49
Θεωρία-Μεθοδολογία Λυμένα Παραδείγματα Προτεινόμενες Ασκήσεις Μιγαδικοί Αριθμοί Τάξη Γ Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Το σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Πράξεις στο σύνολο Cτων Μιγαδικών Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού Κώστας Κουτσοβασίλης

Μιγαδικοί Αριθμοί- Βοήθημα

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Δωρεάν βοήθημα που κυκλοφορεί στο διαδικτυο

Citation preview

  • -

    C C

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 1 -

    1

    -

    C

    C IR , : , IR, (0) (1) ,

    i , i2=-1 z C iz , , IR.

    x2=-1 IR. IR C, IR, i i2=-1

    iz , , IR i2=-1 z )zRe( , z )zIm( . : 1. C i0 , i i0 .

    , = IR/i

    z=+i

    Re(z)= Im(z)=

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 2 -

    x

    y

    M(,) (z)

    2. C .

    z=+i ,IR.

    : z=+i, , IR z =0 Im(z)=0 O z =0 Re(z)=0

    z=+0i

    z=0+i

    .

    z1=+i z2=+i ,,, IR : = = Re(z1)=Re(z2) Im(z1)=Im(z2) : ii .

    : z=0 Re(z)=0 Im(z)=0

    z1>z2 z10 , -1=i2= ii >0 . i0 z0 Re(z)

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 3 -

    x

    y

    M(+,+)

    M1(,)

    M2(,)

    3(,)

    (,)

    2(,)

    1(,)

    x

    y

    C

    : IR,,,,iz,iz 21

    : i)()(iizz 21 :

    i)()()i(izz 21 :

    )i()-()i ()i(zz 21

    : ( 2

    1

    zz

    , 0z2

    +i )

    2222

    222

    1

    i)()(

    i)()()i)(i()i)(i(

    ii

    zz

    IR C.

    R,,, , iz , iz 21 .

    R,,, , iz , iz 21 .

    : ),(1 ),(2 +i +i i)()(ii ),(M .

    21

    : ),(1 ),(2 +i +i , i)()()i()i( ),(M .

    21

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 4 -

    z=+i z -i z ,

    iz .

    iz iz ,

    , :

    2zz

    i2zz : iz1 iz2 , :

    2121 zzzz (1)

    2121 zzzz

    2121 zzzz

    2

    1

    2

    1

    zz

    zz

    (1).

    i)()()i()i(zz 21

    21 zz)i()i(i)()(

    :

    z...zzz...zz 2121

    z...zzz...zz 2121

    zz

    ),(M ),(M iz iz .

    x

    )z(M

    M(z) y

    .

    Cz ,: z0=1 (z 0 ) z1=z z2= zz

    IR .

    : )(

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 5 -

    zzz 1 IN 2

    z 0

    z

    1z

    *IN

    i

    : i0=1 i4=(i2)2=1 i1=i i5=i4i=i2=i i2=-1 i6=i5i=ii=i2=-1 i3=i2i=-i i7=i6i=-1i=-i i8=i7i=-ii=-i2=1 .. i i4 i8, i12 ...

    i , i (>4) 4 =4+,

    : i=i4+=(i4)i=1i=i

    343i

    2421

    141i

    401

    i

    i (-i)=(-i)4+=(-i)4(-i)=(-i) :

    343i

    2421

    141i

    401

    )i(

    : i2010=(i2)1005= (-1)1005=-1 2010 4 2 502 2010= 25024 i2010=i=-1

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 6 -

    z2+z+=0, ,, IR ,

    0

    :z2+z+=0, ,, IR , :

    z2

    2zzz

    0zz0zz

    22

    22

    2

    2

    2

    22

    44z

    22z

    22

    22

    44

    42

    z

    (1) =2-4

    ) >0 (1) :

    2z 2,1

    ) =0 (1) :

    2

    z 2,1

    )

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 7 -

    (1) 22

    2i

    2z

    . :

    2i

    z 2,1 .

    : :

    21 zz

    21zz

    )y,x(M yixz . z M O ,

    22 yx|OM||z|

    x

    M(x,y)

    |z |

    y

    |z||z||z|

    zz|z| 2

    |z||z||zz| 2121 |z|....|z||z||z...zz| 2121 ,

    2

    |z||z|

    |z||z|

    zz

    2

    1

    2

    1

    |z||z||zz|||z||z|| 212121

    z C : |z||z||z|

    :

    yixz , x,y IR yixz yixz . E

    22 yx|z| (1)

    2222 yx)y(x|z| (2)

    1. z , : . z z=+i ,

    |z|= 22

    . z . 2. |f(z)|=|g(z)| (1) |(z)|, (z)=w, z (1) |w|.

    3.

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 8 -

    2222 yx)y()x(|z| (3)

    (1),(2),(3)

    |z||z||z|

    z C : zz|z| 2

    :

    yixz , x,y IR yixz

    222222 yxyx|z| (1)

    2222 yx)yi(x

    )yix)(yix(zz

    (2)

    (1) , (2) : zz|z| 2

    z1 ,z2 C : |z||z||zz| 2121

    :

    2

    22

    12

    21

    2121

    |z||z||zz|

    |z||z||zz|

    22112121 zzzz)zz)(zz(

    22112121 zzzzzzzz

    z z |z| , z=x+yi .

    4. z=w |z|=|w| .

    , ( ) .

    1,2

    z1, z2 : (12)=|z1-z2|

    :

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 9 -

    .

    1o :

    :

    12 |||| 12

    (12)=|z1-z2|

    2o :

    z1=x+yi, z2=+i, x,y,, IR M1(x,y) ,M2(,) .

    |z1-z2|=|(x+yi)-(+i)|=|(x-)+(y-)i|

    = )()y()x( 2122 .

    M3(z2)

    N(z1z2)

    M2(z2)

    M1(z1)

    x

    y

    |z-z0|=

    ,>0

    (z0)

    : z=x+yi z0=x0+y0i, x,y,x0,y0 IR |z-z0|= |(x+yi)-(x0+y0i)|= |(x-x0)+(y-y0)i|=

    202

    0 )yy()xx(

    (x-x0)2+(y-y0)

    2=2 (x0,y0)

    |z-z1|=|z-

    z2|(1)

    (z1) (z2)

    : ; ()=|z-z1| ()=|z-z2| |z-z1|=|z-z2| (1) ()=()

    M(z)

    B(z2)

    A(z1)

    x

    y

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 10 -

    y

    A

    y

    K

    B

    A

    y

    KB

    y

    d

    1

    2

    : , , z, z1,z2 ). min|z|=(M) =d(,) min|z-z1|=(N)=d(N,)

    ). (,) : min|z|=(OA)=|(OK)-| min|z-z1|=(NA)=|(KN)-| max|z|=(OB)=|(OK)+| max|z-z1|=()=|+| ). , 1,2 min|z1-z2|=d(1,2) ). , max|z1-z2|=2

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 11 -

    R

    ). , (,) min|z1-z2|=(AB)=|d(K,)-| ). , (,) (,R) ()>+R min|z1-z2|=(B)=()--R max|z1-z2|=()=()++R

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 12 -

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 13 -

    1

    : i)zIm()zRe(yixz , )zRe(2zz , i)zIm(2zz

    0)zIm(IRz , zzIRz , 22 z|z|IRz 0)zRe(Iz , zzIz , 22 z|z|Iz

    (Re(z)) (Im(z)) : . 2 2i 2Re(z) 2iIm(z) .

    __z-z2iIm(z) , zz)zRe(2

    . 1. , z w ,

    2.

    )wIm()zIm(

    )wRe()zRe(

    1=-i2

    z=+i z=+i=-i2+i=i(-i)

    zz2)zz(zz 222 zz2)zz(zz 222

    )zz(zz3)zz(zz 333 )zz(zz3)zz(zz 333

    0)z,z(f z z z=x+yi , x,y IR x,y .

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 14 -

    z 1 IR

    2

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 15 -

    zz|z| 2

    . z=x+yi , x,y IR . . zz|z| 2 . |f(z)|=|g(z)| (1)

    |(z)|, (z)=w, z (1) |w|.

    z=w |z|=|w| . , ( ) .

    |f(z)|,

    |z||z||zz|||z||z|| 212121 .

    , ,

    , ,, z1,z2,z3 : |z1-z2|=|z1-z3|=|z2-z3|.

    Cz,z 21

    )A(|zz| 21 .

    22 |i3z||i3z| =36 (1) , (0,-3) ,B(0,3) z , 0-3i , 0+3i ,

    |i3z|)MA( , ()=|z-3i| ()2=36 (1) : (MA)2+(MB)2 =(AB)2 =6 .

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 16 -

    -

    : . z=+1+(-2)i , : z M(+1,-2) , :

    3xy

    1x

    2y

    1x .. z

    : y=x-3 z=+1+(-2)i y=2x-1 M(+1,-2) y=2x-1 -2=2(+1)-1. : 2x+2x=1 w=f(z) w , z=x+yi w w=+i i. w : Im(w)=0 ii. o w :Re(w)=0 . |z-z1|>|z-z2| z1=+i ,

    z2=+i z

    M |z-z1|=|z-z2| .. z (,) , (,) . z |z-z1| z z1 |z-z1|=() . |z-z2|=() . |z-z1|>|z-z2| ()>() . . . ,

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 17 -

    : y=x+ . : y=x . xx : y=y0. yy :x=x0. : (x-x0)

    2+(y-y)2=2

    : x2+y2+x+y+=0 (1) (1) 2+2-4>0

    (1)

    2B

    ,2A

    K

    24BA 22

    )y,(x , )y,B(x , )y,x(A 332211 .

    1212 yy,xxAB

    ,, :

    0yyxxyyxx

    0yyxx

    yyxx0,ABdet

    12121312

    1312

    1212

    z=x+yi (x,y)

    : 2zzzz 21 , z1 , z2

    . :

    2|zz||zz| 21 z1,z2

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 18 -

    1: x,y IR , : (x+i)2+(y+i)2=0 :

    x=1 y=-1 x=-1 y=-1 : z1,z2 C 0z0z 21 : 0zz

    22

    21

    2: z : z=2Im(z)+(Re(z)-2)i : z=x+yi, x,y IR 2m(z)=x Re(z)-2=y 2y=x (1) x-2=y (2) (1) ,(2) 2y-2=y y=2 (2) x=4 : z=4+2i 3: z=x+yi, x,y *IR

    ) z1

    zw

    ) : )z1

    Re()zRe()z1

    zRe(

    : ).

    i)yx

    yy()

    yx

    xx(

    iyx

    y

    yx

    xyix

    yx

    yixyix

    yix1

    yixw

    2222

    222222

    Re(w)=22 yx

    xx

    (1)

    22 yx

    yy)wIm(

    (2)

    yx

    1x1x

    yx

    2x2

    yx

    2yx

    0)yx(2

    02yx

    0i)yx(22yx01yi2y1xi2x

    0iyi2yixi2x0)iy()ix(

    22222

    2222

    222222

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 19 -

    ). iyx

    y

    yx

    x

    yx

    yix)yix)(yix(

    yixyix

    1z1

    222222

    22 yx

    x)

    z1

    Re(

    (3)

    : )z1

    Re()zRe(yx

    xx)wRe()

    z1

    zRe()3(

    22

    )(

    4 :

    wz

    z

    wz

    zImi

    w-zz

    Re (1)

    : (1) 2 , :

    . , wz

    z2

    wz

    z2

    wzz

    2wz

    z

    wz

    z

    wz

    zwz

    z

    wzz

    2wz

    z

    wz

    zwz

    zwz

    zwz

    z2

    wz

    zImi2

    w-zz

    Re 2wz

    z

    wz

    zImi

    w-zz

    Re

    5. 2)i2)(ix(z , xR ) z +i ) xR . ) xR . : )

    i)3x4()4x3(4i3xi4x3

    )i43)(ix()1i44)(ix()ii44)(ix()i2)(ix(z 22

    ). Im(z)=043

    x03x4

    ). Re(z)=034

    x04x3

    6. x,y IR yix3z , i4yxz 2221 . :

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 20 -

    21 z,z

    04x3x

    x3y

    )x3(x4

    x3y

    yx4

    x3y

    yx4

    3yx24

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    4x1x

    x3y22

    2

    1x

    4y

    1x

    13y2

    4x

    43y2 (x,y)=(1,-4) (x,y)=(-1,-4)

    7. : 15)i33( :

    7152515

    2515251522515

    2251545155515

    515515

    5322315531515

    23)1(223

    i223)1i21(23ii2123

    i123)i1(i123)i1()2(3

    i223i3i313

    ii13i1313i13)i33(

    8. : = 20082008 )xiy()yix( . :

    2008200850242008200820082008

    20082008220082008

    )yix()yix(i)yix(i)yix()i(

    )yix(i)ixyi()xiy1()xiy(

    0)yix()yix()xiy()yix( 2008200820082008 . 9. =(1+i)2012-(1-i)2012

    : 10 :

    0i2i2

    i)2(i2)i2i1()i2i1(

    )i1()i1()i1()i1(

    1006100610061006

    10061006100610061006210062

    100621006220122012

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 21 -

    20 : =(1+i)2012-(1-i)2012=(-i2+i)2012-(1-i)2012=[i((-i+1)]2012-(1-i)2012=i2012(1-i)2012-(1-i)2012 =(i2)1006(1-i)2012-(1-i)2012=(1-i)2012-(1-i)2012=0 30 : z=1-i iz=i(1-i)=i-i2=i-(-1)=1+I, =(1+i)2012-(1-i)2012=(iz)2012 z2012=i2012z2012-z2012=(i2)1006z2012-z2012=0] 40 : =(1+i)2012-(1-i)2012=(1+i)2012-1(1-i)2012=(1+i)2012-i2012(1-i)2012=(1+i)2012-[i(1-i)]2012 =(1+i)2012-(1+i)2012=0

    10:

    ,xR * 2xi1xi

    xi1ix v4v4

    .

    :

    v4v4

    v4v4v4

    xi1ix

    xi1ix

    1xi1

    ixxi1xi

    v4v4v4v4v4

    xi1ix

    Re2xi1ix

    xi1ix

    xi1xi

    xi1ix

    11iixi1

    )xi1(ixi1

    ixixi1ix vv4v4

    v4v42v4

    212)1Re(2xi1ix

    Re2xi1xi

    xi1ix v4v4v4

    11:

    z 1z1

    z .

    01zz 1z 1v623v3 . :

    1z01z

    0)1zz()1z(01zzz1z1z1

    z

    33

    222

    01zz2 (1) 1z3

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 22 -

    01z1z1

    1zzzz1zzzz1zz )1(

    2

    v232v3v62v31v623v

    .

    12: : i35zi2z)i1( : Ryx,, yixz :

    i2z2x

    1y

    3x

    5y23

    3x

    5y3x

    i35xiy3xi35y2xi2yxiyix

    i35)yix(i2)yix)(i1(i35zi2z)i1(

    13: 01x)(2x2 . 01x)(2x2

    2222 4)1(4441142

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 23 -

    16: : 08z4z2 . : Ry x,, yixz

    (1) , 0iy4xy28x4yx

    08yi4x4yxyi2x08)yix(4yix08z4z22

    2222

    (1) :

    2 x 0y

    08x4yx

    0)2x(y2

    08x4yx

    0y4xy2

    08x4yx 222222

    0y

    08x4x

    0y

    08x4yx 222 08x4x2 , 016

    08x4x2 Rx . R x, )0,x()y,x(

    2x

    2y2

    2x

    4y

    2x

    0824y2

    2x

    08x4yx 22222

    17: Cw,z :

    ) zwwz

    ) w

    ziw

    zi

    .

    :

    ). zwwzzwwzzwwz , IR

    ).

    wiz

    wzi

    wiz

    wzi

    wzi

    w

    izwzi

    wiz

    18:

    z , , 3z3z

    w

    :

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 24 -

    y

    M

    O

    -3

    3/2

    IRzzz9z3z3zz9z3z3zz

    )3z)(3z()3z)(3z(3z3z

    3z3z

    wwIRw

    19: , IR *IN (+i)2+1 I , , (+i)2+1 IR . : (+i)2+1 I (+i)2+1 =i

    1212

    121212 )i(ii)(ii)i(i (-i)2+1 IR (+i)2+1 IR . 20: z=(+1)+(2-1)i . : z=(+1)+(2-1)i x+yi=(+1)+(2-1)i . :

    3x2y1)1x(2y

    1x

    12y

    1x

    : y=2x-3

    21

    1

    : y=- x21

    .

    x

    21

    y

    3x2y

    x=

    56

    , y=53

    z= i53

    56

    21: z=-1-2i ,, IR : y=x-2 w=-i i1z : z (-1,-2). : -2=-1-2 2=3- (1) : w=-i i1z =-i(-1+2i)+1-i=2+1-i w (1+2,-). (x,y) . ;

    4xyx4yy

    x4

    y

    4x

    y

    31x

    y

    21x )1(

    w : y=x-4

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 25 -

    22:

    z w=z1

    z1 .

    z : Re(w)=1. : z=x+yi

    : w=z1

    z1 =

    22 yx

    x2)yix)(yix(

    yixyixzz

    zz

    Re(w)=1 0x2yx1yx

    x2 2222

    .

    (1,0) =1. ( (0,0)) 23: z z, i21z,iz . : z=x+yi (x,y) iz =(x-yi)i=y+xi (y,x)

    i21z =x-yi-1+2i =(x-1)+(2-y)i ((x-1),(2-y)). , ,

    0yx)y22)(xy(0yy2x1x

    yxxy0)A,ABdet(A//AB

    0)12y2)(yx( :

    1: y=x 2: y=21

    ( ) 24: z

    : )izIm(2)z1

    zRe(

    : z 0 . E z=x+yi

    i

    yx

    y

    yx

    xyix

    yx

    yixyix

    yix1

    yixz1

    z222222

    i)yx

    yy()

    yx

    xx(

    2222

    xiyi)yix(iz .

    )izIm(2)z1

    zRe( 0)1yx(xxyx

    xx2

    yx

    xx 22

    2222

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 26 -

    x=0 ( yy ) x2+y2=1 (0,0) , =1 , (0,0). 25: : z2-2(1+2)z+2(1+2)=0, IR ). ). . : ). : =4(1+2)2-8(1+2)=-422 0 : z1,2=1+2 2 i

    ). z1=x+yi :

    y2

    1x2

    2y

    21x

    : 22+22=1 (x-1)2+y 2=1

    z2=x+yi :

    y2

    1x2

    2y

    21x

    : 22+22=1 (x-1)2+(-y )2=1 (x-1)2+y 2=1 (1,0) =1

    26: |z1|=|z2|=|z3|=>0 321 zzz z1+z2+z3=0 : |z1-z2|=|z2-z3|=|z3-z1| . : 1 : . ,, : 321 z,z,z :

    0zzz 321 (0,0) = . 321 zzz ,, , : ,, , . , . 321 zzz . ,, , .

    0zzz 321 1,

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 27 -

    21

    02||||2

    2||||||

    ||||),(0OOBOA

    12

    12

    122

    22222

    2,

    21

    2

    3,

    21

    3 . .

    133221 zzzzzz 2 : .

    )1(zzzz

    zzzz|z|zzzz|z|

    zzzzzzzz)zz)(zz(

    |zz||z| |zz||z|)zz(z0zzz

    22332

    22332

    22222332

    22

    2

    332332222

    32322

    232

    21321321321

    3|zz||zz|

    )zzzz(|zz||z|zzzz|z||zz|

    zzzzzzzz|zz|)zz)(zz(|zz|

    322222

    32

    )1(2

    233222

    322

    223322

    22

    32

    332332222

    3232322

    32

    |z1-z2|= 3 |z3-z1|= 3 133221 zzzzzz

    3

    zzz

    zzz

    zzz

    0zzz

    213

    312

    321

    321

    22

    31313131

    23`1

    23131313131

    31313313113221

    55.....)z2z)(z2z()zz2)(zz2(

    |z2z||zz2||z2z||zz2||)z2z(||zz2|

    |z2z||zz2||z)zz(||)zz(z||zz||zz|

    221332 55zzzz

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 28 -

    27: |z |=1 |z+8-6i| :

    11681i68z)i68(z6i-8z 22 11.

    28:

    z,w 0z , z1

    zw .

    z : 4yx 22

    : ) w . ) 2

    17|4w||w| 22

    : ). z : 4yx 22

    2|z| 122 z=+i, , IR

    (1) i4

    34

    5i

    44

    4i

    i|z|

    ii

    ii

    i1

    z1

    zw222

    w=x+yi (1) :

    1

    49y

    425x

    4

    169y

    1625x

    9y16

    25x16

    9y16

    25x16

    3y4

    5x4

    43

    y

    45

    x

    22

    2222

    22

    22

    22

    w 2=2-2

    244

    1649

    425222 .

    (2,0) , (-2,0) . ) ,

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 29 -

    217

    4w|w|254w28|w|2

    254w28w2254w2w2ww4w24w2w2ww

    252w2w4w22w2w252w2w2w22w

    52w2w25

    22w2w2zwzw

    2222

    222

    222

    2221

    29:

    z C : i32

    i32)iz1(

    .

    : .

    i32

    i32)i1(

    0111313

    |i1|...|i32

    i32||)i1(| 2

    =0 :

    31

    232i32i32

    i32i32

    1i32

    i32)i01(

    .

    30:

    iCz 0)zIm(1iziz

    :

    0)zIm()zIm(40i)zIm(2i20)zz(i20zi2iz201ziizzz1ziizzz

    )1z)(iz()iz)(iz(|iz||iz||iz||iz|1iziz 22

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 30 -

    1.1 z z=3Im(z)+(Re(z)+1)i . z 1.2 z=2+5i Re(z+1) +Im(iz) 1.3 z , w .

    wz

    zwz

    zImi

    w-zz

    Re ii) 1wz

    wRe

    wzz

    Re )i

    1.4 21 z,z 0z2 . :

    . 22

    2121

    2

    1

    zz2

    zzzzzz

    Re

    .

    22

    2121

    2

    1

    zzi2

    zzzzzz

    Im

    1.5

    10620 i22 , i1B , i1A 1.6

    1v21v23v43v4

    i1i1

    i1i-1

    ii) i3z

    iz3i3z

    zi3 )i

    1.7 z 0 1z1

    z .

    ) 1z3 ) 1z

    1z

    2020 .

    1.8 z 01zz2 . : ) 1z3 ) 01zz 50100 . 1.9 z 01zz2 . 01zz 1z 1v623v3

    : C 1

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 31 -

    2.1 z 0 1z1

    z .

    . 63 z z . 1z

    1z

    1v62v6

    2.2 z :

    z

    z2

    . : . 33z . 1z

    z 2004

    2.3 . 04z4z2 . 06izz2 2.4 Cw,z :

    . zwwz

    . w

    zi

    w

    zi

    .

    2.5 z , w

    zz

    z

    z wiv)

    uz

    uz

    uz

    uz wiii)

    uz1

    uz

    uz1

    uz wii)

    )iz()iz(

    )iz(i)(z w)i

    _

    _

    _

    _

    _

    _

    _

    3_

    3

    2_

    2

    2.6 1wwzz

    vv

    v

    wz

    wzu

    .

    2.7 1wwzz wz

    uzwu_

    .

    2.8 Cz,z 21 IRzz 21 21

    21

    zzzz

    w

    . w

    .

    : C 2

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 32 -

    3.1 iz1iz2

    w

    , , wR z

    3.2 1w 1ww , w1w1

    z

    .

    3.3 55 i25i25z . z . 3.4 z=2++(2-4)i . . . . . . . . . z y=x2-4x . 3.5. R, , iz

    )1z2)(3z(w .

    . w . w , (,) z 0y . 3.6. i)y24(yi3x)i43(i6z , x,yR . z +i . x,y . . x,y . 3.7 R , i)12()1(z . ) z ; ) z y=-2x+5. 3.8 z :y=x+1 , izzi1w .

    : C 3

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 33 -

    4.1 i1i2

    z

    .

    . z +i . z y=x+3 z .

    . z . . Iz)i Rz)ii

    4.2 : iz , R, , 1ziz

    w

    .

    z , w

    4.3 iz1iz

    w, iz

    . z , w . . w , z . 4.4 Ry x,, yixz , yi2xz 21 .

    (x,y) 0z , zz

    w 22

    1

    .

    4.5 z=x+yi , y 0 2z

    1z2w

    . wR

    (z) z (0,0) (1,0) .

    4.6 iz2z

    w

    R

    z

    4.7 z 41

    )z1

    Re(,0z .

    z .

    : C- 4

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 34 -

    5.1 (x,y) z 0z . . x,y

    z

    1 z

    . z

    1,z,z

    5.2 z=x+yi Ry x,0z .

    . z1 +i .

    . :

    z1

    Re)zRe(z1

    zRe .

    . z

    )zRe(10)z1

    zRe( .

    5.3 z=x+yi Ry x,0z . z

    0)ziIm(z

    8zRe

    .

    5.4 z

    )izIm(2)z1

    zRe( .

    5.5 z=+2+4i, , IR y=x+1.

    . w=z+1+i1

    .

    . w () (0,0) . 5.6 z=+i, , IR y=2x+2. . w= 5i2z . . w () (0,0)

    : C - 5

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 35 -

    6.1 , z w ,

    0z,z8

    zw .

    2 , 6.2

    0,IR,y,x,i1

    1z,i)yx()yx(z

    2

    21

    IR* 21 zz , z=x+yi . 6.3

    z=x+yi, IR,y,x,i21

    41z,zi)yi2x(z

    2

    21

    0

    IR* 21 zz , z=x+yi . 6.4 z w ,

    :z

    iziw

    20075 . ,

    .

    6.5 z w . z2

    zw

    . 6.6 z : . z=2++i(1-) , IR . z=2-3i , IR 6.7 .. z : 15zz)zz()zz( 22

    : C- 6

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 36 -

    7.1. z : i)1|z(|2|z|z

    7.2 z C 1zz iz1izz

    w2

    7.3 z1,z2 C : )zzRe(2|z||z| 21

    22

    21

    7.4 z : i. |z||)zRe(| |z||)zIm(| ii. |z||)zIm(| z

    7.5 z z 0 f(z)=2

    22

    |z|

    zz z z

    : ) f(z) ) f(z)=f( z ) ) 2|)z(f| 7.6 z : |2z-i|=|2+iz| 7.7 z C |z-10|=3|z-2| : |z-1|=3 7.8 z |z-4|

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 37 -

    8.1 z :

    . |1-z|>|z| Re(z)0 11. . : |z|=|-z|=| z | . |z|=|z| . ||z1|+|z2|| |zz||zz| 2121

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 45 -

    10

    1 . z1,z2 2121 zzzz 10

    . ii

    +i 5

    . . +i +i . +i=0 =0 =0 . z+ z 2Re(z) . z-z =2Im(z) .

    5x2=10

    2 . 2x2+x+=0 3+2i , 15 . z2-2z+3=0 10 3 . =(1+i)2006+(1-i)2006 13 . : (+i)10+(-i)10=0 12 4

    . 1

    1 z1

    z 2

    2 z1

    z v=21

    21

    zz1zz

    12 . .. z :

    )zRe(5)z1

    zRe(

    13

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 46 -

    20

    1 . z2+z+=0 ,,IR 0 0 5x2=10 2 . =i+i- 12 . z2+w2=0 z=wi z=-wi 13 3

    x+x1 =1 (1)

    . (1) 8 . z (1) 1). z3=-1 8 2). =z0+z9+z18 9 4 . z : |)zIm(||)zRe(||z|2 (1) 10 . z1,z2,...z

    1iziz

    ...iziz

    iziz

    2

    2

    1

    1

    . 15

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 47 -

    30

    1 . : |z|2=z z 5 . : |z1z2|=|z1||z2| 7 . z=x+yi; 3 . . : |z|=|-z|=|z | . |z|=|z| . ||z1|+|z2|| |zz||zz| 2121 3x2=6 . ) ; 2 ). |z-z1|=|z-z2| ; 2 2. z : |2z-1|=|z-2| . z (0,0) =1 13

    . w=1z

    1

    x=21

    12 3. 1. z z2z (1) 12

    2. z (1) w=z1

    (1/2,0) =1/2 13 4 1. : |z1+z2|

    2+|z1-z2|2=2|z1|

    2+2|z2|2

    12 2. z1,z2 :

    4|z|

    z|z|

    z|z|

    z|z|

    z2

    2

    2

    1

    1

    2

    2

    2

    1

    1 13

  • http:// www.perikentro. blogspot.gr : - 48 -

    40

    1. z |z-(2+2i)|= 2 : 1. z . 12

    2. |z| 13 2. z |z|=1 w w=2z+1

    25 3.

    . z 0z . : w=z1

    z

    z |z|=1 12 . (1-z)=z

    x=21

    13

    4.

    . |z|=1 : z1

    z 5

    . z1.z2,...z |z1|=|z2|=...=|z|=1

    : |z1+z2+...z|=

    z1

    ...z1

    z1

    21

    10

    . z1,z2,z3 |z1|=|z2|=|z3|=1. : |z1+z2+z3|=|z1z2+z2z3+z3z1|

    10