Основи комбінаторики, Основи комбінаторики, ймовірністі та статистикиймовірністі та статистики

Існують задачі, в яких треба визначити, Існують задачі, в яких треба визначити, скільки різних підмножин можна утворити з скільки різних підмножин можна утворити з елементів даної множини. Їх називають елементів даної множини. Їх називають комбінаторнимикомбінаторними задачами.задачами. А розділ А розділ математики про розв'язування математики про розв'язування комбінаторних задачкомбінаторних задач називають називають комбінаторикою.комбінаторикою.

КомбінаторикаКомбінаторика

Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір “ a або b “ можна здійснити m + n способами – правило суми .

Наприклад, якщо на столі лежать 8 яблук і 3 груші, то один із фруктів можна вибрати 8 + 3 = 11 способами .

Правило сумиПравило суми

Якщо елемент а можна вибрати b способами , а після цього елемент b можна вибрати n способами, то вибір “ a і b “ можна здійснити m · n способами – правило добутку. Наприклад, якщо на столі лежать 8 яблук і 3 груші, то вибрати пару фруктів - яблуко і грушу можна 8 · 3 = 24 способами.

Правило добуткуПравило добутку

Будь – яка впорядкована множина ( порядок елементів істотний ), яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів. Рn ─ число перестановок з n елементів. Рn = n ! , де n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·( n – 1) · n, ( 0! = 1).

ПерестановкиПерестановки

Розміщення. КомбінаціїРозміщення. Комбінації

Будь – яка впорядкована підмножина з п елементів даної множини, яка містить т елементів ( п ≤ т ), називається розміщенням з т елементів по п. Будь – яка підмножина з п елементів ( порядок елементів не істотний) даної множини, яка містить т елементів, називається комбінацією з телементів по п.

  

 

Основи теорії   ймовірностей

Одним із найважливіших розділів сучасної математики є теорія ймовірностей. Основне її поняття – ймовірність ( або імовірність ) події. Подіями в теорії ймовірностей називають результати (наслідки) випробувань чи спостережень.

П о д і їП о д і ї Подію називають неможливою, якщо вона ніколи не може відбутись, достовірною або імовірною – якщо завжди відбувається.Якщо подія може відбутися або не відбутися, її називають випадковою.Рівноможливі події – події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.  Подія Ā називається протилежною події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А. Р ( Ā ) = 1 – Р ( А ).

Класичне означення Класичне означення ймовірності ймовірності

Ймовірність випадкової події А називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх рівноможливих подій, які утворюють певну групу подій під час певного випробування. Р (А) = , де Р (А) – ймовірність події А, 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

т – кількість подій, що сприяють події А: п - кількість усіх рівноможливих подій, які утворюють певну групу подій під час певного випробування.

n

m

Ймовірність суми двохЙмовірність суми двох несумісних подій несумісних подій

Сумою подій А і В називається подія А + В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А або В. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій : Р( А + В) = Р(А) + Р(В).

Ймовірність добуткуЙмовірність добутку двох подій двох подій

Добутком подій А і В називається подія А · В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А і В. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої події, яка обчислюється за умови, що перша подія вже відбулася: Р ( А · В ) = Р ( А ) · РА ( В ),де Р(В) – ймовірність події В за умови, що відбулася подія А.

Незалежні події. Незалежні події. Ймовірність появи хоча б однієї Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подійз незалежних подій

Подія В називається незалежною від події А, якщо поява А не змінює ймовірності події В. Тоді РА(В) = Р(В) і Р(АВ) = Р(А) · Р(В).  Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій А1, А2, ..., Апможна обчислити за формулою:Р( А1 + А2 + ... + Ап ) = 1 – ( 1 – Р(А1)) · ( 1 – Р(А2)) · ... · ( 1 – Р(Ап)).

Формула БернуліФормула Бернулі

Нехай проводять п незалежних експериментів, у кожному з якихподія А може відбутися, а може й не відбутися. Ймовірність того, що подія А відбудеться, у кожному з експериментів однакова і дорівнює р,а ймовірність того, що подія А не відбудеться, дорівнює q = 1 – p.Тоді ймовірність того, що в п незалежних експериментах подія А відбудеться точно т разів обчислюється за формулою Бернулі :

Перші відомості Перші відомості про статистику про статистику

Статистика – це наука, яка займається збиранням, обробкою і вивченням різних даних, пов'язаних з масовими явищами, процесами та подіями. Предметом вивчення статистики є вивчення кількісної сторони явищ. Статистика вчить, як проаналізувати інформацію, виявити та оцінити закономірності формування, розвитку та взаємодії складових за своєю природою соціально-економічних явищ.

Математична статистикаМатематична статистикаМатематична статистика – це розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків ЇЇ основне завдання – розробляти ефективні методи вивчення великих сукупностей об єктів на основі порівняно невеликих вибірок. Її широко застосовіють соціально-економічні дисципліни та інші галузі, а саме: астрономія ( розподіл і рух зірок у небесному просторі), фізика ( термодинаміка), біологія ( закони спадковості), гідрологія ( прогноз погоди), індустрія ( контроль якості виробів) тощо.

Статистичне Статистичне спостереженняспостереження Першим етапом будь-якого дослідження Першим етапом будь-якого дослідження є збирання інформації, а саме, статистичне є збирання інформації, а саме, статистичне спостереження.спостереження. Статистичне спостереженняСтатистичне спостереження – – це це спланований, науково організований збір спланований, науково організований збір масових даних про соціально-економічні масових даних про соціально-економічні явища та процеси.явища та процеси. Приклади статистичних спостережень: Приклади статистичних спостережень: перепис населення; реєстрація шлюбів у перепис населення; реєстрація шлюбів у загсах; телефонне опитування та інші.загсах; телефонне опитування та інші.

ВибіркаВибіркаСтатистичні відомості про якусь велику сукупність об'єктів (генеральну сукупність) одержують здебільшого в результаті аналізу тільки незначної її частини – вибірки.

Кожний елемент вибірки називають її варіантою. Вибірка, одержана в результаті спостережень, буває невпорядкованою. Упорядкувавши її, дістають варіаційний ряд. Різниця між крайніми членами варіаційногоряду – розмах вибірки.

Мода. Медіана.Мода. Медіана. Середнє значення. Середнє значення.Мода вибірки – її варіанта з найбільшою частотою ( найчастіше трапляється в даному ряді розподілу). Медіаною вибірки – число, яке “поділяє” відповідний варіаційний ряд навпіл: якщо кількість чисел ряду непарна, то медіана – це число розміщене посере-дині; якщо ж кількість чисел ряду парна, то медіана – це середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині. Середнім значенням вибірки називають середнє арифметичне усіх її варіант.

ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗУВАННЯРОЗВ'ЯЗУВАННЯ - І варіант- І варіант1.1. Скількома способами можна вишукувати в Скількома способами можна вишукувати в колону по одному шість учнів ?колону по одному шість учнів ?2.2. Скільки можна написати трицифрових чисел з Скільки можна написати трицифрових чисел з різними цифрами, не використовуючи цифри 0 ?різними цифрами, не використовуючи цифри 0 ?3.3. Виготовлено 10 виробів. Для вибіркового Виготовлено 10 виробів. Для вибіркового контролю треба взяти 2 з цих десяти виробів. контролю треба взяти 2 з цих десяти виробів. Скількома способами можна це зробити ?Скількома способами можна це зробити ?4.4. В урні лежать десять однакових за розміром В урні лежать десять однакових за розміром кульок: сім білих і три чорних. Кульки кульок: сім білих і три чорних. Кульки перемішані. Знайти ймовірність того, що перемішані. Знайти ймовірність того, що навмання вийнята кулька біла.навмання вийнята кулька біла.

ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО

РОЗВ'ЯЗУВАННЯРОЗВ'ЯЗУВАННЯ - - ІІ варіантІІ варіант1.1. Скільки чотирицифрових чисел можна Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 0 , 1, 2, 3 так, щоб жодна з утворити з цифр 0 , 1, 2, 3 так, щоб жодна з них в числі не повторювалась?них в числі не повторювалась?2.2. Скількома способами можна обрати Скількома способами можна обрати президію з трьох учнів на класних зборах, де президію з трьох учнів на класних зборах, де присутні 20 учнів ?присутні 20 учнів ?3.3. Знайти ймовірність того, що прикиданні Знайти ймовірність того, що прикиданні грального кубика випаде парне число ?грального кубика випаде парне число ?4.4. Стрілець зробив 10 пострілів. Імовірність Стрілець зробив 10 пострілів. Імовірність влучення при кожному пострілі влучення при кожному пострілі р р = 0,7. Яка = 0,7. Яка ймовірність того, що він влучив 8 раз ?ймовірність того, що він влучив 8 раз ?

ВІДПОВІДІ до вправ дляВІДПОВІДІ до вправ длясамостійногосамостійного РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ . .

І – варіантІ – варіант 1) 1) 720 720 2) 2) 504 504 3) 3) 45 45 4) 4) 0,70,7

ІІ – варіантІІ – варіант 1) 1) 18 18 2) 2) 1140 1140 3) 3) 0,50,5 4) 4) 0,230,23

Тренувальний тестТренувальний тест Завдання з вибором однієї правильної відповіді 1. Якщо з цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7,8 скласти трицифрові

числа так, що цифри в числі не повторюються, то таких чисел буде:

А 21 Б 7 В 210 Г 343 Д 147

  2. З 10 книжок, які стоять на полиці, вибирають три. Скількома способами їх можна вибрати.

А 210 Б 30 В 13 Г 7 Д 120

  

3.3.     Скількома способами з 10 кандидатів можна      Скількома способами з 10 кандидатів можна вибративибрати 3 –х членів журі3 –х членів журі олімпіади з математики ?олімпіади з математики ? А А 120 120 Б Б 3030 В В 60 60 Г Г 33 ДД 720 720  44.     Неможливою є подія:.     Неможливою є подія: А А – – при одному пострілі по мішені вибили 7 очок;при одному пострілі по мішені вибили 7 очок; ББ – – при підкиданні монети випав герб;при підкиданні монети випав герб; ВВ – – при вийманні однієї карти з колоди вийняли при вийманні однієї карти з колоди вийняли десятку; десятку; ГГ – – при підкиданні двох гральних кубиків випало 13 при підкиданні двох гральних кубиків випало 13 очок; очок; ДД – – при купівлі лотерейного білета купили при купівлі лотерейного білета купили виграшний білет. виграшний білет.

Завдання на встановлення Завдання на встановлення відповідностівідповідності

Установіть відповіднсть між завданнями та відповідями, що їм відповідають:

5. В сім’ї п’ять дітей. Ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей:а) два хлопчика; А) 0,48б) не більше двох хлопчиків; Б) 0,62в) більше двох хлопчиків; В) 0,36г) не менше двох і не більше Г) 0,31 трьох хлопчиків; Д) 0,52

Завдання відкритої формиЗавдання відкритої формиз короткою відповіддюз короткою відповіддю

6. Дано вибірка деякої випадкової величини Х: 1; 2; 8; 4; 2; 3; 5; 4; 2; 3. Знайти середнє значення, моду й медіану, у відповідь записати суму цих величин. Відповідь: _______7. Скількома способами можна вибрати

3 олівці та 2 ручки із 5 різних олівців і 4 різних ручок?

Відповідь: _______

Оцінювання завдань різнихОцінювання завдань різнихформ тесту з математикиформ тесту з математики

Завдання кожної форми оцінюються за відповідною системою.

1. Завдання з вибором однієї правильної відповіді : 0 або 1тестовий бал .2. Завдання на встановлення відповідності (логічні пари) : 0, 1, 2, 3, 4 тестових бали.3. Завдання з короткою відповіддю: 0 або 2 тестових бали .

В і д п о в і д і :В і д п о в і д і :

Завдання з вибором однієї правильної відповіді: 1) В ; 2) Д; 3) А; 4) Г.Завдання на встановлення відповідності: 5) а) - Г) 0,31; б) - А) 0,48; в) - Д) 0,52; г) - Б) 0,62.Завдання з короткою відповіді: 6) 8,4; 7) 60.

Література:Література:

1. Є.П.Нелін, О.Є.Долглва. Алгебра і початки аналізу. 11 клас, 2006. 2. М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. Алгебра і початки аналізу. 11 клас, 2006.3. Г.П.Бевз. Алгебра і початки аналізу. 10-11кл.2006.4. О.М.Роганін, О.І.Каплун. Математика за всією шкільною програмою. Практичний довідник. 2008.5. М.І.Бурда, О.Я.Біляніна, О.П.Вашуленко, Н.С.Прокопенко. Збірник завдань для державної

підсумкової атестації з математики, 11 клас, 2009.