, , 1998-1999. , - , , , - . . . , , . , , - . , , . , . -. , . . , , , - . , , -, , . - , 396, 153 10

1998.

1 : 1.1 11 1.2 16 1.3 21 1.4 29 1.5 41 2 : 2.1 57 2.2 65 2.3 70 3 : 3.1 81 3.2 89 3.3 100 3.4 113 3.5 x2+By2+x+y+E=0 125 4 : 4.1 135 4.2 140 4.3 145 4.4 - 150 4.5 161 4.6 170 4.7 175 5 :

5.1 185 5.2 C 188 5.3 197 5.4 202 5.5 C 212 - 225

1

. , , . , , : , , ( ) . , , . , , , , . , 17 J. Wallis, I. Newton G.W. Leibniz. 18 , , . C. Wessel (1799) R. Argand (1806).

10

, . , Wessel : . , . Wessel Argand ( ) . , . W. Hamilton (1843) H. Grassmann (1844). W. Hamilton (vector). vector vehere . H. Grassmann . 19 . Hamilton J.C. Maxwell (1873) , J.W. Gibbs O. Heaviside 1880 ( ). 1888, G. Peano, Grassmann . 1.1

A=++

A

B

+

ab

b

+1

11

, , , , ., . . , , , , , ., , , . . , . , . AB . , . , , AA . . , , ,..., , ,...u v

AB , , AB || AB . AB 1, . AB AB .

AB

B ()

A ()

B

A

12

AA .

AB , AB AB// .

AB , , . AB //AB . . :

AB : ) ) . AB ( ) AB .

AA

13

AB , . AB ( ) AB . . AB , AB . 0 . :

AB , A , B B .

, MBAM .

, . AB ,

A

B

14

AB .

ABAB , .

. OA OB .

a

a

a

AOB , , ),(

),(

, , , . . 00 1800

0 : 0 , . , .

A

B

15

2

, . , , 0 . , , 0 , .

. M BAME . . . , ,

(1)

. ,

(2)

, (1) (2), , :

(3) ,

(4) , (3) (4) .

a

16

1.2

a . OA AM . OM . . , O AO MA , AOOA MAAM , AAOO MMAA . , MMOO , MOOM .

a

a

a

O

M a

a

. , OA OB , O O .

a a

a

a

17

. , , , , :

(1) a ( ) (2) )()( ( ) (3)

0 (4) 0)(

. :

OMAMOA

OMBMOB . , . :

OBOBBABOA )()(

.)()( OAOABABOA

, ( ) ( ) a . (3) (4) . ( ) ( ) , , . 1 2 3, , , ... , , 3 :

1 2 3 1 2 3 1 ... ( ... ) .

a

a

a

18

, 1 2 3 4 1 2 3 4 ( )

a a a 1 2 3

a

1

a a a a 1 2 3 4

a

2

a

4

a

3

, ,...,,, , , . , .

.

)(

a

a

a

a

a

a

a

, , x , , x . ,

xxxx )(0)()()( .

19

. , . , , . ,

OBABOA

OAOBAB : . .

)()()(|)()(| ABOAOBABOA

| | | | | | | | | |

1. ,,, .

O

a

a a

20

, : OOOAOBAB ABOAOOOB .

2. | . (|| .

1. 521 ,...,, FFF

. ,

;

F5

F3

F4

F1

F2

2. ,,

. : (i) (ii) | (iii) |

3. x

:

21

a

x

i)

x a

ii)

x

a

iii)

4. , .

5. ,,, , .

.

6. . B , .

7. 654321 PPPPPP

0261564534231 PPPPPPPPPPPP

1.3

. : , , |||| . 0 , 0 .

22

a

a

a

a

a

O

M

a

22

, 2, 3 |3|3| , 3 ,

||3||3| .

1

.

:

(1) (2) )( (3) )()(

* (1) 0 . OA , AB . OB . AO )( BO .

||)()(

)()(

,

||)()(

.

3a

3a

a

( )a

a

a

a

>0

23

ABBA . , BAAOBO , )( . . (2) (3) .

: (i) 00 0 (ii) )()()( (iii) )( (iv) )( (v) 0 , (vi) 0 , . . , , 53 , 32 . . , v , R, . . , , v 523 , .

a

( )a

a

a

24

, , 0 , , . . , 0 , . ,

| || |

, |||| . :

, . , . 0 , 0 . ( iv), , . : , , 0 ,

// , R . , , :

EAEAAAABAB 2)(222 .

EB 2 , // ||2|| EB ,

21 .

2// .

25

AB . OM :

AMOAOM BMOBOM .

,

OBOABMOBAMOAOM 2 .

2OBOAOM

1. G

, 0 GGGA )(

31 OOBOAOG .

G , GG 2 , . , GAG 2 ,

02 GGAGGAGGAGGBGA .

, G 0 GGBGA ,

02 GGA , , GAG 2 . , G

GG 2 . , G . 0 GGBGA : 0 OGOOGOBOGOA .

)(

31 OOBOAOG

G

26

2. .

,,, ,,, , , . )(

21 )(

21

G

)(41)(

21)(

21

21

.

)(

41 . ,

.

1. ,

||

10 ;

2. x :

(i) )(31)(

21 xx (ii) xx 3)(4)(3 .

3. )(2)( ,

)2(31 x .

G

x

A

27

4. : 2 , , 2 .

(i) , , , .

(ii) , ;

5. , .

33a

a

6. 323 A , , .

7. , ,

0 .

8. ,, , , , ,

, : .

9. , ,

, 4A .

10. . 1 .

11. . AABA . // .

2a

a

A

28

1. .

(i) 0 yx , 0 yx . (ii) yxyx 2211 , 21 xx 21 yy . (iii) Rx xu )1(

xv 2)32( .

2. , AAE ABAZ 0 . 111 ,

, .

3. 0 KzKByKAx ,

0 zByAx , 0 zyx , ( K

). 4. , r ,

, ,

r

, , r

.

a

r

a r

5. . , , , . G G , G, G .

6.

. BAMN 4 , .

29

7. G G , GGBBAA 3 .

8. , .

MMBMA 253 . 9. ,,

5,, 3 ,

. r .

1.4 xx , OI 1 Ox . iOI x x . Ox Ox , Ox Ox .

x x (x)

, , xx , iOM // , x xOM .

5a

3

r

a

30

30

x . , xOM x xx x . )(x . xx y y i j . Oxy . Oxy , . , x x y y , ,

i j . Oxy . y y , xx 1M , xx , y y 2M . x 1M xx y 2M y y , x y .

. . ),( yx , :

xx )(1 xM y y )(2 yM . 1M 2M y y xx , . . x y M x y( , ) ( , )x y .

i

j

x

y

y

x 1

2 (x,y)

31

Oxy . OA . 1A 2A xx y y , :

21 OAOAOA (1)

yx, A , xOA 1

jyOA2 .

(1) jyix

i j . x y . i j . ,

jyix .

jyixjyix

jyyixx

)()( xx , 0 xx ,

i y y

x xj

, , i j/ / , , i j . xx , yy . : jyix . xi yj i j , yx, Oxy . , x

a

a

i

j

A1

y

x

A 2

32

y . : . x y , ( , )x y . , , , R . , ),( 11 yx ),( 22 yx

, :

( ) ( ) ( ) ( )x i y j x i y j x x i y y j1 1 2 2 1 2 1 2 jyixjyix )()()( 1111

( , )x x y y1 2 1 2 ( , )x y1 1

),(),(),( 21212211 yyxxyxyx

),(),( 1111 yxyx , :

),(),(),( 21212211 yyxxyxyx .

, )1,1( )2,1( , )1,2()2,1()1,1( , )2,2()1,1(22 , )3,0()2,1()1,1()2,1()1,1( ,

)4,1()2,1()2,2()2,1()1,1(22

33

),( 11 yx ),( 22 yx - ),( yx . )(

21 OBOAOM ,

),( yxOM , ),( 11 yxOA ,

),( 22 yxOB ,

)],(),[(

21),( 2211 yxyxyx

2,

22121 yyxx

221 xxx

221 yyy .

),( 11 yx

),( 22 yx ),( yx AB . , OAOBAB , ),( yxAB ,

),( 22 yxOB ,

),( 11 yxOA , :

),(),(),(),( 12121122 yyxxyxyxyx . :

),( yx ),( 11 yxA ),( 22 yx

12 xxx 12 yyy .

y

x

A(x1,y1)

B(x2,y2)

(x,y)

y

x

A(x1,y1)

B(x2,y2)

34

AB AB .

, AB )2,1( )7,3( x 3 1 2 527 y ,

)5,2( . ),( yx OA . 1 2 xx yy , x y , ||)( 1 x ||)( 2 y . :

222222

21

21

21

22 ||||)()()()()(|| yxyx . :

),( yx , 22|| yx

, )12,5( , 13125|| 22 . ( , )x y1 1 ),( 22 yx . )(

),( 1212 yyxxAB , (1) : 212

212 )()()( yyxx (2)

a

A1

y

x

A(x,y) 2

(1)

y

x

A(x1,y1)

B(x2,y2)

35

: ( , )x y1 1 ),( 22 yx

212

212 )()()( yyxx .

, )7,2( )3,5(

543)73()25()( 2222 .

1. )1,2( )4,1(

)3,2( , .

),( 11 yx ),( 22 yx , , :

x

y

1

1

22

2

12

3

( )

32

4

22

1

2

2

y

x

.

,

76

1

1

yx

103

2

2

yx

.

, )7,6( ( , )3 10 . 2.

G , .

),( 11 yx , ),( 22 yx , ),( 33 yx - , ,

K(2, -3)

A(-2,1)

B(1,4)

G(x,y)

(x3,y3)

A(x1,y1)

(x2,y2)

36

),( yx ,

0 GGG (. 1 1.3), :

)0,0(),(),(),( 332211 yyxxyyxxyyxx )0,0()3,3( 321321 yyyyxxxx

03321 xxxx 03321 yyyy .

x x x x y y y y 1 2 3 1 2 33 3

, .

),( 11 yx ),( 22 yx

. 0 , R , , . , ),(),( 2211 yxyx :

21 xx 21 yy , x y y x x y y x1 2 1 2 2 2 2 2 0 0

22

11 yxyx

.

0 , x yx y

x y1 12 2

1 1

0 00 .

,

022

11 yxyx

.

, 022

11 yxyx

,

. , 022

11 yxyx

, 1221 yxyx . , 02 x , 2

2

11 yx

xy , , 2

1

xx ,

21 xx 21 yy .

37

, // .

37

02 x , 021 yx , 01 x ,

, , , 02 y ,

,

.

0//22

11 yxyx (1)

x yx y

1 1

2 2, 1

2 , ( ) ),det( . , :

0),det(// a : ( , )3 1 ( , )3 3 , det( , )

3 13 3

3 3 0 ,

( , )2 3 ( , )1 2 , det( , )

2 31 2

4 3 7 0 .

( , )x y A

aOA . , Ox , x x .

20 .

y

x

A(x,y)

38

, , y y ,

xy .

yx

( , )x y , x 0 , . :

xy

y 0 , xx // , 0 . x 0 , yy // , . ( , )x y1 1

( , )x y2 2 1 2 . :

212

2

1

11221

22

11 0// xy

xyyxyx

yxyx .

, 1 2 :

21//

R )0,1( , )3,( 2

)9,5( . ,, , )3,1( 2 AB )9,15( A , , 0),det( AAB .

39

0915310),det(

2

AAB

031599 2 0253 2

321 .

1. ),( yxM : (i) 2|| x (ii) 2|| x (iii) 2|| y (iv) |||| yx .

2. xx yy :

),(),2,1(),6,5(),4,3(),2,1( yxM . 3. R ),23,4( 22 . :

(i) 0 ; (ii) 0 xx // ;

4. )232,23( 22 )273,65( 22 . R ,

. 5. x, )1,(x ),4( x

.

6. )4,3(u , u u ;

40

7.

i j .

ji : )

,,,, . ) , , , ,

, . 8. )6,1( )2,9( . (i) xx

(ii) yy .

1. 1,3,25,4,

27,3,

25,

23

21,

23

, , , , , , .

2.

017)34( 22 xx . R , 4.

3. ),(),,(),,( 333222111 ),( 444 .

.

4. yx ,,,,, 2121 :

212

212

22

22

21

21 )()()()()()( yxyx .

5. .

r .

j

i

y

x

41

1.5 F F )(|| . OAF F OA . , :

|||| , . 0 0 , 0

, | | 3 , | | 8

3

122183

383 .

: ( ) , 0 . , |||| . , |||| . 2 . : 22 ||0|||| .

22 || .

A

F

42

, i j :

0 ijji 122 ji ( , )x y1 1

( , )x y2 2 . OA OB .

))((2)()()( 222 , ,, .

( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 x x y y , ( ) 2 12 12 x y ( ) 2 22 22 x y . , :

))((2)()( 22222121212212 yxyxyyxx ))((222 22222121212221212221 yxyxyyyyxxxx

))(( , : x x y y1 2 1 2

: . , ( , )3 4 ( , )2 1 : ( ) ( )3 2 4 1 10.

:

a

y

x

(x1,y1) (x2,y2)

43

R),()( )( ( ) 121

1 2 , ( yy //, )

, ( , )x y1 1 , ( , )x y2 2 ( , )x y3 3 , :

( ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y x x y y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y x x y y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( , )( , ) ( ) ( )x y x x y y x x x y y y1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( )x x x x y y y y x x y y x x y y1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 . 1100 21

2

2

1

121212121 x

yxy

xxyyyyxx ( , )x y1 1

( , )x y2 2 , | | | | ,

||||

.

x x y y1 2 1 2 , | | x y12 12 | |

x y22 22 . ,

22

22

21

21

2121yxyx

yyxx

, ( , )1 2 ( , )31 , :

22

21

1055

1321

12312222

,

4.

44

1. ),( 11 yx ),( 22 yx

, :

(i) |||||| (ii) 222)( ; (i) , :

|||||||||||||||| .

, 1 , , // . (ii) , 2222222 |||||)||(|||)( . , , // . 2. 3|| , 1||

6 . x

y . x y ,

||||

yxyx

. , ,

yx yx , . 213||||))(( 2222 ayx . xx 2)(|| 22222

||||2|||| 22 7

2313213 .

yy 2)(|| 22222 ||||2|||| 22

12313213 .

, 7

7217

2 , 041

45

3. )( , 0 . OA OB xx , ),( OA

),( OB . , :

)()(11)(|||| OBOAOBOA OBOA ),)(,( . ,

)( v , 0 . OA OM . OA 1M . 1OM . ,

1OM . . :

OMMMOMMMOMv 11111 )( :

y

x

-

a

M1

M

A v

46

1. v ,

3||,21|| v v

6 .

v 1 . v 1 . vav , :

vvv 1 2v 2|||||| v

21

233

3 , v 31 . 2. )1,3( )2,1( .

, . .

1 2 11

22 .

21 . (1)

1 //1 , R ,

),3( . : ),3()1,3()2,1()1,3(

1332113 105

21 .

v

v

2 v

1

a

y

M2

M1

M

x

47

,

21,

23)1,3(

21

21

1

23,

21

21,

23)2,1(12 vvv

.

1. )3,1( )5,2( , (i) , )3()2( )3()(

(ii) R, , ),( u . u ;

2. )2,4(),2,1( vu )0,6(w , : )7( wvu ,

)(|| wvu , |)(| wvu wvu )|(| .

3. )0,1( )1,1( , R , :

(i) (ii) .

4. )2,3( u 1.

5. 2|| , 3|| 3

),(

, R , u 3 v 2 .

6. )1,( )3,4( , R : (i) 0 (ii)

4),(

(iii) // .

7. 1|||| 3

2),(

, u 42 av .

8. a , :

)( .

9. u |||| v |||| .

48

10. , v )(2 .

11. )5,1(),4,6(),2,3( )2,1( . (i) (ii) ; 12. )4,2( )5,8( .

, . 13.

25 3 , 22|| , 3|| 045),(

.

14.

.

15. :

(i) |||||| (ii) ||||||

1. .

: 0)(2 2222 .

"" ; 2. : (i) 2222 ||2||2|||| vuvuvu

(iii) 22 ||41||

41 vuvuvu

. 3. .

:

49

(i) au |||| .

(ii) v |||| .

4. 2|| , 1|| , 3|| 2 0 ,

. 5. ),( ),(

, 1)( 2 .

6. 112222

.

7.

. (i) MB

. (ii) .

; ;

8. . , .

(i) , A B , .

(ii) .

(iii) . BAH . ;

a a

a

50

9. . 2121 ,,,

. ;

10.

, , . .

11. ),( RO .

, . ( ).

1. ,, 0|||||| , ,

00 ,

, . 2.

, .

3. 3|| . 7)2( ;

1

2 2

1

B

A

B

B

A

O

51

4. . R , , 1|| , || .

5. (

), , , , .

(i) .

(ii) .

(iii) , G G

21 .

6. ,, x

xx )( .

(i) ))(1( x . (ii) 1 , x , . 7.

. , , ,

(i) ,,

, , , .

(ii) , .

8. , ,

,

.

.

B

M

A

52

1. .

. , , .

(i) (ii)

(iii) (iv) ||||

(v) (vi) ||||

2. , :

(i)

... (vi) ... A (ii)

... B (vii) ...

(iii)

... (viii) ... (iv)

... (ix) ...

(v)

... AB 3. O ,

: (i)

...2 (iv) ...22

(ii)

...21

21 (v) ...

(iii)

... 4.

.

i) AM MB AN NB

ii) AM MB AN NB

iii) AM MB AN NB

53

5. )2,3( . : (i) xx : (...,...)1 (ii) yy : (...,...)2 (iii) O: (...,...)3 (iv) xOy : (...,...)4

6. )5,3()3,3(),2,4(),5,6(),1,3( .

)4,0( )4,3( )3,7( )4,6( )0,9(

7. )4,3(),2,3(),5,4(),2,3( .

.

)0,0(

27,

21

23,

27

)3,0( 8. .

(i) )2,3( )1,4( , )7,2( , )3,0( )5,1( . :

1. 2. 3. 4. 5.

54

(ii) )2,3( . :

1. )4,8( 2. )2,4( 3. )3,6( . 9.

. :

(i) (iv)

(ii) (v)

(iii) (vi) .

10. vu 2 3 .

vu , : i) 00 ii) 030 iii) 060 iv) 090

v) 0120 vi) 0150 vii) 0180 . 11. : wuvu 0u , . wv . wv // . wvu . wvu . 12.

.

1. )2,1(),5,7( vu 2. )1,2(),4,3( vu 3. )0,6(),5,3( vu 4. )4,5(),1,0( vu 5. )2,3(),3,2( vu 6. ),(),,( vu 13.

: (i) AB A AB A

(ii) AB A AB A

(iii) AB A AB A

B O

2

. , ( ). , . , . ( , , ). 1 , , , . , ( ) , , , ( ).

56

2 pxy 22 , yx, . ( .). 1630 R. Descartes P. Fermat, 16 Cardano, Viete .. Descartes Fermat , ( ). Descarte La Gomtrie (1637), (, , ), . , :

, , .

J. Wallis, Tractatus de sectionibus conicis (1655), , , , 2 , I. Newton 1676 , . Newton Artis analyticae specimina vel geometria analytica ( 1779) . , , . 2 L. Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) ,

y

yx

x

57

.

2.1 , 2= xy , ),( yx . , , )1,1( )4,2( , )9,3( , )0,0( ,

41,

21 , )3,3( 2= xy .

2= xy , C, , . ),( yx M x y( , ) C, , 2= xy , 2= xy C. :

yx, C, C, , .

, , , C

2= xy , 2=: xyC 2= xy . .

x O

y

58

. . Oxy xx .

y

x x

y

y

x x

y

xx xx . x x , 0 . 00 1800 0 . xx . , xx , . xx , xx , . xx 090 , xx , . , . , (-2,1)

32- ,

3

y (-5,3)

A(-2,1)

x

59

2 . )3,5-(B , AB . . xx , . : , .

=

x

y

=+

x

y

, xx , . ,

),( 11 yxA ),( 22 yxB ,

)-,-( 1212 yyxxAB

, 12

12

--

xxyy

. :

),( 11 yxA ),( 22 yxB , 21 xx

12

12

xxyy

.

, )2,1( A )4,1(B 3

11)2(4

.

60

, . , 21, 21, 1

2

1

2 , 1 212121 ////

1212121

.

, 1 2 1 2 , :

2121 // 12121

, . . Oxy ),( 00 yxA . . ),( yxM

),( 00 yxA , AM , AM . ),( 00 yyxxAM

,

0

0

xxyy

AM .

, ),( yxM xxyy

0

0 )( 00 xxyy .

),( 00 yxA . : 1 21 // 1 2 .

x

y

M(x,y)

(x0,y0)

61

)( 00 xxyy (1) , A( , )1 2 3 y x 2 3 1( ) , y x 3 1. ),( 11 yxA ),( 22 yxB . 21 xx ,

12

12

xxyy

)( 00 xxyy :

)( 112

121 xxxx

yyyy

(2) (1) (2) , , . ),( 00 yxA , 0x :

0xx , )5,3(A )1,4(B )3(

34515

xy , 723

74 xy

)5,3(A 3x . y y ),0( A )0( xy ,

xy .

x

y

(x1,y1) B(x2,y2)

x

y

(0,)

62

, y x 0 0( )

xy .

, yOx xOy xy xy .

, ),( 00 yxA xx ,

, )(0 00 xxyy ,

0yy .

1.

)2,1(A , )5,1(B )1,4( . : i) ii)

iii) .

(i) ,

34

34

4115

B

x

y

x

y

y=-x y=x

135o

45o

2 1

x

y0

y

(x0,y0)

(-1,2)

(1,5)

(4,1) x

y

63

43 . ,

)1(432 xy

411

43 xy .

(ii)

2

12,2

41

23,

23 .

, 71

23

523

)1(75 xy , 127 xy . (iii) 2 1

1 415

,

5, y x

32

5 32

65 xy .

2. 121 xy )1,2(A .

. ),( A , AA AA -1, AA .

2

1,2

2

AA 21

.

121

21

12

221

21

,

52

42

.

x

y

(2,1)

(,)

64

56

513 . ,

5

13,56A .

1. :

(i) , )4,1( )6,1( (ii) , )0,1( )2,0( (iii) , .

2. , xx

: (i) )4,1( )6,1( (ii) )3,1( )4,0( (iii) )3,1( )1,1( (iv) )3,2( )3,2( .

3. )1,1(

(i) )2,3( (ii) )1,0( (iii) xx 4/ .

4. )0,1( , )2,3( )4,3( . : (i) (ii) .

5. )1,3( , )5,5( , )3,1(

)1,1( . ; 6. )1,1( , )0,2( )3,1( . 7.

),( ),( . 8. )3,2( , )5,4( )4,3( .

G .

65

1. , )2,1(

. 2.

, 23

21 xy

2 xy )4,1( .

3. )1,2( 1xy 1 xy , .

4. )/1,( P )/1,( Q . (i) PQ .

(ii) PQ xx yy , QP .

5. )0,( ),0( , 1

yx .

6. 3

1132 xy

xx yy , 15.

2.2 0 yx , 0 0 . yy ( , )0 , y x , x y ( )1 0 x

y

(0,)

66

P x y( , )0 0 , x x 0 ,

x y x 0 00( ) . , , Ax By 0 A 0 B 0. , Ax By 0 A 0 B 0.

B 0, y A

Bx

B ,

AB

yy 0,

B

.

B 0, , , A 0 x

A , x x

PA

,0 . Ax By 0 A 0 B 0 . , , : Ax By 0 A 0 B 0 (1) , (1) .

, 2 6 0x y . y x 2 6 2 yy ( , )0 6 . Oxy 0 ByAx . :

x

y

P(x0,y0)

67

0B , BA

),( AB . 0B , yy ),( AB . : 0 ByAx

),( AB . , ),( AB ),( BAn ,

0),(),( ABABBAABn . : 0 ByAx ),( BAn . , 042 yx )2,1( )1,2( n .

1. :

0)723()52( yxyx (1), R (i) (1) (1) ( )

. (ii) xy 2: ;

(i) (1)

0)75()22()31( yx . (2)

x

y

)1,2( n

)2,1(

68

x y, (2) R . (1) , ),( 00 yxK (1) . 52 yx 723 yx ,

052 yx 0723 yx . 30 x 10 y . , (1) )1,3(K . (ii) (1) .

21121 (3)

, (2),

22

31 .

, (3)

1226221

2231

,

0242 yx 012 yx .

2. (2,3), (4,1) (5-1,), R.

, R.

),( yxG ,

355

31542 x

34

313 y .

43553

34

355

yx

y

x.

015153 yx 055 yx . , 055 y .

69

3. 1:1 yx =0 032:2 yx . 1 2 11 22 . , )1,1(1

)2,1(2

. ,

1 2 1

2

. , :

1010

101

52)2(111

||||

21

21

.

, 1010 , 072 .

1.

0)1( 2 yx . xx , yy ;

2. )3,2(

0632 yx . ;

3. 0352 yx 073 yx 14 yx .

4. )6,4( )1,1( . 23 yx 02 yx . :

(i) . (ii) .

5. R , 08)1( yx

70

0213 yx . 6. R , 033 yx

0643 yx 0956 yx .

1. : (i) 04422 yyx (ii) 032422 yxyx .

2. 0)13()1()32( 22 yx , R

. 3. 54 yx , 123 yx 0187 yx

. 4. xy

yx )1()1( .

5. 1

yx 1

yx .

6. 33 yx )2,1( . .

7. 1: y

x .

xx .

2.3 , 0 ByAx

),( 000 yxM .

71

),( 0 Md 0M . ),( 111 yxM 0M ,

||),( 100 MMMd (1)

),( 010110 yyxxMM

),( BAn , . , R , ,

nMM 10 (2) , (1),

220 ||||||||),( BAnnMd (3) , (2), ),(),( 0101 BAyyxx ,

Axx 01 Byy 01 (4) ),( 111 yxM . ,

0)()(0 00)4(

11 ByBAxAByAx 0)()( 00

22 ByAxBA 22

00

BAByAx

. , (3),

22

002222

000

||),(

BA

ByAxBA

BAByAxMd

.

:

2200

0||

),(BA

ByAxMd

, )2,1(0 M

0834: yx

25

10

34

|823)1(4|),(220

Md .

),( BAn

x

y

1(x1,y1)

0(x0,y0)

72

),( 11 yxA , ),( 22 yxB ),( 33 yx . . ,

)()(21)( ABAB . (1)

() ),( 11 yxA ),( 22 yxB . ,

212

212 )()()( yyxxAB . (2)

() . , . , yy ,

12

12

xxyy

,

AB: )( 112

121 xxxx

yyyy

,

: 0))(())(( 112112 xxyyyyxx . (3)

, , yy , 1xx , (3).

(3), , : 0)()()( 12211221 yxyxyxxxyy . (4) , ()

212

221

1221312321)4(

)()(

|)()()(|)(

xxyy

yxyxyxxxyy

2

122

12

13121312)3(

)()(

|))(())((|

yyxx

xxyyyyxx

.

A(x1,y1)

B(x2,y2)

(x3,y3)

73

,

213

212

1313

1212

)()(

||)(

yyxx

yyxxyyxx

. (5)

, (1), (2) (5),

||21)(

1313

1212

yyxxyyxx

AB . (6)

, 1 AB 2 A . , ),det( AAB AB A . , (6)

|),det(|

21)( AABAB

, )0,1(),1,0( BA )8,3( , )1,1( AB )9,3( A ,

612

21|

9311

|21|),det(|

21)(

AABAB .

1. 11 : xy

22 : xy

2

2121

1

||),(

d

.

1 2 1 2 .

74

0x , 1y . , ),0( 1

1 , )()( 221 A,d,d

1

|0|2

21

, 0: 22 yx

221

1

||

2. (-3,0), (-2,0) (-4,2).

(x,y) : ()=2()

1|

2101

|21|),det(|

21)( AABAB ,

()

|2||2

22|

21|),det(|

21)(

yxyx

BMBMB

, ),( yxM ,

222|2| yxyx 22 yx xy 4 xy .

, xy 4 xy ,

.

1. )3,2(

x

y

75

(i) 01 yx (ii) 32 xy (iii) 1

32 yx (iv) 0135 yx

75

2. 05185:1 yx 06885:2 yx . (i) 21 // (ii) 1 2 (iii) 1 2 .

3. 0934:1 yx 02434:2 yx .

(i) 21 // (ii) 1

1 2 . 4. 3032 yx )3,1( )9,7( ; 5. 3

5 . 6. 0123: yx 1

2 , 8 . . 7. :

(i) )3,4(),0,6(),0,0( (ii) )4,5(),6,2(),4,2( (iii) )4,5(),4,3(),2,1( . 8. )1,5( )3,1( . xx ,

7. 9. )4,3( )2,5( . , ,

10)( . 10.

)3,2(),1,3( )5,4( . .

1. ,

)0,2( )2,0( . 2. xx ,

060125 yx . 3. )2,1(

4 .

76

4. )3,1( 1.

5. 02 yx ,

060512 yx 1. 6. ),(),,( ),( ,

. 7. )0,( ),0( .

)0,( pP ),0( qQ , : (i) pqpq 2 (ii) 0 qp .

p q . 8.

0143 yx 04125 yx . 9.

01 yx 0532 yx )2,3(

57 .

10. )2,1( )1,3( .

8)(

1. , )0,1(M

2 xy xy , , 2)( .

2. yx 2)1( 12)1( yx R . ;

77

3. 1 yx , 3,2,1 , , ),( , 3,2,1 , .

4. ),(

1 y

x 1

yx .

5. 1 yx 1

yx 0 ,

22

)(

.

6. :

(i) 04 22 yxyx . (ii) 0 yx 030 .

7. , :

(i) 0 yx (ii) xx

0: 111 yx 0: 222 yx . 8. ,, , 0 yx

(i) x y (ii) () .

1. , , , : y x 3 5 xx 5x 2y R ayx ,01011+ 2 0143 yx ),3(2 xy R

(3, 2).

78

2. :

(2,1) (2,3) (1,2) (0,3) (0,0) (2,8)

y = 3 x = 2 3x - 2y = 0 2x - 5y = -8

3. :

042 yx 033 yx : (0,0) (2,0) (0,1) (3,2) (1,1)

0 ByAx , :

0 0A 0B 0A : y = x : 5 xy y, 2y , 8 yx , xy 2 , 1x .

4. 83: xy . : .

5.

: 01103:1 yx 06103:2 yx 09103:3 yx 06103:4 yx . 6. 022 yx 022 yx , : . . . xx .

yy .

3

, , , , :

, . , x , 32 , 33 2x . (450 ..) (430 ..) 2, x y, ,

2y

yx

x (1) (

33 2x , x ). , ( x ,

xx ) ,

. . (1) yx 2 (2),

xy 22 (3) 22xy x

y22 (4),

x y (2), (3) (4), . , (250 ..) ,

80

, , 350 .. , (550 ..), (3) (4). , , , , 2 ( xy 22 ), , 2 ( )2 2xy . , yx, ( ). 300 .., , , . (), () (). (287-212 ..) . , (250 ..), , . 8 , -. 7 387 8, , 100.

y

K

M

x

81

, , . , , (), . .

y . x . .

() , . () , , (), .

3.1 Oxy C O( , )0 0 . M x y( , ) C, , , :

M

x y

yx

M

x y

82

( )OM (1) , ( )OM x y 2 2 . , (1)

x y2 2 , , x y2 2 2 . (2)

, , (2). , O( , )0 0

x y2 2 2 (3) , (0,0) 1 x y2 2 1 . . C x y: 2 2 2 M x y( , ) . M x y( , ) C

)2,0[ OM x x , , , :

x y . (1) , x y, (1), C,

2222222222 )( yx . , M x y( , ) C

)2,0[ , yx C.

C

M(x,y)

(0,0)

x

y

M(x,y)

x

y

83

222: yxC A x y( , )1 1 .

M x y( , ) ,

, ,

0AMOA . (1)

),( 11 yxOA

),( 11 yyxxAM . (1) x x x y y y1 1 1 1 0( ) ( )

xx yy x y1 1 12

12

xx yy1 12 , x y12 12 2 .

, 222 yx ),( 11 yxA

xx yy1 12

, 122 yx A 12

32

,

123

21 yx , 023 yx .

022 ByAxyx Oxy C K x y( , )0 0 . M x y( , ) C, , , KM )( (1) , ( ) ( ) ( )KM x x y y 0 2 0 2 . , (1) :

(x1,y1) M(x,y)

x

y

(x0,y0)

M(x,y)

x

y

84

( ) ( )x x y y 0 2 0 2 , , ( ) ( )x x y y 0 2 0 2 2 . , K x y( , )0 0 :

( ) ( )x x y y 0 2 0 2 2 (2) , , K( , )1 3 2 ( ) ( )x y 1 32 2 2 . , (2)

0)(22 2202000

22 yxyyxxyx , x y Ax By2 2 0 , (3) A x 2 0 , B y 2 0 x y02 02 2 . , (3) :

( ) ( )x Ax y By2 2

x A x A y B y B A B22

22 2 2

22 4

22 4 4 4

x A y B A B

2 2

44

2 2 2 2 .

: A B2 2 4 0 , (3) K A B

2 2,

A B2 2 42

.

A B2 2 4 0 , (3) , K A B

2 2, .

0422 BA , (3) , ),( yxM . :

85

x y Ax By2 2 0 , A B2 2 4 0 () () .

0126422 yxyx , , ( ) ( )x x y y2 24 6 12

( ) ( )x x y y2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 3 12 2 3 ( ) ( )x y 2 3 12 2 2 . , K( , )2 3 1.

1. C x y: 2 2 5

A( , )3 1 , .

1 C . M x y1 1 1( , ) , 1 511 yyxx (1) A( , )31 , 53 11 yx . (2) , M x y1 1 1( , ) C. , x y1

212 5 . (3)

, ( , )x y1 1 M1 (2) (3). : ( , ) ( , )x y1 1 1 2 ( , ) ( , )x y1 1 2 1 (4) , C A( , )31 , , (1) (4), :

2

1

(3,1)

M2

M1

x

y

86

1 2 5: x y , 2 2 5: x y .

1 2 1 12 2 2 , 1 2 . 2. 2221 5)3()2(: yxC 2222 3)1(: yxC .

(i) 1C )1,5( A .

(ii) 2C . 1C )3,2(K 5, 2C )1,0( 3. (i)

),( yxM , KAAM , ,

0AMKA . (1)

, )4,3( KA )1,5( yxAM . , (1)

0)1(4)5(3 yx 01943 yx . , : 01943 yx . (2)

(ii) 2C , )1,0( 2C 2C , 3.

:

35

15

43

|19)1(403|),(22

d .

(0,-1) x

C1

C2

O

B

A(5,-1)

K(2,3)

M(x,y)

y

87

1.

: (i) )3,1( . (ii) ),( (iii) 2 yx (iv) 22 yx

2. 522 yx

: (i) 32 xy (ii) xy

21

(iii) )0,5( 3. 222 yx )1,1( ,

)1,1( , )1,1( )1,1( xx yy . ;

4. 422 yx

)1,1( . 5. :

(i) )1,0( )0,3( (ii) )2,1( )8,7( (iii) 5 xx )0,1(

)0,7( (iv) )0,4( )0,8(

xy (v) xx )0,4( )0,8( yy

)2,0( ),0( . (vi) xx )0,3(

)2,1( . (vii)

1243 yx )3,0( . 6. (i) 036422 yxyx (ii) 020121022 yxyx

88

(iii) 3 01963 22 yxyx (iv) 0164104 2222 yxyx . 7.

(i) 044222 yxyx )1,1( (ii) 0322 2222 yxyx ),( .

8. :

1: 221 yxC 4)1(: 222 yxC .

1.

0))(-())(( yyx-x

),( , ),(),,(),,( .

2. 424 yx

048422 yxyx . 3. ),( 000 yx 222 yx

. 21 , , 21 200 yyxx .

4. C

)0,3( . C . C , G 222)( yx .

5. ,

222 yx . 6. ,

)0,3( )0,3( 2. 7. ,

1x .

89

8. )5,3(A , )4,2( B )1,5( . 107222 .

9. )2,0[ ,

yx yx

2222 yx .

10. 2522 yx ,

)4,2( .

3.2 . C (. ). , .

C ()

()

()

P

()=()

C

P1

1

1

() ()

90

C, : 1 (. ) M1 A1 . , M1 C. , P1 M1 , )()()( 1111 EMAPM ,

),(),( 11 EMdMd . C . C Oxy x x .

2: px

0,2pE x

M(x,y)

y

P

O

p>0

2

: px

0,2pE x

M(x,y)y

P

O

p

91

, (1)

x p y x p 2 2

22

x p y x p

2 2

22

2

x pxp

y x pxp2

22 2

2

4 4

y px2 2 . (2)

, C E p2

0,

: x p 2

y px2 2

, E( , )1 0 1x p 2 y x2 4 . p || p . Oxy y y , C

x py2 2

yp

x 12

2

2xy , p

21

2: py

2

,0 pE

y

x O

x2=2py p>0

2

,0 pE

2: py y

x O

x2=2py p

92

, y x 14

2 p 2 E( , )0 1 y 1. pxy 22 . (1) (1) p x ( 0x ) . , y y . ,

. M x y1 1 1( , ) , , y px1

212 , ),( 112 yxM

, 121 2)( pxy . x x . , .

pxy 22 1M 2M . 1M 2M xx . ),( 11 yx ),( 22 yx

1M 2M , 1M 2M xx || 1y

|| 2y . , |||| 21 yy . ),( 11 yx , ),( 22 yx pxy 22 ,

y px12

12 y px22 22 .

E N1

N2 x

M2(x2,y2)

M1(x1,y1) y

O

93

, M1 M2 y

py1

2

12,

yp

y22

22,

. , E p

20, , M

yp

y112

12,

, M

yp

y222

22,

.

: 21// EMEM , :

0),det( 21 EMEM

0

22

22

2

22

1

21

ypp

y

ypp

y

02

)(2

)( 122

2222

1 p

ypyp

ypy

012

22

1222

21 ypypyyyy

)()( 212

2121 yypyyyy 221 pyy , y y1 2 .

22121 |||||| pyyyy . () C

y px2 2 (1) M x y1 1 1( , ) . M x y1 1 1( , ) M x y2 2 2( , ) .

y yx x

2 1

2 1

x

M1(x1,y1)

M2(x2,y2)

y

O

C

94

M x y1 1 1( , ) ,

)( 112

121 xxxx

yyyy

. (2)

M x y1 1 1( , ) , M x y2 2 2( , ) , (1). ,

y px12

12 y px22 22 ,

y y p x x22

12

2 12 ( ) ( )( ) ( )y y y y p x x2 1 2 1 2 12

y yx x

py y

2 1

2 1 2 1

2 .

, (2) y y p

y yx x 1 2 1 1

2 ( ) ,

)(2))(( 1112 xxpyyyy . (3)

M x y2 2 2( , ) , C, M x y1 1 1( , ) . y2 y1 , (3)

( )( ) ( )y y y y p x x1 1 1 12 ,

y y y p x x1 1 1( ) ( ) . (4) , , M2 M1 . M1 . :

y y y px px1 12

1 yy px px px1 1 12

yy px px1 1 yy p x x1 1 ( ) .

95

, pxy 22 M x y1 1 1( , )

yy p x x1 1 ( ) , y x2 4 M1 2 1( , ) y x 2 2 1( ) , y x 1.

x py2 2 , M x y1 1 1( , )

xx p y y1 1 ( ) . , :

M1 M E1

tM1 , , . M x y1 1 1( , ) N1 x x . 21 , 1 2

( ) ( )EM EN1 1 . , yy p x x1 1 ( ) , N1 ( , )x1 0 ,

( )EM x p y1 12

12

2

11 2)( x

pEN .

0,2pE

x

2

t21

1

1N1(-x1,0)

M1(x1,y1)

C

y

O

96

, :

12

121

2

11 222)( pxpxypxEM

2

1 2

px )(2 11

ENpx .

, , , . : , , . . , , , .

, M x y1 1 1( , ) , N x1 1 0( , ) M x y1 1 1( , ) .

1. C y px: 2 2 1 2,

M x y0 0 0( , ) x0 0 . M M1 2, 21 , C,

(i) M M1 2 yy p x x0 0 ( ) (ii) M M1 2 , M0

.

97

(i) ( , )x y1 1 ( , )x y2 2 M1 M2 , 1 2 :

)(: 111 xxpyy )(: 222 xxpyy

1 2 M x y0 0 0( , ) ,

y y p x x0 1 0 1 ( ) y y p x x0 2 0 2 ( ) .

, M1 M2

y y p x x0 0 ( ) (1)

, (1) M M1 2 . (ii) (i), M M1 2 E p2 0,

,

yy p x x0 0 ( ) , ,

20 00

pxpy

x p0 2 ,

, M x y0 0 0( , ) 2px

. M M1 2 M0 C, M0 M M1 2 C. M x y0 0 0( , ) C y px: 2 2 C M x y0 0 0( , ) , C.

1

2

x

M0(x0,y0)

M2(x2,y2)

M1(x1,y1)

y

O

98

2. pxy 22 M x y1 1 1( , ) , M2 . M E M1 2 090

.

yy p x x1 1 ( ) . (1)

M x y1 1 1( , ) , y px12 12 , x

yp112

2 . , M1

yp

y12

12,

.

, (1)

yy p xy

p112

2

2 21 1

2yy px y . (2)

, M2

211 22

2ypxyy

px.

M2

p y py2 2

12 2

1, .

,

EM yyp

ppy

y p11

12

1

12 2

2 2

2

EMy p

yp

y ppy2

12 2

1 12 2

1

22

.

2: px

0,2pE x

M2

M1(x1,y1) y

O

99

, EM EM1 2 1 , EM EM1 2 , M E M1 2 090 .

1.

xx : (i) )0,1( (ii)

21x

(iii) )2,1( . 2. :

(i) xy 82 (ii) xy 82 (iii) 2

41 xy (iv) 2

41 xy

(v) xy 42 (vi) 241 xy .

3. pxy 22 . .

4. 241 xy ,

090 . 5. 2

41 xy

: (i) 1 xy (ii) xy 2 (iii) )1,0( .

6. 241 xy )4,4(

41,1 .

100

1. 8)3( 22 yx xy 42 . (, ).

2. xy 122 . )32,1( xx ,

. 3. xy 42 .

)32,3( , xx ..

4. pxy 22 . EM , , yy .

5. pxy 22 ),( 11 yx . , // .

6. pxy 22 yy ,

(i) 090AEB , (ii) (iii) ))(()( 2 . 7. pxy 22 ),( 11 yx .

, xx xx , . yy .

8. pxyC 2: 21 pyxC 2: 22 (i) 1C 2C )0,0(O )2,2( pp (ii) 1C 2C 2C 1C

, 1C 2C

3.3

101

E . E C E E E . , ,

101

2 E 2. H EE . : ) ,

( ) ( )ME ME 2

) ( ) ( ) ( ) E E ME ME , 2 2 . 0 , E E, , . C, : 2 . E ( ) ( ) , , , M . M , ( ) ( )ME ME 2 ( ) ( ) M E M E 2 . . : 2 E . , , , .

M

()=2 ( )+()=2

E

2a

E

E

M

E E

102

C E . Oxy x E E y E E . M x y( , ) C, ( ) ( )ME ME 2 . (1) ( ) E E 2 , E ( , ) 0 ( , ) 0 . ,

22)()( yxEM 22)()( yxME . , (1)

yxyx 2)()( 2222 , : 2222 )(2)( yxyx 2222222 )(4)(4)( yxyxyx 222222222 )(4242 yxyxxyxx xyx 222)( (2) 222222 )()2( xyxx

xxyxx 22242222222 22 )()( 22222222 yx 122

2

2

2

y

x . (3)

, 022 , 22 , (3)

122

2

2

y

x . (4)

B

A

B

x

y

)0,(E O

),( yxM

)0,( E

103

, ),( yxM , (4), C. , C )0,( E , E( , ) 0 2

222

2

2

2

,1 y

x

, )0,4(E , E( , )4 0 2 10

,135 2

2

2

2

yx 345 2222 .

Oxy x E E y E E , C

222

2

2

2

,1 y

x

, E ( , )0 4 , E( , )0 4 2 10

,153 2

2

2

2

yx 345 2222 .

1: 22

2

2

y

xC , 2 2

M x y1 1 1( , ) C, M x y2 1 1( , ) , M x y3 1 1( , ) M x y4 1 1( , ) C, .

B

y

x

),0( E

),0( E

O

A

M4

M3 M1

M2

O x

y

B

B

A A

104

x x y y . , E E, E E , E E . . 0y x , 0x y . , C xx

)0,( A )0,(A , yy ),0( B ),0( B . BBAA ,,, , AA BB , AA 2)( BB 2)( , . M1 M4 .

MM 2)(2 41 , . , ,

x y22

2

21 1

x2 2 0

x .

y . , x , x y , y . . 12

2

2

2

y

x

105

, 1 . 22 ,

22 ,

2

2

222 1

21 . (1)

, (. ). , 1 . , , , 0 . , , (. ).

() () , . :

0,206 0,007 0,017 0,093 0,049

0,051 0,046 0,005 0,250

106

1: 22

2

2

y

xC ),( yxM

. ),( yxM C, 12

2

2

2

y

x ,

1

22

y

x .

,

y

xN , ,

)2,0[ , , x

y ,

x y . (1) , (1) )2,0[ ,

),( yxM C,

1 22222

2

22

2

2

2

2

y

x .

, M x y( , ) C

x y , )2,0[ . C.

),( M : 1C 2C Ot , OtOx ),( . Ot

21 CC 21 MM

M1

C C2

C1 O

B

a

B

y

x A A

M(,) M2

t

107

21 ,MM xx , yy , , , C. , M1 ),( , M2 ),( . ,

),( .

222 ayx , a 0 M1 , x x 2 .

21 MM , ,

MMMM

)()(

12

2 , a0 . M1 ,

12

2

2

2

yax .

( , )x y1 1 M1 ( , )x y .

MMMM

)()(

12

2 ,

yy 1

,

yy 1 . (1)

, 21MM x x x x1 . (2) , ),( 111 yxM 222 yx . ,

221

21 yx , , (1) (2),

122

2

22

2

2222

22

yx

yxyx .

, M x y( , ) 122

2

2

yx .

x

y

A

M2

M(x,y)

M1(x1,y1)

108

C

122

2

2

y

x

M x y1 1 1( , ) . C M x y1 1 1( , )

121

21

yyxx

, 1416

22

yx

)3,2(1M 143

162 yx ,

334

63 xy .

122

2

2

x

y ,

M x y1 1 1( , )

121

21

xxyy

.

. :

E M E , E E, .

x

y

1

109

M

E E

E E

, , . . , . , . : , , . .

1. 1:2

2

2

2

1 y

xC 2222 : yxC .

),( 111 yxM C1 ),( 222 yxM C2 12 xx , 1 C1 M1

2 C2 M2 x x .

E

+

E

110

1

121

21

yyxx

(1)

2 221 yyxx . (2)

y 0 , (1) 1

2

xx ,

(2) 1

2

xx . , 1 2 x x

,

0,1

2

xM .

, 1 1C 1M , 2 2C 2M 2 xx 1M . 1MM . 2. C )0,( E )0,(E

2 . ),( yxM E( , ) 0

x2

: . ,

)0,( x

2: .

M x y( , ) C,

MEEM 2)()( . (1) , , xyx 222)( (2)

x

1 2 y

C1

C2

A M1

M

M2

111

:

xyx 22)(

x

yx

222)( . (3)

,

),()( 22 EMdyx ),(2

Mdx .

, (3) ),(),( Md

EMd

1),(),(

MdEMd .

1. :

(i) )0,4( )0,4( 10 (ii) )5,0( )5,0( 26 (iii) )0,12( )0,12(

1312

(iv) )0,4( )0,4(

59,4

(v) yy )1,1(1M

21,22M .

2. , :

(i) 44 22 yx (ii) 24336144169 22 yx .

xa

2

x

y

E(,0) O

M(x,y)

E (-,0)

112

3. 44 22 yx .

4. EE , 42 22 yx ,

. 5.

. ( ).

6. 43 22 yx , :

(i) 13 xy (ii) xy

21

(iii) )4,0( . 7. 1004 22 yx

)5,54(1M , )5,54(2 M , )5,54(3 M )5,54(4 M xx yy .

1.

22

2

12,

1)1(

tt

ttM 1

2

2

2

2

yx

Rt . 2.

)( xy )( xy , 0 . 1

2

2

2

2

yx *R .

3. ),( yxM 12

2

2

2

yx ,

xEM )( xME )( . 4. dd , ),0( ),0( -

122

2

2

yx ),( 111 yxM ,

222 2dd .

113

5. ),( 111 yxM , ),( 222 yxM 122

2

2

yx

)0,( 11 xN )0,( 22 xN . )()( 1221 NMNM .

6. 12

2

2

2

yx . ,

222 yx , . ON , xx yy . .

7. C : 12

2

2

2

yx , 0

)0,( )0,( , , C ),( 111 yxM . , , : (i) 2))(( (ii) .

8. 12

2

2

2

yx ),( 111 yxM .

xx yy )0,( p ),0( q , 12

2

2

2

q

p .

3.4 E . E C E ( )E E . 2, 2. EE .

114

: ) ,

MEEM 2|)()(| . ) |( ) ( )| ( )ME ME E E

22 , . C, : 2 . E ( ) ( ) , ,

M . M

, )()( MEEM 2)()()( .

. C E . C Oxy x E E y E E . M x y( , ) C,

MEEM 2|)()(| , (1) EE 2)( , E )0,( )0,( . ,

22)()( yxEM 22)()( yxME (1)

yxyx 2|)()(| 2222

()=2 |(M)(ME)|=2a

x

M

M

(,0)

y

x

(-,0)

(x,y)

115

: 222222222 4)()(2)()( yxyxyxyx

22222222 2)()( yxyxyx 22222222222 ]2)[(]2)[(]2)[( yxxyxxyx

)(44)(4)( 22224222222222 yxyxxyx

224222222 yxx

)()( 22222222 yx

1222

2

2

y

x . (1)

, 022 , , 22 , (1)

122

2

2

y

x . (2)

, ),( yxM (2) C. , C )0,( E , )0,(E , 2

x y22

2

2 1 , 22

, E ( , )13 0

)0,13(E 2 24

1512 2

2

2

2 yx , 2 2 2 213 12 5

116

Oxy y E E x E E , C :

122

2

2

x

y , 22 .

, )13,0( E

)13,0(E 242 ,

1512 2

2

2

2

xy , 51213 2222 .

, , : 22 yx a2. C, Oxy 12

2

2

2

y

x , 22 .

M x y1 1 1( , ) C, M x y2 1 1( , ) , M x y3 1 1( , ) M x y4 1 1( , ) C, . C x x y y

. , E E, E E

, E E . .

x

y

E(0,)

(0,-)

x

x=a x=-a

O

M4

M3

M2

M1

y

117

y 0 x . , x x A ( , ) 0 , A( , ) 0 . . x 0 y2 2 , R. , C y y . , ,

x y22

2

21 1 ,

x2 2 0

x x . , C x x , . C

122

2

2

y

x (1)

xy ,

. C ,

122

2

2

y

x xy (1)

. (1), ,

1222

2

2

x

x

2222222 xx 222222 )( x . (2)

y ax y a x

x O

y

: y=x

118

(1) , (2) , 0222 , ,

|| . (3)

, xy , ,

|| . , C

xy x

y , x x . M x y( , ) x 0 y 0 . x , y x . , y x , . y x . x x , y x , ,

y y , . , 1

2

2

2

2

yx

y x y x ,

),( K , ),( , ),( M

),( N . .

y ax y a x

x O

P

y

119

, 1

4

22 yx

y x 2 y x 2 . C

122

2

2

x

y , :

y x y x .

: . ,

14

22 yx .

224

22 yxyxyx .

x y

20 x y

20 ,

y x 2 y x 2 .

.

122

2

2

y

x , , 1

. 22 ,

22 , 2

2 1

,

12 . (1)

y

ax

y

ax y

x

120

, , , . 1, , , 0. , . , 2 .

122

2

2

y

x (1)

M x y1 1 1( , ) . M x y1 1 1( , )

121

21

yyxx

, , 14

22

yx

M1 4 3( , ) 1344 yx ,

y x 33

33

.

12

2

2

2

x

y ,

A A x

y

x O

1(x1,y1)

y

121

M x y1 1 1( , )

121

21

xxyy

.

. :

E ME , E E, .

y

M

x

, , , , , . , .

),( 111 yxM 1

2

2

2

2

yx .

C

C E

122

M x y1 1 1( , ) . 12

21

2

21

yx

, ,

2221

221

2 yx . (1)

1 2 xy x

y ,

0 yx 0 yx (2)

. , M1 1 , 2

2211

2211

2111||||

),(),(yx

yxMdMd

2221

221

2 ||

yx

( )1 2 2

2 2 , .

1. :

(i) )0,13(),0,13( )0,5( )0,5(

(ii) )10,0(),10,0( 35

(iii) )0,5(),0,5( )1,22(M

123

(iv) xy34 xy

34

)4,23(M . 2. , :

(i) 144169 22 yx , (ii) 422 yx , (iii) 360025144 22 yx .

3. 122

2

2

yx ,

xy xx 030 .

4. 122

2

2

yx )0,(

xy , )()( .

5. 1: 22

2

2

yxC , ),( 111 yx

1M . ),0(2 M )0,22(3 M , 2 .

6.

122

2

2

yx .

12 yx 14 22 yx ; 7. 124 22 yx :

(i) 1 xy (ii) xy

34

(iii) )0,3(M

124

1. 1 122

2

2

yx

xy ,

(i) )( 1OE , (ii) )( 1EE .

2. 122

2

2

yx

. , ,

(i) 2))(( (iii) . 3. ),( 111 yx ),( 222 yx

122

2

2

yx . 21 ),( 333 yx ),( 444 yx , )()( 4231 .

4. ),( 111 yx 122

2

2

yx

. .

5. 12

2

2

2

yx 2

22 .

6.

1: 22

2

2

1 y

xC 1,: 22

2

2

2

2 y

xC .

11, 22 , 1C 2C , 2 1C , 1 2C .

125

3.5 022 EyxyAx 222 yx , )0,0(O .

),( 00 yxO , 22

02

0 )()( yyxx . . Oxy . , ),( 00 yxO OXX OYY . XYO Oxy . x y , X Y .

MOOOOM

),(),(),( 00 YXyxyx ),(),( 00 YyXxyx .

, Xxx 0 Yyy 0 , , 00 , yyYxxX

, )3,4( )0,0(O )2,1(O , 5)1(4 X 523 Y . 9)1()2( 22 yx , )1,2( K 3 . )0,0(O ,

M x yX Y

( , )( , )

X

x

Y y

O

O(x0,y0)

126

),( YX 2 xX 1)1( yyY . 922 YX .

X

x

Yy

O O(2,-1)

: (i) 04842 xyy (ii) 0144247249 22 yxyx (iii) 02529636169 22 yxyx . (i) :

04842 xyy (1) 4842 xyy

222 248222 xyy )1(8)2( 2 xy

)1(42)2( 2 xy . Xx 1 Yy 2 , )2,1(O ,

XY 422 . , (1) )2,1(O

0Y , 2y .

(ii) 0144247249 22 yxyx (1)

144)6(4)8(9 22 yyxx

(-1,2)

Y y

X

x

127

1443449)332(4)442(9 222222 yyxx 36)3(4)4(9 22 yx

13

)3(2

)4(2

2

2

2 yx .

Xx 4 Yy 3 , )3,4(O ,

132 2

2

2

2YX

, (1) )3,4(O 3 , 2 523 22 .

)3,0(),( YX )3,0(),( YX , , Xx 4 Yy 3 , , )6,4(A

)0,4(A . )3,2(B

)3,6(B . , )53,4(),53,4( EE . (iii)

02529636169 22 yxyx (1) 252)6(16)4(9 22 yyxx

144)3(16)2(9 22 yx 1

3)3(

4)2(

2

2

2

2 yx .

Xx 2 Yy 3 , )3,2( O ,

134 2

2

2

2YX .

, (1) )3,2( O . , (ii),

4 , 3 , 5 , )3,6( )3,2( )3,7( )3,3( .

X

x

Yy

O (4,0)

(4,6)

B (6,3)B(2,3)O (4,3)

128

, , 022 EyxByAx . xy

022 EyxByAx . C ,

)2(0

)1(22 EyxByAx

xy

. (2), xy , . ( 1 ), . , 2 0 , . , , .

C

C

C

, xy 2 12 xy . xy 2 , 0122 xx , 1x . , )2,1(M .

129

1. ,

: (i) 0882 xy (ii) 041642 yxx (iii) 028842 xyy (iv) 08682 yxx .

2. , , .

(i) 018936259 22 xyx (ii) 0164 22 yxx (iii) 064363294 22 yxyx (iv) 0473254169 22 yxyx . 3. ,

, : (i) 0643284421 22 yxyx (ii) 016832 22 xyxy .

4. R , 22 xxy

2 xy .

5. 2122 yx

xy 42 .

1.

01222 xyx (1), R . (i) (1)

. (ii) C (1)

. ;

130

2. 1: 221 yxC 2222 2)2(: yxC xy , R, .

(i) 1C 2C ; (ii) ; (iii) 1C 2C

xx 060 .

3. xy , 0 , xy 42 . (i)

2,22

.

(ii) , () 1 () 0 .

4. 122

2

2

yx , 0 )2,0( .

, , . (i) . (ii) R ;

5. 145 2

2

2

2 yx .

1 xy .

6. )0,4(1 OA

)0,1(2 OA . , , , .

7. xy 2:1 xy 2:2 , ),0( x

1M 2M . (i) 1M 2M

21 . (ii) , 21MOM

2, .

131

8. 1: 22

2

2

1 y

xC 1: 22222 yxC 0 .

,)( xy 0x , 2

0 1C ),( 111 yx 2C ),( 222 yx .

1 1C 1 2 2C 2 ,

21 2)( .

9. 122

2

2

yx .

(i)

21 .

. (ii) xy , 0

. , , .

10. (i) 1C R 1C . C, 1C , .

(ii) 1C 2C , 1K 2K 1R 2R , 2C 1C . C, 1C 2C , .

(iii) 1C 2C , 1K 2K 1R 2R , , .

C 1C 2C .

11. 12

2

2

2

yx ),( M .

(i) . (ii)

. (iii)

;

132

1-11 : 1. 222)( yx ) xx ) ),0( A ) yy . 2. 1xy 122 yx ) ) ) . 3. 4)2( 22 yx 4)2( 22 yx . )1,1(M ) ) ) ) . 4. :

x 2 , y 2 , )2,0[ . )3,1(A ) ) ) . 5.

pxy 22 . :

) 2pAB , ) pAB , ) pAB 2 ,

) pAB 4 .

y2 = 2px

A

B

x

y

O

133

6. EE , 12

2

2

2

yx .

) , ) , ) .

7. EBE , )

21 , ) 2 , ) 1 , )

23 .

8. 146 2

2

2

2 yx 1

222

2

2 y

x , 2 ,

) 6 , ) 12 , ) 3 , ) 2 . 9.

x 5 y 4 , )2,0[ . (7,0) ) , ) , ) .

10. 134 2

2

2

2 yx 1

43 22

2

2 xy

) , ) , ) , ) . 11.

12

2

2

2

yx .

) ) ) .

xa

y2 22 1

E

B

O E x

y

B

134

12. 222 )()( yx , 0,, .

xx yy xx yy .

0 222 0 0

13.

09 22 yx 062422 yxyx

01222 yxy 04284 22 yxyx

044222 yxyx 14.

22

0

54

45

2

4

4.1 , , : . . - ; . ( ) - Francesco Mauroliko () 1557 :

, , . [, , ])12(...531 2 .

, -, . [ ])1()12( 22 .

. Blaise Pascal, 1654, -. , Pascal :

, . , , 2 . , . , 2 , . -

136

3 , 4 ..., .

, - 19 A. de Morgan (1838) R. Dedekind (1887), .

)12(...7531 . :

1 , 11 )1( 2 2 , 431 )2( 2 3 , 9531 )3( 2 4 , 167531 )4( 2

: 2)12(...7531 . (1)

, - , (1) . (1) - 1 , - . , - 1 , 211 , 312 . , ,

2)12(...7531 , :

)12()]12(...7531[)12()12(...7531 122 2)1( .

137

- , 1 . , . : .

- , . - , : )(P . (i) 1, )1(P -, (ii) )(P )1( P )(P .

, - . , , . , , 1 2. , 412 2 41, , ( ). 10,9,8,7,6,5,4,3,2

131,113,97,83,71,61,53,47,43 , . 412 . , - 40 , 41 ,

22 41414141 , .

138

2 - 1. , , :

2 . , 2 . , 2 , 22)1(2 , 2 2. )(P - . , 122 3 , 3 , 123 0 , 0 .

1. 2

1)(...321 v. )(P . 1

2)11(11 1 1 , )1(P

. )(P , )1( P , :

2

)1(...321 , 2

)2)(1()1(...321 .

: )1()...321()1(...321

12

)1()1(2

)1(

2

)2)(1( .

, .

139

2. 2 0 1 : 1)1( .

( Bernoulli) )(P . 2 : aa 21)1( 2 , aaa 2121 2 , 0a 02 a . )2(P . )(P , )1( P , :

aa 1)1( , aa )1(1)1( 1 . : aa 1)1(

)1)(1()1()1( aaaa , 01 a 21 1)1( aaaa 21 )1(1)1( aaa aa )1(1)1( 1 , 02 a . , Bernoulli 2 .

1. (i)

6)12)(1(

...321 2222

(ii) 2

3333

2)1(...321

(iii) 3

)2)(1()1(...433221

(iv) 1)1(

1...43

132

121

1

.

140

2.

11...1 12

x

xxxx , 1x .

3. :

(i) 122 3 (ii)

34 7

(iii) 155 .

1. 4 2! , ...321! .

2.

121...

21

11

222 .

3. 3

)1(1 .

4.2 22 5. , , , :

55220 . , , , :

22-5, 22- 52 , 22- 53 , 22- 54 , 22- 55 , 22- 56 .

22 17 12 7 2 0

5555 5

-3

22-5 22 22-25 22-35 22-45 22-55

141

, . , 5,

25422 . , , 22 5 4 2 :

520,25422 . , : 1 0 , , ,

a 0, .

,...3,2,, .

}0|{ , xxxS N N , 00 . 1 S , N , , ,

0 . . .

0 x )( 1 N 1x . , S , . , . ,

0, . .

, 0 . , 0 , ,

)( . 1 (" ").

142

, 0 0 , 0 . , :

11)(

1 1 0. 0 , , .

, 0 :

0 , , ,

||0, . , . . 0, . , . 92 5 . 92 5

218592 , 218592

255185 3195 3)19(5 . , 3)19(592 , 530 , 92 5 19 3. 92 5 . 218592

218592 255185 319)5( . , 319)5(92 , |5|30 , 92 5 19 3.

143

, , 92 5 . 218592 : 2)18()5(92 , |5|20

92 5 18 2. 2 , - 0 1 . 0 , 2 , Z , 1 , 12 , Z . , 0

1,...,2,1,0 .

1. ,

32)( 2 .

3 0, 1, 2, 3 13 23 , Z . 3 , Z , Z )29(

32)3(3

3)2( 222 .

13 , Z , Z )123)(13(

32)13()13(

3)2( 222 .

23 , Z , Z )243)(23(

32)23()23(

3)2( 222 .

2. : (i) . (ii) 18 , . (i) , 1 . , 2 , Z ,

144

2)12(2)1( , .

, 12 , Z ,

2)1)(12(2)22)(12()1( , .

(ii) 12 , Z . 181241)1(4144)12(

2

222 , Z .

1. :

(i) 83 11 (ii) 83 11 (iii) 83 11 (iv) 83 11 . 2. : (i) :

32 , Z 132 , Z . (ii) 56 , Z

23 , Z . ; 3. ,

Z12

1)4()2( 222 . 4. 25 10 ,

1 3 5;

1. 660 17; ;

145

2. ,, , 02 xx .

02001319972 xx ; 3. , ,

(i) Z8

22 (ii) Z16

244 .

4. 5

43 ; 5. :

(i) 42 , Z , 142 , Z .

(ii) , , 222 x - .

(iii) : ,...22,18,14,10,6 .

4.3 , VII, VIII IX ( 300 ..), - . - VII 22 , :

: , - . : , - . : . : - . : .

146

: .

, , ,

14742128 : .

. M. Mersenne (1588-1642) . VII ( ) - IX - . , - :

122...221 12 , - )12(2 1 .

, 12 . 5 3122 , 7123 , 31125 , 127127 , 81911213 - 5 8128,496,28,6 33550336. 36 .

, -. . , 0 . | , , , , .

, . ,

a | . , 20|5 , 5420 , 18|5 , 18 5 .

147

| , ))(( , , . , - . : |1 | *Z 0| , *Z | , | , *Z | , 0 . . 2 , , . (i) | | , . (ii) | | , | . (iii) | , | . (iv) | | , )(| . (v) | 0 , |||| .

(i) | | , , , ,

, , 1 , 1 1 , .

(ii) | | , , , , , | .

(iii) | , , , | .

(iv) | | , , , , , )( )(| .

(v) | 0 , 0 . , |||||||| , 1|| .

(iii) (iv) : | | , )(| .

, Z, .

148

1. , )12(| )13(| , .

)12(| )13(| , 5)13(2)12(3 . - 0 5| , 1 5 . 2. 64989 1 , *N . . 1 , 8649189 11

6464989 1 , Z , 649)1(89 2 . : 178999)1(89 12 178)9864(9 1788172649 )19(64 64 . . 3. 3 , 3 -

22 . |3 |3 , )(|3 , 3 2 2|( ) . 3 2 2|( ) . 113 , 30 1 223 , 30 2 3, 211

2111

21

2111

21

2 3)23(3691

.

2222222

22

2222

22

2 3)23(3692

.

2 2 12 223 ( ) , Z 21 .

149

)(|3 22 33| , )(|3 2221 . }2,1,0{, 21 , )( 2221 , :

)(|3 2221 , 01 02 , 13 23 , |3 |3 .

1. 1000

: (i) 5, (ii) 25, (iii) 125, (iv) 625. 2. | | , | . 3. )2(|11 )35(|11 , )(|11 a . 4. ,

4. 5. m| 1m , 1| m .

1 2

0 1 2

0 12 22 0

12 22 1

12 22 4

1 12 22 1

12 22 2

12 22 5

2 12 22 4

12 22 5

12 22 8

150

6. ))()((|2 ,, .

B 1. . (i) 142 , Z

(ii) )7)(3(|32 22 2. )2(|4 2 , Za . 3.

. 4. a | )12(|)12( . 5. (i) 6. (ii) )12)(1(|6 Za (iii) )43(|6 23 Za . 6. (i) )2(|3 3 N (ii) )989(|64 1 N (iii) )22273(|5 N (iv) )53(|14 1224 N 7. Z ,,, . )(|)( , )(|)( .

4.4 -

, . , . , 1 . 0,

151

, . , . , . (...) , ),( , 1 .

, ... : (1) | | (2) x| x| , x .

|)||,(|),( . , , 12 30 , ( , ) ( , ) 12 30 12 30 6 , 12 1 2 3 4 6 12, , , , , , 30 1 2 3 5 6 10 15 30, , , , , , , 6. : ( , ) , ( , ) 0 ( , ) 1 1 . , | , ( , ) . , , ( , ) 1, . , 28 15 , ( , )28 15 1 . ... , , , . ... . . 3 , ,

1 : R .

152

( , ) ( , ) . , 0 . ( , ) ( , ) , : | | , |( ) , | . | | , . | | , |( ) , | . | | , . , . ... 111 78. : 111 178 33 78 2 33 12 33 212 9 12 19 3 9 33 0 . ,

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )111 78 78 33 33 12 12 9 9 3 3 0 3 , ( , )111 78 3 , . , , , :

1 1 , 0 1 2 1 2 , 0 2 1 1 3 2 3 , 0 3 2

1 2 3 0... . , 0.