λατινικού αλφαβήτου. Με το θάνατο του

Καρλομάγνου, οι τρεις αλληλοσπαρασσόμενοι γιοι του ξαναδιαίρεσαντην Ευρώπη. Η

εκπαίδευση γι' αυτούς δεν ήταν πρώτη προτεραιότητα, ωστόσο όμως στα θρησκευτικά σχο-

λεία και τα μοναστήρια διατηρήθηκε ένα μικρό αλλά υπαρκτό ρεύμα επιστημοσύνης.

Το περιεχόμενο των εφτά ελευθέρων σπουδών είχε ήδη καθοριστεί από τη ρωμαϊκή

εποχή. Χωριζόταν στο τρίπτυχο γραμματική, ρητορική και λογική, και στο τετράπτυχο γεω-

μετρία, αριθμητική, αστρονομία και μουσική. Μπορεί να φαίνεται ότι τα μαθηματικά έπαιζαν

σημαντικό ρόλο σ' αυτό το πρόγραμμα σπουδών, αλλά στην πραγματικότητα το επίπεδο

κατανόησης ήταν στοιχειώδες. Ο Βοήθιος (περ. 480-524), ίσως ο επιφανέστερος μαθηματι-

κόςπου παρήγαγε ο ρωμαϊκός κόσμος, καθόρισε τα βασικά κείμενα για κάθε κλάδο του

τετράπτυχου. Η Αριθμητική του ήταν μια απλή περίληψη ενός έργου της ύστερης Αλεξαν-

δρινής εποχής, της Εισαγωγής στην Αριθμητική του επιφανούς πυθαγόρειου Νικόμαχου

(περ. 60-120 μ.Χ. )· η Γεωμετρία βασιζόταν στα 4 πρώτα βιβλία του Ευκλείδη χωρίς τις απο-

δείξεις· η Αστρονομία ήταν μία υπεραπλουστευμένη εκδοχή της Αλμαγέστης του Πτολε-

μαίου' και η Μουσική ήταν ένα συμπίλημα ελληνικών πηγών. Το πρόγραμμα αυτό έμοιαζε

σχεδιασμένο για να διατηρήσει τη γνώση στα χαμηλότερα δυνατά επίπεδα και όχι για να

αποτελέσει εφαλτήριο για καινούργιες ανακαλύψεις. Η χρήση των μαθηματικών περιοριζό-

ταν στην τήρηση του ημερολογίου και στον υπολογισμό της ημερομηνίας του Πάσχα,

καθώς και για τα δύο απαιτούνταν γνώσεις αστρονομίας. Η επιστημονική επανενεργοποί-

ηση της λατινικής Ευρώπης ήταν αποτέλεσμα της αμοιβαίας ώσμωσης που γινόταν κατά

μήκος των συνόρων μεταξύ του χριστιανικού και του ισλαμικού κόσμου.

Εμπνευσμένοι από τον προφήτη Μωάμεθ και τις διδασκαλίες του Κορανίου οι Άραβες

βγήκαν ορμητικοί από τη χερσόνησο τους για να κατακτήσουν την Περσική και τη Ρωμαϊκή

Αυτοκρατορία της Ανατολής. Τα σύνορα με τη λατινική Ευρώπη εκτείνονταν από τη νότια

Ισπανία και τη Σικελία ως τις ανατολικές επαρχίες. Ιδιαίτερα στην Ισπανία, και συγκεκριμένα

στο Τολέδο, διεξαγόταν ένας πνευματικός διάλογος ανάμεσα στους δύο πολιτισμούς, που

ταυτόχρονα βρίσκονταν σε μόνιμη αντιπαράθεση μεταξύ τους. Είναι σχεδόν θαύμα το ότι

υπήρξε ένα τέτοιο κλίμα ακαδημαϊκής ανοχής σε μία περίοδο που γνώρισε δύο αιώνες

σταυροφοριών. Το Τολέδο, πριν καταληφθεί από τους Άραβες τον 8ο αι., για να ανακαταλη-

φθεί από τους χριστιανούς στα τέλη του 11 ου αι., υπήρξε πρωτεύουσα των Βησιγότθων. Η

>· Αναπαράσταση αστρονομίας

από το βιβλίο του Γκρέγκορ Ράις

Margarita philosophica (1503). Η

μορφή κρατάει έναντετράντα ο

οποίος, με τη βοήθεια αστρονομι-

κών πινάκων, μπορούσε να χρησι-

μοποιηθεί για να μετρήσει το γεω-

γραφικό πλάτος και την ώρα της

ημέρας.

Α Αστρονόμος του 14ου αι. που χρη-σιμοποιεί ένα Horologium cum fistula(Ωρολόγιον μετά σωλήνος), μία διόπτραστραμμένη προς τον πολικό αστέρα γιατη νυχτερινή παρακολούθηση της ώρας.

< Αναπαράσταση γεωμετρίας από τοβιβλίο Margarita phi/osophica του Γκρέ-γκορ Ράις (1503). Η εικόνα δείχνει τηνπρακτική φύση της γεωμετρίας, απότην κατασκευή ενός τετράντα μέχρι τηντοπογραφική παρατήρηση, τηνξυλουργική και την αρχιτεκτονική.

Κόρδοβα έγινε πρωτεύουσα του ιβηρικού Αραβικού κράτους και οι Ομεγιάδες ηγέτες τηςείχαν σχέδια να ξεπεράσουν την Αββασιδική Βαγδάτη σε λαμπρότητα και επιστημοσύνη. ΤοΣουλτανάτο της Γρανάδας, όπως ήταν γνωστό το τελευταίο οχυρό της ισλαμικής Ισπανίας,

συνέχισε να υπάρχει μέχρι το 1492, όταν οι μουσουλμάνοι και οι Εβραίοι εκδιώχθηκαν από

την καθολική Ισπανία. Αυτό το δυτικό προπύργιο της Αραβικής Αυτοκρατορίας πέτυχε ναγίνει αντίβαρο της Βαγδάτης και κέντρο τεχνών και επιστημών. Χριστιανοί, Μουσουλμάνοικαι Εβραίοι συνεργάστηκαν για να δημιουργήσουν ένα corpus σημαντικών έργων σ' όλεςτις μεγάλες γλώσσες. Έγιναν αμφίδρομες μεταφράσεις μεταξύ αραβικών, λατινικών, ελλη-νικών, εβραϊκών και καστιλιάνικων. Για την Ευρώπη, αυτή υπήρξε μια περίοδος ανάκτησης

των χαμένων ελληνικών μαθηματικών και των πρωτότυπων αραβικών και ινδικών ανακαλύ-

ψεων. Ο κοσμοπολίτικος χαρακτήρας του Τολέδου του 11 ου και 12ου αι. φαίνεται από ταονόματα μερικών από τους σημαντικότερους λογίους της εποχής: Ροβέρτος του Τσέστερ,

Μάικλ Σκοτ, Χέρμαν της Κορινθίας, Πλάτων του Τίβολι, Ευγένιος του Παλέρμο, Ροδόλφος

της Μπρυζ, Ιωάννης της Σεβίλλης, Γεράρδοςτης Κρεμόνα και Αδελάρδοςτου Μπαθ.Ο Αδελάρδος του Μπαθ (1075-1160) είναι πιθανότατα ο πιο φημισμένος μεταφραστής.

Υποθέτουμε ότι έμαθε τα αραβικά στη Σικελία, που είχε περάσει από τον αραβικό έλεγχοστο νορμανδικό έναν αιώνα πριν, έχοντας όμως διατηρήσει το ισλαμικό πνεύμα μάθησης.

Μετέφρασε τους αστρονομικούς πίνακες του αλ-Χουαρίζμι το 1126, τα Στοιχεία τουΕυκλείδη το 1142 από τα αραβικά στα λατινικά και την Αλμαγέστη του Πτολεμαίου από τα

ελληνικά στα λατινικά γύρω στο 1155. Ελάχιστα είναι γνωστά για τη ζωή του Αδελάρδου,εκτός από το ότι ταξίδεψε πολύ στη Γαλλία, στην Ιταλία και την Τουρκία.

Ο μεγαλύτερος μεταφραστής ήταν ίσως ο Γεράρδος της Κρεμόνας (1114-1187), στονοποίο αποδίδονται πάνω από 85 μεταφράσεις. Πήγε στο Τολέδο αρχικά για να μάθει αρα-

βικά με σκοπό να διαβάσει τη ν Αλμαγέστη του Πτολεμαίου, που δεν είχε ακόμα μεταφραστείστα λατινικά. Παρέμεινε εκεί για την υπόλοιπη ζωή του μεταφράζοντας έργα μαθηματικών,

επιστήμης και ιατρικής. Ανάμεσα τους, μία αναθεωρημένη εκδοχή του αραβικού αντιγρά-

φου των Ιτοίχειωντου Ευκλείδη μεταφρασμένο από τον Θάμπιτιμπν Κούρα, κατά πολύβελτιωμένη σε σχέση με την προηγούμενη εργασία του Αδελάρδου. Η πρώτη μετάφραση

της άλγεβρας του αλ-Χουαρίζμι έγινε το 1145 από τον Ροβέρτο του Τσέστερ. Τότε μπήκαν

στις ευρωπαϊκές γλώσσες πολλές λέξεις που τώρα είναι εξαιρετικά κοινές, είτε λόγω παρα-νόησης της τεχνικής ορολογίας είτε λόγω κακής μεταγραφής. Λέξεις όπως «αλγόριθμος»και «άλγεβρα» ήταν παραφθορά των λέξεων «αλ-Χουαρίζμι» και «αλ-Γζαμπρ» από τον πλήρη

τίτλο της Άλγεβρας του, Χισαμπ αλ-τζαμπρ ου'αλ-μουκάμπαλα. Στον πλήρη αραβικό τίτλο οόρος αλ-τζαμπρ σημαίνει «αποκατάσταση» και αναφέρεται ειδικά στη μέθοδο μεταφοράςτων αρνητικών όρων στο άλλο μέρος μίας εξίσωσης. Και άλλες λέξεις, όπως το ναδίρ, τοζενίθ, το zero και το cipher, προέρχονται από εκείνη την περίοδο.

Αυτές οι μεταφράσεις δεν άργησαν να ξυπνήσουν τη διάθεση για απόκτηση νέων γνώ-

σεων. Τα πρωτοχριστιανικά εκκλησιαστικά δόγματα είχαν αφομοιώσει μεγάλη δόση πλατω-νικής φιλοσοφίας αλλά, παρόλα αυτά, το 529 μ.Χ. ο Ιουστινιανός έκλεισε την Πλατωνική

Ακαδημία στη Αθήνα, 900 χρόνια μετά την ίδρυση της, φοβούμενος την ειδωλολατρική

φιλοσοφία που καλλιεργούσε. Την ίδια περίπου εποχή, η αριστοτέλεια λογική είχε οτρογγυ-λοκαθίσει στο τρίπτυχο του Βοήθιου. Ο Πλάτωνας και ο Αριστοτέλης είχαν συνδεθεί στενά,με διαφορετικό τρόπο ο καθένας, με τη χριστιανική θεολογία. Η κριτική αναμόχλευση της

A 0 Ριχάρδος του Γουόλιγκφορντ(περ. 1292-1336). Μαθηματικός καιαστρονόμος της Οξφόρδης, που αργό-τερα έγινε αββάς του Σαιντ Όλμπανς.Εδώ εικονίζεται να κατασκευάζει έναόργανο, πιθανότατα αστρολάβο, με τηβοήθεια ενός διαβήτη.

·< Χάρτης του ουρανού με τασημεία του ζωδιακού κύκλου, από τονΚαταλανικό Ατλαντα του Αβραάμ Κρέ-σκες. 14ος αι.

ελληνικής επιστήμης και φιλοσοφίας φάνηκε σε πολλούς σαν μία ακόμα επίθεση κατά τηςαυθεντίας της ίδιας της Εκκλησίας. Ο Αριστοτέλης είχε γράψει για πάρα πολλά επιστημο-

νικά θέματα, όπως μηχανική, οπτική και βιολογία. Δυστυχώς, μολονότι τόνιζε την ανάγκητης παρατήρησης, πολλές από τις θεωρίες του έμοιαζαν να αντικρούουν την άμεση εμπει-

ρία. Αντίθετα, ο Πλάτωνας έγραψε σχετικά λίγα πράγματα για την επιστήμη και συχνά περι-φρονούσε την πρακτική της εφαρμογή, αλλά τόνιζε, παρ' όλα αυτά, την πρωτοκαθεδρίατων μαθηματικών στην περιγραφή του σύμπαντος. Για τον Αριστοτέλη, τα μαθηματικά ήταν

υποταγμένα στη φυσική. Η κατάσταση μπερδευόταν ακόμα περισσότερο από τις μεταφρά-σεις των αραβικών και των ελληνικών έργων, τα οποία αντέκρουαν το ένα το άλλο. Τα σημα-

ντικότερα κέντρα σπουδών εκείνη την εποχή ήταν το Παρίσι και η Οξφόρδη και εμείς θα εξε-τάσουμε λεπτομερέστερα το κίνημα που έγινε γνωστό ως σχολή Μέρτον με έδρα το ομώ-

νυμο κολέγιο στην Οξφόρδη. Η επιστημονική μέθοδος, που βρισκόταν ακόμα στα σπάρ-

γανα, θα έδινε στα μαθηματικά ρόλο πρωταγωνιστή.Αυτή η νέα φιλοσοφία ορθολογικής αναζήτησης ξεκίνησε με τον Ρόμπερτ Γκροστέστ

(1168-1253). Έχοντας σπουδάσει στο κολέγιο Μέρτον, έγινε καγκελάριος του πανεπιστη-μίου (1215-1221), λέκτορας των Φραγκισκανών στην Οξφόρδη (1229-1235) και επίσκοπος

του Λίνκολν, στην ενορία του οποίου βρισκόταν η Οξφόρδη. Τα μαθηματικά είναι στην ουσίαθεολογικά ουδέτερα, αλλά ο συνδυασμός μαθηματικών και φυσικής αποτελούσε μεγάλη

πρόκληση για τα καθιερωμένα κοσμολογικά δόγματα. Ένα καλό παράδειγμα γι' αυτό είναι ημεσαιωνική επιστήμη της οπτικής. Ο Γκροστέστ δείχνει κάποιες νεοπλατωνικές τάσεις στησημασία που αποδίδει στο φως ως βάση ολόκληρου του σύμπαντος. Είχε μία κοσμολογικήθεωρία που σήμερα μας θυμίζει τη Μεγάλη Έκρηξη, σύμφωνα με την οποία το σύμπαν ξεκί-

νησε σαν μία αστραπή φωτός και μετά συμπυκνώθηκε σε ύλη καθώς επεκτεινόταν. Γενικά,

ακολουθούσε τους Άραβες συγγραφείς, όπως τον αλ-Χάιθαμ (πιο γνωστό από την εκλατινι-σμένη εκδοχή του ονόματος του, Αλχάζεν), προτιμώντας τους από τους Έλληνες, όπως τον

Αριστοτέλη. Ισχυριζόταν ότι το φως ήταν ένας υλικός παλμός διαδιδόμενος μέσω του αέρα

σε ευθεία γραμμή, περίπου όπως και ο ήχος. Και τα δύο ταξίδευαν με σταθερή ταχύτητα,αλλά ήταν σαφές ότι το φως ταξίδευε γρηγορότερα. Πειραματίστηκε με διάφορα είδη

Α Κρικωτή σφαίρα από το βιβλίο

αστρονομίας Margarita philosophies

του Γκρέγκορ Ράις (1503). Δείχνει

τη γη οτο κέντρο και τους βασικούς

κύκλους όπως την εκλειπτική στην

ουράνια σφαίρα. Η χρήση της ήταν

κυρίως διδακτική.

φακών και περιέγραψε τη χρήση τους για τη μεγέθυνση αντικειμένων. Οι Άραβες έφτιαχνανφακούς τον 11 ο αι., και στη βόρεια Ιταλία του 13ου αι. κατασκεύαζαν ματογυάλια, αν και όχι

τόσο καλής ποιότητας. Ο Γκροστέστ θεωρούσε ότι το ουράνιο τόξο παραγόταν από ένασύννεφο που λειτουργούσε σαν φακός, διαθλώντας το φως στην είσοδο και την έξοδο του,σε αντίθεση με τον Αριστοτέλη, ο οποίος θεωρούσε ότι ήταν αποτέλεσμα αντανάκλασης

του φωτός σε σταγονίδια νερού. Ο σημαντικότερος μαθητής του Γκροστέστ, ο ΡογήροςΒάκων (1214-1294), προχώρησε παρακάτω, αναλύοντας το φαινομενικό κέντρο του ουρα-

νίου τόξου, τη διάμετρο του και τη σχετική του θέση ως προς τον ήλιο και τον παρατηρητή.Θεωρούσε επίσης ότι το ουράνιο τόξο παραγόταν από εσωτερική διάθλαση σε κάθε ξεχω-ριστή σταγόνα παρά σε ολόκληρο το σύννεφο. Τα γραπτά του Βάκωνα-γνωστού τότε με το

όνομα Ντόκτορ Μιράμπιλις (Δόκτωρ Θαύμα)- καλύπτουν ένα τεράστιο πεδίο μαθηματικώνκαι επιστήμης. Οι προχωρημένες απόψεις του για την κατασκευή υποβρυχίων και αερο-

πλάνων μπορούν να συγκριθούν με τις πολύ μεταγενέστερες του Λεονάρντο Ντα Βίντσι(1452-1519). Στα τέλη του 13ου αι., ο γερμανός συγγραφέας Θεοδώριχος του Φράιμπεργκ

(t περ. 1311) πειραματίστηκε με σφαιρικά γυάλινα δοχεία γεμάτα νερό και με κρυστάλλι-

νες σφαίρες, με τις οποίες προσομοίαζε τις υδάτινες σταγόνες. Οι παρατηρήσεις του τονοδήγησαν στη θεωρία για την εσωτερική διάθλαση του φωτός και για τον διαχωρισμό τωνχρωμάτων στο εσωτερικό της σταγόνας ή του γυαλιού, η οποία τώρα συνήθως αποδίδεται

στον Ντεκάρτ, αλλά βλέπουμε ότι 300 χρόνια πριν απ' αυτόν οι μεσαιωνικοί επιστήμονεςείχαν κάνει ανάλογες προόδους στην επιστήμη της οπτικής.

Για πολλούς επιστήμονες, το άστρο του Αριστοτέλη είχε αρχίσει να δύει. Ο Βάκων

έγραψε, «Αν είχα τη δύναμη να διαφεντέψω τα έργα του Αριστοτέλη, θα τα είχα ρίξει όλαστην πυρά». Θεωρούσε ότι εμπόδιζαν την πρόοδο γιατί στηρίζονταν περισσότερο στα φιλο-

σοφικά δόγματα παρά στην εμπειρική παρατήρηση. Οι ειλικρινείς αυτές ιδέες του τον έστει-λαν στη φυλακή, όπως και πολλούς άλλους διανοούμενους της εποχής. Ο Γουλιέλμος του

Όκαμ (περ. 1288-1349) συνέχισε την επίθεση κατά του Αριστοτέλη υποστηρίζοντας ότι η

θεολογία και η φυσική φιλοσοφία θα έπρεπε να διαχωριστούν, γιατί η μία πραγματευόταντην εξ αποκαλύψεως γνώση ενώ η άλλη την εμπειρία. Η αρχή -σήμερα γνωστή ως «Ξυράφι

του Όκαμ» που είχε ήδη διατυπωθεί από τον Γκροστέστ- είναι ότι στην επιστήμη πρέπει να

ψάχνουμε για την απλούστερη λύση που ταιριάζει με τα γεγονότα. Η κατηγορία που απηύ-θυναν στη θεολογία και στη σχολαστική φιλοσοφία ήταν ότι και οι δυο προσπαθούσαν να

εξηγήσουν τη φυσική πραγματικότητα μέσω ενός συμπερασματικού συστήματος που ξεκι-νούσε από απόλυτες υποθέσεις. Αυτό που αναζητούσαν όμως οι επιστήμονες του Μεσαί-

ωνα ήταν μια επαγωγική μέθοδος αξιοποίησης των πειραματικών δεδομένων για τη διατύ-πωση υποθέσεων, οι οποίες, εκφρασμένες στη γλώσσα των μαθηματικών, θα επέτρεπαν

την συναγωγή επαληθεύσιμων συμπερασμάτων. Είναι προφανές, ότι οι επιστήμονες τουΜεσαίωνα έκαναν σοβαρή προσπάθεια να δομήσουν μία εφαρμόσιμη εμπειρική φιλοσοφία.

Ο πρόωρος θάνατος του Γουλιέλμου του Όκαμ το 1349 οφειλόταν στον ΜαύροΘάνατο, που θέριζε τότε την Ευρώπη. Δεν είναι σαφές αν η πανώλης ήταν η μοναδική αιτίαγια την παρακμή των μαθηματικών και της επιστήμης, ή αν η μετέπειτα θρησκευτική αναγέν-

νηση φίμωσε όλα τα φιλελεύθερα και επαναστατημένα στόματα. Όποιος και να ήταν ολόγος, το μεσαιωνικό επιστημονικό πνεύμα κόπηκε πριν προλάβει να ανθίσει και θα περνού-

σαν άλλα 200 χρόνια πριν μπορέσει να ξανασηκώσει κεφάλι.

·< Άλμπρεχτ Ντύρερ. Πραγματείαπερί μετρήσεων με διαβήτη καιχάρακα (Νυρεμβέργη, 1525), μεπέτασμα και πλέγμα που χρησιμο-ποιούσαν για τη ζωγραφική εικόνωνμε προοπτική.

Από πολλούς έχει γραφτεί ότι η ιταλική Αναγέννηση ήταν η καθοριστική περίοδος για τη

δημιουργία μιας νέας ευρωπαϊκής συνείδησης. Η στροφή προς την κλασική παιδεία συν-

δυάστηκε με μία επιθυμία να ξεπεραστεί η απλή μίμηση και να ερευνηθούν καινούργιες

ιδέες, τεχνοτροπίες και ερευνητικές μέθοδοι. Η αλληλεπίδραση μεταξύ τέχνης και γεωμε-

τρίας και ειδικά η χρήση της προοπτικής δείχνουν καθαρά αυτές τις καινούργιες κατευθύν-

σεις. Το νατουραλιστικό στυλ, που είναι χαρακτηριστικό της Αναγέννησης, υπήρχε στην

τέχνη και πριν από την εφαρμογή της προοπτικής, αλλά η προοπτική έδωσε μια επιπλέον

διάσταση ρεαλισμού ενσωματώνοντας και τυπικά την οπτική του θεατή μέσα στη δομή του

πίνακα. Η προοπτική ήταν πολύ σημαντική και για τους αρχιτέκτονες. Η αναβίωση του κλα-

σικού στυλ στην αρχιτεκτονική βασίστηκε κυρίως στο De architecture (Περί αρχιτεκτονι-

κής) του Βιτρούβιου από τον 1 ο αι. μ.Χ. και στην ανανεωμένη μελέτη των κλασικών κτιρίων

που εξακολουθούσαν να υπάρχουν. Οι πρώτοι συγγραφείς που ασχολήθηκαν με την προ-

οπτική, όπως ο Φίλιππο Μπρουνελέσκι (1377-1446) και ο Λεόν Μπατίστα Αλμπέρτι (1404-

1472), συνδύαζαν τα πρακτικά μαθηματικά των κτιστών και των αρχιτεκτόνων με γεωμετρι-

κές κατασκευές, αλλά αυτό που γενικά θεωρείται ως πρώτο έργο γραμμένο ειδικά για την

προοπτική στη ζωγραφική είναι το De prospective pingenti (Περίτης προοπτικής στη

ζωγραφική) του Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα (περ. 1412-1492).

Ο Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα ήταν γιος ενός καταστηματάρχη του Σαν Σεπόλκρο,

κοντά στη Φλωρεντία, και, σκοπεύοντας μάλλον να αναλάβει την επιχείρηση της οικογέ-

Α Από το Ημερολόγιο τωνβοσκών (Λονδίνο, 1506), αυτό τοξυλόγλυπτο έρχεται σε ζωηρή αντί-θεση με τις τότε τάσεις εφαρμογήςτης προοπτικής στη ζωγραφική.

·* Οι μετρητές. Φλαμανδικόςπίνακας του 16ου αι. με μία σειράαπό μαθηματικά όργανα. Μοιάζειπολύ με την ιταλική παράδοση τηςδιδασκαλίας πρακτικών μαθηματι-κών στα αποκαλούμενα «Scuole α"abbacco».

νειας, μελέτησε μαθηματικά σε ένα από τα πολλά

σχολεία πρακτικών μαθηματικών που είχαν αρχίσει

να ξεπηδούν το ένα μετά το άλλο στην Ιταλία εκείνης

της εποχής. Έδειξε μεγάλο ταλέντο και θα μπο-

ρούσε να είχε γίνει επαγγελματίας μαθηματικός,

αλλά αποφάσισε να μαθητεύσει κοντά σε έναν

τοπικό ζωγράφο. Ο μοναδικός συνδυασμός των ικα-

νοτήτων του έκανε τον Πιέρο έναν από τους λίγους

που κατάφεραν να αφήσουν εποχή και στην τέχνη

και στα μαθηματικά. Έζησε ελάχιστο χρόνο στη

Φλωρεντία, γι' αυτό και τα περισσότερα έργα του

βρίσκονται σε μικρές πόλεις όπως το Ουρμπίνο.

Μόνο τρεις δικές του μελέτες έχουν φτάσει μέχρι τις

μέρες μας, χωρίς συγκεκριμένη χρονολογία και με

άγνωστο τίτλο. Πριν εξετάσουμε τη δουλειά του σε

σχέση με την προοπτική, αξίζει να σχολιάσουμε μία

καινοτομία στη γεωμετρία. Σ' αυτόν αποδίδεται η εκ

νέου ανακάλυψη πέντε αρχιμήδειων στερεών, που

ονομάζονται έτσι γιατί τον 4ο αι. μ.Χ. ο αλεξανδρινός μαθηματικός Πάππος απέδωσε την

ανακάλυψη τους στον Αρχιμήδη. Σύμφωνα με τον Κέπλερτο 1619, υπάρχουν 13 αρχιμή-

δεια στερεά συνολικά, των οποίων οι έδρες αποτελούνται από περισσότερα του ενός

είδους κανονικά πολύγωνα· 5 απ' αυτά κατασκευάζονται περικόπτοντας τις ακμές των πλα-

τωνικών στερεών. Πριν από τον Πιέρο αυτά τα στερεά περιγράφονταν μόνο ρητορικά,

απλώς δηλώνοντας τα απαιτούμενα πολύγωνα, αλλά αυτός περιγράφει την κατασκευή

τους και τα απεικονίζει. Δεν τα απεικονίζει όλα με την απαιτούμενη ακρίβεια, αλλά το βήμα

που έκανε ήταν γιγάντιο, μια εποχή που τα βιβλία πρακτικής γεωμετρίας συχνά απεικόνιζαν

τα στερεά εντελώς σχηματικά - για παράδειγμα ένας κώνος απεικονιζόταν σαν ένα τρίγωνο

τοποθετημένο πάνω σ' έναν κύκλο. Το έργο του Πιέρο επανεμφανίστηκε στο De divina

proportione (Περί των θείων αναλογιών) του Λούκα Πατσιόλι. Το βιβλίο εκδόθηκε στη Βενε-

τία το 1509 και περιλάμβανε εικονογραφήσεις από τον φίλο του Πατσιόλι, Λεονάρντο Ντα

Βίντσι (1452-1519) και ένα έκτο αρχιμήδειο στερεό το ρομβοκυβοκτάεδρο.

Το Περί προοπτικής σώζεται σε χειρόγραφα του 15ου αι. στα λατινικά και στην τοσκα-

νική διάλεκτο. Η εισαγωγή λέει ότι ασχολείται μόνο με τη χρήση της προοπτικής στη

ζωγραφική. Αλλά ο Πιέρο και οι σύγχρονοιτου έβλεπαντους κανόνες της προοπτικής ως

μέρος της ευρύτερης επιστήμης της οπτικής. Οι κατασκευές δεν ασχολούνται μόνο με τη

δημιουργία νατουραλιστικών εικόνων-το θέμα είναι ότι για να φαίνονται οι εικόνες φυσι-

κές, πρέπει να υπακούουν στους κανόνες που καθορίζουν το πώς βλέπει το μάτι τον κόσμο.

Το μάτι του παρατηρητή λοιπόν είναι στο κέντρο του όλου έργου. Εάν ένας πίνακας απεικο-

νίζει μια σκηνή όπως φαίνεται μέσα απ' το άνοιγμα ενός παραθύρου, υπάρχει μόνο ένα

σημείο του χώρου, απ' το οποίο ο θεατής έχειτη σωστή οπτική. Τα μάτια του θεατή πρέπει

να βρίσκονται στο ίδιο ύψος με τον ορίζοντα της εικόνας και να εστιάζουν στο σημείο

φυγής. Οι διατέμνουσες που βοηθούν στην απόδοση της σμίκρυνσης των αντικειμένων με

την απόσταση, συναντιούνται σ' ένα σημείο του ορίζοντα. Αυτό το σημείο βρίσκεται φυσιο-

Α Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα, Ημαστίγωση του Χριστού, όπου φαί-νονται πολλά από τα στοιχεία τηςπραγματείας του Περί προοπτικής,όπως το πλακόστρωτο pavimentoκαι αρχιτεκτονικά στοιχεία.

λογικά έξω από το πλαίσιο της εικόνας, και η απόσταση ανάμεσα σ' αυτό και στο σημείο

φυγής είναι η ιδανική απόσταση του θεατή από το επίπεδο της εικόνας. Το Περί προοπτικής

είναι γραμμένο με ευκλείδειο τρόπο, θεωρήματα ακολουθούμενα από αποδείξεις, όπως και

σταΣτοίχεια. Ο Πιέρο δίνει μια σειρά κατασκευών, οι οποίες προβάλλουν την «τέλεια»

μορφή στο επίπεδο της εικόνας, δημιουργώντας έτσι την «αλλοιωμένη» εικόνα, όπως πρέ-

πει να παριστάνεται σ' αυτό το επίπεδο, με τις οπτικές γραμμές να εστιάζουν στο μάτι του

θεατή. Ξεκινάει απ' την κατασκευή ενός τετράγωνου πατώματος, προχωράει σ' ένα

πάτωμα με πλάκες, ένα pavimento, για να δείξει πώς πρέπει οι πλάκες να φαίνονται μικρότε-

ρες, όσο απομακρύνονται από τον θεατή. Μετά εξετάζει κι άλλα πολύγωνα, δίνοντας και το

κανονικό τους σχήμα αλλά και την «αλλοιωμένη» τους μορφή, όπως φαίνονται υπό γωνία.

Συνεχίζει με τα πρίσματα, από τον κύβο μέχρι διάφορα επιμήκη οχήματα, όπως το εξαγω-

νικό πρίσμα, και με το πρόβλημα της απόδοσης μιας κιονοστοιχίας σε προοπτική. Τελειώ-

Α Άλμπρεχτ Ντύρερ, Πραγματεία

περί μετρήσεων με διαβήτη και

χάρακα (Νυρεμβέργη, 1525), όπου

φαίνετε η αλλαγή στο μέγεθος των

γραμμάτων σε μία στήλη έτσι ώστε να

είναι ευανάγνωστα από το έδαφος.

>· Μιχαήλ Άγγελος, Η Δευτέρα

Παρουσία. Από το έδαφος, οι μεγα-

λύτερες μορφές που βρίσκονται

ψηλότερα φαίνονται να έχουν το ίδιο

μέγεθος όσο και οι χαμηλότερες. Η

κατασκευή είναι ίδια με εκείνη της

στήλης του Ντύρερ σ' αυτή τη

σελίδα.

νει με μια σειρά από εικόνες ανθρώπινων κεφαλιών από διαφορετικές γωνίες.Το έργο του Πιέρο αργότερα τελειοποιήθηκε και χρησιμοποιήθηκε από ζωγράφους,

αρχιτέκτονες αλλά και σκηνογράφους του θεάτρου. Η επίδραση της προοπτικής στη

ζωγραφική της εποχής εκείνης έχει προκαλέσει αρκετές συζητήσεις. Τη βλέπουμε πριν απ'τον Πιέρο σε εικόνες όπως Ο Ευαγγελισμός του Ντομένικο Βενετσιάνο και Η μάχη του Σαν

Ρομάνο του Πάολο Ουτσέλο. Τη συναντάμε στη Μαστίγωση του Χριστοί/του Πιέρο, έργοπου μπορεί να θεωρηθεί ως πρακτική εφαρμογή της θεωρίας του, αλλά στον δικό τουΕυαγγελισμό βλέπουμε ότι για λόγους θρησκευτικής σκοπιμότητας, οι φιγούρες απεικονί-

ζονται συχνά πολύ μεγαλύτερες απ' ό,τι θα ήταν σε έναν καθαρά νατουραλιστικό πίνακα,για να τονιστεί η σημασία τους. Ο Μιχαήλ Άγγελος διατεινόταν ότι δεν του περίσσευε χρό-

νος για μαθηματική ακρίβεια και προτιμούσε να βασίζεται στο «διαβήτη των ματιών του».Ωστόσο, η Καπέλα Σιξτίνα έχει εικονογραφηθεί με αυστηρή τήρηση της προοπτικής1 και

στη Δευτέρα Παρουσία ο Μιχαήλ Άγγελος ζωγραφίζει τις φιγούρες στο πάνω μέρος της

εικόνας πολύ μεγαλύτερες από τις άλλες που βρίσκονται χαμηλότερα για να αντισταθμίσειτο γεγονός ότι η απόσταση του θεατή απ' αυτές είναι μεγαλύτερη, κάτι που χάνεται όταν

βλέπει κανείς τον πίνακα σαν εικόνα σε βιβλίο. Αν και οι καλλιτέχνες έμαθαν πολύ γρήγορατη νέα τεχνική, η καλλιτεχνική οπτική δεν θυσιάστηκε στη μαθηματική καθαρότητα.

Τον 16ο αι. ο Πιέρο είχε μείνει στη μνήμη περισσότερο ως μαθηματικός παρά ως καλ-λιτέχνης. Η πραγματεία του δεν εκδόθηκε ποτέ κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, αλλά

κυκλοφορούσε σε χειρόγραφο και το περιεχόμενο της αναφερόταν συχνά σε εκδόσειςάλλων. Όμως, πολλοί θεωρούσαν τις κατασκευές των πιο πολύπλοκων σχημάτων ιδιαί-τερα δύσκολες και συνήθως τις παρέλειπαν. Αυξήθηκε το ενδιαφέρον για την κατασκευήοργάνων παρόμοιων με αυτά που χρησιμοποιούσαν οι τοπογράφοι για να μπορούν οι καλ-

λιτέχνες να αναπαριστούν τα αντικείμενα με προοπτική. Η Πραγματεία περί μετρήσεων με

διαβήτη και χάρακα του Αλμπρεχτ Ντύρερ παρουσιάζει αρκετά απ' αυτά τα εργαλεία. Στα

περισσότερα απ' αυτά ένα τεντωμένο νήμα αναπαριστούσε την οπτική γραμμή και έτεμνεένα πλαίσιο με κινητό σταυρόνημα' η εικόνα κατασκευαζόταν σημείο-σημείο. Εναλλα-

κτικά, ο καλλιτέχνης μπορούσε να βλέπει τη σκηνή μέσα από ένα τετράγωνο πλέγμα, τοοποίο ήταν κάτι σαν σύστημα συντεταγμένων. Ένα τέτοιο εργαλείο ήταν ήδη σε χρήση γιατην αναλογική μεγέθυνση σχεδίων που επρόκειτο να ζωγραφιστούν.

Ο Αλμπρεχτ Ντύρερ (1471 -1528) ήταν ένα από τα δεκαοχτώ παιδιά μιας ουγγρικής

οικογένειας της Νυρεμβέργης και σκόπευε αρχικά να ακολουθήσει το επάγγελμα τουπατέρα του, που ήταν κοσμηματοπώλης. Όμως στα 13 του έγινε σαφές ότι είχε ταλέντοζωγραφικής, οπότε άρχισε να ασχολείται με τη ζωγραφική και την ξυλογλυπτική ως μαθη-τευόμενος. Στις αρχές της δεκαετίας του 1490 άρχισε να ταξιδεύει και να αναπτύσσει την

ιδέα μιας νέας τέχνης βασισμένης στην επιστήμη των μαθηματικών. Όταν γύρισε στη

Νυρεμβέργη άρχισε να μελετά τα έργα του Ευκλείδη, του Βιτρούβιου, του Πατσιόλι καιτου Αλμπέρτι. Αργότερα επισκέφθηκε τον Πατσιόλι στη Μπολώνια και σχεδίαζε να γράψειένα μεγάλο δικό του έργο για τα μαθηματικά και την τέχνη. Την εποχή που έφτιαξε το περί-

φημο χαρακτικό του /Μελαγχολία (1514), η φήμη του είχε παγιωθεί. Είχε δεχτεί παραγγε-

λίες από τον Φρειδερίκο το Σοφό, Εκλέκτορα της Σαξονίας, και τον Μαξιμιλιανό Α', τοναυτοκράτορα της Αγίας Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, και είχε και ένα δικό του, εξαιρετικά

πετυχημένο τυπογραφείο. Τελείωσε την πραγματεία Περί αναλογιών το 1523, αλλά θεώ-

ρώντας ότι τα μαθηματικά που είχε χρησιμοποιήσει ήταν υπερβολικά προχωρημένα για

τους αναγνώστες του, το απλοποίησε και το ξαναέβγαλε με τίτλο Πραγματεία περί μετρή-σεων, που εκδόθηκε το 1525. Εκτός από κάποια παλαιότερα βιβλία εμπορικής αριθμητι-

κής, αυτό ήταν το πρώτο βιβλίο μαθηματικών που τυπώθηκε στα γερμανικά, αναγορεύο-ντας τον Ντύρερ σ' έναν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς της Αναγέννησης. Τομεγαλύτερο μέρος του έργου αφορούσε την επιπεδομετρία και τη στερεομετρία και περι-

λάμβανε μεθόδους κατασκευών και ένα κεφάλαιο περί προοπτικής· μεγάλο μέρος του

αφιερώνεται στην απεικόνιση με κάτοψη και κατατομή στερεών αντικειμένων - ένας κλά-δος των μαθηματικών που τώρα είναι γνωστός ως παραστατική γεωμετρία με μεγάλη πρα-κτική σημασία για τους αρχιτέκτονες και τους μηχανικούς.

Ο γάμος της προοπτικής γεωμετρίας με τις κωνικές τομές -τομές ενός κώνου πουπαράγουν σχήματα όπως ο κύκλος, η έλλειψη και η παραβολή- οδήγησε σε ένα και-

νούργιο κλάδο των μαθηματικών, την προβολική γεωμετρία. Ο Ζιράρ Ντεζάργκ (1591-

1661), πλούσιος και μορφωμένος κάτοικος της Λυών, εξέδωσε ελάχιστα πράγματα στη

ζωή του αλλά παρακολουθούσε τις μαθηματικές εξελίξεις μέσω ενός κύκλου αλληλο-γραφίας που διατηρούσε ο μαθηματικός, ιερέας και φιλόσοφος Μαρέν Μερσέν. Το1639 κυκλοφόρησε ένα εξαιρετικά δύσκολο κείμενο με τίτλο Πρόχειρο σχεδίασμα περί

κωνικών τομών σε 50 μόνο αντίτυπα για συγκεκριμένους παραλήπτες.

Η βάση της προοπτικής γεωμετρίας είναι ότι από το σημείο θεώρησης του θεατή η«τέλεια» και η «αλλοιωμένη» φιγούρα φαίνονται ίδιες. Η επέκταση αυτής της διαπίστωσηςπέρα από το επίπεδο ενός πίνακα σημαίνει ότι μία αρχική εικόνα μπορεί να προβληθεί σε

έναν άπειρο αριθμό επιπέδων εξακολουθώντας να φαίνεται αναλλοίωτη στον σταθερόπαρατηρητή. Ο Ντεζάργκ ερεύνησε ποιες ιδιότητες των εικόνων παρέμεναν αμετάβλητες

μετά από έναν τέτοιο προβολικό μετασχηματισμό. Ένα από τα επιτεύγματα του ήταν η ενο-ποίηση των κωνικώντομών και η αντιμετώπιση τους ως προβολικών μετασχηματισμών του

κύκλου κατά μήκος ενός φωτεινού κώνου - ένας γερτός κύκλος όντως φαίνεται σαν

έλλειψη.Η ομορφιά αυτής της προσέγγισης βρίσκεται στο ότι έχοντας διατυπώσει ένα θεώρημα

για μία κωνική τομή, ας πούμε τον κύκλο, το μόνο που απέμενε να γίνει ήταν η εκτέλεση τηςκατάλληλης προβολής καιεπανερμηνείαςτου θεωρήματος. Ωστόσο, το επίτευγμα του Ντε-

ζάργκ ήταν μάλλον η ανάπτυξη μιας νέας μεθόδουΌταν όμως οι μεγάλοι και ευφυείς καλλιτέχνες βλέπουν τα παρά η διατύπωση πρωτοποριακών θεωρημάτων. Ο

αδέξια αυτά έργα, έχουν απόλυτο δίκιο να οικτίρουν την τυφλό- Ρενέ Ντεκάρτ, του οποίου η αλγεβρική γεωμετρία

τητα αυτών των ανθρώπων · καθότι η ορθή κρίση δεν απεχθάνε- είχε αποδειχθεί τόσο ισχυρό εργαλείο, πρότεινε στσ

ται τίποτε περισσότερο από έναν πίνακα ζωγραφισμένο με Ντεζάργκ να μεταφέρει την εργασία του σε αλγε-

περισσή,φροντίδα και επιμέλεια, αλλά χωρίς τεχνικές γνώσεις. βΡ'κή μορφή για να είναι πιο σαφής. Αργότερα, ο

Ο μόνος λόγος, για τον οποίο οι ζωγράφοι αυτού του είδους δεν ίδιος ο Ντεκάρτ παραδέχθηκε ότι αυτή η γνώμη αφσ, ' ,'Λ ,, , , ,, , ,Λ ρούσε περισσότερο το στυλ παρά το περιεχόμενο,έχουν συναίσθηση του σφάλματος τους είναι ότι δεν έχουν μάθει Όμωςτα μαθηματικά ακολουθούσαν ήδη άλλο

^ γεωμετρία, δίχως την οποία κανείς δεν μπορεί να γίνει η να δρόμΑ καιτο έργοτου Ντεζάργκ παραμελήθηκε. Η

είναι απόλυτος καλλιτέχνης· ωστόσο ευθύνη για αυτό έχουν οι προβολική του γεωμετρία και η παραστατική γεωμε-

διδάσκαλοι τους, οι οποίοι επίσης αγνοούν αυτή την τέχνη. τρία του Ντύρερ επανεμφανίστηκαν στο προσκήνιο

Άλμπρεχτ Ντύρερ, Η τεχνητής μέτρησης, 1525 αργότερα, στις αρχές του 19ου αι.

< Αυτή η προμετωπίδα από το 2ομισό του 16ου αι. ήταν εξαιρετικά ιδημοφιλής και χρησιμοποιήθηκεστην αγγλική μετάφραση των Στοι-χεί'ωντου Ευκλείδη απότονΧένρυΜπίλινγκσλυ το 1570 με εισαγωγήγια τα μαθηματικά του Τζον Ντη. Ησυγκεκριμένη αναπαράσταση είναιαπό την πραγματεία περί μουσικήςτου Τόμας Μόρλεϋ.

Η Ευρώπη του 16ου αι. υποσχόταν άπειρες δυνατότητες. Οι προηγούμενοι δύο αιώνες

είχαν συγκλονίσει την ήπειρο με κάμποσες φυσικές καταστροφές αλλά και άλλες, δημι-

ουργημένες απ' τον ίδιο τον άνθρωπο: ο Μαύρος Θάνατος στα μέσα του 14ου αι. εξό-

ντωσε τον μισό σχεδόν πληθυσμό χωρίς να κάνει διακρίσεις ανάμεσα σε αριστοκράτες και

πληβείους, πλούσιους και φτωχούς· ο εκατονταετής πόλεμος μεταξύ Αγγλίας και Γαλλίας

άφησε τους πληθυσμούς εξαντλημένους σωματικά και ηθικά' και το 1453η κατάληψη της

Κωνσταντινούπολης απ' τους Οθωμανούς Τούρκους σήμανε το τέλος της Βυζαντινής

αυτοκρατορίας. Παράλληλα, βλέπουμε την άνθηση της ιταλικής αναγέννησης και της

ανθρωπιστικής παράδοσης, η οποία συνδύαζε το θαυμασμό για την αρχαιότητα με μία

πρωτοφανέρωτη εμπιστοσύνη για τις ατομικές ελευθερίες και τη μόρφωση. Η εφεύρεση

της τυπογραφίας και της χαρακτικής σήμαινε ότι οι καινούργιες ιδέες μπορούσαν να δια-

δοθούν πολύ πλατύτερα απ' ό,τι παλαιότερα. Η Ευρώπη έστρεψε το βλέμμα και στον υπό-

λοιπο κόσμο οπότε άρχισαν να γίνονται όλο και περισσότερα ταξίδια εξερεύνησης, κατά-

κτησης και εμπορίου. Όμως η ναυσιπλοία χρειαζόταν ακριβείς χάρτες των θαλασσών και

του ουρανού και το εμπόριο χρειαζόταν μια αποτελεσματική μορφή λογιστικής - τίποτα

απ' αυτά δεν ήταν επαρκώς ανεπτυγμένο εκείνη την εποχή. Η άλγεβρα, η τριγωνομετρία,

οι γεωμετρικές προβολές, οι λογάριθμοι και ο απειροστικός λογισμός ή δεν είχαν ακόμα

αναπτυχθεί αρκετά ή δεν είχαν καν εμφανιστεί. Πριν εξετάσουμε αυτές τις εξελίξεις αξίζει

να σταθούμε λίγο στο αυξανόμενο κύρος των μαθηματικών εκείνης της εποχής.

Όπως είδαμε πρωτύτερα, τα μαθηματικά ήταν αναπόσπαστο συστατικό της μοναστη-

ριακής εκπαίδευσης με το τετράπτυχο της αριθμητικής, γεωμετρίας, αρμονίας και αστρο-

νομίας. Όμως, η δουλική υποταγή στα αρχαία κείμενα και οι ελάχιστες απαιτήσεις των

εκκλησιαστικών αρχών περιόριζαν ό,τι μπορούσε να επιτευχθεί μέσα στη σχολαστική

παράδοση. Τον όρο mathematicus τον χρησιμοποιούσαν αδιάκριτα για τους μαθηματι-

κούς και τους αστρολόγους (ο Κέπλερ παραπονιόταν ότι έβγαζε πολύ περισσότερα χρή-

ματα καταστρώνοντας αστρολογικούς χάρτες παρά απ' την αστρονομική του εργασία).

Αν και δεν υπήρχαν ακόμα επαγγελματίες μαθηματικοί, η οικονομική ανάπτυξη της Ευρώ-

πης δημιούργησε την ανάγκη για ένα ευρύ φάσμα ατόμων καταρτισμένων στην αριθμη-

τική, που μπορούσαν να χειριστούν οικονομικές και εμπορικές υποθέσεις. Αυτά τα πόστα

τα καταλάμβαναν περισσότερο άτομα απ' τις συντεχνίες και τα εργαστήρια των τεχνιτών

παρά από τα πανεπιστήμια. Στην Αναγέννηση, τα παιδιά των εμπόρων μάθαιναν στοιχει-

ώδη μαθηματικά στα σχολεία ή στα εργαστήρια. Εδώ ακριβώς άρχισαν να χρησιμοποιού-

νται ευρύτερα τα ινδοαραβικά νούμερα.

Οι καινούργιοι αριθμοί είχαν αρχίσει να αφομοιώνονται τον 12ο αι. με μεταφράσεις στα

λατινικά αραβικών κειμένων, και το 1202 είδε το φως η έκδοση του Liber Abbaci (Βιβλίο του

Αββακα) του Λεονάρντο της Πίζας (περ. 1180-περ. 1250), γνωστού με το όνομα Φιμπονάτσι.

Ενώ σήμερα θεωρείται ένας απ' τους ακρογωνιαίους λίθους της μαθηματικής επιστήμης,

τότε δεν ήταν τόσο δημοφιλές όσο το πιο στοιχειώδες Algorismus Vulgaris του Ιωάννη του

Χάλιφαξ (περ. 1200-1256), πιο γνωστού με το όνομα Σακρομπόσκο. Ο τίτλος Liber Abbaci

είναι, φοβάμαι, παραπλανητικός. Ο όρος «Abbacus», με δύο b, αναφέρεται στις υπολογιστι-

κές μεθόδους με τα νέα αριθμητικά ψηφία και δεν έχει καμία σχέση με τον υπολογιστικό

πίνακα που γνωρίσαμε με το όνομαΛβακας. Επειδή υπήρχε πράγματι αντιζηλία ανάμεσα

στους υποστηρικτές των δύο μορφών υπολογισμού, είναι καλύτερα να χρησιμοποιούμε τον

>· Το κάστρο της γνώσης (1556),

κείμενο κοσμολογίας του Ρόμπερτ,

Ρέκορντ. Αυτή η προμετωπίδα δεί-

χνει τους παιδαγωγικούς στόχους

του Ρέκορντ και τον θρίαμβο της

λογικής επί της αυθεντίας. Η

άγνοια στέκεται επισφαλώς πάνω

σε μία σφαίρα, σε αντίθεση με τη

γνώση, που στέκεται σταθερά και

σίγουρα πάνω στη βάση της.

Α Γαλλικό κείμενο του 16ου αι.αναφερόμενο οτη θεωρία και τηχρήση της σταυρωτής ράβδου,ενός οργάνου που χρησιμοποιού-σαν στη μέτρηση του ύψους τουήλιου και του πολικού αστέρα,ώστε να μπορούν οι ναυτικοί ναυπολογίζουν το γεωγραφικό τουςπλάτος στη θάλασσα.

όρο «αλγοριστής» για τους οπαδούς της τεχνικής του Άββακα, και «αβακιστής» για κάποιον

που εξακολουθούσε να προτιμά τον άβακα, δηλαδή τον μετρικό πίνακα. Κάποιος που γνώ-

ριζε τους κανόνες του Άββακα ήταν γνωστός με τον όρο «Maestro d'Abbaco».

Στο Liber Abbaci ο Φιμπονάτσι έδωσε μεγάλη σημασία στα εμπορικά μαθηματικά. Στο

διεθνές εμπόριο, οι έμποροι έπρεπε να αντιμετωπίζουν δεκάδες διαφορετικά συστήματα

μέτρων και σταθμών και να χειρίζονται μετατροπές μεταξύ διαφόρων νομισμάτων, γι' αυτό

και χρειαζόταν μία αποτελεσματική μέθοδος υπολογισμού για να αποφεύγονται τα σοβαρά

σφάλματα. Το 1494 ο Λούκα Πατσιόλι εξέδωσε τη Summa, γνωστή σήμερα ως το πρώτο

έργο που περιλάμβανε μεθόδους πρακτικής λογιστικής, όπως π.χ. τηντήρηση βιβλίων εσό-

δων-εξόδων. Το βιβλίο επίσης περιλάμβανε και μια σύνοψη των χρήσιμων μαθηματικών της

περιόδου, περιλαμβανομένης της αριθμητικής, της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Η παλαι-

ότερη τυπωμένη αριθμητική είχε βγει μερικά χρόνια πριν, το 1478, στο Τρεβίζο από ανώ-

νυμο συγγραφέα. Ο συμβολισμός ήταν ακόμα ρευστός εκείνη την περίοδο, μετά κλάσματα

να παριστάνονται ακόμα εξηνταδικά ή ως κλασματικές μονάδες. Τα δεκαδικά κλάσματα έγι-

ναν δημοφιλή τον 16ο αι., αν και τα εξηνταδικά παρέμεναν στους αστρονομικούς υπολογι-

σμούς, και η υποδιαστολή διαδόθηκε κυρίως από τον Νέπερ.

Η τάση να γράφουν στην τοπική διάλεκτο και όχι στα λατινικά έκανε τα μαθηματικά

εγχειρίδια προσιτά σε μεγαλύτερο κοινό, αν και ταυτόχρονα εμπόδιζε τη διάδοση τους

πέρα απ' τα γλωσσικά σύνορα. Ο Άνταμ Ρήζε προωθούσε τα ινδοαραβικά νούμερα στη

γερμανική γλώσσα. Ο Ρόμπερτ Ρέκορντ (περ. 1510-1558) ήταν ίσως ο πρώτος εκλαϊκευ-

τής των μαθηματικών. Έγραψε τα πρώτα του μαθηματικά βιβλία στα μητρικά του αγγλικά,

και το έργο του για την αριθμητική, Η βάση των επιστημών (1543) παρέμεινε σε κυκλοφο-

ρία για παραπάνω από 150 χρόνια. Τα περισσότερα απ' τα βιβλία του ήταν γραμμένα σε, μορφή διαλόγου και περιελάμβαναν διαγράμματα και παραδείγματα απαραίτητα για τουςπαιδαγωγικούς σκοπούς που εξυπηρετούσε - από πολλές απόψεις ήταν σαν ένα μοναχικόεξερευνητικό ταξίδι. Το πιο δημοφιλές του βιβλίο είναι Το ακονιστήρι του πνεύματος(1557), ένα βιβλίο στοιχειώδους άλγεβρας στο οποίο βρίσκουμε την πρώτη χρήση του =,του σημείου της ισότητας.

Κι αφού οι έμποροι απ' τα πλοία βγάζουν πλούτηδίκιο θα 'χω να αρχίσω απ' τη συντεχνία ετούτη.

Τα πλοία στη θάλασσα με πανιά και με κουπιά,τα βρήκαν και τα φτιάξαν γεωμετρικά μυαλά.

Αβάκια κι άγκυρες, τροχαλίες και πυξίδες,τις βρήκε η τέχνη η γεωμετρική κι εκείνες.

Κι αν πεις για τα βαρούλκα και τ' άλλα μέρη,κι αυτά η γεωμετρία τα 'χει καταφέρει.

Μαραγκοί, χαράκτες, ξυλουργοί κι οικοδόμοι,ζωγράφοι, γλύπτες κι άλλοι πολλοί ακόμη,

Κεντήστρες, χρυσοχόοι, αν έχουνε μυαλό,στη γεωμετρία το χρωστάν το χάρισμα αυτό.

Το κάρο και τ' αλέτρι που τραβάν ίσες γραμμέςη γεωμετρία τα φκιάνει, αλλά και οι δουλειές

των παπουτσήδων των ραφτών με φιοριτούρες διάφορεςδεν πιάνουν φράγκο αν δεν έχουνε αναλογίες άψογες.

Κι οι υφάντρες με γεωμετρία κάνουνε το δικό τους,της φαντασίας άβακα έχουν τον αργαλειό τους.

Ο τροχός που γυρνά, η πέτρα που λιανίζει,ο μύλος που με το νερό και τους μοχλούς γυρίζει,

Είναι δουλειές της γεωμετρίας παράξενες και θαυμαστέςκι αν δεν της είχαμε, μόνοι μας δεν θα τις βρίσκαμε ποτές.

Κι όλα όσα γίνονται με μέτρα και σταθμά,χωρίς απόδειξη γεωμετρική, ποιος θα τα πάρει σοβαρά;

Και τα ρολόγια πούγιναν τις ώρες για να λένε,την πιο μεγάλη εφεύρεση που έγινε ποτέ,

τώρα που τα 'χουν όλοι κανείς δεν τα προσέχει,την τέχνη που 'χουν μέσα τους κανείς δεν την αμείβει.

Μα αν ήταν να 'ναι σπάνια κι έφτιαχνε κάποιος έναμε γεωμετρία άψογη, θα το μάθαιναν όλοι

πως απ' τις τέχνες όλες πιο χρήσιμη είναι μία,και το όνομα αυτής, Γεωμετρία.

Ρόμπερτ Ρέκορντ, Ο δρόμος για τη γνώση, 1551

Σ' αυτά τα λόγια μπορούμε να διακρίνουμε τις δύο αντίθετες απόψεις για τα μαθη-ματικά που έχουν μακρά ιστορία: τα μαθηματικά σαν χρηστικό εργαλείο και σαν αισθη-τική σπουδή. Ο Ρέκορντ ήταν σθεναρός υποστηρικτής της υπεροχής της λογικής απέ-

ναντι στην αυθεντία, θεωρώντας ότι τα μαθηματικά ήταν η ευγενής τέχνη της αναζήτη-, σης της αληθινής γνώσης. Μια τέτοια στάση μπορεί να μην ήταν αρεστή σε πολλούς και,

αν και είχε τη θέση του ελεγκτή του νομισματοκοπείου του Μπρίστολ και του επιθεω-

ρητή ορυχείων και νομισμάτων της Ιρλανδίας, ο Ρέκορντ πέθανε στη φυλακή, πιθανό-τατα για κάποιες άστοχες πολιτικά δηλώσεις του.

Σύγχρονος και συνάδελφος του Ρέκορντ, ο Τζον Ντη (1527-1608), έκανε μια ανάλογα

εντυπωσιακή καριέρα που ακολουθήθηκε από κατακόρυφη πτώση. Ήταν και οι δύο σύμ-βουλοι ναυσιπλοΐας και χαρτογραφίας στην Εταιρεία Ρωσικού Εμπορίου (MuscovyCompany) και ο Ντη έγραψε το Η τέλεια τέχνη της ναυσιπλοΐας το 1577. Ωστόσο, το ενδια-

φέρον του ήταν περισσότερο στραμμένο στις απόκρυφες επιστήμες και ο ίδιος θεωρείταιτο κυριότερο Ελισαβετιανό κεφάλαιο στη νεοπλατωνική παράδοση της Αναγέννησης. Οιμελέτες του περιλάμβαναν τη ν Καμπάλα (την εβραϊκή μυστικιστική παράδοση) και την

αλχημεία. Κατείχε τη θέση του αστρολόγου της Ελισάβετ πριν ακόμα ανέβει στο θρόνο,

έβγαζε ωροσκόπια και έδινε συμβουλές σχετικά με ημερολογιακές μεταρρυθμίσεις. Η

φήμη του τον έκανε αγαπητό και μισητό ταυτόχρονα στο παλάτι, και μολονότι ήταν σύμ-βουλος της Βασίλισσας, μερικές φορές ένιωθε ότι η εύνοια της δεν τον κάλυπτε αρκετά.Συχνά αισθανόταν την ανάγκη να υπερασπιστεί τον εαυτό του δημόσια, υποστηρίζοντας

με πάθος ότι οι μελέτες του ήταν για το καλό του βασιλείου. Πράγματι, όταν γύρισε από

ένα ταξίδι στην Ευρώπη, του έταξαν να του δώσουν τιμητική σύνταξη, η οποία ποτέ δενεκταμιεύτηκε κι έτσι πέθανε στην ψάθα το 1608. Μία απ' τις πιο διάσημες διακηρύξεις γιατην αξία των μαθηματικών βρίσκεται στον πρόλογο που έγραψε ο Ντη για τα Στοιχεία του

Ευκλείδη σε μετάφραση του Χένρυ Μπίλινγκσγκλυ, ο οποίος αργότερα έγινε δήμαρχοςτου Λονδίνου. Αυτή είναι η πρώτη κανονική έκδοση των Στοιχείων στα αγγλικά και το κεί-

μενο το επιμελήθηκε κατά πάσα πιθανότητα ο ίδιος ο Ντη.Ο Τζον Νέπερ δεν ήταν επαγγελματίας μαθηματικός αλλά Σκωτσέζος ευγενής, Βαρώ-

νος του Murchiston, και περνούσε τον περισσότερο χρόνο του ασχολούμενος με τις υπο-

θέσεις του κτήματος του. Όμως βρήκε το χρόνο να γράψει για πολλά θέματα και συνέδεσετο όνομα του με την αντιπαπική θεολογία. Αν και τα ινδοαραβικά νούμερα ήταν τότε πια σεκοινή χρήση, οι υπολογισμοί γίνονταν με πένα και χαρτί και οι άνθρωποι αναζητούσαν τρό-

πους να επιταχύνουν κάποιες χρονοβόρες πράξεις. Ο Νέπερ έχει στο ενεργητικό του δύοεφευρέσεις, οι οποίες διευκόλυναν πολύ τους υπολογισμούς -τα κόκαλα του Νέπερ και

τους λογαρίθμους. Τα κόκαλα του Νέπερ, επίσης γνωστά και ως νεπέρειες ράβδοι, ήτανκομμάτια ξύλου πάνω στα οποία ήταν σκαλισμένοι οι πίνακες του πολλαπλασιασμού, και

μπορούσε κάποιος, αν διαταχθούν κατάλληλα να εκτελέσει μακροσκελείς πολλαπλασια-σμούς με μεγάλη ταχύτητα. Οι ράβδοι στην ουσία μετέτρεπαν τους μεγάλους πολλαπλα-σιασμούς σε απλές προσθέσεις. Η εφεύρεση των λογαρίθμων επίσης προήλθε από την

επιθυμία για μεγαλύτερη ταχύτητα. Πολλοί μαθηματικοί είχαν παρατηρήσει τη σχέση ανά-

μεσα στις αριθμητικές και τις γεωμετρικές σειρές και ότι το γινόμενο δύο δυνάμεων μπο-ρούσε να αναχθεί στο άθροισμα των εκθετών. Ο Νέπερ συνειδητοποίησε ότι αυτό ισχύει

για όλες τις δυνάμεις και συνέταξε έναν πίνακα νεπέριων λογαρίθμων ο οποίος εμφανί-στηκε στο βιβλίο του Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Περιγραφή του θαυμάσιου

κανόνα των λογαρίθμων) του 1614. Η αρχική του ιδέα δεν χρησιμοποιούσε αριθμητική

βάση: απλώς, διαίρεσε τη μονάδα σε 107 μέρη, κάτι που του έδωσε αρκετά ψηφία για τους

λ Αναπαράσταση της αριθμητικής

από το βιβλίο του Γκρέγκορ Ράις

Margarita Philosophica (1503). Η

μετάβαση από τον ρωμαϊκό άβακαοτη χρήση των ινδοαραβικών αριθ-

μών ήταν εξαιρετικά αργή, με αιώνες

αντιζηλίας ανάμεσα στα δύο συστή-

ματα. Και πράγματι, τα καινούργια

νούμερα ήταν τόσο δύσκολο να αφο-

μοιωθούν, που εάν γυρίσετε την

εικόνα ανάποδα θα παρατηρήσετε

ότι ο υπολογισμός που έχει απεικονί-

σει ο καλλιτέχνης είναι χωρίς νόημα!

περισσότερους υπολογισμούς. Μετά όρισε τησχέση Λ/= 10'(0,9999999)L, όπου το ί. είναι ο λογά-

ριθμος του Ν. Αυτό έδινε το λογάριθμο του 107 ως Οκαι το λογάριθμο του 9999999 ως 1 · οι ενδιάμεσοι

αριθμοί έπαιρναν τιμές μεταξύ Ο και 1. Οι πίνακεςτου έδιναν τους λογαρίθμους τριγωνομετρικώνσυναρτήσεων και όχι φυσικών αριθμών, κι αυτό γιατί

ο βασικός του στόχος ήταν η διευκόλυνση των σχοι-νοτενών υπολογισμών που ήταν απαραίτητοι στην

αστρονομία και στη ναυσιπλοΐα. Ένας απ' τουςμεγαλύτερους θαυμαστές του Νέπερ ήταν ο ΧένρυΜπριγκς, καθηγητής γεωμετρίας στην Οξφόρδη.

Συμφώνησαν μεταξύ τους ότι ο πίνακας θα ήταν

πολύ πρακτικότερος, εάν κατασκευαζόταν με βάση

το ότιλογΐ =0 και λογ10=1. Αλλά ο Νέπερ πέθανετο 1617 και έτσι ανέλαβε ο Μπριγκς να καταρτίσει

τον πρώτο λογαριθμικό πίνακα με βάση το 10, όπωςείναι γνωστός σήμερα. Αυτός ο πίνακας ήταν για

τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 1000'το 1624οΜπριγκς τον επέκτεινε στο 100.000, με ακρίβεια 14ψηφίων. Το πλεονέκτημα της σταθερής βάσης ήταν

ότι η αφαίρεση του παράγοντα 10' από τους υπολο-

γισμούς αποκάλυπτε τον θεμελιώδη κανόνα τωνλογαρίθμων - ότι ο λογάριθμος του γινομένου δύοαριθμών ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων

των αριθμών αυτών. Οι σημερινοί υπολογιστές

έχουν κάνει τους πίνακες των λογαρίθμων, των τρι-γωνομετρικών συναρτήσεων και των αντίστροφων

περιττούς, όπως και τους λογιστικούς κανόνες,

αλλά εκείνη την εποχή οι πίνακες του Μπριγκς έγι-ναν δεκτοί με ενθουσιασμό γιατί συντόμευαν εντυ-

πωσιακά τους υπολογισμούς. Οι ναυτικοί, οι οποίοι είχαν να χειριστούν ημίτονα και συνημί-

τονα, ανακάλυψαν ότι ένας τυπικός πολλαπλασιασμός δύο επταψήφιων αριθμών σήμαινε

εύρεση των αντίστοιχων λογαρίθμων στους πίνακες, μία πρόσθεση και μετά εύρεση τουαντίστροφου στους πίνακες, ο οποίος τους έδινε τη ζητούμενη απάντηση. Πριν απ' τηχρήση των πινάκων, εάν ένας πολλαπλασιασμός χρειαζόταν μια ολόκληρη ώρα, το αποτέ-

λεσμα που έβρισκες ήταν μία ώρα καθυστερημένο σε σχέση με την πραγματική σου γεω-γραφική θέση. Αυτή η καθυστέρηση τώρα περιοριζόταν σε μερικά λεπτά.

Ο Φραγκίσκος Βάκων (1561-1626) δεν ήταν ούτε μαθηματικός ούτε επιστήμονας κιόμως, όπως ο Πλάτωνας, είχε τεράστια επίδραση στη φιλοσοφία της επιστημονικής

δραστηριότητας. Κατά τη διάρκεια της βασιλείας της Ελισάβετ υπηρέτησε στη Βουλή

των Κοινοτήτων και στη θέση του βασιλικού συμβούλου, αν και χωρίς πραγματικό χαρ-

τοφυλάκιο. Όταν ανέβηκε στο θρόνο ο Ιάκωβος Α', η καριέρα του απογειώθηκε, καθώς

·< Χανς Χόλμπαϊν ο νεότερος, Οι

πρεσβευτές (1533). Οι Γάλλοι πρε-

σβευτές είχαν πάει στην αυλή του

Ερρίκου του Η' προοτιαθώντας να

τον πείσουν να μην διαζευχθεί την

Αικατερίνη της Αραγωνίας. Τα μαθη-

ματικά όργανα συμβολίζουν τη

μάθηση που περιέχεται στο τετρά-

πτυχο αλλά και την ισχύ που παρέχει

αυτή η γνώση.

V Σελίδα από το βιβλίο του Τζων

Νέπερ ASftmeifca logarithmica του1628, που συμπληρώθηκε και εκδό-

θηκε μετά το θάνατο του από τον

Χένρυ Μπριγκς, καθηγητή γεωμε-

τρίας στην Οξφόρδη. Αυτή η έκδοση

χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τονΤσαρλς Μπάμπιτζ στην ανάλυση του

των σφαλμάτων του πίνακα.

κατέλαβε μία σειρά από σημαντικές θέσεις με αποκορύφωμα τη θέση του ΛόρδουΚαγκελάριου το 1618. Σε μια εποχή όπου η διαφθορά ήταν ενδημική, φαίνεται περίεργοότι ο Βάκων κατηγορήθηκε για δωροδοκία το 1621. Παρ' όλα αυτά, ο Ιάκωβος εξακο-λουθούσε να του πληρώνει τη σύνταξη του και η πτώση έμοιαζε περισσότερο να έχειπληγώσει την περηφάνια του παρά την τσέπη του. Τα βιβλία του ήταν η αιχμή του δόρα-τος για την άποψη ότι η φυσική φιλοσοφία έπρεπε να γίνει πρωταρχικό μέλημα τηςκυβέρνησης και του στέμματος. Τα βιβλία Η προαγωγή της μάθησης (1605) και Η μεγάληαποκατάσταση (1620) ήταν αφιερωμένα στον Ιάκωβο και τον καλούσαν να γίνει προστά-της της επιστήμης. Τα γραπτά του Βάκωνα επηρέασαν μελλοντικούς επιστήμονες όπωςο Νεύτωνας και ο Χάλλεϋ, έβαλαν τις βάσεις της αγγλικής συνεισφοράς στην επιστημο-νική επανάσταση και ενέπνευσαν την ίδρυση της Βασιλικής Εταιρείας. Η θέση του επί-σης σήμαινε ότι η επιστήμη είχε έναν υπερασπιστή με πολιτική και οικονομική επιρροή.Η γνώση ήταν δύναμη και αναγνωρίστηκε ότι η επιστήμη μπορούσε να χρησιμεύσει γιατην αύξηση της ευημερίας και του κοινού πλούτου, όπως ανέλυσε ο Βάκων στο NovumOrganum (1620). Ο Βάκων είχε την τάση να βλέπει τα μαθηματικά πρακτικά και ωφελιμι-στικά - τα μαθηματικά ήταν η γλώσσα της επιστήμης και ένα εργαλείο στη διάθεση της.Ωστόσο είχε τον κοινό νου και τη διορατικότητα να προβλέψει ότι τα μαθηματικά αυτάκαθαυτά δεν ήταν μια στατική επιστήμη και ότι το μέλλον θα έβλεπε την ανάπτυξη και-νούργιων κλάδων. Η χρήση των μαθηματικών απ' τους εμπόρους, τους ναυτικούς καιτους επιστήμονες σήμαινε στην ουσία δημιουργία μεγαλύτερου πλούτου για το έθνος.Η προώθηση των μαθηματικών δεν ήταν πια απασχόληση κάποιων πανεπιστημιακώνδασκάλων αλλά συστράτευση σε έναν εθνικό σκοπό.

Κανένα κράτος, κανένας άνθρωπος ή παιδί δεν κερδίζει σε σοφίααν δεν μαθαίνουν όλοι τους αριθμούς απ' τα μικρά τους χρόνια.Κι οι αριθμοί έχουνε τέτοια δύναμη για πλούσιους και φτωχούςπου όποιος δεν ξέρει να μετρά άνθρωπος δεν λογιέται παρά ζώο:γιατί τι άλλο παρά κτήνος και τούβλο μοναχόείναι όποιος δεν κατέχει τη μόνη τέχνη που αρμόζει στους ανθρώπους,γιατί υπάρχουν ζώα που ξεπερνάνε τους ανθρώπους σε πολλά,αλλά κανένα δεν ξέρει να μετρά, μόνο το ανθρώπινο μυαλό.Κι αφού οι αριθμοί είναι από ζώο σε άνθρωπο η μόνη διαφορά,ελάτε όλοι να μάθετε την τέχνη της αρίθμησης, αν θέτενα μπείτε στο στρατό ή να γενείτε σπουδαίοι και τρανοί.Όπου κι αν μένεις, σε παλάτι ή σε χωριό, κι αν έχεις επιλέξειμε φυσική, φιλοσοφία και νομικά τον καιρό σου να περνάς,σίγουρος να 'σαι πως δίχως την τέχνη αυτή ποτέ δε θα προκόψεις.Κι αν πεις για την αστρονομία και τη γεωμετρία επίσης,κοσμογραφία, γεωγραφία και άλλες επιστήμες,και μουσική με μελωδίες γλυκές, χωρίς αυτή την τέχνηούτε στο τόσο δα δε θα μπορέσεις να τις γνωρίσεις.

>· Το εξαιρετικά δημοφιλές αυτόεργαλείο υπολογισμών, τα «κόκαλα»ή οι νεπέρειες ράβδοι, ήταν αρχικάκατασκευασμένο από ξύλινα ή φιλ-ντισένια τετράπλευρα ραβδιά. Σ'αυτή την εξελιγμένη κατασκευή, ταραβδιά είναι πακτωμένα σ' ένα πλαί-σιο και μπορούν να περιστραφούν.Η συσκευή αυτή μετέτρεπε τουςμακροσκελείς πολλαπλασιασμούςσε μία σειρά από απλές προσθέσεις.

Δε θα μπορέσεις να γίνεις λογιστής ή τοπογράφος,

ούτε ένα άθροισμα δε θα μπορείς να βγάλεις, αν λείπουν οι αριθμοίΑλλά άμα θες μ' εμπόριο να ασχοληθείς, μούσα σου ετούτο το βιβλίο θα γενεί,

γιατί έχει μέσα όλους τους κανόνες κι εσύ διαλέγεις όποιους θες.

Κι αν είσαι και τεχνίτης, όσα μέσα σ' αυτό θα βρειςθα κάνουν τη δουλειά πιο αλαφριά και το μυαλό σου κοφτερό.

Κι αν είσαι ό,τι άλλο από βοσκός, βαρύ θα 'ναι για σένα

να κάνεις τη δουλειά σου χωρίς των αριθμών την συνδρομή.Να απαριθμήσω τις ωφέλειες που φέρνουν οι αριθμοί

θα 'παίρνε χρόνο ατέλειωτο, γι' αυτό κι εγώ θα πω

μια τελευταία φράση μόνο που όλα τα ιστορεί,

Πέτρα ακατέργαστη είναι ο άνθρωπος χωρίς την τέχνη αυτή.

Τόμας Χύλλες, Η τέχνη της κοινής αριθμητικής, 1600

< Λεπτομέρεια από την Οπτικήτου Νεύτωνα (1704). Μία μικρήπραγματεία που είχε προστεθείοτην οπτική ως παράρτημα ήταν ηΑπαρίθμηση καμπυλών τρίτου βαθ-μού, οτην οποία ο Νεύτωνας παρα-θέτει τα 72 διαφορετικά είδη κυβι-κών συναρτήσεων σχεδιάζοντας τιςκαμπύλες για τις περισσότερες απόαυτές. Για πρώτη φορά βλέπουμετη χρήση αξόνων τεμνομένων υπόορθή γωνία και τη χρήση αρνητικώνσυντεταγμένων.

Απ' την εποχή των Ελλήνων και μετά τα μαθηματικά ήταν χωρισμένα σε δύο κλάδους, τη

* γεωμετρία και την αριθμητική. Η μία πραγματευόταν μεγέθη, η άλλη αριθμούς. Ποτέ

όμως δεν υπήρξε σαφής διαχωρισμός ανάμεσα στις δύο, και έχουμε δει ότι οι διάφοροι

πολιτισμοί έδειχναν προτίμηση στον ένα κλάδο ή στον άλλο ανάλογα με τα ενδιαφέρο-

ντα τους. Θα περιγράψουμε την ανάπτυξη της άλγεβρας και τις σχέσεις της με τη γεω-

μετρία μέσα από την ιστορία της επίλυσης της εξίσωσης τρίτου βαθμού - αυτό που με

σημερινά σύμβολα γράφουμε: αχ3+|3χί+νχ+δ=0.

Η λέξη αλ-τζαμπρ (αποκατάσταση), παρμένη από τον τίτλο της πραγματείας του αλ-

ΧουαρίζμιΧίσάμπ αλ-τζαμπρ ου'αλ-μουκάμπαλα (κεφ. 7) είναι η λέξη που έδωσε τη δική μας

«άλγεβρα». Ο αλ-Χουαρίζμι έγραψε την άλγεβρα του χωρίς να χρησιμοποιεί καθόλου σύμ-

βολα και τις επιλύσεις των εξισωσεωντις έδινε ρητορικά. Στις δυνάμεις των αγνώστων έδινε

ονόματα, όπωςπ.χ. σέι (πράγμα) για το χ, μαλ (πλούτος) για το χ2 και κα'μπ (κύβος) για το χ3.

Τα ονόματα που έδιναν στις δυνάμεις δεν ήταν σταθερά και στο βιβλίο του Liber abbaci του

1202 (κεφ. 10) ο Φιμπονάτσι χρησιμοποιούσε μεταφράσεις από τα αραβικά αλλά και μερικά

ονόματα δικά του, όπωςπ.χ. το όνομα radix για τη ρίζα και cubus για το χ3. To Liber abbaci

ήταν πολύ σημαντικό έργο, γιατί βοήθησε τα μέγιστα στη διάδοση των ινδοαραβικών αριθ-

μών καθώς περιέγραφε τα «εννέα ινδικά ψηφία» και το «zephirum», ή μηδέν.

Το κείμενο του αλ-Χουαρίζμι, γραμμένο στο πρώτο μισό του 9ου αι., διαιρεί τις λύσεις

των δευτεροβάθμιων εξισώσεων σε έξι τύπους, περιορίζοντας και τους αριθμητικούς

συντελεστές και τις τελικές λύσεις σε θετικές τιμές (κεφ. 7). Οι λύσεις υποστηρίζονται από

γεωμετρικές αναπαραστάσεις, οι οποίες είναι οτην ουσία ίδιες με τη συμπλήρωση του

τετραγώνου των Βαβυλωνίων (κεφ. 1). Τον 11 ο αι. ο Ομάρ Χαγιάμ ανακάλυψε μια γεωμε-

τρική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων τρίτου βαθμού μέσω της εύρεσης των σημείωντομής

δύο κωνικώντομών π.χ., η επίλυση της εξίσωσης x3+ox=y μπορεί να βρεθεί από την τομή

ενός κύκλου και μίας παραβολής. Αλλά και πάλι οι συντελεστές και οι λύσεις είναι όλοι θετι-

κοί αριθμοί. Ο Χαγιάμ δεν βρήκε τη γενική αλγεβρική λύση της κυβικής εξίσωσης, αλλά η

εφαρμογή της ελληνικής γεωμετρίας στην επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ήταν ασφαλώς

εξαιρετικά προχωρημένη. Με τα δικά του λόγια, «οι άλγεβρες είναι γεωμετρικά γεγονότα

τα οποία μπορούν να αποδειχθούν». Ελπίδα του ήταν να βρεθεί μια αμιγώς αλγεβρική λύση

για την κυβική εξίσωση απ'τους μαθηματικούς του μέλλοντος. Δυστυχώς, η Άλγεβρα του

αλ-Χαγιάμ δεν ήταν ένα από τα πολλά αραβικά βιβλία που μεταφράστηκε στα λατινικά.

Μια γενική αλγεβρική λύση για την τριτοβάθμια εξίσωση -δηλαδή μια πεπερασμένη

σειρά αλγεβρικών βημάτων που οδηγούν σε πλήρεις λύσεις- βρέθηκε όντως, αλλά την

εποχή της ιταλικής Αναγέννησης, σχεδόν 400 χρόνια αργότερα. Διάφορες προσεγγιστικές

λύσεις ήταν ήδη γνωστές. Το 1225, π.χ., ο Φιμπονάτσι εξέδωσε μία πραγματεία για την

κυβική εξίσωση που έδινε μια προσεγγιστική τιμή για μία ιδιαίτερη περίπτωση, αλλά δυστυ-

χώς χωρίς καμία μέθοδο. Κοιτάζοντας την ιστορία της κυβικής εξίσωσης, βυθιζόμαστε στον

ανταγωνιστικό κόσμο της αναγεννησιακής Ιταλίας. Η δημοσίευση νέων ευρημάτων ήταν

σπάνια, καθώς η μη αποκάλυψη αυτών των μυστικών ανέβαζε το γόητρο των μαθηματικών

στα μάτια των προστατών τους. Η ανταλλαγή γνώσεων έπαιρνε τη μορφή αγώνων, στους

οποίους οι μαθηματικοί προκαλούσαν ο ένας τον άλλο με σειρές ερωτήσεων. Όποιος κέρ-

διζε σε τέτοιους αγώνες, έβλεπε τη φήμη του να ανεβαίνει κατακόρυφα.

Η επίλυση της κυβικής και της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης δημοσιεύθηκε για πρώτη

φορά απ' τον Τζιρολάμο Καρντάνο (1501 -1576) στο

βιβλίο του Ars magna (1545). Ωστόσο, ούτεη μίαούτε η άλλη λύση ήταν εύρημα του ίδιου του Καρ-

ντάνο. Η πρώτη πραγματική λύση ήταν του ΣιπιόνεντελΦέρρο (περ. 1465-1526), καθηγητή μαθηματι-

κών στην Μπολώνια. Αλλά εκείνος, αντί να δημοσιεύ-σει τη λύση του, προτίμησε να την αφήσει κληρονο-μιά στον μαθητή του Αντόνιο Μαρία Φιορ. Ο Φιορ

θεώρησε ότι αυτό του άνοιγε τις πύλες της επιτυχίαςκαι του πλούτου και άρχισε να προκαλεί τους μαθη-

ματικούς σε αγώνες επίλυσης προβλημάτων.Ωστόσο, ο Φιορ ήταν μάλλον μέτριος μαθηματικός

και βασιζόταν σε ένα και μοναδικό όπλο. Ο μαθηματι-

κός Νικολό Φοντάνα (περ. 1500-57) καλύτερα γνω-

στός με το όνομα Ταρτάλια, «τραυλός», από το ελάτ-τωμα ομιλίας που απέκτησε όταν ένα σπαθί τουέκοψε την άκρη της γλώσσας στη γαλλική πολιορκία

της Μπρέσια, δούλευε και εκείνος στο ίδιο θέμα. Το1555 ο Φιορ και ο Ταρτάλια αντιμετώπισαν ο ένας τον

άλλο και τη νύχτα της 12ης Φεβρουαρίου ο Ταρτάλιαισχυρίστηκε ότι έλυσε κι εκείνος την εξίσωση τρίτου

βαθμού. Ο Ταρτάλια κέρδισε τον αγώνα επιλύονταςόλα τα προβλήματα του Φιορ, ενώ ο Φιορ δεν μπό-ρεσε να λύσει ούτε ένα πρόβλημα του Ταρτάλια.

Εκείνη την εποχή, την τριτοβάθμια εξίσωση δεν

τη θεωρούσαν μία μοναδική και ενιαία εξίσωση,αλλά τη διαιρούσαν σε τύπους, ανάλογα με το ποιοι

όροι της εξισώνονταν με ποιους, περίπου όπως καιοι τύποι της δευτεροβάθμιας εξίσωσης του αλ-Χου-

αρίζμι. Φαίνεται λοιπόν ότι ο Ταρτάλια δεν είχε λύσει

μόνο τον μοναδικό τύπο εξίσωσης του Φιορ αλλά καιαρκετούς από τους άλλου τύπους. Τα νέα για τη νίκη

του Ταρτάλια έφτασαν στα αυτιά του Καρντάνο, ο

Α Αυτό το κείμενο του 16ου αι.

θεωρεί ακόμα απαραίτητο να δώσει

στον αναγνώστη του την αντιστοιχία

μεταξύ των ρωμαϊκών και των κοι-

νών αριθμών. Οι ρωμαϊκοί αριθμοί

εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται

ακόμη και στις μέρες μας, μόνο που

η χρήση τους είναι περιορισμένη.

οποίος μετά από προσπάθειες έπεισε τον Ταρτάλιανα αποκαλύψει το μυστικό του, με αντάλλαγμα μία συστατική επιστολή για έναν πιθανό

χρηματοδότη. Ωστόσο, στη συνάντηση τους στο Μιλάνο το 1539, ο Ταρτάλια έβαλε τονΚαρντάνο να ορκισθεί ότι δεν θα δημοσιεύσει ποτέ τη λύση, την οποία του έδωσε με τη

μορφή ενός δυσνόητου ποιήματος. Όμως, ο Καρντάνο ανακάλυψε αργότερα, ότι ογαμπρός του Ντελ Φέρρο είχε στην κατοχή του το αρχικό χειρόγραφο και ζήτησε την

άδεια να το διαβάσει. Εκείνος κι ο βοηθός του Λουντοβίκο Φερράρι (1522-65) είχαν κάνει

αρκετά βήματα προς την επίλυση της γενικής μορφής της κυβικής αλλά και της τεταρτο-

βάθμιας εξίσωσης. Ο Καρντάνο εκτιμούσε τη δουλειά του Ταρτάλια αλλά έχοντας ανακα-λύψει ότι είχε προηγηθεί ο Φέρρο, δεν θεωρούσε ότι δεσμευόταν από τον όρκο μυστικότη-

τας που είχε δώσει. Ο Ταρτάλια εξοργίστηκε με αυτή την προδοσία και αποφάσισε να εκδι-

\r\Qti γράφοντας ένα βιβλίο, στο οποίο έλεγε τη δική του πλευρά της ιστορίας. Ακολού-

θησε μια μακροχρόνια και πικρόχολη διαμάχη, στην οποία ο Φερράρι, εξαιρετικός μαθημα-τικός ο ίδιος, πήρε το μέρος του δασκάλου του. Το 1548, ο Ταρτάλια, μέχρι τότε ταπεινόςκαθηγητής μαθηματικών στη Βενετία, αναγορεύτηκε λέκτορας στην Μπρέσια. Αποφάσισε

ότι εάν προκαλούσε τον Φερράρι, αυτό θα του έφερνε περισσότερη δόξα και θα ικανοποι-ούσε την εκδικητική του μανία, αλλά είχε υποτιμήσει σοβαρά τον βοηθό του Καρντάνο, καιαναγκάστηκε να αποχωρήσει άρον-άρον, πριν τελειώσει ο αγώνας. Τα πράγματα δεν είχαν

πάει καθόλου καλά για τον Ταρτάλια και οι αρχές της Μπρέσια αρνήθηκαν να καταβάλουντο μισθό του, οπότε εκείνος γύρισε στην παλιά του δουλειά στη Βενετία.

Αντίθετα απ' τον Ταρτάλια, ο οποίος προερχόταν από φτωχή οικογένεια και πάντα

έψαχνε τη σιγουριά της χρηματοδότησης, ο Καρντάνο απέκτησε αρκετή φήμη και σημα-ντική περιουσία, η οποία όμως ήταν εξαιρετικά επισφαλής. Ο Καρντάνο ήταν τυπικός

άνθρωπος της εποχής του - μαθηματικός, γιατρός, αστρολόγος, χαρτοπαίκτης και αιρετι-

κός. Ο ιατρικός σύλλογος αρνιόταν επί δεκαπέντε χρόνια να τον κάνει δεκτό στουςκύκλους του, δήθεν επειδή ήταν παιδί ενός παράνομου δεσμού, αλλά στην ουσία επειδήείχε τη φήμη του στρυφνού και αθυρόστομου ανθρώπου. Αν και λίγο έλειψε να χρεοκοπή-

σει από τη μανιώδη χαρτοπαιξία του, κατάφερε να στήσει ένα πολύ πετυχημένο ιδιωτικό

ιατρείο, ενώ ταυτόχρονα δίδασκε ιατρική στο Μιλάνο και στην Παβία από το 1543 ως το1552. Τον κάλεσαν στη Σκωτία για να θεραπεύσει τον αρχιεπίσκοπο του Αγίου Ανδρέα.Όταν επέστρεψε ονομάστηκε καθηγητής ιατρικής στο πανεπιστήμιο της Παβίας, έχοντας

στον ενεργητικό του την αποθεραπεία του αρχιεπισκόπου, όμως η επαγγελματική του επι-τυχία υπονομευόταν από τη θυελλώδη οικογενειακή του ζωή. Δεν κατάφερε να σώσει τοναγαπημένο του μεγαλύτερο γιο, ο οποίος εκτελέστηκε για τη δολοφονία της άπληστης

γυναίκας του, μη μπορώντας να πληρώσει το εξωφρενικό ποσό που ζητούσε η οικογένειατης για ηθική ικανοποίηση. Αναγκάστηκε να φύγει απ' την Παβία και έγινε καθηγητής στην

Μπολώνια. Μετά, ο μικρότερος γιος του έκλεψε απ' το σπίτι του πατέρα του για να πληρώ-σει ένα χαρτοπαιχτικό χρέος. Αυτή τη φορά ο απελπισμένος Καρντάνο κατέδωσε το γιο

του, ο οποίος και εξορίστηκε. Ο Καρντάνο δεν είχε αποκτήσει πολλούς φίλους στην Μπο-

λώνια και το 1570 τον συνέλαβαν ως αιρετικό, γιατί είχε βγάλει το ωροσκόπιο του Ιησού

Χριστού και είχε επαινέσει τον αυτοκράτορα Νέρωνα. Κατά περίεργο τρόπο, τον κάλεσανστη Ρώμη, όπου ο ίδιος ο Πάπας συμφώνησε να τον στηρίξει οικονομικά. Το κουσούρι τηςχαρτοπαιξίας τον πήγαινε μια επάνω και μια κάτω, αλλά σίγου ρα αποτέλεσε τη βάση για

ένα βιβλίο που έγραψε σχετικά με τις πιθανότητες. Η αυτοβιογραφία του είναι μια ειλικρι-νής μαρτυρία για μια εκπληκτική ζωή στην αιχμή μιας μαθηματικής επανάστασης.

Η επιτυχημένη αντιμετώπιση της τριτοβάθμιας εξίσωσης από τον Καρντάνο ήταν στην

ουσία μία εφαρμογή της «συμπλήρωσης του κύβου», ανάλογη με τη μέθοδο συμπλήρω-σης του τετραγώνου. Ωστόσο, η διατύπωση ήταν ακόμα σαν του αλ-Χουαρίζμι, με μακρο-

σκελείς ρητορικές εξηγήσεις και κατάταξη σε τύπους, δεδομένου ότι οι αρνητικοί συντελε-

στές δεν ήταν ακόμα αποδεκτοί. Μεταμορφώνοντας τις πιο πολύπλοκες κυβικές εξισώσεις

σε απλούστερους επιλύσιμους τύπους, κατάφερε να ξεπεράσει τον Ντελ Φέρρο και τονΤαρτάλια. Ο Καρντάνο παρατήρησε επίσης ότι μερικές φορές, σε κάποια ενδιάμεσα στά-δια της λύσης, παρουσιαζόταν η τετραγωνική ρίζα αρνητικών αριθμών. Δεν μπορούσε να

κρύψει τη δυσφορία του απέναντι σ' αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς, αλλά αν και θεω-»ρούσε αυτές τις διατυπώσεις άνευ νοήματος, δεν τις απέρριψε ασυζητητί. Σε μία περί-

πτωση μάλιστα είχε την υπομονή να προχωρήσει παρακάτω, οπότε όταν πολλαπλασίασεαυτό που σήμερα ονομάζουμε συζυγείς μιγαδικούς, το αποτέλεσμα που πήρε ήταν σωστό.

Διατύπωσε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες μία εξίσωση τρίτου βαθμού έχει μιγαδικέςλύσεις, αλλά δεν προχώρησε στη μελέτη αυτού του καινούργιου είδους αριθμού. Το 1572,Ο Ραφαέλ Μπομπέλι (1526-περ. 1572) δημοσίευσε τηνΛ\νεβοά του, στην οποία επέκτεινε

το πεδίο των αριθμών για να περιλάβει τετραγωνικές ρίζες, κυβικές ρίζες και μιγαδικούςαριθμούς. Έκανε ένα πολύ μεγάλο βήμα προς την αλγεβρική λύση γεωμετρικών προβλη-

μάτων και αντίστροφα, αλλά δυστυχώς οι λύσεις αυτές δεν έγιναν γνωστές στους συγχρό-νους του, καθώς ένα μεγάλο μέρος του βιβλίου παραλείφθηκε από τους εκδότες και

έπρεπε να περιμένει τον 20ό αι. για να εκδοθεί για πρώτη φορά ολόκληρο.

Στην Ευρώπη η ανάπτυξη της άλγεβρας πήγαινε παράλληλα με τη χρήση των καινούρ-γιων ινδοαραβικών αριθμών. Το 1494 εκδόθηκε το Summa de arithmetica, geometrica,

proportion! et proportionalita του Αββά Λούκα Πατσιόλι, που θεωρείται ση μέρα το πρώτοβιβλίο άλγεβρας. Η άλγεβρα του Πατσιόλι ήταν ακόμα μείγμα ρητορικών και αλγεβρικών

εξηγήσεων (γνωστή ως «συντομογραφική»). Ο άγνωστος της εξίσωσης συχνά αναφερότανως cosa (=πράγμα) στα λατινικά και αργότερα coss στα γερμανικά. Η αποκαλούμενη

«κοσική» τέχνη αναπτύχθηκε ταχύτατα στη Γερμανία του 16ου αι. μέσα από έργα όπως DieCoss, γραμμένο το 1524 από τον περίφημο Rechensmeister'fwm\iPrfp (1492-1559). Πολλά

απ' τα σύμβολα που τώρα θεωρούμε αλγεβρικά άρχισαν να χρησιμοποιούνται εκείνη την

>· Η Απαρίθμηση καμπυλών τρί-

του βαθμού του Νεύτωνα ήταν

θρίαμβος για την αλγεβρική και την

αναλυτική γεωμετρία, καθώς χρη-

σιμοποιούσε τον απειροστικό λογι-

σμό για την ανακάλυψη καινούρ-

γιων ιδιοτήτων των καμπυλών. Εδώ

βλέπουμε αλγεβρικές παραστάσεις

για τα εμβαδά που ορίζονται από

τις υπό μελέτη καμπύλες.

περίοδο, το + και το - στη Γερμανία, το = στην Αγγλία. Η μετάβαση από μία ρητορική άλγε-Η βρα, μέσα από διάφορα στάδια επιμέρους συντομογραφιών, μέχρι μια τυποποιημένη, ξεκά-

θαρη, συμβολική άλγεβρα κράτησε μερικούς αιώνες. Ένα μεγάλο πρόβλημα ήταν ο ρόλος

που έπαιζαν οι μεγαλύτερες δυνάμεις απ' τον κύβο. Καθώς οι αλγεβρικές μέθοδοι έπρεπενα παραπέμπουν σε γεωμετρικές αποδείξεις και οι φυσικές διαστάσεις είναι τρεις, δεν φαι-νόταν λογικό να προσπαθεί να αποδώσει κανείς νόημα στην τέταρτη δύναμη ή σε κάποια

μεγαλύτερη. Οι όροιπου χρησιμοποιούσαν αντανακλούν αυτόντον προβληματισμό, καθώςτηντέταρτη δύναμη συχνά την ονόμαζαν «τετράγωνο του τετραγώνου». Στα μεσάτου 16ουαι. ο Ρόμπερτ Ρέκορντ θεώρησε απαραίτητο να δικαιολογήσει τη χρήση υψηλότερων δυνά-

μεων, λέγοντας ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου, του οποίου οι πλευρές είναι οι ίδιες απο-τέλεσμα τετραγωνισμού αριθμών, είναι στην ουσία ένας αριθμός υψωμένος στηντέταρτη

δύναμη, από το οποίο προκύπτει καιη ονομασία τετράγωνο του τετραγώνου.

Το οριστικό διαζύγιο από μία καθαρά γεωμετρική προσέγγιση ήρθε με την έκδοση τουLa Geometrie του Ρενέ Ντεκάρτ (1596-1650). Αυτό το σημαντικό έργο ήταν ένα απλό

παράρτημα στο βιβλίο Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher laverite dans les sciences (Λόγος περί της μεθόδου για την καλή καθοδήγηση του λογικού

μας και την αναζήτηση της αλήθειας στις επιστήμες), και συχνά παραλειπόταν από τις μετα-γενέστερες εκδόσεις. Σκοπός του Ντεκάρτ στονΛόγο ήταν η επεξεργασία μιας φιλοσοφίας

της επιστήμης που θα οδηγούσε στην ορθή γνώση για το σύμπαν, την ύλη και την κίνηση.Μ ία σωστή περιγραφή του συ μπαντος με τη γλώσσα

Αν λοιπόν θέλουμε να λύσουμε οποιοδήποτε πρόβλημα, πρώτα των μαθηματικών απαιτούσε η γλώσσα η ίδια να

υποθέτουμε τη λύση δεδομένη και ονομάζουμε όλα τα ευθύγραμμα βασίζεται σε στέρεα θεμέλια. Παρά το όνομα της, η

τμήματα που βοηθούν στην κατασκευή του - γνωστά και άγνωστα. Γεωμετρία είναι στην ουσία ένας γάμος άλγεβρας και

Μετά, χωρίς να κάνουμε διακρίσεις ανάμεσα σε γνωστά και γεωμετρίας, αυτό που σήμερα είναι γνωστό με το

άγνωστα ευθύγραμμα τμήματα, προσπαθούμε να αναλύσουμε τα ov°Ma αναλυτική γεωμετρία· αποδεικνύει τις αντι-

δεδομένα μας με έναν τρόπο που να αναδεικνύει όσο πιο φυσικά ™W^ ̂ ^u γεωμετρικών κατασκευών και αλγε-/ ι , , , Λ / / / βρικων πράξεων και οι καμπύλες περιγράφονται από

γίνεται τις σχέσεις ανάμεσα σ αυτές τις ευθείες, ώσπου να μπορε-Λ % / / n / εξισώσεις. Ο Ντεκάρτ έσπασε την παράδοση θεωρω-σουμε να εκφράσουμε ένα μοναδικό μέγεθος με δυο τρόπους. ^τ[ς δυνάμ£ΐς απλούς αρώμούς ̂ όχιγεωμε.

Αυτό μας δίνει μια εξίσωση (με έναν άγνωστο), εφ όσον οι τρικά αντικείμενα: το χ2 δεν ήταν πια ένα εμβαδόν

όροι της μιας απ' τις δύο εκφράσεις είναι ίσοι με εκείνους της άλλης. αλλά ένας αριθμός υψωμένος στη δεύτερη δύναμη·

Ντεκάρτ, Γεωμετρία, 1637 ™ γεωμετρικό του αντίστοιχο ήταν η παραβολή, καιόχι το τετράγωνο. Αυτό απελευθέρωσε την άλγεβρα

από την υποχρέωση της ομοιογένειας των διαστάσεων, που απαιτούσε κάθε όρος μιας εξί-σωσης να έχει τις ίδιες διαστάσεις. Βρίσκουμε π.χ. εκφράσεις όπωςχχχ+ααχ=|8/3β, έτσι

ώστε ο κάθε όρος να παριστάνει μία κυβική οντότητα. Ο Ντεκάρτ αντίθετα δεν είχε κανέναπρόβλημα να συζητήσει καμπύλες οποιασδήποτε δύναμης χ". Αυτή η αλλαγή ήταν τόσο

δραστική που σήμερα πια στα μαθηματικά δεν μας περνάει καν απ' το μυαλό ότι το χ2 θαμπορούσε να αναπαριστά ένα πραγματικό τετράγωνο. Η άλγεβρα του Ντεκάρτ φαίνεται

οικεία στο σημερινό μάτι καθώς χρησιμοποιεί τα πρώτα γράμματα του αλφαβήτου για

συντελεστές και τα τελευταία για μεταβλητές. Το μόνο σύμβολο που φαίνεται περίεργο

είναι η χρήση του <* στη θέση του σημερινού =.Η κυβική εξίσωση μπορούσε τώρα να λυθεί από τεμνόμενες κωνικές τομές, όπως και

>· Η Απαρίθμηση καμπυλών τρί-του βαθμού, παράρτημα της Οπτι-κής του Νεύτωνα (1704), δείχνει ότιο γάμος άλγεβρας και γεωμετρίαςείχε φτάσει σε μία μορφή που είναισήμερα αναγνωρίσιμη. Το κάθεσημείο του επιπέδου δηλωνόταναπό μία συντεταγμένη (χ, y), η τιμήτης οποίας ικανοποιούσε την εξί-σωση που απεικόνιζε.

στη μέθοδο του αλ-Χαγιάμ, τώρα όμως μπορούσε κανείς ακόμα και να την κατασκευάσει. Ο1 Ντεκάρτ έδωσε ιδιαίτερη σημασία στην αντιοτοίχιση των αλγεβρικών πράξεων με τους γεω-

μετρικούς μετασχηματισμούς, έτσι ώστε η μέθοδος του Καρντάνο έπαψε να είναι πια έναπρόβλημα «συμπλήρωσης του κύβου» και έγινε πρόβλημα μετασχηματισμού της κυβικήςκαμπύλης. Ο Ντεκάρτ απελευθέρωσε έτσι τη γεωμετρία απ' τους περιορισμούς που έθετανοι κατασκευές με τη χρήση κανόνα και διαβήτη. Πολλά στοιχεία της σημερινής αλγεβρικήςγεωμετρίας δεν βρίσκονται στη Γεωμετρία του Ντεκάρτ, όπως οι άξονες συντεταγμένων, οιτύποι για αποστάσεις μεταξύ σημείων ή για γωνίες μεταξύ ευθειών. Εάν θυμηθούμε τοντίτλο του έργου, μέσα στο οποίο βρίσκεται η Γεωμετρία, θα ήταν ίσως σωστό να θεωρή-σουμε ότι η σημασία του Ντεκάρτ έγκειται στο ότι έδωσε στους μελλοντικούς μαθηματι-κούς μια νέα μέθοδο ή γλώσσα, με την οποία να διατυπώνουν τα μαθηματικά προβλήματακαι μια ασφαλή ισοτιμία μεταξύ αλγεβρικών και γεωμετρικών μεθόδων.

Όταν ο κύβος και τα πράγματα μαζίείναι ίσα με ένα σταθερό αριθμό,βρες μου δυο άλλους αριθμούς με διαφορά το σταθερό.Κι ύστερα φρόντισε το γινόμενο τους να είναι ίσομε τον κύβο του ενός τρίτου των πραγμάτων.Το υπόλοιπο λοιπόν που βρίσκειςαν αφαιρέσεις τις κυβικές ρίζεςθα είναι ίσο με το αρχικό σου πράγμα.Στη δεύτερη απ' αυτές τις πράξεις,όταν ο κύβος παραμείνει μόνος,θα τηρήσεις τις εξής διαδικασίες:Ευθύς να διαιρέσεις τον αριθμό σε δύο μέρηώστε το ένα επί το άλλο να δίνει ακριβώςτον κύβο του ενός τρίτου των πραγμάτων.Μετά, απ' τα δύο τούτα μέρη αν πάρειςτο άθροισμα των κυβικών ριζών,θα έχεις βρει αυτό που ψάχνεις.Ο τρίτος απ' τους υπολογισμούς αυτούςλύνεται με τον δεύτερο, αν δείξεις λίγη προσοχή,καθώς από τη φύση τους είναι σχεδόν όμοιοι.Αυτά τα πράγματα τα βρήκα, βήμα το βήμα,το έτος χίλια πεντακόσια τριάντα τέσσερα,με βάσεις στέρεες και δυνατές,στην πόλη που βρέχεται απ' τη θάλασσα.

Λύση της κυβικής εξίσωσης, όπως την έδωσε στον ΚαρντάνοοΤαρτάλιατο 1546.

·< Από το βιβλίο L'atmospheremetereologiepopulaire-tou ΚαμίγΦλαμαριόν (Παρίσι, 1888). Αυτό τοχαρακτικό, που μιμείται την τεχνο-τροπία του 16ου αι., παριστάνει τηνέξοδο από το Μεσαίωνα και τη θεώ-ρηση των δυνάμεων που κινούν τοΣύμπαν.

V Κελλάριος.Αί/asCoe/esf/s,1660, εικονογράφηση του πλανητι-κού συστήματος του Κοπέρνικου.Έχουν συμπεριληφθεί και οι άγνω-στοι στον Κοπέρνικο δορυφόροιτου Δία, που τους ανακάλυψεαργότερα ο Γαλιλαίος.

Το 16ο αι., η Αλμαγέστη του Πτολεμαίου (κεφ. 2) εξακολουθούσε να είναι η βασική πηγήπληροφοριών για τις τροχιές των πλανητών. Το πτολεμαϊκό σύστημα με το δύσκαμπτοπλαίσιο επικύκλων και φερόντων επιβίωσε με διάφορες μορφές για 2000 περίπου χρό-νια, ίσως επειδή η ακρίβεια των τριγωνομετρικών πινάκων που χρησιμοποιούσαν τότεκαι τα δεδομένα της παρατήρησης που ήταν σε θέση να συλλέξουν δεν ήταν αρκετάακριβή ώστε να μπορούν να καταδείξουν τις εγγενείς ατέλειες του συστήματος. Οι γυά-λινες σφαίρες με την τέλεια κυκλική τους κίνηση που είχε προτείνει ο Αριστοτέλης έδω-σαν τη θέση τους σε τάγματα αγγέλων - ουράνια πνεύματα τα οποία έστρεφαν τα ουρά-νια σώματα. Ο Πτολεμαίος θεωρούσε ότι τα μαθηματικά υπήρχαν για να «σώσουν ταφαινόμενα», όχι να τα εξηγήσουν, και ο ίδιος κατάφερε να συνδυάσει με επιτυχία τιςφιλοσοφικές απαιτήσεις του Αριστοτέλη με τα δεδομένα της παρατήρησης. Η επανά-σταση που επρόκειτο να γίνει θα κινούσε κυριολεκτικά Γη και Ουρανό. Μία βασική πτυχήαυτής της επανάστασης ήταν ο ρόλος των μαθηματικών - η ακρίβεια ενός μαθηματικούμοντέλου έχει κάποια σχέση με τη φυσική πραγματικότητα ή όχι;

Ένα από τα πιο προφανή προβλήματα του πτολεμαϊκού συστήματος είναι ότι καθώςένας πλανήτης κινείται γύρω από τον επίκυκλό του, η απόσταση του από τη Γη μεταβάλλε-

Α Μία σελίδα από το Derevolutionibus (1543) του Κοπέρνι-κου που δείχνει τον Ήλιο στοκέντρο και τους πλανήτες με τησωστή σειρά, με τους απλανείςαστέρες στο έξω κέλυφος. Οι επί-κυκλοιπου χρειάστηκε ο Κοπέρνι-κος για να «σώσει τα φαινόμενα»δεν απεικονίζονται εδώ.

οποία φαίνεται να έλαβε μέρος παρά τη θέληση του. Οι ιδέες που πρότεινε στο De

Revolutionibus προοιωνίζονται στο Commentariolus, ένα χειρόγραφο γραμμένο στις

αρχές του 1510, το οποίο προώθησε σε μερικά μόνο επιλεγμένα πρόσωπα. Ο σκοπός

του έμοιαζε να είναι η αναμόρφωση του πτολεμαϊκού συστήματος με σκοπό να το τελει-

οποιήσει και να το κάνει πιο ελληνικό! Το παράπονο του ήταν ότι το μοντέλο του Πτολε-

μαίου απαιτούσε από τους πλανήτες να κινούνται με μεταβαλλόμενη ταχύτητα κατά

μήκος των επικύκλων, ενώ ο Κοπέρνικος θα προτιμούσε να μείνει προσηλωμένος στην

τελειότητα της αριστοτέλειας κίνησης με τις σταθερές της ταχύτητες και τους τέλειους

κύκλους. Αυτές οι απαιτήσεις τον οδήγησαν στη διατύπωση υποθέσεων που από τη δική

μας σκοπιά, σχεδόν 500 χρόνια αργότερα, τον κάνουν να φαίνεται πολύ σύγχρονος.

Αυτές οι υποθέσεις περιλάμβαναν την τοποθέτηση του Ήλιου στο κέντρο του σύμπα-

ντος και την περιστροφή της Γης γύρω απ' αυτόν αλλά και περί τον άξονα της. Αυτό το

ηλιοκεντρικό πρότυπο, ωστόσο, δεν ήταν λιγότερο δύσκαμπτο από το πτολεμαϊκό,

καθώς είχε 34 επικύκλους έναντι 40, και αυτό για εφτά ουράνια σώματα επιπλέον της

ουράνιας σφαίρας. To Commentariolus ήταν μόνο ένα προσχέδιο που ο Κοπέρνικος

σκόπευε να αναπτύξει αργότερα. Όμως, έδειχνε όλο και πιο απρόθυμος να το δημοσι-

εύσει, παρά την υποστήριξη της εκκλησίας, με πρώτο και καλύτερο το Βατικανό.

Το 1514 κάλεσαν τον Κοπέρνικο να συμμετάσχει στη Σύνοδο του Λατερανού για την

αναθεώρηση του ημερολογίου, αλλά αρνήθηκε λέγοντας ότι το ημερολόγιο δεν μπορούσε

να αναθεωρηθεί σωστά πριν καθοριστούν επακριβώς οι κινήσεις των πλανητών. Σε τελευ-

ται σημαντικά, οπότε και το φαινόμενο μέγεθος του στον ουρανό θα

έπρεπε να αλλάζει, με προφανέστερη περίπτωση εκείνη της Σελήνης.

Από αυτή την ιδέα ξεκίνησε πιθανότατα ο Νικόλαος Κοπέρνικος (1473-

1543) για να προτείνει ένα ηλιοκεντρικό σύμπαν. Ο Κοπέρνικος παρακο-

λούθησε το περίφημο πανεπιστήμιο της Κρακοβίας και σπούδασε και

στην Ιταλία πριν καταλάβει θέση εφημέριου στο Frauenberg, μια μικρή

πόλη στις ακτές της Βαλτικής. Το σύστημα του Κοπέρνικου στην πραγ-

ματικότητα δεν διέφερε και τόσο πολύ από το πτολεμαϊκό, δεδομένου

ότι και οι δικές του τροχιές ήταν κυκλικές και κινούνταν πάνω σε επικύ-

κλους. Ωστόσο, λόγω της τοποθέτησης του Ήλιου στο κέντρο, ο αριθ-

μός των απαραίτητων κύκλων αρχικά μειώθηκε, στη συνέχεια όμως,

καθώς ο Κοπέρνικος επεξεργαζόταν τις λεπτομέρειες του μοντέλου

του, ο αριθμός τους έγινε πολύ μεγαλύτερος από του πτολεμαϊκού. Το

κοπερνίκειο σύστημα επίσης καθόρισε σωστά τη σειρά των πλανητικών

τροχιών από τον Ήλιο και έδωσε τη δυνατότητα να υπολογιστούν οι

σχετικές αποστάσεις του κάθε πλανήτη απ' τον Ήλιο. Η φαινόμενη ανά-

δρομη κίνηση των πλανητών μπορούσε τώρα πια να εξηγηθεί από το

γεγονός της σχετικής κίνησης τους ως προς την κινούμενη Γη, και όχι

από την κίνηση σε επικύκλους ως προς μία ακίνητη Γη. Το περίφημο

έργο του De Revolutionibus Orbium Coelestium (Πα τις περιφορές των

ουρανίων σωμάτων) δημοσιεύτηκε το 1543, χρονιά του θανάτου του,

και αυτό με αρκετούς ενδοιασμούς εκ μέρους του.

Ο Κοπέρνικος έδωσε το όνομα του σε μία επανάσταση, στην

ταία ανάλυση, δεν ήταν καθόλου σίγουρος γιατο οικοδόμημα που είχε κατασκευάσει,·> δεδομένου ότι δεν είχε καμιά απτή απόδειξη ότι το σύστημα του ήταν καλύτερο ή ακριβέ-

στερο από του Πτολεμαίου. Είχε βασιστεί στους αστρονομικούς πίνακες των αρχαίων καιείχε κάνει ίσως και μερικές δικές του παρατηρήσεις. Αυτό που οδήγησε τελικά στηνέκδοση του De Revolutionibus στη Νυρεμβέργη, ήδη τότε Λουθηρανή πόλη, ήταν ο ενθου-σιασμός και οι προσπάθειες ενός νεόκοπου θαυμαστή του, του Ρέτικους. Ωστόσο, λίγοπριν εμφανιστεί το βιβλίο, ο Ρέτικους μετακινήθηκε από το Πανεπιστήμιο του Wittenbergστη Λειψία και η εκτύπωση ανατέθηκε στον Αντρέας Οζιάντερ, έναν από τους συνιδρυτέςτου Λουθηρανισμού. Τότε ακριβώς μπήκε στο βιβλίο ο περίφημος «Πρόλογος», γραμμένοςκατά πάσα πιθανότητα από τον Οζιάντερ. Ο «Πρόλογος» στην ουσία προειδοποιούσε τοναναγνώστη: η αλήθεια ή μη του κοπερνίκειου συστήματος δεν ήταν σοβαρό ζήτημα: οισυγκρίσεις μεταξύ διαφόρων συστημάτων είχαν σαν στόχο την επιλογή εκείνου που θαέκανε τους υπολογισμούς ευκολότερους· οι πραγματικές ουράνιες κινήσεις ήταν κάτι πουθα προσδιοριζόταν από άλλα, φιλοσοφικά και θεολογικά κριτήρια. Για να ήμαστε δίκαιοι,παρόμοιες αμφιβολίες είχε και ο ίδιος ο Κοπέρνικος, αλλά ο «Πρόλογος» μπήκε στο βιβλίομάλλον για να κατευνάσει τον Μαρτίνο Λούθηρο, ο οποίος ήταν εξαιρετικά εχθρικός προςτην κοπερνίκεια άποψη, και όχι το Βατικανό, το οποίο φαινόταν να ενθαρρύνει τις υποθέ-σεις του Κοπέρνικου. Δεν πρέπει επίσης να ξεχνάμε ότι το έργο του Κοπέρνικου δεν μπήκεστον κατάλογο των αιρετικών βιβλίων του Βατικανού παρά μόνο όταν η Αντιμεταρρύθμιοηεδραιώθηκε, περίπου 80 χρόνια μετά την έκδοση του.

To Commentariolus είχε προβάλει πολύ τολμηρούς ισχυρισμούς, τους οποίους άφησεμετέωρους το De Revolutionibus. Στην τελική της

Στόχος μου είναι να καταδείξω ότι η ουρανιά μηχανή δεν εκδοχή> η θεωρίατου ΚθπέΡνικου είχε πιο πολλούς

είναι κάποιο θείο και ζωντανό ον, αλλά ένα είδος ωρολογιακού επικύκλουςαπότηνπτολεμαϊκή και οι πλανήτες

μηχανισμού (και όποιοι πιστεύουν ότι τα ρολόγια έχουν ψυχή, τώρα περιστρέφονταν όχι γύρω από τον Ήλιο αλλά

βλέπουν στη λειτουργία τους τη δόξα του δημιουργού τους), στο γύρω από σημεία απομακρυσμένα απ' αυτόν (χωρίς

μέτρο που οι διάφορες κινήσεις εκτελούνται από μια απλού- νατο ξέΡει °ίδι0£!'Κατά κάποιοντρόπο προοιώνιζε

στατη μαγνητική και φυσική δύναμη, όπως και όλες οι κινήσεις ^np^m φύση των πλανητικών τροχιών, οι\Γ ' ,' , Τ, ! > Μ Ο Ι * rC/Λ ' οποίες είναι ελλειπτικές, μετον Ηλιο να καταλαμβα-

του ρολογιού προκαλούνται από ένα απλό βαρίδι. Θέλω επίσης ν£[ όχιτο κέντροτης έλλειψηςι Q^ μία απ< τις

να δείξω ότι αυτά τα φυσικά αίτια μπορούν να περιγραφούν με εστίες της). Ένα θετικό στη θεωρίατου ήταν η

τη βοήθεια της αριθμητικής και της γεωμετρίας. σωστή απόδοση της φαινόμενης ανάδρομης κίνη-σης των πλανητών στη σχετική κίνηση των πλανητών

Γιοχάνες Κέπλερ, Γράμμα στονΧέρβαρτ, καιτης Γης Το βιβλίο απετυχεπαταγωδώς. Εκείνη

10 Φεβρουαρίου 1605 -^ εποχή, η κίνηση της Γης και του ουρανού ήταν

δύο εντελώς διαφορετικές κατηγορίες φαινομένων.Ωστόσο, ο Κοπέρνικος ήταν πεπεισμένος ότι η Γη πράγματι κινείται και η τραγωδία τουήταν ότι δεν είχε καταφέρει να εξηγήσει ούτε στον εαυτό του το πώς. Το όνομα του Κοπέρ-νικου παρέμεινε στη μνήμη των ανθρώπων χάρις στην έκδοση των αστρονομικών πινάκωντου το 1551. To De Revolutionibus κυριολεκτικά καταποντίστηκε.

Ο διστακτικός μας εφημέριος είχε άθελα του ανάψει ένα βραδύκαυστο φιτίλι, το οποίοθα είχε εκρηκτικές συνέπειες. Ο Γιοχάνες Κέπλερ (1571-1630), ένθερμος υποστηρικτήςτου Κοπέρνικου, εξοργίστηκε από τον ανώνυμο «Πρόλογο», ο οποίος έδινε στον ανύποπτο

> Το μοντέλο του Κέπλερ για τακιβωτισμένα πλατωνικά στερεά απότο Mysterium cosmographicum(1596) ήταν η πρώτη του προσπά-θεια να εξηγήσει τις σχετικές απο-στάσεις ανάμεσα στους πλανήτες.Η εξώτερη σφαίρα παριστάνει τονΚρόνο, και μέσα της έχει έναν εγγε-γραμμένο κύβο. Μια σφαίρα εγγε-γραμμένη στον κύβο παριστάνειτην τροχιά του Δία και ούτω καθ'εξής μέχρι την τροχιά του Ερμή.

αναγνώστη την εντύπωση ότι είχε γραφτεί οπό τον ίδιο τον Κοπέρνικο. Ο Κέπλερ είχε τοθάρρος να επαναστατήσει κατά της τυραννίας της ελληνικής αστρονομίας. Είχε περάσειάσχημα παιδικά χρόνια και είχε εύθραυστη υγεία, αλλά η πνευματική του διαύγεια τονέκανε να ξεχωρίζει, οπότε το νεότευκτο Προτεσταντικό κράτος ανέλαβε τα έξοδα της μόρ-φωσης του. Ήθελε να γίνει παπάς, αλλά οι υπεύθυνοι της θεολογικής σχολής του Πανεπι-στημίου του Τύμπινγκεν είχαν προφανώς αντιληφθεί καλύτερα την πραγματική του φύσηκαι του ανέθεσαντη θέση του Mathematicus στο Γκρατς η οποία είχε μείνει κενή. Ο Κέπλερανήκει σε μια μεταβατική φάση της επιστημονικής εξέλιξης. Οι γνώμες του για την άστρο-

λογία άλλαζαν κατά τη διάρκεια της ζωής του: δεν είχε καμία αμφιβολία ότι οι πλανήτες•επηρέαζαν κατά κάποιοντρόπο το ανθρώπινο πνεύμα, αλλά δεν μπορούσε να εξηγήσει

πώς γινόταν αυτό. Τα έργα του είναι μια εκπληκτική μαρτυρία για τις εξελισσόμενες ιδέες

ενός επιστήμονα, με όλα τα αδιέξοδα να παραμένουν αδιέξοδα.Το 1595, καθώς δίδασκε σε μία τάξη, ο Κέπλερ είχε το πρώτο του όραμα κοσμικής

αρμονίας. Είχε σχεδιάσει στον πίνακα ένα σχήμα που περιλάμβανε ένα ισόπλευρο τρίγωνο

με τον εγγεγραμμένο και τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Ξαφνικά συνειδητοποίησε ότι ολόγος των δύο κύκλων ήταν ο ίδιος με τον λόγο των τροχιών του Κρόνου και του Δία όπωςήταν τότε γνωστές. Αυτή η ξαφνική έμπνευση τον οδήγησε στο περίφημο μοντέλο του τωνκιβωτισμένων πλατωνικών στερεών. Ήταν γνωστό από την εποχή του Ευκλείδη ότι υπήρ-

χαν μόνο 5 τέλεια στερεά και τώρα υπήρχαν 6 γνωστοί πλανήτες (στους οποίους περιλαμ-βανόταν η Γη αλλά όχι ο Ήλιος και η Σελήνη). Για κάθε στερεό μπορούσε κανείς να κατα-

σκευάσει μία περιγεγραμμένη σφαίρα που άγγιζε κάθε κορυφή του στερεού και μία εγγε-

γραμμένη σφαίρα που άγγιζε τα κέντρα των αντίστοιχων εδρών του στερεού. Εάν ο

Κέπλερ μπορούσε να βάλει στη σωστή σειρά τα στερεά, θα κατέληγε με μία κατασκευήσαν ρωσική κούκλα και οι σφαίρες θα αντιστοιχούσαν στις τροχιές των πλανητών. Είχε

·< Τυχών βράχιος και ΡοδόλφοςΒ'στηνΠράγα, Έντουαρντ'Εντερ,1855.

Ο Τυχών εξηγεί τη χρήση μιαςουράνιας σφαίρας. Στις αρχές του17ου αι., το αστεροσκοπείο τουΤύχωνα έκανε τις πιο ακριβείςμετρήσεις του ουρανού και τα στοι-χεία του θα τα χρησιμοποιούσεαργότερα ο Κέπλερ για τη διατύ-πωση της θεωρίας των ελλειπτικώντροχιών.

μεθύσει με την ιδέα και με τον τρόπο που αυτή τη συνταίριαζε τη μαθηματική ακρίβεια με

την κοσμική αρμονία. Δημοσίευσε τα ευρήματα του στο Mysterium cosmographicumτo

1596, σε ηλικία μόλις 25 ετών. Στην εισαγωγή, υποστήριζε για πρώτη φορά δημόσια το

ηλιοκεντρικό σύστημα, συμβάλλοντας έτσι στη διαιώνιση της φήμης του Κοπέρνικου. Αν

και ο Κέπλερ ακολούθησε τη συμβουλή να μην αφιερώσει ένα ολόκληρο κεφάλαιο στον

συμβιβασμό του κοπερνίκειου συστήματος με τις Γραφές, δήλωνε στο έργο του ότι το

ηλιοκεντρικό σύστημα δεν ήταν μόνο θεωρία αλλά και φυσική πραγματικότητα. Αυτό που

πίστευε δεν ήταν ότι τα στερεά αυτά υπήρχαν στην πραγματικότητα, αλλά ότι η όλη διά-

ταξη του σύμπαντος ήταν έργο του ίδιου του Μεγάλου Αρχιτέκτονα. Μετά από διάφορες

μεταφυσικές εικοτολογίες σχετικά με θέματα όπως η πυθαγόρεια αρμονία των σφαιρών,

το Mysterium cosmographicum ξαφνικά αλλάζει μοτίβο και αρχίζει να διαβάζεται σαν σύγ-

χρονο βιβλίο μαθηματικής φυσικής. Ο συγγραφέας περιγράφει όλους τους συλλογισμούς

και τα λογικά συμπεράσματα, στα οποία είχε οδηγηθεί. Π .χ., ο Κρόνος απέχει από τον Ήλιο

διπλάσια απόσταση απ' ό,τι ο Δίας αλλά κάνει δυόμισι φορές περισσότερο για να συμπλη-

ρώσει μία περιστροφή. Άρα ο Κρόνος δεν είναι απλώς μακρύτερα αλλά κινείται και πιο

αργά. Ο Κέπλερ αναζητεί μία φυσική λύση απορρίπτοντας την πιθανότητα οι άγγελοι που

σπρώχνουν τον Κρόνο να είναι κουρασμένοι επειδή είναι πιο μακριά από τον Ήλιο. Βρί-

σκουμε εδώ τις πρώτες αναφορές σε ένα είδος βαρυτικής δύναμης που εκπορεύεται από

τον Ήλιο και μειώνεται με την απόσταση. Η πηγή αυτής της δύναμης ήταν ο ίδιος ο Θεός

με τη μορφή του Πατρός, ο οποίος εκπέμπει το Άγιο Πνεύμα σε ολόκληρο το σύμπαν. Ο

Δημιουργός, ο οποίος μέχρι τότε είχε εξοριστεί στο υπερουράνιο βασίλειο του, τώρα ξαφ-

νικά βρέθηκε να κατοικεί στην καρδιά του Ηλιακού Συστήματος. Στο τέλος, το Mysterium

cosmographicum επιστέφει σε αστρολογικά ζητήματα με τον Κέπλερ να βγάζει το ωρο-

σκόπιο της ημέρας της Δημιουργίας, Κυριακή 27 Απριλίου του 4977 π.Χ. Ήταν ένα ελαττω-

ματικό αριστούργημα: η θεωρία των κιβωτισμένων στερεών ήταν εσφαλμένη, και η κατά

Κέπλερ εκδοχή της βαρύτητας δεν έδινε σωστά αποτελέσματα. Ο Κέπλερ το ήξερε πολύ

καλά αυτό αλλά, πεπεισμένος ότι ήταν κοντά στην αλήθεια, συνέχισε να πειραματίζεται.

Αυτό που χρειαζόταν ο Κέπλερ ήταν ένας ακριβής πίνακας αστρονομικών παρατηρή-

σεων, και υπήρχε κάποιος που είχε ένα τέτοιον πίνακα - ο Τυχών Βράχιος. Όταν έλαβε το

βιβλίο του Κέπλερ, ο Τυχών αναγνώρισε τη μεγαλοφυία του νεαρού και τρία χρόνια αργό-

τερα ο Κέπλερ βρέθηκε στην Πράγα ως βοηθός του Τύχωνα. Οι δύο χαρακτήρες δεν θα

μπορούσαν να είναι πιο διαφορετικοί. Ο Τυχών, με την περίφημη χρυσή μύτη του να αντι-

καθιστά ένα κομμάτι που είχε χάσει σε μία μονομαχία, ήταν επιδεικτικός τύπος και είχε

βάλει στόχο της ζωής του να αποκτήσει ακριβή γνώση των ουρανών ο Κέπλερ ήταν παθια-

σμένος με τον μυστικισμό της φυσικής. Ο Τυχών διέθετε το καλύτερο αστεροσκοπείο και

όλα τα στοιχεία που χρειαζόταν ο Κέπλερ. Ωστόσο, είχε και μία δική του πλανητική θεωρία,

που όχι μόνο αρνιόταν να τη δημοσιεύσει αλλά δεν την αποκάλυπτε ούτε καν στους συνα-

δέλφους του ή τους βοηθούς του. Ο Τυχών είχε μείνει έκθαμβος από μία έκλειψη που είχε

παρατηρήσει στα νιάτα του, αλλά αυτό που του είχε κάνει τη μεγαλύτερη εντύπωση ήταν

το γεγονός ότι οι αστρονόμοι την είχαν προβλέψει. Το 1600 οι δύο άνδρες τελικά συναντή-

θηκαν και ο Κέπλερ ανέλαβε να ελέγξει τα δεδομένα της πιο δύσκολης και δύστροπης τρο-

χιάς, εκείνης του Άρη. Οι σχέσεις των δύο ήταν πάντα τεταμένες και ο Τυχών, ο πειραματι-

στής που βρισκόταν στη δύση του βίου του, ήξερε ότι έπρεπε να ορίσει κληρονόμο της

δουλειάς του τον νεαρό Κέπλερ, έτσι ώστε να μπορέσει να σχεδιάσει το καινούργιοσύμπαν. Ο ένας ήταν απαραίτητος για τον άλλο. Μετά από 18 μήνες ο Τυχών πέθανε και ο

Κέπλερ κατέλαβε τη θέση του Mathematicus στην αυλή του Ροδόλφου Β'.

Τα δεδομένα της παρατήρησης ήταν τώρα δικά του, αλλά η μετατροπή των αριθμώνσε τροχιές χρειαζόταν χρόνο. Το 1609 ο Κέπλερ δημοσίευσε το magnum opus του, την

Astronomia nova. Όπως και η παλαιότερη δουλειά του, σκοπός αυτού του βιβλίου δεν ήταννα διδάξει, αλλά να καταγράψει κάθε σκίρτημα της δημιουργικής φαντασίας του συγγρα-

φέα - ο αναγνώστης είναι σαν να ακούει πότε κραυγές χαράς και πότε κραυγές απογοή-τευσης καθώς ο Κέπλερ αγωνίζεται να δαμάσει τον Άρη. Η δυσκολία της αρειανής τροχιάςείναι ότι έχει τη μεγαλύτερη ελλειπτικότητα απ' όλες και για αυτό το λόγο διαφοροποιείται

σημαντικά απ' την ιδανική κυκλική τροχιά. Ωστόσο, έμελλε να αποτελέσει το κλειδί γιαόλες τις άλλες τροχιές. Ο Κέπλερ δεν μπορούσε να αρχίσει να επισωρεύει επικύκλους επί

επικύκλων, όπως είχαν κάνει οι αστρονόμοι πριν από αυτόν. Έργο του δεν ήταν να «σώσει

τα φαινόμενα» αλλά να ανακαλύψει τους νόμους της πλανητικής κίνησης και να τουςεκφράσει με τη γλώσσα της γεωμετρίας. Ο θρίαμβος της Astronomia nova ήταν η οριστική

διαπίστωση της ελλειπτικότητας των πλανητικών τροχιών με τον Ήλιο σε μία από τις δύοεστίες της έλλειψης - αυτός είναι ο πρώτος νόμος του Κέπλερ (η λέξη «εστία» χρησιμοποι-

ήθηκε πρώτα από τον Κέπλερ με αυτή την έννοια). Οι χορογραφημένες πλανητικές πιρου-έτες της αρχαίας αστρονομίας αντικαταστάθηκαν από κομψές ελλείψεις. Σε αυτό το

βιβλίο παρουσίασε ο Κέπλερ και το δεύτερο νόμο που φέρει το όνομα του: ότι οι πλανήτεςδιαγράφουν ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους. Επίσης, πλησιάζει εκπληκτικά στη θεωρία τηςβαρύτητας παραλληλίζοντας την με την αμοιβαία έλξη των μαγνητών και αποδίδοντας

σωστά τις παλίρροιες στην έλξη της Σελήνης, αναγνωρίζοντας ότι αυτή η ίδια βαρυτικήέλξη κρατάει τις θάλασσες στην επιφάνεια της Γης και δεν τις αφήνει να πετάξουν στο διά-

στημα. Ωστόσο, δεν φτάνει μέχρι το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου, αν και γνώριζε

ότι η ένταση του φωτός ακολουθούσε έναν παρόμοιο νόμο1 αυτό θα το ανακάλυπτε αργό-τερα ο Νεύτωνας. Έχοντας ανακαλύψει τις πραγματικές τροχιές των πλανητών, εξακο-

λουθούσε να μην είναι ικανοποιημένος, γιατί δεν μπορούσε να συλλάβει τις πραγματικέςδυνάμεις που προκαλούσαν αυτές τις κινήσεις, και ποτέ δεν ανακάλυψε ο ίδιος γιατί οι

τροχιές αυτές είναι ελλειπτικές. Τώρα πια είχαν οριστικά εκλείψει απ' την αστρονομία οι

αόρατοι άγγελοι που έσπρωχναν τα ουράνια σώματα χωρίς να τους σπρώχνει κανείς. Τοκαινούργιο σύμπαν ήταν ο βασίλειο της γεωμετρίας και των δυνάμεων.

Το 1618 ο Κέπλερ επέστρεψε στο λάίτμοτίφ της ζωής του με την έκδοση του

Harmonice mundi, ένα μείγμα μαθηματικών, φυσικής και μυστικισμού -το τέλειο πυθαγό-ρειο όνειρο. Εδώ βρίσκουμε τον τρίτο νόμο πλανητικής κίνησης του Κέπλερ: ότι το τετρά-γωνο της περιόδου της περιστροφής είναι ανάλογο με τον κύβο της μέσης απόστασης

από τον Ήλιο. Οι τρεις νόμοι μαζί έκρυβαν μέσα τους τη θεωρία της βαρύτητας, που ηεκπεφρασμένη της μορφή του είχε διαφύγει. Το βιβλίο του Epitome astronomiae

Copernicanae (1618-21) μια πλήρης παρουσίαση της κεπλερικής αστρονομίας, όχι μόνον

για τον Άρη αλλά για όλους τους γνωστούς πλανήτες, ήταν στην πραγματικότητα η πιο

σπουδαία αστρονομική πραγματεία από την εποχή της/Αλμανέοτης του Πτολεμαίου.Όμως ο Κέπλερ ήταν τουλάχιστον μία γενιά μπροστά από τους συγχρόνους του, οι οποίοισυνέχιζαν να χρησιμοποιούν τα δόγματα του Πτολεμαίου. Ακόμα και ο Γαλιλαίος στο

Α Αστρονόμοι παρατηρούν

έκλειψη, του Αντουάν Καρόν (1152-

99), ίσως εκείνη του 1599 που τόσο

είχε εντυπωσιάσει τον νεαρό

Τύχωνα.

βιβλίο Διάλογος για τα δύο κύρια κοσμικά συστήματα

χρησιμοποιούσε ακόμα κύκλους και επικύκλους.

Φαίνεται ότι ο Κέπλερ και ο Γαλιλαίος ποτέ δενσυναντήθηκαν, αν και ήταν σύγχρονοι. Το 1597 οΚέπλερ έστειλε ένα αντίγραφο του Mysteriumcosmographicum στο Γαλιλαίο. Την ίδια εποχή ο

Γαλιλαίος απέφευγε να υποστηρίξει δημόσια τιςαπόψεις του Κοπέρνικου. Η στάση του απέναντι στον

Κέπλερ ήταν στην καλύτερη περίπτωση μικροπρε-πής και στη χειρότερη καθαρά υπονομευτική: παρί-

στανε το φίλο του Κέπλερ ενώ ταυτόχρονα απέ-

φευγε να του στείλει το νέο τηλεσκόπιο που εκείνοςζητούσε και αντίγραφα των δικών του έργων, προτι-

μώντας να γίνεται αρεστός σε πιθανούς μελλοντι-

κούς χρηματοδότες παρά στον επιστήμονα συνά-δελφο του. Το 1609 ο Γαλιλαίος άρχισε τις περίφη-μες παρατηρήσεις του με το καινούργιο τηλεσκόπιο

που είχε εφεύρει. Ένα τέτοιο τηλεσκόπιο δώρισε στη

Γερουσία της Βενετίας, η οποία του διπλασίασε τομισθό και τον όρισε δια βίου καθηγητή στην Πάδουα.Μέσα σε ένα χρόνο είχε αυξήσει την ισχύ του τηλε-

σκοπίου και είχε εκδώσει το Siderus nuncius (Αγγε-λιοφόρος των αστεριών). Οι παρατηρήσεις του Γαλι-λαίου απεκάλυψαν ότι η Σελήνη δεν ήταν μία τέλεια

σφαίρα με λεία επιφάνεια αλλά ήταν γεμάτη βουνά, ο

πλανήτης Αφροδίτη περνούσε φάσεις όπως και ηΣελήνη και ο Δίας είχε το δικό του σύστημα δορυφό-

ρων. Πίστευε μάλιστα ότι ο Κρόνος ήταντριπλός

πλανήτης γιατί μέσα από το πρωτόγονο τηλεσκόπιοτου οι δακτύλιοι του έδειχναν σαν δύο ξεχωριστοί

όγκοι, δεξιά και αριστερά από το δίσκο του πλανήτη.Ο Γαλιλαίος ορίστηκε μαθηματικός των Μεδίκων. Τιμήθηκε στη Ρώμη εκλεγόμενος στηνAcademia dei Lincei, την πρώτη επιστημονική εταιρεία παγκοσμίως, και είχε άριστε σχέσεις

με τους Ιησουίτες. Είχε γίνει σταρ για την εποχή του, και καθώς προτιμούσε να γράφει στηλαϊκή γλώσσα και όχι στα λατινικά, τα έργα του διαδόθηκαν ευρύτατα στην Ιταλία.

Η Εκκλησία ανησυχούσε, γιατί το κοπερνίκειο σύστημα φαινόταν να αντιβαίνει σεκάποιες ερμηνείες των Γραφών, αλλά οι Ιησουίτες ήταν έτοιμοι να δεχθούν την αλήθεια

του ηλιοκεντρικού συστήματος, εάν μπορούσε να βρεθεί κάποια ατράνταχτη απόδειξη.Δεν θα ήταν άλλωστε η πρώτη φορά που το δόγμα θα έπρεπε να αλλάξει στο φως των

νέων επιστημονικών δεδομένων, όπως είχε γίνει κάποτε και με τη σφαιρική φύση της Γης..

Οι Ιησουίτες είχαν επαληθεύσει όλες αυτές τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου και εξακο-λουθούσαν να υποστηρίζουν την εργασία του Κέπλερ. Πολλά βιβλία έχουν γραφτεί για τηντραγωδία που ακολούθησε, έτσι θα αναφερθώ σ' αυτήν πολύ σύντομα. Η Εκκλησία

δέχτηκε ότι το σύστημα του Κέπλερ ήταν σωστό και «έσωζε τα φαινόμενα» με μεγαλύτερηακρίβεια από ό,τιτο σύστημα του Πτολεμαίου, αλλά δεν υπήρχε ακόμα κανένας καλόςλόγος για να πιστεύουν ότι αυτή η απίθανη νοητική σύλληψη ανταποκρινόταν στη φυσική

πραγματικότητα. Για να ανατρέψουν απόψεις αιώνων και να θέσουν σε κίνηση την επανεκ-

παίδευση των μαζών, ώστε να δεχθούν αυτή την καινούργια εικόνα του κόσμου, έπρεπε ναβρεθούν περισσότερες αποδείξεις. Σφοδρά αντέδρασαν στην προοπτική οποιασδήποτε

τέτοιας αλλαγής οι πολλοί και ισχυροί θεολόγοι που πίστευαν στο αριστοτέλειο δόγμα,τους οποίους ο Γαλιλαίος είχε εντελώς επιπόλαια σαρκάσει χρησιμοποιώντας εξαιρετικάεμπρηστική γλώσσα. Υπερόπτης και λάτρης της δημοσιότητας, ο Γαλιλαίος φλέρταρε με

τον πλούτο και τα προνόμια, αλλά όταν αυτή η υποστήριξη έπαψε να του παρέχεται, ελάχι-

στοι φίλοιτού έμειναν στους ακαδημαϊκούς κύκλους. Το 1616 ο Γαλιλαίος είχε υποσχεθείνα μην συζητήσει τη θεωρία του Κοπέρνικου ποτέ και για κανένα λόγο, αλλά το 1632αγνόησε την υπόσχεση του εκδίδοντας το βιβλίο Διάλογος για τα δύο κύρια κοσμικά

συστήματα. Επρόκειτο στην ουσία για ένα κοπερνίκειο μανιφέστο και περιείχε κάμποσες

ελάχιστα συγκεκαλυμμένες επιθέσεις εναντίον κάποιων από τους πιο ισχυρούς θεολό-γους της εποχής. Η υπομονή του Βατικανού είχε εξαντληθεί και ο Γαλιλαίος κλήθηκε αμέ-

σως στη Ρώμη. Μέσα σε ένα χρόνο είχε ανασκευάσει τις απόψεις του και είχε ουσιαστικάτεθεί σε κατ' οίκον περιορισμό. Συνέχισε παρόλα αυτά να ζει σχετικά άνετα και να δέχεται

πολλούς επισκέπτες, αλλά του είχε απαγορευθεί να δημοσιεύει οτιδήποτε ή να διδάσκει -αφηγήσεις της εποχής λένε ότι το ηθικό του είχε καταρρακωθεί. Είχε εκτιμήσει εσφαλ-

μένα και την επιρροή του αλλά και την αλλαγή στη γενική διάθεση του κόσμου. Τώρα ήτανη εποχή της Αντιμεταρρύθμισης και της Ιεράς Εξέτασης και το θρησκευτικό σχίσμα της

Ευρώπης ήταν ιδιαίτερα σκληρό κι από τις δυο πλευρές. Ο Κέπλερ πέρασε πολλά χρόνιαυπερασπιζόμενος τη μητέρα του, την οποία κατηγο-

Η φιλοσοφία είναι γραμμένη σ' αυτό το μεγάλο βιβλίο. ρούσαν για μαγεία, και είχε εγκαταλείψει την Πράγα

Εννοώ το σύμπαν, το οποίο είναι συνεχώς μπροστά μας ανοι- για την Αυστρία, όταν ξέσπασε ο Τριακονταετής

χτό. Αλλά κανείς δεν μπορεί να το κατανοήσει, αν δεν μάθει Πόλεμος. Ο Κοπέρνικος και ο Κέπλερ είχαν δουλέ-

πρώτα να καταλαβαίνει τη γλώσσα και να ερμηνεύει το άλφα- Ψει μεσα σε συνθήκες σχετικής ελευθερίας και μπο-

βητο με το οποίο είναι γραμμένο. Είναι γραμμένο στη γλώσσα Ρούσαν να γράφουν ό,τι ήθελαν υπότηνπροϋπό-Λ , ., , „ , , θέση ότι δεν θα έθεταν υπό αμφισβήτηση τη θρη-

των μαθηματικών και το αλφάβητο του είναι τα τρίγωνα οι σκ£^κή αυθεντία Το |ησουϊτικό ̂ ^

κύκλοι και τα αλλά γεωμετρικά σχήματα, που χωρίς αυτά δεν Romanum προσπαθούσε να συμβιβάσει τις επιστη-

μπορεί κανείς να διαβάσει ούτε μία του λέξη· χωρίς αυτά είναι μονικές ελευθερίες σε μια περίοδο όπου το ιησουϊ-

σαν να περιφέρεται κανείς σε ένα σκοτεινό λαβύρινθο, τικό τάγμα ήταν ο κύριος μοχλός της Ιεράς Εξέτα-σης. Η ισχύς που είχε επενδυθεί στον Παπισμό και

Γαλιλαίος, Ο αναλυτής, 1623 QJQ Βατικανό είχε αποκτήσει μία μεταφυσική νομι-

μότητα μέσα από ένα ιεραρχικό μοντέλο του σύμπα-

ντος. Αυτή την ισχύ δεν την απειλούσε μόνο η Μεταρρύθμιση αλλά και η καινούργιαφυσική· η κατάπνιξη του συστήματος του Κοπέρνικου δεν έγινε από άγνοια, αλλά από

καθαρή ανάγκη. Αυτό φαίνεται και από το γεγονός ότι λίγο μετά από τη δίκη του Γαλι-

λαίου, οι Ιησουίτες δίδασκαν το κοπερνίκειο σύστημα, για να εντυπωσιάσουν με την προ-βλεπτική του ικανότητα λαούς σε μακρινές χώρες, όπως η Κίνα και η Ιαπωνία.

Στα τελευταία του χρόνια ο Γαλιλαίος κατάφερε, παρά τις δυσκολίες, να γράψει το

βιβλίο Θεωρίες και μαθηματικές αποδείξεις σχετικά με δύο νέες επιστήμες, το οποίο βγήκε* λαθραία από την Ιταλία και τυπώθη κε στο Λέυντεν. Εδώ επιστρέφει στο θέμα της μηχανι-

κής, που ήταν και η αρχική του έμπνευση, και στην ανάλυση της επιτάχυνσης. Η παλιά ανά-λυση που είχε κάνει για το εκκρεμές είχε δείξει ότι ο χρόνος που απαιτείται για κάθε ταλά-ντωση είναι ανεξάρτητος από το πλάτος της ταλάντωσης αλλά και από το βάρος της ταλα-ντούμενης σφαίρας και ότι εξαρτάται μόνο από το μήκος του εκκρεμούς, και συγκεκριμένα

είναι ανάλογος προς τη ν τετραγωνική του ρίζα. Τα

Αυτά λοιπόν περί της αυθεντίας της Αγίας Γραφής. Τώρα πειράματάτου με κυλιόμενα σώματα σε διάφορα

όσον αφορά τις γνώμες των αγίων σχετικά με θέματα της φύσης, επίπεδα KQL ̂ ̂ ν ̂ ^ mtia* τον °δήΎησαν

απαντώ με μια λέξη, ότι αυτό που μετρά στη θεολογία είναι το σε δυο ^μαντικές ανακαλύψεις: on η ταχύτητα ενόςο » ο ' ' ' ' ·\ ' ' σώματος είναι ανάλογη προς το χρόνο για τον οποίοβαροςτηςαυθεντιαςενωαυτοπουμετραστηφιλοσοφιαειναιτο βρίσκεταισεκίνηοηκαιότιηδιανυόμενηαπόσταση

βάρος της λογικής. Αρα άγιος ήταν ο Λακταντιος, που δεν δεχο- είνα ανάλογη προς το τετράγωνο του ̂ ow^ Τότε

ταν τη σφαιρικότητα της Γης- άγιος ήταν και ο Αυγουστίνος, που πι0τευόταν γενικά ότι ένα βαρύτερο σώμα έπεφτε

παραδεχόταν τη σφαιρικότητα, αλλά δεν δεχόταν την ύπαρξη Πιο γρήγορα από ένα ελαφρύ, αλλά ο Γαλιλαίος απέ-

ζωής στους αντίποδες. Αγία είναι και η εκκλησία των ημερών δείξε ότι αυτό ήταν λάθος, δηλώνοντας ότι αν δενμας, που παραδέχεται τη μικρότητα της Γης αλλά αρνείται την υπήρχε η αντίσταση του αέρα, όλα τα σώματα θα

κίνηση της: πιο άγια όμως απ' όλα αυτά είναι για μένα η αλήθεια, έπεφταν με την ίδια ταχύτητα. Στην πράξη, μία σιδε-όταν εγώ, και να με συγχωρούν όλοι οι σοφοί της εκκλησίας, από- Ρένια μπάλα κανονιού έπεφτε πολύ γρηγορότερα

δεικνύω μετά από μελέτη ότι η Γη είναι σφαιρική, ότι κατοικείται απο ένα ΨτεΡ°< αλλά αυτο δεν Πταν αποτέλεσμα τηςκι από τούτη αλλά κι απ' την άλλη πλευρά, και ότι είναι μικρή και δ'αΨ°Ράς βάρους μεταξύτους αλλά της διαφορετι-

ασήμαντη και πλανιέται ταχύτατα ανάμεσα στα αστέρια. Κ^ επίδΡασης της αντίσταοηςτου αέρα - μία μικρήμπάλα με το ίδιο βάρος όπως και το φτερό θα έπεφτε

Κέπλερ, Astronomia nova, Εισαγωγή, 1609 το ίδιο γρήγορα όσο και η μπάλα του κανονιού. Ο

Γαλιλαίος είχε διακρίνει δύο διαφορετικές δυνάμειςκαι αυτό θα οδηγούσε στην ανάλυση της τροχιάς ενός βλήματος. Χωρίζοντας την οριζόντιακαι την κάθετη συνιστώσα, ανακάλυψε ότι η τροχιά ενός βλήματος είναι παραβολή. Αυτόοδήγησε σε νέες ανακαλύψεις στη βαλλιστική με μεγάλη χρησιμότητα για το στρατό.

Γεννημένος τη χρονιά που πέθανε ο Γαλιλαίος, ο Ισαάκ Νεύτωνας συγκέντρωσε όλααυτά τα διάσπαρτα στοιχεία σε μία ενοποιημένη θεωρία. Για να καταλάβουμε τη σύγχυσηπου επικρατούσε εκείνη την εποχή, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ότι ακόμα υπήρχαν δύομηχανικές, η γήινη και η ουράνια. Για τον Κέπλερ, οι πλανήτες είχαν ελλειπτικές τροχιέςκαι τους κινούσε μία μυστηριώδης μαγνητική δύναμη που εκπορευόταν από τον Ήλιο, ενώη αδράνεια των πλανητών τους επιβράδυνε σε σχέση με την περιστροφή του Ήλιου. Γιατον Γαλιλαίο, οι πλανήτες είχαν κυκλικές τροχιές, γιατί αυτή η κίνηση του φαινόταν εγγε-νής και τέλεια, και η αδράνεια στην πραγματικότητα διατηρούσε τους πλανήτες σε κίνηση.Η σύγχυση μεγάλωσε όταν ο Ντεκάρτ ανακοίνωσε, σε μία επεξεργασία του μοντέλου τουΚέπλερ, ότι η αδράνεια έκανε τα σώματα να ταξιδεύουν σε ευθεία γραμμή και ότι οι τρο-χιές των πλανητών κάμπτονταν από δίνες του ηλιακού συστήματος. Οι πρωτοπόρες ανα-καλύψεις του Γαλιλαίου σε σχέση με την επιτάχυνση και τη γήινη μηχανική δεν έμοιαζαννα έχουν καμιά σχέση με την ουράνια μηχανική. Δεν υπήρχε συμφωνία για τους ορισμούςβασικών φυσικών εννοιών, όπως η μάζα και το βάρος, η αδράνεια και η ορμή, η δύναμη καιη ενέργεια, ο μαγνητισμός και η βαρύτητα.

> Σχέδια του Γαλιλαίου για τουςδορυφόρους του Δία, στους οποίουςέδωσε το ονομάτων Μεδίκων, προςτιμήντωνχρηματοδοτώντου, απότοSiderusnuncius (1610).Σεμιαεποχή που το γεωκεντρικόσύστημα εξακολουθούσε να βασι-λεύει, η ανακάλυψη του Γαλιλαίουήταν απόδειξη ότι ένας πλανήτηςμπορούσε να αποτελεί ο ίδιοςκέντρο μιας τροχιάς.

Το 1687, μετά από πολλά παρακάλια και οικονομική υποστήριξη από τον Έντμοντ

* Χάλλεϋ, ο Νεύτωνας δημοσίευσε το βιβλίο Philosophiae naturalis principia mathematica,

αυτό που έγινε γνωστό γενικότερα σαν Principia. Χρειάστηκε να εκδοθεί το βιβλίο άλλες

δυο φορές πριν αναγνωριστεί γενικά η μεγάλη του αξία στη δεκαετία του 1720. Σ' αυτό το

κεφάλαιο θα αναφερθώ μόνον στη μηχανική τωνPrincipia, αφήνοντας για το επόμενο τα

μαθηματικά. Τα Principia περιλαμβάνουν τους τρεις περίφημους νευτώνειους νόμους της

κίνησης. Με την παραδοσιακή σειρά, (αν και όχι με τη σειρά που εμφανίστηκαν στο βιβλίο)

ο πρώτος νόμος δηλώνει ότι «κάθε σώμα που βρίσκεται σε ηρεμία ή σε ομαλή κίνηση, θα

συνεχίσει να παραμένει σ' αυτή την κατάσταση, ωσότου εφαρμοστεί πάνω σ' αυτό κάποια

δύναμη» - υποστηρίζοντας έτσι τη θέση του Ντεκάρτ και παραδεχόμενος τη δυνατότητα

στατικής αλλά και δυναμικής ισορροπίας δυνάμεων. Ο δεύτερος νόμος δηλώνει ότι «η επι-

τάχυνση ενός σώματος είναι ανάλογη και έχει την ίδια φορά με τη δύναμη που ασκείται

επάνω του», αυτό που σήμερα εκφράζουμε με τον τύπο F = my. Και ο τρίτος νόμος είναι

ότι «η αμοιβαία αντίδραση δύο σωμάτων που έρχονται σε επαφή είναι πάντα ίση και αντί-

θετη». Ο Νεύτωνας μελετά διάφορους τύπους δυναμικών πεδίων, μεταξύ αυτών και το

νόμο του αντίστροφου τετραγώνου της βαρύτητας. Το αριστούργημα του ήταν η ταύτιση

των δυνάμεων του Κέπλερ και του Γαλιλαίου. Στο βιβλίο III ίων Principia με τίτλο «Το

σύστημα του κόσμου», βρίσκουμε τα βασικά εδάφια, όπου ταυτίζει τη δύναμη που ασκεί-

ται σε ένα σώμα που πέφτει με τη δύναμη που ασκείται στους πλανήτες που βρίσκονται σε

τροχιά. Με μιας, οι δύο επιστήμες είχαν γίνει μία - η γήινη και η ουράνια μηχανική ακολου-

θούσαν τους ίδιους ακριβώς νόμους. Και η αόρατη κόλλα που κρατούσε τα πάντα μαζί

έμοιαζε να είναι αυτή η μυστηριώδης δύναμη της βαρύτητας.

Ο Νεύτωνας θεωρείται ότι υπήρξε εφευρέτης ή συνεφευρέτης του απειροστικού

λογισμού, αλλά οι αποδείξεις στα Principia είναι όλες γεωμετρικές, αν και τα διαγράμματα

συχνά παριστάνουν απειροστικές αλλαγές σε δυνάμεις και κινήσεις, δείχνοντας ότι η

παραγόμενη τελικά κίνηση θα έπρεπε να θεωρείται ομαλή και όχι σαν μία σειρά από από-

τομες σπασμωδικές αλλαγές. Υπήρχαν ακόμα μερικά άλυτα προβλήματα στην κοσμολο-

γία του Νεύτωνα. Δεν υπήρχε κανείς προφανής λόγος να κινούνται όλοι οι πλανήτες προς

την ίδια κατεύθυνση, ούτε μπορούσε να εξηγηθεί η παραμονή τους σε αυτές τις συγκεκρι-

μένες τροχιές και όχι σε κάποιες άλλες. Όσο για την πραγματικότητα της βαρύτητας, ο

ίδιος ο Νεύτωνας δυσκολευόταν να πιστεύει ότι μία τόσο ισχυρή δύναμη μπορούσε να επι-

δρά από τόσο μακριά χωρίς να μεσολαβεί κάποιο υλικό μέσο. Δεν πίστευε ότι ήταν δυνα-

τόν να υπάρχει τέτοια επίδραση μέσα από το κενό του διαστήματος γι' αυτό και θεωρούσε

ότι υπήρχε ένα μέσο, ο αιθέρας, μέσα από τον οποίο μεταδιδόταν αυτή η δύναμη - αν και

παρέμενε αδιευκρίνιστο εάν ο αιθέρας ήταν ο ίδιος φτιαγμένος από κάποιο υλικό. Το

όραμα των αγγέλων που έσπρωχναν τους πλανήτες είχε αντικατασταθεί από ένα παγκό-

σμιο πνεύμα. Επίσης εάν η βαρύτητα ήταν τόσο διαδεδομένη, τότε όλα τα αντικείμενα

πρέπει να ασκούσαν ελκτική δύναμη το ένα πάνω στο άλλο, και το Σύμπαν αργά ή γρή-

γορα θα κατέρρεε. Ακόμα και ο Νεύτωνας αναγκάστηκε να βάλει μέσα στην εικόνα τον

Θεό, σαν ένα είδος προστάτη του Σύμπαντος, που απέτρεπε αυτήντην εφιαλτική κατά-

ληξη. Ολόκληρη αυτή η θεωρία της βαρύτητας θα μπορούσε να έχει εύκολα απορριφθεί,

εάν το μαθηματικό μοντέλο της βαρύτητας δεν ταίριαζε με τα πραγματικά δεδομένα της

παρατήρησης: η φυσική πραγματικότητα ταίριαζε με την ανάλυση των φυσικών υποθέ-

σεων. Το σύστημα των δινών του Ντεκάρτ τελικά εγκαταλείφθηκε, γιατί η θεωρία τηςβαρύτητας δούλευε καλύτερα. Τα μαθηματικά δεν έσωσαν μόνο τα φαινόμενα. Η καινούρ-για μηχανική έφερνε μαζί της και ένα νέο κλάδο μαθηματικών -τον απειροστικό λογισμό.Θα δούμε τώρα την ιστορία της εφεύρεσης του.

Εγώ ο Γαλιλαίος, γιος του θανόντος Βιτσέντζο Γκαλιλέι, Φλωρεντινός, εβδομη-

κοντούτης, κλητευθείς ενώπιον αυτού του δικαστηρίου και γονυπετής ενώπιον

σας, Εξοχότατε και Αγιότατε Μεγάλε Καρδινάλιε Ιεροεξεταστή κατά της εξα-

πλώσεως των αιρέσεων στον χριστιανικό κόσμο, έχοντας εμπρός μου και αγγίζο-

ντας με τα χέρια μου τις Ιερές Γραφές, ορκίζομαι ότι πάντοτε πίστευα, πιστεύω

και με τη βοήθεια του Θεού πάντοτε θα πιστεύω όλα όσα υποστηρίζονται, διδά-

σκονται και κηρύσσονται από την Αγία Καθολική και Αποστολική Εκκλησία.

Αλλά επειδή -μετά από ρητή εντολή της παρούσης Ιεράς Αρχής να εγκαταλείψω

εντελώς τη λανθασμένη άποψη ότι ο ήλιος είναι ακίνητος και αποτελεί το κέντρο

του κόσμου και ότι η γη δεν είναι κέντρο του κόσμου και κινείται, και να μην υπο-

στηρίζω ή διδάσκω με οποιοδήποτε τρόπο, προφορικό ή γραπτό, το ανωτέρω

λανθασμένο δόγμα, και αφού είχα προειδοποιηθεί ότι το εν λόγω δόγμα είναι

αντίθετο προς τις γραφές- έγραψα και τύπωσα ένα βιβλίο στο οποίο πραγματεύο-

μαι αυτό το νέο και ήδη καταδικασθέν δόγμα προβάλλοντας επιχειρήματα υπέρ

της ισχύος του χωρίς να τα αποδεικνύω, με αποτέλεσμα να θεωρηθώ από το ιερό

δικαστήριο ύποπτος αφέσεως, δηλαδή, ότι πιστεύω ότι οι ήλιος είναι το κέντρο

του κόσμου και ακίνητος και ότι η γη δεν είναι το κέντρο του κόσμου και κινείται:

επιθυμών ως εκ τούτου να καθησυχάσω τις Εξοχότητές σας και όλους τους

πιστούς Χριστιανούς ως προς τη φριχτή αυτή υποψία, την οποία δικαίως τρέφουν

εναντίον μου, ειλικρινώς και με απροσποίητη πίστη αποκηρύσσω μετά βδελυγ-

μίας τα προρρηθέντα σφάλματα και τις αιρέσεις.

Δημόσια αποκήρυξη του ηλιοκεντρικού συστήματος από τον Γαλιλαίο το 1633

·< Λεπτομέρεια από το Βιβλίο 1, Είδαμε στο κεφ. 12 ότι ο Νεύτωνας και ο Κέπλερ σχεδίασαν τις πλανητικές τροχιές μεΠρόταση 1, Θεώρημα 1 - Prindpia , γεωμετρικό τρόπο. Ωστόσο, οι ελλείψεις αυτές καθαυτές δεν έχουν φυσική ύπαρξη στοτου Νεύτωνα (1687). χώρο1 είναι οι αόρατες τροχιές που διαγράφουν οι πλανήτες. Θα ήταν άρα πολύ χρή-

σιμο, εάν βρισκόταν ένα μαθηματικό εργαλείο που θα περιέγραφε τους πλανήτες σεκίνηση αντί να κατασκευάζονται οι τροχιές τους γεωμετρικά ένα-ένα σημείο. Όσοι προ-σπάθησαν να περάσουν από μία σειρά ευθύγραμμων κινήσεων σε μια γνήσια και ομαλή

τροχιά επανέφεραν στο προσκήνιο το προβλημάτων απειροστών και του απείρου.Πριν περάσουμε στην εφεύρεση του απειροστικού λογισμού, αξίζει να δούμε λίγο τις

προσπάθειες που προηγήθηκαν για την αντιμετώπιση προβλημάτων εμβαδού και κλίσεων

καμπυλών. Ίχνη αυτού του πρώιμου απειροστικού λογισμού βρίσκονται ακόμα και στον

Αρχιμήδη, ο οποίος είχε αναπτύξει δύο μεθόδους εύρεσης εμβαδών που περικλείονταιαπό καμπύλες γραμμές, τη γεωμετρική και τη μηχανική. Ένα από τα πιο γνωστά προβλή-

ματα που απασχόλησαν τους αρχαίους ήταν η εύρεση του εμβαδού του κύκλου, το λεγό-

μενο πρόβλημα του τετραγωνισμού του. Σε μία μικρή πραγματεία του με τίτλο Κύκλουμέτρησις, ο Αρχιμήδης αποδεικνύει δύο σημαντικές προτάσεις, πρώτον ότι το εμβαδόν

ενός κύκλου ισούται με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με βάση ίσου μήκους μετην περιφέρεια του κύκλου και ύψος ίσο με την ακτίνα του, κάτι που αντιστοιχεί απόλυτα με

τον τύπο πι*, χωρίς όμως να χρειάζεται να εκφράσουμε το n αριθμητικά. Η δεύτερη σημα-

ντική πρόταση ήταν μία απόδειξη ότι η αριθμητική τιμή του π βρίσκεται μεταξύ του 3 V? καιτου 31%ι. Και στις δύο περιπτώσεις, η γεωμετρική μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε ήταν ηχάραξη εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων του κύκλου · μετά, με συνεχή

διπλασιασμό του αριθμού των πλευρών τους, τα πολύγωνα τείνουν να ταυτιστούν με τηνπεριφέρεια του κύκλου. Και όχι μόνον αυτό, αλλά τα δύο πολύγωνα τείνουν να πλησιάσουν

το ένατο άλλο, «στριμώχνοντας», κατά κάποιο τρόπο, τον κύκλο μεταξύ τους, έτσι ώστε,αν φανταστούμε τη διαδικασία αυτή να συνεχίζεται επ' άπειρον (το όριο των μαθηματικών),

τα εμβαδά των πολυγώνων θα τείνουν να ταυτιστούν με το εμβαδόν του κύκλου. Για ναβρει την τιμή του π, ο Αρχιμήδης άρχισε περιγράφοντας και εγγράφοντας εξάγωνα και

σταμάτησε τη διαδικασία του διπλασιασμού των πλευρών όταν είχε φτάσει σε ένα πολύ-

γωνο με 96 πλευρές, αν και θα μπορούσε να συνεχίσει μέχρι να φτάσει οποιοδήποτε επί-

πεδο ακρίβειας ήθελε. Η διαδικασία αυτή βασίστηκε στη μέθοδο της εξάντλησης τουΕυδόξου (κεφ. 4), αλλά ο Αρχιμήδης αποφεύγει να δηλώσει ρητά, ότι τα πολύγωνα μετα-τρέπονται κατά κάποιον τρόπο σε κύκλους, φτάνοντας στην απόδειξη μέσω ενός μακρο-

σκελούς λογικού επιχειρήματος. Αυτή η επιφυλακτικότητα είναι κατανοητή, δεδομένου ότι

έτσι αποφεύγει το νοητικό άλμα που χρειάζεται για να ταυτίσει ένα πολύγωνο με ένανκύκλο - δύο σχήματα που, κατά τους Έλληνες, δεν είχαν καμιά σχέση μεταξύ τους.

Η μηχανική μέθοδος του Αρχιμήδη παραδίδεται στη Μέθοδο (Έφοδος), ένα μεγάλογράμμα που είχε στείλει στον Ερατοσθένη και που θεωρούνταν χαμένο μέχρι το 1906 που

βρέθηκε στην Κωνσταντινούπολη. 'Ηταν σε μορφή παλίμψηστου -περγαμηνή του 10ου αι-

που περιείχε αρχικά διάφορα εργάτου Αρχιμήδη, αλλά είχε αργότερα ξυστεί, πρόχειραευτυχώς, με σκοπό να χρησιμοποιηθεί για τη γραφή προσευχών, και έτσι τα έργα μπόρεσαν

να ανασυσταθούν. (Η περγαμηνή αυτή πουλήθηκε το 1998 για $2.000.000 σε δημοπρασία).

Η μέθοδος που χρησιμοποιεί ο Αρχιμήδης είναι στην ουσία η αποδόμηοη ενός εμβαδού σεγραμμές, και κατόπιν ο μετασχηματισμός και η αναδόμηση τους σε άλλο εμβαδόν. Ο ακρι-

Α Κελλάριος, Ουράνιος

άτλαντας, 1660. Αυτό το πλούσια

εικονογραφημένο έργο εξέταζε τις

διάφορες πλανητικές θεωρίες της

εποχής. Μέσα σε ελάχιστα χρόνια

τα Principle (1687) του Νεύτωνα θα

ανέτρεπαν τη μαθηματική φυσική

και την πλανητική θεωρία.

βής μετασχηματισμός γινόταν χρησιμοποιώντας τους αρχιμήδειους κανόνες για τη λει-

τουργία ενός μοχλού. Στην ουσία, ο Αρχιμήδης ισορροπούσε ένα γνωστό εμβαδόν με έναάγνωστο, οπότε η θέση του υπομόχλιου καθόριζε και τη σχέση των μεγεθών τους - εξ ου και

ο όρος «μηχανική». Αν και ο Αρχιμήδης ισχυριζόταν ότι η μέθοδος αυτή ήταν χρήσιμη στηνεύρεση νέων αποτελεσμάτων, γνώριζε ότι δεν είχε καμία αποδεικτική αξία, οπότε όταν

θέλησε να παρουσιάσει συγκροτημένα τα συμπεράσματα του επέστρεψε στη γεωμετρικήμέθοδο. Το βασικό πρόβλημα βρισκόταν στην υπόθεση ότι ένα εμβαδόν μπορούσε να απο-

τελείται από αδιαίρετες γραμμές, γιατί μια γραμμή είναι ένα μήκος χωρίς πλάτος, μια μονο-διάστατη οντότητα, και όσο πυκνά κι αντις φανταστούμε μαζί, το άθροισμα τους εξακολου-θεί να είναι μονοδιάστατο και όχι δισδιάστατο. Παρ' όλους τους ενδοιασμούς του, ο Αρχιμή-

δης κατάφερε να υπολογίσει σωστά αρκετά εμβαδά και όγκους, όπως το εμβαδόν ενόςπαραβολικού τμήματος και το κέντρο βάρους στερεών, όπως π.χ. του κώνου.

Στις αρχές του 17ου αι. είχε τεθεί το πρόβλημα της κατασκευής μιας σειράς καμπυ-λών, της εύρεσης των μηκών τους, των εμβαδών που διέγραφαν και των όγκων που

παράγονταν από την περιστροφή τους. Το κίνητρο ήταν μια σειρά από μηχανικά προ-

βλήματα στατικής και δυναμικής. Η εύρεση του κέντρου βάρους ενός αντικειμένου με

A 0 αστρονόμος και ο αστρολό-γος από το έργο του ΡόμπερτΦλαντ, Utriusque cosmi historia(1617-24), ένα εκτεταμένο έργοσχετικά με την αρμονία του σύμπα-ντος που συνδύαζε τις φυσικές καιτις πνευματικές επιστήμες μέσωαναλογιών μεταξύ μακρόκοσμουκαι μικρόκοσμου.

μαθηματικό τρόπο ήταν απαραίτητη για την εκτίμηση της ευστάθειας του, κάτι που

ενδιέφερε άμεσα την αρχιτεκτονική και τη ναυπηγική. Οι μέθοδοι που χρησιμοποίησαν

ήταν στην ουσία οι ίδιες με εκείνες του Αρχιμήδη, αλλά σιγά-σιγά έγινε κατανοητό ότι,

παρά τα λογικά προβλήματα, οι μέθοδοι που περιλάμβαναν αδιαίρετα μεγέθη ή απειρο-

στά έδιναν αποτελέσματα πολύ ευκολότερα από ό,τι οι γεωμετρικές μέθοδοι.

Τα μαθηματικά δεν μπορούσαν πια να αποφύγουν την ενασχόληση τους με τις έννοιες

του απείρου και του απειροστού -της Σκύλλας και της Χάρυβδης των ελληνικών μαθηματι-

κών. Ο Κέπλερ είχε χρησιμοποιήσει απειροστικές μεθόδους για να υπολογίσει το εμβαδόν

που διαγράφεται από έναν πλανήτη σε ελλειπτική τροχιά. Στο βιβλίο Stereometria doliorum

(Μέτρηση του όγκου των βαρελιών, 1615), υπολόγισε ακόμα πιο εντυπωσιακά τον όγκο

ενός κρασοβάρελου χρησιμοποιώντας άπειρο αριθμό απειροστικών διατομών. Ο Γαλιλαίος

πίστευε στην πραγματική ύπαρξη του απείρου και σαν παράδειγμα ανέφερε τον κύκλο, τον

οποίο θεωρούσε πολύγωνο με άπειρο αριθμό πλευρών. Την ίδια περίοδο, ο Μποναβε-

ντούρα Καβαλιέρι (1598-1647), μαθητής του Γαλιλαίου και καθηγητής μαθηματικών οτη

Μπολώνια από το 1629, δημοσίευσε έναντόμο σχεδόν 700 σελίδων για τις μεθόδους εύρε-

σης εμβαδών και όγκων. Στο βιβλίο του Geometria indivisibilibus continuorum (Γεωμετρία

των αδιαιρέτων συνεχών, 1635) ανέλυε τα εμβαδά σαν να αποτελούνταν από αδιαίρετες

γραμμές και τους όγκους σαν να αποτελούνταν από αδιαίρετα εμβαδά. Η πιο γενική ανακά-

λυψη του ήταν ο τύπος για το εμβαδόν της μορφής y=x' για κάθε ακέραια τιμή του ν.

Ας εξετάσουμε τώρα τις προσπάθειες που προηγήθηκαν του απειροστικού λογισμού

για την εύρεση εφαπτόμενων σε καμπύλες. Ο Πιερ ντε Φερμά (1601 -65) κατέληξε σε ορι-σμένα σημαντικά συμπεράσματα, αλλά δεντα δημοσίευσε κανονικά. Προτίμησε να βασι-

στεί στη διάδοση τους μέσω του δικτύου της αλληλογραφίας των μαθηματικών που είχεθέσει σε ενέργεια και διατηρούσε ο Μαρέν Μερσέν (1588-1648). Ο Φερμά βρήκε μεθόδουςυπολογισμού εφαπτόμενων για κάθε σημείο μιας πολυωνυμικής καμπύλης, καθώς και του

μεγίστου και του ελαχίστου. Ανακάλυψε εκ νέου τους κανόνες του Καβαλιέρι για εμβαδάκάτω από καμπύλες της μορφής/=χ", επεκτείνοντας τους και για αρνητικές τιμές του ν. Η

μόνη ανώμαλη περίπτωση ήταν το ν = -1, για το οποίο ήταν γνωστό ότι η λύση ήταν ηλογαριθμική συνάρτηση. Οι μέθοδοι που χρησιμοποίησε ο Φερμά ήταν πολύ κοντά σε

αυτές που χρησιμοποιούμε ακόμα στον διαφορικό λογισμό, μόνο που εκείνος δεν χρησι-μοποίησε την έννοια της οριακής προσέγγισης. Σε κανένα από τα γραπτά του για την απει-

ροστική ανάλυση δεν αναφέρει την κατεξοχήν ιδιότητα της, που είναι ότι η εύρεση των

εφαπτόμενων και των εμβαδών είναι στην ουσία αντίστροφες πράξεις. Ούτε μπόρεσε ναεπεκτείνει το είδος των συναρτήσεων που λύνονταν με τις μεθόδους του.

Η πληθώρα μεθόδων που προηγήθηκαν του απειροστικού λογισμού σύντομα απο-κρυσταλλώθηκε σε ένα νέο κλάδο των μαθηματικών. Όπως συμβαίνει συχνά στην ιστο-

ρία, ό,τι θεωρείται επαναστατικό υπάρχει ήδη στην περιρρέουσα ατμόσφαιρα, περιμέ-νοντας να το συλλάβει κάποιος και να το διατυπώσει κατάλληλα. Εδώ, η επινόηση τουαπειροστικού λογισμού αποδίδεται σε δύο άνδρες, στον Ισαάκ Νεύτωνα και στον Γκότ-

φριντ Λάιμπνιτς. Όπως σε κάθε κοινή ανακάλυψη, υπήρχε και τώρα η υποψία ότι έναςαπό τους δύο είχε στην πραγματικότητα φτάσει πρώτος στο στόχο. Διάφοροι ψίθυροιάρχισαν να διαδίδονται σ' ολόκληρη την Ευρώπη για τη σχετική διαμάχη.

Ο Ισαάκ Νεύτωνας γεννήθηκε τα Χριστούγεννα του 1642, χρονιά θανάτου του Γαλι-

λαίου. Το 1661 μπήκε στο Trinity College του Καίμπριτζ, από όπου αποφοίτησε το 1664. Για

τα δύο επόμενα χρόνια το κολλέγιο παρέμεινε κλειστό εξαιτίας της πανούκλας και ο Νεύ-τωνας επέστρεψε στο πατρικό του σπίτι στο Lincolnshire. Αργότερα έγραψε ότι τότε

συγκεκριμένα έκανε τις περίφημες ανακαλύψεις του για τις άπειρες σειρές, για τη βαρύ-τητα και για τον απειροστικό λογισμό. Αυτό φαινόταν μάλλον υπεραπλουοτευμένο, αλλά

το 1669 έγραψε το De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (Ανάλυση εξισώ-σεων με απειράριθμους όρους), όπου πραγματευόταν τις άπειρες δυναμοσειρές όπως

ακριβώς και τις πεπερασμένες, και αργότερα επέκτεινε το διωνυμικό θεώρημα για οποια-δήποτε ρητή δύναμη. To De analysi επίσης περιείχε και την πρώτη διατύπωση απειροστι-

κού λογισμού, βασισμένη σε μία μέθοδο παρόμοια με του Φερμά, αλλά με την επιπλέονισχύ που της έδινε η γνώση των απείρων σειρών. Ήταν επίσης η πρώτη φορά που η εύρεσητου εμβαδού παρουσιαζόταν σαν το αντίστροφο πρόβλημα της εύρεσης της εφαπτομέ-

νης. Το 1671 ο Νεύτωνας έγραψε ακόμα μία εργασία γι' αυτό που τώρα ονόμαζε ροές καιρέοντα. Σε αυτό το έργο θεώρησε ταχ καιχ ως ρέοντα συναρτήσει του χρόνου, των

οποίων οι ρυθμοί μεταβολής ή ροές ήταν χ και/. Τις ποσότητες ή ρέοντα, των οποίων οι

ρυθμοί μεταβολής είναιχ και/τις σημείωσε μεχ'καιγ'. Ο Νεύτωνας έφτασε σε αυτές τιςιδέες θεωρώντας τη γραμμή ως γεωμετρικό τόπο ενός σημείου που ταξιδεύει στο χώρο. Ο

χρόνος παίζει το ρόλο του αόρατου χρονομέτρη σ' αυτή την εικόνα και δεν παρουσιάζεταιως ξεχωριστή μεταβλητή ί. Είναι κρίμα που ο Νεύτωνας κράτησε όλες του τις σημειώσεις

για τον εαυτό του καθώς παρουσίαζε μερικά από τα συμπεράσματα του μόνο σε συναδέλ-·» φουςτου.ΤοΟβ3Π3/χ5/ δεν εκδόθηκε παρά μόνο το 1711 και μία περιγραφή της μεθόδου

των ροών εμφανίστηκε στα αγγλικά το 1736. Η πρώτη του δημόσια παρουσίαση εμφανίζε-ται σε πολύ στεγνή και δυσπρόσιτη γλώσσα στα Principle το 1687. Τα Principia μοιάζουν να

μην έχουν και πολύ μεγάλη σχέση με τον απειροστικό λογισμό, δεδομένου ότι ο Νεύτωναςπαρουσίαζε όλη του τη μαθηματική φυσική με γεωμετρικούς όρους. Η πεισματική του

αντίρρηση να δημοσιεύσει μπορεί να εξηγηθεί από την απέχθεια του για τις δημόσιες αντι-παραθέσεις και τις αντιδικίες που πιθανόν να ακολουθούσαν, όπως είχε συμβεί παλαιότεραμεταξύ του ιδίου και του Ρόμπερτ Χουκ για ζητήματα οπτικής (ο Νεύτωνας περίμενε πρώτατον θάνατο του Χουκ για να δημοσιεύσει την Οπτική του). Ακόμα και τα Principia δεν θα

είχαν δει το φως της δημοσιότητας, αν δεν τον ενθάρρυνε προς αυτήν την κατεύθυνση και

δεν τον ενίσχυε χρηματικά ο Έντμοντ Χάλλεϋ. Όποιοι και να ήταν οι λόγοι, το μόνο πουήθελε ο Νεύτωνας ήταν να τον αφήνουν ήσυχο να δουλεύει. Αυτή η ιδιορρυθμία θα τον

οδηγούσε στην πιο έντονη αντιπαράθεση που είχε ποτέ στη ζωή του.

Στα Principia υπάρχει το κεφάλαιο «Η μέθοδος των πρώτων και των τελικών λόγων τωνμεγεθών», που δίνει γεωμετρικές αποδείξεις των βασικών ιδεών του για τον διαφορικό και

ολοκληρωτικό λογισμό, ενώ ένα άλλο κεφάλαιο παρουσιάζει τα ευρήματα του σχετικά μεό,τι αυτός αποκαλούσε «moment of any genitum», που εμείς τώρα ονομάζουμε το διαφο-

ρικό ενός όρου. Δεδομένου ότι αυτή είναι η πρώτη δημόσια παρουσίαση του νέου απειρο-στικού λογισμού, δεν είναι περίεργο που εκτός από ελάχιστους μαθηματικούς, η επιστημο-

νική κοινότητα στην αρχή απογοητεύτηκε. Ο Νεύτωνας περνούσε απ' τις γεωμετρικέςαποδείξεις στις γενικές διατυπώσεις, χωρίς τις ενδιάμεσες αλγεβρικές πράξεις. Στο κεί-μενο παραδεχόταν ότι αυτή η μέθοδος έμοιαζε με εύκολη λύση, αλλά αποφάσισε να την

προτιμήσει γιατί φοβόταν ότι η απόδειξη μέσω αδιαιρέτων δεν ήταν μαθηματικά δόκιμη. ΟΝεύτωνας δεν ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τη διαφόριοη και την ολοκλήρωση, ήταν

όμως ο πρώτος που δημιούργησε ένα σταθερό πλαίσιο, όπου οι δύο αυτές πράξεις ήταν

αντίστροφες. Με τη δουλειά του στις άπειρες σειρές

Και τι είναι αυτές οι ροές; Οι ταχύτητες των ανεπαίσθητων επέκτεινε κατά πολύ τους τύπους των συναρτήσεων

αυξήσεων. Και τι είναι αυτές οι ανεπαίσθητες αυξήσεις; Δεν είναι που μπορούσε να χειριστεί., , , / , , , Ας δούμε το πρόβλημα που αντιμετώπιζε ο Νευ-

ούτε πεπερασμένες ποσότητες ούτε ποσότητες απεφα μικρές, τωνας.Εάνπάρουμεέναοημείοπάνωσεμία

αλλά ούτε και τίποτα. Τότε γιατί να μην τις ονομάσουμε τα καμπυλη και θελήσουμε να βρούμε την κλίση της

φαντάσματα των ποσοτήτων που αναχώρησαν; εφαπτομένης σ' αυτό, μπορούμε να πάρουμε ένα

δεύτερο σημείο κοντά στο πρώτο και να ενώσουμεΕπίσκοπος Μπερκλευ, Ο αναλυτής, 1734 _, , ,

τα δυο με μια ευθεία. Μπορούμε επίσης να κατα-σκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα

δύο αυτά σημεία ορίζουν την υποτείνουσα· τότε ο λόγος των δύο κάθετων πλευρών τουτριγώνου μας δίνει την κλίση της ευθείας που ενώνει τα σημεία. Αν φανταστούμε το δεύ-

τερο σημείο να πλησιάζει αργά προς το πρώτο, βλέπουμε ότι η κλίση πλησιάζει όλο καιπερισσότερο να γίνει εφαπτομένη, ενώ παράλληλα το τρίγωνο μας γίνεται όλο και μικρό-

τερο. Αν φανταστούμε αυτά τα δύο σημεία να συναντιούνται, θα έχουμε μεν φτάσει στην

εφαπτομένη αυτή καθαυτή, το τρίγωνο μας όμως θα έχει εξαφανιστεί και οι δύο πλευρέςπου μας έδιναν την αριθμητική κλίση θα έχουν μηδενιστεί. Μένουμε δηλαδή με έναν λόγο

< Βιβλίο 1, Πρόταση 20, Πρό-βλημα 12 απόταPrinciple. Περι-γράφει διάφορες τροχιές από τηνεστία μίας έλλειψης. Ο Νεύτωναςείχε δείξει πιο πριν ότι η έλλειψη, ηπαραβολή και η υπερβολή υπάγο-νται στο νόμο του αντίστροφουτετραγώνου.

δύο μηδενικών ο οποίος παρ' όλα αυτά μας δίνει μία πραγματική τιμή! Στη γλώσσα του Νεύ-

. τωνα, ο λόγος δύο μεγεθών που τείνουν στο μηδέν είναι ένα τρίτο μέγεθος. Προς το παρόν,

τα ευρήματα του απειροστικού λογισμού ικανοποιούσαν τον Νεύτωνα και η τεράστια χρησι-

μότητα τους εξασφάλιζε την άμεση πρακτική εφαρμογή τους, αλλά οι αμφιβολίες για τη

βασιμότητα της θεμελίωσης τους δεν έπαψαν να υπάρχουν, και το προβλημάτων μαθηματι-

κώντου απείρως μεγάλου και του απείρως μικρού συνέχισε να επανέρχεται κατά καιρούς.

Λίγο μετά το θάνατο του Νεύτωνα, ο φιλόσοφος επίσκοπος Μπέρκλεϋ δημοσίευσε μία καυ-

στική κριτική σχετικά με τον απειροστικό λογισμό στο βιβλίο του Ο αναλσιης, το οποίο, αν

και τόνιζε διάφορα λογικά προβλήματα που ήταν γνωστά στους μαθηματικούς, ήταν γεμάτο

θρησκευτικό φανατισμό και κατηγορούσε τους μαθηματικούς για έλλειψη πίστης στο Θεό

επειδή πίστευαν σε «φαντάσματα των ποσοτήτων που αναχώρησαν».

Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646-1716) γεννήθηκε στη Λειψία όπου σπούδασε

θεολογία, νομικά, φιλοσοφία και μαθηματικά. Το πανεπιστήμιο αρνήθηκε να του επιτρέψει

να κάνει διδακτορικό στα νομικά, γιατί ήταν υπερβολικά νέος, μόλις 20 ετών. Αναγκάστηκε

έτσι να πάει στη Νυρεμβέργη, όπου αυτή τη φορά αρνήθηκε ο ίδιος την προσφορά έδρας

στη Νομική, προτιμώντας τη διπλωματική καριέρα στην υπηρεσία του οίκου του Ανοβέρου.

Συχνά αναφέρεται ως ο τελευταίος homo universalis, με έντονο ενδιαφέρον για τη λογική

και για τη θεμελίωση μιας παγκόσμιας γλώσσας. Δεν είναι ίσως τυχαίο ότι η γλώσσα του

απειροστικού λογισμού που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι κατά μέγα μέρος επινόηση του

Λάιμπνιτς. Οι όροι «διαφορικός λογισμός» και «ολοκληρωτικός λογισμός» είναι δικοί του

όπως και τα σύμβολα dy/dx και Jdx. Η διπλωματική ιδιότητα του έδινε πολλές ευκαιρίες να

ταξιδέψει. Το 1673 επισκέφτηκε το Λονδίνο, όπου έγινε μέλος της Βασιλικής Εταιρείας, και

τρία χρόνια αργότερα επέστρεψε για να επιδείξει την καινούργια υπολογιστική του

μηχανή. Δεν συναντήθηκε με τον Νεύτωνα, αλλά ένα μεγάλο μέρος του καυγά που ακο-

λούθησε εστιαζόταν στο εάν ο Λάιμπνιτς κατά τη διάρκεια εκείνης της επίσκεψης είχε την

ευκαιρία να δει τα χειρόγραφα του De analysi. Σύντομα οι δύο άνδρες άρχισαν να αλληλο-

γραφούν, ανταλλάσσοντας απόψεις σχετικά με τις άπειρες σειρές.

Μολονότι ο απειροστικός λογισμός του Λάιμπνιτς προέκυψε κι αυτός από την ανάλυση

των σειρών, πήρε διαφορετική μορφή: τον είχε μαγέψει το πρόβλημα της πρόσθεσης απεί-

ρων σειρών. Όσο ήταν στο Παρίσι, έθεσε στον εαυτό του το πρόβλημα της εύρεσης του

αθροίσματος των αντίστροφων των τριγωνικών αριθμών, με γενικό τύπο 2/[ν(ν+ 1)]. Είχε τη

διορατικότητα να τον αναλύσει σε διαφορά δύο όρων, δηλαδή 2[ι/ν-ΐ/(ι/ + 1)], οπότε γρά-

φοντας τους πρώτους όρους της σειράς έγινε προφανές ότι όλοι οι όροι απαλείφονταν

εκτός από τον πρώτο και τον τελευταίο. Η επέκταση του αθροίσματος σε άπειρο αριθμό

όρων έδινε το αποτέλεσμα 2.0 Λάιμπνιτς ασχολήθηκε λίγο και με πολλές άλλες σειρές

αποκτώντας εμπειρία στο κατά πόσον ήταν συγκλίνουσες ή αποκλίνουσες. Μετά συνειδη-

τοποίησε ότι το πρόβλημα της εύρεσης της εφαπτομένης μιας καμπύλης μπορούσε να

αναχθεί στην εύρεση του λόγου των διαφορών των τετμημένων και των τεταγμένων,

δηλαδή τωνχ και y, καθώς αυτές γίνονταν άπειρα μικρές και ότι η εύρεση των ολοκληρω-

μάτων αναγόταν στην εύρεση του αθροίσματος των τεταγμένων, ή του εμβαδού απειροε-

λάχιστων ορθογωνίων, από τα οποία απαρτιζόταν η περιοχή κάτω από την καμπύλη. Και

όπως τα αθροίσματα και οι διαφορές που είχε υπολογίσει στις αριθμητικές σειρές ήταν

αντίστροφα μεγέθη, έτσι και τα προβλήματα της διαφόρισης και της ολοκλήρωσης ήταν

επίσης αντίστροφα. Όλα στηρίζονταν στο χαρακτηριστικό απειροστικό τρίγωνο, το ίδιο, τρίγωνο που είχε περιγράψει ο Νεύτωνας ως «λόγο των ανεπαίσθητων μεγεθών». Βασική

έννοια στη συλλογιστική του Λάιμιτνιτς ήταντο διαφορικό αχτο οποίο παριστούσε τηναπειροστική διαφορά της τιμής του χ. Για μία συνάρτηση y=f (χ), η κλίση δινόταν από το

dy/dx και ο τετραγωνισμός από το Jydx. To σύμβολο του ολοκληρώματος θα μπορούσε ναδιαβαστεί και ως άθροισμα των ορθογωνίων με πλευρές y και dx. Τα χειρόγραφα του Λάι-

μπνιτς χρονολογούνται από το 1675. Μετά από μερικές αλλαγές που έκανε στο συμβολι-σμό, δημοσίευσε τα συμπεράσματα του σε δύο άρθρα, ένατου 1684 και ένα του 1686, στοπεριοδικό Acta Eruditorum, του οποίου ήταν συνιδρυτής. Βρίσκουμε εδώ τα βασικά θεωρή-ματα του απειροστικού λογισμού, περιλαμβανομένου και του θεμελιώδους θεωρήματος

ότι η διαφόριοη και η ολοκλήρωση είναι αντίστροφες διαδικασίες. Ο Λάιμπνιτς τόνιζε ότι ο

νέος απειροστικός λογισμός παρείχε ένα γενικό αλγόριθμο για την επίλυση προβλημάτωνδιαφόριοης και ολοκλήρωσης για πληθώρα συναρτήσεων, περιλαμβανομένων και των

υπερβατικών, έναν όρο που επινόησε ο Λάιμπνιτς για να κατατάξει συναρτήσεις όπως οι

ημχ και λογχ, οι οποίες μπορούν να εκφραστούν ως δυναμοσειρές, αλλά δεν αποτελούνλύσεις αλγεβρικών εξισώσεων.

Τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε ο Λάιμπνιτς ήταν παρόμοια με εκείνα του Νεύ-τωνα, με τη διαφορά ότι εκείνος δεν τα είχε δημοσιεύσει. Η διαμάχη που ξέσπασε σχετικά

με την πατρότητα του απειροστικού λογισμού δηλητηρίασε τη ζωή και των δύο ανδρών. Ανεξετάσουμε μόνο τις ημερομηνίες των δημοσιεύσεων, η πρώτη έκδοση των Principle βγήκετο 1687, μετά απ' τα άρθρα του Λάιμπνιτς στα Acta Eruditorum. Ο Νεύτωνας είχε στείλει

αντίγραφο των Principle στον Λάιμπνιτς νομίζοντας ότι εκείνος βρισκόταν στο Ανόβερο. ΟΛάιμπνιτς, που τότε βρισκόταν στην Ιταλία, διάβασε μία παρουσίαση του βιβλίου το 1689

στα Acta και βασιζόμενος στην παρουσίαση, έγραψε μερικές ακόμα εργασίες σχετικά μετη μηχανική και την οπτική, στις οποίες οπωσδήποτε κάτι είχε πάρει από τα έργα του Νεύ-

τωνα. Ωστόσο, αυτό που έκανε τους περισσότερους Ευρωπαίους να αποδώσουν την επι-

νόηση του απειροστικού λογισμού στον Λάιμπνιτς ήταν η μεγάλη επιτυχία των άρθρων τουπου είχαν ήδη δημοσιευτεί στην Ευρώπη. Το 1699, ένας μαθηματικός της σειράς, σε μια

δημοσίευση του που παρουσιάστηκε μάλιστα στη Βασιλική Εταιρεία, υπαινίχθηκε ότι ο Λάι-

μπνιτς είχε κλέψει τις ιδέες του από τον Νεύτωνα. Αμέσως ξεκίνησε ένας πόλεμος λέξεων.Ο Λάιμπνιτς χρησιμοποιούσε τα Acta σαν φερέφωνο του, ενώ ο Νεύτωνας είχε την υποστή-ριξη της Βασιλικής Εταιρείας, η οποία έστησε και μία δήθεν ανεξάρτητη επιτροπή για να

ερευνήσει το ζήτημα. Το 1705 στα Acta εμφανίστηκε μία κακή κριτική για το τελευταίοβιβλίο του Νεύτωνα και το 1712 η επιτροπή της Βασιλικής Εταιρείας αποφάσισε ότι ο Νεύ-τωνας ήταν ο πραγματικός εφευρέτης του απειροστικού λογισμού. Το 1726, μετά το

θάνατο του Λάιμπνιτς, ο Νεύτωνας αφαίρεσε από την τρίτη έκδοση των Principia οποιαδή-

ποτε αναφορά στον Λάιμπνιτς. Εάν ο Νεύτωνας είχε δημοσιεύσει το De analyst το 1669,όλη αυτή η θλιβερή ιστορία θα είχε αποφευχθεί. Οι Βρετανοί διατήρησαν τον νευτώνειο

απειροστικό λογισμό των ροών και των ρεόντων μέχρι τις αρχές του 19ου αι., αλλά η εξέ-λιξη του απειροστικού λογισμού σε ένα απίστευτα ισχυρό εργαλείο έγινε στην ηπειρωτική

Ευρώπη και μάλιστα στη γλώσσα του Λάιμπνιτς.

Τα τελευταία του χρόνια ο Νεύτωνας τα πέρασε υπηρετώντας σε διάφορες δημόσιεςθέσεις. Το 1696 διορίστηκε Φύλακας του Νομισματοκοπείου και αναγορεύτηκε σε Μάγι-

Α Γουίλιαμ Μπλεικ, Νεύτωνας

(1795) «Γιατί ο Βάκων κι ο Νεύτω-

νας, ντυμένοι το άχαρο ατσάλι

τους, απειλούν την Αλβιόνα με τη

φρίκη τους...» Γουίλιαμ Μπλέικ

Ιερουσαλήμ, κεφάλαιο 1.

στρο το 1699 γιατί κατάφερε να αναμορφώσει ριζικά το σύστημα και να στείλει πολλούς

παραχαράκτεςστηναγχόνη.Το 1701 εκπροσώπησε το Πανεπιστήμιο του Καίμπριτζστο

Κοινοβούλιο για δεύτερη φορά. Το 1699 έγινε μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών -ο δεύτερος ξένος μετά τον Λάιμπνιτς. Το 1703 εξελέγη πρόεδρος της Βασιλικής Εταιρείας

και συνέχισε να επανεκλέγεται μέχριτο θάνατο του. Το 1705 χρίστηκε ιππότης από τηΒασίλισσα Awa. Είναι θαμμένος στο Αββαείο του Γουεστμίνοτερ και σύμφωνα με τον Βολ-

ταίρο «έζησε τιμημένος από τους συμπατριώτες του και θάφτηκε σαν βασιλιάς που απο-

λάμβανε την αγάπη των υπηκόων του».Ο Λάιμπνιτς εξακολούθησε να αναπτύσσει τα ευρύτατα ενδιαφέροντα του στη φιλοσο-

φία, τη θρησκεία και τη γενική λογική (προοιωνίζοντας έτσι τον Τζωρτζ Μπουλ - κεφ. 17),βρίσκοντας χρόνο το 1700 να συμβάλει στην ίδρυση της Ακαδημίας Επιστημών του Βερολί-νου και να κάνει παρόμοια σχέδια για την Αγία Πετρούπολη, τα οποία υλοποιήθηκαν μετά

το θάνατο του. Το 1714 φαινόταν ότι θα κατέληγε τελικά να ζήσει στο Λονδίνο, δεδομένουότι ο εργοδότης του είχε οριστεί πρώτος ανοβεριανός βασιλιάς της Αγγλίας. Όμως, μετά

από τις άψογες υπηρεσίες που είχε προσφέρει ως διπλωμάτης, ιστορικός, νομικός καιδάσκαλος, του ζήτησαν να παραμείνει στη βιβλιοθήκη και να ξεμπερδέψει το δαιδαλώδες

βασιλικό οικογενειακό δένδρο. Ίσως κάποιος υπαινίχτηκε στο βασιλιά ότι δεν θα ήταν και

πολύ σοφό ο Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς να συχνάζουν στην ίδια Αυλή.Και για να τελειώσουμε το κεφάλαιο αυτό με μια πιο ευχάριστη νότα, το 1701, απαντώ-

ντας σε μια ερώτηση της βασίλισσας της Πρωσίας, ο Λάιμπνιτς είπε: «αν εξετάσουμε τημαθηματική γνώση από την αρχή του κόσμου μέχριτην εποχή μας, το έργο του σερ Ισαάκείναι παραπάνω από το μισό του συνόλου». Και σε ένα γράμμα που είχε γράψει στον Λάι-μπνιτς το 1676, ο Νεύτωνας δηλώνει ότι «η μέθοδος του τελευταίου για τον υπολογισμόσυγκλινουσών σειρών είναι σαφώς εξαιρετικά περίτεχνη και θα αρκούσε μόνον αυτή για νααποδείξει τη μεγαλοφυία του εφευρέτη της, ακόμα και αν δεν είχε γράψει τίποτα άλλο».Ευτυχώς, η ιστορία θα τους θυμάται και τους δύο σαν μεγαλοφυίες.

Όλα αυτά που έδειξα για τις καμπύλες γραμμές και τις επιφάνειες που περικλείουν

εύκολα μπορούν να εφαρμοστούν στις καμπύλες επιφάνειες και στο εμβαδόν των στε-

ρεών. Αυτά τα λήμματα προτάσσονται για να αποφευχθεί η βαρετή και πολύπλοκη δια-

δικασία της εις άτοπον απαγωγής, στην οποία κατέφευγαν οι παλιοί γεωμέτρες. Γιατί με

τη μέθοδο των αδιαιρέτων οι αποδείξεις είναι βραχύτερες· αλλά επειδή η υπόθεση των

αδιαιρέτων μοιάζει κάπως απότομη, άρα λιγότερο γεωμετρική, επέλεξα να περιορίσω τις

αποδείξεις των ακολούθων προτάσεων στα πρώτα και τελικά αθροίσματα και στους

λόγους των μεγεθών τη στιγμή που εμφανίζονται και τη στιγμή που εξαφανίζονται,

δηλαδή στα όρια τους, και έτσι να προτάξω, όσο πιο σύντομα γίνεται, την κατάδειξη

αυτών των ορίων. Γιατί έτσι αποδεικνύεται το ίδιο πράγμα με τη μέθοδο των αδιαιρέ-

των και απ' τη στιγμή που αυτές οι αρχές έχουν καταδειχθεί, μπορούν να χρησιμοποιη-

θούν με μεγαλύτερη ασφάλεια. Άρα, όποτε στο εξής θεωρώ ότι κάποιες ποσότητες αποτε-

λούνται από επιμέρους στοιχεία ή χρησιμοποιώ μικρές καμπύλες αντί για ευθείες, δεν θα

εννοώ αδιαίρετες, αλλά ανεπαίσθητες διαιρετές ποσότητες· όχι αθροίσματα και λόγους

ορισμένων μερών, αλλά όρια αθροισμάτων και λόγων η δε ισχύς αυτών των αποδείξεων

πάντοτε εξαρτάται από τη μέθοδο που εκτίθεται στα προηγηθέντα λήμματα.

Μπορεί να προβληθεί η αντίρρηση ότι δεν υπάρχει η τελική αναλογία ανεπαίσθητων

ποσοτήτων γιατί η αναλογία, πριν εξαλειφθούν οι ποσότητες, δεν είναι τελική, ενώ όταν

εξαλείφονται, δεν υπάρχει καν. Αλλά με το ίδιο επιχείρημα, θα μπορούσε να υποστηρι-

χθεί, ότι ένα κινητό που φτάνει κάπου και ακινητοποιείται δεν έχει τελική ταχύτητα"

γιατί η ταχύτητα, πριν φτάσει στον προορισμό του το κινητό, δεν είναι η τελική, ενώ όταν

έχει φτάσει είναι μηδενική. Αλλά η απάντηση είναι εύκολη· γιατί με τον όρο «τελική

ταχύτητα» εννοούμε εκείνη με την οποία κινείται το σώμα όχι πριν φτάσει στον προορι-

σμό του, όπου παύει η κίνηση, ούτε αφού φτάσει, αλλά τη στιγμή που φτάνει· δηλαδή την

ταχύτητα, με την οποία το σώμα φτάνει στην τελευταία του θέση και με την οποία παύει

η κίνηση. Αντίστοιχα, με τον όρο «τελικός λόγος των ανεπαίσθητων ποσοτήτων» εννο-

ούμε τον λόγο των ποσοτήτων όχι πριν εξαφανιστούν ούτε μετά, αλλά των τιμών με τις

οποίες εξαφανίζονται. Παρομοίως, ο πρώτος λόγος εμφανιζομένων ποσοτήτων είναι

εκείνος με τον οποίο ξεκινάει η ύπαρξη τους. Επίσης, το πρώτο και τελικό άθροισμα είναι

η τιμή με την οποία το άθροισμα αρχίζει και παύει να υπάρχει.

Νεύτωνας, Principle, Scholium, Μέρος 1, Βιβλίο 1,1726

< Πέτρους Απιάνους, Εισαγωγήστη γεωγραφία, 1533, βασισμένοοτη Γεωγραφία του Πτολεμαίου. Ηεικόνα δείχνει τις διάφορες χρήσειςτης σταυρωτής ράβδου για τηνεύρεση ουράνιων και γήινων απο-στάσεων.

> Η γαλλική Carte Pisane, περ.1290, ο παλαιότερος ευρισκόμενοςπορτολανικός χάρτης που δείχνειναυτικές διαδρομές στην Ευρώπηκαι στη Μεσόγειο.

Η χαρτογραφία είχε απασχολήσει όλους τους παλιούς πολιτισμούς. Είτε για την κατα-

, σκευή κτιρίων, είτε για φορολογικούς ή πολεμικούς λόγους, η δουλειά του τοπογράφου

είναι ένα από τα παλαιότερα επαγγέλματα που απαιτούσαν γνώσεις πρακτικών μαθηματι-

κών. Ένα άγαλμα του 2200 π.Χ. που παριστάνει τον Γκουτέα, ηγέτη της Σουμεριακής πόλης

Λαγκάς, δείχνει τον τοπογράφο να κρατάει ένα σχέδιο υπό κλίμακα του ναού στο Νινγκίρ-

σου, μαζί μ' έναν χάρακα κι ένα εργαλείο γραφής. Αυτό είναι το παλιότερο γνωστό παρά-

δειγμα σχεδίου υπό κλίμακα. Σε βαβυλωνιακές πήλινες πινακίδες, αιγυπτιακούς παπύρους

και κινεζικά μεταξωτά υφάσματα βρίσκουμε χάρτες του τότε γνωστού κόσμου. Οι Ρωμαίοι

συνέχισαν την ελληνική παράδοση στις μετρήσεις, και το Co/pus agrimensorum καθόρισε

τους κανόνες της τοπογραφίας και της σχεδίασης χαρτών υπό κλίμακα.

Στη χαρτογράφηση μικρών περιοχών, μπορούμε να αισθανόμαστε ασφαλείς όταν

υποθέτουμε ότι η περιοχή είναι επίπεδη, αλλά καθώς προχωράμε σε μεγάλες εκτάσεις, η

καμπυλότητα της Γης αρχίζει να παίζει σημαντικό ρόλο. Δεν είναι σαφές πότε ακριβώς

συνειδητοποίησαν οι άνθρωποι ότι η Γη είναι σφαιρική· σε μερικές παραδόσεις θεωρείται

ότι κατοικείται μόνο το ένα ημισφαίριο. Ο Ερατοσθένης, αρχιβιβλιοθηκάριος στην Αλεξάν-

δρεια από το 240 π.Χ., έφτιαξε τον πρώτο γνωστό χάρτη με επιστημονική μέθοδο, με

παραλλήλους και μεσημβρινούς σε ανισομερές πλέγμα. Οι σύγχρονοι'του δεν έδειξαν να

συγκινούνται, με αποτέλεσμα να περάσουν 400 ολόκληρα χρόνια πριν εμφανιστεί το

πρώτο βασικό εγχειρίδιο χαρτογραφίας, η Γεωγραφία του Κλαύδιου Πτολεμαίου (περ. 150

μ.Χ.). Εκεί διαβάζουμε ότι η Γη είναι σφαιρική αλλά κατοικείται μόνο στο ένατηςημισφαί-

J>· Η Μεσόγειος και η ΒόρειοςΑφρική από έναν παγκόσμιο χάρτη « uaimlSiLτου 1500 κατασκευασμένο από τονΧουάν ντε λα Κόσα, ο οποίος ταξί- '"'δεψε με τον Χριστόφορο Κολόμβοτο 1492.

pio και ότι η περιφέρεια της γης είναι 180.000 στάδια, τιμή πολύ λιγότερο ακριβής από τα250.000 στάδια που έδινε ο Ερατοσθένης (1 στάδιο θεωρείται ίσο προς 160 μέτρα περί-που) . Η μεγάλη συνεισφορά της Γεωγραφίας ήταν ότι έθεσε τις βάσεις της προβολής μίαςσφαίρας σε μια επίπεδη επιφάνεια. Ο χάρτης του Πτολεμαίου ανανεώθηκε απ' τον αλ-Χου-αρίζμι (κεφ. 7), που βασίστηκε μεν στις γνώσεις του Πτολεμαίου ως προς τη Μεσόγειο,αλλά βελτίωσε σημαντικά την ακρίβεια των χαρτών της Κεντρικής Ασίας.

Η προβολή της σφαιρικής γης σε έναν επίπεδο χάρτη συνεπάγεται πάντα κάποιαπαραμόρφωση και η κύρια φροντίδα του χαρτογράφου είναι να καθορίσει ποια στοιχείαθα παραμορφωθούν περισσότερο και ποια λιγότερο. Οι σύμμορφες προβολές ελαχι-στοποιούν τις παραμορφώσεις γωνιών και σχημάτων, οι ισεμβαδικές προβολές διατη-ρούν τις σχέσεις των επιφανειών και οι ισαπέχουσες προβολές διατηρούν τις αποστά-σεις. Επίσης, όπως θα δούμε στη συνέχεια, οι προδιαγραφές για τους χάρτες της ξηράςδεν συμπίπτουν με εκείνες που ισχύουν για τους χάρτες της θάλασσας.

Με την ανάπτυξη της Ευρωπαϊκής ναυτιλίας και του εμπορίου από το 1300 και μετά,βρίσκουμε πορτολανικούς χάρτες (από την ιταλική λέξη portolano, η οποία αρχικάσήμαινε τις γραπτές οδηγίες του καπετάνιου), οι οποίοι σχεδιάζονταν πάνω σε έναδίκτυο ευθειών, ή λοξοδρομικων καμπυλών, για να βοηθούν τους ναυτικούς στο σχεδια-σμό των ταξιδιών τους στην Ευρώπη και τη Μεσόγειο. Αυτοί οι χάρτες σχεδιάζοντανκυρίως στη Βενετία, στη Γένοβα και στη Μαγιόρκα και ήταν εξαιρετικά ακριβείς, αν καιδεν είναι σαφές εάν κατασκευάζονταν με βάση κάποια συγκεκριμένη προβολικήμέθοδο. Η έκταση της χρήσης της πυξίδας, κινεζικής εφεύρεσης, αλλά και το επίπεδοτης αστρονομικής ναυσιπλοΐας εκείνη την περίοδο είναι ζητήματα, στα οποία δεν έχειδοθεί ακόμα συγκεκριμένη απάντηση. Όμως, με την ανακάλυψη της Αμερικής και την

>· Χάρτης του κόσμου του 1513σύμφωνα με τη Γεωγραφία του Πτο-λεμαίου, η οποία μόλις πρόσφαταείχε επανεκδοθεί στην Ευρώπη.

V Σετ μαθηματικών οργάνωνκατασκευασμένων το 1701 στηΡώμη απότον D. Lusuerg. Μια τόσοπερίτεχνη συλλογή, που περιλάμ-βανε έναν γεωμετρικό τετράντα,ένα παγκόσμιο ηλιακό ρολόι και ένασετ νεπέρειων ράβδων πρέπει ναήταν φτιαγμένη για κάποιον πλού-σιο πελάτη ως συλλεκτικό αντικεί-μενο και όχι για πρακτική χρήση.

πρώτη εκτύπωση της Γεωγραφίας του Πτολεμαίου, τέθηκαν οι βάσεις για την κατα-σκευή ενός σωστού χάρτη του κόσμου. Η Γεωγραφία του Πτολεμαίου επανεμφανίστηκεστην Ευρώπη τον 15ο αι. και πρωτοτυπώθηκε στην Μπολώνια το 1477. Κατά τη διάρκειατης Αναγέννησης χρησιμοποιήθηκαν διάφορα είδη προβολών, συχνά για αισθητικούςλόγους, όπως π.χ. ο δημοφιλής ωοειδής χάρτης του κόσμου που πρωτοχρησιμοποιή-θηκε από τον Φραντσέσκο Ροσέλι το 1508. Αυτές οι προβολές βασίζονταν σε γραφικέςμεθόδους κατασκευής και όχι σε τριγωνομετρικούς τύπους.

Ο Γεράρδος Μερκάτορ (1512-94), γνωστός ως «Πτολεμαίος της εποχής μας», σχε-δίασε την πρώτη προβολή ειδικά για ναυτικούς. Ο Μερκάτορ σπούδασε στο Πανεπιστή-μιο της Λουβέν, και αφού πήρε το πτυχίο της φιλοσοφίας, συνέχισε με μαθηματικά,αστρονομία και χαρτογραφία. Έγινε επίσης χαράκτης και κατασκευαστής οργάνων.Από τα μέσα της δεκαετίας του 1530 σχεδίασε μια σειρά από χάρτες, μεταξύ τωνοποίων χάρτες της Φλάνδρας και της Παλαιστίνης. Το 1544 φυλακίστηκε ως αιρετικός,αλλά απελευθερώθηκε σύντομα μετά από έντονες πιέσεις του πανεπιστημίου, αναγκά-στηκε όμως να μεταβεί στο Ντούισμπουργκτου Δουκάτου της Κλέβης, που σήμερα ανή-κει στη Γερμανία, όπου διορίστηκε κοσμογράφος της αυλής από τον Δούκα Γουλιέλμοτο 1564. Στην πόλη αυτή σχεδίασε το 1569 την περίφημη προβολή Μερκάτορ για τοχάρτη του κόσμου. Η καινοτομία αυτής της προβολής είναι ότι παρουσιάζει τις γραμμέςσταθερού προσανατολισμού σαν ευθείες, πράγμα που έκανε τη χάραξη πορείας γιατους ναυτικούς πολύ ευκολότερη. Σε μία σφαίρα, εάν ένα πλοίο ταξιδεύει με σταθερό

προσανατολισμό (εκτός εάν κατευθύνεται προς ένα από τα τέσσερα σημεία του ορίζο-

ντα) η γενική του πορεία θα είναι μία καμπύλη πάνω στη σφαίρα' στην πραγματικότητα,

εάν ήταν δυνατόν να ταξιδεύει κανείς με σταθερή πορεία συνεχώς, θα κατέληγε να κινεί-

ται σε σπειροειδή τροχιά προς έναν απ' τους πόλους. Η προβολή όμως αυτών των λοξο-

δρομικών καμπυλών σε ευθείες γραμμές διευκολύνει σημαντικά το έργο του πλοηγού.

Ένα άλλο πλεονέκτημα είναι ότι η προβολή Μερκάτορ διατηρεί τις γωνίες, έτσι ώστε η

αλλαγή πορείας κατά 30°, ας πούμε, σημαίνει ότι η καινούργια καμπύλη θα σχηματίζει

γωνία 30° με την προηγούμενη. Από τότε μέχρι σήμερα, αυτού του τύπου η προβολή

είναι η πιο διαδεδομένη, αν και παραμορφώνει σημαντικά τα σχήματα σε υψηλότερα

πλάτη και πολλοί θα ήθελαν να την αντικαταστήσουν με μία ισεμβαδική προβολή, όπως

η πιο πρόσφατη που πήρε το όνομα του Άρνο Πήτερς.

Η μαθηματική ανάλυση της προβολής Μερκάτορ δόθηκε για πρώτη φορά από τον

Έντουαρντ Ράιτ στο Ορισμένα σφάλματα της ναυσιπλοΐας (1599). Την ίδια χρονιά εκδό-

θηκε και ο παγκόσμιος χάρτης του Ράιτ, βασισμένος στην προβολή Μερκάτορ, στο

βιβλίο Οι βασικοί θαλάσσιοι δρόμοι του Ρίχαρτ Χάκλοϊτ. Η αυξημένη γνώση της γήινης

αλλά και της ουράνιας σφαίρας έκανε πολύ δημοφιλή την παραγωγή διπλών υδρογείων

-συχνά ως εποπτικών μέσων διδασκαλίας αλλά και ως συμβόλων της καινούργιας γνώ-

σης- στις οποίες μία γήινη σφαίρα συχνά περικλειόταν μέσα σε μία συναρθρωμένη

ουράνια σφαίρα. Με την αυξημένη ακρίβεια των αστρονομικών παρατηρήσεων και την

πρόοδο των μεγάλων έργων τριγωνισμού στη Γαλλία, Βρετανία και άλλες Ευρωπαϊκές

χώρες, οι παγκόσμιοι χάρτες χρειάζονταν συνεχώς ενημέρωση.

Όμως για να δημιουργήσει κανείς ακριβείς χάρτες και για να καταγράψει με ακρίβεια

>· Χάρτης του κόσμου από τοAtlas, sive cosmograficameditationes (1585) του Μερκάτορ.Ο Μερκάτορ ήταν ο πρώτος πουχρησιμοποίησε τη λέξη «άτλας» μεαυτή την έννοια και οι διάφορεςεκδόσεις του περιλαμβάνουν χάρ-τες συγκεκριμένων χωρών αλλάκαι ενημερωμένους παγκόσμιουςΧάρτες.

\.

Α Γαλλικό σχέδιο του 16ου αι.που δείχνει έναν ναυτικό να σημα-δεύει ένα αστέρι για να βρει το πλά-τος του. Αυτός ο πρωτόγονος θεο-δόλιχος μπορούσε να μετρήσει καικατακόρυφες αλλά και οριζόντιεςγωνίες.

την πορεία των πλοίων, έπρεπε να υπάρχουν ακριβείς μετρήσεις γεωγραφικού πλάτουςκαι γεωγραφικού μήκους για συγκεκριμένα γνωστά μέρη. Το γεωγραφικό πλάτος ήτανπάντα αρκετά εύκολο να βρεθεί - ήταν το ίδιο με το ύψος του πολικού αστέρα. Κατά τηδιάρκεια της ημέρας μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει τη θέση του ηλίου, προσαρμο-σμένη με βάση τους πίνακες απόκλισης, οι οποίοι έδιναν τη γωνιακή απόσταση του ήλιουαπό τον ισημερινό για κάθε μέρα του χρόνου. Το γεωγραφικό μήκος όμως, ήταν πάνταπολύ πιο δύσκολο να βρεθεί. Η θεωρία ήταν γνωστή: εάν παίρναμε έναν βασικό μεσημ-βρινό σαν βάση για τη μέτρηση του χρόνου, η μετακίνηση κατά 15° σε μήκος από τονμεσημβρινό αντιστοιχούσε με διαφορά μίας ώρας σε τοπικό χρόνο από τη γεωγραφικήθέση του μεσημβρινού. Ο τοπικός χρόνος μπορούσε να βρεθεί αστρονομικά ή με κάποιοηλιακό ρολόι, αλλά για να το κάνεις αυτό έπρεπε να ξέρεις ταυτόχρονα το χρόνο στονμεσημβρινό. Μία πιθανή λύση θα ήταν η χρήση της σελήνης σαν ένα είδος νυχτερινούρολογιού, που θα μετρούσε τις ώρες καθώς διέσχιζε τον ουρανό. Αλλά η φαινόμενηκίνηση της Σελήνης είναι εξαιρετικά ανώμαλη και μια τέτοια μέθοδος θα ήταν πρακτικήμόνο εάν ο πλοηγός είχε έναν πίνακα της κίνησης της Σελήνης που να καλύπτει πολλάχρόνια. Γι' αυτό το σκοπό ιδρύθηκε το Βασιλικό Αστεροσκοπείο του Γκρήνουιτςτο 1675.Σχεδόν 100 χρόνια αργότερα, το 1677, ο Βασιλικός αστρονόμος Νέβιλ Μάσκελιν, δημοσί-ευσε το Ναυτικό αλμανάκ, το οποίο περιελάμβανε πίνακες σεληνιακών αποστάσεων ανάτρεις ώρες για έναν ολόκληρο χρόνο. Ήδη όμως το ναυτικό χρονόμετρο του Τζων Χάρι-σον είχε σχεδόν τελειοποιηθεί και σύντομα έγινε η ενδεδειγμένη μέθοδος εύρεσης τουγεωγραφικού μήκους στη θάλασσα. Με ένα ρολόι ακριβείας στο πλοίο που να δείχνεισταθερά το χρόνο στο μεσημβρινό, το πρόβλημα αναγόταν στην εύρεση του τοπικούχρόνου με ηλιακή ή με αστρική παρατήρηση, οπότε η διαφορά ανάμεσα στους δύο χρό-νους έδινε το γεωγραφικό μήκος στο οποίο βρισκόταν το πλοίο.

V Φορητό δίπτυχο ηλιακό ρολόικαι πυξίδα που κλείνει σαν βιβλίο.Είναι από ελεφαντόδοντο, φέρειεπιγραφή με το όνομα του κατα-σκευαστή οργάνων Πάουλ Ράινμανκαι προέρχεται από τη Νυρεμβέργητου 1599.0 σπάγκος που παίζει τορόλο του γνώμονα μπορούσε ναρυθμιστεί για διάφορα γεωγραφικάπλάτη, ενώ οι μεταλλικοί γνώμονεςήταν ακριβείς μόνο για το γεωγρα-φικό πλάτος, για το οποίο ήτανκατασκευασμένοι.

Οι προβολές έγιναν ακόμη πιο πολύπλοκες καθώς πλήθαιναν τα στοιχεία που έδειχναν

ότι η γη δεν ήταν τέλεια σφαίρα αλλά σφαιροειδές πεπλατυσμένο στους πόλους. Οι θεωρη-

τικοί υπολογισμοί του Νεύτωνα στα Principia που αποδείκνυαν την πλάτυνση της Γης επιβε-

βαιώθηκαν τελικά πειραματικά. Εάν η Γη ήταν πεπλατυσμένη στους πόλους, τότε το μήκος

της μιας μοίρας του γεωγραφικού πλάτους θα αύξανε καθώς κινούμαστε από τον ισημερινό

προς τους πόλους και το ίδιο θα έκανε και η επιτάχυνση της βαρύτητας. Οργανώθηκαν απο-

στολές για να μετρήσουν και τα δύο αυτά μεγέθη. Το 1735 η Ακαδημία των Παρισίων απο-

φάσισε να στείλει αποστολές στη Λαπωνία και στο Περού για να μετρήσει οποιεσδήποτε

διαφορές μεταξύ 1 ° πλάτους κοντά στον πόλο και στον ισημερινό. Η κλασική εργασία του

Κρίστιαν Χώυχενς σχετικά με το απλό εκκρεμές έδειχνε ότι η περίοδος ταλάντωσης του

σχετιζόταν με την τιμή της βαρυτικής επιτάχυνσης. Αποκλίσεις είχαν παρατηρηθεί ήδη από

το 1672, όταν ένα εκκρεμές που σήμαινε τα δευτερόλεπτα στο Παρίσι έπρεπε να κοντύνει

για να κρατάει τον ίδιο χρόνο στο Καγιέν. Δυστυχώς, οι ατελείς μετρήσεις συχνά οδηγού-

σαν σε ασύμβατα αποτελέσματα, μερικά από τα οποία έδειχναν ότι η Γη ήταν όχι πεπλατυ-

σμένη στους πόλους αλλά επιμηκυσμένη. Το 1832 ο Αμερικάνος αστρονόμος Ναθάνιελ

Μπόουντιτς είχε στη διάθεση του 52 μετρήσεις από ολόκληρο τον κόσμο, από τη Λαπωνία

μέχρι το Ακρωτήριο της Καλής Ελπίδας. Στη μετάφραση του βιβλίου του Λαπλάς Traite de

Mecanique Celeste που έκανε ο ίδιος πρόσθεσε την ανάλυση αυτώντων ευρημάτων και

προσδιόρισε τον βαθμό πλάτυνσης της Γης στο 1/297, μια τιμή που θα

γινόταν αποδεκτή διεθνώς σχεδόν εκατό χρόνια αργότερα.

Αυτού του είδους οι αποκλίσεις από την τέλεια σφαίρα αποτέλε-

σαν το κίνητρο για τη δημιουργία μιας μορφής τριγωνομετρίας η οποία

να ξεπερνά το επίπεδο και τη σφαίρα και να αντιμετωπίζει αποτελεσμα-

τικά όλα τα σφαιροειδή γενικά. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

επάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας είναι μεγαλύτερο από 180°, αλλά

η υπεροχή ποικίλλει ανάλογα με τη θέση, αν η επιφάνεια είναι ένα κοινό

σφαιροειδές. Ο Αντριάν-ΜαρίΛεζάντρ (1752-1833) έκανε εξαιρετική

δουλειά πάνω στο ζήτημα αυτό και το 1799 κατέληξε σ' έναν τύπο που

συσχέτιζε τις πλευρές ενός τριγώνου με την υπεροχή του από τις 180°.

Στη συνέχεια, με απειροστικές μεθόδους ορίστηκαν νέες προβολές,

στις οποίες οι απαιτούμενες παραμορφώσεις μπορούσαν να ορι-

στούν με συγκεκριμένους μαθηματικούς τύπους. Ο Γιόχαν Χάινριχ

Λάμπερτ (1728-77) δημοσίευσε το 1772 μία σειρά από διαφορετι-

κές προβολές, μία από τις οποίες, η σύμμορφη κωνική προ-

βολή, χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα. Σ' αυτή την προ-

βολή η Γη προβάλλεται σ' έναν κώνο ο οποίος αγγίζει τη

σφαίρα στον «βασικό παράλληλο»· ο κώνος μπορεί μετά

να απλωθεί σε έναν επίπεδο χάρτη.

Τα εργαλεία της δουλειάς τελειοποιούνταν συνε-

χώς. Ο αστρολάβος, ελληνικό εργαλείο βελτιωμένο απ'

τους Αραβες, ήταν ένα είδος αναλογικού υπολογιστή. Περι-

στρέφοντας ένα δίσκο πάνω στον οποίο ήταν χαραγμένη μία προβολή

του ουρανού και οι τροχιές διαφόρων ουρανίων σωμάτων, μπορούσε

Α Ο Αστρονόμος του ΓιοχάνεςΒερμέερ, 1668. Με βελτιωμένατηλεσκόπια και πρόσβαση στονότιο ημισφαίριο, οι αστρονόμοιπρόσθεσαν νέα αοτέρια στουςουρανούς. Γήινες και ουράνιεςσφαίρες χρησιμοποιούνταν ευρύ-τατα ως εποπτικά μέσα αλλά και ωςδιακοσμητικά σύμβολα της και-νούργιας γνώσης.

κανείς να υπολογίσει τις ώρες ανατολής και δύσης.

Κάθε προβολή αφορούσε ένα συγκεκριμένο γεω-

γραφικό πλάτος, έτσι ώστε ένας αστρολάβος που-

λιόταν μαζί με τους δίσκους του, έναν για κάθε δια-

φορετικό γεωγραφικό πλάτος. Ο αστρολάβος μπο-

ρούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό

του ύψους και του αζιμουθίου διαφόρων ουρανίων

σωμάτων, να υπολογίζει το χρόνο καινά μετρά τις

αστρονομικές αποστάσεις. Η χρήση του ύψους και

του αζιμουθίου ως γενικά αποδεκτών μεγεθών οφει-

λόταν στους Άραβες. Ως ύψος οριζόταν η γωνία από

τον ορίζοντα και ως αζιμούθιο η γωνιακή απόσταση

από τον μεσημβρινό. Τα ηλιακά ρολόγια ήταν ένας

κοινός τρόπος εύρεσης του χρόνου, που χρησιμο-

ποιούσε είτε τις αλλαγές στο ύψος του ήλιου κατά τη

διάρκεια της ημέρας είτε τις αλλαγές στο αζιμούθιο

του. Τα περισσότερα ηλιακά ρολόγια έπρεπε να προ-

σανατολίζονται με τη βοήθεια μιας πυξίδας, αλλά

σιγά-σιγά η κατασκευή τους έγινε πιο προσεγμένη,

δεδομένου ότι λάμβαναν υπόψη τις αλλαγές στην

ταχύτητα της κίνησης του ήλιου στον ουρανό. Τον

17ο αι. κατασκευάστηκαν παγκόσμια ηλιακά ρολόγια

που μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδή-

ποτε γεωγραφικό πλάτος, αν και κάθε φορά έπρεπε

να ρυθμίζονται διαφορετικά. Ο αστρολάβος του ναυ-

τικού, μια πάρα πολύ απλή κατασκευή, αντικαταστάθηκε απότοντετράντα. Οιτετράντες,

εξάντες και άλλα σχετικά όργανα που χρησιμοποιούσαν οι ναυτικοί, οι αστρονόμοι και οι

τοπογράφοι έγιναν όλο και πιο ακριβείς με τη χρήση οπτικών εργαλείων και κλιμάκων με πιο

λεπτές διαβαθμίσεις.

Οι αυξανόμενες απαιτήσεις ακρίβειας στις επίγειες, θαλάσσιες και ουράνιες μετρή-

σεις σήμαιναν την κατακόρυφη αύξηση του αριθμού των πράξεων που έπρεπε να εκτελού-

νται. Η προσθήκη δεκαδικών ψηφίων για λόγους ακριβείας σήμαινε πιο χρονοβόρες πρά-

ξεις. Η χρήση των λογαρίθμων από τον 17ο αι. και μετά ήταν σημαντική πρακτική εξέλιξη.

Οι ναυτικοί είχαν πίνακες τριγωνομετρικών συναρτήσεων και λογαρίθμων που διευκόλυ-

ναν τους υπολογισμούς, αν και οι πίνακες αυτοί συνέχιζαν να πάσχουν από τυπογραφικά

λάθη. Η σύντμηση του χρόνου, ενίοτε εις βάρος της ακρίβειας, επιτεύχθηκε με την εφεύ-

ρεση του λογαριθμικού κανόνα, ο οποίος ήταν ήδη σε χρήση τον 18ο αι. Ήδη τότε η άποψη

που υπήρχε για τον κόσμο ήταν πολύ διαφορετική από εκείνη του Πτολεμαίου - η Γη δεν

ήταν παρά ένας απλός πλανήτης, ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές σε τροχιά γύρω απ' τον

ήλιο. Στο δεύτερο μισό του 20ού αι. μπορέσαμε τελικά να δούμε τη Γη από κάποιο σημείο

ψηλά πάνω απ' την επιφάνεια της, όταν οι τεχνητοί δορυφόροι άρχισαν να χαρτογραφούν

τη μεταλλασσόμενη γεωγραφία του πλανήτη μας απ' την τροχιά τους.

·< Η γενική δευτεροβάθμια εξί-σωση έχει δύο λύσεις που βρίσκο-νται από τον πασίγνωστο τύπο, πουόλοι μαθαίνουμε στο σχολείο. Ανά-λογοι τύποι για την επίλυση τηςκυβικής καιτηςτεταρτοβάθμιαςεξίσωσης ανακαλύφθηκαν τον 16οαι. Όμως τέτοιος τύπος αλγεβρικήςλύσης δεν μπόρεσε να βρεθεί γιατην πεμπτοβάθμια εξίσωση.Κάποιοι υποπτεύονταν ότι τέτοιαλύση δεν υπήρχε, αλλά αυτό απο-δείχθηκε τελικά μόλις τον 19ο αι.

Τον 16ο αι. οι μαθηματικοί βρέθηκαν μπροστά στους μιγαδικούς αριθμούς σχεδόντυχαία (κεφ. 11). Τον 18ο αι. οι μιγαδικοί αριθμοί είχαν ήδη καθιερωθεί ως επέκταση τωνπραγματικών, αλλά ο χειρισμός τους συχνά εξακολουθούσε να οδηγεί σε ολισθήματαόπως στο Vollstandige Anleitung zur Algebra (Πλήρης εισαγωγή στην άλγεβρα, 1770)όπου ο Όυλερ έγραψε ότι V-2xV-3 =V6 και όχι -V6, προκαλώντας μεγάλη σύγχυση σεμερικούς μεταγενέστερους συγγραφείς. Ο ίδιος ο Γκάους, στο περίφημο πόνημα τουγια τη θεωρία των αριθμών Disquisitiones arithmeticae (Αριθμητικές έρευνες, 1801),απέφευγε τη χρήση των αποκαλούμενων «φανταστικών αριθμών». Για μας, το πιο σημα-ντικό μέρος αυτού του έργου είναι η πρώτη στην ιστορία απόδειξη του ΘεμελιώδουςΘεωρήματος της 'Αλγεβρας. Ο Γκάους είχε απόλυτη συναίσθηση της σπουδαιότηταςαυτού του θεωρήματος και έδωσε μερικές ακόμα αποδείξεις στη διάρκεια της ζωής του.Το 1849, ωστόσο, ξαναδούλεψε την πρώτη του απόδειξη, χρησιμοποιώντας αυτή τηφορά μιγαδικούς αριθμούς. Το θεώρημα λέει σε σύγχρονη ορολογία ότι οποιαδήποτεπεπερασμένη πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούς ή μιγαδικούς συντελεστές έχειμία τουλάχιστο ν μιγαδική λύση. Αυτή η απόδειξη έδινε οριστικά αρνητική απάντηση στοπαλιό ερώτημα, εάν οι λύσεις πολυωνύμων ανωτέρου βαθμού καθιστούσαν αναγκαίατην κατασκευή αριθμών υψηλότερης τάξης των μιγαδικών.

Ένα από τα πιο ακανθώδη αλγεβρικά προβλήματα της εποχής ήταν το κατά πόσο τοπεμπτοβάθμιο πολυώνυμο ήταν επιλύσιμο με αλγεβρικές μεθόδους - δηλαδή με ένανπεπερασμένο αριθμό αλγεβρικών πράξεων. Στο σχολείο μαθαίνουμε σήμερα τον τύποεπίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων, και ήδη από τον 16ο αι. υπάρχουν παρόμοιεςμέθοδοι για τις εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού (κεφ. 11). Ωστόσο, όλες οι προσπάθειεςνα βρεθεί μια ανάλογη μέθοδος για την εξίσωση 5ου βαθμού κατέληξαν σε αδιέξοδο. Τοθεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας φαίνεται να απαντά θετικά στο ερώτημα, αλλά δεθα πρέπει να ξεχνάμε, ότι ενώ το θεώρημα αυτό εγγυάται την ύπαρξη λύσεων, δεν λέειτίποτε για τη δυνατότητα ακριβούς υπολογισμού αυτών των λύσεων μέσω τύπων (προ-σεγγιστικές αριθμητικές και γραφικές μέθοδοι ήδη υπήρχαν). Εδώ μπαίνουν στη σκηνήδύο μαθηματικές ιδιοφυΐες που είχαν και οι δύο τραγική κατάληξη.

Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ (1802-29) γεννήθηκε σε ένα μικρό χωριό στη Νορβηγία, μίαχώρα κατεστραμμένη μετά από χρόνια πολέμου με την Αγγλία και τη Σουηδία, και ήτανγόνος μιας πολυμελούς και φτωχής οικογένειας. Ένας διορατικός δάσκαλος τον βοή-θησε να τελειώσει το σχολείο, αλλά σε ηλικία 18 ετών έχασε τον πατέρα του και φορτώ-θηκε τις ευθύνες της οικογένειας. Το 1824 δημοσίευσε μια εργασία, στην οποία κατέ-ληγε, ότι η πεμπτοβάθμια εξίσωση δεν μπορούσε να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδουςκαι το ίδιο συνέβαινε με όλα τα πολυώνυμα ανώτερου βαθμού. Ο Άμπελ πίστευε ότιαυτή η ανακάλυψη θα ήταν το εισιτήριο του για την ακαδημαϊκή καριέρα που ονειρευό-ταν, οπότε έστειλε την εργασία του στον Γκάους στο πανεπιστήμιο του Γκαίτινγκενδυστυχώς, φαίνεται ότι ο Γκάους δεν βρήκε χρόνο να κόψει τις σελίδες του φυλλαδίου(εκείνη την εποχή αυτό το έκανε ο αναγνώστης και όχι ο τυπογράφος) και έτσι δεν τοδιάβασε ποτέ. Το 1826 η νορβηγική κυβέρνηση έδωσε τελικά στον Άμπελ τη δυνατότητανα ταξιδέψει στην Ευρώπη. Φοβούμενος ότι δεν θα κέρδιζε τίποτα επισκεπτόμενος προ-σωπικά τον Γκάους, απέφυγε το Γκαίτινγκεν και πήγε στο Βερολίνο. Εκεί έπιασε φιλίεςμε τον Αουγκούστ Λέοπολντ Κρέλλε (1780-1855), μηχανικό και μαθηματικό σύμβουλο

του Πρωσικού Υπουργείου Παιδείας, ο οποίος ετοιμαζόταν να εκδώσει το Journal fur diereine und angewandte Mathematik (Περιοδικό για τα καθαρά και τα εφαρμοσμένα μαθη-ματικά) . Ο Άμπελ είχε τώρα ένα τρόπο να κάνει τις εργασίες του ευρύτερα γνωστές,δεδομένου μάλιστα ότι συμμετείχε ενεργά στους πρώτους τόμους του περιοδικού, τοοποίο πολύ γρήγορα κατάφερε να καθιερωθεί στους επιστημονικούς κύκλους. Μέσα σ'αυτά που δημοσίευσε ήταν και μία αναλυτική εκδοχή της απόδειξης ότι η εξίσωση 5ουβαθμού δεν είναι επιλύσιμη. Μετά έφυγε για το Παρίσι, όπου βρέθηκε σε απόγνωση,γιατί δεν υποστηρίχθηκε όσο περίμενε από τους Γάλλους μαθηματικούς. Πλησίασε τονΩγκυστέν-Λουί Κωσύ (1789-1857), που τότε ήταν πρώτο όνομα στη μαθηματική ανά-λυση αλλά εξαιρετικά δύσκολος χαρακτήρας. Σύμφωνα με τον ίδιο τον Άμπελ, «Ο Κωσύείναι τρελός και κανείς δεν μπορεί να κάνει τίποτα γι αυτό, δυστυχώς όμως είναι ο μόνοςπου ξέρει πώς πρέπει να αντιμετωπίζει κανείς τα μαθηματικά». Αν παραβλέψουμε τιςταπεινώσεις που υπέφερε ο Άμπελ στα χέρια του Γκάους και του Κωσύ, μπορούμε ναπούμε ότι η απόδειξη του για την πεμπτοβάθμια εξίσωση έγινε ευρύτερα γνωστή καιτράβηξε την προσοχή μεγάλων μαθηματικών αλλά και πολλών τρελών. Ο Άμπελ γύρισεστη Νορβηγία με την υγεία του σοβαρά κλονισμένη από τη φυματίωση. Συνέχισε ναστέλνει υλικά στον Κρέλλε, αλλά πέθανε το 1829, χωρίς να αντιληφθεί ποτέ ότι είχε ήδηγίνει διάσημος. Δύο μέρες μετά από το θάνατο του, έφτασε στο σπίτι του μία προσφοράγια καθηγητική θέση στο Βερολίνο.

Ο Άμπελ είχε αποδείξει, ότι γενικά οποιοδήποτε πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμούαπό τον τέταρτο δεν μπορούσε να επιλυθεί με ριζικά όπως οι τετραγωνικές ρίζες, οικυβικές ρίζες ή ρίζες υψηλότερης τάξης. Ωστόσο, οι συγκεκριμένες προϋποθέσειςκάτω από τις οποίες ορισμένες ειδικές περιπτώσεις μπορούσαν να επιλυθούν και ημέθοδος της επίλυσης βρέθηκαν αργότερα από τον Γκαλουά. Η ζωή του Εβαρίστ Γκα-λουά (1811-1832) ήταν σύντομη και συναρπαστική. Εξαιρετικά προικισμένος μαθηματι-κός αλλά άστατη και εκρηκτική προσωπικότητα που την έκαναν ακόμα πιο ακραία μιασειρά από αδικίες. Ήταν αμείλικτος με όσους θεωρούσε λιγότερο ταλαντούχους απ'τον εαυτό του, αλλά ταυτόχρονα τον εξόργιζε η κοινωνική αδικία που επέβαλλαν οιάνθρωποι της εξουσίας. Πρωτοενδιαφέρθηκε για τα μαθηματικά όταν διάβασε τα Στοι-χεία γεωμετρίας του Λεζάντρ (ένα βιβλίο που βγήκε το 1794 και για 100 χρόνια ήταν τοβασικό εγχειρίδιο γεωμετρίας). Μετά καταβρόχθισε κυριολεκτικά τα γραπτά τουΛαγκράνζ και τελευταία του Άμπελ. Ο ενθουσιασμός, η αυτοπεποίθηση και η ανυπομο-νησία του είχαν σχεδόν καταστροφική επίδραση στις σχέσεις του με τους καθηγητέςτου και τους εξεταστές. Συμμετέχοντας στους διαγωνισμούς για την EcolePolytechnique, λίκνο των γαλλικών μαθηματικών, ο απροετοίμαστος Γκαλουά απέτυχεπαταγωδώς. Η πικρία του απαλύνθηκε για ένα διάστημα, όταν γνώρισε έναν καινούργιομέντορα που αναγνώρισε το ιδιαίτερο ταλέντο του. Τον Μάρτιο του 1829 ο Γκαλουάδημοσίευσε την πρώτη του εργασία για τα συνεχή κλάσματα, κρατώντας για τον εαυτότου την πιο σημαντική του δουλειά. Ο Γκαλουά υπέβαλε αυτές τις καινούργιες ανακαλύ-ψεις στην Ακαδημία Επιστημών, αλλά ο Κωσύ, που είχε υποσχεθεί να τις παρουσιάσει,το ξέχασε. Και το χειρότερο, έχασε και το χειρόγραφο.

Η δεύτερη αποτυχία του Γκαλουά να μπει στην Ecole Polytechnique ήδη ανήκει στομαθηματικό φολκλόρ. Όντας συνηθισμένος να χειρίζεται πολύπλοκες ιδέες με το

μυαλό, εξοργίστηκε απ' τον σχολαστικισμό των εξεταστών. Συνειδητοποιώντας ότι ηπροφορική εξέταση πήγαινε απ' το κακό στο χειρότερο, άρπαξε ένα σπόγγο και τον

πέταξε στα μούτρα ενός απ' τους εξεταστές. Λίγο μετά, αυτοκτόνησε ο πατέρας τουεξαιτίας μιας κληρικαλικής συνωμοσίας εναντίον του. Η κηδεία του εξελίχθηκε σε διαδή-

λωση. Το Φεβρουάριο του 1830 ο Γκαλουά έγραψε τρεις ακόμα εργασίες και τις υπέ-βαλε στην Ακαδημία Επιστημών, στο διαγωνισμό για το Μεγάλο Βραβείο των Μαθηματι-

κών. Ο τότε γραμματέας Ζοζέφ Φουριέ πέθανε πριν προλάβει να τις διαβάσει, και μετάτο θάνατο του δεν μπόρεσαν να βρουν τα χειρόγραφα. Οι τόσες αλλεπάλληλες απογοη-

τεύσεις θα είχαν κάμψει τις αντοχές οποιουδήποτε ανθρώπου. Φυσικό ήταν λοιπόν ναεπαναστατήσει ο Γκαλουά κατά ενός συστήματος που αρνιόταν να τον δεχτεί στουςκόλπους του και είχε επιπλέον δολοφονήσει τον πατέρα του. Μπήκε δυναμικά στην πολι-

τική τασσόμενος φανατικά με το μέρος των αντιβασιλικών - καθόλου σοφή επιλογή για

τη Γαλλία του 1830. Σε μία τελευταία απελπισμένη προσπάθεια, έστειλε ένα μνημόνιοστον Σιμεόν-Ντενί Πουασόν, ο οποίος απάντησε ζητώντας του περαιτέρω αποδείξεις.

Δεν ξαναπροσπάθησε. Το 1831 ο Γκαλουά συνελήφθη δύο φορές, μία φορά για μια

υποτιθέμενη συνωμοσία κατά της ζωής του βασιλιά Λουδοβίκου Φιλίππου και μία φοράπροληπτικά, επειδή οι αρχές περίμεναν εξέγερση των αντιβασιλικών! Καταδικάστηκε σεεξάμηνη φυλάκιση με μία κατασκευασμένη κατηγορία, ότι δήθεν φορούσε παράνομα τη

στολή ενός διαλυμένου τάγματος πυροβολικού, στο οποίο κάποτε ανήκε. Βγαίνοντας μεαναστολή, είχε μια ερωτική περιπέτεια που το μόνο που κατάφερε ήταν να αυξήσει τηναπογοήτευση του. Τα γράμματα του στον αφοσιωμένο φίλο του Σεβαλιέ μιλούν γι' αυτή

την ψυχική του ταλαιπωρία. Στις 29 Μαΐου 1832 αποδέχτηκε μία πρόκληση σε μονομαχίαγια λόγους που ποτέ δεν έγιναν γνωστοί. «Πεθαίνω και γι αυτό φταίει μια ξεφτιλισμένη

πόρνη. Η ζωή μου τελειώνει σε μια άθλια μονομαχία», γράφει σ' ένα «γράμμα σ' όλουςτους αντιβασιλικούς». Το πιο γνωστό και φημισμένο έργο του Γκαλουά γράφτηκε βιαστικά

τη νύχτα πριν απ' τη μονομαχία. Στα περιθώρια έχει γράψει βιαστικά πολλές φορές «Δεν

έχω χρόνο1 δεν έχω χρόνο», καθώς ήταν αναγκασμένος να αφήσει σε άλλους το έργο τηςσυμπλήρωσης των ενδιάμεσων βημάτων που ήταν απαραίτητα για την πλήρη κατανόηση

των συμπερασμάτων του. Εκείνος προσπάθησε να καταγράψει την ουσία των ανακαλύ-

ψεων του - την αρχή αυτού που σήμερα ονομάζεται Θεωρία του Γκαλουά. Παρέδωσε τηδιαθήκη του στον Σεβαλιέ, ικετεύοντας τον να «ζητήσεις από τον Πακόμπι ή τον Γκάους ναπουν ανοιχτά τη γνώμη τους, όχι για το αν η θεωρία του ήταν σωστή, αλλά για το αν κατά

τη γνώμη τους είχε κάποια βαρύτητα». Νωρίς το πρωί, ο Γκαλουά πήγε να αντιμετωπίσειτον αντίπαλο του. Διάλεξαν πιστόλια στα εικοσιπέντε βήματα. Ο Γκαλουά τραυματίστηκε

και πέθανε το επόμενο πρωί στο νοσοκομείο, σε ηλικία μόλις είκοσι ετών.Ο Γκαλουά ανέπτυξε την προηγούμενη δουλειά του Λαγκράνζ και του Κωσύ, αλλά

καθώς δούλευε την περίφημη λύση της εξίσωσης 5ου βαθμού, κατέληξε σε μια πιο γενικήμέθοδο. Δεν εξέταζε τόσο την αρχική εξίσωση ή την γραφική της ερμηνεία όσο τη φύση

των ίδιων των ριζών. Για να απλοποιήσει τα πράγματα, ο Γκαλουά διερευνούσε μόνο ανά-γωγες πεμπτοβάθμιες εξισώσεις, δηλαδή αυτές που δεν ήταν δυνατόν να παραγοντοποιη-

θούν σε πολυώνυμα χαμηλότερου βαθμού (καθώς όπως έχουμε δει οι πολυωνυμικές εξι-σώσεις μέχρι τον 4ο βαθμό έχουν συγκεκριμένους τύπους, με τους οποίους βρίσκονται οι

ρίζες τους). Γενικά, ανάγωγο πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές είναι αυτό που δεν μπο-

ρεί να παραγοντοποιηθεί σε απλούστερα πολυώνυμα με ρητούς επίσης συντελεστές. Π .χ.,

το ()f-1) μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε (x-1)(x'+xl+)?+x+1), ενώ το (if-2) είναι ανάγωγο.Σκοπός του Γκαλουά ήταν να προσδιορίσει τις συνθήκες, υπό τις οποίες όλες οι λύσειςενός γενικού ανάγωγου πολυωνύμου μπορούν να βρεθούν συναρτήσει ριζικών.

Το κλειδί βρισκόταν στην ανακάλυψη ότι οι ρίζες οποιασδήποτε ανάγωγης αλγεβρικήςεξίσωσης δεν είναι ανεξάρτητες, αλλά μπορούν να εκφραστούν η μία συναρτήσει τηςάλλης. Αυτές οι σχέσεις μορφοποιήθηκαν μέσα σε μια ομάδα όλωντων δυνατών μεταθέ-

σεων, την αποκαλούμενη συμμετρική ομάδα των ριζών - για την εξίσωση 5ου βαθμού αυτή

η ομάδα περιλαμβάνει 5!=5x4x3x2x1 = 120 στοιχεία. Ο μαθηματικός μηχανισμός της θεω-ρίας του Γκαλουά είναι εξαιρετικά περίπλοκος και αυτός ίσως είναι ο λόγος που άργησετόσο πολύ να καθιερωθεί. Ανεβάζοντας το επίπεδο αφαίρεσης από τις αλγεβρικές λύσεις

εξισώσεων στην αλγεβρική δομή της αντίστοιχης ομάδας μεταθέσεων, ο Γκαλουά κατά-

φερε να προβλέψει την επιλυσιμότητα μιας εξίσωσης από τις ιδιότητες αυτής της ομάδας.Κι όχι μόνο αυτό, αλλά η θεωρία του επεξεργάστηκε μια μέθοδο, με την οποία μπορούσαν

να βρεθούν και οι ίδιες οι ρίζες. Σε σχέση με την πεμπτοβάθμια εξίσωση, ο Ζοζέφ Λιουβίλ

(1809-82), ο οποίος το 1846 δημοσίευσε μεγάλο μέρος της εργασίας του Γκαλουά στοπεριοδικό Journal de Mathematiques Pures etAppliquees (Περιοδικό για τα καθαρά καιεφαρμοσμένα μαθηματικά), σημείωσε ότι ο Γκαλουά είχε αποδείξει το «υπέροχο θεώ-

ρημα» ότι, «για να είναι επιλύσιμη με ριζικά μία ανάγωγη εξίσωση που ο βαθμός της είναι

πρώτος αριθμός, αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι όλες οι ρίζες να είναι ρητές συναρτή-σεις οποιωνδήποτε δύο απ' αυτά». Επειδή αυτό δεν είναι δυνατόν να γίνει για την εξίσωση5ου βαθμού, η εξίσωση αυτή δεν μπορεί να λυθεί με ριζικά.

Μέσα σε τρία χρόνια ο μαθηματικός κόσμος είχε χάσει δύο απ' τα λαμπρότερα και-νούργια αστέρια του. Ακολούθησε μία περίοδος αλληλοκατηγοριών και περισυλλογής

και τα ονόματα των Άμπελ και Γκαλουά κέρδισαν την αναγνώριση που εδικαιούντο μόνομετά θάνατον. Το 1829 ο Καρλ Γιακόμπι έμαθε για το «χαμένο» χειρόγραφο του Άμπελ

μέσω του Λεζάντρ και το 1830 ξέσπασε διπλωματικό επεισόδιο, όταν ο Νορβηγός πρό-

ξενος στο Παρίσι απαίτησε να βρεθεί η εργασία του Άμπελ. Ο Κωσύ βρήκε τελικά τομνημόνιο, μόνο και μόνο για να το ξαναχάσει η ομάδα επιμελητών της Ακαδημίας! Την

ίδια χρονιά ο Αμπελ μοιράστηκε μετά θάνατον με τον Γιακόμπι το βραβείο των μαθηματι-

κών. Το μνημόνιο του τελικά δημοσιεύτηκε το 1841.0 Λιουβίλ επιμελήθηκε μερικά απότα χειρόγραφα του Γκαλουά. Στην εισαγωγή της έκδοσης οικτίρει την ακαδημία γιατίείχε απορρίψει την εργασία του Γκαλουά ως ιδιαιτέρως δυσνόητη, με τη φράση, «η

σαφήνεια είναι ασφαλώς απολύτως απαραίτητη, όταν προσπαθεί κανείς να οδηγήσειτον αναγνώστη πέρα απ' την πεπατημένη και να του δείξει μια ανεξερεύνητη χώρα». Καισυνεχίζει, «ο Γκαλουά δεν υπάρχει πια! Ας αφήσουμε τώρα τη στείρα κριτική· ας αφή-

σουμε όλα τα αρνητικά και ας κοιτάξουμε τα θετικά». Το προϊόν της σύντομης ζωής του

Γκαλουά δεν ξεπερνάει τις 60 σελίδες. Η διαμάχη συνέχισε να σοβεί. Ο επιμελητής τουμαθηματικού περιοδικού για υποψηφίους της Ecole Normal και της Ecole Polytechniqueσχολίασε σχετικά με την υπόθεση Γκαλουά ότι, «ένας υποψήφιος ανώτερης ευφυΐας

χάνεται όταν τον εξετάσει κάποιος με κατώτερη ευφυΐα. Hie ego barbarus sum quia non

intelligo illis [επειδή δεν με καταλαβαίνουν, είμαι βάρβαρος]».

Πρώτα απ' όλα, η προμετωπίδα αυτού του πονήματος δεν βαρύνεται με ονόματα,

ιδιότητες, τίτλους χαι ελεγείες, με σκοπό να ευαρεστηθεί κάποιος άθλιος πρίγκιπας

να ανοίξει το πορτοφόλι του - με τη συνεχή απειλή να το ξανακλείσει μόλις σταμα-

τήσει ο λιβανωτός. Δεν θα δείτε γραμμένη με χαρακτήρες τρεις φορές μεγαλύτερους

απ' το κείμενο την ταπεινή εκδήλωση σεβασμού προς κάποιο πρόσωπο υψηλά ιστά-

μενο στην επιστημονική ιεραρχία, κάποιο σοφό προστάτη - κάτι απαραίτητο (ανα-

πόφευκτο θα έλεγα) για έναν εικοσάχρονο νεαρό που επιθυμεί να γράψει. Δεν λέω

σε κανέναν ότι οφείλω στις συμβουλές και στις παροτρύνσεις του όλα τα καλά που

περιέχει η εργασία μου. Δεν το λέω, γιατί θα ήταν ψέμα. Αν θα ήθελα να απευθύνω

το λόγο στους μεγάλους του κόσμου, ή τους μεγάλους της επιστήμης (στην εποχή

μας η διαφορά μεταξύ αυτών των δύο τάξεων ανθρώπων είναι μάλλον ανεπαί-

σθητη) , ασφαλώς δεν θα ήταν για να τους ευχαριστήσω. Στους μεν οφείλεται το ότι

δημοσίευσα την πρώτη από αυτές τις εργασίες τόσο καθυστερημένα, στους δε ότι την

έγραψα στη φυλακή, ένα μέρος εντελώς ακατάλληλο για διανοητική εργασία, και

θαυμάζω τον εαυτό μου για την αυτοσυγκράτηση που έδειξε κρατώντας το στόμα

του κλειστό μπροστά στην κακεντρέχεια των ηλιθίων και αδαών ελπίζω η λέξη

«αδαείς» να μη θεωρηθεί ιδιαίτερα απρεπής, δεδομένου ότι οι αντίπαλοι μου είναι

κατ' εμέ τόσο αναξιοπρεπείς. Δεν είναι του παρόντος να αναφερθώ στους λόγους, για

τους οποίους βρέθηκα στη φυλακή, αλλά πρέπει οπωσδήποτε να πω ότι τα χειρό-

γραφα μου χάθηκαν επανειλημμένως απ' τα συρτάρια των αξιότιμων μελών του

Ινστιτούτου, αν και ειλικρινά δεν μπορεί να χωρέσει στο μυαλό μου μια τέτοια επί-

δειξη απερισκεψίας εκ μέρους εκείνων που έχουν στη συνείδηση τους το θάνατο του

Άμπελ. Όσο για μένα, που είμαι εντελώς ασήμαντος σε σύγκριση μ' εκείνον τον

έξοχο μαθηματικό, αρκεί να πω ότι η θεωρία μου για τις εξισώσεις κατατέθηκε σε

χειρόγραφο στην Ακαδημία Επιστημών τον Φεβρουάριο του 1830, ότι αποσπά-

σματα της είχαν ήδη σταλεί το 1829, ότι δεν έγινε καμιά αναφορά σ' αυτήν και ότι

κατέστη αδύνατον να βρεθεί το χειρόγραφο.

Γκαλουά, αδημοσίευτος πρόλογος, 1832

< Κύκλος όριο /ντου Μ.ΚΈσερ(1898-1972). Καλλιτεχνική αναπα-ράσταση της υπερβολικής γεωμε-τρίας, μιας δισδιάστατης μη ευκλεί-δειας γεωμετρίας που προτάθηκεαπό τον Φέλιξ Κλαιν (1849-1925) ωςεναλλακτική λύση για την ψευδο-σφαίρα του Ευγένιου Μπελτράμι. Σ'αυτή τη γεωμετρία, το άθροισματων γωνιών ενός τριγώνου είναιμικρότερο από 180° και το αξίωματων παραλλήλων του Ευκλείδη δενισχύει.

Δεν πρέπει να επιχειρήσεις αυτή την προσέγγιση των παραλ-

λήλων. Αυτό τον δρόμο τον ξέρω καλά μέχρι το τέλος του. Διέ-

σχισα αυτή την απύθμενη νύχτα που έσβησε κάθε φως και χαρά

απ' τη ζωή μου. Σε ικετεύω, άφησε ήσυχη την επιστήμη των

παραλλήλων... Νόμιζα ότι θυσίαζα τον εαυτό μου εν ονόματι της

αλήθειας. Ήμουν έτοιμος να γίνω ο μάρτυρας που θα αφαιρούσε

το προπατορικό αμάρτημα της γεωμετρίας και θα την απέδιδε

καθαρή στην ανθρωπότητα. Πέρασα τερατώδεις και απίστευτες

ταλαιπωρίες· τα ευρήματα μου είναι πολύ καλύτερα από εκείνα

πολλών άλλων, αλλά δεν έχω ακόμα ικανοποιηθεί απολύτως...

Αποτραβήχτηκα απαρηγόρητος, οικτίροντας τον εαυτό μου και

την ανθρωπότητα.

Γράμμα από τον Βόλφγκανγκ στο γιο του, Πάνος Μπόλυαϊ

Από τότε που εμφανίστηκαν τα Ιτοίχεία του Ευκλείδη τον 3ο αι. π.Χ. όλοι πίστευαν ότι η, ευκλείδεια γεωμετρία (κεφ.4) ήταντο τελειότερο μαθηματικό σύστημα που είχε εμφανιστείποτέ. Βασισμένο στις πιο απλές υποθέσεις, καταφέρνει να δομήσει ένα θεαματικό οικοδό-μημα μαθηματικών θεωρημάτων. Η ευκλείδεια γεωμετρία ήταντο αρχετυπικό αξιωματικόσυμπερασματικό σύστημα. Ωστόσο, αυτός ο ναός της γεωμετρίας είχε ένα μικρό ψεγάδι,κάτι σαν φαγούρα που δεν άφηνε τους μαθηματικούς να ησυχάσουν. Το διαβόητο σήμερα5ο αίτημα του Ευκλείδη δηλώνει ότι «Εάν μια ευθεία που τέμνει δύο ευθείες, δημιουργείεντός και επίτα αυτά γωνίες με άθροισμα λιγότερο από δύο ορθές, τότε αυτές οι δύοευθείες, αν προεκταθούν προς την πλευρά αυτών των γωνιών, κάποτε θα συναντηθούν»(Και έαν εις δύο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύοορθών έλάσσονας ποιή, έκβαλλομένας τας δύο ευθείας έπ' άπειρον συμπίπτειν, εφ' α μέρηείσίν αί των δύο ορθών ελάσσονες). Γνωστό ως το αξίωμα των παραλλήλων, δηλώνει μεαπλά λόγια ότι εάν δύο γραμμές δεν είναι παράλληλες, τότε κάπου τέμνονται. Όλοι συμφω-νούσαν ότι η πρόταση αυτή ήταν μεν αληθινή, αλλά φαινόταν υπερβολικά πολύπλοκη γιανα μπορεί κανείς να την κατατάξει στα αιτήματα, στις θεμελιώδεις δηλαδή αρχές, στιςοποίες εδράζονται τα Στοιχεία. Έγιναν λοιπόν αρχικά πολλές προσπάθειες να αποδειχθείότι η πρόταση αυτή ήταν θεώρημα και ότι μπορούσε να συναχθεί από άλλα αξιώματα. Πολ-λοί νόμισαν κατά καιρούς ότι είχαν καταφέρει να το αποδείξουν, αλλά η προσεκτική ανά-λυση των αποδείξεων αυτών έδειχνε πάντα ότι οι νέες υποθέσεις στις οποίες στηρίζονταν,δεν ήταν στην ουσία παρά επαναδιατυπώσεις του 5ου αιτήματος. Η αντικατάσταση τουαπό κάτι προφανέστερο αποδεικνυόταν δύσκολη επιχείρηση.

Οι μαθηματικοί συνέχισαν παρ' όλα αυτά να ερευνούν το 5ο αξίωμα, ιδιαίτερα ο αλ-Χαγιάμ τον 11 ο αι. και ο Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τούσι τον 13ο, που η λατινική μετάφραση των

έργωντους ενέπνευσε τον Ιησουίτη μαθηματικό Τζι-ρολάμο Σακέρι (1667-1733). Λίγο πριν πεθάνει οΣακέρι έβγαλε ένα βιβλίο με τίτλο Euclides ab omninaevo vindicatus (Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος απόλάθη), στο οποίο προσπαθούσε να αποδείξει τοαίτημα των παραλλήλων με τη μέθοδο της εις άτο-πον απαγωγής. Κατασκεύασε αυτό που σήμεραείναι γνωστό ως «τετράπλευρο του Σακέρι» με δυοζευγάρια «παράλληλων» ευθειών και τρεις διαφορε-τικές υποθέσεις ως προς το άθροισμα των εσωτερι-κών γωνιών του τετραπλεύρου: ότι δηλαδή τοάθροισμα τους ήταν ή μικρότερο ή ίσο ή μεγαλύ-τερο από τέσσερις ορθές γωνίες ή 360°. Εάν μπο-ρούσε να αποδείξει ότι η πρώτη και η τρίτη υπόθεσηκατέληγαν σε λογική ανακολουθία, τότε θα είχεαποδείξει ότι η μεσαία υπόθεση, η οποία ήταν ισο-

δύναμη με το αξίωμα των παραλλήλων, ήταν η μόνη συνεπής με τον εαυτό της γεωμετρία.Ο Σακέρι εύκολα απέρριψε την τρίτη υπόθεση, καθώς οδηγούσε σε λογικές αντιφά-

σεις. Ωστόσο, η πρώτη υπόθεση δεν οδηγούσε σε λογικά προβλήματα. Στην πραγματι-κότητα μάλιστα, με βάση αυτό το νέο αξίωμα, ο Σακέρι άρχισε να αποδεικνύει το ένα

θεώρημα μετά το άλλο. Διαπίστωσε ότι μπροστά στα μάτια του είχε αρχίσει να χτίζεται η* πρώτη μη ευκλείδεια γεωμετρία - όμως εκείνος αρνιόταν να το πιστέψει. Ας μην ξεχνάμε

ότι σκοπός του ήταν να αναιρέσει την εγκυρότητα αυτής της υπόθεσης και όχι να κατα-σκευάσει μια καινούργια γεωμετρία. Σ' αυτό το σημείο αποφάσισε να θυμηθεί τηνεκκλησιαστική του παιδεία, οπότε απέρριψε αυτή τη νέα γεωμετρία με θεολογικά επιχει-

ρήματα. Οι μαθηματικοί του μέλλοντος θα ήταν

Δεν έχω ακόμα κάνει την ανακάλυψη, αλλά ο δρόμος λιγότερο δύσπιστοι από κείνον.

που ακολουθώ οδηγεί σχεδόν με ασφάλεια στο στόχο, αν Αυτή Π Mavfa μετο 5ο °#wMa είΧε βαθύτερη

βέβαια ένας τέτοιος στόχος είναι εφικτός. Δεν τον έχω έννοια·που Π1ίΥαινε πολύ πι° πεΡα απότΊ λ°ΥιΚΙίαγγίξει ακόμα, αλλά έχω βρει πράγματα τόσο εκπλη- ^θαρότητα. Αυτό που διακυβευόταν εδώ ήταν η

,'Γ. , , φυσητουιδιουτουχωρου.Ηευκλειδειαγεωμετριακτικα, που με έχουν αφήσει ενεο. fe) a ήταν κρίμα να ^ ,

n , ,, Γ r η * / «. δεν ήτανμονο ένα συνεκτικό και αυστηρό μάθημα-χαθούν όλα αυτά, όπως θα παραδεχτείς και ο ίδιος, αγά- ^ σύστημα ήτανοτρόπος μετονοποίο ήταν

πητε μου πατερά, όταν τα δεις. Το μονό που μπορώ να δομημένος ο ίδιος ο χώρος - η συντομότερη δια-πω τώρα είναι ότι δημιούργησα έναν καινούργιο και δια- δρομή μεταξύ δύο σημείων ήταν μια ευθεία γραμμή,

φορετικό κόσμο απ' το^τίποτα. Όσα σου έχω στείλει ως όχι μόνο στη θεωρία αλλά και στην πράξη. Ωστόσοτώρα δεν είναι παρά ένας χάρτινος πύργος μπροστά σ' όμως, υπήρχε ήδη μια γνωστή γεωμετρία, στην

αυτό το κάστρο. οποία ακόμα και αυτό δεν ήταν σωστό, η κλασική

Γράμμα από τον Πάνος στον πατέρα του Βόλφγκανγκ σφαιρική γεωμετρία. Η συντομότερη διαδρομήμεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια μιας σφαίρας

είναι το μικρότερο τόξο του μέγιστου κύκλου που ενώνει αυτά τα δύο σημεία. Επίσης τοάθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου πάνω σε μία σφαίρα είναι μεγαλύτερο από180°. Οπότε προς τι όλη αυτή η φασαρία; Η ουσία ήταν η διάκριση μεταξύ εγγενών καιεξωγενών ιδιοτήτων μιας γεωμετρίας. Εξωγενείς ιδιότητες είναι αυτές οι οποίες μπορούννα συναχθούν απ' έξω απ' το σύστημα· εγγενείς είναι αυτές οι οποίες συνάγονται εσωτε-ρικά. Π.χ., οι κανόνες της σφαιρικής γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν μέσω της παρα-τήρησης μιας σφαίρας απ' έξω, όπως όταν κρατάμε μία σφαίρα στο χέρι μας, αλλά πώςμπορούμε να πούμε από καθαρά γεωμετρική άποψη, εάν ζούμε πάνω σε μια σφαίρα ή όχι;Μπορούμε να πούμε γεωμετρικά εάν ζούμε σε επίπεδη γη ή σε σφαιρική; Ή, για να τοπούμε αλλιώς, υπάρχουν εγγενείς ιδιότητες οι οποίες να είναι διαφορετικές για το επί-πεδο απ' ό,τι είναι για τη σφαίρα; Αυτές οι σχετικά απλές έννοιες είναι σημαντικές, ότανθέλουμε να καταλάβουμε την πραγματική φύση του τρισδιάστατου χώρου, όπου έχουμεπρόσβαση μόνο σε εγγενείς ιδιότητες.

Ο Γιόχαν ΧάινριχΛάμπερτ (1728-77) έφτασε πολύ κοντά σε ένα πλήρες μη ευκλεί-δειο σύστημα. Στο βιβλίο του Θεωρία παράλληλων γραμμών (1766) χρησιμοποίησε μιαμέθοδο παρόμοια με του Σακέρι για να δείξει ότι τα τρία σενάρια αντιστοιχούσαν στηδυνατότητα ύπαρξης ενός τριγώνου, του οποίου οι γωνίες να είναι μικρότερες, ίσες ήμεγαλύτερες από 180°. Απέδειξε επίσης, ότι η σφαιρική γεωμετρία εμπίπτει στηντρίτηπερίπτωση και υπέθεσε ότι η πρώτη περίπτωση πρέπει να αντιστοιχεί στη γεωμετρίαμίας σφαίρας με φανταστική ακτίνα. Αντικαθιστώντας την πραγματική ακτίνα με μίαφανταστική έφτασε σε θεωρήματα και τύπους, τα οποία αργότερα ονομάστηκαν υπερ-βολική γεωμετρία, στην οποία τα γνωστά ημχ και συνχ αντικαθίστανται από υπερημχ καιυπερσυνχ. Έτσι, αν και η ιδέα φαίνεται από φυσική άποψη εξωφρενική, η μαθηματική

>· Ταινία Μέμπιους//του Μ.ΚΈσερ

(1898-1972). Η ταινία Μέμπιους ήταν

ένας απ' τους πρώτους εξωτικούς

τοπολογικούς χώρους με μία μοναδική

επιφάνεια φραγμένη από μία μόνο

πλευρά. Δύο ταινίες Μέμπιους μαζί

σχημάτιζαν ένα μπουκάλι Κλαιν (βλ.

σελ. 132)

της έκφραση ήταν απόλυτα ορθή. Οι υποθέσεις του Λάμπερτ, όπως αποκαλύφθηκεαργότερα, δεν απείχαν πολύ απ' την αλήθεια.

Στις αρχές του 19ου αι., όταν όλες οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αξιώματοςείχαν καταλήξει σε αποτυχία, οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να εξετάζουν την πιθανότητανα υπάρχουν και μη ευκλείδειες, συνεπείς με τον εαυτό τους γεωμετρίες. Σ' ένα ακόμακαταπληκτικό σενάριο ταυτόχρονης ανακάλυψης, δύο άγνωστοι έως τότε μαθηματικοίπαίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο.

Ο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι (1793-1856) ήταν γιος ενός χαμηλόβαθμουδημοσίου υπαλλήλου στη Ρωσία ο οποίος πέθανε όταν ο Νικολάι ήταν εφτά χρονών,αφήνοντας μία χήρα και τρεις γιους σε πολύ δύσκολη οικονομική κατάσταση. Μετακομί-ζοντας στο Καζάν, τα παιδιά αρίστευαν στα μαθήματα και ο Νικολάι περισσότερο απ'όλους. Μπήκε στο καινούργιο τότε Πανεπιστήμιο του Καζάν σε ηλικία δεκατεσσάρωνετών, όπου ήρθε σε επαφή με διακεκριμένους καθηγητές, Γερμανούς κυρίως. Σε ηλικίαεικοσιενός ετών ο Λομπατσέφσκι διορίστηκε βοηθός και δύο χρόνια αργότερα τακτικόςκαθηγητής. Καθώς ήταν υπομονετικός, μεθοδικός και εξαιρετικά εργατικός, κέρδισετην εκτίμηση των συναδέλφων του, οι οποίοι τον φόρτωναν με όλωντων ειδών τις άχα-ρες διοικητικές δουλειές. Βρέθηκε έτσι να είναι, εκτός των άλλων, βιβλιοθηκάριος αλλάκαι έφορος του χαώδους μουσείου του πανεπιστημίου. Χωρίς βοηθούς, έκανε όλη τηδουλειά μόνος του, βάζοντας τάξη και στη βιβλιοθήκη και στο μουσείο.

Το 1825 η κυβέρνηση διόρισε επιτέλους έναν επαγγελματία έφορο στο πανεπιστήμιο,ο οποίος χρησιμοποίησε τις πολιτικές του διασυνδέσεις για να προωθήσει τον Λομπα-τσέφσκι στην κορυφή της ιεραρχίας. Το 1827 ονομάστηκε πρύτανης του πανεπιστημίουκαι με τη συνηθισμένη φιλοτιμία του άρχισε να αναδιοργανώνει το προσωπικό, να φιλελευ-θεροποιεί τη διδασκαλία καινά βελτιώνει την υλική υποδομή. Μια σημαντική ενέργεια τουήταν η ίδρυση ενός αστεροσκοπείου. Το πανεπιστήμιο ήταν η ζωή του και το λάτρευε. Το1830, όταν η πόλη του Καζάν χτυπήθηκε από τη χολέρα, ο Λομπατσέφκσι διέταξε όλουςτους φοιτητές, το προσωπικό και τις οικογένειες τους να κλειστούν μέσα στο χώρο τουπανεπιστημίου. Με τους αυστηρούς κανόνες υγιεινής που επέβαλε, κατάφερε να έχειμόνο 16 νεκρούς από τους 660 έγκλειστους. Το 1846, σε αναγνώριση προφανώς τηςακούραστης δουλειάς του για το καλό του Πανεπιστημίου του Καζάν, η κυβέρνηση εντε-λώς ανεξήγητα τον καθαίρεσε από πρύτανη και του αφαίρεσε και την έδρα του καθηγητή.Οι συνάδελφοίτου και οι φίλοι έκαναν έντονες παραστάσεις στις αρχές αλλά μάταια. Ηόραση του είχε τώρα πια αρχίσει να τον εγκαταλείπει, αλλά εκείνος συνέχιζε τις μαθηματι-κές του έρευνες. Την τελευταία του δημοσίευση αναγκάστηκε να την υπαγορεύσει, καθώςήταν πια σχεδόν ολοκληρωτικά τυφλός.

Το 1826 ο Λομπατσέφσκι υπέβαλε την πρώτη του εργασία στο πανεπιστήμιο (στα γαλ-λικά, που τότε ήταν η γλώσσα της εκπαίδευσης), στην οποία προδιέγραψε μερικές απ' τιςιδέες του για τη γεωμετρία αλλά ο Αγγελιαφόρος του Καζάν χρειάστηκε τρία ολόκληραχρόνια για να δημοσιεύσει τις Αρχές γεωμετρίας. Έτσι, η επίσημη χρονολογία γέννησηςτης μη ευκλείδειας γεωμετρίας, τουλάχιστον στη μορφή που την παρουσίασε ο Λομπα-τσέφσκι, είναι το 1829. Στην εργασία του δήλωνε ότι το 5ο αίτημα δεν μπορούσε να αποδει-χθεί και κατασκεύαζε μια καινούργια γεωμετρία αντικαθιστώντας το αίτημα αυτό με έναάλλο. Υιοθέτησε στο σύνολο του αυτό που ο Σακέρι και ο Λάμπερτ είχαν μόνο υποπτευθεί

και κατασκεύασε μια γεωμετρία, το ίδιο αυστηρή και λογική όσο και ηευκλείδεια. Ακόμα και για τον ίδιο τον Λομπατσέφσκι, μερικά απ' τα θεω-

ρήματα στα οποία κατέληξε έμοιαζαν αντίθετα με την κοινή άποψη περίχώρου γι αυτό και ονόμασε την ανακάλυψη του «φανταστική γεωμε-

τρία». Όμως δεν είχε καμία αμφιβολία για τη σημασία της εργασίαςτου. Ανάμεσα στο 1835 και στο 1838 εκδόθηκε στα ρωσικά το βιβλίο

του Λ/έες βάσεις της γεωμετρίας και το 1840 το Γεωμετρικές έρευνεςπάνω στη θεωρία των παραλλήλων στα γερμανικά. Με βάση αυτό τοβιβλίο, ο Γκάους σύστησε τον Λομπατσέφσκι στην ΕπιστημονικήΕταιρεία του Γκαίτινγκεν, μέλος της οποίας έγινε το 1842. Ωστόσο, ο

Γκάους αρνήθηκε να υποστηρίξει επίσημα την εργασία του Λομπα-

τσέφσκι, συμβάλλοντας έτσι στην αργή διάδοση στη μαθηματική κοι-νότητα αυτών των επαναστατικών ιδεών. Αυτό για τον Λομπατσέφσκι

ήταν μεγάλη απογοήτευση, ιδιαίτερα τώρα που είχε απολυθεί από το

πανεπιστήμιο και ένιωθε ότι επρόκειτο να τυφλωθεί. Το 1855 το τελευ-ταίο του βιβλίο, Η πανγεωμετρια εκδόθηκε ταυτόχρονα στα γαλλικά καιστα ρωσικά. Ο Λομπατσέφσκι, «ο Κοπέρνικος της γεωμετρίας», πέθανε

την επόμενη χρονιά. Η φυσική ερμηνεία της μη ευκλείδειας γεωμετρίας

έγινε από τον Ευγένιο Μπελτράμι (1835-1900) που απέδειξε ότι η επιφά-νεια της ψευδοσφαίρας ικανοποιούσε τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι αλλάκαι την προγενέστερη εργασία του Λάμπερτ.

Το καινούργιο αίτημα του Λομπατσέφσκι μπορεί να εξηγηθεί ως εξής.Ας φανταστούμε μία ευθεία γραμμή που προεκτείνεται επ' άπειρον και ας

πάρουμε ένα σημείο στο χώρο που να μη βρίσκεται πάνω σ' αυτή τηγραμμή. Το αίτημα του Ευκλείδη λέει ότι απ' αυτό το σημείο μπορεί να

αχθεί μία και μόνο γραμμή, η οποία να είναι παράλληλη με την πρώτη.Ο Λομπατσέφσκι λέει ότι από αυτό το σημείο μπορούν να αχθούν πολ-

λές γραμμές και όλες αυτές να είναι παράλληλες προς την αρχική, με

την έννοια ότι δεν συναντιούνται μαζί της πουθενά. Εάν εκφράσουμεαυτή την ιδέα με μαθηματικούς όρους, καταλήγουμε σε μία περίεργη

μεν αλλά εντελώς λογική και συνεκτική γεωμετρία. Στην πραγματικό-τητα, υπάρχουν άπειρες τέτοιες γεωμετρίες, που η καθεμιά τουςεξαρτάται από τη «γωνία του παραλληλισμού».

Η απροθυμία του Γκάους να προωθήσει την εργασία του Λομπα-τσέφσκι μπορεί να αποδοθεί στην επιθυμία του να κρατήσει ίσες απο-

στάσεις από τον Λομπατσέφσκι και απ' το φίλο του Φάρκας Μπό-

λυαϊ, του οποίου ο γιος Πάνος (1802-60) είχε αναπτύξει, παράλληλαμε τον Λομπατσέφσκι, μία μη ευκλείδεια γεωμετρία. Ο Φάρκας ήταν

καθηγητής μαθηματικών σ' ένα χωριό στην Ουγγαρία (που τώρα βρί-

σκεται στη Ρουμανία) και είχε παθιαστεί με τη ν προσπάθεια να αποδεί-

ξει το 5ο αίτημα. Όταν συνέχισε ο γιος του το έργο αυτό, θεώρησε ότιματαιοπονεί και του έγραψε λέγοντας «για τ' όνομα του θεού, σε ικετεύω,

παράτα τα. Αυτό το πάθος είναι χειρότερο κι απ' το πάθος του αισθησιασμού, γιατί μπορεί

Α Η επιφάνεια Ρήμαν της συνάρ-τησης (ζ2-1)"4. Για να πάρουμε μιαιδέα της επιφάνειας του Ρήμαν, σεένα μιγαδικό επίπεδο δύο διαστά-σεων ο αριθμός i=V-1 μπορεί ναερμηνευθεί ως μία αριστερή στροφή90°. Τέσσερις τέτοιες στροφές τουσημείου (1,0) το έφερναν πίσω εκείπου ξεκίνησε, δηλαδή ί4 = 1, όμως οΡήμαν προσπάθησε να διακρίνειαυτά τα δύο δημιουργώντας πολλα-πλά επισωρευμένα σαν θημωνιά,μιγαδικά επίπεδα τα οποία συνδέο-νται δημιουργώντας ένα σχήμα σανανοιχτήρι μπουκαλιών.

να σου στερήσει το χρόνο σου, την υγεία σου, την ψυχική σου ηρεμία και την ευτυχία σου».

Ο Γιάνος δεν πείστηκε απ' αυτές τις αποστροφές, αλλά συνέχισε απτόητος τις έρευνες

του, για να φτάσει το 1829 στα ίδια σχεδόν συμπεράσματα με τον Λομπατσέφσκι.

Ο Μπόλυαϊ ανέπτυξε αυτό που ονόμαζε ο ίδιος την «απόλυτη επιστήμη του χώρου»

πάνω στις ίδιες αρχές με τον Λομπατσέφσκι. Ο πατέρας του δημοσίευσε αυτή την εργα-

σία σαν παράρτημα σε μία δική του πραγματεία. Το έργο έχει χρονολογία 1829, την ίδια

με το άρθρο του Λομπατσέφσκι, αλλά δεν τυπώθηκε παρά μόνο το 1832. Στριμωγμένο

κάπου στο τέλος ενός παλαιομοδίτικου βιβλίου, μπορεί να είχε μείνει εντελώς άγνωστο,

εάν ο Φάρκας δεν ήταν φίλος του Γκάους, στον οποίο έστειλε ένα αντίγραφο. Η αντί-

δραση του Γκάους ήταν να εκφράσει στεγνά την επιδοκιμασία του, αλλά να αρνηθεί τη

δημόσια στήριξη του, δηλώνοντας ότι εάν επαινούσε την εργασία αυτή, θα ήταν σαν να

επαινεί τον εαυτό του, δεδομένου ότι είχε και ο ίδιος τις ίδιες απόψεις από χρόνια. Ο Γιά-

νος στενοχωρήθηκε σφοδρά απ' αυτή την απάντηση φοβούμενος ότι θα του έκλεβαν τις

ιδέες και αρνήθηκε να δημοσιεύσει οτιδήποτε άλλο.

Η απροθυμία του Γκάους να αναγνωρίσει το έργο των Λομπατσέφσκι και Μπόλυαϊ

μοιάζει να πηγάζει από καθαρή παραξενιά. Ναι, ο Γκάους είχε ασφαλώς σκεφτεί αυτά τα

προβλήματα, αλλά δεν υπάρχει κανένα στοιχείο που να μας λέει ότι είχε εξερευνήσει

όλες τις πτυχές μιας μη ευκλείδειας γεωμετρίας. Η βοήθεια ενός τόσο καταξιωμένου

V Επιφάνεια Ρήμαν της συνάρτη-σης (ζ4)""4, όπου ζ μιγαδικός. Η διά-λεξη που έδωσε ο Ρήμαν το 1854έδωσε νέες και ευρύτερες προοπτι-κές για το αντικείμενο της γεωμε-τρίας, αποκαλούμενος γι' αυτό«νέος Ευκλείδης».

προσώπου θα μπορούσε κάλλιστα να έχει σώσει την καριέρα του Μπόλυαϊ και την υγεία

του Λομπατσέφσκι. Ο ίδιος ο Γκάους είχε προσεγγίσει το θέμα από μία εντελώς διαφο-

ρετική σκοπιά. Κοιτώντας τις γραμμές μιας επιφάνειας, κατέληξε στο θεώρημα ότι η

«καμπυλότητα» μιας επιφάνειας είχε να κάνει με τη χρησιμοποιούμενη μετρική (δηλαδή

με τη μαθηματική έκφραση που επρόκειτο να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει την από-

σταση μεταξύ δύο σημείων). Ο Γκάους απέδειξε ότι η καμπυλότητα ήταν ανεξάρτητη

απ' το χώρο στον οποίο υπήρχε η επιφάνεια· ήταν μία εγγενής ιδιότητα που σχετιζόταν

με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου σε μια τέτοια επιφάνεια. Στη συγκεκριμένη

περίπτωση, οι ομοιότητες με τη μη ευκλείδεια γεωμετρία είναι εμφανείς.

Δύο χιλιάδες χρόνια προσπαθειών απόδειξης του 5ου αιτήματος κατέληξαν τελικά

στην ολική κατάρρευση του συστήματος. Η ειρωνεία του θέματος είναι ότι η ανακάλυψη

γεωμετριών, στις οποίες το αίτημα των παραλλήλων του Ευκλείδη δεν ισχύει, δικαίωνε τον

Ευκλείδη, που το συμπεριέλαβε ως αναγκαίο αξίωμα σε πείσμα της εμφανούς πολυπλοκό-

τητας του. Η ευκλείδεια γεωμετρία παρέμενε λογικά συνεπής με τον εαυτό της, ήταν

όμως μία από τις πολλές δυνατές γεωμετρίες, και δεν ήταν καθόλου προφανές ότι ήταν η

κατεξοχήν γεωμετρία του χώρου. Η αυξανόμενη συνειδητοποίηση των εγγενών ιδιοτήτων

του χώρου γινόταν όλο και πιο σημαντική ως μέθοδος έρευνας της πραγμα-

τικής γεωμετρίας του χώρου, καθώς δεν υπήρχε κανένας τρόπος να εξε-

ρευνήσουμε αυτή τη γεωμετρία εξωγενώς! Και δεν ήταν καθόλου απί-

θανο να μεταβαλλόταν η γεωμετρία σε ένα χώρο αντιπαράθεσης και

επίδειξης παραδοξοτήτων, αν δεν εμφανιζόταν ένας μαθημα-

τικός, που όρισε τη γεωμετρία με έναν εντελώς και-

νούργιο τρόπο.

Ο Μπέρνχαρτ Ρήμαν (1826-66), γιος

πάστορα, πέρασε στην ανέχεια τα παιδικά

του χρόνια, αλλά εξασφάλισε καλές σπου-

δές στο Βερολίνο και στο Γκαίτινγκεν,

όπου το 1854 έγινε βοηθός καθηγητή.

Για να καταλάβει αυτή τη θέση,

έπρεπε να κάνει μια διάλεξη επί διδα-

κτορία. (Habilitationsschrift). Αυτή ήταν

η πιο εντυπωσιακή διάλεξη που έχει

γίνει ποτέ στην ιστορία των μαθηματι-

κών. Η διατριβή, με τίτλο «Περίτων

υποθέσεων πάνω στις οποίες θεμελιώ-

νεται η γεωμετρία» περιέγραφε με τους

ευρύτερους δυνατούς όρους τι συνιστά

την γεωμετρία ως αντικείμενο. Αυτή η

αντίληψη απείχε παρασάγγας από τον

κανόνα και το διαβήτη του Ευκλείδη. Ο Ρήμαν

όριζε τη γεωμετρία ως τη μελέτη των πολλαπλο-

τήτων - φραγμένων ή μη χώρων οσωνδήποτε δια-

στάσεων (ακόμη και άπειρων), μαζί με ένα σύστημα συντε-

Α Ετρουσκική Αφροδίτη: κόκκινο(1986, NCSA) Εικόνα τρισδιάστατηςπροβολής μιας επιφάνειας τεσσάρωνδιαστάσεων. Τοπολογικά αντίστοιχημε το μπουκάλι του Κλαιν, αυτό τοεκπληκτικό σχήμα ονομάστηκε έτσιλόγω της προφανούς ομοιότητας τουμε γυναικεία φιγούρα.

V Γυάλινο μπουκάλι Κλαιν, με μίαμόνο επιφάνεια και κανένα σύνορο -αυτό είναι πολύ δύσκολο να αναπαρα-σταθεί τρισδιάστατο, όμως μπορείκανείς να τη διασχίσει εκεί όπου η επι-φάνεια κόβει τον εαυτό της.

ταγμένων και μία μετρική για τον ορισμό της βραχύτερης απόστασης μεταξύ δύο σημείων.Στην τρισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία η μετρική παριστάνεται απ' τον τύποds2=ay+dy2+dz2,TO διαφορικό αντίστοιχο του πυθαγόρειου θεωρήματος. Αυτές οι πολλα-πλότητες είναι ο ίδιος ο χώρος, χωρίς εξωτερικό σύστημα αναφοράς. Η καμπυλότητα τουχώρου οριζόταν έτσι απολύτως ως συνάρτηση εγγενών ιδιοτήτων των πολλαπλοτήτων σεοποιοδήποτε είδος χώρου. Για τον Ρήμαν, αντικείμενο της γεωμετρίας ήταν η μελέτη συνό-λων διατεταγμένων νυάδων και των κανόνων διάταξης τους1 οι ιδέες του για τον χώρο ήταντόσο γενικές ώστε να μοιάζουν μη χωρικές και οποιαδήποτε σχέση μεταξύ μεταβλητών ναμπορεί να θεωρηθεί ως «χώρος». Εάν ένα σύστημα δεν είναι εφοδιασμένο με μετρική, τότεβρισκόμαστε σ' έναν κλάδο των μαθηματικών που είναι γνωστός ως τοπολογία, η οποίαμελετά τον τρόπο, με τον οποίο οι περιοχές του χώρου συνδέονται μεταξύ τους.

Ο Ρήμαν είχε εφεύρει εργαλεία, τα οποία τώρα βρίσκονται στην εργαλειοθήκη όλωντων μαθηματικών. Δεν είναι να εκπλήσσεται κανείς που στη συγκεκριμένη περίπτωσηακόμα κι αυτός ο φειδωλός Γκάους εκφράστηκε με ενθουσιώδη λόγια για τη δουλειάκάποιου άλλου. Μέσα σ' αυτή τη γενικευμένη γεωμετρία του Ρήμαν, η ευκλείδεια γεωμε-τρία δεν είναι παρά το διάστημα που ορίζεται από σταθερή καμπυλότητα Ο' η γεωμετρίατου Λομπατσέφσκι έχει καμπυλότητα -1 και η σφαιρική γεωμετρία καμπυλότητα +1. Ανκαι ο Ρήμαν μπορούσε να θεωρηθεί ο νέος Ευκλείδης, το όνομα του συνδέθηκε με μίαπολύ συγκεκριμένη γεωμετρία, εκείνη της ερμηνείας του επιπέδου ως απεικόνισης μιαςσφαίρας.

Ο Ρήμαν ασχολήθηκε αργότερα και με τη θεωρητική φυσική, όπου η γενική μελέτητων καμπυλόγραμμων μετρικών χώρων άνοιξε το δρόμο για τη Γενική Σχετικότητα. Οχώρος στον οποίο ζούμε δεν ήταν πια ευκλείδειος και τώρα είχαμε τα μαθηματικά εργα-λεία για να εξερευνήσουμε την πραγματική γεωμετρία του σύμπαντος.

Σ τη γεωμετρία βρίσκω ορισμένες ατέλειες που θεωρώ ότι ευθύνονται για το ότι αυτή η

επιστήμη, αν εξαιρέσουμε τη μετάβαση της στην ανάλυση, δεν έχει κάνει καμιά πρόοδο

από τότε που μας παραδόθηκε απ' τον Ευκλείδη. Σ' αυτές τις ατέλειες θεωρώ ότι

κατατάσσεται η ασάφεια στις βασικές έννοιες των γεωμετρικών μεγεθών και στον

τρόπο παρουσίασης της μέτρησης αυτών των μεγεθών και τελικά το τεράστιο κενό

στη θεωρία των παραλλήλων, που όλες οι μέχρι τώρα προσπάθειες των επιστημό-

νων δεν κατάφεραν να γεφυρώσουν.

Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι, Η θεωρία των παραλλήλων, 1840

< Αναπαράσταση με πίνακες τωνκουατερνίων του Χάμιλτον, ταοποία έπαιξαν σημαντικό ρόλο στηθεωρία του ηλεκτρομαγνητισμούκαι της κβαντομηχανικής.

Είδαμε στο κεφ. 11 πώς η άλγεβρα απελευθερώθηκε από τα διαοτατικά δεσμά της γεωμε-ι τρίας και πώς, από τον Ντεκάρτ και μετά, τα σύμβολα της άλγεβρας -τα γνωστά μας χ και

y- μπορούσαν να αναπαραστήσουν οποιαδήποτε αριθμητική τιμή και να συνδυαστούν μεοποιονδήποτε τρόπο ήταν σύμφωνος με τους κανόνες της αριθμητικής. Σ' αυτό το κεφά-λαιο θα δούμε την εξέλιξη της άλγεβρας όταν οι Βρετανοί δέχθηκαν και επέκτειναν τιςμεθόδους που είχαν αναπτυχθεί στην ηπειρωτική Ευρώπη. Βασικό της χαρακτηριστικόήταν η μεγάλη ανάπτυξη διαφορετικών αλγεβρικών διαλέκτων που οδήγησαν τελικά σεμία ριζική επανεκτίμηση του ίδιου του αντικειμένου των μαθηματικών.

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΓΙΑ ΟΠΟΙΟΝΔΗΠΟΤΕ ΑΡΙΘΜΟ Χ, Υ ΚΑΙ Ζ.

x+y=y+x η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική - το άθροισμα δύο αριθμώνείναι ανεξάρτητο από τη σειρά με την οποία προστίθενται

xy=y-x ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικόςχ+0=χ η πρόσθεση έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, το μηδέν,

το οποίο αφήνει κάθε αριθμό αμετάβλητοχ·1 =χ ο πολλαπλασιασμός έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, τη μονάδα,

η οποία αφήνει όλους τους αριθμούς αμετάβλητουςx-fy+z) =xy+x-z ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση

Η ανάλυση στη Βρετανία είχε μείνει πίσω σε σχέση με την υπόλοιπη Ευρώπη. Ο λόγος γι'αυτό ήταν η σημειογραφία των ροών του Νεύτωνα και η μειονεκτικότητά της ως προς τοσυμβολισμό του Λάιμπνιτς, dy/dx. Η αλλαγή πλεύσης των Βρετανών, αν και αρχικά αντιμε-τωπίστηκε με επιφυλακτικότητα, έδωσε μερικά εξαιρετικά και σημαντικά αποτελέσματα.Το 1817, όταν ο Τζωρτζ Πήκοκ (1791 -1858) ορίστηκε εξεταστής στις πτυχιακές του Καί-μπριτζ η διαφορική σημειογραφία τελικά αντικατέστησε οριστικά τα σύμβολα του Νεύ-τωνα. Όπως είπε ο Τσαρλς Μπάμπιτζ, σκοπός της Αναλυτικής Εταιρείας, που ιδρύθηκε το1813 ήταν να προωθήσει «τις αρχές του καθαρού d-ισμού απέναντι σ' αυτές που εκφράζειη αρτηριοσκλήρωση του πανεπιστημίου που είχε μείνει στην dot-age του Νεύτωνα (βλ.κεφ. 13)»· ένας άλλος σκοπός της εταιρείας ήταν «να κάνει τον κόσμο σοφότερο απ' ό,τιτον βρήκαμε». Στο βιβλίο του Πραγματεία περί άλγεβρας (1830), ο Πήκοκ έκανε προσπά-θεια να θεμελιώσει την άλγεβρα ως «αποδεικτική επιστήμη». Το πρώτο βήμα ήταν ο διαχω-ρισμός της αριθμητικής άλγεβρας από τη συμβολική άλγεβρα: τα στοιχεία της αριθμητι-κής άλγεβρας ήταν οι αριθμοί και οι αριθμητικές πράξεις, ενώ η συμβολική άλγεβρα ήταν«μία επιστήμη, η οποία εξετάζει τους συνδυασμούς συμβόλων και σημείων μόνο σύμφωναμε ορισμένους νόμους, οι οποίοι είναι εντελώς ανεξάρτητοι από τις συγκεκριμένες τιμέςπου έχουν τα ίδια τα σύμβολα». Αυτή η φαινομενικά ασαφής δήλωση άνοιξε το δρόμο γιατην αλγεβρική έρευνα γενικά.

Υπερνικώντας πάρα πολλές δυσκολίες και επιδεικνύοντας εξαιρετική ευφυΐα, έναςάγνωστος μέχρι τότε δάσκαλος του δημοτικού από το Λίνκολν, ο Τζωρτζ Μπουλ (1815-64), έγραψε αυτό που σήμερα θεωρείται το πρώτο έργο μαθηματικής λογικής. Ο Μπουλείχε γίνει φίλος με τον Αύγουστο Ντε Μόργκαν, τον οποίο υποστήριξε σε μία αντιπαρά-θεση που είχε με τον Σκωτσέζο φιλόσοφο Σερ Γουίλιαμ Χάμιλτον (1788-1856) για ζητή-ματα λογικής. Αυτός ο Χάμιλτον δεν έχει καμία σχέση με τον Ιρλανδό Σερ Γουίλιαμ

καταλαβαίνει εντελώς τις συνέπειες των προτάσεων του: έχοντας διαπιστώσει την ομοι-ότητα μεταξύ της μονής και της διπλής άλγεβρας, πίστευε ότι δεν ήταν δυνατή ηύπαρξη τριπλής ή τετραπλής. Σ' αυτό θα έκανε πολύ μεγάλο λάθος.

Παρόλο που οι γονείς του είχαν πεθάνει όταν ήταν μικρός, ο Γουίλιαμ ΡόουανΧάμιλτον έδειξε την ευφυΐα του πάρα πολύ νωρίς. Μεγάλο γλωσσικό ταλέντο, ήξερε ναδιαβάζει ελληνικά, εβραϊκά και λατινικά στην ηλικία των πέντε ετών. Μπήκε στο TrinityCollege του Δουβλίνου και όσο ήταν ακόμα προπτυχιακός φοιτητής, στην ηλικία των 22ετών, διορίστηκε βασιλικός αστρονόμος της Ιρλανδίας, διευθυντής του αστεροσκο-πείου του Ντάνσινκ και καθηγητής της αστρονομίας. Ένα από τα αγαπημένα τουθέματα ήταν ότι ο χώρος και ο χρόνος ήταν άρρητα συνδεδεμένοι μεταξύ τους, με τηγεωμετρία να είναι η επιστήμη του χώρου και την άλγεβρα να είναι η επιστήμη του χρό-νου. Το 1 833 παρουσίασε στη Βασιλική Ιρλανδική Ακαδημία την οριστική του θεωρία γιατους μιγαδικούς αριθμούς α+ίβ ως διατεταγμένα ζεύγη (α,/3) με τις κοινές σήμερα γεω-μετρικές ερμηνείες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού:

Μετά, προσπάθησε να επεκτείνει το σύστημα των δισδιάστατων μιγαδικών αριθμών σετρεις διαστάσεις. Εκ πρώτης όψεως αστό φαινόταν αρκετά εύκολο - δεν είχε παρά να ορί-σειζ=α +/β+/ν, με μήκος ίσο προς V^+jS'+y2). Ο ορισμός της πρόσθεσης ήταν αρκετάεύκολος, αλλά ο πολλαπλασιασμός δεν λειτουργούσε: δεν μπορούσε να αντιμετατεθεί.Αυτό το πρόβλημα και οι αριθμοί υψηλότερης τάξης τον απασχόλησαν για δέκα ολόκληραχρόνια. Μετά, στις 16 Οκτωβρίου 1843, καθώς περπατούσε με τη γυναίκα του στο RoyalCanal, του ήρθε μία ξαφνική έμπνευση: να χρησιμοποιήσει τετράδες και όχι τριάδες καινάεγκαταλείψει τον αντιμεταθετικό νόμο. Έτσιη τετράδα είναιζ=α+/β+/ν+/(δ όπουP=f*=ijk=-'\. Αυτό σήμαινε ότι ij=k αλλά ji=-k, οπότε η αντιμεταθετική ιδιότητα είχε χαθεί.Ωστόσο, η κατασκευή αυτή ήταν συνεπής ως προς τον εαυτό της και μια νέα άλγεβρα είχεδημιουργηθεί. Ο Χάμιλτον σταμάτησε σαν κεραυνοβολημένος και χάραξε μ' ένα μαχαίριτον τύπο σε μια πέτρα της γέφυρας Broughton. Εκείνη την ημέρα πληροφόρησε τη Βασι-λική Ιρλανδική Ακαδημία ότι επιθυμούσε να παρουσιάσει μια εργασία σχετικά με τα κουα-τέρνια, όπως ονόμασε τις τετράδες του, στην επόμενη συνεδρίαση.

Η σημασία των παραπάνω δεν έγκειται τόσο στη δημιουργία μιας καινούργιας άλγε-βρας όσο στην ελευθερία που έδωσε στους μαθηματικούς να κατασκευάσουν και άλλεςάλγεβρες. Επίσης, ήταν η πρώτη λεπτομερής θεωρία αυτού που σήμερα ονομάζουμεμη αντιμεταθετικές άλγεβρες. Η μη αντιμεταθετική ιδιότητα σήμαινε ότι στις τρεις δια-στάσεις μία γενική αλληλουχία δύο περιστροφών δίνει διαφορετικά αποτελέσματα, ανά-λογα με τη σειρά με την οποία επιτελείται, αντίθετα απ' ότι συμβαίνει στις δύο διαστά-σεις. Ο Χάμιλτον πέρασε το υπόλοιπο της ζωής του αναπτύσσοντας αυτή τη νέα άλγε-βρα, και δημοσιεύοντας το έργο Δαλέξεις νια τα κουατέρνια το 1853. Μεγάλο μέρος τηςδουλειάς του ήταν αφιερωμένο στις εφαρμογές των κουατερνίων στη γεωμετρία, στηδιαφορική γεωμετρία και στη φυσική. Όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, ο ΤζέημςΚλαρκ Μάξγουελ διατύπωσε τις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του σε κουατερ-

ΠΡΟΤΑΣΗΙ

Όλες οι λειτουργίες της γλώσσας ως οργάνου της λογικής

μπορούν να εκτελεστούν από ένα σύστημα σημείων, το οποίο

αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία:

Ιόν: Κυριολεκτικά σύμβολα όπως x, y κλπ., τα οποία ανα-

παριστούν τα αντικείμενα της αντίληψης μας.

2ον: Σημεία πράξεων όπως τα +, -, Χ, τα οποία αναπαρι-

στούν τις λειτουργίες εκείνες του μυαλού, με τις οποίες οι

έννοιες των πραγμάτων συνδυάζονται ή αναδιατάσσονται για

να σχηματίσουν καινούργιες έννοιες που περιλαμβάνουν τα ίδια

στοιχεία.

3ον: Το σημείο της ισότητας, = .

Και αυτά τα σύμβολα της λογικής υπόκεινται σε συγκεκρι-

μένους νόμους, οι οποίοι εν μέρει συμφωνούν και εν μέρει δια-

φωνούν με τους νόμους των αντίστοιχων συμβόλων της επιστή-

μης της άλγεβρας.

νικό συμβολισμό. Ο Χαμιλτον πίστευε ακράδαντα, σχεδόν παθιασμένα, ότι τα κουατέρ-νια έκρυβαν το μυστικό της πλήρους περιγραφής των νόμων του σύμπαντος. Πέθανε το1865 πριν ολοκληρώσει τα Στοίχεία κουατερνίων, ένα βιβλίο που επιμελήθηκε και εξέ-δωσε ο γιος του αργότερα.

Όχι μόνο απαλλάχθηκε η άλγεβρα από τα δεσμά της γεωμετρίας εκείνη τηνπερίοδο, αλλά και η γεωμετρία απαλλάχτηκε από τις έννοιες του χώρου (κεφ. 16). Ηάλγεβρα και η γεωμετρία αντιμετωπίζονταν όλο και περισσότερο σαν καθαρά αφηρημέ-νες κατασκευές ενώ η οικεία αριθμητική άλγεβρα απ' τη μια μεριά και η δισδιάστατη καιτρισδιάστατη γεωμετρία απ' την άλλη, δεν ήταν παρά μερικές περιπτώσεις.

Σ' αυτό τον τομέα των νέων αλγεβρών βρίσκουμε τα αμερικανικά μαθηματικά νακάνουν την εμφάνιση τους με τους πόνους της γέννας ενός καινούργιου έθνους. ΟΜπέντζαμιν Πηρς (1809-90), καθηγητής μαθηματικών στο Χάρβαρντ και διευθυντής τουΓεωδαιτικού Ινστιτούτου, επηρεάστηκε πολύ απ' την εργασία του Χαμιλτον και την προ-ώθησε ευρύτατα στις Η.ΠΑ Ο Πηρς άρχισε να κατασκευάζει πίνακες για 162 διαφορε-τικές άλγεβρες. Η κάθε άλγεβρα ξεκινούσε με δύο έως έξι στοιχεία, τα οποία μπορού-σαν να συνδυαστούν με δύο πράξεις, με τον πολλαπλασιασμό να έχει την επιμεριστικήιδιότητα ως προς την πρόσθεση. Όλες οι άλγεβρες είχαν ένα μηδενικό ουδέτερο στοι-χείο για την πρόσθεση αλλά όχι κατ' ανάγκη τη μονάδα ως ουδέτερο στοιχείο για τον

πολλαπλασιασμό. Κάθε μία απ' αυτές τις «γραμμι-κές προσεταιρίστηκες άλγεβρες» αναπτυσσόταν σεπίνακα. Παίρνει κανείς μια ιδέα για την οικονομικήκατάσταση των Η. Π .Α. εκείνη τη ν εποχή από τογεγονός ότι ένας καθηγητής του Χάρβαρντ το 1870ήταν αναγκασμένος να εκδώσει το έργο του, πουτο είχε γράψει με το χέρι μια κυρία, σε εκατό μόνολιθογραφικά αντίτυπα. Ο γιος του Μπέντζαμιν, οΤσαρλς Σάντερς Πηρς (1839-1914), συνέχισε τηνεργασία του πατέρα του και απέδειξε ότι μόνο σετρεις από αυτές τις 162 άλγεβρες οριζόταν ηπράξη της διαίρεσης με μοναδικό τρόπο: στηναριθμητική άλγεβρα, στην άλγεβρα των μιγαδικώναριθμών και στην άλγεβρα των κουατερνίων. Πίσωστην Αγγλία, ο Γουίλιαμ Κίνγκντον Κλίφορντ (1845-79) ανέπτυξε αυτό που σήμερα είναι γνωστό με τοόνομα άλγεβρες του Κλίφορντ, ιδιαίτερα τις οκτω-νικές και τις δικουατερνικές άλγεβρες, κυρίως γιανα μελετήσει την κίνηση στον μη ευκλείδειο χώρο.Όλα αυτά απέχουν πάρα πολύ από τη μοναδικήάλγεβρα της αρχής του αιώνα.

Η ιστορία εδώ χωρίζεται σε πολλές παράλλη-λες και αλληλοδιασταυρούμενες διαδρομές. Οιοπαδοί του Μπουλ εφάρμοζαν τα μαθηματικά στηλογική δημιουργώντας έτσι μια άλγεβρα της λογι-

Τζωρτζ Μπουλ, Η διερεύνηση των νόμων της σκέψης, 1854

κής, ενώ ο Τζιουζέπε Πεάνο και αργότερα ο Μπέρτραντ Ράσελ, προσπάθησαν να συνά-γουν τα μαθηματικά από τη λογική, μία απόπειρα που θα μπορούσε να ονομαστεί λογικι-σμός. 'Αλλοι, αναστατωμένοι από την εμφάνιση τόσων πολλών καινούργιων μαθηματι-κών δομών, άρχισαν να αναζητούν τα στέρεα θεμέλια των μαθηματικών - κάτι που θαμπορούσε να στηρίξει το όλο οικοδόμημα. Οι πρακτικές συνέπειες αυτής της αναζήτη-σης θα εξεταστούν στο κεφ. 23.

Ανάμεσα στα ήσσονος σημασίας αλλά εντυπωσιακά χαρακτηριστικά των μαθημα-

τικών είναι η άσαρκη και σκελετική κατασκευή των προτάσεων τους· η ιδιαίτερη

δυσκολία, πολυπλοκότητα και ένταση των λογικών τους προτάσεων η απόλυτη

ακρίβεια των αποτελεσμάτων τους· η καθολικότητα τους· η πρακτική τους αυθε-

ντία. Είναι εύκολο να μιλάει κανείς με ακρίβεια για ένα γενικό θέμα. Ωστόσο, πρέ-

πει κανείς να εγκαταλείψει οποιαδήποτε φιλοδοξία βεβαιότητας. Είναι εξίσου

εύκολο να είσαι βέβαιος. Αρκεί να είσαι επαρκώς ασαφής. Δεν είναι τόσο δύσκολο να

είσαι αρκετά ακριβής και αρκετά βέβαιος ταυτόχρονα για κάποιο πολύ εξειδικευ-

μένο θέμα. Αλλά να ενώσεις, όπως κάνουν τα μαθηματικά, την τέλεια ακρίβεια και

το αλάθητο της πράξης με την χωρίς όρια καθολικότητα, είναι κάτι εξαιρετικά

σημαντικό. Ωστόσο, δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι όλες αυτές οι ιδιότητες των

μαθηματικών είναι αναπόφευκτη συνέπεια του γεγονότος ότι τα μαθηματικά είναι η

μελέτη της υποθετικής αλήθειας.

Τσαρλς Σάντερς Πηρς (1839-1914), Η ουσία των μαθηματικών, περ. 1870

·< Ηλεκτρομαγνητικά δυναμικάπεδία που δείχνουν την αμοιβαίαάπωση μεταξύ δύο ηλεκτροδίωνδιαφορετικού μεγέθους αλλά ίδιαςπολικότητας, από το βιβλίο Πραγ-ματεία ηλεκτρισμού και μαγνητι-σμού (1873) του Τζέημς ΚλαρκΜάξγουελ.

Από τα μέσα του 18ου αι., οι εξελίξεις στον απειροστικό λογισμό συμβάδιζαν με τις προό-

δους στη μαθηματική ανάλυση των φυσικών φαινομένων, και ιδιαίτερα της κίνησης. Τα

θέματα περιλάμβαναν τη θερμοδυναμική, την ουράνια μηχανική, την υδροδυναμική και τις

έρευνες σχετικά με το φως, τον ηλεκτρισμό και το μαγνητισμό. Αυτά όλα αντιμετωπίζονταν

με τη διατύπωση κατάλληλων διαφορικών εξισώσεων, που περιέγραφαν τα φαινόμενα, και

με την ανάπτυξη των απαραίτητων μεθόδων επίλυσης αυτών των εξισώσεων. Η δυσκολία

εύρεσης μοναδικών λύσεων οδήγησε στην ανάπτυξη προσεγγιστικών μεθόδων. Αν και τα

παραπάνω φαινόμενα έμοιαζαν να είναι διαφορετικά ως προς το φυσικό περιεχόμενο, όλα

είχαν κάποια σχέση με το μέσο του χώρου. Από την εποχή των Principia του Νεύτωνα και

μετά μάχονταν πολλά επιχειρήματα σχετικά με την πραγματικότητα της «δράσης εκ του

μακρόθεν» - πώς ήταν δυνατόν π.χ. να επιδρά η βαρύτητα πάνω στα σώματα μέσα από τις

αχανείς αποστάσεις του διαστήματος. Η βαρύτητα και ο μαγνητισμός ήταν άραγε δύο δια-

φορετικές μορφές της ίδιας δύναμης, ή ήταν εντελώς διαφορετικά φαινόμενα; Ίσως το διά-

στημα να ήταν γεμάτο από κάποιο είδος ύλης, γνωστής ως αιθέρα. Αν ήταν όντως έτσι, τι

ήταν αυτός ο αιθέρας και ποιες ήταν οι ιδιότητες του; Για να δώσω μια ιδέα γι' αυτούς τους

πολυσχιδείς προβληματισμούς, θα επικεντρωθώ στην ιστορία της δυναμικής θεωρίας και

στη σχέση της με τον ηλεκτρομαγνητισμό.

Ο απειροστικός λογισμός του Λάιμπνιτς διευρυνόταν για να μπορεί να χειριστεί παρα-

πάνω από μία μεταβλητές, έτσι ώστε παράλληλα με τις καμπύλες y=f (χ) για το επίπεδο, να

μπορούν να μελετηθούν και καμπύλες του τύπου z=f(x,y) για τον χώρο. Αυτό ήταν εφικτό

με την εισαγωγή των μερικών διαφορικών εξισώσεων, στις οποίες η κάθε μεταβλητή μπο-

ρούσε να διαφοριστεί ανεξάρτητα από τις άλλες. Η αλληλεπίδραση σωματιδίων σε κίνηση

μπορούσε να αναπαρασταθεί από διαφορικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις έλπιζαν ότι

θα δώσουν τις διαγραφόμενες τροχιές. Οι αρχικές νευτώνειες λύσεις που έδιναν τις ελλει-

πτικές μορφές των πλανητών είχαν συναχθεί μετά από κάποιες αρκετά χονδροειδείς

απλουστεύσεις, όπως π.χ. την υπόθεση ότι ο ήλιος και οι πλανήτες ήταν σημειακές μάζες

και ότι ο κάθε πλανήτης μπορούσε να μελετηθεί ανεξάρτητα από όλους τους άλλους.

Τώρα που οι αρχικές αντιρρήσεις για το ηλιοκεντρικό μοντέλο και τις μη κυκλικές τροχιές

είχαν πια ξεπεραστεί, μπορούσε να ξεκινήσει η δουλειά που θα έκανε το μοντέλο πιο ακρι-

βές και πιο λεπτομερειακό. Μία τεχνική ήταν η μελέτη των ενεργειακών αλλαγών μέσα σ'

ένα δυναμικό σύστημα. Η δυναμική θεωρία ήταν ο μαθηματικός τρόπος έκφρασης της

φυσικής ιδέας της διατήρησης της ενέργειας.

Η ουράνια μηχανική ένιωσε έντονους κραδασμούς όταν ανακαλύφθηκε ότι οι πλανή-

τες δεν ακολουθούσαν τελικά εντελώς ελλειπτικές τροχιές, αλλά απέκλιναν από την ιδα-

νική τροχιά τους. Στην πραγματικότητα, πλήθαιναν τα στοιχεία που έδειχναν ότι τίποτα

στο ηλιακό σύστημα δεν ακολουθούσε ομαλή τροχιά. Αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη της

θεωρίας των διαταραχών, σύμφωνα με την οποία η τροχιά ενός πλανήτη δεν ήταν αποτέ-

λεσμα μόνο της αλληλεπίδρασης του πλανήτη και του ήλιου αλλά επίσης της αλληλεπί-

δρασης του πλανήτη με όλους τους άλλους πλανήτες. Αυτό έκανε τη μαθηματική ανά-

λυση εξαιρετικά δύσκολη, καθώς τώρα υπήρχαν πάρα πολλές μεταβλητές. Το πρόβλημα

των τριών σωμάτων πήρε κεντρική θέση στον προβληματισμό των επιστημόνων: ακόμα

και για ένα απλοποιημένο σύστημα όπως η Γη, ο Ήλιος και η Σελήνη, δεν υπήρχε ακριβής

λύση. Όμως το 1747, ο Όυλερ επεξεργάστηκε μια καινούργια τεχνική, με την οποία οι

>· Τόμας Ράιτ, Πρωτότυπη θεω-

ρία ή νέες υποθέσεις περί σύμπα-

ντος, βασισμένες στους νόμους της

φύσης, που επιλύει με μαθηματικές

αρχές τα γενικά φαινόμενα της ορα-

τής δημιουργίας και ιδιαίτερα του

Γαλαξία, 1710. Αυτή η εικόνα ανα-

παριστά άπειρα σύμπαντα με το

μάτι της Θείας Πρόνοιας στο

κέντρο του καθενός.

•

αποστάσεις μεταξύ των πλανητών μπορούσαν να βρεθούν κατά προσέγγιση για οποιαδή-

ποτε χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας αναπτύγματα τριγωνομετρικών σειρών.Ο Λέοναρντ Όυλερ (1707-83) είναι ο πολυγραφότερος ίσως μαθηματικός όλων των

εποχών. Στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας βοηθήθηκε κάπως από τον Γιόχαν Μπερνούλι (Η

οικογένεια Μπερνούλι παρήγαγε πολλές γενιές διακεκριμένων μαθηματικών και μπορεί ναθεωρηθεί μια πραγματική μαθηματική δυναστεία). Το 1727 ο Όυλερ έγινε μέλος της Ακα-

δημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης που είχε μόλις ιδρυθεί από την Αικατερίνη τηΜεγάλη. Το 1733 ο Ντανιέλ Μπερνούλι, γιος του Γιόχαν, γύρισε στη Βασιλεία έχοντας

εγκαταλείψει την έδρα των μαθηματικών στην Αγία Πετρούπολη προς όφελος του νεαρού

Όυλερ. Ένα χρόνο αργότερα ο Όυλερ παντρεύτηκε1 έκανε δεκατρία παιδιά, από τα οποίαεπέζησαν μόνο τα πέντε. Αργότερα έγραψε ότι μερικές από τις πιο ιδιοφυείς ανακαλύψεις

του τις έκανε κρατώντας ένα μωρό στην αγκαλιά και έχοντας πολλά άλλα να παίζουν γύρωτου. Όμως η όραση του άρχισε να τον εγκαταλείπει. Το 1740 έγραφε ότι είχε πάψει να βλέ-

πει απ'το δεξί μάτι και το 1771 ήταν πια εντελώς τυφλός. Το 1741 αποδέχτηκε τη ν πρό-σκληση του Φρειδερίκου του Μεγάλου να πάει στο Βερολίνο, όπου μερικά χρόνια αργό-τερα έγινε ο πρώτος διευθυντής μαθηματικών στη νεοϊδρυθείσα Ακαδημία Επιστημών. Ο

Όυλερ επέστρεψε στην Αγία Πετρούπολη το 1766, όπου παρά το οξύ πλέον πρόβληματης όρασης του, έγραψε περισσότερα απ' τα μισά έργα του έχοντας την ανιδιοτελή βοή-θεια πολλών πανεπιστημιακών βοηθών αλλά και μία παροιμιώδη μνήμη.

Τα εργάτου Όυλερ καλύπτουν στην ουσία όλους τους τομείς των μαθηματικών, ακόμακαι πρακτικές δουλειές όπως η χαρτογραφία, η ναυπηγική, η κατασκευή ημερολογίων και η

οικονομία. Όμως η βασική του συνεισφορά στα μαθηματικά -που τον έκανε και διάοημο-ήταν η έκθεση των βάσεων της μαθηματικής ανάλυσης και της αναλυτικής μηχανικής,

κυρίως στα έργα Εισαγωγή στην ανάλυση των απειροστών (1748) και Θεωρία της κίνησηςτων στερεών σωμάτων (1765) και σε διάφορα άλλα σχετικά με τον διαφορικό και τον ολοκλη-

ρωτικό λογισμό. Ολόκληρη η γλώσσα των συναρτήσεων είναι δική του, όπως το σύμβολο

f (χ) και πάρα πολλά κοινά σήμερα μαθηματικά σύμβολα όπως το π για τον λόγο της περιφέ-ρειας του κύκλου προς τη διάμετρο του, το e για τη βάση των φυσικών λογαρίθμων, το i για

τη V-1 και το Σ για την άθροιση. Γι' αυτόν η θεωρία των αριθμών, η γεωμετρία και η ανάλυσηήταν αλληλοσυμπληρούμενοιτομείς στοντρόπο περιγραφής των φυσικών φαινομένων.

Η θεωρία των διαταραχών οδήγησε σε πιο ακριβή αποτελέσματα για τις πλανητικέςτροχιές, αλλά και στο θεωρητικά πολύ ανησυχητικό συμπέρασμα ότι δεν υπήρχε κανέναςλόγος οι πλανήτες να παραμείνουν στις σημερινές τους τροχιές. Οι μικρές μεταπτώσειςμπορούσαν εύκολα να μεγεθυνθούν σε σημείο που ένας πλανήτης να φύγει κάποια στιγμή

εντελώς από την τροχιά του - ήταν σαν να ξαναέπιαναν δουλειά εκείνα τα αγγελικά όνταπου κάποτε συγκρατούσαν τους πλανήτες στις τροχιές τους. (Τον 20ό αι. ανακαλύφθηκε ότι

η δυναμική του ηλιακού συστήματος μπορούσε να εξηγηθεί από τη θεωρία του χάους - κεφ.

24). Οι εξισώσεις που ήταν απαραίτητες για την περιγραφή της πλανητικής κίνησης αύξα-ναν και σε αριθμό και σε πολυπλοκότητα. Στη Γαλλία προτιμούσαντις αναλυτικές μεθόδους

από τις γεωμετρικές, κάτι που οδήγησε σε ακόμα πιο δύσκαμπτες εξισώσεις. Η αναλυτική

προσέγγιση σφραγίστηκε απ' τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ (1736-1813), που ανέπτυξε ένασύστημα εξισώσεων γνωστό ως «λαγκρανζιανή εξίσωση». Στο έργο του Αναλυτική μηχανική(1788), μέσα σε πεντακόσιες ολόκληρες σελίδες, δεν είχε περιλάβει ούτε ένα διάγραμμα. Το

1799 ο Λαπλάς έβγαλε τον πρώτο τόμο του εγκυκλοπαιδικού Πραγματεία ουράνιας μηχανι-

κής, όπου έδινε ιδιαίτερη έμφαση στη δυναμική θεωρία και στη θεωρία των διαταραχών.Πολλές από τις εξελίξεις στη Γαλλία έγιναν μια εποχή που ελάχιστοι μαθηματικοί μπο-

ρούσαν να αποφύγουν τους πολιτικούς κλυδωνισμούς της Γαλλικής Επανάστασης. Ο νεα-

ρός Ωγκυστέν Λουί Κωσύ (1789-1857) απέφυγε τις χειρότερες ακρότητες της ΓαλλικήςΕπανάστασης, καθώς η οικογένεια του έφυγε προσωρινά απ' το Παρίσι. Αφού τελείωσε την

Ecole Polytechnique δούλεψε στην προετοιμασία της Ναπολεόντειας εισβολής στην

Αγγλία. Αυτό όμως που πραγματικά ήθελε να κάνει ήταν να αφοσιωθεί στα μαθηματικά.Μετά από αρκετές απογοητεύσεις, διορίστηκε βοηθός καθηγητής στην έδρα της ανάλυσης

της Ecole Polytechnique. Ο Κωσύ ήταν πολυγραφότατος: τα βασικά του έργα είναι το Εγχει-ρίδιο ανάλυσης (1821) και τα Μαθήματα διαφορικού λογισμού (1829). Τα απαντά του γεμί-

\ », .s. · >:

ζουν 27 μεγάλους τόμους. Όμως, στο π'Ολπτκό κλφα'της Γαλλίας των αρχών του 19ου αι. οι« φανατικές καθολικές απόψεις του δεν γίνονταν ευμενώς δεκτές από πολλούς συναδέλφους

του και οι σχέσεις του μαζί τους ήταν συχνά εξαιρετικά τεταμένες. Επειδή υποστήριξε τουςΙησουίτες στη διαμάχη τους με την Ακαδημία Επιστημών και αρνήθηκε να δηλώσει αφο-σίωση στο καινούργιο καθεστώς του 1830, απολύθηκε απ' τη θέση του και ακολούθησεστην εξορία τον Κάρολο Γ. Όταν γύρισε στη Γαλλία εξαιρέθηκε από τις κρίσεις για την έδρατων μαθηματικών στο College de France, παρά το ότι ήταν με μεγάλη διαφορά ο καλύτεροςυποψήφιος. Τις πανεπιστημιακές του θέσεις τις ξαναπήρε το 1848, όταν ανατράπηκε ο Λου-δοβίκος Φίλιππος. Μεταξύ του 1840 και του 1847 ο Κωσύ έβγαλε το τετράτομο έργο Ασκή-σεις ανάλυσης και μαθηματικής φυσικής. Ο Κωσύ βοήθησε να τεθούν οι βάσεις για τηνπραγματική και τη μιγαδική ανάλυση, η οποία αποτελεί τη βάση της μαθηματικής φυσικής.

Η γαλλική μέθοδος προσεγγιστικής λύσης συναρτήσεων μέσω κολοβών δυναμοσει-ρών, με την ελπίδα ότι αν αύξαναν τον αριθμό των όρων, θα αυξανόταν και η ακρίβεια τηςλύσης, ήταν πολύ δύσχρηστη. Π.χ.,το 1860 ο ΣαρλΝτελωναί δημοσίευσε μια τερατώδηεξίσωση που έπιανε ένα ολόκληρο κεφάλαιο, την οποία ακολουθούσαν περίπου 60 μέθο-δοι εκτίμησης όρων. Το 1834, ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον υπέβαλε μια εργασία στη Βασι-λική Εταιρεία στην οποία παρουσίαζε τη συνάρτηση που τώρα είναι γνωστή με το όνομαΧαμιλτονιανή. Σε μία και μόνη χαρακτηριστική εξίσωση περιέγραφε την κίνηση οποιουδή-ποτε αριθμού σημειακών μαζών που βρίσκονταν σε κίνηση μέσα σ' ένα δυναμικό. Κι όχιμόνο αυτό, αλλά όπως εξήγησε ο ίδιος ο Χάμιλτον, η εξίσωση του έδινε και τη μέθοδο επί-λυσης της, αντίθετα απ' ό,τι έκανε η λαγκρανζιανή εξίσωση, η οποία συχνά δεν είχε κανλύσεις. Από τα μέσα του 19ου αι. οι μέθοδοι και η γλώσσα της δυναμικής θεωρίας μετα-μορφώθηκαν από τις καινοτομίες του Ρήμαν στη γεωμετρία (κεφ. 16). Ο νέος τομέας τωνμαθηματικών, που έγινε γνωστός ως διαφορική γεωμετρία, επέκτεινε τις έννοιες του απει-ροστικού λογισμού στον τρισδιάστατο χώρο. Οι διάφορες γεωμετρικές οντότητες, όπωςσημεία, καμπύλες και επιφάνειες, περιγράφονταν μέσω διανυσμάτων ενώ δυναμικέςέννοιες όπως η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η ενέργεια μπορούσαν να περιγραφούν μεσυναρτήσεις και τελεστές που δρουν επάνω τους. Στις τρεις διαστάσεις υπάρχουν τρειςδιαφορετικοί διανυσματικοί τελεστές: ο τελεστής κλίσης (γνωστός και ως grad) ο οποίοςμεταβάλλει την αριθμητική συνάρτηση f (x,y,z) σε ένα διάνυσμα1 ένας τελεστής στροβιλι-σμού (curl), ο οποίος μεταβάλλει ένα διάνυσμα σε ένα άλλο διάνυσμα· και ένας αριθμητι-κός τελεστής (div) ο οποίος μεταβάλλει ένα διάνυσμα σε μία αριθμητική συνάρτηση. Καιπράγματι, καθώς η κάθε μεταβλητή μέσα σε ένα δυναμικό σύστημα μπορούσε να αντιμε-τωπιστεί ως «διάσταση» του συστήματος, η εργασία του Ρήμαν για τους χώρους περισσό-τερων διαστάσεων έκανε τη διαφορική γεωμετρία το τέλειο εργαλείο για την περιγραφήφυσικών συστημάτων μέσα σε ένα ενιαίο πλαίσιο. Ήταν με τους όρους της διαφορικήςγεωμετρίας που ο Μάξγουελ διατύπωσε τη θεωρία του για τον ηλεκτρομαγνητισμό.

Στα μέσα του 19ου αι. υπήρχαν ήδη πολλά πειραματικά και θεωρητικά δεδομένα γιατον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό. Στη δεκαετία του 1780 ο Τσαρλς Κουλόμπ είχε ανακα-λύψει πειραματικά ότι η ηλεκτροστατική δύναμη μεταξύ δύο φορτισμένων σωματιδίων ακο-λουθούσε το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου. Οι επιστήμονες μπορούσαντώρα ναεφαρμόσουν στα ηλεκτροστατικά φαινόμενα μερικά από τα μαθηματικά μοντέλα που είχαναναπτυχθεί στη μελέτη των βαρυτικών δυνάμεων. Το 1812, οΣιμεόν-Ντενι'Πουασόνανπμε-

,

τώπισε την ηλεκτροστατική με τρόπο που θύμιζε την Ουράνια μηχανική του Λαπλάς τηςπροηγούμενης δεκαετίας. Υπέθεσε ότι ο ηλεκτρισμός ήταν αποτέλεσμα δύο ρευστών μεαντίθετο φορτίο, τα οποία υπήρχαν σε όλα τα σώματα, όπου όμοια σωματίδια απωθούνταικαι ανόμοια έλκονται. Ένα χρόνο αργότερα κατέληξε σε μία μερική διαφορική εξίσωση,γνωστή τώρα ως «εξίσωση του Πουασόν», που συσχετίζει το δυναμικό με την πυκνότητατου φορτίου. Το 1820, ο Χανς Κρίστιαν Έροτεντ ανακάλυψε τον ηλεκτρομαγνητισμό δεί-χνοντας ότι ένα σύρμα μέσα από το οποίο περνούσε ηλεκτρικό ρεύμα μπορούσε να προκα-λέσει την ταλάντωση μιας μαγνητικής βελόνας. Αυτή η ανακάλυψη έκανε τον Αντρέ ΜαρίΑμπέρ να μελετήσει την αλληλεπίδραση μεταξύ ηλεκτρισμού και μαγνητισμού, για τηνοποία εφεύρε τον όρο «ηλεκτροδυναμική». Απέδειξε μαθηματικά ότι η ηλεκτρομαγνητικήδύναμη ακολουθούσε το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου, όπως ακριβώς και η ηλεκτρο-στατική . Ο Μάικλ Φάραντεϊ ανεκάλυψε το φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής καιέδειξε ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός ήταν άρρηκτα συνδεδεμένοι μεταξύ τους.Ωστόσο, οι θεωρίες της φυσικής εκείνη την εποχή δεν ήταν ακόμη σε θέση να εξηγήσουνικανοποιητικά τα φαινόμενα. Η ιδεατού Αμπέρπ.χ. για την ύπαρξη μικρών ηλεκτρικώνδινών στον αιθέρα οι οποίες ήταν το μέσον μετάδοσης του μαγνητισμού ήταν προβλημα-τική, όπως άλλωστε και το αντίστοιχο μοντέλο του Ντεκάρτ για τη ν πλανητική κίνηση.

Αναλύοντας τη βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ Γης και Σελήνης, οι αστρονόμοισυνειδητοποίησαν ότι λόγω του μεγέθους τους και της μεταξύ τους απόστασης, τα δύοαυτά ουράνια σώματα δεν μπορούσαν πλέον να εκλαμβάνονται ως σημειακές μάζες: ήτανπλέον απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η επίδραση ολόκληρης της μάζας. Για ένα οποιοδή-ποτε σημείο στη Γη, η επίδραση της βαρύτητας της σελήνης ήταν συνάρτηση του όγκου,της μάζας αλλά και του σχήματος. Η σχέση μεταξύ των δυνάμεων στο εσωτερικό ενόςσώματος και στην επιφάνεια του εκφράστηκαν μαθηματικά ως σχέση μεταξύ του ολοκλη-ρώματος του όγκου και του ολοκληρώματος της επιφάνειας. Η σχέση αυτή κωδικοποιή-θηκε το 1828 στο θεώρημα του Γκρην, από το όνομα του Τζωρτζ Γκρην, ο οποίος σπού-δασε μαθηματικά στο Καίμπριτζ, όπου και δίδαξε αργότερα. Αυτό το θεώρημα, το οποίοανέπτυξε ο Γκρην για τα ηλεκτρομαγνητικά δυναμικά, μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και γιατα βαρυτικά δυναμικά.

Το 1873 ο Μάξγουελ έβγαλε το βιβλίο Πραγματεία ηλεκτρισμού και μαγνητισμού,στο οποίο οι βασικές έννοιες είναι τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία κατά Φάραντεϊ.Ο Μάξγουελ προσπάθησε να αποφύγει την εμπλοκή σε αντεγκλήσεις σχετικά με τηνύπαρξη ή τη μη ύπαρξη του αιθέρα και την πραγματική φύση του χώρου υιοθετώντας

< Μαγνητικές δυναμικές γραμ-μές όπως τις φωτογράφισε ο Συλ-βάνουςΤόμσοντο 1878.Ταδυνα-μικά πεδία δημιουργούνται απόρευματοφόρους αγωγούς κάθε-τους στο επίπεδο της εικόνας.

V Φωτογραφία θετικής ηλεκτρι-κής εκκένωσης παρμένη το 1892από τον 'Αλαν Άρτσιμπαλντ ΚάμπελΣουίντον.

μια εντελώς καινούργια προσέγγιση. Η θεωρία του αποφεύγει να βασιστεί σε μικροσκο-, πικές έννοιες όπως το φορτίο ή το ηλεκτρικό ρεύμα που τότε δεν ήταν ακόμα επαρκώς

κατανοητές, αλλά στηρίζεται σε μία μακροσκοπική προσέγγιση, υποθέτοντας τηνύπαρξη πεδίων, τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους αλλά και με το μέσο, μέσα από τοοποίο διαδίδονται. Για τον Μάξγουελ, ο χώρος ήταν ένα ελαστικό συνεχές και μπορούσεέτσι να μεταδώσει την κίνηση από σημείο σε σημείο. Λόγω αυτή της ελαστικότητας, τοίδιο το μέσο μπορούσε να αποθηκεύσει κινητική και δυναμική ενέργεια. Έκανε εκτετα-μένη χρήση της δυναμικής θεωρίας και της διαφορικής γεωμετρίας, γράφοντας αρχικάτις εξισώσεις του με τον συμβολισμό των κουατερνίωντου Χάμιλτον και μετά στο καρτε-σιανό τους αντίστοιχο. Αυτός που μετέγραφε τις εξισώσεις του Μάξγουελ στη διανυ-σματική μορφή με την οποία χρησιμοποιούνται σήμερα ήταν ο Όλιβερ Χήβισαϊντ.

Η θεωρία του Μάξγουελ και η παρουσίαση της δεν έγιναν αμέσως αποδεκτές. Ο Τ.Τ.Τόμσον κατηγόρησε τον Μάξγουελ για «μυστικισμό» σε σχέση με τις θεωρίες του για ταπεδία, κάτι που θυμίζει την αντίστοιχη αντιμετώπιση του Νεύτωνα, όταν πρότεινε τη θεω-ρία του για τη βαρύτητα. Αυτή η περίοδος ήταν περίοδος σύγχυσης ως προς την πραγμα-τική φύση του χώρου, και πολλοί φυσικοί προσάρμοσαν τις εξισώσεις του Μάξγουελ γιανα ικανοποιήσουν τις θεωρίες που εκείνοι προτιμούσαν. Το 1861 ο Μάξγουελ υπολόγισεότι η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων πλησίαζε πολύ την ταχύτητα του φωτός,κάτι που τον ώθησε να εντάξει το φως στο ηλεκτρομαγνητικό φάσμα. Το 1888 ο Χάινριχ

Α Φωτογραφία θετικής ηλεκτρι-κής εκκένωσης παρμένη το 1892από τον 'Αλαν Άρτσιμπαλντ ΚάμπελΣουίντον.

Χερτς δικαίωσε τη θεωρία του Μάξγουελ αποδεικνύοντας πειραματικά την ύπαρξη των

ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Ταυτόχρονα, τα πειράματα των 'Αλμπερτ Μάικελσον και

Έντουαρντ Μόρλεϋ έδειξαν ότι εάν υπήρχε αιθέρας, τότε θα έπρεπε να μην τον επηρεά-

ζει καθόλου η κίνηση ενός σώματος μέσα απ' αυτόν, είτε επρόκειτο για πλανήτη είτε για

μία δέσμη φωτός. Οι παλιές αντιρρήσεις για την εκ του μακρόθεν επίδραση εξαφανίστη-

καν ενδίδοντας στα πειραματικά δεδομένα. Μία εκ βάθρων αναθεώρηση της έννοιας του

χώρου και του χρόνου έγινε το 1905 από τον 'Αλμπερτ Αϊνστάιν.

Δύο απ' τις πρώτες χρήσεις των εξισώσεων του Μάξγουελ ήταν ο τηλέγραφος κι ο

ασύρματος. Ο Χήβισαιντ μεταμόρφωσε το αντικείμενο με την εξίσωση του τηλεγράφου, η

οποία λάμβανε υπόψη την αυτεπαγωγή κατά τη μετάδοση μέσω αγωγών, κάτι που είχαν

παραβλέψει όλοι οι υπόλοιποι. Αυτό οδήγησε στην κατασκευή επαγωγικών πηνίων, που

ενίσχυαν το επίπεδο του σήματος κατά μήκος καλωδίων όπως το υπερατλαντικό. Το 1902

ο Γουλιέλμος Μαρκόνι κατάφερε να μεταδώσει ένα ραδιοσήμα στην άλλη πλευρά του

Ατλαντικού. Αυτό έθεσε τους μαθηματικούς φυσικούς μπροστά στο πρόβλημα της ακρι-

βούς περιγραφής του τρόπου με τον οποίο ταξίδευαν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα γύρω

απ' την ατμόσφαιρα της Γης, ιδιαίτερα όταν ο δέκτης βρισκόταν πέρα από τον οπτικό ορί-

ζοντα του πομπού. Η βιομηχανία των τηλεπικοινωνιών βασίστηκε στα ευρήματα των

πρωτοπόρων για να εξελιχθεί στη συνέχεια με ταχύτατους ρυθμούς.

< To 1890 ο Ιταλός μαθηματικόςκαι καθηγητής λογικής ΤζιουζέπεΠεάνο (1858-1932) προβλημάτισετους συγχρόνους του προτείνο-ντας μία καμπύλη η οποία γέμιζεολόκληρο το επίπεδο, ένα μονοδιά-στατο δηλαδή αντικείμενο πουκάλυπτε μία δισδιάστατη επιφά-νεια. Αυτό είναι ένα παράδειγμαμίας τέτοιας καμπύλης.

Για πολλούς αιώνες, μαθηματικοί και φιλόσοφοι πάλευαν με την έννοια του απείρου. Ο τρό-

, μος των Ελλήνων για τα πραγματικά άπειρα και το αντίστροφο τους, τα απειροστά, επανεμ-

φανιζόταν περιοδικά με χαρακτηριστικότερο παράδειγμα τους ορισμούς του απειροστικού

λογισμού. Τον 19ο αι. αντιμετωπίστηκε τελικά το πρόβλημα κατά μέτωπο. Πολλοί κλάδοι

των μαθηματικών αναπτύχθηκαν μέσα από τη συσσωρευμένη εργασία πολλών εγκεφάλων,

αλλά η μάχη κατά του απείρου και η συνακόλουθη δημιουργία της θεωρίας των συνόλων

ήταν έργο ενός μόνο ανθρώπου, του Γκέοργκ Κάντορ. Το έναυσμα ήταν η ολοένα αυξανό-

μενη χρήση απείρων σειρών και οι αμφιβολίες που υπήρχαν για την εγκυρότητα τους.

Αυτός που επαναδιατύπωσε τις βασικές έννοιες του απειροστικού λογισμού στη

γλώσσα της αριθμητικής αντί της γεωμετρίας ήταν ο Κωσύ (γνωστή ως αριθμητικοποίηση

της ανάλυσης). Αντιστρέφοντας στην ουσία την ελληνική αντίληψη ότι η γεωμετρία είχε

την πρωτοκαθεδρία, ως ο πλέον αυστηρά θεμελιωμένος μαθηματικός κλάδος, στόχος του

19ου αι. έγινε ο επαναπροσδιορισμός της ανάλυσης κατ' εικόνα και ομοίωση της αριθμητι-

κής. Αυτό έγινε δυνατό με την αυξανόμενη χρήση συναρτήσεων πολλαπλών μεταβλητών

και συναρτήσεων μιγαδικών μεταβλητών, που η οπτικοποίησή τους ήταν αδύνατη.

Το 1822 ο Ζοζέφ Φουριέ (1768-1830) εξέδωσε το κλασικό του έργο/Αναλυτ«ί) θεωρία

της θερμότητας. Αναλύοντας τη ροή της θερμότητας, έλυσε τη διαφορική εξίσωση στην

οποία κατέληξε με αυτό που σήμερα ονομάζουμε σειρές Φουριέ. Κατ' αυτόν, οποιαδήποτε

συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί από μια άπειρη σειρά ημίτονων και συνημίτονων όχι

μόνον οι ομαλές συνεχείς συναρτήσεις αλλά ακόμα και εκείνες με ασυνέχειες ή άλματα.

Ωστόσο, κάποιοι άρχισαν να αμφισβητούν τη σύγκλιση των απείρων σειρών προς την απαι-

τούμενη συνάρτηση και ο Λεζέν Ντίριχλετ απέδειξε ότι αυτό συμβαίνει κάτω από ορισμέ-

νους περιορισμούς. Η όλη έννοια της συνάρτησης γενικεύτηκε στη συνέχεια από τον Ντίρι-

χλετ, που όρισε ότι οποιοσδήποτε κανόνας συνέδεε το χ με το y μπορούσε να θεωρηθεί

συνάρτηση - χωρίς να είναι απαραίτητο να διατυπωθεί με κάποια αναλυτική έκφραση ή εξί-

σωση. Π.χ., ο Ντίριχλετ κατασκεύασε μία «τρελή συνάρτηση», την οποία όρισε ωςν=α αντο

χ είναι ρητός καιγ=β αντοχ είναι άρρητος. Αυτή η συνάρτηση, που σήμερα θα χαρακτηρι-

ζόταν «παθολογική», ήταν ασυνεχής σε κάθε σημείο της, άρα δεν ήταν διαφορίσιμη που-

θενά, ενώ το αν είχε ολοκλήρωμα έγινε αντικείμενο έντονης αντιπαράθεσης. Το πρόβλημα

δεν μπορούσε να λυθεί αν δεν ξεκαθαριζόταν τι ακριβώς ήταν οι άρρητοι αριθμοί.

Όταν ο Γαλιλαίος ανέλυε το φαινόμενο της επιτάχυνσης, διαπίστωσε ότι αν πάρουμε

την άπειρη σειρά των φυσικών αριθμών 1,2,3... και υψώσουμε στο τετράγωνο καθέναν από

αυτούς παίρνουμε τη σειρά 1,4,9... Ο κάθε αριθμός της δεύτερης σειράς βρίσκεται σε ένα

προς ένα αντιστοιχία με κάθε αριθμό της πρώτης, άρα οι δύο αυτές σειρές πρέπει να έχουν

τον ίδιο αριθμό όρων. Όμως, στη δεύτερη λείπουν κάποιοι αριθμοί, άρα λογικά θα έπρεπε

να έχει λιγότερους όρους από την πρώτη. Ένα από τα δύο μπορούσε να συμβαίνει: ή αυτά

τα δύο άπειρα ήταν ίδια, ή υπήρχαν διαφόρων ειδών άπειρα.

Ο Μπέρνχαρτ Μπολτσάνο (1781 -1848), ιερέας από την Πράγα, ανέπτυξε ενδιαφέρου-

σες ιδέες, που δυστυχώς παρέμειναν άγνωστες για πολλά χρόνια. Είχε συλλάβει μία παρό-

μοια αριθμητικοποίηση του απειροστικού λογισμού με εκείνηντου Κωσύ, ο οποίος κατά τη

διάρκεια της εξορίας του στην Πράγα συναντήθηκε με τον Μπολτσάνο μία φορά. Στο βιβλίο

του Παράδοξα του απείρου, που εκδόθηκε δύο χρόνια μετά το θάνατο του, ο Μπολτσάνο

έδειξε ότι παράδοξα σαν εκείνα που είχε επισημάνει ο Γαλιλαίος ήταν συνηθισμένα όχι μόνο

V Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ (1862-1943) πρότεινε στον Πεάνο μίαπαρόμοια καμπύλη που γέμιζε όχιτο επίπεδο αλλά τον χώρο: μίαμονοδιάστατη δηλαδή γραμμή πουκάλυπτε έναν τρισδιάστατο κύβο.Αυτές όπως και άλλες ανάλογες,φαινομενικά παράλογες ιδέες έκα-ναν τους μαθηματικούς να εξετά-σουν από πιο κοντά την φύση τωναριθμών, την έννοια του χώρου καιτην ασαφή έννοια του απείρου.

στους φυσικούς αριθμούς αλλά και στους πραγματικούς. Π.χ., ένα ευθύγραμμο τμήμα

μήκους μίας μονάδας εμπεριέχει τον ίδιο αριθμό πραγματικών όσο και ένα ευθύγραμμο

τμήμα διπλάσιου μήκους, κάτι που αντιβαίνει στην κοινή λογική. Αυτός ο Βοημός φιλόσο-

φος φαίνεται να έφτασε πολύ κοντά στη διαπίστωση ότι το άπειρο των πραγματικών αριθ-

μών είναι διαφορετικού τύπου από το άπειρο των φυσικών. Είχε κι αυτός τη δική του συνει-

σφορά στον αυξανόμενο κατάλογο παθολογικών συναρτήσεων, συναρτήσεων δηλαδή που

κατάφερναν να σπάσουντους καθιερωμένους κανόνες του απειροστικού λογισμού.

Αυτή η διττή ενασχόληση με τις ιδιότητες των συναρτήσεων και των αριθμών δεν

ήταν τυχαία. Εάν οποιαδήποτε συνάρτηση μπορούσε να εκφραστεί μέσω μιας άπειρης

σειράς, όπως του Φουριέ π.χ., τότε ήταν απαραίτητο να διασφαλιστεί η σύγκλιση της

σειράς στη συνάρτηση για κάθε τιμή του χ, αυτό δηλαδή που αποκαλούμε σημειακή

σύγκλιση. Καθώς αυτός ο έλεγχος για κάθε σειρά είναι μια εξαιρετικά ανιαρή και άχαρη

διαδικασία, προτάθηκαν διάφορα κριτήρια σύγκλισης, που όλα τους απαιτούσαν μια

πολύ καθαρή αντίληψη σχετικά με τις άπειρες συγκλίνουσες ακολουθίες αριθμών. Ο

Κωσύ, με την ελληνοπρεπή του απέχθεια για τα πραγματικά άπειρα, μπλέχτηκε σε έναν

φαύλο κύκλο ορίζοντας κάπου τους άρρητους αριθμούς ως όριο μιας ακολουθίας

ρητών και αλλού ακριβώς το αντίστροφο. Ο Καρλ Βάιεροτρας προσπάθησε να απαλλά-

ξει τους άρρητους από την εξάρτηση τους από τα όρια επιχειρώντας να τους ορίσει όχι

ως όριο μίας ακολουθίας αλλά ως την ίδια την ακολουθία.

Στο μεταξύ, ο Μπέρνχαρτ Ρήμαν αναμόρφωσε την έννοια του ολοκληρώματος

σε αυτό που σήμερα διδάσκεται σε όλες τις τάξεις μαθηματικών. Η συνάρτηση

Ντίριχλετ που προαναφέραμε δεν περιείχε ακόμα ολοκληρώματα τύπου

Ρήμαν. Συνεισφέροντας στο σπορ της εύρεσης παθολογικών συναρτή-

σεων, ο Ρήμαν βρήκε μία δική του, που είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία,

αλλά το ολοκλήρωμα της όχι μόνον υπάρχει αλλά είναι συνεχής

συνάρτηση, η οποία με τη σειρά της δεν έχει παράγωγο για άπειρα

επίσης σημεία. Το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογι-

σμού άρχισε και αυτό με τη σειρά του να αμφισβητείται.

Αυτό που χρειαζόταν ήταν μια πραγματική κατανόηση του

τι ήταν ένας άρρητος αριθμός, και ως εκ τούτου ένας σαφής

ορισμός ενός πραγματικού αριθμού. Μέχρι το 1850 ίσχυαν

δύο διαφορετικές κατηγοριοποιήσεις των πραγματικών

αριθμών: ρητοί και άρρητοι' αλγεβρικοί και υπερβατικοί.

Οι ρητοί ήταν αριθμοί του τύπου m/n, δηλαδή οποιοδή-

ποτε θετικό ή αρνητικό κλάσμα περιλαμβανομένων των

ακεραίων και του μηδενός. Οι άρρητοι ήταν αριθμοί που

δεν ήταν ρητοί, όπως π.χ. η Λ/2 ή το π. Αλγεβρικοί αριθ-

μοί ήταν οι αριθμοί που αποτελούσαν λύσεις πεπερα-

^ σμένων πολυωνυμικών εξισώσεων με ακέραιους

συντελεστές, κάτι που περιλάμβανε αριθμούς όπως

το λ/2 αλλά όχι το π. Υπερβατικοί ήταν οι αριθμοί που

δεν ήταν αλγεβρικοί. Βλέπουμε αμέσως ότι και οι άρρη-

τοι και οι υπερβατικοί ορίζονταν μέσω του τι δεν είναι και

Α Αυτές οι ανακλαστικές σφαί-ρες είναι ένα παράδειγμα αυτό-ομοιότητας. Η κεντρική σφαίραγεννάει άλλες σφαίρες μισής ακτί-νας από την ίδια, η καθεμία από τιςοποίες γεννάει επιπλέον σφαίρεςμε την ίδια διαδικασία. Εάν συνεχί-σουμε έτσι, το εμβαδόν των επιφα-νειών τείνει προς το άπειρο, ενώ οσυνολικός όγκος παραμένει φραγ-μένος και πεπερασμένος.

δεν ήταν καθόλου σαφές εάν είχαν δικές τους ιδιότητες. Το 1872 εκδόθηκαν διάφορα έργα

σχετικά με το θέμα από τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ (1831-1916) και τον Γκέοργκ Κάντορ (1845-

1918), που εκείνη τη χρονιά είχαν δεθεί με στενή φιλία. Δούλευαν σε μικρά ιδρύματα -ο Ντέ-

ντεκιντ στο Πολυτεχνείο του Brunswick, απ' όπου καταγόταν, και ο Κάντορ στο πανεπιστή-

μιο της Halle- αλλά το έργο τους θα είχε τεράστια επίδραση στον κόσμο των μαθηματικών.

Το ερώτημα του Ντέντεκιντ ήταν: στην ευθεία των πραγματικών αριθμών ποια ήταν η

διαφορά μεταξύ ενός ρητού και ενός αρρήτου; Ο Λάιμπνιτς, π.χ., θεωρούσε ότι η «συνέ-

χεια» των σημείων μιας ευθείας είχε σχέση με την πυκνότητα τους· δηλαδή, για οποιαδή-

ποτε δύο σημεία της ευθείας υπήρχε πάντοτε ένα τρίτο ανάμεσα τους. Ωστόσο, οι ρητοί

έχουν τη ν ίδια ιδιότητα χωρίς να σχηματίζουν ένα συνεχές. Εγκαταλείποντας τη ν προσπά-

θεια να βρει τρόπους συγκόλλησης σημείων για να σχηματίσει ένα συνεχές, ο Ντέντεκιντ

αντέστρεψε τη διαδικασία και προσπάθησε να καθορίσει τη συνέχεια ορίζοντας τομές σ' ένα

ευθύγραμμο τμήμα. Φανταστείτε τη ν ευθεία των αριθμών σαν ένα στερεό σωλήνα απείρου

μήκους γεμάτο με τους διατεταγμένους ρητούς αριθμούς. Μία τομή του σωλήνα θα μας

δώσει δύο τμήματα, αςτα ονομάσουμε Α και Β, και θα μας αποκαλύψει δύο διατομές, τα

άκρα των συνόλων Α και β. Κοιτάζοντας τις εκτεθειμένες αυτές πλευρές μπορούμε να δια-

βάσουμε τους αριθμούς που μας δείχνουν. Αν δεν μας δείχνουν κανέναν αριθμό τότε η τομή

έχει γίνει σε έναν άρρητο. Έτσι ο Ντέντεκιντ όρισε τους άρρητους όχι ως ακολουθίες αλλά

με τη βοήθεια αυτών των συνόλων Α και β. Οι ιδιότητες της συνέχειας ή των ορίων μπορού-

σαν έτσι να διατυπωθούν συναρτήσει της αριθμητικής και όχι απειροστών γεωμετρικών

εννοιών. Ο Μπέρτραντ Ράσελ (1872-1970) παρατήρησε αργότερα ότι τα δύο σύνολα Α και β

ορίζονται το ένα συναρτήσει του άλλου, άρα μόνο ένα απ' αυτά είναι λογικά αναγκαίο, οπότε

ένας άρρητος αριθμός μπορούσε να οριστεί μόνο συναρτήσει του συνόλουΛ (ή Β).

Επιστρέφοντας στο πρόβλημα του απείρου, ο Ντέντεκιντ είδε στα παράδοξα τουΜπολτσάνο όχι μια ανωμαλία αλλά έναν ορισμό. Κατάλαβε ότι ένα σύνολο είναι άπειρο εάν

είναι ισοδύναμο με ένα γνήσιο υποσύνολο του · δηλαδή εάν ένα υποσύνολο μπορεί να τεθεί

σε ένα προς ένα αντιστοιχία με το σύνολο στο οποίο περιέχεται. Π.χ., το σύνολο {2,4,6...}είναι υποσύνολο του {1,2,3...}, και μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με αυτό.Δύο χρόνια μετά από την έκδοση του βιβλίου του Ντέντεκιντ, το 1874, ο Γκέοργκ Κάντορ

παντρεύτηκε και πήγε με τη γυναίκα του για το μήνα του μέλιτος στο Interlaken, όπουσυναντήθηκε με τον Ντέντεκιντ. Την ίδια χρονιά ο Κάντορ δημοσίευσε μία από τις πιο επα-ναστατικές εργασίες του. Συμφώνησε με τον ορισμό που είχε δώσει ο Ντέντεκιντ για τα

άπειρα σύνολα, αλλά είδε επίσης ότι δεν ήταν όλα τα άπειρα ίσα μεταξύ τους.Ο Κάντορ ξεκίνησε από την παρατήρηση ότι ένα σύνολο που μπορεί να τεθεί σε ένα

προς ένα αντιστοιχία με κάποιο σύνολο φυσικών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Αυτό είναι προ-φανές για τα πεπερασμένα σύνολα, αλλά ο Κάντορ επέκτεινε την έννοια της αριθμησιμότη-

τας στα άπειρα. Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών είναι «αριθμήσιμα άπειρο», και εάν

ένα άπειρο σύνολο μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με αυτό είναι επίσης αριθ-μήσιμα άπειρο. Π.χ., αν και οι ακέραιοι αριθμοί φαίνεται να εξαφανίζονται στο άπειρο καιαπό τη θετική και από την αρνητική κατεύθυνση, είναι και αυτοί αριθμήσιμα άπειροι, όπως

φαίνεται εάντους αναδιατάξουμε με τον εξής τρόπο: {Ο,+1 ,-1,+2,-2...}. Επίσης, όπως κάθε

πεπερασμένο σύνολο έχει μια τιμή γνωστή ως πληθικότητα (κάτι σαν μέγεθος του συνό-λου) , ο Κάντορ θεώρησε ότι και τα άπειρα σύνολα έχουν έναν πληθικό αριθμό. Δύο άπειρασύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθμο αν μπορούν να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχίαμεταξύ τους. Είδαμε παραπάνω ότι οι ρητοί αποτελούν ένα πυκνό σύνολο, κάτι που δεν συμ-

βαίνει με τους ακέραιους, καθώς δεν υπάρχει πάντα κάποιος τρίτος ακέραιος μεταξύ δύοάλλων - π.χ. δεν υπάρχει ακέραιος μεταξύ του 1 και του 2. θα ήταν λοιπόν λογικό το σύνολο

των ρητών να έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο από εκείνο των ακεραίων. Ωστόσο, το 1873 ο

Κάντορ ανακάλυψε ότι αυτό δεν ίσχυε. Κατατάσσοντας τους ρητούς με έναν συγκεκριμένοτρόπο, ανακάλυψε μία μέθοδο, με την οποία μπορούσαν να τεθούν σε ένα προς έναν αντι-

στοιχία με τους φυσικούς.Μετά από αυτή την ανακάλυψη θα ήταν πολύ εύκολο να πιστέψει κανείς ότι όλα τα

άπειρα σύνολα αριθμών έχουν όντως την ίδια πληθικότητα. Ο Κάντορ απέδειξε ότι αυτή ηάποψη ήταν λάθος με το περίφημο διαγώνιο επιχείρημα. Υπέθεσε ότι οι πραγματικοί

μεταξύ του Ο και του 1 είναι αριθμήσιμοι και μπορούν να μπουν στη σειρά εκφραζόμενοι ωςδεκαδικοί με άπειρα ψηφία: π.χ., το 0,2 μπορούσε να γραφτεί με τη μορφή 0,1999999...

Μετά κατασκεύασε ένα αριθμό ο οποίος διέφερε από τον πρώτο κατά το πρώτο δεκαδικόψηφίο, από το δεύτερο κατά το δεύτερο και ούτω καθ' εξής. Αυτός ο νέος αριθμός ήτανδιαφορετικός από όλους τους δεδομένους αριθμούς, των οποίων η διάταξη είχε υποτεθεί

πλήρης, άρα οι πραγματικοί αριθμοί δεν ήταν αριθμήσιμοι. Το σύνολο των πραγματικώνείχε μεγαλύτερο πληθάριθμο από εκείνον των ρητών. Ο Κάντορ έδειξε επίσης ότι ακόμα

και οι αλγεβρικοί αριθμοί, μία τάξη αριθμών πολύ γενικότερη από τους ρητούς, έχουν τονίδιο πληθάριθμο με τους φυσικούς. Άρχισε σιγά-σιγά να φαίνεται ότι το συνεχές των πραγ-

ματικών αριθμών γινόταν «πυκνότερο» από την ύπαρξη των υπερβατικών. Κατά κάποιο

τρόπο, οι περισσότεροι αριθμοί ήταν υπερβατικοί.Κανείς δεν είχε δει ποτέ έναν υπερβατικό αριθμό' η ύπαρξη τους αποδείχθηκε το 1851

από τον Ζοζέφ Λιουβίλ. Το 1882 αποδείχθηκε από τον Φέρντιναντ Λίντεμαν ότι ο παλιόςμας φίλος, το π, ήταν υπερβατικός, κάτι που έδινε οριστικά αρνητική απάντηση στο παμπά-

λαιο ερώτημα εάν είναι δυνατός ο τετραγωνισμός του κύκλου με τη χρήση του κανόνα και

του διαβήτη. Αλλά ο Κάντορ δεν είχε πει ακόμα την τελευταία του λέξη.Σε ένα γράμμα στον Ντέντεκιντ το 1877 απέδειξε αυτό που ο Ντέντεκιντ απλώς υπο-

πτευόταν: ότι ο πληθάριθμος του συνόλου των σημείων οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμή-

ματος είναι ίσος με τον πληθάριθμο οποιουδήποτε άλλου. Άρα ένα ευθύγραμμο τμήμαμοναδιαίου μήκους εμπεριέχει τον ίδιο αριθμό σημείων με ολόκληρη την ευθεία των αριθ-μών. Ακόμα πιο εκπληκτική ήταν η ανακάλυψη ότι αυτό είναι ανεξάρτητο από τις διαστά-

σεις του χώρου: το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με το μονα-διαίο τετράγωνο ή τον μοναδιαίο κύβο - δηλαδή τον ίδιο αριθμό σημείων με ολόκληρο τον

τρισδιάστατο χώρο. Στο γράμμα του στον Ντέντεκιντ γράφει ο Κάντορ, «το βλέπω, αλλά

δεντο πιστεύω». Δυστυχώς, και πολλοί άλλοι δεν το πίστευαν.Το 1895 ο Κάντορ διατύπωσε τις επεξεργασμένες απόψεις του δημιουργώντας μία

καινούργια αριθμητική οντότητα, τους υπερπεπερασμένους πληθικούς αριθμούς. Παρι-

στάνει το αριθμήσιμα άπειρο με το σύμβολο Ν 0 (το οποίο προφέρεται «άλεφ μηδέν») και

το πρώτο μη αριθμήσιμο σύνολο με το Χ [. Μετά ακολουθεί μία άπειρη αλληλουχίαυπερπεπερασμένων αριθμών, που ο καθένας τους είναι το σύνολο όλων των υποσυνό-

λων του προηγουμένου συνόλου. Όσο για το σύνολο Ν,, ο Κάντορ υπέθεσε ότι ήτανισοδύναμο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτή είναι η περίφημη Υπόθεση τουΣυνεχούς, η οποία παραμένει αναπόδεικτη μέχρι σήμερα.

Παρά την πρωτοποριακή του δουλειά, ο Κάντορ ποτέ δεν κατάφερε να εκπληρώσει τηφιλοδοξία του να γίνει καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Υπεύθυνος γι' αυτόήταν ο Λέοπολντ Κρόνεκερ, ο παλιός καθηγητής του στο Βερολίνο. Ο Κρόνεκερ ήταν αντί-

θετος με το νέο κλάδο των μαθηματικών που είχε επινοήσει ο Κάντορ και χρησιμοποιούσε

επιχειρήματα του τύπου «ο θεός έφτιαξε τους ακεραίους. Όλα τα υπόλοιπα είναι έργα τουανθρώπου». Η παραγωγική του φιλία με τον Ντέντεκιντ διακόπηκε το 1882, όταν ο Ντέντε-

κιντ δεν αποδέχτηκε την πρόσκληση να διδάξει μαζί με τον Κάντορ στη Halle, αν και η φιλίατους αναζωογονήθηκε το 1897, όταν συναντήθηκαν σε κάποιο συνέδριο. Ο Ντέντεκιντ ήταν

ικανοποιημένος στην επαρχία του, όπου αφιέρωνε τον περισσότερο χρόνο του στην επιμέ-λεια των Ατάντωντου Ντίριχλετκαιτου Γκάους, πρώην καθηγητώντου, και του Ρήμαν,του

μεγάλου συγχρόνου του. Ο Κάντορ παρέμεινε στο πανεπιστήμιο της Halle. To 1884 έπαθετην πρώτη κρίση κατάθλιψης, που θα ήταν μόνιμη σύντροφος του στα τελευταία του χρό-

νια. Παραιτήθηκε λίγο πριν από την αρχή του πολέμου και πέθανε το 1918 σε ένα ψυχια-τρείο της Halle. Οι αντιδράσεις που αντιμετώπιζε δεν ήταν ό,τι καλύτερο για την ψυχική τουυγεία. Ωστόσο έζησε αρκετά για να δει τις ιδέες του να αναγνωρίζονται ως «το πιο εκπλη-

κτικό προϊόν μαθηματικής σκέψης» σύμφωνα με τον Ντάβιντ Χίλμπερτ, έναν από τους μεγα-λύτερους μαθηματικούς των αρχών του 20ού αι. «Κανείς δεν μπορεί να μας διώξει από τον

παράδεισο τον οποίο δημιούργησε για μας ο Κάντορ». Η εργασία του Κάντορ αποδείχθηκεεξαιρετικά καρποφόρα για πολλούς κλάδους των μαθηματικών, εγκαινιάζοντας μεταξύ

άλλων μία καινούργια οπτική της θεωρίας της ολοκλήρωσης συναρτήσει του μέτρου των

συνόλων, της έννοιας δηλαδή από την οποία είχε ξεκινήσει. Επίσης βρήκε ότι το ολοκλή-

ρωμα της συνάρτησης του Ντίριχλετ είναι το β.

< Η εξίσωση αναπαριστά τηνκατανομή Γκάους, γνωστή ωςκωδωνοειδής καμπύλη, που περι-γράφει τη μεταβλητότητα τωνχαρακτηριστικώντου πληθυσμού.Είναι επίσης γνωστή ως κανονικήκατανομή γιατί είναι κανονικοποιη-μένη, καλύπτει δηλαδή ολόκληροτον πληθυσμό, κάτι που εκφράζεταιμαθηματικά από το γεγονός ότι τοολοκλήρωμα της είναι ίσο με τημονάδα.

Η μελέτη των πιθανοτήτων όπως τις ξέρουμε σήμερα πρωτοεμφανίστηκε τον 17ο αι.

Ωστόσο, η μελέτη των συνδυασμών και των μεταθέσεων αντικειμένων ή γεγονότων έχουν

πολύ μακριά ιστορία. Μεγάλο ενδιαφέρον είχαν δείξει οι Ινδοί, ιδιαίτερα οι μαθηματικοί

των Ζάίν, ήδη από το 300 π.Χ. Οι Ζάίν διερευνούσαν τα ζητήματα αυτά για θρησκευτικούς

λόγους, ενώ για την πλειοψηφία των μεταγενέστερων συγγραφέων το κίνητρο ήταν συνή-

θως η ανάλυση των τυχερών παιχνιδιών - η πρόβλεψη πιθανών εκβάσεων και ο καθορι-

σμός των κανόνων του σωστού παιχνιδιού. Καθώς οι πιθανότητες άρχισαν να αναμιγνύο-

νται με τη στατιστική, αναπτύχθηκαν νέες μέθοδοι ανάλυσης δεδομένων στις φυσικές

αλλά και στις κοινωνικές επιστήμες. Αν και ποτέ δεν έφυγε εντελώς από τα πράσινα τρα-

πέζια, η στατιστική την εποχή του Διαφωτισμού ήταν ένα μαθηματικό εργαλείο άσκησης

δημοσιονομικής πολιτικής και διασφάλισης της ηθικής και κοινωνικής ισότητας.

Η θρησκεία των Ζαΐν αναπτύχθηκε στην Ινδία περίπου την ίδια εποχή με τον Βουδισμό

και η μαθηματική της λογοτεχνία ανάγεται στον 3ο και 4ο αι. π.Χ. Οι Ζαΐν έδειχναν ιδιαί-

τερο ενδιαφέρον για τον χειρισμό των αριθμών ιδιαίτερα των πολύ μεγάλων. Τους απα-

σχολούσαν οι διαφορετικοί τύποι απείρων αριθμών καθώς και οι μέθοδοι γένεσης τους

όπως και οι μέθοδοι συνδυασμού απείρων αριθμών με διαφορετικούς τρόπους. Διερευ-

νούσαν ζητήματα όπως οι διάφοροι τρόποι συνδυασμού των πέντε αισθήσεων. Ενδιαφέ-

ρον για τις μεταθέσεις διαπιστώνεται και στις Βέδες όπου αναφέρονται τρόποι συνδυα-

σμού συλλαβών σε ποιητικές συνθέσεις και προσευχές. Στη Μυσόρη του 9ου αι. ο μαθη-

ματικός των Ζαΐν Μαχαβίρα (περ. 850) διερεύνησε περαιτέρω το ζήτημα και διατύπωσε

τους τυπικούς κανόνες συνδυασμών και μεταθέσεων που ισχύουν μέχρι και σήμερα.

Η μελέτη των συνδυασμών και των μεταθέσεων είναι σήμερα γνωστή ως συνδυαστική.

Κοσμολογική και μυστικιστική χρήση της συνδυαστικής βρίσκουμε στον Καταλανό φιλό-

σοφο και μυστικιστή του 13ου αι. ΡαμόνΛουλ(1232-περ. 1316). Αλλά αυτά τα γραπτά φαί-

νεται ότι δεν έτυχαν της προσοχής των τότε μαθηματικών. Το πραγματικό ενδιαφέρον

προήρθε από την πιο γήινη απασχόληση της χαρτοπαιξίας. Η Θεία Κωμωδία του Δάντη ανα-

φέρει το «παιχνίδι της τύχης» το οποίο παίζεται με τρία ζάρια, τα οποία ρίχνει ο ένας παίκτης

και ο άλλος μαντεύει το άθροισμα τους. Ένα ποίημα του 13ου αι., De vetula, ενός ποιητή

γνωστού ως ψευδο-Οβίδιου απαριθμεί τους 56 διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους

μπορούν να πέσουν τα ζάρια. Και τα δύο έργα έγιναν αφορμή για διάφορες παρατηρήσεις

σχετικά με τους μαθηματικούς κανόνες του παιχνιδιού. Η προϊστορία αυτού του ζητήματος

πιθανότατα τελείωσε με το Liber de ludo a/eae (Βιβλίο παιχνιδιών με ζάρια) του Καρντάνο το

οποίο, ενώ εκδόθηκε μετά το θάνατο του, το 1663, είχε γραφτεί 100 χρόνια νωρίτερα και

ασχολείται με τοντρόπο καθορισμού δίκαιων στοιχημάτων στα ζάρια και στα χαρτιά.

Η θεωρία των πιθανοτήτων διευρύνθηκε σημαντικά με την αλληλογραφία ανάμεσα

στον Μπλαιζ Πασκάλ και Πιερ ντε Φερμάτο 1654, όπου ανέλυσαν το αποκαλούμενο πρό-

βλημα πόντων του χαρτοπαίκτη, το οποίο αφορά τη διαίρεση της κάσας ανάμεσα σε δύο

παίκτες, όταν ένα παιχνίδι ζαριών παραμένει ανολοκλήρωτο. Αυτό είναι ένα πρόβλημα που

αντιμετώπισαν πολλοί Ιταλοί μαθηματικοί της Αναγέννησης, περιλαμβανομένων των

Πατσιόλι, Καρντάνο και Ταρτάλια, χωρίς κανείς από αυτούς να μπορέσει να καταλήξει σε

μια ολοκληρωμένη λύση. Ο Φερμά προτίμησε μία μέθοδο βασισμένη στην απαρίθμηση

όλων των δυνατών εκβάσεων και βρίσκοντας τον νικητή για καθεμία απ' αυτές. Οι υπολογι-

σμοί γίνονται εξαιρετικά μακροσκελείς καθώς αυξάνεται ο αριθμός των παιχνιδιών και ο

Πασκάλ επέλεξε τη μέθοδο του προσδοκώμενου. Στην Πραγματεία του αριθμητικού τριγώ-νου διασαφήνισε τη σχέση μεταξύ των αριθμών του τριγώνου του Πασκάλ και των απαι-τούμενων συνδυασμών. Κάθε γραμμή του τριγώνου δίνει τους συντελεστές του διωνυμι-

κού αναπτύγματος: η τρίτη γραμμή, π.χ.,. δίνει του αριθμούς 1,3,3,1, οι οποίοι είναι οι

συντελεστές του αναπτύγματος (α + β)3 = α3 + 3α2/3 + 3α/32 + β3.0 αριθμός 3 στον δεύ-τερο όρο δείχνει ότι υπάρχουν τρεις συνδυασμοί που δίνουν α2β, δηλαδή ααβ, αβα καιβαα. Χρησιμοποιώντας την κατάλληλη σειρά στο τρίγωνο του Πασκάλ, εύκολα μπορούσε

να επιλύσει το πρόβλημα της διαίρεσης της κάσας. Εάν ο παίκτης Α χρειάζεται δύογύρους για να κερδίσει ενώ ο παίκτης Β χρειάζεται τρεις, ο ένας από τους παίκτες πρέπεινα κερδίσει μέσα σε τέσσερις τουλάχιστον γύρους- από τη σειρά 1,4,6,4,1 στο τρίγωνο

του Πασκάλ, η κάσα θα πρέπει να διαιρεθεί με λόγο (1 + 4 + 6): (4 +1) ή 11:5.Αυτά τα προβλήματα τα αντιμετώπιζαν συνήθως με λόγους και όχι με πιθανότητες. Η

πρώτη θεωρητική αντιμετώπιση των πιθανοτήτων με τιμές μεταξύ Ο και 1 έγινε από τον Γιά-

κομπ Μπερνούλι στο βιβλίο του Ars conjectandi (Τεχνητής υπόθεσης) που εκδόθηκε μετάτο θάνατο του, το 1713. Εκεί ο Μπερνούλι έδειξε ότι οι πιθανότητες μπορούσαν να υπολο-

γιστούν από παρατηρούμενες συχνότητες και προσπάθησε να βρει το ανώτατο όριο αριθ-μού δοκιμών που ήταν απαραίτητες για να είναι κανείς «ηθικά βέβαιος» ότι έχει εκτιμήσει

σωστά τις πιθανότητες. Δυστυχώς, οι αυστηρές προϋποθέσεις που έθεσε οδήγησαν σεπολύ ψηλές τιμές για τον αριθμό δοκιμών που χρειαζόταν: π.χ., για να είναι κανείς 99,9%σίγουρος ότι έχει βρει το σωστό λόγο της επιλογής εγχρώμων σφαιρών σε ένα κουτί χρειά-

ζονταν 25.500 δοκιμές. Αυτή η διαδικασία αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Αβραάμ ντεΜουάβρ, ο οποίος σωστά όρισε την κανονική κατανομή ως το όριο της διωνυμικής καταλή-γοντας σε πολύ λογικότερες τιμές για τις δοκιμές που ήταν απαραίτητες στην πειραματική

προσέγγιση των πραγματικών πιθανοτήτων. Ο ντε Μουάβρ επίσης έβγαλε και αρκετές

εκδόσεις του βιβλίου του /Ασφάλειες ζωής, το οποίο εφάρμοζε αυτές τις ανακαλύψεις στηντιμολογιακή πολιτική των ασφαλιστικών συμβολαίων. Το κίνητρο για την εφαρμογή τωνπιθανοτήτων στα δημογραφικά δεδομένα προήλθε από μία απρόσμενη κατεύθυνση. Για

μια ακόμα φορά στρέφουμε την προσοχή μας στους ουρανούς.Οι αστρονόμοι που προσπαθούσαν να καθορίσουν τις ακριβείς τροχιές των πλανητών

ήταν αναγκασμένοι να βασιστούν σε ένα αριθμό παρατηρήσεων που η κάθε μία είχε και

ένα περιθώριο σφάλματος. Η κάθε μέτρηση έδινε μια ελαφρώς διαφορετική εξίσωση γιατηντροχιά ενός πλανήτη, με αποτέλεσμα να είναι εξαιρετικά δύσκολος ο ακριβής υπολογι-σμός της τροχιάς από ένα σύνολο δεδομένων. Το πρόβλημα ήταν γνωστό από την εποχή

του Κέπλερ και του Γαλιλαίου. Η γενική ιδέα ήταν να βρεθεί μία καμπύλη που θα ελαχιστο-ποιούσε το σύνολο των σφαλμάτων. Το 1805 αυτή η μέθοδος αποκρυσταλλώθηκε από τονΛεζάντρ στο βιβλίο Α/έες μέθοδοι για τον καθορισμό των τροχιών των κομητών ως η μέθο-

δος των ελαχίστων τετραγώνων. Ανέλυε με σαφήνεια το πρόβλημα και έδινε και μια γενική

μέθοδο που ήταν πρακτικά εφαρμόσιμη. Το 1809 ο Γκάους δημοσίευσε τη δική του μέθοδοστο βιβλίο Θεωρία κίνησης ουρανίων σωμάτων, ισχυριζόμενος ότι τη χρησιμοποιούσε ήδηαπό το 1795 και ξεκινώντας έτσι μία διαμάχη με τον Λεζάντρ ως προς την πατρότητα της

μεθόδου. Είναι γεγονός ότι το 1801 ο Γκάους πρέπει να χρησιμοποίησε μία τέτοια μέθοδο

για να υπολογίσει τη ν τροχιά της Δήμητρας, ενός αστεροειδούς που είχε μόλις ανακαλυ-

φθεί, βασιζόμενος σε ελάχιστες αποσπασματικές παρατηρήσεις που είχαν γίνει νωρίτερα

εκείνη τη χρονιά. Έδειξε επίσης ότι η κατανομή των σφαλμάτων περιγραφόταν από αυτό, που σήμερα ονομάζεται κανονική κατανομή ή καμπύλη Γκάους, γενικεύοντας έτσι τα

προηγούμενα συμπεράσματα του ντε Μουάβρ. Το επιχείρημα του Γκάους ήταν ότι αυτή η

κατανομή έκανε τη μέση παρατήρηση την πιο πιθανή. Αμέσως μετά ο Λαπλάς πρότεινε μίαακόμα ισχυρότερη σχέση: ότι όποια και να ήταν η κατανομή σφαλμάτων των επί μέρους

μετρήσεων, οι μέσοι όροιτους έτειναν προς μία κανονική κατανομή. Έδειξε επίσης ότι οιεκτιμήσεις ελαχίστου τετραγώνου του Λεζάντρ επίσης έτειναν προς την ίδια κατανομή. Οι

αστρονόμοι αμέσως είδαν τη χρησιμότητα της μεθόδου, ειδικά επειδή τα σφάλματα στιςαστρονομικές παρατηρήσεις ήταν ο κανόνας, καθώς τα προκαλούσε όχι μόνον η ατέλειατων οργάνων αλλά και η παραμόρφωση του φωτός από τις διαταραχές της ατμόσφαιρας.

Το 1812 ο Λαπλάς δημοσίευσε τη μεγάλη του πραγματεία/Αναλυτί/ο) θεωρία των πιθανοτή-των, η οποία ήταν μία σύνθεση όλωντων μέχριτότε εξελίξεων για μία ολόκληρη γενιά

παρέμεινε το κυρίως βιβλίο για το θέμα.Στο κοινωνικό πεδίο, η θεωρία των πιθανοτήτων θεωρήθηκε ότι αποτελεί τον «λογισμό

της ορθολογικής συμπεριφοράς». Το 1814 ο Λαπλάς είπε ότι οι πιθανότητες δεν ήτανπαρά η κοινή λογική μεταφρασμένη σε μαθηματικούς τύπους. Οι μαθηματικοί του Διαφω-τισμού πίστευαν ότι τα φωτισμένα άτομα ενεργούσαν ορθολογικά και ότι οι πιθανότητεςέδιναν στις μάζες ένα ποσοτικό μέτρο, με το οποίο μπορούσαν τουλάχιστον να μιμηθούν

τη συνετή συμπεριφορά των αρίστων. Τελικός στόχος ήταν μια γενική σταθερά ανθρώπι-νης συμπεριφοράς1 η μελέτη των τυχερών παιχνιδιών δεν ήταν παρά ένας τρόπος εύρε-σης των εργαλείων που επέτρεπαν τη λήψη ορθολογικών αποφάσεων σε έναν κόσμο αβε-

βαιότητας. Π.χ., ο Λαπλάς και άλλοι μελέτησαν την πιθανότητα που είχε ένα σώμα ενόρ-

κων με ορισμένο αριθμό μελών να καταλήξει σε λανθασμένη ετυμηγορία. 'Αλλοι πάλι δια-νοητές δεν συμφωνούσαν εντελώς με το ορθολογικό πνεύμα της Γαλλικής Επανάστασης.

Ο Τζων Στιούαρτ Μιλ πίστευε ότι τη λογική την εξυπηρετούσε καλύτερα η παρατήρηση καιτο πείραμα παρά οι καθαρά ορθολογικές υποθέσεις των πιθανοτήτων.

Ο Αντόλφ Κετελέ, Βέλγος μαθηματικός και αστρονόμος, συμπλήρωσε τον κρίκο που

έλειπε μεταξύ της στατιστικής για αστρονομικούς σκοπούς και της κοινωνικής στατιστι-κής. Η ιδέα της κανονικής κατανομής βρισκόταν στη βάση της αντίληψης του για τον «μέσο

άνθρωπο», γύρω από τον οποίο θα κατανέμονταν τα χαρακτηριστικά των πραγματικώνανθρώπων, όπως ακριβώς συσσωρεύονταν γύρω από την πραγματική θέση ενός αστεριού

οι ατελείς επιμέρους μετρήσεις της θέσης του. Έτσι, η απόκλιση από αυτήν τη θεωρητικήνόρμα έφτασε να θεωρείται σαν ένα είδος σφάλματος. Ο Κετελέ θεώρησε ότι ήταν έργοτου κράτους να συλλέξει και να αναλύσει δημογραφικά δεδομένα, έτσι ώστε ο «κοινωνικόςφυσικός» να μπορέσει να ανακαλύψει κοινωνικούς νόμους ανάλογους με τους νόμους της

φύσης, όπως π.χ. την αρχή της διατήρησης της «ηθικής ενέργειας». Αναζήτησε τη δικαί-ωση της θεωρίας του στο γεγονός ότι οι ρυθμοί γεννήσεων, θανάτων, γάμων και εγκλημα-

τικότητας έμοιαζαν να παραμένουν σταθεροί από χρόνο σε χρόνο, αν και διέφεραν απ' τη

μία χώρα στην άλλη, δείχνοντας έτσι ότι οι διάφορες κοινωνικές ομάδες διέθεταν σταθε-ρές, αν και ελαφρά διαφορετικές μεταξύ τους, «κοινωνικές φυσικές».

Τέτοιου είδους κοινωνικά δεδομένα υπήρχαν από τον 17ο αι. Το 1662 ο Τζων

Γκρωντ δημοσίευσε το βιβλίο του Φυσικές και πολιτικές παρατηρήσεις βασισμένο στηστατιστική ανάλυση των δελτίων θνησιμότητας του Λονδίνου, τα οποία δημοσιεύονταν

κάθε βδομάδα και αποτελούσαν το βαρόμετρο για την πιθανή εκδήλωση επιδημιών,» οπότε ο κόσμος θα έπρεπε να εγκαταλείψει την πόλη. Το 1693 ο αστρονόμος Έντμοντ

Χάλλεϋ δημοσίευσε έναν πίνακα ζωής βασισμένο στα δελτία θνησιμότητας για την πόλητου Μπρέσλαου, που τα δεδομένα τους ήταν πολύ ακριβέστερα από εκείνα που είχε στηδιάθεση του ο Γκρωντ. Ο Χάλλεϋ κατάφερε να αποδείξει ότι η τότε κυβέρνηση που-λούσε πολύ φτηνά τις ασφάλειες ζωής. Αλλά η μαθηματική στατιστική μπορεί να θεωρη-θεί εξέλιξη του δεύτερου μισού του 19ου αι., που συγκέρασετις στατιστικές μεθόδουςτων αστρονόμων και τη συλλογή στοιχείων από τους ασφαλιστές.

Η βιομετρική παράδοση ιδρύθηκε από τον ξάδελφο του Κάρολου Δαρβίνου ΦράνσιςΓκώλτον (1822-1911), ο οποίος χρησιμοποίησε στατιστικές μεθόδους στην ανάλυση τωνκοινωνικών δεδομένων και των κληρονομικών χαρακτηριστικών. Ο κύριος στόχος του απο-καλούμενου κινήματος της ευγονικής ήταν η βελτίωση του ανθρώπινου είδους μέσω επιλε-κτικής αναπαραγωγής, και η στατιστική παρείχε ένα μέσο ποσοτικής αποτίμησης της εξέ-

λιξης και βοηθούσε στη βελτίωση της. Ο ΓκώλτονΔεν γνωρίζω τίποτε ικανότερο να εξάψει τη φαντασία από εφάρμοσε την κανονική κατανομή όχι τόσο ως

την υπέροχη μορφή κοσμικής τάξης που εκφράζει ο «νόμος της «καμπύλη σφάλματος», όσο ως μέτρο μεταλλαγής,συχνότητας σφάλματος». Αν οι Έλληνες τον γνώριζαν θα τον συνειδητοποιώντας από τη θεωρία του Δαρβίνου για

είχαν προσωποποιήσει και θεοποιήσει. Βασιλεύει γαλήνιος ^εξέλιξη μέσω φυσικής επιλογής ότι η βιολογικήi , , , >Γ. ' , , μεταβλητότητα χρειαζόταν τη δική της ξεχωριστή

και ταπεινός μέσα στην πιο άναρχη σύγχυση. Οσο μεγαλύτερο ανάλυση καιότιδεν ήταν δυνατόν να τη βλέπε.το πλήθος και η αναρχία τόσο σταθερότερη η εξουσία του. κανείς σαν ένα εξελικτικό σφάλμα από κάποια εξιδα-Είναι ο ύψιστος νόμος του παραλογισμού. Κάθε φορά που νικευμένη κανονική μορφή,

θεωρούμε ένα μεγάλο δείγμα χαοτικών στοιχείων και προ- Ο Γκώλτον εισήγαγε τις έννοιες της παλινδρό-σπαθούμε να τα ταξινομήσουμε κατά μέγεθος, ανακαλύ- Μησης και της συσχέτισης. Η στατιστική έννοιατης

πτουμε ότι σε όλη τη διαδικασία ενυπήρχε ευθύς εξαρχής μια "^δρό ξεπήδησε από τη μελετητών μπ,ζε-, , λιων. Ο Γκώλτον χώρισε μια παρτίδα σπορών σε 7

υπεροχή μορφή κανονικότητας. ομάδεςανάλογα μ£το μεγεθόςτους. Οιmopm

φυτών που παράχθηκαν έδειξαν την ίδια μεταβλητό-Σερ Φράνσις Γκώλτον, Φυσική κληρονομά, 1889 τητα, ή διακύμανση, μεγέθους σε όλες τις ομάδες.

Το μέσο μέγεθος σπόρου για όλη την παρτίδα παρέ-μενε σταθερό αλλά οι μέσοι όροι των επιμέρους ομάδων είχαν απομακρυνθεί από τις τιμέςτων πατρικών φυτών, πλησιάζοντας τον μέσο όρο της παρτίδας. Ο μέσος όρος έτσι«παλινδρομούσε» προς τον μέσο όρο του πληθυσμού. Το 1885 ο Γκώλτον είχε πια καταλά-βει το φαινόμενο της παλινδρόμησης και το 1889 εισήγαγε τη συγγενή έννοια της συσχέτι-σης. Διαβαθμίζοντας κατάλληλα δύο σχετιζόμενες μεταβλητές και καταγράφοντας τιςτιμές τους, ο Γκώλτον ανακάλυψε ένα αδιάστατο μοναδικό μέγεθος που θα μπορούσε νααποτελεί τον δείκτη συσχετισμού των δύο μεταβλητών. Αυτός ο συντελεστής συσχέτισηςμπορούσε να κυμαίνεται ανάμεσα στο +1, τέλεια θετική συσχέτιση, και το -1, τέλεια αρνη-τική συσχέτιση. Ένας συντελεστής κοντά στο Ο σήμαινε έλλειψη συσχέτισης μεταξύ τωνδύο μεταβλητών. Από μόνος του ο συντελεστής δεν αποδείκνυε καμία αιτιατή σχέσημεταξύ των μεταβλητών, αλλά μπορούσε να δικαιολογήσει τη διεξαγωγή πειραμάτων γιατην ανακάλυψη κάποιου τέτοιου μηχανισμού.

Ο Γκώλτον ήταν για την κληρονομικότητα της συνεχούς μεταλλαγής αυτό που ήταν ο

Μέντελ για τη διακριτή μεταλλαγή, αν και ο καθένας δούλευε αγνοώντας την ύπαρξη τουάλλου. Ο Γκρέγκορ Μέντελ σπούδασε μαθηματικά και φυσική και η μελέτη που είχε κάνει το

1865, η οποία προοιώνιζε την ύπαρξη των γονιδίων, ανακαλύφθηκε από τους βιομέτρες το1900. Προκάλεσε μεγάλη αναστάτωση με αποτέλεσμα οι φανατικοί δαρβινιστές του βιομε-τρικού κινήματος να απορρίψουν την έννοια του γενετικού υλικού. Ο Πήρσον θεώρησε την

ιδέα υπερβολικά μεταφυσική και δεν μπορούσε με τίποτα να καταλάβει πώς μία διακριτή

οντότητα μπορούσε να επιδεικνύει συνεχή χαρακτηριστικά. Το ζήτημα δεν λύθηκε παράμόνο το 1918, όταν ο Φίσερ απέδειξε ότι εάν θεωρηθεί ο αριθμός των γονιδίων αρκετά μεγά-λος, το μοντέλο του Μέντελ μπορούσε να παράγει συσχετισμούς σαν αυτούς που μελετού-σαν οι βιομέτρες. Αυτό ήταν ανάλογο με τη διακριτή διωνυμική κατανομή, η οποία έτεινε

προς την κανονική κατανομή όσο αυξανόταν ο αριθμός των μετρήσεων.Τα φιλοσοφικά επιχειρήματα είναι πέρα από το σκοπό αυτού του βιβλίου, αλλά είναι

σημαντικό να τονίσουμε ότι η στατιστική δεν αναπτύχθηκε σαν ανεξάρτητος κλάδος τωνμαθηματικών. Η εξέλιξη της και τα εργαλεία που χρησιμοποιούσε είχαν βαθιές ρίζες στις

κοινωνικές ανησυχίες. Τα τελευταία χρόνια της ζωής του ο Γκώλτον χρηματοδότησε μία

έδρα Ευγονικής (τώρα Ανθρώπινης Γενετικής) στο University College του Λονδίνου. Οπρώτος καθηγητής ήταν ο Καρλ Πήρσον (1857-1936) και μετά ο Ρόνολντ Έιλμερ Φίσερ

(1890-1962). Το 1901 ο Πήρσον και ο Γκώλτον εξέδωσαν το περιοδικό Biometrika, το οποίοέγινε το κυρίαρχο έντυπο στο χώρο της στατιστικής. Στις σελίδες του βρίσκουμε όχι μόνοτις θεωρίες του τελευταίου για την παλινδρόμηση και τη συσχέτιση αλλά και το κριτήριο

του χ2 του Πήρσον που αναπτύχθηκε το 1900, το οποίο επέλυε το πρόβλημα του κατάπόσο μία θεωρητική κατανομή «ταίριαζε» επαρκώς μετά δεδομένα τα οποία περιέγραφε.Το 1908 ο Γ.Σ. Γκόσετ, ένας βιολόγος που δούλευε στη ζυθοποιία Guinness στο Δουβλίνο,

εισήγαγε την κατανομή t για μικρά δείγματα. Έγραψε με το ψευδώνυμο «φοιτητής» και τοκριτήριο t πολλές φορές ονομάζεται ακόμα «κριτήριο του φοιτητή». Ένα μεγάλο μέρος

της δουλειάς του Πήρσον επικαλύφθηκε από την αντίστοιχη δουλειά του Φίσερ, ο οποίοςεισήγαγε την ανάλυση της διασποράς, μία τεχνική που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της

εγκυρότητας των πειραματικών δεδομένων, ιδιαίτερα σε πειράματα τυχαίου δείγματος,όπως είναι αυτά που χρησιμοποιούνται στη γεωργία για τον έλεγχο των λιπασμάτων. Η

μέθοδος βασιζόταν στον μαθηματικό διαχωρισμό των πραγματικών «αποτελεσμάτων»

από τα τυχαία «σφάλματα»· εάν κάποιο πείραμα καταλήγει σε ένα πραγματικό αποτέλε-σμα, τότε η μέθοδος δείχνει την ισχύ του αποτελέσματος σε σχέση με το σφάλμα.

Το 1920 η στατιστική ήταν ήδη για τους μαθηματικούς ένα θεμιτό αντικείμενο έρευ-

νας, που οδηγούσε σε μεγαλύτερη ακρίβεια και πιο έξυπνες μεθόδους. Οι ιδέες τουΦίσερ για τον πειραματικό σχεδιασμό και την ανάλυση της διασποράς ήταν το βασικόθέμα στο βιβλίο του Ο σχεδιασμός ενός πειράματος (1936) και βρήκαν μεγάλη διάδοσηστην Αγγλία και στις ΗΠΑ. Άλλαξαν ριζικά την πειραματική προσέγγιση σε επιστήμες με

αντικείμενο τόσο ρευστό που να μην επιδέχεται εργαστηριακή προσομοίωση.

-< Το σκάκι είναι πιθανότατα τοπιο δημοφιλές παιχνίδι στρατηγι- ,κής στον κόσμο. Ο Τζων ΦορμπςΝας απέδειξε ότι παρά την πολυ-πλοκότητα του, το σκάκι έχει μίαβέλτιστη στρατηγική. Η ανακάλυψημιας τέτοιας στρατηγικής θα έκανετο σκάκι ένα ακόμα τετριμμένο παι-χνίδι όπως η τρίλιζα.

Οι άνθρωποι πάντα έπαιζαν και η κάθε εποχή είχε το δικό της αγαπημένο παιχνίδι. Τα περισ-

σότερα είναι μίγμα επιδεξιότητας και τύχης, και πραγματικά καλός παίκτης είναι εκείνος

που μετά από πολλά διαδοχικά παιχνίδια και σκαμπανεβάσματα της τύχης καταφέρνει να

βγει αλώβητος. Υπάρχουν όμως μερικά παιχνίδια που αφήνουν ελάχιστα πράγματα στην

τύχη - δεν έχουν ούτε ζάρια ούτε κρυφά χαρτιά. Αυτά είναι όσα βασίζονται στην καθαρή

στρατηγική και η μελέτη τους είναι το αντικείμενο της θεωρίας των παιγνίων. Υπάρχουν επί-

σης άλλα που είναι κυριολεκτικά θέμα ζωής ή θανάτου. Καθώς τα σφάλματα τακτικής κοστί-

ζουν λιγότερο σε ένα εικονικό πεδίο μάχης, οι διάφοροι στρατηγικοί εγκέφαλοι πάντα κατέ-

φευγαν σε παιχνίδια πολέμου για να ασκήσουν τις δεξιότητες τους. Δεν είναι ίσως τυχαίο ότι

το σκάκι και το γιαπωνέζικο γκο είναι στην ουσία εξιδανικευμένα παιχνίδια πολέμου. Δεν

είναι επίσης περίεργο που η πρώτη πρακτική εφαρμογή της θεωρίας των παιγνίων έγινε

στην ανάλυση ενός νέου είδους πολέμου, που θα μπορούσε να είναι ο τελευταίος.

Τον 19ο αι. οι Πρώσοι επινόησαν ένα παιχνίδι που λεγόταν Kriegspiel, κυριολεκτικά

«παιχνίδι πολέμου». Παιζόταν σε μία σκακιέρα και ήταν καθαρά θέμα τακτικής. Με τον

καιρό έγινε πιο ρεαλιστικό και απέκτησε και έναν διαιτητή ο οποίος αποφάσιζε σε περιπτώ-

σεις κρίσεων με τη βοήθεια πινάκων δεδομένων από πραγματικές μάχες. Οι στρατιωτικές

επιτυχίες του πρωσικού στρατού αποδίδονταν κυρίως στην υψηλού επιπέδου στρατηγική

του, η οποία αναπτύχθηκε μέσα από προσομοιώσεις Kriegspiel. To παιχνίδι διαδόθηκε σε

άλλες χώρες, όπως επίσης στην Αμερική και την Ιαπωνία. Η ήττα της Γερμανίας στον Α'

Παγκόσμιο Πόλεμο έθεσε απότομο τέρμα στη μυθοποίηση των αποτελεσμάτων του παι-

χνιδιού. Άρχισε να γίνεται φανερό ότι η γρήγορη εξέλιξη των καινούργιων όπλων και των

συστημάτων εφοδιασμού σήμαινε ότι ολόκληρη η βάση της στρατιωτικής στρατηγικής

έπρεπε να αναθεωρηθεί. Έτσι οι στρατιωτικοί είχαν ανάγκη τους μαθηματικούς και τους

επιστήμονες, όχι μόνο για να αναπτύξουν στρατιωτική υποδομή αλλά και για συμβουλές

στρατιωτικής φύσεως - που μέχρι τώρα ήταν αποκλειστικά δουλειά στρατηγών με πολύ

μεγάλες γνώσεις στρατιωτικής ιστορίας. Αυτό έγινε ιδιαίτερα αισθητό μετά από τον Β'

Παγκόσμιο Πόλεμο, οπότε η συνείδηση ότι οι υπερδυνάμεις κατείχαν όπλα μαζικής κατα-

στροφής άλλαξε εντελώς τους κανόνες της στρατιωτικής αναμέτρησης. Τα επιτραπέζια

παιχνίδια με φιγούρες ιππικού και πυροβολικού έμοιαζαν πια προϊστορικά.

Όμως τα στρατιωτικά παιχνίδια εξακολούθησαν να αναλύονται μαθηματικά με την

ελπίδα να προκύψουν θεωρίες πρακτικά εφαρμόσιμες. Ο Εμίλ Μπορέλ, Γάλλος μαθηματι-

κός και υπουργός ναυτιλίας στη δεκαετία του '20, έγραψε τη Θεωρία τωι/παίγνι'ωντου,

στην οποία ανέλυε πράγματα όπως η μπλόφα στο πόκερ και η εφαρμογή των μαθηματι-

κώντων παιγνίων στην οικονομία και στην πολιτική. Η επιρροή του Μπορέλ φαίνεται στο

σημαντικό βιβλίο Θεωρία παιγνίων και οικονομική συμπεριφορά που εκδόθηκε το 1944

γραμμένο από έναν Ούγγρο μαθηματικό τον Τζων φον Νόυμαν και έναν αυστριακό οικο-

νομολόγο, τον Όσκαρ Μόργκενστερν, που και οι δύο ήταν καθηγητές τότε στο Πρίνστον.

Παρουσίαζαν τη θεωρία των παιγνίων σαν ένα πιθανό μοντέλο οικονομικής αλληλεπίδρα-

σης. Ο οικονομολόγοι άργησαν να αφομοιώσουν αυτή την καινούργια θεωρία, η οποία

στην πρώτη της εκδοχή είχε περισσότερη σχέση με τη στρατιωτική στρατηγική.

Ο Γιάνος φον Νόυμαν (1903-57), αργότερα γνωστότερος ως Τζων φον Νόυμαν, γεννή-

θηκε στη Βουδαπέστη και έδειξε από νωρίς τεράστιες μαθηματικές ικανότητες. Το 1921

κέρδισε μία από τις λίγες θέσεις που υπήρχαν για Εβραίους στο Πανεπιστήμιο της Βούδα-

πέοτης, απ' όπου πήρε διδακτορικό το 1926 με μία εργασία για τη θεωρία των παιγνίων, αν

και δεν είχε παρακολουθήσει ούτε μία παράδοση. Στο μεταξύ έζησε στο Βερολίνο και τηΖυρίχη μελετώντας χημεία, το αγαπημένο αντικείμενο σπουδώντου πατέρα του, ενώ

παράλληλα συνέχιζε τις μαθηματικές του σπουδές με μαθηματικούς όπως ο Χέρμαν Βάιλκαι ο Τζωρτζ Πόλυα. Αργότερα σπούδασε με τον Ντάβιντ Χίλμπερτ στο Γκαίτινγκεν. Το 1930

πήγε στο Πρίνστον και το 1933 έγινε ένας από τους πέντε πρώτους μαθηματικούς που έγι-ναν μέλη του νεοϊδρυθέντος Ινστιτούτου Ανωτέρων Σπουδών, όπου και θα περνούσε τηνυπόλοιπη ζωή του. Παραιτήθηκε από τις θέσεις του στη Γερμανία όταν ανέλαβαν την εξου-

σία οι Ναζί και αποφάσισε να εγκατασταθεί στην Αμερική, όχι σαν πρόσφυγας αλλά επειδήθεωρούσε ότι εκεί υπήρχαν περισσότερες ευκαιρίες. Από το 1940 κατείχε διάφορες θέσεις

συμβούλου κυρίως σε στρατιωτικά θέματα, δούλεψε στο Λος Άλαμος στον τομέα της κβα-ντικής μηχανικής για την παραγωγή της ατομικής βόμβας και το 1955 διορίστηκε στην Επι-

τροπή Ατομικής Ενέργειας. Από την εποχή της Ζυρίχης, ο Πόλυα αφηγείται ότι, «ο Τζόνυήταν ο μόνος φοιτητής που πραγματικά φοβόμουν. Αν στη διάρκεια της παράδοσης ανέ-

φερα κάποιο από τα πολλά άλυτα προβλήματα των μαθηματικών, ήταν πολύ πιθανό, μόλιςτελείωνε το μάθημα, να ερχόταν να με βρει ο φον Νόυμαν με έτοιμη τη λύση γραμμένη πρό-

χειρα πάνω σε ένα κομμάτι χαρτί». Πέθανε το 1957 από καρκίνο και οι φίλοι του αφηγούνται

ότι ο μεγάλος του καημός ήταν ότι έχανε τις πνευματικές του ικανότητες μετά από μία ολό-κληρη ζωή που προσπαθούσε να τις καλλιεργήσει. Οι πιο αξιομνημόνευτες εργασίες τουείναι οι σχετικές με τη θεωρία των παιγνίων, την κβαντική μηχανική και τους υπολογιστές.

Ο απλούστερος τύπος παιχνιδιού είναι το παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος για δύο παί-

κτες και δύο στρατηγικές - ένα παιχνίδι στο οποίο δύο απόλυτα λογικοί παίκτες παίζουν μεσκοπό να κερδίσουν, οπότε το σύνολο του κέρδους είναι Ο, δηλαδή ό,τι κερδίζει ένας παί-κτης το χάνει ο άλλος. Ένα διασκεδαστικό παράδειγμα είναι γνωστό ως το παιχνίδι «μοίρα-

σμα του κέικ». Ένα κοινό σενάριο σε πολλά νοικοκυριά είναι η διαίρεση ενός κέικ ανάμεσασε δύο παιδιά, ώστε κανένα από τα δύο να μην νιώθει ότι το άλλο έχει πάρει μεγαλύτερο

κομμάτι. Η λύση είναι μία διαδικασία δύο βημάτων: το ένα παιδί κόβει το κέικ στη μέση και το

δεύτερο επιλέγει πρώτο το κομμάτι του. Και τα δύο παιδιά θα θέλανε το μεγαλύτερο κομ-μάτι, αλλά βλέποντας λογικά ότι το κάθε παιδί αναγνωρίζει τη λαιμαργία του άλλου, υπάρχει

μία βέλτιστη λύση. Το πρώτο παιδί πρέπει να κόψει το κέικ με τον πιο δίκαιο τρόπο που μπο-ρεί, γιατί εάν το ένα κομμάτι είναι πολύ μεγαλύτερο, τότε το δεύτερο παιδί αναμφίβολα θαδιαλέξει αυτό. Η αποκαλούμενη θεωρία ελαχίστου-μεγίστου (minimax) που ανέπτυξε ο φον

Νόυμαν λέει ότι υπάρχει ένα «σημείο αυχένα» ή βέλτιστη λύση, όπου και οι δύο παίκτες θα

είναι εξίσου ικανοποιημένοι. Η θεωρία επεκτάθηκε για να περιλάβει πάνω από δύο παίκτεςκαι καθώς αυξανόταν ο αριθμός των παικτών, η εφαρμογή της θεωρίας γινόταν όλο και πιοδύσχρηστη. Ένα μεγάλο μέρος του βιβλίου πραγματεύεται τα παίγνια σε συνάρτηση με

πίνακες απόδοσης για τους παίκτες, και καθώς ο αριθμός των παικτών αυξάνεται, οι πίνακες

γίνονται όλο και μεγαλύτεροι απαιτώντας για τον υπολογισμό τους τεράστιες μήτρες.Στη δεκαετία του '40 ο Τζων Φορμπς Νας επέκτεινε τη θεωρία του φον Νόυμαν σε παί-

γνια μη μηδενικού αθροίσματος. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το χρηματιστήριο: μπο-

ρεί να υπάρχουν κερδισμένοι και χαμένοι ανάμεσα στους παίκτες, αλλά το συνολικό ποσόχρημάτων επίσης μεταβάλλεται, καθώς η κεφαλαιοποίηση της αγοράς αυξάνεται. Ο Νας

ανακάλυψε ότι τα παίγνια με μη μηδενικό άθροισμα είχαν επίσης μία λύση ισορροπίας. Γεν-

*· Αυτή είναι η αρχική θέση τωνΕξελιγμένα)!/ εικονικών πλασμάτωντου Καρλ Σιμς (1994). Τα πλά-σματα, που είναι γνωστά με το χαϊ-δευτικό όνομα «blockies», εμπλέκο-νται σε ένα παιχνίδι ελέγχου τουπράσινου κύβου. Είναι αποτελέ-σματα προσομοίωσης μιας δαρβινι-κής διαδικασίας μέσω της οποίαςτα σώματα τους και η συμπεριφοράτους εξελίσσονται για να φτάσουνκάποια στιγμή να εκτελούν ορισμέ-νες ενέργειες.

νήθηκετο 1928 στη Δυτική Βιρτζίνια, τελείωσε το Carnegie Institute of Technology και

έκανε το διδακτορικό του στο Πρίνοτον, υποβάλλοντας τη διατριβή του για τα μη-συνεργα-

τικά παιχνίδια το 1950. Ταυτόχρονα, υπέβαλε μία εργασία, για την οποία, το 1994, κέρδισε

το Νόμπελ της Οικονομίας. Από το 1951 δίδαξε στο ΜΙΤ όπου έκανε πρωτοποριακή έρευνα

στη γεωμετρία, στις πολλαπλότητες Ρήμαν και στον ευκλείδειο χώρο. Το 1959 αυτός ο

πολλά υποσχόμενος μαθηματικός αρρώστησε από σχιζοφρένεια. Τις εμπειρίες του και την

ανάρρωση του στα μέσα της δεκαετίας του 70 τα περιέγραψε ο ίδιος προσωπικά στο

παγκόσμιο συνέδριο ψυχιατρικής το 1996. Συνέχισε να παράγει εξαιρετικό έργο, ακόμα και

τον καιρό που ήταν έγκλειστος στο νοσοκομείο, σε τομείς όπως η γεωμετρία, η τοπολογία

και οι διαφορικές εξισώσεις. Σήμερα εργάζεται στη γεωμετρία του χώρου.

Η εργασία του Νας έδειξε ότι υπάρχουν σενάρια όπου η βέλτιστη έκβαση δεν είναι η πιο

προφανής ενέργεια. Γνωστό παράδειγμα είναι το αποκαλούμενο δίλημμα του φυλακισμέ-

νου που το σκέφτηκε ο Μέλβιν Ντρέσερ και το ερμήνευσε ο 'Αλμπερτ Τάκερ σε μία διάλεξη

του σε φοιτητές ψυχολογίας. Το σενάριο έχει αλλάξει κάπως λόγω των πολλών αφηγητών

που ακολούθησαν, αλλά στην αρχική του μορφή ο Τάκερ εξηγεί ότι δύο άντρες έχουν συλ-

ληφθεί για κάποιο αδίκημα και τοποθετούνται σε διαφορετικά κελιά. Αν ομολογήσει μόνο ο

ένας, θα ανταμειφθεί, ενώ ο άλλος θα τιμωρηθεί' αν και οι δύο ομολογήσουν, θα τιμωρη-

θούν και οι δύο· αν κανείς δεν ομολογήσει, θα αφεθούν και οι δύο ελεύθεροι. Η ουσία του

διλήμματος είναι ότι η βέλτιστη έκβαση είναι να μείνουν και οι δύο σιωπηλοί, οπότε θα απε-

λευθερωθούν και οι δύο, αλλά ο φόβος ότι μία τέτοια στρατηγική μπορεί να στραφεί ενα-

ντίον τους, αν ο άλλος ομολογήσει, ίσως τους οδηγήσει στην ομολογία, περίπτωση στην

οποία θα τιμωρηθούν και οι δύο. Με τέτοια στρατηγικά παιχνίδια και σενάρια στο μυαλό ανα-

ζητήθηκαν εφαρμογές στον χώρο των διαπραγματεύσεων σε στρατιωτικό, επιχειρηματικό ή

προσωπικό επίπεδο. Πειραματικά ανακαλύφθηκε ότι οι άνθρωποι είχαν έντονη την αίσθηση

της θεωρητικά βέλτιστης λύσης και ότι η παραμικρή παρασπονδία αμέσως οδηγούσε στην

αντίδραση της άλλης πλευράς, το γνωστό μας πανάρχαιο οφθαλμόν αντί οφθαλμού.

Υπάρχουν παιχνίδια για τα οποία υπάρχει η βέλτιστη στρατηγική, και μόλις αυτή βρεθεί

το παιχνίδι γίνεται στην ουσία τετριμμένο. Π .χ. η τρίλιζα είναι ένα πολύ δημοφιλές παιδικό

παιχνίδι, αλλά από τη στιγμή που η στρατηγική της έγινε κατανοητή και ο κάθε παίκτης παί-

^ Σε κάθε γενιά, επιβιώνουν ταπιο πετυχημένα πλάσματα και ανα-παράγονται με μεταλλάξεις καιανασυνδυασμούς στο γενετικόυλικό των απογόνωντους. Όταν οκύκλος επιλογής κα; μεταλλαγήςσυνεχιστεί για πολλές γενιές, οιπετυχημένες στρατηγικές «εφευρί-σκονται» αυτόματα, χωρίς ανθρώ-πινη παρέμβαση. Ο πράσινοςκύβος είναι τώρα μέσα στα όρια.

ζει ορθολογικά, τότε όλες οι παρτίδες καταλήγουν σε ισοπαλία και το ενδιαφέρον χάνεται.

Ο Νας απέδειξε ότι ακόμα και το σκάκι έχει μία βέλτιστη στρατηγική, αλλά είναι τόσο πολύ-

πλοκο, που αυτή η βέλτιστη στρατηγική δεν έχει ακόμα βρεθεί, ούτε καν σε σημείο που να

μπορεί να πει εάν η κάθε παρτίδα θα καταλήξει σε ισοπαλία ή σε νίκη για τα λευκά. Εάν

κάποτε βρεθεί αυτή η βέλτιστη στρατηγική, τότε το σκάκι θα γίνει και αυτό βαρετό και

τετριμμένο όπως και η τρίλιζα. Υπήρχε κάποια βέλτιστη στρατηγική για τα πυρηνικά όπλα;

Για μερικά χρόνια η Αμερική ήταν η μόνη πυρηνική δύναμη, αλλά ο φόβος ότι η Ρωσία θα

κατασκεύαζε το δικό της πυρηνικό οπλοστάσιο οδήγησε μερικούς διανοητές όπως ο φον

Νόυμαν και ο Μπέρτραντ Ράσελ να υποστηρίξουν ένα άμεσο πρώτο πυρηνικό χτύπημα ενα-

ντίον της και την ίδρυση ενός παγκόσμιου κοινοβουλίου που θα επέβαλε παγκόσμια ειρήνη.

Αυτό δεν εφαρμόστηκε και έτσι η πολιτική σύντομα άλλαξε. Έγινε πολιτική αποτροπής και

εξασφαλισμένης αμοιβαίας καταστροφής (MAD). Αυτού του είδους οι στρατηγικές ανα-

πτύσσονταν κατά κανόνα στους μυστικοπαθείς κόλπους διανοητών της εταιρίας RAND.

Η εταιρεία RAND ιδρύθηκε το 1945 με χρήματα που είχαν περισσέψει από την πολεμική

προσπάθεια. Αρχικά ήταν τμήμα του ερευνητικού προγράμματος Douglas Aircraft αλλά το

1948 επανιδρύθηκε στην ουσία ως μη κερδοσκοπική οργάνωση χρηματοδοτούμενη από

τον στρατιωτικό και τον επιχειρηματικό τομέα. Είναι ένα τυπικό think tank, μία συγκέντρωση

δηλαδή εγκεφάλων που η βασική τους δουλειά είναι να «διανοούνταιτο αδιανόητο». Τα

αρχικά RAND σήμαιναν «έρευνα και ανάπτυξη», με έμφαση στην εθνική στρατηγική σε έναν

πυρηνικό κόσμο. Όλοι οι μαθηματικοίτων ΗΠΑ στις δεκαετίες '40 και '50 που προαναφέρ-

θηκαν κάποια εποχή δούλεψαν εκεί. Ο Νας τους εισήγαγε σε μία σειρά από παιχνίδια, που

περιλάμβαναν και το Kriegspiel. Η λογιστική του πολέμου μελετήθηκε με ακρίβεια και ανα-

πτύχθηκαν ασφαλείς μηχανισμοί για τη ν αποτροπή οποιουδήποτε τυχαίου χτυπήματος. Με

τον φόβο παρόντα και στις δύο πλευρές του αναπτυσσόμενου οπλοστασίου, η στρατηγική

οφθαλμός αντί οφθαλμού έμοιαζε εντελώς απίθανη - το πυρηνικό παιχνίδι μπορούσε να

παιχθεί μία και μόνη φορά. Η έντονη αντιπαράθεση των υπερδυνάμεων για δύο γενεές

άφησε τα σημάδια της στον πληθυσμό και στους ηγέτες του. Διανοούμαι το αδιανόητο

σήμαινε δεν αφήνω καμία πλευρά να διαπράξει το αδιόρθωτο.

Η RAND λειτουργούσε περισσότερο σαν πανεπιστήμιο και λιγότερο σαν στρατιωτικός

οργανισμός. Οι άνθρωποι της είχαν την ελευθερία να ακολουθούν τα δικά τους ιδιόρρυθμαστυλ ζωής και η έδρα της ήταν ανοικτή 24 ώρες το εικοσιτετράωρο. Η RAND είχε και τοδικό της πολύ πετυχημένο εκδοτικό τμήμα. Ένα από τα πιο δημοφιλή βιβλία που έβγαλε το1954 ήταν το The Compleat Strategyst του Τζων Γουίλιαμς, μία εκλαϊκευτική παρουσίασητων εφαρμογών της θεωρίας των παιγνίων γραμμένη με το μαύρο χιούμορ που ήταν τηςμόδας στην οργάνωση. Τώρα υπάρχουν πολλά άλλα think tanks που οφείλουν την ύπαρξητους στην επιτυχία της RAND, όμως κανένα από αυτά δεν είχε και δεν έχει στους κόλπουςτου τόσους πολλούς μαθηματικούς που η μόνη τους δουλειά να είναι η αφηρημένη σκέψη.

Σε αυτού του είδους τα στρατηγικά παιχνίδια χρησιμοποιείται η ορολογία της συνεργα-σίας και της αποστασίας. Η θεωρία των παιγνίων υπέστη αργότερα έντονη κριτική λόγω τουκυνισμού με τον οποίο αντιμετωπίζει τους ανθρώπους ως άτομα που ενδιαφέρονται μόνογια το δικό τους καλό, αλλά μεταγενέστερες μελέτες έδειξαν ότι οι στρατηγικές που ακο-λουθούν οι άνθρωποι στην καθημερινή τους ζωή όντως αντανακλούν την αντίληψη πουέχουν για το σχετικό κέρδος. Σε ένα παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος η ισοπαλία θα άφηνετους δύο παίκτες στο ίδιο σημείο από το οποίο θα είχαν ξεκινήσει, όταν όμως το παιχνίδιείναι μη μηδενικού αθροίσματος, όπως το χρηματιστήριο, το κέρδος και η απώλεια είναισχετικά, και το παιχνίδι έχει περισσότερο να κάνει με τη μεγιστοποίηση του προσωπικούκέρδους παρά με τη νίκη κατά κάποιου αντιπάλου. Η συνεργασία έτσι γίνεται πιο συνηθι-σμένη εάν και οι δύο πλευρές κερδίζουν από τη συναλλαγή. Αν και αρχικά άργησε να ανα-πτυχθεί, η θεωρία των παιγνίων είναι τώρα πια ακέραιο τμήμα της ανάλυσης της οικονομίαςτης αγοράς. Μία πρόσφατη χρήση ήταν το παγκόσμιο φαινόμενο της εκχώρησης δημοσίωνεπιχειρήσεων στον ιδιωτικό τομέα εξασφαλίζοντας έτσι πολύτιμα έσοδα και ανοίγοντας και-νούργιες αγορές για ανάπτυξη. Ολόκληρη η παγκόσμια αγορά είναι μία συνεχώς μεταλλασ-σόμενη σκηνή συνεργασιών και ανταγωνισμών - ένας κόσμος της θεωρίας των παιγνίων.

Προτείνω να εξετάσουμε το ζήτημα, «Μπορούν οι μηχανές να σκέπτονται;»...Η νέα μορφή του προβλήματος μπορεί να περιγραφεί συναρτήσει ενός παιχνιδιού που

το λέμε «παιχνίδι μίμησης». Παίζεται με τρία πρόσωπα, έναν άντρα (Α), μία γυναίκα

(Β), και έναν ανακριτή (Γ) που μπορεί να είναι οποιουδήποτε φύλου. Ο ανακριτής βρί-

σκεται σε ένα δωμάτιο χωριστά από τους άλλους δύο. Αντικείμενο του παιχνιδιού για τον

ανακριτή είναι να καταλάβει ποιος από τους άλλους δύο είναι ο άντρας και ποιος είναι ηγυναίκα... το αντικείμενο του Α στο παιχνίδι είναι να παραπλανήσει τον Γ... Για να μην

μπορούν να βοηθήσουν οι φωνές τον ανακριτή, οι απαντήσεις πρέπει να είναι γραπτές, ή

ακόμα καλύτερα, γραμμένες στη γραφομηχανή. Το ιδανικό στήσιμο είναι να υπάρχει από

ένα τηλέτυπο σε κάθε δωμάτιο... Το αντικείμενο του παιχνιδιού για τον τρίτο παίκτη (Β)είναι να βοηθήσει τον ανακριτή... Μπορεί να προσθέσει πράγματα όπως «εγώ είμαι

γυναίκα μην τον ακούς αυτόν!» στις απαντήσεις της, αλλά κάτι τέτοιο δεν θα βοηθούσε

καθόλου, δεδομένου ότι και ο άντρας θα μπορούσε να κάνει την ίδια ακριβώς δήλωση.

Ρωτάμε τώρα, «τι θα συνέβαινε αν τη θέση του Α σ' αυτό το παιχνίδι την έπαιρνε μίαμηχανή;» Ο ανακριτής θα κατέληγε σε λανθασμένη απάντηση με την ίδια συχνότητα

όπως αν το παιχνίδι παιζόταν ανάμεσα σε έναν άντρα και σε μία γυναίκα; Αυτά τα ερω-

τήματα αντικαθιστούν το αρχικό μας, «Μπορούν οι μηχανές να σκέπτονται;»

Άλαν Τιούρινγκ, Can a Machine Think?, 1950

·< Τζιάκομο Μπάλλα, Αφηρημένηταχύτητα - το αυτοκίνητο πέρασε, ι1913.0 Μπάλλα ήταν ένας απόαυτούς που είχε υπογράψει το Φου-τουριστικό Μανιφέστο του 1910, τοοποίο δήλωνε ότι «ο παγκόσμιοςδυναμισμός πρέπει να αποδίδεταιστη ζωγραφική σαν μία δυναμικήαίσθηση».

Ο 20ός αι. γνώρισε μια έκρηξη επιστημονικών ανακαλύψεων και τεχνολογικών εξελίξεων

σε όλες τις φυσικές, βιολογικές και ανθρωπιστικές επιστήμες. Κατά τη διάρκεια του Δια-

φωτισμού οι άνθρωποι πίστεψαν ότι η συσσωρευμένη γνώση θα τους έδινε απεριόριστη

εξουσία πάνω στη φύση και θα τους απελευθέρωνε από τον καθημερινό μόχθο. Οι αντι-

δράσεις των καλλιτεχνών σ' αυτές τις εξελίξεις δεν ήταν πάντα θετικές. Θυμηθείτε μόνο

την απόρριψη του νευτώνειου ωρολογιακού σύμπαντος από τον Γουίλιαμ Μπλέικ. Στις

αρχές του 20ού αι. η άποψη μας για το σύμπαν άλλαξε ριζικά - με τη σχετικότητα και την

κβαντομηχανική ξανακέρδισε το μυστήριο του και τη μαγεία του. Ωστόσο, καθώς οι επι-

στημονικές και πολιτικές εξελίξεις συγκρούστηκαν σε δύο παγκοσμίους πολέμους, εμείς

οι άνθρωποι αναγκαστήκαμε να επανεκτιμήσουμε τη θέση μας στο σύμπαν. Ίσως στο μέλ-

λον να μπορέσουμε να αναπτύξουμε τη σοφία μας στο ίδιο μέτρο με τη γνώση μας.

Στα προηγούμενα κεφάλαια εξέτασα το ρόλο των μαθηματικών σ' αυτές τις εξελί-

ξεις . Εδώ θα επικεντρωθώ στην επίδραση των μαθηματικών, που πολλές φορές πηγαί-

νουν χέρι-χέρι με τη νέα φυσική, στον πολιτισμό γενικά και στις τέχνες. Η τέχνη είναι

κατά κανόνα καθρέφτης φιλοσοφικών αναζητήσεων αλλά και προσωπικών αντιδράσεων

καλλιτεχνών στο μεταβαλλόμενο τεχνολογικό περιβάλλον. Φυσικά, τα μαθηματικά δεν

είναι η κύρια, πόσο μάλλον η μόνη, επίδραση για πολλά πολιτιστικά κινήματα. Είναι

ενδιαφέρον παρ' όλα αυτά να εξετάσουμε αυτούς τους τομείς στους οποίους τα μαθη-

ματικά έπαιξαν ιδιαίτερο και σημαντικό ρόλο. Η χρήση μαθηματικών όρων σε καλλιτε-

χνικά ζητήματα δείχνει ότι κάποιοι καλλιτέχνες υιοθέτησαν τη γλώσσα και τις ιδέες των

μαθηματικών μεταμορφώνοντας τες μέσα απ' το πρίσμα της καλλιτεχνικής ζωής.

Πολλά απ' τα καλλιτεχνικά κινήματα που ξεπήδησαν τις πρώτες δύο δεκαετίες του

20ού αι. ενστερνίστηκαν τη γλώσσα και τις ιδέες των καινούργιων γεωμετριών που ανα-

πτύχθηκαν από τους μαθηματικούς. Η ζωγραφική και η γλυπτική είναι από τη φύση τους

τέχνες που ασχολούνται με την καλλιτεχνική έκφραση σε δύο και τρεις διαστάσεις αντί-

στοιχα. Αυτό περιορίζει τη δυνατότητα πλήρους αναπαράστασης του κόσμου και της

ανθρώπινης ύπαρξης. Σε τι βοήθησαν οι καινούργιες γεωμετρίες τους νέους τρόπους

έκφρασης;

Κατά την ιταλική Αναγέννηση τα μαθηματικά της προοπτικής επέτρεψαν τη ρεαλιστι-

κότερη αναπαράσταση των τριών διαστάσεων σε μια δισδιάστατη επιφάνεια. Η προοπτική

διεύρυνε τη γλώσσα της ζωγραφικής και οι καλλιτέχνες έμαθαν γρήγορα τους καινούργι-

ους κανόνες. Αργότερα, έσπασαν συνειδητά τους κανόνες αυτούς για αισθητικούς και

εικαστικούς λόγους. Τον 20ό αι., ο Κυβισμός, ο Φουτουρισμός και ο Σουρεαλισμός συμβι-

βάστηκαν με τις έννοιες των καινούργιων γεωμετριών, όπως η μη ευκλείδεια γεωμετρία

και ο πολυδιάστατος χώρος, ιδιαίτερα η τέταρτη διάσταση. Τα πρώτα χρόνια του αιώνα οι

καινούργιες γεωμετρίες είχαν σημαντική επίδραση στους επιμέρους καλλιτέχνες, μεγαλύ-

τερη από ό,τι στα κινήματα συνολικά, Κατά τα τέλη της δεκαετίας του 1920 η χρονική

τέταρτη διάσταση της θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν κέρδισε τις εντυπώσεις,

αλλά πριν απ' αυτό είχαν υπάρξει πολλές συζητήσεις σχετικά με μια τέταρτη διάσταση του

χώρου. Οι μαθηματικές επαναστάσεις στη γεωμετρία έγιναν στα μεσάτου 19ου αι. με την

ανακάλυψη της μη ευκλείδειας γεωμετρίας ταυτόχρονα από τον Λομπατσέφσκι και τον

Μπόλυαϊ γύρω στα 1830 (κεφ. 16). Το 1854 ο Μπέρνχαρντ Ρήμαν έβγαλε το θεμελιώδες

σύγγραμμα του «Περί των υποθέσεων πάνω στις οποίες θεμελιώνεται η γεωμετρία», το

Α Ντέιβιντ Μπόμπεργκ, Στο

αμπάρι, 1913-14. Σύνθεση γραμμι-

κών ανθρώπινων μορφών πίσω από

πλέγμα. Η αποσπασματικότητα των

μορφών τους προσδίδει έναν

έντονο δυναμισμό.

οποίο έθεσε τις βάσεις για τη μαθηματική έρευνα των πολυδιάστατων χώρων και για πει-

ράματα φυσικής σε σχέση με την αληθινή γεωμετρία του χώρου.Η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν μία μόνο απ' τις πολλές δυνατές γεωμετρίες. Η πραγμα-

τική γεωμετρία του χώρου αυτή καθαυτή ήταν και εξακολουθεί να είναι θέμα των μαθηματι-κών και της φυσικής, ταυτόχρονα όμως άρχισε να διερευνάται από τους καλλιτέχνες η

γεωμετρία των αντιλήψεων και των αναπαραστάσεων. Εάν κοιτάξουμε πρώτα την ιδέα της

επέκτασης των τριών διαστάσεων του χώρου σε τέσσερις, αμέσως προκύπτει το πρό-βλημα της αναπαράστασης. Η κοινή αναλογία είναι η μέθοδος που χρησιμοποιείται μετόση επιτυχία στο βιβλίο του Έντγουιν Άμποτ Επιπεδοχώρος (1844), το οποίο μελετά τις

αντιλήψεις των δισδιάστατων όντων που ζουν σε μία επίπεδη χώρα όταν τους επισκέπτεταιένα τρισδιάστατο αντικείμενο. Μια ανάλογη οπτική βρίσκουμε στα εργάτου ΚλωντΜπράγκντον όπως π.χ. στο Man the Square: A Higher Space Parable (1912). Πρόκειται για

τη διαισθητική αντίληψη ολόκληρου του αντικειμένου εξετάζοντας διαδοχικές φέτες ή δια-τομές του. Έτσι, όσον αφορά τη ζωγραφική ως μέσον, η αντίληψη του πλήρους αντικειμέ-

νου, είτε αυτό υπάρχει σε τρεις είτε σε τέσσερις διαστάσεις, απαιτούσε μία σειρά από δια-τομές ή πολλαπλές εικόνες του από διάφορα προοπτικά σημεία. Αυτός είναι στην πραγμα-

τικότητα ένας από τους τρόπους με τον οποίο αναπαριστούσαν οι κυβιστές τα αντικείμενα

τους. Την προοπτική την έβλεπαν σαν εμπόδιο και την απέρριπταν διότι τους έδινε μία πολύπεριορισμένη και στενή άποψη των πραγμάτων. Η διάκριση που έκανε ο φιλόσοφος Ιμμά-

νουελ Καντ ανάμεσα στην αντίληψη των αντικειμένων και στα ίδια τα αντικείμενα βρισκόταν» στη βάση των πολύπλευρων μορφών του κυβισμού. Στην πραγματικότητα, η τέταρτη διά-

σταση γνώριζε μία σειρά από διατυπώσεις που ξεπερνούσαντα αυστηρά μαθηματικά καιτις συνηθισμένες διαστάσεις του χώρου: για κάποιους ήταν το πλατωνικό βασίλειο τωνιδεών, του μυστικισμού, του παράλογου. Με λίγα λόγια, η τέταρτη διάσταση απελευθέ-ρωνε τον καλλιτέχνη και του έδινε τη δυνατότητα να εξερευνήσει την πραγματικότηταπέρα από την τρισδιάστατη προοπτική. Αυτή την ελευθερία την εκμεταλλεύτηκαν όχι μόνονοι κυβιστές αλλά και οι ιταλοί φουτουριστές, που το ιδρυτικό τους μανιφέστο του 1909ήταν κατά ένα μέρος πολιτικό και κατά ένα μέρος καλλιτεχνικό, εκθειάζοντας τον μοντερνι-σμό, την εκβιομηχάνιση και την τεχνολογία. Καλλιτέχνες όπως ο Ουμπέρτο Μποτσιόνι, οΤζίνο Σεβερίνι και ο Τζιάκομο Μπάλλα εξέφραζαν τον δυναμισμό της τέταρτης διάστασης.

Ο πιο γνωστός μαθηματικός εκείνη την εποχή στη Γαλλία ήταν ο Ανρύ Πουανκαρέ,διανοούμενος που τα γραπτά του ξεπερνούσαν τα

Ας φανταστούμε για μια στιγμή ένα οποιοδήποτε τρισδιά- μαθηματικά και έμπαιναν σε τομείς όπως η πολι-στατο σώμα, ένα αφρικανικό λιοντάρι, π.χ., μεταξύ δύο στιγμών τική, η παιδεία και η ηθική. Το 1906 έγινε πρόεδρος

της ύπαρξης του. Μεταξύ του λιονταριού LO, ή λιονταριού τη χρο- της Ακαδημίας Επιστημών και τα γραπτά του, τανίκη στιγμή Τ = Ο, και του λιονταριού L1 ή του τελικού λιονταριού, οπ°ία γνώριζαν ευρύτατη διάδοση, έφερναν τηπαρεμβάλλεται μία απειρία αφρικανικών λιονταριών, διαφορετι- Ψυοική και τα μαθηματικά στο επίκεντρο της πνευ-

κών όψεων και μορφών. Αν τώρα θεωρήσουμε το σύνολο που δημι- ̂ οηκή ς ̂ H Φ^οσοφία του για τη σχετικότητα, > Λ / ·» ' /ι ' της γνώσης και η επικέντρωση του στη δημιουρ-

ουργειταιαπολαταμερητουλιονταριουσεολεςτιςστιγμεςκαι γική;λ^άτηςμαθηματικής δραστηριότητας,τις θέσεις του και μετά προσπαθήσουμε να αποδώσουμε την περί- περΛαμβανομένου και του ρόλου της υποσυνείδη-

κλείουσα επιφάνεια, καταλήγουμε σε ένα υπερλιοντάρι προικι- -̂ ς εκκόλαψης δύσκολων προβλημάτων σε αντί-σμένο με εξαιρετικά ντελικάτα και λεπτά μορφολογικά χαράκτη- θέση με μία καθαρά λογική γραμμή σκέψης, είχε

ριστικά. Αυτές τις επιφάνειες τις ονομάζουμε λιθοχρονικές. πολύ μεγάλη επίδραση στις αρχές του 20ού αι. Εξί-σου ίσως σημαντική ήταν η επίδραση στους κυβι-

Οσκαρ Ντομινγκεζ, «Το πέτρωμα του χρόνου», 1942 OTlKQUq κύκλους £νός μάχλον άγνω(κου ̂

κού, του Μωρίς Πρενσέ, ασφαλιστή και ερασιτέχνηζωγράφου, ο οποίος εξερευνούσε τα μαθηματικά της μη ευκλείδειας γεωμετρίας μετους ζωγράφους Ζαν Μέτσινγκερ και Χουάν Γκρις.

Το 1905 ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, υπάλληλος τότε στο γραφείο ευρεσιτεχνιών, ανακοί-νωσε την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας· το 1916, καθηγητής πλέον, δημοσίευσε τηΓενική Θεωρία. Στα τέλη της δεκαετίας του 1920, η τέταρτη διάσταση ως διάσταση τουχώρου είχε σχεδόν πλήρως αντικατασταθεί από την ιδέα της χρονικής τέταρτης διάστα-σης. Οχρόνος, και ως εκ τούτου η κίνηση, έγιναν ζητήματα πρώτιστης σημασίας γιακαλλιτέχνες όπως οι Μαρσέλ Ντυσάν και Ουμπέρτο Μποτσιόνι, π.χ. στο γλυπτό τουτλευταίου Μοναδικές μορφές συνέχειας στον χώρο (1913), αλλά και για τον ΦρανκΚούπκα και την αφηρημένη τέχνη του Καζιμίρ Μάλεβιτς.

Ο κυβισμός ιδρύθηκε από τον Πάμπλο Πικάσο και τον Ζωρζ Μπρακ. Οι δεσποινίδες τηςΑβινιόντου 1907 ήταν ο πρώτος κυβιστικός πίνακας. Η πιο γόνιμη περίοδος του κυβισμούείχε πια τελειώσει το 1922 και οι εκπρόσωποι'του είχαν αποκλίνει από την αρχικά κοινήτεχνοτροπία. Αν και τον θεωρούσαν ενιαία σχολή τέχνης, πάντα υπήρχαν διαφορές ανά-μεσα στους εκπροσώπους της και στο φιλοσοφικό υπόβαθρο και στην πρακτική εφαρ-

μογή. Ο ίδιος ο Πικάσο φαίνεται να μην έχει επηρεαστεί καθόλου από μαθηματικές ιδέες,, δηλώνοντας ότι εμπνεύστηκε κατά κύριο λόγο από τις μετακινούμενες προοπτικές του

Σεζάν και την τεχνοτροπία της αφρικανικής τέχνης και γλυπτικής. Τον Μπρακτον απασχο-λούσαν ιδιαίτερα οι γεωμετρικές αναπαραστάσεις και στην πραγματικότητα ο όρος «κυβι-σμός» είναι δικός του. Παράλληλα υπήρχε και μία τάση ανανεωμένου ενδιαφέροντος γιαπιο παραδοσιακές γεωμετρικές θεωρήσεις της προοπτικής και της δομής. Το 1912 έγινεστο Παρίσι μια σημαντική έκθεση με τίτλο Χρυσή τομή, αναφορά στην κλασσική αναλογίαπου απαντάται συχνά στην αρχιτεκτονική και στην τέχνη. Εκείνη την εποχή, ζωγράφοιόπως ο Γκρις και ο Ζακ Βιγιόν πλησίασαν μία εντελώς αφηρημένη και γεωμετρική μορφήκυβισμού απογυμνωμένη από οποιαδήποτε παραστατική έκφραση.

Η επίδραση της μη ευκλείδειας γεωμετρίας στην τέχνη των αρχών του 20ού αι. είναιπολύ πιο δύσκολο να εκτιμηθεί από ό,τι εκείνη της τέταρτης διάστασης. Το πρόβλημαμπορεί να πηγάζει από τη δυσκολία αναπαράστασης των μη ευκλείδειων χώρων. Ο ιτα-λός μαθηματικός Ευγένιος Μπελτράμι (1835-1900) έφτιαξε ένα φυσικό μοντέλο τηςψευδοσφαίρας που αναπαριστούσε τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι. Και μόνη η γνώσητης ύπαρξης της μη ευκλείδειας γεωμετρίας θα αρκούσε για να κεντρίσει την καλλιτε-χνική φαντασία αλλά ο τυπικός μαθηματικός της χαρακτήρας την έκανε ίσως απρό-σφορη ως έννοια σε σύγκριση με την καλλιτεχνική ελευθερία που υποσχόταν η τέταρτηδιάσταση. Ζωγράφοι όπως ο Ντυσάν είχαν μεγάλη επιρροή στους κύκλους τους, αλλάήταν μειοψηφία, όταν προσπαθούσαν να πείσουν τους καλλιτέχνες να μελετήσουνμαθηματικά και φυσικές επιστήμες. Η μη ευκλείδεια γεωμετρία, ωστόσο, επηρέασε τονιδρυτή του νταντά Τριστάν Τζαρά και τους σουρεαλιστές.

Το 1936 ο ζωγράφος Σαρλ Σιρατό δημοσίευσε το Διαστατικό μανιφέστο. Παραθέτο-ντας τις θεωρίες του Αϊνστάιν ως μία από τις εμπνεύσεις του, το μανιφέστο δηλώνει ότιη τέχνη έχει εξελιχθεί σε μία νέα διάσταση «εμπνευσμένη από την καινούργια αντίληψητου κόσμου». Η ζωγραφική έπρεπε να αφήσει το επίπεδο και να επεκταθεί στον χώρο,οδηγώντας έτσι σε διαστατικές κατασκευές και εγκαταστάσεις πολυμέσων. Παρότρυνετη «γλυπτική να εγκαταλείψει τον κλειστό, ακίνητο και νεκρό χώρο, δηλαδή τοντρισδιά-στατο ευκλείδειο χώρο, και να στρέψει την καλλιτεχνική της έκφραση στον τετραδιά-στατο χώρο του Χέρμαν Μινκόφσκι». Το μανιφέστο έφερε τις υπογραφές ενός εντυπω-σιακού αριθμού σημαντικών καλλιτεχνών. Η δήλωση αυτή είναι συμβατή και με τις δύοβασικές ερμηνείες της τέταρτης διάστασης, δηλαδή ως διάστασης χώρου και πνεύμα-τος και ως διάστασης χρόνου.

Γενικά όμως, ελάχιστοι ζωγράφοι μετά από τη δεκαετία του '30 έδειξαν ενδιαφέρονείτε για την τέταρτη διάσταση του χώρου ή για τον μη ευκλείδειο χώρο, αν εξαιρέσουμεβέβαια τους σουρεαλιστές. Ο Αντρέ Μπρετόν θεωρούσε ότι οι νέες γεωμετρίες ταίριαζανιδανικά με τα επιχειρήματα του για τον νέο «υπερρεαλισμό». Αν και η υπερρεαλιστική θεω-ρία του Μπρετόν βασίστηκε κατά μέγα μέρος στην ανάλυση του Φρόιντ για το υποσυνεί-δητο, την απασχολούσαν και οι υψηλότερες διαστάσεις, καθώς ο τετραδιάστατος χωρο-χρόνος συνδυαζόταν με υψηλότερες διαστάσεις του παράλογου ή του υποσυνείδητου.Αυτό το ενδιαφέρον το βλέπουμε στους τίτλους μερικών έργων, όπως Νεαρός άντραςμαγεμένος από το πέταγμα μίας μη ευκλείδειας μύγας (1942} του Μαξ Ερνστ, και στο περιε-χόμενο κάποιων άλλων, όπως π.χ. στα περίφημα «ρευστά» ρολόγια του Σαλβαδόρ Νταλί

Α Σαλβαδόρ Νταλί, 7ο μυστήριοτου ΜυσηκούΔείπνου, 1955. Ηευκλείδεια γεωμετρία συνέχισε ναεμπνέει τους καλλιτέχνες. Εδώ βλέ-πουμε τον Μυστικό Δείπνο να λαμ-βάνει χώρα μέσα σε ένα κανονικόδωδεκάεδρο, το πλατωνικό σύμ-βολο του σύμπαντος.

αλλά και σε άλλα του έργα όπως Η εμμονή της μνήμης (1931), στον υπερκύ βο, το τετραδιά-στατο αντίστοιχο του κύβου στη Σταύρωση (Corpus Hypercubicus) του 1954.0 πιο επιστη-μονικός από τους σουρεαλιστές ήταν ο Όσκαρ Ντομίνγκεζ, ο οποίος, εργαζόμενος στηγλυπτική, μαγεύτηκε από τη ζωή των αντικειμένων στο χρόνο. Οι ιδέες του για «λιθοχρονι-κές επιφάνειες» φαίνεται να πλησιάζουν πολύ τα γλυπτά του Μποτσιόνι. Το 1939 ο Ντομίν-γκεζ είχε ήδη κατασκευάσει μια σειρά από έντονα χωρικούς «κοσμικούς» πίνακες που οιπολυεδρικές τους μορφές έχουν συγκριθεί με γεωμετρικά μοντέλα εκτεθειμένα στο ινστι-τούτο Ανρύ Πουανκαρέ σε φωτογραφίες του Μαν Ρέι για την υπερρεαλιστική έκθεση του1936. Για μία αληθινά μαθηματική και αισθητική αναπαράσταση των μη ευκλείδειων γεωμε-τριών, θα έπρεπε να περιμένουμε την ισχύ των υπολογιστών.

Οι νέες πολυδιάστατες και μη ευκλείδειες γεωμετρίες, οι οποίες ξεκίνησαν τη ζωήτους ως αφηρημένες μαθηματικές θεωρίες, δεν χρησιμοποιήθηκαν μόνο στην καινούρ-για φυσική αλλά αποτέλεσαν έμπνευση για καλλιτεχνικά και φιλοσοφικά κινήματα, ταοποία επιζητούσαν την ανατροπή των καθιερωμένων τρόπων σκέψης. Στον κόσμο τηςτέχνης αυτές οι εκφράσεις πήραν πολλές και διαφορετικές μορφές που κυμαίνονταναπό το πνευματικό έως το αναρχικό - πολλές φορές συνδυάζοντας και τα δύο. Η εγκα-

τάλειψη της ευκλείδειας γεωμετρίας ως το χωρικό υπόδειγμα σήμαινε ότι ο χώρος έδινενέες προοπτικές στη ζωή και στο σύμπαν.

Οι νέοι καλλιτέχνες υφίστανται έντονη κριτική διότι ασχολούνται με τη γεωμετρία.

Και όμως τα γεωμετρικά σχήματα είναι η ουσία της ζωγραφικής. Η γεωμετρία, η

επιστήμη του χώρου, οι διαστάσεις της και οι σχέσεις των αντικειμένων μεταξύ τους

πάντα καθόριζαν τους κανόνες της ζωγραφικής.

Έως τώρα, οι τρεις διαστάσεις της ευκλείδειας γεωμετρίας ήταν επαρκείς για το

ανήσυχο πνεύμα των καλλιτεχνών που ήθελαν να αναπαραστήσουν το άπειρο.

Οι νέοι καλλιτέχνες δεν διατείνονται, τουλάχιστον όχι περισσότερο από τους

παλαιότερους, ότι είναι γεωμέτρες. Πρέπει να ειπωθεί όμως ότι η γεωμετρία για τις

πλαστικές τέχνες είναι ότι είναι και η γραμματική για την τέχνη του συγγραφέα.

Σήμερα οι επιστήμονες δεν περιορίζονται στις τρεις διαστάσεις του Ευκλείδη. Οι

ζωγράφοι με απόλυτα φυσικό τρόπο, διαισθητικά θα μπορούσε να πει κανείς, άρχισαν

να ασχολούνται με αυτές τις καινούργιες δυνατότητες που πρόσφερε ο χώρος, οι οποίες,

στη γλώσσα των σημερινών ατελιέ, αναφέρονται με τον όρο: η τέταρτη διάσταση.

Αν τη δούμε από την πλευρά των πλαστικών τεχνών, η τέταρτη διάσταση μοιάζει

να ξεπηδάει από τις τρεις γνωστές διαστάσεις: αναπαριστά την απεραντοσύνη του

χώρου διαιωνιζόμενη σε όλες τις κατευθύνσεις οποιαδήποτε στιγμή. Είναι ο χώρος

αυτός καθαυτός, η διάσταση του απείρου' η τέταρτη διάσταση δίνει στα αντικείμενα

την πλαστικότητα τους. Δίνει στα αντικείμενα τις σωστές διαστάσεις τους συνολικά,

ενώ στην ελληνική τέχνη, π.χ., ένας κάπως μηχανικός ρυθμός συστηματικά κατα-

στρέφει τις αναλογίες.

Η ελληνική τέχνη είχε μία καθαρά ανθρωποκεντρική αντίληψη της ομορφιάς.

Θεωρούσε ότι ο άνθρωπος είναι το μέτρο της τελειότητας. Όμως η τέχνη των νέων

ζωγράφων θεωρεί ως ιδανικό της το άπειρο σύμπαν, και με αυτό το ιδανικό στο

μυαλό οφείλουμε να κατασκευάσουμε μία καινούργια νόρμα τελειότητας, μία νόρμα

η οποία να επιτρέπει στον ζωγράφο να διαμορφώνει τα αντικείμενα του σύμφωνα με

τον βαθμό πλαστικότητας που επιθυμεί να τους δώσει ...

Τελικά οφείλω να πω ότι η τέταρτη διάσταση... εκφράζει τις φιλοδοξίες και τα

προαισθήματα πολλών νέων καλλιτεχνών που παρατηρούν τη γλυπτική των Αιγυ-

πτίων, των Νέγρων και της Ωκεανίας, διαλογίζονται με επίκεντρο διάφορες επιστη-

μονικές ανακαλύψεις και ζουν προσδοκώντας την υπέρτατη τέχνη.

Γκιγιώμ Απολλιναίρ από το «Η σύγχρονη ζωγραφική», Les soirees de Paris, Απρίλιος 1972

< Ένας απ' τους πρώτους υπο-λογιοτές εφευρέθηκε απ' τονΜπλαιζ Πασκάλτο 1642. Η πρό-σθεση γινόταν στρέφοντας τουςτροχούς με κάτι μυτερό, αλλά γιατις άλλες πράξεις το μηχάνημαήταν εξαιρετικά δύσχρηστο.

Α Μεσαιωνικά λογιστικά ραβδιάσαν αυτά που χρησιμοποιούσανστο αγγλικό Υπουργείο Οικονομι-κών μέχρι το 1826, οπότε αναβάθμι-σαν την τεχνολογία τους σε χαρτίκαι μελάνι. Τα ποσά που εισέρεανστο υπουργείο χαράσσονταν στοπλάι των ραβδιών τα οποία μετάχωρίζονταν σε δυο κομμάτια, έναγια κάθε κόμμα.

Στην ιστορία των μαθηματικών υπήρξαν κατά καιρούς δίπολα με αυξομειούμενη σχετική

σημασία, όπως π.χ. η σχέση ανάμεσα στην αριθμητική και τη γεωμετρία ή ανάμεσα στα

καθαρά και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Αλλο ένα ζεύγος αντιθέτων είναι τα αλγοριθμικά

και τα «αναλυτικά» μάθη ματικά. Τα τελευταία ασχολούνται περισσότερο με τη ν ενυπάρ-

χουσα δομή και με τα «ωραία θεωρήματα», ενώ τα πρώτα με τις διαδικασίες που είναι απα-

ραίτητες για την επίτευξη πρακτικών λύσεων. Γνωρίζουμε π.χ. ότι έχουν χρησιμοποιηθεί

διάφορες μέθοδοι, ή αλγόριθμοι, για την εύρεση αρρήτων όπως το V2 σε διάφορα αριθμη-

τικά συστήματα. Η έρευνα για τον εντοπισμό της πιο αποδοτικής απ' αυτές τις διαδικασίες,

αυτής δηλαδή που επιτρέπει την επίτευξη του αναγκαίου βαθμού ακρίβειας με το μικρότερο

δυνατό αριθμό βημάτων, είναι το βασικό αντικείμενο των αλγοριθμικών μαθηματικών.

Αρχικά ο όρος «αλγόριθμος» αναφερόταν στην εκτέλεση υπολογισμών με ινδοαραβικά

ψηφία σε αντιπαράθεση με τους υπολογισμούς που γίνονταν στον άβακα. Καθώς η χρήση

του τελευταίου άρχισε να φθίνει στην Ευρώπη και καθώς οι υπολογισμοί γίνονταν όλο και

πιο εκτενείς και απαιτητικοί, έγινε αισθητή η ανάγκη για μηχανικούς υπολογιστές. Ήδη τον

17ο αι. μαθηματικοί όπως ο Πασκάλ, ο Ντεκάρτ και ο Λάιμπνιτς ονειρεύονταν μία παγκόσμια

γλώσσα που θα μπορούσε να κωδικοποιήσει όλα τα μαθηματικά προβλήματα και να δώσει

μεθόδους επίλυσης κατάλληλες για μηχανική εφαρμογή. Οι ίδιοι κατασκεύασαν διάφορους

μηχανικούς υπολογιστές. Το όραμα του Λάιμπνιτς για έναν παν-λογισμό ξεπερνούσε κατά

πολύ τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό καθώς περιλάμβανε κωδικοποιήσεις ικανές

να κρίνουν προβλήματα επιστήμης, ηθικής και νομοθεσίας. Η ισχύς οποιουδήποτε αποδοτι-

κού αλγορίθμου μπορεί να αυξηθεί σημαντικά εάν χρησιμοποιηθούν υπολογιστικές μηχα-

νές. Όμως, ο μηχανολογικός εξοπλισμός συναντήθηκε με το λογισμικό μόλις τον 20ό αι.

ΟΤσαρλς Μπάμπιτζ (1791-1871) πρώτος σχεδίασε τη «μηχανή διαφορών» το 1819 και

κατασκεύασε ένα πρότυπο που λειτούργησε το 1822. Φιλοδοξούσε να βελτιώσει την ταχύ-

τητα αλλά και την ακρίβεια των διαφόρων μαθηματικών πινάκων, όπως π.χ. των λογαρίθμων.

Η βρετανική κυβέρνηση στήριξε την κατασκευή μιας τέτοιας μηχανής, που θα ήταν ικανή να

παράγει πίνακες μεγάλης ακρίβειας για ασφαλιστική, διοικητική και επιστημονική χρήση.

Όμως το 1834 το πρόγραμμα είχε ξεπεράσει κατά πολύ τον προϋπολογισμό του και είχε μεί-

νει απελπιστικά πίσω. Αν και η αφοσίωση του Μπάμπιτζ στο πρόγραμμα και η οικονομική δια-

χείριση του ποτέ δεν αμφισβητήθηκαν, η κυβέρνηση άρχισε να καθυστερεί συστηματικά την

καταβολή των επιδοτήσεων. Ο Μπάμπιτζ είχε ήδη αρχίσει να ασχολείται με το σχεδιασμό

της «αναλυτικής μηχανής», του πραγματικού προγόνου του σημερινού κομπιούτερ. Ένα

χαρακτηριστικό στοιχείο της ήταν ο διαχωρισμός σε αποθηκευτικό χώρο, όπου φυλάσσο-

νταν οι αριθμοί κατά τη διάρκεια των πράξεων, και μονάδα επεξεργασίας, όπου γίνονταν οι

αριθμητικές πράξεις. Η είσοδος και η έξοδος ήταν κωδικοποιημένες με διάτρητες κάρτες

όπως και ο μηχανισμός που διεκπεραίωνε το πρόγραμμα. Η έξοδος κατευθείαν σε εκτυπωτή

ήταν μια απ' τις επιθυμητές εξελίξεις όπως και η προσάρτηση στο σύστημα μιας ατμομηχα-

νής που θα αυτοματοποιούσε την όλη διαδικασία. Όμως η «αναλυτική μηχανή» δεν φτιά-

χτηκε ποτέ και το 1842 η κυβέρνηση αποφάσισε να διακόψει τη χρηματοδότηση της μηχα-

νής διαφορών. Οι πικρόχολες απόψεις του Μπάμπιτζ για την κατάντια της βρετανικής επι-

στήμης επιβεβαιώθηκαν πανηγυρικά. Φοιτητής ακόμα υπήρξε ένας απ' τους συνιδρυτές της

Αναλυτικής Εταιρείας, που στόχευε να ανεβάσει το επίπεδο της διδασκαλίας των μαθηματι-

κών στο Καίμπριτζ, έτσι ώστε να πλησιάσει εκείνο της ηπειρωτικής Ευρώπης. Το 1830 εξαπέ-

λύσε μια σφοδρή επίθεση κατά του επιπέδου της βρετανικής επιστήμης, κατηγορώντας γι'

»αυτό τον απομονωτισμό της Βασιλικής Εταιρείας. Αποτέλεσμα ήταν η ίδρυση της Βρετανι-

κής Ένωσης για την Προώθηση της Επιστήμης. Δυστυχώς η οικονομίστικη αντιμετώπιση

του εγχειρήματος του Μπάμπιτζτο καταδίκασε στην αφάνεια για 100 περίπου χρόνια.

Όπως είχε προβλέψει ο Μπάμπιτζ, η εξέλιξη των κομπιούτερ στηρίχτηκε κυρίως στην

ανάγκη επιτάχυνσης των πράξεων που εκτελούσαν τότε οι μηχανικοί υπολογιστές. Η πρώτη

αυτόματη υπολογιστική μηχανή κατασκευάστηκε στο Χάρβαρντ με χρηματοδότηση της IBM

γύρω στα 1940.0 πρώτος ηλεκτρονικά προγραμματιζόμενος υπολογιστής ήταν ο Κολοσ-

σός που κατασκευάστηκε το 1943 με τη συνεργασία του Τιούρινγκ και του φον Νόυμαν και

αποτελούσε μέρος του βρετανικού προγράμματος αποκρυπτογράφησης στο Bletchley

Park. Όμως το μηχάνημα που θα επηρέαζε τη μελλοντική δομή των υπολογιστών ήταν το

ENIAC (Ηλεκτρονικός αριθμητής ολοκληρωτής και υπολογιστής) του Πανεπιστημίου της

Πενσυλβανίας περίπου την ίδια εποχή. Ο φον Νόυμαν πίστευε ότι ο ENIAC, που αρχικά είχε

κατασκευαστεί για να υπολογίζει πίνακες βαλλιστικής, θα μπορούσε να κάνει μερικούς απ'

τους υπολογισμούς που απαιτούσε το Σχέδιο Μανχάταν, αλλά τελικά κατέληξε να προτείνει

ο ίδιος ένα νέο είδος μηχανήματος με πρόγραμμα αποθήκευσης, τον EDVAC (Αυτόματος

ηλεκτρονικός υπολογιστής διακριτών μεταβλητών). Αυτή η κατασκευή θα είχε πέντε κύρια

συστατικά μέρη: είσοδο, έξοδο, μονάδα ελέγχου, μνήμη και αριθμητική μονάδα. Ο υπολογι-

στής αποθηκευμένου προγράμματος ονομάζεται έτσι γιατί το πρόγραμμα και τα αριθμητικά

στοιχεία φυλάσσονται στη μνήμη όσο η μονάδα επεξεργασίας εκτελεί μια αλληλουχία εντο-

λών. Ο πρώτος πρακτικός υπολογιστής αυτού του τύπου κατασκευάστηκε στη Βρετανία το

1949 και λεγόταν EDSAC (Αυτόματος υπολογιστής αποθήκευσης ηλεκτρονικής υστέρη-

σης) . Ακολούθησαν αρκετά μηχανήματα στις ΗΠΑ και στη Βρετανία, και στη δεκαετία του

>· Το Μουσείο Επιστημών τουΛονδίνου κατασκεύασε το 1991 τηνπρώτη πλήρη μηχανή διαφορών γιανα τιμήσει τα 200 χρόνια απ' τη γέν-νηση του Τσαρλς Μπάμπιτζ. Αποτε-λείται από 4000 μέρη και ζυγίζειπάνω από 2,5 τόνους. Η μηχανήόπως την είχε συλλάβει ο Μπάμπιτζθα ήταν ένας πλήρως αυτοματοποι-ημένος υπολογιστής με δυνατό-τητα εκτυπώσεων και μια ατμομη-χανή για ενεργειακή πηγή.

Α Αναπαράσταση του Κολοσσού,αποκωδικοποιητή ηλεκτρονικού

υπολογιστή στο Bletchley Park

(1997). Ήταν ο πρώτος ηλεκτρονικά

προγραμματιζόμενος υπολογιστής

στον κόσμο και βοήθησε τους κρυ-

πτογράφους να σπάσουντον γερμα-

νικό κώδικα Λόρεντς κατά τη διάρ-

κεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου.

'60 η αρχιτεκτονική αποθηκευμένου προγράμματος είχε ήδη επικρατήσει. Η αντικατάστασητων λυχνιών από ημιαγωγούς αύξησε την ταχύτητα και την αξιοπιστία. Παρά τις ομοιότητες

με τα σχέδια του Μπάμπιτζ, αυτές οι εξελίξεις έγιναν χωρίς η δουλειά του να είναι γνωστή.Είναι προφανές ότι η εφεύρεση των υπολογιστών οφείλεται σε καθαρά πρακτικές ανά-

γκες των επιχειρήσεων, του κράτους, της κρυπτογραφίας και της επίλυσης εξισώσεων στημαθηματική φυσική. Οι υπολογιστές αποθηκευμένου προγράμματος είχαν διαχωρίσει το

μηχανολογικό εξοπλισμό απ' το λογισμικό του. Οι πρώτες εργασίες πάνω στα προγράμματα,σε αλγορίθμους δηλαδή που εκτελούν συγκεκριμένους υπολογισμούς, έγιναν όχι για πρακτι-κούς λόγους αλλά για να διευκολύνουν τη μελέτη της λογικής των τυπικών συστημάτων.

Η κοινή αριθμητική είναι το πιο γνωστό παράδειγμα τέτοιου συστήματος. Έχει ένααυστηρά ορισμένο σύνολο συμβόλων και συγκεκριμένες διαδικασίες χειρισμού αυτών των

συμβόλων έτσι ώστε ένα πρόβλημα να οδηγείται στη λύση του. Αυτά καθαυτά τα σύμβολαδεν σημαίνουν απολύτως τίποτα, εκτός αν υπαχθούν στους κανόνες του τυπικού συστήμα-

τος. Π.χ. αν θέλω να επαληθεύσω ότι ABmBAeBEB, έχω διάφορες μεθόδους ή αλγορίθ-

μους που μπορώ να χρησιμοποιήσω για να κάνω τις πράξεις. Αυτό γίνεται προφανέστερο,

αν γράψω την παραπάνω σχέση με άλλα σύμβολα: 12x21 =252. Βλέπουμε ότι τα σύμβολαπου χρησιμοποιώ δεν έχουν καμιά σημασία - αυτό που μετράει είναι ότι η αλήθεια μιας πρό-τασης, στη συγκεκριμένη περίπτωση μιας αριθμητικής πράξης, μπορεί να αποδειχτεί ξεκι-

νώντας από γνωστά αξιώματα. Και πράγματι, αντιστρέφοντας την κοινή χρήση των γραμμά-των για τον συμβολισμό συναρτήσεων, οι αριθμοί δεν χρειάζεται να δηλώνουν ποσότητες,αλλά μπορούν να χρησιμοποιούνται και σαν τελεστές. Αυτό είναι σημαντικό στη μετάβαση

από υπολογιστικές μηχανές σχεδιασμένες για την επίλυση ενός συγκεκριμένου είδους προ-βλήματος σε υπολογιστές γενικής χρήσης. Σε έναν σύγχρονο υπολογιστή, οποιαδήποτε

εντολή, π.χ. να εμφανίσει μια κόκκινη κουκίδα σε ένα συγκεκριμένο σημείο της οθόνης, απο-τελείται στην ουσία από μια σειρά αριθμών. Στην πραγματικότητα, ολόκληρο το πρό-

γραμμα, απ' τη στιγμή που κωδικοποιείται σε δυαδικό σύστημα, δεν είναι παρά ένας μοναδι-

κός (πολύ μεγάλος) αριθμός. Η εγγενής απλότητα των υπολογιστών συχνά παραβλέπεταιλόγω της μεγάλης προόδου που έχουν κάνει αυτά τα μηχανήματα σε ταχύτητα και ισχύ.

Ο ΚουρτΓκέντελ (1906-78) δημοσίευσε το 1931 μια εργασία με τίτλο «Περίτωντυπικάαναποκρίσιμων προτάσεων στο Principle Mathematica και στα σχετικά συστήματα», στην

οποία έδινε μια μέθοδο απόδοσης ενός μοναδικού αριθμού σε κάθε πρόταση που ήτανδυνατόν να εκφραστεί μέσα σε ένα τυπικό σύστημα. Ακόμα και η απόδειξη της ισχύος μιας

πρότασης μπορούσε να εκφραστεί με τη μορφή μιας μοναδικής σειράς φυσικών αριθμών

με τρόπο που, όταν δίνεται μια τέτοια σειρά βασικών συμβόλων, να μπορεί να βρεθεί ποιαέχουν νόημα και ποια όχι. Το πρώτο απ' τα δύο κλασικά συμπεράσματα στα οποία κατέληγε,γνωστά σήμερα με το όνομα «Θεωρήματα της μη πληρότητας», είναι ότι κάθε αξιωματικόσύστημα, ακόμα και στοιχειώδες όπως το αριθμητικό συστημάτων ακεραίων, περιέχει προ-

τάσεις που δεν είναι δυνατόν να αποδειχτεί ότι είναι αληθείς ή ψευδείς μέσα στο ίδιο τοσύστημα. Αυτό είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογο με το γλωσσικό δίλημμα «αυτή η πρόταση

είναι λανθασμένη». Η ύπαρξη τέτοιων «αναποκρίσιμων» προτάσεων έδειξε ότι το πρό-

γραμμα αξιωματοποίησηςτων μαθηματικών που είχαν ξεκινήσει ο Μπέρτραντ Ράσελ και ο

Άλφρεντ Νορθ Γουάιτχεντ ήταν αδιέξοδο. Ο Γκέντελ απογοήτευσε και τον Ντάβιντ Χίλ-μπερτ, ο οποίος προσπαθούσε να κατασκευάσει μια πλήρη και συνεπή ως προς τον εαυτό

της αριθμητική, δηλαδή χωρίς εσωτερικές αντιφάσεις. Το δεύτερο συμπέρασμα του Γκέ-ντελ έδειξε ότι ίσχυε ακριβώς το αντίθετο: αν το σύστημα είναι συνεπές, δεν μπορεί να απο-δείξει τη συνέπεια του μέσα απ' τον ίδιο του τον εαυτό. Εν ολίγοις, μπορούμε να πούμε ότι ηαριθμητική είναι μη πλήρης. Μετά από ένα τόσο ισχυρό σοκ, δεν χρειάζεται φυσικά ναπούμε ότι οι μαθηματικοί εγκατέλειψαν τα μεγαλεπήβολα σχέδια για την ενοποίηση τωνμαθηματικών και επικεντρώθηκαν στο πώς οι διάφορες μορφές αξιωματοποίησης οδηγού-σαν σε διαφορετικά συστήματα. Ο λόγος ύπαρξης μιας μαθηματικής γλώσσας είναι να μαςδίνει τη δυνατότητα να απαντάμε σε ερωτήματα, οπότε οι συζητήσεις στράφηκαν στις δια-δικασίες μέσω των οποίων η αλήθεια των μαθηματικών προτάσεων είναι αναμφισβήτητη. Οιμαθηματικοί τώρα πια μιλούσαν για υπολογισιμότητα και όχιγιααποκρισιμότητα.

Παράλληλα με την ενασχόληση με τους αλγορίθμους ήρθε και η γενίκευση της έννοιαςτης συνάρτησης. Κατά τον πιο γενικό ορισμό, μια συνάρτηση f είναι μια αυθαίρετη αντισΓοι-χία μεταξύ μαθηματικών αντικειμένων. Μια συνάρτηση θεωρείται υπολογίσιμη, αν υπάρχειαλγόριθμος που οδηγεί στο αποτέλεσμα f (χ) για το δεδομένο χ, και αν αυτό είναι δυνατόν γιακάθε τιμή του χ, για την οποία ορίζεται η f, δηλαδή για το πεδίο ορισμού της. Μόνον όταν επι-νοήθηκαν παθολογικές συναρτήσεις κατά τα τέλη του 19ου αι. κατάλαβαν οι μαθηματικοί ότιδεν ήταν όλες οι συναρτήσεις υπολογίσιμες. Η προσοχή τους έτσι στράφηκε στους υπολο-γιστικούς αλγόριθμους. Ήταν εύκολο να διαπιστώσει κανείς, αν ένας δεδομένος αλγόριθ-μος μπορούσε να υπολογίσει με ακρίβεια μια συνάρτηση. Αν όμως ένας τέτοιος αλγόριθμοςδεν μπορούσε να βρεθεί και έμπαινε κάποιος στον πειρασμό να αποδείξει ότι η ύπαρξη τουήταν αδύνατη, τότε το πρώτο που θα χρειαζόταν θα ήταν ένας ακριβής ορισμός της έννοιαςτου αλγόριθμου. Η δημοσίευση του Γκέντελ περιείχε και διάφορες ιδέες σχετικά με τις ανα-δρομικές συναρτήσεις, όπου η επιθυμητή συνάρτηση προσεγγίζεται μέσω μιας αλληλου-χίας αυστηρά ορισμένων ενδιάμεσων συναρτήσεων. Αυτές οι έννοιες αποδείχτηκαν πολύπαραγωγικές στον ορισμό των υπολογιστικών αλγορίθμων. Το 1936 ο Αλόνσο Τσερτς στοΠρίνστον και ο Αλαν Τιούρινγκ στο Καίμπριτζ δημοσίευσαν ανεξάρτητα ο ένας απ' τον άλλοντις απόψεις τους για την υπολογισιμότητα και στη συνέχεια ο Τιούρινγκ απέδειξε ότι οι δύοπροσεγγίσεις ήταν στην ουσία ταυτόσημες. Ο ορισμός του αλγόριθμου που έδωσε ο Τιού-ρινγκ βασιζόταν σε ένα μηχανικό μοντέλο υπολογισμού, το οποίο βαφτίστηκε απ' τον Τσερτς«Μηχανή Τιούρινγκ». Το καυτό ερώτημα αν υπήρχε αλγόριθμος που να μπορεί να αποδείξειότι ένας δεδομένος τύπος ισχύει ή όχι απαντήθηκε αρνητικά. Αυτά τα αποτελέσματα, σεσυνδυασμό με τα θεωρήματα του Γκέντελ, έθαψαν οριστικά κάθε ελπίδα ότι κάποια μέρακάποιο κομπιούτερ θα μπορούσε να διακρίνει την αλήθεια απ' το ψέμα σε όλες τις μαθηματι-κές προτάσεις. Ωστόσο, η επικέντρωση στους αλγορίθμους οδήγησε στην αλματώδη εξέ-λιξη του λογισμικού, το οποίο άνοιξε μια καινούργια εποχή στη μαθηματική φυσική. Τα υπο-λογιστικά μαθηματικά αντιμετώπισαν κατά μέτωπο την πρόκληση των παλαιών προβλημά-των της δυναμικής, όπως π.χ. τη σταθερότητα του Ηλιακού Συστήματος, και έστρεψαν τηνπροσοχή τους στα βιολογικά συστήματα και στηνπολύπλοκη δυναμική της ίδιας της ζωής.

Η Αναλογική Αρχή. Όλα τα υπολογιστικά αυτόματα ανήκουν σε δυο μεγάλες κλά-σεις με τρόπο που είναι αμέσως προφανής και πού... μεταφέρεται στους ζώντες οργα-νισμούς. Μιλώ για την ταξινόμηση σε αναλογικές και ψηφιακές μηχανές.

Ας εξετάσουμε πρώτα την αναλογική αρχή. Μια υπολογιστική μηχανή μπορεί να

Α Τροχιές σωματιδίων από τονΜεγάλο Ευρωπαϊκό Θόλο τουCERN. Οι υπολογιστές έχουν φτά-σει σε τέτοιες ταχύτητες και υπολο-γιστική ισχύ που βοηθούν τουςφυσικούς να εξερευνήσουν τιςθεμελιακές δυνάμεις της φύσης.Πολύ λιγότερη ισχύς χρειάστηκεγια να παραχθεί το βιβλίο που δια-βάζετε!

βασίζεται στην αρχή ότι οι αριθμοί αναπαριστώνται από ορισμένα φυσικά μεγέθη... Τα

ρεύματα μπορεί να πολλαπλασιαστούν αν τα διοχετεύσεις στους δύο μαγνήτες ενός δυνα-

μόμετρου προκαλώντας έτσι μια περιστροφική κίνηση. Η περιστροφή μπορεί μετά ναμεταμορφωθεί σε ηλεκτρική αντίσταση με τη βοήθεια ενός ροοστάτη· και τελικά η αντί-

σταση μπορεί να μεταμορφωθεί σε ρεύμα αν συνδεθεί σε δύο πηγές σταθερού (και διαφο-

ρετικού) ηλεκτρικού δυναμικού. Το σύνολο που προκύπτει είναι ένα «μαύρο κουτί» όπου

διοχετεύονται δύο ρεύματα και παράγεται ένα ρεύμα ίσο με το γινόμενο τους...Η Ψηφιακή Αρχή. Μια ψηφιακή μηχανή λειτουργεί με τη συνηθισμένη αρχή της

αναπαράστασης αριθμών με σύνολα ψηφίων. Αυτός είναι επί τη ευκαιρία και ο τρόπος

που χρησιμοποιούμε όλοι μας για τους προσωπικούς μας μη μηχανικούς υπολογισμούς,όπου εκφράζουμε τους αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα. Ας μη νομισθεί όμως ότι οι

ψηφιακοί υπολογισμοί πρέπει να είναι οπωσδήποτε δεκαδικοί. Οποιοσδήποτε ακέραιος

μεγαλύτερος της μονάδας μπορεί να αποτελέσει βάση ενός ψηφιακού συμβολισμού γιατους αριθμούς. Το δεκαδικό σύστημα (βάση 10) είναιτοπιοκοινό, και όλες οι ψηφια-

κές μηχανές που έχουν φτιαχτεί μέχρι σήμερα με αυτό το σύστημα λειτουργούν. Είναι

ωστόσο πιθανό ότι τελικά θα επικρατήσει το δυαδικό (βάση 2) σύστημα. Ήδη τώρα

είναι υπό κατασκευή αρκετές μηχανές βασισμένες σ' αυτό.

Τζων φον Νόυμαν, Η γενική και λογική θεωρία των αυτομάτων, 1948

< Μια εικόνα δημιουργημένη απόυπολογιστή που δείχνει τη σταθε-ρότητα ενός δυναμικού συστήμα-τος σε μικρές διαταραχές χρησιμο-ποιώντας τον λεγόμενο εκθέτη Λια-πούνοφ. Οι έντονες καμπύλες ανα-παριστούν περιοχές αυξημένηςσταθερότητας, ενώ οι ενδιάμεσεςπεριοχές δείχνουν τα σημεία όπουοι διάφοροι ελκυστές αγωνίζονταινα κυριαρχήσουν στο σύστημα. Τοχρώμα του βάθους παριστάνει τιςχαοτικές περιοχές.

Στις αρχές του 19ου αι., τα μαθηματικά είχαν ήδη γίνει το κατ' εξοχήν αναλυτικό και λογικό

, αντικείμενο σπουδών στα τέλη του αιώνα, έμοιαζε περισσότερο μεθηριοτροφείο μαθημα-

τικών τεράτων, όπως οι συνεχείς συναρτήσεις χωρίς εφαπτόμενες. Στη δυναμική, το πρό-

βλημα των τριών σωμάτων -λυδία λίθος της σταθερότητας του Ηλιακού Συστήματος- εξα-

κολουθούσε να μην έχει σταθερές λύσεις και ο Ανρύ Πουανκαρέ, αναλύοντας μια μερική

λύση, είχε διαβλέψει μια εξαιρετικά περίπλοκη δομή. Βλέποντας το όλο ζήτη μα όχι τόσο

από αναλυτική όσο από γεωμετρική σκοπιά, οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτό που έμοι-

αζε με απερίγραπτο κυκεώνα είχε πάρα πολλές ομοιότητες με τον προφανή κυκεώνα του

πραγματικού κόσμου. Τα μαθηματικά τέρατα δεν ήταν τελικά παρά οι φύλακες των σπη-

λαίωντου Αλαντίν που έκρυβαν καινούργια και υπέροχα μαθηματικά αντικείμενα. Η είσοδος

σ' αυτό τον κόσμο γινόταν μόνο μέσω των υπολογιστών, οι οποίοι έγιναν τα εργαστήρια των

νέων αλγοριθμοκεντρικών μαθηματικών. Οι ανακαλύψεις που έγιναν έτσι δυνατές προώθη-

σαν με τη σειρά τους την αναλυτική σκέψη και οδήγησαν στην παραδοχή ότι τα «απλά»

συστήματα στα οποία ήταν συνηθισμένοι οι μαθηματικοί δεν ήταν παρά η κορυφή ενός

πραγματικά γιγάντιου παγόβουνου.

Το όνομα που είναι συνώνυμο με τον τομέα της κλασματοειδούς (fractal) γεωμετρίας

είναι εκείνο του Μπενουά Μάντελμπροτ, καθηγητή σήμερα του Γέιλ και πρώην στελέχους

της IBM. To ενδιαφέρον του γι' αυτό που αργότερα ονόμασε φράκταλς άρχισε το 1951 και

κορυφώθηκε το 1977 με το βιβλίο του Η κλασματοειδής γεωμετρία της φύσης. Πολλά έχουν

γραφτεί για τα κλασματοειδή και οι ροκοκό εικόνες τους είναι πασίγνωστες. Η ιδέα του

«ελκυστή» ήταν γνωστή στη δυναμική - π.χ. η τροχιά ενός πλανήτη είναι ένας ελλειπτικός

ελκυστής, πράγμα που σημαίνει ότι οι διαταραχές της διατηρούνται μέσα σε συγκεκριμένα

όρια. Στη λύση των πολυωνύμων με αριθμητικές μεθόδους, αν οι διαδοχικές προσεγγίσεις

συγκλίνουν σε μια λύση, τότε η λύση αυτή είναι ένας ελκυστής. Μερικές φορές μια ρίζα που

είναι γνωστό απ' τη γραφική παράσταση ότι υπάρχει δεν μπορεί να προσεγγιστεί από την

επαναληπτική διαδικασία· αυτού του είδους η ρίζα ονομάζεται «απώστης». Σε ένα χαοτικό

σύστημα, όπως η τυρβώδης ροή αέρα, ο ελκυστής είναι ένα κλασματοειδές και είναι γνω-

στός με τον όρο παράξενος ελκυστής.

Μόλις μάθουμε να βλέπουμε τα πράγματα σωστά, ανακαλύπτουμε χαοτική συμπερι-

φορά ακόμα και στις απλούστερες καταστάσεις. Η λογιστική εξίσωση διαφορών ζ=λζ(1-ζ)

είναι μια απλή δευτεροβάθμια με μία μόνο παράμετρο, το λ. Η εξίσωση έχει δύο ρίζες, όπως

άλλωστε θα περίμενε κανείς, αλλά αν χρησιμοποιήσουμε την επαναληπτική μέθοδο, ανακα-

λύπτουμε μερικές εκπληκτικές ιδιότητες. Για τις περισσότερες τιμές του λ η επαναληπτική

διαδικασία «εκρήγνυται» και αποκλίνει στο άπειρο. Αν όμως αρχίσουμε απ' το λ= 1 και κατό-

πιν σιγά-σιγά αυξάνουμε την τιμή, ανακαλύπτουμε ότι η επανάληψη δεν αποκλίνει ούτε και

συγκλίνει προς μια μοναδική τιμή: αντίθετα, κυμαίνεται ανάμεσα σε κάποιες συγκεκριμένες

τιμές. Σε κάποιο σημείο το σύστημα γίνεται χαοτικό με τους αριθμούς να χοροπηδάνε ολό-

γυρα άναρχα. Εάντώρα επεκταθούμε στους μιγαδικούς, το πραγματικό ευθύγραμμο

τμήμα αναπτύσσεται για να αποκαλύψει μια κλασματοειδή δομή. Με έναν απλό μετασχημα-

τισμό, η εξίσωση των διαφορών μετατρέπεται σε μια άλλη δευτεροβάθμια, τηνζ=ζ2-/π. Η

επαναληπτική διαδικασία είναι απλή αλλά, αν την κάνει κανείς με το χέρι, εξαιρετικά βαρετή.

Μετη βοήθεια του υπολογιστή, ο Μάντελμπροτ ήταν ο πρώτος που τύπωσε αυτό που

σήμερα είναι γνωστό ως «σύνολο Μάντελμπροτ» για την περίπτωση που το ζ είναι μιγαδικός

*· Κουατερνιανό σύνολο Ζυλιά.Το σύνολο Ζυλιά σχετίζεται στενά »με το σύνολο Μάντελμπροτ. Εδώ οιδιαδοχικές επαναλήψεις γίνονταιχρησιμοποιώντας όχι μιγαδικούςαλλά τα κουατέρνια του Χάμιλτον.Αυτή η τρισδιάστατη διατομή ενόςτετραδιάστατου κλασματοειδούςγίνεται καλύτερα αντιληπτή ότανκινείται στην οθόνη.

*· Χαρούμενος Ενόν του ΜπράιανΜελούν, στο Κέντρο Γεωμετρίαςτου Πανεπιστημίου της Μινεσότα,1993. Ο κλασματοειδής χάρτης τουΕνόν δίδεται από την εξίσωσηΗ (x,y) = Iff-ay+b,x), όπου a και bαυθαίρετες παράμετροι. Γιαβ=0, οχάρτης εκφυλίζεται στη μονοδιά-στατη λογιστική εξίσωση. Η εικόναεδώ δείχνει σημεία που είναι φράγ-ματα κάτω από επαναλήψεις τόσοτου χάρτη Ενόν όσο και του αντι-στρόφου του.

αριθμός. Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι πράγματι ένα σύνολο αριθμών και η αρχική μονό-

χρωμη εκτύπωση του έδειξε σε μαύρο εκείνες τις τιμές του m για τις οποίες η επανάληψη

δεν απέκλινε στο άπειρο - ήταν δηλαδή φραγμένη. Η απίστευτα λεπτή κατασκευή με τις

χαρακτηριστικά οδοντωτές εκβλαοτήσεις να απλώνονται σαν αστραπές αποκαλύφθηκε

σιγά-σιγά καθώς οι εκτυπωτές και οι κάρτες γραφικών αποκτούσαν όλο και μεγαλύτερη

ανάλυση. Αυτό το απλό σύστημα έδειχνε πολλά απ' τα χαρακτηριστικά που προσπαθούσε

να συγκεντρώσει ο Μάντελμπροτ. Η αυτο-ομοιότητα, που είναι τόσο χαρακτηριστική στα

κλασματοειδή, γίνεται φανερή αν χρησιμοποιήσουμε έναν υπολογιστή για να μεγεθύνουμε

κάποιο μικρό μέρος τους, τότε βλέπουμε ότι μοιάζει με το όλον. Επιστρέφοντας στην εξί-

σωση των διαφορών, για μιγαδικές τιμές του λ οι διαδοχικές επαναλήψεις παράγουν αυτό

που ο Μάντελμπροτ αρέσκεται να αποκαλεί «δράκοντες». Τα επίφοβα τέρατα της μαθηματι-

κής ανάλυσης είχαν ξαναγεννηθεί σαν όμορφες παρουσίες και ήταν καλοδεχούμενα στην

οικογένεια των μαθηματικών.

Η λέξη «χάος» μπορεί εύκολα να παρερμηνευτεί, καθώς στην καθημερινή γλώσσα είναι

συχνά συνώνυμη με την «αταξία». Όμως, η θεωρία του χάους είναι απόλυτα αιτιοκρατική: το

σύνολο Μάντελμπροτ θα είναι πάντα το ίδιο και οποιαδήποτε αρχική τιμή z πάντα θα οδηγεί

στην ίδια επαναληπτική ακολουθία. Η διαφορά ανάμεσα σε ένα χαοτικό σύστημα και σε ένα

τυχαίο είναι ότι η τυχαιότητα δεν έχει δομή - είναι δηλαδή το μαθηματικό ανάλογο των

παρασίτων. Το χάος, αντίθετα, είναι δομημένο, αν και με πολύπλοκο και φευγαλέο τρόπο.

Όμως, αν και η γένεση ενός κλασματοειδούς είναι αιτιοκρατική διαδικασία, δεν είναι προ-

βλέψιμη: δεν υπάρχει αλγόριθμος που να μας πληροφορεί εκ προοιμίου αν ένα σημείο είναιμέσα στο σύνολο Μάντελμπροτ ή όχι - ο μόνος τρόπος να το διαπιστώσει κανείς αυτό είναι

να εφαρμόσει την επαναληπτική διαδικασία. Οι έγχρωμες αποδόσεις των κλασματοειδών

είναι μια εποπτική ένδειξη του πόσα επαναληπτικά βήματα χρειάζεται ένα σημείο για να τεί-νει προς μια πολύ μεγάλη τιμή, ενώ τα περίπλοκα σχήματα με γειτονικά σημεία διαφορετι-

κού χρώματος δείχνουν ότι αυτά τα σημεία, στο τέλος, θα αποκλίνουν σημαντικά. Είναιγεγονός, ότι ένα σημείο στην οθόνη ενός υπολογιστή δεν είναι παρά ένα πίξελ πεπερασμέ-νων διαστάσεων, οπότε όσο ανεβαίνει η ανάλυση, τόσο πιο καθαρά φαίνονται οι περίπλοκες

λεπτομέρειες του οχήματος. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο είναι τόσο δύσκολο ναπροβλεφθούντα χαοτικά συστήματα. Αν και η επαναληπτική μέθοδος είναι αιτιοκρατική,είναι πολύ ευαίσθητη στις αρχικές τιμές, οπότε όταν χρησιμοποιείται για την προσομοίωση

πραγματικών συστημάτων, τα σφάλματα των αρχικών μετρήσεων μεγεθύνονται. Το γεγο-

νός ότι πολλά φυσικά δυναμικά συστήματα συμπεριφέρονται χαοτικά παραμένει ένα απ' τα

μυστήρια του σύμπαντος στο οποίο ζούμε.Η θεωρία του χάους μπορεί να φαίνεται ότι παρουσιάζει το σύμπαν σαν ένα μάλλον

καταθλιπτικό και ασταθές μέρος, που η μοίρα του είναι να καταρρεύσει κάτω απ' την ανελέ-ητη τυραννία του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής. Κι όμως, το σύμπαν είναι γεμάτο

στέρεες κατασκευές, από τους μετρονομικούς παλμούς των πάλσαρς μέχριτις έξοχες σπεί-ρες ενός μορίου DNA. Η φαινομενικά ακάθεκτη πορεία της εντροπίας ανακόπτεται, τουλάχι-στον τοπικά -το άρωμα ξαναμπαίνει στο μπουκάλι του. Η μελέτη του πώς προκύπτουν

τέτοιες σταθερές δομές είναι το αντικείμενο της αποκαλούμενης θεωρίας της πολυπλοκό-τητας. Η μελέτη των πολύπλοκων συστημάτων καλύπτει τώρα πολλούς τομείς, όπως τηθεωρία του χάους, την τεχνητή νοημοσύνη, τα αναδυόμενα συστήματα και τα αυτόματα.

Ο άνθρωπος κλειδί που συνένωσε όλους αυτούς τους τομείς ήταν ο Τζωρτζ Α. Κάουαν.Το 1942, ο Κάουαν, ειδικός στη χημεία των ραδιενεργών στοιχείων, βρισκόταν στο Πανεπι-

στήμιο του Σικάγου, όπου ο Ιταλός φυσικός Ενρίκο Φέρμι κατασκεύαζε τον πρώτο ατομικό

αντιδραστήρα - οι σύμμαχοι φοβούνταν ότι οι Γερμανοί είχαν ήδη αρχίσει την κατασκευή

της ατομικής βόμβας. Τα πρώτα πειράματα του Φέρμι και η θεωρητική του δουλειά αφο-ρούσαν τη δυνατότητα πρόκλησης μιας αλυσιδωτής αντίδρασης με αρκετή ενέργεια ώστε

να οδηγήσει σε έκρηξη. Στη συνέχεια, ο Κάουαν δούλεψε στο Σχέδιο Μανχάταν και μετάτον πόλεμο τέθηκε επικεφαλής του τμήματος έρευνας στα εργαστήρια του Λος Άλαμος. Ηομάδα Κάουαν ανέλυσε τα στοιχεία της πρώτης ατομικής έκρηξης στη Ρωσία και ο ίδιος

συμμετείχε στο Bethe Panel, μια μυστική ομάδα επιστημόνων με αποστολή την παρακο-λούθηση των πυρηνικών δυνατοτήτων της Ρωσίας για περίπου 30 χρόνια. Σ' αυτήν την

περίοδο τον απασχολούσαν όλο και περισσότερο προβλήματα επιστήμης και κυβερνητι-κής πολιτικής. Θεωρούσε ότι οι παραδοσιακές μέθοδοι εκπαίδευσης δεν έδιναν στους επι-

στήμονες τα κατάλληλα εφόδια που θα τους επέτρεπαν να δουν την ευρύτερη σχέσημεταξύ των διαφόρων επιστημονικών κλάδων ή να συνδέσουν την επιστήμη με ευρύτεραζητήματα πολιτικής, οικονομίας, περιβάλλοντος και ηθικής. Το 1982 ο Κάουαν εγκατέλειψε

το Λος Άλαμος καθώς κλήθηκε να συμμετάσχει στο επιστημονικό συμβούλιο του Λευκού

Οίκου. Ταυτόχρονα βολιδοσκοπούσε τους συναδέλφους του σχετικά με το όνειρο του να

φτιάξει ένα κέντρο αφιερωμένο σε μια πιο ολιστική μελέτη των θετικών επιστημών.

Α Λεκάνη έλξεως - ομογενές ΚΑ.Κάθε κόμβος αυτού του γραφήμα-τος αναπαριοτά ένα στιγμιότυποενός ολόκληρου σύμπαντος κυττα-ρικών αυτομάτων (ΚΑ) και συνδέε-ται με τη διάδοχη κατάσταση στοεπόμενο χρονικά βήμα του εξελισ-σόμενου σύμπαντος. Φαίνεται ότιτα ομογενή ΚΑ και το σύμπαντουςσυγκλίνει ταχύτατα προς τη λεκάνηέλξεως.

Η αύξηση της ισχύος των υπολογιστών οδήγησε τους επιστήμονες στην εξερεύνηση

πολύπλοκων εξισώσεων ως προς το πλήθος των παραμέτρων αλλά και μη γραμμικών εξι-

σώσεων. Τα μαθηματικά ως τώρα είχαν κατά κύριο λόγο ασχοληθεί με γραμμικές εξισώ-

σεις. Αυτή η προσέγγιση, αν και γενικά πετυχημένη, είχε αρχίσει τώρα να φρενάρει την

ακριβή αντιμετώπιση πιο περίπλοκων συστημάτων. Όμως, οι υπολογιστές δεν νοιάζονταν

κατά πόσον τροφοδοτούνταν με γραμμικές ή μη εξισώσεις - έβγαζαν αριθμητικές λύσεις σε

γραφική μορφή και με τέτοια ταχύτητα που οι επιστήμονες και οι μαθηματικοί ήταν σαν να

έχουν στη διάθεση τους ένα νέο ψηφιακό εργαστήριο. Μόνο με τις μη γραμμικές εξισώσεις

μπορούμε να δούμε τις φευγαλέες σχέσεις μεταξύ μεταβλητών που μέχριτώρατις θεω-

ρούσαμε ανεξάρτητες. Έγιναν αρκετές συνεργασίες μεταξύ φυσικών και βιολόγων, και το

Λος Άλαμος άνοιξε και το δικό του κέντρο για μη γραμμικά συστήματα. Όμως, το βασικό

αντικείμενο του Λος Άλαμος παρέμενε η πυρηνική φυσική, οπότε ο Κάουαν χρειάστηκε να

ψάξει αλλού για να μπορέσει να εκμεταλλευτεί τα αρχικά του ευρήματα και να επεκταθεί

ταυτόχρονα και σε άλλους τομείς.

Οι συνάδελφοι του Κάουαν ήταν εξαιρετικά δεκτικοί στην ιδέα της ίδρυσης ενός νέου

ινστιτούτου με τις προδιαγραφές που είχε προτείνει, αλλά εκείνη την εποχή το τεράστιο

εύρος του οράματος του δυσκόλευε πολύ τον ακριβή προσδιορισμό του αντικειμένου του

ιδρύματος. Τα πράγματα άλλαξαν ριζικά, όταν έγινε μέλος της ομάδας ο Μάραιη Γκελ-Μαν.

Θεωρητικός φυσικός πρώτης γραμμής, ήταν αυτός που είχε ονομάσει «κουαρκ» τη νέα

γενιά υποατομικών σωματιδίων παίρνοντας τη λέξη από το Ξύπνημα του Φίνεγκαντου

Τζόυς. Ήταν ένας απ' τους κύριους υποστηρικτές της Μεγάλης Ενοποιημένης Θεωρίας,

που φιλοδοξούσε να θέσει τις θεμελιακές δυνάμεις της φύσης μέσα σε ένα ενιαίο, συνε-

κτικό πλαίσιο. Τώρα ήθελε να προχωρήσει ακόμη παραπέρα, σε μια Μεγάλη Ενοποιημένη

Θεωρία των Πάντων, απ' τους αρχαίους πολιτισμούς μέχρι την ανθρώπινη συνειδητότητα.

Κατάφερε να μετατρέψει το ενδιαφέρον για το Ινστιτούτο σε απτή πραγματικότητα. Το 1984

συστήθηκε επίσημα ως Ινστιτούτο Ρίο Γκράντε, αφού το «Ινστιτούτο Σάντα Φε» που θα προ-

τιμούσαν, το είχε ήδη μια θεραπευτική μονάδα. Μέχρι τα τέλη του χρόνου το Ινστιτούτο είχε

οργανώσει τα πρώτα του σεμινάρια στο Σχολείο Αμερικανικής Έρευνας της Σάντα Φε. Η

χρηματοδότηση προήλθε από διάφορους οργανισμούς, αλλά καθώς ο ίδιος ο Κάουαν είχε

κερδίσει μια μικρή περιουσία στη δεκαετία του '60 στήνοντας την Εθνική Τράπεζα Λος Άλα-

μος, το πρόβλημα της συγκέντρωσης χρημάτων ήταν κάθε άλλο παρά αξεπέραστο. Έγινε

σαφές σ' αυτή την πρώτη συνάντηση, ότι μερικά απ' τα καλύτερα μυαλά στους διάφορους

κλάδους είχαν πολλούς κοινούς προβληματισμούς και γνώσεις να ανταλλάξουν. Κυρίως για

τα αναδυόμενα συστήματα: η συνειδητοποίηση ότι το όλον είναι μεγαλύτερο από το άθροι-

σμα των μερών, ότι από την αλληλεπίδραση πολλών παραγόντων -σωματιδίων, ανθρώπων,

μορίων ή νευρώνων- αναδύεται μια πολυπλοκότητα που δεν είναι αμέσως εμφανής από τις

ιδιότητες των επιμέρους παραγόντων. Ο επιστημονικός αναγωγισμός φαινόταν να δουλεύει

καλύτερα από πάνω προς τα κάτω, από πολύπλοκα συστήματα προς απλούστερες μονά-

δες, ενώ ήταν λιγότερο πετυχημένος όταν κατευθυνόταν από κάτω προς τα πάνω, από

απλές μονάδες προς πιο περίπλοκες δομές. Ο αρχικός ενθουσιασμός δεν μεταφράστηκε

αμέσως σε πλήρη οικονομική κάλυψη, αλλά το νέο κέντρο κατάφερε τουλάχιστον να ιδιο-

ποιηθεί το όνομα της επιλογής του και να ονομαστεί Ινστιτούτο Σάντα Φε. Ο πρώτος μεγά-

λος χορηγός προήλθε, όπως αναμενόταν άλλωστε, από τον κόσμο της οικονομίας.

Α Λεκάνη έλξεως - ΠολύπλοκοΚΑ. Αναπαράσταση της εξέλιξης

ενός πολύπλοκου σύμπαντος κυτ-ταρικών αυτομάτων (ΚΑ). Ησύγκλιση είναι πιο αδύναμη και πιοαργή απ' ό,τι στα ομογενή ΚΑ και τογράφημα δείχνει χαρακτηριστικούςελικοειδείς σχηματισμούς. Στο γρά-φημα ενός χαοτικού ΚΑ οι διακλα-δώσεις θα ήταν λεπτότερες.

Οι τράπεζες και οι επενδυτικοί οργανισμοί ανησυχούσαν όλο και περισσότερο για την

» ανικανότητα της παραδοσιακής οικονομικής θεωρίας να κάνει ακριβείς προβλέψεις σχετικά

με την εξέλιξη του οικονομικού συστήματος. Το 1987 ο καινούργιος γενικός διευθυντής της

Citicorp βρήκε την ευκαιρία να χρηματοδοτήσει μια ερευνητική ομάδα οικονομολόγων και

φυσικών υπό την αιγίδα του Ινστιτούτου. Ορισμένα φυσικά συστήματα είχαν τα ίδια χαρά-

κτηριστικά με τα κοινωνικά συστήματα: παρουσίαζαν παρόμοια μαθηματική συμπεριφορά,

και τα μαθηματικά ήταν εκείνα των πολύπλοκων συστημάτων. Αυτά τα συστήματα είναι γνω-

στά ως πολύπλοκα προσαρμοστικά συστήματα, χαρακτηρίζονται από διάφορους -αρνητι-

κούς και θετικούς- μηχανισμούς ανάδρασης και περιλαμβάνουν συστήματα όπως το ανο-

σοποιητικό, η ανάπτυξη του εμβρύου, οι διάφορες οικολογίες, οι οικονομικές αγορές και τα

πολιτικά κόμματα. Η πολυπλοκότητα προκύπτει από ένα μίγμα ανταγωνιστικών και συνεται-

ριστικών τάσεων, καθώς αυτού του είδους τα συστήματα βρίσκονται μόνιμα σε κατάσταση

δυναμικής ισορροπίας, ακροβατώντας μεταξύ τάξης και χάους. Το πιο εκπληκτικό ήταν ότι

ενώ αυτά τα συστήματα λειτουργούσαν σύμφωνα με πολύ απλούς κανόνες, οι πολύπλοκοι

σχηματισμοί προέκυπταν από τις αλληλεπιδράσεις απλών δομικών στοιχείων χωρίς να

υπάρχουν προκαθοριζόμενα πρότυπα. Η πολυπλοκότητα ήταν ένα αναδυόμενο φαινόμενο

και το Ινστιτούτο της Σάντα Φε είχε πια καταλάβει μια σταθερή θέση στο χάρτη.

Ένα παράδειγμα των παραπάνω είναι το αυτόματοι/. Ένας «κόσμος» από αυτόματα

γνωστός με το όνομα «παιχνίδι της ζωής» αναπτύχθηκε το 1970 απ' τον Τζων Κόνγουεϊ,

μαθηματικό του Καίμπριτζ. Παρά το όνομα του, δεν ήταν παιχνίδι αλλά σύμπαν σε μικρογρα-

φία, όπου σε ένα πλέγμα δύο διαστάσεων τοποθετήθηκαν αναπτυσσόμενα κύτταρα. Όταν

τα κύτταρα πολλαπλασιάστηκαν, το κάθε κύτταρο ζούσε ή πέθαινε ανάλογα με τον αριθμό

των ζωντανών γειτονικών κυττάρων - αν ήταν πάρα πολλά πέθαινε απ' το συνωστισμό, αν

ήταν πολύ λίγα μαράζωνε από μοναξιά. Μόλις τέθηκε σε λειτουργία, αυτό το σύμπαν άρχισε

να παρουσιάζει μια τεράστια ποικιλία σχημάτων, όπως παλλόμενα διαμάντια, πεταλούδες

και φιγούρες που έμοιαζαν να γλιστρούν απ' τη μια άκρη του τοπίου στην άλλη. Ο Τζων φον

Νόυμαν είχε αρχίσει να ερευνά τα κυτταρικά αυτόματα ήδη απ' τη δεκαετία του '40, αλλά η

εργασία του παρέμεινε ημιτελής· η τελική επιμέλεια και έκδοση της έγινε το 1966, σχεδόν 10

χρόνια μετά το θάνατο του. Είχε αποδείξει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κυτταρικό αυτόμα-

τον που μπορούσε να αναπαράγει τον εαυτό του - δηλαδή η αναπαραγωγή δεν ήταν απο-

κλειστικότητα των ζώντων οργανισμών και ότι το λογισμικό ήταν ανεξάρτητο απ' τη μηχανή,

είτε επρόκειτο για υπολογιστή είτε για μυαλό. Η ανακάλυψη του Φράνσις Κρικ και του Τζέιμς

Γουότσοντο 1953 για τη δομή του DNAταίριαζε με την ανάλυση του φον Νόυμαν για τις

μαθηματικές ιδιότητες ενός αυτοαναπαραγόμενου συστήματος. Το 1984 ο Στέφεν Βόλ-

φραμ παρατήρησε ότι τα αυτόματα έχουν έντονες ομοιότητες με τη μη γραμμική δυναμική.

Ταξινόμησε τα κυτταρικά αυτόματα σε 4 «καθολικές κατηγορίες». Οι κατηγορίες Ι και II έδι-

ναν στατικές λύσεις μετά από έναν μικρό αριθμό κύκλων ζωής. ΗΙ κατέληγε σε μια σταθερή

και άκαμπτη δομή ενώ η II σε μια δομή σταθερή μεν αλλά περιοδική. Η III ήταν ένα χαοτικό

σύστημα χωρίς ορατή δομή και η IV περιλάμβανε το παιχνίδι της ζωής και άλλα συστήματα

αναδυόμενης τάξης. Ο Κρίστοφερ Λάνγκτον διερεύνησε ακόμα περισσότερο αυτή την ταξι-

νόμηση και ανακάλυψε ότι ένα σύστημα που περνούσε απ' τη μια κατάσταση σε άλλη, όπως

π.χ. ο πάγος που γίνεται νερό, περνούσε απ' τη ν τάξη στην πολυπλοκότητα και μετά στο

χάος. Τα κυτταρικά αυτόματα αναγγέλθηκαν ως νέα μορφή ζωής. Υπό ορισμένες συνθήκες,

>· Αυτός ο δράκος του Μάντελ-μπροτ αναδύεται απ' τη συνάρτηση ,f(z)=z2-m, όπου ζ σημείο του μιγαδι-κού επιπέδου και m η μεταβαλλό-μενη τιμή. Το μαύρο μέρος του επι-πέδου δείχνει τις τιμές του ζ για τιςοποίες η συνάρτηση τείνει προς τοάπειρο καθώς ο αριθμός των επανα-λήψεων τείνει και αυτός προς τοάπειρο.

μπορούσαν να αναπαραχθούν και να συμπεριφερθούν σαν υπολογιστές, χωρίς να μιμούνται

τη μηχανή που τρέχει το πρόγραμμα, αλλά ενεργώντας σαν αυτό που ο φον Νόυμαν και ο

Τιούρινγκ θα ονόμαζαν «πανυπολογιστη». Το παιχνίδι της ζωής έδειξε ότι αυτό που χαρακτη-

ρίζουμε ως ζωή παρατηρείται σε μια κατάσταση κάπου μεταξύ τάξης και χάους, μια κατά-

σταση πολυπλοκότητας μέσα σε ένα απόλυτα ρυθμισμένο σύμπαν.

Το 1990 το Ινστιτούτο της Σάντα Φε είχε γίνει παγκόσμιο κέντρο έρευνας για τα

πολύπλοκα συστήματα. Ίσως είναι ακόμα νωρίς για να εκτιμήσουμε τη συνολική προ-

σφορά του, όμως ένα είναι σίγουρο: η ίδια η φύση των μαθηματικών έχει αλλάξει, προ-

Α Στιγμιότυπα από δύο σύμπα-ντα κυτταρικών αυτομάτων. Τοχρώμα του κάθε πίξελ ή κυττάρου(κελιού), δηλώνει την κατάστασητου, η οποία μπορεί να αλλάξει στοεπόμενο χρονικά βήμα, ανάλογα μετην κατάσταση των κελιών που τοπεριβάλλουν. Αρχίζοντας από ένατυχαία τοποθετημένο σύμπαν,τέτοιοι απλοί κανόνες μπορούν ναδημιουργήσουν εξελισσόμενασυστήματα με πολύπλοκες δομέςκάπου ανάμεσα στην τάξη και στοχάος.

καλώντας ριζική αλλαγή στη φιλοσοφία μας για τη ζωή και για τη δομή του σύμπαντος.Το ωρολογιακό σύστημα του Νεύτωνα έχει πεθάνει και τη θέση του έχει πάρει ένα εξελι-κτικό μοντέλο αλληλοσυνδεόμενης πολυπλοκότητας. Τα μαθηματικά εξακολουθούν ναείναι τόσο απρόβλεπτα όσο και η ίδια η ζωή.

Γιατί πολλές φορές ακούμε ότι η γεωμετρία είναι «ψυχρή» και «άχαρη»; Ένας λόγος

είναι η αδυναμία της να περιγράψει το σχήμα ενός σύννεφου, ενός βουνού, μιας ακτής ή

ενός δέντρου. Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτές δεν είναι

κύκλοι και ο φλοιός δεν είναι επίπεδος ούτε οι αστραπές ταξιδεύουν σε ευθεία γραμμή.

Γενικότερα, ισχυρίζομαι ότι πολλά σχήματα της φύσης είναι τόσο ακανόνιστα και

κατακερματισμένα που αν τα συγκρίνουμε με τα ευκλείδεια, ...βλέπουμε ότι η φύση δεν

είναι απλώς πιο πολύπλοκη, αλλά επιδεικνύει ένα εντελώς άλλο επίπεδο πολυπλοκό-

τητας. Το πλήθος των φυσικών σχημάτων και μεγεθών είναι πρακτικά άπειρο.

Η ύπαρξη αυτών των σχημάτων μας προκαλεί να μελετήσουμε τις μορφές που

παρέλειψε ο Ευκλείδης θεωρώντας τις «άμορφες», να διερευνήσουμε τη μορφολογία

του «άμορφου». Οι μαθηματικοί παραδοσιακά περιφρονούσαν αυτήν την πρόκληση

και συστηματικά απέφευγαν την ενασχόληση τους με τη φύση, εφευρίσκοντας θεω-

ρίες άσχετες με οτιδήποτε βλέπουμε ή αισθανόμαστε.

Η λέξη φράκταλ (fractal) προέρχεται απ' το λατινικό fractus και το ρήμα frangere που

σημαίνει «σπάζω, δημιουργώ ακανόνιστα θραύσματα». Είναι φυσικό -και ταιριάζει με

τις ανάγκες μας- το fractus να σημαίνει «τεμαχισμένος» αλλά και «ακανόνιστος».

Είμαι σίγουρος ότι οι επιστήμονες θα εκπλαγούν και θα χαρούν συνάμα ανακαλύ-

πτοντας ότι πολλά σχήματα στα οποία έδιναν διάφορα απαξιωτικά ονόματα (ακανόνι-

στο, βλογιοκομμένο, ρυτιδιασμένο, στρεβλό, σκουληκαντέρα, βόστρυχος κ.ά.) τώρα

μπορούν να μελετηθούν με τη δέουσα επιστημονική αυστηρότητα και ακρίβεια.

Μπενουά Μάντελμπροτ, Η κλασματοειδής γεωμετρία της φύσης, 1977

Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή Άιβορ Γκράτταν-Γκίνες για την ολόθερμηυποστήριξη του σε ό,τι επιχείρησα μέχρι τώρα καθώς και για την υπομονή του και τις πολύτι-

μες συμβουλές του σε σχέση με το κείμενο. Όποια σφάλματα παραμένουν είναι προφανώς

δικά μου. Ευχαριστώ επίσης τον Πήτερ Τάλλακ για την ενθουσιώδη υποστήριξη της ιδέας τουβιβλίου και τον Τομ Γουάιτινγκ για τη βοήθεια του στην υλοποίηση της. Πολλά επίσης οφείλω

στην Ομάδα Μαθηματικών και Στατιοτικής του Πανεπιστημίου του Middlesex και σε πολλάμέλη της Βρετανικής Εταιρείας για την Ιστορία των Μαθηματικών όπως και σε συμβουλές

που έλαβα από μέλη σχετικών λιστών του διαδικτύου. θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τουςφίλους που κράτησαν τη φλόγα αναμμένη τα τελευταία χρόνια: Αϊλήν Μπάρλεξ, Μπεν Ντίκι,

Γιούρι Γκάμπριελ, Πήτερ Γκρήσιαν, Ντέιβ Τζάκσον, Κρις Μασλάνκα, Ντέιβιντ Πρινς, ΤζωνΡονέυν και Ντέιβιντ Σίνγκμαστερ. Βραβείο συνολικής προσφοράς πηγαίνει στους γονείς μου

και η ταπεινή μου συγγνώμη σε όσους άθελα μου παρέλειψα.

Υπάρχουν πολλές γενικές ιστορίες των μαθηματικών. Η Companion Encyclopedia of theHistory and Philosophy of the Mathematical Sciences, με επιμελητή τον Άιβορ Γκράτταν-Γκί-

νες, περιλαμβάνει εκτεταμένες βιογραφίες ανά κεφάλαιο. Πιο προσιτές στο μέσο βαλάντιο

είναι οι The Fontana History of the Mathematical Sciences του Άιβορ Γκράτταν-Γκίνες, ΑHistory of Mathematics του Καρλ Μπόυερ, A History of Mathematics του Φλόριαν Κατζόρι, Α

History of Mathematics, An Introduction Βίκτορ Κατς και τα Mathematical Thought from Ancient

to Modern Times και Mathematics in Western Culture του Μόρρις Κλαιν. Ο Χάουαρντ Ηβς έχειγράψει μια σειρά από αποσπασματικές ιστορίες μαθηματικών με τελευταίο το Return to

Mathematical Circles.Γενικές εισαγωγές στα αρχαία και μη ευρωπαϊκά μαθηματικά είναι τα: The Crest of the

Peacock του Τζωρτζ Γκεβεργκήζ Τζόζεφ και Science Awakening του Μ.Λ. βαν ντερ Βέρντεν.

Για τα ελληνικά μαθηματικά υπάρχει το A History of Greek Mathematics του Σερ Τόμας Λ. Χηθόπως και οι διάφορες μεταφράσεις του περιλαμβανομένων των Στοιχείων του Ευκλείδη. Για

τα μεσαιωνικά μαθηματικά, Aristotle to Galileo του Α.Κ. Κρόμπι (σε επανέκδοση με τίτλο

Medieval and Early Modern Science) και τα Physical Science in the Middle Ages και A SourceBook in Medieval Science του Έ. Γκραντ, και το The Beginnings of Western Science του Ν.Κ.Λίντμπεργκ. Πατά αναγεννησιακά μαθηματικά The Invention of Infinity του J.V. Field σχετικά

με την προοπτική.Για την επανάσταση στην αστρονομία υπάρχουν πολλά πρωτότυπα έργα που μετα-

φράζονται τώρα, όπως π.χ. Η Αρμονία του κόσμου του Γιοχάνες Κέπλερ και Δύο ι/έες επι-

στήμες του Γκαλιλέο Γκαλιλέι. Η πιο συναρπαστική αφήγηση της ιστορίας από τον Κοπέρ-

νικο ως τον Γαλιλαίο είναι το The Sleepwalkers του Άρθουρ Κέστλερ.Για μια λεπτομερή παρουσίαση του Απειροστικού Λογισμού βλ. το The Concepts of the

Calculus του Καρλ Μπόυερ. Υπάρχουν πολλά έργα σχετικά με την επιστημονική επανάστα-

ση. Για μια περιγραφή του κοινωνικού κλίματος το Ingenious Pursuits της Λίζας Ζαρντίν και

το The Revolution in Science 1500-1750 του Α. Ρ. Χωλ και για ενδιαφέρουσες συζητήσεις τοOn Giants1s Shoulders του Μέλβιν Μπραγκ.

Για τη χαρτογραφία και την αστρονομία δύο καλογραμμένα εικονογραφημένα βιβλία είναιτα The Image of the World και The Mapping of the Heavens, και τα δύο του Πήτερ Γουίτφιλντ.

Κάποια κεφάλαια του δικού του Landmarks in Western Science είναι επίσης αξιομνημόνευτα.

Μια αξιοσημείωτη ιστορία των πρώτων βημάτων στις πιθανότητες και στη στατιστική

είναι το Games, Gods and Gambling του Φ.Ν. Ντέιβιντ και για τις πιο πρόσφατες εξελίξεις

το The Empire of Chance σε επιμέλεια Γκρεγκ Γκίγκρενζερ.

Για τη λογική και τους υπερβατικούς αριθμούς το έργο του Μ. Ράσελ The Principles of

Mathematics είναι σε γενικές γραμμές προσιτό, το Georg Cantor: His Mathematics and

Philosophy of the Infinite του Τ. Ντόμπεν και From Frege to Godel: A Source Book onMathematical Logic, 1879-1931, σε επιμέλεια του Τ.Β. Χάιγενορτ είναι επίσης χρήσιμα.

Για τους υπολογιστές, The Computer, from Pascal to von Neumann του Χέρμαν Γκόλντ-στιν αναφέρει πολλές προσωπικές ιστορίες από την εποχή των πρώτων βημάτων στους

υπολογιστές και το A Computer Perspective των Τσαρλς και Ρέι Ημς είναι πλούσια εικονο-γραφημένο. Για την κρυπτογραφία, The Code Book του Σάιμον Σινγκ.

Για την εικαστική αναπαράσταση των μαθηματικών επιστημών, σύγχρονων και ιστορικών,

αξιόλογα είναι τα ακόλουθα: The Fourth Dimension και Duchamp in Context της Λίντα Νταλ-

ρύμπλ Χέντερσον, Science oMrt του Μάρτιν Κεμπ, Artful Science του Μ.Μ. Στάφορντ, Sacred

Geometry του Ρ. Λώλορ, The Visual Mind της Μισέλ Έμμερ, Godel, Escher and Bach του Ντά-γκλας Ρ. Χόφστατερ. Υπάρχουν επίσης πρακτικά συνεδριάσεων, όλα διαθέσιμα στο διαδί-

κτυο, «Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science» (1998, 1999), «NEXUS:

Architecture and Mathematics» (1996, 1998) και «ISAMA 99» (International Society of Art,Mathematics and Architecture).

Για τα μαθηματικά των πολύπλοκων συστημάτων και του χάους υπάρχουν πολλά δημοφι-λή βιβλία που περιλαμβάνουν και την ιστορική προοπτική των θεμάτων αυτών. Τα The Fractal

Geometry of Nature του Μ. Μάντελμπροτ και Chaos του Τ. Γκλάικ είναι εξαιρετικά, όπως και τα

Frontiers of Complexity των Πήτερ Κάβενυ και Ρότζερ Χάιφιλντ και Complexity του ΜίτσελΓουόλντροπ.

Υπάρχουν και μερικές συλλογές πρωτότυπων μαθηματικών κειμένων, μεταξύ άλλων ταThe History of Mathematics, A Reader των Τζων Φώβελ και Τζέρεμυ Γκρέι, το Classics of

Mathematics του Ρόναλντ Κάλιντζερ, The Treasury of Mathematics της Ενριέτας Μίντονικ, ΑSourcebook in Mathematics, 1200-1800 του Ν.Τ. Στρόικ, On Mathematics and Mathematicians

του Ρ.Ε. Μόριτς, The World of Mathematics του Τζέιμς Νιούμαν και το Mathematical Maximsand Minims του Ν. Ρόουζ.

Και τελικά, το βιβλίο που μου έδωσε την έμπνευση για την παρούσα εργασία, δημοφιλέςστη δεκαετία του '60 αλλά εξαντλημένο σήμερα, είναι το Mathematics in the Making του Λάν-

σελοτ Χόγκμπεν.

Αξιόλογοι διαδικτυακοί τόποι είναι η σελίδα για την ιστορία των μαθηματικών του St

Andrew's University, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/ με πολλούς δεσμούςγια άλλους τόπους στο διαδίκτυο.

Η σελίδα του Eric Weisstein «World of Mathematics» είναι χρήσιμη πηγή σύγχρονων μαθη-

ματικών όρων και ιδεών με μερικές ιστορικές αναφορές, http://mathworld.wolfram.com/

«Vismath» για τα εικαστικά μαθηματικά, http://members.tripod.com/vismath/και το Κέντρο Γεωμετρίας, http://www.geom.umn.edu

και ένα μουσείο μαθηματικών στην Ιαπωνία, http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/indexE.htmlΗ σελίδα της Βρετανικής Εταιρείας για την Ιστορία των Μαθηματικών είναι:

http://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/

CD με επίκεντρο τα εικαστικά μαθηματικά είναι τα Art and Mathematics και Life, the Universeand Mathematics, και τα δύο της Virtual Image. Επίσης το Escher Interactive από την Thames

and Hudson Digital.

To βίντεο VideoMath Festival at ICM98, σε έκδοση Σπρίνγκερ παρουσιάζει ένα ευρύ φάσμασύγχρονων έργων.

ευρετήριο Οι αριθμοί σε πλάγια γραφήαναφέρονται σε εικόνες

άβακας 68-70, 174Αδελάρδος του Μπαθ 55Αζτέκοι J6Αίγυπτος 12-14,73, 17, 26,

112Αϊνστάιν, Άλμπερτ 146,

166, 168, 170άλγεβρα 55, 134-8' αναλυ-

τική γεωμετρία και 81,82, 83· Αραβες και 46-9, 78' αριθμητική 134,135-7· μη αντιμεταθετι-κή 136-7· πεμπτοβάθ-μια εξίσωση 120-3'σύμβολα 82, 134'τουΜπουλ 135' τριτοβάθ-μιες εξισώσεις 49, 78-81,82-4

αλγόριθμοι 31-2, 55, 174,176-7, 180

Αλεξάνδρεια 28, 32, 112αλ-Καράτζι 48-9αλ-Κάσι 50Αλκουίνος του Γιορκ 52Αλμπέρτι, Λεόν Μπατίστα

60,64αλ-Τούσι, Νάσιρ αλ-Ντιν

49, 126αλ-Χουαρίζμι 46-8, 55, 78,

79,80, 113Αμπελ, Νιλς Χένρικ 120-1,

123Αμπέρ, Αντρέ-Μαρ( 144Άμποτ, Έντουιν 167Αμπου'λ-Ουάφα 50Avαγέwηση 59-66, 68, 78,

114, 154, 166άπειρο 102, 148-52απειροστικός λογισμός

44, 96, 103-8, 140, 148-9, 174

Απολλώνιος ο Περγαίος32,49

Άραβες 25, 34, 42, 46-50,52-5,58,68, 117

Αριαμπάτα 42, 43, 44αριθμητική 73, 78, 148,176αριθμοί: αλγεβρικοί 149'

άρρητοι 26, 31-2,149-51,174· μιγαδικοί 120'πρώτοι 31'τέλειοι 31'υπερβατικοί 149-50,151-2

Αρίοταρχος 18

Αριστοτέλης 18, 24, 26,28, 57, 55-7, 58, 86

αρχιμήδειο στερεά 61Αρχιμήδης 32, 32, 61, 100-

1,102αστρολάβος 78, 39, 45,

117, 118αστρονομία 16-20, 43, 43,

44, 47-9, 48-50, 53, 55,86-94, 86-7, 89-90, 93,96, 155-7

αυτόματα 185, 787Αχμής 12, 14

Βαβυλώνιοι 10-12, 77,17,18, 22-3, 22, 40, 46, 78,112

Βαγδάτη 32, 34, 46, 50,52,55

Βάιερστρας, Καρλ 149Βάκων, Ρονήρος 58Βάκων, Φραγκίσκος 73-5βαρύτητα 91, 92, 96, 140,

144Βεδάνγκα 40βιομετρική κίνηση 157-8Βιτρούβιος 60, 64Βοήθιος 52Βόλφραμ, Στήβεν 185Βράχιος, Τυχών 90, 91Βραχμαγκούπτα 42, 43, 44Βυζαντινή Αυτοκρατορία

77, 32, 68

Γαλιλαίος 92-5, 96-8, 97,102, 148, 155

γενετική 157-8Γεράρδος της Κρεμόνας

55γεωγραφικό μήκος 115-

16, 118γεωγραφικό πλάτος 115-

16, 118γεωμετρία 54, 78' αναλυτι-

κή 49,82-4· διαφορική143' ευκλείδεια 28-32,126-127, 131-2· ινδική401 κλασματοειδής 180-3,787,782' μη ευκλεί-δεια 126-32, 166, 170-2'προβολική 66' σφαιρική127· υπερβολική 127

Γιακόμπι, Καρλ 122, 123Γιανγκ Χούι 34, 35Γκαλιλέο Γκαλιλέι, βλ.

ΓαλιλαίοςΓκαλουά, Εβαρίοτ 121-4

Γκάους, Καρλ Φρήντριχ37, 38, 120, 128-30,132, 152, 155-6

Γκελ-Μαν, Μάραιη 184Γκέντελ, Κουρτ 176, 177Γκόσετ, Γ.Σ. 158Γκρην, Τζωρτζ 144Γκρις, Χουάν 168, 170Γκροοτέστ, Ρόμπερτ 57-8Γκρωντ, Τζων 156Γκώλτον, Φράνσις 157,158Γουλιέλμος του Όκαμ 58

δεκαδικό σύστημα 10διάστημα 140, 146, 167Διογένης 26Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς

32,46δυναμικά πεδία 140, 142-3

Ελλάδα 14, 18, 26, 28-32,40,46,52, 112

«εννέα κεφάλαια» 34-8, 35Ερατοσθένης 112, 113Ερνστ, Μαξ 170Έρστεντ, Χανς Κρίστιαν

144Έσερ, Μάουριτς 6, 725,

729Εύδοξος ο Κνίδιος 31, 32,

100Ευκλείδης 20,26,27,28-32,

43, 48, 52, 55, 62, 64, 67,72,90,126,129,170

εφημερίδες 17-18

Ζαΐν43, 154Ζυλιά, σύνολα 181

ηλεκτρομαγνητισμός 739,140, 143-6, 744

ηλιακά ρολόγια 117-18,7 7 7

Ήλιος 18, 20, 49, 58, 86-8,87,91-2,95,115-16,118,140-1

ημερολόγια 75,16-17,77,49,87

ημερολογιακά ραβδιά 10,774

Ηρόδοτος 14Ηρών 12

Θαλής ο Μιλήσιος 28Θεοδώριχος 58θεσιακά συστήματα 10-

11, 16,42

θεωρία παιγνίων 160-4

Ινδία 23, 40-4, 46, 154Ίππαρχος 18-20Ίππασος ο Μεταπόντιος 26Ισάνγκο, κόκαλο 10Ισπανία 52-5

Καβαλιέρι, Μποναβεντούρα102-3

Καντ, Ιμμάνουελ 167-8Κάντορ, Γκέοργκ 148,

150, 151-2Κάουαν, Τζωρτζ 183, 184Καρντάνο, Τζιρολάμο 79-

81,84, 154Κελλάριος 86, 707Κέπλερ, Γιοχάνες 26, 50,

61,68,88-92,89,93,94,95, 100, 102, 155

Κετελέ, Αντόλφ 156Κίνα 23-4, 34-8, 35, 40,

112κίνηση, νόμοι της 95Κλαιν, μπουκάλι του 132Κλαιν, Φέλιξ 726κλάσματα 13, 70κλασματοειδή (φράκταλς)

180-3, 787, 782, 185Κλίφορντ, Γουίλιαμ Κ(νγκ-

ντον 137Κομφούκιος 23, 34Κόνγουεϊ, Τζων 185Κοπέρνικος, Νικόλαος 87-

8,91,93,94Κρέλλε, Αουγκούοτ Λέο-

πολντ 120-1Κρέσκες, Αβραάμ 56Κρόνεκερ, Λέοπολντ152κυβισμός 166, 167-70κωνικές τομές 66Κωσύ, Ωγκυστέν-Λουί 121,

122, 123, 142-3, 148-9

Λαγκράνζ, Ζοζέφ-Λουί 43,121, 122, 142

Λάιμπνιτς, Γκότφριντ 103,107-8, 109, 150, 174

Λάμπερτ, Γιόχαν Χάινριχ117, 127, 128, 129

Λάνγκτον, Κρίοτοφερ 185Λαπλάς, Πιερ117, 142,

144, 156Λεζάντρ, Αντριάν-Μαρί

117, 121, 123, 155, 156Λεονάρντο ντα Βίντσι 58,

61,66

Λεονάρντο της Πίζας, βλ.Φιμπονάτσι

Λίου Χούι 36, 37, 37Λιουβίλ, Ζοζέφ 123, 152λογαριθμικός κανόνας 118λογάριθμοι 72-3, 75, 118,

174λογική 135, 137-8Λοκμάν 47, 48Λομπατσέφσκι, Νικολάι

Ιβάνοβιτς 128-9, 130,132, 166

Λουλ, Ραμόν 154

Μαγιάς, πολιτισμός των16-17

μαγικά τετράγωνα 34Μαδχάβα 44Μάντελμπροτ, Μπενουά

180-2, 187Μάξγουελ, Τζέημς Κλαρκ

136, 740, 143, 144-6Μαρκόνι, Γουλιέλμος 146Μάσκελιν, Νέβιλ116Μαχαβίρα 154Μελούν, Μπράιαν 182Μέμπιους, ταινία 729Μέντελ, Γκρέγκορ 157-8Μερκάτορ, Γεράρδος

114-15,775Μερσέν, Μαρέν 66, 103Μέρτον, κολέγιο 57Μεσοποταμία 10-12μηδέν 11, 36, 42Μιχαήλ Άγγελος 64, 65Μόργκενστερν, Όσκαρ

160Μόσχα, βλ. πάπυρος της

ΜόσχαςΜουάβρ, Αβραάμ ντε 155,

156μουσική 27, 26Μπάλλα, Τζιάκομο 765,

168Μπάμπιτζ, Τσαρλς 134,

174-5, 775, 176Μπάσκαρα II 43-4Μπελτράμι, Ευγένιος 726,

129, 170Μπέρκλεϋ, Επίσκοπος

104,107Μπερνούλι, Γιάκομπ 155Μπερνούλι, Γιόχαν 141Μπερνούλι, Ντανιέλ 141Μπλέικ, Γουίλιαμ 709, 166Μπολτσάνο, Μπέρνχαρτ

148-9, 151

Μπόλυαϊ, Πάνος 126-7,129-30 166

Μπόλυαϊ, Φάρκας 129Μπομπέλι, Ραφαέλ 81Μπόμπεργκ, Ντέιβιντ 767Μπόουντιτς, Ναθάνιελ

117Μπορέλ, Εμίλ 160Μποτσιόνι, Ουμπέρτο 168,

171Μπουλ, Τζωρτζ109, 135,

137Μπράγκντον, Κλωντ 167Μπρακ, Ζωρζ 168, 170Μπρετόν, Αντρέ 170Μπριγκς, Χένρυ 73

Νας, Τζων Φορμπς 760,161-3

ναυσιπλοία 70, 73, 112-17, 113-18

νεολιθική εποχή 10νεοπλατωνιστές 55, 57, 72Νέπερ, Τζων 70, 72-3, 75,

76Νεύτωνας, Ισαάκ 27, 44,

75,77,87,83,92,95-6,99, 100, 103-10, 705,706, 109, 116, 140, 145

Νικόμαχος 52Νιούτον, βλ. ΝεύτωναςΝταλί, Σαλβαδόρ 170-1,

777Ντε Μόργκαν, Αύγουστος

135-6Ντεζάργκ, Ζιράρ 66Ντεκάρτ, Ρενέ 49, 58, 66,

82-4, 95, 96, 144, 174ντελ Φέρρο, Σιπιόνε 79-80Ντελωναί, Σαρλ 143Ντέντεκιντ, Ρίχαρντ 150-2Ντη, Τζων 67, 72Ντίριχλετ, Λεζέν 148, 152Ντομίνγκες, 'Οσκαρ 168,

171Ντρέσερ, Μέλβιν 162Ντύρερ, Άλμπρεχτ 59, 64-

6,64Ντυσάν, Μαρσέλ 168,

769,170

Όυλερ, Λέοναρντ 120,140-2

παιχνίδι της ζωής 185παιχνίδια πολέμου 160,

163

πάπυρος της Μόσχας 12-3Πασκάλ, Μπλαιζ 154-5,

173, 174Πασκάλ, τρίγωνο του 37,

38,49Πατσιόλι, Λούκα 61, 64,

66,70,81, 154Πεάνο, Τζιουζέπε 138,748πεμπτοβάθμια εξίσωση

120-3Πήκοκ, Τζωρτζ 134, 135Πηρς, Μπέντζαμιν 137Πηρς, Τσαρλς Σάντερς

137Πήρσον, Καρλ 158Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα

60-4, 62, 63πιθανότητες, θεωρία πιθα-

νοτήτων 154-6Πικάσο, Πάμπλο 168-70πλανήτες 16,17-18, 20, 44,

86-94, 86, 89, 95, 96,97, 100, 140-1, 142,155

Πλάτων 24, 28πλατωνικά στερεά 61, 89,

90Πλίμπτον 322 πινακίδα 22,

22Πόλυα, Γκέοργκ 161πολυπλοκότητα, θεωρία

της πολυπλοκότητας183-6

πορτολανικοί χάρτες 772,113

Πουανκαρέ, Ανρύ 168,180

Πουασόν, Σιμεόν-Ντενί144

Πρενσέ, Μωρίς 168προβολική γεωμετρία 66Πρόκλος 24, 26, 28-30προοπτική 60-6, 62, 166-8Πτολεμαίος, Κλαύδιος 17,

18, 20, 32, 42, 52, 55,86,87,88,92,93, 112-14, 774

Πυθαγόρας 22, 24-6πυθαγόρειο θεώρημα 12,

21-6,25,30-1,40, 131

Ράις, Γκρέγκορ 57, 53, 54,58, 73

Ράιτ, Έντουαρντ 115Ράιτ, Τόμας 747Ραμανουτζάν, Σρινιβάσα

44RAND, Εταιρεία 163-4

Ράσελ, Μπέρτραντ 738,150-1, 163, 176

Ρέκορντ, Ρόμπερτ 69, 70-2,82

Ρήζε, Άνταμ 70, 81Ρήμαν, επιφάνεια 730,737Ρήμαν, Μπέρνχαρτ 131-2,

143, 149, 152, 166-7Ριντ, πάπυρος του 12-13,

72Ριχάρδος του Γουόλινγκ-

φορντ 57Ροβέρτος του Τσέοτερ 55Ρωμαίοι 52, 112

Σακέρι, Τζιρολάμο 126-7,128

Σακρομπόσκο 68ΣάνταΦε, Ινστιτούτο 184-

5, 186Σελήνη 10, 17-18, 20, 44,

49,86,92,93, 116, 144Σιμς, Καρλ 762, 763Σιρατό, Σαρλ 170σκάκι 759, 160, 163Σουανφά τουντσούνγκ 33Σουλβασούτρα 23, 40Σουρεαλισμός, βλ. Υπερ-

ρεαλισμόςστατιστική 154-8Στερεά του Αρχιμήδη 61συναρτήσεις 177συνδυαστικά μαθηματικά

154σύνολα, θεωρία συνόλων

148,152συστήματα αρίθμησης:

ινδοαραβικό 42, 68, 72,78,81· ρωμαϊκό 79

Τάκερ, Άλμπερτ 162Ταμερλάνος 40, 41Ταρτάλια 79-80, 84, 154«τελείες και παύλες» 16τέταρτη διάσταση 167-8,

170τετραγωνικές ρίζες 36-7τέχνη 60-6, 166-72Τιούρινγκ, Άλαν 164, 175,

177, 185Τολέδο 52-5τριγωνομετρία 18-20, 23,

42,50, 117Τσερτς, Αλόνζο 177Τσ'ιν Τσιουσάο 38Τσόου πει σουαντσίνγκ

23-4, 23, 34

Τσου σιτσιέ 38, 38

Υπατία 32υπερρεαλισμός 166,170-1υπολογιστές 135, 174-8,

775, 776, 780, 183-4υπολογιστικές μηχανές

773, 174

Φάραντεϊ, Μάικλ 144Φερμά, Πιερντε43, 103,

154-5Φέρμι, Ενρίκο 183Φερράρι, Λουντοβίκο 79-

80Φιμπονάτσι 68-70, 78Φιορ, Αντόνιο Μαρία 79Φίσερ, Ρόναλντ Έιλμερ

158Φλαμαριόν, Καμίγ 85Φλαντ, Ρόμπερτ 702Φον Νόυμαν, Τζων 160-1,

163, 175, 178, 185Φουριέ, Ζοζέφ 122, 148φουτουρισμός 166, 168φως 57-8

Χαγιάμ, Ομάρ 49, 50, 78,84, 126

Χάκλοϊτ, Ρίχαρτ 115Χάλλεϋ, Έντμοντ 28, 75,

95, 104, 156-7Χάμιλτον, Γουίλιαμ Ρόου-

αν 135, 136-7, 143χάος, θεωρία του χάους

142, 180, 182-3Χαράππα, πολιτισμός των

40Χάρισον, Τζων 116χάρτες 112-15, 772-75Χερτς, Χάινριχ 145-6Χήβισαϊντ, Όλιβερ 145-6Χίλμπερτ, Ντάβιντ 749,

152, 161, 176Χόλμπαϊν, Χανς ο Νεότε-

ρος 74χρόνος 116, 117-18, 146,

168Χύλλες, Τόμας 76Χώυχενς, Κρίστιαν 117

Ώρος 13-14