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1
--
(invariant )
(Cartesian coordinate)
(spherical coordinate)
(cylindrical coordinate)
,
(x,y,z) ( , , )r θ ϕ( , , )r zϕ
.
P
x
y
z DEDODAuniversity.arabsbook.com
-1-
2
P(Cartesian)(x,y,z) ,
(spherical coordinate)( , , )r θ ϕ
-2-θϕ
displacement) (.
( , , )r zϕϕ
3
-3-
.
(component)(Coordinate):-
5 3 4A i j k= + −r
( , , )i j k(unit vector)
:-
. 1 j . j 1 k .k 1
0 j j 0 k k 0
. j 0 .k 0 j . k 0
j k j k = k j
i i
i i
i i
i i i
= = =
× = × = × =
= = =
× = × × =
4
(unit vectors) (Cartesian coordinate)
(in general ):1 2 3( , , )a a a
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3 2 3 1 3 2 1
. 1 . 1 . 10 0 0
. 0 . 0 . 0 =
a a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a a a a a
= = =
× = × = × =
= = =× = × × =
(orthogonal unit curvilinear).
(Orthogonal curvilinear coordinate)
(Cartesian coordinate).
:-
i +y j +z k ...........1-ax=r
l
i +dy j +dz k ...........(1-b)d dx=r
l
( )dr
l(distance)2 2 2 2 (2)d dx dy dz= + +l
5
xyz
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
( , , ) (4-a) y= ( , , ) (4-b)z= ( , , ) (4-c)
x F q q qF q q q
F q q q
=
x1 2 3( , , )q q q
y1 2 3( , , )q q q
z1 2 3( , , )q q q
qs(certain value)
(1-a)(1-b)(2)xyz:-
1 2 31 2 3
1 2 31 2 3
1 2 31 2 3
(5-a)
dy = (5-b)
dz = (5-c)
x x xdx dq dq dqq q qy y ydq dq dqq q qz z zdq dq dqq q q
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
+ +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
+ +∂ ∂ ∂
:-
3
1
3
1
3
1
( 6 - a )
( 6 - b )
( 6 - c )
ii i
ii i
ii i
xd x d qqyd y d qqzd z d q
q
=
=
=
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∑
∑
∑
6
32
1
32
1
32
1
dq (7-a)
dq (7-b)
dq (7-c)
i ji i j
i ji i j
i ji i j
x xdx dqq q
y ydy dqq q
z zdz dqq q
=
=
=
∂ ∂=
∂ ∂
∂ ∂=
∂ ∂
∂ ∂=
∂ ∂
∑
∑
∑
(7-a)(7-b)(7-c)(2)(2):-
32
, 1 dq (8)i j
i j i j i j i j
x x y y z zd dqq q q q q q=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∑l
iji j i j i j
x x y y z z hq q q q q q
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )ijh(metric coefficients)(8):-
32
, 1 (9)ij i j
i jd h dq dq
=
= ∑l
Kronecker delta
7
2 ,i=jh 0 ,i j
ii iij ij ij
ij
h hh h δ
== = = ≠
(9)
32 2 2 (10)i i
id h dq=∑l
2 2 2 21 2 3d d d d= + +l l l l
(metric coefficients)2 2 2
2 (11)ii i i
x y zhq q q
∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂
(10)
1 1 1
2 2 2
3 3 3
(12-a) (12-b) (12-c)
d h dqd h dqd h dq
==
=
l
l
l
(Curvilinear coordinate)
1 1 1 2 2 2 3 3 3 a + a a (13)d hdq h dq hdq= +r
l
1 2 31 2 3
(14)d dq dq dqq q q
∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂
r l l ll
8
(13)(14)
11 1
22 2
33 3
1 ( 1 5 -a )
1 ( 1 5 -b )
1 = a ( 1 5 - c )
ah q
ah q
h q
∂= ∂
∂= ∂
∂ ∂
l
l
l
1 (16)ii i
ah q
∂= ∂
l
(metric coefficients)(11)
(spherical coordinate)
s in c o ss i n s i nc o s
( , , )r
x ry rz rq q q qθ ϕ
θ ϕθ ϕθ
====
(11)
9
2 2 22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(sin cos ) (sin sin ) (cos )
sin cos sin sin cos
sin (cos sin ) cos 1
h 1 (17)
r
r
r
r
r
x y zhr r r
hh
h
θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ ϕ θ
∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ = + +
= + +
= + + =
∴ =
2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
cos cos cos sin sin
(18)
x y zh
h r r r
h r h r
θ
θ
θ θ
θ θ θ
θ ϕ θ ϕ θ
∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ = + +
= →∴ =
2 2 22
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
sin sin sin cos
sin sin (19)
x y zh
h r r
h r h r
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕ
θ θ
∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ = +
= →∴ =
(cylindrical coordinate)c o ss i n
, ,r z
x ry rz zq q q qϕ
ϕϕ
====
(11)
10
2 2 22
2 2 2c o s s i n 1
h 1 ( 2 0 )
r
r
r
x y zhr r r
h ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ = + =
∴ =
2 2 22
2 2 2 2 2
2 2
sin cos
(21)
x y zh
h r r
h r h r
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ = +
= → ∴ =
2 2 22
2 1 1 (22)
z
z z
x y zhz z z
h h
∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂
= →∴ =
cylindricalsphericalCartesiancurvilinearrrx1q
ϕθy2qzϕz
3q1111hrr12h1sinr θ13h
0r0ri1aϕθj2a
kϕk3a
11
-1-
GradientDivergenceLaplacianCurl
(Orthogonal curvilinear coordinate)
.
Gradient
1 2 31 2 3
(23)a a aφ φ φφ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
r
l l l
∂ l(12)(23)
1 2 31 1 2 2 3 3
(24)a a ah q h q h q
φ φ φφ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
r
Divergence
12
(Gauss's or Divergence theorem)
. . (25)v
S
F da Fdτ= ∇∫ ∫r r rr
Ñ
. constantF∇ =r r
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1a
2a
3a
1 2 3( , , )q q q
Fr
-4-(25)
0
.. lim (26)
d
F daF
dτ τ→∇ =
∫∫∫
r rr r Ñ
4. + (27)R L T Bo F BaF da φ φ φ φ φ φ= + + + +∫
r r
Ñ
:-R: - right: -L: - left: -T:-top: -
13
Bo:-bottom: -F:-front: -Ba:- back: -
2 2 1 2 1 22 1 3 1 3
2 2 2
(28-b)2 2 2L
F dq h dq h dqF h h dq dqq q q
φ ∂ ∂ ∂
= − − − + ∂ ∂ ∂
(28-a)(28-b)
3 1 22 1 2 3 1 3 1 2 3
2 2 2
2 1 31 2 3
2
(28 )( )
R L
R L
h h FF h F h h h dq dq dqq q q
cF h h dq dq dq
q
φ φ
φ φ
∂ ∂ ∂+ = + + ∂ ∂ ∂ −
∂ + = ∂
( )
2 3 1
2 22 3 3 1 1
2
32 2 2 1 22 3 1 1 3
2 2 2
(28 )2
2 2 2
R R R R
R R R
R
F d d
F dqF h dq h dq aq
hF dq dq h dqF h h dq dqq q q
φ
φ
φ
= ∂ = + − ∂ ∂∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂
l l
14
2 1 21 2 3
3
1 2 31 2 3
1
( ) (28-d)
( ) (28-e)
T Bo
F Ba
F h h dq dq dqq
F h h dq dq dqq
φ φ
φ φ
∂+ = ∂
∂+ = ∂
(28-c)(28-d)(28-e)(27)
2 2 3 2 1 3 3 1 21 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ). da= (29)S
F h h F h h F h hF dq dq dqq q q
∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂
∫r r
Ñ
(29)(26). F∇r r
2 2 3 2 1 3 3 1 21 2 3
1 2 3
0
1 2 3 1 2 3
2 2 3 2 1 3 3 1 21 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3
( ) ( ) ( ) dq. F= lim
h h dq
( ) ( ) ( ) dq . F=
h h dq
(1. F=
d
F h h F h h F h h dq dqq q q
d
but d h dq dq
F h h F h h F h h dq dqq q q
h dq dq
Fhh h h
τ τ
τ
→
∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ ∇
∫
=
∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ ∴ ∇
∂∇
∫∫
r r
r r
r r2 3 2 1 3 3 1 2
1 2 3
) ( ) ( ) (30)h F h h F h hq q q
∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂
(30)Divergence(Orthogonal curvilinear coordinate)
Divergence.
LaplacianThe Laplacian in orthogonal curvilinear coordinate)(
15
2. φ φ∇ ∇ =∇r r r
(24)
2 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 (31)h h hh hhhh h q h q q h q q h q
φ φ φφ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r
Laplacian
The curl in orthogonal curvilinear coordinate
" Stoke's Theorem"
. da= . dr (32)F F∇×∫ ∫r r rr r
Ñ
constantF∇× =r r
1q
2q
3q
2 2h dq
3 3bh dq3 3h dq
2 2ch dq
a
db
c
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16
-5-3q2q
curl
1q2q
1q3qcurl5(32).
10
. dr( ) lim (33)
da
FF
da→∇× =
∫∫∫
r rr r Ñ
2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3
3 32 2 2 3 2 3 2 3
2 2
2 22 3 2 3 2 3 3 3
3 3
3 3 2 2
2 3
. dr=F
. dr=F dq
- dq
( ) ( ). dr =
b b c cF h dq F h dq F h dq F h dq
F hF h dq F dq h dqq q
F hF dq F dq F h dqq q
F h F hFq q
+ − −
∂ ∂+ + + ∂ ∂
∂ ∂+ + − ∂ ∂
∂ ∂→∴ −
∂ ∂
∫
∫
r r
r r
r r
Ñ
Ñ
2 3 dq (34)dq
∫Ñ
2 3 2 3da h h dq dq=∫ (34)(33)
3 3 2 21
2 3 2 3
( ) ( )1( ) (35-a)Fh FhFhh q q
∂ ∂∇× = − ∂ ∂
r r
1q3q
17
2( )F∇ ×r r
1q2q3( )F∇ ×
r r
3 31 12
1 3 3 1
2 2 1 13
1 2 1 2
( )( )1( ) (35-b)
( ) ( )1( ) (35-c)
FhFhFhh q q
Fh FhFhh q q
∂∂∇× = − ∂ ∂
∂ ∂∇× = − ∂ ∂
r r
r r
(35)
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
a a1 (36)
h h
a h h h
Fh h h q q q
h F F F
∂ ∂ ∂∇× =
∂ ∂ ∂
r r
18
θϕdisplacement) ( ,
x
y
z
ϕ
dϕ
sinr θ
sinr dθ ϕ
rθ
dθ
rdθdr
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-6-
θϕ
121
19
d θld ϕl
121
sind h dq d rdd h dq d r d
θ θ θ θ
ϕ ϕ ϕ ϕ
θ
θ ϕ
= → =
= → =
l l
l l
GradientDivergenceLaplacianCurl
1(24)(30)(31)(36)
(24)
1 2 31 1 2 2 3 3
a a ah q h q h q
φ φ φφ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
r
1Gradient
( Cartesian coordinate)Gradient
(37)i j kx y zφ φ φ
φ∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
r
0 (38)sin
rr r rφ φ φ
φ θ ϕθ θ ϕ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
r
20
0 (39)r kr r zφ φ φ
φ ϕϕ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
r
Divergence
1 2 3 2 1 3 3 1 2
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )1 . F= Fh h F h h F h hh h h q q q
∂ ∂ ∂∇ + + ∂ ∂ ∂
r r
. F= (40)yx zFF Fx y z
∂ ∂ ∂∇ + + ∂ ∂ ∂
r r
2
2
2
2
( )( sin )( sin )1 . F=sin
( )(sin )( )1 1 1. F= (41)sin sin
r
r
F rF rF rr r
FFr Fr r r r
ϕθ
ϕθ
θθθ θ ϕ
θθ θ θ ϕ
∂ ∂∂∇ + + ∂ ∂ ∂
∂∂∂→ ∇ + +
∂ ∂ ∂
r r
r r
( )( ) ( )1 . F=
( )( ) ( )1 1. F= (42)
r z
r z
FF r F rr r z
FrF Fr r r z
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∂ ∂ ∂∇ + + ∂ ∂ ∂
∂∂ ∂→ ∇ + +
∂ ∂ ∂
r r
r r
Laplacian
2 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 h h hh hhhh h q h q q h q q h q
φ φ φφ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r
21
2 2 22
2 2 2 (43)x y zφ φ φ
φ ∂ ∂ ∂
∇ = + + ∂ ∂ ∂
r
2 22
1 1sin sin (44)sin sin
rr r r
φ φ φφ θ θ
θ θ θ ϕ θ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r
2 1 1 (45)r rr r r r z z
φ φ φφ
ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r
Curl1.
.
