Дмитрий Васильев - Задачи ассиметричной криптографии

Àñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ

Äìèòðèé Âàñèëüåâ

ßíäåêñ

Ìîñêâà, 2014

Ñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ

Àëèñà(A) è Áîá(B) õîòÿò îáìåíèâàòüñÿ ñîîáùåíèÿìè, êîòîðûåíèêòî êðîìå íèõ íå ìîæåò ïðî÷èòàòü.

Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K .Øèôðîâàíèå: EK (m) = c .Äåøèôðîâàíèå: DK (c) = m.Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:

1) Êîððåêòíîñòü: DK (EK (m)) = m.2) Ñòîéêîñòü.







Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K .

Øèôðîâàíèå: EK (m) = c .Äåøèôðîâàíèå: DK (c) = m.Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:




Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K .Øèôðîâàíèå: EK (m) = c .

Äåøèôðîâàíèå: DK (c) = m.Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:




Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K .Øèôðîâàíèå: EK (m) = c .Äåøèôðîâàíèå: DK (c) = m.

Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:









1) Êîððåêòíîñòü: DK (EK (m)) = m.

2) Ñòîéêîñòü.






Àëèñà õî÷åò, ÷òîáû êòî óãîäíî ìîã íàïèñàòü åé ñîîáùåíèå, íî

ïðî÷èòàòü åãî ìîãëà òîëüêî îíà.

Ïàðà èç îòêðûòîãî è çàêðûòîãî êëþ÷åé (e, d).Êëþ÷ e èçâåñòåí âñåì, d � òîëüêî Àëèñå.

Øèôðîâàíèå: Ee(m) = c .Äåøèôðîâàíèå: Dd(c) = m.Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:

1) Êîððåêòíîñòü: Dd(Ee(m)) = m.2) Ñòîéêîñòü.











Øèôðîâàíèå: Ee(m) = c .

Äåøèôðîâàíèå: Dd(c) = m.Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:






Øèôðîâàíèå: Ee(m) = c .Äåøèôðîâàíèå: Dd(c) = m.

Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:








Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü è ôóíêöèÿ Ýéëåðà

ÍÎÄ äâóõ öåëûõ ÷èñåë a, b ýòî íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ

íà âñå îáùèå äåëèòåëè a, b.×èñëà íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè, åñëè èõ ÍÎÄ ðàâåí 1.

Ôóíêöèÿ Ýéëåðà φ(n) ðàâíà êîëè÷åñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò

1 äî n, êîòîðûå âçàèìíî ïðîñòû ñ n.Òåîðåìà Ýéëåðà: åñëè (a, n) = 1, òî aφ(n) ≡ 1 (mod n).

RSA

0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p, q. Ïóñòü N = pq.1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e, φ(N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è

N.2) Íàõîäèì d , äëÿ êîòîðîãî ed ≡ 1 (mod φ(N)).

Ee(m) ≡ me (mod N).

Dd(m) ≡ md (mod N).

Êîððåêòíîñòü:

(me)d ≡ med ≡ m (mod N)

Çàäà÷à ïðîòèâíèêà â òîì, ÷òîáû ïî N, e âû÷èñëèòü d . Ýòàçàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ôàêòîðèçàöèè: ðàçëîæèòü N íà

ìíîæèòåëè.

RSA

0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p, q. Ïóñòü N = pq.

1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e, φ(N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è







ìíîæèòåëè.

RSA


N.

2) Íàõîäèì d , äëÿ êîòîðîãî ed ≡ 1 (mod φ(N)).






ìíîæèòåëè.

RSA








ìíîæèòåëè.

RSA








ìíîæèòåëè.

RSA








ìíîæèòåëè.

RSA








ìíîæèòåëè.

RSA








ìíîæèòåëè.

Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì.

Òðåáîâàíèÿ:

1) Ïîëíîòà. Åñëè Àëèñà è Áîá ñëåäóþò ïðîòîêîëó, è Àëèñà

çíàåò ñåêðåò, âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ Áîáîì äîêàçàòåëüñòâà

ðàâíà 1.

2) Êîððåêòíîñòü. Åñëè Àëèñà íå çíàåò ñåêðåò, òî îíà ñìîæåò

äîêàçàòü îáðàòíîå ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ

3) Íóëåâîå ðàçãëàøåíèå. Â õîäå äîêàçàòåëüñòâà Áîá íå óçíàåò

”ñîäåðæàòåëüíóþ“ èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ áû ïîçâîëèëà åìó

ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçûâàòü çíàíèå ñåêðåòà.





ðàâíà 1.










ðàâíà 1.










ðàâíà 1.










ðàâíà 1.






Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.

Ãîëüäðàéõ, Ìèêàëè, Âèãäåðñîí, 1991.

Ïóñòü G0 = (V ,E0),G1 = (V ,E1) � äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà,Àëèñà çíàåò èçîìîðôèçì φ. φG0 = G1.

Îäèí ðàóíä (âñåãî m):1) Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó π íà ìíîæåñòâå V ,ïîñûëàåò Áîáó ãðàô πG1.

2) Áîá âûáèðàåò ñëó÷àéíûé áèò α è ïîñûëàåò åãî Àëèñå.

3) Åñëè α = 1, Àëèñà îòïðàâëÿåò Áîáó σ = π, èíà÷å σ = π ◦ φ.4) Åñëè σGα íå èçîìîðôåí πG1, Áîá îòâåðãàåò äîêàçàòåëüñòâî,

èíà÷å ó÷àñòíèêè ïåðåõîäÿò ê ñëåäóþùåìó ýòàïó.


















Îäèí ðàóíä (âñåãî m):

1) Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó π íà ìíîæåñòâå V ,ïîñûëàåò Áîáó ãðàô πG1.























3) Åñëè α = 1, Àëèñà îòïðàâëÿåò Áîáó σ = π, èíà÷å σ = π ◦ φ.

4) Åñëè σGα íå èçîìîðôåí πG1, Áîá îòâåðãàåò äîêàçàòåëüñòâî,










Ïîëíîòà:

Åñëè α = 1, òî πG1, πG1.

Åñëè α = 0, òî (π ◦ φ)G0, πG1.


Åñëè Àëèñà íå çíàåò φ, òî ñìîæåò îòâåòèòü ïðàâèëüíî òîëüêîíà îäèí èç äâóõ çàïðîñîâ Áîáà.


Ïîëíîòà:






Ïîëíîòà:






Ïîëíîòà:






Ïîëíîòà:





Ýëåêòðîííûå äåíüãè

Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.

Ïåðâûé ïîäõîä.

Áàíê âûáèðàåò N = pq, ed ≡ 1 (mod φ(N)).Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m, s ≡ md (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ m (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.

Êàê ïî áàíêíîòàì (m1, s1), (m2, s2) èçãîòîâèòü òðåòüþ?Îòâåò: (m1m2, s1s2).














Áàíê âûáèðàåò N = pq, ed ≡ 1 (mod φ(N)).

Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m, s ≡ md (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ m (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.





Áàíê âûáèðàåò N = pq, ed ≡ 1 (mod φ(N)).Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.

Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m, s ≡ md (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ m (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.





Áàíê âûáèðàåò N = pq, ed ≡ 1 (mod φ(N)).Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m, s ≡ md (mod N)).

Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ m (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.





Áàíê âûáèðàåò N = pq, ed ≡ 1 (mod φ(N)).Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m, s ≡ md (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ m (mod N).

Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.





Áàíê âûáèðàåò N = pq, ed ≡ 1 (mod φ(N)).Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m, s ≡ md (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ m (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).

Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.











Êàê ïî áàíêíîòàì (m1, s1), (m2, s2) èçãîòîâèòü òðåòüþ?

Îòâåò: (m1m2, s1s2).







Âòîðîé ïîäõîä.

Áàíê âûáèðàåò N = pq, ed ≡ 1 (mod φ(N)), îäíîñòîðîííþþôóíêöèþ f : ZN → ZN .

Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m), s ≡ f (m)d (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ f (m) (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.












Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).

Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m), s ≡ f (m)d (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ f (m) (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.




Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m), s ≡ f (m)d (mod N)).

Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ f (m) (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.




Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m), s ≡ f (m)d (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ f (m) (mod N).





Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m), s ≡ f (m)d (mod N)).Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se ≡ f (m) (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).







Òðåòèé ïîäõîä.


Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíûå ÷èñëà m, r è îòïðàâëÿåò áàíêó

f (m)r e .Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m)r e , s ′ ≡ f (m)d r (mod N)).Êëèåíò âîññòàíàâëèâàåò s = s ′/r è ïðîâåðÿåò ïîäïèñü:

se ≡ f (m) (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m, s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.

















f (m)r e .

Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m)r e , s ′ ≡ f (m)d r (mod N)).Êëèåíò âîññòàíàâëèâàåò s = s ′/r è ïðîâåðÿåò ïîäïèñü:






f (m)r e .Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m)r e , s ′ ≡ f (m)d r (mod N)).

Êëèåíò âîññòàíàâëèâàåò s = s ′/r è ïðîâåðÿåò ïîäïèñü:







se ≡ f (m) (mod N).







se ≡ f (m) (mod N).Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m, s).








Ðàçäåëåíèå ñåêðåòà.

Ãëàâíîêîìàíäóþùèé õî÷åò ðàçîñëàòü ïëàí áèòâû n ãåíåðàëàì,

÷òîáû ãåíåðàëû íå ìîãëè ðàíüøå âðåìåíè åãî ïîñìîòðåòü.

Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî èçâåñòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p.Ïóñòü ñåêðåòîì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî a0. Âûáåðåì ñëó÷àéíî

a1, . . . , an−1 è x1, . . . , xn−1.Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + . . .+ an−1x

n−1.i-ìó ãåíåðàëó îòïðàâèì xi , f (xi ).Â íóæíûé ìîìåíò ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé

ñâîèìè ÷àñòÿìè ñåêðåòà, íàõîäÿò f è a0 = f (0).Èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà Ëàãðàíæà: åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ

ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè íå áîëåå n − 1 â n òî÷êàõ, òî ìîæíî

âîññòàíîâèòü ýòîò ìíîãî÷ëåí.

f (x) =n∑

i=1

f (xi )∏j 6=i

x − xjxi − xj

.

Åñëè k < n ãåíåðàëîâ ïîïûòàþòñÿ âîññòàíîâèòü ñåêðåò, ó íèõ

íè÷åãî íå ïîëó÷èòñÿ.










f (x) =n∑

i=1

f (xi )∏j 6=i

x − xjxi − xj

.








n−1.

i-ìó ãåíåðàëó îòïðàâèì xi , f (xi ).Â íóæíûé ìîìåíò ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé




f (x) =n∑

i=1

f (xi )∏j 6=i

x − xjxi − xj

.








n−1.i-ìó ãåíåðàëó îòïðàâèì xi , f (xi ).

Â íóæíûé ìîìåíò ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé




f (x) =n∑

i=1

f (xi )∏j 6=i

x − xjxi − xj

.









ñâîèìè ÷àñòÿìè ñåêðåòà, íàõîäÿò f è a0 = f (0).

Èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà Ëàãðàíæà: åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ



f (x) =n∑

i=1

f (xi )∏j 6=i

x − xjxi − xj

.












f (x) =n∑

i=1

f (xi )∏j 6=i

x − xjxi − xj

.












f (x) =n∑

i=1

f (xi )∏j 6=i

x − xjxi − xj

.



Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.

Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå

âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.

Ïóñòü p � ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ píàçûâàåòñÿ òàêîé îñòàòîê g , ÷òî

{g0 (mod p), g1 (mod p), . . . , gp−2 (mod p)} = {1, 2, . . . , p−1}.

1) Âûáåðåì ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 + a1x + . . .+ an−1xn−1.

2) Âû÷èñëèì ri ≡ gai (mod p), ïóáëèêóåì èõ.

3) Âû÷èñëèì si = f (i) (mod p), îòïðàâèì si i-ìó ó÷àñòíèêó.Ïðîâåðêà ãåíåðàëîì ñâîåé äîëè ñåêðåòà:

g si ≡ r0ri1 . . . r

in−1

n−1 (mod p).

Âîññòàíîâëåíèå ñåêðåòà (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî

ãëàâíîêîìàíäóþùèé ÷åñòíûé). Âñå ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ

ìåæäó ñîáîé ÷àñòÿìè ñåêðåòà è ïðîâåðÿþò èõ òàê, êàê îïèñàíî

âûøå.

Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå







g si ≡ r0ri1 . . . r

in−1

n−1 (mod p).




âûøå.








g si ≡ r0ri1 . . . r

in−1

n−1 (mod p).




âûøå.








g si ≡ r0ri1 . . . r

in−1

n−1 (mod p).




âûøå.








g si ≡ r0ri1 . . . r

in−1

n−1 (mod p).




âûøå.







3) Âû÷èñëèì si = f (i) (mod p), îòïðàâèì si i-ìó ó÷àñòíèêó.

Ïðîâåðêà ãåíåðàëîì ñâîåé äîëè ñåêðåòà:

g si ≡ r0ri1 . . . r

in−1

n−1 (mod p).




âûøå.








g si ≡ r0ri1 . . . r

in−1

n−1 (mod p).




âûøå.








g si ≡ r0ri1 . . . r

in−1

n−1 (mod p).




âûøå.

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Дмитрий Васильев - Задачи ассиметричной криптографии