39

מכניקה ניוטונית - כרך א' - סיכום - גרסא סופית

Embed Size (px)

Citation preview

מבוא

הספר הזה מיועד בעבור כל אלו שזקוקים לסיכום מתומצת בנושא מכניקה. במהלך כתיבת ספר זה )שמכונה

פרון" לאורך הספר מכיוון שמדובר בספר די קטן(, לקחנו לתשומת ליבנו את הצורך של תלמידים במידע "ס

כרך א'" של עדי רוזן. ספר –מתומצת, ישר ולעניין. ספר זה מסוכם ע"פ מידע שנלקח מהספר "מכניקה ניוטונית

. למרות היותו של 8002שנת וכיום ניתן למצוא מהדורה מחודשת של ספר זה שיצאה ב 5991זה הודפס בשנת

הם שינויים ויזואליים בלבד. 8002ספר זה ישן יחסית, כל המידע הכתוב בספר עדכני ורוב השינויים במהדורת

–הספר הזה הוא הכרך הראשון בסדרה של שני ספרים המסמכים את החומר הנמצא בספרים "מכניקה ניוטונית

עדי רוזן. הכרך הזה מכסה את הנושאים קינמטיקה, כוחות ומצבי כרך ב'" של –"מכניקה ניוטונית -כרך א'" ו

התמדה, החוק השני של ניוטון, מערכות ייחוס, תנועות במישור ונושאים רבים נוספים הקשורים בהם, כמו

וקטורים, סקלרים, מהירות זוויתית וכו'.

הידע הנדרש לספר זה הוא ידע בסיסי באלגברה ובטריגונומטריה.

דורה הראשונה של ספר זה, לכן אם יש הערות, אנא פנו אלינו באחד משני האימיילים הבאים )גם זוהי המה

הארות יתקבלו בברכה(:

[email protected] –יובל

[email protected] –ניר

חשוב לציין: ספר זה אינו מהווה תחליף לספרו של עדי רוזן. בספר זה לא ניתן למצוא תרגילים לחזרה או תרגילים

–פתורים, אלא חומר מידעי בלבד. בנוסף לכך, השמטנו פרטי מידע שוליים המופיעים בספר "מכניקה ניוטונית

נוחות, שכן כפי שציינו ספר זה מיועד לתמצת כרך א'" ואת ההוכחות לחלק מהנוסחות המופיעות בספר זה מטעמי

את החומר. עם זאת, נציין כי ספר זה מהווה סיכום מקיף לחומר המוצג בספר עליו הוא מבוסס וניתן להשתמש בו

ללמידה לקראת מבחנים. לספר זה מצורפים מספר נספחים שמטרתם להסביר דברים שאולי לא יעניינו את

התכל'ס", אך אולי יעניינו את מי שרוצה להעמיק בנושא. הנספחים הם בעצם הקורא שמעוניין במידע ב"רמת

חלקים מספרו של עדי רוזן שלא סוכמו מהסיבה המובאת במשפט הקודם.

תודה למורת הפיסיקה שלנו, ששמה יישאר חסוי, שתמכה בנו לאורך כל הדרך, עזרה לנו וקידמה אותנו.

קריאה מהנה ומשכילה,

ניר ויובל

קינמטיקה

ר )במישור אחד(תנועה על קו יש

מושגי יסוד

לפני שנתחיל להתעסק בקינמטיקה עצמה, נגדיר כמה מושגי יסוד חשובים:

האורך הוא גודל פיזיקלי המתאר ממד של גוף. יחידת האורך התקנית לצרכים מדעיים היא -יחידת אורך .5

ת גדולות יותר מטעמי נוחות, כמו שנת המטר )יש לציין שישנם תחומים מדעיים שבהם משתמשים ביחידו

(. -אור, ששווה ל

המושג "זמן" הוא מושג מורכב מאוד. בדיוננו נסתפק בהגדרתו כביטוי המתאר מידת המשך בין שני -זמן .8

, נוכל לציין באמצעות ציר זמן את ההבדל Bולאחר מכן בנקודה Aמצבים, כלומר, אם גוף נמצא בנקודה

היחידה התקנית לזמן היא השנייה.ביניהם.

מיקום הוא דבר יחסי מאוד, כאשר אנו אומרים שמקומו של אצן לפני תחילת הריצה הוא בתחילת -מקום .3

המסלול, אנו משווים את מיקומו ביחס לנקודה שממנה הוא יוצא מטעמי נוחות. אם נשווה אותו לנקודה

היחסי יהיה שונה. דבר זה לא ישנה את תוצאות כלשהיא במסלול, או למיקומו של אדם מהקהל, מיקומו

החישובים העוסקים בתנועתו, בהם נעסוק בהמשך, אבל ישנה את מקומו מבחינת ראשית הצירים.

המקום הוא השיעור של גוף מסוים מראשית צירים שנקבעה מראש. מיקום יחסי הוא מיקומו של גוף אחד

. ם שלהם. כלומר, לעומת הגוף השני, ומחושב על ידי הפרש השיעורי

ההפרש בין מקומו החדש של גוף המשנה את מקומו ביחס לקודם נקרא העתק. גודל ההעתק -העתק .4

יש להבדיל בין מחושב על ידי חיסור שיעורי נקודת מוצאו לשיעורי מיקומו הסופי, כלומר

ש בין שיעורי מיקומו ההתחלתי של הגוף : גודל ההעתק מתאר את ההפראורך הדרךגודל העתק לבין

למיקומו הסופי, מבלי להתחשב במסלול שהוא עשה בכדי להגיע אליו. כלומר, אם אדם יוצא מישראל,

עובר דרך ארצות הברית, מקסיקו ולונדון, ומסיים באוסטרליה, הדרך שעבר אומנם כוללת את דרכו

ק במרחק שבין ישראל לאוסטרליה, כאילו מתחשב רהעתקו לארצות הברית, מקסיקו ולונדון, אבל

שמעולם לא נסע דרך ארצות הברית.

מהירות בתנועה קצובה

תנועה קצובה היא תנועה שבה גוף עובר העתקים שווים בפרקי זמן שווים, כלומר, אם נמדוד את העתקו של רכב

שניות, נקבל 4משך שניות לאחר צאתו ב 10שכזה עשר שניות לאחר צאתו במשך ארבע שניות ולאחר מכן

זוג מרווחי זמן ללא תלות ברגעי ההתחלה שלהם. עתה, נגדיר כלתוצאות זהות. שוויון זה חייב להתקיים עבור

קמ"ש, אנו מתכוונים לכך שהגוף עובר על פני 10מהירות בתנועה קצובה: כאשר אנו אומרים שגוף נע במהירות

חלקים את גודל העתקו של הגוף במרווח הזמן שבו הוא עובר קילומטרים בפרק זמן של שעה, כלומר, אנו מ 10

העתק זה. בצורה פיסיקלית:

. יחידות velocityאת מרווח הזמן. המונח האנגלי הוא -את ההעתק ו מסמלת את המהירות, האות

(. ההעתק והזמן התקניות הן מטר ושנייה, בהתאמה. כלומר, המהירות נמדדת במטרים/שנייה )באנגלית:

. (. נגדיר את הקשר: בחיי היומיום, אנו נוטים להשתמש במושג ק"מ/שעה )באנגלית:

מיקום התחלתי, - נע במהירות קצובה: נסמן עתה, נוכל להגדיר פונקציה פשוטה המתארת את מקומו של גוף ה

, שכן בחירת ראשית הציר נתונה בידינו, ומכאן 0-כ זמן סופי. נוכל לסמן את -tזמן התחלתי, - מיקום סופי, -

נגיע לפונקציה הבאה:

זמן של תנועה במהירות קבועה. פונקציה זו היא פונקציה לינארית. היחס בין -פונקציה זו מכונה פונקציית מקום

של הפונקציה הוא השיפוע של ישר הפונקציה. מכאן, ששיפוע הפונקציה זהה למהירות. שיפוע חיובי לבין

וך. תנועה בכיוון ההפ-מתאר תנועה בכיוון החיובי של הציר ושלילי

, כלומר, אם המהירות תהיה שלילית, ההעתק יהיה שלילי גם הוא. לפי הגדרת המהירות,

מהירות בתנועה קצובה למקוטעין

50m)כלומר, בתנועה קצובה( ולאחר מכן מכפיל אותה והולך עוד במהירות של כאשר אדם הולך

פעם אחת משתנההירות שלו לא נשמרת לאורך כל הדרך, אלא ( )תנועה קצובה נוספת(, המ )במהירות של

שניות. אם נחשב באמצעות נוסחת 51-המטרים ב 500באמצע. מחישוב קצר נגיע למסקנה שהוא עבר את כל

. זו לא הייתה מהירותו באף אחד מהמקרים, אבל זו הייתה המהירות בתנועה קצובה, נגיע לתוצאה של

יה עובר את אותו מרחק באותו זמן בתנועה קצובה אחת. מהירות זו נקראת מהירות בתנועה המהירות שלו אם ה

)יש להיזהר ולא להתבלבל: את המהירות הממוצעת לא מהירות ממוצעתקצובה למקוטעין, והיא נקראת לפעמים

ממוצעת מחשבים על ידי ממוצע המהירויות, אלא על ידי ההעתק הכולל חלקי המהירות הכוללת(. מהירות

. -מסומנת עם קו מעל ה

מהירות יחסית

מהירותו של גוף אחד נמדדת בהשוואה לגוף אחר, בדרך כלל גוף/מערכת ;מהירות, כמו מיקום, היא דבר יחסי

והשני 60km/h. כאשר שני אנשים נוסעים בכביש, האחד במהירות של שנמצאת במנוחה, שאותה נסמן באות

לא רואה את עצמו כנע, אלא רואה מכוניות אחרות נעות ג הנוסע במהירות , הנה במהירות של

ביחס אליו. אם הוא יסתכל על הנהג השני, מהירותו של זה תראה לו שלילית. המקרה נכון גם מזוויתו של הנהיג

. אם -שני כואת ה -השני )כמובן שאז מהירותו של הנהג הראשון תהיה חיובית(. נסמן את הנהג הראשון כ

, -ביחס ל מזו של -ביחס ל , יהיה עלינו לחסר את המהירות של -ביחס ל נרצה למצוא את המהירות של

. נעשה אותו דבר גם במקרה שבו נרצה למצוא כלומר:

. כמו שאמרנו, : A-ביחס ל את המהירות של

. תראה שלילית בעבור המהירות של

מהירות רגעית

מכונית שיוצאת ממנוחה צריכה תחילה לשנות את מהירותה עד שזו מגיעה למצב שבו היא נעה בתנועה קצובה.

חלק את פרק הזמן של שלב זה בשלב זה היא משנה את מהירות ואינה קצובה, אף לא למקוטעין: גם אם נ

לשניים, שלושה, או אפילו ארבעה חלקים נגלה כי באף אחד מהם המהירות אינה קבועה. מכאן, שנוכל לדבר רק

. מכיוון שאנו רוצים לחשב את מהירותו ברגע מסוים, על tעל המהירות של גוף מסוים ברגע מסוים, אותו נכנה

לשאוף לאפס. נסמן זאת כך:

8המהירות שנקבל כאן היא לא המהירות הממוצעת של הגוף או מהירות המוגדרת עבור פרק זמן מוגדר בין

נקודות זמן, אלא המהירות שהייתה לו לולא היה ממשיך בגודל המהירות שהייתה לו באותו רגע. מהירות זו היא,

בשאלות 0.0001-של כ סתפקים בפרק זמן . בד"כ, ממהירות רגעיתאפוא, מהירות משיקית ונקראת בשם

חישוב, דבר אשר מקל על החישוב ומאפשר לתלמיד לא להשתמש בנגזרות או בסדרות חישובים ארוכות.

תאוצה קבועה

)הפרש המהירויות של גוף בפרק זמן תאוצה היא המדד לשינוי המהירות. היא מחושבת על ידי חילוק של

)פרק הזמן שבו הן משתנות(. הנוסחה היא, כאמור: -מסוים( ב

-ו כמהירות ברגע (. נסמן את מסמלת את התאוצה )המונח באנגלית הוא כאשר

, ונקבל: כמהירות ברגע

תאוצה קבועה:זמן ב-מכאן, נוכל לגזור את פונקציית מהירות

כאשר אנו אומרים שרכב מאיץ, אנו מתכוונים לכך שכיוון התאוצה זהה לכיוון המהירות. כאשר רכב מאט, כיוון

התאוצה הפוך לכיוון המהירות. הנוסחה לחישוב שני המקרים היא זהה, ואין צורך להתייחס אליהם כשונים כאשר

זמן של תנועה בתאוצה קצובה היא-ציית מקוםמחשבים את התאוצות בשני המקרים. פונק

: ההבדל הוא -פונקציה זו היא פרבולה. בכדי למנוע בלבול, נסביר את ההבדל בין פונקציה זו ל

זמן שהצגנו בסעיף זה היא פונקציה הנכונה לגוף הנמצא בתאוצה קבועה, כלומר מהירות -שפונקציית מקום

זמן שהצגנו בסעיף המהירות הקבועה היא פונקציה הנכונה לגוף -א קצובה, בעוד שפונקציית מקוםתנועתו ל

ולכן נקבל הנמצא בתנועה קבועה, כלומר אין לו תאוצה )לא משנה מכיוון , ערכו של ⁄

וף חסר תאוצה( ולכן , כלומר הג0-הוא המונה, המכנה לא משנה וערכו של הביטוי תמיד יהיה שווה ל 0שכאשר

היא לא נכונה כאשר עוסקים בגוף בעל תאוצה.

בכדי למצוא את מהירותו של גוף, נשתמש בנוסחה הבאה:

נוסחה זו נובעת משתי הנוסחות הקודמות ולכאורה אין צורך לכתוב אותה, אבל אנו נרשום אותה בכל זאת מטעמי

נוחות.

נוספת על שלושת הקודמות: מהנוסחות הקודמות ומהנוסחה לחישוב המהירות הממוצעת עתה, נוסיף נוסחה

(

(, נוכל להגיע לנוסחה הבאה:

, כלומר , לכן, היחידות התקניות של התאוצה הן ושל הזמן הן היחידות התקניות של המהירות הן

.

נפילה חופשית

אנו משחררים גוף מגובה מסוים, אנו בעצם מפילים אותו. כאשר הוא נופל, עליו להתגבר על התנגדות כאשר

התווך. בדיוננו, נתעסק בגופים אשר נופלים נפילה חופשית, כלומר, נפילה של גוף שהתנגדות האוויר לנפילתו

דות לנפילתו של הגוף. זניחה. נפילה חופשית באמת מתקיימת רק בריק, מכיוון שרק שם אין בכלל התנג

הנפילה החופשית היא תנועה בתאוצה קצובה, כלומר, כל המשוואות שהצגנו בסעיף הקודם נכונות גם כלפיה, עם

, וכיוונה, כמובן, הוא כלפי מטה. אם נזרוק שני גופים gשינוי קטן: את התאוצה בנפילה חופשת מסמנים באות

הנמצאים באותו גובה ומנוחה בריק, נמצא כי שניהם יפגעו ברצפה באותו הזמן, מבלי קשר למסתם של הגופים.

/9.8mהגופים. ערכה של הנפילה החופשית הוא כלמכאן נוכל להסיק שהתאוצה בנפילה חופשית זהה עבור

, נוטים להשתמש בערך 50(. מכיוון שמספר זה קרוב למדי למספר /9.81mיותר, ניתן לכתוב )אם רוצים לדייק

g= .למטרות תרגול

כפי שכבר אמרנו, בנפילה חופשית תאוצות כל הגופים זהות. מכאן, נוכל להסיק שהתאוצה היחסית של גופים

, היא אפס. גם גוף עם מהירות התחלתית המופלים בעת ובעונה אחת מאותו גובה וללא מהירות התחלתית

מסוימת יראה את הגופים האחרים מתקרבים אליו/מתרחקים ממנו בקצב קבוע.

תנועה בתאוצה משתנה

. גם כאן, כמו במהירות הממוצעת, מחושבת התנועה תאוצה ממוצעתבדומה למהירות הממוצעת, קיימת גם

, כלומר: -ישנו קו מעל ההממוצעת בדיוק כמו שמחושבת התנועה הקבועה, כאשר

אם גוף משנה מהירותו, כך שאינה קצובה ומשתנה בתדירות גבוהה, נחפש ערך שישקף את קצב שינוי המהירות

, ובדומה למהירות הרגעית, היא מחושבת על ידי השאפת פרק תאוצה רגעיתברגע מסוים. תאוצה זו נקראת

הזמן לאפס, כלומר:

תאוצה זו שווה לתאוצה שהייתה לגוף לו היה ממשיך לנוע בתאוצה קבועה.

תנועה במישור

עד כה עסקנו בתנועה על קו ישר. במציאות, רוב הפעולות אינן מתרחשות על קו ישר. בכדי לתאר תופעות

-בפרק זה, נתעסק בתנועות דוממדיות. -ממדיות ותלת-פיסיקליות באופן מלא, יהיה עלינו להכיר תנועות דו

ממדיות, תוך שימוש -ממדיות. אנו נכליל את המושגים שלמדנו בפרק הקודם כך שיוכלו לשמש אותנו בתנועות דו

חשבון וקטורים. -במכשיר מתמטי שלא השתמשנו בו קודם לכן

. מכיוון לל המקביליתכו כלל המשולשניתן לבצע פעולות חיבור בווקטורים באמצעות שני כללים הנקראים הערה:

שישנה דרך פשוטה יותר לביצוע חשבון וקטורים בצורה אלגברית, ולא גאומטרית כפי שמציעים כללים אלו. מי

שמעוניין יוכל למצוא את הכללים הללו בתור נספח לספרון זה.

העתק במישור

בפרק הקודם, עסקנו בתנועה על קו ישר. היה די לנו בשיעורי נקודות ההתחלה והסיום של הגוף בכדי לחשב את

יש צורך בשני מספרים לתיאור ;אין די בכך –תנועה במישור –ממדית -העתקו. כאשר אנו מתעסקים בתנועה דו

ההעתק, המתואר על ידי זווית ביחס של הכיווןההעתק: המרחק בין הנקודות, אשר בו הסתפקנו בפרק הקודם, ו

לציר ייחוס כלשהו.

וקטורים וסקלרים

וקטור הוא גודל פיסיקלי שיש לו גודל וכיוון, ושחלה עליו אלגברת הווקטורים )אותה נסביר בהמשך(. מהירות,

ליים אחרים, כמו . גדלים פיסיקוקטוריםהעתק ותאוצה, הם כולם גדלים פיסיקליים בעלי גודל וכיוון, כלומר, כולם

. ניתן סקלריםזמן וטמפרטורה, הם גדלים פיסיקליים בעלי גודל, אך חסרי כיוון. גדלים פיסיקליים אלו נקראים

A-וכיוונו יהיה שווה ל A-יהיה שווה ל המוכפל בסקלר Aלכפול וקטור בסקלר ולחלקו בסקלר. גודלו של וקטור

( בדפוס ועם קו מתחת לאות/חץ טורים מסומנים באות מודגשת )לדוגמא: וק שלילי. חיובי ומנוגד לו אם אם

מעליה בכתב.

מערכת הצירים הקרטזית

מערכת הצירים הקרטזית היא מערכת שהומצאה על ידי רנה דקרט, אבי הגאומטריה האנליטית, ונקראת על שמו.

-אבל כעת, אנו עוסקים בתנועה בשניבפרק הקודם, עסקנו רק בתנועה על קו ישר, כלומר תנועה על ציר אחד,

. מערכת צירים שכזו x, וציר אופקי, אשר לו נקרא ציר yממדים ולכן נזדקק לשני צירים: ציר אנכי, אשר לו נקרא

( שהם הקואורדינטות x,y. כל נקודה במערכת זו מאופיינת על ידי זוג מספרים מסודר )מערכת קרטזיתנקראת

דמיונית ואינה קיימת במציאות. לכן, נוכל לבחור באופן שרירותי את נקודת התחלתה שלה. מערכת זו היא, כמובן,

( וכיוונה. 0,0)

וקטורים ורכיביהם

(. מכיוון שבמערכת 6,5( ונקודת הסיום שלו היא )2,2כווקטור ההעתק. נניח שנקודת המוצא שלו היא ) rנסמן

: rפיתגורס בכדי למצוא את , נוכל להשתמש במשפטx-מאונך לציר ה y-הקרטזית, ציר ה

√ √ √

בכדי למצוא את כיוונו, נשתמש בטריגונומטריה בסיסית:

מעלות ביחס לכיוון 36.87יחידות אורך בזווית 1מעלות. הגוף שינה מקומו בשיעור 36.87-מכאן, שהזווית שווה ל

הייחוס. הנוסחות הנתונות לעיל משרתות את כל הווקטורים בלי קשר למשמעותם הפיסיקלית.

אם נרצה לפרק וקטור לרכיביו הקרטזיים, נעשה זאת באמצעות הנוסחות:

גם נוסחות אלו משרתות את כל הווקטורים בלי קשר למשמעותם הפיסיקלית.

אלגברה של וקטורים

ניתן לבצע פעולות חשבוניות בווקטורים בדרך אלגברית. כאשר ברצוננו לחבר בין שני העתקים שונים, נחשב את

המשותף שלהם ואח"כ נציב בנוסחות שהצגנו בסעיף הקודם, לדוגמא: ו ערך

של העתקו הכולל: ב את (. נחש17,14( ומשם אל הנקודה )12,6אל הנקודה ) (2,2)גוף יוצא מן הנקודה

של העתקו הכולל: . נחשב את

.

√ כעת, לאחר שמצאנו את התקדמותו הכוללת של הגוף, נוכל לחשב את אורך העתקו:

, מכאן שערכה של הזווית לל: . נחשב את כיוונו של ההעתק הכו √

מעלות. 32.33הוא

דרך עבודה זו נכונה כלפי כל הוקטורים.

, לדוגמא, (x,-y-)יהיה (x,y)והווקטור הנגדי לווקטור מסוים (0,0)וקטור האפס בהצגה קרטזית יהיה, כמובן,

(. 3-,5-( יהיה )5,3הווקטור הנגדי לווקטור )

של הוקטור הראשון מאלו של x-וקטורים מתבצע כמו חיבור וקטורים, רק שכאן, אנו מחסרים את שיעורי החיסור

ואת B-ואת השני כ A-של הראשון מזה של השני, כלומר, אם נסמן את הווקטור הראשון כ y-השני ואת שיעורי ה

. -ו , נקבל D-ההפרש ביניהם כ

רים בסקלריםהכפלת וקטו

כאשר אנו מחברים וקטור עם עצמו מספר פעמים, נוכל להכפיל את הווקטור במספר הפעמים שהוא חוזר על

. המספר שלוש הוא מספר טבעי שלו רק גודל, -ל עצמו. לדוגמא, נוכל להפוך את

דלו. במקרה זה, גם יחידות הווקטור לא כינוס זה של איברים לא משפיע על כיוונו של הווקטור אלא רק על גו

הוא מספר טבעי נטול יחידות. ניתן לעשות דבר זהה תוך חילוק וקטור בסקלר. 3משתנות, שכן

חשוב לציין, שאם הסקלר הוא גודל פיסיקלי בעל יחידות )לא מספר טהור(, גם יחידותיו של הווקטור ישתנו.

גודל פיסיקלי וקטורי חדש, בעל יחידות חדשות )במקרה זה, הגודל לדוגמא, כאשר נחלק וקטור העתק בזמן, נקבל

(. הפיסיקלי הוא מהירות ויחידותיו הן

המהירות כווקטור

כאשר עסקנו במהירות בפרק הקודם, הגדרנו אותה כהעתק שעובר גוף בפרק זמן מסוים חלקי אותו פרק זמן.

ות היא תוצאה של חלוקת וקטור )העתק( בסקלר )מרווח בדיוננו בפרק זה, נכליל את הגדרת המהירות: המהיר

הזמן(, כלומר:

מדובר בווקטור חדש אשר רכיביו הקרטזיים הם:

גם המהירות הרגעית היא בעלת כיוון, ומן הסתם שגם אליה עלינו להתייחס כווקטור:

וקטור המהירות הרגעית הם:הרכיבים הקרטזיים של

כיוונו של וקטור המהירות הרגעית הוא משיקי למסלול התנועה.

התאוצה כווקטור

התאוצה היא קצב שינוי המהירות וגם היא נחשבת וקטור כאשר מתעסקים בתנועות במישור. נוסחת וקטור

התאוצה הממוצעת תהיה, אם כן:

ונוסחת התאוצה הרגעית תהיה

נדון מעט במקרה של תנועה על מסלול עקום, תוך כדי שאנו מתקדמים מהקל אל הכבד:

תחילה, נדון בתנועה קצובה על מסלול עקום: בשפת היומיום, כאשר אנו רואים גוף נע במסלול עקום במהירות

רות לא נמצאת בתאוצה. האם הדבר נכון גם מבחינה פיסיקלית? נברר זאת שגודלה קבוע, אנו אומרים שהמהי

כעת.

על . אם זאת, אנו דנים על גוף שנע במהירות קבועה לגוף שנע במהירות קבועה גדלי מהירות שווים, ולכן

יא גודל , כלומר, גוף שכיוונו משתנה, אך גודל מהירותו נשמר. כפי שהסברנו קודם, מהירות המסלול עקום

פיסיקלי וקטורי, כלומר, יש לה רכיב של גודל ושל כיוון. אומנם הגוף שומר על גודל מהירות זהה, ולכן הוא לכאורה

הוא לא שווה לאפס, מכיוון שכיווני -משתנה לא מאיץ, אבל מכיוון שכיוון מהירותו משתנה, ההפרש הווקטורי

, גם אם גודל המהירות נועה על קו עקום היא תנועה מואצתתהמהירות לא זהים! מכאן נוכל להגיע למסקנה, ש

במהירות בגודל קבוע התאוצה תמיד . -לא משתנה. לתאוצה מסוג זה קוראים תאוצה רדיאלית, והיא מסומנת כ

ניצבת למהירות. שם נוסף למהירות זו היא מהירות צנטריפטלית, שכן היא פונה כלפי מרכז המעגל. קיימת נוסחה

ודל תאוצה זו, אך לא נדון בה בשלב זה ונעזוב את הנושא הזה לעת עתה.לחישוב ג

עתה, נדון בתנועה על קו עקום שבה גודל המהירות אינו קבוע: כאשר התנועה היא על קו עקום, ניתן להסיק

(. מכיוון שאנו דנים על תנועה שכיווני המהירות משתנים, כלומר קיימת תאוצה הנקראת תאוצה רדיאלית )

במהירות לא קבועה, נוכל להסיק שגם גודל המהירות משתנה. לרכיב של התאוצה המייצג שינויים בגודל

. גם על רכיב זה של תאוצה נדון יותר לעומק בהמשך. -המהירות קוראים תאוצה משיקית, והיא מסומנת כ

גת שינויים בכיוון המהירות ותאוצה (, המייצ ממדית שני רכיבים: תאוצה "רדיאלית" )-כאמור, לתאוצה בתנועה דו

( באמצעות שימוש a(, המייצגת שינויים בגדלי המהירות. נוכל לחשב את גודל וקטור התאוצה ) משיקית )

√ במשפט פיתגורס:

.

סיום

שרכשנו כאן תם דיוננו בנושא של תנועה במישור לעת עתה. אנו נחזור אליה בהמשך לקראת סוף הספרון, לאחר

ידע בדינמיקה )שעליה נדון החל מהפרק הבא(, בכדי שנוכל לדון על הכוחות הפועלים על הגוף ועל תנועתו של

הגוף זה לצד זה. באותו פרק נדון גם בתנועות מעגליות יותר לעומק.

כוחות ומצבי התמדה

הקדמה

. דינמיקהבפרק הזה ובאלו שיבואו אחריו, נדון בבפרק הקודם, עסקנו בקינמטיקה, אשר עוסקת בתיאור התנועה.

של כוחות, על תנועת גופים. המאפיינים הבסיסיים דינמיקה היא ענף במכניקה העוסק בכוחות ובהשפעותיהם

והקשר בין כוח לתאוצה, ניתנים ע"י שלושת חוקי ניוטון. נדון בחוק הראשון ובחוק השלישי של ניוטון בפרק זה,

טון בפרק הבא. ובחוק השני של ניו

התמדה

. השפעה חיצונית היא הפעלת כוח חיצוני על גוף או מערכת. כאשר אנו השפעה חיצוניתגרירת כיסא היא דוגמה ל

גוררים גוף, אנו משפיעים עליו וגורמים לו לנוע. כאשר אנו מפסיקים לגרור אותו, הוא נעצר. האם הדבר אומר

ית? נוכל לבדוק זאת באמצעות סדרת ניסויים:שהגוף תמיד יהיה במנוחה ללא השפעה חיצונ

ונעצר שם. אם . לאחר ששחררו, הארגז נע עד לנקודה נתחיל בניסוי הארגז: אדם דוחף ארגז מנקודה

נבצע ניסוי זה שוב, רק עם משטח חלק יותר )כלומר, החיכוך בין הארגז למשטח קטן יותר(, הארגז ינוע עד אחרי

. אם נבצע ניסוי זה על משטח חלק עוד יותר, הארגז ייעצר לפני שייעצר, עד נקודה שנסמנה באות נקודה

. אם נתאר בדמיוננו שהצלחנו לבטל את החיכוך לגמרי, לא הייתה סיבה לתנועת הארגז להיפסק. אחרי נקודה

דבר זה נקרא "ניסוי מחשבתי".

ילת אוויר אופקית. בזכות זרמי האוויר, הגלשן נע על "כרית אוויר" עתה, נעבור לניסוי השני: נדחוף גלשן על מס

וחיכוכו עם המסילה קטן מאוד. דבר זה גורם לכך שתנועתה של הגלשן לא תיעצר, ומניתוח תוצאות ניסויים

שכאלו, לא רק שתנועתו לא תיעצר, אלא גם שמהירותו לא תשתנה, כלומר הוא יתמיד במהירותו כל עוד לא

עליו חיצונית )החיכוך הוא בעצם השפעה חיצונית אשר גרמה להאטת הארגז ובסופו של דבר לעצירתו משפיעים

. קבועה בגודלהבניסוי הארגז(. דבר זה מראה שמהירות של גוף שהשפעות חיצוניות אינן פועלות עליו היא

י, כך שהכדור ינוע בתוך כעת, נעבור לניסוי האחרון: נטיל כדור מתכת קטן לתוך חישוק המונח על משטח אופק

כך יחלץ ממנו, וינוע על המשטח ללא השפעה חיצונית. מתוצאות ניסוי שכזה נגדלה -החישוק במסלול עקום, ואחר

שהכדור, לאחר הינתקותו מהחישוק, נע בתנועה קצובה ובקו ישר, וכיוון תנועתו זהה לזה של כיוון תנועה לפני

הינתקותו.

גוף חוק הראשון של ניוטון: גוף שהשפעות חיצוניות כלל אינן פועלות עליו מכונה מניסויים אלו, נוכל להגיע ל

. החוק הראשון של ניוטון, העוסק בגופים שכאלו, אומר ש"כל גוף מתמיד במצב מנוחה או בתנועה קצובה חופשי

שפעה חיצונית על על קו ישר, כל עוד לא יאולץ לשנות מצב זה על ידי השפעות חיצוניות". כלומר, אם לא תופעל ה

בכל רגע נתון, ואם לא תופעל השפעה חיצונית על גוף שווקטור 0-גוף הנמצא במנוחה, מהירותו תהיה שווה ל

)גוף נע(, כיוונו וגודלו של וקטור המהירות שלו לא ישתנו. תכונה זו נקראת התמדה, לכן 0-המהירות שלו שונה מ

.מדהחוק ההתמכנים את החוק הראשון של ניוטון בשם

כוחות, מדידתם ותכונותיהם

בסעיף הקודם אמרנו שכאשר הגוף חופשי, מהירותו נשארת קבועה. בניסוי הארגז, שהיה נתון להשפעות

בשעה שגוף נתון להשפעות חיצוניות, מהירותו משתנהחיצוניות, מהירותו הלכה וקטנה. מכאן, נוכל להסיק ש

דדת בגודל שמכונה כוח, והוא מסומן לעיתים קרובות מאוד )ולא בהכרח קטנה(. עוצמת ההשפעה החיצונית נמ

(. מכיוון שאפשר להפעיל כוח על גוף בכיוונים שונים, הרי שהוא לא גודל סקלרי. )מהמילה באות

מניסויים ניתן להוכיח שהוא מקיים את כלל החיבור של הוקטורים )מי שמעוניין בניסוי זה יכול לקרוא עליו בנספח

. -ספרון זה(, מכאן נוכל להסיק שכוח הוא וקטור. יחידת הכוח התקנית בפיסיקה היא ניוטוןל

כוח הכובד הוא כוח אשר מפעילה הארץ על כל גוף הנמצא בקרבתה או אף במרחק רב ממנה. נסמן כוח זה באות

ל על הגוף "כלפי מטה", . כוח זה פועw. לכוח הכובד הפועל על גוף קוראים משקל הגוף, והוא מסומן באות

והוא פועל על כל הגוף, למרות שבה לידי ביטוי רק כאשר גוף נופל )נסביר זאת בהמשך(.

אם על גוף פועלים שני כוחות בכיוונים מנוגדים והם אינם מאיצים אותה, סימן שגדלי הכוחות שווים )שקול הכוחות

ם אדם מחזיק מזוודה באוויר, הכוחות הפועלים עליה (. לדוגמא, א0-בציר שבו הם פועלים על הגוף יהיה שווה ל

הם כוח הכובד, המכוון כלפי מעלה, והכוח שמפעילים שרירי היד של האדם על המזוודה, המכוון כלפי מעלה. אם

ושכוח הכובד שווה בגודלו 0-המזוודה לא מוצאת, סימן ששקול הכוחות הפועלים על המזוודה באותו ציר שווה ל

שרירי היד של האדם על המזוודה. לזה שמפעילים

ניתן להשתמש בקפיץ כאמצעי למדידת כוח: כאשר מפעילים על קפיץ כוח מסוים, הוא גורם להתארכות מסוימת

. אלסטיותבקפיץ. כאשר מפעילים כוח כפול על הקפיץ, הוא יגרום להתארכות כפולה. תכונה זו של הקפיץ מכונה

פיץ לא מואץ כאשר הוא מתארך, ומכאן נוכל להסיק שהכוח שהוא מפעיל . הק -את התארכות הקפיץ מסמנים כ

על המשקולת הגורמת להתארכותו זהה לזה שהיא מפעילה עליו. אם נשרטט גרף של גודל הכוח שקפיץ מפעיל

, נקבל גרף לינארי, שהופך לקו עקום לאחר התארכות מסוימת. מכאן נוכל כפונקציה של שיעור התארכותו

מסקנה, שכל עוד ההתארכות אינה גדולה מדי, יש יחס ישר בין שיעור התארכותו של הקפיץ לגודל הכוח להגיע ל

קפיץ" כאשר -שהוא מפעיל. דינמומטר מבוססת על התארכות לינארית של הקפיץ, ולכן הוא ידוע גם בשם "מאזני

משמש למדידת משקל. התבנית המתמטית של הקטע הלינארי שתיארנו היא

(, שכן הוא מראה את הוא שיפוע הגרף, המכונה גם כקבוע הכוח של הקפיץ, ויחידותיו ניוטון למטר ) כאשר

(, על שמו של רוברט הוק היחס שבין הכוח שמפעיל הקפיץ לבין התארכותו. חוק זה ידוע בשם חוק הוק )

שניסח אותו לראשונה.

תנאי להתמדה

. -על כוחות וציינו שהכוח הוא גודל וקטורי. את שקול הכוחות הפועל על גוף מסמנים ב בסעיף הקודם דיברנו

. כפי שציינו בסעיף -ו מכיוון שהכוח הוא גודל וקטורי, ניתן לפרקיו לרכיביו הקרטזיים. רכיבים אלו הם

תו. על גוף כזה, שקול הכוחות השני, העוסק בהתמדה, גוף שלא מופעלות עליו השפעות חיצוניות מתמיד בתנוע

, כלומר0-שווה ל

או, בפירוק לרכיבים קרטזיים:

. 0-בסעיף הקודם, הבאנו דוגמא של מזוודה, שמתמידה בתנועתה מכיוון ששקול הכוחות הפועל עליה שווה ל

כלומר, כל גוף שהכוחות הפועלים עליו מקיימים

במצבו, כלומר וקטור מהירותו אינו משתנה. תנאי זה ידוע בשם "תנאי התמדה", או "תנאי שיווי מתמידגוף ההוא

משקל".

התמדה בציר מסוים

גוף יכול להתמיד גם בציר אחד בלבד, תוך כדי שהוא לא מתמיד בציר השני. כלומר, יכול להיות גוף ששקול

, בעוד ששקול הכוחות הפועלים עליו בציר האופקי הוא הכוחות הפועלים עליו בציר האנכי הוא

. נסביר זאת באמצעות דוגמא: האנכית, אך לא בתנועתו האופקית. במקרה זה, הגוף יתמיד בתנועתו

. כאשר האבן נוחתת, היא כאשר אנו זורקים אבן כלפי מעלה, אנו משפיעים עליה במישור האנכי, כלומר,

ה שממנה נזרקה. מכיוון שכדור הארץ מסתובב, הרי שגם הנקודה שממנה נזרקה האבן עברה מרחק פוגעת בנקוד

האבן התמידה בתנועתה מסוים. אם האבן פגעה באותה נקודה, למרות המרחק שעברה נקודה, נוכל להסיק ש

בציר אחד, . במקרה שכזה, הגוף מואץ התמדה בציר מסוים, אך לא בתנועתה האנכית. מצב זה נקרא האופקית

בעוד שווקטור המהירות שלו נשאר זהה בציר אחר.

החוק השלילי של ניוטון

כל כאשר מופעל על גוף כוח, הגוף נמצא באינטראקציה עם גוף אחר, המפעיל עליו את הכוח. באינטראקציה זו,

נית לעיתים . הכוחות המופיעים באינטראקציה בין שני גופים מכואחד משני הגופים מפעיל כוח על בן זוגו

;"פעולה" ו"תגובה". חשוב לציין, שהשוני בשמות אינו בא לציין שאחד מהכוחות הוא הגורם והשני הוא התוצאה

את כל אחד מהכוחות נוכל לכנות "פעולה", ואז משנהו יכונה "תגובה". באינטראקציה, הכוחות הפועלים זה על זה

ר, הכוח שהאדם מפעיל על הקיר זהה לכוח שהקיר מפעיל על זהים ומנוגדים בכיוונם. כלומר, כאשר אדם דוחף קי

: כאשר חוק הפעולה והתגובה, הידוע גם בשם חוק השלילי של ניוטוןהאדם, ומנוגד לו בכיוונו. קשר זה מנוסח ב

גוף אחד מפעיל כוח על גוף שני, אזי גם השני מפעיל כוח על הראשון, השווה לקודם בגודל והפוך לו בכיוון.

מתיחות

נדון במושג "מתיחות של חוט": כאשר אנו מושכים גומייה משתי קצבותיה, הגומייה מתארכת תוך שהיא מפעילה

על כל יד כוח זהה לזה שהיד מפעילה עליה ומנוגד בכיוונו )ע"פ החוק השלישי של ניוטון(. מכיוון שהגומייה נמצאת

עליה בשני הכיוונים שווים, ומכאן שגם גדלי במצב שיווי משקל, ניתן להגיע למסקנה שגדלי הכוחות הפועלים

, והוא מסומן באות מתיחות הגומייההכוחות שהיא מפעילה שווים זה לזה. גודל אחד מהכוחות האלה נקרא

זהה לגודל הכוח שכל יד מפעילה על קצה הגומייה. לדוגמא, אם כל יד מפעילה (. גודלה של -)קיצור ל

ניוטון. אומנם דנו כאן רק בגומייה, אבל ניתן להחיל 80-ניוטון, מתיחות הגומייה שווה ל 80יה כוח בן על קצה הגומי

את המושג "מתיחות" גם על חוטים וחבלים, למרות שהתארכותם קשה בהרבה להבחנה מאשר זו של הגומייה.

שווים בגודלם אינם ל עתה, נגדיר את המושג "מתיחות בחתך רוחב": כאשר הכוחות המופעלים בקצוות חב

המתיחות אינה אחידה לאורך החבל, והמושג "מתיחות של חוט" )או חבל( אינו מוגדר. במקומו, נוכל להגדיר את

המתיחות בחתך רוחב כלשהו של החבל: בחתך רוחב, שני חלקי החבל משני הצדדים מושכים אחד את השני

. אם מתיחות בחתך רוחבל אחד מכוחות אלה מכונה בכוחות השווים בגודלם והפוכים בכיוונים. גודלו של כ

מתיחות של חבל שווה בכל החתכים אזי ערכה הוא גם "מתיחות החבל".

תנאי התמדה עבור מערכת בת שני גופים הנמצאים באינטראקציה

פועלים גוף , ועל -ו פועלים הכוחות נמצאים באינטראקציה, על גוף -ו נניח כי שני גופים

הם מערכת גופים, אזי שתנאי ההתמדה עבור המערכת הוא: -ו . אם הכוחות

(. ע"פ החוק השלילי של ניוטון, -ו הם זוג פעולה ותגובה )תוצר של האינטראקציה בין -ו כאשר

. מכאן, שאין צורך להתייחס אליהם וקטורי הכוחות שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם, כלומר

-כאשר מחשבים את שתנאי ההתמדה עבור המערכת, שכן הם מתקזזים. מכאן, ש

ים, שכן הכוחות הפנימיים מתקזזים בזוגות.דבר זה נכון גם לגבי מערכת בת ארבעה גופ

כוח נורמלי

אנו כבר מודעים לעובדה שכוח הכובד פועל על כל הגופים. כלומר, כאשר מניחים ספר על שולחן, כוח הכובד,

המכוון כלפי מטה, מופעל על הספר. מכיוון שהספר נמצא במנוחה, על הכוחות הפועלים עליו לקיים את הקשר

סיק מכך שיש כוח נוסף שפועל על הספר, כוח המכוון כלפי מעלה, השווה בגודלו לגודל כוח . נוכל לה

)מהמילה והוא מסומן באות כוח נורמליהכובד המופעל על הספר. כוח זה, שמופעל על ידי השולחן, נקרא

(. מטרת הכוח הנורמלי היא למנוע חדירה של גוף אחד לשני. כאשר אנו מניחים גוף על שולחן, קטע

משטחו שנמצא מתחת לגוף שוקע ומפעיל כוח נורמלי על הגוף. אומנם קשה להבחין בהתעקמות זו, אבל ניתן

של אור. האור המוחזר להיווכח לה באמצעות הניסוי הבא: מניחים מראה על שולחן, ומילים עליה אלומה צרה

מהמראה פוגע בתקרה בנקודה מסוימת. כאשר נניח גוף על השולחן, הנקודה שבה האור יפגע בתקרה תהיה

שונה. כאשר נוריד את הגוף מהשולחן, היא תחזור לנקודה שהייתה בה קודם.

של הגוף דרך נסכם: כוח נורמלי הוא כוח שמופעל על ידי משטח על גוף מסוים במטרה למנוע את חדירתו

. וכאשר הגוף הוא לא מואץ, המשטח. הכוח הנורמלי מסומן באות

כוח חיכוך

כאשר גוף נגרר על משטח אופקי במהירות קבועה, הכוחות הפועלים עליו, לפי מה שלמדנו עד כה, הם הכוח

י מטה והכוח הנורמלי שהארץ מפעילה על הגוף כלפ wהפועל כלפי הכיוון שבו הוא נע, המשקל האופקי

שהמשטח מפעיל על הגוף כלפי מעלה. אם נבחן תרשים כוחות זה, נגלה שחסר כוח אחד, שיהיה מנוגד בכיוונו

. קיימים שני סוגים של כוח כוח חיכוך. לכוח זה קוראים , בכדי שיתקיים Fושווה בגודלו לכוח האופקי

כוח חיכוך קינטי פועל על גופים אשר נעים זה ביחס לזה, בעוד שכוח .כוח חיכוך סטטיוכוח חיכוך קינטי חיכוך:

חיכוך סטטי פועל על גופים שאינם נעים זה ביחס לזה, בעוד שמופעל על אחד מהם כוח בכיוון אופקי. בסעיפים

"חיכוך הבאים, נדון בשני הכוחות הללו, תוך שאני מגבילים את עצמנו לדיון על כוחות חיכוך בין מוצקים יבשים )

יבש"(.

כוח חיכוך קינטי

. אם נערוך ניסויים בזוגות שונים של חומרים המחליקים זה על זה, נגלה שגודל -כוח החיכוך הקינטי מסומן כ

. בכדי להפוך את היחס הישר הזה כוח החיכוך הקינטי נמצא בקירוב רב ביחס ישר לגודלו של הכוח הנורמלי

מקדם החיכוך קבוע פרופורציה. בכוח החיכוך הקינטי, קבוע הפרופורציה מכונה לשוויון, יהיה עלינו להוסיף

מקדם החיכוך הקינטי תלוי במידה מועטה בלבד . , והוא מסומן ע"י האות מקדם חיכוך ההחלקהאו הקינטי

ם במידת הליטוש של הגופים )כל עוד הם לא מחוספסים/מלוטשים יתר על המידה(, במהירות היחסית ביניה

ובשטח המגע המקרוסקופי ביניהם. הוא תלוי בסוג החומרים המתחככים, ובקירוב טוב אינו תלוי בגורמים אחרים.

השוויון הוא

כלומר גודלו של כוח החיכוך הקינטי שווה למקדם החיכוך בין החומרים המחליקים כפול הכוח הנורמלי המופעל על

. כאשר הגוף נח, פועל עליו כוח חיכוך אחר, עליו נדון בסעיף הבא.נעעל גוף הגוף. כוח החיכוך הקינטי פועל רק

כוח חיכוך סטטי

כאשר אנו מנסים להזיז גוף, תוך שאנו מפעילים עליו כוח שגודלו קטן יחסית, אנו נתקלים בקושי להזיזו: הכוח

פועל על הגוף בכיוון האנכי, אבל הגוף לא זז! כאשר נגדיל את הכוח המופעל על הגוף, הגוף יזוז. מכיוון שהגוף לא

ע"פ התנאי להתמדה, חייב להיות כוח נוסף הפועל זז, ניתן להסיק שהוא מתמיד במצבו )במקרה זה, במנוחה(.

על הגוף בכיוון המנוגד לזה שבו פועל הכוח על הגוף. כוח זה לא יכול להיות כוח החיכוך הקינטי, שכן כוח חיכוך

.אינו נע, ובמקרה זה, הגוף נעקינטי פועל רק כשהגוף

של כוח חיכוך: קינטי וסטטי. כוח החיכוך הקינטי, כפי שציינו בתחילת דיוננו על כוחות חיכוך, קיימים שני סוגים

הפועל על גופים נעים, וכוח החיכוך הסטטי, הפועל על גופים הנמצאים במנוחה. כוח החיכוך הפועל במקרה

. כאשר נפעיל כוח מסוים על הגוף, הגוף ינוע ואז יופעל עליו כוח כוח החיכוך הסטטישהגוף לא נע הוא, אפוא,

תחום שבו אנו נוכל להעלות את גודל הכוח המופעל על הגוף מבלי להזיזו, ומכיוון שהוא לא נע גם חיכוך קינטי. יש

בכיוון המנוגד לזה שאנו מפעילים בו את הכוח, נוכל להסיק שגודל כוח החיכוך הסטטי משתנה בהתאם, כלומר,

ר בין גודלו המקסימלי של כוח הוא לא קבוע ותלוי בגודל הכוח המופעל על הגוף. ניסויים הוכיחו, שיש יחס יש

. נוסיף קבוע מסמל את כוח החיכוך הסטטי( לבין גודל הכוח הנורמלי, , כאשר החיכוך הסטטי )

פרופורציה, ונקבל:

טי, תלוי . גם הוא, כמו מקדם החיכוך הקינמקדם החיכוך הסטטיהוא קבוע הפרופורציה, והוא מכונה כאשר

לא בסוגי החומרים מהם עשויים הגופים ובקירוב טוב לא תלוי במידת ליטושם ובשטח המגע ביניהם. כאשר

מקסימלי, מתקיים

מקדם החיכוך הסטטי חייב להיות גדול יותר ממקדם החיכוך הקינטי או שווה לו, ולעולם לא קטן יותר. בחישובים

. -בין גדלי כוח החיכוך הסטטי המרבי וכוח החיכוך הקינטי, כלומר, מניחים שמתעלמים לעיתים מההפרש

גלגלת

גלגלת נטולת חיכוך משנה את כיוונו של חוט מתוח, ועל ידי כך משנה את כיוון פעולת המתיחות, אולם אינה משנה

נה נכונה.. כאשר יש חיכוך בין החוט לגלגלת, מסקנה זו אי את המתיחות, כלומר

החוק השני של ניוטון

בפרק הקודם עסקנו בגופים ששקול הוכחות הפועל עליהם שווה לאפס. במצב זה הגוף מתמיד במצבו, כלומר

שווה לאפס, וננסח אינומהירותו אינה משתנה. בפרק הזה נעסוק בתנועת גופים ששקול הכוחות הפועלים עליהם

את החוק השני של ניוטון.

השני של ניוטוןהחוק

האם גוף נע תמיד בכיוון הכוח השקול הפועל עליו?

בפרק הקודם ראינו שגוף יכול לנוע גם שהכוח השקול הפועל עליו שווה לאפס. מה קורה כאשר הכוח השקול

הפועל עליו שונה מאפס? האם הגוף חייב לנוע בכיוון הכוח? נברר זאת באמצעות מספר בדיקות:

ונופל חופשית: הכוח היחיד הפועל עליו הוא כוח הכובד המכוון כלפי מטה, וגם כדור משוחרר ממנוחה .5

מהירותו מכוונת כלפי מטה.

כדור נזרק כלפי מעלה: הכוח היחיד הפועל עליו הוא כוח הכובד המכוון כלפי מטה, והוא נע כלפי מעלה, .8

כלומר מהירותו מכוונת כלפי מעלה.

אוויר זניחה. לאחר שנזרק הכוח אופקית, הכוח היחיד הפועל עליו כדור נזרק אופקית: נניח שהתנגדות ה .3

הוא כוח הכובד, המכוון כלפי מעטה, בעוד שמהירותו בכל נקודה משיקה למסלול התנועה, וזוויתה בינה

מעלות מיד לאחר הזריקה ולאחר מכן הולכת וקטנה, אולם לעולם לא מגיעה 90-לבין כוח הכובד שווה ל

המהירות לעולם לא זהה לכיוון הכוח השקול הפועל על הכדור. , כלומר כיוון0-ל

, פועל כלפי Tתנועה קצובה במסלול מעגלי: מסובבים גוף באמצעות חוט בתנועה מעגלית קצובה. הכוח, .4

מרכז המעגל, בעוד שמהירות הגוף ניצבת לכוח בכל נקודה.

וון הכוח השקול הפועל עליו.מכאן הגענו למסקנה שכיוון תנועתו של גוף אינו שווה בהכרח לכי

האם יש קשר בין כיוון הכוח השקול הפועל על הגוף לבין כיוון תאוצתו?

סעיף הקודם, ראינו שגוף לא חייב לנוע בכיוון הכוח, ושלא תמיד יש קשר בין כיוון הכוח לכיוון תנועת הגוף. -בתת

הפועל על הגוף, תוך שימוש בדוגמות שהובאו עתה, נבדוק אם יש קשר בין כיוון תאוצת הגוף לכיוון הכוח השקול

סעיף הקודם:-בתת

כדור משוחרר ממנוחה ונופל חופשית: הכוח היחיד הפועל עליו הוא כוח הכובד המכוון כלפי מטה, וגם .5

מהירותו ותאוצתו מכוונות כלפי מטה.

בעוד שמהירותו כדור נזרק כלפי מעלה: הכוח היחיד הפועל עליו הוא כוח הכבוד המכוון כלפי מטה, .8

מכוונת כלפי מעלה. מכיוון שמהירות הגוף קטנה תוך שהוא עולה, כיוון התאוצה הוא שלילי, כלומר

התאוצה מכוונת כלפי מטה גם היא.

כדור נזרק אופקית: הכוח היחיד הפועל עליו הוא כוח הכבוד המכוון כלפי מטה, בעוד שמהירותו בכל .3

לעולם לא זהה לזה של הכוח השקול הפועל עליו. ע"פ הנוסחה נקודה משיקה למסלול התנועה, וכיוונה

. vלחישוב וקטור התאוצה, כיוונה הוא הכיוון של הפרש המהירויות, כלומר כיוונה זהה לכיוון של דלתא

אם נשרטט את ההפרש בין הווקטורים, ניווכח לכך שהוא מכוון כלפי מטה, כלומר התאוצה, כמו הכוח

טה.השקול, מכוונת כלפי מ

, פועל כלפי Tתנועה קצובה במסלול מעגלי: מבוססים גוף באמצעות חוט בתנועה מעגלית קצובה. הכוח, .4

מרכז המעגל, בעוד שמהירות הגוף ניצבת לכוח בכל נקודה. כמו בדוגמה הקודמת, אם נשרט את השינוי

ול הפועל על הגוף.פונה כלפי מרכז המעגל, בדיוק כמו הכוח השק vדלתא -בווקטור המהירות, ניווכח ש

מכאן הגענו למסקנה שכיוון התאוצה של גוף שווה תמיד לכיוון הכוח השקול הפועל על הגוף.

האם קיים קשר בין גודל הכוח השקול הפועל על גוף לבין גודל תאוצתו?

הגוף: שניהם סעיף הקודם, מצאנו כי קיים קשר בין כיוון תאוצתו של הגוף לבין כיוון שקול הכוחות הפועל על -בתת

שווים. עתה, נלך צעד אחד קדימה וננסה לברר אם קיים קשר בין גודל תאוצתו של הגוף לבין גודל שקול הכוחות

הפועל עליו. בכדי לברר זאת, יהיה עלינו לבצע שני ניסויים: אחד עוסק בתנועה בממד אחד, והשני עוסק בתנועה

ב רק את המסקנה שאליה ניתן להגיע מהניסויים. מי שמעוניין בשני ממדים. לא נפרט על ניסויים אלו כאן, ונכתו

בכל זאת בתיאור הניסוי מוזמן לקרוא אותו בנספח לפרק זה. מתוצאות ניסוי, ניתן להגיע למסקנה שקיים יחס

ישר בין גודל התאוצה של הגוף לבין גודל הכוח השקול הפועל עליו.

המסה של גוף כמדד להתמדתו

מצאנו שיש יחס קבוע בין גודל הכוח השקול הפועל על גוף לבין גודל תאוצתו, כלומר לא משנה מה יהיה הכוח,

היחס

מצביעים על כך שאנו מתייחסים לגודל הווקטור בלבד ולא לכיוונו( יהיה )הקווים התוחמים את

( מסה אינרציאלית)או מסה התמדתיתקבוע. היחס הזה מבטא תכונה מסוימת של הגוף. תכונה זו נקראת

. ניתן להגיד שגודל פיסיקלי זה מהווה מדד ל"התנגדותו" של גוף . מסתו של גוף מסומנת באות מסהובקיצור:

לשינוי מהירותו, או במילים אחרות להוצאתו מהתמדה. נוכל להיווכח לכך שככל שמסתו של גוף עולה, כך קטן

( של גוף היא היחס בין כפונקציה של כוח, מכאן שהמסה ההתמדית ) שיפוע העקומה המתארת את התאוצה

גודל הכוח השקול הפועל עליו לבין גודל התאוצה המוענקת לו ע"י הכוח, או בניסוח מתמטי:

(. למסה תכונות של ) קילוגרם"מסה" היא גודל סקלרי: יש לה רק גודל ואין לה כיוון. יחידת המסה מכונה

, מסותיהם של שני גופים הזהים לגוף המקורי היא 0.5kg)אדיטיביות(: אם מסה של גוף מסוים היא יבוריותח

וכו'. , ושל שלושה גופים

המסה של גוף היא תכונה סגולית של הגוף, כלומר היא אחד ממאפייניו ולא תלויה בשום גורם חיצוני. כל עוד לא

מסתו אינה משתנה. ע"פ התורה הקלאסית של המכניקה, מסתו –לא גרענו ממנו חומר הוספנו לגוף גרגר חומר ו

של גוף אינה תלויה גם במהירותו. דבר זה לא נכון במסגרת תורת היחסות הפרטית, שעל פיה מהירותו של גוף

לשינוי עשויה להתקרב למהירות האור, אך לעולם לא להגיע לערכה. ע"פ תורה זו הגוף "מתנגד" יותר ויותר

מהירותו כאשר מהירותו הולכת וגדלה, או במילים אחרות, מסו ההתמדית של גוף הולכת וגדלה כאשר מהירותו

מבוטאת ע"י: גדלה. במסגרת תורת היחסות הפרטית, מסתו של גוף

ת הגוף אינו מורגש כשמדובר מהירות האור. שינוי זה במס -מהירותו ו היא מסתו של הגוף במנוחה, כאשר

( גדולה רק פי ) במהירויות קטנות יחסית למהירות האור: מסתו של גוף שמהירותו

ממהירות 90%-בערך ממסת המנוחה שלו: שינוי של שתי מיליוניות האחוז. אולם, אם מהירותו שווה ל

-המנוחה שלו. מהירויות הגופים בהם נעסוק יהיו קטנות מ ממסת 8.3מסתו תהיה גדולה בערך פי –האור

, ולכן אין צורך לקחת עובדה זו בחשבון והיא הובאה רק בתור העשרה.

הגדרה סטנדרטית ליחידת הכוח "ניוטון", ומדידת כוח

סעיף הקודם ניתן לרשום גם בצורה הבאה:-את השוויון שהצגנו בתת

ק"ג תאוצה 5ניוטון אם הוא מעניק לגוף שמסתו 5עתה, נוכל להגדיר את יחידת הכוח "ניוטון": גודלו של כוח הוא

. ניתן למדוד כוח בדרכים שונות: בפרק הקודם, הצגנו דרך למדוד את גודל הכוח באמצעות קפיץ. 5בת

ים נחים. לעיתים יש צורך למדוד כוחות הפועלים שיטה זו פשוטה ונוחה, ומתאימה למדידת כוחות הפועלים על גופ

על גופים נעים. במצבים כאלו, נמדוד את תאוצת הגוף, ונחשב את מכפלת מסתו בתאוצתו.

ניסוח החוק השני של ניוטון

הסעיף הקודמים ניתן לאחד לנוסחה וקטורית אחת: -את הקשרים שמצאנו בתתי

. ננסח אותו כך: כאשר כוח שקול פועל על גוף אזי הגוף מואץ. כיוון של ניוטון החוק השניהשוויון האחרון מכונה

התאוצה שווה לכיוון הכוח השקול, וגודלה פרופורציוני לגודל הכוח השקול. קבוע הפרופורציה הוא הערך ההפוך

של מסת הגוף. בניסוח מתמטי:

וניים הפועלים השקול של כל הכוחות החיצ תאוצת הגוף, , כאשר

מסת הגוף. -על הגוף ו

רכיביה הקרטזיים של משוואה זו יהיו:

( בכיוון זה, ואז רכיב x-כאשר הכוח השקול על גוף מכוון בכיוון קבוע, נוכל לבחור את אחד הצירים )למשל ציר ה

, כלומר:0-הכוח בציר השני יהיה שווה ל

משוואת תנועה

בחוק השני של אם מכירים את התבנית המתמטית של הכוח השקול הפועל על גוף, נוכל להציב אותה במקום

של גוף. ממשוואה זו ניתן להפיק תועלת כך שתלמד אותנו על משוואת התנועה ניוטון ולקבל משוואה המכונה

תאוצת הגוף:

והגוף חסר תאוצה, כלומר או נח או נע בתנועה קצובה על קו ישר. אלו הם מצבי , גם כאשר

התמדה בהם עסקנו בפרק הקודם.

הגוף נע בתאוצה קבועה. במצבים אלו אנו רשאים להשתמש בנוסחאות הקינמטיות כאשר

שפיתחנו בפרק הראשון, העוסק בקינמטיקה.

שונת תאוצה. ככל שהכוח השקול גדל, גדלה התאוצה וככל שהוא קטן היא תנועת הגוף -משתנה כאשר

קטנה. במקרים אלו לא נוכל להשתמש בנוסחאות שפיתחנו בפרק העוסק בקינמטיקה.

מסה ומשקל

המסה של גוף כמדד לעוצמת כוח הכובד הפועל עליו

סקנו בחוק השני של ניוטון, נוכל בפרק הקודם הגדרנו משקל של גוף ככוח הכובד הפועל עליו. כעת, לאחר שע

, וכוח זה הוא הכוח gלבטא את משקלו של גוף: בשעה שגוף נופל חופשית, התאוצה שכוח הכובד מעניק לו היא

היחיד הפועל עליו. מכאן ש:

ן שנוסחה זו את תאוצת הנפילה החופשית. יש לציי g-את המסה של הגוף ו mמסמל את משקל הגוף, כאשר

מבטאת את משקלו של גוף לא רק בשעה שהוא נופל חופשית, אלא בכל מצב: מנוחה, או תנועה כלשהי אחרת.

משקלו של גוף עשוי להשתנות, הדבר תלוי ברוחק הגוף ממרכז הארץ ובגוף המושך אותו. כך לדוגמא, משקלו של

ו, לעומת זאת, לא משתנה.ממשקלו על כדור הארץ. מסת 1% 53גוף הנמצא על הירח הוא רק

שיטה סטטית למדידת מסה

ע"פ החוק השני של ניוטון, ניתן לחשב את מסתו של גוף ע"י השוואת מסות: מפעילים כוחות שווים על גוף שאת

ופים ניתן לחשב את מסתו.sמסתו מעוניינים למדוד ועל גוף תקני, ומהשוואת תאוצות שני הג

. המאזניים מאוזנים מאזני כפותלמדידת מסתו של גוף המתבססת על שימוש בקיימת שיטה פשוטה ונוחה יותר

כאשר על כפותיהם פועלים כוחות שווים כלפי מטה. נניח את הגוף שאת מסתו אנו מעוניינים למדוד על אחת

אן מכפות המאזניים, ועל הכף השנייה נניח גופי תקן. כאשר המאזניים מתאזנים, משקלם של שני הגופים זהה, מכ

הוא מסת mx) הוא משקל הגוף שמסתו לא ידועה(, לכן ) שכאשר המאזניים מאוזנים

. קבוע, gהגוף שמסתו לא ידועה(. מכיוון שערכו של

gשיטה זו מתבססת על השוואת כוחות: אם משקליהם של שני גופים שווים, גם מסותיהם שוות מכיוון שערכו של

קבוע.

צפיפות

של החומר, והיא מסתו הסגולית , או צפיפות החומרמסה של חומר המתאימה ליחידה אחת של נפחו מכונה

(. נרשום הגדרה: הצפיפות של חומר היא המסה של יחידה אחת של נפחו. )קרא: מסומנת באות היוונית

בניסוח מתמטי:

הצפיפות צפיפות החומר. ביחדות – -נפח החומר ו – מסה של כמות מסוימת של חומר, - כאשר

, למרות . מקובל להשתמש גם ביחידה -. צפיפות המים לדוגמה, שווה ל –נמדדת ב

. צפיפות של חומר, ובעיקר של חומר גזי, משתנה כאשר דוחסים אותו או שיחידה זו אינה שייכת למערכת

גורמים לו להתפשט, למרות שמסתו אינה משתנה. בכדי למצוא צפיפות של חומר בתנאים מסוימים נצטרך לערוך

. פירוט על תנאים אלו נמצא בנספח תנאים סטנדרטייםאת המדידות באותם תנאים. התנאים המוסכמים מכונים

ר זה.לספ

משקל סגולי

המשקל לעיתים משתמשים בגודל נוסף, המבטא את המשקל של יחידת נפח אחת של חומר. גודל זה מכונה

. בניסוח מתמטי: והוא מסומן באות הסגולי של החומר

SIנפח החומר. ביחדות – -משקל של כמות מסוימת של חומר ו – המשקל הסגולי ש החומר, – כאשר

. . המשקל הסגולי של המים הוא -נמדד המשקל הסגולי ב

מדידת תאוצה

:קינמטייםבפרק הראשון, הגדרנו תאוצה באמצעות מונחים

מדידת תאוצה זו אינה נוחה ודורשת חישוב גבול של סדרה אינסופית של תאוצות ממוצאות! יתר על כן, המהירות

אף היא מוגדרת כגבול של סדרה אינסופית של מהירויות ממוצעות:בכל רגע

, תוך שימוש בשוויון הבא:דינמיתבהסתמך על החוק השני של ניוטון, ניתן למדוד תאוצה בשיטה

שיטת מדידה זו פשוטה יותר ונוחה יותר ברוב המקרים.

קיים גם הבדל עקרוני בין מדידת תאוצה בשיטה קינמטית לבין מדידת תאוצה בשיטה דינמית: צופים שונים

שנמצאים בתנועות בתאוצות שונות/במנוחה וצופים בכדור, יקציבו לכדור תאוצה בגודל אחר )או שלא יקציבו לו

תאוצה טה הקינמטית היא תאוצה כלל אם הם נעים בתאוצה הזהה לתאוצת הכדור(. התאוצה הנמדדת בשי

. לעומת זאת, כל הצופים יקצבו אותה תאוצה בשיטה הדינמית. החוק השני של ניוטון מתקיים ביחס יחסית

למערכת ייחוס אינרציאלית, לכן רק במערכת ייחוס כזו תוצאות מדידות התאוצה בשתי השיטות הן שוות. נדון

במערכות ייחוס אינרציאליות בפרק הבא.

הנעת גופים

)ע"פ החוק השני של ניוטון(. מסיבה זו, אדם אינו חיצוניכדי שמהירותו של גוף תשתנה, דרוש שיפעל עליו כוח

יכול להתקדם כאשר הוא מושך עצמו בחולצתו ונהג היושב במכונית אינו יכול להסיע את מכוניתו אם ידחוף את

ההגה. בכל זאת, העולם מלא חיים ותנועה. הכיצד?

נם יכולים לנוע בהשפעת כוחות שהם מפעילים על עצמם, אך הם יכולים לעשות זאת אם יפעילו גופים אמנם אי

. הגוף האחר מפעיל כוח תגובה על הגוף )ע"פ החוק השלילי של ניוטון(, ולגבי הגוף זה אחריםכוחות על גופים

. בכוחות חיכוך משתמשים לצורך הנעה. נסקור כמה מקרים:חיצוניכוח

במגע עם הקרקע נמצאת במנוחה רגעית. היא דוחפת את הקרקע לאחור, וכתגובה : הרגל שהליכה .5

הקרקע מפעילה עליה כוח חיכוך סטטי על הרגיל בכיוון "קדימה". זו הסיבה שהליכה על משטח חלק )שבו

מקדם החיכוך הסטטי והקינטי נמוכים מאוד( היא משימה קשה.

ד דומה לתפקיד הרגל בהליכה: בעת נסיעה, הצמיג : בעת סיבוב גלגלי המכונית, יש להם תפקינסיעה .8

מפעיל כוח חיכוך על הכביש לאחור, וכתגובה מפעיל הכביש על הצמיג כוח חיכוך קדימה. כאשר הגלגלים

מתגלגלים על הכביש ואינם מחליקים, חלק הצמיג שבמגע עם הכביש נמצא במנוחה רגעית, וכוח החיכוך

הוא סטטי.

ת המכונית הוא החיכוך שהכביש מפעיל על הצמיגים. דבר זה בולט כאשר : הכוח אשר בולם אבלימה .3

הגלגלים אינם מסתובבים, אך המכונית עלולה ;מתבוננים במכונית המנסה לבלום על גבי משטח חלק

להמשיך ולהחליק.

מערכות ייחוס

החוק הראשון של ניוטון ומערכות ייחוס אינרציאליות

כפי שציינו בפרקים הקודמים, תנועה היא דבר יחסי: העתקו של גוף, מהירותו ותאוצתו נמדדים ביחס למערכת

המדידות ;. החוק הראשון של ניוטון מסתמך על ניסויים שבוצעו במעבדהמערכת ייחוסצירים מוגדרת, המוכנה

ף בכל מערכות הייחוס:נערכו ביחס למערכת צירים ה"צמודה" למעבדה. נבדוק עתה האם חוק זה תק

נניח שכדור נח על מדרכה, ביחס למערכת צירים ה"צמודה" למדרכה, תאוצת הכדור )וכן גם הכוח השקול הפועל

. ביחס למערכת צירים ה"צמודה" למכונית מואצת יש לכדור תאוצה שכיוונה הפוך לתאוצת 0-עליו( שווה ל

תקף בכל מערכת ייחוס. אינוהחוק הראשון של ניוטון . מכאן ש0-המכונית למרות שהכוח השקול עליה שווה ל

המדרכה היא מערכת שביחס אליה מהירותו של גוף חופשי היא קבועה. המדרכה היא מערכת שביחס אליה

מערכת ייחוס או מערכת ייחוס התמדית. מערכת ייחוס כזו מכונה תיאור תנועתם של גופים הוא הפשוט ביותר

ערכת ייחוס אינרציאלית בקירוב. נוכל לנסח את החוק הראשון של ניוטון בדרך . הארץ מהווה מאינרציאלית

הבאה: קיימת מערכת ייחוס, אשר ביחס אליה מהירותו של כל גוף חופשי אינה משתנה. החוק הראשון של ניוטון

לא תקף במערכות ייחוס המואצות ביחס למערכת אינרציאלית.

(, אם מערכת ייחוס מסוימת היא )ור מהירות נוסחת הטרנספורמציה של גליליי עבע"פ

אינרציאלית, אזי כל מערכת ייחוס אחרת, הנעה ביחס אליה במהירות קבועה, אף היא אינרציאלית. מכאן שקיימות

אינסוף מערכות אינרציאליות.

שי ואם הוא אינו מואץ ביחס למערכת ניתן לזהות מערכות ייחוס אינרציאליות רק על ידי ניסוי: נצפה בגוף חופ

מסוימת, אזי היא אינרציאלית.

חוקי ניוטון ומערכות ייחוס אינרציאליות

עד כה עסקנו רק בחוק הראשון של ניוטון בדיוננו על מערכות ייחוס אינרציאליות. עתה, נבחן אם גף החוקים השני

בחן את תאוצתו של גוף ביחס למערכות אינרציאליות והשלישי של ניוטון מתקיימים בכל המערכות האינרציאליות. נ

הצמודה לכביש. נניח כי תאוצת המכונית ביחס למערכת ייחוס תאוצה קבועהנעה ב שונות: נניח כי מכונית

וברגע מהירותה היא , כלומר ברגע ושהיא יוצאת ממהירות התחלתית שהיא היא

הנעה באותו . עתה, נבדוק מהי תאוצת הגוף ביחס למערכת ייחוס הצמודה למשאית מהירותה

מהירותה , ברגע מהירותה היא t=0. ברגע שגודלה במהירות קבועהכיוון

. יישארוכן הלאה, כלומר ערך תאוצת הגוף תהיה

נכליל: לגוף יש אותה תאוצה ביחס לכל מערכות הייחוס האינרציאליות. בניסוח מתמטי:

. ביחס למערכת תאוצת גוף – ; תאוצת הגוף ביחס למערכת – כאשר

מכיוון שהכוחות שבהם אנו גם הכוחות שגופים אחרים מפעילים על גוף שווים ביחס לכל המערכות האינרציאליות,

, שהיא תכונה סגולית של גוף )ראה הערה בנוגע למסה -עוסקים תלויים בתכונות העצמיות של הגופים )מסה

"החוק השני של ניוטון"(( ובמרחקים שביניהם. המרחק בין שני גופים –בתורת היחסות הפרטית בפרק הקודם

י במערכת ייחוס. כלומר: תאוצתו של גוף, הכוחות שגופים מפעילים הוא גודל "מוחלט", כלומר הוא גודל שאינו תלו

עליו ומסתו שווים בכל מערכות הייחוס האינרציאליות. על סמך הנאמר לעיל נסיק: החוקים השני והשלישי של

ניוטון מתקיימים בכל מערכות הייחוס האינרציאליות.

המשחקים" ומבטיח את קיומו והחוקים השני והשלישי נגדיר זאת כך: החוק הראשון של ניוטון מגדיר את "מגרש

מגדירים את "חוקי המשחק" של המכניקה הניוטונית.

קובע כי: חוקי הטבע זהים בכל מערכות עקרון היחסותגלילאו גליליי היה הראשון שהתייחס ל"עיקרון היחסות".

כלשהו נח או נע במהירות קבועה הייחוס האינרציאליות. לא קיימת תופעה אשר בעזרתה ניתן לקבוע אם גוף

)בגדלה ובכיוונה(.

תאוצה יחסית

? ע"פ נוסחת -ביחס ל נניח כי שתי מכוניות נעות באותו כיוון בתאוצה קבועה. מהי התאוצה של

הטרנספורמציה של גליליי עבור מהירות חישבנו את המהירות של גוף אחד ביחס לגוף השני. בכדי לחשב את

אחד ביחס לשני נשתמש בנוסחה הבאה: התאוצה של גוף

. הנוסחה שהסקנו בסעיף הקודם היא מקרה נוסחת הטרנספורמציה של גליליי עבור התאוצהנוסחה זו מכונה

, לכן: , אזי נע במהירות קבועה ביחס למערכת פרטי של נוסחה זו: כאשר גוף

, אזי: -כ אם נסמן את מערכת הייחוס הצמודה לגוף

משקל, משקל יחסי ו"חוסר משקל"

, וכי בתוך המעלית נמצא גוף נניח כי מעלית מואצת כלפי מטה בתאוצה קבועה שגודלה ביחס לארץ הוא

נוסחת הטרנספורמציה של גליליי עבור התאוצה, תאוצת הגוף ביחס לצופה הנמצא בתוך הנופל חופשית. ע"פ

המעלית, ומואץ יחד איתה )"צופה פנימי"( היא:

היא תאוצתו של גוף הנופל חופשית, פירוט על כך ניתן למצוא בפרק הראשון העוסק בקינמטיקה( )שים לב:

ק"ג. כאשר הצופה 50בה הם נמצאים: נניח כי מסתו של הצופה הפנימי היא גם הוריית מאזניים תלויה במערכת

ניוטון. צופה חיצוני, לעומת זאת, יאמר שמשקל 130הם מורים –הפנימי נעמד על המאזניים בתוך המעלית

ניוטון. נברר מי מבין שני הצופים צדק: 500הצופה הפנימי הוא

. ניסוח מתמטי זה נכון רק בתנאי ל עליו. בניסוח מתמטי: הגדרנו את משקלו של גוף ככוח הכובד הפוע

מאזניים מורים את משקלו . על בסיס רעיון זה מכיילים מאזניים: במערכת אינרציאליתשמשקלו של גוף נמדד

. לכן, הצופה החיצוני הוא זה שצודק מכיוון שמערכת הייחוס של גוף רק כאשר הם נמצאים במערכת אינרציאלית

דה אליו היא מערכת אינרציאלית. הצמו

אינרציאלית, הם מורים את הערך הבא: אינהנגדיר משקל יחסי: כאשר מאזניים נמצאים במערכת ש

, כלומר:

. יתהיחסהיא תאוצת הנפילה החופשית ’ -של הגוף. כינוי זה נבחר מכיוון שהמשקל היחסי ערך זה מכונה בשם

משקל זה שווה למשקל האמיתי רק בשעה שהמאזניים מהווים מערכת אינרציאלית.

נגדיר מצב של חוסר משקל: כאשר התאוצה של משטח שווה לתאוצת הנפילה החופשית באזור בו נע המשטח,

, אזי וזאת מכיוון שאם 0-משקלו היחסי של הגוף המונח על המשטח שווה ל

גם ,וכאשר . משקלו היחסי של הגוף מחושב על ידי

"."חוסר משקלזה מכונה בשם מצב. 0-המשקל היחסי יהיה שווה ל

תנועות במישור

מקרים שבהם התנועה מתנהלת על קו ישר. בפרקים האחרונים עסקנו בדינמיקה. המקרים שבהם עסקנו הם

בפרק זה נדון בדינמיקה של תנועות במישור, ונתרכז בשתי דוגמות חשובות: תנועת גופים בקרבת הארץ ותנועת

גופים במסלולים מעגליים.

תנועת גופים בקרבת הארץ

זריקה אופקית

בלבד. ניווכח לכך ששני הכדורים יפגעו ננתח את תנועתם של שני כדורים: האחד זרק אופקית, והשני נזרק אנכית

ברצפה לאחר אותו זמן, כלומר תנועתם בציר האנכי זהה. עם זאת, רק הכדור שנזרק אופקית עבר העתקים

. כעת, נדון בתנועות האופקית והאנכית התנועה האופקית והתנועה האנכית אינן תלויות זו בזואופקיים. כלומר:

ואת -ו לרכיבים – , את המהירות -ו נפרק לרכיביו הקרטזיים של גופים. את וקטור מקום הגוף

. -ו נפרק לרכיבים . את התאוצה -ו לרכיבים שיסומנו המהירות ההתחלתית

גוף: הכוח היחיד הפועל על גוף שנזרק זריקה אופקית הוא כוח הכובד, והוא פועל רק נדון בתנועתו האופקית של ה

"החוק השני של ניוטון"(, כאשר – 3של הגוף )ראה פרק משוואת התנועהע"פ -בציר האנכי. מכאן ש

בה ע למהירות . מכיוון שאין תאוצה, הרכיב האופקי של מהירות הגוף קבוע ושווה בכל רג , גם

)נוסחה . בכדי לבטא את הרכיב האופקי של מקומו, נשתמש בנוסחה הגוף נזרק, כלומר

. -. מכאן ש "קינמטיקה"(. נבחר מערכת צירים שבה –זו לקוחה מהפרק הראשון של ספרון זה

. הרכיב לעיל, על הגוף פועל כוח הכובד בלבד, לכן עתה, נדון בתנועתו האנכית של הגוף: כפי שאמרנו

)ע"פ החוק השני של ניוטון(. הרכיב האנכי של מהירותו , כלומר -( שווה לערך ל האנכי של התאוצה )

)ע"פ הנוסחה שהוצגה בפרק העוסק בקינמטיקה(. מכיוון שהרכיב האנכי של המהירות הוא

. באופן דומה ניתן להראות כי הרכיב האנכי של מקום הגוף ניתן ע"י , 0-ההתחלתית שווה ל

.

נסכם את כל הנוסחאות שמצאנו:

רכיבים אופקיים רכיבים אנכיים גודל פיסיקלי

הכוח השקול

תאוצה

מהירות

מקום

. הפרמטר היחיד המשותף למשוואות התנועה האנכית והאופקית הוא פרמטר הזמן

נגדיר את משוואת התנועה של גוף שנזרק אופקית: כפי שציינו, הפרמטר היחיד המשותף למשוואות התנועה

-ל מצוא את הקשר בין האופקית ולמשוואות התנועה האנכית. באמצעות היותו פרמטר משותף, נוכל ל

מאחת המשוואות העוסקות בתנועה אופקית: באמצעות חילוץ פרמטר

)נוכל להסביר זאת פרבוליתמשוואה זו נקראת משוואת המסלול של גוף שנזרק אופקית. משוואה זו היא משוואה

(. חשוב לציין שמסלול התנועה של גוף ונקבל: -כ בפשטות בצורה הבאה: נסמן את המקדם של

מהווה רק "חצי פרבולה", שקדקודה בנקודה ממנה הגוף נזרק.

את מהירותו של גוף נוכל למצוא ע"פ רכיביו הקרטזיים באמצעות משפט פיתגורס:

, ומתקיים: -עם כיוון ציר ה כיוון המהירות יוצר זווית

משופעת זריקה

זריקה משופעת היא זריקה שבה הכיוון בו נזרק הגוף יכול להיות כלשהו, לאו דווקא אנכי או אופקי. לדוגמא:

תנועת כדור טניס לאחר החבטה, כדורסל לאחר זריקתו לסל או תנועת פצצה לאחר שמפציץ משחרר אותה תוך

כדי צלילה.

מעל וכיוונה יוצר זווית פעת כמהירות שגודלה נסמל את מהירותו ההתחלתית של גוף הנזרק זריקה משו

לרכיביו הקרטזיים: הכיוון האופקי. נפרק את וקטור המהירות ההתחלתית

. הרכיב האופקי:

. הרכיב האנכי:

מכאן שגם הרכיב האופקי של , נדון בתנועתו האופקית של גוף כזה: על הגוף פועל רק כוח הכובד, לכן

. הרכיב האופקי של מהירות הגוף שווה לרכיב האופקי של מהירותו , כלומר 0-תאוצת הגוף שווה ל

, וזאת בעקבות . הרכיב האופקי של מיקומו של הגוף ניתן ע"י ההתחלתית:

. נוסחה שהוצגה בפרק העוסק בקינמטיקה:

. הרכיב האופקי של עתה, נדון בתנועתו האנכית של אותו גוף: על הגוף פועל רק כוח הכובד, לכן

. בהסתמך על הנוסחה תאוצתו מנוגד לתאוצת הנפילה החופשית של גופים, כלומר

. באופן דומה, יינתן הרכיב , נבטא את המהירות כפונקציה של זמן ע"י

האנכי של הגוף ע"י:

.

סיכום הנוסחאות שמצאנו:

רכיבים אופקיים רכיבים אנכיים גודל פיסיקלי

הכוח השקול

תאוצה

מהירות

מקום

הוא הפרמטר המשותף למשוואות שני האגפים. נחלץ אותו tכמו בזריקה אופקית, גם בזריקה משופעת פרמטר

משוואת המסלול ממשוואת הרכיב האנכי של המקום ונציב במשוואת הרכיב האופקי של המקום בכדי למצוא את

של גוף שנזרק בכיוון משופע:

. גם כאן, ניתן לבטא את המהירות של הגוף בכל נקודה באמצעות רכיביה פרבולהגם הפעם המסלול הוא

הקרטזיים:

גודל המהירות:

כיוון המהירות ביחס לציר האופקי:

. נסמן את טווח טווח הזריקההמרחק שגוף עובר מנקודת זריקתו עד הנקודה בה הוא שב לגובה ההתחלתי מכונה

. טווח הזריקה מקיים: הזריקה באות

מביטוי זה ניתן להגיע לשתי המסקנות הבאות:

מעלות. 41טווח הזריקה המרבי מתקבל עבור זווית זריקה בת .5

90 – מעלות, טווח הזריקה יהיה שווה לטווח הזריקה בזווית 41-הקטנה מ בזווית אם זורקים גוף .8

מעלות )כמובן בתנאי שגדלי המהירויות ההתחלתיות בשתי הזריקות שווים(.

עה בהשפעת כוח קבועתנ

לו פרבולי. מסלו –כאשר אנו משחררים גוף ממנוחה, הוא נופל במסלול ישר. כאשר נו זורקים גוף בכיוון אופקי

בשני המקרים, הכוח היחיד הפועל על הגוף הוא כוח הכובד. מדוע, אם כן, במקרה אחד המסלול ישר ובשני הוא

. בשני המקרים . תנאי ההתחלה הם המהירות והמקום ברגע תנאי ההתחלהעקום? ההבדל נובע מ

המהירויות ההתחלתיות שונות.

כלפי מטה. כוח הכובד יש לגוף מהירות נזרק כלפי מטה: ברגע נבחן כיצד נקבע מסלול תנועתו של גוף ה

פועל על הגוף כלפי מטה ומקנה לו תאוצה שכיוונה כלפי מטה. תוספת המהירות בפרק זמן כלשהי היא

. היא: , והמהירות ברגע

. כיוון הכוח השקול הפועל עליו כלפי עם שניות נוספות תתקבל מחיבור וקטורי של כעבור המהירות

תהיה מכוונת כלפי מטה, וכך בכל מהלך התנועה. מטה וכך גם כיוון מהירותו, לכן גם

הכובד בכיוון אופקי. כוח לגוף מהירות כעת, נבחן את מסלול תנועתו של גוף שנזרק חופשית: ברגע

היא: , והמהירות ברגע תוספת המהירות בפרק זמן כלשהי היא מקנה לגוף תאוצה כלפי מטה.

.

שניות כעבור וכיוונו אלכסוני. המהירות -גדול מ מכוון כלפי מטה, לכן -אופקי ו הווקטור

. גם הפעם נקבל וקטור שכיוונו אלכסוני, אולם הזווית שלו עם ם ע נוספות תתקבל מחיבור וקטורי של

הכיוון האופקי גדולה יותר. ככל שחולף הזמן מהירות הגוף גדלה וכיוון תנועתו מתקרב יותר ויותר לכיוון מטה, אך

לעולם אינו מתלכד אתו. המסלול במקרה זה יהיה עקום.

: פרבולהאו קו ישרהוא כוח קבוע עת נסכם: מסלול תנועתו של גוף אשר נע בהשפ

מתקבל כאשר המהירות ההתחלתית שווה לאפס או מכוונת בכיוון הכוח )בשני מקרים אלה הגוף נע בכיוון קו ישר

הכוח(, או כאשר כיוונה מנוגד לכיוון הכוח )במקרה זה כיוון התנועה מנוגד לכיוון הכוח עד לרגע שהמהירות

מתאפסת, ולאחר מכן הגוף נע בכיוון הכוח(.

ההתחלתית אינה בכיוון הכוח ואינה בכיוון מנוגד לכוח. ציר הפרבולה מקביל מתקבל כאשר המהירות פרבולה

לכוח.

תנועה מעגלית

עד כה עסקנו בתנועה של גוף בזריקה אופקית או בזריקה משופעת. עתה נחקור תנועת גופים במסלולים מעגליים

ה מעגלית קצובה )כלומר, תנועה )או בקיצור את התנועה המעגלית(. גם כאן נלך מן הקל אל הכבד: נתחיל בתנוע

מעגלית שבה גודל המהירות זהה במהלך כל התנועה( ולאחר מכן נדון בתנועה שאינה קצובה.

תנועה מעגלית קצובה

תנועה מעגלית קצובה היא תנועה שמסלולה מעגלי שבה גודל המהירות נשמר זהה לאורך כל הדרך. האם פירוש

לא מואץ? בכדי לענות על השאלה הזו, עלינו להיזכר שלווקטורים יש שני הדבר שגוף הנע בתנועה מעגלית קצובה

כיוון . בתנועה מעגלית קצובה, גודל וקטור המהירות אומנם לא משתנה, אבל כיווןורכיב גודלרכיבים: רכיב

הווקטור משתנה. מכאן שתנועה מעגלית קצובה היא תנועה מואצת כי המהירות משתנה בכיוונה. כיוון התאוצה

, כלומר תאוצה תאוצה צנטריפטליתבתנועה מעגלית קצובה מכוונת כלפי מרכז המעגל. את תאוצה זו נכנה

, מאחר ווקטור התאוצה נמצא לאורך הרדיוס, תאוצה רדיאליתהמכוונת כלפי המרכז. מקובל לכנותה גם בשם

(. ד במטרים ). גודל רדיוס המעגל נמד . את רדיוס המעגל מסמנים באות -ולסמן אותה ב

. ניתן להוכיח בצורה גאומטרית כי , וברדיוס מסלולו vגודל התאוצה הצנטריפטלית תלוי בגודל מהירות הגוף

, כלומר: לגודל המהירות בריבוע קיים יחס ישר בין התאוצה הצנטריפטלית

, כלומר: לבין רדיוס המעגל עוד ניתן להוכיח בצורה גאומטרית כי קיים יחס הפוך בין התאוצה הצנטריפטלית

מאיחוד שני היחסים הללו נובע כי:

כלומר גודל התאוצה הצנטריפטלית של גוף נמצא ביחס ישר לריבוע גודל מהירותו וביחס הפוך לרדיוס מסלול

תנועתו.

כעת, נותר לנו למצוא את קבוע הפרופורציה, שיעזור לנו להפוך את היחס הישר למשוואה מתמטית. מהדיון

-ל ;שערכנו איננו יכולים לקבוע את גודל קבוע הפרופורציה

יש אמנם יחידות של תאוצה, אך עדיין יתכן קבוע

, כלומר:5-פורציה שווה לפרופורציה כלשהו חסר יחידות. ניתן להראות כי קבוע הפרו

נוכל להשתמש במשוואה זו על מנת למצוא את גודל התאוצה הצנטריפטלית.

. מכאן, שכל עוד הגוף בעל תאוצה, פועל עליו כוח. את החוק השני של ניוטון הוא, בניסוח מתמטי:

ח הפועל על גוף שכזה הוא:. הכו -הכוח הפועל על גוף הנע בתנועה מעגלית קצובה נסמן כ

או

בפרק העוסק בחוק השני של ניוטון, אמרנו כי כיוון התאוצה זהה לכיוון הכוח. לכן, בתנועה מעגלית קצובה, הכוח

זו. השקול הפועל על הגוף מכוון בכל רגע ורגע כלפי מרכז המעגל. כוח זה מכונה לעיתים "כוח צנטריפטלי" מסיבה

וקטור המהירות בתנועה מעגלית קצובה ניצב לרדיוס המעגל בכל נקודה.

תנועה קצובה במעגל כתנועה מחזורית

תנועה קצובה במעגל היא תנועה מחזורית: לאחר שגוף הנע בתנועה קצובה במעגל השלים סיבוב אחד, הוא חוזר

סף בפרק זמן השווה בגודלו לפרק הזמן שלקח שוב ושוב על התנועה שביצע בסיבוב זה. הגוף ישלים כל סיבוב נו

לו בכדי להשלים את סיבובו הקודם )כל עוד גודל מהירותו לא משתנה, כמובן(. פרק הזמן שלוקח לגוף להשלים

. "זמן מחזור" הוא גודל של התנועה המעגלית הקצובה, והוא יסומן באות זמן המחזור סיבוב אחד מכונה

המאפיין תנועות מחזוריות.

שהיא מספר התדירות בנוסף לזמן המחזור מקובל להשתמש במאפיין נוסף של התנועה המחזורית והוא

והקשר בינה לבין זמן המחזור הוא: המחזורים שגוף מבצע ביחידת זמן. התדירות מסומנת באות

. –הרץ התדירות נמדדת במחזורים/שנייה. יחידה זו נקראת SIביחידות

דרש לגוף להשלים מחזור אחד )=זמן המחזור( ניתן ע"י: הזמן הנ

(. )היקפו של מעגל ניתן על ידי

מהירות זוויתית

וערכה ניתן ע"י: של גוף הנע בתנועה קצובה במעגל מסומלת על ידי האות מהירות זוויתית

גוף והיא קבועה עבור גוף קשיח חופשי. נהוג לבחור מהירות זוויתית היא גודל המבטא את מהירות הסיבוב של

. בכדי להסביר –שנייה \המהירות הזוויתית נמדדת ברדיאנים , לכן ביחידות ברדיאנים כיחידה של

. מכאן מהי מהירות זוויתית, נציג דוגמא: מהירותו הזוויתית של גוף הנע בתנועה מעגלית קצובה היא בת

רדיאנים. מאחר ו"רדיאן" 8יתן להסיק כי הקו המחבר אותה עם מרכז המעגל חולף בכל שנייה על פני זווית בת נ

כיחידת המהירות הזוויתית. הוא מספר טהור, מותר להשתמש ביחידה

הקווית נגדיר עתה את הקשר בין מהירותו הקווית של גוף הנע בתנועה קצובה לבין מהירותו הזוויתית: מהירותו

של גוף שכזה נתונה ע"י:

: מהירותו הזוויתית נתונה ע"י

רדיאנים. משתי , כלומר על פני מכיוון שהקו המחבר את הגוף עם מרכז המעגל עובר בפרק זמן

המשוואות הללו נקבל:

, נשתמש במקום אם נרצה לבטא את תאוצה הצנטריפטלית של גוף הנע בתנועה קצובה במעגל באמצעות

בקשר האחרון שהצגנו ונקבל:

ן . הקשר נית -ו ניתן לקשור בין המהירות הזוויתית גם לבין הגלים המאפיינים את מחזוריות התנועה, הלא הם

באמצעות הנוסחה:

תנועה מעגלית שאינה קצובה

לא כל תנועה מעגלית היא קצובה. ישנן תנועות מעגליות שבהן גודל המהירות משתנה מנקודה לנקודה. כעת, נדון

במקרה כללי בו המהירות משתנה גם בגודלה, ולא רק בכיוונה.

ניסוייםתוצאות –התאוצה בתנועה מעגלית שאינה קצובה

תחילה, נערוך ניסוי על התאוצה בתנועה מעגלית שאינה קצובה. מערכת הניסוי כוללת דסקית אופקית, הניתנת

לסיבוב באמצעות מנוע חשמלי, ומד טווח המחובר למחשב. עוקבים באמצעות מד הטווח אחר תנועתה של נקודה

אות של ניסוי זה יראו לנו כי תנועת נקודת מסוימת על הדסקית, ומודדים את מקומה במרווחי זמן שווים. התוצ

הדסקית מחולקת לשלושה חלקים: הראשון הוא עליה של המהירות עד למצב של תנועה קצובה, השני הוא מצב

שבו המהירות היא מהירות קצובה )בדיוננו על תנועות מעגליות עסקנו עד כה רק במצב זה( והשלישי הוא מצב

שהדסקית נעצרת.שבו המהירות הולכת וקטנה, עד

התאוצה אינה מכוונת כלפי מרכז מסלול –מניסויים אלו ניתן ללמוד כי כאשר התנועה המעגלית אינה קצובה

מייצג את קצב רכיב התאוצה בכיוון מרכז המעגליש לה רכיב בכיוון מרכז המעגל ורכיב בכיוון המשיק. ;התנועה

. עוד ניתן ללמוד, גודל המהירותמייצג את קצב שינוי רכיב התאוצה בכיוון המשיק למעגל וכיוון המהירות שינוי

הרכיב המשיקי של התאוצה מכוון בכיוון המהירות, ואילו כאשר המהירות –שכאשר המהירות הולכת וגדלה

הולכת וקטנה הרכיב המשיק של התאוצה מכיוון בכיוון מנוגד למהירות.

גזירה מתמטית –מעגלית שאינה קצובה התאוצה והכוח בתנועה

של התאוצה הרכיב המשיקי . את -נסמן את השינוי במהירותו של גוף הנע בתנועה מעגלית שאינה קצובה כ

. מכיוון שתאוצתו של גוף זה היא תאוצה רגעית בלבד, הניסוח המתמטי של הרכיב -הכללית של גוף זה נסמן כ

המשיקי של התאוצה יהיה:

וגודלו: ( של התאוצה הכללית הוא, כאמור, הרדיאלי) הרכיב הצנטריפטלי

גודל התאוצה הכללית ניתן באמצעות משפט פיתגורס:

של הכוח השקול הפועל על גוף שכזה ניתן לפירוק לרכיב צנטריפטלי ורכיב משיקי גם הוא. הרכיב הצנטריפטלי

הכוח הוא, כאמור:

, והוא מקיים )בתוקף החוק השני של ניוטון( את הקשר: -הרכיב המשיקי של הכוח מסומן כ

המהירות. אם הרכיב המשיקי של הכוח פועל בכיוון מהירות גודל הרכיב המשיקי של הכוח השקול משנה את

אזי הוא מגדיל את המהירות, ואם כיוונו מנוגד לכיוון המהירות אזי הוא מקטין אותה. הגוף

גודל הכוח השקול הכללי ניתן גם הוא באמצעות משפט פיתגורס:

;נסכם: כאשר גוף נע בתנועה מעגלית אזי על הגוף פועל כוח שקול

. לשינויי כיוון המהירותאחראי והרכיב הניצב למעגל, המהירותלשינוי גודל אחראי רכיב הכוח המשיק למעגל

מהירות זוויתית רגעית

וקטור על פני זוויות שוות בזמנים שווים. תכונה זו אפשרה להגדיר את -בתנועה קצובה במעגל, עובר הרדיוס

הזוויתית של המהירות הזוויתית של הגוף. בתנועה מעגלית שאינה קצובה, נצטרך להיזהר בהגדרת המהירות

כקצב שינוי הזווית: בניסוח מתמטי: מהירות זוויתית רגעית הגוף, משום שזו אינה קבועה. לכן, נגדיר

נכון גם בתנועה מעגלית שאינה קצובה. לכן, הקשר בין המהירות הקווית הרגעית של הגוף, לבין הקשר

כל רגע ורגע בתנועה מעגלית שאינה קצובה.מהירותו הזוויתית הרגעית, מתקיים ב

נספחים

בחלק זה של הספר, מרוכזים כל הנספחים אליהם מפנים חלקים מסוימים בספר. הנספחים הם עמודים אשר

כרך א'" של עדי רוזן, ומובאים בספר זה למטרות העשרה וביסוס הבנה. –נסרקו מהספר "מכניקה ניוטונית

הנספח הראשון מסביר על כללת המשולש וכלל המקבילית, כללים שבעזרתם מסבירים וקטורים לפני הצגת

המערכת הקרטזית בספר שעליו מבוסס הסיכום. מכיוון שמערכת קרטזית יעילה בהרבה משימוש בכללים אלו,

ם מהם בסיכום עצמו, אך להציג אותם כנספח. הנספחים השני והשלישי מציגים ניסויים שבעזרתם בחרנו להתעל

ניתן להוכיח כי הכוח מקיים את כללי החיבור של הווקטורים ולכן הוא וקטור וכי קיים קשר בין גודל הכוח לגודל

הנספח הרביעי, המפרט מהם התאוצה. ניסויים אלו הושמטו מגרסה מסוכמת זו, ובמקומם הוצגו רק המסקנות.

התנאים הסטנדרטיים, אינו נלקח מספרו של עדי רוזן.

*חשוב לנו לציין, כי אין לנו כל כוונה לפגוע בזכויות היוצרים של עדי רוזן. הסריקות הן למטרות לימודיות

"מכניקה בלבד ואין לנו שום כוונה להשתמש בהן למטרות רווח אישי. אנו ממליצים מאוד על קריאת הספר

'" של עדי רוזן לפני, או אפילו לצד קריאת סיכום זה.*אכרך –ניוטונית

כלל המשולש וכלל המקבילית –: קינמטיקה )פרק א'( 1נספח

ניסוי המוכיח כי הכוח מקיים את כללי –: כוחות ומצבי התמדה )פרק ב'( 2נספח

החיבור של הווקטורים

ניסויים המראים כי קיים קשר ישר בין גודל –: החוק השני של ניוטון )פרק ג'( 3נספח

התאוצה של גוף לכוח השקול הפועל עליו

התנאים הסטנדרטיים –: החוק השני של ניוטון )פרק ג'( 4נספח

, IUPAC, הם אמת מידה המאפשרת להשוות צפיפויות. לפי התנאים הסטנדרטיים של טמפרטורה ולחץ, או

, ) -פסקל -קילו 500, והלחץ הוא הטמפרטורה התקנית היא

ולחץ של משתמשים בטמפרטורה של , בר אחד(.

( , .)