Πράξεις Πραματικών - Γ Γυμνασίου

ΜΕΡΟΣ Α΄ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

3 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι το:

Ν = 0, 1, 2, 3, 4, ... Επίσης, το σύνολο των φυσικών αριθμών και των αρνητικών που προκύ-πτουν από τους φυσικούς, όταν βάλουμε μπροστά το πρόσημο “–”, λέγεται σύνολο των ακεραίων αριθμών. Δηλαδή, το σύνολο των ακεραίων αριθ-μών είναι:

Ζ = ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... . Όλοι οι φυσικοί, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοι-χους αρνητικούς, σχηματίζουν το σύνολο των ρητών αριθμών. Δηλαδή, έχουμε ότι:

Q = yx , όπου x είναι ακέραιος, y είναι ακέραιος εκτός από το 0

Κάθε αριθμό που δεν είναι ρητός τον ονομάζουμε άρρητο αριθμό. Το σύνολο που αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς ονο-μάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το παριστάνουμε με τα σημεία ενός άξο-να, όπως φαίνεται παρακάτω:

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με | α | και εί-ναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α , από την αρχή του άξονα . Για παράδειγμα ,

3- = 3, 5 = 5 , 0=0 , 21=

21-

Α


4

ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πρόσθεση Ομόσημοι: Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές και πρόσημο βάζουμε το ίδιο. Έτσι έχουμε π. χ.:

(+6) + (+4) = +10 και (–4) + (–5) = –9 Ετερόσημοι: Αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή τη μικρότερη και πρόσημο βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη α-πόλυτη τιμή. Έτσι έχουμε π.χ.:

(–9) + (+5) = –4 και (+8) + (–5) = +3. Ιδιότητες Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε:

Σχόλια: • Η αντιμεταθετική ιδιότητα ουσιαστικά μας λέει ότι μπορούμε σ’ ένα ά-

θροισμα να εναλλάσσουμε τη θέση των προσθετέων, ενώ η προσεταιρι-στική μας λέει ότι μπορούμε να τους προσθέσουμε με όποια σειρά θέ-λουμε.

• Όταν στη διάρκεια των πράξεων συναντάμε άρρητους, τους αντικαθι-στούμε με τις ρητές προσεγγίσεις τους.

Πολλαπλασιασμός Ομόσημοι: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε θετικό πρό-σημο. Έτσι έχουμε π.χ.:

(+6) ⋅ (+7) = +42 και (–7) ⋅ (–3) = +21

Ετερόσημοι: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε αρνητικό πρόσημο. Έτσι έχουμε π.χ.:

(+5) ⋅ ( –4) = –20 και (–7) ⋅ (+4) = –28. Ιδιότητες Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε:

• α + β = β + α αντιμεταθετική • γ+ β) + (α = γ)+ (β + α προσεταιριστική • α = 0 + α ουδέτερο στοιχείο το 0 • 0 = (-α) +α το άθροισμα αντιθέτων είναι 0


5

Αφαίρεση Η πράξη της αφαίρεσης γίνεται με την βοήθεια της πρόσθεσης. Δηλαδή αν θέλουμε να αφαιρέσουμε έναν πραγματικό αριθμό από έναν άλλο, τότε προσθέτουμε στον μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Δηλαδή:

(-β) + α = β- α Για παράδειγμα είναι:

(–7) – (–5) = (–7) + (+5) = –2 και (+8) – (+6) = (+8) + (–6) = +2 Διαίρεση Η πράξη της διαίρεσης γίνεται με την βοήθεια του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή αν θέλουμε να διαιρέσουμε έναν πραγματικό αριθμό με έναν άλλο, τότε πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δη-λαδή:

0≠β , β1

. α = βα

= β : α

Για παράδειγμα είναι:

( ) ( ) ( )23

-=46-

=4

1.6-=4-:6 και ( ) 3 = )

91

-.( 27- = 9-27-

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν έχουμε αθροίσματα με περισσότερους από δύο όρους τότε: Πρόσθεση: • Προσθέτουμε τους όρους ανά δύο αρχίζοντας από αριστερά. Για παρά-

δειγμα είναι: (–7) + (+6) – (–4) + (–4) = (–1) – (–4) + (–4) = (–1) + (+4) + (–4) = (+3)

+ (–4) = –1 • Προσθέτουμε πρώτα όλους τους θετικούς όρους και μετά τους αρνητι-

κούς οπότε στο τέλος προκύπτει μια πρόσθεση δύο ετεροσήμων όρων. Για παράδειγμα είναι:

(–7) + (+6) – (–4) + (–4) = (–7) + (+6) + (+4) + (–4) =

• α β. = α.β αντιμεταθετική • (α.β).γ = .γ) α.(β προσεταιριστική • α = .1 α ουδέτερο στοιχείο το 1 • 0 = 0 α. το 0 απορροφητικό στοιχείο

• 0≠α 1, = α1

. α γινόμενο αντιστρόφων ίσον 1

• αγ ±αβ = γ) ±(β α επιμεριστική • .δ β + β.γ + α.δ + γα. = δ) + β).(γ + (α επιμεριστική


6

( ) ( ) -1= (-11) + (+10) = 4- + 7- + (+4) + (+6)αρνητικοιθετικοι

4342143421

(–7) + (+6) – (–4) + (–4) = (–7) + (+6) + (+4) + (–4) = (–7) + (+6) = -1 Πολλαπλασιασμός: • Μετράμε το πλήθος των αρνητικών παραγόντων. Αν το πλήθος είναι άρ-

τιος αριθμός, τότε βάζουμε πρόσημο θετικό. Αν το πλήθος είναι περιττός αριθμός, τότε βάζουμε πρόσημο αρνητικό. Ως αριθμητική τιμή του απο-τελέσματος τοποθετούμε τον αριθμό που προκύπτει αν πολλαπλασιά-σουμε τις απόλυτες τιμές όλων των παραγόντων. Για παράδειγμα είναι:

(+5,6) ⋅ (–6) ⋅ (–1,2) ⋅ (–4,3) = –173,376. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σημειώνοντας Χ στην κατάλ-ληλη θέση .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το 30, είναι ρητός γιατί 33,=10x→30,=x αν από την δεύτερη αφαι-ρέσουμε την πρώτη ισότητα έχουμε 3=9x→3=x-10x οπότε είναι

31

=93

=x . To -0, 8 είναι ρητός γιατί108

-=0,8- . Το 4=16 επομένως

είναι ακέραιος. Το 3,14 είναι ρητός γιατί 100314

=3,14 .

2. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) – 3 + 7 = +4

β) – 6 + 6 = 0

γ) – 2 – 9 = –11.

δ ) ( )32

-=31

.2-

ε) 0=)72

-0.(

α) Αφαιρούμε την μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά τους βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

β) Άθροισμα αντιθέτων.

γ) Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά τους βάζουμε πρόσημο, το κοινό τους πρόσημο.

δ) Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο – .

ε) Είναι α ⋅ 0 = 0.

- 3 2

1

6

30,

- 0,8

3

16

3,14

π 7

22

Ακέραιος Χ Χ Χ Ρητός Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Άρρητος Χ Χ


7

στ ) 145.

54

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

ζ) ( ) ( )25

125.6

5126 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−÷−

η) ( )52

41.

584:

58

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

θ) 143.

34

34:

34

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

στ) Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο +.

ζ) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

η) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

θ) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

3. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) (– 3⋅2 – 5) x = –11x

β ) – 3⋅ (2 – 5 x) = –6 + 15x

γ) – 3⋅ (2 – 5) x = + 9x

δ) – 2 (x – 3) = – 2 x + 6

ε ) (3 + x) ⋅ (2 +y) =

=6+3 y+2x+x.y

στ) 4 (3 x + 2) = 12 x + 8

α) Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρέν-θεση

β) Επιμεριστική ιδιότητα

γ) Πράξεις στην παρένθεση και πολ/σμός με -3

δ) Επιμεριστική ιδιότητα.

ε) Είναι α ⋅ 0 = 0. στ) Επιμεριστική ιδιότητα

4. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i) Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε:

α) είναι ομόσημοι β) έχουν ίσες απόλυτες τιμές γ) έχουν γινόμενο μηδέν δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα .

ii) Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε: α) είναι ετερόσημοι β) έχουν άθροισμα μηδέν γ) έχουν ίσες απόλυτες τιμές δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Η σωστή απάντηση είναι η β. Για παράδειγμα 33 =− .

ii) Η σωστή απάντηση είναι η δ. Για παράδειγμα 121.2 =

5. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.


8

β) Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός. γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός. δ) Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό είναι αρνητι-κοί.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι σωστή (Σ) γιατί, για να προκύψει το γινόμενο τους 1, δηλαδή θετικός πρέπει να είναι ομόσημοι. β) Είναι λάθος (Λ) γιατί ,αν είναι αρνητικοί θα έχουμε για παράδειγμα (-3)+(-4)=-7 γ) Είναι λάθος (Λ γιατί ,μπορεί να είναι και μηδέν. δ) Είναι σωστή (Σ) γιατί ,επειδή το γινόμενο των δύο αριθμών είναι θε-τικό συμπεραίνουμε ότι είναι ομόσημοι. Επίσης , επειδή το άθροισμά τους είναι αρνητικό , οι ομόσημοι αυτοί αριθμοί είναι αρνητικοί.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Nα κάνετε τις πράξεις:

α) 2 + 3⋅ 4 – 12 :(– 4) + 1 β) 2 +3⋅ (4 – 12) : (– 4 + 1) γ) –3 ⋅(–2) – 5 + 4:(–2) – 6 δ) –8 : (–3 + 5) – 4⋅ (–2 + 6)

α) 2 + 3⋅ 4 – 12 :(– 4) + 1= =2+12+3+1=18. β) 2 +3⋅ (4 – 12) : (– 4 + 1)= = 2+3.(-8):(-3)=2+(-24):(-3)= =2+8=10. γ) –3 ⋅(–2) – 5 + 4:(–2) – 6= + 6 – 5 – 2 – 6 = – 7 δ) –8 : (–3 + 5) – 4⋅ (–2 + 6) = –8 : ( + 2) – 4⋅ ( + 4) = – 4 – 16= – 20

α) Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις. β) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις , κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τελειώνουμε με τις προσθέσεις. γ) Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. δ) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις , κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τελειώνουμε με τις προσθέσεις.

Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον.

– (5 – 4) – ( +2) + (–6 +4) – (–7) =

ΑΣΚΗΣΗ 1

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 2

2


9 4 – ( – 2 + 6 – 3 ) + ( – 9 + 6 ) = 14 + ( – 6 + 5 – 3) – ( – 4 – 1) ⋅ (–2) = (–3) ⋅ (–2) + 4 – (+5) – (–1) : (–1) = – (5 – 4) – ( +2) + (–6 +4) – (–7) = =-1-2-2+7=2. 4 – ( – 2 + 6 – 3 ) + ( – 9 + 6 ) = = 4-1-3=0. 14 + ( – 6 + 5 – 3) – ( – 4 – 1) ⋅ (–2) =14-4-(-5).(-2)=10-(+10)=0. (–3) ⋅ (–2) + 4 – (+5) – (–1) : (–1) = =6+4-5-(+1)=6+4-5-1=4.

Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέ-σεις και κατόπιν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Ομοίως Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέ-σεις κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέ-σεις.

Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση Ο, κινήθηκε πάνω στον άξονα x΄x προς τα αριστερά στη θέση B και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Αν είναι ΟΑ = 5 Κm, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνη-το και πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση.

Το αυτοκίνητο διήνυσε 4+4+5=13.OA =65 km και μετακινήθηκε από την αρχική του θέση κατά 5.ΟΑ=5.5 km=25 km. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

121

21

41

32 β) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−

611

35

21

65

23

31

γ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−−⋅−

32

215

32

215 δ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

32

52:

53

54

21

271

α) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

121

21

41

32 =

α) Βγάζουμε τις παρενθέσεις.

Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα,

0

0

4ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 3

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 4

ΛΥΣΗ


10

121

21

41

32

−−+= =−−+=121

126

123

128

= 31

124

127

1211

==− .

β) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−

611

35

21

65

23

31 =

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−

1222

1220

126

1210

1218

124 =

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−

128

124 =

128

124−− =

1212

− =

1−=

προσθέτουμε χωριστά τα θετικά και τα αρνητικά κλάσματα

Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν.

β) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα

Βγάζουμε τις παρενθέσεις.

Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν.

γ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−−⋅−

32

215

32

215 = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−−−

64

635

32

25 =

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−−−

615

64

615 =

37

614

65

619

−=−=+−

δ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

32

52:

53

54

21

271 =

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1510

156:

53

108

105

27

22 =

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

154:

53

103

25 = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−+

415

53

2015 =

2045

2015

−+ =23

2030

−=− .

γ) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα στην παρένθεση. Προσθέτουμε τα κλάσματα στην παρένθεση. Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς. Προσθέτουμε τους ετερόση-μους που προκύπτουν.

δ) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα στις παρενθέσεις.

Προσθέτουμε τα κλάσματα στις παρενθέσεις.

Κάνουμε τους πολλαπλασια-σμούς και τις διαιρέσεις.

Προσθέτουμε τους ετερόση-μους που προκύπτουν.

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

α)

21

613

132

21

+−

−+− β)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

−⋅−

4132

4132

γ) – 7 +

312

313

+−

−−

ΑΣΚΗΣΗ 5

ΛΥΣΗ


11

α)

21

613

132

21

+−

−+−=

63

61

618

66

64

63

+−

−+−=

620

65

−=

=65

−620: =

65

−206

⋅ =41

205

−=−

β) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

−⋅−

4132

4132

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

−−

41

4122

416

=

= 425

211425

−=−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

211: = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−

112

425

2225

=

α)Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντί-στροφο. β) Κάνουμε τους πολλαπλασια-σμούς στον αριθμητή και ομώνυ-μα τα κλάσματα στον παρονομα-στή. Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντί-στροφο.

γ).-7+

312

313

+−

−−=-7+

31

36

31

39

+−

−−=-7+

353

10

−

−=

=-7+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

310

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

35: =-7+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

310

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

53 =

=-7 +1530 = -7 +2 = -5

Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαί-ρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστρο-φο. Απλοποιούμε το κλάσμα που προ-κύπτει και προσθέτουμε τους ακε-ραίους.

Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ή-ταν: 1, -3, 0 , 2 , 1 , -2 , -5 , 0 , -3 , -1 Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό. Η μέση τιμή της θερμοκρασίας είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 6

ΛΥΣΗ


12

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11010

10144

1013523121

1013521231

101305212031

−=−

=−

=

=−−−−−++

=

=−−−−++−

=

=−+−++−+−++++−+

Η μέση τιμή βρίσκεται αν προσθέσουμε τις τιμές των θερμοκρασιών και διαιρέσουμε με το πλήθος τους.

Βγάζουμε τις παρενθέσεις και προσθέτουμε ξεχωρι-στά θετικούς και αρνητι-κούς. Τέλος προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν και η μέση θερμοκρασία θα είναι -1

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμ-βολο (+ ή -) . α) 12…5…20 = -3 β) -8…9…1 = 0

3 4

10...43...

45 )γ = δ) -0,35…6,15…8,50 = 2

α) 12+5-20 = -3

β) -8+9-1 = 0

3 4

124

1035 4

1043

45 )γ ==

+−=+−

δ) -0,35-6,15+8,50 = 2

α) Στο 12 προσθέτουμε το 5 και αφαιρούμε το 20

β) Στο -8 προσθέτουμε το 9 και αφαιρούμε το 1

γ) Από 4

5 αφαιρούμε το

4

3 και προσθέτουμε το

4

10. δ) Από -0,35 μειον 6,15 συν 8,5

Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες α) 8–(α – β)+(α–5–β)=3

β) 2–(α+ β –γ)–(4+γ–β)–(–2–α)=0 γ) –2⋅(α–3)+α⋅(–7+9)–3⋅(+2)=0

α)8–(α – β)+(α–5–β)= =8–α+β+α–5–β=8+(–α+α)+(β–β)–5=3

)β) 2–(α + β– γ)–(4+γ–β)–(–2–α)= =2-α-β + γ-4-γ+β+2+α=2-4+2=0 γ)–2⋅( α–3) + α⋅(–7+9 )–3⋅ (+2 ) = =-2.α+6-7.α+9.α-6=(-2-7+9)α=0.α=0

α) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και άθροισμα αντιθέτων. β) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και άθροισμα αντιθέτων. γ) Επιμεριστική ιδιότητα και 0.α=0

ΑΣΚΗΣΗ 7

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 8

ΛΥΣΗ


13

Αν x+y=–5και ω+φ=–7,να υπολογίσετε τις παραστάσεις A=4–(x–ω)–(y–φ) Β=–(–5–x+φ) + (–8+y)–(ω–4) A=4–(x–ω) – (y–φ)=4–x+ω–y+φ=

=4-(x+y)+(ω+φ)=4–(–5)+(–7)=4+5–7=2

Β=–(–5–x+φ)+(–8+y)–(ω–4)=

=+5+x-φ-8+y-ω+4=x+y-(ω+φ)+5+4-8=

=-5-(-7)+5+4-8= -5+7+5+4-8= 3


Προσεταιριστική ιδιότητα και ιδιότητα

–(α + β)=-α -β


Προσεταιριστική ιδιότητα αντικατάσταση των παραστάσεων που δίνονται.

Προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 56 και γ, δ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 32, να υπολογί-σετε την παράσταση Α= α-(9-2γ)-(15-β-2δ).

( ) ( )

( )36243228

24δγ2βα1592δ2γβα2δβ152γ9α

2δβ152γ9αA

=−+==−+++=

=−−+++==++−+−=

=−−−−−=

Το πρώτο ορθογώνιο με διαστάσεις α, β έχει περίμε-τρο 56, δηλαδή 2α+2β=56 οπότε 2(α+β)=56 και α+β=32. Το δεύτερο ορθογώνιο με διαστάσεις γ, δ έχει περίμετρο 32, δηλαδή 2γ+2δ=32. Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική , επιμεριστική ιδιότητα και αντικα-τάσταση των παραστάσεων όπως φαίνονται παραπά-νω. Προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς -7, -6, -5, -3, 1, 2, 4, 5, 9 Σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους.

-7 + 5 + 2 = 0 -5 + 4 + 1 = 0 -6 + -3 + 9 = 0

ΑΣΚΗΣΗ 9

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 10

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 11


14

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Ορισμοί

Ονομάζουμε δύναμη αν με βάση τον αριθμό α και εκθέτη το φυσικό ν > 1 το γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με το α. Άρα: Για ν = 1 έχουμε α1 =α, ενώ για ν = 0 και α ≠ 0 έχουμε α0 = 1

και νν-

α1α = για α ≠ 0 και ν = 1, 2, 3, ...

Για τις δυνάμεις με εκθέτες ακέραιους αριθμούς και εφόσον αυτές ορίζο-νται, ισχύουν οι ιδιότητες

Ιδιότητες

Παραδείγματα

αμ ⋅ αν = αμ+ν

4 2 ⋅ 4 3 = 4 2 + 3 = 4 5

αμ : αν = αμ-ν

5 4 : 5 2 = 5 4 - 2 = 5 2

(αβ)ν = αν βν

(5 x) 3 =5 3 x 3 = 125 x 3

ν

βα⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ν

ν

βα 3

33

54

54

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(αμ)ν = αμν

( )811

3133 4

422 === −−

ν

βα

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ν

αβ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

33

34

43

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τους πολύ μεγάλους ή τους πολύ μικρούς αριθμούς κατ’ απόλυτη τιμή τους γράφουμε στη «τυποποιημένη» ή εκθετική μορφή, δηλαδή στη μορφή:

α ⋅ 10ν με 10 α 1 <≤ , με ν ακέραιο. Για παράδειγμα γράφουμε : 4500000 = 4,5 ⋅ 106, 0,000003 = 3 ⋅ 10-6

43421ς παραγοντεν

ν α.α.α...αα =

B


15

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με

(Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Για κάθε αριθμό α ισχύει α + α + α + α = α 4 . β) Για κάθε αριθμό α ισχύει α ⋅ α ⋅ α ⋅ α = α 4. γ) Οι αριθμοί (–5)6 και – 56 είναι αντίθετοι.

δ) Οι αριθμοί 8

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ και

8

23⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ είναι αντίστροφοι.

ε) Για κάθε αριθμό α ισχύει ( ) 22 α9α3 = . στ) Ο αριθμός ( )25−− είναι θετικός. ζ) Ο αριθμός 23−− είναι θετικός. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι λάθος (Λ) γιατί α + α + α + α = 4α . β) Είναι σωστό (Σ) γιατί α.α.α.α=α1+1+1+1=α4. γ) Είναι σωστό (Σ) γιατί ( ) 66 55 =− και 65− είναι αντίθετοι.

δ) Είναι σωστό (Σ) γιατί 123.

32 οπότε

23

23 και

32

32

8

8

8

8

8

88

8

88

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

ε) Είναι σωστό (Σ) γιατί ( ) 2222 α9α3α3 == . στ) Είναι λάθος (Λ) γιατί ( ) 0255 2 <−=−− .

ζ) Είναι λάθος (Λ) γιατί 091

313 2

2 <−=−=− − .

2. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο-σύμβολο( = ή ≠ )

α) ( )61− …1 β) 3-2…9 γ) – 42 … – 16 δ) 52...

25 1−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ε) 251...5 2

−− …...στ) 0...

52 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ … 0 ζ)

321...

21 5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− η) ( ) 222 27...27 ++

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) (-1)6=1 γιατί ο εκθέτης είναι άρτιος, οπότε ( )61− =1.

β) 991

313 2

2 ≠==− γ) 161642 −=−=−

δ) 52

52

25 11

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−


16

ε) 251

251

515 2

2

−≠==− .

στ) 0152 0

≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

ζ) 321

321

21

21

5

5

≠−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ,γιατί ο εκθέτης είναι περιττός.

η) ( ) 534492781927 2222 =+=+≠==+ . 3. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

i. Η τιμή της παράστασης 2

32 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ είναι:

α)94

− β) 49

− γ)49 δ)

94

ii. Η τιμή της παράστασης ( )[ ]302− είναι: α) -23 β) -6 γ) 23 δ) 1

iii. Η τιμή της παράστασης 23 32 + είναι: α) 55 β) 17 γ) 56 δ) 65

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

i. Η τιμή της παράστασης 2

32 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ είναι:

49

23

23

32

2

222

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

το γ.

ii. Η τιμή της παράστασης ( )[ ]302− είναι: ( )[ ] 112 330 ==− το δ. iii. Η τιμή της παράστασης 23 32 + είναι: 179832 23 =+=+ το β.

4. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α , το αποτέλεσμα της από τη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β α. ( ) 142 − 1.

41

β. ( ) 1025 2.2− 2. 42−

γ. ( ) 22 −− 3. 4

δ. ( ) 234 2.2:2 4. 32 5. 42− 6. 1

α β γ δ


17

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ( ) ( ) 41.414 222 −−−

== άρα είναι το 5 (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα (αμ)ν = αμν )

β) ( ) ( ) 1222.22.22.2 010101010102.51025 ===== −−−− άρα είναι το 6.

γ) ( )( ) 4

1212 2

2 =−

=− − άρα είναι το 1. (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα

νν-

α1α = )

δ) ( ) 321234234 22.22.22.2:2 === − άρα είναι το 4. (χρησιμοποιήσαμε τις ιδιό-

τητες αμ : αν = αμ-ν, αμ ⋅ αν = αμ+ν).

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μία δύναμη:

( )( ) ( )

5442

6

642-

4-233-248-5

31.27.3 η) 3:4 ζ)

26- στ) 3.3 )ε

5 δ) 5.2 γ) 3:3 β) 2.2 α)

−

−

( )

( )( ) ( )( ) 84242-

3333

6242--42-4

38-58-5

555 δ)

102.55.2 γ)

3333:3 β) 222.2 α)

==

==

===

==

−−−

+

+

α) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων αμ ⋅ αν = αμ+ν

β) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων αμ : αν = αμ-ν γ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ)ν = αν βν δ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων(αμ)ν = αμν

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

257

5

7

543

543

54

4222222242

66

66

6

6

6

66

6

6

24-24-244-24-2

3333

31.3

31.3.3

31.27.3 η)

323:23:23:4 ζ)

32

3.22

2.32

6.1-26- στ)

33.33.31-.33.3 )ε

==

====

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

====

====−

−

+

+

ε) Τροποποιούμε το γινόμενο έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιό-τητα των δυνάμεων αμ ⋅ αν = αμ+ν

στ) Τροποποιούμε το πηλίκο έτσι ώστε να το απλοποιήσουμε. ζ) Τροποποιούμε το πηλίκο έτσι ώστε να έχουμε μόνο μία δύναμη. η) Τροποποιούμε το γινόμενο έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιό-τητα των δυνάμεων αμ : αν = αμ-ν

ΑΣΚΗΣΗ 1

ΛΥΣΗ


18

Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 5314-12

201244

332

2-4-2832-

10.0,01 η) 32.

32- ζ) 2:4 στ) 4.2,5 )ε

12-:36 δ) 43.0,75 γ) 3-.3- β) 2.2 α)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

( )( )

( )

( ) ( )1,01010

10.1010.1010.0,01 η)

49

23

32

32

32.

32.1

32.

321

32.

32- ζ)

16222:22:22:4 στ)

000.10014-.2,54.2,5 )ε

27312-:3612-:36 δ)

143

43

43.

43

43.0,75 γ)

91

31333-.3- β)

422.22.222.2 α)

156

5653253

221412141212

141214-12

420242024201222012

4444

3333

0222222-

22424-2

28-68-683.-283-2

===

===

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=====

=−==−

−=−==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=−

=−=−=

=====

−+−

−−

−−−

−

−

+−−

−−

+ α) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες (αμ)ν = αμν και αμ ⋅ αν = αμ+ν. β) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες αμ ⋅ αν = αμ+ν και

να

1ν-α = .

γ) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες αμ ⋅ αν = αμ+ν και α0 = 1 . δ) Εφαρμόζουμε την ιδιό-τητα (αβ)ν = αν βν . ε) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αβ)ν = αν βν . στ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αμ)ν = αμν και αμ : αν = αμ-ν

ζ) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες αμ ⋅ αν = αμ+ν και

ν

β

α−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

ν

α

β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

η) Εφαρμόζουμε τις ιδιό-τητες (αμ)ν = αμν και αμ ⋅ αν = αμ+ν.

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) x

23-:x

2-3 στ) 2x-.3x- )ε x:x

32- δ)

2x-.2x- γ) y .xxy β) .5xx α)2

3233223

22323432

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΑΣΚΗΣΗ 2

ΛΥΣΗ

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 3


19

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

x 278-x

278-

x: x32-x:x

32- δ)

-8x-8x.xx2-4.x2-.x2-2x-.2x- γ)

yxy.xy.y.x.xy.x.yxy.xxy β)

x5x5x.x5.5xx α)

2-3

233

23

42222

22222

751632632

3232323

104646432

==

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

===

==

===

==

===

+

++

+

α) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αμ)ν = αμν και αμ ⋅ αν = αμ+ν και την προσεταιριστική(για το 5) β) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ ⋅ αν = αμ+ν και την προσεταιριστική. γ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ ⋅ αν = αμ+ν και την προσεταιριστική. δ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ : αν = αμ-ν.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

x 32x

23.x

23

x23:x

23x

23-:x

2-3 στ)

x108x108x.x274x2.x32x-.3x- )ε

1-23-

2-1

22

32

3

126666

2323232332

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=−=−=

=−−=+

ε) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ ⋅ αν = αμ+ν και την προσεταιριστική. στ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ)ν = αν βν και αμ : αν = αμ-ν.

και

ν

β

α−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

ν

α

β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛


20

Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )47473232

4222102

40.5:8.25Δ , 8.4.25,1.5,2Γ

22.3--5-2:4-Β, 3.212.82.742.3Α

=−−=

−−=−−−−−+−= −

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1255

555

51.5

51.5

408.

525

408.

525

40.58.2540.5:8.25Δ

000.100101010.10

8.25,14.5,28.25,14.5,2

8.4.25,1.5,2Γ

1161258161258164.352:16

22.3--5-2:4-Β

018424129.242.144.3

3.221.82.742.3

3.2121.82.742.3

3.212.82.742.3Α

3

474

7

47

47

47

4

4

7

7

47

474747

53232

323322

3232

422

202

202

2102

==

====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

====

−=−=−=−−=

=−−=−−=

=−−=

−=−+−==−−−−=−−−−=

=−−=

=−+−+=−+−+=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−−+−=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−+−=

=−−−−−+−=

−

+

− Στην παράσταση Α κάνου-με πρώτα τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και κατό-πιν υπολογίζουμε τις δυνά-μεις. Μετά κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Χρησιμο-ποιούμε την ιδιότητα α0 = 1 Στην παράσταση Β υπολο-γίζουμε πρώτα τις δυνάμεις κατόπιν κάνουμε τις διαι-ρέσεις και τους πολλαπλα-σιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέ-σεις. Στην παράσταση Γ εφαρ-μόζουμε την προσεταιρι-στική ιδιότητα του πολλα-πλασιασμού για να φέρου-με κοντά τις δυνάμεις και να εφαρμόσουμε την ιδιό-τητα (αβ)ν = αν βν και μετά την ιδιότητα αμ ⋅ αν = αμ+ν Στην παράσταση Δ εφαρ-μόζουμε την ιδιότητα

ν

β

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = ν

β

να

Αν τριπλασιάσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου, κατά πόσες φορές μεγα-λώνει το εμβαδόν του;

( )Ε.9΄Ε

9α.α33αΕ΄

αΕ2222

2

====

=

Αν Ε και Ε΄ τα εμβαδά του τετραγώνου στην πρώτη και στην δεύτερη περίπτωση εφαρμόζο-ντας την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ)ν = αν βν και τον τύπο του εμβαδού του τετραγώνου Ε=α2 παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του εννιαπλασιάζε-ται.

ΑΣΚΗΣΗ 4

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 5

ΛΥΣΗ


21

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α τον θετικό αριθ-μό x (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α ) που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Άρα:

Αν είναι αx = , τότε αx 2 =

ή ( ) αα2=

π.χ. 636 = , γιατί 62 = 36

ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α, ισχύει αα 2 = . Όταν ο αριθμός α είναι θετικός μπορούμε να γράψουμε

αα 2 = .

Αν x≥0 , τότε ( ) xx2=

Έχουμε (-6)2 = 36, οπότε έχουμε

( ) 663626 −===−

63662 ==

( ) ( ) 1616 δηλαδή 16416222===

Επειδή είναι 02=0 ,ορίζουμε ότι 00 = . ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΤΙΣ ΡΙΖΕΣ Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β η πρώτη και για 0β και 0α >≥ η δεύτερη

ισχύουν: βα

βα

αββα

=

=

Η απόδειξη της πρώτης ισότητας γίνεται παρακάτω

Γ


22

( ) =⋅ 2βα ( ) ( ) .βαβα 22 =⋅

( ) 2βα = α β.

Υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά .

Άρα βαβα ⋅=⋅

Παρατηρούμε ότι οι δύο μη αρ-νητικοί αριθμοί βα ⋅ και

βα έχουν το ίδιο τετράγωνο α β , οπότε είναι ίσοι .

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται και η δεύτερη ισότητα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β ,έχουμε βαβα ±≠±

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να συμπληρώσετε τις ισότητες α) 333 + = …… β) 2325 − = …… γ) 55545 −+ = …… δ) 312 ⋅ = …… ε) 2:18 = …… στ) =⋅ 823 …… ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ( ) 34313333 =+=+ β) ( ) 222352325 =−=− γ) ( ) =−+=−+ 554155545

05.0 == δ) 6363.12312 ===⋅ ε) 392:182:18 ===

==⋅ 4.2.23823 στ) 122.642.23 ===

α) Επιμεριστική ιδιότητα-Πράξεις στην πα-ρένθεση β) Επιμεριστική ιδιότητα-Πράξεις στην παρένθεση. γ) Επιμεριστική ιδιότητα-Πράξεις στην παρένθεση και 0.α=0

δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών

α.ββ.α = και επίσης αφού α 0≥ είναι

α2

α = .ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

των ριζών β

α

β

α= . στ) Χρησιμοποιούμε

την ιδιότητα των ριζών α.ββ.α =

2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε στοιχείο της στήλης Α ένα στοιχείο από τη στήλη Β.


23

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το α αντιστοιχίζεται στο 3 γιατί 525 = Το β αντιστοιχίζεται στο 2 γιατί -25<0 Το γ αντιστοιχίζεται στο 1 γιατί 525 −=−

Το δ αντιστοιχίζεται στο 3 γιατί 52552 ==

Το ε αντιστοιχίζεται στο 3 γιατί ( ) 555 2 =−=−

Το στ αντιστοιχίζεται στο 2 γιατί στο 25− το -52<0 3. Να συμπληρώσετε τους πίνακες .

Άθροισμα Γινόμενο Πηλίκο

α β α

β

βα +

βα +

βα

βα ⋅

β

α

βα

4 1

2 1 5 3 2 2 2 2

9 16 3 4 5 7 12 12

43

43

64 36 8 6 10 14 48 48

34

34

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2=4 , 1=1 , 541βα =+=+ , 32141βα =+=+=+

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β α. 25

β. 25− γ. 25−

δ. 25

ε. ( )25−

στ. 25−

1. – 5 2. δεν ορίζεται 3. 5

α 3

β 2 γ 1 δ 3 ε 3 στ 2


24

244.1βα === , 22.141βα ===⋅ , 214

βα

== ,

214

βα

== , 3=9 , 4=16 , 525169βα ==+=+

743169βα =+=+=+ , 1214416.9βα === ,

124.3169βα ===⋅ ,43

169

βα

== ,43

169

βα

== ,

8=64 , 6=36 , 101003664βα ==+=+ ,

14683664βα =+=+=+

, 48230436.64βα === , 486.83664βα ===⋅ ,

34

3664

βα

== ,34

3664

βα

==

4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) 632 = β) 532 =+

γ) 23

49=

δ) ( ) 33 2 =−

ε) 1211

21 2

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

στ) Το διπλάσιο του 5 είναι το 10 ζ) Το μισό του 12 είναι το 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) 63.232 == (Σ) β) 53232 =+≠+ (Λ)

γ) 23

49= γιατί

49

23 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (Σ)

δ) ( ) 333 2 =−=− (Σ)


25

ε) 21

21

211

21 22

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − (Λ)

στ) Το διπλάσιο του 5 είναι το 10 , 205.45.452 === (Λ)

ζ) Το μισό του είναι το 12 είναι το 3 , 34

124

12212

=== (Σ)

5. Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 50 m2. Είναι σωστό να ισχυριστούμε ότι η πλευρά του είναι 25 m ;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2525.225.250αα50αE 22 ====→=→= είναι σωστό

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

314.

221

710.

514 δ)

712.

73

85.

25 )γ

34723875 β) 525753 )α

+−

+−−+−

( )

( ) ( )

9724943.214.21

7.510.14

314.

221

710.

514 δ)

2811

2824

2835

76

45

4936

1625

7.7

3.12-8.25.5

712.

73

85.

25 )γ

3473348725

34723875 β)

52527-3

525753 )α

=+=+=

=+=+

=−=−=−=

==−

−=+−+−=

=+−−

−=+=

=+−

α) Επιμεριστική ιδιότητα-Πράξεις στην παρένθεση.

β) Επιμεριστική ιδιότητα- Πράξεις στις παρενθέσεις.

γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

των ριζών α.ββ.α = και επί-σης αφού α 0≥ και β 0≥ είναι

β2

β και α2

α == .

δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

των ριζών α.ββ.α = απλο-ποιούμε και επίσης αφού α 0≥ και

β 0≥ είναι β2

β και α2

α == .

ΑΣΚΗΣΗ 1

ΛΥΣΗ


26

Να αποδείξετε τις ισότητες:

8,32,0.8,09,4.6,3 δ) 65

12048.218.3 )γ

53355122027 β) 2-1086-325023 )α

=−=+−

−=−+−=+−

=−+−=

=−+−=

=+−

42616.225.223

4.2616.225.223

86-325023 )α

( ) 210212453

212242523

−=−+−=

=−+−=

α) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το 2 και

εφαρμόζουμε την ιδιότητα α.ββ.α = Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστι-κή ιδιότητα.

( ) ( )5335

512323

5325233

53.4549.3

53.45.49.3

5122027 β)

−=

=−−++=

=−+−=

=−+−=

=−+−=

=−+−

( )( ) 66243626463

6462.263

56.452462633

5

5.246.8.2-3.63

512048.218.3 )γ

2

=+−=+−=

=+−=

=+−=

=+=

=+−

β) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το 3 ή το 5 και εφαρμόζουμε την ιδιότητα

α.ββ.α = Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστι-κή ιδιότητα.

γ) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το 6 και

εφαρμόζουμε την ιδιότητα α.ββ.α = Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστι-κή ιδιότητα.

ΑΣΚΗΣΗ 2

ΛΥΣΗ


27

8,31038

10442

104

107.6

10016

10049.36

10016

10049.36

102

108

1049.

1036

2,0.8,09,4.6,3 δ)

==−

=−=

=−=−=

=−=

=− δ) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε πηλίκα και εφαρμόζουμε την ιδιότητα

β

α

β

α= και την ιδιότητα α.ββ.α =

Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστι-κή ιδιότητα.

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

93126 )γ 9-52286 β) 1612 )α ++

10 100

1486 2.786 49286

3-52286 9-52286 β)

4164121612 α)

==

=+=+=+=

=+=+

==+=+

6366.6

36612.369126

3.3126 93126 )

===

====

==γ

α) Υπολογίζουμε τις ρίζες από «μέσα» προς τα «έξω». β) ομοίως γ) Υπολογίζουμε τις ρίζες από «μέσα» προς τα «έξω».

Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα με τις περιμέτρους και τα εμβαδά των ορθογωνίων ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ και ΚΛΜΝ .Ποιο από τα ορθογώνια έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν

μήκος

πλάτος

περίμετρος

εμβαδόν

ΑΒΓΔ 5 2 2 212 10

ΕΖΗΘ 4 2 2 2 212 16 ΚΛΜΝ 3 2 3 2 212 18

ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 4

ΛΥΣΗ


28

Για το ΑΒΓΔ η περίμετρος είναι:

( ) 2122210222102.225.2 =+=+=+

Και το εμβαδόν: ( ) 102.5252.25E2

==== Για το ΕΖΗΘ η περίμετρος είναι:

( ) 212248242822.224.2 =+=+=+

Το εμβαδόν: ( ) 162.82822.24E2

==== Για το ΚΛΜΝ η περίμετρος είναι:

( ) 212266262623.223.2 =+=+=+ Και το εμβαδόν:

( ) 182.92923.23E2

====

Η περίμετρος ενός ορθογωνί-ου με διαστάσεις α και β είναι Π=2α+2β Το εμβαδόν του ορθογωνίου με τις ίδιες διαστάσεις είναι Ε= α. β

Να κάνετε τις πράξεις : α) ( )8182 + β) ( )3276 − γ) ( )3004575 −+ : 15 δ) ( )( )5757 +−

( )104616368.218.2

8.218.28182)α

=+=+=+=

=+=+

( )

( )

26

2.3.29229.221823.62

36236133.63.63

3.63.9.63.63.9.6

3.627.63276 )β

=

======

==−=−=

=−=−=

=−=−

α) Εφαρμόζουμε την επιμερι-στική ιδιότητα και κατόπιν την

ιδιότητα α.ββ.α = . β) Εφαρμόζουμε την επιμερι-στική ιδιότητα και κατόπιν την

ιδιότητα α.ββ.α = αφού «σπάσουμε» το 27 σε γινόμενο με έναν όρο το 3.

ΑΣΚΗΣΗ 5

ΛΥΣΗ

ΛΥΣΗ


29

( )( )

( )

53

5.2355.435

203515

203515

15:15.2015.315.5

15:3004575 )γ

−=

=−+=−+=

=−+=−+

=

=−+=

=−+

γ) «Σπάμε» όλες τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα με έναν όρο το 15 και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα κάνουμε απλοποίηση στο κλά-σμα. Κατόπιν μετατρέπουμε τις ρίζες που απομένουν σε α-πλούστερες για να γίνει αναγω-γή ομοίων όρων.

Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα που έχουν άρρητους παρονομα-στές σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές .

α)2

1 β) 4

4 γ) 52

5 δ) 3

632 +

( )

( )

( )

( ) 223

2233

32323

3.2323

632 )δ

25

5.255

52

55552

5552

5 )γ

632

664

6

646.6

646

4 )β

22

2

22.2

212

1 )α

2

2

2

+=+

=

=+

=+

=+

====

====

===

α) Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την ρίζα του 2 και εφαρμόζουμε την ιδιότητα των ριζών «Αν 0x > , τότε

( ) x2

x = ». β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) «Σπάμε» την ρίζα του 6 σε γινόμενο με έναν όρο το 3 και χρησιμοποιώντας την επιμερι-στική ιδιότητα κάνουμε απλο-ποίηση στο κλάσμα

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x53x5 −=+ β) 24=x6

γ) 322

x= δ) 27x33 =−

ΑΣΚΗΣΗ 7

ΑΣΚΗΣΗ 6

ΛΥΣΗ

ΛΥΣΗ


30

5x2

52x52x2

5 )α

=→=→=

−=+→−=+ 53xxx53x5

26

64624x24 )β ===→=x6

864

32.2322x )γ

==

===→= 322

x

0x0x3333x

3339x339.3x

3327x

=→=−→−=−

−=−→−=

−=−→=− 27x33δ)

α) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων με την επιμεριστική ιδιότητα και διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου β) Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. «Σπάμε» την ρίζα του αριθ-μητή σε γινόμενο έτσι ώστε με την χρή-

ση της ιδιότητας α.ββ.α = να γίνει απλοποίηση με τον παρονομαστή.

γ) Κάνουμε «χιαστί» και χρησιμοποιώ-

ντας την ιδιότητα α.ββ.α = βρί-σκουμε την λύση.

δ) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. «Σπάμε» την ρίζα του 27 για να κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων με την επιμερι-στική ιδιότητα και διαιρούμε με τον συ-ντελεστή του αγνώστου

Να αποδείξετε ότι ( )( ) 21313 =+− . Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη

ισότητα να μετατρέψετε το κλάσμα13

1−

, που έχει άρρητο παρονομαστή,

σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή. ( )( )( ) 21313

1333313132

=−=−=

=−−+=+−

( )( )( ) 2

131313

13113

1 +=

+−+

=−

Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και την ιδιότητα των ριζών «Αν x>0 ,

τότε ( ) x2

x = ».Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την πα-

ράσταση 13 + και εφαρμόζουμε την ισότητα που αποδείξαμε

Αν τα τετράγωνα ΑΒΓΔ , ΓΕΖΗ έχουν εμβαδόν 50 m 2 και 8 m 2 αντιστοί-χως ,να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΘΙΕ είναι 98 m2.

ΑΣΚΗΣΗ 9

ΑΣΚΗΣΗ 8

ΛΥΣΗ

ΛΥΣΗ


31

Για να βρούμε το εμβαδόν του ΒΘΙΕ χρειαζό-μαστε την πλευρά του. Η πλευρά του είναι το άθροισμα των πλευρών των τετραγώνων ΑΒΓΔ και ΗΓΕΖ. Είναι ΒΕ=ΒΓ+ΓΕ.

Αλλά 25252ΒΓ

25.250ΒΓ502

ΒΓ

==

==→=και

2242ΓΕ

4.2ΓΕ82

ΓΕ 8==

==→=οπότε

ΒΕ=ΒΓ+ΓΕ= 272225 =+ και επομέ-νως το εμβαδόν του ΒΘΙΕ είναι

( ) ( ) ( ) 2m 982.49

22.

27

227

2ΒΕΒΘΙΕ =====

Στις κάθετες πλευρές ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 6 cm ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως τα σημεία Δ , Ε , έτσι ώστε ΑΔ = 2 cm και ΑΕ = 1 cm . Να αποδείξετε ότι ΒΓ = 3 ΔΕ .

Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

( )1 539.59.545ΒΓ45ΒΓ

36ΒΓΑΒΑΓΒΓ2

222222

====→=

+=→+=

Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ

( )2 5ΔΕ5ΔΕ

21ΔΕΑΔΑΕΔΕ2

222222

=→=

+=→+=

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΓ = 3 ΔΕ .

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), το ύψος ΑΔ = 4cm και η πλευρά ΒΓ = 4 cm α) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 4 + 4 5 . β) Οι αριθμοί 4 + 20 , 4 + 202 , 8 5 , ( )2022 + είναι οι απαντήσεις που έδωσαν στην προηγούμενη ερώτηση 4 μαθητές. Ποιες από αυτές είναι σωστές ;

ΑΣΚΗΣΗ 10

ΑΣΚΗΣΗ 11

ΛΥΣΗ

2cm

4cm

B Γ

A

Δ

Α Β

Γ

Δ

Ε


32

cm 52ΑΓ

5.45.420ΑΓ20ΑΓ

24ΑΓΔΓΑΔΑΓ )α2

222222

=

===→=

+=→+=

544Π

45252ΒΓΑΓΑΒΠ

νουώτριγ

νουώτριγ

+=

++=++=

( ) (ΣΩΣΤΗ) 54420242022

(ΛΑΘΟΣ) 544545458

(ΣΩΣΤΗ) 54452.24

5.4245.4242024

(ΛΑΘΟΣ) 544524

5.445.44204 )β

+=+=+

+≠+=

+=+=

=+=+=+

+≠+=

=+=+=+

α) Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ και βρίσκουμε την πλευρά ΑΓ Κατόπιν βρίσκουμε την περίμετρο του τριγώνου λαμβάνοντας υπόψη ότι ΑΒ=ΑΓ και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. β) «Σπάμε» την ρίζα του 20 σε γινόμενο με παράγοντα το 5 και εφαρμόζοντας την ιδιότητα

α.ββ.α = βρίσκουμε κάποιες απαντήσεις σωστές και κάποιες λάθος όπως φαίνεται δίπλα.

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το

έτος γέννηση σας. -5+12-3…. ….=…. 3- 9- 1 … ….=…. 2(-3)-4… …...=… -3(-4)+7… …..=… ΛΥΣΗ Αν π.χ γεννήθηκα το 1955 θα έχω: -5+12-3-3=1 3- 9- 1 +16 =9 2(-3)-4+15 =5

-3(-4)+7-14=5

2. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αν το άκρο κάθε βέλους δείχνει το άθροισμα της αντίστοιχης στήλης ή γραμμής.

ΛΥΣΗ Το αποτέλεσμα της 1ης γραμμής είναι 5 Στη δεύτερη γραμμή λείπει το -9 Στη τρίτη γραμμή λείπουν τα 3, -9, -4 Στην τέταρτη γραμμή λείπει το -8 και στην πέμπτη οι 1,8,-7

ΛΥΣΗ


33

3. Να συμπληρωθεί το τετράγωνο, ώστε κάθε στήλη, γραμμή και διαγώνιος του, να έχει το ίδιο γινόμενο. ΛΥΣΗ

Βρίσκουμε το γινόμενο της διαγωνίου: 3210 22.2.2 −−− = επομένως όλα τα γινόμενα θα πρέπει να είναι 32−

3x3x2-23x22 22 ή 22 ή 22.2.2 −−+−− === άρα στην τρίτη στήλη το δεύτερο θα είναι 32− . Ομοίως -5 xή -32 xή 22 ή 22.2.2 3x23x20 ==+== −+− άρα στην πρώτη γραμμή το δεύτερο θα είναι 52− . Η άλλη διαγώνιος θα είναι

-4 xή -31 xή 22 ή 22 ή 22.2.2 31x3x1-23x12 ==+=== −+−+−− άρα το πρώτο στοιχείο της τρίτης γραμμής θα είναι 42− .Ομοίως και τα υπόλοιπα επομένως ο πίνακας συμπληρώνεται όπως φαίνεται παρακάτω.

02 52− 22 12 12− 32−

42− 32 22−

4. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη Α = 377 + 377 + 377 Β = 2102 - 2101 - 2100

Γ= 259 – 429 Δ=217.318-218.317 ΛΥΣΗ

7877177777777 333.3333Α ===++= +

( ) 100100012100

010011002100100101102

21.222222.22.22.2222Β

==−−=

=−−=−−=

( ) 5858585859292592959 22.12.2222242Γ =−=−=−=−=

( ) ( ) ( ) 1717171717171717

1717171717181817

63.23.23.223.2.3

3.2.23.3.23.23.2Δ

===−=

=−=−=

5. Να λυθεί η εξίσωση (-2)ν · x = 2ν+1

ΛΥΣΗ Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν ν άρτιος τότε: ( ) 222

2 xή 2x.2 ή 2x.2 ν1νν

1ν1νν1νν =====− −+

+++

Αν ν περιττός τότε: ( ) 222

2 xή 2x.2- ή 2x.2 ν1νν

1ν1νν1νν −=−=

−===− −+

+++


34

6. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι διαφορετικός από τους άλ-λους;

632,23,26,182,72,83 )β122,

32,

33,

33,

31,

31 )α

ΛΥΣΗ

33

31

322

4.32

4.32

122

33

3333

333

3 ,33

33

31

31 ,

33

333

31 α)

=====

===

====

Επομένως αυτός που είναι διαφορετικός είναι ο 3

3

261826.326.32 , 23

26 ,267218.4184182

264.23839.89.872

262.2.342.34.2383 β)

===

====

=====

====

Επομένως αυτός που είναι διαφορετικός είναι ο 23 . 7. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι;

327ε,33δ,12γ,3.32β,33α )ii

42στ,

21ε,

24δ,22γ,

22β,18α )i

−=+===+=

======

ΛΥΣΗ

22

42

42στ,

22

222

21ε

,222

242.2

242

4δ,22γ

,22β,224.24.28α )i

======

=====

=====

Επομένως ίσοι είναι οι α = γ = δ και β = ε = στ.


35

3233339339.3327ε

,633δ,32434.312γ

,63.23.32β,3233α )ii

=−=−=−=−=

=+=====

====+=

Επομένως ίσοι είναι οι α = γ = ε. 8. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων

199154457Β ,1371321Α ++++=++++= ΛΥΣΗ

864757495754457254457

10154457100154457

199154457100154457

199154457199154457Β

525421162131321

91321271321471321

13713211371321Α

==+=+=++=++=

+++=+++=

=++++=+++=

=++++=++++=

==+=+=++=

=++=+++=+++=

=++++=++++=

9. Να υπολογιστούν οι ρίζες

=

=

=

=

=

76543211234567898

.................1234321

12321

121

1

ΛΥΣΗ

11112321

11121

11

=

=

=


36

321δεςάμον

21ν

1...11176543211234567898

.................11111234321

+

=

=

10. Αν το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι 80 cm2 και του ΑΕΖΗ, 45 cm2 , να αποδείξετε ότι η περίμετρος Γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΕ είναι

512 ΛΥΣΗ Είναι 545.165.1680ΑΔ ή 80ΑΔ2 ===== Επίσης είναι 539.59.545ΑΕ ή 45ΑΕ2 ===== Με το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ έχουμε ότι:

5525.525.5125ΔΕ ή 1254580ΑΕΑΔΔΕ 222 =====+=+= Οπότε η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΕ είναι Π=ΑΔ+ΑΕ+ΔΕ= 512555354 =++ . 11. Να συμπληρώσετε το διπλανό τετράγωνο ώστε να

γίνει μαγικό. ΛΥΣΗ

242.1616.232 === ,282.6464.2128 ===

252.2525.250 === 222.44.28 ===

Πρέπει να είναι 215222528850128 =++=++ Άρα στην πρώτη γραμμή λείπει το 18232824215 ==−− . Άρα στην πρώτη στήλη λείπει το 162292224215 ==−− . Άρα στην δεύτερη στήλη λείπει το 98272523215 ==−− . Άρα στην δεύτερη γραμμή λείπει το 22529215 =−− . Άρα στην τρίτη γραμμή λείπει το 3224228215 ==−− . 12. Να βρεθεί η πλευρά τετραγώνου που έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν κύ-

κλου ακτίνας cm 10=r . Με αφορμή το τελευταίο πρόβλημα είναι δυνατόν να συζητηθεί το «πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου».

ΛΥΣΗ π10πrπr xή rπx 222 ====

32 18 128 162 50 2

8 98 32

Documents

Πράξεις Πραματικών - Γ Γυμνασίου