82
& « » 2 « , . , , » : Conceptum A.E () Exodus A.E. : 2.0.12, 2008

ΑΒΑΚΙΟ Εγχειρίδιο μαθηματικών

  • Upload
    pliakas

  • View
    293

  • Download
    6

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

������� ��� ���� ��� ��� �� ��� �� ������������ ��� ���� ��� �������

� � �� ��� �� ������� �� �����!�"� �� �� #������!�"� �� ���������

& # �"�� ���$%���� ��� ���� ��� ��� �� ��� ��� '������

«������� ��� ������ � ������ ������������ ��������»

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

«������� ������������ ���$%���� ���� ���� ��� ��� �� ��� � � �� ����� �% ��� ������� �� (�������, ��� ������� ��� ���. )�����*���, +�����

��� !�������� �� ��� ���� ��� � � �� #��� �% , )����� � �� ���� �»

����� �!"���:

Conceptum A.E (���#!$!�)

Exodus A.E.

%�&

'���: 2.0.12, %���� �* 2008

Page 2: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

2

�������� ���� ���

CONCEPTUM �.�

EXODUS

���

����� ��������� ��� ���

«������� – ������ 2»

�������!�"� ����:

��� %���������

�����������" �����:

����������: #���� �����, (�������� 1���3��, 4������ (�����

(�����5��: ���� ��� !5�, ��������� *��6

$�����: *���������� %��6����, #���� �����

7����6: *��������� *����������

���������: ��������� *��6, ���� ��� !5�, ������� 7�����6

8. (������: 7����� 9���

#�����" �����:

������� �����, ������� �����������, ������� ����������, ������� �������, ������� ���������

$��%�����/�� �����&�%��!�� �� ����� ��� ��.�#$:

����� ������ (������� ����������� ��� ������� �3����)

��3�� (���� (������� ����������� ��� �� �������� �3����)

Page 3: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

3

'�(��)�*�+�

��!��,�" ................................................................................................ 5 1. *�(�� � ���&����" �����-" – '���!��!� 0�-��,� ...................... 6

1.1 � ��������6� ������ ......................................................................... 6 1.1.1 "������56 .................................................................................. 6 1.1.2 %�������� ����� ��3��� ......................................................... 7 1.1.3 ��� %��3��� .......................................................................... 8 1.1.4 �������6, �����56 ��� ���������� ��3��� ............................... 9 1.1.5 +�� � ��5������ ��� �����5�� ��� ���� ��3��� ...................... 9

1.2 ������� ��� &��� ........................................................................ 11 1.2.1 "������56 ................................................................................ 11 1.2.2 #�������� ................................................................................. 11 1.2.3 +�� � ��5������ ��� �����5�� ���� E�5�� «&���» ................ 13

1.3 «&���» ��� «� ��������6� F�����» ............................................... 14 1.3.1 "������56 ................................................................................ 14 1.3.2 #��������� �3�� ........................................................................ 15

1.4 G E�5�� «������» ��� � E�5�� «Logo» ........................................... 20 1.4.1 "������56 ................................................................................ 20 1.4.2 "�� ������ ��� ������ ............................................................... 20 1.4.3 "�� ���������I��� ��� ��3� ��� ��������� ................................ 25

1.5 G E�5�� *����� ............................................................................ 27 1.6 G E�5�� ������3�� ...................................................................... 29

1.6.1 "������56 ................................................................................ 29 1.7 %���������� ������3�� ................................................................. 31

2. *�(�� 3: ��������!� 4�-��,� ��� ������� !�� �&��!�� ��� ��,!����% ������������ �,� ���������5� .............................................................. 33

2.1. �’ ��� E�5���: � ��������6� ������ Logo, '�����, *�����, ������3��, %��������� ������3�� ..................................................... 33

2.1.1 � �������������� E�5���6���� (Tessellation) ���� +3��� ........... 34 2.1.2 J������3� ................................................................................. 34 2.1.3 J������ +����� .................................................................... 36

2.2 F’ ��� E�5���: F��� ��3���, �������, ���� ........................ 37 3. *�(�� 7: 8�������� ����������� – %&&� ���!��� ��� �� ���������� ............................................................................................................. 39

3.1 %������� "���������� - ��������� '��������� .......................... 40 '��I���� (35���� .............................................................................. 40

Page 4: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

4

+� �������� ...................................................................................... 51 3.2 %������� "���������� - ��������� +���������� ............................. 56

+ ���� ............................................................................................ 56 J ������ ............................................................................................ 63

3.3 7���� �������� ............................................................................... 69 «J� (35����» ..................................................................................... 69 «+� (�������» .................................................................................. 73 «+ "����» ........................................................................................ 76 «J *�����» ........................................................................................ 79

Page 5: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

5

��!��,�"

+ ���� �������� ���53����� �� �������� ���������� ��� ����������� ���

� �������� � � ���� �3��:

� �3��: &� �’ �3�� ������� ��������6 ������56 - �������� ��� E�5���

������� � �����I���� ��������� �� �� �������� ��� �����������, �����

���� �� �������� ��� � �������� ��� �� ��������� � � ��� �� ��� �6��� ��

�������� � ����������� ��� ��� ��� � ��� �� E�5��� �� ������ ��� ���

��������6 ����������� �������. &��� ������� ���6 ������5���� ����

���� E�5��� ��� � ��������� ��� �� ��3�� �� � �������� ����������.

F �3��: &� �’ �3�� ��������� ��� ���� ������������� ��� ������

����� ��� �3�� ���� �� ��������� ��� � �� � ��� �� ��� �6���

���� E�5��� ��� ������ �� ���6���� ��� �����������.

( �3��: &� �’ �3�� ������ ��������� �������3�� ������� �� ���������

��������6���. J� ������������� ���3� �5��� 3����� ���������� �

3��� ��� ������ �� ���������� � ������ � ���������� ��� ����������

��� ����� �� ������ ��� � �������� ���������� ��� �����������. '���� ��

� ����� �������3��� ��������3� �������, � �� �������� � ��� ��

��� ��� �6��� �� ������� �6���� ��� �� ������������� � ������ ���

���������� �� � �����. *�����, ����, ������������� ��� ��6 ��� �� �����,

� ��� �� ��� ������ �6��� �� ��� ������56� ����������

��������6��� � �� ��� ������ �� ��6 ��� ��������.

Page 6: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

6

1. *�(�� � ���&����" �����-" – '���!��!� 0�-��,�

1.1 �������!�"� ��!�,�

1.1.1 '����-"

G F��� %��3��� ��3��� �� ��6��� �� ��������� � �6������ ���

���6����� ���5���� ����� ��� ������ ��� �� �������� ��� �������6�

���. F��� %��3��� ����� 3�� ���� ���5���� ������ ��� ��� 3���

���������� �� �� ����������. ".�. � B% ���� ������ ���3��� ���5����

��� � �����, ��� �����3�, ��� ������� � �� ��5��� ��� ��

�����I���� ������ ���. ���� �� �������� ��� B����, ��6���� � ��� ��

��� ���������� ���3����� �3� ������� 6 ������� �����3�, �� �������� ���

���5����, �� �������� �3�� ����������� ��� �� ���I����� ������� � � ��

F��� ���5��� �� �� �� ����6���. G ����������� ��� F���� %��3��� �������

�������� ��5��6� ���� �������� ��� ����� ��� ��3���, � � � ��������6

��� ����� ��6��� ��� � ����������6.

&��� ��� ���� �� ������, � ���������� ��� ��3��� �������

������ ������ �� ��&�� ��� E�5��� (��. ���.1). +� ����� � ����� ���� ����

E�5�� ����������� �� ��� ��� ��� �����53� ��� ����� ���. #3����� �����

������ ��� �����3� ��������� ���� ��� ��6��� �� ��3�� ����.

���������, ����-��, ������� �� ������� � ���������� ��� ���. 9 ��

�� ��� ��� ��� ���3����, �� ��� � ��� �� ����� ������3�, ���������3� �.�.

���������, ��� � �����53� ����������� �� �������������� ��� ���������

�����.

���9�� 1

*�#$� "�%$�

�((N�7�&

Page 7: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

7

1.1.2 8�������� ��!�� �������,�

��� ���� ��3��� ���3��� ��� ��� �����53�. 9��� ��������, �

E�5�� «� ��������6� F�����» ����������� �3����� ����� � ���������� ��

� ��� (�� �� ������ «"�� 1» ��� «"�� 2») ��� � ���3� �����53�. (��

�� �����,"!���� �� �5�� ��� ����� ������ ��� ���� �� 3�� � � �� �����

���� ("��1 – "��2) ��� � ��3���� ��� ����6 $������� � �, �5����

���������� � ���� � �3���� �� �� ����� ���, �5��3��,

�����I��� �� �� (�������) �� ���: �� ���6 ����� ������

(��5�����������), �� ����� �������, ����3� 6 E��3� �.�.�. (���.2) � ����,

�3�� � � � ���� «"��», �� ���3���� 6 �� �5���3���� ��� ���

�3����. '�!��" �����I���� ��� ��6�� ������� ��� ��� ��� �����

��3���, ����� � �������6 ���� ������� ��� ���� �������� �� ���

5�3� ���6����. *������� ��� � ����� �� � ������ ��� ������� �

�3���� �� 5���� �� ��������� ��� �� ������� �� ����6 ��� �’ 3��

�� ��5���������� �� �.

���9�� 2

�5� ������������ ��� �����3� ��������� ��� ����� ��� ( ���), � ����

�� ����6���� ��� ��������� ������� ���, ��� �����53�. (�� �� ��!������

���� ����-�� ������ ���� �� 3�� � � �� � ���� ����� ��� ����������

�� ������� ���. !��� ��������� ���� ���������� ��� �����5�� ��� ����� ���

� ������ � ���������� �3 �� �� ���������� �� ��� ���9����� �� ���

� 3���� �����3��� ��������. *�� �� � ���� �� ���3����

�����53� � ��3����� «13� �����56» � � � ���� «�����56» ��� E�5��� ���

(6 ������� � �� � �6��� «Insert»). '�!��" �����I���� ��� ��6��

��5������ 6 ������ ��������� ���, ����������, ���� �����5� �������6 ���

�����5�� ��� �����. 9 �� �� ��� ��� ���3����, �� ��� ��� � �����53� �

�������� ��� ���� ��3��� ���������� �������� ��� � ����� E�5���

�� ��������� ���.

*�������� ������ ���

*�������� �������� ���

Page 8: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

8

��, ��� �6 �� ���, �3���� �� ������&&���� �� !��� �� ��� ��

��5���I���� �� ��� ��� ����� ��� �� 3���� ��� �� � ��3���� (�������

����) � �� � �3���� �� �������6���� ��� �� � ������ ��� �3�� �

� �������. �� ��� �3���� �� �������!��%�� �� ���� � ���� 6 ���

������� ���� ���, ������ ��� ���� �� �� ����, � ��3���� $������� ���,

�� ������ � ��5���I���� (��. ���.2), � ��� �����I��� �� �������

����.

1.1.3 ����� 8������,�

��� ���� ��3��� ����������� ��� �� ���-������% �%��� �������� �

���3��. - ����� ��� �&-���������% �� �, ���������%, ����� ��� ���

�� � �&����/ 4�����. (��������� � �� � ��3��� � � ���� ��

������ �6���� ����� ���: �3����, ������, ������, ����3�/ E��3�, ���

�.�.�. G ��6�� ��3��� ��5������� �� �� ��� ������ � �������� �����

���� ���� � ��������������� ��������� ��� ���������� ��� ��3��� �����.

�� ������6���� �� ����� � ���3��� �� ������ ���� �� ��� ���

����������� ��� � ������ � ���������� ��� �� ��3��� ���

(�������, ��� �.�.�.) ����� ������ �� ��� �� ��5���I���� ���� E�5�� ���� ��

� ������ � ��� ����������, ���� ����� ����. (�� �� � ��3���� ���

� ������6 ��5����� ����� �� ������ ���� ��� �!���!�� � ��������� ����

��� �������� ����� �� ����� ���. (���.3)

���9�� 3

��5����� ������ ����

Page 9: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

9

1.1.4 ��!��,�", �����-" ��� �����9��!� �������,�

(�� �� �������� 3�� �3 �� � ���� � � � ���� «"��» �� � ��3����

��� ����6 «13 "��». &� ������ ������ � ������, ����� � ����

��� ��� ������� �� �3� ��� ��� ����� «� �6». (�� �3� �����56

���������, � ��3���� � � � ���� «�����56» ��� ������ ����6, 6, �

� �� �3I��� � �6��� «insert».

(�� �� �����4���� 3�� �� 6 ��� (6 ��� �����������) �����53� ������

���� �� �������� ������� ��� ���� � ����� ��� E�5��� «F���

%��3���». (�� �� �����56, ���6, ���� ���, � ��3���� � �� ����

������� ���� �� ���� � ���3��� � ���� �� ���, � � � ���� «"��»

� ��3���� «%�����56». (�� �� �����56 �����5�� ���������, �� ����

«�����56» � ��3���� «%�����56 � �����3��� �����5��» 6 «%�����56 �����6�

�����56�».

� ���� �3�� �� �������"!���� �� ���������� (�����53�) ���� ���

���’ ������ 6 5������ �����. ������ � ��3���� (������� ���� �� ���� ��)

� �� � � ������� ��� ������ ���� �� ������� «���������� �����5��

���’ ������ �����» ��� ������ � ���� ��������� (��. ���.4). �� � � ����

������� � ���� ��������� �� ������6���� ��� �����53� ��� ���� 5������

�����.

���9�� 4

1.1.5 #9��� ��-���!�� �,� ����-5� !�� ��!� �������,�

����� ��������� �� ����� ���� �� ����5������� �� ��� ��5������ ���

�����5�� ��� ��� ���� ��3��� (��. ���.5) ��� ��� E�5�� «&���»:

�������� ����������� ���’ ������ / 5������ �����

� �����3� �� ���������� ��

Page 10: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

10

� J� ���&������� �����53� ��5���I���� ��� ���� �� 3�� «���» ( ) ��

�������� ��� �3��.

� J� ������ �����53� ��5���I���� �’ 3�� ������ ������ �� ��� ��� ( ).

� J� �� ������ �����53� ���������� �� �������3� �����53�, �������,

���6, � �� �5�������� � ���������.

���9�� 5

G ��������� �� ��� � ��5������ ��� ��3���, ��� ���� ��� ��������� ���

��� � ��������� ���. &��������3��, �� �� �������� �� ���� «�����56»,

� ���� �� �����E��� � �����3��� 6 �����3� �����53�, �� � ��3���� 6 ��

� � ��3���� �����53�, 6 �� �������3E��� ��� � ���6 ���. (�� ��

���&������ ���������3��� �����53� ������ ���� �� ���� � ���������

�������� ��� ��� ����� (��. ���.6). �� �� �� ��� (������� ���� �� ����

�������� ���) ������&������ 6� � �����3��� �����53�.

���9�� 6

� �����3��� 3

�����6 �����56

�� �����6 �����56

� ���6 ����� �����5�� ������� ���� �� ���� �������� ���.

Page 11: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

11

1.2 �5��!� ��� �%��&�

1.2.1 '����-"

(�� ��� � ��������� ��� ��3��� ���� ����� ������ ���� ��� � �����

E�5��� ��� ��������� «%��3���», ��� E�5��� «�%��&�» ��� «�5��!�».

J� E�5��� ���3� �����-5������ ���9���� !%�-,�� �� �� ��3�� ���

����� ���. �� ������6���� ��� E�5��� ���3� �� ��3���� ��� ���� 5��

� � ������ ��� �3� �����56 ��� ���� ���, � �����56 ���6 ������ ��

��56 ���� ������ ���� E�5�� «&���», ��� ���� 5�� � � ������

3�� �3 �� ���� ���������� ���� E�5�� «�������».

���9�� 7

1.2.2 ���������

J ��� � � ���������� ��� ��3��� ���, ����������� �� ����%�,!�

�,�"!�,� ��� �� ���3�� ��� � ���6���� �3�� � � ����������. G ��������

��� � ���������� ���6� ����� � ��6�: &��� E�5�� «�������» ���� ����� �

�� ��3���� ������� ���. &���������, ���6, ��� ������� ������� � ��

���� ��� ��� � ��������� ��������, ��� ���� ��� ������6 � ����� ���

�3�� ��� � �� ���� �����53� ����. ! ���� �������� ��� E�5�� «&���» ���

��������� ��� �3� 3����E� �� � �������� �6��� ��� � ����. &� �3��

����� � �6��� «���3���� ��������» ��� � ���� ���6�. �5��� �3���� ��

Page 12: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

12

���������� � ��5������ �������, ��������� �� �� �� ��� ����

����� 3����E� ��� ���������� ���� ����� �������. &��� E�5�� «&���»

������� ��� � ���6���� ��� ���������, �� �� ��56 ������ �3�� ��

�����E���. &�� ���3���� �� ����6���� �� ������������� ������56 ���

���������� ��� E�5��� «�������» ��� «&���» �3�� � � ����������.

����� ��������� �� �����6���� ���, ������ ���� ������ ��3���, � ����6����

3��� � ����� ��� ������56� ����6���. P����� � � �� � �����6 ��

���I��6��� �� ��3�� ������ ��� �� �� ���� ������ � ����6��� �

�3����. G ����%�,!� ��&5� �,�"!�,� ����������� ��� ����6���� ��������,

���������� ��� ��������� �������.

Q� �� �� ��56 ��� ����6���� ��������� ��� � ���� ��� ����6����

�R �3��� �� ��6�� �� ���3��� ��������. ������� ��� ��� ��� ���

�����53�, � ��������� �������� ��� ���� ��� E�5��� ���������,

� ������ � ���������� ����� 6 �� �3�� ������ � �� ��� ���� ���

� ������6 ���� ���. +� ���������� �9!���, ��� ����� ���� � ���������

�����������, ������, ��3���, ��� � &����� ������ ������ ���6��� ����

�3���� �� ������5!���� !%������ �,�"!���. "���������� ��������

����6���� �����:

*���� = F���I�3�� *�� &�������3� = 4��3� (���.9)

"�������� <= 118.000 V "�������� >= 7.700.000

"�������� = #��� ��� !����� >= 13.039

���9�� 8 ���9�� 9

&� ��� �3�� ��� E�5��� «�������», 3�� � � �� ������ �6����

���3����� ( ) ��� ��������� ( ) �������� � ���� �� ����� ����

�3����� �6���� �� �� �����I�� ��� ������ ��� � ���6���� ���

�������� (���.10). G ����� � ���6 ��� ��� ��5����� ��� � ���6���� ���

����� � �6���: «%�������� �3� ������». +� � ��� � ���� ( ���6��

��, �5������ ��� ����6 � � � 6� � ���� ����) �� �� ���

� ����6��� ��������. G ����� � ���6 ������� ��� � ���6����

Page 13: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

13

�������� 3�� �3 ���� ���� ��������� E�5��. #3����� «����», ����

�����3�� ��� ����, ������ �� �6����� ��� �����5�� �� � �����3��� ��

�� ��� � ������E��� ��� !�&. 7.

���9�� 10

1.2.3 #9��� ��-���!�� �,� ����-5� !��� 4�-��� «�%��&�»

o J� ���&������� �����53� ���������� �� ������ �� � �����3��

� ������ ��� E�5��� «&���». 9 �� �� ��� ��� ��� ���3����, �

�����53� ���3� � ��3����� �� � ������� «� ���6 - �������» ���

E�5��� «&���» (��. ���.11). J� ������ ��� �����5�� �����

��5���I���� ���� E�5�� «&���» �� � �� �����.

o J� ������ �����53� ��� ������� ��� � �����3��� ������ ��� � ��3�����

�� � ������� «� ���6 &�������» ��� E�5��� «&���». &��� E�5��

���6 ��5���I���� �� 3�� ������ ���������.

o J� �� ������ �����53� ��5���I���� ���� E�5�� «&���» �� � �3�

������ ����� �������.

���9�� 11

%�������� �3�

������

�� �����6 �����56

�����6 �����56

� �����3�� �����56

���&��� ���&��"� ���!��9&,�

Page 14: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

14

1.3 «�%��&�» ��� «�������!�"� 3�!�,�»

1.3.1 '����-"

G E�5�� ���6 ������I��, �3�� �� �����E���, ��� � ���6���� ���� ����6����

� 3���� ���� ����. �5�, �� ��, ���� ����� ��� ������6 ��� ����

��������� E�5��, ��� ��� ��6���� � �6��� «���3���� ��������», �3 ��

�� �������"!���� " �� �����4���� �&&��4���. ���� � � ���������� ��

�� ��6�� ��� ���������� � �6����� � ��������� �� ��� �������� ���

��� E�5��� «&���». +� ���� � ����� �6���� ��� ������ �����6� ���������,

��� � ���3 �� �� � ��3���� ������� (������), � ����� ��� �����E���

��������� (��. ���.12). + ��� � � �� �6���� ���� � ��3��� ��������. +

����� � ��3��� ���!%��&� (�����E���), ����� ��� ��� �� ������� �

���3����� �’ ���� ��� �������I�� � ���������� ��� � ��. + ���� � ��3���

�&&��4��� (�������I�� � ��������� ��� ������) ��� 5������� � ���6���� ��

���������� �3�� ����6����.

���9�� 12

�5��� 3���� � ��3��� 3�� � ���� (�� � ����� � � �� �6���� �

�����3��� ���53����), � ���� �� ������� � �� � � �������

�� ��3 ��� ������� � �6��� «"���6 � �����3�� ���». 9���

��6���� � �6��� ����, ��5���I���� � �� ������� 3�� ���� ����� ����

� ���3��� ��� �� ��� ��� ����� (���.13), � ’ � � � ���� �� �������

� � ������� ��.

� ���6 ��������

� ���6 � �������

� ���6 �����E���

Page 15: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

15

���9�� 13

��� ��������� ����������� ��� �����6� � ���� ��������� ����� � ���������

���������6� � ���������� � �����3��� � �������. (���.14) J� � ���6����

������ �3�� �� ��� ��5������ ��� ��������. !���� �� ���������

� ���6� ������� �� �����3� ���������3� ������ (���������� - ��������� ���6,

�3�� ��� �.�.�.) �� ��� �R ����� ��� �� ��� ���3��� ���������� �� �

��3��.

���9�� 14

1.3.2 ���������� ���

&�� ���3���� �� ��� � ������� � ������ �� ���������� �3�� ��� E�5���

«� ��������6� F�����». &��� ���� ������ (���.15) ������5���� � �����

���������� ��� E�5��� ��� ��� ������ (���.16) �� ����% ���.

Page 16: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

16

���9�� 15

1. G%�� ���� 4�-����: �� �������� �� ����� �������� ��� E�5���

� ��� � ���3 �� �� ������ �6���� �����3� ���������� � �� ��������

�3�� �����, ������ ��� � �6����� ����� �.�.�.

2. 8�����%��!� ���� 4�-����: G � ��� ���6 ����������� ��������

��5 ����� �� ����� ��� � �� � ���6 �������������, �������,

���6��� ��� ���� �.�.�.

3. *��� ����!��!��: �� �� �������� ���� � ���� �� �������� ����

�����53� ��� ����� ���.

1

2

3

Page 17: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

17

���9�� 16

1. *���% «3�!�»: � � � ���� ���� �����I������ �� ���� ���. � ����

�� �������� �3� ���� ��3���, �� � ��������� ���6 � ������ ����

�.�.

2. *���% «'������»: �� � ���� �� ���3���� ��� �� �5���3����

������ ����� ��� �� ���������� ��� ������3� ���.

3. *���% «'����»: + ���� ���� ��� ��3��� ���������� �� �����

��� ������� ���� ����� ��� ����������� ��� ������3��� ���.

4. *���% «����-"»: �� ��������, �����5��� ��� � ��3����

�����53�.

1 32 4

Page 18: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

18

���9�� 17

1. G%�� ���� 4�-����: G � ��� ���6 ��� ���� �� ��������� ��

� ������� 6 �� �����E��� ��� �������, ����� ��� �� ���������� ��

��� � ��������� ��� � ���6����.

2. '&��!�� ����,�: &� ����� ���� � ��3���� � �� � ��

������ �6���� ��� ���� ��� ��� ��������. � ����, �� �3����, ��

� ��3���� ���������� � � 3�� ��� ���� ��� ������� ������ ������ ��

������6 «*�$» 6 �� ������6 «V».

3. '&��!�� ��&�!�5�: ��5 ���&������ ��� ��&�!�" ��� �5��!��.

!���� � ������ � ���3�, ���� �� ��� ��� ����� ���������� �� �, ����

��5����������.

4. '&��!�� �����5� ���5�: � ���� �� � ��3���� ��� � ������6 ���6

��� �������� ������� ���� ���������� �����53�.

5. '����" ����%�,!�� ��� �5��!��: �� ������I���� � ������6 ���

����� �� ���� �����.

1

2

3

4

5

Page 19: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

19

���9�� 18

1. G%�� ���� 4�-����: G ����� � ��� ��� E�5��� «&���» ���

��3��� �� �������� ��� �� �������� ��� �����56 �����E���, ����� ��� ���

� ���6 �����E��� ��� ������. ��� ���� ����� �� ��������� �� � ��3����

��� ����3�� � �� ������I���� ���� � �����3��� �����E���.

2. )5�� ��-���!�� �,� �&&��4�,�: �� ��5���I���� � �����E��� �

���������.

3. *��� ����!��!��: &�� � ��� ���������� ��� ���������3��� E�5���

��5���I���� �� ������� ��� �������� � 3���� � ������ �3�� ���

���������� E�5���, � � ������ ��� ��� ������������� ���� � �����3��

3����E�.

2

1

3

Page 20: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

20

1.4 H 4�-��� «��&5��» ��� � 4�-��� «Logo»

1.4.1 '����-"

G E�5�� ������ ��6��� ���� �������� 4�5��� «Logo» ��� 3��� ����� ���

�������������� ��� ���� ����� ����� ������3�� �� ��� E�5�� Canvas Logo.

(�’ ���� ��� �����6���� �� ������ ��� ������ �3 �� �� ���������� ��� � ��

���� E�5��� ����� ������3���, ����� ������ � � � ���� �������� �

������ ‘%��������� ���3����’.

1.4.2 '5� ��&��� !�� ��&5��

&� ���6 ��� ������� �� ��� �� ������ ��� ������, �� ���������� ���

���� ��� �� � ���� �� ���5������ ��� ��� ����3� � 3���� ��

��������� �� ��� � ��������.

H ��&5�� ���,� ���!��

(�� �� ���6���� �� ������ � ���� �� ������ �6���� ��� ����6 ���!��

��� �� ��������� ��� �6���� �3���� �� �������. G ����6 ���!�� 3��� ���

��� � �� �3 �� �� ����� �� �� �������. + � �3����� ��� ����6� �����

�� �������6��� �� ������ ���� �� �������� ��� ��5��6� ��� �� ���� � ������

� �����I���� � � ��� ��� ��� ����6�. G ���� � ������ ������ ���

��� � ������ ����� �� �6���� �������.

G E�5�� ������.

(�� �� ���5�� � ������ �3 �� �� ����� ����3� � ��� � �� � ���� �����.

G E�5�� ������ �����

������3�� �� ��� E�5��

*����� ��� ���6 �� �� ����� ���

����� ������3�� �� ��� E�5��

Logo, ��� �� � ��� � ������ �

��������� ��� ����� �� 3�����

��� ����3� � ��� ����� ��� ��

��� �������.

Page 21: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

21

"�� ����� �� ���E��� �� �������� ������ ��� ����6:

������� 50

(�� �� �����3���� ��� ��� ��� ����6 �3 �� ��� ���3���� �� ��6���� �

�6��� ins 6 � �6��� F1 6 � ��� � � ��������� ���� �����6

��������� �� �������� ������.

+ � �3����� � �3 �� �� ��� ����� � ������ �� ��������� 50 �6���� � ����

���� �� �������� ��� ��5��6� ���.

'���"�!� 1�

"������ �� ���5��� ��� ����3� � �� ���53�����. ������� � � � ���� ���

����6� «*��!��» ��� ��� ���� ��� �3 �� �� � ����� 3�� ���� �������. ��

� ���E��� � 3�� ���� � ���, ���6 «� ����50» ��� �����3���� ��� ����6,

���� ���� ����6 �� �������� ������, ���6 ���� ����6 � � �������

��� � ���6���� ���5��� �� ��� ��3������ � ������ ����, �� ����� � ��6�

�6����: «I don't know how to � ����50» � �������� «%�� �����I� �� ��

���� �� � � ����50».

&�������� ������ "����6

� ���6����

Page 22: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

22

'���"�!� 2�

F������� ��� ������ ���56� (�3�����) ��������� �� �3�� ��� ����6� 6

���� � � �� ������ 50.

"����� � �6��� enter �� ��������� ��� �� �������� �����6 ��

�������� ������.

"�� ����� �� ���E��� ��� �3� �����6 ��� ����6 ������� 10.

(�� �� �����3���� ��� ��� ��� ����6 ����� � �6��� ins 6 � ��� �

+ � �3����� � �3 �� �� ��� ����� ��� � ������ ������� 3�� �6����

� ���� � � �� �3�� � ��������� ���� �� �������� ��� ��5��6� ��� .

��� �3���� �� �����3���� ���� ��� �����6 ����6 ������� 50 �� 3����

��� �� ��6���� � ����� ���56� �6 �� ��� ��� �����6 ��� ����6�

��� �� ��6���� � �6��� ins 6 � ��� �

G ��� ��� ��������� ��� � ���3 �� �� �������� ���� 5�� � �� �����6

�3���� � � �� �������� ������ ����� �� ����� � ����� ���56� ���

���� ��������� �����6 ��� �� ����� � �6��� ins 6 � ��� � .

H ��&5�� �-"��� �����

!���� �� ��������� �� �3�� ��� ������ �� �56��� 6 �� ��� �56��� � ����

��� ����� ��������. (�� �� ������ �6���� ���6 ��� � ���6 �� �3 �� ��

����� �� ���� ��� ����6 !��&����, 6 !��&����, ���������. ���

�����3���� ��� ����6 !��&����, �� ������6���� ��� � ��5��� ��� �������

������� ����, � �������� ��� ��� � ������ ����������� �� �56��� ���� ���

���� �������� ��� ���� � ��5��� ��� ������� �� ����� �� � ��� � ������ ��

�� �56��� ���� .

H ��&5�� !�����

"�� ����� �� �����3���� ��� ����6 :

������ 90

+ � �3����� � �3 �� �� ��� ����� � ������ �� ����E�� ��� ��5��6 ��� ����

90 ����� ��������.

��������� � ���� �� ������ �6���� ��� ����6 �� � 90

"�� ����� �� �����3���� ��� ����6:

Page 23: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

23

�����������

G ����6 ���6 ������I�� ��� 3���� �������� ��� E�5�� �� ����� ���

� ���53��� �� ������ ���� �����6 ��� �3�� � �� ����� �� �3��� �� �����

�� ��� ��5��6 ��� ������3�� �� �� � ���.

'������ ����&5� ��� &�������5� ��� ����%�� �� ��!������"!����

!��� 4�-��� Logo

8������!�� ����� �������!���

'&"��� ��!9�,�

#%��� �������,� ��!9���

�����&�!��-�����9�

&�6�����5��� ����6 0 - *�����I�� �� ����� ��� � ���53��� �� ������ ���� �����6 �3��

*������� ����6 0 - *�����I�� �� ����� ��� �56��� �� ������ ��� �3�� � ���������.

&������6 ����6 0 - � ���53��� �� ������ ���� �����6 �3�� ����� �� ��6��� �� ���5���

� ���� � ����6 1 ������� ��������� �� ������ � �6���� � ���� ���� �� �������� ��� ��5��6� ���

"��� � ����6 1 ������� ��������� �� ������ � �6���� �� ��� �������� ���������� � � � ������ � ��5��6 ��� �������

%���� � ����6 1 ������� &������ ��� ��5��6 ��� ������� � ����� ����

�������� � ����6 1 ������� &������ ��� ��5��6 ��� ������� � ����� ����

&���� ��� ����6 0 - �����I�� �� ���5�� ��� �������

&�������� ����6 0 - *�����I�� �� ���5�� ��� �������

(��� ����6 0 - &�6��� 6� �������3��� �����3�, ����� �� �����6��� ����6 �� �� � (� ���� 50)

Page 24: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

24

"������� � ����6 1 ������� &������ ��� ���3���� �� ��������� ��� ���� ��� ��� ������ ������� � � ������ ���� ��� ��� ����6�

03��' ��������� 0 - � ����35�� ��� ������3�� ��� �3��� ��� �������

03��4 ��������� 0 ������� � ����35�� ��� ������3�� ��� �3��� ��� �������

03�� ��������� 0 ������� � ����35�� ��� ���������3��� ��� �3��� ��� �������

*��������� ��������� 0 - � ����35�� �� � ���� ����������� ��� �������

03������������ ����6 1 ������� "��������I�� �� ������ ���5��� �� �� ������ � � �� �3���� ���� ��� ��� ����6�

03���E � � ����6 2 ������ 03��� �� ������ ��� �3�� �� ���������3��� (�,�)

Pos #�������� 0 - %���� �� 3� ��� ���������3��� � ��������� � ������

'���"�!� 1�

J ��������� ������ Logo �������������� ��� ����3� ��� �� ���

��������5�� ��� ������ ��� .�. ��� ����6 ����������� �� ���,

��� ����6 �� � 30 ��

� 30, ��� ����6 ������� 30 �� � 30 ….

'���"�!� 2�

9��� ��� �� � ��� � ������ ������ �� ���� ��� E�5��� �� ����� ����

��5���I���� � � ��� � 3����� ����� �� ������� .

Page 25: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

25

���I�� � � 3����� ����3� �� ������������� ��� E�5��� �� �����

����3��� G � ���� �� ����� ���� ������������� ����� 3��� ����

���6 ���� ��� 3��� ������� �� ��� � ��� �3��.

1.4.3 '5� ����!����J���� ��� ����� ��� �������!���

'���"�!� 1�

(�� �� ��� ��� ������ �� �����6��� ��� ��6 �� �������� �� �3 ��:

� �� ��� �������6���� �� ��� ���������3�� �6. %���6 �� �����6���� ��

������� ��� ��������� �� �� �3�� �, ��� ���3���� �� ���E��� � ����

� � �3���� �� 3��� � ��������. &��� � ������ �����3� �� ���� �����

��� ����3� � � �������� ��� ��� �� ���� ��� ��������� ��� ��

�������� �� �������� �� �� �3�� �3��.

� �� ��� � ��3����, ���6 �� �������� ��� ����6 � � 3���� ���E�� ��

�������� ���� �� ����������� ��� �� � �3���� �� ���5������ �’ ���6.

� �� ��� ������. ���6 �� ��6���� � �6��� ins 6 F1 6 � ��� � ����

�� ��� ���� ����6 ��� � ���6���� �� �������� ������ � �6���� «����

��������� defined», � � �������� ��� � �������� 3��� ������ ��� �� �����

�������

� �� ��� �����3����, ���6 �� ���E��� � ���� ��� ��������� �� ��� �3�

�����6 �� �������� ������ ��� �� ��6���� � �6��� ins 6 F1 6 �

��� � .

'���"�!� 2�

&��� ��������� � ���� �� ����� � ���� � �3����, ����� � ���� �� �����

��� �3��.

%�� � ���� ��� �������� �� ����� � ����: ��� � ����, ���� � ��������

� � � �3���� � ������ ��� 3��� ����.

� ���3 ���� ���� �� ���E���: ��� � _����.

%�� � ���3 ���� �� ����� ���� � �� ���������� �� �� �� ������6 ����6.

%�� � ���� ��� �������� �� ����� �� ���� ��������� �� �3�� ������� .

��� ���6���� ����� �� �������� ���� ���� �� ����� ��� ���������, ����

����6 ��� � ���6���� �� �������� ������, �� ����� � ������� �6����:

«The name � ���� is a primitive», � �������� ��� � ���� ������� �

������� ����� ������6� ��������.

Page 26: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

26

'���"�!� 3� :

��� ���� E�5�� �� �������� ������ 3���� ���E�� � ��������� �� � ��

���� � ����� �������������� �� �������� � �� 3��� ������ ���������.

'���"�!� 4�:

��� ������ ���� ��� �������� �� � �� ���� ���� ��� ����6 � ���6����

�� �������� ������ �� ����� � �6����: «���� ��������� redefined», �

�������� ��� � �������� 3��� � ���������.

"��3� 5�3� �� �3���� �� � ��������� �� �������� � ��35����� ��3 ����

�� �� ������ � � �� ������.

����� �� ��������3� �� ���������� �� �������� ��� ���� ��� �������� ��

��������� ��� �� �3���� ���� �� ��� ��������, �� �������� 6 ������ ��

��������. \������ � �������� ����� 3��� �������3� ���� �� � �����I��

�� ����������� ����� ��� � ������� ������ ���� ���3��.

Page 27: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

27

1.5 H 4�-��� G�����

G E�5�� ������ ��6��� ���� �������� E�5��� «Logo» ��� 3��� ����� ���

�������������� ��� �5��� ����� ������3�� �� ��� E�5��� '����� ��� Logo.

&��� E�5�� ������ ��3 ��� � ���5��� � �3����� ��� ������ � 3����

���� ��� ������.

&�� ����� 3���� �� ��������� �� ������ ����������� � � ��� ������

������� ������� � ����� � � �������� ������� ��� �����6� ���������. ��

����� ��� �� ��5������� ��� �3� �����6 ����� ��� �����. *�� ��� ����

�3 �� �� ��3����� � � � ������ ���������� ���3���� �� � �3� �����

����� ������3�� �� ������, ���� �� ��3 ��� � ���5��� � �3����� ���

������ ���. � ���� �� � ��3���� ���� 5�� �� ����� ������� �

�3���� –� � ���3� � 3���� ����� - � � � ���� ‘&���� ������’.

+ ���5��� � �3����� ��� ����� ������� � ���� �� � � ����������� ���

���5��� ���������� �� ������� �6����:

i. J��I��� �3� ����� I����5��6� ������� � ��� � � ��������

��� � ��� �����6� ���������

ii. � � � ���� ‘&���� ������’ � ����35��� ��� ����� �������

� 6����� �����3���. &�� � ��� ��������� ��������� ���

3��� ��5������� �3� ��������, �� �� � ���� ��

������ �6���� ��� �� � ����������� ��������� �� ��3�� ���

iii. �� � ������� ‘�5�����’ � � ��� � ��� ��������� � ���� ��

‘�5��������’ ��� ������ ���� ��������� ����� I����5��6�.

iv. &�� ����� I����5��6� � ������ ���� �� � ����� ��� � ���� ��

������ � ��3�� ��� �� ��� ������.

Page 28: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

28

Page 29: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

29

1.6 H 4�-��� *�����&���

1.6.1 '����-"

G E�5�� ������3�� ��6��� ���� �������� E�5��� «Logo» ��� ����� �����

������3�� �� ��� E�5�� ‘*�����’ ��� ����� ������ ��� �3�� ����. �� ���

E�5�� ������3�� � ���� �� ���������� ������� ��� ��������3� ����

��������� � 3���� ���E�� ��� Logo.

�������� �� ������� �6����:

� "����� ��� E�5�� �� ����� ��� �����6 ��� ��������� � ��� �6���

� � ���� �� � ���� «� ���6 �����6� �������» � � 3��� ��� ������

��� �������.

� J6���� � ����� �� ������ ��� �� 3�� �6 �� ����� ��� ������

��� ����� ��� 5�� � �������� �6��� �� ������.

&�� E�5�� �� ������3� �� ��5������� ����� � ���� ���� � ��������3� ��

���������� ���. � ���� �� ����I��� ��� ���3� ��� ���������� ������������

��� ���������� ������ ��� �� ��������� �� ��� ���53����� � ������ ���

�����, ����� ����I�� � ���6 ���� ��������6�.

G ��� ��� �������� ���I���� �������� ��������� ��� � ���3 �� �� ��6���

��:

� ��������� ��� ���3� ��� ���������� ��� �� �������� ��������� ��� ���

�����3� � ��������� �� ��6�� � �����I�� � ������ �� ���� ��

��� � ���� �� ������ � �3���� ��� � ��� � ��I�� � ��������3�

��� ��� �������� � ����� � ��6��, �� ��� �� �� � ����I�� ���

�6 �� ��6����

� ��5���I�� ��� ��������3� ��� ���������6� ��������� �� ��� ���,

���6 ��� ��6���� �������� �6��� �� ������ ���� ����6 ��

����� ��� �� 3�� ��3� ��������3� � � �� ������ ,��

����� ���3� � �6��� «� ���6 �����6� �������», �3�� ���

E�5��� �� ������3�, �� ��� ����� ��� ����3���� ��� ���������

� ����� � �� ���� ��6��, ��� � �������� ��� ����� ���������6.

� ����I�� ��� ����3���� �� ��������� ��� �� � � ��������� �����

�� ���� ����3� �� �������6 ��56 � � �� E�5�� �� ��������

������.

Page 30: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

30

'���"�!� 1�

"����6���� ��� �������� ��� ���� � � ��� � ��� �� ������3� ����, � �����

� ��� (�� «� �, �3���») � ���3��� ��� ������� 15 ��� 60 ���������.

J� ������ ���� ����� �� ���� �3�� ��� �� ������������ � ���3� ��� ��������6�

����.

��� �3���� �� �������� �� ���� �� 3���� ��� �� ���E��� ��� ��������� ���,

��� � �������� �������.

&� ����� ��, � �� ����, ���� � � � ������3�, �� ������6���� ��

������ 3��. ���� �������� ��� ������3�� � ��� �� ������ ���3� � ���

��53��� ���� ��� ���� ������� � � �� ���� �� �� 3���� ��������. !���

��� �3���� ������3�� �� ������ ���3� � �� ��53��� ���� 3�� ����� ��

3���� ��� �� ���E��� �� �� �� �6���� �� ������ 3��.

Page 31: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

31

1.7 8�!���!��!��� ������&���

(�� �� ����� ����� ��������� ������3�� �3 �� �� 3��� ������ ��� Logo

3�� �������� �� � ��������3�1. �� � �������� ������3� ����������

��������� � ��������3� 3����� �� ��������� �� ��������� ��� ���3�

���, � �� ������� � ��6�� � �����I�� � ������, ����� ��� � ���� ���

�����6� � �56��� ������ �� ������ � �� � �3�����. +� ������ � � ��

�� �������I���� � �����6 ���������� ��� I������� ����� � �3���� ����

��������3�.

������� ������:

&3������ � ����� �� ������ ��� ���� � �5����� �� ���������

������3� �� ����3� ������� � �������� �6��� �� ������ � ���� ��

��������� �����3� � ��� ���������� ���� �����3� � ��������� ��

��6�� � �������� � ������.

&� �������� ������3� �3 �� �� ������ 3�� ��������� �������

���������3���. (�� ���� � ��� �3 �� �� ������ ������� ��� � � ���

� ������� �������� �����3� � ��������� ��� �������� ��� � ����

������� ���� ��������6�, �� ���6 �� ���������� ���� ��I����� �������� 6

��� ��������5�.

���3���� �� ������� � �6����

1. "����� � �6��� .

1 ���������� � ���������� �� �������� �� �������� �� ����� ������ �� !��� ��

������ ��� "����� ��#�.

Page 32: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

32

2. J6���� � ����� ���� � �5����� �� ��������� ������3� ��� �����

� �������� �6��� �� ������.

0� ������6���� ��� 3��� ���������� 3�� � �� ����� ����� ��� ��� � ���3�

��� ������ ��� ������3�� 3��� ����������. J� ���3� � 6��� �

��������� ����� ���� ������������� � ���3� ��� ���������3��� �� � ��

������.

������������ � � �� ����� � ���� �� ���������� ��������� ��� ��� �

���3� ��� ������3��.

&� �������� �� ��������� ������3� � ����� � ��������� ��

��5������� ������ �3��� ������� � �6���

Page 33: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

33

2. *�(�� 3: ��������!� 4�-��,� ��� ������� !�� �&��!�� ��� ��,!����% ������������ �,� ���������5�

J� E�5��� � ������5���� ���� �������� ������� ����� � �����

�����I������ �� � �������� ���������� ��� �����������. ���� � �������� ���

��� � ����� E�5��� � � ��� �� ������ ����� �� ���� ��� �����3�����

����������� �������. G � ����������� ��� �� ��������� � ��� ��

‘��������� �6���’ ���� ������������ ��� ��� ��������. &�� ���3����

������I���� ��������� �� ��� �3�� ��� ��� ��������6 ��� ���� ����

E�5���.

2.1. �’ ����� 4�-��,�: �������!�"� ����&5� Logo,

)�&5��, G�����, *�����&���, 8�!���!����� *�����&���

G ���������3�� ��� E�5��� � ��� �� ������ ����� ��� ��� ��� ����

������������ ����6��� � �����I���� �� � �������� ���������� ���

����������, ��� ��������6 ����������� �������� ��� ����� �3�� � ���

������ ��� Logo ( .�. ��������, ����, �� ���, ��� �� ), � � �3�� ��

��������� �� � ����, � ���� �� ���� �� ����� ��� ������ �� I����5�I��

�� ���� 3�� ���3� ������� � �� ����� � ���3� ��� �������� ���3�����

������� ���� ��� ��6 ������������ ��� �� �������� �� ��6� ������. G

������ ���� � �������� ���������� ����I�� ��������, � ���3 �� ����

�����3� �� ��������� ���� ���������3� ��3����, �� ������������ ��� ���

������E�� �� � �5�������� �����. &��� �����3� � ��� �� ��� ���

3����� ���������3� ���������, � ��� �� �������� �� �� ��6�� ��

������3� � ��� �� ����� �5��6 ��� �����������, ����������� ���

���� ��� ��� ��������� ���5���� �� ��� ��3���� ��� �� ����3���

����������. ��������� ������3�� � ��� �� ������ ����� ��� �� ���������

��� ���������6� �������, ��� ��������� ������3�� � ��� ��

������ ����� ��� ���� ��� ������� ���������, � � � �����3�

������������ �������� � ����� �� ������ ���� � �5����� �� ���������

������3� �� �� ���� �� ������5��� � � � ���� � ����������� ��

�����I���� I���� ����������, ���� �� ���� ������ �� ��� �R �3����.

&�� ���3���� ������ ��� ���� �� ��� ����������� �������������:

Page 34: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

34

2.1.1 �����&�����9���� 4�-����"���� (Tessellation) !��� #����

!����� �� �5������ ���������3�� 3��� �3���� � �����3� �����I�� ��

� �������������� ���3�� �� ������� ������. J� �����3� ��������I�� ��

�����6 � �������������� E�5�� ��� ������ ������ � � ��������

�������� �� ������ �� ���� �� ��� �������� � � �������������

���3�. ������ � ����3� � ������ ����� � �3� ��� ���������I�� �� ��

� ������ ��� � ��6��. &�� ���3���� � �����3� ��������� ���� 3���� ��

��������� (���…�3��) ��� ��� � ��������������� ���������. J ������

��� ������� ���� 3���� �� ������������ ��� ��� ��������� � ��� ����

�� ���������I��� �� ��� ��� �������� � ��6�� ��� ���� 5�3� �3����. &�

� ���� ���� � �����3� ��������� ���� 3���� ��� ��������6� ��� ��

��������� � �3 �� �� ������ ����� ��� Logo. J� �����3� � ��� ��

����53��� �� �������������� ��� ��� ����� I����5��6� �� *���� ��� �� ��

� ���������� ��������� ������� ��6�� ��� ���3����� ���������.

����������� !�9��� ,� ��� �� ��,!���9 �����������:

J� �����3�:

o ���������I�� 3�� � �� � ������������� ���3� �� �����6 E�5��

3�� ������ 6 3�� �������� 6 3�� ������ �������������

o 3��� ��� �������� �� ������ �6��� ��� �� � �������� ����5��� ��

��� ��������6 ����������� ����, �� ���� ���� 6 �� �������E��

�������� ��� �������� � ���������I��

o �����I�� ��� �����������6 �������� �� �� ���������� ��� ��

������������

#�����: �’ ��� &�’ %������

2.1.2 �&�!�����

G ����� ������������ � ��������� ���� �� �� ��������� ��� 3 ���� ��

�����3�. &��� 3��� ��� ��� ���� ��� �����6��� � ��3��� � ��������

‘�����’ ��� �������� E�5��� ��� ��� ��� �������� �����������������

������ ��� �� ����������� �� ���3�. �5� �����6��� �� ��� ���������

��� E�5��� �� �����, �� ��������� ��������I���� ���� � � ���

Page 35: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

35

��� ���� ���3��� ��������� ���� ������3�� ��� �� �������

����53����� ��� ���������� ���� �����3� �� ��� �� ���6��� ���

��������6 ����������6 ������������. �� ���� � ���3� � �� 3���

�������� �� ���������, ����� �� ������������ ������������ �3����� ��

���� ������3�, �� ������������ �������� ��� � ���3� ���� �����

���������. J� �����3�, �� �� ����� ���, �� ����� 3�� ������ �� �

�3 �� �� ����3E�� ��� �� ������E�� �� �3�� ��� ��� �� �3�� ���

��� ������ ��� ���� � � ��������3��� ���6����. + ������ ���� � ���3 ��

���� �� ��������� �����3� �� ������������ �� �� ���������6 �������

��� �� �������, �3�� � � ��� ����6����, ���� ��� ���� �������� ���

� �3���� ��� �� ������������� ���3��. J� ���������3� ��3���� � ��

� ����� �� ���������� 3��� �� �����: �) �� ������������� 5��������

�) �� ������6���� – ������� ������6����.

����������� !�9��� ,� ��� �� ��,!���9 �����������

� J ������������ ��� � ��� ���� �����6���� ��� ��� 3���� ���

���������6� � �������.

� G ��� ���� � �3���� ��� �� ��� ���������6� � 6 ���

������3��� �������.

� G ���� ��� ��� ���������, ����������� ��� ������� ��� �� ���

���������6� � �������.

� G ���3�� �� ���3�� ���������6� �3�� ��� ��� ��� ����������

(�3�� � � ���������3��� ���������3� �������, �3�� � � �� ���5��6 ���

��� �������� ��� �3�� � � �� �������6 ��� �������� �� ���3�� ��

������ LOGO).

Page 36: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

36

+�����: (������, #����

2.1.3 ����5��� #��,��

G ����� ������������ 3��� �� ���������� �� ����������� �� ���

�������������� ������� (����� ��� ��������) ��� �� ��6�� ��� ����

��������6 �������� ��������. &��� �����3� ������ ������ � �������

��������6� ������� ������� �� ������ ������ �� ����� ��� ���

��������� ������ ����� ��� ��� ���3���� �� ����� ��� ��� � 3����� ������

�����. J� �����3� � ������� �� ������������ �� ������� �� ����� ��� ��

� ������ �� ���� ������� �� ( ����3� ��� ������). *��� ��, � �����3�

�� ���� �� ���������I�� ������� ������� ������ ������ 3�����

���������3� ��������� �� ������ LOGO �� ������ �� ��� ��� �������, ���

�������� �����I���� �������, �� �� �6���� �� ������3� ��� ��

��������� ������3�, ��� ���3� ��� ���� ����� ������ ��� �� �6��� ��� ����

������� ������. � ����, � �����3� ������ ��� � �������� ������3�

��� ��3 �� � ���5��� � ��� ��� ��� �� I���� ��� ����� ��� ����������

�� ��� ��� �������I���� ������ ������. + ���5��� � �����������

����� �������3� ��� � �����I�� � �6�� ��� � 3����� ������, ���� �

� ������� ����� �����6. !���, ��������� ���� �������� ��� ��������

�������� ��� ‘���������I��’ �� ��� �������� ���.

����������� !�9��� ,� ��� �� ��,!���9 �����������

� J ������������ �� ��� ��������6 ���� ������� ������� ��� � ���3��

��� ��3��� ������ ��� ������� ������ ��� ��� ����� ������ ��.

� G ��������� ��� ������������6� ��3��� ������ ��� ������ ��

������� ��� ��� ������ ��.

� G ��� �6 ��� �������� ��� �������������� ��3���� (���5��6

��� ��������, ��������6 ������� �� ����� ��� ���� ���� ��

� �����6, �������6 3�5���� �� ������ LOGO)

� G ����� �������� � � �� ��� ��56 ��� ��������� ���� ���� ��� �

������ ��� ����������

Page 37: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

37

+�����: (������, #����

2.2 3’ ����� 4�-��,�: 3�!� �������,�, �5��!�, !%��&�

G � �������6 �������� ����� �������� � ��������6 ��� � ��� ���

� �6����� ���5���� ���� ��� ��� �� ��������� ��� ������� �� 3�� �����

��� ���5���� ��3����� �������� ��� ��� ������� ��� ��� � ���������

���. +�������� � �������� ��������� � ��� �� ��53��� ����

�� ������ � �������� �������� �� ������ �������� ��������������, ��

�� �� ��3��� 3�� ����������� �������� �������, � � ����� � �� �����

� ���6 �5����3���– ���5����6� ������, ���� � ��� ���� ���

���5���� ��� � ��������6 ��� ������ �� ������������� �� ����� ��� ���

�����3�.

�3�� � � ������������� � �5��� ���� �����6 ��� �������

���5���� �� �� ��6�� �3�� ��������� � �����3� �� �3����� ��

��������� ����6�����, ��������, �������� – ��5� �����, ����������.

"�����3�� �� ������������ ��� ��3� ��� ��������� 6 �� ������� ��3��

�� 3����� ������6���� � �����3� �3 �� �� �������� ����6��� ��� ���

������� ��� ���5���� �� ��3�� μ� ��� ������� �� �3μ��� �

����������. (�� ��� �������� ��� ���5���� � � ��� ���� ��3���

� �������� ������� ��������� 6 �3���� ������� � �� � ���3E�� ���

���I6���� ��� ������� �� ���������3��� ���5����. J� ���������3� ������

��3��� � ���3 �� �������� ��� ����� ������5��� ��� ��������

��� ���5����.

'����� ������ �� ���3���� �� ����� �������� (E�5���: F��� ��3���,

�������, ����) � �����3� � ��� �� ��������� ��� �3� �����

�����μ3��� ��� ����������, �� ��3���� ��� � �3���� ���, �� � ���μ����

������������ ��� μ���� �� μ���� ��� �μ3���, �� ����� ���������� ��� ��

�� ������� ����������� ��� �� �����μ �6��� ��� �� ��� ��� ��� ��

����3��� �� ��6 ��� ������. G ������������ �������� ��� � ����������

Page 38: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

38

��� �μ3��� � �����I�� ��� ��3����� ��� ���5���� � � ��5�����3�

���3� ������ ��� � ���3 �� ���� �����3� �� �������� 3��� � ����������

��� μ3�� � � �� �������� �������� ��� � ���������� �μ3��� ��� ��

��������� ��5���� ������. &�����3� �� � �������� ���������� ���

����������� �� � ���� �� 6��� � �����6 ��� � � ��������� ��3��� ���

�� *����, ��� �������6���� ��� �������, ��� ����6���� ��� ��� �5�� ���

��5�� ���6���� �� . *�� ����� ���� � ������ �3���� � �� � ����� ��

����� �5��6 � ����������.

Page 39: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

39

3. *�(�� 7: 8�������� ����������� – %&&� ���!��� ��� �� ���������� +� ������� ������� ���������� �5��� 3����� ���������� �

3��� ��� ������ �� ���������� � ������ � ���������� ���

���������� ��� ����� �� ������ ��� � �������� ���������� ���

�����������. '���� �� � ����� �������3��� ��������3� �������,

� �� �������� � ��� �� ��� ��� �6��� �� ������� �6���� ��� ��

������������� � ������ ��� ���������� �� � �����. *�����, ����,

������������� ��� ��6 ��� �� �����, � ��� �� ��� ������ �6��� ��

��� ������56� ���������� ��������6��� � �� ��� ������ �� ��6

��� ��������.

Page 40: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

40

3.1 8�������� '���������� - *��9��!���

)�&,�9��!���

$�+-���* /�3� �* $ ��������� ��� �� ������ ������� –��� ����

�%� ��!���- ���� ����� �� ������% ��!���%.

&#�� �������� �� ������ ����� �%'����� �� ��

������������� �� ���� ��� �� ������ �������.

(�%���������� �� ���� �� ������� ���

���������! ��� �� �� ������������ �������.

)��� ����'��!

+� ��� ��� � ����� ��� �5������ ���� ������������� �

���� 3��� �� ��6��� ��� �����3� �� ������������ �� �

���������� ��� ��� �� �������E�� ��� �����3� �� ��������. �� ��

��6�� �� �������� � ���� ��� ��������� �� ���������I��

������� �35����, ������ ������ �������6 3�5����, ��� �� ���

�����I���� ������� �� ��� ��6�� ������3�.

��9���

�. R� ��� �� ��,!���9 �����������

� G �������E� ��� ������� ��������������� ���� ����, ���6 ��

�6���, �� ����� ��� ��� ��� �������� ���.

� J ������������ �� ��� 3����� �� �6���, �� ����� ��� ���

��� �������� ��� � ���� ��� ������� ���5���� �� ��� ������ ���

��3���� ��� � ��� ��� ���� ��������6 ���� ����.

� G ���3�� ��� ����6� ��� ����� ���� – �� ���������.

� G ���3�� �� ���������3�� ���3�� ������� � ������ ��

����6 ��� �3�� ��� ��� ��� ���������� (���5��6

��� �������� ��������6� �� ���� ��� �����, �������� ���������

����������, ���������� ���3� ��� �������6 ������ LOGO).

3. R� ��� �� �"!� �,� ��,� �����&���5�

� J �������� ��������� ��� ����������� ����� ��� ���������� ��

��6�� �� ‘������3�’ �����3�� �� ������������ ���� �

�3������ � � �3��� ������� ������.

� G ��� �������� �� ���3�� ��������6� ���� ���� �� �������6

+�� �� ������� �� ��� � ��������� ‘(35����’ ��� ‘(�������’ ����� ������� �� �������� ‘'���������’ ��� ��� �������� � � � ������6�� �� �������6� +��� ����� ��� ������ �� 3��� ‘+�����: �����'�%���������� /%����� 2������� �� �%� ����� % 4�%��� 6�!�%��� ����������� 2������� �� 7�����%��� 7����%�!�%��, 8��� #78. 4�. ����� %�, >.>.�.&. – �.6.�.&. ??, 4����!������ 1, ����� 1.3.

�����

�’ (�������

7�,!���� �����������

����������, "���5���6

����� �����: ������ � ������� ��� ������ ��� �������3��� �����6� � 3��� �� ��� ���� �� � ��� ��� ������ �� ��������� �� ����.

����� �����: G �3����� � ������ ������ �� ���� � � ��� ��6 ��.

G����&9���� ��9� !�"�����: �������� �%� �������� �%� �@���� �������%� ��� �����!���@� ����#� �� ��� ����'�� �%����. $ ������!�%�� ��!� �������� ������ ���� �������. A��!��,

Page 41: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

41

������ ��� � ���3�� ��� ��������� ��������6� �� ���3��.

� G � 3����� ��� ����� ��� � �� ���6 �� ��� �� �3������

��������6 �� � ��������� ����.

� G ������� ���� ��������� � �������3�� ���6����

(��������6 ������ �35����) ��� � �����6.

7. R� ��� �� ����!���" �������!��

� �� ��6 ��� ������� �� ��� �� ����� ��� ���������6� ���������

( ����6���� ��� ��3����� �� 5����3��, �������, ��������6

� �3����, 3����� � �3����, ������6 ��� ���������, ������6

��������� ��� ���� ��� ������� ��� � �6��, � ���� ��� ���

��� ������� ��� �����).

� &���������, ����6 ����� ��� �������� �� ���� ��� ���

� ������������� �� ���� �� ��6�� ��� ��� ��������� ��� ���

�������, � �� ���E�� � � �� �����������, ���� ��������6

���� ��6� ��� �35����.

0�-����: *�����, ������, Logo, ������3��

H ������9���� ����� ����!��&��� !��������:

�’ -�!�: J� �����3� ��������I���� ���� ��������6 ������

�������� ��5���� �� �� �6���� ������ ������� (6 ���� �����)

��� ��I���� ��� �� � ���3����� �� ����������� �3�� ��� ������

��� ���� ���, ���� ��� �� ������� ��� ����.

3V �!�: J� �����3� ������ ������ ��� ��������� «�����6��»

��� « ������» ��������I���� �� ���� ��� ��������6 ����������

����� � �� �3������ � � � ������� ������, ��� « ������».

7V �!�: &� ���6 �� 5��� � �����3� ��������I���� �� ��

�������� «F����6��» ��� �� ���� �� ������������ �35���� ��

���� � �� ����� ���������.

8V �!�: J� �����3� ���������I�� ��� ����6 �35��� ��6� ���

3� ������ 6 �� ���� 6 �� ‘� �� ����’ ��� ����� ��� ����6

�35��� � �� ���� �� �� � �����.

�V �!�: J� �����3� �������I���� �� �������� � ���������

!�� ���!���% ���� % ������ ��� ������, �!�� ���������% ���� % ������!�%��.

���������� � �����3� �� ����� ��������3�� �� ��� �����3� ��������������� �� �������� , ��� �����3� ����3� ��� ������� ������������ Logo ��� �� 3��� �� ������ �� ��� 3����� �� ����� ��� �� ���� �����.

Page 42: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

42

��� ��� ��������6 ��� ��5���� ��� ��������� ����� ��� 3����� –

�������� ��� ������������ ��� ��� ��� � ���������� ���, ���

�� ��� ������I�� ���� ��������3� ���, ��� �� � �����6���

����6 ��I6���� �� � � � �����.

���&����9���

�’ -�!�: )������ ��-���

J� �����3� �� ���� �� ������������ �������� �35���� �� � ��

����� ��� �� ������������ �� ���� ��� ��������6 ������

��5����.

���9�� 1: G ������� �35��� ����53��� � ���� ��� ���� � ������

��6�����.

&��������3��, � ��3��� � ������ �� 3�� � � � ���5�� 6 �

������ �� � ���5��� �� ���� ������� ��� ��� �� � �����

������ �� ������. &�� ���3���� � ���I�� � �6�� ��� ��������

������ � ��� �����I���� ��� �� ������������ ��� ����6

Page 43: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

43

�35���, ��� ����� ��� ��� ����I�� ���� �� ���I�� �� �E��, � ��

���� ��� ��� ������. �� ��� ��������6 ���6 � �����3� ����� ��

��6� ��������:

(1) 6�"��� ���5�� ��� �� � 3�5� ��� ������� �35��� �� �

������ ��� (6 � ����� ����� ���� – .�. �������� - ��� �’

���6) ��� ��I���� ��� �� � ���3����� ���6� ��� ����� ���� �35���.

(2) ����������� ��� � ������ ��� � ������ ��6����� ���

��I���� ��� ��� ������3� � � 3������ �� ��6�� (��� �������)

��� �������� �35����.

(3) 4������"��� ��� � ������ ��� � ������ ��� �� ���� ��

��� ���������� �� � �6�� ��� �������� ������, �� � ���� ��� ���

��� ������� ��� �35����.

J� ��� ��� ����������� ��� � ��I6���� � �� ����� ���� ����

���� ��� ���� ���� �������, �� ���6��� ��� �����3� �’

������5���:

� +� ��� � ��������� ��� ����6� �35���, ���6 ��� �

��������5�� ������� � ������ �� �� 3�� �� ���� ��� �35����

�� ������� �� ��� ����� ������. *���� � � ������ ��6�����

������3�����, � �35��� ������ �� �������. (� ��� ��

������ �6��� ������� � � ��5�� ����� ��� �� �� ������� ���

� ����� ��5�� ���� �������������).

� 9�� �� 3�� ���������3� �6�� ������ � ��� ��

������������ ������� �35���� � �� ���3�� � ������ �

��������� �� ��5��� � ������� ������ ���. &� ���6 ��� ��� ����

� �35���� 3��� ��5�����6 ��� ������� ��� ����.

� 9�� � ����� ��3�� ������ ��� � ������� ��� � ������, ��

�E�� ��� �35���� ��� ��� ��� �������� ���6� �� ��3� �

������� �6�� ��� ������ (�� ��������� ����� � � ������ ��� �

������ ��� ��������� ����� � �E� ��� ��� ��� ���������� �

��� ������� – � ���� �35���). +�� ��3�� ���6 �������� �’

����������� (��� �) ��� �� �� ���� ���� �� � �� �����.

3V �!�: #� ���!�"��

&��� ������ 5��� ���� ���� ��� ������� ������, ������ 3���� �

3���� «�����6��» ��� �� �����6��� ��� ��������6 �����. +��

������ � ���� � 3���� « ������», � ���3��� ��� �� ��������

$ ������� ��! �%� '���% ��� ��������� �� ���������� �������� �'����� �� %� ���'�� !�, ��'�� �����'����, � ���%��� ��������"���� �� ���������� ���� �� ��'��� ��!��. A��!�� �� ������ ����� ����������� ��'�� ������"� �%� � ��@�� �����������@�. (���"��� ������@� �� ���������� #��� �� ��@��� �� ����� ��� ����������� (�� �%� ��������"����, �%����, ����!'���� �� !��� �� ������%���). )������, ���!�, ���� ���%��� �� ��������"���� �� �� �!�� ������%�� ���� ���� �����%�#���� � ����"� �������'� ��% ������ �����������%.

Page 44: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

44

« ������», ��� �������� � ������� �� �� �� � ������ ������

���.

J� �����3� ������� ���� ��� 3���� « ������» �� ���3� 150, 200

��� 3 ���� ��� 3���� «�����6��» �� ����� ��3� ��� ���3�.

�� ���#���

��������� 2 [� 20 � 90 � 10 � 90]

�����

�� ���#��� :� :"

�� � :� � 90 � :" ��

���#���

�� � 90 � :"*2 � 90 ��

���#���

� 90 �10 � 90 � 20

�����

���#��� 150 200

�� ������� :� :� :�

��������� :� [� :� � :�]

�����

���

&�� ���3���� ������������ �� ����� �������� ������ ������ �

������3� ��� �� ���� ���3� � ���������I�� 3�� ��� �

���3�� ��� � ������. (�� �� �� � ���� � ��3��� ��5���

���������3� ���3� ��� ����� ���������� �� ������3�, ���

�� ���� �� ������5��� �� ��� �� �� � ������������ �

��6�� �� ����. ������ � �����3� �3 �� �� �����6��� �� ����I��

���� 5��. �� ���� ����� �� �����6��� �� �� ���������� � ����

��������6 ��� ���������6� ���������. �5� �����6��� �� �����

���� � ��3���� � ���� ��������6 ���� E�5�� ‘������3��’,

�5�������� ������ ���� ��� �����������, ���� ���� ��� ��

���� ��������� 3 ������ �������, � ��� �� �������I�� ���

����6 �35���. J �� ��������� � ��� �� ����6��� ��� �����3�

��� ��������6 ��� �� ����6���� �� �� �:

J� ������� ���� ��� �� �����6��� � ���� ��� ������� �� ���� ��� ������6���� ���, � ��� �� ��I������ ������� ���� ���� ��� �� �������5�� ��� ����� 6 �� ��� �5��� � �� ��������� ��� ��� ��� �����.

Page 45: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

45

6#� ������� % '��#�� ���� ������ ��� �#���;

& ����"� ��% ������ �����������%, !��� ������������ �%

������%�� ‘�’; &, !��� ����"���� �% ������%�� ‘�’ �� �, !���

����"���� �% ������%�� ‘�’;

�������� �� ������ �� ����� ��#� �@� ��#� ������%�#� #��� %

������ �� ���'��� ��! �� ������������� �%���� (���#���);

�������� �� ������ �� �� ������%; 6!��� ������ �������� �� ������

��!��;

&�I���� ��� �������E�� �� ��� �������� ��� ��� �� ���� ��

�� �������I�� �� ���� ��� ��������� 5����. *��� �� ����� ��

�������5�� ��� ������6���� ��� �� 3�� �����, � �� ����� �

�������, ���� �� ����� �� �3�� �� ����� ��������� �����������

��� �����������.

+��3� ��������6� :�

+��3� ��������6� :�

+��3� ��������6� :�

&�� 3�����

�������, ���������� ��� � ������ ��� � ������ ���

� ����������� �� �������� ��� �� ���� ��� ���3� � �3 �� ��

���� ���� ��������3� ���� �� ���������I�� �35���� � �� ���

���3��. J� �����3� ���������� �� ���� ���� ������� �������

��� ��� ���3� � �3 �� �� ���� ���� ����� ��������3� ���� ��

���������I���� ��� �35���. G �� ����� � � �� �������� ��

��5�6��� ������6 ��I6���� ��� ��� ������ ��� ���� ����, ��

��� ���� ���� �������, �� ���� �� ���� ���� ��� �������� � ��

�� �������:

����3� ���3� ��� ��������6� :� (�6�� �������) ��� ��� ��������6� :�

(���56) 5������� ������� ���.

9� � ������� ����� � ���3� ��� ���������� �����, ���

��������� ���I�� � �����6 �� �����.

G ��������6 :� ����I�� � �6�� �� ����

G ��������6 :� ����I�� � ���� �� ����

G ��������6 :� ����I�� ��� ��� ������� �� ����

(�� �� ������� � ��� �������� �3 �� � ������� :�*:� �� ����� ��

�� 180

G ��6�� � ��������� ��� ��� ����������� ���3��� ���� ����� �� ����6���� � �������� ��� ��������� ��� 5����3���. J ������������ ���� �� �� ���5��6 ��� �������� �� ���������� ���3�� ��� �������� ��������� �� �������� � 5�������� ��� �������� ��������� ��� 3�����.

Page 46: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

46

+ ������� :�*:� ���� � �6�� �� ���������

J/� �� ���������, ����� �� ‘� �������’ ���� �����3� �� ��� ���

��� ��������, ��� ����, �����3�� �� � ��� ��

����������, ��� ��6�� ��� ���� «�6��», «����» ���

«��� �������», �5� ���� ��� �56��� �� ������E�� ��� ����

��������6 ���� ���. + �������� � � �� ��� �������� �

���53������ ��� ��� � ����� ��� ��� ������6 �� ��������

������6 ��3����� ��/��� �� �������� �� ��� ���� ���� ���

�� ��� ���� �������.

7’ -�!�: #� 3��!�"��

&��� �������� 5��� � �����3� �������������� �� �35����

���������. &’ ���6 �� 5��� ���������I�� �35���� �� ���� � ��

����� ��������.

J� �����3� ������������ �� ������6��� �� ������� ��� �����

�� ��� �� ������ � ������ � � �� ��� ����� ��� �� ���E�� �

���. &�� ���3���� ��I���� �� �3 �� �� ����E�� ��� ��

������������ ��� � �� 3��� �������� ����. J� �� ������ �

� 3������ � � �� ����������� ���� �) 5��� �� ��� ���6��� ��

������5��� �� �� ����� �3 �� �� ������ � ������ ��� �� ���E��

3�� ��������� ����� ���. J��I�� 3��� ��� 3���� G������� ����

��� �� � ������ ��� �����3��� ��� ����6 ��������� :� [� :� � :�]

������� ���� ���� ����� :�.

%���6 � ������ ������� ��� ��������

��� F����6�� :� :� :� :

:

� ������� :� [� :� :�]

�3��

+ � �3����� ��� ��������� F����6�� ��� ��� ���3� ��� ����������

Page 47: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

47

�=10, �=14, �=4, =38

H ���%��� �������� �� ��� �� �%� �@��� � �� �� ��������

�������� ���� ���� �� �� ������%��� �, � �� � #��� �� �! � ��

���'��� ��! ���� ��� ���#���. ������@� ���������� �%� ��� �%�

������%��� � �� �� ��� ��� �� �������������� �� �������.

+ F����6�� �� ���6��� ��� �����3� �� �����6��� ���,

� ������� �� �������������� ������ ������� ��� ���'����

��! ���� ��� ���#���,

� ���� ������ ������ �� �����, ����� �� ������!�%��

������� �� �%� �@��� �����%�%�,

� ����� ���� �%� �@���� � ������ �! � ������� ������ ��

������ ���� ����� ������!�%���. ������� ���������� �� �������

���� �%� �@���� �.

I�@� �� ��%� ���%������% ���%, � ���%��� ������������ ��

�����#���� ������� ���!��� �� �� ���� ��� ����� �� ������ ���

������� ������%��� #��� �� ���������"��� �� ������. >� ��� ����!

���! ������������ �� ������ �������� �� �� ����� ���� �@�

������@� ������%�#� �� �� �����%�#���� ��� �������@ ������.

+��3� ��������6� :

+��3� ��������6� :�

+��3� ��������6� :�

+��3� ��������6� :�

&�� 3�����

G �� ����� � � �� �������� �� ��5�6��� ������6 ��I6���� ���

��� ������ ��� ���� ����, �� ��� ���� ���� �������, �� ���� ��

���� ���� ��� �������� � �� �� �������:

G ��������6 :� ����I�� � �6�� �� ����

G ��������6 :� ����I�� � ���� �� ����

G ��������6 :� ����I�� ��� ��� ������� �� ����

G ��������6 : ������3��� ���� �����6 �� �6���, ��� ��� ��������

��� �� ����� �� ����

+ �6�� �� ���� ����� �� �� � ������� :�*:�

Page 48: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

48

+ ������� :�*:� ����� �� �� ��� ������ 180-2*: ��� ����� ���

��� ������� �� ����.

�’ ���� – ��������� ���������� ������

J� �����3� ���� � � ��� �� ����� � � 3������ ���� ���������

5����� ����� 3���� �� ������������ �� ��6 ��� ������ � ����6

�35���. � ��� �� �� ������� � � 5�����5��� ��� �������

����� ��5���� � � ��� ����� ��� � ��������� ��� ��

�� ��6��� �� ��� � �� ���� ��� ����� �� �� �6���� ���

‘�������’. � ���, ��� ��������, �� 5������ �35���� �� � 6

���������� ���� ��� �� ������� � ��6�� ��� ������. &��

���3����, ������ ������ ��� ‘����� I����5��6�’ �� �����3����

� �������� �������� � ��� �� �� ������� �� �������� ���

�� ������� ��� ������� ��3�.

7�-�� 1: *����&�

7�-�� 2: The Tower Bridge

Page 49: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

49

7�-�� 3: #� ��-%� ��� Y���

�’ �!� – �����-" ����!�� – '���!��!�

&) ���6 �� 5��� ������� �� ����� ���������� ��� ����

������������� ��� ��� � ��3��� �������� ��� � ���������� 3���,

���� � �����3� �� � ���������� ��� �� �� �6��� ��� ���

�� ������ ��� ������� �� �� ����������6 ��������, �� ��� ��

��� �������� ��� ��� ������� ���� ��� ���3�����. P�����

�� �� � � ��� �����3� �� �������� ����� ��� ������6 3�����.

&� ��3�� � �� ���53����� ��� �������� � �����3� �� �3 �� ��

����������� ��� ���� ���� � ���������, �� �������E��

��� �� ����� ���, �� ���53��� ��� ������� � ���������� ��� ��

��� � ��� �� 3�����, �� ������E�� �� ��� �

�������������, �� ���5����� ��� ��� � ������ ����� ���

���������� �� �������� �.�. . J ������ �� ������ ���

�����3� �� ������3� ����6����. �� � ������ � ������� � �����3�

���3� ����6���� � ��� �� ��� ��� ��� ��.

"��������, � �����3� ������I�� �� � ���3����� ��

Page 50: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

50

����������� ���, �������� �� ��� �������� ��� ��� ���

������� ���� ��� �����6���. +� ���5��� � ���3����� ��

����������� ��� ��� ��� ���������� ��� �� ����I�� ���������

��� �������6 ���. +�� ���������� ��� ���� ���� ����

������� ����� �������� �� ��� �������� ��� �������.

8������

(������ ��� �� �� ����� ���������� ��� ������� �� ���

� �����3�, � ���������3� �������� ��� ��� �������� ���

����������)

(���������)

�’ 7���: 1 ���

F’ 7���: 1 ���

(’ 7���: 1 ���

%’ 7���: 1 ���

�’ 7���: 1 ���

&���: 4 – 5 ����

8����9����� ������!��:

J� �����3� � ��� �� ������ �6��� ��� ������� � � �������

������� �� ��� �������� �� ���������� ���� ���� ��������6

������ ����� ���3���. '������������6 ����� � ������ �

�������, � � � �����3� �� (������� ��� *����6� #3���

�� ������ �� ����� �6��� ���� ���� �� � �����6 ���

��� ���E� ���� ��� � ��� ���� ���� �� 5�����5��.

Page 51: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

51

4� � ������ ����� �� �� � � ���� � ��� ������ ��������; �� ���������� ��� ��

μ����� �������� �� ‘������������’ μ�� ���μμ������� μ� ��� �

������� ���μμ�� �� ��������� ���!��� μ� μ��!����μ��� μ������, �

����� �� ����� ����� �� "������������ ��� � ���� �� ��� ���

������. #� ���μμ�� � ��"���� μ� � ������ Logo ��� � μ����� ���

� μ��!������ μ� ��� �������� ����μ���� "�����μ�� μ��!����, ��

$���� ‘����������’

��9��� R� ��� �� ��,!���9 �����������

o G μ��3�� ��� ���6��� ��� ��� ��������6� �� ���� ���μμ���

3��� ������ μ����������� � μ3����� �� ��������. &�������μ3��

���� ��������:

o ��� ����6���� ��� �� μ6�� ��� ������ ���� ���μμ���

�� �

o ��5������ �3�� ����� ������

o ��� «�������E�» ��� � ������ �� ��6μ� ���� ���μμ���

�� ��5������ μ��3�� ���μ3��� ����

o �� ��������� ��� ��μ ����μ���� ��� ��� �� ���3�� ����

���μμ��� ��� �� ���� ��6���� ������

o G ��������� μ� ��� 3���� ��� μ�������6� ��� � ��6��

�������� ���� Logo ��� ��������3� ��������� ������ .

&�������μ3�� ��μ��� ��������:

o �� � ��3��μ� ��� ����� �����μ ��μ� μ�� μ�������6; +�

���� ��� ����;

o �� μ����������� 3�� ���μ������ ��6μ�, ����

���������� �� �������� ������� ��������6� ��

( ����3�, ������);

o �� � ������������I�μ��� μ��3�� μ ��� ��

��5������ μ� μ�� μ�������6;

#���: �’ (�������

.

7�,!���� �����������

����������, "���5���6

Page 52: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

52

R� ��� �� �"!� +�,� #����&���5�

o %�μ������, ��μ����� ��� ������� � ��� ����μμ���� ��

������ ����μμ����μ� � �μ ���3��� ���μ�����3�

��������� (��6�� ��������).

o ��������� μ� ��� ��������� ��� E�5��� ‘������3��’ ��� ��6��

�� ��� �� ���μ��� ������μ� μ��������� ��6���.

R� ��� �� ����!���" �������!��:

o \μ��� ������μ�� ��� ����μ����μ�� μ� �� ���μ������ �������

��������6� ��� ���μμ����.

o ���3�� ��� ��� ��� ��� ���������� �� ���� ���μμ��� ��

���3 ��� �� �μ��� ������μ� ��� μ��������� μ������.

o ��� ���� � �3���� �������� μ� ��� ��3���� � �3 �� ��

���μ������ ������� �μ��� ���μμ���� ��� 3����� ���.

.���� ��� ��μ ����μ����.

o !�5���� ��� ��3��� ��μμ��������� μ������ �� 3�� ���μμ� μ�

������ ��� .

0�-����: *�����, '�����, Logo, ������3��

'�����9���� ����� �-����"�

�’ �!�: G���!���" 7�����,� ��9 ���� ����� ���,�!��

&��� ���� 5��� �� 24 ���μμ��� �� ��5��6�� ����I���� ��� � ��

�� � 6 ����� �����. � ��6 �������������� ����� ��������� �

������� ���μμ���� � �����μ����� ��� ��μ ��� μ3�� ����� ��� �μ,

�� μ����μ�, ���� μ�� �� �������� 3�� “����” ��� 3�� “����”

���μμ�. � � ��� μ��� I������� �� ������������ ���μ���μ���

���μμ��� �����μ ������ �� μ�������6 � �E� ��� ���μμ����. �����

����� �� ��� μ��� �� ��������� ������ ��� ��������3� μ� ��6��

����������� ��������. &� ���6 ��� ��� ���� /� �� ���������

.

(�� ��� ���6���� ��� ���������� ����� � �������� � ��6�� �� μ�����3� ��� ����μ����μ� ���� ��3����� ��5���� μ������ ������ 6 μ����. !���, � ��������6 �� ����� �� ���6��� ���� ��������6 ��� ��μ ���� μ���� ��� ���������� ���μμ����, ��� � ��������6 .�.�� ����� ������� �����μ����� ��������� ��� ��� ������ �� μ3��� ��� ������ � ����������� μ� �� ��6�� μ�������6�. G ��6�� μ�������6� ��� ��� �� ����� ������ ��μ������ ��� ��������� ��� ��� ��������6 ������� ���μμ����

Page 53: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

53

μ ��� �� ��3μ��� ���������� ��� μ��� �� ����μ������� μ� ��

� ������ ��������� μ�������3� μ� ���� �� ��6�� μ��� μ��

������6�. �� ��� ���6���� ���� ��������6� ��� ����� �� �3 ��

�� ����������� ��� � � �3���� ��� ������� �� �3�� � �� �����

3��μ� � ��������6 �� � �μ��� ���μμ��� �5� � ���� ���μμ�

μ ��� �� �����μ ����� ��� �� ���56 �3����. *��� ���μμ�, ���6,

�����I���� μ3�� �� 3�� ���� ��������. &� ��6μ� � �������

5������� � �������� � ������5�� � ���μμ� ‘���’ μ� ��� ���� ��

���μ�������� � μ3����� �� ��������, μ� ������� μ����� ��I������

��� ������� ���μμ6� 4/10. F3����, ���� ���� �� ���μ� ���6 ��

�������� � � ��� ���6 ���� μ����3� ���� ��� �56��μ� ��

�� ��6��� �� ������������ � ���μμ� μ��� ���. &� �3�� ���

μ��� � � ������6 ��I6���� ���� ���� μ� �������μ�� ��� �������� ���

���μ���� ��� ���μμ���� ��� ��� ������� ��������6� ��� � 3������

‘��μ5����’ ��� ��� �������� ��������� � �� �����μ ����� ��� ��

���μμ�������.

3’ �!�: ����&&��" 7�����,�

&�� ������ 5��� ������� ��������6 ��� ���μμ���� � 6�

&�μ������ ��μ��� ��� ����3� ������� ��� ���������� � μ ��� �� �����E�� ���� ���� ����� �� �������: o G �������E� � � �� ���� ��� 3�� ���μ���μ�� ��6μ� ���μ3��� �μ� μ�� �� � ����� ������������� ���� ��� μ���� ��� ��������6� μ� ��� ��� μ�������6. o G ����μ����� ��� ����� ��������6� μ�������6� � ������� ��� ���μμ���� ��� � �3���� ������� ��� �3�� � ����I�� � � �μ�� ���μμ�.

o G ��6�� μ��� μ�������6� �������� ��� ��� ��������6 ��� ��μ ���� μ����, ������ � 3�5���� �� �6μ��� ��� ������� �� ��3�� μ� �� μ�������6 �� �E�� �� ���μμ��� ������� μ3�� � � ��� ���������6 ��3�� μ� 3��� ����μ����� �������.

Page 54: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

54

��������������� ���� ��� ��. *��� � ����I���� �

���μμ��� � � μ�� ���� ��� �� ������� μ� ��μ3� ������ �� � ������

������ ����� ��� ��� ���3���� �� μ ��� �� �� ‘���6���’ � �� ���

��� ��� ��� �� ���56 �3����. (�� �� ����� ���� �3�� �� �3 �� �� 3���

�����μ ����� � ��� μ�������6 ��� � �E� ��� ���μμ����. &�

��� ���� � ���� �� ������� � ���� � ����� ��� ����������

��������. &� ���� � ���� ������ � ��������� �� ���� �

μ������ �� �����μ �6��� ��� �� ������� ���� ����� ��� � �����μμ�

� 35������ �� �� ��μμ����3� ���. !��� ���6 ��� �������� ��

��������� ��� �������� ���, �� ��� ��������, �����6��� ���

����� ������� ���� �� ����� ����3� ���� ���.

7’ �!�: 7�-" &���,� ��� -�!�,�

&��� ����� 5��� ��� � ���μμ������� μ���I���� ���� μ��� ��� ��

���56 �3���� ��� 5������ μ� �������μ3��� ���������.

8V�!�: 7�-" ����!�,�

&��� �3����� 5��� I������� � � ��� μ��� �� ���E�� 3����� ������� μ�

��� ���� ��� ������ ���, �� ��� ���6����� ��� ����������

� ��3�����, �� ���6�� � ���������� ��� � �� �� �� 3�����,

I��6μ��� ������� μ� �� ���������� ��� �.� . #��� ��� μ������

�������� ��� ��������μ3��� ������������� ��� ��� �� ���������� �

������56 ��� 3������, �������� ��� �μ �� �������5�� � μ����3� ���

�μ ����� ��� ���� �� ������� ��� ������������� �� 3�� �μ������.

��� ���� ��������� ��� �������56 ��� �μ ������ ��� ��� ����μ6����

��� �� �3�� ���� 5���� μ ��� � ���� �� ������ � � ��/���

�� ��������.

8������:

G �����6� ������� ��� ��� ��� ������������� ��������� �� ���

���μ� � � ��� ��������� ��� μ������ μ� �� ��������μ3�� � ��������

�������� ��� �������� �� ����3�. !��� �� �������� � ��������

�� ��������μ3�� �������� μ3�� � � ������μ��� ��������6� � ���

��������� ������, � �� ���������, �������, ����� ���

�μ�������, μ� ��6�� ���� μ��������� ��� μ��� μ�������6�. ���������

Page 55: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

55

���53����� ��� μ����3� μ� ������� ���6 �μ ����� ��� ��6�� ���

��������μ3��� ��������� ���μ3����� �� ���������:

� 7���: 4-5 ����, F 7���: 2-3 ����, ( 7���: 2-3 ����, . 7���: 1

���

Page 56: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

56

3.2 8�������� '���������� - *��9��!���

#����9��!��

4 �� �� %"�� ��� ��������� ����; &������, �"�� ����� � ����� ��� ����

����"�����; #� �� ������ �� ���� ��; '��� ������� �� ������ �� ��!��

���$�, ���� ����� �� ������ ��������, �"���� �� � ���������� ��

����;

+� ��� ��� ����6���� � ����� ��� �5������ ���� ���������� ��

�3��: + ����. &�� ��������� ���6 � �����3� ����������� ��

�������� 3�� ���� ���������� �� 3����� ���������� ��3���

������ ������ � �����. �5� ���� ��������, �3�� � �

����������3� ���������, ��� �����3� ����3���� � ������� ���� ����,

���I���� ��� ����3��� ��� � ��������� ���5����. *��� ��, ���

��������, ��� � ������I���� ��� ��� ������������I�� ���������

�������� ���������3�� ��� �������� ��� ��� ������� �� ����.

��9���

�. R� ��� �� ��,!���9 �����������

J� �����3�:

o "�����I�� � ��� ��� ��� ������ ��� ��3��� �

�����I���� ��� ��� � ������ �� ����� ���: ��� � ����6

�������� ���� ����.

o &���3��� - �������5�� �� ��3�� ��� 3������ ��� ��� ���

���3���� �� ���� ��� ��� �� ��������.

o � ������I���� �� ��3�� ��� �3�� ��� ��� ��5��

��� ��������� �� �� �6���� ��� ��� ��������� �3���

(����� ��� �����) �� ��� �3�� � � ��� ���������� � ���

��3��� � �������� ‘�����’.

o ��������� �� ��3�� ��� ��� ���� ���� ���������3��

��� ��������.

+�� ��������� ‘+ "����’ �� ��� ��������� ‘J *�����’ ����� ������� �� �������� ‘+��������’ � ��� ������� �� � ����� � � � ������6�� �� �������6� +�������� ��� ������ �� 3��� ‘+�����: �����'�%���������� /%����� 2������� �� �%� ����� % 4�%��� 6�!�%��� ����������� 2������� �� 7�����%��� 7����%�!�%��, 8��� #78.4�. ����� %�, >.>.�.&. – �.6.�.&. ??, 4����!������ 1, ����� 1.3.

�����: �J�� �&J7%������

!������ "����#����:

���%�����:

G��� ��� ���� ��������� ������������ (����������, 2002), � ���%��� ����� �� ���%���� «��% ������� �� ��� ������� �������@�»

$ ��������:

G��� ��� ���� ��������� ������������ (����������, 2002), � ���%��� ����� �� «����������� ����%��� �������� '�%�����#���� ������%�� ��!������ ����%���� ��� �������� �������@�» �� «�� ����������� ���'��� �� ������ ��������%».

Page 57: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

57

3. R� ��� �� �"!� �,� ��,� �����&���5�

J� �����3�:

o '����� ��� � ‘�����’ �� ���� ��3��� ��� ������ ����

��������6� �������������: ��� ������� ���� ����.

o �������, � �������, ������� �� ��3�� ��� ���

������ ��� �� ���3���� �������� �� ‘������’(E�5��

����6����, �3��� ����������) ��� �� ���� ���� ����6���� ���

�� � ���������� �� ��3�� ���, ���������� 3��� ����

���������� ���������.

o ������� ���, ��� ������� ��� �������������, ��� ���

���������� �� ��� ��� ��������� �� )������’, ���������,

��� ��� ������ ��3��� ,����������.

7. R� ��� �� ����!���" �������!��

J� �����3�:

o #������� ������ �3�� �� ��� �� ����� ��� ����������6�

��������� (�����6 ��3���, ������� ����, ���� ����,

� ���������, ������6 ��� ���������)

o ����I���� �����, �� ��� ��� �� ��� ��3�� �����.

+3��, ������ � � ���� ��� � �������������, �����6��� ��

���������3�� ��� �������� ������� �� � �� ��������� �3��:

��� � ����6 �������� ���� ���� .

0�-����: *�����, '�����, Logo, ������3��

'�����9���� ����� ����!��&���

�����"��� ��!���9�����

������, �� ���������, �� �5��6 �� � ������ � � �� �����6 I�6 –

.�. � ������, �6�� ������ 3���-, �������� 3�� ������ ��� ������

�� �� ����������� ��� � ��� ��� ��� ����53�� � ��

���������.

& ���������� �� ��@��"��� � ���%���:

)��! �� ���� � ���%��� �� �'��� ���%������� �������� �� ����������� �����%�!�%��� ����������� ���%�%�.

$ ���!�%��, ����%�, (���%� ����#� �����#� ��'����%� ��'��@� �������� ��� �� �������� �������� � ���%��� ����� ������ ��!'��� �%� �����%�!�%���.

Page 58: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

58

G�����9� ���9� ��!�����"�,�

J ��������� ����� ��������6��� �� ������ �� 3 5�����:

7�&G 1�: &����6 ��3���

7�&G 2�: �������6 ��� ������� ��3���.

7�&G 3�: ������� ��� � ��������� ��3���

G���&������� ��!���9�����

&� ���� ���� � �����3� ������I�� ��� �������� ��

� ���3����� ��� 3������ ���. +� � ���3����� ��� 3������ � ���

�� ����� �5��6 ��� ��� ����� ��� ������ �������������.

�����"��� 8�!���9�����

(�� �� � ��6��� ��� ���, ��� ��� �����3�, ����� � ���

������������ �3 �� �� ����� ���� � ������ ��������6. J

�� ���������, ���������� � � �� �����6 I�6 ��� ��� � ����������, .�.

� ������� ����, �������� ��� ������I�� ���� �����3� � �����

������. &�� 5��� ���6 � �����3� ��������I���� ������� �� ���

�������� � �������� �� 3�� � ������3� ����. J� �����3�

��I���� ���� ����� ��� �����I�� ��� �������� � �������

���� ����. &�� ���3���� � ���� ��� ������I�� �� ��� �������� ���

���� ����� ��� ������� �3� ��I6���� ��� ��������6 � �E��� �� � � �

�����.

"��������, � ��� �� ������ ����� ��� ����� �����

������������� � �� ������� � �� ��������� �� 3�� ���������

���������� �����. (�� �������� � �����3� � ��� �� ��������

������6��� ��� � ���� ��� �� �� � ���������� ��������� 6 ��

������������ ��� �5��� ��� �� ��5������ � ���� ��� ��

��������� ��� �����3� ��� ����� �������� �� ������ ���. J

������ �� � ��3��� ���3� ��� ������������� � ������ �

� �������3� ��� ��������3�.

&�� ������ ��� ���������� ��� �������������, ��� �� �������� ����

��������6���, � �����3� ��� ������� ����� 3�� 5����� ��

>� �� �����#����� �� ����!�%��� ����'��� ��� ���� ����"���� �%� �����'� �@� ���%�#� ��� �������� ��������� �@� ��������%���@�, �� ������ ��% ����'�� �� ����� �� �� ����������.

���� ��� ������ � �����%�!�%��� ��������� �� !�� ��'���%�� �� ��� ��������!���� ������ �� �������"��� ������� ��������� ��@���� �� ���%����. �����#�, �� ��������� �� ��������� �� ����� �� ���!����. )�� ����� !�@� �� ������ ��! ���� ��������� ��!'��� ��� ���!���� ������� ������%�%�.

�,������&9���

9��� ����:…………………….

"���� ������ �����;………………………

"� 5����� ������ ��� ����;

………………………………

"� ���E������

Page 59: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

59

�3��:

‘"�� � ��� �� �� ���6��� � �����6� ��� �������� ���� ����;’

J� ����� ���3� ���������� �3�� ��� ������� ����� ��������

��������3�, ��� ����� �� ������� ��� �� �������� ���������3�

���5���� ��� ��� ��� 3�� ����� ��� ��������6��� ��� ��� ��3�

�� ����������, �� ��� ����� �� �3�� � ��� �� ����� �����

���5��� ��� ��� �����6 ��������� ��� ��������6� ��������� ��� ���

���������� � ����������.

G�����9� ���9� ��!�����"�,�

7�&G 1� – &����6 ��3���: �� ���� �� ��I6���� � 3��� �������

��� �5�� ���� ����������� �������� � ������� ���� ����, �

���� �����I�� ��� ����3���� � �� � ����� ��

������6���, ( .�. ����6���� ��� ��������3��� ������� �� � ���,

�� �����6, �� 5����� �.� .). &�� ���3���� � ��I6���� ����53����� ��

� � � ����� ��� �� ������ ����� ��� �������� ������� � �E���.

*��� ��, ��� �� ���� �� � ���3����� ��� ��������� ��I6�����, �

�����3� �3 �� �� ����5���� 3�� ������������, � � ��� ��

������ �6��� ��� �� ����3��� �� ��3�� ���. +3��, �� �����

������������ ��������. &� ����� ���� � �����3� �� ������������

������� �� � �� ��� �� � �������� ���� ��� ��� �� ����3��� ��

��3�� ��� �� ����� ����� ������.

7�&G 2�: �������6 ��� ������� ��3���: &�� 5��� ���6

������ �3��� 3�� � �� ������� .�. ��� ���� ������ ���� ���

����. �� �5��6 3�� �3�� ������� ������� ��� ���� �� �����

���������� ��� ��3��� �� �� � �� ��������� � ������

������� ����� ���. &� ����� ���� � ����������� � ����������

� ��� ���� � �3�� ��������� ��� �� ��������� ��� ������

��3���.

*��� ��, ������ ������I�� ��� ������ ��I6���� ���� � � �

�������� ��� �� ��� �������� ��� ������ �� ��6��� ( ���) ���

�����3� (�����53�), ����� ��� � ��� ��� ��3��� � ��������� ��

)��� �% �����@�% ��@����@� ���� ������!���� –�� ��������%��!- �� ��������� ������ ���������� ��� ������ �� �'���"���� ���� �� ���� ���% ��%�����!�%�%� ���� �% �%������� �@� ����@� (�. '. % �� % ��!� ��� ���� ��� �� �% �� % >HK? �. ��.), ���� ���% �����@�%� �� �� �!�%�%� �@� �������@� (�. '. ���� ����!� % ������ �@� ��������@� �� ������ � ������ ������% �%� ���%�������%�%). H �������� ��� ���� ������@�% ��������� ��� �������� �� ���������� �� ����������� �����.

H �������� ��@����� ������� �� ������@������ :�) @� ��������!� ��� ���#� ��@����@�, '�%�����#���� �� �������� «������ ��! �� ������

Page 60: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

60

���� �� (��5����������, �������, ����3�-E��3� �.� .). �� �� �6����

�� �� ��������, � �����3� �������� ��� � ���������� ����

����3���� ����6����� ��� ������� �� ��3��.

7�&G 3�: ������� ��� � ��������� ��3���: ������ �������

�������� ��� ��I6���� ��� ��� �� � ���������� ��3���. J�

�����3� ��������� ��� ���� ��� � ��� ����6����, .�. "���

������ �� ����� �� ����; "��� ���� ������ ����; "��������,

I����� �� ����� ���3E��� ������� �� �� � ���3����� � ��

����, �� �����3��� ��� �������. *��� ��, ��3���� ����� ���

���3E��� ��� �3�� ��� E�5��� ‘�������’ ��� ‘����’.

�5� � ��6��� ��� ������6 ����� ��� ���� ��� ��� ���3���� � ���

����6���� ��� �� ���� ��� ���������� �������� ����6���� � �� 3���

���E�� ���� � ������� ���� ��� ������ 5����, � �����3�

�� ������ ��� ���� ��� �������� ����6���� .�. "��� �������

���� �������6 �����6; *�� �� � �����3� ���� ���� ���3E��� ���

��� ��3���� �����. G ���������� ������ - ��� ��� �5�� ����

� �3�, �� ��� ���� �������� ����6���� - 3������� ��� ������ 6 ���

�������� � � �� ������6 ��� ��56 �� �3��� �������6 ��56 � ��

����� �������6 � � � ��������.

*��� �� ��������� �� ���� ���� ��������� ��� ����6���� � �

� ��� �� � ������� ����� � � ��� � ������ ������� ���� ���

���5����. ". �. +� �����6 �� �3 �� �� � ����� �� ����; &� ���6

��� ��� ���� � �����3� �� �3 �� �� ������� � ��3�����. "3�� � �

�� 3���� ��� ����6���� ��� �����6� �� ����6���� � ��

� ��������� �� �������� �� ( .�. �����6 = �������6), � ���

�� ��3���� ��� � �� ����. !���, �� �� ��� ���� � ����

�@� ��������@�», ���� �%� ���� �@� ���!�@� ��� ���� ���������� �) �����@�% ��� ������%� ��#�%�%� ����� ��%� �%���� ��#�%�%.

� ���%��� ��'���� �� ����� �� ��� ������ �����������%� �%� ��%��������: ��� ������ �� �� ���� ����������.

6���� �� ���%������ !� � �������� ��� ���� ���� ���������� � ���������%��� ��% �������� �%� ���%�%�, ���� ���!� ��� �� ����������� ������! �!�� ��%� ��������� ��!���%� �������� ��� �������� �@� ���%�#�. 6�����%��, �� �������� �� �%� ������%�% �%� ��#�%� �� �% �������� �%� �� ���� ����������.

Page 61: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

61

�������6 �����6 ������ ������, ���� �� 6��� �� �����6��� �� �3��

�����6 ���� �� ������� �� 5����� ��� �� ��������� �� �������6,

���� �� ����� � ��� �� ���.

����� ������ ��� �� �� ����6���� � �� ����� ������ �� � �������

� � �� �������3��� ��3��, ������ � ����� ����� �������� ��� ��

����, ���� ��� � �������3� ����� ������� �� ��3�� �

� ������� ��� ������ �� ����� ��� ������ ��� �� ��� �

�������6� ��� 3������. *��� ��� ����, � �����3� � ��� ��

���� ���� �� ������5��� �� ������������ ���, ���� ��

�������� ��� ����� ��3���. &� ����� ���� �� �3 �� ��

��I������ ��� � �������� � ��� ��� � � ��� ������� ���

���5���� �� ���������3� ������.

G���&������� ��!���9�����

&) ���� � ���� ������� �� ����� ���������� ��� ����

������������� ��� ��� � ��3��� �������� ��� � ���������� 3���,

���� � �����3� �� � ���������� ��� �� �� �6��� ��� ��� �� ������

��� ������� �� �� ����������6 ��������, �� ��� �� ��3�� �

3��� �� ���� ����3���.

���������, I����� � ) ��� �����3� �� �������� ����� ��� 3�����

– ��������, � �� �� ���53����� ��� ��� �������� �

���������, �� ��� ��� ������ � ���3����� ��� 3������ ��� ��

��� �������� ���. &� ��3�� � �� ���53����� ��� �������� �

�����3� �� �3 �� �� ����������� ��� ���� ���� �

���������, �� �������E�� ��� �� ����� ���, �� ���53��� ���

������� � ���������� ��� �� ��� � ��� �� 3�����, ��

������E�� �� ��� � �������������, �� ���5����� ��� �6����

� ��� ���5��� � )�����’ ���� ������� ��� ��3��� ���

�.�. . J ������ �� ������ ��� �����3� �� ������3� ����6����. ��

� ������ � ������� � �����3� ���3� ����6���� � ��� �� ��� ���

��� ��. � � �3�, �� ��� �� ����� ������� ��� ������

������������� �� ����� �������, I����� � � ��� �����3� ��

���5��� ����� ��� ������ � �� � ����� �� ����� �� �����

��� , ������ ������ ��� � )�����).

"��������, � �����3� ������I�� �� � ���������� ��� 3������ ���

$ �����% – ���������% ������ �� ���� �� '���% ������������, !��� � ���%��� ������� �� ��������� �� ������ �'����� ��!���, �������� �%� ���������� ���� �� �������� �� �� ������.

Page 62: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

62

�� ��� �������� ���. �� �3 �� �� ������6��� ��� � ���3� ��� ���

�5�� ��� �������� �� ���� �� ���� �� ������� � ��� ���

� � ��� � ��������� ��� ����� ��3��� ��� �� �� ����������� ��

������� ����������. G �������� �� ��������� ����� ��� ���� ��

���������� ���� ����. *��� �� 6��� ������ �� ������ ��

� �������� ��� ��������� ���, �� ����� ������, �� �� ������ � ) ��

����� ������ ��� ����� �� ���������� ��� �) ���� ��6���� 6 ���

�����6 �5������.

�� � ���� �� ������ ����� �� ������ ���, ������� ������������

��� ��������6��� ��� ��� � ����6 �� ������� . �. ���������

����, � ������ � �53, � ������ �����6� �.� . ����� ������ ���

���' ��� �� ������� ��� ������������� �� ��������� ������� ����

� ��������� ���� �������� �� �6���� ��� �5�� ��� �6 ��� ��

��������� ��� �������� ��������� ��� ��� ���������

��������6���.

�� ���� ��� ���5���� � 3��� ����3��� � � ��5�����3� ��3�

(����������, �����3� ��� �����3� �3�� ��� ������� �.� .) ��� �3�� � � ���

��5�����3� ��53� 3�5����� ��� ������� ( �5����� ��� ��� ���

����, ��������3� �.� .), ���� ��� � � � ������ � �3����� ���

������ � 3���� ���� ���� ������ ������ �� ��� �������� ��.

8������

��������� ���53�����:

������6���� �������������: 2 ����

F������ �����:

7��� 1�: 1 ���

7��� 2�: 2 ����

7��� 3�: 3-4 ����

*���������3� �������������: 2 ����

8����9����� ������!�� ��� ��!���9�����: J

�� ��������� � ��� �� ������� ��� ��� ������������ �� 3��

������������� ����� ���3����� ������������� � 3��� ��

Page 63: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

63

����� �� �� � ���������� ������6�� ��� ������� .�. � ����3� ��

������ ������, 6 �� �������� �� � ����� ��� ��������� ��

���� �� �3����� ��� �����3� �� ����� ���6���� ���������6�

5����, � �� ����� ��������� ��������� ��� �5��������.

! ��� �* &������� �� ����������� ����������� ����� � ������ ���������

�� �������� �������� ��� ��� �"���� μ����� "������ �����μ�, �

������� ��� �������� �� ����������� �� μ�� !��� ����μ���� μ�

����� ����� �� � ����� �������� ��� �� �������� ��������.

��9���

�. R� ��� �� 7�,!���9 �����������:

F������ �������� ����� ����� � ��������� ��� μ������ μ� � �3�

μ���������3� ������6����, � �������56 ����� ��� �μ3��� μ�

��� μ�����, � ��������� �� ���� ��� �������� ��� �μ3���

�� �����μ����3� μ�53� �������56�, � � ��������� ����� ��� � ������6

��μ ����μ���� � �5��� �� �������������� �� ����� �� ����

��� �� �����.

&�������μ3�� � �����μ� � μ����3� :

o �� ��� �I�� ���μ3���� ����6����� ��� �������� 5���μ3���,

o �� ������� μ���6���� μ� ���3 ��� ��� μ���������,

o �� �����μ ��� �� � ����μ��� ��� � �� � ���� ������

��6����,

o �� � 5���I�� ��� �� �������� ��� �μ3��� �� ���������6

����,

o �� � ���������� �� �μ3�� ��� μ3�� � � ��5�����3�

��� ���������� (�����μμ��� Venn ���56μ��� ������ �� ).

3. R� ��� �� �"!� +�,� #����&���5�

F����� ����� �����:

o �������6, � �6����� ��� �������� �μ3��� �� μ�� ���������6

���� �μ3���. '�6�� ������� ������ ���������� �������.

o J�������� �μ3��� �� ���������3� ������.

����: 7’ 7%������

%��#&��: F��� %�μ3���, &���, �������, (��5�μ�

Page 64: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

64

o ��������� μ� �����3� 3����� ��� ����������� ������ ( ��,

�����56, �� � �μ3��� �� ).

o G ��6�� ��������� ��� ��� ���� ��� ����6����.

o G ��6�� ��� ��������� ��5������� ��� �� ��� ��������� ���

�μ3���.

o G ��������� ��� � ��������� �μ3��� μ� �����μμ��� Venn ���

���56μ��� ������ – ���� �� .

R� ��� �� *���!���" 8������!��

F����� ����� ����� � ������ ��� ����� ����:

o ������� ���� ���6�� ��� ��������� ��, � ������ ���

������� � � ���� ������� ��� �3�� � ������� ��� � �μ3���

� ���6���� �� 3�� ����� ��,

o �������6 μ���6���� (��μ �����μ���μ3��� ��� ��6��� ������)

��� �����6 �μ3���,

o ������� ��� �μ3��� �� ����,

o ���� ��� ����6���� ��� �� ��6�� ��� �����3��� ���5����

��� �� �6E� � ���6����,

o ���� ��� ��� 3����� � �3����,

o ��μ����� �����μμ���� ��� ���5�μ����,

o ������6 ��μ ����μ���� ��� � ���� 6 μ3�� ��� �μ3���,

o ���� ��� ��� � ��6���� � ������μ���� μ� ������� � ��� ���

� � �� ��������� ��� �μ3���.

'�����9���� ����� ����!��&���

G ������������ ����������� �� 3 5�����:

1. &����6 ��3���

2. �������6 ��� ������� �μ3��� ��� ����

3. ������� ��� � ��������� ��� �μ3��� ��� ������6 ��μ ����μ����

– "�������� ��μ ����μ����

7 �&G 1 : &����6 %��3���

G �����6 ��� �μ3��� ������� μ� ��� ������3� ����6��� μ ��� ��

�����6��� � � ��� ���6 ��� ������ ��� �� ��������� ���’ ��� ���

������� ��� �������� μ� ����� �������������. (�� � �� � ����

�����I���� �� ����� � ��I6���� ���� �� � � � �� ��� �� ��

� � � ����� ���� �� �� ��I������ � �3μ� ��� �� ��������� 3��

Page 65: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

65

����� «��3� ����6����.» ��� �������56� ��� ������6����. �3��

� � ��� ��I6���� ��� μ� ��� ���μ������ �� ������� �� �3 �� ��

3���� �� ���6�� ��� �� ������ ����� ������ ���3� ��� ����

���������:

o +� �� ���������� ( .�. ��� ������, �������� �� )

o "�� �� ���������� – �� �����μ ����� ������ μ���6����

��� ��;

o *������� ������ ���� ��� �� ( .�. ���� � ��

�������5�� � ���� ��� ������6��� ����� ��� �

��������μ3�� �����6 ��� 6 ���� μ�� �� �������� μ�� �

������6��μ� μ��3�� ��� ��� �� �����;)

G ��I6����, ���� �� �� �3 �� �� ���������� �� ����� ���� ��

� �����6μ��� ��� � � �E��� ��� μ������ �� �����������, ��� �μ �����

�� �����6��� �� μ�� ���6 ��� ���� "5��μ� ����6�����" ��� �� ��

�����μ ��� � ���� μ��.

�7 � &G 2: J������� ��� ��3��� ��� ����

G 5��� ���6 μ ��� �� �����6��� ���� ��� μ3�� ��� ������. ������

�����I���� �� ���������� � μ����3� μ� �����3� 3����� ��� ��������

μ��� ����� �μ3��� � �� ����� �� ��� ��� � �����53� ��� �� ��

���������� ��� 3����� ���3� μ� ��� ������6���� �� �����:

o "��� ��� ����� ��� �� �3 �� �� � ���3��� � ���

(����6����) ����6����� � 3��� �������E�� ��� 5��μ�.

o J� �����53� ��� ����� ��� �� ��μ ������� � � �� �������

(� ���6���� . �������53�) ��� ���� 5���.

&�� ���3���� � μ����3� �����I���� �� 3���� �� � �56 μ� �� ��� ���

�μ3��� � ����� ������ �� �������� �� 3�� �� (��5����μ����,

�����, ����3�-E��3� �� ). &�I���� ���� �� � � � �� ��� ���

���3���� �� � � � ����� ��� � ��μ� ��� ���� ��� � ��� ���

�μ3��� � �� ���3���. (�� ������μ� μ�� μ�� μ ��� ��

������� 3�� �� μ� � ��μ� «'�����%����! �����» � �� ������

��5����μ����� �μ3�� �� �� � %�������, �������, ���'�, ���μ��

�� , ��� μ�� ���� μ�� ��� �� �� �� � μ ��� �� ������� 4 ���

(%�������, �������, ���'�, ���μ��) �� �μ3�� ��� ��� �� �����

��� μ�56� ����3� – E��3�. ��� ���E�� �3��� ��� ���� � μ����3�

Page 66: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

66

� ��I���� ��� ������ � �����6�� ��� �� �������� ��� �����6

���. &� ��� ���� � ��I6���� � 3��� 6� ������� ��� ���

��μ��5��� ��� "5��μ�� ����6�����" μ ��� �� � ������ ��������

��6��μ�, �5� � ��� ��� �μ3��� � 3��� � 5������ ��

����3��� � ����I�� ��� ���5��� ��� ��� ���� ���

���� ��� �����. ".�. �� � �3��μ� ��� 3��� ����3��� ������� ��� ���

��� ������. ��5������ �� ��������. � ���� �μ3��� �� ��

������� ���. ����� �� �� �: 3����� �� . !' . ����, ����, ���!��� ���

��5������ �� 3��� �����μ �6��� 3�� ����μ��� ��� ����� � �

3�� �� �� � �� �������5���� �3���� (����, ����, ���!��� �� )

�� ��������� ��� 3�� �� � �� �������5���� �� ����μ����� �μ3��

� � � ������.

�5� �����6��� �� � � � ����� � ���3� ��� ��� ��� �� ��� ���

�μ3��� � �� ���3���, μ���I���� � μ��� ��� 5��μ�� μ� ��

�μ3�� ��� ������� �� �� �������� ��� ��������� ���. ���� ���

���6���� ���6� ��� ��������� ������� 3���� ��� ������ � 3���

5������ � ���� � ��� 3��� ���� � �� 3��� ������ �� � ���� �

���� ���� ��� �μ3���. + � �μ�� �6μ� ���6� ��� 5���� �� �����

��� ��μ�� ������ ����� ������������ � μ ��� �� � �����

��� ����. ���� μ ��� �� 5���� � � μ�� ���� � ��������� ���

�μ3���. �6 �� � �3�� G��'� ����� ���μμ3�� μ� ���� ��� ��; (��

������μ� �� 3��� ���� ���� ��� ������� «(�����%����! ����� =

G��'�» μ ��� �� μ�� � ��3����� ���� � �����53� � ���������� ��

���6� ��� �������. J� μ����3� �� �3 �� �� �� μ �� ��� �������� ��

��������� ��� ������� μ� ��� �����53� (�� �������) �

��� � ����� ��� �� ��� ���� ��5�3�. &�������μ3�� ��� ��

� �����6 � �3�� G��'� �� ����� ��� μ� �� �3�� ���'�, ��� μ� ��

�3�� GKH($ ��.

7�&G 3: ������� – � ��������� ��3��� – "��������

� ����������

&�� 5��� ���6 � ���3� ���� ���� ����6���� ���� E�5�� �������

��� �����6��� �� ��μ ����μ��� ��μ�������� �� �����μμ��� Venn

���� E�5�� ����. J �� ��������� �������� ���� �� �����

��� �� ���� μ� ����6���� �� ������6��� ��� μ����3� �� ����������

��5������ ��� ��� �����, �� ���� ���� � �3���� ��� ��

Page 67: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

67

�� ���� �� ��� ��5����� μ� ��μ����� ��� , �� ���� ����

‘� �3�’ ��� ‘��������’ ����6����, �� ��μ������ �� �����μμ��� �� . (��

��� �������� ������� ��� ��3μ����� �� �� �������� ����3��μ�

������� ��� ��������� ������ ���6� ��� 5����.

&���� ���6� ��� 5����:

o � ���������� ��� �� ��������� � ���3� ��5�����3�

��� ���������� ��� �μ3��� ( ������ ��� ����, �����μμ��� Venn,

�����μμ��� ������ . ���� �� ),

o �� �������� �� �μ3�� ��� �� ��μ�5���� �����3� ����6����

� �� ������� ���,

o �� ���� ���� � �3����. ��� «������������» ��� ������� �

�3 �� �� �μ3�� ��� �� ��� ��3���� μ� �� ��6�� ���

���5�μ���� ��� ��� �����μμ���� Venn,

o �� ��μ������� ��5�����3� ��� ���������� ��� �μ3���

(����.μμ��� Venn, ���56μ��� ������, ���� �� ),

o �� �����μ �6��� ��� ���5��3� ��� ���������� ��� ��

������6��� ��μ ����μ��� ��� �� ���3�����,

o �� �����μ �6��� �� ��μ ����μ��� ��� �� ������� ��� ��

���� ��� � ���������.

*��� μ�� �� �3 �� �� �����6��� �� �� �� ��μ ����μ��� �� �� ��

�������E�� ��� �� �� ��������� ���� ���� μ�I� μ� �� ���������

�����μμ��� Venn. � ���� μ ��� �� �����μ ����� (� ��������)

��� � E�5�� �����μμ� ��� μ�� ����������6 �������� ��� �μ3���

��� �� ��� ��μ� �����μ������ μ���6����. &� �3�� ��� ��I6����� ���

��� ���������� � �� ����� ���� ���� �������5���� ��

��5������ ��μ ����μ��� ���� ��� μ��� ��� ����������� μ�

��μ ����μ��� ����μ���� ���� (�� � �����). � � ���6

�� �������� μ ��� � μ����3� �� ������ ��μ ����μ��� � �5���

����������� � � � ����3�.

8������

7 � &G 1

G �����6 ��� �μ3��� �� μ ���� �� �����6��� ��� � ��

J������ ��� �� ���������� μ3��� � �����. [�� � ����� ������μ� �

μ����3� μ ��� �� ������������ ��������� �μ3�� ��� 3�� μ6��

Page 68: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

68

μ��, ������� 2 μ���6���� ��� �μ3��]. G 5��� ��� �����6� ��

μ ���� �� ���������� �� ������� ����� ��������6���.

��������� ���53����� � ������� ��� � ���� 2 5����� ���

�������������, 3����� ����� � ’ �E�� ��� ����� ���������

��μ�5������ ��� ����μ�I���� � � �� �� �������� ������ μ� ��

�������� �������������� ��� ����� �� ��� ��� ����.� �� ����������.

7�&G 2

3-4 ����

7�&G 3

5- 6 ����

&-1J#J

8 – 10 ����

Page 69: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

69

3.3 %&&� ���!���

«!� /�3� �*»

�����������:

T� �:

�����:

����������:

( �������� ���� � ������� ������ –��� ��� �� �������-

��� ���� ��� ������� �������. #��� ������� �� �����

������ ��"������ ��� �� ����������� �� ����� ���

� ������� ������. )������������� � &!���� ��� �������

�� ����������� ��� �� � ������������ &�������. *���

����"��!

��������:

1) !�� ��"��� �� #������� ���

������� �$#��� ��� ���" ��� �������

���������� �� ������� �"����:

�) %���� �� ������ �� ��� � ������ ������ ��� ��� � ������ � �"�� ���

�������� ������ � �� �����������, ��� ��� ��&���.

�) �#� #������� �� ������� �$#���, �������������� �$'���� �� � �����

�� �$��� ��� " � �������� �� �� ����� �$�����, �� ���� � �

���&������ " ���� �����. (� ����������;

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Page 70: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

70

�) (� �� ������ �� � ��������� �� ������ � � ����� ��� ������ ���

�$#����;

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……........................................................................................................................

2) *�� �������� ‘+$#����’ ��� ������ $����� � ��������� ‘!������’ ���

‘����"��’. �����$��� �� �������� ‘ ������’ �� ��� ���$� 150 ��� 200.

-��� �� �����$��� �� �������� ‘����"��’ �� ��$� ��� ���$�. *��

����������� ��� � ����� �� ������ �"���� ��� ��� &�#�� ‘������$��’.

%����� ��������� ����� ������ ������� �� ��� ��� �� �������'���� ���

����" �$#��� ��� �������&�� ��� ��� ������� �����.

(��$�

��������"� :�

(��$� ��������"�

:�

(��$� ��������"�

:�

*�� $�����

3) � �������$��� �� �������� ‘!������’ ������������ ��� � ������

������� ���� � ������. !�������������� ��� ��� �� �� ��������

‘����"��’. (� ��� �������� ���'���; !�� ���� ��� ���� ��������"� ���

�� ���$� �$ �� �� ������ ���� �� ���������'���� ��� ����" �$#���;

…………………………………………………………………………………

Page 71: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

71

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………….

4) !������"��� �������� �� �������� ‘����"��’ ��� ������ �� �� �����

������ � ������ � � �� ��� ����� ��� �� ���&�� � ���.

……………………………………………………………………………………...

5) !�� �$ �� �� ����&�� � ������ ��� �� ������������ ��� �� ��������

����; -���� ��� ��������� �����$� ��� �������� ‘����"��’, ���� ��

� ����� �� ���������'��� �$#���� �� ��#������ ����.

……………………………………………………………………………………..

6) *���&�� �� ������ ���� �� ��� ����� ��� �����"���� �� ������������� ��

�$#���. *�������� ��� ���$� ��� ���������� �, �, � �� ��� ���

���������'���� � �$#���. � ��������� �� ����������� �����$� #�$� �����.

(� ��� �������� ���'���;

Page 72: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

72

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………..

7) -����������� �� ��" ��� �$#���. /����� �"��� ��� �� ‘�����

'����#��"�’ �� ������ ��� �� �� �������� �� �������� ��� �� �������

��� ������� ��$�.

Page 73: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

73

«4� / ������»

��������5����:

T���:

#�"��:

H��������:

������� �������� ��� ��������������

������� �� �� �� � ���� � ��� ������ ��������; �� ���������� ���

�������� �� ‘�����������’ μ�� ���μμ������� μ� ��� � ������� ���μμ��

�� ��������� ���!��� μ� μ��!����μ��� μ������ � ����� �� μ������

μ������ �� "����μ��������� ��� � ���� �� ��� ��� ������. #� ���μμ��

������� �� � �� �� �� ���������� ‘#� �������’ "������������� �

������ Logo ��� � μ����� ��� �� � μ��!����� μ� ��� �������� ����μ����

"�����μ�� μ��!����, �� $����’ ���!�����’

��������

1) *��� ��� ��� ���������� 2 �������� �� �������� ��#��"��.

� ����� �� ������ �"���� � �������� ‘+�������’ ��� �� ��

������������� �� �$�� ��� ���� �� � ����� �� �� �����������;

2) *�'��"��� ��� ��'� ���� ���� ������� �� ��� �������� ��� �������� ���

��������� � #������� ��� ��� ������� � �$ �� �� �$ �� �� ��������"

���, $����� ���� �� ����� ��� ��� ������� ��� ����� ����� ��

������������� � ��� ��� � ��������" ����$��.

Page 74: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

74

3) ���������� �� �������� � #������� �� ��� ���� ��� ��� ����� ���,

��$��� ��� ������ ��� ��$���� �� ������ �����. -��� ��, �� ��"��� ��

�� ‘���"����’ � �� ��� ��� ��� ��� �� ���#" �$����.

4) 8� ������ ���� ��� ��������� � ��������������� ��� $��� ��������.

!�� ��"��� �� ���&��� �$���� ��� #������ ��� ��������� ��� ���� &�#��

‘-�����’, ���������� ��������� �� ������.

5) +��&�� ��� $����� � �� ������#�� ��� ���� ��� ������ ���, ��� ��

����#$���� �$���� � ��$��&��, ����� ��� ��� ������� ��� �� ��� ��������

��� ������� �� ��� ��������" �� ���������#�.

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Page 75: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

75

……………………………………………………………………………………

……...............................................................................................................

Page 76: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

76

«4 5� ��»

��������5����:

T���:

#�"��:

H��������:

9���� �$ �������� ����; ��"����, $���� ���#��� �� ����� $�� ����

� ������$�; (� �� �$ �� �� ��$�����; !�� ������� �� �$ �� �� ������

� �&�, ��� ����� ��� �����$� � #�����, ������� �� �� �������� �� ����;

8 ��������� ����������� � ��� �� ��� ��#$��� ������ �"���� ����

������� �� ���� ���.

��������:

1) *�'��"��� ���� ���� ��� ��� ��� ���� �� ��� ��'� ���� ���� ������� ��

��� �������� � � ��� ��� ��������� � � ������ ���� ���� ���

�������&�� ��� �������.

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Page 77: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

77

2) !�� ���'��� ��� �� � ���� �� ��� ���"��� � �����"� ���

�������� ���� ����;

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………….

3) � #������ ��� ��'� ��� �������� � ����� �� �����������

���������� ��� �� ��������� $�� � ������$� ���� ��� #������ $��

������� ������������.

4) -���� ����������� �������� ( �� ��$�� �� ����$��� ���� ���, ���

�� ) ��� ����$��� �� ��$�� ���.

5) � #������ �� ��� �� $��� � ���� ��$��� � �� #������� ���

�������� ����������� ��� �� ���� �� ����� � �����#$� �� ���� ��.

-��� �� ���������� �� ��$�� ��� ����.

6) /����� �"��� ��� &�#�� ‘�������’ �� ��������� ����������� ��� ��

‘������ ����"����’ ��� ���� ��$��� ��� ��� &�#�� ‘����’ ��� �� ������

��� � #����� ��� ��� �#�� ��� �������� �� ���� ���.

7) +��&�� ��� $����� � �� ������#�� ��� ���� ��� ������ ���, ��� ��

����#$���� �$���� � ��$��&��, ����� ��� ��� ������� ��� �� ��� ��������

��� ������� �� �� �������� �� ����.

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Page 78: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

78

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Page 79: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

79

«! 6�� �*»

��������5����:

T���:

#�"��:

H��������:

������� �������� ��� ��������������

*�� ������������ ���" �������� �� ������ ����� ����������. ������,

���������� ��� ������$� ����"��� ��� $�� ����� ������ �������,

�������#��� ��� ������"���� ��� ��� ������ ����� � ��������

����������� ��� �� ������� �� ��� �������� ��� ��� ��� ������$� ����"��� ��

�� � ���.

��������:

1) *�'��"��� ���� ���� ���� ��� ���� �� ��� ��'� ��� � �� �� ����$����

��� ������"���� ��� ������� �� �� ������� #�������� �� �� � ���.

!����� �$���� ��'"�����:

�) (� �� ����������;

�) !�� �� �����������;

�) !��� ����$� �� �������� ���� ���;

2) � #������ �� ��� �� $��� � ���� ��$��� � �� #������� ���

�������� ����������� ��� �� ���� �� ����� � �����#$� �� ���� ��.

-��� �� ���������� �� ��$�� ��� ����.

Page 80: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

80

3) /����� �"��� ��� &�#�� ‘�������’ �� ��������� ����������� ��� ��

‘������ ����"����’ ��� ���� ��$��� ��� ��� &�#�� ‘����’ ��� ��

�����"���� �� ��� �������� ������� �� ��� ������$� ����"��� �� �� � ���.

4) +��&�� ��� $����� � �� ������#�� ��� ���� ��� ������ ���, ��� ��

����#$���� �$���� � ��$��&��, ����� ��� ��� ������� ��� �� ��� ��������

��� ��� �� ������� #�������� �� �� � ���.

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Page 81: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

81

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Page 82: ΑΒΑΚΙΟ   Εγχειρίδιο μαθηματικών

�������� ��� ����� �� �������� ����� 2 ��� � �������� ���������� ��� �����������

!�� "#�$�%�&/ '���������, () *"&

��.$+- / - .�.".0.

82

+ ���� �������3� �u�� �� �������� �������� «����� 2» ��� ������� �� ������� �����:

"����: '����8��: ����� % ����������� 2������� �� H����%�@���@� ���������#� 6����@� �� �� ���%��� �'����� �%� 6�@�������� �� 7������������ ���������%� & 7����% 6��M!��@� ����������� 2������� ��� �'�����.

(2003-2007) http://pleiades.cti.gr

�������: )($�����8��: ��� ���� �������3��� �u����� ��� ������� ��������

+������ %�������

(7�3�� -� ����� & � ��������6� "����������� �� 3���):

���������� ������u�� $������� +�������� - ������� (��.$+-) (http://www.cti.gr/)

7�3�� '����������� ��� #���������:

- ����� �����6� "������ ��� 0����������� (- .�.".0.)

'����������: � ����������� "��������: “*������ ��� "���5����”, �3�� 1.2, (’ *"&