ασκησεις μαθηματικών

Σερίφης Κων/νος Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

1.1 ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. 1 . α) Στις παρακάτω προτάσεις να γράψτε μέσα στην παρένθεση τον κατάλληλο φυσικό αριθμό που μπορεί να αντικαταστήσει τις υπογραμμισμένες λέξεις.

• Είκοσι ( ) μαθητές μιας τάξης. … • Ο έκτος ( ) μήνας του χρόνου …. • Η αξία ενός αυτοκινήτου είναι δέκα χιλιάδες ευρώ ( )…… • Ο χρόνος του ταξιδιού ήταν πέντε ( ) ώρες….. • Τα τέσσερα ( ) χρόνια έχουν χίλιες τετρακόσιες εξήντα μία ( ) ημέρες…. • Κάτι που κινείται με την ταχύτητα του φωτός, σε μια ( ) ώρα , μπορεί να διανύσει απόσταση

ίση με ένα δισεκατομμύριο ογδόντα εκατομμύρια ( ) χιλιόμετρα. • Κανένας ( ) μαθητής δεν βαθμολογήθηκε κάτω από δέκα πέντε ( ) • Το φεγγάρι απέχει από τη γη τριακόσιες ογδόντα τέσσερις χιλιάδες ( ) χιλιόμετρα.

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας τους αριθμούς που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα ταξινομημένους σε άρτιους και περιττούς: ΑΡΤΙΟΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ γ) Να τοποθετήσετε τους αριθμούς από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο , (Αύξουσα σειρά), βάζοντας ανάμεσά τους το κατάλληλο σύμβολο. 2. Στις παρακάτω προτάσεις βάλτε σε κύκλο το Σ, αν η πρόταση είναι σωστή και το Λ, αν η πρόταση είναι λάθος.

• Το 0 είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός. Σ Λ • Οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι. Σ Λ • Ο προηγούμενος ενός περιττού είναι περιττός . Σ Λ • Ο επόμενος ενός άρτιου είναι περιττός Σ Λ • Ο δέκατος στη σειρά φυσικός αριθμός είναι το 10 Σ Λ

3. Αντιστοιχίσετε το κάθε γράμμα της αλφαβήτου με την σειρά που αυτό έχει στην αλφάβητο: ΓΡΑΜΜΑ α φ υ σ ι κ ο ω ΣΕΙΡΑ 4.

Δισεκατομμύρια

Εκατοντάδες

Εκατομμύρια

Δεκάδες




Χιλιάδες

Δεκάδες

Χιλιάδες

Χιλιάδες


Δεκάδες

Μονάδες

1 0 0 1 5 3 0 2 6 9 0 9 0 9 0 1 2 3 4 5 6 7 1 0 0 0 2 0 5 5 7 3 4 0 5 8 0 0 6 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5

Γράψτε με λέξεις τους αριθμούς της κάθε γραμμής του παραπάνω πίνακα.


2

5. Τοποθετήστε στον παρακάτω πίνακα τους αριθμούς: α) τετρακόσια τέσσερα β) χίλια ενενήντα γ) τριάντα χιλιάδες επτακόσια οδόντα ένα δ) τρία δισεκατομμύρια επτακόσια επτά εκατομμύρια ενενήντα οκτώ χιλιάδες σαράντα ένα ε) δύο χιλιάδες τέσσερα

Δισεκατομμύρια



Δεκάδες




Χιλιάδες

Δεκάδες

Χιλιάδες

Χιλιάδες


Δεκάδες

Μονάδες

6. Στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση βάζοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα της απάντησης:

• Στη σειρά των αριθμών 0, 2, 4, 6, 8, ….. ποιος είναι ο έκτος αριθμός μετά το 0 ; Α. Το 6 Β. Το 10 Γ. Το 12 Δ. Το 14 • Ποιος άρτιος αριθμός είναι μεταξύ του 2001 και του 2004 ; Α. Το 2002 Β. Το 2003 Γ. Το 2001 Δ. Το 2004 • Μεταξύ δύο διαδοχικών άρτιων φυσικών αριθμών υπάρχει πάντα…. Α. Το 0 Β. Ένας άρτιος Γ. Ένας περιττός Δ. Το 2 • Ο 21ος αιώνας αρχίζει την 1η Ιανουαρίου του …. Α. 2001 Β. 2000 Γ. 1999 Δ.. 1900 • Ποιος είναι ο 4ος περιττός μετά το 2; Α. Το 8 Β. Το 11 Γ. Το 5 Δ. Το 9

7. Γράψτε όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς που μπορούν να γίνουν με τα ψηφία 1, 2, 3, χρησιμοποιώντας μια φορά το καθένα. 8. Πόσοι είναι οι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί που ένα τουλάχιστον ψηφίο τους είναι 5 ; 9. Πόσοι είναι οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί που έχουν ίδιο το ψηφίο των μονάδων και των εκατοντάδων; 10. Πόσα ψηφία θα χρειαστούμε για να γράψουμε όλους τους διψήφιους και τριψήφιους φυσικούς αριθμούς; (Σημ.: Για το 10χρειαζόμαστε 2 ψηφία , για το 11 άλλα 2 κ.ο.κ.)


3

1.2 ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. 1. Στις παρακάτω προτάσεις να γράψτε μέσα στην παρένθεση τον κατάλληλο δεκαδικό αριθμό που μπορεί να αντικαταστήσει τις υπογραμμισμένες λέξεις.

• Τα 135 λεπτά του ευρώ είναι ισοδύναμα με 1 ευρώ και 35 εκατοστά του ευρώ ( ). • Η θερμοκρασία είναι είκοσι πέντε και τρία δέκατα ( )βαθμοί Κελσίου . • Η ακτίνα του ατόμου του νερού είναι ένα εκατομμυριοστό ( ) του χιλιοστού ( ) του

μέτρου. • Τα πορτοκάλια ζύγιζαν δυόμισι ( ) κιλά . • Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι τριάντα πέντε ( ) χιλιόμετρα .

2. Τοποθετήστε τους αριθμούς της άσκησης 1 στον παρακάτω πίνακα. ΑΡΙΘΜΟΙ 3. Να τοποθετήσετε τους αριθμούς του παραπάνω πίνακα στον παρακάτω πίνακα . ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΒΑΖΕΤΑΙ 4. Στις παρακάτω προτάσεις βάλτε σε κύκλο το Σ, αν η πρόταση είναι σωστή και το Λ, αν η πρόταση είναι λάθος.

• Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι φυσικοί. Σ Λ • Οι φυσικοί αριθμοί είναι δεκαδικοί. Σ Λ • Το μισό ενός μεγέθους είναι το 0,5 αυτού του μεγέθους . Σ Λ • Μεταξύ δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών υπάρχουν άπειροι δεκαδικοί . Σ Λ • Το ψηφίο των χιλιοστών ενός αριθμού είναι ίσο με τα χιλιοστά που έχει ο αριθμός Σ Λ

5. Μετρήσαμε ένα βάρος και βρήκαμε ότι είναι 5,374 κιλά. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση βάζοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. α) Ποιο είναι το ψηφίο των χιλιοστών του βάρους; Α. Το 0 Β. Το 1 Γ. Το 0,001 Δ. Το 4 β) Πόσα χιλιοστά είναι το βάρος που μετρήσαμε; Α. 4 Β. 5374 Γ. 374 Δ.. 74 γ) Πόσα εκατοστά είναι το βάρος που μετρήσαμε; Α. 4 Β. 537,4 Γ. 37,4 Δ.. 37


4

6. Γράψτε στη δεύτερη γραμμή του παρακάτω πίνακα την τάξη του υπογραμμισμένου ψηφίου. Αριθμός 2543,385 2543,385 2543,385 2543,385 2543,385 2543,385 Τάξη υπογραμμισμένου ψηφίου

7. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Αριθμός 3021,495 6,037 749,63 1256,4 0,10034 2001 Ψηφίο μονάδων Ψηφίο χιλιοστών Ψηφίο χιλιάδων Ψηφίο δεκάτων 8. Ένας αριθμός έχει το ίδιο ακέραιο και δεκαδικό μέρος .Η μεγαλύτερη τάξη των ψηφίων του είναι οι χιλιάδες. Τα ψηφία των εκατοντάδων και των δεκάδων είναι 0 .Τα ψηφία των δεκάτων και των δεκάκις χιλιοστών είναι 2. Ποιος είναι ο αριθμός; 9. Να γράψετε τον αριθμό για τον οποίο γνωρίζουμε ότι το ακέραιο μέρος του έχει ψηφία διαδοχικούς άρτιους κατά αύξουσα σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά και το δεκαδικό του μέρος έχει ψηφία διαδοχικούς περιττούς κατά φθίνουσα σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά.. 10. Να γράψετε τον αριθμό για τον οποίο ισχύουν τα παρακάτω: Έχει ψηφίο μονάδων το 5. Όλα τα ψηφία του είναι διαφορετικά. Τα ψηφία του είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί με αύξουσα σειρά από τα δεξιά προς τα αριστερά.

1.3 ΔΙΑΤΑΞΗ ΑΡΙΘΜΩΝ.

1. Γράψτε τους δύο μεγαλύτερους φυσικούς αριθμούς που δεν ξεπερνούν το 2002. 2. Στη δεύτερη στήλη του παρακάτω πίνακα βάλτε το σύμβολο, (< , > , =) , το οποίο είναι απαραίτητο για την σύγκριση των αριθμών που βρίσκονται στην πρώτη και στη τρίτη στήλη του πίνακα.

1ος αριθμός < ή > ή = 2ος αριθμός 531 531,00 0,123 0,321 97,654 97,645 2756 2,757 79,0700 79,07 4,56 45,600 802,003 803,002

3. α) Γράψτε πέντε αριθμούς μεταξύ του 0 και του 1 με την σειρά που δείχνει το σχήμα: 0<………..<…………<…………<………….<…………<1 β) Γράψτε πέντε αριθμούς μεταξύ του 1,1 και του 1,2 με την σειρά που δείχνει το σχήμα: 1,1<………..<…………<…………<………….<…………<1,2 γ) Γράψτε πέντε αριθμούς μεταξύ του 2,41 και του 2,42 με την σειρά που δείχνει το σχήμα:


5

2,41<………..<…………<…………<………….<…………<2,42 4. α) Γράψτε όλους τους φυσικούς αριθμούς μεταξύ του 7,32 και του 10,001 β) Γράψτε όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι του 5 γ) Γράψτε όλους τους φυσικούς διψήφιους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 97. 5. Γράψτε τοποθετώντας τους με τη σειρά από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο τους αριθμούς: χίλια, εκατό, ένα χιλιοστό, ένα δέκατο, ένα δεκάκις χιλιοστό, ένα εκατοστό, δέκα, ένα εκατοντάκις χιλιοστό, ένα εκατομμυριοστό. 6. Γράψτε έναν αριθμό μεταξύ των αριθμών 1,111 και 1,1111.

1.4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ.

1. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιοι αριθμοί .Απαντήστε γράφοντας ΝΑΙ στην δεύτερη στήλη , εφ’ όσον μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε αυτούς τους αριθμούς, και γράφοντας ΟΧΙ, εφ’ όσον αυτό δεν είναι δυνατόν.

ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΤΟΝ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΟΥΜΕ

ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ ΤΙΜΗ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ ΤΑΧΥΔΡΟΜΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΗΛΙΚΙΑ ΒΑΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ

2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟ ΨΗΦΙΟ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΔΕΚΑΔΩΝ ΕΚΑΤΟΝΤΑΔΩΝ ΧΙΛΙΑΔΩΝ 5632,7 19845,382 9529,85 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟ ΨΗΦΙΟ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΚΑΤΩΝ ΕΚΑΤΟΣΤΩΝ ΧΙΛΙΟΣΤΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ 0,1456 5,6483 9,9999 4. Δίνεται ο αριθμός 49…3. Να τοποθετήσετε στο κενό τον μικρότερο φυσικό αριθμό ώστε αν στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 49…3 στην εκατοντάδα να πάρουμε τον αριθμό 5000. 5. Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν στρογγυλοποιηθούν στην δεκάδα δίνουν τον αριθμό 500.


6

6. Να βρείτε πόσοι είναι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι όταν στρογγυλοποιηθούν στην εκατοντάδα δίνουν αποτέλεσμα τον αριθμό 1000. Γράψτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται αυτοί οι αριθμοί. 7. Να βρείτε τον φυσικό αριθμό ο οποίος έχει ψηφίο μονάδων το 9 και όταν στρογγυλοποιείται στην δεκάδα την εκατοντάδα και την χιλιάδα δίνει αποτέλεσμα 2000.


7

1.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ.

1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις χρησιμοποιώντας ένα ή περισσότερα γράμματα - μεταβλητές : Ένας φυσικός αριθμός ….. Δύο αριθμοί …., ….. Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί …., ……. Ένας αριθμός μεταξύ του 1 και του 10 : 1<…..<10 Τρεις διαδοχικοί άρτιοι φυσικοί αριθμοί ….., ………., ……….. Πληρώσαμε …… ευρώ για να αγοράσουμε ένα βιβλίο Η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι ….. χιλιόμετρα την ώρα. Ο Φίλιππος έχει …. ευρώ και η Κλεοπάτρα 5,30 ευρώ λιγότερα δηλαδή ……….. Αγοράσαμε …… τετράδια με 1,32 ευρώ το ένα και πληρώσαμε ……….. ευρώ. 2. Στο πενταπλάσιο ενός αριθμού προσθέτουμε το 2 και βρίσκουμε 17. α) Ποια από τις παρακάτω 4 ισότητες περιγράφει με μαθηματικό τρόπο, (εξίσωση), την παραπάνω πρόταση; Α. 5.2 + χ = 17 Β. 5 + χ +2 = 17 Γ. 5.χ + 2 = 17 Δ. χ.2 + 5 = 17 β) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς επαληθεύει την ισότητα που βρήκατε Α. 7 Β. 10 Γ. 3 Δ. 6 3. Με την βοήθεια των μεταβλητών και των πράξεων μεταξύ των αριθμών να γράψετε τις ισότητες ή τις παραστάσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω προτάσεις Σ’ έναν αριθμό πολλαπλασιάζουμε το 2 και στο γινόμενο προσθέτουμε το 3 …………………………………. Αυξάνουμε έναν αριθμό κατά 8 και βρίσκουμε το τριπλάσιο του αριθμού . …………………………………. Προσθέτουμε δύο αριθμούς που διαφέρουν κατά 2 μονάδες. …………………………………. Το διπλάσιο ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα του αριθμού αυτού με το 5 …………………………………. Από το 27 αφαιρούμε έναν αριθμό και βρίσκουμε τον διπλάσιο του αριθμού που αφαιρέσαμε. …………………………………. 4. Να γράψετε με προτάσεις το νόημα των παρακάτω ισοτήτων ή παραστάσεων ή ανισοτήτων. 3.χ ……………………………………………………………………………………… 3.χ + 5 ……………………………………………………………………………………. 3.χ + 5 = 11 ……………………………………………………………………………….. χ – 2 ………………………………………………………………………………………. 2.κ + 1<8 …………………………………………………………………………………. ω + (ω+1) + (ω+2) ,όπου ω ένας φυσικός αριθμός. …………………………………………………………………………………………….. 5. Αν με χ παραστήσουμε έναν άρτιο φυσικό αριθμό τότε α) Πως θα παραστήσουμε τον επόμενο και πως τον προηγούμενό του; Τι αριθμοί θα είναι αυτοί; β) Πως θα παραστήσουμε τον επόμενο άρτιο φυσικό αριθμό και πώς τον προηγούμενο;


8

6. Α. Στην πρώτη γραμμή του παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής κ. Στην δεύτερη γραμμή του πίνακα γίνεται αντικατάσταση των τιμών του κ στην παράσταση 2.κ .Στην τρίτη γραμμή του πίνακα δίνονται οι τιμές της παράστασης 2.κ . κ 0 1 2 1000 1001 2.κ 2.0 2.3 2.7 2.κ 0 20 18 2004 110 α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα β) Οι αριθμοί της τρίτης στήλης είναι άρτιοι ή περιττοί ; γ) Κάποιος ισχυρίζεται ότι μπορούμε να παραστήσουμε έναν άρτιο φυσικό αριθμό με την παράσταση 2.κ, με κ να παριστάνει κάποιον φυσικό αριθμό. Μπορείτε να βρείτε κάποιον άρτιο φυσικό αριθμό που δεν μπορεί να παρασταθεί με την μορφή 2.κ για να μπορέσουμε να καταρρίψουμε τον ισχυρισμό του; Β. Στην πρώτη γραμμή του παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής κ. Στην δεύτερη γραμμή του πίνακα γίνεται αντικατάσταση των τιμών του κ στην παράσταση 2.κ + 1 .Στην τρίτη γραμμή του πίνακα δίνονται οι τιμές της παράστασης 2.κ +1 . κ 0 1 2 1000 1001 2.κ +1 2.0 +1 2.3 +1 2.7 +1 2.κ +1 1 21 19 1999 111 α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα β) Οι αριθμοί της τρίτης στήλης είναι άρτιοι ή περιττοί ; γ) Κάποιος ισχυρίζεται ότι μπορούμε να παραστήσουμε έναν περιττό φυσικό αριθμό με την παράσταση 2.κ +1 , με κ να παριστάνει κάποιον φυσικό αριθμό. Μπορείτε να βρείτε κάποιον περιττό φυσικό αριθμό που δεν μπορεί να παρασταθεί με την μορφή 2.κ +1 για να μπορέσουμε να καταρρίψουμε τον ισχυρισμό του; 7. Αν με χ και ψ παραστήσουμε τα μήκη των πλευρών των παρακάτω σχημάτων να γράψετε μία παράσταση που να μας δίνει την περίμετρό τους. 8. Δύο φυσικοί αριθμοί έχουν γινόμενο 16. Αν συμβολίσουμε α τον έναν και β τον άλλο τότε: α) Ποια ισότητα προκύπτει για τους α και β ; β) Βρείτε τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι α , β συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα α β

Π= ………….

x

x

x

x

Π= ……

ψ

χ χ

ψ


9

9. Σκεφτείτε τρεις αριθμούς ώστε ο δεύτερος να είναι μεγαλύτερος κατά δύο μονάδες από τον πρώτο και ο τρίτος κατά πεντέμισι μονάδες μεγαλύτερος από τον δεύτερο. α) Αν ο πρώτος είναι ο χ ποιος θα είναι ο δεύτερος και ποιος ο τρίτος; β) Αν ο δεύτερος είναι ο χ ποιος θα είναι ο πρώτος και ποιος ο τρίτος; γ) Αν ο τρίτος είναι ο χ ποιος θα είναι ο πρώτος και ποιος ο δεύτερος; 10. Κάποιος, το έτος 2020μ.χ. θα έχει ηλικία χ χρονών. Γράψτε την παράσταση που μας δείχνει πριν πόσα χρόνια από σήμερα έχει γεννηθεί. 11. Ένας καλός τρόπος κατανόησης των εξισώσεων και των ανισώσεων είναι η ζυγαριά – παλάντζα : Αποτελείται από δύο μεταλλικούς δίσκους που κρέμονται στην άκρη μιας δοκού η οποία στηρίζεται στο κέντρο της από μια κατακόρυφη ράβδο. Αν τοποθετήσουμε στους δύο δίσκους της ζυγαριάς δύο αντικείμενα Α και Β με το ίδιο βάρος η δοκός θα ισορροπήσει σε οριζόντια θέση δείχνοντάς μας ότι τα αντικείμενα Α και Β είναι ίσα, (σε βάρος), δηλαδή Α = Β….εξίσωση. Αν, τα αντικείμενα δεν έχουν το ίδιο βάρος και η δοκός γείρει προς το μέρος του δίσκου που έχουμε τοποθετήσει το αντικείμενο Β τότε καταλαβαίνουμε ότι το αντικείμενο Β είναι βαρύτερο του αντικειμένου Α ……. Α < Β …. ανίσωση. Αν η δοκός γείρει προς το μέρος του δίσκου που έχουμε τοποθετήσει το αντικείμενο Α τότε καταλαβαίνουμε ότι το αντικείμενο Α είναι βαρύτερο του αντικειμένου Β ……. Α > Β…..ανίσωση. Να ένα πρόβλημα εξίσωσης: Δύο τούβλα ζυγίζουν όσο ένα τούβλο και 1,2 κιλά. Πόσο ζυγίζει το τούβλο; Διαδικασία επίλυσης του προβλήματος: Φανταζόμαστε μια ζυγαριά (=, <, >) Τοποθετούμε δύο τούβλα στον ένα δίσκο της και στον άλλο δίσκο: ένα τούβλο και ένα βάρος 1,2 κιλών. Η ζυγαριά θα ισορροπήσει. Γράφουμε : Έστω χ το βάρος του ενός τούβλου τότε 2.χ = χ + 1,2 Βρήκαμε έτσι την εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα του προβλήματος. Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να απαντήσουμε στο ζητούμενο του προβλήματος: Αφαιρούμε από τον κάθε δίσκο της ζυγαριάς το ένα τούβλο . Αφού αφαιρέσαμε το ίδιο βάρος είναι λογικό ότι η ζυγαριά θα ισορροπήσει πάλι. Ποια είναι η καινούργια εξίσωση; Τι μας δείχνει; Εφαρμόστε παρόμοια διαδικασία για να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα: Α. Ένα τούβλο ζυγίζει όσο, μισό τούβλο και ένα κιλό. Πόσο ζυγίζει το τούβλο; Β. Τοποθετήσαμε στον ένα δίσκο μιας ζυγαριάς ένα αντικείμενο βάρους χ και στον άλλο δίσκο της βάρος 1 κιλού και παρατηρήσαμε ότι η ζυγαριά γέρνει προς τη μεριά του αντικειμένου. Κατόπιν τοποθετήσαμε στον δίσκο που είχαμε το βάρος του ενός κιλού μισό ακόμη κιλό και παρατηρήσαμε ότι η ζυγαριά έγερνε προς τη μεριά του βάρους των 1,5 κιλών. Συμπληρώστε την διπλή ανίσωση ……..<…..<……. που προκύπτει από τα δεδομένα του προβλήματος. Στρογγυλοποιώντας το βάρος του αντικειμένου στη μονάδα ποια θα είναι η απάντησή μας για το βάρος του; Γ. Μια τηλεόραση 14΄΄ μαζί με το τηλεχειριστήριό της κοστίζει 100 ευρώ. Η τηλεόραση κοστίζει όσο 9 τηλεχειριστήριά της. Έστω χ ευρώ κοστίζει το τηλεχειριστήριο. Τοποθετήσετε στον ένα δίσκο της ζυγαριάς την αξία της τηλεόρασης και του τηλεχειριστηρίου με την βοήθεια της μεταβλητής χ. Τι πρέπει να βάλουμε στον άλλο δίσκο για να ισορροπήσει η ζυγαριά; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία;


10

Ποια είναι η λύση της εξίσωσης; Τελικά πόσο κοστίζει η τηλεόραση και πόσο το τηλεχειριστήριό της; Δ. Ο πατέρας του Χρήστου είναι 25 χρόνια μεγαλύτερός του και ο Χρήστος 3 χρόνια μεγαλύτερος από τον αδερφό του. Έστω χ η ηλικία του Χρήστου π η ηλικία του πατέρα του και α η ηλικία του αδερφού του. Αν στον ένα δίσκο της ζυγαριάς βάλουμε τα χρόνια του πατέρα του Χρήστου, δηλαδή το π, και στον άλλο δίσκο της ζυγαριάς τα χρόνια του Χρήστου χ, πόσα χρόνια πρέπει να προσθέσουμε ακόμη στο δίσκο που βάλαμε το χ ώστε να έχουμε ισορροπία; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία; Αν στον ένα δίσκο της ζυγαριάς βάλουμε τα χρόνια του πατέρα του Χρήστου, δηλαδή το π, και στον άλλο δίσκο της ζυγαριάς τα χρόνια του αδερφού του Χρήστου α πόσα χρόνια πρέπει να προσθέσουμε ακόμη στο δίσκο που βάλαμε το α ώστε να έχουμε ισορροπία; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία; Αν στον ένα δίσκο της ζυγαριάς βάλουμε τα χρόνια του πατέρα του Χρήστου, δηλαδή το π, και στον άλλο δίσκο της ζυγαριάς τα χρόνια του Χρήστου χ, πόσα χρόνια πρέπει να αφαιρέσουμε από το δίσκο που βάλαμε το π, ώστε να έχουμε ισορροπία; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία; Αν στον ένα δίσκο της ζυγαριάς βάλουμε τα χρόνια του πατέρα του Χρήστου, δηλαδή το π, και στον άλλο δίσκο της ζυγαριάς τα χρόνια του αδερφού του Χρήστου α πόσα χρόνια πρέπει αφαιρέσουμε από το δίσκο που βάλαμε το π , ώστε να έχουμε ισορροπία; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία; Με παρόμοιο τρόπο ποιες εξισώσεις προκύπτουν για τις ηλικίες του Χρήστου και του αδερφού του;


11

1.6 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ.

1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται ………………. και οι αριθμοί που προσθέτουμε λέγονται …………………………………………………………. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης δύο αριθμών λέγεται ……………… , ο αριθμός από τον οποίο αφαιρούμε τον άλλο λέγεται ……………. και αυτός που αφαιρείται λέγεται ……………… 2. Βάλτε σε κύκλο το Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και το Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος: Στην πρόσθεση δύο ή περισσοτέρων αριθμών δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία θα προσθέσουμε τους αριθμούς. …….. Σωστό ή Λάθος ; Σε μια παράσταση που έχει προσθέσεις και αφαιρέσεις αριθμών δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία θα κάνουμε τις πράξεις. …….. Σωστό ή Λάθος ; Για δύο αριθμούς α και β ισχύει: α + β = β + α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για δύο αριθμούς α και β ισχύει: α - β = β - α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α + 0 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α - 0 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: 0 - α = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α - α = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α - α = 0 …….. Σωστό ή Λάθος ; 3. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν χ + α = β τότε χ = …….. Αν α + χ = β τότε χ = …….. Αν χ - α = β τότε χ = …….. Αν α - χ = β τότε χ = …….. 4.Α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός α

5,1 857 2,635 1000,5 0,359 100 751 48,03 0,01 7,55

Αριθμός β

2,4 643 1,932 1000,5 0,0359 0,99 248 48,003 0,001 1,45

Άθροισμα α + β

Διαφορά α - β


12

4.Β. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός α

10 24 9,7 5,935 15,4

Αριθμός β

150 54 3,5 1001

Άθροισμα α + β

15 310 10 7 30,8 100

Διαφορά α - β

4 10` 0 1001 0

5. α) Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς στην εκατοντάδα: Α1 = 537 + 684 + 319 = …… Α2 = 1354 + 572 +5043 +2956 = ……… Α3 = 83,5 +942,39 +997,45 = ……… β) Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς στο δέκατο: Α1 = 5,37 + 6,58 + 3,19 = …… Α2 = 13,54 + 0,45 +50,43 +1,56 = ……… Α3 = 57,6 +942,39 +999,96 = ……… γ) Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς στην χιλιάδα: Α1 = 1537 - 684 = …… Α2 = 121354 - 1472 +5043 -2956 = ……… Α3 = 8923,5 +1942,39 - 1997,45 = ……… 6. Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα αναζητώντας τον ποιο εύκολο για σας τρόπο: Α1 = 1537 - 537 = …… Α2 = 1+2+3+12+13+14 = ……… Α3 = 560 +375 + 140 + 25 + 1000 = ……… Α4 = 27 + 1 + 72 Α5 = ( 1356,897 + 5326,42 +485697542,3214) - (485697542,3214 +1356,897 + 5326,42) =…. 7. Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα με τον τρόπο που σας δείχνει το παράδειγμα: 63 + 7 + 5 – 8 +3 – 1 = 70 + 5 – 8 + 3 –1 = 75 – 8 + 3 – 1 = 67 + 3 – 1 = 70 – 1 = 69 Α1 = 48 + 53 + 62 – 51 – 43 = …….+ 62 – 51 – 43 = …….– 51 – 43 = ……. – 43 = ……. Α2 = 375 – 47 –163 + 1356 – 987 = ………–163 + 1356 – 987 =……+ 1356 – 987 = .…..-987=… Α3 = 1526 – 326 + 1200 – 400 + 2 = ……… Α4 = 15,26 – 3,26 + 0,12 – 4 + 0,88 – 9 = ……… Α5 = 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 – 0,00009 = ………


13

8. Συμπληρώστε τις τελίτσες με τα ψηφία που χρειάζεται:

.99.2..3653

+

37,....,892,84

−

2.6.9472.9245.7

+

33,.3..,7502,4.

−

.00029.7..9225.9

+

9. Εξετάστε αν τα παρακάτω τετράγωνα είναι «μαγικά» , δηλαδή αν το άθροισμα κάθε διαγωνίου κάθε γραμμής και κάθε στήλης τους είναι το ίδιο.

30 100 20 51 37 12

40 50 60 22 28 50

80 0 70 27 35 38

75 48 25 52 14 15 16 20

55 30 43 72 19 21 13 12

43 78 49 30 23 17 18 7

27 44 83 46 9 12 18 26

10. α.) Φτιάξτε μόνοι σας «μαγικά» τετράγωνα 3χ3: Στα παρακάτω τετράγωνα, βάλτε στα γραμμοσκιασμένα τετραγωνάκια τρεις αριθμούς προσέχοντας τα εξής: Το άθροισμα οποιονδήποτε δύο από αυτούς τους αριθμούς να είναι μεγαλύτερο από τον τρίτο. Τον μεγαλύτερο από τους τρεις αριθμούς τον τοποθετούμε στο κεντρικό τετραγωνάκι. Υπολογίσετε κατόπιν , το τριπλάσιο του αριθμού που βάλατε στο κεντρικό τετραγωνάκι. Υπολογίστε τέλος, τους αριθμούς που πρέπει να βάλετε στα υπόλοιπα τετραγωνάκια ώστε το τετράγωνο να γίνει «μαγικό», με άθροισμα γραμμών στηλών και διαγωνίων, ίσο με το τριπλάσιο του αριθμού που βάλατε στο κεντρικό τετραγωνάκι.


14

β.) Φτιάξτε μόνοι σας «μαγικά» τετράγωνα 4χ4: Βάλτε στη θέση των μεταβλητών α, β, γ, δ , χ, ψ αριθμούς και αφού εκτελέσετε τις πράξεις, εκεί όπου υπάρχουν, τοποθετήστε τους αριθμούς στο διπλανό τετράγωνο:Αυτό πρέπει να γίνει «μαγικό»!

α β γ δ

δ+χ γ-χ β+χ α-χ

β+ψ α+ψ δ-ψ γ-ψ

γ-χ-ψ δ+χ-ψ α-χ+ψ β+χ+ψ

α β γ δ

δ+χ γ-χ β+χ α-χ

β+ψ α+ψ δ-ψ γ-ψ

γ-χ-ψ δ+χ-ψ α-χ+ψ β+χ+ψ

11. Να βρείτε τον αριθμό χ στις παρακάτω εξισώσεις, με τον τρόπο που φαίνεται στα παραδείγματα : 12. Αν α = 350 , β = 53, γ = 21,5 να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = α + β + γ Β = α – β – γ Γ = β – γ + α

Παράδειγμα 1. χ + 3 = 5 χ = 5 – 3 χ = 2

Παράδειγμα 2. χ – 3 = 5 χ = 5 + 3 χ = 8

Παράδειγμα 3. 8 – χ = 5 χ = 8 – 5 χ = 3

Εξίσωση 1. χ + 7 = 20

Εξίσωση 2. χ – 7 = 1

Εξίσωση 3. 2,5 – χ = 2

Εξίσωση 4. χ + 0,002 = 0,1

Εξίσωση 5. χ + (7 –3,5) = 20

Εξίσωση 6. χ – (7+2) = 1

Εξίσωση 7. (2,5 +3) – χ = 2 +1,75


15

13. Αν χ + ψ = 25 και ψ + ω =15 να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = χ + 37 +ψ +5 – (14 + ψ + 12 +ω) Β = χ + 2ψ + ω 14. Υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Χ = 47,8 + 3,2 –1,5 – 0,5 Ψ = Χ –31,3 +0,3 Ω = Χ – Ψ +19,5 15. Να βρείτε έναν αριθμό αν γνωρίζουμε ότι: Προσθέτοντας το 39 βρίσκουμε άθροισμα 83 Απαντάμε ως εξής : Έστω χ ο αριθμός τότε χ + 39 = 83 οπότε χ = 83 –39 άρα χ = ….. Προσθέτοντας το 45 βρίσκουμε άθροισμα 100 ……………………………………………………………………………………………… Προσθέτοντας το 2,345 βρίσκουμε άθροισμα 5,143 ……………………………………………………………………………………………… Αφαιρώντας από αυτόν το 55 βρίσκουμε 9 ……………………………………………………………………………………………… Αφαιρώντας από αυτόν το 5,5 βρίσκουμε 9,4 ……………………………………………………………………………………………… Αφαιρώντας αυτόν από το 5,5 βρίσκουμε 3 ……………………………………………………………………………………………… Αφαιρώντας αυτόν από το 32 βρίσκουμε 12,3 ……………………………………………………………………………………………… 16. Κάποιος μαθητής θέλει να αγοράσει ένα βιβλίο και μερικά τετράδια. Το κόστος του βιβλίου είναι 9,36 ευρώ και το κόστος των τετραδίων είναι 3,25 ευρώ. Έχει μαζί του 15 ευρώ. Πόσα ευρώ θα περισσέψουν στο μαθητή μετά την αγορά; 17. Σε μια ημερήσια εκδρομή του σχολείου ο Μανόλης έφυγε από το σπίτι του στις 07:00 το πρωί και επέστρεψε στις 10:00 το βράδυ. Το λεωφορείο έφυγε από το σχολείο για τον προορισμό της εκδρομής στις 08:00 το πρωί. Έφτασε στον προορισμό του, κάνοντας μιάμιση ώρα στάση, στις 01:00 το μεσημέρι. Στην επιστροφή το λεωφορείο αναχώρησε στις 05:00 το απόγευμα και κάνοντας μισή ώρα στάση επέστρεψε στο σχολείο στις 09:00 το βράδυ. α) Πόσες ώρες έλειψε από το σπίτι του ο Μανόλης; β) Πόσες ώρες ήταν μέσα στο λεωφορείο; (Δεν υπολογίζουμε τις στάσεις) 18. Ένας μανάβης πούλησε την Δευτέρα και την Τρίτη 37 κιλά πορτοκάλια , (και τις δυο μέρες). Την Τετάρτη πούλησε όσα την Τρίτη και την Πέμπτη όσα είχε πουλήσει την Δευτέρα. Την Παρασκευή πούλησε 3 κιλά λιγότερα απ’ ότι την Πέμπτη και το Σάββατο 8 κιλά περισσότερα απ’ ότι την Τετάρτη. Πόσα κιλά πούλησε συνολικά όλη την εβδομάδα. 19. Ένα φορτηγό έχει απόβαρο 3,7 τόνους και μεταφέρει φορτίο 0,2 τόνων λιγότερο από το απόβαρό του. Πόσους τόνους λιγότερο φορτίο έπρεπε να μεταφέρει για να περάσει από μια γέφυρα η οποία έχει περιορισμό : « μέγιστο επιτρεπόμενο φορτίο 7 τόνοι» ; Γράψτε μια παράσταση, με την βοήθεια των δεδομένων, το αποτέλεσμα της οποίας να δίνει την απάντηση του προβλήματος.


16

20. Κάποιος ζήτησε από τα τρία παιδιά του να του πουν τι δώρο θα ήθελαν στα γενέθλιά τους . Η αξία και των τριών δώρων θα έπρεπε να είναι ίση. Τα δώρα θα μπορούσαν να είναι είτε κάποια παιχνίδια είτε χρήματα είτε και παιχνίδια και χρήματα. Ο πρώτος ζήτησε από τον πατέρα του ένα ποδήλατο. Ο δεύτερος ζήτησε ένα cd ενός παιχνιδιού για τον υπολογιστή και 50 ευρώ. Ο τρίτος ζήτησε 85 ευρώ. Υπολογίζοντας την αξία των δώρων ο πατέρας τους βρήκε ότι το ποδήλατο κοστίζει 5 ευρώ παραπάνω από το δώρο του που ζήτησε ο δεύτερος και 5 ευρώ λιγότερο από το δώρο που ζήτησε ο τρίτος. Έτσι, αγόρασε το ποδήλατο και το cd που του ζήτησαν οι δύο πρώτοι, αλλά δεν έδωσε 50 ευρώ στον δεύτερο ούτε 85 στον τρίτο. α) Βρείτε την αξία του ποδηλάτου. β) Βρείτε πόσα χρήματα πρέπει να δώσει στον δεύτερο και πόσα στον τρίτο. γ) Βρείτε την αξία του cd. δ) Πόσα χρήματα ήταν η αξία και των τριών δώρων. 21. Η μητέρα του Νίκου αγόρασε από το μανάβικο μήλα πορτοκάλια και μπανάνες. Όλα μαζί ζύγιζαν 7 κιλά. Τα μήλα και τα πορτοκάλια μαζί ζύγιζαν 4κιλά . Οι μπανάνες και τα μήλα μαζί ζύγιζαν 5 κιλά. Πόσα κιλά ζύγιζαν τα μήλα , πόσα κιλά τα πορτοκάλια και πόσα κιλά οι μπανάνες;


17

1.7 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ. 1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται ………………. και οι αριθμοί που προσθέτουμε λέγονται ……………………. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών λέγεται ……………… , ο αριθμός τον οποίο διαιρούμε λέγεται ……………. και αυτός με τον οποίο διαιρούμε λέγεται ……………… 2. Βάλτε σε κύκλο το Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και το Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος: Στο γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία θα πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς. …….. Σωστό ή Λάθος ; Σε μια παράσταση που έχει μόνο πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις αριθμών δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία θα κάνουμε τις πράξεις. …….. Σωστό ή Λάθος ; Για δύο αριθμούς α και β ισχύει: α . β = β . α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για δύο αριθμούς α και β ισχύει: α : β = β : α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α . 0 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α . 0 = 0 …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: 0 : α = 0 …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α : 0 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α : 0 = 0 …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α . 1 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α : α = 1 …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α : 1 = 1 …….. Σωστό ή Λάθος ; 3. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν χ . α = β τότε χ = …….. Αν α . χ = β τότε χ = …….. Αν χ : α = β τότε χ = …….. Αν α : χ = β τότε χ = …….. 4.Α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός α

5,1 857 2,635 1000,5 0,359 100 751 48,03 340,75 7,55

Αριθμός β

100 10 1000 10 10000 100 1000 100 10000 10

Αριθμός γ

00,1 0,1 0,001 0,1 0,0001 0,01 0,001 0,01 0,0001 0,1

Γινόμενο α.β

Γινόμενο α.γ

Γινόμενο β.γ


18

4.Β. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός α

32,45 350 745 2 75 3,04

Αριθμός β

100 10000 10

Αριθμός γ

0,1

Γινόμενο α.β

3245 7450000 750 47500 32 27000 1

Γινόμενο α.γ

0,35 0,2 0,0000304


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5.Α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

Αριθμός α

500 347,25 3,5 35000 0,42 5 1000 538 4935,48

Αριθμός β

100 1000 10 10000 100 10 1000 100 1000

Αριθμός γ

0,01 0,001 0,1 0,001 0,01 0,1 0,001 0,01 0,001

Πηλίκο α:β

Πηλίκο α:γ


5.Β. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

Αριθμός α

40 3 57,12 87,5 4850

Αριθμός β

10 1000

Αριθμός γ

0,01 0,1

Πηλίκο α:β

4 0,5712 4,5 0,4850 6,3

Πηλίκο α:γ

3000 8750 37000 740


1 1 1 1 1 1 1 1 1

6. Γράψτε σε μορφή γινομένου τα παρακάτω αθροίσματα: α) χ+χ+χ+χ+χ = ……. β) α + α = ….. γ) α + 2α = …………. = ……. δ) 5χ + 2χ = ……………………….. = ……. ε) 12 +12 +12 +12 +12 = …..


19

7. α) Υπολόγισε το άθροισμα όλων των μονοψήφιων αριθμών. β) Υπολόγισε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών. γ) Υπολόγισε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών. 8. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα με τον πιο εύκολο τρόπο. Γ1 = 2 . 3,5 . 5 = Γ2 = 7 . 15 . 2 = Γ3 = 38 . 25 . 4 = Γ4 = 2,5 . 25,31 . 400 = Γ5 =0,01 . 374,63 . 125 . 8 = Γ6 = 800 . 500 . 0,08 .0,02 = 9. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα γνωρίζοντας ότι 218 . 37 = 8066 Γ1 = 2180 . 370 = Γ2 = 2,18 . 37 = Γ3 = 2,18 . 3,7 = Γ4 = 2180 . 3,7 = Γ5 =21800 . 0,37 = Γ6 = 0,218 . 3700 = 10. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα και πηλίκα:

Αριθμός α Αριθμός β Γινόμενο α . β Πηλίκο α : β 273 3 1377 17 10,35 2,3 8,192 50 46,184 46 5490 18

11. Να βρείτε τον αριθμό χ στις παρακάτω εξισώσεις, με τον τρόπο που φαίνεται στα παραδείγματα :

Παράδειγμα 1. 3χ = 30 χ = 30 : 3 χ = 10

Παράδειγμα 2. χ : 3 = 10 χ = 10 . 3 χ = 30

Παράδειγμα 3. 8 : χ = 2 χ = 8 : 2 χ = 4

Εξίσωση 1. 7χ = 28

Εξίσωση 2. χ : 25 = 40

Εξίσωση 3. 2,5 : χ = 250

Εξίσωση 4. 0,35χ = 70

Εξίσωση 5. (7 : 3,5)χ = 20

Εξίσωση 6. χ : (7 . 2) = 32

Εξίσωση 7. (8 . 17) : χ = 136


20

12. Να βρείτε τον αριθμό χ στις παρακάτω εξισώσεις, με τον τρόπο που φαίνεται στα παραδείγματα : 13. α.) Ο «μαγικός» πολλαπλασιασμός με το 11 Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

α Διψήφιος αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του δεν ξεπερνά το 9

Τριψήφιος αριθμός : Τα δύο ακραία ψηφία είναι τα ψηφία του διψήφιου της 1ης στήλης και το μεσαίο είναι το άθροισμα των ψηφίων του διψήφιου

11α Γινόμενο του διψήφιου αριθμού της 1ης στήλης με τον αριθμό 11

23 253 253 11 12 17 26 43 81

Παράδειγμα 1. 3χ - 4 = 26 3χ = 26 + 4 3χ = 30 χ = 30:3 χ = 10

Παράδειγμα 2. 2χ + 3 = 15 2χ = 15 - 3 2χ = 12 χ = 12:2 χ = 6

Παράδειγμα 3. 8 - 5χ = 2 5χ = 8 - 2 5χ = 6 χ = 6:5 χ = 1,2

Εξίσωση 1. 2χ -7 = 2,35

Εξίσωση 2. 3χ + 25 = 40

Εξίσωση 3. 25,5 - 4χ = 2,50

Εξίσωση 4. 0,01χ - 5 = 73

Εξίσωση 5. (7 + 3,5)χ + 4 = 25

Εξίσωση 6. 101 - 100χ =100

Εξίσωση 7. 8 . 5 - 7χ = 12


21

β) Προσπαθήσετε να κάνετε μόνοι σας έναν «μαγικό» πολλαπλασιασμό με το 111 α Διψήφιος αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του δεν ξεπερνά το 9

; ;

111α Γινόμενο του διψήφιου αριθμού της 1ης στήλης με τον αριθμό 111

14. Συμπληρώστε τις τελίτσες με τα ψηφία που χρειάζεται:

3 7 7 5 6 2 3 8 6 4 χ … χ … … χ … … … … … 1 … … … 2 … … 2 8 … … 2 3 0 …. … … … … … … … …

15. Να κάνετε τις πράξεις προσέχοντας, εκεί όπου χρειάζεται, την σειρά τους. Α = 3 . 5 . 9 – 105 :3 Β = 2,3 . 4 + 7 . 9 : 3 – 2001:2001 Γ = (7 + 5) : (3 . 2) + 4 . 2,5 : 100 Δ = 12,5 . 4 . 8 . 0,25 .3,67 Ε = (1253 . 37652 . 2956 – 12,53 . 3765200 . 2956) . 38459 .2546897123 Ζ = (3,421 . 25000 . 48) : (480 . 3421 .2,5) 16. Γνωρίζουμε ότι για να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός ορθογωνίου που έχει πλάτος α και μήκος β πολλαπλασιάζουμε το μήκος του με το πλάτος του. Δηλαδή (εμβαδό ορθογωνίου διαστάσεων α , β ) = α . β Θέλουμε να στρώσουμε με πλακάκια δύο ορθογώνιες επιφάνειες Ε1 και Ε2. Η επιφάνεια Ε1 έχει διαστάσεις 4 μέτρα πλάτος και 15 μέτρα μήκος. Η επιφάνεια Ε2 έχει διαστάσεις 5 μέτρα πλάτος και 12,6 μέτρα μήκος. Διαθέτουμε 4000 πλακάκια με διαστάσεις 0,20 μέτρα μήκος και 0,15 μέτρα πλάτος. α) Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι οι δύο επιφάνειες Ε1 και Ε2; β) Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι όλα τα πλακάκια; γ) Φτάνουν τα πλακάκια για να καλύψουμε τις δύο επιφάνειες; Αν όχι πόσα πλακάκια ακόμη θα χρειαστούμε; δ) Γράψτε μια παράσταση, η οποία να περιέχει όλους τους αριθμούς των δεδομένων του προβλήματος και τις κατάλληλες πράξεις που προκύπτουν από τα δεδομένα, και το αποτέλεσμά της να δίνει την απάντηση του τελευταίου ερωτήματος.


22

17. Αγοράζοντας 3 κιλά πορτοκάλια και 2 κιλά μήλα πληρώνουμε 4,40 ευρώ. Αγοράζοντας 2 κιλά πορτοκάλια και 2 κιλά μήλα πληρώνουμε 3,40 ευρώ. α) Πόσο κοστίζει το 1 κιλό πορτοκάλια και πόσο κοστίζει το ένα κιλό μήλα; β) Πόσο θα πληρώσουμε αγοράζοντας 4 κιλά πορτοκάλια και 3 κιλά μήλα; γ) Μπορείτε να απαντήσετε στο β) ερώτημα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το α); 18. Κάποιος κτηνοτρόφος εκτρέφει κουνέλια και κότες. Συνολικά αυτά τα ζώα είναι 350. Τα πόδια των ζώων είναι συνολικά 1000. α) Αν όλα τα ζώα ήταν κότες πόσα θα ήταν τα πόδια τους; β) Πόσα κουνέλια και πόσες κότες έχει ο κτηνοτρόφος; 19. Σ΄ έναν ποδοσφαιρικό αγώνα οι 22 παίκτες και ο διαιτητής ανταλλάσσουν χειραψίες. Δεν ανταλλάσσουν χειραψία παίκτες της ίδιας ομάδας. Πόσες χειραψίες ανταλλάσσονται συνολικά. 20. Σε μια συνάντηση 15 φίλων ανταλλάσσονται μεταξύ τους χειραψίες. Πόσες χειραψίες ανταλλάσσονται συνολικά; 21. Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν από διαφορετικές πόλεις Α και Β, με προορισμό τις πόλεις Β και Α αντίστοιχα, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους 350 χιλιόμετρα. Αυτός που ξεκίνησε από την πόλη Α κινείται με μέση ταχύτητα 75 χιλιομέτρων την ώρα. Τα δύο αυτοκίνητα συναντιούνται σε 2,2 ώρες. α) Πόση είναι η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου που ξεκίνησε από την πόλη Β; β) Πόση ώρα θα κάνουν να φτάσουν στον προορισμό τους; 22. Αριστερά και δεξιά ενός δρόμου και από την αρχή του θα τοποθετηθούν κολόνες φωτισμού σε απόσταση 30 μέτρων η μία από την άλλη. α) Αν ο δρόμος είναι 30 μέτρα πόσες κολόνες πρέπει να τοποθετηθούν; β) Αν ο δρόμος είναι 60 μέτρα πόσες κολόνες πρέπει να τοποθετηθούν; γ) Αν ο δρόμος είναι 2370 μέτρα πόσες κολόνες πρέπει να τοποθετηθούν; 23. α) Πόσο θα αυξηθεί το άθροισμα 4 αριθμών αν τον καθέναν αυτούς τον αυξήσουμε κατά χ; β) Αυξήσαμε τον καθέναν από 4 αριθμούς κατά χ και το άθροισμά τους αυξήθηκε κατά 430. Να υπολογίσετε το χ. 24. Αν κάποιος έμπορος αγοράσει 15 κουτιά με “άγραφα” cd που το καθένα περιέχει 10 cd και 7 συσκευασίες που η καθεμιά περιέχει 15 cd θα πληρώσει συνολικά 146,25 ευρώ. α) Πόσο πρέπει να πουλάει το κάθε cd ώστε πουλώντας 150 cd να έχει αποσβεστεί το κόστος αγοράς τους; β) Πόσο θα είναι το κέρδος του αν πουλάει το κάθε cd τόσο όσο βρήκατε στο α ερώτημα; 25. Ένα ορθογώνιο που έχει διαστάσεις χ , ψ έχει εμβαδόν Ε = χ .ψ Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 5 τετραγωνικά μέτρα Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας διάστασης που έχει το πρώτο και η άλλη τριπλάσια της άλλης διάστασης του πρώτου.


23

26. Απ’ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 100 τετραγωνικών μέτρων και μήκος , πλάτος δύο φυσικούς αριθμούς ποιο έχει την πιο μικρή περίμετρο;


24

1.8 Η ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ.

1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις α .(β + γ) = ….. + …. . α . β – α . γ = α . (… - …. ) (α + β) . (γ + δ) = α . (… + …) + β . (…+….) = ……+……+……+……. 2 . α + 2 . β = 2 . (…+…) α + 2 . α = (…+….) . α = …… 5 . α – 2 . α = (… – …. ) . α = …….. 7 . χ + 3 . χ – χ = (…+….. -…..) . χ = …… α . χ + α . ψ + β . χ + β . ψ = α .(…+….) + β . (….+….) = (…..+…..) . (….+….) 2. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις με δύο τρόπους όπως στο παράδειγμα: Παράδειγμα: 14 . (7 + 4) Παράσταση 1: 3,5 . (2 + 4) Παράσταση 2 : 75 . (10 + 4) Παράσταση 3 : 31 . (13 – 3) Παράσταση 4 : 143 . (100 – 10 )

Τρόπος 1ος . 14 . (7+4) = = 14 . 7 + 14 . 4 = = 98 + 56 = 154

Τρόπος 2ος . 14 . (7+4) = = 14 . 11 = 156

Τρόπος 1ος .









25

3. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα όπως στα παραδείγματα: 4. Να γράψετε τους υπογραμμισμένους αριθμούς ως γινόμενο δύο άλλων αριθμών ώστε να γίνεται η επιμεριστική ιδιότητα και κατόπιν να την εφαρμόστε, (όπως στο α). α) 2χ + 4ψ = 2χ + 2 .2ψ = 2 . ( χ + 2ψ) β) 3χ – 9ψ = γ) 5α + 10β = δ) 6κ + 18 = ε) 25 – 10ψ = στ) 30α + 40β = 5. Γνωρίζοντας ότι 23 . 45 = 1035 υπολογίστε τις παραστάσεις, εφαρμόζοντας όταν χρειαστεί την επιμεριστική ιδιότητα: α) (20 + 3) . 45 β) 40 . 23 + 5 . 23 γ) 11 . 45 + 12 . 45 δ) 23 . (58 – 13) ε) 55 . 45 – 32 . 45 στ) 23 .105 – 23 . 60

Παράδειγμα 1: 15 . 5 = (10 + 5 ) . 5 =10 . 5 + 5 . 5 = 50 + 25 = 75

Παράδειγμα 2: 15 . 99 = 15 . (100 – 1) = 15 . 100 – 15 . 1 = 1500 – 15 =1485

Γινόμενο 1: 25 . 39 =

Γινόμενο 2: 12 . 15 =

Γινόμενο 3: 17 . 6




Γινόμενο 7: 3,01 . 7

Γινόμενο 8: 4,25 . 40



Γινόμενο 11: 15,8 . 9

Γινόμενο 12: 153 . 80


26

6. Γνωρίζοντας ότι α – β = 5 και χ + ψ = 6 να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Π1 = 2α – 2β +5χ +5ψ Π2 = 3 . (χ + ψ + 5α) – 15β Π3 = 2α + 3α - 5β + 7χ + 2ψ +5ψ Π4 = α – β + χ + 8ψ – 3ψ + 4χ Π5 = χα – χβ +ψα – ψβ 7. Απλοποιήστε τις παρακάτω παραστάσεις όπως σας δείχνει το παράδειγμα: 8. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α cm, οπότε η περίμετρός του θα είναι 4α cm. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: Αν αυξήσουμε την πλευρά του κατά 5cm , τότε το τετράγωνο που θα προκύψει θα έχει πλευρά ………cm και περίμετρο …..(……….) cm = …………….. cm, οπότε η περίμετρός του αυξάνεται κατά ….. cm. Αν μειώσουμε την πλευρά του κατά 2cm , τότε το τετράγωνο που θα προκύψει θα έχει πλευρά ………cm και περίμετρο …..(……….) cm = …………….. cm, οπότε η περίμετρός του μειώνεται κατά ….. cm. 9. Ένα βιβλιοπωλείο πουλάει μια συσκευασία που περιέχει 3 τετράδια 5 μολύβια και 2 γομολάστιχες. Μια μέρα πούλησε 6 τέτοιες συσκευασίες. Πόσα σχολικά είδη (:τετράδια, μολύβια, γομολάστιχες) πουλήθηκαν; Να λύσετε το πρόβλημα με δύο τρόπους, γράφοντας κάθε φορά την παράσταση, που αιτιολογεί τον τρόπο με τον οποίο λύνουμε το πρόβλημα. 10. Ένας τριψήφιος αριθμός έχει ψηφίο εκατοντάδων τον αριθμό χ ,ψηφίο δεκάδων τον αριθμό ψ και ψηφίο μονάδων τον αριθμό ω. α) Γράψτε μια παράσταση το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι ο τριψήφιος αριθμός. β) Γράψτε μια παράσταση το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι ο διψήφιος αριθμός με ψηφίο δεκάδων τον αριθμό ψ και ψηφίο μονάδων τον αριθμό ω. γ) Γράψτε μια παράσταση το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι το άθροισμα : του τριψήφιου αριθμού, του 90 – πλάσιου του αριθμού ω και του 9-πλασίου του διψήφιου αριθμού . δ) Υπολογίστε την παράσταση που βρήκατε στο γ ερώτημα, αν γνωρίζετε ότι το άθροισμα των ψηφίων του τριψήφιου αριθμού είναι 20. 11. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 11. Να υπολογίσετε το άθροισμα αυτού του διψήφιου και του διψήφιου που προκύπτει, από αυτόν, αν αλλάξουμε την θέση των ψηφίων του.

Παράδειγμα 1: 3χ + 7χ – χ = (3 + 7 – 1)χ = (10 –1)χ = 9χ

Παράσταση 1: α + 2α +4α =

Παράσταση 2: 15χ –12χ + 7χ =

Παράσταση 3: 2,5ω +3,1ω - ω =

Παράσταση 4: 48ψ – 32ψ - ψ =


27

1.9 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. 1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις α . α . α = …… α2 = ………… α . α . β . β . β = ………. 2α.2α.2α.2α = ……… α5 = ……………… 2. Στις παρακάτω ερωτήσεις επέλεξε τη σωστή απάντηση. Στο γινόμενο α .α .α …….α ο παράγοντας α υπάρχει 2001 φορές. Αυτό το γινόμενο μπορεί να γραφεί σε μορφή δύναμης ως εξής:……. Α. 2001α Β. α2000 Γ. 2001α Δ. α2001 Το άθροισμα 2 + 2 +2 + 2 μπορεί να γραφεί ως δύναμη του 2 ως εξής: Α. 24 Β. 22 Γ. 23 Δ. Δεν μπορεί να γραφεί ως δύναμη του 2. Το γινόμενο 52 . 53 μπορεί να γραφτεί ως δύναμη του 5 ως εξής: Α. 55 Β. 56 Γ. 59 Δ. Δεν μπορεί να γραφεί ως δύναμη του 5. 3. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας

Αριθμός α α 0 1 2 3 10 0,2 0,3

Τετράγωνο του α α2 9

Κύβος του α α3

Τέταρτη δύναμη του α α4 16

Πέμπτη δύναμη του α α5

β) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας

Αριθμός α α

Τετράγωνο του α α2 16 10000

Κύβος του α α3 125 1

Τέταρτη δύναμη του α α4 0,0001

Πέμπτη δύναμη του α α5 100000 0,00243

4. α) Να υπολογίσετε τα τετράγωνα όλων των αριθμών από το 1 έως και το 20. β) Ποιών αριθμών τετράγωνα είναι οι αριθμοί.: 196 = ….2 , 19600 = …….2 , 1,96 = ….2 , 2500 = …..2 , 40000 = ……2


28

5. Να τοποθετήσετε από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη τις παρακάτω δυνάμεις του 2 και του 0,2: 21 , 0,21 , 22 , 0,22 , 23 , 0,23 , 24 , 0,24 6. Να γράψετε τον αριθμό 64 ως δύναμη με βάση το 2, το 4, το 8, και το 64 7. Να προσπαθήσετε να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μιας μόνο δύναμης όπως στα παραδείγματα: 8. Να κάνετε με τη σωστή σειρά τις πράξεις και να υπολογίσετε τα αποτελέσματα των παρακάτω παραστάσεων: Π1 = 52. 4 – 42.5 – 2,5 . 22 Π2 = 23.5 – 32. 4 - 22 Π3 = (3+22)2 + 72 + 2 - 102 Π4 = 2 . 103 + 1 – 2001 Π5 = 3 . 103+2 . 102+12001. 10 9. Γνωρίζουμε ότι ένας τετραψήφιος αριθμός που έχει χ το ψηφίο των χιλιάδων ψ το ψηφίο των εκατοντάδων ω το ψηφίο των δεκάδων και φ το ψηφίο των μονάδων γράφεται στη μορφή, (ανεπτυγμένη μορφή), ως εξής: χ.1000 + ψ.100 + ω.10 + φ.1 ή ισοδύναμα χ.103 + ψ.102 + ω.101 + φ.1 . Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :

ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

3625 50268 374 100254 5.103 + 2.102 + 2.101 + 7.1 9.102 + 2.1 2.103 + 2.1

Παράδειγμα 1: α2 . α3 = α . α . α .α .α = = α5

Παράσταση 1: α4 . α3 =

Παράσταση 2: (α4)2 =

Παράσταση 3: α3 .(α3)2 =

Παράσταση 4: (α2 . α1)3 =

Παράδειγμα 2: (α2)3 = (α2). (α2). (α2) = α .α .α .α .α .α = α6


29

10. ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

α) Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνεται ένας αριθμός μεγαλύτερος του 10. Στην δεύτερη στήλη του πίνακα γράφουμε αυτόν τον αριθμό ως γινόμενο ενός αριθμού μεταξύ του 1 και του 10 και κάποιου από τους αριθμούς 10 , 100 , 1000 , …… Στην τρίτη στήλη του πίνακα γράφουμε αυτόν τον αριθμό ως γινόμενο ενός αριθμού μεταξύ του 1 και του 10 και κάποιας κατάλληλης δύναμης του 10, (101, 102, 103,…..). Η μορφή του αριθμού στην τρίτη στήλη λέγεται τυποποιημένη μορφή. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ 10, 100, 1000, ……

ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

37812 3,7812. 10000 3,7812. 104 56321 1246890 352 2000 700000000 2,1.106

3,75. 1000 2,345.102 1345000000000 9,9. 109

1. 1000000000 2,5 . 1000000

β) Στον παρακάτω πίνακα υπάρχουν κάποια στοιχεία για τον ήλιο και τους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος. Οι πλανήτες είναι τοποθετημένοι κατά αύξουσα σειρά απόστασής τους από τον ήλιο.

Ήλιος , Πλανήτης Μάζα ήλιου, πλανήτη σε κιλά (Τυποποιημένη μορφή)

Ακτίνα ήλιου, πλανήτη σε χιλιόμετρα (Τυποποιημένη μορφή)

Ήλιος 1,991. 1030 6,966. 105 Ερμής 3,303. 1023 2,4397. 103

Αφροδίτη 4,869 . 1024 6,0518 . 103

Γη 5,97 . 1024 6,378 . 103

Άρης 6,421 . 1023 3,397 . 103

Δίας 1,9 . 1027 7,1492 . 104 Κρόνος 5,688 . 1026 6,0266 . 104 Ουρανός 8,686 . 1025 2,5559 . 104

Ποσειδώνας 1,024 . 1026 2,4746 . 104

Πλούτωνας 1,29 . 1022 1,16 . 103

Με την βοήθεια αυτού του πίνακα συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Μικρότερη ακτίνα και μάζα έχει ο πλανήτης ………………. Μεγαλύτερη ακτίνα και μάζα έχει ο πλανήτης ……………… Ο ήλιος έχει 1,991. 1030 : 5,97 . 1024 = ………… φορές την μάζα της Γης Η ακτίνα του Δία είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα της Γης κατά 7,1492 . 104 - 6,378 . 103 =………………… χιλιόμετρα.


30

Τοποθετούμε τους πλανήτες κατά αύξουσα σειρά σύμφωνα με την μάζα που έχουν: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Τοποθετούμε τους πλανήτες κατά αύξουσα σειρά σύμφωνα με την ακτίνα που έχουν: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 11. Έστω α , χ τα ψηφία των χιλιάδων β , ψ τα ψηφία των εκατοντάδων γ , ω τα ψηφία των δεκάδων και δ , ω τα ψηφία των μονάδων δύο τετραψήφιων αριθμών. α) Γράψτε τους αριθμούς αυτούς σε ανεπτυγμένη μορφή β) Με την προϋπόθεση ότι τα ψηφία της κάθε τάξης των αριθμών αυτών έχουν άθροισμα που δεν ξεπερνά το 9 και με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να γράψετε σε ανεπτυγμένη μορφή το άθροισμα των δύο αριθμών. γ) Αν το άθροισμα των ψηφίων της ίδιας τάξης των δύο αριθμών είναι ίσο με το 9 να υπολογίσετε το άθροισμα του αθροίσματος των δύο αριθμών και του 1 και να το γράψετε σε δύναμη του 10. 12. Τον αριθμό 9 μπορούμε να τον γράψουμε: 9 = 101 – 1 . Τον αριθμό 99 μπορούμε να τον γράψουμε: 99 = 102 – 1 α) Με τον ίδιο τρόπο να γράψετε τους αριθμούς: 999 = , 9999 = , 9999….9 (:2001 εννιάρια ) = β) Υπολογίστε το άθροισμα Α = 9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 + 999999 13. α) Να γράψετε σε δύναμη του αβ το γινόμενο: α. β . α3 . β5 . α2 β) Να γράψετε σε δύναμη του 10 το γινόμενο: 5. 2 . 53 . 25 . 52 14. Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας και των δυνάμεων να μετατρέψετε σε γινόμενο τις παραστάσεις: Α = α2 + αβ Β = αβ – β2 Γ = αβ2 +α2β Δ = α3χ – α2ψ +β3χ – β3ψ


31

1.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ, Ε.Κ.Π. 1. Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος. Το 0 είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των φυσικών αριθμών………….. Το 0 είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο φυσικών αριθμών ……………… Τα πολλαπλάσια του 2 είναι όλοι οι άρτιοι φυσικοί αριθμοί. …………………… Τα πολλαπλάσια του 3 είναι περιττοί φυσικοί αριθμοί. ………………. Το 3 είναι πολλαπλάσιο του 9. ……………. Το 5 είναι πολλαπλάσιο του 0. ……………. Το 2001 δεν είναι πολλαπλάσιο του 2, αλλά είναι πολλαπλάσιο του 3. ………….. Τα πολλαπλάσια του 1 είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί. ………… 2. Γράψτε με τη βοήθεια της μεταβλητής κ τον συμβολισμό του πολλαπλασίου του 2 και των πολλαπλασίων του 3 ,κατόπιν συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Τιμές της μεταβλητής κ

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Πολλαπλάσια του 2


Κοινά Πολλαπλάσια του 2 και του 3

Ε.Κ.Π.(2 , 3) 3. Γράψτε με τη βοήθεια της μεταβλητής κ τον συμβολισμό των πολλαπλασίων του 3 των πολλαπλασίων 4 και των πολλαπλασίων του 6,κατόπιν συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Τιμές της μεταβλητής κ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12




Κοινά Πολλαπλάσια του 3 του 4 και του 6

Ε.Κ.Π.(3 , 4 , 6) 4. α) Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος.: Ένας φυσικός αριθμός α είναι πολλαπλάσιο του 1 ……….. β) Γράψτε τα πρώτα 5 πολλαπλάσια του φυσικού αριθμού α. …….., ………. , …………, ……….., ……………


32

γ) Βρείτε το Ε.Κ.Π.(1 , α ) δ) Ποιο είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 2002 και του 1; 5. α) Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος.: Όλοι οι φυσικοί αριθμοί έχουν πολλαπλάσιο τον εαυτό τους. ………… β) Συμπληρώστε την πρόταση : Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 2 και ενός άρτιου αριθμού α είναι ο αριθμός ….. γ) Ποιο είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 2 του 4 και του 8; 6. α) Βρείτε τα παρακάτω Ελάχιστα Κοινά Πολλαπλάσια Ε.Κ.Π.(2 , 4) , Ε.Κ.Π.(5,20) , Ε.Κ.Π.(7 , 28) , Ε.Κ.Π.(12 , 48) β) Έστω α , β δύο φυσικοί αριθμοί ώστε ο β να είναι πολλαπλάσιο του α . Ποιο είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του α και του β; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 7. α) Βρείτε τα πρώτα 15 πολλαπλάσια του 2. Βρείτε τα πρώτα 10 πολλαπλάσια του 3. Βρείτε τα κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 3 . Βρείτε το Ε.Κ.Π.(2 , 3). Βρείτε τα πολλαπλάσια του Ε.Κ.Π.(2 , 3). Τι παρατηρείτε; β) Βρείτε τα 6 πρώτα κοινά πολλαπλάσια του 5 και του 8. 8. Ο πλανήτης Άρης έχει δύο δορυφόρους τον Φόβο και τον Δείμο. Ο Φόβος απέχει από τον Άρη 9000 χιλιόμετρα και ο Δείμος 23000 χιλιόμετρα. Κάποιος αστρονόμος, στις 30 Ιουνίου 2001 παρατήρησε ότι ο Δείμος ο Φόβος και ο Άρης ήταν , μ’ αυτήν την σειρά, στην ίδια ευθεία. Ο αστρονόμος γνωρίζει ακόμη ότι ο Δείμος περιφέρεται γύρω από τον Άρη σε 30 ώρες και ο Φόβος σε 8 ώρες. Μπορείτε να βοηθήσετε τον αστρονόμο να υπολογίσει κάθε πόσες ώρες παρατηρείται το ίδιο φαινόμενο;


33

1.11 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ, Μ.Κ.Δ. . 1. Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος. Κάθε φυσικός αριθμός διαιρείται από το 0. …………… Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί το 0. …………. Το 1 είναι διαιρέτης όλων των φυσικών αριθμών. ………….. Το 2 είναι διαιρέτης όλων των φυσικών αριθμών. …………. Το 2 είναι διαιρέτης όλων των περιττών φυσικών αριθμών. ………. Το 2 είναι διαιρέτης όλων των άρτιων φυσικών αριθμών. ………….. Το 3 διαιρεί το Ε.Κ.Π.(3 , α ) , όπου α κάποιος φυσικός αριθμός. ………. 2. Δίνονται οι αριθμοί: 2002 , 1110 , 324535 , 360 , 47 , 387 , 445 , 3312 Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Οι αριθμοί …….., ……., ………., …….. ..έχουν παράγοντα τον αριθμό 2 Οι αριθμοί …….., ……., ………., ……….. έχουν παράγοντα τον αριθμό 5 Οι αριθμοί …….., ……., ………., …….. έχουν παράγοντα τον αριθμό 3 Οι αριθμοί …….., ……., ………., έχουν παράγοντα τον αριθμό 9 Οι αριθμοί ………, ……….. έχουν παράγοντες τους αριθμούς 2 και 5 Ο αριθμός ………… έχει παράγοντες του αριθμούς 2 , 3 , 5 , 9. Ο αριθμός ………. είναι πρώτος. 3. α) Βρείτε τον διψήφιο αριθμό που διαιρείται με τους αριθμούς 2 , 3 , 5 , 9 συγχρόνως. β) Βρείτε όλους τους τριψήφιους αριθμούς που διαιρούνται συγχρόνως με τους αριθμούς 2 , 3 , 5 , 9. 4. Δίνονται οι αριθμοί: 9ν , 9ν – 3 , 6ν , 6ν + 2 , 40ν , 40ν + 5μ – 5 με ν , μ φυσικοί αριθμοί α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Οι αριθμοί …….., ……., ………., έχουν παράγοντα τον αριθμό 2 Οι αριθμοί …….., ……., έχουν παράγοντα τον αριθμό 5 Οι αριθμοί …….., ……., ………., έχουν παράγοντα τον αριθμό 3 Οι αριθμοί …….., ……., έχουν παράγοντα τον αριθμό 9 β) Να δικαιολογήσετε γιατί ο αριθμός 40ν + 5μ – 5 έχει παράγοντα τον αριθμό 5. 5. Γνωρίζουμε ότι ισχύει : Ένας φυσικός αριθμός α έχει παράγοντα ή διαιρέτη έναν φυσικό αριθμό β διαφορετικό του 0 όταν ο α μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο του β με κάποιον κατάλληλο φυσικό αριθμό. Παράδειγμα ο αριθμός 18 έχει παράγοντα ή διαιρέτη τον φυσικό αριθμό 6 αφού 18=6. 3 α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Ο αριθμός 24 έχει παράγοντα ή διαιρέτη τον αριθμό 4 αφού …………… Ο αριθμός 80 έχει παράγοντα ή διαιρέτη τον αριθμό 8 αφού …………… Ο αριθμός 120 έχει παράγοντα ή διαιρέτη τον αριθμό 15 αφού ……………


34

β) Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να δικαιολογήσετε ότι ο αριθμός 7 είναι παράγοντας ή διαιρέτης του αριθμού 7α + 7β , καθώς και του αριθμού 14α – 28β με α , β κατάλληλους φυσικού αριθμούς. 6. α) Βρείτε τους πρώτους φυσικούς αριθμούς μέχρι το 50. β) Υπάρχουν άρτιοι αριθμοί οι οποίοι είναι και πρώτοι; Αν ναι ποιοι είναι; 7.Α. Δίνονται οι αριθμοί 36 , 24. α) Να βρείτε τους διαιρέτες τους. β) Να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες τους. γ) Να βρείτε τον ΜΚΔ τους. 7.Β. Δίνονται οι αριθμοί 18 , 27 , 108. α) Να βρείτε τους διαιρέτες τους. β) Να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες τους. γ) Να βρείτε τον ΜΚΔ τους. 8. Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος. Οι αριθμοί 32 και 135 είναι πρώτοι μεταξύ τους . ………….. Οι αριθμοί 32 και 135 είναι πρώτοι. ………….. Ο αριθμός 32 έχει μόνον έναν πρώτο παράγοντα. ………….. Ο αριθμός 135 έχει μόνον έναν πρώτο παράγοντα. ………….. 9. α) Βρείτε τους ΜΚΔ: ΜΚΔ (5 , 11) = ….. ΜΚΔ (1 , 6 , 8) = ….. ΜΚΔ ( 6 , 12) = …… β) Συμπληρώστε τις προτάσεις: Ένας πρώτος αριθμός έχει διαιρέτες ή παράγοντες μόνον το …. και τον ………….. Δύο πρώτοι και διαφορετικοί αριθμοί έχουν ΜΚΔ τον αριθμό …. Ο ΜΚΔ του αριθμού 1 και του φυσικού αριθμού ν είναι ο αριθμός ….. Ο ΜΚΔ του φυσικού αριθμού α και ενός πολλαπλασίου του α είναι ίσος με ……. 10. Ένα τμήμα μαθητών της Α΄ Γυμνασίου έχει 24 μαθητές και ένα τμήμα μαθητών της Β΄ Γυμνασίου έχει 16 μαθητές α) Γράψτε όλους τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε τους μαθητές της κάθε τάξης σε ομάδες, (με ίσο αριθμό μαθητών η κάθε μια). Πόσους μαθητές θα έχει η κάθε ομάδα ;


35

Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ομάδες μαθητών

Αριθμός μαθητών σε κάθε ομάδα

Ομάδες μαθητών

Αριθμός μαθητών σε κάθε ομάδα

β) Τι είναι ο αριθμός των μαθητών της κάθε ομάδας μιας τάξης για τον συνολικό αριθμό των μαθητών αυτής της τάξης; γ) Αν, από τις παραπάνω ομάδες, επιλέξουμε δύο ομάδες , μία από κάθε τάξη, με τον ίδιο αριθμό μαθητών, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μαθητών από κάθε τάξη που μπορεί να επιλεγεί .Τι είναι αυτός ο αριθμός για τον συνολικό αριθμό των μαθητών της κάθε τάξης; Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί η ομάδα της Α΄ Γυμνασίου και με πόσους η ομάδα της Β΄ Γυμνασίου; 11. Ένας χορευτικός όμιλος αποτελείται από 30 κορίτσια και 18 αγόρια. Ο καθηγητής του ομίλου θέλει, για τις ανάγκες κάποιου χορού, να φτιάξει ομάδες με αγόρια και κορίτσια Κάθε ομάδα πρέπει να έχει τον ίδιο αριθμό αγοριών και τον ίδιο αριθμό κοριτσιών. Πόσες το πολύ ομάδες μπορεί να φτιάξει; Πόσα κορίτσια και πόσα αγόρια θα έχει κάθε ομάδα; 12. ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ α) Να αναλύσετε τους αριθμούς 36 , 60 , 200 , 256 , 729 , 30030 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. β) Το ΕΚΠ δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών μπορεί να βρεθεί με τον εξής τρόπο: Αναλύουμε τους αριθμούς , (των οποίων θέλουμε το ΕΚΠ), σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Βρίσκουμε το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που εμφανίζονται στους αριθμούς υψωμένων στην μεγαλύτερη δύναμη με την οποία ο κάθε παράγοντας εμφανίζεται. Αν κάποιος παράγοντας εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές λαμβάνεται υπ’ όψιν μόνο μια φορά. Αυτό το γινόμενο που βρήκαμε είναι το ΕΚΠ αυτών των αριθμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Βρείτε το ΕΚΠ( 24 , 45). Απάντηση : Η ανάλυση του 24 και του 45 μας δίνει: 24 = 23.3 , 45 = 32.5 . Άρα ΕΚΠ( 24 , 45) = 23.32.5 = 8. 9. 5 = 40. 9 = 360. Βρείτε με την ίδια διαδικασία τα παρακάτω ΕΚΠ: ΕΚΠ( 54 , 20) ΕΚΠ( 8 , 30 , 27) ΕΚΠ( 250 , 75) ΕΚΠ(154 , 98 ,49) ΕΚΠ( 4 , 6 , 18) γ) Ο ΜΚΔ δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών μπορεί να βρεθεί με τον εξής τρόπο: Αναλύουμε τους αριθμούς , (των οποίων θέλουμε το ΜΚΔ), σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Βρίσκουμε το γινόμενο των κοινών μόνο πρώτων παραγόντων που εμφανίζονται στους αριθμούς υψωμένων στην μικρότερη δύναμη με την οποία ο κάθε παράγοντας εμφανίζεται. Αυτό το γινόμενο που βρήκαμε είναι ο ΜΚΔ αυτών των αριθμών.


36

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Βρείτε τον ΜΚΔ(18 , 30). Απάντηση : Η ανάλυση του 18 και του 30 μας δίνει: 18 = 2. 32 , 30 = 2.3.5 . Άρα ΜΚΔ (18 , 30) = 2.3 =6 Βρείτε με την ίδια διαδικασία τους παρακάτω ΜΚΔ: ΜΚΔ( 54 , 90) ΜΚΔ(120 ,288) ΜΚΔ( 150 , 75 , 250) ΜΚΔ(111 , 78 ) ΜΚΔ( 43 ,28) δ) Στο προηγούμενο ερώτημα διαιρέστε τους αριθμούς των οποίων βρήκατε τον ΜΚΔ με τον ΜΚΔ τους . Κατόπιν βρείτε τον ΜΚΔ των πηλίκων που προέκυψαν από τις διαιρέσεις αυτές. Τι παρατηρείτε; Απαντήστε όπως στο παράδειγμα. (π.χ.: ΜΚΔ(8 , 12) = 4. Έχουμε 8:4 = 2 , 12:4 = 3 Άρα ΜΚΔ(2 , 3) = 1 Παρατήρηση: Τα πηλίκα που προέκυψαν είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους – δεν έχουν κοινούς παράγοντες.) 13.Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 4. α) Ποιες δυνάμεις του 10 είναι πολλαπλάσια του 100; (Επιλέξτε την σωστή απάντηση από τις παρακάτω) Α. Όλες οι δυνάμεις του 10. Β. Οι δυνάμεις του 10 με εκθέτη μεγαλύτερο ή ίσο του 2. Γ. Οι δυνάμεις του 10 με εκθέτη μεγαλύτερο ή ίσο του 3. Δ. Καμιά δύναμη του 10. β) Αναλύστε το 100 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και δικαιολογήστε ότι διαιρείτε με το 4. γ) Γράψτε , χρησιμοποιώντας μεταβλητές για ψηφία , έναν τριψήφιο και κατόπιν έναν τετραψήφιο αριθμό σε ανεπτυγμένη μορφή και δικαιολογήστε την πρόταση: «Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του διαιρείται με το 4» δ) Να επαναλάβετε το γ) ερώτημα για έναν αριθμό με ν ψηφία. ε) ΔΙΣΕΚΤΑ ΕΤΗ: Οι άνθρωποι αναγκάστηκαν να καθιερώσουν τα δίσεκτα έτη , δηλαδή έτη με μια ημέρα παραπάνω από τα υπόλοιπα η οποία προστίθεται στον Φεβρουάριο, για τον εξής λόγο: Η Γη μας εκτελεί μια περιφορά γύρω από τον ήλιο σε 365,25 ημέρες. Εξαιτίας αυτής της πλήρης περιφοράς δημιουργούνται στη γη οι 4 εποχές. Το έτος είναι ακριβώς αυτός ο χρόνος. Το έτος που όρισαν οι άνθρωποι έχει διάρκεια 365 ημέρες. Σ’ αυτόν τον χρόνο όμως η γη «δεν προλαβαίνει να ολοκληρώσει» την περιφορά της γύρω από τον ήλιο. «Μένει» πιο πίσω κατά 0,25·24=6 ώρες κάθε χρόνο. Έτσι αν υποθέσουμε, ότι τα Χριστούγεννα του 1280 γιορταζόταν, στην Ελλάδα, τον χειμώνα, τότε μετά από 720 χρόνια , δηλαδή το 2000, τα Χριστούγεννα θα τα γιορτάζαμε καλοκαίρι! αφού η γη θα «χρειαζόταν» ακόμη 720·6 ώρες = 4320 ώρες = 432024׃ ημέρες = 180 ημέρες για να ολοκληρώσει τις 720 πλήρεις περιστροφές της γύρω από τον ήλιο που άρχισε να κάνει τον χειμώνα του 1280. Για να λύσουν αυτό το πρόβλημα οι άνθρωποι χρειαζόταν να προσθέσουν 0,25 ημέρες κάθε χρόνο ή 0,25·4=1ημέρα κάθε 4 χρόνια. Τα έτη που επέλεξαν για να προσθέσουν αυτή τη μια ημέρα έπρεπε να είναι πολλαπλάσια του 4 (12 , 8 , 4 , 0 ׃ , …….).

• Εξετάστε ποια από τα έτη 2002 , 2004 , 2034 , 1992 , είναι δίσεκτα. • Πόσες ημέρες θα είχε ο Φεβρουάριος αν η περιφορά της γης γύρω από τον ήλιο γινόταν σε

365,75 ημέρες; Σ’ αυτή την περίπτωση θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα διαφορετικά;


37

1.12 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ. 1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψτε την ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης Δ = δ. π + υ , σε κάθε περίπτωση. 135 : 45 167 : 5 839 : 40 1520 : 24 2003 : 4 2. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν ευκλείδειες διαιρέσεις . Στην περίπτωση που έχετε ευκλείδεια διαίρεση γράψτε ποιος είναι ο Δ (Διαιρετέος) , ποιος ο δ (διαιρέτης), ποιο το π (πηλίκο) και ποιο το υ (υπόλοιπο). 129 = 6. 20 + 9 245 = 20. 12 +5 85 = 17 . 5 37,2 = 5. 7 +2,2 414 = 45. 9 + 9 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα , σύμφωνα με την ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. Διαιρετέος 2001 2002 2003 διαιρέτης 6 5 8 400 πηλίκο 5 400 5 υπόλοιπο 4 5 4. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα , σύμφωνα με την ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης αν ο Διαιρετέος είναι ένας φυσικός αριθμός α.

διαιρέτης υπόλοιπα της διαίρεσης του α με τον διαιρέτη

πηλίκα της διαίρεσης του α με τον διαιρέτη

Ισότητα ευκλείδειας διαίρεσης

κ 2 κ λ λ 3 λ μ μ μ 4

μ ρ ρ ρ ρ

5

ρ


38

β) Να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 2 δίνουν πηλίκο 11 Να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 3 δίνουν πηλίκο 15 Να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 4 δίνουν πηλίκο 25 Να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 5 δίνουν πηλίκο 18 5. α) Τι ημέρα θα έχουμε 30 ημέρες μετά την Δευτέρα ; β) Τι μήνα θα έχουμε 50 μήνες μετά τον Ιανουάριο ; γ) Τοποθετούμε 59 μαθητές σε τετράδες. Πόσοι μαθητές περισσεύουν; 6. Δύο φυσικοί αριθμοί α και β όταν διαιρούνται με το 4 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο υ. Έστω κ , λ τα αντίστοιχα πηλίκα των διαιρέσεων των α και β με το 4. α) Να γράψετε τις ισότητες της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το 4 και του β με το 4. β) Να δικαιολογήσετε με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας ότι το άθροισμα των α και β είναι άρτιος αριθμός. 7. Παρατηρήστε τις ισότητες: 35 = 3.10 + 5 , 87 = 8.10 + 7 , 983 = 98.10 + 3 , 5684 = 568.10 +4 , 31028 = 3102.10 + 8 Συμπληρώστε με τον ίδιο τρόπο τις ισότητες: 76 = ..….. +…. , 562 = ..……….. +…. , 7621 = ..……….. +…. ,834765 = ..……….. +…. α) Είναι ευκλείδειες διαιρέσεις οι παραπάνω ισότητες με τον ίδιο πάντα διαιρέτη; β) Ποιο είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης ενός αριθμού με το 10; γ) Ποιο είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης των δυνάμεων του 5 με το 10; δ) Ποιο είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης των δυνάμεων του 9 με το 10; 8. Τοποθετώντας τους μαθητές ενός σχολείου σε εξάδες ή πεντάδες ή εννιάδες , περισσεύουν πάντα 3 μαθητές. Γνωρίζουμε ακόμη ότι ο αριθμός των μαθητών του σχολείου είναι διψήφιος. α) Αν χ είναι ο αριθμός των μαθητών, πόσους μαθητές πρέπει να αφαιρέσουμε ώστε να μην περισσεύει κανένας μαθητής αν αυτοί τοποθετηθούν σε εξάδες ή πεντάδες ή εννιάδες; Πόσοι μαθητές μένουν; Ποιών αριθμών πολλαπλάσιο θα είναι αυτός ο αριθμός; β) Βρείτε τον αριθμό των μαθητών. 9. Ένας ελαιοπαραγωγός έβαλε λάδι σε 160 δοχεία των 16 κιλών και του περίσσεψαν 10 κιλά λάδι. α) Αν έβαζε το λάδι σε δοχεία των 18 κιλών θα του περίσσευε λάδι; Πόσα δοχεία θα χρειαζόταν; β) Με τη βοήθεια της ισότητας της ευκλείδειας διαίρεσης και της επιμεριστικής ιδιότητας δικαιολογήστε ότι αν έβαζε το λάδι σε δοχεία των 5 κιλών δεν θα του περίσσευε λάδι.


39

10. Ένας τρόπος να βρίσκουμε τον ΜΚΔ δύο αριθμών α και β με α <β είναι ο εξής: Βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του β με τον α, έστω ότι αυτό είναι το υ1 ,(υ1<α) Βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το υ1, έστω ότι αυτό είναι το υ2 , (υ2<υ1) Βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του υ1 με το υ2, έστω ότι αυτό είναι το υ3 , (υ2<υ1) ……………………………………………………………………………………………………… Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να βρούμε υπόλοιπο 0. Αν υν είναι το τελευταίο υπόλοιπο πριν το 0 τότε ισχύει: ΜΚΔ(α , β) = υν. Συνοπτικά αυτή η διαδικασία φαίνεται ως εξής: α β α υ1 υ1 υ2 …………… .………….. υν 0 Συμπέρασμα: ΜΚΔ(α , β) = υν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Βρείτε τον ΜΚΔ (18 , 24) 18 24 (………… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 24 με το 18 είναι το 6 …….) 18 6 (………… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 18 με το 6 είναι το 0 ….) 0 6 ……Αρα ΜΚΔ (18 , 24) = 6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Βρείτε τον ΜΚΔ (78 , 111) 78 111 (……… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 111με το 78 είναι το 33…….) 78 33 (…… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 78 με το 33 είναι το 12….) 12 33 (…… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 33 με το 12 είναι το 9 …….) 12 9 (…… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 12 με το 9 είναι το 3 …….) 3 9 (………… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 9 με το 3 είναι το 0 …….) 3 0 ……..Άρα ΜΚΔ( 78 , 111) = 3 Να βρείτε με τον ίδιο τρόπο τους ΜΚΔ : ΜΚΔ (35 , 60) ΜΚΔ ( 36 ,120) ΜΚΔ (56 , 64 , 80) ΜΚΔ ( 180 , 216 , 36) 11. Δύο θέματα του 61ου Πανελλήνιου μαθητικού διαγωνισμού (Ο ΘΑΛΗΣ) της Ε.Μ.Ε. (2000 – 2001) Α. Ο φυσικός αριθμός χ είναι άρτιος και όταν διαιρείται με το 7 δίνει υπόλοιπο 2 . Να βρεθεί ο αριθμός αυτός , αν γνωρίζουμε ότι είναι μεταξύ των αριθμών 512 και 521. Β. Σε μια Βαλκανική συνάντηση Νέων συμμετείχαν 199 παιδιά από 9 διαφορετικές χώρες. Να δικαιολογήσετε το γεγονός ότι τουλάχιστον μία χώρα είχε στην αποστολή της 12 τουλάχιστον παιδιά του ίδιου φύλλου.


40

1.13 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.

Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων. α) 16·5 +18:3 - 92 - 2 β) 48:16 + 5·15 – 3·25 - 15 γ) 62 – 5·6 – 9:3 δ) 100:12,5 – 23 + 22 ε) 0,35: 7 + 5·0,01 + 72:10

2. Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων. α) 4· (5 + 8) – (19 + 2·3)·2 + (1 + 32)2 – 1 β) 0,32(24+34 +3) +24·4 –1 γ) (6 – 2 )32׃(6·5 – 25) – (42 + 32)22+ 16׃ δ) 5 + 2(3,93 – 0,3׃)23 - 32 – 2(0,5·20) – 2 ε) (13 + 23 + 33 - 62)2001 + 13 + 23 + 33 + 43 + 0,050,01׃

3. Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων. α) χ2 + 72 + 14χ – (χ + 7)2 , όταν χ = 3 β) (α – β )2 + 2αβ – α2 – β2 , όταν α = 0,5 και β = 0,3 γ) χ2 – ψ2 – (χ –ψ)(χ + ψ) , όταν χ = 7 και ψ = 4 δ) (κ – λ )(κ2 + κλ + λ2) – (κ3 – λ3) , όταν κ = 5 και λ = 4 ε) (ρ – μ)3 + 3ρμ(ρ – μ) + μ3– ρ3 , όταν ρ = 6 και μ = 5

4. Υπολογίστε την τιμή της παρακάτω αριθμητικής παράστασης όταν α = 4 , β = 3 , γ = 2 Π = α3 + β3 + γ3 – 3αβγ – 0,5(α + β + γ)[(α – β)2 + (β – γ)2 + (α – γ)2] + 83,5αβγ

5. Αν α = 2·(8,133׃)·2·(0,01 – 1,12) + 0,1׃0,36 + 5 και β = [(53 – 4·3,5)62 – 3׃]2000 α) Υπολογίστε την τιμή της μεταβλητής χ αν ׃

• χ + β = α • χ – α = β • α – χ = β • 2α + 2β – χ = 0 • (α + β)χ = 55 • α ׃ χ = 3β • 2βχ = α

β) Με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Π = 196,4α+4β +4α +196,4β

6. Αν αβ = 5 και αγ = 3 υπολογίστε την τιμή των παραστάσεων : Π1 = α (β + γ) + α (β – γ) Π2 = (αβ)2 + (αγ)2 – 2α2βγ – [α (β – γ)]2 Π3 = α4 (β + γ) (β – γ)βγ

7. Αν το τετράγωνο ενός αριθμού α καθώς και το τετραπλάσιο ενός αριθμού β είναι ίσα με τον κύβο του 4 να υπολογίσετε, (με δύο! τρόπους), την τιμή της παράστασης Π = 64 + α2 – (32 – 1)β + 4(α2

- β) + 22 -142

Documents

ασκησεις μαθηματικών