Βιβλίο Καθηγητή

Ανάδοχος Φορέας Έργου Εκδόσεις Καστανιώτη Α.Ε.

www.kastaniotis.com Ομάδα Ανάπτυξης του Έργου Ταλαντώσεις

Συντονιστής έργου: Αγαθός Γεώργιος Εκπαιδευτική ομάδα: Αντωνίου Αντώνιος, Κασιμάτης Νικόλαος, Πετρέσκου Θεόδωρος Τεχνική ομάδα: Ζευγώλης Παναγιώτης, Λουκιανός Μιχάλης Επιμέλεια: Κορμπάκη Γεωργία Υπεύθυνος/οι παρακολούθησης εκ μέρους του ΕΑ.ΙΤΥ: Τσίτσος Βασίλειος

Ταλαντώσεις Βιβλίο Καθηγητή

Έργο ΠΛΕΙΑΔΕΣ/ Νηρηίδες, Γ΄ ΚΠΣ 3 ΕΑ.ΙΤΥ / Υπ.Ε.Π.Θ.

Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α

Περιεχόμενα ................................................................................................................. 3 Κατακόρυφο ελατήριο .................................................................................................... 7 Εισαγωγή ............................................................................................................................... 7 Γνωστικό αντικείμενο................................................................................................................ 7 Διδακτικοί στόχοι ..................................................................................................................... 8 Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................... 9 Εναλλακτικές ιδέες των μαθητών................................................................................................ 9 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών .................................................................. 9 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου .......................................................................... 9 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών ........................................................................................ 9 Προτάσεις αξιολόγησης ........................................................................................................... 10 Στρατηγικές εμψύχωσης ......................................................................................................... 10 Υλικό για τους διδάσκοντες...................................................................................................... 10 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ......................................................................................................... 11 Φύλλα εργασίας: Κατακόρυφο ελατήριο .................................................................................... 12 Δραστηριότητα 1: Το πείραμα – εργασία με τους αισθητήρες ...................................................... 14 Δραστηριότητα 2: Επεξεργασία των δεδομένων – εργασία με το Function Probe............................ 16 Δραστηριότητα 3: Το μαθηματικό μοντέλο – εργασία με το Modellus ........................................... 19

Φθίνουσες ταλαντώσεις .................................................................................................22 Εισαγωγή ............................................................................................................................. 22 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................. 22 Διδακτικοί στόχοι ................................................................................................................... 22 Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................. 23 Εναλλακτικές ιδέες των μαθητών.............................................................................................. 23 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ................................................................ 23 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου ........................................................................ 24 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών ...................................................................................... 24 Προτάσεις αξιολόγησης ........................................................................................................... 24 Δραστηριότητες εμπλουτισμού ................................................................................................. 24 Στρατηγικές εμψύχωσης ......................................................................................................... 24 Υλικό για τους διδάσκοντες...................................................................................................... 25 Οδηγία προς τους εκπαιδευτικούς ............................................................................................. 25 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ......................................................................................................... 25 Φύλλα εργασίας: Φθίνουσες ταλαντώσεις................................................................................... 26 Δραστηριότητα 1: Ο ρόλος της σταθερής απόσβεσης b .............................................................. 28 Δραστηριότητα 2: Ο ρόλος του πλάτους της ταλάντωσης........................................................... 30 Δραστηριότητα 3: Τι διατηρείται σταθερό στη φθίνουσα ταλάντωση ............................................ 31 Δραστηριότητα 4: Υπολογισμός της διατομής του σώματος......................................................... 33

Γραμμική αρμονική ταλάντωση .......................................................................................36 Εισαγωγή ............................................................................................................................. 36 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................. 36 Διδακτικοί στόχοι ................................................................................................................... 37 Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................. 37 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ................................................................ 38 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου ........................................................................ 38 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών ...................................................................................... 38 Προτάσεις αξιολόγησης ........................................................................................................... 38 Δραστηριότητες εμπλουτισμού ................................................................................................. 38 Στρατηγικές εμψύχωσης ......................................................................................................... 39 Υλικό για τους διδάσκοντες...................................................................................................... 39 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ......................................................................................................... 39 Φύλλα εργασίας: Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση ........................................................................ 40 Δραστηριότητα 1: Η Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) ως κίνηση της προβολής σημείου της ομαλής κυκλικής κίνησης ..................................................................................................... 41



Δραστηριότητα 2: Προσομοίωση και μελέτη του φαινομένου της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης . 44 Δραστηριότητα 3: Μελέτη των εξισώσεων που περιγράφουν τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση και σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων των αντίστοιχων συναρτήσεων......................................... 47

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις.........................................................................................50 Εισαγωγή ............................................................................................................................. 50 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................. 50 Διδακτικοί στόχοι ................................................................................................................... 51 Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................. 52 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ................................................................ 52 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου ........................................................................ 52 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών ...................................................................................... 52 Προτάσεις αξιολόγησης ........................................................................................................... 53 Δραστηριότητες εμπλουτισμού ................................................................................................. 53 Στρατηγικές εμψύχωσης ......................................................................................................... 53 Υλικό για τους διδάσκοντες...................................................................................................... 53 Φύλλα εργασίας: Τριγωνομετρικές συναρτήσεις .......................................................................... 54 Δραστηριότητα 1: Μελέτη των συναρτήσεων της μορφής f(ω)=ημω και f(ω)=συνω με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου και σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων..................................... 55 Δραστηριότητα 2: Μελέτη των συναρτήσεων της μορφής f(ω)=ρ·ημ(αω), f(ω)=ρ·ημ(ω+φ), f(ω)=α·ημω+β·συνω κ.τ.λ. και σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων ................................. 60 Δραστηριότητα 3: Μελέτη των συναρτήσεων h=1+1/3συν3t και y=3ημ[(π/6)t]............................ 65

Παράγωγοι μαθηματικών συναρτήσεων............................................................................66 Εισαγωγή ............................................................................................................................. 66 Τεκμηρίωση εκπαιδευτικού σεναρίου ......................................................................................... 66 Διδακτικοί στόχοι ................................................................................................................... 66 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ................................................................ 66 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου ........................................................................ 67 Υλικό για τους διδάσκοντες...................................................................................................... 67 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ......................................................................................................... 67 Φύλλα εργασίας: Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων........................................................ 68 Δραστηριότητα 1: Λόγος μεταβολής συνάρτησης και παράγωγος ................................................ 68 Δραστηριότητα 2: Παράγωγος συνάρτηση ............................................................................... 71 Δραστηριότητα 3: Δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης ........................................................... 73 Δραστηριότητα 4: Συμβολή των παραγώγων στη μελέτη των συναρτήσεων.................................. 75 Δραστηριότητα 5: Μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων και παράγωγοί τους................ 77

Ηλεκτρικές ταλαντώσεις ................................................................................................79 Εισαγωγή ............................................................................................................................. 79 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................. 79 Διδακτικοί στόχοι ................................................................................................................... 79 Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................. 80 Εναλλακτικές ιδέες των μαθητών.............................................................................................. 80 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ................................................................ 80 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου ........................................................................ 81 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών ...................................................................................... 81 Προτάσεις αξιολόγησης ........................................................................................................... 81 Δραστηριότητες εμπλουτισμού ................................................................................................. 82 Στρατηγικές εμψύχωσης ......................................................................................................... 82 Υλικό για τους διδάσκοντες...................................................................................................... 82 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ......................................................................................................... 82 Φύλλα εργασίας: Ηλεκτρικές ταλαντώσεις .................................................................................. 83 Δραστηριότητα 1: Μελέτη μιας ηλεκτρικής ταλάντωσης ............................................................. 86 Δραστηριότητα 2: Με τη γλώσσα της ενέργειας ........................................................................ 88 Δραστηριότητα 3: Πηνίο με πυρήνα ....................................................................................... 91 Δραστηριότητα 4: Η σταθερά απόσβεσης................................................................................. 93

Εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση ..............................................................................95 Εισαγωγή ............................................................................................................................. 95



Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................. 95 Διδακτικοί στόχοι ................................................................................................................... 95 Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................. 96 Εναλλακτικές ιδέες των μαθητών.............................................................................................. 96 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ................................................................ 96 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου ........................................................................ 97 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών ...................................................................................... 97 Προτάσεις αξιολόγησης ........................................................................................................... 97 Δραστηριότητες εμπλουτισμού ................................................................................................. 97 Στρατηγικές εμψύχωσης ......................................................................................................... 97 Υλικό για τους διδάσκοντες...................................................................................................... 98 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ......................................................................................................... 98 Φύλλα εργασίας: Εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση ................................................................ 99 Δραστηριότητα 1: Εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με απόσβεση ........................................101

Στάσιμο κύμα ............................................................................................................103 Εισαγωγή ............................................................................................................................103 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................103 Διδακτικοί στόχοι ..................................................................................................................104 Παιδαγωγικοί στόχοι..............................................................................................................104 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ...............................................................104 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου .......................................................................104 Υλικό για τους διδάσκοντες.....................................................................................................104 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ........................................................................................................105 Φύλλα εργασίας: Στάσιμο κύμα ...............................................................................................106 Δραστηριότητα 1: Κινηματική και δυναμική μελέτη ενός μηχανικού αρμονικού κύματος ................106 Δραστηριότητα 2: Μελέτη του στάσιμου κύματος.....................................................................109

Ενεργειακή προσέγγιση της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης ..........................................113 Εισαγωγή ............................................................................................................................113 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................113 Διδακτικοί στόχοι ..................................................................................................................113 Παιδαγωγικοί στόχοι..............................................................................................................113 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ...............................................................114 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου .......................................................................114 Υλικό για τους διδάσκοντες.....................................................................................................114 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ........................................................................................................114 Φύλλα εργασίας: Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση .......................................................................115 Δραστηριότητα 1: Κινηματική και δυναμική μελέτη της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης .............115 Δραστηριότητα 2: Μελέτη της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης από ενεργειακή άποψη...............118

Σεισμοί – Σεισμικά κύματα ...........................................................................................122 Εισαγωγή ............................................................................................................................122 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................122 Διδακτικοί στόχοι ..................................................................................................................123 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ...............................................................123 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών .....................................................................................124 Προτάσεις αξιολόγησης ..........................................................................................................124 Στρατηγικές εμψύχωσης ........................................................................................................124 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου .......................................................................124 Φύλλα εργασίας: Σεισμοί – σεισμικά κύματα..............................................................................125 Δραστηριότητα 1: Μελέτη των σεισμικών κυμάτων με τη βοήθεια ιστοσελίδων του διαδικτύου........125 Δραστηριότητα 2: Εύρεση της απόστασης του σημείου Α (επίκεντρο ενός σεισμού) από το σημείο Β, όπου βρίσκεται ένας σεισμογράφος, χρησιμοποιώντας μία γλώσσα προγραμματισμού ....................127 Δραστηριότητα 3: Προσομοίωση της επίδρασης του σεισμού σε κτήρια, τα οποία κουνιούνται καθώς συμμετέχουν στην ταλάντωση του εδάφους, με το λογισμικό Interactive Physics .........................130

Σύνθεση Γραμμικών Αρμονικών Ταλαντώσεων ................................................................133 Εισαγωγή ............................................................................................................................133 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................133 Διδακτικοί στόχοι ..................................................................................................................134



Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................134 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ...............................................................134 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου .......................................................................135 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών .....................................................................................135 Προτάσεις αξιολόγησης ..........................................................................................................135 Δραστηριότητες εμπλουτισμού ................................................................................................135 Στρατηγικές εμψύχωσης ........................................................................................................135 Υλικό για τους διδάσκοντες.....................................................................................................135 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ........................................................................................................136 Φύλλα εργασίας: Σύνθεση Γραμμικών Αρμονικών Ταλαντώσεων...................................................137 Δραστηριότητα 1: Μελέτη της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος αλλά διαφορετικές συχνότητες ......................138 Δραστηριότητα 2: Προσομοίωση και μελέτη του φαινομένου της σύνθεσης Γραμμικών Αρμονικών Ταλαντώσεων ....................................................................................................................140 Δραστηριότητα 3: Μελέτη της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και έχουν την ίδια διεύθυνση .................................................142

Ιδιοσυχνότητες και συντονισμός ...................................................................................144 Εισαγωγή ............................................................................................................................144 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................144 Διδακτικοί στόχοι ..................................................................................................................145 Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................145 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ...............................................................145 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών .....................................................................................145 Προτάσεις αξιολόγησης ..........................................................................................................146 Στρατηγικές εμψύχωσης ........................................................................................................146 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου .......................................................................146 Υλικό για τους διδάσκοντες.....................................................................................................146 Προτεινόμενοι ιστοχώροι ........................................................................................................146 Φύλλα εργασίας: Ιδιοσυχνότητες και συντονισμός ......................................................................147 Δραστηριότητα 1: Κατασκευή προσομοίωσης με το λογισμικό Interactive Physics, για την εύρεση της ιδιοσυχνότητας ενός αρμονικού ταλαντωτή ............................................................................147 Δραστηριότητα 2: Προσθήκη ενός διεγέρτη στην κατασκευή της δραστηριότητας 1, για τη μελέτη του φαινομένου του συντονισμού ...............................................................................................151

Πρόταση επέκτασης δραστηριοτήτων σε περιβάλλον προγραμματισμού ...............................155 Παραστάσεις κυκλικών συναρτήσεων με γλώσσα προγραμματισμού....................................155 Εισαγωγή ............................................................................................................................155 Γνωστικό αντικείμενο.............................................................................................................155 Διδακτικοί στόχοι ..................................................................................................................158 Διδακτική προσέγγιση ............................................................................................................158 Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών ...............................................................158 Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου .......................................................................159 Περιγραφή της εργασίας των μαθητών .....................................................................................159 Προτάσεις αξιολόγησης ..........................................................................................................159 Δραστηριότητες εμπλουτισμού ................................................................................................159 Στρατηγικές εμψύχωσης ........................................................................................................159 Υλικό για τους διδάσκοντες.....................................................................................................159 Φύλλα εργασίας: Παραστάσεις κυκλικών συναρτήσεων με γλώσσα προγραμματισμού ......................161 Εισαγωγή ............................................................................................................................161 Δραστηριότητα 1: Η γεωμετρία της οθόνης σε γραφικό περιβάλλον και οι βασικές ενέργειες για την είσοδο σε αυτό με τη γλώσσα προγραμματισμού Pascal ............................................................162 Δραστηριότητα 2: Σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: y=ημχ, y=συνχ, y=y0ημωt κ.τ.λ. .................................................................................................................169



Κ α τ α κ ό ρ υ φ ο ε λ α τ ή ρ ι ο Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν οι μαθητές θα πειραματιστούν με ελατήρια και μικρά βαρίδια, με σκοπό να μελετήσουν την κίνηση ενός σώματος το οποίο είναι προσδεδεμένο στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο. Θα πρέπει λοιπόν να εργαστούν, εφαρμόζοντας την επιστημονική πειραματική μέθοδο. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουν εργαλεία, συσκευές και λογισμικά. Τελικός στόχος είναι να δομήσουν ένα μαθηματικό μοντέλο που να περιγράφει την κίνηση ενός σώματος το οποίο εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση. Η διάρκεια της δραστηριότητας εκτιμάται σε τέσσερις ώρες και προτείνεται για τη Β΄ Λυκείου. Γνωστικό αντικείμενο Όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι ανάλογη με τη μετατόπισή του από τη θέση ισορροπίας –και αν η κατεύθυνση είναι συνεχώς προς τη θέση ισορροπίας– τότε η κίνηση του σώματος είναι ιδιαίτερη και λέγεται Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση. Έστω ένα κατακόρυφο ελατήριο, με σταθερή k, το ένα άκρο του οποίου είναι συνδεδεμένο σε σταθερό σημείο, ενώ στο άλλο άκρο του υπάρχει ένα σώμα με μάζα m. Το σώμα ισορροπεί, ώστε η μεταβολή στο μήκος του ελατηρίου να είναι:

1

ίF m g

m gxk

ελατηρ ου = ⋅

⋅=

Αν απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας το σώμα κατά Α, εκτείνοντας το ελατήριο με την εξάσκηση μιας δύναμης κατά μήκος του ελατηρίου, και μετά το αφήσουμε ελεύθερο, τότε για τη μετατόπιση του σώματος ισχύει:

1( )ίF B F

F m g k x x

F k x

ελατηρ ου= −

= ⋅ − +

= − ⋅

∑∑∑

Η συνισταμένη δύναμη λέγεται δύναμη επαναφοράς και η σταθερή επαναφοράς D είναι η σταθερή του ελατηρίου k. Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε:

2

2

m a k xd xm k xdt

⋅ = − ⋅

⋅ = − ⋅

Από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης προκύπτουν οι λύσεις για τη μετατόπιση:

( )x A tημ ω φ= ⋅ ⋅ + Επίσης, για την ταχύτητα και την επιτάχυνση:

( )dxu A tdt

ω συν ω φ≡ = ⋅ ⋅ ⋅ +

2 2( )du A t xdt

α ω ημ ω φ ω≡ = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅

Η γωνία φ, η οποία λέγεται αρχική φάση, είναι τέτοια, ώστε τη χρονική στιγμή 0 να είναι x=A. Επομένως, φ=π/2.



Σημαντικά μεγέθη για τη μελέτη της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης είναι η συχνότητα (f), δηλαδή το πλήθος των ταλαντώσεων στη μονάδα του χρόνου, η περίοδος (Τ), δηλαδή ο χρόνος μέσα στον οποίο ολοκληρώνεται μια ταλάντωση, και η κυκλική συχνότητα (ω), ή γωνιακή ταχύτητα, η οποία συνδέεται με τα άλλα μεγέθη με τις παρακάτω σχέσεις:

2 2

u A

f

ωπω π

= ⋅

= = ⋅Τ

Η κίνηση του σώματος είναι περιοδική. Αν θεωρηθεί ότι η παρατήρηση αρχίζει τη χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, τότε:

Η περίοδος της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης προκύπτει από τη σχέση:

m a k x⋅ = − ⋅ 2m x kxω− ⋅ ⋅ = −

και είναι:

2 mTk

π=

Διδακτικοί στόχοι Γνωστικού αντικειμένου Οι μαθητές θα πρέπει:

1. Να περιγράψουν ποιοτικά και ποσοτικά τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση ιδανικού ελατηρίου.

2. Χρησιμοποιώντας πειραματικά δεδομένα, να υπολογίσουν και να σχεδιάσουν τα διαγράμματα (θέση-χρόνος), (ταχύτητα-χρόνος) και (επιτάχυνση-χρόνος).

3. Να κατασκευάσουν, λειτουργώντας εποικοδομητικά, το μαθηματικό μοντέλο της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης.

Γενικότεροι Γενικότεροι στόχοι:

• Ο χειρισμός από τους μαθητές μεγάλου αριθμού πειραματικών δεδομένων, με τα κατάλληλα εκπαιδευτικά λογισμικά, και η παραγωγή-παρουσίαση των αποτελεσμάτων τους.

• Η συνδυασμένη χρήση διαφόρων λογισμικών.

• Η γενίκευση και η διατύπωση κανόνων.

• Η εξοικείωση με την πειραματική μέθοδο.



• Η απόκτηση δεξιοτήτων και η υιοθέτηση υπεύθυνης στάσης κατά την εργασία μέσα σε εργαστήριο εξοπλισμένο με συστήματα Νέων Τεχνολογιών.

Διδακτική προσέγγιση Στόχος του εκπαιδευτικού σεναρίου είναι να ενθαρρύνει τους μαθητές να εργαστούν με διερευνητικό τρόπο, αποφεύγοντας τη μηχανιστική μάθηση. Οι δραστηριότητες που αναπτύχθηκαν υποστηρίζουν:

• Την αυτενέργεια και τη συνεργασία των μαθητών.

• Την ανάπτυξη εικασιών.

• Την πρόκληση γνωστικών συγκρούσεων ανάμεσα στις εναλλακτικές ιδέες των μαθητών και στη Φυσική.

• Τον ερευνητικό τρόπο εργασίας των μαθητών, δηλαδή την άμεση εμπλοκή τους στην παρατήρηση, στο σχεδιασμό πειραμάτων, στη σύνθεση πειραματικών διατάξεων και στη διεξαγωγή πειραμάτων.

Εναλλακτικές ιδέες των μαθητών Μπορούμε να διακρίνουμε, μεταξύ άλλων, τις παρακάτω εναλλακτικές ιδέες που ενδέχεται να έχουν οι μαθητές:

• Οι ταλαντώσεις στο φυσικό κόσμο είναι αμείωτες.

• Η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από το πλάτος.

• Η κατευθύνουσα δύναμη είναι σταθερή σε όλα τα σημεία της ταλάντωσης.

• Οι αρμονικές ταλαντώσεις διαρκούν για πάντα.

• Το πλάτος σε μια ταλάντωση μετριέται από κορυφή σε κορυφή.

• Η επιτάχυνση είναι μηδενική στα ακραία σημεία της κίνησης ενός εκκρεμούς. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών

• Βασικές γνώσεις σχετικά με το λειτουργικό σύστημα (αποθήκευση, άνοιγμα, κ.λπ.).

• Σύνταξη απλού κειμένου με επεξεργαστή κειμένου.

• Βασικές ικανότητες για την εκτύπωση αρχείου.

Γνωστικό αντικείμενο

• Κινηματική και Δυναμική, Α΄ Λυκείου.

• Συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτούνται:

• Διάφορα όργανα και αντικείμενα από το συμβατικό εργαστήριο, όπως στηρικτικές διατάξεις, βαρίδια κ.λπ.

• Το Σύστημα Συγχρονικής Λήψης και Απεικόνισης των εργαστηρίων φυσικών επιστημών των λυκείων και ειδικότερα:

• Ο αισθητήρας κίνησης (απόστασης).

• Ο αισθητήρας δύναμης.

• Τα λογισμικά Function Probe και Modellus. Περιγραφή της εργασίας των μαθητών

• Έχοντας αντίγραφα των φύλλων εργασίας, οι μαθητές δουλεύουν σε ομάδες, αποτελούμενες από τρία το πολύ μέλη, στους σταθμούς εργασίας του σχολικού εργαστηρίου της «Οδύσσειας» ή της Πληροφορικής.



• Οι ρόλοι, οι οποίοι αναπτύσσονται κατά τη διάρκεια της ομαδικής εργασίας, καλό θα είναι να αναλαμβάνονται διαδοχικά από κάθε μέλος της ομάδας.

• Ο διάλογος και η ανάπτυξη επιχειρημάτων είναι επιδιωκόμενες μαθητικές συμπεριφορές, όταν δεν εμποδίζεται η εργασία των γειτονικών ομάδων.

• Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν το δικό τους χώρο στα περιφερειακά αποθηκευτικά μέσα (σκληρούς δίσκους, CD-ROM ή αποσπώμενες αποθηκευτικές συσκευές), ώστε να μπορούν κάποια στιγμή να επανέλθουν σε αρχεία εφαρμογής ή κείμενα.

• Μαζί με τα φύλλα εργασίας, σκόπιμο είναι οι μαθητές να έχουν τη δυνατότητα επισύναψης εκτυπώσεων, όπου θα αποτυπώνεται η πορεία της διερευνητικής τους προσπάθειας.

• Όταν ο χρονικός προγραμματισμός το επιτρέπει, οι εργασίες των ομάδων μπορούν να παρουσιάζονται σε ολόκληρη την τάξη και να ακολουθεί συζήτηση και σχολιασμός.

• Το σενάριο προβλέπει οι μαθητές να εμπλακούν στις παρακάτω δραστηριότητες:

• Να εκτελέσουν ένα πείραμα στο εργαστήριο και να πάρουν τις μετρήσεις των βασικών μεγεθών του φυσικού φαινομένου.

• Να επεξεργαστούν τα δεδομένα και να «ανακαλύψουν» ένα μαθηματικό μοντέλο το οποίο θα περιγράφει το φυσικό φαινόμενο.

• Να αξιολογήσουν το μαθηματικό μοντέλο.

• Η επεξεργασία των δεδομένων του πειράματος δεν επιλέχθηκε να γίνει με το λογισμκό DB-Lab, επειδή:

• Δεν υπάρχει η ημιτονοειδής καμπύλη προσέγγισης των πειραματικών δεδομένων στο συγκεκριμένο λογισμικό.

• Θα αποφευχθεί η αυτόματη, με το πάτημα ενός κουμπιού, διαδικασία.

• Οι μαθητές θα εμπλακούν σε μια συνεργατική διαδικασία επεξεργασίας των δεδομένων, όπου τα εργαλεία θα εναλλάσσονται.

• Θα αποδοθούν ρόλοι στα λογισμικά που είναι διαθέσιμα στα σχολεία και θα αναδειχθούν οι χρήσεις τους μέσα από διαφορετικά μαθήματα.

Προτάσεις αξιολόγησης Οι εργασίες των μαθητών προτείνεται να αξιολογηθούν και από τα εξής στοιχεία:

• Την πληρότητα, τη σαφήνεια και την ακρίβεια των απαντήσεών τους.

• Τις επιλογές των εκτυπώσεών τους, τις οποίες θα πρέπει να χαρακτηρίζει η ευστοχία και η αποτελεσματικότητα της χρήσης τους.

Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των έων τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές. Υλικό για τους διδάσκοντες

• Στη βιβλιοθήκη του εργαστηρίου υπάρχουν:

• Τα συνοδευτικά εγχειρίδια του MultiLog.

• Τα συνοδευτικά εγχειρίδια του DB-Lab.

• Τα συνοδευτικά εγχειρίδια των λογισμικών τα οποία μπορούν να ληφθούν από τους προτεινόμενους ιστοχώρους.

• Το διδακτορικό του κατασκευαστή του λογισμικού Modellus, V. D. Teodoro.



• Από την πιλοτική δοκιμή του πειράματος με το Multilog – DB-Lab του σεναρίου στο σχολικό εργαστήριο του Λυκείου Καλλίπολης, στις 15 Ιουνίου 2006, προέκυψαν δεδομένα τα οποία επισυνάπτονται στο φάκελο της δραστηριότητας:

• Το αρχείο «Apomakrynsi.SMP» με τα δεδομένα που ελήφθησαν από το πείραμα.

• Το αρχείο «Apomakrynsi.CSV» που περιέχει τα αποτελέσματα των μετρήσεων της απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο, τα οποία εξήχθησαν από το DB-Lab με τη διαδικασία «Αποθήκευση αρχείου ως τιμές διαχωριζόμενες με κόμμα».

• Τα αρχεία «Apomakrynsi2.txt» και «Apomakrynsi3.txt» που προέκυψαν: το πρώτο μετά την αφαίρεση των δύο πρώτων γραμμών, το δεύτερο μετά την αφαίρεση των γραμμών πέρα από την πεντηκοστή.

• Από την επεξεργασία των πειραματικών δεδομένων στο αρχείο του Function Probe παρατίθεται το «Talantosi.prb». Στο αρχείο αυτό έχουν προστεθεί βοηθητικές γραμμές, παράλληλες με τον οριζόντιο άξονα, για την ακριβέστερη ανάγνωση των τιμών του πλάτους της ταλάντωσης.

• Από την επεξεργασία με το λογισμικό Modellus παρατίθεται το αρχείο talantosi.mdl που περιέχει το μαθηματικό μοντέλο.

Προσοχή: Το λογισμικό Modellus δεν ανοίγει τα αρχεία που έχουν τη διαδρομή τους (path) ή μόνο το όνομά τους στα ελληνικά.

Προτεινόμενοι ιστοχώροι

• http://odysseia.cti.gr/kirki/2ndProductGroup/Function Probe.htm Ο ιστοχώρος του λογισμικού Function Probe· δίνεται περιγραφή και πληροφορίες για το λογισμικό. Διατίθεται επίσης το ίδιο το λογισμικό, καθώς και τα σχετικά εγχειρίδια και οι οδηγίες.

• http://odysseia.cti.gr/kirki/2ndProductGroup/Modellus.htm Ο ιστοχώρος του λογισμικού Modellus· δίνεται περιγραφή και πληροφορίες για το λογισμικό. Διατίθεται επίσης το ίδιο το λογισμικό, καθώς και τα σχετικά εγχειρίδια και οι οδηγίες.

• http://modellus.fct.unl.pt/ Ο επίσημος ιστοχώρος του λογισμικού Modellus· περιλαμβάνει μεταξύ των άλλων πλούσιο εκπαιδευτικό υλικό.

• http://www.e-yliko.gr/htmls/arctles/artcl_phys.aspx Η εκπαιδευτική πύλη του ΥπΕΠΘ· άρθρα σχετικά με τη διδακτική των φυσικών επιστημών.

http://odysseia.cti.gr/kirki/2ndProductGroup/Function Probe.htm

http://odysseia.cti.gr/kirki/2ndProductGroup/Modellus.htm

http://modellus.fct.unl.pt/

http://www.e-yliko.gr/htmls/arctles/artcl_phys.aspx



Φύλλα εργασίας: Κατακόρυφο ελατήριο Εισαγωγή Στη δραστηριότητα που ακολουθεί θα πειραματιστείτε με ένα σώμα που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση. Οι μετρήσεις σας θα πραγματοποιηθούν με το Σύστημα Συγχρονικής Λήψης και Απεικόνισης του εργαστηρίου Φυσικής και τα αποτελέσματα που θα προκύψουν θα τα καταγράψετε σε ψηφιακό αρχείο το οποίο αποτελέσει την είσοδο για την επόμενη δραστηριότητα. Βασικές έννοιες – Λέξεις-κλειδιά Γραμμική αρμονική ταλάντωση, συγχρονική λήψη δεδομένων, αισθητήρες, ελατήριο. Προαπαιτούμενα – Υποδομή

• Όργανα και αντικείμενα από το συμβατικό εργαστήριο, όπως στηρικτικές διατάξεις, βαρίδια κ.λπ.

• Το Σύστημα Συγχρονικής Λήψης και Απεικόνισης των εργαστηρίων φυσικών επιστημών των λυκείων και ειδικότερα:

• Ο αισθητήρας κίνησης (απόστασης).

• Ο αισθητήρας δύναμης.

• Τα λογισμικά Function Probe και Modellus. Το λογισμικό DB-Lab

• Στο λογισμικό η βασική εργασία γίνεται στο πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται από την επιλογή στο μενού Καταγραφέας→Πίνακας ελέγχου. Μια τυπική διαδικασία χρήσης του DB-Lab περιλαμβάνει τα εξής:

• Ρύθμιση των εισόδων, ώστε στην είσοδο 1 να μετρά την τάση και στην είσοδο 2 να μετρά την ένταση του ρεύματος.

• Ρυθμός: το πλήθος των μετρήσεων στη μονάδα του χρόνου (ανά δευτερόλεπτο).

• Σημεία: ο αριθμός των πειραματικών σημείων. Είναι φανερό ότι το πηλίκο «Ρυθμός»/«Σημεία» παρέχει το χρόνο που χρειάζεται για να ολοκληρωθεί μια διαδικασία μέτρησης.

• Η διαδικασία μέτρησης αρχίζει με το πάτημα του πλήκτρου Λήψη Δεδομένων. Αν ο «ρυθμός» έχει τιμή μεγαλύτερη από 500, τότε για να αποτυπωθούν τα δεδομένα σε ένα γράφημα θα πρέπει να επιλέξετε από το μενού Καταγραφέας→Ανάκτηση δεδομένων.

• Με το κουμπί Εκκαθάριση Μνήμης σβήνονται από τη μνήμη οι τρέχουσες μετρήσεις.

• Με το κουμπί Διακοπή διακόπτεται μια διαδικασία μέτρησης.



Η πειραματική διάταξη Το συγκεκριμένο σενάριο έχει ως αφετηρία το πείραμα. Θα πρέπει λοιπόν να συνδεθούν τα αντικείμενα και τα όργανα μέτρησης, ώστε να ληφθούν συγκεκριμένες τιμές μεγεθών. Προτείνεται η παρακάτω πειραματική διάταξη:

Στα εργαστήρια των λυκείων υπάρχει ένα μόνο σύστημα συγχρονικής λήψης δεδομένων και είναι αδύνατο να γίνει μετωπικό εργαστήριο. Προτείνουμε, λοιπόν, να δημιουργηθεί με τη συμβολή όλων των μαθητών μια πειραματική διάταξη στο εργαστήριο. Στη συνέχεια θα προσέρχοναι οι ομάδες και θα παίρνουν μετρήσεις, τις οποίες θα μεταφέρουν στο σταθμό εργασίας τους είτε μέσα από το τοπικό δίκτυο του εργαστηρίου, είτε με αποσπώμενο αποθηκευτικό μέσο. Αν ο χρόνος είναι περιορισμένος, τότε το πείραμα θα μπορούσε να γίνει μία φορά από μία ομάδα και οι άλλες ομάδες να μοιραστούν τις μετρήσεις που έγιναν. Στην περίπτωση αυτή, όλες οι ομάδες θα έχουν τις ίδιες μετρήσεις. Η κατεύθυνση της δύναμης που μετρά ο αισθητήρας Ο αισθητήρας της δύναμης στηρίζεται στην τεχνολογία των ηλεκτρικών επιμηκυνσιόμετρων (ηλεκτρικοί μετρητές αλλαγής διάστασης υλικού οι οποίοι προκαλούν μεταβολές στην ειδική αντίσταση των μετρητών) και μετρά τη δύναμη με βάση την κάμψη ενός ελάσματος. Επιμηκυνσιόμετρα, τοποθετημένα και στις δύο πλευρές του ελάσματος, αλλάζουν ελαφρώς αντίσταση, καθώς το έλασμα κάμπτεται. Στην περίπτωση του κατακόρυφου ελατηρίου, το οποίο έχει στο ένα του άκρο το μετρητή δύναμης και στο άλλο του άκρο το σώμα, η δύναμη που καταγράφει ο αισθητήρας είναι εκείνη που εξασκείται στο άγκιστρο του αισθητήρα. Επομένως καταγράφει μία δύναμη που είναι αντίθετη από τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα.

Στο παραπάνω σχήμα δίνονται δύο διαφορετικά στιγμιότυπα στα οποία φαίνεται η δύναμη που καταγράφει ο αισθητήρας –είναι αυτή που το ελατήριο εξασκεί στον αισθητήρα– και η δύναμη που εξασκείται από το ελατήριο στο σώμα, δηλαδή αυτή που θέλουμε να μετρήσουμε.



Δραστηριότητα 1: Το πείραμα – εργασία με τους αισθητήρες

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ονοματεπώνυμο Μαθητών

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα χρησιμοποιήσετε ελατήρια, σώματα και όργανα μετρήσεων, προκειμένου να εκτελέσετε ένα πείραμα. Στο τέλος της εργασίας σας θα έχετε τα δεδομένα του πειράματος τα οποία στη συνέχεια θα επεξεργαστείτε. Βήματα στην τάξη Πραγματοποίηση της πειραματικής διάταξης

1. Συνδέστε το MultiLog στον υπολογιστή σας.

2. Συνδέστε τον αισθητήρα απόστασης στην είσοδο Ι/O 1.

3. Συνδέστε τον αισθητήρα δύναμης στην είσοδο Ι/O 2.

4. Πραγματοποιήστε τη συνδεσμολογία της εικόνας:

• Κρεμάστε το ελατήριο στον αισθητήρα δύναμης.

• Κρεμάστε τη μάζα στο κάτω άκρο του ελατηρίου.



• Τοποθετήστε τον αισθητήρα απόστασης κάτω από τη μάζα. H απόσταση της μάζας από τον αισθητήρα πρέπει να μεταξύ 50 cm και 4,96 m.

5. Ανοίξτε το MultiLog.

6. Ρυθμίστε το MultiLog είτε από το πληκτρολόγιό του είτε από το λογισμικό DB-Lab, από το μενού Καταγραφέας (Logger), επιλέγοντας τον Πίνακα Ελέγχου.

Σύνδεση των αισθητήρων δύναμης και απόστασης

• Είσοδος 1 (Input 1): Αισθητήρας απόστασης (Distance).

• Είσοδος 2 (Input 2): Αισθητήρας Δύναμης (Force 0 ÷ 20N).

• Δείγματα (Samples): 2.000.

• Ρυθμός (Rate): 25/sec.

• Σκανδαλισμός (Trig): Μη Ενεργός (Not Active). Εκτέλεση του πειράματος, λήψη μετρήσεων

1. Ζυγίστε το σώμα ή καταγράψτε τη μάζα του, αν αναγράφεται πάνω στο σώμα: Μάζα του αναρτημένου σώματος: m=__________________

2. Όσο το σύστημα βρίσκεται σε ηρεμία, ανοίξτε το MultiLog πιέζοντας: είτε το πλήκτρο Run/Stop της συσκευής, είτε (από το λογισμικό DB-Lab) το πλήκτρο Λήψη Δεδομένων (Run) στον Πίνακα Ελέγχου (Control Panel), είτε το εικονίδιο Λήψη Δεδομένων (Run) στην αριστερή Γραμμή εργαλείων (Toolbar).

3. Χρησιμοποιήστε το δείκτη –εμφανίζεται έπειτα από διπλό κλικ σε κάποιο σημείο του γραφήματος– για να μετρήσετε την αρχική θέση της μάζας (x1) και την αρχική δύναμη (F0) (σημειώστε τις δύο τιμές). x1=_____________

F0=_____________

4. Για τη λήψη των μετρήσεων θα χρειαστεί τα μέλη της ομάδας να συνεργαστείτε μεταξύ σας, ώστε να δράσετε συγχρονισμένα. Ένα από τα μέλη θα πρέπει να θέσει το σώμα σε ταλάντωση. Το δεύτερο μέλος θα πρέπει να χειρίζεται το λογισμικό DB-Lab, ενώ το τρίτο θα ελέγχει αν ταλαντώνεται το σώμα κατακόρυφα και θα συντονίζει την εργασία.

5. Τραβήξτε τη μάζα προς τα κάτω και αφήστε την ελεύθερη. Εναλλακτικά μπορείτε να κρεμάσετε με ένα ελαφρύ νήμα ένα δεύτερο βάρος κάτω από το πρώτο και να «πυροδοτήσετε» την κίνηση, καίγοντας το νήμα. Έτσι, θα πετύχετε την απόλυτη κατακόρυφη κίνηση του σώματος. Προσοχή: Προφυλάξτε τον αισθητήρα κίνησης από την πτώση του βαριδίου στην περίπτωση που επιλέξετε την εναλλακτική πρακτική.

6. Πραγματοποιήστε λήψη μετρήσεων. Πολλαπλές εκτελέσεις με διαφορετικές τιμές των παραμέτρων (ελατηρίων και μαζών) Αν στο εργαστήριο υπάρχουν ελατήρια με διαφορετικές χαρακτηριστικές σταθερές, το πείραμα μπορεί να επαναληφθεί με διαφορετικά κάθε φορά ελατήρια. Το ίδιο ισχύει και για τις μάζες των σωμάτων που αναρτώνται. Ενδεικτικά προτείνουμε να χρησιμοποιήσετε ένα βάρος 0,5 kgr με ελατήριο, με φυσικό μήκος 20 cm και σταθερά ελατηρίου 30-35 N/cm. Αποθήκευση των αποτελεσμάτων των μετρήσεων σε ψηφιακά αρχεία Αποθηκεύστε σε αρχεία τα αποτελέσματα των μετρήσεών σας, προσέχοντας κάθε φορά να δίνετε τα κατάλληλα ονόματα αρχείων, ώστε να έχουν σχέση με τα περιεχόμενά τους. Το λογισμικό DB-Lab έχει τη δυνατότητα, εκτός από τα αρχεία τύπου «Δεδομένα Δειγμάτων» με επέκταση .smp, να εξάγει (Αρχείο→Εξαγωγή) τα δεδομένα των μετρητών σε αρχεία τύπου «Τιμές Διαχωριζόμενες με Κόμμα» με επέκταση .csv. Τα τελευταία ανοίγουν με το λογισμικό γενικής χρήσης Microsoft Excel, από όπου με Αντιγραφή και Επικόλληση είναι εύκολο να μεταφερθούν στις στήλες ενός πίνακα του λογισμικού Function Probe. Όπως θα παρατηρήσετε, οι δύο πρώτες γραμμές έχουν τίτλους που περιγράφουν τα δεδομένα. Οι γραμμές αυτές δεν θα πρέπει να εισαχθούν στο Function Probe.



Δραστηριότητα 2: Επεξεργασία των δεδομένων – εργασία με το Function Probe

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα εισάγετε στο λογισμικό Function Probe τα δεδομένα του πειράματος που καταγράφηκαν με τους αισθητήρες και αποθηκεύτηκαν με το λογισμικό DB-Lab. Στη συνέχεια θα τα επεξεργαστείτε, προσπαθώντας να βρείτε μαθηματικές συναρτήσεις που να περιγράφουν το φαινόμενο αυτό. Βήματα στην τάξη Προετοιμασία του αρχείου δεδομένων Το λογισμικό Function Probe εισάγει αρχεία δεδομένων που έχουν κατάληξη μόνο .txt. Ωστόσο, το αρχείο με τα δεδομένα του πειράματος έχει κατάληξη .csv.

1. Με τις λειτουργίες των windows μετονομάστε το αρχείο που περιέχει τα δεδομένα, αλλάζοντας την κατάληξή του από .csv σε .txt. Αυτό γίνεται κάνοντας κλικ στο αρχείο και πατώντας F2.

2. Ανοίξτε το αρχείο με το σημειωματάριο (notepad), κάνοντας διπλό κλικ πάνω στο αρχείο .txt που περιέχει τα δεδομένα.

3. Διαγράψτε τις δύο πρώτες γραμμές που δεν περιέχουν αριθμούς.

4. Το Function Probe έχει μέγιστο όριο πενήντα γραμμές για τον πίνακα. Δύο είναι οι λύσεις γι’ αυτό το πρόβλημα:

• Από την επιλογή στο παράθυρο του πίνακα Πίνακας→Ρυθμίσεις Πίνακα ορίζετε μια τιμή μεγαλύτερη από 50 στην Τιμή ορίου υπερχείλισης.

• Στο αρχείο των τιμών, το οποίο θα ανοίξετε με το σημειωματάριο, κρατάτε μόνο τις 50 πρώτες γραμμές, οι οποίες είναι αρκετές για την επεξεργασία. Τις υπόλοιπες τις σβήνετε.

5. Αποθηκεύστε το αρχείο. Εισαγωγή του αρχείου των μετρήσεων στο Function Probe Η εισαγωγή των μετρήσεων στο λογισμικό Function Probe μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:

1. Στο παράθυρο Πίνακας του Function Probe επιλέξτε Αρχείο→Άνοιγμα αρχείου κειμένου. Με τον τρόπο αυτό εισάγετε τις τιμές των μετρήσεων των αισθητήρων της θέσης και της δύναμης του ελατηρίου.

2. Στο λογισμικό γενικής χρήσης Microsoft Excel ανοίξτε το αρχείο των μετρήσεων που μετονομάσατε προηγουμένως, δίνοντάς του την κατάληξη .txt. Στο πλαίσιο διαλόγου που εμφανίζει το Excel επιλέξτε οι τιμές να διαχωρίζονται με κόμμα. Οι πειραματικές τιμές εισάγονται στις στήλες του Excel. Από εκεί με τη διαδικασία της Αντιγραφής και Επικόλλησης εισάγετε τις τιμές –μόνο όσες επιλέξατε– στο παράθυρο Πίνακας του Function Probe.

Εισαγωγή των μετρήσεων στο γράφημα

1. Ορίστε ως ανεξάρτητη μεταβλητή τη στήλη του χρόνου και ως εξαρτημένη μεταβλητή τη θέση του σώματος που εκτελεί ταλάντωση. Αυτό γίνεται με κλικ και σύρσιμο των εικονιδίων και στις επιθυμητές στήλες.

2. Με την επιλογή Αποστολή→Σημεία σε Γράφημα εξάγετε τα δεδομένα του πίνακα στο παράθυρο της γραφικής παράστασης. Μετά την εκτέλεση της Αποστολής στο παράθυρο Γράφημα, θα έχουν μεταφερθεί τα πειραματικά σημεία.



Προσέγγιση των πειραματικών σημείων της θέσης, σε σχέση με το χρόνο, με τις κατάλληλες καμπύλες

1. Στο παράθυρο Γράφημα επιλέξτε τα πειραματικά σημεία, με κλικ πάνω σε ένα από αυτά, και ενώστε τα μεταξύ τους με την επιλογή Γράφημα→Σύνδεση Σημείων. Τώρα πλέον διακρίνεται καθαρά η μορφή της καμπύλης που σχηματίζεται.

2. Από την επιλογή Γράφημα→Αλλαγή κλίμακας επιλέξτε τα όρια στο πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται, ώστε η γραφική παράσταση να είναι όσο ευκρινής θέλετε. Εναλλακτικά μπορείτε να

χρησιμοποιήσετε το εργαλείο εστίασης σε μια περιοχή (zoom), καθώς και το εργαλείο κατάργησής της.

3. Ρυθμίστε το μέγεθος του παραθύρου Γράφημα, ώστε να φαίνεται η Εργαλειοθήκη, κάντε κλικ

στο μολυβάκι και σύρετέ το προς τα κάτω, για να ανοίξετε την επιλογή Μορφές Καμπυλών .

4. Επιλέξτε την καμπύλη που πιστεύετε ότι θα προσεγγίσει καλύτερα τα πειραματικά σημεία, κάνοντας κλικ επάνω της. Η επιλεχθείσα καμπύλη εμφανίζεται σε τετράγωνο πλαίσιο στην περιοχή του γραφήματος. Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Οι τέσσερις διαθέσιμες καμπύλες του λογισμικού είναι η ημιτονοειδής, η παραβολική, η υπερβολική και η γραμμική. Από όλες αυτές είναι φανερό ότι επιλέγεται η ημιτονοειδής καμπύλη.

5. Χειριστείτε την ημιτονοειδή καμπύλη: (α) από το κάτω δεξιά χειριστήριο, για να ρυθμίσετε το

μέγεθός της, (β) με κλικ και σύρσιμο, για τη μεταφορά της, ώστε να συμπέσει με τα πειραματικά σημεία όσο γίνεται καλύτερα. Προσοχή: Η διαδικασία της μεταβολής της καμπύλης τερματίζεται, κάνοντας κλικ οπουδήποτε αλλού εκτός από το πλαίσιο.

Μέτρηση των μεγεθών: περίοδος και πλάτος της γραφικής παράστασης

6. Χρησιμοποιήστε τα εργαλεία μετατόπισης , αφού πρώτα επιλέξετε την προσαρμοσμένη στα πειραματικά σημεία καμπύλη, προκειμένου να τη μεταφέρετε στην αρχή των αξόνων και, διαβάζοντας τις τιμές στους άξονες, μετρήστε την περίοδο και το πλάτος.

7. Υπολογίστε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. Αναπτύξτε τεχνικές τις οποίες συνήθως

εφαρμόζετε όταν δουλεύετε με το συμβατικό τρόπο:



• Φέρτε βοηθητικές ευθείες (π.χ. η συνάρτηση y=0,5), μετακινήστε τες, ώστε να εφάπτονται στις κορυφές (peak) της γραφικής παράστασης, και κατόπιν διαβάστε το σημείο όπου οι ευθείες αυτές τέμνουν τον άξονα της απομάκρυνσης.

• Για να διαβάσετε καλύτερα τις ενδείξεις στους άξονες, χρησιμοποιήστε τη δυνατότητα του

λογισμικού να μεγεθύνει μια περιοχή του γραφήματος.

8. Απαντήστε στα ερωτήματα:

• Το πλάτος της ταλάντωσης, δηλαδή η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος, είναι:

Θα πρέπει να διαβάσουμε τον κατακόρυφο άξονα, για να δούμε το πλάτος της ταλάντωσης. Εναλλακτικά, μπορούμε να εισάγουμε, από το συντάκτη συναρτήσεων στο πάνω μέρος του παραθύρου των γραφικών (με συνδυασμό των πλήκτρων Ctrl+E), και να μεταφέρουμε την καμπύλη, ώστε να εφάπτεται στο μέγιστο και στο ελάχιστο της πειραματικής καμπύλης. Μετρώντας την απόσταση από κορυφή σε κορυφή (peak to peak), υπολογίζουμε το διπλάσιο του πλάτους.

• Η περίοδος της ταλάντωσης, δηλαδή ο χρόνος μέσα στον οποίο ολοκληρώνεται μια πλήρης ταλάντωση, είναι:

Θα πρέπει να διαβάσουμε τον οριζόντιο άξονα, για να βρούμε το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο ολοκληρώνεται μια πλήρης ταλάντωση. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο μεγέθυνσης μιας περιοχής του γραφήματος.

9. Η εξίσωση που δίνει τη μετατόπιση, μετρούμενη από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το

χρόνο είναι: 2( )x A tTπημ ⋅

= ⋅ ⋅

Α= ____________

Τ= _____________ Δικαιολογήστε την απάντησή σας:

Τοποθετήστε στην κατάλληλη θέση τις τιμές που βρήκατε. Ο συντελεστής του ημιτόνου είναι το πλάτος και ο συντελεστής του χρόνου είναι η γωνιακή ταχύτητα ω=2π/Τ. Το ημίτονο είναι περιοδική συνάρτηση, με περίοδο 2π. Η γωνία φ είναι ανάλογη του χρόνου, δηλαδή φ=(2π/Τ)*t.

Αποθηκεύστε την εργασία σας Αποθηκεύστε το αρχείο, δίνοντάς του ένα όνομα που να έχει νόημα για σας. Εκτυπώσεις Πάρτε τις κατάλληλες, κατά τη γνώμη σας, εκτυπώσεις και επισυνάψτε τες στην εργασία σας.



Δραστηριότητα 3: Το μαθηματικό μοντέλο – εργασία με το Modellus

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα καταρτίσετε το μαθηματικό μοντέλο, δηλαδή τις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο, καθώς και τις εξισώσεις της συνισταμένης δύναμης που δρα στο σώμα. Βήματα στην τάξη

1. Ανοίξτε το λογισμικό Modellus.

2. Στο παράθυρο του μοντέλου γράψτε την εξίσωση της μετατόπισης, η οποία έχει εξαχθεί από την εργασία μας με το Function Probe.

3. Στις επόμενες σειρές γράψτε τις εξισώσεις με τις οποίες υπολογίζονται η ταχύτητα, ως ρυθμός μεταβολής της θέσης, και η επιτάχυνση, ως ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. Παραθέστε τις εξισώσεις που γράψατε.

2sin( )x A tT

dxudtduadt

π= ⋅ ⋅

=

=

4. Από τις επιλογές ρυθμίσεων στο παράθυρο Έλεγχος ορίστε ως μονάδα μέτρησης τα ακτίνια.

5. Ερμηνεύστε το μοντέλο και εκτελέστε το, φροντίζοντας τα χρονικά σας όρια να είναι αρκετά, ώστε στο παράθυρο με τις γραφικές παραστάσεις να αναπαρασταθεί μία τουλάχιστον περίοδος.

6. Στο παράθυρο Αρχικές συνθήκες ορίστε ως τιμές των παραμέτρων του πλάτους και της περιόδου εκείνες από την προηγούμενη παράγραφο.

7. Οι γραφικές παραστάσεις στο παράθυρο Γραφική Παράσταση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του χρόνου; Η γραφική παράσταση της ταχύτητας, σε σχέση με το χρόνο, είναι μια συνάρτηση ημιτονοειδής. Υπάρχει μια διαφορά φάσης, ίση με π/2, από εκείνη της μετατόπισης σε σχέση με το χρόνο. Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης, σε σχέση με το χρόνο, είναι μια ημιτονοειδής συνάρτηση, με διαφορά φάσης ίση με π, σε συνάρτηση με εκείνη της μετατόπισης σε σχέση με το χρόνο.

8. Ποιες είναι οι μέγιστες τιμές της ταχύτητας και επιτάχυνσης;

u0 = ___________

a0 = ________ Θα πρέπει να παρατηρήσουμε και να διαβάσουμε τις τιμές που έχουν τα πλάτη των ημιτονοειδών συναρτήσεων στον κατακόρυφο άξονα. Αν τοποθετήσουμε το δείκτη του ποντικιού στο σημείο της



γραφικής παράστασης, του οποίου θέλουμε τις συντεταγμένες, το Modellus θα δείξει στη γραμμή κατάστασης του παραθύρου τις τιμές του οριζόντιου και κατακόρυφου άξονα.

9. Στο παράθυρο του μοντέλου εισάγετε την εξίσωση που δίνει τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα. Ποια είναι αυτή;

Από το 2o Νόμο του Νεύτωνα έχουμε F=m a.

10.Ερμηνεύστε και πάλι το μοντέλο και παρατηρήστε τις γραφικές παραστάσεις των μεγεθών: απομάκρυνση, ταχύτητα και επιτάχυνση, σε σχέση με το χρόνο. Ποιες μαθηματικές συναρτήσεις αποδίδουν τη μεταβολή των φυσικών μεγεθών της ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο;

Φυσικό μέγεθος Εξίσωση

Απομάκρυνση x=Aημ((2π/Τ)t

Ταχύτητα u=u0ημ((2π/Τ)t+π/2)=u0 συν((2π/Τ)t)

Επιτάχυνση α=a0ημ((2π/Τ)t+π)=-α0ημ((2π/Τ)t)

Δύναμη F=-F0ημ((2π/Τ)t)

Αντί για τα Α,u0,a0 και F0, βάλτε τις τιμές που προκύπτουν από την ανάγνωση της γραφικής παράστασης.

11. Εξετάστε αν τα πλάτη της ταχύτητας (u0) και της επιτάχυνσης (a0) ικανοποιούν, με καλή προσέγγιση, τις εξισώσεις που από τη θεωρητική μελέτη γνωρίζουμε ότι συνδέουν τα μεγέθη αυτά. Οι εξισώσεις που συνδέουν τη γραμμική ταχύτητα με το πλάτος είναι u0=Αω=Α(2π/Τ), όπου ω η κυκλική συχνότητα. Επίσης, η σχέση που συνδέει τη μέγιστη επιτάχυνση a0 με το πλάτος είναι α0=Α ω2.

12. Επιβεβαιώστε ότι το πλάτος της δύναμης που υπολογίσατε με το λογισμικό Modellus προσεγγίζει

ικανοποιητικά την τιμή που προκύπτει από το λογισμικό Db-Lab με τον αισθητήρα της δύναμης. Ποια είναι τα συμπεράσματά σας; Ανοίξτε το αρχείο με τις μετρήσεις της δύναμης. Διαβάστε τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές της δύναμης (peak to peak) στον κατακόρυφο άξονα και υπολογίστε το πλάτος. Εναλλακτικά μπορείτε να δουλέψετε στο Function Probe με τα πειραματικά σημεία που αφορούν τη δύναμη.

13. Αναφέρετε παράγοντες του πειράματος που εισάγουν αποκλίσεις των πειραματικών τιμών από τις

θεωρητικές τιμές. Προσπαθήστε να δώσετε εξηγήσεις για τις αποκλίσεις που σίγουρα θα υπάρχουν ανάμεσα στα θεωρητικά και στα πειραματικά δεδομένα. Μιλήστε για παράγοντες που δεν ελήφθησαν υπόψη και σχολιάστε πόσο σημαντικά συνέβαλαν στα αποτελέσματα που συλλέξατε με τους αισθητήρες. Η αντίσταση του αέρα είναι ένας από αυτούς. Το ελατήριο, επίσης, που χρησιμοποιήθηκε είναι ένα



πραγματικό ελατήριο και όχι ένα ιδανικό, που ακολουθεί το Νόμο του Hooke. Η κίνηση του σώματος, όσο και αν προσπαθήσαμε, δεν ήταν απόλυτα κατακόρυφη, με αποτέλεσμα να μην είναι ακριβείς οι μετρήσεις που καταγράφονται από τον αισθητήρα της απόστασης.

14. Πάρτε τις εκτυπώσεις που θεωρείτε ότι είναι απαραίτητες για την εργασία σας.



Φ θ ί ν ο υ σ ε ς τ α λ α ν τ ώ σ ε ι ς Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν οι μαθητές θα διερευνήσουν τις φθίνουσες ταλαντώσεις, χρησιμοποιώντας προσομοιώσεις φυσικών φαινομένων. Περιέχονται τέσσερα φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται σε τρεις διδακτικές ώρες και προτείνεται για την Γ΄ Λυκείου. Γνωστικό αντικείμενο Όταν το πλάτος μιας ταλάντωσης μειώνεται, η ενέργεια της ταλάντωσης μετατρέπεται συνεχώς σε άλλες μορφές ενέργειας, μέσω του έργου δυνάμεων που αντιτίθενται στην κίνηση του ταλαντούμενου σώματος. Οι ταλαντώσεις αυτές λέγονται φθίνουσες ταλαντώσεις, ή αποσβεσμένες ταλαντώσεις, και οι δυνάμεις που προκαλούν τη μείωση του πλάτους είναι συνήθως οι τριβές ή οι αντιστάσεις από τον αέρα ή άλλο ρευστό. Εδώ εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποία η δύναμη –η οποία αντιτίθεται στην κίνηση– είναι ανάλογη με την ταχύτητα. Δηλαδή, στην εξίσωση της κίνησης της απλής αρμονικής ταλάντωσης προστίθεται ο όρος:

υ⋅−= bF

όπου η σταθερή απόσβεσης (b) εξαρτάται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του ταλαντούμενου σώματος και από τη φύση του ρευστού μέσα στο οποίο κινείται το σώμα. Ειδικότερα η σταθερή:

Διατομήkb ⋅=

όπου η διατομή είναι το εμβαδόν της μετωπικής επιφάνειας του σώματος κάθετα στη διεύθυνση κίνησης ή, απλούστερα, το εμβαδόν της επιφάνειας με την οποία το σώμα «σχίζει» τον αέρα. Η εξίσωση της κίνησης ενός σώματος που κάνει αποσβεσμένη ταλάντωση, με εφαρμογή του 2ου νόμου του Νεύτωνα, έχει ως εξής:

υκ ⋅−⋅−=⋅ bxam Ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός. Δηλαδή:

....2 3

21

1

0 σταθ====AA

AA

AA

Από αυτό συμπεραίνουμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο:

tk eAA Λ−= 0

όπου t=KT, με Κ=0, 1, 2…, ενώ Τ η περίοδος της ταλάντωσης. Το Λ εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης και από τη μάζα του ταλαντούμενου σώματος, όπως φαίνεται στην παρακάτω εξίσωση:

mb⋅

=Λ2


Να περιγράψουν ποιοτικά και ποσοτικά μια φθίνουσα ταλάντωση.



Να διερευνήσουν τη σχέση της περιόδου με το πλάτος της ταλάντωσης, για μια δεδομένη σταθερή απόσβεσης b.

Να διερευνήσουν τη σχέση της περιόδου με τη σταθερή απόσβεσης, για ένα σταθερό πλάτος ταλάντωσης.

Να διερευνήσουν τη μείωση του πλάτους της ταλάντωσης και να καταλήξουν σε ποσοτικές σχέσεις.

Να επιλύσουν προβλήματα που έχουν σχέση με τις αποσβεσμένες ταλαντώσεις.

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των προσομοιώσεων, να καταλήξουν σε συμπεράσματα για τις σχέσεις ανάμεσα σε μεγέθη που περιγράφουν τις φθίνουσες ταλαντώσεις.


Ο χειρισμός από μεριάς μαθητών ενός μεγάλου αριθμού πειραματικών δεδομένων, με τα κατάλληλα εκπαιδευτικά λογισμικά, και η παραγωγή-παρουσίαση των αποτελεσμάτων.

Ο σχεδιασμός και η εκτέλεση πειραμάτων σε πραγματικά ή εικονικά περιβάλλοντα και η εξοικείωσή τους με την πειραματική μέθοδο.

Η γενίκευση και η διατύπωση κανόνων.

Η διαπίστωση ότι η επιστήμη λειτουργεί προσεγγιστικά.

Η απόκτηση δεξιοτήτων και η υιοθέτηση υπεύθυνης στάσης κατά την εργασία μέσα σε εργαστήριο εξοπλισμένο με συστήματα Νέων Τεχνολογιών.

Η εργασία μέσα στην ομάδα. Διδακτική προσέγγιση Στόχος του εκπαιδευτικού σεναρίου είναι να ενθαρρύνει τους μαθητές να εργαστούν με διερευνητικό τρόπο, αποφεύγοντας τη μηχανιστική μάθηση. Οι δραστηριότητες που αναπτύχθηκαν υποστηρίζουν:

Την αυτενέργεια και τη συνεργασία των μαθητών.

Την ανάπτυξη εικασιών.

Την πρόκληση γνωστικών συγκρούσεων ανάμεσα στις εναλλακτικές ιδέες των μαθητών και στη Φυσική.

Τον ερευνητικό τρόπο εργασίας των μαθητών, δηλαδή την άμεση εμπλοκή τους στην παρατήρηση, στο σχεδιασμό πειραμάτων, στο πείραμα και στην κατασκευή.

Εναλλακτικές ιδέες των μαθητών Οι μαθητές ίσως να έχουν σχηματισμένες ιδέες για τις φθίνουσες ταλαντώσεις, όπως:

Γενικά οι ταλαντώσεις που συναντάμε στη φύση είναι αμείωτες.

Οι φθίνουσες ταλαντώσεις είναι «ανεπιθύμητες» και πάντα επιδιώκουμε να τις καταστήσουμε αμείωτες.

Τίποτα δεν παραμένει σταθερό στις φθίνουσες ταλαντώσεις. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι γνώσεις των μαθητών που απαιτούνται για να φέρουν σε πέρας τις δραστηριότητες του σεναρίου είναι εκείνες που περιέχονται στις παρακάτω ενότητες του βιβλίου της Φυσικής της Γ΄ Λυκείου:

«Περιοδικά φαινόμενα».

«Απλή αρμονική ταλάντωση».



Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών

Βασικές γνώσεις σχετικά με το λειτουργικό σύστημα (αποθήκευση, άνοιγμα, μετονομασία κ.λπ.).

Σύνταξη απλού κειμένου με επεξεργαστή κειμένου.

Βασικές ικανότητες για την εκτύπωση αρχείου.

Βασικές γνώσεις για τις λειτουργίες διεπαφής των εκπαιδευτικών λογισμικών που χρησιμοποιούνται, δηλαδή του Interactive Physics και του Function Probe.

Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτούνται:

Ένα λογισμικό γενικής χρήσης (επεξεργαστής κειμένου, λογιστικά φύλλα κ.λπ.).

Τα λογισμικά Interactive Physics και Function Probe.

Ένα εργαστήριο με τις προδιαγραφές της «Οδύσσειας». Περιγραφή της εργασίας των μαθητών

Έχοντας αντίγραφα των φύλλων εργασίας, οι μαθητές δουλεύουν σε ομάδες, αποτελούμενες από τρία το πολύ μέλη, στους σταθμούς εργασίας του σχολικού εργαστηρίου της «Οδύσσειας» ή της Πληροφορικής.

Οι ρόλοι, οι οποίοι αναπτύσσονται κατά τη διάρκεια της ομαδικής εργασίας, καλό θα είναι να αναλαμβάνονται διαδοχικά από κάθε μέλος της ομάδας.

Ο διάλογος και η ανάπτυξη επιχειρημάτων είναι επιδιωκόμενες μαθητικές συμπεριφορές, όταν δεν εμποδίζεται η εργασία των γειτονικών ομάδων.

Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν το δικό τους χώρο στα περιφερειακά αποθηκευτικά μέσα (σκληρούς δίσκους, CD-ROM ή αποσπώμενες αποθηκευτικές συσκευές), ώστε να μπορούν κάποια στιγμή να επανέλθουν σε αρχεία εφαρμογής ή κείμενα.

Μαζί με τα φύλλα εργασίας, σκόπιμο είναι οι μαθητές να έχουν τη δυνατότητα επισύναψης εκτυπώσεων, όπου θα αποτυπώνεται η πορεία της διερευνητικής τους προσπάθειας.

Όταν ο χρονικός προγραμματισμός το επιτρέπει, οι εργασίες των ομάδων μπορούν να παρουσιάζονται σε ολόκληρη την τάξη και να ακολουθεί συζήτηση και σχολιασμός.


Την πληρότητα, τη σαφήνεια και την ακρίβεια των απαντήσεών τους.

Την ικανότητά τους να χειρίζονται τα μαθηματικά αντικείμενα, τις εξισώσεις, τις μεταβλητές, τις γραφικές παραστάσεις, και να τα χρησιμοποιούν για την επίλυση προβλημάτων.

Τις επιλογές των εκτυπώσεών τους, οι οποίες θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από ευστοχία και αποτελεσματικότητα στη χρήση τους.

Δραστηριότητες εμπλουτισμού Στο παρόν σενάριο η προσομοίωση αποτελεί πεδίο ανάπτυξης περισσότερων, από τις παρεχόμενες, δραστηριοτήτων. Οι εκπαιδευτικοί μπορούν να τη χρησιμοποιήσουν όπως οι ίδιοι κρίνουν ότι θα εξυπηρετήσουν καλύτερα τους ιδιαίτερους εκπαιδευτικούς στόχους. Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές.



Υλικό για τους διδάσκοντες

Τα εγχειρίδια χρήσης που συνοδεύουν τα λογισμικά Interactive Physics και Function Probe.

Η Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου.

Οδηγία προς τους εκπαιδευτικούς

Στο λογισμικό Interactive Physics με το γράμμα κ συμβολίζεται ο παράγοντας απόσβεσης, έτσι ώστε η σταθερή απόσβεσης b να είναι Διατομήkb ⋅= . Στις εξισώσεις κίνησης του ταλαντούμενου σώματος με κ παριστάνεται επίσης η σταθερή του ελατηρίου. Θα πρέπει λοιπόν να δοθεί προσοχή, ώστε να αποφευχθούν λάθη.


http://odysseia.cti.gr/kirki/2ndProductGroup/Function Probe.htm Ο ιστοχώρος του λογισμικού Function Probe· δίνεται περιγραφή και πληροφορίες για το λογισμικό. Διατίθεται επίσης το ίδιο το λογισμικό, καθώς και τα σχετικά εγχειρίδια και οι οδηγίες.

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm Προσομοίωση της φθίνουσας ταλάντωσης Java Applet που για να λειτουργήσει απαιτεί την Java Virtual Machine, στο online δίκτυο εκμάθησης του Πανεπιστημίου Μίσιγκαν Στέιτ (Learning Online Network, Michigan State University).

http://www.e-yliko.gr/ Η εκπαιδευτική πύλη του ΥπΕΠΘ· προτάσεις διδασκαλίας και υποστηρικτικό υλικό.



http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm

http://www.e-yliko.gr/




Φύλλα εργασίας: Φθίνουσες ταλαντώσεις Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν θα διερευνήσετε το φαινόμενο της φθίνουσας ταλάντωσης, χρησιμοποιώντας ένα λογισμικό προσομοίωσης και ένα λογισμικό μαθηματικής επεξεργασίας δεδομένων. Βασικές έννοιες – Λέξεις-κλειδιά Περιοδικό φαινόμενο, φθίνουσα ταλάντωση, πλάτος ταλάντωσης, περίοδος ταλάντωσης, απεριοδική κίνηση, δύναμη απόσβεσης, σταθερά απόσβεσης, απόσβεση. Προαπαιτούμενα – Υποδομή

Τα λογισμικά Interactive Physics και Function Probe.

Το αρχείο εφαρμογής FthinousaTalantosi.IP. Η προσομοίωση

Στο χώρο εργασίας του Interactive Physics το μπλε σώμα είναι ένα στερεό, μάζας 1 kg και σχήματος παραλληλεπιπέδου, και βρίσκεται αναρτημένο από το ένα άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, ιδανικού και με σταθερή ίση με 50 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει ρυθμιστεί στην τιμή 10 m/s2.

Η αντίσταση του αέρα έχει ρυθμιστεί, έτσι ώστε η δύναμη απόσβεσης να είναι ανάλογη με την ταχύτητα (Fair=-bv).

Η σταθερή απόσβεσης b είναι ανάλογη με το εμβαδόν της μετωπικής επιφάνειας του σώματος, κάθετα στη διεύθυνση κίνησης. Δηλαδή:

b= k*διατομή

όπου k μία σταθερή, στο εξής θα ονομάζεται παράγοντας απόσβεσης, την οποία ορίζει ο χρήστης από το πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται με το πλήκτρο Αντίσταση του αέρα…

Όλα τα φυσικά μεγέθη μετρούνται στο SI. Εργαλεία ελέγχου

Με τους μεταβολείς ορίζονται:

• Το πλάτος της ταλάντωσης, με τιμές από 0 ως 1. Συγχρόνως ρυθμίζεται προς την κατεύθυνση της συσπείρωσης του ελατηρίου.

• Το πλάτος του σώματος, έτσι ώστε να μεταβάλλεται η μετωπική επιφάνεια κατά την κίνηση μέσα στον αέρα και, επομένως, και η δύναμη απόσβεσης.

Με τα κουμπιά ορίζονται:

• Η αντίσταση του αέρα, από το πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται. Η αρχική τιμή έχει ρυθμιστεί σε 1 kg/m*s.

• Η διαγραφή των γραφικών παραστάσεων, αφού προηγηθεί η επαναρρύθμιση: (α) από τη γραμμή των εργαλείων, (β) από το ομώνυμο κουμπί.

Εργαλεία μετρήσεων Με τους μετρητές μετρούνται:

Η θέση του μπλε σώματος στην κατακόρυφη διεύθυνση – μετρητής «Θέση Υ του σώματος».

Η ταχύτητα του μπλε σώματος στην κατακόρυφη διεύθυνση – μετρητής «Ταχύτητα του σώματος».

Ο χρόνος της προσομοίωσης – μετρητής «Χρονόμετρο».



Χρήσιμες οδηγίες Υπενθυμίζεται ότι:

1. Οι μετρήσεις στο Interactive Physics μπορούν εναλλακτικά να παρασταθούν –ανάλογα με την

επιλογή του χρήστη– από το σημείο ελέγχου στο επάνω αριστερό μέρος του μετρητή:

• Γραφικά.

• Ψηφιακά, όπου μπορείτε να έχετε ακριβείς αριθμητικές ενδείξεις τιμών.

• Με ραβδογράμματα.

2. Με τα εργαλεία έχετε τη δυνατότητα να εκτελέσετε την προσομοίωση βήμα προς βήμα και να πάρετε μετρήσεις για συγκεκριμένες χρονικές στιγμές.

3. Οι τιμές στους μεταβολείς τίθενται με κλικ και σύρσιμο. Αν δεν μπορείτε να πετύχετε την τιμή που θέλετε, τότε μπορείτε να την πληκτρολογήσετε στο πλαίσιο διαλόγου του μεταβολέα, αφού πρώτα τοποθετήσετε εκεί με κλικ το σημάδι παρεμβολής (κέρσορα).

Διανύσματα Έχει οριστεί να εμφανίζεται το διάνυσμα της δύναμης του αέρα (Fair) και της ταχύτητας του σώματος.



Δραστηριότητα 1: Ο ρόλος της σταθερής απόσβεσης b

Όταν το πείραμα εκτελείται σε χώρο ελεγχόμενης πίεσης του αέρα, για παράδειγμα σε ένα δοχείο όπου με μια αεραντλία μεταβάλλουμε την πίεση, τότε η μεταβολή της πίεσης έχει ως αποτέλεσμα τη μεταβολή της σταθερής απόσβεσης. Στο λογισμικό προσομοίωσης, η μεταβολή του παράγοντα απόσβεσης (k) γίνεται εύκολα από το πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται με το κουμπί Αντίσταση του αέρα… Βήματα στην τάξη

1. Ανοίξτε την προσομοίωση FthinousaTalantosi.ip. Εκτελέστε την προσομοίωση και αναγνωρίστε τα συστατικά της στοιχεία που αναφέρονται στην περιγραφή.

2. Διατηρώντας σταθερά –στην τιμή 1– το πλάτος του σώματος και το πλάτος της ταλάντωσης, δώστε τιμές στη σταθερή απόσβεσης και συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

Εκτιμήστε, διαβάζοντας τη γραφική παράσταση, το χρόνο μέχρι να μηδενιστεί πρακτικά το πλάτος της ταλάντωσης.

Χαρακτηρίστε την ταλάντωση.

Παράγοντας απόσβεσης (k)

Χρόνος στον οποίο το πλάτος της ταλάντωσης πρακτικά μηδενίζεται

Χαρακτηρισμός της ταλάντωσης

0

1

2

4

8

3. Παρατηρήστε τη φορά που έχει η δύναμη της αντίστασης του αέρα (Fair) σε σχέση με την ταχύτητα. Καταγράψτε τα συμπεράσματά σας:

Η φορά που έχει η δύναμη της αντίστασης του αέρα είναι πάντα αντίθετη της ταχύτητας, δηλαδή αντιτίθεται στην κίνηση του σώματος. Οι δυνάμεις αυτές μεταφέρουν ενέργεια από το ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον. Έτσι, η μηχανική ενέργεια του ταλαντούμενου συστήματος μειώνεται με το χρόνο. Μείωση επίσης έχουμε στο πλάτος της ταλάντωσης.

4. Για τις τιμές του παράγοντα απόσβεσης, όπου μπορούμε να μετρήσουμε την περίοδο, καταγράψτε τις ενδείξεις του χρονομέτρου. Χρησιμοποιήστε τα εργαλεία ελέγχου κασετοφώνου στο κάτω μέρος της οθόνης:

και καταγράψτε τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνση γίνεται για πρώτη φορά μέγιστη, μετά την έναρξη της προσομοίωσης.

Παράγοντας απόσβεσης (k) Περίοδος της ταλάντωσης

0

1

2

4

8



5. Πώς επιδρά η αύξηση του παράγοντα απόσβεσης στην περίοδο της ταλάντωσης;

Η αύξηση της σταθερής απόσβεσης προκαλεί μικρή αύξηση της περιόδου της ταλάντωσης.

6. Εκτυπώστε κάθετι που θεωρείτε ότι μπορεί να είναι σημαντικό για την εργασία σας.



Δραστηριότητα 2: Ο ρόλος του πλάτους της ταλάντωσης

Στη δραστηριότητα αυτή θα μελετήσετε τον τρόπο με τον οποίο το πλάτος της ταλάντωσης επηρεάζει την περίοδο της ταλάντωσης. Βήματα στην τάξη

1. Ανοίξτε την προσομοίωση FthinousaTalantosi.ip. Εκτελέστε την προσομοίωση και αναγνωρίστε τα συστατικά της στοιχεία που αναφέρονται στην περιγραφή.

2. Ορίστε την τιμή του παράγοντα απόσβεσης k=1 στο πλαίσιο που αναδύεται με το κουμπί Αντίσταση του αέρα…

3. Ορίστε στο σχετικό μεταβολέα η τιμή του πλάτους του σώματος να είναι ίση με 0,5.

4. Με το μεταβολέα, ο οποίος ρυθμίζει το πλάτος της ταλάντωσης, δώστε τις τιμές που εμφανίζονται στην αντίστοιχη στήλη του παρακάτω πίνακα. Εκτελέστε κάθε φορά την προσομοίωση και συμπληρώστε τον πίνακα.

Πλάτος της ταλάντωσης (m) Περίοδος της ταλάντωσης

0,1

0,2

0,4

0,8

1,0

5. Με τα δεδομένα του πίνακα χαράξτε τη γραφική παράσταση της περιόδου της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το πλάτος της ταλάντωσης.

6. Γράψτε τα συμπεράσματά σας.

Η περίοδος είναι ανεξάρτητη από το πλάτος για δεδομένη τιμή της σταθερής απόσβεσης.



Δραστηριότητα 3: Τι διατηρείται σταθερό στη φθίνουσα ταλάντωση

Στη δραστηριότητα αυτή θα μελετήσετε τις διαδοχικές μέγιστες απομακρύνσεις, προς την ίδια κατεύθυνση, σε μια φθίνουσα ταλάντωση. Βήματα στην τάξη Εργασία με το Interactive Physics

1. Ανοίξτε την προσομοίωση FthinousaTalantosi.ip και αναγνωρίστε τα συστατικά της στοιχεία.

2. Ορίστε:

• Με τον αντίστοιχο μεταβολέα το πλάτος της ταλάντωσης να είναι 1.

• Με τον αντίστοιχο μεταβολέα το πλάτος του σώματος να είναι 1.

• Στο πλαίσιο διαλόγου, που αναδύεται με το κουμπί Αντίσταση του αέρα…, η σταθερή αντίστασης του αέρα να είναι 1.

3. Εκτελέστε όσες φορές θέλετε την προσομοίωση και παρατηρήστε την κίνηση του μπλε σώματος.

4. Με τα εργαλεία του μαγνητοφώνου, τα οποία βρίσκονται στο κάτω μέρος της οθόνης, μεταφερθείτε βήμα προς βήμα στα στιγμιότυπα της προσομοίωσης, όπου η απομάκρυνση (Α0, Α1, …) γίνεται μέγιστη, και καταγράψτε τις τιμές των επτά πρώτων μέγιστων απομακρύνσεων.

Διαδοχικές μέγιστες απομακρύνσεις (m)

Α0

Α1

Α2

Α3

Α4

Α5

Α6

Α7

5. Υπολογίστε τους λόγους των διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων.

Λόγος διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων (m)

Α0 / Α1

Α1 / Α2

Α2 / Α3

Α3 / Α4

Α4 / Α5

Α5 / Α6

Α6 / Α7

Μέσος όρος τιμών

6. Απεικονίστε τα πειραματικά δεδομένα σε γραφική παράσταση των μέγιστων απομακρύνσεων, προς τη θετική φορά των απομακρύνσεων, σε σχέση με το χρόνο.



7. Πώς εκτιμάτε ότι μεταβάλλονται οι μέγιστες απομακρύνσεις σε σχέση με το χρόνο;

Οι μέγιστες απομακρύνσεις μειώνονται σε σχέση με το χρόνο.

8. Τι συμπέρασμα αποκομίζετε σχετικά με τους λόγους των διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων στη

φθίνουσα ταλάντωση;

Ο λόγος διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων, προς την ίδια κατεύθυνση, διατηρείται σταθερός.



Δραστηριότητα 4: Υπολογισμός της διατομής του σώματος

Διατομή είναι το εμβαδόν της μετωπικής επιφάνειας του σώματος κάθετα στη διεύθυνση κίνησης ή, απλούστερα, το εμβαδόν της επιφάνειας με την οποία το σώμα «σχίζει» τον ατμοσφαιρικό αέρα. Το ταλαντούμενο σώμα είναι παραλληλεπίπεδο, αλλά στο δυσδιάστατο χώρο του λογισμικού φαίνεται ως παραλληλόγραμμο. Στη δραστηριότητα αυτή:

• Θα εξάγετε σε ένα αρχείο τα δεδομένα του μετρητή της θέσης του ταλαντούμενου σώματος κατά τον άξονα y.

• Θα εισάγετε τα δεδομένα του μετρητή της προσομοίωσης στο λογισμικό Function Probe, προκειμένου να τα επεξεργαστείτε και να κάνετε υπολογισμούς.

Βήματα στην τάξη Εξαγωγή τιμών των μετρητών του Interactive Physics σε αρχείο

1. Ανοίξτε την προσομοίωση FthinousaTalantosi.ip, αν δεν είναι ήδη ανοικτή.

2. Επιλέξτε τους μετρητές, οι τιμές των οποίων θα εξαχθούν σε αρχείο, και στη συνέχεια πατήστε το κουμπί Εξαγωγή.

3. Στο πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται κάντε με την επιλογή Ρυθμίσεις τις πρέπουσες ρυθμίσεις, οι οποίες θα είναι ανάλογες με εκείνες της παράκατω εικόνας. Πατήστε ΟΚ.

4. Καθορίστε το όνομα και τη θέση του αρχείου στο οποίο θα αποθηκευτούν οι τιμές του μετρητή και πατήστε ΟΚ. Αν έχει εκτελεστεί έστω και μία φορά η προσομοίωση, θα αρχίσει αμέσως η διαδικασία εξαγωγής των τιμών του μετρητή που επιλέχθηκε στο αρχείο.

Εργασία με το Function Probe Η εργασία με το Function Probe αρχίζει με την εισαγωγή των δεδομένων από την προσομοίωση.

1. Ανοίξτε το λογισμικό Function Probe. Θα εργαστείτε στο παράθυρο Πίνακας.

2. Επιλέξτε από το μενού Αρχείο→Άνοιγμα αρχείου κειμένου. Στο πλαίσιο διαλόγου δώστε τη θέση και το όνομα του αρχείου –τύπου text (*.txt)– που θέλετε να εισάγετε.

Προσοχή: Οι τιμές που είναι γραμμένες με επιστημονική-τυποποιημένη γραφή δεν εισάγονται σωστά στο Function Probe. Αν είναι λίγες, διορθώστε τες με το πληκτρολόγιο. Αν όμως είναι πάρα πολλές, τότε είναι προτιμότερο να ανοίξετε πρώτα το αρχείο κειμένου με το Excel και μετά με Αντιγραφή και Επικόλληση να εισάγετε μία προς μία τις στήλες που έχουν ενδιαφέρον.

3. Μετά την εισαγωγή των δεδομένων στο παράθυρο Πίνακας του Function Probe, ρυθμίστε: τα εικονίδια και στις στήλες, την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη μεταβλητή (στην προκειμένη περίπτωση είναι ο χρόνος και η απομάκρυνση αντίστοιχα) και επιλέξτε Αποστολή→Σημεία σε Γράφημα. Στο παράθυρο Γράφημα έχουν μεταφερθεί τα πειραματικά σημεία.



Προσέγγιση με τη συνάρτηση e-x

Στόχος σας είναι να προσεγγίσετε με απλό, διαδραστικό τρόπο τη συνάρτηση που αποδίδει τη σχέση των μέγιστων απομακρύνσεων με το χρόνο. Μάλιστα, έχετε ήδη το δεδομένο ότι οι μέγιστες διαδοχικές απομακρύνσεις έχουν σταθερό λόγο και αυτό σας οδηγεί σε εκθετική προσέγγιση. Έχοντας λοιπόν τα πειραματικά δεδομένα στο παράθυρο Γράφημα, μπορείτε:

Να ρυθμίσετε το μέγεθος του παραθύρου, από τα όρια του παραθύρου Γράφημα (με κλικ και σύρσιμο), το οποίο θα πρέπει να έχει αρκετά μεγάλο μέγεθος, ενώ θα πρέπει να φαίνεται και η εργαλειοθήκη.

Να ρυθμίσετε την κλίμακα, από το μενού Γράφημα→Αλλαγή κλίμακας, ώστε να φαίνεται η γραφική παράσταση όσο το δυνατόν καλύτερα.

Να ρυθμίσετε τη σύνδεση των πειραματικών σημείων από το μενού Γράφημα→Σύνδεση σημείων.

Να ορίσετε, από το μενού Γράφημα→Επιλογές Γραφήματος, ώστε να εμφανίζονται όλοι οι μετασχηματισμοί στο πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται.

Με τη διαδικασία προσέγγισης μπορείτε:

Να εισάγετε με την επιλογή Γράφημα→Νέος Τύπος τον τύπο της εκθετικής συνάρτησης y=e^(-x). Στη συνέχεια πατήστε Enter για να σχηματιστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Να επιλέξετε την καμπύλη της εκθετικής συνάρτησης –κάνοντας κλικ επάνω της– και στη συνέχεια

το εργαλείο της οριζόντιας ελαστικής παραμόρφωσης .

Να κάνετε κλικ και σύρσιμο της καμπύλης, για να την «παραμορφώσετε», ώστε να περνάει από τα σημεία που απεικονίζουν τις μέγιστες θετικές απομακρύνσεις.

Η άγκυρα και η εστιγμένη γραμμή, η οποία εμφανίζεται μόνο όταν χρησιμοποιείτε το εργαλείο της ελαστικής παραμόρφωσης, θα πρέπει να βρίσκεται στη θέση x=0. Αυτό εξασφαλίζει ότι το σημείο (0,1) θα παραμείνει σταθερό κατά τη διαδικασία της παραμόρφωσης.

1. Στο πλαίσιο των τύπων, η οριζόντια παραμόρφωση έχει μεταβάλει τον τύπο της εκθετικής συνάρτησης, προσθέτοντας ένα σταθερό συντελεστή του x. Γράψτε το συντελεστή αυτό.

Συντελεστής του x =____________

2. Ποια είναι η μονάδα μέτρησής του;

3. Γιατί επιλέξατε στη συνάρτηση e-x ως πρόσημο του x να είναι το πλην (-);

Η εκθετική συνάρτηση e-x είναι μία φθίνουσα συνάρτηση, κατάλληλη να περιγράψει τη μείωση του μέγιστου πλάτους της ταλάντωσης που μελετάμε. Αντίθετα, η ex είναι μια αύξουσα συνάρτηση.

4. Υπολογίστε τη διατομή του σώματος και κατόπιν τις διαστάσεις του, έχοντας ως δεδομένο ότι ο

συντελεστής του x (στο σχολικό βιβλίο ο συντελεστής αυτός είναι ο Λ) εξαρτάται από τη μάζα και από τη σταθερά απόσβεσης της ταλάντωσης (βιβλίο οργανισμού, σ. 19), και ακριβέστερα:

mb

2=Λ

Σημειώστε τους υπολογισμούς που κάνατε.



Από τις σχέσεις 2bxm

= Λ = και ήkb ιατομΔ⋅= υπολογίζεται η διατομή του σώματος. Με δεδομένο ότι η

μία διάσταση ρυθμίζεται από τον αντίστοιχο μεταβολέα, και επομένως είναι γνωστή, υπολογίζεται η άλλη διάσταση, αφού η διατομή είναι το εμβαδόν ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου.

5. Ποιες είναι οι διαστάσεις του ταλαντούμενου σώματος;



Γ ρ α μ μ ι κ ή α ρ μ ο ν ι κ ή τ α λ ά ν τ ω σ η Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν οι μαθητές θα μελετήσουν με τη βοήθεια ενός εκπαιδευτικού λογισμικού την κίνηση που πραγματοποιεί ένα σώμα κατά τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, καθώς και τις εξισώσεις που την περιγράφουν. Έτσι, θα τους δοθεί η δυνατότητα:

• Να σχεδιάσουν το μαθηματικό μοντέλο της περιοδικής κίνησης που εκτελείται πάνω σε οριζόντιο ή κάθετο άξονα, ως Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, χρησιμοποιώντας τα εργαλεία του λογισμικού Cabri Geometry II Plus.

• Να εκτελέσουν πειράματα με σώματα που εκτελούν Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση σε περιβάλλον προσομοίωσης του λογισμικού Interactive Physics.

Περιέχονται τρία φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται σε τρεις διδακτικές ώρες, ανάλογα με την εξοικείωση των μαθητών με τα λογισμικά Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics. Προτείνονται για τη Β΄ Λυκείου (γενικού και επαγγελματικού) και μπορεί να χρησιμεύσουν σε περίπτωση συνδιδασκαλίας Μαθηματικών και Φυσικής. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Η Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) ως κίνηση της προβολής σημείου της ομαλής κυκλικής κίνησης με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus

1 ώρα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Προσομοίωση και μελέτη του φαινομένου της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης με το λογισμικό Interactive Physics

1 ώρα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 Μελέτη των εξισώσεων που περιγράφουν τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση και σχεδίαση των των γραφικών παραστάσεων των αντίστοιχων συναρτήσεων με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus

1 ώρα

Γνωστικό αντικείμενο Γραμμική ή Απλή Αρμονική Ταλάντωση λέγεται η ταλάντωση που πραγματοποιεί ένα σώμα, όταν η τροχιά του είναι ευθεία γραμμή και η απομάκρυνσή του ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Ένας τρόπος για να αντιληφθούμε τη συγκεκριμένη κίνηση είναι να θεωρήσουμε ένα σώμα Μ που κινείται κατά μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου, με ακτίνα ρ και σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ορίσουμε μία οποιαδήποτε διάμετρο, τότε η προβολή Μ΄ του Μ σε αυτήν θα εκτελεί την κίνηση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Για διευκόλυνση της μελέτης μπορούμε να σχεδιάσουμε την προβολή του Μ σε ευθεία (ε), παράλληλη σε κατακόρυφη διάμετρο. Αν Τ ο χρόνος μιας πλήρους περιστροφής του Μ, τότε και η περίοδος της περιοδικής κίνησης του Μ΄ θα είναι Τ. Ως σημείο ισορροπίας (Θ.Ι.) μπορούμε να θεωρήσουμε το Ο΄ (προβολή του κέντρου Ο του κύκλου στην ευθεία ε) και ως αρχική θέση για t=0 τη Θ.Ι. Ως μεγίστη απομάκρυνση λαμβάνουμε, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, την ψ0=ρ.



Οι βασικές εξισώσεις της κίνησης δίνονται από τους παρακάτω τύπους:

θέση ψ=ψ0ημωt ψ0 η μεγίστη απομάκρυνση

ταχύτητα υ=υ0συνωt υ0=ωψ0

επιτάχυνση α= α0ημωt α0=-ω2ψ0 Τα βασικά χαρακτηριστικά της κίνησης έχουν ως εξής:

• Η περίοδος είναι ανεξάρτητη της κίνησης.

• Η ταχύτητα παίρνει τη μεγίστη τιμή στη Θ.Ι. και μηδενίζεται στις μέγιστες μετατοπίσεις.

• Η επιτάχυνση μηδενίζεται στη θέση ισορροπίας και παίρνει την τιμή 0 στις μέγιστες μετατοπίσεις. Διδακτικοί στόχοι Γνωστικού αντικειμένου Οι μαθητές να είναι σε θέση:

• Να κατανοήσουν την κίνηση ενός κινητού που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, καθώς και την παλινδρομική κίνηση της προβολής του πάνω σε μια διάμετρο της κυκλικής τροχιάς.

• Να αναγνωρίσουν την επάρκεια του γεωμετρικού μοντέλου στην περιγραφή του φαινομένου της απλής αρμονικής ταλάντωσης και να χειριστούν με ορθό τρόπο και ακρίβεια τις έννοιες των μεγεθών τόσο κατά την έκφρασή τους με τη γλώσσα της Φυσικής, όσο και κατά τους μαθητικούς υπολογισμούς.

• Να σχεδιάσουν με τη βοήθεια ενός εκπαιδευτικού λογισμικού τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που εκφράζουν την απόσταση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός κινητού που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση και να μελετήσουν το διάγραμμά τους (διαγράμματα (θέση-χρόνος), (ταχύτητα-χρόνος), (επιτάχυνση-χρόνος).

• Να προσομοιώσουν με τη βοήθεια ενός εκπαιδευτικού λογισμικού ένα φυσικό φαινόμενο στο οποίο εμπεριέχεται κίνηση Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση κινητού.

• Να ερμηνεύσουν ποιοτικά τη διανυσματική αναπαράσταση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης που έχει ένα σώμα που ταλαντώνεται.


• Η εξοικείωση των μαθητών με τη χρήση εκπαιδευτικών λογισμικών κατά τη μελέτη προβλημάτων Μαθηματικών και Φυσικής.

• Η κατανόηση των διαφορετικών αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται στη Φυσική και η ικανότητά τους να τις χρησιμοποιούν, περνώντας με ευκολία από τη μία αναπαράσταση στη άλλη.

• Η κατασκευή γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων γενικότερα.

• Η απόκτηση δεξιοτήτων και η υιοθέτηση υπεύθυνης στάσης κατά την εργασία στο εργαστήριο με συστήματα Νέων Τεχνολογιών.

• Η εργασία μέσα στην ομάδα. Διδακτική προσέγγιση Στόχος του εκπαιδευτικού σεναρίου είναι να ενθαρρύνει τους μαθητές να προσεγγίσουν με διερευνητικό τρόπο τις έννοιες της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης. Οι δραστηριότητες που αναπτύχθηκαν υποστηρίζουν:

• Την κατασκευή σχημάτων και παραστάσεων.

• Την παρατήρηση των μεταβολών των μεταβλητών και τη μεταξύ τους σχέση.

• Τη διερεύνηση των μεταβολών των παραστάσεων, όταν αλλάζουν τα σταθερά μεγέθη.

• Την αυτενέργεια και τη συνεργασία των μαθητών.



Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι γνώσεις που χρειάζεται να έχουν οι μαθητές, για να ασχοληθούν με τις δραστηριότητες του σεναρίου, είναι εκείνες που περιέχονται στη Φυσική της Β΄ Λυκείου (γενικού και επαγγελματικού) και αφορούν την απλή ή Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση. Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών

• Βασικές γνώσεις σχετικά με το λειτουργικό σύστημα (αποθήκευση, άνοιγμα, μετονομασία κ.λπ.).

• Βασικές γνώσεις σχετικά με τα εκπαιδευτικά λογισμικά Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics.


• Τα λογισμικά Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics.

• Ένα εργαστήριο με τις προδιαγραφές της «Οδύσσειας». Περιγραφή της εργασίας των μαθητών







Προτάσεις αξιολόγησης Οι εργασίες των μαθητών προτείνεται να αξιολογηθούν και από την ικανότητά τους:

• Να ακολουθούν, να εκτελούν και να εφαρμόζουν τα βήματα που ορίζονται στο φύλλο εργασίας.

• Να χειρίζονται τα μαθηματικά αντικείμενα, τις εξισώσεις, τις μεταβλητές, τις γραφικές παραστάσεις, και να τα χρησιμοποιούν για την επίλυση προβλημάτων.

• Να προχωρούν στην τελική σύνθεση της κατασκευής.

• Να φτιάχνουν μια δική τους σύνθεση, εφαρμόζοντας δημιουργικά τις λειτουργικές γνώσεις που απέκτησαν.

Δραστηριότητες εμπλουτισμού Στο παρόν σενάριο η γραφική αναπαράσταση μαθηματικών ή φυσικών οντοτήτων, καθώς και η προσομοίωση, αποτελούν πεδίο ανάπτυξης περισσότερων, από τις παρεχόμενες, δραστηριοτήτων. Οι εκπαιδευτικοί μπορούν να τις χρησιμοποιήσουν όπως οι ίδιοι νομίζουν ότι θα εξυπηρετήσουν τους ιδιαίτερους εκπαιδευτικούς στόχους.



Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές. Υλικό για τους διδάσκοντες

• Τα προγράμματα που αναπτύσσονται, τα οποία και βρίσκονται στο φάκελο Files\Section_3 του CD-ROM .

• Τα εγχειρίδια χρήσης των λογισμικών Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics. Προτεινόμενοι ιστοχώροι

• http://www.e-yliko.gr/ Η εκπαιδευτική πύλη του ΥπΕΠΘ.




Φύλλα εργασίας: Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Εισαγωγή Το σενάριο περιλαμβάνει τις παρακάτω δραστηριότητες:

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Η Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) ως κίνηση της προβολής σημείου της ομαλής κυκλικής κίνησης με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Προσομοίωση και μελέτη του φαινομένου της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης με το λογισμικό Interactive Physics

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3

Μελέτη των εξισώσεων που περιγράφουν τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση και σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων των γραφικών παραστάσεων των αντίστοιχων συναρτήσεων με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus

Προαπαιτούμενα – Υποδομή Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτούνται:

• Τα λογισμικά Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics.



Δραστηριότητα 1: Η Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) ως κίνηση της προβολής σημείου της ομαλής κυκλικής κίνησης

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα μελετήσετε τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στην κίνηση ενός κινητού που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και στην παλινδρομική κίνηση της προβολής του πάνω σε ευθεία, παράλληλη σε διάμετρο (οριζόντια ή κατακόρυφη). Θα παρατηρήσετε, λοιπόν, πώς οι δύο κινήσεις συνδέονται μεταξύ τους και τι είδους κίνηση εκτελεί η προβολή του κινητού. Σε κατακόρυφη:

Σε οριζόντια:



Βήματα στην τάξη Επιλέξτε το αρχείο armonikitalantwsi_dr1a.fig. Θα εμφανιστεί ο μικρόκοσμος του Cabri Geometry II Plus και η γραμμή εργαλείων του.

Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα:

1. Ενεργοποιήστε το δείκτη στο πρώτο πλήκτρο της γραμμής εργαλείων (θα εμφανιστεί το εικονίδιο

). Επιλέξτε τον και μετακινήστε το σημείο Μ. Παρατηρήστε την κίνηση της προβολής του (σημείο Μ΄) στην ευθεία y. Ποια τριγωνομετρική σχέση συνδέει τα τμήματα Ο΄Μ΄ και ΟΜ;

Ο΄Μ΄=ΟΜημ(ΜΟΔ)=ΟΜημφ σχέση (1)

2. Ενεργοποιήστε την κίνηση γραφικών στο δέκατο πλήκτρο της γραμμής εργαλείων (θα εμφανιστεί

το εικονίδιο ) και εφαρμόστε τη στο σημείο Μ. Όπως θα παρατηρήσετε, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Παρατηρήστε επίσης την κίνηση της προβολής του Μ΄. Τι είδους κίνηση εκτελεί το Μ΄; Δώστε τον ορισμό της κίνησης.

Εκτελεί Γραμμική ή Απλή Αρμονική Ταλάντωση.

Γραμμική ή Απλή Αρμονική Ταλάντωση λέγεται η ταλάντωση που πραγματοποιεί ένα σώμα, όταν η τροχιά του είναι ευθεία γραμμή και η

απομάκρυνσή του ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου.

3. Παρατηρήστε την κίνηση του Μ΄. Αν ΟΜ=ψ0 , Ο΄Μ΄=ψ, φ η γωνία ΜΟΔ, ω η γωνιακή ταχύτητα, t ο χρόνος και Τ η περίοδος της κίνησης, τότε να γράψετε τις εξισώσεις που τα συνδέει.

1. Για t=0 τη στιγμή που το Μ΄ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του (σημείο Ο΄): φ(t)=ωt, ω=2π/Τ, ψ=ψ0ημφ(t)=ψ0ημωt=ψ0ημ[(2π/Τ )t]

4. Αν θεωρήσετε ως t=0 τη στιγμή που το Μ΄ διέρχεται από τη θέση της μεγίστης απομάκρυνσης

(σημείο Α ή Α΄), τότε πώς θα πρέπει να γράψετε τις αντίστοιχες εξισώσεις;

ψ=ψ0ημ[90-φ(t)]= ψ0συνφ(t)

Επιλέξτε το αρχείο armonikitalantwsi_dr1b.fig και παρατηρήστε πώς συμπεριφέρεται η προβολή του Μ σε οριζόντιο άξονα (σημείο Μ’), π.χ. πείραμα με δίσκο πικάπ και προβολή στον τοίχο του εργαστηρίου.

5. Ποια τριγωνομετρική σχέση συνδέει στο νέο σχήμα τα τμήματα Ο΄Μ΄ και ΟΜ;

Ο΄Μ΄=ΟΜσυν(ΜΟΔ)=συνφ σχέση (2)

6. Συγκρίνετε τις σχέσεις (1) και (2). Ποιο είναι το συμπέρασμά σας;

Το Ο΄Μ΄ εκφράζεται από μια αρμονική συνάρτηση είτε του ημίτονου είτε του συνημίτονου, ανάλογα με τον άξονα που επιλέγουμε και σύμφωνα με ποια θεωρούμε θέση ισορροπίας.

7. Αν φ η γωνία που διαγράφεται, ω η γωνιακή ταχύτητα του σημείου Μ και Τ η κοινή περίοδος των κινήσεων των Μ και Μ΄, τότε ποιες θα είναι οι γενικές εξισώσεις για τη θέση x(t) του κινητού σε συνάρτηση με το φ(t), το ω και το Τ;

φ(t)=ωt, ω=2π/Τ, x(t)=Rσυν(ωt)

8. Μπορείτε με τη βοήθεια των εργαλείων του Cabri Geometry II Plus να κατασκευάσετε ένα δικό σας σχήμα που να έχει τις ίδιες ακριβώς λειτουργίες με εκείνες του αρχείου armonikitalantwsi_dr1a.fig; Ποια βήματα θα ακολουθήσετε;

1. Δημιουργήστε ένα δικό σας φάκελο στα Έγγραφα του υπολογιστή που θα εργαστείτε.

2. Επιλέξτε το λογισμικό Cabri Geometry II Plus και δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας. Επιλέξτε Αποθήκευση ως και αποθηκεύστε το ως myarmonikitalantwsi_dr1a στο φάκελο εργασίας σας.



3. Κατασκευάστε ένα σημείο Ο, έναν κύκλο με κέντρο το Ο, μια οριζόντια ευθεία που να διέρχεται από το Ο (ονομάστε την Οx) και τα σημεία τομής της ευθείας με τον κύκλο Δ, Δ΄.

4. Κατασκευάστε στον κύκλο ένα σημείο Μ, το διάνυσμα ΟΜ και τη γωνία φ=ΜΟΔ.

5. Κατασκευάστε μια ευθεία ε, παράλληλη με την Οx, που να μην τέμνει τον κύκλο.

6. Βρείτε τις προβολές των Δ, Δ΄, Ο και Μ στην ε (φέρτε κάθετες ευθείες, βρείτε τα σημεία τομής, ονομάστε τα Α, Α΄, Ο΄, Μ΄, κάντε απόκρυψη των ευθειών και κατασκευάστε τα τμήματα ΟΟ΄, ΜΜ΄).

7. Κατασκευάστε το διάνυσμα Ο΄Μ΄ και δώστε τους κατάλληλους χρωματισμούς.

8. Βρείτε τα μήκη των ΟΜ και Ο΄Μ΄.

9. Χρησιμοποιήστε τον Υπολογισμό για να βρείτε το Ο΄Μ΄, όπως προκύπτει από τη σχέση (1), και μεταφέρετέ το στην οθόνη σας (ως αποτέλεσμα:…). Συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με εκείνο της μέτρησης.

10. Αλλάξτε τη φράση-αποτέλεσμα, που προέκυψε από τη μεταφορά του υπολογισμού στην οθόνη, με μια εξίσωση που γράψατε σε συνάρτηση με τη γωνία φ. Ενεργοποιήστε και πάλι την κίνηση και παρατηρήστε τις μεταβολές της γωνίας.

11. Αποθηκεύστε το αρχείο σας και δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας με όνομα (myarmonikitalantwsi_dr1b).

12. Στο νέο φύλλο εργασίας σχεδιάστε έναν κάθετο άξονα, αντί για οριζόντιο, και κατασκευάστε με τα ίδια βήματα την προβολή της κυκλικής κίνησης στον κάθετο άξονα. Αποθηκεύστε το.



Δραστηριότητα 2: Προσομοίωση και μελέτη του φαινομένου της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Επιλέξτε το αρχείο armonikitalantwsi_dr2.ip. Στο μικρόκοσμο του Interactive Physics, που εμφανίζεται, ο χώρος εργασίας είναι χωρισμένος σε τρία διαφορετικά μέρη: Η προσομοίωση Στο χώρο αυτό προσομοιώνεται ένα σώμα δεμένο στο άκρο ενός ελατηρίου, το άλλο άκρου του οποίου είναι προσδεδεμένο σε ένα σταθερό σημείο. Στο στιγμιότυπο πριν αρχίσει να εκτελείται η προσομοίωση, το ελατήριο είναι εκτεταμένο και επομένως υπάρχει συνισταμένη δύναμη, διάφορη του 0, η οποία ασκείται από το ελατήριο στο σώμα. Τριβές ανάμεσα στο σώμα και στο οριζόντιο επίπεδο δεν υπάρχουν. Στον ίδιο χώρο υπάρχουν δύο μεταβολείς με τους οποίους ο χρήστης μεταβάλλει τις τιμές της σταθερής του ελατηρίου και της μάζας του σώματος. Εκεί επίσης αναπαρίστανται τα διανυσματικά μεγέθη επιτάχυνση και ταχύτητα. Το γεωμετρικό μοντέλο Στο χώρο αυτό το σημείο Κ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, με κέντρο της κυκλικής τροχιάς το σημείο Ο και ακτίνα ίση με το πλάτος της ταλάντωσης που εξελίσσεται στο χώρο της προσομοίωσης, ενώ το σημείο Π είναι σε κάθε χρονική στιγμή η προβολή του Κ στην οριζόντια διάμετρο της κυκλικής τροχιάς. Η ταχύτητα του σώματος που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση αναπαριστάται από ένα διάνυσμα. Η γωνιακή ταχύτητα είναι ίδια με την κυκλική συχνότητα της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης. Οι γραφικές παραστάσεις μεγεθών Στο χώρο αυτό αναπαριστάνονται γραφικά τα μεγέθη που έχουν ενδιαφέρον στη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση. Τέτοια είναι η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Αφού τελειώσει μια ολοκληρωμένη προσομοίωση, για καθαριστούν οι γραφικές παραστάσεις επιλέξτε Επαναρρύθμιση και κατόπιν Σβήσιμο Γραφικών Παραστάσεων. Στη διάθεσή σας υπάρχουν τα κουμπιά ελέγχου της εκτέλεσης, δηλαδή της έναρξης της προσομοίωσης, της παύσης και της επαναρρύθμισης, οι χάρακες και τα κουμπιά του κασετοφώνου, με τα οποία μπορείτε να εκτελείτε την προσομοίωση πλαίσιο προς πλαίσιο, καθώς και ένα ψηφιακό χρονόμετρο. Χρήσιμες οδηγίες Υπενθυμίζεται ότι:



• Γραφικά.







Πατήστε το κουμπί Έναρξη για να αρχίσει η προσομοίωση. Τι είδους κίνηση είναι η Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση;

1. Πόσα διαφορετικά είδη κίνησης μπορείτε να διακρίνετε κατά τη διάρκεια της πρώτης πλήρους ταλάντωσης, όταν το σώμα επανέρχεται στη θέση από όπου ξεκίνησε; Χαρακτηρίστε καθένα από αυτά ως επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη κίνηση.

Χρόνος Διανύσματα επιτάχυνσης και ταχύτητας (ομόρροπα ή

αντίρροπα)

Χαρακτηρισμός κίνησης (επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη)

0 έως Τ/4 ομόρροπα επιταχυνόμενη

Τ/4 έως Τ/2 αντίρροπα επιβραδυνόμενη

Τ/2 έως 3Τ/4 ομόρροπα επιταχυνόμενη

3Τ/4 έως Τ αντίρροπα επιβραδυνόμενη

Τ έως 5Τ/4 ομόρροπα επιταχυνόμενη

κ.τ.λ.

2. Μπορείτε από τη διανυσματική αναπαράσταση των μεγεθών να χαρακτηρίσετε τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση ως ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση; Γιατί;

Το γεωμετρικό μοντέλο Όπως θα παρατηρήσετε, στο χώρο του γεωμετρικού μοντέλου το σημείο Π εκτελεί την ίδια ακριβώς κίνηση με το κέντρο βάρους του σώματος στο χώρο της προσομοίωσης, η δε προβολή του διανύσματος της ταχύτητάς του είναι ίση με την ταχύτητα του σώματος στην προσομοίωση. Επίσης, η γραφική παράσταση της θέσης του σημείου Π από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς συμπίπτει απολύτως με τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας.

Εργαστείτε στο παραπάνω σχήμα. Χρησιμοποιήστε τις γνώσεις σας από τη Γεωμετρία και την Τριγωνομετρία.

3. Ποια είναι η σχέση που συνδέει το ΟΠ με τη γωνία που σχηματίζεται από την επιβατική ακτίνα και τη διάμετρο; Πώς εκφράζεται η σχέση αυτή ως συνάρτηση ημιτονοειδής;

OΠ=R*συνθ

4. Αντιστοιχίστε τους όρους του γεωμετρικού μοντέλου με τα μεγέθη της Γραμμικής Αρμονικής

Ταλάντωσης.



Γεωμετρικό μοντέλο (κυκλική κίνηση του Κ)

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (κίνηση του σώματος)

Ακτίνα κύκλου Πλάτος ταλάντωσης

Περίοδος κυκλικής κίνησης Περίοδος ταλάντωσης

Πλήρης περιστροφή Πλήρης ταλάντωση

Γωνιακή ταχύτητα Κυκλική συχνότητα

Γραμμική ταχύτητα Πλάτος ταχύτητας της ταλάντωσης

Συχνότητα κυκλικής κίνησης Συχνότητα ταλάντωσης



Δραστηριότητα 3: Μελέτη των εξισώσεων που περιγράφουν τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση και σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων των αντίστοιχων συναρτήσεων

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού λογισμικού Cabri Geometry II Plus θα μελετήσετε και θα σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που εκφράζουν την απόσταση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός κινητού που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (διαγράμματα (θέση-χρόνος), (ταχύτητα-χρόνος) (επιτάχυνση-χρόνος)).

Βήματα στην τάξη 1. Επιλέξτε το αρχείο armonikitalantwsi_dr3a.fig. Θα εμφανιστεί ο μικρόκοσμος του Cabri Geometry

II Plus και η γραμμή εργαλείων του.

Ενεργοποιήστε το δείκτη στο πρώτο πλήκτρο της γραμμής εργαλείων (θα εμφανιστεί το εικονίδιο ). Επιλέξτε τον και μετακινήστε το σημείο που εκφράζει το χρόνο t. Ωστόσο, υπάρχει και ένας άλλος τρόπος: να ενεργοποιήσετε την κίνηση γραφικών στο δέκατο πλήκτρο της γραμμής εργαλείων (θα εμφανιστεί το

εικονίδιο ) και να την εφαρμόσετε στο σημείο. Παρατηρήστε την κίνηση του σημείου που εκφράζει την απομάκρυνση ψ(t). Μεταβάλετε την περίοδο T ή τη μεγίστη απομάκρυνση ψ0 (διπλό κλικ στην τιμή). Σχολιάστε τα αποτελέσματα που προέκυψαν και περιγράψτε το διάγραμμα.

Οι μαθητές αναμένεται να αναφέρουν, μεταξύ άλλων, ότι η απομάκρυνση είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Επίσης θα ασχοληθούν με τις μεταβολές εκείνες που θα τους επιτρέψουν



να διερευνήσουν πώς επηρεάζεται η απομάκρυνση από τις μεταβολές του πλάτους και της συχνότητας.

2. Επιλέξτε το αρχείο armonikitalantwsi_dr3b.fig. Μελετήστε το διάγραμμα και γράψτε τις εξισώσεις

της ταχύτητας υ(t) και της επιτάχυνσης α(t).

t=0 η στιγμή που το σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του (σημείο Ο΄), ψ0 η μεγίστη απομάκρυνση, Τ η περίοδος, ψ=ψ0ημωt η απομάκρυνση ω=2πf υ0= ωψ0

υ=υ0 συνωt α0= ω2 ψ0

α=-α0 ημωt 3. Μετακινήστε ή ενεργοποιήστε την κίνηση γραφικών για το σημείο που εκφράζει το χρόνο t και

παρατηρήστε την κίνηση των σημείων που εκφράζουν τα ψ(t), υ(t) και α(t). Μεταβάλετε την περίοδο T ή τη μεγίστη απομάκρυνση ψ0 (διπλό κλικ στην τιμή). Σχολιάστε τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

Οι μαθητές αναμένεται να ασχοληθούν με τις μεταβολές εκείνες που θα τους επιτρέψουν να διερευνήσουν πώς επηρεάζονται η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση από τις μεταβολές του πλάτους και της συχνότητας.

4. Μπορείτε με τη βοήθεια των εργαλείων του Cabri Geometry II Plus να κατασκευάσετε ένα δικό σας

σχήμα που να έχει τις ίδιες ακριβώς λειτουργίες με εκείνες του αρχείου armonikitalantwsi_dr3a.fig; Ποια βήματα θα ακολουθήσετε;

Αν χρειάζεστε βοήθεια για τη δική σας κατασκευή, ακολουθήστε τις παρακάτω οδηγίες: ΕΡΓΑΣΙΑ (Κατασκευή με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus) Θα ξεκινήσουμε με τη συνάρτηση της απομάκρυνσης ψ=f(t). Θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση ψ=ψ0ημωt (θεωρώντας 0 τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) και θα φτιάξουμε το διάγραμμα ψ-t. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα:

1. Επιλέξτε το λογισμικό Cabri Geometry II Plus και δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας. Επιλέξτε Αποθήκευση ως και αποθηκεύστε το ως myarmonikitalantwsi_dr3a στο φάκελο εργασίας σας.

2. Ονομάστε 0 το κέντρο των αξόνων και μετακινήστε το στην άκρη της οθόνης. 3. Κατασκευάστε σημείο σε αντικείμενο ένα σημείο στον άξονα Οx, βρείτε τις συντεταγμένες του

και ονομάστε το t. Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία προς τον άξονα Οx που διέρχεται από το σημείο t. Κατασκευάστε κάθετη από το σημείο στον άξονα (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρώμα).

4. Χρησιμοποιήστε την Αριθμητική επεξεργασία για να δώσετε τιμές στα μεγέθη Τ και ψ0. Μεταφέρετε τις τιμές τους στους άξονες Οχ και Οψ, αντίστοιχα, και ονομάστε τα σημεία Τ και ψ0. Κατασκευάστε καθέτους από τα σημεία στους άξονες (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρώμα).

5. Χρησιμοποιήστε τον Υπολογισμό για να υπολογίσετε τις τιμές των μεγεθών -ψ0, ω=2π/Τ και ψ=ψ0ημωt. Μεταφέρετε τις τιμές στην οθόνη (επεξεργαστείτε το κείμενο, ώστε να εμφανίζεται: ω=αριθμός, ψ=εξίσωση=αριθμός κ.τ.λ. Χρωματίστε τα με διαφορετικά χρώματα). Μεταφέρετε τις τιμές των -ψ0 και ψ στον άξονα Οψ. Κατασκευάστε καθέτους από τα σημεία στους άξονες (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρώμα).

6. Κατασκευάστε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών που διέρχονται από το t και το ψ και ονομάστε το f(t). Αποκρύψτε τις δύο κάθετες που έχετε φέρει.

7. Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου f(t) ως προς t (θα εμφανιστεί η ημιτονοειδής καμπύλη). Δώστε της το κατάλληλο χρώμα.

8. Αποθηκεύστε το αρχείο σας (myarmonikitalantwsi_dr3a).

9. Δημιουργήστε ένα αντίγραφο του myarmonikitalantwsi_dr3a και ονομάστε το myarmonikitalantwsi_dr3b. Ακολουθώντας τα κατάλληλα βήματα, κατασκευάστε τις καμπύλες



της ταχύτητας υ(t) και της επιτάχυνσης α(t).

10. Αποθηκεύστε το αρχείο σας (myarmonikitalantwsi_dr3b).

11. Για επιπλέον βοήθεια επιλέξτε το αρχείο armonikitalantwsi_dr3a.fig και armonikitalantwsi_dr3b και δείτε το ιστορικό της κατασκευής τους.



Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ έ ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν οι μαθητές θα μελετήσουν με τη βοήθεια ενός εκπαιδευτικού λογισμικού τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημω και συνω και τις εφαρμογές τους σε τύπους συναρτήσεων που συναντώνται στις ταλαντώσεις, π.χ. f(t)=α·ημωt.1 Θα τους δοθεί έτσι η δυνατότητα να σχεδιάσουν τον τριγωνομετρικό κύκλο και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, χρησιμοποιώντας τα εργαλεία του λογισμικού Cabri Geometry II Plus. Στη συνέχεια, αφού δώσουν κίνηση σε σημεία του σχεδίου που εκφράζουν τις ανεξάρτητες μεταβλητές, θα παρακολουθήσουν και θα κατανοήσουν τη μεταβολή των εξαρτημένων μεταβλητών. Περιέχονται τρία φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται από τρεις έως τέσσερις διδακτικές ώρες, ανάλογα με την εξοικείωση των μαθητών με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus. Προτείνεται για τη Β΄ Λυκείου (γενικού και επαγγελματικού) και μπορεί να χρησιμεύσει σε περίπτωση συνδιδασκαλίας Μαθηματικών και Φυσικής.


Μελέτη των συναρτήσεων της μορφής f(ω)=ημω και f(ω)=συνω με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου και σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων

1 ώρα


Μελέτη των συναρτήσεων της μορφής f(ω)=ρ·ημ(αω), f(ω)=ρ·ημ(ω+φ), f(ω)=α·ημω+β·συνω κ.τ.λ. και σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων

1 ώρα


Μελέτη των συναρτήσεων h=1+1/3συν3t (όπου h η απόσταση από το δάπεδο ενός παιχνιδιού που κρέμεται σε ελατήριο και ανεβοκατεβαίνει) και y=3ημ[(π/6)t] (όπου y το ύψος της στάθμης στην παλίρροια)

1 ώρα

Γνωστικό αντικείμενο Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να οριστούν ως συναρτήσεις με πεδίο ορισμού τις γωνίες, εκφρασμένες σε μοίρες (θο), ή τις γωνίες, εκφρασμένες σε ακτίνια (ω rad). Αν θο η γωνία σε μοίρες και x η γωνία σε rad, τότε x/π=θ/180. Στη δεύτερη περίπτωση, το πεδίο τιμών μπορεί άνετα να απεικονιστεί στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Η συνάρτηση του ημιτόνου f(ω)=ημω ή sinω συμβολίζεται ως ημ ή sin και απεικονίζει κάθε πραγματικό αριθμό στο ημω (ω rad). Ικανοποιεί δε τις ανισότητες -1≤ημω≤1. Ισχύει ότι ημ(ω+2π)=ημω για κάθε ω που ανήκει στο σύνολο R. Για το λόγο αυτό, η συνάρτηση του ημιτόνου είναι περιοδική με περίοδο 2π. Η ελαχίστη τιμή της συνάρτησης ισχύει για ω=3π/2, ημ(3π/2)=-1 και η μεγίστη τιμή για ω=π/2, ημ(π/2)=1 (σε περίοδο 2π). Η γραφική της παράσταση λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη ή ημιτονοειδές κύμα, ενώ η μεγίστη τιμή της πλάτος του κύματος. Η συνάρτηση του συνημιτόνου f(ω)=συνω ή cosω έχει τα ίδια χαρακτηριστικά, αλλά στην αντίστοιχη γραφική παράσταση εμφανίζεται μετατοπισμένη προς τα αριστερά κατά π/2, αφού συνω=ημ(ω+π/2). Η μετατόπιση αυτή ονομάζεται διαφορά φάσης.

1 Εδώ το ω είναι η σταθερή κυκλική συχνότητα.



Η μελέτη των συναρτήσεων ημ και συν, επειδή είναι περιοδικές με περίοδο 2π, διευκολύνεται με τη χρήση του τριγωνομετρικού κύκλου. Αν Μ ένα σημείο στην περιφέρεια ενός κύκλου που έχει σχεδιαστεί σε σύστημα αξόνων με ακτίνα 1, τότε η τεταγμένη του θα είναι το ημχ και η τετμημένη του το συνχ. Συνεπώς, αρκεί να παρατηρήσουμε με ποιον τρόπο η κίνηση του Μ, όταν περιφέρεται στον κύκλο κατά τη θετική φορά, επηρεάζει την κίνηση των συντεταγμένων του.

Πολλές από τις εφαρμογές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουν γωνίες αλλά πραγματικούς αριθμούς, για παράδειγμα, οι εφαρμογές των συναρτήσεων της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης. Για το λόγο αυτό, οι γραφικές τους παραστάσεις παρουσιάζονται ως ημιτονοειδές κύμα, με διαφορετικό όμως πεδίο τιμών και διαφορετική περίοδο. Οι συναρτήσεις της μορφής f(ω)=ρ·ημ(αω) ή f(ω)=ρ·συν(αω), όπου ρ και α θετικοί αριθμοί, έχουν:

• Μεγίστη τιμή ίση με ρ και ελαχίστη ίση με -ρ.

• Περίοδο ίση με 2π/α.


Να διερευνήσουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημ:ω→ημω και συν:ω→συνω με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου.

Να σχεδιάσουν, με τη βοήθεια ενός εκπαιδευτικού λογισμικού, τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ψ=ημω και ψ=συνω και να μελετήσουν το διάγραμμά τους.



Να σχεδιάσουν και να μελετήσουν τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων με γενικούς τύπους f(ω)=ρ·ημω και f(ω)=ρ·συνω και, γενικότερα, κάθε ημιτονοειδή συνάρτηση (π.χ. h=1+1/3συν3t).

Να κατανοήσουν πώς χρησιμοποιείται ο γραμμικός μετασχηματισμός μεταφοράς στη μετατόπιση της γραφικής παράστασης μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Γενικότεροι

Γενικότεροι στόχοι:

Η εξοικείωση των μαθητών με τη χρήση εκπαιδευτικών λογισμικών για τη μελέτη προβλημάτων των Μαθηματικών και της Φυσικής.

Η κατασκευή γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων γενικότερα.


Η εργασία μέσα στην ομάδα. Διδακτική προσέγγιση Στόχος του εκπαιδευτικού σεναρίου είναι να ενθαρρύνει τους μαθητές να προσεγγίσουν τις έννοιες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με διερευνητικό τρόπο. Οι δραστηριότητες που αναπτύχθηκαν υποστηρίζουν:

Την κατασκευή σχημάτων και παραστάσεων.

Την παρατήρηση των μεταβολών στις μεταβλητές και τη μεταξύ τους σχέση.

Τη διερεύνηση των μεταβολών στις παραστάσεις, όταν αλλάζουν τα σταθερά μεγέθη.

Την αυτενέργεια και τη συνεργασία των μαθητών. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι γνώσεις των μαθητών που απαιτούνται για να ασχοληθούν με τις δραστηριότητες του σεναρίου είναι εκείνες που περιέχονται στα Μαθηματικά της Β΄ Λυκείου (γενικού και επαγγελματικού) και συγκεκριμένα στην ενότητα «Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις». Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών


Βασικές γνώσεις σχετικά με το εκπαιδευτικό λογισμικό Cabri Geometry II Plus. Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτούνται:

Το λογισμικό Cabri Geometry II Plus.











Να ακολουθούν, να εκτελούν και να εφαρμόζουν τα βήματα που ορίζονται στο φύλλο εργασίας τους.

Να χειρίζονται τα μαθηματικά αντικείμενα, τις εξισώσεις, τις μεταβλητές και τις γραφικές παραστάσεις, και να τα χρησιμοποιούν για την επίλυση προβλημάτων.

Να προχωρούν στην τελική σύνθεση της κατασκευής.

Να φτιάχνουν μία δική τους σύνθεση, εφαρμόζοντας δημιουργικά τις λειτουργικές γνώσεις που απέκτησαν.

Δραστηριότητες εμπλουτισμού

Στο παρόν σενάριο η γραφική αναπαράσταση μαθηματικών ή φυσικών οντοτήτων αποτελεί πεδίο ανάπτυξης περισσότερων, από τις παρεχόμενες, δραστηριοτήτων. Οι εκπαιδευτικοί μπορούν να τις χρησιμοποιήσουν όπως οι ίδιοι νομίζουν ότι θα εξυπηρετήσουν τους ιδιαίτερους εκπαιδευτικούς στόχους. Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές. Υλικό για τους διδάσκοντες

Τα προγράμματα που αναπτύσσονται, τα οποία και βρίσκονται στο φάκελο Files\Section_4 του CD-ROM.

Το εγχειρίδιο χρήσης του λογισμικού Cabri Geometry II Plus που συνοδεύει το λογισμικό.



Φύλλα εργασίας: Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Εισαγωγή Το σενάριο περιλαμβάνει τις παρακάτω δραστηριότητες:

Δραστηριότητα 1 Μελέτη των συναρτήσεων της μορφής f(ω)=ημω και f(ω)=συνω με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου και σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων

Δραστηριότητα 2 Μελέτη των συναρτήσεων της μορφής f(ω)=ρ·ημ(αω), f(ω)=ρ·ημ(ω+φ), f(ω)=αημω+βσυνω κ.τ.λ. και σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων

Δραστηριότητα 3

Μελέτη των συναρτήσεων h=1+1/3συν3t (όπου h η απόσταση από το δάπεδο ενός παιχνιδιού που κρέμεται σε ελατήριο και ανεβοκατεβαίνει) και y=3ημ[(π/6)t] (όπου y το ύψος της στάθμης στην παλίρροια)

Προαπαιτούμενα – Υποδομή Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτείται το λογισμικό Cabri Geometry II Plus.



Δραστηριότητα 1: Μελέτη των συναρτήσεων της μορφής f(ω)=ημω και f(ω)=συνω με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου και σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Διερευνήστε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημ:ω→ημω και συν:ω→συνω με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου.

ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Μελετήστε και κατόπιν σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ψ=ημω και ψ=συνω.



ΕΡΓΑΣΙΑ 1 (Τριγωνομετρικός κύκλος) Επιλέξτε το αρχείο trigwnometrikes_dr1a και στη συνέχεια το αρχείο trigwnometrikes_dr1b. Θα εμφανιστεί ο μικρόκοσμος του Cabri Geometry II Plus και η γραμμή εργαλείων του.

Ερωτήματα – Διερευνήσεις

1. Διατυπώστε με τι ισούται το ημω και το συνω μιας γωνίας ω, αν η τελική της πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(α,β).

ημω=ΟΜ1, που είναι η τεταγμένη του σημείου Μ συνω=ΟΜ2, που είναι η τετμημένη του σημείου Μ

2. Ενεργοποιήστε το δείκτη στο πρώτο πλήκτρο της γραμμής εργαλείων (θα εμφανισθεί το εικονίδιο

). Επιλέξτε τον και μετακινήστε την Οζ όσο θέλετε. Παρατηρήστε τι συμβαίνει με το ημω και το συνω. Μπορείτε επίσης να ενεργοποιήσετε την κίνηση γραφικών για την Οζ, πατώντας το δέκατο

πλήκτρο της γραμμής εργαλείων (θα εμφανιστεί το εικονίδιο ). Παρατηρήστε την κίνηση και εκφράστε τις βασικές ανισώσεις για το ημω και το συνω μιας γωνίας ω. Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

-1≤ημω≤1 -1≤συνω≤1

Όπως φαίνεται από την εφαρμογή της κίνησης στο σημείο Μ, οι προβολές του μετακινούνται μεταξύ 1 και -1.

3. Ποιος είναι ο τύπος με τον οποίο η γωνία ω μπορεί να μετατραπεί από μοίρες (μο) σε ακτίνια (α rad) και αντίστροφα; Εφαρμόστε τον στο φύλλο εργασίας σας (μενού Υπολογισμός) και κάντε τη σχετική μετατροπή για τη γωνία ω.

Οι μαθητές μπορούν να βρουν τον τύπο α=(π·180)/μ με αναλογίες ή με μια απλή μέθοδο.

4. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

ω(rad) -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π

ω(μοίρες)


σχήμα που να έχει τις ίδιες ακριβώς λειτουργίες με εκείνες του αρχείου trigwnometrikes_dr1a και στη συνέχεια του trigwnometrikes_dr1b; Ποια βήματα θα ακολουθήσετε;



Αν χρειάζεστε βοήθεια για τη δική σας κατασκευή, ακολουθήστε τις παρακάτω οδηγίες:

ΕΡΓΑΣΙΑ 1 (Τριγωνομετρικός κύκλος) Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα:

• Δημιουργήστε ένα δικό σας φάκελο στα Έγγραφα του υπολογιστή σας.

• Επιλέξτε το λογισμικό Cabri Geometry II Plus και δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας. Επιλέξτε Αποθήκευση ως και αποθηκεύστε το ως mytrigwnometrikes_dr1a στο φάκελο εργασίας σας.

• Εμφανίστε τους άξονες και μετακινήστε το 1, έως ότου εμφανιστεί το 0,2. Ονομάστε Ο το κέντρο των αξόνων και μετακινήστε το στο κέντρο περίπου της οθόνης.

• Επιλέξτε Αριθμητική Επεξεργασία και στο πλαίσιο που εμφανίζεται εισάγετε τον αριθμό 1. Επιλέξτε Μεταφορά μέτρησης και μεταφέρετε τον αριθμό 1 στον άξονα Οx (ονομάστε τον Α).

• Κατασκευάστε τον τριγωνομετρικό κύκλο με κέντρο το Ο (αυτό το κέντρο) και ακτίνα την ΟΑ (αυτή την ακτίνα). Κατασκευάστε και ονομάστε Α, Α΄ και Β, Β΄ τα σημεία τομής του κύκλου με τους άξονες Οx και Οψ, αντίστοιχα. Βρείτε τις συντεταγμένες τους και μετατρέψτε τις ονομασίες σε ακέραιους αριθμούς, π.χ. (0, 1).

• Κατασκευάστε την ημιευθεία Οζ και το σημείο τομής της με τον κύκλο. Ονομάστε το Μ και βρείτε τις συντεταγμένες του (α, β). Χρησιμοποιήστε τη Μεταφορά μέτρησης για να μεταφέρετε τις συντεταγμένες (α, β) στους άξονες (το α στον Οx και το β στον Οψ). Ονομάστε τα σημεία Μ1 και Μ2. Βρείτε τις συντεταγμένες (να παραμείνουν με δεκαδικά ψηφία).

• Κατασκευάστε τα τμήματα ΜΜ1 και ΜΜ2 και εμφανίστε τα με διακεκομμένες γραμμές.

• Αποθηκεύστε το αρχείο σας ως mytrigwnometrikes_dr1a.

• Στο φάκελο εργασίας σας δημιουργήστε ένα αντίγραφο του mytrigwnometrikes_dr1a επιλέγοντας Αποθήκευση ως. Στη συνέχεια αποθηκεύστε το ως mytrigwnometrikes_dr1b.

• Μετονομάσετε τις συντεταγμένες των σημείων Μ1 και Μ2 σε ημω και συνω, αντίστοιχα.

• Αφαιρέστε τις ονομασίες Α, Α΄, Β, Β΄, Μ1, Μ2 (κρατήστε τις συντεταγμένες).

• Βρείτε τη γωνία ΜΟx και ονομάστε την ω.

• Αποθηκεύστε το αρχείο σας.



ΕΡΓΑΣΙΑ 2 (Γραφικές παραστάσεις) Επιλέξτε το αρχείο trigwnometrikes_dr1c. Θα εμφανιστεί ο μικρόκοσμος του Cabri Geometry II Plus και η γραμμή εργαλείων του. Ερωτήματα – Διερευνήσεις

6. Eνεργοποιήστε τη γραμμή ίχνους (στη θέση on) στο δέκατο πλήκτρο και εφαρμόστε τη στo σημείο Μ. Στη συνέχεια επιλέξτε το δείκτη από το πρώτο πλήκτρο και αρχίστε να μετακινείτε δεξιά αριστερά το σημείο που παριστάνει τη γωνία ω, για να μεταβάλετε την τιμή της. Παρατηρήστε την καμπύλη που σχηματίζεται. Πώς ονομάζεται και τι είδους συνάρτηση είναι; Ποια είναι η περίοδός της; Επαληθεύστε με παραδείγματα.

Είναι περιοδική, με περίοδο 2π, και η γραφική της παράσταση σχηματίζει μια καμπύλη η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη.


σχήμα που να έχει τις ίδιες ακριβώς λειτουργίες με εκείνες του αρχείου trigwnometrikes_dr1c; Ποια βήματα θα ακολουθήσετε;


Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα:

• Δημιουργήστε ένα νέο αρχείο, το mytrigwnometrikes_dr1c.

• Εμφανίστε τους άξονες και μεγεθύνετε την κλίμακα, έως ότου το 1 να μη μεταβάλλεται σε 0,5. Ονομάστε Ο το κέντρο των αξόνων και μετακινήστε το στο κέντρο περίπου της οθόνης. Εμφανίστε και το -1 στον άξονα Οψ (μεταφορά μέτρησης του -1 στον Οψ και ονομασία σε -1).

• Κατασκευάστε σημείο σε αντικείμενο ένα σημείο στον άξονα Οx. Βρείτε τις συντεταγμένες του και επεξεργαστείτε το κείμενο (σβήστε το 0,00 και προσθέστε: ω=(τετμημένη) rad).

• Χρησιμοποιήστε τον Υπολογισμό για να βρείτε το ημω. Στη συνέχεια μεταφέρετέ το στην οθόνη (επεξεργαστείτε το κείμενο, ώστε να εμφανίζεται: ημω=αριθμός, και χρωματίστε το πράσινο).

• Μεταφέρετε το ημω στον άξονα Οψ και βρείτε τις συντεταγμένες του. Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία προς τον άξονα Οψ που διέρχεται από το σημείο. Επεξεργαστείτε το κείμενο (σβήστε το 0,00, αφήστε να εμφανίζεται μόνο η τεταγμένη –στην προκειμένη περίπτωση είναι το ημω– και χρωματίστε την πράσινη).

• Κατασκευάστε το σημείο τομής των δύο κάθετων ευθειών που έχετε φέρει. Ονομάστε το Μ, δώστε του πράσινο χρώμα και ενεργοποιήστε τη γραμμή ίχνους (στη θέση on). Με Απόκρυψη ορίστε να μην εμφανίζονται οι δύο κάθετες.

• Μεταβάλετε τη γωνία ω, μετακινώντας το σημείο που την παριστάνει, και παρατηρήστε πώς μεταβάλλεται το ημω και τι καμπύλη σχηματίζεται. Μπορείτε επίσης να παρατηρήσετε την κίνηση, ενεργοποιώντας την κίνηση γραφικών για το σημείο Μ.

• Αποθηκεύστε το αρχείο σας mytrigwnometrikes_dr1c.

8. Προσπαθήστε να κατασκευάσετε και την καμπύλη του συνω (ακολουθήστε τα ίδια βήματα και για

εξάσκηση προσπαθήστε να μην τα διαβάζετε από το φύλλο εργασίας). Ορίστε όλα τα στοιχεία του συνω να εμφανίζονται με διαφορετικό χρώμα, για να φαίνεται καλύτερα η διαφορά φάσης στις δύο καμπύλες. Αφού παρατηρήσετε τώρα και τις δύο καμπύλες που σχηματίζονται κατά την κίνηση, αποθηκεύστε το αρχείο σας ως mytrigwnometrikes_dr1d. Μπορείτε επίσης να δείτε το αρχείο trigwnometrikes_dr1d.



9. Ανοίξτε ένα νέο φύλλο εργασίας (mytrigwnometrikes_dr1e) και προσπαθήστε να δημιουργήσετε τις καμπύλες του ημω και συνω ως γεωμετρικό τόπο σημείων (με βάση τα προηγούμενα και την ανάλογη επιλογή που υπάρχει στα μενού του λογισμικού). Ονομάστε τα σημεία εκείνα, όπου οι καμπύλες τέμνουν τον άξονα των τετμημένων. Περιγράψτε τα βήματα που θα ακολουθήσατε. Μπορείτε επίσης να δείτε το αρχείο trigwnometrikes_dr1e.



Δραστηριότητα 2: Μελέτη των συναρτήσεων της μορφής f(ω)=ρ·ημ(αω), f(ω)=ρ·ημ(ω+φ), f(ω)=α·ημω+β·συνω κ.τ.λ. και σχεδίαση των γραφικών τους παραστάσεων

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ΕΡΓΑΣΙΑ 1

Μελετήστε και κατόπιν σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f(ω)=3ημω, f(ω)=ημ2ω, f(ω)=3ημ2ω.

ΕΡΓΑΣΙΑ 2

Μελετήστε και κατόπιν σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(ω)=συνω+2, μετατοπίζοντας τη γραφική παράσταση της f(ω)=συνω. Στη συνέχεια μελετήστε την f(ω)=ημ2ω-√3συν2ω.



ΕΡΓΑΣΙΑ 1 (Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(ω)=3ημω, f(ω)=ημ2ω και f(ω)=3ημ2ω) Επιλέξτε το αρχείο trigwnometrikes_dr2a. Θα εμφανιστεί ο μικρόκοσμος του Cabri Geometry II Plus και η γραμμή εργαλείων του. Ερωτήματα – Διερευνήσεις

1. Μεταβάλετε τη γωνία ω, μετακινώντας το σημείο που την παριστάνει, και παρατηρήστε πώς μεταβάλλονται και πώς κινούνται στις ανάλογες καμπύλες τα ημω, ημ2ω, 3ημω, 3ημ2ω. Βρείτε τη μεταξύ τους σχέση. Ένας ακόμη τρόπος για να παρατηρήσετε την κίνησή τους είναι να ενεργοποιήσετε την κίνηση γραφικών για το σημείο Μ. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας.

Η περίοδος της συνάρτησης f(ω)=3ημω παραμένει 2π. Το εύρος τιμών τριπλασιάζεται, αφού οι τιμές της συνάρτησης f(ω)=3ημω είναι τριπλάσιες από τις τιμές της f(ω)=ημω. Η περίοδος της συνάρτησης f(ω)=ημ2ω γίνεται π, γιατί κάθε τιμή της συνάρτησης επαναλαμβάνεται όταν το 2ω αυξηθεί κατά 2π, κάτι που σημαίνει ότι η τιμή επαναλαμβάνεται όταν το ω αυξηθεί κατά π. Το εύρος των τιμών της παραμένει το ίδιο.

2. Ποια είναι η γενική μορφή των παραπάνω συναρτήσεων; Πώς προκύπτει το εύρος των τιμών και η

περίοδός της; Πρόκειται για συναρτήσεις της μορφής f(ω)=ρ·ημ(αω), όπου ρ, α θετικοί αριθμοί που έχουν:

Μεγίστη τιμή ίση με ρ και ελαχίστη τιμή ίση με -ρ.

Περίοδο ίση με 2π/α.


σχήμα που να έχει τις ίδιες ακριβώς λειτουργίες με εκείνες του αρχείου trigwnometrikes_dr2a; Ποια βήματα θα ακολουθήσετε;


Κατασκευή (Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(ω)=3ημω, f(ω)=ημ2ω και f(ω)=3ημ2ω) Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα:

• Επιλέξτε το λογισμικό Cabri Geometry II Plus και δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας. Επιλέξτε Αποθήκευση ως και αποθηκεύστε το ως mytrigwnometrikes_dr2a στο φάκελο εργασίας σας.

• Εμφανίστε τους άξονες και μετακινήστε το 1, μέχρι το σημείο που να μη μεταβάλλεται πλέον σε 0,5. Ονομάστε Ο το κέντρο των αξόνων και μετακινήστε το στο κέντρο περίπου της οθόνης.

• Κατασκευάστε σημείο σε αντικείμενο ένα σημείο στον άξονα Οx και ονομάστε το ω.

• Βρείτε τις συντεταγμένες του και μεταφέρετε ως σχόλια την ονομασία του



και την τετμημένη του στην οθόνη (ω=(τετμημένη) rad).

• Χρησιμοποιήστε τον Υπολογισμό για να βρείτε τα ημω, g(ω)=ημ2ω, h(ω)=3ημω, f(ω)=3ημ2ω. Στη συνέχεια μεταφέρετέ τα στην οθόνη (επεξεργαστείτε το κείμενο, ώστε να εμφανίζεται: ημω=αριθμός κ.τ.λ. Χρωματίστε τα με διαφορετικά χρώματα).

• Μεταφέρατε το ημω στον άξονα Οψ και βρείτε τις συντεταγμένες του. Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία προς τον άξονα Οψ που διέρχεται από το σημείο. Επεξεργαστείτε το κείμενο (σβήστε το 0,00, αφήστε να εμφανίζεται μόνο η τεταγμένη –στην προκειμένη περίπτωση είναι το ημω– και χρωματίστε τη).

• Κατασκευάστε το σημείο τομής των δύο κάθετων ευθειών που έχετε φέρει. Ονομάστε το ημω και ορίστε οι δύο κάθετες να εμφανίζονται με διακεκομμένες γραμμές.

• Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου (θα εμφανιστεί η ημιτονοειδής καμπύλη· δώστε της το κατάλληλο χρώμα).

• Επαναλάβετε τη διαδικασία και για τις συναρτήσεις g(ω)=ημ2ω, h(ω)=3ημω, f(ω)= 3ημ2ω. Θα σχηματιστούν οι ανάλογες καμπύλες (χρωματίστε τες κατάλληλα).

• Αποθηκεύστε το αρχείο σας ως mytrigwnometrikes_dr2a.

• Για επιπλέον βοήθεια δείτε το ιστορικό των αρχείων trigwnometrikes_dr2a και trigwnometrikes_dr2a1.



ΕΡΓΑΣΙΑ 2 (Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(ω)=συνω+2 και f(ω)=ημ2ω-√3συν2ω) Επιλέξτε το αρχείο trigwnometrikes_dr2b. Θα εμφανιστεί ο μικρόκοσμος του Cabri Geometry II Plus και η γραμμή εργαλείων του. Ερωτήματα – Διερευνήσεις

4. Μεταβάλετε τη γωνία ω, μετακινώντας το σημείο που την παριστάνει, και παρατηρήστε ότι το

συνω+2 κινείται στην καμπύλη που προέκυψε από τη μετατόπιση της συνω κατά διάνυσμα με μέτρο 2. Ένας ακόμη τρόπος να παρατηρήσετε την κίνησή του είναι να ενεργοποιήσετε την κίνηση γραφικών για το σημείο Μ.

5. Ποιας μορφής είναι η συνάρτηση f(x)=ημ2x-√3συν2x και ποια είναι η μορφή που μετασχηματίζεται; Πώς θα προκύψει η γραφική της παράσταση από την παράσταση της g(x)=2ημ2x; Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f(x) με δύο τρόπους.

Οι μαθητές γνωρίζουν ότι η συνάρτηση f(ω)=αημω+βσυνω, με α και β≠0, είναι ίση με f(ω)=ρημ(ω+φ), όπου ρ=√α2+β2, συνφ=α/ρ και ημφ=β/ρ. Αυτό το μετασχηματισμό μπορούν να τον εφαρμόσουν στην f(ω)=ημ2ω-√3συν2ω, από όπου θα προκύψει η g(ω)=2ημ(2ω-π/3). Καλό είναι οι μαθητές να πειραματιστούν στο Cabri Geometry II Plus με την κατασκευή της γραφικής παράστασης της f(ω) με δύο τρόπους:

• Χωρίς μετασχηματισμό, αρκεί να κάνουν υπολογισμό στο f(ω)=ημ2ω-√3συν2ω και να εφαρμόσουν το γεωμετρικό τόπο όπως στην εργασία 1.

• Κατασκευάζοντας την g(ω)=2ημ2ω και μεταφέροντάς την κατά π/3 προς τα δεξιά.

6. Μπορείτε με τη βοήθεια των εργαλείων του Cabri Geometry II Plus να κατασκευάσετε ένα δικό σας σχήμα που να έχει τις ίδιες ακριβώς λειτουργίες με εκείνες του αρχείου trigwnometrikes_dr2b; Ποια βήματα θα ακολουθήσετε;

Αν χρειάζεστε βοήθεια για τη δική σας κατασκευή, ακολουθήστε τις παρακάτω οδηγίες


• Δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας και αποθηκεύστε το ως mytrigwnometrikes_dr2b στο φάκελο εργασίας σας.

• Εμφανίστε τους άξονες και βρείτε τα σημεία π/2 και π στον άξονα Οx (με μεταφορά μέτρησης). Ονομάστε τα (π/2, π).

• Κατασκευάστε σημείο σε αντικείμενο ένα σημείο στον άξονα Οx και ονομάστε το ω. Βρείτε τις συντεταγμένες του και μεταφέρετε ως σχόλια την ονομασία του και την τετμημένη του στην οθόνη: ω=(τετμημένη) rad.

• Χρησιμοποιήστε τον Υπολογισμό για να βρείτε το συνω. Στη συνέχεια σχηματίστε τη γραφική του παράσταση (γεωμετρικός τόπος, όπως στην εργασία 1).

• Βρείτε με Μεταφορά μέτρησης το 2 στον άξονα Οψ και ονομάστε το Κ. Σχηματίστε το διάνυσμα ΟΚ (ορίστε να έχει παχιά γραμμή και χρώμα).

• Πάρτε ένα σημείο (σημείο σε αντικείμενο) στο γεωμετρικό τόπο του συνω και ονομάστε το Λ. Κάντε μετατόπιση του Λ (μετατόπιση) κατά το διάνυσμα ΟΚ. Ονομάστε Μ το σημείο που θα εμφανιστεί.

• Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ ως προς Λ.

• Χρησιμοποιήστε τον Υπολογισμό για να βρείτε το συνω+2. Μεταφέρετε τη μέτρηση στον άξονα Οψ και βρείτε τις συντεταγμένες του. Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία προς τον άξονα Οψ που διέρχεται από το σημείο. Επεξεργαστείτε το κείμενο (σβήστε το 0,00, αφήστε να εμφανίζεται μόνο η τεταγμένη –στην προκειμένη περίπτωση είναι το συνω– και χρωματίστε τη).

• Κατασκευάστε το σημείο τομής της καθέτου που φέρατε με την κάθετο στο ω. Ονομάστε το συνω+2 και ορίστε οι δύο κάθετες να εμφανίζονται με



διακεκομμένες γραμμές.

• Αποθηκεύστε το αρχείο σας ως mytrigwnometrikes_dr2b.

• Για επιπλέον βοήθεια δείτε το ιστορικό του αρχείου trigwnometrikes_dr2b.



Δραστηριότητα 3: Μελέτη των συναρτήσεων h=1+1/3συν3t και y=3ημ[(π/6)t]

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ΕΡΓΑΣΙΑ 1

Μία σφαίρα κρέμεται σε ένα ελατήριο από το ταβάνι και απέχει από το πάτωμα 1 m. Όταν η σφαίρα ανεβοκατεβαίνει, το ύψος της από το πάτωμα είναι σε μέτρα h=1+1/3συν3t, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα.

1. Σχεδιάστε με τη βοήθεια του λογισμικού Cabri Geometry II Plus τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ποια βήματα ακολουθήσατε;

Αν οι μαθητές χρειαστούν βοήθεια, μπορούν να δουν στο φάκελο Αρχεία τo αρχείo trigwnometrikes_dr2d, καθώς και το ιστορικό της κατασκευής του.

2. Στη συνέχεια βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης και τη διαφορά ανάμεσα στο μέγιστο και στο ελάχιστο.

Μπορούν να τα υπολογίσουν, μετακινώντας το t στα κατάλληλα σημεία.

ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η παλίρροια σε μια θαλάσσια περιοχή περιγράφεται κατά προσέγγιση με τη συνάρτηση y=3ημ[(π/6)t], όπου y το ύψος της στάθμης των υδάτων σε μέτρα και t ο χρόνος σε ώρες.

1. Με τη βοήθεια του λογισμικού Cabri Geometry II Plus να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ποια βήματα ακολουθήσατε;

Τα βήματα που θα ακολουθήσουν οι μαθητές είναι ίδια με εκείνα της εργασίας 1.

2. Στη συνέχεια βρείτε την περίοδο και την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ανώτερη πλημμυρίδα και στη χαμηλότερη άμπωτη.

Μπορούν να την υπολογίσουν από το διάγραμμα, μετακινώντας το t στα κατάλληλα σημεία.



Π α ρ ά γ ω γ ο ι μ α θ η μ α τ ι κ ώ ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν Εισαγωγή Οι παρακάτω δραστηριότητες αποτελούν μια πρόταση για εποπτική προσέγγιση της μαθηματικής έννοιας της παραγώγου μιας συνάρτησης. Στόχος τους είναι να διευκολύνουν τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου κατά τη διδασκαλία των ταλαντώσεων και των κυμάτων στο μάθημα της Φυσικής. Περιέχονται πέντε φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται σε πέντε διδακτικές ώρες. Τεκμηρίωση εκπαιδευτικού σεναρίου Η διδασκαλία των ταλαντώσεων και γενικότερα των περιοδικών φαινομένων στο μάθημα της Φυσικής στην Γ΄ Λυκείου προϋποθέτει και διευκολύνεται από την εξοικείωση των μαθητών με τις μαθηματικές έννοιες και τις διαδικασίες από το χώρο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δεδομένου ότι φυσικές έννοιες, όπως η Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, απαιτούν για τη μελέτη τους τριγωνομετρικές συναρτήσεις, παραγώγους των συναρτήσεων αυτών και εν γένει μετασχηματισμούς αυτών. Στην κατεύθυνση αυτή κινούνται οι δραστηριότητες του συγκεκριμένου εκπαιδευτικού σεναρίου, με τις οποίες επιχειρείται μια εποπτική προσέγγιση της έννοιας της παραγώγου μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, μέσω της γεωμετρικής της ερμηνείας, μια προσεγγιστική σχεδίαση της α΄ και β΄ παραγώγου, καθώς και ορισμένες διερευνήσεις μετασχηματισμών μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης. Διδακτικοί στόχοι Γνωστικού αντικειμένου Οι μαθητές θα πρέπει:

• Να ορίσουν την έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της, με τη βοήθεια της μεταβολής της κλίσης μιας τέμνουσας ευθείας της συνάρτησης στο σημείο αυτό.

• Να προβλέψουν τον τύπο και να σχεδιάσουν τη γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης.

• Να προβλέψουν τον τύπο και να σχεδιάσουν τη γραφική παράσταση της β΄ παραγώγου μιας συνάρτησης.

• Να αξιοποιήσουν την παράγωγο για τη μελέτη μιας συνάρτησης.

• Να διερευνήσουν τις επιδράσεις των μετασχηματισμών στη γραφική παράσταση μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Παιδαγωγικοί στόχοι

• Η εξοικείωση των μαθητών με το διερευνητικό τρόπο δουλειάς του επιστήμονα-ερευνητή, δηλαδή η καλλιέργεια της άμεσης εμπλοκής τους στην παρατήρηση, στο σχεδιασμό, στο πείραμα, στην κατασκευή, στη δημιουργία εικασίας, στην απόδειξη-αιτιολόγηση και στη γενίκευση.

• Η εποικοδομητική χρήση των Νέων Τεχνολογιών με τις δυνατότητες για δυναμική διαχείριση αντικειμένων και για πολλαπλή αναπαράσταση.

• Η ανάπτυξη παραδειγμάτων τα οποία να έχουν νόημα για τους μαθητές. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι:

• Με τις βασικές έννοιες των συναρτήσεων, το λόγο μεταβολής μιας συνάρτησης και την κλίση μιας ευθείας.

• Με τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.



• Με την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης. Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών



• Βασικές γνώσεις σχετικά με τις λειτουργίες του εκπαιδευτικού λογισμικού The Geometer’s Sketchpad.


• Ένα λογισμικό γενικής χρήσης (επεξεργαστής κειμένου, λογιστικά φύλλα κ.λπ.).

• Το λογισμικό The Geometer’s Sketchpad.

• Ένα εργαστήριο με τις προδιαγραφές της «Οδύσσειας».


• Τα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.

• Η Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.

• Το εγχειρίδιο χρήσης του λογισμικού The Geometer’s Sketchpad.

• Exploring calculus with The Geometer’s Sketchpad, Cindy Clements, Ralph Pantozzi, Scott Steketee, Key Curriculum Press.


• http://www.keypress.com/x5521.xml Ο επίσημος ιστοχώρος του λογισμικού The Geometer’s Sketchpad· δίνεται περιγραφή και πληροφορίες για το λογισμικό.


http://www.keypress.com/x5521.xml




Φύλλα εργασίας: Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων Δραστηριότητα 1: Λόγος μεταβολής συνάρτησης και παράγωγος

Εισαγωγή Με τη δραστηριότητα αυτή θα οδηγηθείτε στην έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της, μέσα από μια εποπτική διερεύνηση της μεταβολής της κλίσης μιας τέμνουσας ευθείας της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικού αντικειμένου Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι:

• Με τις βασικές έννοιες των συναρτήσεων, το λόγο μεταβολής μιας συνάρτησης και την κλίση μιας ευθείας.

• Με την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης. Χειρισμός του The Geometer’s Sketchpad

• Στο περιβάλλον του The Geometer’s Sketchpad οι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να κατασκευάζουν αντικείμενα και να υπολογίζουν παραστάσεις με τη βοήθεια του εργαλείου Υπολογιστής.

Διάρκεια Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι μία διδακτική ώρα. Συνοδευτικό υλικό

• Τα αρχεία derive1.gsp και derive2.gsp στο φάκελο Files\Section_5 του CD-ROM.

Επιπλέον προτεινόμενες διερευνήσεις-επεκτάσεις

• Οι μαθητές να επαναλάβουν τη δραστηριότητα και με άλλες συναρτήσεις: τριγωνομετρικές, πολυωνυμικές κ.ά.



Ανάλυση του Φύλλου εργασίας 1 Κατασκευή και διερεύνηση

α) Λόγος μεταβολής συνάρτησης

• Ανοίξτε με το The Geometer’s Sketchpad το αρχείο derive1.gsp από το φάκελο Files\Section_5.

• Πατήστε διαδοχικά τα ακόλουθα πλήκτρα, για να μελετήσετε το λόγο μεταβολής της συνάρτησης ( )f x xημ= : Εμφάνιση συνάρτησης Εμφάνιση σημείου Λόγος μεταβολής

[Στο αρχείο derive1.gsp παρέχεται έτοιμη η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )f x xημ= , η κατασκευή των δύο σημείων, καθώς και ο τύπος λόγου μεταβολής, αφενός, για να διευκολυνθούν οι μαθητές που δεν είναι εξοικειωμένοι με τη σχεδίαση συναρτήσεων στο περιβάλλον του The Geometer’s Sketchpad και, αφετέρου, γιατί η εν λόγω κατασκευή δεν σχετίζεται με το στόχο της δραστηριότητας. Προτείνετε στους μαθητές να μεταβάλλουν την εστίαση (μετακινώντας κατάλληλα το σημείο Ζ), προκειμένου να διευκολυνθούν στις μετρήσεις τους.]

• Μετακινήστε το σημείο Ν, ώστε να πλησιάσει το Μ, και καταγράψτε μερικές από τις τιμές του

λόγου μεταβολής, όταν το Ν πλησιάζει το Μ, τόσο από τα αριστερά όσο και από τα δεξιά του.

N → Μ N←

• Ποια είναι η εκτίμησή σας για το λόγο μεταβολής, όταν το Ν συμπίπτει με το Μ; Θα μπορούσε

να προκύψει με τη μετακίνηση του Ν ακριβώς επάνω στο Μ; [Αναμένουμε από τους μαθητές να εκτιμήσουν την τιμή του λόγου μεταβολής, αξιοποιώντας τις τιμές που έχουν καταγράψει στον παραπάνω πίνακα. Σχολιάστε με τους μαθητές τη μαθηματική δυσκολία ορισμού του λόγου μεταβολής (μορφή 0/0), όταν το σημείο Ν συμπίπτει με το Μ.]

β) Κλίση τέμνουσας

• Ανοίξτε με το The Geometer’s Sketchpad το αρχείο derive2.gsp από το φάκελο Files\Section_5.

• Πατήστε διαδοχικά τα ακόλουθα πλήκτρα: Εμφάνιση συνάρτησης Εμφάνιση ευθείας ΜΝ Κλίση ευθείας ΜΝ

• Μετακινήστε το Ν πάνω στη συνάρτηση ( )f x xημ= και παρατηρήστε τη σχέση της κλίσης

της ΜΝ με το λόγο μεταβολής της ( )f x ανάμεσα στο Μ και στο Ν. Τι διαπιστώνετε; [Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν την ισότητα των δύο εννοιών, δηλαδή της κλίσης της ευθείας ΜΝ με το λόγο μεταβολής της ( )f x ανάμεσα στο Μ και στο Ν.]

• Πατήστε το πλήκτρο Εμφάνιση εφαπτομένης. Μετακινήστε το σημείο Ν προς το Μ. Τι συμπεραίνετε για τη σχέση της κλίσης της τέμνουσας ΜΝ και της εφαπτομένης στο Μ; [Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν την ισότητα της κλίσης της τέμνουσας ΜΝ και της εφαπτομένης στο Μ, όταν το σημείο Ν κινείται προς το Μ.]



Συμπέρασμα • Συνδυάζοντας τα παραπάνω και αξιοποιώντας την εποπτική έννοια του ορίου που έχετε διδαχθεί

στα Μαθηματικά, ποια τιμή θα προτείνατε για το λόγο μεταβολής της ( )f x στο Μ; [Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι η κλίση της εφαπτομένης στο Μ ισούται με το όριο της κλίσης της τέμνουσας ΜΝ, όταν το σημείο Ν κινείται προς το Μ.]

• Αν ορίσουμε ως παράγωγο της f στο Μ (συμβολικά ( )Mf x′ ) το ( ) ( )lim N M

N MN M

x xx x

ημ ημ→

−−

, τότε ποια

γεωμετρική ερμηνεία προτείνετε για την ( )Mf x′ ;

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι η παράγωγος της f στο Μ (συμβολικά

( )Mf x′ ) εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης της f στο Μ.]



Δραστηριότητα 2: Παράγωγος συνάρτηση

Εισαγωγή Στη δραστηριότητα αυτή θα πρέπει να προβλέψετε τον τύπο και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης, αξιοποιώντας το γράφημα της κλίσης μιας δυναμικά μεταβαλλόμενης τέμνουσας της συνάρτησης. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:

• Τις βασικές έννοιες των συναρτήσεων, το λόγο μεταβολής μιας συνάρτησης και την κλίση μιας ευθείας.

• Τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

• Την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης. Χειρισμός του The Geometer’s Sketchpad Στο περιβάλλον του The Geometer’s Sketchpad οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση:

• Να κατασκευάζουν αντικείμενα.

• Να υπολογίζουν παραστάσεις με το εργαλείο Υπολογιστής.

• Να κατασκευάζουν γεωμετρικούς τόπους.

• Να δημιουργούν και να χειρίζονται τα πλήκτρα εμφάνισης και απόκρυψης αντικειμένων. Διάρκεια Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι μία διδακτική ώρα. Συνοδευτικό υλικό

• Το αρχείο derive3.gsp στο φάκελο Files\Section_5 του CD-ROM. Επιπλέον προτεινόμενες διερευνήσεις-επεκτάσεις

• Οι μαθητές να επαναλάβουν τη δραστηριότητα και με άλλες συναρτήσεις: τριγωνομετρικές, πολυωνυμικές κ.ά.

• Αν , ,f g h συναρτήσεις με ( ) ( ) ( )f x g x h x= + , τότε οι μαθητές να διερευνήσουν τη σχέση μεταξύ

, ,f g h′ ′ ′ , χρησιμοποιώντας συγκεκριμένες συναρτήσεις ( )g x και ( )h x .




• Ανοίξτε με το The Geometer’s Sketchpad το αρχείο derive3.gsp από το φάκελο Files\Section_5. • Πατήστε διαδοχικά τα παρακάτω πλήκτρα, προκειμένου να αξιοποιήσετε το γράφημα της κλίσης

μιας δυναμικά μεταβαλλόμενης τέμνουσας μιας συνάρτησης για την πρόβλεψη της παραγώγου της συνάρτησης: Εμφάνιση συνάρτησης Εμφάνιση σημείων Μ, Ν Εμφάνιση ευθείας ΜΝ Εμφάνιση σημείου Τ (του οποίου οι συντεταγμένες δημιουργούν το γράφημα της κλίσης της δυναμικά μεταβαλλόμενης τέμνουσας της συνάρτησης)

• Επιλέξτε με το ποντίκι το σημείο Τ και από το μενού Προβολή επιλέξτε Σχεδίαση Ίχνους. Στη συνέχεια επιλέξτε με το ποντίκι το σημείο Μ και μετακινήστε το κατά μήκος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( )f x xημ= .

• Τι έχετε να παρατηρήσετε για τη μορφή του ίχνους του Τ;

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Αναμένουμε από τους μαθητές να κάνουν εικασίες για τον τύπο της συνάρτησης που περιγράφεται από το γράφημα του Τ.]

• Παρατηρήστε τη μορφή του γραφήματος του Τ για τις διάφορες τιμές του h (μετακινώντας κατάλληλα το μεταβολέα h). Προσπαθήστε να προβλέψετε τον τύπο της συνάρτησης, ο οποίος περιγράφεται από το γράφημα του Τ, για πολύ μικρές τιμές του h. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Αναμένουμε από τους μαθητές να κάνουν εικασίες για τον τύπο της συνάρτησης, ο οποίος περιγράφεται από το γράφημα του Τ, για πολύ μικρές τιμές του h.]

• Για μια συστηματικότερη πρόβλεψη της παραγώγου της συνάρτησης εκτελέστε τις ακόλουθες

ενέργειες:

Πατήστε το πλήκτρο: Εμφάνιση Γεωμ. Τόπου του Τ (είναι το γράφημα της κλίσης της δυναμικά μεταβαλλόμενης τέμνουσας της συνάρτησης)

• Παρατηρήστε τη μορφή του γεωμετρικού τόπου Τ για τις διάφορες τιμές του h (μετακινώντας κατάλληλα το μεταβολέα h). Προσπαθήστε να προβλέψετε τον τύπο της συνάρτησης, ο οποίος περιγράφεται από το γράφημα του Τ, για πολύ μικρές τιμές του h. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Αναμένουμε από τους μαθητές να ενδυναμώσουν τις εικασίες που έχουν ήδη διατυπώσει για τον τύπο της συνάρτησης, ο οποίος περιγράφεται από το γράφημα του Τ, για πολύ μικρές τιμές του h.]

• Πατήστε το πλήκτρο Εμφάνιση Παραγώγου και ελέγξτε αν η υπόθεσή σας ήταν σωστή. Αν δεν ήταν, επαναλάβετε το προηγούμενο βήμα.

Συμπέρασμα

• Συμπληρώστε το συμπέρασμα της προηγούμενης διερεύνησης:

Η παράγωγος συνάρτηση της f, με ( )f x xημ= , είναι η………

[Εδώ οι μαθητές θα πρέπει να καταλήξουν στη συνάρτηση ( )f x x=συν .]



Δραστηριότητα 3: Δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης

Εισαγωγή Στη δραστηριότητα αυτή θα πρέπει να προβλέψετε τον τύπο και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της β΄ παραγώγου μιας συνάρτησης, αξιοποιώντας τη διαδικασία που χρησιμοποιήθηκε για την α΄ παράγωγο. Γνωστικό αντικείμενο Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:


• Τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

• Την έννοια του ορίου συνάρτησης. Χειρισμός του The Geometer’s Sketchpad Στο περιβάλλον του The Geometer’s Sketchpad οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση:

• Να κατασκευάζουν αντικείμενα.

• Να υπολογίζουν παραστάσεις με το εργαλείο Υπολογιστής.

• Να κατασκευάζουν γεωμετρικούς τόπους. Διάρκεια Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι μία διδακτική ώρα. Συνοδευτικό υλικό

• Το αρχείο derive4.gsp στο φάκελο Files\Section_5 του CD-ROM.




• Ανοίξτε με το The Geometer’s Sketchpad το αρχείο derive4.gsp από το φάκελο Files\Section_5. Θα εμφανιστούν: η γραφική παράσταση της f με ( )f x xημ= , ένα σημείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της f και δύο μεταβολείς h και k.

• Πατήστε το πλήκτρο Εμφάνιση α΄ παραγώγου, προκειμένου να εμφανιστεί η προσεγγιστική γραφική παράσταση της παραγώγου της ( )f x xημ= . (Στην ουσία πρόκειται για επανάληψη της διαδικασίας που διεξήχθη στο δεύτερο μέρος της προηγούμενης δραστηριότητας, στο αρχείο derive3.gsp.)

• Προσπαθήστε να πετύχετε μια καλή προσεγγιστική γραφική παράσταση της παραγώγου της ( )f x xημ= , μεταβάλλοντας κατάλληλα το μεταβολέα h.

• Στη συνέχεια πατήστε το πλήκτρο Εμφάνιση β΄ παραγώγου, προκειμένου να εμφανιστεί η προσεγγιστική γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης xσυν . (Στην ουσία πρόκειται για επανάληψη της προηγούμενης διαδικασίας, η οποία εδώ εφαρμόζεται για την προσεγγιστική γραφική παράσταση της παραγώγου.)

• Με τη βοήθεια των μεταβολέων μειώστε κατάλληλα τα h και k (h→0, k→0) και προσπαθήστε να προβλέψετε τη συνάρτηση που αποδίδεται από το γράφημα του Ρ.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Με τη βοήθεια των μεταβολών μειώστε κατάλληλα τα h και k (h→0, k→0) και προσπαθήστε να προβλέψετε τη συνάρτηση που αποδίδεται από το γράφημα.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να κάνουν εικασίες για τον τύπο της συνάρτησης και να προβλέψουν ότι πρόκειται για τη συνάρτηση -ημχ.]

• Πατήστε το πλήκτρο Εμφάνιση και ελέγξτε αν η υπόθεσή σας ήταν σωστή. Αν όχι, επαναλάβετε το προηγούμενο βήμα.

Συμπέρασμα

• Συμπληρώστε το συμπέρασμα της προηγούμενης διερεύνησης:

Η β΄ παράγωγος συνάρτηση της f, με ( )f x xημ= , είναι η……. [Εδώ οι μαθητές θα πρέπει να καταλήξουν στη συνάρτηση ( )f x = −ημχ .]



Δραστηριότητα 4: Συμβολή των παραγώγων στη μελέτη των συναρτήσεων

Εισαγωγή Στη δραστηριότητα αυτή θα διερευνήσετε τη δυνατότητα αξιοποίησης της παραγώγου στη μελέτη μιας συνάρτησης. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:


• Τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Χειρισμός του The Geometer’s Sketchpad Στο περιβάλλον του The Geometer’s Sketchpad οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να μετακινούν αντικείμενα. Διάρκεια Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι μία διδακτική ώρα. Συνοδευτικό υλικό


• Οι μαθητές να μελετήσουν συναρτήσεις και άλλης μορφής, όπως 2( ) 5 6f x x x= − + , ( ) 5g x x= − ,

και να διερευνήσουν τις τυχόν διαφοροποιήσεις τους.




• Ανοίξτε με το The Geometer’s Sketchpad το αρχείο derive5.gsp από το φάκελο Files\Section_5. Θα εμφανιστούν: η γραφική παράσταση της f με ( )f x xημ= , ένα σημείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της f και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ.

• Μετακινήστε το σημείο Μ σε διάφορες θέσεις της γραφικής παράστασης της f και παρατηρήστε τη σχέση ανάμεσα στο πρόσημο της κλίσης της εφαπτομένης και στην κατεύθυνση μεταβολής των τιμών της f (μονοτονία της f).

• Τι κάνουν οι τιμές της ( )f x , όταν η κλίση της εφαπτομένης είναι θετική; __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Εδώ οι μαθητές θα πρέπει να διαπιστώσουν ότι οι τιμές της f αυξάνονται, δηλαδή η f είναι αύξουσα.]

• Τι κάνουν οι τιμές της ( )f x , όταν η κλίση της εφαπτομένης είναι αρνητική; __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Εδώ οι μαθητές θα πρέπει να διαπιστώσουν ότι οι τιμές της f μειώνονται, δηλαδή η f είναι φθίνουσα.]

• Τι κάνουν οι τιμές της ( )f x , όταν η κλίση της εφαπτομένης είναι 0;

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Εδώ οι μαθητές θα πρέπει να διαπιστώσουν ότι οι τιμές της f παραμένουν σταθερές.]

• Δημιουργήστε έναν πίνακα που να αποδίδει τη σχέση αυτή.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Εδώ οι μαθητές θα πρέπει να δημιουργήσουν έναν πίνακα με τα προηγούμενα συμπεράσματα.]



Δραστηριότητα 5: Μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων και παράγωγοί τους

Εισαγωγή Στη δραστηριότητα αυτή θα διερευνήσετε τις επιδράσεις των μετασχηματισμών (μεταφορές, συστολές, διαστολές) στη γραφική παράσταση μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, καθώς και στην παράγωγό της. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:


• Τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Χειρισμός του The Geometer’s Sketchpad Στο περιβάλλον του The Geometer’s Sketchpad οι μαθητές πρέπει να είναι σε θέση να μετακινούν αντικείμενα. Διάρκεια

Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι μία διδακτική ώρα. Συνοδευτικό υλικό


• Οι μαθητές να μελετήσουν τη συνάρτηση ( ) ( )f x a xημ β γ δ= + + για τις κατάλληλες (ενδιαφέρουσες από πλευράς Φυσικής) τιμές των παραμέτρων α, β, γ και δ.




• Ανοίξτε με το The Geometer’s Sketchpad το αρχείο derive6.gsp από το φάκελο Files\Section_5. Θα εμφανιστούν: η γραφική παράσταση της f με ( ) ( )f x a xημ β γ δ= + + , ένα σημείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της f, η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ, η γραφική παράσταση της παραγώγου f ′ της f , ένα σημείο Ρ πάνω στη γραφική παράσταση της f ′ , η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f ′ στο σημείο Ρ και τέσσερις μεταβολείς α, β, γ και δ.

• Μεταβάλετε καταλλήλως, με τη βοήθεια των μεταβολέων, τις παραμέτρους α, β, γ και δ και διερευνήστε (ως προς τις θέσεις των γραφικών παραστάσεων των f και f ′ , καθώς και των θέσεων των εφαπτομένων τους) τις ακόλουθες περιπτώσεις:

►α=β=1, γ=0

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Πρόκειται για τη συνάρτηση ( ) ( )f x xημ δ= + . Οι μαθητές θα πρέπει να διαπιστώσουν ότι πρόκειται για μεταφορά κατά -d στον άξονα yOy´ της απλής τριγωνομετρικής συνάρτησης

( ) ( )f x x=ημ , που έχουν μελετήσει στις προηγούμενες δραστηριότητες, και να διατυπώσουν τα ανάλογα συμπεράσματα.]

►α=β=1, δ=0

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Πρόκειται για τη συνάρτηση ( ) ( )f x xημ γ= + . Οι μαθητές θα πρέπει να διαπιστώσουν ότι πρόκειται

για μεταφορά κατά -c στον άξονα xOx´ της απλής τριγωνομετρικής συνάρτησης ( ) ( )f x x=ημ , που έχουν μελετήσει στις προηγούμενες δραστηριότητες, και να διατυπώσουν τα ανάλογα συμπεράσματα.]

►β=1, γ=δ=0

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

[Πρόκειται για τη συνάρτηση ( ) ( )f x a x= ημ . Οι μαθητές θα πρέπει να διαπιστώσουν ότι πρόκειται

για διαστολή-συστολή της απλής τριγωνομετρικής συνάρτησης ( ) ( )f x x=ημ , που έχουν μελετήσει στις προηγούμενες δραστηριότητες, και να διατυπώσουν τα ανάλογα συμπεράσματα.]



Η λ ε κ τ ρ ι κ έ ς τ α λ α ν τ ώ σ ε ι ς Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν οι μαθητές θα συνδέσουν πυκνωτές και πηνία, με σκοπό να μελετήσουν τα χαρακτηριστικά του κυκλώματος που προκύπτει από τη σύνδεσή τους. Επομένως θα πρέπει να εργαστούν, εφαρμόζοντας την επιστημονική πειραματική μέθοδο. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουν εργαλεία, συσκευές και λογισμικά. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται σε τέσσερις διδακτικές ώρες και προτείνεται για την Γ΄ Λυκείου. Γνωστικό αντικείμενο Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις το ταλαντούμενο σύστημα απαρτίζεται από έναν πυκνωτή και ένα πηνίο, συνδεδεμένα σε κύκλωμα. Εξετάζοντας από ενεργειακή άποψη το κύκλωμα, η ολική ενέργεια οφείλεται αφενός στον πυκνωτή, ως ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου, και αφετέρου στο πηνίο, ως ενέργεια μαγνητικού πεδίου:

BE UUE +=

Αναλυτικότερα:

22

22

21

21

21

21 LI

CQLi

CqE ==+=

Αν θεωρήσουμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου τη στιγμή που κλείνουμε το διακόπτη στο κύκλωμα, στο οποίο ο πυκνωτής είναι φορτισμένος, και ως θετική φορά του ρεύματος την κατεύθυνση προς τον οπλισμό που τη χρονική στιγμή t=0 ήταν θετικά φορτισμένος, τότε:

)( tQq ⋅⋅= ωσυν και )( tIi ⋅⋅−= ωημ , όπου ω⋅= QI Δύο είναι οι λόγοι για τους οποίους μια ηλεκτρική ταλάντωση δεν είναι αμείωτη:

Οι απώλειες, κυρίως, λόγω του φαινομένου του Joule, επειδή οι αγωγοί στην πράξη έχουν μη μηδενική αντίσταση.

Οι απώλειες λόγω της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέμπει το κύκλωμα, επειδή τα ηλεκτρόνια στους αγωγούς επιταχύνονται.

Η περίοδος και η συχνότητα ενός ιδανικού κυκλώματος είναι:

CLT ⋅= π2 και CL

f⋅

=1

21π

Πρόκειται δηλαδή για συνάρτηση της χωρητικότητας και της επαγωγής. Η συχνότητα ενός μη ιδανικού κυκλώματος, στο οποίο οι απώλειες οφείλονται στην αντίσταση μόνο του κυκλώματος, είναι:

2

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

⋅=

LR

CLf

π

Ο παράγοντας είναι η σταθερή Λ στην εξίσωση που εκφράζει την εκθετική μείωση του πλάτους: teAA ⋅Λ−⋅= 0 .


1. Να περιγράψουν ποιοτικά και ποσοτικά την ηλεκτρική ταλάντωση.

2. Να υπολογίσουν και να σχεδιάσουν, χρησιμοποιώντας πειραματικά δεδομένα, τα διαγράμματα των τάσεων του πυκνωτή.

LR⋅2



3. Να πειραματιστούν, δίνοντας διάφορες τιμές στις χωρητικότητες και στις επαγωγές, και να ερμηνεύσουν τις επιπτώσεις στην περίοδο και στη συχνότητα του κυκλώματος.

4. Να διερευνήσουν το ρόλο που διαδραματίζει ο πυρήνας από μαλακό σίδηρο στο πηνίο του κυκλώματος.

5. Να υπολογίσουν από πειραματικά δεδομένα το ρυθμό απόσβεσης της ηλεκτρικής ταλάντωσης. Γενικότεροι Γενικότεροι στόχοι:

Ο χειρισμός από τους μαθητές ενός μεγάλου αριθμού πειραματικών δεδομένων με τα κατάλληλα εκπαιδευτικά λογισμικά και η παραγωγή-παρουσίαση των αποτελεσμάτων.

Ο σχεδιασμός και η εκτέλεση πειραμάτων σε πραγματικά ή εικονικά περιβάλλοντα και η εξοικείωσή τους με την πειραματική μέθοδο.

Η γενίκευση και η διατύπωση κανόνων.

Η διαπίστωση ότι η επιστήμη λειτουργεί προσεγγιστικά.


Η εργασία μέσα στην ομάδα. Διδακτική προσέγγιση Στόχος του εκπαιδευτικού σεναρίου είναι να ενθαρρύνει τους μαθητές να εργαστούν με διερευνητικό τρόπο, αποφεύγοντας τη μηχανιστική μάθηση. Οι δραστηριότητες που αναπτύχθηκαν υποστηρίζουν:

Την αυτενέργεια και τη συνεργασία των μαθητών.

Την ανάπτυξη εικασιών.

Την πρόκληση γνωστικών συγκρούσεων ανάμεσα στις εναλλακτικές ιδέες των μαθητών και στη Φυσική.

Τον ερευνητικό τρόπο εργασίας των μαθητών, δηλαδή την άμεση εμπλοκή τους στην παρατήρηση, στο σχεδιασμό πειραμάτων, στο πείραμα και στην κατασκευή.

Εναλλακτικές ιδέες των μαθητών Οι μαθητές ίσως να έχουν προϋπάρχουσες ιδέες για τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις, όπως:

Είναι εφικτό να έχουμε μια ελεύθερη, αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι γνώσεις των μαθητών που απαιτούνται για να φέρουν σε πέρας τις δραστηριότητες του σεναρίου είναι εκείνες που περιέχονται στις παρακάτω ενότητες του βιβλίου της Φυσικής της Γ΄ Λυκείου:


«Απλή αρμονική ταλάντωση». Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών




Χρήση των μεταβολέων, ως στοιχείο αλληλεπίδρασης χρήστη και μηχανής.




Το Σύστημα Συγχρονικής Λήψης και Απεικόνισης των εργαστηρίων φυσικών επιστημών των λυκείων και ειδικότερα:

• Ο αισθητήρας τάσης (±25Volt).

• Ο αισθητήρας ρεύματος (±2,5Ampere).

Ο βασικός εξοπλισμός για την πραγματοποίηση εργαστηριακών ασκήσεων ηλεκτρισμού (πυκνωτές, πηνία, καλώδια, πλαίσιο μαλακού σιδήρου κ.λπ.).



Το σενάριο προβλέπει οι μαθητές να εμπλακούν στις παρακάτω δραστηριότητες. Έτσι λοιπόν:

• Θα εκτελέσουν ένα πείραμα στο εργαστήριο και θα πάρουν τις μετρήσεις των βασικών μεγεθών.

• Θα επεξεργαστούν τα δεδομένα και θα «ανακαλύψουν» ένα μαθηματικό μοντέλο το οποίο θα περιγράφει το φυσικό φαινόμενο.

• Θα αξιολογήσουν το μαθηματικό μοντέλο.

Σε περίπτωση που δεν είναι εφικτή η εκτέλεση του πειράματος από όλες τις ομάδες (μετωπικό εργαστήριο), τότε οι μαθητές και ο εκπαιδευτικός πραγματοποιούν το πείραμα και τα αποτελέσματα, σε ψηφιακά αρχεία, μοιράζονται στις ομάδες σε κάθε σταθμό εργασίας.







Την πληρότητα, τη σαφήνεια και την ακρίβεια των απαντήσεών τους.


Τις δεξιότητες που ανέπτυξαν κατά την πραγματοποίηση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και τον έλεγχο αν αυτό που συνέθεσαν ανταποκρίνεται στο κύκλωμα που έχουν σχεδιάσει στο χαρτί.

Τη χρήση και το διάβασμα των οργάνων, ψηφιακών ή αναλογικών, μέτρησης.

Τα ερμηνευτικά μοντέλα που αφομοίωσαν και την εφαρμογή τους για την παροχή εξηγήσεων και ερμηνειών των φαινομένων.

Τις επιλογές των εκτυπώσεών τους, τις οποίες θα πρέπει να χαρακτηρίζει η ευστοχία και η αποτελεσματικότητα της χρήσης τους.



Δραστηριότητες εμπλουτισμού Η πειραματική διάταξη και τα λογισμικά μπορούν να συνδυαστούν, προκειμένου να επεκταθεί η διερεύνηση σε περισσότερους συνδυασμούς τιμών χωρητικότητας και επαγωγής. Επαφίεται στη διάθεση των εκπαιδευτικών ο εμπλουτισμός του σεναρίου με δραστηριότητες οι οποίες θα εξυπηρετούν τους ειδικότερους εκπαιδευτικούς στόχους. Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές. Υλικό για τους διδάσκοντες

Το εγχειρίδιο χρήσης του Συστήματος Συγχρονικής Λήψης και Απεικόνισης των εργαστηρίων Φυσικής.

Το σχολικό βιβλίο Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.

Οι δεδομένες δραστηριότητες οι οποίες και έχουν εφαρμοστεί στο ΕΚΦΕ Νίκαιας.2 Στα ΕΚΦΕ της κάθε περιοχής οι διδάσκοντες μπορούν να αναζητήσουν υλικό και υποστήριξη για την πραγματοποίηση των δραστηριοτήτων στα σχολεία τους.

Εικόνες από τις πειραματικές διατάξεις, με τις οποίες πραγματοποιήθηκαν δοκιμαστικά οι δραστηριότητες του σεναρίου, και αρχεία του συστήματος συγχρονικής λήψης, με ενδεικτικές μετρήσεις.


http://www.e-yliko.gr/ Η εκπαιδευτική πύλη του ΥπΕΠΘ.

http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/lrc_swing.html Τo κύκλωμα RLC σε σειρά· απαιτείται Plug-in Java Virtual Machine. Πολυμεσική παρουσίαση προσομοιώσεων φυσικής με λογισμικά κατασκευασμένα σε java από τον ιστοχώρο multimedia physik.

http://physics.bu.edu/~duffy/semester2/c19_LC.html Ιδανικό κύκλωμα RL και ταυτόχρονα ιδανικό οριζόντιο ελατήριο· ενεργειακή προσέγγιση, από το τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου της Βοστόνης (Boston University). Απαιτείται Plug-in Java Virtual Machine.

2 Τον Ιούνιο του 2008 ο ιστοχώρος του ΕΚΦΕ Νίκαιας είναι: http://ekfe-nikaias.att.sch.gr/.


http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/lrc_swing.html

http://physics.bu.edu/~duffy/semester2/c19_LC.html



Φύλλα εργασίας: Ηλεκτρικές ταλαντώσεις

Εισαγωγή Στις επόμενες δραστηριότητες θα συνθέσετε στο εργαστήριο ηλεκτρικά κυκλώματα τα οποία αποτελούν ταλαντούμενα συστήματα. Με τα όργανα μέτρησης, ψηφιακής τεχνολογίας, θα μετρήσετε τα βασικά φυσικά μεγέθη για την περιγραφή των ηλεκτρικών ταλαντώσεων, ενώ, για την επεξεργασία των δεδομένων σας, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε κάποια λογισμικά. Έτσι θα μπορέσετε να αξιοποιήσετε την ταχύτητα και την ακρίβεια ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή, προκειμένου να ανακτήσετε και να επεξεργαστείτε τα δεδομένα του πειράματος.

Βασικές έννοιες – Λέξεις-κλειδιά Ηλεκτρική ταλάντωση, πυκνωτής, πηνίο, χωρητικότητα, επαγωγή, αισθητήρες.

Προαπαιτούμενα – Υποδομή

Το Σύστημα Συγχρονικής Λήψης και Απεικόνισης των εργαστηρίων Φυσικών Επιστημών των λυκείων και ειδικότερα:

• Ο αισθητήρας τάσης (±25 Volt).

• Ο αισθητήρας ρεύματος (±2,5 Ampere).

Καλώδια σύνδεσης.

Πυκνωτές 100 μF.

Πηνία με 300-1.000 σπείρες.

Πυρήνας μαλακού σιδήρου.

Τροφοδοτικό.

Δύο απλοί διακόπτες.

Το λογισμικό DB-Lab. Η πειραματική διάταξη Σχηματίστε στον πάγκο του εργαστηρίου το παρακάτω κύκλωμα:

Ουσιαστικά απαρτίζεται από δύο κυκλώματα:

Το κύκλωμα φόρτισης του πυκνωτή, όταν ο διακόπτης Δ1 είναι κλειστός και ο Δ2 ανοικτός.

Το κύκλωμα ταλάντωσης, όταν ο διακόπτης Δ2 είναι κλειστός και ο Δ1 ανοικτός.



Ρυθμίστε την τάση στο τροφοδοτικό να είναι ίση με 5 Volt. Στη θέση του βολτομέτρου και του αμπερομέτρου, αντί για τα συμβατικά όργανα μέτρησης, συνδέστε τους αισθητήρες τάσης και ρεύματος:

Τον αισθητήρα της τάσης στην είσοδο 1 (Input 1).

Τον αισθητήρα της έντασης στην είσοδο 2 (Input 2). Οι αισθητήρες, μέσω του Multilog, συνδέονται με τον υπολογιστή. Στο λογισμικό DB-Lab έχετε τη δυνατότητα να λαμβάνετε τις μετρήσεις των αισθητήρων, να τις αποθηκεύετε και κατόπιν να τις επεξεργάζεστε. Δείτε τις παρακάτω φωτογραφίες:

Ο αισθητήρας έντασης ρεύματος Ο αισθητήρας διαφοράς δυναμικού

Το λογισμικό DB-Lab

Στο λογισμικό η βασική εργασία γίνεται στο πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται από την επιλογή στο μενού Καταγραφέας→Πίνακας ελέγχου. Μία τυπική διαδικασία χρήσης του DB-Lab περιλαμβάνει τις εξής ρυθμίσεις:

• Ρύθμιση των εισόδων, ώστε στην είσοδο 1 να μετρά την τάση και στην είσοδο 2 να μετρά την ένταση του ρεύματος.

• Ρυθμός: το πλήθος των μετρήσεων στη μονάδα του χρόνου (ανά δευτερόλεπτο).

• Σημεία: ο αριθμός των πειραματικών σημείων. Είναι φανερό ότι το πηλίκο «Ρυθμός»/Σημεία» παρέχει το χρόνο που χρειάζεται για να ολοκληρωθεί μια διαδικασία μέτρησης.

Η διαδικασία μέτρησης αρχίζει με το πάτημα του πλήκτρου Λήψη Δεδομένων. Αν ο «ρυθμός» έχει τιμή μεγαλύτερη από 500, τότε για να αποτυπωθούν τα δεδομένα σε γράφημα θα πρέπει να επιλέξουμε από το μενού Καταγραφέας→Ανάκτηση δεδομένων.

Με το κουμπί Εκκαθάριση Μνήμης σβήνονται από τη μνήμη οι τρέχουσες μετρήσεις.

Με το κουμπί Διακοπή διακόπτεται μια διαδικασία μέτρησης.



Χειρισμός του κυκλώματος Ο χειρισμός του κυκλώματος περιλαμβάνει:

Τη φόρτιση του πυκνωτή: Ο πυκνωτής συνδέεται με την πηγή (Δ1 κλειστός, Δ2 ανοικτός).

Την έναρξη της διαδικασίας μέτρησης: Ξεκινά με το πάτημα του κουμπιού Λήψη Δεδομένων.

Την έναρξη της ταλάντωσης: Ο φορτισμένος πυκνωτής συνδέεται με το πηνίο (Δ2 κλειστός, Δ1 ανοικτός).

Την ανάκτηση των δεδομένων.

Η λειτουργία της μεγέθυνσης Σε μια γραφική παράσταση των πειραματικών τιμών στο DB-Lab έχετε τη δυνατότητα να μεγεθύνετε μια περιοχή του. Αυτό γίνεται ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα:

1. Ορίζετε το αριστερό άκρο της περιοχής που θέλετε να μεγεθύνετε, κάνοντας διπλό κλικ με το ποντίκι στο κατάλληλο σημείο του γραφήματος. Στο σημείο εκείνο εμφανίζεται ένα βέλος που δείχνει προς τα κάτω.

2. Ορίζετε το δεξιό άκρο της περιοχής που θέλετε να μεγεθύνετε, κάνοντας διπλό κλικ στο κατάλληλο σημείο. Στο σημείο εκείνο εμφανίζεται ένα βέλος που δείχνει προς τα πάνω.

3. Επιλέγετε από το μενού Προβολή→Μεγέθυνση. Η γραφική παράσταση μεγεθύνεται, αφού στο ίδιο παράθυρο εμφανίζεται μόνο η περιοχή που έχει επιλεγεί για μεγέθυνση.

4. Ωστόσο μπορείτε και να «στενέψετε» τα όρια της γραφικής παράστασης, αυξάνοντας τη μεγέθυνση, κάνοντας κλικ πάνω στα βέλη και σέρνοντας στο νέο σημείο. Επιλέγετε και πάλι από το μενού Προβολή→Μεγέθυνση.

5. Τέλος, όταν στην ίδια γραφική παράσταση απεικονίζονται δύο φυσικά μεγέθη, τότε τα βέλη μετακινούνται επάνω στην καμπύλη εκείνη, όπου είχατε τοποθετήσει αρχικά τα βέλη.

Η λειτουργία τις προσαρμογής καμπύλης Το DB-Lab σας δίνει τη δυνατότητα να προσεγγίσετε τα πειραματικά δεδομένα σε μια γραφική παράσταση, χρησιμοποιώντας καμπύλες που εκφράζουν γραμμική, εκθετική και παραβολική συνάρτηση. Αν στο μενού επιλέξετε Ανάλυση→Προσαρμογή καμπύλης, τότε στα δεξιά του τρέχοντος παραθύρου θα προστεθεί μια σειρά εργαλείων (βλ. σχήμα). Επιλέγετε την κατάλληλη κατά περίπτωση καμπύλη. Στο παρακάτω σχήμα έχει επιλεγεί η εκθετική συνάρτηση.

Στο κάτω μέρος του παραθύρου εμφανίζονται οι σταθερές οι οποίες ελέγχονται από τους αντίστοιχους μεταβολείς. Με τους μεταβολείς αυτούς μπορείτε να πετύχετε την καλύτερη σύμπτωση των πειραματικών σημείων και της καμπύλης. Στην παραπάνω εικόνα έχει χαρακτεί με τους μεταβολείς η περιβάλλουσα της φθίνουσας ηλεκτρικής ταλάντωσης. Σε άλλο μέρος του παραθύρου διαβάζετε τις τιμές των σταθερών, αλλά και την εξίσωση της καμπύλης.



Δραστηριότητα 1: Μελέτη μιας ηλεκτρικής ταλάντωσης

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα δώσετε αρχικά ενέργεια στο ταλαντούμενο σύστημα, φορτίζοντας τον πυκνωτή, και κατόπιν θα το «αφήσετε» να ταλαντωθεί ελεύθερα, συνδέοντας το φορτισμένο πυκνωτή με το πηνίο. Στη συνέχεια θα παρατηρήσετε τις τιμές της τάσης στα άκρα του πυκνωτή, σε ένα κύκλωμα με πυκνωτή και πηνίο, και τις τιμές της έντασης που διαρρέει το κύκλωμα. Βήματα στην τάξη

1. Σχηματίστε το κύκλωμα του σχήματος, με τιμές C=100 μF, και το πηνίο των 300 σπειρών (2,4 mH περίπου).

2. Φορτίστε τον πυκνωτή με τάση 5 Volt (διακόπτες: Δ1 κλειστός, Δ2 ανοικτός).

3. Ρυθμίστε στο DB-Lab:

I. Να λαμβάνονται ανά δευτερόλεπτο μετρήσεις με μεγάλο ρυθμό, 6.172 μετρήσεις ή και παραπάνω.

II. Να ληφθούν 10.000 πειραματικά σημεία. Πόσο χρόνο θα διαρκέσει η διαδικασία μέτρησης; Για τον υπολογισμό του χρόνου θα πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμό των πειραματικών σημείων με το ρυθμό λήψης.

4. Μετά την έναρξη της διαδικασίας μέτρησης ανοίξτε το διακόπτη Δ1 και κλείστε αμέσως το διακόπτη

Δ2. Για την εργασία αυτή θα χρειαστεί να συνεργαστούν δύο ή τρεις μαθητές, οι οποίοι θα δουλεύουν με συγχρονισμό. Καθορίστε το ρόλο του καθενός και προχωρήστε στην εκτέλεση της διαδικασίας.

5. Περιμένετε να ολοκληρωθεί η λήψη και κάντε ανάκτηση των δεδομένων από το μενού Καταγραφέας→Ανάκτηση δεδομένων. Τα δεδομένα αυτά αναπαρίστανται σε γραφική παράσταση που αναδύεται μόλις ολοκληρωθεί η ανάκτηση.

6. Χρησιμοποιήστε τη λειτουργία της μεγέθυνσης, ώστε να εμφανίσετε, όσο καλύτερα επιθυμείτε, το μέρος της γραφικής παράστασης που σας ενδιαφέρει.

7. Η γραφική παράσταση της τάσης, σε συνάρτηση με το χρόνο, και της έντασης, επίσης σε συνάρτηση με το χρόνο, δείχνουν να μεταβάλλονται περιοδικά; Παριστάνουν μια αμείωτη ταλάντωση; Τα δύο μεγέθη μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο. Το πλάτος δεν παραμένει σταθερό, αλλά μειώνεται. Οι γραφικές παραστάσεις των δύο μεγεθών δείχνουν μια αποσβεσμένη ταλάντωση. Τα μεγέθη που ταλαντώνονται εδώ είναι η τάση και η ένταση του ρεύματος.



8. Μετακινήστε στη γραφική παράσταση τα βέλη και οριοθετήστε έτσι μια πλήρη ταλάντωση στον άξονα του χρόνου. Διαβάστε τις ενδείξεις στο κάτω μέρος του παραθύρου. Καταγράψτε τις τιμές της περιόδου και της συχνότητας:

Τ1=…….

f1=…….

9. Επαναλάβετε μια ακόμη μέτρηση για την περίοδο και τη συχνότητα σε μια άλλη περιοχή της γραφικής παράστασης.

Τ2=…….

f2=…….

10. Υπολογίστε τη μέση τιμή για την περίοδο και τη συχνότητα:

22TT

T+

= και 2

21 fff

+=

........=T

.......=f

11. Παρατηρήστε τις γραφικές παραστάσεις της έντασης και της τάσης σε συνάρτηση με το χρόνο. Τα συγκεκριμένα μεγέθη παίρνουν, τις ίδιες χρονικές στιγμές, τις μέγιστες τιμές τους; Αν όχι, μετρήστε το χρονικό διάστημα ανάμεσα στη χρονική στιγμή που η τάση παίρνει τη μέγιστη τιμή της και στην αμέσως επόμενη χρονική στιγμή που η ένταση παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Τι μέρος της περιόδου αποτελεί αυτό το χρονικό διάστημα; Η τάση στα άκρα του πυκνωτή και κατ’ επέκταση το φορτίο, αφού το φορτίο του πυκνωτή είναι ανάλογο με την τάση στα άκρα του, καθώς και η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα δεν παίρνουν ταυτόχρονα τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές τους. Με τη βοήθεια των εργαλείων (βέλη) προσδιορίζουμε το χρόνο που ζητά το ερώτημα. Μια ενδεικτική τιμή, για τις τιμές που ελήφθησαν στο εργαστήριο, είναι η ακόλουθη:

Δt=2,11 ms

411,282,8

≅=ΔΤt

Υπάρχει μία διαφορά φάσης, ίση με π/2, ανάμεσα στα δύο μεγέθη, όπως συμβαίνει με τα μεγέθη μετατόπιση και ταχύτητα στις μηχανικές ταλαντώσεις.



Δραστηριότητα 2: Με τη γλώσσα της ενέργειας

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα μελετήσετε την ηλεκτρική ταλάντωση, προσεγγίζοντάς τη με την έννοια «ενέργεια». Θα πρέπει λοιπόν να εργαστείτε στη γραφική παράσταση, όπου απεικονίζονται ταυτόχρονα η τάση στα άκρα του πυκνωτή και το ρεύμα στο κύκλωμα. Βήματα στην τάξη

1. Ανοίξτε το λογισμικό DB-Lab και επιλέξτε τη λειτουργία Επεξεργασία off line.

2. Ανοίξτε το αρχείο με τις μετρήσεις της έντασης του ρεύματος και της τάσης. Προσοχή στον κατακόρυφο άξονα που βρίσκεται δεξιά και αριστερά της γραφικής παράστασης. Απεικονίζονται διαφορετικά μεγέθη και η βαθμονόμηση είναι διαφορετική.

3. Εφαρμόστε τη διαδικασία Μεγέθυνση, θέτοντας στην καμπύλη της τάσης τα βέλη της αρχής και του τέλους του χρονικού διαστήματος, έτσι ώστε να έχετε στο παράθυρο της γραφικής παράστασης μια πλήρη ταλάντωση του μεγέθους αυτού. Αφού διαβάσετε με προσοχή τους άξονες, συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. Για πιο ακριβείς μετρήσεις χρησιμοποιήστε τα βέλη. Θέτουμε το ένα βέλος στον οριζόντιο άξονα, ώστε η αρχική τιμή να είναι 0, και τοποθετούμε το άλλο βέλος στο σημείο που θέλουμε να μετρήσουμε. Η ένδειξη στο κάτω μέρος της γραφικής παράστασης αφορά τη μεταβολή, αλλά, επειδή η αρχική τιμή του μεγέθους είναι μηδενική, η μεταβολή συμπίπτει με την τελική τιμή.

4. Επαναλάβετε τη διαδικασία για να πάρετε τις μετρήσεις της έντασης του ρεύματος. Για είναι ακριβείς οι μετρήσεις σας, με τη χρήση των βελών, θα πρέπει να κλείσετε το αρχείο και, αφού το ανοίξετε πάλι, να τοποθετήσετε τα βέλη στην καμπύλη που αναπαριστά την ένταση του ρεύματος.

Χρονική στιγμή

Τάση (Volt) Ένταση

(mAmpere)

Ενέργεια ηλεκτρικού

πεδίου (Joule)

Ενέργεια μαγνητικού


Άθροισμα ηλεκτρικού και μαγνητικού


t 0 -190,62 0 0,000436032 0,000436032 t+T/4 2,542 0 0,000323088 0 0,000323088 t+T/2 0 156,00 0 0,000292032 0,000292032 t+3T/4 -1,906 0 0,000181642 0 0,000181642 t+T 0 -97,75 0 0,000114661 0,000114661

5. Πόση είναι η μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης στη διάρκεια της περιόδου; Ποιο είναι το

ποσοστό της ενέργειας που έχει «χαθεί»;

71-0,0003213=Ε−Ε=ΔΕ Τ+Τ ττ

73,7%- ή -0.737035=ΕΔΕΤ

τ



6. Σχολιάστε την έκφραση «ενέργεια που έχει χαθεί». Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας, η ενέργεια διατηρείται, δεν «καταστρέφεται», ούτε δημιουργείται εκ του μηδενός. Αυτό που συμβαίνει, κατά την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων, είναι οι μετατροπές της ενέργειας από τη μια μορφή στην άλλη. Εδώ η ενέργεια της ταλάντωσης μειώνεται εξαιτίας της μετατροπής της σε θερμότητα, η οποία διαχέεται στο περιβάλλον. Καθώς όμως δεν είναι δυνατόν η θερμότητα αυτή να επανέλθει κατά τη διάρκεια του πειράματος ως ενέργεια ταλάντωσης, δηλαδή μηχανική ενέργεια, δικαιολογείται έτσι η έκφραση «χάνεται».

7. Σε ποιους παράγοντες οφείλεται η ελάττωση της ενέργειας μιας ηλεκτρικής ταλάντωσης;

Η ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης ελαττώνεται κυρίως λόγω του φαινομένου του Joule, επειδή στην πράξη οι αγωγοί έχουν μη μηδενική αντίσταση, αλλά και λόγω της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέμπει το κύκλωμα, επειδή τα ηλεκτρόνια στους αγωγούς επιταχύνονται.

8. Συνδυάστε τις γνώσεις που αποκτήσατε κατά τη μελέτη της μηχανικής ταλάντωσης και κάντε

αντιστοίχιση με τα μεγέθη της ηλεκτρικής ταλάντωσης.

Ιδανικό ταλαντούμενο σύστημα

Σύστημα ελατήριο – μάζα Κύκλωμα πυκνωτής –

πηνίο

Πώς προκαλούμε την έναρξη μιας ταλάντωσης;

Ασκούμε μια εξωτερική δύναμη που μεταβάλλει το μήκος του ελατηρίου

Φορτίζουμε τον πυκνωτή υπό δεδομένη τάση

Ποια είναι η αρχική ενέργεια της ταλάντωσης;

Πώς υπολογίζεται;

Είναι η δυναμική ενέργεια λόγω της παραμόρφωσης του

ελατηρίου: 2

021 xk ⋅

Είναι η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του

πυκνωτή:

CQ 2

21

Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης; x0 Q

Ποια είναι η σταθερή της ταλάντωσης; Η σταθερή του ελατηρίου k

Η 1/C, όπου C η χωρητικότητα του πυκνωτή



Πώς υπολογίζεται η συχνότητα και η περίοδος της

ταλάντωσης;

mkf

π21

=

kmT π2=

CLf

⋅=

121π

CLT ⋅= π2

Ποια είναι μορφή της ενέργειας Τ/4 δευτερόλεπτα

μετά την έναρξη της ταλάντωσης;

Πώς υπολογίζεται;

Είναι η κινητική ενέργεια του σώματος:

202

1 um ⋅

Είναι η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο:

2

21 IL ⋅

Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του μεγέθους που

ταλαντώνεται;

Είναι η ταχύτητα του σώματος:

dtdxu =

Είναι η ένταση του ρεύματος:

dtdqi =

Ποιο φυσικό μέγεθος εκφράζει την «αδράνεια» στα

δύο ταλαντούμενα συστήματα;

Η μάζα m Η επαγωγή L

Ποια σχέση συνδέει το μέγεθος που ταλαντώνεται σε

σχέση με το χρόνο; )

2(0

πωημ +⋅⋅= txx

)2

( πωημ +⋅⋅= tQq

Ποια σχέση συνδέει το ρυθμό μεταβολής του μεγέθους που ταλαντώνεται σε σχέση με το

χρόνο;

)2

(0πωσυν +⋅⋅= tuu

)

2( πωσυν +⋅⋅= tIi

9. Πάρτε τις εκτυπώσεις που θεωρείτε ότι είναι απαραίτητες για την εργασία σας;



Δραστηριότητα 3: Πηνίο με πυρήνα

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα μελετήσετε την επίδραση που έχει στο κύκλωμα η πρόσθεση πυρήνα μαλακού σιδήρου στο πηνίο. Βήματα στην τάξη

1. Τοποθετήστε ένα ραβδόμορφο πυρήνα μαλακού σιδήρου στο πηνίο των 300 σπειρών. Αφήστε τον ίδιο πυκνωτή των 100μF.

2. Φορτίστε το πυκνωτή με τάση 5 Volt (διακόπτες: Δ1 κλειστός, Δ2 ανοικτός).

3. Ρυθμίστε στο DB-Lab:

• Να λαμβάνονται ανά δευτερόλεπτο μετρήσεις με μεγάλο ρυθμό, 6.172 μετρήσεις ή και παραπάνω.

• Να ληφθούν 10.000 πειραματικά σημεία.

4. Μετά την έναρξη της διαδικασίας μέτρησης ανοίξτε το διακόπτη Δ1 και κλείστε αμέσως το διακόπτη Δ2. Για την εργασία αυτή θα χρειαστεί να συνεργαστούν δύο ή τρεις μαθητές, οι οποίοι θα δουλέψουν με συγχρονισμό. Καθορίστε το ρόλο του καθενός και προχωρήστε στην εκτέλεση της διαδικασίας.

5. Περιμένετε να ολοκληρωθεί η λήψη και κάντε ανάκτηση των δεδομένων από το μενού Καταγραφέας→Ανάκτηση δεδομένων. Τα δεδομένα προβάλλονται σε γραφική παράσταση που αναδύεται μόλις τελειώσει η ανάκτηση.

6. Χρησιμοποιήστε τη λειτουργία της μεγέθυνσης, ώστε να εμφανίσετε, όσο καλύτερα επιθυμείτε, το μέρος της γραφικής παράστασης που σας ενδιαφέρει.

7. Καταγράψτε τις τιμές της περιόδου και της συχνότητας.

Τ1=…….

f1=…….

8. Επαναλάβετε μια ακόμη μέτρηση για την περίοδο και τη συχνότητα σε μια άλλη περιοχή της γραφικής παράστασης.

Τ2=…….

f2=…….

9. Υπολογίστε τη μέση τιμή για την περίοδο και τη συχνότητα.

........=T

.......=f

10. Τι επίδραση έχει στην επαγωγή του κυκλώματος η τοποθέτηση πυρήνα μαλακού σιδήρου στο πηνίο; Πώς επηρεάζεται η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης (ποιοτική μελέτη); Αν L0 η επαγωγή του πηνίου χωρίς τον πυρήνα μαλακού σιδήρου και LFe με τον πυρήνα, τότε μ=LFe/L0 η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού. Ο σίδηρος έχει μαγνητική διαπερατότητα (μ) πολύ μεγαλύτερη από τη μονάδα, άρα LFe>>L0. Η αύξηση της επαγωγής έχει ως συνέπεια την αύξηση της περιόδου της ταλάντωσης (βλ. τύπο που δίνει τη συχνότητα της αποσβεσμένης ταλάντωσης).



11. Πάρτε τις εκτυπώσεις που θεωρείτε ότι είναι σημαντικές για την εργασία σας.

12. Αποθηκεύστε τα δεδομένα σας σε ένα περιφερειακό μέσο αποθήκευσης.

13. Επαναλάβετε τη διαδικασία με έναν κλειστό πυρήνα από μαλακό σίδηρο και καταγράψτε τα συμπεράσματα που αφορούν την επαγωγή του κυκλώματος και την περίοδο της ταλάντωσης. Ο κλειστός πυρήνας σιδήρου έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της επαγωγής του πηνίου και επομένως την αύξηση της περιόδου. Η ωμική αντίσταση δεν μεταβάλλεται.

14. Πάρτε και πάλι τις εκτυπώσεις που θεωρείτε ότι είναι σημαντικές για την εργασία σας.

15. Αποθηκεύστε για ακόμη μια φορά τα δεδομένα σας σε ένα περιφερειακό μέσο αποθήκευσης.



Δραστηριότητα 4: Η σταθερά απόσβεσης

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα χρησιμοποιήσετε τις δυνατότητες του λογισμικού DB-Lab, για να προσδιορίσετε το ρυθμό μείωσης του πλάτους της ελεύθερης ηλεκτρικής ταλάντωσης. Η εργασία αυτή μπορεί να γίνει χωρίς να είσαστε συνδεδεμένοι με το MultiLog, αρκεί να έχετε αποθηκεύσει σε κάποιο μαγνητικό μέσο τα δεδομένα του πειράματος. Θα εργαστείτε στη γραφική παράσταση της τάσης στα άκρα του πυκνωτή, σε συνάρτηση με το χρόνο. Ωστόσο το φορτίο, το οποίο θεωρείται μέγεθος που ταλαντώνεται και είναι αντίστοιχο του πλάτους στις μηχανικές ταλαντώσεις, είναι ανάλογο της τάσης (Q=CV), αφού η χωρητικότητα είναι σταθερή. Βήματα στην τάξη

1. Στο λογισμικό DB-Lab ανοίγετε το αρχείο που περιέχει τις μετρήσεις που έχετε πάρει από την εκτέλεση του πειράματος για την τάση στα άκρα του πυκνωτή.

2. Επιλέγετε από το μενού Ανάλυση→Προσαρμογή καμπύλης.

3. Από τις καμπύλες προσαρμογής (υπάρχουν τρεις επιλογές) επιλέξτε την κατάλληλη και δικαιολογήστε την επιλογή σας. Παρατηρώντας τα πλάτη της τάσης στα άκρα του πυκνωτή, βλέπουμε ότι αυτά μειώνονται με μη γραμμικό τρόπο. Συνεπώς, επιλέγουμε τη συνάρτηση της εκθετικής μείωσης.

4. Ρυθμίστε τις τιμές των σταθερών με τους αντίστοιχους μεταβολείς, ώστε να προσεγγίζονται όσο γίνεται καλύτερα τα πειραματικά σημεία που σας ενδιαφέρουν, δηλαδή τα διαδοχικά πλάτη της αποσβεσμένης ταλάντωσης προς τη μία κατεύθυνση του άξονα της τάσης, π.χ. τις θετικές τιμές. Πριν αρχίσετε να κάνετε δοκιμές, αναρωτηθείτε σχετικά με τις περιοχές των τιμών που θα ερευνήσετε, ώστε να συντομεύσετε τη διαδικασία. Καταγράψτε τους συλλογισμούς σας. Έχουμε το δεδομένο της αρχικής τιμής της τάσης (5 V), καθώς και το ότι η σταθερή C πρέπει να είναι 0. Έτσι, λοιπόν, η διερεύνηση της καμπύλης προσαρμογής γίνεται ευκολότερη.

5. Στο τέλος της διαδικασίας θα έχετε την εξίσωση της καμπύλης. Συμπληρώστε τις τιμές των

σταθερών A, B και C στην παρακάτω εξίσωση:

____)( __ +⋅= ⋅tetV

6. Αποδείξτε ότι η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με την πρόταση «ο λόγος των φορτίων στον πυκνωτή, στο τέλος δύο διαδοχικών περιόδων, είναι σταθερός».



Στο τέλος κάθε περιόδου, δηλαδή στις χρονικές στιγμές t=k*T, η τάση του πυκνωτή είναι Tk

k eVV ⋅⋅Λ−= 0 .

Ο λόγος των τάσεων, στο τέλος δύο διαδοχικών περιόδων, είναι: T

k

k eVV ⋅Λ−

−

=1

.

7. Βρείτε τη σχέση που εκφράζει την ενέργεια της ταλάντωσης στο τέλος κάθε περιόδου.

Στο τέλος κάθε περιόδου 2

21 UCUE E ⋅== . Επομένως: ( ) t

Et

tE eUeUCU ⋅Λ⋅−⋅Λ− ⋅=⋅= 20,

20, 2

1.

Επιπλέον, αφού t=kT, τότε TkEkE eUU ⋅⋅Λ⋅−= 2

0,, .

8. Ποια είναι η επί τοις εκατό (%) μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης; Συγκρίνετε την τιμή της

με την τιμή που βρήκατε στη δραστηριότητα 2.

Είναι 11 2

1,

,

1,

1,, −=−=− ⋅Λ⋅−

−−

− T

kE

kE

kE

kEkE eUU

UUU

σταθερό για κάθε περίοδο. Με την τιμή του Λ=75, το

ποσοστό είναι -73,36%. Με μια καλή προσέγγιση είναι το ποσοστό που βρέθηκε στη δραστηριότητα 2.

9. Με δεδομένο ότι η επαγωγή (L) είναι γνωστή –αυτή που αναγράφεται στο πηνίο– υπολογίστε την

αντίσταση του κυκλώματος. Είναι Λ=R/2L, επομένως R=2ΛL.



Ε ξ α ν α γ κ α σ μ έ ν η μ η χ α ν ι κ ή τ α λ ά ν τ ω σ η Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν οι μαθητές θα διερευνήσουν, με τη βοήθεια της προσομοίωσης, την εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται σε δύο διδακτικές ώρες και προτείνονται για την Γ΄ Λυκείου. Γνωστικό αντικείμενο Ένα ταλαντούμενο σύστημα, για παράδειγμα ένα οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθερής k, το ένα άκρο του οποίου είναι συνδεδεμένο σε σταθερό σημείο, ενώ στο άλλο άκρο του είναι προσδεδεμένη μια μάζα m, μπορεί να ταλαντώνεται γύρω από τη θέση ισορροπίας με συχνότητα:

01

2kfmπ

=

Μία τέτοια ταλάντωση λέγεται ελεύθερη ταλάντωση. Αν στο σύστημα επιδρά μια εξωτερική περιοδική δύναμη που το μέτρο της είναι, για παράδειγμα, tFF ημω⋅= 0 , με συχνότητα f, τότε το σύστημα θα

εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η συχνότητα f της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι ίση με τη συχνότητα της εξωτερικής –διεγείρουσας– δύναμης και όχι με την ιδιοσυχνότητα f0 της ελεύθερης ταλάντωσης. Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα f της εξωτερικής περιοδικής δύναμης. Αν η συχνότητα της εξωτερικής περιοδικής δύναμης είναι πολύ μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα f0, τότε το πλάτος είναι μικρό. Αν, όμως, η συχνότητα f πλησιάζει την ιδιοσυχνότητα f0, τότε το πλάτος γίνεται μεγάλο και μέγιστο, άπειρο όταν δεν υπάρχουν αποσβέσεις, στην περίπτωση που f=f0. Στην περίπτωση αυτή έχουμε συντονισμό. Όταν η δύναμη απόσβεσης είναι ανάλογη με την ταχύτητα, τότε ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα για το σώμα που ταλαντώνεται δίνει:

tFxkdtdxb

dtxdm ημω02

2

=⋅+⋅+⋅

της οποίας η λύση είναι:

)( 0ϕωημ +⋅= tAx

Στην περίπτωση που το b είναι διάφορο του 0, η ιδιοσυχνότητα γίνεται:

22

0'

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mbωω


• Να περιγράψουν ποιοτικά και ποσοτικά την εξαναγκασμένη ταλάντωση.

• Να χαράξουν, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των προσομοιώσεων, την καμπύλη συντονισμού για ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση και με διαφορετικές τιμές απόσβεσης.

• Να αποδώσουν το φυσικό περιεχόμενο σε εξαιρετικές περιπτώσεις που οι μαθηματικές συναρτήσεις, οι οποίες περιγράφουν το φαινόμενο, δεν ορίζονται ή έχουν ασυνέχειες.




• Ο σχεδιασμός και η εκτέλεση από τους μαθητές συγκεκριμένων πειραμάτων μηχανικών και ηλεκτρικών ταλαντώσεων.

• Η διατύπωση, λεκτικά αλλά και με τύπους, των διαφόρων μορφών μηχανικής και ηλεκτρικής ταλάντωσης και η διάκριση όσων από τις ιδιότητές τους είναι κοινές.

• Η διατύπωση ποιοτικά και ποσοτικά του φαινομένου του συντονισμού και η αναφορά των πιθανών τεχνολογικών συνέπειών του.

• Η γενίκευση και η διατύπωση κανόνων.

• Η απόκτηση δεξιοτήτων και η υιοθέτηση υπεύθυνης στάσης κατά την εργασία μέσα στο εργαστήριο με συστήματα Νέων Τεχνολογιών.

Διδακτική προσέγγιση Στο παρόν σενάριο οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν την προσομοίωση, προκειμένου να εργαστούν με επιστημονική μέθοδο. Θα πάρουν μετρήσεις, χρησιμοποιώντας τα εργαλεία που έχουν στη διάθεσή τους, τις οποίες στη συνέχεια θα επεξεργαστούν. Από την επεξεργασία των δεδομένων του εικονικού πειράματος θα καταλήξουν στα σχετικά συμπεράσματα. Εναλλακτικές ιδέες των μαθητών

• Γενικά οι ταλαντώσεις που συναντάμε στη φύση είναι αμείωτες.

• Ο συντονισμός είναι μια έννοια που έχει και «μεταφυσικό» περιεχόμενο.

• Ο συντονισμός είναι πάντα ένα χρήσιμο και επιθυμητό φαινόμενο. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών



• Βασικές ικανότητες για την εκτύπωση αρχείου.

• Βασικές γνώσεις για τις λειτουργίες διεπαφής των εκπαιδευτικών λογισμικών που χρησιμοποιούνται, δηλαδή του Interactive Physics και του Function Probe (γνώσεις επιθυμητές, αλλά όχι απαραίτητες).

Γνωστικό αντικείμενο Οι γνώσεις των μαθητών που απαιτούνται για να φέρουν σε πέρας τις δραστηριότητες του σεναρίου είναι εκείνες που περιέχονται στις παρακάτω ενότητες του βιβλίου της Φυσικής της Γ΄ Λυκείου:

• «Περιοδικά φαινόμενα».

• «Απλή αρμονική ταλάντωση».

• «Φθίνουσες ταλαντώσεις».





• Το λογισμικό Interactive Physics.

• Το λογισμικό Function Probe.









• Την πληρότητα, τη σαφήνεια και την ακρίβεια των απαντήσεών τους.

• Την ικανότητά τους να χειρίζονται τα μαθηματικά αντικείμενα, τις εξισώσεις, τις μεταβλητές, τις γραφικές παραστάσεις, και να τα χρησιμοποιούν για την επίλυση προβλημάτων.

• Τη δυνατότητα τους να διαβάζουν γραφικές παραστάσεις και να προχωρούν σε συμπεράσματα ποιοτικά και ποσοτικά.

• Τις επιλογές των εκτυπώσεών τους, τις οποίες θα πρέπει να χαρακτηρίζει η ευστοχία και η αποτελεσματικότητα της χρήσης τους.

Δραστηριότητες εμπλουτισμού Ως δραστηριότητες εμπλουτισμού μπορούν να εφαρμοστούν οι δραστηριότητες που συμπληρώνουν το «πακέτο». Τέτοιες είναι το σενάριο με τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις και το σενάριο που αφορά τους σεισμούς. Η προσομοίωση αποτελεί πεδίο ανάπτυξης περισσότερων, από τις παρεχόμενες, δραστηριότητες στο παρόν σενάριο. Οι εκπαιδευτικοί, στους οποίους θα δοθεί, μπορούν να τη χρησιμοποιήσουν όπως οι ίδιοι νομίζουν ότι θα εξυπηρετήσουν τους ιδιαίτερους εκπαιδευτικούς στόχους. Επιπλέον, εφικτή και επιτρεπτή στο ανοικτό περιβάλλον του λογισμικού είναι και η μεταβολή των παραμέτρων της προσομοίωσης, όπως είναι η μάζα του μπλε σώματος ή η σταθερή του ελατηρίου. Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές.




• Τα εγχειρίδια χρήσης των λογισμικών Interactive Physics και Function Probe.

• Το βιβλίο της Φυσικής Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.

• Το αρχείο ExanagasmeniTal.prb το οποίο ανοίγει με το λογισμικό Function Probe και συνοδεύει το σενάριο· περιέχει δεδομένα προερχόμενα από δοκιμαστική εφαρμογή του σεναρίου.


• http://odysseia.cti.gr/kirki/2ndProductGroup/Function Probe.htm Ο ιστοχώρος του λογισμικού Function Probe· δίνεται περιγραφή και πληροφορίες για το λογισμικό. Διατίθεται, επίσης, το ίδιο το λογισμικό και τα σχετικά εγχειρίδια και οδηγίες.



• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html Διερευνητικό περιβάλλον για τις έννοιες της Φυσικής, με χάρτες εννοιών και άλλα εργαλεία, από το τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Τζόρτζια Στέιτ (Georgia State University).




http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html



Φύλλα εργασίας: Εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν θα διερευνήσετε τη συμπεριφορά ενός σώματος που είναι δεμένο στην άκρη ενός ελατηρίου, στο άλλο άκρο του οποίου εφαρμόζεται μια περιοδική δύναμη. Για το λόγο αυτό θα χρησιμοποιήσετε ένα εκπαιδευτικό λογισμικό προσομοίωσης και ένα λογισμικό μαθηματικής επεξεργασίας δεδομένων. Βασικές έννοιες – Λέξεις-κλειδιά Ελεύθερη ταλάντωση, ιδιοσυχνότητα, διεγείρουσα δύναμη, εξαναγκασμένη ταλάντωση, διεγέρτης, φθίνουσα ταλάντωση, πλάτος ταλάντωσης, σταθερά απόσβεσης, απόσβεση, συντονισμός, συχνότητα συντονισμού. Προαπαιτούμενα - Υποδομή

• Τα λογισμικά Interactive Physics και Function Probe.

• Το αρχείο εφαρμογής ExanagasmeniTal.IP. Η προσομοίωση

• Στο χώρο εργασίας του Interactive Physics το μπλε σώμα είναι ένα στερεό, σχήματος παραλληλεπιπέδου και μάζας 5 kg, που βρίσκεται δεμένο από το ένα άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου, ιδανικού και με σταθερή ίση με 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο.

• Η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει ρυθμιστεί στην τιμή 10 m/s2.

• Ολόκληρο το σύστημα ελατηρίου-σώματος, το ταλαντούμενο σύστημα, βρίσκεται επάνω σε πλατφόρμα και μπορεί να ολισθαίνει επάνω της χωρίς τριβές.

• Η πλατφόρμα μπορεί επίσης να ολισθαίνει, χωρίς τριβές, επάνω σε δάπεδο.

• Ένας ενεργοποιητής –όρος του λογισμικού Interactive Physics– αναγκάζει την πλατφόρμα να εκτελεί αρμονική ταλάντωση σύμφωνα με τη σχέση:

)2(2.0 tf ⋅⋅⋅ πημ

• Ολόκληρη η διάταξη βρίσκεται μέσα σε αέρα. Η αντίσταση του αέρα έχει ρυθμιστεί, ώστε η δύναμη απόσβεσης να είναι ανάλογη με την ταχύτητα (Fair=-bv).

• Η σταθερή απόσβεσης b είναι ανάλογη με το εμβαδόν της μετωπικής επιφάνειας του σώματος, κάθετα στη διεύθυνση κίνησης. Δηλαδή:

b=k*διατομή

όπου k μία σταθερή την οποία ορίζει ο χρήστης από το πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται με το πλήκτρο Αντίσταση του αέρα…

• Όλα τα φυσικά μεγέθη μετρούνται στο SI. Εργαλεία ελέγχου Με τους μεταβολείς ορίζεται:

• Η συχνότητα της ταλάντωσης της πλατφόρμας. Με τα κουμπιά ορίζονται:

• Η αντίσταση του αέρα, από το πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται. Η αρχική τιμή έχει ρυθμιστεί χωρίς αντίσταση.

• Η διαγραφή των γραφικών παραστάσεων, αφού προηγηθεί η επαναρρύθμιση: (α) από τη γραμμή των εργαλείων, (β) από το ομώνυμο κουμπί.



Εργαλεία μετρήσεων Με τους μετρητές μετρούνται:

• Η θέση του μπλε σώματος στην οριζόντια διεύθυνση – με το μετρητή «Θέση Χ» του σώματος.

• Τα στοιχεία του ταλαντούμενου συστήματος.

• Ο χρόνος της προσομοίωσης – με το μετρητή «Χρονόμετρο». Χρήσιμες οδηγίες Υπενθυμίζεται ότι:



• Γραφικά.







Δραστηριότητα 1: Εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση με απόσβεση

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στη δραστηριότητα αυτή θα διερευνήσετε πώς επιδρά η απόσβεση της ταλάντωσης στην καμπύλη συντονισμού. Με άλλα λόγια, θα διερευνήσετε τη σχέση του πλάτους με τη συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Η απόσβεση στην προσομοίωση που έχετε στη διάθεσή σας οφείλεται στην αντίσταση που υφίσταται το μπλε σώμα, εξαιτίας της κίνησής του μέσα στον ατμοσφαιρικό αέρα. Η αντίσταση του αέρα είναι ανάλογη με την ταχύτητα, ενώ αντιτίθεται στην κίνηση. Αν το πείραμα αυτό το κάνατε σε πραγματικό εργαστήριο, τότε θα έπρεπε να το φανταστείτε ως εξής: Όλη η πειραματική διάταξη βρίσκεται μέσα σε ένα γυάλινο κιβώτιο, αεροστεγώς κλεισμένο, μέσα στο οποίο έχετε τη δυνατότητα να ρυθμίζετε την πίεση του αέρα, μεταβάλλοντας την ποσότητά του με μια αντλία. Με την προσομοίωση όλα είναι πιο εύκολα. Αρκεί να ρυθμίσετε την τιμή της σταθερής k από το αναδυόμενο πλαίσιο διαλόγου που εμφανίζεται μόλις πατήσετε το κουμπί Αντίσταση του αέρα… Η σταθερή απόσβεσης είναι ανάλογη του k και της διατομής που προβάλλει το σώμα, κινούμενο μέσα στον ατμοσφαιρικό αέρα. Δηλαδή:

διατομήkb ⋅=

Βήματα στην τάξη Εργασία με το Interactive Physics

1. Ανοίξτε την προσομοίωση ExanagasmeniTal.ip και αναγνωρίστε τα συστατικά της στοιχεία.

2. Ρυθμίστε την αντίσταση του αέρα με το κουμπί Αντίσταση του αέρα…, επιλέγοντας Συνήθης στο πλαίσιο διαλόγου που αναδύεται. Ως τιμή του k ορίστε τις τιμές του πίνακα, ενώ για τις δεδομένες τιμές της συχνότητας του διεγέρτη καταγράψτε, ηλεκτρονικά, τα πλάτη των ταλαντώσεων.

Συχνότητα διεγέρτη

Πλάτος Ταλάντωσης για k=7



0,62

0,64

0,66

0,68

0,70

0,71

0,72

0,74

0,76

0,78 3. Ανοίξτε το λογισμικό Function Probe. Στο παράθυρο Πίνακας μεταφέρετε τα περιεχόμενα του

παραπάνω πίνακα, με Αντιγραφή και Επικόλληση, στον πίνακα του Function Probe.



Εργασία με το Function Probe

1. Η αποστολή των δεδομένων από το παράθυρο Πίνακας στο παράθυρο Γράφημα γίνεται ως εξής: Μετακινήστε με κλικ και σύρσιμο τα εικονίδια και στις στήλες που θέλετε να αποστείλετε στο Γράφημα και μετά επιλέξτε από το μενού Αποστολή→Σημεία σε Γράφημα. Επαναλάβετε τη διαδικασία για όλες τις στήλες του πίνακα τιμών.

2. Στο παράθυρο Γράφημα: • Ρυθμίστε την κλίμακα, ώστε να φαίνονται όσο γίνεται καλύτερα τα πειραματικά σημεία. Αυτό

γίνεται από το πλαίσιο διαλόγου το οποίο εμφανίζεται με την επιλογή Γράφημα→Αλλαγή Κλίμακας.

• Με την επιλογή Γράφημα→Σύνδεση Σημείων ενώστε με μια καμπύλη τα πειραματικά σημεία.

3. Παρατηρήστε τις τρεις καμπύλες:

• Πώς επιδρά η αύξηση της απόσβεσης στο πλάτος της ταλάντωσης του ταλαντούμενου συστήματος;

Από τις γραφικές παραστάσεις του πλάτους, σε σχέση με τη συχνότητα του διεγέρτη, φαίνεται ότι για κάθε συχνότητα το πλάτος μειώνεται με την απόσβεση.

• Πώς επιδρά η αύξηση της απόσβεσης στο μέγιστο πλάτος του ταλαντούμενου συστήματος; Το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης, το πλάτος στο συντονισμό, μειώνεται σε σχέση με την αύξηση της απόσβεσης.

• Πώς επιδρά η αύξηση της απόσβεσης στη συχνότητα συντονισμού (συχνότητα κατά την οποία

εμφανίζεται το μέγιστο πλάτος); Όσο αυξάνεται η απόσβεση, τόσο μειώνεται η συχνότητα στην οποία παρατηρείται το μέγιστο πλάτος. Η μείωση αυτή δεν είναι μεγάλη, όμως με προσεκτική παρατήρηση μπορεί να διαπιστωθεί.

4. Πάρτε τις εκτυπώσεις που θεωρείτε ότι είναι σημαντικές για την εργασία σας.



Σ τ ά σ ι μ ο κ ύ μ α Εισαγωγή Οι δραστηριότητες που ακολουθούν συνιστούν μια ποιοτική και ποσοτική προσέγγιση της έννοιας του στάσιμου κύματος, με σκοπό τη διευκόλυνση των μαθητών της Γ΄ Λυκείου κατά τη διδασκαλία των ταλαντώσεων και των κυμάτων στο μάθημα της Φυσικής. Περιέχονται δύο φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται σε πέντε διδακτικές ώρες. Γνωστικό αντικείμενο Μηχανικό κύμα ονομάζεται η διαδοχή μιας διαταραχής που προκαλείται από μια πηγή διαταραχής (π.χ. ένα ταλαντούμενο σημείο) σε ένα ελαστικό μέσο. Κατά τη διάδοση ενός κύματος δεν μεταφέρεται ύλη από μια περιοχή του μέσου σε μια άλλη, αλλά ενέργεια και ορμή. Ανάλογα με τη διεύθυνση διάδοσης ενός κύματος, διακρίνουμε τα κύματα σε:

Εγκάρσια, όπου τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Διαμήκη, όπου τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα με τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Αν η πηγή του κύματος εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, τότε το κύμα ονομάζεται αρμονικό κύμα. Τα αρμονικά κύματα έχουν απλή μαθηματική περιγραφή και είναι πολύ σημαντικά, καθώς οποιοδήποτε κύμα μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων. Τα βασικά χαρακτηριστικά ενός κύματος είναι:

• Η περίοδος Τ, δηλαδή το χρονικό διάστημα στο οποίο ένα σωματίδιο του μέσου ολοκληρώνει την κίνησή του.

• Η συχνότητα 1fT

= .

• Το μήκος κύματος λ, δηλαδή η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου.

• Η θεμελειώδης εξίσωση της Κυματικής υ λ f= ⋅ , όπου υ η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

• Η εξίσωση του κύματος η οποία, στην περίπτωση του αρμονικού κύματος, είναι

2 ( )t xy A ημ πT λ

= ⋅ − , όπου y η απομάκρυνση ενός σωματιδίου που βρίσκεται σε απόσταση x από την

πηγή του κύματος, Α το πλάτος του κύματος και t ο χρόνος από την έναρξη ταλάντωσης της πηγής. Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και του ιδίου πλάτους, τα οποία διαδίδονται στο ίδιο μέσο, με αντίθετες όμως κατευθύνσεις. Παράδειγμα στάσιμου κύματος αποτελεί η κίνηση ενός τεντωμένου σχοινιού του οποίου η μία άκρη είναι στερεωμένη σε σταθερό σημείο, ενώ η άλλη εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Σε αυτή την περίπτωση η κυματική διαταραχή διαδίδεται κατά μήκος του σχοινιού και, φθάνοντας στη σταθερή άκρη του σχοινιού, ασκεί μία δύναμη στο σημείο στήρηξης. Η αντίδραση σε αυτή τη δύναμη δημιουργεί ένα ανακλώμενο κύμα στην αντίθετη κατεύθυνση που συμβάλλει με το αρχικό κύμα, δημιουργώντας το στάσιμο κύμα. Με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού λογισμικού Modellus παρουσιάζεται στους μαθητές η αναπαράσταση του στάσιμου κύματος, καθώς και τα διαγράμματα: της εξίσωσης κίνησης του αρμονικού κύματος, της εξίσωσης του στάσιμου κύματος και της ενεργειακής μεταβολής, με σκοπό τη διερεύνηση και διατύπωση εικασιών για τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων χαρακτηριστικών του κύματος. Στη συνέχεια οι μαθητές καλούνται να κάνουν μία θεωρητική διατύπωση και αιτιολόγηση των παρατηρήσεών τους με τη βοήθεια μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών.




• Να κατανοήσουν την έννοια του μηχανικού κύματος, την έννοια του αρμονικού κύματος, καθώς και τη σχέση τους με τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση.

• Να κατανοήσουν την έννοια του στάσιμου κύματος ως συμβολή δύο κυμάτων ίδιας συχνότητας και πλάτους, τα οποία διαδίδονται στο ίδιο μέσο, με αντίθετες όμως κατευθύνσεις.

• Να ερμηνεύσουν ποιοτικά τη μορφή της εξίσωσης ενός στάσιμου κύματος, καθώς και τις σχέσεις μεταξύ των φυσικών μεγεθών που την περιγράφουν.

• Να αιτιολογήσουν θεωρητικά (να αποδείξουν), με τη βοήθεια μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών, τους βασικούς τύπους που περιγράφουν την κίνηση αυτή.




• Η ανάπτυξη παραδειγμάτων τα οποία να έχουν νόημα για τους μαθητές. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:

• Τις βασικές έννοιες της Κινηματικής και Δυναμικής της Α΄ Λυκείου.

• Την έννοια της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης και τους τύπους που την περιγράφουν.

• Τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου, καθώς και με τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.

• Την έννοια της παραγώγου συνάρτησης και τους κανόνες παραγώγισης.

• Την ερμηνεία της ταχύτητας και της επιτάχυνσης, ως ρυθμός μεταβολής. Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών



• Βασικές γνώσεις σχετικά με τις λειτουργίες του εκπαιδευτικού λογισμικού Modellus. Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτούνται:


• Το λογισμικό Modellus.



• Η Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου.

• Το εγχειρίδιο χρήσης του λογισμικού Modellus.




• http://odysseia.cti.gr/kirki/2ndProductGroup/Modellus.htm Ο ιστοχώρος του λογισμικού Modellus· δίνεται περιγραφή και πληροφορίες για το λογισμικό.






Φύλλα εργασίας: Στάσιμο κύμα Δραστηριότητα 1: Κινηματική και δυναμική μελέτη ενός μηχανικού αρμονικού κύματος

Εισαγωγή Στη δραστηριότητα αυτή θα διερευνήσετε, από κινηματική και δυναμική άποψη, ένα μηχανικό αρμονικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ελαστικό μέσο. Στην αρχή θα παρατηρήσετε μια προσομοίωσή του με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού λογισμικού Modellus και θα διερευνήσετε εποπτικά τα μεγέθη που περιγράφουν την κίνηση αυτή. Στη συνέχεια θα αιτιολογήσετε θεωρητικά τα συμπεράσματά σας. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:




Χειρισμός του Modellus

Oι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να χειρίζονται ικανοποιητικά το περιβάλλον διεπαφής του Modellus, χωρίς να κατασκευάζουν οι ίδιοι απαραιτήτως τα μοντέλα προσομοίωσης. Διάρκεια Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι τρεις διδακτικές ώρες. Συνοδευτικό υλικό

Τα αρχεία armoniko_kyma1.mdl και armoniko_kyma2.mdl από το φάκελο Files\Section_8 του CD-ROM.



Ανάλυση του Φύλλου εργασίας 1 Α΄ ΦΑΣΗ: Εποπτική διερεύνηση της προσομοίωσης μηχανικού αρμονικού κύματος

• Ανοίξτε με το Modellus το αρχείο armoniko_kyma1.mdl από το φάκελο Files\Section_8.

• Εκτελέστε την προσομοίωση, πατώντας το πλήκτρο στο παράθυρο Έλεγχος. Παρατηρήστε στο παράθυρο Παρουσίαση 1 την προσομοίωση αρμονικού κύματος, καθώς και τα διαγράμματα απομάκρυνσης x0–t, x10–t και x20–t.

• Ποιο είδος κίνησης εκτελεί το σωματίδιο 0, σύμφωνα με το διάγραμμα απομάκρυνσης x0–t;

[Η ημιτονοειδής συνάρτηση.]

• Ποιο είδος κίνησης εκτελεί το σωματίδιο 10, σύμφωνα με το διάγραμμα απομάκρυνσης x10–t; Τι διαφορές υπάρχουν στην κίνηση του σωματιδίου 10 σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση;

[Η ημιτονοειδής συνάρτηση. Χρονική υστέρηση.]

• Ποιο είδος κίνησης εκτελεί το σωματίδιο 20, σύμφωνα με το διάγραμμα απομάκρυνσης x20–t; Τι διαφορές υπάρχουν στην κίνηση του σωματιδίου 20 σε σχέση με τις προηγούμενες περιπτώσεις;

[Η ημιτονοειδής συνάρτηση. Μεγαλύτερη χρονική υστέρηση.]

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι η απομάκρυνση x0 είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του ωt, η x10 είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του ω με κάποια χρονική υστέρηση και η x20

είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του ωt, με μεγαλύτερη χρονική υστέρηση. Επίσης ζητούμε από τους μαθητές να αιτιολογήσουν τη χρονική υστέρηση που παρατήρησαν. Για διευκολυνθούν οι μαθητές στις έρευνές τους μπορείτε να τους προτείνετε (με την εντολή Προσθήκη από το μενού Περίπτωση) να προσθέσουν στο παράθυρο Αρχικές Συνθήκες και άλλες αρχικές τιμές (μέχρι 5 συνολικά).]

• Ανοίξτε με το Modellus το αρχείο armoniko_kyma2.mdl από το φάκελο Files\Section_8.

• Παρατηρήστε τα διαγράμματα μεταβολής της κινητικής, δυναμικής και συνολικής ενέργειας για τα σωματίδια 0, 10 και 20. Διατυπώστε το συμπέρασμά σας.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι τα διαγράμματα είναι παρόμοια για τα σωματίδια 0, 10 και 20 και συγκεκριμένα: συνημιτονοειδής συνάρτηση για την κινητική ενέργεια με κάποιο αρχικό σταθερό διάστημα στα σωματίδια 10 και 20, ημιτονοειδής συνάρτηση για τη δυναμική ενέργεια με κάποιο αρχικό σταθερό διάστημα στα σωματίδια 10 και 20, και σταθερή για τη συνολική ενέργεια. Ζητήστε από τους μαθητές να αιτιολογήσουν τη χρονική υστέρηση που παρατήρησαν.]

• Αξιοποιώντας το σύνολο των παρατηρήσεών σας μέχρι τώρα, διατυπώστε τις υπόθεσεις σας για:

• Την κίνηση των σωματιδίων του μέσου κατά τη διάδοση ενός αρμονικού κύματος.

• Τη μετακίνηση ύλης στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

• Τη διάδοση της ενέργειας κατά τη διάδοση του κύματος.



[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι τα σωματίδια του ελαστικού μέσου εκτελούν Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, ότι η ύλη δεν μεταφέρεται κατά τη διάδοση του κύματος και ότι η ενέργεια μεταφέρεται κατά τη διάδοση του κύματος.]

• Από το μενού Παράθυρο ενεργοποιήστε το παράθυρο Γράφημα 1. Από την επιλογή Κατακόρυφος επιλέξτε κάποια από τα ενεργειακά μεγέθη K0, U0, E0 (ή και όλα) και από την επιλογή Οριζόντιος επιλέξτε το t. Από το παράθυρο Έλεγχος εκτελέστε την προσομοίωση. Ελέγξτε και ενδεχομένως διορθώστε ή βελτιώστε τις υποθέσεις που κάνατε προηγουμένως για τα μεγέθη αυτά.

[Για να διευκολυνθούν οι μαθητές στις έρευνές τους, μπορείτε να τους προτείνετε (με την εντολή Προσθήκη από το μενού Περίπτωση) να προσθέσουν στο παράθυρο Αρχικές Συνθήκες και άλλες αρχικές τιμές (μέχρι 5 συνολικά).]

Β΄ ΦΑΣΗ: Μαθηματική απόδειξη των τύπων που περιγράφουν ένα μηχανικό κύμα • Θεωρήστε ένα μηχανικό κύμα του οποίου η πηγή διαταραχής αρχίζει να εκτελεί Γραμμική Aρμονική

Tαλάντωση τη χρονική στιγμή t0=0, με μέγιστη απομάκρυνση Α και κυκλική συχνότητα ω. Δίνεται ένα σώμα, μάζας m, που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση με εξίσωση κίνησης

0( )x x t x tημω= = ⋅ , όπου x0 η μέγιστη απομάκρυνση από τη Θ.Ι., 2πω =Τ

η κυκλική συχνότητα και

Τ η περίοδος ταλάντωσης. Αξιοποιώντας τους τύπους της Φυσικής που περιγράφουν μια Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, καθώς και τη θεμελιώδη εξίσωση της Κυματικής, να υπολογίσετε την εξίσωση του κύματος, δηλαδή τον τύπο που δίνει κάθε στιγμή την απομάκρυνση που έχουν τα σωματίδια του ελαστικού μέσου από το σημείο ισορροπίας.

[Αναμένουμε από τους μαθητές:

• Να διατυπώσουν την εξίσωση κίνησης του μηχανικού αρμονικού κύματος.

• Να υπολογίσουν την κινητική ενέργεια, τη δυναμική ενέργεια και τη συνολική ενέργεια των σωματιδίων που μετέχουν σε ένα αρμονικό κύμα.]



Δραστηριότητα 2: Μελέτη του στάσιμου κύματος

Εισαγωγή Στη δραστηριότητα αυτή θα διερευνήσετε από ενεργειακή άποψη ένα στάσιμο κύμα που αναπτύσσεται σε ένα ελαστικό μέσο. Στην αρχή θα παρατηρήσετε μια προσομοίωσή του με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού λογισμικού Modellus και θα διερευνήσετε εποπτικά τα μεγέθη που περιγράφουν την κίνηση αυτή. Στη συνέχεια θα αιτιολογήσετε θεωρητικά τα συμπεράσματά σας. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών

Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:



• Την έννοια του μηχανικού αρμονικού κύματος και τους τύπους που την περιγράφουν.


Χειρισμός του Modellus Oι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να χειρίζονται ικανοποιητικά το περιβάλλον διεπαφής του Modellus, χωρίς να κατασκευάζουν οι ίδιοι απαραιτήτως τα μοντέλα προσομοίωσης. Διάρκεια Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι δύο διδακτικές ώρες. Συνοδευτικό υλικό

• Τα αρχεία stasimo_kyma1.mdl και stasimo_kyma2.mdl από το φάκελο Files\Section_8 του CD-ROM.



Ανάλυση του Φύλλου εργασίας 2 Α΄ ΦΑΣΗ: Εποπτική διερεύνηση της προσομοίωσης στάσιμου κύματος

• Ανοίξτε με το Modellus το αρχείο stasimo_kyma1.mdl από το φάκελο Files\Section_8.

• Εκτελέστε την προσομοίωση, πατώντας το πλήκτρο στο παράθυρο Έλεγχος. Παρατηρήστε στο παράθυρο Παρουσίαση 1 την προσομοίωση του αρμονικού κύματος, καθώς και τα διαγράμματα απομάκρυνσης y0–t, y10–t και y32–t.

• Ποιο είδος κίνησης εκτελεί το σωματίδιο y0, σύμφωνα με το διάγραμμα απομάκρυνσης y0–t;

[Αρχικά μια ημιτονοειδής συνάρτηση και στη συνέχεια μια σταθερή συνάρτηση.]

• Ποιο είδος κίνησης εκτελεί το σωματίδιο y10, σύμφωνα με το διάγραμμα απομάκρυνσης y10–t; Τι διαφορές υπάρχουν στην κίνηση του σωματιδίου y10 σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση;

[Αρχικά μια σταθερή συνάρτηση, στη συνέχεια μια μη περιοδική και τέλος μια ημιτονοειδής συνάρτηση.]

• Ποιο είδος κίνησης εκτελεί το σωματίδιο y32, σύμφωνα με το διάγραμμα απομάκρυνσης y32–t; Τι διαφορές υπάρχουν στην κίνηση του σωματιδίου y32 σε σχέση με τις προηγούμενες περιπτώσεις;

[Αρχικά μια ημιτονοειδής συνάρτηση και στη συνέχεια μια σταθερή συνάρτηση.]

• Μετακινούμενοι μεταξύ των περιπτώσεων , τι παρατηρείτε για τις μορφές των γραφικών αυτών παραστάσεων;

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν την εν γένει ημιτονοειδή μορφή των διαγραμμάτων των y0, y10, y32, την παρουσία σταθερών διαστημάτων, όπως και μη περιοδικών τμημάτων. Ζητούμε από τους μαθητές να προσπαθήσουν να ερμηνεύσουν τις παρατηρήσεις αυτές και να διαπιστώσουν τα βασικά χαρακτηριστικά των στάσιμων κυμάτων (δεσμοί, κοιλίες κ.λπ.). Για να διευκολυνθούν στις έρευνές τους μπορείτε να τους προτείνετε (με την εντολή Προσθήκη από το μενού Περίπτωση) να προσθέσουν στο παράθυρο Αρχικές Συνθήκες και άλλες αρχικές τιμές (μέχρι 5 συνολικά) ή να αφαιρέσουν κάποιες από τις υπάρχουσες και να προσθέσουν άλλες δικές τους.]

• Ανοίξτε με το Modellus το αρχείο stasimo_kyma2.mdl από το φάκελο Files\Section_8.

• Παρατηρήστε τα διαγράμματα μεταβολής της κινητικής, δυναμικής και συνολικής ενέργειας για τo σωματίδιo y0. Διατυπώστε το συμπέρασμά σας.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι τα διαγράμματα μεταβολής της κινητικής, δυναμικής και συνολικής ενέργειας για τo σωματίδιo y0 αρχικά παρουσιάζουν περιοδική μορφή και στη συνέχεια είναι σταθερά 0.]



• Παρατηρήστε τα διαγράμματα μεταβολής της κινητικής, δυναμικής και συνολικής ενέργειας για το σωματίδιο y6. Διατυπώστε το συμπέρασμά σας.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι τα διαγράμματα μεταβολής της κινητικής, δυναμικής και συνολικής ενέργειας για το σωματίδιο y6 στην αρχή παρουσιάζουν μη περιοδική μορφή και στη συνέχεια περιοδική μορφή. Επίσης οι μαθητές θα διαπιστώσουν ότι τα διαγράμματα της κινητικής, δυναμικής και συνολικής ενέργειας παρουσιάζουν διαφορετικά ακρότατα.]

• Παρατηρήστε τα διαγράμματα μεταβολής της κινητικής, δυναμικής και συνολικής ενέργειας για το σωματίδιο y32. Διατυπώστε το συμπέρασμά σας.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι τα διαγράμματα μεταβολής της κινητικής, δυναμικής και συνολικής ενέργειας για τo σωματίδιo y32 αρχικά παρουσιάζουν περιοδική μορφή και στη συνέχεια είναι σταθερά 0.]

• Από το μενού Παράθυρο ενεργοποιήστε το παράθυρο Γράφημα 1. Από την επιλογή Κατακόρυφος επιλέξτε κάποια από τα ενεργειακά μεγέθη Ui, Ki Ei, i=0, 6, 32 (ή και όλα) και από την επιλογή Οριζόντιος επιλέξτε το t. Από το παράθυρο Έλεγχος εκτελέστε την προσομοίωση. Ελέγξτε και ενδεχομένως διορθώστε ή βελτιώστε τις υποθέσεις που κάνατε στο προηγούμενο βήμα για τα μεγέθη αυτά.

[Για να διευκολυνθούν οι μαθητές στις έρευνές τους, μπορείτε να τους προτείνετε (με την εντολή Προσθήκη από το μενού Περίπτωση) να προσθέσουν στο παράθυρο Αρχικές Συνθήκες και άλλες αρχικές τιμές (μέχρι 5 συνολικά) ή να αφαιρέσουν κάποιες από τις υπάρχουσες και να προσθέσουν άλλες δικές τους.]



Β΄ ΦΑΣΗ: Μαθηματική απόδειξη των τύπων που περιγράφουν το στάσιμο κύμα • Θεωρήστε ένα μηχανικό κύμα του οποίου η πηγή διαταραχής είναι ένα σώμα, μάζας m, στο άκρο

ενός σχοινιού που αρχίζει να εκτελεί Γ.A.T. τη χρονική στιγμή t0=0, με μέγιστη απομάκρυνση Α και κυκλική συχνότητα ω, καθώς επίσης και ένα δεύτερο κύμα με ίδιο πλάτος και συχνότητα, του οποίου η πηγή διαταραχής βρίσκεται στο άλλο άκρο του σχοινιού και διαδίδεται με αντίθετη κατεύθυνση. Το αποτέλεσμα της συμβολής των δύο αυτών κυμάτων είναι ένα στάσιμο κύμα. Αξιοποιώντας τους τύπους της Φυσικής που περιγράφουν μια Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, καθώς και τη θεμελιώδη εξίσωση της Κυματικής, να υπολογίσετε την εξίσωση αυτού του στάσιμου κύματος, δηλαδή τον τύπο που δίνει κάθε στιγμή την απομάκρυνση που έχουν τα σωματίδια του ελαστικού μέσου από το σημείο ισορροπίας. [Αναμένουμε από τους μαθητές:

• Να διατυπώσουν την εξίσωση κίνησης του στάσιμου κύματος.

• Να υπολογίσουν την κινητική ενέργεια, τη δυναμική ενέργεια και τη συνολική ενέργεια των σωματιδίων που μετέχουν σε ένα στάσιμο κύμα.]



Ε ν ε ρ γ ε ι α κ ή π ρ ο σ έ γ γ ι σ η τ η ς Γ ρ α μ μ ι κ ή ς Α ρ μ ο ν ι κ ή ς Τ α λ ά ν τ ω -σ η ς Εισαγωγή Οι δραστηριότητες που ακολουθούν συνιστούν μια ποιοτική και ποσοτική προσέγγιση, από ενεργειακή άποψη, της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης, με σκοπό να τη διευκόλυνση των μαθητών της Γ΄ Λυκείου κατά τη διδασκαλία των ταλαντώσεων και των κυμάτων στο μάθημα της Φυσικής. Περιέχονται δύο φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται σε τρεις διδακτικές ώρες. Γνωστικό αντικείμενο Η Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση είναι μια περιοδική παλινδρομική κίνηση, γύρω από ένα σημείο, την οποία πραγματοποιεί ένα σώμα, όταν η τροχιά του είναι ευθεία γραμμή και η απομάκρυνσή του ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Βασικό παράδειγμα Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης αποτελεί η κίνηση ενός σώματος, μάζας m, αναρτημένου στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, το πάνω άκρο του οποίου είναι συνδεδεμένο σταθερά. Το σώμα, υπό την επίδραση του βάρους και της δύναμης του ελατηρίου, ισορροπεί σε κάποια θέση ισορροπίας (Θ.Ι.). Εάν απομακρύνουμε το σώμα από τη Θ.Ι., ασκώντας μια δύναμη ανάλογη και με αντίθετη φορά από την απομάκρυνσή του, τότε το σώμα θα

εκτελέσει Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Αν Τ η περίοδος της ταλάντωσης, 2πω =Τ

η κυκλική συχνότητα

και 0x η μέγιστη απομάκρυνση, τότε η εξίσωση κίνησης του σώματος που εκτελεί Γραμμική Αρμονική

Ταλάντωση θα δίνεται από τη 0( )x x t x tημω= = ⋅ . Οι υπόλοιπες σχέσεις που διέπουν τη Γραμμική Αρμονική

Ταλάντωση, δηλαδή οι εξισώσεις:

• της ταχύτητας 0( )t tυ υ υ συνω= = ⋅ , όπου 0 0xυ ω= η μέγιστη ταχύτητα

• της επιτάχυνσης 0( )t tα α α ημω= = − ⋅ , όπου 20 0xα ω= η μέγιστη επιτάχυνση

• της δύναμης F D x= − ⋅ , όπου 2D m ω= ⋅ καθώς και η μεταβολή της δυναμικής, της κινητικής και της συνολικής ενέργειας και της ορμής, θα παρουσιάζονται στους μαθητές με τη μορφή διαδραστικών διαγραμμάτων προς διερεύνηση και διατύπωση εικασιών. Στη συνέχεια οι μαθητές καλούνται να κάνουν θεωρητική αιτιολόγηση-απόδειξη, χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες και εργαλεία. Διδακτικοί στόχοι Γνωστικού αντικειμένου Οι μαθητές θα πρέπει:

• Να κατανοήσουν τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση ενός σώματος.

• Να ερμηνεύσουν ποιοτικά τη μορφή της εξίσωσης κίνησης ενός σώματος που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, καθώς και τις σχέσεις μεταξύ των φυσικών μεγεθών που την περιγράφουν.

• Να αιτιολογήσουν θεωρητικά (να αποδείξουν), με τη βοήθεια μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών, τους βασικούς τύπους που περιγράφουν την κίνηση αυτή.




• Η ανάπτυξη παραδειγμάτων τα οποία να έχουν νόημα για τους μαθητές.



Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:


• Την ερμηνεία της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ως ρυθμός μεταβολής.


• Την έννοια της παραγώγου συνάρτησης και τους κανόνες παραγώγισης. Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών



• Βασικές γνώσεις σχετικά με τις λειτουργίες του εκπαιδευτικού λογισμικού Modellus. Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτούνται:


• Το λογισμικό Modellus.



• Η Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.

• Το εγχειρίδιο χρήσης του λογισμικού Modellus. Προτεινόμενοι ιστοχώροι

• http://odysseia.cti.gr/kirki/2ndProductGroup/Modellus.htm Ο ιστοχώρος του λογισμικού Modellus· δίνεται περιγραφή και πληροφορίες για το λογισμικό.






Φύλλα εργασίας: Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Δραστηριότητα 1: Κινηματική και δυναμική μελέτη της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης

Περιγραφή Στη δραστηριότητα αυτή θα διερευνήσετε μια Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση από κινηματική και δυναμική άποψη. Στην αρχή θα παρατηρήσετε μια προσομοίωσή της με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού λογισμικού Modellus και θα εξετάσετε εποπτικά τα μεγέθη που περιγράφουν την κίνηση αυτή. Στη συνέχεια θα αιτιολογήσετε θεωρητικά τα συμπεράσματά σας. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι με:



• Την έννοια της παραγώγου συνάρτησης και τους κανόνες παραγώγισης.

• Την ερμηνεία της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ως ρυθμός μεταβολής. Χειρισμός του Modellus Oι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να χειρίζονται ικανοποιητικά το περιβάλλον διεπαφής του Modellus, χωρίς να κατασκευάζουν οι ίδιοι απαραιτήτως τα μοντέλα προσομοίωσης. Διάρκεια Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι τρεις διδακτικές ώρες. Συνοδευτικό υλικό

• Το αρχείο talantosi1.mdl στο φάκελο Files\Section_9 του CD-ROM.



Ανάλυση του Φύλλου εργασίας 1 Α΄ ΦΑΣΗ: Εποπτική διερεύνηση της προσομοίωσης Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης

1. Ανοίξτε με το Modellus το αρχείο talantosi1.mdl από το φάκελο Files\Section_9.

2. Εκτελέστε την προσομοίωση, πατώντας το πλήκτρο στο παράθυρο Έλεγχος. Παρατηρήστε στο παράθυρο Παρουσίαση 1 την προσομοίωση ταλάντωσης ενός σώματος, καθώς και τα διαγράμματα: της απομάκρυνσης x–t, της ταχύτητας υ–t και της επιτάχυνσης α–t του σώματος και της δύναμης F–t που προκαλεί την ταλάντωση.

3. Ποιο είδος συνάρτησης προσεγγίζει το διάγραμμα απομάκρυνσης x–t;


4. Ποιο είδος συνάρτησης προσεγγίζει το διάγραμμα ταχύτητας υ–t;

[Η συνημιτονοειδής συνάρτηση.]

5. Ποιο είδος συνάρτησης προσεγγίζει το διάγραμμα επιτάχυνσης α–t;


6. Ποιο είδος συνάρτησης προσεγγίζει το διάγραμμα δύναμης F–t;


7. Μετακινούμενοι μεταξύ των περιπτώσεων , τι παρατηρείτε για τα ακρότατα των παραπάνω διαγραμμάτων; Από το μενού Παράθυρο ενεργοποιήστε το παράθυρο Αρχικές Συνθήκες και διερευνήστε την εξάρτηση των μεγεθών: x(t), υ(t), α(t), F(t), καθώς και των ακροτάτων τους υ0 και α0 από τις παραμέτρους x0, T, m.

8. Διατυπώστε τις υποθέσεις σας για καθένα από τα μεγέθη: x(t), υ(t), α(t), F(t), υ0, α0.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν ότι: η απομάκρυνση x(t) είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του ωt, η ταχύτητα υ(t) είναι συνημιτονοειδής συνάρτηση του ωt, η επιτάχυνση α(t) είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του ωt και αντίθετης κατεύθυνσης, καθώς και ότι η δύναμη τάλαντωσης είναι ανάλογη της απομάκρυνσης x(t) και με αντίθετη κατεύθυνση. Για να διευκολυνθούν οι μαθητές στις έρευνές τους, μπορείτε να τους προτείνετε (με την εντολή Προσθήκη από το μενού Περίπτωση) να προσθέσουν στο παράθυρο Αρχικές Συνθήκες και άλλες αρχικές τιμές (μέχρι 5 συνολικά) ή να αφαιρέσουν κάποιες από τις υπάρχουσες και να προσθέσουν άλλες δικές τους.]

9. Από το μενού Παράθυρο ενεργοποιήστε το παράθυρο Γράφημα 1. Από την επιλογή Κατακόρυφος επιλέξτε το x και την επιλογή Οριζόντιος το t. Από το παράθυρο Έλεγχος εκτελέστε την προσομοίωση. Εδώ έχετε τη δυνατότητα να εμφανίσετε ταυτόχρονα περισσότερες



περιπτώσεις (ή ακόμα και όλες). Ελέγξτε και ενδεχομένως διορθώστε ή βελτιώστε τις υποθέσεις που κάνατε στο προηγούμενο βήμα σχετικά με το μέγεθος x(t).

[Εδώ οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να επαληθεύσουν τις υποθέσεις τους, ή και να τις διορθώσουν, με τη δυνατότητα ταυτόχρονης εμφάνισης όλων των περιπτώσεων της γραφικής παράστασης της x-t.]

10. Επαναλάβετε το προηγούμενο βήμα και για τα υπόλοιπα μεγέθη της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης. Διατυπώστε τα συμπεράσματά σας.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να επαληθεύσουν τις υποθέσεις τους, ή και να τις διορθώσουν, με τη δυνατότητα ταυτόχρονης εμφάνισης όλων των περιπτώσεων των γραφικών παραστάσεων των υπόλοιπων μεγεθών: υ(t), α(t), F(t), υ0, α0.]

Β΄ ΦΑΣΗ: Μαθηματική απόδειξη των τύπων που περιγράφουν μια Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Δίνεται ένα σώμα, μάζας m, που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση με εξίσωση κίνησης


η κυκλική συχνότητα και Τ η

περίοδος ταλάντωσης.

Αξιοποιώντας από τη Φυσική ότι: η ταχύτητα υ είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος, η επιτάχυνση α είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας, καθώς το Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής για τη δύναμη που προκαλεί τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, και χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες (τύποι τριγωνομετρίας, κανόνες παραγώγισης κ.λπ.), να υπολογίσετε την ταχύτητα υ, τη μέγιστη ταχύτητα υ0, την επιτάχυνση α, τη μέγιστη επιτάχυνση α0 ενός σώματος που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, καθώς και τον τύπο της δύναμης που προκαλεί τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση του σώματος σε συνάρτηση με τα t, x0, ω, m.


• Να διατυπώσουν την εξίσωση κίνησης της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης που προκύπτει από τον ορισμό της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης.

• Να υπολογίσουν την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, καθώς και τις μέγιστες τιμές αυτών, με τη χρήση κανόνων παραγώγισης.

• Να υπολογίσουν, βασιζόμενοι στο Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής, τη δύναμη που προκαλεί τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση]



Δραστηριότητα 2: Μελέτη της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης από ενεργειακή άποψη

Εισαγωγή Στη δραστηριότητα αυτή θα διερευνήσετε μια Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση από ενεργειακή άποψη. Στην αρχή θα παρατηρήσετε μια προσομοίωσή της με τη βοήθεια του κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισμικού και θα διερευνήσετε εποπτικά την κινητική, τη δυναμική και τη συνολική ενέργεια, καθώς και την ορμή της ταλάντωσης αυτής. Στη συνέχεια θα αιτιολογήσετε θεωρητικά τα συμπεράσματά σας. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών

Οι μαθητές θα πρέπει να είναι εξοικειωμένοι:

• Με τις βασικές έννοιες της Κινηματικής και Δυναμικής της Α΄ Λυκείου.

• Με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου, καθώς και με τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.

• Με την έννοια της παραγώγου συνάρτησης και τους κανόνες παραγώγισης.

• Με την ερμηνεία της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ως ρυθμός μεταβολής. Χειρισμός του Modellus

• Oι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να χειρίζονται ικανοποιητικά το περιβάλλον διεπαφής του Modellus, χωρίς να κατασκευάζουν οι ίδιοι απαραιτήτως τα μοντέλα προσομοίωσης.

Διάρκεια Η διάρκεια της δραστηριότητας είναι μία διδακτική ώρα. Συνοδευτικό υλικό

• Το αρχείο talantosi2.mdl από το φάκελο Files\Section_9 του CD-ROM.



Ανάλυση του Φύλλου εργασίας 2 Α΄ ΦΑΣΗ: Εποπτική διερεύνηση της προσομοίωσης Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης

1. Ανοίξτε με το Modellus το αρχείο talantosi2.mdl από το φάκελο Files\Section_9.

2. Εκτελέστε την προσομοίωση, πατώντας το πλήκτρο στο παράθυρο Έλεγχος. Παρατηρήστε στο παράθυρο Παρουσίαση 1 την προσομοίωση ταλάντωσης ενός σώματος, καθώς και τα διαγράμματα: της κινητικής ενέργειας Κ–t, της δυναμικής ενέργειας U–t, της συνολικής ενέργειας Ε–t του ταλαντούμενου σώματος, καθώς και της ορμής του J–t.

3. Ποιο είδος συνάρτησης προσεγγίζει το διάγραμμα απομάκρυνσης Κ–t;


4. Ποιο είδος συνάρτησης προσεγγίζει το διάγραμμα ταχύτητας U–t;


5. Ποιο είδος συνάρτησης προσεγγίζει το διάγραμμα επιτάχυνσης Ε–t;

[Η σταθερή συνάρτηση.]

6. Ποιο είδος συνάρτησης προσεγγίζει το διάγραμμα δύναμης J–t;


[Για να διευκολυνθούν οι μαθητές στις έρευνές τους, μπορείτε να τους προτείνετε να μετακινηθούν μεταξύ των περιπτώσεων και να διερευνήσουν την εξάρτηση των μεγεθών: Κ(t), U(t), E(t), J(t), καθώς και των ακροτάτων τους από τις παραμέτρους: x0, T, m. Επίσης μπορείτε να τους προτείνετε (με την εντολή Προσθήκη από το μενού Περίπτωση) να προσθέσουν στο παράθυρο Αρχικές Συνθήκες και άλλες αρχικές τιμές (μέχρι 5 συνολικά) ή να αφαιρέσουν κάποιες από τις υπάρχουσες και να προσθέσουν άλλες δικές τους].

7. Από το μενού Παράθυρο ενεργοποιήστε το παράθυρο Γράφημα 1. Από την επιλογή Κατακόρυφος επιλέξτε το K και από την επιλογή Οριζόντιος επιλέξτε το t. Από το παράθυρο Έλεγχος εκτελέστε την προσομοίωση. Εδώ έχετε τη δυνατότητα να εμφανίσετε ταυτόχρονα περισσότερες περιπτώσεις (ή ακόμη και όλες). Ελέγξτε και ενδεχομένως διορθώστε ή βελτιώστε τις υποθέσεις που κάνατε στο προηγούμενο βήμα σχετικά με το μέγεθος K(t).

[Εδώ οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να επαληθεύσουν τις υποθέσεις τους, ή και να τις διορθώσουν, με τη δυνατότητα ταυτόχρονης εμφάνισης όλων των περιπτώσεων της γραφικής παράστασης της Κ-t.]

8. Επαναλάβετε το προηγούμενο βήμα και για τα υπόλοιπα μεγέθη U(t), E(t), J(t) της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης. Διατυπώστε τα συμπεράσματά σας.



[Εδώ οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να επαληθεύσουν τις υποθέσεις τους, ή και να τις διορθώσουν, με τη δυνατότητα ταυτόχρονης εμφάνισης όλων των περιπτώσεων της γραφικής παράστασης της U–t, Ε–t και J–t.]



B´ ΦΑΣΗ: Μαθηματική απόδειξη των τύπων που περιγράφουν μια Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Δίνεται ένα σώμα, μάζας m, που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση με εξίσωση κίνησης


η κυκλική συχνότητα και Τ η

περίοδος ταλάντωσης. Αξιοποιώντας τους τύπους της κινητικής και δυναμικής ενέργειας της Φυσικής, καθώς και το Θεμελειώδη Νόμο της Μηχανικής για τη δύναμη που προκαλεί τη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, και χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες (τύποι τριγωνομετρίας, κανόνες παραγώγισης κ.λπ.), να υπολογίσετε την κινητική και τη δυναμική ενέργειας ενός σώματος που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, καθώς και τη συνολική ενέργεια του σώματος σε συνάρτηση με τα: t, x0, ω, m.


• Να υπολογίσουν την κινητική ενέργεια, τη δυναμική ενέργεια και τη συνολική ενέργεια του σώματος που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, καθώς και τις μέγιστες τιμές αυτών με τη χρήση κανόνων παραγώγισης.

• Να υπολογίσουν τη μεταβολή της ορμής του σώματος που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση.] 1. Ποιο βασικό νόμο της Φυσικής εκφράζει ο τύπος της συνολικής ενέργειας της ταλάντωσης;

Διατυπώστε τον.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διατυπώσουν το Νόμο Διατήρησης της Ενέργειας κατά τη διάρκεια μιας Γ.Α.Τ.]

2. Τι ισχύει για τη διατήρηση της ορμής ενός σώματος που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση;

[Αναμένουμε από τους μαθητές να διαπιστώσουν τη μη διατήρηση της ορμής κατά τη διάρκεια μιας Γ.Α.Τ.]



Σ ε ι σ μ ο ί – Σ ε ι σ μ ι κ ά κ ύ μ α τ α Εισαγωγή Η ενότητα αυτή αποτελεί μια διαθεματική προσέγγιση για τα μαθήματα της Φυσικής, της Πληροφορικής, των Νέων Ελληνικών και των Αγγλικών. Οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν το διαδίκτυο, μια γλώσσα προγραμματισμού και ένα εκπαιδευτικό λογισμικό, με σκοπό να προσεγγίσουν το γνωστικό αντικείμενο και να εκπονήσουν μια σύντομη μελέτη με θέμα το φαινόμενο των σεισμών και των σεισμικών κυμάτων. Στις δραστηριότητες που ακολουθούν θα τους δοθεί η δυνατότητα:

• Να αντλήσουν υλικό και γενικά να ενημερωθούν για το θέμα μέσα από τις ηλεκτρονικές διευθύνεις μηχανών αναζήτησης και πυλών.

• Να χρησιμοποιήσουν προγραμματιστικά εργαλεία και να κάνουν χρήσιμους υπολογισμούς.

• Να εκτελέσουν πειράματα με σώματα που εκτελούν Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση σε περιβάλλον προσομοίωσης του λογισμικού Interactive Physics.

Περιέχονται τρία φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται από τρεις έως και πέντε διδακτικές ώρες, ανάλογα με το χρόνο που μπορεί να αφιερωθεί, και προτείνονται για τη Β΄ Λυκείου. Το σενάριο αυτό έχει τη μορφή σχεδίου εργασίας. Ο εκπαιδευτικός, σε συνεργασία με τους μαθητές, καθορίζει τη χρονική διάρκεια για κάθε στάδιο, καθώς και το χρόνο ολοκλήρωσής του. Το σενάριο περιλαμβάνει τις παρακάτω δραστηριότητες:

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Μελέτη των σεισμικών κυμάτων με τη βοήθεια ιστοσελίδων του διαδικτύου


Εύρεση της απόστασης του σημείου Α (επίκεντρο ενός σεισμού) από το σημείο Β, όπου βρίσκεται ένας σεισμογράφος, χρησιμοποιώντας μία γλώσσα προγραμματισμού


Προσομοίωση της επίδρασης του σεισμού σε κτήρια, τα οποία κουνιούνται καθώς συμμετέχουν στην ταλάντωση του εδάφους, με το λογισμικό Interactive Physics

Γνωστικό αντικείμενο Στο διαδίκτυο υπάρχουν πολλοί και ενδιαφέροντες δικτυακοί τόποι οι οποίοι προσφέρουν πλούσιο υλικό και σχήματα σχετικά με τους σεισμούς και τα σεισμικά κύματα. Ένας τέτοιος δικτυακός τόπος, στον οποίο μπορείτε να περιηγηθείτε και να αντλήσετε πληροφορίες, είναι η ιστοσελίδα www.seismos.gr3 (πρόγραμμα στο οποίο συμμετέχει το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο). Από την επιλογή Γλωσσάρι όρων μπορείτε να βρείτε συνοπτικούς ορισμούς, σχήματα και αναπαραστάσεις κίνησης, ενώ από την επιλογή Εκπαιδευτική κοινότητα Εκπαίδευση Βαθμίδα λυκείου μπορείτε να βρείτε πολλές εκπαιδευτικές δραστηριότητες. Ένας άλλος δικτυακός τόπος, ο οποίος αναφέρεται κυρίως σε θέματα προστασίας από τους σεισμούς, είναι αυτός του Οργανισμού Αντισεισμικού Σχεδιασμού και Προστασίας: http://www.oasp.gr/.

3 Το Σύστημα SOL (Seismos On Line) έχει ως στόχο τη σωστή, έγκαιρη και υπεύθυνη ενημέρωση του κοινού με (σχεδόν) όλα όσα θα ήθελε να ρωτήσει και να μάθει σχετικά με το φαινόμενο των σεισμών.

http://www.seismos.gr/

http://www.oasp.gr/



Μπορείτε επίσης να αντλήσετε πληροφορίες σχετικά με θέματα που σας ενδιαφέρουν, χρησιμοποιώντας τις μηχανές αναζήτησης του διαδικτύου και δίνοντας ενδεικτικές φράσεις, όπως Σεισμικά κύματα, Λιθοσφαιρικές πλάκες, Seismic Waves, The Sound of Seismic. Κατά τη διάρκεια ενός σεισμού, ο σεισμογράφος, ο οποίος βρίσκεται τοποθετημένος σε ένα σταθμό παρατήρησης, λαμβάνει κατά κύριο λόγο δύο ειδών σήματα από την εστία του σεισμού: τα σήματα που προέρχονται από τα σχετικά αβλαβή διαμήκη κύματα (P), τα οποία καταφθάνουν πρώτα, και τα σήματα που προέρχονται από τα καταστροφικά εγκάρσια κύματα (S), τα οποία καταφθάνουν λίγα δευτερόλεπτα αργότερα. Με βάση τη διαφορά των ταχυτήτων διάδοσης αυτών των σεισμικών κυμάτων, καθώς και τη διαφορά άφιξής τους, είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η απόσταση ανάμεσα στο επίκεντρο του σεισμού και στο σταθμό παρατήρησης. Κάθε φορά που γίνεται ένας σεισμός απελευθερώνεται ένα τεράστιο ποσό ενέργειας. Το μέγεθος ενός σεισμού μετριέται σε διάφορες κλίμακες, με γνωστότερη την κλίμακα Richter. Το μέτρο μεγέθους ενός σεισμού είναι ο ίδιος αριθμός οπουδήποτε και αν βρισκόμαστε, όπως και αν τον αισθανθούμε. Το μέτρο, όμως, της αναταραχής που προκαλεί ένας σεισμός, πόσο αισθητός είναι και πόσες ζημιές προκαλεί, εκφράζεται από την ένταση του σεισμού. Η ένταση, φυσικά, διαφέρει από θέση σε θέση και εξαρτάται όχι μόνο από το μέγεθος του σεισμού, αλλά και από τη χρονική του διάρκεια, την απόσταση ενός τόπου από το επίκεντρο του σεισμού, τη γεωλογική μορφή του τόπου, καθώς και από άλλους παράγοντες. Η απελευθερωμένη ενέργεια μεταδίδεται με τα σεισμικά κύματα τα οποία σε κάθε περιοχή διαμορφώνονται ανάλογα με την εστία του σεισμού (υπόγεια θέση στην οποία γεννιέται ο σεισμός), το επίκεντρο του σεισμού (περιοχή της επιφάνειας της Γης που βρίσκεται καθέτως επάνω από την εστία), τη μορφολογία του εδάφους κ.τ.λ. Τα αποτελέσματα ποικίλλουν ανάλογα με τις συνθήκες (αντοχή υπεδάφους, κατασκευή κτηρίων, πυκνότητα πληθυσμού, τοπική ώρα, συνήθειες πληθυσμού). Από τα σεισμικά κύματα, τα πιο καταστροφικά για τις κτηριακές κατασκευές είναι τα εγκάρσια κύματα S, τα οποία δεν διαδίδονται μέσω υγρών σωμάτων (π.χ. στη θάλασσα ή στον εξωτερικό πυρήνα της Γης). Είναι πιο αργά (κινούνται με 3 km/sec περίπου) και έπονται από τα διαμήκη στο σεισμόγραμμα. Σε πραγματικές συνθήκες συμβαίνουν τα εξής: Η συχνότητα των σεισμικών κυμάτων κυμαίνεται μεταξύ 2-12 Hz. Όταν αυξάνεται το μέγεθος του σεισμού, πολλαπλασιάζεται το πλάτος του κύματος. Για παράδειγμα, η αύξηση του μεγέθους κατά 1 συνεπάγεται 10 φορές μεγαλύτερη αύξηση στο πλάτος του κύματος και 30 φορές μεγαλύτερη αύξηση της ενέργειας. Διδακτικοί στόχοι Γνωστικού αντικειμένου Οι μαθητές θα πρέπει:

• Να αξιοποιήσουν το διαδίκτυο, τη γλώσσα προγραμματισμού και το εκπαιδευτικό λογισμικό, προκειμένου να μελετήσουν και να κατανοήσουν το φαινόμενο του σεισμού.


• Η εξοικείωση των μαθητών με την έρευνα.

• Η διαθεματική προσέγγιση του γνωστικού αντικειμένου.

• Η συνεργασία ανάμεσα στις ομάδες των μαθητών και στους εκπαιδευτικούς διαφορετικών ειδικοτήτων.


Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών


Σύνταξη κειμένου με επεξεργαστή κειμένου.




Βασικές γνώσεις σχετικά με τη χρήση γλώσσας προγραμματισμού.

Βασικές γνώσεις σχετικά με τη χρήση του διαδικτύου και τις λειτουργίες διεπαφής του εκπαιδευτικού λογισμικού Interactive Physics.

Περιγραφή της εργασίας των μαθητών


• Κάθε ομάδα μπορεί να ασχοληθεί με διαφορετικές δραστηριότητες και να συνθέσει στο τέλος τα συμπεράσματα της.







Να συνθέτουν, κάνοντας διαφορετικές προσεγγίσεις.

Να χειρίζονται τις πληροφορίες σχετικά με την παρουσίαση ενός θέματος, τις οποίες συλλέγουν από το διαδίκτυο.

Να κατασκευάζουν απλά προγράμματα, τα οποία να χρησιμεύουν ως εργαλεία. Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές. Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτούνται:

1. Ένα γενικής χρήσης λογισμικό (επεξεργαστής κειμένου, λογιστικά φύλλα κ.λπ.).

2. Το λογισμικό Interactive Physics.

3. Ένα περιβάλλον γλώσσας προγραμματισμού Pascal (στο συνοδευτικό CD-ROM υπάρχει μία έκδοση της Free Pascal για εγκατάσταση).

4. Ένα εργαστήριο με τις προδιαγραφές της «Οδύσσειας», στο οποίο να υπάρχει σύνδεση με το διαδίκτυο.



Φύλλα εργασίας: Σεισμοί – σεισμικά κύματα Δραστηριότητα 1: Μελέτη των σεισμικών κυμάτων με τη βοήθεια ιστοσελίδων του διαδικτύου

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Στο διαδίκτυο υπάρχουν πολλοί και ενδιαφέροντες δικτυακοί τόποι οι οποίοι προσφέρουν πλούσιο υλικό και σχήματα σχετικά με τους σεισμούς και τα σεισμικά κύματα. Ένας τέτοιος δικτυακός τόπος, στον οποίο μπορείτε να περιηγηθείτε και να αντλήσετε πληροφορίες, είναι η ιστοσελίδα www.seismos.gr (πρόγραμμα στο οποίο συμμετέχει το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο). Από την επιλογή Γλωσσάρι όρων μπορείτε να βρείτε συνοπτικούς ορισμούς, σχήματα και αναπαραστάσεις κίνησης, ενώ από την επιλογή Εκπαιδευτική κοινότητα Εκπαίδευση Βαθμίδα λυκείου μπορείτε να βρείτε πολλές εκπαιδευτικές δραστηριότητες. Ένας άλλος δικτυακός τόπος, ο οποίος αναφέρεται κυρίως σε θέματα προστασίας από τους σεισμούς, είναι αυτός του Οργανισμού Αντισεισμικού Σχεδιασμού και Προστασίας: http://www.oasp.gr/.

Επίσης, χρησιμοποιώντας τις μηχανές αναζήτησης του διαδικτύου, μπορείτε να αντλήσετε πληροφορίες σχετικά με θέματα που σας ενδιαφέρουν. Βήματα στην τάξη Χρησιμοποιήστε τις παραπάνω ιστοσελίδες ή κάποια μηχανή αναζήτησης, προκειμένου να αναζητήσετε καθεμία από τις φράσεις: Σεισμικά κύματα, Λιθοσφαιρικές πλάκες, Seismic Waves, The Sound of Seismic. Με βάση το υλικό που συλλέξατε (εικόνες χάρτες, αρχεία ήχου κινούμενα σχέδια κ.τ.λ.), απαντήστε στις ερωτήσεις–διερευνήσεις που ακολουθούν. Ερωτήσεις – Διερευνήσεις

1. Δείτε σε προβολή διαφάνειας τις κινούμενες εικόνες που υπάρχουν στο φάκελο Files\Section_10 \Images του CD-ROM. Οι εικόνες έχουν κατέβει από τον ιστοχώρο της ελεύθερης εγκυκλοπαίδειας Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Seismic_wave) και αναπαριστούν τη διάδοση κυμάτων. Σημειώστε τι είδους κύματα είναι και σε ποια διάσταση αναπαριστώνται. Βρείτε και άλλες τέτοιες εικόνες και πληροφορίες για τα συγκεκριμένα κύματα, ή και για άλλου είδους σεισμικά κύματα, και αναφέρετε περιληπτικά τα χαρακτηριστικά και τη λειτουργία τους. Σημειώστε παρακάτω την απάντησή σας.

κύμα1 διάμηκες σε μια διάσταση

κύμα2 εγκάρσιο σε μια διάσταση

κύμα3 διάμηκες σε δύο διαστάσεις

κύμα4 εγκάρσιο σε δύο διαστάσεις

2. Ακούστε από το φάκελο Files\Section_10\Sounds του CD-ROM τους ήχους που έχουν καταγραφεί κατά τη διάρκεια κάποιων σεισμών. Βρείτε και άλλους τέτοιους ήχους και πληροφορίες για την παραγωγή τους. Γιατί ακούγεται θόρυβος, όταν γίνεται ένας σεισμός; Σημειώστε παρακάτω την απάντησή σας.


http://www.oasp.gr/

http://en.wikipedia.org/wiki/Seismic_wave



Τα διαμήκη ηχητικά διαπερνούν το φλοιό της Γης, φθάνουν στην επιφάνειά της και γίνονται αντιληπτά μέσω του αέρα, καθώς η συχνότητά τους βρίσκεται στο φάσμα των συχνοτήτων που ακούν οι άνθρωποι.

3. Φτιάξτε στον επεξεργαστή κειμένου του υπολογιστή σας μια εργασία που να περιλαμβάνει στοιχεία

για τα σεισμικά κύματα και τις επιδράσεις τους. Στο κείμενο μπορείτε να επισυνάψετε εικόνες, χάρτες, αρχεία ήχου, κινούμενα σχέδια κ.τ.λ. Στο φάκελο Files\Section_10\Texts του CD-ROM μπορείτε να δείτε αποσπάσματα από σχετική εργασία άλλων μαθητών, όπως και να αναζητήσετε παρόμοιες εργασίες στο διαδίκτυο. Τέλος, στον ιστοχώρο www.seismos.gr μπορείτε συμβουλευτείτε κάποιο σχέδιο εργασίας.

[Οι μαθητές μπορούν να δουν τον τρόπο εργασίας και τη θεματολογία από εργασία άλλων μαθητών η οποία είναι δημοσιευμένη στο διαδίκτυο.]




Δραστηριότητα 2: Εύρεση της απόστασης του σημείου Α (επίκεντρο ενός σεισμού) από το σημείο Β, όπου βρίσκεται ένας σεισμογράφος, χρησιμοποιώντας μία γλώσσα προγραμματισμού

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Κατά τη διάρκεια ενός σεισμού, ο σεισμογράφος, ο οποίος βρίσκεται τοποθετημένος σε ένα σταθμό παρατήρησης, λαμβάνει κατά κύριο λόγο δύο ειδών σήματα από την εστία του σεισμού: (α) τα σήματα που προέρχονται από τα σχετικά αβλαβή διαμήκη κύματα (P), τα οποία καταφθάνουν πρώτα, και (β) τα σήματα που προέρχονται από τα καταστροφικά εγκάρσια κύματα (S) τα οποία καταφθάνουν λίγα δευτερόλεπτα αργότερα.

Με βάση τη διαφορά στις ταχύτητες διάδοσης αυτών των σεισμικών κυμάτων, καθώς και τη διαφορά στην άφιξή τους, είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η απόσταση ανάμεσα στο επίκεντρο ενός σεισμού και στο σταθμό παρατήρησης. Σε μία άσκηση του βιβλίου Φυσικής Γενικής Παιδείας της Β΄ Λυκείου αναφέρονται τα εξής: Ζητείται να βρεθεί η απόσταση του επίκεντρου του σεισμού από το σταθμό παρατήρησης, αν γνωρίζετε την ταχύτητα διάδοσης των διαμηκών και των εγκαρσίων σεισμικών κυμάτων και το χρονικό διάστημα Δt μεταξύ της άφιξης του ενός κύματος και του άλλου. Μπορείτε να φτιάξετε ένα πρόγραμμα που να βρίσκει την απόσταση, όταν δίνετε το Δt και τις ταχύτητες των κυμάτων;



Ερωτήσεις – Διερευνήσεις

1. Βρείτε το μαθηματικό τύπο για x συναρτήσει των υp, υs, Δt. Σημειώστε παρακάτω την απάντησή σας.

Έστω οι μεταβλητές:

• x: Η απόσταση σεισμογράφου-επίκεντρου.

• υp: Η ταχύτητα διαμήκους κύματος.

• υs: Η ταχύτητα εγκάρσιου κύματος.

• tp: Ο χρόνος άφιξης διαμήκους κύματος.

• ts: Ο χρόνος άφιξης εγκάρσιου κύματος. Θεωρήστε ότι η κίνηση που κάνουν τα σεισμικά κύματα είναι ευθύγραμμη ομαλή. Επομένως ισχύουν οι τύποι:

pp t

x=υ (1)

ss t

x=υ (2)

Δt = ts – tp (3),

Από (2) =>x=υs·ts=υs·(tp+Δt) Από (1) =>tp=χ/υp

Μετά την αντικατάσταση, ο τελικός τύπος διαμορφώνεται ως εξής:

x = [(υp · υs)/(υp- υs)]/Δt

2. Αφού βρείτε το μαθηματικό τύπο, να συμπληρώσετε τον παρακάτω κώδικα και στη συνέχεια να γράψετε σε γλώσσα προγραμματισμού Pascal, να μεταφράσετε και να εκτελέσετε το πρόγραμμα στο περιβάλλον του εργαστηρίου σας.

program seismos_apostasi; {Απόσταση εστίας σεισμού από σεισμογράφο}

uses crt; var x, up, us, dt, tp, ts: real;

begin clrscr;

{Εισαγωγή τιμών από πληκτρολόγιο} write(' taxytita kymatwn P-->:'); read(up); write('taxytita kymatwn S-->:'); read(us); write(' diafora xronoy afiksis dt-->:'); read(dt); readln;

{Υπολογισμός απόστασης } x:=((up*us)/(up-us))*dt;

{Εξοδος} writeln('Η απόσταση είναι περίπου:', x:3:2, ΄km΄); writeln('enter gia exodo'); Readln;

end.

3. Ποιες εντολές θα πρέπει να προσθέσετε στο πρόγραμμα, ώστε να επαναλαμβάνεται η είσοδος των δεδομένων μέχρι να επιλέξετε Exit; Αποθηκεύστε ως my5_2b.

[Οι μαθητές μπορούν απλώς να ορίσουν μια επαναληπτική διαδικασία repeat…until. Για διδακτικούς λόγους μπορεί να γίνει και με την εντολή διακλάδωσης if και go to.]



4. Βρείτε την απόσταση ανάμεσα στο επίκεντρο και στο σεισμογράφο, σύμφωνα με την καταγραφή του χρόνου άφιξης του σχήματος 1. Η ταχύτητα των διαμηκών κυμάτων είναι 5,6 Km/sec περίπου και των εγκαρσίων 3,4 Km/sec. Πειραματιστείτε, δίνοντας και άλλες τιμές, και σημειώστε τα συμπεράσματα που αποκομίσατε.

[Οι μαθητές αρκεί να τρέξουν το πρόγραμμα και να δώσουν τις τιμές στις μεταβλητές. Το Δt είναι 14 sec περίπου.]

5. Πειραματιστείτε με την κατασκευή της ίδιας εφαρμογής, δουλεύοντας όμως με κάποιο άλλο από τα

λογισμικά του εργαστηρίου σας; Σημειώστε παρακάτω την απάντησή σας.

Με άλλη γλώσσα προγραμματισμού, με λογιστικό φύλλο κ.τ.λ.



Δραστηριότητα 3: Προσομοίωση της επίδρασης του σεισμού σε κτήρια, τα οποία κουνιούνται καθώς συμμετέχουν στην ταλάντωση του εδάφους, με το λογισμικό Interactive Physics

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Κάθε φορά που γίνεται ένας σεισμός απελευθερώνεται ένα τεράστιο ποσό ενέργειας. Το μέγεθος του σεισμού μετριέται σε διάφορες κλίμακες, με γνωστότερη την κλίμακα Richter. Το μέτρο μεγέθους ενός σεισμού είναι ο ίδιος αριθμός οπουδήποτε και αν βρισκόμαστε, όπως και αν τον αισθανόμαστε. Το μέτρο, όμως, της αναταραχής που προκαλεί ένας σεισμός, πόσο αισθητός είναι και πόσες ζημιές προκαλεί, εκφράζεται από την ένταση του σεισμού. Η ένταση, φυσικά, διαφέρει από θέση σε θέση και εξαρτάται όχι μόνο από το μέγεθος του σεισμού, αλλά και από τη χρονική του διάρκεια, την απόσταση ενός τόπου από το επίκεντρο του σεισμού, τη γεωλογική μορφή του τόπου, καθώς και από άλλους παράγοντες. Η απελευθερωμένη ενέργεια μεταδίδεται με τα σεισμικά κύματα που μελετήσατε στις δύο δραστηριότητες αυτής της ενότητας. Τα σεισμικά κύματα σε κάθε περιοχή διαμορφώνονται ανάλογα με την εστία του σεισμού (υπόγεια θέση στην οποία γεννιέται ο σεισμός), το επίκεντρο του σεισμού (περιοχή της επιφάνειας της Γης που βρίσκεται καθέτως επάνω από την εστία), τη μορφολογία του εδάφους κ.τ.λ. Τα αποτελέσματα ποικίλλουν ανάλογα με τις συνθήκες (αντοχή υπεδάφους, κατασκευή κτηρίων, πυκνότητα πληθυσμού, τοπική ώρα, συνήθειες πληθυσμού). Από τα σεισμικά κύματα, τα πιο καταστροφικά για τις κτηριακές κατασκευές είναι τα εγκάρσια κύματα S, τα οποία δεν διαδίδονται μέσω υγρών σωμάτων (π.χ. στη θάλασσα ή στον εξωτερικό πυρήνα της Γης). Είναι πιο αργά (κινούνται με 3 km/sec περίπου) και έπονται από τα διαμήκη στο σεισμόγραμμα. Σε πραγματικές συνθήκες συμβαίνουν τα εξής: Η συχνότητα των σεισμικών κυμάτων κυμαίνεται μεταξύ 2-12 Hz. Όταν αυξάνεται το μέγεθος του σεισμού, πολλαπλασιάζεται το πλάτος του κύματος. Για παράδειγμα, η αύξηση του μεγέθους κατά 1 συνεπάγεται 10 φορές μεγαλύτερη αύξηση στο πλάτος του κύματος και 30 φορές μεγαλύτερη αύξηση της ενέργειας. Η προσομοίωση Όπως καταλαβαίνετε, δεν είναι δυνατόν να έχουμε πιστή αναπαράσταση του φαινομένου της επίδρασης των σεισμικών κυμάτων. Για το λόγο αυτό θα μελετήσετε ένα απλουστευμένο μοντέλο επίδρασης των σεισμικών κυμάτων σε μια κατασκευή. Υποθέστε ότι τα κύματα αυτά παράγονται από έναν ταλαντωτή που εκτελεί μια φθίνουσα ταλάντωση. Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος και η συχνότητα του κύματος εξαρτώνται από τα αντίστοιχα μεγέθη του ταλαντωτή. Βήματα στην τάξη Επιλέξτε το αρχείο seismos.ip και αποθηκεύστε το στο φάκελο εργασίας σας ως myseismos.ip. Στο μικρόκοσμο του Interactive Physics, που εμφανίζεται, προσομοιώνεται ένα απλουστευμένο μοντέλο επίδρασης των σεισμικών κυμάτων σε μια κατασκευή που απαρτίζεται από τα στοιχεία που ακολουθούν.

1. Σώματα:

Το μοβ παραλληλόγραμμο αναπαριστά το μανδύα και δεν μας ενδιαφέρουν τα χαρακτηριστικά του.

Επάνω στο μανδύα υπάρχει ένα άλλο παραλληλόγραμμο το οποίο αναπαριστά τη λιθόσφαιρα και συνδέεται με έναν ταλαντωτή που εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, με αποτέλεσμα να διαταράσσεται και να δημιουργούνται κύματα.

Πέντε άλλα παραλληλόγραμμα συνδέονται με ελατήρια και μεταξύ τους και με τη λιθόσφαιρα. Παριστάνουν μια κτηριακή κατασκευή που επηρεάζεται από τη διαταραχή της λιθόσφαιρας.

Τα ελατήρια συνδέονται μεταξύ τους με κάποια δύναμη που εκφράζει γενικά παραμέτρους κατασκευής, αντοχής, ιδιοσυχνότητας κ.τ.λ.



2. Μεταβολείς:

Ένας μεταβολέας πλάτους ταλάντωσης που συμβολίζει την ένταση του σεισμού σε κάποια κλίμακα από 0 έως 1.

Ένας μεταβολέας συχνότητας που επηρεάζει το μήκος κύματος. Πράγματι, εφόσον η ταχύτητα διάδοσης είναι 3 km/sec περίπου και υ=(μήκος κύματος)x(συχνότητα), για μικρές συχνότητες προκύπτουν μεγάλα μήκη κύματος. Στα μεγάλα μήκη κύματος διαταράσσεται περισσότερο η κατασκευή, καθώς επανέρχεται πιο δύσκολα η ισορροπία της.

Ένας μεταβολέας ποιότητας που συμβολίζει πώς θα συμπεριφερθεί η κατασκευή σε ένα σεισμό.

3. Μετρητές (οι μετρήσεις στο Interactive Physics μπορούν εναλλακτικά να παρασταθούν –ανάλογα με

την επιλογή του χρήστη– από το σημείο ελέγχου στο επάνω αριστερό μέρος του μετρητή: είτε γραφικά, είτε ψηφιακά, είτε με ραβδογράμματα):

Ένας μετρητής που έχει τη μορφή της γραφικής παράστασης της κίνησης της λιθόσφαιρας.

Ένας μετρητής που έχει τη μορφή της γραφικής παράστασης της κίνησης του τελευταίου ορόφου.

Εκτέλεση της προσομοίωσης Στη διάθεσή σας υπάρχουν:

• Τα κουμπιά ελέγχου της εκτέλεσης, δηλαδή: Έναρξη (της προσομοίωσης), Παύση και Επαναρρύθμιση.

• Τα εργαλεία της μπάρας κασετοφώνου με τα οποία μπορείτε να εκτελείτε την προσομοίωση προς δύο κατευθύνσεις, ή πλαίσιο προς πλαίσιο, και να παίρνετε τις σχετικές μετρήσεις για συγκεκριμένες χρονικές στιγμές.

• Οι τρεις μεταβολείς με τους οποίους μπορείτε να μεταβάλλετε τις τιμές των μεγεθών που αναπαριστούν. (Οι τιμές στους μεταβολείς τίθενται με κλικ και σύρσιμο. Αν δεν μπορείτε να πετύχετε την τιμή που θέλετε, μπορείτε να την πληκτρολογήσετε στο πλαίσιο διαλόγου του μεταβολέα, αφού πρώτα τοποθετήσετε εκεί, με κλικ, το σημάδι παρεμβολής: κέρσορας.)

Πατήστε το κουμπί Έναρξη για να αρχίσει η εκτέλεση της προσομοίωσης με τις τιμές που υπάρχουν. Αφού τελειώσει μια ολοκληρωμένη προσομοίωση, για να καθαριστούν οι γραφικές παραστάσεις, επιλέξτε Επαναρρύθμιση, έτσι ώστε να επανέλθει η προσομοίωση στην αρχική της κατάσταση. Αν σε έναν από τους μεταβολείς μεταβάλετε κάποια τιμή, τότε κατά την επανέναρξη θα γίνει σβήσιμο των γραφικών παραστάσεων. Διερευνήσεις Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, επαναλαμβάνοντας την προσομοίωση όσες φορές χρειάζεται.

Πλάτος Συχνότητα Κατασκευή Αποτελέσματα στην κατασκευή

1 12,8 500 Μεγάλη ταλάντωση

1 7,4 500 Πέφτει

0,5 7,4 500 Μεσαία ταλάντωση

0,5 7,4 100 Μεσαία ταλάντωση

1 7,4 50 Πέφτει



1. Ποια είναι τα συμπεράσματά σας; Μπορείτε για ευκολία να μεταφέρετε τα αποτελέσματα των μετρήσεών σας είτε σε ένα λογιστικό φύλλο, είτε σε έναν πίνακα κειμένου, είτε σε μία βάση δεδομένων, προκειμένου να τα ταξινομήσετε και να πάρετε τα αποτελέσματά σας με όποιο συνδυασμό θέλετε.

[Από τον πίνακα οι μαθητές θα συνάγουν συμπεράσματα για τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα χαρακτηριστικά και στα αποτελέσματα ενός σεισμού και στην ποιότητα κατασκευής ενός κτηρίου.]



Σ ύ ν θ ε σ η Γ ρ α μ μ ι κ ώ ν Α ρ μ ο ν ι κ ώ ν Τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν oι μαθητές θα μελετήσουν με τη βοήθεια ενός εκπαιδευτικού λογισμικού την κίνηση που πραγματοποιεί ένα σώμα που μετέχει ταυτόχρονα σε δύο, τουλάχιστον, αρμονικές ταλαντώσεις οι οποίες γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με την ίδια διεύθυνση, και έχουν:

• Είτε την ίδια συχνότητα.

• Είτε το ίδιο πλάτος και διαφορετικές συχνότητες. Θα τους δοθεί η δυνατότητα:

• Να μεταβάλλουν σε έτοιμα σχέδια βασικά φυσικά μεγέθη και να παρακολουθήσουν τις αλλαγές στη συμπεριφορά των κινήσεων, χρησιμοποιώντας τα εργαλεία του λογισμικού Cabri Geometry II Plus.

• Να πραγματοποιήσουν πειράματα με σώματα που εκτελούν Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση σε περιβάλλον προσομοίωσης του λογισμικού Interactive Physics.

• Να σχεδιάσουν τα διαγράμματα των κινήσεων, εφαρμόζοντας τα μαθηματικά μοντέλα, με τη βοήθεια του λογισμικού Cabri Geometry II Plus.

Περιέχονται τρία φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται σε τρεις διδακτικές ώρες, ανάλογα με την εξοικείωση των μαθητών με τα λογισμικά Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics, και προτείνονται για την Γ΄ Λυκείου (θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης). Γνωστικό αντικείμενο Υπάρχουν περιπτώσεις που ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις. Σύνθεση δύο ταλαντώσεων είναι η εύρεση της συνισταμένης κίνησης που θα εκτελεί το σώμα υπό την επίδραση των δύο αυτών ταλαντώσεων. Η κίνηση αυτή ονομάζεται σύνθετη ταλάντωση και εξαρτάται από τα πλάτη, τις γωνιακές συχνότητες και τις αρχικές φάσεις των αρχικών ταλαντώσεων. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι παρακάτω περιπτώσεις:

Οι αρχικές ταλαντώσεις να έχουν την ίδια γωνιακή συχνότητα. Το αποτέλεσμα της σύνθεσης των δύο ταλαντώσεων θα είναι και πάλι αρμονική ταλάντωση.

Οι αρχικές ταλαντώσεις να έχουν το ίδιο πλάτος και οι γωνιακές συχνότητες να διαφέρουν λίγο. Tο αποτέλεσμα της σύνθεσης των δύο ταλαντώσεων θα είναι η εμφάνιση των διακροτημάτων.

Ένας τρόπος για να μελετήσουν οι μαθητές τη συγκεκριμένη σύνθεση είναι να σχεδιάσουν, με τη βοήθεια ενός λογισμικού, τα γραφήματα απομάκρυνσης-χρόνου των αρχικών ταλαντώσεων και της σύνθετης ταλάντωσης και να διαπιστώσουν τις μεταβολές που γίνονται κάθε φορά που μεταβάλλουν κάποια από τις βασικές μεταβλητές τους (πλάτη, γωνιακές συχνότητες κ.τ.λ.), όπως συμβαίνει στο παρακάτω σχήμα.



Ένας δεύτερος τρόπος είναι μέσω προσομοίωσης, όπου, με διαδραστικό τρόπο, μπορούν να παρατηρήσουν πώς εξελίσσεται το φαινόμενο της σύνθεσης των δύο ταλαντώσεων και πώς δημιουργούνται τα διαγράμματά τους. Επίσης θα παρατηρήσουν τις μεταβολές που συμβαίνουν, κάθε φορά που μεταβάλλουν βασικές μεταβλητές. Για το λόγο αυτό υπάρχουν χειριστήρια που μπορούν να μεταβάλλουν τις παραπάνω μεταβλητές και να επαναλάβουν το πείραμα όσες φορές κρίνεται αναγκαίο. Διδακτικοί στόχοι Γνωστικού αντικειμένου Οι μαθητές θα πρέπει:

Να κατανοήσουν το φαινόμενο της σύνθεσης δύο ταλαντώσεων στην περίπτωση ίδιας διεύθυνσης και πλάτους, αλλά διαφορετικών συχνοτήτων, και στην περιπτώση ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας, αλλά διαφορετικού πλάτους.

Να σχεδιάσουν και να συγκρίνουν τις απομακρύνσεις των ταλαντώσεων.

Να διερευνήσουν τις μεταβολές της σύνθετης ταλάντωσης κατά την αλλαγή στις συχνότητες, στα πλάτη ή στη διαφορά φάσης των συνιστωσών ταλαντώσεων, ανάλογα με την περίπτωση.

Να εξηγήσουν τι είναι τα διακροτήματα. Γενικότεροι Γενικότεροι στόχοι:

Η εξοικείωση των μαθητών με τη χρήση εκπαιδευτικών λογισμικών κατά τη μελέτη προβλημάτων των Μαθηματικών και της Φυσικής.

Η κατανόηση των διαφορετικών αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται στη Φυσική και η ικανότητά τους να τις χρησιμοποιούν, περνώντας με ευκολία από τη μία αναπαράσταση στην άλλη.

Η κατασκευή γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων γενικότερα.


Η εργασία μέσα στην ομάδα. Διδακτική προσέγγιση Στόχος του εκπαιδευτικού σεναρίου είναι να ενθαρρύνει τους μαθητές να προσεγγίσουν τις έννοιες της σύνθεσης δύο ταλαντώσεων με διερευνητικό τρόπο. Οι δραστηριότητες που αναπτύχθηκαν υποστηρίζουν:

Την κατασκευή σχημάτων και παραστάσεων.

Την παρατήρηση των μεταβολών που συμβαίνουν στις μεταβλητές και τη μεταξύ τους σχέση (απομάκρυνση-χρόνος).

Τη διερεύνηση των μεταβολών που συμβαίνουν στα διαγράμματα, όταν αλλάζουν τα σταθερά μεγέθη (φάση, συχνότητες, πλάτη).

Την αυτενέργεια και τη συνεργασία μεταξύ των μαθητών. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι γνώσεις των μαθητών που απαιτούνται για να ασχοληθούν με τις δραστηριότητες του σεναρίου είναι εκείνες που περιέχονται στο κεφάλαιο «Σύνθεση ταλαντώσεων», στο βιβλίο της Φυσικής της Γ΄ Λυκείου (γενικού). Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών


Βασικές γνώσεις σχετικά με τα εκπαιδευτικά λογισμικά Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics.




Τα λογισμικά Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics.









Να ακολουθούν, να εκτελούν και να εφαρμόζουν τα βήματα που δίνονται στο φύλλο εργασίας τους.

Να χειρίζονται τα μαθηματικά αντικείμενα, τις εξισώσεις, τις μεταβλητές και τις γραφικές παραστάσεις, και να τα χρησιμοποιούν για την επίλυση προβλημάτων.

Να προχωρούν στην τελική σύνθεση της κατασκευής.

Να φτιάχνουν μία δική τους σύνθεση, εφαρμόζοντας δημιουργικά τις λειτουργικές γνώσεις που απέκτησαν.

Δραστηριότητες εμπλουτισμού Στο παρόν σενάριο, η γραφική αναπαράσταση μαθηματικών ή φυσικών οντοτήτων, καθώς και η προσομοίωση, αποτελούν πεδίο ανάπτυξης περισσότερων, από τις παρεχόμενες, δραστηριοτήτων. Οι εκπαιδευτικοί μπορούν να τις χρησιμοποιήσουν όπως οι ίδιοι νομίζουν ότι θα εξυπηρετήσουν τους ιδιαίτερους εκπαιδευτικούς στόχους. Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές. Υλικό για τους διδάσκοντες

Τα προγράμματα που αναπτύσσονται, τα οποία και βρίσκονται στο φάκελο Files\Section_11 του CD-ROM.

Τα εγχειρίδια χρήσης των λογισμικών Cabri Geometry II Plus και Interactive Physics.








Φύλλα εργασίας: Σύνθεση Γραμμικών Αρμονικών Ταλαντώσεων Εισαγωγή Το σενάριο περιλαμβάνει τις παρακάτω δραστηριότητες:


Μελέτη της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος αλλά διαφορετικές συχνότητες, με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Προσομοίωση και μελέτη του φαινομένου της σύνθεσης Γραμμικών Αρμονικών Ταλαντώσεων με το λογισμικό Interactive Physics


Μελέτη της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και έχουν την ίδια διεύθυνση, με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus



Δραστηριότητα 1: Μελέτη της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος αλλά διαφορετικές συχνότητες

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Έστω σώμα Σ που μετέχει στις ταλαντώσεις x1=Αημω1t και x2=Αημω2t, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (πράσινη και μπλε γραμμή). Μελετήστε τη συμπεριφορά της απομάκρυνσης x=x1+x2, όπως προκύπτει από τη σύνθεση των δύο ταλαντώσεων (κόκκινη γραμμή).

Βήματα στην τάξη Επιλέξτε το αρχείο synthesi_dr1a.fig. Μετονομάστε το σε mysynthesi_dr1a και αποθηκεύστε το στο φάκελο εργασίας σας. Στο μικρόκοσμο του Cabri Geometry II Plus, που εμφανίζεται, βλέπετε τα διαγράμματα x1-t, x2-t των δύο ταλαντώσεων που μετέχει το σώμα Σ, καθώς και το x-t που προκύπτει από τη σύνθεση των κινήσεων. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα:

1. Μεταβάλετε το συντελεστή Α και παρατηρήστε τις μεταβολές στα διαγράμματα. Σημειώστε τι παραμένει σταθερό, τι αλλάζει και γιατί;

Αλλάζει το πλάτος των ταλαντώσεων χ1 και χ2, γιατί είναι αρμονικές ταλαντώσεις και το Α εκφράζει τη μεγίστη απομάκρυνση (πλάτος). Ως συνέπεια αυτού, έχουμε μεταβολή και στο πλάτος της ιδιόμορφης περιοδικής κίνησης χ.

2. Μεταβάλετε τα ω1 και ω2 και παρατηρήστε τις μεταβολές στα διαγράμματα. Ποιες θα είναι οι σημειώσεις σας;

Το πλάτος των ταλαντώσεων χ1 και χ2 και της κίνησης χ δεν μεταβάλλεται.

Η περίοδος των κινήσεων μεταβάλλεται, διότι εξαρτάται από το ω.

Η κίνηση χ παρουσιάζει διακροτήματα, όταν τα ω1 και ω2 διαφέρουν σε μικρό βαθμό.

3. Προσπαθήστε να βρείτε την περίοδο των διακροτημάτων της κίνησης x. Σημειώστε ποια βήματα ακολουθήσατε;

Οι μαθητές αναμένεται να μετακινήσουν το t σε δύο διαδοχικά σημεία μηδενισμών του πλάτους της κίνησης χ, να σημειώσουν τις μετρήσεις t1 και t2 και να υπολογίσουν τη διαφορά t2- t1.

4. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Υπολογισμός και τον κατάλληλο μαθηματικό τύπο, για να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα που βρήκατε προηγουμένως για την περίοδο των διακροτημάτων. Γράψτε τον τύπο αυτό.



Οι μαθητές αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τον τύπο Τδ=1/|f1–f2|, αφού πρώτα υπολογίσουν τις συχνότητες f1 και f2 από τα ω1 και ω2 που δίνονται στο σχήμα.

Στη συνέχεια επιλέξτε το αρχείο synthesi_dr1b.fig. Μετονομάστε το σε mysynthesi_dr1b και αποθηκεύστε το στο φάκελο εργασίας σας. Στο μικρόκοσμο του Cabri Geometry II Plus, που εμφανίζεται, απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα:

5. Μετακινήστε αργά το t και παρατηρήστε την κίνηση των σημείων (στον άξονα ψ και στις καμπύλες των διαγραμμάτων) και τις μεταβολές των τιμών στις εξισώσεις. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Υπολογισμός και τον κατάλληλο μαθηματικό τύπο, για να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει για το x=x1+ x2. Γράψτε τον τύπο αυτό.

Χ=2Ασυν[((ω1-ω2)/2)t]ημ[((ω1+ω2)/2)t]

Περαιτέρω ενασχόληση

Μπορείτε με τη βοήθεια των εργαλείων του Cabri Geometry II Plus να κατασκευάσετε ένα δικό σας σχήμα που να έχει τις ίδιες ακριβώς λειτουργικότητες με εκείνες του αρχείου mysynthesi_dr1a; Ποια βήματα θα ακολουθήσετε;

ΕΡΓΑΣΙΑ (Κατασκευή με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus)

Θα ξεκινήσουμε με τη συνάρτηση της απομάκρυνσης x1=f(t). Θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση x1=Αημω1t (θεωρώντας 0 τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) και θα φτιάξουμε το διάγραμμα x1-t.


• Επιλέξτε το λογισμικό Cabri Geometry II Plus και δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας. Επιλέξτε Αποθήκευση ως και αποθηκεύστε το ως newsynthesi_dr1a στο φάκελο εργασίας σας.

• Ονομάστε 0 το κέντρο των αξόνων και μετακινήστε το στην άκρη της οθόνης. • Κατασκευάστε σημείο σε αντικείμενο ένα σημείο στον άξονα Οx, βρείτε τις συντεταγμένες του

και ονομάστε το t. Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία προς τον άξονα Οx που διέρχεται από το σημείο t. Κατασκευάστε την κάθετη από το σημείο στον άξονα (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρωματισμό).

• Χρησιμοποιήστε την Αριθμητική επεξεργασία για να δώσετε τιμές στα μεγέθη Α και ω1. Μεταφέρετε τις τιμές τους στους άξονες Οx και Οψ, αντίστοιχα, και ονομάστε τα σημεία Τ και ψ0. Κατασκευάστε καθέτους από τα σημεία στους άξονες (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρωματισμό).

• Χρησιμοποιήστε τον Υπολογισμό για να βρείτε το x1=Αημω1t. Μεταφέρετε την τιμή στην οθόνη (επεξεργαστείτε το κείμενο, ώστε να εμφανίζεται: x1=Αημω1t=αριθμός). Μεταφέρετε την τιμή του x1 στον άξονα Οψ. Κατασκευάστε καθέτους από τα σημεία στους άξονες Οψ (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρωματισμό).

• Κατασκευάστε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών που διέρχονται από το t και το x1 και δώστε του χρώμα και μεγάλο μέγεθος κουκκίδας. Αποκρύψτε τις δύο κάθετες που έχετε φέρει.

• Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου ως προς t (θα εμφανιστεί η ημιτονοειδής καμπύλη). Δώστε της το κατάλληλο χρώμα.

• Επαναλάβετε τη διαδικασία για τα x2 και x=x1+x2. • Αποθηκεύστε το αρχείο σας.



Δραστηριότητα 2: Προσομοίωση και μελέτη του φαινομένου της σύνθεσης Γραμμικών Αρμονικών Ταλαντώσεων

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Επιλέξτε το αρχείο Synthesi_dr2.ip. Μετονομάστε το σε mySynthesi_dr2.ip και αποθηκεύστε το στο φάκελο εργασίας σας. Στο μικρόκοσμο του Interactive Physics, που εμφανίζεται, διερευνήστε το φαινόμενο της σύνθεσης δύο ταλαντώσεων που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος και διαφορετικές συχνότητες. Στη συνέχεια απαντήστε στα ερωτήματα του φύλλου εργασίας. Στο μικρόκοσμο που εμφανίζεται ο χώρος εργασίας είναι χωρισμένος σε δύο διαφορετικά μέρη: Η προσομοίωση Στο χώρο αυτό προσομοιώνεται ένα σύστημα τριών σωμάτων ως εξής:

Το μπλε και το πράσινο σώμα είναι στερεά, σχήματος παραλληλεπιπέδου, τα οποία έχουν την ίδια μάζα.

Καθένα από αυτά είναι δεμένο από το ένα άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο.

Το κόκκινο σώμα συνδέεται με σύστημα τροχαλιών και νήματος, σταθερού μήκους, με τα άλλα δύο σώματα.

Στο στιγμιότυπο, πριν αρχίσει να εκτελείται η προσομοίωση, τα ελατήρια είναι εκτεταμένα και επομένως υπάρχει συνισταμένη δύναμη, διάφορη από το 0, η οποία ασκείται στα σώματα (μπλε και κόκκινο) από τα ελατήρια. Τριβές ανάμεσα στα σώματα και στο οριζόντιο επίπεδο δεν υπάρχουν. Τα δύο σώματα εκτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις διαφορετικής συχνότητας. Στον ίδιο χώρο υπάρχουν δύο μεταβολείς με τους οποίους ο χρήστης μεταβάλλει τις τιμές των δύο συχνοτήτων. Το κόκκινο σώμα θα εκτελέσει μια περιοδική κίνηση που εξαρτάται από την κίνηση που θα εκτελέσουν τα δύο άλλα σώματα. Οι γραφικές παραστάσεις μεγεθών Στο χώρο αυτό αναπαρίστανται γραφικά τα μεγέθη που έχουν ενδιαφέρον για τη σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων. Τέτοια είναι τα διαγράμματα x1-t, x2-t των δύο ταλαντώσεων που μετέχει το σώμα Σ, καθώς και το x-t που προκύπτει από τη σύνθεση των κινήσεων. Αφού τελειώσει μια ολοκληρωμένη προσομοίωση, επιλέξτε Επαναρρύθμιση και κατόπιν Σβήσιμο Γραφικών Παραστάσεων για να καθαριστούν οι γραφικές παραστάσεις. Υπάρχει επίσης ένα ψηφιακό χρονόμετρο (οι μετρήσεις στο Interactive Physics μπορούν εναλλακτικά να παρασταθούν –ανάλογα με την επιλογή του χρήστη– από το

σημείο ελέγχου στο επάνω αριστερό μέρος του μετρητή:

Γραφικά.

Ψηφιακά, όπου μπορείτε να έχετε ακριβείς αριθμητικές ενδείξεις τιμών.

Με ραβδογράμματα. Έναρξη Στη διάθεσή σας υπάρχουν:

Τα κουμπιά ελέγχου της εκτέλεσης, δηλαδή: Έναρξη (της προσομοίωσης), Παύση και Επαναρρύθμιση.



Τα εργαλεία της μπάρας κασετοφώνου με τα οποία μπορείτε να εκτελείτε την προσομοίωση προς δύο κατευθύνσεις, ή πλαίσιο προς πλαίσιο, και να παίρνετε τις σχετικές μετρήσεις για συγκεκριμένες χρονικές στιγμές.

Οι τρεις μεταβολείς, με τους οποίους μπορείτε να μεταβάλλετε τις τιμές των δύο συχνοτήτων. (Οι τιμές στους μεταβολείς τίθενται με κλικ και σύρσιμο. Αν δεν μπορείτε να πετύχετε την τιμή που θέλετε, μπορείτε να την πληκτρολογήσετε στο πλαίσιο διαλόγου του μεταβολέα, αφού πρώτα τοποθετήσετε εκεί, με κλικ, το σημάδι παρεμβολής: κέρσορας.)

Ρυθμίστε με τους μεταβολείς τις συχνότητες των ταλαντώσεων του πράσινου και του μπλε σώματος, ώστε να διαφέρουν σε πολύ μικρό βαθμό, και πατήστε το κουμπί Έναρξη για να αρχίσει η εκτέλεση της προσομοίωσης. Διερευνήσεις

1. Παρατηρήστε την κίνηση του μπλε και του πράσινου σώματος και τις γραφικές τους παραστάσεις (μπορείτε να τις βλέπετε και καθεμία μόνη της, επιλέγοντας Β ή G). Τι είδους κίνηση εκτελούν και ποια είναι η γενική μορφή των εξισώσεών τους; Εκτελούν Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση και η γενική μορφή των εξισώσεών τους είναι χ1=Αημω1t και χ2=Αημω2t.

2. Παρατηρήστε την κίνηση του κόκκινου σώματος, ταυτόχρονα με την εξέλιξη του διαγράμματος. Τι είδους κίνηση εκτελεί και γιατί; (Πειραματιστείτε δίνοντας διάφορες τιμές στις συχνότητες.) Δώστε ιδιαίτερη σημασία στην παρατήρησή σας κατά τις χρονικές στιγμές που το πλάτος της κίνησης μηδενίζεται ή γίνεται μέγιστο. Εκτελεί σύνθετη ταλάντωση που προκύπτει από τη σύνθεση των δύο επιμέρους αρμονικών ταλαντώσεων. Επειδή οι συχνότητες των επιμέρους διαφέρουν ελάχιστα, προκύπτει μια ιδιόμορφη ταλάντωση που έχει την ίδια περίπου συχνότητα και εμφανίζει διακροτήματα. Αν οι συχνότητες διαφέρουν σε μεγάλο βαθμό, δεν εμφανίζονται διακροτήματα.

3. Βρείτε την περίοδο και τη συχνότητα της κίνησης του κόκκινου σώματος, παίρνοντας τις κατάλληλες μετρήσεις κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης (να χρησιμοποιείτε τα εργαλεία του κασετοφώνου για την καταγραφή χρονικών στιγμών ή αργής παρατήρησης). Συγκρίνετε τη συχνότητα που βρήκατε με τη συχνότητα των δύο άλλων σωμάτων και με το αποτέλεσμα που δίνει ο μαθηματικός τύπος υπολογισμού της. Σημειώστε τις μετρήσεις και τους υπολογισμούς σας. Αναμένουμε οι μαθητές να βρουν την περίοδο T, σημειώνοντας τις χρονικές στιγμές από το διάγραμμα του κόκκινου σώματος, κατά τις οποίες το πλάτος της κίνησης μηδενίζεται ή γίνεται μέγιστο. Από την περίοδο θα βρουν τη συχνότητα και θα τη συγκρίνουν περίπου με το αριθμητικό αποτέλεσμα του τύπου fδ=|f1–f2|.



Δραστηριότητα 3: Μελέτη της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και έχουν την ίδια διεύθυνση

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Έστω σώμα Σ που κάνει ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις x1=Α1ημωt και x2=Α2ημ(ωt+φ). Η απομάκρυνση του x κάθε στιγμή ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεών του στις επιμέρους ταλαντώσεις στις οποίες μετέχει. Με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού λογισμικού Cabri Geometry II Plus να σχεδιάσετε τα διαγράμματα x1-t, x2-t και να μελετήσετε τη συμπεριφορά της απομάκρυνσης x=x1+x2, όπως προκύπτει από τη σύνθεση των δύο ταλαντώσεων, με την κατασκευή του διαγράμματος x-t.

ΕΡΓΑΣΙΑ (Κατασκευή με το λογισμικό Cabri Geometry II Plus)

Θα ξεκινήσουμε με τη συνάρτηση της απομάκρυνσης x1=f(t). Θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση x1=Α1ημωt (θεωρώντας 0 τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) και θα φτιάξουμε το διάγραμμα x1-t.


• Επιλέξτε το λογισμικό Cabri Geometry II Plus και δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας. Επιλέξτε Αποθήκευση ως και αποθηκεύστε το ως mysynthesi_dr3a στο φάκελο εργασίας σας.

• Ονομάστε 0 το κέντρο των αξόνων και μετακινήστε το στην άκρη της οθόνης. • Κατασκευάστε σημείο σε αντικείμενο ένα σημείο στον άξονα Οx, βρείτε τις συντεταγμένες του

και ονομάστε το t. Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία προς τον άξονα Οx που διέρχεται από το σημείο t. Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία από το σημείο στον άξονα (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρωματισμό).

• Χρησιμοποιήστε την Αριθμητική επεξεργασία για να δώσετε τιμές στα μεγέθη Α1 και ω. Μεταφέρετε τις τιμές τους στους άξονες Οx και Οψ, αντίστοιχα, και ονομάστε τα σημεία Τ και ψ0. Κατασκευάστε καθέτους από τα σημεία στους άξονες (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρωματισμό).

• Χρησιμοποιήστε τον Υπολογισμό για να βρείτε το x1=Α1ημωt. Μεταφέρετε την τιμή στην οθόνη (επεξεργαστείτε το κείμενο, ώστε να εμφανίζεται: x1=Α1ημωt=αριθμός). Μεταφέρετε την τιμή του x1 στον άξονα Οψ. Κατασκευάστε καθέτους από τα σημεία στους άξονες Οψ (διακεκομμένες και με διαφορετικό χρωματισμό).

• Κατασκευάστε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών που διέρχονται από το t και το x1 και δώστε του χρώμα και μεγάλο μέγεθος κουκκίδας. Αποκρύψτε τις δύο κάθετες που έχετε φέρει.

• Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου ως προς t (θα εμφανιστεί η ημιτονοειδής καμπύλη). Δώστε της το κατάλληλο χρώμα.

• Επαναλάβετε τα βήματα για το x2 και στη συνέχεια για το x=x1+x2.

• Αποθηκεύστε το αρχείο σας χωρίς να κάνετε έξοδο.



• Αν χρειάζεστε βοήθεια επιλέξτε το αρχείο synthesi_ dr3a.fig και δείτε το ιστορικό της κατασκευής του.

Στο μικρόκοσμο του Cabri Geometry II Plus, που εμφανίζεται, μπορείτε να μεταβάλλετε τα πλάτη των ταλαντώσεων, τη συχνότητα και τη φάση τους. Διερευνήστε το σχήμα και απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα:

1. Μετακινήστε ή ενεργοποιήστε την κίνηση των γραφικών για το σημείο t και παρατηρήστε την κίνηση των σημείων x1, x2 και x. Περιγράψτε το διάγραμμα. Αναπαριστά τα διαγράμματα απομάκρυνσης (x1-t) και (x2-t) δύο αρμονικών ταλαντώσεων, καθώς και της σύνθετης ταλάντωσης (χ-t) που προκύπτει από αυτές. Ισχύει x=x1+x2.

2. Μεταβάλετε τους συντελεστές Α1 και Α2 και δείτε τις μεταβολές στα διαγράμματα. Σημειώστε τι παραμένει σταθερό, τι αλλάζει και γιατί; Μεταβάλλονται τα πλάτη των βασικών ταλαντώσεων και, ως εκ τούτου, το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης.

3. Μεταβάλετε το ω και δείτε τις μεταβολές στα διαγράμματα. Τι έχετε να παρατηρήσετε; Αλλάζει ταυτόχρονα η περίοδος των κινήσεων (έχουν την ίδια περίοδο), γιατί εξαρτάται από το ω.

4. Μεταβάλετε το φ και δείτε τις μεταβολές στα διαγράμματα. Ειδικότερα για: φ=0, φ=3,14 ακτίνια

και φ= 6,28 ακτίνια. Σημειώστε τις παρατηρήσεις σας. Όταν φ=0, το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών και η φάση της είναι ίδια με τη φάση των επιμέρους ταλαντώσεων. Όταν φ=180ο=3,14 ακτίνια, το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με τη διαφορά των πλατών και η φάση της ταλάντωσης είναι ίση με τη φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος.



Ι δ ι ο σ υ χ ν ό τ η τ ε ς κ α ι σ υ ν τ ο ν ι σ μ ό ς Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν οι μαθητές θα μελετήσουν με τη βοήθεια ενός εκπαιδευτικού λογισμικού την κίνηση που πραγματοποιεί ένα σύστημα αρμονικού ταλαντωτή υπό την επίδραση της διεγείρουσας δύναμης ενός διεγέρτη. Θα τους δοθεί η δυνατότητα:

• Να μεταβάλλουν σε έτοιμα σχέδια βασικά φυσικά μεγέθη και να παρακολουθήσουν τις αλλαγές στη συμπεριφορά των κινήσεων, κάνοντας χρήση των εργαλείων του λογισμικού.

• Να κατασκευάσουν τα δικά τους συστήματα ταλαντωτή-διεγέρτη και μέσα από την κατασκευή αυτή να προσεγγίσουν ουσιαστικότερα το μοντέλο του φαινομένου του συντονισμού. Περιέχονται δύο φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική τους διάρκεια εκτιμάται από δύο έως τρεις διδακτικές ώρες, ανάλογα με την εξοικείωση των μαθητών με το λογισμικό Interactive Physics. Προτείνονται για την Γ΄ Λυκείου (θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης). Το σενάριο περιλαμβάνει τις παρακάτω δραστηριότητες:

Δραστηριότητα 1 Κατασκευή προσομοίωσης με το λογισμικό Interactive Physics, για την εύρεση της ιδιοσυχνότητας ενός αρμονικού ταλαντωτή

Δραστηριότητα 2 Προσθήκη ενός διεγέρτη στην κατασκευή της δραστηριότητας 1, για τη μελέτη του φαινομένου του συντονισμού

Γνωστικό αντικείμενο Ένα ιδανικό ελατήριο, σταθεράς Κ και μήκους L0, τοποθετείται κατακόρυφα και συνδέεται με το επάνω άκρο του σε σταθερό σημείο Δ. Στο άλλο άκρο του κρεμάται ένα ελαστικό σφαιρίδιο, μάζας m. Το σύστημα των δύο σωμάτων αναπαριστά έναν αρμονικό ταλαντωτή. Μόλις το μπαλάκι που είναι συνδεδεμένο με το ελατήριο αφεθεί ελεύθερο να εκτελέσει κίνηση, υπό την επίδραση του βάρους, χωρίς τριβές και αντιστάσεις του αέρα, τότε θα αρχίσει να εκτελεί παλινδρομική κίνηση. Η απομάκρυνση του ελατηρίου από τη θέση ισορροπίας του εκφράζεται με τις εξισώσεις της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης:

02

2

f

tAx

πω

πω

ημω

=Τ

=

=

Η συχνότητα f0 εκφράζει την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή και δίνεται από το μαθηματικό τύπο:

mf Κ=

π21

0

Αν το ελατήριο τοποθετηθεί κατακόρυφα και συνδεθεί με το επάνω άκρο του όχι με σταθερό σημείο, αλλά με ένα σημείο Δ που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, τότε το σύστημα ελατήριο-σώμα θα αναπαραστήσει έναν αρμονικό ταλαντωτή και το σημείο Δ θα αναπαραστήσει ένα διεγέρτη που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση με συχνότητα f. Ο διεγέρτης ασκεί πρόσθετη δύναμη (διεγείρουσα δύναμη) στον ταλαντωτή που τον διεγείρει και τον θέτει σε παλινδρομική κίνηση. Το σύστημα, υπό τη μόνιμη επίδραση της διεγείρουσας δύναμης, εκτελεί μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η οποία διαφέρει από την ελεύθερη ταλάντωσή του. Κατά το αρχικό χρονικό διάστημα εφαρμογής της εξωτερικής δύναμης, η εξαναγκασμένη ταλάντωση δεν έχει σταθερό πλάτος, γιατί βρίσκεται σε μεταβατικό στάδιο. Ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα, το πλάτος της σταθεροποιείται σε μια τιμή και η κίνηση γίνεται πάλι απλή αρμονική, με κυκλική συχνότητα f της εξωτερικής περιοδικής κίνησης και όχι f0 που είναι η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη σχέση των συχνοτήτων f και f0. Στην περίπτωση f ≈ f0, το πλάτος παίρνει πολύ μεγάλες τιμές. Ειδικότερα, για f=f0 (συντονισμός), το πλάτος τείνει να γίνει άπειρο. Στην πραγματικότητα, το πλάτος ταλάντωσης κατά το συντονισμό γίνεται απλώς αρκετά μεγάλο, όπως θα διαπιστώσετε στις προσομοιώσεις που θα εκτελέσετε στα φύλλα εργασίας.




1. Να βρουν μέσα από κατασκευές προσομοίωσης την ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος ταλαντωτή, να αναπαραστήσουν την κίνησή του, καθώς και το διάγραμμα πλάτους ταλάντωσης-χρόνου.

2. Να αναπαραστήσουν μέσα από κατασκευές προσομοίωσης το φαινόμενο του συντονισμού.

3. Να χαράξουν την καμπύλη συντονισμού για ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση, χρησιμοποιώντας δεδομένα των προσομοιώσεων.


Ο σχεδιασμός, η κατασκευή και η εκτέλεση από μεριάς μαθητών συγκεκριμένων πειραμάτων ταλαντώσεων.

Η διατύπωση ποιοτικά και ποσοτικά του φαινομένου του συντονισμού και η αναφορά των πιθανών τεχνολογικών συνεπειών του.

Η γενίκευση και η κατασκευή προσομοιώσεων.


Διδακτική προσέγγιση Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών




Βασικές γνώσεις σχετικά με τις λειτουργίες διεπαφής του εκπαιδευτικού λογισμικού Interactive Physics.

Γνωστικό αντικείμενο Οι γνώσεις των μαθητών που απαιτούνται για να ασχοληθούν με τις δραστηριότητες του σεναρίου είναι εκείνες που περιέχονται στις παρακάτω ενότητες του βιβλίου της Φυσικής της Γ΄ Λυκείου:


«Απλή αρμονική ταλάντωση».

«Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις». Περιγραφή της εργασίας των μαθητών










Την ικανότητά τους να συνθέτουν φυσικά φαινόμενα μέσω κατασκευής προσομοίωσης.


Τη δυνατότητά τους να διαβάζουν γραφικές παραστάσεις και να προχωρούν σε συμπεράσματα ποιοτικά και ποσοτικά.

Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές. Απαιτούμενη τεχνολογική υποδομή του σχολείου Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων απαιτούνται:


Το λογισμικό Interactive Physics.

Ένα εργαστήριο με τις προδιαγραφές της «Οδύσσειας». Υλικό για τους διδάσκοντες

Το εγχειρίδιο χρήσης του λογισμικού Interactive Physics.

Η Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου. Προτεινόμενοι ιστοχώροι





Φύλλα εργασίας: Ιδιοσυχνότητες και συντονισμός Δραστηριότητα 1: Κατασκευή προσομοίωσης με το λογισμικό Interactive Physics, για την εύρεση της ιδιοσυχνότητας ενός αρμονικού ταλαντωτή

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ένα ιδανικό ελατήριο, σταθεράς Κ και μήκους L0, τοποθετείται κατακόρυφα και συνδέεται με το επάνω άκρο του σε σταθερό σημείο Δ. Στο άλλο άκρο του κρεμάται ένα ελαστικό σφαιρίδιο, μάζας m. Το σύστημα των δύο σωμάτων αναπαριστά έναν αρμονικό ταλαντωτή. Μόλις το μπαλάκι που είναι συνδεδεμένο με το ελατήριο αφεθεί ελεύθερο να εκτελέσει κίνηση, υπό την επίδραση του βάρους, χωρίς τριβές και αντιστάσεις του αέρα, τότε θα αρχίσει να εκτελεί παλινδρομική κίνηση. Η απομάκρυνση του ελατηρίου από τη θέση ισορροπίας του εκφράζεται με τις εξισώσεις της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης:

f

tAx

πω

πω

ημω

2

2

=Τ

=

=

Η συχνότητα f εκφράζει την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή και δίνεται με το μαθηματικό τύπο:

mf Κ=

π21

Προσομοίωση Στην προσομοίωση που παρουσιάζεται θα προσδιορίσετε την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, όταν μεταβάλλεται η σταθερά Κ του ελατηρίου και η μάζα m του σώματος. Η σύνθεση του φύλλου εργασίας είναι αρκετά απλή και έτσι σας δίνεται η ευκαιρία να πειραματιστείτε με μια παρόμοια κατασκευή. Βήματα στην τάξη Επιλέξτε το αρχείο syntonismos_1a.ip. Στο μικρόκοσμο του Interactive Physics, που εμφανίζεται, προσομοιώνεται η κίνηση ενός αρμονικού ταλαντωτή που απαρτίζεται από τα στοιχεία που ακολουθούν.

1. Σώματα:

Ένα ιδανικό ελατήριο, με σταθερά K και φυσικό μήκος L0, το οποίο τοποθετείται κατακόρυφα και το πάνω άκρο του συνδέεται σε σταθερό σημείο Δ.

Ένα συμπαγές ελαστικό σφαιρικό σώμα, μάζας m, που αναπαρίσταται με κύκλο και είναι δεμένο στο άλλο άκρο του ελατηρίου.

2. Μεταβολείς:

Ένας μεταβολέας της σταθεράς Κ του ελατηρίου, σε κλίμακα από 0 έως 1, ρυθμισμένος στην τιμή 1 (N/m).

Ένας μεταβολέας της μάζας m του σφαιρικού σώματος, σε κλίμακα από 0 ως 0,1, ρυθμισμένος στην τιμή 0,1 Kg.



Ένας μετρητής του χρόνου διάρκειας του φαινομένου.



Ένας μετρητής που υπολογίζει την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.

Ένας μετρητής με μορφή γραφικής παράστασης, ο οποίος μετράει την παραμόρφωση dx του ελατηρίου. Στην ουσία προσδιορίζει την απομάκρυνση του σώματος που ταλαντώνεται.

Εκτέλεση της προσομοίωσης Κατά την εμφάνιση του χώρου εργασίας, πριν από την έναρξη, το μπαλάκι που είναι συνδεδεμένο με το ελατήριο δεν έχει αφεθεί ακόμα ελεύθερο. Η έναρξη σημαίνει ότι αφήνετε το μπαλάκι ελεύθερο να εκτελέσει κίνηση υπό την επίδραση του βάρους του. Στη διάθεσή σας υπάρχουν:



• Οι δύο μεταβολείς με τους οποίους μπορείτε να μεταβάλλετε τις τιμές των μεγεθών που αναπαριστούν. (Οι τιμές στους μεταβολείς τίθενται με κλικ και σύρσιμο. Αν δεν μπορείτε να πετύχετε την τιμή που θέλετε, μπορείτε να την πληκτρολογήσετε στο πλαίσιο διαλόγου του μεταβολέα, αφού πρώτα τοποθετήσετε εκεί, με κλικ, το σημάδι παρεμβολής: κέρσορας.)

Με το τέλος μιας ολοκληρωμένης προσομοίωσης επιλέξτε Επαναρρύθμιση, για να επανέλθει η προσομοίωση στην αρχική της κατάσταση. Για να καθαριστούν οι γραφικές παραστάσεις και οι μετρήσεις επιλέξτε Εξάλειψη μετρήσεων. Σημείωση: Στα διαγράμματα μπορείτε με διπλό κλικ να βλέπετε τα χαρακτηριστικά τους και να μεταβάλλετε το εύρος των τιμών στους άξονες, ώστε να έχετε καλύτερα οπτικά αποτελέσματα. Η επιλογή στο αυτόματο ∨ σημαίνει ότι το διάγραμμα θα εξελίσσεται και θα αναπροσαρμόζει το εύρος των τιμών. Για το λόγο αυτό, όταν επαναλαμβάνετε μια προσομοίωση, θα χρειαστεί ενδεχομένως να ρυθμίσετε τις επιλογές του εύρους τιμών. Διερευνήσεις

1. Εκτελέστε την προσομοίωση για 10 sec, με τιμές στους μεταβολείς Κ=1 και m=0,1. Το μήκος του ελατηρίου έχει ρυθμιστεί από τις ιδιότητές του σε L0=1. Παρατηρήστε την κίνησή του, όπως εμφανίζεται στο διάγραμμα, και την τιμή της ιδιοσυχνότητάς του f0, όπως εμφανίζεται στο αντίστοιχο πλαίσιο μετρητή. Τι είδους κίνηση εκτελεί το σώμα, ποια συχνότητα έχει και πώς νομίζετε ότι έχει υπολογιστεί; Επαληθεύστε το αποτέλεσμα. Σημειώστε παρακάτω την απάντησή σας. Η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του εκφράζεται με την εξίσωση της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης χ=Αημωt, με Α=πλάτος ταλάντωσης και ω=2π/Τ=2πf. H συχνότητα f εκφράζει την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή και δίνεται από το μαθηματικό τύπο f=(1/2π)√(Κ/m).

2. Πατήστε Επαναρρύθμιση και Εξάλειψη μετρήσεων. Επαναλάβετε την προσομοίωση, διατηρώντας σταθερό το Κ και μεταβάλλοντας τη μάζα m. Σημειώστε στον παρακάτω πίνακα τα αποτελέσματά σας σχετικά με τη συχνότητα. Ποιο συμπέρασμα αποκομίσατε και πώς το εξηγείτε;

Σταθερά Κ Μάζα m Συχνότητα f0

1 0,01 1,525

1 0,04 0,843

1 0,07 0,602

1 0,10 0,504



Από τις μετρήσεις προκύπτει ότι όταν αυξάνεται η μάζα του σώματος, ελαττώνεται η συχνότητα f0,

γεγονός που αληθεύει σύμφωνα με το μαθηματικό τύπο: m

f Κ=

π21

.

3. Πατήστε Επαναρρύθμιση και Εξάλειψη μετρήσεων. Επαναλάβετε την προσομοίωση, διατηρώντας σταθερή τη μάζα m και μεταβάλλοντας το Κ. Σημειώστε στον παρακάτω πίνακα τα αποτελέσματά σας σχετικά με τη συχνότητα. Ποιο συμπέρασμα αποκομίσατε και πώς το εξηγείτε;

Σταθερά Κ Μάζα m Συχνότητα f0

0,2 0,1 0,225

0,5 0,1 0,356

0,8 0,1 0,451

1 0,1 0,504

Από τις μετρήσεις προκύπτει ότι όταν αυξάνεται η σταθερά Κ του ελατηρίου, αυξάνεται και η

συχνότητα f0, γεγονός που αληθεύει σύμφωνα με το μαθηματικό τύπο: m

f Κ=

π21

.

Κατασκευή Κατασκευάστε μια παρόμοια προσομοίωση, ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα. Αποθηκεύστε την κατασκευή σας ως mysyntonismos_1a.ip στο φάκελο εργασίας σας.

ΕΡΓΑΣΙΑ (Κατασκευή με το λογισμικό Interactive Physics) Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα:

• Επιλέξτε το λογισμικό Interactive Physics και δημιουργήστε ένα νέο φύλλο εργασίας με την επιλογή Αρχείο Δημιουργία. Επιλέξτε Αποθήκευση ως και αποθηκεύστε το ως mysyntonismos_1a στο φάκελο εργασίας σας.

• Επιλέξτε Θέαση Χώρος εργασίας και σημειώστε με ν τις γραμμές πλέγματος και την απλή επιλογή των γραμμών εργαλείων. Θα εμφανιστεί το πλέγμα και αριστερά μια σειρά εργαλείων.

• Επιλέξτε με κλικ τον κύκλο και στη συνέχεια μεταφέρετε το δείκτη του ποντικιού σε ένα σημείο του πλέγματος. Κάντε διπλό κλικ για να εμφανιστεί ο κύκλος.

• Επιλέξτε με κλικ τον κύκλο που κατασκευάσατε. Με την επιλογή Παράθυρο Ιδιότητες εμφανίστε ένα πλαίσιο με τις ιδιότητές του (μπορείτε και με διπλό κλικ στο σχήμα). Σημειώστε τις συντεταγμένες του και δώστε στη μάζα μια τιμή της επιλογής σας, π.χ. 10 kg.

• Επιλέξτε με κλικ το ελατήριο και στη συνέχεια μεταφέρετε το δείκτη του ποντικιού στο κέντρο του κύκλου. Κάντε κλικ και σύρετε το ελατήριο κατακόρυφα προς τα πάνω. Αφήστε το σε κάποιο άλλο σημείο του πλέγματος. Μπορείτε να αλλάξετε τη σταθερά Κ, αλλά όχι το μήκος του.

• Επιλέξτε με κλικ το επάνω άκρο του ελατηρίου και ελέγξτε στις ιδιότητές του, αν η τετμημένη του χ είναι ίση με την τετμημένη του κύκλου, δεδομένου ότι το σύστημα πρέπει να κινηθεί κατακόρυφα. Αν δεν είναι, διορθώστε την.

• Αν τώρα πατήσετε Έναρξη, το σύστημα θα εκτελέσει Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση. • Κάνοντας κλικ σε κάποιο σχήμα ή σημείο και επιλέγοντας Παράθυρο Εμφάνιση, μπορείτε να

ορίσετε τα ονόματα, τα χρώματα κ.τ.λ. • Κάνοντας κλικ στον κύκλο και επιλέγοντας Ορισμός Νέο εργαλείο ελέγχου Μάζα, μπορείτε να

ορίσετε ένα μεταβολέα για τη μάζα του σώματος. Σημειώστε από τις ιδιότητές του ποιο input είναι, π.χ. input[2].

• Με τον ίδιο τρόπο μπορείτε να ορίσετε ένα μεταβολέα για τη σταθερά Κ του ελατηρίου, π.χ. input[3].

• Τώρα πλέον μπορείτε να εκτελέσετε προσομοιώσεις με τα χαρακτηριστικά που εσείς επιλέξατε. (Μπορείτε να μεταβάλλετε το εύρος τιμών των μεταβολέων από τις ιδιότητές τους.)

• Κάνοντας κλικ στον κύκλο και επιλέγοντας Μέτρηση Θέση Γραφική παράσταση Υ, μπορείτε να ορίσετε κατά τη διάρκεια του πειράματος ένα μετρητή της απομάκρυνσης. Επιλέξτε να εμφανίζεται ως διάγραμμα και μεγαλώστε το πλαίσιο εμφάνισης. Κατά την εκτέλεση του πειράματος θα προσαρμόζει τις τιμές του, προκειμένου να έχει καλύτερη εμφάνιση. (Στα διαγράμματα μπορείτε με διπλό κλικ να βλέπετε τα χαρακτηριστικά τους και να μεταβάλλετε το εύρος των τιμών στους άξονες, ώστε να έχετε καλύτερα οπτικά αποτελέσματα. Η επιλογή στο αυτόματο ∨ σημαίνει ότι το διάγραμμα θα εξελίσσεται και θα αναπροσαρμόζει το εύρος των τιμών. Για το λόγο αυτό, όταν



επαναλαμβάνετε μια προσομοίωση, θα χρειαστεί ενδεχομένως να ρυθμίσετε τις επιλογές του εύρους των τιμών.)

• Για να βρείτε την ιδιοσυχνότητα θα πρέπει να ορίσετε ένα μετρητή για το χρόνο Μέτρηση Χρόνος και, αφού κάνετε κλικ στις ιδιότητές του, να γράψετε δίπλα στο y1, στο πρώτο πλαίσιο: f0 και στο δεύτερο την εξίσωση υπολογισμού της: idiosyxn;othtaw, με βάση τους μεταβολείς: (1/(2*3,14))*((input[3]/input[2])^0,5). Αλλάξτε το με την επιλογή Παράθυρο Εμφάνιση από t σε f0.

• Για να ορίσετε το κουμπί εξάλειψης μετρήσεων επιλέξτε Ορισμός Νέο εργαλείο ελέγχου Γενικός έλεγχος και στη συνέχεια επιλέξτε από τις ιδιότητές του το Κουμπί.

Περαιτέρω ενασχόληση

4. Επιλέξτε τη δραστηριότητα syntonismos_1b.ip που δεν περιλαμβάνει πλαίσιο υπολογισμού για τη συχνότητα. Προσπαθήστε να βρείτε τη συχνότητα της κίνησης (ταλάντωσης) χωρίς υπολογισμούς. Ποια βήματα θα ακολουθήσετε και ποια είναι η συχνότητα για Κ=0,9 και m=0,08. Σημειώστε παρακάτω την απάντησή σας. Οι μαθητές θα βρουν την περίοδο της κίνησης, προσδιορίζοντας την περίοδο της ημιτονοειδούς καμπύλης (t2-t1) κατά την εξέλιξη του φαινομένου. Θα χρησιμοποιήσουν την αργή κίνηση στην μπάρα κασετοφώνου:

οπότε, για Κ=1 και m=0,1, η μέτρησή τους θα πρέπει να είναι Τ=2: 5,0211===

Tf .

Στη συνέχεια θα συγκρίνουν την τιμή που βρήκαν με την τιμή της f στη δραστηριότητα syntonismos_1a.ip.



Δραστηριότητα 2: Προσθήκη ενός διεγέρτη στην κατασκευή της δραστηριότητας 1, για τη μελέτη του φαινομένου του συντονισμού

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Αν το ελατήριο τοποθετηθεί κατακόρυφα και συνδεθεί με το επάνω άκρο του όχι με σταθερό σημείο, αλλά με ένα σημείο Δ που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση, τότε το σύστημα ελατήριο-σώμα θα αναπαραστήσει έναν αρμονικό ταλαντωτή, ενώ το σημείο Δ θα αναπαραστήσει ένα διεγέρτη που εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση με συχνότητα f. Ο διεγέρτης ασκεί πρόσθετη δύναμη (διεγείρουσα δύναμη) στον ταλαντωτή που τον διεγείρει και τον θέτει σε παλινδρομική κίνηση. Το σύστημα, υπό τη μόνιμη επίδραση της διεγείρουσας δύναμης, εκτελεί μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η οποία διαφέρει από την ελεύθερη ταλάντωσή του. Κατά το αρχικό χρονικό διάστημα εφαρμογής της εξωτερικής δύναμης, η εξαναγκασμένη ταλάντωση δεν έχει σταθερό πλάτος, γιατί βρίσκεται σε μεταβατικό στάδιο. Ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα, το πλάτος της σταθεροποιείται σε μια τιμή και η κίνηση γίνεται πάλι απλή αρμονική, με κυκλική συχνότητα f της εξωτερικής περιοδικής κίνησης και όχι f0 που είναι η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη σχέση των συχνοτήτων f και f0. Στην περίπτωση f ≈ f0, το πλάτος παίρνει πολύ μεγάλες τιμές. Ειδικότερα, για f=f0 (συντονισμός), το πλάτος τείνει να γίνει άπειρο. Στην πραγματικότητα, το πλάτος ταλάντωσης κατά το συντονισμό γίνεται απλώς αρκετά μεγάλο, όπως θα διαπιστώσετε στις προσομοιώσεις που θα εκτελέσετε στα φύλλα εργασίας. Προσομοίωση Φανταστείτε σε φυσικό περιβάλλον ένα ελαστικό μπαλάκι συνδεδεμένο με ένα ελατήριο και το χέρι σας να το θέτει σε κίνηση. Στην παρακάτω προσομοίωση μελετήσετε και θα διερευνήσετε τη σχέση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με τη συχνότητα του διεγέρτη. Βήματα στην τάξη Επιλέξτε το αρχείο syntonismos_2a.ip. Στο μικρόκοσμο του Interactive Physics, που εμφανίζεται, προσομοιώνεται η κίνηση ενός αρμονικού ταλαντωτή και ενός διεγέρτη που ασκεί πρόσθετη δύναμη (διεγείρουσα δύναμη) στον ταλαντωτή, τον διεγείρει και τον θέτει σε παλινδρομική κίνηση. Η προσομοίωση απαρτίζεται από τα στοιχεία που ακολουθούν.

1. Σώματα και σημεία:

Ένα σημείο Δ που μπορεί να εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση και είναι ο διεγέρτης.

Ένα ιδανικό ελατήριο, με σταθερά K και φυσικό μήκος L0=1, που τοποθετείται κατακόρυφα και το επάνω άκρο του συνδέεται με το διεγέρτη Δ.

Ένα συμπαγές ελαστικό σφαιρικό σώμα, μάζας m, που αναπαρίσταται με τον κύκλο και είναι δεμένο στο άλλο άκρο του ελατηρίου.

2. Μεταβολείς και μετρητές:

Ένας μεταβολέας της σταθεράς Κ του ελατηρίου, σε κλίμακα από 0 έως 1, ρυθμισμένος στην τιμή 1 (N/m).

Ένας μεταβολέας της μάζας m του σφαιρικού σώματος, σε κλίμακα από 0 έως 0,1, ρυθμισμένος στην τιμή 0,1 Kg.

Ένας μεταβολέας του πλάτους ταλάντωσης του διεγέρτη Δ, σε κλίμακα από 0 έως 0,4, ρυθμισμένος στην τιμή 0.

Ένας μεταβολέας της συχνότητας ταλάντωσης του διεγέρτη Δ, σε κλίμακα από 0 έως 2 ρυθμισμένος στην τιμή 0.





Ένας μετρητής του χρόνου διάρκειας του φαινομένου.

Ένας μετρητής της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή.

Ένας μετρητής με μορφή γραφικής παράστασης, ο οποίος μετράει την παραμόρφωση dx του ελατηρίου. Στην ουσία προσδιορίζει την απομάκρυνση του σώματος που ταλαντώνεται.

Ένας μετρητής με μορφή γραφικής παράστασης, ο οποίος μετράει τo πλάτος ταλάντωσης του διεγέρτη.

Σημείωση: Στα διαγράμματα μπορείτε με διπλό κλικ να βλέπετε τα χαρακτηριστικά τους και να μεταβάλλετε το εύρος των τιμών στους άξονες, ώστε να έχετε καλύτερα οπτικά αποτελέσματα. Η επιλογή στο αυτόματο ∨ σημαίνει ότι το διάγραμμα θα εξελίσσεται και θα αναπροσαρμόζει το εύρος των τιμών. Για το λόγο αυτό, όταν επαναλαμβάνετε μια προσομοίωση, θα χρειαστεί ενδεχομένως να ρυθμίσετε τις επιλογές του εύρους τιμών. Εκτέλεση της προσομοίωσης Κατά την εμφάνιση του χώρου εργασίας, πριν από την έναρξη, το ελατήριο είναι συνδεδεμένο με το επάνω άκρο του στο σημείο Δ (διεγέρτης), το δε μπαλάκι, που είναι συνδεδεμένο στο κάτω άκρο, δεν έχει αφεθεί ελεύθερο. Οι τιμές των χαρακτηριστικών του Δ δεν του επιτρέπουν κίνηση. Η έναρξη σημαίνει ότι αφήνετε το μπαλάκι ελεύθερο να εκτελέσει κίνηση υπό την επίδραση του βάρους του. Στη διάθεσή σας υπάρχουν:



• Οι δύο μεταβολείς με τους οποίους μπορείτε να μεταβάλλετε τις τιμές των μεγεθών που αναπαριστούν. (Οι τιμές στους μεταβολείς τίθενται με κλικ και σύρσιμο. Αν δεν μπορείτε να πετύχετε την τιμή που θέλετε, μπορείτε να την πληκτρολογήσετε στο πλαίσιο διαλόγου του μεταβολέα, αφού πρώτα τοποθετήσετε εκεί, με κλικ, το σημάδι παρεμβολής: κέρσορας.)

Με το τέλος μιας ολοκληρωμένης προσομοίωσης επιλέξτε Επαναρρύθμιση, για να επανέλθει η προσομοίωση στην αρχική της κατάσταση. Για να καθαριστούν οι γραφικές παραστάσεις και οι μετρήσεις επιλέξτε Εξάλειψη μετρήσεων. Διερευνήσεις

1. Εκτελέστε την προσομοίωση για 10 sec, με τιμές στους μεταβολείς του αρμονικού ταλαντωτή Κ=1 και m=0,5 και του διεγέρτη f=0 και L=0. Παρατηρήστε το φαινόμενο και σημειώστε την τιμή της ιδιοσυχνότητας f0 του συστήματος, όπως εμφανίζεται στο αντίστοιχο πλαίσιο του μετρητή:

f0=0,709

2. Πατήστε Επαναρρύθμιση και Εξάλειψη μετρήσεων. Επαναλάβετε την προσομοίωση όσες φορές χρειάζεται, διατηρώντας σταθερή την ιδιοσυχνότητα f0 του συστήματος και το πλάτος του διεγέρτη σε L=1 και μεταβάλλοντας τη συχνότητα του διεγέρτη σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Συμπληρώσετε στον πίνακα που ακολουθεί τα αποτελέσματά σας σχετικά με το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος. Τι παρατηρείτε; Προσοχή: Κατά την επανάληψη του πειράματος, μετά την επαναρρύθμιση και την εξάλειψη των μετρήσεων, θα πρέπει, κάνοντας κλικ στο διάγραμμα, να μεταβάλλετε το εύρος των τιμών στους άξονες των διαγραμμάτων, ώστε να έχετε καλύτερα οπτικά αποτελέσματα. Επίσης, η επιλογή στο αυτόματο να είναι ∨, ώστε το διάγραμμα να εξελίσσεται και να αναπροσαρμόζει το εύρος των τιμών του κατά την εξέλιξη του φαινομένου, έως ότου παρουσιάσει το μέγιστο πλάτος.

• Σχετικά με το διάγραμμα (κατακόρυφη θέση διεγέρτη, χρόνος) ορίστε για το x: min 0 και max 15 και για το y2: min -2 και max 2.



• Σχετικά με το διάγραμμα (μήκος ελατηρίου, χρόνος) ορίστε για το xχ: min 0 και max 15 και για το y1: min 0 και max 3.

Για ιδιοσυχνότητα 0,709

Συχνότητα f διεγέρτη Πλάτος ταλάντωσης

(περίπου)

0,00 1,0

0,20 1,2

0,40 2,8

0,50 5,0

0,60 12,0

0,65 24,0

0,70 >196

0,72 18,00

0,80 8,00

0,90 4,60

1,00 4,50

1,50 3,80

2,50 3,20

3,00 2,80

Πίνακας 1

Όταν οι τιμές της συχνότητας f του διεγέρτη πλησιάζουν την τιμή της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή, το πλάτος της ταλάντωσης παίρνει μεγάλες τιμές. Ειδικότερα, όταν f=f0 , το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται πολύ μεγάλο.

Κατασκευή Κατασκευάστε μια παρόμοια προσομοίωση, προσθέτοντας στην κατασκευή σας mysyntonismos_1a.ip την κίνηση του διεγέρτη και τους μετρητές που χρειάζονται. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα.

ΕΡΓΑΣΙΑ (Κατασκευή με το λογισμικό Interactive Physics) Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: Επιλέξτε το λογισμικό Interactive Physics και ανοίξτε το αρχείο mysyntonismos_1a. Επιλέξτε Αποθήκευση ως και αποθηκεύστε το ως mysyntonismos_2a στο φάκελο εργασίας σας. Κίνηση του διεγέρτη:

• Στις ιδιότητες του σημείου στήριξης προσθέστε στην τεταγμένη ψ την εξίσωση μιας αρμονικής ταλάντωσης. Για παράδειγμα, αν έχει τεταγμένη 2, θα είναι ψ=2+(A*sin(2*3,14*f*t) (εξίσωση 1).

• Τις τιμές για τα Α και f μπορείτε να τις δίνετε από μεταβολείς τους οποίους θα ορίσετε. Για παράδειγμα, για f, επιλέγετε Ορισμός Νέο εργαλείο ελέγχου Γενικός έλεγχος. Σημειώστε από τις ιδιότητές του ποιο input είναι, π.χ., input[8], και ρυθμίστε το εύρος των τιμών του. Στην εξίσωση 1, στη θέση του f, θα βάλετε input[8]. Το ίδιο θα κάνετε και για το πλάτος Α της ταλάντωσης του διεγέρτη, αν το δίνετε με μεταβολέα.

Διάγραμμα: • Προσθέστε ένα μετρητή για τη θέση του σημείου-διεγέρτη και η κατασκευή σας έχει

ολοκληρωθεί.

3. Εκτελέστε το πείραμα, δίνοντας την τιμή 0 στη συχνότητα του διεγέρτη και μεταβάλλοντας τη

σταθερά του ελατηρίου Κ και της μάζας m του σώματος. Βρείτε τέσσερις ιδιοσυχνότητες για τον ταλαντωτή, με τιμές περίπου (0,20, 0,35, 0,70, 0,85), και συμπληρώστε τις τρεις στήλες του πίνακα 2:



Σταθερά του ελατηρίου Κ

Μάζα m του σώματος Ιδιοσυχνότητες για τον ταλαντωτή f0

Πίνακας 2 4. Στη συνέχεια επαναλάβετε το πείραμα, δίνοντας στους μεταβολείς Κ και m τις τιμές που σημειώσατε,

ώστε να προκύψει η αντίστοιχη ιδιοσυχνότητα του πίνακα 2. Στη συχνότητα του διεγέρτη δώστε την ίδια τιμή (στο πλάτος ταλάντωσης διεγέρτη δώστε την τιμή 1). Παρατηρήστε το πλάτος της ταλάντωσης του ταλαντωτή και συμπληρώστε τις τρεις στήλες του πίνακα 3:

Ιδιοσυχνότητα Συχνότητα Πλάτος ταλάντωσης συστήματος

0,23 0,23 96

0,358 0,35 32

0,709 0,70 196

0,843 0,84 >500

Πίνακας 3

Περαιτέρω ενασχόληση Με τις τιμές του πίνακα 1 σχηματίστε το διάγραμμα Α(f)-f της μεταβολής του πλάτους ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα f του διεγέρτη, δίνοντας στους άξονες τις κατάλληλες τιμές.

Διάγραμμα Α(f)-f της μεταβολής του μήκους ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα f



Π ρ ό τ α σ η ε π έ κ τ α σ η ς δ ρ α σ τ η ρ ι ο τ ή τ ω ν σ ε π ε ρ ι β ά λ λ ο ν π ρ ο γ ρ α μ -μ α τ ι σ μ ο ύ Π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς κ υ κ λ ι κ ώ ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν μ ε γ λ ώ σ σ α π ρ ο γ ρ α μ μ α -τ ι σ μ ο ύ Εισαγωγή Στις δραστηριότητες που ακολουθούν οι μαθητές θα γράψουν προγράμματα σε γλώσσα προγραμματισμού υψηλού επιπέδου, με σκοπό να μελετήσουν το γραφικό περιβάλλον της οθόνης του υπολογιστή και τα διαγράμματα των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημω και συνω και των εφαρμογών τους σε τύπους συναρτήσεων που συναντώνται στις ταλαντώσεις, π.χ. f(t)=ψ0ημωt. Θα τους δοθεί η δυνατότητα:

• Να κατανοήσουν τη δομή του γραφικού περιβάλλοντος της οθόνης του υπολογιστή, χρησιμοποιώντας βασικές ρουτίνες και σχεδιάζοντας με pixels.

• Να δημιουργήσουν άξονες τόσο για τις γραφικές παραστάσεις όσο και για τις ίδιες τις παραστάσεις των συναρτήσεων.

Περιέχονται δύο φύλλα εργασίας, ένα για καθεμία από τις δραστηριότητες που απαρτίζουν το σενάριο. Η χρονική διάρκεια εκτιμάται από δύο έως τρεις διδακτικές ώρες, ανάλογα με την εξοικείωση των μαθητών με τη γλώσσα προγραμματισμού. Προτείνονται για τη Β΄ και Γ΄ Λυκείου (γενικού και επαγγελματικού).


Η γεωμετρία της οθόνης σε γραφικό περιβάλλον και οι βασικές ενέργειες για την είσοδο σε αυτό με τη γλώσσα προγραμματισμού Pascal

1 έως 2 ώρες

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: y=ημχ, y=συνχ, y=y0ημωt κ.τ.λ.

2 ώρες

Γνωστικό αντικείμενο Γραφικό περιβάλλον Η οθόνη του υπολογιστή μας χρησιμοποιείται συνήθως ως βασική μονάδα επικοινωνίας του χρήστη με τον υπολογιστή. Κάθε φορά που χρησιμοποιούμε χαρακτήρες, το πλήθος των χαρακτήρων που απεικονίζεται σε οθόνες γενικής χρήσης είναι 24 γραμμές και 80 στήλες (24x80). Όταν όμως θέλουμε να απεικονίσουμε γραφικές παραστάσεις ή να σχεδιάσουμε στην οθόνη, τότε δεν χρησιμοποιούμε χαρακτήρες, αλλά τα μικροσκοπικά εικονοστοιχεία (pixels) που μετρώνται σε χιλιοστά (π.χ. 25 mm). Η οργάνωση της οθόνης αλλάζει και αναλύεται σε γραμμές και στήλες που περιέχουν pixels. Η σχεδίαση ή η απεικόνιση παραστάσεων γίνεται συνήθως με ειδικές εφαρμογές που έχουν σχεδιαστεί για το συγκεκριμένο λόγο, όπως έχουμε διαπιστώσει και σε εργασίες με εκπαιδευτικά λογισμικά. Η περίπτωση που εξετάζεται εδώ αφορά τον τρόπο που μπορούμε να το επιτύχουμε μέσω προγραμμάτων που θα κατασκευάσουμε εμείς, χρησιμοποιώντας μια γλώσσα προγραμματισμού υψηλού επιπέδου. Θα χρησιμοποιήσουμε το γραφικό περιβάλλον της γλώσσας προγραμματισμού Pascal. Περιβάλλον Pascal Το περιβάλλον της Pascal, το οποίο προσφέρεται σε διάφορες εκδόσεις, είναι ένα απλό περιβάλλον προγραμματισμού που δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να εργαστούν στο γραφικό περιβάλλον της οθόνης του υπολογιστή, χρησιμοποιώντας απλές εντολές. Για το λόγο αυτό θα χρησιμοποιήσετε την έκδοση της Pascal σε παραθυρικό μεν περιβάλλον, όμως σε πλατφόρμα του λειτουργικού συστήματος DOS. Για να μεταγλωττίσετε τα γραμμένα σε Pascal προγράμματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον compiler Free Pascal που χρησιμοποιείται στις Διεθνείς Ολυμπιάδες Πληροφορικής, τον οποίο θα βρείτε στον ιστοχώρο http://www.freepascal.org/. Μία έκδοση της Free Pascal υπάρχει στο φάκελο Other του συνοδευτικού CD-ROM και μπορείτε να την εγκαταστήσετε στον υπολογιστή σας.

http://www.freepascal.org/



Προσοχή: Όλα τα προγράμματα Pascal υπάρχουν στο φάκελο των αρχείων του καθηγητή και για να τα τρέξετε θα πρέπει να τα μεταφέρετε στο σκληρό σας δίσκο, σε φάκελο που το πλήρες μονοπάτι του έχει αγγλικούς χαρακτήρες. Οδηγίες για την Pascal δίνονται στα φύλλα εργασίας και στο φάκελο βοήθειας των μαθητών. Γραφικές παραστάσεις Για να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x)=y θα πρέπει πρώτα να σχηματίσετε έναν πίνακα τιμών για τα ζεύγη (χ,y), ας πούμε (χi,yi). Στη συνέχεια θα τοποθετήσετε τα ζεύγη αυτά στο κατάλληλο σύστημα αξόνων που έχετε ήδη φτιάξει και μόλις τα ενώσετε θα προκύψει η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για να κάνετε τη γραφική παράσταση στην οθόνη θα πρέπει να ακολουθήσετε τα ίδια βήματα, λαμβάνοντας, όμως, υπόψη και τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται οι συντεταγμένες στην οθόνη του υπολογιστή. Δείτε το παρακάτω σχήμα.

Όπως παρατηρείτε, το σημείο (0,0) αντιστοιχεί στο επάνω αριστερό άκρο της οθόνης, ο οριζόντιος άξονας σε θετικές τετμημένες και ο κατακόρυφος άξονας σε θετικές τεταγμένες. Το πρόβλημα που παρουσιάζεται εδώ είναι ότι δεν μπορείτε να παραστήσετε σημεία που έχουν τη μία ή και τις δύο συντεταγμένες αρνητικές. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ημω και συνω με θετικές τετμημένες Στην περίπτωση των συναρτήσεων της απλής αρμονικής ταλάντωσης οι οποίες περιέχουν στους τύπους των εξισώσεών τους τα ημω και συνω, όπου ω>0, θα χρειαστείτε οπωσδήποτε αρνητικές τεταγμένες. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να κάνετε μεταφορά των αξόνων σε κάποιο άλλο σημείο της οθόνης, ώστε στο επάνω μισό της να απεικονίσετε σημεία με θετικές τεταγμένες και στο κάτω μισό σημεία με αρνητικές τεταγμένες, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=ημχ θα πρέπει να εκφράσετε τις συντεταγμένες (χ,y) στο νέο σύστημα αξόνων (π.χ. με κέντρο Κ(40,250)). Τετμημένες Η μεταβλητή X στο νέο σύστημα αξόνων, με κέντρο το σημείο Κ(Χκ,Yk) της οθόνης, παίρνει τιμές από Χκ έως getmaxX. Επειδή θέλετε να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ημX, θα πρέπει να μετατρέψετε τις τιμές της μεταβλητής X από pixels σε ακτίνια (rad). Ας δούμε τι θα συμβεί, αν θεωρήσουμε ότι:



• Για Χ=Χκ, η αντίστοιχη γωνία είναι 0.

• Για X=getmaxX, η αντίστοιχη γωνία είναι 2π. Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος μιας περιόδου για τη συνάρτηση ημX είναι Τ=(getmaxΧ-Χκ). Ας δούμε τώρα τι θα συμβεί, αν θεωρήσουμε ότι T κάποιος αριθμός λ:

• Για Χ=Χκ, η αντίστοιχη γωνία είναι 0.

• Για X=λ, η αντίστοιχη γωνία είναι 2π. Το πλάτος μιας περιόδου για τη συνάρτηση ημX είναι Τ=(λ-Χκ). Γενικά ισχύει:

• Η γωνία 2π… αντιστοιχεί σε μήκος Τ pixels.

• Η γωνία α αντιστοιχεί σε μήκος Τ-Χκ pixels.

Με απλή μέθοδο βρίσκουμε ότι ένα τυχαίο σημείο χ του άξονα χχ΄, με Χκ<Χ<getmaxX, εκφράζεται ως γωνία (σε ακτίνια) με τον ακόλουθο τύπο:

α=2π(Χ-Χκ)/(Τ-Χκ) Τεταγμένες Δίνοντας διαδοχικές τιμές στη μεταβλητή Χ (Χκ<Χ<getmaxX), θα πρέπει να βρείτε τις τιμές της μεταβλητής Υ=ημΧ. Με βάση τον προηγούμενο τύπο, οι αντίστοιχες τιμές της γωνίας σε rad είναι a=2π(Χ-Χκ)/(Τ-Χκ). Γνωρίζοντας την τιμή της γωνίας σε rad, μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής Υ. Στην αρχή το Χ θα πάρει την τιμή Χκ και στη συνέχεια θα αλλάζει σύμφωνα με τον τύπο Χ=Χ+step. Επειδή το ημίτονο παίρνει τιμές από -1 έως 1, θα πρέπει και οι τιμές της μεταβλητής Υ να βρίσκονται στο ίδιο διάστημα. Για το λόγο αυτό, θα πρέπει να ορίσετε τη μονάδα (monadaΥ) στον άξονα των τεταγμένων με κάποιο μήκος <=Yk. (π.χ. 250 pixels, όσο δηλαδή η τεταγμένη του σημείου Κ(40, 250)). Με απλό συλλογισμό προκύπτουν τα ακόλουθα για τη συνάρτηση Y=ημX:

Όταν η γωνία είναι α=0, η μεταβλητή X παίρνει την τιμή X=Χκ, και επειδή ημ0=0, θα πρέπει και η μεταβλητή Υ να πάρει την τιμή Υκ. Δηλαδή, για το ζεύγος τιμών (0,0) αντιστοιχεί το ζεύγος τιμών (Χκ, Υκ).

Όταν η γωνία είναι α=π/2, και επειδή ημ(π/2)=1, θα πρέπει η μεταβλητή Υ να πάρει την τιμή εκείνη η οποία εκφράζεται από τη μονάδα που ορίσατε, οπότε Υ=ημ(π/2)=monadaΥ. Δηλαδή, για το ζεύγος τιμών (π/2,1) αντιστοιχεί το ζεύγος τιμών (Χ, monadaY), όπου η Χ παίρνει την τιμή που προκύπτει από τον τύπο a=2π(Χ-Χκ)/(Τ-Χκ).

Γενικότερα Αν το κέντρο των αξόνων βρίσκεται στο σημείο (Χκ,Υκ) και έχετε ορίσει τη μονάδα για τον άξονα Υ ως monadaY<Yk, καθώς, επίσης, και την περίοδο της συνάρτησης Τ=λ (λ<(getmaxX-Xk)), τότε για τις συντεταγμένες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Υ=ημΧ θα ισχύουν τα εξής:



Χκ<Χ<getmaxX Χ=Χ+step a:=2*π*(Χ-Χk)/(T-Χk); Υ=Υκ-monadaY*ημa<Yk


• Να χρησιμοποιήσουν προγράμματα του γραφικού περιβάλλοντος της οθόνης του υπολογιστή.

• Να κατανοήσουν τη γεωμετρία της οθόνης με αναπαράσταση σημείων και σχεδίαση γραμμών.

• Να σχεδιάσουν ένα σύστημα αξόνων για γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.

• Να ορίσουν στο νέο σύστημα αξόνων τα κατάλληλα διαστήματα, ώστε να γίνουν τα διαγράμματα των συναρτήσεων.

• Να φτιάξουν τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των συναρτήσεων της Γραμμικής Αρμονικής Ταλάντωσης.

• Να μελετήσουν τη διαφορά φάσης στις συναρτήσεις. Γενικότεροι Γενικότεροι στόχοι:

• Η κατανόηση, από μεριάς μαθητών, του τρόπου με τον οποίο σχεδιάζονται λογισμικά και εργαλεία –με βάση τον προγραμματισμό, τα Μαθηματικά και τη Φυσική– τα οποία χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση φυσικών μεγεθών.

• Ο σχεδιασμός, η γραφή και η εκτέλεση προγραμμάτων σε προγραμματιστικά περιβάλλοντα γλωσσών υψηλού επιπέδου.


• Η εργασία μέσα στην ομάδα. Διδακτική προσέγγιση Στόχος του εκπαιδευτικού σεναρίου είναι να ενθαρρύνει τους μαθητές να δημιουργήσουν προγράμματα, βήμα προς βήμα, και να προσεγγίσουν με διερευνητικό τρόπο το γνωστικό αντικείμενο. Οι δραστηριότητες που αναπτύχθηκαν υποστηρίζουν:

• Τη σταδιακή δόμηση των ενεργειών.

• Την παρατήρηση των φαινομένων ως μαθηματικά μοντέλα.

• Την αυτενέργεια και τη συνεργασία των μαθητών. Προαπαιτούμενες γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών Γνωστικό αντικείμενο Οι γνώσεις των μαθητών που απαιτούνται για να φέρουν σε πέρας τις δραστηριότητες περιέχονται στον Προγραμματισμό με γλώσσα προγραμματισμού του λυκείου (γενικού ή επαγγελματικού), καθώς και στη Φυσική και στα Μαθηματικά της Β΄ Λυκείου (αντίστοιχα στις ενότητες: «Ταλαντώσεις» και «Τριγωνομετρία»). Χρήση εργαλείων Νέων Τεχνολογιών


• Βασικά στοιχεία προγραμματισμού και βασικές εντολές.

• Βασικές γνώσεις σχετικά με τις λειτουργίες της γλώσσας που θα χρησιμοποιηθεί.




• Ένα γενικής χρήσης λογισμικό (επεξεργαστής κειμένου, λογιστικά φύλλα κ.λπ.).

• Ένα προγραμματιστικό περιβάλλον της γλώσσας προγραμματισμού Pascal που να υποστηρίζει γραφικό περιβάλλον.









• Να κατανοούν και να χειρίζονται το γραφικό περιβάλλον της οθόνης του υπολογιστή.

• Να χειρίζονται τα μαθηματικά αντικείμενα, τις εξισώσεις, τις μεταβλητές, τις γραφικές παραστάσεις, και να τα χρησιμοποιούν για την επίλυση προβλημάτων.

• Να συνθέτουν τα προγράμματα και ενσωματώνουν τις αλλαγές, όταν ζητείται. Δραστηριότητες εμπλουτισμού Η ανάπτυξη προγραμμάτων αποτελεί πεδίο ανάπτυξης περισσότερων, από τις παρεχόμενες, δραστηριότητες στο παρόν σενάριο. Οι εκπαιδευτικοί μπορούν να τη χρησιμοποιήσουν όπως οι ίδιοι νομίζουν ότι θα εξυπηρετήσουν τους ιδιαίτερους εκπαιδευτικούς στόχους. Στρατηγικές εμψύχωσης Αν λάβουμε υπόψη: (α) τις δεξιότητες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, (β) τις επιδόσεις των μελών κάθε ομάδας, με βάση την αξιολόγησή τους στο παραδοσιακό μάθημα, και (γ) τις ικανότητές τους στη συνεργασία, τότε ο σχηματισμός των ομάδων εργασίας θα χαρακτηρίζεται από ποικιλία δεξιοτήτων του συνόλου, γεγονός που θα έχει ως συνέπεια την αύξηση της αποτελεσματικότητας και τη μεγιστοποίηση της δυνατότητας ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του χρόνου που διατίθεται γι’ αυτές. Υλικό για τους διδάσκοντες

• Η επιλογή Help του προγραμματιστικού περιβάλλοντος αναλύει όλες τις εντολές και δίνει παραδείγματα.

• Όλα τα προγράμματα που αναπτύσσονται υπάρχουν στο φάκελο αρχείων των καθηγητών Files\Section_13\Arxeiakathigiti.

Σημείωση: Για να δείτε τη βοήθεια για το μαθητή (βοήθεια στα προγράμματα της Pascal), επιλέξτε το εικονίδιο στην ενότητα όπου βρίσκεστε.



Προσοχή για το περιβάλλον Free Pascal Η ονομασία για το πλήρες μονοπάτι που ανήκει ο φάκελος, στον οποίο υπάρχουν τα εκτελέσιμα αρχεία, πρέπει να έχει αγγλικούς χαρακτήρες (π.χ. mydocuments/progr/prog_dr1a), διαφορετικά ο μεταφραστής, κατά τη μετάφραση και εκτέλεση του προγράμματος (compile, run), θα παρουσιάσει πρόβλημα τέλους. Αν βρίσκονται κάπου αλλού, θα πρέπει να μεταφερθούν. Τέλος, για το γραφικό περιβάλλον δεν χρειάζεται o φάκελος bgi.



Φύλλα εργασίας: Παραστάσεις κυκλικών συναρτήσεων με γλώσσα προγραμματισμού Εισαγωγή Το σενάριο περιλαμβάνει τις παρακάτω δραστηριότητες:

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Η γεωμετρία της οθόνης σε γραφικό περιβάλλον και οι βασικές ενέργειες για την είσοδο σε αυτό με τη γλώσσα προγραμματισμού Pascal

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: y=ημχ, y=συνχ, y=y0ημωt κ.τ.λ.

Προαπαιτούμενα – Υποδομή Για τη διεξαγωγή των δραστηριοτήτων θα πρέπει να είναι εγκατεστημένη στον υπολογιστή σας μια έκδοση της Pascal που να διαθέτει γραφικά. Στο συνοδευτικό CD-ROM υπάρχει μια έκδοση της Free Pascal που μπορείτε να εγκαταστήσετε. Επίσης υπάρχουν όλα τα πηγαία προγράμματα, τα εκτελέσιμα αρχεία, καθώς και βοήθεια για το μαθητή.



Δραστηριότητα 1: Η γεωμετρία της οθόνης σε γραφικό περιβάλλον και οι βασικές ενέργειες για την είσοδο σε αυτό με τη γλώσσα προγραμματισμού Pascal

Τμήμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Όταν θέλετε να γράψετε ένα κείμενο στον υπολογιστή, χρησιμοποιείτε την οθόνη κειμένου η οποία χωρίζεται σε γραμμές και στήλες και σας δίνει τη δυνατότητα να απεικονίσετε ένα πλήθος χαρακτήρων (π.χ. (80x25) χαρακτήρες). Όταν όμως πρόκειται να σχεδιάσετε ή να επεξεργαστείτε εικόνες, τότε θα πρέπει να μεταβείτε στο γραφικό περιβάλλον της οθόνης, όπου, αντί για χαρακτήρες, απεικονίζονται μικροσκοπικά pixels. Στην περίπτωση αυτή, η οργάνωση της οθόνης αλλάζει και αναλύεται σε γραμμές και στήλες που περιέχουν, όχι χαρακτήρες, αλλά pixels. Η ανάλυση της οθόνης σε οριζόντια και κατακόρυφη συντεταγμένη εξαρτάται από την κάρτα του υπολογιστή σας. Έτσι, υπάρχουν κάρτες οθόνης που την αναλύουν σε: (640,480), (800,600), (1024,768) pixels κ.τ.λ. Όταν έχουμε ανάλυση οθόνης (800,600), το σημείο (0,0) αντιστοιχεί στο επάνω αριστερό άκρο της οθόνης και, για κάθε σημείο, η τετμημένη προβάλλεται στον οριζόντιο άξονα, ενώ η τεταγμένη στον κάθετο. Ένα pixel είναι ένα σημείο, π.χ. Μ, που ορίζεται από ένα ζεύγος τιμών (χ,ψ), με χ=Μ1 στον οριζόντιο άξονα και ψ=Μ2 στον κάθετο άξονα (βλ. παρακάτω σχήμα). Τα χ και ψ είναι πάντοτε θετικά.

Οδηγίες για την Pascal Το περιβάλλον της Pascal, το οποίο προσφέρεται σε διάφορες εκδόσεις, είναι ένα απλό περιβάλλον προγραμματισμού που σας δίνει τη δυνατότητα να εργαστείτε στο γραφικό περιβάλλον της οθόνης του υπολογιστή, χρησιμοποιώντας απλές εντολές. Σκοπός του σεναρίου είναι να διερευνήσετε τη γεωμετρία της οθόνης με απλό τρόπο και με βάση την απλή εμπειρία που διαθέτετε πάνω στον προγραμματισμό. Για το λόγο αυτό θα χρησιμοποιήσετε την έκδοση της Pascal σε παραθυρικό περιβάλλον, όμως σε πλατφόρμα του λειτουργικού συστήματος DOS. Για να μεταγλωττίσετε τα γραμμένα σε Pascal προγράμματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον compiler Free Pascal που χρησιμοποιείται στις Διεθνείς Ολυμπιάδες Πληροφορικής, τον οποίο θα βρείτε στον ιστοχώρο http://www.freepascal.org/. Μία έκδοση της Free Pascal υπάρχει στο φάκελο Other του συνοδευτικού CD-ROM και μπορείτε να την εγκαταστήσετε στον υπολογιστή σας. Για να χρησιμοποιήσετε το γραφικό περιβάλλον της Pascal είναι απαραίτητο να έχετε την κατάλληλη μονάδα (unit) για την οθόνη σας. Θα πρέπει λοιπόν στο πρόγραμμά σας, μετά την ονομασία program…, να ορίσετε τη μονάδα γραφικών, δίνοντας uses graph;. Στη συνέχεια, με την εντολή Initgraph, το πρόγραμμα επιλέγει την κάρτα γραφικών του υπολογιστή και το mode της κάρτας. Αν εργαστείτε σε έκδοση της Pascal που για το γραφικό περιβάλλον χρειάζεται τα αρχεία με κατάληξη bgi, θα πρέπει να δηλώσετε το πλήρες μονοπάτι (drivepath) του φακέλου bgi που περιέχει τα συγκεκριμένα αρχεία (π.χ. c:/pascal/bgi). (Μπορείτε βέβαια να έχετε ένα αντίγραφο του φακέλου bgi στο χώρο αποθήκευσης των προγραμμάτων σας, οπότε δεν χρειάζεται το πλήρες μονοπάτι.) Η σύνταξή της έχει ως εξής: Initgraph (graphdriver, graphmode, drivepath) όπου:

• Η παράμετρος graphdriver:=Detect; επιλέγει αυτόματα την κάρτα.

• Η παράμετρος graphmode λαμβάνει την τιμή της μεγίστης ανάλυσης.

http://www.freepascal.org/



• Η παράμετρος drivepath ορίζει το μονοπάτι, όπου βρίσκονται τα αρχεία με κατάληξη bgi. Βήματα στην τάξη Εργασία 1: Είσοδος στο γραφικό περιβάλλον της οθόνης και εμφάνιση pixels. Κάντε κλικ στο prog_dr1a (φάκελος εκτελέσιμα), αν θέλετε να δείτε το εκτελέσιμο αρχείο. Για να ορίσετε στην οθόνη του υπολογιστή το σημείο Μ, με συντεταγμένες (χ, ψ) και ανάλογο χρώμα, χρειάζεστε την εντολή: PutPixel (x, y, color): Τυπώνει ένα απλό σημάδι στο σημείο (x,y) με το αντίστοιχο χρώμα. Επίσης, για να εμφανίσετε στην οθόνη σας κείμενα ή ονομασίες, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την εντολή OutTextXY, η οποία είναι αντίστοιχη της writeln, ενώ δίνει και τις συντεταγμένες εμφάνισης. Το παρακάτω πρόγραμμα απαρτίζεται από διαδοχικές εντολές που ορίζουν:

• Το γραφικό περιβάλλον της οθόνης.

• Τις συντεταγμένες ενός σημείου Μ με χρήση των ακέραιων μεταβλητών X (τετμημένη) και Y (τεταγμένη).

• Την εμφάνιση του σημείου στην οθόνη.

• Την ονομασία του. Να γράψετε, να μεταφράσετε και να εκτελέσετε το παρακάτω πρόγραμμα στο περιβάλλον Pascal του εργαστηρίου σας (ονομάστε το myprogr_dr1a). Προσοχή: Για το περιβάλλον Free Pascal Η ονομασία τόσο για το πλήρες μονοπάτι που ανήκει ο φάκελος, στον οποίο θα σώζετε τα αρχεία σας, όσο και για τον ίδιο το φάκελο, θα πρέπει να έχει αγγλικούς χαρακτήρες (π.χ. mydocuments/progr/prog_dr1a), διαφορετικά ο μεταφραστής, κατά τη μετάφραση και εκτέλεση του προγράμματος (compile, run), θα παρουσιάζει πρόβλημα τέλους. Επίσης, για το γραφικό περιβάλλον δεν χρειάζεται ο φάκελος bgi.

Program open_grafika; {ΕΜΦΑΝΙΣΗ PIXELS} uses crt,Graph; var grDriver,grMode, X,Y: Integer; begin clrscr; grDriver:= Detect; InitGraph(grDriver, grMode,'bgi'); setcolor(green); outtextXY (150,10, ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΑΙ ΟΝΟΜΑΣΙΑ PIXELS'); {ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ,ΕΜΦΑΝΙΣΗ,ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΣΗΜΕΙΟΥ} X:=234; Y:=245; PutPixel(X,Y,red); setcolor(lightred); outtextXY (X+4, Y-8, 'M'); {EXODOS} outtextXY (900, 600, 'minimize gia epistrofi’); Writeln (‘ENTER GIA EXODO’) Readln; CloseGraph; end.



Οδηγίες εκτέλεσης προγράμματος Κατά την εκτέλεση του προγράμματος με τη Free Pascal θα εμφανίζονται δύο παράθυρα:

• Το παράθυρο Εκτέλεσης εντολών (Free Pascal IDE).

• Το παράθυρο Γραφικών (graph window applicacion). Όταν ζητείται κάποια εντολή εκτέλεσης, θα πρέπει να τη δίνετε από το παράθυρο (Free pascal IDE), αφού πρώτα το εμφανίσετε, και μετά να επιστρέφετε στο παράθυρο (graph window applicacion) για να βλέπετε τα αποτελέσματα. Μην ξεχνάτε κάθε φορά να σώζετε τα αρχεία σας σε φάκελο με αγγλικούς χαρακτήρες. Ερωτήματα – Διερευνήσεις

1. Κάντε δοκιμές με την εμφάνιση σημείων και διερευνήστε τα όρια της οθόνης. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας ως προς την ανάλυσή της:

[Αναμένουμε από τους μαθητές να σχολιάσουν τις διαστάσεις της οθόνης.]

2. Στο πρόγραμμα myprog_dr1a προσθέστε μια επαναληπτική διαδικασία, προκειμένου να εμφανίζεται ένα πλήθος σημείων. Για παράδειγμα, προσθέστε τις integer μεταβλητές step και telos, καθώς και μια επαναληπτική διαδικασία repeat μέχρι χ>=telos. Παρατηρήστε τι συμβαίνει (αποθηκεύστε το ως myprog_dr1b). Ποιες εντολές θα προσθέσετε; Κάντε κλικ στο prog_dr1b (φάκελος εκτελέσιμα), αν θέλετε να δείτε το εκτελέσιμο αρχείο. Απάντηση:

step:=10; telos:=345; repeat

x:= x+step; y:= y+step; PutPixel(round(X),round(Y),Lightred);

until x >= telos

3. Πειραματιστείτε και με άλλες εμφανίσεις. Για παράδειγμα, να εμφανίζονται τα σημεία οριζοντίως ή καθέτως.

[Οι μαθητές θα πρέπει να μεταβάλλουν μόνο τη μία μεταβλητή.]

x:=x+step; y:=y;

Αν χρειάζεστε βοήθεια, μπορείτε να δείτε τον κώδικα του προγράμματος στο φάκελο βοήθειας μαθητή (αρχείο progr_dr1b.txt).



Εργασία 2: Δημιουργία γραμμών και αξόνων. Κάντε κλικ στο prog_dr1c (φάκελος εκτελέσιμα), αν θέλετε να δείτε το εκτελέσιμο αρχείο. Δημιουργία γραμμών Όταν βρίσκεστε σε ένα γραφικό περιβάλλον, μπορείτε με την εντολή Line να σχηματίζετε απλά γεωμετρικά σχήματα. Η εντολή Line (x1, y1, x2, y2): Σχηματίζει γραμμή μεταξύ 2 σημείων της οθόνης (χ1, y1) και (x2, y2).

1. Στο πρόγραμμα myprog_dr1a προσθέστε τις κατάλληλες μεταβλητές, ώστε να κατασκευάσετε δύο σημεία (pixels) στην οθόνη σας και στη συνέχεια με την εντολή line να τα ενώσετε. Σημειώστε παρακάτω τι θα προσθέσετε στο πρόγραμμα. Στη συνέχεια κάντε τις κατάλληλες τροποποιήσεις, μεταφράστε το, εκτελέστε το και αποθηκεύστε το ως myprogr_dr1c.

Απάντηση:

X:=134; Y:=124; PutPixel(X,Y,red); setcolor(lightred); outtextXY (X+4, Y-8, 'M'); X1:=334; Y1:=324; PutPixel(X1,Y1,red); setcolor(lightred); outtextXY (X1+4, Y1-8, 'M1'); {Δημιουργία γραμμής} setcolor(blue); Line(X,Y,X1,Y1);

2. Πειραματιστείτε και με άλλες εμφανίσεις, π.χ. με σχηματισμό τριγώνου κ.τ.λ.

[Αναμένουμε από τους μαθητές να ορίσουν τρία σημεία και τις αντίστοιχες εντολές line.]

Αν χρειάζεστε βοήθεια, μπορείτε να δείτε τον κώδικα του προγράμματος στο φάκελο βοήθειας μαθητή (αρχείο progr_dr1c.txt).

Κατασκευή νέων αξόνων Κάντε κλικ στο prog_dr1d (φάκελος εκτελέσιμα), αν θέλετε να δείτε το εκτελέσιμο αρχείο. Στην πρώτη εργασία είδατε ότι το κέντρο των αξόνων (σημείο (0,0)) αντιστοιχεί στο επάνω αριστερό άκρο της οθόνης, η τετμημένη ενός σημείου Μ της οθόνης στον οριζόντιο άξονα, ενώ η τεταγμένη του στον κάθετο. Με βάση τις ρουτίνες GetMaxX και GetMaxY, η οθόνη θα εμφανίζεται όπως στο παρακάτω σχήμα. GetMaxX: Επιστρέφει τη μεγίστη τιμή της οριζόντιας συντεταγμένης. GetMaxY: Επιστρέφει τη μεγίστη τιμή της κατακόρυφης συντεταγμένης.



Για να κατασκευάσετε δύο νέους άξονες με κέντρο κάποιο άλλο σημείο Κ της οθόνης, θα πρέπει να ορίσετε τα κατάλληλα σημεία (δύο για κάθε άξονα) και να χρησιμοποιήσετε την εντολή line. Αν Κ(χκ, ψκ) το νέο κέντρο, τότε, σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, τα σημεία που θα χρειαστείτε με τις συντεταγμένες τους είναι τα εξής: Μ(0, yκ), Μ΄(GetMaxX, yκ), Ν(χκ,0) και Ν΄(0, GetMaxY).

Αφού κατανοήσετε τη μέχρι τώρα διαδικασία, να γράψετε, να μεταφράσετε και να εκτελέσετε το παρακάτω πρόγραμμα στο περιβάλλον του εργαστηρίου σας (ονομάστε το myprogr_dr1d).



Program axones; {ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΞΟΝΩΝ} uses crt,Graph; var grDriver,grMode, Xk,Yk: Integer; begin clrscr; grDriver:= Detect; InitGraph(grDriver, grMode,'bgi'); setcolor(green); outtextXY (150,10, ‘ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΞΟΝΩΝ '); {ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ} xk:= 100; yk:= 134; setcolor(lightred); outtextXY (xk+4, yk-8, 'K(100,134)'); {ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΞΟΝΩΝ} setcolor(red); Line(xk , 0, xk, GetMaxY); Line(0,yk, GetMaxX, yk); {EXODOS} outtextXY (900, 600, 'minimize gia epistrofi’); Writeln (‘ENTER GIA EXODO’) Readln; CloseGraph; end.

3. Κάντε τις κατάλληλες αλλαγές στο πρόγραμμα myprogr_dr1d, ώστε το κέντρο (χκ, ψκ) να δίνεται

από το πληκτρολόγιο. Απάντηση: {ORISMOS KENTROY} setcolor(RED); outtextXY (550,20, 'MINIMIZE GIA NA DWSEIS SYNTETAGMENES KENTROY'); writeln ('DWSE xk '); read(xk); writeln ('DWSE yk '); read(yk); setcolor(lightred); outtextXY (xk+4, yk-8, 'K'); writeln ('maximize GRAPH GIA EMFANISH AXONWN'); readln;

4. Κατασκευάστε άξονες με διάφορα κέντρα. Ειδικότερα, γράψτε τις συντεταγμένες με τη βοήθεια των getmaxX, getmaxY και της εντολής line, ώστε το κέντρο των αξόνων Κ να μεταφερθεί στο κέντρο της οθόνης. Ποιες εντολές θα πρέπει να αλλάξετε ή να προσθέσετε;



Απάντηση: {ORISMOS KENTROY} xk:= getmaxX div 2; yk:= getmaxY div 2; setcolor(lightred); outtextXY (xk+4, yk-8, 'K');



Δραστηριότητα 2: Σχεδίαση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: y=ημχ, y=συνχ, y=y0ημωt κ.τ.λ.

Με την ολοκλήρωση της δραστηριότητας myprogr_dr1a μάθατε, χρησιμοποιώντας το περιβάλλον της γλώσσας προγραμματισμού Pascal, να σχεδιάζετε στο γραφικό περιβάλλον της οθόνης του υπολογιστή και να δημιουργείτε συστήματα αξόνων. Πώς τώρα θα σχεδιάσετε στο νέο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ημχ, συνχ y0ημωt κ.τ.λ.; Με αυτό το θέμα θα ασχοληθείτε λεπτομερώς στη συγκεκριμένη εργασία. Γραφικές παραστάσεις Για να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x)=y, θα πρέπει πρώτα να σχηματίσετε έναν πίνακα τιμών για τα ζεύγη (χ, y), ας πούμε (χi, yi). Στη συνέχεια θα τοποθετήσετε τα ζεύγη αυτά στο κατάλληλο σύστημα αξόνων που έχετε φτιάξει και μόλις τα ενώσετε θα προκύψει η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για να κάνετε τη γραφική παράσταση στην οθόνη, θα πρέπει να ακολουθήσετε τα ίδια βήματα, λαμβάνοντας, όμως, υπόψη και τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται οι συντεταγμένες στην οθόνη του υπολογιστή. Δείτε το παρακάτω σχήμα.

Όπως παρατηρείτε, το σημείο (0,0) αντιστοιχεί στο επάνω αριστερό άκρο της οθόνης, ο οριζόντιος άξονας σε θετικές τετμημένες, ενώ ο κατακόρυφος σε θετικές τεταγμένες. Το πρόβλημα που παρουσιάζεται εδώ είναι ότι δεν μπορείτε να παραστήσετε σημεία που έχουν τη μία ή και τις δύο συντεταγμένες αρνητικές. Στην περίπτωση των συναρτήσεων της απλής αρμονικής ταλάντωση που περιέχουν στους τύπους των εξισώσεών τους τα ημω και συνω, όπου ω>0, θα χρειαστείτε οπωσδήποτε αρνητικές τεταγμένες. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να κάνετε μεταφορά των αξόνων σε κάποιο άλλο σημείο της οθόνης, ώστε στο επάνω μισό της οθόνης να απεικονίσετε σημεία με θετικές τεταγμένες και στο κάτω μισό σημεία με αρνητικές τεταγμένες, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.



Εργασία 1: Γραφική παράσταση ευθείας Σχηματίστε ένα νέο σύστημα αξόνων με κέντρο ένα σημείο Κ(χκ, ψκ), π.χ. (40, 250). Για να γίνει αυτό θα πρέπει να συμπληρώστε τον παρακάτω κώδικα. Στη συνέχεια γράψτε, μεταφράστε και εκτελέστε το παρακάτω πρόγραμμα στο περιβάλλον του εργαστηρίου σας (αποθηκεύστε ως myprogr_dr2a). Κάντε κλικ στο prog_dr2a (φάκελος εκτελέσιμα), αν θέλετε να δείτε το εκτελέσιμο αρχείο. Προσοχή: Για το περιβάλλον Free Pascal Η ονομασία τόσο για το πλήρες μονοπάτι που ανήκει ο φάκελος, στον οποίο θα σώζετε τα αρχεία σας, όσο και για τον ίδιο το φάκελο, θα πρέπει να έχει αγγλικούς χαρακτήρες (π.χ. mydocuments/progr/prog_dr2a), διαφορετικά ο μεταφραστής, κατά τη μετάφραση και εκτέλεση του προγράμματος (compile, run), θα παρουσιάζει πρόβλημα τέλους. Επίσης, για το γραφικό περιβάλλον δεν χρειάζεται ο φάκελος bgi.

Program grafiki-parastasi1; ……………………………….. var grDriver,grMode, …………………. begin grDriver:= Detect; InitGraph(grDriver, grMode,'bgi'); setcolor(green); outtextXY (150,10, 'ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ'); {ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ} xk:= ………..; yk:=…………; setcolor(lightred); outtextXY (xk+4, yk-8, 'K(………, ………….'); {ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΞΟΝΩΝ} setcolor(red); Line(…………………………………..); Line(…………………………………..); {EXODOS} outtextXY (900, 600, 'minimize gia epistrofi’); Writeln (‘ENTER GIA EXODO’) Readln; CloseGraph; end.

Αν χρειάζεστε βοήθεια, μπορείτε να δείτε τον κώδικα του προγράμματος στο φάκελο βοήθειας μαθητή (αρχείο progr_dr2a.txt). Οδηγίες για την εκτέλεση του προγράμματος υπάρχουν στη δραστηριότητα 1, καθώς και στο φάκελο βοήθειας μαθητή (αρχείο odigies-pascal.txt). Στη συνέχεια μπορείτε να χωρίσετε το θετικό ημιάξονα xx΄ σε ίσα διαστήματα, που το καθένα θα ονομάσετε step, και με μια επαναληπτική διαδικασία να τον διατρέχετε κάθε φορά που θέλετε να σχηματίσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Όσο πιο μικρό είναι το step, τόσο πιο πολλές τιμές θα παίρνει το x και επομένως θα έχετε πιο πολλά σημεία στη γραφική παράσταση. Να φτιάξετε ένα πρόγραμμα που να δημιουργεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=65, με 40<x<getmaxX. Κατασκευή Συμπλήρωστε τον κώδικα στο πρόγραμμα myprogr_dr_2a, τοποθετώντας τις παρακάτω εντολές στις κατάλληλες θέσεις. Στη συνέχεια μεταφράστε το και εκτελέστε το στο περιβάλλον του εργαστηρίου σας. Αποθηκεύστε το ως myprogr_dr2b. Κάντε κλικ στο prog_dr2b (φάκελος εκτελέσιμα), αν θέλετε να δείτε το εκτελέσιμο αρχείο. var x,y, step: real; step:= 0.001; repeat y:=yk -65; x:= x+step; putpixel (round(x),round(y), red); until x>=getmaxX;



Όταν το τρέξετε, θα πρέπει να σχηματιστεί μια ευθεία γραμμή σε απόσταση 65 pixels από το νέο άξονα χχ΄. Αν χρειάζεστε βοήθεια, μπορείτε να δείτε τον κώδικα του προγράμματος στο φάκελο βοήθειας μαθητή (αρχείο progr_dr2b.txt). Περαιτέρω ενασχόληση

1. Μπορείτε να δώσετε διαφορετικές τιμές στο step και να δείτε με ποια ταχύτητα σχηματίζεται η ευθεία.

2. Πειραματιστείτε με το σχηματισμό και άλλων γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων ή διαγραμμάτων της Φυσικής.

Εργασία 2: Γραφική παράσταση των κυκλικών συναρτήσεων Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=ημχ θα πρέπει να εκφράσετε τις συντεταγμένες (χ,ψ) στο νέο σύστημα αξόνων (π.χ. με κέντρο Κ(40,250)). Τετμημένες Η μεταβλητή X στο νέο σύστημα αξόνων, με κέντρο το σημείο Κ(Χκ,Yk) της οθόνης, παίρνει τιμές από Χκ έως getmaxX. Επειδή θέλετε να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ημX, θα πρέπει να μετατρέψετε τις τιμές της μεταβλητής X από pixels σε ακτίνια (rad). Ας δούμε τι συμβαίνει, αν θεωρήσουμε ότι:

• Χ=Χκ, τότε η αντίστοιχη γωνία θα είναι 0.

• X=getmaxX, τότε η αντίστοιχη θα γωνία είναι 2π. Σε αυτή την περίπτωση το πλάτος μιας περιόδου για τη συνάρτηση ημX είναι Τ=(getmaxΧ-Χκ). Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει, αν θεωρήσουμε ότι T κάποιος αριθμός λ:

• Χ=Χκ, τότε η αντίστοιχη γωνία θα είναι 0.

• X=λ, τότε η αντίστοιχη γωνία θα είναι 2π. Το πλάτος μιας περιόδου για τη συνάρτηση ημX είναι Τ=(λ-Χκ). Γενικά ισχύει:

• Η γωνία 2π… αντιστοιχεί σε μήκος Τ pixels.

• Η γωνία χ αντιστοιχεί σε μήκος Τ-Χκ pixels.

Με απλή μέθοδο βρίσκετε ότι ένα τυχαίο σημείο χ του άξονα χχ΄, με Χκ<Χ<getmaxX, εκφράζεται ως γωνία (σε ακτίνια) με τον ακόλουθο τύπο:

α=2π(Χ-Χκ)/(Τ-Χκ)



Τεταγμένες Δίνοντας διαδοχικές τιμές στη μεταβλητή Χ (Χκ< Χ< getmaxX), θα πρέπει να βρείτε τις τιμές της μεταβλητής Υ=ημΧ. Με βάση τον προηγούμενο τύπο, οι αντίστοιχες τιμές της γωνίας σε rad είναι a=2π(Χ-Χκ)/(Τ-Χκ). Γνωρίζοντας την τιμή της γωνίας σε rad, μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής Υ. Στην αρχή το Χ θα πάρει την τιμή Χκ και στη συνέχεια θα μεταβάλλεται σύμφωνα με τον τύπο Χ=Χ+step. Επειδή το ημίτονο παίρνει τιμές από -1 έως 1, θα πρέπει και οι τιμές της μεταβλητής Υ να βρίσκονται στο ίδιο διάστημα. Για το λόγο αυτό θα πρέπει να ορίσετε τη μονάδα (monadaΥ) στον άξονα των τεταγμένων με μήκος <=Yk (π.χ. 250 pixels, όσο είναι, δηλαδή, η τεταγμένη του σημείου Κ(40, 250). Με απλό συλλογισμό προκύπτουν τα ακόλουθα για τη συνάρτηση Y=ημX:

Όταν η γωνία α είναι α=0, η μεταβλητή X παίρνει την τιμή X=Χκ και, επειδή ημ0=0, θα πρέπει και η μεταβλητή Υ να πάρει την τιμή Υκ. Δηλαδή, για το ζεύγος τιμών (0,0) αντιστοιχεί το ζεύγος τιμών (Χκ, Υκ).

Όταν η γωνία είναι α=π/2, και επειδή ημ(π/2)=1, θα πρέπει η μεταβλητή Υ να πάρει την τιμή η οποία εκφράζεται από τη μονάδα που ορίσατε, οπότε Υ=ημ(π/2)=monadaΥ. Δηλαδή, για το ζεύγος τιμών (π/2,1) αντιστοιχεί το ζεύγος τιμών (Χ, monadaY), όπου η Χ παίρνει την τιμή που προκύπτει από τον τύπο a=2π(Χ-Χκ)/(Τ-Χκ).

Γενικότερα Αν το κέντρο των αξόνων βρίσκεται στο σημείο (Χκ, Υκ) και έχετε ορίσει τη μονάδα για τον άξονα Υ ως monadaY<Yk, καθώς, επίσης, και την περίοδο της συνάρτησης Τ=λ (λ<(getmaxX-Xk)), τότε για τις συντεταγμένες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Υ=ημΧ θα ισχύουν τα εξής:

Χκ<Χ<getmaxX Χ =Χ+step a:=2*π*(Χ-Χk)/(T-Χk); Υ=Υκ-monadaY*ημΧ<Yk

Κατασκευή γραφικής παράστασης της ψ=ημχ Συμπλήρωστε τον κώδικα στο πρόγραμμα myprogr_dr2b, τοποθετώντας τις παρακάτω εντολές στις κατάλληλες θέσεις. Στη συνέχεια μεταφράστε το και εκτελέστε το στο περιβάλλον του εργαστηρίου σας. Αποθηκεύστε το ως myprogr_dr2c. Κάντε κλικ στο prog_dr2c (φάκελος εκτελέσιμα), αν θέλετε να δείτε το εκτελέσιμο αρχείο. var T, monadaY: integer; T:= 250; monadaY:=100; a:=2*Pi*(x-xk)/(T-xk); y:=yk-Ypsos*sin(a); Κατά την εκτέλεση θα πρέπει να σχηματίζεται το διάγραμμα του ημχ. Αν χρειάζεστε βοήθεια, μπορείτε να δείτε τον κώδικα του προγράμματος στο φάκελο βοήθειας μαθητή (αρχείο progr_dr2c.txt). Περαιτέρω ενασχόληση

1. Στο πρόγραμμα myprogr_dr2c να πειραματιστείτε με τα εξής:

• Mε την αλλαγή του κέντρου των αξόνων, π.χ. (0, getmaxY/2).

• Με την αλλαγή της περιόδου Τ ή της μονάδας monadaY. 2. Με την προσθήκη εντολών, ώστε να δημιουργείται και η συνάρτηση του συνημιτόνου (συνχ).

Κάντε κλικ στο prog_dr2d (φάκελος εκτελέσιμα), αν θέλετε να δείτε το εκτελέσιμο αρχείο. (Παρατηρήστε τη διαφορά της φάσης τους.) Αν χρειάζεστε βοήθεια, μπορείτε να δείτε τον κώδικα του προγράμματος στο φάκελο βοήθειας μαθητή (progr_dr2d.txt).

3. Με τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης στη Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση y=y0ημωt.

Documents

Βιβλίο Καθηγητή