Embed Size (px)
Citation preview
Дослідити методом Дослідити методом диференціального числення функцію диференціального числення функцію .. ..
, і побудувати її графік, і побудувати її графік2x
5xxy
2
2x
Розвязання. Будемо діяти за загальною схемою дослідження функції і побудувати її графік.
1) Функція існує при будь-якому значенні (при x=2 знаменник дробу перетворюється в нуль ). Отже,
. 2;;2xD
2) Очевидно, що задана функція неперіодична.2) Очевидно, що задана функція неперіодична.Перевіримо її на парність . Для цього знайдемо:Перевіримо її на парність . Для цього знайдемо:
.
2x
5xx
2x
5xxxy
22
xyxy Легко бачити, що і
Отже, задана функція не володіє властивостями парності. В точці x =2 функція має розрив, при всіх інших значення аргументу вона неперервна.
.xyxy
3) Користуючись правильними знаходження границь, знайдемо границі функції на нескінченності та односторонні границі функції в точці розриву x=2
x;
2x
5xx 2
;
2x
5xx 2
lim
lim lim
lim x
;
2x
5xx 2
02x 2x;
2x
5xx 2
З рівностей (2) випливає, що для даної функції x=2 є точкою розриву другого роду.
4) Границя функції на нескінченність не існує (рівності (1)), то графік даної функції горизонтальних асимптот не має. Оскільки lim y = (рівності (2)) , то x=2 - вертикальна асимптота графіка даної
функції
2x
xx
Похилі асимптоти будимо шукати у вигляді y = kx + b, де:
12xx
5xxlim
2xx
5xxlim
x
ylimk
2
22
x
2x
5xxlimxylimkxylimb
2
x x
x x
x
Отже, kx + b = 1 x + 3 = x + 3 і пряма y = x + 3 є похилою асимптотою графіка даної функції .
3.2x
53xlim
2х
2хх5ххlim
22
5) Користуючись правилами диференціювання і таблицею похідних, знайдемо похідну заданої функції. Матимемо:
2
222
2x
5xx2x2x5xx
2x
5xxy
.2x
34xx
2x
5xx12x12x2
2
2
2
Очевидно, що знайдена похідна існує на всій числовій прямій, крім точки x = 2, в якій знаменник дробу перетворюється в нуль.Але в точці х = 2 функція не визначена, то ця точка не є критичною точкою заданої функції.
Прирівняємо похідну до нуля і, розвязавши за теоремою Вієтта отримане рівняння , знайдемо критичні точки функції :
0,
2x
34xx2
2
3х .21х ,1
0,2x0,34xx 2
,
,
3xx4xx
21
21
Визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів, на які розбивають область визначення функції знайденні критичні точки : та
: y х
21 3
Звідси випливає:
,3;;1х yа) якщо то >0 і функція зростає;
1х ,1 3х2
,2;31;2х yб) якщо то < 0 і функція спадає;
yв) при переході через критичну точку похідна змінює свій знак з «+» на «-», то є точкою
максимуму заданої функції ;
yг) при переході через критичну точку похідна
змінює свій знак з «-» на «+», то є точкою мінімум у заданої функції;
д) задана функція не має інших критичних точок , то вона не має й інших точок екстремуму.
1х1
1х1
3х2
3х2
Таким чином ми встановили всі токи екстремумів заданої функції .Знайдемо екстремуми цієї функції :
а ) ─ локальний максимум
даної функції, який досягається в точці А(1;3);
31
3
21
5111уху
2
1
б) ─ локальний мінімум
даної функції, який досягається в точці В(3;7).
71
7
23
5333уху
2
2
6) Користуючись правилами диференціювання і таблицею похідних, знайдемо другу похідну заданої функції. Матимемо:
4
2222
2
2
2x
34xx2x2x34xx
2x
34xxyy
.2x
2
2x
34xx22x42x
2x
34xx2x22x42x33
2
4
22
Знайдена похідна існує на всій числовій прямій, крім точки х = 2, в якій знаменник дробу перетворюється в нуль. Але в точці х = 2 функція не визначена, то ця точка не є критичною точкою другого порядку .
Очевидно, що при будь-якому значенні х .0у Таким чином ми встановили , що задана функція не має критичних точок другого порядку, а тому її графік не має точок перетину.Визначимо знак другої похідної заданої функції на її області визначення:
y х0Звідси випливає :
2
;2х у а) якщо , то < 0 і графік заданої функції опуклий ;
б) якщо , то > 0 і графік заданої функції вгнутий.
;2;х у
0х
2,5.2
5
20
5000у
2
7) Підставивши у функцію значення аргументу
, , знайдемо координати точки перетину графіка функції з віссю О у :
Отже, графік функції перетинає вісь О у в точці С(0;2,5).
Прирівнявши функцію до нуля і розвязавши отримане рівняння, знайдемо точки перетину графіка функції з віссю О х :
0,2х
5хх 2
0,2х0,5хх 2
21,51414acbD 2
21.0,50,52
211Db
2ax1,2
Отже, графік заданої функції перетинає вісь О х в двох точках :
21;0Е0,50,5D і .21;00,50,5Е
Складемо таблицю для більш точної побудови заданої функції
x y=x²+x-5/x-2 y=x+3 х y=x²+x-5/x-2 y=x+3 х y
-6 -3,13 -3 2 15,10 5,1 2 10
-6 -2,83 -2,7 2 8,63 5,3 2 10
-5 -2,54 -2,4 3 7,50 5,5 2 9
-5 -2,24 -2,1 3 7,13 5,7 2 9
-5 -1,95 -1,8 3 7,01 5,9 2 8
-5 -1,65 -1,5 3 7,01 6,1 2 8
-4 -1,36 -1,2 3 7,07 6,3 2 7
-4 -1,07 -0,9 4 7,17 6,5 2 7
-4 -0,78 -0,6 4 7,29 6,7 2 6
-3 -0,49 -0,3 4 7,43 6,9 2 6
-3 -0,20 0 4 7,58 7,1 2 5
-3 0,09 0,3 4 7,73 7,3 2 5
-2 0,37 0,6 5 7,90 7,5 2 4
-2 0,66 0,9 5 8,07 7,7 2 4
-2 0,94 1,2 5 8,24 7,9 2 3
-2 1,21 1,5 5 8,42 8,1 2 3
-1 1,49 1,8 5 8,60 8,3 2 2
-1 1,76 2,1 6 8,79 8,5 2 2
-1 2,02 2,4 6 8,97 8,7 2 1
-0 2,27 2,7 6 9,16 8,9 2 1
0 2,50 3 6 9,34 9,1 2 0
0 2,71 3,3 6 9,53 9,3 2 -1
1 2,89 3,6 6 9,72 9,5 2 -1
1 2,99 3,9 7 9,91 9,7 2 -2
1 2,95 4,2 7 10,10 9,9 2 -2
2 2,50 4,5 7 10,30 10,1 2 -3
2 -0,20 4,8 7 10,49 10,3 2 -3
8) Використовуючи результати дослідження будуємо графік функції.
Автор Савков Михайло Васильович
4-3-2-1-012345678910
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x
y
