Лекции по Теории Автоматического Управления

Лекция №1Скороспешкин Владимир Николаевич, 114 ауд. 10 корпуса, Зачет.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКОМ УПРАВЛЕНИИ

Управление каким-либо объектом – Это процесс воздействия на него с целью обеспечения требуемого течения процессов в объекте или требуемого изменения его состояния.

Основой управления является получение и обработка информации о состоянии объекта и внешних условиях его работы для определения воздействий, которые необходимо приложить к объекту, чтобы обеспечить достижение цели управления.

Управление может осуществляться как человеком, так и техническим устройством.Управление, осуществляемое без участия человека – называется

автоматическим управлением.Техническое устройство, с помощью которого осуществляется автоматическое

управление объектом, называется управляющим устройством.Совокупность объекта управления и управляющего устройства образует систему

автоматического управления (САУ) (Рис.1.1).

Рис.1.1 Система автоматического управления

На рисунке введены следующие обозначения:

О – объект управления, УУ – управляющее устройство.Состояние объекта характеризуется выходной величиной Х.Выходных величин в общем случае может быть несколько, в этом случае выходная величина Х является векторной.U – управляющее воздействие.F – возмущающее воздействие.G – задающее воздействие, содержащее информацию о требуемом значении Х, то есть информацию о цели управления.В общем случае, величины U, F, G являются векторами.

Состав управляющего устройства:

В состав УУ входят (Рис.1.2): а) чувствительное устройство (измерительное устройство). Чувствительное устройство предназначено для измерения переменных X, G, F;б) вычислительное устройство, которое реализует алгоритм работы УУ, на основе переработки информации, поступающей от чувствительных устройств;

2

в) исполнительное устройство, предназначенное для непосредственного управления объектом, то есть изменения его состояния в соответствии с сигналом, поступающим с вычислительного устройства.

Рис.1.2 Замкнутая САР

Помимо перечисленных выше частей, в состав УУ могут входить и другие различные специальные устройства, например преобразователи, служащие для согласования отдельных частей системы, устройства связи итд.

Классификация систем автоматического управления.

По признаку наличия обратной связи САУ делятся на замкнутые и разомкнутые.В разомкнутых САУ выходная величина объекта Y не измеряется. Разомкнутыми такие системы называются потому, что в них отсутствует обратная связь между выходом объекта и входом управляющего устройства (Рис.1.3).

Управление в таких системах осуществляется либо по задающему воздействию (системы программного управления), либо путем компенсации возмущений.

Рис.1.3 Разомкнутая САУ

Недостатком разомкнутых систем управления является не высокая точность. Низкая точность управления обусловлена, во-первых, вследствие невозможности охватить компенсацией все возмущения, действующие на систему, во-вторых из-за изменения во времени параметров объекта и управляющего устройства.

Существенно повысить точность управления можно путем использования обратных связей, то есть применения замкнутых САУ.

В замкнутых САУ (Рис.1.4) на вход управляющего устройства подается задающее воздействие G и выходная величина объекта Y. Исходя из величины G, управляющее устройство определяет соответствующие требуемые значения Y, и имея информацию о текущем значении Y, обеспечивает необходимое соответствие между Y и G, путем воздействия на объект.

3

В такой САУ управляющее устройство стремится ликвидировать все отклонения Y от его значения, определяемого заданием G, независимо от причин, вызвавших эти отклонения, включая любые возмущения, внешние и внутренние помехи, а так же изменения параметров системы.

Рис.1.4 Замкнутая САУ

Системы такого типа представляют собой замкнутый контур, образованный объектом управления и УУ.

Замкнутые системы могут обеспечить принципиально не ограниченную точность управления.

Кроме этих 2-х типов могут быть использованы и комбинированные САУ (Рис.1.5).

Рис. 1.5 Комбинированная САУ

ПРИМЕРЫ:а) Разомкнутая система программного управления напряжением генератора (Рис.1.6). ОВ – обмотка возбуждения. УЗГ – устройство задания графика напряжения. Путем задания напряжения на обмотке возбуждения можно менять напряжение на выходе генератора.

Рис.1.6 Разомкнутая система программного управления напряжением генератора

4

б) Замкнутая система управления напряжением генератора (Рис.1.7).

Рис.1.7 Замкнутая система управления напряжением генератора

Управляющее устройство системы состоит из измерителя напряжения (ИН)который включает в себя трансформатор напряжения (ТН) с выпрямителем (В), устройство задания напряжения Uз в виде делителя напряжения Rз и усилителя У, являющегося одновременно и исполнительным устройством, воздействующим на объект.

Вычислительное устройство представляет в данном случае простейшую схему сравнения напряжений U и Uз на входе усилителя, определяющую разность. Напряжение U на выходе измерителя напряжения однозначно связано с напряжением генератора Uг. Когда U=Uз сигнал на входе усилителя равен нулю и управляющее устройство не действует на генератор, являющийся объектом управления.

Если по какой-то причине, например, вследствие изменения нагрузки генератора или скорости его вращения напряжение генератора изменится, то на входе усилителя появится напряжение соответствующей величины и знака. В результате на выходе усилителя возникает напряжение, которое изменит ток возбуждения генератора, что приведет к возврату напряжения генератора к исходному значению.

Частным, но широко распространенным видом систем автоматического управления являются системы автоматического регулирования (САР). Системой автоматического регулирования называется САУ, задача которой заключается в поддержании выходной величины объекта Y на заданном уровне.

В зависимости от характера задающего воздействия САР делятся на три вида:а) системы стабилизации;б) системы программного управления;в) следящие системы;

В системах стабилизации задающее воздействие постоянно, в системах программного управления оно меняется по заранее заданному закону, а в следящих системах по закону, заранее не известному.

5

В зависимости от количества выходных координат объекта управления САУ делятся на одномерные и многомерные (регулирование напряжения и частоты вращения генератора).

Многомерные САУ (Рис.1.8) в свою очередь делятся на системы несвязного и связного управления.

Рис.1.8 Многомерная САУ

Системы несвязного управления имеют несколько управляющих устройств, каждое из которых осуществляет управление своей выходной координатой объекта. При этом все эти устройства не имеют взаимных связей.

В системе связного управления отдельные управляющие устройства связаны друг с другом внешними связями.

По характеру порядка уравнений, описывающих работу САУ различают линейные и нелинейные САУ.

Свойства линейных САУ описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями.Если хотя бы одно звено, входящее в состав САУ описывается нелинейным уравнением, то такая САУ считается нелинейной.

САУ могут быть стационарными и нестационарными.Стационарной называется система, все параметры которой не изменяются во

времени.Нестационарной называется система с переменными параметрами.

Пример нестационарной системы – САУ ракетой, масса которой изменяется вследствие расхода топлива.

САУ бывает непрерывного и дискретного действия в зависимости от характера действия составляющих систему звеньев.

Система непрерывного действия состоит из звеньев только непрерывного действия, то есть звеньев, выходная величина которых изменяется плавно при плавном изменении входной величины.

Система дискретного действия – это система, содержащая хотя бы одно звено дискретного действия. Звеном дискретного действия называется звено, выходная

6

величина которого изменяется дискретно, то есть скачками, даже при плавном изменении входной величины. Скачки выходной величины могут происходить либо при прохождении входной величиной определенных пороговых значений (звено релейного действия), либо через определенный интервал времени (звено импульсного действия).

САУ может быть адаптивной, то есть обладать способностью приспосабливаться к изменению внешних условий работы, а так же улучшать свою работу по мере накопления опыта.

Неадаптивные САУ такой способностью не обладают.

Лекция №2МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ САУ

Целью рассмотрения системы автоматического управления может быть решение одной из двух задач – задачи анализа системы и задачи ее синтеза.

В первом случае дана система, включая значения параметров и требуется определить её свойства. Во втором случае наоборот задаются свойства, которыми должна обладать система и необходимо создать систему, удовлетворяющую этим требованиям. Обе эти задачи решаются на основе математического описания САУ.

Решение задач анализа и синтеза системы, то есть получение ее математической модели начинается с разбиения ее на звенья и описания этих звеньев. Математическое описание звеньев может быть либо аналитическим, то есть в виде уравнений, связывающих входные и выходные величины звеньев, либо графическим. По уравнениям отдельных звеньев в дальнейшем составляют уравнение всей системы, на основании которого и исследуется система.

Для математического описания систему разбивают на звенья исходя из удобства получения описания звеньев. При этом систему следует разбивать на возможно более простые звенья, но необходимо, чтобы они обладали направленностью действия.

Звеном направленного действия называется звено, передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход так, что изменение состояния такого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход.

В результате разбиения системы на звенья направленного действия математическое описание каждого такого звена может быть составлено без учета связей его с другими звеньями. А математическое описание всей системы в целом может быть получено на основе описаний звеньев с учетом их взаимосвязей.

В результате разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания звеньев составляется структурная схема системы, которая и является ее математической моделью.

Структурная схема системы состоит из прямоугольников, изображающих звенья схемы и стрелок, соединяющих выходы и входы звеньев согласно связям между звеньями в системе.

Стрелками показываются направления передачи сигналов и внешние воздействия. Каждому звену структурной схемы придается описывающее его уравнение или характеристика.

ПРИМЕР:

7

Структурная схема САР напряжения синхронного генератора (Рис.2.1)

Рис.2.1 САР напряжения синхронного генератора

где УН – усилитель напряжения, УМ – усилитель мощностиГ – генератор, ИН – измеритель напряжения, Rн, Uз – внешние воздействия.

В качестве математического описания могут использоваться следующие виды моделей:

1. Дифференциальные уравнения.2. Передаточные функции.3. Временные характеристики.4. Частотные характеристики.5. Модель в пространстве состояний (матричная форма).

Зная один вид моделей можно получить модели в другом виде.

Дифференциальные уравнения

Работа звеньев САУ может описываться дифференциальными уравнениями.В теории автоматического управления приняты определенные формы записи дифференциальных уравнений звеньев.

Например, уравнение второго порядка имеет вид:

где y(t) – выходная величина; x(t) – входная величина.

Особенность приведенной формы записи дифференциальных уравнений состоит в следующем. Выходная величина и ее производные находятся в левой части уравнения, а входная величина и ее производные – в правой. В этом случае коэффициенты уравнения будут иметь определенный физический смысл.

8

- - коэффициенты передачи,

, - постоянные времени, характеризующие инерционные свойства системы.

Дифференциальное уравнение можно записать в операторной форме: ,

где: - оператор дифференцирования.

Передаточные функции

Передаточная функция – представляет собой отношение изображений по Лапласу выходной величины ко входной при нулевых начальных условиях.

W(p)=Y(p)/X(p)

Например:

Преобразование Лапласа:

9

Р – комплексная величина

Передаточную функцию можно легко получить по дифференциальным уравнениям, записанным в операторной форме. Для этого необходимо правую часть уравнения поделить на левую часть. При этом используется свойство:

10

Пример

Если дифференциальное уравнение имеет вид: ,

то передаточная функция будет равна:

Дробь W(p) называется передаточной функцией звена.

Для пассивных цепей

ПРИМЕР

ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления в целом могут быть описаны уравнениями, а так же графическими характеристиками. В теории автоматического управления применяют два типа таких характеристик – переходные и частотные. Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Имеется и обратная возможность – по экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена. Кроме этого, с помощью этих характеристик можно определить реакцию звена на любое возмущение произвольного вида.

ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Переходная или временная характеристика звена представляет собой реакцию на выходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия. Единичное ступенчатое воздействие (Рис.2.2) – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее становится неизменным.

11

Рис.2.2 Единичное ступенчатое воздействие

Переходная характеристика обозначается через h(t) (Рис.2.3)

Рис.2.3 Переходная характеристика

Наряду с переходной характеристикой применяется импульсная переходная (временная) характеристика или функция веса (весовая функция). Эта характеристика представляет собой реакцию звена на единичный импульс. Единичный импульс или единичная импульсная функция (дельта-функция) – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Идеальный импульс – это импульс, площадь которого равна единице, а высота равна бесконечности.

Математически дельта-функцию можно записать так:

Согласно определению :

Дельта-функция связана с единичной ступенчатой функцией выражением вида:

Из (1) следует, что связь между переходной и весовой функцией линейных звеньев

может быть записана как: и наоборот:

12

Зная переходную или весовую функции, можно определить реакцию звена на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях с помощью следующих формул:

где Х(0) – значение Х(t) при t=0.

Реакция звена на множество воздействий Х(t) для линейных звеньев определяется как сумма реакций на отдельные воздействия.

Переходные характеристики могут быть выражены непосредственно через передаточные функции с помощью преобразования Лапласа.

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническими воздействиями.Рассмотрим такой режим.

Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие:

, где Хмакс – амплитуда, w – угловая частота этого воздействия.

По окончании переходного процесса на выходе звена будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и входные колебания, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и фазе, то есть в установившемся режиме выходная величина звена будет:

, где Yмакс – амплитуда выходных установившихся колебаний,

- фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.

13

При фиксированной амплитуде входных колебаний, амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты колебаний, если постепенно увеличивать от нуля частоту колебаний и определять установившиеся значения амплитуды и фазы выходных колебаний для разных частот, то можно получить зависимость от частоты отношения амплитуд:

и сдвиги фаз - выходных и входных установившихся

колебаний.

Зависимость А(w) – называется амплитудно-частотной характеристикой (а.ч.х.),

а зависимость (w) – фазовой -частотной характеристикой (ф.ч.х.) (Рис.2.4).

АЧХ представляет собой зависимость коэффициента передачи от частоты, а ФЧХ – зависимость сдвига фаз между выходной и входной величиной от частоты.На рисунке приведены вид этих характеристик для обычных инерционных звеньев.

Рис.2.4 Амплитудно-частотная характеристика и фазовая частотная характеристика

Из рисунков видно, что амплитудная частотная характеристика по мере увеличения частоты спадает до нуля. Чем длиннее АЧХ, тем больше полоса пропускания звена. Наличие максимума у АЧХ говорит о резонансных свойствах звена. Частота, соответствующая максимуму АЧХ называется резонансной (Wр). Фазовая характеристика у обычных инерционных звеньев, как правило отрицательная ( <0), то есть выходные колебания отстают от входных по фазе и это отставание увеличивается с увеличением частоты.

АЧХ и ФЧХ можно объединить в одну характеристику которая называется АФЧХ.

АФЧХ легко может быть определена по передаточной функции. Для этого необходимо аргумент передаточной функции заменить на jw.

14

При исследовании САУ амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, в логарифмических координатах характеристики деформируются таким образом, что возникает возможность в большинстве случаев упрощенно изображать амплитудные частотные характеристики ломаными линиями. Второе удобство связано с построением амплитудных частотных характеристик последовательно соединенных звеньев.

С учетом того, что следует

То есть в логарифмическом масштабе амплитудная частотная характеристика цепочки звеньев равна сумме амплитудных характеристик отдельных звеньев.

АЧХ в логарифмических координатах строится в виде зависимости 20LgA от Lgw, называемой логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАЧХ), а фазовая в

виде зависимости от Lgw, называемой логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).

Величина 20LgA обозначается через L. В качестве единиц этой величины используют децибел, которой равен одной десятой бела.Бел – это единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз итд.Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, а ,то усиление в Беллах, выраженное через амплитуду равно 2LgA. Соответственно в децибелах оно равно 20LgA.

Приведем таблицу соотношений между численными значениями.

А 0.001 0.01 0.1 0.316 0.89 1 1.12 3.16 10 100 1000L,дБ -60 -40 -20 -10 -1 0 1 10 20 40 60

15

Логарифмическая фазовая характеристика строится в полулогарифмическом масштабе. На оси абсцисс при построении ЧХ указывается либо значения Lgw, либо значение частоты. В первом случае единица приращения частоты - декада, соответствующая изменению частоты в 10 раз.

U(ω) – называется вещественной частотной характеристикой.V(ω) – называется мнимой частотной характеристикой.

16

Лекция №3ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ

Рассмотрим уравнения, переходные и частотные характеристики наиболее часто встречающихся типовых звеньев.

1. Звено первого порядка (апериодическое звено).

Дифференциальное уравнение этого звена в операторной форме имеет вид:(Tp+1)y=Kx (1)

Передаточная функция имеет вид:

ПРИМЕРЫ

Переходная функция такого звена получается в результате решения уравнения (1) при х=1(t), представляет собой экспоненту.

17

Изобразим графически функции h(t) и w(t) (Рис.3.1)

Рис.3.1 Графики функций h(t) и w(t)

Если характеристики получены экспериментально, то по ним можно определить параметры К и Т. Величина Т – постоянная времени звена определяет инерционность звена.

Чем она больше, тем более длителен переходный процесс в звене. Величина К – коэффициент передачи (усиления) звена. Если К<1, то звено носит

название пассивного.Амплитудно-фазовая частотная характеристика

18

Другой способ:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

ЛАЧХ рассматриваемого звена может быть приближенно представлена ломаной линией. Эта приближенная характеристика называется ломаной ЛАЧХ (асимптотической).Такое название связано с тем, что эта характеристика состоит из 2-х асимптот, к которым стремится L при

Найдем эти асимптоты.

Соответственно характеристика представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую на уровне 20 lg K . Это первая асимптота к которой стремится ЛАЧХ при w 0.

В этом случае характеристика представляет собой прямую линию, имеющую наклон -20 дб/дек. Действительно при увеличении w на декаду (то есть в 10 раз)

Таким образом величина L(w) уменьшилась на 20lg10 то есть на 20 дб. Эта линия

является второй асимптотой, к которой стремится ЛАЧХ приw∞ . Обе асимптоты

пересекаются в точке, соответствующей частоте Поэтому эта частота называется сопрягающей.

2.Статическое идеальное звено ( безынерционное).

19

Уравнение этого звена y=kx. Передаточная функция w(p)=k.Это звено без искажений пропускает все сигналы и имеет:h(t)=k 1(t) и W(jw)=k. A(w)=k. L(w)=20lgk.

Безынерционное звено является некоторой идеализацией идеальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропустить все частоты от нуля до бесконечности.

3.Колебательное звено второго порядка.

Уравнение этого звена имеет вид причем | T2<2T1|

Передаточная функция имеет вид

Переходная функция имеет вид

здесь

По экспериментально снятой переходной характеристике можно найти параметры Т1, Т2 и К.

20

Величина характеризует степень затухания колебаний и может быть найдена из выражения:

АФЧХ имеет вид:

Логарифмические частотные характеристики колебательного звена

21

22

Лекция №44.Идеальное интегрирующее звено.

Дифференциальное уравнение этого звена имеет вид

ЛАЧХ (Рис. 4.1) определяется выражением:

Реальное интегрирующее звено обычно обладает определенной инерционностью, вследствие чего реальное интегрирующее звено описывается уравнением

Рис.4.1 ЛАЧХ реального интегрирующего звена

5. Дифференцирующее звено.

Уравнение этого звена имеет вид: Переходная функция

Передаточная функция

23

АФЧХ

Следовательно

Рис.4.2 ЛАЧХ дифференцирующего звена

Реальные дифференцирующие звенья обладают инерционностью, вследствие чего, осуществляемое ими дифференцирование не является точным. Уравнение реального дифференцирующего звена имеет вид:

ПРИМЕР (самостоятельно)

6.Звено с постоянным запаздыванием.

Это звено без искажения воспроизводит на выходе входную величину, но с той разницей, что выходная величина запаздывает относительно входной на постоянное время.Уравнение этого звена имеет вид:

24

25

Получение передаточных функций и частотных характеристик САУ по передаточным функциям и частотным характеристикам звеньев

В результате разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания звеньев в виде передаточных функций, частотных характеристик или переходных характеристик, составляется структурная схема САУ.По структурной схеме можно затем получить, пользуясь специальными правилами, передаточную функцию или характеристики САУ в целом.

Получение передаточных функций САУ по передаточным функциям звеньев

Если имеются уравнения всех звеньев системы, то описанием САУ является эта система уравнений с учетом взаимосвязи входов и выходов звеньев путем исключения из системы уравнений промежуточных переменных можно получить одно дифференциальное уравнение высокого порядка, связывающее интересующие нас величины (входы, выходы, возмущения).Наиболее просто эту процедуру можно выполнить, если оперировать передаточными функциями звеньев.Рассмотрим способы получения передаточных функций САУ, для типовых структур, а именно для последовательной, параллельной и с обратной связью.

Передаточная функция цепочки последовательно-соединенных звеньев

Имеем систему уравнений звеньев:

Исключив из этой системы промежуточные переменные, получим:

где

Таким образом, передаточная функция цепочки последовательно-соединенных звеньев равна произведению передаточных функций звеньев.

26

Параллельное соединение звеньев

В этом случае:

где

То есть передаточная функция группы параллельно-соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Звено охваченное обратной связью

Обратная связь может быть 2-х видов – либо положительной, если сигнал обратной связи складывается с входным сигналом, либо

27

отрицательной, если сигнал обратной связи вычитается из входного. Схема САУ с обратной связью описывается следующими уравнениями:

Здесь знак плюс соответствует положительной обратной связи, а знак минус – отрицательной обратной связи.

Исключая Хос получим:

Функция Wз(p) – передаточная функция замкнутой системы.W(p) – передаточная функция разомкнутой системы.

ПРИМЕР

То есть интегрирующее звено охваченное обратной связью уже становится апериодическим.

28

Лекция №5Правила преобразования структурных схем и линейных систем

В тех случаях, когда структурная схема оказывается сложной и содержит множество различных перекрестных связей, можно попытаться ее упростить и свести к простейшему виду. Преобразование структурных схем и линейных систем делается на основе некоторых правил, которые представлены в таблице.

29

Пример преобразования структурной схемы

(иэ) – исполнительный элемент; (чэ) – чувствительный элемент; (ро) – регулирующий орган; (Ру) – регулятор;

30

Предположим, что чувствительный элемент отсоединен от объекта управления, то есть рассмотрим так называемую разомкнутую САУ.

Управляющее воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент к объекту определяется выражением:

(5.1)где E – рассогласование на выходе чувствительного элемента, Wрег(p)

– передаточная функция цепи регулирования.Регулируемая величина y(t) может быть найдена из следующего выражения:

(5.2)

где Wo(p) – передаточная функция объекта управления по регулирующему воздействию.Wf(p) - передаточная функция объекта управления по возмущающему воздействию.

Подставляя (5.1) в (5.2.) получаем:

, где - передаточная

функция разомкнутой системы.Передаточная функция разомкнутой системы – есть отношение изображений

регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях равных нулю.

То есть:

Передаточная функция разомкнутой системы имеет большее значение в теории управления, так как многие методы анализа и синтеза САУ основаны на использовании именно этой функции.

Рассмотрим теперь замкнутую САУ, то есть предположим, что чувствительный элемент соединен с объектом управления.

31

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию имеет вид:

Она дает связь между регулируемой величиной и задающим воздействием, при равенстве нулю возмущающих воздействий.

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию имеет вид:

Она дает связь между регулируемой величиной и возмущающим воздействием, при равенстве нулю задающих воздействий.

Регулируемая величина y(p) может быть найдена из следующего выражения:

Передаточная функция вида:

32

называется передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Она дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий.

33

Передаточная функция вида:

называется передаточной функцией замкнутой системы по возмущению. Она дает связь между ошибкой и возмущающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю задающих воздействий.

Ошибка Е(p) может быть найдена из следующего выражения:

Передаточная функция замкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора Р.

Полином называется характеристическим.

Приравнивая нулю характеристический полином получаем характеристическое уравнение САУ.

Передаточная функция замкнутой системы может находиться непосредственно по структурной схеме и по передаточным функциям входящих в нее звеньев.

34

Лекция №6Критерии устойчивости

Понятие устойчивости системы управления связано со способностью возвратиться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Наглядно устойчивость можно проиллюстрировать следующим образом:

а) устойчивое состояниеб) неустойчивое состояние

Рассмотрим дифференциальное уравнение САУ, записанное для регулируемой величины y(t) при наличии задающего воздействия g(t) и при равенстве нулю возмущающих воздействий.

Характер переходных процессов в системе зависит от вида левой части дифференциального уравнения и определяется как сумма двух решений – частного решения неоднородного уравнения и общего решения дифференциального уравнения без правой части, то есть с правой частью равной нулю.

Первое слагаемое носит так же название вынужденное решение, а вторая – переходная составляющая.

САУ будет называться устойчивой, если с течением времени при t∞ переходная составляющая будет стремиться к нулю.Найдем эту составляющую, для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение без правой части.

Решение имеет вид:

Дифференцируя это выражение n раз и подставляя в уравнение (6.1) получаем после сокращения на общий множитель

35

Полученные алгебраическое уравнение называется характеристическим.Корни его будут определять характер переходного процесса в системе.

Заметим, что левая часть полученного алгебраического уравнения полностью совпадает с левой частью исходного дифференциального уравнения. Поэтому характеристическое уравнение получается путем приравнивания нулю левой части дифференциального уравнения. То есть:

Однако здесь уже буква означает уже не символ дифференцирования, а

некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения. Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней, то переходная составляющая может быть записана в виде:

где p1…..pn – корни характеристического уравнения С1….Сn - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (6.1). Постоянные интегрирования определяются так же видом и правой части дифференциального уравнения. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость САУ не зависит от вида правой части дифференциального уравнения и определяется только характеристическим уравнением.Корни характеристического уравнения могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми.

1. Вещественный корень .

Пусть один из корней, например Р1 является вещественным. Если он отрицательный, то есть, то слагаемое, определяемое этим корнем будет представлять

собой экспоненту

Очевидно, что при этот член будет затухать.

При р1=+а1 получится расходящийся процесс.

36

2. Комплексный корень .

Комплексные корни бывают попарно сопряженными.При отрицательной вещественной части два корня, например р1 и р2 будут иметь вид:

В этом случае слагаемые определяемые этими корнями могут быть представлены в виде:

где - новые постоянные интегрирования.

Нетрудно видеть, что в этом случае получается затухающие колебания, причем мнимая часть корня - представляет собой круговую частоту затухания колебаний, а - показатель затухания.

При положительной вещественной части колебания будут не затухающими, а расходящимися.

3. Чисто-мнимые корни .

В этом случае:

Слагаемые, определяемые этими корнями будут представлять собой незатухающие колебания, то есть колебания с постоянной амплитудой.

Таким образом, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням.

37

Если хотя бы один корень характеристического уравнения будут иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться.Корни характеристического уравнения обычно представляют в виде точек на комплексной плоскости.

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой.Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней за которую не должны переходить корни характеристического уравнения.Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости САУ. Система будет

находиться на границе устойчивости при наличии:а) Нулевого корняб) Пары чисто-мнимых корнейв) Бесконечного корня

38

Лекция №7Критерии устойчивости

Суждение об устойчивости по корням характеристического уравнения САУ высокого порядка оказывается чрезмерно затруднительно. В связи с чем разработаны специальные критерии, позволяющие оценивать устойчивость по косвенным признакам. Существует три основных критерия устойчивости:

1. Критерий Рауса – Гурвица2. Критерий Михайлова3. Критерий Найквиста

Критерий устойчивости Рауса – Гурвица

Данный критерий в отличие от остальных является алгебраическим. В разной формулировке он был предложен английским ученым Раусом и шведским ученым Гурвицем в конце прошлого века.Приведем без доказательств этот критерий.

Возьмем характеристический полином:

где, ао>0, что всегда можно обеспечить умножением при необходимости полином

на (-1). Составим из коэффициентов этого полинома определитель:

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет n строк и n столбцов и составляется по следующему правилу: Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и так же заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, четвертая из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на один элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк. В результате такой операции по главной диагонали оказываются все коэффициенты кроме АО, расположенные последовательно.

39

Условие устойчивости заключается в требовании положительности ну определителя Гурвица и всех его диагональных миноров

Эти миноры отмечены штриховыми линиями. Если хотя бы один минор <0 , то САУ неустойчива.

Для n=1 и условия устойчивости сводятся к неравенствам

ао>0, а1>0;

Для n=2

Условия устойчивости:

Последнее равенство с учетом предпоследнего условия а2>0 сводится к требованию а3>0. Таким образом, в целом эти условия устойчивости заключаются в положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора Δ2. Необходимость положительности а2 вытекает из условия Δ2>0 и положительности всех остальных коэффициентов.

Приведенные формулировки критерия Раус-Гурвица представляет собой достаточные условия устойчивости.

Необходимыми же условия устойчивости являются положительные знаки всех коэффициентов характеристического уравнения.

Анализ устойчивости необходимо начинать с проверки этого простого условия. Если оно выполняется, то оцениваются знаки определителя Гурвица и его миноров.

Если же в характеристическом уравнении имеется хотя бы один коэффициент <0, то это сразу говорит о том, что САУ неустойчива.

Критерий Рауса-Гурвица позволяет определять критические значения параметров системы (Критическими называются такие значения параметров системы, при котором САУ оказывается на грани устойчивости).

40

Условиями нахождения САУ на границе устойчивости является: Равенство нулю хотя бы одного определителя:

ПРИМЕР:

Определить критический

коэффициент усиления системы:

Характеристическое уравнение:

Необходимое условие устойчивости:

Достаточное:

Из физических соображений следует, что T1>0, T2>0, T3>0, K>0, следовательно необходимое условие полезной информации о Ккр не содержит.Из достаточного условия следует, что при

Δ2=0

Следовательно К определяемое этим выражением и является критическим.При К>Ккр - система неустойчива.При К<Ккр - система устойчива.При К=Ккр - система находится на границе устойчивости.

ПРИМЕР

Оценить устойчивость САУ с передаточной функцией:

Характеристический полином:

41

Необходимое условие для системы второго порядка а0>0, a1>0, a2>0 выполняется.

Система находится на грани устойчивости.Действительно, корни характеристического уравнения:

Критерий устойчивости Михайлова

Критерий предложен в 1938 году советским ученым А.В. Михайловым и так же основан на рассмотренном характеристическом полиноме D(p). Но в отличие от критерия Рауса-Гурвица он является графическим. Рассмотрим данный критерий без доказательства.

Подставим в характеристический полином вместо р - мнимую переменную jω. В результате получим комплексную функцию:

Изобразим D(jw) в виде годографа на комплексной плоскости. Этот годограф называется годографом Михайлова. Каждому значению w соответствует определенные значения мнимой и вещественных частей, а следовательно и определенная точка на плоскости.

При ω=0, то есть годограф начинается на действительной оси.При D(jω) неограниченно возрастает.

Критерий Михайлова формулируются следующим образом:

Система устойчива, если годограф D(jw) начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок системы.

Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат.

Примеры устойчивых САУ по критерию Михайлова:

42

ПРИМЕР:

Устойчива ли САУ, если годограф Михайлова имеет следующий вид: Ответ: Не задан порядок САУ. Оценить устойчивость невозможно.

43

Лекция №8Критерий устойчивости Найквиста

Данный критерий предложен в 1932 году американским ученым Г. Найквистом. Критерий имеет отличительную особенность по отношению к двум рассмотренным ранее. Если критерий Раусса-Гурвица и Михайлова позволяют оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых САУ, то критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по АФЧХ разомкнутой САУ.

Рассмотрим первоначально этот критерий для случая, когда известно, что система в разомкнутом состоянии устойчива. Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j 0) .

Приведем примеры устойчивых САУ: И неустойчивых САУ:

Нахождению системы на границе устойчивости соответствует прохождение годографа через точку с координатой (-1, j0).

Как было указано, данная выше формулировка критерия Найквиста относится к системам, которые являются устойчивыми в разомкнутом состоянии.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку:

Для устойчивости систем в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j 0) .

При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на К/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где К – число правых корней передаточной функции разомкнутой системы, то есть число полюсов с положительной действительной частью.

Таким образом, в общем случае при применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых корней передаточной функции разомкнутой САУ.

В соответствии с критерием Найквиста, об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по АЧХ и ФЧХ (Рис.8.1) разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большее удобство в силу простоты их построения.

Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является неохват АФЧХ точки (-1, j0).

44

Последнее имеет место, если при частоте, на которой A(w)=1, абсолютные

значения фазы меньше π.

Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению А=1 соответствует L=20lgA=0, критерий Найквиста для систем устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАЧХ должна пересекать

ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая окончательно перейдет за значение (- π).

Иными словами: на частоте среза Wc величина фазы должна быть меньше π.

Рис.8.1 АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы

Для астатических систем и систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии требования к ЛАЧХ и ЛФЧХ в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из требований к АФЧХ.

Определение: При положительной ЛАЧХ число пересечений ЛФЧХ уровня (- π) снизу вверх должно быть на К/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении. При соблюдении этого условия САУ в замкнутом состоянии будет устойчивой.

ПРИМЕР

Устойчива ли замкнутая САУ с единичной обратной связью, если в разомкнутом состоянии она неустойчива и имеет 4 правых корня. ЛФЧХ имеют вид:

Число пересечений ЛФЧХ уровня (- π) снизу вверх=1.

Число пересечений ЛФЧХ уровня (- π) сверху вниз=1.Следовательно система неустойчива.

45

Лекция №9Оценка качества регулирования

Качество работы любой системы регулирования в конечном счете определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями регулируемой величины: E(t)=g(t)-y(t)

Значение мгновенной величины ошибки в течении времени работы управляемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы. Однако в действительности, вследствие случайности задающего и возмущающих воздействий такой подход не может быть реализован.

Поэтому приходится оценивать качество системы управления по некоторым ее свойствам, проявляющихся при различных типовых воздействиях.

Для определения качественных показателей САУ в этом случае используется так называемые критерии качества.

В настоящее время разработано большое число различных критериев качества САУ.

Всех их можно разделить на 4 группы.К первой группе относятся критерии, в той или иной степени использующие для

оценки качества величину ошибки в различных типовых режимах.Эту группу назвали критериями точности систем регулирования.

Ко второй группе относятся критерии, определяющие величину запаса устойчивости, то есть критерии, устанавливающие насколько далеко от границы устойчивости находится система регулирования.

Третья группа критериев качества определяет так называемое быстродействие систем регулирования. Под быстродействием понимается быстрота реагирования системы регулирования на появление задающих и возмущающих воздействий. Наиболее просто быстродействие может оцениваться по времени затухания переходного процесса системы.

К четвертой группе критериев качества относятся комплексные критерии, дающие оценку некоторых обобщенных свойств, которые могут учитывать точность, запас устойчивости и быстродействие.Обычно это делается при помощи рассмотрения некоторых интегральных свойств кривой переходного процесса.

Точность в типовых режимах

Для оценки точности системы регулирования используется величина ошибки в различных типовых режимах. Рассмотрим наиболее употребительные режимы.

1 . Неподвижное состояние .

В качестве такого режима рассматривается установившееся состояние при постоянных значениях задающего и возмущающего воздействий.

46

Ошибка системы в этом случае называется статической:

где L – число, действующих на систему возмущений.

В статических системах W(0)=k представляет собой общий коэффициент усиления разомкнутой системы. В этом случае первое слагаемое может быть представлено в виде:

Составляющая ошибки (E`) практически всегда может быть сведена к нулю посредством использования неединичной обратной связи или путем масштабирования задающего воздействия или регулируемой величины.

При астатическом регулировании W(0) ∞. Поэтому первая составляющая ошибки САУ обращается в нуль.

- передаточная функция разомкнутой системы.

- передаточная функция по ошибке.

Второе слагаемое (E``) никогда не обращается в нуль, так как даже использование регулирования с астатизмом высокого порядка и использования принципа регулирования по возмущению могут обратить в нуль лишь часть слагаемых, находящихся под знаком суммы.

47

2. Движение с постоянной скоростью.

В качестве второго типового режима используется режим движения САУ с постоянной скоростью V=const. Который будет наблюдаться в установившемся состоянии при задающем воздействии изменяющимся по закону:

где v=const; и при постоянных значениях возмущающих воздействий, то есть

Первое слагаемое выражения имеет смысл только при астатизме первого порядка, то есть в том случае, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде:

тогда выражение (9.1) приводится к виду:

3. Движение с постоянным ускорением.

В качестве третьего типового режима используется режим установившегося движения системы регулирования с постоянным ускорением E=const. В этом случае задающее воздействие изменяется по закону:

Возмущающие воздействия принимаются постоянными как и во втором типовом режиме. Этот режим имеет смысл только в следящих системах и системах программного регулирования.

(*)

Первое слагаемое имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде:

тогда выражение (*) приводится к виду:

48

Первое слагаемое представляет собой добавочную ошибку от постоянного ускорения.

4. Движение по гармоническому закону .

Такой режим используется весьма часто, так как он позволяет наиболее полно оценить динамические свойств системы регулирования. Задающее воздействие в этом случае принимается равным:

В этом случае ошибка системы так же будет меняться по гармоническому закону с той же самой частотой wk.

Точность системы в этом режиме может быть оценена по амплитуде ошибки:

, так как

Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного воздействия, Emax << Gmax, то, следовательно модуль знаменателя значительно больше единицы. Поэтому приближенно:

где А(wk) – модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при w=wk.Последняя формула позволяет легко вычислять амплитуду ошибки в установившемся режиме. Для этого необходимо располагать либо аналитическим выражением для передаточной функции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально-снятую амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы.

Коэффициенты ошибок

Рассматриваемый метод может применяться как для задающего воздействия g(t) так и для возмущающего f(t) воздействий.Если функция в режиме g(t) имеет произвольную форму, то ошибку САУ можно определить следующим образом:

где Weg(p) – передаточная функция замкнутой системы по ошибке.Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням комплексной величины р:

Переходя к оригиналу получим формулу для установившейся ошибки:

49

Величины С0, С1, С2… называются коэффициентами ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам:

Кv=1/C1 - это добротность по скорости. Ke=2/C2 - это добротность по ускорению.ПРИМЕР:

Определить первый коэффициент ошибки по задающему воздействию:

С0=Weg(0)=0

Методы оценки качества САУ

Определение запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике.

Оценку запаса устойчивости и быстродействия можно произвести по виду кривой переходного процесса (Рис.9.1) в системе управления при некотором типовом входном воздействии которым может быть как задающее, так и возмущающее воздействие. В качестве типового входного воздействия рассматривается обычный единичный скачок.В этом случае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собой переходную характеристику. Она может строиться для регулируемой величины y(t) или ошибки Е(t).

Склонность системы к колебаниям, а следовательно и запас устойчивости могут быть охарактеризованы максимальными значениями регулируемой величины Ymax или так называемым перерегулированием:

где y(∞) представляет собой установившееся значение регулируемой величины после завершения переходного процесса.

Допустимое значение перерегулирования для той или иной системы может быть установлено на основании опыта эксплуатации таких систем. В большинстве случаев считается что запас устойчивости является достаточным, если величина перерегулирования не превышает 10-30%. Однако в некоторых случаях требуется чтобы переходный процесс протекал вообще без перерегулирования, то есть был монотонным.Быстродействие САУ может определяться по длительности переходного процесса.Длительность переходного процесса определяется как время, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка до момента, после которого имеет место неравенство:

50

где ∆1 – заданная малая постоянная времени, представляющая собой обычно допустимую ошибку.

Рис.9.1 Кривая переходного процесса

Частотные методы оценки качества САУ

Приближенная оценка вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике.

Построение кривой переходного процесса является в большинстве случаев весьма трудоемкой операцией. Поэтому целесообразно использовать методы, позволяющие определить вид переходной характеристики без построения всей кривой процесса. Это можно сделать по вещественной частотной характеристике САУ.

Использование оценки вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике наиболее удобно применять в том случае, когда для исследования САУ используются частотные методы.

Пусть имеем следующую вещественную частотную характеристику:

Интервал частот называется

интервалом положительности.

Интервал частот называется

интервалом существенных частот.

На основании анализа интеграла:

были получены следующие оценки качества переходного процесса:

51

1. Статическое отклонение y(∞) регулируемой величины, получающееся в результате единичного скачка внешнего воздействия равно начальному значению вещественной частотной характеристики Р(0).

2. Чтобы величина перерегулирования не превышала 18% от статического отклонения достаточно иметь положительную невозрастающую непрерывную характеристику Р(w).

3. Для монотонности переходного процесса y(t) достаточно чтобы dP/dw представляла собой отрицательную убывающую по модулю непрерывную

функцию от w, причем p(∞)=0.4. Простейшим признаком немонотонности переходного процесса является наличие

значений P(w)>P(0).

5. Для монотонных процессов время затухания до значения y=5% от y(∞) будет

6. Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественной характеристики:

Корневые методы оценки качества САУ

Вид корней характеристического уравнения определяет характер переходного процесса в САУ. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействия САУ не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные условия на корни характеристического уравнения.

Для оценки быстродействия системы может использоваться понятие степени

устойчивости. Под степенью устойчивости η понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Здесь могут быть два случая:

1. Ближайший корень является вещественным. 2. Когда к мнимой оси ближе всего расположена пара комплексных корней.Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси, то

есть имеющие наименьшую по абсолютной величине вещественную часть дают в переходном процессе члены, которые затухают наиболее медленно. В большинстве

52

случаев, переходный процесс можно считать закончившимся тогда, когда затухает член, определяемый ближайшим к мнимой оси корнем.

Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то составляющая в переходном процессе, определяемая этим корнем будет иметь вид:

Положив в конце переходного процесса:

, где ∆=0.01 – 0.05 можно получить приближенную зависимость между степенью устойчивости и временем переходного процесса:

Если например принять ∆=0.05, то время переходного процесса составит:

Для случая наличия пары комплексных корней

Обратимся теперь к оценке запаса устойчивости САУ. Склонность системы к колебаниям будет наблюдаться если в решении характеристического уравнения будут

присутствовать комплексные корни, то есть корни вида: -α ±jβСклонность к колебаниям может быть охарактеризована отношением мнимой части корня к вещественной, и называется колебательностью:

Затухание за 1 период будет не менее 90%, если μ=π/2=1.57

53

Лекция №10Законы регулирования

Под законом регулирования или в более общем случае – законом управления понимается алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которыми управляющее устройство формирует управляющее воздействие U(t). Эта зависимость может быть представлена в виде:

(1)

Здесь F – некоторая, в общем случае нелинейная функция от ошибки Е, задающего воздействия g и возмущающего воздействия f.Формула (1) обычно имеет вид:

(2)

Первое слагаемое в (2) соответствует принципу регулирования по отклонению (Принцип Ползунова-Уатта), второе и третье – регулированию по внешнему воздействию (принцип Пенселе).Рассмотрим законы регулирования по ошибке, в общем случае:

или в операторной форме:

Предположим, что регулируемый объект представляет собой звено статического типа, то есть звено с передаточной функцией: W(0)=K0,

то есть:

1. Пропорциональное регулирование (П-регулятор).

54

Достоинство – высокое быстродействие САР с П-регулятором.Недостаток – невысокая точность.

Рассмотрим это на примере следующей системы:

По теореме о пределах:

поэтому:

Таким образом, чем больше Кп, тем меньше установившаяся ошибка. Однако увеличение Кп приводит к уменьшению запаса устойчивости системы.

2. Интегральное регулирование (И-регулятор)

55

Достоинство - высокая точность. Недостаток – низкое быстродействие.

При интегральном регулировании осуществляется пропорциональная зависимость между скоростью изменения регулирующего воздействия и ошибкой.При этом регулирующее воздействие получается пропорциональным интегралу от ошибки во времени.

Покажем точность регулирования на примере системы из П-регулятора:

То есть установившаяся ошибка стремится к нулю.Таким образом, при интегральном регулировании получается система,

астатическая по отношению к задающему воздействию. Она может при этом быть как статической так и астатической к возмущающим воздействиям.

3. Изодромное регулирование (ПИ-регулятор)

При изодромном регулировании осуществляется регулирование по пропорциональному и интегральным законам.

56

Изодромное регулирование сочетает в себе высокую точность интегрального регулирования с большим быстродействием пропорционального регулирования.В первые моменты времени при появлении ошибки система изодромного регулирования работает как система пропорционального регулирования. В дальнейшем система начинает работать как система интегрального регулирования.

4. Регулирование по производным (Д-регулятор)

Регулирование по производной не имеет самостоятельного значения, так как в установившемся состоянии производная от ошибки равна нулю и регулирование прекращается. Однако регулирование по производной может играть весьма большую роль в переходных процессах и вообще в динамике в качестве вспомогательного средства, так как такое регулирование позволяет учитывать не только наличие ошибки, но и тенденцию к росту или уменьшению ошибки.В некоторых случаях в закон регулирования могут вводиться производные более высоких порядков. Это еще больше улучшает динамические качества САУ.

5. ПИД-регулятор

57

ПИД-регулятор реагирует не только на величину ошибки и интеграла от ошибки, но и на скорость изменения ошибки за счет дифференциальной составляющей. Поэтому его качество лучше.Задавая параметры этого регулятора можно получить П, ПИ, ПИД законы регулирования. Иногда применяются регуляторы с зависимыми настройками:

58

Лекция №11Повышение точности САУ

К числу общих методов повышения точности САУ относятся:

1. Увеличение коэффициента усиления разомкнутой цепи.2. Повышение степени астатизма.3. Применение регулирования по производным от ошибки.4. Использования комбинированного управления.5. Использование неединичных обратных связей.

Увеличение общего коэффициента усиления разомкнутой цепи является наиболее универсальным и эффективным методом. Увеличить общий коэффициент усиления можно за счет введения в САУ усилителей. Однако в некоторых случаях этого можно достичь путем увеличения коэффициентов передачи отдельных звеньев (чувствительных элементов, редукторов).

Увеличения коэффициента усиления благоприятно сказывается в смысле уменьшения ошибок практически во всех типовых режимах. Это вытекает из того, что общий коэффициент усиления разомкнутой цепи входит в качестве делителя во все коэффициенты ошибок:

Однако увеличение общего коэффициента усиления ограничивается устойчивостью САУ. При повышении коэффициента усиления, как правило система приближается к границе устойчивости. В связи с этим повышение общего коэффициента усиления до значения при котором обеспечивается выполнение требований к точности обычно может производиться только при одновременном повышении запаса устойчивости, что осуществляется с помощью корректирующих устройств.

Повышение порядка астатизма используется для устранения установившихся ошибок в различных типовых режимах (в неподвижном положении, движение с постоянной скоростью, ускорением).Формально это сводится к тому, чтобы сделать равными нулю коэффициенты ошибок Со, С1, С2…

Физически повышение порядка астатизма осуществляется за счет введения в канал регулирования интегрирующих звеньев:

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:

59

Повышение порядка астатизма неблагоприятно сказывается на устойчивости САУ. Поэтому одновременно с увеличением порядка астатизма необходимо вводить корректирующие звенья, повышающие запас устойчивости.

Существует путь повышения порядка астатизма без заметного ухудшения запаса устойчивости. Этот путь заключается в применении изодромных устройств. Передаточная функция изодромного устройства имеет вид:

где – постоянная времени изодромного устройства.

Регулирование по производным от ошибки

В большинстве случаев регулирование по производным от ошибки имеет целью повысить запас устойчивости САУ, что позволяет увеличить общий коэффициент усиления и тем самым улучшить точность регулирования.

Однако регулирование по производным от ошибки может самостоятельно повышать точность САУ. Физика этого явления заключается в том, что при введении регулирования по производным система начинает чувствовать не только наличие ошибки, но и тенденции к изменению ее величины. В результате система регулирования более быстро реагирует на появление задающих и возмущающих воздействий, что снижает ошибку регулирования.

Комбинированное управление

Одним из методов повышения точности САУ является использование комбинированного управления. Под комбинированным управлением понимается такой

60

метод построения замкнутых САУ, когда наряду с регулированием по отклонению используется регулирование по задающему или возмущающему воздействию. Таким образом в системах комбинированного управления осуществляется регулирование по замкнутому и разомкнутому циклам.

Из последнего выражения видно, что введение регулирования по задающему воздействию не меняет характеристического уравнения САУ, работающей по отклонению, так как знаменатель передаточной функции не меняется.Найдем эквивалентную передаточную функцию по ошибке:

Для обеспечения ошибки=0, необходимо, чтобы:

для этого нужно, чтобы числитель был равен нулю.Отсюда получается, что:

Это условие инвариантности САУ по отношению к задающему воздействию.

Разложим φ(p) в ряд по возрастающим степеням оператора Р.

Таким образом, при введении регулирования по задающему воздействию для получения полной инвариантности необходимо вводить первую и высшие производные от задающего воздействия.

Если не все производные вводятся, то инвариантность оказывается частичной.

Неединичные обратные связи

61

Неединичные обратные связи применяются для уменьшения ошибки, вызванной задающим воздействием в замкнутой САУ.

Для получения полной инвариантности необходимо, чтобы:

Фэ(p)=1, тогда Е(t)=g(t)-y(t)=0

Это может быть тогда, когда: (*)

При разложении этого выражения в степенной ряд, получаем:

Отсюда видно, что для получения полной инвариантности необходимо использовать главную обратную связь с коэффициентом отличным от единицы и дополнительно ввести положительные обратные связи по производным от регулируемой величины.

Реализация полной инвариантности то есть условия (*) практически невозможна. Это определяется невозможностью точного введения высших производных, а во-вторых, при выполнении условия (*) система будет находиться на границе устойчивости.

Преобразуем структурную схему к виду:

Пусть

, то есть обратная связь жесткая.

Для выполнения условия Wэ(0)=1 необходимо (1-а0)к=1

62

Лекция №1263

Коррекция динамических свойств линейных САУ

Коррекция динамических свойств САУ осуществляется для обеспечения устойчивости неустойчивой системы, либо для повышения запас устойчивости, а так же как средство для обеспечения определенного качества переходных процессов.

Осуществляется коррекция с помощью введения в систему специальных корректирующих звеньев с особо подобранной передаточной функцией.

Принципиально корректирующие звенья могут включаться либо последовательно с основными звеньями САУ, либо параллельно им.

Соответственно по способу включения в САУ корректирующие звенья делятся на последовательные и параллельные.

- последовательное корректирующее звено.

Действие корректирующих звеньев сводится к следующему:1. Введение в контур САУ воздействий по производным и интегралам.2. Введение корректирующих обратных связей вокруг отдельных частей системы.3. Введение корректирующих воздействий в функции внешних воздействий и их

производных.

Последовательные корректирующие звенья

Наибольшее применение получили следующие последовательные корректирующие звенья:а) Пропорционально-дифференцирующее.б) Пропорционально-интегрирующее.в) Пропорционально-интегро-дифференцирующее.

1. Пропорционально-дифференцирующее звено.

Идеальное пропорционально-дифференцирующее звено имеет передаточную функцию:

Из передаточной функции видно, что в соответствии с назначением этого звена его выходная величина содержит две составляющие – пропорциональную входной величине, определяемую коэффициентом Кп и пропорциональную ее первой производной, определяемую коэффициентом Кд. Последняя составляющая может быть положительной или отрицательной.

64

Включение пропорционально-дифференцирующего звена в САУ приводит к тому, что передаточная функция разомкнутой системы умножается на передаточную функцию Wпд(р).

В результате левая часть дифференциального уравнения замкнутой САУ примет вид:

Так, как обычно R(p)=K, то введение дополнительного воздействия по производной позволяет изменить величину коэффициента при Р в первой степени в многочлене D(p).

Влияние пропорционально-дифференцирующего звена на качество переходных процессов рассмотрим на примере соединения этого звена с апериодическим звеном с передаточной функцией:

Передаточная функция такой цепочки:

Переходная функция такой цепочки имеет вид:

где hо(t) – переходная функция апериодического звена при отсутствии пропорционально-дифференцирующего звена.На рисунке 12.1 приведены характеристики h(t) для нескольких значений Кд:1 – отрицательное воздействие по производной2 – положительное воздействие по производной3 – Кд увеличили вдвое.

Рис.12.1 переходная функция апериодического звена при отсутствии пропорционально-дифференцирующего звена

Мы рассмотрели идеальное пропорционально-дифференцирующее звено. Реальное звено имеет передаточную функцию вида:

65

Рис.12.2 ЛАЧХ пропорционально-дифференцирующего звена

2. Пропорционально-интегрирующее звено

Передаточная функция такого звена имеет вид:

Таким образом, пропорционально-интегрирующее звено эквивалентно последовательному соединению интегрирующего звена и пропорционально-дифференцирующего звена.

Такое звено применяется вместо простого интегрирующего звена для повышения порядка астатизма в тех случаях, когда введение интегрирующего звена требует дополнительной коррекции для сохранения устойчивости или необходимого качества переходных процессов.

66

Рис.12.3 ЛАЧХ пропорционально-интегрирующего звена

3. Пропорционально-интегро-дифференцирующее звено.

Передаточная функция этого звена имеет вид:

Таким образом, пропорционально-интегро-дифференцирующее звено повышает порядок астатизма, как и пропорционально-интегрирующее, но при этом одновременно дает более сильную коррекцию динамических свойств (сигнал пропорциональный второй производной ).

Рис.12.4 ЛАЧХ Пропорционально-интегро-дифференцирующего звена

Параллельные корректирующие звенья

Рассмотрим коррекцию динамических свойств САУ осуществляется с помощью дополнительных обратных связей вокруг отдельных частей системы.При охвате звена с передаточной функцией Wо(p) обратной связью через корректирующее звено с передаточной функцией Wос(p) получим:

Корректирующие ОС помимо классификации на отрицательные и положительные делятся на жесткие и гибкие. Жесткая ОС осуществляется статическим звеном, то есть

когда ,а гибкая ОС – дифференцирующим звеном. В этом случае

Wо.с(0)=0.

67

Жесткие корректирующие обратные связи.

Рассмотрим вначале действие идеальной жесткой ОС. Её передаточная функция Wос(p)=Kос. В случае, если обратная связь охватывает простое апериодическое звено, когда:

имеем:

Таким образом в результате охвата апериодического звена жесткой обратной связью, его постоянная времени и коэффициент передачи изменяется в раз, то есть

они уменьшаются в случае отрицательной ОС и увеличиваются в случае положительной ОС.

В качестве корректирующей обратной связи применяется в основном отрицательная ОС для уменьшения инерционности.

Кроме того ООС имеет и другие достоинства: она уменьшает нелинейность статической характеристики звена.

Влияние ПОС противоположно влиянию ООС.

Гибкие корректирующие обратные связи.

Идеальная гибкая обратная связь имеет место, когда звено в цепи обратной связи представляет собой идеальное дифференцирующее звено.

Такая обратная связь называется обратной связью по скорости. В этом случае для звена с передаточной функцией:

имеем:

Таким образом, гибкая ОС не влияет на коэффициент передачи охватываемого звена, изменяет коэффициент при Р в знаменателе его передаточной функции.

Сравнение последовательных и параллельных корректирующих звеньев

В линейных системах оба рассмотренных типа коррекции эквивалентны, то есть последовательное звено может быть заменено параллельным и наоборот, при неизменных динамических свойствах САУ.

68

Однако, несмотря на эквивалентность обоих способов коррекции с точки зрения влияния их на передаточную функцию системы, обратные связи получили наибольшее распространение.

Во-первых – обратную связь легче реализовать из-за того, что на её вход поступает более мощный сигнал, чем уровень мощности в той точке системы, куда подключен выход цепи обратной связи.

Второе преимущество обратных связей - уменьшение влияния нелинейностей и нестабильности параметров звеньев.

Лекция №13

69

Порядок синтеза линейных САУ

Изложенные выше методы исследования САУ позволяют осуществить как анализ так и синтез линейных САУ.

Задача синтеза заключается в определении управляющего устройства в виде его математического описания для заданных объектов управления, требований к точности и качеству управления и условий работы, включая характеристики внешних воздействий, требование к надежности, весу, габаритам, потребляемой мощности.

Задачи синтеза есть всегда задачи на оптимум, поскольку требуется создать устройство, наилучшим образом удовлетворяющее всем требованиям.

Однако большое число требований и их разнообразие не дает возможности объединить их в одном сложном критерии и решить задачу синтеза как строго математическую задачу на экстремум этого критерия.

Поэтому практически синтез САУ разбивается на ряд этапов, на каждом из которых решается какая-то часть задачи синтеза, то есть рассматривается какой-либо аспект. При решении отдельных задач могут быть использованы методы оптимизации.

Рассмотрим общий порядок поэтапного синтеза САУ.При синтезе САУ решается следующие задачи:1. Определяется порядок астатизма и коэффициент передачи САУ.2. Определяется основная (то есть неварьируемая) часть САУ.3. Осуществляется выбор коррекции и составляется структурная схема.4. Осуществляется построение переходных процессов.

Коэффициент передачи определяется исходя из точности САУ в установившихся режимах при детерминированных воздействиях.

Чем больше коэффициент передачи, тем меньше ошибка САУ. При этом, если коэффициент передачи системы, определенный по требуемой величине статической (скоростной) ошибки оказывается большим и приводит к потере устойчивости, то необходимо повысить порядок астатизма системы.

На этом же этапе решается вопрос о применении воздействий по основному возмущению (или нескольким возмущениям) то есть решить вопрос о переходе к комбинированной САУ. Переход к комбинированной САУ целесообразно осуществить в тех случаях, когда имеется возможность достаточно просто изменить возмущение. Кроме того, следует помнить, что воздействия по внешним возмущениям повышают качество переходных процессов.

При определении основной части системы необходимо руководствоваться тем, что обычно часть звеньев САУ однозначно определяется сразу непосредственно по заданию на разработку системы. Сюда относятся прежде всего объект управления и смежные с объектом управления исполнительные и чувствительные звенья управляющего устройства. Однако при окончательном выборе этих звеньев необходимо исходить из предъявляемых к САУ требований по точности и быстродействию.

Кроме того, часто заданными оказываются и другие звенья управляющего устройства (преобразователи, усилители, вычислительные устройства).

В результате составляется основа структурной схемы САУ, которая должна быть дополнена корректирующими звеньями, обеспечивающими требуемое качество и степень устойчивости.

Кроме того, некоторые из параметров основных звеньев системы могут оказаться неопределенными, то есть варьируемыми и, следовательно, подлежащими определению.

70

При невысоких требованиях к качеству переходных процессов и точности выбор корректирующих звеньев, а так же варьируемых параметров осуществляется по условию обеспечения устойчивости с получением достаточно большой области устойчивости в пространстве варьируемых параметров.

При достаточно высоких требованиях к качеству переходных процессов или точности может оказаться, что эти требования нельзя удовлетворить путем выбора значений параметров корректирующих звеньев, которые раньше были выбраны только по условию устойчивости и требуется дополнительная коррекция. Поэтому в таких случаях требуется синтезировать коррекцию, сразу исходя из требования к качеству переходных процессов и к устойчивости.

При выборе метода синтеза корректирующих устройств (корневые, интегральные, частотные) следует руководствоваться следующими рекомендациями:

При синтезе САУ на заданное качество переходных процессов использование корневых интегральных критериев синтеза требует предварительного выбора корректирующих звеньев. Сами эти методы позволяют лишь определять числовые значения параметров этих звеньев.

При использовании частотных методов синтеза находится частотная характеристика варьируемой части системы. Эту часть системы можно синтезировать с помощью любых корректирующих звеньев.

Если применяется последовательное корректирующее звено, найденная частотная характеристика варьируемой части системы и будет являться непосредственно частотной характеристикой этого корректирующего звена.

По ней затем определяется передаточная функция этого звена.Если предлагается применить корректирующую ОС, её передаточную функцию

можно легко найти по ранее полученной передаточной функции последовательного корректирующего звена с помощью формулы:

Если одновременно используется последовательная и параллельная коррекция, то из полученной передаточной функции варьируемой части системы выделяется сначала передаточная функция последовательного корректирующего звена, а затем по оставшейся части этой передаточной функции находится передаточная функция звена ОС.

Построение переходных процессов – завершающий этап синтеза САУ. По кривой переходного процесса судят о том, добились ли мы требуемого качества или нет.

Лекция №14Корневой метод синтеза САУ

71

В основе этого метода лежит зависимость показателей качества САУ от характера расположения корней характеристического уравнения. Чем дальше от начала координат располагаются вещественные части корней, тем больше запас устойчивости у САУ и лучше показатели переходного процесса.Пусть характеристическое уравнение имеет вид:

Сумма вещественных частей всех корней равна коэффициенту А1Например:

Поэтому необходимо выбирать эти параметры таким образом, чтобы максимизировать этот коэффициент.

Пусть в процессе синтеза осуществляется выбор коэффициента передачи регулятора Кр.

Решить эту задачу можно максимизируя коэффициент А1.А1(Кр)max

В результате решения оптимизационной задачи определяется численные значения коэффициента регулятора.

Метод корневых годографов

Качество системы автоматического управления с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы.

Зная эти корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости корней.

При расчете САУ целесообразно проследить как меняется общая картина расположения корней при изменении отдельных параметров (например общего коэффициента усиления) с целью определения оптимальных значений этих параметров.

При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корневым годографом. Построив траектории всех корней, можно выбрать такие значения варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположению корней.

Синтез САУ по ЛЧХ

Наиболее приемлемы для целей синтеза САУ логарифмические амплитудные характеристики, так

72

как их построение может проводиться практически без вычислительных работ. Особенно удобны асимптотические ЛАЧХ.Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции:

1. Построение желаемой ЛАЧХ. Это делается на основе заданных требований к проектируемой системе.

2. Построение исходной (располагаемой ЛАЧХ). Обычно под исходной системой подразумевается система состоящая из объекта управления и регулятора не снабженная необходимыми корректирующими средствами.

3. Определение вида параметров корректирующего устройства:

73

Передаточная функция корректирующего устройства имеет формулу:

В низкочастотной области характеристика проходит на уровне 20lgK, отсюда определяется К. Затем находятся сопрягающие частоты:

Числитель передаточной функции обозначает наклон (+20дб/дек), а знаменатель (-20дб/дек).Степени числителя и знаменателя увеличивают наклон в соответствующее количество раз.Для рисунка передаточная функция записывается следующим образом:

Таким образом, при использовании ЛАЧХ весьма легко осуществляется синтез последовательных корректирующих средств, так как ЛАЧХ корректирующего средства получается простым вычитанием ординат располагаемой

ЛАЧХ из ординат Желаемой ЛАЧХ.

4. Техническая реализация корректирующих средств.По виду ЛАЧХ необходимо выбрать схему и параметры корректирующего звена.В случае необходимости последовательное звено может быть пересчитано на эквивалентное параллельное звено или обратную связь.

74

5. Проверочный расчет и построение переходного процесса

Типовые ЛАЧХ

Желаемые свойства проектируемых систем можно определить с помощью типовых ЛАЧХ. При их рассмотрении ограничимся системами с единичной обратной связью, имеющих минимально-фазовые частотные характеристики. К минимально фазовым системам относятся системы, передаточные функции которых не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости. У этих систем имеется однозначная связь между АЧХ и ФЧХ, поэтому при выполнении различных расчетов есть возможность пользоваться лишь ЛАЧХ.Учитывая, что спектр задающего воздействия (полезного сигнала) сосредоточен в области низких частот ( в то время как возмущения распределены в широком частотном диапазоне), частотный диапазон, в котором располагается ЛАЧХ системы можно условно подразделить на следующие области:

75

1. Область очень низких частот, характеризует порядок астатизма по задающему воздействию.

2. Область низких частот, где сосредоточена основная энергия задающего воздействия. Эта область определяет динамические ошибки САУ.

3. Область средних частот, в которой вид ЛАЧХ характеризует устойчивость САУ и качество переходных процессов.

4. Область высоких частот, где необходимо фильтровать случайные возмущения.

Наклон характеристики в области 1 определяется порядком астатизма системы.Наклон в области 2 должен выбираться исходя из требований к динамической точности.В области средних частот 3 наклон асимптотической ЛАЧХ должен быть не более 20дб/дек.Ход ЛАЧХ в области высоких частот 4 выбирается различным, но чем круче идет ЛАЧХ, тем лучше фильтруется высокие частотные помехи.

Связь параметров ЛАЧХ с показателями качества переходного процесса

По виду ЛАЧХ можно приближенно оценить время переходного процесса на единичное ступенчатое воздействие:

и перерегулирование:

где – запас устойчивости по фазе в градусах.

76

Показатель колебательности :

Коэффициенты ошибок:

где: - максимально допустимая ошибка по n-ой производной задающего воздействия.

- максимальное значение n-ой производной. В ТАУ есть таблицы устанавливающие связь между перерегулированием и запасом устойчивости по фазе и амплитуде.

Порядок синтеза, представленный в книге Бесекерского "ТСАР" следующий:Для построения низкочастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ проводится прямая под наклоном (-20 дб/дек), что соответствует астатизму первого порядка. Продолжение асимптоты должно пересечь ось частот при частоте, равной желаемой добротности по скорости(Kv) в точке:

где с1 – коэффициент ряда ошибок.

Сопрягающая частота w1 определяется по формуле:

77

где Кε – добротность по ускорению.

Далее определяется частота среза:

где WП – частота положительности.

Среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ образуется асимптотой с наклоном 20 дб/дек.При построении желаемой ЛАЧХ нужно следить, чтобы она как можно меньше отличалась от располагаемой.Обычно частота среза и запас устойчивости по фазе задаются. При этом:

тогда w2 определяется из условия:

где Ti – постоянная времени передаточной функции минимально-фазовых звеньев разомкнутой САУ.К – порядок системы.

Если же значение запаса устойчивости по фазе не задано, то w2 и w3 выбираются из выражений:

Частоту среза можно определить, если задано перерегулирование:

связь между Wп и временем переходного

процесса.

78

79