ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

  • View
    39

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ

Transcript

  • pi

    2010-11

  • I 1

    1 31.1 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.1 pipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 192.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 . . . . . . . . . . . . 212.1.3 . . . . . . . . . . . . 242.1.4 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3 pi 353.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

  • iv

    3.5.1 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4 594.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.2.1 Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 , , . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.4 pi . . . . . . . . . 694.4.1 Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    II pi 79

    5 815.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    5.3.1 Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.5 Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6 pi 1036.1 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.5 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    III 127

    7 1297.1 : . . . . . . . . . . . . . . . 129

  • v

    7.2 : . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2.2 , pi . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    8 pi 1518.1 C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2 pi Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    IV 159

    pi 161.1 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

  • I

  • 1

    1.1 pi

    1.1.1 (). X . X : X X R pi :

    (i) (x, y) 0 x, y X (x, y) = 0 x = y ( ).

    (ii) (x, y) = (y, x) x, y X ( ).(iii) (x, z) (x, y) + (y, z) x, y, z X ( ). X (X, ) . X .

    1.1.2. () R

    d(x, y) = |x y|, x, y R.() Rm, m- ~x = (x1, . . . , xm)pi , : ~x = (x1, . . . , xm) ~y = (y1, . . . , ym) Rm,

    2(~x, ~y) =

    (mi=1

    (xi yi)2)1/2

    .

    pi (pi 1.3).() X pi pi: : X X R

    (x, y) =

    {1, x 6= y0, x = y

  • 4

    ( pi (i), (ii) (iii) ). X.

    () X pi pi : f : X R pi 1-1, pi df X :

    df (x, y) = |f(x) f(y)|, x, y X. df X.

    () n- Hamming.

    Hn = {0, 1}n ={

    (x1, x2, . . . , xn) xi = 0 1, i = 1, . . . , n}.

    h : Hn Hn R, pi h(x, y) pi pi n- x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn),

    h(x, y) = card({

    1 i n : xi 6= yi}).

    h Hn. (Hn, h

    ) Hamming h Hamming.

    1.1.3 ( ). (X, ) . A pipi pi X, pi A : AA R

    A(x, y) = (x, y), x, y A( pi A A) A. A pi pi pi A.

    pi, pi R pi .

    1.1.4 (). () (X, ) . (X, ) pi C > 0 x, y X (x, y) C. ,

    sup{(x, y) : x, y X}

  • 1.2 5

    1.1.5. () R d(x, y) = |x y| .

    () R pi pi arctan : R (pi2 , pi2 ),

    (x, y) = | arctanx arctan y|, x, y R

    diam (R, ) = pi. diam (R, ) pi pi

    diam (R, ) | arctann arctan(n)| n N,

    diam (R, ) limn | arctann arctan(n)| =

    pi

    2(pi

    2

    )= pi.

    pipi pi | arctan t| < pi2 t R( ).

    () R

    (x, y) =|x y|

    1 + |x y| , x, y R

    pi , (x, y) < 1 x, y R. diam (R, ) = 1.() X, (X, ) (, pi pi , 1).

    1.2

    pi pi . pipi, . pi , pi pi .

    1.2.1 (). X pi . X : X R :() x 0 x X x = 0 x = ~0 ( ).

    () x = || x R x X ( ).

    () x+ y x+ y x, y X ( ).

    X, (X, ) .

  • 6

    1.2.2. () X, d :X X R

    d(x, y) = x y, x, y X ( pi pi X pi ). ,

    d(x, y) = x y 0 x, y X d(x, y) = x y = 0 x y = ~0 x = y.

    d(y, x) = y x = (1)(x y) = | 1| x y = x y x, y X. x, y, z X

    d(x, z) = x z = (x y) + (y z) x y+ y z = d(x, y) + d(y, z).

    pipi, d :

    d pi , d(x+ z, y + z) = d(x, y) x, y, z X.

    d , d(x, y) = ||d(x, y) x, y X R.

    , pi pi pi pi - pipi. , pi pi pi pi pi pipi pi pipi pi .

    () pi . X 6= {0} pi pi : x X, x 6= 0, pi span({x}) = {x : R} X pi pi ( , pi R). pi pi, pipi .

    pi ( ) X pi pi pi pi . pi, X , pi : X R (x, y) = x y. pi pi: pi , pi x X,x 6= 0,

    nx = nx = (nx, 0) = 1 n N x = 1/n n = 1, 2, . . ., pi pi pi.

    pipi .

  • 1.2 7

    1.2.1 pipi

    1. Rm supremum : Rm R : x =(x1, . . . , xm) Rm

    x := max{|xi| : i = 1, . . . ,m}.

    pi .

    x+ y = |xi0 + yi0 |

    pi i0 {1, . . . , n}. i0,

    |xi0 + yi0 | |xi0 |+ |yi0 | x + y.

    pi,x+ y x + y.

    (Rm, ) `m.

    2. Rm 1- 1 : Rm R

    x1 := |x1|+ + |xm| =mi=1

    |xi|.

    pi pi R. (Rm, 1) `m1 .

    3. Rm 2 : Rm R

    x2 :=(

    mi=1

    |xi|2)1/2

    .

    pi pi pi pi CauchySchwarz.

    1.2.3 ( CauchySchwarz). x1, . . . , xm y1, . . . , ym pi- . ,

    mi=1

    |xiyi| (

    mi=1

    |xi|2)1/2( m

    i=1

    |yi|2)1/2

    .

  • 8

    pi. pi pi pi Schwarz. B =mi=1 |xiyi|,

    A =mi=1 |xi|2 C =

    mi=1 |yi|2. pi B2 AC

    (2B)2 4AC. p : R R

    p() := (|x1|+ |y1|)2 + + (|xm|+ |ym|)2 0,

    pi pi pi pi

    p() = A2 + 2B+ C 0

    R. A = 0 xi = 0 i = 1, . . . ,m pi ( ). pi pi A > 0 p() pi R. pi pipi (2B)2 4AC 0, pi . 2

    pi pi .

    x+ y22 =mi=1

    |xi + yi|2

    =

    mi=1

    |xi|2 + 2mi=1

    xiyi +

    mi=1

    |yi|2

    x22 + 2mi=1

    |xiyi|+ y22

    x22 + 2x2y2 + y22pi pi CauchySchwarz. ,

    x+ y22 (x2 + y2)2 = x+ y2 x2 + y2.

    (Rm, 2) `m2 .

    4. , Rm pi p-, 1 < p

  • 1.2 9

    1.2.4 ( Holder). x1, . . . , xm y1, . . . , ym pi p, q > 1 1 1p +

    1q = 1,

    mi=1

    |xiyi| (

    mi=1

    |xi|p)1/p( m

    i=1

    |yi|q)1/q

    .

    pi. pi log : (0,+) R , x, y > 0

    log

    (1

    pxp +

    1

    qyq) 1p

    log(xp) +1

    qlog(yq)

    log(xy) log(

    1

    pxp +

    1

    qyq).

    pi log pi

    () xy xp

    p+yq

    q x, y 0.

    x1, . . . , xm y1, . . . , ym pi . pi pi (|x1|p+ +|xm|p)1/p 6= 0 (|y1|q+ +|ym|q)1/q 6= 0. x1 = = xm = 0 y1 = = ym = 0

    mi=1 |xiyi| = 0 pi

    pi.

    ai =|xi|

    (|x1|p + + |xm|p)1/p , i = 1, . . . ,m

    bi =|yi|

    (|y1|q + + |ym|q)1/q , i = 1, . . . ,m

    pi ai, bi 0 mi=1

    api =mi=1

    bqi = 1.

    pi () ai, bi

    aibi api

    p+bqiq

    1 p q .

  • 10

    pi i = 1, . . . ,m pi

    mi=1

    aibi 1p

    mi=1

    api +1

    q

    mi=1

    bqi =1

    p+

    1

    q= 1.

    , mi=1 |xi||yi|

    (|x1|p + + |xm|p)1/p(|y1|q + + |ym|q