Элементы логики

2010-2011 гг.

Логика - это наука о законах и формах мышления.

Формы мышления

понятие суждение(высказывание, утверждение)

умозаключение

Этапы развития логики

•I этап – формальная логика, основатель Аристотель (384-322 гг. до н.э.)

•II этап – математическая логика, основатель Лейбниц (1642-

1716гг.)•III этап – матем. логика (булева

алгебра), основатель Джордж Буль

(1815-1864)

Понятие - •это форма мышления, в которой

отражаются существенные признаки объекта (или класса предметов), позволяющие отличать их от других.

Примеры: трапеция, компьютер, стол.

Высказывание (суждение)

• это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними.

повествовательное предложение; может быть либо истинно, либо ложно;

может быть выражено с помощью естественных и формальных языков;

У кошки 4 лапы. Париж – столица Италии.

Пять больше трех. 5>3.

Высказывание

простое сложное

простое + логическая связкаЛогические связки: И (А, НО) ИЛИ НЕВЕРНО, ЧТО…, НЕ

«ЕСЛИ …,ТО …» и др.

• Каждый четырехугольник имеет четыре угла и четыре стороны.

• Неверно, что мышь – устройство вывода информации.

• Все квадраты – прямоугольники.

• У квадрата 5 углов.

Задание 3:

Определить истинность высказываний:

1. Город Рим – столица Японии.2. Решение задачи – информационный

процесс.3. Для всех X >0 верно, что X + 2 >0.4. Сканер – это устройство, которое может

напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.

5. Мышка – это устройство ввода информации.

6. Население Москвы больше, чем население Санкт-Петербурга.

Умозаключениеэто форма мышления, с помощью

которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение, вывод);

Примеры:геометрическое доказательство.

Алгебра логики (высказываний)• логические переменные – это простые

высказывания (A, B ,Z…)

• логические функции – составные высказывания (F(A,B)= )

Например: A = «Крокодилы летают»

B = «Земля вращается вокруг Солнца»

• Если высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0;

Тогда: A = 0, B = 1

• Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания;

Задание 4:Из сложных высказываний выделить простые и

записать логические выражения:

1. Сканер – устройство вывода информации, или Луна – спутник Земли.

2. Если завтра будет туман, мы не сможем вылететь на соревнования.

3. «Локомотив» выиграл встречу с «Динамо», а встреча с «Ротором» и «Спартаком» закончилась вничью.

4. Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку.

5. На каникулах я поеду на лечение в Ялту или Одессу, а мой класс поедет на экскурсию в Москву или Севастополь.

Логические операции•Конъюнкция•Дизъюнкция•Инверсия•Импликация•Эквивалентность

Конъюнкция (логическое умножение)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза и (а, но).

A B F = A * B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Соответствует: И Обозначение: &, , *

F = A * B

Дизъюнкция (логическое сложение)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза или называется операцией.

A B F = A + B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Соответствует: ИЛИ Обозначение: , +

F = A + B

Соответствует: НЕ, НЕВЕРНО, ЧТО…

Обозначение:

Инверсия (логическое отрицание)

Присоединение частицы не к высказыванию.

A F =

0 1

1 0

A¬; ¯

AF =

Импликация (Логическое следование)

Соединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи если…, то…

A B F = A B0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Соответствует: ЕСЛИ…, ТО… Обозначение: ,

F = A B

Эквивалентность (логическое равенство)

Соединение двух высказываний в одно помощью оборота речи тогда и только тогда, когда.

A B F = A B0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Соответствует: тогда и только тогда, когдаОбозначение: , ,

F = AB

Задание 5:1. Даны высказывания: M = «Число 12 - простое»; N = «Париж – столица

Франции». Сформулировать на обычном языке высказывания

K=M + N.

Определить их истинность.

2. Пусть А = «Через Смоленск протекает Днепр», B = «Луна сделана из теста».

Сформулируйте на обычном языке высказывание X = A B. Определите его истинность.

MK

NMB N*MA

Порядок выполнения действийДействия в скобках1. Инверсия2. Конъюнкция3. Дизъюнкция4. Импликация5. Эквивалентность

Задание 8:

Даны высказывания S=Число 3 является делителем числа 198, X=Иркутск – столица Франции.

Сформулировать на обычном языке высказывания:

1. A = ¬S;2. B = x * s;3. C=s+x; 4. D = s ¬ x; 5. M = x s. Определить их истинность.

Составление таблиц истинности•Число строк = 2n , где n –число логических переменных;

•Число столбцов = количество переменных + количество операций;

•Установить последовательность выполнения логических операций;

•Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных переменных;

•Заполнить таблицу истинности по столбцам.

Задание 9:1. Пусть A=0, B=1. Определить истинность

высказывания F = (A + B) * (¬ A + ¬ B).2. Построить таблицу истинности следующих

выражений:

CBAD

CBAP

FSFSA

DDCM

ABAF

)*(

*

)()*(

*

&*

Равносильные логические выражения•Логические выражения, у которых

таблицы истинности совпадают называются равносильными

•Доказать равносильность логических выражений

BAиBA &

Законы логики

• Закон тождества: всякое высказывание тождественно самому себе

• Закон непротиворечия: высказывание не может быть одновременно истинным и ложным

• Закон исключения третьего: высказывание может быть либо истинным, либо ложным третьего не дано

AA

0* AA

1 AA

Законы логики•Закон двойного отрицания: если

дважды отрицать одно и то же высказывание, то в результате получится исходное высказывание

•Закон коммутативности:

•Закон ассоциативности:

AA

ABBAABBA **

)()(

)*(**)*(

CBACBA

CBACBA

Законы логики•Закон дистрибутивности:

•Законы Моргана:

•Поглощение 1:

•Поглощение 0:

•Поглощения:

)(&)()&(

)&()&()(&

CABACBA

CABACBA

BABABABA &&AA 1&

AA 0

ABAAABAA )&()(&

Логические основы компьютера•В основе обработки компьютером

информации лежит алгебра логики, разработанная английским математиком Джоржем Булем (булева алгебра). Схемные реализации логических операций называются логическими элементами.

Логический элемент НЕ

• Преобразует сигнал в противоположный: если на вход элемента подана логическая единица, то на выходе этого элемента будет логический ноль, и наоборот. X НЕ X

1 00 1

Логический элемент ИЛИ• Преобразует два

сигнала, поданные на вход, в один сигнал на выходе по следующему принципу: если на любой вход логического элемента ИЛИ будет подана логическая единица, то на выходе элемента будет логическая единица. Если на оба входа подан логический ноль, то на выходе элемента ИЛИ также будет ноль.

X Y Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Логический элемент И• Преобразует два

сигнала, поданные на вход, в один сигнал на выходе по следующему принципу: если на любой вход логического элемента И будет подан логический ноль, то на выходе элемента будет логический ноль. Если на оба входа подана логическая единица, то на выходе элемента И также будет единица.

X Y Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

ДЗ №11.Запишите следующие высказывания в виде логических

выражений:• Сегодня я пойду в школу, а затем на день рождения к Маше.• Неверно, что корова хищное животное.• Студент запланировал выполнить следующие дела:

подготовиться к зачету, побывать на тренировке, почитать книгу, поиграть в теннис.

• Утром мы поедем на рыбалку, позагораем, но уху варить не будем.

2. Найдите значения логических выражений:

3. Приведите 3-4 примера составных высказываний из школьных предметов и запишите их с помощью логических операций.

ДЗ №21.Составьте таблицы истинности для следующих логических

выражений:

2. Постройте логическое выражение по логической схеме:

3. Составьте логические схемы к следующим логическим выражениям:

ДЗ №3

• Упростите логические выражения:

• Кто из ребят играет в шахматы, если известно, что: если играет Андрей или Виктор, то Сергей не играет; если Виктор не играет, то играют Сергей и Дмитрий; Сергей играет.

ДЗ №4А9 Для какого слова истинно высказывание(Последняя буква слова гласная Вторая

буква слова гласная)1 )ГОРЕ 2) ПРИВЕТ 3) КРЕСЛО 4) ЗАКОН

А10 Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению (ABC)

1) ABC 2) ABC 3) ABC 4) ABС

А11 Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

• 1) X YZ 2) XYZ• 3) XYZ 4) XYZ

ДЗ №4 (продолжение)B2 Сколько различных решений имеет уравнение

(KLM)( LM)N =0, где К, L, М, N - логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значении К, L, М и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

В4 При составлении расписания на вторник учителя высказали свои пожелания по поводу первых пяти уроков. Учитель химии просил поставить ему второй или третий урок, учитель литературы – первый или второй урок, учитель информатики первый или четвертый, учитель технологии - тpeтий или четвертый, учителя английского языка устраивают только четвертый пли пятый уроки.

Какой вариант расписания подойдет всем учителям школы? Если возможны несколько вариантой, перечислите их через запятую.

(Обозначения: Н - химия, L - литература, I - информатика, Т- технология, А- английский язык)

Решения записывайте в виде обозначений уроков по порядку, например: HLITA.