ЛЕКЦИЯ 7 

Дискретно преобразуване на Фурие (ДПФ). Основни функции на ДПФ. Алгоритъм на анализа на Фурие. Представяне на сигнала в честотната област в декартова и полярна координатна система.

Алгоритъм на синтеза на Фурие. 

Анализ на Fourier е семейство от математически техники, които са базирани на разлагане на сигналите на синусоиди.

Дискретно преобразуване на Fourier, ДПФ, се използува с дискретизирани сигнали. Реалното ДПФ е версия на ДПФ, която използува реални числа за представяне на входните и изходните сигнали. Комплексното ДПФ използува комплексни числа.

На фиг. 1, 2, 3 е показано разлагането на сигнал на синусоиди и косинусоиди.

 

 Фиг. 1.  Входен сигнал

 На фиг.1 е показан примерният сигнал с дължина 16 точки, от

номер 0 до номер 15. Фиг. 2 и 3 показват разлагането на този сигнал на 9 косинусоидни и 9 синусоидни сигнала, всеки от които с различна честота и амплитуда.

Цел на разлагането е да се получи нов вид на сигнала, който е по-лесен за анализ и обработка. Синусоидалните и косинусоидалните вълни са по-прости в сравнение с входния сигнал. Те притежават свойството синусоидална точност. Когато входният сигнал на една система е синусоидален, изходният сигнал е винаги синусоидален. Амплитудата и фазата на сигнала може да се променят, но честотата и формата остават същите. Само синусоидалните вълни имат това свойство.

Терминът Преобразуване на Fourier обхваща 4 форми, произлизащи от четирите вида сигнали, които може да се срещнат.

Входният сигнал може да бъде непрекъснат или дискретен, може да бъде периодичен или апериодичен

Апериодични - непрекъснати сигнали – тук спадат затихващи екцпоненциални функции, кривата на Gauss. Тези сигнали се простират от   - до + без да се повтарят периодично. Преобразуването на Fourier на този вид сигнали е наречено Преобразуване на Fourier (Fourier transform).

 

Фиг. 2. Косинусоидни съставки на сигнала от фиг. 1. 

Фиг. 3. Синусоидни съставки на сигнала от фиг. 1. 

 Периодични - непрекъснати сигнали – синусоидални вълни,

правоъгълни вълни и вълни с всякаква форма, които се повтарят хармонично от  - до  +. Преобразуването наFourier на този вид сигнали е наречено Поредици на Fourier (Fourier series)

Апериодичн - дискретни сигнали – тези сигнали са дефинирани като дискретни точки между - и  + и не се повтарят периодично.  Преобразуването на Fourier на този вид сигнали е наречено Преобразуване на Fourier в дискретно време (Discrete Time Fourier Transform)

Периодични - дискретни сигнали са които се повтарят периодично от - до +. Този клас на  Fourier преобразуване понякога се нарича Дискретни серии на  Fourier (DiscreteFourier Series), но по-често се нарича Дискретно преобразуване на  Fourier (Discrete Fourier Transform)

И четирите вида сигнали се простират от - до  +. Не съществува вид преобразуване на  Fourier, което да работи със сигнали, които са крайни във времето, защото синусоидите и kосинусоидите са дефинирани от - до  +. Не могат да бъдат използувани безкрайни сигнали, за да се синтезира нещо крайно. Един начин да се заобиколи този парадокс е да се направят крайните сигнали да изглеждат като безкрайни. Това се прави, като към действителния краен сигнал, отляво и отдясно се добавят безкраен брой стойности и по такъв начин той се простира от - до +. Ако тези въображаеми дискретни стойности имат стойност нула, сигналът изглежда като дискретен апериодичен и се използува Преобразуването на Fourier в дискретно време. Ако въображаемият сигнал е дублиране на съществуващ брой от дискретни стойности, тогава сигналът изглежда като дискретен периодичен и се прилага Дискретното преобразуване на  Fourier

  

Преобразуване на FourierНепрекъснат, апериодичен сигнал

Поредици на FourierНепрекъснат, периодичен сигнал

Преобразуване на Fourier в дискретно време

Дискретен, апериодичен сигнал

Дискретно преобразуване на Fourier

Дискретен, периодичен сигнал

 

Фиг. 4. Версии на преобразуването на Fourier. 

Непрекъснати сигнал;и не могат да се представят посредством цифрова мишина. За да бъде синтезиран апериодичен сигнал са нужни безкраен брой синусоиди, което прави невъзможно използуването на Преобразуване на Fourier в дискретно време в компютърен алгоритъм.

Единственият тип преобразуване на Fourier, което може да се използува в цифровата обработка на сигналите е Дискретното преобразуване на  Fourier, тъй като компютрите могат да работят само с дискретни и крайни стойности.

Оказва се че 16 дискретни стойности на сигнала от фиг. 1. се разлагат на 18 синусоиди, всяка от които се състои от 16 стойности. Формално погледнато тези 16 дискретни стойности на сигнала биха могли да се разглеждат като един сегмент на безкрайно дълъг периодичен сигнал. Подобно, всяка от 18-те синусоиди би могла да се разглежда като един 16 точков период на безкрайно дълъг сигнал.  На първо време изглежда че е все едно дали се разглежда, че един безкраен сигнал е синтезиран от безкрайно дълги синусоиди, или че един 16 точков краен сигнал е синтезиран от 16 точкови синусоиди (не безкрайно дълги). Необходимостта да се допуска безкрайна продължителност на сигналите се изисква от математическият апарат, който се използува. Обикновено е без значение откъде и по какъв начин е получен сигналът.

Всяко от четирите вида преобразувания на Fourier може да се раздели на реална и комплексна версия. Реалната версия е най-простата, която използува обикновени числа и алгебра, за синтеза и разлагането. В комплексните версии за представяне на сигналите се използуват комплексни числа.

 

 Фиг. 5.Терминология на ДПФ

 Система за означаване при реалното ДПФКакто е показано на фиг 5, дискретното преобразуване

на Fourier променя входен сигнал, който се състои от N точки в два N/2 + 1 точкови изходни сигнала. Входният сигнал съдържа сигнала, който трябва да се разложи, докато двата изходни сигнала съдържат амплитудите на компонентите (синусоидни и косинусоидни  вълни) с определени амплитуди. Казва се, че входният сигнал е във временен домейн (time domain). Това е по причина, че най-общо сигналите, които се подлагат на цифрова обработка се състоят от дискретни стойности, които се отчитат през еднакви периоди време. Терминът честотен домейн (frequency domain) се използува за да се опишат амплитудите на синусоидалните и косинусоидалните съставки.

  

   

 Фиг. 6. Пример на ДПФ.

 Честотният домейн съдържа точно същата информация, каквато

се съдържа във временния домейн, но в различна форма. Ако е известен единият домейн, другият може да бъде изчислен. Процесът

на изчисляване на честотния домейн от временния домейн се нарича право преобразуване на Fourier или анализ на Fourier. Изчисляване на временния домейн с входна величина честотния домейн се нарича обратно преобразуване на Fourier (inverse Fourier transform) или синтез.

Броят на дискретните стойности във временния домейн се представя посредством променливата N. Тя е цяло положително число и тъй като най-ефективният алгоритъм за изчисляване на ДПФ, Бързото преобразуване на Fourier, използува N като степен на 2, то обикновено се избира N = 128, 256, 512 и т.н.

Стандартното означение използува малки букви за означаване на сигналите във временен домейн. Съответните главни букви се използуват за представяне на същите сигнали в честотен домейн - фиг. 5.

 Независима променлива на честотния домейнНа фиг. 6 е показан пример на ДПФ с N=128. Сигналът от

временния домейн се намира в масив x[0] до x[127]. Сигналите от честотния домейн се намират в масивите Re X[0] доRe X[64] и Im X[0] до Im X[64]. 128 точки от временния домейн съответствуват на 65 точки във всеки от сигналите в честотния домейн. С други думи N точки във временния домейн съответствуват на N/2 +1 точки в честотния домейн.

Хоризонталната ос (абсцисата) на честотния домейн може да се дефинира по четири начина.

1. Ако е разграфена от 0 до 64 тя съответствува на от 0 до N/2 дискретни стойности от масивите. Когато се използува това означение, индексът в честотен домейн е цяло число к – например в Re X[k], Im X[k] к се променя от 0 със стъпка 1. Това означаване е използувано във фиг. 6б.

2. Вторият метод, използуван в 6с, хоризонталната ос е означена като части от честотата на дискретизация. Това означава че стойностите винаги ще бъдат между 0 и 0,5 от честотата на дискретизация (според теоремата на Nyquist, Котелников). Използува се индекс f (честота) и реалните и имагинерните части се записват като Re X[f], Im X[f], където f има стойности N/2 + 1 еднакво разпределени стойности между 0 и 0,5. За да се преобразува от първия начин на означаване к във втория начин f, е необходимо стойностите по хоризонталната ос да се разделят на N или с други думи f=k/N.

3. Третият начин използува хоризонтална ос като начин 2, но умножена по 2. Индексът, който се използува e  и реалните и имагинерните части са Re X[], Im X[]. Параметърът  се нарича натурална честота и се измерва в радиани.

Косинусоидална вълна,записана по всеки от трите начина:

1.                  посредством  к:    c[n] = cos(2kn/N)2.                  посредством  f:     c[n] = cos (2fn)3.                  посредством  :    c[n] = cos(n)

4. Четвъртият начин е да се използуват абсолютните аналогови честоти на определеното приложение. Ако честотата на дискретизация е 10 KHz, то графиките в честотен домеин трябва да се чертаят от 0 до 5 KHz.

 Основни (базови) функции на ДПФКосинусоидалните и синусоидалните вълни, които се използуват

в ДПФ се наричат основни функции на ДПФ. С други думи изходът от ДПФ е поредица от числа, които представят амплитудите. Основните функции са поредица от синусоиди и косинусоиди с единична амплитуда. Ако на всяка синусоида или косинусоида (базова функция), се зададе подходящата амплитуда, резултатът е поредица от претеглени синусоиди и косинусоиди, които могат да се добавят, за да формират сигнала във временен домейн.

Базовите фумкции на ДПФ се генерират от равенствата: 

,                                                                     (1)

където c  [ ] косинусоидална вълна за амплитудата, която се

намира в  Re X[k] а s [ ]  е синусоидалната вълна за амплитудата, която се намира в Im X[k].

Пример: на фиг. 7 са показани някои от 17-те синусоиди и косинусоиди, , които се използуват в 32 точково ДПФ. Тъй като тези синусоиди се събират, за да формират входния сигнал, те трябва да са със същата дължина като него. Всяка от тях има по 32 точки - от i = 0 до 31. Параметърът k определя честотата на всяка синусоида.

Конкретно c [ ] eкосинусоидата, която прави един цикъл за N точки, c  [ ]  е косинусоидална вълна, която прави 5 цикъла за N точки.

На фиг. 7a е изобразена косинусоидалната вълна c [  ]. Тя има честота= 0 и амплитуда=1. Това означава че Re X[0] съдържа средната стойност на всички точки във временен домейн. Това е постоянната съставка на сигнала. Синусоидата с амплитуда =0 е изобразена на 7б. Стойността на Im X[0] е винаги 0.

Фигури 7c и 7d изобразяват c [ ]  и  s [ ] – вълните, които завършват 2 цикъла за N точки. Те съответствуват на Re X[2] I Im X[2] съответно. Независимо, че дискретните стойности

от 7е и 7f не изглеждат като sin и cosin вълни ако не са начертани непрекъснатите линии, от гледна точка на математиката те са верни.

Най-високите честоти са показани на фиг. 7g и 7h. Те са c

[ ]  и s [ ], съответствуващи на c  [ ] и s  [ ]. Дискретната косинусоида се променя между –1 и +1, което може да се интерпретира като дискретизиране на непрекъсната синусоида по максимумите.

Фиг. 7. Основни функции на ДПФ.Дискретизирането на непрекъснатата синусоида съдържа само

нули, което е равносилно на дискретизация само в местата, където тя пресича оста х. Това прави стойностите на Im X[N/2] по същия начин както стойностите на Im X[0] винаги нула и не влияещи крайната стойност на синтезирания във временен домейн сигнал.

По този начин има еднозначно съответствие между входящия ( N дискрети) и изходящия сигнал (N+2 дискрети от които  две (Im X[N/2] и Im X[0] ) не носят информация).

 Синтезиране (инверсно ДПФ) Равенството, което се използува за синтезиране на сигнала във

временен домейн:

(2)Всеки дискретен сигнал х[i], който се състои от  N точки може да

се създаде при добавяне N/2 + 1 косинусни и N/2 + 1 синусни вълни. Амплитудите на вълните се намират съответно в масивите   Im [k]  и     Re  [k].

В уравнение (2) масивите са наречени Im  [k] и Re  [k] за разлика от Im X[k] и Re X[k]. Това е по причина че необходимите за

синтез амплитуди (означени като  [k] и Re  [k] ) са различни от амплитудите в честотен домейн означени като Im X[k] и Re X[k]. Отношението между различните амплитуди се изразява посредством равенствата (3):

 

                                                                    (3)

с изключение на двата специални случая: 

                                                                  (4)

 където к=0 до k= N/2   

 Фиг. 8. Пример за инверсно ДПФ. Сигналът във временен домейн

е импулс (дискрета 0) с амплитуда 32 единици. Реалната част на сигнала е показана на 8b - константна стойност с амплитуда 32 единици.  Амплитудите на косинусоидите, необходими за възстановяване на (а) според равенство 2. Стойностите на (c) са намерени от (b) според равенство 3. Имагинерната част съдържа само нули и не е показана на фигурата.

 Обяснение на формулитеАмплитудите в честотния домейн са различни от амплитудите,

които се използуват за синтезиране на временния домейн, тъй като честотният домейн е дефиниран като спектрална плътност (spectral density). Пример е показан на фиг. 9 - реалната част на сигнал от 32 точки. Дискретните стойности от 0 до 16 представят 17 честоти са еднакво разпределени между  0  и  ½  от дискретизиращата честота.

Спектралната плътност описва как амплитудата е разпределена за единица честотна лента. За да се превърне амплитудата на синусоидалните вълни в спектрална плътност е необходимо да се раздели всяка амплитуда на честотната лента представена посредством всяка амплитуда.

Както е показано на фигурата, честотната лента може да бъде представена чрез начертаване на разделителни линии междуотделните дисктрети. Дискрета 5, например, е в честотната лента между 4,5 и 5,5. Изразено в част от цялата честотна лента, която е 1, ширината на честотната лента на всяка дискрета (съществуват N/2+1 дискрети) е 2/N, като само дискретите в края имат ширина на честотната лента 1/N. Отрицателният знак се добавя към имагинерната част, за да бъде реалното ДПФ в съответствие с комплексното ДПФ.

 

 Фиг. 9. Обяснение на формулите

 Анализ (пресмятане на ДПФ)Пресмятане на ДПФ се извършва по формулите:

                                        (5) Обяснението им се илюстрира от фиг. 10. Разглеждат се два

сигнала във временен домейн. Единият от тях, x1[ ], е синусоида, която прави 3 пълни периода (Im X[3]) за 64 точки (0 до 63). Другият, x2[ ] е съставен от няколко синусоидални и косинусоидални сигнала, но никой от тях не прави 3 периода между точките 0 и 63. Когато първият сигнал се подаде на алгоритъма, той извежда синусоидата от 10е, а след сумиране - стойност 32- амплитудата на синусоидалната вълна, присъстваща в сигнала. Когато на алгоритъма се подаде вторият сигнал, той извежда сигнала от 10f, а

 Фиг. 10. Анализ на Fourier

 след сумиране-стойност 0. Това е индикация че търсената синусоидална вълна, която прави 3 периода между 0 и 63 точки, не присъствува в сигнала.

Или - за да се открие присъствието на позната форма на вълна в сигнал е необходимо да се умножат двата сигнала и да се сумират точките на получения сигнал. Числото, което се получи след тази процедура, определя колко подобни са тези два сигнала.

 Окончателно:Всяка дискрета на сигнала в честотен домейн се намира

посредством умножаване на сигнала от временния домейн със синусоидата или косинусоидата, която търсим и сумиране на получените точки.

 При анализа не се изисква специално третиране на първата и

последната точки както при синтеза.  Отрицателният знак пред имагинерната част се поставя за да има съответствие между реално и комплексно ДПФ.

Единствено изискване за да може да се използува този метод е базисните функции да са ортогонални една на друга. Това означава,

че ако се умножат кои да са две базови функции и точките се сумират, резултатът трябва да е нула.

 Полярни координати при ДПФПредставянето на сигнала в честотен домейн е група от

амплитуди на синусоиди и косинусоиди. Това представяне се нарича правоъгълно представяне (от правоъгълна координатна система).

Алтернативно, честотният домейн може да се представи посредством полярни координати. Масивите Re X[ ] и Im X[ ]се заместват с два други масива, наречени Амплитуда иФаза на Х (Magnitude of X, Mag X[ ], Phase of X, Phase X[ ] ). Амплитудата и фазата отговарят на всеки 2 двойки реална и имагинерна част. Обяснението е: когато се добави косинусна и синусна вълна с една и съща честота, получава се косинусна вълна със същата честота, но с друга фаза. Посредством уравнение това се изразява:

                                                (6) 

 Фиг. 11. Представяне в полярни координати

Никаква информация не се загубва при преобразуването и това което се съдържа в А и B  след равенството се съдържа в М и . Фиг. 11 илюстрира равенство 6.

Следните равенства преобразуват честотния домейн от правоъгълни към полярни координати:

 

                                                (7)

 Представянето на ДПФ по два начина позволява то да се

възприема различно.В правоъгълни координати, ДПФ разлага сигнал от N точки

в N/2 + 1 косинусоиди и N/2 + 1 синусоиди, всяка от които с определена амплитуда.

В полярни координати, ДПФ разлага сигнал от N точки в N/2 + 1 косинусоиди, всяка от които с определена амплитуда и фаза. Използуват се косинусоиди вместо синусоиди, тъй като синусоиди не могат да представят постоянната съставка на сигнала.

Правоъгълни координати са пригодни за използуване в компютърните програми. Графиките се чертаят в полярни координати, тъй като те са по-ясни за възприемане от хората.