34
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

«АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ»

Embed Size (px)

Citation preview

ВОПРОСЫВОПРОСЫ1. Что такое логика? Формальная логика. 1. Что такое логика? Формальная логика.

Математическая логика.Математическая логика.

2. Этапы развития логики.2. Этапы развития логики.

33. Применение математической логики.. Применение математической логики.

44. Алгебра высказываний. Простые и сложные . Алгебра высказываний. Простые и сложные высказывания.высказывания.

5. Основные операции алгебры высказываний.5. Основные операции алгебры высказываний.

ВОПРОС №1ВОПРОС №1

Что такое логика? Что такое логика?

Формальная Формальная

логика логика

Математическая Математическая логикалогика

LOGOS (ГРЕЧ.)- LOGOS (ГРЕЧ.)- СЛОВО, СЛОВО, ПОНЯТИЕ, РАССУЖДЕНИЕ, ПОНЯТИЕ, РАССУЖДЕНИЕ,

РАЗУМРАЗУМСЛОВО «ЛОГИКА» ОБОЗНАЧАЕТ СОВОКУПНОСТЬ ПРАВИЛ, КОТОРЫМ ПОДЧИНЯЕТСЯ ПРОЦЕСС МЫШЛЕНИЯ.

ОСНОВНЫМИ ФОРМАМИ АБСТРАКТНОГО МЫШЛЕНИЯ ЯВЛЯЮТСЯ: ПОНЯТИЯ, СУЖДЕНИЯ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ.

ПОНЯТИЕ ПОНЯТИЕ - ФОРМА МЫШЛЕНИЯ, В КОТОРОЙ - ФОРМА МЫШЛЕНИЯ, В КОТОРОЙ ОТРАЖАЮТСЯ СУЩЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ ОТРАЖАЮТСЯ СУЩЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ ОТДЕЛЬНОГО ПРЕДМЕТА ИЛИ КЛАССА ОТДЕЛЬНОГО ПРЕДМЕТА ИЛИ КЛАССА ОДНОРОДНЫХ ПРЕДМЕТОВ.ОДНОРОДНЫХ ПРЕДМЕТОВ. (ТРАПЕЦИЯ, ДОМ)

СУЖДЕНИЕСУЖДЕНИЕ - МЫСЛЬ, В КОТОРОЙ ЧТО-ЛИБО - МЫСЛЬ, В КОТОРОЙ ЧТО-ЛИБО УТВЕРЖДАЕТСЯ ИЛИ ОТРИЦАЕТСЯ О УТВЕРЖДАЕТСЯ ИЛИ ОТРИЦАЕТСЯ О ПРЕДМЕТАХ.ПРЕДМЕТАХ. (ВЕСНА НАСТУПИЛА, И ГРАЧИ ПРИЛЕТЕЛИ)

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕУМОЗАКЛЮЧЕНИЕ - ПРИЕМ МЫШЛЕНИЯ, - ПРИЕМ МЫШЛЕНИЯ, ПОСРЕДСТВОМ КОТОРОГО ИЗ ИСХОДНОГО ПОСРЕДСТВОМ КОТОРОГО ИЗ ИСХОДНОГО ЗНАНИЯ ПОЛУЧАЕТСЯ НОВОЕ ЗНАНИЕ.ЗНАНИЯ ПОЛУЧАЕТСЯ НОВОЕ ЗНАНИЕ.(ВСЕ МЕТАЛЛЫ - ПРОСТЫЕ ВЕЩЕСТВА)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА -МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - ИЗУЧАЕТ ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗИ И ИЗУЧАЕТ ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗИ И ОТНОШЕНИЯ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ ОТНОШЕНИЯ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ ЛОГИЧЕСКОГО (ДЕДУКТИВНОГО) ЛОГИЧЕСКОГО (ДЕДУКТИВНОГО) ВЫВОДА.ВЫВОДА.

ЛОГИКА (ФОРМАЛЬНАЯ)ЛОГИКА (ФОРМАЛЬНАЯ) - НАУКА О - НАУКА О ЗАКОНАХ И ФОРМАХ ЗАКОНАХ И ФОРМАХ ПРАВИЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ.ПРАВИЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ.

ВОПРОС №2ВОПРОС №2

ЭТАПЫ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ РАЗВИТИЯ

ЛОГИКИЛОГИКИ

АРИСТОТЕЛЬ (384-322 гг. до н.э.) - АРИСТОТЕЛЬ (384-322 гг. до н.э.) - ОСНОВОПОЛОЖНИК ЛОГИКИОСНОВОПОЛОЖНИК ЛОГИКИ

КНИГИ:

• «КАТЕГОРИИ»

• «ПЕРВАЯ АНАЛИТИКА»

• «ВТОРАЯ АНАЛИТИКА»

(ИССЛЕДОВАЛ РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ РАССУЖДЕНИЙ , ВВЕЛ ПОНЯТИЕ СИЛЛОГИЗМА)

СИЛЛОГИЗМ - РАССУЖДЕНИЕ, В КОТОРОМ ИЗ ЗАДАННЫХ ДВУХ СУЖДЕНИЙ ВЫВОДИТСЯ ТРЕТЬЕ.

1. ВСЕ МЛЕКОПИТАЮЩИЕ ИМЕЮТ 1. ВСЕ МЛЕКОПИТАЮЩИЕ ИМЕЮТ СКЕЛЕТ. ВСЕ КИТЫ - СКЕЛЕТ. ВСЕ КИТЫ - МЛЕКОПИТАЮЩИЕ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, МЛЕКОПИТАЮЩИЕ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ВСЕ КИТЫ ИМЕЮТ СКЕЛЕТ.ВСЕ КИТЫ ИМЕЮТ СКЕЛЕТ.

2. ВСЕ КВАДРАТЫ - РОМБЫ. ВСЕ РОМБЫ - 2. ВСЕ КВАДРАТЫ - РОМБЫ. ВСЕ РОМБЫ - ПАРАЛЛЕЛЕГРАММЫ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПАРАЛЛЕЛЕГРАММЫ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ВСЕ КВАДРАТЫ - ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ.ВСЕ КВАДРАТЫ - ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ.

АРИСТОТЕЛЬ ВЫДЕЛИЛ ВСЕ ПРАВИЛЬНЫЕ АРИСТОТЕЛЬ ВЫДЕЛИЛ ВСЕ ПРАВИЛЬНЫЕ

ФОРМЫ СИЛЛОГИЗМОВ, КОТОРЫЕ МОЖНО ФОРМЫ СИЛЛОГИЗМОВ, КОТОРЫЕ МОЖНО

СОСТАВИТЬ ИЗ РАССУЖДЕНИЙ ВИДА:СОСТАВИТЬ ИЗ РАССУЖДЕНИЙ ВИДА:

- «Все А суть В»«Все А суть В»

- - «Некоторые А суть В»«Некоторые А суть В»

- - «Все А не суть В»«Все А не суть В»

- - «Некоторые А не суть В»«Некоторые А не суть В»

Логика, основанная на теории

силлогизмов называется классической.

Декарт Рене (1596-1650, фр. Декарт Рене (1596-1650, фр. философ, математик)философ, математик)

РЕКОМЕНДОВАЛ В РЕКОМЕНДОВАЛ В ЛОГИКЕ ЛОГИКЕ

ИСПОЛЬЗОВАТЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ.МЕТОДЫ.

Лейбниц Г.В. (1646-1716, нем. Лейбниц Г.В. (1646-1716, нем. ученый и математик) -ученый и математик) -

Предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления.

Логика обретает символьный язык, конкретность законов, распространяется за рамки гуманитарных наук.

Джордж Буль (1815-1864, анл.) - Джордж Буль (1815-1864, анл.) - основоположник мат. логики.основоположник мат. логики.

1847 г. –Джордж Буль в работе «Математический анализ логики» изложил основы булевой алгебры.

РАЗРАБОТАЛ АЛФАВИТ, ОРФОГРАФИЮ И ГРАММАТИКУ.

1815 – 1864 гг. благодаря трудам математика Дж. Буля появился раздел математической логики, получивший название алгебры логики или булевой алгебры.

ВКЛАД В СТАНОВЛЕНИЕ И ВКЛАД В СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ МАТ. ЛОГИКИ:РАЗВИТИЕ МАТ. ЛОГИКИ:

АУГУСТУС ДЕ МОРГАН АУГУСТУС ДЕ МОРГАН (1806 - 1871)(1806 - 1871)

ВКЛАД В СТАНОВЛЕНИЕ И ВКЛАД В СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ МАТ. ЛОГИКИ:РАЗВИТИЕ МАТ. ЛОГИКИ:

•УИЛЬЯМ СТЕНЛИ ДЖЕВОНС УИЛЬЯМ СТЕНЛИ ДЖЕВОНС (1835 - 1882)(1835 - 1882)

• ПЛАТОН СЕРГЕЕВИЧ ПЛАТОН СЕРГЕЕВИЧ ПОРЕЦКИЙ (1846-1907)ПОРЕЦКИЙ (1846-1907)

• ЧАРЛЗ САНДЕРС ПИРС (1839-ЧАРЛЗ САНДЕРС ПИРС (1839-1914)1914)

ВОПРОС №3ВОПРОС №3

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ЛОГИКИЛОГИКИ

1)1) Логика оказала влияние на развитие математики, Логика оказала влияние на развитие математики, прежде всего теории множеств, функциональных прежде всего теории множеств, функциональных систем, алгоритмов, рекурсивных функций.систем, алгоритмов, рекурсивных функций.

2) В гуманитарных науках 2) В гуманитарных науках (логика, (логика, криминалистика).криминалистика).

3) Математическая логика является 3) Математическая логика является средством для изучения средством для изучения деятельности мозга - для решения деятельности мозга - для решения этой самой важной проблемы этой самой важной проблемы биологии и науки вообще.биологии и науки вообще.

1938 г. – американский математик и инженер Клод Шеннон связал Булеву алгебру (аппарат математической логики), двоичную систему кодирования и релейно-контактные переключательные схемы, заложив основы будущих ЭВМ.

4) Идеи и аппарат логики используется в 4) Идеи и аппарат логики используется в кибернетике, ВТ и электротехнике (построены кибернетике, ВТ и электротехнике (построены компьютеры на основе законов математическойкомпьютеры на основе законов математической

логики).логики).

5) Идеи и аппарат логики используется в 5) Идеи и аппарат логики используется в программировании, базах данных и экспертных программировании, базах данных и экспертных системах.системах.

PROLOG – PROLOG – язык логического программированияязык логического программирования

ВОПРОС №4ВОПРОС №4

Алгебра Алгебра высказываний высказываний

Простые и Простые и сложные сложные высказываниявысказывания

АЛГЕБРА ЛОГИКИ АЛГЕБРА ЛОГИКИ (ВЫСКАЗЫВАНИЙ) -(ВЫСКАЗЫВАНИЙ) -

РАЗДЕЛ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РАЗДЕЛ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ, ИЗУЧАЮЩИЙ ЛОГИКИ, ИЗУЧАЮЩИЙ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.НИМИ.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ - ЭТО - ЭТО ПОВЕСТВОВАТЕЛЬНОЕ ПОВЕСТВОВАТЕЛЬНОЕ

ПРЕДЛОЖЕНИЕ, О КОТОРОМ ПРЕДЛОЖЕНИЕ, О КОТОРОМ МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО ОНО МОЖНО СКАЗАТЬ, ЧТО ОНО

ИСТИННО ИЛИ ЛОЖНО. ИСТИННО ИЛИ ЛОЖНО.

1) Земля - планета Солнечной системы. 1) Земля - планета Солнечной системы. 2) 2+8<5 2) 2+8<5 3) 5 •5=25 3) 5 •5=25 4) Всякий квадрат есть параллелограмм4) Всякий квадрат есть параллелограмм5) Каждый параллелограмм есть квадрат 5) Каждый параллелограмм есть квадрат 6) 2•2 =56) 2•2 =5

ВЫСКАЗЫВАНИЕМ ВЫСКАЗЫВАНИЕМ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ:НЕ ЯВЛЯЕТСЯ:

1) ВОСКЛИЦАТЕЛЬНЫЕ И 1) ВОСКЛИЦАТЕЛЬНЫЕ И ВОПРОСИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ. ВОПРОСИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

2) ОПРЕДЕЛЕНИЯ.2) ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

3) ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТИПА: 3) ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТИПА: • «ОН СЕРОГЛАЗ» «ОН СЕРОГЛАЗ» • ««XX22-4X+3=0-4X+3=0»»

ВЫСКАЗЫВАНИЕ, КОТОРОЕ МОЖНО ВЫСКАЗЫВАНИЕ, КОТОРОЕ МОЖНО РАЗЛОЖИТЬ НА ЧАСТИ, БУДЕМ РАЗЛОЖИТЬ НА ЧАСТИ, БУДЕМ

НАЗЫВАТЬ СЛОЖНЫМ, А НАЗЫВАТЬ СЛОЖНЫМ, А НЕРАЗЛОЖИМОЕ ДАЛЕЕ НЕРАЗЛОЖИМОЕ ДАЛЕЕ

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - ПРОСТЫМ.ВЫСКАЗЫВАНИЕ - ПРОСТЫМ. 1) На улице идет дождь. (А) 1) На улице идет дождь. (А) 2) На улице идет дождь. (В)2) На улице идет дождь. (В)3) На улице светит солнце и на улице идет 3) На улице светит солнце и на улице идет дождь. (А и В) дождь. (А и В) 4) На улице светит солнце или на улице идет 4) На улице светит солнце или на улице идет дождь. (А или В)дождь. (А или В)А≡1; В≡0

ВОПРОС №5ВОПРОС №5

ОСНОВНЫЕ ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ АЛГЕБРЫ

ВЫСКАЗЫВАНИЙВЫСКАЗЫВАНИЙ

ИНВЕРСИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ) ИНВЕРСИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ) - - ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЧАСТИЦЫ «НЕ» К ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЧАСТИЦЫ «НЕ» К СКАЗУЕМОМУ ДАННОГО ПРОСТОГО СКАЗУЕМОМУ ДАННОГО ПРОСТОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ ИЛИ ПРИСОЕДИНЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ ИЛИ ПРИСОЕДИНЕНИЕ СЛОВ «НЕВЕРНО ЧТО. . .» КО ВСЕМУ СЛОВ «НЕВЕРНО ЧТО. . .» КО ВСЕМУ ВЫСКАЗЫВАНИЮ. ВЫСКАЗЫВАНИЮ.

AИНВЕРСИЯ ЛОГИЧЕСКОЙ ИНВЕРСИЯ ЛОГИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИСТИННА, ПЕРЕМЕННОЙ ИСТИННА, ЕСЛИ САМА ПЕРЕМЕННАЯ ЕСЛИ САМА ПЕРЕМЕННАЯ ЛОЖНА, И, НАОБОРОТ, ЛОЖНА, И, НАОБОРОТ, ИНВЕРСИЯ ЛОЖНА, ЕСЛИ ИНВЕРСИЯ ЛОЖНА, ЕСЛИ ПЕРЕМЕННАЯ ИСТИННА.ПЕРЕМЕННАЯ ИСТИННА.

ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ)СЛОЖЕНИЕ) - -

СОЕДИНЕНИЕ ДВУХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ А И СОЕДИНЕНИЕ ДВУХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ А И В В В ОДНО С ПОМОЩЬЮ СОЮЗА «ИЛИ», В ОДНО С ПОМОЩЬЮ СОЮЗА «ИЛИ»,

УПОТРЕБЛЯЕМОГО В НЕИСКЛЮЧАЮЩЕМ УПОТРЕБЛЯЕМОГО В НЕИСКЛЮЧАЮЩЕМ ВИДЕ. ВИДЕ.

ДИЗЪЮНКЦИЯ ДВУХ ДИЗЪЮНКЦИЯ ДВУХ ЛОГИЧЕСКИХ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ЛОЖНА ТОГДА И ТОЛЬКО ЛОЖНА ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОБА ТОГДА, КОГДА ОБА ВЫСКАЗЫВАНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЯ ЛОЖНЫ.ЛОЖНЫ.

КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ) -УМНОЖЕНИЕ) -

СОЕДИНЕНИЕ ДВУХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ А СОЕДИНЕНИЕ ДВУХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ А И В И В

В ОДНО С ПОМОЩЬЮ СОЮЗА «И». В ОДНО С ПОМОЩЬЮ СОЮЗА «И».

КОНЪЮНКЦИЯ ДВУХ КОНЪЮНКЦИЯ ДВУХ ЛОГИЧЕСКИХ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ИСТИННА ТОГДА И ИСТИННА ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОБА КОГДА ОБА ВЫСКАЗЫВАНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЯ ИСТИННЫ.ИСТИННЫ.

ИМПЛИКАЦИЯ -ИМПЛИКАЦИЯ -ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ,

СООТВЕТСТВУЮЩАЯ СОЮЗУ СООТВЕТСТВУЮЩАЯ СОЮЗУ

«ЕСЛИ . . . , ТО . . .» «ЕСЛИ . . . , ТО . . .»

ИМПЛИКАЦИЯ ИМПЛИКАЦИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ЛОЖНА ЛИШЬ В ЛОЖНА ЛИШЬ В СЛУЧАЕ, КОГДА А СЛУЧАЕ, КОГДА А ИСТИННО, А В ЛОЖНО.ИСТИННО, А В ЛОЖНО.

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ -ЭКВИВАЛЕНЦИЯ -

ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ СОЮЗУ «ТОГДА И СООТВЕТСТВУЮЩАЯ СОЮЗУ «ТОГДА И

ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА …» ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА …»

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ ДВУХ ЭКВИВАЛЕНЦИЯ ДВУХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ИСТИННА ВЫСКАЗЫВАНИЙ ИСТИННА В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ОБА ЭТИ СЛУЧАЕ, КОГДА ОБА ЭТИ ВЫСКАЗЫВАНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЯ ИСТИННЫ ИЛИ ЛОЖНЫ.ИСТИННЫ ИЛИ ЛОЖНЫ.

ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ:ОПЕРАЦИЙ:

ИНВЕРСИЯ;ИНВЕРСИЯ; КОНЪЮНКЦИЯ;КОНЪЮНКЦИЯ; ДИЗЪЮНКЦИЯ;ДИЗЪЮНКЦИЯ; ИМПЛИКАЦИЯ И ИМПЛИКАЦИЯ И

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ.ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ.

С помощью логических переменных и символов С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание логических операций любое высказывание

можно формализовать, т.е. заменить можно формализовать, т.е. заменить логической формулой.логической формулой.

1.1. Всякая логическая переменная и Всякая логическая переменная и символы «истина» («1») и «ложь» символы «истина» («1») и «ложь» («0»)- формулы.(«0»)- формулы.

2.2. Если А и В – формулы, то «не А», «А и Если А и В – формулы, то «не А», «А и В», «А или В», «если А, то В», «тогда и В», «А или В», «если А, то В», «тогда и только тогда А, когда В» - формулы.только тогда А, когда В» - формулы.

3.3. Никаких других формул в алгебре Никаких других формул в алгебре логики нет.логики нет.

Простые высказывания будем Простые высказывания будем называть называть логическими логическими переменнымипеременными , а сложные , а сложные логическими функциями.логическими функциями.